l - fi.uba.arfi.uba.ar/materias/6211/Mecanica rac 08-10 Dinamica rotacion... · Dinámica de la rotación - Cuerpo rígido. Vamos a completar las leyes de conservación para sistemas

Estas son mis notas para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos,

para quienes las publico. Adrián Faigón. [email protected] v. 27-3-2013

Dinámica de la rotación - Cuerpo rígido.

Vamos a completar las leyes de conservación para sistemas de partículas con la

correspondiente al momento angular. La postergación hasta este punto se debe a que

presentamos con ella algunos elementos fundamentales para tratar el movimiento del

cuerpo rígido.

Dinámica de la rotación de un conjunto de partículas

Al igual que con las magnitudes extensivas tratadas anteriormente, P y E,

definamos el momento angular de un sistema de partículas respecto de un punto, a la

suma de los momentos de cada partícula componente respecto del mismo punto.

i

iL l (8.1)

Calculemos ahora la derivada temporal del momento L,

i i

d d d

dt dt dt i i i

Ll r p

(estamos tomando el origen como el punto respecto del cual calculamos los li),

i

i i i ir p r p

El primer término en la sumatoria cae pues velocidad y momento lineal de cada

partícula son vectores paralelos. En el segundo reemplazamos ip por if , la fuerza que

actúa sobre la partícula i, y ésta última la descomponemos en fuerzas exteriores eif , y

fuerzas debidas a la interacción de la partícula i con las restantes partículas del sistema,

i j i i j

e ei i ji i i i jir f f r f r f

Ahora desarrollamos el 2do sumando para mostrar que no contribuye (esto se puede

intuir antes de hacer la matemática pues su anulación significa que las fuerzas interiores

no pueden hacer girar al sistema). Comenzamos con la igualdad evidente

i j j i

i ji j ijr f r f



pues lo único que se ha hecho es intercambiar i por j, y se suma sobre ambos. Entonces

1 1

2 2i j i j j i ij

i ji i ji j ij i ji j ijr f r f r f r f r f

y usamos fji = - fij, acción y reacción para rescribir la última

1

2 ij

i j jir r f

que se anula por ser producto vectorial de vectores paralelos pues fji tiene la dirección

del vector que une ambos puntos. Retomando,

e

i i

d

dt e e

i i i

Lr f m M

ed

dt

LM , (8.2)

el momento de las fuerzas exteriores.

Resultado 1: En ausencia de momento de fuerzas exteriores, el momento

angular de un sistema de partículas se conserva.

Resultado 2: Si hay momentos de fuerzas exteriores actuantes sobre el sistema,

la ley dinámica es (8.2): la derivada temporal del momento angular del sistema iguala al

momento de las fuerzas exteriores actuantes sobre el mismo.

Hay otro modo de llegar al resultado 1 de la conservación del momento angular, que

interesa para posteriores desarrollos.

Vimos el teorema de conservación del momento lineal para un sistema de partículas,

para el que se pedía que el espacio fuera homogéneo, con el significado de que todos los

puntos del espacio tuvieran iguales propiedades mecánicas, lo que permitía afirmar que

un desplazamiento del sistema como un todo no cambiaría la evolución del mismo, o

equivalentemente no cambiaría el Lagrangiano. Algo completamente análogo lleva a

demostrar la conservación del momento angular, para el cual debe pedirse que el

espacio sea isótropo, o que todas las direcciones (y no los puntos) son equivalentes, de

modo que el Lagrangiano no cambia ante una rotación del sistema en su conjunto. Para

demostrar el teorema comencemos viendo como se expresa matemáticamente la

rotación.



Vector diferencial de rotación

Sea el vector r que a consecuencia de una rotación pequeña δφ alrededor del eje

que señala la figura se convierte en r+δr, donde el modulo de δr es

.sin .r r

,

aproximando la secante por el arco. Cómo se ve, el miembro derecho tiene la forma del

módulo de un producto vectorial que aprovecharemos para representar al diferencial de

rotación por un vector que tenga la dirección del eje de rotación, el sentido

correspondiente a la regla de la mano derecha y módulo δφ. Entonces,

xδr δφ r (8.3).

Teorema de conservación del momento angular de un sistema de partículas

H) El espacio es isótropo

T) El momento angular de un sistema de partículas se conserva.

