Kostadin Trenccedilevski Aneta Gatsovska

Naditsa İvanovska

İKTİSATCcedilILAR İCcedilİNMATEMATİK

DOumlRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİTSINIF III

İKTİSAT - HUKUK VE TİCARET MESLEĞİ TİCARET VE PAZARLAMA TEKNİSYENİ

DenetleyenlerDr Bilyana Kırsteska KMUuml DMF oumlğretim uumlyesi Uumlskuumlp - başkanLidiya Kuzmanovska UumlBOO ldquoLazar Tanevrdquo profesoumlr Uumlskuumlp uumlye ve Lyubitsa Dimitrova UumlBOO ldquoGyoşo Vikentievrdquo profesoumlr Koccedilana uumlye

Duumlzelti Dr Aktan Ago

Yayıncı Makedonya Cumhuriyeti Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Basımevi Grafi ccedilki Centar Ltd Uumlskuumlp

Tiraz 80

Bu kitap Makedonya Eğitim ve Bilim Bakanrsquoın no 22-43861 ve 29072010 tarihli kararnamesiyle kullanılmaya muumlsaade edilmiştir

CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека ldquoСвКлимент Охридскиrdquo Скопје512 1 (0753)51 - 77 (0753)ТРЕНЧЕВСКИ КостадинМатематика за економисти за lll година на четиригодишното стручно образование економско-правна и трговска струка техничар за трговија и маркетинг Костадин Тренчевски Анета Гацовска Надица Ивановска - Скопје Министерство за образование и наука на Република Македонија 2011 - 288 стр граф прикази 29 смISBN 978-608-226-177-51 Гацовска Анета [автор] 2 Ивановска Надица [автор] COBISSMK-ID 86465034

Ouml n s ouml z

İKTİSATCcedilILAR İCcedilİN MATEMATİK kitabı doumlrt yıllık mesleki eğitimin uumlccediluumlncuuml sınıfına ait matematik dersinin plan ve programı uumlzere hazırlanmıştır İktisat hukuku ve ticaret dersi plan ve programına goumlre iktisat ve pazarlama teknisyeni ndash eğitim profili oumlğrencileri iccedilin oumlngoumlruumllmuumlştuumlr Amaccedil okuyucuyu bir yandan iktisatta gerekli bazı matematiksel youmlntemlerle tanıştırmak oumlte yandan da matematiksel duumlşuumlnmeye alıştırarak doğrudan matematik kitaplarından yararlanabilir duruma gelmesine yardım etmektir Kitap dokuz boumlluumlmden ibarettir Ele alınan konuları daha iyi ve kolay benimsemek iccedilin her boumlluumlm sonunda ccedileşitli duumlzeylerde ccediloumlzuumllmuumlş oumlrnekler alıştırmalar ve ccedilizimler verilmiştir Her ders biriminin sonunda ders esnasında ya da evde oumlğrencilerin kendi başına ccedilalışmaları iccedilin alıştırmalar verilmiştir Kitabın sonunda alıştırmaların ccediloumlzuumlmleri bazılarının ise ccediloumlzuumlmuuml iccedilin tavsiyeler verilmiştir

Birinci boumlluumlm ldquoBasit faiz hesabırdquo başlığı altında verilmiştir Burada amaccedil oumlğrenci basit faiz hesabını oumlğrenmeyi ve aynısını pratikte uygulanmayı vadeli hesap iskonto hesabı ve yatırım hesabını benimsemek aynı zamanda kredi hesabı ve bireysel işlem hesabı kavramlarını oumlğrenmektir

İkinci boumlluumlm ldquoKıymetli metaller paralar ve doumlvizlerrdquo başlığı altında verilmiştir Bu konunun iccedileriğini oumlğrenmekle kıymetli metaller hakkında bilgilerin genişletilmesini onların arılık derecesinin nasıl hesaplandığını ve hesaplama tekniklerini oumlğrenmeye olanak sağlamaktadır Bundan başka para ve doumlvizler hakkında geniş bilgiler verilmiş oumlzellikle doumlvizlerin satın ve alımı vurgulanmıştır

Uumlccediluumlncuuml boumlluumlm ldquoUumlsluuml ve logaritmalı denklemlerrdquo başlığı altında verilmiştir Burada reel uumlsluuml kuvvet ve logaritma kavramı incelenmiştir Amaccedil bazı uumlsluuml ve logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuumlne ait tekniklerin oumlğrenilmesidir

ldquoDar accedilının trigonometrik fonksiyonlarırdquo konusu doumlrduumlncuuml boumlluumlmde verilmiştir Bu boumlluumlmdeki ders malzemesinin oumlğrenilmesiyle oumlğrenci trigonometri hakkında temel bilgiler edinecek yani sinuumls kosinuumls tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlarını tanımlayacak ve onların geometride ve pratikte nasıl uygulandığını oumlğrenecektir

Beşinci boumlluumlm ldquoDuumlzlemde doğrurdquo diye adlandırılmıştır Bu konuyu incelemekle oumlğrenciler duumlzlem analitik geometrisi hakkında temel bilgiler edinecekler Oumlzellikle iki nokta arasındaki uzaklık doğru parccedilasının verilen oranda boumlluumlnmesi ve formuumlllerinin uygulanması goumlsterilmiştir Bu boumlluumlmuumln sonunda iki doğru arasındaki accedilı ve bir noktadan verilen bir doğruya uzaklık kavramlarından oumldevlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğreneceksiniz

Altıncı boumlluumlmde ldquoDizilerrdquo konusu incelenmiştir Bu konudaki malzemeyi oumlğrenmekle reel sayılı diziler hakkında daha kapsamlı bilgiler edineceksiniz Burada oumlzellikle aritmetik ve geometrik dizilerine onların genel terimine ve ilk n terimlerinin toplamına ait formuumlllere daha fazla oumlnem verilmiştir

ldquoBileşik faiz hesabırdquo adında verilmiş olan boumlluumlm (ilerde bunu i i kısaltmasıyla işaretleyeceğiz) oumlğrencinin basit faiz hesabı hakkında bilgilerini yoklamasına ve bileşik faiz kavramını oumlğrenmesine olanak sağlamaktadır Doumlnem başı (antisipativ) ve doumlnem sonu (dekurziv) faizlenme kavramları incelenir ve bununla oumlğrenci faiz oranını faiz miktarını ve faiz suumlresinin nasıl hesaplandığını oumlğrenecektir

Sekizinci boumlluumlmde ldquoVadeli yatırımlar ve vadeli gelirlerrdquo kavramı incelenmiştir Amaccedil doumlnem başı ve doumlnem sonu yatırımları tanımak ve bu gibi yatırımların sonundaki değerlerini hesaplamaktır Bu boumlluumlmde kira kira yatırımı iskonto ve iskonto değeri kavramlarını da oumlğreneceksiniz Sonunda bileşik faiz yatırımlar ve kira ile ilgili daha bileşik problemler ccediloumlzebileceksiniz

Son olan dokuzuncu ldquoBorccedillarrdquo boumlluumlmuumlnde borccedil amortizasyon vadesi taksitler oumldeme gibi kavramlar incelenmiştir Eşit taksitli borccedillar eşit anuumliteli oumldemeler yuvarlak anuumliteli ve farklı tuumlrden borccedillar hakkında amortizasyon planları yapılmaktadır

Bu kitaptaki ders malzemesini gerccedilekleştirirken oumlğretmen oumlğrencilerinden kendi başlarına ccedilalışmalarını teşvik etmelidir

Bu kitabın kalitesinin iyileşmesi youmlnuumlnde denetleyenlerden aldığımız iyi maksatlı eleştiriler iccedilin de oumlzellikle minnettarımız

İlerde de kitabın iccedileriğinin zenginleşmesi youmlnuumlnde olumlu maksatlı her eleştiri iccedilin oumlnceden teşekkuumlrlerimizi sunarız Boumlylece bu kitap iktisat ndash hukuk boumlluumlmuumlnde oumlğrenim goumlren oumlğrencilere ilerdeki mesleklerinde yararlı olacak bilgileri oumlğrenmelerini sağlayacaktır

Mayıs 2010 Yazarlar

İ Ccedil İ N D E K İ L E R

1 BASİT FAİZ HESABI 5 11 Basit Faizin Hesaplanması 5 111 Temel Kavramlar 5 112 Basit Faizin Hesaplanmasında Buumlyuumlkluumlkler Arasındaki Temel Bağıntılar 6 12 Yuumlz Uumlstuumlnde Ve Yuumlz Altında Faiz Hesabı 10 13 Vadeli Hesap 13 131 Ortalama Vade İle Hesaplama 14 14 Borccedil Kalanının Vade Hesaplanması 19 15 İskonto Hesabı Ve İskonto Hesaplamalar Kavramı 22 151 Policcedilenin Oumlzellikleri 23 152 Policcedilenin İskontosu 26 16 Yatırım (Depozit) Hesapları 30 17 Kredi Banka ndash Hesabı 35 18 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 38 Konu Oumlzetleri 41

2 KIYMETLİ METALLER PARALAR VE DOumlVİZLER 45 21 Kıymetli Metallerin Arılığı 45 22 Arılık (Safl ık) Derecesinin Hesaplanması 46 23 Saf Ve Toplam Kuumltlenin Hesaplanması 48 24 Para Birimi Kavramı Ve Oumlnemi 50 25 Paraların Değerlerindeki Değişmelerin Hesaplanması 52 26 Doumlviz Kavramı 55 27 Doumlviz Kurunun Kavramı Ve Anlamı 58 28 Spot İşlemler 60 29 Spot Kurları Nasıl Ayarlanır 63 210 Kacircr Ve Zarar 65 211 Pozisyonda Tutunma 66 212 Konuyu Pekiştirme Alıştırmaları 68 Konu Oumlzetleri 70

3 UumlSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER 73 31 Reel Sayılı Uumlsluuml Kuvvet Kavramı 73 32 Uumlstel Denklemler 75 33 Logaritma Kavramı 77 34 Logaritmanın Oumlzellikleri 79

35 Farklı Tabanlı Logaritmalar Arasındaki Bağıntılar 82 36 Logaritmalı Denklemler 84 37 Konuyu Pekiştirme Oumldevleri 87 Konu Oumlzetleri 89

4 DAR ACcedilININ TRİGONOMETRİK ORANLARI 93 41 Dar Accedilının Trigonometrik Oranları 93 42 Bazı Accedilıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Değerlerinin Hesaplanması 96 43 Hesap Makinesi Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerlerinin Hesaplanması 99 44 Aynı Accedilının Trigonometrik Fonksiyonları Arasındaki Bağıntılar 101 45 Dik Uumlccedilgenin Ccediloumlzuumlmuuml 104 46 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 107 Konu Oumlzetleri 109

5 DUumlZLEMDE DOĞRU 111 51 Duumlzlemde Dik Accedilılı Koordinat Sistemi 111 52 İki Nokta Arasındaki Uzaklık 113 53 Doğru Parccedilasının Verilen Oranda Boumlluumlnmesi 115 54 Uumlccedilgenin Alanı 117 55 Doğru Denkleminin Accedilık Şekli 119 56 Doğru Denkleminin Genel Şekli 122 57 Doğrunun Eksen Parccedilalarına Goumlre Denklemi 124 58 Nokta Ve Doğru Arasındaki Durumlar 126 581 Bir Noktadan Geccedilen Doğru Demetinin Denklemi 126 582 İki Noktadan Geccedilen Doğrunun Denklemi 127 583 Noktadan Doğruya Uzaklık 128 59 İki Doğru Arasındaki Durumlar 130 591 İki Doğru Arasındaki Durumlar 130 592 İki Doğru Arasındaki Accedilı İki Doğrunun Dik Olma Şartı 131 510 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 134 Konu Oumlzetleri 135

6 DİZİLER 139 61 Dizi Kavramı 139 62 Artan Ve Eksilen Diziler 141 63 Aritmetik Diziler 143 64 Aritmetik Dizilerin Oumlzellikleri 146 65 Geometrik Diziler 148

66 Geometrik Dizilerin Oumlzellikleri 151 67 Konu Pekiştirme Oumldevleri 155 Konu Oumlzetleri 157

7 BİLEŞİK FAİZ HESABI 159 71 Bileşik Faiz Kavramı Ve Hesaplanması 159 72 Temel Değerin Gelecekteki Değerini Hesaplamak 164 73 Konform Faiz Hesabı 172 74 Yatırılan Paranın Başlangıccedil Değeri Ve Faiz Miktarının Hesaplanması 175 75 Faiz Doumlnem Sayısını Ve Faiz Oranının Hesaplanması 179 76 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 186 Konu Oumlzetleri 190

8 PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VEPERİYODİK KİRALAR 193

81 Periyodik Yatırımlar 193 82 Mevduatların Gelecekteki Değerinin Hesaplamak 194 83 Bireysel Mevduatın Değerini Hesaplamak 199 84 Mevduat Sayısını Ve Son Mevduatın Hesaplanması 201 85 Yatırımlarda Faiz Oranının Hesaplanması 205 86 Periyodik Alacaklar (Kiralar) 209 861 Kira Sermayesinin Hesaplanması 210 87 Kira Tutarının Hesaplanması 214 88 Kira Sayısı Ve Kira Kalanının Hesaplanması 217 89 Periyodik Kiralarda Faiz Oranının Hesaplanması 221 810 Karma Oumldevler 225 811 Alıştırmalar 230 Konu Oumlzetleri 232

9 BORCcedilLAR 237 91 Borccedil Kavramı Ve Ccedileşitleri 237 92 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Ve Anuumlitenin Hesaplanması 239 93 Eşit Anuumliteli Borccedilların Oumldemelerinin Hesaplanması 242

94 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Oumldenmiş Kısmının Ve Kalan Kısmının Hesaplanması 24695 Eşit Anuumliteli Borccedilların Amortismanında Faiz OranıVe Devre Sayısının Hesaplanması 248

96 Eşit Anuumliteli Borcun Amortisman Planı 25197 Yuvarlak Tutarlı Anuumliteli Borccedillar 25598 Yuvarlak Anuumliteli Borccedilların Amortisman Planı 25899 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 262Konu Oumlzetleri 266

Alıştırmaların Ccediloumlzuumlmleri Ve Cevapları 271 Yararlanılan Kaynaklar 287

5

BASİT FAİZ HESABI

11 Basit Faizin Hesaplanması

111 Temel Kavramlar

Guumlnluumlk yaşantımızda bankaya para yatırımı bireysel hesap tasarruf mevduatı karneleri kredi karneleri işlemlerine pek ccedilok rastlıyoruz Genel olarak maaşlar emeklilik maaşları birik-tirdiklerimizi belli bir suumlre saklamak ve korumak uumlzere bankaya teslim edilmiş ve istediğimiz zaman alabildiğimiz paralardır Bu suumlrede teslim edilen paralardan banka yararlanır ve buna karşılık olarak banka paraların sahibine faiz hesaplıyor Diğer taraft an ccedilok sık vatandaşların da nakit paraya ihtiyaccedilları olduğunda belli bir suumlre iccedilin bankadan borccedil alıyorlar Bunun karşılığın-da borccedil alan kişi bankaya belli bir miktar para oumlduumlyor

Kredi bağları borccedillu ve borccedil veren arasında kurulmaktadır Aslında bu bağıntının temeli faizdir Faiz borccedil alan kişinin aldığı para karşılığında borccedil verene oumldediği bir yuumlzde miktarıdır yani yararlandığı para iccedilin oumldediği miktardır

Bankadan borccedil (kredi) aldığımızda banka alacaklı parayı alana ise verecekli (borccedillu) denir Bankanın parasından yararlanan verecekli karşılık olarak bankaya belli bir faiz oumldeyecek-tir Bankaya para yatırdığımız takdirde banka kullanıcıdır ve vericiye belli bir faiz oumldemektedir

Faiz miktarı yuumlzde miktarı gibi hesaplanır yani yatırılan paranın her 100 birimi iccedilin belli bir miktardır Fakat bildiğimiz yuumlzde farklıdır hesabından farklıdır ccediluumlnkuuml faiz miktarı sadece yuumlzde oranına değil paranın bankada kaldığı suumlreye de bağlıdır

Faiz hesaplamaları iccedilin en basit oumlrnekler tasarruf mevduatları vatandaşların ve şirketle-rin kredi kullanmaları tuumlketici kredileri banka ve kredi kartlarıdır

Bir yatırımın yatırım doumlnemi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranına basit faiz denir

Faiz miktarının ve ona bağlı olan diğer buumlyuumlkluumlklerin hesaplanmasına basit faiz hesabı denir Basit faiz hesabında genel olarak şu doumlrt temel buumlyuumlkluumlğe rastlanılır

Ana para (kapital temel değer) K

faiz miktarı (yuumlzde payı) i

yuumlzde oranı (faiz miktarı) p - zaman biriminde 100 denarın faizine eşittir

faizin hesaplandığı suumlre (zaman) t

1

6

Faiz fiyatı genellikle yıllık olarak goumlsterilir Fakat bazı durumlarda bir yıldan kuumlccediluumlk ara-lıklar iccedilin de verilebilir mesela yarıyıl (soumlmestir) uumlccedil aylık (ccedileyrekyıl) aylık ve benzer olabilir

Faizin hesaplandığı suumlre de yıllar aylar ya da guumlnler ile ifade edilebilir Anlaşma gereği bir yıl 365 guumln ayların guumln sayısı ise takvime goumlre belirlenir fakat hesaplamayı daha basitleştirmek iccedilin bir yıl 360 guumln ve bir ay 30 guumln olarak alınır

Faizin hesaplanması doumlnem sonunda ya da doumlnem başlangıcında hesaplanabilir fakat bu-nunla ilgili ilerde daha ayrıntılı accedilıklamalar yapılacaktır

Temel değerin faiz miktarı kadar artmasına (K + i) ccedilok kez biriken değer terimini de kullanacağız

112 Basit Faizin Hesaplanmasında BuumlyuumlkluumlklerArasındaki Temel Bağıntılar

Aşağıdaki oumlrneklerle basit faizin hesaplanmasında temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki bağıntı-ları inceleyeceğiz

1 Bankaya yatırılan 34 500 denar kapitalin yıllık 8 faiz oranı ile 4 yıllık faizi ne kadardır34 500 denar kapitalin bir yıllık faizi

834500 2760

100 denardır

Faiz ana paraya (temel kapitale) hesaplandığına goumlre ikinci yılın faiz miktarı yine 2760 denar ve her gelecek yıl bu miktar aynı olacaktır Buna goumlre 4 yıllık faiz miktarı ilk yılın faizinin 4 katı olacaktır O halde toplam faiz miktarı

11040434500

100

8i olur

Bu hesaplamayı genel işaretlemelerle yazarsak bir yıllık faiz miktarı (yuumlzde payı)

100

Kpi

olur t yılda ise

100

Kpti

formuumlluuml elde edilirBu durumda yıllık basit faiz şu temel orantı ile de goumlsterilebilir

tpiK 100

7

Bu formuumllden yararlanarak basit faiz hesabında bulunan tuumlm diğer buumlyuumlkluumlkler iccedilin de formuumlller ccedilıkarabiliriz

2 Bankaya ne kadar para yatırılmalıdır ki yıllık 5 faiz oranı ile 8 yılda 9600 denar faiz elde edilsin

Temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki orantıyı goumlz oumlnuumlnde bulundurarak ana para

ptiK 100

formuumlluumlyle hesaplanırOumlrneğimizde yatırılan para

2400085

9600100

K

denardır

Benzer şekilde faizin hesaplandığı zaman suumlresi ve faiz oranı iccedilin formuumlller yazabiliriz Bu formuumllleri oumlrnekler ccediloumlzerken yazacağız

3 5400 denar temel kapital bankaya kaccedil yıl yatırılmalıdır ki 6 faiz oranıyla 6480 denar faiz elde edilsin

Temel orantıdan

Kpit 100

formuumlluuml elde edilir O halde

2654000

6480100

t godini

yıl elde edilir

4 58000 denar alınan borccedil iccedilin uumlccedil yılda 8700 denar faiz oumldenmişse faiz oranını hesapla-yınız

Bilinmeyen buumlyuumlkluumlk p faiz oranıdır Bunu temel orantı gereğince şu formuumllle hesaplayabiliriz

Ktip 100

O halde

5358000

8700100

p elde edilir

Şimdiye dek incelenen oumlrneklerde faiz miktarının hesaplandığı zaman yıllarla goumlsteril-mişti Fakat genel durumda faiz hesaplama zamanı tam sayılı yıllarla ifade edilmiyor Boumlyle durumlarda basit faizin hesaplanmasına ait yukarda elde edilen formuumlllerden yararlanmak iccedilin

8

guumlnleri ve ayları yılın birer kısmı olarak goumlstermek en uygun olur Bu şekilde bir ay yılın 1

12 si

guumln ise yılın 1

360i ya da 1

365i gibi alınacaktır Zaman aylar ile ifade edildiği durumda t zamanı yılın

1

12si olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak faiz miktarı (yuumlzde payı) iccedilin

12100

tKpi

formuumlluuml elde edilir Aylar ile ifade edilmiş olan t zamanı iccedilin temel orantı

ptiK 1200

olur t zamanı guumlnlerle ifade edildiği durumda anlaşma gereği yılı takvime goumlre 365 guumln

((k365) biccediliminde işaret edilir) ya da (30 360) zaman matrisi biccediliminde eğer yılı 360 guumln sa-yarsak faiz miktarını

36000

Kpti

ya da

36500

Kpti

formuumlluumlyle hesaplayacağız Yani zaman t guumlnlerle ifade edildiğinde yılın 365

t ya da 360

t

kısmı olacaktır Zamanı hesaplamak iccedilin karşılık gelen temel orantıptiK 36500

ya daptiK 36000

şeklinde yazılabilirNot Guumlnler takvime goumlre ve bir yılda 360 guumln sayıldığı durumda da (k 360) işaretlemesi

de kullanılabilir5 240 000 denar temel kapital 6 faiz oranıyla 8 ayda ne kadar faiz getirirOumldevin koşullarına goumlre K= 240 000 t = 8 ay p = 6lsquodır O halde

96001200

86240000

1200

Kpti denar elde edilir

6 Hangi faiz oranıyla 1 620 000 denar ana paradan 60 guumlnde 21 304 denar faiz miktarı elde edilecektir

Verilenler K = 1 620 000 denar i = 21 304 ve t = 60 guumln 36500

Kpti formuumlluumlnden

9

8601620000

213043650036500

Kt

ip

elde edilir

7 23 mayıstan 16 eyluumlle kadar bankaya yatırılan bir miktar para 4 faiz oranıyla 4576 denar faiz getirmiştir Zaman takvime goumlre (k 365) hesaplandığına goumlre yatırılan para ne ka-darmış

Oumlnce guumln sayısını belirtirken zaman diliminin ilk guumlnuuml sayılırsa son guumlnuumlnuuml sayılmaya-caktır ya da ilk guumln sayılmazsa vadenin son guumlnuuml sayılacaktır yani her durumda faizde kalan suumlrenin ilk ve son guumlnuumlnden sadece biri hesaplanmaktadır

Şu oumlrnekte faiz hesaplamanın ilk guumlnuuml 24 mayıs olarak alacağız yani ilk guumlnuuml saymıyo-ruz Bu durumda mayıs ayından 8 guumln haziran 30 guumln temmuz ve ağustos ayları 31 guumln ve eyluumll ayının son 16cı guumlnuumlnuuml hesaba koyduğumuza goumlre faizin hesaplanacağı toplam guumln sayısı t = 8 + 30 + 31 + 31 + 16 = 116 elde edilir Bilinmeyen buumlyuumlkluumlk ana para Krsquoyı hesaplamak iccedilin yukarıda verilen formuumllden yararlanarak

3600001164

45763650036500

pt

iK

denar elde edilir Demek ki 23 mayısta yatırılan para 360 000 denardır 8 Bir tenis yarışmasında şampion kazandığı 125 000 denarlık şampiyonluk oumlduumlluumlnuuml iki

bankaya yatırmıştır Birinci bankada faiz oranı 7 ikinci bankada ise 5rsquotir Bir yıl sonra her iki bankadan toplam 7 850 denar faiz elde edildiğine goumlre her bankaya kaccedilar para yatırılmıştır

Bilinen buumlyuumlkluumlkler K = 125 000 denar olan ana para K1 = x ve K2 = 125000 ndash x olmak uumlzere iki ayrı yatırıma ayrılmıştır Faiz oranları p1 = 7 ve p2 = 5 toplam faiz miktarı i = i1 + i2 = 7850 denardır Verilen koşullara goumlre t1 = t2 = 1 yıl olmak uumlzere şu denklemi oluşturu-yoruz

100100

222111 tpKtpKi

Oradan

100

1250005

100

77850

xx

denklemi elde edilir Denklemi ccediloumlzuumlyoruz 785 000 = 5 125 000 + 2x x = 80 000 elde edilir Buna goumlre K1 = x = 80 000 denar ve K2 = 45 000 denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Bankaya yatırılan 25 000 denar 15 faiz ile

10

a) 5 yılda b) uumlccedil ayda c) (30 360) ve (k 365)rsquoe goumlre 25 guumlnde ne kadar faiz getirir2 Bir bankaya 5 faiz oranıyla bir K kapitalı yatırılmıştır Basit faiz hesabıyla ne kadar

zamanda faiz miktarı yatırılan paraya eşit olacaktır (Not K = ip)3 34 500 denar borccedil iccedilin 4 yılda 6 900 denar faiz hesaplandığına goumlre faiz oranını belir-

tiniz4 6 faiz oranı ile hangi ana paradan a) 4 yılda b) 8 ayda3540 denar faiz miktarı elde edilir5 Bir bankaya aralarındaki fark 2000 denar olmak uumlzere iki farklı kapital yatırılmıştır

Buumlyuumlk olan kısmı 4 faiz oranıyla 1 yıl diğeri ise 6 faiz oranıyla 8 ay iccedilin bankada kalmıştır Her iki kısmın faiz miktarları eşit olduğuna goumlre bankaya yatırılan toplam para ne kadar oldu-ğunu hesaplayınız

6 Faiz oranı 65 olmak uumlzere aynı yılda uumlccedil kapitaldan Birincisi 38000 denar 3101ndash30 06rsquoa kadar ikincisi ise 72600 denar 803ndash3006rsquoa kadar ve 18900 denar 105ndash3006rsquoa kadar vade ile bankaya yatırılıyor Toplam faiz miktarını hesaplayınız

12 Yuumlz Uumlstuumlnde ve Yuumlz Altında Faiz Hesabı

Borccedillar ve onlara ait faizlerden yatırımlar ve mevduatların faizleri soumlz konusu olunca ccediloğu kez basit faizin buumlyuumlkluumlkleri arasındaki değerlere değinmeden pratik olsun diye ana paranın faiz miktarı kadar ccediloğalmasına ya da hesaplanan faiz miktarı kadar ana paranın azalmasından soumlz edilir

Ana paranın faiz miktarıyla beraber değeri K + i bilindiğinde yuumlz uumlstuumlnde faiz hesabı soumlz konusu olur ve bunu K ve i buumlyuumlkluumlklerini belirtmek iccedilin kullanıyoruz Diğer taraft an ana paranın faiz miktarı kadar azalmış yani K ndash i olduğu durum yuumlz altında faiz hesabı gibi ifade edilir Burada da faiz suumlresini hesapladığımızda faizin hesaplanması yıllık aylık ya da guumlnluumlk olabilir

Basit faiz hesabı K i = 100 pt formuumlluumlyle verilmiştir Hesaplanan faiz miktarını 100

Kpti formuumlluumlyle ifade ettikten sonra onu ana paraya ekleyerek

13

1001

100

ptKKptKiK

elde edilir

11

O halde

100

100

1001

ptptK

iK

ifadesi bu eşitlikten de

100100 KptiK (1)

orantısı elde edilirBenzer şekilde temel orantıyı K 100 = i pt biccediliminde yazarsak basit faiz hesabında

faizle beraber toplam para ve diğer temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki bağıntıyı goumlsteren

ptiptiK 100 (2)

orantı elde edilir Benzer şekilde ana paranın azaldığı durumu incelersek

100

100

1001

100

ptKptKKptKiK

13

elde edilir Bunu K 100 oranında yeniden değiştirmekle

100100 KptiK (3)

elde edilir Bu orantıların benzerliğinden

ptiptiK 100 (4)

ve 100100 KptiK

ptiptiK 100

biccediliminde yazılabilirBu formuumlller orantıların oumlzelliklerinden yararlanarak da elde edilebilir Buna goumlre iki

orantının tarafl arı birbiri ile toplandığında ya da biri diğerinden ccedilıkarıldığında orantı bozulmaz yani ilk orantının sağ ve sol tarafına eşit olur

Elde edilen yeni orantılardan yuumlz uumlstuumlnde ve yuumlz altında faiz hesabındaki ana para (kapi-tal) ve faiz miktarının hesaplanması iccedilin formuumlller elde edilir

pt

iKK

100

100 ve

ptptiKi

100

1 Borccedillu borccedil verene 2 yıl iccedilin 6 faiz oranıyla aldığı para iccedilin faiziyle beraber 57120 denar veriyor Borccedil aldığı para ne kadardır ve ne kadar faiz oumldemiştir

K + i = 57120 denar biliniyor O halde p = 6 t = 2 olduğuna goumlre pt

iKK

100

100

formuumlluumlnden

51000112

5712000

26100

10057120

K denar elde edilir

12

Buna goumlre Borcun temel kısmı 51000 denar ve bu paraya oumldediği faiz miktarı 57120 ndash 51000 = 6120 denardır

2 Faiz oranı 8 olmak uumlzere 6 aylık faiz miktarını aldıktan sonra banka borccedil alana 52800 denar para vermiştir Temel borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

Faiz miktarı (yuumlzde payı) i oumlnceden oumldetilmiş olduğunu goumlz oumlnuumlne bulundurarak ana para faiz miktarı kadar azalmış olduğunu fark edebilirsiniz Demek ki borccedillu bankaya daha K ndash i denar yani aldığı para kadar bankaya oumldemesi gerekir O halde K ndash i = 52800 denar t = 6 ay p = 8 dir Ana parayı hesaplamak iccedilin iki youmlntem goumlsterebiliriz Bunlardan biri zaman suumlresi yıl ile ifade edildiğinde

2

1

12

6t

ya da yuumlz altında ve yuumlz uumlstuumlnde faiz hesaplama for-muumlllerinden yararlanarak zamanı aylar ya da guumlnler ile ifade ederek hesaplanabilir Yukarıda goumlsterilen formuumllden doğrudan doğruya yararlanıyoruz

55000

96

5280000

2

18100

10052800

100

100

pt

iKK

denar ve faiz miktarı

2200

96

211200

2

18100

2

1852800

100

ptptiKi

denar olduğunu buluyoruz (ya da i = K ndash (K ndash ı) = 55000 ndash 52800 = 2200 denar) Faiz suumlresi (zaman) aylarla ifade edildiği durumda hazır orantıları da kullanabiliriz yani

K i = 1200 pt orantısından

ve

12001200 KptiK

ptiptiK 1200

elde edilirK i = 36500 pt ya da K i = 36000 pt eşitliğinden orantıların oumlzelliklerini kullanarak

3650036500 KptiK

ptiptiK 36500

ve benzer şekilde zaman aralığı guumlnlerle ifade edildiğinde zaman matrisleri (k 365) ve (30 360) olmak uumlzere

3600036000 KptiK

ptiptiK 36000

elde edilir3 Bir kişi 11 faiz oranıyla beraber 9 ay iccedilin 541250 denar oumldemiştir Kredi miktarı ve

faiz miktarı ne kadardır

13

Faiz ve temel kapital toplamı K + i formuumlluumlne ait (K + i) (1200 + pt) = K 1200 temel orantısından yararlanarak zaman aylarla ifade edildiği durumda

500000

9111200

1200541250

1200

1200

pt

iKK

denar elde edilir Faiz miktarı (yuumlzde payı) ise i = (K + i)- K = 541250 - 500000 = 41250 denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Yuumlz uumlstuumlnde faiz ve yuumlz altında faiz hesabı nedir Accedilıklayınız2 200 guumln iccedilin 60 000 denar borccedil alan kişi 30 faiz miktarını ccedilıkardıktan sonra borcu

tahsil ederken kaccedil para oumldemesi gerekecektir Faiz miktarı ne kadardır Bankaya toplam ne ka-dar para oumldenecektir (30 360) zaman matrisini kullanınız

3 Bir kişi 20 faiz oranıyla uumlccedil aylık bir kredi iccedilin banka ile kontrat yapmıştır Kontrata goumlre banka faiz miktarını alarak kişiye 33440 denar kredi vermiştir Kredi kontratı ne kadar para iccedilin imzalanmıştır ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır (30 360) Zaman matrisini kul-lanınız

4 Bir kişiye 35000 denar 3 yıl iccedilin ve 50000 denar 5 yıl zaman iccedilin oumldenmesi gerekir Faiz oranı 5rsquotir Gereken paranın elde edilmesi iccedilin bankaya ne kadar para yatırılmalıdır

5 32 faizle beraber 1008 ndash 3009 zaman aralığı suumlresi iccedilin (30 360) borccedillu 33900 denar borccedil oumldemiştir Borccedil ve faiz miktarını hesaplayınız

6 Borccedillu 125 faizle beraber 2 yılda 325500 denar borccedil oumldemiştir Borccedil ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

7 Bir banka 2501rsquotan 3108 zaman aralığı iccedilin 9 faiz miktarını aldıktan sonra muumlşteri-sine 10000 denar borccedil vermiştir Zaman matrisi (K 365) sayıldığına goumlre borccedil ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

13 Vadeli Hesap

Bir borccedillunun farklı miktarda farklı oumldeme vadeleri ve farklı faiz oranlarıyla birkaccedil bor-cu olduğu durumda ne borccedillu ne de alacaklı zararlı olmayacak şekilde borccedilların aynı anda oumldenmesine muumlmkuumln olup olmadığı sorusu sorulabilir Bu soruyu ancak borccedilların oumldenmesi vadelerinin ortalaması ne kadardır ortalama faiz oranı ne kadardır borccedilların oumldendiği anda borccedil miktarı ne kadardır soruları accedilısından inceleyebiliriz Bu ise prensip olarak ayrı ayrı para

14

miktarların faizlerinin toplamı borccedilların toplamının ortalama vadeye goumlre ortalama faiz ora-nıyla hesaplanan faiz miktarına eşit olmalıdır demektir Ortalama vadeyi ve ortalama faiz ora-nını belirtme işlemine vadeli hesap denir ve aslında basit faiz hesabının bir uygulanmasıdır Birkaccedil borccedil miktarı farklı vadelerde oumldenecek yerde toplam borcu aynı anda oumldenmesi iccedilin ayrılan zamana orta vade denir Bazı durumlarda borccedillu aynı anda başka borccedillulardan alacaklı durumunda olabilir Boumlyle durumda alacak ve verecek farkını oumldeme vadesine borccedil kalanının (saldonun) oumldeme vadesi denir

131 Ortalama Vade ile Hesaplama

Borccedillunun tahvillerinin miktarları K1 K2 hellip Kn bunlara karşılık gelen faiz oranları p1 p2 hellip pn ve oumldeme vadeleri t1 t2 hellip tn zaman aralıkları olsun

Formuumlllerde tk k = 1 2 hellip n zamanı herhangi bir oumllccediluuml birimine goumlre verilebilir fakat bankalar genellikle guumlnuuml oumllccediluuml birimi olarak alıyorlar

Borccedillu bir orta vade tk ve ortalama faiz oranıyla tuumlm borccedilları aynı anda oumldemek istiyor Hesaplamanın sadeleşmesi iccedilin zaman oumllccediluumlsuuml yıl olsun Borccedillunun tuumlm tahvillerinin faiz mik-tarları

100

100100

222111 nnn tpKtpKtpK

olsun Bu miktar her bir tahvilin ortalama faiz oranıyla ve ortalama oumldeme vadesiyle hesaplanan tuumlm faiz miktarların toplamına

100

100100

21 ssnssss tpKtpKtpK

eşit olmalıdır Boumlyle durumda zararlı olan taraf yoktur ccediluumlnkuuml temel borccedilların toplamı eşit fakat hesaplanan faiz miktarları da eşittir

Demek ki

100

100100100

100100

21222111 ssnssssnnn tpKtpKtpKtpKtpKtpK

elde edilir oradan da

nssnnn KKKtptpKtpKtpK 21222111

olduğunu yazabiliriz Buradan ortalama faiz oranı bilindiği takdirde borcun ortalama oumldeme vadesini hesaplayabiliriz yani tuumlm borcun oumldeme vadesini

u

ns

nnns KKKp

tpKtpKtpKt

21

222111

elde etmiş oluyoruz

15

Borccedil miktarları faiz oranları ve oumldeme vadeleri farklı olduğu durumlarda ortalama faiz oranına ait şu formuumlluuml uygulayacağız

ns

nnns KKKt

tpKtpKtpKp

21

222111

Oumldeme vadeleri eşit olduğu durumda ayrı ayrı tuumlm borccedilların faiz miktarını inceleyelim Bu nedenle oumlnceki formuumllde

t1 = t2 = hellip tn = ts yazarak şu formuumlluuml elde edeceğiz

n

nns KKK

pKpKpKp

21

2211

]Hesaplanan ortalama faiz oranını ortalama oumldeme vadesi formuumlluumlnde değiştirelim

n

n

nn

nnns

KKKKKK

pKpKpKtpKtpKtpK

t

21

21

2211

222111

oradan da

nn

nnns pKpKpK

tpKtpKtpKt

2211

222111

formuumlluuml elde edilirHesaplamalarda ccedilok kez bazı buumlyuumlkluumlkler birbirine eşit olabilir Oumlrnek- Temel miktarlar K1 = K2 = hellip Kn = K olduğu durumda ortalama vade ve ortalama faiz

oranı iccedilin

n

nn

n

nns ppp

tptptppppK

tptptpKt

21

2211

21

2211

ve

nppp

nKpppK

p nns

2121

formuumllleri elde edilir- Faiz oranları birbirine eşit p1 = p2 = hellip pn = p olduğunda ortalama oumldeme vadesi iccedilin

n

nn

n

nns KKK

tKtKtKKKKp

tKtKtKpt

21

2211

21

2211

formuumlluuml elde edilir ortalama faiz oranı ise ps = p dir- Hem temel miktarlar hem faiz oranları birbirine eşit oldukları durumda ise ps = p ve

n

tttnK

tttKt nn

s

2121

dirOumldeme vadesini (oumldeme tarihini) belirtmek iccedilin genellikle birinci oumldeme tarihine hesap-

lanan ortalama vade tarihi eklenir Bu durumda borcun tahsilinde tuumlm vadelerin hesaplanması ilk oumldeme vadesine goumlre karşılaştırılarak yapılır

16

Zaman guumlnlerle ifade edildiği durumda ayrı ayrı faiz miktarların toplamının ve ortalama vadeyle hesaplanan faiz miktarların denklemi

36500

365003650036500

3650036500

21222111 ssnssssnnn tpKtpKtpKtpKtpKtpK

şekline doumlnuumlşuumlr O halde yine

nssnnn KKKtptpKtpKtpK 21222111

eşitliği elde edilir Buna goumlre zaman birimi ister yıl ister ay ister guumln olarak alındığında hesap-lamalar aynı formuumlllerle yapılır fakat oumldeme vadeleri daima aynı oumllccediluuml biriminde olmalıdır

1 Bir borccedillu 30000 denar parayı doumlrt eşit taksitle oumldemelidir Oumldeme vadeleri ilki 30 guumln sonra ikincisi 60 guumln uumlccediluumlncuumlsuuml 90 guumln ve son taksit 120 guumln sonra oumldeyecektir Faiz oranı 8 olduğuna goumlre tuumlm borcu birden kaccedil guumln sonra oumldeyebilir

Borcun oumldenmesi eşit taksitlerle olduğuna goumlre K1 K2 K3 ve K4 birbirine eşittir faiz oranı her taksit iccedilin eşit yani p = 8 ve taksitlerin oumldeme vadesi t1 = 30 t2 = 60 t3 = 90 ve t4 = 120rsquodir Bu oumlzel durum iccedilin ortalama vadeyi hesaplayacağız

754

120906030

4

4321

tttt

t s

guumln elde edilir Buna goumlre 30000 denar borccedil 8 faiz ile 75 guumln sonra oumldenebilir Vadeli hesapta faizin hesaplanmasına başlanıldığı tarihe faiz doumlnemi denir Faiz doumlnemi-

nin ilk taksitten başlaması mecburi değildir Faiz hesaplamaları iki farklı doumlnemde yapılacak bir oumlrnek inceleyelim

2 Borccedillu 60000 denar borcunu 16 faiz oranıyla 4 eşit taksitle şu tarihlerde oumldemelidir Birinci taksit 15 02 ikincisi 7 03 uumlccediluumlncuumlsuuml 5 04 ve doumlrduumlncuumlsuuml 1 05

a) doumlnem 15 02 b) doumlnem 7 03

olduğuna goumlre hangi tarihte borccedillu tuumlm borcu oumldeyebilirFaiz doumlnemi 1502 tarihinde başlandığı durumda (( a) şıkkı) birinci taksitin faizdeki

zamanı t1 = 0rsquodır İkinci taksitin faizdeki zamanı 1502rsquoden 703rsquoe kadardır (15 02 yi saymıyoruz fakat 7 03 zamana aittir) yani t2 = 20 guumlnduumlr Benzer şekilde t3 = 49 guumln (şubat ayının 13 guumlnuuml mart 31 guumln ve nisanın 5 guumlnuuml) ve t4 = 75 guumln (15 02 den 105 e kadar) Temel miktarlar ve faiz oranları eşit olduklarına goumlre orta vade iccedilin

17

364

7549200

4

4321

tttt

t s

guumln olduğunu buluyoruz Demek ki faiz hesaplanmasının başlangıcından 36 guumln sonra borcun tuumlmuuml oumldenebilir yani 1502rsquoden sayıldığına goumlre 2303 tarihinde borccedil oumldenebilir

Faiz doumlnemi olarak 703 tarihi alınırsa ( b- şıkkı) ilk taksitin faiz zamanını 703 lsquoten 15 02rsquoye kadar geriye doğru sayıyoruz yani şimdi t2 = 0 t1 = - 20 olur Ondan sonra t3 = 29 (703 ten 504rsquoe kadar) ve t4 = 55 (703rsquoten 105rsquoe kadar) Buna goumlre orta vade

164

5529020

4

4321

tttt

t s

guumln olduğunu buluyoruz Bu ise 2303 tarihini borcun oumldenebildiğini goumlstermektedirGoumlruumllduumlğuuml gibi faiz doumlnemleri farklı ve farklı orta vadelere rağmen borccedil oumldeme tarihi

değişmez

3 Bir ticaret şirketi doumlrt eşit taksitle 100 000 denar parayı aşağıdaki vadelerde oumldemesi gerekir

- birinci taksit bu guumlnden sayarak 3 faiz oranıyla 100 guumlnde- ikinci taksit 4 faiz oranıyla 150 guumlnde- uumlccediluumlncuuml 25000 denarı 6 faiz ile 200 guumlnde- doumlrduumlncuumlsuumlnuuml 7 faiz ile 300 guumlndeKaccedil guumln sonra ve hangi faiz oranıyla tarafl ardan hiccedilbiri zararda olmama koşuluyla doumlrt

taksit birden oumldenebilirOumldevi en kolay ccediloumlzmek iccedilin verilen değerleri tablo halinde goumlsterelim Boumlyle durumlarda

taksitlerin toplamları da daha kolay yapılabilir

Ki - taksit ti - guumln pi ndashfaiz Pi middot tt

1 25000 100 3 3002 25000 150 4 6003 25000 200 6 12004 25000 300 7 2100

Toplam 100000 20 4200

Ortalama faiz oranı

154

7643

4

4321

pppp

ps ve

21020

4200

20

21001200600300

4321

44332211

pppp

tptptptpts

guumln elde edilir Demek ki 100 000 denar toplam borccedil 5 faiz oranıyla tam 210 guumln vadeyle oumldenecektir Buna goumlre ticaret şirketi

18

10291736000

2105100000100000

denar borccedil oumldemiştir

4 Bir tuumlccar aynı bankadan farklı koşullarla uumlccedil kredi almıştır Borcun oumldenmesi şu şekilde yapılacaktır

- 7 05 tarihinde 4 faiz oranıyla 20000 denar - 6 06 tarihinde 5 faiz oranıyla 40000 denar - 5 08 tarihinde 6 faiz oranıyla 50000 denar Hangi tarihte ve hangi faiz oranıyla tuumlccar zararlı olmadan uumlccedil taksiti birden oumldeyebilirBaşlangıccedil tarihi 705 olarak seccedilersek t1 = 0 t2 = 30 guumln (705rsquoten 606rsquoye kadar) t3 = 90

guumln (705rsquoten 508rsquoe kadar) Verileri tabloda yazdıktan sonra orta vade formuumlluumlnde bulunan ccedilarpımları da hesaplıyoruz

Ki - taksit ti - guumln pi ndashfaiz Ki pi Ki pi ti

1 20000 0 4 800002 40000 30 5 200000 60000003 50000 90 6 300000 27000000

Toplam 110000 580000 33000000

Buna goumlre

275110000

580000

321

332211

KKK

pKpKpKps

ve

57580000

33000000

332211

333222111

pKpKpK

tpKtpKtpKts

guumln elde edilir Demek ki toplam borccedil birden 57 faiz oranıyla 57 guumlnde daha doğrusu 3 07 tarihinde oumldenebilir

Alıştırmalar

1 Vadeli hesap nedir2 Hangi zamana ortalama vade denir3 Hangi vadeye borcun kalan (saldo) vadesi denir4 Bir şirket elektrik borcunu 9 faiz oranıyla 80 000rsquoer denar olmak uumlzere beş eşit tak-

sitle oumldemek iccedilin anlaşma yapmıştır Oumldeme vadeleri Birinci taksit 30 guumln sonra ikincisi 50 guumln uumlccediluumlncuumlsuuml 80 guumln doumlrduumlncuumlsuuml 100 guumln ve beşinci taksit 115 guumln sonra oumldenecektir Tuumlm borccedil birden hangi aralıkta oumldenebilir

19

5 Borccedillu 300 000 denar borcunun 25rsquoni hemen iki ay sonra 10rsquonu yedi ay sonra 35rsquoni ve kalan 30rsquonu on ay sonra oumldemelidir Ne kadar zaman sonra tuumlm borccedil birden oumlde-nebilir

6 1800000 denar borccedil 20 faiz oranıyla doumlrt eşit taksitle oumldenmelidir Oumldeme vadeleri- birinci taksit 15 03 guumlnuuml- ikinci taksit 21 04- uumlccediluumlncuuml taksit 10 05- doumlrduumlncuuml taksit 3006 Faiz hesaplama başlangıcıa) 15 03 b) 21 04 olduğuna goumlre hangi tarihte borcun tuumlmuuml birden oumldenebilir

7 Tuumlccar satın aldığı mallar iccedilin uumlccedil oumldeme yapması gerekir- 6 faiz oranıyla 3 04 tarihinde 60 000 denar- 6 faiz oranıyla 24 04 tarihinde 80 000 denar- 6 faiz oranıyla 26 05 tarihinde 100 000 denarHer iki taraf zararlı olmamak koşuluyla tuumlccar hangi tarihte borcun tuumlmuumlnuuml birden oumlde-

yebilir

8 Borccedillu faiz oranı 10 olmak uumlzere 3 03 tarihinde 80 000 denar 8 04rsquote 30000 de-nar 18 05rsquote 60000 denar 23 07rsquode 30000 denar borccedil oumldemelidir Borcun tuumlmuuml hangi tarihte oumldenebilir

9 Tuumlccar aldığı malların faturalarını 6 faiz oranıyla 45000 er denar olmak uumlzere 1004 2804 2005 ve 3005 tarihlerinde oumldemelidir Tuumlccar hangi guumln borcun tuumlmuumlnuuml birden oumlde-yebilir

14 Borccedil Kalanının Vade Hesaplanması

Bu boumlluumlmde borccedillu aynı zamanda hem alıcı hem verici olduğu durumlarda tuumlm yuumlkuumlm-luumlluumlklerini nasıl yerine getirebilecek sorusuna cevap vereceğiz Bu gibi zaman vadesine borccedil kalanının vadesi denir

K1 K2 hellip Kn borccedil miktarları vadeleri t1 = t2 = hellip tn = tn guumlnler ve p1 = p2 = hellip pn = pn karşılıklı olarak faiz oranları olsun Aynı kişinin alacakları P1 P2 hellip Pn vadeleri 0 0 0

1 2 nt t t guumlnler ve 0 0 0

1 2 np p p faiz oranları olsun Amaccedil borccedilların faizlerinin toplamı alacakların ve kalanın faizlerinin toplamına eşit olduğunu bildiğimize goumlre kalanın vadesi ts faiz oranı (ortalama) ps ve borcun kalanı S buumlyuumlkluumlklerini belirtmektir Bu durumda borccedilların toplamı

20

alacakların toplamından buumlyuumlk K1 + K2 + hellip + Kn gt P1 + P2 + hellip + Pn olduğunda borcun ka-lanı borcun kapatılması iccedilin oumldenecek para miktarıdır yani

mn PPPKKKS 2121

Borccedilların faizlerinin toplamı

36500

3650036500

222111 nnn tpKtpKtpK

dirAlacakların faizlerinin toplamı

36500

3650036500

000

2

0

22

0

1

0

11 mmm tpPtpPtpP

dir Borccedil kalanına hesaplanan faiz 36500

sstSp dir

O halde

3650036500

365003650036500

3650036500

000

2

0

22

0

1

0

11222111 ssmmmnnn tSptpPtpPtpPtpKtpKtpK

yazılabilir Zaman hangi oumllccediluuml birimiyle verilmiş olursa olsun kalan (saldo) vadesini belirtmeye yarayan denklem

ssmmmnnn tSptpPtpPtpPtpKtpKtpK 000

2

0

22

0

1

0

11222111

şeklinde yazılır Oradan da

s

mmmnnns Sp

tpPtpPtpPtpKtpKtpKt

000

2

0

22

0

1

0

11222111

elde edilir Oumlzel olarak faiz oranları birbirine eşit olduğu durumda hem borccedillar hem de alacaklar

iccedilin p1 = = pn = p10 = = pm 0 = ps ve

S

tPtPtPtKtKtKt mmnn

s

00

22

0

112211 elde edilir

1 ldquoPolarinordquo firmasının borccedilları 5000 denar 40 guumln 6000 denar 50 guumln 8000 denar 80 guumln vadeli ve alacakları 3000 denar 30 guumln ve 10000 denar 90 guumln vadeli Borcun kalan kısmını kaccedil guumln sonra oumldemelidir Faiz oranı her vade iccedilin eşittir

Borccedil oumldemede orta vadenin belirtilmesinde yapıldığı gibi benzer şekilde borccedillar ve ala-caklarda da verileri tabloda yazacağız

Borccedillar AlacaklarКi tt Kiti Pj tj

0 Рjtj0

1 5000 40 200000 1 3000 30 900002 6000 50 300000 2 10000 90 9000003 8000 80 640000Toplam 19000 1140000 13000 990000

21

Borcun kalanı

S = (K1 + K2 + K3)- (P1 + P2) = 19000 -13000 = 6000

denardır Kalanın vadesi

256000

99000011400000

22

0

11332211

S

tPtPtKtKtKts

guumln elde edilir Demek ki aynı faiz oranıyla bu guumlnden sayarak 25 guumln vadeyle 6000 denar oumlde-mekle borcun tuumlmuuml oumldenmiş olacaktır

Not Şimdiye dek borccedilların toplamı alacaklardan buumlyuumlk olduğunu farz etmiştik Halbuki alacakların toplamı da vereceklerden buumlyuumlk olabilir durumlar da vardır Bu durumda borccedil ka-lanını ifade eden eşitliklerde negatif işaretli olacaktır Bu miktarlar borccedilluya hesaplanan faiziyle kalacaktır

Alıştırmalar

1 Borccedil kalanının vadesi kavramı nedir2 Bir şirket uumlccedil aylık vadeli 75000 denar altı ay vadeli 40000 denar ve sekiz ay vadeli

80000 denar borccedilludur Aynı zamanda yedi ay vadeli 55000 denar ve dokuz ay vadeli 30000 denar alacaklıdır Hangi vadede tuumlm borcu oumldeyebilir

3 Bir şirketin 504 tarihli 80000 denar 2005 tarihli 150000 denar ve 3006 tarihli 275000 denar borccedilları vardır Aynı zamanda 1703 tarihli 130000 denar ve 508 tarihli 90000 denar alacakları vardır Faiz doumlnemi 504 tarihi olduğuna goumlre borccedil kalanını hangi tarihte oumldeyebilir

4 Borccedillu 403 tarihli 1000 denar 2504 tarihli 2000 denar ve 1505 tarihli 3000 denar borccedil oumldemelidir Aynı zamanda 1704 tarihli 1500 denar ve 109 tarihli 1000 denar alacakları vardır Borcun kalanı hangi tarihte oumldenebilir Borccedillunun borccedil verene toplam ne kadar para vermesi gerekir

a) faiz doumlnemi 403 b) faiz doumlnemi 17025 Tuumlccar aldığı malların borccedillarını 6 faiz oranıyla 45000rsquoer denar olmak uumlzere 1004

2804 2005 ve 3005 tarihlerinde oumldemelidir Aynı zamanda tuumlccarın 30000rsquoer denar olmak uumlzere 1504 ve 2505 tarihli alacakları da vardır Tuumlccar hangi guumln borcun kalanını birden oumlde-yebilir

22

15 İskonto Hesabı ve İskonto Hesaplama Kavramı

Muhasebe işlerinde bazı durumlarda ccedileşitli finansal kaynaklardan elde edilmiş (ccedilek se-net bono vb) belli bir miktar parayı belli bir zamanda almalıdır Henuumlz vadeleri yetişmemiş alacakların satışı durumunda satış guumlnuumlnden alacakların vadesinin olduğu guumlne kadar faiz miktarının alacaktan eksilmesine iskonto (eskont) denir

Belli bir tarihte oumldenmesi gereken borcu vadesi gelmeden belli bir tarihte oumldemeye douml-nuumlştuumlrme işlemine (şimdiki değeri ilerdeki borcun değerine doumlnuumlştuumlruumllmesine) iskontolama (eskontolama) denir

İskonto hesaplamaların yapılmasında şu parametrelerden yararlanılır

N= Finansal varlığın nominal değeritnn= İskonto vadesi varlığın indirilme guumlnuumlnden tahsilat guumlnuumlne kadar

guumlnler sayısı t aylar sayısı m yıl sayısı n Ayların guumlnleri takvime goumlre alınır oumlyle ki varlığın indirilmesi yapıldığı guumln sayılmıyor varlığın tahsil edildiği guumln sayılır

D = İndirim (iskonto) finansal varlığın nominal değerinin azalmasına eşittir

p = İndirimin hesaplanmış olduğu faiz oranı (iskonto oranı) E = Nominal borcun erken oumldeme anında reel (efektif) miktar

İndirimin hesaplanması iki şekilde yapıldığına goumlre iki tuumlr indirim vardır

Ticari (banka ticari) indirim ndash Dk burada indirimin hesaplandığı temel değer nomi-nal değerdir efektif değer ise nominal değer ve indirimin farkıdır ve

Rasyonel (matematiksel) indirim ndash Dr burada nominal değer efektif değer ve ona kar-şılık gelen faizin toplamıdır

İndirim yaparken nominal değer tabanına goumlre banka belli bir komisyon uumlcreti ve diğer harcamaları hesaplıyor ve ek olarak oumldetiyor (komisyon ve diğer masrafl ar hesaplanan efektif değerden ccedilıkarılıyor)

23

151 Policcedilenin Oumlzellikleri

Policcedile belirli bir kişi emrine diğer bir kişiye verilen oumldeme yetkisini kapsayan bir senettir Policcedilede uumlccedil tarafl ı ilişkiyi duumlzenleyen bir senettir Senedi duumlzenleyen keşideci bir kişiye borccedillu iken diğerinden alacaklıdır Keşideci alacaklı olduğu kişiye hitaben duumlzenlediği senedi borccedillu olduğu kişiye teslim eder Yani policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedidir Policcedileyi veren (keşideci) diğer bir kişiye policcedilede adı geccedilen kişiye (hamil) belli miktarda koşulsuz oumldeme emrini vermektedir

keşideci (drawee) policcedileyi duumlzenleyen siparişccedili ya da policcedileyi yayınlayan (policcedileyi ve-renler bankalar ve seyahat acentalarıdır) değerli kacircğıtları duumlzenleyen ve oumldemekle yuumlkuumlmluuml olan kişi

policcedileyi ouml deyecek olan (muhataf)

policcedile bedelini tahsil edecek (lehdar veya policcedile hamili) bireysel ya da tuumlzel kişidir ve policcedilede adı yazılıdır yani policcedileden yararlanan kişidir ve

policcedilenin sahibi kanun kurallarına goumlre policcedilesi olan kişi

Değerli kağıt olarak policcedilenin şu rolleri vardır

policcedile kredi aracıdır

policcedile oumldeme aracıdır

policcedile iskonto aracıdır

Policcedilenin nitelikleri ve roluumlne goumlre birccedilok ccedileşit policcedile vardır hamil policcedile şahsi policcedile accedilık policcedile mal varlığı policcedilesi iş policcedilesi dairesel policcedile hamil ndash ccedilekilişli policcedile şahsi ndash ccedileki-lişli komisyon policcedilesi ve kredi policcedilesi

Policcedilenin temel ccedileşitleri hamil ve şahsi policcedilelerdir Policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedi olduğundan hamil policcedileyi nitelendiren bazı elemanları iccedilerir Policcedile kanunu ve 1930 yılı Cenevre anlaşması gereğince hamil policcedile uumlzerinde eksiksiz olarak bulunması gereken unsurlar aşağıdadır

24

gereken yerde Makedon dilinde ve Kiril alfabesiyle policcedile kelimesi yazılmış olması

oumldeyecek olanın adı

keşideci adı ya da adresi

kime ve kimin emrine oumldeneceği ndash lehdar

tanzim (duumlzenleme) yeri ve tarihi

belli bir paranın kayıtsız şartsız oumldenmesi iccedilin havale

oumldeme yeri

policcedilenin yazılma tarihi ve yeri

oumldeyecek olanın imzası

Şahsi policcedilede yazılı olan para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair verilen soumlzduumlr Şahsi policcedile şu unsurları iccedilerir

gereken yerde Makedon dilinde ve Kiril alfabesiyle policcedile kelimesi yazılmış olması

para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair vaat vermesi

havale tarihi

oumldeme yeri

alacaklının adı

policcedilenin yazılma tarihi ve yeri ve

oumldeyen kişinin imzasıPoliccedile işlemleri hukuk işlemleridir ve policcedile hakkında şu işlemler yapılabilir policcedilenin

verilmesi policcedilenin onaylanması policcedilenin vurgulanması policcedilenin devredilmesi policcedilenin havale edilmesi policcedilenin satın alınması amortisman geriye ccedilevrilmesi policcedilenin protesto edilmesi vb

Policcedile hukuk işlemlerinde karakteristik kurallar genellikle şunlardır okur yazarlık in-korporasyon birleşme (şirketleşme) policcedile sorumluluğun kesinliği policcedile titizliği ve policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil etmedir

Okur yazarlılık (formalite) Policcedile - hukuk durumun varlığı ve policcedile ndash hu-kuk işlemlerinin daha kolay yapılması iccedilin policcedilenin kanunla belirlenmiş kesin şekil-de yazılmalıdır Policcedile iccedilinde şu elemanlar ve hukuk işlemleri olması mecburidir Oumlrnek

25

kabul beyannamesi havale cirant (kefil) beyanı vb Son zamanlarda hukuk işlemlerinde ve po-liccedile hukukundaki yeni huumlkuumlmlerde oumlzellikle accedilık policcedilelerin yayın teorisiyle formalite hususu daha gevşek hal aldığını da vurgulamamız gerekir

İnkorporasyon ilkesi policcedile hakkında yetki ve yuumlkuumlmluumlluumlk policcedile kağıdının sahip olun-masıyla sıkı bağıntıdadır Policcedileye sahip olmayan hiccedil kimse policcedileyi tahsil edemez İnkorporas-yon ilkesi aynı zamanda iki hak (policcedileden elde edilen hak ve policcedileye sahip olma hakkı) iccedilerir

policcedileden elde edilen hak ndash kendi karakterine goumlre bağlayıcı haktır ve policcedilenin sahibi policcedileyi ouml deyecek olandan (muhataptan) policcedile hakların tahsilini isteme hakkı vardır ve

policcedileye sahip olma hakkı ndash kendi karakterine goumlre policcedile sahibi policcedilenin kanuni sahibi olarak ancak policcedile varlığı durumda policcedileyi oumldeyecek olandan borcun tahsilini arama hakkı vardır

Policcedile sorumluluğun kesinliği policcedilede sadece yazılanların tahsili istenilebilir Bunlar policcedilede accedilık olarak yazılıdır Policcedile yuumlkuumlmluumlluumlğuuml policcedilede yazılanlardan anlaşılır burada diğer deliller kabul edilemez Yuumlkuumlmluumlluumlk policcedilenin imza edilmesiyle yazılı ifade verilmesiyle başlar

Policcedile titizliğiyle policcedile ndash hukuk işlemlerinin hızlı ve sorunsuz yapılması sağlanmakta-dır Policcedile alacaklıyı koruyan en uygun araccediltır ve alacaklılara karşı kesin belgedir Bu anlamda alacaklıya guumlven sağlayan kesin hukuk kurallarıyla policcedilenin yuumlkuumlmluumlluumlkleri yerine getirilir

Dayanışma kuralı policcedile borccedillularından - policcedileyi imzalayanlardan her biri (keşideci muhatap lehdar alıcı) aralarındaki duruma bakmadan policcedile sahibine yuumlkuumlmluumlluumlklerini da-yanışma ile yerine getiriyorlar

Policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil kuralı policcedile borccedillularından her biri (policcedile-yi imzalayanlar) policcedile sahibine doğrudan doğruya sorumludurlar Bu nedenle alıcı policcedileyi imzalayanlardan sırasına bakmadan her birinden doğrudan doğruya policcedile miktarını tahsilini isteyebilir

Policcedile bağımsızlığı kuralı her policcedile borccedillusu policcedilede usuluumlne uygun bir şekilde kendi imzasını koyduktan sonra policcedileyi imzalayan diğer policcedile yuumlkuumlmluumllerine bağlı olmadan policcedile yuumlkuumlmluumlluumlğuumlne girer

26

152 Policcedilenin İskontosu

Policcedilede yazılı olan para miktarına policcedilenin nominal değeri ya da policcedile miktarı denir Policcedilenin oumldenmesi

policcedilede belirlenen vade guumlnuumlnde

policcedilenin vade guumlnuumlnden sonra ve bu durumda nominal değerden başka karşılık gelen faiz de oumldenir ve

policcedilede vadesi belirlenen guumlnden evvel (vadeden evvel policcedilenin satışı) olabilir

Policcedilenin iskontu bir finans işlemidirVadeli satış yapan işletme elinde bulunan senedi vade tarihine kadar bekleterek borccedillusundan tahsil eder ya da vade tarihinden oumlnce bir finans-man kurumuna giderek policcedileyi paraya ccedilevirebilir Bu işleme policcedile kırdırma ya da policcedile iskon-tosu denir Policcedile iskontosu aslında vade tarihinden oumlnce policcedilenin satışı ya da satın alışıdır Bu durumda satın alan kişi policcedilenin iskonto guumlnuumlnden vadesi doluncaya kadar guumlnlere karşılık gelen faiz tutarı kadar policcedilenin nominal değerinden eskitir Genellikle paraya ihtiyacı olan iş-letmelerin sattıkları mal ya da yaptıkları hizmetler karşılığında ellerindeki policcedileleri bankaya goumltuumlruumlp iskonto yapıyorlar Bir işletme kuruluşu bir guumlnde birkaccedil policcedilenin iskontosu yapılırsa policcedilelerin şartnamesi de sunulur

Policcedilenin tahsili vade guumlnuumlnden sonra yapılırsa vadeden sonraki guumlnlere karşılık gelen faiz miktarı policcedilenin nominal değerine katılır

Bu faizin hesaplandığı faiz oranı iskonto oranıdır ve elde edilen faiz miktarı iskonto mik-tarıdır iskontolanmanın yapıldığı hesaba ise iskonto hesabı denir

Policcedilenin iskontosu - İskontonun hesaplanması iccedilin birccedilok youmlntem vardır Ticari iskonto en basit şekilde şu formuumllle hesaplanır

100360

ptNDk

Rasyonel iskontoyu ise şu formuumllle hesaplayabiliriz

tpptNDr

100360

Bankalar iskontolamayı banka diskontundan yararlanarak yapıyorlar ve policcedile sahibinin elde edeceği efektif miktarı şu formuumllle hesaplanır

27

13

100360

1tpNE

1 Nominal değeri $1 000 olan bir policcedile bankaya 10092009 tarihinde verilmiştir İskonto oranı 7 ve oumldeme vadesi 30092009rsquodur Verilen parametrelere goumlre ticari ve rasyonel iskonto ve onlar arasındaki fark hesaplansın

N = 1000$ t = 20 guumln p = 7

893$

100360

2070001 Dk

873$207100360

2070001 Dr

002 $ 387 $ - 389 $ Dr -Dk

2 İşadamı X bir taşıma aracının satışında elde ettiği bir policcedile sahibidir Policcedilenin değeri $100 000 ve oumldeme vadesi 01102009 guumlnuumlduumlr Halbuki işadamının paraya ihtiyacı olduğundan 06092009 guumlnuuml policcedileyi iskonto etmek uumlzere bir bankaya 8 faiz oranıyla goumltuumlruumlyor Bu hiz-metin karşılığı olarak banka 5 komisyon ve manipuumllatif masrafl ar adında daha $100 oumldetiyor

N = $ 100 000p = 8t = 25 guumln

Efektif para miktarının hesaplanması

4444499$)100360

2581(000100$)

100) 360

t p - (1 N E

Efektif para miktarına goumlre iskonto D = 100 000$ - 99 44444$ = 55556$elde edilir ya da ticari iskonto formuumlluumlyle hesaplandığında

56555$36000

258000100

100360

p t N Dk

elde edilir İskonto hizmeti iccedilin komisyon miktarı

497$100

504444499$ elde edilir

28

Buna (100$) manipuumllatif harcamaları katmakla işadamının alacağı efektif para miktarı99 44444$ - 497$ - 100$ = 98 84744$ elde edilir

3 A şirketi 01052009 guumlnuuml eşit nominal değerleri $ 20 000 olan farklı oumldeme vadeli uumlccedil policcedile bankaya kırdırmak uumlzere goumltuumlruumlyor 0105 guumlnuuml 6 faiz oranıyla 1 komisyon ve $20 manipuumllatif masrafl arı nominal değerden duumlşuumlrerek kırılan policcedile iccedilin banka ne kadar oumldemiş-tir

Policcedile 01052010 guumlnuuml kırılmıştır

Para tutarı (N) Oumldeme tarihi Guumlnler DkPoliccedile A 20 000 $ 01042009 30 100 $Policcedile B 20 000 $ 20032009 41 137 $Policcedile C 20 000 $ 15032009 46 153 $

60 000 $ sum Dk = 390 $

p = 6

Dk =

390 $komisyon = 1manipuumllatif masrafl ar = $ 20Efektif tutar =

=N Dk = 60 000 390 = $ 59 610

ndash (komisyon = 59 610 х 001 = 5961)= 59 0139ndash ( 20)= 58 9939

İskonto yapılmış (kırılmış) farklı vadeli uumlccedil eşit policcedile iccedilin 01052010 tarihinde banka A şirketine 589939 denar oumldemiştir

Policcedilelerin satın alışı durumunda tuumlm masrafl ar policcedilenin iskontolanmış (kırılmış) tuta-rına katılır

4 Bir kişi 0105 guumlnuuml nominal tutarı 50 000 denar oumldeme vadesi 1605 olan bir A policcedilesi-ni ve nominal tutarı 70 000 denar oumldeme vadesi 3107 olan bir B policcedilesini bankaya kırdırmak uumlzere getiriyor Ne banka ne de policcedile sahibi zararlı olmayacak şekilde banka her iki policcedilenin tutarını bir orta tarihte policcedile sahibinin hesabına yatırmalıdır İskonto oranı her iki policcedile iccedilin 8rsquodir Her iki policcedilenin tutarı hangi tarihte oumldenecektir ve policcedile sahibine oumldenecek efektif tutar ne kadardır

29

Verilen parametrelerden şunları elde ederiz - (A) policcedilesinin nominal tutarı N1 = 50 000 denar ve t1 = 15 guumln ve- (B) policcedilesinin nominal tutarı N2 = 70 000 denar ve t2 = 92 guumlnİskontonun ortalama vadesini hesaplamak iccedilin formuumll

n

ti

n

tii

N

tN

1

1st

Buna goumlre iskontolamanın orta vadesi = 600007000050

92000701500050

guumlnp = 8

1600

36000

860)7000050000(

100360

p t N Dk

Efektif tutar (50 000 + 70 000) ndash 1 600 = 118 400 denar

Alıştırmalar

1 İskonto hesaplarında hangi parametrelerden yararlanılır

2 Policcedile nedir ve hangi elemanlardan meydana gelir

3 Policcedile ile işlem yapıldığında elemanlar kimdir

4 Nominal değeri (tutarı) 2 500 denar olan bir policcedile 1510 guumlnuuml bankaya kırdırmak iccedilin getirilmiştir İskonto oranı 9 ve oumldeme vadesi 2011 guumlnuumlduumlr Verilen parametrelere goumlre ticari ve rasyonel iskontoyu ve onlar arasındaki farkı hesaplayınız

5 A şirketi sattığı malın karşılığı oumldeme vadesi 01042010 guumlnuuml olan $ 1 200 000 no-minal tutarlı policcedile almıştır Şirketin net paraya ihtiyacı olduğundan 15032010 guumlnuuml policcedileyi bankaya satmaya (kırdırmaya) kararlaştırıyorlar İskonto oranı 7 komisyon 005 ve manipuuml-latif masrafl ar $ 500 olduğuna goumlre şirket bankadan ne kadar para almıştır

30

16 Yatırım (Depozit) Hesapları

Banka mevduat kabul eden bu mevduatı en verimli şekilde ccedileşitli kredi işlemlerinde kul-lanmak amacını guumlden veya faaliyetlerinin esas konusu duumlzenli bir şekilde kredi almak ya da kredi vermek olan ekonomik bir kuruluştur Bankaların geleneksel kaynakları bir kredinin ve-rilmesi iccedilin alınan depozitolar (bir alacağın karşılığı olarak alınan uzun ya da kısa vadeli depo-zito ve teminat niteliğindeki değerler) yatırımlardır Bu şekilde bankalar tasarruf ve kredi fonk-siyonunu gerccedilekleştirmekle para fonlarını etkin biccedilimde bir yerden diğer yere aktararak para sahiplerine (kredi vererek) ve kendi buumltccedilesine komisyondan faiz biccediliminde gelir sağlamaktadır

Tasarruf yapmak isteyen her vatandaş kendi para depozitosunu bankaya yatırabilir Mev-duat hesabı accediltıran her muumlşteriye bir hesap cuumlzdanı verilir Hesap cuumlzdanı vasi altında bir kişinin adına da accedilılabilir Cuumlzdan verilmesinin amacı hesap sahibinin hesap seyrini yani yatırılan pa-ralar alınan paralar ve mevduatların faizlerini izleyebilmesidir Hesap cuumlzdanının temel unsur-ları şunlardır hesap numarası hesap sahibinin adı ve soyadı doğum tarihi ve kimlik numarası banka hesabı karne numarası ve not boumlluumlmuuml (paraların vadesi ndash vadeli yoksa vadesiz) yazılır

Hesap cuumlzdanı banka yetkililerince imzalanır ve muumlhuumlrlenir Her yatırılan ve ccedilekilen pa-ranın miktarı ve tarihi kaydedilir ve bankanın yetkilisi tarafından imzalanır ve muumlhuumlrlenir

Hesap cuumlzdanındaki mevduatı

hesap cuumlzdanının sahibi ve

cuumlzdan sahibinin vekalet ettiği kişi yasal temsilci ve vasi kullanabilir

Bankaya depozitonun (nakti teminat) yatırımı bir tasarruf fonksiyonudur bu nedenle de-pozitonun yatırımlarıyla ilgili bu gibi hesaplara tasarruf mevduatlar hesabı ya da yatırım hesap-ları denir Tasarruf mevduatları

vadesiz ve vadeli (faizi ccedilekebilme imkanıyla bir aylık iptal etme ve etmeme vadesiyle oumlzel amaccedillı ya da amaccedilsız)

accedilık tasarruf mevduatlar ve

accedilık ccedilocuk denar tasarrufu olabilirler

Kişilerin bankaya verdikleri depozito verileri bankanın iş sırrıdır Aynı şekilde banka Makedonya Cumhuriyetirsquonde yabancı kişiler iccedilin de hesap cuumlzdanı accedilabilir Faiz oranları banka tarafından belirlenir

31

Mevduat sahiplerine oumldenecek faiz miktarı depozitonun vadeli yoksa vadesiz oluşuna bağlıdır Faiz bir miktar paranın belli bir suumlre kullanılması nedeniyle alınan sabit kiraya faiz de-nir Kısaca faiz paraya biccedililen fiyattır Resmi Mevduat hariccedil mevduata uygulanacak faiz oranları banka ile muumlşteri arasında serbestccedile belirlenir

Bankalar mevduata peşin faiz veremezler Vadesinden oumlnce ccedilekilen vadeli mevduata va-desiz mevduat faiz oranı uygulanır Cari hesap olarak işleyen mevduat hesaplarının faizleri yıl sonunda ilgili mevduat hesabına tahakkuk ettirilir Eğer hesap yıl iccedilinde kapatılırsa faiz hesabın kapatılma tarihinde hesaplanır ve mevduatta kalan tutar ile birlikte hesap sahibine oumldenir

Denar tasarruf mevduatları Tasarruf Mevduatı Sigorta Fonu tarafından sigortalıdır Bu fon bireysel kişilerin 10 000 EUR karşılığında depozitolarına 100 tazminat oumldemektedir 20 000 EUR den fazla olmamak şartıyla 10 000 EUR ve 20 000 EUR arasındaki mevduatları 90 tutarında tazminat oumldemekle yuumlkuumlmluumlduumlr Yukarıda adı geccedilen tutara tasarruf mevduatın temel değerine faiz miktarı katılır Faiz oranı o doumlnemde Makedonya Halk Bankasırsquonın iskonto oranı kadar geccedilerli olan değerle hesaplanır

Tasarruf mevduatlarına faiz miktarının hesaplanmasında basit faiz hesabı formuumlluumlnden yararlanılır Basit ve bileşik faizin hesaplanmasında şu unsurlar kullanılır

Ana para (temel değer) ndash K0 (depozito arttırılan kapital azaltılan kapital) faizi hesap-lanması gereken tutar

faiz vadesi yatırılan ya da parasal varlıklardan yararlanılan vadedir

faiz oranı faiz miktarı ( p ya da i )

faiz tutarı banka tarafından mevduat sahibine oumldenmesi gereken soumlzleşme kapsamın-da bulunan vade iccedilin hesaplanan faiz miktarı

Vade yıl ay ya da guumlnler ile ifade edildiğinde basit faizin hesaplanması iccedilin şu formuumlller geccedilerlidir

bir yıl vadeli mevduat 0

100

K pk ya da n yıl iccedilin 0

100

K pnk

vade ay ile verildiğinde 0

1200

K pmk

32

vade guumlnlerle ifade edildiğinde 36500

0 ptKk formuumlluuml kullanılır

Verilen mevduatların faizini hesaplamak iccedilin belli miktarın bankadan ccedilekmek iccedilin ya da bankaya yeni mevzuatlar yatırmak iccedilin guumlnlerin tayinine ait tablodan yararlanılır

Tablo 1Takvime goumlre yıl sonuna kadar guumln sayısı

Guumln Ocak Şub Mart Nis May Haz Tem Ağu Eyl Ek Kas Ara1 365 334 306 275 245 214 184 153 122 92 61 312 364 333 305 274 244 213 183 152 121 91 60 303 363 332 304 273 243 212 182 151 120 90 59 294 362 331 303 272 242 211 181 150 119 89 58 285 361 330 302 271 241 210 180 149 118 88 57 276 360 329 301 270 240 209 179 148 117 87 56 267 359 328 300 269 239 208 178 147 116 86 55 258 358 327 299 268 238 207 177 146 115 85 54 249 357 326 298 267 237 206 176 145 114 84 53 2310 356 325 297 266 236 205 175 144 113 83 52 2211 355 324 296 265 235 204 174 143 112 82 51 2112 354 323 295 264 234 203 173 142 111 81 50 2013 353 322 294 263 233 202 172 141 110 80 49 1914 352 321 293 262 232 201 171 140 109 79 48 1815 351 320 292 261 231 200 170 139 108 78 47 1716 350 319 291 260 230 199 169 138 107 77 46 1617 349 318 290 259 229 198 168 137 106 76 45 1518 348 317 289 258 228 197 167 136 105 75 44 1419 347 316 288 257 227 196 166 135 104 74 43 1320 346 315 287 256 226 195 165 134 103 73 42 1221 345 314 286 255 225 194 164 133 102 72 41 1122 344 313 285 254 224 193 163 132 101 71 40 1023 343 312 284 253 223 192 162 131 100 70 39 924 342 311 283 252 222 191 161 130 99 69 38 825 341 310 282 251 221 190 160 129 98 68 37 726 340 309 281 250 220 189 159 128 97 67 36 627 339 308 280 249 219 188 158 127 96 66 35 528 338 307 279 248 218 187 157 126 95 65 34 429 337 278 247 217 186 156 125 94 64 33 330 336 277 246 216 185 155 124 93 63 32 231 335 276 215 154 123 62 1

1 Bireysel kişi bankaya 9 faiz oranıyla yıllık faiz hesaplanmasıyla 10 000 denar para yatırmış-tır 5 ay sonra yatırımcının kaccedil parası olacaktır

K0 = 10 000 denar

33

p = 9m = 5 ay

Verilen parametrelere goumlre yatırımcının 5 ay sonra alacağı faiz miktarı

3751200

59 10000

k

denar

Hesaplanan faiz miktarı gereğince yatırımcının beş ay sonra ana paraya faiz miktarının katılımıyla 10 375 denarı olacaktır

2 Bir kişi 2505 guumlnuuml 100 000 denar bankaya yatırmış ve 0110 tarihinde 45 000 denar bankadan para almıştır Banka 5 faiz oranıyla işlem yaptığına goumlre yıl sonunda faiz miktarı ne kadar olacaktır

K0 = 100 000 denarp = 5t1 = 221 guumln (2505 ten yıl sonuna kadar)K1= - 45 000 denar t2 = 92 guumln (0110 den yıl sonuna kadar)

324605674302736500

92545000

36500

2215100000

21

iii

3 2009 yılı boyunca X yatırımcısının tasarruf yatırımlarında değişiklikler olmuştur Bu esnada bankanın uyguladığı faiz oranı 5rsquotir

10012009 yatırılmış 10 00015022009 yatırılmış 8 00001032009 ccedilekilmiş 6 00020032009 yatırılmış 2 000

Yukarıdaki veriler tasarruf mevduatı hesabına kaydedilsinHer para yatırımı ve para ccedilekilişi iccedilin yatırım (ya da ccedilekiliş) yapıldığı guumlnden yıl sonuna

kadar faiz hesaplanır

34

faiz oranı 5tarih yatırılmış ccedilekilmiş durum guumln Faiz miktarı

+ mdash durum10012009 10 000 10 000 356 48767 4876715022009 8 000 18 000 320 351 8386701032009 6 000 12 000 306 2515 5871620122009 2 000 14 000 12 329 5904431122009 59044 faiz 14 59044 59044Toplam 31122009

20 59044 6 000 14 59044 84196 84196 0

Alıştırmalar

1 Bankaların geleneksel kaynakları nelerdir

2 Basit ve bileşik faizin hesaplanmasında kullanılan kavramları (bileşenleri) sayınız

3 Banka hesabının temel elemanlarını sayınız

4 Bireysel kişi A 25012010 tarihinde bankaya 50 000 denar yatırmış 20092010 guumlnuuml bankadan 35 000 denar ccedilekmiştir Banka 8 faiz oranıyla işlem yaptığına goumlre yıl sonunda yatı-rımcının toplam parasını hesaplayınız

5 2009 yılı boyunca X yatırımcısının tasarruf yatırımlarındaki değişiklikler aşağıdaki tabloda goumlsterilmiştir

0501 2009 yatırılmış 3 0002001 2009 ccedilekilmiş 2 50031012009 yatırılmış 3 20028022009 yatırılmış 3 35003042009 ccedilekilmiş 4 00004062009 yatırılmış 5 00009092009 ccedilekilmiş 3 70010112009 yatırılmış 3 00025122009 ccedilekilmiş 5 000

Faiz oranı 75 olduğuna goumlre banka hesabındaki değişiklikleri hesaplayınız

35

17 Kredi Banka Hesabı

Ekonomi ccedilerccedilevesinde bankalar ve finans kuruluşları verimli işletmelere para transferi yapmaktır Yani bankalar fona ihtiyaccedil duyanlarla fonlarını değerlendirmek isteyenleri buluş-turma accedilısından en oumlnemli mali sistemdir Bankaların en oumlnemli goumlrevlerinden biri kaynak sağlamaktır İkinci buumlyuumlk goumlrevi ise sağladığı kaynağın yatırılması yani plasman goumlrevidir ki bu da kredi verme şeklinde ortaya ccedilıkar Bankacılıkta kredi verme kavramı verilen borcun belli bir suumlre sonunda geri alınmasından daha geniş bir işlem topluluğunu anlatır Bankalar muumlşterileri-ne işletme kredisi ve alışveriş kredisi adında borccedil para vererek kredi accedilar

Vadesine goumlre kredi ccedileşitleri

kısa vadeli krediler (geri oumldemesi en ccedilok bir yıl vadeli)

orta vadeli krediler (geri oumldeme vadesi 1 yıldan uumlccedil yıla kadar)

Uzun vadeli krediler (geri oumldemesi uumlccedil yıldan fazla) kredilerdir

Kısa vadeli krediler muumlşterilerin guumlnluumlk ihtiyaccedillarını finanse etmek ticarette kısa vadeli oumldemeleri sağlamak uumlretimde ihracatta ve hizmetlerin oumldenmesi iccedilin kullanılır Kısa vadeli kredi muumlşterinin talebi uumlzere verilir ve ard arda ya da doumlner (revolving) olabilir Kredinin geri oumldenmesi vadesinin tamamlanmasına kadar eşit aylık taksitlerle ya da revolving - soumlzleşme di-namikliği taksitleri biccediliminde yapılabilir Kredinin teminatı gayrimenkul ipoteği ile satılabilir araccedil varlıkları depozito banka garantisi değerli kağıtlar ve haklar ile yapılmaktadır

Kişilere uzun vadeli krediler ndash Bu krediler genellikle uzun vadeli yatırımlar iccedilin yatırım projelerin gerccedilekleştirilmesi iccedilin ticari amaccedillı vb olabilir Uzun vadeli kredilerin geri oumldeme vadesi uumlccedil yıla kadardır (ya da bankanın durumuna goumlre uumlccedil yıldan fazla da olabilir) Denar cin-sinden ya da doumlviz bazında olabilir

Parasal varlıkların amaccedillı kullanılmasına dair goumlsterilen belgeler gereğince uzun vadeli kredilerin kullanılış şekli muumlşterinin isteği uumlzeredir Kredi yatırım dinamiği gereği eşit aylık uumlccedil aylık ya da yarım yıllık taksitlerle geriye oumldenebilir Kredinin teminatı gayrimenkul ipoteği ile satılabilir araccedil varlıkları depozito banka garantisi değerli kağıtlar ve haklar ile yapılmaktadır

Kredinin fiyatı (faiz oranı) kredinin vadesine goumlre belirlenir Onaylanan kredi iccedilin banka oumlzel hesap ndash kredi hesabı accedilar Onaylanan kredi miktarı muumlşterinin cari ndash hesabına aktarılır ve bu hesaptan muumlşteri krediyi kullanabilir Geri oumldeme taksitinin belirlenen vadede oumldenmemesi

36

durumunda oumlngoumlruumllen faize ceza faizi de eklenir Faizin oumldenmesinde guumlnler takvime goumlre sayı-lır bir yıl ise 365 ya da 366 guumln olarak alınır

Onaylanan krediler elektronik vasıtalarla kredi ve ciro hesabından takip edilmektedir

1 Bir X şirketine bir bankadan kullanma tarihi 30072010 yılı başlamak uumlzere 1000000 denar kredi onaylanmıştır Sıralı faiz oranı yıllık 9 ceza faizi ise yıllık 3rsquotuumlr Şirket 01022010 tarihinde onaylanan kredinin tuumlmuumlnuuml bankadan ccedilekerek kullanmış ve geri oumldeme taksitlerini şu vadelerde gerccedilekleştirmiştir

20032010 I taksit 100 000 denar15042010 II taksit 120 000 denar01082010 III taksit 180 000 denar15082010 IV taksit 600 000 denar

30 09 2010 tarihine kadar bankanın kredi hesabında tuumlm değişiklikler (sıralı ve ceza faiz-lerinin hesaplanmasıyla) goumlsterilsin Ayrıca X muumlşterisinin de banka hesabındaki değişiklikleri goumlsterilsin

Değişme tarihi Değişme tutarı Faizde kalan guumlnler Faiz tutarı

verilen alınan sıralı cezalı sıralı cezalı

01022010 1 000 000 242 v 59 67220032010 100 000 194 a 4 78415042010 120 000 168 a 4 97101082010 180 000 66 a 7 45715082010 600 000 15 46 a 2 219 v 2 2685Toplam 1 000 000 1 000 000 v 79 103 v 2 2685

Kredi tutarının sıralı faiz guumlnleri 0102rsquoden 3009 tarihleri arasındaki guumlnler iccedilin hesap-lanmıştır Bu guumlnlerin faiz miktarı kredi sahibinin borcuna yazılır (d işareti ile işaretlenmiştir) Diğer değişikliklerin sıralı faizi ise değişim yapılan guumlnden oumldeme vadesi guumlnuumlne kadar (30 09 2010) guumlnlere hesaplanır Bu guumlnler sayısına karşılık gelen faiz miktarı karşılık gelen değişim iccedilin ccedilıkarılır (z işaretiyle işaretlenmiştir) Ceza faizi kredinin ccedilekiliş guumlnuumlnden değişim tarihine kadar guumln sayısı iccedilin hesaplanır Bu faiz ile kredi sahibi borccedillanır

37

X şirketinin banka hesabı

Değişme tarihi Cinsi Değişim miktarı Son durumveriyor alıyor

15012010 durum 500 000 500 00001022010 kredi 1 000 000 1 500 0002003 2010 I taksit 100 000 1 400 0001504 2010 II taksit 120 000 1 280 0000108 2010 III taksit 180 000 1 100 00015 082010 IV taksit 600 000 500 00030092010 9 faiz 79 103 420 89730092010 3 ceza faizi 2 2685 418 628530092010 dengeleme 418 6285

1 500 000 1 500 0000110 Son durum 418 6285

Alıştırmalar

1 Oumldeme vadesine goumlre kaccedil ccedileşit kredi vardır

2 Kısa vadeli kredilerin kullanılışını ve oumlzelliklerini sayınız

3 Uzun vadeli kredilerin kullanılışını ve oumlzelliklerini sayınız

4 Kredinin fiyatı neye bağlıdır

5 Bir X şirketine bir bankadan kullanma tarihi 26042010 yılı başlamak uumlzere 20000000 denar kredi onaylanmıştır Sıralı faiz oranı yıllık 75 ceza faizi ise yıllık 2rsquodir Şirket 01032010 tarihinde onaylanan kredinin tuumlmuumlnuuml bankadan ccedilekerek kullanmış ve geri oumldeme taksitlerini şu vadelerde gerccedilekleştirmiştir

05032010 I taksit 270 denar12042010 II taksit 580 denar17052010 III taksit 700 denar23052010 IV taksit 18 450 denar

38

30 06 2010 tarihine kadar bankanın kredi hesabında tuumlm değişiklikler (sıralı ve ceza faizlerinin hesaplanmasıyla) goumlsterilsin Ayrıca X şirketinin banka hesabındaki başlangıccedil para durumu 50 000 denar olduğuna goumlre banka hesabındaki değişiklikler goumlstertilsin

18 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 17 628 denar 6 faiz oranıyla ne kadar zamanda 2 393 denar faiz miktarı getirir

2 Faiz oranı 45 ile 20 000 denar 3 ay 40 000 denar 5 ay ve 12 000 denar 6 ayda getir-dikleri toplam faiz miktarını hangi temel para 20 mart ndash 28 haziran zaman aralığında zaman matrisi (k 360) faiz oranı 475 olmak uumlzere iki defa daha ccedilok faiz miktarı getirecektir

3 Faiz oranı 65 olmak uumlzere 25 000 denar 804 - 3006 zamanı iccedilin 62 000 denar 1804ndash3006 zamanı iccedilin ve 75 6000 denar 405ndash3006 zamanı iccedilin elde edilen toplam faiz mik-tarının 45rsquoi hangi faiz oranıyla 60 000 denar (k 360) ilkesine goumlre 1803ndash2906 zaman aralı-ğında elde edilir

4 Temel paranın uumlccedilte biri 15 yıl iccedilin beşte ikisi 4 ay iccedilin ve kalan kısmı 80 guumln iccedilin ban-kaya yatırılmıştır Her biri iccedilin faiz oranı 4rsquotuumlr Bu yatırımların toplam faiz miktarı 8500 denar olduğuna goumlre temel para ne kadardır

5 Temel paranın doumlrt aylık 475 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borccedillu 295 250 denar para almıştır Borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

6 Borccedillu 60 guumlnde 6 faiz oranıyla elde edilen faiz miktarını katarak 50 500 denar borccedil oumldemiştir Bu temel paranın iki katı 3 yıl vadeli aynı faiz oranıyla ne kadar faiz getirir

7 Temel paranın 2501ndash3108 zaman aralığında guumlnler takvimin (k 365) zaman matrisi-ne goumlre sayılarak 9 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borccedillu 100 000 denar para almıştır Borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

8 Bir kişi bankaya 4 ayrı borccedil oumldemelidir 1004 vadeli 6 faiz oranıyla 45 000 denar 2504 vadeli 8 faiz oranıyla 100 000 denar 2005 vadeli 9 faiz oranıyla 70 000 denar ve 3105 vadeli 4 faiz oranıyla 100 000 denar Hiccedilbiri zararlı olmayacak şekilde hangi guumln ve hangi faiz oranıyla borccedillu borcunu bir guumlnde oumldeyebilir

39

9 Bir ticaret şirketinin mal tedarikccedililerine borccedilları 4 faiz oranıyla oumldeme vadesi 120 guumln 40 000 denar 4 faiz oranıyla 240 guumln vadeli 60 000 denar ve 4 faiz oranıyla 300 guumln vadeli 100 000 denar Kaccedil guumln sonra şirket her uumlccedil borcu aynı guumlnde oumldeyebilir

10 Ticaret şirketi X oumldeme tarihi 504 olan 80 000 denar 2005 guumlnuuml 150 000 denar ve 3006 guumlnuuml 275 000 denar oumldenmesi gereken borccedilları vardır Aynı zamanda oumldeme tarihi 1703 olan 130 000 denar 0508 de 900 000 denar olan alacakları vardır Borcun saldosu (son durumu) hangi tarihte oumldenebilir

11 X şirketi 06042009 guumlnuuml bankaya kırdırmak uumlzere policcedile getirmiştir Policcedilenin nomi-nal değeri $ 250 000rsquodir ve oumldeme vadesi 15052009 dir Bankanın iskonto oranı 8 olduğuna goumlre policcedilenin ticari indirimini ve efektif miktarını hesaplayınız

12 E şirketi sattığı mal karşılığında 3 000 000 değerinde oumldeme vadesi 20042009 guumlnuuml olan bir policcedile almıştır Para sıkıntısı sebebiyle şirket 21032009 guumlnuuml policcedileyi kırmaya kararlaş-tırıyor İskonto oranı 6 yapılan işlemin komisyonu 0025 ve manipuumllatif masrafl ar 50 denar olduğuna goumlre bankanın şirkete oumldeyeceği paranın nominal değeri ne kadardır

13 X şirketi 150 000 denar değerinde oumldeme vadesi 05052009 tarihli olan bir policcedile-nin sahibidir Şirket bu policcedileyi oumldeme vadesinden oumlnce kırmaya kararlaştırıyor Kırma tarihi 05032009 guumlnuuml iskonto fiyatı 9 komisyon 0045 ve manipuumllatif masrafl ar 100 denardır Kırı-lan policcedilenin efektif değeri ve ticari indirim ne kadardır

14 20042010 guumlnuuml banka nominal değeri $50 000 olan uumlccedil eşit policcedile almıştır Policcedilelerin oumldeme vadeleri birincisi 20062010 ikincisi 10072010 ve uumlccediluumlncuumlsuuml 20072010 guumlnuumlduumlr İs-konto fiyatı (oranı) 85 komisyon 1 ve manipuumllatif masrafl ar 19 denar olduğuna goumlre banka 20042010 guumlnuuml policcedileler iccedilin ne kadar oumldeyecektir

15 Bir bankaya 15032010 tarihinde kırılmak uumlzere iki policcedile getirilmiştir

- policcedile X nominal değeri $ 3 000 000 ve oumldeme vadesi 25012010 ve

- police Y nominal değeri $ 5 000 000 ve oumldeme vadesi 20062010 guumlnuuml

İskontolanmış bu policcedilelere talip olan muumlşteri kendi hesabına bir ortalama vadede ya-tırılmasını istemiştir (aynı guumlnde her iki policcedilenin sahibi olsun) İskonto edilmiş miktarların muumlşteri hesabına yazılacağı guumln tarihi belirtilsin

40

16 Bankaya 0108 guumlnuuml 400 000 denar para yatırılmış ve 0210 guumlnuuml 120 denar ccedilekilmiştir Faiz oranı 5 olduğuna goumlre yıl sonunda faiz tutarı ne kadardır

17 Yatırımcı Yrsquonin banka hesabında faiz oranı 10 olmak uumlzere 2010 yılında aşağıdaki değişiklikler olmuştur

15032009 yatırılmış 50 00001042009 Ccedilekilmiş 20 00005062009 yatırılmış 18 00007072009 Ccedilekilmiş 15 00008082009 yatırılmış 18 00001092009 Ccedilekilmiş 13 000

Verilenlere goumlre banka hesabında tuumlm değişiklikler kaydedilsin

18 Y şirketi bir bankadan oumldeme vadesi 25062010 olmak uumlzere 70 000 denar kredi almıştır Sıralı faiz oranı 10 ceza faiz oranı ise yıllık 2rsquodir Şirket 01042010 guumlnuuml tuumlm kredi miktarını kullanıyor ve kredinin geriye ccedilevrilmesini aşağıdaki tarihlerde gerccedilekleştiriyor

01052010 I taksit 7 000 denar10052010 II taksit 10 000 denar20062010 III taksit 15 000 denar25072010 IV taksit 38 000 denar

30082010 guumlnuumlne kadar bankadaki kredi hesabında yapılan değişiklikleri (sıralı ve ceza faiz miktarlarının faizlerini hesaba katarak) goumlsteriniz X şirketinin başlangıccediltaki para durumu (saldosu) 30 000 denar olduğuna goumlre şirketin banka hesabındaki tuumlm değişiklikleri goumlsterilsin

41

Konu Oumlzetleri

Bankadan borccedil (kredi) aldığımızda banka alacaklı parayı alana ise verecekli (borccedillu) de-nir Bankanın parasından yararlanan verecekli karşılık olarak bankaya belli bir faiz oumldeyecektir Bankaya para yatırdığımız takdirde banka kullanıcıdır ve vericiye belli bir faiz oumldemektedir Bir yatırımın yatırım doumlnemi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranına basit faiz denir

Faiz miktarının ve ona bağlı olan diğer buumlyuumlkluumlklerin hesaplanmasına basit faiz hesabı denir Basit faiz hesabında genel olarak şu doumlrt temel buumlyuumlkluumlğe rastlanılır

100

Kpti K ndash Ana para (kapital temel değer) i ndash faiz miktarı (yuumlzde payı) p ndash yuumlzde oranı (faiz miktarı) t ndash faizin hesaplandığı suumlre (zaman)

Birkaccedil borccedil miktarı farklı vadelerde oumldenecek yerde toplam borcu aynı anda oumldenmesi iccedilin ayrılan zamana orta vade denir Ortalama vadeyi ve ortalama faiz oranını belirtme işlemine vadeli hesap denir ve aslında basit faiz hesabının bir uygulanmasıdır Bazı durumlarda borccedillu aynı anda başka borccedillulardan alacaklı durumunda olabilir Boumlyle durumda alacak ve verecek farkını oumldeme vadesine borccedil durumunun (saldosunun) oumldeme vadesi denir

Ortalama faiz oranı bilindiği takdirde borcun ortalama oumldeme vadesini şu formuumllle he-saplayabiliriz

ns

nnns KKKp

tpKtpKtpKt

21

222111

Borccedil miktarlarının oumldeme vadeleri bilindiğinde ortalama faiz oranına ait şu formuumlluuml uy-gulayacağız

ns

nnns KKKt

tpKtpKtpKp

21

222111

burada K1 K2hellip Kn borccedil miktarları p1 p2 hellip pn karşılıklı faiz oranları ve t1 t2 hellip tn kar-şılıklı oumldeme vadeleridir

Borccedil kalanı (saldo) vadesinin hesaplanması şu formuumllle hesaplanır

42

s

mmmnnns Sp

tpPtpPtpPtpKtpKtpKt000

2

0

22

0

1

0

11222111

burada K1 K2 hellip Kn borccedil miktarları vadeleri t1 t2 hellip tn guumlnler ve p1 p2 hellip pn karşılıklı olarak faiz oranları P1 P2 hellip Pn alacaklar onlara karşılık vadeleri t1degt2degtmdeg guumlnler ve p0

1 p02

p0m faiz oranlarıdır

Henuumlz vadeleri yetişmemiş alacakların satışı durumunda satış guumlnuumlnden alacakların va-desinin olduğu guumlne kadar faiz miktarının alacaktan eksilmesine iskonto denir

Belli bir tarihte oumldenmesi gereken borcu vadesi gelmeden belli bir tarihte oumldemeye douml-nuumlştuumlrme işlemine (şimdiki değeri ilerdeki borcun değerine doumlnuumlştuumlruumllmesine) iskontolama denir

İndirim (iskonto) hesaplamaların yapılmasında şu parametrelerden yararlanılırN - Finansal varlığın nominal değeritmn - İndirim (iskonto) vadesi varlığın indirilme guumlnuumlnden tahsilat guumlnuumlne kadar guumln-

ler sayısı t aylar sayısı m yıl sayısı n Ayların guumlnleri takvime goumlre alınır oumlyle ki varlığın indiril-mesi yapıldığı guumln sayılmıyor varlığın tahsil edildiği guumln sayılır

D - İndirim (eskonto) finansal varlığın nominal değerinin azalmasına eşittirp - İndirimin hesaplanmış olduğu faiz oranı (iskonto oranı) E - Nominal borcun erken oumldeme anında reel (efektif) miktar

İndirimin hesaplanması iki şekilde yapıldığına goumlre iki tuumlr indirim vardır Dk- Ticari indirim burada indirimin hesaplandığı temel değer nominal değerdir efektif değer ise nomi-nal değer ve indirimin farkıdır ve rasyonel (matematiksel) indirim ndash Dr burada nominal değer efektif değer ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

Policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedidir

Policcedilenin temel ccedileşitleri hamil ve şahsi policcedilelerdir Hamil policcedile şu temel unsurları iccediler-melidir policcedile işareti oumldeyecek olanın adı keşideci adı ya da adresi kime ve kimin emrine oumldeneceği ndash lehdar tanzim (duumlzenleme) yeri ve tarihi belli bir paranın kayıtsız şartsız oumldenmesi iccedilin havale oumldeme yeri policcedilenin yazılma tarihi ve yeri oumldeyecek olanın imzası Şahsi policcedile

43

şu unsurları iccedilerir para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair vaat vermesi havale tarihi oumldeme yeri alacaklının adı policcedilenin yazılma tarihi ve yeri ve oumldeyen kişinin imzası

Policcedile işlemleri hukuk işlemleridir ve policcedile hakkında şu işlemler yapılabilir policcedilenin verilmesi policcedilenin onaylanması policcedilenin vurgulanması policcedilenin devredilmesi policcedilenin havale edilmesi policcedilenin satın alınması amortisman geriye ccedilevrilmesi policcedilenin protesto edilmesi vb

Policcedile hukuk işlemlerinde karakteristik kurallar genellikle şunlardır okur yazarlık in-korporasyon birleşme (şirketleşme) policcedile sorumluluğun kesinliği policcedile titizliği ve policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil etmedir

Policcedile iskontosu vade tarihinden oumlnce policcedilenin satışı ya da satın alışıdır Bu durumda satın alan kişi policcedilenin iskonto guumlnuumlnden vadesi doluncaya kadar guumlnlere karşılık gelen faiz tutarı kadar policcedilenin nominal değerinden eskitir

Ticari iskonto şu formuumllle hesaplanır

100360

ptNDk

Rasyonel iskonto ise şu formuumllle hesaplanır

tpptNDr

100360

Burada N nominal değer (parasal değer) t guumln sayısı olarak iskonto vadesi ve p ndash iskontonun hesaplandığı faiz oranıdır (miktarıdır)

Banka iskontosundan policcedile sahibinin elde edeceği efektif miktarı şu formuumllle hesapla-nır

13

100360

1tpNE

Burada N nominal değer (parasal değer) t guumln sayısı olarak iskonto vadesi ve p ndash iskontonun hesaplandığı faiz oranı (miktarı) dır

Tasarruf mevduatlarına faiz miktarının hesaplanmasında basit faiz hesabı formuumlluumlnden yararlanılır Vade yıl ay ya da guumlnler ile ifade edildiğinde basit faizin hesaplanması iccedilin şu for-muumlller geccedilerlidir

bull vade n yıl iccedilin 100

0 pnKk

44

bull vade ay ile verildiğinde 0

1200

K pmk

bull vade guumlnlerle ifade edildiğinde 36500

0 ptKk formuumlluuml kullanılır

Burada K0 temel para (ana değer) p - faiz oranı ve t ndash zamandır

Bankalar muumlşterilerine işletme kredisi ve alışveriş kredisi adında borccedil para vererek kredi accedilarVadesine goumlre kredi ccedileşitleri kısa vadeli krediler orta vadeli krediler ve uzun vadeli krediler (geri oumldemesi uumlccedil yıldan fazla kredilerdir)

45

KIYMETLİ METALLER PARALAR VE DOumlVİZLER

21 Kıymetli Metallerin Arılığı

Altın guumlmuumlş platin rutenyum rodyum osmiyum paladyum ve iridyum elementleri kıymetli metaller gibi tanınmıştır Bunlardan bazıları daha ccedilok eski zamanlardan bilinmek-tedir Bunların oumlzellikleri diğer elementlerden daha az reaktivite oumlzelliğine sahip olup havada oksidasyon olmuyor ve asitlerde erimiyorlar Doumlviz rezervleri gibi kullanılabilir Bunların buumlyuumlk oumlnemi nedeniyle kıymetli metallerden yapılmış olan nesnelerin kontroluuml yapılışı ve arılık de-recesi onların incelemesi işaretlenmesi pazara satış koşulları ve kontroluuml kanunla duumlzenlen-mektedir

Burada kıymetli metallerden altın ve guumlmuumlşuuml inceleyeceğiz Bu metaller ccedilok tanınmış değerlendirilmiş ve ccedilok eski zamanlardan yani binlerce yıl oumlnceden bu guumlne kadar kullanılmak-tadır Altın ve guumlmuumlş ccedilok yumuşak metallerdir ve bu yuumlzden kullanılış iccedilin pratik değildirler Biraz sertlik kazanmak iccedilin başta bakır nikel ve başka metallerle karıştırılır İki ya da daha ccedilok metalin karışımına filiz (alaşım karışım) denir Filizin kuumltlesine toplam kuumltle diyeceğiz

Kıymetli metalin kuumltlesi (saf kuumltle) ve filizin kuumltlesinin oranına kıymetli metalin arılık (safl ık) derecesi denir Kıymetli metallerin arılık derecesi milyem (promil) ve İngiliz usuluuml olmak uumlzere iki şekilde ifade edilir

Safl ık milyem biccediliminde goumlsterildiğinde kıymetli metal milyem ile ifade edilir Bu durum-da milyem sayısı bir filizde 1000 eşit parccediladan kaccedil eşit parccedila kıymetli metal olduğunu goumlsterir Oumlrnek bir kıymetli metalin arılık derecesi 9000oo ile ifade edilmişse filizin 1000 parccedilasında 900 parccedila kıymetli metaldir Toplam kuumltleyi m ile saf kuumltleyi mb ile ve arılık derecesini f ile işaret edersek arılık derecesinin milyem usuluumlne goumlre goumlsterilişini şu formuumllle ifade edebiliriz

1000mmf b permil

1 Bir altın nesnenin saf kuumltlesi 510 gram ve toplam kuumltlesi 800 gramdır Nesnenin arılık derecesini (milyem olarak) ifade ediniz

Altın nesnenin arılık derecesi 56371000800

510f permil

dir

Arılık derecesinin İngiliz usuluuml ile ifade edilmesinde altının oumllccediluuml birimi ayar (karat) guumlmuumlşuumln arılık derecesi ise peniveyt (pennyweight) ile goumlsterilir Saf altının arılık derecesi 24 karat saf guumlmuumlşuumln arılık derecesi ise 240 peniveyt dir

2 Arılık derecesi 14 ayar olan bir altın nesnenin 24 kısmından 14 kısım saf altındır

2

46

3 Arılık derecesi 200 peniveyt olan guumlmuumlşten bir uumlruumlnuumln 240 kısmından 200 kısmı saf guumlmuumlştuumlr

Karat ve peniveytten kuumlccediluumlk oumllccediluuml birimi greynrsquodir 1 karatta 4 greyn ve 1 peniveytte 24 greyn vardır

Arılık derecesi 22 karat (ayar) olan altına standart altın 222 peniveytlik guumlmuumlşe standart guumlmuumlş denir Bir altın (guumlmuumlş) filizinin arılık derecesi standart safl ıktan daha iyi ise ona B işa-reti yazılır (İng Better ndashdaha iyi) ya da standart safl ıktan daha koumltuuml ise W işareti konulur (İng Worse ndash daha koumltuuml)

4 Altın nesnenin safl ığı standart altından 1 karat ve 2 greyn daha iyi olduğu durumda B12 biccediliminde yazılır O halde altın nesne (22+ 12 = 232) 23 karat ve 2 greyndir

5 Arılık derecesi W 77 olan guumlmuumlş nesne standart guumlmuumlşten 7 peniveyt kadar daha koumltuumlduumlr 222 ndash 77 = 22124 ndash 77 = 21417 olduğuna goumlre guumlmuumlş nesnenin arılık derecesi 214 peniveyt ve 17 greynrsquodir

Alıştırmalar

1 a) Kıymetli metallerin arılık derecesi nedirb) Kıymetli metallerin arılık derecesi nasıl ifade edilir

2 Arılık derecesia) 920 permil b) 870permilverilmiş olan altın filizin kaccedil kısmı bakırdır

3 Saf altın kaccedil karattır Saf guumlmuumlş ise kaccedil karattır

4 a) Safl ığı 20 karat olan altın nesne b) Safl ığı 210 peniveyt olan guumlmuumlş nesne kaccedil greyndir

5 a) B 11 işaretli altın nesnenin b) W 53 işaretli altın nesnenin c) B 1011 işaretli guumlmuumlş nesnenin d) W 128 işaretli altın nesneninarılık derecesi ne kadardır

22 Arılık (Safl ık) Derecesinin Hesaplanması

Kıymetli metallerin arılık derecesini hesaplamak iccedilin iki cins oumldevler vardır Arılık derecesini İngiliz usuluumlne goumlre milyemlerle goumlsterme ve tersine işlemleri olan

oumldevler

47

Kıymetli metalin saf kuumltlesi ve filizin kuumltlesi bilindiğinde kıymetli metallerin arılık derecesini hesaplama gibi oumldevler

1 Arılık derecesi 800permil olan altın nesnenin safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade edinizx 24 = 800 1000 orantısından 219

1000

80024

x

karat elde edilir Demek ki altının arılık derecesi 192 karattır 02 karat 02 4 = 08 greyn olduğuna goumlre altının arılık derecesi 19 karat ve 08 greyndir diyebiliriz Bunu (22 ndash 1908 = 214 ndash 1908 = 232) W 232 biccediliminde yaza-biliriz

2 B 86 işaretli guumlmuumlşuumln arılık derecesini milyemle goumlsteriniz Arılık derecesini oumlnce peniveytlerle hesaplayalım 222 + 86 = 2306rsquodır 6 greyn bir

peniveytin

4

1

rsquo uuml olduğuna goumlre guumlmuumlşuumln arılık derecesi 23025 peniveyt olduğunu buluyoruz

x 1000 = 23025 240 orantısından

375959240

100025230

x permil

elde edilir Demek ki guumlmuumlşuumln arılık derecesi 959375permil dir

3 Toplam kuumltlesi 400 gram olan guumlmuumlş nesnede 350 gram saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln arılık derecesini milyemlerle ifade ediniz

Guumlmuumlşuumln arılık derecesi

1000400

350 permil

bağıntısından 875permil elde edilir

4 Toplam kuumltlesi 300g olan altın nesnede 249 g saf altın vardır Altının arılık derecesini iki usule goumlre goumlsteriniz

Arılık derecesini oumlnce milyemlerle goumlstereceğiz

1000300

249 permil

Demek ki altın nesnenin arılık derecesi 830 permilrsquodir

Şimdi aynısını İngiliz usuluumlne goumlre ifade edelim x 24 = 830 1000 orantısından

92191000

83024

x

karat elde edilir Demek ki altın nesnenin arılık derecesi 19 karat ve 368

greyndir Sonuccedil olarak altın nesne W 2032 dir

Alıştırmalar

1 Milyem oumllccediluumlsuumlne goumlre arılık derecesi 590 permil olan guumlmuumlşuumln safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade ediniz

48

2 İngiliz usuluumlne goumlre arılık derecesi B 12 olan altının safl ığını milyemlerle ifade ediniz

3 Altın nesnenin arılık derecesi 1536 karattır Bunu milyemlerle goumlsteriniz

4 Kuumltlesi 330 g olan altın nesnede 198 g saf altın vardır Altının arılık derecesinia) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

5 Kuumltlesi 250 g olan bir guumlmuumlş nesnede 198 g saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln arılık derecesinia) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

23 Saf ve Toplam Kuumltlenin Hesaplanması

Kıymetli metalin saf kuumltlesini hesaplamak iccedilin filizin arılık derecesi ve toplam kuumltlesinin bilinmesi gerekir

Birkaccedil oumlrnek inceleyelim1 Kuumltlesi 50 g olan bir altın nesnenin arılık derecesi 920permilrsquodir Nesnede kaccedil gram saf altın

vardırx 50 = 920 1000 orantısından 46

1000

92050

x

elde edilir Demek ki altın nesnede 46g saf altın vardır

2 Arılık derecesi 18 karat olan 560 gramlık bir altın nesnede kaccedil gram saf altın vardırx 560 = 18 24 orantısından

42024

18560

x

elde edilir Demek ki altın nesnede 420g saf altın bulunur

3 Safl ık derecesi W 86 olan bir guumlmuumlş eşyanın kuumltlesi 480grsquodır Nesnede kaccedil gram saf guumlmuumlş vardır

Guumlmuumlşuumln safl ık derecesini peniveytlerle hesaplıyoruz222 ndash 86 = 22124 ndash 86 = 21318 elde edilir Buna goumlre guumlmuumlşuumln arılık derecesi

752134

3213

24

18213

peniveyttir

Şimdi x 480 = 21375 240 orantısından

5427240

48075213

x

elde edilir Demek ki guumlmuumlş eşyada 4275g saf guumlmuumlş vardır

49

Bir filizin toplam kuumltlesini hesaplamak iccedilin kıymetli metalin safl ık derecesi ve kuumltlesi bilinmelidir

4 Safl ık derecesi 800permil olan bir altın nesnede 648g saf altın vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

x 648 = 1000 800 orantısından 810800

1000648

x

elde edilir Demek ki filizin toplam kuumltlesi 810 grsquodır

5 Safl ık derecesi 230 peniveyt olan bir guumlmuumlş nesnede 483g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

x 483 = 240 230 orantısından

504230

240483

x

elde edilir Guumlmuumlş eşyanın toplam kuumltlesi 504 grsquodır

6 Safl ık derecesi B 112 olan bir guumlmuumlş nesnede 1341g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

Guumlmuumlşuumln arılık derecesi 222 + 112 = 22312 ya da

522324

12223

peniveyttir O halde

x 1341 = 240 2235 orantısından

14405223

2401341

x

elde edilir Guumlmuumlş nesnenin toplam kuumltlesi 1440grsquodır

Alıştırmalar

1 Kuumltlesi 180g ve arılık derecesi 880permil olan altın nesnede ne kadar saf altın vardır

2 Kuumltlesi 600g ve arılık derecesi W 2212 olan guumlmuumlş nesnede ne kadar saf guumlmuumlş vardır

3 Safl ık derecesi 850permil olan guumlmuumlş nesnede 595g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

4 Safl ık derecesi W 13 olan altın nesnede 324g saf altın vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

5 Safl ık derecesi 750permil olan altın nesnede 126g saf altın vardır Buna ne kadar saf altın katılmalıdır ki nesnenin safl ık derecesi 800permil olsun

50

24 Para Birimi Kavramı ve Oumlnemi

Latin soumlzuuml ldquovalutardquodan kaynaklanan para birimi kavramının birccedilok anlamı vardır Para devletccedile bastırılan uumlzerinde itibari değeri yazılı kağıt ya da metal oumldeme aracıdır Para birimi-nin birkaccedil anlamı vardır

temel para birimi (adı şekli yapılışı) bir devletin para sistemini ifade eder

devlet iccedilinde kanun aracı olarak finans oumldemeler iccedilin yani bir devletin para sisteminin temel para birimini efektif paraları ve para işaretlerini (metal ya da kağıt banknotlar) ifade eder

uluslararası ticarette sadece etkin yabancı paraların anlamı vardır yabancı devlette ikamet edenlerin para ve para işaretleridir

Uluslararası ticarette parayı temsil eden belgeler ccedilek fatura akreditifl er ya da uluslararası oumldemelerde kullanılan ccedileşitli araccedillar para kavramı kapsamında değildir Ancak devletlerin res-mi para işaretleri bulunan milli banknotlar ve demir paralar da geccedilerlidir

Makedonya Cumhuriyeti Doumlviz Kanununa goumlre yabancı devletlerin kullandıkları efektif paralar yabancı para sayılır ancak yabancı devletlerin bastıkları altın paralar muumlstesnadır ccediluumln-kuuml bunlar kıymetli metaller kavramına girer

Para birimi bir devletin para sisteminin temel birimidir kanunla duumlzenlenmiş bir uumllke-nin değerlerinin temel oumllccediluumlsuumlduumlr

Uumllkelerin paralarının adları farklı (oumlrnekdenar dinar euro dolar funt şiling vb) fakat birccedilok uumllkenin sadece isimleri aynı fakat diğer oumlzellikleri oumlrneğin değerleri şekilleri farklı olan paralar da vardır Oumlrnek para birimi dolar olan birccedilok uumllkeler Avustralya Kanada Hong Kong ve ABD

Temel birim olan para genellikle kuumlccediluumlk kısımlara (ufaklı paralara) ayrılarak genellikle ondalık ya da diğer bir sistem uygulamakla farklı adlarla ifade ediliyorlar (oumlrneğin ABD doları 100 sent Makedonya denarı 100 deni vb)

51

Para sisteminin temelini teşkil eden kıymetli metaller daha doğrusu altının geccedilerliliğe geccediltiği doumlnemlerde her uumllke kendi parasının ne kadar kıymetli metal iccedilereceğini kuvveti ve istikrarına bağlı olarak kendine ait kanunlarla tespit edilmekteydi Bununla belli ağırlıkta kıy-metli metalden oluşan bir para biriminin miktarını devlet kanunla duumlzenlemişti

Guumlnuumlmuumlzde artık hiccedilbir ulusal ekonomide tam değerinde para birimleri fonksiyonda de-ğildir Onlar artık para işaretleriyle yani kağıt paralarla değiştirilmiştir Guumlnuumlmuumlzdeki paraların yapıldığı malzemenin değeri ccedilok duumlşuumlktuumlr ve onların kendi asıl değerleri hemen de hiccedil yoktur Bir ulus devletinin ekonomisi ccedilerccedilevesinde uumlretebildiği mal ve yaptığı hizmetlerle kağıt paralar değerlerini kazanıyorlar Bir devletin parasal otoritesinin verdiği desteklerle de kağıt paralar kendi değerini belli bir seviyede tutabiliyorlar Devletin parasal yetkili organları oumlzerk yasa ile milli paranın değerini belirtir ve devletin ekonomik işlemlerinin kusursuz işlemesini sağlamak onların goumlrevidir

Mal ekonomisinde yapılan tuumlm işlemler para yardımıyla yapılır Bu nedenle mal uumlretimi-nin ve piyasanın etkisine dayanan ekonominin tuumlm işlevlerini para sistemi kontrol etmektedir Ekonominin ccedileşitli alanlarında olabilecek herhangi dengesizlik para ifadesi olarak algılanır ve ekonominin parasal sektoumlruumlne da yansır Diğer taraft an ekonominin parasal sektoumlruumlnde de den-gesizlik olabilir ve bu durum ekonominin reel sektoumlruumlnuuml etkilemektedir Bu şekilde ekonominin parasal ve reel sektoumlruuml arasında interaktif ilişkiler meydana gelir Ekonomi buumlyuumlme oranı işsiz-lik oranı enfl asyon ihracat ve ithalat oranı gibi ekonomi performansların oluşumu ekonomi-nin reel ve parasal sektoumlruumlndeki interaktif ilişkileriyle meydana gelmektedir

Alıştırmalar

1 Para birimi kavramının oumlnemini accedilıklayınız

2 Para biriminin tanımını ifade ediniz

3 Para birimlerin değeri neye bağlıdır

4 Kağıt paraların değeri nasıldır

5 Parasal sistem ve parasal otoritesi kavramlarını accedilıklayınız

52

25 Paraların Değerlerindeki Değişmelerin Hesaplanması

Bir ulusal ekonominin durumu iyiye ya da koumltuumlye doğru daima değişmektedir Uumllkede uumlretim verimliliğinin genel seviyesinin artması durumunda paranın resmi değerinde değişme olmadığına rağmen ulusal paran biriminin iccedil piyasadaki alım guumlcuuml artar Bu duruma paranın değer kazanması (apresiyasyon) denir

Aksi takdirde paranın resmi değerinde değişme olmadan ulusal paranın iccedil piyasadaki alım guumlcuuml azaldığı duruma paranın yıpranması (depresyonu) denilir Bu gibi olaylar daha uzun vadelerde meydana geldiği durumda enfl asyon ya da defl asyon denilen olaylara goumltuumlruumlr Bu gibi durumlardan ccedilıkış yolu ulusal para biriminin yabancı paralara goumlre değerinin değişmesiyle sağlanabilir

Şek1

Ulusal para biriminin değerinin değişmesi

Porast na vrednosta

Opa|awe na vrednosta

Deflacija (proces)

Revalvacija (akt)

Inflacija (proces)

Devalvacija (akt)

Değer kazanma Değer kaybetme

defl asyon(olay)

revaluumlasyon(hareket)

enfl asyon(olay)

devaluumlasyon(hareket)

Fiyatların genel seviyesinin devamlı kontroluuml ulusal para biriminin kur değişimi gerekli-liğini azaltmaktadır Bu demektir ki ulusal para biriminin diğer ulusların para birimlerine karşı değerinin azalması devaluumlasyon ve depresyon ile yapılabilir ulusal para biriminin diğer ulusla-rın para birimlerine karşı değerinin yuumlkselmesi ise revaluumlasyon ve apresiyasyon ile yapılabilir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak uumlzere duumlşuumlruumllmesine devaluumlasyon denir Ulusal paranın değerinin yıpranması (depresyonu) ise ulusal paranın yabancı para birimleri karşı-sında ekonomi kanunlarının etkisiyle değerinin yavaş yavaş duumlşuumlruumllmesidir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yuumlkselmesine revaluumlasyon denir Ulusal paranın değe-

53

rinin yuumlkselmesi (apresyiasyon) ise ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında ekonomi kanunlarının etkisiyle değerinin yavaş yavaş yuumlkselmesidir

Defl asyon durumunda ulusal ekonominin parasal kurumları yabancı para birimlerine goumlre ulusal para biriminin değerini oumlzel bir akt ile yuumlkseltiyorlar (para biriminin revaluumlasyonu) Enfl asyon durumunda ulusal ekonominin parasal kurumları oumlzel bir akt ile yerli para birimi-nin resmi doumlviz kurunun değerini azaltıyorlar Bu şekilde ulusal para biriminin yabancı para birimlerine goumlre değerini duumlşuumlruumlyorlar

Bir ulusal para biriminin yabancı para biriminin guumlncel değerine goumlre oumlrneğin Amerikan dolarına goumlre euronun değeri euronun dolara goumlre yuumlkselmesi ya da azalması euronun dolar karşılığında değeri hesaplanır

1 Oumlrnek euro $ doumlviz kuru euro1 = $ 093rsquoten euro1 = $ 109 olarak değişirse euro dolar karşı-lığında (109 ndash 093) 093 = 1720 (apresyon) değer kazanmıştır denir

Apresyon ve depresyonun hesaplanması iccedilin genel formuumll1)

euronun yuumlkselme ya da yıpranma değeri (miktarı) =

euronun doların bazında yeni değeri-euronun dolar bazındaki eski değerieuronun dolar bazında eski değeri

2) Bir para biriminin yuumlkselmesi (yıpranması)

H (euro) = 0

01

eee

ile hesaplanır

2 Yukarıdaki oumlrnekte verilen (e0 = $ 093 ve e1= $ 109) değerleri yerine değiştirirsek eu-ronun dolara karşı 1720 yuumlkseldiğini goumlruumlyoruz

Alternatif olarak doların euro değerinin değişimini belirtebiliriz Euronun dolar değerini ldquoerdquo (dollars per euro) ile işaret edersek o halde doların euro değeri (euros per dollar) ccedilarpımsal ters ya da ldquo1erdquo olmalıdır

3 Oumlrnek euronun değeri $ 093 ise doların değeri EUR1075 (1093)

0 ve t zaman aralığındaki doların euro değerinin değişimi 1et ndash 1e0rsquodır Bu ifade doların euro değerinin artışı (ya da azaldığı) kadar dolar euroya goumlre duumlştuumlğuumlnuumln (ya da yuumlkseldiğinin) yuumlzdelerle ifade edilişidir

54

3)

doların yuumlkselme ya da yıpranma değeri (miktarı ) =

doların euro bazında yeni değeri-dolarıneuro bazındaki eski değeri

doların euro bazında eski değeri

4) Bir para biriminin yuumlkselmesi (yıpranması) H ($)= 1

10

0

01

1

11

eee

eee

ile hesaplanır

4 Yukarıda verilen 3) formuumlluumlnuumln uygulanmasıyla euro doumlviz kurunun $093rsquoten $109 yuumlkselmesi elde edilir Bu ise doların 146 euroya goumlre duumlştuumlğuumlnuuml goumlstermektedir [(0917- 1075) 1075 = - 0146]

Doumlviz kurlarının değişiminin yuumlzdelerle hesaplanmasında uygulanan kurallarbull Pozitif yuumlzde değişim yabancı para biriminin yuumlkselmesi demektir

bull Negatif yuumlzde değişim yabancı para biriminin duumlşmesi demektir

Şekil2DOumlVİZ KURU LİSTESİ

Kur listesi No___________Kurlar ____________200___ guumlnuuml saat 0800 ndash 2000rsquoye kadar geccedilerlidir

DOumlVİZCİNSİ

ŞİFRE PARA BİRİMİNİN

İŞARETİ

BİRİM EFEKTİF ALIŞ

EFEKTİF SATIŞ

AB 978 EUR 1AVUSTRALYA 036 AUD 1KANADA 124 CAD 1DANİMARKA 208 DKK 100NORVECcedil 578 NOK 100İSVECcedil 752 SEK 100İSVİCcedilRE 756 CHF 100İNGİLTERE 826 GBP 1ABD 840 USD 1

Kaynak Makedonya Cumhuriyeti Halk Bankası

55

Oumlrneklerden goumlruumllduumlğuuml gibi euro doumlviz kurun dolara goumlre değişimi dolar doumlviz kurunun euroya goumlre değişimiyle aynı değildir Bunun sebebi şudur euro yuumlkselmesi (apresyonu) dola-rın yıpranması (depresyonu) ile aynı değildir ccediluumlnkuuml bir para birimin değeri diğer para birimin değerinin ccedilarpımsal tersidir Buna goumlre hesaplamalarda kullanılan temel veriler farklı oldukla-rından oumltuumlruuml para birimlerin değerlerinin yuumlzdelik değişimleri farklı olur

Alıştırmalar

1 Paranın depresyonu (yıpranması) kavramını accedilıklayınız

2 Devaluumlasyon nedir

3 Paranın yuumlkselmesi (apresyonu) kavramını accedilıklayınız

4 Revaluumlasyon nedir

5 Bir guumln zarfında euro dolar kuru 145rsquoten 153rsquoe değişmiştir Euronun değişimini (eu-ronun yuumlkselişini) yuumlzdelerle hesaplayınız doların değerinin yuumlzde değişimini de hesaplayınız

6 Denar euroya goumlre değerini ayarlayarak bir kere mahsus olmak uumlzere 615rsquoten 90rsquoa de-ğer değiştirmiştir Nasıl değişim soumlz konusudur ve yuumlzde kaccediltır

7 İsviccedilre frangı euroya goumlre 4 değer kazanmıştır Oumlnceki kur EURCHF 133 olduğuna goumlre şimdiki kur ne kadardır

26 Doumlviz Kavramı

Bir ulusal ekonominin yabancı devletlerdeki parası iki şekilde bulunuyorlar efektif ya-bancı paralar (foreıgn curency) ve yabancı para birimlerinde kısa vadeli alacaklar doumlvizler (foreign exchange)

Doumlviz kavramı etimolojik olarak yeni Latinceden daha doğrusu İspanyolca ldquodevi-sardquo (yabancı ccedilek onun birincil anlamı yabancı para biriminde oumldenecek fatura daha doğ-rusu yabancı devlette oumldenecek fatura) soumlzuumlnden kaynaklanır Genellikle doumlvizlere ldquoya-bancı piyasalara giriş biletlerirdquo ve onlar aynı zamanda yabancı devletlerde satın alım guumlcuuml-nuumln belgesidir denilebilir Bu demektir ki yabancı doumlviz sakini yabancı devletten alacaklı gibi yabancı para biriminde doumlvizlerin alıcısıdır Ya da oumlrneğin yerli sakin yabancı devlete

56

yaptığı ihracatın karşılığı olarak doumlviz olarak yabancı para biriminde değerli kağıt alır ve onunla yabancı devlette mal satın alabilir

Doumlvizler yabancı para biriminde kısa vadeli alacaklar gibi Finansal pazarın bir alanı gibi doumlviz piyasasında satılan ve satın alınabilen oumlzel bir maldır Doumlviz sahibine (yerli rezident-oturan) doumlvizler para değildir ccediluumlnkuuml onları ancak doumlviz pazarında sattıktan sonra ya da bir bankaya goumltuumlrduumlkten sonra yerli para elde edecektir

Doumlviz kavramı daha dar veya daha geniş anlamda tanımlanabilir

Dar anlamda doumlviz herhangi bir yoldan elde edilmiş kısa vadeli tuumlm yabancı paralar ve bu para cinsinden değer taşıyan menkul değerlere verilen isimdir Bu tanımı devletlerden ccediloğu benimsemiştir

Daha geniş anlamda doumlvizin tanımında dar anlamdaki tanımdan başka rezidentlerin (oturanların) sahip oldukları efektif yabancı parasal araccedillarını da iccedilerir Bunun accedilıklaması şu-dur Merkez bankanın yaydığı bu parasal araccedillar yerli rezidentlerin merkez bankasından ala-caklarıdır

Makedonya Cumhuriyetirsquonde doumlvizin geniş anlamdaki tanımı kabul edilmiştir Bu demek-tir ki yabancı devletlerde o devletin para birimi adında kısa vadeli alacaklar ve altın paralar hariccedil tuumlm yabancı efektif parasal araccedillar doumlviz sayılır

Doumlvizler yabancı uumllkelere oumldeme yapmaya yarayan her ccedileşit araccediltır Bu anlamda yazılı parasal araccedillar konvertibl para rejimlerinde doumlviz olarak kullanılırlar Doumlviz kelimesinin ge-niş anlamda kullanılışında oumlzellikle bankacılık uygulamalarında nakit yabancı paralara karşılık olarak bu gibi para yerine geccedilen oumldeme araccedillarına da doumlviz denmektedir Bu tanımdan hareket ederek siyasi - ekonomi accedilısından serbest ve bağlı doumlvizler olmak uumlzere iki gruba ayrılıyorlar

Serbest doumlvizler diğer devletlerin paralarına serbestccedile ve kolaylıkla ccedilevrilebilen doumlviz-lere konvertibl doumlviz ve yapılan bu işleme konvertibilite denir Uluslararası işlemlerde genelde kullanılan doumlviz konvertbil doumlvizdir Bir uumllkenin parası diğer bir uumllkenin parasına duumlnyanın her yerinde serbest bir şekilde ccedilevrilebiliyorsa o milli para iccedilin ldquotam konvertiblrdquo denir Dolayısıyla Konvertibl olan milli paralar uluslararası oumldeme aracı olarak kullanılırlar

Bağlı doumlvizler yabancı devletlerde yabancı oumldeme araccedillarıyla kısa vadeli alacaklar Bun-lar sadece anlaşma uumlzere yapılan oumldeme ccedileşitleriyle sağlanabilir Bağlı doumlvizlerin sahipleri ta-rafından kullanılışı sınırlıdır Bunlar genellikle konvertibil olmayan zayıf yumuşak ve klirink doumlvizlerdir

57

Birinci accedilıdan konvertibl olan milli paralar uluslararası oumldeme aracı olarak kullanılırlar Ccediluumlnkuuml konvertibl bir paraya sahip olan bir uumllke bunu istediği anda diğer bir paraya kolaylıkla ccedilevirebilir Parası konvertibl olan uumllke duumlnya ticaretinde bir Merkez Bankası gibi rol oynar ve oumldeme aracı olarak emisyonda bulunmak suretiyle bu işten kar bile elde edebilir Konvertibi-lite sonuccedilta bir uumllkenin ulusal parasının değişim aracı olma hesap birimi olma borccedil oumldeme ve birikim aracı olarak kullanılma gibi işlevlerini uumllke sınırları dışında da gerccedilekleştirmesi-dir Doumlvizlerin boumlyle bir oumlzelliği yoksa onlara bağlı doumlvizler denilir Aslında bunlar konvertibil olmayan alacaklardır Boumlyle doumlvizler uluslararası ticaret ve sermaye akımlarının gerccedilekleştiril-mesinde serbest olarak kullanılamıyorlar ancak iki devlet arasında yapılan anlaşmalara goumlre oumldemeler yapılabilir Aslında bu doumlvizlerin serbest akımı yoktur ve birinden diğerine geccedilme imkanı da yoktur

Doumlnuumlştuumlrme yapma (konverziyon) kabiliyeti accedilısından doumlvizler konvertibil konvertibil olmayan ve klirink olabilirler Konvertibil doumlvizler yabancı para biriminde olan kısa vadeli ve oumlnceden belirlenen pariteye goumlre farklı doumlvizlere ya da efektif parasal varlıklara doumlnuumlştuumlrme imkanı olan alacaklardır Konvertibilite tam veya sınırlı olabilir

Halbuki başka doumlvizlerle ya da yabancı efektif parasal varlıklarla doumlnuumlştuumlruumllmesi muumlm-kuumln olmayan doumlvizler konvertibil olmayan doumlvizler soumlz konusudur

Klirink doumlvizler alıcındashverici ikili anlaşmalarda kliring yoluyla oumldemelerde rastlanılır Bu gibi alış verişte pozitif saldo ancak negatif saldoda olan partnerin devletinde satın alımla den-gelenebilir Pozitif saldoyla gerccedilekleşen doumlvizleri uumlccediluumlncuuml bir uumllkede takaz yaparak dengeleme imkanı yoktur

Teslimat vadesine goumlre doumlvizler spot ve vadeli (temrinli) gibi iki cinsten olabilirler

Spot doumlvizler anında teslim kaydıyla yatırılan doumlvizlerdir Bu durumda adı geccedilen doumlvizin cinsine bağlı kullanma rejimine dikkatli olunması zorunluluğu vardır

Vadeli doumlvizler anında yatırılmış doumlvizler değildir Bu gibi doumlvizlerin teslimi iccedilin oumln-ceden yapılan soumlzleşmeye goumlre belli bir vadenin geccedilmesi gerekir Bu gibi doumlvizlerin satın alışı genellikle kur dalgalanmalarının risklerinden korunmak iccedilin ya da sadece spekuumllasyon amaccedillı kur farklarından kazanmak iccedilin yapılabilir

Alıştırmalar

1 Dar ve geniş anlamda doumlviz kavramını tanımlayınız

58

2 Doumlviz ve ulusal para birimi arasındaki farkı accedilıklayınız

3 Konvertibilite accedilısından doumlvizler ayrılışı

4 Spot ve vadeli doumlvizleri accedilıklayınız

5 Klirink doumlvizler kavramı ve oumlnemi

27 Doumlviz Kurun Kavramı ve Aslı

Doumlviz kuru bir birim yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatıdır

Buna goumlre her yabancı para ya da yabancı para cinsinden kısa vadeli her alacak ulusal piyasada doumlvizdir ve kendi fiyatı yani doumlviz kuru vardır

Doumlviz kurunu doumlviz (para birimi) paritesinden ayırmalıyız ccediluumlnkuuml doumlviz paritesi ulusal paranın değeri daha geniş ortak payda (deminator) altın herhangi bir istikrarlı para vb ile karşılaştırarak resmi olarak tespit edilir Normal şartlarda doumlviz kuru taban gibi doumlviz paritesi etrafında seyreder

Aslında doumlviz kuru ulusal paranın yabancı paraya goumlre fiyatıdır ya da diğer soumlzlerle bir birim yabancı para iccedilin ulusal paradan kaccedil birim para verilmelidir anlamındadır Kurun bu şekilde ifade edilişine Kurun bu şekilde ifade edilişine doğrudan kotasyon sistemi denir

Dolaylı kotasyon sistemi ise sadece İngiltere devletinde (ve onun bir zamanki kolonileri olan devletlerde) uygulanmaktadır Burada doumlviz kuru bir yerli para birimi iccedilin yabancı para biriminden kaccedil birim oumldenmesi gerekir biccediliminde tanımlanır1

Nominal doumlviz kuru enfl asyon katsayısını hesaba koymadan yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatına denir

Reel doumlviz kuru nominal kurların iccedil ve dış enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmış şekline denir Bu ise ccedilok oumlnemlidir ccediluumlnkuuml enfl asyon para biriminin değerini yitirir yani onun satın alım guumlcuumlnuuml azaltır Nominal kurun enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmasıyla adı geccedilen para biriminin satın alım guumlcuumlnuumln daha reel değeri goumlruumlnuumlr

1 Doğrudan hesaplama yabancı para biriminin 1 ya da 100 birimi ulusal para birimiyle ifade edilir (1 EUR = 61 denar) Dolaylı hesaplamada ise yerli para biriminin 1 ya da 100 birimi yabancı para birimi ile ifade edilir (100 denar = 180 EUR)

59

Efektif doumlviz kuru uumllkenin ticari ilişkide bulunduğu uumllkelerin paralarındaki değişmele-rin uumllkenin doumlviz kurlarına yansıtılması yoluyla elde edilir

Efektif paraların sahte olma imkanı olduğundan bankalar pratikte efektif doumlviz kurunu oumlzel olarak goumlsteriyorlar Efektif doumlviz kuru genellikle doumlvizlerin kurlarından daha alccedilaktır Bunun nedeni sahte olma riski ve devletten devlete transfer harcamalarıdır

Uluslararası her işlem iki satın alımla yapılır Uluslararası alışverişte malın satın alınması ve para biriminin satın alınmasıdır Bunu şu şekilde izah edebiliriz X devletinden ithalatccedilı Y devletinden ithal yaparsa o Y devletinde sadece mal değil para birimi de satın almak mecbu-riyetindedir Bu şekilde şu sonuca varıyoruz Uluslararası alışverişte sadece malların fiyatları değil ulusal para birimlerinin de fiyatları oluşmaktadır

Bunu şu bağıntılarla goumlsterebiliriz

a) İhracat iccedilin Ei = Qi pi T yani bir malın ihracat değeri mal miktarı yabancı doumlviz piyasasındaki fiyatı ve yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

b) İthalat iccedilin Ui = Qi pi T(1+ti) yani bir malın ithalat değeri mal miktarı satın alındığı pazar fiyatı ve ithalat masrafl arıyla (1 + ti) arttırılmış yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

Bazı durumlarda doumlvizler ve para birimlerinin kurları uluslararası para kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar

Uluslararası para kuru bir devletin efektif paraları diğer bir devletin efektif parasıyla de-ğiştirme fiyatıdır

Her para biriminin bir paritesi vardır yani kur fiyatı vardır ve bu fiyat uluslararası para kurunun dayanış noktasıdır

Doumlviz kurları doumlviz piyasasında doumlviz arz eden ve doumlviz talep edenlere goumlre oluşur Douml-vizlere arz ve talep oumldeme bilanccedilosu durumunu ifade etmektedir Oumldeme bilanccedilosundaki accedilık (defitsit) doumlviz talebi doumlviz arzından buumlyuumlktuumlr demektir Oumldeme bilanccedilosundaki fazla (sufitsit) ise doumlviz arzı doumlviz talebinden buumlyuumlktuumlr demektir

Alıştırmalar

1 Doumlviz kuru nedir

60

2 Doğrudan kotasyonu accedilıklayınız

3 Dolaylı kotasyonu accedilıklayınız

4 Nominal reel ve efektif doumlviz kuru kavramı ve anlamı

5 Uluslararası para kuru nedir

28 Spot İşlemler

Doumlviz piyasasında temel işlem spot soumlzleşmesidir

Bir para birimini diğer para birimiyle alış veya satışının işlem tarihinde belirlenen fiyat uumlzerinde en ccedilok iki iş guumlnuuml sonrasında gerccedilekleştirildiği işleme spot işlemi denir Bu esnada işlemin yapılması iccedilin gereken evraklar hazırlanır ve efektif transferin yapılmasına imkan sağ-lanmış olur

Spot işlem bir para biriminin diğer para birimiyle anında değiştirmedir Spot doumlviz kuru anında geccedilerlilikte olan kur ya da soumlzleşmeli pazar fiyatıdır Spot işlemler aslında oumldemenin hemen yapılacağı anlamında değildir Uluslararası anlaşmaya goumlre oumldeme tarihi ya da değer tarihi (settlement date value date) tarafl ar arası alış verişin yapıldığı guumlnden (second busines day aft er the ldquodeal daterdquo or ldquotrade daterdquo) iki iş guumlnuuml sonrasına kadar gerccedilekleşebilir İki guumln vade her iki taraf (arz eden ve talep eden) iccedilin gereken evrakların hazırlanması banka hesaplarının dengelenmesi gibi işlemlerin yapılması iccedilin yeter bir suumlredir

Muumlstesna Kanada doları (CAD) ve ABD doları (USD) arasındaki spot işlemlerin vadesi alış veriş yapıldığı guumlnden sonra sadece bir guumlnduumlr (ccediluumlnkuuml Kanada ve ABD aynı zaman dilimin-de bulunuyorlar)

Tekrarlayalım spot işlem alış veriş guumlnuumlnden sonra iki iş guumlnuuml geccedilerlidir

Spot işlemler bir para birimin diğer bir para birimiyle doğrudan alış verişidir ve bu alış veriş yapıldığında para transferi iki devlet arasında geccedilerli olan oumldeme sistemleri doğrultusun-da gerccedilekleşir

Tipik bir spot işlem oumlrneği New Yorkrsquotan bir A bankası 1 haziranda Frankfurtrsquotan bir B bankası ile euro karşılığı 10 milyon dolar satmak iccedilin kur fiyatı 3 haziran oumlrneğin bir dolar iccedilin 0785 EUR olmak uumlzere anlaşma yapılmıştır 3 haziranda B bankası Almanyarsquoda A bankasının hesabına 785 milyon EUR oumldeyecek A bankası ise aynı guumlnde ABDrsquode B bankasının hesabına 10 milyon dolar oumldeyecektir Her iki tarafın bankalara parayı oumldemekle işlem tamamlanmış olur

61

Doumlviz pazarında her para birimi iccedilin iki fiyat vardır ndash fiyatlardan biri belli bir para bi-rimini satıcının satmak istediği fiyat ve ikincisi satın alanın satın almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru) Pazar sunucusundan her iki fiyatı sunması beklenilir bununla (making a market) pazarı oluşur

Spot kurlarda kurların kotasyonunun bilinmesi oumlnemlidir Daha doğrusu doğrudan ve dolaylı kotasyon Avrupa ve Amerika koşulları vb

Bir para biriminin fiyatı gibi bir doumlviz kurunun diğerine goumlre kotasyonu iki şekilde gouml-ruumllmektedir ulusal para biriminin yabancı para birimine goumlre değeri doğrudan kotasyondur (oumlrnek ABDrsquode dolar ya da Makedonya iccedilin denar) yabancı para biriminin yerli para birimine goumlre değeri dolaylı kotasyondur (ABDrsquoden iseniz dolar ya da Makedonya iccedilin denar)

ldquoAmerika koşullarırdquo (Amerikan terms) ifadesi ABDrsquode bulunan birine goumlre kotasyon Bu ise dolar iccedilin şu demektir yabancı para biriminin değişken değerinin dolar karşılığının seyridir (oumlrnek 127 dolar bir EUR iccedilin)

ldquoAvrupa koşullarırdquo ifadesi Avruparsquoda bulunan birine goumlre kotasyon Bu ise dolar iccedilin şu demektir yabancı para biriminin bir dolar iccedilin değişken seyridir (ya da $1 iccedilin EUR 0785)

1978 yılında doumlviz pazarı kuumlresel pazara entegre olduğunda kolaylık olmak iccedilin ABDrsquodeki pazar pratiği de Avrupa duumlzeniyle uyum sağlamak iccedilin komisyoncuların girişimi uumlzere değişti-rildi

Bu şekilde OTC pazarı Avrupa şartlarına goumlre her devlette doları hemen de her para biri-mine goumlre seyrini belirlemektedir (yani yabancı paranın 1$ karşılığındaki değeri) Buna goumlre hemen de her zaman dolar taban para birimi olarak (base kurrence) kabul edilmiştir Bir birim ($1) yabancı para biriminin değişen değeriyle satın alınır ya da satılır

Bu genel kuraldan istisnalar da olabilir yani duumlnyada tuumlm OTC pazarlarında İngiliz sterli-ni temel para birimi gibi hala seyretmektedir Dolayısıyla duumlnyanın her yerinde piyasa yapıcıları ve komisyoncuları funta sterlini (GBP) bir sterline x dolar kurunu belirliyorlar İngiltere 1971 yılına kadar ondalık para birimi sistemini kabul etmemişti Bu durumda değişen miktarlarda yabancı para birimlerini sterline ccedilevirme ve pazarlama matematiksel accedilıdan daha kolay yapıla-bilirdi GBP ile tarihsel bağları olan bazı para birimleri (İrlanda Avustralya ve Yeni Zelanda para birimleri) OTC pazarında sterlin gibi kur belirliyorlar (bir birim iccedilin değişik miktar Euro)

Duumlz ve dolaylı kur belirleme birbirinin ccedilarpımsal tersidir ve biri diğeriyle kolay belirle-nebilir

62

Her doumlviz işlemi iki para birimi kapsamında yapılır Burada oumlnemli olan para birimlerin-den hangisi temel para birimidir (Base Currency kotasyonlu sabitleşmiş) ve hangisi koşullan-mış para birimidir (Terms Currency) ya da hesaplanan (counter currency)

Genel olarak iki para birimi arasındaki doumlviz kuru (Exchange rate) oumlrneğin USD ve JPY arasında doumlviz kuru USDJPY biccediliminde yazılır Burada 1 USDrsquoa karşılık JPY sayısı anlamında-dır JPYUSD ise 1JPY karşılığında USD sayısını ifade eder

Para biriminin sol tarafında yazılan kod temel para birimidir ve daima birimdir

Para biriminin sağ tarafında yazılan kod değişken para birimine aittir (koşullu hesapla-nan birim ya da kur ayarlı - kotasyonlu para birimi) Kur fiyatına goumlre bu paranın birim sayısı temel paranın bir birimine eşittir

Temel para birimi daima sol taraft a yazılır Oumlrneğin NOKDKK oranı bir NOK birimine karşılık gelecek DKK sayısı

1 CHF DKK kuru 41235rsquotir 1 milyon CHF satın alıyorsak kaccedil DKK oumldemeliyiz 41235 sayısı 1 CHF iccedilin DKK sayısını goumlsterir Buna goumlre 4 123 500 DKK oumldemeliyiz

1 000 000 4 1235 = 4 123 500

2 Şimdi tersine DKK 1 milyon iccedilin ne kadar CHF gerekir hesaplayalım (CHF DKK kuru 41235) Bu durumda CHF 242 51243 elde edilir

1 000 000 41235 = 242 51243

Değişen para birimi pay temel para birimi ise paydadır Pay arttığı durumda temel para birimi artar yani kuvvetleşir ndash pahallılaşır Pay azaldığı durumda temel para birimi zayıfl aşır ve daha ucuz duruma gelir Soumlzluuml ifadede temel para birimi daima ilk soumlylenir

DolarYen (USDJPY) kur ayarında dolar temel para birimi ve paydadır yen ise değişken ve paydır Para birimlerden bazılarının takma adları da vardır ( Paunt ndash Cable İsviccedilre frangı ndash Swissie Avustralya doları ndash Aussie) GBP USD kurunun takma adı Cablersquodir

Piyasa yapıcısının (marketndashmaker) kur ayarlamaları daima onun goumlrme noktasındandır (satın aldığı temel para biriminden alış fiyatı ve temel para birimi iccedilin satış fiyatı)

Piyasa yapıcısına USDCHF kuru sorulunca 14975 ndash 85 biccediliminde cevaplayabilir Bu-nunla CHFrsquoin alış fiyatı bir dolara 14975 ve satış fiyatı bir dolar iccedilin 14985 olduğunu anlı-yoruz Genellikle piyasa yapıcısı kur ayarını 75 ndash 85 aralığında ifade eder ccediluumlnkuuml buumlyuumlk sayı (ldquobig figurerdquo) 149 olduğunu muumlşterinin bildiğini var sayar Kurun alış fiyatı daima sol taraft an ilkidir ve satış fiyatından daima kuumlccediluumlktuumlr (sağ taraft akinden) Aralarındaki farka marj ya da bant (spread) denir

63

Alış ve satış kur fiyatlarının ayarı doumlrt ondalık basamağı kesinliğiyle ifade ediliyorlar bu ise değişken para biriminin 1rsquoin yuumlzde biridir yani 110 000rsquodir ve ona pips denir Mutlak değe-ri kuumlccediluumlk olan bazı para birimlerinde oumlrneğin yenin kur ayarı iki ondalık basamağı kesinliğiyle ifade ediliyor ve burada pips değişken para biriminin 1100rsquouumlduumlr Her para piyasasında pips ya da tik fiyat değişiminin en kuumlccediluumlk değeridir

Alıştırmalar

1 Spot işlem nedir

2 Spot doumlviz kurunu accedilıklayınız

3 Temel para birimi nedir koşullanmış para birimi nedir

4 Dolar ile 100000 EUR satın alıyoruz (kur EURUSD 144) Kaccedil dolar oumldemeliyiz

5 Euro ile 100000 USD satın alıyoruz (kur EURUSD 146) Kaccedil euro oumldemeliyiz

29 Spot Kurları Nasıl Ayarlanır

Euro bazında (EUR) kur ayarlaması yapıldığında bankalar arası piyasada birccedilok para birimlerinin kur ayarları 1 EUR karşılığı para birimlerinin farklı miktarları goumlsterilme pratiği vardır Diğer soumlzlerle bir ya da iki para birimi olduğunda EUR temel para birimidir

Benzer şekilde EUR dışında bankalar arası soumlzleşmeye goumlre tuumlm para birimlerinin USD bazında kur ayarlamaları yapılır

Herhangi iki konvertibil para birimi arasında diling yapılabildiğine rağmen oumlrnek EURrsquoa goumlre NZDrsquoya da JPYrsquoa goumlre CHF tarihsel olarak bankalar arası piyasada en ccedilok kur ayarı USDrsquoye goumlre yani dolar bazında kur ayarlamaları yapılır Bununla paralar arası birccedilok kur ayarı atlatıl-mış olur USD olmayan herhangi iki para biriminin doumlviz kurları dolar bazından hesaplanabilir

USD dışında herhangi iki para biriminin kurları ccedilapraz kur (cross-rate) diye ifade edilir

Guumlnuumlmuumlzde ccedilapraz kur denilince birden fazla ulusal paranın aralarındaki kurların bir anahtar para cinsinden hesaplaması anlaşılmaktadır Oumlrnek GBP SEK kuru EURGBP ve EURSEK kurlarını kullanarak hesaplanabilir

64

Ccedilapraz kurlarla pazarlama (Cross Rate Trading) paraların değiş tokuşu gibi algılanabilir ve bu pazarlamada dolar ne temel ne de değişken para birimi değildir Oumlrnek EURJPY kurun-da EUR ndash temel JPY- değişken para birimidir

Piyasada işlem yapan bankalar ve diğer ilgili kurumlar tarafından verilen kotasyonlar biri alım (bid rate) diğeri ise satım (ask rate) olmak uumlzere ccedilift tarafl ıdır Alış kurları satış kurla-rından daha duumlşuumlktuumlr Yani banka ve diğer aracı kurumlar doumlvizi duumlşuumlk fiyattan alıp yuumlksek fiyattan satmaktadırlar

3 Banka USD doları 14375 CHF satın alır ve USD doları 14385 CHF satıyorsa USDCHF kursu 1437514385 şeklinde seyredecektir

Kotasyonun iki tarafındaki farkı marj (ldquospreadrdquo) olarak adlandırılır

Piyasada doumlviz kurlarına ilişkin verilen alış ve satış kotasyonlarında alış kotasyonları her zaman satış kotasyonlarından daha duumlşuumlk olarak gerccedilekleşir Alış (bid) ve satış (off er) kotasyon-ları arasındaki farkı goumlsteren bandın (spreat) geniş veya dar olması kimin alım-satım işlemi yaptığına ve alım-satım yapılan miktarın buumlyuumlkluumlğuumlne goumlre değişim goumlstermektedir

Ccedilarpımsal ters kurlar da vardır Temel para birimi sayılan herhangi para biriminin ko-tasyonu değişken para birimi olarak kendi ccedilarpımsal tersi biccediliminde kendine denk kotasyona doumlnuumlştuumlruumllebilir

4 1437514385 kotasyonunda USDCHF kuru CHFUSD biccediliminde (114375) (114385) kotasyonuna doumlnuumlştuumlruumllebilir Değerler ne olursa olsun kuumlccediluumlk sayı solda yazılarak kotasyonun her iki tarafı birbirinin tersidir 0695206957 İkinci durumda bandın solundaki fiyatla banka değişken para birimine goumlre temel para birimini satın alıyor sağdaki fiyatla da satıyor

Kurlar genellikle centin 1

100 (yuumlzde biri) biccediliminde kotlanıyorlar

Bu değer puan ya da pip diye adlandırılır Oumlrnek USDCHF kuru genel olarak doumlrt ondalık basamaklı sayı -1437514385 biccediliminde ifade edilir Ondalık basamaklar sayıların buuml-yuumlkluumlğuumlne bağlıdır USDJPY durumunda anlaşmaya goumlre 2 ondalık basamağı kullanılır USDJPY kotasyonu 1050510515 burada 15 puan 015 JPY demektir ve her iki durumda 1 puan kotlanmış ondalık sayının son basamağındaki birimdir

5 USDCHF kurunda pazarlama yaparken USD 1 000 000 miktarında bir puanın değeri CHF 100 olur Diğer soumlzlerle doumlviz kuru bir puan değiştiğinde pazarlamanın kacircr ya da zararı CHF 100rsquoduumlr Yani

1 000 000 CHF 00001 = CHF 100

Puan (point) doumlviz kurunun ondalık basamaklarının son basamağındaki birimdir Doumlviz kuru genellikle puanlarla ya da pipslerle kotlanıyorlar en sık son iki basamaktaki sayı ile ifade edilir Buumlyuumlk rakamlar (big figure) puanlar hariccedil doumlviz kurunun ilk kısmıdır

65

Alıştırmalar

1 Alış - satış kurunu accedilıklayınız 2 Ccedilapraz kur nedir3 Pips nedir4 Мarj - band (spread) nedir5 EURUSD kuru 144 ndash 146rsquodır Bunun ccedilarpımsal ters kurunu goumlsteriniz

210 Kacircr ve Zarar

Her bankanın amacı kacircr sağlamaktır Bu nedenle paralarla alış satış işlemleri yaparken da-ima temel para birimini değişken para birimine goumlre muumlmkuumln olduğu kadar en pahalı satmak ve aynı parayı en ucuz fiyata almayı amaccedillar

1 USDCHF kuru 14831485bdquoтirAlış veriş 1 Banka 14830 kuruyla CHF karşılığında USD 1 000 000 satın almıştırAlış veriş 2 Banka 14855 kuruyla CHF karşılığında USD 1 000 000 satmıştır Para akışı nakit (cash fl ows) USD CHF Alış veriş 1 + USD 1 000 000 - CHF 1 483 000Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + CHF 1 485 500Net sonuccedil + CHF 2 500Banka CHF 2 500 kacircr yapmıştır uml

2 Spot USDCHF 15835 durumunda CHF para birimiyle USD 1 milyon satın alıyoruz Daha sonra aynı guumln spot kotasyonu USDCHF 15836 olduğu an USD 1 milyon satıyoruz Bununla 1 puan kacircr elde ediyoruz

Para akışı nakit (cash fl ows) USD CHF Alış veriş 1 + USD 1 000 000 - CHF 1 583 500Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + CHF 1 585 600Net sonuccedil + CHF 100

66

Buna goumlre USDCHF kotasyonunda dil ile (anlaşmayla) USD 1 milyonda 1 puanın değeri CHF 100rsquoduumlr

3 USDJPY spot kuru 11835 durumunda JPY para birimiyle USD 1 milyon satın alıyo-ruz Daha sonra aynı guumln spot kotasyonu USDJPY 11836 olduğu an USD 1 milyon satıyoruz Bununla 1 puan kacircr elde ediyoruzPara akışı nakit (cash fl ows) USD JPYAlış veriş 1 + USD 1 000 000 - JPY 118 350 000Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + JPY 118 360 000Net sonuccedil + JPY 10 000Buna goumlre USDJPY kotasyonunda dil ile (anlaşmayla) USD 1 milyonda 1 puanın değeri JPY 10 000rsquodir

Alıştırmalar

1 EURCHF kuru 132 ndash 134rsquotuumlr Bu kura goumlre verilen bantta 20 000 CHF alınmış ve satılmışsa ne kadar kacircr elde edilmiştir

2 Bir kişi satış fiyatı 6170 MKD kuruyla 10 000 EUR satın almıştır Bir vakit geccediltikten sonra alış fiyatı 6140 MKD kuruyla 10 000 EUR satmıştır Net sonuccedil nedir

211 Pozisyonda Tutunma

Pazarcı her an nasıl pozisyonda olduğunu bilmesi gerekir (pozisyonda tutunma ndash posi-tion keeping) ndash bir guumlnde yaptığı pazarlama işlemlerinin net sonucu (bilanccedilosu) Bulunduğu noktada kazanccedillı olup olmadığını tespit etmek iccedilin o geccedilerlikte olan anındaki doumlviz kuruyla karşılaştırma yapmak iccedilin pazarcı aynı zamanda kendi net ndash pozisyonunun ortalama doumlviz kurunu bilmesi gerekir Pazarcı guumln sonunda pozisyonunu kapamak mecburiyetinde değildir fakat boumlyle durumda o ana kadar pozisyonunun marking to market durumunu yani gerccedilek-leşmeyen kazancı ya da zararı hesaplamalıdır Bunu belirtmek iccedilin guumln sonunda sanki pozis-yonu kapatmış olduğunu sayarak geccedilerlilikte olan kur (current rate) ile kazancın ya da zararın ne kadar olduğunu hesaplamakla belirtir

1 USDCHF ile 3 spot pazarlama şu şekilde yapmışsınız

67

USD 4 milyon 16723 kuruyla satışUSD 1 milyon 16732 kuruyla alışUSD 5 milyon 16729 kuruyla alışPiyasa USDCHF 16730 kuruyla kapanmıştır

Pozisyonunuz nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru nedir Sizin net kazancınız ya da zararınız ne kadardır

USD CHF

- 4 000 000 kur 16723 + 6 689 200

+ 1 000 000 kur 16732 - 1 673 200

+ 5 000 000 kur 16729 - 8 364 500

Pozisyon + 2 000 000 - 3 348 500

Ortalama kur 6742510000002

5003483

- 2 000 000 kur 16730 + 3 346 000Zarar - 2 500

Pozisyon fazla alınmış olan USD 2 milyondur Ortalama kur 167425 zarar CHF 2 500 Zarar USD konvansiyonu spot kur ile USD bazında da goumlsterilebilir ya da karşılığındaki spot kuruyla herhangi bir para birimiyle goumlsterilebilir

Alıştırmalar

1 Saat 10rsquoda EURNOK spot kuru 744rsquotuumlr (kotasyon 100 NOK iccedilindir) Bu kur ile NOK 500 000 satıyoruz saat 14rsquote ise EURNOK kuru 766 olur Saat 19rsquoda yeni bir duumlzenleme ile EURNOK kuru 735 oluyor Her iki terminde kacircr ya da zararı goumlsteriniz

2 USDCHF ile 3 spot alışveriş şu şekilde yapılmıştır

68

USDCHF 1041 kuruyla CHF 100 000 satın alınmıştırUSDCHF 1038 kuruyla CHF 200 000 satılmış USDCHF 1039 kuruyla CHF 300 000 satın alınmıştırPiyasa USDCHF 1045 kuruyla kapanıyor

Pozisyon nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru ne kadardır Net kazanccedil ya da zarar ne kadardır

3 USD alış fiyatı 4950 satış fiyatı ise 5000rsquodır 200 USD alım satımında kacircr ne kadardır

4 EURUSD 140 kuruyla USD ile 100 000 EUR satın alınmıştır Şimdiki kur EURUSD 123rsquotuumlr Euroları şimdi sattığımızda zarar ne kadardır

5 Saat 10rsquoda EURAUD 144 kuruyla 100 000 AUD satın alınmıştır Saat 12rsquode kur 145 saat 15rsquote ise 1437 olmuştur Kazanccedillı ccedilıkmak iccedilin Avustralya dolarları hangi anda satılmalıydı

212 Konuyu Pekiştirme Alıştırmaları

1 820permil altının safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade ediniz

2 W 724 altının safl ığını milyem (binde) biccediliminde ifade ediniz

3 W 1012 guumlmuumlşuumln safl ığını milyem (binde) biccediliminde ifade ediniz

4 Kuumltlesi 600 gram ağırlığında olan bir guumlmuumlş nesnede 480g saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln safl ığını

a) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

5 B 12 safl ığında bir altın nesnede 120g saf altın vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

6 Safl ığı 750permil olan bir guumlmuumlş nesnede 22g saf guumlmuumlş vardır Eşyanın toplam kuumltlesi ne kadardır

7 Safl ığı 900permil olan 500g altından ve safl ığı 850permil olan 750g altından yapılmış bir altın nesnenin safl ık derecesini hesaplayınız

69

8 100g saf guumlmuumlş 100g bakır ve safl ığı 204 peniveyt olan 500g guumlmuumlşten yapılmış olan eşyanın safl ığını (arılık derecesini) hesaplayınız

9 Dolarfrank kursu bir guumlnde 121rsquoden 123rsquoe değişmiştir Doların değişimini (artışını) yuumlzde olarak ifade ediniz Aynı zamanda frankın değişimini yuumlzdelerle ifade ediniz

10 Denar dolara karşı değerini kademeli olarak 615rsquoten 75rsquoe değiştirmiştir Nasıl değişim soumlz konusudur ve bunun yuumlzdesi ne kadardır

11 EUR İsviccedilre frangına goumlre 5 değer kazanmıştır (oumlnceki kur EURCHF 133) Şimdiki kur ne kadardır

12 Saat 10rsquoda spot kur EURUSD 144rsquotuumlr Bu kurla USD 5000 satıyoruz Saat 14rsquote EURUSD 146 ve saat 19rsquoda kur EURUSD 143 olmuştur Her iki terminde kacircr ya da zararı hesapla-yınız

13 EURAUD ile 3 spot pazarlama şu şekilde yapılmıştır

1622 kuru ile AUD 100 000 satın alınmıştır1632 kuru ile AUD 300 000 satılmıştır 1641 kuru ile AUD 600 000 satın alınmıştırPazar 1635 ile kapanmıştır

Pozisyonunuz nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru ne kadardır Net kacircr ya da zarar ne kadardır

70

Konu Oumlzetleri

Altın guumlmuumlş platin cıva rutenyum rodyum osmiyum paladyum ve iridyum element-leri kıymetli metallerdir

İki ya da daha ccedilok metalin karışımına filiz denir Filizdeki kıymetli metalin kuumltlesine saf kuumltle de denir filizin kuumltlesine ise toplam kuumltle de diyeceğiz

Bir filizde bulunan kıymetli metalin kuumltlesi ve filizin toplam kuumltlesinin oranına kıymetli metalin safl ık (arılık) derecesi ya da safl ığı denir Kıymetli metalin safl ığı milyem ve İngiliz usuluuml olmak uumlzere iki şekilde ifade edilmektedir

Filizin toplam kuumltlesini m saf kuumltleyi mb ve safl ık derecesini f ile işaret edersek kıymetli metallerin safl ık (arılık) derecesini şu formuumllle ifade edebiliriz

1000mmf b permil

İngiliz usuluuml ile ifade edildiğinde altının safl ık derecesi karat (ayar) guumlmuumlşuumln safl ık de-recesi peniveyt (guumlmuumlş ayarı) oumllccediluuml birimiyle ifade edilir

Safl ık derecesi 22 karat olan altına standart altın denir safl ık derecesi 222 peniveyt (guuml-muumlş ayarı) olan guumlmuumlşe standart guumlmuumlş denir Altın (guumlmuumlş) filiz standart altından (guumlmuumlş-ten) daha iyi ise onu B (ing Beter ndash daha iyi) ile standart oumllccediluumlden daha koumltuuml ise onu W (ing Worse ndash daha koumltuuml) işaretiyle işaretlenir

Para birimi bir devletin para sisteminin temel birimidir kanunla duumlzenlenmiş bir uumllke-nin değerlerinin temel oumllccediluumlsuumlduumlr

Uumllkede uumlretim verimliliğinin genel seviyesinin artması durumunda paranın resmi de-ğerinde değişme olmadığına rağmen ulusal paran biriminin iccedil piyasadaki alım guumlcuuml artar Bu duruma paranın değer kazanması (apresiyasyon) denir

Aksi takdirde paranın resmi değerinde değişme olmadan ulusal paranın iccedil piyasadaki alım guumlcuuml azaldığı duruma paranın yıpranması (depresyonu) denilir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak uumlzere duumlşuumlruumllmesine devaluumlasyon denir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yuumlkselmesine revaluumlasyon denir

71

Bir ulusal ekonominin yabancı devletlerdeki parası iki şekilde bulunabilir Efektif yaban-cı paralar ve kısa vadeli yabancı para birimleri cinsinden alacaklar ya da doumlvizler

Doumlviz kısa vadeli tuumlm yabancı paralar ve bu para cinsinden değer taşıyan menkul değer-lere verilen isimdir Metal altın paralar bunun haricindedir

Bu tanımdan hareket ederek siyaset - ekonomi accedilısından serbest ve bağlı doumlvizler olmak uumlzere iki gruba ayrılıyorlar Doumlnuumlştuumlrme yapma (konverziyon) kabiliyeti accedilısından doumlvizler konvertibil konvertibil olmayan ve klirink olabilirler Teslimat vadesine goumlre doumlvizler spot ve terminli gibi iki cinsten olabilirler

Doumlviz kuru bir birim yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatıdır Aslında doumlviz kuru ulusal paranın yabancı paraya goumlre fiyatıdır ya da diğer soumlzlerle bir birim yabancı para iccedilin ulu-sal paradan kaccedil birim para verilmelidir anlamındadır Kurun bu şekilde ifade edilişine doğru-dan kotasyon sistemi denir Dolaylı kotasyon sistemi ise sadece İngiltere devletinde (ve onun bir zamanki kolonileri olan devletlerde) uygulanmaktadır Burada doumlviz kuru bir yerli para birimi iccedilin yabancı para biriminden kaccedil birim oumldenmesi gerekir biccediliminde tanımlanır Nomi-nal doumlviz kuru enfl asyon katsayısını hesaba koymadan yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatına denir Reel doumlviz kuru nominal kurların iccedil ve dış enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmış şekline denir Efektif doumlviz kuru uumllkenin ticari ilişkide bulunduğu uumllkelerin paralarındaki de-ğişmelerin uumllkenin doumlviz kurlarına yansıtılması yoluyla elde edilir Efektif paraların sahte olma imkanı olduğundan bankalar pratikte efektif doumlviz kurunu oumlzel olarak goumlsteriyorlar Efektif doumlviz kuru genellikle doumlvizlerin kurlarından daha alccedilaktır ve bankalar bu kuru ayrıdan goumlste-riyorlar

