Embed Size (px)
Citation preview
L3 Parcours Physique ChimieThermodynamique: Transferts thermiques1
Nathalie Daniault
19 mars 2008
1. Ce cours s’inspire très largement du cours écrit parYves Jannot, trouvé sur le web à l’adresse suivantehttp://www.thermique55.com/, du livre “Introduction auxtransferts thermiques” deDominique Marchio et Paul Re-boux, cours de l’Ecole des Mines de Paris et du dossier “Transmission de l’énergie thermique” parAlain Degiovanni,Techniques de l’ingénieur, BE 8200.
Table des matières
1 Rappels -Définitions - Introduction aux transferts thermiques 31.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31.2 Définition des grandeurs fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4
1.2.1 Température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2.2 Chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 61.3.1 Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61.3.2 Expression des flux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7
2 Transfert de chaleur par conduction 102.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 102.2 Conduction en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12
2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.2.2 Notion de résistance thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 122.2.3 Transfert unidirectionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 12
2.3 Conduction en régime variable, sans changement d’état . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 162.3.1 Problème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 162.3.2 Nombres sans dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 162.3.3 Quelques cas d’école . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17
3 Transfert de chaleur par rayonnement 203.1 Généralités, définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 20
3.1.1 nature du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 203.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Lois du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 233.2.1 Loi de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233.2.2 Lois physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
3.3 Rayonnement mutuel de surfaces opaques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 253.3.1 Problème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 253.3.2 Plans parallèles infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
4 Transfert de chaleur par convection 274.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 27
4.1.1 Dimensions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 274.1.2 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274.1.3 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
4.2 Convection: généralités, définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 304.2.1 Convection naturelle et forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 304.2.2 Régime d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
4.3 Expression du flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 304.3.1 Calcul du flux de chaleur en convection forcée . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 314.3.2 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 31
1
4.4 Introduction à la convection avec changement d’état . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32
2
Chapitre 1
Rappels -Définitions - Introduction auxtransferts thermiques
1.1 Introduction
La thermodynamique permet de prévoir la quantité totale d’énergie qu’un système doit échanger avec l’ex-térieur pour passer d’un état d’équilibre à un autre.
La thermique (ou thermocinétique) se propose de décrire quantitativement (dans l’espace et dans le temps)l’évolution des grandeurs caractéristiques du système, en particulier la température, entre l’état d’équilibreinitial et l’état d’équilibre final.
Les deux notions fondamentales en transferts thermiques sont latempératureet lachaleur. La température(T) caractérise l’état d’un corps ; la chaleur (Q) exprime un échange énergie.
Lorsque deux points dans l’espace sont à des températures différentes, il y a systématiquement transfert dechaleur toujours du corps “chaud” vers le corps “froid”. C’est uneconséquence directe du deuxième principede la thermodynamique. Considérons un système isolé:
T1 T2
δQ
dS = dS1 + dS2
dS =δQ
T1+
−δQ
T2= δQ
(
1
T1− 1
T2
)
dS = δQT2 − T1
T1T2
dS > 0 ⇒ T2 > T1
Ce processus est irréversible, car bien qu’isolé du milieu extérieur, il y acréation d’entropie.
3
1.2 Définition des grandeurs fondamentales
1.2.1 Température
C’est une variable d’état qui, du point de vue de la structure intime de la matière, caractérise le degréd’agitation de ses particules.
L’énergie cinétiqueEC de chaque particule est liée à la température T parEC = 32kT , où k = R
N=
8,3146,025 1023 = 1,38 10−23JK−1. Avec k la constante de Boltzmann, R, la constante des gaz parfaits etN lenombre d’Avogadro.
Elle résulte donc de la détermination d’une moyenne et, de ce fait, il est impossible, en toute rigueur, dedéfinir la température en un point géométrique.
L’unité de la température est définie comme suit (JO 23/12/75):”le Kelvin (K) est la fraction 1/273.16 de latempérature thermodynamique du point triple de l’eau”. On utilise fréquemment la température Celsius définiepar la différenceT −T0 entre deux températures thermodynamiquesT etT0 avecT0 = 273.16K. Un intervalleou une différence de températures peuvent s’exprimer soit en Kelvin soit en degrés Celsius.
Champ de température
Nous dirons qu’à l’instant t la température d’un corps estuniformesi, en cet instant, tous les appareils demesure indiquent la même valeur T quelle que soit leur position. Nous dirons enoutre qu’elle estconstantesiT est indépendante de l’instant d’observation. Si ces deux conditions ne sont pas réalisées, nous dirons que latempérature est une fonction scalaire T(x,y,z,t) des coordonnées du repère d’espace-temps.
Les transferts d’énergie sont déterminés à partir de l’évolution dans l’espace et dans le temps de la tempé-rature T(x,y,z,t). La valeur instantanée de la température en tout point de l’espace est un scalaire appelé champde température. Nous distinguerons deux cas:
– Champ de température indépendant du temps: le régime est dit permanent oustationnaire.– Évolution du champ de température avec le temps: le régime est dit variable ou instationnaire.
Gradient de température
À l’intérieur d’un corps homogène, on peut définir à chaque instant t des surfaces isothermes caractériséespar T(x,y,z,t)=cste. La variation de température par unité de longueur est maximale le long de la normale à lasurface isotherme. Cette variation est caractérisée par le gradient de température:
isotherme T0
grad (T)
−−→grad(T ) =
∂T
∂n−→n avec
−→n Vecteur unitaire de la normale∂T∂n
dérivée de la température le long de la normale
4
En coordonnées cartésiennes le vecteur gradient de température−→∇T a pour coordonnées1
(
∂T∂x
,∂T∂y
,∂T∂z
)
.
1.2.2 Chaleur
Définitions
Le premier principe de la thermodynamique affirme l’existence d’une fonctiond’état d’équilibre thermo-dynamique, l’énergie interne U(A) correspondant à un état déterminé (ici l’état A) et définie à une constanteadditive près.
L’augmentation d’énergie interne U(B) - U(A) est due à :– la réalisation d’un travail macroscopique W(A → B), par exemple des forces de pression.– la réalisation d’un transfert d’énergie microscopique, qui donc ne sevoit pas, mais existe néanmoins, qui
est appelé, par définition, la chaleur lors de la transformation Q(A → B).On déduit donc la définition formelle de la chaleur (parce qu’on a énoncé lepremier principe, non évident
per se) :Q(A → B) = U(B)- U(A) - W(A → B) le long de la transformation de A à BSi nous insistons sur « le long de la transformation », c’est que l’intégrale curviligne (par exemple des
forces de pression ) n’est pas indépendante du chemin suivi pour aller de A vers B.La chaleur est donc une forme d’énergie au même titre que le travail d’un système de forces au cours
d’un déplacement. La prise en compte d’une quantité de chaleur Q implique unesituation évolutive. Il s’agitforcément d’un échange d’énergie entre plusieurs corps (ou entre plusieurs domaines d’un même corps) aucours d’un laps de temps déterminé. L’unité est le Joule (J).
Flux de chaleur
Si entre deux instants t et t’, l’interaction étudiée s’accompagne d’un échange de chaleurδQ, on appelleflux thermique moyen la quantitéδQ/(t′ − t) et, par un passage à la limite, on peut définir:
– Unflux thermique instantané (c’est une puissance) en Watt (W):
Φ(W ) =δQ(J)
dt(s)
– Un flux thermique à travers une surface, c’est la quantité de chaleur qui traverse la surface par unité detemps.
– Ramené à l’unité de surface on parle dedensité de flux thermique(Wm−2):
ϕ(W m−2) =1
S(m2)
δQ(J)
dt(s)où S est l’aire de la surface traversée
– On peut également définir levecteur densité de flux thermiqueen tout point~ϕ:
dΦ = ~ϕ.~n.dS où~n normale à la surface dS
~ϕ caractérise en chaque point M du milieu, la direction, le sens et l’intensité du flux thermique. L’ en-semble des~ϕ constitue un champ de vecteurs analogue aux autres champs physiques: champ électrique,champ de forces ...
– Lignes de courant, tubes de courantsLes lignes de courant sont les courbes tangentes en chaquepoint aux vecteurs densité de flux~ϕ ; l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contourfermé constitue un tube de courant.
1.
soit−→∇T = A−→x + B−→y + C−→z et
−→dl = dx−→x + dy−→y + dz−→z
−→∇T.
