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LA APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES NUMÉRICAS EN EL PROCESO DE
ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
Autor: Joaquín Suárez Salvador
Tutor: Dr.C. Carlos Duardo Monteagudo
, junio 2018
Departamento
de Ciencias Exactas
Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de
Las Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui
Gómez Lubián” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la
mencionada casa de altos estudios.
Se autoriza su utilización bajo la licencia siguiente:
Atribución- No Comercial- Compartir Igual
Para cualquier información contacte con:
Dirección de Información Científico Técnica. Universidad Central “Marta Abreu” de Las
Villas. Carretera a Camajuaní. Km 5½. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830
Teléfonos.: +53 01 42281503-1419
Dedicatoria
A mi MAMÁ, trinchera y faro de todas mis batallas, mi primera maestra. Gracias por todo.
A mis maestros desde el preescolar hasta la universidad, quienes me inspiraron a
dedicarme a esta hermosa profesión.
Agradecimientos
En primer lugar, a mi mamá y a mi papá Rey, quienes siempre han estado a mi lado y
contribuido sobremanera en mi formación.
A mi novia, por acompañarme y apoyarme en cada uno de los momentos en que las
fuerzas no alcanzaban.
A mi papá Joaquín y al resto de mi familia que también ha aportado su granito de arena.
A mi tutor Dr.C. Carlos Duardo Monteagudo por las horas dedicadas, por escuchar en
cada momento mis ideas, aportar sus saberes y ser tan exigente.
A mis maestros que me inspiran.
A TODOS los profesores del Departamento de Ciencias Exactas y la Facultad de
Educación Media quienes me han apoyado y se han preocupado por el desarrollo de la
tesis.
A mis amigos y compañeros quienes se mantuvieron al tanto de este proceso.
A todos los que con una frase de aliento o una sugerencia me apoyaron.
Resumen
La educación en Cuba se encuentra en un nuevo proceso de perfeccionamiento iniciado,
en la educación media superior, en el curso 2004-2005. La Matemática como asignatura
en el currículo del preuniversitario también se encuentra en este proceso por lo que se
reordenan sus contenidos y se perfeccionan sus métodos. Uno de los cambios radica en
que la formulación y solución de problemas se convierte en el eje central de trabajo con
sus contenidos y debe contribuir a hacer evidente las implicaciones de la matemática en
la vida. En ese sentido, se ha detectado que las aplicaciones de las funciones numéricas
se utilizan escasamente en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática y que
en los libros de textos no aparecen suficientes problemas propuestos que tengan como
contenido dichas aplicaciones. De ahí, se hace necesario proponer problemas con
aplicaciones de las funciones numéricas y para ello se selecciona la Unidad 2 del
undécimo grado. Como resultado del proceso investigativo, se obtiene una propuesta de
problemas con aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas a la biología,
la química, la física; entre otros. Esta propuesta ha sido valorada favorablemente por los
especialistas y contribuye a la formación integral de los estudiantes. Los resultados de la
aplicación en la práctica de los problemas con aplicaciones de las funciones
exponenciales y logarítmicas confirman su contribución al proceso de la enseñanza
aprendizaje de la Matemática en el undécimo grado.
Palabras claves: funciones numéricas, Matemática, proceso de enseñanza aprendizaje,
solución de problemas
Abstract
Education in Cuba is going through a process of improvement that started in Secondary
Education during the school year 2004-2005. Mathematics as a subject in the Pre-
university curriculum is also part of such process, consequently its contents are
reorganized and its methods are improved. One of the changes lies on the fact that
problem solving becomes the core of content treatment and should contribute to display
the implications of mathematics in life. In that sense, it has been found that the
applications of numerical functions are hardly ever used in the teaching-learning process
of Mathematics and that textbooks do not contain enough problems having such
applications as their main content. Therefore, it is necessary to propose problems with the
applications of numerical functions, for which Unit 2 from eleventh grade was chosen. As
a result of the research process, a proposal of problems is obtained with the applications
of exponential and logarithmic functions to Biology, Chemistry, and Physics, among
others. The proposal has been positively assessed by the specialists and contributes to
the comprehensive education of the students. The results of the implementation of the
proposal have confirmed its contribution to the teaching-learning process of Mathematics
in eleventh grade.
Keywords: numerical functions, Mathematics, teaching-learning process, problem
solving
Índice
Introducción ..................................................................................................................... 1
Desarrollo ........................................................................................................................ 5
1. El proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática en el undécimo grado ... 5
1.1. La solución de problemas ............................................................................... 7
1.2. Las funciones numéricas................................................................................. 9
2. Determinación de necesidades y potencialidades de la aplicación de las funciones
exponencial y logarítmica ........................................................................................... 13
2.1 Presentación y análisis de los resultados obtenidos ..................................... 13
3. Propuesta de problemas con aplicaiones de las funciones numéricas ................ 16
3.1. Problemas para la aplicación de las funciones exponencial y logarítmica .... 17
4. Valoración de la propuesta de problemas mediante la aplicación del método de
criterio de especialista ................................................................................................ 21
4.1. Resultados de la valoración de la propuesta ................................................. 21
5. Validación de la propuesta de problemas ............................................................ 22
5.1. Valoración de los resultados del pre experimento ......................................... 23
Conclusiones ................................................................................................................. 25
Recomendaciones ......................................................................................................... 26
Bibliografía ..................................................................................................................... 27
Anexos .......................................................................................................................... 31
1
Introducción
En la actualidad el sistema educativo cubano se encuentra inmerso en un proceso de
perfeccionamiento. En particular, en el nivel preuniversitario este comienza en el curso
2004-2005 y da continuidad a las transformaciones en los niveles precedentes. Las
transformaciones incluyen el reordenamiento de los contenidos de las diferentes
asignaturas, y el perfeccionamiento de sus métodos. Estas transformaciones se
sustentan en “(…) la optimización del proceso docente-educativo, que es el sistema de
acciones a aplicar en cada enseñanza, territorio, escuela, dirigido a lograr la calidad
educativa, en la medida que este sistema de acciones permite identificar los problemas
que a nivel del centro escolar impiden el avance de la elevación de la calidad educativa”.
(Massón, 2004, p.39)
La escuela como institución social debe responder a la necesidad de la formación
multilateral y armónica de las nuevas generaciones. Las nuevas y difíciles condiciones
internacionales en que se desarrolla el sistema social cubano y los desafíos que enfrenta
en el plano interno, la constitución de un proyecto socialista en el marco de una situación
de crisis, plantea a la educación exigencias particulares.
Una de las asignaturas que aporta en este empeño es la Matemática, sobre todo si se
tiene en cuenta su carácter integrador, generalizador y su incidencia en el desarrollo
armónico y multifacético de la personalidad y la conciencia de los estudiantes. A la vez
que desarrolla el pensamiento lógico, también propicia un sistema de conocimientos que
garantiza la formación de conceptos científicos fundamentales, así como coadyuva a
potenciar el nivel de preparación en la asignatura, desarrollando la movilidad de los
procesos del pensamiento, la comprensión de estructuras formales y la imaginación
espacial. Una de las transformaciones en la Matemática radica en que la formulación y
solución de problemas se convierte en el eje central de trabajo con sus contenidos y debe
contribuir a hacer evidente sus implicaciones en la vida.
Sin lugar a dudas, la educación cubana atesora significativos logros, pero es
indispensable continuar avanzando en aras del mejoramiento para solucionar los
problemas actuales y proyectar el desarrollo futuro. Al respecto Fidel señala: “Seríamos
un ejemplo de vanidad, chovinismo, de autosuficiencia e inmodestia si dijéramos que
estamos satisfechos de lo que hemos hecho. Nuestra educación tiene todavía muchas
2
deficiencias y lagunas, no hemos sido capaces de alcanzar un sistema educacional
óptimo” (Castro, 2003, párr. 8).
El papel que le corresponde a la Matemática como asignatura en el currículo del
preuniversitario debe contribuir a hacer evidente las implicaciones de la misma en la vida.
Dentro de sus contenidos, las funciones numéricas tienen gran aplicabilidad. Estas
permiten la comprensión de planteamientos trascendentales para la supervivencia
humana y la solución de problemas en diferentes áreas. Dichas funciones se imparten de
forma explícita desde octavo grado. Sin embargo, como resultado de las indagaciones
realizadas en el undécimo grado, se pudo constatar que los estudiantes presentan
dificultades en el dominio de las propiedades de las funciones estudiadas y en su
aplicación.
En la búsqueda de las causas fundamentales se evidencia que en el proceso de
enseñanza aprendizaje, no se logra una comprensión por los estudiantes de los
conceptos de las propiedades de las funciones numéricas y no se aprovechan
suficientemente las potencialidades de sus aplicaciones en diferentes fenómenos
naturales, sociales y en otras ciencias, existen pocos problemas en los libros de la
educación media superior con este fin y no se es sistemático al proponer problemas en
clases relacionados con las mismas.
Existen investigadores que han trabajado, con profundidad, la solución de problemas
matemáticos, entre ellos Polya y Pedersen (1984); Shoenfeld (1985); Ballester (1995);
Campistrous y Rizo (1996); Llivina (1999); Ferrer (2000). También la literatura revisada
aborda la aplicación de las funciones numéricas; sin embargo, el tratamiento de esta, en
los programas de estudio de la educación media superior es limitado al tener pocos
problemas, escasas orientaciones metodológicas y poca variedad en las aplicaciones.
