RAVNOMJERNA KVANTIZACIJA

Za procjenu greke kvantizacije koristi se snaga uma kvantizacije koja predstavlja srednju kvadratnu vrijednost greke kvantizacije.

0 1 2 3

4 5 6 7

0

1

2

3

5

4

6

7

U1

2

1

2U

1

2Uq

1

2Uq

u

uu

u

uu

q

0

u N1

2

21

a)

b)

a) Karakteristika kvantizatora ; b) karakteristika greke kvantizacije

Karakteristika ravnomjerne kvantizacije je stepenasta funkcija, pri emu su na apcisi nanesene vrijednosti odbiraka u, signala u(t), a na ordinati vrijednosti kvantiziranih odbiraka uq. Ako sa q oznaimo broj kvantizacionih nivoa, onda:

Na prethodnoj slici prikazana je karakteristika greke kvantizacije uN u zavisnosti od amplituda odbiraka signala u(t). Uoava se da e greka biti utoliko manja ukoliko je korak kvantizacije u manji.

uqUuqU

q

1

Svaki odbirak amplitude u iz kvantizacionog intervala (ui,ui+1), poslije kvantizacije ima ampltudu uqi

Neka je amplituda u odbirka signala u(t) takva da se nalazi u intervalu

ui u ui+1

Amplitude svih odbiraka koje se nau u ovom intervalu, poslije

kvantizacije iznosie uqi. Prema tome, greka koja se ini u ovom

intervalu, bie:

uNi = u uqi

Neka je p(u)du vjerovatnoa da se amplituda odbirka signala u(t) koji

kvantiziramo nalazi u intervalu od u do u + du. Sa p(u) je oznaena

funkcija gustine vjerovatnoe odbiraka signala u(t).

Prema tome, srednja kvadratna vrijednost greke u posmatranom

intervalu (ui , ui+1) bie:

Sa slike se vidi da je:

duupuuu ii

u

uqiNi

22 1

12

1 iiqi uuu

Drugim rijeima, uqi dijeli interval ui+1 ui = ui na dva jednaka dijela, pa

je:

Pretpostavimo da je interval ui, odnosno korak kvantizacije mali tako

da se moe smatrati da se funkcija gustine vjerovatnoe u ovom

intervalu ne mijenja i da iznosi:

za ui u ui+1

Ovo omoguava da p(u) izvuemo ispred znaka integrala, pa dobijamo:

iqii

iqii

uuu

uuu

2

1

2

1

1

qiii upuu

pup

2

1

32

1

2

1

22

12

1iqi

uu

uu

qiqiNi uupduuuupu

iqi

iqi

Ukupna srednja kvadratna greka bie jednaka sumi srednjih

kvadratnih greaka iz svih intervala. Njih ima koliko i koraka

kvantizacije, to jest q.

Poto posmatramo ravnomjernu kvantizaciju, korak kvantizacije je

konstantan tj. ui = u = const

Stoga prethodni izraz moemo napisati u obliku:

Veliina p(uqi) u = p(uqi) (ui+1 ui) predstavlja vjerovatnou da se

amplituda odbirka u nalazi izmeu ui i ui+1, dakle u i tom intervalu.

Suma ovakvih vjerovatnoa za sve q intervale mora da bude jednaka 1,

jer se sve amplitude nalaze u dijapazonu obuhvaenom sa q intervala.

2

Niu

2

Nu

31

0

1

0

22

12

1i

q

i

qi

q

i

NiN uupuu

uupuuq

i

qiN

1

0

22

12

1

Zato je:

pa je:

Dakle, u sluaju ravnomjerne kvantizacije, srednja kvadratna vrijednost

greke zavisi samo od koraka kvantizacije u. Ovakva greka ne moe

da se izbjegne. Ona se manifestuje kao um i njena srednja kvadratna

vrijednost

se naziva snagom uma kvantizacije.