Uluslararası her işlem iki satın alımla yapılır Uluslararası alışverişte malın satın alınması ve para biriminin satın alınmasıdır Bu şekilde şu sonuca varıyoruz Uluslararası alışverişte sa-dece malların fiyatları değil ulusal para birimlerinin de fiyatları oluşmaktadır Bunu şu bağın-tılarla goumlsterebiliriz

a) İhracat iccedilin Ei = Qi pi T yani bir malın ihracat değeri mal miktarı yabancı doumlviz piyasasındaki fiyatı ve yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

b) İthalat iccedilin Ui = Qi pi T(1+ti) yani bir malın ithalat değeri mal miktarı satın alındığı pazar fiyatı ve ithalat masrafl arıyla (1 + ti) arttırılmış yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

Bazı durumlarda doumlvizler ve para birimlerinin kurları uluslararası para kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar Uluslararası para kuru bir devletin efektif paraları diğer bir devletin efektif parasıyla değiştirme fiyatıdır

72

Bir para birimini diğer para birimiyle alış veya satışının işlem tarihinde belirlenen fiyat uumlzerinde en ccedilok iki iş guumlnuuml sonrasında gerccedilekleştirildiği işleme Spot işlem denir

Bu esnada işlemin yapılması iccedilin gereken evrakların hazırlanır ve efektif transferin yapıl-masına imkan sağlanmış olur

Spot doumlviz kuru anında geccedilerlilikte olan kur ya da soumlzleşmeli pazar fiyatıdır

Spot işlemler bir para biriminin diğer para birimiyle doğrudan değiştirilmesidir İşlem yapılınca her iki devletin oumldeme sistemleriyle paraların transferi gerccedilekleştirilir

Doumlviz pazarında her para birimi iccedilin iki fiyat vardır ndash fiyatlardan biri belli bir para biri-mini satıcının satmak istediği fiyat ve ikincisi satın alanın satın almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru) Spot kurlarda kurların kotasyonunun bilinmesi oumlnemlidir Daha doğrusu doğru-dan ve dolaylı kotasyon Avrupa ve Amerika koşulları vb

Doumlviz biriminin kotasyonu Bir para biriminin fiyatı gibi bir doumlviz kurunun diğerine goumlre kotasyonu iki şekilde goumlruumllmektedir ulusal para biriminin yabancı para birimine goumlre de-ğeri doğrudan ve yabancı para biriminin yerli para birimine goumlre değeri dolaylı kotasyondur

Her doumlviz işlemi iki para birimi kapsamında yapılır Burada oumlnemli olan para birimle-rinden hangisi temel para birimidir ve hangisi koşullanmış para birimidir (ya da hesaplanan para birimidir)

USD dışında herhangi iki para biriminin kurları ccedilapraz kur diye ifade edilir

Ccedilarpımsal ters kurlar da vardır Temel para birimi sayılan herhangi para biriminin ko-tasyonu değişken para birimi olarak kendi ccedilarpımsal tersi biccediliminde kendine denk kotasyona doumlnuumlştuumlruumllebilir

Puan doumlviz kurunun son ondalık basamağındaki birimdir

Pazarcı her an nasıl pozisyonda olduğunu bilmesi Bulunduğu noktada kazanccedillı olup ol-madığını tespit etmek iccedilin o geccedilerlikte olan anındaki doumlviz kuruyla karşılaştırma yapmak iccedilin pazarcı aynı zamanda kendi net ndash pozisyonunun ortalama doumlviz kurunu bilmesi gerekir Pa-zarcı guumln sonunda pozisyonunu kapamak mecburiyetinde değildir fakat boumlyle durumda o ana kadar pozisyonunun gerccedilekleşmeyen kazancı ya da zararı hesaplamalıdır Bunu belirtmek iccedilin guumln sonunda sanki pozisyonu kapatmış olduğunu sayarak geccedilerlilikte olan kur ile kazancın ya da zararın ne kadar olduğunu hesaplamakla belirtir

73

UumlSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER

31 Reel Sayılı Uumlsluuml Kuvvet Kavramı

Tabanı a doğal sayı tam sayı ya da rasyonel sayı olan uumlsluuml ifadelerin (kuvvetlerin) anlamı-nı artık biliyorsunuz Bunları bir daha hatırlayalım

1 Aşağıdaki işlemleri yapınız

a) 5043

32 xxx b) ))(( 2

121

21

21

yxyx v) 23

21

2509

Rasyonel uumlsluuml kuvvetlerin tanımı ve oumlzellikleri gereğince а) 12

2343

32

43

32 )50(50 xxxxx

yxyxyxyx 22 )()())(( 21

21

21

21

21

21

10821250

12

250

142504

3

23

21

b) c)

elde edilirŞimdi rasyonel sayılı uumlsluuml kuvvetler kavramını genişleterek reel uumlsluuml kuvvetler kavra-mını ve bazı temel oumlzelliklerini accedilıklamaya ccedilalışacağız

Her reel sayı x ve her pozitif sayı a iccedilin aşağıda sayılan oumlzelliklerle bir ax kuvveti bellidir

3

b) c)а)

I x gt 0 iccedilin n=1 iccedilin 1 x = n ise ax =

n

aaaa

ngt1 iccedilin

2 1

nx ise nx aa

3 nkx k ise n kx aa

4 x = c0 c1c2cnise а) a gt 1 iccedilin )1( 210210210 nnn cccccccccccc aaa b) 0 lt a lt 1 iccedilin nnn cccccccccccc aaa )1( 210210210

c) a = 1 iccedilin ax = 1 dir II x = 0 ise ax = 1 dir

III xlt0 ise ||

1x

x

aa

74

2 a) Reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerin yukarıdaki tanımı gereğince x gt 0 iccedilin 5-x ifadesinin an-lamı vardır ccediluumlnkuuml a = 5 gt 0 dır Halbuki (- 5)-x ifadesinin x gt 0 iccedilin anlamı yoktur ccediluumlnkuuml a = - 5 lt 0rsquodır

b) Her x R iccedilin 0-x ve 0x ifadelerinin anlamı yoktur ccediluumlnkuuml a = 0rsquodıra pozitif reel sayısının reel uumlsluuml kuvvetleri iccedilin şu oumlzellikler geccedilerlidir

1 xx ba za sekoe x ako i samo ako ba

2 Za sekoj x postoi edinstven stepen xa

3 yxyx aaa za sekoi yx

4 yxyx aa )( za sekoi yx

5 xxx baab )( za sekoe x

1 ax = bx eşitliği her х R iccedilin geccedilerli olması iccedilin ancak ve ancak a = b olmalıdır2 Her х R iccedilin bir tek ax kuvveti vardır3 Her хy R iccedilin ax middot ay = ax+y geccedilerlidir4 Her x y R iccedilin (ax)y = axy geccedilerlidir 5 Her x R iccedilin (ab)x = axbx geccedilerlidir

3 Reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerin tanımı ve yukarıdaki oumlzellikler gereğince

)()( 11

x

xxxxxx

x

bababaab

ba

13

elde edilir

4 Verilen işlemleri yapınız а) 3х4х b) 4z 2z c) (8х9y15z)(2х3y5z)

Ccediloumlzuumlm

а) 3х 4х = (3 middot 4)х = 12х b) zz

zz 22

424

13

c) zyxzyx

zyxzyx 5345

15

3

9

2

8)532()1598(

13

13

13

Alıştırmalar

1 Reel sayılı uumlsluuml kuvvet nasıl tanımlanır

2 Kuvvetlerle verilmiş olan işlemleri yapınız а) 2х2y b) 2х 4х c) 12х11х d) (2х5х)y

3 Verilen kuvvetleri karşılaştırınız

а) 3х ve 9х2 b) x

13

4 ve

x

13

4

75

4 Verilen eşitsizliklerde hangi sayı buumlyuumlktuumlr x yoksa y

а) 04х gt 04у b) 14х gt 14у c)

yx

13

13

2

3

2

3

5 Verilen işlemleri yapınız а) (2х + 3х)(2х - 3х) b) (5х - 5-х)2 c) (4х +1)3

32 Uumlstel Denklemler

Tanım 1 Tabanı 1rsquoden farklı pozitif bir reel sayı olan ve uumlssuumlnde değişken bulunan denklemlere uumlstel denklem denir

1 Oumlrnek olarak aşağıdakiler uumlstel denklemlerdir

24 82 3 xxx 493532 3 xx

ve 32

1

13

x

x

Birkaccedil ccedileşit uumlstel denklem ccediloumlzelim

I biccediliminden denklem

2 3x = 27 denklemini ccediloumlzuumlnuumlzVerilen 3x = 27 denklemini 3x = 33 biccediliminde yazarak verilene denk denklem elde edilir Bu

durumda pozitif reel sayı a tabanlı reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerde a gt 0 a ne 1 1 2x xa a ancak ve ancak x1 = x2rsquodir oumlzelliğinden yararlanarak 3x = 33 eşitliğinden x = 3 elde edilir Buna goumlre 3x = 27 denkleminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml vardır

ve bu ccediloumlzuumlm x = 3rsquotuumlr

3 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 16

14 x b) 15 x v)

125

64

4

5

13

x

2

4

14

13

x 055 x

3

5

4

4

513

13

x

244 x 0x 3

4

5

4

5

13

13

x

2x 3x

а) b) c)

76

II Af(x)+m=0 Agt0 Ane1 mlt0 biccediliminden denklemler

4 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 813 5 x b) 322 13 x v) 8132

x 45 33 x 513 22 x 433

2

x

45 x 513 x 42 x

1x 2x 2x

III biccediliminden denklemler

( )f xA t değişimiyle 2 0at bt c biccediliminde ikinci derece denklem elde edilir İkinci derece denklemin her ccediloumlzuumlmuuml iccedilin ( )f xA t uumlstel denklemini ccediloumlzuumlyoruz

5 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 082622 xx b) 024316 xx v) 278181122 xx

0826)2( 2 xx 0243)4( 2 xx 278181122

22 xx

smena tx 2 smena tx 4 smena tx 2 81 0232 tt 2712 2 tt

28 21 tt 12 21 tt 027122 tt

2282 21 xx 1424 21 xx 39 21 tt

13 2222 21 xx 0212 2222 21 xx 99 1

1

1 x 1

2

33 2 x

13 21 xx 02

121 xx 11 x 22 x

0862 tt

Alıştırmalar

1 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 729

19 x b)

10

2515

45

13

x v) 10001010

x

g) 064

125

5

4

13

x

d) 310104

xx |) 1296

814 x

а)

ccedil)

b)

d)

c)

e)

2 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) xx 1450 3216 b) 5052 x v) 064

125

5

4 5

1

13

x

g) x

x

13

8

2

4

125023

а) b) c) ccedil)

b) c)

b) c)

77

3 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 055625 xx b) 057449 xx v) 233 252 xx а) b) c)

4 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlza) 03343 24 xx b) 135215215 21 xx v) 12

24

14 12

1

x

x

x

а) b) c) 5 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 1224 xx b) 027343 5284 xx v) 4

410

2

9 2

2

x

x

c)b)a)

33 Logaritma Kavramı

Tanım 1 0 1 a R a a ve b R olsun xa b eşitliğini sağlayan x reel sayısına a

tabanlı brsquonin logaritması denir Bunu logax b şeklinde yazarız

Buna goumlre a gt 0 a ne 1 b gt 0 iccedilin

bxba ax log dir

Tanımdan doğrudan doğruya

ba ba log gerekirx sayısına logaritma değeri a sayısına logaritması tabanı b sayısına logaritması alı-

nan sayı denir

1 Tablodaki değerlerin doğru olup olmadıklarını yoklayınız

Kavramlar log2 8 = 3 log5(m + 3) = 2 4log 811

3

1

Logaritma 3 2 4

Logaritması tabanı 2 53

1

Logaritması alınan sayı 8 m + 381

1

2 a) 2

3log 9 2 ccediluumlnkuuml 3 9 b) 1

24

1log 2 ccediluumlnkuuml 4 4 2

2

c) 4

5log 25 4 ccediluumlnkuuml 5 25

78

3 Verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a)

4

1log2 b)

81

1log

3

1 v) 7

9

1 3log a) b) c)

a) 4

1

2

12

2

2 olduğuna goumlre 24

1log2 elde edilir

Yoklamasını yapalım 4

122 24

1log2

b) 81

1

3

14

13

olduğuna goumlre 4

81

1log

3

1 gerekir

Yoklama 81

1

3

1

3

14

81

1log

3

1

13

13

c) 71

9

1log 3

14 ccediluumlnkuuml

11

1477

13 3

9

13

dir

Yoklama 7

1

9

log 3

713

9

13

4 Hangi sayının 1

2 tabanına goumlre logaritması 4rsquotuumlr

4

1 1

2 16

13

olduğundan 1

2

1log

161 1

2 16

13

gerekir Demek ki aranılan sayı 1

16 dır

5 1

log 38

a olduğuna goumlre a tabanını belirtiniz

Logaritma işleminin tanımına goumlre 3 1

8a yani

3

3 1

2a 13

gerekir O halde

1

2a ol-

duğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Verilen tabloyu deft erinizde ccediliziniz ve doldurunuz

İfadeler log6 216 = 3 29

4log x

449log7

52log ba 2

15log25

Log değeriLog tabanıLog alınan sayı

79

2 Verilen logaritmaların değerini belirtiniz

a)

9

1log3 b) 010log 10 v) 3log3 g) 5log

5

1b) c)а) d)

3 Logaritma işleminin tanımından yararlanarak aşağıdakilerden x belirtilsin а)

2

1log3 x b) log x 36 = 2 c) logi x = 0 d) log x 125 = 5

4 Verilen ifadenin değerini belirtiniz

а) 2log 55 b) 3log2 55

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

а) 9log8log 32 b) 9

1log327log4

3

13

6 x in hangi değerleri iccedilin log 02 (x2 - x) ifadesinin anlamı vardır

34 Logaritmanın Kuralları

a gt 0 a ne 1 x gt 0 ve y gt 0 olsun

I Ccedilarpıma ait logaritmanın kuralları

yxxy aaa logloglog

İspat a = loga x ve β = loga y olsun O halde aa = x ve a = y elde edilir x gt 0 y gt 0 olduğuna goumlre xy gt 0 gerekir O halde loga xy ifadesinin de anlamı vardır Buna goumlre alogaxy = xy = aa middot a = aa+ = alogaX+logay yazabiliriz Oradan da loga xy = loga x + loga y elde edilir

I log2 6 = log2 2 middot 3 = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3

Aynı kural ikiden fazla ccedilarpanları olan ccedilarpım iccedilin de geccedilerlidir yani x1 gt 0x2 gt 0xn gt 0 olduğu durumda

naaaana xxxxxxxx loglogloglog)(log 321321 geccedilerlidir

II Kuvvetin Logaritma Kuralı

xsx as

a loglog

İspat a = logax olsun x gt 0 olduğundan xs gt 0 gerekir O halde logaxs vardır xssxsx aa

sa aaxa logloglog olduğundan loglog xsx a

sa elde edilir

80

2 log3 81 = log3 34 = 41og3 3 = 4

III Boumlluumlmuumln Logaritm Kuralı

yx

yx

aaa logloglog

İspat 1 xyyx

olduğunu bildiğimize goumlre bir ccedilarpımın logaritması kuralı gereğince

loglogloglogloglog 11 yxyxxyyx

aaaaaa elde edilir

3 10log110log7log10

7log70log 77777

Bir kuvvetin logaritması kuralı sonucu olarak şu formuumll elde edilir

logloglog x

nmxx a

nm

an m

a

4 7

52log

7

52log2log32log 2

7

5

2

7 5

27

2

Aynı tabana goumlre tertiplenmiş logaritmaların kuumlmesine logaritma sistemi denir 10 taba-nına goumlre tertiplenmiş logaritmalara ondalık logaritmalar denir Ondalık logaritmaları logx biccediliminde yazıyoruz yani burada taban 10 yazılmıyor Ondalık logaritmalar iccedilin ccedilok kez lg x işaretlemesi de kullanılır Buna goumlre log10 x = logx = lg x e tabanına goumlre e 271 tertiplenmiş logaritma sistemine doğal logaritmalar denir Doğal logaritmalar ln x biccediliminde işaret edilir yani loge x = ln x dir Logaritma işleminin kuralları ondalık ve doğal logaritmalar iccedilin de geccediler-lidir

5 a) 410lg410lg10000lg 210lg210lg100lg 110lg 42

b) 4ln4ln 2ln2ln 1ln 42 eeeee

v) 310lg1000

1lg0010lg 110lg

10

1lg10lg 31

g) 3ln1

ln 1ln1

ln 3

3

1 ee

ee

а)b)

c)

d)

Bu son oumlrnekte goumlruumllduumlğuuml gibi 1rsquoden buumlyuumlk ondalık birimin logaritması pozitif tam sa-yıdır ve sayının sıfırları kadar birimleri vardır 1rsquoden kuumlccediluumlk ondalık birimlerin logaritması ise negatif tam sayıdır ve ondalık kısmında sıfırların sayısı kadar birlikleri vardır

81

Logaritması rasyonel sayı olan x pozitif reel sayısı verilmiş olsun yani log x = k k Q O halde x = 10k dir Buna goumlre 10k k Q biccediliminde olmayan pozitif sayının ondalık logaritmi irrasyonel sayıdır Onun ondalık sayı biccediliminde yazılışında sonsuz ccedilok ondalık basamakları var-dır bu nedenle bu sayıyı 5 ondalık basamağında anlaşma gereği yuvarlayacağız

A herhangi bir pozitif reel sayı olsun O halde 110 10n nA dir Buna goumlre 1lg10 lg lg10n nA gerekir Ondalık logaritması tanımına goumlre 1 lgn A n elde edilir

Son eşitsizlikten 0 lg 1A n n elde edilir O halde

ve 0 lt1n N iccedilin )1(lg nA geccedilerlidir

n sayısına A sayısının logaritmasının karakteristiği sayısına ise mantis denir Diğer soumlzlerle logaritmayı ifade eden ondalık sayının tam kısmına karakteristik ondalık kısmına ise mantis denir Buna goumlre karakteristik pozitif negatif tam sayı ya da sıfır olabilir mantis ise 0 ve 1 arasında bir sayıdır

6 lg 49527 sayısının karakteristiğini yazınız100 49527 1000 olduğuna goumlre elde edilir O halde

2 lg 49527 3 bulunur Buna goumlre lg 49527 2 0 1 lg 49527 logaritmasının karakteristiği 2 dir

7 log 0037 logaritmasının karakteristiğini belirtiniz001 lt 0037 lt 01 olduğundan lg001 lt lg 0037 lt lg 01 ya da -2 lt log A lt -1 dir Buna

goumlre 0 1 olmak uumlzere log 0037 = - 2 + biccediliminde yazılır log 0037 ifadesinin karakte-ristiği ndash 2rsquodir

6 ve 7 oumldevlerinden şu sonuca varılır 1rsquoden buumlyuumlk sayıların logaritmalarının karakteris-tiği verilen sayının tam kısmının rakamları sayısından 1 kuumlccediluumlktuumlr 1rsquoden kuumlccediluumlk sayıların ka-rakteristiği ise negatif sayıdır ve ondalık yazılışında virguumllden sonra gelen sıfırların sayısı kadar birimleri vardır

8 Hesap makinesi kullanarak reel sayıların logaritmalarını belirtebiliriz oumlrnek

38484125724lg 106583131278lg

590072002570lg 9 lg a = m lgb = n lgc = p olduğuna goumlre

4

2

cba ifadesinin ondalık logaritmasını belir-

tiniz

42lg4lglg2lglglglglglg 4242

4

2

pnmcbacbacbac

ba

82

Alıştırmalar

1 Verilen ifadelerin logaritmalarını alınız

a) abx 3 b) 52bcax v) c

abx2

g) )(2 bax d) 22 cb

ax

|) 3 2bax

b)

e)

c)

f)

а)

d)

2 İfadeleri sadeleştiriniza) )4log3(loglog 32

41 b)

27

1log64log 23 v) 100loglog2 b) c)а)

3 Verilenlerden x sayısı belirtilsin

a) 4log2lg5lglg x b) 3lg22lg3lg x

v) 2lg3

15lg

3

23lg

2

1lg x g) )4lg53lg42lg2(

4

1lg x

d) 1ln3ln5lnln x |) 3ln32ln3ln x

e) 2ln3

14ln

3

13ln

3

1ln x `) )4ln53ln42ln2(

4

1ln x

а)

c)

e)g)

b)

d)

f)h)

4 lg 2 030 ve lg 3 048 olduğunu alırsak aşağıdakilerin yaklaşık değerini belirtiniz a) 9lg 8lg 6lg 4lg b) 18lg 16lg 12lg а) b)

5 Verilen logaritmaların karakteristiğini yazınız

a) )6500256075450lg( 2 b) 029304570

5073528lg

v) 5

9775

129lg g) )550850lg( 3 c) d)

a) b)

35 Faklı Tabanlı Logaritmalar Arasındaki Bağıntılar

a gt 0 a ne1 b gt 0 x gt 0 olsunTaban değiştirme formuumlluuml

axx

b

ba

log

loglog

İspat x = aloga x eşitliğin her iki tarafının b tabanına goumlre logaritması alınırsa logbx = logb (alogax) = logax bull logba elde edilir oradan da

log

loglog

axx

b

ba elde edilir

83

1 6log

9log6log9log6log9log

7log

6log7log9log6log7log

3

33636

3

33673

29log3

Sonuccedil 1 x = b ne 1 ise a

bb

alog

1log

İspat log

1

log

loglog

aabb

bb

ba

2

5

1

32log

12log

2

32

Sonuccedil 2 0 1 s 0 0a a b ise bs

b aas log1

log İspat blog

s

1

alogs

1

alog

1blog a

bs

bas

3

3

22

3

14log

3

14log 223

Sonuccedil 3 0 1 s 0 0a a b ise bb as

a s loglog İspat loglog

1loglog bb

ssbsb aaa

sa ss

4 a) 12log2log2log 2

2

2

2

4 2 b) 29log9log9log 33

1

3

3

33

13 b)

6 lg 2 030 ve lg 3 048 olduğunu alırsak

35

39

700

780

3001

480300

2lg10lg

3lg2lg

2

10lg

)32lg(

5lg

6lg6log5

elde edilir

Alıştırmalar

1 Farklı tabanlı logaritmalar arasındaki bağıntıyı ifade ediniz

2 Eşitlikleri ispatlayınız

a) 14log5log7log12log 5733

b) 3

17log6log5log4log3log2log 876543 b)

84

3 1250log81log27

12 ifadesinin değerini hesaplayınız

4 İfadeleri sadeleştiriniz

a) )4log3(loglog 32

4

1 b) 27

1log64log 23 v) 5 25lg

5lg

b) c)

5 a gt 0 b ne1 b gt 0 olduğunda loglog 1 aab

b olduğunu ispatlayınız

36 Logaritmalı Denklemler

Tanım 1 İccedilinde bilinmeyenin ya da fonksiyonun logaritması bulunan denklemlere logaritmalı denklem denir

1 Aşağıda verilen denklemler logaritmalı denklemlerdir log2 (x + 4) = 7 log2х (5 + x2) = 9 log5(3x - 2) = log5 x

a gt 0 ve a ne 1 olsun

I Log a f(x) = b cinsinden logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuumlLogaritma işleminin tanımından şu eşitliklerin denkliği gerekir

)()(log xfabxf ba

2 Verilen denklemleri ccediloumlzelima) 3)5(log3 x b) 0)137(log 2

3 xx v) 2)9(log 22

5 x

335 x 02 )3(137 xx 222 5)9( x

275 x 0122 xx 05618 24 xx 22x 31 x i 42 x 14 2 4321 xx

b) c)

c) şıkkındaki denklemi ccediloumlzmek iccedilin bir kuvvetin logaritması oumlzelliğinden yararlanacağız

2)9x(log 225 2)9x(log2 2

5 1)9x(log 25 59x 2 1421 x

Denklemin doumlrt koumlkuuml olduğuna rağmen burada sadece iki koumlkuumlnuuml bulmuş oluyoruz Bu-nun sebebi bir kuvvetin logaritmasını yanlış kullandığımızdan oumltuumlruumlduumlr daha doğrusu logab2 = 2 log a b eşitliği sadece b gt 0 olduğu durumda geccedilerlidir Bir kuvvetin logaritması oumlzelliğini doğru kullanmak istersek şu şekilde yazmalıyız

2)9(log 22

5 x 29log2 2

5 x 19log 2

5 x 592 x

85

II log a f(x) = log a g(x) cinsinden logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuuml

log a f(x) = log a g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmuuml f(x) = g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir log a f(x) = log a g(x) denkleminin her ccediloumlzuumlmuuml f(x) = g(x) denkleminin de ccediloumlzuumlmuumlduumlr Bunun tersi genel durumda geccedilerli olmayabilir Bu nedenle f(x) = g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmleri-ni bulduktan sonra elde edilen ccediloumlzuumlmleri loga f(x) = log a g(x) denklemini de sağlayıp sağlama-dığını yoklamamız gerekir

3 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) )4(log)117(log 3

2

3 xxx b) )1210lg()223lg( 22 xxxx

41172 xxx 1210223 22 xxxx 01582 xx 010133 2 xx

53 21 xx 51 x 3

22 x

Proverka 3x Proverka 5x )43(log)11373(log 3

2

3 )125105lg()52253lg( 22

)1(log)1(log 33 ne postoi )37lg()37lg( ne postoi 3x ne e reenie 5x ne e reenie

Proverka 5x Proverka 3

2x

)45(log)11575(log 3

2

3

13

13

13

13

12

3

210

3

2lg

3

222

3

23lg

22

1log1log 33 13

13

9

44lg

9

44lg ne postoi

b)

Yoklama

Yoklama

Yoklama

Yoklama

yokturccediloumlzuumlm değildir ccediloumlzuumlm değildir

yoktur

nuk ekziston

Verilen denklemin ccediloumlzuumlmuuml x = 5 dir

Verilen denklemin reel ccediloumlzuumlmleri yoktur

III log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biccediliminde denklemlere doumlnuumlşebilen denk-lemlerin ccediloumlzuumlmuuml

4 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 2)12(log)3(log 33 xx b) )3(log)76(log 5

2

5 xxx

v) 2lg32lg4 xx

b)c)

a) 2)12(log)3(log 33 xx2)12()3(log3 xx

01252 2 xx

Yoklama x = 4 ve ondan sonra 2

3x değerlerini

değiştirmekle denklemin ccediloumlzuumlmuuml sadece x = 4

olduğunu buluyoruz

86

2

34 21 xx

b) )3(log)76(log 5

2

5 xxx

0)3(log)76(log 5

2

5 xxx

03

76log

2

5

x

xx

313

762

xx

xx

01072 xx

25 21 xx

v) xx 2lg32lg4

So zamena tx 2lg imame

5

12lg

41

043

34

21

2

2

xx

tttt

tt

yxyx

aaa logloglog

koga 0010 yxaa

Proverka so zamena za 5x a potoa za 2x zaklu~uvame deka ravenkata ima samo edno reenie 5x

Proverka bideji ravenkata 42lg x nema reenie so zamena

za 5x zaklu~uvame deka ravenkata ima samo edno reenie 5x

olsun

Yoklama x = 5 ve ondan sonra x = 2 değerlerini değiştirmekle denklemin ccediloumlzuumlmuuml sadece x = 5 olduğunu buluyoruz

Yoklama log 2 4x denkleminin ccediloumlzuumlmuuml olmadığına goumlre x = 5 ccediloumlzuumlmuumlnuuml denklemde değiştirmekle denklemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olduğunu goumlruumlyoruz

b)

c)

5 Rei gi ravenkite a) 7logloglog 2416 xxx b) 13loglog 29

xx

7logloglog 222 24 xxx 1log

1log

2

332

xx

7loglog2

1log

4

1222 xxx 1

log2

1log

2

1

3

3 x

x

7log4

72 x 01log2log 3

2

3 xx

4log2 x tx 3log

2x 0122 tt 1t 1log3 x 3x

v) )12lg()2021lg(1)10lg(5lg xxx )12lg()2021lg(10lg)10lg(5lg xxx

Proverka 13log3log 99 19log13log2 99

Reenieto na ravenkata e 3x

Proverka 72log2log2log 2416 Reenieto na ravenkata e 2x

5 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

Denklemin ccediloumlzuumlmuumlDenklemin ccediloumlzuumlmuuml

Yoklama

Yoklama

c)

b)

87

Alıştırmalar

1 2)62(log 2

3x 2 1)75(log 2

3 xx

3 1log)1(log 22 xx 4 2)12lg()13lg( xx

5 43log2log xx 6 3loglog 162 xx

7 1))72(log1(log 33 x

37 Konuyu Pekiştirme Oumldevleri

1 Hangi x ve y reel sayıları iccedilin eşitlik geccedilerlidir

a) yx 88 b)

yx33 v)

2

3

2

3yx

13

13

b) c)

2 a) a gt 1 b) 0 lt a lt 1

ise hangisi buumlyuumlktuumlr 2

3a yoksa 3

2a Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

5 3216 1450 xx 6 5052 x 7 8264 xx

8 399 42411 xxxx 9 064

125

5

4 5

1

13

x

10 1224 xx

11 Logaritma işleminin tanımından yararlanarak x sayısını belirtiniz

12

2021lg

10

)10(5lg

xxx

12

2021

10

)10(5

xxx

)2021(10)12)(10(5 xxx

200210509510 2 xxx

101 x 2

32 x

Proverka 19lg190lg120lg5lg

10lg10lg100lg

10lg210lg 2

10log210lg2

Reenie na ravenkata e 10x

Proveri dali 2

32 x e

Yoklama Yoklama

ccediloumlzuumlmuuml yoklayınız

Denklemin coumlzuumlmuuml x = 10 dur

88

a) 216log x b) 4

327log x v) 31000log x

g) 2

1log4 x d) 20log100 x |) 8log

3

1 x

b)

d) e) f)

c)

12 Şu ifadelerin logaritmasını alınız

a) xy2 b) 223 yx v) zyx 52 g) 3ca b

d) 3 26 yx |) yxx 32 e) yyx

b) d)

e) f) g)

c)

13 Logaritması bilinen x sayısını belirtiniz

a) 2log3log4loglog 2222 x b) 2lg8lg2

15lglg x

v) 3log9log7loglog x g) 5log33log2log x

b)

d)c)

14 Logaritma işlemini uygulayarak verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a)

36125

492648333 x b)

281386

2605433

2

x v) 53 2154253 x b) c)

15 а) log25 ile 4 b) log3 7 ile 7 c) lg5 ile 10-1

16 Farklı tabanlı logaritmalar arasındaki bağıntıdan yararlanarak verilen ifadeleri sade-leştiriniz

a) 2

3

75log

7log25log

2

22

3

332

b) 1log1log1log 4

2

22 xxxx b)

17 Verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a) 1250log81log27

12

b) 84log5log2log7log245log2log12

1

7

1

3

11273 b)

Denklemleri Ccediloumlzuumlnuumlz

18 1)3lg(lg xx 19 1)2(loglog 33 xx

20 5loglog7 525 xx 21 23log 1 x

22 )105(log)3(log 2

55 xxx 23 3loglog2log7

1497 x

89

a pozitif reel sayısının reel uumlsluuml kuvvetleri iccedilin şu oumlzellikler geccedilerlidir

KONU OumlZETLERİ

Her reel sayı x ve her reel sayı a iccedilin reel uumlsluuml ax kuvveti şu şekilde bellidir

Tabanı 1rsquoden farklı pozitif bir reel sayı olan ve uumlssuumlnde değişken bulunan denklemlere uumlstel denklem denir

Burada şu cins uumlstel denklemler incelenmiştirI Ax+m=0 Agt0 A1 mlt0

biccediliminden denklemlerII

Af(x)+m=0 Agt0 A1 mlt0 biccediliminden denklemlerIII

a(Af(x))2+bAf(x)+c=0 biccediliminden denklemler

I x gt 0 iccedilin

1 x = n ise n = 1 iccedilin

n gt 1 iccedilinx

n

aa aa a

2 1

ise x nx a an

3 ise nx kkx a an

4 x = c0 c1c2hellipcn hellip ise

a) a gt 1 iccedilin 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( 1)n n nc c c c c c c c c c c ca a a

b) 0 lt a lt 1 iccedilin 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( 1) n n nc c c c c c c c c c c ca a a

c) a = 1 iccedilin ax = 1rsquodir II x = 0 ise ax = 1rsquodir

III x lt 0 ise 1x

xaa

1 xx ba za sekoe x ako i samo ako ba

2 Za sekoj x postoi edinstven stepen xa

3 yxyx aaa za sekoi yx

4 yxyx aa )( za sekoi yx

5 xxx baab )( za sekoe x

iccedilin geccedilerli olması iccedilin ancak ve ancak a = b olmalıdır ax = bx eşitliği herHer

x iccedilin bir tek ax kuvveti vardır

Her

yx iccedilin

yxyx aa )( geccedilerlidirHer

yx iccedilin

yxyx aaa geccedilerlidir

Her

x iccedilin

xxx baab )( geccedilerlidir

90

a 0a 1a i b + ve olsun xa b eşitliğini sağlayan x reel sayısına a tabanlı

brsquonin logaritması denir Bunu logax b şeklinde yazarızBuna goumlre a gt 0 a ne 1 b gt 0 iccedilin

bxba ax log dir

Tanımdan doğrudan doğruya

ba ba log gerekirx sayısına logaritma değeri a sayısına logaritmanın tabanı b sayısına logaritması

alınan sayı denir0 1 0 ve 0a a x y olsun

I Ccedilarpıma ait logaritmanın oumlzelliği

yxxy aaa logloglog

Aynı kural ikiden fazla ccedilarpanları olan ccedilarpım iccedilin de geccedilerlidir yani olduğu durumda

naaaana xxxxxxxx loglogloglog)(log 321321

geccedilerlidir

II Kuvvetin Logaritması Kuralı

xsx as

a loglog

III Boumlluumlmuumln Logaritması

yx

yx

aaa logloglog

Bir kuvvetin logaritması kuralı sonucu olarak şu formuumll elde edilir

logloglog x

nmxx a

nm

an m

a

Aynı tabana goumlre tertiplenmiş logaritmaların kuumlmesine logaritma sistemi denir 10 ta-banına goumlre tertiplenmiş logaritmalara ondalık logaritmalar denir Ondalık logaritmaları log x biccediliminde yazıyoruz yani burada taban 10 yazılmıyor Ondalık logaritmalar iccedilin ccedilok kez lg x işaretlemesi de kullanılır Buna goumlre log10 x = logx = ln x e tabanına goumlre e 271 tertiplenmiş logaritma sistemine doğal logaritmalar denir Doğal logaritmalar ln x biccediliminde işaret edilir yani loge x = ln xlsquodir Logaritma işleminin kuralları ondalık ve doğal logaritmalar iccedilin de geccediler-lidir

91

A herhangi bir pozitif reel sayı olsunn ve 0 ltlt 1 iccedilin )1(lg nA geccedilerlidirn sayısına A sayısının logaritmasının karakteristiği sayısına ise mantis denir

a gt 0 a ne1 b gt 0 х gt 0 olsunTaban değiştirme formuumlluuml

axx

b

ba

log

loglog

x = b ne 1 ise a

bb

alog

1log

0 1 s 0 0a a b ise bs

b aas log1

log

0 1 s 0 0a a b ise bb as

a s loglog

İccedilinde bilinmeyenin ya da fonksiyonun logaritması bulunan denklemlere logaritmalı denklem denir

a gt 0 ve a ne 1 olsun Şu cins logaritmalı denklemler incelenmiştir

I log a f(x) = b cinsinden logaritmalı denklemlerII log a f(x) = log a g(x) cinsinden logaritmalı denklemlerIII log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biccediliminde denklemler

92

93

DAR ACcedilININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

41 Dar Accedilının Trigonometrik Oranları

Accedilıların Oumllccediluumllmesi

Ansıyalım ortak başlangıccedilları olan iki ışının (yarı doğrunun) birleşimi ve bu ışınların ait oldukları duumlzlemden ayırdıkları kısımlardan biri ile birleşimine accedilı denir Bu anlamda ortak başlangıccedilları olan iki ışın OA ve OB iki accedilı oluşturuyorlar ve bunları AOB (ya da BOA) ile işaret edeceğiz Accedilılar kuumlccediluumlk Yunan harfl eriyle de işaret ediliyorlar $$amp hellip gibi OA ve OB ışınlarına AOB accedilısının kenarları O noktasına ise accedilının koumlşesi denilir

Bir derece (10) accedilıların oumllccediluuml birimidir ve tam accedilının 1

360 kısmından biridir Dereceden

kuumlccediluumlk birimler derecenin 1

60 olan bir dakika (1rsquo) ve dakikanın 1

60 olan ya da tam accedilının

1

3600 kısmına eşit olan bir saniye (1rdquo)lsquodir Bu bağıntılardan yararlanarak dereceleri dakikaları

ve saniyeleri derece cinsinden ondalık sayı biccediliminde yazabiliriz

1 140 36rsquo 54rdquo accedilısını ondalık sayı biccediliminde yazalım

6151401506014

3600

54

60

3614543614 0000

00

00 13

13

2 725680 accedilısını derece dakika ve saniye cinsinden yazalım 543372543372)6090(337293372)60560(7256872 000000

Burada accedilıların oumllccediluumllmesi iccedilin yeni bir oumllccediluuml birimini kabul edece-ğiz Yayının uzunluğu yarıccedilapına eşit olan merkez accedilının oumllccediluumlsuumlne bir radyandır denir ve 1 rad ile işaret edilir (şek1)

Şimdi accedilıların her iki oumllccediluumlsuuml derece ve radyan arasındaki bağıntıyı belirtelim

R yarıccedilaplı ccedilemberin uzunluğu 2R olduğuna goumlre tam accedilı buumltuumln bir ccedilemberin merkez accedilısı olduğunu varsayarak bir tam accedilı 2radlsquodır Diğer taraft an tam accedilı 3600lsquodir O halde 3600 = 2rad olur Buradan da şunları yazabiliriz 00 4517572957857

1801

rad i 017450180

10 radrad

4

Şek 1

ve

94

3 a) 1100 11rsquo 15rdquo accedilısını radyanlarla ifade ediniz

rad71

1803600

115

18060

111

1801001511100 0

b) 5

12

accedilısını derecelere doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

0

0

75180

12

5

12

5

Dar Accedilının Sinuumlsuuml Kosinuumlsuuml Tanjantı ve Kotanjantı

Dik uumlccedilgendeki dar accedilıdan yararlanarak doumlrt temel trigono-metrik fonksiyonun tanımına geccedileceğiz

ABC uumlccedilgeninde C koumlşesindeki accedilı diktir A ve B koumlşele-rindeki accedilışlar ise dar accedilılardır (şek2)

A koumlşesindeki accedilıyı ( ile işaret edersek BC kenarına ( accedilısı iccedilin karşı katet AC kenarına ise komşu (yatay) katettir

ABC dik uumlccedilgenini ve AC kenarına dik olan B1C1 B2C2 ve B3C3 doğru parccedilalarını inceleyelim (şek3) Bu doğru parccedila-

ları ABC uumlccedilgeniyle ortak accedilısı olan A B1C1 A B2C2 ve A B3C3 uumlccedilgenlerinin birer karşı katetidir Bu dik uumlccedilgenler birbiriyle dik olduklarına goumlre karşılıklı kenarları da birbiriyle orantılıdır yani

ABBC

ABCB

ABCB

ABCB

3

33

2

22

1

11 ABAC

ABAC

ABAC

ABCA

3

3

2

2

1

11

ACBC

ACCB

ACCB

ACCB

3

33

2

22

1

11 i 33

3

22

2

11

1

BCAC

CBAC

CBAC

CBAC

ve

Demek ki verilen accedilısı iccedilin şek 3rsquoteki dik uumlccedilgenlerin karşılıklı kenarların oranları sa-bittir

Halbuki accedilısının buumlyuumlkluumlğuuml değişirse bu oranların değerleri de değişecektir Bu sonu-cu doğrulamak iccedilin şek 4rsquote verilmiş olan A B1C1 A D1C1 ve A E1C1 uumlccedilgenlerini inceleyeceğiz Bu uumlccedilgenler birbiriyle benzer değildirler bu nedenle de onların karşılıklı kenarlarının oranları

da birbirine eşit değildir yani 11

11

1

11

CACD

ACCB

Aynısı diğer kenarlar iccedilin de geccedilerlidir Demek ki

Mno`i gi stepenite so

180

za da pretvori vo

radijani Mno`i gi radijanite

so

180 za da pretvori

vo stepeni

bull Dereceleri radyanlara

doumlnuumlştuumlrmek iccedilin 180

ile

ccedilarpınız

bull Radyanları derecelere

ccedilevirmek iccedilin

180 ile

ccedilarpınız

hipotenuumls

daraccedilı

Şek 2

Şek 3

95

accedilısının değişimi bu oranların değişmesini etkilemektedir Buna goumlre bir dik uumlccedilgende iki kenarının oranı bu uumlccedilgenin dar accedilısının buumlyuumlkluumlğuumlne bağlı olduğunu goumlruumlyoruz Dar accedilısı verilmiş olan bir dik uumlccedilgenin kenarlarının oranı belirtilebilir ve tersine yuka-rıdaki oranlardan herhangi birinin oranı verildiğinde uumlccedilgenin dar accedilısının buumlyuumlkluumlğuumlnuuml belirtebiliriz Demek ki dik uumlccedilgende dar accedilılar ve kenarlar arasındaki oranlar arasında belli bağıntılar vardır yani fonksiyonlar vardır Bu nedenle boumlyle oranlara oumlzel adlar verilmiştir

BCAB

oranına dar accedilının sinuumlsuuml denir ve sin ile işaret edilir yani sin = BCAB

dir

ACAB

oranına dar accedilının kosinuumlsuuml denir ve cos ile işaret edilir yani cos = ACAB

dir

BCAC

oranına dar accedilının tanjantı denir ve sin ile işaret edilir yani tg = BCAC

dir

ACBC

oranına dar accedilının kotanjantı denir ve ctg ile işaret edilir yani ctg = ACBC

dir

Bir dik uumlccedilgenin kenarları ve dar accedilısı arasındaki bağıntıları ifade eden ve bu şekilde ta-nımlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar denir Bu fonksiyonlar şu şekilde de ifade ediliyorlar

Şek 4

Şek5

ca

sinhipotenuza

zakatetasprotivna

cb

coshipotenuza

zakatetaprilegnata

batg

zakatetaprilegnatazakatetasprotivna

abctg

zakatetasprotivnazakatetaprilegnata

ya ait karşı durumlu katethipotenuumls

ya ait karşı durumlu katet ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet ya ait karşı durumlu katet

hipotenuumls

4 Şek 5rsquote verilmiş olan ABCD dikdoumlrtgeninde ) accedilısının trigonometrik oranlarını bulunuz

ABC dik uumlccedilgeninden şunları yazabiliriz

db

)sin da

)cos abtg )

bactg )

5 Katetleri 3 cm ve 4 cm olan bir dik uumlccedilgen veriliyor Bunun dar accedilılarının trigonometrik fonksiyonlarını bulunuz (şek6)

96

Pitagor teoremini uygulayarak hipotenuumlsuuml belirtiyoruzc2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 25 yani c = 5rsquotirO halde

5

3sin

5

4cos

4

3tg

3

4ctg

5

4sin

5

3cos

3

4tg

4

3ctg

Trigonometrik fonksiyonları sinuumls ve kosinuumls sıfır ve dik accedilı iccedilin de şu şekilde tanımlana-bilir

00sin 10cos 1

2sin

0

2cos

Benzer şekilde 00 tg 02

ctg fakat 2

tg ve ctg 0 tanımlı değildir

Alıştırmalar

1 Tabloyu deft erinizde ccediliziniz ve doldurunuzStepeni 00 030 060 0180 0360 Radijani

4

2

2

3

DereceRadyan

Katetleri a ve b verilmiş olan dik uumlccedilgende accedilısının trigonometrik fonksiyonlarını bulu-nuz

2 a = 5 b = 12 3 a = 3 b = 52Kateti a ve hipotenuumlsuuml c verilmiş olan dik uumlccedilgende accedilısının trigonometrik fonksiyonla-

rını bulunuz4 a = 8 c = 10 5 a = 98 c = 126

42 Bazı Accedilıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Değerlerinin Hesaplanması

Geometride birccedilok oumldevleri ccediloumlzerken 30deg 45deg ve 60deg accedilılarının trigonometrik fonksiyon-larının değerlerinden yararlanıyoruz Bu gibi fonksiyonların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini hesaplamak iccedilin tuumlmler accedilıların oumlzelliklerinden de yararlanacağız

Şek 6

97

Hatırlayalım Toplamı 900 olan accedilılara tuumlmler accedilılar denir Dik uumlccedilgende iki dar accedilı tuumlmler accedilılardır Niccedilin ABC uumlccedilgenin-de (şek7) accedilısı dar accedilılardan biri ise ++ndash accedilısı onun tuumlmleyenidir accedilısı radyanlarla verildiğinde

2

accedilısı onun tuumlmleyenidir Daha da a kenarı accedilısına karşı katettir ve accedilısı-na yatay katetttir b kenarı ise accedilısına yatay katettir ve accedilısına karşı katetttir Buna goumlre ve accedilılarının trigonometrik fonksi-yonları iccedilin ( ne 00 ve ne 00) aşağıdakiler geccedilerlidir

cossinca

sincoscb

ctgbatg tg

abctg od

)90()90()90sin(cos)90cos(sin 000 tgctgctgtg

1 Oumlrnek 700 = sin(900 - 700) = sin 200 sin 100 = cos(900 -100) = cos800

3626

13

ctgctgtg

3626

13

tgtgctg

Kenar uzunluğu 2 birim olan ABC eşkenar uumlccedilgenini inceleyelim (şek8) A koumlşesinden indirilen AD yuumlksekliği aynı zamanda uumlccedilgenin A koumlşesinden geccedilen accedilı ortayı ve BC karşı kenarın orta dikmesidir Buna goumlre

122

1

2

1 BCBD i 30)60(

2

1)(

2

1 00 CABDABve

dir ABD dik uumlccedilgenine Pitagor teoremini uygulayarak (şek9)

222

ABBDAD ili 21 212

ADveya elde edilirred toa 312 222

AD odno 3ADOna goumlre yani Şimdi ABD dik uumlccedilgeninde trigonometrik fonksiyonların değer-

lerini hesaplayabiliriz

2

130sin

ABDB

2

160cos30sin 00

2

330cos 0

ABAD

2

360sin30cos 00

Şek 7

Şek 8

Şek 9

98

3

3

3

1300

ADDBtg

3

36030 00 ctgtg

31

3300

BDADctg 36030 00 tgctg

450 accedilısının trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesap-lamak iccedilin katetleri 1 birim olan bir ikizkenar dik uumlccedilgen ccedilizeceğiz (şek10) Bu uumlccedilgenin dar accedilıları 450rsquodir

Pitagor teoremi gereğince hipotenuumlsuuml 2AB dir Trigo-nometrik fonksiyonların tanımından

00 45cos

2

2

2

145sin i 00 451

1

145 ctgtg ve

Trigonometrik fonksiyonların elde edilen değerlerini bir tabloda goumlstrelim

Stepeni Radijani sin cos tg ctg 00 0 0 1 0

030 6

2

1

2

3

3

3 3

045 4

2

2

2

2 1 1

060 3

2

3

2

1 3

3

3

090

2

1 0 0

2 cos450 bull cos300 ndashsin450 bull sin300 ifadesinin değerini hesaplayınız

4

26

4

2

4

6

2

1

2

2

2

3

2

230sin45sin30cos45cos 0000

3 0 cos 230 iccedilin

1 sin

ifadesinin değerini hesaplayınız

3

1

2

32

1

2

11

2

1

60cos1

60cos

30sin1

60cos

30sin1

302cos

sin1

2cos0

0

0

0

0

0

Derece

Şek 10

Radyan

99

Alıştırmalar

1 Hesaplayınıza) 0 0cos57 yi sin 33 ile b) 0 0sin 7777 yi cos 1223 ile

c) 5 2

c yi tg ile18 9

tg d) 1087 yi ctg 10785

2tg 13

2 Verilenlerden accedilısını hesaplayınız а) cos( +100) = sin200 b) tg350 = ctg ( -150)

3 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a) 0202 30cos30sin b)

0

0

60cos1

130sin

v) 00

00

4560

4530

tgctgctgtg

b) c)

4 Hesaplayınız a) 0000 60cos30sin45cos30cos2 b) 000202 60cos30sin6030sin tg b)

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

0

0

30sin1

30sin1

b) 00

00

45601

4560

tgtgtgctg

v)

02

02

30

145sin4

ctg

b) c)

6 Verilenlerden accedilısının değerini hesaplayınız

a) 1tg b) 3ctg

v) 2

2sin g)

2

1cos d)

2

3cos

b)

c) d) e)

43 Hesap Makinesini Kullanarak Trigonometrik FonksiyonlarınDeğerlerinin Hesaplanması

6

4

3

ve 2

accedilıları iccedilin trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bulunması kolay

olduğunu goumlrduumlk Fakat herhangi accedilı iccedilin trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bu şekilde bulunması muumlmkuumln değildir Boumlyle durumlarda değerleri tablolar yardımıyla ya da hesap ma-kinesi kullanarak belirtiyoruz

Hesap makinelerinin ccediloğunda dakikaları ve saniyeleri derecelere doumlnuumlştuumlren (deg ) ya da (DMS) ile işaretlenmiş tuşlar vardır (degrees ndash minutes- seconds)

100

Oumlrneğin 320 45rsquo 10rdquo accedilısını derecelerle ifade etmek istersek şu şekilde hareket edeceğiz Hesap makinesinde 32 yazdıktan sonra tuşa basarızondan sonra 45 yazarak yine tuşa basıyoruz ve sonunda 10 yazıp tuşa bastıktan sonra 3275277780 elde edilir

Ondalık sayı biccediliminde dereceli bir accedilı verildiğinde onu derece dakika ve saniye biccedilimin-de ifade etmek istiyorsak herhangi bir işlemin tersini yapan ve genellikle sarı renkte olan ndf2 ya da inv işaretli tuşlardan yararlanıyoruz Ondalık sayıyı yazdıktan sonra oumlnce sarı renkte olan adı geccedilen tuşa basılır ve ondan sonra ordm tuşuna basılır

Hesap makinelerinin ccediloğu iki durumda ccedilalışır Biri deg durumu accedilılar ondalık sayılı de-recelerle verildiğinde ve rad durumu accedilılar radyanlarla verilmiş olduğu durumlar iccedilin

Hesap makinesi yardımıyla verilen accedilıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri bu-lunur ve tersine verilen trigonometrik fonksiyonun değerine karşılık gelen accedilı bulunur Bu iş-lemleri şu iki oumlrnekte inceleyeceğiz

1 Hesap makinesi kullanarak hesaplayınız

a) sin 4130 b) cos 19021rsquo17rsquorsquo c) tg 36

5

a) Oumlnce hesap makinesini deg durumuna yani deg tuşuna basarak derecelerle işlemler yapacak durumuna getiriyoruz Ondan sonra 4130 yazılır Ondan sonra sin tuşuna basmakla sin4130 değeri elde edilir

0341 - sin = 0660017

b) Oumlnce 190 21rsquo 17rdquo accedilısını ondalık sayı şeklinde derecelerle ifade etmeliyiz Ondan sonra a) şıkkında hareket edildiği gibi işlemler yapılır

0

00

00 354722193600

17

60

2119172119

13

13

035472219 - cos = 0943484853

c) Genel olarak hesap makinesini radyan durumunda koyarız Ondan sonra tuşuna basarak (boumlylece 3141592654 değerini yazmış oluyoruz) Bunu 5 ile ccedilarpar 36 ile boumlleriz ve so-nunda (tan) tuşuna basarız Bununla istenilen sonucu elde etmiş oluyoruz

4663076580

36

5

tg

2 Hesap makinesi yardımıyla verilenlerden accedilısını belirtinizа) sin = 074281 b) cos = 023849 c) tg = 38611a) Hesap makinesi deg durumunda getirilir sin = 074281 değeri yazılır ve inv (ya da

ndf2 tuşuna basılır ve ondan sonra sin tuşuna basılır Elde edilen sonuccedil = 479713rsquodir

101

742810 - inv - ins = 971347 0

Bunu derece ile ifade edersek a = 570 58rsquo 17rdquo elde edilirHesap makinesinde 1sin tuşu varsa şu şekilde hareket edilir

a) 742810 - 1sin = 971347 0

b) 238490 - inv - cos = 0202676 91276 0

c) 826113 - inv - tg = 352775 0 102175 0

Alıştırmalar

Hesap makinesi kullanarak verilen her accedilının trigonometrik fonksiyonlarının değerini hesaplayınız

1 a) 048 b) 0 231223 v) 01916

2 a) 7

2 b)

21

5

a) b) c)

a) b)

3 Hesap makinesi kullanarak verilenlerden accedilısını belirtiniz

a) 583620sin b) 714190cos v) 41832tg

g) 9

4sin d)

7

5cos |)

13

4ctg

a) b) c)

ccedil) d) e)

4 = 340 28rsquo iccedilin verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

2

sin

2sin

b) sin22sin b)

5 Verilenlerden accedilısını belirtiniz а) sin = tg23037rsquo b) cos = 5 bull sin 110 c) tg = sin32019rsquo+ cos59025rsquo

44 Aynı Accedilının Trigonometrik FonksiyonlarıArasındaki Temel Bağıntılar

ABC dik uumlccedilgeninde (şek11) a2 + b2 = c2 bağıntısının geccedilerli olduğunu artık biliyorsu-

nuz Bu eşitlik c2 ile boumlluumlnduumlğuumlnde 2

2

2

2

2

2

cc

cb

ca

ve 12

2

2

2

cb

ca ya da

102

1

22

13

13

cb

ca

elde edilir

sinac

ve cosbc

olduğuna goumlre bunları son eşitlik-

te değiştirmekle

1cossin 22 (1) elde edilir

1 Oumlrnek a = 300 iccedilin eşitliği yoklayalım

sin2 30 + cos2 30 14

4

4

3

4

1

3

3

2

130cos30sin

22

22

13

13

(1) eşitliğinden yararlanarak herhangi bir dar accedilının sinuumlsuumlnuuml aynı accedilının kosinuumlsuumlyle ifade edebiliriz ve tersine

2cos1sin ve 2sin1cos

2 4sin

5 olduğuna goumlre cos rsquoyı hesaplayınız

5

3

25

9

25

161

5

41sin1cos

2

2 13

3 1 cos 1 sin ifadesini sadeleştirinizBu oumlrnekle (1) eşitliğinden yararlanarak bazı ifadelerin nasıl sadeleştirildiğini goumlsterece-

ğiz (1 + cos) bull (1 - sin) = 1 - cos2 = sin2

ABC dik uumlccedilgeninden (şek11) atgb

ve bctga

olduğunu yazabiliriz

Bu eşitliklerin pay ve paydalarını c ile boumllersek (c ne 0 c ne 0)

cbca

tg ve

cacb

ctg (2)

elde edilir

tg ve ctg birbiriyle ccedilarpıldığında bir eşitlik daha elde edilir

1 ctgtg (3)

4 Doğrudan doğruya hesaplayarak eşitliği bir oumlrnekle doğrulayalım

Şek 11

103

13

3

3

3

3

336060

2

00 ctgtg

5 ctg = 2 olduğuna goumlre tg rsquoyı hesaplayınız

2

11

ctgtg olduğuna goumlre

1

2tg elde edilir

Trigonometrik fonksiyonların dar accedilılar iccedilin (1) (2) ve (3) temel bağıntılarından yararla-narak bunlardan sadece biri bilindiği takdirde diğer fonksiyonların da değerlerini belirtebiliriz

6 4

sin5

olduğuna goumlre cos rsquoyı hesaplayınız

5

3

25

9

25

161

5

41sin1cos

2

2 13

7 tg = 2 olduğuna goumlre accedilısı iccedilin diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplayınız

sin

costg

eşitliğinden

sin2

cos

gerekir oradan da sin = 2 cos elde edilir Diğer

taraft an sin2 + cos2 = 1 ve (2cos)2 + cos2 = 4cos2 + cos2 = 5cos2 = 1 yazabiliriz Ora-

dan 2 1cos

5 ve sonunda 5

cos5

elde edilir Ondan sonra

5

52

5

2

5

4

5

11cos1sin 2 ve

2

11

tgctg

Alıştırmalar

1 Verilene goumlre diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplayınız

a)

13

5sin b) 250cos v)

5

4tg g) 410ctg b) c) ccedil)

2 Verilen ifadeleri sadeleştiriniz

a) 2cos1 b) 1sin2 v)

2

2

sin1

cos b)a) c)

3 İspatlayınız

D

a) 1cossin 2222 tgctg b) 21cos1sin 2222 tgctgb)a)

4 Her dar accedilı iccedilin aşağıdakiler geccedilerlidir

104

a) sinsin 2222 tgtg b) 1sin2cossin 244

v) cossin

cos21 2

ctgtg

a) b)

c)

5 Her dar accedilı iccedilin aşağıdakiler geccedilerli olduğunu ispatlayınız

a)

sin

2

cos1

1

cos1

12

b) 2cossin

cossin

cossin

cossin 2222

a) b)

6 15cos

17 olduğuna goumlre

5sin cos

3sin 2cos

hesaplansın

7 1

cos3

olduğuna goumlre 4tg - 3sin hesaplansın

45 Dik Uumlccedilgenin Ccediloumlzuumlmuuml

a b ve c bir ABC dik uumlccedilgenin kenarları ve onun dar accedilıları olsun (şek 12) O halde

= 900 dhe a2 + b2 = c2 geccedilerlidirTrigonometrik fonksiyonların tanımından da

sinca

coscb

tgba

cosca

sincb

ctgba

geccedilerli olduğunu biliyoruz Bu bağıntılardan yararlanarak bir kenar ve bir dar accedilı

iki kenarverildiğinde uumlccedilgenin temel elemanlarını (kenarlarını ve accedilılarını) hesaplayacağız

Bir dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln denilince elemanlardan en az biri kenar olmak uumlzere verilenlere goumlre tuumlm temel elemanların belirtilmesini anlayacağız

1 Hipotenuumlsuuml c = 93 cm ve accedilısı = 420 23rsquo verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumlnHer iki kateti a ve b ile dar accedilısını hesaplamamız gerekir Accedilıyı hemen = 900 - = 900 - 420 23rsquo = 470 37rsquo olduğunu buluyoruza katetini hesaplamak iccedilin oumlnce sin4238330 = 067409 olduğunu buluyoruz ondan sonra

a = c bull sin = 93 bull 067409 63 yani a 63 cm elde edilir b katetini hipotenuumls

Şek 12

105

ve accedilısının kosinuumlsuumlyle yardımıyla belirteceğiz ya da Pitagor teoreminden yararlanarak he-saplayacağız

I youmlntemb = c bull cos = 93 bull cos4238330 = 93 bull 07386 yani b 69 cm dir

II youmlntem 696393 22 cmb

2 Katetleri a = 21 cm ve b = 15 cm olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumlnUumlccedilgenin hipotenuumlsuumlnuuml ve iki dar accedilısını hesaplamamız gerekir Hipotenuumlsuuml Pitagor teore-

minden yararlanarak hesaplayacağız

256101521 2222 cmbac

accedilısını tanjant fonksiyonu yardımıyla belirteceğiz yani 4115

21

batg olduğuna

goumlre +01rsquo bulunur accedilısı iccedilin = 900 - 900 - 54028rsquo yani 35032rsquo

3 Kateti b = 53 cm ve accedilısı = 640 verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln Oumldevin koşulları gereğince uumlccedilgenin diğer dar accedilısını katetini ve hipotenuumlsuumlnuuml belirtme-

miz gerekir Hesaplıyoruz = 900 - = 900 - 640 = 260 a = b bull tg = 53 bull tg260 = 53 bull 048773 26 yani a 26 cmrsquodir b = c sin eşitliğinden

898790

53

64sin

53

sin

bc ya da c 59 cm olduğunu buluyoruz

4 Kateti a = 37 cm ve hipotenuumlsuuml c = 48 cm verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln α ile β dar accedilıları ve b kateti hesaplansın

77083048

37sin

ca olduğundan 50428780 elde edilir oradan da 50025rsquo44rsquo

bulunur = 900 - 390 34rsquo 16rdquo dir b = c bull sin = 48 bull sin390 34 16rdquo 48 bull 063704 31 yani b 31 cm olduğunu buluyoruz

Dik uumlccedilgenin ccediloumlzuumlmuuml geometride ve guumlnluumlk hayattan ccedileşitli problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde buuml-yuumlk uygulamaları vardır Bu uygulamaları birkaccedil oumlrnekle goumlstereceğiz

5 Bir dar accedilısı = 660 ve bir koumlşegeni d1 = 34 cm olan eşkenar doumlrtgenin kenarını hesap-layınız

A koumlşesindeki accedilı ve aynı koumlşeden ccedilizilen koumlşegen d1 verilmiş olsun (şek13) ABS dik uumlccedilgeninden

106

2cos

2

1 ad

033cos17 a 203838630

17

33cos

17 cma

Şek13 Şek14

6 İccedilten teğet ccedilemberinin yarıccedilapı r = 12 cm verilmiş olan duumlzguumln altıgenin kenarını he-saplayınız

Şek 14rsquote ABCDEF duumlzguumln altıgeni ccedilizilmiştir ABO uumlccedilgeni eşkenardır BON accedilısı 300rsquodir NBO dik uumlccedilgeninden

928265773501230

2 tgra

8513 cma

elde edilir

7 Bir ırmağın iki farklı tarafında bulunan A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesapla-yınız (şek15)

A noktasında BAM dik accedilısını ccediliziyoruz Bu accedilının kouml-şesini C ile işaret ettikten sonra ACB accedilısını oumllccediluumlyoruz Elde edi-len accedilının buumlyuumlkluumlğuuml = 490 olsun A ve C noktaları arasındaki uzaklığı oumllccediluumlyoruz bu uzaklık d = 28 m olsun O halde

32150371284928 0 tgtgdAB32mAB

Alıştırmalar

Verilenlere goumlre ABC uumlccedilgenini ccediloumlzuumlnuumlz

1 a) 236 0 68cmc b) 815 0 212 cmc v) 465 0 252 cma

2 a) 820 246cmb b) 3048 0 774 cmb v) 240 255 cma

3 a) 230cma 320cmc b) 552 cma 28cmb v) 93 cmb 54 cmc

a) b) c)a) b) c)a) b) c)

Şek 15

107

4 Bir ccedilemberin yarıccedilapı 13cm ve bir AB kirişi 10 cmrsquodir AOB accedilısının oumllccediluumlsuumlnuuml (buumlyuumlk-luumlğuumlnuuml) hesaplayınız

5 Bir ikizkenar yamuğun yuumlksekliği 6cm tabanların uzunlukları ise 4cm ve 20cmrsquodir Yamuğun accedilılarını hesaplayınız

6 A noktasından 4000m dikey yuumlkseklikte bir uccedilak bulunuyor O anda uccedilaktan 170 dep-resyon accedilısıyla alanda B noktası goumlruumlluumlyor Uccedilak B yerinden ne kadar uzaklıktadır ve A ve B noktaları arasındaki uzaklık ne kadardır

46 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Verilen accedilıları derece dakika ve saniye cinsinden ifade ediniz а) 34410 b) 18270 c) 23670

2 Verilen accedilıları derece olarak ifade ediniz а) 36025rsquo36rsquorsquo b) 45011rsquo19rsquorsquo c) 73052rsquo25rsquorsquo

3 Verilen accedilıları radyanlarla ifade ediniz а) 250 b) 62015rsquo c) 350 5rsquo38rsquorsquo

4 Radyanlarla verilmiş olan accedilıları derecelere doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а)

12

7 b) 127 c) 045

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

00

00

30605

30cos30sin

tgctg

b) 130cos2

4502

0

tg

v)

cos1

ctgtg za 0 a) b) c)

6 Verilenlerden α accedilısını belirtiniz a) sin = cos650 b) cos = sin42050rsquo c) sin( + 200) = sin500 d) tg(-150) = ctg(+ 250)

7 Trigonometrik fonksiyonlarından biri verildiğine goumlre diğer trigonometrik fonksiyon-ların değerlerini belirtiniz

a)

5

4sin b)

5

3cos v)

5

3tg g)

25

7ctg a) b) c) d)

108

8 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a) cos54tg ako

5

3sin b)

sin3cos

cossin2 ako 2tga) b)

9 Verilenlere goumlre ABC uumlccedilgenini ccediloumlzuumlnuumlz а) = 3602rsquo c = 68 b) = 64020rsquo a = 450 c) = 85010rsquo b = 062 d) a = 230 c = 320 e) b = 39 c = 425

10 Bir ikizkenar yamuğun tabanı a yan kenarı c ve tabanına ait accedilısı accedilısı verilmiştir Yamuğun diğer tabanını ve yuumlksekliğini hesaplayınız

11 Hareket eden bir vapurdan deniz feneri 2560 accedilıyla goumlzuumlkuumlr Vapur karaya 1050 m yaklaşınca bu accedilı 3120 olur Deniz feneri suyun yuumlzeyinden hangi yuumlksekliktedir

109

Konu Oumlzetleri

Bir derece (10) accedilıların oumllccediluumllmesi iccedilin buumlyuumlkluumlğuuml tam accedilının 1

360 kısmı olarak tanımlan-

mış oumllccediluuml birimidir Dereceden kuumlccediluumlk birimler derecenin 1

60 olan bir dakika (1rsquo) ve dakikanın

1

60 olan ya da tam accedilının 1

3600 kısmına eşit olan bir saniye (1rdquo)rsquodir

Yayının uzunluğu yarıccedilapına eşit olan merkez accedilının oumllccediluumlsuumlne bir radyandır denir ve 1 rad ile işaret edilir

İki birim derece ve radyan arasındaki bağıntı rad 23600 formuumlluumlyle verilir

Dik uumlccedilgendeki dar accedilıdan yararlanarak doumlrt temel trigonometrik fonksiyonun tanımına geccedileceğiz

ABC uumlccedilgeninde C koumlşesindeki accedilı diktir A ve B koumlşelerin-deki accedilışlar ise dar accedilılardır (şek2)

A koumlşesindeki accedilıyı ( ile işaret edersek BC kenarına ( accedilısı iccedilin karşı katet AC kenarına ise komşu (yatay) katettir

Bir dik uumlccedilgenin kenarları ve dar accedilısı arasındaki bağıntıları ifade eden ve bu şekilde ta-nımlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar denir Bu fonksiyonlar şu şekilde de ifade ediliyorlar

ca

sinhipotenuza

zakatetasprotivna

cb

coshipotenuza

zakatetaprilegnata

batg

zakatetaprilegnatazakatetasprotivna

abctg

zakatetasprotivnazakatetaprilegnata

ya ait karşı durumlu katethipotenuumls

ya ait karşı durumlu katet ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet ya ait karşı durumlu katet

hipotenuumls

Aşağıdaki tabloda bazı accedilıların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini goumlsterilmiştir

hipotenuumls

daraccedilı

110

Stepeni Radijani sin cos tg ctg 00 0 0 1 0

030 6

2

1

2

3

3

3 3

045 4

2

2

2

2 1 1

060 3

2

3

2

1 3

3

3

090

2

1 0 0

Dereceler Radyanlar

accedilısı bir dik uumlccedilgenin dar accedilısı olduğu durumda aşağıdaki formuumlller geccedilerlidir

1cossin 22

1 ctgtg

a b ve c bir ABC dik uumlccedilgenin kenarları ve onun dar accedilıları ise trigonometrik fonksi-yonların tanımından şu bağıntılar geccedilerlidir

sinca

coscb

tgba

cosca

sincb

ctgba

Bu bağıntılardan yararlanarak bir kenar ve bir dar accedilı iki kenar

verildiğinde uumlccedilgenin temel elemanlarını (kenarlarını ve accedilılarını) hesaplayacağızBir dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln denilince elemanlardan en az biri kenar olmak uumlzere verilenlere

goumlre tuumlm temel elemanların belirtilmesini anlayacağız

111

5 DUumlZLEMDE DOĞRU

51 Duumlzlemde Dik Accedilılı Koordinat Sistemi

Sayı doğrusu uumlzerinde her noktanın durumu sadece bir x reel sayısı ile tamamen bellidir ve bu sayıya noktanın koordinatı denir Benzer şekilde koordinat sisteminden yararlanarak duumlzlem uumlzerinde her noktanın durumu reel sayılardan oluşan ve noktanın koordinatları diye adlandırılan bir (x y) sıralı ccedilift iyle tamamen belli olduğunu goumlstereceğiz

Dik accedilılı koordinat sistemi birbirine goumlre dik olan ve koordinat eksenleri diye adlandırılan iki eksenden olu-şur İki eksenin kesiştiği noktaya koordinat başlangıcı ya da orijin denir ve O ile işaret edilir Yatay eksene x- ekseni ya da apsis ekseni dikey eksene ise y- ekseni ya da ordinat ekseni denir Koordinat sisteminin ait olduğu duumlzleme ko-ordinat duumlzlemi denir

Genel olarak her iki koordinat ekseninde aynı birim uzunluk kullanılır Koordinat başlangıcının sağ taraft aki youmlnuuml x- ekseninin pozitif youmlnuuml koordinat başlangıcından yukarıya doğruya olan youmln ise y- ekseninin pozitif youmlnuuml sa-yılır

P koordinat duumlzleminde herhangi bir nokta M ve N noktaları ise sırasıyla x= ve y= eksenlerine P noktasının izduumlşuumlmleri olsun M noktasına x- ekseni uumlzerinde sadece bir tek x reel sayısı karşılık gelir Ben-zer şekilde M noktasına y- ekseni uumlzerinde sadece bir tek y reel sayısı karşılık gelir Buna goumlre P noktasının durumu reel sayılardan oluşan bir (x y) sıralı ccedilift iyle tamamen bellidir Bu sıralı ccedilift e P noktasının koor-dinatları denir Bu durumda x sayısına birinci koordinat ya da apsis y sayısına ise ikinci koordinat ya da ordinat denir ve P(x y) biccediliminde işaret edilir

1 P(-3 6) noktasının birinci koordinatı x = -3 ve ikinci koordinatı ise y = 6rsquodıruml

P (x y) noktasını ccedilizmek ya da koordinat sisteminde goumlstermek P noktasından geccedilen ve koordinat eksenlerine paralel olan doğruların kesişim noktasını belirtmek de-mektir

2 P(23) noktasını ccedilizinizKoordinatı 2 olan noktadan x ndash eksenine dikme ccedilizi-

lir Benzer şekilde y- ekseninde koordinatı 3 olan noktadan y- eksenine dikme ccedilizilir Dikmelerin kesişim noktası aranılan noktadır (şek2)

Şek 1

Şek 2

112

Koordinat eksenleri duumlzlemi doumlrduumlller denilen doumlrt kısma ayırıyorlar I doumlrduumll olarak uumlst sağ kısım II doumlrduumll uumlst sol kısım III doumlrduumll alt sol kısım ve IV doumlr-duumll alt sağ kısım olarak alınır O halde herhangi bir P(x y) noktası I- doumlrduumllde ise x gt 0 ve y gt 0 olur II- doumlr-duumllde ise x lt 0 ve y gt 0 olur III- doumlrduumllde ise x lt 0 ve y lt 0 olur IV- doumlrduumllde ise x gt 0 ve y lt 0 olur y = 0 eğer nokta x ekseni uumlzerinde ise x = 0 eğer nokta y ek-seni uumlzerinde ise Koordinat başlangıcı hem x hem de y uumlzerinde olduğuna goumlre onun koordinatları O (00) olur (şek3)

3 Verilen noktaları koordinat duumlzleminde belirtiniz а) A(52) b) B(40) c) C(-35) d) D(03)

e) E(-6-1) f) F(-20) g) 13

2

12G h) H(0-2)

ondan sonra biri hangi doumlrduumlle ya da eksene ait olduğunu belirtiniz

a) A(5 2) noktası I ndash doumlrduumlle aittirb) B(4 0) noktası x- ekseni uumlzerindedirc) C(-3 5) noktası II ndash doumlrduumlle aittird) D(0 3) noktası y- ekseni uumlzerindedire) E(-6 -1) noktası III ndash doumlrduumlle aittirf) F(2 0) noktası x- ekseni uumlzerindedir

g) G(2 1

2 ) noktası IV ndash doumlrduumlle aittir

h) H(0 -2) noktası y- ekseni uumlzerindedir

Alıştırmalar

1 Verilen noktalardan her biri hangi doumlrduumlle ya da eksene ait olduğunu belirtiniz а) A(3-4) b) B(-11) c) C(-3-5) d) D(23)

e) E(-60) f) 13

2

30B g)

13

02

1G h) H(0-1)

II doumlrduumll

III doumlrduumll IV doumlrduumll

I doumlrduumll

Şek 3

Şek 4

113

A(13) B(-24) C(5-2) ve D(-3-1) noktalarının

2 x- ekseni uumlzerinde 3 y- ekseni uumlzerinde M N P ve Q izduumlşuumlmlerinin koordinatlarını belirtiniz

4 Uccedil noktalarının koordinatları A(14) ve B(52) olan AB doğru parccedilasını ccediliziniz On-dan sonra doğru parccedilasının x- ekseni ve y- ekseni uumlzerinde sırasıyla mx ve my dik izduumlşuumlmleri-nin uzunluklarını belirtiniz

5 Koumlşelerinin koordinatları verilmiş olan ABC uumlccedilgenini ccediliziniz A(1 -3) B(5 2) ve C

(0 -1

2)

52 İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Bu derste koordinat duumlzleminde bulunan iki nokta arasındaki uzaklık problemini analitik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Verilen iki nokta M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık aslında M1M2 doğru parccedilasının uzunluğudur yani 1 2d M M rsquodir

Oumlnce daha basit bir durumu ccediloumlzeceğiz Uccedil noktalardan biri koordinat başlangıcında olsun (şek5) M(xy) noktasından x- eksenine ccedilizilen dikmenin dikme ayağı N olsun ONM dik uumlccedilge-ninden Pitagor teoremi gereğince

22 yxd dir

1 M(34) noktasından koordinat başlangıcına olan uzaklığı ne kadardır2 23 4 5d elde ediliruml

Şek 5 Şek 6

114

Şimdi genel durumu inceleyelim Aralarındaki uzaklığı hesaplanması gereken M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) noktaları x ndash eksenine ve y ndash eksenine paralel olmayan bir doğruya ait olsun (şek6) M1M2M3 dik uumlccedilgenini inceleyelim Onun katetlerinin uzunlukları sırasıyla || 1221 xxMM ve

|| 1232 yyMM olduğunu yazabiliriz O halde M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık d aslında dik uumlccedilgenin M1M2 hipotenuumlsuumlduumlr Buna goumlre

212

2

12 yyxxd

2 M1 (-2 3) ve M2 (0 -2) noktaları arasıdaki uzaklığı belirtiniz

29)3)2(())2(0( 22 d

3 A(3-6) B(-2 4) ve C (1 -2) noktaları bir doğru uumlzerinde olup olmadığını yoklayınızAB AC ve BC doğru parccedilalarının uzunluklarını hesaplayacağız Bunlardan biri diğer

ikisinin toplamına eşit olup olmadığını yoklayacağız5510)5( 22 AB 524)2( 22 AC 53)6(3 22 BC

BCACAB olduğuna goumlre bu uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde olduğunu buluyoruzuml4 Koumlşelerinin koordinatları A(1 1) B(23) ve

4

91

13

C olan uumlccedilgen hangi tuumlrden olduğu-

nu belirtiniz Uumlccedilgenin ve AB AC BC kenar uzunluklarını hesaplayalım

521 22 AB

4

5

4

50

2

2 13

AC

4

5

4

33

2

2 13

BC

AC BC AB olduğuna goumlre verilen uumlccedilgen ikizkenar olduğunu buluyoruzuml

Alıştırmalar

1 Verilen noktalar arasındaki uzaklığı hesaplayınız а) М1(1-3) ve М2(26) b) M1(02) ve М2(0-2) c) М1(-1-2) ve М2(24) d) M1(13) ve M2(70)

2 A(1 -3) B(3 -5) ve C (-5 7) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleri olup olmadığını yoklayınız

3 Apsisi 7 olan B noktası A(-1 5) noktasından 10 birim uzaklığındadır B noktasının koordinatlarını belirtiniz

115

4 A(5 8) ve B(-11 -2) noktaları veriliyor A noktasına goumlre B noktasının simetriği olan C noktasının koordinatlarını belirtiniz

5 A(1 4) B(3 -9) ve C (-5 2) noktaları veriliyor Bu noktalar bir uumlccedilgenin koumlşeleri oldu-ğunu goumlsteriniz ve B koumlşesinden ccedilizilen kenarortayının uzunluğunu belirtiniz

53 Doğru Parccedilasının Verilen Oranda Boumlluumlnmesi

Bir doğru uumlzerinde olan A B ve M (AneB) noktaları iccedilin AM MB2 oumlzelliği varsa M noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan başlayarak Brsquoye doğru 2 oranında boumller

1 M notası AB doğru parccedilasının orta noktası ise AM MB olur yani M noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 2 = 1 oranında boumller (şek7)

2 P ve Q noktaları AB doğru parccedilasını AP AQ olmak uumlzere uumlccedil eşit parccedilaya ayırıyorlar Bu

durumda 1

2AP PB ve 2AQ QB dir O halde P

noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 1

2 ora-

nında Q noktası ise 2 oranında boumller (şek 8)

İlerde ldquoM noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 2 oranında boumllerrdquo diyecek yerde sadece ldquoM noktası AB doğru parccedilasını 2 oranında bouml-lerrdquo diyeceğiz Bu durumda AB şeklinde ifade edilen doğru parccedilasında A ilk ve B ikinci nokta olduğunu sayacağız

M noktası ancak ve ancak A ve B arasında ise 2 sayısı sıfırdan buumlyuumlktuumlr Oumlzel durum 2= 1 ise M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise ancak ve ancak M noktası A noktasıyla ccedilakı-şırsa 2 = 0rsquodır 2= -1 ise AM MB gerekir bu ise imkansızdır Demek ki2ne -1 olmalıdır 2 sayısı sıfırdan kuumlccediluumlk ve2ne -1 ise M noktası AB doğru parccedilasının dışında AB doğrusuna aittir

Uccedil noktaları 1 1A x y ve 2 2B x y olan AB doğru parccedilasını l oranında boumllen M (x y) noktasının koordinatlarını belirtelim (şek9)

Crt 7 Şek 7

Şek 8

Şek 9

116

AM MB2 eşitliğinden x ndash x1 = 2 (x2 ndash x ) ve y ndash y1 = 2 (y2 ndash y ) gerekir O halde

22

1

21 xxx 22

1

21 yyy

pq

2 olduğu durumda

qppxqxx

21 qppyqyy

21

elde edilirOumlzel durumda M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise 2 = 1rsquodir ve

221 xxx

2

21 yyy

elde edilir Bu formuumlller orta noktanın koordinatlarıdır

3 Koumlşelerinin koordinatları A(-2 -3) B(6 1) ve C(-4 5) olan uumlccedilgen verilmiş olsun Uumlccedilge-nin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz

Ağırlık merkezi AA1 BB1 ve CC1 kenar ortaylarını l = 2 oranında boumllduumlğuumlnuuml biliyoruz Bu oumlzellikten yararlanarak ağırlık merkezinin koordinatlarını belirteceğiz

22

62

21

CB

Axxx ve 1

2

13

21

CB

Ayyy den A1(2 -1) dir

O halde 03

44

21

21

AAT

xxx ve 1

3

25

21

21

AAT

yyy olduğuna goumlre T(0 1)

olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 A(3-7) B(5 2) ve C(-1 0) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir Kenarlarının orta noktala-rının koordinatlarını bulunuz

2 A(1 1) B(5 11) ve C(3 -1) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir A noktasından ccedilizilen kenar ortayın uzunluğunu belirtiniz

3 A(-3 -2) ve B(7 3) noktaları veriliyor AB doğru parccedilasını beş eşit parccedilaya boumllen nok-taların koordinatlarını belirtiniz

4 A(3 1) ve B(8 3) noktaları veriliyor AB doğru parccedilasınıa) 2 3 b) 3 2 c) -2 3 d) -3 2oranında boumllen M noktasının koordinatlarını belirtiniz

117

5 Kenarlarının orta noktaları P(3-2) Q(1 6) ve R(-4 2) olan bir uumlccedilgenin koumlşelerinin koordinatlarını belirtiniz

6 A(a1 a2) B(b1 b2) ve C(c1 с2) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir ABC uumlccedilgeninin ağırlık

merkezi iccedilin 3

3

222111 13

cbacbaT formuumlluuml geccedilerli olduğunu ispatlayınız

54 Uumlccedilgenin Alanı

M1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktaları verilen bir uumlccedilgenin koumlşeleri olsun Problemi iki aşamadan ccediloumlzeceğiz

I aşama Oumlnce bir koumlşesi koordinat başlangıcında diğeri ise x ekseninde olan uumlccedilgenin alanını belirtelim (şek10) Bu durumda uumlccedilgenin uumlccediluumlncuuml koumlşesi ya x ekseni uumlstuumlnde ya da x ek-seni altında olacaktır Uumlccedilgenin alanı tabanı ve yuumlksekliğinin ccedilarpımının yarısına eşit olduğuna goumlre verilen uumlccedilgenin alanı

2

|| 21yxP

olur Uumlccedilgenin alanı pozitif buumlyuumlkluumlk olduğuna goumlrex1 ve y2 ise pozitif ya da negatif sayılar ola-bilir Bu yuumlzden onların ccedilarpımının mutlak değeri alınır

Şek 10 Şek 11

II aşama Genel olarak (şek11) koumlşeleri M1 (x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktalarında olan uumlccedilgenin alanı N1M1M2N2 ve N2M2M3N3 yamukların alanlarının toplamından N1M1M3 N3 yamuğun alanı ccedilıkarılır O halde

118

)]()()([

2

1

)(2

)(2

)(2

213132321

1331

2332

1221

xxyxxyxxy

xxyyxxyyxxyyP

P

elde edilirM2 noktası M1 ve M3 noktalarıyla belirlenen doğrunun altında ise uumlccedilgenin alanı iccedilin negatif değer elde edilecektir Uumlccedilgenin alanı pozitif sayı olduğuna goumlre elde edilen değerin mutlak değeri alınmalıdır

|)()()(|

2

1

|)()()(|2

1

213132321

213132321

yyxyyxyyx

xxyxxyxxyP

P

Uumlccedilgenin alanını hesaplamak iccedilin kullanılan bu formuumllden uumlccedil noktanın bir doğru uumlzerin-de (doğrusal) olması iccedilin şart elde edebiliriz Uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde bulunduğu durumda bu noktalarla elde edilen uumlccedilgenin alanı sıfırdır

1 Koumlşelerinin koordinatları A(1 2) B(-2 3) ve C(0 5) olan uumlccedilgenin alanını hesaplayınızUumlccedilgenin alanı formuumlluumlnden yararlanacağız

4|)32(0)15(2)53(1|

2

1

|)()()(|2

1213132321

yyxyyxyyxPP

Demek ki verilen uumlccedilgenin alanı 4 birim karediruml

Alıştırmalar

1 Koumlşelerinin koordinatları A(-32) B(3 5) ve C(1-3) olan uumlccedilgenin alanını hesaplayınız2 P1( -3-3) P2(35) ve P3(69) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleri midir3 Koordinatları M(1 -3) B(3 5) ve C(2 1) olan M B ve C noktaları bir doğru uumlzerinde

olup olmadıklarını yoklayınız4 Koumlşeleri A(01) B(37) C(44) ve D(1-2) olan paralelkenarın alanını hesaplayınız5 Koumlşeleri A(14) B(53) C(-3-5) ve D(-21) olan yamuğun alanını hesaplayınız

119

6 Koumlşelerinin koordinatları A(11) B(-1 -2) ve C(-47) olan uumlccedilgende P noktası AC ke-narının orta noktası olduğuna goumlre APB ve BPC uumlccedilgenlerinin alanını hesaplayınız

55 Doğru Denkleminin Accedilık Şekli

Doğrutemel geometrik kavramı olduğuna goumlre tanımı yoktur Bunun denklemini elde etmek iccedilin onun bazı oumlzelliklerinden yararlanaca-ğız Oumlnce koordinat başlangıcından geccedilen ve koor-dinat eksenlerinden farklı olan doğrunun denkle-mini belirtelim (şek12)

M(x y) noktası doğru uumlzerinde koordinat başlangıcından farklı olan herhangi bir nokta ol-sun M noktasının x- eksenine dik izduumlşuumlmuumlnuuml M1 ile doğrunun x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle oluş-turduğu accedilıyı ile işaret edelim Boumlyle durumda

tgxy

OMMM

1

1 oranı M noktasının her-

hangi durumu iccedilin sabittir Bu sabit sayı k ile işaret edilir ve buna accedilı katsayısı ya da doğrunun eğimi denir Buna goumlre bu doğrunun her noktası-nın koordinatları

kxy

denklemini sağlamaktadırO halde y = kx denklemi koordinat başlangıcından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumly-

le a accedilısını oluşturan doğrunun denklemidir Burada k = tg arsquodır

1 Koordinat başlangıcından geccedilen ve ndash ekseninin pozitif youmlnuumlyle 4

accedilısını oluştu-ran doğrunun denklemini yazınız

Doğru koordinat başlangıcından geccediltiğine goumlre denklemi y = kx şeklindedir Oumldevin

koşuluna goumlre 14

k tg tg rsquodir Demek ki doğrunun denklemi y = xrsquotiruml

Koordinat duumlzleminde herhangi bir doğru verilmiş olsun Şu iki durum muumlmkuumlnduumlrbull Doğru her iki ekseni keser (şek13) N(0 m) noktası doğrunun y- eksenini kestiği nok-

ta olsun Bu durumda m pozitif ise doğrunun her noktasının ordinatı verilen doğruya paralel olan ve koordinat başlangıcından geccedilen doğrunun ordinatından m kadar fazladır ve m negatif

Şek 12

120

olduğu durumda her noktanın ordinatı m kadar kuumlccediluumlktuumlr İncelenen her doğru x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle aynı accedilıyı oluşturur Buna goumlre on-ların accedilı katsayıları birbirine eşittir Koordinat baş-langıcından geccedilen doğru

y = kxdenklemiyle verildiğine goumlre verilen doğrunun denklemi mkxy

olur Burada k verilen doğrunun eğimidir m ise y- ekseninden kestiği doğru parccedilasıdır Elde edilen denkleme doğrunun accedilık şekli denir doğruya ise accedilık şekilde verilmiştir denir

2 M(2-3) ve N(5 6) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınızbull Oumldevin koşuluna goumlre M(2-3) ve N(5 6) noktaları doğruya ait noktalardır O halde

onların koordinatları y = kx + m denklemini sağlar Bu şekilde

mk

mk56

23 sistemi elde edilir

Bunun ccediloumlzuumlmuuml k = 3 ve m = -9 elde edilir Demek ki doğrunun aranılan denklemi y = 3x ndash 9rsquoduruml

Doğrunun accedilık şekilde verildiğinde eğiminin ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilasının oumlnemini goumlz oumlnuumlnde bulundurarak şu sonuccedillara varabiliriz

a İki doğru ancak ve ancak paralel oldukları durumda eğimleri birbirine eşittirb İki doğru ordinat ekseninden eşit doğru parccedilaları keser ancak ve ancak her ikisi ordi-

nat eksenini aynı noktada kesersebull Doğru x- ekseniyle paraleldir ya da ccedila-

kışır (şek14) Bu durumda doğruya ait her nok-ta x- ekseninden eşit uzaklıktadır x- ekseninden uzaklık aslında noktanın ordinatı olduğuna goumlre doğruya ait her noktanın ordinatları birbirine eşit-tir Bu uzaklığı m ile işaret edersek verilen doğru-nun denklemi

my

olur Doğrunun bu durumu oumlnceki doğrunun bir oumlzel durumu gibi kabul edebiliriz Doğru x- ekse-

Şek 13

Şek 14

121

ninin pozitif youmlnuumlyle a = 2kp k = 0 1 2 hellip accedilı yaptığına goumlre bu durumda k = 0 olur Bunun oumlzel durumu x- ekseninin denklemi y = 0 olur

bull Doğru y- ekseniyle paraleldir ya da y- ekseniyle ccedilakışık durumdadır (şek14) O halde doğruya ait her nokta y- ekseninden eşit uzaklıktadır Bir noktanın y- eksenine uzaklığı aslında onun apsisi olduğuna goumlre doğruya ait her noktanın apsisleri birbirine eşittir Bu uzaklığı a ile işaret edersek verilen doğrunun denklemi

ax

olur Bunun oumlzel durumu y- ekseninin denklemi x = 0 olur

3 Koordinat duumlzleminde x = 2 ve y = 3 doğrularının durumu nasıldır x = 2 doğrusu y- eksenine paraleldir ve onun her noktası y- eksenine 2 birim uzaklıktadır

y = 3 doğrusu x ndash ekseniyle paraleldir ve her noktası x- ekseninden 3 birim uzaklıktadıruml

Alıştırmalar

1 M(-1 1) N(2 ndash3) ve P(2 2) noktaları y = - x + 4 doğrusuna ait olup olmadıklarını yoklayınız

2 Koordinat başlangıcından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle

a)

4

b)

4

3 v) а) b) c)

accedilı oluşturan doğrunun denklemini belirtiniz

3 Denklemiyle verilmiş olan doğrunun eğimini ve y- ekseninden kestiği parccedilayı belirtiniz а) y = 2x ndash 3 b) y = ndashx + 3 c) y = ndash2 d) xy 3

4 x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle 3

accedilı yapan ve ordinat eksenini 1

2 de kesen doğru-

nun denklemini yazınız

5 A(-3 2) noktasından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle = 1350 accedilı yapan doğru-nun denklemini yazınız

6 A(2 -1) ve B(-3 5) noktalarından geccedilen doğrunun ordinat ekseninden kestiği parccedilayı ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle yaptığı accedilıyı belirtiniz

7 M(2 -8) ve N(-1 7) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınız

122

56 Doğru Denkleminin Genel Şekli

Geccedilen derste koordinat duumlzlemine ait bir doğrunun denklemi iccedilin x ve y değişkenli birin-ci derece denklem elde ettik Bu derste x ve y değişkenli birinci dereceden denklemin neyi ifade ettiğini inceleyeceğiz Bu nedenle

Ax + By + C = 0 (1)denklemini inceleyelim A ne 0 ya da B ne 0 olduğunu farz edelim A =B= 0 olduğu durumda eşitlik C = 0 olur O halde C ne 0 durumunda koordinat duumlzleminde eşitliği sağlayan hiccedilbir nokta yoktur Fakat C = 0 durumunda duumlzlem uumlzerinde her nokta eşitliği sağlar

bull A = 0 ise B ne 0 olur ve (1) denklemi CyB

denklemiyle denk olur Bu son eşitliği

sağlayan noktaların geometrik yeri x- eksenine paralel olan ve 0CMB

13

noktasından geccedilen doğrudur

bull B = 0 ise A ne 0 olur ve (1) denklemi CxA

denklemiyle denk olur Bu son eşitliği

sağlayan noktaların geometrik yeri y- eksenine paralel olan ve 0CNA

13

noktasından geccedilen doğrudur

bull A ne 0 ve B ne 0 ise (1) denklemi A Cy xB B

denklemiyle denk olur Bu son eşitlik

eğimi AkB

ve y- ekseninden CmB

doğru parccedilasını kesen bir doğrunun accedilık şeklidir

Buraya kadar yapılan incelemelerden şu sonuca varabiliriz

0 CByAx

eşitliği bir doğrunun denklemidir ve ona doğrunun genel şekli denir

1 13

2y x doğrusunun denklemini genel şekilde doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

Verilen denklem 13 0

2x y yani x + 2y ndash 6 = 0 denklemiyle denktir

2 3x + 3y -5 = 0 doğrusunun denklemi veriliyor Bu doğrunun x- ekseninin pozitif youml-nuumlyle yaptığı accedilıyı ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilayı belirtiniz

123

Verilen denklemi yrsquoye goumlre ccediloumlzersek verilene denk olan 5

3y x denklemini elde ede-

ceğiz Bu denklem aslında duumlzlem uumlzerinde aynı doğrunun denklemidir Oradan k = tga = -1

olduğuna goumlre 3

4

ve 5

3m elde ediliruml

3 2x ndash 3y + 2 = 0 denklemiyle verilmiş olan doğruyu ccedilizinizVerilen oumldevi ccediloumlzmek iccedilin doğruya ait olan

iki noktayı belirtmek yeterlidir Ondan sonra iki noktadan sadece bir tek doğru geccediltiğine goumlre aranılan doğruyu ccedilizmiş oluyoruz (şek15) x iccedilin tahminen iki değer seccediltikten sonra onlara karşılık gelen y değerlerini belirtiyoruz Bu oumlrnekte x1 = 2 seccedilimi uygundur ccediluumlnkuuml o değere karşılık y iccedilin tam sayılı değer yani y1 = 2 elde edilir Benzer şe-kilde x iccedilin x2 = -1 seccedilersek y2 = 0 elde edilir uml

Alıştırmalar

1 Verilen doğruların denklemlerini genel şekilde doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а) y = 2 x - 3 b) y = -4 c) x = 3

2 Verilen doğruların eğimini ve ordinat ekseninden kestiği parccedilayı belirtiniz а) 2x - y + 3 = 0 b) 5x + 2y - 3 = 0 c) 3x + 8y +16 = 0

3 x + y - 3 = 0 doğrusu veriliyor Bu doğrunun x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle yaptığı accedilıyı ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilayı belirtiniz

4 Denklemleriyle verilmiş olan doğruları ccediliziniz

a) 13 xy b) 2x v) y

g) 22 xy d) 23

1 xy |) 150 yx

а)

e)d) f)

c)b)

5 2 ne 0 olmak uumlzere Ax + By + C = 0 ve 2Ax +2By + 2C = 0 denklemleri aynı doğ-runun denklemi midir

Şek 15

124

57 Doğrunun Eksen Parccedilalarına Goumlre Denklemi

Ax + By + C = 0 (1)denklemi koordinat duumlzleminde bir doğrunun denklemi olduğunu goumlrduumlk Daha da C = 0 ise doğru koordinat başlangıcından geccediler A = 0 ise doğru x- eksenine paraleldir B = 0 ise doğru y- eksenine paraleldir

Verilen doğru koordinat başlangıcından geccedil-mediğini ne de eksenlerden biriyle paralel olma-dığını farz edeceğiz Bu durumda denklemin kat-sayıları iccedilin A ne 0 B ne 0 ve C ne 0 geccedilerlidir (1) denklemini 1

C ile ccedilarparsak

01 y

CBx

CA

ya da1

BCy

ACx

elde edilir ve C Ca bA B

koyarsak verilen denklem

1by

ax

(2)

denklemi elde edilir Bu denkleme doğrunun eksen parccedilalarına goumlre denklemi denira ve b parametrelerin geometrik anlamını inceleyelim (2) denkleminde oumlnce y = 0 ondan

sonra x = 0 koyarsak sırasıyla x- eksenini ve y- eksenini kesen P(a 0) ve Q(0 b) noktalarını elde edeceğiz Buna goumlre a ve b sayıları mutlak değerce doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerinden kestiği doğru parccedilalarıdır Bunlara eksen parccedilaları diyeceğiz

1 x ndash 3y ndash 6 = 0 doğrunun denklemini eksen parccedilalarına goumlre yazınız Ondan sonra doğ-runun eksenlerden kestiği parccedilaları belirtiniz

Şek 16

125

Verilen denklem doğrunun genel şeklidir Bu denklemi 1 1 1

6 6C

ile ccedilarparsak

16 2

x y denklemi elde edilir bu ise 1

6 2

x y

denklemine denktir Bu son denklem doğru-

nun eksen parccedilaları cinsinden denklemidir ve verilen denkleme denktir x- ekseninden kestiği parccedila 6 birim y- ekseninden kestiği parccedila ise 2 birimdir

2 Koordinat eksenleri ve 2x ndash 5y ndash 10 = 0 doğrusuyla sınırlanan uumlccedilgenin alanını hesap-layınız

Koordinat eksenleri birbirine dik olduklarına goumlre elde edilecek uumlccedilgen de diktir Dik kouml-şesi koordinat başlangıcında katetleri koordinat eksenleri uumlzerinde hipotenuumlsuuml ise verilen doğ-ruya ait olacaktır Dik uumlccedilgenin alanı katetlerinin ccedilarpımının yarısına eşit olduğunu biliyoruz Bu katetler burada aslında doğrunun eksenlerden kestiği parccedilalardır O halde doğrunun denk-

lemini eksen parccedilalarına goumlre duumlzenlersek verilene denk olan 15 2

x y denklem elde edilecek-

tir Demek ki doğrunun eksenlerden kestiği parccedilalar 5 ve 2rsquodir Buna goumlre aranılan uumlccedilgenin katetleri 5 birim ve 2 birimdir Demek ki uumlccedilgenin alanı 5 birim karedir

Alıştırmalar

1 Verilen doğruların denklemlerini eksen parccedilalarına goumlre doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а) 3x - 2y +12 = 0 b) y = -x +1 c) y = 4x - 2

2 k parametresinin değerini o şekilde belirtiniz ki 2x + 5ky ndash 3 = 0 doğrusunun eksenler-den ayırdığı parccedilaların uzunlukları toplamı 10 olsun

3 k parametresinin değerini o şekilde belirtiniz ki 6x + 5y ndash 12k = 0 doğrusunun eksen-

lerden ayırdığı parccedilaların uzunluklarının ccedilarpımı 5

6 olsun

4 x + 2y ndash 6 = 0 doğrusuyla ve koordinat eksenleriyle sınırlanan uumlccedilgenin alanını hesap-layınız

5 M(4 -3) noktasından oumlyle bir doğru ccediliziniz ki koordinat eksenleriyle alanı 3 birim kare olan uumlccedilgen elde edilsin

126

58 Nokta ve Doğru Arasındaki Durumlar

581 Verilen Noktadan Geccedilen Doğru Demetinin Denklemi

1M(x1 x2) noktası koordinat duumlzleminde sabit bir nokta olsun Verilen bu noktadan M merkezli doğru demeti diye adlandırılan sonsuz ccedilok sayıda doğru geccediler (şek17) M noktasından geccedilen her doğrunun genel denklemi

Ax + By + C = 0biccedilimindedir M noktası bu doğruya ait olduğuna goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlar yani

Ax1 + By1 + C = 0Elde edilen denklemi birincisinden ccedilıkarır-

sak0)()( 11 yyBxxA elde edilir

M noktasının koordinatları denklemi sağladığına goumlre bu şekilde olan her denklem M nokta-sından geccedilen doğrunun denklemidir A ve B katsayılarına farklı değerler vermekle M noktasın-dan geccedilen farklı doğrular elde edilecektir

Demete ait olan doğrular arasında bir tanesi y- eksenine paraleldir Onun denklemi x = x1 dir Sadece bu doğrunun accedilı katsayısı ve ordinat eksenini kestiği parccedilası yoktur O halde bu doğru accedilık şekilde ifade edilemez M noktasından geccedilen diğer doğrulardan her biri

y = kx + n accedilık şekilde ifade edilebilir M noktası bu doğruya ait olduğuna goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlar yani

y1 = kx1 + n geccedilerlidir Elde edilen denklemi ilkinden ccedilıkarıyorsak

)( 11 xxkyy

denklemi elde edilecektir Bu şekilde olan her denklem M noktasından geccediler k katsayısının farklı değerlerini değiştirmekle y eksenine paralel olan doğru hariccedil olmak uumlzere M noktasın-dan geccedilen farklı doğruların denklemleri elde edilecektir

Şek 17

127

1 M (-3 2) noktasından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1350 accedilı yapan doğru-nun denklemini yazınız

Merkezi M noktası olan doğru demetinin denklemi y ndash 2 = k(x + 3)rsquotuumlr Doğru demetine ait aranılan bu doğru x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1350 accedilı yaptığına goumlre onun accedilı katsayısı k = tg 1350 = -1rsquodir O halde aranılan doğrunun denklemi y ndash 2 = - 1(x + 3) ya da x + y + 1 = 0 olur

582 İki Noktadan Geccedilen Doğrunun Denklemi

Bir noktadan geccedilen doğru demetinin denkleminden yararlanarak iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini kolay belirtebiliriz

1 M1 (-12 5) ve M2 (8 -3) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınızM1 noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi y ndash 5 = k (x + 12)rsquodir Aranılan doğru

M2 noktasından geccediltiğine goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlayacaktır yani -3 ndash 5

= k(8+12) geccedilerlidir Oradan da 2

5k elde edilir Buna goumlre aranılan doğrunun denklemi

25 12

5y x ya da 2x + 5y ndash 1 = 0 olduğunu buluyoruz

İncelenen oumlrnek herhangi iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini belirtmek iccedilin bir yol goumlstermektedir M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) noktaları verilmiş olsun (şek18) Verilen noktalar-dan geccedilen M1M2 doğrusunun denklemini belirtelim

x1 = x2 ise M1M2 doğrusu y- eksenine goumlre diktir ve denklemi

1xx olur

x1 ne x2 ise M merkezli doğru demetinin denklemi

y ndash y1 = k (x ndash x1)

dir M1M2 doğrusu M2 noktasından geccediltiğine goumlre onun koordinatları denklemi sağlar ve

y2 ndash y1 = k (x2 ndash x1)

elde edilir Buna goumlre M1M2 doğrusunun accedilı kat-sayısı (eğimi)

Şek 18

128

12

12

xxyyk

olduğunu buluyoruz k iccedilin elde edilen bu değeri yukarıdaki doğru demetinin denkleminde değiştirirsek iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini elde edeceğiz

)( 1

12

121 xx

xxyyyy

İki noktadan geccedilen doğrunun denkleminden uumlccedil noktanın doğrusal olma koşulunu bu-labiliriz M3 (x3 y3) noktası M1 ve M2 noktalarından geccedilen doğruya ait olmak iccedilin onun koordi-natları verilen doğrunun denklemini sağlamalıdır yani

)( 13

12

1213 xx

xxyyyy

formuumlluuml elde edilir

583 Verilen Bir Noktadan Verilen Doğruya Uzaklık

Şimdi duumlzlem uumlzerinde verilen bir noktadan verilen bir doğruya uzaklığın nasıl hesaplan-dığını goumlrelim Bir noktadan verilen bir doğruya uzaklık aslında o noktadan geccedilen ve verilen doğruya dik olan doğruyla kesişim noktasına kadar uzaklıktır ya da diğer soumlzlerle noktasından verilen doğruya inilen dikmenin uzunluğu olarak tanımlanır

Doğrunun denklemi Ax + By + C = 0

genel şekilde verildiği durumda denklemi 2 2

1MA B

normlayan ccedilarpanıyla ccedilarp-

mamız gerekir Bu ccedilarpanın işareti C katsayısının işaretiyle terstir O halde verilen noktadan verilen doğruya uzaklığı belirtmek iccedilin verilen doğrunun denklemi

0

222222

BACy

BABx

BAA

biccediliminde yazılır Noktanın koordinatları değiştirilir ve elde edilen ifadenin mutlak değeri alı-nır Sonuccedil olarak

22

11

BA

CByAxd

elde edilir

1 A(2 1) ve B(-2 4) noktalarından 4x ndash 3y + 15 = 0 doğrusuna uzaklığı belir-tinizVerilen noktadan verilen doğruya uzaklığı belirtmek iccedilin doğrunun denklemini

5

1112222

BABAM ccedilarpanıyla ccedilarpacağız Bu ccedilarpanın

129

işareti C katsayısının işaretiyle ters olduğuna goumlre 1

5M olur O halde doğrunun denk-

lemi 4 33 0

5 5x y elde edilir Şimdi verilen noktanın koordinatlarını değiştirmekle

44315

32

5

4d elde edilir Mutlak değeri almadan oumlnce drsquonin işareti negatif ol-

duğuna goumlre A noktası ve koordinat başlangıcı doğrunun aynı tarafında bulunur

Benzer şekilde B noktası iccedilin de 11345

3)2(

5

4d elde edilir Bu durumda

mutlak değeri almadan drsquonin işareti pozitif olduğuna goumlre nokta ve koordinat başlangıcı doğ-runun ters tarafl arında bulunuruml

Alıştırmalar

1 Verilen noktadan geccedilen doğru demetini yazınız а) M(2-3) b) M(-14)

2 M (-2 1) noktasından geccedilen ve eğimi k = - 3 olan doğrunun denklemini yazınız

3 M (4 -7) noktasından geccedilen ve x ndash ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1200 accedilı yapan doğ-runun denklemini yazınız

4 Verilen noktalardan geccedilen doğrunun eğimini belirtiniza) M 1 (-1 4) ve M2 (4 -3) b) M1 (0 -2) ve M2 (-1 3) c) M1 (1 4) ve M2 (-2 4)

5 M 1 (-1 4) ve M 2 (4 -3) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınız

6 M 1 (0 3) M 2 (2 6) ve M 3 (-1 4) noktaları aynı doğruya ait midir

7 A(-5 -1) noktasından 4x + 3y + 30 = 0 doğrusuna olan uzaklığı belirtiniz Verilen nok-ta ve koordinat başlangıcı doğrunun aynı tarafında mıdır

8 Koordinat başlangıcından 9x - 2y + 10 = 0 doğrusuna olan uzaklığı belirtiniz

9 M (-3 1) ve N (5 4) noktalarından hangisi x ndash 2y ndash 5 = 0 doğrusuna daha yakın ol-duğunu belirtiniz

10 C (4 3) noktasından d = 5 birim uzaklıkta olan ve koordinat eksenlerden eşit doğru parccedilaları kesen doğrunun denklemini belirtiniz

130

59 İki Doğru Arasındaki Durumlar

591 İki Doğru Arasındaki Durumlar

Bir duumlzlem uumlzerinde iki doğru ya bir noktada kesişir ya paralel ya da ccedilakışık durumda olabilirler Genel şekilde kendi denklemleriyle iki doğru verilmiş olsun A1x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0

Verilen denklemlerin katsayıları ve yukarıda sayılan uumlccedil durum hakkında inceleme yapa-cağız

bull Verilen

0

0

222

111

CyBxACyBxA

(1)sisteminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml varsa verilen doğrular kesişir yani onların bir tek ortak noktaları vardır

( x0 y0) ikilisi verilen sistemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olsun (1) sisteminin birinci denklemini B2 ile ikincisini ise ndashB1 ile ccedilarparak taraf tarafa toplarsak 0)()( 122101221 BCBCxBABA (2)elde edilir Benzer şekilde (1) sisteminin birinci denklemini A2 ile ikincisini ise ndashA1 ile ccedilarparak taraf tarafa toplarsak

0)()( 122101221 CACAyBABA (3)elde edilir

( x0 y0) ikilisi verilen sistemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olması iccedilin yani bir tek noktada kesişmeleri iccedilin yeter koşul A1B2 - A2B1 ne 0rsquodır yani

2

1

2

1

BB

AA

sağlandığında (1) sisteminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml vardır yani doğrular bir noktada kesişir Paydalar-dan biri sıfır ise ona karşılık gelen pay da sıfır olmalıdır Bu durumda verilen sistemin ccediloumlzuumlmuuml

1221

12210 BABA

CBCBx

1221

21120 BABA

CACAy

(4)

Elde edilen sayılar verilen doğruların kesişim noktasının koordinatlarıdır Gerccedilekten x ve y iccedilin (4) ifadesinde elde edilen değerleri (1) sisteminde değiştirirsek (1)rsquodeki denklemler oumlzdeşliklere doumlnuumlşecekler

1 2x ndash y ndash 5 = 0 ve x + 3y + 1 = 0 kesişen doğrular olduğunu goumlsteriniz

131

y bilinmeyenini yok ettikten sonra 7x ndash 14 = 0 elde edilir Oradan x = 2 olduğunu buluyo-ruz Bunu birinci denklemde değiştirmekle y = -1 elde edilir

bull A1B2 - A2B1 ne 0 koşulu verilen doğruların kesişimi iccedilin yeter şart olduğunu goumlstermek iccedilin A1B2 - A2B1 = 0 durumunu inceleyeceğiz Bu durumda verilen doğruların daha bir ortak (x1 y1) noktaları varsa (2) ve (3) denklemlerinden

C1B2 - C2B1 = 0 ve A1C2 - A2C1 = 0 elde edilir

Son uumlccedil eşitlikten A2 = 2A1 B2 = 2B1 ve C2 = 2C1 olacak şekilde bir 2 reel sayısı vardır sonucuna varılır Gerccedilekten A1 ya da B1 sayılarından biri sıfırdan farklı ise B1ne 0 olduğunu

alabiliriz ve 2

1

BB

2 koyarsak A1 B2 - A2B1 = 0 eşitliğinden A2 = 2A1 gerekir C1 B2 - C2 B1 = 0

denkleminden de C2 = 2C1 gerekir Demek ki 2 ne 0 reel sayısıyla ccedilarpmakla birinci doğrunun denkleminden ikinci doğrunun denklemi elde edilir Bu ise demektir ki verilen doğrular ccedilakışık durumdadır O halde iki doğrunun ccedilakışık olma koşulu şu şekilde ifade edilir

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

bull A1 B2 - A2 B1 = 0 ve paylardan biri C1 B2 - C2 B1 ya da A1 C2 - A2 C1 sıfırdan farklı ise (1) sisteminin ccediloumlzuumlmuuml yoktur Demek ki doğrular birbiriyle paraleldir Buna goumlre doğrular birbiri-ne paralel olmak iccedilin gerek ve yeter koşul şu şekilde ifade edilebilir

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

2 3x ndash 2y + 5 = 0 ve 4y ndash 6x -1 = 0 doğruları birbirine paralel olduklarını goumlsteriniz

1

5

4

2

6

3

olduğuna goumlre doğrular birbirine paraleldir

592 İki Doğru Arasındaki Accedilı İki Doğrunun Dik Olma Şartı

Denklemleri accedilık şekilde verilmiş olan iki doğru verilmiş olsuny = k1 x + m1 ve y = k2 x + m2Doğruların oumltelenmesinde kesiştikleri accedilı φ değişmediğine goumlre verilen denklemlerle

belirlenen doğrular arasındaki accedilı

132

y = k1 x ve y = k2 xdoğruları arasındaki accedilıya eşit olacaktır O halde φ = a2 - a1rsquodir Denklemin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanırsa

21

1212

1)(

3tgtgtgtgtgtg elde edilir

tg a1 = k1 ve tg a2 = k2 ile işaret edersek

21

12

1 kkkktg

3

elde edilir Bu şekilde elde edilen accedilı aslında birin-ci doğruyu kesişim noktası etrafında pozitif youmlnde ikinci doğruyla ccedilakışıncaya kadar doumlnduumlrmekle meydana gelen accedilıdır (şek19)

İki doğrudan biri y- ekseniyle paralel ise on-

lar arasındaki accedilı 2

olur a ikinci doğrunun

x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle oluşturduğu accedilıdır

1 y = 2x ndash 3 ve 3x + y ndash 2 = 0 doğruları arasındaki accedilıyı belirtinizBirinci doğrunun eğimi k1 = 2 ikincisinin ise k2 = -3 tuumlr

O halde 1)3(21

23

1 21

12

3kkkktg elde edilir Oradan da

4

3 elde edilir

Doğrular birbirine dik olduğu durumda 1

2 1

1122

13

tg

ctgtgtgk dir O

halde 2

1

1kk

elde edilir Buna goumlre iki doğrunun dik olma şartı

1

2

1

kk dir

İki doğrudan biri y- eksenine paralel ise bunlar birbirine diktir ancak ve ancak diğeri x- eksenine paralel ise

2 M (-1 1) noktasından geccedilen ve 3x ndash y + 2 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun denklemini belirtiniz

M noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi y + 1 = k (x - 1)rsquodir Bu demetten

Şek 19

133

verilen doğruya yani y = 3x ndash 2 doğrusuna dik olan doğruyu belirtmemiz gerekir Dik olma

şartına goumlre 1

3k elde edilir Buna goumlre aranılan doğrunun denklemi x + 3y + 2 = 0 oldu-

ğunu buluyoruz Doğrular genel denklemleriyleA1 x + B1y + C1 = 0 ve A2 x + B2y + C2 = 0

verildiği durumda k1 ve k2 eğimlerini A1 B1 A2 ve B2 katsayılarıyla ifade ederken

11

1

AkB

ve 22

2

AkB

elde edilir Oradan iki doğru arasındaki accedilı iccedilin

2121

2112

BBAABABAtg

3 za 02121 BBAA i 2

3 za 02121 BBAAise ve

lsquodirDoğrular genel şekilde verildiği durumda iki doğrunun dik olma şartı

02121 BBAA olur

Alıştırmalar1 Verilen doğrulardan hangileri kesişen hangileri paralel hangileri ise ccedilakışık durumda-

dır Doğrular kesiştikleri durumda kesim noktasını bulunuza) 3x - 2y + 1 = 0 ve 2x + 5y - 12 = 0b) 3x + y - 17 = 0 ve 6x + 2y + 12 = 0c) 2x - y + 3 = 0 ve 6x - 3y + 9 = 0

2 Verilen doğrunun koordinat eksenleriyle kesişim noktalarını bulunuza) x + 10y - 5 = 0 b) 2x - 3y + 12 = 0

3 A (-2 3) noktasından geccedilen ve 5x ndash 6y + 7 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denk-lemini belirtiniz

4 2x ndash y + 7 = 0 ve 3x + y + 10 = 0 doğruları arasındaki accedilıyı hesaplayınız

5 A (-2 8) noktasından geccedilen ve y = 3 - 5 doğrusuyla 4

3 asccedilısını oluşturan doğru-nun denklemini belirtiniz

6 A (3 15) noktasından geccedilen ve 3x ndash 5y + 8 = 0 doğrusuyla 4

3 asccedilısını oluşturan doğrunun denklemini belirtiniz

134

510 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Koumlşelerinin koordinatları A (-55) B (7-3) ve C (31) olan ABC uumlccedilgenin ccedilevresini hesaplayınız

2 AB doğru parccedilasını 2 oranında boumllen M noktasının koordinatlarını belirtiniz

a) A(103) B(-2-5) ve 1

32 b) A(-2-5) B(135) ve 3

22

3 A(1 1) B(-1 3) ve C(2 0) noktaları bir doğru uumlzerinde bulunuyorlar A noktası CB doğru parccedilasını 2 oranında boumllerse 2 belirtilsin

4 Koumlşelerinin koordinatları A(00) B(3-2) ve C(15) olan ABC uumlccedilgenin alanını hesaplayınız

5 M 1(-72) ve M2(3-5) noktalarından geccedilen doğrunun denklemi

6 A(19) B(-2-3) ve C(-5-3) noktaları bir doğru uumlzerinde olduklarını ispatlayınız

7 A(-2-1) B(12) ve C(-14) noktaları veriliyor ABCD bir paralelkenar olacak şekilde D noktasının koordinatlarını belirtiniz

8 M (23) noktasından d doğrusuna uzaklığı belirtiniz а) 3х + 4у - 25 = 0 b) 12х - 5у + 4 = 0

9 Koumlşelerinin koordinatları A(32) B(54) ve C (14) olan ABC uumlccedilgenin kenarortaylarının denklemlerini yazınız

10 ABC uumlccedilgeni veriliyora) A(-81) B(12) ve C(-5-3) olduğuna goumlre T ağırlık merkezini belirtinizb) A(-48) B(1-7) ve C (75) olduğuna goumlre H otosantarını (yuumlksekliklerin kesişim nok-

tasını) belirtiniz

11 M noktası x ndash y + 5 = 0 doğrusuna goumlre N (32) noktasının simetriğidir M noktasının koordinatlarını belirtiniz

12 Bir karenin iki kenarı 5x ndash 12y ndash 65 = 0 ve 5x ndash 12y + 26 = 0 doğruları uumlzerindedir Karenin alanını hesaplayınız

13 M(-38) noktasından geccedilen ve koordinat eksenleriyle alanı P = 6 birim olan uumlccedilgeni oluşturan doğrunun denklemi yazılsın

14 Koumlşelerinin koordinatları A(-21) B(34) ve C(1-2) olan ABC uumlccedilgenin yuumlkseklikleri-nin eğimini belirtiniz

135

Konu Oumlzetleri

Dik accedilılı koordinat sistemi birbirine goumlre dik olan ve koordinat eksenleri diye adlandı-rılan iki eksenden oluşur İki eksenin kesiştiği noktaya koordinat başlangıcı ya da orijin denir ve O ile işaret edilir Yatay eksene x- ekseni ya da apsis ekseni dikey eksene ise y- ekseni ya da ordinat ekseni denir Koordinat sisteminin ait olduğu duumlzleme koordinat duumlzlemi denir

P noktasının durumu reel sayılardan oluşan bir (xy) sıralı ccedilift iyle tamamen bellidir Bu sıralı ccedilift e P noktasının koordinatları denir Bu durumda x sayısına birinci koordinat ya da apsis y sayısına ise ikinci koordinat ya da ordinat denir

Koordinat eksenleri duumlzlemi doumlrduumlller denilen doumlrt kısma ayırıyorlar I doumlrduumll olarak uumlst sağ kısım II doumlrduumll uumlst sol kısım III doumlrduumll alt sol kısım ve IV doumlrduumll alt sağ kısım olarak alınır

Koordinat duumlzlemine ait M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık d şu formuumllle hesaplanır

212

2

12 yyxxd

Uccedil noktaları A(x1 y1) ve B(x2y2) olan AB doğru parccedilasını 2 oranında boumllen M (x y) noktasının koordinatları şu formuumlllerle hesaplanır

22

1

21 xxx 22

1

21 yyy

pq

2 olduğu durumda

qppxqxx

21 qppyqyy

21

formuumllleri kullanılabilirOumlzel durumda M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise 2 = 1rsquodir ve

221 xxx

2

21 yyy

elde edilir Bu formuumlller orta noktanın koordinatlarıdırM1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktaları verilen bir uumlccedilgenin koumlşeleri ise alanı şu for-

muumllle hesaplanır

136

|)()()(|

2

1

|)()()(|2

1

213132321

213132321

yyxyyxyyx

xxyxxyxxyP

P

Uumlccedilgenin alanını hesaplamak iccedilin kullanılan bu formuumll uumlccedil noktanın bir doğru uumlzerinde (doğrusal) olması iccedilin şart elde edebiliriz Uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde bulunduğu durumda bu noktalarla elde edilen uumlccedilgenin alanı sıfırdır

Doğrunun denklemi ve ccedileşitleri doğrunun accedilık şekli

mkxy

Burada k verilen doğrunun eğimidir m ise y- ekseninden kestiği doğru parccedilasıdır

doğrunun genel şekli

0 CByAx

doğrunun eksen parccedilalarına goumlre denklemi

1by

ax

Burada a ve b sayıları mutlak değerce doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerinden kestiği doğru parccedilalarıdır (eksen parccedilalarıdır)

M1(x1 y1) noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi

)( 11 xxkyy

M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) gibi iki noktalarından geccedilen doğrunun denklemi

)( 1

12

121 xx

xxyyyy

M1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) gibi uumlccedil noktanın doğrusal olma koşulu

)( 13

12

1213 xx

xxyyyy

Verilen M1(x1 y1) noktasından verilen Ax + By + C = 0 doğrusuna uzaklık şu formuumllle hesaplanır

137

22

11

BA

CByAxd

Ax1 + By1 + C1 = 0 ve Ax2 + By2 + C2 = 0 denklemleriyle verilmiş olan iki doğru kesişir ancak ve ancak

2

1

2

1

BB

AA

ve bu durumda kesişim noktasının koordinatları şu formuumlllerle verilmiştir

1221

12210 BABA

CBCBx

1221

21120 BABA

CACAy

ccedilakışıktırlar ancak ve ancak

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

Paraleldirler ancak ve ancak

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

y = k1 x + m 1 ve y = k 2 x + m 2 doğruları arasındaki φ accedilı şu formuumllle hesaplanır

21

12

1 kkkktg

3

İki doğrunun dik olma koşulu

1

2

1

kk

Ax1 + By1 + C1 = 0 ve Ax2 + By2 + C2 = 0 denklemleriyle verilmiş olan iki doğru arasın-daki φ accedilı şu formuumllle hesaplanır

2121

2112

BBAABABAtg

3

Bu durumda iki doğrunun dik olma koşulu

02121 BBAA olur

138

139

6 DİZİLER

61 Dizi Kavramı

Guumlnluumlk hayatta dizi biccediliminde sıralamalara ccedilok rastlıyoruz oumlrnek benzer veya farklı nes-nelerin dizisi Halbuki matematikte dizilerin oumlzel anlamı vardır

Sonlu ve sonsuz diziler vardır Sonlu dizilerde belli bir duumlzene goumlre sıralanmış sonlu sa-yıda nesneler ve bu durumda hangisi birinci hangisi ikinci vb olduğunu tam olarak belli olan gizilerdir Bir kuumlmenin beş elemanı olduğunu farz edelim Birinci elemanı a1 ikinci elemanı a2 uumlccediluumlncuumlsuumlnuuml a3 doumlrduumlncuumlsuumlnuuml a4 ve beşincisini a5 ile işaret edeceğiz Bu şekilde dizi a1 a2 a3 a4 a5 şeklinde yazılır ya da daha kısa a1 a2 a3 a4 a5 biccediliminde yazılabilir

Şunu da kaydedelim a1 a2 a3 a4 a5 elemanları herhangi bir kuumlmenin elemanları olabilir Matematikte bu elemanlar daha fazla durumlarda sayılardır (doğal tam rasyonel ya da reel) fakat sayı olması mecburi değildir

Oumlrnek her soumlz bir harfl er dizisi sayılabilir Bu durumda a1 a2 a3 a4 a5 elemanları bir alfabeye aittir 5 sayısı incelenen sonlu dizinin uzunluğudur ve uzunluk daima aynı değildir Oumlrnek ldquoekonomirdquo soumlzcuumlğuumlnuuml alalım Bunu yedi elemanlı sonlu bir dizi olarak sayabiliriz Uzun-luğu 7rsquodir Her sonlu dizi doğal sayılar kuumlmesinden 1 2 3 hellip incelenen kuumlmeye bir eşleme olarak algılayabiliriz Oumlrneğin ldquoekonomirdquo soumlzcuumlğuumlnuuml bir eşleme olarak alıyorsak

1 - е 2 - k 3 - o 4 - n 5 - о 6 - m 7 - i 8 - ј 9 - а şeklinde yazabiliriz

Buna goumlre şu sonuca varabiliriz Her sonlu dizi a1 a2 a3 a4 hellip an doğal sayılar 1 2 3 hellip nrsquoden incelenen diziye bir eşlemedir ve bu durumda i (1 i n ) elemanına karşılık gelen eleman i indisiyle işaret edilir ai bi xi hellipgibi Daha da a1 a2 a3 a4hellip an sonlu bir dizi kısa olarak (ai ) biccediliminde işaret edilir

Birccedilok durumlarda sonsuz dizilerle de işimiz olabilir Onları a1 a2 a3 a4 hellip ile ya da daha kısa (ai) biccediliminde işaret ediyoruz ai elemanı i yerde olan elemandır 4 5123i Bunlar genellikle bazı sayılar olduğundan ilerde reel sayılar olduğunu sayacağız

Tanım 1 Dizi doğal sayılar kuumlmesinden reel sayılar kuumlmesine bir eşlemedir

140

Demek ki dizi denilince sosuz diziyi kastedeceğiz aksi halde sonlu dizi soumlz konusu olun-ca sonlu dizi diye ifade edeceğiz

1 1 3 5 7 9 11 13 hellip dizisini inceleyelim Bu durumda eşleme f (1) = 1 f (2) = 3 f (3) = 5 f (4) = 7 f(5) = 9 f (6) = 11 biccediliminde tanımlanmıştır bunu daha kısa olarak

f(n) = 2n ndash 1 ya da an = 2n ndash 1 şeklinde yazabiliriz

2 1na n

n dizisinin ilk birkaccedil terimi

2111 a 522

122 a

33333

133 a 254

4

144 a 25

5

155 a

vb

3 an = n2 + n +1 dizisinin ilk birkaccedil terimi a1 = 12 +1 +1 = 3 a2 = 22 + 2 +1 = 7 a3 = 32 + 3 +1 = 13 a4 = 42 + 4 +1 = 21 a5 = 52 + 5 +1 = 31 vb

4

na

n

n)1(

dizisinin ilk birkaccedil terimi

11 a 2

12 a

3

13 a

4

14 a

5

15 a

dir

5 an = 8 dizisinin birkaccedil terimi 8 8 8 88 8hellipdir Demek ki n indisine bağlı olmadan an teriminin değeri 8rsquodir an teriminin değeri daima sabit olan bu gibi dizilere sabit diziler denir

6 Genel terimi an = 3 + (-1)n dizisini inceleyelim n iccedilin 1 2 3 hellip değerler vermekle 2 4 2 4 2 4 2 4hellip dizisi elde edilir

Alıştırmalar

1 Dizi nedir Sonlu ve sonsuz dizi iccedilin birer oumlrnek yazınız

2 (an) dizisinin ilk 5 terimini yazınız

a) 2

1

nnan b)

2

1

nan v) n

na 2 g) na nn )1( а) b) c) ccedil)

3 (an) dizisinin nci terimini belirtiniz

а) an =

12 nn iccedilin n = 4 b) an = nn iccedilin n = 3 c) an = 3n iccedilin n = 4

4 Genel terimi an = (-1)nn olan dizinin nrsquoin hangi değeri iccedilin değeri 2010rsquodur

141

5 nrsquoin hangi değeri iccedilin genel terimi an = 4n ndash 5 dizisinin terimi 999 olur

6 Genel terimi verilmiş olan dizinin doumlrduumlncuuml terimini belirtiniz

a)

1

1

nnan b)

1

1

nan v) n

na )2( g) 3na

b) c) d)a)

7 İlk beş terimi verilmiş olan dizilerin genel terimini ifade edecek formuumll belirtiniz а) 3 5 7 9 11 b) 1 4 9 16 25 c) 1 3 1 3 1

d) 12

13

14

15

1

e) 4 2 12

14

1

62 Artan ve Eksilen Diziler

Dizilerin bazı oumlzellikleri vardır Bu oumlzellikler genellikle dizilerin artma ve eksilme koşul-larıdır

Tanım 1 (an) dizisi iccedilin bull her k doğal sayısı iccedilin

ak+1 gt ak (1) oumlzelliği varsa dizi kesin anlamda artandır (ya da kesin anlamda monoton artandır)

bull her k doğal sayısı iccedilinak+1 lt ak (2)

oumlzelliği varsa dizi kesin anlamda eksilendir (ya da kesin anlamda monoton eksilendir) bull her k doğal sayısı iccedilin

ak+1 le ak (3) oumlzelliği varsa artandır (ya da eksilmeyendir)

bull her k doğal sayısı iccedilinak+1 ge ak (4)

oumlzelliği varsa dizi eksilendir (ya da artmayandır)

Bir dizinin kesin anlamda artan olması iccedilin koşul (1) gereğince dizinin her terimi kendinden oumlnce gelen terimden buumlyuumlk olmalıdır

1 Genel terimi an = 3n ndash 2 ile verilmiş olan diziyi inceleyelim a1 lt a2 lt a3 lt a4 lt yani 1 lt 4 lt 7 lt 10 lt hellip olduğuna goumlre bu dizi kesin anlamda artandır Bunu doğrudan doğruya goumlsterelim an+1 - an = 3(n +1) - 2 - [3n - 2] = 3n + 3 - 2 - 3n + 2 = 3 gt 0demek ki her doğal sayı n iccedilin an+1 gt an geccedilerlidir

Bir dizinin kesin anlamda eksilen olması iccedilin koşul (2) gereğince dizinin her terimi ken-dinden oumlnce gelen terimden kuumlccediluumlk olduğunu ifade etmektedir

142

2 Genel terimi 1na

n olan diziyi inceleyelim 1 2 3 4 a a a a yani

1 1 1 11

2 3 4 5 olduğuna goumlre dizi kesin anlamda eksilendir Bunu doğrudan doğruya

goumlsterelim0

)1(

1

)1(

)1(1

1

11

nnnnnn

nnaa nn

demek ki her doğal sayı n iccedilin an+1 lt an geccedilerlidir

Bir dizinin artan ya da eksilmeyen olması iccedilin koşul (3) gereğince dizinin her terimi kendinden oumlnce gelen terimden buumlyuumlk ya da eşit olduğunu yani kendinden oumlnceki terimden kuumlccediluumlk olmadığını ifade etmektedir

3 Şu diziyi inceleyelim 11223344hellip Bu dizinin terimleri iccedilin 1 le 1 le 2 le 2 le 3 le 3 le 4 geccedilerli olduğuna goumlre dizi eksilmeyendir Dizi kesin anlamda artan değildir ccediluumlnkuuml ikinci terimi birincisinden buumlyuumlk değildir o halde daha fazla inceleme iccedilin gerek yoktur

Bir dizinin eksilen ya da artmayan olması iccedilin koşul (4) gereğince dizinin her terimi ken-dinden oumlnce gelen terimden kuumlccediluumlk ya da eşit olduğunu yani kendinden oumlnceki terimden buumlyuumlk olmadığını ifade etmektedir

4

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

111

dizisini inceleyelim

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

111 66666666

olduğuna

goumlre dizi eksilendir ya da artmayandır ccediluumlnkuuml ikinci terimi birincisinden kuumlccediluumlk değildir o halde daha fazla inceleme iccedilin gerek yoktur

Şunu da ifade etmeliyiz ki her dizi (1) (2) (3) ve (4) oumlzelliklerinden birini sağlaması mecburi değildir Oumlrnek boumlyle bir dizi 12121212 hellip dir Halbuki bazı dizilerde bu oumlzellik-lerden hiccedilbiri sağlanmadığına rağmen belli bir k0 dan sonra dizinin terimleri (1) (2) (3) ve (4) oumlzelliklerinden birini sağlayabilir Boumlyle durumda dizi kesin anlamda artan eksilen artmayan ya de eksilmeyen olduğunu daha geniş anlamda anlaşmaya goumlre ifade edebiliriz

5

3 2 1 2

11

3

21

4

31

5

41

6

51

dizisini inceleyelim Bu dizi tanım 1 gereğince artan

değildir ccediluumlnkuuml 3gt2 doğru değildir Bu dizi daha geniş anlamda artandır diyebiliriz Ccediluumln-kuuml uumlccediluumlncuuml terimden başlayarak dizi artandır

2

11 lt

3

21 lt

4

31 lt

5

41 lt

6

51 lt

Bu anlaşma gereklidir

ccediluumlnkuuml bize daha ccedilok n indisinin buumlyuumlk değerleri iccedilin dizinin nasıl olduğu ilgilendirir

6

1 2 1 2 1 2

11

3

11

4

11

5

11

6

11 dizisini inceleyelim Bu dizi tanım 1 gereğince ek-

silen değildir fakat geniş anlamda eksilen olduğunu sayabiliriz ccediluumlnkuuml altıncı

143

terimden başlayarak dizi eksilendir 2

11 gt

3

11 gt

4

11 gt

5

11 gt

6

11 gt

Alıştırmalar

1 Hangi diziler kesin anlamda artan eksilen artmayan eksilmeyendir

2 Kesin anlamda artan eksilen artmayan eksilmeyen diziler iccedilin oumlrnekler yazınız

3 1

nna

n

dizisi artan yoksa eksilen midir

4 Şu dizilerden hangisi kesin anlamda artan hangisi ise eksilendir

a) 2

n

nan b) nna3

1 v)

12 )1(

1

nn na g) 52 n

na d) n

an

n5

а) b) c) d) e)

5 a) Bir dizi aynı zamanda hem artan hem de eksilen olabilir mi b) Sabit dizi artan yoksa eksilen midir

6 a pozitif sayısının hangi değeri iccedilin nna a dizisi

a) artan b) eksilen c) sabittir

63 Aritmetik Diziler

Bu başlıkta iki oumlzel diziden bahsedeceğiz Aritmetik diziler ve geometrik dizilerDoğal sayılardan oluşan 1 2 3 4 5 6 7 hellip diziyi inceleyelim Bu dizide 2 ndash 1 = 3 ndash 2 =

4 ndash 3 = hellipya da genel olarak iki ardışık terimin farkı daima eşittir Bu oumlzellikten yararlanarak şu tanımı kabul edeceğiz

Aritmetik dizilerinden daha birkaccedil oumlrnek inceleyelim

Tanım 1 Bir (an) dizisinde iki ardışık terimin farkı an+1 - an daima sabit kalıyorsa yani n doğal sayısına bağlı değilse ya da an+1 - an = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (an) dizisine aritmetik dizisi denir d sayısına ortak fark denir

144

1 -4 -1 2 5 8 11 14 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime 3 katmakla elde edilir yani - 4 + 3 = -1 -1 + 3 = 2 2 + 3 = 5 5 + 3 = 8 8 + 3 = 11 Bu durumda d = 3rsquotuumlr

2 5 3 1 -1 -3 -5 -7 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime -2 katmakla elde edilir yani 5 - 2 = 3 3 - 2 = 1 1 - 2 = -1 -1 - 2 = -3 - 3 - 2 = -5 Bu durumda d = -2rsquodir

3 6 6 6 6 6 6 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime 0 katmakla elde edilir Bu durumda d = 0rsquodır Aslında her sabit dizi aritmetik dizidir

Şunu fark edebiliriz bir aritmetik dizisinin ilk terimi ve ortak farkı verildiğinde dizinin tuumlm terimlerini bulabiliriz Bunu aşağıdaki şekilde yapacağız

2a = 1a + d

3a = 2a + d = 1a + d + d = 1a + 2d

4a = 3a + d = 1a + 2d + d = 1a + 3d

5a = 4a + d = 1a + 3d + d = 1a + 4d

6a = 5a + d = 1a + 4d + d = 1a + 5d

Bu youmlntemi devam ederek ak terimi iccedilin ak = a1 + (k - 1)d (1) elde edilir Bu aslında dizinin genel terimi iccedilin istenilen formuumllduumlr Gerccedilekten k = 1 iccedilin a1 = a1 dir a k+1 iccedilin yine aynısı elde edilir

1ka = ka + d = 1a +(k1) d + d = 1a + kd

Buna goumlre şu sonuca varılır Her doğal sayı k iccedilin şu formuumll geccedilerlidir

)1(1 dkaak

4 Bir ayakkabı fabrikasında ilk yıl 50 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiş ve her gelen yılda 3000 ccedilift ayakkabı iccedilin uumlretim artmıştır Fabrika kuruluşundan sekizinci yıl sonunda kaccedil ccedilift ayakkabı uumlretmiştir

ak ile fabrikanın kuruluşundan krsquocı yılın uumlretimini işaret edelim Yıllara goumlre uumlretim mik-tarları bir aritmetik dizisini oluşturdukları accedilıktır Dizinin ilk terimi a1 = 50 000 ve ortak fark d = 3 000rsquodir k = 8 iccedilin (1) formuumlluumlnden yararlanarak a8 = a1 + (8 - 1)d = 50000 + 7 bull 3000 = 71000 elde edilir

Demek ki fabrikanın kuruluşundan sekizinci yılında 71 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiştir

145

5 Bir aritmetik dizisinin ilk terimi 8 15 terimi ise 50rsquodir Ortak fark d ne kadardır(1) denklemini drsquoye goumlre ccediloumlzersek

11

k

aad k

elde edilir Verilen değerleri formuumllde yerine koyarsak

3

14

42

115

850

11

k

aad k

elde edilir

6 Bir aritmetik dizisinin ilk terimi ndash 3 ortak farkı d = - 2rsquodir Dizinin hangi terimi - 19 olduğunu bulunuz

(1) denklemini krsquoya goumlre ccediloumlzersek

11

d

aak k

elde edilir Verilen değerleri formuumllde yerine koyarsak

912

161

2

3191

2

)3(1911

daak k

elde edilir Demek ki dizinin dokuzuncu terimi ndash 19 olur k iccedilin ccediloumlzuumlm ancak doğal sayı oldu-ğu durumda kabul edilebilir

Alıştırmalar

1 150rsquoci tek sayı hangi sayıdır

2 75 ccedilift sayıyı hesaplayınız

3 Ortak farkı 23 ve 85 terimi 2708 olan aritmetik dizisinin ilk terimi belirtilsin

4 Verilen dizilerden hangileri aritmetik dizisidir а) 2 8 14 20 26 6n-4 b) 1 8 27 81 n3 c) 94 -1 - 6 -1114 - 5n d) 1 2 4 8 16 2n-1

5 Bir iş oumlrguumltuumlnuumln 1 Ocak 2000 yılında borcu 50 000 EUR olmakla her gelen yılda borccedil 3500 EUR azalmıştır Kaccedil yıl sonra borccedil 22000 EUR kalmıştır

6 Bir aritmetik dizisinin beşinci terimi 12 on ikinci terimi ise 33rsquotuumlr Aritmetik dizisinin ilk terimi ve ortak farkı ne kadardır

146

7 -3 1 5 9 13 17hellip aritmetik dizisinde ccedilift indisli yerlerdeki sayıları silersek nasıl dizi elde edilecektir

8 Banka hesabında bir miktar parası olan Yusuf her ay aynı miktar para hesabına yatı-rıyor Tasarruf yapmaya başladıktan 16 ay sonra Yusuf rsquoun 81 500 denarı 27 ay sonra ise 81500 denarı olmuştur Tasarrufa başlamadan oumlnce Yusuf rsquoun banka hesabında kaccedil parası varmış ve her ay banka hesabına ne kadar para yatırmıştır

64 Aritmetik Dizilerin Oumlzellikleri

A Şu oumlrneği inceleyelim1 1 4 7 10 13 16 sonlu aritmetik dizisi iccedilin1 +16 = 4 +13 = 7 +10 = 10 + 7 = 13 + 4 = 16 +1 geccedilerlidir

Genel olarak

nnnm aaaaaaa 12321

sonlu aritmetik dizisi verilmiş olsunŞu ccedilift leri inceleyelim

)( 1 naa )( 12 naa )( 23 naa )( 1mnm aa )( 1aan

burada indislerin toplamı n + 1rsquodir (1 + n = n +1 2 + (n -1) = n +1 3 + (n - 2) = n +1m + (n - m +1) = n +1 ) Bu ccedilift lere a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta olan terimler denir

dmaam )1(1

ve

dmnaa mn )(11

olduğuna goumlre onların toplamı

nmnm aadnaadmnadmaaa 111111 )1()()1(

Bu toplam m sayısına bağlı olmadığını goumlruumlyoruz Yani m = 123 hellip iccedilin

nmnm aaaa 1)1(

dirBununla şu oumlzelliği ispatlamış oluyoruz

10 Her aritmetik dizisinde uccedil terimler a1 ve an lsquoden eşit uzaklıkta olan terimlerin toplamı uccedil terimlerin a1 + an toplamına eşittir

2 5 7 9 11 13 15 17 hellip aritmetik dizisini inceleyelim n = 5 iccedilin (10) oumlzelliği 5 +13 = 7 +11 = 9 + 9 = 11 + 7 = 13 + 5 (= 18) n = 6 iccedilin ise bu oumlzellik

5 +15 = 7 +13 = 9 +11 = 11 + 9 = 13 + 7 = 15 + 5 (= 20)

147

B Ccedilok kez ilk terimi a1 ve ortak farkı d ile verilmiş olan bir aritmetik dizisinin ilk n te-riminin toplamını belirtmek gerekir Aranılan toplamı Sn ile işaret edeceğiz

nn aaaaS 321

Bu toplamı ters youmlnde yazarsak

geccedilerli olduğunu fark edebiliriz Bu iki denklemi taraf tarafa toplamakla

)()()()()(2 11211121 aaaaaaaaaaaaS nnnnnnn

elde edilir

3423121 nnnn aaaaaaaa

olduğuna goumlre 2Sn = n(a1 + an) elde edilir Ora-dan da

)(2

1 nn aanS

(1)elde edilir Bu formuumllde an = a1 + (n - 1)d değiştirmekle

])1(2[2

1 dnanSn

(2)formuumlluuml elde edilir Bu formuumll bir aritmetik dizisinin aranılan ilk n teriminin toplamıdır For-muumll a1 d n ve Sn buumlyuumlkluumlkleri arasındaki bağıntıyı goumlstermektedir ve bu buumlyuumlkluumlklerden her-hangi biri bilinmediğinde diğer uumlccedil bilinen buumlyuumlkluumlkle belirtilebilir

1 İlk n tek sayının toplamını hesaplayınız(2) formuumlluumlnde a1 = 1 ve d = 2 ile değiştiriyoruz

21 )2(

2))1(22(

2])1(2[

2nnnnndnanSn

2 Bir ayakkabı fabrikasında ilk yıl 50 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiş ve her gelen yılda 3000 ccedilift ayakkabı iccedilin uumlretim artmıştır Fabrika kuruluşundan sekizinci yıl sonuna kadar toplam kaccedil ccedilift ayakkabı uumlretmiştir

(2) formuumlluumlnde n = 8 a1 = 50 000 ve d = 3 000 ile değiştiriyoruz

3 Oumlrnek 2rsquodeki diziyi inceleyelim Dizinin ikinci terimi (7) ilk (5) ve uumlccediluumlncuuml (9) terimin aritmetik ortası olduğunu Uumlccediluumlncuuml terimi (9) ikinci terim (7) ve doumlrduumlncuuml terim (11) aritmetik

ortası olduğunu fark edebilirsiniz Bu oumlzellik genel olarak da geccedilerlidir

20 Vo proizvolna aritmeti~ka progresija ma e aritmeti~ka sredina od

1ma i 1ma odnosno za m1 va`i 2

11 mm

maaa

20 Her aritmetik dizisinde am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin aritmetik ortasıdır yani 1lt m iccedilin

211

mmm

aaa dir

148

4840001210004]30007500002[2

88 S

Demek ki ilk sekiz yılda toplam 484 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiştir

Alıştırmalar

1 Verilen sayıların aritmetik ortalamasını belirtiniz a) 15 ve 23 b) x + y ve x ndash y

2 Herhangi bir aritmetik dizisi verilmiş olsun Değeri 1 2 1

2na a ye eşit olan bir terimin

var olduğunu goumlsteriniz

3 Herhangi bir aritmetik dizisini seccediliniz ve

2kmkm

maaa

( mk )

geccedilerli olduğunu goumlsteriniz Bu ise am terimi am-k ve am+k terimlerinin aritmetik ortalamasıdır demektir Ondan sonra bu oumlzelliği genel durum iccedilin ispatlamaya ccedilalışınız

4 İlk n ccedilift sayının toplamını hesaplayınız

5 Bir aritmetik dizisinin 78 teriminin toplamı ne kadardıra) a1 = 5 ve d = 3 b) a1 = -2 ve d = 2

6 İlk n doğal sayının toplamı 1275rsquotir n ne kadardır

7 a7 + a11 = a5 + a20 geccedilerli olan bir aritmetik dizisi iccedilin ne diyebilirsiniz

65 Geometrik Diziler

Aritmetik dizilerde iki ardışık terimin farkı daima aynı sayı olduğunu goumlrduumlk Bu ders biriminde iki ardışık terimin boumlluumlmuuml daima sabit olan dizilerden soumlz edilecektir Bu diziler geometrik dizilerdir Tasarruf yatırımlarda faizin hesaplanması iccedilin bu dizilerden yararlanılır

149

Goumlruumllduumlğuuml gibi dizinin her gelen terimi kendinden oumlnce olan terimin q ne 0 sayısıyla ccedilarpılarak elde edilir a elemanı dizinin ilk terimidir q sayısına ise ortak boumllen ya da ortak ccedilarpandır denir ccediluumlnkuuml

2

32

aqaq

aqaq

aaqq

dir

1 3 6 12 24 48 96 hellip dizisi ilk terimi 3 ve ortak boumlleni 2 olan bir geometrik dizidir

2 ( )24

48

12

24

6

12

3

6

2 İlk terimi 2 ve ortak ccedilarpanı - 3 olan geometrik dizisini oluşturunuzAranılan dizi 2 2bull (-3) 2bull (-3)2 2bull (-3)3 ya da 2 -6 18 -54 hellip

3 İlk terimi 18 ortak boumlleni 1

3 olan dizi 18

8 63

18 2

3

6

3

2

9

2

27

2

q gt 1 ise geometrik dizi a1 gt 0 iccedilin artandır a1 lt 0 iccedilin ise eksilendir

4 1 2 4 8 16 32 64 128 hellip dizisinde a1 = 1 gt 0 ve q = 2 olduğuna goumlre dizi artandır

5 -1 -2 -4 -8 -16 -32 -64 -128 hellip dizisinde a1 = -1 gt 0 ve q = 2 gt 1 olduğuna goumlre dizi eksilendir

q = 1 ise dizi sabittir oumlrnek -5 -5 -5 -5 -5 hellip 0 lt q lt 1 olduğu durumda geometrik dizi a1 gt 0 iccedilin eksilendir a1 lt 0 iccedilin ise artandır

6

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

dizisinde a1 = 1 gt 0 ve

12

1q

olduğuna goumlre dizi eksilendir

7

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

dizisinde a1 = -1 lt 0 ve

12

1q olduğuna goumlre

dizi artandır

Tanım 1 q ne 0 olmak uumlzerea aq aq2 aq3 aq4 (1)

biccediliminden (an) dizisine geometrik dizi denir

150

q lt 0 ise dizinin terimlerinin işareti değişken olduğundan dizi ne artan ne de eksilendir Bunu oumlrnek 2rsquode goumlrebilirsiniz

(1) formuumlluumlnden şunları yazabiliriz

qaa 12 2

123 qqaa 3

134 qqaa

4145 qqaa

1

1 n

n qa (2)

Dizinin ilk terimi ve ortak ccedilarpanı bilindiğinde (2) formuumlluumlnden yararlanarak dizinin herhangi terimini belirtebiliriz

8 a1 = - 162 ve 1

3q olan bir geometrik dizisinin altıncı terimi (2) formuumlluuml gereğince

3

2

3

32)

3

1()162(

5

45

6

a

9 Bir geometrik dizisinin doumlrduumlncuuml terimi 162 altıncı terimi ise 1458rsquodir Dizinin ilk teri-mini ve ortak boumllenini belirtiniz

(2) formuumlluumlnden n = 4 ve n = 6 iccedilin162 = a1q3 ve 1458 = a1q5 denklemleri elde edilirİkinci denklemi birinci denklemle boumllmekle 9 = q2 ve oradan 3q elde edilir

q = 3 iccedilin birinci denklemden 1 3

1626

3a elde edilir q = -3 iccedilin birinci denklemden

1 3

1626

3a

elde edilir

Alıştırmalar

1 Bir geometrik dizisinin ilk iki terimi 41 ve 24rsquotuumlr Dizinin beşinci terimini belirtiniz

2 Verilen dizilerden hangileri geometrik dizilerdir а) 2 - 832 -1285122 bull (-4)n-1 b) 182781 n3 c) 94 -1 - 6 -1114 - 5n d) 1248162n-1

151

Geometrik dizisi olanların ilk terimini ve ortak boumllenini belirtiniz

3 a) İlk terimi 5 ve ortak boumlleni 15 olan geometrik dizinin beşinci terimini bulunuz b) İlk terimi 15 ve ortak boumlleni -2 olan geometrik dizinin yedinci terimini bulunuz

4 Duygu yıllık 6 faiz oranıyla bankaya bir miktar para yatırmıştır a) Yedi yıl sonra yatırdığı para yuumlzde kaccedil artacaktır b) Kaccedil yıl sonra banka hesabındaki para ana paranın en az iki katına ccedilıkacaktır

5 Ali ve Bekir bir bankaya aynı miktar para yatırmışlar Ali 3 faiz oranıyla 4 yıl iccedilin Bekir ise 4 faiz oranıyla 3 yıl iccedilin yatırmıştır Hangisi bankadan daha ccedilok para almıştır

6 Suumltte bakteri sayısı her 3 saatte iki katına artar 24 saatte bakteri sayısı kaccedil defa artacak-tır

66Geometrik Dizisinin Oumlzellikleri

A 1 1 2 8 32 128

2 sonlu geometrik dizisini inceleyelim

2

112823288322128

2

1 olduğunu fark ediyoruz

Bu oumlzellik genel durumda da geccedilerli olduğunu goumlstereceğiz 1 2 3 4 a a a a sonlu geo-

metrik dizisi verilmiş olsun 2 1 1 ve nn

aa a q aq olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak

nn

n aaqaqaaa 1112 elde edilir Ondan sonra 2 1

3 2 1 2 2q ve n n

na aa a q a aq q

ol-

duğundan elde edilir

Bu şekilde devam etmekle 1

1 ( 1) 1q ve k n

k n k k

aa a aq

buradan da

nknk

knk aaqaqaaa 11

11)1(

(1)

152

Endekslerin toplamı n + 1 olan ( a2 an-1) ( a3 an-2) ( a4 an-3) ( ak an-k+1) (an-1 a2) ccedilift lere a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta olan terimler denir Buna goumlre (1) eşitliği şu oumlzelliği ifade etmektedir

10 Her geometrik dizide a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ccedilarpımı uccedil terimlerin ccedilarpımına eşittir

20 Her geometrik dizisinde 1 lt m iccedilin

11 mmm aaa dir yani am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin geometrik ortasıdır

30 Her geometrik dizisinde k lt m iccedilin

kmkmm aaa dir yani am terimi am-k ve am+k terimlerinin geometrik ortasıdır

2 Şu geometrik dizisini inceleyelim 2 6 18 54 162 486 hellip n = 5 ve n = 6 iccedilin bu oumlzelliği yoklayalım

n = 5 iccedilin 2bull162 = 6bull54 = 18bull18 = 54bull6 = 16bull22 (= 324)n = 6 iccedilin 2-486 = 6-162 = 18-54 = 54-18 = 162-6 = 486-2 (= 972)

3 Oumlrnek 2rsquodeki diziyi inceleyelim İkinci terim (6) birinci (2) ve uumlccediluumlncuuml (18) terimle-rinin geometrik ortası uumlccediluumlncuuml terim (18) ikinci terim (6) ve doumlrduumlncuuml terim (54) sayılarının geometrik ortası doumlrduumlncuuml terim (54) uumlccediluumlncuuml terim (18) ve beşinci terim (162)rsquonin geometrik ortası olduğunu vb fark edebiliriz

Genel olarak 11 ve m

m m maa a a q

q

olduğuna goumlre

112)( mmm aaa te 11 mmm aaa

Buna goumlre şu oumlzellik geccedilerlidir

Benzer şekilde 20 oumlzelliğinin daha genelini ifade eden şu oumlzelliği de ispatlayabiliriz

4 3 ve 192 sayıları arasında verilenlerle beraber geometrik dizisi oluşturacak 5 sayı yerleştiriniz

Oumlnce a1 = 3 ve a7 = a1q6 den q ortak boumllenini belirtiyoruz a1 = 3 değerini değiştirmekle 3 q6 = 192 eşitliğinden q6 = 64 ve q = plusmn2 elde edilir q = 2 ise şu dizi elde edilir

153

3 6 12 24 48 96 192 hellip q = -2 ise 3 - 6 12 -24 48 -96 192

B Verilen geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamını Sn ile işaret edelim

11

21

2111 nn

n qaqaqaqaaS (1)

Bu denklemin her iki tarafını q ile ccedilarpmakla

nnn qaqaqaqaqaqS 1

11

31

211 (2)

(2) eşitliğinden (1) eşitliği ccedilıkarılırsa

11 aqaSqS nnn

oradan

)1()1( 1 nn qaqS

1

)1(1

qqaS

n

n (3)

elde edilir Bu ise bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamını ifade eden formuumllduumlr For-muumllde a1 q n ve Sn buumlyuumlkluumlkleri bulunur ve bu buumlyuumlkluumlklerden her biri bilinen diğer uumlccedil buuml-yuumlkluumlkle hesaplanabilir (3) formuumlluuml genellikle q gt iccedilin uygulanır q lt 1 olduğu durumda aynı formuumll şu şekilde yazılarak kullanılır

qqaS

n

n

1

)1(1 (4)

q = 1 ise bu formuumlller kullanılamaz ccediluumlnkuuml kesrin hem payı hem de paydası sıfır olur Halbuki bu durumda Sn = na1 olduğu accedilıktır

1 İlk terimi a1 = 3 ve q = 2 verilmiş olan geometrik dizisinin ilk 6 teriminin toplamını belirtiniz

n = 6 a1 = 3 ve q = 2 değerlerini formuumllde değiştirmekle

189633)164(312

)12(3 6

6

S

elde edilir2 İlk terimi a1 = 4 ve q = -3 verilmiş olan geometrik dizisinin ilk 7 teriminin toplamını

belirtinizn = 6 a1 = 4 ve q = -3 değerlerini formuumllde değiştirmekle

2188121874

)12187(4

13

)1)3((4 7

7

S

154

3 Ortak ccedilarpanı q = -1 olan geometrik dizisinin ilk 2k teriminin toplamını belirtiniz n = 2k ve q = --1 değerlerini formuumllde değiştirmekle

0

2

)11(

11

)1)1(( 1

2

12

aaSk

k

elde edilir Boumlyle bir sonun elde edilmesi doğaldır ccediluumlnkuuml bu dizi a1 - a1 a1 - a1 hellip biccedilimin-dedir

Alıştırmalar

1 Verilen geometrik dizisinin ilk 8 teriminin toplamını belirtiniz а) -13 - 9 b) 5 5 5 c)

1 2

1

4

1 d) 512 -256 128

2 Verilenlere goumlre geometrik dizisinin ilk terimini belirtiniz а) n = 8 q = 2 S6 = 765 b)

4n 3

2q 656 S

3 Bir geometrik dizisinin beşinci terimi 1

9 ve ortak ccedilarpanı 1

3 rsquodir İlk terimini ve ilk beş

teriminin toplamını belirtiniz Geometrik dizisini yazınız

4 Ahmet ocak ayında 20 000 denar maaş almıştır Yıl sonuna kadar maaşı her ay 3 art-mıştır Ahmet yıl boyunca toplam ne kadar maaş almıştır

5 a) 30 ve 120 b) ve xxyy

sayılarının geometrik ortasını belirtiniz

6 Herhangi bir geometrik dizisini seccediliniz ve 1 2 ve 3 oumlzelliklerini yoklayınız

7 Herhangi bir geometrik dizisi verilmiş olsun Verilen dizide değeri 1 2 1na a olan teriminin var olduğunu ispatlayınız

155

67 Konu Pekiştirme Oumldevleri

1 Ne artan ne de eksilen olan bir diziyi yazınız

2 1 4 16 25 36 hellip n2 hellip dizisinde 125 sayısına karşılık gelecek n indisli terim var mıdır

3 (an) dizisini tek indisli terimleri pozitif ccedilift indisli terimleri ise negatif tir Bu dizi artan ya da eksilen olabilir mi

4 İlk 1000 doğal sayının toplamını hesaplayınız

5 İlk terimi 7 ve yuumlzuumlncuuml terimi 53 olan aritmetik dizisinin ilk 100 teriminin toplamını hesaplayınız

6 a2 = 6 ve a45 = 74 olan aritmetik dizisinin ilk 46 teriminin toplamını hesaplayınız

7 1 ve 14 sayıları arasında a b c olmak uumlzere oumlyle uumlccedil sayı yerleştiriniz ki 2 a b c14 bir aritmetik dizisi olsun

8 Herhangi bir aritmetik dizisi iccedilin n ka a n k d geccedilerli olduğunu goumlsteriniz

9 Bir tuumlccar satranccedil tablosunu şu koşullara goumlre satıyormuş Tablonun birinci karesinde 1 denar ikinci karesinde 2 denar uumlccediluumlncuumlsuumlnde 3 denar vb olmak uumlzere son kareye 64 denar konulacaktır Tuumlccar satranccedil tablosunu kaccedil denara satıyormuş

10 İlk terimi 100 ve ortak boumlleni q = -1 olan bir geometrik dizisinin 2k + 1 teriminin toplamını belirtiniz

11 3 b 75 sayıları bir geometrik dizisi olacak şekilde b sayısını belirtiniz

12 Her geometrik dizide n kn ka a q geccedilerli olduğunu ispatlayınız

13 Her bakteri bir saatte ikiye katlanırsa başlangıccedilta 7 bakteri olan bir bitkide 8 saat sonra ne kadar bakteri olacaktır

14 Bir ccedilocuk ocak ayında kumbarasına 5 denar koyarak para biriktirmeye başlamıştır Ondan sonra her ay bir oumlnceki ayın iki katı kadar kumbarasına para koymuştur Yıl sonunda ccedilocuğun kumbarasında ne kadar para birikmiştir

156

15 a) 1 2 3 a a a dizisi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizisi ise 1 2 3a a a olduğunu ispatlayınız

b) 1 2 3 na a a a dizisi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizisi ise 1 2 3 na a a a olduğunu ispatlayınız

16 Bir geometrik dizisinde 2 3 1 7a a a a oumlzelliği varsa dizi iccedilin ne diyebilirsiniz

157

Konu Oumlzetleri

Dizi N doğal sayılar kuumlmesinden R reel sayılar kuumlmesine bir eşlemedir ak+1 gt ak ise dizi her doğal sayı iccedilin kesin anlamda artandır ak+1lt ak ise dizi her doğal sayı iccedilin kesin anlamda eksilendir

1k ka a ise dizi her doğal sayı iccedilin artmayandır

1k ka a 6 ise dizi her doğal sayı iccedilin eksilmeyendir

Her doğal sayı n iccedilin na M olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi uumlstten sınırlıdır denir

Her doğal sayı n iccedilin na M6 olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi alttan sınırlıdır denir

Hem uumlstten hem de alttan sınırlı olan dizilere sınırlı diziler denir

Her eksilen ve her artmayan dizi uumlstten sınırlıdır her artan ve her eksilmeyen dizi alttan sınırlıdır

Bir (an) dizisinde iki ardışık terimin farkı 1n na a daima sabit kalıyorsa yani n doğal sayısına bağlı değilse ya da 1n na a = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (an) dizisine arit-metik dizisi denir d sayısına ortak fark denir

Bir aritmetik dizisinin genel terimi

dnaan 11

Her aritmetik dizisinde am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin aritmetik ortasıdır yani 1lt

m iccedilin 2

kmkmm

aaa dir

Bir aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı

)(2

1 nn aanS

ya da

])1(2[2

1 dnanSn

q ne 0 olmak uumlzere a aq aq2 aq3 aq4 ku q ne 0 biccediliminden (an) dizisine geometrik dizi denir Bu dizinin genel terimi

158

11

nn qaa dir

Her geometrik dizide a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ccedilarpımı aqn uccedil terimlerin ccedilarpımına eşittir

Her geometrik dizisinde k lt m iccedilin m m k m ka a a rsquodir yani ma terimi m ka ve m ka terimlerinin geometrik ortasıdır

kmkmm aaa

Bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı

1

)1(1

qqaS

n

n dir

159

BİLEŞİK FAİZ HESABI

71 Bileşik Faiz Kavramı ve Hesaplanması

Bir miktar paranın faizinin hesaplanması basit ve bileşik faiz hesaplamasıyla yapılabilir Basit faiz bir yatırımın yatırım vadesi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranıdır

Bileşik faizde yatırılan miktar para her doumlnemde değişir yani her doumlnem sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle yatırım miktarı buumlyuumlr ve gelecek doumlnemde aynısı ana-para oluyor Buna goumlre bileşik faiz iccedilin şu tanımı kabul edebiliriz Bir yatırımın yatırım vadesi boyunca kazandığı faizin de yeni yatırım vadesinde yatırıma tabi tutulması sonucu elde edilen getiriyi goumlsteren faizdir Diğer bir deyişle faizin de faiz kazanmasıdır

Basit faiz 100

Kpti formuumlluumlyle hesaplanır (t yıl sayısıdır) Zaman aylar ile verildiğinde

1200

Kpmi formuumlluumlyle hesaplanır Bu durumda m ay sayısıdır ve zaman guumlnlerle ifade edilirse

36500

Kpdi formuumlluuml kullanılır (d ndash guumln sayısı)

1 24 000 denar temel kapital iccedilin 2 ayda 6 faiz oranıyla ne kadar faiz oumldenecektirVerilenlere goumlre K = 24 000 t = 2 ay p = 6rsquodır

1200

26240000

1200

Kpti 2400 denar

Basit ve bileşik faiz hesaplama yoluyla elde edilen faiz miktarlarının farkını goumlrmek iccedilin bir oumlrnekle karşılaştırma yapacağız Ondan sonra bileşik faizin hesaplanması iccedilin bir formuumll belirteceğiz

2 34 500 denar kapital bir bankaya 8 faiz ile doumlrt yıl yatırılmış olan para basit ve bileşik faiz ile ne kadar faiz getirir

Bir yılda 34 500 denar anapara basit faiz formuumlluuml ile

276034500100

8 denar faiz getirir

Faiz daima anaparaya hesaplandığına goumlre bu miktar hep aynıdır ve doumlrt yılda 2760 denarın doumlrt katı kadar faiz elde edilir Buna goumlre toplam faiz miktarı

7

160

834500 4 11040

100i denardır

Bileşik faiz hesabında ise her yıl sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle

anapara miktarı buumlyuumlr ve gelecek yıl aynısı anapara oluyor Buna goumlre birinci yılın faiz miktarı

1

834500 2760

100i denardır Halbuki artık ikinci yıl anaparası birinci yılın anaparası ve

birinci yılın faiz miktarıyla toplamına eşittir 34 500 + 2 760 = 37 260 denardır

İkinci yıl faiz miktarı 2

837260 29808

100i denar olur

Uumlccediluumlncuuml faiz miktarını hesaplamak iccedilin anapara yine buumlyuumlr ve 37260 + 29808 = 402408

denar olur O halde 3

8402408 3219264

100i denar olur Sonunda faizi hesaplanacak ana-

para 402408 + 3219264 = 43460064 olur Buna goumlre 4

843460064 34768

100i elde edilir

Doumlrt yıl iccedilin elde edilen faiz miktarı 1243686 denardır Goumlruumllduumlğuuml gibi bileşik faiz hesabıyla

hesaplanan faiz miktarı basit faiz hesabıyla elde edilen miktardan buumlyuumlktuumlr

Bileşik faizyılda bir defa iki defa ya da birccedilok defa hesaplanabilir Faizin hesaplandığı za-man aralığına faiz hesaplama vadesi denir Faiz yılda bir hesaplanarak yıl sonunda elde edilen faiz anaparaya eklenirse o halde yıllık faiz soumlz konusu olur Faiz yılda iki defa hesaplanarak ana paraya eklenirse faiz hesaplama vadesi 6 aydır ve yarım yıllık faiz hesaplaması soumlz konusu olur Benzer şekilde faiz hesaplama yılda doumlrt defa yapılırsa faiz hesaplama vadesi 3 aydır denir

Basit faiz hesaplamasında doumlrt temel buumlyuumlkluumlk K - anapara (temel kapital başlangıccedil miktar) i - faiz miktarı p ndash faiz oranı (yuumlzde olarak) 100 denar paranın zaman biriminde getirdiği faiz t - paranın faizde kaldığı suumlre ndash yıl olarak ya da daha kuumlccediluumlk zaman oumllccediluuml biriminde de

olabilir

Bu buumlyuumlkluumlkler bileşik faiz hesabının da temel unsurlarıdır halbuki burada ek olarak bi-leşik faizin temel unsuru

161

bir yıl esnasında faizin hesaplanma sayısı m yani yıllık doumlnem sayısı da katılmaktadır

Pratikte faiz doumlnemleriyle ilgili olarak faiz hesapları ccedileşitli işaretlerle işaretleniyorlar Oumlr-neğin faizin yıllık hesaplanması (a) ile yarım yıllık hesaplanması (soumlmestreli) (s) ile uumlccedil ayda bir hesaplamayı (kvartal) (q) ile ayda bir vadeyi (m) ile ve adı geccedilen her vadelik hesaplamalarda faiz oranı yıl bazında sayılmaktadır

Faiz oranı yıllık faiz oranı gibi verildiğinde pa biccediliminde işaret yazılır yarım yıllık faiz oranı olarak alınırsa ps işareti yazılır Uumlccedil aylık bazında da faiz oranı verilebilir ve bu durumda pq biccediliminde ya da aylık bazında olursa pm işareti yazılır Bu şekilde verilmiş olan faiz ora-nına nominal faiz oranı denir Nominal faiz oranı aslında baz kabul edilen faiz vadesinde yuumlz para biriminin buumlyuumlme miktarıdır

Ancak finansman ya da yatırımlarla ilgili kararlarda vade uzunluğu yıl olduğu kadar yıldan daha kısa suumlreli olabilir Oumlrneğin tahvil faizlerinin her altı ayda bir ya da uumlccedil ayda bir oumldenmesi ya da aylık uumlccedil aylık altı aylık vadeli hesap accediltırılmasında olduğu gibi Bu gibi durumlarda yıllık olarak verilen faiz oranından etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı) bulunarak işlem yapılmalıdır Etkin faiz oranını yıllık nominal faiz oranının (cari faiz ya da piyasa faiz oranı da denilen) yıl iccedilindeki doumlnem sayısına boumlluumlnmesiyle bulunur

Etkin faiz oranı nominal faiz oranının bir kısmı gibi belirtilir Oumlrnek nominal yıllık faiz oranı yıl bazında verilmiş iken altı ay vadeli bir hesap accediltırılırsa altı ay yılın yarısı olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak etkin faiz oranı da nominal faiz oranının yarısı olacaktır Nominal faiz oranı yıl bazında faiz hesaplama vadesi aylık ise etkin faiz oranı nominal faiz oranının on ikide biri olacaktır Benzer şekilde nominal faiz oranı soumlmestreli (yarım yıllık) olduğunda uumlccedil aylık faiz vadesi iccedilin etkin faiz oranı nominal faiz oranının yarısına eşittir ccediluumlnkuuml uumlccedil aylık doumlnem altı aylık faiz vadesinin yarısıdır Nominal faiz oranı uumlccedil aylık faiz hesaplama vadesi yıllık olduğu durumda bir yıla karşılık gelen etkin faiz oranı verilenden doumlrt kat buumlyuumlktuumlr ccediluumlnkuuml yıl uumlccedil ayın doumlrt katıdır Karşılaştırma yapmak iccedilin aşağıdaki tabloyu inceleyebilirsiniz Orada m = 2 m = 1 m = 4 m = 12 ve benzer

Faiz vadesi Nominal faiz oranı etkin (roumllatif) faiz oranıYarım yıllık (soumlmestral) 8 pa 4 psYıllık 8 ps 16 paUumlccedil aylı 8 pa 2 pqAylık 8 pa 0667 paİki yıllık 8 ps 32İki aylık 8 pa 1333