D) Si el espacio es isótropo, el Lagrangiano del sistema de partículas no cambia ante

una rotación del sistema en su conjunto. En particular no cambia ante una rotación

diferencial (usamos L acá para el lagrangiano pues reservamos L para momento

angular):

δr r+δr

r θ

δφ

δφ

eje instantáneo de rotacion de r



0i

i i

i i

r rr r

L LL

Pero al tratarse de una rotación del sistema en su conjunto

xi ir r , y similarmente xi ir r

además

i

i

pr

L por definición de momento conjugado

y

i

i

pr

L

por la ecuación de Lagrange.

Reemplazando todo en la sumatoria y usando permutaciones cíclicas (que no alteran el

producto mixto A.(BxC)=B.(CxA)=C.(AxB)) para poner δφ adelante y sacarlo de la

sumatoria, resulta

0i

i i i ir p r p

Dada la arbitrariedad de δφ, debe anularse la sumatoria, donde se nota la derivada

temporal de un producto, resultando

0i i

d d d

dt dt dt i i i

Lr p l

o

L cte QQD.

El cuerpo rígido como sistema de puntos

El cuerpo rígido puede ser considerado como un sistema de masas puntuales con las

condiciones de vínculo adecuadas, que son las que representan la constancia de las

distancias entre dos partículas i y j cualesquiera del sólido,

0ijcte i jr r .

Ahora podemos preguntarnos cuántos grados de libertad, o equivalentemente cuantas

coordenadas independientes, se requieren para describir (determinar) la posición de un

cuerpo rígido en el espacio. Para contestarla debemos contar cuántas ecuaciones como



la última, independientes unas de otras, pueden escribirse. Restando ese número de 3N

obtendremos el número de grados de libertad buscado... (pensarlo).

Alternativamente, podemos pensar que 3 coordenadas determinan la posición de un

punto A del cuerpo, 2 ángulos alcanzan para definir en qué dirección está orientado un

segundo punto B.

Fijados así A y B el cuerpo solo puede rotar alrededor de la recta que une esos puntos.

Otro ángulo, entonces, alcanza para fijar un tercer punto C que no pertenezca a esa

recta, y ya está: con tres puntos no colineares fijos, el cuerpo está también fijo. Se

requieren entonces 6 coordenadas, en el caso descripto 3 distancias y 3 ángulos.

Alternativamente, sobre esta misma idea, podemos pensar: la posición de 3 puntos no

alineados (9 coordenadas) determina la posición y orientación del cuerpo. Pero esas

nueve coordenadas están relacionadas por 3 ecuaciones de vínculo como la última, las 3

distancias entre los tres puntos. Ergo 6 grados de libertad.

Velocidad angular

Llamemos R al vector posición de un punto elegido del cuerpo, y ai los vectores

posición de los puntos materiales que componen el cuerpo respecto del punto elegido.

Así,

R

ai ri

ZA

X

Z

XA

Y

2

1

YA

B

A

C

θ

φ

3



ri = R + ai

y la velocidad de un punto cualquiera

d dd

dt dt dt i i

i

r aRv

pero los ai, por ser posiciones relativas de puntos del sólido tienen módulo constante de

modo que el dai es resultado de una rotación infinitesimal,

x

d d

xdt dt dt

ii i

dφ aR Rv ω a (8.4)

donde ω == dφ/dt, es la velocidad angular instantánea del cuerpo.

Nos preguntamos si ω depende de la elección del punto R. Para contestar tomemos otro

punto de referencia R', posicionado un A respecto de R. De modo que el mismo vector

ri podrá escribirse

' 'i ir R a

y su velocidad

R'

ai' ri

R

A

ai



d

xdt

'

' 'i i

Rv ω a

Si reescribo el segundo miembro en términos referidos a R,( 'R R A y 'i ia a A )

resulta

( )

' d

xdt

i i

R Av ω a A

como A tiene modulo constante

' ' d

x xdt

i i

Rv ω A ω a A

entonces

' d

xdt

i i

Rv ω a

que iguala a la primera expresión de vi (8.4) solo si ω=ω'. El significado de éste

resultado es que la velocidad angular con que rota un cuerpo en el espacio es

independiente de la descripción que se haga de su movimiento, es única y consiste en la

velocidad con que cambia su orientación (o tal vez más claro es decir la orientación de

una terna de ejes fija al cuerpo) respecto de una terna inercial.