A partir de la situación anterior se plantea como problema científico:
¿Cómo contribuir a la aplicación de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones
y funciones exponenciales y logarítmicas” en el undécimo grado?
Objeto de estudio: el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática.
Objetivo: Proponer problemas con aplicaciones de las funciones numéricas para la
Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado.
3
Interrogantes Científicas
1. ¿Cuáles son los fundamentos teórico metodológicos de la aplicación de las funciones
numéricas en el preuniversitario?
2. ¿Qué necesidades y potencialidades existen en la aplicación de las funciones
numéricas en el undécimo grado del Instituto Preuniversitario Urbano (IPU) “Capitán
Roberto Rodríguez”?
3. ¿Qué problemas contribuyen a la aplicación de las funciones numéricas en la Unidad
2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado del IPU
“Capitán Roberto Rodríguez”?
4. ¿Qué valoraciones aportan los especialistas acerca de los problemas con aplicaciones
de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y
logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”?
5. ¿Qué resultados se obtienen con la puesta en práctica de los problemas con
aplicaciones de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones
exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto
Rodríguez”?
Tareas científicas
1. Determinación de los fundamentos teórico metodológicos de la aplicación de las
funciones numéricas en el preuniversitario.
2. Determinación de las necesidades y potencialidades, que existen en la aplicación de
las funciones numéricas en el undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”.
3. Elaboración de problemas que contribuyan a la aplicación de las funciones numéricas
en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo
grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”.
4. Valoración por criterio de especialistas sobre los problemas con aplicaciones de las
funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y
logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”.
5. Validación de los resultados de los problemas con aplicaciones de las funciones
numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del
undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”.
4
Para llevar a cabo esta investigación, se utilizan diversos métodos del nivel teórico, del
nivel empírico y métodos matemáticos y/o estadísticos.
Métodos teóricos
Histórico-lógico: se utiliza en la elaboración del marco teórico conceptual de la
investigación, lo que permite establecer la concepción del proceso de enseñanza
aprendizaje de la Matemática y la aplicación de las funciones numéricas.
Inductivo-deductivo: se utiliza a lo largo del proceso de investigación para conformar la
propuesta y en la elaboración de conclusiones y recomendaciones de carácter
generalizador.
Analítico-sintético: se emplea a través del proceso investigativo desarrollado, en la
determinación de las regularidades del objeto y campo de investigación, en el diseño y la
dinámica de los problemas para la aplicación de las funciones numéricas, así como en el
análisis de los resultados y la elaboración de conclusiones.
Métodos empíricos
Análisis de documentos: se utiliza para la determinación del marco teórico de la
investigación y para la determinación de necesidades y potencialidades.
Observación: se emplea durante las clases de Matemática para constatar el nivel de
implicación de los estudiantes en el proceso de enseñanza aprendizaje.
Encuesta: se aplica a los estudiantes para conocer el estado de su preparación en la
aplicación de las funciones numéricas, así como su disposición para aprender este
contenido y a los docentes para constatar la aplicación de las funciones numéricas por
los estudiantes y la pertinencia de preparar a sus estudiantes.
Consulta a especialistas: se emplea para valorar la aplicabilidad, la novedad y la
necesidad de la propuesta, entre otros aspectos de interés.
Prueba pedagógica: se utiliza como parte del pre experimento pedagógico en el pretest
y el postest para constatar el dominio de los conocimientos matemáticos y la aplicación
de las funciones numéricas.
Método experimental: se aplica el diseño pre experimental de tipo O1 X O2, donde O1 y
O2 representan el pretest y el postest respectivamente.
La triangulación de fuentes se utiliza para verificar el grado de correspondencia entre los
datos obtenidos, tanto antes como después de realizado el pre experimento pedagógico.
5
Métodos matemáticos-estadísticos
Análisis porcentual: se emplea para el análisis de los resultados de la determinación de
necesidades y potencialidades.
Estadística descriptiva: se utiliza para determinar la tendencia de los resultados obtenidos
en la determinación de necesidades y de las valoraciones de la consulta a los
especialistas.
Prueba de hipótesis T-Student: se emplea para analizar por cada indicador si existen
diferencias significativas antes y después del pre experimento pedagógico.
De una población de 350 estudiantes de undécimo grado del IPU “Capitán Roberto
Rodríguez”, se selecciona para el pre experimento una muestra intencional, constituida
por un grupo de 30 estudiantes de undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”.
El aporte práctico lo constituye los problemas con aplicaciones de las funciones
exponenciales y logarítmicas para la Unidad 2 del undécimo grado.
La novedad consiste en ofrecer una propuesta de problemas para la aplicación de las
funciones numéricas que se adecua a las características de la concepción teórica
asumida, tiene en cuenta las particularidades de la Matemática y de su proceso de
enseñanza aprendizaje en el undécimo grado.
Desarrollo
1. El proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática en el undécimo grado
En los programas de Matemática actuales del Preuniversitario para cada grado se
declaran los objetivos generales de la asignatura y lo que los estudiantes deben ser
capaces de dominar al concluir este nivel. Entre los objetivos generales de la asignatura
en el preuniversitario se encuentra: “Formular y resolver problemas relacionados con el
desarrollo económico, político y social, local, nacional, regional y mundial y con
fenómenos y procesos científicos-ambientales, que requieran conocimientos y
habilidades relativos al trabajo con los números reales, (…) las funciones, las funciones
elementales, (…) y que promuevan el desarrollo de la imaginación, de modos de la
actividad mental, de sentimientos y actitudes, que le permitan ser útiles a la sociedad y
asumir conductas revolucionarias y responsables ante la vida” (MINED, 2005). Ello
significa que los problemas deben representar verdaderos desafíos para los estudiantes
y, a partir de estos, enseñar conceptos nuevos.
6
En el “Programa de Matemática de undécimo grado” (2006) se plantea los cambios a que
se debe dirigir esencialmente el proceso de enseñanza aprendizaje de la asignatura.
Entre los ellos se encuentran la contribución a la educación político-ideológica,
económico-laboral y científico-ambientalista; la potenciación del desarrollo de los
estudiantes, mediante tareas cada vez más complejas, incluyendo el carácter
interdisciplinario y el tránsito progresivo de la dependencia a la independencia y
creatividad; el estudio de los nuevos contenidos matemáticos en función de resolver
nuevas clases de problemas de modo que la solución de problemas sea un medio de fijar
y adquirir nuevos conocimientos; la planificación, orientación y control del trabajo
independiente de forma sistemática, variada y diferenciada; y la utilización de las
tecnologías de la informática y la comunicación.
Una de las formas de ordenamiento del contenido matemático para su enseñanza según
Ballester y otros (1992) es atender a los aspectos principales de la transmisión de
conocimientos, el desarrollo de habilidades y capacidades generales y específicas y de
la educación de los estudiantes. En este caso se refiere a las llamadas líneas directrices.
Estas líneas desempeñan un rol importante en el proceso de enseñanza aprendizaje de
la Matemática, y se definen como “(…) lineamientos que penetran todo el curso escolar
con respecto a los objetivos parciales a lograr, los contenidos que deben ser objetos de
apropiación y a los métodos a elegir” (Ballester, y otros, 1992, p.57). Las líneas
directrices, incluyen “correspondencias y funciones” y “formular y resolver de problemas”.
Esta última según Ballester y otros (2002) “(…) retoma aspectos positivos de la directriz
“Matematizar problemas extramatemáticos” y le incorpora nuevos elementos en
correspondencia con un enfoque socio cultural, que pretende dar realce a la búsqueda
de problemas y su formulación como una fase previa a su resolución. Los problemas se
presentan como punto de partida ante los nuevos conocimientos y no solo como
problemas de particular importancia para la fijación de estos” (p.3). A criterio del autor de
la presente investigación, esto se corresponde con uno de los principales cambios en la
Matemática en el Tercer proceso de perfeccionamiento educacional, en el que la solución
de problemas se convierte en el eje central de trabajo con sus contenidos.
7
1.1. La solución de problemas
La solución de problemas según Cruz (2002) facilita la asimilación de nuevos
conocimientos, y desarrolla formas peculiares de interrelación con la sociedad y el
ambiente.
En relación con el concepto de problema matemático son varias las definiciones que se
han dado. Entre ellas las de Polya (1945), Labarrere (1987), Ballester (1992), Schoenfeld
(1993), De Guzmán (1994) y Campistrous y Rizo (1996). Atendiendo a los objetivos de
esta investigación el autor asume la concepción de Ballester (1992), que plantea: “Un
problema es un ejercicio que refleja, determinadas situaciones a través de elementos y
relaciones del dominio de las ciencias o la práctica, en el lenguaje común y exige medios
matemáticos para su solución” (p 407).
Respecto a la estructura de los problemas, autores como Luria, y Tsvetkova (1945);
Labarrere (1987); García (1996); Campistruos y Rizo (1996); Mesa (1998); González
(2005) expresan diferentes criterios, en dependencia de la concepción teórica asumida
sobre los problemas y los tipos de problemas matemáticos considerados. Sin embargo,
coinciden en que los problemas se caracterizan por tener una situación inicial conocida
(datos) y una situación final desconocida (incógnita), siendo su vía de solución
desconocida y la misma se obtiene a través de procedimientos heurísticos.