Her doumlnem sonunda faiz hesaplanarak anaparaya katılırsa doumlnem sonu (dekurzif) faiz-lenme soumlz konusu olur boumlyle durumda faiz oranı pa(d) ile işaret edilir Doumlnem sonu faizlen-menin faiz hesaplaması başlangıccedilta yatırılan anaparaya goumlre uygulanmaktadır

162

Faizlenme her doumlnem başlangıcında yapılırsa doumlnem başı faizin hesaplanması iccedilin temel değer doumlnem sonunda elde edilen anaparadır bu işleme doumlnem başı (antisipatif) faizlenme denir ve pa(a) ile işaret edilir

İki şekilde verilmiş olan (doumlnem sonu ve doumlnem başı ) faiz oranlarından hangisi daha kacircrlı olduğunu anlamak iccedilin her ikisini aynı şekilde ifade etmemiz gerekir Bu durumda aynı anaparadan bir yılda aynı faiz miktarı yani aynı birikim K1 elde edilmesi oumlnemlidir Faizinin belirtilmesi istenilen temel değer (anapara) K verilmiş ve faiz oranları pa(a) ve p pa(d) verilmiş olsun Faiz hesaplama şeklinin tanımlarına goumlre doumlnem sonu faizlenmede hesaplanan

anaparaya katılır ve yıl sonunda 1

1001

100 100

p pK K K 13

değeri elde edilir doumlnem başı

faizlenmede borccedillu faiz miktarını faiz oranıyla oumlnceden oumldemelidir Bu demektir ki birin-

ci doumlnem başlangıcında hesaplanan faiz temel değerden ccedilıkarıldığına goumlre K değerini değil

1 1 1 1100 100

K K K K 13

değerini ccedilekebilir Bu durumda anaparanın başlangıccedil değeri

1 1 1 1100 100

K K K K 13

rsquodir Oradan 1

100

100K K

olur K1rsquoin son değerlerini eşitle-

yerek 100

100

pK 100

100K

eşitliği ya da 100

100

p 100

100

denklemi elde edilir pa(a)

faiz oranı belli olduğu durumda doumlnem sonu faiz oranını 100

100p

formuumlluumlyle hesapla-

yabiliriz p pa(d) belli olduğu durumda ise doumlnem başı faiz oranı 100

100

pp

formuumlluumlyle

hesaplanabilir

3 Bir banka 6 pa(d) faiz oranıyla diğer bir rakip banka ise 57 pa(a) faiz oranıyla borccedil veriyorlar Hangi bankanın faiz oranı daha uygundur

Her iki faiz oranını karşılaştıracağız Halbuki oumlnce dekurzif faiz oranını doumlnem başı faiz oranına ve tersine doumlnuumlştuumlrmemiz gerekir

163

Doumlnem sonu faiz oranını doumlnem başı faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlyoruz 100 100 6

100 100 6

pp

566 pa(a) elde edilir Buna goumlre 57 pa(a) faiz oranı veren banka

daha hesaplıdırBuna inanmak iccedilin ters doumlnuumlşuumlmuuml de yapacağız Doumlnem başı faizi doumlnem sonu fai-

ze doumlnuumlştuumlruumlyoruz 100 100 57

100 100 57

604 pa(d) Buradan da goumlruumllduumlğuuml gibi goumlre

57pa(a) faiz oranı daha hesaplıdır

Alıştırmalar1 25 000 denar paradan 15 faiz oranıyla basit faizdea) 5 yılda b) 3 ayda c) 25 guumlnde

(30360) ve (k 365) zaman matrislerine goumlre ne kadar faiz getirir

2 Faiz oranı 5 basit faiz ile yatırılan bir temel kapital K kaccedil yıl bankada yatırılmalıdır ki elde edilen faiz miktarı temel değere eşit olsun (Not K = I)

3 34 500 denar borccedil iccedilin basit faiz hesabına goumlre 4 yılda toplam 6 900 denar faiz oumldenmiş-tir Faiz oranı ne kadardır

4 Yatırılan hangi anaparaya 6 faiz oranıyla 3 540 denar faiz miktarı oumldenmiştira) 4 yılda b) 8 ayda

5 Bir bankaya aralarındaki fark 12 000 denar olan iki farklı kapital yatırılmıştır Buumlyuumlk olan para miktarı 4 faiz oranıyla bir yıl iccedilin kuumlccediluumlk olan para miktarı ise 6 faiz oranıyla 10 ay vadeyle yatırılmıştır Her iki kapitalin getirdiği faiz miktarı eşit olduğuna goumlre iki farklı ka-pitalin toplamını hesaplayınız

6 Verilen 12 pa nominal yıllık faiz oranı iccedilin şunları belirtiniza) yarım yıllık vadeli etkin (roumllatif) faiz oranınıb) uumlccedil aylık vadeli etkin faiz oranınıc) aylık vadeli etkin faiz oranını

7 Uumlccedil aylık nominal faiz oranı 2 pq verilmiş olduğu halde şunları belirtiniza) yarım yıllık etkin faiz oranını

164

b) yıllık etkin faiz oranınıc) aylık etkin faiz oranını

8 10 doumlnem sonu faiz oranını doumlnem başı faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

9 10 doumlnem başı faiz oranını doumlnem sonu faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

10 Hangi faiz oranı daha kazanccedillıdır 6 pa(a) yoksa 65 pa(d)

72 Temel Değerin Gelecekteki Değerini Hesaplamak

Bileşik faiz hesaplamalarını yaparken faiz oranından başka temel paranın faiz vadesi so-nunda faiz miktarı kadar buumlyuumlmuumlş değerini de bilmek gerekir yani faizlenen değer ya da i i Bu durumda tuumlm faiz vadesinde elde edilen faiz miktarını temel değere katmakla elde edilen para miktarına temel paranın gelecekteki değeri denir Faizlenmesi yapılan temel değerin başlangıccedil miktarına şimdiki değer de denir

Başlangıccedilta doumlnem sonu faiz oranıyla işlem goumlren K para miktarını inceleyelim K1 K2hellip Kn sırasıyla birinci yıl sonunda ikinci yıl sonunda hellipn yıl sonunda elde edilen kapital olsun Bu değerler bir geometrik dizinin oluşturduğunu goumlstereceğiz Bu temel değerin yıllık p pa(d) faiz oranıyla n yılda nasıl değiştiğini inceleyeceğiz Hesaplanan her faiz miktarı doumlnem sonun-da anaparaya katıldığını ve ilerdeki doumlnemde buumlyuumlyen anapara temel kapital olarak alındığını

hatırlatalım Doumlnem sonunda kapitalin değeri birinci yıl sonunda 1 1

100 100

Kp pK K K 13 olur

ikinci yıl sonunda 2

12 1 1 1 1

100 100 100

K p p pK K K K 13 13

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - -

Aynı şekilde devam edersek n yıl sonunda

11 1 1 1

100 100 100

nn

n n nK p p pK K K K

13 13

elde edilir

Burada iki ardışık değeri Ks-1 ve Ks ayırırsak s yıl sonunda temel kapitalin toplam değeri ondan oumlnce gelen Ks-1 değerine hesaplanan faizin katılmasıyla Ks

165

miktarı elde edilir yani

1 1 1 1100 100

s s s sp pK K K K

13

olur

Buna goumlre herhangi iki ardışık temel miktarın oranı yani iki ardışık doumlnem sonundaki miktarların oranı

1001

1

pKK

s

s

olur

Accedilıktır ki K K1 K2 Kn değerleri ortak ccedilarpanı 1100

p olan bir geometrik dizi oluş-

turuyorlar Bu durumda verilen koşullara goumlre kapitalin son değeri iccedilin

n

npKK )

1001(

formuumlluuml elde edilir Bu formuumlluuml yukarıda adı geccedilen parametrelerle genişleteceğiz Bunlar bir yılda faiz doumlnem

sayısı m etkin faiz oranı daha doğrusu pm

burada p doumlnem sonu faiz oranıdır ve faizlenme

devrelerinin tuumlmuuml nmrsquodir Faiz vadelerinin tuumlmuuml aslında faizin hesaplandığı yıl sayısı ve faiz vade sayısının ccedilarpımıdır

Bu koşullarla yani bir yılda faiz doumlnem sayısı m olduğunda anaparanın gelecekteki de-ğeri iccedilin

nm

n mpKK )

1001(

formuumlluuml elde edilir

1100

prm

ccedilarpanına doumlnem sonu faiz katsayısı denir Bu katsayıyı anaparanın gele-

cekteki değer formuumlluumlnde değiştirirsek

nm

n KrK

formuumlluuml elde edilirNot 1 Ana paranın gelecekteki değerini daha kolay biccedilimde hesaplamak iccedilin i i şek-

linde işaret ettiğimiz faizin faizine ait oumlzel tablolar geliştirilmiştir Orada verilen faiz oranı iccedilin en ccedilok kullanılan parametreler oumlnceden hesaplanmış olduğuna goumlre hazır değerler gibi kullanı-labiliyorlar Oumlrnek ilk i i tablolarda faiz katsayısının değerlerini yani bir para biriminin son değerinin doumlnem sonu faiz katsayısıyla ccedilarpımını goumlstermektedir Orada rn değeri In

p ile işaret edilmiştir ve anaparanın gelecekteki değerini yılda bir faizin hesaplanmasıyla n yılda faiz oranı p pa(d) olduğunda

166

npn KK 7

formuumlluuml elde edilirFaizlenme yılda birccedilok defa yapılırsa formuumll

nm

mpn KK 7

şeklini alır Burada yıl sayısı faiz vadesi sayısıyla ccedilarpılır faiz oranı ise vade sayısıyla boumlluumlnuumlr Vade sayısı m ile işaretlenmiştir yani yılda kaccedil defa faizlenme yapıldığını goumlsteren sayı olarak goumlsterilir

1 25 000 denar para 20 yılda 8 pa(d) faiz oranıyla faiz hesaplaması yıllık vadeli yarım yıllık vadeli ve uumlccedil aylık vadeli olduğuna goumlre paranın gelecekteki değerini hesaplayınız

Verilenler K = 25 000 n = 20 p= 8 pa(d)a) Faiz hesaplaması yıllık vadeli olduğuna goumlre m = 1rsquodir Doumlnem sonu faiz katsayısı

81 108

100r rsquodir

Accedilıktır ki 20 20

20 25000 108 11652393K Kr denar olacaktır

b) m = 2 olsun yani faiz hesaplaması yarım yıllık vadeli olsun Doumlnem sonu katsayı 8

1 104100 2

r

anapara ise 40 40

20 25000 104 12002552K Kr denar olur Bu ise

yıllık faiz hesaplamasından fazla olduğu goumlruumlluumlyorc) m = 4 olsun yani faiz hesaplaması uumlccedil ayda bir vadeli yapılmış olsun Doumlnem sonu kat-

sayı 8

1 102100 4

r

anapara ise 80 80

20 25000 104 12188598K Kr denar olur

Doumlnem sonu faiz hesaplamasında faiz devrelerinin artmasıyla anaparanın (yatırımın) da gelecekteki değeri artar Yani faizin hesaplanması ne kadar daha sık yapılırsa rnm değeri de o kadar artar bununla yatırımın gelecekteki değeri de artar

Nominal faiz oranı bir yıldan az vade iccedilin verildiğinde yıllık faiz oranıyla ne olduğunu incelersek bu durumda yıllık faiz oranı etkin faiz oranı roluumlnuuml alacaktır p = 8 ps(d) ise bu faiz oranı sadece yarım yıl iccedilin geccedilerli olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak yıllık etkin faiz oranı 16 olur p = 8 pq(d) uumlccedil aylık vadeli faiz oranı ise etkin yıllık faiz oranı 32 olur

167

2 Başlangıccedil değeri 25 000 denar olan bir kapitalin p = 8 pm(d) faiz oranıyla faiz vadesi yılda doumlrt defa yani uumlccedil aylık faizin hesaplanmasıyla 5 yıl sonra gelecekteki değeri belirtilsin

Oumlnce yıllık etkin faiz oranını belirtmek gerekir bu ise yıllık 8 12 96 rsquodir Halbuki faiz

vadesi yılın doumlrtte biri olduğundan uumlccedil aylık vadeli faiz oranı 96

4 = 24 olur Bir aylık vade uumlccedil

ayda kaccedil defa geldiğini duumlşuumlnuumlrsek aynı sonuca varabiliriz Bir ccedileyrek yıl uumlccedil ay olduğundan 3 ∙ 8 = 24 elde edilir faizlenme işleminin toplam vade sayısı nm = 5 4 = 20rsquodir Anaparanın gelecekteki değeri

864732500024125000100

24125000

1004

812125000 20

2045

5 13

13

K

olduğuna goumlre K5 = 184660374 denar olduğunu buluyoruz

Sıradaki oumlrnekte bir anaparanın gelecekteki değerini hesaplarken bileşik faiz hesabının uygulanması ya da basit ve bileşik faiz karması kullanılmakla elde edilen farkı goumlreceğiz

3 1509 guumlnuuml 18000 denar yatırılmıştır Faiz oranı p = 6 ps(d) faiz hesaplanması uumlccedil aylık vadelerle yılın 3009 3012 3003 ve 3006 guumlnlerinde yapıldığında zaman matrisi (30 360) koşuluyla onuncu yılın 2807 guumlnuuml (ilk guumlnuuml dahil) yatırımın değeri ne kadar olacaktır

Yatırımın şimdiki değeri K = 18 000 faiz vadesi ccedileyrek yıl yani m = 4 faiz oranı p = 6 ps(d) yıllık roumllatif faiz oranı 12 pa(d) parametreleri verilmiştir

Karşılık gelen faiz katsayısının değeri

0314100

261

100

21

m

pr dir

Yatırımın faizde kalma zamanını belirtmemiz gerekir Yatırımın yapıldığı guumln 1509rsquoden faizin ilk hesaplama guumlnuumlne kadar sadece 15 guumln vardır Bu guumlnleri verilen zaman matrisine

goumlre yıl olarak ifade edersek 15

360t yıl olur Ondan sonra 3012 tarihine kadar yani yılın

sonuna kadar bir faiz devresi vardır İkinci yılın başlangıcından dokuzuncu yılın sonuna kadar toplam 8 yıl olduğuna goumlre toplam 32 faiz vadesi vardır Onuncu yıl boyunca 3006 tarihine kadar 2 tam vade ve yatırımın kaldırılacağı guumlne kadar daha 28 guumln vardır Demek ki toplam

35 tam faiz vadesi ve ilk yılın 15

360t ve onuncu yılın trdquo = 28 guumln = 28

360 yıl faiz zamanı elde

edilir

168

Yatırımın gelecekteki değerini sadece bileşik faiz hesabını kullanarak hesaplıyorsak za-manı tam vade sayısına kalan guumlnleri ise yıl olarak ifade edeceğiz Buna goumlre

951369031031031180004

360

284

360

15

3535 mtmtn rrKrK

denar elde edilir

Zamanın tamamını yıllarla ifade edersek tam vadeler 3 aylık yani 90 guumln olduğunu goumlz

oumlnuumlne bulundurarak 35 90

360

yıl olur O halde

31934

36018000 103 513699nK

denar olduğunu buluyoruz

Faizde kalma zamanının sadece tam vadelerine basit faiz hesabını uygulayarak bileşik ve basit faiz hesaplama kombinasyonu kullanalım

)100

1()100

1( 35 tprtpKKn

formuumlluumlnde sırasıyla oumlnce ilk yılın 15 guumlnuuml ondan sonra 35 tam faiz vadesi ve sonunda son yılın 28 guumlnuuml yazılarak 8651377)

360

28

100

121(031)

360

15

100

121(18000 35 nK

denar elde edilir

Demek ki basit ve bileşik faiz kombinasyonunu uygulayarak yatırımın gelecekteki değeri sadece bileşik faiz hesabı kullanarak elde edilen miktardan biraz farklaşıyorlar ve kombinasyon uygulayarak elde edilen gelecek değer biraz buumlyuumlktuumlr

Doumlnem sonu (sonra) ve doumlnem başı (peşin) faizlenme arasındaki temel fark konunun başlangıcında ifade edildiği gibi doumlnem sonu faizlenmede faiz miktarı doumlnem sonunda anapa-raya eklenir doumlnem başı faizlenmede ise faiz miktarı anaparaya peşin eklenir

Doumlnem başı faizde borccedillu faiz oranıyla K kapitaline gereken faiz miktarını peşin oumldeme yuumlkuumlmluumlluumlğuumlnuuml kabul etmiştir K1 K2 Kn birinci ikinci ve benzer şekilde n- yıl sonunda kapitalin değerleri olsun

Birinci vadesin başlangıcında borccedillu K değerini değil

100

100

1001

1001111

13

KKKKK değerini alabilecektir O halde birinci yıl sonun-

da borccedillunun yıllık (m = 1) faizlenme ile oumldeyeceği miktar

100

100

1001

1 KKK

elde edilir

169

İkinci yıl sonunda bileşik faiz hesaplandığına goumlre faiz tabanı birinci yıl sonunda elde

edilen miktardır yani şimdi 100

100K

dir Demek ki ikinci yıl sonunda

2

12100

100

100

10013

KKK

miktar oumldenmelidir Bu şekilde devam ederek faizlenmenin son nndash ci yılına geliyoruz ve ana-paranın gelecekteki değeri

n

nn KKK 13

100

100

100

1001

olur Doumlnem başı faizlenmede kapitalin son değerleri K K1 K2 helliportak boumlleni 100

1008

olan

bir geometrik dizi oluşturuyorlar n- ci doumlnem sonunda kapitalin değeri Kn ise 1n nK K 8

geccedilerlidir yani doumlnem başı faizlenmede n yıl sonra kapitalin değeri

nn KK 8 olur

1 100

1001

100

8

katsayısına doumlnem başı faiz katsayısı denir

Elde edilen formuumllleri bir yılda faiz doumlnem sayısı m etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı)

m burada yıllık doumlnem başı faiz oranıdır ve faiz suumlresinin toplam sayısı nm parametreleriyle

genişlettirirsek kapitalin gelecekteki değeri iccedilin şu formuumlluuml elde edeceğiz

nm

nm

n mmK

m

KK 13

13

100

100

100

100

Formuumllde doumlnem başı faiz oranının katsayısı 100

100

mm

8

koyarsak kapitalin gelecek-teki değerine ait

unm

n KK 8

formuumlluuml elde edilir

Not 2 i i tablolarında doumlnem sonu hesaplamada olduğu gibi n8 değeri I

n ile işaret

edilir ve yıllık faizlenmeyle şimdiki değerin (anaparanın) gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin şu formuumll elde edilir

170

nn KK 7

Buna karşılık faizin hesaplanması yılda birkaccedil kez yapıldığında yukarıdaki formuumll

nm

mn KK 7

şekline doumlnuumlşuumlr Bu durumda zaman faiz devreleriyle ccedilarpılır faiz oranı ise faiz doumlnem sayısıyla boumlluumlnuumlr

Son formuumlller doumlnem sonu faizlenme formuumlluumlyle aynıdır halbuki farklı faiz katsayıların-dan oumltuumlruuml elde edilen son değerler birbirinden farklıdır

4 Şimdiki değeri 25 000 denar olan kapitalin 20 yılda 8 pa(a) nominal faiz oranıyla yıllık yarım yıllık ve uumlccedil aylık faiz devreleriyle elde edilecek sonraki değeri ne kadardır

Oumldevdeki verilere goumlre K = 25 000 p = 8 pa(a) verilmiştira) Yıllık faiz devresi m = 1 olsun Oumlnce doumlnem başı faiz katsayısını hesaplıyoruz

0869618100

100

8

Kapitalin gelecekteki değeri 20 20

20 25000 108696 13249859K K8 elde edilirb) m = 2 olsun yani faizin hesaplanması yılda iki defa yapıldığını alalım

Peşin faiz katsayısı 100 200

104166667100 192

mm

8

olduğunu buluyoruz Buna goumlre

kapitalin gelecekteki değeri 40 40

20 25000 104166667 12796485K K8 denar olduğunu buluyoruz Goumlruumllduumlğuuml gibi yıllık faizlenmeyle elde edilen gelecekteki değer goumlre yarım yıllık faizlenme ile elde edilen gelecekteki değer biraz azalmıştır

c) m = 4 olsun yani faizin hesaplanması her uumlccedil ayda yani yılda 4 defa yapıldığını alalım

Peşin faiz katsayısı 100 400

1020408100 392

mm

8

olduğunu buluyoruz Buna goumlre kapitalin

gelecekteki değeri 80 80

20 25000 1020408 1258486K K8 denar olduğunu buluyoruzPeşin faiz hesaplanmasında faiz devrelerinin artmasıyla kapitalin gelecekteki değeri azal-

maktadırDoumlnem sonu ve peşin faizin hesaplanmasıyla elde edilen gelecekteki değerleri birbiriyle

karşılaştırırsak aynı koşullar altında doumlnem başı faizlenme ile doumlnem sonu faizlenmeden daha buumlyuumlk değer verir Buna goumlre borccedil kredi alındığında alacaklıya doumlnem başı faiz hesaplaması daha hesaplıdır borccedilluya ise doumlnem sonu faiz hesaplaması daha kacircrlıdır

5 2 yıl ve 6 ay oumlnce bankaya 60 000 denar yatırmış ve bir yıl ve 3 ay sonra 45000 denar ccedilek-memiz gerekir Faiz oranı 6 pa(d) faiz hesaplaması 3 aylık devrelerle yapıldığında bu guumlnden 3 yıl sonra yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır Aynı koşullar altında fakat doumlnem başı faizlenme ile paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır

171

Her miktarın ayrı ayrı gelecekteki değerini hesaplayacağız Yatırılan miktar iccedilin faiz suumlresi 55 yıl ccedilekilen miktar iccedilin faiz suumlresi bir yıl ve 3 ay ve bu guumlnden sonra 3 yıl sonraki toplam za-man suumlresi 1 yıl 9 aydır ya da 21 aydır (şek 1)

Şek1

Doumlnem sonu faiz katsayısından 01511004

61

r

yararlanarak miktarın 3 yıl sonra gelecekteki değeri

8333100151450000151600004500060000 72212

214

455 rrS

denar olduğunu buluyoruz

Peşin faiz hesaplanmasıyla faiz katsayısı 100 400

10152286 400 6

1004

8

dir Bu du-

rumda miktarın gelecekteki değeri

72212

214

455 0152281450000152281600004500060000 88S

elde edilir yani S = 3364462 denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 18 yıl 8 ay ve 20 guumln evvel 8pa(d) faiz oranıyla 20 000 denar yatırılmıştıra) faiz devresi yıllık b) faiz devresi uumlccedil aylık

olduğuna goumlre yatırılan paranın buguumlnkuuml değeri ne kadardır Hesaplamaları oumlnce bileşik faiz hesabıyla sonra bileşik faiz ve basit faiz kombinasyonuyla hesaplayınız

2 9000 denar ilk 5 yılda 6 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle ondan sonra daha 4 yıl 8 pq(d) faiz oranıyla ve aylık faiz devresiyle ve sonunda daha 2 yıl 7 ps(d) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık faiz devresiyle bir bankaya yatırılmıştır Yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

3 9000 denar ilk 5 yılda 6 pa(a) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle ondan sonra daha 4 yıl 8 pq(a) faiz oranıyla ve aylık faiz devresiyle ve sonunda daha 2 yıl 7 ps(a) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık faiz devresiyle bir bankaya yatırılmıştır Yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

172

4 2 yıl 3 ay oumlnce 40 000 denar ve buguumln daha 24 000 denar bankaya yatırılmıştır Faiz oranı 5 pa(d) ve yarım yıllık devrelerde faizin hesaplanmasıyla bu guumlnden doumlrduumlncuuml yılın sonuna kadar yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

5 Buguumln 30 000 denar bankaya yatırıyoruz uumlccedil yıl sonra ise 12 000 denar ccedilekecek ve beş yıl sonra daha 20 000 denar yatırılacaktır Faiz oranı 6 pa(d) ve faiz hesaplanması uumlccedil aylık olduğuna goumlre bu guumlnden 8 yıl sonra bankada ne kadar paramız olacaktır Faiz oranı 6 pa(a) uygulandığı durumda elde edilen gelecekteki değeri ilki ile kıyaslayınız

6 Doumlrt yıl oumlnce 30 000 denar ve buguumln daha 9 000 denar bankaya yatırılmış iki yıl sonra 36 000 denar ccedilekilecektir Yatırımlara 6 pa(d) faiz oranı ve yarım yıllık devrelerde faizin he-saplanması uygulanmaktadır Bu guumlnden sekiz yılın sonuna kadar yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

7 15 yıl oumlnce 7 000 denar 9 yıl oumlnce daha 4 000 denar bankaya yatırılmış ve 5 yıl oumlnce he-saptan 5 000 denar ccedilekilmiştir Faiz işlemi uumlccedil aylık devrelerle 5pa(d) faiz oranıyla yapıldığına goumlre paranın buguumlnkuuml değeri ne kadar olacaktır

73 Konform Faiz Hesabı

Doumlnem sonu yani faizin doumlnem sonu hesaplanması soumlz konusu olunca pratik nedenlerden dolayı şimdiye dek kullandığımız faiz oranlarından farklı bir cins faiz oranına ihtiyaccedil duyul-maktadır Bunun sebebi bir yılda faiz devrelerinin artmasıyla faiz miktarının artışının sonucu olarak doumlnem sonu faizlenmede kapitalin değeri de artar ve bazı anlaşmazlıklara sebep olabilir Etkin faiz oranını uygulamakla sadece ana değerin faizi değil faizin de faizi hesaplanmaktadır Bu durumda temel değerin yıllık faizlenme ile ve yılda birkaccedil defa faizlenme ile elde edilecek gelecekteki değerler arasında fark ortaya ccedilıkmaktadır Bu farkı ortadan kaldırmak istersek etkin faiz oranı yerine konform faiz oranı denilen faiz oranını uygulayacağız Bu faiz oranıyla faiz ister yıllık hesaplamayla ister yılda birkaccedil devreden faizin hesaplanmasıyla aynı faiz miktarı elde edilir Konform faiz oranını pkm ile işaret edeceğiz Bir yılda m defa faizlenme ile ve yılda bir defa faiz oranı p olmak uumlzere yapılan faizlenme ile aynı faiz miktarı veren konform faiz oranı şu iki formuumlllerin eşitlenmesiyle elde edilir

173

13

13

1001

1001

pKp

Km

mk

oradan da

13

13

1001

1001

pp mmk

elde edilir Bu denklemden konform faiz oranı iccedilin şu formuumll elde edilir

u f r

13

1

1001100

mmk

pp

Elde edilen konform faiz oranı daima etkin faiz oranından kuumlccediluumlktuumlr

1 Yıllık nominal faiz oranı p = 12 pa(d) olduğuna goumlre uumlccedil aylık konform faiz oranı ne kadardır Elde edilen faiz oranını etkin faiz oranıyla (roumllatif faiz oranıyla) karşılaştırınız On-dan sonra 10000 denar anaparanın her iki faiz oranıyla bir yıl sonunda gelecekteki değerlerini hesaplayarak karşılaştırınız

Faiz doumlnem sayısı m = 4rsquotuumlr Yukarıda elde edilen formuumllden 1100

121100 4

4

13

kp

287 elde edilir Diğer taraft an uumlccedil aylık etkin faiz oranı 12

43 olduğunu buluyoruz Gouml-

ruumllduumlğuuml gibi etkin faiz oranı konform faiz oranından buumlyuumlktuumlr Konform faiz oranını verilen

anaparaya uygulayarak gelecekteki değeri 3711198100

872110000

4

1 13

K

denar elde edilir

Etkin faiz oranını uygulamakla 112551004

12110000

4

1 13

K denar elde edilir

2 25000 denar 20 yılda nominal faiz oranı 8 pa(d) faizlenme yarım yıllık ve uumlccedil aylık olmak uumlzere konform faiz oranını kullanıldığında anaparanın gelecekteki değerini hesaplayınız

a) m = 2 olsun Yılda iki faizlenmeye karşılık gelen konform faiz oranı

92331100

81100

13

mkp dir Anaparanın gelecekteki değeri iccedilin

75511652103923125000100

1 40

40

20

13

mkp

KK elde edilir Bu şekilde elde edilen kapi-

tal roumllatif faiz oranıyla yapılan hesaplamaya goumlre elde edilen kapitalden kuumlccediluumlktuumlr halbuki yıllık faizlenme ile elde edilen kapital ile hemen de aynı olduğunu goumlrebiliriz

174

Oumlrnek etkin faiz oranını uygulayarak 521200251002

8125000

40

20 13

K

denar yıl-

lık faizlenme ile 93116523100

8125000

20

20 13

K

denar elde edilir

b) m = 4 olsun Konform faiz oranı 94311100

81100 4

13

mkp

Konform faiz

oranıyla kapitalin gelecekteki değeri 5111655501943125000100

1 80

420

20

13

mkp

KK

de-

nardır Etkin faiz oranını kullanmakla 98121885021250001004

81 80

80

20 13

KK

de-

nar elde edilir Yılda bir faizlenme işlemi yaparak К 20rsquorsquo = 211652393 denar elde edilir

Yıllık faizlenme ile ve doumlnem faizlenme ile yapılan işlemlerde kapitalin gelecekteki değe-riyle ilgili meydana gelen sapmalar Konform faiz oranında yapılan yuvarlamadan kaynaklanır

Alıştırmalar

1 Buguumln yatırılan 28 000 denar 2pq(d) faiz oranıyla yarım yıllık doumlnem faizlenme işle-mi uygulayarak 2 yıl 9 ay sonra hangi değere bağlı olacaktır Konform faiz oranını uygulayınız

2 Buguumln 20 000 denar yatırıp iki yıl sonra 7 500 denar ccedilekilecektir Faiz oranı 9 ps(d) doumlnem vadesi 3 ay olmak uumlzere bu guumlnden uumlccedil yıl sonra ne kadar paramız olacaktır

3 Bankaya 20000 denar a) etkin faiz oranı b) konform faiz oranı 8pa(d) ve faiz hesaplama vadesi 3 ay olmak koşullarıyla para yatırdık 10 yıl sonra ne

kadar paramız olacaktır

4 Uumlccedil aylık faiz vadesine ait 1467 konform faiz oranını yıllık faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

5 8 pa(d) faiz oranını veriliyor Yarım yıllık ve uumlccedil aylık faiz vadesine karşılık gelecek konform faiz oranını hesaplayınız

175

6 15 yıl oumlnce bankaya 7 000 denar 9 yıl oumlnce daha 4 000 denar yatırılmış 5 yıl oumlnce ise hesaptan 5 000 denar ccedilekilmiştir Faizin hesaplanması 3 aylık vadelerle ve 5 pa(d) faiz oranıyla yapıldığına goumlre hesabımızda buguumlne kadar ne kadar para birikmiştir Konform faiz oranını hesaplayınız

74 Yatırılan Paranın Başlangıccedil Değeri ve FaizMiktarının Hesaplanması

Bazı durumlarda belli bir zamanda belli faizlenme oranıyla ne kadar paraya ihtiyacımız olacağını biliyor fakat bunun iccedilin bankada ne kadar paranın yatırılması gerektiğini bilmiyoruz Aslında faiz oranını yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısını m ve faiz zamanı n ile biriken Kn değeri bilindiğine goumlre K başlangıccedil miktarını yani anaparayı hesaplamamız gerekir Verilen kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin elde ettiğimiz formuumllden temel değer iccedilin şu formuumllleri belirtebiliriz

nm

nnmn

mp

KrKK

)100

1( doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve

nm

nnm

n mKKK

13

1001

8 doumlnem başı faizlenme iccedilin

Biriken paranın başlangıccedil değerini bulma işlemine iskontolama ya da biriken değerin başlangıccedil değerini belirtme denir Faiz oranlarının ccedilarpımsal ters ve nm nmr 8 değerlerine is-konto katsayıları (faktoumlrleri) denir

Not 1 Burada oumlnemli olan i i tablolarından yararlandığımızda neler oluyor bilmemiz ge-rekir Doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlenmenin katsayıları na karşılık gelen ve

n npI I değerler

yanı sıra değerleri ikinci tabloda okunan 1n n

npp

rII I ve 1n n

nII I

8 iskonto katsayıları da

belirtilir İkinci tablolardaki değerler birinci tablolardaki değerlerin ccedilarpımsal tersleridir Buna

goumlre temel değerin başlangıccedil değerini belirtmek iccedilin formuumlllerfnpnKK 77

yıllık doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve urn

nKK 77 yıllık doumlnem başı faizlenme iccedilin şeklinde yazabiliriz

176

Tabi ki yılda birkaccedil defa faizlenme yapılıyorsa zaman suumlresi faiz doumlnem sayısıyla ccedilarpılır faiz oranı ise yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısıyla boumlluumlnuumlr Buna goumlre başlangıccediltaki temel değer

nm

mpnKK 77

doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve nm

mnKK 77

doumlnem başı faizlenme iccedilin for-

muumllleriyle hesaplanabilir

1 Faiz oranı 6 pa(d) ve yıllık faiz vadesiyle doumlrt yılda 68 000 denar biriktirmemiz gere-kirse bankaya ne kadar para yatırmamız gerekir

Burada m = 4 K4 = 68 000 p = 6 pa(d) olduğu accedilıktır Oumlnce faiz katsayısını ondan sonra

iskonto katsayısını hesaplayalım 6

1 106100

r Buna karşılık iskonto katsayısı 109434

r

elde edilir O halde başlangıccedil (yatırılması gereken) kapital 3538629434068000061

68000 4

4K

denar olduğunu buluyoruz

2 Hangi temel değer doumlrt yılda doumlnem suumlresi a) yarım yıl b) uumlccedil ay

olmak uumlzere yatırmalıyız ki gelecekteki değeri 10 000 denar olsun Temel değerin gelecekteki değeri K4 = 10 000 denardır Her iki durumu ayrı ayrı inceleye-

ceğiza)

041200

812 rm

demek ki

9730604110000 24 K

denardır

b)

021400

814 rm oradan

46728402110000 44 K denar elde edilir

3 Altı yıl oumlnce 27 000 denar borccedil alınmış on yıl sonra ise daha 36 000 denar borcun oumlden-mesi gerekir Oumlnceki borcumuzu oumldeme imkanı olmadığını varsayarak 4 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faizlenme ile buguumln tuumlm borcu birden oumldemek istersek hangi miktar parayı oumlde-meliyiz Aynı koşullarla fakat faizlenme doumlnem başı (peşin) olmak uumlzere hangi miktar parayı oumldemeliyiz

Borcu geriye ccedilevirmediğimiz takdirde onun değeri buguumlne dek faiz doumlnem sayısı 12 ve 2 ps(d) etkin faiz oranıyla elde edilecek faiz miktarı kadar artmıştır Demek ki oumldenmemiş borccedil buguumln

12

12

02127000200

4127000

13

olacaktır Aynı zamanda ikinci boru suumlresinden oumlnce

oumldediğimize goumlre değeri 10 yıl iccedilin geri iskontolanacaktır ve

20

20

02136000200

4136000

13

olacaktır (şek2)

177

Şek 2

Bu guumlnuumln toplam borcu hesaplanan her iki borcun toplamıdır Buna goumlre tuumlm borcu buguumln oumldersek aranılan miktar

S = 27000 bull 10212 + 36000 bull 102-20 = 584695 denardırFaizlenme doumlnem başı yapıldığı durumda faiz katsayısı 0204081

2100

100

8

denar olur Buna goumlre gereken para miktarı

S = 27000 middot102040812 + 36000 bull1020408-20 = 8833094 denardır

Bankaya yatırılan para miktarına (ya da geri ccedilevrilmesi istenen borca hesaplanan faiz mik-tarı ne kadardır sorusu da sorulabilir Kapitalin ilk ve gelecekteki değerlerini bildiğimize goumlre hesaplanan faiz miktarı aslında bu iki değerin farkı olduğu accedilıktır Faizlenmenin nndashci doumlnem sonunda hesaplanan faiz miktarını In ile işaret edersek faizlenme şekli ne olursa olsun onun değeri In = Kn ndash K formuumlluumlyle hesaplanır

Daha konkre olarak faiz oranı p ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olan doumlnem sonu faizlenmede faiz miktarı iccedilin

In = Kn - K = Krnm - K = K(rnm -1)formuumlluuml elde edilir burada r doumlnem sonu faiz katsayısıdır

Peşin (doumlnem başı) faizlenme durumunda faiz oranı ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olmak uumlzere faiz miktarı iccedilin

In = Kn - K = Kpnm - K = K(pnm -1)elde edilir burada 8 doumlnem başı faiz katsayısıdır

Aynı formuumlller para miktarının sadece son değeri yani gelecekteki değeri bilindiğinde de yazılabilir Bu durumda doumlnem sonu hesaplamada

nmnmnnnn rKrKKKKI 1

ve doumlnem başı hesaplamada

nmnmnnnn KKKKKI 88 1

olduğunu buluyoruz

Not 2 i i tablolarından yararlanıyorsak formuumlller doumlnem sonu hesaplama durumunda

13

7 1nm

mpn KI ve doumlnem başı hesaplamada

13

7 1nm

mn KI şeklinde ifade edilir Para

miktarının sadece gelecekteki değerini kullandığımız durumda aynı formuumlller

13

77 nm

mpnn KI 1

ve

13

77 nm

mnn KI 1 biccediliminde ifade edilir

178

4 On yıl oumlnce 6 pa faiz oranı bazında yarım yıllık faiz vadesiyle 10 000 denar para ya-tırılmıştır Bileşik faiz hesabına goumlre

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı faizlenme uygulayarak bu miktar paranın faiz miktarı ne kadardır

Kapitalin başlangıccedil değeri K = 10 000 denar etkin faiz oranı 3 ve bir yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m = 2 biliniyor Bu durumda toplam faiz doumlnem sayısı 60rsquotır

a) Doumlnem sonu faiz katsayısı 031100

31 r

olur Hesaplanan faiz miktarı 130 = K30 ndash K

= 10000 bull (10360 -1)= 48196 denar olduğunu buluyoruz

b) doumlnem başı faiz katsayısı 0309313100

100

8

olur Hesaplanan faiz miktarı I30 = K30

- K = 10000 bull(10309360 -1)= 521943 denar olduğunu buluyoruzSon oumlrnekten de goumlruumllduumlğuuml gibi doumlnem başı faizlenme alacaklıya doumlnem sonu faizlenme

ise borccedillulara daha uygun olduğunu kanıtlamaktadır

5 Buguumln yatırılan para bir yıl altı ay iccedilinde 36 000 denar paraya birikir Faiz oranı 8 pa ve faiz vadesi 3 ay olduğuna goumlre

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı biccedilimde hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

Kapitalin gelecekteki son değeri K15 = 36 000 denar m = 4 ve toplam faiz doumlnem sayısı 6 olduğunu biliyoruz

a) İskonto doumlnem sonu katsayısı

98040021

11

r

ve bu durumda hesaplanan faiz mik-

tarı

54031980401360001

1 6

65151 13

rKI

denardır

b) İskonto doumlnem başı katsayısı

980100

21001

8

ve bu durumda hesaplanan faiz mik-

tarı

6741099801360001 66

5151 8KI denardır

Alıştırmalar

1 20 yıl oumlnce bankaya yatırdığımız bir miktar paranın biriken buguumlnkuuml değeri 250000 denardır Faizde kaldığı suumlrede faizlenme vadesi 3 aylık ve faiz oranı

a) p = 6 pa(d) b) = 6 pa(a)olduğuna goumlre bankaya 20 yıl oumlnce ne kadar para yatırmışız

179

2 Bir kişi 2 yıl sonra 16 000 denar 5 yıl sonra 24 000 denar ve 8 yıl sonra 18 000 denar oumldemelidir Faiz oranı 6 pa yarım yıllık faizlenme ile

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı olmak uumlzere kişi borcun tuumlmuumlnuuml buguumln oumldemek isterse ne kadar para oumldemelidir

3 Bir kişi 38 yaş guumlnuumlnde bankaya 48 pa(d) faiz oranıyla ve aylık faiz doumlnemleriyle 50 000 denar para yatırıyor Tam bir yıl sonra yatırılan paraya ne kadar faiz oumldenmiştir

4 Bir kişi bankaya 50 000 denar para yatırmış ve iki yıl sonra hesaptan 30 000 denar ccedilekmiştir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle bu guumlnden beş yıl sonra zaman suumlresinde ne kadar faiz miktarı oumldenecektir

(Not Faiz miktarı iki kısımdan hesaplanmalıdır Bu guumlnden sonra iki yıl iccedilin ve para ccedile-kildikten sonra kalan para miktarı iccedilin faiz hesaplanacaktır)

5 Bir kişi doumlrt yıl oumlnce 24 000 denar olmak uumlzere borcunun bir kısmını oumldemiştir Uumlccedil yıl sonra daha 30 000 denar oumldemelidir Kişi borcunun hiccedilbir kısmını oumldememiş olduğu varsayı-mıyla iki yıl sonra borcun tuumlmuumlnuuml birden oumldemek iccedilin kaccedil para oumldeyecektir Yıllık doumlnem sonu faizlenme olmak uumlzere faiz oranı 6 pa olsun Doumlnem başı faizlenme durumunda ise ne kadar para oumldeyecektir

75 Faiz Doumlnem Sayısını ve Faiz Oranının Hesaplanması

Şimdiye dek elde edilen formuumlllerde n yıl sayısı olarak oumlnceden bilinen ve genellikle yıl iccedilinde faiz doumlnem sayısı tam olarak verilmiş şekilde ifade ediliyordu Zaman suumlresi yıl olarak değil başka şekilde verildiği durumlarda yine zaman suumlresini yıl bazına ccedilevirerek hesaplamaları yapıyorduk Bu ise pratikte oumlzellikle faizlenme zamanını hesaplarken ccedilok seyrek rastlanmak-tadır Verilen bir kapitalin belli miktarda faiz getirdiği zamanı ya da faiz doumlnem sayısının nasıl hesaplandığını goumlreceğiz Başlangıccedil kapital K doumlnem sonu faizlenme p pa(d) faiz oranıyla yıl iccedilindeki doumlnem sayısı m ve faiz suumlresi tam sayı olmak mecburiyetinde olmayan n yıl olsun

Kapitalin gelecekteki değerini hesaplayan formuumlluuml nm

n mpKK

13

1001 doumlnuumlşuumlmler yaparak

n faiz suumlresini bulalım Buna goumlre

nmn

mp

KK

13

1001

bu ifadenin logaritmasını alaraknm

n

mp

KK

13

1001loglog

elde edilir

180

Logaritma işleminin temel oumlzelliklerinden yararlanarak 13

mpnm

KK n

1001loglog

elde edilir

Formuumllde 1100

prm

doumlnem sonu faiz katsayısını katarak faiz suumlresine ait

KK

rmn nlog

log

1

formuumlluuml elde edilir10 tabanlı logaritmalar ccedilok sık e tabanına goumlre logaritma ile değiştirilir Boumlyle durumda

elde edilen formuumlluumln karşılığı olan

KK

rmn nln

ln

1

formuumll elde edilir

Benzer şekilde faizlenme doumlnem başı olduğu durumda faiz oranı pa(a) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olduğunu varsayarak kapitalin gelecekteki değer formuumlluumlnuumln logaritmasını almakla

13

mmnm

KK n

100

100loglog

elde edilir Bu ifadede 100

100

mm

8

doumlnem başı faiz katsayısını katmakla

8loglog nmKK n

elde edilir Bu şekilde faiz suumlresine ait

KK

mn nlog

log

1

8

formuumlluuml elde edilir

1 a) Yatırılan 25 000 denar para 6 pa(d) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra 2985131 denar olacaktır

b) Yatırılan 13200 denar paranın 8 pa(a) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra gelecekteki değeri 184257 denar olacaktır

Oumldevde verilen veriler zamanın hesaplanması iccedilin yukarıdaki formuumlluumln uygulanmasına yeterlidir Faiz katsayısını hesapladıktan sonra formuumllde yerine koyarak

a) 031200

61 r

oradan 325000

3129851log

031log2

1n

yıl elde edilir

b) 086956518100

100

8 oradan 4

13200

718425log

08695651log

1n yıl olduğunu bu-

luyoruz

181

Formuumllde uygulanan logaritma işlemi kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin elde edilen formuumllde bilinen tuumlm veriler değiştirildikten sonra da yapılabilirdi

Kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin kullanılan i i tablolarından zamanı da belirtebiliriz Bunu birinci i i tablodan okuyarak ya da kapitalin başlangıccedil değerine ait ikinci i i tablodan okuyabiliriz

2 Yatırılan 200 000 denar paraya yıllık faizlenme uygulayarak 5 pa(d) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra gelecekteki değeri 243 10125 denar olacaktır

Kapitalin gelecekteki değeri nn pK K I formuumlluumlnden faiz oranı katsayısı iccedilin

5

24310125121550625

200000

nI elde edilir Birinci finansal tabloda 5 faiz oranı boumlluumlmuumlnde

121550625 değeri n =4 satırına karşılık gelirHalbuki i i tablolardan yararlandığımızda bazı durumlarda aradığımız değer tam ola-

rak tabloda olmayabilir ancak aradığınız değer tablodaki iki değer arasında bulunabilir Boumlyle durumlarda doğrusal interpolasyon (ara kestirim) youmlntemi denilen kuralı uyguluyoruz Lineer interpolasyon youmlntemi denilen kuralın ilkesi aslında orantıların oumlzelliğine dayanır Yani tablo-da ardı sıra gelen iki değerin farkı onların peryotları arasındaki fark ile orantılıdır Bunu konkre bir oumlrnekle inceleyelim

3 Yatırılan 50 000 denar yarım yıllık faizlenme doumlnemleriyle 6 pa(d) faiz oranıyla ne kadar zaman sonra 75 000 denara birikecektir

Kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnde tabloları kullanarak 2

2

2

nn pK K I değerini

2 2

2

7500015

50000

n npn

KIK

elde edilir Birinci i i tabloda 3 etkin faiz oranına karşılık gelen

suumltunda 15 değerini bulamıyoruz Bu sayı 146853371 lt 15 lt 151258972 arasında bulunmak-tadır Bunlara karşılık gelen satırlardan kuumlccediluumlk değere 13 buumlyuumlk değere ise 14 faiz doumlnem sayısı karşılık gelir Oumldevimizin cevabı 13 ve 14 sayıları arasında olan yarım yıl sayısıdır Bunu tam olarak belirtmek iccedilin aşağıdaki tabloyu oluşturuyoruz

np2

2

7 n2 n

p2

2

7 n2

468533711 13 468533711 13 512589721 14 51 n2

Daha uygun goumlruumlnuumlrluumlk sağlamak iccedilin suumltunlardaki değerlerin farklarını hesaplayarak aynı tabloda yazdıktan sonra şu orantıyı kuruyoruz

182

(151258972 -146853371) (14 -13) = (15 -146853371) (2n -13)Demek ki

044056010

031466290132 n

oradan da 2n = 13714 elde edilir Demek ki faiz suumlresi n = 6857 yıldır Bu sayıyı yıl ay ve guumln-lere ccedilevirmek iccedilin sayının ondalık kısmını 12 ile ccedilarparak ayları buluyoruz elde edilen sayının yeni ondalık kısmını 30 ile ccedilarpmakla guumln sayısını elde ediyoruz Buna goumlre 0857 kısım yıl aslında 0857 12 10284 aydır Şimdi 0284 ay kısmını guumlnlere ccedilevirelim 0284 30 9 guumln-duumlr O halde faiz suumlresi 6 yıl 10 ay 9 guumln olduğunu buluyoruz

Aynı şekilde faiz suumlresini hesaplamak iccedilin ikinci finansal tabloyu da kullanabiliriz

4 Yatırılan 20 000 denar kapital 6 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz vadesiyle ne kadar zamanda 80 000 denara bağlı olacaktır

a) Oumlnce ccediloumlzuumlmuuml formuumlluuml doğrudan doğruya kullanarak logaritma işlemi yardımıyla be-lirtelim Faiz katsayısı r = 103 m = 2 olduğuna goumlre kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnde değiştirerek

n203120000

80000 elde edilir Bu denklemin her iki tarafının logaritmasını alırsak log

4 = 2n log 103 oradan da n = 234527 yıl elde edilirb) Aynı sonuca ikinci finansal tabloyu kullanarak nasıl varıldığını goumlrelim 2

3

nnK K II

formuumlluumlnden 2

3

1025

4

nII elde edilir Bu değer 3 suumltununda bulunmadığına goumlre buna en

yakın iki ardışık değeri buluyoruz 02493 lt 025 lt 02567 Kuumlccediluumlk olan değer 47 yarım yıl vade-sine kuumlccediluumlk olan değer ise 46 faiz vadesine karşılık gelir Bu değerleri tabloda yazdıktan sonra orantıyı daha kolay kurmak iccedilin son satırda değerlerin farklarını da yazacağız

n2

377 n2 n2

377 n2 25670 46 25670 46 24930 47 250 n2 00740 1 00670 n246

Karşılık gelen orantı00074 (-1) = 00067 (46 - 2n)

dir Negatif işaretten kurtulmak iccedilin00074 = 00067 (2n - 46) biccediliminde yazabiliriz

183

Şimdi 000672 46 09054

00074n oradan da 2n = 46-9054 elde edilir Buna goumlre faiz

doumlnem suumlresi n = 234527 yıl olduğunu buluyoruz bu ise tam 23 yıl 5 ay 13 guumlnduumlr

Ccediloumlzuumllen her iki oumlrnekte doumlnem sonu faizlenme soumlz konusudur Faizlenme doumlnem başı olduğu durumda da aynı şekilde ifade edilir Boumlyle durumda karşılık gelen doumlnem başı tablolar ve doumlnem başı faiz katsayısı ya da iskonto katsayısı belirtilir Doğrusal interpolasyonun uygu-lanması aynı şekilde yapılır

Yukarıda elde edilen formuumlllere gereken cebirsel doumlnuumlşuumlmleri yaparak kapitalin başlangıccedil ya da gelecekteki değeri formuumlllerinde faiz oranının değeri hariccedil diğer parametreler bilindiğin-de bilinmeyen faiz oranını da belirtebiliriz

Doumlnem sonu faiz oranı p pa(d) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m faiz suumlresi n yıl olan bir faizlenmeyi inceleyelim Kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin uygulanan

nm

n mpKK

13

1001

formuumlluumlnden 1100

nmnKp

m K elde edilir Bu denklemden faiz oranı iccedilin

13

1100 nm n

KK

mp

formuumlluuml elde edilir

5 Hangi yıllık doumlnem sonu faiz oranıyla 8 yılda doumlrt aylık faiz doumlnemleriyle bir anapara-nın getirdiği faiz miktarı kendisine eşit olacaktır

Oumldevin koşuluna goumlre I8 = K dir Bunu I8 = K8 ndash K faiz denkleminde yerine koyarsak K = K8 ndash K elde edilir O halde K8 = 2K olur n = 8 m =3 değerlerini yukarıda elde edilen faiz oranı formuumlluumlnde değiştirmekle

dapKKp 798123001

2300 2424

13

elde edilirAynı oumlrnekte faiz oranını hesaplamak iccedilin kullanılan i i tablolarından faiz oranının

nasıl hesaplandığını goumlsterelim Yukarıdaki oumlrneklerde bilinmeyen zamanın belirtilmesin-de uygulanan doğrusal interpolasyondan şimdi yapılacak işlemin tek farkı tablo değerlerin-den başka tabloda etkin faiz oranlarını da yazacağız Boumlylece yukarıdaki veriler gereğince

13

7 1nm

mpn KI faiz hesaplama formuumlluumlnde verileri yerlerine değiştirmekle

184

18

13

7 nm

mpKI

elde edilir Bu durumda I8 = K olduğuna goumlre birinci finansal tablonun değeri iccedilin 24

3

1 1pI buradan da 24

3

2pI elde edilir i i tablosunda faiz oranı suumltununda 275 faiz

oranına karşılık 1917626 değeri elde edilir faiz oranı suumltununda ise 3 faiz oranına 20327491 değeri karşılık gelir Bizim aradığımız değer tam bu iki değer arasındadır Tabloda okuduğumuz değerleri yazacağız

24

3

p7 3

p

24

3

p7 3

p

9176261 752 9176261 752

03279412 3 2 3

p

1151680 750 08237390 7523

p

Tablodaki değerlerin farkları faiz oranlarının farklarıyla aynı orantıda olduğuna goumlre şu orantıyı yazabiliriz

13

752

3082373907501151680

p

Buna goumlre 1151680

08237390750752

3

p

ifadesinden etkin faiz oranı iccedilin 3

p2928 elde

edilir yani nominal doumlnem sonu faiz oranı p = 8784 pa(d) olduğunu buluyoruz Elde edilen bu değer oumlncekinden biraz farklıdır bu ise tablodaki değerlerin yuvarlanmasından kaynaklanır

6 Hangi doumlnem başı faiz oranıyla 80 000 denar yarım yıllık faiz vadesi ile 2 yılda 120 000 denar olur

Aranılan formuumlluuml

nm

n mmKK

13

100

100

kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnden doğrudan doğruya bulacağız Denklemi bilinmeyen değer rsquoye goumlre ccediloumlzelim

275 275

075

3

185

nm n

KK

mm

100

100

ya da

nm n

KKmm 100

100

elde edilir Bu son eşitlikten doumlnem başı faiz iccedilin

nm

nKKmm 100100

elde edilir Sonuccedil olarak

13

nm

nKKm 1100

formuumlluuml elde edilirKonkre oumlrnekte n = 2 m = 2 olduğuna goumlre

aapKK

2819903601200120000

80000120012100 44

2

13

13

elde edilir

Alıştırmalar

1 Bankaya yatırılan 8 000 denarın ne kadar zamanda gelecekteki değeri 55 000 denar olur faizlenme doumlnemleri yarım yıllık ve faiz miktarı

a) p = 8 pa(d) b) p = 8 pa(a)

2 Faiz doumlnemleri 3 aylık olmak uumlzere 7 faiz oranıyla bankaya yatırdığımız 20000 denar kapital

a) doumlnem başı b) doumlnem sonufaizlenme ile ne kadar zamanda banka hesabımızda 40 000 denar olacaktır

3 Bankaya yatırılan 15 000 denar kapital 25 yılda 28 600 denar olmak iccedilin uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle

a) doumlnem başı b) doumlnem sonufaizlenme hangi yıllık faiz oranıyla yapılmalıdır

4 Faiz vadesi yıllık olmak uumlzere hangi doumlnem sonu faiz oranıyla 18 yılda anapara iki ka-tına erişir Oumldevi i i tablolarıyla da ccediloumlzuumlnuumlz

1928 pa(a)

186

5 Buguumln bankaya 20 000 denar yatırdık iki yıl sonra 10 000 denar hesaptan ccedilekeceğiz Faizlenme doumlnemleri 3 aylık olmak uumlzere bu guumlnden doumlrt yıl sonra hesabımızda 30 000 denar olursa faizlenme hangi faiz oranıyla yapılmıştır Doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlenme youmln-temlerini ayrı ayrı inceleyiniz

6 40 000 denar borccedil 4 pa(d) faiz oranıyla doumlrt eşit taksitle oumldenmelidir İlk taksit 4 yıl sonra ikinci taksit 6 uumlccediluumlncuumlsuuml 15 ve doumlrduumlncuumlsuuml 18 yıl sonra oumldenecektir Aynı faiz oranıyla ve yıllık faiz doumlnemleriyle tuumlm borccedil kaccedil yıl sonra birden oumldenebilir

7 Bir kişinin buguumln bankaya yatırdığı bir miktar parası 2 yıl ve altı ay sonra 40 000 denar olmuştur ve bundan 10 000 denar faiz miktarı elde etmiştir Faizin hesaplanması yarım yıllık doumlnemlerle olduğuna goumlre para hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

8 Biri 25 doğum guumlnuumlnde bankaya 40 000 denar yatırmış ve 33 doğum guumlnuumlnde hesabında 76 800 denar olduğunu bankadan haber almıştır Faizlenme doumlnemleri yarım yıllık olduğuna goumlre para hangi faiz oranıyla bankaya yatırılmıştır

9 Bankaya 2 yıl oumlnce 70 000 denar yatırılmış buguumln 20 000 denar hesaptan ccedilekilmiştir Bir yıl sonra bankaya daha 10 000 denar yatırılacaktır Faiz oranı 10 pa(a) yıllık faizlenme olduğuna goumlre ne kadar zaman sonra banka hesabımızda 100 000 denar olacaktır

76 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Buguumln bankaya 100 000 denar yatırıyoruz Faiz oranı 5 pa(d) ve faizlenme uumlccedil aylık doumlnemlerle olmak uumlzere 15 yıl 25 guumln sonra hesabımızda kaccedil para olacaktır Bunu bileşik faiz hesabıyla ve basit ve bileşik faiz kombinasyonu uygulayarak hesaplayınız

2 10092000 tarihinde bankaya 12 000 denar yatırmıştık Yıllık faizlenme vadesi 10 pa(a) faiz oranıyla 31122010 tarihinde hesabımızda ne kadar para birikecektir

3 Yeni yıl ikramiyesi sayesinde geccedilen yılın son guumlnuumlnde bankaya 60 000 denar para yatır-dık Uumlccedil yıldan sonra yıl sonunda hesabımdan 24 000 denar ccedilekmeliyim yatırımın ilk guumlnuumlnden beş yıl geccediltikten sonra daha 40 000 denar yatıracağız Faiz oranı 3 ps(d) faiz doumlnemleri uumlccedil ay olmak uumlzere bu guumlnden 8 yıl sonuna kadar banka hesabımızda kaccedil para birikecektir

4 120 000 denar borccedil uumlccedil eşit taksitle geriye ccedilevrilecektir Taksitlerden birincisi bir yıl son-ra ikincisi doumlrt yıl sonra ve uumlccediluumlncuumlsuuml altı yıl sonra oumldenmelidir Faiz oranı 10 pa(d) yarım yıllık faizlenme doumlnemleriyle olmak uumlzere 2yıl altı ay sonra borcun tuumlmuumlnuuml birden ccedilevirmek iccedilin kaccedil para oumldenmesi gerekir

187

5 Bir kişi tasarruf yaptığı bankadan bu guumlnden itibaren 8 yılda oumldeme koşuluyla 600 000 denar borccedil almak istemiştir Bu guumln 100 000 denar yatırıyor ve beş yıl sonra daha 200 000 denar yatıracak ve borcun kalanını varsa 10 yıl sonra oumldeyecektir Faiz oranı 8 pa(d) yarım yılık doumlnem faizlenmesiyle 10 yıl sonra borccedil ne kadar olacaktır

6 Faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle faizlenen bir borccedil 25 ay sonra 50 000 denar biriktiğine goumlre borcun şimdiki değeri ne kadardır

a) Sadece bileşik faiz hesabını kullanmakla b) son ay iccedilin bileşik ve basit faiz hesapları karmasını uygulamaklaFaiz miktarını da hesaplayınız

7 Kaccedil yıl sonra 20 000 denar yıllık faiz hesaplanması uygulayarak 5 pa(d) faiz oranıyla 7466912 denar olacaktır Oumldevi cebirsel şekilde ve i i tablolarından yararlanmakla ccediloumlzuumlnuumlz

8 65 pa(d) faiz oranıyla yarım yıllık faizlenme uygulayarak herhangi bir miktar para kaccedil yıl sonra uumlccedil katı kadar artacaktır Aynı koşullar altında faizlenme doumlnem başı faiz oranıyla yapıldığında zaman ne kadar değişecektir Hem cebirsel hem de finansal tabloları kullanarak hesaplamayı yapınız

9 Bankaya 15 yıl oumlnce 10 000 denar 8 yıl oumlnce de 20 000 denar yatırılmıştır Buguumln daha kaccedil para yatırmalıyız ki 10 yıl sonra biriken para 100 000 denar olsun Faiz oranı 4 pa yarım yıllık doumlnem sonu faizlenme uygulanacaktır

10 Faiz oranı 6 pa(a) yarım yıllık faiz hesaplaması uygulayarak hangi kapitalin 12 yıl ve 3 ayda getireceği faiz miktarı aynı koşullar altında 50 000 denarın 30 yılda getireceği faiz miktarına eşit olacaktır

11 Sattığı mal karşılığı bir kişiye 3 farklı teklif gelmiştir1) 40 000 denar peşin ve 5 pa(d) faiz oranıyla 120 000 denar 8 yıl 7 ay 20 guumln sonra

oumldenecektir2) 6 pa(d) faiz oranıyla 105 yıl sonra 200 000 denar oumldenecektir3) 80 000 denar peşin ve 3 pa(d) faiz oranıyla 100 000 denar 5 yıl ve 6 ay sonra oumldene-

cektir Hangi teklif en uygun olduğunu hesaplayınız

12 100 000 denar para 54 pa(d) faiz oranıyla 80 000 denar para ise 96 pa(d) faiz oranıyla bankaya yatırılmıştır Faizlenme doumlnemleri 3 aylık olduğu durumda ne zaman her iki kapitalin faiz miktarı aynı olacaktır İkinci kapitale doumlnem başı faizlenme uygulanıyorsa faiz-lerin eşit olduğu zaman ne kadar değişecektir

188

13 80000 denar bir borccedil 8 yıl sonra 3 pa(d) faiz oranıyla 40 000 denar 20 yıl sonra 4 pa(d) faiz oranıyla ve 23 yıl sonra 6 pa(d) faiz oranıyla 20 000 denar oumldenecektir Fa-izlenme doumlnem sayısı yılda iki defa yani yarım yıllık olduğuna goumlre borccedil 25 yıl sonra birden oumldendiği takdirde hangi faiz oranıyla oumldenecektir

14 Sınırlı sorumluluğu olan bir şirketin borccedilları- 5 yıl sonra oumldenmesi gereken 5 pa(d) faiz oranıyla 50 000 denar- 8 yıl sonra oumldenmesi gereken 6 pa(d) faiz oranıyla 80 000 denar- 12 yıl sonra oumldenmesi gereken 8 pa(d) faiz oranıyla 40 000 denarAynı zamanda 10 yıl sonra 3 pa(d) faiz oranıyla 60 000 denar şirketin alacağı vardır 15

yıl sonra 5 pa(d) faiz oranıyla yıllık faiz hesaplaması olmak uumlzere oumldenecek borcun denkleş-mesi (saldosu) bileşik faiz hesabına goumlre ne kadardır

15 Bir kişi 34 doğum guumlnuumlnde bankada hesabına 18 000 denar para yatırmıştır 38 doğum guumlnuumlnde de daha 12 000 denar ve 41 doğum guumlnuumlnde ise 24 000 denar hesabından ccedilekmiştir Faiz oranı 8 pq(d) uumlccedil aylık doumlnemli faizlenme ile kişinin 46 doğum guumlnuumlnde hesa-bında ne kadar parası olacaktır Konform faiz oranını uygulayınız

16 SİGA şirketi bir malı peşin oumldemek koşuluyla 60 000 denara satmaktadır GASİ şirketi ise 5 pm(d) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlenme bazında 2 yıl sonra oumldemek koşuluyla aynı malı 160 000 denara satmaktadır Hangi teklif daha uygundur

17 3 yıl oumlnce bankaya 50 000 denar yatırdık bir yıl sonra hesaptan 10 000 denar ccedilekme-liyiz 3 yıl sonra daha 20 000 denar hesabımızdan ccedilekeceğiz Faiz oranı 4 pa(d) yarım yıllık faizlenme vadesiyle ne kadar zamandan sonra banka hesabımızda 600 000 denar olacaktır

18 2 yıl oumlnce banka hesabımıza 80 000 denar yatırdık 3 yıl sonra ise 32 000 denar hesap-tan ccedilekeceğiz Yıllık faizlenme doumlnemleriyle 5 pa(d) faiz oranıyla 7 yıl sonra toplam ne kadar faiz miktarı elde edilecektir

19 İki yıl uumlccedil ay oumlnce bankaya yatırılan para bu guumlne kadar elde edilen faiziyle beraber 20 000 denardır Bu arada hesaplanan faiz miktarı 5 000 denardır Faizin hesaplanması uumlccedil aylık doumlnem vadeli yapıldığına goumlre hangi doumlnem sonu faiz oranıyla hesaplanmıştır Doumlnem başı faizlenme yapıldığı durumda faiz oranlarındaki fark ne kadardır

20 Banka hesabına bir yıl ve 2 ay oumlnce 12 000 denar yatırılmış iki yıl uumlccedil ay sonra ise he-saptan 20 000 denar ccedilekilmiş ve banka hesabında para kalmamıştır (saldo 0)

189

Faizlenme yarım yıllık doumlnem vadeli yapıldığına goumlre faiz hangi doumlnem sonu faiz oranıyla hesaplanmıştır

21 Buguumln iki farklı bankada iki eşit miktar para yatırılmıştır Birinde faiz oranı 16 pa(d) diğerinde ise 10 pa(d)rsquodir Kaccedil yıl sonra birinci bankada biriken para ikinci bankada biriken paradan iki defa daha ccedilok olacaktır Faiz hesaplaması yarım yıllık vadeli bu zaman es-nasında faizlerin farkı 33 200 denar olduğuna goumlre yatırılan para miktarı ne kadarmış

190

KONU OumlZETLERİ

Bir kapitalin faizinin hesaplanması basit ve bileşik olabilir Basit faiz bir yatırımın ya-tırım vadesi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranıdır Yatırılan miktar para her doumlnemde değişir yani her doumlnem sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle yatırım miktarı buumlyuumlr ve gelecek doumlnemde aynısı anapara eklenirse bileşik faizden soumlz edilir yani bir yatırımın yatırım vadesi boyunca kazandığı faizin de yeni yatırım vadesinde yatırıma tabi tutul-ması sonucu elde edilen getiriyi goumlsteren faizdir Diğer bir deyişle faizin de faiz kazanmasıdır

Bileşik faiz yılda bir defa iki defa ya da birccedilok defa hesaplanabilir Faizin hesaplandığı zaman aralığına faiz hesaplama vadesi denir

Basit faiz hesaplamasında doumlrt temel buumlyuumlkluumlk şunlardır K - anapara (temel kapital başlangıccedil miktar) i - faiz miktarı p ndash faiz oranı (yuumlzde olarak) 100 denar paranın zaman biriminde getirdiği faiz t - paranın faizde kaldığı suumlre ndash yıl olarak ya da daha kuumlccediluumlk oumllccediluuml biriminde de olabilir m ndash bir yıl iccedilerisinde faiz hesaplaması daha doğrusu bir yıldaki faiz hesaplama douml-

nemlerin sayısı

Faizin yıllık hesaplanması (a) ile yarım yıllık hesaplanması (soumlmestreli) (s) ile uumlccedil ayda bir hesaplamayı (kvartal) (q) ile ayda bir vadesi (m) ile ve adı geccedilen her doumlnemlik hesaplamalarda faiz oranı yıl bazında sayılmaktadır

Faiz oranı yıllık faiz oranı gibi verildiğinde pa biccediliminde işaret yazılır yarım yıllık faiz oranı olarak alınırsa ps işareti yazılır Uumlccedil aylık bazında da faiz oranı verilebilir ve bu durumda pq biccediliminde ya da aylık bazında olursa pm işareti yazılır Bu şekilde verilmiş olan faiz oranı-na nominal faiz oranı denir

Ancak finansman ya da yatırımlarla ilgili kararlarda doumlnem uzunluğu yıl olduğu kadar yıldan daha kısa suumlreli olabilir Bu gibi durumlarda yıllık olarak verilen faiz oranından etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı) bulunarak işlem yapılmalıdır Etkin faiz oranını yıllık nominal faiz oranının (cari faiz ya da piyasa faiz oranı da denilen) yıl iccedilindeki doumlnem sayısına boumlluumlnmesiyle bulunur

Her doumlnem sonunda faiz hesaplanarak anaparaya katılırsa doumlnem sonu faizlenme soumlz konusu olur boumlyle durumda faiz oranı pa(d) ile işaret edilir Doumlnem sonu faizlenmenin faiz hesaplaması başlangıccedilta yatırılan anaparaya uygulanmaktadır

191

Faizlenme her doumlnem başlangıcında yapılırsa doumlnem başı faizin hesaplanması iccedilin temel değer doumlnem sonunda elde edilen anaparadır bu işleme doumlnem başı (antisipatif) faizlenme denir ve pa(a) ile işaret edilir

Tuumlm faiz vadesinde elde edilen faiz miktarını temel değere katmakla elde edilen birikmiş değere kapitalin gelecekteki değeri denir Faizlenmesi yapılan temel değerin başlangıccedil miktarı-na Krsquonın şimdiki değeri de denir

Doumlnem sonu faizlenme oranı p bir yılda faiz doumlnem sayısı m ve m

pr100

1 doumlnem

sonu faiz katsayısı olmak uumlzere K kapitalinin gelecekteki değeri nmn KrK formuumlluumlyle hesap-

lanır

Peşin (antisipatif) faizlenmede faiz opranı bir yılda faiz doumlnem sayısı m ve

8

m

m100

100

doumlnem başı faiz katsayısı olmak uumlzere K kapitalinin gelecekteki değeri nmn KK 8 formuumlluumlyle

hesaplanır

Faiz ister yıllık hesaplamayla ister yılda birkaccedil devreden faizin hesaplanmasıyla aynı faiz miktarını veren faiz oranına konform faiz oranını denir ve p km ile işaret edilir Bir yılda m defa faizlenme ile ve yılda bir defa faiz oranı p olmak uumlzere yapılan faizlenme ile aynı faiz miktarı veren konform faiz oranı şu formuumll ile hesaplanır

13

1

1001100

mmk

pp

Verilen K kapitalin gelecekteki değeri Kn bilindiğinde temel değeri şu formuumlllerle he-saplanır

nm

nnmn

mp

KrKK

)100

1(

doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve

nm

nnm

n mKKK

13

1001

8

peşin (antisipatif) faizlenme iccedilin

192

Biriken paranın başlangıccedil değerini bulma işlemine iskontolama ya da biriken değerin başlangıccedil değerini belirtme denir Faiz oranlarının ccedilarpımsal ters r-nm ve 8-nm değerlerine iskon-to katsayıları (faktoumlrleri) denir

Faiz oranı p ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olan doumlnem sonu faizlenmede r doumlnem sonu faiz katsayısı olmak uumlzere faiz miktarı şu formuumll kullanılır

1nmnI K r

Peşin (antisipatif) faizlenme durumunda faiz oranı ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m doumlnem başı faiz katsayısıdır 8 olmak uumlzere faiz miktarı şu formuumllle hesaplanır

1nmnI K

Faizlenme doumlnem sonu p pa(d) faiz oranıyla yıl iccedilindeki doumlnem sayısı m ve

1100

prm

doumlnem sonu faiz katsayısı olmak uumlzere faiz suumlresi şu formuumllle hesaplanır

KK

rmn nlog

log

1

Benzer şekilde faizlenme doumlnem başı (antisipatif) olduğu durumda faiz oranı pa(a) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olduğunu varsayarak şu formuumll kullanılır

KK

mn nlog

log

1

8

Yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m faiz suumlresi n yıl olduğunu farz ederek yıllık doumlnem sonu faiz katsayısı şu formuumllle hesaplanır

13

1100 nm n

KK

mp

193

PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR)VE PERİYODİK ALACAKLAR (KİRALAR)

81 Periyodik Yatırımlar

Basit ve bileşik faiz hesaplarını uyguladığımız oumlrneklerde belli miktarda parasal varlık-ların sadece bir defa yatırıldığı ya da farklı doumlnemlerde yatırılan veya istenildiğinde hesaptan ccedilekilen miktarları incelemiştik Bu durumda yatırımların bazıları eşit bazıları ise farklı belli bir kurala goumlre değişebilen oumlrneğin aritmetik ya da geometrik diziler oumlzelliğine goumlre artan ya da azalan veya tasarruft a olduğu gibi oumlnceden belli bir kurala goumlre uymayan yatırımlar olabilir Halbuki ccedilok kez eşit zaman aralıklarında yatırımların tekrarlandığına rastlıyoruz Boumlyle du-rumlarda soumlz konusu mevduattır Mevduat belli bir suumlre sonunda veya istenildiğinde ccedilekilmek uumlzere bankalara faizle yatırılan paradır Mevduatlar belli suumlrelerde aynı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adlandırılıyorlar

Yatırımlar oumldemeler serisinin başlama noktasına goumlre doumlnem başı (antisipatif) ve douml-nem sonu (dekurzif) mevduatlar olarak ikiye ayrılıyorlar Yatırım esnasında her mevduatın faizi yatırıldığı guumlnden tuumlm mevduatların toplam değerinin hesaplandığı ana kadar hesaplanır Doumlnem başı ya da doumlnem sonu faizlendirme uygulanabilir Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda aynı bazı durumlarda ise farklı yani mevduat vadelerinden daha sık ya da daha seyrek olabilirler Pek sık tuumlm mevduatların toplam değeri ne kadardır sorusu sorulmaktadır Yatırım esnasında faizi hesaplanmış tuumlm mevduatların toplamına yatırımın gelecekteki değeri denir

Şimdi sadece yatırım doumlnemleri faiz vadeleriyle denk gelen sabit (değişmeyen) bireysel periyodik yatırımları inceleyeceğiz

Yıl esnasında sadece bir mevduat oumldendiği durumda soumlz konusu yıllık mevduat olur yatırım yılda iki defa yapıldığında altı aylık (yarım yıllık) mevduat yılda doumlrt defa yatırım yapıldığında uumlccedil aylık (ccedileyrek yıllık) mevduat biccediliminde adlandırılır Yatırım ayda bir yapılırsa aylık mevduat olur Burada da faizlendirme vadesi yıllık altı aylık uumlccedil aylık vb olabilir

Alıştırmalar

1 Mevduat nedir Mevduatın temel oumlzellikleri nedir

2 Faizinin hesaplanmasına goumlre mevduatlar nasıl olabilir

3 Yatırım sayısına goumlre nasıl mevduatlar fark edebiliriz

8

194

4 Yatırım suumlresine goumlre nasıl mevduatlar fark edebiliriz

5 Mevduatların gelecekteki değeri nedir

82 Mevduatların Gelecekteki Değerini Hesaplamak

Her bireysel mevduatın değeri V olsun Bireysel mevduat sayısı n faiz oranı doumlnem sonu uygulanan p olsun Faiz vadesi yatırım vadesiyle aynıdır Mevduatın oumldenmesi doumlnem başı ol-

sun (her vadenin başlangıcında oumldeme yapılsın) Vade sonu faiz katsayısı 1100

pr olduğunu

biliyoruz Her bireysel mevduat iccedilin bileşik faiz hesabını uygulayarak faiz miktarını bulmakla mevduatların gelecekteki değerini elde edeceğiz Şek1rsquode yatırımlar ve faizlendirmeler goumlsteril-miştir

Şek 1

Birinci vadenin başında yatırılan birinci mevduat n ndash vade iccedilin karşılık gelen r faiz kat-sayısıyla son vadenin sonuna kadar suumlre iccedilin faizi hesaplanır ve değeri Vrnrsquodir Yatırılan ikinci miktar V aynı şekilde n ndash 1 vade iccedilin son vadenin sonuna kadar faizi hesaplanır ve değeri Vr n

-1rsquodir Bu şekilde kalan tuumlm bireysel yatırımların faizleri hesaplanır Sondan ikinci olan yatırım n ndash 2 zamanına denk gelir ve iki vade iccedilin faizlenir ve değeri Vr2rsquodir son yatırım ise sadece bir vade iccedilin faizlenir ve değeri Vrrsquodir Faiz doumlneminin sonuna kadar faizleri hesaplanmış olan tuumlm doumlnem başı yatırımların toplamı

Sn = Vrn + Vrn-1 + + Vr2 + Vr = V (rn + rn-1 + + r2 + r )= Vr (rn-1 + rn-2 + + r +1) olduğunu buluyoruz Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi r olan n terimli bir geometrik dizisinin toplamıdır Geometrik dizilerin ilk n terim toplamı formuumlluumlnden yararlanarak yatırımların douml-nem başı faizlendirme ile doumlnem başı yatırımların toplamı iccedilin şu formuumll elde edilir

1

1

r

rVrSn

n

Not 1 Faizin faizi i i tablolarında bir para birimi bazında doumlnem sonu yatırımların

toplamını ifade eden 1

1

nrrr

ifadesinin değeri npIII işareti altındaki cetvelde verilmiştir Demek

195

ki uumlccediluumlncuuml tablodaki değerler iccedilin npIII = 1

1

nrrr

rsquodir Bu ifade i i tablosunda aynı faiz oranında 1rsquoden nrsquoe kadar vadelerin k

pI değerlerini toplamakla elde edilir yani npIII =

1 2

np p pI I I dir

Burada yatırımlar n yılda p pa(d) faiz oranıyla yapılmıştır Buna goumlre doumlnem başı faizlenen yatırımların toplamı

npn VS 777

formuumlluumlyle ifade edilir

Not 2 Her bireysel vade iccedilin faiz oranı doumlnem başı olarak verilirse 8 doumlnem başı faiz kat-sayısını kullanacağız Boumlyle durumda doumlnem başı faizlenen yatırımların toplamı

1

1

888

n

n VS

formuumlluumlyle ifade edilecektir Burada 100

1008

doumlnem başı faiz katsayısıdır Boumlylece uumlccediluumlncuuml

i i tablosundan yararlanarak doumlnem başı faiz oranı olmak uumlzere nnS V III formuumlluuml elde

edilir Oumldevlerin ccediloğunda yatırımların toplam sayısı değil de yıl bazında yatırım sayısı ve ya-

tırımın zaman aralığı (vadesi) verilmiş olabilir Oumlrneğin n yıl boyunca yılda m defa yatırım yapılıyor Boumlyle durumda yatırımların toplam sayısı n m ccedilarpımına eşittir

1 Buguumlnden başlayarak gelecek iki yıl esnasında her uumlccedil ayın başlangıcında 5 000rsquoer denar yatırmaya başlıyoruz Faiz oranı 10 pa(d) uumlccedil aylık vadeli olmak uumlzere ikinci yılın sonunda toplam ne kadar paramız olacaktır

Her bireysel yatırımın değeri Vaq = 5 000 denardır Yatırımların sayısı her yıl doumlrder mev-duat 2 4 8n doumlnem sonu faiz katsayısı ise uumlccedil aylık vadeli faizlendirme ile hesaplanacaktır

Buna goumlre faiz oranı 1025

4 pq(d)rsquodir (ccedileyrek yıllık faiz oranı) O halde

251 1025

100r

olduğunu buluyoruz Doumlnem başı yatırımların gelecekteki değeri

4477310251

1025102515000

1

1 8

r

rVrSn

n

olduğunu buluyoruzBaşlangıccedilta verilen tuumlm koşullar geccedilerli olsun her yatırımın değeri V mevduat (yatırım)

sayısı n faiz oranı doumlnem sonu p ve faizlendirme vadesi yatırımların vadesiyle aynı olsun

196

Şek 2

Doumlnem sonu faiz katsayısı r olsun ve yatırımlar her periyodun sonunda olsun yani ya-tırımlar doumlnem sonu olsun Şek 2rsquode goumlruumllduumlğuuml gibi son yatırımın faizi hesaplanmaz sondan birincisi bir defa faizlenir ikincisi iki defa ve geriye doğru sayarken ikinci yatırım n ndash 2 defa ve ilk yatırım nndash1 defa faizlenir Bunlara karşılık gelen faizlenmiş miktarlar sırasıyla V Vr Vr2

Vrn-2 Vrn-1rsquodir Faizlenmiş yatırımların toplamı (gelecekteki değer) iccedilinSn = V + Vr + Vr2 + + Vrn-2 + Vrn-1 = V (l + r + r2 + + rn-2 + rn-1)

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı r olan bir geometrik dizisinin n teriminin toplamı olduğuna goumlre doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değeri iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz r

1

1

r

rVSn

n

Not 3 1

1

nrr

ifadesini i i tablolarında 11 npIII biccediliminde bulunabilir Demek ki

doumlnem sonu faizlenen yatırımların toplamını hesaplamak iccedilin formuumll

11 777 npn VS

şeklinde yazılabilirNot 4 Doumlnem başı faizlendirme uygulandığı durumda yatırımların gelecekteki toplam

değeri iccedilin formuumll

1

1

88 n

n VS

şeklinde ifade edilir Burada 8 doumlnem başı faiz katsayısı 100

1008

dir Uumlccediluumlncuuml i i tablo-

larından yararlanmakla doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem sonu yatırımların gelecekteki toplam değeri iccedilin formuumll

11 777 nn VS dir

2 Bankaya her yıl sonunda doumlrt yıl boyunca 10 000 denar yatırılıyor Yıllık vadeli faiz oranı 6 pa(d) olduğuna goumlre doumlrduumlncuuml yıl sonunda yatırımın gelecekteki değeri ne kadardır

Oumldevin koşullarına goumlre Vda = 10000 denar n = 4 r = 106rsquodır Vade sonu yatırımların gelecekteki değeri iccedilin

197

437461061

106110000

1

1 4

r

rVSn

n

denar elde edilir

Doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem başı yatırımların gelecekteki değeri aynı koşullar altında doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değerinden r kat daha buumlyuumlk ol-duğunu fark edebiliriz yani

dn

na

n Srr

rVrS

1

1

dir Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda ise

dn

na

n SVS

8888

1

1

rsquodir Demek ki douml-

nem başı yatırımlar doumlnem başı faizlendirme ile elde edilen gelecekteki değer aynı yatırım ko-şullarıyla doumlnem sonu yatırımların doumlnem başı faizlendirme ile elde edilen gelecekteki değerin 8 katıdır

(Daha kısa olarak doumlnem başı yatırımların gelecekteki değerini Sna ile doumlnem sonu yatı-

rımların gelecekteki değerini ise Snd ile işaret edeceğiz)

3 Bir kişi bir buccediluk yıl esnasında her ay sonunda 3 000rsquoer denar para yatırıyor Faiz oranı 6 pa(d) aylık vadeli hesaplama ile yatırdığı paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır

Oumldevin koşullarına goumlre Vdm = 3000 denar p = 6 pa(d)rsquodir Yatırımların toplam sayısı

n = 12 -15 = 18 (yılda 12 mevduat) aylık faizlendirmeye karşılık gelen faiz oranı 6

12 yani

05 pm(d) Doumlnem sonu faiz katsayısı 051 1005

100r rsquodir

Doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değeri

5635710051

100513000

1

1 18

r

rVSn

n denar olduğunu buluyoruz

4 Bir kişi 25 doğum guumlnuumlnden başlayarak 30 doğum guumlnuumlne kadar her altı ay sonunda 8000rsquoer denar banka hesabına yatırıyor 35 doğum guumlnuumlnde hesabından 90000 denar ccedilekmesi gerekiyormuş Faiz oranı p = 8 pa(d) altı aylık faiz vadesiyle hesabında gereken para birikecek mi

Kişi 5 yıl boyunca doumlnem sonu Vds = 8 000 denar yatırımlar yapıyor 30 doğum guumlnuumlnde yatırımın gelecekteki değeri daha 5 yıl faizde kalıyor (şek 3) Soru şudur 35 doğum guumlnuumlnde hesabında biriken para 90 000 denardan buumlyuumlk ya da eşit olacak mı yani 10 90000 0nS r 6

mıdır Faiz katsayısı 81 104

2 100r

ve yatırımların toplam

198

sayısı n = 10rsquodur

yatırımlar

Şek 3Buna goumlre

6049900000411041

1041800090000

1

1 1010

1010

r

rrV

denar olduğunu buluyoruz Demek ki 90 000 denar parasını ccedilekmek iccedilin yatırımcının hesabın-da gereken parası varmış

Alıştırmalar

1 Bir yatırımcı her yarıyıl başında 16 yıl boyunca 5 000 denar a) yarıyıllık faiz vadeli 4 pa (d) b) yarıyıllık faiz vadeli 4 pa (a)

faiz uumlzerinden yatırırsa 16 yılın sonundaki yatırım tutarı (gelecekteki değeri) ne kadar olur

2 Her yılın sonunda 10 yıl boyunca yıllık faiz vadeli 4 pa(d) faiz uumlzerinden 10 000 denar yatırıyoruz Son yatırım guumlnuumlnde yatırımların tutarını hesaplayınız

3 Her yarıyıl sonunda 12 yıl boyunca altı aylık faiz vadeli 8 pa(d) faiz uumlzerinden 1000 denar yatırılıyor Yatırımlar

a) doumlnem sonu b) doumlnem başıolduğuna goumlre yatırımın gelecekteki tutarını hesaplayınız

4 Her ay sonunda 8 yıl boyunca 3000 denar mevduat a) aylık faiz vadeli 12 pa(d) b) aylık faiz vadeli 12 pa(a)

faiz uumlzerinden yatırılıyor Yatırımların gelecekteki değerini hesaplayınız

5 Oumldev 4rsquoteki koşullar altında fakat mevduatlar doumlnem başı olduğu durumda yatırımın gelecekteki değerini hesaplayınız Elde edilen değerleri kıyaslayınız Hangi mevduat şekli ve hangi faiz oranı uumlzerinde yatırımların en buumlyuumlk gelecekteki değeri elde edilecektir

199

83 Bireysel Mevduatın Değerini Hesaplamak

Faiz oranı p pa(d) mevduatların gelecekteki değeri (tutarı) Sn ve yatırım suumlresi veril-miş olsun Sabit mevduatın tutarını hesaplamak iccedilin Doumlnem başı mevduatın gelecekteki değeri

1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnden V mevduatı iccedilin

1

1

nn rrrSV

elde edilir

1 Beş yıllık yatırım sonunda yatırımların tutarı 40 000 denar olmuştur Her yıl başlangı-cında yıllık vadeli 6 pa(d) faizi uumlzerinden yatırılan mevduat ne kadardır

Burada r = 106 doumlnem sonu faiz katsayılı doumlnem başı mevduat soumlz konusudur Toplam n = 5 mevduat yatırılmış ve yatırılan miktarların tutarı Sn = 40 000 denardır Hesaplanması gere-ken bireysel yıllık faiz vadeli mevduat tutarıdır Oumlrneğimizde verilen değerleri formuumllde yerine değiştirmekle 6694

1061061

106140000

5

aV denar elde edilir

p pa(d) faiz oranı mevduatların gelecekteki tutarı Sn ve yatırım suumlresi bilindiği du-rumda sabit mevduatın hesaplanması iccedilin doumlnem sonu vadeli mevzuatın gelecekteki tutarı

1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden V iccedilin şu formuumll elde edilir

1

1

nn rrSV

Not1 Faiz hesaplanması doumlnem başı olduğu durumda bireysel mevduatların karşılıklı değerleri şu formuumlllerle hesaplanacaktır

doumlnem başı mevduatlar iccedilin

1

1

nnSV888

doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

1

1

nnSV88

2 Beş yıl sonra 120 000 denara ihtiyacımız olacaktır Her yarıyıl sonunda 5 yıl boyunca ne kadar mevduat yatırmalıyız Faiz oranı 5 pa(d) yarıyıl vadelidir

200

Yatırımlar sayısı n = 10 Sn = 120 000 denar doumlnem sonu faiz katsayısı ise 5

1 10252 100

r

rsquotir O halde

1071410251

10251120000

1

110

nn rrSV

denar olduğunu buluyoruz

3 İlerdeki uumlccedil yıl boyunca her uumlccedil ay başında uumlccedil aylık mevduatlar oumldenecektir Bu guumlnden beş yıl sonra sadece bir defa mahsus 40 000 denar yatırılacaktır Yedi yıl sonra hesabımızdan 100000 denar ccedilekmeliyiz Uumlccedil aylık vadeli faiz oranı 8 pa(d) olduğuna goumlre bireysel mevduat ne kadar olmalıdır ki bu guumlnden yedi yıl sonra hesabımızda 35000 denar olsun

Yatırımları ve ccedilekilen miktarı zaman ekseninde goumlsterelim (şek4)

yatırımlar

Şek 4

Mevduatların toplam gelecekteki değeri hesaplandıktan sonra bu miktar daha doumlrt yıl fa-izde kalır Yatırılan 40 000 denar da 2 yıl faizde kalır Ccedilekilen 100 000 denardan sonra şu denk-lem elde edilir

3500010000040000 4244 rrSn

Son denklem bu guumlnden gelecekteki yedi yıl suumlresinde yapılacak işlemleri goumlstermektedir

Bu durumda doumlnem başı yatırımların gelecekteki değerini hesaplayan 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumln-

de n = 12 doumlnem sonu faiz katsayısı 8

1 10254 100

r

rsquotir Uumlccedil aylık etkin faiz oranı 2rsquodir

Sn tutarı 16 defa faizlenir 40 000 denar ise 8 defa faizlenecektir O halde

135000021400000211021

1021021 816

12

V

135000468667818 V elde edilir Buna goumlre mevduatın değeri Vaq = 4693 denardır

Not 2 İncelenen son oumlrnekteki oumldevlere benzer oumldevleri ccediloumlzerken yukarıda yapıldığı gibi yatırımları zaman ekseninde goumlstermekle faizlendirme periyotlarını daha kolay hesaplayabilir-siniz

201

Alıştırmalar

1 Doumlnem sonu altı aylık vadeli mevduatların 7 yıl boyunca yatırılmasıyla 300 000 denar tutar elde edilmiştir Faiz oranı

a) altı aylık vadeli 4 pa(d)b) altı aylık vadeli 4 pa(a)

olduğuna goumlre bireysel mevduatın değeri ne kadardır

2 Doumlnem başı yıllık vadeli mevduatların 6 yıl boyunca 5 pa(d) faiz uumlzerinden yatırıl-masıyla hesabımızda 71 420 denar olmasını istersek bireysel mevduat ne kadar olmalıdır Faiz vadesi yıllıktır

3 Bir kişi banka hesabına 25 doğum guumlnuumlnden 40 doğum guumlnuumlne kadar doumlnem sonu uumlccedil aylık vadeli sabit olmak uumlzere ne kadar para yatırmalıdır ki banka hesabında 50 doğum guuml-nuumlnde 500 000 denarı olsun Faiz oranı uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d)rsquodir

4 Bir kişi 2 yıl altı ay boyunca sabit değerli uumlccedil aylık doumlnem başı mevduatlar yatırıp doumlnem sonunda hesabında 50 000 denar parası olmuştur Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz uumlzerinden yatı-rılan bu mevduatların bireysel değeri ne kadardır

5 Bir kişi 35 yaşından 40 yaşına kadar vade sonu altı aylık mevduatları bankaya yatırıyor 43 yaşının sonunda 16 000 denar hesaptan kaldırmak ve 47 yaşının sonunda hesabında 120 000 denar olmasını isterse kişi hesabına ne kadar para yatırmıştır Faiz oranı 8 pa(d) ve faizlen-dirme altı aylıktır

84 Mevduat Sayısını ve Son Mevduatın Hesaplanması

Mevduatın gelecekteki değerini (tutarını) hesaplamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

doumlnem başı mevduatlara ait ve 1

1

n

nrS Vr

doumlnem sonu mevduatlara ait formuumlller gereğince

gelecekteki değer tutarı bireysel mevduat değeri ve faiz oranı bilindiğinde yatırımların sayısı n hesaplanabilir Doumlnem başı mevduatlar iccedilin

VrS

rr n

n

1

1

VrrS

r nn 11

geccedilerlidir Oradan da

11

VrrS

r nn elde edilir

202

Yatırımların sayısı n sadece logaritma işlemiyle belirtilebilir Logaritma işleminin temel oumlzelliklerinden yararlanarak

13

VrrS

r nn 11loglog

Vr

rSVrrn n 1

loglog

Vr

rSVrr

n n 1log

log

1

elde edilir Daha kolay hesaplama yapmak iccedilin yatırımların gelecekteki değeri formuumlluumlnde ve-rilen değerlerin değiştirilmesinden sonra elde edilen ifadenin logaritması alınır

Benzer şekilde doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

V

rSVr

n n 1log

log

1

formuumlluuml elde edilir

Not 1 Doumlnem başı faiz oranı iccedilin hesaplamalar doumlnem başı mevduatların gelecekteki değerine karşılık gelen formuumlllere yapılır

1 Her yılın başında 6 pa(d) yıllık vadeli faiz uumlzerinden 10 000 denar kaccedil defa yatırıl-malıdır ki hesabımızda 46 371 denar olsun

Mevduatlar doumlnem başıdır Doumlnem sonu faiz katsayısı 61 106

100r rsquodır O halde

262481106110000

106146371061

n

elde edilir Bu ifadenin 10 tabanına goumlre logaritmini alırsak n log 106 = log 126248 ve oradan n = 4 elde edilir Demek ki doumlrt yıl yani doumlrt defa yatırım yapmalıyız

2 35 000 denarlık mevduatlar 6 pa(d) yarıyıllık faizlendirme uumlzerinde her yarımyılda yatırılıyor Yatırımların gelecekteki değeri son mevduatın oumldendiği guumlnde 401651 denar olması-nı istersek kaccedil mevduat oumldenmelidir

Şunu fark edelim gelecekteki değer son yatırım yapıldığı guumlnde hesaplandığı tak-dirde yatırımlar doumlnem sonudur Etkin faiz oranı 3 olduğuna goumlre r = 103rsquotuumlr Buna goumlre

1031

103135000401651

n

buradan da 103n = 134427 ve sonunda n =10 elde edilir Demek ki

10 mevduat oumldenmelidir

3 Yatırımlar doumlnem sonu 3 aylık vadeli faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil aylık faizlendirme vadeli 10 000 denarlık kaccedil mevduat yatırılmalıdır ki gelecekteki değeri 137200 denar olsun

203

Doumlnem sonu mevduat 8

1 1024 100

r

iccedilin 1137200 10000

1

nrr

geccedilerlidir O hal-

de 102n = 12744 ve oradan 12n elde edilir Cevap tam 12 olsaydı tam 12 mevduat yani 3 yıl 4 er mevduat gerekecekti halbuki elde edilen değer yaklaşıktır Onun tam değeri n = 122446rsquodır Bu demektir ki istenilen para tutarını elde etmek iccedilin mevduat sayısı 12 den fazla olacaktır Bu durumda 12 mevduat bilinen 10 000 denarlık ve 13 mevduatın değeri diğerlerinden kuumlccediluumlk ola-caktır Son mevduat diğerlerinden farklıdır ve ona mevduatın kalanı denir

Son mevduatın hesaplanması iccedilin bir formuumll bulalım Mevduat sayısı toplam n olsun ve bunlardan n -1 tanesinin değeri aynı V son mevduatın değeri V0 ne V olsun Zaman ekseninde doumlnem başı mevduatların durumunu goumlsterelim (şek5)

Şek 5

Vade sonu faiz katsayısı r iccedilin

rVVrVrVrS nnn 0

21

rVrrVrS nn 0

22 1

buradan da

rVr

rVrSn

n 0

12

1

1

elde edilir

u

1

1

1

11

0

rrrVS

rrrVr

rS

Vn

n

nn

Not 2 i i tablolarından yararlanıyorsak 1

r ifadesi 1

pII tablosunda verilmiş olan iskonto

katsayısına karşılık gelir 1

nr rr

ifadesi ise tam 1npIII dir Buna goumlre son mevduat

11

0

77777 nppn VSV

şeklinde yazılabilir

Not 3 Yatırımların sayısını belirtirken n doğal sayı olmadığı durumda n iccedilin hesaplama-da elde edilen sayıdan ilk buumlyuumlk olan tam sayı alınır Boumlyle durumda V0 lt V n ndash 1 mevduatın değeri Vrsquodir sonuncunun ise V0rsquodır

204

Vade sonu mevduatlarda ise zaman ekseni şek 6rsquoda goumlsterilmiştir

Şek 6Boumlyle durumda Sn = Vrn-1 + Vrn-2 + + Vr + V0

dir Eşitliği V0 a goumlre duumlzenleyerek geometrik dizisinin ilk n ndash terim toplamı formuumlluumlnden ya-rarlanmakla

r r r j

11

11

0

rrrVS

rrVrSV

n

n

n

n

elde edilir

Not 4 i i tablolarından yararlanarak

1

0

777 npn VSV

formuumlluumlnuuml yazabiliriz Bu formuumll doumlnem sonu yatırımlarda diğerlerinden farklı olan son mev-duatın değerini hesaplamak iccedilin kullanılır

Not 5 Faiz hesaplanması doumlnem başı olduğu durumda son mevduat iccedilin şu formuumll elde edilirdoumlnem başı yatırımlar iccedilin

1

10

888

8

n

n VSV

ve doumlnem sonu yatırımlar iccedilinur

10

888 n

n VSV

4 Yarım yıllık vadeli faiz oranı 10 pa(d) altı aylık faizlendirme vadeli 8 000 denarlık kaccedil mevduat yatırılmalıdır ki son mevduattan evvel tuumlm yatırımların gelecekteki değeri 60 000 denar olsun

101 105

2 100r

rsquotir Gelecekteki değer son mevduattan altı ay oumlnceki biriken paradır

demek ki yatırımlar doumlnem başıdır yani 6 105 160000 80000 105

105 1

n

elde edilir Oradan da

105n =135714 ve n 626 elde edilir Bu durumda n = 7 alınır yani 8000 denar olmak uumlzere 6 sabit mevduat yatırılır son yedinci mevduat ise oumlzel olarak hesaplanacaktır

205

757136571431051

0510518000

051

60000 7

0

V

elde edilir Buna goumlre son mevduat 7 denar olacaktır

Not 6 Son mevduatın değeri negatif sayı elde edildiği durumda mevduatın gelecekteki değerini hesapladığı guumln banka mevduat sahibine o kadar para geri ccedilevirmelidir

Alıştırmalar

1 Altı ay vadeli doumlnem başı 3 500 denar mevduatlardan kaccedil tane oumldemeliyiz ki sonunda 35000 denarımız olsun Faizin hesaplanması altı aylık ve faiz oranı

a) 6 pa(d) b) 6 pa(a) olsun

2 Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz oranı uumlzerinden 235 000 denarlık kaccedil doumlnem sonu mev-duat yatırılmalıdır ki son mevduatın oumldendiği guumln hesabımızda 2 245 438 denar olsun Faiz hesaplanması 3 aylık vadelidir

3 Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz oranı uumlzerinden 1000 denarlık kaccedil doumlnem başı mevduat yatırılmalıdır ki hesabımızda 40 000 denar olsun Faiz hesaplanması 3 aylık vadelidir

4 Her iki ayın başında 1000 denar yatırılarak son yatırımdan iki ay oumlnce banka hesabın-dan 7000 denar ccedilekilmiş ve son yatırımdan altı yıl sonra hesabımızda 70 000 denar paramız kal-mıştır Son yatırım ne kadardır Faiz oranı 12 pa(d) faiz hesaplanması her iki ayda yapılmış olsun

5 Her yıl başında 2000 denar yatırılmıştır Son yatırımdan doumlrt yıl sonra hesaptan 7000 denar ccedilekilmiş ve son yatırımdan altı yıl sonra hesapta 80 000 denar kalmıştır Faiz oranı 6 pa(d) yıllık faizlendirmedir (dikkat ediniz yatırım doumlnem başıdır ve biriken para son yatırım-dan bir yıl sonra hesaplanır)

85 Yatırımlarda Faiz Oranının Hesaplanması

Doumlnem başı yatırımların doumlnem sonu faizlendirmesiyle biriken gelecekteki değeri hesap-

lamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnde Sn ve V bilindiğinde bilinmeyen r faiz

katsayısını yani p pa(d) değerini hesaplamak iccedilin

206

011 13

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu ise r katsayısına goumlre bir polinom denklemidir ve genel olarak dere-cesi 3rsquoten buumlyuumlktuumlr Bu gibi denklemleri ccediloumlzmek iccedilin (bazı oumlzel durumlar hariccedil) belli bir kural yoktur Bu nedenle bu gibi denklemleri bilinen bazı nuumlmerik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Halbuki amacımız şimdi nuumlmerik youmlntemlerle denklemlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğrenmek değildir Bu-rada sadece pratik oumldevlerin yararına faiz oranını en kolay biccedilimde belirtmektir Bu nedenle faiz oranının hesaplanmasını i i tablolarındaki değerleri kullanan

npn VS 777

formuumlluumlne goumlre yapacağız

1 Altı aylık vadeli doumlnem başı 2000 denarlık borccedil hangi faiz oranıyla 16 yılın sonunda 125 000 denar olacaktır Faiz hesaplanması yarıyıllık olsun

Verilen oumldevde toplam n = 16 2 = 32 oumldeme vardır ve 2

125000 2000 npIII geccedilerlidir

2

125000625

2000

npIII olduğuna goumlre n = 32 iccedilin tablolarda 625 değerine karşılık gelen sayıyı

arıyoruz Bu değer tabloda yoktur fakat buna en yakın iki yaklaşık değer vardır 6219536018 lt 625 lt 65 20952741 Bu değerlerden biri 375 diğeri ise 4 faiz oranına karşılık gelir Bu iki değer arsı 625 değerine karşılık gelen değeri belirtmek iccedilin doğrusal enterpolasyon yapmamız gerekir Bunu daha kolay yapmak iccedilin verileri tabloda yazacağız

32

2

p777 2

p

32

2

p777 2

p

1953601862 753 1953601862 753

2095274165 4 562 2

p

Oradan şu orantıyı kuruyoruz

19536018625627532

195360186220952741657534 13

p

yani 3046398207532

014167233250 13

p elde edilir Bu şekilde tablodaki değerler ara-

sındaki orana goumlre faiz oranı aralığının ara değerlemesi yapılır

207

Buna goumlre 0250014167233

250304639820753

2

p

yani p = 755 pa(d) elde edilir

Değerlerin farkından yararlandığımıza goumlre yukarıdaki tabloyu daha bir satır ile genişle-tecek ve bu farkları o satırda yazmakla işimiz kolaylaşacaktır

Aynı işlemleri doumlnem sonu yatırımlar iccedilin de yapacağız Yatırımların gelecekteki değeri 1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden faiz katsayısı r iccedilin

01

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu denklem de r değişkenli polinomdur Yatırımların gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin i i tablolarındaki değerleri kullanan 11 n

n pS V III formuumlluumlnden yarar-

lanarak V

VSVS nnn

p

777 11

elde edilir n ndash 1rsquoin bilinen değeri iccedilin V

VSn

değeri tabloda

varsa faiz oranı doğrudan doğruya okunur Aksi halde faiz oranını doğrusal enterpolasyon ile belirtiyoruz

2 Faiz hesaplaması 3 ay vadeli olmak uumlzere her uumlccedil ay sonunda bankaya 2000 denar yatı-rarak 5 yıl sonra hesabımızda 52 000 denar olmak iccedilin faiz oranı ne kadar olmalıdır

Burada 20 oumldeme yani n =20 doumlnem sonu yatırımı inceliyoruz Sn = 52 000 V=2000 ve

faiz oranı 4

p olduğunu alıyoruz O halde 19

4

52000 2000 1 pIII 13

denklemi elde edilir oradan

da 19

4

25pIII elde edilir Tablolarda 19 sayısına karşılık gelen boumlluumlmde 25 sayısını bulamıyoruz

Ancak 25 suumltununda 2454244 ve 275 suumltununda 25 19739750 sayılarını buluyoruz Aşağı-daki tabloyu oluşturuyoruz

19

4

p777 p 19

4

p777 p

5424424 52 5424424 52

1974025 752 25 4

p

654960 250 457560 524

p

25 25

275

025

208

13

52

4457560250654960

p

orantısını kurduktan sonra p = 107 elde edilir

3 Bir kişi 6 yıl oumlnce banka hesabına 30 000 denar yatırmış bu guumlnden ve gelecek sekiz yıl esnasında her yıl sonunda 5 000rsquoer denar yatıracaktır Bu guumlnden sekizinci yıl sonunda kişinin banka hesabında 47 745 denar birikecektir Yıllık faiz uumlzerinden faiz oranı aynı olmak uumlzere bu guumlnden 12 yıl sonra banka hesabında ne kadar parası olacaktır

Zaman ekseninde buguumlne 0 karşılık gelmek iccedilin -6 dan başlayacağız

yatırımlar

Şek 7

30000K 100

1pr 47745nS 715000 pnS 777

olduğuna goumlre

71500047745 p777

denklemi elde edilir oradan da 7 85491pIII elde edilir Tabloda n = 7 iccedilin bunun değeri p = 5 elde edilir Şimdi de buguumlnden başlayarak 12 yıl boyunca yatırılan mevduatların toplam değerini hesaplayalım

1302330514774505130000 418418 rSKrS nn denar elde edilir

Alıştırmalar

1 25 yıl boyunca her altı ay başında yatırılan 20 000 denarlık mevduatların suumlre sonunda toplam değeri 112 658 denar olmuştur Mevduatlar hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

2 Doumlrt yıl boyunca her doumlrt ayda 5 000 denar mevduat yatırılmış ve son mevduatın yatı-rıldığı guumlnde banka hesabında 75 000 denar birikmiştir Doumlnem sonu hangi faiz oranıyla yatırım yapılmıştır Yatırım vadesi doumlrt aylıktır

3 Her yıla) doumlnem başı b) doumlnem sonu

10 000 er denar yatırılarak 20 yıl sonra hesabımızda 260 000 denar biriken paramız olması iccedilin hangi faiz oranıyla parayı yatırmalıyız

209

4 Her altı ay sonunda yatırılan 3 000 denarlık mevduatlar 16 yılın sonunda 188100 de-nar olmuştur Faiz hesaplama vadesi altı ayda olduğuna goumlre Yatırılan para hangi faiz oranıyla hesaplanmıştır

5 Uumlccedil aylık doumlnem başı 5 000 denarlık anuumlitelerle bankaya 8 yıl boyunca para yatırdık Faiz hesaplanma vadesi uumlccedil aylık doumlnem sonu yapılarak sekizinci yıl sonunda banka hesabımızda 312500 denar birikmiştir Yatırılan para hangi faiz oranıyla hesaplanmıştır

86 Periyodik Alacaklar (Kiralar) Yatırımlarda yapılan incelemeler belli zaman aralıklarla alınan para miktarları iccedilin de

benzer incelemeler yapılabilir Oumlrnek banka hesabımızda bulunan bir miktar parayı birden değil belli ve eşit zaman aralıklarında kuumlccediluumlk miktarlar halinde ccedilekebiliriz Eşit zaman aralık-larında alınan alacaklar soumlz konusu olunca ilk aklımıza gelen kiradır Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (rentler) diye adlandıracağız Kira anuumliteleri oumlnceden belirlenmiş kanuna goumlre değişebilir oumlrneğin geometrik ya da aritmetik dizisi kanununa goumlre değişebilir Boumlyle kiralara değişken kiralar denir Oumlzelliklerine goumlre kiralar birccedilok şekilde adlandırılıyorlar oumldeme zama-nına goumlre periyodun başlangıcında oumldenirse doumlnem başı kiralar periyodun sonunda oumldenirse doumlnem sonu kiralar diye adlandırılıyorlar Oumldemelerin zaman suumlresine goumlre geccedilici kiralar (bel-li bir suumlre iccedilin) oumlmuumlr boyu kiralar (kirayı oumldeyen kişinin oumlmruumlnuumln sonuna kadar) ya da kira alacakları hiccedil bitmeyen olduğu durumda daimi kiralar soumlz konusudur

Kiraların oumldendiği periyotuna goumlre yıllık yarıyıllık uumlccedil aylık aylık vb kiralar fark ediyo-ruz

Kiranın alındığı muumlddetccedile parasal varlıkların faizlendirmesi devam eder ve kira periyot-ları ve faiz doumlnemleri ccedilakışabilir yani eşit olabilir (biz ileride sadece bu gibi kiraları inceleyece-ğiz) Halbuki faiz hesaplanması kira periyotundan daha sık ya da daha seyrek de olabilir

Kira almak iccedilin oumlnce bunu getirecek varlık temin edilmelidir Kira getirmek amacıyla yatırılan varlık miktarına kira sermayesi denir Burada bir defaya mahsus olan yatırım soumlz ko-nusudur Halbuki parasal varlıklar periyodik oumldemelerle de yapılabilir Kira alacakları kira be-delinin yatırılmasıyla başlarsa hemen kiralar kira alacakları belli bir zamandan sonra başlarsa o halde ertelenmiş kiralar soumlz konusu olur

Sabit miktarlı faizlendirme vadesi kiranın oumldeme vadesiyle ccedilakışan periyodik oumldemeler uumlzerinde daha fazla duracağız Formuumlllerin belirtilmesinde faiz oranı doumlnem sonu olduğunu varsayacağız halbuki doumlnem başı durumlar iccedilin de yorumlar yapacağız

210

Şu işaretlemeleri kullanacağız Mn ndash kira sermayesi R- kira (rent) n ndash oumldeme sayısı r ndash doumlnem sonu faiz katsayısı 8 - doumlnem başı faiz katsayısı

861 Kira Sermayesinin Hesaplanması

Başlangıccedil iccedilin n defa her periyodun başında oumldenen R miktarlı doumlnem başı kirayı incele-yelim Gereken kira sermayesini hesaplamak iccedilin bu miktar tuumlm kiraları sağlayacağını bilme-miz gerekir Demek ki yatırımların gelecekteki değerini hesaplarken tuumlm faizlenmiş bireysel mevduatların toplamını belirttiğimiz gibi burada da kira sermayesi aslında tuumlm bireysel iskon-tolanmış kiraların değerlerinin toplamına eşit olacaktır İskontolanmış değer aslında faizlen-dikten sonra R değerine biriken şimdiki değerdir Bunu zaman ekseninde şu şekilde goumlsterebi-liriz (şek8)

Şek 8

O halde doumlnem başı durumunda r faiz katsayısıyla kira sermayesi iccedilin

12

1

11 nn r

Rr

Rr

RRM

elde edilir Goumlruumllduumlğuuml gibi birinci kira iskonto edilmez onun değeri şimdiki oumldenen değere eşittir İkinci kira bir periyot iccedilin iskonto edilmiş ve bu şekilde n ndash 1 defa iskonto edilen son kiraya kadar devam edilir Bu şekilde elde edilmiş olan ifadeyi

13

12

1

111 nn rrr

RM

biccediliminde yazalım Parantez iccedilinde olan kısım ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik

dizisinin ilk n teriminin toplamıdır Mevduatlardan farklı olarak burada faiz katsayıları yerine 1

kr

iskonto katsayısı vardır Formuumlluuml doumlnuumlştuumlrmeye devam ediyoruz 1

1

11

11

rrrrR

r

rRM n

nn

n

elde edilir

211

1

11

rrrRM n

n

n

formuumlluumlyle doumlnem başı kiranın kira sermayesi hesaplanır diğer deyiş-

le ilerdeki tuumlm oumldemelerin şimdiki değerini hesaplamak iccedilin uygulanan formuumllduumlr

Not 1 Uumlccediluumlncuuml i i tablo birinci tablonun değerlerinin toplamından elde edildi-

ği gibi benzer şekilde doumlrduumlncuuml i i tablo 17 npV

12

1

11 nrrr

şeklinden toplam gibi 1211 7777777 n

pppnpV

yani 1rsquoden n -1 kadar periyotlarında aynı p pa(d) faiz oranıyla

hesaplanmış ikinci tablonun değerlerinin toplamıdır

Buna goumlre kira sermayesi iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz

11 7 npn VRM

1 Oumlnuumlmuumlzdeki her 4 yılın başlangıcında 10000 denar kira almak iccedilin buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 6 pa(d) ve faizin hesaplanması yılda bir defa olsun

Kira sermayesinin hesaplanması gerekir Toplam 4 kira n = 4 kira değeri R = 10000 yıllık

faizlendirme m = 1 ve doumlnem sonu faiz katsayısı 61 106

100 olduğunu biliyoruz

O halde

367301061061

106110000

1

13

4

1

rr

rRM n

n

n

denardır

Not 2 Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda faiz katsayısı 100

100 p8

rsquodir ve kira

sermayesi iccedilin şu formuumll geccedilerli olacaktır

1

1

1

11

888

8888

n

n

n

n

n RRM

2 Oumlnuumlmuumlzdeki her 4 yılın başlangıcında 10000 denar doumlnem başı kira almak iccedilin buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 6pa(a) ve faizin hesaplanması yılda bir defa olsun

Oumldev 1rsquode yapıldığı gibi benzer şekilde hareket edilir 100

1063829787100 6

8

elde

edilir Bunu yukarıdaki formuumllde yerine koyarsak Mn = 36 542 denar elde edilir

212

3 Oumlnuumlmuumlzdeki 10 yıl boyunca yarım yılda bir 30 000 denar kira almak istiyoruz İlk kira hemen oumldendiği takdirde buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 10 pa(d) ve faizin hesaplanması yılda iki defa olsun

Birinci oumldeme hemen olduğuna goumlre doumlnem başı kira soumlz konusudur Oumldeme sayısı n =

10 2 = 20 R = 30 000 ve 101 105

2 100r

biliniyor O halde

3925601051051

105130000

19

20

nM

denar olduğunu buluyoruzKira sayısı n doumlnem sonu faiz katsayısı r doumlnem sonu R değerinde kira olduğu durumda (şek9)

Şek 9birinci kira birinci periyodun sonunda oumldenir ve aynısı bir periyot iccedilin iskonto edilir İkinci kira iki periot iccedilin ve son kira n periot iccedilin iskonto edilir O halde

r

rr

Rrrrr

Rr

Rr

Rr

Rr

RMn

nnnnn 11

11

111

1111

111212

13

ve sonunda

1

1

rr

rRM n

n

n elde edilir Bu ise vade sonu kira sermayesinin hesaplanmasında

uygulanan formuumllduumlr

Not 3 Yukarıda yapılan incelemeye goumlre doumlrduumlncuuml i i tablosu iccedilin kira sermayesi for-

muumlluuml

npn VRM 7 şeklinde yazılır

Not 4 Doumlnem başı faizlendirmede doumlnem sonu kiralara ait formuumll

1

1

88

8n

n

n RM dir

4 Her uumlccedil ay sonunda 2 yıl boyunca periyodik mevduat yatırılmaya başlanmıştır Bu guumln-den 7 yıl sonra uumlccedil ay vadeli 6000 denar tutarında 15 yıl boyunca kira almak istiyoruz Kira doumlnem başı faiz oranı 8 pa(d) ve uumlccedil aylık faizlendirme ile verilecektir Yatırılan periyodik mevduat ne kadardır

213

Periyodik yatırımları ve alacakları zaman ekseninde goumlsterelim (şek10)

uumlccedil aylık mevduatlar uumlccedil aylık kiralar

Şek 10

Verilenler 842 n 0211004

81

r

2 yılın sonunda yatırımların toplam tutarı

VVr

rVSn

n 58381021

1021

1

1 8

dir Yatırımın gelecekteki değeri yani kiraların oumldenmesi

başlanıncaya kadar 5 yıl iccedilin faizlenir Kira sermayesi aslında Snrsquoin faizlenmiş değeridir Buna goumlre 5 4 208583 102n nM S r V rsquodir Sadeleştirdikten sonra 12754nM V elde edilir Di-

ğer taraft an kiraların verilen koşullarına goumlre

1

1

1

n

n n

rM Rr r

formuumlluumlnde kira sayısı nrsquo =

15 4 = 6 r = 102 R = 6000 denar Buna goumlre 6

5

102 16000 34281

102 102 1nM

elde edilir

Kira sermayesi iccedilin elde edilen iki değeri eşitlersek 34 281 = 12754 V elde edilir Oradan da V = 2 688 denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Periyodik kira nedir

2 Oumldemelerin suumlresine goumlre kiralar nasıl adlandırılır

3 Oumldeme zamanına goumlre nasıl kiralar vardır

4 Doumlnem başı oumldenen yarım yıl vadeli 5000 denar kira tutarını 20 yıl boyunca almak iccedilin ne kadar kira sermayesi gerekir Faiz oranı 6 pa(d) ve faiz vadesi yarım yıllık olsun

5 Altı yıl boyunca 4 pa(d) faiz uumlzerinden 30 000 denar yıllık vadelia) doumlnem sonu b) doumlnem başıkira almak iccedilin bu guumln yatırmamız gereken sermaye miktarı ne kadar olmalıdır

8

214

6 Gelecek altı yılda her uumlccedil ayın sonunda 30 000 denar kira almak iccedilin kira sermayesi ne kadar olmalıdır Faiz oranı 2 ps(d) ve faiz vadesi uumlccedil aylıktır

7 Buguumln 80 000 denar bankaya yatırıldı İlerdeki 9 yıl zarfında her ay sonunda ne kadar para yatırmalıyız ki son mevduatın oumldendiği guumlnden itibaren aylık doumlnem başı 7000 denar kira tutarı elde edilsin Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

8 Bu guumlnden başlayarak ilerdeki uumlccedil yıl boyunca her ayın sonunda 5 000 denar kira tutarı almak iccedilin buguumln yatırılan 18 000 denar ile beraber 2 yıl oumlnce ne kadar para yatırmamız gere-kirdi Faiz oranı 24 pa(d) aylık vadelidir

87 Kira Tutarının Hesaplanması

Kira sermayesinin değeri Mn faizlendirme ve kira alışının koşulları verilmiş kira tutarı

bilinmeyen olsun Kira doumlnem başı olduğu durumda kira sermayesi iccedilin 1

1

1

n

n n

rM Rr r

geccedilerlidir Bu ifadeden bilinmeyen R kira tutarını ifade edeceğiz Oradan

1

11

n

n

n rrrMR

elde edilir Bu formuumlluuml kullanarak doumlnem başı kira tutarını hesaplayacağız Kira doumlnem sonu olduğu durumda ise kira sermayesi iccedilin 1

1

rr

rRM n

n

n formuumlluuml geccedilerlidir Bu formuumllden

1

1

n

n

n rrrMR

elde edilir

1 Buguumln 200000 denar 6 pa(d) yarıyıllık faizlendirme ile bankaya yatırılmıştır Bu kira sermayesi tutarıyla oumlnuumlmuumlzdeki 20 yıl boyunca her altı ayda bir kira

a) doumlnem sonu b) doumlnem başıolmak uumlzere alınırsa kira tutarı ne kadar olacaktır

Mn = 200000 denar kira sermayesi R tutarlı n = 20 2 = 40 kiraya eşit olmalıdır Doumlnem

sonu faiz katsayısı 6

1 1032 100

r rsquotuumlr

a) Doumlnem sonu kira durumunda 58652

1031

1031031200000

40

40

R denardır

215

b) Kira doumlnem başı olduğu takdirde

584001031

1031031200000

40

39

R

denardır

Not 1 Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda kira

1

11

n

n

nMR8

88

formuumlluumlyle hesaplanacaktır 8 doumlnem başı faiz katsayısıdır

Not 2 Faiz oranı doumlnem başı kira doumlnem sonu olduğu durumda kira

1

1

n

n

nMR888

formuumlluumlyle hesaplanacaktır

2 İki yıl oumlnce bankaya 120 000 denar 5 pa(d) yarı yıllık faizlendirmeyle yatırılan paray-la bu guumlnden başlayarak 4 yıl boyunca her altı ay başında ne kadar kira alabiliriz

K = 120 000 r = 1025 n = 4 2 = 8rsquodir Bu verilerle kira her yarıyıl başında alındığına goumlre doumlnem başı kira formuumlluumlnuuml uyguluyoruz

nnn

n

n MMr

rrMR 136010251

102510251

1

18

71

yarıyıllık kirafaizlendirme

Şek 11Zaman ekseninde goumlruumllduumlğuuml gibi kira iki yıl ertelenmiştir ve 120 000 denarlık kapital kira

sermayesi olarak kullanıldığı ana kadar

51324570251120000 422 rKM n

ve R= 0136

132 4575 = 18 014 denardır

3 Bu guumlnden başlayarak oumlnuumlmuumlzdeki iki yıl boyunca her uumlccedil ay sonunda 3 000rsquoer denar para yatırılacaktır Yatırılan son taksitten bir yıl sonra başlayarak bu yatırımdan 2 yıl boyunca her uumlccedil ayın başında kira oumldenecektir Banka hesabımızda bu guumlnden yedi yıl sonra 12 000 denar para biriktiğini varsayarak kira tutarı ne kadar olacaktır Faiz oranı 8 pa(d) faizlendirme uumlccedil aylık vadelidir

Zaman eksenini ccedilizdikten sonra işaret edelim (şek12)

216

4 yıl

yatırımlar kiralar

Şek 12

3000dqV 842 n 0211004

81

r

ve 257491021

10213000

1

1 8

r

rVSn

n

denardır Bu miktar para bir yıl faizde kalır ve kiraların toplam tutarını ve kalan 1200 de-narın bedelini sağlar Buna goumlre

44

4 112000

rMrSn

denklemini yazabiliriz 12000 denar

tutarının doumlrt yıl iccedilin uumlccedil ay vadeli iskontosu hesaplanır O halde 120001620 MrrSn

elde edilir Kira sermayesi M ile işaret edersek kira sermayesi tutarı doumlnem başı uumlccedil aylık vadeli 8

kiraya denktir O halde 47271021021

1021

1

17

8

1

RR

rrrRM n

n

elde edilir bunu yu-

karıdaki ifadede yerine değiştirirsek 12000021472702125749 1620 R

ve sonunda

25600214727

120000212574916

20

R denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Buguumln bankaya 100 000 denar kira sermayesi oumldedik Oumlnuumlmuumlzdeki 8 yıl boyunca ya-tırılan para miktarıyla 3 pa(d) yarıyıllık faizlendirme ile doumlnem sonu yarıyıllık kira tutarı ne kadar olacaktır Faizlendirme doumlnem başı faiz oranı aynı 3 pa(a) olduğu durumda kira tutarı ne kadar olacaktır

2 Buguumln bankaya 150 000 denar para yatırdık Oumlnuumlmuumlzdeki 25 yıl boyunca yatırılan miktardan her uumlccedil ay sonunda 8 pa(d) faiz oranı uumlzerinden oumldenecek kira tutarı ne kadar olacaktır

3 Buguumln 90 000 denar yatırdık Bu yatırımdan doumlnem başı uumlccedil aylık vadeli olmak uumlzere 3 yıl sonra başlayarak ilerdeki 5 yıl boyunca kira alacağız Faiz oranı 10 3 aylık vadeli faizlendir-me olduğuna goumlre kira tutarı ne kadar olacaktır

4 Biri 33 doğum guumlnuumlnden 38 doğum guumlnuumlne kadar her yarıyıl başında 4 800rsquoer denar banka hesabına yatırmıştır Bu kişi 41 doğum guumlnuumlnden 48 doğum guumlnuumlne

217

kadar her yarıyıl sonunda alacağı kira tutarı ne kadardır Yarıyıllık vadeli faizlendirme faiz oranı 6 pa(d)rsquodir

5 İki yıl oumlnce 12 000 denar para yatırdık ve 25 yıl sonra her yarıyıl sonunda kira alacağız Faiz oranı 5pa(d) yarıyıllık faizlendirme uygulamakla alınacak kira tutarı ne kadar olacaktır

88 Kira Sayısı ve Kira Kalanının Hesaplanması

Kira sermayesinin hesaplanmasında kullanılan formuumlldeki buumlyuumlkluumlkler arasında kira sa-yısı da bulunmaktadır Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde kira sayısını ifade edebiliriz Doumlnem başı kiralar iccedilin 1

1

1

11

rrrRr

rrrRM n

n

n

n

n kira sermayesi formuumlluumlne

birkaccedil denk doumlnuumlşuumlm uygulayarak

nn

rRrrM 1

11

Rr

rMRrRrrM

rnn

n

111

1

1

rMRrRrr

n

n

elde edilir Elde edilen denklemin iki tarafının logaritmasını alalım 1loglog

rMRrRrr

n

n ve logaritma işleminin bir oumlzelliğini kullanarak

1loglog

rMRrRrrn

n

elde edilir Oradan da

1log

log

1

rMRrRr

rn

n

elde edilir Bu formuumlluuml kullanarak kira sayısını hesaplayacağız

1 Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıl vadeli faizlendirme ile 129442 denar kira sermayesi yatırıl-mıştır İlk kira hemen alındığı takdirde 1200 denar tutarında yarıyıllık kaccedil kira alınabilir

Birinci kira hemen alındığına goumlre doumlnem başı kira soumlz konusu olduğunu oumlnceden kay-dedelim Bilindiği uumlzere

129442nM 0211002

41

r 12000R

denardır Buna goumlre kira sayısı

218

122682411log277116102112944202112000

02112000log

021log

1

n

Not 1 Faiz oranı doumlnem başı ise doumlnem başı yatırım iccedilin kira sayısı

1log

log

1

888

8 nMRRn

formuumlluumlyle hesaplanacaktır Burada

p

100

10018

doumlnem başı faiz katsayısıdır

2 Buguumln bankaya 140000 denar yatırıyoruz Yatırılan paraya banka yıllık 5 pa(d) faiz oumlduumlyor Yatırılan bu parayla 10 000 denar tutarında doumlnem başı yıllık kaccedil kira alabiliriz

140000nM 10000R

ve

051100

51 r

verilmiştir bundan dolayı

51722105114000005110000

05110000log

051log

1

n

Elde edilen değer tam sayı değildir Bu ise şunu goumlsteriyor Oumldenen 22 kira ile yatırılan pa-ranın tuumlmuuml harcanmamıştır fakat 10 000 denar tutarında olan kiralardan buumltuumln 23 kira oumldemek iccedilin yeterli para yoktur O halde kira sayısı elde edilen sayıdan buumlyuumlk olan ilk doğal sayıdır fakat ilk 22 kira tutarı eşit son olan 23 kira diğerlerinden kuumlccediluumlktuumlr

Şek13

Son kira iccedilin ya da kira kalanı diye adlandırılan tutarı hesaplamak iccedilin formuumll bulacağız Son kirayı R0 ile işaret edelim Bu durum zaman ekseni şek 13rsquote goumlsterilmiştir Kira sermaye-sinin bireysel kiralarını iskonto ederek

10221022

11

111

11

11

13

nnnnn r

Rrrr

Rr

Rr

Rr

Rr

RRM

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade bir sonsuz geometrik dizisinin ilk n terim toplamıdır Buna goumlre

101

1

10

1 1

1

11

11

11

nn

n

n

n

n rR

rrrrR

rR

r

rRM

elde edilir Buradan da kira kalanı iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz

219

1

1

1

01

1

9

lt=

gt

nn

n

n rrr

rrRMR

Not 2 Bu ifadeyi doumlrduumlncuuml ve birinci i i tablolarıyla ifade edersek formuumll 12

0 1 77 np

npn VRMR

şeklinde yazılabilir Burada 1

11

1

12

7

rrrrV n

nnp dir

Bizim oumlrnekte n = 23 olduğuna goumlre 755231051

1051051

105105110000140000 22

22

22

0 9

lt=

gt

R

denar elde edilir Kira kalanı daima kira tutarından kuumlccediluumlktuumlrMn kira sermayesi n defa alınmış olan doumlnem sonu kira R ve doumlnem sonu faiz katsayısı r

verilmiş olsun Kira sermayesi formuumlluumlnden n

n

rr

RM 1

11

R

rMRr

RM

rnn

n

111

1

elde edilir Buradan da

1

rMRRrn

n

elde edilir Bu ifadenin iki tarafının logaritmasını alalım

1loglog

rMRRrn

n

oradan da

1log

log

1

rMRR

rn

n

elde edilir

Not 3 Verilen faiz oranı doumlnem başı olduğu durumda kira sayısı iccedilin

1log

log

1

88 nMRRn

formuumlluuml geccedilerli olacaktırn tam sayı olduğu durumda bu sayı alınacak kira sayısıdır aksi halde tam sayı olmadığı

durumda kira sayısı bu sayıdan buumlyuumlk olan ilk doğal sayı alınır Doumlnem başı kiralar iccedilin yapıl-dığı gibi burada da R0 kira kalanı hesaplanabilir (şek14)

220

Şek 14

Kiraları iskontolayarak kira sermayesi iccedilin

nnnnn rR

rrrR

rR

rR

rR

rRM 11

1111

11

012012

13

elde edilir Parantez iccedilindeki toplam ilk terimi 1

r ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik dizi-sinin toplamı olduğuna goumlre

nn

n

n

n

n rR

rrrR

rR

r

rr

RM 1

1

11

11

11

101

1

0

1

elde edilir Oradan da

n

n

n

n rrr

rRMR 9

lt=

gt

1

11

1

0

elde edilir Bu ifade doumlnem sonu kira kalanını hesaplamak iccedilin formuumllduumlr

Not 4 1

11

1

rrrn

n

ifadesi 17 npV ile değiştirildiğine goumlre i i tablolarından yararlanmakla

kira kalanı iccedilin şu formuumlluuml kullanacağızd

np

npn VRMR 77 1

0

Not 5 Kira kalanını hesaplamak iccedilin elde edilen formuumlllerde faiz katsayısı r doumlnem başı faiz katsayısı 8 ile değiştirilirse doumlnem başı faizlendirme iccedilin karşılık gelen kira kalanı formuumll-leri elde edilecektir

3 Yıllık doumlnem sonu kira almak iccedilin buguumln bankaya 280 000 denar yatırıyoruz Faiz oranı 5 pa(d) yıllık olduğuna goumlre 20 000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Son kira ne kadardır

Şu veriler biliniyor Mn = 280 000 kira R= 20 000 ve r = 105 n kira sayısını belirtmek istiyoruz Yukarıdaki formuumlllerden

676524105128000020000

20000log

051log

1

n

elde edilir Buna goumlre alınacak kira sayısı n = 25rsquotir Halbuki burada kiralardan ilk 24 tanesinin tutarı

eşit son kira tutarı ise farklı ve 20 000 denardan az olacaktır O halde kira kalanı iccedilin

221

4136370511051051

105120000280000 25

24

24

0 9

lt=

gt

R

denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Buguumln bankaya 91012227 denar yatırdık ve bu guumlnden başlayarak her uumlccedil ay sonunda 100000 denar tutarında kira alacağız Faiz oranı uumlccedil aylık vadeli 7 pa(d) olduğuna goumlre kaccedil kira alabiliriz

2 Buguumln bankaya 33931867 denar yatırdık Faiz oranı altı aylık vadeli 10 pa(d) oldu-ğuna goumlre doumlnem başı altı ay vadeli kaccedil kira alabiliriz

3 Buguumln 500000 denar altı ay vadeli 5 pa(d) faiz oranıyla bankaya yatırdığımız tak-dirde bu guumlnden başlayarak her altı ay sonunda 50000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Kira kalanı ne kadardır

4 Bankaya yatırılan 1 300 000 denar para ile uumlccedil aylık vadeli doumlnem sonu 40 000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Faiz oranı doumlnem sonu uumlccedil aylık vadeli 9 pa(d)rsquodir Kira kalanı ne kadardır

5 Buguumln bankaya 120 000 denar yatırdık ve bu guumlnden başlayarak her altı ay başında 4 800 denar tutarında kira alacağız Faiz oranı altı aylık vadeli 4 pa(d) olduğuna goumlre kaccedil kira alabiliriz ve kira kalanı ne kadardır

89 Periyodik Kiralarda Faiz Oranının Hesaplanması

Faiz oranı bilinmeyen diğer buumlyuumlkluumlkler ise biliniyorsa onu kira sermayesi formuumlluumlnden bilinmeyen buumlyuumlkluumlk gibi hesaplanacaktır doumlnem başı iccedilin 11 n

n pM R IV ve doumlnem sonu iccedilin n

n pM R IV

1 Hangi yıllık vadeli faiz oranıyla 600 000 denar yatırılmalıdır ki 25 yıl boyunca her yıl başı 50 000 denar tutarında kira alınsın

Doumlnem başı kiralara ait kira sermayesinin temel formuumlluumlnuuml accedilalım Amaccedil r doumlnem sonu faiz katsayısının değerini bulmaktır

222

1

11

rrrRM n

n

n

buradan

01 RrMrRM nn

nn

denklemi elde edilir Bu denklemde bilinmeyen rrsquodir ve derecesi genellikle 4rsquoten buumlyuumlktuumlr Boumlyle denklemleri

ccediloumlzmek iccedilin sayısal youmlntemler kullanılır ve bu youmlntemlerin uygulanması hayli zordur Halbu-ki 11 7 n

pn VRM

formuumlluumlnuuml kullanarak 1npIV finansal tablosundan değerleri okuyarak

p faiz oranını kolay belirtebiliriz Halbuki 1npIV tablosunda aranılan değer yoksa bileşik faiz

hesabında ve mevduatlarda yapıldığı gibi lineer enterpolasyon denilen youmlntem uygulanır

Konkre olarak oumldev 1rsquode Mn = 600 000 R = 50 000 n = 25rsquotir Formuumlluuml uygulamakla 24600 000 = 50 000 1 pIV olduğuna goumlre 24

pIV = 11 elde edilir 24

pIV tablosunda 11 değe-ri hiccedilbir faiz oranına karşılık gelmediğini goumlruumlyoruz Bu nedenle ona en yakın olan değerleri 109830 lt 11 lt 114693 alıyoruz Bu durumda

24

75IV = 109830 ve 24

7IV = 114693 olduğunu buluyoruz Şu tabloyu oluşturuyoruz

24

pV7 p 24

pV7 p

983010 57 983010 57 469311 7 11 p

48630 50 0170 57p

04863 (ndash 05) = 0017 (p ndash 75) orantısından 482757

48630

017050

p

elde edi-lir Demek ki aranılan faiz oranı 7482rsquodir

2 Bir kişi 5 yıl boyunca her yarıyıl sonunda 60 000 denar kira alıyormuş Kira sermayesi olarak ilk alınan kiradan altı ay oumlnce 463 302 denar yatırıldığına goumlre altı ay vadeli faizlendirme hangi faiz oranıyla yapılmıştır

Burada doumlnem sonu kira tutarı R = 60 000 kira sermayesi tutarı Mn = 463 302 n = 5 2

= 10 defa verilmiştir Doumlnem sonu kiraya ait kira sermayesi formuumlluuml 1

1

n

n n

rM Rr r

rsquodir Bu

eşitliği r faiz katsayısına goumlre duumlzenlersek 1 0n nn nM r M R r R denklemi elde edilir

Bizim oumlrneğimizde bu denklem 11 derecedir ve bunun ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirtmek kolay değildir Bu

nedenle finansal tablolarda 2

nn pM R IV kira sermayesinin formuumlluumlnden yararlanacağız

2

p

223

yarıyıllık etkin faiz oranıdır Demek ki 10

2

463302 60000 pIV olduğuna goumlre 10

2

77217pIV

elde edilir Tabloda n =10 iccedilin 77217 sayısına 2

P 5 karşılık gelir Buna goumlre yıllık nominal

faiz oranı 10 pa(d) olduğunu buluyoruz

3 12 yıl altı ay boyunca yarıyıllık faiz vadesiyle doumlnem sonu altı aylık 10 000 denar tuta-rında kira almak iccedilin 12 000 denar kira sermayesini hangi faiz oranıyla yatırmalıyız

Formuumllde Mn = 120 000 R = 10 000 ve kira sayısı n = 125 2 = 25 değerlerini değiştirirsek 25

2

120000 10000 pIV denkleminden 25

2

12pIV elde edilir Doumlrduumlncuuml i i tablosunda n = 25

iccedilin 12 sayısını değil ona en yakın komşuluğunda bulunan iki sayıyı seccediliyoruz Bunlar 121979 sayısı ki buna 65 faiz oranı ve 116536 sayısı ki buna 7 faiz oranı karşılık gelir

Bu verileri tabloda yazarak enterpolasyon yapacağız

25

2pV7 2p 25

2pV7 2p

653611 7 653611 7 197912 56 12 2p 54430 50 34640 72 p

05443 (ndash 05)= 03464 (p 2 ndash 75) orantısından

6826754430

3464050

2

p

elde

edilir Buna goumlre yıllık nominal faiz oranı 13364 pa(d)rsquodir

4 Buguumlnden başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her uumlccedil ayın sonunda 16 000 denar para bankaya yatıracağız Bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesabımızdan o kadar para ccedilekmeliyiz ki beş yıl sonra hesabımızda kira sermayesi olarak 30840 denar paramız birikmiş olsun Bu kira sermaye-sinden yaralanarak 25 yıl boyunca 4000 denar tutarında doumlnem sonu uumlccedil ay vadeli kira alacağız Bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesabımızdan hangi miktar parayı ccedilekmeliyiz Faiz oranı bu zaman suumlresinde daima aynıdır

İki yıllık yatırım yapılıyor fakat faiz oranını bilmediğimizden mevduatın tutarını hesapla-yamıyoruz Halbuki kira iccedilin verilerimiz vardır ve oradan faiz oranını hesaplayacağız Bu verile-ri zaman ekseni uumlzerinde goumlsterdikten sonra denklemler kuracağız

224

yatırımlar

Şek 15

S yatırımının son değeri bir yıl faizlenir X tutarında para ccedilekilir ve kalan para daha iki yıl faizlenir Buguumlnden 5 yıl sonraki guumlnde bankada biriken para tutarı kiraların toplam tutarına karşılık gelir Buna goumlre 4 8S r X r M denklemi elde edilir Oumlnce faiz oranını hesapla-

yalım Kira sermayesi formuumlluumlnden 4

npM R IV yazabiliriz burada n kira sayısıdır ve oumlrneği-

mizde n = 25 4 =10 kiradır Buna goumlre 4

771npIV elde edilir Bu değer 8

4

p faiz oranına

karşılık gelir Demek ki p = 32 pa(d) olduğunu buluyoruz Buna goumlre 321 108

4 100r

değerini Xrsquoin bulunduğu denklemde yerine koyabiliriz Yatırım doumlnem sonu olduğuna goumlre

1701861081

108116000

8

S denar elde edilir O halde 4 8170186 108 108 30840X

denklemi elde edilir Bunun ccediloumlzelim 231536 ndash X = 16662 oradan da X = 231536 ndash 16662 = 214874 denar olduğunu buluyoruz

Ccedilekilmesi gereken miktar 214874 denardır

Alıştırmalar

1 On yıl boyunca her uumlccedil ayın başlangıcında 10 000 denar tutarında kira alınmıştır İlk alınan kiranın ilk guumlnuumlnde 200 000 denar para yatırılmışsa uumlccedil ay vadeli hangi faiz oranı kulla-nılmıştır

2 12 yıl boyunca her uumlccedil ayda bir 2 000 denar doumlnem başı kira almak iccedilin 70 000 denar hangi faiz oranıyla yatırılmalıdır Faizlendirme her uumlccedil ayda bir yapılacaktır

3 Altı yıl boyunca her altı ayda 6 000 denar tutarında doumlnem sonu kira almak iccedilin 45 216 denar kira sermayesi hangi faiz oranıyla yatırılmalıdır

4 Bir kişi 36 000 denar yatırım yaparak ilerdeki 5 yıl boyunca her doumlrduumlncuuml ayda 4 500 denar tutarında kira almalıdır Doumlrt ay vadeli hangi faiz oranı kullanılmıştır

225

5 Bir yıl oumlnce yatırılan tutarın şimdiki değeri 45 000 denardır ve her ikinci ay sonunda bu paradan iki yıl boyunca 5 000 denar tutarında kira alınacaktır Kira iki ay vadelidir Bir yıl oumlnce hangi miktar para yatırılmıştır

810 Karma Oumldevler

Tuumlm i i tablolarının uygulanmış olduğu bazı ccediloumlzuumllmuumlş oumldevler uumlzerinde duracağız Ve-rilen oumlrnekler yatırımlar (mevduatlar) ve bileşik faizlendirmeden oluşan bileşik kombinasyon-lardan meydana gelmiştir

1 Buguumln ne kadar kapital yatırmalıyız ki bu guumlnden başlayarak 5 yıl sonraki altı yıl bo-yunca her uumlccedil ay başında 9000 denar tutarında kira almak iccedilin yatırımımız olsun Faizler ilk iki yılda aylık vadeli 6 ps(d) faiz oranıyla sıradaki uumlccedil yılda uumlccedil ay vadeli 10 pa(a) faiz oranıyla ve son altı yılda faiz oranı 4 pq(d) hesaplanacaktır (şek15)

Şek 16

Kira sermayesi aslında anaparanın faizlenmiş tutarıdır ve farklı periyotlarda farklı faiz oranlarına goumlre şu şekilde hesaplanacaktır

- İlk iki yıl 2 12 = 24 defa 01110012

621

r

faiz katsayısıyla faizlenecek

- sıradaki 3 yılda 3 4 =12 defa 025641

4

10100

100

8

faiz katsayısıyla ve

- kiraların hesaplanmasında toplam 6 4 =24 kira uumlccedil aylık vadeli 4 etkin faiz oranıyla ya da rrsquo = 104 faiz katsayısıyla faizlenecektir

Buna goumlre nMrK 1224 8

ve 1

124

24

AAA

Arr

rrRM n

dir Verilen değerleri değiştirdik-

ten sonra elde edilen ifadeleri eşitliyoruz Bu şekilde

1041041

10410419000025641011

24

241224

K

denklemi elde edilir İfadenin sadeleştirilmesiyle 172 K = 142 712 elde edilir Buna goumlre buguumln oumldenmesi gereken tutar K = 82 972 denar olduğunu buluyoruz

226

2 Banka hesabımıza 780 000 denar tutarında kira sermayesi yatırıyoruz Faiz oranı ilk 4 yıl boyunca 6 pa(d) ve gelecekteki altı yıl boyunca 8 pa(d) olmak uumlzere on yıl boyunca ayda ne kadar kira alınabilir Faizlendirme işlemi aylık ve ilk kira kira sermayesinin yatırıldı-ğından bir ay sonra başlayacaktır

Oumlnce ilk kira oumldemesi ay sonunda yapıldığına goumlre doumlnem sonu kiradan bahsedildiğini fark edelim Farklı faiz oranları uygulandığından aynı tutarlı fakat farklı kira sermayesi ile ilk 4 yılda bir ikinci 6 yılda ikinci kira oumldendiğini farz edebiliriz (şek17)

Şek 17

İlk doumlrt yıl iccedilin gereken kira sermayesi M1 ve ilerdeki 6 yıl iccedilin M2 olsun Oumldenen top-lam kira sermayesi tutarı M1 ve iskontolanmış M2 tutarlarının toplamıdır Birinci kira 4 12

= 48 defa doumlnem sonu faiz katsayısı 005110012

611

r

ile hesaplanacaktır ve elde edi-

len kira sermayesi RRM 58042100510051

1005148

48

1

rsquodir İkinci kira 6 12 = 72 defa

doumlnem sonu faiz katsayısı 00667110012

812

r

olduğuna goumlre ikinci kira sermaye-

si RRM 028571006671006671

100667172

72

2

rsquodir O halde 124

1

21

1

rMMM

eşitliğinden

4800510285758042780000 RR

denklemi elde edilir Denklemi ccediloumlzerek aylık kira R =

8917 denar olduğunu elde ediyoruz

3 Dokuz yıl boyunca uumlccedil ay vadeli 18 000 denar tutarında kira almak istersek her ay başın-da 6 yıl boyunca ne kadar mevduat yatırılmalıdır Son yatırılan mevduattan ilk kira alınıncaya kadar 6 yıl 1 ay geccedilecektir Faiz oranı 8 pa(d) faizlendirme ilk 6 yılda aylık vadeli ondan sonra uumlccedil aylık vadeli olacaktır (şek18)

227

R uumlccedil aylık kiraV aylık mevduat

Şek 18

Bilinmeyen bireysel mevduat Vrsquodir Mevduat toplam 6 12 = 72 defa doumlnem başıdır Al-

tıncı yıl sonunda 1

81 100667

12 100r

faiz katsayısıyla yatırımların son tutarı S hesaplanır

Buna goumlre VVr

rrVS 65921006671

1006671006671

1

1 72

1

72

11

elde edilir S tutarına kira ser-

mayesi olduğu andan itibaren faizlendirmeye başlanır Son mevduattan ilk kiranın oumldenmesine kadar 6 yıl 1 ay suumlre vardır fakat S son mevduattan bir ay sonra hesaplanmaya başlıyor Demek ki faizlendirme suumlresi 6 yıldır O halde S tutarını belirttikten sonra faizlendirme uumlccedil aylık vadeli

olduğuna goumlre 6 4

2M S r rsquodir Bu durumda r2 faiz katsayısı iccedilin 2

81 102

4 100r

elde edi-

lir Buna goumlre kira sermayesi iccedilin VVSM 1490216592021 2424

elde edilirDiğer taraft an kira sermayesini kiranın koşullarına goumlre hesaplayacağız Kira her uumlccedil ay

vadeli 9 yıl boyunca alınır Demek ki ilk uumlccedil ayın başlangıcından başlayarak yani doumlnem başı toplam n = 9 4 = 36 kira oumldenir Faiz katsayısı r2 = 102rsquodir Buna goumlre

46800026180001021021

102102118000

1

136

36

2

36

2

36

22

rr

rrRM

elde edilir Kira sermayesinin iki değerini eşitleyerek 149 V = 468 000 elde edilir Buna goumlre V = 3141 denardır

4 Biri 9 yıl oumlnce banka hesabına 38 000 denar yatırmıştır İlk iki yılda başka yatırım ve para ccedilekme olmamıştır Ondan sonra 3 yıl boyunca her 6 ayda 8 000 denar tutarında mevduatlar yatırılmıştır Bu guumlnden başlayarak ilerdeki 4 yıl boyunca yıllık vadeli 15 000 denar tutarlı kira alınacaktır Bu guumlne kadar yarıyıllık vadeli faiz oranı 8 pa(d) bu guumlnden itibaren ise yıllık vadeli faiz oranı 10 pa(d) uygulandığına goumlre son kiradan sonra kişinin banka hesabında ne kadar parası olacaktır (şek 19)

228

mevduatlar

Şek 19

Oumldenen mevduatların faizlenmiş değerlerini gereken kira sermayesi ve iskonto kalanı K

ile eşitleyeceğiz Bu guumlne kadar faiz katsayısı 1

81 104

2 100r

rsquotuumlr Yatırılan ilk mevduat

tutarı K0 = 38 000 denardır ve buguumlne kadar yarıyıllık vade ile toplam 9 2 =18 defa faizlenir

32 = 6 defa yatırılan mevduatın toplam tutarı 551861041

10410418000

1

1 6

1

6

11

rrrVS

de-

nardır ve bu tutar buguumlne kadar faizlenir ve bu şekilde buguumlne kadar yatırılan paranın toplam tutarı

1525070415518604138000 81824

1

18

10 rSrK

denardır

Banka hesabından ilerde ccedilekilen parasal değerleri hesaplamak iccedilin kira ve kalanın iskon-tolanmış değerini hesaplamak gerekir Son kiradan sonra 4 yıl faizde kalan doumlnem başı yıllık vadeli mevduat soumlz konusu olduğunu belirtmeliyiz Bu demektir ki son kiradan doumlrt yıl sonra buguumlnden ise 8 yıl sonra iccedilin kalan para tutarını hesaplayacağız O halde doumlnem başı faiz katsa-

yısı 2

100111

100 108

olduğuna goumlre K kalanının iskontolanmış değeri 8

2

1K8 rsquodir

O halde kira sermayesi iccedilin 1

1

2

5

2

5

22

888

8RM

geccedilerlidir Beş yıllık doumlnem başı yıllık

vadeli 15 000 denar kira tutarı iccedilin 61537

1111111

111111115000

5

5

M

denar elde edilir

8

2

8

1

18

10

1

8 KMrSrK

şimdiye kadar yapılan yatırımları ve alımları eşitlemekle

152507 = 61537 + K middot111ndash8 elde edilir ve oradan K = 39 474 denar olduğunu buluyoruz Bu guumln-

den sekizinci yılın sonunda banka hesabında 39 474 denar kalacaktır

229

Alıştırmalar

1 11 yıl oumlnce banka hesabımıza yarıyıllık vadeli 4 yıl boyunca 8 000 denar tutarında mevduatlar yatırmaya başladık 3 yıl oumlnce bir defaya mahsus daha 90 000 denar yatırdık Buguumln-den başlayarak yedi yıl boyunca aylık kiralar alacağız ve 49 aydan sonra hesabımızda daha 50 000 denar kalacaktır Faiz oranı buguumlne kadar yarıyıllık vadeli 8 pa(d) ve bu guumlnden sonuna kadar aylık vadeli 12 pa(d) olduğuna goumlre kira tutarı ne kadardır Kiralar ve mevduatlar douml-nem başıdır

2 12 yıl oumlnce bankaya bir miktar para yatırdık Ondan uumlccedil yıl sonra 5 yıl boyunca her altı ayda 3 000 denar tutarında mevduatlar yatırdık Bu guumlnden başlayarak 8 yıl boyunca altı ay vadeli 5 000 denar tutarında kira alacağız Son kiradan 1 yıl 6 ay sonra banka hesabımızda daha 4 000 denar paramız olacaktır Buguumlne kadar faiz oranı 8 pa(d) ve buguumlnden sonra p = 6 pa(d) altı ay vadeli olduğuna goumlre 12 yıl oumlnce ne kadar para yatırılmıştır Hem mevduatlar hem kiralar doumlnem başıdır

3 Uumlccedil yıl oumlnce başlayarak iki yıl boyunca banka hesabımıza her ay doumlnem başı 2000 denar tutarında mevduat yatırmaya başladık Bir yıl oumlnce daha 40 000 denar yatırıldı Bu guumlnden bir yıl sonra 5 yıl boyunca R tutarında doumlnem başı aylık kira alacağız ve bu guumlnden 6 yıl sonra bir yıl boyunca 2200 denar tutarında doumlnem başı aylık kira alacağız Faiz oranı 13 pa(d) olduğuna goumlre beş yıllık kira tutarı ne kadar olacaktır Faizlendirme bir aylık vadelidir

4 Bir kişi 30 yıl oumlnce başlayarak onuncu yıl oumlnceye kadar her ay başında 24 pa(d) faiz oranıyla aylık vadeli 1100 denar tutarında mevduat yatırmıştır O guumlnden sonra faiz oranı 4 pa(d) altı ay vadeli faizlendirme uygulanmıştır Bu guumlnden başlayarak ilerdeki 15 yıl boyunca kişi her altı ayda kira alıp son kirayı aldıktan sonra hesabında 50 000 denar kalıyorsa yarıyıl vadeli kira tutarı ne kadardır

5 Biri yedi yaşından 15 yaşına kadar her uumlccedil ayın başında banka hesabına 7000 denar yatırmıştır 20 yaşında bir defaya mahsus daha 200 000 denar para yatırmıştır 30 ve 40 yaş ara-sındaki doumlnemde her uumlccedil ay başında 125 000 denar tutarında kira almıştır Faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil ay vadeli olduğuna goumlre ellinci yılında şahsın banka hesabında ne kadar parasal varlığı ola-caktır

230

8 11 Alıştırmalar

1 Bu guumlnden başlayarak 1 yıl ve 8 ay boyunca her ay başında 1200 denar tutarında mev-duat yatıracağız Faiz oranı 6 pa(d) aylık vadeli faizlendirme ile bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesa-bımızda ne kadar para birikecektir

2 İki yıl oumlnce banka hesabımıza 40 000 denar para yatırdık Şimdiden 4 yıl sonra hesabı-mızda 800 000 denar birikmesi iccedilin ilerdeki uumlccedil yıl boyunca her ay sonunda ne kadar mevduat yatırmalıyız Faiz oranı 18 pa(d) aylık vadelidir

3 4500 denar tutarında uumlccedil ay vadeli kaccedil mevduat yatırmalıyız ki son mevduattan 3 ay sonra hesabımızda 120 000 denar para birikmiş olsun Faiz oranı 10 ve faiz vadesi uumlccedil aylıktır

4 Bir kişi 35 yaşından başlayarak 41 yaşına kadar her altı ay sonunda 6 000 denar tutarın-da para banka hesabına yatırıyor ve son yatırım guumlnuumlnde hesabında 144 000 denar olduğunu tespit ediyor Faizlendirme altı aylık olduğuna goumlre yatırım hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

5 Biri banka hesabına her uumlccedil ay başında 6000 denar tutarında mevduat yatırmış ve bu-guumlnden 4 yıl sonra hesabında 314 422 denar para birikmiştir Buguumln dahil kişi kaccedil yıl hesabına uumlccedil ay vadeli 6000 denar tutarında para yatırmıştır Faiz oranı 6 pa(d) ve faizlendirme uumlccedil ay vadelidir

6 20 yıl boyunca ccedileyrek yıl vadeli doumlnem sonu 7200 denar tutarında kira almak iccedilin bu-guumln hangi miktar parayı yatırmalıyız Faiz oranı 8 pa(d) ve faizlendirme uumlccedil ay vadelidir

7 Bu guumlnden başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay sonunda 2 500 denar tutarında mevduat yatırılıyor Bu guumlnden 4 yıl sonra başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay başında ne kadar kira alabiliriz Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

8 Buguumln hesabımıza 100 000 denar para yatırdık Altı aylık vadeli doumlnem başı 10000 denar tutarında kirayı buguumlnden başlayarak kaccedil defa alabiliriz Faiz oranı 5 pa(d) altı aylık vadelidir Kira kalanı ne kadardır

9 Buguumln 115 610 denar yatırdık ve bir ay sonra başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay sonunda 9000 denar tutarında kira almaya başlayacağız Faizlendirme aylık vadeli olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

10 Buguumln hangi miktar parayı yatırmalıyız ki 5 yıl sonra hesabımızda 59008 denar pa-ramız kira sermayesi olarak birikmiş olsun Bu paradan 3 yıl boyunca her uumlccedil ay sonunda 1200 denar tutarında kira oumldenecektir

231

11 10 yıl oumlnce banka hesabımıza 50 000 denar para yatırdık Doumlrt yıl sonra her ay başın-da 800 denar tutarında 6 yıl boyunca periyodik yatırımlara başladık Buguumlnden başlayarak 2 yıl boyunca her ay başında 3000 denar tutarında aylık kira alacağız Son kiradan yarım yıl sonra hesabımızdan daha 197650 denar alıyoruz Bu guumlnden 3 yıl sonra banka hesabımızda ne kadar paramız kalacaktır Faiz oranı 10 pa(d) aylık vadelidir

12 Bir baba ccedilocuğunun tasarruf karnesine 8 yaşından 15 yaşına kadar her ay sonunda 500 denar yatırıyor 18 yaşından 24 yaşına kadar her ay başında 600 denar yatırıyor Ondan sonra 26 yaşından 15 yıl boyunca her ay başında 250 denar yatırıyor Faiz oranı 10 pa(d) aylık vadeli olduğuna goumlre son yatırımdan altı ay sonra ccedilocuğun karnesinde ne kadar parası olacaktır

13 On iki yıl oumlnce bir miktar para yatırılmış ve buguumln 30 000 denar ccedilekilmiştir Buguumlnden başlayarak ilerdeki 6 yıl zarfında her doumlrt ay sonunda 500 denar tutarında para yatırılmıştır Faiz oranı 6 pa(d) doumlrt ay vadelidir Bu guumlnden 12 yıl sonra hesabımızda 208790 denar oldu-ğuna goumlre 12 yıl oumlnce ne kadar para yatırılmıştır

14 Birkaccedil yıldan buguumlne kadar her uumlccedil ay başında 12000 denar para yatırılmıştır ve bu-guumlnden doumlrt yıl sonra banka hesabında 175400 denar birikmiştir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil ay vadelidir Paranın yatırılması kaccedil yıl oumlnce başlamıştır

15 Biri 80 000 denar para yatırmıştır 25 yıl sonra her uumlccedil ay başında kira almaya başlaya-caktır 25 yıl boyunca ne kadar kira alabilir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil ay vadelidir

16 Buguumlnden bir yıl uumlccedil ay sonra hangi miktar parayı yatırmalıyız ki yatırım guumlnuumlnden buguumlnden 3 yıl sonraya kadar her ay sonunda 4500 denar tutarında kira alınsın ve son kira alın-dığı guumlnde hesapta 11250 denar para kalsın Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

17 Biri 5 yıl oumlnce 24 000 denar yatırmış ve buguumlnden ilerdeki iki yıl boyunca her altı ay başında 38 330 denar para yatıracaktır Faiz oranı daima aynı altı aylık vadeli olmak uumlzere son yatırımda hesapta 400 000 denar biriktiğini varsayarsak bu guumlnden 5 yıl sonra kişinin hesabın-da ne kadar parası olacaktır

18 Buguumln banka hesabına 150 000 denar yatırılmış iki yıl sonra da 60 000 denar hesap-tan ccedilekilmiştir Buguumlnden onuncu yıla kadar doumlnem sonu yıllık kira alacağız ve son kiradan 3 yıl sonra hesabımızda 30 000 denar kalacaktır Faiz oranı 5 pa(d) yıllık vadeli olduğuna goumlre kira tutarı ne kadardır

232

Konu Oumlzetleri

Basit ve bileşik faiz hesaplarını uygularken sadece bir defaya mahsus olmak uumlzere yatırı-lan parasal varlıklar ve bazı oumlrneklerde farklı periyotlarda yatırılan ya da ccedilekilen tutarlar soumlz ko-nusuydu Bu durumda bireysel yatırımlar eşit ya da farklı olabilirdi belli bir kurala goumlre değişe-bilir oumlrnek aritmetik ya da geometrik dizisi kanununa goumlre artar ya da azalabilir veya tasarruft a olduğu gibi belli bir kanuna uymadan gelişiguumlzel değişebilir Halbuki ccedilok kez yatırımlar belli bir kanuna goumlre aynı zaman aralıklarında tekrarlanabilir yatırımlara rastlıyoruz Boumlyle durumlarda soumlz konusu mevduattır Mevduat belli bir suumlre sonunda veya istenildiğinde ccedilekilmek uumlzere ban-kalara faizle yatırılan paradır Mevduatlar belli suumlrelerde aynı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adlandırılıyorlar

Yatırımlar oumldemeler serisinin başlama noktasına goumlre doumlnem başı ve doumlnem sonu mev-duatlar olarak ikiye ayrılıyorlar Yatırım esnasında her mevduatın faizi yatırıldığı guumlnden tuumlm mevduatların toplam değerinin hesaplandığı ana kadar hesaplanır Doumlnem başı ya da doumlnem sonu faizlendirme uygulanabilir Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda aynı bazı du-rumlarda ise farklı yani mevduat vadelerinden daha sık ya da daha seyrek olabilirler Pek sık tuumlm mevduatların toplam değeri ne kadardır sorusu sorulmaktadır Yatırım esnasında faizi he-saplanmış tuumlm mevzuatların toplamına yatırımın gelecekteki değeri denir

Biz burada sadece faiz doumlnemleriyle ccedilakışık olan bireysel periyodik mevduatları ve aynı zamanda sabit mevduatlı olan yatırımları inceleyeceğiz

Yıl esnasında sadece bir mevduat oumldendiği durumda soumlz konusu yıllık mevduat olur yatırım yılda iki defa yapıldığında altı aylık (yarım yıllık) mevduat yılda doumlrt defa yatırım yapıldığında uumlccedil aylık (ccedileyrek yıllık) mevduat biccediliminde adlandırılır Yatırım ayda bir yapılırsa aylık mevduat olur Burada da faizlendirme vadesi yıllık altı aylık uumlccedil aylık vb olabilir

Doumlnem başı faizlenmiş yatırımların toplamı şu formuumllle hesaplanır

1

1

r

rVrSn

n doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

888

n

n VS doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem sonu faizlenmiş yatırımların toplamı şu formuumllle hesaplanır

1

1

r

rVSn

n doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

233

1

1

88 n

n VS doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem başı faizlenmiş yatırımların değeri şu formuumllle hesaplanır

1

1

nn rrrSV doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

nnSV888

doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem sonu faizlenmiş yatırımların değeri şu formuumllle hesaplanır

1

1

nnSV88

doumlnem başı faizlendirme

1

1

nn rrSV doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

Doumlnem başı yatırımların sayısı şu formuumllle hesaplanır

Vr

rSVrr

n n 1log

log

1

Doumlnem sonu yatırımların sayısı şu formuumllle hesaplanır

V

rSVr

n n 1log

log

1

Son mevduat diğerlerinden farklıdır ve ona yatırımın kalanı denirDoumlnem başı mevduatların son mevduatı (kalanı) şu formuumllle hesaplanır

1

10

888

8

n

n VSV doumlnem başı mevduatlar iccedilin

10

888 n

n VSV doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

Doumlnem sonu mevduatların son mevduatı şu formuumllle hesaplanır

1

10

rrrVS

rV

n

n doumlnem başı mevduatlar iccedilin

10

rrrVSV

n

n doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

234

Doumlnem başı yatırımların doumlnem sonu faizlendirmesiyle biriken gelecekteki değeri hesap-

lamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnde Sn ve V bilindiğinde bilinmeyen r faiz

katsayısını yani p pa(d) değerini hesaplamak iccedilin

011 13

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu ise r katsayısına goumlre bir polinom denklemidir ve genel olarak dere-cesi 3rsquoten buumlyuumlktuumlr Bu gibi denklemleri ccediloumlzmek iccedilin (bazı oumlzel durumlar hariccedil) belli bir kural yoktur Bu nedenle bu gibi denklemleri bilinen bazı numerik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Halbuki amacımız şimdi numerik youmlntemlerin denklemlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğrenmek değildir Bu-rada sadece pratik oumldevlerin yararına faiz oranını en kolay biccedilimde belirtmektir Bu nedenle faiz oranının hesaplanmasını i i tablolarındaki değerleri kullanan n

n pS V III formuumlluumlne goumlre yapacağız

Aynı işlemleri doumlnem sonu yatırımlar iccedilin de yapacağız Yatırımların gelecekteki değeri 1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden faiz katsayısı r iccedilin

01 VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu denklem de r değişkenli polinomdur Yatırımların gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin i i tablolarındaki değerleri kullanan 11 n

n pS V III formuumlluumlnden yarar-

lanarak V

VSVS nnn

p

777 11 elde edilir n ndash 1rsquoin bilinen değeri iccedilin V

VSn değeri tabloda

varsa faiz oranı doğrudan doğruya okunur Aksi halde faiz oranını doğrusal enterpolasyon ile belirtiyoruz

Eşit zaman aralıklarında alınan alacaklar soumlz konusu olunca ilk aklımıza gelen kiradır Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (rentler) diye adlandıracağız Kira anuumliteleri oumlnceden belirlen-miş kanuna goumlre değişebilir oumlrneğin geometrik ya da aritmetik dizisi kanununa goumlre değişebilir Boumlyle kiralara değişken kiralar denir Oumlzelliklerine goumlre kiralar birccedilok şekilde adlandırılıyorlar oumldeme zamanına goumlre periyodun başlangıcında oumldenirse doumlnem başı kiralar periyodun so-nunda oumldenirse doumlnem sonu kiralar diye adlandırılıyorlar Oumldemelerin zaman suumlresine goumlre geccedilici kiralar (belli bir suumlre iccedilin) oumlmuumlr boyu kiralar (kirayı oumldeyen kişinin oumlmruumlnuumln sonuna kadar) ya da kira alacakları hiccedil bitmeyen olduğu durumda daimi kiralar soumlz konusudur Kirala-rın oumldendiği periyoduna goumlre yıllık yarıyıllık uumlccedil aylık aylık vb kiralar fark ediyoruz

Kira almak iccedilin oumlnce bunu getirecek varlık temin edilmelidir Kira getirmek amacıyla yatırılan varlık miktarına kira sermayesi denir Burada bir defaya mahsus olan yatırım soumlz ko-nusudur Halbuki parasal varlıklar periyodik oumldemelerle de yapılabilir Kira alacakları kira be-

235

delinin yatırılmasıyla başlarsa hemen kiralar kira alacakları belli bir zamandan sonra başlarsa o halde ertelenmiş kiralar soumlz konusu olur

Sabit miktarlı faizlendirme vadesi kiranın oumldeme vadesiyle ccedilakışan periyodik oumldemeler uumlzerinde daha fazla duracağız Formuumlllerin belirtilmesinde faiz oranı doumlnem sonu olduğunu varsayacağız Şu işaretlemeleri kullanacağız Mn ndash kira sermayesi R- kira (rent) n ndash oumldeme sa-yısı r ndash doumlnem sonu faiz katsayısı 8 - doumlnem başı faiz katsayısı

Doumlnem başı kiraların yatırımı şu formuumllle hesaplanır

1

1

1

n

n nrM R

r r

doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

1

n

n nM R

doumlnem başı faizlendirme iccedilin

Doumlnem sonu kiraların yatırımı şu formuumllle hesaplanır

1

1

n

n nrM R

r r

doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

88

8n

n

n RM doumlnem başı faizlendirme iccedilin

Faiz yatırımının değeri Mn faizlendirme koşulları ve kira sayısı bilindiği durumda kira tutarının değeri şu formuumllle hesaplanır

1

11

n

n

n rrrMR doumlnem sonu faizlenen doumlnem başı alınan kira iccedilin

1

1

n

n

n rrrMR doumlnem sonu faizlenen doumlnem sonu alınan kira iccedilin

1

11

n

n

nMR8

88 doumlnem başı faizlenen doumlnem başı alınan kira iccedilin

1

1

n

n

nMR888 doumlnem başı faizlenen doumlnem sonu alınan kira iccedilin

Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde doumlnem başı kira sayısı şu formuumllle hesaplanır

236

1log

log

1

rMRrRr

rn

n

doumlnem sonu faiz oranı iccedilin

1log

log

1

888

8 nMRRn doumlnem başı faiz oranı iccedilin

Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde doumlnem sonu kira sayısı da şu formuumll-le hesaplanır

1log

log

1

rMRR

rn

n

doumlnem sonu faiz oranı iccedilin

1log

log

1

88 nMRRn doumlnem başı faiz oranı iccedilin

Son kira yani kira kalanı doumlnem sonu kiralar iccedilin şu formuumllle hesaplanır

n

n

n

n rrr

rRMR 9

lt=

gt

1

11

1

0

Diğer buumlyuumlkluumlkler bilindiğinde faiz katsayısı doumlnem başı kira iccedilin 11 nn pM R IV for-

muumlluumlnden ve doumlnem sonu kiralar iccedilin nn pM R IV formuumlluumlnden bilinmeyen gibi hesaplana-

bilir

237

BORCcedilLAR

91 Borccedil Kavramı ve Ccedileşitleri

Finansal varlıkların yetmediği durumlarda insanlar guumlnluumlk gereksemelerini gidermek iccedilin borccedil varlıklardan yararlanıyorlar Bazı durumlarda bireysel ya da tuumlzel kişilerin uzun vadeli gelirleri de planladığı işleri yapmak iccedilin gereken finansal kaynakları yetmeyebilir Boumlyle durum-da borccedillar kullanılır yani belli koşullar altında borccedil alınan finansal varlıklardan yararlanılır Borccedil veren ve alan borccedil miktarı geri verilme şekli geri oumldeme zamanı faiz oranı vb hususlarda aralarında anlaşıyorlar

Borccedil para mal veya para cinsinden bir değerin belirli bir vade ve koşulla geri alınmak uumlzere verilmesidir yani borccedil veren finansal varlıklarını borccedil alana geccedilici bir suumlre iccedilin hizmetine devretmesidir

