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326 Buchbesprechungen

BUCHBESPRECHUNGEN S. Lefschetz, S t a b i l i t y of N o n l i n e a r C o n t r o l

S y s t e m s . (Mathematics in Science and Engineering, A Series of Monographs and Textbooks, Volume 13) X I + 150 5. m. 26 Abb. New York/London 1965. Academic Press. Preis geb. $ 7.50.

Der Rahmen des vorliegenden Buches ist nicht so weit gespannt, wie der Titel zuniichst vermuten 1LOt. Zweifellos ist jedoch der Begriff der absoluten Stabi- litiit (vgl. das vorletzte Referat in Heft 3/4), deren Theorie den Hauptteil des Buches einnimmt, in der Regelungstechnik von zentraler Bedeutung, da er am besten geeignet ist, die technisch geforderten Sta- bilitatseigenschaften von Regelkreisen mathematisch zu beschreiben.

Der Autor behandelt zunachst das Problem von LURJE - die Herleitung von Bedingungen fur die absolute Stabilitiit, wenn die Kennlinie der Nicht- linearitlit im I. und 111. Quadranten liegt - unter Verwendung der direkten Methode von LIAPUNOV. Neben den reguliiron Fiillen der indirekten und der direkten Regelung werden auch einige Grenzfalle so- wie der Fall mehrerer Nichtlinearitaten berucksich- tigt. Auf die Beschriinkung der Kennlinie auf ein Winkelgebiet wird nur kurz eingegangen. Weitere Abschnitte sind dem Frequenzgangverfahren von V. M. POPOV sowie neuen Ergebnissen des Autors ini AnschluB an KALNANS Untersuchungen gewidmet. AuDer diesen Beitragen zur Theorie der absoluten Stabilitiit enthiilt das Buch einen Absohnitt uber Nichtlinearititten mit unstetiger Kennlinie und die Fortsetzbarkeit von Phasenbahnen an Unstetiglteits fliichen im Phasenraum.

Die Monographie zeichnet sich durch eine straffe und elegante Darstellung von Beweisen und Ergebnissen aus, zu der die konsequente Verwendung von Matrizen wesentlich beitriigt.

Dresden H. L. BURMEtSTER

E. Kreyszig, S t a t i s t i s o h e M e t h o d e n u n d i h r e A n w e n d u n g e n . 422 S. m. Abb. Gottingen 1965. Vandenhoeck & Ruprecht. Preis geb. DM 32,-.

Das Buch wendet sich mit seiner Absicht, das Inter- esse an der mathematischen Statistik zu wecken, Ver- standnis fur ihr Wesen zu vermitteln und vor allem ihre Arbeitsmethoden zu lehren, an sehr breit,e Kreise. Um moglichst leistungsstarke Verfahren z u bieten, kommt der Autor naturlich nicht umhin, wesentlichen Gebrauch von niathematischem Ideengut zii niachen. Das sehr schwierige Problem, von minimalen Vor- kenntnissen auszugehen und auch die weniger mit der Mathematik vertrauten Praktiker und Interessenten (Mediziner, Volkswirtschaftler) zu den entscheidenden Zielen zu fuhren, wurde nieisterhaft gelost. Das Buch entstand aus der praktischen Tiit,igkeit und zahlrei- chen internationalen Vorlesungen seitens eines wirk- lich erfahrenen Kenners Rtatistischer Problemstellun- gen und ihrer Behandlung. Die Aktualitiit des Stoffes wird uberieugend demonstriert durch uher 100 Bei- spiele aus den verschiedensten Anwendungsbereichen und uber 500 der Praxis entstammenden Ubungsauf- gaben (die schwierigeren mit Losung).

Der Stoff gliedert sich in 3 Teile: Beschreibende Statistik, Wahrscheinlichkeit,stheorie, Beurteilende Statistik. Der erste Teil ist besonders elementar und anschaulich gehalten und entlastet den spateren Text von niancherlei praktischen Erorterungen. Die Wahr- scheinlichkeit,stheorie mu13 in diesem Rahmen auf ei- nen allgemeinen niaBtheoretischen Aufbau verzichten; die Fiille fiir diskrete und stet,ige Wahrscheinlichkeits- verteilungen werden stets einzeln behandelt ; die Defi- nition der ,,stochastischon Variahlen" (8. 72) ist unter den gegebenen Voraussetzungen naturgemii13 proble- matisch. Die ,,Beurteilende St,atistik" ist als Haupt-

teil anzusehen. Dabei ist es dem Verfasser in ausge- zeichneter Weise gelungen, die statistischen Verfahren in gebrauchsfertiger Form fur den Praktiker heraus- zuarbeiten (Formulierung der Testverfahren i n Tabcl- lenform).