El autor de esta investigación de acuerdo con González (2005) opina que en la estructura
de todo problema matemático pueden encontrarse los elementos siguientes: datos,
condiciones y preguntas. Los datos comprenden magnitudes, números y relaciones
matemáticas explícitas entre los números. Las condiciones son las relaciones
matemáticas no explícitas entre lo dado y lo buscado, vinculadas con la estrategia de
solución, como las derivadas de los significados prácticos de las operaciones de cálculo,
propiedades, teoremas, recursos matemáticos a utilizar, no declarados en el problema.
La pregunta es la incógnita, lo que hay que averiguar.
El libro How to solve it (1945), escrito por George Polya es muy conocido por las técnicas
de solución de problemas. En este se establecen cuatro etapas o pasos:
1) Comprender el enunciado del problema.
2) Encontrar una vía de solución (análisis) y elaborar un plan de solución.
3) Realizar el plan de solución elaborado (síntesis).
8
4) Comprobar la solución y evaluarla críticamente.
Estas etapas han sido trabajadas y enriquecidas por otros autores, entre los cuales se
encuentran especialistas cubanos como Labarrere (1987), Ballester (1992), Campistrous
y Rizo, (1996), entre otros.
Existen diversos puntos de vistas para clasificar los problemas. Autores como Polya
(1945), Labarrere (1987), Guzmán (1996), García (1998), Sánchez (2002), entre otros,
han hecho su clasificación atendiendo a diferentes parámetros.
Sánchez (2002) los clasifica en problemas de aplicación y problemas puramente
matemáticos. Al clasificarlos define como problemas de aplicación “(…) aquellos que
surgen de manera directa o que pueden producirse en la práctica cotidiana, simulación
de la realidad o de una parte de esta, y que para su solución es necesario la aplicación
de herramientas y/o medios propiamente matemáticos.” (p.33) y como problemas
puramente matemáticos “(…) aquellos en los cuales solamente se hace referencia a
objetos matemáticos (números, relaciones y operaciones aritméticas, ecuaciones,
funciones, figuras geométricas, etcétera)” (p. 33). Ambos tipos de problemas se
subdividen en problemas aritméticos, algebraicos y geométricos, en dependencia de a
cuál de los campos anteriores pertenecen los recursos empleados para su solución.
A criterio del autor esta clasificación satisface los propósitos de esta investigación en
tanto se realiza a partir del origen de los problemas.
En la solución de problemas, la motivación que se tenga para resolverlos es una
condición necesaria. Al respecto Campistrous y Rizo (1996) hacen referencia a que en el
proceso de formación de motivos para la solución de problemas no basta con lograr que
se comprenda y valore la utilidad social de la misma, sino que también se interiorice la
significación que puede tener en el desarrollo de la personalidad y realice valoraciones
personales sobre esa significación. Añaden que los motivos no se logran
espontáneamente cuando reiteradamente se resuelven problemas, sino cuando se
estructura adecuadamente su enseñanza mediante actividades motivantes para el
estudiante.
Existen diferentes razones para la solución de problemas en la clase de Matemática.
Sobresalen las siguientes: el papel de la solución de problemas matemáticos en
situaciones de la vida que presentan muchas veces aspectos cuantitativos que
9
intervienen en el proceso de solución; el papel que ha desempeñado la matemática y la
solución de problemas en el propio desarrollo de la historia de la matemática como
ciencia; la función desarrolladora de los problemas, su contribución al desarrollo del
pensamiento de los estudiantes específicamente el científico y teórico y a la apropiación
métodos efectivos de actividad intelectual. En resumen, los conocimientos sobre la
solución de problemas matemáticos son útiles para la vida.
Dentro de los contenidos matemáticos tienen gran aplicación las funciones numéricas.
Estas se emplean en la Física Escolar para el estudio de la mecánica, en los mercados
para comprar y vender mercancías, en el deporte para el diseño del césped de los
estadios, en la biología para el estudio de las poblaciones y en la medicina para
determinar concentraciones de medicamentos en sangre, entre otras. La formulación y
solución de problemas es sin duda un eje central para hacer evidente estas y otras
aplicaciones de las funciones numéricas.
1.2. Las funciones numéricas
Las funciones adquieren un significado específico en relación con la ciencia matemática,
puesto que generalmente toda investigación matemática trata de relaciones,
correspondencias y funciones.
El concepto de función ha sido definido por varios autores como: Campistrous y otros
(1989), Ochoa (2008), Jiménez (2010), Acosta y otros (2014), entre otros. El autor asume
las siguientes definiciones, las cuales, además son las asumidas en la educación media
en Cuba:
“Una función es una correspondencia que a cada elemento de un conjunto A
asocia un único elemento de un conjunto B” (Acosta, y otros, 2014, p.281). Esta es la
definición de función vista como correspondencia.
A partir de pares ordenados se define como: “Una función f: X→Y es un conjunto
de pares ordenados (x; y) tal que cada xX aparece como primera coordenada de un
solo par ordenado” (Campistrous, Miyar, Naredo, Rivero, Montes de Oca, & Durán, 1989,
p.124).
En la educación media se definen las funciones numéricas como “(…) funciones cuyo
dominio e imagen son conjuntos numéricos (…)” (Acosta Hernández, y otros, 2014,
p.284).
10
Propiedades de las funciones
Las propiedades de las funciones han sido conceptualizadas por diferentes autores
Sánchez (1982), Campistrous (1989), Ochoa (2008), Jiménez (2010) y Barnett (2012).
En la educación media se estudian diferentes propiedades. De ellas, se asumen las
siguientes definiciones:
Dominio: “(…) es el conjunto de partida” (Ochoa, 2008, p.234).
Los elementos que pertenecen al dominio se les llama variables independientes.
Imagen: “Si a un elemento x de un conjunto A la función f le hace corresponder un
elemento y de un conjunto B entonces decimos que y es la imagen de x (…) Al conjunto
formado por todos los elementos de B que tengan al menos una preimagen en A se le
llama imagen o codominio” (Ochoa, 2008, p.240).
Los elementos que pertenecen a la imagen se les llama variables dependientes.
Ceros: “En una función son los valores de x que hacen que y sea cero” (Jiménez, 2010,
p.27).
Inyectividad: “Si en una función dos elementos del conjunto de llegada no se repiten,
entonces decimos que la función es inyectiva.
(𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎) ↔ (𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)) → (𝑥1 = 𝑥2, ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓)” (Ochoa,
2008, p.250).
Sobreyectividad: “Una función se dice sobreyectiva si el conjunto imagen es igual al
conjunto de llegada” (Jiménez, 2010, p.28).
Signos: “Una función tiene signo positivo (signo negativo) en los valores de x cuyas
imágenes sean números positivos (negativos)” (Jiménez, 2010, p.28).
Monotonía: “Una función es monótona creciente (decreciente) estricta a medida que,
aumentando los valores de las x, aumentan (disminuyen) los valores de las y” (Jiménez,
2010, p.29).
Paridad: “Una función f se dice par (impar) si los argumentos opuestos tienen la misma
imagen (tienen imágenes opuestas) (Jiménez, 2010, p.35).
Periodicidad: Según Ochoa (2008) la define como:
“(𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝑅∗: 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥); ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓)” (p.271)
11
Función compuesta: “Sean los conjuntos no nulos A,B y las funciones 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑦 𝑔: 𝐵 →
𝐶, se le llama función compuesta de f y g y se denota 𝑔 ∘ 𝑓 a la función: 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 →
𝐶: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))∀𝑥 ∈ 𝐴” (Ochoa Rojas, 2008, p.300)
Función inversa: “Si 𝑓 es una función inyectiva con dominio A e imagen B, entonces la
función inversa 𝑓−1tiene dominio B e imagen A y se define por:
𝑓−1(𝑦) = 𝑥 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑦 ∈ 𝐵.” (Campistrous, Miyar, Naredo, Rivero, Montes
de Oca, & Durán, 1989, p.133)
Según Stewart (2011), existen cuatro formas de representar una función: verbal
(mediante una descripción en palabras), algebraica (mediante una fórmula explícita),
visual (por medio de una gráfica) y numérica (por medio de una tabla de valores). En la
educación media se trabaja con representaciones en forma descriptiva, mediante
diagramas, tablas y gráficos. Además, se pueden representar en forma de ecuaciones.
La línea directriz “Correspondencias y funciones” tiene un significado especial para la
enseñanza de la Matemática. Esto se evidencia en el desarrollo del pensamiento
funcional desde los primeros grados, por su importancia en la explicación de procesos de
cambio y evolución, lo que justifica su presencia en todos los niveles y grados.
El tratamiento propedéutico de la misma se inicia desde preescolar, cuando los niños
asocian a un conjunto su cardinal, a un segmento su longitud y más adelante, hacen
corresponder a un par de números el resultado de una operación aritmética, a un punto
del rayo numérico un número, a una figura su imagen por un movimiento, entre otros.
Los estudiantes desde los primeros grados realizan operaciones de seriación al identificar
regularidades en sucesiones de carácter numérico y geométrico, así como para
interpretar informaciones dadas mediante gráficos y tablas.
En octavo grado comienza el tratamiento explícito de las funciones, pues se exige que
los estudiantes identifiquen y las representen, luego son capaces de modelar situaciones
mediante funciones lineales. En noveno adquieren nuevas herramientas de trabajo
asociadas a la función cuadrática.