Bu boumlluumlmde borccedillunun borcunu oumldeme koşulları borccedil verene olan yuumlkuumlmluumlluumlğuuml yani finansal varlıkların devredilme koşulları borcun suumlresinde faizlendirmeyi iccedileren anlaşmalar soumlz konusu olacaktır Borccedil tutarı genellikle birden verilir ve geri alınması birden değil ccedilok kez belli periyotlarda gerccedilekleştirilir Her periyotta borcun oumldendiği tutara oumldeme denir Belli pe-riyotta oumldemenin faiziyle beraber tutarına anuumlite denir diğer soumlzlerle anuumlite belirli bir zaman suumlreci iccedilerisinde eşit aralıklarla verilen veya alınan eşit oumldemeler serisidir Borcun her bireysel oumldemesine gereken zaman suumlresine amortisman vadesi denir

Kullanılışlarına goumlre geccedilerlilikte olan kanunlara goumlre suumlresine goumlre birccedilok borccedil ccedileşitleri vardır

Geri oumldenme suumlresine goumlre kısa vadeli (geri oumldeme suumlresi en ccedilok bir yıl) orta vadeli ve uzun vadeli diye adlandırılıyorlar

Oumldeme şekline goumlre borccedillar amortismanlı ve kiralı olabilirler Borccedil belli bir suumlrede faiz ve borcun bir kısmını oumldemekle geri oumldeme yapıldığı durumda amortismanlı borccedil soumlz ko-nusu olur Kiralı borccedillar ise kira şeklinde oumldenen sabit tutarlı taksitler halinde oumldenen borccedillar-dır

Guumlvenceye goumlre kişisel ve reel borccedillar olabilir Kişisel borccedillar borccedil verenin borccedil alana olan şahsi guumlvencesine goumlre verilir Reel borccedillar ise borcun oumldenmesini garantileyecek oumlrneğin ipotek gibi varlıklar guumlvencesiyle verilir

Borccedil verene goumlre yerli ya da yabancı borccedillar aleni ya da oumlzel banka ya da banka dışı vb borccedillar olabilir

Borccedil uumlzerine faizin oumldenip oumldenmediğine goumlre faizli ve faizsiz borccedillar şeklinde adlan-dırılabilir

9

238

Borccedillanmaya ait verilen belgelere goumlre borccedillar soumlzleşmeli (borccedil tutarının tuumlmuuml iccedilin bir belge) ve tahvillere (senetlere) boumlluumlnmuumlş borccedillar (birden fazla alacaklıya aynı ya da farklı tutarlı kısımlara ayrılmış fakat onların toplam tutarı tuumlm borccedil ile eşit olacaktır) olabilir

Anuumlitelerin oumldeme suumlresine goumlre doumlnem sonu anuumliteli borccedillar (oumldemeler serisi dev-renin sonunda yapılan) ve doumlnem başı anuumliteli borccedillar (oumldemeler devrenin başında yapılan anuumliteler) olabilir

Faizin hesaplanmasına goumlre borccedillar doumlnem sonu faizlenen ve doumlnem başı faizlenen biccediliminde adlandırılabilir

Mevduatlarda ve kiralarda olduğu gibi borccedillar da doumlnem sonu anuumliteli ve doumlnem başı faizlendirme doumlnem sonu anuumliteli doumlnem sonu faizlendirme biccediliminde olabilir Aynı şekilde doumlnem başı anuumliteler iccedilin de doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlendirme biccediliminde olabilirler

Borccedilların amortismanı birccedilok farklı şekilde yapılabilir Uzun vadeli borccedillarda vade suumlre-since sadece faizlerin vadenin sonunda da borcun tamamını bir defada oumldemek ya da her bir taksit hem anaparanın bir boumlluumlmuumlnuuml hem de ilgili devrelerin faizini iccedilerir

Şunu da belirtelim borcun amortismanı denilen kademeli oumldemede oumlnceden belirlen-miş tutarlarla belli zaman aralıklarında oumlnceden belirlenmiş bir plan uumlzerinde oumldenmesine amortisman planı denir Halbuki amortisman planını yapmak iccedilin bazı verilerin kesin bilin-mesi gerekir Mesela hangi zamanda ne kadar oumldenmesi gerektiğini borcun ne kadarı kaldığını ne kadar faiz hesaplandığını bu verilerin her biri nasıl hesaplanacağını da belirtmek gerekir

Oumldemeler ve anuumliteler sabit ya da belli bir kurala goumlre oumlrneğin aritmetik ya da geometrik dizisi kuralına goumlre değişen olabilir Biz şimdilik sabit anuumliteli borccedilları inceleyeceğiz Ccediluumlnkuuml bunlar pratikte daha sık rastlanan ve borcu oumldeme suumlresinde belli aralıklarda taksitlere ayırarak oumldenmesi borccedilluya daha elverişlidir Borccedil eşit oumldemelerle tahsil edildiği durum borccedilluya pek elverişli değildir ccediluumlnkuuml borcu aldığı anda buumlyuumlk anuumlite ile oumldemeye başlaması gerekir Faizlen-dirme vadesi de anuumlitenin oumldeme vadesiyle ccedilakışabilir ya da ccedilakışmayabilir de

İlerde sadece eşit anuumliteli borccedilları ve yuvarlanmış anuumliteli borccedilları ve her iki durumda doumlnem sonu anuumliteleri ve doumlnem sonu faizlendirmesi yapılan ve faizlendirme vadesi ve amor-tisman vadesiyle ccedilakışan borccedilları inceleyeceğiz Diğer durumlar benzer şekilde hesaplanacaktır

Sonunda tuumlm bireysel anuumlitelerin iskontolanmış değerlerinin toplamı borcun alındığı guumlndeki değerine eşit olduğunu diyebiliriz Bu ise kiralarda kira sermayesinin hesaplandığını hatırlatıyor Bu sonuccediltan yararlanarak amortisman planındaki buumlyuumlkluumlklerin nasıl hesaplana-cağını artık biliyoruz

239

Alıştırmalar

1 Oumldeme nedir anuumlite nedir amortisman vadesi nedir

2 Borccedilların nasıl ayrıldığına dair doumlrt kriter sayınız

3 Borcun suumlresine goumlre borccedillar nasıl ayrılır oumldeme şekline goumlre ise nasıl ayrılırlar

4 Amortisman planı nedir

5 Bireysel ve reel borccedillar arasındaki fark nedir

6 Amortisman ve kira borccedilları arasındaki fark nedir

92 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun veAnuumlitenin Hesaplanması

Tutarı Z olan bir borccedil alınmış ve geri oumldemesi her biri a tutarında n eşit anuumlite ile ya-pılacaktır Faiz oranı p doumlnem sonu faizlendirme ve faiz doumlnemi anuumlitelerin oumldeme doumlnemiyle ccedilakışık olsun Doumlnem sonu faiz katsayısı r her faiz doumlnemi iccedilin ayrı hesaplanmış yani etkin faiz (efektif faiz) yapılmıştır Borcun alındığı guumlnde borcun tutarı her doumlnemin sonunda oumldenen bireysel anuumlitelerin iskontolanmış değerlerinin toplamına eşittir Sayı ekseninde kira sermaye-sinin hesaplandığında kiralarda yapıldığı gibi her anuumlitenin oumldeme doumlnemi (periyodu) işaret edilir (şek1)

Şek 1

İskontolama kurallarıyla anuumlitelerin değerleri bilindiğine goumlre borcun tutarını hesapla-yalım Birinci anuumlite ilk devrenin (periyodun) sonunda oumldendiğine goumlre bir devre iccedilin faizlenir ikincisi iki devre iccedilin ve bu şekilde sonuna kadar devam edilerek son anuumlite n defa faizlenir Bu şekilde

240

13

1232

1

111 nn rrrr

ara

ra

ra

raZ

elde edilir

Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik dizisinin ilk n

teriminin toplamıdır O halde

rrr

r

ra

r

rraZ

n

n

n

1

1

11

11

ve 1

1

rr

raZ n

n

elde edilir

Not 1 Kiralar boumlluumlmuumlnde goumlrduumlğuumlmuumlz gibi 1

1

n

n

rr r

ifadesi i i npIV doumlrduumlncuuml tablo-

nun değeriyle değiştirilebilir O halde anuumliteleri bilinen borcu npVaZ 7

formuumlluumlyle hesapla-yabiliriz Bu formuumll kiraların sermayesini hesapladığımız formuumlluumln aynısı olduğunu goumlruumlyoruz

Aynı formuumllden anuumliteye goumlre denklem biccediliminde ccediloumlzersek borccedil tutarı bilindiğinde anuuml-itenin hesaplanması iccedilin formuumll elde edebiliriz

1

1

n

n

rrrZa

Not 2 i i tablolarının değerlerinden yararlanarak anuumlite iccedilin np

ZaIV

formuumlluuml elde

edilir Beşinci i i tablo doumlrduumlncuumlsuumlnuumln ccedilarpımsal tersi olarak tanımlanır 1n

p np

VIV

yani 1

1

nnp n

r rV

r

dir Buna goumlre anuumlite iccedilin npVZa

formuumlluuml geccedilerlidir

1 5 000 denar tutarında aylık eş anuumlitelerle beş yılda bir ay vadeli doumlnem sonu 24 pa(d) faiz oranıyla ne kadar borccedil oumldenebilir

Oumldevde verilen verilere goumlre n = 5 ve yılda m = 12 faizlendirme ve yıl-da aynı sayıda borccedil oumldeme taksitleri vardır O halde toplam taksit sayısı nm = 60 douml-

nem sonu faiz katsayısı 24

1 10212 100

r

rsquodir Borcu hesaplayan formuumll gereğince

431738041021021

10215000

1

160

60

60

60

rr

raZ denar elde edilir

Bundan sonra m ile yıllık faizlendirme sayısını işaret ettiğimiz gibi aynısı anuumlite sayısı iccedilin de geccedilerli olacaktır Ccediluumlnkuuml amortisman devreleri başlangıccedil koşullarına goumlre anuumlite sayısıyla ccedilakıştığını demiştik ve n ile amortisman suumlresini işaret edeceğiz

241

2 40 000 denar tutarında borccedil altı aylık vadeli anuumlitelerle 4 pa(d) faiz oranıyla 10 yılda oumldeniyor Faizlendirme altı aylık vadeli olduğuna goumlre altı aylık vadeli anuumlite tutarı ne kadardır Hesaplanan faiz tutarı ne kadardır

Verilenler n = 10 m = 2 anuumlite devreleri altı aylık olduğuna goumlre toplam anuumlite sayısı nm

= 20rsquodir Faiz katsayısı 4

1 102200

r rsquodir Borccedil tutarı Z = 40 000 denar biliniyor Amortis-

man suumlresinde eşit olan anuumliteler iccedilin

272447021

102102140000

120

20

20

20

rrrZa

denar elde edilir

Hesaplanan faiz miktarı oumldenen anuumlitelerin toplamı ve borccedil tutarının farkına eşittir O halde 489454000027244720 ZanmI

denardırAmortisman suumlresinde hesaplanan faiz miktarının formuumlluuml

ZanmI

anuumlitelerin top-lam tutarı ve borccedil tutarının farkı biccediliminde goumlsterildiğini fark edebilirsiniz

3 2 000 000 tutarinda bir borccedil 10 yılda 6 pa(d) faiz oranıyla eşit anuumliteli serisiyle oumldenir Oumldeme vadesi

a) yarıyıllık b) uumlccedil aylıkolduğuna goumlre anuumlite tutarını hesaplayınız

Faizlendirme doumlnemi amortisman doumlnemiyle ccedilakışıktırHer iki durumda Z = 2 000 000 denar n = 10rsquodura) Oumldevi sadece doumlrduumlncuuml i i tablosundan yararlanarak ccediloumlzeceğiz Boumlylece

42134431067215710200000020

3 VZa

elde edilirDoğrudan hesaplayarak ve i i tablosundan yararlanarak ccediloumlzuumlmuumln yoklamasını yapınız

b) m = 4 iccedilin

0151400

61 r

ve anuumlite sayısı 40 biliniyor O halde

66854

0151

1015101512000000

140

40

40

40

rrrZa denardır

Alıştırmalar

1 Sekiz yıl boyunca 5 pa(d) faiz oranıyla 15000 denar tutarlı eşit anuumliteli oumldemelerle ne kadar borccedil oumldenebilir Faizlendirme vadesi amortisman devresiyle ccedilakışır Anuumlitelerin oumldeme devresi

a) yıllık b) yarıyıllık c) uumlccedil aylık olsunHesaplamayı formuumll kullanarak doğrudan ve i i tablosunu kullanarak yapınız

242

2 Doumlrt yıl boyunca 6 pa(d) faiz oranıyla 10000 denar tutarlı eşit anuumliteli oumldemelerle ne kadar borccedil oumldenebilir Faizlendirme vadesi yıllık amortisman vade sonudur

3 400 000 denar borccedil 15 yıl boyunca her altı ayda eşit anuumlitelerle geri oumldenmelidir Faiz oranı 3 pa(d) ve faizlendirme altı aylık doumlnem sonu olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadar olmalıdır

4 Yıllık vadeli 20 000 denar tutarında anuumlitelerle 5 yılda 4 pa(d) yıllık vadeli faiz ora-nıyla ne kadar borccedil oumldenecektir

5 50 000 denar borccedil 5 yılda uumlccedil aylık 8 pa(d) faiz oranlı anuumlitelerle oumldenecektir Anuumlite tutarı ne kadardır Faizlendirme uumlccedil aylık vadelidir

93 Eşit Anuumliteli Borccedilların Oumldemelerinin Hesaplanması

Her anuumlite iki kısımdan olduğunu artık biliyoruz birinci kısım anlaşma gereği borcun oumldeme miktarı yani bir ccedileşit taksit diğer kısmı ise borcun kalan kısmına geccedilen suumlre iccedilin uygu-lanan faizdir Z tutarında borccedil alınmış ve bunu n eşit anuumlite ile geri ccedilevirmek gerekir Her anuuml-itenin tutarı a faiz oranı p ve doumlnem sonu faizlendirme faizlendirme vadesi anuumlitenin oumldeme vadesiyle ccedilakışıktır Her k-cı oumldemeyi bk ve k- cı faizi ik ile işaret edersek birinci anuumlite

a = b1 + i1

olur Burada faiz birinci doumlnem iccedilin Z tuumlm borccedil tutarına hesaplanır yani 1100

Zpi rsquodir

Başlangıccedilta faiz oranı bir faiz doumlnemi iccedilin p olarak alacağız ondan sonra ise etkin faiz oranını kullanmaya dikkat edeceğiz

İkinci anuumlite birincisine eşit fakat eklenen faiz miktarı farklıdır a = b2 + i2 Şimdi faiz

miktarı borcun kalan kısmına aittir o ise Z ndash b1 olduğuna goumlre 1

2100

Z b pi

rsquodir

Uumlccediluumlncuuml anuumlite a = b3 + i3 ve 1 2

3100

Z b b pi

olur ccediluumlnkuuml şimdiye dek artık iki oumldeme

yapılmıştır ve kalan borccedil Z ndash b1 ndash b2rsquodir

243

Kalan anuumlitelerin her birini bu şekilde inceleyerek son anuumliteye a = bn + in varıyoruz Bura-

da faiz borcun kalan kısmına Z ndash b1 ndash b2 - hellip - bn uygulanır yani 100

121 pbbbZi n

n

rsquodir

Oumldemeler arasındaki bağıntıyı belirtmek iccedilin birbirine eşit olan anuumliteleri eşitleyeceğiz

Boumlylece birbirine eşit olan ilk iki anuumliteyi eşitlersek b1 + i1 = b2 + i2 yani 100100

121

pbZbZpb

elde edilirOradan 2

11

100bpbb

ya da diğer şekilde yazılışı

rbpbb 112100

1 13

dir

Benzer şekilde herhangi iki ardışık anuumliteyi mesela kndashci ve k + 1ndashnci anuumliteleri eşitler-sek

100

100

111

11 pbbbZb

pbbZb kk

kk

k

elde edilir Bu eşitliği sadeleştirerek her k 12n -1 iccedilin

rbpbb kkk 13

10011

elde edilir

Son ifadeden goumlruumllduumlğuuml gibi oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisini oluşturuyorlar Daha da her oumldeme 1

1

kk rbb

formuumlluumlyle hesaplanabilir

Not 1 Birinci i i tabloyu kullanırsak herhangi oumldeme iccedilin 1

1

7 kpk bb

formuumlluuml geccedilerli-dir

1 Borccedil eşit uumlccedil aylık vadeli anuumlite ile ve uumlccedil aylık vadeli faizlendirme ile oumldenecektir (amor-tisman olacaktır) Dokuzuncu oumldeme 2343322 denar olduğuna goumlre beşinci oumldemeyi belirtiniz Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir

b9 = 2343322 biliniyor b5 oumldemesinin tutarını belirtmek gerekir Geometrik dizisinin

oumlzelliğine goumlre b5 = b1 r4 ve b9 = b1 r8rsquodir Faiz katsayısı 8

1 102400

r rsquodir İncelenen oumldeme-

lerin boumlluumlmleri 8

49 1

4

5 1

b b r rb b r

olduğundan beşinci oumldeme

872164021

32223434

4

95

rb

b denar olduğunu buluyoruz

Birinci oumldeme tutarı bilinmiyor fakat borccedil yada anuumlite tutarı biliniyorsa zaten guumlnluumlk yaşantımızda ccedilok sık rastlanan olaylardır oumldemeler nasıl belirlenebilir sorusu soruluyor

244

Z borcunun oumldemelerini belirtmek iccedilin Z tuumlm oumldemelerin toplamına eşit olduğunu goumlr-memiz yeterlidir Buna goumlre

12

1

1

1

2

11121 1 nnn rrrbrbrbrbbbbbZ

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı r olan bir geometrik dizisidir Buna goumlre

1

11

rrbZ

n

elde edilir

Not 2 1

1

nrr

ifadesini 11 npIII ile değiştirirsek

1

1 1 777 npbZ

elde edilir Bu eşitlikten 1

11

nr

rZb oumldeme tutarını borccedil tutarıyla anuumlite sayısıyla ve faiz ora-nıyla ifade edebiliriz

Bunu genel şekilde k-cı oumldeme iccedilin de yazabiliriz 1

1

1

knk r

rrZb

Borccedil tutarını 1

1

rr

raZ n

n

anuumlite ile ifade edersek birinci oumldemeyi anuumlite ile ifade

eden formuumlluuml elde edeceğiz

1

1

1

1

1

11

nn

n

n rr

rrra

rrZb

ya da sonuccedil olarak nrab 1 elde edilir

Not 3 Son eşitlikten hemen 1

npb a II ya da

npba 7 1

yazılabilir Sonunda anuumlite ile ifade edilmiş k- cı oumldeme

1

1

kn

knk r

arrab

Not 4 Son eşitlik i i tablosuyla ifade edilirse k ndash cı oumldeme iccedilin 177 knpk ab

]

biccediliminde yazılabilir

Anuumlite ve son oumldeme arasındaki bağıntı 1

n pab a IIr

ya da 1

n pa b I formuumllleriyle ifade edildiğini de goumlsterelim

245

2 Bir borccedil yarıyıllık vadeli eşit tutarlı anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlendirmesiyle 5 yılda oumldeniyor Anuumlite 6pa(d) faiz oranıyla 4120 denar olduğuna goumlre altıncı oumldemeyi be-lirtelim

Oumlnce birinci ondan sonra da altıncı oumldemeyi belirteceğiz a = 4120 denar n = 5 m = 2

borcun amortismanı 10 anuumlite ile yapıldığını ve faiz katsayısı 61 103

200r olduğunu bi-

liyoruz O halde ilk oumldeme 1 10

4120306567

103n

abr

denar olduğunu buluyoruz Oumldemeler

bir geometrik dizisi oluşturduğuna goumlre geometrik dizilerin oumlzelliği gereğince altıncı oumldeme b6 = b1r5 = 306567 middot1035 = 355395 denar olduğunu buluyoruz

3 Amortismanı 6 yılda gerccedilekleşen 4 pa(d) faiz oranıyla verilmiş bir borcun anuumlitesi ne kadardır Anuumliteler ve faizlendirme devreleri yıllıktır ve sadece doumlrduumlncuuml oumldeme 847934 denar olduğu biliniyor

Bilinenler doumlrduumlncuuml oumldeme b4 =847934 faiz katsayısı r = 104 ve anuumlite sayısı 6rsquodır Anuuml-ite ve oumldeme arasındaki bağıntıyı doğrudan doğruya goumlsteren formuumllden

3

3

6

3

14 rar

rarbb

elde edilir Oumlrneğimizde

3041348479

a

denklemi elde edilir Oradan da anuumlite a = 95389

denar olduğunu buluyoruz

Borccedil tutarı ise

600001041041

1041099538

1

16

6

6

6

rr

raZ denardır

Alıştırmalar

1 Bir borcun amortismanı eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlendirmeyle yapılmaktadır Faiz oranı 12 pa(d) ve altıncı oumldeme 15 000 denar olduğuna goumlre onuncu oumldemeyi belirtiniz

2 Bir borcun amortismanı eşit doumlrt aylık anuumlitelerle ve doumlrt aylık doumlnemli faizlendirmey-le yapılmaktadır Faiz oranı 9 pa(d) ve onuncu oumldeme 16 000 denar olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

3 Bir borcun amortismanı 6 yılda eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlendir-meyle yapılıyor Faiz oranı 18 pa(d) uumlccediluumlncuuml ve altıncı oumldemenin toplamı 40000 denardır Borccedil ne kadardır Anuumlite tutarı ne kadardır

4 Amortismanı 6 yıl suumlren bir borccedil 4 pa(d) faiz oranıyla verilmiştir Anuumliteler ve fa-izlendirmeler vadesi yıllık ve altıncı ve doumlrduumlncuuml oumldeme arasındaki fark 6919 denar olduğu bilindiğine goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

246

5 200 000 denar tutarında bir borcun amortismanı eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlen-dirmeyle 10 yılda gerccedilekleşiyor Faiz oranı 5 pa(d) olduğuna goumlre altıncı yıldaki faiz miktarı-nı bulunuz (Tavsiye beşinci oumldeme dahil tuumlm oumldemelerin toplamını hesaplayınız)

94 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Oumldenmiş Kısmınınve Kalan Kısmının Hesaplanması

Oumldemeleri hesaplarken tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olduğunu varsayıyor-duk Buna goumlre Ok ile işaret edeceğimiz k devrede (periyotta) borcun oumldenmiş kısmı k-cı anuumlite dahil ilk k oumldemenin toplamına eşittir yani

Оk = b1 + b2 + + bkdir Her oumldemenin değerini değiştirmekle

Оk =b1 + b1r + + blrk-1 = b1 (l + r + r2 + + rk-1)elde edilir Geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı formuumlluumlnden borcun k devrede oumlden-diği borcun kısmı iccedilin şu formuumll elde edilir

1

11

rrbO

k

k

Not 1 Uumlccediluumlncuuml i i tablosundaki değerleri almakla borcun oumldenmiş kısmı iccedilin kpk bO 777 11

formuumlluuml elde edilirAnlaşılacağı uumlzere bu formuumll borcun oumldenmesiyle ilgili oumlnceden bulduğumuz formuumlluumln

k = n iccedilin karşılığıdırBundan sonra borcun kalan kısmı ne kadardır sorusu sorulabilir Sorunun cevabı accedilıktır

Borcun kalan kısmı aslında borccedil tutarı ve oumldenen kısmın farkıdır Oumldenen k-cı anuumliteden sonra borcun kalan kısmını Rn-k ile işaret edelim O halde

1

11

r

rbZOZRk

kkn

olduğunu yazabiliriz Birinci oumldemeye goumlre borcun formuumlluumlnuuml değiştirirsek

1

1

1

111

rrb

rrbR

kn

kn ya da

11

r

rrbRkn

kn

elde edilir Borcu ve borcun kalan kısmını anuumlite ile ifade edersek

1

1

1

1

rr

ra

rrraR

k

nn

n

kn yani 1

rrrraR n

kn

kn elde edilir

247

Not 2 1rr

rrn

kn

ifadesini i i tablosundan karşılık gelen değerini değiştirmekle oumldenen

k anuumliteden sonra borcun kalanını hesaplamak iccedilin şu formuumll geccedilerli olacaktırkn

pkn VaR 7

1 30 000 denar borccedil 8 yılda amortisman olacaktır Faiz oranı 5 pa(d) eşit anuumliteli ve faizlendirme yarıyıllıktır 10 anuumlite oumldendikten sonra borcun kalanı ne kadardır

Borccedil toplam 16 anuumlite ile oumldeniyor Faiz katsayısı r = 1025rsquotir Oumlnce anuumliteyi ve ilk oumlde-meyi hesaplayalım Anuumlite iccedilin

972297

10251

10251025130000

16

16

a

denar elde edilir Birinci oumldeme iccedilin ise

9715470251

97229716161

rab

denar elde edilir Şimdi borcun kalanını hesaplayabiliriz

51265710251

02510251971547

1

10161016

16

r

rrbR

denar elde edilirHesaplanan kalandan borcun oumldenmiş kısmını da hesaplayabiliriz Buna goumlreO10 = Z ndash R6 = 30 000 ndash 126575 = 173425 denar artık oumldenmiştir2 100 000 denar tutarında borcun amortismanı 50 yılda yapılmalıdır Faiz oranı 4 pa(d)

yıllık vadelidir Yıllık 20 anuumlite oumldendikten sonra kalan borccedil ne kadardırOumlrneğin i i tablolarından yararlanarak ccediloumlzelim Borcun kalanını ve oumldenmiş kısmını

hesaplayacağız Borcun kalanı iccedilin 30

30 4R a IV geccedilerlidir Oumlnce anuumliteyi hesaplayalımAnuumlite

24655046552010000050

4 VZa

rsquodir İlk oumldeme ise

0265514070702465550

41 77 ab

rsquodir Borcun kalan kısmı

7580494292033172465530

430 7 VaR

denardır ve sonunda ccedilevrilen borcun

7780785729026551 20

4120 777 bO olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Bir borcun amortismanı 40 yılda yarıyıllık anuumlitelerle ve 6 pa(d) faiz oranıyla yarı-yıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır Yirminci oumldeme 1000 denar olduğuna goumlre 30 anuumlite oumldendikten sonra borcun kalan kısmını belirtiniz

248

2 200 000 denar tutarında borcun amortismanı 25 yılda yarıyıllık anuumlitelerle ve 8 pa(d) faiz oranıyla yarıyıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır 21 anuumliteden 30 anuumliteye kadar (30 anuumlite dahil) ne kadar borccedil oumldenmiştir (O30 ndash O20 farkını bulunuz)

3 Bir borcun amortismanı 40 yılda yıllık anuumlitelerle ve 4 pa(d) faiz oranıyla yıllık va-deli faizlendirmeyle yapılacaktır İlk 25 oumldemeyle borccedil 40 000 denar azalmıştır Borccedil tutarı ne kadardır

4 Bir borcun amortismanı 50 yılda yıllık anuumlitelerle ve 5 pa(d) faiz oranıyla yıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır 21 anuumliteden 30 anuumliteye kadar (30 anuumlite dahil) 10 000 denar borccedil oumldendiğine goumlre borccedil tutarı ne kadardır

5 1 000 000 denar tutarında borcun amortismanı 20 yılda eşit yarıyıllık vadeli anuumlitelerle yapılacaktır Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıllık vadeli faizlendirme olduğuna goumlre 10 yıl sonra bor-cun ne kadar kısmı oumldenecektir

95 Eşit Anuumliteli Borccedilların Amortismanında Faiz Oranıve Devre Sayısının Hesaplanması

Borccedil ve anuumlitenin hesaplanmasına uygulanan formuumllden faiz oranı ya da devre sayısı bi-linmeyen olarak diğer bilinen buumlyuumlkluumlklerle ifade edilebilirler Kiralarda yapıldığı gibi formuumllle doğrudan doğruya hesaplamakla ya da i i tablolarından yararlanmakla yapabiliriz Bunu birkaccedil oumlrnekle goumlstereceğiz

Başlangıccedil formuumlluuml olarak borccedil formuumlluumlnuuml alalım 1

1

rr

raZ n

n

formuumlluumlne gereken douml-nuumlşuumlmleri yapmakla

nra

rZ 11

1

elde edilir oradan da a

rZar n

11 ya da 1

rZa

ar n

elde edilir Bu eşitliğin her iki tarafının logaritmasını alırsak amortisman suumlresi n iccedilin

1log

log

1

rZaa

rn

formuumlluuml elde edilir

249

Faiz oranının hesaplanması soumlz konusu olunca youmlntemlerden biri doumlrduumlncuuml i i tablo-sundan n

pVaZ 7

borcun temel formuumlluumlnden yararlanmaktır Halbuki formuumlllerden yarar-lanırken uygun denklem elde edildiğinde doğrudan doğruya da hesaplayabiliriz

Doğrusal ara değerleme (enterpolasyon) youmlntemini şimdiye dek birccedilok defa kullandık şimdi de gerektiği durumda kullanabiliriz

Oumldevlerde verilen verilere bağlı olarak yukarıdaki formuumllleri kullandığımız gibi amortis-man suumlresini ve faiz oranını hesaplamada gerektiğinde diğer formuumlller de kullanılabilir

1 60 000 tutarında bir borccedil 4000 denar tutarında eşit yıllık anuumlitelerle yıllık vadeli 4 pa(d) faiz oranıyla oumldemelerle ne kadar zamanda amortisman olacaktır (oumldenecektir)

Borcun hesaplanması iccedilin kullanılan 1

1

rr

raZ n

n

formuumlluumlnde verilen değerleri de-

ğiştirerek ve logaritma işlemini uygulayarak doğrudan doğruya hesaplamayı yapabiliriz Yani

1041041

1041400060000

n

n

değiştirmekle 60041

1041

n

n

buradan da 104140 n

ya da 104n

= 25 denklemi elde edilir Denklemin iki tarafının logaritmasını almakla 3623041log

52logn

elde edilir Amortisman suumlresi tam sayı değildir yani 23 anuumlite eşit 24 anuumlite ise farklıdır Anuuml-

ite kalanı iccedilin daha sonra soumlz konusu olacaktır

2 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli ve uumlccedil aylık vadeli faizlenme ile itfa (amortisman) edilir Be-şinci ve uumlccediluumlncuuml oumldemenin farkı 84064 denar uumlccediluumlncuuml ve altıncı oumldemenin toplamı ise 4288962 olduğuna goumlre faiz oranını hesaplayınız

Doumlnem sonu faiz katsayısını hesaplayacağız Verilen koşullara goumlre şu denklemler siste-mini oluşturacağız

6242889

64840

36

35

bbbb

Denklemleri ilk oumldeme ve faiz katsayısına goumlre duumlzenlemekle verilene denk olan şu sistem elde edilir

6242889

64840

2

1

5

1

2

1

4

1

rbrbrbrb

Burada denklemleri taraf tarafa boumllmekle

01960

6242889

64840

1

132

1

22

1

rrbrrb

bağıntısı elde edilir Son denklemi sadeleştirerek

01960

11

112

rrr

rr

oradan da 019601

12

rr

r

denklemi elde edilir Bu denklem r

faiz katsayısına goumlre

250

00196r2 - 10196r +10196 = 0ikinci derece denklemdir ve ccediloumlzuumlmuuml r1 =102 ve r2 = 51rsquodir İkinci ccediloumlzuumlmuumln faiz katsayısı iccedilin

anlamı yoktur birinci ccediloumlzuumlmden ise 1 102400

p elde edilir ve oradan p = 8 pa(d) elde

edilir

3 Hangi faiz oranıyla 40 000 denar tutarında bir borccedil 10 yılda 4500 denar tutarında eşit yıllık anuumlitelerle itfa edilecektir

Hem borccedil hem de anuumlite bildiğine goumlre borcun

1

1

rr

raZ n

n

temel formuumlluumlnden

ya da 10

pZ a IV formuumlluumlnden hareket edeceğiz Doumlrduumlncuuml i i tablosunda n = 10 iccedilin 10 879120879pIV değerini arıyoruz Bu sayı n = 10 iccedilin tabloda değeri olmadığına goumlre sayı-

lar arasında ara değerleme yapacağız Veriler aşağıdaki tabloda yazılıdır

10

pV7 p 10

pV7 p

866216348 252 866216348 252

752063937 52 791208798 p

114152410 250 075007550 p252

Elde edilen farklardan orantı kuruyoruz011415241 025 = 007500755 (p - 225) oradan da p ndash 225 = 016 ve sonunda p = 241

pa(d) elde edilir Aynı sonuca beşinci i i tablosundan yararlanarak da gelebiliriz Orada 10 0011375pV

olduğuna goumlre 10

pa Z V formuumlluumlnden yararlanıyoruz

Alıştırmalar

1 Hangi yıllık faiz oranıyla 60 000 denar tutarında bir borccedil 5 yılda 366942 denar tutarın-da eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle itfa edilecektir (oumldenecektir)

2 200 000 denar borccedil 931004 tutarında yarıyıllık anuumlitelerle ve 8 pa(d) yarıyıl vadeli faiz oranıyla ne kadar zamanda itfa edilecektir

3 1 000 000 denar borccedil hangi faiz oranıyla 61 77661 denar tutarında yıllık anuumlitelerle 25 yılda itfa edilir

4 Hangi yıllık faiz oranıyla 119 200 denar tutarında bir borccedil 13 700 denar tutarında yıllık anuumlitelerle 11 yılda itfa edilecektir

225

-025

22525

251

5 400 000 denar tutarında borccedil 24 46268 denar tutarında eşit yarıyıllık anuumlitelerle oumlden-mektedir Faiz oranı yarıyıllık vadeli 4 pa(d) olduğuna goumlre amortisman suumlresini hesaplayı-nız

96 Eşit Anuumliteli Borcun Amortisman Planı

Z tutarında bir borccedil eşit anuumlitelerle oumldendiği durumda borccedillu her devre sonunda aynı tutarlı taksitler oumldeyecektir Bu oumldemeler iki kısımdan meydana gelmektedir Bu kısımlardan biri borcun bir kısmının oumldeme tutarı ve kalan borcun faizidir

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 Z 1001

Zpi 11 iab a

2 11 bZRn 100

12

pRi n 22 iab a

1n 232 nbRR 100

21

pRin 11 nn iab a

n 121 nbRR 100

1 pRin nn iab a

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Bu şekilde borcun oumldenmesinde her gelen devrede borcun oumldeme tutarı artar fakat kalan borcun faizi azalmaktadır Borcun oumldenmesi oumlnceden yapılan ve amortisman planı denilen bir plan uumlzerinde yapılmaktadır Bu plan genellikle tablo biccediliminde goumlsterilir

Suumltunların dağılımı yukarıda goumlsterilen tablodan farklı olabilir fakat her tabloda bu suuml-tunlar olmalıdır

Oumlrneğin bir amortisman planının nasıl yapıldığını adım adım goumlstereceğiz ve sonunda tabloyu dolduracağız

1 100 000 denar tutarında bir borccedil eşit yıllık anuumliteli 5 yılda 4 pa(d) yıllık vadeli faiz oranıyla itfa edilecektir Borcun oumldenmesi iccedilin amortisman planı yapılsın

Faizlenme yıllıktır faiz katsayısı r = 104 Toplam 5 anuumlite vardır

Anuumlitenin değeri 822462

1041

1041041100000

5

5

a denardır

ndash Birinci kalan borcun tuumlmuumlduumlr R5 = Z = 100 000 denardır

ndash birinci faiz 4000100

4100000

1001

Zpi denardır ndash tuumlm borcun faizi

252

ndash birinci oumldeme b1 = a ndash i1 = 224628 - 4000 = 184628 denardırndash ikinci kalan oumldenen bir anuumlite sonrası birinci yıl sonundaR4 = Z ndash b1 = 100 000 ndash 184628 = 81 5372 denardır

ndash ikinci faiz 53261100

4281537

100

42

pRi denardır- ikinci kalanın faizidir

ndash ikinci oumldeme b2 = a - i2 = 224628 - 32615 = 192013 denardırndash uumlccediluumlncuuml kalan R3 = R4 - b2 = 815372 -192013 = 623359 denardır

ndash uumlccediluumlncuuml faiz 442493100

4962335

100

33

pRi denardır ndash ikinci kalanın faizidir

ndash uumlccediluumlncuuml oumldeme b3 = a -i3 = 224628 - 249344 =1996936 denardırndash oumldenen uumlccedil anuumliteden sonra uumlccediluumlncuuml yıl sonunda doumlrduumlncuuml kalanR2 = R3 - b3 = 62 3359 ndash 19 96936 = 42 3665 denardırndash doumlrduumlncuuml faiz 661694

100

4542366

100

24

pRi denardır ndash uumlccediluumlncuuml kalanın faizi

ndash doumlrduumlncuuml oumldeme b4 = a - i4 = 46 8 -169466 = 076814 denardırndash oumldenen doumlrt anuumliteden sonra doumlrduumlncuuml yıl sonunda beşinci kalanR1 = R2 ndash b4 = 42 3665 ndash 2076814 = 21 5984 denardırndash beşinci faiz miktarı 9863

100

4421598

100

15

pRi denar ndash doumlrduumlncuuml kalanın faiz miktarı

ndash beşinci oumldeme b5 = a - i5 = 224628 - 8639 = 2 5984 denardırndash beş anuumlite oumldendikten sonra altıncı kalan R0 = R1 - b5 = 215984 - 215984 = 0 denardır

Demek ki borccedil oumldenmiştir

Bu şekilde hesaplanan değerleri tabloda goumlsterelim

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 4000 818462 822462

2 281537 53261 319201 822462

3 962335 442493 3619969 822462

4 542366 661694 1420768 822462

5 421598 9863 421598 822462

suma 307838 512313 100000

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

toplam

253

Amortisman planı yapıldıktan sonra bu planın doğru olup olmadığını yoklamak gerekirKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zbj

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R6 Koşul 3 Faizler suumltunundaki değerlerin toplamı ve oumldemeler suumltunundaki değerlerin top-

lamı devre sayısı ile anuumlitenin ccedilarpımına eşit olmalıdır nabi jj

Koşul 4 Anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij Koşul 5 Faizler suumltununun toplamı jj Rpi

100

dir

Yukarıda ccediloumlzuumllen oumlrnekte tuumlm bu koşulların sağlandığını kolay goumlrebiliriz Oumlrneğin oumlde-meler suumltununda tuumlm oumldemelerin toplamı 100 000 denardır bu ise borccedil tutarıdır Son oumldeme ve son kalan birbirine eşittir

Ondan sonra 11231482246255112313100000512313 jj bi

Anuumli-te oumldeme ve karşılık gelen faizin toplamı olduğunu goumlruumlyoruz oumlrneğin 169466 + 2076814 = 224628 Sonunda 5212313

100

4307838512313

olduğuna goumlre beşinci koşul da geccedilerli

olduğunu goumlruumlyoruz

2 Borccedil uumlccedil aylık devreli anuumlitelerle ve uumlccedil aylık vadeli 8 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir İkinci devrede faiz miktarı 49648 denar ve beşinci devredeki faiz miktarı 37161 denar olduğu-na goumlre son uumlccedil devre iccedilin amortisman planını oluşturunuz

Bu oumldevde amortisman planı sadece son uumlccedil anuumlite iccedilin yapılacaktır Başlangıccedil iccedilin kaccedil anuumlitenin oumldeneceğini de bilmiyoruz Verilen koşulları yazalım

021400

81 r ve

61371

48496

5

2

ii

Sistemi birinci oumldeme ve anuumliteye goumlre ccediloumlzeceğiz

61371021

48496021

61371

48496

61371

48496

61371

48496

1

4

1

4

1

1

5

2

5

2

baba

rbarba

baba

ii

Denklemleri taraf tarafa ccedilıkarırsak (1024 -102)b1 = 1248 elde edilir Oradan da b1 = 2000 denar ve a = 253648 denar elde edilir

Şimdi amortismanın devre sayısını belirtmek iccedilin birinci oumldemeye ait formuumllden yarar-lanacağız

nn

arab

441021

254

O halde 2682412000

482536021 4 n denklemi elde edilir Bunun logaritmasını almakla

12021log

268241log4 n elde edilir Buna goumlre borccedil uumlccedil yıl boyunca 12 anuumlite ile itfa edilir

Son uumlccedil oumldemeyi formuumllle hesaplayabiliriz 1923900212000 99

110 rbb 9924370212000 1010

111 rbb7424860212000 1111

112 rbb

ve

Bunlara karşılık gelen kalanları da hesaplayalım

9173141021021

021021482536

1 12

912

12

912

3912

rrrraRR denar onuncu kalan R12-10 =

R2 = R3 - b10 = 492472 denar elde edilir ve on birinci kalan iccedilin R12-11 = R1 = R2 - b11 = 248674 = b12 olduğunu buluyoruz Faizler ya kalanlardan ya da daha kolay ij = a ndash bj oumlzelliğinden belirtilir Buna goumlre i10 = a ndash b10 = 14629

i11 = a ndash b11 = 9849 ve i12 = a ndash b12 = 4973 olduğunu buluyoruz Şimdi amortisman tablosunu oluşturabiliriz

Period Ostatok Kamata Otplata 10 917314 29146 192390

11 724924 4998 992437

12 742486 7349 742486

Devre (periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme

Planın tuumlmuuml olmadığına goumlre yoklamasını yapamıyoruz

Alıştırmalar

1 100 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edi-lir Yıllık faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

2 80 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edilir Yıllık faiz oranı 5 pa(d)rsquodir Amortisman planını oluşturunuz

3 100 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edi-lir Yıllık faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

4 10 000 denar tutarında bir borccedil 4 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edilir Yıllık faiz oranı 10 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

255

5 Bir borccedil eşit yarı yıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle itfa edilir Birinci oumlde-me 20 000 denar son devrenin faizi 322102 denar ve sondan bir evvelki devrenin faizi 614922 denar olduğuna goumlre amortisman planını oluşturunuz

97 Yuvarlak Tutarlı Anuumliteli Borccedillar

Belli bir borcu oumlderken a anuumlitesi konkre tutarlı ya da borcun bir yuumlzdesi olarak verile-bilir Bu anuumliteler genellikle tam sayıya yuvarlanıyorlar (onluk yuumlzluumlk vb) Bu yuumlzden bunlara yuvarlak anuumliteler ve borccedillara yuvarlak anuumliteli borccedillar denilir Anuumlite yukarıda sayılan şekil-lerden biriyle verilmediğinde ve borcun itfalı yuvarlak anuumlitelerle yapılma koşulları varsa anuumli-tenin hesaplama yuumlzdesini hesaplamak gerekir Burada da doumlnem sonu borccedillardan amortisman devresinin sonunda oumldemeler ve vade sonu faizlenmeden soumlz edeceğiz

Oumldevlerde genel olarak borccedil tutarı amortisman devresi ve faiz oranı veriliyor belirtil-mesi gereken ise yuvarlak değerli anuumlite tutarı ve sonunda diğerlerinden farklı olan son anuumlite tutarını

Borcun Z tutarı ve faiz oranı p pa(d) verilmiş olsun Amortisman devrelerinin sayısı bilindiği durumda n ndash 1 anuumlitenin değeri eşit ve son olan n-cı anuumlitenin değeri diğerlerinden kuumlccediluumlk olduğuna goumlre 100 n

pV ve 1100 npV arasında bulunan p1 yuumlzdesi aranılır Yuvarlanan anuuml-

iteler eşit olan anuumlitelerden buumlyuumlktuumlr ve bu yuumlzden son anuumlite onlardan farklı ve değeri diğerle-rinden kuumlccediluumlktuumlr ve ona anuumlite kalanı denir

Demek ki yuvarlak anuumliteyi bilmiyorsak borcun p1 yuumlzdesi gibi ifade edilecektir genel

olarak tam sayı ile ya da 100

1Zpa formuumlluuml ile ifade edilecektir ve bu durumda

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

geccedilerli olacaktır

1 130 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda yuvarlak yarıyıllık anuumlitelerle ve 5 pa(d) yarıyıllık faizlenme ile itfa edilir Yuvarlak anuumliteyi hesaplayınız

Faiz katsayısı 0251200

51 r anuumlite sayısı 6 2 = 12rsquodir p1 yuumlzdesini

10251

102510251100

10251

1025100251100

12

11

112

12

p

eşitsizliğinden belirteceğiz Oradan

256

974 lt p1 lt 1051 gerekirp1 iccedilin bu aralıkta bulunan ve hesaplamalar iccedilin daha kolay tam sayı olan p1 = 10 değe-

rini seccedileceğizBuna karşılık gelen yuvarlak anuumlite

13000130000100

10

100

1 Zpa

denardır

Elde edilen anuumlite tam sayı değilse onu onluklara ya da yuumlzluumlklere yuvarlayacağızBazı durumlarda yuvarlak anuumlitenin değeri biliniyor olabilir ve amortisman devrelerinin

sayısını hesaplamak gerekir Bunu belirtmek iccedilin eşit anuumliteli borccedillarda yapıldığı gibi hareket edilir ve

1log

log

1

rZaa

rn

formuumlluumlnden yararlanılır Burada yuvarlak anuumlitenin bilinen

değerini kullanıyoruz Anuumlite iccedilin elde edilen sayı n tam sayı olmadığı durumda o sayıdan buuml-yuumlk olan ilk doğal sayı alınır

2 200 000 denar tutarında bir borccedil 40 000 denar tutarında yuvarlak yarıyıllık anuumlitelerle ve 10 pa(d) yarıyıllık faizlenme ile itfa edilir Borccedil kaccedil devrede itfa edilecektir

Yuvarlak anuumlite sabit değerle verilmiş ve borcun

200000

40000

20rsquodir Devre sonu faiz katsa-yısı r = 105rsquotir Bu durumda amortisman devrelerinin sayısı iccedilin

8965105120000040000

40000log

051log

1

n

geccedilerlidir Buna goumlre faizin itfalı 6 dev-

rede gerccedilekleşecek oumlyle ki 5 anuumlitenin tutarı 40 000 denar altıncısı ise farklı ve verilenden kuuml-ccediluumlk olacaktır

Diğerlerinden farklı olan son anuumlite ya da anuumlite kalanı denilen bu taksitin değeri ne kadardır sorusu soruluyor

Kira kalanlarında olduğu gibi burada da aynı şekilde hareket edilir Anuumlitelerin değerleri iskontolanır ve iskontolanmış anuumlitelerin toplamı Z borcuna eşittir

Şek 2

257

Zaman ekseninde goumlsterilene goumlre (şek2) borccedil iccedilin

nnn ra

rrrra

ra

ra

ra

raZ 1

22

1

32

1

111

13

yazabiliriz Parantezler iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan n - 1 terimli bir geo-

metrik dizisinin ardışık terimlerinin toplamıdır Oradan şunu elde ediyoruz

nn

n

n

n

n

n

n

ra

rrra

ra

rrr

r

ra

ra

r

rraZ 1

1

11

1

1

11

1

1

1

1

11

11

Not 1 1

11

1

rrrn

n

ifadesini IVр n-1 finansal tablosundaki karşılığıyla değiştirirsek son anuumlite iccedilin

np

np

nnp VaZrVaZa 777 11

1

formuumlluuml geccedilerlidir

Not 2 Yuvarlak anuumlitelerin ve oumldemelerin oumlzellikleri aynı anuumliteli borccedillarda var olan oumlzel-liklerle aynıdır Oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisi oluşturuyorlar Anuumlite oumldeme ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

3 10 000 denar tutarında bir borccedil 2500 denar tutarında yıllık anuumlitelerle ve 4 pa(d) yıllık faizlenme ile itfa edilir Borccedil kaccedil yılda itfa edilecektir Anuumlite kalanı ne kadar olduğunu hesaplayınız

Doumlnem sonu faiz katsayısı r = 104 anuumliteleri yuvarlak olarak alacağız Amortisman dev-relerinin sayısı iccedilin 4454

1041100002500

2500log

041log

1

n

elde edilir Buna goumlre 5 anuumli-

teden doumlrduuml eşit 2500 denar tutarında beşincisi ise farklıdır

7211250411041041

1041250010000

1

1 5

4

4

1

1

1 9

lt=

gt

9

lt=

gt

n

n

n

rrr

raZa

denardır

258

Alıştırmalar

1 Bir borccedil uumlccedil aylık yuvarlak anuumlitelerle ve 40 pa(d) faiz oranıyla uumlccedil aylık vadeli faiz-lenmeyle 5 yılda itfa edilir İkinci devredeki faiz miktarı 4000 denar ve beşinci oumldeme 14641 olduğuna goumlre borccedil tutarı ne kadardır

(Tavsiye Borcu p1 yuvarlak anuumlite ile hesaplayınız)

2 128 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli 7 pa(d) faiz-lenmeyle itfa edilir Yuvarlak anuumlite 12 000 denar olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda oumlde-necektir

3 Doumlrt aylık yuvarlak anuumlitelerle 12 pa(d) faiz oranıyla ve aynı vadeli faizlenmeyle kaccedil devrede itfa edilecektir Yuvarlak anuumlite tutarı 30 000 denar ilk oumldeme ise 12 000 denardır

4 Bir borccedil yarıyıllık yuvarlak anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenmeyle iki yılda itfa edilir Anuumlite kalanı 14 3179 denar ve son oumldeme 13 7672 denar olduğuna goumlre borccedil ne kadardır yuvarlak anuumlite ne kadardır

5 Bir borccedil yarıyıllık yuvarlak anuumlitelerle ve faiz oranı 8 pa(d) olmak uumlzere yarıyıllık faizlenmeyle 7 yılda itfa edilir Anuumlite kalanı 24936 olduğuna goumlre borccedil tutarını ve yuvarlak anuumliteyi belirtiniz

98 Yuvarlak Anuumliteli Borccedilların Amortisman Planı

Yuvarlak anuumliteli borccedilların amortisman planının yapılması eşit anuumliteli borccedillarda olduğu gibi yapılır sadece son satırda son anuumlitenin yazıldığı yerde farklılık vardır Burada son oumldeme de diğerlerden kuumlccediluumlktuumlr Oumlnce lazım olan buumlyuumlkluumlkler hesaplanır ve ondan sonra amortisman tablosu doldurulur

1 1 000 000 denar tutarında borccedil yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli 20 pa(d) faizlenmeyle 5 yılda itfa edilir Anuumliteler yuvarlak olacak şekilde borcun oumldenmesi iccedilin amortisman planını oluşturunuz

Borccedil 5 anuumlite ile itfa edilir Faiz katsayısı r = 12 Yuvarlak anuumliteyi hesaplamak iccedilin anuumli-tenin borcun hangi kısmı olduğunu belirteceğiz p1 yuumlzdesini sağlayan

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

eşitsizlikte verilerin değiştirilmesiyle

259

121

12121100

121

12121100

4

4

15

5

p ya da

63384433 1 p elde edilirBu aralıkta bulunan herhangi bir değer alınabildiğine goumlre p1 = 35 değerini seccedileceğiz

Bu değere goumlre yuvarlak anuumlite 3500001000000100

35a denardır Beş anuumliteden doumlrduumlnuumln

tutarı 350 000 denar yani aynıdır son anuumlite ise

2337602112121

1213500001000000 5

4

4

1 9

lt=

gt

a denardır

Bireysel hesaplamaları ayrı ayrı yapalımndash Birinci kalan borcun tuumlmuumlduumlr Z = R5 = 1000 000 denardırndash birinci faiz 200000

100

2051 Ri denardır ndash tuumlm borcun faizi

ndash birinci oumldeme b1 = a - i1 = 350000 - 200000 = 150000 denardırndash ikinci kalan R2 = R5 ndash b1 = 850 000 denardırndash ikinci faiz 170000

100

2042 Ri denardır- ikinci kalanın faizidir

ndash ikinci oumldeme b2 = a - i2 = 350000 -170000 = 180000 denardırndash Uumlccediluumlncuuml kalan R3 = R4 - b2 = 670000 denardır

ndash Uumlccediluumlncuuml faiz 134000100

2033 Ri denardır ndash ikinci kalanın faizidir

ndash Uumlccediluumlncuuml oumldeme b3 = a - i3 = 350000 -134000 = 216000 denardırndash Doumlrduumlncuuml kalan R4 = R3 - b3 = 454 000 denardır

ndash doumlrduumlncuuml faiz 90800100

2024 Ri denardır

ndash doumlrduumlncuuml oumldeme 2592009080035000044 iab denardırndash Beşinci kalan R5 = R4 ndash b4 = 194 800 denardır

ndash beşinci faiz 38960100

2015 Ri denardır

ndash beşinci oumldeme 19480038960233760515 iab denardır Bu oumldeme diğerlerin-den farklı olduğundan doğrudan doğruya 19480043215 bbbbZb biccediliminde de he-saplanabilir

Borcun oumldenmesine karşılık gelen amortisman tablosu doldurulur

260

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 1000000 200000 150000 350000

2 850000 170000 180000 350000 3 670000 134000 216000 350000

4 454000 90800 259200 350000 5 194800 38960 194800 233760

suma 3168800 633760 1000000

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Burada da amortisman planının yoklaması yapılmalıdırKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zbj

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R1Koşul 3 Yuvarlanan anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij

son oumldeme hariccedil Son anuumlite anuumlite kalanı ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır 2 Borccedil uumlccedil aylık devreli yuvarlanmış anuumlitelerle ve uumlccedil aylık vadeli 8 pa(d) faiz oranıyla

itfa edilir Yuvarlanmış anuumlite tutarı 10 000 denar olduğuna goumlre son doumlrt devre iccedilin amortis-man planını oluşturunuz

Birinci kalanı bulmak iccedilin borccedil tutarını belirtmemiz gerekir Yuvarlak anuumlitelerde

Zpa100

1 olduğuna goumlre p1 yuumlzdesine ihtiyaccedil vardır Burada

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

eşitsizliği geccedilerlidirBu oumldevde toplam nm = 12 devre vardır Faiz katsayısı

021400

81 r rsquodir Ora-

dan

1021

1021021100

1021

1021021100

11

11

112

12

p ya da 946 ltp1lt 1022 elde edilir p1 =

10 alarak borccedil tutarı

100000100

1

ap

Z denar olduğunu buluyoruz Anuumlite kalanı

2827030211021021

102110000100000 12

11

11

1 9

lt=

gt

a denardır

Son doumlrt oumldemeyi belirtmek iccedilin oumlnce ilk oumldemeyi belirtelim

8000100000400

81000011 iab Oumldemeler bir geometrik dizisinin ardışık terimleri ol-

duğuna goumlre

2793730218000 88

19 rbb 7495600218000 99

110 rbb

toplam

261

b11 = b1r10 = 8000 bull 10210 = 975196 elde edilir Son oumldeme dizinin terimi değildir bu yuumlzden onu başka şekilde hesaplanmalıyız Bunu belirtmek iccedilin youmlntemlerden biri a1 = b12 r formuumlluumlnden yararlanarak belirtilir Buna goumlre 2726501

12 rab denardır Son oumldemeye ka-

deme kademe de gelebiliriz Oumldenen sekiz anuumliteden sonra kalanı doğrudan doğruya ilk sekiz oumldemenin toplamını borccediltan ccedilıkararak belirtelim

1

1

8

1

7

1

2

1114

rrbZrbrbrbbZR

24313361021

10218000100000

8

denar

Son doumlrt devrenin amortisman planını oluşturalım

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

9 3133624 62772 937327 10000

10 219627 49354 956024 10000

11 124017 24804 975196 10000

12 265027 53 265027 282703

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Alıştırmalar1 60 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli olmak uumlzere 4

pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Yuvarlak anuumlite 4000 denar tutarında olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda oumldenecektir Son anuumliteyi ve son oumldemeyi hesaplayınız ve ondan sonra amor-tisman planını oluşturunuz

2 20 000 denar borccedil faiz oranı 4 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme ile doumlrt yılda 3000 denara yuvarlanmış yarıyıllık anuumlitelerle itfa edilir Borcun amortisman planını oluş-turunuz

3 8 000 denar borccedil faiz oranı yıllık 5 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme yıllık anuumlitelerle itfa edilir Yıllık anuumliteler borcun 35rsquoi olduğuna goumlre amortisman planını oluştu-runuz ve son anuumliteyi hesaplayınız

4 200 000 denar borccedil faiz oranı 4 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme ile doumlrt yılda yuvarlanmış yıllık anuumlitelerle itfa edilir Borcun amortisman planını oluşturunuz

262

5 Bir borccedil yuvarlanmış yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle 3 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıllıktır Son oumldeme 126551 denar olduğuna goumlre borcun amor-tisman planını oluşturunuz

99 Alıştırmalar

1 240 000 denar tutarında borccedil 4 yılda eşit yarıyıllık devreli anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle itfa edilecektir Faiz oranı 9 pa(d) olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır He-saplanan toplam faiz miktarı ne kadardır

2 Her biri eşit anuumliteli olan iki borccedil alınmıştır 160 000 denar tutarında olan birinci borccedil 4 yılda ikincisi ise 6 yılda itfa edilecektir Her iki borccedil yarıyıllık anuumlitelerle ve aynı 4 pa(d) faiz oranıyla oumldendiğine goumlre ikinci borcun tutarı ne kadardır

3 Bir borccedil diğer bir borccediltan 100 000 denar buumlyuumlktuumlr Birincisi 20 000 denar tutarlı eşit yıl-lık anuumlitelerle 12 yılda ikincisi ise eşit yıllık uumlnitelerle 10 yılda itfa edilir Her iki borca 5 pa(d) faiz oranı uygulandığına goumlre ikinci borcun anuumlite tutarı ne kadardır Not Z1 = Z2 + 100 000rsquodir

4 Bir borccedil 9 yılda doumlrt aylık vadeli faizlenme ile ve doumlrt aylık devreli eşit tutarlı anuumlite-lerle itfa edilir Faiz oranı 12 pa(d) beşinci ve ikinci oumldemenin farkı 12000 denardır Anuumlite tutarını hesaplayınız

5 Bir borccedil 2 yılda aylık vadeli faizlenme ile ve aylık devreli eşit tutarlı anuumlitelerle itfa edi-lir Faiz oranı 24 pa(d) ve son faiz miktarı 300 denardır Anuumlite ve borccedil tutarını hesaplayınız

6 Altı yılda yarıyıllık vadeli faizlenme ile ve yarıyıllık devreli eşit tutarlı anuumlitelerle 10 pa(d) faiz oranıyla itfa edilen borcun doumlrduumlncuuml oumldeme tutarı 3403822 denardır Borccedil tutarını oumldeme vadesinin tam yarısında borcun kalanını ve hesaplanan toplam faiz tutarını hesaplayınız

7 200000 denar tutarında borccedil her iki yılda bir oumldenen anuumlitelerle ve faiz oranı 8 pa(d) olmak uumlzere iki yıl vadeli faizlenmeyle 26 yılda itfa ediliyor Altıncı anuumliteden on birinci anuumlite-ye kadar borcun hangi kısmı oumldenmiştir

8 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli eşit tutarlı anuumlitelerle ve faiz oranı 16 pa(d) olmak uumlzere uumlccedil aylık vadeli faizlenmeyle 10 yılda itfa ediliyor Oumldenen 25 anuumliteden sonra borccedil 4000 denar azalmıştır Borcun tutarı ne kadardır

9 Bir borccedil yarı yıllık doumlnemli eşit tutarlı anuumlitelerle ve faiz oranı 10 pa(d) olmak uumlzere yarıyıllık vadeli faizlenmeyle 10 yılda itfa ediliyor On birinci anuumliteden başlayarak on beşinci

263

anuumliteye kadar 10 000 denar tutarında borccedil oumldenmiştir Borccedil tutarı ne kadardır on beşinci anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmı ne kadardır

10 Yarıyıllık anuumlitelerle ve 6 pa(d) faiz oranı olmak uumlzere yarıyıllık vadeli faizlenmeyle oumldenen bir borcun hesaplanan yedinci faizi 130 727 denardır Borccedil tutarını ve oumldenen yedi anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmını belirtiniz

11 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli anuumlitelerle ve faiz oranı 32 pa(d) olmak uumlzere uumlccedil aylık vadeli faizlenmeyle 125 yılda itfa ediliyor Oumldenen 40 anuumliteden sonra borcun kalanı 20 000 denar olur Borccedil tutarı ne kadardır Anuumlite tutarı ne kadardır

12 Faiz oranı 6 pa(d) olmak uumlzere 40 000 denar tutarlı anuumlitelerle 1 000 000 tutarında borccedil ne kadar zamanda itfa edilir Anuumliteler ve faizlenme yarıyıllık vadelidir

13 Bir borccedil eşit tutarlı yıllık anuumlitelerle ve yıllık doumlnemli faizlenme ile itfa edilir Birinci oumldeme 200 000 denar son yıldaki faiz miktarı 1157625 denar ve sondan bir oumlnceki periyotta faiz miktarı 22 60125 denar olduğuna goumlre borccedil tutarını belirtiniz

14 630 182 tutarında bir borccedil uumlccedil aylık devreli anuumlitelerle ve aynı devreli faizlenmeyle itfa edilir Birinci oumldeme 100 000 denar ve faiz oranı 8 pa(d) olduğuna goumlre borccedil kaccedil devrede oumldenecektir

15 509 776 denar tutarında borccedil 3 yılda eşit aylık anuumlitelerle ve faizlenme ile itfa edilir Anuumlite tutarı 20 000 denar olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

16 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme ile itfa edilir Uumlccediluumlncuuml ve ikinci oumlde-menin toplamı 20 604 denar ve doumlrduumlncuuml ve ikinci oumldemenin farkı 412 denar olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

17 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 6 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Oumldenen uumlccedil anuumliteden sonra kalan borccedil tutarı 14 72017 denar ve oumldenen altı anuumlite-den sonra kalan borccedil tutarı 11 16476 denar olduğuna goumlre borccedil tutarını hesaplayınız

18 300 000 denar tutarında borccedil eşit yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenme ile 10 yıl-da itfa edilir Yıllık faiz oranı 6 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını ve altıncı yıl sonunda borcun kalan kısmını hesaplayınız

19 Bir borccedil eşit yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenme olmak uumlzere 6 pa(d) faiz oranıyla 3 yılda itfa edilir Birinci oumldeme 7729875b denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

264

20 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 12 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir İkinci ay faiz tutarı 87 49733 denar ve birinci oumldeme 10000 denar olduğuna goumlre ilk doumlrt oumldemenin amortisman planını oluşturunuz

21 Bir borccedil eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile itfa edilir Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Uumlccediluumlncuuml doumlnemde faiz tutarı 455684 denar olduğuna goumlre son uumlccedil doumlneme ait amor-tisman planını oluşturunuz

22 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 4 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Oumldenen ilk anuumliteden sonra borcun kalan kısmı 176 65292 denar ve oumldenen iki anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmı 135 05291 denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

23 80 000 borccedil yuvarlak uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile itfa edilir Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Yuvarlak anuumlite 18 000 denar ve ilk oumldeme 1000 denar olduğuna goumlre borccedil kaccedil devrede itfa edilecektir

24 Bir borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 3 pa(d) faiz ora-nıyla itfa edilir Uumlccediluumlncuuml oumldeme 10 609 denar ve son anuumlitenin bir oumlncesinde borcun oumldenmiş kısmı 185 989 denar olduğuna goumlre anuumlite kalanını belirtiniz

25 Bir borccedil yuvarlak uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile doumlrt yılda itfa edilir Faiz oranı 12 pa(d)rsquodir Sondan bir oumlnceki devrede faiz tutarı 92117 denar olduğuna goumlre anuumlite kalanını belirtiniz

26 120 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile beş yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Borcun amortisman planını oluşturunuz

27 100 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yarı yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 18 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Borcun son uumlccedil yılının amortisman planını oluş-turunuz

28 20 000 denar tutarında borccedil yuvarlak uumlccedil aylık 3000 denar tutarında anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile iki yılda itfa edilir Borcun amortisman planını oluşturunuz

29 Bir borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile doumlrt yılda itfa edilir Uumlccedil yıl sonra borcun oumldenen kısmı 811616 denar ve birinci oumldeme 26000 denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

265

30 Bir borccedil yuvarlak yarı yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 8 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d) ve son oumldeme 498427 denar olduğuna goumlre borcun son uumlccedil yılının amor-tisman planını oluşturunuz

31 500000 denar tutarında borccedil altı aylık eşit anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 30 yılda itfa edilmelidir Faiz oranı 28 pa(d) olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

32 Altı aylık eşit anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 30 yılda itfa edilmelidir Faiz ora-nı 28 pa(d) ve birinci oumldeme 5 37222 denar olduğuna goumlre borccedil tutarı ne kadardır

33 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 50 yılda itfa edilir Faiz ora-nı 4 pa(d)rsquodir Oumldenen 20 anuumliteden sonra borcun oumldenmiş kısmının tutarı 5851566 denar olduğuna goumlre anuumlite tutarını ve borccedil tutarını hesaplayınız

34 2 400 000 denar tutarında borccedil altı aylık devreli yuvarlak 120 000 denar anuumlitelerle ve aynı doumlnemli faiz oranıyla itfa edilir Faiz oranı 2 pa(d) olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda itfa edilecektir Son anuumlite ne kadardır

266

Konu Oumlzetleri

Borccedil para mal veya para cinsinden bir değerin belirli bir vade ve koşulla geri alınmak uumlzere verilmesidir yani borccedil veren finansal varlıklarını borccedil alana geccedilici bir suumlre iccedilin hizmetine devretmesidir Bu boumlluumlmde borccedillunun borcunu oumldeme koşulları borccedil verene olan yuumlkuumlmluuml-luumlğuuml yani finansal varlıkların devredilme koşulları borcun suumlresinde faizlendirmeyi iccedileren an-laşmalar soumlz konusu olacaktır Borccedil tutarı genellikle birden verilir ve geri alınması birden değil ccedilok kez belli periyotlarda gerccedilekleştirilir Her periyotta borcun oumldendiği tutara oumldeme denir Belli periyotta oumldemenin faiziyle beraber tutarına anuumlite denir diğer soumlzlerle anuumlite belirli bir zaman suumlreci iccedilerisinde eşit aralıklarla verilen veya alınan eşit oumldemeler serisidir Borcun her bireysel oumldemesine gereken zaman suumlresine amortisman vadesi denir

Anuumlitelerin oumldeme suumlresine goumlre doumlnem sonu anuumliteli borccedillar (oumldemeler serisi dev-renin sonunda yapılan) ve doumlnem başı anuumliteli borccedillar (oumldemeler devrenin başında yapılan anuumliteler)

Faizin hesaplanmasına goumlre borccedillar doumlnem sonu faizlenen ve doumlnem başı faizlenen biccediliminde adlandırılabilir

Şunu da belirtelim borcun amortismanı denilen kademeli oumldemede oumlnceden belirlen-miş tutarlarla belli zaman aralıklarında oumlnceden belirlenmiş bir plan uumlzerinde oumldenmesine amortisman planı denir

Tutarı Z olan bir borccedil alınmış ve geri oumldemesi her biri a tutarında n eşit anuumlite ile yapıla-caktır Faiz oranı p doumlnem sonu faizlendirme ve faiz doumlnemi anuumlitelerin oumldeme doumlnemiyle aynı olsun Boumlyle durumda borccedil şu formuumllle hesaplanır

1

1

rr

raZ n

n

r doumlnem sonu faiz katsayısıdır

Borccedil bilindiğinde anuumliteyi hesaplamak iccedilin şu formuumlluuml kullanacağız

1

1

n

n

rrrZa

k-cı oumldemeyi bk ve k-cı faizi ik ile işaret edersek birinci anuumlite a = b1 + i1 olur Burada faiz birinci

doumlnem iccedilin Z tuumlm borccedil tutarına hesaplanır yani 100

1

Zpi rsquodir

Kalan anuumlitelerin her birini bu şekilde inceleyerek son anuumliteye a = bn + in varıyoruz Bu-

rada faiz borcun kalan kısmına Z ndash b1 ndash b2 - hellip - bn uygulanır yani 100

121 pbbbZi n

n

dir

Oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisini oluştu-ruyorlar Daha da her oumldeme 1

1

kk rbb formuumlluumlyle hesaplanabilir

267

Genel olarak k- cı oumldeme borccedil ile ifade edildiği durumda şu formuumlluuml kullanacağız

1

1

1

knk r

rrZb

anuumlite ile ifade edildiğinde 1 knk r

ab formuumlluumlnuuml kullanabiliriz Ok ile işaret edeceğimiz k devrede (periyotta) borcun oumldenmiş kısmı k-cı anuumlite dahil ilk

k oumldemenin toplamına eşittir yaniOk = b1 + b2 + + bk yani

1

11

rrbO

k

k dir

Oumldenen k ndash anuumliteden sonra borcun kalan kısmını Rn-k ile işaret edersek birinci oumldemeye goumlre veya anuumlite ile ifade edilişi

11

r

rrbRkn

kn ya da 1

rrrraR n

kn

kn dir

Amortisman suumlresinin borccedil ve anuumlite ile ifade edilişi

1log

log

1

rZaa

rn dir

Z tutarında bir borccedil eşit anuumlitelerle oumldendiği durumda borccedillu her devre sonunda aynı tutarlı taksitler oumldeyecektir Bu oumldemeler iki kısımdan meydana gelmektedir Bu kısımlardan biri borcun bir kısmının oumldeme tutarı ve kalan borcun faizidir Bunu aşağıdaki tablo biccediliminde goumlstereceğiz

Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 Z 1001

Zpi 11 iab a

2 11 bZRn 100

12

pRi n 22 iab a

1n 232 nbRR 100

21

pRin 11 nn iab a

n 121 nbRR 100

1 pRin nn iab a

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Amortisman planı yapıldıktan sonra bu planın doğru olup olmadığını yoklamak gerekir

268

Koşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zb j Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R6 Koşul 3 Faizler suumltunundaki değerlerin toplamı ve oumldemeler suumltunundaki değerlerin top-

lamı devre sayısı ile anuumlitenin ccedilarpımına eşit olmalıdır nabi jj Koşul 4 Anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij Koşul 5 Faizler suumltununun toplamı jj Rpi

100 dir

Belli bir borcu oumlderken a anuumlitesi konkre tutarlı ya da borcun bir yuumlzdesi olarak verile-bilir Bu anuumliteler genellikle tam sayıya yuvarlanıyorlar (onluk yuumlzluumlk vb) Bu yuumlzden bunlara yuvarlak anuumliteler ve borccedillara yuvarlak anuumliteli borccedillar denilir Anuumlite yukarıda sayılan şekil-lerden biriyle verilmediğinde ve borcun itfalı yuvarlak anuumlitelerle yapılma koşulları varsa anuumli-tenin hesaplama yuumlzdesini hesaplamak gerekir Burada da doumlnem sonu borccedillardan amortisman devresinin sonunda oumldemeler ve vade sonu faizlenmeden soumlz edeceğiz

Borcun Z tutarı ve faiz oranı p pa(d) verilmiş olsun Amortisman devrelerinin sayısı bi-lindiği durumda n ndash 1 anuumlitenin değeri eşit ve son olan n-ci anuumlitenin değeri diğerlerinden kuuml-ccediluumlk olduğuna goumlre 100 Vp

n ve 100Vpn-1 arasında bulunan p1 yuumlzdesi aranılır Yuvarlanan anuumliteler

eşit olan anuumlitelerden buumlyuumlktuumlr ve bu yuumlzden son anuumlite onlardan farklı ve değeri diğerlerinden kuumlccediluumlktuumlr ve ona anuumlite kalanı denir

Demek ki yuvarlak anuumliteyi bilmiyorsak borcun p1 yuumlzdesi gibi ifade edilecektir genel

olarak tam sayı ile ya da 100

1Zpa formuumlluuml ile ifade edilecektir ve bu durumda

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

geccedilerli olacaktır Diğerlerinden farklı olan son anuumlite ya da anuumlite kalanı denilen bu taksitin değeri şu formuumllle hesaplanır

n

n

n

rrr

raZa 9

lt=

gt

1

11

1

1

Yuvarlak anuumliteli borccedilların amortisman planının yapılması eşit anuumliteli borccedillarda olduğu gibi yapılır sadece son satırda son anuumlitenin yazıldığı yerde farklılık vardır Burada son oumldeme diğerlerden kuumlccediluumlktuumlr Oumlnce lazım olan buumlyuumlkluumlkler hesaplanır ve ondan sonra amortisman tab-losu doldurulur

269

Burada da amortisman planının yoklaması yapılmalıdırKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zb j

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R1 Koşul 3 Yuvarlanan anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij

son oumldeme hariccedil Son anuumlite anuumlite kalanı ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

270

271

Ccediloumlzuumlmler ve Oumldevlerin Cevapları

111 а) 18750 denar b) 9375 denar c) 2604 denar zaman ayarı (30360) ve 25685 denar (k 365) 2 20 yıl 3 5 4 а) 14750 denar b) 87500 denar 5 K = K1 + K2 = 108000 denar 6 2691 denar

122 I = 12000 K = 72000 denar 3 I = 1760 K = 35200 denar 4 70400 denar5 K = 33750 denar I = 150 denar 6 Borccedil 260400 denar faiz 65100 denar 7 Borccedil 10568 denar faiz 568 denar

134 75 guumln 5 5 ay ve 20 guumln 6 а) 50 guumln 4 05 b) 13 guumln 4 05 7 29 guumln 205 8 2304 9 705

142 123 guumln 3 69 guumln ya da 1306 4 2502 5 805 28 guumln başlangıccedil tarihi 1004

154 Dk = 21875 denar Dr = 21685 denar fark = 01897 5 $ 1 195 16866

164 3 166 5 yatırımlar 3112 tutarı 17 9761 denar kaldırılan = 15 200 denar faiz = 922 denar saldo = 2 776 denar

175 Sıralı faiz = 3209 denar ceza faizi = 2730 saldo = 496518 denar

181 826 guumln (ya da 2 guumln 3 ay ve 6 guumln) 2 K = 176147 denar 3 p = 464 4 K = 306748 denar 5 K = 300000 denar 6 18000 denar 7 K = 105680 denar I = 5680 denar 8 1004 613 ile 9 246 guumln 10 13 0611 iskonto = 222222 efektif tutar =$ 247 7973612 efektif tutar = $ 2 984 200 13 efektif tutar = 147 546 denarDk = 2 2875 denar 14 $ 147 192 15 63 guumln 16 2 471 denar 17 yatırım = 79 770denar kaldırılmış = 65 000 denar saldo = 14 770 denar faiz = 1 770 denar18 sıralı faiz = 4248 denar ceza faizi = 6246 denar saldo = 2568954

272

212 а) 80 kısım b) 130 kısım 4 а) 80 greyn b) 5040 greyn 5 а) 23 karat 1 greynb) 16 karat 1 greyn c) 232 peniveyt 11 greyn d) 209 peniveyt 16 greyn

221 W 8096 2 97917 3 640 4 а) 600 dego b) W 724 5 а) 420 o b) W 12148

231 1584g 2 49875g 3 700g 4 384g

255 55 euro artışı ve 51 dolar duumlşuumlşuuml 6 Devaluumlasyon 463 7 1383

284 144000 USD 5 68493

295 0694 - 06849

2101 225 EUR 2 Zarar 3000 МКD

2111 Saat 14 te +20 EUR sat 19 de -8 EUR 2 Ortalama kur 1041 kar 7675 CHF3 100 МКD 4 17 000 USD 5 saat 15 te

2121 W 2128 2 permil600 3 permil88125 4 а) permil800 b) W 30 5 1175g 6 296g 7 permil8708 180 peniveyt 9 +165 -157 10 Amortisman 219 11 13965 12 Saat 14rsquote kazanccedil 48 EUR saat 19rsquoda zarar 24 EUR 13 Ortalama kur 164 kazanccedil ( AUD 1454 bazında EUR 889 bazında)

31

2 a) 2 yx b) 2 x v) 132x g) 10xy 3 a) 93 2xx b) 44

xx 0x 44

xx 0x 44

xx 0x 4 a) yx b) yx v) yx 5 a) 94 xx b) 22525 xx

v) 14316364 xxx

32 1 a) 3x b) 0x v) 8x g) 3x d) 41 x 12 x |) 2x 2 a) 8x b) 2x

v) 15x g) 6x 3 a) 11 x 02 x b) 0x v) 2x 4 a) 4

11 x 02 x b) 21 x

12 x v) 11 x 62 x 5 a) 4x b) 11 x 2

32 x v) 31 x 22 x

a)

a)

a) b)

a)b) b)c)

c)

c) а) b) c)

c) а) b)

d) e) f)

a) b) c) а) b)c)

b) c) d)

d)

a) b)

273

331

Poimi 3216log6 2log94

x 449log7

5)2b(loga 21

25 5log

Logaritam 3 2 4 5 21

Osnova na logaritamot

6 x 7 a 25

Logaritmant 216 94 49 2b 5

2 a) 2 b) 2 v) 2

1 g)

2

1 3 a) 3x b) 6x v) 2x g) 12 4 a) 2 b) 9

5 a) 1 b) 30 6 )1()0( BCBx

34 1 a) blogalog3logxlog b) clog5blogalog2xlog

v) clogblogalog2logxlog g) )balog(2logxlog d) )cblog(alog2

1xlog 22

|) blog3

1alog

2

1xlog 2 a)

2

1 b) 18 v) 1 3 a) 10x b)

9

8x v)

3

3 2

2

53 x

g) 3

44

4

6

x d) 3

5 |)

27

8 e) 63 `) 24 4 a) 060 078 090 096 b) 108 120 126

5 a) 3 b) 3 v) 1 g) 1

35

2 Upatstvo a) 15log

4log

7log

5log7log14log5log7log

3

3

3

33573

b) 8log

7log

7log

6log

6log

14log

4log

12log7log6log5log4log3log2log

5

5

5

5

55

33876543

3 8 4 a) 2

1 b) 18 v) 5 5 alogalogalog

b

1

b

1b 1

13

36

1 22

321 x 2 14 21 xx 3 2x 4

3

167 21 xx 5 4

213

2x 6 16x 7 4

37

1 a) yx b) yx v) yx 4 a) 3

4

a b) 3

2

a 5 8x 6 2x 7 | 8 1x 9 1x

10 4 11 a) 4x b) 81

1x v)

10

1x g)

2

1x d) 5 100 |) 2x

Kavramlar

Logaritma değeri

Logaritmatabanı

Logaritması alınan sayı

b)

b)

b)

b) c)

c)

c)

b)

b)

b)

b)b)

b)c)

c)

c)

c) c)

a)

a)

a)Tavsiye

b)

b)

b)

a)

a)

a)a)

a)

a)a) b) c)d)

e)

e)

e) g) h)

d)

d)

d)

d)

d)

f)

f)

274

12 a) ylogxlog2log b) ylog3xlog23log v) zlog2

1ylog5xlog2

g) clog3alogb d) ylog3

2xlog6log |) )ylog

2

1xlog3(

4

1)xlog2(log

2

1

e) )ylog4

3x(log

2

1 13 a) 6x b) 10x v) 21x g) 1125x 14 a) 736x

b) 008840x v) 29676x 15 a) 5log2 4 b) 3log

2

7

v) 5log10

1 16 a) 35

1

b) 1

log2 xx

17 a) 8 b) 1 18 1x 19 5x 20 25x 21 3121 x 22 7x

23 102

321 xx

41 1

Stepeni 00 030 045 060 090 0180 0270 0360 Radijani

0 6

4

3

2

2

32

2 13

12sin

13

5cos

5

12tg

12

5 ctg 3 870sin 490cos 771tg

560ctg 4 80sin 60cos 3

4tg

4

3ctg 5 780sin 620cos

261tg 790ctg

42 1 a) 540 b) 980 v) 840 g) 540 2 a) 600 b) 700 v) 150 g) 400 3 a) 1 b) 1 v) 1

4 a) 3 b) 3

332 v) 1 5 a) 450 b) 300 v) 450 g) 600 d) 300

43 1 a) 74048sin 0 67048cos 0 111480 tg 90480 ctg b) 390231223sin 0

920231223cos 0 430231223 0 tg 332231223 0 ctg v) 2801916sin 0

9601916cos 0 2901916 0 tg 4431916 0 ctg 2 a) 7807

2sin

620

7

2cos

2517

2

tg 807

2

ctg b) 73021

5sin

730

21

5cos

930

21

5

tg 08121

5

ctg

3 a) 204235 0 b) 232544 0 v) 33267 0 g) 162326 0 d) 552444 0 |) 505372 0

4 a) 010 b) 20 5 a) 395525 0 b) 142617 0 v) 591246 0

Dereceler

Radyanlar

b)b)

b)

b) b)b)

b)

b)b)

b)b)

b) b)

b)

b)

c)c)

c)

c)

c)c)

c) c)

c)c)

c)

c)

d)

d)

d) e)

d)

d)

d)

e)

e)

f)

f)

g)

275

44

1 a) 13

12cos

12

5tg

5

12ctg b)

4

15sin 15tg

15

15ctg

v) 41

414sin

41

415cos

4

5ctg g) 920sin 390cos 442tg

2 a) sin2 b) cos2 v) 1 6 54

55 7 26

45 1 a) 853 0 140 cma 954 cmb b) 274 0 711 cma 33 cmb v) 624 0

145 cmb 655 cmc 2 a) 80 41750 cma 61767 cmc b) 3041 0

166 cma 799 cmc v) 660 7911 cmb 255 cmc 3 a) 55745 0

55242 0 48224 cmb b) 395561 0 21428 0 559 cmc

v) 471921 0 134068 0 16338 cmc 4 231445 0 5 125236 0 6 Od mestoto B avionot e na rastojanie m781824 a rastojanieto me|u A i B e 2231 m

46 1 a) 362434 0 b) 121618 0 v) 124023 0 2 a) 4336 0 b) 1945 0 v) 8773 0 3 a)

440 rad b) 491 rad 4 a) 1050 b) 564572 0 5 a) 0 b) 2 v) cos

1

0 6 a) 650 b)

1047 0 v) 300 g) 400 7 a) 5

3cos

3

4tg

4

3ctg b)

5

4sin

3

4tg

4

3ctg v)

34

3sin

34

5cos

3

5ctg g)

674

25sin

674

7cos

7

25tg 8 a) 7 b) 1 9 a) 5853 0 40a 55b b) 4025 0 43936b

941038c v) 504 0 050a 6220c g) 55745 0 55244 0 48222b

d) 64484 0 54155 0 3242a 10 cos2 cab sin ch 11 4102 m

51 1 a) II-kvadrant b) I-kvadrant v) IV-kvadrant g) III-kvadrant d) x oskata |) y oskata e) x oskata `) y oskata 2 )01(M )02(N )05(P )03(Q 3 )30(M )40(N )20( P )10( Q 4 4xm 2ym

52 1 a) 82d b) 4d v) 53d g) 53d 3 11y ili 1y 4 )1821(C 5 13 b)

b)

b) b)

b)

b)b)b)

b)b)

b)

b)b)

b)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

c)c)

c)

c)

c)

c)

c)

d)

d)

d)

d)

d)

d)

e)

e)

f) g) h)

b)

doumlrduumll doumlrduumll doumlrduumll doumlrduumll ekseniekseniekseni ekseni

6 Uccedilak Byerine uzaklığı 418278 m A ve B arasındaki uzaklık ise 1223 m

ya da

276

53

1 2

54

13

ABS 12BCS

2

71

13

ACS 2 5 3 )11( )01( )13( )25( 4 a)

13

5

95

b) 13

5

116 v) 37 g) 718 5 )62( A )28(B )106(C

54

1 21P 2 Ne 3 Da 4 15P 5 2

55P 6

2

15APBP

4

9PBCP

55 1 Samo P e od pravata 2 a) xy b) xy v) 0y 3 a) 2k 3m b) 1k

3m v) 0k 2m g) 3k 0m 4 2

13 xy 5 1 xy 6

5

6k

5

7m

7 25 xy

56

1 a) 0332 yx b) 04 y v) 03 x 2 a) 2k 3m b) 2

5k

2

3m

v) 8

3k

3

16m 3

4

33 3m 5 Da

57

1 a) 164

yx

4 edinici na x oskata 6 edinici na y oskata b) 111

yx 1

edinici na x oskata 1 edinici na y oskata v) 12

2

1

yx

2

1 edinici na

x oskata 1 edinici na y oskata 2 85

6k 3

12

5k 4 18 kvadratni edinici

5 132

yx 1

2

34

yx

58

1 a) )2(3 xky b) )1(4 xky 2 053 yx 3 03 yx 4 a) 5

7k

b) 5k v) 0k 5 01357 yx 6 Ne 7 5

7d ne 8

3

2d 9

5

10Md i

5

8Nd 10 257 yx

b)

b)

b)

b)b)

b)b)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

d)

d)b)

Evet

Sadece P doğrunundur

Hayır hayır

x ndash ekseninde 4 birim y - ekseninde 6 birim

x - ekseninde 1 birim y - ekseninde 1 birim

birim kare y - ekseninde 1 birim

1 P = 21 2 Hayır 3 Evet 4

x - ekseninde 1

2 birim

ve

277

613 Dizi artandır 4 а) d) ve e) şıklarındaki diziler artandır b) ve c)rsquodeki diziler eksilendir 5 а) Hayır b) ne artan ne de eksilendir 6 а) a gt 1 b) 0 lt a lt 1 c) a = 1

631 299 2 150 3 -776 4 а) ve c)rsquodeki diziler aritmetik dizilerdir а) şıkkındaki dizinin ilk terimi 2 ve ortak farkı 6rsquodır c)rsquodeki dizide ise ilk terim 9 ortak fark -5rsquotir 5 8 yıl sonra 1 ocak 2008 yılı 6 d = 3 a1 = 0 7 Aritmetik dizisi 8 Tasarruf yapmadan oumlnce 14000 denarı varmış ve her yıl 2500 denar tasarruf yapmıştır

641 а) 19 b) x 2 Aranılan terim an+1 dir 4 n(n +1) 5 а) 9399 b) 5850 6 50 7 a7 + a11 = a5 + a 20 ve a7 + a11 = a5 + a13 oradan a13 = a20 elde edilir bu ise ancakd = 0 olduğu durumda muumlmkuumlnduumlr

651 3 2 а) ve d) geometik dizilerdir а) daki dizinin ilk terimi 2 ortak ccedilarpanı ise -4 tuumlr d) şıkkındaki dizinin ilk terimi 1 ortak ccedilarpanı 2 dir 3 а) 10125 b) 96 4 а) 50363 b) 12 yıl 5 Аli 6 256 defa

59

1 a) se se~at vo to~kata )21( b) se paralelni v) se sovpa|aat 2 a) )05( i 13

2

10

b) )06( i )40( 3 02865 yx 4 4

3 5 042 yx 6 06035 yx

510

1 )1332(4 2 a) )17(M b) )17(M 3 2

12 4 14P 6 029107 yx

8 )51( D 11 a) 5

7d b) 1d 12 03 x 073 yx 0133 yx 13 a)

)04(T b) )44(H 15 )83(M 16 49P 17 12034 yx 072948 yx

18 3

11 k 12 k i

3

51 k

6 1 2 a)

32

43

54

65

76 b) 1

41

91

161

251 v) 2481632 g) 12345 3 a)

174 b) 27 v) 81

4 n=2010 5 n=256 6 a) 53 b)

51 v) 16 g) 3 7 a) 12 nan b) 2n v) n

na )1(2

g) nna 1 d) nna28

b)b)

b)

c)c)

c)c)

d)d)

d)

e)

(12) noktasında kesişiyorlar b) paraleldirler c) ccedilakışıyorlar ve

ve

ve

b)

b)

b)

b)

b)

278

661 a) 60 b) x 3 Aranılan terim an+1 4 b = 15 ya da b = 15 5 а) 1640 b) 40 c)

128

255

d) 340 6 а) 3 b) 27 7 а1 = 9 97

5 6S olur

6 72 Hayır 3 Hayır 4 500500 5 3000 6 1840 7 a = 5 b = 8 c = 11 8 Tavsiye ak ve an terimlerinin değerlerini aritmetik dizisinin ilk n terim toplamı formuumlluumlnde değiştirerek denk-lemin geccedilerli olduğunu goumlsteriniz 9 2080 denar 10 100 11 b = 15 12 Tavsiye ak ve an terimlerinin değerlerini geometrik dizisinin ilk n terim toplamı formuumlluumln-de değiştirerek denklemin geccedilerli olduğunu goumlsteriniz 13 1792 14 20480 denar 16 q = 1

711 а) 18750 denar b) 9375 denar c) 2604 denar (30360) zaman oumllccediluumlsuumlne goumlre ve 25685 de-nar (k365) goumlre 2 20 yıl 3 5 4 а) 14750 denar b) 87500 denar5 K = K1 + K2 = 108000 denar 6 а) 6 ps b) 3 pq c) 1 pm 7 а) 4 ps

b) 8 pa c) 3

2 mp 8 9091 pa(a) 9 1111 pa(d) 10 6 pa(a) = 638 pa(d) buna goumlre ikinci faiz oranı daha karlıdır 65 pa(d)

721 а) Karma youmlntem ile 84538 denar sadece bileşik faiz hesabıyla 8448343 denar b) karma youmlntemi 881243 denar sadece bileşik faiz hesabıyla 8811729 denar2 5633155 denar 3 5939502 denar 4 9560058 denar 5 Doumlnem sonu vadeli 5605984 de-nar doumlnem sonu faizlendirme 56400 denar doumlnem başı faizlendirme 6 24099 denar 7 17205 denar

731 40642 denar 2 7430 denar 3 а) 44160 denar b) 431334 denar а) ve c) şıklarındaki tu-tar farkları verilerin yuvarlanmasından kaynaklanır 4 6 5 3923 ve 1943 6 16847 denar

741 а) K = 7597254 denar b) K = 7461711 denar 2 а) 43291 denar b) 4291857 denar 3 25023795 denar 4 2753275 denar 5 5474325 denar

751 а) 24 yıl 6 ay ve 28guumln b) 23 yıl 7 ay ve 11guumln 2 а) 3919 uumlccedil aylık b) 3936 uumlccedil aylık 3 а) 116196 pa(a) b) 1197 pa(d)

279

4 3925 pa(d) 5 5 pq(d) 47 pa(a) 6 10077 yıl 7 25 ps(d) 8 85 pa(d) 9 3 yıl 1 ay ve 18 guumln

761 Karma youmlntemle 211440 denar sadece bileşik faizle 2108975 denar 2 355465 denar 3 112120 denar 4 10930 denar 5 186760 denar borccedil 6 а) 422527denar faiz 77473 denar b) 422546 denar faiz 77454 denar 7 27 yıl 8 17175 yıl 9 2172979 de-nar 10 22676567 denar 11 Son teklif 16489332 12 2165 uumlccedil aylık 13 195 14 125584 denar 15 47483114 denar 16 Birinci teklif daha uygundur ikinci teklif daha kuumlccediluumlktuumlr ve 5230428 denardır 17 18 yıl 4 ay ve 29 guumln 18 520948 denar 19 66 pa (d) 20 757 pa(d) 21 246 yıl ve tutarı 10000 denardır

821 а) Sn = 225558 denar b) Sn = 227207 denar 2 Sn = 120061 denar 3 а) Sn = 39083denar b) Sn = 40646 denar 4 а) 479782 denar b) 482431denar 5 а) 484580 denar b) 487304 denar 4 ve 5 oumldevlerin değerlerinin karşılaştırılmasıyla doumlnem sonu yatırımları getirdikleri faiz miktarı doumlnem başı yatırımların getirdikleri faizden daha buumlyuumlk olduğu sonu-cuna varılır En buumlyuumlk son değer doumlnem başı yatırımların doumlnem başı faizlenmesiyle elde edilir

831 а) V = 18781 denar b) V = 18729 denar 2 V = 10000 denar 3 V = 2866 denar 4 V = 4603 denar 5 V = 6826 denar

841 а) n = 6 b) n = 5 2 n 8527 O halde n = 9 V0 = 93048 denar 3 n 31195 O halde n = 32 V0 =-279 denar (demek ki 279 denar geri verilecektir) 4 V0 = 118 denar 5 n = 18

85

1 2

p = 4 2 3

p = 397 3 а) 2436 b) 2674 4 p = 8 5 p = 755

864 M n = 119041 denar 5 а) M n = 15726 denar b) M n = 16355 denar 6 Mn = 637300 denar 7 V = 5695 denar 8 68044 denar

871 Doumlnem sonu faizlenme ile 70765 denar doumlnem başı faizlenme ile 70895 denar elde edilir 2 R = 16700 denar 3 R = 7575 denar 4 R = 5991 denar 5 R = 16705 denar

280

881 10 kira 2 n = 8 4 yıl 3 n = 12 R0 = 32667 denar 4 n = 60 R0 = 2160 denar 5 n = 35 R0 = 28 denar

891 p = 168 p a (d) 2 p = 5756 p a (d) 3 p = 8 p a (d) 4 913 p a (d) 5 31136 denar 8101 R = 3400 denar 2 5220 denar 3 4200 denar 4 25000 denar 5 203454 denar

8111 27403 denar 2 1480 denar 3 4 yatırım 4 654 5 8 yıl 6 M n = 2861592 denar 7 R = 247525 denar 8 n = 12 R0 = 32532 denar 9 575 pa(d)10 110643 denar 11 45000 denar 12 175600 denar 13 50000 denar 14 3 yıl oumlnce 15 1128 denar 16 83972 denar 17 870058 denar 18 15940 denar 19 202716 denar 20 4850 denar

921 а) 9694820 denar b) 19582505 denar c) 39361911 denar 2 346514 denar3 16650 denar 4 890364 denar 5 305785 denar

931 1688263 denar 2 Аnuumlite 1748363 denardır 3 Borccedil 71318232 denardır4 953809 denar 5 560687 denar

941 Kalan 15613724 denar 2 Oumldeme 3446295 denar 3 Borccedil 9126992 denar 4 2705808 denar 5 59773882 denar

951 8pa(d) 2 n = 25 yılda 50 anuumlite 3 367 pa(d) 4 4135 n = 10 yıl

961 a = 1907619 denar amortisman planı aşağıdaki tabloda goumlsterilmiştir

281

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 4000 1507619 1907619 2 8492381 339695 1567924 1907619 3 6924457 276978 1630641 1907619 4 5293816 211753 1695866 1907619 5 3597950 143918 1763701 1907619 6 1834249 73370 1834249 1907619

Suma 53361428 1414457 100000 2 457611a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 80000 4000 117614 457611 2 682386 341193 1234947 457611 3 5588913 279446 1296694 457611 4 4292219 214611 1361529 457611 5 293069 146535 1429605 457611 6 1501085 75054 1501086 457611

Suma 67291367 3914568 0180000 3 5421631a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 8000 1363154 5421631 2 8636846 690947 1472207 5421631 3 7164639 573171 1589983 5421631 4 5574653 445972 1771282 5421631 5 3857474 308598 1854556 5421631 6 2002918 160236 2002918 5421631

Suma 33372365 2429789 100000 4 713154a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 10000 100 215471 713154

2 784629 7846 237018 713154 3 547512 54751 206719 713154

4 286792 28683 286792 713154 Suma 3326188 332618 10000

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

denar

Toplam

Toplam

Toplam

Toplam

282

5 Son iki faizin verilerinden sistem oluşturunuz r = 11 п = 6 a = 3543122 Z = 1543122 elde edilir Bu verilerle amortisman planını oluşturabilirsiniz

971 Z = 142857 14 denar 2 31 yıl 3 14 devre 4 Z = 100000 ve a = 30000 5 a = 10000 denar

981 a1 = 146783 denar

period ostatok od dolgot

kamata otplata

1 60000 2400 1600 2 58400 2336 1664 3 56736 226944 173056 4 5500544 220022 179978 5 5320566 212823 187177 6 5133389 205336 194664 7 4938725 197549 202451 8 4736274 189451 210549 9 4525725 181029 218971

10 4306754 172270 227730 11 4079024 163161 236839 12 3842185 153687 246313 13 3595872 143835 256165 14 3339707 133588 266412 15 3073295 122932 277068 16 2796227 111849 288151 17 2508076 100323 299677 18 2208399 88336 311664 19 1896735 75869 324131 20 1752604 62904 337096 21 1235508 49420 337096 22 884928 35397 364603 23 520325 20813 379187 24 141138 5656 141138

Devre Borccedil kalanı Faiz Oumldeme

283

2 Anuitetot e 3000 denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 20000 600 2400 3000 2 17600 528 2472 3000 3 15128 45384 254616 3000

4 1258184 37746 262254 3000 5 995930 29878 270122 3000 6 725808 21774 278226 3000

7 447582 13427 286573 3000

8 161009 4830 161009 391658

3 2800a 74551 a Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 8000 400 2400 2800 2 5600 280 2520 2800 3 3080 154 2646 2800 4 434 217 434 7455

suma 17144 7855 8000

4 60000a denari Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 200000 8000 52000 60000 2 148000 5920 54080 60000 3 93920 37568 256243 60000

4 376768 150707 837676 8739183 Suma 8479596 8719183 200000

5 2000a denari 8212901 a Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 20000 400 3600 2000 2 16400 328 3672 2000 3 12728 25456 374544 2000 4 898256 17965 382035 2000 5 516226 10325 389675 2000 6 126551 2531 126551 821290

2 Anuumlite 3000 denar

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

Toplam

Toplam

284

991 Аnuumlite 3638632 denar toplam faiz tutarı 5109056 denar 2 23098204 denar 3 1000618 denar 4 266467 denar 5 15300 denar 6 Borccedil 468019 denar 200000 denar oumldenmiş bor-cun kalanı 268015 denar faiz 165634 denardır 7 4585662 denar 8 9126992 denar 9 Borccedil 3673958 denar kalan borccedil 1276367 denar 10 13140881 denar 11 1877255 denar 12 46 anuumlite eşit 47 farklı 13 862025 denar 14 6 15 2 16 2 17 1770537 denar 18 a = 2016471 denar O12 = 15844971 denar ve R 8 = 14155029 denar

19 9229875a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 500000 15000 7729875 9229875 2 42270125 1268104 7961771 9229875 3 54343087 1029251 8200624 9229875 4 2610773 783232 8446643 9229875 5 17661087 529833 8700042 9229875 6 8961045 268131 8961445 9229875

Suma 411793083 5153792 500000

20 3155415a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 1000000 10000 4541531 3155415 2 95458469 954585 458696 3155415 3 90871523 908715 4632816 3155415 4 86238707 862387 4679144 3155415

21 8425364a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

10 7314923 146299 2390185 8425364 11 4924738 98495 2437989 8425364 12 2486749 49735 2486749 8425364

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

denar

Toplam

285

22 Rn ve Rn-1 kalanlarıyla sistem oluşturunuz Oradan n = 5 a = 4866612 denar ve borccedil Z = 216653 denar 23 14 devre yani 35 yıl 24 a = 16000 denar ve borccedil ĊZ = 200000 denar 25 a =16000 denar borccedil Z = 200000 denar son anuumlite a1 = 14432 denar

26 a = 30000 denar

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 120000 4800 25200 30000 2 94800 3792 26208 30000 3 68592 274368 2725632 30000

4 4133568 165343 2834657 30000 5 1289911 51596 1289911 1341507

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

27 p1 = 4 a = 4000 i1 = 3000 b1 = 3750 a1 = 598727 28 p1 = 15 p = 4

a = 272879 b1 = 2200 i1 = 800 29 p = 4 p1 = 30 a = 30000 Z = 100000

30 p1 = 75 a = 7500 i1 = 2000b1 = 5500 31 a = 1237222 32 Z = 500000

33 Z = 300000 a = 1396506 34 2n = 23 a1 = 5123502

286

287

Yararlanılan Kaynaklar

1 Arnold Glen Essentials of Corporate Financial Management Harlow UK 2007

2 BerkJ and De MarzoP Corporate Finance Harlow UK 2009

3 Fabozzi J Frank Franco Moodigliani Michael G Ferri Foundation of financial markets and institutions 2nd ed 2000

4 Gitman Principles of Managerial Finance Addison - Wesley 2007

5 Gitman Principles of Managerial Finance 12th edn Pearson 2009

6 Mishkin Eakins Financial Markets and Institutions Pearson 2007

7 Sam Y Cross Th e Foreign Exchage Market Federeal Reserve Bank of New York 1998

8 S G Kellison Th e theory of interest Georgia State University Irwin 1991

9 Teresa Bradley Paul Patton Essential Mathematics for Economics and Business John Wiley amp Sons 2nd Edition 2002

10 B Попов Математика за IV клас за стручните училишта Просветно дело Скопје 1977

11 В Враниќ Основи финансијске и актуарске математике Загреб 1964

12 Г Тренчевски Елементарна алгебра Просветно дело Скопје 2001

13 Д Јанев З Коловски Г Вилбиловска М Стојановски Математика за економисти збирка задачи Савремена администрација Београд 1991

14 Е Стипаниќ Математика за III и IV разред гимназије друштвено -језичног смера Завод за издавање уџбеника Народне Републике Србије Београд 1962

15 З Ивановски А Станковска Девизна политика Европски универзи-тет2007

16 К Сориќ Збирка задатака из математике с примјеном у економији Елемент Загреб 2005

17 К Тренчевски В Крстеска Г Тренчевски С Здравеска Математичка анализа за четврта година на реформираното гимназиско образование Просветно дело 2003

18 М Ивовиќ Финансијска математика Економски факултет Веоград 2003

19 Н Давидовиќ Основи на математиката за економисти Култура Скопје 1975

20 Р Раљевиќ Финансијска и актуарска математика Савремена администрација Београд 1975

288

YazarlarKostadinТrenccedilevski

Аneta Gatsovska Naditsa İvanovska

Bilgisayar İşlemleriYazarlar

RedaksiyonD-r Aktan Ago

LektoumlrBedri Nuredin

Tuumlrkccedileye CcedilevirenAbduumllgani AliĊ

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (ColorMatch RGB) CalCMYKProfile (Coated FOGRA39 050ISO 12647-22004051) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Warning CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends false DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy CMYK DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams true MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness false PreserveHalftoneInfo true PreserveOPIComments false PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Remove UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true Arial-Black Arial-BlackItalic Arial-BoldItalicMT Arial-BoldMT Arial-ItalicMT ArialMT ArialNarrow ArialNarrow-Bold ArialNarrow-BoldItalic ArialNarrow-Italic ArialUnicodeMS CenturyGothic CenturyGothic-Bold CenturyGothic-BoldItalic CenturyGothic-Italic CourierNewPS-BoldItalicMT CourierNewPS-BoldMT CourierNewPS-ItalicMT CourierNewPSMT Georgia Georgia-Bold Georgia-BoldItalic Georgia-Italic Impact LucidaConsole Tahoma Tahoma-Bold TimesNewRomanMT-ExtraBold TimesNewRomanPS-BoldItalicMT TimesNewRomanPS-BoldMT TimesNewRomanPS-ItalicMT TimesNewRomanPSMT Trebuchet-BoldItalic TrebuchetMS TrebuchetMS-Bold TrebuchetMS-Italic Verdana Verdana-Bold Verdana-BoldItalic Verdana-Italic ] AntiAliasColorImages false CropColorImages false ColorImageMinResolution 150 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages false ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 076 HSamples [2 1 1 2] VSamples [2 1 1 2] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages false GrayImageMinResolution 150 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages false GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 076 HSamples [2 1 1 2] VSamples [2 1 1 2] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages false MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages false MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects true CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) PDFXOutputConditionIdentifier (CGATS TR 001) PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName (httpwwwcolororg) PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt DAN 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 DEU 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 ESP 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 FRA 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 ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 50 e versioni successive) JPN 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 KOR ltFEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002egt NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 50 en hoger) NOR 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 PTB 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 SUO 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 SVE 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AllowImageBreaks true AllowTableBreaks true ExpandPage false HonorBaseURL true HonorRolloverEffect false IgnoreHTMLPageBreaks false IncludeHeaderFooter false MarginOffset [ 0 0 0 0 ] MetadataAuthor () MetadataKeywords () MetadataSubject () MetadataTitle () MetricPageSize [ 0 0 ] MetricUnit inch MobileCompatible 0 Namespace [ (Adobe) (GoLive) (80) ] OpenZoomToHTMLFontSize false PageOrientation Portrait RemoveBackground false ShrinkContent true TreatColorsAs MainMonitorColors UseEmbeddedProfiles false UseHTMLTitleAsMetadata true gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false BleedOffset [ 0 0 0 0 ] ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName (Coated FOGRA39 (ISO 12647-22004)) DestinationProfileSelector UseName Downsample16BitImages true FlattenerPreset ltlt ClipComplexRegions true ConvertStrokesToOutlines false ConvertTextToOutlines false GradientResolution 300 LineArtTextResolution 1200 PresetName ([High Resolution]) PresetSelector HighResolution RasterVectorBalance 1 gtgt FormElements true GenerateStructure false IncludeBookmarks false IncludeHyperlinks false IncludeInteractive false IncludeLayers false IncludeProfiles false MarksOffset 6 MarksWeight 0250000 MultimediaHandling UseObjectSettings Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (20) ] PDFXOutputIntentProfileSelector UseName PageMarksFile RomanDefault PreserveEditing true UntaggedCMYKHandling LeaveUntagged UntaggedRGBHandling UseDocumentProfile UseDocumentBleed false gtgt ]gtgt setdistillerparamsltlt HWResolution [2400 2400] PageSize [612000 792000]gtgt setpagedevice

DenetleyenlerDr Bilyana Kırsteska KMUuml DMF oumlğretim uumlyesi Uumlskuumlp - başkanLidiya Kuzmanovska UumlBOO ldquoLazar Tanevrdquo profesoumlr Uumlskuumlp uumlye ve Lyubitsa Dimitrova UumlBOO ldquoGyoşo Vikentievrdquo profesoumlr Koccedilana uumlye

Duumlzelti Dr Aktan Ago

Yayıncı Makedonya Cumhuriyeti Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Basımevi Grafi ccedilki Centar Ltd Uumlskuumlp

Tiraz 80

Bu kitap Makedonya Eğitim ve Bilim Bakanrsquoın no 22-43861 ve 29072010 tarihli kararnamesiyle kullanılmaya muumlsaade edilmiştir

CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека ldquoСвКлимент Охридскиrdquo Скопје512 1 (0753)51 - 77 (0753)ТРЕНЧЕВСКИ КостадинМатематика за економисти за lll година на четиригодишното стручно образование економско-правна и трговска струка техничар за трговија и маркетинг Костадин Тренчевски Анета Гацовска Надица Ивановска - Скопје Министерство за образование и наука на Република Македонија 2011 - 288 стр граф прикази 29 смISBN 978-608-226-177-51 Гацовска Анета [автор] 2 Ивановска Надица [автор] COBISSMK-ID 86465034

Ouml n s ouml z

İKTİSATCcedilILAR İCcedilİN MATEMATİK kitabı doumlrt yıllık mesleki eğitimin uumlccediluumlncuuml sınıfına ait matematik dersinin plan ve programı uumlzere hazırlanmıştır İktisat hukuku ve ticaret dersi plan ve programına goumlre iktisat ve pazarlama teknisyeni ndash eğitim profili oumlğrencileri iccedilin oumlngoumlruumllmuumlştuumlr Amaccedil okuyucuyu bir yandan iktisatta gerekli bazı matematiksel youmlntemlerle tanıştırmak oumlte yandan da matematiksel duumlşuumlnmeye alıştırarak doğrudan matematik kitaplarından yararlanabilir duruma gelmesine yardım etmektir Kitap dokuz boumlluumlmden ibarettir Ele alınan konuları daha iyi ve kolay benimsemek iccedilin her boumlluumlm sonunda ccedileşitli duumlzeylerde ccediloumlzuumllmuumlş oumlrnekler alıştırmalar ve ccedilizimler verilmiştir Her ders biriminin sonunda ders esnasında ya da evde oumlğrencilerin kendi başına ccedilalışmaları iccedilin alıştırmalar verilmiştir Kitabın sonunda alıştırmaların ccediloumlzuumlmleri bazılarının ise ccediloumlzuumlmuuml iccedilin tavsiyeler verilmiştir

Birinci boumlluumlm ldquoBasit faiz hesabırdquo başlığı altında verilmiştir Burada amaccedil oumlğrenci basit faiz hesabını oumlğrenmeyi ve aynısını pratikte uygulanmayı vadeli hesap iskonto hesabı ve yatırım hesabını benimsemek aynı zamanda kredi hesabı ve bireysel işlem hesabı kavramlarını oumlğrenmektir

İkinci boumlluumlm ldquoKıymetli metaller paralar ve doumlvizlerrdquo başlığı altında verilmiştir Bu konunun iccedileriğini oumlğrenmekle kıymetli metaller hakkında bilgilerin genişletilmesini onların arılık derecesinin nasıl hesaplandığını ve hesaplama tekniklerini oumlğrenmeye olanak sağlamaktadır Bundan başka para ve doumlvizler hakkında geniş bilgiler verilmiş oumlzellikle doumlvizlerin satın ve alımı vurgulanmıştır

Uumlccediluumlncuuml boumlluumlm ldquoUumlsluuml ve logaritmalı denklemlerrdquo başlığı altında verilmiştir Burada reel uumlsluuml kuvvet ve logaritma kavramı incelenmiştir Amaccedil bazı uumlsluuml ve logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuumlne ait tekniklerin oumlğrenilmesidir

ldquoDar accedilının trigonometrik fonksiyonlarırdquo konusu doumlrduumlncuuml boumlluumlmde verilmiştir Bu boumlluumlmdeki ders malzemesinin oumlğrenilmesiyle oumlğrenci trigonometri hakkında temel bilgiler edinecek yani sinuumls kosinuumls tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlarını tanımlayacak ve onların geometride ve pratikte nasıl uygulandığını oumlğrenecektir

Beşinci boumlluumlm ldquoDuumlzlemde doğrurdquo diye adlandırılmıştır Bu konuyu incelemekle oumlğrenciler duumlzlem analitik geometrisi hakkında temel bilgiler edinecekler Oumlzellikle iki nokta arasındaki uzaklık doğru parccedilasının verilen oranda boumlluumlnmesi ve formuumlllerinin uygulanması goumlsterilmiştir Bu boumlluumlmuumln sonunda iki doğru arasındaki accedilı ve bir noktadan verilen bir doğruya uzaklık kavramlarından oumldevlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğreneceksiniz

Altıncı boumlluumlmde ldquoDizilerrdquo konusu incelenmiştir Bu konudaki malzemeyi oumlğrenmekle reel sayılı diziler hakkında daha kapsamlı bilgiler edineceksiniz Burada oumlzellikle aritmetik ve geometrik dizilerine onların genel terimine ve ilk n terimlerinin toplamına ait formuumlllere daha fazla oumlnem verilmiştir

ldquoBileşik faiz hesabırdquo adında verilmiş olan boumlluumlm (ilerde bunu i i kısaltmasıyla işaretleyeceğiz) oumlğrencinin basit faiz hesabı hakkında bilgilerini yoklamasına ve bileşik faiz kavramını oumlğrenmesine olanak sağlamaktadır Doumlnem başı (antisipativ) ve doumlnem sonu (dekurziv) faizlenme kavramları incelenir ve bununla oumlğrenci faiz oranını faiz miktarını ve faiz suumlresinin nasıl hesaplandığını oumlğrenecektir

Sekizinci boumlluumlmde ldquoVadeli yatırımlar ve vadeli gelirlerrdquo kavramı incelenmiştir Amaccedil doumlnem başı ve doumlnem sonu yatırımları tanımak ve bu gibi yatırımların sonundaki değerlerini hesaplamaktır Bu boumlluumlmde kira kira yatırımı iskonto ve iskonto değeri kavramlarını da oumlğreneceksiniz Sonunda bileşik faiz yatırımlar ve kira ile ilgili daha bileşik problemler ccediloumlzebileceksiniz

Son olan dokuzuncu ldquoBorccedillarrdquo boumlluumlmuumlnde borccedil amortizasyon vadesi taksitler oumldeme gibi kavramlar incelenmiştir Eşit taksitli borccedillar eşit anuumliteli oumldemeler yuvarlak anuumliteli ve farklı tuumlrden borccedillar hakkında amortizasyon planları yapılmaktadır

Bu kitaptaki ders malzemesini gerccedilekleştirirken oumlğretmen oumlğrencilerinden kendi başlarına ccedilalışmalarını teşvik etmelidir

Bu kitabın kalitesinin iyileşmesi youmlnuumlnde denetleyenlerden aldığımız iyi maksatlı eleştiriler iccedilin de oumlzellikle minnettarımız

İlerde de kitabın iccedileriğinin zenginleşmesi youmlnuumlnde olumlu maksatlı her eleştiri iccedilin oumlnceden teşekkuumlrlerimizi sunarız Boumlylece bu kitap iktisat ndash hukuk boumlluumlmuumlnde oumlğrenim goumlren oumlğrencilere ilerdeki mesleklerinde yararlı olacak bilgileri oumlğrenmelerini sağlayacaktır

Mayıs 2010 Yazarlar

İ Ccedil İ N D E K İ L E R

1 BASİT FAİZ HESABI 5 11 Basit Faizin Hesaplanması 5 111 Temel Kavramlar 5 112 Basit Faizin Hesaplanmasında Buumlyuumlkluumlkler Arasındaki Temel Bağıntılar 6 12 Yuumlz Uumlstuumlnde Ve Yuumlz Altında Faiz Hesabı 10 13 Vadeli Hesap 13 131 Ortalama Vade İle Hesaplama 14 14 Borccedil Kalanının Vade Hesaplanması 19 15 İskonto Hesabı Ve İskonto Hesaplamalar Kavramı 22 151 Policcedilenin Oumlzellikleri 23 152 Policcedilenin İskontosu 26 16 Yatırım (Depozit) Hesapları 30 17 Kredi Banka ndash Hesabı 35 18 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 38 Konu Oumlzetleri 41

2 KIYMETLİ METALLER PARALAR VE DOumlVİZLER 45 21 Kıymetli Metallerin Arılığı 45 22 Arılık (Safl ık) Derecesinin Hesaplanması 46 23 Saf Ve Toplam Kuumltlenin Hesaplanması 48 24 Para Birimi Kavramı Ve Oumlnemi 50 25 Paraların Değerlerindeki Değişmelerin Hesaplanması 52 26 Doumlviz Kavramı 55 27 Doumlviz Kurunun Kavramı Ve Anlamı 58 28 Spot İşlemler 60 29 Spot Kurları Nasıl Ayarlanır 63 210 Kacircr Ve Zarar 65 211 Pozisyonda Tutunma 66 212 Konuyu Pekiştirme Alıştırmaları 68 Konu Oumlzetleri 70

3 UumlSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER 73 31 Reel Sayılı Uumlsluuml Kuvvet Kavramı 73 32 Uumlstel Denklemler 75 33 Logaritma Kavramı 77 34 Logaritmanın Oumlzellikleri 79

35 Farklı Tabanlı Logaritmalar Arasındaki Bağıntılar 82 36 Logaritmalı Denklemler 84 37 Konuyu Pekiştirme Oumldevleri 87 Konu Oumlzetleri 89

4 DAR ACcedilININ TRİGONOMETRİK ORANLARI 93 41 Dar Accedilının Trigonometrik Oranları 93 42 Bazı Accedilıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Değerlerinin Hesaplanması 96 43 Hesap Makinesi Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerlerinin Hesaplanması 99 44 Aynı Accedilının Trigonometrik Fonksiyonları Arasındaki Bağıntılar 101 45 Dik Uumlccedilgenin Ccediloumlzuumlmuuml 104 46 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 107 Konu Oumlzetleri 109

5 DUumlZLEMDE DOĞRU 111 51 Duumlzlemde Dik Accedilılı Koordinat Sistemi 111 52 İki Nokta Arasındaki Uzaklık 113 53 Doğru Parccedilasının Verilen Oranda Boumlluumlnmesi 115 54 Uumlccedilgenin Alanı 117 55 Doğru Denkleminin Accedilık Şekli 119 56 Doğru Denkleminin Genel Şekli 122 57 Doğrunun Eksen Parccedilalarına Goumlre Denklemi 124 58 Nokta Ve Doğru Arasındaki Durumlar 126 581 Bir Noktadan Geccedilen Doğru Demetinin Denklemi 126 582 İki Noktadan Geccedilen Doğrunun Denklemi 127 583 Noktadan Doğruya Uzaklık 128 59 İki Doğru Arasındaki Durumlar 130 591 İki Doğru Arasındaki Durumlar 130 592 İki Doğru Arasındaki Accedilı İki Doğrunun Dik Olma Şartı 131 510 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 134 Konu Oumlzetleri 135

6 DİZİLER 139 61 Dizi Kavramı 139 62 Artan Ve Eksilen Diziler 141 63 Aritmetik Diziler 143 64 Aritmetik Dizilerin Oumlzellikleri 146 65 Geometrik Diziler 148

66 Geometrik Dizilerin Oumlzellikleri 151 67 Konu Pekiştirme Oumldevleri 155 Konu Oumlzetleri 157

7 BİLEŞİK FAİZ HESABI 159 71 Bileşik Faiz Kavramı Ve Hesaplanması 159 72 Temel Değerin Gelecekteki Değerini Hesaplamak 164 73 Konform Faiz Hesabı 172 74 Yatırılan Paranın Başlangıccedil Değeri Ve Faiz Miktarının Hesaplanması 175 75 Faiz Doumlnem Sayısını Ve Faiz Oranının Hesaplanması 179 76 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 186 Konu Oumlzetleri 190

8 PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VEPERİYODİK KİRALAR 193

81 Periyodik Yatırımlar 193 82 Mevduatların Gelecekteki Değerinin Hesaplamak 194 83 Bireysel Mevduatın Değerini Hesaplamak 199 84 Mevduat Sayısını Ve Son Mevduatın Hesaplanması 201 85 Yatırımlarda Faiz Oranının Hesaplanması 205 86 Periyodik Alacaklar (Kiralar) 209 861 Kira Sermayesinin Hesaplanması 210 87 Kira Tutarının Hesaplanması 214 88 Kira Sayısı Ve Kira Kalanının Hesaplanması 217 89 Periyodik Kiralarda Faiz Oranının Hesaplanması 221 810 Karma Oumldevler 225 811 Alıştırmalar 230 Konu Oumlzetleri 232

9 BORCcedilLAR 237 91 Borccedil Kavramı Ve Ccedileşitleri 237 92 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Ve Anuumlitenin Hesaplanması 239 93 Eşit Anuumliteli Borccedilların Oumldemelerinin Hesaplanması 242

94 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Oumldenmiş Kısmının Ve Kalan Kısmının Hesaplanması 24695 Eşit Anuumliteli Borccedilların Amortismanında Faiz OranıVe Devre Sayısının Hesaplanması 248

96 Eşit Anuumliteli Borcun Amortisman Planı 25197 Yuvarlak Tutarlı Anuumliteli Borccedillar 25598 Yuvarlak Anuumliteli Borccedilların Amortisman Planı 25899 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 262Konu Oumlzetleri 266

Alıştırmaların Ccediloumlzuumlmleri Ve Cevapları 271 Yararlanılan Kaynaklar 287

5

BASİT FAİZ HESABI

11 Basit Faizin Hesaplanması

111 Temel Kavramlar

Guumlnluumlk yaşantımızda bankaya para yatırımı bireysel hesap tasarruf mevduatı karneleri kredi karneleri işlemlerine pek ccedilok rastlıyoruz Genel olarak maaşlar emeklilik maaşları birik-tirdiklerimizi belli bir suumlre saklamak ve korumak uumlzere bankaya teslim edilmiş ve istediğimiz zaman alabildiğimiz paralardır Bu suumlrede teslim edilen paralardan banka yararlanır ve buna karşılık olarak banka paraların sahibine faiz hesaplıyor Diğer taraft an ccedilok sık vatandaşların da nakit paraya ihtiyaccedilları olduğunda belli bir suumlre iccedilin bankadan borccedil alıyorlar Bunun karşılığın-da borccedil alan kişi bankaya belli bir miktar para oumlduumlyor

Kredi bağları borccedillu ve borccedil veren arasında kurulmaktadır Aslında bu bağıntının temeli faizdir Faiz borccedil alan kişinin aldığı para karşılığında borccedil verene oumldediği bir yuumlzde miktarıdır yani yararlandığı para iccedilin oumldediği miktardır

Bankadan borccedil (kredi) aldığımızda banka alacaklı parayı alana ise verecekli (borccedillu) denir Bankanın parasından yararlanan verecekli karşılık olarak bankaya belli bir faiz oumldeyecek-tir Bankaya para yatırdığımız takdirde banka kullanıcıdır ve vericiye belli bir faiz oumldemektedir

Faiz miktarı yuumlzde miktarı gibi hesaplanır yani yatırılan paranın her 100 birimi iccedilin belli bir miktardır Fakat bildiğimiz yuumlzde farklıdır hesabından farklıdır ccediluumlnkuuml faiz miktarı sadece yuumlzde oranına değil paranın bankada kaldığı suumlreye de bağlıdır

Faiz hesaplamaları iccedilin en basit oumlrnekler tasarruf mevduatları vatandaşların ve şirketle-rin kredi kullanmaları tuumlketici kredileri banka ve kredi kartlarıdır

Bir yatırımın yatırım doumlnemi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranına basit faiz denir

Faiz miktarının ve ona bağlı olan diğer buumlyuumlkluumlklerin hesaplanmasına basit faiz hesabı denir Basit faiz hesabında genel olarak şu doumlrt temel buumlyuumlkluumlğe rastlanılır

Ana para (kapital temel değer) K

faiz miktarı (yuumlzde payı) i

yuumlzde oranı (faiz miktarı) p - zaman biriminde 100 denarın faizine eşittir

faizin hesaplandığı suumlre (zaman) t

1

6

Faiz fiyatı genellikle yıllık olarak goumlsterilir Fakat bazı durumlarda bir yıldan kuumlccediluumlk ara-lıklar iccedilin de verilebilir mesela yarıyıl (soumlmestir) uumlccedil aylık (ccedileyrekyıl) aylık ve benzer olabilir

Faizin hesaplandığı suumlre de yıllar aylar ya da guumlnler ile ifade edilebilir Anlaşma gereği bir yıl 365 guumln ayların guumln sayısı ise takvime goumlre belirlenir fakat hesaplamayı daha basitleştirmek iccedilin bir yıl 360 guumln ve bir ay 30 guumln olarak alınır

Faizin hesaplanması doumlnem sonunda ya da doumlnem başlangıcında hesaplanabilir fakat bu-nunla ilgili ilerde daha ayrıntılı accedilıklamalar yapılacaktır

Temel değerin faiz miktarı kadar artmasına (K + i) ccedilok kez biriken değer terimini de kullanacağız

112 Basit Faizin Hesaplanmasında BuumlyuumlkluumlklerArasındaki Temel Bağıntılar

Aşağıdaki oumlrneklerle basit faizin hesaplanmasında temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki bağıntı-ları inceleyeceğiz

1 Bankaya yatırılan 34 500 denar kapitalin yıllık 8 faiz oranı ile 4 yıllık faizi ne kadardır34 500 denar kapitalin bir yıllık faizi

834500 2760

100 denardır

Faiz ana paraya (temel kapitale) hesaplandığına goumlre ikinci yılın faiz miktarı yine 2760 denar ve her gelecek yıl bu miktar aynı olacaktır Buna goumlre 4 yıllık faiz miktarı ilk yılın faizinin 4 katı olacaktır O halde toplam faiz miktarı

11040434500

100

8i olur

Bu hesaplamayı genel işaretlemelerle yazarsak bir yıllık faiz miktarı (yuumlzde payı)

100

Kpi

olur t yılda ise

100

Kpti

formuumlluuml elde edilirBu durumda yıllık basit faiz şu temel orantı ile de goumlsterilebilir

tpiK 100

7

Bu formuumllden yararlanarak basit faiz hesabında bulunan tuumlm diğer buumlyuumlkluumlkler iccedilin de formuumlller ccedilıkarabiliriz

2 Bankaya ne kadar para yatırılmalıdır ki yıllık 5 faiz oranı ile 8 yılda 9600 denar faiz elde edilsin

Temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki orantıyı goumlz oumlnuumlnde bulundurarak ana para

ptiK 100

formuumlluumlyle hesaplanırOumlrneğimizde yatırılan para

2400085

9600100

K

denardır

Benzer şekilde faizin hesaplandığı zaman suumlresi ve faiz oranı iccedilin formuumlller yazabiliriz Bu formuumllleri oumlrnekler ccediloumlzerken yazacağız

3 5400 denar temel kapital bankaya kaccedil yıl yatırılmalıdır ki 6 faiz oranıyla 6480 denar faiz elde edilsin

Temel orantıdan

Kpit 100

formuumlluuml elde edilir O halde

2654000

6480100

t godini

yıl elde edilir

4 58000 denar alınan borccedil iccedilin uumlccedil yılda 8700 denar faiz oumldenmişse faiz oranını hesapla-yınız

Bilinmeyen buumlyuumlkluumlk p faiz oranıdır Bunu temel orantı gereğince şu formuumllle hesaplayabiliriz

Ktip 100

O halde

5358000

8700100

p elde edilir

Şimdiye dek incelenen oumlrneklerde faiz miktarının hesaplandığı zaman yıllarla goumlsteril-mişti Fakat genel durumda faiz hesaplama zamanı tam sayılı yıllarla ifade edilmiyor Boumlyle durumlarda basit faizin hesaplanmasına ait yukarda elde edilen formuumlllerden yararlanmak iccedilin

8

guumlnleri ve ayları yılın birer kısmı olarak goumlstermek en uygun olur Bu şekilde bir ay yılın 1

12 si

guumln ise yılın 1

360i ya da 1

365i gibi alınacaktır Zaman aylar ile ifade edildiği durumda t zamanı yılın

1

12si olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak faiz miktarı (yuumlzde payı) iccedilin

12100

tKpi

formuumlluuml elde edilir Aylar ile ifade edilmiş olan t zamanı iccedilin temel orantı

ptiK 1200

olur t zamanı guumlnlerle ifade edildiği durumda anlaşma gereği yılı takvime goumlre 365 guumln

((k365) biccediliminde işaret edilir) ya da (30 360) zaman matrisi biccediliminde eğer yılı 360 guumln sa-yarsak faiz miktarını

36000

Kpti

ya da

36500

Kpti

formuumlluumlyle hesaplayacağız Yani zaman t guumlnlerle ifade edildiğinde yılın 365

t ya da 360

t

kısmı olacaktır Zamanı hesaplamak iccedilin karşılık gelen temel orantıptiK 36500

ya daptiK 36000

şeklinde yazılabilirNot Guumlnler takvime goumlre ve bir yılda 360 guumln sayıldığı durumda da (k 360) işaretlemesi

de kullanılabilir5 240 000 denar temel kapital 6 faiz oranıyla 8 ayda ne kadar faiz getirirOumldevin koşullarına goumlre K= 240 000 t = 8 ay p = 6lsquodır O halde

96001200

86240000

1200

Kpti denar elde edilir

6 Hangi faiz oranıyla 1 620 000 denar ana paradan 60 guumlnde 21 304 denar faiz miktarı elde edilecektir

Verilenler K = 1 620 000 denar i = 21 304 ve t = 60 guumln 36500

Kpti formuumlluumlnden

9

8601620000

213043650036500

Kt

ip

elde edilir

7 23 mayıstan 16 eyluumlle kadar bankaya yatırılan bir miktar para 4 faiz oranıyla 4576 denar faiz getirmiştir Zaman takvime goumlre (k 365) hesaplandığına goumlre yatırılan para ne ka-darmış

Oumlnce guumln sayısını belirtirken zaman diliminin ilk guumlnuuml sayılırsa son guumlnuumlnuuml sayılmaya-caktır ya da ilk guumln sayılmazsa vadenin son guumlnuuml sayılacaktır yani her durumda faizde kalan suumlrenin ilk ve son guumlnuumlnden sadece biri hesaplanmaktadır

Şu oumlrnekte faiz hesaplamanın ilk guumlnuuml 24 mayıs olarak alacağız yani ilk guumlnuuml saymıyo-ruz Bu durumda mayıs ayından 8 guumln haziran 30 guumln temmuz ve ağustos ayları 31 guumln ve eyluumll ayının son 16cı guumlnuumlnuuml hesaba koyduğumuza goumlre faizin hesaplanacağı toplam guumln sayısı t = 8 + 30 + 31 + 31 + 16 = 116 elde edilir Bilinmeyen buumlyuumlkluumlk ana para Krsquoyı hesaplamak iccedilin yukarıda verilen formuumllden yararlanarak

3600001164

45763650036500

pt

iK

denar elde edilir Demek ki 23 mayısta yatırılan para 360 000 denardır 8 Bir tenis yarışmasında şampion kazandığı 125 000 denarlık şampiyonluk oumlduumlluumlnuuml iki

bankaya yatırmıştır Birinci bankada faiz oranı 7 ikinci bankada ise 5rsquotir Bir yıl sonra her iki bankadan toplam 7 850 denar faiz elde edildiğine goumlre her bankaya kaccedilar para yatırılmıştır

Bilinen buumlyuumlkluumlkler K = 125 000 denar olan ana para K1 = x ve K2 = 125000 ndash x olmak uumlzere iki ayrı yatırıma ayrılmıştır Faiz oranları p1 = 7 ve p2 = 5 toplam faiz miktarı i = i1 + i2 = 7850 denardır Verilen koşullara goumlre t1 = t2 = 1 yıl olmak uumlzere şu denklemi oluşturu-yoruz

100100

222111 tpKtpKi

Oradan

100

1250005

100

77850

xx

denklemi elde edilir Denklemi ccediloumlzuumlyoruz 785 000 = 5 125 000 + 2x x = 80 000 elde edilir Buna goumlre K1 = x = 80 000 denar ve K2 = 45 000 denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Bankaya yatırılan 25 000 denar 15 faiz ile

10

a) 5 yılda b) uumlccedil ayda c) (30 360) ve (k 365)rsquoe goumlre 25 guumlnde ne kadar faiz getirir2 Bir bankaya 5 faiz oranıyla bir K kapitalı yatırılmıştır Basit faiz hesabıyla ne kadar

zamanda faiz miktarı yatırılan paraya eşit olacaktır (Not K = ip)3 34 500 denar borccedil iccedilin 4 yılda 6 900 denar faiz hesaplandığına goumlre faiz oranını belir-

tiniz4 6 faiz oranı ile hangi ana paradan a) 4 yılda b) 8 ayda3540 denar faiz miktarı elde edilir5 Bir bankaya aralarındaki fark 2000 denar olmak uumlzere iki farklı kapital yatırılmıştır

Buumlyuumlk olan kısmı 4 faiz oranıyla 1 yıl diğeri ise 6 faiz oranıyla 8 ay iccedilin bankada kalmıştır Her iki kısmın faiz miktarları eşit olduğuna goumlre bankaya yatırılan toplam para ne kadar oldu-ğunu hesaplayınız

6 Faiz oranı 65 olmak uumlzere aynı yılda uumlccedil kapitaldan Birincisi 38000 denar 3101ndash30 06rsquoa kadar ikincisi ise 72600 denar 803ndash3006rsquoa kadar ve 18900 denar 105ndash3006rsquoa kadar vade ile bankaya yatırılıyor Toplam faiz miktarını hesaplayınız

12 Yuumlz Uumlstuumlnde ve Yuumlz Altında Faiz Hesabı

Borccedillar ve onlara ait faizlerden yatırımlar ve mevduatların faizleri soumlz konusu olunca ccediloğu kez basit faizin buumlyuumlkluumlkleri arasındaki değerlere değinmeden pratik olsun diye ana paranın faiz miktarı kadar ccediloğalmasına ya da hesaplanan faiz miktarı kadar ana paranın azalmasından soumlz edilir

Ana paranın faiz miktarıyla beraber değeri K + i bilindiğinde yuumlz uumlstuumlnde faiz hesabı soumlz konusu olur ve bunu K ve i buumlyuumlkluumlklerini belirtmek iccedilin kullanıyoruz Diğer taraft an ana paranın faiz miktarı kadar azalmış yani K ndash i olduğu durum yuumlz altında faiz hesabı gibi ifade edilir Burada da faiz suumlresini hesapladığımızda faizin hesaplanması yıllık aylık ya da guumlnluumlk olabilir

Basit faiz hesabı K i = 100 pt formuumlluumlyle verilmiştir Hesaplanan faiz miktarını 100

Kpti formuumlluumlyle ifade ettikten sonra onu ana paraya ekleyerek

13

1001

100

ptKKptKiK

elde edilir

11

O halde

100

100

1001

ptptK

iK

ifadesi bu eşitlikten de

100100 KptiK (1)

orantısı elde edilirBenzer şekilde temel orantıyı K 100 = i pt biccediliminde yazarsak basit faiz hesabında

faizle beraber toplam para ve diğer temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki bağıntıyı goumlsteren

ptiptiK 100 (2)

orantı elde edilir Benzer şekilde ana paranın azaldığı durumu incelersek

100

100

1001

100

ptKptKKptKiK

13

elde edilir Bunu K 100 oranında yeniden değiştirmekle

100100 KptiK (3)

elde edilir Bu orantıların benzerliğinden

ptiptiK 100 (4)

ve 100100 KptiK

ptiptiK 100

biccediliminde yazılabilirBu formuumlller orantıların oumlzelliklerinden yararlanarak da elde edilebilir Buna goumlre iki

orantının tarafl arı birbiri ile toplandığında ya da biri diğerinden ccedilıkarıldığında orantı bozulmaz yani ilk orantının sağ ve sol tarafına eşit olur

Elde edilen yeni orantılardan yuumlz uumlstuumlnde ve yuumlz altında faiz hesabındaki ana para (kapi-tal) ve faiz miktarının hesaplanması iccedilin formuumlller elde edilir

pt

iKK

100

100 ve

ptptiKi

100

1 Borccedillu borccedil verene 2 yıl iccedilin 6 faiz oranıyla aldığı para iccedilin faiziyle beraber 57120 denar veriyor Borccedil aldığı para ne kadardır ve ne kadar faiz oumldemiştir

K + i = 57120 denar biliniyor O halde p = 6 t = 2 olduğuna goumlre pt

iKK

100

100

formuumlluumlnden

51000112

5712000

26100

10057120

K denar elde edilir

12

Buna goumlre Borcun temel kısmı 51000 denar ve bu paraya oumldediği faiz miktarı 57120 ndash 51000 = 6120 denardır

2 Faiz oranı 8 olmak uumlzere 6 aylık faiz miktarını aldıktan sonra banka borccedil alana 52800 denar para vermiştir Temel borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

Faiz miktarı (yuumlzde payı) i oumlnceden oumldetilmiş olduğunu goumlz oumlnuumlne bulundurarak ana para faiz miktarı kadar azalmış olduğunu fark edebilirsiniz Demek ki borccedillu bankaya daha K ndash i denar yani aldığı para kadar bankaya oumldemesi gerekir O halde K ndash i = 52800 denar t = 6 ay p = 8 dir Ana parayı hesaplamak iccedilin iki youmlntem goumlsterebiliriz Bunlardan biri zaman suumlresi yıl ile ifade edildiğinde

2

1

12

6t

ya da yuumlz altında ve yuumlz uumlstuumlnde faiz hesaplama for-muumlllerinden yararlanarak zamanı aylar ya da guumlnler ile ifade ederek hesaplanabilir Yukarıda goumlsterilen formuumllden doğrudan doğruya yararlanıyoruz

55000

96

5280000

2

18100

10052800

100

100

pt

iKK

denar ve faiz miktarı

2200

96

211200

2

18100

2

1852800

100

ptptiKi

denar olduğunu buluyoruz (ya da i = K ndash (K ndash ı) = 55000 ndash 52800 = 2200 denar) Faiz suumlresi (zaman) aylarla ifade edildiği durumda hazır orantıları da kullanabiliriz yani

K i = 1200 pt orantısından

ve

12001200 KptiK

ptiptiK 1200

elde edilirK i = 36500 pt ya da K i = 36000 pt eşitliğinden orantıların oumlzelliklerini kullanarak

3650036500 KptiK

ptiptiK 36500

ve benzer şekilde zaman aralığı guumlnlerle ifade edildiğinde zaman matrisleri (k 365) ve (30 360) olmak uumlzere

3600036000 KptiK

ptiptiK 36000

elde edilir3 Bir kişi 11 faiz oranıyla beraber 9 ay iccedilin 541250 denar oumldemiştir Kredi miktarı ve

faiz miktarı ne kadardır

13

Faiz ve temel kapital toplamı K + i formuumlluumlne ait (K + i) (1200 + pt) = K 1200 temel orantısından yararlanarak zaman aylarla ifade edildiği durumda

500000

9111200

1200541250

1200

1200

pt

iKK

denar elde edilir Faiz miktarı (yuumlzde payı) ise i = (K + i)- K = 541250 - 500000 = 41250 denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Yuumlz uumlstuumlnde faiz ve yuumlz altında faiz hesabı nedir Accedilıklayınız2 200 guumln iccedilin 60 000 denar borccedil alan kişi 30 faiz miktarını ccedilıkardıktan sonra borcu

tahsil ederken kaccedil para oumldemesi gerekecektir Faiz miktarı ne kadardır Bankaya toplam ne ka-dar para oumldenecektir (30 360) zaman matrisini kullanınız

3 Bir kişi 20 faiz oranıyla uumlccedil aylık bir kredi iccedilin banka ile kontrat yapmıştır Kontrata goumlre banka faiz miktarını alarak kişiye 33440 denar kredi vermiştir Kredi kontratı ne kadar para iccedilin imzalanmıştır ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır (30 360) Zaman matrisini kul-lanınız

4 Bir kişiye 35000 denar 3 yıl iccedilin ve 50000 denar 5 yıl zaman iccedilin oumldenmesi gerekir Faiz oranı 5rsquotir Gereken paranın elde edilmesi iccedilin bankaya ne kadar para yatırılmalıdır

5 32 faizle beraber 1008 ndash 3009 zaman aralığı suumlresi iccedilin (30 360) borccedillu 33900 denar borccedil oumldemiştir Borccedil ve faiz miktarını hesaplayınız

6 Borccedillu 125 faizle beraber 2 yılda 325500 denar borccedil oumldemiştir Borccedil ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

7 Bir banka 2501rsquotan 3108 zaman aralığı iccedilin 9 faiz miktarını aldıktan sonra muumlşteri-sine 10000 denar borccedil vermiştir Zaman matrisi (K 365) sayıldığına goumlre borccedil ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

13 Vadeli Hesap

Bir borccedillunun farklı miktarda farklı oumldeme vadeleri ve farklı faiz oranlarıyla birkaccedil bor-cu olduğu durumda ne borccedillu ne de alacaklı zararlı olmayacak şekilde borccedilların aynı anda oumldenmesine muumlmkuumln olup olmadığı sorusu sorulabilir Bu soruyu ancak borccedilların oumldenmesi vadelerinin ortalaması ne kadardır ortalama faiz oranı ne kadardır borccedilların oumldendiği anda borccedil miktarı ne kadardır soruları accedilısından inceleyebiliriz Bu ise prensip olarak ayrı ayrı para

14

miktarların faizlerinin toplamı borccedilların toplamının ortalama vadeye goumlre ortalama faiz ora-nıyla hesaplanan faiz miktarına eşit olmalıdır demektir Ortalama vadeyi ve ortalama faiz ora-nını belirtme işlemine vadeli hesap denir ve aslında basit faiz hesabının bir uygulanmasıdır Birkaccedil borccedil miktarı farklı vadelerde oumldenecek yerde toplam borcu aynı anda oumldenmesi iccedilin ayrılan zamana orta vade denir Bazı durumlarda borccedillu aynı anda başka borccedillulardan alacaklı durumunda olabilir Boumlyle durumda alacak ve verecek farkını oumldeme vadesine borccedil kalanının (saldonun) oumldeme vadesi denir

131 Ortalama Vade ile Hesaplama

Borccedillunun tahvillerinin miktarları K1 K2 hellip Kn bunlara karşılık gelen faiz oranları p1 p2 hellip pn ve oumldeme vadeleri t1 t2 hellip tn zaman aralıkları olsun

Formuumlllerde tk k = 1 2 hellip n zamanı herhangi bir oumllccediluuml birimine goumlre verilebilir fakat bankalar genellikle guumlnuuml oumllccediluuml birimi olarak alıyorlar

Borccedillu bir orta vade tk ve ortalama faiz oranıyla tuumlm borccedilları aynı anda oumldemek istiyor Hesaplamanın sadeleşmesi iccedilin zaman oumllccediluumlsuuml yıl olsun Borccedillunun tuumlm tahvillerinin faiz mik-tarları

100

100100

222111 nnn tpKtpKtpK

olsun Bu miktar her bir tahvilin ortalama faiz oranıyla ve ortalama oumldeme vadesiyle hesaplanan tuumlm faiz miktarların toplamına

100

100100

21 ssnssss tpKtpKtpK

eşit olmalıdır Boumlyle durumda zararlı olan taraf yoktur ccediluumlnkuuml temel borccedilların toplamı eşit fakat hesaplanan faiz miktarları da eşittir

Demek ki

100

100100100

100100

21222111 ssnssssnnn tpKtpKtpKtpKtpKtpK

elde edilir oradan da

nssnnn KKKtptpKtpKtpK 21222111

olduğunu yazabiliriz Buradan ortalama faiz oranı bilindiği takdirde borcun ortalama oumldeme vadesini hesaplayabiliriz yani tuumlm borcun oumldeme vadesini

u

ns

nnns KKKp

tpKtpKtpKt

21

222111

elde etmiş oluyoruz

15

Borccedil miktarları faiz oranları ve oumldeme vadeleri farklı olduğu durumlarda ortalama faiz oranına ait şu formuumlluuml uygulayacağız

ns

nnns KKKt

tpKtpKtpKp

21

222111

Oumldeme vadeleri eşit olduğu durumda ayrı ayrı tuumlm borccedilların faiz miktarını inceleyelim Bu nedenle oumlnceki formuumllde

t1 = t2 = hellip tn = ts yazarak şu formuumlluuml elde edeceğiz

n

nns KKK

pKpKpKp

21

2211

]Hesaplanan ortalama faiz oranını ortalama oumldeme vadesi formuumlluumlnde değiştirelim

n

n

nn

nnns

KKKKKK

pKpKpKtpKtpKtpK

t

21

21

2211

222111

oradan da

nn

nnns pKpKpK

tpKtpKtpKt

2211

222111

formuumlluuml elde edilirHesaplamalarda ccedilok kez bazı buumlyuumlkluumlkler birbirine eşit olabilir Oumlrnek- Temel miktarlar K1 = K2 = hellip Kn = K olduğu durumda ortalama vade ve ortalama faiz

oranı iccedilin

n

nn

n

nns ppp

tptptppppK

tptptpKt

21

2211

21

2211

ve

nppp

nKpppK

p nns

2121

formuumllleri elde edilir- Faiz oranları birbirine eşit p1 = p2 = hellip pn = p olduğunda ortalama oumldeme vadesi iccedilin

n

nn

n

nns KKK

tKtKtKKKKp

tKtKtKpt

21

2211

21

2211

formuumlluuml elde edilir ortalama faiz oranı ise ps = p dir- Hem temel miktarlar hem faiz oranları birbirine eşit oldukları durumda ise ps = p ve

n

tttnK

tttKt nn

s

2121

dirOumldeme vadesini (oumldeme tarihini) belirtmek iccedilin genellikle birinci oumldeme tarihine hesap-

lanan ortalama vade tarihi eklenir Bu durumda borcun tahsilinde tuumlm vadelerin hesaplanması ilk oumldeme vadesine goumlre karşılaştırılarak yapılır

16

Zaman guumlnlerle ifade edildiği durumda ayrı ayrı faiz miktarların toplamının ve ortalama vadeyle hesaplanan faiz miktarların denklemi

36500

365003650036500

3650036500

21222111 ssnssssnnn tpKtpKtpKtpKtpKtpK

şekline doumlnuumlşuumlr O halde yine

nssnnn KKKtptpKtpKtpK 21222111

eşitliği elde edilir Buna goumlre zaman birimi ister yıl ister ay ister guumln olarak alındığında hesap-lamalar aynı formuumlllerle yapılır fakat oumldeme vadeleri daima aynı oumllccediluuml biriminde olmalıdır

1 Bir borccedillu 30000 denar parayı doumlrt eşit taksitle oumldemelidir Oumldeme vadeleri ilki 30 guumln sonra ikincisi 60 guumln uumlccediluumlncuumlsuuml 90 guumln ve son taksit 120 guumln sonra oumldeyecektir Faiz oranı 8 olduğuna goumlre tuumlm borcu birden kaccedil guumln sonra oumldeyebilir

Borcun oumldenmesi eşit taksitlerle olduğuna goumlre K1 K2 K3 ve K4 birbirine eşittir faiz oranı her taksit iccedilin eşit yani p = 8 ve taksitlerin oumldeme vadesi t1 = 30 t2 = 60 t3 = 90 ve t4 = 120rsquodir Bu oumlzel durum iccedilin ortalama vadeyi hesaplayacağız

754

120906030

4

4321

tttt

t s

guumln elde edilir Buna goumlre 30000 denar borccedil 8 faiz ile 75 guumln sonra oumldenebilir Vadeli hesapta faizin hesaplanmasına başlanıldığı tarihe faiz doumlnemi denir Faiz doumlnemi-

nin ilk taksitten başlaması mecburi değildir Faiz hesaplamaları iki farklı doumlnemde yapılacak bir oumlrnek inceleyelim

2 Borccedillu 60000 denar borcunu 16 faiz oranıyla 4 eşit taksitle şu tarihlerde oumldemelidir Birinci taksit 15 02 ikincisi 7 03 uumlccediluumlncuumlsuuml 5 04 ve doumlrduumlncuumlsuuml 1 05

a) doumlnem 15 02 b) doumlnem 7 03

olduğuna goumlre hangi tarihte borccedillu tuumlm borcu oumldeyebilirFaiz doumlnemi 1502 tarihinde başlandığı durumda (( a) şıkkı) birinci taksitin faizdeki

zamanı t1 = 0rsquodır İkinci taksitin faizdeki zamanı 1502rsquoden 703rsquoe kadardır (15 02 yi saymıyoruz fakat 7 03 zamana aittir) yani t2 = 20 guumlnduumlr Benzer şekilde t3 = 49 guumln (şubat ayının 13 guumlnuuml mart 31 guumln ve nisanın 5 guumlnuuml) ve t4 = 75 guumln (15 02 den 105 e kadar) Temel miktarlar ve faiz oranları eşit olduklarına goumlre orta vade iccedilin

17

364

7549200

4

4321

tttt

t s

guumln olduğunu buluyoruz Demek ki faiz hesaplanmasının başlangıcından 36 guumln sonra borcun tuumlmuuml oumldenebilir yani 1502rsquoden sayıldığına goumlre 2303 tarihinde borccedil oumldenebilir

Faiz doumlnemi olarak 703 tarihi alınırsa ( b- şıkkı) ilk taksitin faiz zamanını 703 lsquoten 15 02rsquoye kadar geriye doğru sayıyoruz yani şimdi t2 = 0 t1 = - 20 olur Ondan sonra t3 = 29 (703 ten 504rsquoe kadar) ve t4 = 55 (703rsquoten 105rsquoe kadar) Buna goumlre orta vade

164

5529020

4

4321

tttt

t s

guumln olduğunu buluyoruz Bu ise 2303 tarihini borcun oumldenebildiğini goumlstermektedirGoumlruumllduumlğuuml gibi faiz doumlnemleri farklı ve farklı orta vadelere rağmen borccedil oumldeme tarihi

değişmez

3 Bir ticaret şirketi doumlrt eşit taksitle 100 000 denar parayı aşağıdaki vadelerde oumldemesi gerekir

- birinci taksit bu guumlnden sayarak 3 faiz oranıyla 100 guumlnde- ikinci taksit 4 faiz oranıyla 150 guumlnde- uumlccediluumlncuuml 25000 denarı 6 faiz ile 200 guumlnde- doumlrduumlncuumlsuumlnuuml 7 faiz ile 300 guumlndeKaccedil guumln sonra ve hangi faiz oranıyla tarafl ardan hiccedilbiri zararda olmama koşuluyla doumlrt

taksit birden oumldenebilirOumldevi en kolay ccediloumlzmek iccedilin verilen değerleri tablo halinde goumlsterelim Boumlyle durumlarda

taksitlerin toplamları da daha kolay yapılabilir

Ki - taksit ti - guumln pi ndashfaiz Pi middot tt

1 25000 100 3 3002 25000 150 4 6003 25000 200 6 12004 25000 300 7 2100

Toplam 100000 20 4200

Ortalama faiz oranı

154

7643

4

4321

pppp

ps ve

21020

4200

20

21001200600300

4321

44332211

pppp

tptptptpts

guumln elde edilir Demek ki 100 000 denar toplam borccedil 5 faiz oranıyla tam 210 guumln vadeyle oumldenecektir Buna goumlre ticaret şirketi

18

10291736000

2105100000100000

denar borccedil oumldemiştir

4 Bir tuumlccar aynı bankadan farklı koşullarla uumlccedil kredi almıştır Borcun oumldenmesi şu şekilde yapılacaktır

- 7 05 tarihinde 4 faiz oranıyla 20000 denar - 6 06 tarihinde 5 faiz oranıyla 40000 denar - 5 08 tarihinde 6 faiz oranıyla 50000 denar Hangi tarihte ve hangi faiz oranıyla tuumlccar zararlı olmadan uumlccedil taksiti birden oumldeyebilirBaşlangıccedil tarihi 705 olarak seccedilersek t1 = 0 t2 = 30 guumln (705rsquoten 606rsquoye kadar) t3 = 90

guumln (705rsquoten 508rsquoe kadar) Verileri tabloda yazdıktan sonra orta vade formuumlluumlnde bulunan ccedilarpımları da hesaplıyoruz

Ki - taksit ti - guumln pi ndashfaiz Ki pi Ki pi ti

1 20000 0 4 800002 40000 30 5 200000 60000003 50000 90 6 300000 27000000

Toplam 110000 580000 33000000

Buna goumlre

275110000

580000

321

332211

KKK

pKpKpKps

ve

57580000

33000000

332211

333222111

pKpKpK

tpKtpKtpKts

guumln elde edilir Demek ki toplam borccedil birden 57 faiz oranıyla 57 guumlnde daha doğrusu 3 07 tarihinde oumldenebilir

Alıştırmalar

1 Vadeli hesap nedir2 Hangi zamana ortalama vade denir3 Hangi vadeye borcun kalan (saldo) vadesi denir4 Bir şirket elektrik borcunu 9 faiz oranıyla 80 000rsquoer denar olmak uumlzere beş eşit tak-

sitle oumldemek iccedilin anlaşma yapmıştır Oumldeme vadeleri Birinci taksit 30 guumln sonra ikincisi 50 guumln uumlccediluumlncuumlsuuml 80 guumln doumlrduumlncuumlsuuml 100 guumln ve beşinci taksit 115 guumln sonra oumldenecektir Tuumlm borccedil birden hangi aralıkta oumldenebilir

19

5 Borccedillu 300 000 denar borcunun 25rsquoni hemen iki ay sonra 10rsquonu yedi ay sonra 35rsquoni ve kalan 30rsquonu on ay sonra oumldemelidir Ne kadar zaman sonra tuumlm borccedil birden oumlde-nebilir

6 1800000 denar borccedil 20 faiz oranıyla doumlrt eşit taksitle oumldenmelidir Oumldeme vadeleri- birinci taksit 15 03 guumlnuuml- ikinci taksit 21 04- uumlccediluumlncuuml taksit 10 05- doumlrduumlncuuml taksit 3006 Faiz hesaplama başlangıcıa) 15 03 b) 21 04 olduğuna goumlre hangi tarihte borcun tuumlmuuml birden oumldenebilir

7 Tuumlccar satın aldığı mallar iccedilin uumlccedil oumldeme yapması gerekir- 6 faiz oranıyla 3 04 tarihinde 60 000 denar- 6 faiz oranıyla 24 04 tarihinde 80 000 denar- 6 faiz oranıyla 26 05 tarihinde 100 000 denarHer iki taraf zararlı olmamak koşuluyla tuumlccar hangi tarihte borcun tuumlmuumlnuuml birden oumlde-

yebilir

8 Borccedillu faiz oranı 10 olmak uumlzere 3 03 tarihinde 80 000 denar 8 04rsquote 30000 de-nar 18 05rsquote 60000 denar 23 07rsquode 30000 denar borccedil oumldemelidir Borcun tuumlmuuml hangi tarihte oumldenebilir

9 Tuumlccar aldığı malların faturalarını 6 faiz oranıyla 45000 er denar olmak uumlzere 1004 2804 2005 ve 3005 tarihlerinde oumldemelidir Tuumlccar hangi guumln borcun tuumlmuumlnuuml birden oumlde-yebilir

14 Borccedil Kalanının Vade Hesaplanması

Bu boumlluumlmde borccedillu aynı zamanda hem alıcı hem verici olduğu durumlarda tuumlm yuumlkuumlm-luumlluumlklerini nasıl yerine getirebilecek sorusuna cevap vereceğiz Bu gibi zaman vadesine borccedil kalanının vadesi denir

K1 K2 hellip Kn borccedil miktarları vadeleri t1 = t2 = hellip tn = tn guumlnler ve p1 = p2 = hellip pn = pn karşılıklı olarak faiz oranları olsun Aynı kişinin alacakları P1 P2 hellip Pn vadeleri 0 0 0

1 2 nt t t guumlnler ve 0 0 0

1 2 np p p faiz oranları olsun Amaccedil borccedilların faizlerinin toplamı alacakların ve kalanın faizlerinin toplamına eşit olduğunu bildiğimize goumlre kalanın vadesi ts faiz oranı (ortalama) ps ve borcun kalanı S buumlyuumlkluumlklerini belirtmektir Bu durumda borccedilların toplamı

20

alacakların toplamından buumlyuumlk K1 + K2 + hellip + Kn gt P1 + P2 + hellip + Pn olduğunda borcun ka-lanı borcun kapatılması iccedilin oumldenecek para miktarıdır yani

mn PPPKKKS 2121

Borccedilların faizlerinin toplamı

36500

3650036500

222111 nnn tpKtpKtpK

dirAlacakların faizlerinin toplamı

36500

3650036500

000

2

0

22

0

1

0

11 mmm tpPtpPtpP

dir Borccedil kalanına hesaplanan faiz 36500

sstSp dir

O halde

3650036500

365003650036500

3650036500

000

2

0

22

0

1

0

11222111 ssmmmnnn tSptpPtpPtpPtpKtpKtpK

yazılabilir Zaman hangi oumllccediluuml birimiyle verilmiş olursa olsun kalan (saldo) vadesini belirtmeye yarayan denklem

ssmmmnnn tSptpPtpPtpPtpKtpKtpK 000

2

0

22

0

1

0

11222111

şeklinde yazılır Oradan da

s

mmmnnns Sp

tpPtpPtpPtpKtpKtpKt

000

2

0

22

0

1

0

11222111

elde edilir Oumlzel olarak faiz oranları birbirine eşit olduğu durumda hem borccedillar hem de alacaklar

iccedilin p1 = = pn = p10 = = pm 0 = ps ve

S

tPtPtPtKtKtKt mmnn

s

00

22

0

112211 elde edilir

1 ldquoPolarinordquo firmasının borccedilları 5000 denar 40 guumln 6000 denar 50 guumln 8000 denar 80 guumln vadeli ve alacakları 3000 denar 30 guumln ve 10000 denar 90 guumln vadeli Borcun kalan kısmını kaccedil guumln sonra oumldemelidir Faiz oranı her vade iccedilin eşittir

Borccedil oumldemede orta vadenin belirtilmesinde yapıldığı gibi benzer şekilde borccedillar ve ala-caklarda da verileri tabloda yazacağız

Borccedillar AlacaklarКi tt Kiti Pj tj

0 Рjtj0

1 5000 40 200000 1 3000 30 900002 6000 50 300000 2 10000 90 9000003 8000 80 640000Toplam 19000 1140000 13000 990000

21

Borcun kalanı

S = (K1 + K2 + K3)- (P1 + P2) = 19000 -13000 = 6000

denardır Kalanın vadesi

256000

99000011400000

22

0

11332211

S

tPtPtKtKtKts

guumln elde edilir Demek ki aynı faiz oranıyla bu guumlnden sayarak 25 guumln vadeyle 6000 denar oumlde-mekle borcun tuumlmuuml oumldenmiş olacaktır

Not Şimdiye dek borccedilların toplamı alacaklardan buumlyuumlk olduğunu farz etmiştik Halbuki alacakların toplamı da vereceklerden buumlyuumlk olabilir durumlar da vardır Bu durumda borccedil ka-lanını ifade eden eşitliklerde negatif işaretli olacaktır Bu miktarlar borccedilluya hesaplanan faiziyle kalacaktır

Alıştırmalar

1 Borccedil kalanının vadesi kavramı nedir2 Bir şirket uumlccedil aylık vadeli 75000 denar altı ay vadeli 40000 denar ve sekiz ay vadeli

80000 denar borccedilludur Aynı zamanda yedi ay vadeli 55000 denar ve dokuz ay vadeli 30000 denar alacaklıdır Hangi vadede tuumlm borcu oumldeyebilir

3 Bir şirketin 504 tarihli 80000 denar 2005 tarihli 150000 denar ve 3006 tarihli 275000 denar borccedilları vardır Aynı zamanda 1703 tarihli 130000 denar ve 508 tarihli 90000 denar alacakları vardır Faiz doumlnemi 504 tarihi olduğuna goumlre borccedil kalanını hangi tarihte oumldeyebilir

4 Borccedillu 403 tarihli 1000 denar 2504 tarihli 2000 denar ve 1505 tarihli 3000 denar borccedil oumldemelidir Aynı zamanda 1704 tarihli 1500 denar ve 109 tarihli 1000 denar alacakları vardır Borcun kalanı hangi tarihte oumldenebilir Borccedillunun borccedil verene toplam ne kadar para vermesi gerekir

a) faiz doumlnemi 403 b) faiz doumlnemi 17025 Tuumlccar aldığı malların borccedillarını 6 faiz oranıyla 45000rsquoer denar olmak uumlzere 1004

2804 2005 ve 3005 tarihlerinde oumldemelidir Aynı zamanda tuumlccarın 30000rsquoer denar olmak uumlzere 1504 ve 2505 tarihli alacakları da vardır Tuumlccar hangi guumln borcun kalanını birden oumlde-yebilir

22

15 İskonto Hesabı ve İskonto Hesaplama Kavramı

Muhasebe işlerinde bazı durumlarda ccedileşitli finansal kaynaklardan elde edilmiş (ccedilek se-net bono vb) belli bir miktar parayı belli bir zamanda almalıdır Henuumlz vadeleri yetişmemiş alacakların satışı durumunda satış guumlnuumlnden alacakların vadesinin olduğu guumlne kadar faiz miktarının alacaktan eksilmesine iskonto (eskont) denir

Belli bir tarihte oumldenmesi gereken borcu vadesi gelmeden belli bir tarihte oumldemeye douml-nuumlştuumlrme işlemine (şimdiki değeri ilerdeki borcun değerine doumlnuumlştuumlruumllmesine) iskontolama (eskontolama) denir

İskonto hesaplamaların yapılmasında şu parametrelerden yararlanılır

N= Finansal varlığın nominal değeritnn= İskonto vadesi varlığın indirilme guumlnuumlnden tahsilat guumlnuumlne kadar

guumlnler sayısı t aylar sayısı m yıl sayısı n Ayların guumlnleri takvime goumlre alınır oumlyle ki varlığın indirilmesi yapıldığı guumln sayılmıyor varlığın tahsil edildiği guumln sayılır

D = İndirim (iskonto) finansal varlığın nominal değerinin azalmasına eşittir

p = İndirimin hesaplanmış olduğu faiz oranı (iskonto oranı) E = Nominal borcun erken oumldeme anında reel (efektif) miktar

İndirimin hesaplanması iki şekilde yapıldığına goumlre iki tuumlr indirim vardır

Ticari (banka ticari) indirim ndash Dk burada indirimin hesaplandığı temel değer nomi-nal değerdir efektif değer ise nominal değer ve indirimin farkıdır ve

Rasyonel (matematiksel) indirim ndash Dr burada nominal değer efektif değer ve ona kar-şılık gelen faizin toplamıdır

İndirim yaparken nominal değer tabanına goumlre banka belli bir komisyon uumlcreti ve diğer harcamaları hesaplıyor ve ek olarak oumldetiyor (komisyon ve diğer masrafl ar hesaplanan efektif değerden ccedilıkarılıyor)

23

151 Policcedilenin Oumlzellikleri

Policcedile belirli bir kişi emrine diğer bir kişiye verilen oumldeme yetkisini kapsayan bir senettir Policcedilede uumlccedil tarafl ı ilişkiyi duumlzenleyen bir senettir Senedi duumlzenleyen keşideci bir kişiye borccedillu iken diğerinden alacaklıdır Keşideci alacaklı olduğu kişiye hitaben duumlzenlediği senedi borccedillu olduğu kişiye teslim eder Yani policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedidir Policcedileyi veren (keşideci) diğer bir kişiye policcedilede adı geccedilen kişiye (hamil) belli miktarda koşulsuz oumldeme emrini vermektedir

keşideci (drawee) policcedileyi duumlzenleyen siparişccedili ya da policcedileyi yayınlayan (policcedileyi ve-renler bankalar ve seyahat acentalarıdır) değerli kacircğıtları duumlzenleyen ve oumldemekle yuumlkuumlmluuml olan kişi

policcedileyi ouml deyecek olan (muhataf)

policcedile bedelini tahsil edecek (lehdar veya policcedile hamili) bireysel ya da tuumlzel kişidir ve policcedilede adı yazılıdır yani policcedileden yararlanan kişidir ve

policcedilenin sahibi kanun kurallarına goumlre policcedilesi olan kişi

Değerli kağıt olarak policcedilenin şu rolleri vardır

policcedile kredi aracıdır

policcedile oumldeme aracıdır

policcedile iskonto aracıdır

Policcedilenin nitelikleri ve roluumlne goumlre birccedilok ccedileşit policcedile vardır hamil policcedile şahsi policcedile accedilık policcedile mal varlığı policcedilesi iş policcedilesi dairesel policcedile hamil ndash ccedilekilişli policcedile şahsi ndash ccedileki-lişli komisyon policcedilesi ve kredi policcedilesi

Policcedilenin temel ccedileşitleri hamil ve şahsi policcedilelerdir Policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedi olduğundan hamil policcedileyi nitelendiren bazı elemanları iccedilerir Policcedile kanunu ve 1930 yılı Cenevre anlaşması gereğince hamil policcedile uumlzerinde eksiksiz olarak bulunması gereken unsurlar aşağıdadır

24

gereken yerde Makedon dilinde ve Kiril alfabesiyle policcedile kelimesi yazılmış olması

oumldeyecek olanın adı

keşideci adı ya da adresi

kime ve kimin emrine oumldeneceği ndash lehdar

tanzim (duumlzenleme) yeri ve tarihi

belli bir paranın kayıtsız şartsız oumldenmesi iccedilin havale

oumldeme yeri

policcedilenin yazılma tarihi ve yeri

oumldeyecek olanın imzası

Şahsi policcedilede yazılı olan para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair verilen soumlzduumlr Şahsi policcedile şu unsurları iccedilerir

gereken yerde Makedon dilinde ve Kiril alfabesiyle policcedile kelimesi yazılmış olması

para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair vaat vermesi

havale tarihi

oumldeme yeri

alacaklının adı

policcedilenin yazılma tarihi ve yeri ve

oumldeyen kişinin imzasıPoliccedile işlemleri hukuk işlemleridir ve policcedile hakkında şu işlemler yapılabilir policcedilenin

verilmesi policcedilenin onaylanması policcedilenin vurgulanması policcedilenin devredilmesi policcedilenin havale edilmesi policcedilenin satın alınması amortisman geriye ccedilevrilmesi policcedilenin protesto edilmesi vb

Policcedile hukuk işlemlerinde karakteristik kurallar genellikle şunlardır okur yazarlık in-korporasyon birleşme (şirketleşme) policcedile sorumluluğun kesinliği policcedile titizliği ve policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil etmedir

Okur yazarlılık (formalite) Policcedile - hukuk durumun varlığı ve policcedile ndash hu-kuk işlemlerinin daha kolay yapılması iccedilin policcedilenin kanunla belirlenmiş kesin şekil-de yazılmalıdır Policcedile iccedilinde şu elemanlar ve hukuk işlemleri olması mecburidir Oumlrnek

25

kabul beyannamesi havale cirant (kefil) beyanı vb Son zamanlarda hukuk işlemlerinde ve po-liccedile hukukundaki yeni huumlkuumlmlerde oumlzellikle accedilık policcedilelerin yayın teorisiyle formalite hususu daha gevşek hal aldığını da vurgulamamız gerekir

İnkorporasyon ilkesi policcedile hakkında yetki ve yuumlkuumlmluumlluumlk policcedile kağıdının sahip olun-masıyla sıkı bağıntıdadır Policcedileye sahip olmayan hiccedil kimse policcedileyi tahsil edemez İnkorporas-yon ilkesi aynı zamanda iki hak (policcedileden elde edilen hak ve policcedileye sahip olma hakkı) iccedilerir

policcedileden elde edilen hak ndash kendi karakterine goumlre bağlayıcı haktır ve policcedilenin sahibi policcedileyi ouml deyecek olandan (muhataptan) policcedile hakların tahsilini isteme hakkı vardır ve

policcedileye sahip olma hakkı ndash kendi karakterine goumlre policcedile sahibi policcedilenin kanuni sahibi olarak ancak policcedile varlığı durumda policcedileyi oumldeyecek olandan borcun tahsilini arama hakkı vardır

Policcedile sorumluluğun kesinliği policcedilede sadece yazılanların tahsili istenilebilir Bunlar policcedilede accedilık olarak yazılıdır Policcedile yuumlkuumlmluumlluumlğuuml policcedilede yazılanlardan anlaşılır burada diğer deliller kabul edilemez Yuumlkuumlmluumlluumlk policcedilenin imza edilmesiyle yazılı ifade verilmesiyle başlar

Policcedile titizliğiyle policcedile ndash hukuk işlemlerinin hızlı ve sorunsuz yapılması sağlanmakta-dır Policcedile alacaklıyı koruyan en uygun araccediltır ve alacaklılara karşı kesin belgedir Bu anlamda alacaklıya guumlven sağlayan kesin hukuk kurallarıyla policcedilenin yuumlkuumlmluumlluumlkleri yerine getirilir

Dayanışma kuralı policcedile borccedillularından - policcedileyi imzalayanlardan her biri (keşideci muhatap lehdar alıcı) aralarındaki duruma bakmadan policcedile sahibine yuumlkuumlmluumlluumlklerini da-yanışma ile yerine getiriyorlar

Policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil kuralı policcedile borccedillularından her biri (policcedile-yi imzalayanlar) policcedile sahibine doğrudan doğruya sorumludurlar Bu nedenle alıcı policcedileyi imzalayanlardan sırasına bakmadan her birinden doğrudan doğruya policcedile miktarını tahsilini isteyebilir

Policcedile bağımsızlığı kuralı her policcedile borccedillusu policcedilede usuluumlne uygun bir şekilde kendi imzasını koyduktan sonra policcedileyi imzalayan diğer policcedile yuumlkuumlmluumllerine bağlı olmadan policcedile yuumlkuumlmluumlluumlğuumlne girer

26

152 Policcedilenin İskontosu

Policcedilede yazılı olan para miktarına policcedilenin nominal değeri ya da policcedile miktarı denir Policcedilenin oumldenmesi

policcedilede belirlenen vade guumlnuumlnde

policcedilenin vade guumlnuumlnden sonra ve bu durumda nominal değerden başka karşılık gelen faiz de oumldenir ve

policcedilede vadesi belirlenen guumlnden evvel (vadeden evvel policcedilenin satışı) olabilir

Policcedilenin iskontu bir finans işlemidirVadeli satış yapan işletme elinde bulunan senedi vade tarihine kadar bekleterek borccedillusundan tahsil eder ya da vade tarihinden oumlnce bir finans-man kurumuna giderek policcedileyi paraya ccedilevirebilir Bu işleme policcedile kırdırma ya da policcedile iskon-tosu denir Policcedile iskontosu aslında vade tarihinden oumlnce policcedilenin satışı ya da satın alışıdır Bu durumda satın alan kişi policcedilenin iskonto guumlnuumlnden vadesi doluncaya kadar guumlnlere karşılık gelen faiz tutarı kadar policcedilenin nominal değerinden eskitir Genellikle paraya ihtiyacı olan iş-letmelerin sattıkları mal ya da yaptıkları hizmetler karşılığında ellerindeki policcedileleri bankaya goumltuumlruumlp iskonto yapıyorlar Bir işletme kuruluşu bir guumlnde birkaccedil policcedilenin iskontosu yapılırsa policcedilelerin şartnamesi de sunulur

Policcedilenin tahsili vade guumlnuumlnden sonra yapılırsa vadeden sonraki guumlnlere karşılık gelen faiz miktarı policcedilenin nominal değerine katılır

Bu faizin hesaplandığı faiz oranı iskonto oranıdır ve elde edilen faiz miktarı iskonto mik-tarıdır iskontolanmanın yapıldığı hesaba ise iskonto hesabı denir

Policcedilenin iskontosu - İskontonun hesaplanması iccedilin birccedilok youmlntem vardır Ticari iskonto en basit şekilde şu formuumllle hesaplanır

100360

ptNDk

Rasyonel iskontoyu ise şu formuumllle hesaplayabiliriz

tpptNDr

100360

Bankalar iskontolamayı banka diskontundan yararlanarak yapıyorlar ve policcedile sahibinin elde edeceği efektif miktarı şu formuumllle hesaplanır

27

13

100360

1tpNE

1 Nominal değeri $1 000 olan bir policcedile bankaya 10092009 tarihinde verilmiştir İskonto oranı 7 ve oumldeme vadesi 30092009rsquodur Verilen parametrelere goumlre ticari ve rasyonel iskonto ve onlar arasındaki fark hesaplansın

N = 1000$ t = 20 guumln p = 7

893$

100360

2070001 Dk

873$207100360

2070001 Dr

002 $ 387 $ - 389 $ Dr -Dk

2 İşadamı X bir taşıma aracının satışında elde ettiği bir policcedile sahibidir Policcedilenin değeri $100 000 ve oumldeme vadesi 01102009 guumlnuumlduumlr Halbuki işadamının paraya ihtiyacı olduğundan 06092009 guumlnuuml policcedileyi iskonto etmek uumlzere bir bankaya 8 faiz oranıyla goumltuumlruumlyor Bu hiz-metin karşılığı olarak banka 5 komisyon ve manipuumllatif masrafl ar adında daha $100 oumldetiyor

N = $ 100 000p = 8t = 25 guumln

Efektif para miktarının hesaplanması

4444499$)100360

2581(000100$)

100) 360

t p - (1 N E

Efektif para miktarına goumlre iskonto D = 100 000$ - 99 44444$ = 55556$elde edilir ya da ticari iskonto formuumlluumlyle hesaplandığında

56555$36000

258000100

100360

p t N Dk

elde edilir İskonto hizmeti iccedilin komisyon miktarı

497$100

504444499$ elde edilir

28

Buna (100$) manipuumllatif harcamaları katmakla işadamının alacağı efektif para miktarı99 44444$ - 497$ - 100$ = 98 84744$ elde edilir

3 A şirketi 01052009 guumlnuuml eşit nominal değerleri $ 20 000 olan farklı oumldeme vadeli uumlccedil policcedile bankaya kırdırmak uumlzere goumltuumlruumlyor 0105 guumlnuuml 6 faiz oranıyla 1 komisyon ve $20 manipuumllatif masrafl arı nominal değerden duumlşuumlrerek kırılan policcedile iccedilin banka ne kadar oumldemiş-tir

Policcedile 01052010 guumlnuuml kırılmıştır

Para tutarı (N) Oumldeme tarihi Guumlnler DkPoliccedile A 20 000 $ 01042009 30 100 $Policcedile B 20 000 $ 20032009 41 137 $Policcedile C 20 000 $ 15032009 46 153 $

60 000 $ sum Dk = 390 $

p = 6

Dk =

390 $komisyon = 1manipuumllatif masrafl ar = $ 20Efektif tutar =

=N Dk = 60 000 390 = $ 59 610

ndash (komisyon = 59 610 х 001 = 5961)= 59 0139ndash ( 20)= 58 9939

İskonto yapılmış (kırılmış) farklı vadeli uumlccedil eşit policcedile iccedilin 01052010 tarihinde banka A şirketine 589939 denar oumldemiştir

Policcedilelerin satın alışı durumunda tuumlm masrafl ar policcedilenin iskontolanmış (kırılmış) tuta-rına katılır

4 Bir kişi 0105 guumlnuuml nominal tutarı 50 000 denar oumldeme vadesi 1605 olan bir A policcedilesi-ni ve nominal tutarı 70 000 denar oumldeme vadesi 3107 olan bir B policcedilesini bankaya kırdırmak uumlzere getiriyor Ne banka ne de policcedile sahibi zararlı olmayacak şekilde banka her iki policcedilenin tutarını bir orta tarihte policcedile sahibinin hesabına yatırmalıdır İskonto oranı her iki policcedile iccedilin 8rsquodir Her iki policcedilenin tutarı hangi tarihte oumldenecektir ve policcedile sahibine oumldenecek efektif tutar ne kadardır

29

Verilen parametrelerden şunları elde ederiz - (A) policcedilesinin nominal tutarı N1 = 50 000 denar ve t1 = 15 guumln ve- (B) policcedilesinin nominal tutarı N2 = 70 000 denar ve t2 = 92 guumlnİskontonun ortalama vadesini hesaplamak iccedilin formuumll

n

ti

n

tii

N

tN

1

1st

Buna goumlre iskontolamanın orta vadesi = 600007000050

92000701500050

guumlnp = 8

1600

36000

860)7000050000(

100360

p t N Dk

Efektif tutar (50 000 + 70 000) ndash 1 600 = 118 400 denar

Alıştırmalar

1 İskonto hesaplarında hangi parametrelerden yararlanılır

2 Policcedile nedir ve hangi elemanlardan meydana gelir

3 Policcedile ile işlem yapıldığında elemanlar kimdir

4 Nominal değeri (tutarı) 2 500 denar olan bir policcedile 1510 guumlnuuml bankaya kırdırmak iccedilin getirilmiştir İskonto oranı 9 ve oumldeme vadesi 2011 guumlnuumlduumlr Verilen parametrelere goumlre ticari ve rasyonel iskontoyu ve onlar arasındaki farkı hesaplayınız

5 A şirketi sattığı malın karşılığı oumldeme vadesi 01042010 guumlnuuml olan $ 1 200 000 no-minal tutarlı policcedile almıştır Şirketin net paraya ihtiyacı olduğundan 15032010 guumlnuuml policcedileyi bankaya satmaya (kırdırmaya) kararlaştırıyorlar İskonto oranı 7 komisyon 005 ve manipuuml-latif masrafl ar $ 500 olduğuna goumlre şirket bankadan ne kadar para almıştır

30

16 Yatırım (Depozit) Hesapları

Banka mevduat kabul eden bu mevduatı en verimli şekilde ccedileşitli kredi işlemlerinde kul-lanmak amacını guumlden veya faaliyetlerinin esas konusu duumlzenli bir şekilde kredi almak ya da kredi vermek olan ekonomik bir kuruluştur Bankaların geleneksel kaynakları bir kredinin ve-rilmesi iccedilin alınan depozitolar (bir alacağın karşılığı olarak alınan uzun ya da kısa vadeli depo-zito ve teminat niteliğindeki değerler) yatırımlardır Bu şekilde bankalar tasarruf ve kredi fonk-siyonunu gerccedilekleştirmekle para fonlarını etkin biccedilimde bir yerden diğer yere aktararak para sahiplerine (kredi vererek) ve kendi buumltccedilesine komisyondan faiz biccediliminde gelir sağlamaktadır

Tasarruf yapmak isteyen her vatandaş kendi para depozitosunu bankaya yatırabilir Mev-duat hesabı accediltıran her muumlşteriye bir hesap cuumlzdanı verilir Hesap cuumlzdanı vasi altında bir kişinin adına da accedilılabilir Cuumlzdan verilmesinin amacı hesap sahibinin hesap seyrini yani yatırılan pa-ralar alınan paralar ve mevduatların faizlerini izleyebilmesidir Hesap cuumlzdanının temel unsur-ları şunlardır hesap numarası hesap sahibinin adı ve soyadı doğum tarihi ve kimlik numarası banka hesabı karne numarası ve not boumlluumlmuuml (paraların vadesi ndash vadeli yoksa vadesiz) yazılır

Hesap cuumlzdanı banka yetkililerince imzalanır ve muumlhuumlrlenir Her yatırılan ve ccedilekilen pa-ranın miktarı ve tarihi kaydedilir ve bankanın yetkilisi tarafından imzalanır ve muumlhuumlrlenir

Hesap cuumlzdanındaki mevduatı

hesap cuumlzdanının sahibi ve

cuumlzdan sahibinin vekalet ettiği kişi yasal temsilci ve vasi kullanabilir

Bankaya depozitonun (nakti teminat) yatırımı bir tasarruf fonksiyonudur bu nedenle de-pozitonun yatırımlarıyla ilgili bu gibi hesaplara tasarruf mevduatlar hesabı ya da yatırım hesap-ları denir Tasarruf mevduatları

vadesiz ve vadeli (faizi ccedilekebilme imkanıyla bir aylık iptal etme ve etmeme vadesiyle oumlzel amaccedillı ya da amaccedilsız)

accedilık tasarruf mevduatlar ve

accedilık ccedilocuk denar tasarrufu olabilirler

Kişilerin bankaya verdikleri depozito verileri bankanın iş sırrıdır Aynı şekilde banka Makedonya Cumhuriyetirsquonde yabancı kişiler iccedilin de hesap cuumlzdanı accedilabilir Faiz oranları banka tarafından belirlenir

31

Mevduat sahiplerine oumldenecek faiz miktarı depozitonun vadeli yoksa vadesiz oluşuna bağlıdır Faiz bir miktar paranın belli bir suumlre kullanılması nedeniyle alınan sabit kiraya faiz de-nir Kısaca faiz paraya biccedililen fiyattır Resmi Mevduat hariccedil mevduata uygulanacak faiz oranları banka ile muumlşteri arasında serbestccedile belirlenir

Bankalar mevduata peşin faiz veremezler Vadesinden oumlnce ccedilekilen vadeli mevduata va-desiz mevduat faiz oranı uygulanır Cari hesap olarak işleyen mevduat hesaplarının faizleri yıl sonunda ilgili mevduat hesabına tahakkuk ettirilir Eğer hesap yıl iccedilinde kapatılırsa faiz hesabın kapatılma tarihinde hesaplanır ve mevduatta kalan tutar ile birlikte hesap sahibine oumldenir

Denar tasarruf mevduatları Tasarruf Mevduatı Sigorta Fonu tarafından sigortalıdır Bu fon bireysel kişilerin 10 000 EUR karşılığında depozitolarına 100 tazminat oumldemektedir 20 000 EUR den fazla olmamak şartıyla 10 000 EUR ve 20 000 EUR arasındaki mevduatları 90 tutarında tazminat oumldemekle yuumlkuumlmluumlduumlr Yukarıda adı geccedilen tutara tasarruf mevduatın temel değerine faiz miktarı katılır Faiz oranı o doumlnemde Makedonya Halk Bankasırsquonın iskonto oranı kadar geccedilerli olan değerle hesaplanır

Tasarruf mevduatlarına faiz miktarının hesaplanmasında basit faiz hesabı formuumlluumlnden yararlanılır Basit ve bileşik faizin hesaplanmasında şu unsurlar kullanılır

Ana para (temel değer) ndash K0 (depozito arttırılan kapital azaltılan kapital) faizi hesap-lanması gereken tutar

faiz vadesi yatırılan ya da parasal varlıklardan yararlanılan vadedir

faiz oranı faiz miktarı ( p ya da i )

faiz tutarı banka tarafından mevduat sahibine oumldenmesi gereken soumlzleşme kapsamın-da bulunan vade iccedilin hesaplanan faiz miktarı

Vade yıl ay ya da guumlnler ile ifade edildiğinde basit faizin hesaplanması iccedilin şu formuumlller geccedilerlidir

bir yıl vadeli mevduat 0

100

K pk ya da n yıl iccedilin 0

100

K pnk

vade ay ile verildiğinde 0

1200

K pmk

32

vade guumlnlerle ifade edildiğinde 36500

0 ptKk formuumlluuml kullanılır

Verilen mevduatların faizini hesaplamak iccedilin belli miktarın bankadan ccedilekmek iccedilin ya da bankaya yeni mevzuatlar yatırmak iccedilin guumlnlerin tayinine ait tablodan yararlanılır

Tablo 1Takvime goumlre yıl sonuna kadar guumln sayısı

Guumln Ocak Şub Mart Nis May Haz Tem Ağu Eyl Ek Kas Ara1 365 334 306 275 245 214 184 153 122 92 61 312 364 333 305 274 244 213 183 152 121 91 60 303 363 332 304 273 243 212 182 151 120 90 59 294 362 331 303 272 242 211 181 150 119 89 58 285 361 330 302 271 241 210 180 149 118 88 57 276 360 329 301 270 240 209 179 148 117 87 56 267 359 328 300 269 239 208 178 147 116 86 55 258 358 327 299 268 238 207 177 146 115 85 54 249 357 326 298 267 237 206 176 145 114 84 53 2310 356 325 297 266 236 205 175 144 113 83 52 2211 355 324 296 265 235 204 174 143 112 82 51 2112 354 323 295 264 234 203 173 142 111 81 50 2013 353 322 294 263 233 202 172 141 110 80 49 1914 352 321 293 262 232 201 171 140 109 79 48 1815 351 320 292 261 231 200 170 139 108 78 47 1716 350 319 291 260 230 199 169 138 107 77 46 1617 349 318 290 259 229 198 168 137 106 76 45 1518 348 317 289 258 228 197 167 136 105 75 44 1419 347 316 288 257 227 196 166 135 104 74 43 1320 346 315 287 256 226 195 165 134 103 73 42 1221 345 314 286 255 225 194 164 133 102 72 41 1122 344 313 285 254 224 193 163 132 101 71 40 1023 343 312 284 253 223 192 162 131 100 70 39 924 342 311 283 252 222 191 161 130 99 69 38 825 341 310 282 251 221 190 160 129 98 68 37 726 340 309 281 250 220 189 159 128 97 67 36 627 339 308 280 249 219 188 158 127 96 66 35 528 338 307 279 248 218 187 157 126 95 65 34 429 337 278 247 217 186 156 125 94 64 33 330 336 277 246 216 185 155 124 93 63 32 231 335 276 215 154 123 62 1

1 Bireysel kişi bankaya 9 faiz oranıyla yıllık faiz hesaplanmasıyla 10 000 denar para yatırmış-tır 5 ay sonra yatırımcının kaccedil parası olacaktır

K0 = 10 000 denar

33

p = 9m = 5 ay

Verilen parametrelere goumlre yatırımcının 5 ay sonra alacağı faiz miktarı

3751200

59 10000

k

denar

Hesaplanan faiz miktarı gereğince yatırımcının beş ay sonra ana paraya faiz miktarının katılımıyla 10 375 denarı olacaktır

2 Bir kişi 2505 guumlnuuml 100 000 denar bankaya yatırmış ve 0110 tarihinde 45 000 denar bankadan para almıştır Banka 5 faiz oranıyla işlem yaptığına goumlre yıl sonunda faiz miktarı ne kadar olacaktır

K0 = 100 000 denarp = 5t1 = 221 guumln (2505 ten yıl sonuna kadar)K1= - 45 000 denar t2 = 92 guumln (0110 den yıl sonuna kadar)

324605674302736500

92545000

36500

2215100000

21

iii

3 2009 yılı boyunca X yatırımcısının tasarruf yatırımlarında değişiklikler olmuştur Bu esnada bankanın uyguladığı faiz oranı 5rsquotir

10012009 yatırılmış 10 00015022009 yatırılmış 8 00001032009 ccedilekilmiş 6 00020032009 yatırılmış 2 000

Yukarıdaki veriler tasarruf mevduatı hesabına kaydedilsinHer para yatırımı ve para ccedilekilişi iccedilin yatırım (ya da ccedilekiliş) yapıldığı guumlnden yıl sonuna

kadar faiz hesaplanır

34

faiz oranı 5tarih yatırılmış ccedilekilmiş durum guumln Faiz miktarı

+ mdash durum10012009 10 000 10 000 356 48767 4876715022009 8 000 18 000 320 351 8386701032009 6 000 12 000 306 2515 5871620122009 2 000 14 000 12 329 5904431122009 59044 faiz 14 59044 59044Toplam 31122009

20 59044 6 000 14 59044 84196 84196 0

Alıştırmalar

1 Bankaların geleneksel kaynakları nelerdir

2 Basit ve bileşik faizin hesaplanmasında kullanılan kavramları (bileşenleri) sayınız

3 Banka hesabının temel elemanlarını sayınız

4 Bireysel kişi A 25012010 tarihinde bankaya 50 000 denar yatırmış 20092010 guumlnuuml bankadan 35 000 denar ccedilekmiştir Banka 8 faiz oranıyla işlem yaptığına goumlre yıl sonunda yatı-rımcının toplam parasını hesaplayınız

5 2009 yılı boyunca X yatırımcısının tasarruf yatırımlarındaki değişiklikler aşağıdaki tabloda goumlsterilmiştir

0501 2009 yatırılmış 3 0002001 2009 ccedilekilmiş 2 50031012009 yatırılmış 3 20028022009 yatırılmış 3 35003042009 ccedilekilmiş 4 00004062009 yatırılmış 5 00009092009 ccedilekilmiş 3 70010112009 yatırılmış 3 00025122009 ccedilekilmiş 5 000

Faiz oranı 75 olduğuna goumlre banka hesabındaki değişiklikleri hesaplayınız

35

17 Kredi Banka Hesabı

Ekonomi ccedilerccedilevesinde bankalar ve finans kuruluşları verimli işletmelere para transferi yapmaktır Yani bankalar fona ihtiyaccedil duyanlarla fonlarını değerlendirmek isteyenleri buluş-turma accedilısından en oumlnemli mali sistemdir Bankaların en oumlnemli goumlrevlerinden biri kaynak sağlamaktır İkinci buumlyuumlk goumlrevi ise sağladığı kaynağın yatırılması yani plasman goumlrevidir ki bu da kredi verme şeklinde ortaya ccedilıkar Bankacılıkta kredi verme kavramı verilen borcun belli bir suumlre sonunda geri alınmasından daha geniş bir işlem topluluğunu anlatır Bankalar muumlşterileri-ne işletme kredisi ve alışveriş kredisi adında borccedil para vererek kredi accedilar

Vadesine goumlre kredi ccedileşitleri

kısa vadeli krediler (geri oumldemesi en ccedilok bir yıl vadeli)

orta vadeli krediler (geri oumldeme vadesi 1 yıldan uumlccedil yıla kadar)

Uzun vadeli krediler (geri oumldemesi uumlccedil yıldan fazla) kredilerdir

Kısa vadeli krediler muumlşterilerin guumlnluumlk ihtiyaccedillarını finanse etmek ticarette kısa vadeli oumldemeleri sağlamak uumlretimde ihracatta ve hizmetlerin oumldenmesi iccedilin kullanılır Kısa vadeli kredi muumlşterinin talebi uumlzere verilir ve ard arda ya da doumlner (revolving) olabilir Kredinin geri oumldenmesi vadesinin tamamlanmasına kadar eşit aylık taksitlerle ya da revolving - soumlzleşme di-namikliği taksitleri biccediliminde yapılabilir Kredinin teminatı gayrimenkul ipoteği ile satılabilir araccedil varlıkları depozito banka garantisi değerli kağıtlar ve haklar ile yapılmaktadır

Kişilere uzun vadeli krediler ndash Bu krediler genellikle uzun vadeli yatırımlar iccedilin yatırım projelerin gerccedilekleştirilmesi iccedilin ticari amaccedillı vb olabilir Uzun vadeli kredilerin geri oumldeme vadesi uumlccedil yıla kadardır (ya da bankanın durumuna goumlre uumlccedil yıldan fazla da olabilir) Denar cin-sinden ya da doumlviz bazında olabilir

Parasal varlıkların amaccedillı kullanılmasına dair goumlsterilen belgeler gereğince uzun vadeli kredilerin kullanılış şekli muumlşterinin isteği uumlzeredir Kredi yatırım dinamiği gereği eşit aylık uumlccedil aylık ya da yarım yıllık taksitlerle geriye oumldenebilir Kredinin teminatı gayrimenkul ipoteği ile satılabilir araccedil varlıkları depozito banka garantisi değerli kağıtlar ve haklar ile yapılmaktadır

Kredinin fiyatı (faiz oranı) kredinin vadesine goumlre belirlenir Onaylanan kredi iccedilin banka oumlzel hesap ndash kredi hesabı accedilar Onaylanan kredi miktarı muumlşterinin cari ndash hesabına aktarılır ve bu hesaptan muumlşteri krediyi kullanabilir Geri oumldeme taksitinin belirlenen vadede oumldenmemesi

36

durumunda oumlngoumlruumllen faize ceza faizi de eklenir Faizin oumldenmesinde guumlnler takvime goumlre sayı-lır bir yıl ise 365 ya da 366 guumln olarak alınır

Onaylanan krediler elektronik vasıtalarla kredi ve ciro hesabından takip edilmektedir

1 Bir X şirketine bir bankadan kullanma tarihi 30072010 yılı başlamak uumlzere 1000000 denar kredi onaylanmıştır Sıralı faiz oranı yıllık 9 ceza faizi ise yıllık 3rsquotuumlr Şirket 01022010 tarihinde onaylanan kredinin tuumlmuumlnuuml bankadan ccedilekerek kullanmış ve geri oumldeme taksitlerini şu vadelerde gerccedilekleştirmiştir

20032010 I taksit 100 000 denar15042010 II taksit 120 000 denar01082010 III taksit 180 000 denar15082010 IV taksit 600 000 denar

30 09 2010 tarihine kadar bankanın kredi hesabında tuumlm değişiklikler (sıralı ve ceza faiz-lerinin hesaplanmasıyla) goumlsterilsin Ayrıca X muumlşterisinin de banka hesabındaki değişiklikleri goumlsterilsin

Değişme tarihi Değişme tutarı Faizde kalan guumlnler Faiz tutarı

verilen alınan sıralı cezalı sıralı cezalı

01022010 1 000 000 242 v 59 67220032010 100 000 194 a 4 78415042010 120 000 168 a 4 97101082010 180 000 66 a 7 45715082010 600 000 15 46 a 2 219 v 2 2685Toplam 1 000 000 1 000 000 v 79 103 v 2 2685

Kredi tutarının sıralı faiz guumlnleri 0102rsquoden 3009 tarihleri arasındaki guumlnler iccedilin hesap-lanmıştır Bu guumlnlerin faiz miktarı kredi sahibinin borcuna yazılır (d işareti ile işaretlenmiştir) Diğer değişikliklerin sıralı faizi ise değişim yapılan guumlnden oumldeme vadesi guumlnuumlne kadar (30 09 2010) guumlnlere hesaplanır Bu guumlnler sayısına karşılık gelen faiz miktarı karşılık gelen değişim iccedilin ccedilıkarılır (z işaretiyle işaretlenmiştir) Ceza faizi kredinin ccedilekiliş guumlnuumlnden değişim tarihine kadar guumln sayısı iccedilin hesaplanır Bu faiz ile kredi sahibi borccedillanır

37

X şirketinin banka hesabı

Değişme tarihi Cinsi Değişim miktarı Son durumveriyor alıyor

15012010 durum 500 000 500 00001022010 kredi 1 000 000 1 500 0002003 2010 I taksit 100 000 1 400 0001504 2010 II taksit 120 000 1 280 0000108 2010 III taksit 180 000 1 100 00015 082010 IV taksit 600 000 500 00030092010 9 faiz 79 103 420 89730092010 3 ceza faizi 2 2685 418 628530092010 dengeleme 418 6285

1 500 000 1 500 0000110 Son durum 418 6285

Alıştırmalar

1 Oumldeme vadesine goumlre kaccedil ccedileşit kredi vardır

2 Kısa vadeli kredilerin kullanılışını ve oumlzelliklerini sayınız

3 Uzun vadeli kredilerin kullanılışını ve oumlzelliklerini sayınız

4 Kredinin fiyatı neye bağlıdır

5 Bir X şirketine bir bankadan kullanma tarihi 26042010 yılı başlamak uumlzere 20000000 denar kredi onaylanmıştır Sıralı faiz oranı yıllık 75 ceza faizi ise yıllık 2rsquodir Şirket 01032010 tarihinde onaylanan kredinin tuumlmuumlnuuml bankadan ccedilekerek kullanmış ve geri oumldeme taksitlerini şu vadelerde gerccedilekleştirmiştir

05032010 I taksit 270 denar12042010 II taksit 580 denar17052010 III taksit 700 denar23052010 IV taksit 18 450 denar

38

30 06 2010 tarihine kadar bankanın kredi hesabında tuumlm değişiklikler (sıralı ve ceza faizlerinin hesaplanmasıyla) goumlsterilsin Ayrıca X şirketinin banka hesabındaki başlangıccedil para durumu 50 000 denar olduğuna goumlre banka hesabındaki değişiklikler goumlstertilsin

18 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 17 628 denar 6 faiz oranıyla ne kadar zamanda 2 393 denar faiz miktarı getirir

2 Faiz oranı 45 ile 20 000 denar 3 ay 40 000 denar 5 ay ve 12 000 denar 6 ayda getir-dikleri toplam faiz miktarını hangi temel para 20 mart ndash 28 haziran zaman aralığında zaman matrisi (k 360) faiz oranı 475 olmak uumlzere iki defa daha ccedilok faiz miktarı getirecektir

3 Faiz oranı 65 olmak uumlzere 25 000 denar 804 - 3006 zamanı iccedilin 62 000 denar 1804ndash3006 zamanı iccedilin ve 75 6000 denar 405ndash3006 zamanı iccedilin elde edilen toplam faiz mik-tarının 45rsquoi hangi faiz oranıyla 60 000 denar (k 360) ilkesine goumlre 1803ndash2906 zaman aralı-ğında elde edilir

4 Temel paranın uumlccedilte biri 15 yıl iccedilin beşte ikisi 4 ay iccedilin ve kalan kısmı 80 guumln iccedilin ban-kaya yatırılmıştır Her biri iccedilin faiz oranı 4rsquotuumlr Bu yatırımların toplam faiz miktarı 8500 denar olduğuna goumlre temel para ne kadardır

5 Temel paranın doumlrt aylık 475 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borccedillu 295 250 denar para almıştır Borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

6 Borccedillu 60 guumlnde 6 faiz oranıyla elde edilen faiz miktarını katarak 50 500 denar borccedil oumldemiştir Bu temel paranın iki katı 3 yıl vadeli aynı faiz oranıyla ne kadar faiz getirir

7 Temel paranın 2501ndash3108 zaman aralığında guumlnler takvimin (k 365) zaman matrisi-ne goumlre sayılarak 9 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borccedillu 100 000 denar para almıştır Borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

8 Bir kişi bankaya 4 ayrı borccedil oumldemelidir 1004 vadeli 6 faiz oranıyla 45 000 denar 2504 vadeli 8 faiz oranıyla 100 000 denar 2005 vadeli 9 faiz oranıyla 70 000 denar ve 3105 vadeli 4 faiz oranıyla 100 000 denar Hiccedilbiri zararlı olmayacak şekilde hangi guumln ve hangi faiz oranıyla borccedillu borcunu bir guumlnde oumldeyebilir

39

9 Bir ticaret şirketinin mal tedarikccedililerine borccedilları 4 faiz oranıyla oumldeme vadesi 120 guumln 40 000 denar 4 faiz oranıyla 240 guumln vadeli 60 000 denar ve 4 faiz oranıyla 300 guumln vadeli 100 000 denar Kaccedil guumln sonra şirket her uumlccedil borcu aynı guumlnde oumldeyebilir

10 Ticaret şirketi X oumldeme tarihi 504 olan 80 000 denar 2005 guumlnuuml 150 000 denar ve 3006 guumlnuuml 275 000 denar oumldenmesi gereken borccedilları vardır Aynı zamanda oumldeme tarihi 1703 olan 130 000 denar 0508 de 900 000 denar olan alacakları vardır Borcun saldosu (son durumu) hangi tarihte oumldenebilir

11 X şirketi 06042009 guumlnuuml bankaya kırdırmak uumlzere policcedile getirmiştir Policcedilenin nomi-nal değeri $ 250 000rsquodir ve oumldeme vadesi 15052009 dir Bankanın iskonto oranı 8 olduğuna goumlre policcedilenin ticari indirimini ve efektif miktarını hesaplayınız

12 E şirketi sattığı mal karşılığında 3 000 000 değerinde oumldeme vadesi 20042009 guumlnuuml olan bir policcedile almıştır Para sıkıntısı sebebiyle şirket 21032009 guumlnuuml policcedileyi kırmaya kararlaş-tırıyor İskonto oranı 6 yapılan işlemin komisyonu 0025 ve manipuumllatif masrafl ar 50 denar olduğuna goumlre bankanın şirkete oumldeyeceği paranın nominal değeri ne kadardır

13 X şirketi 150 000 denar değerinde oumldeme vadesi 05052009 tarihli olan bir policcedile-nin sahibidir Şirket bu policcedileyi oumldeme vadesinden oumlnce kırmaya kararlaştırıyor Kırma tarihi 05032009 guumlnuuml iskonto fiyatı 9 komisyon 0045 ve manipuumllatif masrafl ar 100 denardır Kırı-lan policcedilenin efektif değeri ve ticari indirim ne kadardır

14 20042010 guumlnuuml banka nominal değeri $50 000 olan uumlccedil eşit policcedile almıştır Policcedilelerin oumldeme vadeleri birincisi 20062010 ikincisi 10072010 ve uumlccediluumlncuumlsuuml 20072010 guumlnuumlduumlr İs-konto fiyatı (oranı) 85 komisyon 1 ve manipuumllatif masrafl ar 19 denar olduğuna goumlre banka 20042010 guumlnuuml policcedileler iccedilin ne kadar oumldeyecektir

15 Bir bankaya 15032010 tarihinde kırılmak uumlzere iki policcedile getirilmiştir

- policcedile X nominal değeri $ 3 000 000 ve oumldeme vadesi 25012010 ve

- police Y nominal değeri $ 5 000 000 ve oumldeme vadesi 20062010 guumlnuuml

İskontolanmış bu policcedilelere talip olan muumlşteri kendi hesabına bir ortalama vadede ya-tırılmasını istemiştir (aynı guumlnde her iki policcedilenin sahibi olsun) İskonto edilmiş miktarların muumlşteri hesabına yazılacağı guumln tarihi belirtilsin

40

16 Bankaya 0108 guumlnuuml 400 000 denar para yatırılmış ve 0210 guumlnuuml 120 denar ccedilekilmiştir Faiz oranı 5 olduğuna goumlre yıl sonunda faiz tutarı ne kadardır

17 Yatırımcı Yrsquonin banka hesabında faiz oranı 10 olmak uumlzere 2010 yılında aşağıdaki değişiklikler olmuştur

15032009 yatırılmış 50 00001042009 Ccedilekilmiş 20 00005062009 yatırılmış 18 00007072009 Ccedilekilmiş 15 00008082009 yatırılmış 18 00001092009 Ccedilekilmiş 13 000

Verilenlere goumlre banka hesabında tuumlm değişiklikler kaydedilsin

18 Y şirketi bir bankadan oumldeme vadesi 25062010 olmak uumlzere 70 000 denar kredi almıştır Sıralı faiz oranı 10 ceza faiz oranı ise yıllık 2rsquodir Şirket 01042010 guumlnuuml tuumlm kredi miktarını kullanıyor ve kredinin geriye ccedilevrilmesini aşağıdaki tarihlerde gerccedilekleştiriyor

01052010 I taksit 7 000 denar10052010 II taksit 10 000 denar20062010 III taksit 15 000 denar25072010 IV taksit 38 000 denar

30082010 guumlnuumlne kadar bankadaki kredi hesabında yapılan değişiklikleri (sıralı ve ceza faiz miktarlarının faizlerini hesaba katarak) goumlsteriniz X şirketinin başlangıccediltaki para durumu (saldosu) 30 000 denar olduğuna goumlre şirketin banka hesabındaki tuumlm değişiklikleri goumlsterilsin

41

Konu Oumlzetleri

Bankadan borccedil (kredi) aldığımızda banka alacaklı parayı alana ise verecekli (borccedillu) de-nir Bankanın parasından yararlanan verecekli karşılık olarak bankaya belli bir faiz oumldeyecektir Bankaya para yatırdığımız takdirde banka kullanıcıdır ve vericiye belli bir faiz oumldemektedir Bir yatırımın yatırım doumlnemi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranına basit faiz denir

Faiz miktarının ve ona bağlı olan diğer buumlyuumlkluumlklerin hesaplanmasına basit faiz hesabı denir Basit faiz hesabında genel olarak şu doumlrt temel buumlyuumlkluumlğe rastlanılır

100

Kpti K ndash Ana para (kapital temel değer) i ndash faiz miktarı (yuumlzde payı) p ndash yuumlzde oranı (faiz miktarı) t ndash faizin hesaplandığı suumlre (zaman)

Birkaccedil borccedil miktarı farklı vadelerde oumldenecek yerde toplam borcu aynı anda oumldenmesi iccedilin ayrılan zamana orta vade denir Ortalama vadeyi ve ortalama faiz oranını belirtme işlemine vadeli hesap denir ve aslında basit faiz hesabının bir uygulanmasıdır Bazı durumlarda borccedillu aynı anda başka borccedillulardan alacaklı durumunda olabilir Boumlyle durumda alacak ve verecek farkını oumldeme vadesine borccedil durumunun (saldosunun) oumldeme vadesi denir

Ortalama faiz oranı bilindiği takdirde borcun ortalama oumldeme vadesini şu formuumllle he-saplayabiliriz

ns

nnns KKKp

tpKtpKtpKt

21

222111

Borccedil miktarlarının oumldeme vadeleri bilindiğinde ortalama faiz oranına ait şu formuumlluuml uy-gulayacağız

ns

nnns KKKt

tpKtpKtpKp

21

222111

burada K1 K2hellip Kn borccedil miktarları p1 p2 hellip pn karşılıklı faiz oranları ve t1 t2 hellip tn kar-şılıklı oumldeme vadeleridir

Borccedil kalanı (saldo) vadesinin hesaplanması şu formuumllle hesaplanır

42

s

mmmnnns Sp

tpPtpPtpPtpKtpKtpKt000

2

0

22

0

1

0

11222111

burada K1 K2 hellip Kn borccedil miktarları vadeleri t1 t2 hellip tn guumlnler ve p1 p2 hellip pn karşılıklı olarak faiz oranları P1 P2 hellip Pn alacaklar onlara karşılık vadeleri t1degt2degtmdeg guumlnler ve p0

1 p02

p0m faiz oranlarıdır

Henuumlz vadeleri yetişmemiş alacakların satışı durumunda satış guumlnuumlnden alacakların va-desinin olduğu guumlne kadar faiz miktarının alacaktan eksilmesine iskonto denir

Belli bir tarihte oumldenmesi gereken borcu vadesi gelmeden belli bir tarihte oumldemeye douml-nuumlştuumlrme işlemine (şimdiki değeri ilerdeki borcun değerine doumlnuumlştuumlruumllmesine) iskontolama denir

İndirim (iskonto) hesaplamaların yapılmasında şu parametrelerden yararlanılırN - Finansal varlığın nominal değeritmn - İndirim (iskonto) vadesi varlığın indirilme guumlnuumlnden tahsilat guumlnuumlne kadar guumln-

ler sayısı t aylar sayısı m yıl sayısı n Ayların guumlnleri takvime goumlre alınır oumlyle ki varlığın indiril-mesi yapıldığı guumln sayılmıyor varlığın tahsil edildiği guumln sayılır

D - İndirim (eskonto) finansal varlığın nominal değerinin azalmasına eşittirp - İndirimin hesaplanmış olduğu faiz oranı (iskonto oranı) E - Nominal borcun erken oumldeme anında reel (efektif) miktar

İndirimin hesaplanması iki şekilde yapıldığına goumlre iki tuumlr indirim vardır Dk- Ticari indirim burada indirimin hesaplandığı temel değer nominal değerdir efektif değer ise nomi-nal değer ve indirimin farkıdır ve rasyonel (matematiksel) indirim ndash Dr burada nominal değer efektif değer ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

Policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedidir

Policcedilenin temel ccedileşitleri hamil ve şahsi policcedilelerdir Hamil policcedile şu temel unsurları iccediler-melidir policcedile işareti oumldeyecek olanın adı keşideci adı ya da adresi kime ve kimin emrine oumldeneceği ndash lehdar tanzim (duumlzenleme) yeri ve tarihi belli bir paranın kayıtsız şartsız oumldenmesi iccedilin havale oumldeme yeri policcedilenin yazılma tarihi ve yeri oumldeyecek olanın imzası Şahsi policcedile

43

şu unsurları iccedilerir para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair vaat vermesi havale tarihi oumldeme yeri alacaklının adı policcedilenin yazılma tarihi ve yeri ve oumldeyen kişinin imzası

Policcedile işlemleri hukuk işlemleridir ve policcedile hakkında şu işlemler yapılabilir policcedilenin verilmesi policcedilenin onaylanması policcedilenin vurgulanması policcedilenin devredilmesi policcedilenin havale edilmesi policcedilenin satın alınması amortisman geriye ccedilevrilmesi policcedilenin protesto edilmesi vb

Policcedile hukuk işlemlerinde karakteristik kurallar genellikle şunlardır okur yazarlık in-korporasyon birleşme (şirketleşme) policcedile sorumluluğun kesinliği policcedile titizliği ve policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil etmedir

Policcedile iskontosu vade tarihinden oumlnce policcedilenin satışı ya da satın alışıdır Bu durumda satın alan kişi policcedilenin iskonto guumlnuumlnden vadesi doluncaya kadar guumlnlere karşılık gelen faiz tutarı kadar policcedilenin nominal değerinden eskitir

Ticari iskonto şu formuumllle hesaplanır

100360

ptNDk

Rasyonel iskonto ise şu formuumllle hesaplanır

tpptNDr

100360

Burada N nominal değer (parasal değer) t guumln sayısı olarak iskonto vadesi ve p ndash iskontonun hesaplandığı faiz oranıdır (miktarıdır)

Banka iskontosundan policcedile sahibinin elde edeceği efektif miktarı şu formuumllle hesapla-nır

13

100360

1tpNE

Burada N nominal değer (parasal değer) t guumln sayısı olarak iskonto vadesi ve p ndash iskontonun hesaplandığı faiz oranı (miktarı) dır

Tasarruf mevduatlarına faiz miktarının hesaplanmasında basit faiz hesabı formuumlluumlnden yararlanılır Vade yıl ay ya da guumlnler ile ifade edildiğinde basit faizin hesaplanması iccedilin şu for-muumlller geccedilerlidir

bull vade n yıl iccedilin 100

0 pnKk

44

bull vade ay ile verildiğinde 0

1200

K pmk

bull vade guumlnlerle ifade edildiğinde 36500

0 ptKk formuumlluuml kullanılır

Burada K0 temel para (ana değer) p - faiz oranı ve t ndash zamandır

Bankalar muumlşterilerine işletme kredisi ve alışveriş kredisi adında borccedil para vererek kredi accedilarVadesine goumlre kredi ccedileşitleri kısa vadeli krediler orta vadeli krediler ve uzun vadeli krediler (geri oumldemesi uumlccedil yıldan fazla kredilerdir)

45

KIYMETLİ METALLER PARALAR VE DOumlVİZLER

21 Kıymetli Metallerin Arılığı

Altın guumlmuumlş platin rutenyum rodyum osmiyum paladyum ve iridyum elementleri kıymetli metaller gibi tanınmıştır Bunlardan bazıları daha ccedilok eski zamanlardan bilinmek-tedir Bunların oumlzellikleri diğer elementlerden daha az reaktivite oumlzelliğine sahip olup havada oksidasyon olmuyor ve asitlerde erimiyorlar Doumlviz rezervleri gibi kullanılabilir Bunların buumlyuumlk oumlnemi nedeniyle kıymetli metallerden yapılmış olan nesnelerin kontroluuml yapılışı ve arılık de-recesi onların incelemesi işaretlenmesi pazara satış koşulları ve kontroluuml kanunla duumlzenlen-mektedir

Burada kıymetli metallerden altın ve guumlmuumlşuuml inceleyeceğiz Bu metaller ccedilok tanınmış değerlendirilmiş ve ccedilok eski zamanlardan yani binlerce yıl oumlnceden bu guumlne kadar kullanılmak-tadır Altın ve guumlmuumlş ccedilok yumuşak metallerdir ve bu yuumlzden kullanılış iccedilin pratik değildirler Biraz sertlik kazanmak iccedilin başta bakır nikel ve başka metallerle karıştırılır İki ya da daha ccedilok metalin karışımına filiz (alaşım karışım) denir Filizin kuumltlesine toplam kuumltle diyeceğiz

Kıymetli metalin kuumltlesi (saf kuumltle) ve filizin kuumltlesinin oranına kıymetli metalin arılık (safl ık) derecesi denir Kıymetli metallerin arılık derecesi milyem (promil) ve İngiliz usuluuml olmak uumlzere iki şekilde ifade edilir

Safl ık milyem biccediliminde goumlsterildiğinde kıymetli metal milyem ile ifade edilir Bu durum-da milyem sayısı bir filizde 1000 eşit parccediladan kaccedil eşit parccedila kıymetli metal olduğunu goumlsterir Oumlrnek bir kıymetli metalin arılık derecesi 9000oo ile ifade edilmişse filizin 1000 parccedilasında 900 parccedila kıymetli metaldir Toplam kuumltleyi m ile saf kuumltleyi mb ile ve arılık derecesini f ile işaret edersek arılık derecesinin milyem usuluumlne goumlre goumlsterilişini şu formuumllle ifade edebiliriz

1000mmf b permil

1 Bir altın nesnenin saf kuumltlesi 510 gram ve toplam kuumltlesi 800 gramdır Nesnenin arılık derecesini (milyem olarak) ifade ediniz

Altın nesnenin arılık derecesi 56371000800

510f permil

dir

Arılık derecesinin İngiliz usuluuml ile ifade edilmesinde altının oumllccediluuml birimi ayar (karat) guumlmuumlşuumln arılık derecesi ise peniveyt (pennyweight) ile goumlsterilir Saf altının arılık derecesi 24 karat saf guumlmuumlşuumln arılık derecesi ise 240 peniveyt dir

2 Arılık derecesi 14 ayar olan bir altın nesnenin 24 kısmından 14 kısım saf altındır

2

46

3 Arılık derecesi 200 peniveyt olan guumlmuumlşten bir uumlruumlnuumln 240 kısmından 200 kısmı saf guumlmuumlştuumlr

Karat ve peniveytten kuumlccediluumlk oumllccediluuml birimi greynrsquodir 1 karatta 4 greyn ve 1 peniveytte 24 greyn vardır

Arılık derecesi 22 karat (ayar) olan altına standart altın 222 peniveytlik guumlmuumlşe standart guumlmuumlş denir Bir altın (guumlmuumlş) filizinin arılık derecesi standart safl ıktan daha iyi ise ona B işa-reti yazılır (İng Better ndashdaha iyi) ya da standart safl ıktan daha koumltuuml ise W işareti konulur (İng Worse ndash daha koumltuuml)

4 Altın nesnenin safl ığı standart altından 1 karat ve 2 greyn daha iyi olduğu durumda B12 biccediliminde yazılır O halde altın nesne (22+ 12 = 232) 23 karat ve 2 greyndir

5 Arılık derecesi W 77 olan guumlmuumlş nesne standart guumlmuumlşten 7 peniveyt kadar daha koumltuumlduumlr 222 ndash 77 = 22124 ndash 77 = 21417 olduğuna goumlre guumlmuumlş nesnenin arılık derecesi 214 peniveyt ve 17 greynrsquodir

Alıştırmalar

1 a) Kıymetli metallerin arılık derecesi nedirb) Kıymetli metallerin arılık derecesi nasıl ifade edilir

2 Arılık derecesia) 920 permil b) 870permilverilmiş olan altın filizin kaccedil kısmı bakırdır

3 Saf altın kaccedil karattır Saf guumlmuumlş ise kaccedil karattır

4 a) Safl ığı 20 karat olan altın nesne b) Safl ığı 210 peniveyt olan guumlmuumlş nesne kaccedil greyndir

5 a) B 11 işaretli altın nesnenin b) W 53 işaretli altın nesnenin c) B 1011 işaretli guumlmuumlş nesnenin d) W 128 işaretli altın nesneninarılık derecesi ne kadardır

22 Arılık (Safl ık) Derecesinin Hesaplanması

Kıymetli metallerin arılık derecesini hesaplamak iccedilin iki cins oumldevler vardır Arılık derecesini İngiliz usuluumlne goumlre milyemlerle goumlsterme ve tersine işlemleri olan

oumldevler

47

Kıymetli metalin saf kuumltlesi ve filizin kuumltlesi bilindiğinde kıymetli metallerin arılık derecesini hesaplama gibi oumldevler

1 Arılık derecesi 800permil olan altın nesnenin safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade edinizx 24 = 800 1000 orantısından 219

1000

80024

x

karat elde edilir Demek ki altının arılık derecesi 192 karattır 02 karat 02 4 = 08 greyn olduğuna goumlre altının arılık derecesi 19 karat ve 08 greyndir diyebiliriz Bunu (22 ndash 1908 = 214 ndash 1908 = 232) W 232 biccediliminde yaza-biliriz

2 B 86 işaretli guumlmuumlşuumln arılık derecesini milyemle goumlsteriniz Arılık derecesini oumlnce peniveytlerle hesaplayalım 222 + 86 = 2306rsquodır 6 greyn bir

peniveytin

4

1

rsquo uuml olduğuna goumlre guumlmuumlşuumln arılık derecesi 23025 peniveyt olduğunu buluyoruz

x 1000 = 23025 240 orantısından

375959240

100025230

x permil

elde edilir Demek ki guumlmuumlşuumln arılık derecesi 959375permil dir

3 Toplam kuumltlesi 400 gram olan guumlmuumlş nesnede 350 gram saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln arılık derecesini milyemlerle ifade ediniz

Guumlmuumlşuumln arılık derecesi

1000400

350 permil

bağıntısından 875permil elde edilir

4 Toplam kuumltlesi 300g olan altın nesnede 249 g saf altın vardır Altının arılık derecesini iki usule goumlre goumlsteriniz

Arılık derecesini oumlnce milyemlerle goumlstereceğiz

1000300

249 permil

Demek ki altın nesnenin arılık derecesi 830 permilrsquodir

Şimdi aynısını İngiliz usuluumlne goumlre ifade edelim x 24 = 830 1000 orantısından

92191000

83024

x

karat elde edilir Demek ki altın nesnenin arılık derecesi 19 karat ve 368

greyndir Sonuccedil olarak altın nesne W 2032 dir

Alıştırmalar

1 Milyem oumllccediluumlsuumlne goumlre arılık derecesi 590 permil olan guumlmuumlşuumln safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade ediniz

48

2 İngiliz usuluumlne goumlre arılık derecesi B 12 olan altının safl ığını milyemlerle ifade ediniz

3 Altın nesnenin arılık derecesi 1536 karattır Bunu milyemlerle goumlsteriniz

4 Kuumltlesi 330 g olan altın nesnede 198 g saf altın vardır Altının arılık derecesinia) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

5 Kuumltlesi 250 g olan bir guumlmuumlş nesnede 198 g saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln arılık derecesinia) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

23 Saf ve Toplam Kuumltlenin Hesaplanması

Kıymetli metalin saf kuumltlesini hesaplamak iccedilin filizin arılık derecesi ve toplam kuumltlesinin bilinmesi gerekir

Birkaccedil oumlrnek inceleyelim1 Kuumltlesi 50 g olan bir altın nesnenin arılık derecesi 920permilrsquodir Nesnede kaccedil gram saf altın

vardırx 50 = 920 1000 orantısından 46

1000

92050

x

elde edilir Demek ki altın nesnede 46g saf altın vardır

2 Arılık derecesi 18 karat olan 560 gramlık bir altın nesnede kaccedil gram saf altın vardırx 560 = 18 24 orantısından

42024

18560

x

elde edilir Demek ki altın nesnede 420g saf altın bulunur

3 Safl ık derecesi W 86 olan bir guumlmuumlş eşyanın kuumltlesi 480grsquodır Nesnede kaccedil gram saf guumlmuumlş vardır

Guumlmuumlşuumln safl ık derecesini peniveytlerle hesaplıyoruz222 ndash 86 = 22124 ndash 86 = 21318 elde edilir Buna goumlre guumlmuumlşuumln arılık derecesi

752134

3213

24

18213

peniveyttir

Şimdi x 480 = 21375 240 orantısından

5427240

48075213

x

elde edilir Demek ki guumlmuumlş eşyada 4275g saf guumlmuumlş vardır

49

Bir filizin toplam kuumltlesini hesaplamak iccedilin kıymetli metalin safl ık derecesi ve kuumltlesi bilinmelidir

4 Safl ık derecesi 800permil olan bir altın nesnede 648g saf altın vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

x 648 = 1000 800 orantısından 810800

1000648

x

elde edilir Demek ki filizin toplam kuumltlesi 810 grsquodır

5 Safl ık derecesi 230 peniveyt olan bir guumlmuumlş nesnede 483g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

x 483 = 240 230 orantısından

504230

240483

x

elde edilir Guumlmuumlş eşyanın toplam kuumltlesi 504 grsquodır

6 Safl ık derecesi B 112 olan bir guumlmuumlş nesnede 1341g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

Guumlmuumlşuumln arılık derecesi 222 + 112 = 22312 ya da

522324

12223

peniveyttir O halde

x 1341 = 240 2235 orantısından

14405223

2401341

x

elde edilir Guumlmuumlş nesnenin toplam kuumltlesi 1440grsquodır

Alıştırmalar

1 Kuumltlesi 180g ve arılık derecesi 880permil olan altın nesnede ne kadar saf altın vardır

2 Kuumltlesi 600g ve arılık derecesi W 2212 olan guumlmuumlş nesnede ne kadar saf guumlmuumlş vardır

3 Safl ık derecesi 850permil olan guumlmuumlş nesnede 595g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

4 Safl ık derecesi W 13 olan altın nesnede 324g saf altın vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

5 Safl ık derecesi 750permil olan altın nesnede 126g saf altın vardır Buna ne kadar saf altın katılmalıdır ki nesnenin safl ık derecesi 800permil olsun

50

24 Para Birimi Kavramı ve Oumlnemi

Latin soumlzuuml ldquovalutardquodan kaynaklanan para birimi kavramının birccedilok anlamı vardır Para devletccedile bastırılan uumlzerinde itibari değeri yazılı kağıt ya da metal oumldeme aracıdır Para birimi-nin birkaccedil anlamı vardır

temel para birimi (adı şekli yapılışı) bir devletin para sistemini ifade eder

devlet iccedilinde kanun aracı olarak finans oumldemeler iccedilin yani bir devletin para sisteminin temel para birimini efektif paraları ve para işaretlerini (metal ya da kağıt banknotlar) ifade eder

uluslararası ticarette sadece etkin yabancı paraların anlamı vardır yabancı devlette ikamet edenlerin para ve para işaretleridir

Uluslararası ticarette parayı temsil eden belgeler ccedilek fatura akreditifl er ya da uluslararası oumldemelerde kullanılan ccedileşitli araccedillar para kavramı kapsamında değildir Ancak devletlerin res-mi para işaretleri bulunan milli banknotlar ve demir paralar da geccedilerlidir

Makedonya Cumhuriyeti Doumlviz Kanununa goumlre yabancı devletlerin kullandıkları efektif paralar yabancı para sayılır ancak yabancı devletlerin bastıkları altın paralar muumlstesnadır ccediluumln-kuuml bunlar kıymetli metaller kavramına girer

Para birimi bir devletin para sisteminin temel birimidir kanunla duumlzenlenmiş bir uumllke-nin değerlerinin temel oumllccediluumlsuumlduumlr

Uumllkelerin paralarının adları farklı (oumlrnekdenar dinar euro dolar funt şiling vb) fakat birccedilok uumllkenin sadece isimleri aynı fakat diğer oumlzellikleri oumlrneğin değerleri şekilleri farklı olan paralar da vardır Oumlrnek para birimi dolar olan birccedilok uumllkeler Avustralya Kanada Hong Kong ve ABD

Temel birim olan para genellikle kuumlccediluumlk kısımlara (ufaklı paralara) ayrılarak genellikle ondalık ya da diğer bir sistem uygulamakla farklı adlarla ifade ediliyorlar (oumlrneğin ABD doları 100 sent Makedonya denarı 100 deni vb)

51

Para sisteminin temelini teşkil eden kıymetli metaller daha doğrusu altının geccedilerliliğe geccediltiği doumlnemlerde her uumllke kendi parasının ne kadar kıymetli metal iccedilereceğini kuvveti ve istikrarına bağlı olarak kendine ait kanunlarla tespit edilmekteydi Bununla belli ağırlıkta kıy-metli metalden oluşan bir para biriminin miktarını devlet kanunla duumlzenlemişti

Guumlnuumlmuumlzde artık hiccedilbir ulusal ekonomide tam değerinde para birimleri fonksiyonda de-ğildir Onlar artık para işaretleriyle yani kağıt paralarla değiştirilmiştir Guumlnuumlmuumlzdeki paraların yapıldığı malzemenin değeri ccedilok duumlşuumlktuumlr ve onların kendi asıl değerleri hemen de hiccedil yoktur Bir ulus devletinin ekonomisi ccedilerccedilevesinde uumlretebildiği mal ve yaptığı hizmetlerle kağıt paralar değerlerini kazanıyorlar Bir devletin parasal otoritesinin verdiği desteklerle de kağıt paralar kendi değerini belli bir seviyede tutabiliyorlar Devletin parasal yetkili organları oumlzerk yasa ile milli paranın değerini belirtir ve devletin ekonomik işlemlerinin kusursuz işlemesini sağlamak onların goumlrevidir

Mal ekonomisinde yapılan tuumlm işlemler para yardımıyla yapılır Bu nedenle mal uumlretimi-nin ve piyasanın etkisine dayanan ekonominin tuumlm işlevlerini para sistemi kontrol etmektedir Ekonominin ccedileşitli alanlarında olabilecek herhangi dengesizlik para ifadesi olarak algılanır ve ekonominin parasal sektoumlruumlne da yansır Diğer taraft an ekonominin parasal sektoumlruumlnde de den-gesizlik olabilir ve bu durum ekonominin reel sektoumlruumlnuuml etkilemektedir Bu şekilde ekonominin parasal ve reel sektoumlruuml arasında interaktif ilişkiler meydana gelir Ekonomi buumlyuumlme oranı işsiz-lik oranı enfl asyon ihracat ve ithalat oranı gibi ekonomi performansların oluşumu ekonomi-nin reel ve parasal sektoumlruumlndeki interaktif ilişkileriyle meydana gelmektedir

Alıştırmalar

1 Para birimi kavramının oumlnemini accedilıklayınız

2 Para biriminin tanımını ifade ediniz

3 Para birimlerin değeri neye bağlıdır

4 Kağıt paraların değeri nasıldır

5 Parasal sistem ve parasal otoritesi kavramlarını accedilıklayınız

52

25 Paraların Değerlerindeki Değişmelerin Hesaplanması

Bir ulusal ekonominin durumu iyiye ya da koumltuumlye doğru daima değişmektedir Uumllkede uumlretim verimliliğinin genel seviyesinin artması durumunda paranın resmi değerinde değişme olmadığına rağmen ulusal paran biriminin iccedil piyasadaki alım guumlcuuml artar Bu duruma paranın değer kazanması (apresiyasyon) denir

Aksi takdirde paranın resmi değerinde değişme olmadan ulusal paranın iccedil piyasadaki alım guumlcuuml azaldığı duruma paranın yıpranması (depresyonu) denilir Bu gibi olaylar daha uzun vadelerde meydana geldiği durumda enfl asyon ya da defl asyon denilen olaylara goumltuumlruumlr Bu gibi durumlardan ccedilıkış yolu ulusal para biriminin yabancı paralara goumlre değerinin değişmesiyle sağlanabilir

Şek1

Ulusal para biriminin değerinin değişmesi

Porast na vrednosta

Opa|awe na vrednosta

Deflacija (proces)

Revalvacija (akt)

Inflacija (proces)

Devalvacija (akt)

Değer kazanma Değer kaybetme

defl asyon(olay)

revaluumlasyon(hareket)

enfl asyon(olay)

devaluumlasyon(hareket)

Fiyatların genel seviyesinin devamlı kontroluuml ulusal para biriminin kur değişimi gerekli-liğini azaltmaktadır Bu demektir ki ulusal para biriminin diğer ulusların para birimlerine karşı değerinin azalması devaluumlasyon ve depresyon ile yapılabilir ulusal para biriminin diğer ulusla-rın para birimlerine karşı değerinin yuumlkselmesi ise revaluumlasyon ve apresiyasyon ile yapılabilir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak uumlzere duumlşuumlruumllmesine devaluumlasyon denir Ulusal paranın değerinin yıpranması (depresyonu) ise ulusal paranın yabancı para birimleri karşı-sında ekonomi kanunlarının etkisiyle değerinin yavaş yavaş duumlşuumlruumllmesidir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yuumlkselmesine revaluumlasyon denir Ulusal paranın değe-

53

rinin yuumlkselmesi (apresyiasyon) ise ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında ekonomi kanunlarının etkisiyle değerinin yavaş yavaş yuumlkselmesidir

Defl asyon durumunda ulusal ekonominin parasal kurumları yabancı para birimlerine goumlre ulusal para biriminin değerini oumlzel bir akt ile yuumlkseltiyorlar (para biriminin revaluumlasyonu) Enfl asyon durumunda ulusal ekonominin parasal kurumları oumlzel bir akt ile yerli para birimi-nin resmi doumlviz kurunun değerini azaltıyorlar Bu şekilde ulusal para biriminin yabancı para birimlerine goumlre değerini duumlşuumlruumlyorlar

Bir ulusal para biriminin yabancı para biriminin guumlncel değerine goumlre oumlrneğin Amerikan dolarına goumlre euronun değeri euronun dolara goumlre yuumlkselmesi ya da azalması euronun dolar karşılığında değeri hesaplanır

1 Oumlrnek euro $ doumlviz kuru euro1 = $ 093rsquoten euro1 = $ 109 olarak değişirse euro dolar karşı-lığında (109 ndash 093) 093 = 1720 (apresyon) değer kazanmıştır denir

Apresyon ve depresyonun hesaplanması iccedilin genel formuumll1)

euronun yuumlkselme ya da yıpranma değeri (miktarı) =

euronun doların bazında yeni değeri-euronun dolar bazındaki eski değerieuronun dolar bazında eski değeri

2) Bir para biriminin yuumlkselmesi (yıpranması)

H (euro) = 0

01

eee

ile hesaplanır

2 Yukarıdaki oumlrnekte verilen (e0 = $ 093 ve e1= $ 109) değerleri yerine değiştirirsek eu-ronun dolara karşı 1720 yuumlkseldiğini goumlruumlyoruz

Alternatif olarak doların euro değerinin değişimini belirtebiliriz Euronun dolar değerini ldquoerdquo (dollars per euro) ile işaret edersek o halde doların euro değeri (euros per dollar) ccedilarpımsal ters ya da ldquo1erdquo olmalıdır

3 Oumlrnek euronun değeri $ 093 ise doların değeri EUR1075 (1093)

0 ve t zaman aralığındaki doların euro değerinin değişimi 1et ndash 1e0rsquodır Bu ifade doların euro değerinin artışı (ya da azaldığı) kadar dolar euroya goumlre duumlştuumlğuumlnuumln (ya da yuumlkseldiğinin) yuumlzdelerle ifade edilişidir

54

3)

doların yuumlkselme ya da yıpranma değeri (miktarı ) =

doların euro bazında yeni değeri-dolarıneuro bazındaki eski değeri

doların euro bazında eski değeri

4) Bir para biriminin yuumlkselmesi (yıpranması) H ($)= 1

10

0

01

1

11

eee

eee

ile hesaplanır

4 Yukarıda verilen 3) formuumlluumlnuumln uygulanmasıyla euro doumlviz kurunun $093rsquoten $109 yuumlkselmesi elde edilir Bu ise doların 146 euroya goumlre duumlştuumlğuumlnuuml goumlstermektedir [(0917- 1075) 1075 = - 0146]

Doumlviz kurlarının değişiminin yuumlzdelerle hesaplanmasında uygulanan kurallarbull Pozitif yuumlzde değişim yabancı para biriminin yuumlkselmesi demektir

bull Negatif yuumlzde değişim yabancı para biriminin duumlşmesi demektir

Şekil2DOumlVİZ KURU LİSTESİ

Kur listesi No___________Kurlar ____________200___ guumlnuuml saat 0800 ndash 2000rsquoye kadar geccedilerlidir

DOumlVİZCİNSİ

ŞİFRE PARA BİRİMİNİN

İŞARETİ

BİRİM EFEKTİF ALIŞ

EFEKTİF SATIŞ

AB 978 EUR 1AVUSTRALYA 036 AUD 1KANADA 124 CAD 1DANİMARKA 208 DKK 100NORVECcedil 578 NOK 100İSVECcedil 752 SEK 100İSVİCcedilRE 756 CHF 100İNGİLTERE 826 GBP 1ABD 840 USD 1

Kaynak Makedonya Cumhuriyeti Halk Bankası

55

Oumlrneklerden goumlruumllduumlğuuml gibi euro doumlviz kurun dolara goumlre değişimi dolar doumlviz kurunun euroya goumlre değişimiyle aynı değildir Bunun sebebi şudur euro yuumlkselmesi (apresyonu) dola-rın yıpranması (depresyonu) ile aynı değildir ccediluumlnkuuml bir para birimin değeri diğer para birimin değerinin ccedilarpımsal tersidir Buna goumlre hesaplamalarda kullanılan temel veriler farklı oldukla-rından oumltuumlruuml para birimlerin değerlerinin yuumlzdelik değişimleri farklı olur

Alıştırmalar

1 Paranın depresyonu (yıpranması) kavramını accedilıklayınız

2 Devaluumlasyon nedir

3 Paranın yuumlkselmesi (apresyonu) kavramını accedilıklayınız

4 Revaluumlasyon nedir

5 Bir guumln zarfında euro dolar kuru 145rsquoten 153rsquoe değişmiştir Euronun değişimini (eu-ronun yuumlkselişini) yuumlzdelerle hesaplayınız doların değerinin yuumlzde değişimini de hesaplayınız

6 Denar euroya goumlre değerini ayarlayarak bir kere mahsus olmak uumlzere 615rsquoten 90rsquoa de-ğer değiştirmiştir Nasıl değişim soumlz konusudur ve yuumlzde kaccediltır

7 İsviccedilre frangı euroya goumlre 4 değer kazanmıştır Oumlnceki kur EURCHF 133 olduğuna goumlre şimdiki kur ne kadardır

26 Doumlviz Kavramı

Bir ulusal ekonominin yabancı devletlerdeki parası iki şekilde bulunuyorlar efektif ya-bancı paralar (foreıgn curency) ve yabancı para birimlerinde kısa vadeli alacaklar doumlvizler (foreign exchange)

Doumlviz kavramı etimolojik olarak yeni Latinceden daha doğrusu İspanyolca ldquodevi-sardquo (yabancı ccedilek onun birincil anlamı yabancı para biriminde oumldenecek fatura daha doğ-rusu yabancı devlette oumldenecek fatura) soumlzuumlnden kaynaklanır Genellikle doumlvizlere ldquoya-bancı piyasalara giriş biletlerirdquo ve onlar aynı zamanda yabancı devletlerde satın alım guumlcuuml-nuumln belgesidir denilebilir Bu demektir ki yabancı doumlviz sakini yabancı devletten alacaklı gibi yabancı para biriminde doumlvizlerin alıcısıdır Ya da oumlrneğin yerli sakin yabancı devlete

56

yaptığı ihracatın karşılığı olarak doumlviz olarak yabancı para biriminde değerli kağıt alır ve onunla yabancı devlette mal satın alabilir

Doumlvizler yabancı para biriminde kısa vadeli alacaklar gibi Finansal pazarın bir alanı gibi doumlviz piyasasında satılan ve satın alınabilen oumlzel bir maldır Doumlviz sahibine (yerli rezident-oturan) doumlvizler para değildir ccediluumlnkuuml onları ancak doumlviz pazarında sattıktan sonra ya da bir bankaya goumltuumlrduumlkten sonra yerli para elde edecektir

Doumlviz kavramı daha dar veya daha geniş anlamda tanımlanabilir

Dar anlamda doumlviz herhangi bir yoldan elde edilmiş kısa vadeli tuumlm yabancı paralar ve bu para cinsinden değer taşıyan menkul değerlere verilen isimdir Bu tanımı devletlerden ccediloğu benimsemiştir

Daha geniş anlamda doumlvizin tanımında dar anlamdaki tanımdan başka rezidentlerin (oturanların) sahip oldukları efektif yabancı parasal araccedillarını da iccedilerir Bunun accedilıklaması şu-dur Merkez bankanın yaydığı bu parasal araccedillar yerli rezidentlerin merkez bankasından ala-caklarıdır

Makedonya Cumhuriyetirsquonde doumlvizin geniş anlamdaki tanımı kabul edilmiştir Bu demek-tir ki yabancı devletlerde o devletin para birimi adında kısa vadeli alacaklar ve altın paralar hariccedil tuumlm yabancı efektif parasal araccedillar doumlviz sayılır

Doumlvizler yabancı uumllkelere oumldeme yapmaya yarayan her ccedileşit araccediltır Bu anlamda yazılı parasal araccedillar konvertibl para rejimlerinde doumlviz olarak kullanılırlar Doumlviz kelimesinin ge-niş anlamda kullanılışında oumlzellikle bankacılık uygulamalarında nakit yabancı paralara karşılık olarak bu gibi para yerine geccedilen oumldeme araccedillarına da doumlviz denmektedir Bu tanımdan hareket ederek siyasi - ekonomi accedilısından serbest ve bağlı doumlvizler olmak uumlzere iki gruba ayrılıyorlar

Serbest doumlvizler diğer devletlerin paralarına serbestccedile ve kolaylıkla ccedilevrilebilen doumlviz-lere konvertibl doumlviz ve yapılan bu işleme konvertibilite denir Uluslararası işlemlerde genelde kullanılan doumlviz konvertbil doumlvizdir Bir uumllkenin parası diğer bir uumllkenin parasına duumlnyanın her yerinde serbest bir şekilde ccedilevrilebiliyorsa o milli para iccedilin ldquotam konvertiblrdquo denir Dolayısıyla Konvertibl olan milli paralar uluslararası oumldeme aracı olarak kullanılırlar

Bağlı doumlvizler yabancı devletlerde yabancı oumldeme araccedillarıyla kısa vadeli alacaklar Bun-lar sadece anlaşma uumlzere yapılan oumldeme ccedileşitleriyle sağlanabilir Bağlı doumlvizlerin sahipleri ta-rafından kullanılışı sınırlıdır Bunlar genellikle konvertibil olmayan zayıf yumuşak ve klirink doumlvizlerdir

57

Birinci accedilıdan konvertibl olan milli paralar uluslararası oumldeme aracı olarak kullanılırlar Ccediluumlnkuuml konvertibl bir paraya sahip olan bir uumllke bunu istediği anda diğer bir paraya kolaylıkla ccedilevirebilir Parası konvertibl olan uumllke duumlnya ticaretinde bir Merkez Bankası gibi rol oynar ve oumldeme aracı olarak emisyonda bulunmak suretiyle bu işten kar bile elde edebilir Konvertibi-lite sonuccedilta bir uumllkenin ulusal parasının değişim aracı olma hesap birimi olma borccedil oumldeme ve birikim aracı olarak kullanılma gibi işlevlerini uumllke sınırları dışında da gerccedilekleştirmesi-dir Doumlvizlerin boumlyle bir oumlzelliği yoksa onlara bağlı doumlvizler denilir Aslında bunlar konvertibil olmayan alacaklardır Boumlyle doumlvizler uluslararası ticaret ve sermaye akımlarının gerccedilekleştiril-mesinde serbest olarak kullanılamıyorlar ancak iki devlet arasında yapılan anlaşmalara goumlre oumldemeler yapılabilir Aslında bu doumlvizlerin serbest akımı yoktur ve birinden diğerine geccedilme imkanı da yoktur

Doumlnuumlştuumlrme yapma (konverziyon) kabiliyeti accedilısından doumlvizler konvertibil konvertibil olmayan ve klirink olabilirler Konvertibil doumlvizler yabancı para biriminde olan kısa vadeli ve oumlnceden belirlenen pariteye goumlre farklı doumlvizlere ya da efektif parasal varlıklara doumlnuumlştuumlrme imkanı olan alacaklardır Konvertibilite tam veya sınırlı olabilir

Halbuki başka doumlvizlerle ya da yabancı efektif parasal varlıklarla doumlnuumlştuumlruumllmesi muumlm-kuumln olmayan doumlvizler konvertibil olmayan doumlvizler soumlz konusudur

Klirink doumlvizler alıcındashverici ikili anlaşmalarda kliring yoluyla oumldemelerde rastlanılır Bu gibi alış verişte pozitif saldo ancak negatif saldoda olan partnerin devletinde satın alımla den-gelenebilir Pozitif saldoyla gerccedilekleşen doumlvizleri uumlccediluumlncuuml bir uumllkede takaz yaparak dengeleme imkanı yoktur

Teslimat vadesine goumlre doumlvizler spot ve vadeli (temrinli) gibi iki cinsten olabilirler

Spot doumlvizler anında teslim kaydıyla yatırılan doumlvizlerdir Bu durumda adı geccedilen doumlvizin cinsine bağlı kullanma rejimine dikkatli olunması zorunluluğu vardır

Vadeli doumlvizler anında yatırılmış doumlvizler değildir Bu gibi doumlvizlerin teslimi iccedilin oumln-ceden yapılan soumlzleşmeye goumlre belli bir vadenin geccedilmesi gerekir Bu gibi doumlvizlerin satın alışı genellikle kur dalgalanmalarının risklerinden korunmak iccedilin ya da sadece spekuumllasyon amaccedillı kur farklarından kazanmak iccedilin yapılabilir

Alıştırmalar

1 Dar ve geniş anlamda doumlviz kavramını tanımlayınız

58

2 Doumlviz ve ulusal para birimi arasındaki farkı accedilıklayınız

3 Konvertibilite accedilısından doumlvizler ayrılışı

4 Spot ve vadeli doumlvizleri accedilıklayınız

5 Klirink doumlvizler kavramı ve oumlnemi

27 Doumlviz Kurun Kavramı ve Aslı

Doumlviz kuru bir birim yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatıdır

Buna goumlre her yabancı para ya da yabancı para cinsinden kısa vadeli her alacak ulusal piyasada doumlvizdir ve kendi fiyatı yani doumlviz kuru vardır

Doumlviz kurunu doumlviz (para birimi) paritesinden ayırmalıyız ccediluumlnkuuml doumlviz paritesi ulusal paranın değeri daha geniş ortak payda (deminator) altın herhangi bir istikrarlı para vb ile karşılaştırarak resmi olarak tespit edilir Normal şartlarda doumlviz kuru taban gibi doumlviz paritesi etrafında seyreder

Aslında doumlviz kuru ulusal paranın yabancı paraya goumlre fiyatıdır ya da diğer soumlzlerle bir birim yabancı para iccedilin ulusal paradan kaccedil birim para verilmelidir anlamındadır Kurun bu şekilde ifade edilişine Kurun bu şekilde ifade edilişine doğrudan kotasyon sistemi denir

Dolaylı kotasyon sistemi ise sadece İngiltere devletinde (ve onun bir zamanki kolonileri olan devletlerde) uygulanmaktadır Burada doumlviz kuru bir yerli para birimi iccedilin yabancı para biriminden kaccedil birim oumldenmesi gerekir biccediliminde tanımlanır1

Nominal doumlviz kuru enfl asyon katsayısını hesaba koymadan yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatına denir

Reel doumlviz kuru nominal kurların iccedil ve dış enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmış şekline denir Bu ise ccedilok oumlnemlidir ccediluumlnkuuml enfl asyon para biriminin değerini yitirir yani onun satın alım guumlcuumlnuuml azaltır Nominal kurun enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmasıyla adı geccedilen para biriminin satın alım guumlcuumlnuumln daha reel değeri goumlruumlnuumlr

1 Doğrudan hesaplama yabancı para biriminin 1 ya da 100 birimi ulusal para birimiyle ifade edilir (1 EUR = 61 denar) Dolaylı hesaplamada ise yerli para biriminin 1 ya da 100 birimi yabancı para birimi ile ifade edilir (100 denar = 180 EUR)

59

Efektif doumlviz kuru uumllkenin ticari ilişkide bulunduğu uumllkelerin paralarındaki değişmele-rin uumllkenin doumlviz kurlarına yansıtılması yoluyla elde edilir

Efektif paraların sahte olma imkanı olduğundan bankalar pratikte efektif doumlviz kurunu oumlzel olarak goumlsteriyorlar Efektif doumlviz kuru genellikle doumlvizlerin kurlarından daha alccedilaktır Bunun nedeni sahte olma riski ve devletten devlete transfer harcamalarıdır

Uluslararası her işlem iki satın alımla yapılır Uluslararası alışverişte malın satın alınması ve para biriminin satın alınmasıdır Bunu şu şekilde izah edebiliriz X devletinden ithalatccedilı Y devletinden ithal yaparsa o Y devletinde sadece mal değil para birimi de satın almak mecbu-riyetindedir Bu şekilde şu sonuca varıyoruz Uluslararası alışverişte sadece malların fiyatları değil ulusal para birimlerinin de fiyatları oluşmaktadır

Bunu şu bağıntılarla goumlsterebiliriz

a) İhracat iccedilin Ei = Qi pi T yani bir malın ihracat değeri mal miktarı yabancı doumlviz piyasasındaki fiyatı ve yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

b) İthalat iccedilin Ui = Qi pi T(1+ti) yani bir malın ithalat değeri mal miktarı satın alındığı pazar fiyatı ve ithalat masrafl arıyla (1 + ti) arttırılmış yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

Bazı durumlarda doumlvizler ve para birimlerinin kurları uluslararası para kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar

Uluslararası para kuru bir devletin efektif paraları diğer bir devletin efektif parasıyla de-ğiştirme fiyatıdır

Her para biriminin bir paritesi vardır yani kur fiyatı vardır ve bu fiyat uluslararası para kurunun dayanış noktasıdır

Doumlviz kurları doumlviz piyasasında doumlviz arz eden ve doumlviz talep edenlere goumlre oluşur Douml-vizlere arz ve talep oumldeme bilanccedilosu durumunu ifade etmektedir Oumldeme bilanccedilosundaki accedilık (defitsit) doumlviz talebi doumlviz arzından buumlyuumlktuumlr demektir Oumldeme bilanccedilosundaki fazla (sufitsit) ise doumlviz arzı doumlviz talebinden buumlyuumlktuumlr demektir

Alıştırmalar

1 Doumlviz kuru nedir

60

2 Doğrudan kotasyonu accedilıklayınız

3 Dolaylı kotasyonu accedilıklayınız

4 Nominal reel ve efektif doumlviz kuru kavramı ve anlamı

5 Uluslararası para kuru nedir

28 Spot İşlemler

Doumlviz piyasasında temel işlem spot soumlzleşmesidir

Bir para birimini diğer para birimiyle alış veya satışının işlem tarihinde belirlenen fiyat uumlzerinde en ccedilok iki iş guumlnuuml sonrasında gerccedilekleştirildiği işleme spot işlemi denir Bu esnada işlemin yapılması iccedilin gereken evraklar hazırlanır ve efektif transferin yapılmasına imkan sağ-lanmış olur

Spot işlem bir para biriminin diğer para birimiyle anında değiştirmedir Spot doumlviz kuru anında geccedilerlilikte olan kur ya da soumlzleşmeli pazar fiyatıdır Spot işlemler aslında oumldemenin hemen yapılacağı anlamında değildir Uluslararası anlaşmaya goumlre oumldeme tarihi ya da değer tarihi (settlement date value date) tarafl ar arası alış verişin yapıldığı guumlnden (second busines day aft er the ldquodeal daterdquo or ldquotrade daterdquo) iki iş guumlnuuml sonrasına kadar gerccedilekleşebilir İki guumln vade her iki taraf (arz eden ve talep eden) iccedilin gereken evrakların hazırlanması banka hesaplarının dengelenmesi gibi işlemlerin yapılması iccedilin yeter bir suumlredir

Muumlstesna Kanada doları (CAD) ve ABD doları (USD) arasındaki spot işlemlerin vadesi alış veriş yapıldığı guumlnden sonra sadece bir guumlnduumlr (ccediluumlnkuuml Kanada ve ABD aynı zaman dilimin-de bulunuyorlar)

Tekrarlayalım spot işlem alış veriş guumlnuumlnden sonra iki iş guumlnuuml geccedilerlidir

Spot işlemler bir para birimin diğer bir para birimiyle doğrudan alış verişidir ve bu alış veriş yapıldığında para transferi iki devlet arasında geccedilerli olan oumldeme sistemleri doğrultusun-da gerccedilekleşir

Tipik bir spot işlem oumlrneği New Yorkrsquotan bir A bankası 1 haziranda Frankfurtrsquotan bir B bankası ile euro karşılığı 10 milyon dolar satmak iccedilin kur fiyatı 3 haziran oumlrneğin bir dolar iccedilin 0785 EUR olmak uumlzere anlaşma yapılmıştır 3 haziranda B bankası Almanyarsquoda A bankasının hesabına 785 milyon EUR oumldeyecek A bankası ise aynı guumlnde ABDrsquode B bankasının hesabına 10 milyon dolar oumldeyecektir Her iki tarafın bankalara parayı oumldemekle işlem tamamlanmış olur

61

Doumlviz pazarında her para birimi iccedilin iki fiyat vardır ndash fiyatlardan biri belli bir para bi-rimini satıcının satmak istediği fiyat ve ikincisi satın alanın satın almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru) Pazar sunucusundan her iki fiyatı sunması beklenilir bununla (making a market) pazarı oluşur

Spot kurlarda kurların kotasyonunun bilinmesi oumlnemlidir Daha doğrusu doğrudan ve dolaylı kotasyon Avrupa ve Amerika koşulları vb

Bir para biriminin fiyatı gibi bir doumlviz kurunun diğerine goumlre kotasyonu iki şekilde gouml-ruumllmektedir ulusal para biriminin yabancı para birimine goumlre değeri doğrudan kotasyondur (oumlrnek ABDrsquode dolar ya da Makedonya iccedilin denar) yabancı para biriminin yerli para birimine goumlre değeri dolaylı kotasyondur (ABDrsquoden iseniz dolar ya da Makedonya iccedilin denar)

ldquoAmerika koşullarırdquo (Amerikan terms) ifadesi ABDrsquode bulunan birine goumlre kotasyon Bu ise dolar iccedilin şu demektir yabancı para biriminin değişken değerinin dolar karşılığının seyridir (oumlrnek 127 dolar bir EUR iccedilin)

ldquoAvrupa koşullarırdquo ifadesi Avruparsquoda bulunan birine goumlre kotasyon Bu ise dolar iccedilin şu demektir yabancı para biriminin bir dolar iccedilin değişken seyridir (ya da $1 iccedilin EUR 0785)

1978 yılında doumlviz pazarı kuumlresel pazara entegre olduğunda kolaylık olmak iccedilin ABDrsquodeki pazar pratiği de Avrupa duumlzeniyle uyum sağlamak iccedilin komisyoncuların girişimi uumlzere değişti-rildi

Bu şekilde OTC pazarı Avrupa şartlarına goumlre her devlette doları hemen de her para biri-mine goumlre seyrini belirlemektedir (yani yabancı paranın 1$ karşılığındaki değeri) Buna goumlre hemen de her zaman dolar taban para birimi olarak (base kurrence) kabul edilmiştir Bir birim ($1) yabancı para biriminin değişen değeriyle satın alınır ya da satılır

Bu genel kuraldan istisnalar da olabilir yani duumlnyada tuumlm OTC pazarlarında İngiliz sterli-ni temel para birimi gibi hala seyretmektedir Dolayısıyla duumlnyanın her yerinde piyasa yapıcıları ve komisyoncuları funta sterlini (GBP) bir sterline x dolar kurunu belirliyorlar İngiltere 1971 yılına kadar ondalık para birimi sistemini kabul etmemişti Bu durumda değişen miktarlarda yabancı para birimlerini sterline ccedilevirme ve pazarlama matematiksel accedilıdan daha kolay yapıla-bilirdi GBP ile tarihsel bağları olan bazı para birimleri (İrlanda Avustralya ve Yeni Zelanda para birimleri) OTC pazarında sterlin gibi kur belirliyorlar (bir birim iccedilin değişik miktar Euro)

Duumlz ve dolaylı kur belirleme birbirinin ccedilarpımsal tersidir ve biri diğeriyle kolay belirle-nebilir

62

Her doumlviz işlemi iki para birimi kapsamında yapılır Burada oumlnemli olan para birimlerin-den hangisi temel para birimidir (Base Currency kotasyonlu sabitleşmiş) ve hangisi koşullan-mış para birimidir (Terms Currency) ya da hesaplanan (counter currency)

Genel olarak iki para birimi arasındaki doumlviz kuru (Exchange rate) oumlrneğin USD ve JPY arasında doumlviz kuru USDJPY biccediliminde yazılır Burada 1 USDrsquoa karşılık JPY sayısı anlamında-dır JPYUSD ise 1JPY karşılığında USD sayısını ifade eder

Para biriminin sol tarafında yazılan kod temel para birimidir ve daima birimdir

Para biriminin sağ tarafında yazılan kod değişken para birimine aittir (koşullu hesapla-nan birim ya da kur ayarlı - kotasyonlu para birimi) Kur fiyatına goumlre bu paranın birim sayısı temel paranın bir birimine eşittir

Temel para birimi daima sol taraft a yazılır Oumlrneğin NOKDKK oranı bir NOK birimine karşılık gelecek DKK sayısı

1 CHF DKK kuru 41235rsquotir 1 milyon CHF satın alıyorsak kaccedil DKK oumldemeliyiz 41235 sayısı 1 CHF iccedilin DKK sayısını goumlsterir Buna goumlre 4 123 500 DKK oumldemeliyiz

1 000 000 4 1235 = 4 123 500

2 Şimdi tersine DKK 1 milyon iccedilin ne kadar CHF gerekir hesaplayalım (CHF DKK kuru 41235) Bu durumda CHF 242 51243 elde edilir

1 000 000 41235 = 242 51243

Değişen para birimi pay temel para birimi ise paydadır Pay arttığı durumda temel para birimi artar yani kuvvetleşir ndash pahallılaşır Pay azaldığı durumda temel para birimi zayıfl aşır ve daha ucuz duruma gelir Soumlzluuml ifadede temel para birimi daima ilk soumlylenir

DolarYen (USDJPY) kur ayarında dolar temel para birimi ve paydadır yen ise değişken ve paydır Para birimlerden bazılarının takma adları da vardır ( Paunt ndash Cable İsviccedilre frangı ndash Swissie Avustralya doları ndash Aussie) GBP USD kurunun takma adı Cablersquodir

Piyasa yapıcısının (marketndashmaker) kur ayarlamaları daima onun goumlrme noktasındandır (satın aldığı temel para biriminden alış fiyatı ve temel para birimi iccedilin satış fiyatı)

Piyasa yapıcısına USDCHF kuru sorulunca 14975 ndash 85 biccediliminde cevaplayabilir Bu-nunla CHFrsquoin alış fiyatı bir dolara 14975 ve satış fiyatı bir dolar iccedilin 14985 olduğunu anlı-yoruz Genellikle piyasa yapıcısı kur ayarını 75 ndash 85 aralığında ifade eder ccediluumlnkuuml buumlyuumlk sayı (ldquobig figurerdquo) 149 olduğunu muumlşterinin bildiğini var sayar Kurun alış fiyatı daima sol taraft an ilkidir ve satış fiyatından daima kuumlccediluumlktuumlr (sağ taraft akinden) Aralarındaki farka marj ya da bant (spread) denir

63

Alış ve satış kur fiyatlarının ayarı doumlrt ondalık basamağı kesinliğiyle ifade ediliyorlar bu ise değişken para biriminin 1rsquoin yuumlzde biridir yani 110 000rsquodir ve ona pips denir Mutlak değe-ri kuumlccediluumlk olan bazı para birimlerinde oumlrneğin yenin kur ayarı iki ondalık basamağı kesinliğiyle ifade ediliyor ve burada pips değişken para biriminin 1100rsquouumlduumlr Her para piyasasında pips ya da tik fiyat değişiminin en kuumlccediluumlk değeridir

Alıştırmalar

1 Spot işlem nedir

2 Spot doumlviz kurunu accedilıklayınız

3 Temel para birimi nedir koşullanmış para birimi nedir

4 Dolar ile 100000 EUR satın alıyoruz (kur EURUSD 144) Kaccedil dolar oumldemeliyiz

5 Euro ile 100000 USD satın alıyoruz (kur EURUSD 146) Kaccedil euro oumldemeliyiz

29 Spot Kurları Nasıl Ayarlanır

Euro bazında (EUR) kur ayarlaması yapıldığında bankalar arası piyasada birccedilok para birimlerinin kur ayarları 1 EUR karşılığı para birimlerinin farklı miktarları goumlsterilme pratiği vardır Diğer soumlzlerle bir ya da iki para birimi olduğunda EUR temel para birimidir

Benzer şekilde EUR dışında bankalar arası soumlzleşmeye goumlre tuumlm para birimlerinin USD bazında kur ayarlamaları yapılır

Herhangi iki konvertibil para birimi arasında diling yapılabildiğine rağmen oumlrnek EURrsquoa goumlre NZDrsquoya da JPYrsquoa goumlre CHF tarihsel olarak bankalar arası piyasada en ccedilok kur ayarı USDrsquoye goumlre yani dolar bazında kur ayarlamaları yapılır Bununla paralar arası birccedilok kur ayarı atlatıl-mış olur USD olmayan herhangi iki para biriminin doumlviz kurları dolar bazından hesaplanabilir

USD dışında herhangi iki para biriminin kurları ccedilapraz kur (cross-rate) diye ifade edilir

Guumlnuumlmuumlzde ccedilapraz kur denilince birden fazla ulusal paranın aralarındaki kurların bir anahtar para cinsinden hesaplaması anlaşılmaktadır Oumlrnek GBP SEK kuru EURGBP ve EURSEK kurlarını kullanarak hesaplanabilir

64

Ccedilapraz kurlarla pazarlama (Cross Rate Trading) paraların değiş tokuşu gibi algılanabilir ve bu pazarlamada dolar ne temel ne de değişken para birimi değildir Oumlrnek EURJPY kurun-da EUR ndash temel JPY- değişken para birimidir

Piyasada işlem yapan bankalar ve diğer ilgili kurumlar tarafından verilen kotasyonlar biri alım (bid rate) diğeri ise satım (ask rate) olmak uumlzere ccedilift tarafl ıdır Alış kurları satış kurla-rından daha duumlşuumlktuumlr Yani banka ve diğer aracı kurumlar doumlvizi duumlşuumlk fiyattan alıp yuumlksek fiyattan satmaktadırlar

3 Banka USD doları 14375 CHF satın alır ve USD doları 14385 CHF satıyorsa USDCHF kursu 1437514385 şeklinde seyredecektir

Kotasyonun iki tarafındaki farkı marj (ldquospreadrdquo) olarak adlandırılır

Piyasada doumlviz kurlarına ilişkin verilen alış ve satış kotasyonlarında alış kotasyonları her zaman satış kotasyonlarından daha duumlşuumlk olarak gerccedilekleşir Alış (bid) ve satış (off er) kotasyon-ları arasındaki farkı goumlsteren bandın (spreat) geniş veya dar olması kimin alım-satım işlemi yaptığına ve alım-satım yapılan miktarın buumlyuumlkluumlğuumlne goumlre değişim goumlstermektedir

Ccedilarpımsal ters kurlar da vardır Temel para birimi sayılan herhangi para biriminin ko-tasyonu değişken para birimi olarak kendi ccedilarpımsal tersi biccediliminde kendine denk kotasyona doumlnuumlştuumlruumllebilir

4 1437514385 kotasyonunda USDCHF kuru CHFUSD biccediliminde (114375) (114385) kotasyonuna doumlnuumlştuumlruumllebilir Değerler ne olursa olsun kuumlccediluumlk sayı solda yazılarak kotasyonun her iki tarafı birbirinin tersidir 0695206957 İkinci durumda bandın solundaki fiyatla banka değişken para birimine goumlre temel para birimini satın alıyor sağdaki fiyatla da satıyor

Kurlar genellikle centin 1

100 (yuumlzde biri) biccediliminde kotlanıyorlar

Bu değer puan ya da pip diye adlandırılır Oumlrnek USDCHF kuru genel olarak doumlrt ondalık basamaklı sayı -1437514385 biccediliminde ifade edilir Ondalık basamaklar sayıların buuml-yuumlkluumlğuumlne bağlıdır USDJPY durumunda anlaşmaya goumlre 2 ondalık basamağı kullanılır USDJPY kotasyonu 1050510515 burada 15 puan 015 JPY demektir ve her iki durumda 1 puan kotlanmış ondalık sayının son basamağındaki birimdir

5 USDCHF kurunda pazarlama yaparken USD 1 000 000 miktarında bir puanın değeri CHF 100 olur Diğer soumlzlerle doumlviz kuru bir puan değiştiğinde pazarlamanın kacircr ya da zararı CHF 100rsquoduumlr Yani

1 000 000 CHF 00001 = CHF 100

Puan (point) doumlviz kurunun ondalık basamaklarının son basamağındaki birimdir Doumlviz kuru genellikle puanlarla ya da pipslerle kotlanıyorlar en sık son iki basamaktaki sayı ile ifade edilir Buumlyuumlk rakamlar (big figure) puanlar hariccedil doumlviz kurunun ilk kısmıdır

65

Alıştırmalar

1 Alış - satış kurunu accedilıklayınız 2 Ccedilapraz kur nedir3 Pips nedir4 Мarj - band (spread) nedir5 EURUSD kuru 144 ndash 146rsquodır Bunun ccedilarpımsal ters kurunu goumlsteriniz

210 Kacircr ve Zarar

Her bankanın amacı kacircr sağlamaktır Bu nedenle paralarla alış satış işlemleri yaparken da-ima temel para birimini değişken para birimine goumlre muumlmkuumln olduğu kadar en pahalı satmak ve aynı parayı en ucuz fiyata almayı amaccedillar

1 USDCHF kuru 14831485bdquoтirAlış veriş 1 Banka 14830 kuruyla CHF karşılığında USD 1 000 000 satın almıştırAlış veriş 2 Banka 14855 kuruyla CHF karşılığında USD 1 000 000 satmıştır Para akışı nakit (cash fl ows) USD CHF Alış veriş 1 + USD 1 000 000 - CHF 1 483 000Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + CHF 1 485 500Net sonuccedil + CHF 2 500Banka CHF 2 500 kacircr yapmıştır uml

2 Spot USDCHF 15835 durumunda CHF para birimiyle USD 1 milyon satın alıyoruz Daha sonra aynı guumln spot kotasyonu USDCHF 15836 olduğu an USD 1 milyon satıyoruz Bununla 1 puan kacircr elde ediyoruz

Para akışı nakit (cash fl ows) USD CHF Alış veriş 1 + USD 1 000 000 - CHF 1 583 500Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + CHF 1 585 600Net sonuccedil + CHF 100

66

Buna goumlre USDCHF kotasyonunda dil ile (anlaşmayla) USD 1 milyonda 1 puanın değeri CHF 100rsquoduumlr

3 USDJPY spot kuru 11835 durumunda JPY para birimiyle USD 1 milyon satın alıyo-ruz Daha sonra aynı guumln spot kotasyonu USDJPY 11836 olduğu an USD 1 milyon satıyoruz Bununla 1 puan kacircr elde ediyoruzPara akışı nakit (cash fl ows) USD JPYAlış veriş 1 + USD 1 000 000 - JPY 118 350 000Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + JPY 118 360 000Net sonuccedil + JPY 10 000Buna goumlre USDJPY kotasyonunda dil ile (anlaşmayla) USD 1 milyonda 1 puanın değeri JPY 10 000rsquodir

Alıştırmalar

1 EURCHF kuru 132 ndash 134rsquotuumlr Bu kura goumlre verilen bantta 20 000 CHF alınmış ve satılmışsa ne kadar kacircr elde edilmiştir

2 Bir kişi satış fiyatı 6170 MKD kuruyla 10 000 EUR satın almıştır Bir vakit geccediltikten sonra alış fiyatı 6140 MKD kuruyla 10 000 EUR satmıştır Net sonuccedil nedir

211 Pozisyonda Tutunma

Pazarcı her an nasıl pozisyonda olduğunu bilmesi gerekir (pozisyonda tutunma ndash posi-tion keeping) ndash bir guumlnde yaptığı pazarlama işlemlerinin net sonucu (bilanccedilosu) Bulunduğu noktada kazanccedillı olup olmadığını tespit etmek iccedilin o geccedilerlikte olan anındaki doumlviz kuruyla karşılaştırma yapmak iccedilin pazarcı aynı zamanda kendi net ndash pozisyonunun ortalama doumlviz kurunu bilmesi gerekir Pazarcı guumln sonunda pozisyonunu kapamak mecburiyetinde değildir fakat boumlyle durumda o ana kadar pozisyonunun marking to market durumunu yani gerccedilek-leşmeyen kazancı ya da zararı hesaplamalıdır Bunu belirtmek iccedilin guumln sonunda sanki pozis-yonu kapatmış olduğunu sayarak geccedilerlilikte olan kur (current rate) ile kazancın ya da zararın ne kadar olduğunu hesaplamakla belirtir

1 USDCHF ile 3 spot pazarlama şu şekilde yapmışsınız

67

USD 4 milyon 16723 kuruyla satışUSD 1 milyon 16732 kuruyla alışUSD 5 milyon 16729 kuruyla alışPiyasa USDCHF 16730 kuruyla kapanmıştır

Pozisyonunuz nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru nedir Sizin net kazancınız ya da zararınız ne kadardır

USD CHF

- 4 000 000 kur 16723 + 6 689 200

+ 1 000 000 kur 16732 - 1 673 200

+ 5 000 000 kur 16729 - 8 364 500

Pozisyon + 2 000 000 - 3 348 500

Ortalama kur 6742510000002

5003483

- 2 000 000 kur 16730 + 3 346 000Zarar - 2 500

Pozisyon fazla alınmış olan USD 2 milyondur Ortalama kur 167425 zarar CHF 2 500 Zarar USD konvansiyonu spot kur ile USD bazında da goumlsterilebilir ya da karşılığındaki spot kuruyla herhangi bir para birimiyle goumlsterilebilir

Alıştırmalar

1 Saat 10rsquoda EURNOK spot kuru 744rsquotuumlr (kotasyon 100 NOK iccedilindir) Bu kur ile NOK 500 000 satıyoruz saat 14rsquote ise EURNOK kuru 766 olur Saat 19rsquoda yeni bir duumlzenleme ile EURNOK kuru 735 oluyor Her iki terminde kacircr ya da zararı goumlsteriniz

2 USDCHF ile 3 spot alışveriş şu şekilde yapılmıştır

68

USDCHF 1041 kuruyla CHF 100 000 satın alınmıştırUSDCHF 1038 kuruyla CHF 200 000 satılmış USDCHF 1039 kuruyla CHF 300 000 satın alınmıştırPiyasa USDCHF 1045 kuruyla kapanıyor

Pozisyon nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru ne kadardır Net kazanccedil ya da zarar ne kadardır

3 USD alış fiyatı 4950 satış fiyatı ise 5000rsquodır 200 USD alım satımında kacircr ne kadardır

4 EURUSD 140 kuruyla USD ile 100 000 EUR satın alınmıştır Şimdiki kur EURUSD 123rsquotuumlr Euroları şimdi sattığımızda zarar ne kadardır

5 Saat 10rsquoda EURAUD 144 kuruyla 100 000 AUD satın alınmıştır Saat 12rsquode kur 145 saat 15rsquote ise 1437 olmuştur Kazanccedillı ccedilıkmak iccedilin Avustralya dolarları hangi anda satılmalıydı

212 Konuyu Pekiştirme Alıştırmaları

1 820permil altının safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade ediniz

2 W 724 altının safl ığını milyem (binde) biccediliminde ifade ediniz

3 W 1012 guumlmuumlşuumln safl ığını milyem (binde) biccediliminde ifade ediniz

4 Kuumltlesi 600 gram ağırlığında olan bir guumlmuumlş nesnede 480g saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln safl ığını

a) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

5 B 12 safl ığında bir altın nesnede 120g saf altın vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

6 Safl ığı 750permil olan bir guumlmuumlş nesnede 22g saf guumlmuumlş vardır Eşyanın toplam kuumltlesi ne kadardır

7 Safl ığı 900permil olan 500g altından ve safl ığı 850permil olan 750g altından yapılmış bir altın nesnenin safl ık derecesini hesaplayınız

69

8 100g saf guumlmuumlş 100g bakır ve safl ığı 204 peniveyt olan 500g guumlmuumlşten yapılmış olan eşyanın safl ığını (arılık derecesini) hesaplayınız

9 Dolarfrank kursu bir guumlnde 121rsquoden 123rsquoe değişmiştir Doların değişimini (artışını) yuumlzde olarak ifade ediniz Aynı zamanda frankın değişimini yuumlzdelerle ifade ediniz

10 Denar dolara karşı değerini kademeli olarak 615rsquoten 75rsquoe değiştirmiştir Nasıl değişim soumlz konusudur ve bunun yuumlzdesi ne kadardır

11 EUR İsviccedilre frangına goumlre 5 değer kazanmıştır (oumlnceki kur EURCHF 133) Şimdiki kur ne kadardır

12 Saat 10rsquoda spot kur EURUSD 144rsquotuumlr Bu kurla USD 5000 satıyoruz Saat 14rsquote EURUSD 146 ve saat 19rsquoda kur EURUSD 143 olmuştur Her iki terminde kacircr ya da zararı hesapla-yınız

13 EURAUD ile 3 spot pazarlama şu şekilde yapılmıştır

1622 kuru ile AUD 100 000 satın alınmıştır1632 kuru ile AUD 300 000 satılmıştır 1641 kuru ile AUD 600 000 satın alınmıştırPazar 1635 ile kapanmıştır

Pozisyonunuz nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru ne kadardır Net kacircr ya da zarar ne kadardır

70

Konu Oumlzetleri

Altın guumlmuumlş platin cıva rutenyum rodyum osmiyum paladyum ve iridyum element-leri kıymetli metallerdir

İki ya da daha ccedilok metalin karışımına filiz denir Filizdeki kıymetli metalin kuumltlesine saf kuumltle de denir filizin kuumltlesine ise toplam kuumltle de diyeceğiz

Bir filizde bulunan kıymetli metalin kuumltlesi ve filizin toplam kuumltlesinin oranına kıymetli metalin safl ık (arılık) derecesi ya da safl ığı denir Kıymetli metalin safl ığı milyem ve İngiliz usuluuml olmak uumlzere iki şekilde ifade edilmektedir

Filizin toplam kuumltlesini m saf kuumltleyi mb ve safl ık derecesini f ile işaret edersek kıymetli metallerin safl ık (arılık) derecesini şu formuumllle ifade edebiliriz

1000mmf b permil

İngiliz usuluuml ile ifade edildiğinde altının safl ık derecesi karat (ayar) guumlmuumlşuumln safl ık de-recesi peniveyt (guumlmuumlş ayarı) oumllccediluuml birimiyle ifade edilir

Safl ık derecesi 22 karat olan altına standart altın denir safl ık derecesi 222 peniveyt (guuml-muumlş ayarı) olan guumlmuumlşe standart guumlmuumlş denir Altın (guumlmuumlş) filiz standart altından (guumlmuumlş-ten) daha iyi ise onu B (ing Beter ndash daha iyi) ile standart oumllccediluumlden daha koumltuuml ise onu W (ing Worse ndash daha koumltuuml) işaretiyle işaretlenir

Para birimi bir devletin para sisteminin temel birimidir kanunla duumlzenlenmiş bir uumllke-nin değerlerinin temel oumllccediluumlsuumlduumlr

Uumllkede uumlretim verimliliğinin genel seviyesinin artması durumunda paranın resmi de-ğerinde değişme olmadığına rağmen ulusal paran biriminin iccedil piyasadaki alım guumlcuuml artar Bu duruma paranın değer kazanması (apresiyasyon) denir

Aksi takdirde paranın resmi değerinde değişme olmadan ulusal paranın iccedil piyasadaki alım guumlcuuml azaldığı duruma paranın yıpranması (depresyonu) denilir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak uumlzere duumlşuumlruumllmesine devaluumlasyon denir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yuumlkselmesine revaluumlasyon denir

71

Bir ulusal ekonominin yabancı devletlerdeki parası iki şekilde bulunabilir Efektif yaban-cı paralar ve kısa vadeli yabancı para birimleri cinsinden alacaklar ya da doumlvizler

Doumlviz kısa vadeli tuumlm yabancı paralar ve bu para cinsinden değer taşıyan menkul değer-lere verilen isimdir Metal altın paralar bunun haricindedir

Bu tanımdan hareket ederek siyaset - ekonomi accedilısından serbest ve bağlı doumlvizler olmak uumlzere iki gruba ayrılıyorlar Doumlnuumlştuumlrme yapma (konverziyon) kabiliyeti accedilısından doumlvizler konvertibil konvertibil olmayan ve klirink olabilirler Teslimat vadesine goumlre doumlvizler spot ve terminli gibi iki cinsten olabilirler

Doumlviz kuru bir birim yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatıdır Aslında doumlviz kuru ulusal paranın yabancı paraya goumlre fiyatıdır ya da diğer soumlzlerle bir birim yabancı para iccedilin ulu-sal paradan kaccedil birim para verilmelidir anlamındadır Kurun bu şekilde ifade edilişine doğru-dan kotasyon sistemi denir Dolaylı kotasyon sistemi ise sadece İngiltere devletinde (ve onun bir zamanki kolonileri olan devletlerde) uygulanmaktadır Burada doumlviz kuru bir yerli para birimi iccedilin yabancı para biriminden kaccedil birim oumldenmesi gerekir biccediliminde tanımlanır Nomi-nal doumlviz kuru enfl asyon katsayısını hesaba koymadan yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatına denir Reel doumlviz kuru nominal kurların iccedil ve dış enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmış şekline denir Efektif doumlviz kuru uumllkenin ticari ilişkide bulunduğu uumllkelerin paralarındaki de-ğişmelerin uumllkenin doumlviz kurlarına yansıtılması yoluyla elde edilir Efektif paraların sahte olma imkanı olduğundan bankalar pratikte efektif doumlviz kurunu oumlzel olarak goumlsteriyorlar Efektif doumlviz kuru genellikle doumlvizlerin kurlarından daha alccedilaktır ve bankalar bu kuru ayrıdan goumlste-riyorlar

Uluslararası her işlem iki satın alımla yapılır Uluslararası alışverişte malın satın alınması ve para biriminin satın alınmasıdır Bu şekilde şu sonuca varıyoruz Uluslararası alışverişte sa-dece malların fiyatları değil ulusal para birimlerinin de fiyatları oluşmaktadır Bunu şu bağın-tılarla goumlsterebiliriz

a) İhracat iccedilin Ei = Qi pi T yani bir malın ihracat değeri mal miktarı yabancı doumlviz piyasasındaki fiyatı ve yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

b) İthalat iccedilin Ui = Qi pi T(1+ti) yani bir malın ithalat değeri mal miktarı satın alındığı pazar fiyatı ve ithalat masrafl arıyla (1 + ti) arttırılmış yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

Bazı durumlarda doumlvizler ve para birimlerinin kurları uluslararası para kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar Uluslararası para kuru bir devletin efektif paraları diğer bir devletin efektif parasıyla değiştirme fiyatıdır

72

Bir para birimini diğer para birimiyle alış veya satışının işlem tarihinde belirlenen fiyat uumlzerinde en ccedilok iki iş guumlnuuml sonrasında gerccedilekleştirildiği işleme Spot işlem denir

Bu esnada işlemin yapılması iccedilin gereken evrakların hazırlanır ve efektif transferin yapıl-masına imkan sağlanmış olur

Spot doumlviz kuru anında geccedilerlilikte olan kur ya da soumlzleşmeli pazar fiyatıdır

Spot işlemler bir para biriminin diğer para birimiyle doğrudan değiştirilmesidir İşlem yapılınca her iki devletin oumldeme sistemleriyle paraların transferi gerccedilekleştirilir

Doumlviz pazarında her para birimi iccedilin iki fiyat vardır ndash fiyatlardan biri belli bir para biri-mini satıcının satmak istediği fiyat ve ikincisi satın alanın satın almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru) Spot kurlarda kurların kotasyonunun bilinmesi oumlnemlidir Daha doğrusu doğru-dan ve dolaylı kotasyon Avrupa ve Amerika koşulları vb

Doumlviz biriminin kotasyonu Bir para biriminin fiyatı gibi bir doumlviz kurunun diğerine goumlre kotasyonu iki şekilde goumlruumllmektedir ulusal para biriminin yabancı para birimine goumlre de-ğeri doğrudan ve yabancı para biriminin yerli para birimine goumlre değeri dolaylı kotasyondur

Her doumlviz işlemi iki para birimi kapsamında yapılır Burada oumlnemli olan para birimle-rinden hangisi temel para birimidir ve hangisi koşullanmış para birimidir (ya da hesaplanan para birimidir)

USD dışında herhangi iki para biriminin kurları ccedilapraz kur diye ifade edilir

Ccedilarpımsal ters kurlar da vardır Temel para birimi sayılan herhangi para biriminin ko-tasyonu değişken para birimi olarak kendi ccedilarpımsal tersi biccediliminde kendine denk kotasyona doumlnuumlştuumlruumllebilir

Puan doumlviz kurunun son ondalık basamağındaki birimdir

Pazarcı her an nasıl pozisyonda olduğunu bilmesi Bulunduğu noktada kazanccedillı olup ol-madığını tespit etmek iccedilin o geccedilerlikte olan anındaki doumlviz kuruyla karşılaştırma yapmak iccedilin pazarcı aynı zamanda kendi net ndash pozisyonunun ortalama doumlviz kurunu bilmesi gerekir Pa-zarcı guumln sonunda pozisyonunu kapamak mecburiyetinde değildir fakat boumlyle durumda o ana kadar pozisyonunun gerccedilekleşmeyen kazancı ya da zararı hesaplamalıdır Bunu belirtmek iccedilin guumln sonunda sanki pozisyonu kapatmış olduğunu sayarak geccedilerlilikte olan kur ile kazancın ya da zararın ne kadar olduğunu hesaplamakla belirtir

73

UumlSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER

31 Reel Sayılı Uumlsluuml Kuvvet Kavramı

Tabanı a doğal sayı tam sayı ya da rasyonel sayı olan uumlsluuml ifadelerin (kuvvetlerin) anlamı-nı artık biliyorsunuz Bunları bir daha hatırlayalım

1 Aşağıdaki işlemleri yapınız

a) 5043

32 xxx b) ))(( 2

121

21

21

yxyx v) 23

21

2509

Rasyonel uumlsluuml kuvvetlerin tanımı ve oumlzellikleri gereğince а) 12

2343

32

43

32 )50(50 xxxxx

yxyxyxyx 22 )()())(( 21

21

21

21

21

21

10821250

12

250

142504

3

23

21

b) c)

elde edilirŞimdi rasyonel sayılı uumlsluuml kuvvetler kavramını genişleterek reel uumlsluuml kuvvetler kavra-mını ve bazı temel oumlzelliklerini accedilıklamaya ccedilalışacağız

Her reel sayı x ve her pozitif sayı a iccedilin aşağıda sayılan oumlzelliklerle bir ax kuvveti bellidir

3

b) c)а)

I x gt 0 iccedilin n=1 iccedilin 1 x = n ise ax =

n

aaaa

ngt1 iccedilin

2 1

nx ise nx aa

3 nkx k ise n kx aa

4 x = c0 c1c2cnise а) a gt 1 iccedilin )1( 210210210 nnn cccccccccccc aaa b) 0 lt a lt 1 iccedilin nnn cccccccccccc aaa )1( 210210210

c) a = 1 iccedilin ax = 1 dir II x = 0 ise ax = 1 dir

III xlt0 ise ||

1x

x

aa

74

2 a) Reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerin yukarıdaki tanımı gereğince x gt 0 iccedilin 5-x ifadesinin an-lamı vardır ccediluumlnkuuml a = 5 gt 0 dır Halbuki (- 5)-x ifadesinin x gt 0 iccedilin anlamı yoktur ccediluumlnkuuml a = - 5 lt 0rsquodır

b) Her x R iccedilin 0-x ve 0x ifadelerinin anlamı yoktur ccediluumlnkuuml a = 0rsquodıra pozitif reel sayısının reel uumlsluuml kuvvetleri iccedilin şu oumlzellikler geccedilerlidir

1 xx ba za sekoe x ako i samo ako ba

2 Za sekoj x postoi edinstven stepen xa

3 yxyx aaa za sekoi yx

4 yxyx aa )( za sekoi yx

5 xxx baab )( za sekoe x

1 ax = bx eşitliği her х R iccedilin geccedilerli olması iccedilin ancak ve ancak a = b olmalıdır2 Her х R iccedilin bir tek ax kuvveti vardır3 Her хy R iccedilin ax middot ay = ax+y geccedilerlidir4 Her x y R iccedilin (ax)y = axy geccedilerlidir 5 Her x R iccedilin (ab)x = axbx geccedilerlidir

3 Reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerin tanımı ve yukarıdaki oumlzellikler gereğince

)()( 11

x

xxxxxx

x

bababaab

ba

13

elde edilir

4 Verilen işlemleri yapınız а) 3х4х b) 4z 2z c) (8х9y15z)(2х3y5z)

Ccediloumlzuumlm

а) 3х 4х = (3 middot 4)х = 12х b) zz

zz 22

424

13

c) zyxzyx

zyxzyx 5345

15

3

9

2

8)532()1598(

13

13

13

Alıştırmalar

1 Reel sayılı uumlsluuml kuvvet nasıl tanımlanır

2 Kuvvetlerle verilmiş olan işlemleri yapınız а) 2х2y b) 2х 4х c) 12х11х d) (2х5х)y

3 Verilen kuvvetleri karşılaştırınız

а) 3х ve 9х2 b) x

13

4 ve

x

13

4

75

4 Verilen eşitsizliklerde hangi sayı buumlyuumlktuumlr x yoksa y

а) 04х gt 04у b) 14х gt 14у c)

yx

13

13

2

3

2

3

5 Verilen işlemleri yapınız а) (2х + 3х)(2х - 3х) b) (5х - 5-х)2 c) (4х +1)3

32 Uumlstel Denklemler

Tanım 1 Tabanı 1rsquoden farklı pozitif bir reel sayı olan ve uumlssuumlnde değişken bulunan denklemlere uumlstel denklem denir

1 Oumlrnek olarak aşağıdakiler uumlstel denklemlerdir

24 82 3 xxx 493532 3 xx

ve 32

1

13

x

x

Birkaccedil ccedileşit uumlstel denklem ccediloumlzelim

I biccediliminden denklem

2 3x = 27 denklemini ccediloumlzuumlnuumlzVerilen 3x = 27 denklemini 3x = 33 biccediliminde yazarak verilene denk denklem elde edilir Bu

durumda pozitif reel sayı a tabanlı reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerde a gt 0 a ne 1 1 2x xa a ancak ve ancak x1 = x2rsquodir oumlzelliğinden yararlanarak 3x = 33 eşitliğinden x = 3 elde edilir Buna goumlre 3x = 27 denkleminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml vardır

ve bu ccediloumlzuumlm x = 3rsquotuumlr

3 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 16

14 x b) 15 x v)

125

64

4

5

13

x

2

4

14

13

x 055 x

3

5

4

4

513

13

x

244 x 0x 3

4

5

4

5

13

13

x

2x 3x

а) b) c)

76

II Af(x)+m=0 Agt0 Ane1 mlt0 biccediliminden denklemler

4 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 813 5 x b) 322 13 x v) 8132

x 45 33 x 513 22 x 433

2

x

45 x 513 x 42 x

1x 2x 2x

III biccediliminden denklemler

( )f xA t değişimiyle 2 0at bt c biccediliminde ikinci derece denklem elde edilir İkinci derece denklemin her ccediloumlzuumlmuuml iccedilin ( )f xA t uumlstel denklemini ccediloumlzuumlyoruz

5 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 082622 xx b) 024316 xx v) 278181122 xx

0826)2( 2 xx 0243)4( 2 xx 278181122

22 xx

smena tx 2 smena tx 4 smena tx 2 81 0232 tt 2712 2 tt

28 21 tt 12 21 tt 027122 tt

2282 21 xx 1424 21 xx 39 21 tt

13 2222 21 xx 0212 2222 21 xx 99 1

1

1 x 1

2

33 2 x

13 21 xx 02

121 xx 11 x 22 x

0862 tt

Alıştırmalar

1 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 729

19 x b)

10

2515

45

13

x v) 10001010

x

g) 064

125

5

4

13

x

d) 310104

xx |) 1296

814 x

а)

ccedil)

b)

d)

c)

e)

2 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) xx 1450 3216 b) 5052 x v) 064

125

5

4 5

1

13

x

g) x

x

13

8

2

4

125023

а) b) c) ccedil)

b) c)

b) c)

77

3 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 055625 xx b) 057449 xx v) 233 252 xx а) b) c)

4 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlza) 03343 24 xx b) 135215215 21 xx v) 12

24

14 12

1

x

x

x

а) b) c) 5 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 1224 xx b) 027343 5284 xx v) 4

410

2

9 2

2

x

x

c)b)a)

33 Logaritma Kavramı

Tanım 1 0 1 a R a a ve b R olsun xa b eşitliğini sağlayan x reel sayısına a

tabanlı brsquonin logaritması denir Bunu logax b şeklinde yazarız

Buna goumlre a gt 0 a ne 1 b gt 0 iccedilin

bxba ax log dir

Tanımdan doğrudan doğruya

ba ba log gerekirx sayısına logaritma değeri a sayısına logaritması tabanı b sayısına logaritması alı-

nan sayı denir

1 Tablodaki değerlerin doğru olup olmadıklarını yoklayınız

Kavramlar log2 8 = 3 log5(m + 3) = 2 4log 811

3

1

Logaritma 3 2 4

Logaritması tabanı 2 53

1

Logaritması alınan sayı 8 m + 381

1

2 a) 2

3log 9 2 ccediluumlnkuuml 3 9 b) 1

24

1log 2 ccediluumlnkuuml 4 4 2

2

c) 4

5log 25 4 ccediluumlnkuuml 5 25

78

3 Verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a)

4

1log2 b)

81

1log

3

1 v) 7

9

1 3log a) b) c)

a) 4

1

2

12

2

2 olduğuna goumlre 24

1log2 elde edilir

Yoklamasını yapalım 4

122 24

1log2

b) 81

1

3

14

13

olduğuna goumlre 4

81

1log

3

1 gerekir

Yoklama 81

1

3

1

3

14

81

1log

3

1

13

13

c) 71

9

1log 3

14 ccediluumlnkuuml

11

1477

13 3

9

13

dir

Yoklama 7

1

9

log 3

713

9

13

4 Hangi sayının 1

2 tabanına goumlre logaritması 4rsquotuumlr

4

1 1

2 16

13

olduğundan 1

2

1log

161 1

2 16

13

gerekir Demek ki aranılan sayı 1

16 dır

5 1

log 38

a olduğuna goumlre a tabanını belirtiniz

Logaritma işleminin tanımına goumlre 3 1

8a yani

3

3 1

2a 13

gerekir O halde

1

2a ol-

duğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Verilen tabloyu deft erinizde ccediliziniz ve doldurunuz

İfadeler log6 216 = 3 29

4log x

449log7

52log ba 2

15log25

Log değeriLog tabanıLog alınan sayı

79

2 Verilen logaritmaların değerini belirtiniz

a)

9

1log3 b) 010log 10 v) 3log3 g) 5log

5

1b) c)а) d)

3 Logaritma işleminin tanımından yararlanarak aşağıdakilerden x belirtilsin а)

2

1log3 x b) log x 36 = 2 c) logi x = 0 d) log x 125 = 5

4 Verilen ifadenin değerini belirtiniz

а) 2log 55 b) 3log2 55

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

а) 9log8log 32 b) 9

1log327log4

3

13

6 x in hangi değerleri iccedilin log 02 (x2 - x) ifadesinin anlamı vardır

34 Logaritmanın Kuralları

a gt 0 a ne 1 x gt 0 ve y gt 0 olsun

I Ccedilarpıma ait logaritmanın kuralları

yxxy aaa logloglog

İspat a = loga x ve β = loga y olsun O halde aa = x ve a = y elde edilir x gt 0 y gt 0 olduğuna goumlre xy gt 0 gerekir O halde loga xy ifadesinin de anlamı vardır Buna goumlre alogaxy = xy = aa middot a = aa+ = alogaX+logay yazabiliriz Oradan da loga xy = loga x + loga y elde edilir

I log2 6 = log2 2 middot 3 = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3

Aynı kural ikiden fazla ccedilarpanları olan ccedilarpım iccedilin de geccedilerlidir yani x1 gt 0x2 gt 0xn gt 0 olduğu durumda

naaaana xxxxxxxx loglogloglog)(log 321321 geccedilerlidir

II Kuvvetin Logaritma Kuralı

xsx as

a loglog

İspat a = logax olsun x gt 0 olduğundan xs gt 0 gerekir O halde logaxs vardır xssxsx aa

sa aaxa logloglog olduğundan loglog xsx a

sa elde edilir

80

2 log3 81 = log3 34 = 41og3 3 = 4

III Boumlluumlmuumln Logaritm Kuralı

yx

yx

aaa logloglog

İspat 1 xyyx

olduğunu bildiğimize goumlre bir ccedilarpımın logaritması kuralı gereğince

loglogloglogloglog 11 yxyxxyyx

aaaaaa elde edilir

3 10log110log7log10

7log70log 77777

Bir kuvvetin logaritması kuralı sonucu olarak şu formuumll elde edilir

logloglog x

nmxx a

nm

an m

a

4 7

52log

7

52log2log32log 2

7

5

2

7 5

27

2

Aynı tabana goumlre tertiplenmiş logaritmaların kuumlmesine logaritma sistemi denir 10 taba-nına goumlre tertiplenmiş logaritmalara ondalık logaritmalar denir Ondalık logaritmaları logx biccediliminde yazıyoruz yani burada taban 10 yazılmıyor Ondalık logaritmalar iccedilin ccedilok kez lg x işaretlemesi de kullanılır Buna goumlre log10 x = logx = lg x e tabanına goumlre e 271 tertiplenmiş logaritma sistemine doğal logaritmalar denir Doğal logaritmalar ln x biccediliminde işaret edilir yani loge x = ln x dir Logaritma işleminin kuralları ondalık ve doğal logaritmalar iccedilin de geccediler-lidir

5 a) 410lg410lg10000lg 210lg210lg100lg 110lg 42

b) 4ln4ln 2ln2ln 1ln 42 eeeee

v) 310lg1000

1lg0010lg 110lg

10

1lg10lg 31

g) 3ln1

ln 1ln1

ln 3

3

1 ee

ee

а)b)

c)

d)

Bu son oumlrnekte goumlruumllduumlğuuml gibi 1rsquoden buumlyuumlk ondalık birimin logaritması pozitif tam sa-yıdır ve sayının sıfırları kadar birimleri vardır 1rsquoden kuumlccediluumlk ondalık birimlerin logaritması ise negatif tam sayıdır ve ondalık kısmında sıfırların sayısı kadar birlikleri vardır

81

Logaritması rasyonel sayı olan x pozitif reel sayısı verilmiş olsun yani log x = k k Q O halde x = 10k dir Buna goumlre 10k k Q biccediliminde olmayan pozitif sayının ondalık logaritmi irrasyonel sayıdır Onun ondalık sayı biccediliminde yazılışında sonsuz ccedilok ondalık basamakları var-dır bu nedenle bu sayıyı 5 ondalık basamağında anlaşma gereği yuvarlayacağız

A herhangi bir pozitif reel sayı olsun O halde 110 10n nA dir Buna goumlre 1lg10 lg lg10n nA gerekir Ondalık logaritması tanımına goumlre 1 lgn A n elde edilir

Son eşitsizlikten 0 lg 1A n n elde edilir O halde

ve 0 lt1n N iccedilin )1(lg nA geccedilerlidir

n sayısına A sayısının logaritmasının karakteristiği sayısına ise mantis denir Diğer soumlzlerle logaritmayı ifade eden ondalık sayının tam kısmına karakteristik ondalık kısmına ise mantis denir Buna goumlre karakteristik pozitif negatif tam sayı ya da sıfır olabilir mantis ise 0 ve 1 arasında bir sayıdır

6 lg 49527 sayısının karakteristiğini yazınız100 49527 1000 olduğuna goumlre elde edilir O halde

2 lg 49527 3 bulunur Buna goumlre lg 49527 2 0 1 lg 49527 logaritmasının karakteristiği 2 dir

7 log 0037 logaritmasının karakteristiğini belirtiniz001 lt 0037 lt 01 olduğundan lg001 lt lg 0037 lt lg 01 ya da -2 lt log A lt -1 dir Buna

goumlre 0 1 olmak uumlzere log 0037 = - 2 + biccediliminde yazılır log 0037 ifadesinin karakte-ristiği ndash 2rsquodir

6 ve 7 oumldevlerinden şu sonuca varılır 1rsquoden buumlyuumlk sayıların logaritmalarının karakteris-tiği verilen sayının tam kısmının rakamları sayısından 1 kuumlccediluumlktuumlr 1rsquoden kuumlccediluumlk sayıların ka-rakteristiği ise negatif sayıdır ve ondalık yazılışında virguumllden sonra gelen sıfırların sayısı kadar birimleri vardır

8 Hesap makinesi kullanarak reel sayıların logaritmalarını belirtebiliriz oumlrnek

38484125724lg 106583131278lg

590072002570lg 9 lg a = m lgb = n lgc = p olduğuna goumlre

4

2

cba ifadesinin ondalık logaritmasını belir-

tiniz

42lg4lglg2lglglglglglg 4242

4

2

pnmcbacbacbac

ba

82

Alıştırmalar

1 Verilen ifadelerin logaritmalarını alınız

a) abx 3 b) 52bcax v) c

abx2

g) )(2 bax d) 22 cb

ax

|) 3 2bax

b)

e)

c)

f)

а)

d)

2 İfadeleri sadeleştiriniza) )4log3(loglog 32

41 b)

27

1log64log 23 v) 100loglog2 b) c)а)

3 Verilenlerden x sayısı belirtilsin

a) 4log2lg5lglg x b) 3lg22lg3lg x

v) 2lg3

15lg

3

23lg

2

1lg x g) )4lg53lg42lg2(

4

1lg x

d) 1ln3ln5lnln x |) 3ln32ln3ln x

e) 2ln3

14ln

3

13ln

3

1ln x `) )4ln53ln42ln2(

4

1ln x

а)

c)

e)g)

b)

d)

f)h)

4 lg 2 030 ve lg 3 048 olduğunu alırsak aşağıdakilerin yaklaşık değerini belirtiniz a) 9lg 8lg 6lg 4lg b) 18lg 16lg 12lg а) b)

5 Verilen logaritmaların karakteristiğini yazınız

a) )6500256075450lg( 2 b) 029304570

5073528lg

v) 5

9775

129lg g) )550850lg( 3 c) d)

a) b)

35 Faklı Tabanlı Logaritmalar Arasındaki Bağıntılar

a gt 0 a ne1 b gt 0 x gt 0 olsunTaban değiştirme formuumlluuml

axx

b

ba

log

loglog

İspat x = aloga x eşitliğin her iki tarafının b tabanına goumlre logaritması alınırsa logbx = logb (alogax) = logax bull logba elde edilir oradan da

log

loglog

axx

b

ba elde edilir

83

1 6log

9log6log9log6log9log

7log

6log7log9log6log7log

3

33636

3

33673

29log3

Sonuccedil 1 x = b ne 1 ise a

bb

alog

1log

İspat log

1

log

loglog

aabb

bb

ba

2

5

1

32log

12log

2

32

Sonuccedil 2 0 1 s 0 0a a b ise bs

b aas log1

log İspat blog

s

1

alogs

1

alog

1blog a

bs

bas

3

3

22

3

14log

3

14log 223

Sonuccedil 3 0 1 s 0 0a a b ise bb as

a s loglog İspat loglog

1loglog bb

ssbsb aaa

sa ss

4 a) 12log2log2log 2

2

2

2

4 2 b) 29log9log9log 33

1

3

3

33

13 b)

6 lg 2 030 ve lg 3 048 olduğunu alırsak

35

39

700

780

3001

480300

2lg10lg

3lg2lg

2

10lg

)32lg(

5lg

6lg6log5

elde edilir

Alıştırmalar

1 Farklı tabanlı logaritmalar arasındaki bağıntıyı ifade ediniz

2 Eşitlikleri ispatlayınız

a) 14log5log7log12log 5733

b) 3

17log6log5log4log3log2log 876543 b)

84

3 1250log81log27

12 ifadesinin değerini hesaplayınız

4 İfadeleri sadeleştiriniz

a) )4log3(loglog 32

4

1 b) 27

1log64log 23 v) 5 25lg

5lg

b) c)

5 a gt 0 b ne1 b gt 0 olduğunda loglog 1 aab

b olduğunu ispatlayınız

36 Logaritmalı Denklemler

Tanım 1 İccedilinde bilinmeyenin ya da fonksiyonun logaritması bulunan denklemlere logaritmalı denklem denir

1 Aşağıda verilen denklemler logaritmalı denklemlerdir log2 (x + 4) = 7 log2х (5 + x2) = 9 log5(3x - 2) = log5 x

a gt 0 ve a ne 1 olsun

I Log a f(x) = b cinsinden logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuumlLogaritma işleminin tanımından şu eşitliklerin denkliği gerekir

)()(log xfabxf ba

2 Verilen denklemleri ccediloumlzelima) 3)5(log3 x b) 0)137(log 2

3 xx v) 2)9(log 22

5 x

335 x 02 )3(137 xx 222 5)9( x

275 x 0122 xx 05618 24 xx 22x 31 x i 42 x 14 2 4321 xx

b) c)

c) şıkkındaki denklemi ccediloumlzmek iccedilin bir kuvvetin logaritması oumlzelliğinden yararlanacağız

2)9x(log 225 2)9x(log2 2

5 1)9x(log 25 59x 2 1421 x

Denklemin doumlrt koumlkuuml olduğuna rağmen burada sadece iki koumlkuumlnuuml bulmuş oluyoruz Bu-nun sebebi bir kuvvetin logaritmasını yanlış kullandığımızdan oumltuumlruumlduumlr daha doğrusu logab2 = 2 log a b eşitliği sadece b gt 0 olduğu durumda geccedilerlidir Bir kuvvetin logaritması oumlzelliğini doğru kullanmak istersek şu şekilde yazmalıyız

2)9(log 22

5 x 29log2 2

5 x 19log 2

5 x 592 x

85

II log a f(x) = log a g(x) cinsinden logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuuml

log a f(x) = log a g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmuuml f(x) = g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir log a f(x) = log a g(x) denkleminin her ccediloumlzuumlmuuml f(x) = g(x) denkleminin de ccediloumlzuumlmuumlduumlr Bunun tersi genel durumda geccedilerli olmayabilir Bu nedenle f(x) = g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmleri-ni bulduktan sonra elde edilen ccediloumlzuumlmleri loga f(x) = log a g(x) denklemini de sağlayıp sağlama-dığını yoklamamız gerekir

3 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) )4(log)117(log 3

2

3 xxx b) )1210lg()223lg( 22 xxxx

41172 xxx 1210223 22 xxxx 01582 xx 010133 2 xx

53 21 xx 51 x 3

22 x

Proverka 3x Proverka 5x )43(log)11373(log 3

2

3 )125105lg()52253lg( 22

)1(log)1(log 33 ne postoi )37lg()37lg( ne postoi 3x ne e reenie 5x ne e reenie

Proverka 5x Proverka 3

2x

)45(log)11575(log 3

2

3

13

13

13

13

12

3

210

3

2lg

3

222

3

23lg

22

1log1log 33 13

13

9

44lg

9

44lg ne postoi

b)

Yoklama

Yoklama

Yoklama

Yoklama

yokturccediloumlzuumlm değildir ccediloumlzuumlm değildir

yoktur

nuk ekziston

Verilen denklemin ccediloumlzuumlmuuml x = 5 dir

Verilen denklemin reel ccediloumlzuumlmleri yoktur

III log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biccediliminde denklemlere doumlnuumlşebilen denk-lemlerin ccediloumlzuumlmuuml

4 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 2)12(log)3(log 33 xx b) )3(log)76(log 5

2

5 xxx

v) 2lg32lg4 xx

b)c)

a) 2)12(log)3(log 33 xx2)12()3(log3 xx

01252 2 xx

Yoklama x = 4 ve ondan sonra 2

3x değerlerini

değiştirmekle denklemin ccediloumlzuumlmuuml sadece x = 4

olduğunu buluyoruz

86

2

34 21 xx

b) )3(log)76(log 5

2

5 xxx

0)3(log)76(log 5

2

5 xxx

03

76log

2

5

x

xx

313

762

xx

xx

01072 xx

25 21 xx

v) xx 2lg32lg4

So zamena tx 2lg imame

5

12lg

41

043

34

21

2

2

xx

tttt

tt

yxyx

aaa logloglog

koga 0010 yxaa

Proverka so zamena za 5x a potoa za 2x zaklu~uvame deka ravenkata ima samo edno reenie 5x

Proverka bideji ravenkata 42lg x nema reenie so zamena

za 5x zaklu~uvame deka ravenkata ima samo edno reenie 5x

olsun

Yoklama x = 5 ve ondan sonra x = 2 değerlerini değiştirmekle denklemin ccediloumlzuumlmuuml sadece x = 5 olduğunu buluyoruz

Yoklama log 2 4x denkleminin ccediloumlzuumlmuuml olmadığına goumlre x = 5 ccediloumlzuumlmuumlnuuml denklemde değiştirmekle denklemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olduğunu goumlruumlyoruz

b)

c)

5 Rei gi ravenkite a) 7logloglog 2416 xxx b) 13loglog 29

xx

7logloglog 222 24 xxx 1log

1log

2

332

xx

7loglog2

1log

4

1222 xxx 1

log2

1log

2

1

3

3 x

x

7log4

72 x 01log2log 3

2

3 xx

4log2 x tx 3log

2x 0122 tt 1t 1log3 x 3x

v) )12lg()2021lg(1)10lg(5lg xxx )12lg()2021lg(10lg)10lg(5lg xxx

Proverka 13log3log 99 19log13log2 99

Reenieto na ravenkata e 3x

Proverka 72log2log2log 2416 Reenieto na ravenkata e 2x

5 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

Denklemin ccediloumlzuumlmuumlDenklemin ccediloumlzuumlmuuml

Yoklama

Yoklama

c)

b)

87

Alıştırmalar

1 2)62(log 2

3x 2 1)75(log 2

3 xx

3 1log)1(log 22 xx 4 2)12lg()13lg( xx

5 43log2log xx 6 3loglog 162 xx

7 1))72(log1(log 33 x

37 Konuyu Pekiştirme Oumldevleri

1 Hangi x ve y reel sayıları iccedilin eşitlik geccedilerlidir

a) yx 88 b)

yx33 v)

2

3

2

3yx

13

13

b) c)

2 a) a gt 1 b) 0 lt a lt 1

ise hangisi buumlyuumlktuumlr 2

3a yoksa 3

2a Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

5 3216 1450 xx 6 5052 x 7 8264 xx

8 399 42411 xxxx 9 064

125

5

4 5

1

13

x

10 1224 xx

11 Logaritma işleminin tanımından yararlanarak x sayısını belirtiniz

12

2021lg

10

)10(5lg

xxx

12

2021

10

)10(5

xxx

)2021(10)12)(10(5 xxx

200210509510 2 xxx

101 x 2

32 x

Proverka 19lg190lg120lg5lg

10lg10lg100lg

10lg210lg 2

10log210lg2

Reenie na ravenkata e 10x

Proveri dali 2

32 x e

Yoklama Yoklama

ccediloumlzuumlmuuml yoklayınız

Denklemin coumlzuumlmuuml x = 10 dur

88

a) 216log x b) 4

327log x v) 31000log x

g) 2

1log4 x d) 20log100 x |) 8log

3

1 x

b)

d) e) f)

c)

12 Şu ifadelerin logaritmasını alınız

a) xy2 b) 223 yx v) zyx 52 g) 3ca b

d) 3 26 yx |) yxx 32 e) yyx

b) d)

e) f) g)

c)

13 Logaritması bilinen x sayısını belirtiniz

a) 2log3log4loglog 2222 x b) 2lg8lg2

15lglg x

v) 3log9log7loglog x g) 5log33log2log x

b)

d)c)

14 Logaritma işlemini uygulayarak verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a)

36125

492648333 x b)

281386

2605433

2

x v) 53 2154253 x b) c)

15 а) log25 ile 4 b) log3 7 ile 7 c) lg5 ile 10-1

16 Farklı tabanlı logaritmalar arasındaki bağıntıdan yararlanarak verilen ifadeleri sade-leştiriniz

a) 2

3

75log

7log25log

2

22

3

332

b) 1log1log1log 4

2

22 xxxx b)

17 Verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a) 1250log81log27

12

b) 84log5log2log7log245log2log12

1

7

1

3

11273 b)

Denklemleri Ccediloumlzuumlnuumlz

18 1)3lg(lg xx 19 1)2(loglog 33 xx

20 5loglog7 525 xx 21 23log 1 x

22 )105(log)3(log 2

55 xxx 23 3loglog2log7

1497 x

89

a pozitif reel sayısının reel uumlsluuml kuvvetleri iccedilin şu oumlzellikler geccedilerlidir

KONU OumlZETLERİ

Her reel sayı x ve her reel sayı a iccedilin reel uumlsluuml ax kuvveti şu şekilde bellidir

Tabanı 1rsquoden farklı pozitif bir reel sayı olan ve uumlssuumlnde değişken bulunan denklemlere uumlstel denklem denir

Burada şu cins uumlstel denklemler incelenmiştirI Ax+m=0 Agt0 A1 mlt0

biccediliminden denklemlerII

Af(x)+m=0 Agt0 A1 mlt0 biccediliminden denklemlerIII

a(Af(x))2+bAf(x)+c=0 biccediliminden denklemler

I x gt 0 iccedilin

1 x = n ise n = 1 iccedilin

n gt 1 iccedilinx

n

aa aa a

2 1

ise x nx a an

3 ise nx kkx a an

4 x = c0 c1c2hellipcn hellip ise

a) a gt 1 iccedilin 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( 1)n n nc c c c c c c c c c c ca a a

b) 0 lt a lt 1 iccedilin 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( 1) n n nc c c c c c c c c c c ca a a

c) a = 1 iccedilin ax = 1rsquodir II x = 0 ise ax = 1rsquodir

III x lt 0 ise 1x

xaa

1 xx ba za sekoe x ako i samo ako ba

2 Za sekoj x postoi edinstven stepen xa

3 yxyx aaa za sekoi yx

4 yxyx aa )( za sekoi yx

5 xxx baab )( za sekoe x

iccedilin geccedilerli olması iccedilin ancak ve ancak a = b olmalıdır ax = bx eşitliği herHer

x iccedilin bir tek ax kuvveti vardır

Her

yx iccedilin

yxyx aa )( geccedilerlidirHer

yx iccedilin

yxyx aaa geccedilerlidir

Her

x iccedilin

xxx baab )( geccedilerlidir

90

a 0a 1a i b + ve olsun xa b eşitliğini sağlayan x reel sayısına a tabanlı

brsquonin logaritması denir Bunu logax b şeklinde yazarızBuna goumlre a gt 0 a ne 1 b gt 0 iccedilin

bxba ax log dir

Tanımdan doğrudan doğruya

ba ba log gerekirx sayısına logaritma değeri a sayısına logaritmanın tabanı b sayısına logaritması

alınan sayı denir0 1 0 ve 0a a x y olsun

I Ccedilarpıma ait logaritmanın oumlzelliği

yxxy aaa logloglog

Aynı kural ikiden fazla ccedilarpanları olan ccedilarpım iccedilin de geccedilerlidir yani olduğu durumda

naaaana xxxxxxxx loglogloglog)(log 321321

geccedilerlidir

II Kuvvetin Logaritması Kuralı

xsx as

a loglog

III Boumlluumlmuumln Logaritması

yx

yx

aaa logloglog

Bir kuvvetin logaritması kuralı sonucu olarak şu formuumll elde edilir

logloglog x

nmxx a

nm

an m

a

Aynı tabana goumlre tertiplenmiş logaritmaların kuumlmesine logaritma sistemi denir 10 ta-banına goumlre tertiplenmiş logaritmalara ondalık logaritmalar denir Ondalık logaritmaları log x biccediliminde yazıyoruz yani burada taban 10 yazılmıyor Ondalık logaritmalar iccedilin ccedilok kez lg x işaretlemesi de kullanılır Buna goumlre log10 x = logx = ln x e tabanına goumlre e 271 tertiplenmiş logaritma sistemine doğal logaritmalar denir Doğal logaritmalar ln x biccediliminde işaret edilir yani loge x = ln xlsquodir Logaritma işleminin kuralları ondalık ve doğal logaritmalar iccedilin de geccediler-lidir

91

A herhangi bir pozitif reel sayı olsunn ve 0 ltlt 1 iccedilin )1(lg nA geccedilerlidirn sayısına A sayısının logaritmasının karakteristiği sayısına ise mantis denir

a gt 0 a ne1 b gt 0 х gt 0 olsunTaban değiştirme formuumlluuml

axx

b

ba

log

loglog

x = b ne 1 ise a

bb

alog

1log

0 1 s 0 0a a b ise bs

b aas log1

log

0 1 s 0 0a a b ise bb as

a s loglog

İccedilinde bilinmeyenin ya da fonksiyonun logaritması bulunan denklemlere logaritmalı denklem denir

a gt 0 ve a ne 1 olsun Şu cins logaritmalı denklemler incelenmiştir

I log a f(x) = b cinsinden logaritmalı denklemlerII log a f(x) = log a g(x) cinsinden logaritmalı denklemlerIII log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biccediliminde denklemler

92

93

DAR ACcedilININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

41 Dar Accedilının Trigonometrik Oranları

Accedilıların Oumllccediluumllmesi

Ansıyalım ortak başlangıccedilları olan iki ışının (yarı doğrunun) birleşimi ve bu ışınların ait oldukları duumlzlemden ayırdıkları kısımlardan biri ile birleşimine accedilı denir Bu anlamda ortak başlangıccedilları olan iki ışın OA ve OB iki accedilı oluşturuyorlar ve bunları AOB (ya da BOA) ile işaret edeceğiz Accedilılar kuumlccediluumlk Yunan harfl eriyle de işaret ediliyorlar $$amp hellip gibi OA ve OB ışınlarına AOB accedilısının kenarları O noktasına ise accedilının koumlşesi denilir

Bir derece (10) accedilıların oumllccediluuml birimidir ve tam accedilının 1

360 kısmından biridir Dereceden

kuumlccediluumlk birimler derecenin 1

60 olan bir dakika (1rsquo) ve dakikanın 1

60 olan ya da tam accedilının

1

3600 kısmına eşit olan bir saniye (1rdquo)lsquodir Bu bağıntılardan yararlanarak dereceleri dakikaları

ve saniyeleri derece cinsinden ondalık sayı biccediliminde yazabiliriz

1 140 36rsquo 54rdquo accedilısını ondalık sayı biccediliminde yazalım

6151401506014

3600

54

60

3614543614 0000

00

00 13

13

2 725680 accedilısını derece dakika ve saniye cinsinden yazalım 543372543372)6090(337293372)60560(7256872 000000

Burada accedilıların oumllccediluumllmesi iccedilin yeni bir oumllccediluuml birimini kabul edece-ğiz Yayının uzunluğu yarıccedilapına eşit olan merkez accedilının oumllccediluumlsuumlne bir radyandır denir ve 1 rad ile işaret edilir (şek1)

Şimdi accedilıların her iki oumllccediluumlsuuml derece ve radyan arasındaki bağıntıyı belirtelim

R yarıccedilaplı ccedilemberin uzunluğu 2R olduğuna goumlre tam accedilı buumltuumln bir ccedilemberin merkez accedilısı olduğunu varsayarak bir tam accedilı 2radlsquodır Diğer taraft an tam accedilı 3600lsquodir O halde 3600 = 2rad olur Buradan da şunları yazabiliriz 00 4517572957857

1801

rad i 017450180

10 radrad

4

Şek 1

ve

94

3 a) 1100 11rsquo 15rdquo accedilısını radyanlarla ifade ediniz

rad71

1803600

115

18060

111

1801001511100 0

b) 5

12

accedilısını derecelere doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

0

0

75180

12

5

12

5

Dar Accedilının Sinuumlsuuml Kosinuumlsuuml Tanjantı ve Kotanjantı

Dik uumlccedilgendeki dar accedilıdan yararlanarak doumlrt temel trigono-metrik fonksiyonun tanımına geccedileceğiz

ABC uumlccedilgeninde C koumlşesindeki accedilı diktir A ve B koumlşele-rindeki accedilışlar ise dar accedilılardır (şek2)

A koumlşesindeki accedilıyı ( ile işaret edersek BC kenarına ( accedilısı iccedilin karşı katet AC kenarına ise komşu (yatay) katettir

ABC dik uumlccedilgenini ve AC kenarına dik olan B1C1 B2C2 ve B3C3 doğru parccedilalarını inceleyelim (şek3) Bu doğru parccedila-

ları ABC uumlccedilgeniyle ortak accedilısı olan A B1C1 A B2C2 ve A B3C3 uumlccedilgenlerinin birer karşı katetidir Bu dik uumlccedilgenler birbiriyle dik olduklarına goumlre karşılıklı kenarları da birbiriyle orantılıdır yani

ABBC

ABCB

ABCB

ABCB

3

33

2

22

1

11 ABAC

ABAC

ABAC

ABCA

3

3

2

2

1

11

ACBC

ACCB

ACCB

ACCB

3

33

2

22

1

11 i 33

3

22

2

11

1

BCAC

CBAC

CBAC

CBAC

ve

Demek ki verilen accedilısı iccedilin şek 3rsquoteki dik uumlccedilgenlerin karşılıklı kenarların oranları sa-bittir

Halbuki accedilısının buumlyuumlkluumlğuuml değişirse bu oranların değerleri de değişecektir Bu sonu-cu doğrulamak iccedilin şek 4rsquote verilmiş olan A B1C1 A D1C1 ve A E1C1 uumlccedilgenlerini inceleyeceğiz Bu uumlccedilgenler birbiriyle benzer değildirler bu nedenle de onların karşılıklı kenarlarının oranları

da birbirine eşit değildir yani 11

11

1

11

CACD

ACCB

Aynısı diğer kenarlar iccedilin de geccedilerlidir Demek ki

Mno`i gi stepenite so

180

za da pretvori vo

radijani Mno`i gi radijanite

so

180 za da pretvori

vo stepeni

bull Dereceleri radyanlara

doumlnuumlştuumlrmek iccedilin 180

ile

ccedilarpınız

bull Radyanları derecelere

ccedilevirmek iccedilin

180 ile

ccedilarpınız

hipotenuumls

daraccedilı

Şek 2

Şek 3

95

accedilısının değişimi bu oranların değişmesini etkilemektedir Buna goumlre bir dik uumlccedilgende iki kenarının oranı bu uumlccedilgenin dar accedilısının buumlyuumlkluumlğuumlne bağlı olduğunu goumlruumlyoruz Dar accedilısı verilmiş olan bir dik uumlccedilgenin kenarlarının oranı belirtilebilir ve tersine yuka-rıdaki oranlardan herhangi birinin oranı verildiğinde uumlccedilgenin dar accedilısının buumlyuumlkluumlğuumlnuuml belirtebiliriz Demek ki dik uumlccedilgende dar accedilılar ve kenarlar arasındaki oranlar arasında belli bağıntılar vardır yani fonksiyonlar vardır Bu nedenle boumlyle oranlara oumlzel adlar verilmiştir

BCAB

oranına dar accedilının sinuumlsuuml denir ve sin ile işaret edilir yani sin = BCAB

dir

ACAB

oranına dar accedilının kosinuumlsuuml denir ve cos ile işaret edilir yani cos = ACAB

dir

BCAC

oranına dar accedilının tanjantı denir ve sin ile işaret edilir yani tg = BCAC

dir

ACBC

oranına dar accedilının kotanjantı denir ve ctg ile işaret edilir yani ctg = ACBC

dir

Bir dik uumlccedilgenin kenarları ve dar accedilısı arasındaki bağıntıları ifade eden ve bu şekilde ta-nımlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar denir Bu fonksiyonlar şu şekilde de ifade ediliyorlar

Şek 4

Şek5

ca

sinhipotenuza

zakatetasprotivna

cb

coshipotenuza

zakatetaprilegnata

batg

zakatetaprilegnatazakatetasprotivna

abctg

zakatetasprotivnazakatetaprilegnata

ya ait karşı durumlu katethipotenuumls

ya ait karşı durumlu katet ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet ya ait karşı durumlu katet

hipotenuumls

4 Şek 5rsquote verilmiş olan ABCD dikdoumlrtgeninde ) accedilısının trigonometrik oranlarını bulunuz

ABC dik uumlccedilgeninden şunları yazabiliriz

db

)sin da

)cos abtg )

bactg )

5 Katetleri 3 cm ve 4 cm olan bir dik uumlccedilgen veriliyor Bunun dar accedilılarının trigonometrik fonksiyonlarını bulunuz (şek6)

96

Pitagor teoremini uygulayarak hipotenuumlsuuml belirtiyoruzc2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 25 yani c = 5rsquotirO halde

5

3sin

5

4cos

4

3tg

3

4ctg

5

4sin

5

3cos

3

4tg

4

3ctg

Trigonometrik fonksiyonları sinuumls ve kosinuumls sıfır ve dik accedilı iccedilin de şu şekilde tanımlana-bilir

00sin 10cos 1

2sin

0

2cos

Benzer şekilde 00 tg 02

ctg fakat 2

tg ve ctg 0 tanımlı değildir

Alıştırmalar

1 Tabloyu deft erinizde ccediliziniz ve doldurunuzStepeni 00 030 060 0180 0360 Radijani

4

2

2

3

DereceRadyan

Katetleri a ve b verilmiş olan dik uumlccedilgende accedilısının trigonometrik fonksiyonlarını bulu-nuz

2 a = 5 b = 12 3 a = 3 b = 52Kateti a ve hipotenuumlsuuml c verilmiş olan dik uumlccedilgende accedilısının trigonometrik fonksiyonla-

rını bulunuz4 a = 8 c = 10 5 a = 98 c = 126

42 Bazı Accedilıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Değerlerinin Hesaplanması

Geometride birccedilok oumldevleri ccediloumlzerken 30deg 45deg ve 60deg accedilılarının trigonometrik fonksiyon-larının değerlerinden yararlanıyoruz Bu gibi fonksiyonların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini hesaplamak iccedilin tuumlmler accedilıların oumlzelliklerinden de yararlanacağız

Şek 6

97

Hatırlayalım Toplamı 900 olan accedilılara tuumlmler accedilılar denir Dik uumlccedilgende iki dar accedilı tuumlmler accedilılardır Niccedilin ABC uumlccedilgenin-de (şek7) accedilısı dar accedilılardan biri ise ++ndash accedilısı onun tuumlmleyenidir accedilısı radyanlarla verildiğinde

2

accedilısı onun tuumlmleyenidir Daha da a kenarı accedilısına karşı katettir ve accedilısı-na yatay katetttir b kenarı ise accedilısına yatay katettir ve accedilısına karşı katetttir Buna goumlre ve accedilılarının trigonometrik fonksi-yonları iccedilin ( ne 00 ve ne 00) aşağıdakiler geccedilerlidir

cossinca

sincoscb

ctgbatg tg

abctg od

)90()90()90sin(cos)90cos(sin 000 tgctgctgtg

1 Oumlrnek 700 = sin(900 - 700) = sin 200 sin 100 = cos(900 -100) = cos800

3626

13

ctgctgtg

3626

13

tgtgctg

Kenar uzunluğu 2 birim olan ABC eşkenar uumlccedilgenini inceleyelim (şek8) A koumlşesinden indirilen AD yuumlksekliği aynı zamanda uumlccedilgenin A koumlşesinden geccedilen accedilı ortayı ve BC karşı kenarın orta dikmesidir Buna goumlre

122

1

2

1 BCBD i 30)60(

2

1)(

2

1 00 CABDABve

dir ABD dik uumlccedilgenine Pitagor teoremini uygulayarak (şek9)

222

ABBDAD ili 21 212

ADveya elde edilirred toa 312 222

AD odno 3ADOna goumlre yani Şimdi ABD dik uumlccedilgeninde trigonometrik fonksiyonların değer-

lerini hesaplayabiliriz

2

130sin

ABDB

2

160cos30sin 00

2

330cos 0

ABAD

2

360sin30cos 00

Şek 7

Şek 8

Şek 9

98

3

3

3

1300

ADDBtg

3

36030 00 ctgtg

31

3300

BDADctg 36030 00 tgctg

450 accedilısının trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesap-lamak iccedilin katetleri 1 birim olan bir ikizkenar dik uumlccedilgen ccedilizeceğiz (şek10) Bu uumlccedilgenin dar accedilıları 450rsquodir

Pitagor teoremi gereğince hipotenuumlsuuml 2AB dir Trigo-nometrik fonksiyonların tanımından

00 45cos

2

2

2

145sin i 00 451

1

145 ctgtg ve

Trigonometrik fonksiyonların elde edilen değerlerini bir tabloda goumlstrelim

Stepeni Radijani sin cos tg ctg 00 0 0 1 0

030 6

2

1

2

3

3

3 3

045 4

2

2

2

2 1 1

060 3

2

3

2

1 3

3

3

090

2

1 0 0

2 cos450 bull cos300 ndashsin450 bull sin300 ifadesinin değerini hesaplayınız

4

26

4

2

4

6

2

1

2

2

2

3

2

230sin45sin30cos45cos 0000

3 0 cos 230 iccedilin

1 sin

ifadesinin değerini hesaplayınız

3

1

2

32

1

2

11

2

1

60cos1

60cos

30sin1

60cos

30sin1

302cos

sin1

2cos0

0

0

0

0

0

Derece

Şek 10

Radyan

99

Alıştırmalar

1 Hesaplayınıza) 0 0cos57 yi sin 33 ile b) 0 0sin 7777 yi cos 1223 ile

c) 5 2

c yi tg ile18 9

tg d) 1087 yi ctg 10785

2tg 13

2 Verilenlerden accedilısını hesaplayınız а) cos( +100) = sin200 b) tg350 = ctg ( -150)

3 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a) 0202 30cos30sin b)

0

0

60cos1

130sin

v) 00

00

4560

4530

tgctgctgtg

b) c)

4 Hesaplayınız a) 0000 60cos30sin45cos30cos2 b) 000202 60cos30sin6030sin tg b)

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

0

0

30sin1

30sin1

b) 00

00

45601

4560

tgtgtgctg

v)

02

02

30

145sin4

ctg

b) c)

6 Verilenlerden accedilısının değerini hesaplayınız

a) 1tg b) 3ctg

v) 2

2sin g)

2

1cos d)

2

3cos

b)

c) d) e)

43 Hesap Makinesini Kullanarak Trigonometrik FonksiyonlarınDeğerlerinin Hesaplanması

6

4

3

ve 2

accedilıları iccedilin trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bulunması kolay

olduğunu goumlrduumlk Fakat herhangi accedilı iccedilin trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bu şekilde bulunması muumlmkuumln değildir Boumlyle durumlarda değerleri tablolar yardımıyla ya da hesap ma-kinesi kullanarak belirtiyoruz

Hesap makinelerinin ccediloğunda dakikaları ve saniyeleri derecelere doumlnuumlştuumlren (deg ) ya da (DMS) ile işaretlenmiş tuşlar vardır (degrees ndash minutes- seconds)

100

Oumlrneğin 320 45rsquo 10rdquo accedilısını derecelerle ifade etmek istersek şu şekilde hareket edeceğiz Hesap makinesinde 32 yazdıktan sonra tuşa basarızondan sonra 45 yazarak yine tuşa basıyoruz ve sonunda 10 yazıp tuşa bastıktan sonra 3275277780 elde edilir

Ondalık sayı biccediliminde dereceli bir accedilı verildiğinde onu derece dakika ve saniye biccedilimin-de ifade etmek istiyorsak herhangi bir işlemin tersini yapan ve genellikle sarı renkte olan ndf2 ya da inv işaretli tuşlardan yararlanıyoruz Ondalık sayıyı yazdıktan sonra oumlnce sarı renkte olan adı geccedilen tuşa basılır ve ondan sonra ordm tuşuna basılır

Hesap makinelerinin ccediloğu iki durumda ccedilalışır Biri deg durumu accedilılar ondalık sayılı de-recelerle verildiğinde ve rad durumu accedilılar radyanlarla verilmiş olduğu durumlar iccedilin

Hesap makinesi yardımıyla verilen accedilıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri bu-lunur ve tersine verilen trigonometrik fonksiyonun değerine karşılık gelen accedilı bulunur Bu iş-lemleri şu iki oumlrnekte inceleyeceğiz

1 Hesap makinesi kullanarak hesaplayınız

a) sin 4130 b) cos 19021rsquo17rsquorsquo c) tg 36

5

a) Oumlnce hesap makinesini deg durumuna yani deg tuşuna basarak derecelerle işlemler yapacak durumuna getiriyoruz Ondan sonra 4130 yazılır Ondan sonra sin tuşuna basmakla sin4130 değeri elde edilir

0341 - sin = 0660017

b) Oumlnce 190 21rsquo 17rdquo accedilısını ondalık sayı şeklinde derecelerle ifade etmeliyiz Ondan sonra a) şıkkında hareket edildiği gibi işlemler yapılır

0

00

00 354722193600

17

60

2119172119

13

13

035472219 - cos = 0943484853

c) Genel olarak hesap makinesini radyan durumunda koyarız Ondan sonra tuşuna basarak (boumlylece 3141592654 değerini yazmış oluyoruz) Bunu 5 ile ccedilarpar 36 ile boumlleriz ve so-nunda (tan) tuşuna basarız Bununla istenilen sonucu elde etmiş oluyoruz

4663076580

36

5

tg

2 Hesap makinesi yardımıyla verilenlerden accedilısını belirtinizа) sin = 074281 b) cos = 023849 c) tg = 38611a) Hesap makinesi deg durumunda getirilir sin = 074281 değeri yazılır ve inv (ya da

ndf2 tuşuna basılır ve ondan sonra sin tuşuna basılır Elde edilen sonuccedil = 479713rsquodir

101

742810 - inv - ins = 971347 0

Bunu derece ile ifade edersek a = 570 58rsquo 17rdquo elde edilirHesap makinesinde 1sin tuşu varsa şu şekilde hareket edilir

a) 742810 - 1sin = 971347 0

b) 238490 - inv - cos = 0202676 91276 0

c) 826113 - inv - tg = 352775 0 102175 0

Alıştırmalar

Hesap makinesi kullanarak verilen her accedilının trigonometrik fonksiyonlarının değerini hesaplayınız

1 a) 048 b) 0 231223 v) 01916

2 a) 7

2 b)

21

5

a) b) c)

a) b)

3 Hesap makinesi kullanarak verilenlerden accedilısını belirtiniz

a) 583620sin b) 714190cos v) 41832tg

g) 9

4sin d)

7

5cos |)

13

4ctg

a) b) c)

ccedil) d) e)

4 = 340 28rsquo iccedilin verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

2

sin

2sin

b) sin22sin b)

5 Verilenlerden accedilısını belirtiniz а) sin = tg23037rsquo b) cos = 5 bull sin 110 c) tg = sin32019rsquo+ cos59025rsquo

44 Aynı Accedilının Trigonometrik FonksiyonlarıArasındaki Temel Bağıntılar

ABC dik uumlccedilgeninde (şek11) a2 + b2 = c2 bağıntısının geccedilerli olduğunu artık biliyorsu-

nuz Bu eşitlik c2 ile boumlluumlnduumlğuumlnde 2

2

2

2

2

2

cc

cb

ca

ve 12

2

2

2

cb

ca ya da

102

1

22

13

13

cb

ca

elde edilir

sinac

ve cosbc

olduğuna goumlre bunları son eşitlik-

te değiştirmekle

1cossin 22 (1) elde edilir

1 Oumlrnek a = 300 iccedilin eşitliği yoklayalım

sin2 30 + cos2 30 14

4

4

3

4

1

3

3

2

130cos30sin

22

22

13

13

(1) eşitliğinden yararlanarak herhangi bir dar accedilının sinuumlsuumlnuuml aynı accedilının kosinuumlsuumlyle ifade edebiliriz ve tersine

2cos1sin ve 2sin1cos

2 4sin

5 olduğuna goumlre cos rsquoyı hesaplayınız

5

3

25

9

25

161

5

41sin1cos

2

2 13

3 1 cos 1 sin ifadesini sadeleştirinizBu oumlrnekle (1) eşitliğinden yararlanarak bazı ifadelerin nasıl sadeleştirildiğini goumlsterece-

ğiz (1 + cos) bull (1 - sin) = 1 - cos2 = sin2

ABC dik uumlccedilgeninden (şek11) atgb

ve bctga

olduğunu yazabiliriz

Bu eşitliklerin pay ve paydalarını c ile boumllersek (c ne 0 c ne 0)

cbca

tg ve

cacb

ctg (2)

elde edilir

tg ve ctg birbiriyle ccedilarpıldığında bir eşitlik daha elde edilir

1 ctgtg (3)

4 Doğrudan doğruya hesaplayarak eşitliği bir oumlrnekle doğrulayalım

Şek 11

103

13

3

3

3

3

336060

2

00 ctgtg

5 ctg = 2 olduğuna goumlre tg rsquoyı hesaplayınız

2

11

ctgtg olduğuna goumlre

1

2tg elde edilir

Trigonometrik fonksiyonların dar accedilılar iccedilin (1) (2) ve (3) temel bağıntılarından yararla-narak bunlardan sadece biri bilindiği takdirde diğer fonksiyonların da değerlerini belirtebiliriz

6 4

sin5

olduğuna goumlre cos rsquoyı hesaplayınız

5

3

25

9

25

161

5

41sin1cos

2

2 13

7 tg = 2 olduğuna goumlre accedilısı iccedilin diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplayınız

sin

costg

eşitliğinden

sin2

cos

gerekir oradan da sin = 2 cos elde edilir Diğer

taraft an sin2 + cos2 = 1 ve (2cos)2 + cos2 = 4cos2 + cos2 = 5cos2 = 1 yazabiliriz Ora-

dan 2 1cos

5 ve sonunda 5

cos5

elde edilir Ondan sonra

5

52

5

2

5

4

5

11cos1sin 2 ve

2

11

tgctg

Alıştırmalar

1 Verilene goumlre diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplayınız

a)

13

5sin b) 250cos v)

5

4tg g) 410ctg b) c) ccedil)

2 Verilen ifadeleri sadeleştiriniz

a) 2cos1 b) 1sin2 v)

2

2

sin1

cos b)a) c)

3 İspatlayınız

D

a) 1cossin 2222 tgctg b) 21cos1sin 2222 tgctgb)a)

4 Her dar accedilı iccedilin aşağıdakiler geccedilerlidir

104

a) sinsin 2222 tgtg b) 1sin2cossin 244

v) cossin

cos21 2

ctgtg

a) b)

c)

5 Her dar accedilı iccedilin aşağıdakiler geccedilerli olduğunu ispatlayınız

a)

sin

2

cos1

1

cos1

12

b) 2cossin

cossin

cossin

cossin 2222

a) b)

6 15cos

17 olduğuna goumlre

5sin cos

3sin 2cos

hesaplansın

7 1

cos3

olduğuna goumlre 4tg - 3sin hesaplansın

45 Dik Uumlccedilgenin Ccediloumlzuumlmuuml

a b ve c bir ABC dik uumlccedilgenin kenarları ve onun dar accedilıları olsun (şek 12) O halde

= 900 dhe a2 + b2 = c2 geccedilerlidirTrigonometrik fonksiyonların tanımından da

sinca

coscb

tgba

cosca

sincb

ctgba

geccedilerli olduğunu biliyoruz Bu bağıntılardan yararlanarak bir kenar ve bir dar accedilı

iki kenarverildiğinde uumlccedilgenin temel elemanlarını (kenarlarını ve accedilılarını) hesaplayacağız

Bir dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln denilince elemanlardan en az biri kenar olmak uumlzere verilenlere goumlre tuumlm temel elemanların belirtilmesini anlayacağız

1 Hipotenuumlsuuml c = 93 cm ve accedilısı = 420 23rsquo verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumlnHer iki kateti a ve b ile dar accedilısını hesaplamamız gerekir Accedilıyı hemen = 900 - = 900 - 420 23rsquo = 470 37rsquo olduğunu buluyoruza katetini hesaplamak iccedilin oumlnce sin4238330 = 067409 olduğunu buluyoruz ondan sonra

a = c bull sin = 93 bull 067409 63 yani a 63 cm elde edilir b katetini hipotenuumls

Şek 12

105

ve accedilısının kosinuumlsuumlyle yardımıyla belirteceğiz ya da Pitagor teoreminden yararlanarak he-saplayacağız

I youmlntemb = c bull cos = 93 bull cos4238330 = 93 bull 07386 yani b 69 cm dir

II youmlntem 696393 22 cmb

2 Katetleri a = 21 cm ve b = 15 cm olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumlnUumlccedilgenin hipotenuumlsuumlnuuml ve iki dar accedilısını hesaplamamız gerekir Hipotenuumlsuuml Pitagor teore-

minden yararlanarak hesaplayacağız

256101521 2222 cmbac

accedilısını tanjant fonksiyonu yardımıyla belirteceğiz yani 4115

21

batg olduğuna

goumlre +01rsquo bulunur accedilısı iccedilin = 900 - 900 - 54028rsquo yani 35032rsquo

3 Kateti b = 53 cm ve accedilısı = 640 verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln Oumldevin koşulları gereğince uumlccedilgenin diğer dar accedilısını katetini ve hipotenuumlsuumlnuuml belirtme-

miz gerekir Hesaplıyoruz = 900 - = 900 - 640 = 260 a = b bull tg = 53 bull tg260 = 53 bull 048773 26 yani a 26 cmrsquodir b = c sin eşitliğinden

898790

53

64sin

53

sin

bc ya da c 59 cm olduğunu buluyoruz

4 Kateti a = 37 cm ve hipotenuumlsuuml c = 48 cm verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln α ile β dar accedilıları ve b kateti hesaplansın

77083048

37sin

ca olduğundan 50428780 elde edilir oradan da 50025rsquo44rsquo

bulunur = 900 - 390 34rsquo 16rdquo dir b = c bull sin = 48 bull sin390 34 16rdquo 48 bull 063704 31 yani b 31 cm olduğunu buluyoruz

Dik uumlccedilgenin ccediloumlzuumlmuuml geometride ve guumlnluumlk hayattan ccedileşitli problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde buuml-yuumlk uygulamaları vardır Bu uygulamaları birkaccedil oumlrnekle goumlstereceğiz

5 Bir dar accedilısı = 660 ve bir koumlşegeni d1 = 34 cm olan eşkenar doumlrtgenin kenarını hesap-layınız

A koumlşesindeki accedilı ve aynı koumlşeden ccedilizilen koumlşegen d1 verilmiş olsun (şek13) ABS dik uumlccedilgeninden

106

2cos

2

1 ad

033cos17 a 203838630

17

33cos

17 cma

Şek13 Şek14

6 İccedilten teğet ccedilemberinin yarıccedilapı r = 12 cm verilmiş olan duumlzguumln altıgenin kenarını he-saplayınız

Şek 14rsquote ABCDEF duumlzguumln altıgeni ccedilizilmiştir ABO uumlccedilgeni eşkenardır BON accedilısı 300rsquodir NBO dik uumlccedilgeninden

928265773501230

2 tgra

8513 cma

elde edilir

7 Bir ırmağın iki farklı tarafında bulunan A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesapla-yınız (şek15)

A noktasında BAM dik accedilısını ccediliziyoruz Bu accedilının kouml-şesini C ile işaret ettikten sonra ACB accedilısını oumllccediluumlyoruz Elde edi-len accedilının buumlyuumlkluumlğuuml = 490 olsun A ve C noktaları arasındaki uzaklığı oumllccediluumlyoruz bu uzaklık d = 28 m olsun O halde