El Tensor de Inercia

La dinámica de la rotación está contenida en la ecuación dL/dt = M, que es el

equivalente a Newton dp/dt = f para las rotaciones, y se deriva naturalmente de esta

última.

Dado que en un cuerpo rígido las velocidades de los puntos materiales que lo forman, y

que intervienen en el cálculo de L, están relacionadas con la velocidad angular w, será

deseable escribir a L en función de w. Allí aparecerá el tensor de inercia.

Consideremos un sólido con un punto fijo (para concentrarnos en los movimientos de

rotación), que tomaremos como origen de coordenadas. Partimos de la definición

i

i i

m i i i iL r p r v

y considerando que los ri, son de módulo constante pues son vectores posición entre

dos puntos del cuerpo, las velocidades serán solo por efecto de rotación. Asi

ii

m i iL r w r .



Usamos ahora la identidad vectorial Ax(BxC)= B(A.C) - C(A.B), para llegar a

2 .i ii

m r i iL w r w r

Entenderemos mejor la expresión si escribimos separadamente cada componente,

2 .x i x i ii

L m w r x iw r

2 2x i i i x i i i y i i i z

i i i

L m r x w m x y w m x z w

y, similarmente

2 2y i i i x i i i y i i i z

i i i

L m y x w m r y w m y z w

2 2z i i i x i i i y i i i z

i i i

L m z x w m z y w m r z w

Así escrito se reconoce al vector L, como resultado de multiplicar una matriz por el

vector w. La matriz es

2 2

2 2

2 2

i i i i i i i i ii i i



m r x m x y m x z

m y x m r y m y z

m z x m z y m r z

I

y se la denomina tensor de inercia (a una matriz se la llama tensor por la independencia

de un escalar asociado al mismo --en este caso la energía cinética-- del sistema de

coordenadas en el cual se lo represente. Se diferencian así del mismo modo que una

terna de números reales y un vector en el espacio tridimensional. El escalar asociado a

los vectores es el producto interno, que es también independiente de la representación

de los vectores).

Los elementos diagonales del tensor se denominan momentos de inercia y a los no

diagonales --a veces-- productos de inercia. Como se ve por la simetría de estos últimos

respecto de la diagonal, el tensor de inercia se representa por una matriz simétrica.

El elemento j,k de la matriz que representa el tensor de inercia puede escribirse en

general

2jk i jk i ij ik

i

I m r r r



donde el subíndice i identifica la partícula, y ri1= xi, ri2= yi, ri3= zi, y ri es el módulo de

ri.

Si la distribución de masas fuese continua, y caracterizada, entonces por una densidad

ρ(r), el elemento general j,k es

3

2jk jk j kI d r r r r r

integrado sobre el volumen del cuerpo. Ejemplo: rígido elemental

El cuerpo rígido elemental está constituido por dos masas a una distancia fija 2b.

Supongamos que están unidas por una barra de masa despreciable y analicemos su

rotación alrededor de una dirección fija arbitraria que hacemos coincidir con el eje z de

una terna fija en el espacio.

Es decir, podemos suponer la barra soldada a un eje, formando un ángulo θ con

el mismo, que se mantiene en la dirección z mediante un par de bujes que le permiten

girar. Vamos a calcular el vector momento angular de dicho movimiento.

Usamos

L I w , y como w tiene solo componente z distinta de cero, w = (0,0,w),

2, , 2 sin cos cos , sin cos ,sinxz z yz z zz zI w I w I w mb w L

x

y z

ω θ

φ

b

L

M



Observamos:

i) que el vector L proyecta en el plano x,y en la misma dirección que proyecta la barra

(cos φ, sin φ), es decir está en el plano que contiene a la barra y al eje z.

ii) Las componentes en dicho plano, perpendicular y paralelo a z, van como (-cos θ, sin

θ) --hemos factoreado sin θ fuera del vector--, es decir perpendicular a la barra cuya

dirección en la parte positiva de z la da el versor (sin θ , cos θ).

iii) Mientras que la componente z de L se mantiene constante durante el movimiento,

las componentes x e y cambian dado que φ=w.t. Es decir, el vector L describe un cono

alrededor de z y perpendicular a la barra durante el movimiento

iv) Si Lx y Ly varían en el tiempo, habrá cuplas (M=dL/dt) con esas mismas

componentes responsables de dicha variación. Las cuplas se verían materializadas en

nuestro esquema por las reacciones de los bujes sobre el eje para que éste mantenga su

dirección. El vector momento de las fuerzas M, se obtiene derivando L,

2 22 sin sin cos , cos cos ,0w mb wt wt M

M está entonces en el plano (x,y) y es normal al plano que contiene a la barra, el eje z y

L.