Za ocjenu kvaliteta samog postupka kvantizacije slui odnos srednje snage kvantiziranog signala i snage uma kvantizacije, i on se jednostavno naziva odnosom signal/um kvantizacije.

11

0

uupq

i

qi

,12

1 22 uuN constu

2212

1uuP NNq

Pretpostavimo da je u(t) signal iji su odbirci takvi da se amplituda bilo

kojeg od njih nalazi u intervalu

Neka je uq(t) kvantizirani signal iji odbirci uq mogu imati amplitude:

Pretpostavimo jo da je u(t) takav signal da su amplitude u svih njegovih

odbiraka jednako vjerovatne. To znai da je funkcija gustine

vjerovatnoe p(u) = p0 = const, pa je srednja snaga signala u(t):

.2

1

2

1UuU

uq

uuu

2

1,...

2

5,

2

3,

2

1

302

1

2

1

2

0

2

1

2

1

2

12

1UpduupduupuP

U

U

U

U

s

Kako je:

izraz za srednju snagu signala Ps glasi:

Izraunajmo sada srednju snagu Pq kvantiziranog signala uq(t). Ona je

jednaka srednjoj kvadratnoj vrijednosti amplituda kvantiziranih odbiraka.

S obzirom da su sve amplitude odbiraka jednako vjerovatne vai:

Uporeujui dva poslednja izraza dobija se:

12

1

2

100

UUpUp

22212

1

12

1uqUPs

2

2222

2

12

11...531

42

1u

qq

u

qPq

Nqqs Puuq

uqPP

22

222

12

1

12

1

12

1

Traeni odnos srednje snage kvantiziranog signala i uma kvantizacije koji postoji na izlazu iz predajnika bie jednak:

Poto je uvijek q2 >> 1, to se moe napisati:

Iz ovog izraza se vidi da to je q vee, to je i vei odnos/signal um

kvantizacije. Obino se ovaj odnos izraava u decibelima:

Eksperimentalno je utvreno da je 16, pa ak i 8 kvantizacioniih nivoa dovoljno za dobru razumljivost prenesenog govora. Meutim, pri ovakvom broju nivoa um je veoma izrazit. Za kvalitet koji se smatra besprekornim koristi se 128 kvantizacionih nivoa.

12 qP

PA

Nq

q

Nq

2qANq

qqAaNqNq

log201log10log10 2

NERAVNOMJERNA KVANTIZACIJA. KOMPRESIJA

Pokazali smo da srednja snaga uma ravnomjerne kvantizacije zavisi samo od koraka kvantizacije u, a ne od amplitude signala. Prema tome, ako bi se za jedan dati signal koristila ravnomjerna kvantizacija, jasno je da bi odnos signal/um kvantizacije bio veliki za vee amplitude, a mali za male.

Ako u statistici signala preovlauju signali malih amplituda, ravnomjerna kvantizacija ne predstavlja optimalno rjeenje. Zadravajui isti broj koraka kvantizacije q, bolje je uzeti male korake za signale malih amplituda, a vee za signale veih amplituda, jer e na taj nain, odnos signal/um kvantizacije biti znatno poboljan za male signale, a neznatno pogoran za velike.

U principu je mogue da se napravi sklop koji bi direktno obavljao neravnomjernu kvantizaciju odbiraka primarnog signala, pri emu bi zakon promjene irine koraka kvantizacije bio diktiran odreenom statistikom signala. Meutim, postoji i jedno bolje i jednostavnije rjeenje.

Najprije se odbirci primarnog signala propuste kroz jedan nelinearan sklop koji se naziva kompresorom. Njegova karakteristika izlaz - ulaz" prikazana je na sledeoj slici funkcijom u=F(x).