−→dl = dT = Adx + Bdy + Cdz
dT = ∂T∂x
dx + ∂T∂y
dy + ∂T∂z
dz
⇒ A = ∂T∂x
; B = ∂T∂y
; C = ∂T∂z
5
Chaleur spécifique
Lorsqu’un corps reçoit, ou perd, de l’énergie sous forme de chaleur, on constate expérimentalement que satempérature augmente ou baisse. l’énergie calorifique correspond
– pour les gaz et les liquides, à l’agitation moléculaire (EC = 32kT );
– pour les solides, à l’agitation de vibration autour d’une position.
Pour une même quantité d’énergie, la masse (m) à échauffer intervient en diluant cette chaleur: plus lamasse est importante, plus la variation de température∆T est faible (il y a plus de molécules à mettre enmouvement avec la même énergie).
Enfin la qualité de la matière intervient, sous la forme d’un coefficientc, appelé chaleur spécifique (oumassique):la chaleur spécifique(J kg−1 K−1) est la quantité de chaleur nécessaire pour élever la températurede l’unité de masse de 1 degré Celsius.
L’équation fondamentale régissant la quantité de chaleur en fonction des variables citées (à pression constante)est:
Q = mc∆T
Avec m la masse (quantité de matière) du système concerné, c, la chaleur spécifique de la matière dont estconstitué le système et∆T la variation de température.
Changement d’état: Chaleur latente
L’équation ci dessus (1.1) s’applique pour un état (ou phase) fixé dela matière. Or la matière peut se trouversous trois états différents (solide, liquide, vapeur) qui correspondent à des états de désorganisation (entropie)croissante. Lorsqu’il y a changement d’état (de phase), la température ne varie pas tant qu’il reste deux phasesen présence: par exemple, dans la casserole, l’eau est à100oC que le gaz (la quantité de chaleur fournie) soitfort ou moyen, il y a seulement plus ou moins d’eau qui s´évapore. À chaque unité de masse évaporée, il a falluapporter une certaine quantité d’énergie: c’est lachaleur latentede changement de phase (L):
– chaleur latente de fusion (solidification): passage de l’état solide à l’étatliquide;
– chaleur latente de vaporisation (liquéfaction): passage de l’état liquide àl’état vapeur;
– chaleur latente de sublimation (condensation): passage de l’état solide à l’état vapeur;
L(J kg−1) quantité de chaleur nécessaire pour évaporer l’unité de masse d’un corps pour qu’il changed’état et
Q = mL (= ∆H variation d’entropie)
1.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur
1.3.1 Bilan d’énergie
Il faut tout d’abord définir un système (S) par ses limites dans l’espace et il faut ensuite établir l’inventairedes différents flux de chaleur qui influent sur l’état du système et qui peuvent être:
Φst flux de chaleur stockéΦg flux de chaleur généréΦe flux de chaleur entrantΦs flux de chaleur sortant
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
dans le système (S)
On applique alors le1er principe de la thermodynamique pour établir le bilan d’énergie par unité de temps(en W) du système (S):
Φe + Φg = Φs + Φst (1.1)
6
(S)
Φe
Φst
ΦsΦg
1.3.2 Expression des flux d’énergie
Il faut maintenant établir les expressions des différents flux d’énergie. En reportant ces expressions dans lebilan d’énergie, nous obtiendrons l’équation différentielle dont la résolution permettra de connaître l’évolutionde la température en chaque point du système.
Conduction
C’est le transfert de chaleur dans la masse d’un milieu matériel, sans déplacement de matière, sous l’in-fluence d’une différence de température. La propagation de la chaleurpar conduction à l’intérieur d’un corpss’effectue selon deux mécanismes distincts: une transmission par les vibrations des atomes ou molécules et unetransmission par les électrons libres. C’est donc un mécanisme de chocs qui intervient.
S
1T 2TT1 T2>
x
−λS ∂T∂x
La théorie de la conduction repose sur l’hypothèse de Fourier:la densité de flux de chaleur2 est propor-tionnelle au gradient de température:
−→ϕ Wm−2 = −λ−−→grad T = −λ
−→∇T (1.2)
et sous forme algébrique, le flux de chaleur unidirectionnel s’écrit:
Φ = −λS ∂T∂x
avec
Φ(W ) Flux de chaleur transmis par conductionλ(Wm−1K−1) Conductivité thermique du milieux(m) Variable d’espace dans la direction du fluxS(m2) Aire de la section de passage du flux de chaleur
* Le gradient de température en chaque point est normal à la surface isotherme passant par ce point
** Nous pouvons écrire la quantité de chaleur ayant traversé la surface dS pendant l’intervalle de temps dt:
dQ = −λ−−→grad T.~n dS dt = −λ
∂T
∂ndS dt
Convection
C’est le transfert de chaleur entre un solide et un fluide, l’énergie étant transmise par déplacement du fluide.Le mouvement du fluide peut avoir deux causes. Ou bien il est imposé de l’extérieur par une machine (pompe,
2.−→ϕ est souvent noté−→jQ dans la littérature
7
ventilateur , compresseur) ; c’est la convection forcée. Ou bien le contact du fluide avec la surface du solide(paroi) plus chaude ou plus froide crée des différence de masse volumique, génératrices de mouvement au seindu fluide ; c’est la convection naturelle.
Ce mécanisme de transfert est régi par la loi de Newton:
Φ = hS(Tp − T∞) avec
Φ(W ) Flux de chaleur transmis par convectionh(Wm−2K−1) Coefficient de transfert de chaleur par convectionTp (K) Température de surface du solideT∞ (K) Température du fluide loin de la surface du solideS(m2) Aire de la surface de contact solide/fluide
(1.3)
STP
T∞
Φ
La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h estfonction de la nature du fluide, de satempérature, de sa vitesse et des caractéristiques géométriques de la surface de contact solide/fluide.
rayonnement
C’est un transfert d’énergie électromagnétique entre deux surfaces(même dans le vide).C’est une transmission d’énergie à distance, entre deux corps séparés ou non par un milieu matériel. C’est le
cas de l’énergie qui nous vient du soleil. L’interprétation physique est lasuivante: tout corps émet des particulesdésignées par “photons”; ceux ci se déplacent à la vitesse de la lumière et transportent une énergie fonction deleur “longueur d’onde”. Un corps C émettant des photons dans toutes lesdirections possibles, certains d’entreeux sont reçus par l’autre corps C’ et éventuellement absorbés, en tout ou partie. Bien entendu, le corps C’ émetaussi des photons dont certains seront reçus et absorbés par C. lebilan net se traduit par un échange d’énergieentre C et C’.
Dans les problèmes de conduction, on prend en compte le rayonnement entre un solide et le milieu envi-ronnant et dans ce cas nous avons la relation:
Φ = σǫpS(T 4p − T 4
∞) avec
Φ(W ) Flux de chaleur transmis par rayonnementσ(Wm−2K−4) Constante de Stephan= 5.67 10−8
ǫp Facteur d’émission de la surfaceTp (K) Température de la surfaceT∞ (K) Température du milieu environnant la surfaceS(m2) Aire de la surface
(1.4)
8
STP
T∞
Φ
Stockage d’énergie
Le stockage d’énergie dans un corps correspond à une augmentation de son énergie interne au cours dutemps d’où (à pression constante):
Φst = ρ V c ∂T∂t
avec
Φst(W ) Flux de chaleur stockéρ(kgm−3) Masse volumiqueV(m3) Volumec(J kg−1 K−1) Chaleur spécifiqueT(K) Températuret(s) temps
(1.5)
ρ, V et c sont supposés constants, le produitρV c est appelé lacapitance thermiquedu corps.
Génération d’énergie
Elle intervient lorsqu’une autre forme d’énergie (chimique, électrique, mécanique, nucléaire) est convertieen énergie thermique. Nous pouvons l’écrire sous la forme:
Φg = qV avec
Φg(W ) Flux d’énergie thermique généréeq(Wm−3) Densité volumique d’énergie générée par unité de tempsV(m3) Volume
(1.6)
Combinaison des modes de transfert
Le transfert de chaleur ou transfert thermique se réalise généralementpar une combinaison de plusieursmode.
Par exemple, le système chauffage central, combine la convection (en général forcée) pour chauffer le fluidedans la chaudière, la conduction pour chauffer les parois du radiateuret la convection (en général naturelle) pourchauffer l’air autour du radiateur. Dans le cas du chauffage d’un solide (non transparent au sens strict du terme)par radiation, la transmission de chaleur sera une combinaison de radiation et de conduction. C’est le cas duverre chauffé par le rayonnement solaire. Dans ce cas, le transfertpourra être également combiné avec uneconvection naturelle derrière la vitre d’une pièce.