Otros comentarios:

Esta clase de fuerzas o momentos que aparecen como resultado del movimiento --no

están si el cuerpo está en reposo-- se denominan reacciones dinámicas.

L no está en la dirección de w, y como se intuye, esto se debe a que w no está en un eje

de simetría del cuerpo. Eso les pasa a las ruedas de autos desbalanceadas, por no estar la

masa repartida simétricamente alrededor del eje, tienen un L que no está en dirección de

w lo cual además de provocar un temblor en el andar, produce un desgaste adicional

sobre los bujes por la reacción dinámica que genera. Los plomos que se agregan en el

balanceo tienen el propósito de alinear el L con el w (!!).

Ejes principales

Vimos al tratar nuestro rígido elemental que rotando alrededor del eje arbitrario

que se eligió, resultó un vector momento angular que rotaba con el rígido, indicando la

existencia de unos momentos de fuerza actuando para sostener ese dL/dt, ese

movimiento. De nuestra experiencia sabemos que si lo hiciésemos girar alrededor de un

eje perpendicular a la barra y que pasa por su punto medio, no haría falta sostener al eje

con bujes para evitar que se tuerza (estamos pensando en el movimiento en el espacio

libre de gravedad). Ese eje es, por asi decirlo, un eje natural, y matemáticamente esto se

expresa en que el vector L está alineado con w, entonces L no gira, entonces no hay

dL/dt, no requiere momentos aplicados para sostener el movimiento.



Cada cuerpo, veremos, tiene 3 de estos ejes, ortogonales entre sí, llamados ejes

principales, cuya definición es: puesto a rotar el cuerpo alrededor de un eje principal, el

momento angular L apunta en la misma dirección, es colinear, con w.

Obtención de los ejes principales

De acuerdo a la definición dada, la dirección de un eje principal es la dirección

de un w que cumpla

L = I . w donde I es un escalar o, en representación matricial, un escalar por la matriz identidad.

Además, siempre vale

L = I w

de modo que para w en la dirección de un eje principal vale

I w = I . w o (I -I) w = 0

donde se reconoce una ecuación de autovectores y autovalores, que expresa

sintéticamente las siguientes 3 ecuaciones para las componentes de w

(Ixx-I) wx + Ixy wy + Ixz wz = 0 Iyx wx + (Iyy-I)wy + Iyz wz = 0 Izy wx + Iyz wy + (Izz-I)wz = 0 Tratándose de un sistema lineal homogéneo, la existencia de soluciones no triviales

(wx=wy=wz=0) requiere de la anulación del determinante de la matriz de los coeficientes

(la matriz Ijk-I). Al escribir el determinante igual a 0 resulta una ecuación de 3er grado

en I igualada a 0, y de allí tres raíces para I: I1, I2, I3, que son los autovalores de la

ecuación. Reemplazado en el sistema I por I1 se obtiene una solución para w, el

autovector, que llamaremos w1; reemplazando por I2 se obtiene w2, y por I3, w3. Debe

notarse que la simetría de la matriz de los coeficientes quita independencia a las

ecuaciones por lo que las soluciones wi no son vectores completos sino direcciones (por

ejemplo (w1x , w2x /w1x , w3x /w1x)). No podía ser de otro modo, siendo que las

ecuaciones expresan nuestra pregunta: en qué dirección, puesto a rotar un cuerpo resulta

L colinear con w?

Simetría y ejes principales

Si un cuerpo presenta un eje de simetría (cilíndrica) dicho eje es un eje principal.

En efecto, supongamos que la dirección de eje de simetría es la e3. Entonces, la



distribución de masas a lo largo de los ejes e1 y e2, que son normales a e3, es simétrica

respecto del 0; los productos de inercia

1 3i i i

i

m x x y 2 3i i ii

m x x ,

donde x1i es la coordenada de la masa i sobre el eje 1, ídem con 2 y 3, se anulan pues la

misma masa aparece en x1 y en -x1 por ejemplo. Los ejes 1 y 2 son como se dijo,

perpendiculares al 3, perpendiculares entre sí, y pasan por el centro de masas del

cuerpo.