En la educación media superior amplían su espectro a las funciones potenciales y sus
inversas, la función modular y algunas otras funciones racionales e irracionales, y más
adelante, a las funciones trascendentes elementales (exponenciales, logarítmicas y
12
trigonométricas), de modo que pueden describir o interpretar fenómenos y procesos de
la realidad y de otras asignaturas que se dejan modelar con estos recursos.
Dentro de los objetivos de esta línea directriz en la educación media superior se reconoce
“Formular y resolver problemas extramatemáticos que se modelan mediante funciones
elementales y sucesiones o que requieran describir aproximadamente una curva empírica
haciendo cambios de variables y aprovechando las ventajas de un asistente matemático,
aplicando integradamente los conocimientos y habilidades de las distintas áreas
matemáticas y las adquiridas en otras disciplinas, de manera que puedan hacer
valoraciones sobre hechos, fenómenos y procesos de la realidad nacional e
internacional”. (Álvarez, Almeida, & Villegas, 2014, p.70)
Entre las funciones que se imparten en el undécimo grado del preuniversitario se
encuentran las siguientes:
1. Función exponencial
“Se llama función exponencial de base a (a>0, a≠1) a la función que a cada número real
x, le hace corresponder 𝑎𝑥, es decir, al conjunto de pares ordenados {(𝑥; 𝑎𝑥): 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 >
0, 𝑎 ≠ 1}” (Campistrous, y otros, 1990, p.35)
2. Función logarítmica
“Se llama función logarítmica de base a (a>0, a≠1) a la función que a cada x (x>0) le hace
corresponder log𝑎 𝑥, es decir, al conjunto {(𝑥, log𝑎 𝑥); 𝑥 ∈ ℝ+∗ ; 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1}” (Campistrous,
y otros, 1990, p.42)
Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen grandes aplicaciones pues sirven de
modelo para el análisis del crecimiento poblacional de los seres vivos y para calcular la
velocidad de caída de cuerpos considerando la resistencia del aire. Otras aplicaciones
son los modelos de decaimiento radioactivo y para la determinación de la concentración
másica de algunas sustancias. También se emplean para determinar la edad de objetos
antiguos, en la economía, y en varias escalas como la Richter y la intensidad del sonido
(decibeles). Además, se utilizan en la medicina, la astronomía, la física y la informática.
13
2. Determinación de necesidades y potencialidades de la aplicación de las
funciones exponenciales y logarítmicas
Para la determinación de necesidades se utiliza una muestra constituida por 30
estudiantes. Los estudiantes cursan el undécimo grado del IPU “Capitán Roberto
Rodríguez” del municipio de Santa Clara.
Con este propio fin se emplean el análisis de documentos, la encuesta y la observación.
El análisis de documentos incluye el programa director de Matemática, los programas de
Matemática de preuniversitario vigentes en el curso 2017–2018, el libro de Matemática
de undécimo grado y las orientaciones metodológicas. La encuesta se aplica a los
estudiantes para conocer el estado de su preparación en la aplicación de las funciones
numéricas, así como su disposición para aprender este contenido; mientras que 10
docentes de varios preuniversitarios del municipio se encuestan para constatar la
aplicación de las funciones numéricas por los estudiantes y la pertinencia de preparar a
sus estudiantes. La observación se realiza a cinco turnos de clases de Matemática con
el objetivo de constatar el nivel de implicación de los estudiantes en el proceso de
enseñanza aprendizaje.
2.1 Presentación y análisis de los resultados obtenidos
Para el estudio de los documentos normativos se procede a determinar los indicadores a
tener en cuenta para su análisis: la orientación de la aplicación de las funciones
numéricas en la asignatura Matemática en el nivel medio superior y la presencia de la
solución de problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en los programas de
la asignatura y se procede a elaborar la guía para el análisis de documentos (Anexo 1).
Los resultados obtenidos se muestran a continuación:
El programa director de Matemática vigente desde el curso 1997-1998, orienta en los
objetivos solucionar problemas en los que se apliquen los conocimientos y habilidades
adquiridos sobre el significado de las operaciones de cálculo, la proporcionalidad y el
tanto por ciento. También indica identificar relaciones funcionales y sus propiedades, a
partir de tablas, diagramas, ecuaciones, gráficas u otras formas de representación, y
utilizarlas en la modelación de situaciones prácticas.
Los programas de Matemática de Preuniversitario (2005, 2006 y 2007), tienen entre sus
objetivos resolver problemas relacionados con el desarrollo económico, político y social,
14
local, nacional, regional y mundial y con fenómenos y procesos científicos-ambientales,
que requieran conocimientos y habilidades relativos, entre otros, a las funciones y las
funciones elementales. El análisis del Programa de la asignatura en el undécimo grado
(2006) permite constatar que en la Unidad 2 se orienta “Transferir de una representación
a otra de las funciones exponenciales y logarítmicas, es decir, de sus propiedades a su
representación analítica, gráfica o descriptiva (en el lenguaje común) y viceversa,
aplicando estos conocimientos a situaciones sencillas de la práctica y otras ciencias.”
(p.18). Las orientaciones metodológicas tienen poca información sobre su tratamiento.
Al analizar el libro de Matemática de undécimo grado (1990) se observa que no existen
problemas con aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, solamente se
hace referencia a las aplicaciones de los logaritmos a partir de los ejemplos 8 y 9 (p.32-
33), en contradicción con los objetivos generales de la asignatura para el nivel, el grado
y la unidad.
En la encuesta (Anexo 2) participan 30 estudiantes del grupo 2 de undécimo grado del
IPU “Capitán Roberto Rodríguez”. En la pregunta sobre la motivación durante las clases
de Matemática para la realización de los problemas sobre las funciones, se comprobó
que, un 6,7% de los estudiantes siempre resultaron motivados, el 46,7% casi siempre, el
36,7% a veces y un 10,0% nunca se sintió motivado. Estos resultados (Anexo 2.1) indican
que se debe trabajar en este sentido pues un 46,7% de los estudiantes mostraron
desmotivación hacia la realización de los problemas sobre funciones.
Sobre la posibilidad de responder de forma independiente los problemas sobre funciones
en las clases, se constató que en el indicador siempre, solo el 3,3% de los estudiantes
son capaces de responder por sí solos, el 20% casi siempre, un 33,3% a veces y un
43,3% nunca. Esta información ofrece datos sobre las habilidades que traen los
estudiantes y los hábitos de trabajo independiente, donde están carentes un 76,7% de
los estudiantes en las categorías nunca y a veces.
A la interrogante sobre la frecuencia de solución en clases de problemas con aplicaciones
de las funciones el 3,3% respondió frecuentemente, el 86,7% responde ocasionalmente
y el 10,0% nunca.
15
A la pregunta sobre las aplicaciones de las funciones numéricas en la vida solo el 26,7%
conoce alguna de ellas y el 73,3% no las conoce. Este aspecto influye en el desarrollo de
la investigación profundizando el interés del investigador.
Sobre las principales limitaciones que a criterio de los estudiantes afectaron la realización
de problemas sobre funciones, el 43,3% de los estudiantes contestó que no entendían
claramente el concepto de función, el 70,0% planteaba contar con pocos problemas en
el libro de Matemática de undécimo grado, el 40,0% coincidió en que los problemas están
dirigidos para todos los estudiantes por igual, un 70,0% se refirió a la existencia de poca
sistematización y el 73,3% destacó la carencia de una colección de problemas.
En la encuesta a docentes (Anexo 3) participan un total de 10 y ofrece como resultados
(Anexo 3.1) los siguientes:
La primera interrogante en la que se le pide que escriban aplicaciones de varias
funciones, el 90% conoce aplicaciones de las funciones lineales, cuadráticas,
logarítmicas y trigonométricas y solamente el 70% conoce aplicaciones de la función
exponencial.
En la segunda interrogante sobre las orientaciones metodológicas de la asignatura sobre
el tema, el 80% plantea que existen, el 10% que no existen y el resto (10%) no responde.
El 50% de los encuestados plantea que son insuficientes en todos los grados.
A la interrogante relacionada con la preparación sobre el tema, el 50% plantea que sí
recibió preparación y el resto que no la ha recibido. El 60% plantea que considera su
preparación insuficiente y que necesitan profundizar en el tema.
El 40% afirma que utiliza frecuentemente problemas con aplicaciones en sus clases y el
60% que lo hace ocasionalmente. El 70% plantea que propone a sus estudiantes que
investiguen sobre las aplicaciones de las funciones, con el fin de que profundicen y
comprendan mejor la temática y el 20% no lo hace.
El 100% considera pertinente que los estudiantes conozcan sobre el tema como una
necesidad para la vida, para una mayor comprensión de la naturaleza y la vida práctica.
Aunque plantean como principal dificultad la falta de bibliografía en la que se analice con
profundidad la aplicación de las funciones numéricas.
La observación (Anexo 4) realizada en un total de cinco clases en la que asistieron todos
los estudiantes ofrece como resultados:
16
En el aspecto relacionado con la participación de los estudiantes en la clase de
Matemática se observa que el 40,5% participa activamente en las clases, el 52,4% lo
hace esporádicamente, fundamentalmente cuando les interesa la temática de la clase y
el resto (7,1%) de los estudiantes no participa a menos que el profesor le pida que lo
haga.