On notera que parfois le transfert thermique s’accompagne d’un transfert de matière. Par exemple, c’est lecas de l’ébullition où une partie du liquide subit une transformation de phase et le gaz ainsi créé se déplace.
9
Chapitre 2
Transfert de chaleur par conduction
2.1 L’équation de la chaleur
Dans sa forme monodirectionnelle, elle décrit le transfert de chaleur unidirectionnel au travers d’un murplan:
0
L L>>e
ex+dxx
Φx+dxΦx
Φg
Φst
Considérons un système d’épaisseur dx dans la direction x et de section d’aire S normalement à la directionOx. Le bilan d’énergie sur ce système s’écrit1:
Φx + Φg = Φx+dx + Φst avec
Φx = −(
λxS ∂T∂x
)
x
Φg = qS dx
Φx+dx = −(
λxS ∂T∂x
)
x+dx
Φst = ρ c Sdx∂T∂t
En reportant dans le bilan d’énergie et en divisant par dx nous obtenons:(
λxS ∂T∂x
)
x+dx−
(
λxS ∂T∂x
)
x
dx+ qS = ρ c S
∂T
∂t
soit
∂
∂x
(
λxS∂T
∂x
)
+ qS = ρ c S∂T
∂t=⇒ ∂
∂x
(
λx∂T
∂x
)
+ q = ρ c∂T
∂t
et dans le cas tridimensionnel, nous obtenons l’équation de la chaleurdans le cas le plus général:
∂
∂x
(
λx∂T
∂x
)
+∂
∂y
(
λy∂T
∂y
)
+∂
∂z
(
λz∂T
∂z
)
+ q = ρ c∂T
∂t
1. avecV = Sdx
10
soit2
−→∇ .(
λ.−→∇T
)
+ q = ρ c ∂T∂t
(2.1)
cette équation peut se simplifier dans un certain nombre de cas:– (a) Si le milieu est isotrope (pas de direction privilégiée):λx = λy = λz = λ
– (b) S’il n’y a pas de génération d’énergie à l’intérieur du système:q = 0
– (c) Si le milieu est homogène,λ n’est fonction que de la température TLes hypothèses (a)+(b) permettent d’écrire:
λ
(
∂2T
∂x2+
∂2T
∂y2+
∂2T
∂z2
)
+ (−→∇λ).(
−→∇T ) = ρ c∂T
∂t
avec l’hypothèse (c) (λ = f(T )) 3 :
λ
(
∂2T
∂x2+
∂2T
∂y2+
∂2T
∂z2
)
+dλ
dT
[
(
∂T
∂x
)2
+
(
∂T
∂y
)2
+
(
∂T
∂z
)2]
= ρ c∂T
∂t
– (d) si de plusλ est constant (écart modéré de température), nous obtenons l’équation de Poisson4 :
a∇2T = ∂T∂t
(2.2)
le rapporta(m2s−1) = λρ c
est appelédiffusivité thermique. La diffusivité thermique exprime l’aptituded’un corps à transmettre la chaleur plutôt qu’à l’absorber.
– (e) En régime permanent (champ de température indépendant du temps), nous obtenons l’équation deLaplace:
∇2T = 0 (2.3)
Par ailleurs les hypothèses (a), (c) et (d) permettent d’écrire5:– Équation de la chaleur en coordonnées cylindrique (r,θ,z):
1
r
∂
∂r
(
r∂T
∂r
)
+1
r2
∂2T
∂θ2+
∂2T
∂z2+
q
λ=
1
a
∂T
∂t
Dans le cas d’un problème à symétrie cylindrique où la température T ne dépend que de r distance à l’axeet du temps t (2.4) peut s’écrire sous une forme simplifiée:
1r
∂∂r
(
r ∂T∂r
)
+ qλ
= 1a
∂T∂t
– Équation de la chaleur en coordonnées sphériques (r,θ,ϕ):
1
r2
∂
∂r
(
r2 ∂T
∂r
)
+1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂T
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
∂2T
∂ϕ2+
q
λ=
1
a
∂T
∂t
Dans le cas d’un problème à symétrie sphérique où la température T ne dépend que de r distance aucentre de symétrie et du temps t (2.5) peut s’écrire sous une forme simplifiée:
1r2
∂∂r
(
r2 ∂T∂r
)
+ qλ
= 1a
∂T∂t
2. avec−→∇ .(−→−) l’opérateur différentiel divergence d’un champ de vecteurs
3. on a alors pour chaque terme dérivé deλ(T )
∂λ
∂x
∂T
∂x=
(
∂λ
∂T
∂T
∂x
)
∂T
∂x=
∂λ
∂T
(
∂T
∂x
)2
=dλ
dT
(
∂T
∂x
)2
4. avec∇2 l’opérateur différentiel Laplacien, qui peut aussi s’écrire∆5. voir annexe I
11
2.2 Conduction en régime permanent
2.2.1 Généralités
L’équation de transfert se réduit à:
div(λ−−→grad T ) + q = 0
Dans le cas de la conduction morte (pas de source interne), le système est àflux conservatif puisque:
div(λ−−→grad T ) = 0 → div(~ϕ) = 0
2.2.2 Notion de résistance thermique
Pour un système sans source interne et dont la conductivité thermiqueλ est indépendante de la température,on introduit la notion de résistance thermique d’un tube de courant (analogue à la résistance électrique). Soitun tube de courant compris entre deux surface isothermes (voir figure):
Φ = −λ(s) S(s) dTds
il vient dsλ(s) S(s) = −dT
Φ
soit en intégrant entre les deux surfaces isothermes∫ s2s1
dsλ(s) S(s) = − ∫ T2
T1
dTΦ
le flux étant conservatif∫ s2s1
dsλ(s) S(s) = T1−T2
Φ
que l’on peut écrireT1 − T2 = R Φ
avec R résistance du tube de courant:R =∫ s2s1
dsλ(s) S(s)
Une analogie est alors possible avec la loi d’Ohm:
U = RI ⇔ ∆T = RΦ (2.4)
oùR =
∫ s2
s1
ds
λ(s) S(s)(2.5)
2.2.3 Transfert unidirectionnel
Mur simple
On se place dans le cas où l’écoulement est unidirectionnel et qu’il n’y apas de génération ni de stockaged’énergie.
On considère un mur d’épaisseur e, de conductivité thermiqueλ, et de grandes dimensions transversalesdont les faces extrêmes sont à des températuresT1 etT2.
12
T2
0 e
λT1
x x+dx
Section
S
Φx Φx+dx
Les surfaces isothermes sont planes et parallèles, la résistance d’un mur s’écrit (relation 2.5)
R =
∫ e
0
ds
λ(s) S(s)=
1
λ S
∫ e
0ds =
e
λS
et le flux de chaleur traversant la surface S du mur selon (2.4) :
Φ(W ) = (T1−T2)e
λS(2.6)
Cette relation est analogue à la loi d’Ohm en électricité (I = UR
) qui définit l’intensité du courant commele rapport de la différence de potentiel électrique sur la résistance électrique. La température apparaît ainsicomme un potentiel thermique et le termeR(KW−1) = e
λSapparaît comme la résistance thermique d’un mur
plan d’épaisseur e, de conductivité thermiqueλ et de surface latérale S, on a donc le schéma équivalent suivant:
T1 T2
ϕ
R = eλS
Mur multicouches
C’est le cas des murs réels constitués de plusieurs couches de matériaux différents et où on ne connaît queles températuresTf1 etTf2 des fluides en contact avec les deux faces du mur de surface latérale S:
Les surfaces isothermes sont planes et parallèles, la résistance d’un mur s’écrit (relation 2.5)
R =e
λS
avec e, épaisseur du mur et S sa surface. D’où
RT =N
∑
n=1
en
λnS+
1
h1S+
1
h2S
Et le fluxΦ échangé lors de la traversée du mur:
Φ(W ) =Tfl1 − Tfl2
1h1S
+ eA
λAS+ eB
λBS+ eC
λCS+ 1
h2S
Nous avons considéré que les contacts entre les couches de différentes natures étaient parfaits et qu’il n’existaitpas de discontinuités de températures aux interfaces. En réalité, compte tenude la rugosité de surfaces, une
13
T4T3T2T1Tfl1 Tfl2
RBCeB
λBSRABeA
λAS1
h1S1
h2SeC
λCS
micro-couche d’air existe entre les creux des surfaces en regard et crée une résistance thermique R (l’air estisolant) appelée résistance thermique de contact. La formule précédente (2.7) s’écrit alors:
Φ(W ) =Tfl1−Tfl2
1h1S
+eA
λAS+RAB+
eBλBS
+RBC+eC
λCS+ 1
h2S
(2.7)
Le schéma électrique équivalent est le suivant:Remarque: une résistance thermique ne peut être définie qu’entre deux surfaces isothermes.