32150371284928 0 tgtgdAB32mAB

Alıştırmalar

Verilenlere goumlre ABC uumlccedilgenini ccediloumlzuumlnuumlz

1 a) 236 0 68cmc b) 815 0 212 cmc v) 465 0 252 cma

2 a) 820 246cmb b) 3048 0 774 cmb v) 240 255 cma

3 a) 230cma 320cmc b) 552 cma 28cmb v) 93 cmb 54 cmc

a) b) c)a) b) c)a) b) c)

Şek 15

107

4 Bir ccedilemberin yarıccedilapı 13cm ve bir AB kirişi 10 cmrsquodir AOB accedilısının oumllccediluumlsuumlnuuml (buumlyuumlk-luumlğuumlnuuml) hesaplayınız

5 Bir ikizkenar yamuğun yuumlksekliği 6cm tabanların uzunlukları ise 4cm ve 20cmrsquodir Yamuğun accedilılarını hesaplayınız

6 A noktasından 4000m dikey yuumlkseklikte bir uccedilak bulunuyor O anda uccedilaktan 170 dep-resyon accedilısıyla alanda B noktası goumlruumlluumlyor Uccedilak B yerinden ne kadar uzaklıktadır ve A ve B noktaları arasındaki uzaklık ne kadardır

46 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Verilen accedilıları derece dakika ve saniye cinsinden ifade ediniz а) 34410 b) 18270 c) 23670

2 Verilen accedilıları derece olarak ifade ediniz а) 36025rsquo36rsquorsquo b) 45011rsquo19rsquorsquo c) 73052rsquo25rsquorsquo

3 Verilen accedilıları radyanlarla ifade ediniz а) 250 b) 62015rsquo c) 350 5rsquo38rsquorsquo

4 Radyanlarla verilmiş olan accedilıları derecelere doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а)

12

7 b) 127 c) 045

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

00

00

30605

30cos30sin

tgctg

b) 130cos2

4502

0

tg

v)

cos1

ctgtg za 0 a) b) c)

6 Verilenlerden α accedilısını belirtiniz a) sin = cos650 b) cos = sin42050rsquo c) sin( + 200) = sin500 d) tg(-150) = ctg(+ 250)

7 Trigonometrik fonksiyonlarından biri verildiğine goumlre diğer trigonometrik fonksiyon-ların değerlerini belirtiniz

a)

5

4sin b)

5

3cos v)

5

3tg g)

25

7ctg a) b) c) d)

108

8 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a) cos54tg ako

5

3sin b)

sin3cos

cossin2 ako 2tga) b)

9 Verilenlere goumlre ABC uumlccedilgenini ccediloumlzuumlnuumlz а) = 3602rsquo c = 68 b) = 64020rsquo a = 450 c) = 85010rsquo b = 062 d) a = 230 c = 320 e) b = 39 c = 425

10 Bir ikizkenar yamuğun tabanı a yan kenarı c ve tabanına ait accedilısı accedilısı verilmiştir Yamuğun diğer tabanını ve yuumlksekliğini hesaplayınız

11 Hareket eden bir vapurdan deniz feneri 2560 accedilıyla goumlzuumlkuumlr Vapur karaya 1050 m yaklaşınca bu accedilı 3120 olur Deniz feneri suyun yuumlzeyinden hangi yuumlksekliktedir

109

Konu Oumlzetleri

Bir derece (10) accedilıların oumllccediluumllmesi iccedilin buumlyuumlkluumlğuuml tam accedilının 1

360 kısmı olarak tanımlan-

mış oumllccediluuml birimidir Dereceden kuumlccediluumlk birimler derecenin 1

60 olan bir dakika (1rsquo) ve dakikanın

1

60 olan ya da tam accedilının 1

3600 kısmına eşit olan bir saniye (1rdquo)rsquodir

Yayının uzunluğu yarıccedilapına eşit olan merkez accedilının oumllccediluumlsuumlne bir radyandır denir ve 1 rad ile işaret edilir

İki birim derece ve radyan arasındaki bağıntı rad 23600 formuumlluumlyle verilir

Dik uumlccedilgendeki dar accedilıdan yararlanarak doumlrt temel trigonometrik fonksiyonun tanımına geccedileceğiz

ABC uumlccedilgeninde C koumlşesindeki accedilı diktir A ve B koumlşelerin-deki accedilışlar ise dar accedilılardır (şek2)

A koumlşesindeki accedilıyı ( ile işaret edersek BC kenarına ( accedilısı iccedilin karşı katet AC kenarına ise komşu (yatay) katettir

Bir dik uumlccedilgenin kenarları ve dar accedilısı arasındaki bağıntıları ifade eden ve bu şekilde ta-nımlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar denir Bu fonksiyonlar şu şekilde de ifade ediliyorlar

ca

sinhipotenuza

zakatetasprotivna

cb

coshipotenuza

zakatetaprilegnata

batg

zakatetaprilegnatazakatetasprotivna

abctg

zakatetasprotivnazakatetaprilegnata

ya ait karşı durumlu katethipotenuumls

ya ait karşı durumlu katet ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet ya ait karşı durumlu katet

hipotenuumls

Aşağıdaki tabloda bazı accedilıların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini goumlsterilmiştir

hipotenuumls

daraccedilı

110

Stepeni Radijani sin cos tg ctg 00 0 0 1 0

030 6

2

1

2

3

3

3 3

045 4

2

2

2

2 1 1

060 3

2

3

2

1 3

3

3

090

2

1 0 0

Dereceler Radyanlar

accedilısı bir dik uumlccedilgenin dar accedilısı olduğu durumda aşağıdaki formuumlller geccedilerlidir

1cossin 22

1 ctgtg

a b ve c bir ABC dik uumlccedilgenin kenarları ve onun dar accedilıları ise trigonometrik fonksi-yonların tanımından şu bağıntılar geccedilerlidir

sinca

coscb

tgba

cosca

sincb

ctgba

Bu bağıntılardan yararlanarak bir kenar ve bir dar accedilı iki kenar

verildiğinde uumlccedilgenin temel elemanlarını (kenarlarını ve accedilılarını) hesaplayacağızBir dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln denilince elemanlardan en az biri kenar olmak uumlzere verilenlere

goumlre tuumlm temel elemanların belirtilmesini anlayacağız

111

5 DUumlZLEMDE DOĞRU

51 Duumlzlemde Dik Accedilılı Koordinat Sistemi

Sayı doğrusu uumlzerinde her noktanın durumu sadece bir x reel sayısı ile tamamen bellidir ve bu sayıya noktanın koordinatı denir Benzer şekilde koordinat sisteminden yararlanarak duumlzlem uumlzerinde her noktanın durumu reel sayılardan oluşan ve noktanın koordinatları diye adlandırılan bir (x y) sıralı ccedilift iyle tamamen belli olduğunu goumlstereceğiz

Dik accedilılı koordinat sistemi birbirine goumlre dik olan ve koordinat eksenleri diye adlandırılan iki eksenden olu-şur İki eksenin kesiştiği noktaya koordinat başlangıcı ya da orijin denir ve O ile işaret edilir Yatay eksene x- ekseni ya da apsis ekseni dikey eksene ise y- ekseni ya da ordinat ekseni denir Koordinat sisteminin ait olduğu duumlzleme ko-ordinat duumlzlemi denir

Genel olarak her iki koordinat ekseninde aynı birim uzunluk kullanılır Koordinat başlangıcının sağ taraft aki youmlnuuml x- ekseninin pozitif youmlnuuml koordinat başlangıcından yukarıya doğruya olan youmln ise y- ekseninin pozitif youmlnuuml sa-yılır

P koordinat duumlzleminde herhangi bir nokta M ve N noktaları ise sırasıyla x= ve y= eksenlerine P noktasının izduumlşuumlmleri olsun M noktasına x- ekseni uumlzerinde sadece bir tek x reel sayısı karşılık gelir Ben-zer şekilde M noktasına y- ekseni uumlzerinde sadece bir tek y reel sayısı karşılık gelir Buna goumlre P noktasının durumu reel sayılardan oluşan bir (x y) sıralı ccedilift iyle tamamen bellidir Bu sıralı ccedilift e P noktasının koor-dinatları denir Bu durumda x sayısına birinci koordinat ya da apsis y sayısına ise ikinci koordinat ya da ordinat denir ve P(x y) biccediliminde işaret edilir

1 P(-3 6) noktasının birinci koordinatı x = -3 ve ikinci koordinatı ise y = 6rsquodıruml

P (x y) noktasını ccedilizmek ya da koordinat sisteminde goumlstermek P noktasından geccedilen ve koordinat eksenlerine paralel olan doğruların kesişim noktasını belirtmek de-mektir

2 P(23) noktasını ccedilizinizKoordinatı 2 olan noktadan x ndash eksenine dikme ccedilizi-

lir Benzer şekilde y- ekseninde koordinatı 3 olan noktadan y- eksenine dikme ccedilizilir Dikmelerin kesişim noktası aranılan noktadır (şek2)

Şek 1

Şek 2

112

Koordinat eksenleri duumlzlemi doumlrduumlller denilen doumlrt kısma ayırıyorlar I doumlrduumll olarak uumlst sağ kısım II doumlrduumll uumlst sol kısım III doumlrduumll alt sol kısım ve IV doumlr-duumll alt sağ kısım olarak alınır O halde herhangi bir P(x y) noktası I- doumlrduumllde ise x gt 0 ve y gt 0 olur II- doumlr-duumllde ise x lt 0 ve y gt 0 olur III- doumlrduumllde ise x lt 0 ve y lt 0 olur IV- doumlrduumllde ise x gt 0 ve y lt 0 olur y = 0 eğer nokta x ekseni uumlzerinde ise x = 0 eğer nokta y ek-seni uumlzerinde ise Koordinat başlangıcı hem x hem de y uumlzerinde olduğuna goumlre onun koordinatları O (00) olur (şek3)

3 Verilen noktaları koordinat duumlzleminde belirtiniz а) A(52) b) B(40) c) C(-35) d) D(03)

e) E(-6-1) f) F(-20) g) 13

2

12G h) H(0-2)

ondan sonra biri hangi doumlrduumlle ya da eksene ait olduğunu belirtiniz

a) A(5 2) noktası I ndash doumlrduumlle aittirb) B(4 0) noktası x- ekseni uumlzerindedirc) C(-3 5) noktası II ndash doumlrduumlle aittird) D(0 3) noktası y- ekseni uumlzerindedire) E(-6 -1) noktası III ndash doumlrduumlle aittirf) F(2 0) noktası x- ekseni uumlzerindedir

g) G(2 1

2 ) noktası IV ndash doumlrduumlle aittir

h) H(0 -2) noktası y- ekseni uumlzerindedir

Alıştırmalar

1 Verilen noktalardan her biri hangi doumlrduumlle ya da eksene ait olduğunu belirtiniz а) A(3-4) b) B(-11) c) C(-3-5) d) D(23)

e) E(-60) f) 13

2

30B g)

13

02

1G h) H(0-1)

II doumlrduumll

III doumlrduumll IV doumlrduumll

I doumlrduumll

Şek 3

Şek 4

113

A(13) B(-24) C(5-2) ve D(-3-1) noktalarının

2 x- ekseni uumlzerinde 3 y- ekseni uumlzerinde M N P ve Q izduumlşuumlmlerinin koordinatlarını belirtiniz

4 Uccedil noktalarının koordinatları A(14) ve B(52) olan AB doğru parccedilasını ccediliziniz On-dan sonra doğru parccedilasının x- ekseni ve y- ekseni uumlzerinde sırasıyla mx ve my dik izduumlşuumlmleri-nin uzunluklarını belirtiniz

5 Koumlşelerinin koordinatları verilmiş olan ABC uumlccedilgenini ccediliziniz A(1 -3) B(5 2) ve C

(0 -1

2)

52 İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Bu derste koordinat duumlzleminde bulunan iki nokta arasındaki uzaklık problemini analitik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Verilen iki nokta M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık aslında M1M2 doğru parccedilasının uzunluğudur yani 1 2d M M rsquodir

Oumlnce daha basit bir durumu ccediloumlzeceğiz Uccedil noktalardan biri koordinat başlangıcında olsun (şek5) M(xy) noktasından x- eksenine ccedilizilen dikmenin dikme ayağı N olsun ONM dik uumlccedilge-ninden Pitagor teoremi gereğince

22 yxd dir

1 M(34) noktasından koordinat başlangıcına olan uzaklığı ne kadardır2 23 4 5d elde ediliruml

Şek 5 Şek 6

114

Şimdi genel durumu inceleyelim Aralarındaki uzaklığı hesaplanması gereken M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) noktaları x ndash eksenine ve y ndash eksenine paralel olmayan bir doğruya ait olsun (şek6) M1M2M3 dik uumlccedilgenini inceleyelim Onun katetlerinin uzunlukları sırasıyla || 1221 xxMM ve

|| 1232 yyMM olduğunu yazabiliriz O halde M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık d aslında dik uumlccedilgenin M1M2 hipotenuumlsuumlduumlr Buna goumlre

212

2

12 yyxxd

2 M1 (-2 3) ve M2 (0 -2) noktaları arasıdaki uzaklığı belirtiniz

29)3)2(())2(0( 22 d

3 A(3-6) B(-2 4) ve C (1 -2) noktaları bir doğru uumlzerinde olup olmadığını yoklayınızAB AC ve BC doğru parccedilalarının uzunluklarını hesaplayacağız Bunlardan biri diğer

ikisinin toplamına eşit olup olmadığını yoklayacağız5510)5( 22 AB 524)2( 22 AC 53)6(3 22 BC

BCACAB olduğuna goumlre bu uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde olduğunu buluyoruzuml4 Koumlşelerinin koordinatları A(1 1) B(23) ve

4

91

13

C olan uumlccedilgen hangi tuumlrden olduğu-

nu belirtiniz Uumlccedilgenin ve AB AC BC kenar uzunluklarını hesaplayalım

521 22 AB

4

5

4

50

2

2 13

AC

4

5

4

33

2

2 13

BC

AC BC AB olduğuna goumlre verilen uumlccedilgen ikizkenar olduğunu buluyoruzuml

Alıştırmalar

1 Verilen noktalar arasındaki uzaklığı hesaplayınız а) М1(1-3) ve М2(26) b) M1(02) ve М2(0-2) c) М1(-1-2) ve М2(24) d) M1(13) ve M2(70)

2 A(1 -3) B(3 -5) ve C (-5 7) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleri olup olmadığını yoklayınız

3 Apsisi 7 olan B noktası A(-1 5) noktasından 10 birim uzaklığındadır B noktasının koordinatlarını belirtiniz

115

4 A(5 8) ve B(-11 -2) noktaları veriliyor A noktasına goumlre B noktasının simetriği olan C noktasının koordinatlarını belirtiniz

5 A(1 4) B(3 -9) ve C (-5 2) noktaları veriliyor Bu noktalar bir uumlccedilgenin koumlşeleri oldu-ğunu goumlsteriniz ve B koumlşesinden ccedilizilen kenarortayının uzunluğunu belirtiniz

53 Doğru Parccedilasının Verilen Oranda Boumlluumlnmesi

Bir doğru uumlzerinde olan A B ve M (AneB) noktaları iccedilin AM MB2 oumlzelliği varsa M noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan başlayarak Brsquoye doğru 2 oranında boumller

1 M notası AB doğru parccedilasının orta noktası ise AM MB olur yani M noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 2 = 1 oranında boumller (şek7)

2 P ve Q noktaları AB doğru parccedilasını AP AQ olmak uumlzere uumlccedil eşit parccedilaya ayırıyorlar Bu

durumda 1

2AP PB ve 2AQ QB dir O halde P

noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 1

2 ora-

nında Q noktası ise 2 oranında boumller (şek 8)

İlerde ldquoM noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 2 oranında boumllerrdquo diyecek yerde sadece ldquoM noktası AB doğru parccedilasını 2 oranında bouml-lerrdquo diyeceğiz Bu durumda AB şeklinde ifade edilen doğru parccedilasında A ilk ve B ikinci nokta olduğunu sayacağız

M noktası ancak ve ancak A ve B arasında ise 2 sayısı sıfırdan buumlyuumlktuumlr Oumlzel durum 2= 1 ise M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise ancak ve ancak M noktası A noktasıyla ccedilakı-şırsa 2 = 0rsquodır 2= -1 ise AM MB gerekir bu ise imkansızdır Demek ki2ne -1 olmalıdır 2 sayısı sıfırdan kuumlccediluumlk ve2ne -1 ise M noktası AB doğru parccedilasının dışında AB doğrusuna aittir

Uccedil noktaları 1 1A x y ve 2 2B x y olan AB doğru parccedilasını l oranında boumllen M (x y) noktasının koordinatlarını belirtelim (şek9)

Crt 7 Şek 7

Şek 8

Şek 9

116

AM MB2 eşitliğinden x ndash x1 = 2 (x2 ndash x ) ve y ndash y1 = 2 (y2 ndash y ) gerekir O halde

22

1

21 xxx 22

1

21 yyy

pq

2 olduğu durumda

qppxqxx

21 qppyqyy

21

elde edilirOumlzel durumda M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise 2 = 1rsquodir ve

221 xxx

2

21 yyy

elde edilir Bu formuumlller orta noktanın koordinatlarıdır

3 Koumlşelerinin koordinatları A(-2 -3) B(6 1) ve C(-4 5) olan uumlccedilgen verilmiş olsun Uumlccedilge-nin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz

Ağırlık merkezi AA1 BB1 ve CC1 kenar ortaylarını l = 2 oranında boumllduumlğuumlnuuml biliyoruz Bu oumlzellikten yararlanarak ağırlık merkezinin koordinatlarını belirteceğiz

22

62

21

CB

Axxx ve 1

2

13

21

CB

Ayyy den A1(2 -1) dir

O halde 03

44

21

21

AAT

xxx ve 1

3

25

21

21

AAT

yyy olduğuna goumlre T(0 1)

olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 A(3-7) B(5 2) ve C(-1 0) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir Kenarlarının orta noktala-rının koordinatlarını bulunuz

2 A(1 1) B(5 11) ve C(3 -1) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir A noktasından ccedilizilen kenar ortayın uzunluğunu belirtiniz

3 A(-3 -2) ve B(7 3) noktaları veriliyor AB doğru parccedilasını beş eşit parccedilaya boumllen nok-taların koordinatlarını belirtiniz

4 A(3 1) ve B(8 3) noktaları veriliyor AB doğru parccedilasınıa) 2 3 b) 3 2 c) -2 3 d) -3 2oranında boumllen M noktasının koordinatlarını belirtiniz

117

5 Kenarlarının orta noktaları P(3-2) Q(1 6) ve R(-4 2) olan bir uumlccedilgenin koumlşelerinin koordinatlarını belirtiniz

6 A(a1 a2) B(b1 b2) ve C(c1 с2) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir ABC uumlccedilgeninin ağırlık

merkezi iccedilin 3

3

222111 13

cbacbaT formuumlluuml geccedilerli olduğunu ispatlayınız

54 Uumlccedilgenin Alanı

M1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktaları verilen bir uumlccedilgenin koumlşeleri olsun Problemi iki aşamadan ccediloumlzeceğiz

I aşama Oumlnce bir koumlşesi koordinat başlangıcında diğeri ise x ekseninde olan uumlccedilgenin alanını belirtelim (şek10) Bu durumda uumlccedilgenin uumlccediluumlncuuml koumlşesi ya x ekseni uumlstuumlnde ya da x ek-seni altında olacaktır Uumlccedilgenin alanı tabanı ve yuumlksekliğinin ccedilarpımının yarısına eşit olduğuna goumlre verilen uumlccedilgenin alanı

2

|| 21yxP

olur Uumlccedilgenin alanı pozitif buumlyuumlkluumlk olduğuna goumlrex1 ve y2 ise pozitif ya da negatif sayılar ola-bilir Bu yuumlzden onların ccedilarpımının mutlak değeri alınır

Şek 10 Şek 11

II aşama Genel olarak (şek11) koumlşeleri M1 (x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktalarında olan uumlccedilgenin alanı N1M1M2N2 ve N2M2M3N3 yamukların alanlarının toplamından N1M1M3 N3 yamuğun alanı ccedilıkarılır O halde

118

)]()()([

2

1

)(2

)(2

)(2

213132321

1331

2332

1221

xxyxxyxxy

xxyyxxyyxxyyP

P

elde edilirM2 noktası M1 ve M3 noktalarıyla belirlenen doğrunun altında ise uumlccedilgenin alanı iccedilin negatif değer elde edilecektir Uumlccedilgenin alanı pozitif sayı olduğuna goumlre elde edilen değerin mutlak değeri alınmalıdır

|)()()(|

2

1

|)()()(|2

1

213132321

213132321

yyxyyxyyx

xxyxxyxxyP

P

Uumlccedilgenin alanını hesaplamak iccedilin kullanılan bu formuumllden uumlccedil noktanın bir doğru uumlzerin-de (doğrusal) olması iccedilin şart elde edebiliriz Uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde bulunduğu durumda bu noktalarla elde edilen uumlccedilgenin alanı sıfırdır

1 Koumlşelerinin koordinatları A(1 2) B(-2 3) ve C(0 5) olan uumlccedilgenin alanını hesaplayınızUumlccedilgenin alanı formuumlluumlnden yararlanacağız

4|)32(0)15(2)53(1|

2

1

|)()()(|2

1213132321

yyxyyxyyxPP

Demek ki verilen uumlccedilgenin alanı 4 birim karediruml

Alıştırmalar

1 Koumlşelerinin koordinatları A(-32) B(3 5) ve C(1-3) olan uumlccedilgenin alanını hesaplayınız2 P1( -3-3) P2(35) ve P3(69) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleri midir3 Koordinatları M(1 -3) B(3 5) ve C(2 1) olan M B ve C noktaları bir doğru uumlzerinde

olup olmadıklarını yoklayınız4 Koumlşeleri A(01) B(37) C(44) ve D(1-2) olan paralelkenarın alanını hesaplayınız5 Koumlşeleri A(14) B(53) C(-3-5) ve D(-21) olan yamuğun alanını hesaplayınız

119

6 Koumlşelerinin koordinatları A(11) B(-1 -2) ve C(-47) olan uumlccedilgende P noktası AC ke-narının orta noktası olduğuna goumlre APB ve BPC uumlccedilgenlerinin alanını hesaplayınız

55 Doğru Denkleminin Accedilık Şekli

Doğrutemel geometrik kavramı olduğuna goumlre tanımı yoktur Bunun denklemini elde etmek iccedilin onun bazı oumlzelliklerinden yararlanaca-ğız Oumlnce koordinat başlangıcından geccedilen ve koor-dinat eksenlerinden farklı olan doğrunun denkle-mini belirtelim (şek12)

M(x y) noktası doğru uumlzerinde koordinat başlangıcından farklı olan herhangi bir nokta ol-sun M noktasının x- eksenine dik izduumlşuumlmuumlnuuml M1 ile doğrunun x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle oluş-turduğu accedilıyı ile işaret edelim Boumlyle durumda

tgxy

OMMM

1

1 oranı M noktasının her-

hangi durumu iccedilin sabittir Bu sabit sayı k ile işaret edilir ve buna accedilı katsayısı ya da doğrunun eğimi denir Buna goumlre bu doğrunun her noktası-nın koordinatları

kxy

denklemini sağlamaktadırO halde y = kx denklemi koordinat başlangıcından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumly-

le a accedilısını oluşturan doğrunun denklemidir Burada k = tg arsquodır

1 Koordinat başlangıcından geccedilen ve ndash ekseninin pozitif youmlnuumlyle 4

accedilısını oluştu-ran doğrunun denklemini yazınız

Doğru koordinat başlangıcından geccediltiğine goumlre denklemi y = kx şeklindedir Oumldevin

koşuluna goumlre 14

k tg tg rsquodir Demek ki doğrunun denklemi y = xrsquotiruml

Koordinat duumlzleminde herhangi bir doğru verilmiş olsun Şu iki durum muumlmkuumlnduumlrbull Doğru her iki ekseni keser (şek13) N(0 m) noktası doğrunun y- eksenini kestiği nok-

ta olsun Bu durumda m pozitif ise doğrunun her noktasının ordinatı verilen doğruya paralel olan ve koordinat başlangıcından geccedilen doğrunun ordinatından m kadar fazladır ve m negatif

Şek 12

120

olduğu durumda her noktanın ordinatı m kadar kuumlccediluumlktuumlr İncelenen her doğru x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle aynı accedilıyı oluşturur Buna goumlre on-ların accedilı katsayıları birbirine eşittir Koordinat baş-langıcından geccedilen doğru

y = kxdenklemiyle verildiğine goumlre verilen doğrunun denklemi mkxy

olur Burada k verilen doğrunun eğimidir m ise y- ekseninden kestiği doğru parccedilasıdır Elde edilen denkleme doğrunun accedilık şekli denir doğruya ise accedilık şekilde verilmiştir denir

2 M(2-3) ve N(5 6) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınızbull Oumldevin koşuluna goumlre M(2-3) ve N(5 6) noktaları doğruya ait noktalardır O halde

onların koordinatları y = kx + m denklemini sağlar Bu şekilde

mk

mk56

23 sistemi elde edilir

Bunun ccediloumlzuumlmuuml k = 3 ve m = -9 elde edilir Demek ki doğrunun aranılan denklemi y = 3x ndash 9rsquoduruml

Doğrunun accedilık şekilde verildiğinde eğiminin ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilasının oumlnemini goumlz oumlnuumlnde bulundurarak şu sonuccedillara varabiliriz

a İki doğru ancak ve ancak paralel oldukları durumda eğimleri birbirine eşittirb İki doğru ordinat ekseninden eşit doğru parccedilaları keser ancak ve ancak her ikisi ordi-

nat eksenini aynı noktada kesersebull Doğru x- ekseniyle paraleldir ya da ccedila-

kışır (şek14) Bu durumda doğruya ait her nok-ta x- ekseninden eşit uzaklıktadır x- ekseninden uzaklık aslında noktanın ordinatı olduğuna goumlre doğruya ait her noktanın ordinatları birbirine eşit-tir Bu uzaklığı m ile işaret edersek verilen doğru-nun denklemi

my

olur Doğrunun bu durumu oumlnceki doğrunun bir oumlzel durumu gibi kabul edebiliriz Doğru x- ekse-

Şek 13

Şek 14

121

ninin pozitif youmlnuumlyle a = 2kp k = 0 1 2 hellip accedilı yaptığına goumlre bu durumda k = 0 olur Bunun oumlzel durumu x- ekseninin denklemi y = 0 olur

bull Doğru y- ekseniyle paraleldir ya da y- ekseniyle ccedilakışık durumdadır (şek14) O halde doğruya ait her nokta y- ekseninden eşit uzaklıktadır Bir noktanın y- eksenine uzaklığı aslında onun apsisi olduğuna goumlre doğruya ait her noktanın apsisleri birbirine eşittir Bu uzaklığı a ile işaret edersek verilen doğrunun denklemi

ax

olur Bunun oumlzel durumu y- ekseninin denklemi x = 0 olur

3 Koordinat duumlzleminde x = 2 ve y = 3 doğrularının durumu nasıldır x = 2 doğrusu y- eksenine paraleldir ve onun her noktası y- eksenine 2 birim uzaklıktadır

y = 3 doğrusu x ndash ekseniyle paraleldir ve her noktası x- ekseninden 3 birim uzaklıktadıruml

Alıştırmalar

1 M(-1 1) N(2 ndash3) ve P(2 2) noktaları y = - x + 4 doğrusuna ait olup olmadıklarını yoklayınız

2 Koordinat başlangıcından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle

a)

4

b)

4

3 v) а) b) c)

accedilı oluşturan doğrunun denklemini belirtiniz

3 Denklemiyle verilmiş olan doğrunun eğimini ve y- ekseninden kestiği parccedilayı belirtiniz а) y = 2x ndash 3 b) y = ndashx + 3 c) y = ndash2 d) xy 3

4 x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle 3

accedilı yapan ve ordinat eksenini 1

2 de kesen doğru-

nun denklemini yazınız

5 A(-3 2) noktasından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle = 1350 accedilı yapan doğru-nun denklemini yazınız

6 A(2 -1) ve B(-3 5) noktalarından geccedilen doğrunun ordinat ekseninden kestiği parccedilayı ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle yaptığı accedilıyı belirtiniz

7 M(2 -8) ve N(-1 7) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınız

122

56 Doğru Denkleminin Genel Şekli

Geccedilen derste koordinat duumlzlemine ait bir doğrunun denklemi iccedilin x ve y değişkenli birin-ci derece denklem elde ettik Bu derste x ve y değişkenli birinci dereceden denklemin neyi ifade ettiğini inceleyeceğiz Bu nedenle

Ax + By + C = 0 (1)denklemini inceleyelim A ne 0 ya da B ne 0 olduğunu farz edelim A =B= 0 olduğu durumda eşitlik C = 0 olur O halde C ne 0 durumunda koordinat duumlzleminde eşitliği sağlayan hiccedilbir nokta yoktur Fakat C = 0 durumunda duumlzlem uumlzerinde her nokta eşitliği sağlar

bull A = 0 ise B ne 0 olur ve (1) denklemi CyB

denklemiyle denk olur Bu son eşitliği

sağlayan noktaların geometrik yeri x- eksenine paralel olan ve 0CMB

13

noktasından geccedilen doğrudur

bull B = 0 ise A ne 0 olur ve (1) denklemi CxA

denklemiyle denk olur Bu son eşitliği

sağlayan noktaların geometrik yeri y- eksenine paralel olan ve 0CNA

13

noktasından geccedilen doğrudur

bull A ne 0 ve B ne 0 ise (1) denklemi A Cy xB B

denklemiyle denk olur Bu son eşitlik

eğimi AkB

ve y- ekseninden CmB

doğru parccedilasını kesen bir doğrunun accedilık şeklidir

Buraya kadar yapılan incelemelerden şu sonuca varabiliriz

0 CByAx

eşitliği bir doğrunun denklemidir ve ona doğrunun genel şekli denir

1 13

2y x doğrusunun denklemini genel şekilde doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

Verilen denklem 13 0

2x y yani x + 2y ndash 6 = 0 denklemiyle denktir

2 3x + 3y -5 = 0 doğrusunun denklemi veriliyor Bu doğrunun x- ekseninin pozitif youml-nuumlyle yaptığı accedilıyı ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilayı belirtiniz

123

Verilen denklemi yrsquoye goumlre ccediloumlzersek verilene denk olan 5

3y x denklemini elde ede-

ceğiz Bu denklem aslında duumlzlem uumlzerinde aynı doğrunun denklemidir Oradan k = tga = -1

olduğuna goumlre 3

4

ve 5

3m elde ediliruml

3 2x ndash 3y + 2 = 0 denklemiyle verilmiş olan doğruyu ccedilizinizVerilen oumldevi ccediloumlzmek iccedilin doğruya ait olan

iki noktayı belirtmek yeterlidir Ondan sonra iki noktadan sadece bir tek doğru geccediltiğine goumlre aranılan doğruyu ccedilizmiş oluyoruz (şek15) x iccedilin tahminen iki değer seccediltikten sonra onlara karşılık gelen y değerlerini belirtiyoruz Bu oumlrnekte x1 = 2 seccedilimi uygundur ccediluumlnkuuml o değere karşılık y iccedilin tam sayılı değer yani y1 = 2 elde edilir Benzer şe-kilde x iccedilin x2 = -1 seccedilersek y2 = 0 elde edilir uml

Alıştırmalar

1 Verilen doğruların denklemlerini genel şekilde doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а) y = 2 x - 3 b) y = -4 c) x = 3

2 Verilen doğruların eğimini ve ordinat ekseninden kestiği parccedilayı belirtiniz а) 2x - y + 3 = 0 b) 5x + 2y - 3 = 0 c) 3x + 8y +16 = 0

3 x + y - 3 = 0 doğrusu veriliyor Bu doğrunun x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle yaptığı accedilıyı ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilayı belirtiniz

4 Denklemleriyle verilmiş olan doğruları ccediliziniz

a) 13 xy b) 2x v) y

g) 22 xy d) 23

1 xy |) 150 yx

а)

e)d) f)

c)b)

5 2 ne 0 olmak uumlzere Ax + By + C = 0 ve 2Ax +2By + 2C = 0 denklemleri aynı doğ-runun denklemi midir

Şek 15

124

57 Doğrunun Eksen Parccedilalarına Goumlre Denklemi

Ax + By + C = 0 (1)denklemi koordinat duumlzleminde bir doğrunun denklemi olduğunu goumlrduumlk Daha da C = 0 ise doğru koordinat başlangıcından geccediler A = 0 ise doğru x- eksenine paraleldir B = 0 ise doğru y- eksenine paraleldir

Verilen doğru koordinat başlangıcından geccedil-mediğini ne de eksenlerden biriyle paralel olma-dığını farz edeceğiz Bu durumda denklemin kat-sayıları iccedilin A ne 0 B ne 0 ve C ne 0 geccedilerlidir (1) denklemini 1

C ile ccedilarparsak

01 y

CBx

CA

ya da1

BCy

ACx

elde edilir ve C Ca bA B

koyarsak verilen denklem

1by

ax

(2)

denklemi elde edilir Bu denkleme doğrunun eksen parccedilalarına goumlre denklemi denira ve b parametrelerin geometrik anlamını inceleyelim (2) denkleminde oumlnce y = 0 ondan

sonra x = 0 koyarsak sırasıyla x- eksenini ve y- eksenini kesen P(a 0) ve Q(0 b) noktalarını elde edeceğiz Buna goumlre a ve b sayıları mutlak değerce doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerinden kestiği doğru parccedilalarıdır Bunlara eksen parccedilaları diyeceğiz

1 x ndash 3y ndash 6 = 0 doğrunun denklemini eksen parccedilalarına goumlre yazınız Ondan sonra doğ-runun eksenlerden kestiği parccedilaları belirtiniz

Şek 16

125

Verilen denklem doğrunun genel şeklidir Bu denklemi 1 1 1

6 6C

ile ccedilarparsak

16 2

x y denklemi elde edilir bu ise 1

6 2

x y

denklemine denktir Bu son denklem doğru-

nun eksen parccedilaları cinsinden denklemidir ve verilen denkleme denktir x- ekseninden kestiği parccedila 6 birim y- ekseninden kestiği parccedila ise 2 birimdir

2 Koordinat eksenleri ve 2x ndash 5y ndash 10 = 0 doğrusuyla sınırlanan uumlccedilgenin alanını hesap-layınız

Koordinat eksenleri birbirine dik olduklarına goumlre elde edilecek uumlccedilgen de diktir Dik kouml-şesi koordinat başlangıcında katetleri koordinat eksenleri uumlzerinde hipotenuumlsuuml ise verilen doğ-ruya ait olacaktır Dik uumlccedilgenin alanı katetlerinin ccedilarpımının yarısına eşit olduğunu biliyoruz Bu katetler burada aslında doğrunun eksenlerden kestiği parccedilalardır O halde doğrunun denk-

lemini eksen parccedilalarına goumlre duumlzenlersek verilene denk olan 15 2

x y denklem elde edilecek-

tir Demek ki doğrunun eksenlerden kestiği parccedilalar 5 ve 2rsquodir Buna goumlre aranılan uumlccedilgenin katetleri 5 birim ve 2 birimdir Demek ki uumlccedilgenin alanı 5 birim karedir

Alıştırmalar

1 Verilen doğruların denklemlerini eksen parccedilalarına goumlre doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а) 3x - 2y +12 = 0 b) y = -x +1 c) y = 4x - 2

2 k parametresinin değerini o şekilde belirtiniz ki 2x + 5ky ndash 3 = 0 doğrusunun eksenler-den ayırdığı parccedilaların uzunlukları toplamı 10 olsun

3 k parametresinin değerini o şekilde belirtiniz ki 6x + 5y ndash 12k = 0 doğrusunun eksen-

lerden ayırdığı parccedilaların uzunluklarının ccedilarpımı 5

6 olsun

4 x + 2y ndash 6 = 0 doğrusuyla ve koordinat eksenleriyle sınırlanan uumlccedilgenin alanını hesap-layınız

5 M(4 -3) noktasından oumlyle bir doğru ccediliziniz ki koordinat eksenleriyle alanı 3 birim kare olan uumlccedilgen elde edilsin

126

58 Nokta ve Doğru Arasındaki Durumlar

581 Verilen Noktadan Geccedilen Doğru Demetinin Denklemi

1M(x1 x2) noktası koordinat duumlzleminde sabit bir nokta olsun Verilen bu noktadan M merkezli doğru demeti diye adlandırılan sonsuz ccedilok sayıda doğru geccediler (şek17) M noktasından geccedilen her doğrunun genel denklemi

Ax + By + C = 0biccedilimindedir M noktası bu doğruya ait olduğuna goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlar yani

Ax1 + By1 + C = 0Elde edilen denklemi birincisinden ccedilıkarır-

sak0)()( 11 yyBxxA elde edilir

M noktasının koordinatları denklemi sağladığına goumlre bu şekilde olan her denklem M nokta-sından geccedilen doğrunun denklemidir A ve B katsayılarına farklı değerler vermekle M noktasın-dan geccedilen farklı doğrular elde edilecektir

Demete ait olan doğrular arasında bir tanesi y- eksenine paraleldir Onun denklemi x = x1 dir Sadece bu doğrunun accedilı katsayısı ve ordinat eksenini kestiği parccedilası yoktur O halde bu doğru accedilık şekilde ifade edilemez M noktasından geccedilen diğer doğrulardan her biri

y = kx + n accedilık şekilde ifade edilebilir M noktası bu doğruya ait olduğuna goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlar yani

y1 = kx1 + n geccedilerlidir Elde edilen denklemi ilkinden ccedilıkarıyorsak

)( 11 xxkyy

denklemi elde edilecektir Bu şekilde olan her denklem M noktasından geccediler k katsayısının farklı değerlerini değiştirmekle y eksenine paralel olan doğru hariccedil olmak uumlzere M noktasın-dan geccedilen farklı doğruların denklemleri elde edilecektir

Şek 17

127

1 M (-3 2) noktasından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1350 accedilı yapan doğru-nun denklemini yazınız

Merkezi M noktası olan doğru demetinin denklemi y ndash 2 = k(x + 3)rsquotuumlr Doğru demetine ait aranılan bu doğru x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1350 accedilı yaptığına goumlre onun accedilı katsayısı k = tg 1350 = -1rsquodir O halde aranılan doğrunun denklemi y ndash 2 = - 1(x + 3) ya da x + y + 1 = 0 olur

582 İki Noktadan Geccedilen Doğrunun Denklemi

Bir noktadan geccedilen doğru demetinin denkleminden yararlanarak iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini kolay belirtebiliriz

1 M1 (-12 5) ve M2 (8 -3) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınızM1 noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi y ndash 5 = k (x + 12)rsquodir Aranılan doğru

M2 noktasından geccediltiğine goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlayacaktır yani -3 ndash 5

= k(8+12) geccedilerlidir Oradan da 2

5k elde edilir Buna goumlre aranılan doğrunun denklemi

25 12

5y x ya da 2x + 5y ndash 1 = 0 olduğunu buluyoruz

İncelenen oumlrnek herhangi iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini belirtmek iccedilin bir yol goumlstermektedir M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) noktaları verilmiş olsun (şek18) Verilen noktalar-dan geccedilen M1M2 doğrusunun denklemini belirtelim

x1 = x2 ise M1M2 doğrusu y- eksenine goumlre diktir ve denklemi

1xx olur

x1 ne x2 ise M merkezli doğru demetinin denklemi

y ndash y1 = k (x ndash x1)

dir M1M2 doğrusu M2 noktasından geccediltiğine goumlre onun koordinatları denklemi sağlar ve

y2 ndash y1 = k (x2 ndash x1)

elde edilir Buna goumlre M1M2 doğrusunun accedilı kat-sayısı (eğimi)

Şek 18

128

12

12

xxyyk

olduğunu buluyoruz k iccedilin elde edilen bu değeri yukarıdaki doğru demetinin denkleminde değiştirirsek iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini elde edeceğiz

)( 1

12

121 xx

xxyyyy

İki noktadan geccedilen doğrunun denkleminden uumlccedil noktanın doğrusal olma koşulunu bu-labiliriz M3 (x3 y3) noktası M1 ve M2 noktalarından geccedilen doğruya ait olmak iccedilin onun koordi-natları verilen doğrunun denklemini sağlamalıdır yani

)( 13

12

1213 xx

xxyyyy

formuumlluuml elde edilir

583 Verilen Bir Noktadan Verilen Doğruya Uzaklık

Şimdi duumlzlem uumlzerinde verilen bir noktadan verilen bir doğruya uzaklığın nasıl hesaplan-dığını goumlrelim Bir noktadan verilen bir doğruya uzaklık aslında o noktadan geccedilen ve verilen doğruya dik olan doğruyla kesişim noktasına kadar uzaklıktır ya da diğer soumlzlerle noktasından verilen doğruya inilen dikmenin uzunluğu olarak tanımlanır

Doğrunun denklemi Ax + By + C = 0

genel şekilde verildiği durumda denklemi 2 2

1MA B

normlayan ccedilarpanıyla ccedilarp-

mamız gerekir Bu ccedilarpanın işareti C katsayısının işaretiyle terstir O halde verilen noktadan verilen doğruya uzaklığı belirtmek iccedilin verilen doğrunun denklemi

0

222222

BACy

BABx

BAA

biccediliminde yazılır Noktanın koordinatları değiştirilir ve elde edilen ifadenin mutlak değeri alı-nır Sonuccedil olarak

22

11

BA

CByAxd

elde edilir

1 A(2 1) ve B(-2 4) noktalarından 4x ndash 3y + 15 = 0 doğrusuna uzaklığı belir-tinizVerilen noktadan verilen doğruya uzaklığı belirtmek iccedilin doğrunun denklemini

5

1112222

BABAM ccedilarpanıyla ccedilarpacağız Bu ccedilarpanın

129

işareti C katsayısının işaretiyle ters olduğuna goumlre 1

5M olur O halde doğrunun denk-

lemi 4 33 0

5 5x y elde edilir Şimdi verilen noktanın koordinatlarını değiştirmekle

44315

32

5

4d elde edilir Mutlak değeri almadan oumlnce drsquonin işareti negatif ol-

duğuna goumlre A noktası ve koordinat başlangıcı doğrunun aynı tarafında bulunur

Benzer şekilde B noktası iccedilin de 11345

3)2(

5

4d elde edilir Bu durumda

mutlak değeri almadan drsquonin işareti pozitif olduğuna goumlre nokta ve koordinat başlangıcı doğ-runun ters tarafl arında bulunuruml

Alıştırmalar

1 Verilen noktadan geccedilen doğru demetini yazınız а) M(2-3) b) M(-14)

2 M (-2 1) noktasından geccedilen ve eğimi k = - 3 olan doğrunun denklemini yazınız

3 M (4 -7) noktasından geccedilen ve x ndash ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1200 accedilı yapan doğ-runun denklemini yazınız

4 Verilen noktalardan geccedilen doğrunun eğimini belirtiniza) M 1 (-1 4) ve M2 (4 -3) b) M1 (0 -2) ve M2 (-1 3) c) M1 (1 4) ve M2 (-2 4)

5 M 1 (-1 4) ve M 2 (4 -3) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınız

6 M 1 (0 3) M 2 (2 6) ve M 3 (-1 4) noktaları aynı doğruya ait midir

7 A(-5 -1) noktasından 4x + 3y + 30 = 0 doğrusuna olan uzaklığı belirtiniz Verilen nok-ta ve koordinat başlangıcı doğrunun aynı tarafında mıdır

8 Koordinat başlangıcından 9x - 2y + 10 = 0 doğrusuna olan uzaklığı belirtiniz

9 M (-3 1) ve N (5 4) noktalarından hangisi x ndash 2y ndash 5 = 0 doğrusuna daha yakın ol-duğunu belirtiniz

10 C (4 3) noktasından d = 5 birim uzaklıkta olan ve koordinat eksenlerden eşit doğru parccedilaları kesen doğrunun denklemini belirtiniz

130

59 İki Doğru Arasındaki Durumlar

591 İki Doğru Arasındaki Durumlar

Bir duumlzlem uumlzerinde iki doğru ya bir noktada kesişir ya paralel ya da ccedilakışık durumda olabilirler Genel şekilde kendi denklemleriyle iki doğru verilmiş olsun A1x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0

Verilen denklemlerin katsayıları ve yukarıda sayılan uumlccedil durum hakkında inceleme yapa-cağız

bull Verilen

0

0

222

111

CyBxACyBxA

(1)sisteminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml varsa verilen doğrular kesişir yani onların bir tek ortak noktaları vardır

( x0 y0) ikilisi verilen sistemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olsun (1) sisteminin birinci denklemini B2 ile ikincisini ise ndashB1 ile ccedilarparak taraf tarafa toplarsak 0)()( 122101221 BCBCxBABA (2)elde edilir Benzer şekilde (1) sisteminin birinci denklemini A2 ile ikincisini ise ndashA1 ile ccedilarparak taraf tarafa toplarsak

0)()( 122101221 CACAyBABA (3)elde edilir

( x0 y0) ikilisi verilen sistemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olması iccedilin yani bir tek noktada kesişmeleri iccedilin yeter koşul A1B2 - A2B1 ne 0rsquodır yani

2

1

2

1

BB

AA

sağlandığında (1) sisteminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml vardır yani doğrular bir noktada kesişir Paydalar-dan biri sıfır ise ona karşılık gelen pay da sıfır olmalıdır Bu durumda verilen sistemin ccediloumlzuumlmuuml

1221

12210 BABA

CBCBx

1221

21120 BABA

CACAy

(4)

Elde edilen sayılar verilen doğruların kesişim noktasının koordinatlarıdır Gerccedilekten x ve y iccedilin (4) ifadesinde elde edilen değerleri (1) sisteminde değiştirirsek (1)rsquodeki denklemler oumlzdeşliklere doumlnuumlşecekler

1 2x ndash y ndash 5 = 0 ve x + 3y + 1 = 0 kesişen doğrular olduğunu goumlsteriniz

131

y bilinmeyenini yok ettikten sonra 7x ndash 14 = 0 elde edilir Oradan x = 2 olduğunu buluyo-ruz Bunu birinci denklemde değiştirmekle y = -1 elde edilir

bull A1B2 - A2B1 ne 0 koşulu verilen doğruların kesişimi iccedilin yeter şart olduğunu goumlstermek iccedilin A1B2 - A2B1 = 0 durumunu inceleyeceğiz Bu durumda verilen doğruların daha bir ortak (x1 y1) noktaları varsa (2) ve (3) denklemlerinden

C1B2 - C2B1 = 0 ve A1C2 - A2C1 = 0 elde edilir

Son uumlccedil eşitlikten A2 = 2A1 B2 = 2B1 ve C2 = 2C1 olacak şekilde bir 2 reel sayısı vardır sonucuna varılır Gerccedilekten A1 ya da B1 sayılarından biri sıfırdan farklı ise B1ne 0 olduğunu

alabiliriz ve 2

1

BB

2 koyarsak A1 B2 - A2B1 = 0 eşitliğinden A2 = 2A1 gerekir C1 B2 - C2 B1 = 0

denkleminden de C2 = 2C1 gerekir Demek ki 2 ne 0 reel sayısıyla ccedilarpmakla birinci doğrunun denkleminden ikinci doğrunun denklemi elde edilir Bu ise demektir ki verilen doğrular ccedilakışık durumdadır O halde iki doğrunun ccedilakışık olma koşulu şu şekilde ifade edilir

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

bull A1 B2 - A2 B1 = 0 ve paylardan biri C1 B2 - C2 B1 ya da A1 C2 - A2 C1 sıfırdan farklı ise (1) sisteminin ccediloumlzuumlmuuml yoktur Demek ki doğrular birbiriyle paraleldir Buna goumlre doğrular birbiri-ne paralel olmak iccedilin gerek ve yeter koşul şu şekilde ifade edilebilir

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

2 3x ndash 2y + 5 = 0 ve 4y ndash 6x -1 = 0 doğruları birbirine paralel olduklarını goumlsteriniz

1

5

4

2

6

3

olduğuna goumlre doğrular birbirine paraleldir

592 İki Doğru Arasındaki Accedilı İki Doğrunun Dik Olma Şartı

Denklemleri accedilık şekilde verilmiş olan iki doğru verilmiş olsuny = k1 x + m1 ve y = k2 x + m2Doğruların oumltelenmesinde kesiştikleri accedilı φ değişmediğine goumlre verilen denklemlerle

belirlenen doğrular arasındaki accedilı

132

y = k1 x ve y = k2 xdoğruları arasındaki accedilıya eşit olacaktır O halde φ = a2 - a1rsquodir Denklemin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanırsa

21

1212

1)(

3tgtgtgtgtgtg elde edilir

tg a1 = k1 ve tg a2 = k2 ile işaret edersek

21

12

1 kkkktg

3

elde edilir Bu şekilde elde edilen accedilı aslında birin-ci doğruyu kesişim noktası etrafında pozitif youmlnde ikinci doğruyla ccedilakışıncaya kadar doumlnduumlrmekle meydana gelen accedilıdır (şek19)

İki doğrudan biri y- ekseniyle paralel ise on-

lar arasındaki accedilı 2

olur a ikinci doğrunun

x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle oluşturduğu accedilıdır

1 y = 2x ndash 3 ve 3x + y ndash 2 = 0 doğruları arasındaki accedilıyı belirtinizBirinci doğrunun eğimi k1 = 2 ikincisinin ise k2 = -3 tuumlr

O halde 1)3(21

23

1 21

12

3kkkktg elde edilir Oradan da

4

3 elde edilir

Doğrular birbirine dik olduğu durumda 1

2 1

1122

13

tg

ctgtgtgk dir O

halde 2

1

1kk

elde edilir Buna goumlre iki doğrunun dik olma şartı

1

2

1

kk dir

İki doğrudan biri y- eksenine paralel ise bunlar birbirine diktir ancak ve ancak diğeri x- eksenine paralel ise

2 M (-1 1) noktasından geccedilen ve 3x ndash y + 2 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun denklemini belirtiniz

M noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi y + 1 = k (x - 1)rsquodir Bu demetten

Şek 19

133

verilen doğruya yani y = 3x ndash 2 doğrusuna dik olan doğruyu belirtmemiz gerekir Dik olma

şartına goumlre 1

3k elde edilir Buna goumlre aranılan doğrunun denklemi x + 3y + 2 = 0 oldu-

ğunu buluyoruz Doğrular genel denklemleriyleA1 x + B1y + C1 = 0 ve A2 x + B2y + C2 = 0

verildiği durumda k1 ve k2 eğimlerini A1 B1 A2 ve B2 katsayılarıyla ifade ederken

11

1

AkB

ve 22

2

AkB

elde edilir Oradan iki doğru arasındaki accedilı iccedilin

2121

2112

BBAABABAtg

3 za 02121 BBAA i 2

3 za 02121 BBAAise ve

lsquodirDoğrular genel şekilde verildiği durumda iki doğrunun dik olma şartı

02121 BBAA olur

Alıştırmalar1 Verilen doğrulardan hangileri kesişen hangileri paralel hangileri ise ccedilakışık durumda-

dır Doğrular kesiştikleri durumda kesim noktasını bulunuza) 3x - 2y + 1 = 0 ve 2x + 5y - 12 = 0b) 3x + y - 17 = 0 ve 6x + 2y + 12 = 0c) 2x - y + 3 = 0 ve 6x - 3y + 9 = 0

2 Verilen doğrunun koordinat eksenleriyle kesişim noktalarını bulunuza) x + 10y - 5 = 0 b) 2x - 3y + 12 = 0

3 A (-2 3) noktasından geccedilen ve 5x ndash 6y + 7 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denk-lemini belirtiniz

4 2x ndash y + 7 = 0 ve 3x + y + 10 = 0 doğruları arasındaki accedilıyı hesaplayınız

5 A (-2 8) noktasından geccedilen ve y = 3 - 5 doğrusuyla 4

3 asccedilısını oluşturan doğru-nun denklemini belirtiniz

6 A (3 15) noktasından geccedilen ve 3x ndash 5y + 8 = 0 doğrusuyla 4

3 asccedilısını oluşturan doğrunun denklemini belirtiniz

134

510 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Koumlşelerinin koordinatları A (-55) B (7-3) ve C (31) olan ABC uumlccedilgenin ccedilevresini hesaplayınız

2 AB doğru parccedilasını 2 oranında boumllen M noktasının koordinatlarını belirtiniz

a) A(103) B(-2-5) ve 1

32 b) A(-2-5) B(135) ve 3

22

3 A(1 1) B(-1 3) ve C(2 0) noktaları bir doğru uumlzerinde bulunuyorlar A noktası CB doğru parccedilasını 2 oranında boumllerse 2 belirtilsin

4 Koumlşelerinin koordinatları A(00) B(3-2) ve C(15) olan ABC uumlccedilgenin alanını hesaplayınız

5 M 1(-72) ve M2(3-5) noktalarından geccedilen doğrunun denklemi

6 A(19) B(-2-3) ve C(-5-3) noktaları bir doğru uumlzerinde olduklarını ispatlayınız

7 A(-2-1) B(12) ve C(-14) noktaları veriliyor ABCD bir paralelkenar olacak şekilde D noktasının koordinatlarını belirtiniz

8 M (23) noktasından d doğrusuna uzaklığı belirtiniz а) 3х + 4у - 25 = 0 b) 12х - 5у + 4 = 0

9 Koumlşelerinin koordinatları A(32) B(54) ve C (14) olan ABC uumlccedilgenin kenarortaylarının denklemlerini yazınız

10 ABC uumlccedilgeni veriliyora) A(-81) B(12) ve C(-5-3) olduğuna goumlre T ağırlık merkezini belirtinizb) A(-48) B(1-7) ve C (75) olduğuna goumlre H otosantarını (yuumlksekliklerin kesişim nok-

tasını) belirtiniz

11 M noktası x ndash y + 5 = 0 doğrusuna goumlre N (32) noktasının simetriğidir M noktasının koordinatlarını belirtiniz

12 Bir karenin iki kenarı 5x ndash 12y ndash 65 = 0 ve 5x ndash 12y + 26 = 0 doğruları uumlzerindedir Karenin alanını hesaplayınız

13 M(-38) noktasından geccedilen ve koordinat eksenleriyle alanı P = 6 birim olan uumlccedilgeni oluşturan doğrunun denklemi yazılsın

14 Koumlşelerinin koordinatları A(-21) B(34) ve C(1-2) olan ABC uumlccedilgenin yuumlkseklikleri-nin eğimini belirtiniz

135

Konu Oumlzetleri

Dik accedilılı koordinat sistemi birbirine goumlre dik olan ve koordinat eksenleri diye adlandı-rılan iki eksenden oluşur İki eksenin kesiştiği noktaya koordinat başlangıcı ya da orijin denir ve O ile işaret edilir Yatay eksene x- ekseni ya da apsis ekseni dikey eksene ise y- ekseni ya da ordinat ekseni denir Koordinat sisteminin ait olduğu duumlzleme koordinat duumlzlemi denir

P noktasının durumu reel sayılardan oluşan bir (xy) sıralı ccedilift iyle tamamen bellidir Bu sıralı ccedilift e P noktasının koordinatları denir Bu durumda x sayısına birinci koordinat ya da apsis y sayısına ise ikinci koordinat ya da ordinat denir

Koordinat eksenleri duumlzlemi doumlrduumlller denilen doumlrt kısma ayırıyorlar I doumlrduumll olarak uumlst sağ kısım II doumlrduumll uumlst sol kısım III doumlrduumll alt sol kısım ve IV doumlrduumll alt sağ kısım olarak alınır

Koordinat duumlzlemine ait M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık d şu formuumllle hesaplanır

212

2

12 yyxxd

Uccedil noktaları A(x1 y1) ve B(x2y2) olan AB doğru parccedilasını 2 oranında boumllen M (x y) noktasının koordinatları şu formuumlllerle hesaplanır

22

1

21 xxx 22

1

21 yyy

pq

2 olduğu durumda

qppxqxx

21 qppyqyy

21

formuumllleri kullanılabilirOumlzel durumda M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise 2 = 1rsquodir ve

221 xxx

2

21 yyy

elde edilir Bu formuumlller orta noktanın koordinatlarıdırM1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktaları verilen bir uumlccedilgenin koumlşeleri ise alanı şu for-

muumllle hesaplanır

136

|)()()(|

2

1

|)()()(|2

1

213132321

213132321

yyxyyxyyx

xxyxxyxxyP

P

Uumlccedilgenin alanını hesaplamak iccedilin kullanılan bu formuumll uumlccedil noktanın bir doğru uumlzerinde (doğrusal) olması iccedilin şart elde edebiliriz Uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde bulunduğu durumda bu noktalarla elde edilen uumlccedilgenin alanı sıfırdır

Doğrunun denklemi ve ccedileşitleri doğrunun accedilık şekli

mkxy

Burada k verilen doğrunun eğimidir m ise y- ekseninden kestiği doğru parccedilasıdır

doğrunun genel şekli

0 CByAx

doğrunun eksen parccedilalarına goumlre denklemi

1by

ax

Burada a ve b sayıları mutlak değerce doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerinden kestiği doğru parccedilalarıdır (eksen parccedilalarıdır)

M1(x1 y1) noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi

)( 11 xxkyy

M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) gibi iki noktalarından geccedilen doğrunun denklemi

)( 1

12

121 xx

xxyyyy

M1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) gibi uumlccedil noktanın doğrusal olma koşulu

)( 13

12

1213 xx

xxyyyy

Verilen M1(x1 y1) noktasından verilen Ax + By + C = 0 doğrusuna uzaklık şu formuumllle hesaplanır

137

22

11

BA

CByAxd

Ax1 + By1 + C1 = 0 ve Ax2 + By2 + C2 = 0 denklemleriyle verilmiş olan iki doğru kesişir ancak ve ancak

2

1

2

1

BB

AA

ve bu durumda kesişim noktasının koordinatları şu formuumlllerle verilmiştir

1221

12210 BABA

CBCBx

1221

21120 BABA

CACAy

ccedilakışıktırlar ancak ve ancak

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

Paraleldirler ancak ve ancak

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

y = k1 x + m 1 ve y = k 2 x + m 2 doğruları arasındaki φ accedilı şu formuumllle hesaplanır

21

12

1 kkkktg

3

İki doğrunun dik olma koşulu

1

2

1

kk

Ax1 + By1 + C1 = 0 ve Ax2 + By2 + C2 = 0 denklemleriyle verilmiş olan iki doğru arasın-daki φ accedilı şu formuumllle hesaplanır

2121

2112

BBAABABAtg

3

Bu durumda iki doğrunun dik olma koşulu

02121 BBAA olur

138

139

6 DİZİLER

61 Dizi Kavramı

Guumlnluumlk hayatta dizi biccediliminde sıralamalara ccedilok rastlıyoruz oumlrnek benzer veya farklı nes-nelerin dizisi Halbuki matematikte dizilerin oumlzel anlamı vardır

Sonlu ve sonsuz diziler vardır Sonlu dizilerde belli bir duumlzene goumlre sıralanmış sonlu sa-yıda nesneler ve bu durumda hangisi birinci hangisi ikinci vb olduğunu tam olarak belli olan gizilerdir Bir kuumlmenin beş elemanı olduğunu farz edelim Birinci elemanı a1 ikinci elemanı a2 uumlccediluumlncuumlsuumlnuuml a3 doumlrduumlncuumlsuumlnuuml a4 ve beşincisini a5 ile işaret edeceğiz Bu şekilde dizi a1 a2 a3 a4 a5 şeklinde yazılır ya da daha kısa a1 a2 a3 a4 a5 biccediliminde yazılabilir

Şunu da kaydedelim a1 a2 a3 a4 a5 elemanları herhangi bir kuumlmenin elemanları olabilir Matematikte bu elemanlar daha fazla durumlarda sayılardır (doğal tam rasyonel ya da reel) fakat sayı olması mecburi değildir

Oumlrnek her soumlz bir harfl er dizisi sayılabilir Bu durumda a1 a2 a3 a4 a5 elemanları bir alfabeye aittir 5 sayısı incelenen sonlu dizinin uzunluğudur ve uzunluk daima aynı değildir Oumlrnek ldquoekonomirdquo soumlzcuumlğuumlnuuml alalım Bunu yedi elemanlı sonlu bir dizi olarak sayabiliriz Uzun-luğu 7rsquodir Her sonlu dizi doğal sayılar kuumlmesinden 1 2 3 hellip incelenen kuumlmeye bir eşleme olarak algılayabiliriz Oumlrneğin ldquoekonomirdquo soumlzcuumlğuumlnuuml bir eşleme olarak alıyorsak

1 - е 2 - k 3 - o 4 - n 5 - о 6 - m 7 - i 8 - ј 9 - а şeklinde yazabiliriz

Buna goumlre şu sonuca varabiliriz Her sonlu dizi a1 a2 a3 a4 hellip an doğal sayılar 1 2 3 hellip nrsquoden incelenen diziye bir eşlemedir ve bu durumda i (1 i n ) elemanına karşılık gelen eleman i indisiyle işaret edilir ai bi xi hellipgibi Daha da a1 a2 a3 a4hellip an sonlu bir dizi kısa olarak (ai ) biccediliminde işaret edilir

Birccedilok durumlarda sonsuz dizilerle de işimiz olabilir Onları a1 a2 a3 a4 hellip ile ya da daha kısa (ai) biccediliminde işaret ediyoruz ai elemanı i yerde olan elemandır 4 5123i Bunlar genellikle bazı sayılar olduğundan ilerde reel sayılar olduğunu sayacağız

Tanım 1 Dizi doğal sayılar kuumlmesinden reel sayılar kuumlmesine bir eşlemedir

140

Demek ki dizi denilince sosuz diziyi kastedeceğiz aksi halde sonlu dizi soumlz konusu olun-ca sonlu dizi diye ifade edeceğiz

1 1 3 5 7 9 11 13 hellip dizisini inceleyelim Bu durumda eşleme f (1) = 1 f (2) = 3 f (3) = 5 f (4) = 7 f(5) = 9 f (6) = 11 biccediliminde tanımlanmıştır bunu daha kısa olarak

f(n) = 2n ndash 1 ya da an = 2n ndash 1 şeklinde yazabiliriz

2 1na n

n dizisinin ilk birkaccedil terimi

2111 a 522

122 a

33333

133 a 254

4

144 a 25

5

155 a

vb

3 an = n2 + n +1 dizisinin ilk birkaccedil terimi a1 = 12 +1 +1 = 3 a2 = 22 + 2 +1 = 7 a3 = 32 + 3 +1 = 13 a4 = 42 + 4 +1 = 21 a5 = 52 + 5 +1 = 31 vb

4

na

n

n)1(

dizisinin ilk birkaccedil terimi

11 a 2

12 a

3

13 a

4

14 a

5

15 a

dir

5 an = 8 dizisinin birkaccedil terimi 8 8 8 88 8hellipdir Demek ki n indisine bağlı olmadan an teriminin değeri 8rsquodir an teriminin değeri daima sabit olan bu gibi dizilere sabit diziler denir

6 Genel terimi an = 3 + (-1)n dizisini inceleyelim n iccedilin 1 2 3 hellip değerler vermekle 2 4 2 4 2 4 2 4hellip dizisi elde edilir

Alıştırmalar

1 Dizi nedir Sonlu ve sonsuz dizi iccedilin birer oumlrnek yazınız

2 (an) dizisinin ilk 5 terimini yazınız

a) 2

1

nnan b)

2

1

nan v) n

na 2 g) na nn )1( а) b) c) ccedil)

3 (an) dizisinin nci terimini belirtiniz

а) an =

12 nn iccedilin n = 4 b) an = nn iccedilin n = 3 c) an = 3n iccedilin n = 4

4 Genel terimi an = (-1)nn olan dizinin nrsquoin hangi değeri iccedilin değeri 2010rsquodur

141

5 nrsquoin hangi değeri iccedilin genel terimi an = 4n ndash 5 dizisinin terimi 999 olur

6 Genel terimi verilmiş olan dizinin doumlrduumlncuuml terimini belirtiniz

a)

1

1

nnan b)

1

1

nan v) n

na )2( g) 3na

b) c) d)a)

7 İlk beş terimi verilmiş olan dizilerin genel terimini ifade edecek formuumll belirtiniz а) 3 5 7 9 11 b) 1 4 9 16 25 c) 1 3 1 3 1

d) 12

13

14

15

1

e) 4 2 12

14

1

62 Artan ve Eksilen Diziler

Dizilerin bazı oumlzellikleri vardır Bu oumlzellikler genellikle dizilerin artma ve eksilme koşul-larıdır

Tanım 1 (an) dizisi iccedilin bull her k doğal sayısı iccedilin

ak+1 gt ak (1) oumlzelliği varsa dizi kesin anlamda artandır (ya da kesin anlamda monoton artandır)

bull her k doğal sayısı iccedilinak+1 lt ak (2)

oumlzelliği varsa dizi kesin anlamda eksilendir (ya da kesin anlamda monoton eksilendir) bull her k doğal sayısı iccedilin

ak+1 le ak (3) oumlzelliği varsa artandır (ya da eksilmeyendir)

bull her k doğal sayısı iccedilinak+1 ge ak (4)

oumlzelliği varsa dizi eksilendir (ya da artmayandır)

Bir dizinin kesin anlamda artan olması iccedilin koşul (1) gereğince dizinin her terimi kendinden oumlnce gelen terimden buumlyuumlk olmalıdır

1 Genel terimi an = 3n ndash 2 ile verilmiş olan diziyi inceleyelim a1 lt a2 lt a3 lt a4 lt yani 1 lt 4 lt 7 lt 10 lt hellip olduğuna goumlre bu dizi kesin anlamda artandır Bunu doğrudan doğruya goumlsterelim an+1 - an = 3(n +1) - 2 - [3n - 2] = 3n + 3 - 2 - 3n + 2 = 3 gt 0demek ki her doğal sayı n iccedilin an+1 gt an geccedilerlidir

Bir dizinin kesin anlamda eksilen olması iccedilin koşul (2) gereğince dizinin her terimi ken-dinden oumlnce gelen terimden kuumlccediluumlk olduğunu ifade etmektedir

142

2 Genel terimi 1na

n olan diziyi inceleyelim 1 2 3 4 a a a a yani

1 1 1 11

2 3 4 5 olduğuna goumlre dizi kesin anlamda eksilendir Bunu doğrudan doğruya

goumlsterelim0

)1(

1

)1(

)1(1

1

11

nnnnnn

nnaa nn

demek ki her doğal sayı n iccedilin an+1 lt an geccedilerlidir

Bir dizinin artan ya da eksilmeyen olması iccedilin koşul (3) gereğince dizinin her terimi kendinden oumlnce gelen terimden buumlyuumlk ya da eşit olduğunu yani kendinden oumlnceki terimden kuumlccediluumlk olmadığını ifade etmektedir

3 Şu diziyi inceleyelim 11223344hellip Bu dizinin terimleri iccedilin 1 le 1 le 2 le 2 le 3 le 3 le 4 geccedilerli olduğuna goumlre dizi eksilmeyendir Dizi kesin anlamda artan değildir ccediluumlnkuuml ikinci terimi birincisinden buumlyuumlk değildir o halde daha fazla inceleme iccedilin gerek yoktur

Bir dizinin eksilen ya da artmayan olması iccedilin koşul (4) gereğince dizinin her terimi ken-dinden oumlnce gelen terimden kuumlccediluumlk ya da eşit olduğunu yani kendinden oumlnceki terimden buumlyuumlk olmadığını ifade etmektedir

4

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

111

dizisini inceleyelim

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

111 66666666

olduğuna

goumlre dizi eksilendir ya da artmayandır ccediluumlnkuuml ikinci terimi birincisinden kuumlccediluumlk değildir o halde daha fazla inceleme iccedilin gerek yoktur

Şunu da ifade etmeliyiz ki her dizi (1) (2) (3) ve (4) oumlzelliklerinden birini sağlaması mecburi değildir Oumlrnek boumlyle bir dizi 12121212 hellip dir Halbuki bazı dizilerde bu oumlzellik-lerden hiccedilbiri sağlanmadığına rağmen belli bir k0 dan sonra dizinin terimleri (1) (2) (3) ve (4) oumlzelliklerinden birini sağlayabilir Boumlyle durumda dizi kesin anlamda artan eksilen artmayan ya de eksilmeyen olduğunu daha geniş anlamda anlaşmaya goumlre ifade edebiliriz

5

3 2 1 2

11

3

21

4

31

5

41

6

51

dizisini inceleyelim Bu dizi tanım 1 gereğince artan

değildir ccediluumlnkuuml 3gt2 doğru değildir Bu dizi daha geniş anlamda artandır diyebiliriz Ccediluumln-kuuml uumlccediluumlncuuml terimden başlayarak dizi artandır

2

11 lt

3

21 lt

4

31 lt

5

41 lt

6

51 lt

Bu anlaşma gereklidir

ccediluumlnkuuml bize daha ccedilok n indisinin buumlyuumlk değerleri iccedilin dizinin nasıl olduğu ilgilendirir

6

1 2 1 2 1 2

11

3

11

4

11

5

11

6

11 dizisini inceleyelim Bu dizi tanım 1 gereğince ek-

silen değildir fakat geniş anlamda eksilen olduğunu sayabiliriz ccediluumlnkuuml altıncı

143

terimden başlayarak dizi eksilendir 2

11 gt

3

11 gt

4

11 gt

5

11 gt

6

11 gt

Alıştırmalar

1 Hangi diziler kesin anlamda artan eksilen artmayan eksilmeyendir

2 Kesin anlamda artan eksilen artmayan eksilmeyen diziler iccedilin oumlrnekler yazınız

3 1

nna

n

dizisi artan yoksa eksilen midir

4 Şu dizilerden hangisi kesin anlamda artan hangisi ise eksilendir

a) 2

n

nan b) nna3

1 v)

12 )1(

1

nn na g) 52 n

na d) n

an

n5

а) b) c) d) e)

5 a) Bir dizi aynı zamanda hem artan hem de eksilen olabilir mi b) Sabit dizi artan yoksa eksilen midir

6 a pozitif sayısının hangi değeri iccedilin nna a dizisi

a) artan b) eksilen c) sabittir

63 Aritmetik Diziler

Bu başlıkta iki oumlzel diziden bahsedeceğiz Aritmetik diziler ve geometrik dizilerDoğal sayılardan oluşan 1 2 3 4 5 6 7 hellip diziyi inceleyelim Bu dizide 2 ndash 1 = 3 ndash 2 =

4 ndash 3 = hellipya da genel olarak iki ardışık terimin farkı daima eşittir Bu oumlzellikten yararlanarak şu tanımı kabul edeceğiz

Aritmetik dizilerinden daha birkaccedil oumlrnek inceleyelim

Tanım 1 Bir (an) dizisinde iki ardışık terimin farkı an+1 - an daima sabit kalıyorsa yani n doğal sayısına bağlı değilse ya da an+1 - an = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (an) dizisine aritmetik dizisi denir d sayısına ortak fark denir

144

1 -4 -1 2 5 8 11 14 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime 3 katmakla elde edilir yani - 4 + 3 = -1 -1 + 3 = 2 2 + 3 = 5 5 + 3 = 8 8 + 3 = 11 Bu durumda d = 3rsquotuumlr

2 5 3 1 -1 -3 -5 -7 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime -2 katmakla elde edilir yani 5 - 2 = 3 3 - 2 = 1 1 - 2 = -1 -1 - 2 = -3 - 3 - 2 = -5 Bu durumda d = -2rsquodir

3 6 6 6 6 6 6 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime 0 katmakla elde edilir Bu durumda d = 0rsquodır Aslında her sabit dizi aritmetik dizidir

Şunu fark edebiliriz bir aritmetik dizisinin ilk terimi ve ortak farkı verildiğinde dizinin tuumlm terimlerini bulabiliriz Bunu aşağıdaki şekilde yapacağız

2a = 1a + d

3a = 2a + d = 1a + d + d = 1a + 2d

4a = 3a + d = 1a + 2d + d = 1a + 3d

5a = 4a + d = 1a + 3d + d = 1a + 4d

6a = 5a + d = 1a + 4d + d = 1a + 5d

Bu youmlntemi devam ederek ak terimi iccedilin ak = a1 + (k - 1)d (1) elde edilir Bu aslında dizinin genel terimi iccedilin istenilen formuumllduumlr Gerccedilekten k = 1 iccedilin a1 = a1 dir a k+1 iccedilin yine aynısı elde edilir

1ka = ka + d = 1a +(k1) d + d = 1a + kd

Buna goumlre şu sonuca varılır Her doğal sayı k iccedilin şu formuumll geccedilerlidir

)1(1 dkaak

4 Bir ayakkabı fabrikasında ilk yıl 50 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiş ve her gelen yılda 3000 ccedilift ayakkabı iccedilin uumlretim artmıştır Fabrika kuruluşundan sekizinci yıl sonunda kaccedil ccedilift ayakkabı uumlretmiştir

ak ile fabrikanın kuruluşundan krsquocı yılın uumlretimini işaret edelim Yıllara goumlre uumlretim mik-tarları bir aritmetik dizisini oluşturdukları accedilıktır Dizinin ilk terimi a1 = 50 000 ve ortak fark d = 3 000rsquodir k = 8 iccedilin (1) formuumlluumlnden yararlanarak a8 = a1 + (8 - 1)d = 50000 + 7 bull 3000 = 71000 elde edilir

Demek ki fabrikanın kuruluşundan sekizinci yılında 71 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiştir

145

5 Bir aritmetik dizisinin ilk terimi 8 15 terimi ise 50rsquodir Ortak fark d ne kadardır(1) denklemini drsquoye goumlre ccediloumlzersek

11

k

aad k

elde edilir Verilen değerleri formuumllde yerine koyarsak

3

14

42

115

850

11

k

aad k

elde edilir

6 Bir aritmetik dizisinin ilk terimi ndash 3 ortak farkı d = - 2rsquodir Dizinin hangi terimi - 19 olduğunu bulunuz

(1) denklemini krsquoya goumlre ccediloumlzersek

11

d

aak k

elde edilir Verilen değerleri formuumllde yerine koyarsak

912

161

2

3191

2

)3(1911

daak k

elde edilir Demek ki dizinin dokuzuncu terimi ndash 19 olur k iccedilin ccediloumlzuumlm ancak doğal sayı oldu-ğu durumda kabul edilebilir

Alıştırmalar

1 150rsquoci tek sayı hangi sayıdır

2 75 ccedilift sayıyı hesaplayınız

3 Ortak farkı 23 ve 85 terimi 2708 olan aritmetik dizisinin ilk terimi belirtilsin

4 Verilen dizilerden hangileri aritmetik dizisidir а) 2 8 14 20 26 6n-4 b) 1 8 27 81 n3 c) 94 -1 - 6 -1114 - 5n d) 1 2 4 8 16 2n-1

5 Bir iş oumlrguumltuumlnuumln 1 Ocak 2000 yılında borcu 50 000 EUR olmakla her gelen yılda borccedil 3500 EUR azalmıştır Kaccedil yıl sonra borccedil 22000 EUR kalmıştır

6 Bir aritmetik dizisinin beşinci terimi 12 on ikinci terimi ise 33rsquotuumlr Aritmetik dizisinin ilk terimi ve ortak farkı ne kadardır

146

7 -3 1 5 9 13 17hellip aritmetik dizisinde ccedilift indisli yerlerdeki sayıları silersek nasıl dizi elde edilecektir

8 Banka hesabında bir miktar parası olan Yusuf her ay aynı miktar para hesabına yatı-rıyor Tasarruf yapmaya başladıktan 16 ay sonra Yusuf rsquoun 81 500 denarı 27 ay sonra ise 81500 denarı olmuştur Tasarrufa başlamadan oumlnce Yusuf rsquoun banka hesabında kaccedil parası varmış ve her ay banka hesabına ne kadar para yatırmıştır

64 Aritmetik Dizilerin Oumlzellikleri

A Şu oumlrneği inceleyelim1 1 4 7 10 13 16 sonlu aritmetik dizisi iccedilin1 +16 = 4 +13 = 7 +10 = 10 + 7 = 13 + 4 = 16 +1 geccedilerlidir

Genel olarak

nnnm aaaaaaa 12321

sonlu aritmetik dizisi verilmiş olsunŞu ccedilift leri inceleyelim

)( 1 naa )( 12 naa )( 23 naa )( 1mnm aa )( 1aan

burada indislerin toplamı n + 1rsquodir (1 + n = n +1 2 + (n -1) = n +1 3 + (n - 2) = n +1m + (n - m +1) = n +1 ) Bu ccedilift lere a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta olan terimler denir

dmaam )1(1

ve

dmnaa mn )(11

olduğuna goumlre onların toplamı

nmnm aadnaadmnadmaaa 111111 )1()()1(

Bu toplam m sayısına bağlı olmadığını goumlruumlyoruz Yani m = 123 hellip iccedilin

nmnm aaaa 1)1(

dirBununla şu oumlzelliği ispatlamış oluyoruz

10 Her aritmetik dizisinde uccedil terimler a1 ve an lsquoden eşit uzaklıkta olan terimlerin toplamı uccedil terimlerin a1 + an toplamına eşittir

2 5 7 9 11 13 15 17 hellip aritmetik dizisini inceleyelim n = 5 iccedilin (10) oumlzelliği 5 +13 = 7 +11 = 9 + 9 = 11 + 7 = 13 + 5 (= 18) n = 6 iccedilin ise bu oumlzellik

5 +15 = 7 +13 = 9 +11 = 11 + 9 = 13 + 7 = 15 + 5 (= 20)

147

B Ccedilok kez ilk terimi a1 ve ortak farkı d ile verilmiş olan bir aritmetik dizisinin ilk n te-riminin toplamını belirtmek gerekir Aranılan toplamı Sn ile işaret edeceğiz

nn aaaaS 321

Bu toplamı ters youmlnde yazarsak

geccedilerli olduğunu fark edebiliriz Bu iki denklemi taraf tarafa toplamakla

)()()()()(2 11211121 aaaaaaaaaaaaS nnnnnnn

elde edilir

3423121 nnnn aaaaaaaa

olduğuna goumlre 2Sn = n(a1 + an) elde edilir Ora-dan da

)(2

1 nn aanS

(1)elde edilir Bu formuumllde an = a1 + (n - 1)d değiştirmekle

])1(2[2

1 dnanSn

(2)formuumlluuml elde edilir Bu formuumll bir aritmetik dizisinin aranılan ilk n teriminin toplamıdır For-muumll a1 d n ve Sn buumlyuumlkluumlkleri arasındaki bağıntıyı goumlstermektedir ve bu buumlyuumlkluumlklerden her-hangi biri bilinmediğinde diğer uumlccedil bilinen buumlyuumlkluumlkle belirtilebilir

1 İlk n tek sayının toplamını hesaplayınız(2) formuumlluumlnde a1 = 1 ve d = 2 ile değiştiriyoruz

21 )2(

2))1(22(

2])1(2[

2nnnnndnanSn

2 Bir ayakkabı fabrikasında ilk yıl 50 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiş ve her gelen yılda 3000 ccedilift ayakkabı iccedilin uumlretim artmıştır Fabrika kuruluşundan sekizinci yıl sonuna kadar toplam kaccedil ccedilift ayakkabı uumlretmiştir

(2) formuumlluumlnde n = 8 a1 = 50 000 ve d = 3 000 ile değiştiriyoruz

3 Oumlrnek 2rsquodeki diziyi inceleyelim Dizinin ikinci terimi (7) ilk (5) ve uumlccediluumlncuuml (9) terimin aritmetik ortası olduğunu Uumlccediluumlncuuml terimi (9) ikinci terim (7) ve doumlrduumlncuuml terim (11) aritmetik

ortası olduğunu fark edebilirsiniz Bu oumlzellik genel olarak da geccedilerlidir

20 Vo proizvolna aritmeti~ka progresija ma e aritmeti~ka sredina od

1ma i 1ma odnosno za m1 va`i 2

11 mm

maaa

20 Her aritmetik dizisinde am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin aritmetik ortasıdır yani 1lt m iccedilin

211

mmm

aaa dir

148

4840001210004]30007500002[2

88 S

Demek ki ilk sekiz yılda toplam 484 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiştir

Alıştırmalar

1 Verilen sayıların aritmetik ortalamasını belirtiniz a) 15 ve 23 b) x + y ve x ndash y

2 Herhangi bir aritmetik dizisi verilmiş olsun Değeri 1 2 1

2na a ye eşit olan bir terimin

var olduğunu goumlsteriniz

3 Herhangi bir aritmetik dizisini seccediliniz ve

2kmkm

maaa

( mk )

geccedilerli olduğunu goumlsteriniz Bu ise am terimi am-k ve am+k terimlerinin aritmetik ortalamasıdır demektir Ondan sonra bu oumlzelliği genel durum iccedilin ispatlamaya ccedilalışınız

4 İlk n ccedilift sayının toplamını hesaplayınız

5 Bir aritmetik dizisinin 78 teriminin toplamı ne kadardıra) a1 = 5 ve d = 3 b) a1 = -2 ve d = 2

6 İlk n doğal sayının toplamı 1275rsquotir n ne kadardır

7 a7 + a11 = a5 + a20 geccedilerli olan bir aritmetik dizisi iccedilin ne diyebilirsiniz

65 Geometrik Diziler

Aritmetik dizilerde iki ardışık terimin farkı daima aynı sayı olduğunu goumlrduumlk Bu ders biriminde iki ardışık terimin boumlluumlmuuml daima sabit olan dizilerden soumlz edilecektir Bu diziler geometrik dizilerdir Tasarruf yatırımlarda faizin hesaplanması iccedilin bu dizilerden yararlanılır

149

Goumlruumllduumlğuuml gibi dizinin her gelen terimi kendinden oumlnce olan terimin q ne 0 sayısıyla ccedilarpılarak elde edilir a elemanı dizinin ilk terimidir q sayısına ise ortak boumllen ya da ortak ccedilarpandır denir ccediluumlnkuuml

2

32

aqaq

aqaq

aaqq

dir

1 3 6 12 24 48 96 hellip dizisi ilk terimi 3 ve ortak boumlleni 2 olan bir geometrik dizidir

2 ( )24

48

12

24

6

12

3

6

2 İlk terimi 2 ve ortak ccedilarpanı - 3 olan geometrik dizisini oluşturunuzAranılan dizi 2 2bull (-3) 2bull (-3)2 2bull (-3)3 ya da 2 -6 18 -54 hellip

3 İlk terimi 18 ortak boumlleni 1

3 olan dizi 18

8 63

18 2

3

6

3

2

9

2

27

2

q gt 1 ise geometrik dizi a1 gt 0 iccedilin artandır a1 lt 0 iccedilin ise eksilendir

4 1 2 4 8 16 32 64 128 hellip dizisinde a1 = 1 gt 0 ve q = 2 olduğuna goumlre dizi artandır

5 -1 -2 -4 -8 -16 -32 -64 -128 hellip dizisinde a1 = -1 gt 0 ve q = 2 gt 1 olduğuna goumlre dizi eksilendir

q = 1 ise dizi sabittir oumlrnek -5 -5 -5 -5 -5 hellip 0 lt q lt 1 olduğu durumda geometrik dizi a1 gt 0 iccedilin eksilendir a1 lt 0 iccedilin ise artandır

6

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

dizisinde a1 = 1 gt 0 ve

12

1q

olduğuna goumlre dizi eksilendir

7

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

dizisinde a1 = -1 lt 0 ve

12

1q olduğuna goumlre

dizi artandır

Tanım 1 q ne 0 olmak uumlzerea aq aq2 aq3 aq4 (1)

biccediliminden (an) dizisine geometrik dizi denir

150

q lt 0 ise dizinin terimlerinin işareti değişken olduğundan dizi ne artan ne de eksilendir Bunu oumlrnek 2rsquode goumlrebilirsiniz

(1) formuumlluumlnden şunları yazabiliriz

qaa 12 2

123 qqaa 3

134 qqaa

4145 qqaa

1

1 n

n qa (2)

Dizinin ilk terimi ve ortak ccedilarpanı bilindiğinde (2) formuumlluumlnden yararlanarak dizinin herhangi terimini belirtebiliriz

8 a1 = - 162 ve 1

3q olan bir geometrik dizisinin altıncı terimi (2) formuumlluuml gereğince

3

2

3

32)

3

1()162(

5

45

6

a

9 Bir geometrik dizisinin doumlrduumlncuuml terimi 162 altıncı terimi ise 1458rsquodir Dizinin ilk teri-mini ve ortak boumllenini belirtiniz

(2) formuumlluumlnden n = 4 ve n = 6 iccedilin162 = a1q3 ve 1458 = a1q5 denklemleri elde edilirİkinci denklemi birinci denklemle boumllmekle 9 = q2 ve oradan 3q elde edilir

q = 3 iccedilin birinci denklemden 1 3

1626

3a elde edilir q = -3 iccedilin birinci denklemden

1 3

1626

3a

elde edilir

Alıştırmalar

1 Bir geometrik dizisinin ilk iki terimi 41 ve 24rsquotuumlr Dizinin beşinci terimini belirtiniz

2 Verilen dizilerden hangileri geometrik dizilerdir а) 2 - 832 -1285122 bull (-4)n-1 b) 182781 n3 c) 94 -1 - 6 -1114 - 5n d) 1248162n-1

151

Geometrik dizisi olanların ilk terimini ve ortak boumllenini belirtiniz

3 a) İlk terimi 5 ve ortak boumlleni 15 olan geometrik dizinin beşinci terimini bulunuz b) İlk terimi 15 ve ortak boumlleni -2 olan geometrik dizinin yedinci terimini bulunuz

4 Duygu yıllık 6 faiz oranıyla bankaya bir miktar para yatırmıştır a) Yedi yıl sonra yatırdığı para yuumlzde kaccedil artacaktır b) Kaccedil yıl sonra banka hesabındaki para ana paranın en az iki katına ccedilıkacaktır

5 Ali ve Bekir bir bankaya aynı miktar para yatırmışlar Ali 3 faiz oranıyla 4 yıl iccedilin Bekir ise 4 faiz oranıyla 3 yıl iccedilin yatırmıştır Hangisi bankadan daha ccedilok para almıştır

6 Suumltte bakteri sayısı her 3 saatte iki katına artar 24 saatte bakteri sayısı kaccedil defa artacak-tır

66Geometrik Dizisinin Oumlzellikleri

A 1 1 2 8 32 128

2 sonlu geometrik dizisini inceleyelim

2

112823288322128

2

1 olduğunu fark ediyoruz

Bu oumlzellik genel durumda da geccedilerli olduğunu goumlstereceğiz 1 2 3 4 a a a a sonlu geo-

metrik dizisi verilmiş olsun 2 1 1 ve nn

aa a q aq olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak

nn

n aaqaqaaa 1112 elde edilir Ondan sonra 2 1

3 2 1 2 2q ve n n

na aa a q a aq q

ol-

duğundan elde edilir

Bu şekilde devam etmekle 1

1 ( 1) 1q ve k n

k n k k

aa a aq

buradan da

nknk

knk aaqaqaaa 11

11)1(

(1)

152

Endekslerin toplamı n + 1 olan ( a2 an-1) ( a3 an-2) ( a4 an-3) ( ak an-k+1) (an-1 a2) ccedilift lere a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta olan terimler denir Buna goumlre (1) eşitliği şu oumlzelliği ifade etmektedir

10 Her geometrik dizide a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ccedilarpımı uccedil terimlerin ccedilarpımına eşittir

20 Her geometrik dizisinde 1 lt m iccedilin

11 mmm aaa dir yani am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin geometrik ortasıdır

30 Her geometrik dizisinde k lt m iccedilin

kmkmm aaa dir yani am terimi am-k ve am+k terimlerinin geometrik ortasıdır

2 Şu geometrik dizisini inceleyelim 2 6 18 54 162 486 hellip n = 5 ve n = 6 iccedilin bu oumlzelliği yoklayalım

n = 5 iccedilin 2bull162 = 6bull54 = 18bull18 = 54bull6 = 16bull22 (= 324)n = 6 iccedilin 2-486 = 6-162 = 18-54 = 54-18 = 162-6 = 486-2 (= 972)

3 Oumlrnek 2rsquodeki diziyi inceleyelim İkinci terim (6) birinci (2) ve uumlccediluumlncuuml (18) terimle-rinin geometrik ortası uumlccediluumlncuuml terim (18) ikinci terim (6) ve doumlrduumlncuuml terim (54) sayılarının geometrik ortası doumlrduumlncuuml terim (54) uumlccediluumlncuuml terim (18) ve beşinci terim (162)rsquonin geometrik ortası olduğunu vb fark edebiliriz

Genel olarak 11 ve m

m m maa a a q

q

olduğuna goumlre

112)( mmm aaa te 11 mmm aaa

Buna goumlre şu oumlzellik geccedilerlidir

Benzer şekilde 20 oumlzelliğinin daha genelini ifade eden şu oumlzelliği de ispatlayabiliriz

4 3 ve 192 sayıları arasında verilenlerle beraber geometrik dizisi oluşturacak 5 sayı yerleştiriniz

Oumlnce a1 = 3 ve a7 = a1q6 den q ortak boumllenini belirtiyoruz a1 = 3 değerini değiştirmekle 3 q6 = 192 eşitliğinden q6 = 64 ve q = plusmn2 elde edilir q = 2 ise şu dizi elde edilir

153

3 6 12 24 48 96 192 hellip q = -2 ise 3 - 6 12 -24 48 -96 192

B Verilen geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamını Sn ile işaret edelim

11

21

2111 nn

n qaqaqaqaaS (1)

Bu denklemin her iki tarafını q ile ccedilarpmakla

nnn qaqaqaqaqaqS 1

11

31

211 (2)

(2) eşitliğinden (1) eşitliği ccedilıkarılırsa

11 aqaSqS nnn

oradan

)1()1( 1 nn qaqS

1

)1(1

qqaS

n

n (3)

elde edilir Bu ise bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamını ifade eden formuumllduumlr For-muumllde a1 q n ve Sn buumlyuumlkluumlkleri bulunur ve bu buumlyuumlkluumlklerden her biri bilinen diğer uumlccedil buuml-yuumlkluumlkle hesaplanabilir (3) formuumlluuml genellikle q gt iccedilin uygulanır q lt 1 olduğu durumda aynı formuumll şu şekilde yazılarak kullanılır

qqaS

n

n

1

)1(1 (4)

q = 1 ise bu formuumlller kullanılamaz ccediluumlnkuuml kesrin hem payı hem de paydası sıfır olur Halbuki bu durumda Sn = na1 olduğu accedilıktır

1 İlk terimi a1 = 3 ve q = 2 verilmiş olan geometrik dizisinin ilk 6 teriminin toplamını belirtiniz

n = 6 a1 = 3 ve q = 2 değerlerini formuumllde değiştirmekle

189633)164(312

)12(3 6

6

S

elde edilir2 İlk terimi a1 = 4 ve q = -3 verilmiş olan geometrik dizisinin ilk 7 teriminin toplamını

belirtinizn = 6 a1 = 4 ve q = -3 değerlerini formuumllde değiştirmekle

2188121874

)12187(4

13

)1)3((4 7

7

S

154

3 Ortak ccedilarpanı q = -1 olan geometrik dizisinin ilk 2k teriminin toplamını belirtiniz n = 2k ve q = --1 değerlerini formuumllde değiştirmekle

0

2

)11(

11

)1)1(( 1

2

12

aaSk

k

elde edilir Boumlyle bir sonun elde edilmesi doğaldır ccediluumlnkuuml bu dizi a1 - a1 a1 - a1 hellip biccedilimin-dedir

Alıştırmalar

1 Verilen geometrik dizisinin ilk 8 teriminin toplamını belirtiniz а) -13 - 9 b) 5 5 5 c)

1 2

1

4

1 d) 512 -256 128

2 Verilenlere goumlre geometrik dizisinin ilk terimini belirtiniz а) n = 8 q = 2 S6 = 765 b)

4n 3

2q 656 S

3 Bir geometrik dizisinin beşinci terimi 1

9 ve ortak ccedilarpanı 1

3 rsquodir İlk terimini ve ilk beş

teriminin toplamını belirtiniz Geometrik dizisini yazınız

4 Ahmet ocak ayında 20 000 denar maaş almıştır Yıl sonuna kadar maaşı her ay 3 art-mıştır Ahmet yıl boyunca toplam ne kadar maaş almıştır

5 a) 30 ve 120 b) ve xxyy

sayılarının geometrik ortasını belirtiniz

6 Herhangi bir geometrik dizisini seccediliniz ve 1 2 ve 3 oumlzelliklerini yoklayınız

7 Herhangi bir geometrik dizisi verilmiş olsun Verilen dizide değeri 1 2 1na a olan teriminin var olduğunu ispatlayınız

155

67 Konu Pekiştirme Oumldevleri

1 Ne artan ne de eksilen olan bir diziyi yazınız

2 1 4 16 25 36 hellip n2 hellip dizisinde 125 sayısına karşılık gelecek n indisli terim var mıdır

3 (an) dizisini tek indisli terimleri pozitif ccedilift indisli terimleri ise negatif tir Bu dizi artan ya da eksilen olabilir mi

4 İlk 1000 doğal sayının toplamını hesaplayınız

5 İlk terimi 7 ve yuumlzuumlncuuml terimi 53 olan aritmetik dizisinin ilk 100 teriminin toplamını hesaplayınız

6 a2 = 6 ve a45 = 74 olan aritmetik dizisinin ilk 46 teriminin toplamını hesaplayınız

7 1 ve 14 sayıları arasında a b c olmak uumlzere oumlyle uumlccedil sayı yerleştiriniz ki 2 a b c14 bir aritmetik dizisi olsun

8 Herhangi bir aritmetik dizisi iccedilin n ka a n k d geccedilerli olduğunu goumlsteriniz

9 Bir tuumlccar satranccedil tablosunu şu koşullara goumlre satıyormuş Tablonun birinci karesinde 1 denar ikinci karesinde 2 denar uumlccediluumlncuumlsuumlnde 3 denar vb olmak uumlzere son kareye 64 denar konulacaktır Tuumlccar satranccedil tablosunu kaccedil denara satıyormuş

10 İlk terimi 100 ve ortak boumlleni q = -1 olan bir geometrik dizisinin 2k + 1 teriminin toplamını belirtiniz

11 3 b 75 sayıları bir geometrik dizisi olacak şekilde b sayısını belirtiniz

12 Her geometrik dizide n kn ka a q geccedilerli olduğunu ispatlayınız

13 Her bakteri bir saatte ikiye katlanırsa başlangıccedilta 7 bakteri olan bir bitkide 8 saat sonra ne kadar bakteri olacaktır

14 Bir ccedilocuk ocak ayında kumbarasına 5 denar koyarak para biriktirmeye başlamıştır Ondan sonra her ay bir oumlnceki ayın iki katı kadar kumbarasına para koymuştur Yıl sonunda ccedilocuğun kumbarasında ne kadar para birikmiştir

156

15 a) 1 2 3 a a a dizisi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizisi ise 1 2 3a a a olduğunu ispatlayınız

b) 1 2 3 na a a a dizisi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizisi ise 1 2 3 na a a a olduğunu ispatlayınız

16 Bir geometrik dizisinde 2 3 1 7a a a a oumlzelliği varsa dizi iccedilin ne diyebilirsiniz

157

Konu Oumlzetleri

Dizi N doğal sayılar kuumlmesinden R reel sayılar kuumlmesine bir eşlemedir ak+1 gt ak ise dizi her doğal sayı iccedilin kesin anlamda artandır ak+1lt ak ise dizi her doğal sayı iccedilin kesin anlamda eksilendir

1k ka a ise dizi her doğal sayı iccedilin artmayandır

1k ka a 6 ise dizi her doğal sayı iccedilin eksilmeyendir

Her doğal sayı n iccedilin na M olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi uumlstten sınırlıdır denir

Her doğal sayı n iccedilin na M6 olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi alttan sınırlıdır denir

Hem uumlstten hem de alttan sınırlı olan dizilere sınırlı diziler denir

Her eksilen ve her artmayan dizi uumlstten sınırlıdır her artan ve her eksilmeyen dizi alttan sınırlıdır

Bir (an) dizisinde iki ardışık terimin farkı 1n na a daima sabit kalıyorsa yani n doğal sayısına bağlı değilse ya da 1n na a = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (an) dizisine arit-metik dizisi denir d sayısına ortak fark denir

Bir aritmetik dizisinin genel terimi

dnaan 11

Her aritmetik dizisinde am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin aritmetik ortasıdır yani 1lt

m iccedilin 2

kmkmm

aaa dir

Bir aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı

)(2

1 nn aanS

ya da

])1(2[2

1 dnanSn

q ne 0 olmak uumlzere a aq aq2 aq3 aq4 ku q ne 0 biccediliminden (an) dizisine geometrik dizi denir Bu dizinin genel terimi

158

11

nn qaa dir

Her geometrik dizide a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ccedilarpımı aqn uccedil terimlerin ccedilarpımına eşittir

Her geometrik dizisinde k lt m iccedilin m m k m ka a a rsquodir yani ma terimi m ka ve m ka terimlerinin geometrik ortasıdır

kmkmm aaa

Bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı

1

)1(1

qqaS

n

n dir

159

BİLEŞİK FAİZ HESABI

71 Bileşik Faiz Kavramı ve Hesaplanması

Bir miktar paranın faizinin hesaplanması basit ve bileşik faiz hesaplamasıyla yapılabilir Basit faiz bir yatırımın yatırım vadesi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranıdır

Bileşik faizde yatırılan miktar para her doumlnemde değişir yani her doumlnem sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle yatırım miktarı buumlyuumlr ve gelecek doumlnemde aynısı ana-para oluyor Buna goumlre bileşik faiz iccedilin şu tanımı kabul edebiliriz Bir yatırımın yatırım vadesi boyunca kazandığı faizin de yeni yatırım vadesinde yatırıma tabi tutulması sonucu elde edilen getiriyi goumlsteren faizdir Diğer bir deyişle faizin de faiz kazanmasıdır

Basit faiz 100

Kpti formuumlluumlyle hesaplanır (t yıl sayısıdır) Zaman aylar ile verildiğinde

1200

Kpmi formuumlluumlyle hesaplanır Bu durumda m ay sayısıdır ve zaman guumlnlerle ifade edilirse

36500

Kpdi formuumlluuml kullanılır (d ndash guumln sayısı)

1 24 000 denar temel kapital iccedilin 2 ayda 6 faiz oranıyla ne kadar faiz oumldenecektirVerilenlere goumlre K = 24 000 t = 2 ay p = 6rsquodır

1200

26240000

1200

Kpti 2400 denar

Basit ve bileşik faiz hesaplama yoluyla elde edilen faiz miktarlarının farkını goumlrmek iccedilin bir oumlrnekle karşılaştırma yapacağız Ondan sonra bileşik faizin hesaplanması iccedilin bir formuumll belirteceğiz

2 34 500 denar kapital bir bankaya 8 faiz ile doumlrt yıl yatırılmış olan para basit ve bileşik faiz ile ne kadar faiz getirir

Bir yılda 34 500 denar anapara basit faiz formuumlluuml ile

276034500100

8 denar faiz getirir

Faiz daima anaparaya hesaplandığına goumlre bu miktar hep aynıdır ve doumlrt yılda 2760 denarın doumlrt katı kadar faiz elde edilir Buna goumlre toplam faiz miktarı

7

160

834500 4 11040

100i denardır

Bileşik faiz hesabında ise her yıl sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle

anapara miktarı buumlyuumlr ve gelecek yıl aynısı anapara oluyor Buna goumlre birinci yılın faiz miktarı

1

834500 2760

100i denardır Halbuki artık ikinci yıl anaparası birinci yılın anaparası ve

birinci yılın faiz miktarıyla toplamına eşittir 34 500 + 2 760 = 37 260 denardır

İkinci yıl faiz miktarı 2

837260 29808

100i denar olur

Uumlccediluumlncuuml faiz miktarını hesaplamak iccedilin anapara yine buumlyuumlr ve 37260 + 29808 = 402408

denar olur O halde 3

8402408 3219264

100i denar olur Sonunda faizi hesaplanacak ana-

para 402408 + 3219264 = 43460064 olur Buna goumlre 4

843460064 34768

100i elde edilir

Doumlrt yıl iccedilin elde edilen faiz miktarı 1243686 denardır Goumlruumllduumlğuuml gibi bileşik faiz hesabıyla

hesaplanan faiz miktarı basit faiz hesabıyla elde edilen miktardan buumlyuumlktuumlr

Bileşik faizyılda bir defa iki defa ya da birccedilok defa hesaplanabilir Faizin hesaplandığı za-man aralığına faiz hesaplama vadesi denir Faiz yılda bir hesaplanarak yıl sonunda elde edilen faiz anaparaya eklenirse o halde yıllık faiz soumlz konusu olur Faiz yılda iki defa hesaplanarak ana paraya eklenirse faiz hesaplama vadesi 6 aydır ve yarım yıllık faiz hesaplaması soumlz konusu olur Benzer şekilde faiz hesaplama yılda doumlrt defa yapılırsa faiz hesaplama vadesi 3 aydır denir

Basit faiz hesaplamasında doumlrt temel buumlyuumlkluumlk K - anapara (temel kapital başlangıccedil miktar) i - faiz miktarı p ndash faiz oranı (yuumlzde olarak) 100 denar paranın zaman biriminde getirdiği faiz t - paranın faizde kaldığı suumlre ndash yıl olarak ya da daha kuumlccediluumlk zaman oumllccediluuml biriminde de

olabilir

Bu buumlyuumlkluumlkler bileşik faiz hesabının da temel unsurlarıdır halbuki burada ek olarak bi-leşik faizin temel unsuru

161

bir yıl esnasında faizin hesaplanma sayısı m yani yıllık doumlnem sayısı da katılmaktadır

Pratikte faiz doumlnemleriyle ilgili olarak faiz hesapları ccedileşitli işaretlerle işaretleniyorlar Oumlr-neğin faizin yıllık hesaplanması (a) ile yarım yıllık hesaplanması (soumlmestreli) (s) ile uumlccedil ayda bir hesaplamayı (kvartal) (q) ile ayda bir vadeyi (m) ile ve adı geccedilen her vadelik hesaplamalarda faiz oranı yıl bazında sayılmaktadır

Faiz oranı yıllık faiz oranı gibi verildiğinde pa biccediliminde işaret yazılır yarım yıllık faiz oranı olarak alınırsa ps işareti yazılır Uumlccedil aylık bazında da faiz oranı verilebilir ve bu durumda pq biccediliminde ya da aylık bazında olursa pm işareti yazılır Bu şekilde verilmiş olan faiz ora-nına nominal faiz oranı denir Nominal faiz oranı aslında baz kabul edilen faiz vadesinde yuumlz para biriminin buumlyuumlme miktarıdır

Ancak finansman ya da yatırımlarla ilgili kararlarda vade uzunluğu yıl olduğu kadar yıldan daha kısa suumlreli olabilir Oumlrneğin tahvil faizlerinin her altı ayda bir ya da uumlccedil ayda bir oumldenmesi ya da aylık uumlccedil aylık altı aylık vadeli hesap accediltırılmasında olduğu gibi Bu gibi durumlarda yıllık olarak verilen faiz oranından etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı) bulunarak işlem yapılmalıdır Etkin faiz oranını yıllık nominal faiz oranının (cari faiz ya da piyasa faiz oranı da denilen) yıl iccedilindeki doumlnem sayısına boumlluumlnmesiyle bulunur

Etkin faiz oranı nominal faiz oranının bir kısmı gibi belirtilir Oumlrnek nominal yıllık faiz oranı yıl bazında verilmiş iken altı ay vadeli bir hesap accediltırılırsa altı ay yılın yarısı olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak etkin faiz oranı da nominal faiz oranının yarısı olacaktır Nominal faiz oranı yıl bazında faiz hesaplama vadesi aylık ise etkin faiz oranı nominal faiz oranının on ikide biri olacaktır Benzer şekilde nominal faiz oranı soumlmestreli (yarım yıllık) olduğunda uumlccedil aylık faiz vadesi iccedilin etkin faiz oranı nominal faiz oranının yarısına eşittir ccediluumlnkuuml uumlccedil aylık doumlnem altı aylık faiz vadesinin yarısıdır Nominal faiz oranı uumlccedil aylık faiz hesaplama vadesi yıllık olduğu durumda bir yıla karşılık gelen etkin faiz oranı verilenden doumlrt kat buumlyuumlktuumlr ccediluumlnkuuml yıl uumlccedil ayın doumlrt katıdır Karşılaştırma yapmak iccedilin aşağıdaki tabloyu inceleyebilirsiniz Orada m = 2 m = 1 m = 4 m = 12 ve benzer

Faiz vadesi Nominal faiz oranı etkin (roumllatif) faiz oranıYarım yıllık (soumlmestral) 8 pa 4 psYıllık 8 ps 16 paUumlccedil aylı 8 pa 2 pqAylık 8 pa 0667 paİki yıllık 8 ps 32İki aylık 8 pa 1333

Her doumlnem sonunda faiz hesaplanarak anaparaya katılırsa doumlnem sonu (dekurzif) faiz-lenme soumlz konusu olur boumlyle durumda faiz oranı pa(d) ile işaret edilir Doumlnem sonu faizlen-menin faiz hesaplaması başlangıccedilta yatırılan anaparaya goumlre uygulanmaktadır

162

Faizlenme her doumlnem başlangıcında yapılırsa doumlnem başı faizin hesaplanması iccedilin temel değer doumlnem sonunda elde edilen anaparadır bu işleme doumlnem başı (antisipatif) faizlenme denir ve pa(a) ile işaret edilir

İki şekilde verilmiş olan (doumlnem sonu ve doumlnem başı ) faiz oranlarından hangisi daha kacircrlı olduğunu anlamak iccedilin her ikisini aynı şekilde ifade etmemiz gerekir Bu durumda aynı anaparadan bir yılda aynı faiz miktarı yani aynı birikim K1 elde edilmesi oumlnemlidir Faizinin belirtilmesi istenilen temel değer (anapara) K verilmiş ve faiz oranları pa(a) ve p pa(d) verilmiş olsun Faiz hesaplama şeklinin tanımlarına goumlre doumlnem sonu faizlenmede hesaplanan

anaparaya katılır ve yıl sonunda 1

1001

100 100

p pK K K 13

değeri elde edilir doumlnem başı

faizlenmede borccedillu faiz miktarını faiz oranıyla oumlnceden oumldemelidir Bu demektir ki birin-

ci doumlnem başlangıcında hesaplanan faiz temel değerden ccedilıkarıldığına goumlre K değerini değil

1 1 1 1100 100

K K K K 13

değerini ccedilekebilir Bu durumda anaparanın başlangıccedil değeri

1 1 1 1100 100

K K K K 13

rsquodir Oradan 1

100

100K K

olur K1rsquoin son değerlerini eşitle-

yerek 100

100

pK 100

100K

eşitliği ya da 100

100

p 100

100

denklemi elde edilir pa(a)

faiz oranı belli olduğu durumda doumlnem sonu faiz oranını 100

100p

formuumlluumlyle hesapla-

yabiliriz p pa(d) belli olduğu durumda ise doumlnem başı faiz oranı 100

100

pp

formuumlluumlyle

hesaplanabilir

3 Bir banka 6 pa(d) faiz oranıyla diğer bir rakip banka ise 57 pa(a) faiz oranıyla borccedil veriyorlar Hangi bankanın faiz oranı daha uygundur

Her iki faiz oranını karşılaştıracağız Halbuki oumlnce dekurzif faiz oranını doumlnem başı faiz oranına ve tersine doumlnuumlştuumlrmemiz gerekir

163

Doumlnem sonu faiz oranını doumlnem başı faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlyoruz 100 100 6

100 100 6

pp

566 pa(a) elde edilir Buna goumlre 57 pa(a) faiz oranı veren banka

daha hesaplıdırBuna inanmak iccedilin ters doumlnuumlşuumlmuuml de yapacağız Doumlnem başı faizi doumlnem sonu fai-

ze doumlnuumlştuumlruumlyoruz 100 100 57

100 100 57

604 pa(d) Buradan da goumlruumllduumlğuuml gibi goumlre

57pa(a) faiz oranı daha hesaplıdır

Alıştırmalar1 25 000 denar paradan 15 faiz oranıyla basit faizdea) 5 yılda b) 3 ayda c) 25 guumlnde

(30360) ve (k 365) zaman matrislerine goumlre ne kadar faiz getirir

2 Faiz oranı 5 basit faiz ile yatırılan bir temel kapital K kaccedil yıl bankada yatırılmalıdır ki elde edilen faiz miktarı temel değere eşit olsun (Not K = I)

3 34 500 denar borccedil iccedilin basit faiz hesabına goumlre 4 yılda toplam 6 900 denar faiz oumldenmiş-tir Faiz oranı ne kadardır

4 Yatırılan hangi anaparaya 6 faiz oranıyla 3 540 denar faiz miktarı oumldenmiştira) 4 yılda b) 8 ayda

5 Bir bankaya aralarındaki fark 12 000 denar olan iki farklı kapital yatırılmıştır Buumlyuumlk olan para miktarı 4 faiz oranıyla bir yıl iccedilin kuumlccediluumlk olan para miktarı ise 6 faiz oranıyla 10 ay vadeyle yatırılmıştır Her iki kapitalin getirdiği faiz miktarı eşit olduğuna goumlre iki farklı ka-pitalin toplamını hesaplayınız

6 Verilen 12 pa nominal yıllık faiz oranı iccedilin şunları belirtiniza) yarım yıllık vadeli etkin (roumllatif) faiz oranınıb) uumlccedil aylık vadeli etkin faiz oranınıc) aylık vadeli etkin faiz oranını

7 Uumlccedil aylık nominal faiz oranı 2 pq verilmiş olduğu halde şunları belirtiniza) yarım yıllık etkin faiz oranını

164

b) yıllık etkin faiz oranınıc) aylık etkin faiz oranını

8 10 doumlnem sonu faiz oranını doumlnem başı faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

9 10 doumlnem başı faiz oranını doumlnem sonu faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

10 Hangi faiz oranı daha kazanccedillıdır 6 pa(a) yoksa 65 pa(d)

72 Temel Değerin Gelecekteki Değerini Hesaplamak

Bileşik faiz hesaplamalarını yaparken faiz oranından başka temel paranın faiz vadesi so-nunda faiz miktarı kadar buumlyuumlmuumlş değerini de bilmek gerekir yani faizlenen değer ya da i i Bu durumda tuumlm faiz vadesinde elde edilen faiz miktarını temel değere katmakla elde edilen para miktarına temel paranın gelecekteki değeri denir Faizlenmesi yapılan temel değerin başlangıccedil miktarına şimdiki değer de denir

Başlangıccedilta doumlnem sonu faiz oranıyla işlem goumlren K para miktarını inceleyelim K1 K2hellip Kn sırasıyla birinci yıl sonunda ikinci yıl sonunda hellipn yıl sonunda elde edilen kapital olsun Bu değerler bir geometrik dizinin oluşturduğunu goumlstereceğiz Bu temel değerin yıllık p pa(d) faiz oranıyla n yılda nasıl değiştiğini inceleyeceğiz Hesaplanan her faiz miktarı doumlnem sonun-da anaparaya katıldığını ve ilerdeki doumlnemde buumlyuumlyen anapara temel kapital olarak alındığını

hatırlatalım Doumlnem sonunda kapitalin değeri birinci yıl sonunda 1 1

100 100

Kp pK K K 13 olur

ikinci yıl sonunda 2

12 1 1 1 1

100 100 100

K p p pK K K K 13 13

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - -

Aynı şekilde devam edersek n yıl sonunda

11 1 1 1

100 100 100

nn

n n nK p p pK K K K

13 13

elde edilir

Burada iki ardışık değeri Ks-1 ve Ks ayırırsak s yıl sonunda temel kapitalin toplam değeri ondan oumlnce gelen Ks-1 değerine hesaplanan faizin katılmasıyla Ks

165

miktarı elde edilir yani

1 1 1 1100 100

s s s sp pK K K K

13

olur

Buna goumlre herhangi iki ardışık temel miktarın oranı yani iki ardışık doumlnem sonundaki miktarların oranı

1001

1

pKK

s

s

olur

Accedilıktır ki K K1 K2 Kn değerleri ortak ccedilarpanı 1100

p olan bir geometrik dizi oluş-

turuyorlar Bu durumda verilen koşullara goumlre kapitalin son değeri iccedilin

n

npKK )

1001(

formuumlluuml elde edilir Bu formuumlluuml yukarıda adı geccedilen parametrelerle genişleteceğiz Bunlar bir yılda faiz doumlnem

sayısı m etkin faiz oranı daha doğrusu pm

burada p doumlnem sonu faiz oranıdır ve faizlenme

devrelerinin tuumlmuuml nmrsquodir Faiz vadelerinin tuumlmuuml aslında faizin hesaplandığı yıl sayısı ve faiz vade sayısının ccedilarpımıdır

Bu koşullarla yani bir yılda faiz doumlnem sayısı m olduğunda anaparanın gelecekteki de-ğeri iccedilin

nm

n mpKK )

1001(

formuumlluuml elde edilir

1100

prm

ccedilarpanına doumlnem sonu faiz katsayısı denir Bu katsayıyı anaparanın gele-

cekteki değer formuumlluumlnde değiştirirsek

nm

n KrK

formuumlluuml elde edilirNot 1 Ana paranın gelecekteki değerini daha kolay biccedilimde hesaplamak iccedilin i i şek-

linde işaret ettiğimiz faizin faizine ait oumlzel tablolar geliştirilmiştir Orada verilen faiz oranı iccedilin en ccedilok kullanılan parametreler oumlnceden hesaplanmış olduğuna goumlre hazır değerler gibi kullanı-labiliyorlar Oumlrnek ilk i i tablolarda faiz katsayısının değerlerini yani bir para biriminin son değerinin doumlnem sonu faiz katsayısıyla ccedilarpımını goumlstermektedir Orada rn değeri In

p ile işaret edilmiştir ve anaparanın gelecekteki değerini yılda bir faizin hesaplanmasıyla n yılda faiz oranı p pa(d) olduğunda

166

npn KK 7

formuumlluuml elde edilirFaizlenme yılda birccedilok defa yapılırsa formuumll

nm

mpn KK 7

şeklini alır Burada yıl sayısı faiz vadesi sayısıyla ccedilarpılır faiz oranı ise vade sayısıyla boumlluumlnuumlr Vade sayısı m ile işaretlenmiştir yani yılda kaccedil defa faizlenme yapıldığını goumlsteren sayı olarak goumlsterilir

1 25 000 denar para 20 yılda 8 pa(d) faiz oranıyla faiz hesaplaması yıllık vadeli yarım yıllık vadeli ve uumlccedil aylık vadeli olduğuna goumlre paranın gelecekteki değerini hesaplayınız

Verilenler K = 25 000 n = 20 p= 8 pa(d)a) Faiz hesaplaması yıllık vadeli olduğuna goumlre m = 1rsquodir Doumlnem sonu faiz katsayısı

81 108

100r rsquodir

Accedilıktır ki 20 20

20 25000 108 11652393K Kr denar olacaktır

b) m = 2 olsun yani faiz hesaplaması yarım yıllık vadeli olsun Doumlnem sonu katsayı 8

1 104100 2

r

anapara ise 40 40

20 25000 104 12002552K Kr denar olur Bu ise

yıllık faiz hesaplamasından fazla olduğu goumlruumlluumlyorc) m = 4 olsun yani faiz hesaplaması uumlccedil ayda bir vadeli yapılmış olsun Doumlnem sonu kat-

sayı 8

1 102100 4

r

anapara ise 80 80

20 25000 104 12188598K Kr denar olur

Doumlnem sonu faiz hesaplamasında faiz devrelerinin artmasıyla anaparanın (yatırımın) da gelecekteki değeri artar Yani faizin hesaplanması ne kadar daha sık yapılırsa rnm değeri de o kadar artar bununla yatırımın gelecekteki değeri de artar

Nominal faiz oranı bir yıldan az vade iccedilin verildiğinde yıllık faiz oranıyla ne olduğunu incelersek bu durumda yıllık faiz oranı etkin faiz oranı roluumlnuuml alacaktır p = 8 ps(d) ise bu faiz oranı sadece yarım yıl iccedilin geccedilerli olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak yıllık etkin faiz oranı 16 olur p = 8 pq(d) uumlccedil aylık vadeli faiz oranı ise etkin yıllık faiz oranı 32 olur

167

2 Başlangıccedil değeri 25 000 denar olan bir kapitalin p = 8 pm(d) faiz oranıyla faiz vadesi yılda doumlrt defa yani uumlccedil aylık faizin hesaplanmasıyla 5 yıl sonra gelecekteki değeri belirtilsin

Oumlnce yıllık etkin faiz oranını belirtmek gerekir bu ise yıllık 8 12 96 rsquodir Halbuki faiz

vadesi yılın doumlrtte biri olduğundan uumlccedil aylık vadeli faiz oranı 96

4 = 24 olur Bir aylık vade uumlccedil

ayda kaccedil defa geldiğini duumlşuumlnuumlrsek aynı sonuca varabiliriz Bir ccedileyrek yıl uumlccedil ay olduğundan 3 ∙ 8 = 24 elde edilir faizlenme işleminin toplam vade sayısı nm = 5 4 = 20rsquodir Anaparanın gelecekteki değeri

864732500024125000100

24125000

1004

812125000 20

2045

5 13

13

K

olduğuna goumlre K5 = 184660374 denar olduğunu buluyoruz

Sıradaki oumlrnekte bir anaparanın gelecekteki değerini hesaplarken bileşik faiz hesabının uygulanması ya da basit ve bileşik faiz karması kullanılmakla elde edilen farkı goumlreceğiz

3 1509 guumlnuuml 18000 denar yatırılmıştır Faiz oranı p = 6 ps(d) faiz hesaplanması uumlccedil aylık vadelerle yılın 3009 3012 3003 ve 3006 guumlnlerinde yapıldığında zaman matrisi (30 360) koşuluyla onuncu yılın 2807 guumlnuuml (ilk guumlnuuml dahil) yatırımın değeri ne kadar olacaktır

Yatırımın şimdiki değeri K = 18 000 faiz vadesi ccedileyrek yıl yani m = 4 faiz oranı p = 6 ps(d) yıllık roumllatif faiz oranı 12 pa(d) parametreleri verilmiştir

Karşılık gelen faiz katsayısının değeri

0314100

261

100

21

m

pr dir

Yatırımın faizde kalma zamanını belirtmemiz gerekir Yatırımın yapıldığı guumln 1509rsquoden faizin ilk hesaplama guumlnuumlne kadar sadece 15 guumln vardır Bu guumlnleri verilen zaman matrisine

goumlre yıl olarak ifade edersek 15

360t yıl olur Ondan sonra 3012 tarihine kadar yani yılın

sonuna kadar bir faiz devresi vardır İkinci yılın başlangıcından dokuzuncu yılın sonuna kadar toplam 8 yıl olduğuna goumlre toplam 32 faiz vadesi vardır Onuncu yıl boyunca 3006 tarihine kadar 2 tam vade ve yatırımın kaldırılacağı guumlne kadar daha 28 guumln vardır Demek ki toplam

35 tam faiz vadesi ve ilk yılın 15

360t ve onuncu yılın trdquo = 28 guumln = 28

360 yıl faiz zamanı elde

edilir

168

Yatırımın gelecekteki değerini sadece bileşik faiz hesabını kullanarak hesaplıyorsak za-manı tam vade sayısına kalan guumlnleri ise yıl olarak ifade edeceğiz Buna goumlre

951369031031031180004

360

284

360

15

3535 mtmtn rrKrK

denar elde edilir

Zamanın tamamını yıllarla ifade edersek tam vadeler 3 aylık yani 90 guumln olduğunu goumlz

oumlnuumlne bulundurarak 35 90

360

yıl olur O halde

31934

36018000 103 513699nK

denar olduğunu buluyoruz

Faizde kalma zamanının sadece tam vadelerine basit faiz hesabını uygulayarak bileşik ve basit faiz hesaplama kombinasyonu kullanalım

)100

1()100

1( 35 tprtpKKn

formuumlluumlnde sırasıyla oumlnce ilk yılın 15 guumlnuuml ondan sonra 35 tam faiz vadesi ve sonunda son yılın 28 guumlnuuml yazılarak 8651377)

360

28

100

121(031)

360

15

100

121(18000 35 nK

denar elde edilir

Demek ki basit ve bileşik faiz kombinasyonunu uygulayarak yatırımın gelecekteki değeri sadece bileşik faiz hesabı kullanarak elde edilen miktardan biraz farklaşıyorlar ve kombinasyon uygulayarak elde edilen gelecek değer biraz buumlyuumlktuumlr

Doumlnem sonu (sonra) ve doumlnem başı (peşin) faizlenme arasındaki temel fark konunun başlangıcında ifade edildiği gibi doumlnem sonu faizlenmede faiz miktarı doumlnem sonunda anapa-raya eklenir doumlnem başı faizlenmede ise faiz miktarı anaparaya peşin eklenir

Doumlnem başı faizde borccedillu faiz oranıyla K kapitaline gereken faiz miktarını peşin oumldeme yuumlkuumlmluumlluumlğuumlnuuml kabul etmiştir K1 K2 Kn birinci ikinci ve benzer şekilde n- yıl sonunda kapitalin değerleri olsun

Birinci vadesin başlangıcında borccedillu K değerini değil

100

100

1001

1001111

13

KKKKK değerini alabilecektir O halde birinci yıl sonun-

da borccedillunun yıllık (m = 1) faizlenme ile oumldeyeceği miktar

100

100

1001

1 KKK

elde edilir

169

İkinci yıl sonunda bileşik faiz hesaplandığına goumlre faiz tabanı birinci yıl sonunda elde

edilen miktardır yani şimdi 100

100K

dir Demek ki ikinci yıl sonunda

2

12100

100

100

10013

KKK

miktar oumldenmelidir Bu şekilde devam ederek faizlenmenin son nndash ci yılına geliyoruz ve ana-paranın gelecekteki değeri

n

nn KKK 13

100

100

100

1001

olur Doumlnem başı faizlenmede kapitalin son değerleri K K1 K2 helliportak boumlleni 100

1008

olan

bir geometrik dizi oluşturuyorlar n- ci doumlnem sonunda kapitalin değeri Kn ise 1n nK K 8

geccedilerlidir yani doumlnem başı faizlenmede n yıl sonra kapitalin değeri

nn KK 8 olur

1 100

1001

100

8

katsayısına doumlnem başı faiz katsayısı denir

Elde edilen formuumllleri bir yılda faiz doumlnem sayısı m etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı)

m burada yıllık doumlnem başı faiz oranıdır ve faiz suumlresinin toplam sayısı nm parametreleriyle

genişlettirirsek kapitalin gelecekteki değeri iccedilin şu formuumlluuml elde edeceğiz

nm

nm

n mmK

m

KK 13

13

100

100

100

100

Formuumllde doumlnem başı faiz oranının katsayısı 100

100

mm

8

koyarsak kapitalin gelecek-teki değerine ait

unm

n KK 8

formuumlluuml elde edilir

Not 2 i i tablolarında doumlnem sonu hesaplamada olduğu gibi n8 değeri I

n ile işaret

edilir ve yıllık faizlenmeyle şimdiki değerin (anaparanın) gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin şu formuumll elde edilir

170

nn KK 7

Buna karşılık faizin hesaplanması yılda birkaccedil kez yapıldığında yukarıdaki formuumll

nm

mn KK 7

şekline doumlnuumlşuumlr Bu durumda zaman faiz devreleriyle ccedilarpılır faiz oranı ise faiz doumlnem sayısıyla boumlluumlnuumlr

Son formuumlller doumlnem sonu faizlenme formuumlluumlyle aynıdır halbuki farklı faiz katsayıların-dan oumltuumlruuml elde edilen son değerler birbirinden farklıdır

4 Şimdiki değeri 25 000 denar olan kapitalin 20 yılda 8 pa(a) nominal faiz oranıyla yıllık yarım yıllık ve uumlccedil aylık faiz devreleriyle elde edilecek sonraki değeri ne kadardır

Oumldevdeki verilere goumlre K = 25 000 p = 8 pa(a) verilmiştira) Yıllık faiz devresi m = 1 olsun Oumlnce doumlnem başı faiz katsayısını hesaplıyoruz

0869618100

100

8

Kapitalin gelecekteki değeri 20 20

20 25000 108696 13249859K K8 elde edilirb) m = 2 olsun yani faizin hesaplanması yılda iki defa yapıldığını alalım

Peşin faiz katsayısı 100 200

104166667100 192

mm

8

olduğunu buluyoruz Buna goumlre

kapitalin gelecekteki değeri 40 40

20 25000 104166667 12796485K K8 denar olduğunu buluyoruz Goumlruumllduumlğuuml gibi yıllık faizlenmeyle elde edilen gelecekteki değer goumlre yarım yıllık faizlenme ile elde edilen gelecekteki değer biraz azalmıştır

c) m = 4 olsun yani faizin hesaplanması her uumlccedil ayda yani yılda 4 defa yapıldığını alalım

Peşin faiz katsayısı 100 400

1020408100 392

mm

8

olduğunu buluyoruz Buna goumlre kapitalin

gelecekteki değeri 80 80

20 25000 1020408 1258486K K8 denar olduğunu buluyoruzPeşin faiz hesaplanmasında faiz devrelerinin artmasıyla kapitalin gelecekteki değeri azal-

maktadırDoumlnem sonu ve peşin faizin hesaplanmasıyla elde edilen gelecekteki değerleri birbiriyle

karşılaştırırsak aynı koşullar altında doumlnem başı faizlenme ile doumlnem sonu faizlenmeden daha buumlyuumlk değer verir Buna goumlre borccedil kredi alındığında alacaklıya doumlnem başı faiz hesaplaması daha hesaplıdır borccedilluya ise doumlnem sonu faiz hesaplaması daha kacircrlıdır

5 2 yıl ve 6 ay oumlnce bankaya 60 000 denar yatırmış ve bir yıl ve 3 ay sonra 45000 denar ccedilek-memiz gerekir Faiz oranı 6 pa(d) faiz hesaplaması 3 aylık devrelerle yapıldığında bu guumlnden 3 yıl sonra yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır Aynı koşullar altında fakat doumlnem başı faizlenme ile paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır

171

Her miktarın ayrı ayrı gelecekteki değerini hesaplayacağız Yatırılan miktar iccedilin faiz suumlresi 55 yıl ccedilekilen miktar iccedilin faiz suumlresi bir yıl ve 3 ay ve bu guumlnden sonra 3 yıl sonraki toplam za-man suumlresi 1 yıl 9 aydır ya da 21 aydır (şek 1)

Şek1

Doumlnem sonu faiz katsayısından 01511004

61

r

yararlanarak miktarın 3 yıl sonra gelecekteki değeri

8333100151450000151600004500060000 72212

214

455 rrS

denar olduğunu buluyoruz

Peşin faiz hesaplanmasıyla faiz katsayısı 100 400

10152286 400 6

1004

8

dir Bu du-

rumda miktarın gelecekteki değeri

72212

214

455 0152281450000152281600004500060000 88S

elde edilir yani S = 3364462 denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 18 yıl 8 ay ve 20 guumln evvel 8pa(d) faiz oranıyla 20 000 denar yatırılmıştıra) faiz devresi yıllık b) faiz devresi uumlccedil aylık

olduğuna goumlre yatırılan paranın buguumlnkuuml değeri ne kadardır Hesaplamaları oumlnce bileşik faiz hesabıyla sonra bileşik faiz ve basit faiz kombinasyonuyla hesaplayınız

2 9000 denar ilk 5 yılda 6 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle ondan sonra daha 4 yıl 8 pq(d) faiz oranıyla ve aylık faiz devresiyle ve sonunda daha 2 yıl 7 ps(d) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık faiz devresiyle bir bankaya yatırılmıştır Yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

3 9000 denar ilk 5 yılda 6 pa(a) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle ondan sonra daha 4 yıl 8 pq(a) faiz oranıyla ve aylık faiz devresiyle ve sonunda daha 2 yıl 7 ps(a) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık faiz devresiyle bir bankaya yatırılmıştır Yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

172

4 2 yıl 3 ay oumlnce 40 000 denar ve buguumln daha 24 000 denar bankaya yatırılmıştır Faiz oranı 5 pa(d) ve yarım yıllık devrelerde faizin hesaplanmasıyla bu guumlnden doumlrduumlncuuml yılın sonuna kadar yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

5 Buguumln 30 000 denar bankaya yatırıyoruz uumlccedil yıl sonra ise 12 000 denar ccedilekecek ve beş yıl sonra daha 20 000 denar yatırılacaktır Faiz oranı 6 pa(d) ve faiz hesaplanması uumlccedil aylık olduğuna goumlre bu guumlnden 8 yıl sonra bankada ne kadar paramız olacaktır Faiz oranı 6 pa(a) uygulandığı durumda elde edilen gelecekteki değeri ilki ile kıyaslayınız

6 Doumlrt yıl oumlnce 30 000 denar ve buguumln daha 9 000 denar bankaya yatırılmış iki yıl sonra 36 000 denar ccedilekilecektir Yatırımlara 6 pa(d) faiz oranı ve yarım yıllık devrelerde faizin he-saplanması uygulanmaktadır Bu guumlnden sekiz yılın sonuna kadar yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

7 15 yıl oumlnce 7 000 denar 9 yıl oumlnce daha 4 000 denar bankaya yatırılmış ve 5 yıl oumlnce he-saptan 5 000 denar ccedilekilmiştir Faiz işlemi uumlccedil aylık devrelerle 5pa(d) faiz oranıyla yapıldığına goumlre paranın buguumlnkuuml değeri ne kadar olacaktır

73 Konform Faiz Hesabı

Doumlnem sonu yani faizin doumlnem sonu hesaplanması soumlz konusu olunca pratik nedenlerden dolayı şimdiye dek kullandığımız faiz oranlarından farklı bir cins faiz oranına ihtiyaccedil duyul-maktadır Bunun sebebi bir yılda faiz devrelerinin artmasıyla faiz miktarının artışının sonucu olarak doumlnem sonu faizlenmede kapitalin değeri de artar ve bazı anlaşmazlıklara sebep olabilir Etkin faiz oranını uygulamakla sadece ana değerin faizi değil faizin de faizi hesaplanmaktadır Bu durumda temel değerin yıllık faizlenme ile ve yılda birkaccedil defa faizlenme ile elde edilecek gelecekteki değerler arasında fark ortaya ccedilıkmaktadır Bu farkı ortadan kaldırmak istersek etkin faiz oranı yerine konform faiz oranı denilen faiz oranını uygulayacağız Bu faiz oranıyla faiz ister yıllık hesaplamayla ister yılda birkaccedil devreden faizin hesaplanmasıyla aynı faiz miktarı elde edilir Konform faiz oranını pkm ile işaret edeceğiz Bir yılda m defa faizlenme ile ve yılda bir defa faiz oranı p olmak uumlzere yapılan faizlenme ile aynı faiz miktarı veren konform faiz oranı şu iki formuumlllerin eşitlenmesiyle elde edilir

173

13

13

1001

1001

pKp

Km

mk

oradan da

13

13

1001

1001

pp mmk

elde edilir Bu denklemden konform faiz oranı iccedilin şu formuumll elde edilir

u f r

13

1

1001100

mmk

pp

Elde edilen konform faiz oranı daima etkin faiz oranından kuumlccediluumlktuumlr

1 Yıllık nominal faiz oranı p = 12 pa(d) olduğuna goumlre uumlccedil aylık konform faiz oranı ne kadardır Elde edilen faiz oranını etkin faiz oranıyla (roumllatif faiz oranıyla) karşılaştırınız On-dan sonra 10000 denar anaparanın her iki faiz oranıyla bir yıl sonunda gelecekteki değerlerini hesaplayarak karşılaştırınız

Faiz doumlnem sayısı m = 4rsquotuumlr Yukarıda elde edilen formuumllden 1100

121100 4

4

13

kp

287 elde edilir Diğer taraft an uumlccedil aylık etkin faiz oranı 12

43 olduğunu buluyoruz Gouml-

ruumllduumlğuuml gibi etkin faiz oranı konform faiz oranından buumlyuumlktuumlr Konform faiz oranını verilen

anaparaya uygulayarak gelecekteki değeri 3711198100

872110000

4

1 13

K

denar elde edilir

Etkin faiz oranını uygulamakla 112551004

12110000

4

1 13

K denar elde edilir

2 25000 denar 20 yılda nominal faiz oranı 8 pa(d) faizlenme yarım yıllık ve uumlccedil aylık olmak uumlzere konform faiz oranını kullanıldığında anaparanın gelecekteki değerini hesaplayınız

a) m = 2 olsun Yılda iki faizlenmeye karşılık gelen konform faiz oranı

92331100

81100

13

mkp dir Anaparanın gelecekteki değeri iccedilin

75511652103923125000100

1 40

40

20

13

mkp

KK elde edilir Bu şekilde elde edilen kapi-

tal roumllatif faiz oranıyla yapılan hesaplamaya goumlre elde edilen kapitalden kuumlccediluumlktuumlr halbuki yıllık faizlenme ile elde edilen kapital ile hemen de aynı olduğunu goumlrebiliriz

174

Oumlrnek etkin faiz oranını uygulayarak 521200251002

8125000

40

20 13

K

denar yıl-

lık faizlenme ile 93116523100

8125000

20

20 13

K

denar elde edilir

b) m = 4 olsun Konform faiz oranı 94311100

81100 4

13

mkp

Konform faiz

oranıyla kapitalin gelecekteki değeri 5111655501943125000100

1 80

420

20

13

mkp

KK

de-

nardır Etkin faiz oranını kullanmakla 98121885021250001004

81 80

80

20 13

KK

de-

nar elde edilir Yılda bir faizlenme işlemi yaparak К 20rsquorsquo = 211652393 denar elde edilir

Yıllık faizlenme ile ve doumlnem faizlenme ile yapılan işlemlerde kapitalin gelecekteki değe-riyle ilgili meydana gelen sapmalar Konform faiz oranında yapılan yuvarlamadan kaynaklanır

Alıştırmalar

1 Buguumln yatırılan 28 000 denar 2pq(d) faiz oranıyla yarım yıllık doumlnem faizlenme işle-mi uygulayarak 2 yıl 9 ay sonra hangi değere bağlı olacaktır Konform faiz oranını uygulayınız

2 Buguumln 20 000 denar yatırıp iki yıl sonra 7 500 denar ccedilekilecektir Faiz oranı 9 ps(d) doumlnem vadesi 3 ay olmak uumlzere bu guumlnden uumlccedil yıl sonra ne kadar paramız olacaktır

3 Bankaya 20000 denar a) etkin faiz oranı b) konform faiz oranı 8pa(d) ve faiz hesaplama vadesi 3 ay olmak koşullarıyla para yatırdık 10 yıl sonra ne

kadar paramız olacaktır

4 Uumlccedil aylık faiz vadesine ait 1467 konform faiz oranını yıllık faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

5 8 pa(d) faiz oranını veriliyor Yarım yıllık ve uumlccedil aylık faiz vadesine karşılık gelecek konform faiz oranını hesaplayınız

175

6 15 yıl oumlnce bankaya 7 000 denar 9 yıl oumlnce daha 4 000 denar yatırılmış 5 yıl oumlnce ise hesaptan 5 000 denar ccedilekilmiştir Faizin hesaplanması 3 aylık vadelerle ve 5 pa(d) faiz oranıyla yapıldığına goumlre hesabımızda buguumlne kadar ne kadar para birikmiştir Konform faiz oranını hesaplayınız

74 Yatırılan Paranın Başlangıccedil Değeri ve FaizMiktarının Hesaplanması

Bazı durumlarda belli bir zamanda belli faizlenme oranıyla ne kadar paraya ihtiyacımız olacağını biliyor fakat bunun iccedilin bankada ne kadar paranın yatırılması gerektiğini bilmiyoruz Aslında faiz oranını yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısını m ve faiz zamanı n ile biriken Kn değeri bilindiğine goumlre K başlangıccedil miktarını yani anaparayı hesaplamamız gerekir Verilen kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin elde ettiğimiz formuumllden temel değer iccedilin şu formuumllleri belirtebiliriz

nm

nnmn

mp

KrKK

)100

1( doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve

nm

nnm

n mKKK

13

1001

8 doumlnem başı faizlenme iccedilin

Biriken paranın başlangıccedil değerini bulma işlemine iskontolama ya da biriken değerin başlangıccedil değerini belirtme denir Faiz oranlarının ccedilarpımsal ters ve nm nmr 8 değerlerine is-konto katsayıları (faktoumlrleri) denir

Not 1 Burada oumlnemli olan i i tablolarından yararlandığımızda neler oluyor bilmemiz ge-rekir Doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlenmenin katsayıları na karşılık gelen ve

n npI I değerler

yanı sıra değerleri ikinci tabloda okunan 1n n

npp

rII I ve 1n n

nII I

8 iskonto katsayıları da

belirtilir İkinci tablolardaki değerler birinci tablolardaki değerlerin ccedilarpımsal tersleridir Buna

goumlre temel değerin başlangıccedil değerini belirtmek iccedilin formuumlllerfnpnKK 77

yıllık doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve urn

nKK 77 yıllık doumlnem başı faizlenme iccedilin şeklinde yazabiliriz

176

Tabi ki yılda birkaccedil defa faizlenme yapılıyorsa zaman suumlresi faiz doumlnem sayısıyla ccedilarpılır faiz oranı ise yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısıyla boumlluumlnuumlr Buna goumlre başlangıccediltaki temel değer

nm

mpnKK 77

doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve nm

mnKK 77

doumlnem başı faizlenme iccedilin for-

muumllleriyle hesaplanabilir

1 Faiz oranı 6 pa(d) ve yıllık faiz vadesiyle doumlrt yılda 68 000 denar biriktirmemiz gere-kirse bankaya ne kadar para yatırmamız gerekir

Burada m = 4 K4 = 68 000 p = 6 pa(d) olduğu accedilıktır Oumlnce faiz katsayısını ondan sonra

iskonto katsayısını hesaplayalım 6

1 106100

r Buna karşılık iskonto katsayısı 109434

r

elde edilir O halde başlangıccedil (yatırılması gereken) kapital 3538629434068000061

68000 4

4K

denar olduğunu buluyoruz

2 Hangi temel değer doumlrt yılda doumlnem suumlresi a) yarım yıl b) uumlccedil ay

olmak uumlzere yatırmalıyız ki gelecekteki değeri 10 000 denar olsun Temel değerin gelecekteki değeri K4 = 10 000 denardır Her iki durumu ayrı ayrı inceleye-

ceğiza)

041200

812 rm

demek ki

9730604110000 24 K

denardır

b)

021400

814 rm oradan

46728402110000 44 K denar elde edilir

3 Altı yıl oumlnce 27 000 denar borccedil alınmış on yıl sonra ise daha 36 000 denar borcun oumlden-mesi gerekir Oumlnceki borcumuzu oumldeme imkanı olmadığını varsayarak 4 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faizlenme ile buguumln tuumlm borcu birden oumldemek istersek hangi miktar parayı oumlde-meliyiz Aynı koşullarla fakat faizlenme doumlnem başı (peşin) olmak uumlzere hangi miktar parayı oumldemeliyiz

Borcu geriye ccedilevirmediğimiz takdirde onun değeri buguumlne dek faiz doumlnem sayısı 12 ve 2 ps(d) etkin faiz oranıyla elde edilecek faiz miktarı kadar artmıştır Demek ki oumldenmemiş borccedil buguumln

12

12

02127000200

4127000

13

olacaktır Aynı zamanda ikinci boru suumlresinden oumlnce

oumldediğimize goumlre değeri 10 yıl iccedilin geri iskontolanacaktır ve

20

20

02136000200

4136000

13

olacaktır (şek2)

177

Şek 2

Bu guumlnuumln toplam borcu hesaplanan her iki borcun toplamıdır Buna goumlre tuumlm borcu buguumln oumldersek aranılan miktar

S = 27000 bull 10212 + 36000 bull 102-20 = 584695 denardırFaizlenme doumlnem başı yapıldığı durumda faiz katsayısı 0204081

2100

100

8

denar olur Buna goumlre gereken para miktarı

S = 27000 middot102040812 + 36000 bull1020408-20 = 8833094 denardır

Bankaya yatırılan para miktarına (ya da geri ccedilevrilmesi istenen borca hesaplanan faiz mik-tarı ne kadardır sorusu da sorulabilir Kapitalin ilk ve gelecekteki değerlerini bildiğimize goumlre hesaplanan faiz miktarı aslında bu iki değerin farkı olduğu accedilıktır Faizlenmenin nndashci doumlnem sonunda hesaplanan faiz miktarını In ile işaret edersek faizlenme şekli ne olursa olsun onun değeri In = Kn ndash K formuumlluumlyle hesaplanır

Daha konkre olarak faiz oranı p ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olan doumlnem sonu faizlenmede faiz miktarı iccedilin

In = Kn - K = Krnm - K = K(rnm -1)formuumlluuml elde edilir burada r doumlnem sonu faiz katsayısıdır

Peşin (doumlnem başı) faizlenme durumunda faiz oranı ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olmak uumlzere faiz miktarı iccedilin

In = Kn - K = Kpnm - K = K(pnm -1)elde edilir burada 8 doumlnem başı faiz katsayısıdır

Aynı formuumlller para miktarının sadece son değeri yani gelecekteki değeri bilindiğinde de yazılabilir Bu durumda doumlnem sonu hesaplamada

nmnmnnnn rKrKKKKI 1

ve doumlnem başı hesaplamada

nmnmnnnn KKKKKI 88 1

olduğunu buluyoruz

Not 2 i i tablolarından yararlanıyorsak formuumlller doumlnem sonu hesaplama durumunda

13

7 1nm

mpn KI ve doumlnem başı hesaplamada

13

7 1nm

mn KI şeklinde ifade edilir Para

miktarının sadece gelecekteki değerini kullandığımız durumda aynı formuumlller

13

77 nm

mpnn KI 1

ve

13

77 nm

mnn KI 1 biccediliminde ifade edilir

178

4 On yıl oumlnce 6 pa faiz oranı bazında yarım yıllık faiz vadesiyle 10 000 denar para ya-tırılmıştır Bileşik faiz hesabına goumlre

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı faizlenme uygulayarak bu miktar paranın faiz miktarı ne kadardır

Kapitalin başlangıccedil değeri K = 10 000 denar etkin faiz oranı 3 ve bir yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m = 2 biliniyor Bu durumda toplam faiz doumlnem sayısı 60rsquotır

a) Doumlnem sonu faiz katsayısı 031100

31 r

olur Hesaplanan faiz miktarı 130 = K30 ndash K

= 10000 bull (10360 -1)= 48196 denar olduğunu buluyoruz

b) doumlnem başı faiz katsayısı 0309313100

100

8

olur Hesaplanan faiz miktarı I30 = K30

- K = 10000 bull(10309360 -1)= 521943 denar olduğunu buluyoruzSon oumlrnekten de goumlruumllduumlğuuml gibi doumlnem başı faizlenme alacaklıya doumlnem sonu faizlenme

ise borccedillulara daha uygun olduğunu kanıtlamaktadır

5 Buguumln yatırılan para bir yıl altı ay iccedilinde 36 000 denar paraya birikir Faiz oranı 8 pa ve faiz vadesi 3 ay olduğuna goumlre

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı biccedilimde hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

Kapitalin gelecekteki son değeri K15 = 36 000 denar m = 4 ve toplam faiz doumlnem sayısı 6 olduğunu biliyoruz

a) İskonto doumlnem sonu katsayısı

98040021

11

r

ve bu durumda hesaplanan faiz mik-

tarı

54031980401360001

1 6

65151 13

rKI

denardır

b) İskonto doumlnem başı katsayısı

980100

21001

8

ve bu durumda hesaplanan faiz mik-

tarı

6741099801360001 66

5151 8KI denardır

Alıştırmalar

1 20 yıl oumlnce bankaya yatırdığımız bir miktar paranın biriken buguumlnkuuml değeri 250000 denardır Faizde kaldığı suumlrede faizlenme vadesi 3 aylık ve faiz oranı

a) p = 6 pa(d) b) = 6 pa(a)olduğuna goumlre bankaya 20 yıl oumlnce ne kadar para yatırmışız

179

2 Bir kişi 2 yıl sonra 16 000 denar 5 yıl sonra 24 000 denar ve 8 yıl sonra 18 000 denar oumldemelidir Faiz oranı 6 pa yarım yıllık faizlenme ile

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı olmak uumlzere kişi borcun tuumlmuumlnuuml buguumln oumldemek isterse ne kadar para oumldemelidir

3 Bir kişi 38 yaş guumlnuumlnde bankaya 48 pa(d) faiz oranıyla ve aylık faiz doumlnemleriyle 50 000 denar para yatırıyor Tam bir yıl sonra yatırılan paraya ne kadar faiz oumldenmiştir

4 Bir kişi bankaya 50 000 denar para yatırmış ve iki yıl sonra hesaptan 30 000 denar ccedilekmiştir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle bu guumlnden beş yıl sonra zaman suumlresinde ne kadar faiz miktarı oumldenecektir

(Not Faiz miktarı iki kısımdan hesaplanmalıdır Bu guumlnden sonra iki yıl iccedilin ve para ccedile-kildikten sonra kalan para miktarı iccedilin faiz hesaplanacaktır)

5 Bir kişi doumlrt yıl oumlnce 24 000 denar olmak uumlzere borcunun bir kısmını oumldemiştir Uumlccedil yıl sonra daha 30 000 denar oumldemelidir Kişi borcunun hiccedilbir kısmını oumldememiş olduğu varsayı-mıyla iki yıl sonra borcun tuumlmuumlnuuml birden oumldemek iccedilin kaccedil para oumldeyecektir Yıllık doumlnem sonu faizlenme olmak uumlzere faiz oranı 6 pa olsun Doumlnem başı faizlenme durumunda ise ne kadar para oumldeyecektir

75 Faiz Doumlnem Sayısını ve Faiz Oranının Hesaplanması

Şimdiye dek elde edilen formuumlllerde n yıl sayısı olarak oumlnceden bilinen ve genellikle yıl iccedilinde faiz doumlnem sayısı tam olarak verilmiş şekilde ifade ediliyordu Zaman suumlresi yıl olarak değil başka şekilde verildiği durumlarda yine zaman suumlresini yıl bazına ccedilevirerek hesaplamaları yapıyorduk Bu ise pratikte oumlzellikle faizlenme zamanını hesaplarken ccedilok seyrek rastlanmak-tadır Verilen bir kapitalin belli miktarda faiz getirdiği zamanı ya da faiz doumlnem sayısının nasıl hesaplandığını goumlreceğiz Başlangıccedil kapital K doumlnem sonu faizlenme p pa(d) faiz oranıyla yıl iccedilindeki doumlnem sayısı m ve faiz suumlresi tam sayı olmak mecburiyetinde olmayan n yıl olsun

Kapitalin gelecekteki değerini hesaplayan formuumlluuml nm

n mpKK

13

1001 doumlnuumlşuumlmler yaparak

n faiz suumlresini bulalım Buna goumlre

nmn

mp

KK

13

1001

bu ifadenin logaritmasını alaraknm

n

mp

KK

13

1001loglog

elde edilir

180

Logaritma işleminin temel oumlzelliklerinden yararlanarak 13

mpnm

KK n

1001loglog

elde edilir

Formuumllde 1100

prm

doumlnem sonu faiz katsayısını katarak faiz suumlresine ait

KK

rmn nlog

log

1

formuumlluuml elde edilir10 tabanlı logaritmalar ccedilok sık e tabanına goumlre logaritma ile değiştirilir Boumlyle durumda

elde edilen formuumlluumln karşılığı olan

KK

rmn nln

ln

1

formuumll elde edilir

Benzer şekilde faizlenme doumlnem başı olduğu durumda faiz oranı pa(a) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olduğunu varsayarak kapitalin gelecekteki değer formuumlluumlnuumln logaritmasını almakla

13

mmnm

KK n

100

100loglog

elde edilir Bu ifadede 100

100

mm

8

doumlnem başı faiz katsayısını katmakla

8loglog nmKK n

elde edilir Bu şekilde faiz suumlresine ait

KK

mn nlog

log

1

8

formuumlluuml elde edilir

1 a) Yatırılan 25 000 denar para 6 pa(d) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra 2985131 denar olacaktır

b) Yatırılan 13200 denar paranın 8 pa(a) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra gelecekteki değeri 184257 denar olacaktır

Oumldevde verilen veriler zamanın hesaplanması iccedilin yukarıdaki formuumlluumln uygulanmasına yeterlidir Faiz katsayısını hesapladıktan sonra formuumllde yerine koyarak

a) 031200

61 r

oradan 325000

3129851log

031log2

1n

yıl elde edilir

b) 086956518100

100

8 oradan 4

13200

718425log

08695651log

1n yıl olduğunu bu-

luyoruz

181

Formuumllde uygulanan logaritma işlemi kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin elde edilen formuumllde bilinen tuumlm veriler değiştirildikten sonra da yapılabilirdi

Kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin kullanılan i i tablolarından zamanı da belirtebiliriz Bunu birinci i i tablodan okuyarak ya da kapitalin başlangıccedil değerine ait ikinci i i tablodan okuyabiliriz

2 Yatırılan 200 000 denar paraya yıllık faizlenme uygulayarak 5 pa(d) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra gelecekteki değeri 243 10125 denar olacaktır

Kapitalin gelecekteki değeri nn pK K I formuumlluumlnden faiz oranı katsayısı iccedilin

5

24310125121550625

200000

nI elde edilir Birinci finansal tabloda 5 faiz oranı boumlluumlmuumlnde

121550625 değeri n =4 satırına karşılık gelirHalbuki i i tablolardan yararlandığımızda bazı durumlarda aradığımız değer tam ola-

rak tabloda olmayabilir ancak aradığınız değer tablodaki iki değer arasında bulunabilir Boumlyle durumlarda doğrusal interpolasyon (ara kestirim) youmlntemi denilen kuralı uyguluyoruz Lineer interpolasyon youmlntemi denilen kuralın ilkesi aslında orantıların oumlzelliğine dayanır Yani tablo-da ardı sıra gelen iki değerin farkı onların peryotları arasındaki fark ile orantılıdır Bunu konkre bir oumlrnekle inceleyelim

3 Yatırılan 50 000 denar yarım yıllık faizlenme doumlnemleriyle 6 pa(d) faiz oranıyla ne kadar zaman sonra 75 000 denara birikecektir

Kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnde tabloları kullanarak 2

2

2

nn pK K I değerini

2 2

2

7500015

50000

n npn

KIK

elde edilir Birinci i i tabloda 3 etkin faiz oranına karşılık gelen

suumltunda 15 değerini bulamıyoruz Bu sayı 146853371 lt 15 lt 151258972 arasında bulunmak-tadır Bunlara karşılık gelen satırlardan kuumlccediluumlk değere 13 buumlyuumlk değere ise 14 faiz doumlnem sayısı karşılık gelir Oumldevimizin cevabı 13 ve 14 sayıları arasında olan yarım yıl sayısıdır Bunu tam olarak belirtmek iccedilin aşağıdaki tabloyu oluşturuyoruz

np2

2

7 n2 n

p2

2

7 n2

468533711 13 468533711 13 512589721 14 51 n2

Daha uygun goumlruumlnuumlrluumlk sağlamak iccedilin suumltunlardaki değerlerin farklarını hesaplayarak aynı tabloda yazdıktan sonra şu orantıyı kuruyoruz

182

(151258972 -146853371) (14 -13) = (15 -146853371) (2n -13)Demek ki

044056010

031466290132 n

oradan da 2n = 13714 elde edilir Demek ki faiz suumlresi n = 6857 yıldır Bu sayıyı yıl ay ve guumln-lere ccedilevirmek iccedilin sayının ondalık kısmını 12 ile ccedilarparak ayları buluyoruz elde edilen sayının yeni ondalık kısmını 30 ile ccedilarpmakla guumln sayısını elde ediyoruz Buna goumlre 0857 kısım yıl aslında 0857 12 10284 aydır Şimdi 0284 ay kısmını guumlnlere ccedilevirelim 0284 30 9 guumln-duumlr O halde faiz suumlresi 6 yıl 10 ay 9 guumln olduğunu buluyoruz

Aynı şekilde faiz suumlresini hesaplamak iccedilin ikinci finansal tabloyu da kullanabiliriz

4 Yatırılan 20 000 denar kapital 6 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz vadesiyle ne kadar zamanda 80 000 denara bağlı olacaktır

a) Oumlnce ccediloumlzuumlmuuml formuumlluuml doğrudan doğruya kullanarak logaritma işlemi yardımıyla be-lirtelim Faiz katsayısı r = 103 m = 2 olduğuna goumlre kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnde değiştirerek

n203120000

80000 elde edilir Bu denklemin her iki tarafının logaritmasını alırsak log

4 = 2n log 103 oradan da n = 234527 yıl elde edilirb) Aynı sonuca ikinci finansal tabloyu kullanarak nasıl varıldığını goumlrelim 2

3

nnK K II

formuumlluumlnden 2

3

1025

4

nII elde edilir Bu değer 3 suumltununda bulunmadığına goumlre buna en

yakın iki ardışık değeri buluyoruz 02493 lt 025 lt 02567 Kuumlccediluumlk olan değer 47 yarım yıl vade-sine kuumlccediluumlk olan değer ise 46 faiz vadesine karşılık gelir Bu değerleri tabloda yazdıktan sonra orantıyı daha kolay kurmak iccedilin son satırda değerlerin farklarını da yazacağız

n2

377 n2 n2

377 n2 25670 46 25670 46 24930 47 250 n2 00740 1 00670 n246

Karşılık gelen orantı00074 (-1) = 00067 (46 - 2n)

dir Negatif işaretten kurtulmak iccedilin00074 = 00067 (2n - 46) biccediliminde yazabiliriz

183

Şimdi 000672 46 09054

00074n oradan da 2n = 46-9054 elde edilir Buna goumlre faiz

doumlnem suumlresi n = 234527 yıl olduğunu buluyoruz bu ise tam 23 yıl 5 ay 13 guumlnduumlr

Ccediloumlzuumllen her iki oumlrnekte doumlnem sonu faizlenme soumlz konusudur Faizlenme doumlnem başı olduğu durumda da aynı şekilde ifade edilir Boumlyle durumda karşılık gelen doumlnem başı tablolar ve doumlnem başı faiz katsayısı ya da iskonto katsayısı belirtilir Doğrusal interpolasyonun uygu-lanması aynı şekilde yapılır

Yukarıda elde edilen formuumlllere gereken cebirsel doumlnuumlşuumlmleri yaparak kapitalin başlangıccedil ya da gelecekteki değeri formuumlllerinde faiz oranının değeri hariccedil diğer parametreler bilindiğin-de bilinmeyen faiz oranını da belirtebiliriz

Doumlnem sonu faiz oranı p pa(d) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m faiz suumlresi n yıl olan bir faizlenmeyi inceleyelim Kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin uygulanan

nm

n mpKK

13

1001

formuumlluumlnden 1100

nmnKp

m K elde edilir Bu denklemden faiz oranı iccedilin

13

1100 nm n

KK

mp

formuumlluuml elde edilir

5 Hangi yıllık doumlnem sonu faiz oranıyla 8 yılda doumlrt aylık faiz doumlnemleriyle bir anapara-nın getirdiği faiz miktarı kendisine eşit olacaktır

Oumldevin koşuluna goumlre I8 = K dir Bunu I8 = K8 ndash K faiz denkleminde yerine koyarsak K = K8 ndash K elde edilir O halde K8 = 2K olur n = 8 m =3 değerlerini yukarıda elde edilen faiz oranı formuumlluumlnde değiştirmekle

dapKKp 798123001

2300 2424

13

elde edilirAynı oumlrnekte faiz oranını hesaplamak iccedilin kullanılan i i tablolarından faiz oranının

nasıl hesaplandığını goumlsterelim Yukarıdaki oumlrneklerde bilinmeyen zamanın belirtilmesin-de uygulanan doğrusal interpolasyondan şimdi yapılacak işlemin tek farkı tablo değerlerin-den başka tabloda etkin faiz oranlarını da yazacağız Boumlylece yukarıdaki veriler gereğince

13

7 1nm

mpn KI faiz hesaplama formuumlluumlnde verileri yerlerine değiştirmekle

184

18

13

7 nm

mpKI

elde edilir Bu durumda I8 = K olduğuna goumlre birinci finansal tablonun değeri iccedilin 24

3

1 1pI buradan da 24

3

2pI elde edilir i i tablosunda faiz oranı suumltununda 275 faiz

oranına karşılık 1917626 değeri elde edilir faiz oranı suumltununda ise 3 faiz oranına 20327491 değeri karşılık gelir Bizim aradığımız değer tam bu iki değer arasındadır Tabloda okuduğumuz değerleri yazacağız

24

3

p7 3

p

24

3

p7 3

p

9176261 752 9176261 752

03279412 3 2 3

p

1151680 750 08237390 7523

p

Tablodaki değerlerin farkları faiz oranlarının farklarıyla aynı orantıda olduğuna goumlre şu orantıyı yazabiliriz

13

752

3082373907501151680

p

Buna goumlre 1151680

08237390750752

3

p

ifadesinden etkin faiz oranı iccedilin 3

p2928 elde

edilir yani nominal doumlnem sonu faiz oranı p = 8784 pa(d) olduğunu buluyoruz Elde edilen bu değer oumlncekinden biraz farklıdır bu ise tablodaki değerlerin yuvarlanmasından kaynaklanır

6 Hangi doumlnem başı faiz oranıyla 80 000 denar yarım yıllık faiz vadesi ile 2 yılda 120 000 denar olur

Aranılan formuumlluuml

nm

n mmKK

13

100

100

kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnden doğrudan doğruya bulacağız Denklemi bilinmeyen değer rsquoye goumlre ccediloumlzelim

275 275

075

3

185

nm n

KK

mm

100

100

ya da

nm n

KKmm 100

100

elde edilir Bu son eşitlikten doumlnem başı faiz iccedilin

nm

nKKmm 100100

elde edilir Sonuccedil olarak

13

nm

nKKm 1100

formuumlluuml elde edilirKonkre oumlrnekte n = 2 m = 2 olduğuna goumlre

aapKK

2819903601200120000

80000120012100 44

2

13

13

elde edilir

Alıştırmalar

1 Bankaya yatırılan 8 000 denarın ne kadar zamanda gelecekteki değeri 55 000 denar olur faizlenme doumlnemleri yarım yıllık ve faiz miktarı

a) p = 8 pa(d) b) p = 8 pa(a)

2 Faiz doumlnemleri 3 aylık olmak uumlzere 7 faiz oranıyla bankaya yatırdığımız 20000 denar kapital

a) doumlnem başı b) doumlnem sonufaizlenme ile ne kadar zamanda banka hesabımızda 40 000 denar olacaktır

3 Bankaya yatırılan 15 000 denar kapital 25 yılda 28 600 denar olmak iccedilin uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle

a) doumlnem başı b) doumlnem sonufaizlenme hangi yıllık faiz oranıyla yapılmalıdır

4 Faiz vadesi yıllık olmak uumlzere hangi doumlnem sonu faiz oranıyla 18 yılda anapara iki ka-tına erişir Oumldevi i i tablolarıyla da ccediloumlzuumlnuumlz

1928 pa(a)

186

5 Buguumln bankaya 20 000 denar yatırdık iki yıl sonra 10 000 denar hesaptan ccedilekeceğiz Faizlenme doumlnemleri 3 aylık olmak uumlzere bu guumlnden doumlrt yıl sonra hesabımızda 30 000 denar olursa faizlenme hangi faiz oranıyla yapılmıştır Doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlenme youmln-temlerini ayrı ayrı inceleyiniz

6 40 000 denar borccedil 4 pa(d) faiz oranıyla doumlrt eşit taksitle oumldenmelidir İlk taksit 4 yıl sonra ikinci taksit 6 uumlccediluumlncuumlsuuml 15 ve doumlrduumlncuumlsuuml 18 yıl sonra oumldenecektir Aynı faiz oranıyla ve yıllık faiz doumlnemleriyle tuumlm borccedil kaccedil yıl sonra birden oumldenebilir

7 Bir kişinin buguumln bankaya yatırdığı bir miktar parası 2 yıl ve altı ay sonra 40 000 denar olmuştur ve bundan 10 000 denar faiz miktarı elde etmiştir Faizin hesaplanması yarım yıllık doumlnemlerle olduğuna goumlre para hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

8 Biri 25 doğum guumlnuumlnde bankaya 40 000 denar yatırmış ve 33 doğum guumlnuumlnde hesabında 76 800 denar olduğunu bankadan haber almıştır Faizlenme doumlnemleri yarım yıllık olduğuna goumlre para hangi faiz oranıyla bankaya yatırılmıştır

9 Bankaya 2 yıl oumlnce 70 000 denar yatırılmış buguumln 20 000 denar hesaptan ccedilekilmiştir Bir yıl sonra bankaya daha 10 000 denar yatırılacaktır Faiz oranı 10 pa(a) yıllık faizlenme olduğuna goumlre ne kadar zaman sonra banka hesabımızda 100 000 denar olacaktır

76 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Buguumln bankaya 100 000 denar yatırıyoruz Faiz oranı 5 pa(d) ve faizlenme uumlccedil aylık doumlnemlerle olmak uumlzere 15 yıl 25 guumln sonra hesabımızda kaccedil para olacaktır Bunu bileşik faiz hesabıyla ve basit ve bileşik faiz kombinasyonu uygulayarak hesaplayınız

2 10092000 tarihinde bankaya 12 000 denar yatırmıştık Yıllık faizlenme vadesi 10 pa(a) faiz oranıyla 31122010 tarihinde hesabımızda ne kadar para birikecektir

3 Yeni yıl ikramiyesi sayesinde geccedilen yılın son guumlnuumlnde bankaya 60 000 denar para yatır-dık Uumlccedil yıldan sonra yıl sonunda hesabımdan 24 000 denar ccedilekmeliyim yatırımın ilk guumlnuumlnden beş yıl geccediltikten sonra daha 40 000 denar yatıracağız Faiz oranı 3 ps(d) faiz doumlnemleri uumlccedil ay olmak uumlzere bu guumlnden 8 yıl sonuna kadar banka hesabımızda kaccedil para birikecektir

4 120 000 denar borccedil uumlccedil eşit taksitle geriye ccedilevrilecektir Taksitlerden birincisi bir yıl son-ra ikincisi doumlrt yıl sonra ve uumlccediluumlncuumlsuuml altı yıl sonra oumldenmelidir Faiz oranı 10 pa(d) yarım yıllık faizlenme doumlnemleriyle olmak uumlzere 2yıl altı ay sonra borcun tuumlmuumlnuuml birden ccedilevirmek iccedilin kaccedil para oumldenmesi gerekir

187

5 Bir kişi tasarruf yaptığı bankadan bu guumlnden itibaren 8 yılda oumldeme koşuluyla 600 000 denar borccedil almak istemiştir Bu guumln 100 000 denar yatırıyor ve beş yıl sonra daha 200 000 denar yatıracak ve borcun kalanını varsa 10 yıl sonra oumldeyecektir Faiz oranı 8 pa(d) yarım yılık doumlnem faizlenmesiyle 10 yıl sonra borccedil ne kadar olacaktır

6 Faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle faizlenen bir borccedil 25 ay sonra 50 000 denar biriktiğine goumlre borcun şimdiki değeri ne kadardır

a) Sadece bileşik faiz hesabını kullanmakla b) son ay iccedilin bileşik ve basit faiz hesapları karmasını uygulamaklaFaiz miktarını da hesaplayınız

7 Kaccedil yıl sonra 20 000 denar yıllık faiz hesaplanması uygulayarak 5 pa(d) faiz oranıyla 7466912 denar olacaktır Oumldevi cebirsel şekilde ve i i tablolarından yararlanmakla ccediloumlzuumlnuumlz

8 65 pa(d) faiz oranıyla yarım yıllık faizlenme uygulayarak herhangi bir miktar para kaccedil yıl sonra uumlccedil katı kadar artacaktır Aynı koşullar altında faizlenme doumlnem başı faiz oranıyla yapıldığında zaman ne kadar değişecektir Hem cebirsel hem de finansal tabloları kullanarak hesaplamayı yapınız

9 Bankaya 15 yıl oumlnce 10 000 denar 8 yıl oumlnce de 20 000 denar yatırılmıştır Buguumln daha kaccedil para yatırmalıyız ki 10 yıl sonra biriken para 100 000 denar olsun Faiz oranı 4 pa yarım yıllık doumlnem sonu faizlenme uygulanacaktır

10 Faiz oranı 6 pa(a) yarım yıllık faiz hesaplaması uygulayarak hangi kapitalin 12 yıl ve 3 ayda getireceği faiz miktarı aynı koşullar altında 50 000 denarın 30 yılda getireceği faiz miktarına eşit olacaktır

11 Sattığı mal karşılığı bir kişiye 3 farklı teklif gelmiştir1) 40 000 denar peşin ve 5 pa(d) faiz oranıyla 120 000 denar 8 yıl 7 ay 20 guumln sonra

oumldenecektir2) 6 pa(d) faiz oranıyla 105 yıl sonra 200 000 denar oumldenecektir3) 80 000 denar peşin ve 3 pa(d) faiz oranıyla 100 000 denar 5 yıl ve 6 ay sonra oumldene-

cektir Hangi teklif en uygun olduğunu hesaplayınız

12 100 000 denar para 54 pa(d) faiz oranıyla 80 000 denar para ise 96 pa(d) faiz oranıyla bankaya yatırılmıştır Faizlenme doumlnemleri 3 aylık olduğu durumda ne zaman her iki kapitalin faiz miktarı aynı olacaktır İkinci kapitale doumlnem başı faizlenme uygulanıyorsa faiz-lerin eşit olduğu zaman ne kadar değişecektir

188

13 80000 denar bir borccedil 8 yıl sonra 3 pa(d) faiz oranıyla 40 000 denar 20 yıl sonra 4 pa(d) faiz oranıyla ve 23 yıl sonra 6 pa(d) faiz oranıyla 20 000 denar oumldenecektir Fa-izlenme doumlnem sayısı yılda iki defa yani yarım yıllık olduğuna goumlre borccedil 25 yıl sonra birden oumldendiği takdirde hangi faiz oranıyla oumldenecektir

14 Sınırlı sorumluluğu olan bir şirketin borccedilları- 5 yıl sonra oumldenmesi gereken 5 pa(d) faiz oranıyla 50 000 denar- 8 yıl sonra oumldenmesi gereken 6 pa(d) faiz oranıyla 80 000 denar- 12 yıl sonra oumldenmesi gereken 8 pa(d) faiz oranıyla 40 000 denarAynı zamanda 10 yıl sonra 3 pa(d) faiz oranıyla 60 000 denar şirketin alacağı vardır 15

yıl sonra 5 pa(d) faiz oranıyla yıllık faiz hesaplaması olmak uumlzere oumldenecek borcun denkleş-mesi (saldosu) bileşik faiz hesabına goumlre ne kadardır