Das Buch wird bereichert durch verschiedene nutz- liche Anhiinge. Davon seien hervorgehoben eine aus- fiihrliche Gegenuberstellung von statistischen Fach- ausdrucken in englischer und deutscher Sprache sowie ein sehr vielseitiges Tafelwerk.

Alles in allem handclt es sich um eine aulerordent- lich gelungene Neuerscheinung.

Dresden P. H. MiiLLER

R. Nevanlinna und V. Paatero, E i n f u h r u n g i n d i e F u n k t i o n e n t heor ie . (Mathematische Reihe, Band 30) Basel und Stuttgart 1965. 388 S. m. 55 Fig. Birkhiiuser Verlag.

Die ,,Einfuhrung" zeichnet sich durch Einfachheit, Ubersichtlichkeit und Klarheit aus. Fast unmerklich wird schon der Anfiinger mit den modernen Begriffs- bildungen vertraut gemacht. Das Werk weicht von den iiblichen Darstellungen ah. So wird im Zusammen- hang mitt komplexen Zahlen zunachst der zweidimen- sionale lineare Raum eingefuhrt. Die Einbettung dieses Raumes in einen Korper geschieht getrennt von der Angabe einer Metrik mittels eines axiomatisch einge- fuhrten Skalarproduktes. Bevor die allgemeine Theo- rie beginnt, werden recht sorgfaltig die elementaren Funktionen diskutiert. Einen breiten Raum nehmen die zugehorigen konformen Abbildungen und RIE- MANNsChen Flichen ein. Im Zusanimenhang mit der Diskussion der linearen Funktionen (in1 Sinne der Funktionentheorie) werden auch die Grundlagen der BOLYAI-LOBATSCHWWSKISCht?n Geometrie beliandelt. Es fallt dem Ref. auf, da13 beim Logarithmus der Hauptwert auf das Interval1 0 5 ~1 < 2 n bezogrn wird.

Die Reihen werden in hier angebrachter Kiirze, abcr trotzdem leicht verstlndlich abgehandelt. Der CAUCHY - sche Integralsatz wird zuniichst fur konvexe Gebiete formuliert. Bei seiner allgemeinen Fassung wird von der Homotopie Gebrauch gemacht. Die Anwendungen der CAucKYschen Integralformel sind relativ um- fangreich, auch die RIEMANNsche Formel ist dabei. Die Anwendungen des Residuensatzes sind recht viel- seitig. Eine Besonderheit stellt die Theorie und An- wendung der harmonischen Funktionen, insbesondere des harmonischen Manes dar. Rei der Diskussion der ganzen Funktionen wird auch von deren Wachstuni gesprochen. Es wird der WEIERSTRASSSChe Aufbau der elliptischen Funktionen vorgefuhrt, es werden die T-Funktion und auch die RIEnlANNsche C-Funktion diskutiert. Beim Beweis des RIEMANNschen Abbil- dungssatzes wird das KoEBEsche Iteratiansverfahren benutzt. Die Diskussion der Riinderzuordnung weicht von den iiblichen Darstellungen ah.

Literaturangaben werden nicht gemacht. Es mu13 aber erwahnt werden, da13 zahlreiche Ubungsaufga- ben, zum Teil rnit ausfuhrlichen Anleitungen, den Wert des padagogisch gcschickt angclegten Werkes noch zusiitzlich erhohen.

Dresden H. WENZEL

L. Z. Rumshiskii, E l e m e n t s of P r o b a b i l i t y T h e o r y . XI + 160 S. m. 24 Fig. u. 4 Tab. Oxford/ London/Edinburgh/New York/Paris/Frankfurt 1965. Pergainon Press. Preis geb. 36s. net.