Karakteristika kompresora u = F(x)

Pri tome x predstavlja amplitudu odbiraka signala, na ulazu u kompresor, a u amplitudu odbiraka na njegovom izlazu. Lako je uoiti funkciju kompresora. On odbirke malog intenziteta znatno vie pojaava od obiraka velikog inteziteta. Na taj nain, dijapazon izmeu malih i velikih amplituda koji postoji na ulazu u kompresor, na izlazu biva komprimovan. Ovakav sklop mora da dejstvuje trenutno, pa se stoga naziva trenutnim kompresorom, za razliku od nekih drugih koji to nisu.

Ako se sada, na odbirke koji su dobijeni na izlazu iz kompresora, primijeni postupak ravnomjerne kvantizacije, jasno je da e se postii onaj osnovni cilj: odbirci malog intenziteta bie finije kvantizirani od onih velikog intenziteta. Naravno, karakteristika kompresora u = F(x) zavisi od statistike signala.

Potrebno je obaviti operaciju inverznu kompresiji, da bi se dobili originalni odbirci. To se obavlja sklopom koji se naziva trenutnim ekspandorom. Ako je karakteristika izlaz - ulaz onakva kakva je prikazana na prethodnoj slici, onda ekspandor mora da ima istu takvu karakteristiku, s tim to ona predstavlja zavisnost ulaza od izlaza, a ne izlaza od ulaza.

Karakteristike kompresora i ekspandora

Sa slike se vidi da e odbirci velikog intenziteta biti znatno manje

oslabljeni od onih malog intenziteta koji e pretrpjeti vee

slabljenje.

Karakteristike kompresora i ekspandora moraju biti

komplementarne u tom smislu da, ako se veu u tandem

kompresor - ekspandor, ulaznom signalu x u kompresor mora da

odgovara izlazni signal y iz ekspandora takav da je y = x. To je

uslov da ovaj tandem, poznat pod nazivom kompandor, ne

unosi izoblienje.

Proces neravnomjerne kvantizacije ostvarene upotrebom kompresora i ravnomjerne kvantizacije

U donjem dijelu prethodne slike nacrtana je karakteristika kompresora u = F(x), gdje x predstavlja amplitude odbiraka ulaznog signala, a u amplitude odbiraka na izlazu iz kompresora. Karakteristika kvantizacije je predstavljena stepenastom krivom i svi koraci kvantizacije na njoj su meusobno jednaki.

Posmatramo i ti interval kvantizacije. Amplitude odbiraka primarnog signala x koje su takve da je xi x xi+1, poslije kompresije postaju ravne u i nalaze se u intervalu ui u ui+1.. Sve amplitude iz ovoga intervala poslije kvantizacije postaju jednake uqi. Odbirak takve amplitude uqi koji doe na ulaz ekspandora, na njegovom izlazu ima amplitudu yi. Dakle, svi odbirci ije su amplitude x, gdje je xi x xi+1, reprodukovae se na prijemu kao jedan te isti odbirak amplitude yi.

Prema tome, srednja kvadratna greka u ovom intervalu bie:

U ovom izrazu p(x) predstavlja funkciju gustine vjerovatnoe koja karakterie raspodjelu amplituda odbiraka x primarnog signala x(t).

1

22i

i

x

Ni i

x

u x y p x dx

Pretpostavimo da je

Ovakva pretpostavka bie utoliko ispravnija ukoliko je interval (xi+1 - xi)

manji. Neka je irina tog intervala xi

xi+1 xi = xi

Uz uinjenu pretpostavku vaie da je:

Poto je xi malo, moi emo smatrati da se funkcija gustine

vjerovatnoe u ovom intervalu ne mijenja i da iznosi:

za xi x xi+1

iiii xxxy 12

1

iii

iii

xxx

xxx

2

1

2

1

1

ixpxp

Sada se moe pisati da je:

Karakteristika kompresora data je izrazom u = F(x). Diferenciranjem ovog

izraza dobija se: du = F(x)dx

Ako je irina koraka kvantizacije dovoljno mala moe se napisati da je:

Drugim rijeima, funkcija u = F(x), u intervalu (xi+1 - xi)

aproksimira se njenom tangentom u taki

Prema tome, imamo da je:

1

1

2 22 32

1

2

1

12

i ii

ii i

x xx

i iNi i i i

xx x

u x y p x dx p x x x dx x p x

iii xxFuxxFu

.ixx

ii

ixF

ux

Ali, kako su koraci kvantizacije ui konstantni i jednaki

to je

Tako da se dobija:

Ukupna srednja kvadratna greka iz svih intervala kojih ima q, i koji su

numerisani od 0 do q 1, bie:

constq

Uuui

qU

xFx

i

i

1

ii

iiiiiiNi x

xF

xp

q

Uxxpxxpxu

22

2232

12

1

12

1

12

1

1

22

21

0

22

12

1 q

oi

i

i

i

q

i

NiN xxF

xp

q

Uuu

Poto smo pretpostavili da su intevali xi mali, moe se prei sa sume na integral, tako da je:

Kompresor e se napraviti tako da je

pri emu je:

Stoga prethodni integral moe da se napie u obliku:

Ovaj izraz predstavlja opti izraz za srednju kvadratnu greku kvantizacije za neku datu karakteristiku kompresije u = F(x).

2

2

22

22

12

1

X

X

N dxxF

xp

q

Uu

UuXx2

1,

2

1

UX2

1

2

1

2

2

22

22

12

1

U

U

N dxxF

xp

q

Uu

IMPULSNA MODULACIJA

Impulsna modulacija pripada grupi modulacija kod kojih je modulisani signal diskretan. U procesu prenosa impulsno modulisanih signala uoavaju se dva razliita stanja: u jednom, signal postoji, dok ga u drugom nema. Svako od ovih stanja traje neko konano vrijeme. Aktivni i pasivni intervali se smjenjuju naizmjenino jedan za drugim u toku vremena.

Primjena impulsne modulacije zasniva se na teoremi o odabiranju koja kae da se svaki signal, iji je spektar ogranien uestanou fm, moe jednoznano opisati odbircima. Interval izmeu dva susjedna odbirka definie u vremenu periodu odabiranja T koja mora imati vrijednost:

Na osnovu ovako uzetih odbiraka uvijek je mogue rekonstruisati

originalan signal, proputanjem odbiraka kroz niskofrekventni filtar granine uestanosti fm.

.2

1

mfT

Ulogu nosioca u procesu impulsne modulacije, gotovo po pravilu, ima periodina povorka pravogaonih impulsa Uo(t). Tri parametra karakteriu ovu funkciju:

amplituda impulsa Uo, trajanje impulsa i perioda ponavljanja T.

Svaka od ovih veliina se moe uiniti zavisnom od moduliueg signala, na emu se i zasnivaju postupci impulsne modulacije. Tako, ako se amplituda impulsa Uo mijenja direktno proporcionalno

odbircima moduliueg signala um(t) dok ostali parametri povorke ostaju konstantni, radi se impulsno amplitudskoj modulaciji (IAM).

Mijenja li se samo trajanje impulsa tako da je ono direktno srazmjerno odgovarajuim odbircima moduliueg signala, dobie se impulsna modulacija po trajanju (ITM) ili impulsno irinska modulacija.

Ako se mijenja samo trei preostali parametar (period ponavljanja T) direktno srazmjerno odbircima moduliueg signala, to u sutini znai da se poloaj impulsa mijenja u odnosu na njegov referentni poloaj u odsustvu moduliueg signala, dobija se impulsno poloajna modulacija (IPM).

00

0

0

0

T

T

T

T

U

U

U0

0

0

t

t

t

t

t

u (t)

u (t)

u (t)

u (t)

u (t)

m

0

a)

b)

c)

d)

e)

IAM

ITM

IPM

Glavnu primjenu impulsna modulacija ima u izgradnji sistema multipleksa, odnosno sistema za viestruki pristup. U tome ona ima odreene prednosti nad ostalim vrstama modulacije. Ovakvi sistemi se nazivaju multipleksom sa vremenskom raspodjelom kanala (VRK) ili vremenskim multipleksom.