Atendiendo al uso o no por el profesor de problemas con aplicaciones de las funciones
en las clases observadas, el profesor no utiliza ningún problema con aplicaciones de las
funciones. Al no usar las aplicaciones de las funciones los estudiantes no manifiestan
interés por las mismas.
El 23,8% de los estudiantes abandonan la solución de los problemas luego de un primer
intento fallido esperando a que los demás estudiantes lo respondan por ellos. El resto
(76,2%) lo intenta varias veces. Solo el 35,7% del grupo llega al resultado final.
La triangulación metodológica permitió determinar las siguientes regularidades:
En los programas de la asignatura se expresa como uno de sus objetivos el estudio
de los contenidos matemáticos, específicamente las funciones numéricas, a partir de sus
aplicaciones en la vida.
En los libros son insuficientes los problemas con estas características,
particularmente en el libro de Matemática de undécimo grado solo aparecen problemas
relacionados con la función logarítmica.
El uso de problemas es poco frecuente en el proceso de enseñanza aprendizaje
de las funciones numéricas; aunque los profesores consideran pertinente la preparación
de los estudiantes sobre el tema, pero plantean como una dificultad la falta de bibliografía.
Los estudiantes muestran disposición a incorporar en su aprendizaje de manera
sistemática este contenido.
3. Propuesta de problemas con aplicaciones de las funciones numéricas para
el undécimo grado
La propuesta da respuesta a las demandas del perfeccionamiento, toda vez que tiene
como eje central la formulación y solución de problemas para el trabajo con las funciones
numéricas. Ella consiste en problemas que evidencian la aplicación de estas funciones a
la biología, la química, la economía, la física, la medicina, entre otros y que complementan
el libro de Matemática del undécimo grado. En su solución, se utilizan los conocimientos
17
sobre el concepto de función, su gráfica y propiedades, así como el uso de los asistentes
matemáticos.
Esta se propone como parte de las líneas directrices “Formular y resolver problemas” y
“Correspondencias y funciones”, responde plenamente a los objetivos del undécimo
grado toda vez que uno de ellos es “Representar situaciones de la práctica, la ciencia o
la técnica mediante modelos analíticos y gráficos y viceversa, extraer conclusiones a
partir de esos modelos acerca de las propiedades y relaciones que se cumplen en el
sistema estudiado, aplicando para ello los conceptos, relaciones y procedimientos
relativos al trabajo con (…) las funciones elementales, (…)” (MINED, 2005, p.12)
La propuesta está diseñada para ser aplicada en la Unidad 2: “Ecuaciones y funciones
exponenciales y logarítmicas”, del programa de undécimo grado. Los contenidos de esta
unidad son: Funciones exponenciales y logarítmicas. Representación gráfica y
propiedades. Las funciones exponencial y logarítmica como inversa una de la otra.
Representación gráfica de datos sobre fenómenos naturales y sociales utilizando el
concepto de función exponencial o logarítmica.
3.1. Problemas para la aplicación de las funciones exponencial y logarítmica
Función exponencial
1. En el año 2015 una paciente fue al médico donde le orientaron realizarse una
prueba donde el yodo se utiliza como trazador para descartar algunas enfermedades
relacionadas con las glándulas tiroides. El proceso de desintegración del yodo se modela
a partir de la siguiente función 𝑚(𝑡) = 6(2)−𝑡
8, t se mide en días y m(t) se mide en gramos.
a) ¿Qué valores puede tomar la variable independiente? ¿Qué propiedad de las
funciones sería esta?
b) ¿Cuántos gramos de yodo se suministra inicialmente?
c) Luego de 24 días cuántos gramos resta en la persona que se hace la prueba.
d) Represente esta función gráficamente utilizando el software “GeoGebra”.
2. Cierto cultivo de bacteria Bacillus anthracis inicialmente tiene una bacteria y se
observa que se duplica cada media hora.
18
a. Escriba la función dado el modelo 𝑛(𝑡) = 𝑛02𝑡
𝛼 para el número de bacterias en el
cultivo después de t horas. Siendo 𝑛0 la cantidad inicial de bacterias y 𝛼 el tiempo que
demora en duplicarse.
b. A las 3 horas de haber comenzado el estudio un investigador quiere saber cuántas
bacterias tiene el cultivo. Determínelas.
c. Represente esta función gráficamente utilizando el software “GeoGebra”.
3. Al iniciar el año 2017 un cuentapropista coloca 5000,00 CUP en un banco con una
tasa de interés del 6%. Si los intereses se acumulan anualmente y esta situación se
modela a partir de la siguiente función 𝐶𝐹 = 5000(1 +6
100)𝑡 donde 𝐶𝐹 es el capital final y t
es el tiempo en años.
a. ¿Cuántos CUP tendrá al cabo de 1 año?
b. Al cabo de 2 años el cuentapropista extrae las ganancias y cambia el tipo de
cuenta. Ahora acumula interés cada seis meses y el modelo es el siguiente 𝐶𝐹 =
5000(1 +6
200)2𝑡. ¿Cuántos CUP se tendrán un año después del cambio?
4. Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con
104 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se
modela mediante la función 𝑣(𝑡) =104
5+1245(2,71−𝑡)
a. ¿Cuántas personas infectadas había inicialmente?
b. Calcule el número aproximado de personas infectadas después de un día y luego
de dos días.
5. Un paracaidista salta desde una altura razonable y durante su caída la resistencia
del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de
proporcionalidad es 0,2. Se puede demostrar que la velocidad de descenso del
paracaidista en el tiempo t se expresa como 𝑣(𝑡) = 80(1 − 2,71−0.2𝑡) donde t se mide en
segundos y 𝑣(𝑡) se mide en pies por segundo (pies/s).
a) ¿Cuál es la velocidad inicial del paracaidista?
b) Calcule la velocidad después de 5 s y después de 10 s.
c) Convierta las magnitudes obtenidas en los incisos anteriores al Sistema
Internacional de Unidades.
19
6. Una cooperativa agropecuaria se encuentra en perfeccionamiento y una de las
producciones que quiere estimular es la de carne de conejo. Llegan nuevos afiliados a la
cooperativa y preguntan cuántos conejos tienen y el tiempo que llevan criándolos, a lo
que los encargados le responden que estiman unos 800 y que han pasado nueve meses.
Los recién llegados se asombran y con curiosidad preguntan con cuántos conejos
iniciaron, los encargados se miraron extrañados y le dijeron que ellos no se acordaban.
Los nuevos afiliados explican que ellos habían leído que la población de conejos se
duplicaba cada tres meses y que con esos datos ellos podían calcular aproximadamente
la cantidad inicial de conejos y determinar cuántos habrán dentro de un año. ¿Cuál es la
población inicial de conejos? ¿Estime la población de conejos en un año?
7. Un barril de 15 galones se llena por completo con agua pura. A continuación, se
bombea sal hacia el barril, y comienza a desbordarse. La cantidad de sal en el barril en
el tiempo t se determina mediante 𝑄(𝑡) = 15 (1 − 2,71−0.04𝑡) donde t se mide en minutos
y Q(t) se mide en libras. ¿Cuánta sal hay en el barril después de 125 min?
8. Los aviones que vuelan a altitudes comprendidas entre 8000 y 12000 metros
necesitan tener cabinas presurizadas para garantizar la comodidad y la salud de los
pasajeros. A esta altitud el aire se encuentra enrarecido y la presión es menor que la
presión al nivel del mar. Para calcular la presión a la que se encuentra el avión a esas
alturas se utiliza la siguiente función 𝑃 = 𝑃0(2,71)−1,24∗10−4ℎ , siendo 𝑃0 = 1.01 ∗ 105𝑃𝑎.
¿Cuál es la presión a 8064,5 m de altura?
9. A una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo se le realiza un
muestreo de la población a ciertos intervalos, se determina que esa población se duplica
cada hora. La población inicial es de 100 bacterias.
a) ¿Cuántas bacterias habrá a las cuatro horas de haberse comenzado el estudio?
b) ¿Cómo representarías gráfica y analíticamente, el comportamiento de esta
especie de bacteria?
Función logarítmica
1. La escala de Richter es utilizada para determinar la magnitud de los terremotos.
En el año 2016 se produjo un terremoto de gran intensidad en Ecuador con una magnitud
de 7,8 en la escala de Richter. En ese propio año se registró un sismo perceptible, en
Santiago de Cuba de magnitud 4,5, en la propia escala. Esta escala está dada por la
20
función 𝐼(𝑥) = log𝑥
𝑆 donde I es el valor en la escala, x es la intensidad del terremoto y S
es una constante ¿Cuántas veces fue mayor la intensidad del registrado en Ecuador
comparado con el registrado en Santiago de Cuba?
2. Un espectrofotómetro mide la concentración de una muestra disuelta en agua al
irradiar una luz por ésta y registrar la cantidad de luz que emerge. En otras palabras, si
se conoce la cantidad de luz absorbida, se puede calcular la concentración en la muestra.
Para cierta sustancia, la concentración (en moles/litro) se encuentra por medio de la
fórmula 𝐶(𝐼) = −1085 log𝐼
𝐼0 donde 𝐼0 es la intensidad de la luz incidente e I es la
intensidad de luz que emerge. Determine la concentración de la sustancia si la intensidad
es I es 70% de 𝐼0.