Por motivos análogos, cada plano de simetría define un eje principal normal al

plano y que pasa por el centro de masas.

Resolución del problema del rígido simple en ejes principales

Por consideraciones de simetría un eje principal es la recta que une las dos

masas (dirección 3) y los otros dos son cualquier par de rectas perpendiculares a la

dirección 3, perpendiculares entre sí, y que pasan por el centro de masas (direcciones 1

y 2). Los momentos de inercia correspondientes son

I1 = I2 = 2mb2 , I3 = 0 .

3

z

1

2

ω

θ

L



Dada la libertad para elegir las direcciones 1 y 2, tomamos por ejemplo la 2 en el

plano definido por la 3 y w, de modo que

0, .sin cosw w w

y

1 1 2 2 3 3 2, , 0, . .sin ,0I w I w I w I w L ,

mostrando que el tratamiento es correcto, pues L dio, igual que antes, perpendicular al

"cuerpo" y en el plano que contiene la barra y w. L es, en este referencial, constante y

plantea el problema de cómo comparar con el dL /dt que resultó en el tratamiento

anterior, y que daba cuenta de las reacciones de vínculo.

Por supuesto, la derivada temporal del momento que aparece en la ecuación

dinámica supone que el momento se "observa" (expresa) desde (en) un referencial

inercial. También está claro que el referencial de ejes principales, que está fijo al cuerpo

en rotación no es un referencial inercial. Para hacer la derivada temporal de el último L

obtenido, debemos escribirlo

2 sin I w 2L e

donde e2 es el versor en la dirección 2, que se mueve respecto a un referencial fijo en el

espacio. Luego

2 sindd

I wdt dt

2eLM

2 sinI w x 2w e

2 3sin I w w 1e

2 22 sin cos mb w 1e

que tiene el mismo valor y dirección hallados anteriormente. Si se quisiera tener la

dependencia temporal de M, basta con expresar e1 en el referencial (x,y,z).

La ecuación de Euler y sus consecuencias

Lo hecho arriba es un caso particular de una expresión general debida a Euler

que relaciona la derivada temporal de un vector en referencial rotante, con la

correspondiente en referencial inercial: Escribiendo el vector en el referencial rotante

1 2 3A A A 1 2 3A e e e

resulta



31 21 2 3

in

dA ddA d dA ddA A A

dt dt dt dt dt dt dt 31 2

1 2 3

ee eAe e e

o, haciendo uso de que los versores solo rotan,

31 21 2 3

in

dAdA dAdA A A

dt dt dt dt 1 1 2 2 3 3

Ae w e e w e e w e

y, reordenando,

31 21 2 3

in

dAdA dAdA A A

dt dt dt dt 1 2 3 1 2 3

Ae e e w e w e w e

o, abreviadamente.

in r

d d

dt dt

A Aw A

que se conoce como ecuación de Euler. Haremos algunas aplicaciones de la misma

Movimiento general de un trompo en ausencia de fuerzas y momentos

Consideraremos el movimiento de un cuerpo en el espacio libre de fuerzas.

Además de una posible traslación del c.de m. con movimiento uniforme y rectilíneo,

que es irrelevante, los movimientos de rotación se obtienen de aplicar la ecuación de

Euler al vector L. En ausencia de momentos de fuerzas el miembro de la izquierda es

cero, y el de la derecha se escribe, en ejes principales,

1 1 2 3 2 3I w I I w w

2 2 3 1 3 1I w I I w w

3 3 1 2 1 2I w I I w w

Estas ecuaciones se integran completamente resultando w(t) dadas las

condiciones iniciales. El resultado general involucra funciones elípticas, pero si el

cuerpo tiene un eje de simetría (es un trompo) la solución es sencilla e interpretable. Sea

el eje de simetría el eje 3, luego I1=I2, que se usa para eliminar I2 y el sistema queda

1 1 1 3 2 3I w I I w w

2 2 1 3 3 1I w I I w w

3 3 0I w



De la ultima w3=cte y las dos primeras pueden escribirse

1 2w w (a)

2 1w w (b)

con 1 3

3

1

I Iw

I

(c)

Derivando ahora la primera (a) y reemplazando en la segunda (b), resulta

21 1w w

que es armónica, de solución

1 sinw w t

y, derivando la ultima y usando (b)

2 cosw w t

Las últimas dos significan que el vector w, rota alrededor del eje e3 con una velocidad

angular (llamada de precesión) Ω, de magnitud relativa a w3 igual a la diferencia

relativa entre los dos momentos principales (ver expresión c) I3 e I1. Casos extremos son

la esfera, con todos los I's iguales, para la que no hay precesión; y nuestro rígido

elemental, con I3=0, de modo que la precesión es igual a w3.