U svakoj periodi odabiranja u njenom aktivnom dijelu postoji po jedan impuls, dok preostali, pasivni dio ostaje neiskorien. Kako je trajanje ovog dijela znatno due od trajanja aktivnog intervala, on moe da se iskoristi za postavljanje niza novih odbiraka od kojih svaki pripada drugom izvoru. Razmatra se vie razliitih i nezavisnih izvora signala. Jedan takav sistem multipleksa sa VRK prikazan je svojom principskom emom na slici.

uT(t) uR(t)

Neka se postupkom impulsne amplitudske modulacije prenose etiri nezavisna signala. U svakom kanalu na ulazu postoji po jedan filtar propusnik niskih uestanosti. Na taj nain svaki od signala umi(t) ima spektar ogranien uestanou fm. Sa TO ematski je prikazan predajni odabira. Njegov kliza se obre konstantnom ugaonom brzinom. Na taj nain na izlaz predajnika u sukcesivnim vremenskim intervalima dolaze odbirci pojedinih signala umi(t) . Saglasno ovom, signal na ulazu u predajnik izgledae kao na slici:

T T

K

K

K

K

KK

KK

3

2

1

4

1

2

34

t

(1)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(2)

uT(t)

U toku jedne periode odabiranja, T = 1/2fm, kliza napravi jedan obrt i od svakog signala uzme po jedan odbirak. Dobijeni multipleksni signal prenosi se linijom veze i prima u prijemniku. Na ulazu prijemnika nalazi se prijemni odabira RO, iji kliza mora da se okree sinhrono sa klizaem predajnog odabiraa TO. Na taj nain, on u toku jedne periode odabiranja, sukcesivno, u odgovarajuim trenucima, ukljuuje svaki od kanalnih filtara na izlazu prijemnika R. Na taj nain se svaki od ulaza izlaznih filtara pobuuje odbircima koji pripadaju tom kanalu (odbirci odgovarajueg signala umi(t)). Na izlazu filtra ovi odbirci daju originalan signal.

Osnovna ideja u izgradnji sistema multipleksa sa vremenskom raspodjelom kanala je da se cio sistem prenosa u odreenim vremenskim intervalima stavlja na raspolaganje samo jednom kanalu. Znai, nije mogue, bar u principu, da signali iz dva ili vie kanala budu istovremeno prisutni u sistemu za prenos. Iz ovoga proistiu odreene prednosti sistema sa vremenskom raspodjelom kanala u odnosu na sisteme sa frekvencijskom raspodjelom kanala (FRK).

Dobra strana ovakvog sistema je to pitanje linearnosti karakteristike ulaz-izlaz za pojedine sklopove nije ni izdaleka tako kritino kao u sistemu sa FRK. U sistemima sa FRK istovremeno prisutni razliiti signali uslijed nelinearnosti sklopova prouzrokuju presluavanje nastalo intermodulacijom. Ovo u sistemima sa VRK nije mogue.

Sva kola i sklopovi u sistemima sa VRK su jednostavniji. Nema velikog broja razliith kvalitetnh filtara, modulatora, generatora nosilaca i drugih sklopova. Isto tako degradacija kvaliteta izazvana umom znatno je manja za odreene vrste sistema sa impulsnom modulacijom nego to je to u sistemima sa FRK.