Das vorliegende Buch ist eine Ubersetzung dcs russischen Originals von 1960, der noch viele Ubungs- aufgaben (mit Losungen) und Tafeln der Normnl- und PoIssoNverteilung hinzufiigt, worden sind. Da.s

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Werk eignet sich als Lehrbuch der Wahrscheinlich- keitsrechnung fur Ingenieure und Studierende techni- scher Disziplinen an Hoch- und Fachschulen. Es nimmt eine Mittelstellung zwischen tiefgreifenden msD- und integrationstheoretischen Darstellungen und po- puliirwissenschaftlichen Schriften ein.

Die Darstellung des Stoffes ist einfach. Schwierigere mathematische Begriffe wie Wahrscheinlichkeits- raum, STIELTJES-htegral und charakteristische Funk- tion werden vermieden oder lediglich in Kleindruck angegeben. Indem der Verfasser bei der Ableitung von grundlegenden Siitzen der Wahrscheinlichkeitsrech- nung meist von einem demonstrativen Beispiel &us- geht und dann abstrahiert, erweckt er mit groBem piidagogischen Geschick bei dem zugedachten Leser- kreis Verstiindnis fur die jeweilige Fragestellung. Das Buch gliedert sich in 7 Kapitel. Kap. 1 gibt die Defi- nition der Wahrscheinlichkeit (Komoaomvsche Axio- matik, Hiiufigkeitsinterpretation) und einige Rechen- regeln an. In Kap. 2 und 3 werden ZufallsgroDen (im landlaufigen Sinne als vom Zufall abhiingende Gro- Den) definiert und ihre zahlenmiiBigen Charakteristi- ken angegeben. Man beschriinkt sich auf die Behand- lung diskreter und stetiger ZufallsgroBen. Kep. 4 und 6 beschreiben in verstiindlicher Weise einige der be- kanntesten Gesetze der groDen Zahlen und Grenz- wertsiitze. SchlieBlich bleiben der Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Theorie der Be- obachtungsfehler (u. a. Konfidenzschatzungen) und die lineare Korrelation und Regression die letzten bei- den Kepitel vorbehalt,en.

Dresden P. NEUMANN

F. Ceschino - J. Kunbmann, Problbmes dif - fbren t ie l s d e condi t ions in i t ia les . XV + 390s. m. 19 Fig. Paris 1963. Dunod. Preis geb. 59 F.

In diesem Buch werden Probleme der numerischen Integration von Anfangewertaufgaben bei gewohnli- chen Differentialgleichungen behandelt. Aus der iiber diesen Gegenstand reichlich vorhandenen Litera- tur wird eine groBe Anzahl von Verfahren zusammm- getragen und unter einheitlichen Gesichtspunkten dargestellt. Dabei werden neben bereits bekannten Methoden auch neue Integrationsverfahren entwickelt und numerisch erprobt. Die Autoren setzen in ihrem Buch sowohl bei der Herleitung der vorgeschlagenen Verfahren als auch in weitergehenden theoretischen Untersuchungen vom Leser lediglich die Kenntnis der TAYLORfOrmel voraus. Wie im Vorwort betont wird, sind solche Verfahren, die aus anderen theoretischen Grundlagenentwickelt wurden (z. B. nach statistischen Methoden), bewuSt nicht in die Darstellung rnit auf- genommen worden.

In einem einfiihrenden Kapitel werden kanonische und explizite Formen von Differentialgleichungs- systemen betrachtet. Ferner wird eine Ubersicht uber die verschiedenen Methoden gegeben, die zur Losung von Anfangswertaufgaben geeignet sind. Im weiteren gliedert sich das Buch in drei Teile. Der erste Teil behandelt die Einschrittverfahren, der zweite Teil die Mehrschrittverfahren, und im dritten Teil werden allgemeine theoretische und praktische Untersuchun- gen durchgefiihrt. Im ersten Teil findet man eine vollstiindige Diskussion der RuNaE-KuTTA.Methoden. Dabei werden auch Differentialgleichungen hoherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen in die allgemeinen Betrachtungen einbezogen. In diesem Abschnitt findet Rich auch eine Untersuchung der implizierten R n ~ a ~ - K o ~ T ~ - ~ o r m e l n . Im zweiten Teil werden neben einer ausfiihrlichen Darstellung der ADAMsschen Differenzenformeln weitere Differenzen- verfahren untersucht, wobei auch auf Probleme der numerischen Stabilitiit eingegangen wird. Der dritte Teil enthiilt weitergehende Unt,ersuchungen iiber das Verhalten der bei der Anwendung einzelner Verfahren auftretenden Fehler. Verschiedene Methaden werden

beziiglich der Fehlerfortpflanzung miteinander ver- glichen.