15 Bir kişi 34 doğum guumlnuumlnde bankada hesabına 18 000 denar para yatırmıştır 38 doğum guumlnuumlnde de daha 12 000 denar ve 41 doğum guumlnuumlnde ise 24 000 denar hesabından ccedilekmiştir Faiz oranı 8 pq(d) uumlccedil aylık doumlnemli faizlenme ile kişinin 46 doğum guumlnuumlnde hesa-bında ne kadar parası olacaktır Konform faiz oranını uygulayınız

16 SİGA şirketi bir malı peşin oumldemek koşuluyla 60 000 denara satmaktadır GASİ şirketi ise 5 pm(d) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlenme bazında 2 yıl sonra oumldemek koşuluyla aynı malı 160 000 denara satmaktadır Hangi teklif daha uygundur

17 3 yıl oumlnce bankaya 50 000 denar yatırdık bir yıl sonra hesaptan 10 000 denar ccedilekme-liyiz 3 yıl sonra daha 20 000 denar hesabımızdan ccedilekeceğiz Faiz oranı 4 pa(d) yarım yıllık faizlenme vadesiyle ne kadar zamandan sonra banka hesabımızda 600 000 denar olacaktır

18 2 yıl oumlnce banka hesabımıza 80 000 denar yatırdık 3 yıl sonra ise 32 000 denar hesap-tan ccedilekeceğiz Yıllık faizlenme doumlnemleriyle 5 pa(d) faiz oranıyla 7 yıl sonra toplam ne kadar faiz miktarı elde edilecektir

19 İki yıl uumlccedil ay oumlnce bankaya yatırılan para bu guumlne kadar elde edilen faiziyle beraber 20 000 denardır Bu arada hesaplanan faiz miktarı 5 000 denardır Faizin hesaplanması uumlccedil aylık doumlnem vadeli yapıldığına goumlre hangi doumlnem sonu faiz oranıyla hesaplanmıştır Doumlnem başı faizlenme yapıldığı durumda faiz oranlarındaki fark ne kadardır

20 Banka hesabına bir yıl ve 2 ay oumlnce 12 000 denar yatırılmış iki yıl uumlccedil ay sonra ise he-saptan 20 000 denar ccedilekilmiş ve banka hesabında para kalmamıştır (saldo 0)

189

Faizlenme yarım yıllık doumlnem vadeli yapıldığına goumlre faiz hangi doumlnem sonu faiz oranıyla hesaplanmıştır

21 Buguumln iki farklı bankada iki eşit miktar para yatırılmıştır Birinde faiz oranı 16 pa(d) diğerinde ise 10 pa(d)rsquodir Kaccedil yıl sonra birinci bankada biriken para ikinci bankada biriken paradan iki defa daha ccedilok olacaktır Faiz hesaplaması yarım yıllık vadeli bu zaman es-nasında faizlerin farkı 33 200 denar olduğuna goumlre yatırılan para miktarı ne kadarmış

190

KONU OumlZETLERİ

Bir kapitalin faizinin hesaplanması basit ve bileşik olabilir Basit faiz bir yatırımın ya-tırım vadesi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranıdır Yatırılan miktar para her doumlnemde değişir yani her doumlnem sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle yatırım miktarı buumlyuumlr ve gelecek doumlnemde aynısı anapara eklenirse bileşik faizden soumlz edilir yani bir yatırımın yatırım vadesi boyunca kazandığı faizin de yeni yatırım vadesinde yatırıma tabi tutul-ması sonucu elde edilen getiriyi goumlsteren faizdir Diğer bir deyişle faizin de faiz kazanmasıdır

Bileşik faiz yılda bir defa iki defa ya da birccedilok defa hesaplanabilir Faizin hesaplandığı zaman aralığına faiz hesaplama vadesi denir

Basit faiz hesaplamasında doumlrt temel buumlyuumlkluumlk şunlardır K - anapara (temel kapital başlangıccedil miktar) i - faiz miktarı p ndash faiz oranı (yuumlzde olarak) 100 denar paranın zaman biriminde getirdiği faiz t - paranın faizde kaldığı suumlre ndash yıl olarak ya da daha kuumlccediluumlk oumllccediluuml biriminde de olabilir m ndash bir yıl iccedilerisinde faiz hesaplaması daha doğrusu bir yıldaki faiz hesaplama douml-

nemlerin sayısı

Faizin yıllık hesaplanması (a) ile yarım yıllık hesaplanması (soumlmestreli) (s) ile uumlccedil ayda bir hesaplamayı (kvartal) (q) ile ayda bir vadesi (m) ile ve adı geccedilen her doumlnemlik hesaplamalarda faiz oranı yıl bazında sayılmaktadır

Faiz oranı yıllık faiz oranı gibi verildiğinde pa biccediliminde işaret yazılır yarım yıllık faiz oranı olarak alınırsa ps işareti yazılır Uumlccedil aylık bazında da faiz oranı verilebilir ve bu durumda pq biccediliminde ya da aylık bazında olursa pm işareti yazılır Bu şekilde verilmiş olan faiz oranı-na nominal faiz oranı denir

Ancak finansman ya da yatırımlarla ilgili kararlarda doumlnem uzunluğu yıl olduğu kadar yıldan daha kısa suumlreli olabilir Bu gibi durumlarda yıllık olarak verilen faiz oranından etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı) bulunarak işlem yapılmalıdır Etkin faiz oranını yıllık nominal faiz oranının (cari faiz ya da piyasa faiz oranı da denilen) yıl iccedilindeki doumlnem sayısına boumlluumlnmesiyle bulunur

Her doumlnem sonunda faiz hesaplanarak anaparaya katılırsa doumlnem sonu faizlenme soumlz konusu olur boumlyle durumda faiz oranı pa(d) ile işaret edilir Doumlnem sonu faizlenmenin faiz hesaplaması başlangıccedilta yatırılan anaparaya uygulanmaktadır

191

Faizlenme her doumlnem başlangıcında yapılırsa doumlnem başı faizin hesaplanması iccedilin temel değer doumlnem sonunda elde edilen anaparadır bu işleme doumlnem başı (antisipatif) faizlenme denir ve pa(a) ile işaret edilir

Tuumlm faiz vadesinde elde edilen faiz miktarını temel değere katmakla elde edilen birikmiş değere kapitalin gelecekteki değeri denir Faizlenmesi yapılan temel değerin başlangıccedil miktarı-na Krsquonın şimdiki değeri de denir

Doumlnem sonu faizlenme oranı p bir yılda faiz doumlnem sayısı m ve m

pr100

1 doumlnem

sonu faiz katsayısı olmak uumlzere K kapitalinin gelecekteki değeri nmn KrK formuumlluumlyle hesap-

lanır

Peşin (antisipatif) faizlenmede faiz opranı bir yılda faiz doumlnem sayısı m ve

8

m

m100

100

doumlnem başı faiz katsayısı olmak uumlzere K kapitalinin gelecekteki değeri nmn KK 8 formuumlluumlyle

hesaplanır

Faiz ister yıllık hesaplamayla ister yılda birkaccedil devreden faizin hesaplanmasıyla aynı faiz miktarını veren faiz oranına konform faiz oranını denir ve p km ile işaret edilir Bir yılda m defa faizlenme ile ve yılda bir defa faiz oranı p olmak uumlzere yapılan faizlenme ile aynı faiz miktarı veren konform faiz oranı şu formuumll ile hesaplanır

13

1

1001100

mmk

pp

Verilen K kapitalin gelecekteki değeri Kn bilindiğinde temel değeri şu formuumlllerle he-saplanır

nm

nnmn

mp

KrKK

)100

1(

doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve

nm

nnm

n mKKK

13

1001

8

peşin (antisipatif) faizlenme iccedilin

192

Biriken paranın başlangıccedil değerini bulma işlemine iskontolama ya da biriken değerin başlangıccedil değerini belirtme denir Faiz oranlarının ccedilarpımsal ters r-nm ve 8-nm değerlerine iskon-to katsayıları (faktoumlrleri) denir

Faiz oranı p ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olan doumlnem sonu faizlenmede r doumlnem sonu faiz katsayısı olmak uumlzere faiz miktarı şu formuumll kullanılır

1nmnI K r

Peşin (antisipatif) faizlenme durumunda faiz oranı ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m doumlnem başı faiz katsayısıdır 8 olmak uumlzere faiz miktarı şu formuumllle hesaplanır

1nmnI K

Faizlenme doumlnem sonu p pa(d) faiz oranıyla yıl iccedilindeki doumlnem sayısı m ve

1100

prm

doumlnem sonu faiz katsayısı olmak uumlzere faiz suumlresi şu formuumllle hesaplanır

KK

rmn nlog

log

1

Benzer şekilde faizlenme doumlnem başı (antisipatif) olduğu durumda faiz oranı pa(a) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olduğunu varsayarak şu formuumll kullanılır

KK

mn nlog

log

1

8

Yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m faiz suumlresi n yıl olduğunu farz ederek yıllık doumlnem sonu faiz katsayısı şu formuumllle hesaplanır

13

1100 nm n

KK

mp

193

PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR)VE PERİYODİK ALACAKLAR (KİRALAR)

81 Periyodik Yatırımlar

Basit ve bileşik faiz hesaplarını uyguladığımız oumlrneklerde belli miktarda parasal varlık-ların sadece bir defa yatırıldığı ya da farklı doumlnemlerde yatırılan veya istenildiğinde hesaptan ccedilekilen miktarları incelemiştik Bu durumda yatırımların bazıları eşit bazıları ise farklı belli bir kurala goumlre değişebilen oumlrneğin aritmetik ya da geometrik diziler oumlzelliğine goumlre artan ya da azalan veya tasarruft a olduğu gibi oumlnceden belli bir kurala goumlre uymayan yatırımlar olabilir Halbuki ccedilok kez eşit zaman aralıklarında yatırımların tekrarlandığına rastlıyoruz Boumlyle du-rumlarda soumlz konusu mevduattır Mevduat belli bir suumlre sonunda veya istenildiğinde ccedilekilmek uumlzere bankalara faizle yatırılan paradır Mevduatlar belli suumlrelerde aynı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adlandırılıyorlar

Yatırımlar oumldemeler serisinin başlama noktasına goumlre doumlnem başı (antisipatif) ve douml-nem sonu (dekurzif) mevduatlar olarak ikiye ayrılıyorlar Yatırım esnasında her mevduatın faizi yatırıldığı guumlnden tuumlm mevduatların toplam değerinin hesaplandığı ana kadar hesaplanır Doumlnem başı ya da doumlnem sonu faizlendirme uygulanabilir Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda aynı bazı durumlarda ise farklı yani mevduat vadelerinden daha sık ya da daha seyrek olabilirler Pek sık tuumlm mevduatların toplam değeri ne kadardır sorusu sorulmaktadır Yatırım esnasında faizi hesaplanmış tuumlm mevduatların toplamına yatırımın gelecekteki değeri denir

Şimdi sadece yatırım doumlnemleri faiz vadeleriyle denk gelen sabit (değişmeyen) bireysel periyodik yatırımları inceleyeceğiz

Yıl esnasında sadece bir mevduat oumldendiği durumda soumlz konusu yıllık mevduat olur yatırım yılda iki defa yapıldığında altı aylık (yarım yıllık) mevduat yılda doumlrt defa yatırım yapıldığında uumlccedil aylık (ccedileyrek yıllık) mevduat biccediliminde adlandırılır Yatırım ayda bir yapılırsa aylık mevduat olur Burada da faizlendirme vadesi yıllık altı aylık uumlccedil aylık vb olabilir

Alıştırmalar

1 Mevduat nedir Mevduatın temel oumlzellikleri nedir

2 Faizinin hesaplanmasına goumlre mevduatlar nasıl olabilir

3 Yatırım sayısına goumlre nasıl mevduatlar fark edebiliriz

8

194

4 Yatırım suumlresine goumlre nasıl mevduatlar fark edebiliriz

5 Mevduatların gelecekteki değeri nedir

82 Mevduatların Gelecekteki Değerini Hesaplamak

Her bireysel mevduatın değeri V olsun Bireysel mevduat sayısı n faiz oranı doumlnem sonu uygulanan p olsun Faiz vadesi yatırım vadesiyle aynıdır Mevduatın oumldenmesi doumlnem başı ol-

sun (her vadenin başlangıcında oumldeme yapılsın) Vade sonu faiz katsayısı 1100

pr olduğunu

biliyoruz Her bireysel mevduat iccedilin bileşik faiz hesabını uygulayarak faiz miktarını bulmakla mevduatların gelecekteki değerini elde edeceğiz Şek1rsquode yatırımlar ve faizlendirmeler goumlsteril-miştir

Şek 1

Birinci vadenin başında yatırılan birinci mevduat n ndash vade iccedilin karşılık gelen r faiz kat-sayısıyla son vadenin sonuna kadar suumlre iccedilin faizi hesaplanır ve değeri Vrnrsquodir Yatırılan ikinci miktar V aynı şekilde n ndash 1 vade iccedilin son vadenin sonuna kadar faizi hesaplanır ve değeri Vr n

-1rsquodir Bu şekilde kalan tuumlm bireysel yatırımların faizleri hesaplanır Sondan ikinci olan yatırım n ndash 2 zamanına denk gelir ve iki vade iccedilin faizlenir ve değeri Vr2rsquodir son yatırım ise sadece bir vade iccedilin faizlenir ve değeri Vrrsquodir Faiz doumlneminin sonuna kadar faizleri hesaplanmış olan tuumlm doumlnem başı yatırımların toplamı

Sn = Vrn + Vrn-1 + + Vr2 + Vr = V (rn + rn-1 + + r2 + r )= Vr (rn-1 + rn-2 + + r +1) olduğunu buluyoruz Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi r olan n terimli bir geometrik dizisinin toplamıdır Geometrik dizilerin ilk n terim toplamı formuumlluumlnden yararlanarak yatırımların douml-nem başı faizlendirme ile doumlnem başı yatırımların toplamı iccedilin şu formuumll elde edilir

1

1

r

rVrSn

n

Not 1 Faizin faizi i i tablolarında bir para birimi bazında doumlnem sonu yatırımların

toplamını ifade eden 1

1

nrrr

ifadesinin değeri npIII işareti altındaki cetvelde verilmiştir Demek

195

ki uumlccediluumlncuuml tablodaki değerler iccedilin npIII = 1

1

nrrr

rsquodir Bu ifade i i tablosunda aynı faiz oranında 1rsquoden nrsquoe kadar vadelerin k

pI değerlerini toplamakla elde edilir yani npIII =

1 2

np p pI I I dir

Burada yatırımlar n yılda p pa(d) faiz oranıyla yapılmıştır Buna goumlre doumlnem başı faizlenen yatırımların toplamı

npn VS 777

formuumlluumlyle ifade edilir

Not 2 Her bireysel vade iccedilin faiz oranı doumlnem başı olarak verilirse 8 doumlnem başı faiz kat-sayısını kullanacağız Boumlyle durumda doumlnem başı faizlenen yatırımların toplamı

1

1

888

n

n VS

formuumlluumlyle ifade edilecektir Burada 100

1008

doumlnem başı faiz katsayısıdır Boumlylece uumlccediluumlncuuml

i i tablosundan yararlanarak doumlnem başı faiz oranı olmak uumlzere nnS V III formuumlluuml elde

edilir Oumldevlerin ccediloğunda yatırımların toplam sayısı değil de yıl bazında yatırım sayısı ve ya-

tırımın zaman aralığı (vadesi) verilmiş olabilir Oumlrneğin n yıl boyunca yılda m defa yatırım yapılıyor Boumlyle durumda yatırımların toplam sayısı n m ccedilarpımına eşittir

1 Buguumlnden başlayarak gelecek iki yıl esnasında her uumlccedil ayın başlangıcında 5 000rsquoer denar yatırmaya başlıyoruz Faiz oranı 10 pa(d) uumlccedil aylık vadeli olmak uumlzere ikinci yılın sonunda toplam ne kadar paramız olacaktır

Her bireysel yatırımın değeri Vaq = 5 000 denardır Yatırımların sayısı her yıl doumlrder mev-duat 2 4 8n doumlnem sonu faiz katsayısı ise uumlccedil aylık vadeli faizlendirme ile hesaplanacaktır

Buna goumlre faiz oranı 1025

4 pq(d)rsquodir (ccedileyrek yıllık faiz oranı) O halde

251 1025

100r

olduğunu buluyoruz Doumlnem başı yatırımların gelecekteki değeri

4477310251

1025102515000

1

1 8

r

rVrSn

n

olduğunu buluyoruzBaşlangıccedilta verilen tuumlm koşullar geccedilerli olsun her yatırımın değeri V mevduat (yatırım)

sayısı n faiz oranı doumlnem sonu p ve faizlendirme vadesi yatırımların vadesiyle aynı olsun

196

Şek 2

Doumlnem sonu faiz katsayısı r olsun ve yatırımlar her periyodun sonunda olsun yani ya-tırımlar doumlnem sonu olsun Şek 2rsquode goumlruumllduumlğuuml gibi son yatırımın faizi hesaplanmaz sondan birincisi bir defa faizlenir ikincisi iki defa ve geriye doğru sayarken ikinci yatırım n ndash 2 defa ve ilk yatırım nndash1 defa faizlenir Bunlara karşılık gelen faizlenmiş miktarlar sırasıyla V Vr Vr2

Vrn-2 Vrn-1rsquodir Faizlenmiş yatırımların toplamı (gelecekteki değer) iccedilinSn = V + Vr + Vr2 + + Vrn-2 + Vrn-1 = V (l + r + r2 + + rn-2 + rn-1)

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı r olan bir geometrik dizisinin n teriminin toplamı olduğuna goumlre doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değeri iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz r

1

1

r

rVSn

n

Not 3 1

1

nrr

ifadesini i i tablolarında 11 npIII biccediliminde bulunabilir Demek ki

doumlnem sonu faizlenen yatırımların toplamını hesaplamak iccedilin formuumll

11 777 npn VS

şeklinde yazılabilirNot 4 Doumlnem başı faizlendirme uygulandığı durumda yatırımların gelecekteki toplam

değeri iccedilin formuumll

1

1

88 n

n VS

şeklinde ifade edilir Burada 8 doumlnem başı faiz katsayısı 100

1008

dir Uumlccediluumlncuuml i i tablo-

larından yararlanmakla doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem sonu yatırımların gelecekteki toplam değeri iccedilin formuumll

11 777 nn VS dir

2 Bankaya her yıl sonunda doumlrt yıl boyunca 10 000 denar yatırılıyor Yıllık vadeli faiz oranı 6 pa(d) olduğuna goumlre doumlrduumlncuuml yıl sonunda yatırımın gelecekteki değeri ne kadardır

Oumldevin koşullarına goumlre Vda = 10000 denar n = 4 r = 106rsquodır Vade sonu yatırımların gelecekteki değeri iccedilin

197

437461061

106110000

1

1 4

r

rVSn

n

denar elde edilir

Doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem başı yatırımların gelecekteki değeri aynı koşullar altında doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değerinden r kat daha buumlyuumlk ol-duğunu fark edebiliriz yani

dn

na

n Srr

rVrS

1

1

dir Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda ise

dn

na

n SVS

8888

1

1

rsquodir Demek ki douml-

nem başı yatırımlar doumlnem başı faizlendirme ile elde edilen gelecekteki değer aynı yatırım ko-şullarıyla doumlnem sonu yatırımların doumlnem başı faizlendirme ile elde edilen gelecekteki değerin 8 katıdır

(Daha kısa olarak doumlnem başı yatırımların gelecekteki değerini Sna ile doumlnem sonu yatı-

rımların gelecekteki değerini ise Snd ile işaret edeceğiz)

3 Bir kişi bir buccediluk yıl esnasında her ay sonunda 3 000rsquoer denar para yatırıyor Faiz oranı 6 pa(d) aylık vadeli hesaplama ile yatırdığı paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır

Oumldevin koşullarına goumlre Vdm = 3000 denar p = 6 pa(d)rsquodir Yatırımların toplam sayısı

n = 12 -15 = 18 (yılda 12 mevduat) aylık faizlendirmeye karşılık gelen faiz oranı 6

12 yani

05 pm(d) Doumlnem sonu faiz katsayısı 051 1005

100r rsquodir

Doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değeri

5635710051

100513000

1

1 18

r

rVSn

n denar olduğunu buluyoruz

4 Bir kişi 25 doğum guumlnuumlnden başlayarak 30 doğum guumlnuumlne kadar her altı ay sonunda 8000rsquoer denar banka hesabına yatırıyor 35 doğum guumlnuumlnde hesabından 90000 denar ccedilekmesi gerekiyormuş Faiz oranı p = 8 pa(d) altı aylık faiz vadesiyle hesabında gereken para birikecek mi

Kişi 5 yıl boyunca doumlnem sonu Vds = 8 000 denar yatırımlar yapıyor 30 doğum guumlnuumlnde yatırımın gelecekteki değeri daha 5 yıl faizde kalıyor (şek 3) Soru şudur 35 doğum guumlnuumlnde hesabında biriken para 90 000 denardan buumlyuumlk ya da eşit olacak mı yani 10 90000 0nS r 6

mıdır Faiz katsayısı 81 104

2 100r

ve yatırımların toplam

198

sayısı n = 10rsquodur

yatırımlar

Şek 3Buna goumlre

6049900000411041

1041800090000

1

1 1010

1010

r

rrV

denar olduğunu buluyoruz Demek ki 90 000 denar parasını ccedilekmek iccedilin yatırımcının hesabın-da gereken parası varmış

Alıştırmalar

1 Bir yatırımcı her yarıyıl başında 16 yıl boyunca 5 000 denar a) yarıyıllık faiz vadeli 4 pa (d) b) yarıyıllık faiz vadeli 4 pa (a)

faiz uumlzerinden yatırırsa 16 yılın sonundaki yatırım tutarı (gelecekteki değeri) ne kadar olur

2 Her yılın sonunda 10 yıl boyunca yıllık faiz vadeli 4 pa(d) faiz uumlzerinden 10 000 denar yatırıyoruz Son yatırım guumlnuumlnde yatırımların tutarını hesaplayınız

3 Her yarıyıl sonunda 12 yıl boyunca altı aylık faiz vadeli 8 pa(d) faiz uumlzerinden 1000 denar yatırılıyor Yatırımlar

a) doumlnem sonu b) doumlnem başıolduğuna goumlre yatırımın gelecekteki tutarını hesaplayınız

4 Her ay sonunda 8 yıl boyunca 3000 denar mevduat a) aylık faiz vadeli 12 pa(d) b) aylık faiz vadeli 12 pa(a)

faiz uumlzerinden yatırılıyor Yatırımların gelecekteki değerini hesaplayınız

5 Oumldev 4rsquoteki koşullar altında fakat mevduatlar doumlnem başı olduğu durumda yatırımın gelecekteki değerini hesaplayınız Elde edilen değerleri kıyaslayınız Hangi mevduat şekli ve hangi faiz oranı uumlzerinde yatırımların en buumlyuumlk gelecekteki değeri elde edilecektir

199

83 Bireysel Mevduatın Değerini Hesaplamak

Faiz oranı p pa(d) mevduatların gelecekteki değeri (tutarı) Sn ve yatırım suumlresi veril-miş olsun Sabit mevduatın tutarını hesaplamak iccedilin Doumlnem başı mevduatın gelecekteki değeri

1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnden V mevduatı iccedilin

1

1

nn rrrSV

elde edilir

1 Beş yıllık yatırım sonunda yatırımların tutarı 40 000 denar olmuştur Her yıl başlangı-cında yıllık vadeli 6 pa(d) faizi uumlzerinden yatırılan mevduat ne kadardır

Burada r = 106 doumlnem sonu faiz katsayılı doumlnem başı mevduat soumlz konusudur Toplam n = 5 mevduat yatırılmış ve yatırılan miktarların tutarı Sn = 40 000 denardır Hesaplanması gere-ken bireysel yıllık faiz vadeli mevduat tutarıdır Oumlrneğimizde verilen değerleri formuumllde yerine değiştirmekle 6694

1061061

106140000

5

aV denar elde edilir

p pa(d) faiz oranı mevduatların gelecekteki tutarı Sn ve yatırım suumlresi bilindiği du-rumda sabit mevduatın hesaplanması iccedilin doumlnem sonu vadeli mevzuatın gelecekteki tutarı

1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden V iccedilin şu formuumll elde edilir

1

1

nn rrSV

Not1 Faiz hesaplanması doumlnem başı olduğu durumda bireysel mevduatların karşılıklı değerleri şu formuumlllerle hesaplanacaktır

doumlnem başı mevduatlar iccedilin

1

1

nnSV888

doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

1

1

nnSV88

2 Beş yıl sonra 120 000 denara ihtiyacımız olacaktır Her yarıyıl sonunda 5 yıl boyunca ne kadar mevduat yatırmalıyız Faiz oranı 5 pa(d) yarıyıl vadelidir

200

Yatırımlar sayısı n = 10 Sn = 120 000 denar doumlnem sonu faiz katsayısı ise 5

1 10252 100

r

rsquotir O halde

1071410251

10251120000

1

110

nn rrSV

denar olduğunu buluyoruz

3 İlerdeki uumlccedil yıl boyunca her uumlccedil ay başında uumlccedil aylık mevduatlar oumldenecektir Bu guumlnden beş yıl sonra sadece bir defa mahsus 40 000 denar yatırılacaktır Yedi yıl sonra hesabımızdan 100000 denar ccedilekmeliyiz Uumlccedil aylık vadeli faiz oranı 8 pa(d) olduğuna goumlre bireysel mevduat ne kadar olmalıdır ki bu guumlnden yedi yıl sonra hesabımızda 35000 denar olsun

Yatırımları ve ccedilekilen miktarı zaman ekseninde goumlsterelim (şek4)

yatırımlar

Şek 4

Mevduatların toplam gelecekteki değeri hesaplandıktan sonra bu miktar daha doumlrt yıl fa-izde kalır Yatırılan 40 000 denar da 2 yıl faizde kalır Ccedilekilen 100 000 denardan sonra şu denk-lem elde edilir

3500010000040000 4244 rrSn

Son denklem bu guumlnden gelecekteki yedi yıl suumlresinde yapılacak işlemleri goumlstermektedir

Bu durumda doumlnem başı yatırımların gelecekteki değerini hesaplayan 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumln-

de n = 12 doumlnem sonu faiz katsayısı 8

1 10254 100

r

rsquotir Uumlccedil aylık etkin faiz oranı 2rsquodir

Sn tutarı 16 defa faizlenir 40 000 denar ise 8 defa faizlenecektir O halde

135000021400000211021

1021021 816

12

V

135000468667818 V elde edilir Buna goumlre mevduatın değeri Vaq = 4693 denardır

Not 2 İncelenen son oumlrnekteki oumldevlere benzer oumldevleri ccediloumlzerken yukarıda yapıldığı gibi yatırımları zaman ekseninde goumlstermekle faizlendirme periyotlarını daha kolay hesaplayabilir-siniz

201

Alıştırmalar

1 Doumlnem sonu altı aylık vadeli mevduatların 7 yıl boyunca yatırılmasıyla 300 000 denar tutar elde edilmiştir Faiz oranı

a) altı aylık vadeli 4 pa(d)b) altı aylık vadeli 4 pa(a)

olduğuna goumlre bireysel mevduatın değeri ne kadardır

2 Doumlnem başı yıllık vadeli mevduatların 6 yıl boyunca 5 pa(d) faiz uumlzerinden yatırıl-masıyla hesabımızda 71 420 denar olmasını istersek bireysel mevduat ne kadar olmalıdır Faiz vadesi yıllıktır

3 Bir kişi banka hesabına 25 doğum guumlnuumlnden 40 doğum guumlnuumlne kadar doumlnem sonu uumlccedil aylık vadeli sabit olmak uumlzere ne kadar para yatırmalıdır ki banka hesabında 50 doğum guuml-nuumlnde 500 000 denarı olsun Faiz oranı uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d)rsquodir

4 Bir kişi 2 yıl altı ay boyunca sabit değerli uumlccedil aylık doumlnem başı mevduatlar yatırıp doumlnem sonunda hesabında 50 000 denar parası olmuştur Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz uumlzerinden yatı-rılan bu mevduatların bireysel değeri ne kadardır

5 Bir kişi 35 yaşından 40 yaşına kadar vade sonu altı aylık mevduatları bankaya yatırıyor 43 yaşının sonunda 16 000 denar hesaptan kaldırmak ve 47 yaşının sonunda hesabında 120 000 denar olmasını isterse kişi hesabına ne kadar para yatırmıştır Faiz oranı 8 pa(d) ve faizlen-dirme altı aylıktır

84 Mevduat Sayısını ve Son Mevduatın Hesaplanması

Mevduatın gelecekteki değerini (tutarını) hesaplamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

doumlnem başı mevduatlara ait ve 1

1

n

nrS Vr

doumlnem sonu mevduatlara ait formuumlller gereğince

gelecekteki değer tutarı bireysel mevduat değeri ve faiz oranı bilindiğinde yatırımların sayısı n hesaplanabilir Doumlnem başı mevduatlar iccedilin

VrS

rr n

n

1

1

VrrS

r nn 11

geccedilerlidir Oradan da

11

VrrS

r nn elde edilir

202

Yatırımların sayısı n sadece logaritma işlemiyle belirtilebilir Logaritma işleminin temel oumlzelliklerinden yararlanarak

13

VrrS

r nn 11loglog

Vr

rSVrrn n 1

loglog

Vr

rSVrr

n n 1log

log

1

elde edilir Daha kolay hesaplama yapmak iccedilin yatırımların gelecekteki değeri formuumlluumlnde ve-rilen değerlerin değiştirilmesinden sonra elde edilen ifadenin logaritması alınır

Benzer şekilde doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

V

rSVr

n n 1log

log

1

formuumlluuml elde edilir

Not 1 Doumlnem başı faiz oranı iccedilin hesaplamalar doumlnem başı mevduatların gelecekteki değerine karşılık gelen formuumlllere yapılır

1 Her yılın başında 6 pa(d) yıllık vadeli faiz uumlzerinden 10 000 denar kaccedil defa yatırıl-malıdır ki hesabımızda 46 371 denar olsun

Mevduatlar doumlnem başıdır Doumlnem sonu faiz katsayısı 61 106

100r rsquodır O halde

262481106110000

106146371061

n

elde edilir Bu ifadenin 10 tabanına goumlre logaritmini alırsak n log 106 = log 126248 ve oradan n = 4 elde edilir Demek ki doumlrt yıl yani doumlrt defa yatırım yapmalıyız

2 35 000 denarlık mevduatlar 6 pa(d) yarıyıllık faizlendirme uumlzerinde her yarımyılda yatırılıyor Yatırımların gelecekteki değeri son mevduatın oumldendiği guumlnde 401651 denar olması-nı istersek kaccedil mevduat oumldenmelidir

Şunu fark edelim gelecekteki değer son yatırım yapıldığı guumlnde hesaplandığı tak-dirde yatırımlar doumlnem sonudur Etkin faiz oranı 3 olduğuna goumlre r = 103rsquotuumlr Buna goumlre

1031

103135000401651

n

buradan da 103n = 134427 ve sonunda n =10 elde edilir Demek ki

10 mevduat oumldenmelidir

3 Yatırımlar doumlnem sonu 3 aylık vadeli faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil aylık faizlendirme vadeli 10 000 denarlık kaccedil mevduat yatırılmalıdır ki gelecekteki değeri 137200 denar olsun

203

Doumlnem sonu mevduat 8

1 1024 100

r

iccedilin 1137200 10000

1

nrr

geccedilerlidir O hal-

de 102n = 12744 ve oradan 12n elde edilir Cevap tam 12 olsaydı tam 12 mevduat yani 3 yıl 4 er mevduat gerekecekti halbuki elde edilen değer yaklaşıktır Onun tam değeri n = 122446rsquodır Bu demektir ki istenilen para tutarını elde etmek iccedilin mevduat sayısı 12 den fazla olacaktır Bu durumda 12 mevduat bilinen 10 000 denarlık ve 13 mevduatın değeri diğerlerinden kuumlccediluumlk ola-caktır Son mevduat diğerlerinden farklıdır ve ona mevduatın kalanı denir

Son mevduatın hesaplanması iccedilin bir formuumll bulalım Mevduat sayısı toplam n olsun ve bunlardan n -1 tanesinin değeri aynı V son mevduatın değeri V0 ne V olsun Zaman ekseninde doumlnem başı mevduatların durumunu goumlsterelim (şek5)

Şek 5

Vade sonu faiz katsayısı r iccedilin

rVVrVrVrS nnn 0

21

rVrrVrS nn 0

22 1

buradan da

rVr

rVrSn

n 0

12

1

1

elde edilir

u

1

1

1

11

0

rrrVS

rrrVr

rS

Vn

n

nn

Not 2 i i tablolarından yararlanıyorsak 1

r ifadesi 1

pII tablosunda verilmiş olan iskonto

katsayısına karşılık gelir 1

nr rr

ifadesi ise tam 1npIII dir Buna goumlre son mevduat

11

0

77777 nppn VSV

şeklinde yazılabilir

Not 3 Yatırımların sayısını belirtirken n doğal sayı olmadığı durumda n iccedilin hesaplama-da elde edilen sayıdan ilk buumlyuumlk olan tam sayı alınır Boumlyle durumda V0 lt V n ndash 1 mevduatın değeri Vrsquodir sonuncunun ise V0rsquodır

204

Vade sonu mevduatlarda ise zaman ekseni şek 6rsquoda goumlsterilmiştir

Şek 6Boumlyle durumda Sn = Vrn-1 + Vrn-2 + + Vr + V0

dir Eşitliği V0 a goumlre duumlzenleyerek geometrik dizisinin ilk n ndash terim toplamı formuumlluumlnden ya-rarlanmakla

r r r j

11

11

0

rrrVS

rrVrSV

n

n

n

n

elde edilir

Not 4 i i tablolarından yararlanarak

1

0

777 npn VSV

formuumlluumlnuuml yazabiliriz Bu formuumll doumlnem sonu yatırımlarda diğerlerinden farklı olan son mev-duatın değerini hesaplamak iccedilin kullanılır

Not 5 Faiz hesaplanması doumlnem başı olduğu durumda son mevduat iccedilin şu formuumll elde edilirdoumlnem başı yatırımlar iccedilin

1

10

888

8

n

n VSV

ve doumlnem sonu yatırımlar iccedilinur

10

888 n

n VSV

4 Yarım yıllık vadeli faiz oranı 10 pa(d) altı aylık faizlendirme vadeli 8 000 denarlık kaccedil mevduat yatırılmalıdır ki son mevduattan evvel tuumlm yatırımların gelecekteki değeri 60 000 denar olsun

101 105

2 100r

rsquotir Gelecekteki değer son mevduattan altı ay oumlnceki biriken paradır

demek ki yatırımlar doumlnem başıdır yani 6 105 160000 80000 105

105 1

n

elde edilir Oradan da

105n =135714 ve n 626 elde edilir Bu durumda n = 7 alınır yani 8000 denar olmak uumlzere 6 sabit mevduat yatırılır son yedinci mevduat ise oumlzel olarak hesaplanacaktır

205

757136571431051

0510518000

051

60000 7

0

V

elde edilir Buna goumlre son mevduat 7 denar olacaktır

Not 6 Son mevduatın değeri negatif sayı elde edildiği durumda mevduatın gelecekteki değerini hesapladığı guumln banka mevduat sahibine o kadar para geri ccedilevirmelidir

Alıştırmalar

1 Altı ay vadeli doumlnem başı 3 500 denar mevduatlardan kaccedil tane oumldemeliyiz ki sonunda 35000 denarımız olsun Faizin hesaplanması altı aylık ve faiz oranı

a) 6 pa(d) b) 6 pa(a) olsun

2 Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz oranı uumlzerinden 235 000 denarlık kaccedil doumlnem sonu mev-duat yatırılmalıdır ki son mevduatın oumldendiği guumln hesabımızda 2 245 438 denar olsun Faiz hesaplanması 3 aylık vadelidir

3 Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz oranı uumlzerinden 1000 denarlık kaccedil doumlnem başı mevduat yatırılmalıdır ki hesabımızda 40 000 denar olsun Faiz hesaplanması 3 aylık vadelidir

4 Her iki ayın başında 1000 denar yatırılarak son yatırımdan iki ay oumlnce banka hesabın-dan 7000 denar ccedilekilmiş ve son yatırımdan altı yıl sonra hesabımızda 70 000 denar paramız kal-mıştır Son yatırım ne kadardır Faiz oranı 12 pa(d) faiz hesaplanması her iki ayda yapılmış olsun

5 Her yıl başında 2000 denar yatırılmıştır Son yatırımdan doumlrt yıl sonra hesaptan 7000 denar ccedilekilmiş ve son yatırımdan altı yıl sonra hesapta 80 000 denar kalmıştır Faiz oranı 6 pa(d) yıllık faizlendirmedir (dikkat ediniz yatırım doumlnem başıdır ve biriken para son yatırım-dan bir yıl sonra hesaplanır)

85 Yatırımlarda Faiz Oranının Hesaplanması

Doumlnem başı yatırımların doumlnem sonu faizlendirmesiyle biriken gelecekteki değeri hesap-

lamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnde Sn ve V bilindiğinde bilinmeyen r faiz

katsayısını yani p pa(d) değerini hesaplamak iccedilin

206

011 13

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu ise r katsayısına goumlre bir polinom denklemidir ve genel olarak dere-cesi 3rsquoten buumlyuumlktuumlr Bu gibi denklemleri ccediloumlzmek iccedilin (bazı oumlzel durumlar hariccedil) belli bir kural yoktur Bu nedenle bu gibi denklemleri bilinen bazı nuumlmerik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Halbuki amacımız şimdi nuumlmerik youmlntemlerle denklemlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğrenmek değildir Bu-rada sadece pratik oumldevlerin yararına faiz oranını en kolay biccedilimde belirtmektir Bu nedenle faiz oranının hesaplanmasını i i tablolarındaki değerleri kullanan

npn VS 777

formuumlluumlne goumlre yapacağız

1 Altı aylık vadeli doumlnem başı 2000 denarlık borccedil hangi faiz oranıyla 16 yılın sonunda 125 000 denar olacaktır Faiz hesaplanması yarıyıllık olsun

Verilen oumldevde toplam n = 16 2 = 32 oumldeme vardır ve 2

125000 2000 npIII geccedilerlidir

2

125000625

2000

npIII olduğuna goumlre n = 32 iccedilin tablolarda 625 değerine karşılık gelen sayıyı

arıyoruz Bu değer tabloda yoktur fakat buna en yakın iki yaklaşık değer vardır 6219536018 lt 625 lt 65 20952741 Bu değerlerden biri 375 diğeri ise 4 faiz oranına karşılık gelir Bu iki değer arsı 625 değerine karşılık gelen değeri belirtmek iccedilin doğrusal enterpolasyon yapmamız gerekir Bunu daha kolay yapmak iccedilin verileri tabloda yazacağız

32

2

p777 2

p

32

2

p777 2

p

1953601862 753 1953601862 753

2095274165 4 562 2

p

Oradan şu orantıyı kuruyoruz

19536018625627532

195360186220952741657534 13

p

yani 3046398207532

014167233250 13

p elde edilir Bu şekilde tablodaki değerler ara-

sındaki orana goumlre faiz oranı aralığının ara değerlemesi yapılır

207

Buna goumlre 0250014167233

250304639820753

2

p

yani p = 755 pa(d) elde edilir

Değerlerin farkından yararlandığımıza goumlre yukarıdaki tabloyu daha bir satır ile genişle-tecek ve bu farkları o satırda yazmakla işimiz kolaylaşacaktır

Aynı işlemleri doumlnem sonu yatırımlar iccedilin de yapacağız Yatırımların gelecekteki değeri 1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden faiz katsayısı r iccedilin

01

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu denklem de r değişkenli polinomdur Yatırımların gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin i i tablolarındaki değerleri kullanan 11 n

n pS V III formuumlluumlnden yarar-

lanarak V

VSVS nnn

p

777 11

elde edilir n ndash 1rsquoin bilinen değeri iccedilin V

VSn

değeri tabloda

varsa faiz oranı doğrudan doğruya okunur Aksi halde faiz oranını doğrusal enterpolasyon ile belirtiyoruz

2 Faiz hesaplaması 3 ay vadeli olmak uumlzere her uumlccedil ay sonunda bankaya 2000 denar yatı-rarak 5 yıl sonra hesabımızda 52 000 denar olmak iccedilin faiz oranı ne kadar olmalıdır

Burada 20 oumldeme yani n =20 doumlnem sonu yatırımı inceliyoruz Sn = 52 000 V=2000 ve

faiz oranı 4

p olduğunu alıyoruz O halde 19

4

52000 2000 1 pIII 13

denklemi elde edilir oradan

da 19

4

25pIII elde edilir Tablolarda 19 sayısına karşılık gelen boumlluumlmde 25 sayısını bulamıyoruz

Ancak 25 suumltununda 2454244 ve 275 suumltununda 25 19739750 sayılarını buluyoruz Aşağı-daki tabloyu oluşturuyoruz

19

4

p777 p 19

4

p777 p

5424424 52 5424424 52

1974025 752 25 4

p

654960 250 457560 524

p

25 25

275

025

208

13

52

4457560250654960

p

orantısını kurduktan sonra p = 107 elde edilir

3 Bir kişi 6 yıl oumlnce banka hesabına 30 000 denar yatırmış bu guumlnden ve gelecek sekiz yıl esnasında her yıl sonunda 5 000rsquoer denar yatıracaktır Bu guumlnden sekizinci yıl sonunda kişinin banka hesabında 47 745 denar birikecektir Yıllık faiz uumlzerinden faiz oranı aynı olmak uumlzere bu guumlnden 12 yıl sonra banka hesabında ne kadar parası olacaktır

Zaman ekseninde buguumlne 0 karşılık gelmek iccedilin -6 dan başlayacağız

yatırımlar

Şek 7

30000K 100

1pr 47745nS 715000 pnS 777

olduğuna goumlre

71500047745 p777

denklemi elde edilir oradan da 7 85491pIII elde edilir Tabloda n = 7 iccedilin bunun değeri p = 5 elde edilir Şimdi de buguumlnden başlayarak 12 yıl boyunca yatırılan mevduatların toplam değerini hesaplayalım

1302330514774505130000 418418 rSKrS nn denar elde edilir

Alıştırmalar

1 25 yıl boyunca her altı ay başında yatırılan 20 000 denarlık mevduatların suumlre sonunda toplam değeri 112 658 denar olmuştur Mevduatlar hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

2 Doumlrt yıl boyunca her doumlrt ayda 5 000 denar mevduat yatırılmış ve son mevduatın yatı-rıldığı guumlnde banka hesabında 75 000 denar birikmiştir Doumlnem sonu hangi faiz oranıyla yatırım yapılmıştır Yatırım vadesi doumlrt aylıktır

3 Her yıla) doumlnem başı b) doumlnem sonu

10 000 er denar yatırılarak 20 yıl sonra hesabımızda 260 000 denar biriken paramız olması iccedilin hangi faiz oranıyla parayı yatırmalıyız

209

4 Her altı ay sonunda yatırılan 3 000 denarlık mevduatlar 16 yılın sonunda 188100 de-nar olmuştur Faiz hesaplama vadesi altı ayda olduğuna goumlre Yatırılan para hangi faiz oranıyla hesaplanmıştır

5 Uumlccedil aylık doumlnem başı 5 000 denarlık anuumlitelerle bankaya 8 yıl boyunca para yatırdık Faiz hesaplanma vadesi uumlccedil aylık doumlnem sonu yapılarak sekizinci yıl sonunda banka hesabımızda 312500 denar birikmiştir Yatırılan para hangi faiz oranıyla hesaplanmıştır

86 Periyodik Alacaklar (Kiralar) Yatırımlarda yapılan incelemeler belli zaman aralıklarla alınan para miktarları iccedilin de

benzer incelemeler yapılabilir Oumlrnek banka hesabımızda bulunan bir miktar parayı birden değil belli ve eşit zaman aralıklarında kuumlccediluumlk miktarlar halinde ccedilekebiliriz Eşit zaman aralık-larında alınan alacaklar soumlz konusu olunca ilk aklımıza gelen kiradır Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (rentler) diye adlandıracağız Kira anuumliteleri oumlnceden belirlenmiş kanuna goumlre değişebilir oumlrneğin geometrik ya da aritmetik dizisi kanununa goumlre değişebilir Boumlyle kiralara değişken kiralar denir Oumlzelliklerine goumlre kiralar birccedilok şekilde adlandırılıyorlar oumldeme zama-nına goumlre periyodun başlangıcında oumldenirse doumlnem başı kiralar periyodun sonunda oumldenirse doumlnem sonu kiralar diye adlandırılıyorlar Oumldemelerin zaman suumlresine goumlre geccedilici kiralar (bel-li bir suumlre iccedilin) oumlmuumlr boyu kiralar (kirayı oumldeyen kişinin oumlmruumlnuumln sonuna kadar) ya da kira alacakları hiccedil bitmeyen olduğu durumda daimi kiralar soumlz konusudur

Kiraların oumldendiği periyotuna goumlre yıllık yarıyıllık uumlccedil aylık aylık vb kiralar fark ediyo-ruz

Kiranın alındığı muumlddetccedile parasal varlıkların faizlendirmesi devam eder ve kira periyot-ları ve faiz doumlnemleri ccedilakışabilir yani eşit olabilir (biz ileride sadece bu gibi kiraları inceleyece-ğiz) Halbuki faiz hesaplanması kira periyotundan daha sık ya da daha seyrek de olabilir

Kira almak iccedilin oumlnce bunu getirecek varlık temin edilmelidir Kira getirmek amacıyla yatırılan varlık miktarına kira sermayesi denir Burada bir defaya mahsus olan yatırım soumlz ko-nusudur Halbuki parasal varlıklar periyodik oumldemelerle de yapılabilir Kira alacakları kira be-delinin yatırılmasıyla başlarsa hemen kiralar kira alacakları belli bir zamandan sonra başlarsa o halde ertelenmiş kiralar soumlz konusu olur

Sabit miktarlı faizlendirme vadesi kiranın oumldeme vadesiyle ccedilakışan periyodik oumldemeler uumlzerinde daha fazla duracağız Formuumlllerin belirtilmesinde faiz oranı doumlnem sonu olduğunu varsayacağız halbuki doumlnem başı durumlar iccedilin de yorumlar yapacağız

210

Şu işaretlemeleri kullanacağız Mn ndash kira sermayesi R- kira (rent) n ndash oumldeme sayısı r ndash doumlnem sonu faiz katsayısı 8 - doumlnem başı faiz katsayısı

861 Kira Sermayesinin Hesaplanması

Başlangıccedil iccedilin n defa her periyodun başında oumldenen R miktarlı doumlnem başı kirayı incele-yelim Gereken kira sermayesini hesaplamak iccedilin bu miktar tuumlm kiraları sağlayacağını bilme-miz gerekir Demek ki yatırımların gelecekteki değerini hesaplarken tuumlm faizlenmiş bireysel mevduatların toplamını belirttiğimiz gibi burada da kira sermayesi aslında tuumlm bireysel iskon-tolanmış kiraların değerlerinin toplamına eşit olacaktır İskontolanmış değer aslında faizlen-dikten sonra R değerine biriken şimdiki değerdir Bunu zaman ekseninde şu şekilde goumlsterebi-liriz (şek8)

Şek 8

O halde doumlnem başı durumunda r faiz katsayısıyla kira sermayesi iccedilin

12

1

11 nn r

Rr

Rr

RRM

elde edilir Goumlruumllduumlğuuml gibi birinci kira iskonto edilmez onun değeri şimdiki oumldenen değere eşittir İkinci kira bir periyot iccedilin iskonto edilmiş ve bu şekilde n ndash 1 defa iskonto edilen son kiraya kadar devam edilir Bu şekilde elde edilmiş olan ifadeyi

13

12

1

111 nn rrr

RM

biccediliminde yazalım Parantez iccedilinde olan kısım ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik

dizisinin ilk n teriminin toplamıdır Mevduatlardan farklı olarak burada faiz katsayıları yerine 1

kr

iskonto katsayısı vardır Formuumlluuml doumlnuumlştuumlrmeye devam ediyoruz 1

1

11

11

rrrrR

r

rRM n

nn

n

elde edilir

211

1

11

rrrRM n

n

n

formuumlluumlyle doumlnem başı kiranın kira sermayesi hesaplanır diğer deyiş-

le ilerdeki tuumlm oumldemelerin şimdiki değerini hesaplamak iccedilin uygulanan formuumllduumlr

Not 1 Uumlccediluumlncuuml i i tablo birinci tablonun değerlerinin toplamından elde edildi-

ği gibi benzer şekilde doumlrduumlncuuml i i tablo 17 npV

12

1

11 nrrr

şeklinden toplam gibi 1211 7777777 n

pppnpV

yani 1rsquoden n -1 kadar periyotlarında aynı p pa(d) faiz oranıyla

hesaplanmış ikinci tablonun değerlerinin toplamıdır

Buna goumlre kira sermayesi iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz

11 7 npn VRM

1 Oumlnuumlmuumlzdeki her 4 yılın başlangıcında 10000 denar kira almak iccedilin buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 6 pa(d) ve faizin hesaplanması yılda bir defa olsun

Kira sermayesinin hesaplanması gerekir Toplam 4 kira n = 4 kira değeri R = 10000 yıllık

faizlendirme m = 1 ve doumlnem sonu faiz katsayısı 61 106

100 olduğunu biliyoruz

O halde

367301061061

106110000

1

13

4

1

rr

rRM n

n

n

denardır

Not 2 Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda faiz katsayısı 100

100 p8

rsquodir ve kira

sermayesi iccedilin şu formuumll geccedilerli olacaktır

1

1

1

11

888

8888

n

n

n

n

n RRM

2 Oumlnuumlmuumlzdeki her 4 yılın başlangıcında 10000 denar doumlnem başı kira almak iccedilin buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 6pa(a) ve faizin hesaplanması yılda bir defa olsun

Oumldev 1rsquode yapıldığı gibi benzer şekilde hareket edilir 100

1063829787100 6

8

elde

edilir Bunu yukarıdaki formuumllde yerine koyarsak Mn = 36 542 denar elde edilir

212

3 Oumlnuumlmuumlzdeki 10 yıl boyunca yarım yılda bir 30 000 denar kira almak istiyoruz İlk kira hemen oumldendiği takdirde buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 10 pa(d) ve faizin hesaplanması yılda iki defa olsun

Birinci oumldeme hemen olduğuna goumlre doumlnem başı kira soumlz konusudur Oumldeme sayısı n =

10 2 = 20 R = 30 000 ve 101 105

2 100r

biliniyor O halde

3925601051051

105130000

19

20

nM

denar olduğunu buluyoruzKira sayısı n doumlnem sonu faiz katsayısı r doumlnem sonu R değerinde kira olduğu durumda (şek9)

Şek 9birinci kira birinci periyodun sonunda oumldenir ve aynısı bir periyot iccedilin iskonto edilir İkinci kira iki periot iccedilin ve son kira n periot iccedilin iskonto edilir O halde

r

rr

Rrrrr

Rr

Rr

Rr

Rr

RMn

nnnnn 11

11

111

1111

111212

13

ve sonunda

1

1

rr

rRM n

n

n elde edilir Bu ise vade sonu kira sermayesinin hesaplanmasında

uygulanan formuumllduumlr

Not 3 Yukarıda yapılan incelemeye goumlre doumlrduumlncuuml i i tablosu iccedilin kira sermayesi for-

muumlluuml

npn VRM 7 şeklinde yazılır

Not 4 Doumlnem başı faizlendirmede doumlnem sonu kiralara ait formuumll

1

1

88

8n

n

n RM dir

4 Her uumlccedil ay sonunda 2 yıl boyunca periyodik mevduat yatırılmaya başlanmıştır Bu guumln-den 7 yıl sonra uumlccedil ay vadeli 6000 denar tutarında 15 yıl boyunca kira almak istiyoruz Kira doumlnem başı faiz oranı 8 pa(d) ve uumlccedil aylık faizlendirme ile verilecektir Yatırılan periyodik mevduat ne kadardır

213

Periyodik yatırımları ve alacakları zaman ekseninde goumlsterelim (şek10)

uumlccedil aylık mevduatlar uumlccedil aylık kiralar

Şek 10

Verilenler 842 n 0211004

81

r

2 yılın sonunda yatırımların toplam tutarı

VVr

rVSn

n 58381021

1021

1

1 8

dir Yatırımın gelecekteki değeri yani kiraların oumldenmesi

başlanıncaya kadar 5 yıl iccedilin faizlenir Kira sermayesi aslında Snrsquoin faizlenmiş değeridir Buna goumlre 5 4 208583 102n nM S r V rsquodir Sadeleştirdikten sonra 12754nM V elde edilir Di-

ğer taraft an kiraların verilen koşullarına goumlre

1

1

1

n

n n

rM Rr r

formuumlluumlnde kira sayısı nrsquo =

15 4 = 6 r = 102 R = 6000 denar Buna goumlre 6

5

102 16000 34281

102 102 1nM

elde edilir

Kira sermayesi iccedilin elde edilen iki değeri eşitlersek 34 281 = 12754 V elde edilir Oradan da V = 2 688 denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Periyodik kira nedir

2 Oumldemelerin suumlresine goumlre kiralar nasıl adlandırılır

3 Oumldeme zamanına goumlre nasıl kiralar vardır

4 Doumlnem başı oumldenen yarım yıl vadeli 5000 denar kira tutarını 20 yıl boyunca almak iccedilin ne kadar kira sermayesi gerekir Faiz oranı 6 pa(d) ve faiz vadesi yarım yıllık olsun

5 Altı yıl boyunca 4 pa(d) faiz uumlzerinden 30 000 denar yıllık vadelia) doumlnem sonu b) doumlnem başıkira almak iccedilin bu guumln yatırmamız gereken sermaye miktarı ne kadar olmalıdır

8

214

6 Gelecek altı yılda her uumlccedil ayın sonunda 30 000 denar kira almak iccedilin kira sermayesi ne kadar olmalıdır Faiz oranı 2 ps(d) ve faiz vadesi uumlccedil aylıktır

7 Buguumln 80 000 denar bankaya yatırıldı İlerdeki 9 yıl zarfında her ay sonunda ne kadar para yatırmalıyız ki son mevduatın oumldendiği guumlnden itibaren aylık doumlnem başı 7000 denar kira tutarı elde edilsin Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

8 Bu guumlnden başlayarak ilerdeki uumlccedil yıl boyunca her ayın sonunda 5 000 denar kira tutarı almak iccedilin buguumln yatırılan 18 000 denar ile beraber 2 yıl oumlnce ne kadar para yatırmamız gere-kirdi Faiz oranı 24 pa(d) aylık vadelidir

87 Kira Tutarının Hesaplanması

Kira sermayesinin değeri Mn faizlendirme ve kira alışının koşulları verilmiş kira tutarı

bilinmeyen olsun Kira doumlnem başı olduğu durumda kira sermayesi iccedilin 1

1

1

n

n n

rM Rr r

geccedilerlidir Bu ifadeden bilinmeyen R kira tutarını ifade edeceğiz Oradan

1

11

n

n

n rrrMR

elde edilir Bu formuumlluuml kullanarak doumlnem başı kira tutarını hesaplayacağız Kira doumlnem sonu olduğu durumda ise kira sermayesi iccedilin 1

1

rr

rRM n

n

n formuumlluuml geccedilerlidir Bu formuumllden

1

1

n

n

n rrrMR

elde edilir

1 Buguumln 200000 denar 6 pa(d) yarıyıllık faizlendirme ile bankaya yatırılmıştır Bu kira sermayesi tutarıyla oumlnuumlmuumlzdeki 20 yıl boyunca her altı ayda bir kira

a) doumlnem sonu b) doumlnem başıolmak uumlzere alınırsa kira tutarı ne kadar olacaktır

Mn = 200000 denar kira sermayesi R tutarlı n = 20 2 = 40 kiraya eşit olmalıdır Doumlnem

sonu faiz katsayısı 6

1 1032 100

r rsquotuumlr

a) Doumlnem sonu kira durumunda 58652

1031

1031031200000

40

40

R denardır

215

b) Kira doumlnem başı olduğu takdirde

584001031

1031031200000

40

39

R

denardır

Not 1 Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda kira

1

11

n

n

nMR8

88

formuumlluumlyle hesaplanacaktır 8 doumlnem başı faiz katsayısıdır

Not 2 Faiz oranı doumlnem başı kira doumlnem sonu olduğu durumda kira

1

1

n

n

nMR888

formuumlluumlyle hesaplanacaktır

2 İki yıl oumlnce bankaya 120 000 denar 5 pa(d) yarı yıllık faizlendirmeyle yatırılan paray-la bu guumlnden başlayarak 4 yıl boyunca her altı ay başında ne kadar kira alabiliriz

K = 120 000 r = 1025 n = 4 2 = 8rsquodir Bu verilerle kira her yarıyıl başında alındığına goumlre doumlnem başı kira formuumlluumlnuuml uyguluyoruz

nnn

n

n MMr

rrMR 136010251

102510251

1

18

71

yarıyıllık kirafaizlendirme

Şek 11Zaman ekseninde goumlruumllduumlğuuml gibi kira iki yıl ertelenmiştir ve 120 000 denarlık kapital kira

sermayesi olarak kullanıldığı ana kadar

51324570251120000 422 rKM n

ve R= 0136

132 4575 = 18 014 denardır

3 Bu guumlnden başlayarak oumlnuumlmuumlzdeki iki yıl boyunca her uumlccedil ay sonunda 3 000rsquoer denar para yatırılacaktır Yatırılan son taksitten bir yıl sonra başlayarak bu yatırımdan 2 yıl boyunca her uumlccedil ayın başında kira oumldenecektir Banka hesabımızda bu guumlnden yedi yıl sonra 12 000 denar para biriktiğini varsayarak kira tutarı ne kadar olacaktır Faiz oranı 8 pa(d) faizlendirme uumlccedil aylık vadelidir

Zaman eksenini ccedilizdikten sonra işaret edelim (şek12)

216

4 yıl

yatırımlar kiralar

Şek 12

3000dqV 842 n 0211004

81

r

ve 257491021

10213000

1

1 8

r

rVSn

n

denardır Bu miktar para bir yıl faizde kalır ve kiraların toplam tutarını ve kalan 1200 de-narın bedelini sağlar Buna goumlre

44

4 112000

rMrSn

denklemini yazabiliriz 12000 denar

tutarının doumlrt yıl iccedilin uumlccedil ay vadeli iskontosu hesaplanır O halde 120001620 MrrSn

elde edilir Kira sermayesi M ile işaret edersek kira sermayesi tutarı doumlnem başı uumlccedil aylık vadeli 8

kiraya denktir O halde 47271021021

1021

1

17

8

1

RR

rrrRM n

n

elde edilir bunu yu-

karıdaki ifadede yerine değiştirirsek 12000021472702125749 1620 R

ve sonunda

25600214727

120000212574916

20

R denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Buguumln bankaya 100 000 denar kira sermayesi oumldedik Oumlnuumlmuumlzdeki 8 yıl boyunca ya-tırılan para miktarıyla 3 pa(d) yarıyıllık faizlendirme ile doumlnem sonu yarıyıllık kira tutarı ne kadar olacaktır Faizlendirme doumlnem başı faiz oranı aynı 3 pa(a) olduğu durumda kira tutarı ne kadar olacaktır

2 Buguumln bankaya 150 000 denar para yatırdık Oumlnuumlmuumlzdeki 25 yıl boyunca yatırılan miktardan her uumlccedil ay sonunda 8 pa(d) faiz oranı uumlzerinden oumldenecek kira tutarı ne kadar olacaktır

3 Buguumln 90 000 denar yatırdık Bu yatırımdan doumlnem başı uumlccedil aylık vadeli olmak uumlzere 3 yıl sonra başlayarak ilerdeki 5 yıl boyunca kira alacağız Faiz oranı 10 3 aylık vadeli faizlendir-me olduğuna goumlre kira tutarı ne kadar olacaktır

4 Biri 33 doğum guumlnuumlnden 38 doğum guumlnuumlne kadar her yarıyıl başında 4 800rsquoer denar banka hesabına yatırmıştır Bu kişi 41 doğum guumlnuumlnden 48 doğum guumlnuumlne

217

kadar her yarıyıl sonunda alacağı kira tutarı ne kadardır Yarıyıllık vadeli faizlendirme faiz oranı 6 pa(d)rsquodir

5 İki yıl oumlnce 12 000 denar para yatırdık ve 25 yıl sonra her yarıyıl sonunda kira alacağız Faiz oranı 5pa(d) yarıyıllık faizlendirme uygulamakla alınacak kira tutarı ne kadar olacaktır

88 Kira Sayısı ve Kira Kalanının Hesaplanması

Kira sermayesinin hesaplanmasında kullanılan formuumlldeki buumlyuumlkluumlkler arasında kira sa-yısı da bulunmaktadır Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde kira sayısını ifade edebiliriz Doumlnem başı kiralar iccedilin 1

1

1

11

rrrRr

rrrRM n

n

n

n

n kira sermayesi formuumlluumlne

birkaccedil denk doumlnuumlşuumlm uygulayarak

nn

rRrrM 1

11

Rr

rMRrRrrM

rnn

n

111

1

1

rMRrRrr

n

n

elde edilir Elde edilen denklemin iki tarafının logaritmasını alalım 1loglog

rMRrRrr

n

n ve logaritma işleminin bir oumlzelliğini kullanarak

1loglog

rMRrRrrn

n

elde edilir Oradan da

1log

log

1

rMRrRr

rn

n

elde edilir Bu formuumlluuml kullanarak kira sayısını hesaplayacağız

1 Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıl vadeli faizlendirme ile 129442 denar kira sermayesi yatırıl-mıştır İlk kira hemen alındığı takdirde 1200 denar tutarında yarıyıllık kaccedil kira alınabilir

Birinci kira hemen alındığına goumlre doumlnem başı kira soumlz konusu olduğunu oumlnceden kay-dedelim Bilindiği uumlzere

129442nM 0211002

41

r 12000R

denardır Buna goumlre kira sayısı

218

122682411log277116102112944202112000

02112000log

021log

1

n

Not 1 Faiz oranı doumlnem başı ise doumlnem başı yatırım iccedilin kira sayısı

1log

log

1

888

8 nMRRn

formuumlluumlyle hesaplanacaktır Burada

p

100

10018

doumlnem başı faiz katsayısıdır

2 Buguumln bankaya 140000 denar yatırıyoruz Yatırılan paraya banka yıllık 5 pa(d) faiz oumlduumlyor Yatırılan bu parayla 10 000 denar tutarında doumlnem başı yıllık kaccedil kira alabiliriz

140000nM 10000R

ve

051100

51 r

verilmiştir bundan dolayı

51722105114000005110000

05110000log

051log

1

n

Elde edilen değer tam sayı değildir Bu ise şunu goumlsteriyor Oumldenen 22 kira ile yatırılan pa-ranın tuumlmuuml harcanmamıştır fakat 10 000 denar tutarında olan kiralardan buumltuumln 23 kira oumldemek iccedilin yeterli para yoktur O halde kira sayısı elde edilen sayıdan buumlyuumlk olan ilk doğal sayıdır fakat ilk 22 kira tutarı eşit son olan 23 kira diğerlerinden kuumlccediluumlktuumlr

Şek13

Son kira iccedilin ya da kira kalanı diye adlandırılan tutarı hesaplamak iccedilin formuumll bulacağız Son kirayı R0 ile işaret edelim Bu durum zaman ekseni şek 13rsquote goumlsterilmiştir Kira sermaye-sinin bireysel kiralarını iskonto ederek

10221022

11

111

11

11

13

nnnnn r

Rrrr

Rr

Rr

Rr

Rr

RRM

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade bir sonsuz geometrik dizisinin ilk n terim toplamıdır Buna goumlre

101

1

10

1 1

1

11

11

11

nn

n

n

n

n rR

rrrrR

rR

r

rRM

elde edilir Buradan da kira kalanı iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz

219

1

1

1

01

1

9

lt=

gt

nn

n

n rrr

rrRMR

Not 2 Bu ifadeyi doumlrduumlncuuml ve birinci i i tablolarıyla ifade edersek formuumll 12

0 1 77 np

npn VRMR

şeklinde yazılabilir Burada 1

11

1

12

7

rrrrV n

nnp dir

Bizim oumlrnekte n = 23 olduğuna goumlre 755231051

1051051

105105110000140000 22

22

22

0 9

lt=

gt

R

denar elde edilir Kira kalanı daima kira tutarından kuumlccediluumlktuumlrMn kira sermayesi n defa alınmış olan doumlnem sonu kira R ve doumlnem sonu faiz katsayısı r

verilmiş olsun Kira sermayesi formuumlluumlnden n

n

rr

RM 1

11

R

rMRr

RM

rnn

n

111

1

elde edilir Buradan da

1

rMRRrn

n

elde edilir Bu ifadenin iki tarafının logaritmasını alalım

1loglog

rMRRrn

n

oradan da

1log

log

1

rMRR

rn

n

elde edilir

Not 3 Verilen faiz oranı doumlnem başı olduğu durumda kira sayısı iccedilin

1log

log

1

88 nMRRn

formuumlluuml geccedilerli olacaktırn tam sayı olduğu durumda bu sayı alınacak kira sayısıdır aksi halde tam sayı olmadığı

durumda kira sayısı bu sayıdan buumlyuumlk olan ilk doğal sayı alınır Doumlnem başı kiralar iccedilin yapıl-dığı gibi burada da R0 kira kalanı hesaplanabilir (şek14)

220

Şek 14

Kiraları iskontolayarak kira sermayesi iccedilin

nnnnn rR

rrrR

rR

rR

rR

rRM 11

1111

11

012012

13

elde edilir Parantez iccedilindeki toplam ilk terimi 1

r ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik dizi-sinin toplamı olduğuna goumlre

nn

n

n

n

n rR

rrrR

rR

r

rr

RM 1

1

11

11

11

101

1

0

1

elde edilir Oradan da

n

n

n

n rrr

rRMR 9

lt=

gt

1

11

1

0

elde edilir Bu ifade doumlnem sonu kira kalanını hesaplamak iccedilin formuumllduumlr

Not 4 1

11

1

rrrn

n

ifadesi 17 npV ile değiştirildiğine goumlre i i tablolarından yararlanmakla

kira kalanı iccedilin şu formuumlluuml kullanacağızd

np

npn VRMR 77 1

0

Not 5 Kira kalanını hesaplamak iccedilin elde edilen formuumlllerde faiz katsayısı r doumlnem başı faiz katsayısı 8 ile değiştirilirse doumlnem başı faizlendirme iccedilin karşılık gelen kira kalanı formuumll-leri elde edilecektir

3 Yıllık doumlnem sonu kira almak iccedilin buguumln bankaya 280 000 denar yatırıyoruz Faiz oranı 5 pa(d) yıllık olduğuna goumlre 20 000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Son kira ne kadardır

Şu veriler biliniyor Mn = 280 000 kira R= 20 000 ve r = 105 n kira sayısını belirtmek istiyoruz Yukarıdaki formuumlllerden

676524105128000020000

20000log

051log

1

n

elde edilir Buna goumlre alınacak kira sayısı n = 25rsquotir Halbuki burada kiralardan ilk 24 tanesinin tutarı

eşit son kira tutarı ise farklı ve 20 000 denardan az olacaktır O halde kira kalanı iccedilin

221

4136370511051051

105120000280000 25

24

24

0 9

lt=

gt

R

denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Buguumln bankaya 91012227 denar yatırdık ve bu guumlnden başlayarak her uumlccedil ay sonunda 100000 denar tutarında kira alacağız Faiz oranı uumlccedil aylık vadeli 7 pa(d) olduğuna goumlre kaccedil kira alabiliriz

2 Buguumln bankaya 33931867 denar yatırdık Faiz oranı altı aylık vadeli 10 pa(d) oldu-ğuna goumlre doumlnem başı altı ay vadeli kaccedil kira alabiliriz

3 Buguumln 500000 denar altı ay vadeli 5 pa(d) faiz oranıyla bankaya yatırdığımız tak-dirde bu guumlnden başlayarak her altı ay sonunda 50000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Kira kalanı ne kadardır

4 Bankaya yatırılan 1 300 000 denar para ile uumlccedil aylık vadeli doumlnem sonu 40 000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Faiz oranı doumlnem sonu uumlccedil aylık vadeli 9 pa(d)rsquodir Kira kalanı ne kadardır

5 Buguumln bankaya 120 000 denar yatırdık ve bu guumlnden başlayarak her altı ay başında 4 800 denar tutarında kira alacağız Faiz oranı altı aylık vadeli 4 pa(d) olduğuna goumlre kaccedil kira alabiliriz ve kira kalanı ne kadardır

89 Periyodik Kiralarda Faiz Oranının Hesaplanması

Faiz oranı bilinmeyen diğer buumlyuumlkluumlkler ise biliniyorsa onu kira sermayesi formuumlluumlnden bilinmeyen buumlyuumlkluumlk gibi hesaplanacaktır doumlnem başı iccedilin 11 n

n pM R IV ve doumlnem sonu iccedilin n

n pM R IV

1 Hangi yıllık vadeli faiz oranıyla 600 000 denar yatırılmalıdır ki 25 yıl boyunca her yıl başı 50 000 denar tutarında kira alınsın

Doumlnem başı kiralara ait kira sermayesinin temel formuumlluumlnuuml accedilalım Amaccedil r doumlnem sonu faiz katsayısının değerini bulmaktır

222

1

11

rrrRM n

n

n

buradan

01 RrMrRM nn

nn

denklemi elde edilir Bu denklemde bilinmeyen rrsquodir ve derecesi genellikle 4rsquoten buumlyuumlktuumlr Boumlyle denklemleri

ccediloumlzmek iccedilin sayısal youmlntemler kullanılır ve bu youmlntemlerin uygulanması hayli zordur Halbu-ki 11 7 n

pn VRM

formuumlluumlnuuml kullanarak 1npIV finansal tablosundan değerleri okuyarak

p faiz oranını kolay belirtebiliriz Halbuki 1npIV tablosunda aranılan değer yoksa bileşik faiz

hesabında ve mevduatlarda yapıldığı gibi lineer enterpolasyon denilen youmlntem uygulanır

Konkre olarak oumldev 1rsquode Mn = 600 000 R = 50 000 n = 25rsquotir Formuumlluuml uygulamakla 24600 000 = 50 000 1 pIV olduğuna goumlre 24

pIV = 11 elde edilir 24

pIV tablosunda 11 değe-ri hiccedilbir faiz oranına karşılık gelmediğini goumlruumlyoruz Bu nedenle ona en yakın olan değerleri 109830 lt 11 lt 114693 alıyoruz Bu durumda

24

75IV = 109830 ve 24

7IV = 114693 olduğunu buluyoruz Şu tabloyu oluşturuyoruz

24

pV7 p 24

pV7 p

983010 57 983010 57 469311 7 11 p

48630 50 0170 57p

04863 (ndash 05) = 0017 (p ndash 75) orantısından 482757

48630

017050

p

elde edi-lir Demek ki aranılan faiz oranı 7482rsquodir

2 Bir kişi 5 yıl boyunca her yarıyıl sonunda 60 000 denar kira alıyormuş Kira sermayesi olarak ilk alınan kiradan altı ay oumlnce 463 302 denar yatırıldığına goumlre altı ay vadeli faizlendirme hangi faiz oranıyla yapılmıştır

Burada doumlnem sonu kira tutarı R = 60 000 kira sermayesi tutarı Mn = 463 302 n = 5 2

= 10 defa verilmiştir Doumlnem sonu kiraya ait kira sermayesi formuumlluuml 1

1

n

n n

rM Rr r

rsquodir Bu

eşitliği r faiz katsayısına goumlre duumlzenlersek 1 0n nn nM r M R r R denklemi elde edilir

Bizim oumlrneğimizde bu denklem 11 derecedir ve bunun ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirtmek kolay değildir Bu

nedenle finansal tablolarda 2

nn pM R IV kira sermayesinin formuumlluumlnden yararlanacağız

2

p

223

yarıyıllık etkin faiz oranıdır Demek ki 10

2

463302 60000 pIV olduğuna goumlre 10

2

77217pIV

elde edilir Tabloda n =10 iccedilin 77217 sayısına 2

P 5 karşılık gelir Buna goumlre yıllık nominal

faiz oranı 10 pa(d) olduğunu buluyoruz

3 12 yıl altı ay boyunca yarıyıllık faiz vadesiyle doumlnem sonu altı aylık 10 000 denar tuta-rında kira almak iccedilin 12 000 denar kira sermayesini hangi faiz oranıyla yatırmalıyız

Formuumllde Mn = 120 000 R = 10 000 ve kira sayısı n = 125 2 = 25 değerlerini değiştirirsek 25

2

120000 10000 pIV denkleminden 25

2

12pIV elde edilir Doumlrduumlncuuml i i tablosunda n = 25

iccedilin 12 sayısını değil ona en yakın komşuluğunda bulunan iki sayıyı seccediliyoruz Bunlar 121979 sayısı ki buna 65 faiz oranı ve 116536 sayısı ki buna 7 faiz oranı karşılık gelir

Bu verileri tabloda yazarak enterpolasyon yapacağız

25

2pV7 2p 25

2pV7 2p

653611 7 653611 7 197912 56 12 2p 54430 50 34640 72 p

05443 (ndash 05)= 03464 (p 2 ndash 75) orantısından

6826754430

3464050

2

p

elde

edilir Buna goumlre yıllık nominal faiz oranı 13364 pa(d)rsquodir

4 Buguumlnden başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her uumlccedil ayın sonunda 16 000 denar para bankaya yatıracağız Bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesabımızdan o kadar para ccedilekmeliyiz ki beş yıl sonra hesabımızda kira sermayesi olarak 30840 denar paramız birikmiş olsun Bu kira sermaye-sinden yaralanarak 25 yıl boyunca 4000 denar tutarında doumlnem sonu uumlccedil ay vadeli kira alacağız Bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesabımızdan hangi miktar parayı ccedilekmeliyiz Faiz oranı bu zaman suumlresinde daima aynıdır

İki yıllık yatırım yapılıyor fakat faiz oranını bilmediğimizden mevduatın tutarını hesapla-yamıyoruz Halbuki kira iccedilin verilerimiz vardır ve oradan faiz oranını hesaplayacağız Bu verile-ri zaman ekseni uumlzerinde goumlsterdikten sonra denklemler kuracağız

224

yatırımlar

Şek 15

S yatırımının son değeri bir yıl faizlenir X tutarında para ccedilekilir ve kalan para daha iki yıl faizlenir Buguumlnden 5 yıl sonraki guumlnde bankada biriken para tutarı kiraların toplam tutarına karşılık gelir Buna goumlre 4 8S r X r M denklemi elde edilir Oumlnce faiz oranını hesapla-

yalım Kira sermayesi formuumlluumlnden 4

npM R IV yazabiliriz burada n kira sayısıdır ve oumlrneği-

mizde n = 25 4 =10 kiradır Buna goumlre 4

771npIV elde edilir Bu değer 8

4

p faiz oranına

karşılık gelir Demek ki p = 32 pa(d) olduğunu buluyoruz Buna goumlre 321 108

4 100r

değerini Xrsquoin bulunduğu denklemde yerine koyabiliriz Yatırım doumlnem sonu olduğuna goumlre

1701861081

108116000

8

S denar elde edilir O halde 4 8170186 108 108 30840X

denklemi elde edilir Bunun ccediloumlzelim 231536 ndash X = 16662 oradan da X = 231536 ndash 16662 = 214874 denar olduğunu buluyoruz

Ccedilekilmesi gereken miktar 214874 denardır

Alıştırmalar

1 On yıl boyunca her uumlccedil ayın başlangıcında 10 000 denar tutarında kira alınmıştır İlk alınan kiranın ilk guumlnuumlnde 200 000 denar para yatırılmışsa uumlccedil ay vadeli hangi faiz oranı kulla-nılmıştır

2 12 yıl boyunca her uumlccedil ayda bir 2 000 denar doumlnem başı kira almak iccedilin 70 000 denar hangi faiz oranıyla yatırılmalıdır Faizlendirme her uumlccedil ayda bir yapılacaktır

3 Altı yıl boyunca her altı ayda 6 000 denar tutarında doumlnem sonu kira almak iccedilin 45 216 denar kira sermayesi hangi faiz oranıyla yatırılmalıdır

4 Bir kişi 36 000 denar yatırım yaparak ilerdeki 5 yıl boyunca her doumlrduumlncuuml ayda 4 500 denar tutarında kira almalıdır Doumlrt ay vadeli hangi faiz oranı kullanılmıştır

225

5 Bir yıl oumlnce yatırılan tutarın şimdiki değeri 45 000 denardır ve her ikinci ay sonunda bu paradan iki yıl boyunca 5 000 denar tutarında kira alınacaktır Kira iki ay vadelidir Bir yıl oumlnce hangi miktar para yatırılmıştır

810 Karma Oumldevler

Tuumlm i i tablolarının uygulanmış olduğu bazı ccediloumlzuumllmuumlş oumldevler uumlzerinde duracağız Ve-rilen oumlrnekler yatırımlar (mevduatlar) ve bileşik faizlendirmeden oluşan bileşik kombinasyon-lardan meydana gelmiştir

1 Buguumln ne kadar kapital yatırmalıyız ki bu guumlnden başlayarak 5 yıl sonraki altı yıl bo-yunca her uumlccedil ay başında 9000 denar tutarında kira almak iccedilin yatırımımız olsun Faizler ilk iki yılda aylık vadeli 6 ps(d) faiz oranıyla sıradaki uumlccedil yılda uumlccedil ay vadeli 10 pa(a) faiz oranıyla ve son altı yılda faiz oranı 4 pq(d) hesaplanacaktır (şek15)

Şek 16

Kira sermayesi aslında anaparanın faizlenmiş tutarıdır ve farklı periyotlarda farklı faiz oranlarına goumlre şu şekilde hesaplanacaktır

- İlk iki yıl 2 12 = 24 defa 01110012

621

r

faiz katsayısıyla faizlenecek

- sıradaki 3 yılda 3 4 =12 defa 025641

4

10100

100

8

faiz katsayısıyla ve

- kiraların hesaplanmasında toplam 6 4 =24 kira uumlccedil aylık vadeli 4 etkin faiz oranıyla ya da rrsquo = 104 faiz katsayısıyla faizlenecektir

Buna goumlre nMrK 1224 8

ve 1

124

24

AAA

Arr

rrRM n

dir Verilen değerleri değiştirdik-

ten sonra elde edilen ifadeleri eşitliyoruz Bu şekilde

1041041

10410419000025641011

24

241224

K

denklemi elde edilir İfadenin sadeleştirilmesiyle 172 K = 142 712 elde edilir Buna goumlre buguumln oumldenmesi gereken tutar K = 82 972 denar olduğunu buluyoruz

226

2 Banka hesabımıza 780 000 denar tutarında kira sermayesi yatırıyoruz Faiz oranı ilk 4 yıl boyunca 6 pa(d) ve gelecekteki altı yıl boyunca 8 pa(d) olmak uumlzere on yıl boyunca ayda ne kadar kira alınabilir Faizlendirme işlemi aylık ve ilk kira kira sermayesinin yatırıldı-ğından bir ay sonra başlayacaktır

Oumlnce ilk kira oumldemesi ay sonunda yapıldığına goumlre doumlnem sonu kiradan bahsedildiğini fark edelim Farklı faiz oranları uygulandığından aynı tutarlı fakat farklı kira sermayesi ile ilk 4 yılda bir ikinci 6 yılda ikinci kira oumldendiğini farz edebiliriz (şek17)

Şek 17

İlk doumlrt yıl iccedilin gereken kira sermayesi M1 ve ilerdeki 6 yıl iccedilin M2 olsun Oumldenen top-lam kira sermayesi tutarı M1 ve iskontolanmış M2 tutarlarının toplamıdır Birinci kira 4 12

= 48 defa doumlnem sonu faiz katsayısı 005110012

611

r

ile hesaplanacaktır ve elde edi-

len kira sermayesi RRM 58042100510051

1005148

48

1

rsquodir İkinci kira 6 12 = 72 defa

doumlnem sonu faiz katsayısı 00667110012

812

r

olduğuna goumlre ikinci kira sermaye-

si RRM 028571006671006671

100667172

72

2

rsquodir O halde 124

1

21

1

rMMM

eşitliğinden

4800510285758042780000 RR

denklemi elde edilir Denklemi ccediloumlzerek aylık kira R =

8917 denar olduğunu elde ediyoruz

3 Dokuz yıl boyunca uumlccedil ay vadeli 18 000 denar tutarında kira almak istersek her ay başın-da 6 yıl boyunca ne kadar mevduat yatırılmalıdır Son yatırılan mevduattan ilk kira alınıncaya kadar 6 yıl 1 ay geccedilecektir Faiz oranı 8 pa(d) faizlendirme ilk 6 yılda aylık vadeli ondan sonra uumlccedil aylık vadeli olacaktır (şek18)

227

R uumlccedil aylık kiraV aylık mevduat

Şek 18

Bilinmeyen bireysel mevduat Vrsquodir Mevduat toplam 6 12 = 72 defa doumlnem başıdır Al-

tıncı yıl sonunda 1

81 100667

12 100r

faiz katsayısıyla yatırımların son tutarı S hesaplanır

Buna goumlre VVr

rrVS 65921006671

1006671006671

1

1 72

1

72

11

elde edilir S tutarına kira ser-

mayesi olduğu andan itibaren faizlendirmeye başlanır Son mevduattan ilk kiranın oumldenmesine kadar 6 yıl 1 ay suumlre vardır fakat S son mevduattan bir ay sonra hesaplanmaya başlıyor Demek ki faizlendirme suumlresi 6 yıldır O halde S tutarını belirttikten sonra faizlendirme uumlccedil aylık vadeli

olduğuna goumlre 6 4

2M S r rsquodir Bu durumda r2 faiz katsayısı iccedilin 2

81 102

4 100r

elde edi-

lir Buna goumlre kira sermayesi iccedilin VVSM 1490216592021 2424

elde edilirDiğer taraft an kira sermayesini kiranın koşullarına goumlre hesaplayacağız Kira her uumlccedil ay

vadeli 9 yıl boyunca alınır Demek ki ilk uumlccedil ayın başlangıcından başlayarak yani doumlnem başı toplam n = 9 4 = 36 kira oumldenir Faiz katsayısı r2 = 102rsquodir Buna goumlre

46800026180001021021

102102118000

1

136

36

2

36

2

36

22

rr

rrRM

elde edilir Kira sermayesinin iki değerini eşitleyerek 149 V = 468 000 elde edilir Buna goumlre V = 3141 denardır

4 Biri 9 yıl oumlnce banka hesabına 38 000 denar yatırmıştır İlk iki yılda başka yatırım ve para ccedilekme olmamıştır Ondan sonra 3 yıl boyunca her 6 ayda 8 000 denar tutarında mevduatlar yatırılmıştır Bu guumlnden başlayarak ilerdeki 4 yıl boyunca yıllık vadeli 15 000 denar tutarlı kira alınacaktır Bu guumlne kadar yarıyıllık vadeli faiz oranı 8 pa(d) bu guumlnden itibaren ise yıllık vadeli faiz oranı 10 pa(d) uygulandığına goumlre son kiradan sonra kişinin banka hesabında ne kadar parası olacaktır (şek 19)

228

mevduatlar

Şek 19

Oumldenen mevduatların faizlenmiş değerlerini gereken kira sermayesi ve iskonto kalanı K

ile eşitleyeceğiz Bu guumlne kadar faiz katsayısı 1

81 104

2 100r

rsquotuumlr Yatırılan ilk mevduat

tutarı K0 = 38 000 denardır ve buguumlne kadar yarıyıllık vade ile toplam 9 2 =18 defa faizlenir

32 = 6 defa yatırılan mevduatın toplam tutarı 551861041

10410418000

1

1 6

1

6

11

rrrVS

de-

nardır ve bu tutar buguumlne kadar faizlenir ve bu şekilde buguumlne kadar yatırılan paranın toplam tutarı

1525070415518604138000 81824

1

18

10 rSrK

denardır

Banka hesabından ilerde ccedilekilen parasal değerleri hesaplamak iccedilin kira ve kalanın iskon-tolanmış değerini hesaplamak gerekir Son kiradan sonra 4 yıl faizde kalan doumlnem başı yıllık vadeli mevduat soumlz konusu olduğunu belirtmeliyiz Bu demektir ki son kiradan doumlrt yıl sonra buguumlnden ise 8 yıl sonra iccedilin kalan para tutarını hesaplayacağız O halde doumlnem başı faiz katsa-

yısı 2

100111

100 108

olduğuna goumlre K kalanının iskontolanmış değeri 8

2

1K8 rsquodir

O halde kira sermayesi iccedilin 1

1

2

5

2

5

22

888

8RM

geccedilerlidir Beş yıllık doumlnem başı yıllık

vadeli 15 000 denar kira tutarı iccedilin 61537

1111111

111111115000

5

5

M

denar elde edilir

8

2

8

1

18

10

1

8 KMrSrK

şimdiye kadar yapılan yatırımları ve alımları eşitlemekle

152507 = 61537 + K middot111ndash8 elde edilir ve oradan K = 39 474 denar olduğunu buluyoruz Bu guumln-

den sekizinci yılın sonunda banka hesabında 39 474 denar kalacaktır

229

Alıştırmalar

1 11 yıl oumlnce banka hesabımıza yarıyıllık vadeli 4 yıl boyunca 8 000 denar tutarında mevduatlar yatırmaya başladık 3 yıl oumlnce bir defaya mahsus daha 90 000 denar yatırdık Buguumln-den başlayarak yedi yıl boyunca aylık kiralar alacağız ve 49 aydan sonra hesabımızda daha 50 000 denar kalacaktır Faiz oranı buguumlne kadar yarıyıllık vadeli 8 pa(d) ve bu guumlnden sonuna kadar aylık vadeli 12 pa(d) olduğuna goumlre kira tutarı ne kadardır Kiralar ve mevduatlar douml-nem başıdır

2 12 yıl oumlnce bankaya bir miktar para yatırdık Ondan uumlccedil yıl sonra 5 yıl boyunca her altı ayda 3 000 denar tutarında mevduatlar yatırdık Bu guumlnden başlayarak 8 yıl boyunca altı ay vadeli 5 000 denar tutarında kira alacağız Son kiradan 1 yıl 6 ay sonra banka hesabımızda daha 4 000 denar paramız olacaktır Buguumlne kadar faiz oranı 8 pa(d) ve buguumlnden sonra p = 6 pa(d) altı ay vadeli olduğuna goumlre 12 yıl oumlnce ne kadar para yatırılmıştır Hem mevduatlar hem kiralar doumlnem başıdır

3 Uumlccedil yıl oumlnce başlayarak iki yıl boyunca banka hesabımıza her ay doumlnem başı 2000 denar tutarında mevduat yatırmaya başladık Bir yıl oumlnce daha 40 000 denar yatırıldı Bu guumlnden bir yıl sonra 5 yıl boyunca R tutarında doumlnem başı aylık kira alacağız ve bu guumlnden 6 yıl sonra bir yıl boyunca 2200 denar tutarında doumlnem başı aylık kira alacağız Faiz oranı 13 pa(d) olduğuna goumlre beş yıllık kira tutarı ne kadar olacaktır Faizlendirme bir aylık vadelidir

4 Bir kişi 30 yıl oumlnce başlayarak onuncu yıl oumlnceye kadar her ay başında 24 pa(d) faiz oranıyla aylık vadeli 1100 denar tutarında mevduat yatırmıştır O guumlnden sonra faiz oranı 4 pa(d) altı ay vadeli faizlendirme uygulanmıştır Bu guumlnden başlayarak ilerdeki 15 yıl boyunca kişi her altı ayda kira alıp son kirayı aldıktan sonra hesabında 50 000 denar kalıyorsa yarıyıl vadeli kira tutarı ne kadardır

5 Biri yedi yaşından 15 yaşına kadar her uumlccedil ayın başında banka hesabına 7000 denar yatırmıştır 20 yaşında bir defaya mahsus daha 200 000 denar para yatırmıştır 30 ve 40 yaş ara-sındaki doumlnemde her uumlccedil ay başında 125 000 denar tutarında kira almıştır Faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil ay vadeli olduğuna goumlre ellinci yılında şahsın banka hesabında ne kadar parasal varlığı ola-caktır

230

8 11 Alıştırmalar

1 Bu guumlnden başlayarak 1 yıl ve 8 ay boyunca her ay başında 1200 denar tutarında mev-duat yatıracağız Faiz oranı 6 pa(d) aylık vadeli faizlendirme ile bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesa-bımızda ne kadar para birikecektir

2 İki yıl oumlnce banka hesabımıza 40 000 denar para yatırdık Şimdiden 4 yıl sonra hesabı-mızda 800 000 denar birikmesi iccedilin ilerdeki uumlccedil yıl boyunca her ay sonunda ne kadar mevduat yatırmalıyız Faiz oranı 18 pa(d) aylık vadelidir

3 4500 denar tutarında uumlccedil ay vadeli kaccedil mevduat yatırmalıyız ki son mevduattan 3 ay sonra hesabımızda 120 000 denar para birikmiş olsun Faiz oranı 10 ve faiz vadesi uumlccedil aylıktır

4 Bir kişi 35 yaşından başlayarak 41 yaşına kadar her altı ay sonunda 6 000 denar tutarın-da para banka hesabına yatırıyor ve son yatırım guumlnuumlnde hesabında 144 000 denar olduğunu tespit ediyor Faizlendirme altı aylık olduğuna goumlre yatırım hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

5 Biri banka hesabına her uumlccedil ay başında 6000 denar tutarında mevduat yatırmış ve bu-guumlnden 4 yıl sonra hesabında 314 422 denar para birikmiştir Buguumln dahil kişi kaccedil yıl hesabına uumlccedil ay vadeli 6000 denar tutarında para yatırmıştır Faiz oranı 6 pa(d) ve faizlendirme uumlccedil ay vadelidir

6 20 yıl boyunca ccedileyrek yıl vadeli doumlnem sonu 7200 denar tutarında kira almak iccedilin bu-guumln hangi miktar parayı yatırmalıyız Faiz oranı 8 pa(d) ve faizlendirme uumlccedil ay vadelidir

7 Bu guumlnden başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay sonunda 2 500 denar tutarında mevduat yatırılıyor Bu guumlnden 4 yıl sonra başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay başında ne kadar kira alabiliriz Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

8 Buguumln hesabımıza 100 000 denar para yatırdık Altı aylık vadeli doumlnem başı 10000 denar tutarında kirayı buguumlnden başlayarak kaccedil defa alabiliriz Faiz oranı 5 pa(d) altı aylık vadelidir Kira kalanı ne kadardır

9 Buguumln 115 610 denar yatırdık ve bir ay sonra başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay sonunda 9000 denar tutarında kira almaya başlayacağız Faizlendirme aylık vadeli olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

10 Buguumln hangi miktar parayı yatırmalıyız ki 5 yıl sonra hesabımızda 59008 denar pa-ramız kira sermayesi olarak birikmiş olsun Bu paradan 3 yıl boyunca her uumlccedil ay sonunda 1200 denar tutarında kira oumldenecektir

231

11 10 yıl oumlnce banka hesabımıza 50 000 denar para yatırdık Doumlrt yıl sonra her ay başın-da 800 denar tutarında 6 yıl boyunca periyodik yatırımlara başladık Buguumlnden başlayarak 2 yıl boyunca her ay başında 3000 denar tutarında aylık kira alacağız Son kiradan yarım yıl sonra hesabımızdan daha 197650 denar alıyoruz Bu guumlnden 3 yıl sonra banka hesabımızda ne kadar paramız kalacaktır Faiz oranı 10 pa(d) aylık vadelidir

12 Bir baba ccedilocuğunun tasarruf karnesine 8 yaşından 15 yaşına kadar her ay sonunda 500 denar yatırıyor 18 yaşından 24 yaşına kadar her ay başında 600 denar yatırıyor Ondan sonra 26 yaşından 15 yıl boyunca her ay başında 250 denar yatırıyor Faiz oranı 10 pa(d) aylık vadeli olduğuna goumlre son yatırımdan altı ay sonra ccedilocuğun karnesinde ne kadar parası olacaktır

13 On iki yıl oumlnce bir miktar para yatırılmış ve buguumln 30 000 denar ccedilekilmiştir Buguumlnden başlayarak ilerdeki 6 yıl zarfında her doumlrt ay sonunda 500 denar tutarında para yatırılmıştır Faiz oranı 6 pa(d) doumlrt ay vadelidir Bu guumlnden 12 yıl sonra hesabımızda 208790 denar oldu-ğuna goumlre 12 yıl oumlnce ne kadar para yatırılmıştır

14 Birkaccedil yıldan buguumlne kadar her uumlccedil ay başında 12000 denar para yatırılmıştır ve bu-guumlnden doumlrt yıl sonra banka hesabında 175400 denar birikmiştir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil ay vadelidir Paranın yatırılması kaccedil yıl oumlnce başlamıştır

15 Biri 80 000 denar para yatırmıştır 25 yıl sonra her uumlccedil ay başında kira almaya başlaya-caktır 25 yıl boyunca ne kadar kira alabilir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil ay vadelidir

16 Buguumlnden bir yıl uumlccedil ay sonra hangi miktar parayı yatırmalıyız ki yatırım guumlnuumlnden buguumlnden 3 yıl sonraya kadar her ay sonunda 4500 denar tutarında kira alınsın ve son kira alın-dığı guumlnde hesapta 11250 denar para kalsın Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

17 Biri 5 yıl oumlnce 24 000 denar yatırmış ve buguumlnden ilerdeki iki yıl boyunca her altı ay başında 38 330 denar para yatıracaktır Faiz oranı daima aynı altı aylık vadeli olmak uumlzere son yatırımda hesapta 400 000 denar biriktiğini varsayarsak bu guumlnden 5 yıl sonra kişinin hesabın-da ne kadar parası olacaktır

18 Buguumln banka hesabına 150 000 denar yatırılmış iki yıl sonra da 60 000 denar hesap-tan ccedilekilmiştir Buguumlnden onuncu yıla kadar doumlnem sonu yıllık kira alacağız ve son kiradan 3 yıl sonra hesabımızda 30 000 denar kalacaktır Faiz oranı 5 pa(d) yıllık vadeli olduğuna goumlre kira tutarı ne kadardır

232

Konu Oumlzetleri

Basit ve bileşik faiz hesaplarını uygularken sadece bir defaya mahsus olmak uumlzere yatırı-lan parasal varlıklar ve bazı oumlrneklerde farklı periyotlarda yatırılan ya da ccedilekilen tutarlar soumlz ko-nusuydu Bu durumda bireysel yatırımlar eşit ya da farklı olabilirdi belli bir kurala goumlre değişe-bilir oumlrnek aritmetik ya da geometrik dizisi kanununa goumlre artar ya da azalabilir veya tasarruft a olduğu gibi belli bir kanuna uymadan gelişiguumlzel değişebilir Halbuki ccedilok kez yatırımlar belli bir kanuna goumlre aynı zaman aralıklarında tekrarlanabilir yatırımlara rastlıyoruz Boumlyle durumlarda soumlz konusu mevduattır Mevduat belli bir suumlre sonunda veya istenildiğinde ccedilekilmek uumlzere ban-kalara faizle yatırılan paradır Mevduatlar belli suumlrelerde aynı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adlandırılıyorlar

Yatırımlar oumldemeler serisinin başlama noktasına goumlre doumlnem başı ve doumlnem sonu mev-duatlar olarak ikiye ayrılıyorlar Yatırım esnasında her mevduatın faizi yatırıldığı guumlnden tuumlm mevduatların toplam değerinin hesaplandığı ana kadar hesaplanır Doumlnem başı ya da doumlnem sonu faizlendirme uygulanabilir Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda aynı bazı du-rumlarda ise farklı yani mevduat vadelerinden daha sık ya da daha seyrek olabilirler Pek sık tuumlm mevduatların toplam değeri ne kadardır sorusu sorulmaktadır Yatırım esnasında faizi he-saplanmış tuumlm mevzuatların toplamına yatırımın gelecekteki değeri denir

Biz burada sadece faiz doumlnemleriyle ccedilakışık olan bireysel periyodik mevduatları ve aynı zamanda sabit mevduatlı olan yatırımları inceleyeceğiz

Yıl esnasında sadece bir mevduat oumldendiği durumda soumlz konusu yıllık mevduat olur yatırım yılda iki defa yapıldığında altı aylık (yarım yıllık) mevduat yılda doumlrt defa yatırım yapıldığında uumlccedil aylık (ccedileyrek yıllık) mevduat biccediliminde adlandırılır Yatırım ayda bir yapılırsa aylık mevduat olur Burada da faizlendirme vadesi yıllık altı aylık uumlccedil aylık vb olabilir

Doumlnem başı faizlenmiş yatırımların toplamı şu formuumllle hesaplanır

1

1

r

rVrSn

n doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

888

n

n VS doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem sonu faizlenmiş yatırımların toplamı şu formuumllle hesaplanır

1

1

r

rVSn

n doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

233

1

1

88 n

n VS doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem başı faizlenmiş yatırımların değeri şu formuumllle hesaplanır

1

1

nn rrrSV doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

nnSV888

doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem sonu faizlenmiş yatırımların değeri şu formuumllle hesaplanır

1

1

nnSV88

doumlnem başı faizlendirme

1

1

nn rrSV doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

Doumlnem başı yatırımların sayısı şu formuumllle hesaplanır

Vr

rSVrr

n n 1log

log

1

Doumlnem sonu yatırımların sayısı şu formuumllle hesaplanır

V

rSVr

n n 1log

log

1

Son mevduat diğerlerinden farklıdır ve ona yatırımın kalanı denirDoumlnem başı mevduatların son mevduatı (kalanı) şu formuumllle hesaplanır

1

10

888

8

n

n VSV doumlnem başı mevduatlar iccedilin

10

888 n

n VSV doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

Doumlnem sonu mevduatların son mevduatı şu formuumllle hesaplanır

1

10

rrrVS

rV

n

n doumlnem başı mevduatlar iccedilin

10

rrrVSV

n

n doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

234

Doumlnem başı yatırımların doumlnem sonu faizlendirmesiyle biriken gelecekteki değeri hesap-

lamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnde Sn ve V bilindiğinde bilinmeyen r faiz

katsayısını yani p pa(d) değerini hesaplamak iccedilin

011 13

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu ise r katsayısına goumlre bir polinom denklemidir ve genel olarak dere-cesi 3rsquoten buumlyuumlktuumlr Bu gibi denklemleri ccediloumlzmek iccedilin (bazı oumlzel durumlar hariccedil) belli bir kural yoktur Bu nedenle bu gibi denklemleri bilinen bazı numerik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Halbuki amacımız şimdi numerik youmlntemlerin denklemlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğrenmek değildir Bu-rada sadece pratik oumldevlerin yararına faiz oranını en kolay biccedilimde belirtmektir Bu nedenle faiz oranının hesaplanmasını i i tablolarındaki değerleri kullanan n

n pS V III formuumlluumlne goumlre yapacağız

Aynı işlemleri doumlnem sonu yatırımlar iccedilin de yapacağız Yatırımların gelecekteki değeri 1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden faiz katsayısı r iccedilin

01 VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu denklem de r değişkenli polinomdur Yatırımların gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin i i tablolarındaki değerleri kullanan 11 n

n pS V III formuumlluumlnden yarar-

lanarak V

VSVS nnn

p

777 11 elde edilir n ndash 1rsquoin bilinen değeri iccedilin V

VSn değeri tabloda

varsa faiz oranı doğrudan doğruya okunur Aksi halde faiz oranını doğrusal enterpolasyon ile belirtiyoruz

Eşit zaman aralıklarında alınan alacaklar soumlz konusu olunca ilk aklımıza gelen kiradır Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (rentler) diye adlandıracağız Kira anuumliteleri oumlnceden belirlen-miş kanuna goumlre değişebilir oumlrneğin geometrik ya da aritmetik dizisi kanununa goumlre değişebilir Boumlyle kiralara değişken kiralar denir Oumlzelliklerine goumlre kiralar birccedilok şekilde adlandırılıyorlar oumldeme zamanına goumlre periyodun başlangıcında oumldenirse doumlnem başı kiralar periyodun so-nunda oumldenirse doumlnem sonu kiralar diye adlandırılıyorlar Oumldemelerin zaman suumlresine goumlre geccedilici kiralar (belli bir suumlre iccedilin) oumlmuumlr boyu kiralar (kirayı oumldeyen kişinin oumlmruumlnuumln sonuna kadar) ya da kira alacakları hiccedil bitmeyen olduğu durumda daimi kiralar soumlz konusudur Kirala-rın oumldendiği periyoduna goumlre yıllık yarıyıllık uumlccedil aylık aylık vb kiralar fark ediyoruz

Kira almak iccedilin oumlnce bunu getirecek varlık temin edilmelidir Kira getirmek amacıyla yatırılan varlık miktarına kira sermayesi denir Burada bir defaya mahsus olan yatırım soumlz ko-nusudur Halbuki parasal varlıklar periyodik oumldemelerle de yapılabilir Kira alacakları kira be-

235

delinin yatırılmasıyla başlarsa hemen kiralar kira alacakları belli bir zamandan sonra başlarsa o halde ertelenmiş kiralar soumlz konusu olur

Sabit miktarlı faizlendirme vadesi kiranın oumldeme vadesiyle ccedilakışan periyodik oumldemeler uumlzerinde daha fazla duracağız Formuumlllerin belirtilmesinde faiz oranı doumlnem sonu olduğunu varsayacağız Şu işaretlemeleri kullanacağız Mn ndash kira sermayesi R- kira (rent) n ndash oumldeme sa-yısı r ndash doumlnem sonu faiz katsayısı 8 - doumlnem başı faiz katsayısı

Doumlnem başı kiraların yatırımı şu formuumllle hesaplanır

1

1

1

n

n nrM R

r r

doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

1

n

n nM R

doumlnem başı faizlendirme iccedilin

Doumlnem sonu kiraların yatırımı şu formuumllle hesaplanır

1

1

n

n nrM R

r r

doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

88

8n

n

n RM doumlnem başı faizlendirme iccedilin

Faiz yatırımının değeri Mn faizlendirme koşulları ve kira sayısı bilindiği durumda kira tutarının değeri şu formuumllle hesaplanır

1

11

n

n

n rrrMR doumlnem sonu faizlenen doumlnem başı alınan kira iccedilin

1

1

n

n

n rrrMR doumlnem sonu faizlenen doumlnem sonu alınan kira iccedilin

1

11

n

n

nMR8

88 doumlnem başı faizlenen doumlnem başı alınan kira iccedilin

1

1

n

n

nMR888 doumlnem başı faizlenen doumlnem sonu alınan kira iccedilin

Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde doumlnem başı kira sayısı şu formuumllle hesaplanır

236

1log

log

1

rMRrRr

rn

n

doumlnem sonu faiz oranı iccedilin

1log

log

1

888

8 nMRRn doumlnem başı faiz oranı iccedilin

Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde doumlnem sonu kira sayısı da şu formuumll-le hesaplanır

1log

log

1

rMRR

rn

n

doumlnem sonu faiz oranı iccedilin

1log

log

1

88 nMRRn doumlnem başı faiz oranı iccedilin

Son kira yani kira kalanı doumlnem sonu kiralar iccedilin şu formuumllle hesaplanır

n

n

n

n rrr

rRMR 9

lt=

gt

1

11

1

0

Diğer buumlyuumlkluumlkler bilindiğinde faiz katsayısı doumlnem başı kira iccedilin 11 nn pM R IV for-

muumlluumlnden ve doumlnem sonu kiralar iccedilin nn pM R IV formuumlluumlnden bilinmeyen gibi hesaplana-

bilir

237

BORCcedilLAR

91 Borccedil Kavramı ve Ccedileşitleri

Finansal varlıkların yetmediği durumlarda insanlar guumlnluumlk gereksemelerini gidermek iccedilin borccedil varlıklardan yararlanıyorlar Bazı durumlarda bireysel ya da tuumlzel kişilerin uzun vadeli gelirleri de planladığı işleri yapmak iccedilin gereken finansal kaynakları yetmeyebilir Boumlyle durum-da borccedillar kullanılır yani belli koşullar altında borccedil alınan finansal varlıklardan yararlanılır Borccedil veren ve alan borccedil miktarı geri verilme şekli geri oumldeme zamanı faiz oranı vb hususlarda aralarında anlaşıyorlar

Borccedil para mal veya para cinsinden bir değerin belirli bir vade ve koşulla geri alınmak uumlzere verilmesidir yani borccedil veren finansal varlıklarını borccedil alana geccedilici bir suumlre iccedilin hizmetine devretmesidir

Bu boumlluumlmde borccedillunun borcunu oumldeme koşulları borccedil verene olan yuumlkuumlmluumlluumlğuuml yani finansal varlıkların devredilme koşulları borcun suumlresinde faizlendirmeyi iccedileren anlaşmalar soumlz konusu olacaktır Borccedil tutarı genellikle birden verilir ve geri alınması birden değil ccedilok kez belli periyotlarda gerccedilekleştirilir Her periyotta borcun oumldendiği tutara oumldeme denir Belli pe-riyotta oumldemenin faiziyle beraber tutarına anuumlite denir diğer soumlzlerle anuumlite belirli bir zaman suumlreci iccedilerisinde eşit aralıklarla verilen veya alınan eşit oumldemeler serisidir Borcun her bireysel oumldemesine gereken zaman suumlresine amortisman vadesi denir

Kullanılışlarına goumlre geccedilerlilikte olan kanunlara goumlre suumlresine goumlre birccedilok borccedil ccedileşitleri vardır

Geri oumldenme suumlresine goumlre kısa vadeli (geri oumldeme suumlresi en ccedilok bir yıl) orta vadeli ve uzun vadeli diye adlandırılıyorlar

Oumldeme şekline goumlre borccedillar amortismanlı ve kiralı olabilirler Borccedil belli bir suumlrede faiz ve borcun bir kısmını oumldemekle geri oumldeme yapıldığı durumda amortismanlı borccedil soumlz ko-nusu olur Kiralı borccedillar ise kira şeklinde oumldenen sabit tutarlı taksitler halinde oumldenen borccedillar-dır

Guumlvenceye goumlre kişisel ve reel borccedillar olabilir Kişisel borccedillar borccedil verenin borccedil alana olan şahsi guumlvencesine goumlre verilir Reel borccedillar ise borcun oumldenmesini garantileyecek oumlrneğin ipotek gibi varlıklar guumlvencesiyle verilir

Borccedil verene goumlre yerli ya da yabancı borccedillar aleni ya da oumlzel banka ya da banka dışı vb borccedillar olabilir

Borccedil uumlzerine faizin oumldenip oumldenmediğine goumlre faizli ve faizsiz borccedillar şeklinde adlan-dırılabilir

9

238

Borccedillanmaya ait verilen belgelere goumlre borccedillar soumlzleşmeli (borccedil tutarının tuumlmuuml iccedilin bir belge) ve tahvillere (senetlere) boumlluumlnmuumlş borccedillar (birden fazla alacaklıya aynı ya da farklı tutarlı kısımlara ayrılmış fakat onların toplam tutarı tuumlm borccedil ile eşit olacaktır) olabilir

Anuumlitelerin oumldeme suumlresine goumlre doumlnem sonu anuumliteli borccedillar (oumldemeler serisi dev-renin sonunda yapılan) ve doumlnem başı anuumliteli borccedillar (oumldemeler devrenin başında yapılan anuumliteler) olabilir

Faizin hesaplanmasına goumlre borccedillar doumlnem sonu faizlenen ve doumlnem başı faizlenen biccediliminde adlandırılabilir

Mevduatlarda ve kiralarda olduğu gibi borccedillar da doumlnem sonu anuumliteli ve doumlnem başı faizlendirme doumlnem sonu anuumliteli doumlnem sonu faizlendirme biccediliminde olabilir Aynı şekilde doumlnem başı anuumliteler iccedilin de doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlendirme biccediliminde olabilirler

Borccedilların amortismanı birccedilok farklı şekilde yapılabilir Uzun vadeli borccedillarda vade suumlre-since sadece faizlerin vadenin sonunda da borcun tamamını bir defada oumldemek ya da her bir taksit hem anaparanın bir boumlluumlmuumlnuuml hem de ilgili devrelerin faizini iccedilerir

Şunu da belirtelim borcun amortismanı denilen kademeli oumldemede oumlnceden belirlen-miş tutarlarla belli zaman aralıklarında oumlnceden belirlenmiş bir plan uumlzerinde oumldenmesine amortisman planı denir Halbuki amortisman planını yapmak iccedilin bazı verilerin kesin bilin-mesi gerekir Mesela hangi zamanda ne kadar oumldenmesi gerektiğini borcun ne kadarı kaldığını ne kadar faiz hesaplandığını bu verilerin her biri nasıl hesaplanacağını da belirtmek gerekir

Oumldemeler ve anuumliteler sabit ya da belli bir kurala goumlre oumlrneğin aritmetik ya da geometrik dizisi kuralına goumlre değişen olabilir Biz şimdilik sabit anuumliteli borccedilları inceleyeceğiz Ccediluumlnkuuml bunlar pratikte daha sık rastlanan ve borcu oumldeme suumlresinde belli aralıklarda taksitlere ayırarak oumldenmesi borccedilluya daha elverişlidir Borccedil eşit oumldemelerle tahsil edildiği durum borccedilluya pek elverişli değildir ccediluumlnkuuml borcu aldığı anda buumlyuumlk anuumlite ile oumldemeye başlaması gerekir Faizlen-dirme vadesi de anuumlitenin oumldeme vadesiyle ccedilakışabilir ya da ccedilakışmayabilir de

İlerde sadece eşit anuumliteli borccedilları ve yuvarlanmış anuumliteli borccedilları ve her iki durumda doumlnem sonu anuumliteleri ve doumlnem sonu faizlendirmesi yapılan ve faizlendirme vadesi ve amor-tisman vadesiyle ccedilakışan borccedilları inceleyeceğiz Diğer durumlar benzer şekilde hesaplanacaktır

Sonunda tuumlm bireysel anuumlitelerin iskontolanmış değerlerinin toplamı borcun alındığı guumlndeki değerine eşit olduğunu diyebiliriz Bu ise kiralarda kira sermayesinin hesaplandığını hatırlatıyor Bu sonuccediltan yararlanarak amortisman planındaki buumlyuumlkluumlklerin nasıl hesaplana-cağını artık biliyoruz

239

Alıştırmalar

1 Oumldeme nedir anuumlite nedir amortisman vadesi nedir

2 Borccedilların nasıl ayrıldığına dair doumlrt kriter sayınız

3 Borcun suumlresine goumlre borccedillar nasıl ayrılır oumldeme şekline goumlre ise nasıl ayrılırlar

4 Amortisman planı nedir

5 Bireysel ve reel borccedillar arasındaki fark nedir

6 Amortisman ve kira borccedilları arasındaki fark nedir

92 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun veAnuumlitenin Hesaplanması

Tutarı Z olan bir borccedil alınmış ve geri oumldemesi her biri a tutarında n eşit anuumlite ile ya-pılacaktır Faiz oranı p doumlnem sonu faizlendirme ve faiz doumlnemi anuumlitelerin oumldeme doumlnemiyle ccedilakışık olsun Doumlnem sonu faiz katsayısı r her faiz doumlnemi iccedilin ayrı hesaplanmış yani etkin faiz (efektif faiz) yapılmıştır Borcun alındığı guumlnde borcun tutarı her doumlnemin sonunda oumldenen bireysel anuumlitelerin iskontolanmış değerlerinin toplamına eşittir Sayı ekseninde kira sermaye-sinin hesaplandığında kiralarda yapıldığı gibi her anuumlitenin oumldeme doumlnemi (periyodu) işaret edilir (şek1)

Şek 1

İskontolama kurallarıyla anuumlitelerin değerleri bilindiğine goumlre borcun tutarını hesapla-yalım Birinci anuumlite ilk devrenin (periyodun) sonunda oumldendiğine goumlre bir devre iccedilin faizlenir ikincisi iki devre iccedilin ve bu şekilde sonuna kadar devam edilerek son anuumlite n defa faizlenir Bu şekilde

240

13

1232

1

111 nn rrrr

ara

ra

ra

raZ

elde edilir

Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik dizisinin ilk n

teriminin toplamıdır O halde

rrr

r

ra

r

rraZ

n

n

n

1

1

11

11

ve 1

1

rr

raZ n

n

elde edilir

Not 1 Kiralar boumlluumlmuumlnde goumlrduumlğuumlmuumlz gibi 1

1

n

n

rr r

ifadesi i i npIV doumlrduumlncuuml tablo-

nun değeriyle değiştirilebilir O halde anuumliteleri bilinen borcu npVaZ 7

formuumlluumlyle hesapla-yabiliriz Bu formuumll kiraların sermayesini hesapladığımız formuumlluumln aynısı olduğunu goumlruumlyoruz

Aynı formuumllden anuumliteye goumlre denklem biccediliminde ccediloumlzersek borccedil tutarı bilindiğinde anuuml-itenin hesaplanması iccedilin formuumll elde edebiliriz

1

1

n

n

rrrZa

Not 2 i i tablolarının değerlerinden yararlanarak anuumlite iccedilin np

ZaIV

formuumlluuml elde

edilir Beşinci i i tablo doumlrduumlncuumlsuumlnuumln ccedilarpımsal tersi olarak tanımlanır 1n

p np

VIV

yani 1

1

nnp n

r rV

r

dir Buna goumlre anuumlite iccedilin npVZa

formuumlluuml geccedilerlidir

1 5 000 denar tutarında aylık eş anuumlitelerle beş yılda bir ay vadeli doumlnem sonu 24 pa(d) faiz oranıyla ne kadar borccedil oumldenebilir

Oumldevde verilen verilere goumlre n = 5 ve yılda m = 12 faizlendirme ve yıl-da aynı sayıda borccedil oumldeme taksitleri vardır O halde toplam taksit sayısı nm = 60 douml-

nem sonu faiz katsayısı 24

1 10212 100

r

rsquodir Borcu hesaplayan formuumll gereğince

431738041021021

10215000

1

160

60

60

60

rr

raZ denar elde edilir

Bundan sonra m ile yıllık faizlendirme sayısını işaret ettiğimiz gibi aynısı anuumlite sayısı iccedilin de geccedilerli olacaktır Ccediluumlnkuuml amortisman devreleri başlangıccedil koşullarına goumlre anuumlite sayısıyla ccedilakıştığını demiştik ve n ile amortisman suumlresini işaret edeceğiz

241

2 40 000 denar tutarında borccedil altı aylık vadeli anuumlitelerle 4 pa(d) faiz oranıyla 10 yılda oumldeniyor Faizlendirme altı aylık vadeli olduğuna goumlre altı aylık vadeli anuumlite tutarı ne kadardır Hesaplanan faiz tutarı ne kadardır

Verilenler n = 10 m = 2 anuumlite devreleri altı aylık olduğuna goumlre toplam anuumlite sayısı nm

= 20rsquodir Faiz katsayısı 4

1 102200

r rsquodir Borccedil tutarı Z = 40 000 denar biliniyor Amortis-

man suumlresinde eşit olan anuumliteler iccedilin

272447021

102102140000

120

20

20

20

rrrZa

denar elde edilir

Hesaplanan faiz miktarı oumldenen anuumlitelerin toplamı ve borccedil tutarının farkına eşittir O halde 489454000027244720 ZanmI

denardırAmortisman suumlresinde hesaplanan faiz miktarının formuumlluuml

ZanmI

anuumlitelerin top-lam tutarı ve borccedil tutarının farkı biccediliminde goumlsterildiğini fark edebilirsiniz

3 2 000 000 tutarinda bir borccedil 10 yılda 6 pa(d) faiz oranıyla eşit anuumliteli serisiyle oumldenir Oumldeme vadesi

a) yarıyıllık b) uumlccedil aylıkolduğuna goumlre anuumlite tutarını hesaplayınız

Faizlendirme doumlnemi amortisman doumlnemiyle ccedilakışıktırHer iki durumda Z = 2 000 000 denar n = 10rsquodura) Oumldevi sadece doumlrduumlncuuml i i tablosundan yararlanarak ccediloumlzeceğiz Boumlylece

42134431067215710200000020

3 VZa

elde edilirDoğrudan hesaplayarak ve i i tablosundan yararlanarak ccediloumlzuumlmuumln yoklamasını yapınız

b) m = 4 iccedilin

0151400

61 r

ve anuumlite sayısı 40 biliniyor O halde

66854

0151

1015101512000000

140

40

40

40

rrrZa denardır

Alıştırmalar

1 Sekiz yıl boyunca 5 pa(d) faiz oranıyla 15000 denar tutarlı eşit anuumliteli oumldemelerle ne kadar borccedil oumldenebilir Faizlendirme vadesi amortisman devresiyle ccedilakışır Anuumlitelerin oumldeme devresi

a) yıllık b) yarıyıllık c) uumlccedil aylık olsunHesaplamayı formuumll kullanarak doğrudan ve i i tablosunu kullanarak yapınız

242

2 Doumlrt yıl boyunca 6 pa(d) faiz oranıyla 10000 denar tutarlı eşit anuumliteli oumldemelerle ne kadar borccedil oumldenebilir Faizlendirme vadesi yıllık amortisman vade sonudur

3 400 000 denar borccedil 15 yıl boyunca her altı ayda eşit anuumlitelerle geri oumldenmelidir Faiz oranı 3 pa(d) ve faizlendirme altı aylık doumlnem sonu olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadar olmalıdır

4 Yıllık vadeli 20 000 denar tutarında anuumlitelerle 5 yılda 4 pa(d) yıllık vadeli faiz ora-nıyla ne kadar borccedil oumldenecektir

5 50 000 denar borccedil 5 yılda uumlccedil aylık 8 pa(d) faiz oranlı anuumlitelerle oumldenecektir Anuumlite tutarı ne kadardır Faizlendirme uumlccedil aylık vadelidir

93 Eşit Anuumliteli Borccedilların Oumldemelerinin Hesaplanması

Her anuumlite iki kısımdan olduğunu artık biliyoruz birinci kısım anlaşma gereği borcun oumldeme miktarı yani bir ccedileşit taksit diğer kısmı ise borcun kalan kısmına geccedilen suumlre iccedilin uygu-lanan faizdir Z tutarında borccedil alınmış ve bunu n eşit anuumlite ile geri ccedilevirmek gerekir Her anuuml-itenin tutarı a faiz oranı p ve doumlnem sonu faizlendirme faizlendirme vadesi anuumlitenin oumldeme vadesiyle ccedilakışıktır Her k-cı oumldemeyi bk ve k- cı faizi ik ile işaret edersek birinci anuumlite

a = b1 + i1

olur Burada faiz birinci doumlnem iccedilin Z tuumlm borccedil tutarına hesaplanır yani 1100

Zpi rsquodir

Başlangıccedilta faiz oranı bir faiz doumlnemi iccedilin p olarak alacağız ondan sonra ise etkin faiz oranını kullanmaya dikkat edeceğiz

İkinci anuumlite birincisine eşit fakat eklenen faiz miktarı farklıdır a = b2 + i2 Şimdi faiz

miktarı borcun kalan kısmına aittir o ise Z ndash b1 olduğuna goumlre 1

2100

Z b pi

rsquodir

Uumlccediluumlncuuml anuumlite a = b3 + i3 ve 1 2

3100

Z b b pi

olur ccediluumlnkuuml şimdiye dek artık iki oumldeme

yapılmıştır ve kalan borccedil Z ndash b1 ndash b2rsquodir

243

Kalan anuumlitelerin her birini bu şekilde inceleyerek son anuumliteye a = bn + in varıyoruz Bura-

da faiz borcun kalan kısmına Z ndash b1 ndash b2 - hellip - bn uygulanır yani 100

121 pbbbZi n

n

rsquodir

Oumldemeler arasındaki bağıntıyı belirtmek iccedilin birbirine eşit olan anuumliteleri eşitleyeceğiz

Boumlylece birbirine eşit olan ilk iki anuumliteyi eşitlersek b1 + i1 = b2 + i2 yani 100100

121

pbZbZpb

elde edilirOradan 2

11

100bpbb

ya da diğer şekilde yazılışı

rbpbb 112100

1 13

dir

Benzer şekilde herhangi iki ardışık anuumliteyi mesela kndashci ve k + 1ndashnci anuumliteleri eşitler-sek

100

100

111

11 pbbbZb

pbbZb kk

kk

k

elde edilir Bu eşitliği sadeleştirerek her k 12n -1 iccedilin

rbpbb kkk 13

10011

elde edilir

Son ifadeden goumlruumllduumlğuuml gibi oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisini oluşturuyorlar Daha da her oumldeme 1

1

kk rbb

formuumlluumlyle hesaplanabilir

Not 1 Birinci i i tabloyu kullanırsak herhangi oumldeme iccedilin 1

1

7 kpk bb

formuumlluuml geccedilerli-dir

1 Borccedil eşit uumlccedil aylık vadeli anuumlite ile ve uumlccedil aylık vadeli faizlendirme ile oumldenecektir (amor-tisman olacaktır) Dokuzuncu oumldeme 2343322 denar olduğuna goumlre beşinci oumldemeyi belirtiniz Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir

b9 = 2343322 biliniyor b5 oumldemesinin tutarını belirtmek gerekir Geometrik dizisinin

oumlzelliğine goumlre b5 = b1 r4 ve b9 = b1 r8rsquodir Faiz katsayısı 8

1 102400

r rsquodir İncelenen oumldeme-

lerin boumlluumlmleri 8

49 1

4

5 1

b b r rb b r

olduğundan beşinci oumldeme

872164021

32223434

4

95

rb

b denar olduğunu buluyoruz

Birinci oumldeme tutarı bilinmiyor fakat borccedil yada anuumlite tutarı biliniyorsa zaten guumlnluumlk yaşantımızda ccedilok sık rastlanan olaylardır oumldemeler nasıl belirlenebilir sorusu soruluyor

244

Z borcunun oumldemelerini belirtmek iccedilin Z tuumlm oumldemelerin toplamına eşit olduğunu goumlr-memiz yeterlidir Buna goumlre

12

1

1

1

2

11121 1 nnn rrrbrbrbrbbbbbZ

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı r olan bir geometrik dizisidir Buna goumlre

1

11

rrbZ

n

elde edilir

Not 2 1

1

nrr

ifadesini 11 npIII ile değiştirirsek

1

1 1 777 npbZ

elde edilir Bu eşitlikten 1

11

nr

rZb oumldeme tutarını borccedil tutarıyla anuumlite sayısıyla ve faiz ora-nıyla ifade edebiliriz

Bunu genel şekilde k-cı oumldeme iccedilin de yazabiliriz 1

1

1

knk r

rrZb

Borccedil tutarını 1

1

rr

raZ n

n

anuumlite ile ifade edersek birinci oumldemeyi anuumlite ile ifade

eden formuumlluuml elde edeceğiz

1

1

1

1

1

11

nn

n

n rr

rrra

rrZb

ya da sonuccedil olarak nrab 1 elde edilir

Not 3 Son eşitlikten hemen 1

npb a II ya da

npba 7 1

yazılabilir Sonunda anuumlite ile ifade edilmiş k- cı oumldeme

1

1

kn

knk r

arrab

Not 4 Son eşitlik i i tablosuyla ifade edilirse k ndash cı oumldeme iccedilin 177 knpk ab

]

biccediliminde yazılabilir

Anuumlite ve son oumldeme arasındaki bağıntı 1

n pab a IIr

ya da 1

n pa b I formuumllleriyle ifade edildiğini de goumlsterelim

245

2 Bir borccedil yarıyıllık vadeli eşit tutarlı anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlendirmesiyle 5 yılda oumldeniyor Anuumlite 6pa(d) faiz oranıyla 4120 denar olduğuna goumlre altıncı oumldemeyi be-lirtelim

Oumlnce birinci ondan sonra da altıncı oumldemeyi belirteceğiz a = 4120 denar n = 5 m = 2

borcun amortismanı 10 anuumlite ile yapıldığını ve faiz katsayısı 61 103

200r olduğunu bi-

liyoruz O halde ilk oumldeme 1 10

4120306567

103n

abr

denar olduğunu buluyoruz Oumldemeler

bir geometrik dizisi oluşturduğuna goumlre geometrik dizilerin oumlzelliği gereğince altıncı oumldeme b6 = b1r5 = 306567 middot1035 = 355395 denar olduğunu buluyoruz

3 Amortismanı 6 yılda gerccedilekleşen 4 pa(d) faiz oranıyla verilmiş bir borcun anuumlitesi ne kadardır Anuumliteler ve faizlendirme devreleri yıllıktır ve sadece doumlrduumlncuuml oumldeme 847934 denar olduğu biliniyor

Bilinenler doumlrduumlncuuml oumldeme b4 =847934 faiz katsayısı r = 104 ve anuumlite sayısı 6rsquodır Anuuml-ite ve oumldeme arasındaki bağıntıyı doğrudan doğruya goumlsteren formuumllden

3

3

6

3

14 rar

rarbb

elde edilir Oumlrneğimizde

3041348479

a

denklemi elde edilir Oradan da anuumlite a = 95389

denar olduğunu buluyoruz

Borccedil tutarı ise

600001041041

1041099538

1

16

6

6

6

rr

raZ denardır

Alıştırmalar

1 Bir borcun amortismanı eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlendirmeyle yapılmaktadır Faiz oranı 12 pa(d) ve altıncı oumldeme 15 000 denar olduğuna goumlre onuncu oumldemeyi belirtiniz

2 Bir borcun amortismanı eşit doumlrt aylık anuumlitelerle ve doumlrt aylık doumlnemli faizlendirmey-le yapılmaktadır Faiz oranı 9 pa(d) ve onuncu oumldeme 16 000 denar olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

3 Bir borcun amortismanı 6 yılda eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlendir-meyle yapılıyor Faiz oranı 18 pa(d) uumlccediluumlncuuml ve altıncı oumldemenin toplamı 40000 denardır Borccedil ne kadardır Anuumlite tutarı ne kadardır

4 Amortismanı 6 yıl suumlren bir borccedil 4 pa(d) faiz oranıyla verilmiştir Anuumliteler ve fa-izlendirmeler vadesi yıllık ve altıncı ve doumlrduumlncuuml oumldeme arasındaki fark 6919 denar olduğu bilindiğine goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

246

5 200 000 denar tutarında bir borcun amortismanı eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlen-dirmeyle 10 yılda gerccedilekleşiyor Faiz oranı 5 pa(d) olduğuna goumlre altıncı yıldaki faiz miktarı-nı bulunuz (Tavsiye beşinci oumldeme dahil tuumlm oumldemelerin toplamını hesaplayınız)

94 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Oumldenmiş Kısmınınve Kalan Kısmının Hesaplanması

Oumldemeleri hesaplarken tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olduğunu varsayıyor-duk Buna goumlre Ok ile işaret edeceğimiz k devrede (periyotta) borcun oumldenmiş kısmı k-cı anuumlite dahil ilk k oumldemenin toplamına eşittir yani

Оk = b1 + b2 + + bkdir Her oumldemenin değerini değiştirmekle

Оk =b1 + b1r + + blrk-1 = b1 (l + r + r2 + + rk-1)elde edilir Geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı formuumlluumlnden borcun k devrede oumlden-diği borcun kısmı iccedilin şu formuumll elde edilir

1

11

rrbO

k

k

Not 1 Uumlccediluumlncuuml i i tablosundaki değerleri almakla borcun oumldenmiş kısmı iccedilin kpk bO 777 11

formuumlluuml elde edilirAnlaşılacağı uumlzere bu formuumll borcun oumldenmesiyle ilgili oumlnceden bulduğumuz formuumlluumln

k = n iccedilin karşılığıdırBundan sonra borcun kalan kısmı ne kadardır sorusu sorulabilir Sorunun cevabı accedilıktır

Borcun kalan kısmı aslında borccedil tutarı ve oumldenen kısmın farkıdır Oumldenen k-cı anuumliteden sonra borcun kalan kısmını Rn-k ile işaret edelim O halde

1

11

r

rbZOZRk

kkn

olduğunu yazabiliriz Birinci oumldemeye goumlre borcun formuumlluumlnuuml değiştirirsek

1

1

1

111

rrb

rrbR

kn

kn ya da

11

r

rrbRkn

kn

elde edilir Borcu ve borcun kalan kısmını anuumlite ile ifade edersek

1

1

1

1

rr

ra

rrraR

k

nn

n

kn yani 1

rrrraR n

kn

kn elde edilir

247

Not 2 1rr

rrn

kn

ifadesini i i tablosundan karşılık gelen değerini değiştirmekle oumldenen

k anuumliteden sonra borcun kalanını hesaplamak iccedilin şu formuumll geccedilerli olacaktırkn

pkn VaR 7

1 30 000 denar borccedil 8 yılda amortisman olacaktır Faiz oranı 5 pa(d) eşit anuumliteli ve faizlendirme yarıyıllıktır 10 anuumlite oumldendikten sonra borcun kalanı ne kadardır

Borccedil toplam 16 anuumlite ile oumldeniyor Faiz katsayısı r = 1025rsquotir Oumlnce anuumliteyi ve ilk oumlde-meyi hesaplayalım Anuumlite iccedilin

972297

10251

10251025130000

16

16

a

denar elde edilir Birinci oumldeme iccedilin ise

9715470251

97229716161

rab

denar elde edilir Şimdi borcun kalanını hesaplayabiliriz

51265710251

02510251971547

1

10161016

16

r

rrbR

denar elde edilirHesaplanan kalandan borcun oumldenmiş kısmını da hesaplayabiliriz Buna goumlreO10 = Z ndash R6 = 30 000 ndash 126575 = 173425 denar artık oumldenmiştir2 100 000 denar tutarında borcun amortismanı 50 yılda yapılmalıdır Faiz oranı 4 pa(d)

yıllık vadelidir Yıllık 20 anuumlite oumldendikten sonra kalan borccedil ne kadardırOumlrneğin i i tablolarından yararlanarak ccediloumlzelim Borcun kalanını ve oumldenmiş kısmını

hesaplayacağız Borcun kalanı iccedilin 30

30 4R a IV geccedilerlidir Oumlnce anuumliteyi hesaplayalımAnuumlite

24655046552010000050

4 VZa

rsquodir İlk oumldeme ise

0265514070702465550

41 77 ab

rsquodir Borcun kalan kısmı

7580494292033172465530

430 7 VaR

denardır ve sonunda ccedilevrilen borcun

7780785729026551 20

4120 777 bO olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Bir borcun amortismanı 40 yılda yarıyıllık anuumlitelerle ve 6 pa(d) faiz oranıyla yarı-yıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır Yirminci oumldeme 1000 denar olduğuna goumlre 30 anuumlite oumldendikten sonra borcun kalan kısmını belirtiniz

248

2 200 000 denar tutarında borcun amortismanı 25 yılda yarıyıllık anuumlitelerle ve 8 pa(d) faiz oranıyla yarıyıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır 21 anuumliteden 30 anuumliteye kadar (30 anuumlite dahil) ne kadar borccedil oumldenmiştir (O30 ndash O20 farkını bulunuz)

3 Bir borcun amortismanı 40 yılda yıllık anuumlitelerle ve 4 pa(d) faiz oranıyla yıllık va-deli faizlendirmeyle yapılacaktır İlk 25 oumldemeyle borccedil 40 000 denar azalmıştır Borccedil tutarı ne kadardır

4 Bir borcun amortismanı 50 yılda yıllık anuumlitelerle ve 5 pa(d) faiz oranıyla yıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır 21 anuumliteden 30 anuumliteye kadar (30 anuumlite dahil) 10 000 denar borccedil oumldendiğine goumlre borccedil tutarı ne kadardır

5 1 000 000 denar tutarında borcun amortismanı 20 yılda eşit yarıyıllık vadeli anuumlitelerle yapılacaktır Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıllık vadeli faizlendirme olduğuna goumlre 10 yıl sonra bor-cun ne kadar kısmı oumldenecektir

95 Eşit Anuumliteli Borccedilların Amortismanında Faiz Oranıve Devre Sayısının Hesaplanması

Borccedil ve anuumlitenin hesaplanmasına uygulanan formuumllden faiz oranı ya da devre sayısı bi-linmeyen olarak diğer bilinen buumlyuumlkluumlklerle ifade edilebilirler Kiralarda yapıldığı gibi formuumllle doğrudan doğruya hesaplamakla ya da i i tablolarından yararlanmakla yapabiliriz Bunu birkaccedil oumlrnekle goumlstereceğiz

Başlangıccedil formuumlluuml olarak borccedil formuumlluumlnuuml alalım 1

1

rr

raZ n

n

formuumlluumlne gereken douml-nuumlşuumlmleri yapmakla

nra

rZ 11

1

elde edilir oradan da a

rZar n

11 ya da 1

rZa

ar n

elde edilir Bu eşitliğin her iki tarafının logaritmasını alırsak amortisman suumlresi n iccedilin

1log

log

1

rZaa

rn

formuumlluuml elde edilir

249

Faiz oranının hesaplanması soumlz konusu olunca youmlntemlerden biri doumlrduumlncuuml i i tablo-sundan n

pVaZ 7

borcun temel formuumlluumlnden yararlanmaktır Halbuki formuumlllerden yarar-lanırken uygun denklem elde edildiğinde doğrudan doğruya da hesaplayabiliriz

Doğrusal ara değerleme (enterpolasyon) youmlntemini şimdiye dek birccedilok defa kullandık şimdi de gerektiği durumda kullanabiliriz

Oumldevlerde verilen verilere bağlı olarak yukarıdaki formuumllleri kullandığımız gibi amortis-man suumlresini ve faiz oranını hesaplamada gerektiğinde diğer formuumlller de kullanılabilir

1 60 000 tutarında bir borccedil 4000 denar tutarında eşit yıllık anuumlitelerle yıllık vadeli 4 pa(d) faiz oranıyla oumldemelerle ne kadar zamanda amortisman olacaktır (oumldenecektir)

Borcun hesaplanması iccedilin kullanılan 1

1

rr

raZ n

n

formuumlluumlnde verilen değerleri de-

ğiştirerek ve logaritma işlemini uygulayarak doğrudan doğruya hesaplamayı yapabiliriz Yani

1041041

1041400060000

n

n

değiştirmekle 60041

1041

n

n

buradan da 104140 n

ya da 104n

= 25 denklemi elde edilir Denklemin iki tarafının logaritmasını almakla 3623041log

52logn

elde edilir Amortisman suumlresi tam sayı değildir yani 23 anuumlite eşit 24 anuumlite ise farklıdır Anuuml-

ite kalanı iccedilin daha sonra soumlz konusu olacaktır

2 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli ve uumlccedil aylık vadeli faizlenme ile itfa (amortisman) edilir Be-şinci ve uumlccediluumlncuuml oumldemenin farkı 84064 denar uumlccediluumlncuuml ve altıncı oumldemenin toplamı ise 4288962 olduğuna goumlre faiz oranını hesaplayınız

Doumlnem sonu faiz katsayısını hesaplayacağız Verilen koşullara goumlre şu denklemler siste-mini oluşturacağız

6242889

64840

36

35

bbbb

Denklemleri ilk oumldeme ve faiz katsayısına goumlre duumlzenlemekle verilene denk olan şu sistem elde edilir

6242889

64840

2

1

5

1

2

1

4

1

rbrbrbrb

Burada denklemleri taraf tarafa boumllmekle

01960

6242889

64840

1

132

1

22

1

rrbrrb

bağıntısı elde edilir Son denklemi sadeleştirerek

01960

11

112

rrr

rr

oradan da 019601

12

rr

r

denklemi elde edilir Bu denklem r

faiz katsayısına goumlre

250

00196r2 - 10196r +10196 = 0ikinci derece denklemdir ve ccediloumlzuumlmuuml r1 =102 ve r2 = 51rsquodir İkinci ccediloumlzuumlmuumln faiz katsayısı iccedilin

anlamı yoktur birinci ccediloumlzuumlmden ise 1 102400

p elde edilir ve oradan p = 8 pa(d) elde

edilir

3 Hangi faiz oranıyla 40 000 denar tutarında bir borccedil 10 yılda 4500 denar tutarında eşit yıllık anuumlitelerle itfa edilecektir

Hem borccedil hem de anuumlite bildiğine goumlre borcun

1

1

rr

raZ n

n

temel formuumlluumlnden

ya da 10

pZ a IV formuumlluumlnden hareket edeceğiz Doumlrduumlncuuml i i tablosunda n = 10 iccedilin 10 879120879pIV değerini arıyoruz Bu sayı n = 10 iccedilin tabloda değeri olmadığına goumlre sayı-

lar arasında ara değerleme yapacağız Veriler aşağıdaki tabloda yazılıdır

10

pV7 p 10

pV7 p

866216348 252 866216348 252

752063937 52 791208798 p

114152410 250 075007550 p252

Elde edilen farklardan orantı kuruyoruz011415241 025 = 007500755 (p - 225) oradan da p ndash 225 = 016 ve sonunda p = 241

pa(d) elde edilir Aynı sonuca beşinci i i tablosundan yararlanarak da gelebiliriz Orada 10 0011375pV

olduğuna goumlre 10

pa Z V formuumlluumlnden yararlanıyoruz

Alıştırmalar

1 Hangi yıllık faiz oranıyla 60 000 denar tutarında bir borccedil 5 yılda 366942 denar tutarın-da eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle itfa edilecektir (oumldenecektir)

2 200 000 denar borccedil 931004 tutarında yarıyıllık anuumlitelerle ve 8 pa(d) yarıyıl vadeli faiz oranıyla ne kadar zamanda itfa edilecektir

3 1 000 000 denar borccedil hangi faiz oranıyla 61 77661 denar tutarında yıllık anuumlitelerle 25 yılda itfa edilir

4 Hangi yıllık faiz oranıyla 119 200 denar tutarında bir borccedil 13 700 denar tutarında yıllık anuumlitelerle 11 yılda itfa edilecektir

225

-025

22525

251

5 400 000 denar tutarında borccedil 24 46268 denar tutarında eşit yarıyıllık anuumlitelerle oumlden-mektedir Faiz oranı yarıyıllık vadeli 4 pa(d) olduğuna goumlre amortisman suumlresini hesaplayı-nız

96 Eşit Anuumliteli Borcun Amortisman Planı

Z tutarında bir borccedil eşit anuumlitelerle oumldendiği durumda borccedillu her devre sonunda aynı tutarlı taksitler oumldeyecektir Bu oumldemeler iki kısımdan meydana gelmektedir Bu kısımlardan biri borcun bir kısmının oumldeme tutarı ve kalan borcun faizidir

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 Z 1001

Zpi 11 iab a

2 11 bZRn 100

12

pRi n 22 iab a

1n 232 nbRR 100

21

pRin 11 nn iab a

n 121 nbRR 100

1 pRin nn iab a

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Bu şekilde borcun oumldenmesinde her gelen devrede borcun oumldeme tutarı artar fakat kalan borcun faizi azalmaktadır Borcun oumldenmesi oumlnceden yapılan ve amortisman planı denilen bir plan uumlzerinde yapılmaktadır Bu plan genellikle tablo biccediliminde goumlsterilir

Suumltunların dağılımı yukarıda goumlsterilen tablodan farklı olabilir fakat her tabloda bu suuml-tunlar olmalıdır

Oumlrneğin bir amortisman planının nasıl yapıldığını adım adım goumlstereceğiz ve sonunda tabloyu dolduracağız

1 100 000 denar tutarında bir borccedil eşit yıllık anuumliteli 5 yılda 4 pa(d) yıllık vadeli faiz oranıyla itfa edilecektir Borcun oumldenmesi iccedilin amortisman planı yapılsın

Faizlenme yıllıktır faiz katsayısı r = 104 Toplam 5 anuumlite vardır

Anuumlitenin değeri 822462

1041

1041041100000

5

5

a denardır

ndash Birinci kalan borcun tuumlmuumlduumlr R5 = Z = 100 000 denardır

ndash birinci faiz 4000100

4100000

1001

Zpi denardır ndash tuumlm borcun faizi

252

ndash birinci oumldeme b1 = a ndash i1 = 224628 - 4000 = 184628 denardırndash ikinci kalan oumldenen bir anuumlite sonrası birinci yıl sonundaR4 = Z ndash b1 = 100 000 ndash 184628 = 81 5372 denardır

ndash ikinci faiz 53261100

4281537

100

42

pRi denardır- ikinci kalanın faizidir

ndash ikinci oumldeme b2 = a - i2 = 224628 - 32615 = 192013 denardırndash uumlccediluumlncuuml kalan R3 = R4 - b2 = 815372 -192013 = 623359 denardır

ndash uumlccediluumlncuuml faiz 442493100

4962335

100

33

pRi denardır ndash ikinci kalanın faizidir

ndash uumlccediluumlncuuml oumldeme b3 = a -i3 = 224628 - 249344 =1996936 denardırndash oumldenen uumlccedil anuumliteden sonra uumlccediluumlncuuml yıl sonunda doumlrduumlncuuml kalanR2 = R3 - b3 = 62 3359 ndash 19 96936 = 42 3665 denardırndash doumlrduumlncuuml faiz 661694

100

4542366

100

24

pRi denardır ndash uumlccediluumlncuuml kalanın faizi

ndash doumlrduumlncuuml oumldeme b4 = a - i4 = 46 8 -169466 = 076814 denardırndash oumldenen doumlrt anuumliteden sonra doumlrduumlncuuml yıl sonunda beşinci kalanR1 = R2 ndash b4 = 42 3665 ndash 2076814 = 21 5984 denardırndash beşinci faiz miktarı 9863

100

4421598

100

15

pRi denar ndash doumlrduumlncuuml kalanın faiz miktarı

ndash beşinci oumldeme b5 = a - i5 = 224628 - 8639 = 2 5984 denardırndash beş anuumlite oumldendikten sonra altıncı kalan R0 = R1 - b5 = 215984 - 215984 = 0 denardır

Demek ki borccedil oumldenmiştir

Bu şekilde hesaplanan değerleri tabloda goumlsterelim

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 4000 818462 822462

2 281537 53261 319201 822462

3 962335 442493 3619969 822462

4 542366 661694 1420768 822462

5 421598 9863 421598 822462

suma 307838 512313 100000

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

toplam

253

Amortisman planı yapıldıktan sonra bu planın doğru olup olmadığını yoklamak gerekirKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zbj

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R6 Koşul 3 Faizler suumltunundaki değerlerin toplamı ve oumldemeler suumltunundaki değerlerin top-

lamı devre sayısı ile anuumlitenin ccedilarpımına eşit olmalıdır nabi jj

Koşul 4 Anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij Koşul 5 Faizler suumltununun toplamı jj Rpi

100

dir

Yukarıda ccediloumlzuumllen oumlrnekte tuumlm bu koşulların sağlandığını kolay goumlrebiliriz Oumlrneğin oumlde-meler suumltununda tuumlm oumldemelerin toplamı 100 000 denardır bu ise borccedil tutarıdır Son oumldeme ve son kalan birbirine eşittir

Ondan sonra 11231482246255112313100000512313 jj bi

Anuumli-te oumldeme ve karşılık gelen faizin toplamı olduğunu goumlruumlyoruz oumlrneğin 169466 + 2076814 = 224628 Sonunda 5212313

100

4307838512313

olduğuna goumlre beşinci koşul da geccedilerli

olduğunu goumlruumlyoruz

2 Borccedil uumlccedil aylık devreli anuumlitelerle ve uumlccedil aylık vadeli 8 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir İkinci devrede faiz miktarı 49648 denar ve beşinci devredeki faiz miktarı 37161 denar olduğu-na goumlre son uumlccedil devre iccedilin amortisman planını oluşturunuz

Bu oumldevde amortisman planı sadece son uumlccedil anuumlite iccedilin yapılacaktır Başlangıccedil iccedilin kaccedil anuumlitenin oumldeneceğini de bilmiyoruz Verilen koşulları yazalım

021400

81 r ve

61371

48496

5

2

ii

Sistemi birinci oumldeme ve anuumliteye goumlre ccediloumlzeceğiz

61371021

48496021

61371

48496

61371

48496

61371

48496

1

4

1

4

1

1

5

2

5

2

baba

rbarba

baba

ii

Denklemleri taraf tarafa ccedilıkarırsak (1024 -102)b1 = 1248 elde edilir Oradan da b1 = 2000 denar ve a = 253648 denar elde edilir

Şimdi amortismanın devre sayısını belirtmek iccedilin birinci oumldemeye ait formuumllden yarar-lanacağız

nn

arab

441021

254

O halde 2682412000

482536021 4 n denklemi elde edilir Bunun logaritmasını almakla

12021log

268241log4 n elde edilir Buna goumlre borccedil uumlccedil yıl boyunca 12 anuumlite ile itfa edilir

Son uumlccedil oumldemeyi formuumllle hesaplayabiliriz 1923900212000 99

110 rbb 9924370212000 1010

111 rbb7424860212000 1111

112 rbb

ve

Bunlara karşılık gelen kalanları da hesaplayalım

9173141021021

021021482536

1 12

912

12

912

3912

rrrraRR denar onuncu kalan R12-10 =

R2 = R3 - b10 = 492472 denar elde edilir ve on birinci kalan iccedilin R12-11 = R1 = R2 - b11 = 248674 = b12 olduğunu buluyoruz Faizler ya kalanlardan ya da daha kolay ij = a ndash bj oumlzelliğinden belirtilir Buna goumlre i10 = a ndash b10 = 14629

i11 = a ndash b11 = 9849 ve i12 = a ndash b12 = 4973 olduğunu buluyoruz Şimdi amortisman tablosunu oluşturabiliriz

Period Ostatok Kamata Otplata 10 917314 29146 192390

11 724924 4998 992437

12 742486 7349 742486

Devre (periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme

Planın tuumlmuuml olmadığına goumlre yoklamasını yapamıyoruz

Alıştırmalar

1 100 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edi-lir Yıllık faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

2 80 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edilir Yıllık faiz oranı 5 pa(d)rsquodir Amortisman planını oluşturunuz

3 100 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edi-lir Yıllık faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

4 10 000 denar tutarında bir borccedil 4 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edilir Yıllık faiz oranı 10 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

255

5 Bir borccedil eşit yarı yıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle itfa edilir Birinci oumlde-me 20 000 denar son devrenin faizi 322102 denar ve sondan bir evvelki devrenin faizi 614922 denar olduğuna goumlre amortisman planını oluşturunuz

97 Yuvarlak Tutarlı Anuumliteli Borccedillar

Belli bir borcu oumlderken a anuumlitesi konkre tutarlı ya da borcun bir yuumlzdesi olarak verile-bilir Bu anuumliteler genellikle tam sayıya yuvarlanıyorlar (onluk yuumlzluumlk vb) Bu yuumlzden bunlara yuvarlak anuumliteler ve borccedillara yuvarlak anuumliteli borccedillar denilir Anuumlite yukarıda sayılan şekil-lerden biriyle verilmediğinde ve borcun itfalı yuvarlak anuumlitelerle yapılma koşulları varsa anuumli-tenin hesaplama yuumlzdesini hesaplamak gerekir Burada da doumlnem sonu borccedillardan amortisman devresinin sonunda oumldemeler ve vade sonu faizlenmeden soumlz edeceğiz

Oumldevlerde genel olarak borccedil tutarı amortisman devresi ve faiz oranı veriliyor belirtil-mesi gereken ise yuvarlak değerli anuumlite tutarı ve sonunda diğerlerinden farklı olan son anuumlite tutarını

Borcun Z tutarı ve faiz oranı p pa(d) verilmiş olsun Amortisman devrelerinin sayısı bilindiği durumda n ndash 1 anuumlitenin değeri eşit ve son olan n-cı anuumlitenin değeri diğerlerinden kuumlccediluumlk olduğuna goumlre 100 n

pV ve 1100 npV arasında bulunan p1 yuumlzdesi aranılır Yuvarlanan anuuml-

iteler eşit olan anuumlitelerden buumlyuumlktuumlr ve bu yuumlzden son anuumlite onlardan farklı ve değeri diğerle-rinden kuumlccediluumlktuumlr ve ona anuumlite kalanı denir

Demek ki yuvarlak anuumliteyi bilmiyorsak borcun p1 yuumlzdesi gibi ifade edilecektir genel

olarak tam sayı ile ya da 100

1Zpa formuumlluuml ile ifade edilecektir ve bu durumda

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

geccedilerli olacaktır

1 130 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda yuvarlak yarıyıllık anuumlitelerle ve 5 pa(d) yarıyıllık faizlenme ile itfa edilir Yuvarlak anuumliteyi hesaplayınız

Faiz katsayısı 0251200

51 r anuumlite sayısı 6 2 = 12rsquodir p1 yuumlzdesini

10251

102510251100

10251

1025100251100

12

11

112

12

p

eşitsizliğinden belirteceğiz Oradan

256

974 lt p1 lt 1051 gerekirp1 iccedilin bu aralıkta bulunan ve hesaplamalar iccedilin daha kolay tam sayı olan p1 = 10 değe-

rini seccedileceğizBuna karşılık gelen yuvarlak anuumlite

13000130000100

10

100

1 Zpa

denardır

Elde edilen anuumlite tam sayı değilse onu onluklara ya da yuumlzluumlklere yuvarlayacağızBazı durumlarda yuvarlak anuumlitenin değeri biliniyor olabilir ve amortisman devrelerinin

sayısını hesaplamak gerekir Bunu belirtmek iccedilin eşit anuumliteli borccedillarda yapıldığı gibi hareket edilir ve

1log

log

1

rZaa

rn

formuumlluumlnden yararlanılır Burada yuvarlak anuumlitenin bilinen

değerini kullanıyoruz Anuumlite iccedilin elde edilen sayı n tam sayı olmadığı durumda o sayıdan buuml-yuumlk olan ilk doğal sayı alınır

2 200 000 denar tutarında bir borccedil 40 000 denar tutarında yuvarlak yarıyıllık anuumlitelerle ve 10 pa(d) yarıyıllık faizlenme ile itfa edilir Borccedil kaccedil devrede itfa edilecektir

Yuvarlak anuumlite sabit değerle verilmiş ve borcun

200000

40000

20rsquodir Devre sonu faiz katsa-yısı r = 105rsquotir Bu durumda amortisman devrelerinin sayısı iccedilin

8965105120000040000

40000log

051log

1

n

geccedilerlidir Buna goumlre faizin itfalı 6 dev-

rede gerccedilekleşecek oumlyle ki 5 anuumlitenin tutarı 40 000 denar altıncısı ise farklı ve verilenden kuuml-ccediluumlk olacaktır

Diğerlerinden farklı olan son anuumlite ya da anuumlite kalanı denilen bu taksitin değeri ne kadardır sorusu soruluyor

Kira kalanlarında olduğu gibi burada da aynı şekilde hareket edilir Anuumlitelerin değerleri iskontolanır ve iskontolanmış anuumlitelerin toplamı Z borcuna eşittir

Şek 2

257

Zaman ekseninde goumlsterilene goumlre (şek2) borccedil iccedilin

nnn ra

rrrra

ra

ra

ra

raZ 1

22

1

32

1

111

13

yazabiliriz Parantezler iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan n - 1 terimli bir geo-

metrik dizisinin ardışık terimlerinin toplamıdır Oradan şunu elde ediyoruz

nn

n

n

n

n

n

n

ra

rrra

ra

rrr

r

ra

ra

r

rraZ 1

1

11

1

1

11

1

1

1

1

11

11

Not 1 1

11

1

rrrn

n

ifadesini IVр n-1 finansal tablosundaki karşılığıyla değiştirirsek son anuumlite iccedilin

np

np

nnp VaZrVaZa 777 11

1

formuumlluuml geccedilerlidir

Not 2 Yuvarlak anuumlitelerin ve oumldemelerin oumlzellikleri aynı anuumliteli borccedillarda var olan oumlzel-liklerle aynıdır Oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisi oluşturuyorlar Anuumlite oumldeme ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

3 10 000 denar tutarında bir borccedil 2500 denar tutarında yıllık anuumlitelerle ve 4 pa(d) yıllık faizlenme ile itfa edilir Borccedil kaccedil yılda itfa edilecektir Anuumlite kalanı ne kadar olduğunu hesaplayınız

Doumlnem sonu faiz katsayısı r = 104 anuumliteleri yuvarlak olarak alacağız Amortisman dev-relerinin sayısı iccedilin 4454

1041100002500

2500log

041log

1

n

elde edilir Buna goumlre 5 anuumli-

teden doumlrduuml eşit 2500 denar tutarında beşincisi ise farklıdır

7211250411041041

1041250010000

1

1 5

4

4

1

1

1 9

lt=

gt

9

lt=

gt

n

n

n

rrr

raZa

denardır

258

Alıştırmalar

1 Bir borccedil uumlccedil aylık yuvarlak anuumlitelerle ve 40 pa(d) faiz oranıyla uumlccedil aylık vadeli faiz-lenmeyle 5 yılda itfa edilir İkinci devredeki faiz miktarı 4000 denar ve beşinci oumldeme 14641 olduğuna goumlre borccedil tutarı ne kadardır

(Tavsiye Borcu p1 yuvarlak anuumlite ile hesaplayınız)

2 128 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli 7 pa(d) faiz-lenmeyle itfa edilir Yuvarlak anuumlite 12 000 denar olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda oumlde-necektir

3 Doumlrt aylık yuvarlak anuumlitelerle 12 pa(d) faiz oranıyla ve aynı vadeli faizlenmeyle kaccedil devrede itfa edilecektir Yuvarlak anuumlite tutarı 30 000 denar ilk oumldeme ise 12 000 denardır

4 Bir borccedil yarıyıllık yuvarlak anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenmeyle iki yılda itfa edilir Anuumlite kalanı 14 3179 denar ve son oumldeme 13 7672 denar olduğuna goumlre borccedil ne kadardır yuvarlak anuumlite ne kadardır

5 Bir borccedil yarıyıllık yuvarlak anuumlitelerle ve faiz oranı 8 pa(d) olmak uumlzere yarıyıllık faizlenmeyle 7 yılda itfa edilir Anuumlite kalanı 24936 olduğuna goumlre borccedil tutarını ve yuvarlak anuumliteyi belirtiniz

98 Yuvarlak Anuumliteli Borccedilların Amortisman Planı

Yuvarlak anuumliteli borccedilların amortisman planının yapılması eşit anuumliteli borccedillarda olduğu gibi yapılır sadece son satırda son anuumlitenin yazıldığı yerde farklılık vardır Burada son oumldeme de diğerlerden kuumlccediluumlktuumlr Oumlnce lazım olan buumlyuumlkluumlkler hesaplanır ve ondan sonra amortisman tablosu doldurulur

1 1 000 000 denar tutarında borccedil yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli 20 pa(d) faizlenmeyle 5 yılda itfa edilir Anuumliteler yuvarlak olacak şekilde borcun oumldenmesi iccedilin amortisman planını oluşturunuz

Borccedil 5 anuumlite ile itfa edilir Faiz katsayısı r = 12 Yuvarlak anuumliteyi hesaplamak iccedilin anuumli-tenin borcun hangi kısmı olduğunu belirteceğiz p1 yuumlzdesini sağlayan

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

eşitsizlikte verilerin değiştirilmesiyle

259

121

12121100

121

12121100

4

4

15

5

p ya da

63384433 1 p elde edilirBu aralıkta bulunan herhangi bir değer alınabildiğine goumlre p1 = 35 değerini seccedileceğiz

Bu değere goumlre yuvarlak anuumlite 3500001000000100

35a denardır Beş anuumliteden doumlrduumlnuumln

tutarı 350 000 denar yani aynıdır son anuumlite ise

2337602112121

1213500001000000 5

4

4

1 9

lt=

gt

a denardır

Bireysel hesaplamaları ayrı ayrı yapalımndash Birinci kalan borcun tuumlmuumlduumlr Z = R5 = 1000 000 denardırndash birinci faiz 200000

100

2051 Ri denardır ndash tuumlm borcun faizi

ndash birinci oumldeme b1 = a - i1 = 350000 - 200000 = 150000 denardırndash ikinci kalan R2 = R5 ndash b1 = 850 000 denardırndash ikinci faiz 170000

100

2042 Ri denardır- ikinci kalanın faizidir

ndash ikinci oumldeme b2 = a - i2 = 350000 -170000 = 180000 denardırndash Uumlccediluumlncuuml kalan R3 = R4 - b2 = 670000 denardır

ndash Uumlccediluumlncuuml faiz 134000100

2033 Ri denardır ndash ikinci kalanın faizidir

ndash Uumlccediluumlncuuml oumldeme b3 = a - i3 = 350000 -134000 = 216000 denardırndash Doumlrduumlncuuml kalan R4 = R3 - b3 = 454 000 denardır

ndash doumlrduumlncuuml faiz 90800100

2024 Ri denardır

ndash doumlrduumlncuuml oumldeme 2592009080035000044 iab denardırndash Beşinci kalan R5 = R4 ndash b4 = 194 800 denardır

ndash beşinci faiz 38960100

2015 Ri denardır

ndash beşinci oumldeme 19480038960233760515 iab denardır Bu oumldeme diğerlerin-den farklı olduğundan doğrudan doğruya 19480043215 bbbbZb biccediliminde de he-saplanabilir

Borcun oumldenmesine karşılık gelen amortisman tablosu doldurulur

260

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 1000000 200000 150000 350000

2 850000 170000 180000 350000 3 670000 134000 216000 350000

4 454000 90800 259200 350000 5 194800 38960 194800 233760

suma 3168800 633760 1000000

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Burada da amortisman planının yoklaması yapılmalıdırKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zbj

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R1Koşul 3 Yuvarlanan anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij

son oumldeme hariccedil Son anuumlite anuumlite kalanı ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır 2 Borccedil uumlccedil aylık devreli yuvarlanmış anuumlitelerle ve uumlccedil aylık vadeli 8 pa(d) faiz oranıyla

itfa edilir Yuvarlanmış anuumlite tutarı 10 000 denar olduğuna goumlre son doumlrt devre iccedilin amortis-man planını oluşturunuz

Birinci kalanı bulmak iccedilin borccedil tutarını belirtmemiz gerekir Yuvarlak anuumlitelerde

Zpa100

1 olduğuna goumlre p1 yuumlzdesine ihtiyaccedil vardır Burada

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

eşitsizliği geccedilerlidirBu oumldevde toplam nm = 12 devre vardır Faiz katsayısı

021400

81 r rsquodir Ora-

dan

1021

1021021100

1021

1021021100

11

11

112

12

p ya da 946 ltp1lt 1022 elde edilir p1 =

10 alarak borccedil tutarı

100000100

1

ap

Z denar olduğunu buluyoruz Anuumlite kalanı

2827030211021021

102110000100000 12

11

11

1 9

lt=

gt

a denardır

Son doumlrt oumldemeyi belirtmek iccedilin oumlnce ilk oumldemeyi belirtelim

8000100000400

81000011 iab Oumldemeler bir geometrik dizisinin ardışık terimleri ol-

duğuna goumlre

2793730218000 88

19 rbb 7495600218000 99

110 rbb

toplam

261

b11 = b1r10 = 8000 bull 10210 = 975196 elde edilir Son oumldeme dizinin terimi değildir bu yuumlzden onu başka şekilde hesaplanmalıyız Bunu belirtmek iccedilin youmlntemlerden biri a1 = b12 r formuumlluumlnden yararlanarak belirtilir Buna goumlre 2726501

12 rab denardır Son oumldemeye ka-

deme kademe de gelebiliriz Oumldenen sekiz anuumliteden sonra kalanı doğrudan doğruya ilk sekiz oumldemenin toplamını borccediltan ccedilıkararak belirtelim

1

1

8

1

7

1

2

1114

rrbZrbrbrbbZR

24313361021

10218000100000

8

denar

Son doumlrt devrenin amortisman planını oluşturalım

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

9 3133624 62772 937327 10000

10 219627 49354 956024 10000

11 124017 24804 975196 10000

12 265027 53 265027 282703

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Alıştırmalar1 60 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli olmak uumlzere 4

pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Yuvarlak anuumlite 4000 denar tutarında olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda oumldenecektir Son anuumliteyi ve son oumldemeyi hesaplayınız ve ondan sonra amor-tisman planını oluşturunuz

2 20 000 denar borccedil faiz oranı 4 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme ile doumlrt yılda 3000 denara yuvarlanmış yarıyıllık anuumlitelerle itfa edilir Borcun amortisman planını oluş-turunuz

3 8 000 denar borccedil faiz oranı yıllık 5 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme yıllık anuumlitelerle itfa edilir Yıllık anuumliteler borcun 35rsquoi olduğuna goumlre amortisman planını oluştu-runuz ve son anuumliteyi hesaplayınız

4 200 000 denar borccedil faiz oranı 4 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme ile doumlrt yılda yuvarlanmış yıllık anuumlitelerle itfa edilir Borcun amortisman planını oluşturunuz

262

5 Bir borccedil yuvarlanmış yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle 3 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıllıktır Son oumldeme 126551 denar olduğuna goumlre borcun amor-tisman planını oluşturunuz

99 Alıştırmalar

1 240 000 denar tutarında borccedil 4 yılda eşit yarıyıllık devreli anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle itfa edilecektir Faiz oranı 9 pa(d) olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır He-saplanan toplam faiz miktarı ne kadardır

2 Her biri eşit anuumliteli olan iki borccedil alınmıştır 160 000 denar tutarında olan birinci borccedil 4 yılda ikincisi ise 6 yılda itfa edilecektir Her iki borccedil yarıyıllık anuumlitelerle ve aynı 4 pa(d) faiz oranıyla oumldendiğine goumlre ikinci borcun tutarı ne kadardır

3 Bir borccedil diğer bir borccediltan 100 000 denar buumlyuumlktuumlr Birincisi 20 000 denar tutarlı eşit yıl-lık anuumlitelerle 12 yılda ikincisi ise eşit yıllık uumlnitelerle 10 yılda itfa edilir Her iki borca 5 pa(d) faiz oranı uygulandığına goumlre ikinci borcun anuumlite tutarı ne kadardır Not Z1 = Z2 + 100 000rsquodir

4 Bir borccedil 9 yılda doumlrt aylık vadeli faizlenme ile ve doumlrt aylık devreli eşit tutarlı anuumlite-lerle itfa edilir Faiz oranı 12 pa(d) beşinci ve ikinci oumldemenin farkı 12000 denardır Anuumlite tutarını hesaplayınız

5 Bir borccedil 2 yılda aylık vadeli faizlenme ile ve aylık devreli eşit tutarlı anuumlitelerle itfa edi-lir Faiz oranı 24 pa(d) ve son faiz miktarı 300 denardır Anuumlite ve borccedil tutarını hesaplayınız

6 Altı yılda yarıyıllık vadeli faizlenme ile ve yarıyıllık devreli eşit tutarlı anuumlitelerle 10 pa(d) faiz oranıyla itfa edilen borcun doumlrduumlncuuml oumldeme tutarı 3403822 denardır Borccedil tutarını oumldeme vadesinin tam yarısında borcun kalanını ve hesaplanan toplam faiz tutarını hesaplayınız

7 200000 denar tutarında borccedil her iki yılda bir oumldenen anuumlitelerle ve faiz oranı 8 pa(d) olmak uumlzere iki yıl vadeli faizlenmeyle 26 yılda itfa ediliyor Altıncı anuumliteden on birinci anuumlite-ye kadar borcun hangi kısmı oumldenmiştir

8 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli eşit tutarlı anuumlitelerle ve faiz oranı 16 pa(d) olmak uumlzere uumlccedil aylık vadeli faizlenmeyle 10 yılda itfa ediliyor Oumldenen 25 anuumliteden sonra borccedil 4000 denar azalmıştır Borcun tutarı ne kadardır

9 Bir borccedil yarı yıllık doumlnemli eşit tutarlı anuumlitelerle ve faiz oranı 10 pa(d) olmak uumlzere yarıyıllık vadeli faizlenmeyle 10 yılda itfa ediliyor On birinci anuumliteden başlayarak on beşinci

263

anuumliteye kadar 10 000 denar tutarında borccedil oumldenmiştir Borccedil tutarı ne kadardır on beşinci anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmı ne kadardır

10 Yarıyıllık anuumlitelerle ve 6 pa(d) faiz oranı olmak uumlzere yarıyıllık vadeli faizlenmeyle oumldenen bir borcun hesaplanan yedinci faizi 130 727 denardır Borccedil tutarını ve oumldenen yedi anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmını belirtiniz

11 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli anuumlitelerle ve faiz oranı 32 pa(d) olmak uumlzere uumlccedil aylık vadeli faizlenmeyle 125 yılda itfa ediliyor Oumldenen 40 anuumliteden sonra borcun kalanı 20 000 denar olur Borccedil tutarı ne kadardır Anuumlite tutarı ne kadardır

12 Faiz oranı 6 pa(d) olmak uumlzere 40 000 denar tutarlı anuumlitelerle 1 000 000 tutarında borccedil ne kadar zamanda itfa edilir Anuumliteler ve faizlenme yarıyıllık vadelidir

13 Bir borccedil eşit tutarlı yıllık anuumlitelerle ve yıllık doumlnemli faizlenme ile itfa edilir Birinci oumldeme 200 000 denar son yıldaki faiz miktarı 1157625 denar ve sondan bir oumlnceki periyotta faiz miktarı 22 60125 denar olduğuna goumlre borccedil tutarını belirtiniz

14 630 182 tutarında bir borccedil uumlccedil aylık devreli anuumlitelerle ve aynı devreli faizlenmeyle itfa edilir Birinci oumldeme 100 000 denar ve faiz oranı 8 pa(d) olduğuna goumlre borccedil kaccedil devrede oumldenecektir

15 509 776 denar tutarında borccedil 3 yılda eşit aylık anuumlitelerle ve faizlenme ile itfa edilir Anuumlite tutarı 20 000 denar olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

16 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme ile itfa edilir Uumlccediluumlncuuml ve ikinci oumlde-menin toplamı 20 604 denar ve doumlrduumlncuuml ve ikinci oumldemenin farkı 412 denar olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

17 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 6 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Oumldenen uumlccedil anuumliteden sonra kalan borccedil tutarı 14 72017 denar ve oumldenen altı anuumlite-den sonra kalan borccedil tutarı 11 16476 denar olduğuna goumlre borccedil tutarını hesaplayınız

18 300 000 denar tutarında borccedil eşit yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenme ile 10 yıl-da itfa edilir Yıllık faiz oranı 6 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını ve altıncı yıl sonunda borcun kalan kısmını hesaplayınız