Najvei nedostatak predstavlja potreba za relativno vrlo irokim propusnim opsegom uestanosti koji mora da ima sistem za prenos. Ukoliko se eli da multipleks sadri vei broj kanala, utoliko je manji interval vremena u jednoj periodi odabiranja T koji se stavlja na raspolaganje svakom od kanala, a to znai i iri propusni opseg. Takoe je potrebno da linearna amplitudska i fazna izoblienja u sistemima sa VRK budu mala. U protivnom, moe da doe do takve deformacije impulsa da oni budu pomjereni sa mjesta u intervalu odabiranja koje im pripada. Na taj nain nastaje presluavanje. Jo jedna specifinost sistema sa VRK je problem sinhronizacije. On se obino rjeava slanjem sinhronizacionih signala kojima se najee stavlja na raspolaganje jedan poseban kanal.

SPEKTAR IAM SIGNALA

Neka je u0(t) funkcija koja opisuje nosilac. Kako je to periodina povorka pravougaonih impulsa amplitude U0, trajanja i periode ponavljanja T = 1/2fm, gdje je fm maksimalna uestanost u spektru signala um(t), u0(t) e biti:

U ovom izrazu funkcija definisana je na sljedei nain: , za nT - /2 < t < nT+ /2 , za ostale vrijednosti

n

nTtsUtu 00

nTts

0

1nTts

Kako funkcija u0(t) predstavlja periodinu povorku pravougaonih impulsa moemo je predstaviti Fourierovim redom:

Mnoenjem moduliueg signala um(t) funkcijom u0(t) dobija se IAM signal:

Ako se izrauna Fourierova transformacija ovog izraza dobija se spektar IAM signala u obliku:

tjnnn

ooe

n

n

TUtn

n

n

TUtu

2

2sin

cos

2

2sin

210

0

0

1 0

0

00

1

00

0

0 cos

2

2sin

21n

mAomA tnn

n

tuT

Uktutuktu

Prvi lan u izrazu predstavlja spektar proporcionalan spektru moduliueg signala. Svaki od lanova pod znakom sume predstavlja spektar AM-2BO signala koji bi se dobio kad bi se moduliuim signalom um(t) amplitudski modulisao nosilac U0cos n0t. Pri tome, spektralne gustine amplituda svakog AM-2BO signala u okolini uestanosti n0 su redukovane za faktor

001 0

0

00

2

2sin

njUnjUn

n

UT

kjUUT

kjU mmn

AmA

2

2sin

0

0

n

n

00

U

U

11

11 1 1 1

22

2 2 2 2

00

00 000

00

(j )

(j )

a)

b)

0

1

a) Spektralna gustina amplituda moduliueg signala ; b) Spektralna gustina amplituda IAM signala

Dobijeni rezultat iz ove analize spektra neposredno ukazuje na nain na koji je mogue demodulisati IAM signal. Vidi se da se na izlazu idealnog filtra propusnika niskih uestanosti dobija moduliui signal um(t) pod uslovom da se na ulaz filtra dovede IAM signal. Ovo se moe ostvariti pod uslovom da ne doe do preklapanja gornjeg bonog opsega moduliueg signala i donjeg bonog opsega AM-2BO signala na uestanosti 0 . Dakle, mora biti zadovoljen uslov:

odnosno . . Ovo, drugim rijeima znai da perioda odabiranja

mora biti ,

gdje je maksimalna uestanost u spektru moduliueg signala.

202

20 2

0

2

T T

1

2 f2

2f

IMPULSNA MODULACIJA PO TRAJANJU (ITM)

U postupku ITM trajanje impulsa nosioca postaje direktno proporcionalno moduliuem signalu um(t).

t t t

t

t

t

1 2

a) Nemodulisani nosilac ; b) ITM sa promjenom prednje ivice ; c) ITM sa promjenom zadnje ivice ; d) ITM sa promjenom prednje i zadnje ivice impulsa

Promjena duine trajanja impulsa moe da se ostvari na tri naina. Na prethodnoj slici pod a) je prikazan nemodulisani nosilac. Mogue je mijenjati duinu trajanja impulsa u zavisnosti od moduliueg signala,

bilo pomjeranjem samo prednje ivice impulsa (t1),

bilo pomjeranjem samo zadnje ivice impulsa (t2) ili

simetrinim pomjeranjem i prednje i zadnje ivice u odnosu na sredinu impulsa nemodulisanog nosioca.