Mecánica en un referencial rotante Nos preguntamos cómo describe la dinámica de un punto material un observador

que está en una calesita (nosotros sobre la tierra) que gira con velocidad angular Ω. La

descripción desde un referencial inercial, es la de Newton

i

m mr F ia

que en nuestro cuidadoso lenguaje cuando tratamos con referenciales que rotan (que

aceleran en general) debe leerse: el producto masa por aceleración vista desde un

referencial inercial es igual a la fuerza actuante sobre el cuerpo. Usemos ahora las

transformaciones de Euler para vincular las derivadas temporales entre ambos

referenciales, el inercial y el rotante, que suponemos comparten el origen. Derivamos

primero el vector posición para obtener la relación entre las velocidades en ambos

referenciales.



i r

d dx

dt dt

i

r rv Ω r

o

x i rv v Ω r

donde vr es dr/dt)r , la velocidad de la partícula observada en el referencial rotante.

Ahora la aceleración,

i r

dd

dt dt

rii r

v Ω rva Ω v Ω r

que, suponiendo Ω constante, es

i r r ra a Ω v Ω v Ω Ω r

o, reacomodando, multiplicando por la masa, y usando Newton resulta

2 m F m m r ra Ω v Ω Ω r

que dice que el observador en el referencial rotante ve al cuerpo moviéndose con una

aceleración que se corresponde, si quisiera usar la fórmula de Newton olvidándose de la

inercialidad de su referencial, con una "fuerza" igual a la fuerza real F, de interacción,

modificada por dos términos, que en este esquema llamamos fuerzas de origen inercial,

o fuerzas ficticias, que son la fuerza de Coriolis el primero,

2 m *cor rF Ω v

y la fuerza centrífuga el 2do.

m *cF Ω Ω r

Péndulo de Foucault

El péndulo de Foucault consiste en una masa grande (para que la inercia haga

durar el movimiento pese a los rozamientos presentes) pendiendo de una cuerda larga

(para que en pequeños ángulos de oscilación pueda considerarse el movimiento en el

plano (x,y) y prescindir de la dirección z.

Las ecuaciones para las componentes en el "plano" terrestre (tangente a la

superficie terrestre) son aprox



0mx kx y 0my ky

con solución armónica que escribiremos en el plano complejo

cosx iy X iY wt , 2 kw

m

La fuerza de Coriolis, para predecir lo que veremos desde nuestro referencial (rotante),

F = -2m.Ω x v, tiene componentes

2Cx zF m y y 2Cy zF m x

que agregadas a las ecuaciones de movimiento resultan en 2 0zmx m y kx

y

2 0zmy m x ky

Multiplicamos la segunda por i y sumamos para obtener

2 0zm x iy m ix y k x iy

que tras el cambio de variable u=x+iy, se escribe 2 0zmu m iu ku

Proponemos para u una solución

istu Ae que reemplazada en la ecuación, resulta

1

2 2 2z z zs w w

donde la aproximación considera que la frecuencia de oscilación del péndulo w, es

mucho mayor que la de rotación terrestre Ω. Es decir, que la solución general es

1 2( ) zi t iwt iwtu t e Ae A e



Como para Ω=0 esto debe reproducir la solución sin rotación (A1 = A2 = 1/2 (X+iY))

siendo X e Y las amplitudes de la oscilación en cada dirección, la solución anterior se

lee

( ) ( ) coszi tx t iy t e X iY wt

es decir la solución sin rotar que vista desde el referencial rotante rota con velocidad

angular -Ωz.

La formulación Lagrangiana de la dinámica de la rotación Energía cinética Calculemos la energía cinética de un cuerpo en rotación. Por definición

2 .2 2i i

ii i

m mT i iv V w a V w a

2 . .2 2i i

ii i i

m mV m r

i i iV v w a w a

donde notamos ai la posición de la partícula i respecto de un punto del cuerpo R, que se

mueve con velocidad V. La velocidad de la partícula respecto del punto R es vri = w x

ai . El término del medio en la sumatoria se anula si R es el centro de masas del cuerpo.