Mur composite
C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité où les parois ne sont pas isotropes. Considérons àtitre d’exemple un mur de largeur L constitué d’agglomérés creux.
En supposant le transfert unidirectionnel et en tenant compte des axesde symétrie, on peut se ramener aucalcul du flux à travers l’élément isolé sur la droite de la figure et calculer larésistance thermique R équivalente
14
d’une portion de mur de largeur L et de hauteurl = l1 + l2 + l3 en utilisant les lois d’association des résistancesen série et en parallèle6 par la relation:
R = R1 + R2 +1
1R3
+ 1R4
+ 1R5
+ R6 + R7
avecR1 =1
h1lL; R2 =
e1
λ1lL
R3 =e2
λ2l1L; R4 =
e2
λ1l2L; R5 =
e2
λ2l3L
R6 =e3
λ1lL; R7 =
1
h2lL
selon le schéma électrique équivalent:
R4
R5
R7
Tfl1
R1 R2
R3
T2T3
R6
Tfl2T1 T4
Cylindre creux long
On considère un cylindre creux de conductivité thermiqueλ, de rayon intérieurr1, de rayon extérieurr2,de longueur L, les températures des faces internes et externes étant respectivementT1 etT2. On suppose que legradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial. Le flux de chaleur est radial et larésistance thermique du cylindre, par application de l’équation 2.5 s’écrit:
R =
∫ s2
s1
ds
λ(s) S(s)=
1
λ
∫ r2
r1
dr
2πrL=
1
2πλLln
(
r2
r1
)
Et par application de la relation∆T = RΦ, on obtient:
Φ(W ) = −λ2πLT1 − T2
ln (r1/r2)=
2πλL(T1 − T2)
ln (r2/r1)
6.
Φ = Φ3 + Φ4 + Φ5 =T2 − T3
R3+
T2 − T3
R4+
T2 − T3
R5= (T2 − T3)
(
1
R3+
1
R4+
1
R5
)
15
2.3 Conduction en régime variable, sans changement d’état
2.3.1 Problème général
La formulation générale de l’équation de la chaleur est (2.2)
∇.(
λ−→∇T
)
+ q = ρ c∂T
∂t
Elle nécessite une condition initialeT0 en tout point, et deux conditions aux limites. Envisageons le cas particu-lier où la conductivité ne dépend pas de la température dans la gamme de températures considérée. On obtientalors l’équation de Fourier:
∇2T +q
λ=
1
a
∂T
∂t
2.3.2 Nombres sans dimension
le nombre de variables dans un problème de transfert thermique peut être réduit par l’introduction denombres sans dimensions. Montrons le sur cet exemple de conduction unidirectionnelle avec dégagement dechaleur interne.
Soit:
∂2T∂x2 + q
λ= 1
a∂T∂t
pour0 < x < l et t > 0
∂T∂x
= 0 pourx = 0 et t > 0
λ∂T∂x
= −h(T − T∞) pourx = l et t > 0
T = T0 pour0 < x < l et t = 0
En utilisant les nombres sans dimension suivant:
x∗ = xl, θ = T−T∞
T0−T∞
, Bi = hlλ
Nombre de Biot
G = ql2
λ(T0−T∞)
, F0 = atl2
Nombre de Fourier
le système devient:
∂2θ∂x∗2 + G = ∂θ
∂F0pour0 < x∗ < 1 etF0 > 0
∂θ∂x∗
= 0 pourx∗ = 0 etF0 > 0
λ ∂θ∂x∗
= −Biθ pourx∗ = 1 etF0 > 0
θ = 1 pour0 < x∗ < l etF0 = 0
Deux nombres adimensionnels sont particulièrement importants en régime variable:
– Le nombre de Biot:Bi =Résistance thermique interneRésistance thermique externe= l
λS/ 1
hS, l est la dimension caractéristique du
milieu, l = r pour une sphère.
Bi = hlλ
(2.8)
Il mesure l’épaisseur thermique du domaine: on dit que le milieu est mince thermiquement (dans le sensde l) si lenombre de Biot est inférieur à 1. Cela signifie que la résistance externe bloque l’écoulementde chaleur. On peut alors considérer la température uniforme suivant ladimension de l.
16
– Le nombre de Fourier:
Fo =λ∆T
ll2
ρcl3 ∆Tt
= atl2
(2.9)
C’est le rapport du flux à traversl2 à la vitesse de stockage dansl3, ou encore rapport de la chaleur traversantsur la chaleur accumulée. Le nombre de Fourier caractérise la pénétrationde la chaleur en régime variable.
2.3.3 Quelques cas d’école
Milieu à température uniforme
On va étudier le transfert de chaleur vers un milieu à température uniforme, ce qui est à priori contradictoirecar il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique pour qu’il se produise un transfert de chaleur. Cetteapproximation du milieu à température uniforme peut néanmoins être justifiée danscertains cas: Considéronspar exemple la trempe d’une bille métallique qui consiste à immerger une bille initialementà la températureTi
dans un bain à températureT0 maintenue constante. Si on suppose que la température de la bille est uniforme,ce qui sera d’autant plus vrai que sa dimension est petite et sa conductivité thermique élevée, on peut écrire lebilan thermique 7 de cette bille entre deux instants t et t+dt:
−hS(T − T0) = ρ c VdT
dt⇒ dT
T − T0= − hS
ρ c Vdt ⇒ T − T0
Ti − T0= exp
(
− hS
ρ c Vt
)
On remarque que le regroupementρ c VhS
est homogène à un temps, on l’appelleraτ la constante de tempsdu système:
τ(s) =ρ c V
hS
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
τt (s)
(T−
T0)/
(Ti−
T0)
Cette grandeur est fondamentale dans la mesure où elle donne l’ordre de grandeur de temps du phénomènephysique, on a en effet :T−T0
Ti−T0= exp
(− tτ
)
. Ceci s’apparente à la décharge d’un condensateur, ce qui permetdepoursuivre l’analogie électrique:τ = RC, R(KW−1) = 1/hS est la résistance superficielle etC(JK−1) = ρcVest la capacité thermique.
La définition des nombres sans dimension (Biot et Fourier) permet d’évaluer l’évolution de la températurede la bille par
T − T0
Ti − T0= exp (−Bi Fo)
7. Il n’y a pas de conduction car la température est uniforme dans la bille, il n’y a que de la convection: on écrit ici “variationd’énergie = somme des flux entrants”.
17
Milieu semi-infini, problème unidirectionnel
Un milieu semi infini est une paroi d’épaisseur suffisamment grande pourque la perturbation appliquée surune face ne soit pas ressentie par l’autre face. Le milieu semi infini est initialement à la température uniformeTi. On impose brutalement la températureT0 sur sa surface, cette condition est appelée condition de Dirichlet.
Milieu semi infini
0 x
Ti = T (x,t = 0)
T0 = T (x = 0,t)
l’équation de la chaleur s’écrit:
∂2T
∂x2=
1
a
∂T
∂t
avec les conditions aux limites:
T (x,0) = Ti
T (x = 0,t) = T0
limx→∞
T (x,t) = Ti
On effectue le changement de variables suivant:T = T−Ti
T0−Tid’où ∂T
∂x= 1
T0−Ti
∂T∂x
, ∂2T∂x2 = 1
T0−Ti
∂2T∂x2 et ∂T
∂t= 1
T0−Ti
∂T∂t
.L’équation devient:
∂2T∂x2 = 1
a∂T∂t
avec les conditions aux limites:
T (x,0) = 0T (x = 0,t) = 1lim
x→∞T (x,t) = 0
On pourra utiliser pour résoudre cette équation aux dérivées partielles soit la méthode de superposition, soitla transformation de Laplace soit des méthodes numériques appropriées.
Milieu semi-infini, température sinusoidale imposée en surface, régimepériodique établi
0 x
Milieu semi infini
T (x,t = 0) = Ti
T (x = 0,t) = T0 cos ωt + Ti
l’équation de la chaleur s’écrit:
∂2T
∂x2=
1
a
∂T
∂t
avec les conditions aux limites:
T (x = 0,t) = T0 cos ωt + Ti
T (∞,0) = Ti
On effectue le changement de variables suivant:T = T − Ti d’où ∂T∂x
= ∂T∂x
, ∂2T∂x2 = ∂2T
∂x2 et ∂T∂t
= ∂T∂t
.