3. La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la cantidad de carbono 14
radiactivo que permanece en él. Si 𝐷0 es la cantidad original de carbono 14 y D es la
cantidad restante, entonces la edad A del objeto (en años) se determina por 𝐴(𝐷) =
−3580 log𝐷
𝐷0. Calcule la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que permanece
en el objeto es 75% de la cantidad original 𝐷0.
4. Cierta cepa de bacterias se divide cada tres horas. Si una colonia comienza con
100 bacterias, entonces el tiempo t (en horas) requerido para que la colonia crezca a N
bacterias se expresa como 𝑡(𝑁) =3 log 𝑁−6
log 2. Conociendo que log 2 ≈ 0,301 y log 40 ≈ 1,6.
¿qué tiempo demoraría la colonia en llegar a 1600 bacterias?
5. La tasa a la que se carga una batería es más lenta si la batería está más cerca de
su carga máxima 𝐶0. El tiempo (en horas) requerido para cargar una batería descargada
por completo hasta una carga C se expresa como:
𝑡(𝐶) = −0.41 log(1 −𝐶
𝐶0) Si una batería está totalmente sin carga, ¿Cuánto tiempo tomará
cargar el 90% de su carga máxima 𝐶0?
6. La dificultad en “lograr un objetivo” (como usar el ratón para dar clic en un icono
en la pantalla de la computadora) depende de la distancia al objetivo y al tamaño de este.
De acuerdo con la ley de Fitts, el índice de dificultad (ID), está dado por 𝐼𝐷(𝑊) =
21
0,3 log200
𝑊 donde W es el ancho del objetivo. Compara la dificultad de dar clic en un icono
cuyo ancho es de 5,0 mm con la de dar clic en uno de 10 mm de ancho.
7. Los pilotos tienen una gran variedad de instrumentos en sus aviones. Cada uno
de ellos tiene una función diferente y uno de los más importantes es el encargado de
medir la altitud a la que se encuentran, lo hace indirectamente y utilizando la siguiente
función ℎ(𝑃) = −1,86 ∗ 104 log𝑃
1,013∗105, midiendo directamente la presión fuera del avión.
Si la presión es igual a 0,337 ∗ 105𝑃𝑎. ¿Cuál es la altura que marca el instrumento?
4. Valoración de la propuesta de problemas mediante la aplicación del método de
criterio de especialista
La propuesta se somete a criterios de especialistas, con el objetivo de evaluar la
pertinencia y factibilidad de los problemas para la aplicación de las funciones numérica
para su aplicación en la práctica pedagógica con los estudiantes de undécimo grado.
Para la utilización del mismo, se tuvo en consideración la determinación de los aspectos
a evaluar por los especialistas (Anexo 5), la selección de los especialistas según los
criterios determinados, la recopilación de sus criterios, el procesamiento de la información
y la reestructuración de elementos de la propuesta derivada del juicio de los especialistas.
Se seleccionan 10 especialistas según su experiencia como profesores de Matemática,
su nivel profesional y académico.
Una vez recopilada y analizada la información ofrecida por estos, se precisan aspectos
importantes que permitieron el perfeccionamiento de la propuesta de problemas a partir
de los señalamientos realizados.
4.1. Resultados de la valoración de la propuesta
En la valoración de la propuesta de los problemas para la aplicación de las funciones
numéricas, los especialistas consideran:
El aspecto 1, acerca calidad de los problemas, fue evaluado como muy adecuado por el
100% de los especialistas. No se realizan argumentaciones, ni observaciones al respecto.
La evaluación a la adecuación de los problemas a las características del grado, aspecto
2, fue de muy adecuado por el 70% de los especialistas consultados. El resto lo evaluó
como bastante adecuado (30%). Algunos señalan las dificultades que pueden presentar
los estudiantes en el trabajo algebraico y las propiedades de las potencias.
22
El aspecto 3, en el que se solicitaban valoraciones sobre la contribución a la preparación
del estudiante para la vida, recibió la categoría muy adecuado por el 90% de los
especialistas, el resto lo evaluó como bastante adecuado (10%).
La concepción desarrolladora de la propuesta, aspecto 4, recibió valoraciones de muy
adecuado por los 10 especialistas.
El aspecto 5 referido a las posibilidades para su puesta en práctica, fue evaluado como
muy adecuado por el 100% de los especialistas.
El análisis integrador de los aspectos sometidos al criterio de los especialistas permitió
determinar como tendencia, la aceptación de la propuesta, pues las opiniones emitidas
se ubican en las categorías de adecuado y muy adecuado, lo que ratifica sus
posibilidades reales de aplicación y sus amplias ventajas de factibilidad en el contexto
pedagógico para el que ha sido concebida.
5. Validación de la propuesta de problemas
Para validar la propuesta de problemas se utiliza el preexperimento pedagógico, que
permite constatar el dominio de la aplicación de las funciones numéricas y los
conocimientos matemáticos con relación a estas, antes y después de aplicada la propuesta.
Para ello se establecen como indicadores el desarrollo de habilidades y la adquisición de
conocimientos. Ambos indicadores deben verse de conjunto como una unidad concatenada
y se medirán a partir de las calificaciones obtenidas en las pruebas pedagógicas aplicadas
en los dos momentos.
La evaluación cuantitativa del primer indicador consideró la siguiente escala ordinal: nivel
bajo (1), nivel medio (2) y nivel alto (3).
Nivel bajo (1) Los que no demuestran desarrollo de habilidades al aplicar las
funciones exponenciales y logarítmicas tales como: identificar, enunciar, calcular,
formular, esbozar y resolver problemas.
Nivel medio (2) Los que demuestran desarrollo de habilidades al aplicar las
funciones exponenciales y logarítmicas tales como: identificar, enunciar, calcular,
formular, esbozar y no demuestran desarrollo en la habilidad resolver problemas.
Nivel alto (3) Los que demuestran desarrollo de habilidades al aplicar las
funciones exponenciales y logarítmicas tales como: identificar, enunciar, calcular,
formular, esbozar y resolver problemas.
23
El segundo indicador se mide cuantitativamente a partir de calificaciones del 1 al 100,
donde el valor aprobado es el 60.
5.1. Valoración de los resultados del pre experimento
Tomando en cuenta los resultados de la encuesta, los problemas y la valoración de los
especialistas se aplica una prueba pedagógica inicial (Anexo 6). La cual mide los
objetivos esenciales de la unidad con dos preguntas, en un nivel de conocimientos
elementales y según las características de los estudiantes del undécimo grado actual.
Luego de la tabulación por habilidades (Anexo 6.1), se observa que la habilidad más
afectada fue calcular, donde un 63,3% de los estudiantes presenta dificultades. En cuanto
a identificar solo 11 estudiantes están afectados lo que representa un 36,7%. El 60% de
los estudiantes tuvo afectada la habilidad enunciar. Todo ello unido a la encuesta inicial
conduce a analizar con más cuidado los cognitivos. En la pregunta 2, la habilidad más
afectada fue resolver problema con un 6,7% de aprobados y en segundo lugar las
habilidades esbozar y formular, ambas con un 13,3% de aprobados. Además, se
reafirman los problemas en la habilidad calcular al tenerla afectada el 76,7% de los
estudiantes. Por tanto, se encamina el trabajo para llevar a los estudiantes al estado
deseado, que es resolver las carencias que presentan en este momento y a dirigir el
trabajo hacia el logro de las aspiraciones de esta investigación.
Al concluir el análisis del indicador desarrollo de habilidades, se ubican 22 estudiantes en
el nivel bajo, 6 en el medio y 2 en el alto.
En cuanto al indicador 2 la media de las calificaciones fue de 53,11 puntos valor por
debajo del aprobado establecido para el mismo, con una desviación típica de 22,60
puntos lo que indica un valor elevado de dispersión en las calificaciones de este
instrumento y 22 estudiantes desaprobaron.
Luego se aplica la propuesta a los estudiantes del grupo 2 de undécimo grado del IPU
“Capitán Roberto Rodríguez” al utilizar los problemas de la misma tanto para introducir
nuevos contenidos como para sistematizar y consolidar los mismos.
La segunda prueba pedagógica (Anexo 7) se aplica al concluir la Unidad y se obtuvo
resultados (Anexo 7.1) muy favorables a criterio del autor, pues se corrobora la
efectividad y eficiencia en la propuesta. Todo lo antes expuesto se observa en los análisis
siguientes:
24
Las habilidades en la primera pregunta no representan un problema para el grupo pues
las tres sobrepasan el 90%. En la pregunta 2 se observó que solo 4 estudiantes continúan
con problemas en la habilidad de calcular y 5 en la habilidad de resolver, llegando a un
86,7% de aprobados, significativamente superior a la prueba pedagógica inicial. Se
observan problemas en la habilidad esbozar, pero alcanza 76.7% de aprobados, con
solamente 7 estudiantes con problemas en ella, infiriendo que el número de aprobados
ha aumentado considerablemente después de aplicada la propuesta.
Al concluir el análisis del indicador desarrollo de habilidades, se ubican 4 estudiantes en
el nivel bajo, 6 en el medio y 20 en el alto.
En cuanto al indicador 2 la media de las calificaciones fue de 77,0 puntos valor por encima
del aprobado establecido para el mismo, con una desviación típica de 12,57 puntos lo
que indica que este es un grupo no homogéneo y 4 estudiantes se encuentran
desaprobados.
