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LA CIRCONFERENZA
Lezione
Prof.ssa Monica Fiaschi
DEFINIZIONE
Sia C un punto di coordinate α e β ; C(α, β ) Definiamo circonferenza il luogo geometrico dei
punti del piano P(x,y) aventi distanza r da C.Per definizione si ha
Cioè (1)
rCP
22 rCP
Prof.ssa Monica Fiaschi
DIMOSTRAZIONE
Calcoliamo PC utilizzando la Formula per calcolare la distanza traDue punti
Quindi
22 )()( yxCP
222 )()( yxCP
Prof.ssa Monica Fiaschi
Sostituiamo quanto trovato nella formula (1) ricavando
questa che abbiamo trovato rappresenta l’equazione della circonferenza di centro C(α,β) e raggio r.
Ovviamente se il centro della circonferenza è l’origine la formula precedente diventa
222 ryx
222 )()( yxr
Prof.ssa Monica Fiaschi
Nella formula 2) sono state sostituite le coordinate dell’origine
• Osservazione
Tutte le volte che ti viene assegnato il raggio e le coordinate del centro, per trovare l’equazione della circonferenza dovrai utilizzare la formula 2), sostituire in essa le coordinate del centro ed il valore del raggio.
Prof.ssa Monica Fiaschi
Esempio
• Trova l’equazione della circonferenza di raggio r = 2 e centro C(1,2).
• Per prima cosa scrivo la formula che devo utilizzare
Sostituisco in essa i dati cioè , R =2 trovo
222 )( ryx 1 2
4)21 22 yxProf.ssa Monica Fiaschi
Facciamo i calcoli
• Attenzione!! Ci sono due quadrati di binomio da risolvere
Ordiniamo
44412 22 yyxx
014222 yxyx
Prof.ssa Monica Fiaschi
Prova tu per vedere se hai capito prova a
calcolare l’equazione della circonferenza sapendo che il raggio
è ed il centro è C(-1,0)20
Prof.ssa Monica Fiaschi
Problema inverso
• Abbiamo visto come si può calcolare l’equazione di una circonferenza conoscendo il centro e il raggio.
• Affrontiamo ora il problema inverso e più precisamente come si può determinare il raggio e il centro di una circonferenza se si conosce l’equazione della circonferenza?
Prof.ssa Monica Fiaschi
Riprendiamo la formula 2) e sviluppiamola
Ordiniamo
Poniamo a = -2α b = -2β c = L’equazione precedente può essere scritta in un
modo più semplice da ricordare e cioè
022 22222 ryyxx
022 22222 ryxyx 222 r
Prof.ssa Monica Fiaschi
3)Osserva che nell’equazione 3) deve mancare
sempre il termine xy, inoltre il coefficiente di
deve essere uguale a quello di E comunque entrambi devono essere sempre
uguali ad 1.
022 cbyaxyx
2x2y
Prof.ssa Monica Fiaschi
Riprendiamo le nostre sostituzioniDa a =-2α ricavo α che vi ricordo è l’ascissa del
centro analogamente ricavo
ed infine o anche
2
a
2
b
cr 22
cbar 42
1 22
Prof.ssa Monica Fiaschi
In conclusione …• Se è una circonferenza;• Se è un punto (circ. degenere);• Se non rappresenta alcun
punto !!!
0422 cba
0422 cba
0422 cba
Prof.ssa Monica Fiaschi