18
Les conditions aux limites deviennentT (x = 0,t) = T0 cos ωt et T (∞,0) = 0L’équation devient:
∂2T
∂x2=
1
a
∂T
∂t(2.10)
En régime permanent forcé une solution de2.10 s’écrit en notation complexe:
T = X(x).ℜ[
eıωt]
(2.11)
où l’excitation étant de nature périodique, on recherche une solution périodique de même fréquenceω quel’excitation. Donc2.10 devient:
eıωt ∂2X
∂x2=
ıω
aXeıωt ⇒ ∂2X
∂x2=
ıω
aX ⇒ ∂2X
∂x2− ıω
aX = 0
Or ı = (1+ı)2
2 d’où:∂2X
∂x2− (1 + ı)2
2aωX = 0
Les racines de l’équation caractéristique sont±(1 + ı)√
ω2a
Donc
X(x) = Ae−(1+ı)√
ω2a
x + Be(1+ı)√
ω2a
x
X(x) doit tendre vers une limite finie quand x tend vers+∞, doncB = 0.L’équation2.11 devient:
T = T − Ti = Ae−(1+ı)√
ω2a
xeıωt = Ae−√
ω2a
xeı(ωt−√
ω2a
x)
Soit, en notation réelle
T − Ti = T0e−√
ω2a
x cos (ωt −√
ω
2ax)
En tenant compte des conditions aux limites.
– L’amplitude des oscillations décroît rapidement lorsqu’on s’éloigne de l’interface.
– L’amplitude des oscillations décroît rapidement quand la fréquence d’excitation augmente: une excitationde fréquence élevée appliquée à la surface d’un solide ne modifiera sa température que sur une faibleprofondeur.
– Entre les températuresT1 etT2 de deux points distants respectivement dex1 etx2 de la surface, il existeun déphasage égal à
√
ω2a
(x1−x2): la connaissance deω et la mesure de la température au sein du milieuen deux points situés à des distances connuesx1 etx2 de la surface peut permettre d’évaluer la diffusivitéthermique a.
19
Chapitre 3
Transfert de chaleur par rayonnement
3.1 Généralités, définitions
3.1.1 nature du rayonnement
Tous les corps, quelque soit leur état, solide, liquide ou gazeux, émettent un rayonnement de nature électro-magnétique. Cette émission d’énergie s’effectue au détriment de l’énergie interne du corps émetteur. le rayon-nement se propage de manière rectiligne à la vitesse de la lumière, il est constitué de radiations de différenteslongueurs d’ondes comme l’a démontré l’expérience de William Herschel:
Si l’on déplace le long de l’écran un thermomètre, on mesure la températureTe caractérisant l’énergiereçue par l’écran dans chaque longueur d’onde. En construisant lacourbeTe = f(λ) on obtient la répartitionspectrale de l’énergie rayonnée pour la températureT0 de la source. On constate que:
– l’énergie émise est maximale pour une certaine longueur d’ondeλm variable avecT0.
– l’énergie n’est émise que sur un intervalle[λ1,λ2] de longueur d’onde caractérisant le rayonnement ther-mique.
3.1.2 Définitions
Classification
Les grandeurs physiques seront distinguées selon:
– La composition spectrale du rayonnement: si elle concerne un intervalle spectral étroitdλ autour d’unelongueur d’ondeλ elle est ditemonochromatique
– La distribution spatiale du rayonnement: si elle caractérise une direction donnée de propagation elle estditedirectionnelle (Gx).
20
Si la grandeur est relative à l’ensemble du spectre et/ou à l’ensemble des directions de l’espace elle est ditetotale.
Définitions relatives aux sources
FluxOn appelle flux d’une source S la puissance rayonnée notéeΦ(W ) par S dans tout l’espace qui l’entoure,
sur toutes les longueurs d’ondes.– le flux envoyé par un élément de surface dS dans un angle solidedΩ 1 est notéd2Φ.– le flux envoyé dans tout l’espace par un élément de surface dS est notédΦ.– le flux envoyé par une surface S dans un angle solidedΩ entourant la direction Ox est notédΦx
X
Z
YO
dΩ
r
dS
α
~n
dS cos α
Intensité énergétique dans une directionSource ponctuelle, toutes les longueurs d’ondeλ du spectre, directionnelleOn appelle intensité énergétiqueIx le flux par unité d’angle solide émis par une source ponctuelle dans un
angle solidedΩ entourant la direction Ox:
Ix(Wsr−1) = ddΩ(dΦx) = d2Φx
dΩ (3.1)
Luminance énergétique dans une direction (brillance)Source étendue dS, toutes les longueurs d’ondeλ du spectre, directionnelle
~n
−→dS
α
Ox
Soitα l’angle fait par la normale~n à la surface émettrice dS avec la direction Ox suivant laquelle la surfacepossède une intensité énergétiqueIx:
Lx(Wm−2sr−1) = Ix
dSx= Ix
dS cos α= d2Φx
dΩdS cos α(3.2)
On déduit des relations précédentes l’expression du fluxd2Φx envoyé par un élément de surfacedSi deluminanceLx sur un autre élémentdSk:
1. dΩ = dS cos αr2 : l’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface dS estpar définition l’aire de la surface intersection
de la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface dS.
21
Ox
r
αi
αk −→dSk
−→dSi
d2Φx = IxdΩ = LxdSixdΩ = LxdSi cos αidΩ
oùdΩ est l’angle solide duquel depuis la surfacedSi on voit la surfacedSk donc:dΩ = dSk cos αk
r2
d2Φx = LxdSi cos αidSk cos αk
r2 (3.3)
Émittance énergétique (radiance)Source étendue dS, toutes les longueurs d’ondeλ du spectre, toutes les directionsL’émittance monochromatique d’une source à la température T vaut:
MλT (Wm−3) =dΦλ+dλ
λ
dS dλ(3.4)
L’émittancetotale est la densité de flux de chaleur émise par rayonnement par l’élément de surface dS surtout le spectre des longueurs d’ondes. Elle n’est plus fonction que de latempérature T de la source:
MT (Wm−2) =λ=∞∫
λ=0
MλT dλ = dΦdS
(3.5)
Définitions relatives aux récepteurs
ÉclairementC’est l’homologue de l’émittance pour une source. L’éclairement est le fluxreçu par unité de surface récep-
trice, en provenance de l’ensemble des directions.Réception du rayonnement
ϕ ρλ λΤ
ϕλ
ϕλαλΤ
ϕλ τλΤ
corps a T
incident
reflechi
absorbe
transmis
Quand un rayon incident d’énergieΦλ frappe un corps à la température T, une partieΦλρλT de l’énergieincidente est réfléchie par la surface S, une autre partieΦλαλT est absorbée par le corps qui s’échauffe, et leresteΦλτλT est transmis et continue son chemin:
22
On a évidemmentΦλ = ΦλρλT + ΦλαλT + ΦλτλT d’où ρλT + αλT + τλT = 1.On définit ainsi les pouvoirs monochromatiques réfléchissantρλT , absorbantαλT et filtrant τλT qui sont
fonction de la nature du corps, de son épaisseur, de la longueur d’ondeλ et de l’angle d’incidence.Si on considère l’énergie incidente sur tout le spectre des longueurs d’onde, on obtient les pouvoirs réflé-
chissantρT , absorbantαT et filtrantτT totaux.
Corps noir, corps gris
Corps noirC’est un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit indépendamment de son épaisseur, de sa tem-
pérature, de l’angle d’incidence et de la longueur d’onde du rayonnement incident. Il est défini parαT = 1.Propriétés du corps noir:
– tous les corps noirs rayonnent de la même manière.
– le corps noir rayonne plus que le corps non noir à la même température.
– puisqu’il absorbe tout, il ne réfléchit rien du rayonnement incident ; ilapparaît noir à température ordi-naire.
– c’est un concept théorique.
Corps grisUn corps gris est un corps dont le pouvoir absorbantαλT est indépendant de la longueur d’ondeλ du
rayonnement qu’il reçoit. Il est défini parαλT = αT .