Impulsna modulacija po trajanju manje je osjetljiva na pojavu uma u odnosu na IAM. Sem toga, ova modulacija se relativno lako ostvaruje i istovremeno iz nje moe da se dobije odreenim postupkom impulsna poloajna, pa i frekvencijska modulacija.

PRINCIP REALIZACIJE ITM

U ovom postupku koristi se jedan jednostavan elektronski sklop koji ima osobinu da na svom izlazu generie pravougaoni impuls koji traje za sve vrijeme dok je pobudni napon vei od neke odreene vrijednosti. Ako se na ulaz ovakvog sklopa dovede napon testerastog oblika uT(t) kao to je prikazano na prethodnoj slici i ako je za pobudu potrebno da ulazni napon bude vei od Uc, onda e se u svakom intervalu vremena u kojem je uT(t) > Uc generisati na izlazu po jedan pravougaoni impuls. Na taj nain se od testerastog napona dobija povorka pravougaonih impulsa.

Ako se izvori testerastog i moduliueg napona veu na red, onda e pobudni napon sklopa biti dat njihovom sumom uT(t) + um(t). Na izlazu sklopa dobie se impulsi modulisani po trajanju kod kojih se pomjera prednja ivica, a zadnja ostaje u fiksnom poloaju. Vrijeme trajanja impulsa definisano je relacijom uT(t) + um(t) > Uc.

Za promjenu poloaja zadnje, odnosno i prednje i zadnje, ivice na ulaz komparatora je potrebno dovesti napone oblika kao na sledeoj slici:

t

a)

b)t

U (t)

U (t)

T

T

SPEKTAR ITM SIGNALA Na slici je nacrtan nemodulisani nosilac. Trajanje svakog impulsa iznosi = t2 t1, perioda ponavljanja T = 2/0, a amlituda U0.

Funkcija u 0(t) koja predstavlja ovu povorku definisana je na sledei nain: , za , izvan ovih intervala

tt t t +T t +Tt + t

0

U (t)

T=

2

0

1 2

1 2 21

U0

0

0

0

0

Utu

,...3,2,1,0;21 ppTttpTt

Funkcija u 0(t) se moe predstaviti u obliku Fourierovog reda:

odnosno:

Ako iskoristimo trigonometrijsku transformaciju:

izraz za u 0(t) e glasiti:

2cos

2

2sin

2 2101 12

12

120

1200

tttn

ttn

ttn

T

ttU

T

ttUtu

no

o

]2

cos2

sin1

2[ 2101

121200

tttn

ttn

nT

ttUtu

n

o

sinsincossin2

2010

1

1200 sinsin

1ttnttn

nT

ttUtu

n

Da bi dobili izraz za impulsno modulisan signal po trajanju kome se mijenja

poloaj samo prednje ivice, potrebno je u prethodnom izrazu ostaviti da t2

bude konstantno, a umjesto t1 staviti t1-kTum(t). Poslije izvrene modulacije

e biti t2 - t1 = t2 - t1 + kT u m(t), pa moemo napisati analitiki izraz za ITM

signal:

Na osnovu ovog izraza moemo izvriti analizu spektra ITM signala.

1

20100 sinsin1

n

mTmT ttntukttn

nT

tuk

TUtu

Prvi lan, , predstavlja konstantu kojoj u spektru odgovara komponenta na

uestanosti =0.

Drugi lan, , direktno je srazmjeran moduliuem signalu.

Trei lan izraza predstavlja beskonanu sumu fazno modulisanih signala iji n-ti

lan ima oblik:

pri emu je M maksimalna devijacija faze n-tog lana : etvrti lan je proporcionalan nemodulisanom nosiocu.

tukttnn

UmT 10

0 sin

mTmTn Ukntukn 0max00

TU

0

tuT

kU m

T0