Con esa elección, entonces, la energía cinética puede descomponerse en energía cinética

de traslación (1er término) y energía cinética de rotación (3er término). Ocupémonos

del término de rotación. Hacemos uso de la identidad vectorial relativa al producto

mixto A.BxC = B.CxA, para escribirlo en forma

1. . .

2 2 2i i

rot ii i i

m mT x x x x m r r

i i i i i iw a w a w a v w a v

1 1 1. . .

2 2 2i

i i

x m ri i iw a v w l w L

donde L es, entonces el momento angular del cuerpo respecto de su centro de masas, o

momento intrínseco. Equivalentemente,

1

.2

rotT w Iw

es decir, en las componentes de w,



1. ... . ...

2rot x xx x xy y xz z y yx x zT w I w I w I w w I w w

En ejes principales la expresión se simplifica a

2 2 21 1 2 2 3 3

1

2rotT I w I w I w

El resultado completo es

2 2 2 21 1 2 2 3 3

1 1

2 2trasl rot CMT T T MV I w I w I w

insistiendo una vez más en que V es Vcm y los I son los momentos respecto de los ejes

principales que pasan por el centro de masas.

Energía potencial

Por definición dV = -F.dr , si las fuerzas son conservativas. Descomponemos dr

para escribir, para un cuerpo en rotación

i i i

dV

i i i i iF . dR dφ a F .dR dφ. a F

donde se aplicó al segundo término la identidad vectorial relativa al producto mixto.

Ejecutando ahora las sumatorias, se obtiene

dV F . dR M . dφ

es decir, una contribución debida a la traslación más otra debida a la rotación del

cuerpo.

Las ecuaciones de Lagrange De la última expresión para la energía potencial, se derivan

i

i

VF

R

y i

i

VM

donde los i son acá x, y ,z. A la vez, de las expresiones obtenidas para la energía

cinética, es fácil ver que



i

i

TP

V

y i

i

TL

w

de modo que reemplazandoVi por iR , y wi por iφ , y considerando el Lagrangiano de

las seis coordenadas y sus velocidades

, , ,i i i iR R T V L ,

las ecuaciones de la dinámica de traslación y rotación,

i iP F y i iL M ,

admiten la forma sintética

0i i

d

dt R R

L L

para los 3 Ri

y

0i i

d

dt

L L para los 3 φi

es decir,

0i i

d

dt q q

L L i=1 a 6

las ecuaciones de Lagrange para las 6 coordenadas generalizadas que describen al

cuerpo rígido.

Ejemplo. El péndulo físico. Consideremos un cuerpo con un punto fijo a un eje horizontal que tendrá la

dirección φ del ángulo de rotación, a una distancia R del centro de masas.

Su Lagrangiano se escribe

,i i tr rotT T V L

La energía potencial se escribe V= Mgz, donde z es la altura del centro de masas, luego

si medimos φ a partir de la posición de equilibrio, será



1

2 22 1cos 1 sin 1

2z R R R

para pequeños ángulos. Descartando las constantes aditivas en el potencial,

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3

1 1 1

2 2 2M R I I I Mg R L

escribiendo las componentes de φ en función de los ángulos αi que forman el eje de

rotación, o φ con los ejes principales del cuerpo, resulta

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3

1 1cos cos cos

2 2MR I I I Mg R

L

Es decir, el Lagrangiano queda en función del módulo del ángulo φ y de su velocidad

φ . Reconociendo en el corchete el momento de inercia del cuerpo I respecto al eje --

ahí están los distintos momentos "proyectados", y el término de Steiner sumados--,

resulta

2 21 1

2 2I Mg R L

que corresponde a una oscilación armónica de frecuencia angular

12MgR

I

que se reduce a ω= (g/R)

1/2 correspondiente al péndulo ideal, cuando los I1, I2, I3 sean 0,

es decir I =MR2, que representa el caso del punto material. Dicho caso conduce a la

frecuencia máxima puesto que cualquier otro da un momento de inercia mayor, de modo

que un péndulo real siempre oscila con frecuencia inferior al péndulo ideal que tiene

toda la masa concentrada en el centro de masa.

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