3.2 Lois du rayonnement
3.2.1 Loi de Lambert
Dans le cas où la source est isotrope, la luminance est indépendante de la directionLx = L.
or Ln = In
S
et Lα = Iα
S cos α
Ln = Lα ⇒ Iα = In cos α
S
In
L L
Luminance d’unesource isotrope
Intensite energetiqued’une source isotrope
Iα
In
Iα
αα
C’est la Loi de Lambert pour une source isotrope.Remarque: lorsqu’un corps suit la loi de Lambert, on montre, après intégration sur toutes les directions,
qu’émittance et luminance sont proportionnelles.
M(Wm−2) = πL
avec M et L émittance et luminancetotales.
3.2.2 Lois physiques
Loi de Kirchoff
À une température T donnée et pour une longueur d’ondeλ donnée, le rapportMλT
αλTest le même pour tous
les corps.
23
pour le corps noir:αλT = 1, le rapportMλT
αλTest donc égal àM0λT
en appelantM0λTl’émittance mono-
chromatique du corps noir donc:
MλT (Wm−3) = αλT M0λT
L’émittance monochromatique de tout corps est égale au produit de son pouvoir absorbant monochromatiquepar l’émittance monochromatique du corps noir à la même température, d’où l’intérêt de connaître le rayonne-ment émis par le corps noir.
Dans le cas du corps gris on peut généraliser cette loi ce qui facilite les applications. En effet, pour un corpsgrisαλT = αT , donc:
MT (Wm−2) =
∞∫
0
MλT dλ =
∞∫
0
αλT M0λTdλ = αT
∞∫
0
M0λTdλ
En appelantM0Tl’émittance totale du corps noir à la température T, nous obtenons pour un corps gris:
MT (Wm−2) = αT M0T
Rayonnement du corps noir
émittance monochromatiqueElle est donnée par laloi de Planck:
M0λT (Wm−3) = C1λ−5
exp(
C2λT
)
−1avec
C1 = 3.742 10−16Wm−2
C2 = 1.4385 10−2m.K(3.6)
La loi de Planck permet de tracer les courbes isothermes représentant les variations deM0λTen fonction de la
longueur d’onde pour diverses températures.
Remarques
– La longueur d’ondeλM pour laquelle l’émission est maximale varie avec la température T de la source:
λM(m) = 2.897 10−3
Tet M0λM T (Wm−3) = 0.410
(
T
10
)5
(3.7)
C’est laloi (du déplacement) de Wien.
24
– pour le soleil (T ≈ 5777K) 90% de l’énergie est émise entre0.31 et 2.5µm, le maximum étant situédans le spectre visible. Par contre un corps noir à373K(100oC) a son émission maximale versλ = 8µmdans l’Infra Rouge.
émittance totaleM0T
L’intégration de la formule de Planck pour toutes les longueurs d’onde donne l’émittance totaleM0Tdu
corps noir qui n’est plus fonction que de la température T, on obtient laloi de Stephan-Boltzmann:
M0T (Wm−2) = σT 4 avec σ = 5,675 10−8Wm−2K−4 (3.8)
Rayonnement des corps non noirs
ÉmissivitéOn définit les propriétés émissives des corps réels par rapport aux propriétés émissives du corps noir dans
les même conditions de température et de longueur d’onde et on les caractérise à l’aide de coefficients appelésémissivités. Ces coefficients monochromatiques ou totaux sont définis par:
ǫλT = MλT
M0λT
et ǫT = MT
M0T(3.9)
D’après la Loi de Kirchoff, on montre que:
αλT = ǫλT
Cas des corps grisIls sont caractérisés parαλT = αT soit d’après ce qui précède:ǫλT = ǫT or MT = ǫT M0T
; nous endéduisons l’émittance du corps gris à la température T:
MT (Wm−2) = ǫT σT 4 (3.10)
3.3 Rayonnement mutuel de surfaces opaques
3.3.1 Problème général
Considérons deux surfaces opaquesS1 et S2 séparées par un milieu parfaitement transparent, et à destempératures respectivesT1 etT2. Le problème industriel consiste à déterminer le flux netΦ échangé entre lesdeux surfaces.
La surfaceS1 émet un fluxΦ1 dont une partie seulement, soitΦ12 vient frapperS2. De ce fluxΦ12, unepartie est absorbée parS2, le reste est réfléchi (puisqu’il s’agit de surfaces opaques) ; unepartie frappeS1 etainsi de suite.
De même,S2 émet un fluxΦ2 dont une partie seulement, soitΦ21 vient frapperS1. De ce fluxΦ21, unepartie est absorbée parS1, le reste est réfléchi et ainsi de suite.
Finalement le flux net échangéΦ s’obtient en effectuant pour l’une des surfaces, par exemple pourS1, unbilan thermique tenant compte:
– du flux qu’elle émet, soit−Φ1 (perte),
– des flux qu’elle reçoit après chaque réflexion deΦ12 et absorbe une partie,
– du flux émis parS2 dans sa direction soitΦ21, dont elle absorbe une partie,
– des flux qu’elle reçoit après chaque réflexion deΦ21, et dont elle absorbe une partie.
Dans le cas général, le calcul nécessite le recours à la résolution numérique.
25
3.3.2 Plans parallèles infinis
Ce cas est particulièrement simple car on est certain que le flux émis par chaque plan vient frapper l’autre.On suppose que les plans sont gris, alorsΦ1 émis parS1 frappeS2, qui absorbeǫ2Φ1 et réfléchi(1 − ǫ2)Φ1.le schéma ci-après amorce les répartitions deΦ1. On voit que les flux absorbés successifs, tant pourS1 quepourS2 sont en progression géométrique de raisonq = (1 − ǫ1)(1 − ǫ2). Les bilans2 s’établissent donc ainsirelativement àΦ1
S1 perd S1 absorbe S2 absorbe
Φ1ǫ1(1−ǫ2)
1−(1−ǫ1)(1−ǫ2)Φ1ǫ2
1−(1−ǫ1)(1−ǫ2)Φ1
Φ1
(1 − ǫ1)(1 − ǫ2)Φ1
(1 − ǫ1)n(1 − ǫ2)
nΦ1
S2S1
ǫ2Φ1
ǫ1(1 − ǫ2)Φ1 (1 − ǫ2)Φ1
ǫ2(1 − ǫ1)(1 − ǫ2)Φ1
(1 − ǫ1)2(1 − ǫ2)
2Φ1
ǫ1(1 − ǫ1)(1 − ǫ2)2Φ1 (1 − ǫ1)(1 − ǫ2)
2Φ1
Il faut maintenant effectuer le même calcul relativement au fluxΦ2 émis parS2. Il suffit d’échanger lesrôles deS1 etS2 et de changer les indices:
S2 perd S2 absorbe S1 absorbe
Φ2ǫ2(1−ǫ1)
1−(1−ǫ1)(1−ǫ2)Φ2ǫ1
1−(1−ǫ1)(1−ǫ2)Φ2
Il est maintenant possible de faire le bilan complet deS1; tous calculs faits on trouve queS1 perd (et doncqueS2 reçoit) un flux netΦ égal à:
Φ =ǫ2Φ1 − ǫ1Φ2
ǫ1 + ǫ2 − ǫ1ǫ2
Dans le cas de corps gris,Φ1 etΦ2 peuvent s’exprimer en fonction des températures par la loi de Stéphan:Φ1 = ǫ1σS1T
41 etΦ2 = ǫ2σS2T
42 . Comme les aires des surfaces en regard ont même valeur S:
Φ(W ) = rσS(T 41 − T 4
2 ) avec1
r=
1
ǫ1+
1
ǫ2− 1
r est le coefficient de transfert. Dans le cas de surfaces noires il estégal à 1. De ce faitΦ(W ) = σS(T 41 −T 4
2 ).Pour des surfaces grises r est inférieur à l’unité.
2. la somme d’une suite infinie de raison q inférieur à 1 a pour valeur1−q∞
1−q≈
11−q
26
Chapitre 4
Transfert de chaleur par convection
4.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle
4.1.1 Dimensions fondamentales
On peut exprimer les grandeurs physiques en fonction d’un nombre limité dedimensions fondamentales.Exemples: Vitesse:LT−1, viscosité dynamique:ML−1T−1, force:MLT−2.Sur ces exemples on voit que le nombre de dimensions fondamentales est de 3: Masse M, Longueur (L),
Temps (T). Ces trois dimensions fondamentales ne sont pas toujours suffisantes. Pour les problèmes de transfertde chaleur, il est nécessaire d’ajouter une4eme dimension: la températureθ, on pourra y ajouter si nécessaire laquantité de chaleurQ (Q, homogène à un travail qui s’exprime en fonction des dimensions fondamentales parQ = ML2T−2 n’est pas une vraie dimension fondamentale).