En el análisis comparativo (Anexo 8) de los resultados, se observa que decrece
considerablemente el número de estudiantes ubicados en el nivel bajo (de 22 a 4) y
crecen los ubicados en el nivel alto (de 2 a 20). Por otra parte, el número de aprobados
aumenta desde 8 hasta 26 y el de desaprobados disminuye desde 22 hasta 4. Es de
destacar que la media de las calificaciones en la prueba pedagógica inicial era de 53,12
puntos, con una desviación estándar de 22,60 puntos lo que indica un valor elevado de
dispersión en las calificaciones de este instrumento; mientras que, en la prueba
pedagógica final, la media de las calificaciones es ya de 77,0 puntos, con una desviación
estándar de 12,57 puntos. Esta desviación indica que este es un grupo no homogéneo,
ya que, a pesar de tener la mayoría de estudiantes aprobados, un 50% se mantiene con
calificación por debajo de la media y 4 de ellos se encuentran desaprobados lo que
representa un 13%. La mediana pasa de 51,5 hasta 76,5 puntos, lo cual a criterio del
autor es una mejoría considerable.
Para el análisis comparativo de las transformaciones experimentadas en el indicador 2,
se aplicó de la prueba no paramétrica Kolmogorov-Smirnov (Anexo 9), para probar que
la distribución de las evaluaciones, antes y después, sigue una distribución normal. Luego
se aplica la prueba paramétrica T-Student, teniendo en cuenta que se trata de muestras
25
dependientes, el mismo grupo antes y después, y que los datos son discretos y siguen
una distribución normal.
En la prueba T-Student se comparan los valores obtenidos en las evaluaciones inicial y
final, y se determina si los cambios ocurridos en relación con los indicadores son
significativos o no. Para su aplicación se consideró el nivel de significación 0,05 (Anexo
9).
Como 𝜌 = 0,000 es menor que α=0.05 se rechaza 𝐻0, luego con 95% de confianza se
puede aseverar que hay diferencias entre el estado inicial y final en el indicador 2 y como
se había probado descriptivamente los resultados al final son mejores que al inicio, pues
se puede afirmar esto también inferencialmente. Los resultados se muestran
analíticamente en el Anexo 9.
En general, la validación de la puesta en práctica de los problemas con aplicaciones de
las funciones numéricas muestra significativos avances en los estudiantes que
participaron en el pre experimento pedagógico, solo cuatro se evaluaron por debajo del
aprobado en el postest. Los resultados favorables se aprecian en los indicadores
propuestos.
Conclusiones
1. La solución de problemas facilita la asimilación de nuevos conocimientos, y
desarrolla formas peculiares de interrelación con la sociedad y el ambiente por lo que es
el eje central del trabajo con los contenidos de la Matemática.
2. El diagnóstico de los estudiantes de undécimo grado del IPU “Capitán Roberto
Rodríguez¨ permite constatar las carencias y potencialidades en la aplicación de las
funciones numéricas en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática
3. La aplicación de las funciones numéricas se realiza a partir del estudio del estado
actual de la teoría al respecto y la determinación de un grupo de problemas que sirven
de ejemplo en este proceso.
4. Los problemas propuestos son valorados favorablemente por los especialistas
consultados, los que coinciden en su pertinencia para solucionar un importante problema
de la práctica pedagógica.
5. Los resultados de la aplicación en la práctica de los problemas con aplicaciones de
las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y
26
logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez” confirmaron su
contribución al proceso de la enseñanza aprendizaje de la Matemática.
Recomendaciones
1. Continuar profundizando en las diferentes concepciones teóricas y las
experiencias prácticas en la solución de problemas con aplicaciones de las funciones
numéricas.
2. Aplicar los problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en la práctica
pedagógica diferentes centros del territorio.
27
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enseñanza – aprendizaje de las funciones trigonométricas en el preuniversitario
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Moscú.
31
Anexos Anexo 1 Guía para el análisis de documentos
Objetivo: Determinar necesidades y potencialidades de las aplicaciones de las funciones
exponenciales y logarítmicas en el undécimo grado
Documentos a analizar:
Programa director de Matemática
Programas de Matemática de preuniversitario
Libro de Matemática de undécimo grado
Orientaciones metodológicas
Aspectos a analizar:
Orientaciones sobre la aplicación de las funciones numéricas en la asignatura
Matemática en el nivel medio superior
Presencia de la solución de problemas con aplicaciones de las funciones
numéricas en los programas de la asignatura
32
Anexo 2 Encuesta a estudiantes
Objetivo: Conocer el estado de su preparación en la aplicación de las funciones
numéricas, así como su disposición para aprender este contenido.
Estudiante:
Realizamos una investigación sobre la aplicación de las funciones numéricas, por parte
de ustedes. Le rogamos responda las siguientes preguntas. Su ayuda será altamente
valorada.
Gracias.
1. En las clases de Matemática recibidas ¿Te sentiste motivado para la realización
de problemas sobre las funciones?
a) __
Siempre
b) __Casi
siempre
c) __ A
veces
d) __
Nunca
2. Los problemas que se presentaron en las clases de funciones, ¿los pudiste
resolver solo?
a) __
Siempre
b) __Casi
siempre
c) __ A
veces
d) __
Nunca
3. ¿Has solucionado en clases problemas con aplicaciones de las funciones
numéricas?
a) __ Frecuentemente b) __Ocasionalmente c) __ Nunca
3.1. ¿Qué aplicación tienen las funciones numéricas en la vida?
a) _______________________________________________________
b) _______________________________________________________
c) _______________________________________________________
4. Marca con una (X) ¿cuáles son las principales limitaciones que a tu criterio
afectaron la realización de los problemas?
a) ____ No entendí claramente el concepto de función.
b) ____ Pocos problemas en el libro de Matemática de undécimo grado.
c) ____ Los problemas están dirigidos para todos los estudiantes por igual.
d) ____ Poca sistematización
e) ____ No contamos con una colección de problemas.
33
5. A tu entender ¿cuáles son las mayores dificultades al esbozar los gráficos de las
funciones?
a) ___ Comprensión del problema
b) ___ Representar las propiedades
c) ___ Graficar la situación
34
Anexo 2.1 Resultado de la encuesta inicial a los estudiantes
Indicador Siempre Casi
siempre
A veces Nunca
Motivación para realizar
problemas sobre las funciones
2 (6,7%) 14
(46,7%)
11 (36,7%) 3 (10%)
Trabajo independiente al resolver
problemas
1 (3,3%) 6 (20,0%) 10 (33,3%) 13
(43,3%)
Frecuencia de solución de
problemas con aplicaciones de
las funciones numéricas
Frecuentemente Ocasionalmente Nunca
1 (3,3%) 26 (86,7%) 3
(10,0%)
Conoce aplicaciones de las
funciones numéricas
Sí No
8 (26,7%) 22 (73,3%)
Principales limitaciones que a criterio de los estudiantes afectaron la realización de
tales problemas sobre funciones
No entendí claramente el
concepto de función.
Sí No
13 (43,3%) 17 (56,7%)
Pocos problemas en el libro de
Matemática de undécimo grado
Sí No
21 (70,0%) 9 (30,0%)
Los problemas están dirigidos
para todos los estudiantes por
igual.
Sí No
12 (40,0%) 18 (60,0%)
Poca sistematización Sí No
21 (70,0%) 9 (30,0%)
No contamos con una colección
de problemas.
Sí No
22 (73,3%) 8 (26,7%)
Mayores dificultades al esbozar funciones
Comprensión del problema Sí No
35
12 18
Representar las propiedades Sí No
10 20
Graficar la situación Sí No
12 18
36
Anexo 3 Encuesta a profesores
Objetivo: Constatar entre los profesores la aplicación de las funciones numéricas por los
estudiantes, así como la pertinencia de la preparación de sus estudiantes.
Estimado profesor:
Recabamos su colaboración para nuestro trabajo de investigación, sobre la aplicación de
las funciones numéricas, por parte de los estudiantes, pues son ustedes la fuente de la
que podemos nutrirnos. Gracias por su ayuda.
1. De las aplicaciones de las funciones matemáticas que se imparten a los
estudiantes escriba al menos dos:
a) Función lineal: ___________________________________
b) Función cuadrática: _______________________________
c) Función exponencial: ______________________________
d) Función logarítmica: _______________________________
e) Funciones trigonométricas: __________________________
2. ¿Existen indicaciones en las Orientaciones Metodológicas de Matemática sobre la
aplicación de las funciones matemáticas?
a) __Sí b) __ No
2.1. En caso afirmativo, responda las siguientes alternativas:
a) ¿En qué grado existen? ___ ___ ___
b) ¿En qué grado son insuficientes? ___ ___ ___
2.2. ¿Ha recibido preparación sobre el tema?
a. __ Sí b. __ No
2.2.1. ¿Cómo la considera?
a. __ Suficiente b. __ Insuficiente
Argumente su respuesta: _________________________________________________
______________________________________________________________________
_______________________________________________________________
3. ¿Utiliza en el proceso de enseñanza aprendizaje que dirige las aplicaciones de las
funciones matemáticas?
a) __Frecuentemente b) __ ocasionalmente c) __ nunca
37
3.1. En caso de señalar la última opción, explique las causas:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
4. ¿Propone usted en sus clases, que los estudiantes investiguen sobre las aplicaciones
de las funciones matemáticas?
a) __ Sí b) __ No
¿Por qué? _______________________________________________
5. ¿Considera pertinente que los estudiantes conozcan las aplicaciones de las funciones
matemáticas?
a) __ Sí b) __ No
¿Por qué? _______________________________________________
38
Anexo 4 Guía de observación
Objetivo: Constatar el nivel de implicación de los estudiantes en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la Matemática
Objeto de observación: Estudiantes de 11no 2
Observador: Joaquín Suárez Salvador, estudiante de la UCLV
Tiempo de observación: 1 turno de clase de Matemática a la semana durante 5 semanas.