Die zahlreichen numerischen Beispiele und Tabel- len, die sehr vorteilhafte iibersichtliche Darstellung des Stoffgebiets sowie das ausfiihrliche Literatur- verzeichnis sind als besonders lobenswert hervorzu- heben. Leider vermiBt der Leser dagegen ein Sach- verzeichnis, daa besonders fur den praktischen Rech- ner von Nutzen wiire. Dennoch stellt das Buch ein sehr niitzliches Nachschlagewerk dar.

Dresden H. KLEINMICREL

F. V. Atkinson, D i sc re t e a n d Cont inuous Boundary Problems. (Mathematics in Science and Engineering, Vol. 8) XIV + 570 S. New Pork/ London 1964. Academic Press. Preis geb. $ 16.50.

In dem vorliegenden Buch werden die zwischen kontinuierlichen und diskreten Randwertproblemen gewdhnlicher bea re r Differential- und Differenzen- gleichungen bestehenden Analogien herausgearbeitet. Dabei stehen im Vordergrund : a) die Auflosungstheorie von Randwertproblemen

mittels rekursiver Verfahren b) Behandlung von Randwertproblemen bei linearen

gewohnlichen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit singuliiren Koeffizienten (vom Delta-Typ) sowie Systemen erster Ordnung.

c) Studium der Vereinheitlichung der diskreten und kontinuierlichen Theorie, welche sich aus dem Zusammenhang zwischen Integralgleichungspro- blem und Differentialgleichungsproblem ergibt.

Wenngieich an Vorkenntnissen wenig vorausgesetzt wird, - auf Anwendung der LEBEsauEschen Inte- grationstheorie und Anwendung funktionalanelyti- scher Methoden kann weitgehend verzichtet werden - ist es fur das Verstiindnis des Buches niitzlich, wenn der Leser sich in der Theorie der Randwertprobleme bei gewohnlichen Differentialgleichungen auskennt. Dieser Leserkreis wird dann vieles iiber Differenzen- gleichungen in dem originell geschriebenen Buche Isrnen konnen. Ein Anhang von iiber 150 Seiten am SchluB des Buches bringt eine Reihe von Ergiinzun- gen, die das Verstiindnis des Vorstehenden erleichtern. Jedem Kapitel sind tfbungsaufgaben beigegeben.

Leipzig H. BECKERT

P. Henrici, Disc re t e Var iab le Methods in Ord ina ry Dif fe ren t ia l Equat ions . X I + 407s. m. Abb. u. Tab. New York/London 1962. John Wiley & Sons.

Das Buch beschiiftigt sich rnit dem wichtigen Clebiet der numerischen Behandlung von Anfangs- und Randwertaufgaben bei gewohnlichen Differentialglei- chungen durch Diskretisierungsverfahren. Es ist aus Vorlesungen fur Mathernatiker und fur mathematisch ausgerichtete Ingenieure und Physiker hervorgegan- gen und behandelt die derzeit gebriiuchlichen Ver- fahren sowohl aus numerischer als auch aus theoreti- scher Sicht heraus. Die Darstellung zeichnet sich durch groDe Klarheit, Griindlichkeit und Vielfalt aus; sie beriicksichtigt wichtige neuere Literatur und einige bisher nicht publizierte Ergebnisse des Verfassers. Besondere Auf merksamkeit wird dem Verhalten von Diskretisierungs- und Rundungsfehlern sowie der Konvergenz und Stabilitiit von Verfahren gewidmet, wobeiim Zusammenhang mitderletzten Fragestellung eine sehr iibersichtliche Fassung der DAHLQnIsTschen Theorie mit ihrem zentralen Satz, daB Stabilitiit und Konsistenz zusammen hinreichend und notwendig fur die Konvergenz sind, gegeben wird. Fur den Wert des Buches fur die gegenwiirtige Forschung sprechen die zahlreichen Zitate in Originalarbeiten, die in der kurzen Zeit seit dem Erscheinen erfolgten. Nicht zuletzt sei hervorgehoben, daf3 auch dieses Buch rnit