4.1.2 Principe de la méthode
Si on peut représenter mathématiquement une loi physique en exprimant la variable physiqueG1 en fonc-tion d’un certain nombre d’autres variables physiques indépendantesG2, · · ·Gn, c’est à dire siG1 = f(G2,G3, · · ·Gn)ou encoref(G1,G2, · · ·Gn) = 0 le problème peut être simplifié de la manière suivante:
– on écrit pour chaque variableGi l’équation aux dimensions en fonction des dimensions fondamentales.On dispose alors de n équations qui ont nécessité p dimensions fondamentales pour caractériser toutesles grandeurs physiques.
– on prélève p de ces n équations que l’on considère comme équations de base. Il faut que chaque dimensionfondamentale apparaisse au moins une fois sur l’ensemble des p équations.
– les (n-p) équations restantes se présentent alors sous forme de (n-p) rapports sans dimensions appelésgroupementsπ qui sont des grandeurs “réduites”, On obtient alors une équation réduite:
g(π1,π2, · · ·πn) = 0
Un groupementπ est le rapport d’une équation aux dimensions d’une grandeur physique n’appartenantpas à l’ensemble des équations de base au produit des équations de base, chacune d’elle étant portée àune certaine puissance:
πi =[Gi]
[G1]ai [G2]
bi · · · [Gp]ei
Pour chaque dimension fondamentale M, L, T,θ, Q figurant au dénominateur, on fait la somme desexposants que l’on identifie avec l’exposant de la même dimension figurant dans l’équation aux dimen-sions de la grandeur physique du numérateur. On obtient ainsi un systèmelinéaire de p équations dont larésolution permet de déterminer les p exposants des équations de base du dénominateur.Il suffit alors d’écrire le rapportπ en fonction des grandeurs physiques attachées aux équations auxdimensions de départ.
27
4.1.3 Exemple d’application
Considérons un fluide en circulation forcée dans une canalisation cylindrique pour lequel on se proposede déterminer le coefficient de convection h relatif au transfert de chaleur fluide-paroi qui correspond à uneconvection forcée:
h
hTemperatureθp
Fluideθf Vitesse u
Tube
Détermination des grandeurs physiques
Il faut déterminer tous les paramètres dont dépend la densité de flux de chaleurΦ (liée à h parΦ = h∆T ).Ce sont ici:
– Les caractéristiques du fluide:
– λ coefficient de conductibilité thermique
– cp chaleur massique
– ρ masse volumique
– µ viscosité dynamique
– Les caractéristiques de l’écoulement:
– u vitesse moyenne du fluide
– La géométrie de la surface d’échange
– D diamètre de la conduite
– L’écart de température fluide-paroi∆T
d’où:f(λ,cp,ρ,µ,u,D,∆T,Φ) = 0
Équation aux dimensions des grandeurs
Il faut ensuite écrire l’équation aux dimensions fondamentales M, L, T,θ, Q de chacune des grandeurs, cequi s’écrit ici:
λ : QT−1L−1θ−1
cp : QM−1θ−1
ρ : ML−3
µ : MT−1L−1
u : LT−1
D : L
∆T : θ
Φ : QT−1L−2
28
Détermination des groupementsπ
Il faut maintenant choisir 5 équations de base (toutes les dimensions fondamentales ont été utilisées) defaçon à ce que les 5 dimensions fondamentales figurent au moins une fois dans l’ensemble des équations.
Prenons par exempleλ, ρ, u, D,∆T , il resteΦ, cp etµ.On écrit alors les rapports sans dimension correspondant à ces variables sous la forme:
π1 =Φ
(∆T )a1λb1ρc1Dd1ue1; π2 =
cp
(∆T )a2λb2ρc2Dd2ue2; π3 =
µ
(∆T )a3λb3ρc3Dd3ue3
Pour chaque rapport deπ, on remplace les grandeurs physiques par leur équation aux dimensions ce qui donnepar exemple pourπ1:
[π1] =QT−1L−2
θa1 (QT−1L−1θ−1)b1 (ML−3)c1 Ld1 (LT−1)e1
Pour chaque dimension fondamentale, on identifie les exposants de puissance entre numérateur et dénomi-nateurs relatifs à une même dimension ce qui conduit au système:
(Q) : 1 = b1(T ) : −1 = −b1 − e1(L) : −2 = −b1 − 3c1 + d1 + e1(θ) : 0 = a1 − b1(M) : 0 = c1
⇒
b1 = 1a1 = 1e1 = 0c1 = 0d1 = −1
Le rapportπ1 s’écrit donc:
π1 =ΦD
∆Tλ
ce qui avecΦ = h∆T peut encore s’écrire:
π1 =hD
λ
On obtient de la même manière
π2 =ρuDcp
λet π3 =
µ
ρDu
Le théorème de Vaschy-Buckingham nous permet d’affirmer que la relation:
f(λ,cp,ρ,µ,u,D,∆T,Φ) = 0
entre 8 variables peut s’exprimer à l’aide des trois nombres sans dimensionπ1, π2, π3 sous la forme:
f(π1,π2,π3) = 0 ou π1 = f(π2,π3)
Signification physique de ces groupements
– π1 = hDλ
est le Nombre de Nusselt. Il peut aussi s’écrire:Nu = Dλ/ 1
h. C’est donc le rapport de la
résistance thermique de conduction à la résistance thermique de convection.Il caractérise le type detransfert de chaleur.
– π3 = µρDu
= 1Re
, c’est l’inverse du nombre de Reynolds qui caractérise le type de transfert de chaleur.
– π2 =ρuDcp
λ, c’est le nombre de Peclet. On peut aussi l’écrire:Pe = ρuD
µ.cpµλ
et faire apparaître un
nouveau nombre sans dimensionPr =cpµλ
appelé Nombre de Prandtl. Ce nombre est calculable pourun fluide donné indépendamment des conditions expérimentales (il ne dépend que de la température) etcaractérise l’influence de la nature du fluide sur le transfert de chaleurpar convection. On préfère doncchercher une relation sous la forme
Nu = f(Re,Pr)
29
Quelques groupements sans dimension
Groupement
Re = ρDuµ
Nombre de Reynolds
Pr =cpµλ
Nombre de Prandtl
Nu = hDλ
Nombre de Nusselt
Pe =ρuDcp
λNombre de Peclet
Ma = hρucp
Nombre de Margoulis
4.2 Convection: généralités, définitions
Les transferts de chaleur qui s’effectuent simultanément avec des transferts de masse sont dits transferts dechaleur par convection.
4.2.1 Convection naturelle et forcée
Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue:
– La convection libre ou naturelle: Le fluide est mis en mouvement sous le seuleffet des différences demasse volumique résultant des différences de températures sur les frontières et d’un champ de forcesextérieures (la pesanteur).
– La convection forcée:Le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences detempératures.
4.2.2 Régime d’écoulement
Compte tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, ilest nécessaire de considérer lerégime d’écoulement. Considérons à titre d’exemple l’écoulement d’un fluidedans une conduite:
– En régime laminaire: L’écoulement s’effectue par couches pratiquementindépendantes. Entre deux filetsfluides adjacents les échanges de chaleur s’effectuent donc:
– par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides.
– par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction non normale aux filetsfluides.
– En régime turbulent: l’écoulement n’est pas unidirectionnel: l’échange de chaleur dans la zone turbulentes’effectue par convection et conduction dans toutes les directions. On vérifie que la conduction est engénéral négligeable par rapport à la convection.
4.3 Expression du flux de chaleur
De même qu’au niveau moléculaire on explique la viscosité des gaz par la transmission des quantités demouvement des molécules lors des chocs inter moléculaires, on explique la transmission de la chaleur par latransmission d’énergie cinétique lors de ces mêmes chocs. Cette liaison intime desphénomènes de viscosité etde transfert de chaleur conduisent à l’analogie de Reynolds: dans unécoulement fluide avec transfert de chaleurdans un tube, le profil des vitesses et le profil des températures sont liéspar une relation de similitude
30
Quelque soit le régime d’écoulement, il demeure une sous-couche laminaire dont l’épaisseur est d’autantplus réduite que l’écoulement est grand. L’analogie de Reynolds montre que le gradient thermique est parti-culièrement important au voisinage de la paroi, c’est à dire dans cette sous-couche laminaire. Quelque soit lerégime d’écoulement du fluide, on considère que la résistance thermique est entièrement située dans le filmlaminaire qui joue le rôle d’isolant thermique.