Aspectos a observar:
Participación de los estudiantes en la clase de Matemática.
Uso o no por el profesor de problemas con aplicaciones de las funciones.
¿Cuántos muestran interés por las aplicaciones de las funciones?
¿Cuántos abandonan la solución de los problemas luego del primer intento?
¿Cuántos llegan a la solución de los problemas?
39
Anexo 5 Indicadores para valorar los problemas propuestos
Aspectos para valorar los problemas propuestos por el método de “Criterio de
especialistas”
Carta a especialistas.
Compañero (a):
Usted ha sido seleccionado por su calificación científica, experiencia y los resultados de
su labor profesional, como especialista para valorar la propuesta de los problemas para
la solución de problemas con aplicaciones de las funciones, por lo que el autor le solicita
le ofrezca sus criterios acerca de la misma.
Datos.
Nombre y apellidos:
Especialidad: años de experiencia:
Categoría docente: Categoría científica o académica:
Profesión o cargo:
Centro de trabajo
Por favor valore cada uno de los aspectos que se le proponen, teniendo en cuenta que
hacia el valor 5 aumenta el grado de aceptación. La valoración debe acompañarla,
siempre que sea necesario de argumentaciones, principalmente en caso de insuficiencias
o sugerencias para su mejoría.
Gracias.
Aspectos a evaluar acerca de los problemas.
1 2 3 4 5
1. Calidad de los problemas.
2. Adecuación de los problemas a las características del
grado.
3. Contribución a la preparación del estudiante para la vida.
4. Concepción desarrolladora.
5. Posibilidades para su puesta en práctica.
40
Anexo 6 Prueba pedagógica pretest
Objetivo: Constatar el dominio de los conocimientos matemáticos y la aplicación de las
funciones numéricas.
1. Marca con una cruz (x) la respuesta correcta
I. La ecuación 𝑣(𝑡) = 9,8𝑡 representa una:
a) __ función cuadrática
b) __ función modular
c) __ función lineal
d) __ función cúbica
II. El dominio de la función 𝑔(𝑥) =1
𝑥+2− 1 es:
a) __ 𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 1
b) __ 𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 ≠ 1
c) __ 𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −2
d) __ 𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 2
III. La función 𝑟(𝑡) = 𝑡2 − 4 corta al eje “y” en:
a) __ x=2
b) __ x=4
c) __ x=8
d) __ x=16
2. Un automóvil sale de una casa situada a 50 km de La Habana por la autopista
nacional con destino a Taguasco, si consideramos que el auto se mueve durante
todo el trayecto en línea recta y a una velocidad constante de 80 km/h.
a. ¿A qué distancia se encuentra de La Habana a la media hora de iniciado el
recorrido?
b. Determine la cantidad de kilómetros recorridos a los 125 minutos de iniciado el
recorrido.
c. Escriba una expresión para t horas de viaje.
d. Esboce gráficamente la expresión del inciso anterior.
41
Anexo 6.1 Resultados Prueba Pedagógica inicial por habilidades
PREGUNTA 1
IDENTIFICAR ENUNCIAR CALCULAR
P. A % P. A. % P. A. %
30 19 63,3 30 12 40,0 30 11 36,7
PREGUNTA 2
CALCULAR FORMULAR ESBOZAR RESOLVER
PROBLEMA
P. A % P. A. % P. A. % P A %
30 7 23,3 30 4 13,3 30 4 13,3 30 2 6,7
42
Anexo 7 Prueba pedagógica final
Objetivo: Constatar el dominio de los conocimientos matemáticos y la aplicación de las
funciones numéricas.
1. Completa los espacios en blanco:
1.1. La relación entre la presión atmosférica P y la altura h sobre el nivel del mar, se
determina mediante la función de ecuación 𝑃(ℎ) = 14,7 ∗1
𝑒
0,21ℎ, siendo e≈2,71.
a. Esta ecuación representa una función ____________.
b. Al nivel del mar la presión es de _________________.
c. En la medida que aumenta la altura sobre el nivel del mar, la presión
atmosférica _____________.
2. En el año 2015 una paciente fue al médico donde le orientaron realizarse una
prueba donde el yodo se utiliza como trazador para descartar algunas
enfermedades relacionadas con las glándulas tiroides. El proceso de
desintegración del yodo se modela a partir de una función de la forma 𝑚(𝑡) =
𝑚0(2)−𝑡
ℎ donde 𝑚0 es la masa inicial suministrada y h es la vida media de la
sustancia. La masa inicial suministrada fue 6 gramos y la vida media del yodo es
8 días.
a) ¿Qué valores puede tomar la variable independiente? ¿Qué propiedad de las
funciones sería esta?
b) Escriba una expresión para determinar la masa de yodo luego de t horas.
c) Luego de veinte días cuántos gramos resta en la persona que se hace la
prueba.
d) Realice el esbozo gráfico de esta función.
43
Anexo 7.1 Resultados Prueba Pedagógica inicial por habilidades
PREGUNTA 1
IDENTIFICAR ENUNCIAR CALCULAR ESBOZAR
P. A % P. A. % P. A. % P A %
30 29 96,7 30 28 93,3 30 26 86,7 30 25 83,3
PREGUNTA 2
CALCULAR FORMULAR ESBOZAR RESOLVER
PROBLEMAS
P. A % P. A. % P. A. % P A %
30 26 86,7 30 24 80,0 30 23 93,3 30 25 83,3
44
Anexo 8 Análisis cuantitativo de los resultados
Indicador 1
Indicador 1 Pretest
Frecuencia Porcentaje
Porcentaje
válido
Porcentaje
acumulado
Válido Bajo 22 73.3 73.3 73.3
Medio 6 20.0 20.0 93.3
Alto 2 6.7 6.7 100.0
Total 30 100.0 100.0
Indicador 1 Postest
Frecuencia Porcentaje
Porcentaje
válido
Porcentaje
acumulado
Válido Bajo 4 13.3 13.3 13.3
Medio 6 20.0 20.0 33.3
Alto 20 66.7 66.7 100.0
Total 30 100.0 100.0
0
5
10
15
20
25
Nivel Bajo Nivel Medio Nivel Alto
Resultados del Pre experimento pedagógico
Pretest Postest
45
Indicador 2
Aprobados en el pretest
Frecuencia Porcentaje Porcentaje válido
Porcentaje
acumulado
Válido Desaprobado 22 73,3 73,3 73,3
Aprobado 8 26,7 26,7 100,0
Total 30 100,0 100,0
Aprobados en el postest
Frecuencia Porcentaje Porcentaje válido
Porcentaje
acumulado
Válido Desaprobado 4 13,3 13,3 13,3
Aprobado 26 86,7 86,7 100,0
Total 30 100,0 100,0
8
22
26
4
0
5
10
15
20
25
30
Aprobados Desaprobados
Resultados del pre experimento pedagógico
Pretest Postest
46
Estadísticos
Calificación en
el pretest
Calificación en
el postest
N Válido 30 30
Perdidos 0 0
Media 53.1167 77.0333
Error estándar de la media 4.12768 2.29426
Desviación estándar 22.60824 12.56619
Varianza 511.132 157.909
Rango 69.00 55.00
Mínimo 23.00 45.00
Máximo 92.00 100.00
Percentiles 25 32.2500 70.7750
50 51.5000 76.5000
75 73.2500 86.3750
47
Anexo 9 Pruebas de Hipótesis
48
PRUEBA T
Planteamiento de las hipótesis
𝐻0 : 𝜇𝐼 = 𝜇𝐹 𝐻1 : 𝜇𝐼 ≠ 𝜇𝐹
Nivel de significación α=0,05
Estadísticas de muestras emparejadas
Media N
Desviación
estándar
Media de error
estándar
Par 1 Calificación en el pretest 53.1167 30 22.60824 4.12768
Calificación en el postest 77.0333 30 12.56619 2.29426
Correlaciones de muestras emparejadas
N Correlación Sig.
Par 1 Calificación en el pretest &
Calificación en el postest 30 .651 .000
Prueba de muestras emparejadas
Diferencias emparejadas
t gl
Sig.
(bilateral) Media
Desviación
estándar
Media de
error
estándar
95% de intervalo de
confianza de la diferencia
Inferior Superior
Par
1
Calificación en el
pretest -
Calificación en el
postest
-
23.91667 17.29026 3.15676 -30.37296 -17.46038
-
7.576 29 .000
Como p=0.000 es menor que α=0.05 se rechaza Ho, luego con 95% de confianza se
puede aseverar que hay diferencias entre el estado inicial y final en la variable notas y
como se había probado descriptivamente los resultados al fino son mejores que al inicio,
pues se puede afirmar esto también inferencialmente.