On considère que cette résistance thermique R est équivalente à celle que leflux de chaleur rencontreraiten conduction à travers une paroi dont l’épaisseur serait celle du film laminaire et qui possèderait les mêmescaractéristiques thermiques que le fluide soit:
R =e
λavec
e : épaisseur du film laminaireλ : conductivité thermique du fluide
Rigoureusement la densité de flux de chaleur s’écrit alors:
Φ(Wm−2) =e
λ(Tp − Ti)
oùTp(K) est la température de la paroi etTi(K) est la température à la limite du film laminaire.Pour un régime thermique bien établi, on peut considérer en première approximation que par suite des
courants de convection la masse fluide au-delà du film laminaire est à température constante et prendre commeloi de la densité de flux de chaleur la relation:
Φ(Wm−2) =e
λ(Tp − T∞) avec T∞(K) : température du fluide loin de la paroi
Cette loi simple présente néanmoins une énorme difficulté dans son application puisque l’on ne connaît pasl’épaisseur e du film laminaire. C’est ce qui amène à définir un coefficientde transfert superficiel ou coefficientde transfert de chaleur par convection par:
h(Wm−2K−1) =λ
e
Quelque soit le type de convection (libre ou forcée) et quelque soit le régime d’écoulement du fluide (lami-naire ou turbulent), le flux de chaleurΦ est donné par la relation dite loi de Newton:
Φ(W ) = hS∆T (4.1)
4.3.1 Calcul du flux de chaleur en convection forcée
L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré parconvection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous laforme d’une relation entre trois nombresadimensionnels (cf §4.1.3):
Nu = f(Re,Pr)
Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue donc de la manière suivante:
– Calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl
– Suivant la valeur de Re et de Pr, choix de la corrélation
– Calcul de Nu par application de cette corrélation
– Calcul deh = λNuD
et deΦ = hS(Tp − T∞)
4.3.2 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle
Considérons un fluide au repos en contact avec une paroi plane à températureT0. Si l’on porte la paroi àune températureT = T0 + ∆T , le fluide en contact avec la paroi va s’échauffer et la masse du volume unité vapasser deρ0 àρ0 − ∆ρ:
31
t = 0
Tp = T0 + ∆TTp = T0
m = ρ0 − ∆ρ
V = 1um = ρ0
V = 1u
t
~f = ∆ρ~g
Fluide aT0, ρ0 Fluide aT0, ρ0
Il sera donc soumis à une force ascensionnelle~f = −∆ρ~g. Pour un volume unité (u)m = ρ d’où: ∆ρg =ργ etγ = ∆ρ
ρg, oùγ est l’accélération ascensionnelle du fluide.
En introduisant le coefficient de dilatation volumique du fluide défini parβ = 1ρ
∆ρ∆T
il vient:
γ = βg∆T
Dans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle le long d’une plaque plane, le coefficient deconvection dépend des caractéristiques du fluidesλ,ρ,µ, cp, β, g, de la paroi, caractérisée par la longueurL etde l’écart de températures aux bornes du film ce que l’on peut traduire par une relation du type:
Φ = f(λ,ρ,µ,cp,β,g,L,∆T )
qui se réduit dans le système M,L,T,θ,Q à une relation entre trois nombres adimensionnels
Nu = f(Gr,Pr)
où
Gr =βg∆Tρ2L3
µ2est le nombre de Grashof
4.4 Introduction à la convection avec changement d’état
Lorsqu’une paroi cède (algébriquement) de la chaleur à un mélange liquide-vapeur, il en résulte un chan-gement d’état, donc un transfert de masse de l’une des phases vers l’autre. Dans le cas d’un apport de chaleur,il y a diminution de la phase liquide. Lorsqu’il existe une surface de séparation continue entre le liquide et savapeur, on emploie le terme d’évaporation1. dans le cas général, l’interface est constituée par la surface d’ungrand nombre de bulles contenant la phase vapeur: c’est l’ébullition.
S’il y a au contraire retrait de chaleur, on assiste à une condensation. Dans tous les cas, le transfert de masseexige un déséquilibre thermodynamique. Au voisinage d’un même point, les températures des deux phases sontgénéralement différentes, de même que leurs pressions. Dans l’ébullition en particulier, la pression de la vapeurPsat(Te) d’une bulle entourée d’eau surchauffée àTe (Te > Tsat(Te) ) est supérieure à celle du liquidePe, enraison des phénomènes de tension superficielle. L’observation visuelle met en évidence plusieurs régimes detransfert de masses auxquels correspondent des régimes différentsde transfert thermique.
Là s’arrêtera notre cours, nous laissant perplexes devant une casserole d’eau bouillante ...
1.
– Vaporisation: passage de l’état liquide à l’état gazeux sous l’effet dela chaleur (latente)
– Évaporation: transformation d’un liquide en vapeur par sa surface libre à toute température
– Ébullition: état d’un liquide soumis à l’action de la chaleur et dans lequel seforment des bulles de vapeur
32
Annexe
Dans un repère orthogonale et curvilignex1, x2, x3 un vecteur élémentaire est donné par:
−→dl = (h1dx1, h2dx2, h3dx3)
oùh1, h2, h3 sont fonctions dex1, x2, x3
Les expressions générales pour~∇u, ~∇.−→v et ~∇×−→v s’écrivent :
−→∇u =(
1h1
∂u∂x1
, 1h2
∂u∂x2
, 1h3
∂u∂x3
)
−→∇ .−→v = 1h1h2h3
(
∂∂x1
(h2h3v1) + ∂∂x2
(h1h3v2) + ∂∂x3
(h1h2v3))
−→∇ ×−→v = 1h1h2h3
−→e x1h1−→e x2h2
−→e x3h3∂
∂x1
∂∂x2
∂∂x3
h1v1 h2v2 h3v3
où−→e x1 ,−→e x2 ,
−→e x3 sont les vecteurs unitaires du repère(x1, x2, x3) et (v1, v2, v3) les composantes dansce repère du vecteur−→v .
Coordonnées cylindriques
x1 = ρ, x2 = θ, x3 = z−→dl = (dρ, ρdθ, dz) =⇒ h1 = 1, h2 = ρ, h3 = 1−→v = (vρ, vθ, vz)
−→∇u =(
∂u∂ρ
,1ρ
∂u∂θ
,∂u∂z
)
−→∇ .−→v = 1ρ
(
∂∂ρ
(ρvρ) + ∂∂θ
(vθ) + ∂∂z
(ρvz))
= 1ρ
∂∂ρ
(ρvρ) + 1ρ
∂vθ
∂θ+ ∂vz
∂z
−→∇ ×−→v = 1ρ
−→e ρ−→e θρ
−→e z∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
vρ ρvθ vz
−→∇2u =
−→∇ .(−→∇u) = 1
ρ
(
∂∂ρ
(ρ∂u∂ρ
) + ∂∂θ
(1ρ
∂u∂θ
) + ∂∂z
(ρ∂u∂z
))
= 1ρ
∂∂ρ
(
ρ∂u∂ρ
)
+ 1ρ2
∂2u∂θ2 + ∂2u
∂z2
33
Coordonnées sphériques
x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ−→dl = (dr, rdθ, r sin θdϕ) =⇒ h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin θ−→v = (vr, vθ, vϕ)
−→∇u =(
∂u∂r
,1r
∂u∂θ
, 1r sin θ
∂u∂ϕ
)
−→∇ .−→v = 1r2 sin θ
(
∂∂r
(r2 sin θ vr) + ∂∂θ
(r sin θ vθ) + ∂∂ϕ
(r vϕ))
= 1r2
∂∂r
(r2 vr) + 1r sin θ
∂∂θ
(sin θ vθ) + 1r sin θ
∂vϕ
∂ϕ
−→∇ ×−→v = 1r
−→e r−→e θr
−→e ϕ∂∂r
∂∂θ
∂∂ϕ
vr r vθ r sin θ vϕ
−→∇2u =
−→∇ .(−→∇u) = 1
r2 sin θ
(
∂∂r
(r2 sin θ ∂u∂r
) + ∂∂θ
(sin θ ∂u∂θ
) + ∂∂ϕ
( 1sin θ
∂u∂ϕ
))
= 1r2
∂∂r
(
r2 ∂u∂r
)
+ 1r2 sin θ
∂∂θ
(
sin θ ∂u∂θ
)
+ 1r2 sin2 θ
∂2u∂ϕ2
34