19 Bir borccedil eşit yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenme olmak uumlzere 6 pa(d) faiz oranıyla 3 yılda itfa edilir Birinci oumldeme 7729875b denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

264

20 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 12 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir İkinci ay faiz tutarı 87 49733 denar ve birinci oumldeme 10000 denar olduğuna goumlre ilk doumlrt oumldemenin amortisman planını oluşturunuz

21 Bir borccedil eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile itfa edilir Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Uumlccediluumlncuuml doumlnemde faiz tutarı 455684 denar olduğuna goumlre son uumlccedil doumlneme ait amor-tisman planını oluşturunuz

22 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 4 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Oumldenen ilk anuumliteden sonra borcun kalan kısmı 176 65292 denar ve oumldenen iki anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmı 135 05291 denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

23 80 000 borccedil yuvarlak uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile itfa edilir Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Yuvarlak anuumlite 18 000 denar ve ilk oumldeme 1000 denar olduğuna goumlre borccedil kaccedil devrede itfa edilecektir

24 Bir borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 3 pa(d) faiz ora-nıyla itfa edilir Uumlccediluumlncuuml oumldeme 10 609 denar ve son anuumlitenin bir oumlncesinde borcun oumldenmiş kısmı 185 989 denar olduğuna goumlre anuumlite kalanını belirtiniz

25 Bir borccedil yuvarlak uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile doumlrt yılda itfa edilir Faiz oranı 12 pa(d)rsquodir Sondan bir oumlnceki devrede faiz tutarı 92117 denar olduğuna goumlre anuumlite kalanını belirtiniz

26 120 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile beş yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Borcun amortisman planını oluşturunuz

27 100 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yarı yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 18 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Borcun son uumlccedil yılının amortisman planını oluş-turunuz

28 20 000 denar tutarında borccedil yuvarlak uumlccedil aylık 3000 denar tutarında anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile iki yılda itfa edilir Borcun amortisman planını oluşturunuz

29 Bir borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile doumlrt yılda itfa edilir Uumlccedil yıl sonra borcun oumldenen kısmı 811616 denar ve birinci oumldeme 26000 denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

265

30 Bir borccedil yuvarlak yarı yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 8 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d) ve son oumldeme 498427 denar olduğuna goumlre borcun son uumlccedil yılının amor-tisman planını oluşturunuz

31 500000 denar tutarında borccedil altı aylık eşit anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 30 yılda itfa edilmelidir Faiz oranı 28 pa(d) olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

32 Altı aylık eşit anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 30 yılda itfa edilmelidir Faiz ora-nı 28 pa(d) ve birinci oumldeme 5 37222 denar olduğuna goumlre borccedil tutarı ne kadardır

33 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 50 yılda itfa edilir Faiz ora-nı 4 pa(d)rsquodir Oumldenen 20 anuumliteden sonra borcun oumldenmiş kısmının tutarı 5851566 denar olduğuna goumlre anuumlite tutarını ve borccedil tutarını hesaplayınız

34 2 400 000 denar tutarında borccedil altı aylık devreli yuvarlak 120 000 denar anuumlitelerle ve aynı doumlnemli faiz oranıyla itfa edilir Faiz oranı 2 pa(d) olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda itfa edilecektir Son anuumlite ne kadardır

266

Konu Oumlzetleri

Borccedil para mal veya para cinsinden bir değerin belirli bir vade ve koşulla geri alınmak uumlzere verilmesidir yani borccedil veren finansal varlıklarını borccedil alana geccedilici bir suumlre iccedilin hizmetine devretmesidir Bu boumlluumlmde borccedillunun borcunu oumldeme koşulları borccedil verene olan yuumlkuumlmluuml-luumlğuuml yani finansal varlıkların devredilme koşulları borcun suumlresinde faizlendirmeyi iccedileren an-laşmalar soumlz konusu olacaktır Borccedil tutarı genellikle birden verilir ve geri alınması birden değil ccedilok kez belli periyotlarda gerccedilekleştirilir Her periyotta borcun oumldendiği tutara oumldeme denir Belli periyotta oumldemenin faiziyle beraber tutarına anuumlite denir diğer soumlzlerle anuumlite belirli bir zaman suumlreci iccedilerisinde eşit aralıklarla verilen veya alınan eşit oumldemeler serisidir Borcun her bireysel oumldemesine gereken zaman suumlresine amortisman vadesi denir

Anuumlitelerin oumldeme suumlresine goumlre doumlnem sonu anuumliteli borccedillar (oumldemeler serisi dev-renin sonunda yapılan) ve doumlnem başı anuumliteli borccedillar (oumldemeler devrenin başında yapılan anuumliteler)

Faizin hesaplanmasına goumlre borccedillar doumlnem sonu faizlenen ve doumlnem başı faizlenen biccediliminde adlandırılabilir

Şunu da belirtelim borcun amortismanı denilen kademeli oumldemede oumlnceden belirlen-miş tutarlarla belli zaman aralıklarında oumlnceden belirlenmiş bir plan uumlzerinde oumldenmesine amortisman planı denir

Tutarı Z olan bir borccedil alınmış ve geri oumldemesi her biri a tutarında n eşit anuumlite ile yapıla-caktır Faiz oranı p doumlnem sonu faizlendirme ve faiz doumlnemi anuumlitelerin oumldeme doumlnemiyle aynı olsun Boumlyle durumda borccedil şu formuumllle hesaplanır

1

1

rr

raZ n

n

r doumlnem sonu faiz katsayısıdır

Borccedil bilindiğinde anuumliteyi hesaplamak iccedilin şu formuumlluuml kullanacağız

1

1

n

n

rrrZa

k-cı oumldemeyi bk ve k-cı faizi ik ile işaret edersek birinci anuumlite a = b1 + i1 olur Burada faiz birinci

doumlnem iccedilin Z tuumlm borccedil tutarına hesaplanır yani 100

1

Zpi rsquodir

Kalan anuumlitelerin her birini bu şekilde inceleyerek son anuumliteye a = bn + in varıyoruz Bu-

rada faiz borcun kalan kısmına Z ndash b1 ndash b2 - hellip - bn uygulanır yani 100

121 pbbbZi n

n

dir

Oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisini oluştu-ruyorlar Daha da her oumldeme 1

1

kk rbb formuumlluumlyle hesaplanabilir

267

Genel olarak k- cı oumldeme borccedil ile ifade edildiği durumda şu formuumlluuml kullanacağız

1

1

1

knk r

rrZb

anuumlite ile ifade edildiğinde 1 knk r

ab formuumlluumlnuuml kullanabiliriz Ok ile işaret edeceğimiz k devrede (periyotta) borcun oumldenmiş kısmı k-cı anuumlite dahil ilk

k oumldemenin toplamına eşittir yaniOk = b1 + b2 + + bk yani

1

11

rrbO

k

k dir

Oumldenen k ndash anuumliteden sonra borcun kalan kısmını Rn-k ile işaret edersek birinci oumldemeye goumlre veya anuumlite ile ifade edilişi

11

r

rrbRkn

kn ya da 1

rrrraR n

kn

kn dir

Amortisman suumlresinin borccedil ve anuumlite ile ifade edilişi

1log

log

1

rZaa

rn dir

Z tutarında bir borccedil eşit anuumlitelerle oumldendiği durumda borccedillu her devre sonunda aynı tutarlı taksitler oumldeyecektir Bu oumldemeler iki kısımdan meydana gelmektedir Bu kısımlardan biri borcun bir kısmının oumldeme tutarı ve kalan borcun faizidir Bunu aşağıdaki tablo biccediliminde goumlstereceğiz

Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 Z 1001

Zpi 11 iab a

2 11 bZRn 100

12

pRi n 22 iab a

1n 232 nbRR 100

21

pRin 11 nn iab a

n 121 nbRR 100

1 pRin nn iab a

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Amortisman planı yapıldıktan sonra bu planın doğru olup olmadığını yoklamak gerekir

268

Koşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zb j Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R6 Koşul 3 Faizler suumltunundaki değerlerin toplamı ve oumldemeler suumltunundaki değerlerin top-

lamı devre sayısı ile anuumlitenin ccedilarpımına eşit olmalıdır nabi jj Koşul 4 Anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij Koşul 5 Faizler suumltununun toplamı jj Rpi

100 dir

Belli bir borcu oumlderken a anuumlitesi konkre tutarlı ya da borcun bir yuumlzdesi olarak verile-bilir Bu anuumliteler genellikle tam sayıya yuvarlanıyorlar (onluk yuumlzluumlk vb) Bu yuumlzden bunlara yuvarlak anuumliteler ve borccedillara yuvarlak anuumliteli borccedillar denilir Anuumlite yukarıda sayılan şekil-lerden biriyle verilmediğinde ve borcun itfalı yuvarlak anuumlitelerle yapılma koşulları varsa anuumli-tenin hesaplama yuumlzdesini hesaplamak gerekir Burada da doumlnem sonu borccedillardan amortisman devresinin sonunda oumldemeler ve vade sonu faizlenmeden soumlz edeceğiz

Borcun Z tutarı ve faiz oranı p pa(d) verilmiş olsun Amortisman devrelerinin sayısı bi-lindiği durumda n ndash 1 anuumlitenin değeri eşit ve son olan n-ci anuumlitenin değeri diğerlerinden kuuml-ccediluumlk olduğuna goumlre 100 Vp

n ve 100Vpn-1 arasında bulunan p1 yuumlzdesi aranılır Yuvarlanan anuumliteler

eşit olan anuumlitelerden buumlyuumlktuumlr ve bu yuumlzden son anuumlite onlardan farklı ve değeri diğerlerinden kuumlccediluumlktuumlr ve ona anuumlite kalanı denir

Demek ki yuvarlak anuumliteyi bilmiyorsak borcun p1 yuumlzdesi gibi ifade edilecektir genel

olarak tam sayı ile ya da 100

1Zpa formuumlluuml ile ifade edilecektir ve bu durumda

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

geccedilerli olacaktır Diğerlerinden farklı olan son anuumlite ya da anuumlite kalanı denilen bu taksitin değeri şu formuumllle hesaplanır

n

n

n

rrr

raZa 9

lt=

gt

1

11

1

1

Yuvarlak anuumliteli borccedilların amortisman planının yapılması eşit anuumliteli borccedillarda olduğu gibi yapılır sadece son satırda son anuumlitenin yazıldığı yerde farklılık vardır Burada son oumldeme diğerlerden kuumlccediluumlktuumlr Oumlnce lazım olan buumlyuumlkluumlkler hesaplanır ve ondan sonra amortisman tab-losu doldurulur

269

Burada da amortisman planının yoklaması yapılmalıdırKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zb j

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R1 Koşul 3 Yuvarlanan anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij

son oumldeme hariccedil Son anuumlite anuumlite kalanı ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

270

271

Ccediloumlzuumlmler ve Oumldevlerin Cevapları

111 а) 18750 denar b) 9375 denar c) 2604 denar zaman ayarı (30360) ve 25685 denar (k 365) 2 20 yıl 3 5 4 а) 14750 denar b) 87500 denar 5 K = K1 + K2 = 108000 denar 6 2691 denar

122 I = 12000 K = 72000 denar 3 I = 1760 K = 35200 denar 4 70400 denar5 K = 33750 denar I = 150 denar 6 Borccedil 260400 denar faiz 65100 denar 7 Borccedil 10568 denar faiz 568 denar

134 75 guumln 5 5 ay ve 20 guumln 6 а) 50 guumln 4 05 b) 13 guumln 4 05 7 29 guumln 205 8 2304 9 705

142 123 guumln 3 69 guumln ya da 1306 4 2502 5 805 28 guumln başlangıccedil tarihi 1004

154 Dk = 21875 denar Dr = 21685 denar fark = 01897 5 $ 1 195 16866

164 3 166 5 yatırımlar 3112 tutarı 17 9761 denar kaldırılan = 15 200 denar faiz = 922 denar saldo = 2 776 denar

175 Sıralı faiz = 3209 denar ceza faizi = 2730 saldo = 496518 denar

181 826 guumln (ya da 2 guumln 3 ay ve 6 guumln) 2 K = 176147 denar 3 p = 464 4 K = 306748 denar 5 K = 300000 denar 6 18000 denar 7 K = 105680 denar I = 5680 denar 8 1004 613 ile 9 246 guumln 10 13 0611 iskonto = 222222 efektif tutar =$ 247 7973612 efektif tutar = $ 2 984 200 13 efektif tutar = 147 546 denarDk = 2 2875 denar 14 $ 147 192 15 63 guumln 16 2 471 denar 17 yatırım = 79 770denar kaldırılmış = 65 000 denar saldo = 14 770 denar faiz = 1 770 denar18 sıralı faiz = 4248 denar ceza faizi = 6246 denar saldo = 2568954

272

212 а) 80 kısım b) 130 kısım 4 а) 80 greyn b) 5040 greyn 5 а) 23 karat 1 greynb) 16 karat 1 greyn c) 232 peniveyt 11 greyn d) 209 peniveyt 16 greyn

221 W 8096 2 97917 3 640 4 а) 600 dego b) W 724 5 а) 420 o b) W 12148

231 1584g 2 49875g 3 700g 4 384g

255 55 euro artışı ve 51 dolar duumlşuumlşuuml 6 Devaluumlasyon 463 7 1383

284 144000 USD 5 68493

295 0694 - 06849

2101 225 EUR 2 Zarar 3000 МКD

2111 Saat 14 te +20 EUR sat 19 de -8 EUR 2 Ortalama kur 1041 kar 7675 CHF3 100 МКD 4 17 000 USD 5 saat 15 te

2121 W 2128 2 permil600 3 permil88125 4 а) permil800 b) W 30 5 1175g 6 296g 7 permil8708 180 peniveyt 9 +165 -157 10 Amortisman 219 11 13965 12 Saat 14rsquote kazanccedil 48 EUR saat 19rsquoda zarar 24 EUR 13 Ortalama kur 164 kazanccedil ( AUD 1454 bazında EUR 889 bazında)

31

2 a) 2 yx b) 2 x v) 132x g) 10xy 3 a) 93 2xx b) 44

xx 0x 44

xx 0x 44

xx 0x 4 a) yx b) yx v) yx 5 a) 94 xx b) 22525 xx

v) 14316364 xxx

32 1 a) 3x b) 0x v) 8x g) 3x d) 41 x 12 x |) 2x 2 a) 8x b) 2x

v) 15x g) 6x 3 a) 11 x 02 x b) 0x v) 2x 4 a) 4

11 x 02 x b) 21 x

12 x v) 11 x 62 x 5 a) 4x b) 11 x 2

32 x v) 31 x 22 x

a)

a)

a) b)

a)b) b)c)

c)

c) а) b) c)

c) а) b)

d) e) f)

a) b) c) а) b)c)

b) c) d)

d)

a) b)

273

331

Poimi 3216log6 2log94

x 449log7

5)2b(loga 21

25 5log

Logaritam 3 2 4 5 21

Osnova na logaritamot

6 x 7 a 25

Logaritmant 216 94 49 2b 5

2 a) 2 b) 2 v) 2

1 g)

2

1 3 a) 3x b) 6x v) 2x g) 12 4 a) 2 b) 9

5 a) 1 b) 30 6 )1()0( BCBx

34 1 a) blogalog3logxlog b) clog5blogalog2xlog

v) clogblogalog2logxlog g) )balog(2logxlog d) )cblog(alog2

1xlog 22

|) blog3

1alog

2

1xlog 2 a)

2

1 b) 18 v) 1 3 a) 10x b)

9

8x v)

3

3 2

2

53 x

g) 3

44

4

6

x d) 3

5 |)

27

8 e) 63 `) 24 4 a) 060 078 090 096 b) 108 120 126

5 a) 3 b) 3 v) 1 g) 1

35

2 Upatstvo a) 15log

4log

7log

5log7log14log5log7log

3

3

3

33573

b) 8log

7log

7log

6log

6log

14log

4log

12log7log6log5log4log3log2log

5

5

5

5

55

33876543

3 8 4 a) 2

1 b) 18 v) 5 5 alogalogalog

b

1

b

1b 1

13

36

1 22

321 x 2 14 21 xx 3 2x 4

3

167 21 xx 5 4

213

2x 6 16x 7 4

37

1 a) yx b) yx v) yx 4 a) 3

4

a b) 3

2

a 5 8x 6 2x 7 | 8 1x 9 1x

10 4 11 a) 4x b) 81

1x v)

10

1x g)

2

1x d) 5 100 |) 2x

Kavramlar

Logaritma değeri

Logaritmatabanı

Logaritması alınan sayı

b)

b)

b)

b) c)

c)

c)

b)

b)

b)

b)b)

b)c)

c)

c)

c) c)

a)

a)

a)Tavsiye

b)

b)

b)

a)

a)

a)a)

a)

a)a) b) c)d)

e)

e)

e) g) h)

d)

d)

d)

d)

d)

f)

f)

274

12 a) ylogxlog2log b) ylog3xlog23log v) zlog2

1ylog5xlog2

g) clog3alogb d) ylog3

2xlog6log |) )ylog

2

1xlog3(

4

1)xlog2(log

2

1

e) )ylog4

3x(log

2

1 13 a) 6x b) 10x v) 21x g) 1125x 14 a) 736x

b) 008840x v) 29676x 15 a) 5log2 4 b) 3log

2

7

v) 5log10

1 16 a) 35

1

b) 1

log2 xx

17 a) 8 b) 1 18 1x 19 5x 20 25x 21 3121 x 22 7x

23 102

321 xx

41 1

Stepeni 00 030 045 060 090 0180 0270 0360 Radijani

0 6

4

3

2

2

32

2 13

12sin

13

5cos

5

12tg

12

5 ctg 3 870sin 490cos 771tg

560ctg 4 80sin 60cos 3

4tg

4

3ctg 5 780sin 620cos

261tg 790ctg

42 1 a) 540 b) 980 v) 840 g) 540 2 a) 600 b) 700 v) 150 g) 400 3 a) 1 b) 1 v) 1

4 a) 3 b) 3

332 v) 1 5 a) 450 b) 300 v) 450 g) 600 d) 300

43 1 a) 74048sin 0 67048cos 0 111480 tg 90480 ctg b) 390231223sin 0

920231223cos 0 430231223 0 tg 332231223 0 ctg v) 2801916sin 0

9601916cos 0 2901916 0 tg 4431916 0 ctg 2 a) 7807

2sin

620

7

2cos

2517

2

tg 807

2

ctg b) 73021

5sin

730

21

5cos

930

21

5

tg 08121

5

ctg

3 a) 204235 0 b) 232544 0 v) 33267 0 g) 162326 0 d) 552444 0 |) 505372 0

4 a) 010 b) 20 5 a) 395525 0 b) 142617 0 v) 591246 0

Dereceler

Radyanlar

b)b)

b)

b) b)b)

b)

b)b)

b)b)

b) b)

b)

b)

c)c)

c)

c)

c)c)

c) c)

c)c)

c)

c)

d)

d)

d) e)

d)

d)

d)

e)

e)

f)

f)

g)

275

44

1 a) 13

12cos

12

5tg

5

12ctg b)

4

15sin 15tg

15

15ctg

v) 41

414sin

41

415cos

4

5ctg g) 920sin 390cos 442tg

2 a) sin2 b) cos2 v) 1 6 54

55 7 26

45 1 a) 853 0 140 cma 954 cmb b) 274 0 711 cma 33 cmb v) 624 0

145 cmb 655 cmc 2 a) 80 41750 cma 61767 cmc b) 3041 0

166 cma 799 cmc v) 660 7911 cmb 255 cmc 3 a) 55745 0

55242 0 48224 cmb b) 395561 0 21428 0 559 cmc

v) 471921 0 134068 0 16338 cmc 4 231445 0 5 125236 0 6 Od mestoto B avionot e na rastojanie m781824 a rastojanieto me|u A i B e 2231 m

46 1 a) 362434 0 b) 121618 0 v) 124023 0 2 a) 4336 0 b) 1945 0 v) 8773 0 3 a)

440 rad b) 491 rad 4 a) 1050 b) 564572 0 5 a) 0 b) 2 v) cos

1

0 6 a) 650 b)

1047 0 v) 300 g) 400 7 a) 5

3cos

3

4tg

4

3ctg b)

5

4sin

3

4tg

4

3ctg v)

34

3sin

34

5cos

3

5ctg g)

674

25sin

674

7cos

7

25tg 8 a) 7 b) 1 9 a) 5853 0 40a 55b b) 4025 0 43936b

941038c v) 504 0 050a 6220c g) 55745 0 55244 0 48222b

d) 64484 0 54155 0 3242a 10 cos2 cab sin ch 11 4102 m

51 1 a) II-kvadrant b) I-kvadrant v) IV-kvadrant g) III-kvadrant d) x oskata |) y oskata e) x oskata `) y oskata 2 )01(M )02(N )05(P )03(Q 3 )30(M )40(N )20( P )10( Q 4 4xm 2ym

52 1 a) 82d b) 4d v) 53d g) 53d 3 11y ili 1y 4 )1821(C 5 13 b)

b)

b) b)

b)

b)b)b)

b)b)

b)

b)b)

b)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

c)c)

c)

c)

c)

c)

c)

d)

d)

d)

d)

d)

d)

e)

e)

f) g) h)

b)

doumlrduumll doumlrduumll doumlrduumll doumlrduumll ekseniekseniekseni ekseni

6 Uccedilak Byerine uzaklığı 418278 m A ve B arasındaki uzaklık ise 1223 m

ya da

276

53

1 2

54

13

ABS 12BCS

2

71

13

ACS 2 5 3 )11( )01( )13( )25( 4 a)

13

5

95

b) 13

5

116 v) 37 g) 718 5 )62( A )28(B )106(C

54

1 21P 2 Ne 3 Da 4 15P 5 2

55P 6

2

15APBP

4

9PBCP

55 1 Samo P e od pravata 2 a) xy b) xy v) 0y 3 a) 2k 3m b) 1k

3m v) 0k 2m g) 3k 0m 4 2

13 xy 5 1 xy 6

5

6k

5

7m

7 25 xy

56

1 a) 0332 yx b) 04 y v) 03 x 2 a) 2k 3m b) 2

5k

2

3m

v) 8

3k

3

16m 3

4

33 3m 5 Da

57

1 a) 164

yx

4 edinici na x oskata 6 edinici na y oskata b) 111

yx 1

edinici na x oskata 1 edinici na y oskata v) 12

2

1

yx

2

1 edinici na

x oskata 1 edinici na y oskata 2 85

6k 3

12

5k 4 18 kvadratni edinici

5 132

yx 1

2

34

yx

58

1 a) )2(3 xky b) )1(4 xky 2 053 yx 3 03 yx 4 a) 5

7k

b) 5k v) 0k 5 01357 yx 6 Ne 7 5

7d ne 8

3

2d 9

5

10Md i

5

8Nd 10 257 yx

b)

b)

b)

b)b)

b)b)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

d)

d)b)

Evet

Sadece P doğrunundur

Hayır hayır

x ndash ekseninde 4 birim y - ekseninde 6 birim

x - ekseninde 1 birim y - ekseninde 1 birim

birim kare y - ekseninde 1 birim

1 P = 21 2 Hayır 3 Evet 4

x - ekseninde 1

2 birim

ve

277

613 Dizi artandır 4 а) d) ve e) şıklarındaki diziler artandır b) ve c)rsquodeki diziler eksilendir 5 а) Hayır b) ne artan ne de eksilendir 6 а) a gt 1 b) 0 lt a lt 1 c) a = 1

631 299 2 150 3 -776 4 а) ve c)rsquodeki diziler aritmetik dizilerdir а) şıkkındaki dizinin ilk terimi 2 ve ortak farkı 6rsquodır c)rsquodeki dizide ise ilk terim 9 ortak fark -5rsquotir 5 8 yıl sonra 1 ocak 2008 yılı 6 d = 3 a1 = 0 7 Aritmetik dizisi 8 Tasarruf yapmadan oumlnce 14000 denarı varmış ve her yıl 2500 denar tasarruf yapmıştır

641 а) 19 b) x 2 Aranılan terim an+1 dir 4 n(n +1) 5 а) 9399 b) 5850 6 50 7 a7 + a11 = a5 + a 20 ve a7 + a11 = a5 + a13 oradan a13 = a20 elde edilir bu ise ancakd = 0 olduğu durumda muumlmkuumlnduumlr

651 3 2 а) ve d) geometik dizilerdir а) daki dizinin ilk terimi 2 ortak ccedilarpanı ise -4 tuumlr d) şıkkındaki dizinin ilk terimi 1 ortak ccedilarpanı 2 dir 3 а) 10125 b) 96 4 а) 50363 b) 12 yıl 5 Аli 6 256 defa

59

1 a) se se~at vo to~kata )21( b) se paralelni v) se sovpa|aat 2 a) )05( i 13

2

10

b) )06( i )40( 3 02865 yx 4 4

3 5 042 yx 6 06035 yx

510

1 )1332(4 2 a) )17(M b) )17(M 3 2

12 4 14P 6 029107 yx

8 )51( D 11 a) 5

7d b) 1d 12 03 x 073 yx 0133 yx 13 a)

)04(T b) )44(H 15 )83(M 16 49P 17 12034 yx 072948 yx

18 3

11 k 12 k i

3

51 k

6 1 2 a)

32

43

54

65

76 b) 1

41

91

161

251 v) 2481632 g) 12345 3 a)

174 b) 27 v) 81

4 n=2010 5 n=256 6 a) 53 b)

51 v) 16 g) 3 7 a) 12 nan b) 2n v) n

na )1(2

g) nna 1 d) nna28

b)b)

b)

c)c)

c)c)

d)d)

d)

e)

(12) noktasında kesişiyorlar b) paraleldirler c) ccedilakışıyorlar ve

ve

ve

b)

b)

b)

b)

b)

278

661 a) 60 b) x 3 Aranılan terim an+1 4 b = 15 ya da b = 15 5 а) 1640 b) 40 c)

128

255

d) 340 6 а) 3 b) 27 7 а1 = 9 97

5 6S olur

6 72 Hayır 3 Hayır 4 500500 5 3000 6 1840 7 a = 5 b = 8 c = 11 8 Tavsiye ak ve an terimlerinin değerlerini aritmetik dizisinin ilk n terim toplamı formuumlluumlnde değiştirerek denk-lemin geccedilerli olduğunu goumlsteriniz 9 2080 denar 10 100 11 b = 15 12 Tavsiye ak ve an terimlerinin değerlerini geometrik dizisinin ilk n terim toplamı formuumlluumln-de değiştirerek denklemin geccedilerli olduğunu goumlsteriniz 13 1792 14 20480 denar 16 q = 1

711 а) 18750 denar b) 9375 denar c) 2604 denar (30360) zaman oumllccediluumlsuumlne goumlre ve 25685 de-nar (k365) goumlre 2 20 yıl 3 5 4 а) 14750 denar b) 87500 denar5 K = K1 + K2 = 108000 denar 6 а) 6 ps b) 3 pq c) 1 pm 7 а) 4 ps

b) 8 pa c) 3

2 mp 8 9091 pa(a) 9 1111 pa(d) 10 6 pa(a) = 638 pa(d) buna goumlre ikinci faiz oranı daha karlıdır 65 pa(d)

721 а) Karma youmlntem ile 84538 denar sadece bileşik faiz hesabıyla 8448343 denar b) karma youmlntemi 881243 denar sadece bileşik faiz hesabıyla 8811729 denar2 5633155 denar 3 5939502 denar 4 9560058 denar 5 Doumlnem sonu vadeli 5605984 de-nar doumlnem sonu faizlendirme 56400 denar doumlnem başı faizlendirme 6 24099 denar 7 17205 denar

731 40642 denar 2 7430 denar 3 а) 44160 denar b) 431334 denar а) ve c) şıklarındaki tu-tar farkları verilerin yuvarlanmasından kaynaklanır 4 6 5 3923 ve 1943 6 16847 denar

741 а) K = 7597254 denar b) K = 7461711 denar 2 а) 43291 denar b) 4291857 denar 3 25023795 denar 4 2753275 denar 5 5474325 denar

751 а) 24 yıl 6 ay ve 28guumln b) 23 yıl 7 ay ve 11guumln 2 а) 3919 uumlccedil aylık b) 3936 uumlccedil aylık 3 а) 116196 pa(a) b) 1197 pa(d)

279

4 3925 pa(d) 5 5 pq(d) 47 pa(a) 6 10077 yıl 7 25 ps(d) 8 85 pa(d) 9 3 yıl 1 ay ve 18 guumln

761 Karma youmlntemle 211440 denar sadece bileşik faizle 2108975 denar 2 355465 denar 3 112120 denar 4 10930 denar 5 186760 denar borccedil 6 а) 422527denar faiz 77473 denar b) 422546 denar faiz 77454 denar 7 27 yıl 8 17175 yıl 9 2172979 de-nar 10 22676567 denar 11 Son teklif 16489332 12 2165 uumlccedil aylık 13 195 14 125584 denar 15 47483114 denar 16 Birinci teklif daha uygundur ikinci teklif daha kuumlccediluumlktuumlr ve 5230428 denardır 17 18 yıl 4 ay ve 29 guumln 18 520948 denar 19 66 pa (d) 20 757 pa(d) 21 246 yıl ve tutarı 10000 denardır

821 а) Sn = 225558 denar b) Sn = 227207 denar 2 Sn = 120061 denar 3 а) Sn = 39083denar b) Sn = 40646 denar 4 а) 479782 denar b) 482431denar 5 а) 484580 denar b) 487304 denar 4 ve 5 oumldevlerin değerlerinin karşılaştırılmasıyla doumlnem sonu yatırımları getirdikleri faiz miktarı doumlnem başı yatırımların getirdikleri faizden daha buumlyuumlk olduğu sonu-cuna varılır En buumlyuumlk son değer doumlnem başı yatırımların doumlnem başı faizlenmesiyle elde edilir

831 а) V = 18781 denar b) V = 18729 denar 2 V = 10000 denar 3 V = 2866 denar 4 V = 4603 denar 5 V = 6826 denar

841 а) n = 6 b) n = 5 2 n 8527 O halde n = 9 V0 = 93048 denar 3 n 31195 O halde n = 32 V0 =-279 denar (demek ki 279 denar geri verilecektir) 4 V0 = 118 denar 5 n = 18

85

1 2

p = 4 2 3

p = 397 3 а) 2436 b) 2674 4 p = 8 5 p = 755

864 M n = 119041 denar 5 а) M n = 15726 denar b) M n = 16355 denar 6 Mn = 637300 denar 7 V = 5695 denar 8 68044 denar

871 Doumlnem sonu faizlenme ile 70765 denar doumlnem başı faizlenme ile 70895 denar elde edilir 2 R = 16700 denar 3 R = 7575 denar 4 R = 5991 denar 5 R = 16705 denar

280

881 10 kira 2 n = 8 4 yıl 3 n = 12 R0 = 32667 denar 4 n = 60 R0 = 2160 denar 5 n = 35 R0 = 28 denar

891 p = 168 p a (d) 2 p = 5756 p a (d) 3 p = 8 p a (d) 4 913 p a (d) 5 31136 denar 8101 R = 3400 denar 2 5220 denar 3 4200 denar 4 25000 denar 5 203454 denar

8111 27403 denar 2 1480 denar 3 4 yatırım 4 654 5 8 yıl 6 M n = 2861592 denar 7 R = 247525 denar 8 n = 12 R0 = 32532 denar 9 575 pa(d)10 110643 denar 11 45000 denar 12 175600 denar 13 50000 denar 14 3 yıl oumlnce 15 1128 denar 16 83972 denar 17 870058 denar 18 15940 denar 19 202716 denar 20 4850 denar

921 а) 9694820 denar b) 19582505 denar c) 39361911 denar 2 346514 denar3 16650 denar 4 890364 denar 5 305785 denar

931 1688263 denar 2 Аnuumlite 1748363 denardır 3 Borccedil 71318232 denardır4 953809 denar 5 560687 denar

941 Kalan 15613724 denar 2 Oumldeme 3446295 denar 3 Borccedil 9126992 denar 4 2705808 denar 5 59773882 denar

951 8pa(d) 2 n = 25 yılda 50 anuumlite 3 367 pa(d) 4 4135 n = 10 yıl

961 a = 1907619 denar amortisman planı aşağıdaki tabloda goumlsterilmiştir

281

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 4000 1507619 1907619 2 8492381 339695 1567924 1907619 3 6924457 276978 1630641 1907619 4 5293816 211753 1695866 1907619 5 3597950 143918 1763701 1907619 6 1834249 73370 1834249 1907619

Suma 53361428 1414457 100000 2 457611a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 80000 4000 117614 457611 2 682386 341193 1234947 457611 3 5588913 279446 1296694 457611 4 4292219 214611 1361529 457611 5 293069 146535 1429605 457611 6 1501085 75054 1501086 457611

Suma 67291367 3914568 0180000 3 5421631a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 8000 1363154 5421631 2 8636846 690947 1472207 5421631 3 7164639 573171 1589983 5421631 4 5574653 445972 1771282 5421631 5 3857474 308598 1854556 5421631 6 2002918 160236 2002918 5421631

Suma 33372365 2429789 100000 4 713154a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 10000 100 215471 713154

2 784629 7846 237018 713154 3 547512 54751 206719 713154

4 286792 28683 286792 713154 Suma 3326188 332618 10000

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

denar

Toplam

Toplam

Toplam

Toplam

282

5 Son iki faizin verilerinden sistem oluşturunuz r = 11 п = 6 a = 3543122 Z = 1543122 elde edilir Bu verilerle amortisman planını oluşturabilirsiniz

971 Z = 142857 14 denar 2 31 yıl 3 14 devre 4 Z = 100000 ve a = 30000 5 a = 10000 denar

981 a1 = 146783 denar

period ostatok od dolgot

kamata otplata

1 60000 2400 1600 2 58400 2336 1664 3 56736 226944 173056 4 5500544 220022 179978 5 5320566 212823 187177 6 5133389 205336 194664 7 4938725 197549 202451 8 4736274 189451 210549 9 4525725 181029 218971

10 4306754 172270 227730 11 4079024 163161 236839 12 3842185 153687 246313 13 3595872 143835 256165 14 3339707 133588 266412 15 3073295 122932 277068 16 2796227 111849 288151 17 2508076 100323 299677 18 2208399 88336 311664 19 1896735 75869 324131 20 1752604 62904 337096 21 1235508 49420 337096 22 884928 35397 364603 23 520325 20813 379187 24 141138 5656 141138

Devre Borccedil kalanı Faiz Oumldeme

283

2 Anuitetot e 3000 denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 20000 600 2400 3000 2 17600 528 2472 3000 3 15128 45384 254616 3000

4 1258184 37746 262254 3000 5 995930 29878 270122 3000 6 725808 21774 278226 3000

7 447582 13427 286573 3000

8 161009 4830 161009 391658

3 2800a 74551 a Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 8000 400 2400 2800 2 5600 280 2520 2800 3 3080 154 2646 2800 4 434 217 434 7455

suma 17144 7855 8000

4 60000a denari Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 200000 8000 52000 60000 2 148000 5920 54080 60000 3 93920 37568 256243 60000

4 376768 150707 837676 8739183 Suma 8479596 8719183 200000

5 2000a denari 8212901 a Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 20000 400 3600 2000 2 16400 328 3672 2000 3 12728 25456 374544 2000 4 898256 17965 382035 2000 5 516226 10325 389675 2000 6 126551 2531 126551 821290

2 Anuumlite 3000 denar

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

Toplam

Toplam

284

991 Аnuumlite 3638632 denar toplam faiz tutarı 5109056 denar 2 23098204 denar 3 1000618 denar 4 266467 denar 5 15300 denar 6 Borccedil 468019 denar 200000 denar oumldenmiş bor-cun kalanı 268015 denar faiz 165634 denardır 7 4585662 denar 8 9126992 denar 9 Borccedil 3673958 denar kalan borccedil 1276367 denar 10 13140881 denar 11 1877255 denar 12 46 anuumlite eşit 47 farklı 13 862025 denar 14 6 15 2 16 2 17 1770537 denar 18 a = 2016471 denar O12 = 15844971 denar ve R 8 = 14155029 denar

19 9229875a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 500000 15000 7729875 9229875 2 42270125 1268104 7961771 9229875 3 54343087 1029251 8200624 9229875 4 2610773 783232 8446643 9229875 5 17661087 529833 8700042 9229875 6 8961045 268131 8961445 9229875

Suma 411793083 5153792 500000

20 3155415a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 1000000 10000 4541531 3155415 2 95458469 954585 458696 3155415 3 90871523 908715 4632816 3155415 4 86238707 862387 4679144 3155415

21 8425364a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

10 7314923 146299 2390185 8425364 11 4924738 98495 2437989 8425364 12 2486749 49735 2486749 8425364

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

denar

Toplam

285

22 Rn ve Rn-1 kalanlarıyla sistem oluşturunuz Oradan n = 5 a = 4866612 denar ve borccedil Z = 216653 denar 23 14 devre yani 35 yıl 24 a = 16000 denar ve borccedil ĊZ = 200000 denar 25 a =16000 denar borccedil Z = 200000 denar son anuumlite a1 = 14432 denar

26 a = 30000 denar

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 120000 4800 25200 30000 2 94800 3792 26208 30000 3 68592 274368 2725632 30000

4 4133568 165343 2834657 30000 5 1289911 51596 1289911 1341507

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

27 p1 = 4 a = 4000 i1 = 3000 b1 = 3750 a1 = 598727 28 p1 = 15 p = 4

a = 272879 b1 = 2200 i1 = 800 29 p = 4 p1 = 30 a = 30000 Z = 100000

30 p1 = 75 a = 7500 i1 = 2000b1 = 5500 31 a = 1237222 32 Z = 500000

33 Z = 300000 a = 1396506 34 2n = 23 a1 = 5123502

286

287

Yararlanılan Kaynaklar

1 Arnold Glen Essentials of Corporate Financial Management Harlow UK 2007

2 BerkJ and De MarzoP Corporate Finance Harlow UK 2009

3 Fabozzi J Frank Franco Moodigliani Michael G Ferri Foundation of financial markets and institutions 2nd ed 2000

4 Gitman Principles of Managerial Finance Addison - Wesley 2007

5 Gitman Principles of Managerial Finance 12th edn Pearson 2009

6 Mishkin Eakins Financial Markets and Institutions Pearson 2007

7 Sam Y Cross Th e Foreign Exchage Market Federeal Reserve Bank of New York 1998

8 S G Kellison Th e theory of interest Georgia State University Irwin 1991

9 Teresa Bradley Paul Patton Essential Mathematics for Economics and Business John Wiley amp Sons 2nd Edition 2002

10 B Попов Математика за IV клас за стручните училишта Просветно дело Скопје 1977

11 В Враниќ Основи финансијске и актуарске математике Загреб 1964

12 Г Тренчевски Елементарна алгебра Просветно дело Скопје 2001

13 Д Јанев З Коловски Г Вилбиловска М Стојановски Математика за економисти збирка задачи Савремена администрација Београд 1991

14 Е Стипаниќ Математика за III и IV разред гимназије друштвено -језичног смера Завод за издавање уџбеника Народне Републике Србије Београд 1962

15 З Ивановски А Станковска Девизна политика Европски универзи-тет2007

16 К Сориќ Збирка задатака из математике с примјеном у економији Елемент Загреб 2005

17 К Тренчевски В Крстеска Г Тренчевски С Здравеска Математичка анализа за четврта година на реформираното гимназиско образование Просветно дело 2003

18 М Ивовиќ Финансијска математика Економски факултет Веоград 2003

19 Н Давидовиќ Основи на математиката за економисти Култура Скопје 1975

20 Р Раљевиќ Финансијска и актуарска математика Савремена администрација Београд 1975

288

YazarlarKostadinТrenccedilevski

Аneta Gatsovska Naditsa İvanovska

Bilgisayar İşlemleriYazarlar

RedaksiyonD-r Aktan Ago

LektoumlrBedri Nuredin

Tuumlrkccedileye CcedilevirenAbduumllgani AliĊ

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (ColorMatch RGB) CalCMYKProfile (Coated FOGRA39 050ISO 12647-22004051) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Warning CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends false DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy CMYK DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams true MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness false PreserveHalftoneInfo true PreserveOPIComments false PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Remove UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true Arial-Black Arial-BlackItalic Arial-BoldItalicMT Arial-BoldMT Arial-ItalicMT ArialMT ArialNarrow ArialNarrow-Bold ArialNarrow-BoldItalic ArialNarrow-Italic ArialUnicodeMS CenturyGothic CenturyGothic-Bold CenturyGothic-BoldItalic CenturyGothic-Italic CourierNewPS-BoldItalicMT CourierNewPS-BoldMT CourierNewPS-ItalicMT CourierNewPSMT Georgia Georgia-Bold Georgia-BoldItalic Georgia-Italic Impact LucidaConsole Tahoma Tahoma-Bold TimesNewRomanMT-ExtraBold TimesNewRomanPS-BoldItalicMT TimesNewRomanPS-BoldMT TimesNewRomanPS-ItalicMT TimesNewRomanPSMT Trebuchet-BoldItalic TrebuchetMS TrebuchetMS-Bold TrebuchetMS-Italic Verdana Verdana-Bold Verdana-BoldItalic Verdana-Italic ] AntiAliasColorImages false CropColorImages false ColorImageMinResolution 150 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages false ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 076 HSamples [2 1 1 2] VSamples [2 1 1 2] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages false GrayImageMinResolution 150 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages false GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 076 HSamples [2 1 1 2] VSamples [2 1 1 2] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages false MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages false MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects true CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) PDFXOutputConditionIdentifier (CGATS TR 001) PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName (httpwwwcolororg) PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt DAN 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 DEU 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 ESP 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 FRA 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 ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 50 e versioni successive) JPN 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 KOR ltFEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002egt NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 50 en hoger) NOR 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 PTB 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 SUO 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 SVE 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AllowImageBreaks true AllowTableBreaks true ExpandPage false HonorBaseURL true HonorRolloverEffect false IgnoreHTMLPageBreaks false IncludeHeaderFooter false MarginOffset [ 0 0 0 0 ] MetadataAuthor () MetadataKeywords () MetadataSubject () MetadataTitle () MetricPageSize [ 0 0 ] MetricUnit inch MobileCompatible 0 Namespace [ (Adobe) (GoLive) (80) ] OpenZoomToHTMLFontSize false PageOrientation Portrait RemoveBackground false ShrinkContent true TreatColorsAs MainMonitorColors UseEmbeddedProfiles false UseHTMLTitleAsMetadata true gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false BleedOffset [ 0 0 0 0 ] ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName (Coated FOGRA39 (ISO 12647-22004)) DestinationProfileSelector UseName Downsample16BitImages true FlattenerPreset ltlt ClipComplexRegions true ConvertStrokesToOutlines false ConvertTextToOutlines false GradientResolution 300 LineArtTextResolution 1200 PresetName ([High Resolution]) PresetSelector HighResolution RasterVectorBalance 1 gtgt FormElements true GenerateStructure false IncludeBookmarks false IncludeHyperlinks false IncludeInteractive false IncludeLayers false IncludeProfiles false MarksOffset 6 MarksWeight 0250000 MultimediaHandling UseObjectSettings Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (20) ] PDFXOutputIntentProfileSelector UseName PageMarksFile RomanDefault PreserveEditing true UntaggedCMYKHandling LeaveUntagged UntaggedRGBHandling UseDocumentProfile UseDocumentBleed false gtgt ]gtgt setdistillerparamsltlt HWResolution [2400 2400] PageSize [612000 792000]gtgt setpagedevice

Ouml n s ouml z

İKTİSATCcedilILAR İCcedilİN MATEMATİK kitabı doumlrt yıllık mesleki eğitimin uumlccediluumlncuuml sınıfına ait matematik dersinin plan ve programı uumlzere hazırlanmıştır İktisat hukuku ve ticaret dersi plan ve programına goumlre iktisat ve pazarlama teknisyeni ndash eğitim profili oumlğrencileri iccedilin oumlngoumlruumllmuumlştuumlr Amaccedil okuyucuyu bir yandan iktisatta gerekli bazı matematiksel youmlntemlerle tanıştırmak oumlte yandan da matematiksel duumlşuumlnmeye alıştırarak doğrudan matematik kitaplarından yararlanabilir duruma gelmesine yardım etmektir Kitap dokuz boumlluumlmden ibarettir Ele alınan konuları daha iyi ve kolay benimsemek iccedilin her boumlluumlm sonunda ccedileşitli duumlzeylerde ccediloumlzuumllmuumlş oumlrnekler alıştırmalar ve ccedilizimler verilmiştir Her ders biriminin sonunda ders esnasında ya da evde oumlğrencilerin kendi başına ccedilalışmaları iccedilin alıştırmalar verilmiştir Kitabın sonunda alıştırmaların ccediloumlzuumlmleri bazılarının ise ccediloumlzuumlmuuml iccedilin tavsiyeler verilmiştir

Birinci boumlluumlm ldquoBasit faiz hesabırdquo başlığı altında verilmiştir Burada amaccedil oumlğrenci basit faiz hesabını oumlğrenmeyi ve aynısını pratikte uygulanmayı vadeli hesap iskonto hesabı ve yatırım hesabını benimsemek aynı zamanda kredi hesabı ve bireysel işlem hesabı kavramlarını oumlğrenmektir

İkinci boumlluumlm ldquoKıymetli metaller paralar ve doumlvizlerrdquo başlığı altında verilmiştir Bu konunun iccedileriğini oumlğrenmekle kıymetli metaller hakkında bilgilerin genişletilmesini onların arılık derecesinin nasıl hesaplandığını ve hesaplama tekniklerini oumlğrenmeye olanak sağlamaktadır Bundan başka para ve doumlvizler hakkında geniş bilgiler verilmiş oumlzellikle doumlvizlerin satın ve alımı vurgulanmıştır

Uumlccediluumlncuuml boumlluumlm ldquoUumlsluuml ve logaritmalı denklemlerrdquo başlığı altında verilmiştir Burada reel uumlsluuml kuvvet ve logaritma kavramı incelenmiştir Amaccedil bazı uumlsluuml ve logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuumlne ait tekniklerin oumlğrenilmesidir

ldquoDar accedilının trigonometrik fonksiyonlarırdquo konusu doumlrduumlncuuml boumlluumlmde verilmiştir Bu boumlluumlmdeki ders malzemesinin oumlğrenilmesiyle oumlğrenci trigonometri hakkında temel bilgiler edinecek yani sinuumls kosinuumls tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlarını tanımlayacak ve onların geometride ve pratikte nasıl uygulandığını oumlğrenecektir

Beşinci boumlluumlm ldquoDuumlzlemde doğrurdquo diye adlandırılmıştır Bu konuyu incelemekle oumlğrenciler duumlzlem analitik geometrisi hakkında temel bilgiler edinecekler Oumlzellikle iki nokta arasındaki uzaklık doğru parccedilasının verilen oranda boumlluumlnmesi ve formuumlllerinin uygulanması goumlsterilmiştir Bu boumlluumlmuumln sonunda iki doğru arasındaki accedilı ve bir noktadan verilen bir doğruya uzaklık kavramlarından oumldevlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğreneceksiniz

Altıncı boumlluumlmde ldquoDizilerrdquo konusu incelenmiştir Bu konudaki malzemeyi oumlğrenmekle reel sayılı diziler hakkında daha kapsamlı bilgiler edineceksiniz Burada oumlzellikle aritmetik ve geometrik dizilerine onların genel terimine ve ilk n terimlerinin toplamına ait formuumlllere daha fazla oumlnem verilmiştir

ldquoBileşik faiz hesabırdquo adında verilmiş olan boumlluumlm (ilerde bunu i i kısaltmasıyla işaretleyeceğiz) oumlğrencinin basit faiz hesabı hakkında bilgilerini yoklamasına ve bileşik faiz kavramını oumlğrenmesine olanak sağlamaktadır Doumlnem başı (antisipativ) ve doumlnem sonu (dekurziv) faizlenme kavramları incelenir ve bununla oumlğrenci faiz oranını faiz miktarını ve faiz suumlresinin nasıl hesaplandığını oumlğrenecektir

Sekizinci boumlluumlmde ldquoVadeli yatırımlar ve vadeli gelirlerrdquo kavramı incelenmiştir Amaccedil doumlnem başı ve doumlnem sonu yatırımları tanımak ve bu gibi yatırımların sonundaki değerlerini hesaplamaktır Bu boumlluumlmde kira kira yatırımı iskonto ve iskonto değeri kavramlarını da oumlğreneceksiniz Sonunda bileşik faiz yatırımlar ve kira ile ilgili daha bileşik problemler ccediloumlzebileceksiniz

Son olan dokuzuncu ldquoBorccedillarrdquo boumlluumlmuumlnde borccedil amortizasyon vadesi taksitler oumldeme gibi kavramlar incelenmiştir Eşit taksitli borccedillar eşit anuumliteli oumldemeler yuvarlak anuumliteli ve farklı tuumlrden borccedillar hakkında amortizasyon planları yapılmaktadır

Bu kitaptaki ders malzemesini gerccedilekleştirirken oumlğretmen oumlğrencilerinden kendi başlarına ccedilalışmalarını teşvik etmelidir

Bu kitabın kalitesinin iyileşmesi youmlnuumlnde denetleyenlerden aldığımız iyi maksatlı eleştiriler iccedilin de oumlzellikle minnettarımız

İlerde de kitabın iccedileriğinin zenginleşmesi youmlnuumlnde olumlu maksatlı her eleştiri iccedilin oumlnceden teşekkuumlrlerimizi sunarız Boumlylece bu kitap iktisat ndash hukuk boumlluumlmuumlnde oumlğrenim goumlren oumlğrencilere ilerdeki mesleklerinde yararlı olacak bilgileri oumlğrenmelerini sağlayacaktır

Mayıs 2010 Yazarlar

İ Ccedil İ N D E K İ L E R

1 BASİT FAİZ HESABI 5 11 Basit Faizin Hesaplanması 5 111 Temel Kavramlar 5 112 Basit Faizin Hesaplanmasında Buumlyuumlkluumlkler Arasındaki Temel Bağıntılar 6 12 Yuumlz Uumlstuumlnde Ve Yuumlz Altında Faiz Hesabı 10 13 Vadeli Hesap 13 131 Ortalama Vade İle Hesaplama 14 14 Borccedil Kalanının Vade Hesaplanması 19 15 İskonto Hesabı Ve İskonto Hesaplamalar Kavramı 22 151 Policcedilenin Oumlzellikleri 23 152 Policcedilenin İskontosu 26 16 Yatırım (Depozit) Hesapları 30 17 Kredi Banka ndash Hesabı 35 18 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 38 Konu Oumlzetleri 41

2 KIYMETLİ METALLER PARALAR VE DOumlVİZLER 45 21 Kıymetli Metallerin Arılığı 45 22 Arılık (Safl ık) Derecesinin Hesaplanması 46 23 Saf Ve Toplam Kuumltlenin Hesaplanması 48 24 Para Birimi Kavramı Ve Oumlnemi 50 25 Paraların Değerlerindeki Değişmelerin Hesaplanması 52 26 Doumlviz Kavramı 55 27 Doumlviz Kurunun Kavramı Ve Anlamı 58 28 Spot İşlemler 60 29 Spot Kurları Nasıl Ayarlanır 63 210 Kacircr Ve Zarar 65 211 Pozisyonda Tutunma 66 212 Konuyu Pekiştirme Alıştırmaları 68 Konu Oumlzetleri 70

3 UumlSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER 73 31 Reel Sayılı Uumlsluuml Kuvvet Kavramı 73 32 Uumlstel Denklemler 75 33 Logaritma Kavramı 77 34 Logaritmanın Oumlzellikleri 79

35 Farklı Tabanlı Logaritmalar Arasındaki Bağıntılar 82 36 Logaritmalı Denklemler 84 37 Konuyu Pekiştirme Oumldevleri 87 Konu Oumlzetleri 89

4 DAR ACcedilININ TRİGONOMETRİK ORANLARI 93 41 Dar Accedilının Trigonometrik Oranları 93 42 Bazı Accedilıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Değerlerinin Hesaplanması 96 43 Hesap Makinesi Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerlerinin Hesaplanması 99 44 Aynı Accedilının Trigonometrik Fonksiyonları Arasındaki Bağıntılar 101 45 Dik Uumlccedilgenin Ccediloumlzuumlmuuml 104 46 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 107 Konu Oumlzetleri 109

5 DUumlZLEMDE DOĞRU 111 51 Duumlzlemde Dik Accedilılı Koordinat Sistemi 111 52 İki Nokta Arasındaki Uzaklık 113 53 Doğru Parccedilasının Verilen Oranda Boumlluumlnmesi 115 54 Uumlccedilgenin Alanı 117 55 Doğru Denkleminin Accedilık Şekli 119 56 Doğru Denkleminin Genel Şekli 122 57 Doğrunun Eksen Parccedilalarına Goumlre Denklemi 124 58 Nokta Ve Doğru Arasındaki Durumlar 126 581 Bir Noktadan Geccedilen Doğru Demetinin Denklemi 126 582 İki Noktadan Geccedilen Doğrunun Denklemi 127 583 Noktadan Doğruya Uzaklık 128 59 İki Doğru Arasındaki Durumlar 130 591 İki Doğru Arasındaki Durumlar 130 592 İki Doğru Arasındaki Accedilı İki Doğrunun Dik Olma Şartı 131 510 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 134 Konu Oumlzetleri 135

6 DİZİLER 139 61 Dizi Kavramı 139 62 Artan Ve Eksilen Diziler 141 63 Aritmetik Diziler 143 64 Aritmetik Dizilerin Oumlzellikleri 146 65 Geometrik Diziler 148

66 Geometrik Dizilerin Oumlzellikleri 151 67 Konu Pekiştirme Oumldevleri 155 Konu Oumlzetleri 157

7 BİLEŞİK FAİZ HESABI 159 71 Bileşik Faiz Kavramı Ve Hesaplanması 159 72 Temel Değerin Gelecekteki Değerini Hesaplamak 164 73 Konform Faiz Hesabı 172 74 Yatırılan Paranın Başlangıccedil Değeri Ve Faiz Miktarının Hesaplanması 175 75 Faiz Doumlnem Sayısını Ve Faiz Oranının Hesaplanması 179 76 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 186 Konu Oumlzetleri 190

8 PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VEPERİYODİK KİRALAR 193

81 Periyodik Yatırımlar 193 82 Mevduatların Gelecekteki Değerinin Hesaplamak 194 83 Bireysel Mevduatın Değerini Hesaplamak 199 84 Mevduat Sayısını Ve Son Mevduatın Hesaplanması 201 85 Yatırımlarda Faiz Oranının Hesaplanması 205 86 Periyodik Alacaklar (Kiralar) 209 861 Kira Sermayesinin Hesaplanması 210 87 Kira Tutarının Hesaplanması 214 88 Kira Sayısı Ve Kira Kalanının Hesaplanması 217 89 Periyodik Kiralarda Faiz Oranının Hesaplanması 221 810 Karma Oumldevler 225 811 Alıştırmalar 230 Konu Oumlzetleri 232

9 BORCcedilLAR 237 91 Borccedil Kavramı Ve Ccedileşitleri 237 92 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Ve Anuumlitenin Hesaplanması 239 93 Eşit Anuumliteli Borccedilların Oumldemelerinin Hesaplanması 242

94 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Oumldenmiş Kısmının Ve Kalan Kısmının Hesaplanması 24695 Eşit Anuumliteli Borccedilların Amortismanında Faiz OranıVe Devre Sayısının Hesaplanması 248

96 Eşit Anuumliteli Borcun Amortisman Planı 25197 Yuvarlak Tutarlı Anuumliteli Borccedillar 25598 Yuvarlak Anuumliteli Borccedilların Amortisman Planı 25899 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 262Konu Oumlzetleri 266

Alıştırmaların Ccediloumlzuumlmleri Ve Cevapları 271 Yararlanılan Kaynaklar 287

5

BASİT FAİZ HESABI

11 Basit Faizin Hesaplanması

111 Temel Kavramlar

Guumlnluumlk yaşantımızda bankaya para yatırımı bireysel hesap tasarruf mevduatı karneleri kredi karneleri işlemlerine pek ccedilok rastlıyoruz Genel olarak maaşlar emeklilik maaşları birik-tirdiklerimizi belli bir suumlre saklamak ve korumak uumlzere bankaya teslim edilmiş ve istediğimiz zaman alabildiğimiz paralardır Bu suumlrede teslim edilen paralardan banka yararlanır ve buna karşılık olarak banka paraların sahibine faiz hesaplıyor Diğer taraft an ccedilok sık vatandaşların da nakit paraya ihtiyaccedilları olduğunda belli bir suumlre iccedilin bankadan borccedil alıyorlar Bunun karşılığın-da borccedil alan kişi bankaya belli bir miktar para oumlduumlyor

Kredi bağları borccedillu ve borccedil veren arasında kurulmaktadır Aslında bu bağıntının temeli faizdir Faiz borccedil alan kişinin aldığı para karşılığında borccedil verene oumldediği bir yuumlzde miktarıdır yani yararlandığı para iccedilin oumldediği miktardır

Bankadan borccedil (kredi) aldığımızda banka alacaklı parayı alana ise verecekli (borccedillu) denir Bankanın parasından yararlanan verecekli karşılık olarak bankaya belli bir faiz oumldeyecek-tir Bankaya para yatırdığımız takdirde banka kullanıcıdır ve vericiye belli bir faiz oumldemektedir

Faiz miktarı yuumlzde miktarı gibi hesaplanır yani yatırılan paranın her 100 birimi iccedilin belli bir miktardır Fakat bildiğimiz yuumlzde farklıdır hesabından farklıdır ccediluumlnkuuml faiz miktarı sadece yuumlzde oranına değil paranın bankada kaldığı suumlreye de bağlıdır

Faiz hesaplamaları iccedilin en basit oumlrnekler tasarruf mevduatları vatandaşların ve şirketle-rin kredi kullanmaları tuumlketici kredileri banka ve kredi kartlarıdır

Bir yatırımın yatırım doumlnemi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranına basit faiz denir

Faiz miktarının ve ona bağlı olan diğer buumlyuumlkluumlklerin hesaplanmasına basit faiz hesabı denir Basit faiz hesabında genel olarak şu doumlrt temel buumlyuumlkluumlğe rastlanılır

Ana para (kapital temel değer) K

faiz miktarı (yuumlzde payı) i

yuumlzde oranı (faiz miktarı) p - zaman biriminde 100 denarın faizine eşittir

faizin hesaplandığı suumlre (zaman) t

1

6

Faiz fiyatı genellikle yıllık olarak goumlsterilir Fakat bazı durumlarda bir yıldan kuumlccediluumlk ara-lıklar iccedilin de verilebilir mesela yarıyıl (soumlmestir) uumlccedil aylık (ccedileyrekyıl) aylık ve benzer olabilir

Faizin hesaplandığı suumlre de yıllar aylar ya da guumlnler ile ifade edilebilir Anlaşma gereği bir yıl 365 guumln ayların guumln sayısı ise takvime goumlre belirlenir fakat hesaplamayı daha basitleştirmek iccedilin bir yıl 360 guumln ve bir ay 30 guumln olarak alınır

Faizin hesaplanması doumlnem sonunda ya da doumlnem başlangıcında hesaplanabilir fakat bu-nunla ilgili ilerde daha ayrıntılı accedilıklamalar yapılacaktır

Temel değerin faiz miktarı kadar artmasına (K + i) ccedilok kez biriken değer terimini de kullanacağız

112 Basit Faizin Hesaplanmasında BuumlyuumlkluumlklerArasındaki Temel Bağıntılar

Aşağıdaki oumlrneklerle basit faizin hesaplanmasında temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki bağıntı-ları inceleyeceğiz

1 Bankaya yatırılan 34 500 denar kapitalin yıllık 8 faiz oranı ile 4 yıllık faizi ne kadardır34 500 denar kapitalin bir yıllık faizi

834500 2760

100 denardır

Faiz ana paraya (temel kapitale) hesaplandığına goumlre ikinci yılın faiz miktarı yine 2760 denar ve her gelecek yıl bu miktar aynı olacaktır Buna goumlre 4 yıllık faiz miktarı ilk yılın faizinin 4 katı olacaktır O halde toplam faiz miktarı

11040434500

100

8i olur

Bu hesaplamayı genel işaretlemelerle yazarsak bir yıllık faiz miktarı (yuumlzde payı)

100

Kpi

olur t yılda ise

100

Kpti

formuumlluuml elde edilirBu durumda yıllık basit faiz şu temel orantı ile de goumlsterilebilir

tpiK 100

7

Bu formuumllden yararlanarak basit faiz hesabında bulunan tuumlm diğer buumlyuumlkluumlkler iccedilin de formuumlller ccedilıkarabiliriz

2 Bankaya ne kadar para yatırılmalıdır ki yıllık 5 faiz oranı ile 8 yılda 9600 denar faiz elde edilsin

Temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki orantıyı goumlz oumlnuumlnde bulundurarak ana para

ptiK 100

formuumlluumlyle hesaplanırOumlrneğimizde yatırılan para

2400085

9600100

K

denardır

Benzer şekilde faizin hesaplandığı zaman suumlresi ve faiz oranı iccedilin formuumlller yazabiliriz Bu formuumllleri oumlrnekler ccediloumlzerken yazacağız

3 5400 denar temel kapital bankaya kaccedil yıl yatırılmalıdır ki 6 faiz oranıyla 6480 denar faiz elde edilsin

Temel orantıdan

Kpit 100

formuumlluuml elde edilir O halde

2654000

6480100

t godini

yıl elde edilir

4 58000 denar alınan borccedil iccedilin uumlccedil yılda 8700 denar faiz oumldenmişse faiz oranını hesapla-yınız

Bilinmeyen buumlyuumlkluumlk p faiz oranıdır Bunu temel orantı gereğince şu formuumllle hesaplayabiliriz

Ktip 100

O halde

5358000

8700100

p elde edilir

Şimdiye dek incelenen oumlrneklerde faiz miktarının hesaplandığı zaman yıllarla goumlsteril-mişti Fakat genel durumda faiz hesaplama zamanı tam sayılı yıllarla ifade edilmiyor Boumlyle durumlarda basit faizin hesaplanmasına ait yukarda elde edilen formuumlllerden yararlanmak iccedilin

8

guumlnleri ve ayları yılın birer kısmı olarak goumlstermek en uygun olur Bu şekilde bir ay yılın 1

12 si

guumln ise yılın 1

360i ya da 1

365i gibi alınacaktır Zaman aylar ile ifade edildiği durumda t zamanı yılın

1

12si olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak faiz miktarı (yuumlzde payı) iccedilin

12100

tKpi

formuumlluuml elde edilir Aylar ile ifade edilmiş olan t zamanı iccedilin temel orantı

ptiK 1200

olur t zamanı guumlnlerle ifade edildiği durumda anlaşma gereği yılı takvime goumlre 365 guumln

((k365) biccediliminde işaret edilir) ya da (30 360) zaman matrisi biccediliminde eğer yılı 360 guumln sa-yarsak faiz miktarını

36000

Kpti

ya da

36500

Kpti

formuumlluumlyle hesaplayacağız Yani zaman t guumlnlerle ifade edildiğinde yılın 365

t ya da 360

t

kısmı olacaktır Zamanı hesaplamak iccedilin karşılık gelen temel orantıptiK 36500

ya daptiK 36000

şeklinde yazılabilirNot Guumlnler takvime goumlre ve bir yılda 360 guumln sayıldığı durumda da (k 360) işaretlemesi

de kullanılabilir5 240 000 denar temel kapital 6 faiz oranıyla 8 ayda ne kadar faiz getirirOumldevin koşullarına goumlre K= 240 000 t = 8 ay p = 6lsquodır O halde

96001200

86240000

1200

Kpti denar elde edilir

6 Hangi faiz oranıyla 1 620 000 denar ana paradan 60 guumlnde 21 304 denar faiz miktarı elde edilecektir

Verilenler K = 1 620 000 denar i = 21 304 ve t = 60 guumln 36500

Kpti formuumlluumlnden

9

8601620000

213043650036500

Kt

ip

elde edilir

7 23 mayıstan 16 eyluumlle kadar bankaya yatırılan bir miktar para 4 faiz oranıyla 4576 denar faiz getirmiştir Zaman takvime goumlre (k 365) hesaplandığına goumlre yatırılan para ne ka-darmış

Oumlnce guumln sayısını belirtirken zaman diliminin ilk guumlnuuml sayılırsa son guumlnuumlnuuml sayılmaya-caktır ya da ilk guumln sayılmazsa vadenin son guumlnuuml sayılacaktır yani her durumda faizde kalan suumlrenin ilk ve son guumlnuumlnden sadece biri hesaplanmaktadır

Şu oumlrnekte faiz hesaplamanın ilk guumlnuuml 24 mayıs olarak alacağız yani ilk guumlnuuml saymıyo-ruz Bu durumda mayıs ayından 8 guumln haziran 30 guumln temmuz ve ağustos ayları 31 guumln ve eyluumll ayının son 16cı guumlnuumlnuuml hesaba koyduğumuza goumlre faizin hesaplanacağı toplam guumln sayısı t = 8 + 30 + 31 + 31 + 16 = 116 elde edilir Bilinmeyen buumlyuumlkluumlk ana para Krsquoyı hesaplamak iccedilin yukarıda verilen formuumllden yararlanarak

3600001164

45763650036500

pt

iK

denar elde edilir Demek ki 23 mayısta yatırılan para 360 000 denardır 8 Bir tenis yarışmasında şampion kazandığı 125 000 denarlık şampiyonluk oumlduumlluumlnuuml iki

bankaya yatırmıştır Birinci bankada faiz oranı 7 ikinci bankada ise 5rsquotir Bir yıl sonra her iki bankadan toplam 7 850 denar faiz elde edildiğine goumlre her bankaya kaccedilar para yatırılmıştır

Bilinen buumlyuumlkluumlkler K = 125 000 denar olan ana para K1 = x ve K2 = 125000 ndash x olmak uumlzere iki ayrı yatırıma ayrılmıştır Faiz oranları p1 = 7 ve p2 = 5 toplam faiz miktarı i = i1 + i2 = 7850 denardır Verilen koşullara goumlre t1 = t2 = 1 yıl olmak uumlzere şu denklemi oluşturu-yoruz

100100

222111 tpKtpKi

Oradan

100

1250005

100

77850

xx

denklemi elde edilir Denklemi ccediloumlzuumlyoruz 785 000 = 5 125 000 + 2x x = 80 000 elde edilir Buna goumlre K1 = x = 80 000 denar ve K2 = 45 000 denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Bankaya yatırılan 25 000 denar 15 faiz ile

10

a) 5 yılda b) uumlccedil ayda c) (30 360) ve (k 365)rsquoe goumlre 25 guumlnde ne kadar faiz getirir2 Bir bankaya 5 faiz oranıyla bir K kapitalı yatırılmıştır Basit faiz hesabıyla ne kadar

zamanda faiz miktarı yatırılan paraya eşit olacaktır (Not K = ip)3 34 500 denar borccedil iccedilin 4 yılda 6 900 denar faiz hesaplandığına goumlre faiz oranını belir-

tiniz4 6 faiz oranı ile hangi ana paradan a) 4 yılda b) 8 ayda3540 denar faiz miktarı elde edilir5 Bir bankaya aralarındaki fark 2000 denar olmak uumlzere iki farklı kapital yatırılmıştır

Buumlyuumlk olan kısmı 4 faiz oranıyla 1 yıl diğeri ise 6 faiz oranıyla 8 ay iccedilin bankada kalmıştır Her iki kısmın faiz miktarları eşit olduğuna goumlre bankaya yatırılan toplam para ne kadar oldu-ğunu hesaplayınız

6 Faiz oranı 65 olmak uumlzere aynı yılda uumlccedil kapitaldan Birincisi 38000 denar 3101ndash30 06rsquoa kadar ikincisi ise 72600 denar 803ndash3006rsquoa kadar ve 18900 denar 105ndash3006rsquoa kadar vade ile bankaya yatırılıyor Toplam faiz miktarını hesaplayınız

12 Yuumlz Uumlstuumlnde ve Yuumlz Altında Faiz Hesabı

Borccedillar ve onlara ait faizlerden yatırımlar ve mevduatların faizleri soumlz konusu olunca ccediloğu kez basit faizin buumlyuumlkluumlkleri arasındaki değerlere değinmeden pratik olsun diye ana paranın faiz miktarı kadar ccediloğalmasına ya da hesaplanan faiz miktarı kadar ana paranın azalmasından soumlz edilir

Ana paranın faiz miktarıyla beraber değeri K + i bilindiğinde yuumlz uumlstuumlnde faiz hesabı soumlz konusu olur ve bunu K ve i buumlyuumlkluumlklerini belirtmek iccedilin kullanıyoruz Diğer taraft an ana paranın faiz miktarı kadar azalmış yani K ndash i olduğu durum yuumlz altında faiz hesabı gibi ifade edilir Burada da faiz suumlresini hesapladığımızda faizin hesaplanması yıllık aylık ya da guumlnluumlk olabilir

Basit faiz hesabı K i = 100 pt formuumlluumlyle verilmiştir Hesaplanan faiz miktarını 100

Kpti formuumlluumlyle ifade ettikten sonra onu ana paraya ekleyerek

13

1001

100

ptKKptKiK

elde edilir

11

O halde

100

100

1001

ptptK

iK

ifadesi bu eşitlikten de

100100 KptiK (1)

orantısı elde edilirBenzer şekilde temel orantıyı K 100 = i pt biccediliminde yazarsak basit faiz hesabında

faizle beraber toplam para ve diğer temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki bağıntıyı goumlsteren

ptiptiK 100 (2)

orantı elde edilir Benzer şekilde ana paranın azaldığı durumu incelersek

100

100

1001

100

ptKptKKptKiK

13

elde edilir Bunu K 100 oranında yeniden değiştirmekle

100100 KptiK (3)

elde edilir Bu orantıların benzerliğinden

ptiptiK 100 (4)

ve 100100 KptiK

ptiptiK 100

biccediliminde yazılabilirBu formuumlller orantıların oumlzelliklerinden yararlanarak da elde edilebilir Buna goumlre iki

orantının tarafl arı birbiri ile toplandığında ya da biri diğerinden ccedilıkarıldığında orantı bozulmaz yani ilk orantının sağ ve sol tarafına eşit olur

Elde edilen yeni orantılardan yuumlz uumlstuumlnde ve yuumlz altında faiz hesabındaki ana para (kapi-tal) ve faiz miktarının hesaplanması iccedilin formuumlller elde edilir

pt

iKK

100

100 ve

ptptiKi

100

1 Borccedillu borccedil verene 2 yıl iccedilin 6 faiz oranıyla aldığı para iccedilin faiziyle beraber 57120 denar veriyor Borccedil aldığı para ne kadardır ve ne kadar faiz oumldemiştir

K + i = 57120 denar biliniyor O halde p = 6 t = 2 olduğuna goumlre pt

iKK

100

100

formuumlluumlnden

51000112

5712000

26100

10057120

K denar elde edilir

12

Buna goumlre Borcun temel kısmı 51000 denar ve bu paraya oumldediği faiz miktarı 57120 ndash 51000 = 6120 denardır

2 Faiz oranı 8 olmak uumlzere 6 aylık faiz miktarını aldıktan sonra banka borccedil alana 52800 denar para vermiştir Temel borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

Faiz miktarı (yuumlzde payı) i oumlnceden oumldetilmiş olduğunu goumlz oumlnuumlne bulundurarak ana para faiz miktarı kadar azalmış olduğunu fark edebilirsiniz Demek ki borccedillu bankaya daha K ndash i denar yani aldığı para kadar bankaya oumldemesi gerekir O halde K ndash i = 52800 denar t = 6 ay p = 8 dir Ana parayı hesaplamak iccedilin iki youmlntem goumlsterebiliriz Bunlardan biri zaman suumlresi yıl ile ifade edildiğinde

2

1

12

6t

ya da yuumlz altında ve yuumlz uumlstuumlnde faiz hesaplama for-muumlllerinden yararlanarak zamanı aylar ya da guumlnler ile ifade ederek hesaplanabilir Yukarıda goumlsterilen formuumllden doğrudan doğruya yararlanıyoruz

55000

96

5280000

2

18100

10052800

100

100

pt

iKK

denar ve faiz miktarı

2200

96

211200

2

18100

2

1852800

100

ptptiKi

denar olduğunu buluyoruz (ya da i = K ndash (K ndash ı) = 55000 ndash 52800 = 2200 denar) Faiz suumlresi (zaman) aylarla ifade edildiği durumda hazır orantıları da kullanabiliriz yani

K i = 1200 pt orantısından

ve

12001200 KptiK

ptiptiK 1200

elde edilirK i = 36500 pt ya da K i = 36000 pt eşitliğinden orantıların oumlzelliklerini kullanarak

3650036500 KptiK

ptiptiK 36500

ve benzer şekilde zaman aralığı guumlnlerle ifade edildiğinde zaman matrisleri (k 365) ve (30 360) olmak uumlzere

3600036000 KptiK

ptiptiK 36000

elde edilir3 Bir kişi 11 faiz oranıyla beraber 9 ay iccedilin 541250 denar oumldemiştir Kredi miktarı ve

faiz miktarı ne kadardır

13

Faiz ve temel kapital toplamı K + i formuumlluumlne ait (K + i) (1200 + pt) = K 1200 temel orantısından yararlanarak zaman aylarla ifade edildiği durumda

500000

9111200

1200541250

1200

1200

pt

iKK

denar elde edilir Faiz miktarı (yuumlzde payı) ise i = (K + i)- K = 541250 - 500000 = 41250 denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Yuumlz uumlstuumlnde faiz ve yuumlz altında faiz hesabı nedir Accedilıklayınız2 200 guumln iccedilin 60 000 denar borccedil alan kişi 30 faiz miktarını ccedilıkardıktan sonra borcu

tahsil ederken kaccedil para oumldemesi gerekecektir Faiz miktarı ne kadardır Bankaya toplam ne ka-dar para oumldenecektir (30 360) zaman matrisini kullanınız

3 Bir kişi 20 faiz oranıyla uumlccedil aylık bir kredi iccedilin banka ile kontrat yapmıştır Kontrata goumlre banka faiz miktarını alarak kişiye 33440 denar kredi vermiştir Kredi kontratı ne kadar para iccedilin imzalanmıştır ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır (30 360) Zaman matrisini kul-lanınız

4 Bir kişiye 35000 denar 3 yıl iccedilin ve 50000 denar 5 yıl zaman iccedilin oumldenmesi gerekir Faiz oranı 5rsquotir Gereken paranın elde edilmesi iccedilin bankaya ne kadar para yatırılmalıdır

5 32 faizle beraber 1008 ndash 3009 zaman aralığı suumlresi iccedilin (30 360) borccedillu 33900 denar borccedil oumldemiştir Borccedil ve faiz miktarını hesaplayınız

6 Borccedillu 125 faizle beraber 2 yılda 325500 denar borccedil oumldemiştir Borccedil ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

7 Bir banka 2501rsquotan 3108 zaman aralığı iccedilin 9 faiz miktarını aldıktan sonra muumlşteri-sine 10000 denar borccedil vermiştir Zaman matrisi (K 365) sayıldığına goumlre borccedil ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

13 Vadeli Hesap

Bir borccedillunun farklı miktarda farklı oumldeme vadeleri ve farklı faiz oranlarıyla birkaccedil bor-cu olduğu durumda ne borccedillu ne de alacaklı zararlı olmayacak şekilde borccedilların aynı anda oumldenmesine muumlmkuumln olup olmadığı sorusu sorulabilir Bu soruyu ancak borccedilların oumldenmesi vadelerinin ortalaması ne kadardır ortalama faiz oranı ne kadardır borccedilların oumldendiği anda borccedil miktarı ne kadardır soruları accedilısından inceleyebiliriz Bu ise prensip olarak ayrı ayrı para

14

miktarların faizlerinin toplamı borccedilların toplamının ortalama vadeye goumlre ortalama faiz ora-nıyla hesaplanan faiz miktarına eşit olmalıdır demektir Ortalama vadeyi ve ortalama faiz ora-nını belirtme işlemine vadeli hesap denir ve aslında basit faiz hesabının bir uygulanmasıdır Birkaccedil borccedil miktarı farklı vadelerde oumldenecek yerde toplam borcu aynı anda oumldenmesi iccedilin ayrılan zamana orta vade denir Bazı durumlarda borccedillu aynı anda başka borccedillulardan alacaklı durumunda olabilir Boumlyle durumda alacak ve verecek farkını oumldeme vadesine borccedil kalanının (saldonun) oumldeme vadesi denir

131 Ortalama Vade ile Hesaplama

Borccedillunun tahvillerinin miktarları K1 K2 hellip Kn bunlara karşılık gelen faiz oranları p1 p2 hellip pn ve oumldeme vadeleri t1 t2 hellip tn zaman aralıkları olsun

Formuumlllerde tk k = 1 2 hellip n zamanı herhangi bir oumllccediluuml birimine goumlre verilebilir fakat bankalar genellikle guumlnuuml oumllccediluuml birimi olarak alıyorlar

Borccedillu bir orta vade tk ve ortalama faiz oranıyla tuumlm borccedilları aynı anda oumldemek istiyor Hesaplamanın sadeleşmesi iccedilin zaman oumllccediluumlsuuml yıl olsun Borccedillunun tuumlm tahvillerinin faiz mik-tarları

100

100100

222111 nnn tpKtpKtpK

olsun Bu miktar her bir tahvilin ortalama faiz oranıyla ve ortalama oumldeme vadesiyle hesaplanan tuumlm faiz miktarların toplamına

100

100100

21 ssnssss tpKtpKtpK

eşit olmalıdır Boumlyle durumda zararlı olan taraf yoktur ccediluumlnkuuml temel borccedilların toplamı eşit fakat hesaplanan faiz miktarları da eşittir

Demek ki

100

100100100

100100

21222111 ssnssssnnn tpKtpKtpKtpKtpKtpK

elde edilir oradan da

nssnnn KKKtptpKtpKtpK 21222111

olduğunu yazabiliriz Buradan ortalama faiz oranı bilindiği takdirde borcun ortalama oumldeme vadesini hesaplayabiliriz yani tuumlm borcun oumldeme vadesini

u

ns

nnns KKKp

tpKtpKtpKt

21

222111

elde etmiş oluyoruz

15

Borccedil miktarları faiz oranları ve oumldeme vadeleri farklı olduğu durumlarda ortalama faiz oranına ait şu formuumlluuml uygulayacağız

ns

nnns KKKt

tpKtpKtpKp

21

222111

Oumldeme vadeleri eşit olduğu durumda ayrı ayrı tuumlm borccedilların faiz miktarını inceleyelim Bu nedenle oumlnceki formuumllde

t1 = t2 = hellip tn = ts yazarak şu formuumlluuml elde edeceğiz

n

nns KKK

pKpKpKp

21

2211

]Hesaplanan ortalama faiz oranını ortalama oumldeme vadesi formuumlluumlnde değiştirelim

n

n

nn

nnns

KKKKKK

pKpKpKtpKtpKtpK

t

21

21

2211

222111

oradan da

nn

nnns pKpKpK

tpKtpKtpKt

2211

222111

formuumlluuml elde edilirHesaplamalarda ccedilok kez bazı buumlyuumlkluumlkler birbirine eşit olabilir Oumlrnek- Temel miktarlar K1 = K2 = hellip Kn = K olduğu durumda ortalama vade ve ortalama faiz

oranı iccedilin

n

nn

n

nns ppp

tptptppppK

tptptpKt

21

2211

21

2211

ve

nppp

nKpppK

p nns

2121

formuumllleri elde edilir- Faiz oranları birbirine eşit p1 = p2 = hellip pn = p olduğunda ortalama oumldeme vadesi iccedilin

n

nn

n

nns KKK

tKtKtKKKKp

tKtKtKpt

21

2211

21

2211

formuumlluuml elde edilir ortalama faiz oranı ise ps = p dir- Hem temel miktarlar hem faiz oranları birbirine eşit oldukları durumda ise ps = p ve

n

tttnK

tttKt nn

s

2121

dirOumldeme vadesini (oumldeme tarihini) belirtmek iccedilin genellikle birinci oumldeme tarihine hesap-

lanan ortalama vade tarihi eklenir Bu durumda borcun tahsilinde tuumlm vadelerin hesaplanması ilk oumldeme vadesine goumlre karşılaştırılarak yapılır

16

Zaman guumlnlerle ifade edildiği durumda ayrı ayrı faiz miktarların toplamının ve ortalama vadeyle hesaplanan faiz miktarların denklemi

36500

365003650036500

3650036500

21222111 ssnssssnnn tpKtpKtpKtpKtpKtpK

şekline doumlnuumlşuumlr O halde yine

nssnnn KKKtptpKtpKtpK 21222111

eşitliği elde edilir Buna goumlre zaman birimi ister yıl ister ay ister guumln olarak alındığında hesap-lamalar aynı formuumlllerle yapılır fakat oumldeme vadeleri daima aynı oumllccediluuml biriminde olmalıdır

1 Bir borccedillu 30000 denar parayı doumlrt eşit taksitle oumldemelidir Oumldeme vadeleri ilki 30 guumln sonra ikincisi 60 guumln uumlccediluumlncuumlsuuml 90 guumln ve son taksit 120 guumln sonra oumldeyecektir Faiz oranı 8 olduğuna goumlre tuumlm borcu birden kaccedil guumln sonra oumldeyebilir

Borcun oumldenmesi eşit taksitlerle olduğuna goumlre K1 K2 K3 ve K4 birbirine eşittir faiz oranı her taksit iccedilin eşit yani p = 8 ve taksitlerin oumldeme vadesi t1 = 30 t2 = 60 t3 = 90 ve t4 = 120rsquodir Bu oumlzel durum iccedilin ortalama vadeyi hesaplayacağız

754

120906030

4

4321

tttt

t s

guumln elde edilir Buna goumlre 30000 denar borccedil 8 faiz ile 75 guumln sonra oumldenebilir Vadeli hesapta faizin hesaplanmasına başlanıldığı tarihe faiz doumlnemi denir Faiz doumlnemi-

nin ilk taksitten başlaması mecburi değildir Faiz hesaplamaları iki farklı doumlnemde yapılacak bir oumlrnek inceleyelim

2 Borccedillu 60000 denar borcunu 16 faiz oranıyla 4 eşit taksitle şu tarihlerde oumldemelidir Birinci taksit 15 02 ikincisi 7 03 uumlccediluumlncuumlsuuml 5 04 ve doumlrduumlncuumlsuuml 1 05

a) doumlnem 15 02 b) doumlnem 7 03

olduğuna goumlre hangi tarihte borccedillu tuumlm borcu oumldeyebilirFaiz doumlnemi 1502 tarihinde başlandığı durumda (( a) şıkkı) birinci taksitin faizdeki

zamanı t1 = 0rsquodır İkinci taksitin faizdeki zamanı 1502rsquoden 703rsquoe kadardır (15 02 yi saymıyoruz fakat 7 03 zamana aittir) yani t2 = 20 guumlnduumlr Benzer şekilde t3 = 49 guumln (şubat ayının 13 guumlnuuml mart 31 guumln ve nisanın 5 guumlnuuml) ve t4 = 75 guumln (15 02 den 105 e kadar) Temel miktarlar ve faiz oranları eşit olduklarına goumlre orta vade iccedilin

17

364

7549200

4

4321

tttt

t s

guumln olduğunu buluyoruz Demek ki faiz hesaplanmasının başlangıcından 36 guumln sonra borcun tuumlmuuml oumldenebilir yani 1502rsquoden sayıldığına goumlre 2303 tarihinde borccedil oumldenebilir

Faiz doumlnemi olarak 703 tarihi alınırsa ( b- şıkkı) ilk taksitin faiz zamanını 703 lsquoten 15 02rsquoye kadar geriye doğru sayıyoruz yani şimdi t2 = 0 t1 = - 20 olur Ondan sonra t3 = 29 (703 ten 504rsquoe kadar) ve t4 = 55 (703rsquoten 105rsquoe kadar) Buna goumlre orta vade

164

5529020

4

4321

tttt

t s

guumln olduğunu buluyoruz Bu ise 2303 tarihini borcun oumldenebildiğini goumlstermektedirGoumlruumllduumlğuuml gibi faiz doumlnemleri farklı ve farklı orta vadelere rağmen borccedil oumldeme tarihi

değişmez

3 Bir ticaret şirketi doumlrt eşit taksitle 100 000 denar parayı aşağıdaki vadelerde oumldemesi gerekir

- birinci taksit bu guumlnden sayarak 3 faiz oranıyla 100 guumlnde- ikinci taksit 4 faiz oranıyla 150 guumlnde- uumlccediluumlncuuml 25000 denarı 6 faiz ile 200 guumlnde- doumlrduumlncuumlsuumlnuuml 7 faiz ile 300 guumlndeKaccedil guumln sonra ve hangi faiz oranıyla tarafl ardan hiccedilbiri zararda olmama koşuluyla doumlrt

taksit birden oumldenebilirOumldevi en kolay ccediloumlzmek iccedilin verilen değerleri tablo halinde goumlsterelim Boumlyle durumlarda

taksitlerin toplamları da daha kolay yapılabilir

Ki - taksit ti - guumln pi ndashfaiz Pi middot tt

1 25000 100 3 3002 25000 150 4 6003 25000 200 6 12004 25000 300 7 2100

Toplam 100000 20 4200

Ortalama faiz oranı

154

7643

4

4321

pppp

ps ve

21020

4200

20

21001200600300

4321

44332211

pppp

tptptptpts

guumln elde edilir Demek ki 100 000 denar toplam borccedil 5 faiz oranıyla tam 210 guumln vadeyle oumldenecektir Buna goumlre ticaret şirketi

18

10291736000

2105100000100000

denar borccedil oumldemiştir

4 Bir tuumlccar aynı bankadan farklı koşullarla uumlccedil kredi almıştır Borcun oumldenmesi şu şekilde yapılacaktır

- 7 05 tarihinde 4 faiz oranıyla 20000 denar - 6 06 tarihinde 5 faiz oranıyla 40000 denar - 5 08 tarihinde 6 faiz oranıyla 50000 denar Hangi tarihte ve hangi faiz oranıyla tuumlccar zararlı olmadan uumlccedil taksiti birden oumldeyebilirBaşlangıccedil tarihi 705 olarak seccedilersek t1 = 0 t2 = 30 guumln (705rsquoten 606rsquoye kadar) t3 = 90

guumln (705rsquoten 508rsquoe kadar) Verileri tabloda yazdıktan sonra orta vade formuumlluumlnde bulunan ccedilarpımları da hesaplıyoruz

Ki - taksit ti - guumln pi ndashfaiz Ki pi Ki pi ti

1 20000 0 4 800002 40000 30 5 200000 60000003 50000 90 6 300000 27000000

Toplam 110000 580000 33000000

Buna goumlre

275110000

580000

321

332211

KKK

pKpKpKps

ve

57580000

33000000

332211

333222111

pKpKpK

tpKtpKtpKts

guumln elde edilir Demek ki toplam borccedil birden 57 faiz oranıyla 57 guumlnde daha doğrusu 3 07 tarihinde oumldenebilir

Alıştırmalar

1 Vadeli hesap nedir2 Hangi zamana ortalama vade denir3 Hangi vadeye borcun kalan (saldo) vadesi denir4 Bir şirket elektrik borcunu 9 faiz oranıyla 80 000rsquoer denar olmak uumlzere beş eşit tak-

sitle oumldemek iccedilin anlaşma yapmıştır Oumldeme vadeleri Birinci taksit 30 guumln sonra ikincisi 50 guumln uumlccediluumlncuumlsuuml 80 guumln doumlrduumlncuumlsuuml 100 guumln ve beşinci taksit 115 guumln sonra oumldenecektir Tuumlm borccedil birden hangi aralıkta oumldenebilir

19

5 Borccedillu 300 000 denar borcunun 25rsquoni hemen iki ay sonra 10rsquonu yedi ay sonra 35rsquoni ve kalan 30rsquonu on ay sonra oumldemelidir Ne kadar zaman sonra tuumlm borccedil birden oumlde-nebilir

6 1800000 denar borccedil 20 faiz oranıyla doumlrt eşit taksitle oumldenmelidir Oumldeme vadeleri- birinci taksit 15 03 guumlnuuml- ikinci taksit 21 04- uumlccediluumlncuuml taksit 10 05- doumlrduumlncuuml taksit 3006 Faiz hesaplama başlangıcıa) 15 03 b) 21 04 olduğuna goumlre hangi tarihte borcun tuumlmuuml birden oumldenebilir

7 Tuumlccar satın aldığı mallar iccedilin uumlccedil oumldeme yapması gerekir- 6 faiz oranıyla 3 04 tarihinde 60 000 denar- 6 faiz oranıyla 24 04 tarihinde 80 000 denar- 6 faiz oranıyla 26 05 tarihinde 100 000 denarHer iki taraf zararlı olmamak koşuluyla tuumlccar hangi tarihte borcun tuumlmuumlnuuml birden oumlde-

yebilir

8 Borccedillu faiz oranı 10 olmak uumlzere 3 03 tarihinde 80 000 denar 8 04rsquote 30000 de-nar 18 05rsquote 60000 denar 23 07rsquode 30000 denar borccedil oumldemelidir Borcun tuumlmuuml hangi tarihte oumldenebilir

9 Tuumlccar aldığı malların faturalarını 6 faiz oranıyla 45000 er denar olmak uumlzere 1004 2804 2005 ve 3005 tarihlerinde oumldemelidir Tuumlccar hangi guumln borcun tuumlmuumlnuuml birden oumlde-yebilir

14 Borccedil Kalanının Vade Hesaplanması

Bu boumlluumlmde borccedillu aynı zamanda hem alıcı hem verici olduğu durumlarda tuumlm yuumlkuumlm-luumlluumlklerini nasıl yerine getirebilecek sorusuna cevap vereceğiz Bu gibi zaman vadesine borccedil kalanının vadesi denir

K1 K2 hellip Kn borccedil miktarları vadeleri t1 = t2 = hellip tn = tn guumlnler ve p1 = p2 = hellip pn = pn karşılıklı olarak faiz oranları olsun Aynı kişinin alacakları P1 P2 hellip Pn vadeleri 0 0 0

1 2 nt t t guumlnler ve 0 0 0

1 2 np p p faiz oranları olsun Amaccedil borccedilların faizlerinin toplamı alacakların ve kalanın faizlerinin toplamına eşit olduğunu bildiğimize goumlre kalanın vadesi ts faiz oranı (ortalama) ps ve borcun kalanı S buumlyuumlkluumlklerini belirtmektir Bu durumda borccedilların toplamı

20

alacakların toplamından buumlyuumlk K1 + K2 + hellip + Kn gt P1 + P2 + hellip + Pn olduğunda borcun ka-lanı borcun kapatılması iccedilin oumldenecek para miktarıdır yani

mn PPPKKKS 2121

Borccedilların faizlerinin toplamı

36500

3650036500

222111 nnn tpKtpKtpK

dirAlacakların faizlerinin toplamı

36500

3650036500

000

2

0

22

0

1

0

11 mmm tpPtpPtpP

dir Borccedil kalanına hesaplanan faiz 36500

sstSp dir

O halde

3650036500

365003650036500

3650036500

000

2

0

22

0

1

0

11222111 ssmmmnnn tSptpPtpPtpPtpKtpKtpK

yazılabilir Zaman hangi oumllccediluuml birimiyle verilmiş olursa olsun kalan (saldo) vadesini belirtmeye yarayan denklem

ssmmmnnn tSptpPtpPtpPtpKtpKtpK 000

2

0

22

0

1

0

11222111

şeklinde yazılır Oradan da

s

mmmnnns Sp

tpPtpPtpPtpKtpKtpKt

000

2

0

22

0

1

0

11222111

elde edilir Oumlzel olarak faiz oranları birbirine eşit olduğu durumda hem borccedillar hem de alacaklar

iccedilin p1 = = pn = p10 = = pm 0 = ps ve

S

tPtPtPtKtKtKt mmnn

s

00

22

0

112211 elde edilir

1 ldquoPolarinordquo firmasının borccedilları 5000 denar 40 guumln 6000 denar 50 guumln 8000 denar 80 guumln vadeli ve alacakları 3000 denar 30 guumln ve 10000 denar 90 guumln vadeli Borcun kalan kısmını kaccedil guumln sonra oumldemelidir Faiz oranı her vade iccedilin eşittir

Borccedil oumldemede orta vadenin belirtilmesinde yapıldığı gibi benzer şekilde borccedillar ve ala-caklarda da verileri tabloda yazacağız

Borccedillar AlacaklarКi tt Kiti Pj tj

0 Рjtj0

1 5000 40 200000 1 3000 30 900002 6000 50 300000 2 10000 90 9000003 8000 80 640000Toplam 19000 1140000 13000 990000

21

Borcun kalanı

S = (K1 + K2 + K3)- (P1 + P2) = 19000 -13000 = 6000

denardır Kalanın vadesi

256000

99000011400000

22

0

11332211

S

tPtPtKtKtKts

guumln elde edilir Demek ki aynı faiz oranıyla bu guumlnden sayarak 25 guumln vadeyle 6000 denar oumlde-mekle borcun tuumlmuuml oumldenmiş olacaktır

Not Şimdiye dek borccedilların toplamı alacaklardan buumlyuumlk olduğunu farz etmiştik Halbuki alacakların toplamı da vereceklerden buumlyuumlk olabilir durumlar da vardır Bu durumda borccedil ka-lanını ifade eden eşitliklerde negatif işaretli olacaktır Bu miktarlar borccedilluya hesaplanan faiziyle kalacaktır

Alıştırmalar

1 Borccedil kalanının vadesi kavramı nedir2 Bir şirket uumlccedil aylık vadeli 75000 denar altı ay vadeli 40000 denar ve sekiz ay vadeli

80000 denar borccedilludur Aynı zamanda yedi ay vadeli 55000 denar ve dokuz ay vadeli 30000 denar alacaklıdır Hangi vadede tuumlm borcu oumldeyebilir

3 Bir şirketin 504 tarihli 80000 denar 2005 tarihli 150000 denar ve 3006 tarihli 275000 denar borccedilları vardır Aynı zamanda 1703 tarihli 130000 denar ve 508 tarihli 90000 denar alacakları vardır Faiz doumlnemi 504 tarihi olduğuna goumlre borccedil kalanını hangi tarihte oumldeyebilir

4 Borccedillu 403 tarihli 1000 denar 2504 tarihli 2000 denar ve 1505 tarihli 3000 denar borccedil oumldemelidir Aynı zamanda 1704 tarihli 1500 denar ve 109 tarihli 1000 denar alacakları vardır Borcun kalanı hangi tarihte oumldenebilir Borccedillunun borccedil verene toplam ne kadar para vermesi gerekir

a) faiz doumlnemi 403 b) faiz doumlnemi 17025 Tuumlccar aldığı malların borccedillarını 6 faiz oranıyla 45000rsquoer denar olmak uumlzere 1004

2804 2005 ve 3005 tarihlerinde oumldemelidir Aynı zamanda tuumlccarın 30000rsquoer denar olmak uumlzere 1504 ve 2505 tarihli alacakları da vardır Tuumlccar hangi guumln borcun kalanını birden oumlde-yebilir

22

15 İskonto Hesabı ve İskonto Hesaplama Kavramı

Muhasebe işlerinde bazı durumlarda ccedileşitli finansal kaynaklardan elde edilmiş (ccedilek se-net bono vb) belli bir miktar parayı belli bir zamanda almalıdır Henuumlz vadeleri yetişmemiş alacakların satışı durumunda satış guumlnuumlnden alacakların vadesinin olduğu guumlne kadar faiz miktarının alacaktan eksilmesine iskonto (eskont) denir

Belli bir tarihte oumldenmesi gereken borcu vadesi gelmeden belli bir tarihte oumldemeye douml-nuumlştuumlrme işlemine (şimdiki değeri ilerdeki borcun değerine doumlnuumlştuumlruumllmesine) iskontolama (eskontolama) denir

İskonto hesaplamaların yapılmasında şu parametrelerden yararlanılır

N= Finansal varlığın nominal değeritnn= İskonto vadesi varlığın indirilme guumlnuumlnden tahsilat guumlnuumlne kadar

guumlnler sayısı t aylar sayısı m yıl sayısı n Ayların guumlnleri takvime goumlre alınır oumlyle ki varlığın indirilmesi yapıldığı guumln sayılmıyor varlığın tahsil edildiği guumln sayılır

D = İndirim (iskonto) finansal varlığın nominal değerinin azalmasına eşittir

p = İndirimin hesaplanmış olduğu faiz oranı (iskonto oranı) E = Nominal borcun erken oumldeme anında reel (efektif) miktar

İndirimin hesaplanması iki şekilde yapıldığına goumlre iki tuumlr indirim vardır

Ticari (banka ticari) indirim ndash Dk burada indirimin hesaplandığı temel değer nomi-nal değerdir efektif değer ise nominal değer ve indirimin farkıdır ve

Rasyonel (matematiksel) indirim ndash Dr burada nominal değer efektif değer ve ona kar-şılık gelen faizin toplamıdır

İndirim yaparken nominal değer tabanına goumlre banka belli bir komisyon uumlcreti ve diğer harcamaları hesaplıyor ve ek olarak oumldetiyor (komisyon ve diğer masrafl ar hesaplanan efektif değerden ccedilıkarılıyor)

23

151 Policcedilenin Oumlzellikleri

Policcedile belirli bir kişi emrine diğer bir kişiye verilen oumldeme yetkisini kapsayan bir senettir Policcedilede uumlccedil tarafl ı ilişkiyi duumlzenleyen bir senettir Senedi duumlzenleyen keşideci bir kişiye borccedillu iken diğerinden alacaklıdır Keşideci alacaklı olduğu kişiye hitaben duumlzenlediği senedi borccedillu olduğu kişiye teslim eder Yani policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedidir Policcedileyi veren (keşideci) diğer bir kişiye policcedilede adı geccedilen kişiye (hamil) belli miktarda koşulsuz oumldeme emrini vermektedir

keşideci (drawee) policcedileyi duumlzenleyen siparişccedili ya da policcedileyi yayınlayan (policcedileyi ve-renler bankalar ve seyahat acentalarıdır) değerli kacircğıtları duumlzenleyen ve oumldemekle yuumlkuumlmluuml olan kişi

policcedileyi ouml deyecek olan (muhataf)

policcedile bedelini tahsil edecek (lehdar veya policcedile hamili) bireysel ya da tuumlzel kişidir ve policcedilede adı yazılıdır yani policcedileden yararlanan kişidir ve

policcedilenin sahibi kanun kurallarına goumlre policcedilesi olan kişi

Değerli kağıt olarak policcedilenin şu rolleri vardır

policcedile kredi aracıdır

policcedile oumldeme aracıdır

policcedile iskonto aracıdır

Policcedilenin nitelikleri ve roluumlne goumlre birccedilok ccedileşit policcedile vardır hamil policcedile şahsi policcedile accedilık policcedile mal varlığı policcedilesi iş policcedilesi dairesel policcedile hamil ndash ccedilekilişli policcedile şahsi ndash ccedileki-lişli komisyon policcedilesi ve kredi policcedilesi

Policcedilenin temel ccedileşitleri hamil ve şahsi policcedilelerdir Policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedi olduğundan hamil policcedileyi nitelendiren bazı elemanları iccedilerir Policcedile kanunu ve 1930 yılı Cenevre anlaşması gereğince hamil policcedile uumlzerinde eksiksiz olarak bulunması gereken unsurlar aşağıdadır

24

gereken yerde Makedon dilinde ve Kiril alfabesiyle policcedile kelimesi yazılmış olması

oumldeyecek olanın adı

keşideci adı ya da adresi

kime ve kimin emrine oumldeneceği ndash lehdar

tanzim (duumlzenleme) yeri ve tarihi

belli bir paranın kayıtsız şartsız oumldenmesi iccedilin havale

oumldeme yeri

policcedilenin yazılma tarihi ve yeri

oumldeyecek olanın imzası

Şahsi policcedilede yazılı olan para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair verilen soumlzduumlr Şahsi policcedile şu unsurları iccedilerir

gereken yerde Makedon dilinde ve Kiril alfabesiyle policcedile kelimesi yazılmış olması

para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair vaat vermesi

havale tarihi

oumldeme yeri

alacaklının adı

policcedilenin yazılma tarihi ve yeri ve

oumldeyen kişinin imzasıPoliccedile işlemleri hukuk işlemleridir ve policcedile hakkında şu işlemler yapılabilir policcedilenin

verilmesi policcedilenin onaylanması policcedilenin vurgulanması policcedilenin devredilmesi policcedilenin havale edilmesi policcedilenin satın alınması amortisman geriye ccedilevrilmesi policcedilenin protesto edilmesi vb

Policcedile hukuk işlemlerinde karakteristik kurallar genellikle şunlardır okur yazarlık in-korporasyon birleşme (şirketleşme) policcedile sorumluluğun kesinliği policcedile titizliği ve policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil etmedir

Okur yazarlılık (formalite) Policcedile - hukuk durumun varlığı ve policcedile ndash hu-kuk işlemlerinin daha kolay yapılması iccedilin policcedilenin kanunla belirlenmiş kesin şekil-de yazılmalıdır Policcedile iccedilinde şu elemanlar ve hukuk işlemleri olması mecburidir Oumlrnek

25

kabul beyannamesi havale cirant (kefil) beyanı vb Son zamanlarda hukuk işlemlerinde ve po-liccedile hukukundaki yeni huumlkuumlmlerde oumlzellikle accedilık policcedilelerin yayın teorisiyle formalite hususu daha gevşek hal aldığını da vurgulamamız gerekir

İnkorporasyon ilkesi policcedile hakkında yetki ve yuumlkuumlmluumlluumlk policcedile kağıdının sahip olun-masıyla sıkı bağıntıdadır Policcedileye sahip olmayan hiccedil kimse policcedileyi tahsil edemez İnkorporas-yon ilkesi aynı zamanda iki hak (policcedileden elde edilen hak ve policcedileye sahip olma hakkı) iccedilerir

policcedileden elde edilen hak ndash kendi karakterine goumlre bağlayıcı haktır ve policcedilenin sahibi policcedileyi ouml deyecek olandan (muhataptan) policcedile hakların tahsilini isteme hakkı vardır ve

policcedileye sahip olma hakkı ndash kendi karakterine goumlre policcedile sahibi policcedilenin kanuni sahibi olarak ancak policcedile varlığı durumda policcedileyi oumldeyecek olandan borcun tahsilini arama hakkı vardır

Policcedile sorumluluğun kesinliği policcedilede sadece yazılanların tahsili istenilebilir Bunlar policcedilede accedilık olarak yazılıdır Policcedile yuumlkuumlmluumlluumlğuuml policcedilede yazılanlardan anlaşılır burada diğer deliller kabul edilemez Yuumlkuumlmluumlluumlk policcedilenin imza edilmesiyle yazılı ifade verilmesiyle başlar

Policcedile titizliğiyle policcedile ndash hukuk işlemlerinin hızlı ve sorunsuz yapılması sağlanmakta-dır Policcedile alacaklıyı koruyan en uygun araccediltır ve alacaklılara karşı kesin belgedir Bu anlamda alacaklıya guumlven sağlayan kesin hukuk kurallarıyla policcedilenin yuumlkuumlmluumlluumlkleri yerine getirilir

Dayanışma kuralı policcedile borccedillularından - policcedileyi imzalayanlardan her biri (keşideci muhatap lehdar alıcı) aralarındaki duruma bakmadan policcedile sahibine yuumlkuumlmluumlluumlklerini da-yanışma ile yerine getiriyorlar

Policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil kuralı policcedile borccedillularından her biri (policcedile-yi imzalayanlar) policcedile sahibine doğrudan doğruya sorumludurlar Bu nedenle alıcı policcedileyi imzalayanlardan sırasına bakmadan her birinden doğrudan doğruya policcedile miktarını tahsilini isteyebilir

Policcedile bağımsızlığı kuralı her policcedile borccedillusu policcedilede usuluumlne uygun bir şekilde kendi imzasını koyduktan sonra policcedileyi imzalayan diğer policcedile yuumlkuumlmluumllerine bağlı olmadan policcedile yuumlkuumlmluumlluumlğuumlne girer

26

152 Policcedilenin İskontosu

Policcedilede yazılı olan para miktarına policcedilenin nominal değeri ya da policcedile miktarı denir Policcedilenin oumldenmesi

policcedilede belirlenen vade guumlnuumlnde

policcedilenin vade guumlnuumlnden sonra ve bu durumda nominal değerden başka karşılık gelen faiz de oumldenir ve

policcedilede vadesi belirlenen guumlnden evvel (vadeden evvel policcedilenin satışı) olabilir

Policcedilenin iskontu bir finans işlemidirVadeli satış yapan işletme elinde bulunan senedi vade tarihine kadar bekleterek borccedillusundan tahsil eder ya da vade tarihinden oumlnce bir finans-man kurumuna giderek policcedileyi paraya ccedilevirebilir Bu işleme policcedile kırdırma ya da policcedile iskon-tosu denir Policcedile iskontosu aslında vade tarihinden oumlnce policcedilenin satışı ya da satın alışıdır Bu durumda satın alan kişi policcedilenin iskonto guumlnuumlnden vadesi doluncaya kadar guumlnlere karşılık gelen faiz tutarı kadar policcedilenin nominal değerinden eskitir Genellikle paraya ihtiyacı olan iş-letmelerin sattıkları mal ya da yaptıkları hizmetler karşılığında ellerindeki policcedileleri bankaya goumltuumlruumlp iskonto yapıyorlar Bir işletme kuruluşu bir guumlnde birkaccedil policcedilenin iskontosu yapılırsa policcedilelerin şartnamesi de sunulur

Policcedilenin tahsili vade guumlnuumlnden sonra yapılırsa vadeden sonraki guumlnlere karşılık gelen faiz miktarı policcedilenin nominal değerine katılır

Bu faizin hesaplandığı faiz oranı iskonto oranıdır ve elde edilen faiz miktarı iskonto mik-tarıdır iskontolanmanın yapıldığı hesaba ise iskonto hesabı denir

Policcedilenin iskontosu - İskontonun hesaplanması iccedilin birccedilok youmlntem vardır Ticari iskonto en basit şekilde şu formuumllle hesaplanır

100360

ptNDk

Rasyonel iskontoyu ise şu formuumllle hesaplayabiliriz

tpptNDr

100360

Bankalar iskontolamayı banka diskontundan yararlanarak yapıyorlar ve policcedile sahibinin elde edeceği efektif miktarı şu formuumllle hesaplanır

27

13

100360

1tpNE

1 Nominal değeri $1 000 olan bir policcedile bankaya 10092009 tarihinde verilmiştir İskonto oranı 7 ve oumldeme vadesi 30092009rsquodur Verilen parametrelere goumlre ticari ve rasyonel iskonto ve onlar arasındaki fark hesaplansın

N = 1000$ t = 20 guumln p = 7

893$

100360

2070001 Dk

873$207100360

2070001 Dr

002 $ 387 $ - 389 $ Dr -Dk

2 İşadamı X bir taşıma aracının satışında elde ettiği bir policcedile sahibidir Policcedilenin değeri $100 000 ve oumldeme vadesi 01102009 guumlnuumlduumlr Halbuki işadamının paraya ihtiyacı olduğundan 06092009 guumlnuuml policcedileyi iskonto etmek uumlzere bir bankaya 8 faiz oranıyla goumltuumlruumlyor Bu hiz-metin karşılığı olarak banka 5 komisyon ve manipuumllatif masrafl ar adında daha $100 oumldetiyor

N = $ 100 000p = 8t = 25 guumln

Efektif para miktarının hesaplanması

4444499$)100360

2581(000100$)

100) 360

t p - (1 N E

Efektif para miktarına goumlre iskonto D = 100 000$ - 99 44444$ = 55556$elde edilir ya da ticari iskonto formuumlluumlyle hesaplandığında

56555$36000

258000100

100360

p t N Dk

elde edilir İskonto hizmeti iccedilin komisyon miktarı

497$100

504444499$ elde edilir

28

Buna (100$) manipuumllatif harcamaları katmakla işadamının alacağı efektif para miktarı99 44444$ - 497$ - 100$ = 98 84744$ elde edilir

3 A şirketi 01052009 guumlnuuml eşit nominal değerleri $ 20 000 olan farklı oumldeme vadeli uumlccedil policcedile bankaya kırdırmak uumlzere goumltuumlruumlyor 0105 guumlnuuml 6 faiz oranıyla 1 komisyon ve $20 manipuumllatif masrafl arı nominal değerden duumlşuumlrerek kırılan policcedile iccedilin banka ne kadar oumldemiş-tir

Policcedile 01052010 guumlnuuml kırılmıştır

Para tutarı (N) Oumldeme tarihi Guumlnler DkPoliccedile A 20 000 $ 01042009 30 100 $Policcedile B 20 000 $ 20032009 41 137 $Policcedile C 20 000 $ 15032009 46 153 $

60 000 $ sum Dk = 390 $

p = 6

Dk =

390 $komisyon = 1manipuumllatif masrafl ar = $ 20Efektif tutar =

=N Dk = 60 000 390 = $ 59 610

ndash (komisyon = 59 610 х 001 = 5961)= 59 0139ndash ( 20)= 58 9939

İskonto yapılmış (kırılmış) farklı vadeli uumlccedil eşit policcedile iccedilin 01052010 tarihinde banka A şirketine 589939 denar oumldemiştir

Policcedilelerin satın alışı durumunda tuumlm masrafl ar policcedilenin iskontolanmış (kırılmış) tuta-rına katılır

4 Bir kişi 0105 guumlnuuml nominal tutarı 50 000 denar oumldeme vadesi 1605 olan bir A policcedilesi-ni ve nominal tutarı 70 000 denar oumldeme vadesi 3107 olan bir B policcedilesini bankaya kırdırmak uumlzere getiriyor Ne banka ne de policcedile sahibi zararlı olmayacak şekilde banka her iki policcedilenin tutarını bir orta tarihte policcedile sahibinin hesabına yatırmalıdır İskonto oranı her iki policcedile iccedilin 8rsquodir Her iki policcedilenin tutarı hangi tarihte oumldenecektir ve policcedile sahibine oumldenecek efektif tutar ne kadardır

29

Verilen parametrelerden şunları elde ederiz - (A) policcedilesinin nominal tutarı N1 = 50 000 denar ve t1 = 15 guumln ve- (B) policcedilesinin nominal tutarı N2 = 70 000 denar ve t2 = 92 guumlnİskontonun ortalama vadesini hesaplamak iccedilin formuumll

n

ti

n

tii

N

tN

1

1st

Buna goumlre iskontolamanın orta vadesi = 600007000050

92000701500050

guumlnp = 8

1600

36000

860)7000050000(

100360

p t N Dk

Efektif tutar (50 000 + 70 000) ndash 1 600 = 118 400 denar

Alıştırmalar

1 İskonto hesaplarında hangi parametrelerden yararlanılır

2 Policcedile nedir ve hangi elemanlardan meydana gelir

3 Policcedile ile işlem yapıldığında elemanlar kimdir

4 Nominal değeri (tutarı) 2 500 denar olan bir policcedile 1510 guumlnuuml bankaya kırdırmak iccedilin getirilmiştir İskonto oranı 9 ve oumldeme vadesi 2011 guumlnuumlduumlr Verilen parametrelere goumlre ticari ve rasyonel iskontoyu ve onlar arasındaki farkı hesaplayınız

5 A şirketi sattığı malın karşılığı oumldeme vadesi 01042010 guumlnuuml olan $ 1 200 000 no-minal tutarlı policcedile almıştır Şirketin net paraya ihtiyacı olduğundan 15032010 guumlnuuml policcedileyi bankaya satmaya (kırdırmaya) kararlaştırıyorlar İskonto oranı 7 komisyon 005 ve manipuuml-latif masrafl ar $ 500 olduğuna goumlre şirket bankadan ne kadar para almıştır

30

16 Yatırım (Depozit) Hesapları

Banka mevduat kabul eden bu mevduatı en verimli şekilde ccedileşitli kredi işlemlerinde kul-lanmak amacını guumlden veya faaliyetlerinin esas konusu duumlzenli bir şekilde kredi almak ya da kredi vermek olan ekonomik bir kuruluştur Bankaların geleneksel kaynakları bir kredinin ve-rilmesi iccedilin alınan depozitolar (bir alacağın karşılığı olarak alınan uzun ya da kısa vadeli depo-zito ve teminat niteliğindeki değerler) yatırımlardır Bu şekilde bankalar tasarruf ve kredi fonk-siyonunu gerccedilekleştirmekle para fonlarını etkin biccedilimde bir yerden diğer yere aktararak para sahiplerine (kredi vererek) ve kendi buumltccedilesine komisyondan faiz biccediliminde gelir sağlamaktadır

Tasarruf yapmak isteyen her vatandaş kendi para depozitosunu bankaya yatırabilir Mev-duat hesabı accediltıran her muumlşteriye bir hesap cuumlzdanı verilir Hesap cuumlzdanı vasi altında bir kişinin adına da accedilılabilir Cuumlzdan verilmesinin amacı hesap sahibinin hesap seyrini yani yatırılan pa-ralar alınan paralar ve mevduatların faizlerini izleyebilmesidir Hesap cuumlzdanının temel unsur-ları şunlardır hesap numarası hesap sahibinin adı ve soyadı doğum tarihi ve kimlik numarası banka hesabı karne numarası ve not boumlluumlmuuml (paraların vadesi ndash vadeli yoksa vadesiz) yazılır

Hesap cuumlzdanı banka yetkililerince imzalanır ve muumlhuumlrlenir Her yatırılan ve ccedilekilen pa-ranın miktarı ve tarihi kaydedilir ve bankanın yetkilisi tarafından imzalanır ve muumlhuumlrlenir

Hesap cuumlzdanındaki mevduatı

hesap cuumlzdanının sahibi ve

cuumlzdan sahibinin vekalet ettiği kişi yasal temsilci ve vasi kullanabilir

Bankaya depozitonun (nakti teminat) yatırımı bir tasarruf fonksiyonudur bu nedenle de-pozitonun yatırımlarıyla ilgili bu gibi hesaplara tasarruf mevduatlar hesabı ya da yatırım hesap-ları denir Tasarruf mevduatları

vadesiz ve vadeli (faizi ccedilekebilme imkanıyla bir aylık iptal etme ve etmeme vadesiyle oumlzel amaccedillı ya da amaccedilsız)

accedilık tasarruf mevduatlar ve

accedilık ccedilocuk denar tasarrufu olabilirler

Kişilerin bankaya verdikleri depozito verileri bankanın iş sırrıdır Aynı şekilde banka Makedonya Cumhuriyetirsquonde yabancı kişiler iccedilin de hesap cuumlzdanı accedilabilir Faiz oranları banka tarafından belirlenir

31

Mevduat sahiplerine oumldenecek faiz miktarı depozitonun vadeli yoksa vadesiz oluşuna bağlıdır Faiz bir miktar paranın belli bir suumlre kullanılması nedeniyle alınan sabit kiraya faiz de-nir Kısaca faiz paraya biccedililen fiyattır Resmi Mevduat hariccedil mevduata uygulanacak faiz oranları banka ile muumlşteri arasında serbestccedile belirlenir

Bankalar mevduata peşin faiz veremezler Vadesinden oumlnce ccedilekilen vadeli mevduata va-desiz mevduat faiz oranı uygulanır Cari hesap olarak işleyen mevduat hesaplarının faizleri yıl sonunda ilgili mevduat hesabına tahakkuk ettirilir Eğer hesap yıl iccedilinde kapatılırsa faiz hesabın kapatılma tarihinde hesaplanır ve mevduatta kalan tutar ile birlikte hesap sahibine oumldenir

Denar tasarruf mevduatları Tasarruf Mevduatı Sigorta Fonu tarafından sigortalıdır Bu fon bireysel kişilerin 10 000 EUR karşılığında depozitolarına 100 tazminat oumldemektedir 20 000 EUR den fazla olmamak şartıyla 10 000 EUR ve 20 000 EUR arasındaki mevduatları 90 tutarında tazminat oumldemekle yuumlkuumlmluumlduumlr Yukarıda adı geccedilen tutara tasarruf mevduatın temel değerine faiz miktarı katılır Faiz oranı o doumlnemde Makedonya Halk Bankasırsquonın iskonto oranı kadar geccedilerli olan değerle hesaplanır

Tasarruf mevduatlarına faiz miktarının hesaplanmasında basit faiz hesabı formuumlluumlnden yararlanılır Basit ve bileşik faizin hesaplanmasında şu unsurlar kullanılır

Ana para (temel değer) ndash K0 (depozito arttırılan kapital azaltılan kapital) faizi hesap-lanması gereken tutar

faiz vadesi yatırılan ya da parasal varlıklardan yararlanılan vadedir

faiz oranı faiz miktarı ( p ya da i )

faiz tutarı banka tarafından mevduat sahibine oumldenmesi gereken soumlzleşme kapsamın-da bulunan vade iccedilin hesaplanan faiz miktarı

Vade yıl ay ya da guumlnler ile ifade edildiğinde basit faizin hesaplanması iccedilin şu formuumlller geccedilerlidir

bir yıl vadeli mevduat 0

100

K pk ya da n yıl iccedilin 0

100

K pnk

vade ay ile verildiğinde 0

1200

K pmk

32

vade guumlnlerle ifade edildiğinde 36500

0 ptKk formuumlluuml kullanılır

Verilen mevduatların faizini hesaplamak iccedilin belli miktarın bankadan ccedilekmek iccedilin ya da bankaya yeni mevzuatlar yatırmak iccedilin guumlnlerin tayinine ait tablodan yararlanılır

Tablo 1Takvime goumlre yıl sonuna kadar guumln sayısı

Guumln Ocak Şub Mart Nis May Haz Tem Ağu Eyl Ek Kas Ara1 365 334 306 275 245 214 184 153 122 92 61 312 364 333 305 274 244 213 183 152 121 91 60 303 363 332 304 273 243 212 182 151 120 90 59 294 362 331 303 272 242 211 181 150 119 89 58 285 361 330 302 271 241 210 180 149 118 88 57 276 360 329 301 270 240 209 179 148 117 87 56 267 359 328 300 269 239 208 178 147 116 86 55 258 358 327 299 268 238 207 177 146 115 85 54 249 357 326 298 267 237 206 176 145 114 84 53 2310 356 325 297 266 236 205 175 144 113 83 52 2211 355 324 296 265 235 204 174 143 112 82 51 2112 354 323 295 264 234 203 173 142 111 81 50 2013 353 322 294 263 233 202 172 141 110 80 49 1914 352 321 293 262 232 201 171 140 109 79 48 1815 351 320 292 261 231 200 170 139 108 78 47 1716 350 319 291 260 230 199 169 138 107 77 46 1617 349 318 290 259 229 198 168 137 106 76 45 1518 348 317 289 258 228 197 167 136 105 75 44 1419 347 316 288 257 227 196 166 135 104 74 43 1320 346 315 287 256 226 195 165 134 103 73 42 1221 345 314 286 255 225 194 164 133 102 72 41 1122 344 313 285 254 224 193 163 132 101 71 40 1023 343 312 284 253 223 192 162 131 100 70 39 924 342 311 283 252 222 191 161 130 99 69 38 825 341 310 282 251 221 190 160 129 98 68 37 726 340 309 281 250 220 189 159 128 97 67 36 627 339 308 280 249 219 188 158 127 96 66 35 528 338 307 279 248 218 187 157 126 95 65 34 429 337 278 247 217 186 156 125 94 64 33 330 336 277 246 216 185 155 124 93 63 32 231 335 276 215 154 123 62 1

1 Bireysel kişi bankaya 9 faiz oranıyla yıllık faiz hesaplanmasıyla 10 000 denar para yatırmış-tır 5 ay sonra yatırımcının kaccedil parası olacaktır

K0 = 10 000 denar

33

p = 9m = 5 ay

Verilen parametrelere goumlre yatırımcının 5 ay sonra alacağı faiz miktarı

3751200

59 10000

k

denar

Hesaplanan faiz miktarı gereğince yatırımcının beş ay sonra ana paraya faiz miktarının katılımıyla 10 375 denarı olacaktır

2 Bir kişi 2505 guumlnuuml 100 000 denar bankaya yatırmış ve 0110 tarihinde 45 000 denar bankadan para almıştır Banka 5 faiz oranıyla işlem yaptığına goumlre yıl sonunda faiz miktarı ne kadar olacaktır

K0 = 100 000 denarp = 5t1 = 221 guumln (2505 ten yıl sonuna kadar)K1= - 45 000 denar t2 = 92 guumln (0110 den yıl sonuna kadar)

324605674302736500

92545000

36500

2215100000

21

iii

3 2009 yılı boyunca X yatırımcısının tasarruf yatırımlarında değişiklikler olmuştur Bu esnada bankanın uyguladığı faiz oranı 5rsquotir

10012009 yatırılmış 10 00015022009 yatırılmış 8 00001032009 ccedilekilmiş 6 00020032009 yatırılmış 2 000

Yukarıdaki veriler tasarruf mevduatı hesabına kaydedilsinHer para yatırımı ve para ccedilekilişi iccedilin yatırım (ya da ccedilekiliş) yapıldığı guumlnden yıl sonuna

kadar faiz hesaplanır

34

faiz oranı 5tarih yatırılmış ccedilekilmiş durum guumln Faiz miktarı

+ mdash durum10012009 10 000 10 000 356 48767 4876715022009 8 000 18 000 320 351 8386701032009 6 000 12 000 306 2515 5871620122009 2 000 14 000 12 329 5904431122009 59044 faiz 14 59044 59044Toplam 31122009

20 59044 6 000 14 59044 84196 84196 0

Alıştırmalar

1 Bankaların geleneksel kaynakları nelerdir

2 Basit ve bileşik faizin hesaplanmasında kullanılan kavramları (bileşenleri) sayınız

3 Banka hesabının temel elemanlarını sayınız

4 Bireysel kişi A 25012010 tarihinde bankaya 50 000 denar yatırmış 20092010 guumlnuuml bankadan 35 000 denar ccedilekmiştir Banka 8 faiz oranıyla işlem yaptığına goumlre yıl sonunda yatı-rımcının toplam parasını hesaplayınız

5 2009 yılı boyunca X yatırımcısının tasarruf yatırımlarındaki değişiklikler aşağıdaki tabloda goumlsterilmiştir

0501 2009 yatırılmış 3 0002001 2009 ccedilekilmiş 2 50031012009 yatırılmış 3 20028022009 yatırılmış 3 35003042009 ccedilekilmiş 4 00004062009 yatırılmış 5 00009092009 ccedilekilmiş 3 70010112009 yatırılmış 3 00025122009 ccedilekilmiş 5 000

Faiz oranı 75 olduğuna goumlre banka hesabındaki değişiklikleri hesaplayınız

35

17 Kredi Banka Hesabı

Ekonomi ccedilerccedilevesinde bankalar ve finans kuruluşları verimli işletmelere para transferi yapmaktır Yani bankalar fona ihtiyaccedil duyanlarla fonlarını değerlendirmek isteyenleri buluş-turma accedilısından en oumlnemli mali sistemdir Bankaların en oumlnemli goumlrevlerinden biri kaynak sağlamaktır İkinci buumlyuumlk goumlrevi ise sağladığı kaynağın yatırılması yani plasman goumlrevidir ki bu da kredi verme şeklinde ortaya ccedilıkar Bankacılıkta kredi verme kavramı verilen borcun belli bir suumlre sonunda geri alınmasından daha geniş bir işlem topluluğunu anlatır Bankalar muumlşterileri-ne işletme kredisi ve alışveriş kredisi adında borccedil para vererek kredi accedilar

Vadesine goumlre kredi ccedileşitleri

kısa vadeli krediler (geri oumldemesi en ccedilok bir yıl vadeli)

orta vadeli krediler (geri oumldeme vadesi 1 yıldan uumlccedil yıla kadar)

Uzun vadeli krediler (geri oumldemesi uumlccedil yıldan fazla) kredilerdir

Kısa vadeli krediler muumlşterilerin guumlnluumlk ihtiyaccedillarını finanse etmek ticarette kısa vadeli oumldemeleri sağlamak uumlretimde ihracatta ve hizmetlerin oumldenmesi iccedilin kullanılır Kısa vadeli kredi muumlşterinin talebi uumlzere verilir ve ard arda ya da doumlner (revolving) olabilir Kredinin geri oumldenmesi vadesinin tamamlanmasına kadar eşit aylık taksitlerle ya da revolving - soumlzleşme di-namikliği taksitleri biccediliminde yapılabilir Kredinin teminatı gayrimenkul ipoteği ile satılabilir araccedil varlıkları depozito banka garantisi değerli kağıtlar ve haklar ile yapılmaktadır

Kişilere uzun vadeli krediler ndash Bu krediler genellikle uzun vadeli yatırımlar iccedilin yatırım projelerin gerccedilekleştirilmesi iccedilin ticari amaccedillı vb olabilir Uzun vadeli kredilerin geri oumldeme vadesi uumlccedil yıla kadardır (ya da bankanın durumuna goumlre uumlccedil yıldan fazla da olabilir) Denar cin-sinden ya da doumlviz bazında olabilir

Parasal varlıkların amaccedillı kullanılmasına dair goumlsterilen belgeler gereğince uzun vadeli kredilerin kullanılış şekli muumlşterinin isteği uumlzeredir Kredi yatırım dinamiği gereği eşit aylık uumlccedil aylık ya da yarım yıllık taksitlerle geriye oumldenebilir Kredinin teminatı gayrimenkul ipoteği ile satılabilir araccedil varlıkları depozito banka garantisi değerli kağıtlar ve haklar ile yapılmaktadır

Kredinin fiyatı (faiz oranı) kredinin vadesine goumlre belirlenir Onaylanan kredi iccedilin banka oumlzel hesap ndash kredi hesabı accedilar Onaylanan kredi miktarı muumlşterinin cari ndash hesabına aktarılır ve bu hesaptan muumlşteri krediyi kullanabilir Geri oumldeme taksitinin belirlenen vadede oumldenmemesi

36

durumunda oumlngoumlruumllen faize ceza faizi de eklenir Faizin oumldenmesinde guumlnler takvime goumlre sayı-lır bir yıl ise 365 ya da 366 guumln olarak alınır

Onaylanan krediler elektronik vasıtalarla kredi ve ciro hesabından takip edilmektedir

1 Bir X şirketine bir bankadan kullanma tarihi 30072010 yılı başlamak uumlzere 1000000 denar kredi onaylanmıştır Sıralı faiz oranı yıllık 9 ceza faizi ise yıllık 3rsquotuumlr Şirket 01022010 tarihinde onaylanan kredinin tuumlmuumlnuuml bankadan ccedilekerek kullanmış ve geri oumldeme taksitlerini şu vadelerde gerccedilekleştirmiştir

20032010 I taksit 100 000 denar15042010 II taksit 120 000 denar01082010 III taksit 180 000 denar15082010 IV taksit 600 000 denar

30 09 2010 tarihine kadar bankanın kredi hesabında tuumlm değişiklikler (sıralı ve ceza faiz-lerinin hesaplanmasıyla) goumlsterilsin Ayrıca X muumlşterisinin de banka hesabındaki değişiklikleri goumlsterilsin

Değişme tarihi Değişme tutarı Faizde kalan guumlnler Faiz tutarı

verilen alınan sıralı cezalı sıralı cezalı

01022010 1 000 000 242 v 59 67220032010 100 000 194 a 4 78415042010 120 000 168 a 4 97101082010 180 000 66 a 7 45715082010 600 000 15 46 a 2 219 v 2 2685Toplam 1 000 000 1 000 000 v 79 103 v 2 2685

Kredi tutarının sıralı faiz guumlnleri 0102rsquoden 3009 tarihleri arasındaki guumlnler iccedilin hesap-lanmıştır Bu guumlnlerin faiz miktarı kredi sahibinin borcuna yazılır (d işareti ile işaretlenmiştir) Diğer değişikliklerin sıralı faizi ise değişim yapılan guumlnden oumldeme vadesi guumlnuumlne kadar (30 09 2010) guumlnlere hesaplanır Bu guumlnler sayısına karşılık gelen faiz miktarı karşılık gelen değişim iccedilin ccedilıkarılır (z işaretiyle işaretlenmiştir) Ceza faizi kredinin ccedilekiliş guumlnuumlnden değişim tarihine kadar guumln sayısı iccedilin hesaplanır Bu faiz ile kredi sahibi borccedillanır

37

X şirketinin banka hesabı

Değişme tarihi Cinsi Değişim miktarı Son durumveriyor alıyor

15012010 durum 500 000 500 00001022010 kredi 1 000 000 1 500 0002003 2010 I taksit 100 000 1 400 0001504 2010 II taksit 120 000 1 280 0000108 2010 III taksit 180 000 1 100 00015 082010 IV taksit 600 000 500 00030092010 9 faiz 79 103 420 89730092010 3 ceza faizi 2 2685 418 628530092010 dengeleme 418 6285

1 500 000 1 500 0000110 Son durum 418 6285

Alıştırmalar

1 Oumldeme vadesine goumlre kaccedil ccedileşit kredi vardır

2 Kısa vadeli kredilerin kullanılışını ve oumlzelliklerini sayınız

3 Uzun vadeli kredilerin kullanılışını ve oumlzelliklerini sayınız

4 Kredinin fiyatı neye bağlıdır

5 Bir X şirketine bir bankadan kullanma tarihi 26042010 yılı başlamak uumlzere 20000000 denar kredi onaylanmıştır Sıralı faiz oranı yıllık 75 ceza faizi ise yıllık 2rsquodir Şirket 01032010 tarihinde onaylanan kredinin tuumlmuumlnuuml bankadan ccedilekerek kullanmış ve geri oumldeme taksitlerini şu vadelerde gerccedilekleştirmiştir

05032010 I taksit 270 denar12042010 II taksit 580 denar17052010 III taksit 700 denar23052010 IV taksit 18 450 denar

38

30 06 2010 tarihine kadar bankanın kredi hesabında tuumlm değişiklikler (sıralı ve ceza faizlerinin hesaplanmasıyla) goumlsterilsin Ayrıca X şirketinin banka hesabındaki başlangıccedil para durumu 50 000 denar olduğuna goumlre banka hesabındaki değişiklikler goumlstertilsin

18 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 17 628 denar 6 faiz oranıyla ne kadar zamanda 2 393 denar faiz miktarı getirir

2 Faiz oranı 45 ile 20 000 denar 3 ay 40 000 denar 5 ay ve 12 000 denar 6 ayda getir-dikleri toplam faiz miktarını hangi temel para 20 mart ndash 28 haziran zaman aralığında zaman matrisi (k 360) faiz oranı 475 olmak uumlzere iki defa daha ccedilok faiz miktarı getirecektir

3 Faiz oranı 65 olmak uumlzere 25 000 denar 804 - 3006 zamanı iccedilin 62 000 denar 1804ndash3006 zamanı iccedilin ve 75 6000 denar 405ndash3006 zamanı iccedilin elde edilen toplam faiz mik-tarının 45rsquoi hangi faiz oranıyla 60 000 denar (k 360) ilkesine goumlre 1803ndash2906 zaman aralı-ğında elde edilir

4 Temel paranın uumlccedilte biri 15 yıl iccedilin beşte ikisi 4 ay iccedilin ve kalan kısmı 80 guumln iccedilin ban-kaya yatırılmıştır Her biri iccedilin faiz oranı 4rsquotuumlr Bu yatırımların toplam faiz miktarı 8500 denar olduğuna goumlre temel para ne kadardır

5 Temel paranın doumlrt aylık 475 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borccedillu 295 250 denar para almıştır Borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

6 Borccedillu 60 guumlnde 6 faiz oranıyla elde edilen faiz miktarını katarak 50 500 denar borccedil oumldemiştir Bu temel paranın iki katı 3 yıl vadeli aynı faiz oranıyla ne kadar faiz getirir

7 Temel paranın 2501ndash3108 zaman aralığında guumlnler takvimin (k 365) zaman matrisi-ne goumlre sayılarak 9 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borccedillu 100 000 denar para almıştır Borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

8 Bir kişi bankaya 4 ayrı borccedil oumldemelidir 1004 vadeli 6 faiz oranıyla 45 000 denar 2504 vadeli 8 faiz oranıyla 100 000 denar 2005 vadeli 9 faiz oranıyla 70 000 denar ve 3105 vadeli 4 faiz oranıyla 100 000 denar Hiccedilbiri zararlı olmayacak şekilde hangi guumln ve hangi faiz oranıyla borccedillu borcunu bir guumlnde oumldeyebilir

39

9 Bir ticaret şirketinin mal tedarikccedililerine borccedilları 4 faiz oranıyla oumldeme vadesi 120 guumln 40 000 denar 4 faiz oranıyla 240 guumln vadeli 60 000 denar ve 4 faiz oranıyla 300 guumln vadeli 100 000 denar Kaccedil guumln sonra şirket her uumlccedil borcu aynı guumlnde oumldeyebilir

10 Ticaret şirketi X oumldeme tarihi 504 olan 80 000 denar 2005 guumlnuuml 150 000 denar ve 3006 guumlnuuml 275 000 denar oumldenmesi gereken borccedilları vardır Aynı zamanda oumldeme tarihi 1703 olan 130 000 denar 0508 de 900 000 denar olan alacakları vardır Borcun saldosu (son durumu) hangi tarihte oumldenebilir

11 X şirketi 06042009 guumlnuuml bankaya kırdırmak uumlzere policcedile getirmiştir Policcedilenin nomi-nal değeri $ 250 000rsquodir ve oumldeme vadesi 15052009 dir Bankanın iskonto oranı 8 olduğuna goumlre policcedilenin ticari indirimini ve efektif miktarını hesaplayınız

12 E şirketi sattığı mal karşılığında 3 000 000 değerinde oumldeme vadesi 20042009 guumlnuuml olan bir policcedile almıştır Para sıkıntısı sebebiyle şirket 21032009 guumlnuuml policcedileyi kırmaya kararlaş-tırıyor İskonto oranı 6 yapılan işlemin komisyonu 0025 ve manipuumllatif masrafl ar 50 denar olduğuna goumlre bankanın şirkete oumldeyeceği paranın nominal değeri ne kadardır

13 X şirketi 150 000 denar değerinde oumldeme vadesi 05052009 tarihli olan bir policcedile-nin sahibidir Şirket bu policcedileyi oumldeme vadesinden oumlnce kırmaya kararlaştırıyor Kırma tarihi 05032009 guumlnuuml iskonto fiyatı 9 komisyon 0045 ve manipuumllatif masrafl ar 100 denardır Kırı-lan policcedilenin efektif değeri ve ticari indirim ne kadardır

14 20042010 guumlnuuml banka nominal değeri $50 000 olan uumlccedil eşit policcedile almıştır Policcedilelerin oumldeme vadeleri birincisi 20062010 ikincisi 10072010 ve uumlccediluumlncuumlsuuml 20072010 guumlnuumlduumlr İs-konto fiyatı (oranı) 85 komisyon 1 ve manipuumllatif masrafl ar 19 denar olduğuna goumlre banka 20042010 guumlnuuml policcedileler iccedilin ne kadar oumldeyecektir

15 Bir bankaya 15032010 tarihinde kırılmak uumlzere iki policcedile getirilmiştir

- policcedile X nominal değeri $ 3 000 000 ve oumldeme vadesi 25012010 ve

- police Y nominal değeri $ 5 000 000 ve oumldeme vadesi 20062010 guumlnuuml

İskontolanmış bu policcedilelere talip olan muumlşteri kendi hesabına bir ortalama vadede ya-tırılmasını istemiştir (aynı guumlnde her iki policcedilenin sahibi olsun) İskonto edilmiş miktarların muumlşteri hesabına yazılacağı guumln tarihi belirtilsin

40

16 Bankaya 0108 guumlnuuml 400 000 denar para yatırılmış ve 0210 guumlnuuml 120 denar ccedilekilmiştir Faiz oranı 5 olduğuna goumlre yıl sonunda faiz tutarı ne kadardır

17 Yatırımcı Yrsquonin banka hesabında faiz oranı 10 olmak uumlzere 2010 yılında aşağıdaki değişiklikler olmuştur

15032009 yatırılmış 50 00001042009 Ccedilekilmiş 20 00005062009 yatırılmış 18 00007072009 Ccedilekilmiş 15 00008082009 yatırılmış 18 00001092009 Ccedilekilmiş 13 000

Verilenlere goumlre banka hesabında tuumlm değişiklikler kaydedilsin

18 Y şirketi bir bankadan oumldeme vadesi 25062010 olmak uumlzere 70 000 denar kredi almıştır Sıralı faiz oranı 10 ceza faiz oranı ise yıllık 2rsquodir Şirket 01042010 guumlnuuml tuumlm kredi miktarını kullanıyor ve kredinin geriye ccedilevrilmesini aşağıdaki tarihlerde gerccedilekleştiriyor

01052010 I taksit 7 000 denar10052010 II taksit 10 000 denar20062010 III taksit 15 000 denar25072010 IV taksit 38 000 denar

30082010 guumlnuumlne kadar bankadaki kredi hesabında yapılan değişiklikleri (sıralı ve ceza faiz miktarlarının faizlerini hesaba katarak) goumlsteriniz X şirketinin başlangıccediltaki para durumu (saldosu) 30 000 denar olduğuna goumlre şirketin banka hesabındaki tuumlm değişiklikleri goumlsterilsin

41

Konu Oumlzetleri

Bankadan borccedil (kredi) aldığımızda banka alacaklı parayı alana ise verecekli (borccedillu) de-nir Bankanın parasından yararlanan verecekli karşılık olarak bankaya belli bir faiz oumldeyecektir Bankaya para yatırdığımız takdirde banka kullanıcıdır ve vericiye belli bir faiz oumldemektedir Bir yatırımın yatırım doumlnemi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranına basit faiz denir

Faiz miktarının ve ona bağlı olan diğer buumlyuumlkluumlklerin hesaplanmasına basit faiz hesabı denir Basit faiz hesabında genel olarak şu doumlrt temel buumlyuumlkluumlğe rastlanılır

100

Kpti K ndash Ana para (kapital temel değer) i ndash faiz miktarı (yuumlzde payı) p ndash yuumlzde oranı (faiz miktarı) t ndash faizin hesaplandığı suumlre (zaman)

Birkaccedil borccedil miktarı farklı vadelerde oumldenecek yerde toplam borcu aynı anda oumldenmesi iccedilin ayrılan zamana orta vade denir Ortalama vadeyi ve ortalama faiz oranını belirtme işlemine vadeli hesap denir ve aslında basit faiz hesabının bir uygulanmasıdır Bazı durumlarda borccedillu aynı anda başka borccedillulardan alacaklı durumunda olabilir Boumlyle durumda alacak ve verecek farkını oumldeme vadesine borccedil durumunun (saldosunun) oumldeme vadesi denir

Ortalama faiz oranı bilindiği takdirde borcun ortalama oumldeme vadesini şu formuumllle he-saplayabiliriz

ns

nnns KKKp

tpKtpKtpKt

21

222111

Borccedil miktarlarının oumldeme vadeleri bilindiğinde ortalama faiz oranına ait şu formuumlluuml uy-gulayacağız

ns

nnns KKKt

tpKtpKtpKp

21

222111

burada K1 K2hellip Kn borccedil miktarları p1 p2 hellip pn karşılıklı faiz oranları ve t1 t2 hellip tn kar-şılıklı oumldeme vadeleridir

Borccedil kalanı (saldo) vadesinin hesaplanması şu formuumllle hesaplanır

42

s

mmmnnns Sp

tpPtpPtpPtpKtpKtpKt000

2

0

22

0

1

0

11222111

burada K1 K2 hellip Kn borccedil miktarları vadeleri t1 t2 hellip tn guumlnler ve p1 p2 hellip pn karşılıklı olarak faiz oranları P1 P2 hellip Pn alacaklar onlara karşılık vadeleri t1degt2degtmdeg guumlnler ve p0

1 p02

p0m faiz oranlarıdır

Henuumlz vadeleri yetişmemiş alacakların satışı durumunda satış guumlnuumlnden alacakların va-desinin olduğu guumlne kadar faiz miktarının alacaktan eksilmesine iskonto denir

Belli bir tarihte oumldenmesi gereken borcu vadesi gelmeden belli bir tarihte oumldemeye douml-nuumlştuumlrme işlemine (şimdiki değeri ilerdeki borcun değerine doumlnuumlştuumlruumllmesine) iskontolama denir

İndirim (iskonto) hesaplamaların yapılmasında şu parametrelerden yararlanılırN - Finansal varlığın nominal değeritmn - İndirim (iskonto) vadesi varlığın indirilme guumlnuumlnden tahsilat guumlnuumlne kadar guumln-

ler sayısı t aylar sayısı m yıl sayısı n Ayların guumlnleri takvime goumlre alınır oumlyle ki varlığın indiril-mesi yapıldığı guumln sayılmıyor varlığın tahsil edildiği guumln sayılır

D - İndirim (eskonto) finansal varlığın nominal değerinin azalmasına eşittirp - İndirimin hesaplanmış olduğu faiz oranı (iskonto oranı) E - Nominal borcun erken oumldeme anında reel (efektif) miktar

İndirimin hesaplanması iki şekilde yapıldığına goumlre iki tuumlr indirim vardır Dk- Ticari indirim burada indirimin hesaplandığı temel değer nominal değerdir efektif değer ise nomi-nal değer ve indirimin farkıdır ve rasyonel (matematiksel) indirim ndash Dr burada nominal değer efektif değer ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

Policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedidir

Policcedilenin temel ccedileşitleri hamil ve şahsi policcedilelerdir Hamil policcedile şu temel unsurları iccediler-melidir policcedile işareti oumldeyecek olanın adı keşideci adı ya da adresi kime ve kimin emrine oumldeneceği ndash lehdar tanzim (duumlzenleme) yeri ve tarihi belli bir paranın kayıtsız şartsız oumldenmesi iccedilin havale oumldeme yeri policcedilenin yazılma tarihi ve yeri oumldeyecek olanın imzası Şahsi policcedile

43

şu unsurları iccedilerir para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair vaat vermesi havale tarihi oumldeme yeri alacaklının adı policcedilenin yazılma tarihi ve yeri ve oumldeyen kişinin imzası

Policcedile işlemleri hukuk işlemleridir ve policcedile hakkında şu işlemler yapılabilir policcedilenin verilmesi policcedilenin onaylanması policcedilenin vurgulanması policcedilenin devredilmesi policcedilenin havale edilmesi policcedilenin satın alınması amortisman geriye ccedilevrilmesi policcedilenin protesto edilmesi vb

Policcedile hukuk işlemlerinde karakteristik kurallar genellikle şunlardır okur yazarlık in-korporasyon birleşme (şirketleşme) policcedile sorumluluğun kesinliği policcedile titizliği ve policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil etmedir

Policcedile iskontosu vade tarihinden oumlnce policcedilenin satışı ya da satın alışıdır Bu durumda satın alan kişi policcedilenin iskonto guumlnuumlnden vadesi doluncaya kadar guumlnlere karşılık gelen faiz tutarı kadar policcedilenin nominal değerinden eskitir

Ticari iskonto şu formuumllle hesaplanır

100360

ptNDk

Rasyonel iskonto ise şu formuumllle hesaplanır

tpptNDr

100360

Burada N nominal değer (parasal değer) t guumln sayısı olarak iskonto vadesi ve p ndash iskontonun hesaplandığı faiz oranıdır (miktarıdır)

Banka iskontosundan policcedile sahibinin elde edeceği efektif miktarı şu formuumllle hesapla-nır

13

100360

1tpNE

Burada N nominal değer (parasal değer) t guumln sayısı olarak iskonto vadesi ve p ndash iskontonun hesaplandığı faiz oranı (miktarı) dır

Tasarruf mevduatlarına faiz miktarının hesaplanmasında basit faiz hesabı formuumlluumlnden yararlanılır Vade yıl ay ya da guumlnler ile ifade edildiğinde basit faizin hesaplanması iccedilin şu for-muumlller geccedilerlidir

bull vade n yıl iccedilin 100

0 pnKk

44

bull vade ay ile verildiğinde 0

1200

K pmk

bull vade guumlnlerle ifade edildiğinde 36500

0 ptKk formuumlluuml kullanılır

Burada K0 temel para (ana değer) p - faiz oranı ve t ndash zamandır

Bankalar muumlşterilerine işletme kredisi ve alışveriş kredisi adında borccedil para vererek kredi accedilarVadesine goumlre kredi ccedileşitleri kısa vadeli krediler orta vadeli krediler ve uzun vadeli krediler (geri oumldemesi uumlccedil yıldan fazla kredilerdir)

45

KIYMETLİ METALLER PARALAR VE DOumlVİZLER

21 Kıymetli Metallerin Arılığı

Altın guumlmuumlş platin rutenyum rodyum osmiyum paladyum ve iridyum elementleri kıymetli metaller gibi tanınmıştır Bunlardan bazıları daha ccedilok eski zamanlardan bilinmek-tedir Bunların oumlzellikleri diğer elementlerden daha az reaktivite oumlzelliğine sahip olup havada oksidasyon olmuyor ve asitlerde erimiyorlar Doumlviz rezervleri gibi kullanılabilir Bunların buumlyuumlk oumlnemi nedeniyle kıymetli metallerden yapılmış olan nesnelerin kontroluuml yapılışı ve arılık de-recesi onların incelemesi işaretlenmesi pazara satış koşulları ve kontroluuml kanunla duumlzenlen-mektedir

Burada kıymetli metallerden altın ve guumlmuumlşuuml inceleyeceğiz Bu metaller ccedilok tanınmış değerlendirilmiş ve ccedilok eski zamanlardan yani binlerce yıl oumlnceden bu guumlne kadar kullanılmak-tadır Altın ve guumlmuumlş ccedilok yumuşak metallerdir ve bu yuumlzden kullanılış iccedilin pratik değildirler Biraz sertlik kazanmak iccedilin başta bakır nikel ve başka metallerle karıştırılır İki ya da daha ccedilok metalin karışımına filiz (alaşım karışım) denir Filizin kuumltlesine toplam kuumltle diyeceğiz

Kıymetli metalin kuumltlesi (saf kuumltle) ve filizin kuumltlesinin oranına kıymetli metalin arılık (safl ık) derecesi denir Kıymetli metallerin arılık derecesi milyem (promil) ve İngiliz usuluuml olmak uumlzere iki şekilde ifade edilir

Safl ık milyem biccediliminde goumlsterildiğinde kıymetli metal milyem ile ifade edilir Bu durum-da milyem sayısı bir filizde 1000 eşit parccediladan kaccedil eşit parccedila kıymetli metal olduğunu goumlsterir Oumlrnek bir kıymetli metalin arılık derecesi 9000oo ile ifade edilmişse filizin 1000 parccedilasında 900 parccedila kıymetli metaldir Toplam kuumltleyi m ile saf kuumltleyi mb ile ve arılık derecesini f ile işaret edersek arılık derecesinin milyem usuluumlne goumlre goumlsterilişini şu formuumllle ifade edebiliriz

1000mmf b permil

1 Bir altın nesnenin saf kuumltlesi 510 gram ve toplam kuumltlesi 800 gramdır Nesnenin arılık derecesini (milyem olarak) ifade ediniz

Altın nesnenin arılık derecesi 56371000800

510f permil

dir

Arılık derecesinin İngiliz usuluuml ile ifade edilmesinde altının oumllccediluuml birimi ayar (karat) guumlmuumlşuumln arılık derecesi ise peniveyt (pennyweight) ile goumlsterilir Saf altının arılık derecesi 24 karat saf guumlmuumlşuumln arılık derecesi ise 240 peniveyt dir

2 Arılık derecesi 14 ayar olan bir altın nesnenin 24 kısmından 14 kısım saf altındır

2

46

3 Arılık derecesi 200 peniveyt olan guumlmuumlşten bir uumlruumlnuumln 240 kısmından 200 kısmı saf guumlmuumlştuumlr

Karat ve peniveytten kuumlccediluumlk oumllccediluuml birimi greynrsquodir 1 karatta 4 greyn ve 1 peniveytte 24 greyn vardır

Arılık derecesi 22 karat (ayar) olan altına standart altın 222 peniveytlik guumlmuumlşe standart guumlmuumlş denir Bir altın (guumlmuumlş) filizinin arılık derecesi standart safl ıktan daha iyi ise ona B işa-reti yazılır (İng Better ndashdaha iyi) ya da standart safl ıktan daha koumltuuml ise W işareti konulur (İng Worse ndash daha koumltuuml)

4 Altın nesnenin safl ığı standart altından 1 karat ve 2 greyn daha iyi olduğu durumda B12 biccediliminde yazılır O halde altın nesne (22+ 12 = 232) 23 karat ve 2 greyndir

5 Arılık derecesi W 77 olan guumlmuumlş nesne standart guumlmuumlşten 7 peniveyt kadar daha koumltuumlduumlr 222 ndash 77 = 22124 ndash 77 = 21417 olduğuna goumlre guumlmuumlş nesnenin arılık derecesi 214 peniveyt ve 17 greynrsquodir

Alıştırmalar

1 a) Kıymetli metallerin arılık derecesi nedirb) Kıymetli metallerin arılık derecesi nasıl ifade edilir

2 Arılık derecesia) 920 permil b) 870permilverilmiş olan altın filizin kaccedil kısmı bakırdır

3 Saf altın kaccedil karattır Saf guumlmuumlş ise kaccedil karattır

4 a) Safl ığı 20 karat olan altın nesne b) Safl ığı 210 peniveyt olan guumlmuumlş nesne kaccedil greyndir

5 a) B 11 işaretli altın nesnenin b) W 53 işaretli altın nesnenin c) B 1011 işaretli guumlmuumlş nesnenin d) W 128 işaretli altın nesneninarılık derecesi ne kadardır

22 Arılık (Safl ık) Derecesinin Hesaplanması

Kıymetli metallerin arılık derecesini hesaplamak iccedilin iki cins oumldevler vardır Arılık derecesini İngiliz usuluumlne goumlre milyemlerle goumlsterme ve tersine işlemleri olan

oumldevler

47

Kıymetli metalin saf kuumltlesi ve filizin kuumltlesi bilindiğinde kıymetli metallerin arılık derecesini hesaplama gibi oumldevler

1 Arılık derecesi 800permil olan altın nesnenin safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade edinizx 24 = 800 1000 orantısından 219

1000

80024

x

karat elde edilir Demek ki altının arılık derecesi 192 karattır 02 karat 02 4 = 08 greyn olduğuna goumlre altının arılık derecesi 19 karat ve 08 greyndir diyebiliriz Bunu (22 ndash 1908 = 214 ndash 1908 = 232) W 232 biccediliminde yaza-biliriz

2 B 86 işaretli guumlmuumlşuumln arılık derecesini milyemle goumlsteriniz Arılık derecesini oumlnce peniveytlerle hesaplayalım 222 + 86 = 2306rsquodır 6 greyn bir

peniveytin

4

1

rsquo uuml olduğuna goumlre guumlmuumlşuumln arılık derecesi 23025 peniveyt olduğunu buluyoruz

x 1000 = 23025 240 orantısından

375959240

100025230

x permil

elde edilir Demek ki guumlmuumlşuumln arılık derecesi 959375permil dir

3 Toplam kuumltlesi 400 gram olan guumlmuumlş nesnede 350 gram saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln arılık derecesini milyemlerle ifade ediniz

Guumlmuumlşuumln arılık derecesi

1000400

350 permil

bağıntısından 875permil elde edilir

4 Toplam kuumltlesi 300g olan altın nesnede 249 g saf altın vardır Altının arılık derecesini iki usule goumlre goumlsteriniz

Arılık derecesini oumlnce milyemlerle goumlstereceğiz

1000300

249 permil

Demek ki altın nesnenin arılık derecesi 830 permilrsquodir

Şimdi aynısını İngiliz usuluumlne goumlre ifade edelim x 24 = 830 1000 orantısından

92191000

83024

x

karat elde edilir Demek ki altın nesnenin arılık derecesi 19 karat ve 368

greyndir Sonuccedil olarak altın nesne W 2032 dir

Alıştırmalar

1 Milyem oumllccediluumlsuumlne goumlre arılık derecesi 590 permil olan guumlmuumlşuumln safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade ediniz

48

2 İngiliz usuluumlne goumlre arılık derecesi B 12 olan altının safl ığını milyemlerle ifade ediniz

3 Altın nesnenin arılık derecesi 1536 karattır Bunu milyemlerle goumlsteriniz

4 Kuumltlesi 330 g olan altın nesnede 198 g saf altın vardır Altının arılık derecesinia) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

5 Kuumltlesi 250 g olan bir guumlmuumlş nesnede 198 g saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln arılık derecesinia) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

23 Saf ve Toplam Kuumltlenin Hesaplanması

Kıymetli metalin saf kuumltlesini hesaplamak iccedilin filizin arılık derecesi ve toplam kuumltlesinin bilinmesi gerekir

Birkaccedil oumlrnek inceleyelim1 Kuumltlesi 50 g olan bir altın nesnenin arılık derecesi 920permilrsquodir Nesnede kaccedil gram saf altın

vardırx 50 = 920 1000 orantısından 46

1000

92050

x

elde edilir Demek ki altın nesnede 46g saf altın vardır

2 Arılık derecesi 18 karat olan 560 gramlık bir altın nesnede kaccedil gram saf altın vardırx 560 = 18 24 orantısından

42024

18560

x

elde edilir Demek ki altın nesnede 420g saf altın bulunur

3 Safl ık derecesi W 86 olan bir guumlmuumlş eşyanın kuumltlesi 480grsquodır Nesnede kaccedil gram saf guumlmuumlş vardır

Guumlmuumlşuumln safl ık derecesini peniveytlerle hesaplıyoruz222 ndash 86 = 22124 ndash 86 = 21318 elde edilir Buna goumlre guumlmuumlşuumln arılık derecesi

752134

3213

24

18213

peniveyttir

Şimdi x 480 = 21375 240 orantısından

5427240

48075213

x

elde edilir Demek ki guumlmuumlş eşyada 4275g saf guumlmuumlş vardır

49

Bir filizin toplam kuumltlesini hesaplamak iccedilin kıymetli metalin safl ık derecesi ve kuumltlesi bilinmelidir

4 Safl ık derecesi 800permil olan bir altın nesnede 648g saf altın vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

x 648 = 1000 800 orantısından 810800

1000648

x

elde edilir Demek ki filizin toplam kuumltlesi 810 grsquodır

5 Safl ık derecesi 230 peniveyt olan bir guumlmuumlş nesnede 483g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

x 483 = 240 230 orantısından

504230

240483

x

elde edilir Guumlmuumlş eşyanın toplam kuumltlesi 504 grsquodır

6 Safl ık derecesi B 112 olan bir guumlmuumlş nesnede 1341g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

Guumlmuumlşuumln arılık derecesi 222 + 112 = 22312 ya da

522324

12223

peniveyttir O halde

x 1341 = 240 2235 orantısından

14405223

2401341

x

elde edilir Guumlmuumlş nesnenin toplam kuumltlesi 1440grsquodır

Alıştırmalar

1 Kuumltlesi 180g ve arılık derecesi 880permil olan altın nesnede ne kadar saf altın vardır

2 Kuumltlesi 600g ve arılık derecesi W 2212 olan guumlmuumlş nesnede ne kadar saf guumlmuumlş vardır

3 Safl ık derecesi 850permil olan guumlmuumlş nesnede 595g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

4 Safl ık derecesi W 13 olan altın nesnede 324g saf altın vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

5 Safl ık derecesi 750permil olan altın nesnede 126g saf altın vardır Buna ne kadar saf altın katılmalıdır ki nesnenin safl ık derecesi 800permil olsun

50

24 Para Birimi Kavramı ve Oumlnemi

Latin soumlzuuml ldquovalutardquodan kaynaklanan para birimi kavramının birccedilok anlamı vardır Para devletccedile bastırılan uumlzerinde itibari değeri yazılı kağıt ya da metal oumldeme aracıdır Para birimi-nin birkaccedil anlamı vardır

temel para birimi (adı şekli yapılışı) bir devletin para sistemini ifade eder

devlet iccedilinde kanun aracı olarak finans oumldemeler iccedilin yani bir devletin para sisteminin temel para birimini efektif paraları ve para işaretlerini (metal ya da kağıt banknotlar) ifade eder

uluslararası ticarette sadece etkin yabancı paraların anlamı vardır yabancı devlette ikamet edenlerin para ve para işaretleridir

Uluslararası ticarette parayı temsil eden belgeler ccedilek fatura akreditifl er ya da uluslararası oumldemelerde kullanılan ccedileşitli araccedillar para kavramı kapsamında değildir Ancak devletlerin res-mi para işaretleri bulunan milli banknotlar ve demir paralar da geccedilerlidir

Makedonya Cumhuriyeti Doumlviz Kanununa goumlre yabancı devletlerin kullandıkları efektif paralar yabancı para sayılır ancak yabancı devletlerin bastıkları altın paralar muumlstesnadır ccediluumln-kuuml bunlar kıymetli metaller kavramına girer

Para birimi bir devletin para sisteminin temel birimidir kanunla duumlzenlenmiş bir uumllke-nin değerlerinin temel oumllccediluumlsuumlduumlr

Uumllkelerin paralarının adları farklı (oumlrnekdenar dinar euro dolar funt şiling vb) fakat birccedilok uumllkenin sadece isimleri aynı fakat diğer oumlzellikleri oumlrneğin değerleri şekilleri farklı olan paralar da vardır Oumlrnek para birimi dolar olan birccedilok uumllkeler Avustralya Kanada Hong Kong ve ABD

Temel birim olan para genellikle kuumlccediluumlk kısımlara (ufaklı paralara) ayrılarak genellikle ondalık ya da diğer bir sistem uygulamakla farklı adlarla ifade ediliyorlar (oumlrneğin ABD doları 100 sent Makedonya denarı 100 deni vb)

51

Para sisteminin temelini teşkil eden kıymetli metaller daha doğrusu altının geccedilerliliğe geccediltiği doumlnemlerde her uumllke kendi parasının ne kadar kıymetli metal iccedilereceğini kuvveti ve istikrarına bağlı olarak kendine ait kanunlarla tespit edilmekteydi Bununla belli ağırlıkta kıy-metli metalden oluşan bir para biriminin miktarını devlet kanunla duumlzenlemişti

Guumlnuumlmuumlzde artık hiccedilbir ulusal ekonomide tam değerinde para birimleri fonksiyonda de-ğildir Onlar artık para işaretleriyle yani kağıt paralarla değiştirilmiştir Guumlnuumlmuumlzdeki paraların yapıldığı malzemenin değeri ccedilok duumlşuumlktuumlr ve onların kendi asıl değerleri hemen de hiccedil yoktur Bir ulus devletinin ekonomisi ccedilerccedilevesinde uumlretebildiği mal ve yaptığı hizmetlerle kağıt paralar değerlerini kazanıyorlar Bir devletin parasal otoritesinin verdiği desteklerle de kağıt paralar kendi değerini belli bir seviyede tutabiliyorlar Devletin parasal yetkili organları oumlzerk yasa ile milli paranın değerini belirtir ve devletin ekonomik işlemlerinin kusursuz işlemesini sağlamak onların goumlrevidir

Mal ekonomisinde yapılan tuumlm işlemler para yardımıyla yapılır Bu nedenle mal uumlretimi-nin ve piyasanın etkisine dayanan ekonominin tuumlm işlevlerini para sistemi kontrol etmektedir Ekonominin ccedileşitli alanlarında olabilecek herhangi dengesizlik para ifadesi olarak algılanır ve ekonominin parasal sektoumlruumlne da yansır Diğer taraft an ekonominin parasal sektoumlruumlnde de den-gesizlik olabilir ve bu durum ekonominin reel sektoumlruumlnuuml etkilemektedir Bu şekilde ekonominin parasal ve reel sektoumlruuml arasında interaktif ilişkiler meydana gelir Ekonomi buumlyuumlme oranı işsiz-lik oranı enfl asyon ihracat ve ithalat oranı gibi ekonomi performansların oluşumu ekonomi-nin reel ve parasal sektoumlruumlndeki interaktif ilişkileriyle meydana gelmektedir

Alıştırmalar

1 Para birimi kavramının oumlnemini accedilıklayınız

2 Para biriminin tanımını ifade ediniz

3 Para birimlerin değeri neye bağlıdır

4 Kağıt paraların değeri nasıldır

5 Parasal sistem ve parasal otoritesi kavramlarını accedilıklayınız

52

25 Paraların Değerlerindeki Değişmelerin Hesaplanması

Bir ulusal ekonominin durumu iyiye ya da koumltuumlye doğru daima değişmektedir Uumllkede uumlretim verimliliğinin genel seviyesinin artması durumunda paranın resmi değerinde değişme olmadığına rağmen ulusal paran biriminin iccedil piyasadaki alım guumlcuuml artar Bu duruma paranın değer kazanması (apresiyasyon) denir

Aksi takdirde paranın resmi değerinde değişme olmadan ulusal paranın iccedil piyasadaki alım guumlcuuml azaldığı duruma paranın yıpranması (depresyonu) denilir Bu gibi olaylar daha uzun vadelerde meydana geldiği durumda enfl asyon ya da defl asyon denilen olaylara goumltuumlruumlr Bu gibi durumlardan ccedilıkış yolu ulusal para biriminin yabancı paralara goumlre değerinin değişmesiyle sağlanabilir

Şek1

Ulusal para biriminin değerinin değişmesi

Porast na vrednosta

Opa|awe na vrednosta

Deflacija (proces)

Revalvacija (akt)

Inflacija (proces)

Devalvacija (akt)

Değer kazanma Değer kaybetme

defl asyon(olay)

revaluumlasyon(hareket)

enfl asyon(olay)

devaluumlasyon(hareket)

Fiyatların genel seviyesinin devamlı kontroluuml ulusal para biriminin kur değişimi gerekli-liğini azaltmaktadır Bu demektir ki ulusal para biriminin diğer ulusların para birimlerine karşı değerinin azalması devaluumlasyon ve depresyon ile yapılabilir ulusal para biriminin diğer ulusla-rın para birimlerine karşı değerinin yuumlkselmesi ise revaluumlasyon ve apresiyasyon ile yapılabilir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak uumlzere duumlşuumlruumllmesine devaluumlasyon denir Ulusal paranın değerinin yıpranması (depresyonu) ise ulusal paranın yabancı para birimleri karşı-sında ekonomi kanunlarının etkisiyle değerinin yavaş yavaş duumlşuumlruumllmesidir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yuumlkselmesine revaluumlasyon denir Ulusal paranın değe-

53

rinin yuumlkselmesi (apresyiasyon) ise ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında ekonomi kanunlarının etkisiyle değerinin yavaş yavaş yuumlkselmesidir

Defl asyon durumunda ulusal ekonominin parasal kurumları yabancı para birimlerine goumlre ulusal para biriminin değerini oumlzel bir akt ile yuumlkseltiyorlar (para biriminin revaluumlasyonu) Enfl asyon durumunda ulusal ekonominin parasal kurumları oumlzel bir akt ile yerli para birimi-nin resmi doumlviz kurunun değerini azaltıyorlar Bu şekilde ulusal para biriminin yabancı para birimlerine goumlre değerini duumlşuumlruumlyorlar

Bir ulusal para biriminin yabancı para biriminin guumlncel değerine goumlre oumlrneğin Amerikan dolarına goumlre euronun değeri euronun dolara goumlre yuumlkselmesi ya da azalması euronun dolar karşılığında değeri hesaplanır

1 Oumlrnek euro $ doumlviz kuru euro1 = $ 093rsquoten euro1 = $ 109 olarak değişirse euro dolar karşı-lığında (109 ndash 093) 093 = 1720 (apresyon) değer kazanmıştır denir

Apresyon ve depresyonun hesaplanması iccedilin genel formuumll1)

euronun yuumlkselme ya da yıpranma değeri (miktarı) =

euronun doların bazında yeni değeri-euronun dolar bazındaki eski değerieuronun dolar bazında eski değeri

2) Bir para biriminin yuumlkselmesi (yıpranması)

H (euro) = 0

01

eee

ile hesaplanır

2 Yukarıdaki oumlrnekte verilen (e0 = $ 093 ve e1= $ 109) değerleri yerine değiştirirsek eu-ronun dolara karşı 1720 yuumlkseldiğini goumlruumlyoruz

Alternatif olarak doların euro değerinin değişimini belirtebiliriz Euronun dolar değerini ldquoerdquo (dollars per euro) ile işaret edersek o halde doların euro değeri (euros per dollar) ccedilarpımsal ters ya da ldquo1erdquo olmalıdır

3 Oumlrnek euronun değeri $ 093 ise doların değeri EUR1075 (1093)

0 ve t zaman aralığındaki doların euro değerinin değişimi 1et ndash 1e0rsquodır Bu ifade doların euro değerinin artışı (ya da azaldığı) kadar dolar euroya goumlre duumlştuumlğuumlnuumln (ya da yuumlkseldiğinin) yuumlzdelerle ifade edilişidir

54

3)

doların yuumlkselme ya da yıpranma değeri (miktarı ) =

doların euro bazında yeni değeri-dolarıneuro bazındaki eski değeri

doların euro bazında eski değeri

4) Bir para biriminin yuumlkselmesi (yıpranması) H ($)= 1

10

0

01

1

11

eee

eee

ile hesaplanır

4 Yukarıda verilen 3) formuumlluumlnuumln uygulanmasıyla euro doumlviz kurunun $093rsquoten $109 yuumlkselmesi elde edilir Bu ise doların 146 euroya goumlre duumlştuumlğuumlnuuml goumlstermektedir [(0917- 1075) 1075 = - 0146]

Doumlviz kurlarının değişiminin yuumlzdelerle hesaplanmasında uygulanan kurallarbull Pozitif yuumlzde değişim yabancı para biriminin yuumlkselmesi demektir

bull Negatif yuumlzde değişim yabancı para biriminin duumlşmesi demektir

Şekil2DOumlVİZ KURU LİSTESİ

Kur listesi No___________Kurlar ____________200___ guumlnuuml saat 0800 ndash 2000rsquoye kadar geccedilerlidir

DOumlVİZCİNSİ

ŞİFRE PARA BİRİMİNİN

İŞARETİ

BİRİM EFEKTİF ALIŞ

EFEKTİF SATIŞ

AB 978 EUR 1AVUSTRALYA 036 AUD 1KANADA 124 CAD 1DANİMARKA 208 DKK 100NORVECcedil 578 NOK 100İSVECcedil 752 SEK 100İSVİCcedilRE 756 CHF 100İNGİLTERE 826 GBP 1ABD 840 USD 1

Kaynak Makedonya Cumhuriyeti Halk Bankası

55

Oumlrneklerden goumlruumllduumlğuuml gibi euro doumlviz kurun dolara goumlre değişimi dolar doumlviz kurunun euroya goumlre değişimiyle aynı değildir Bunun sebebi şudur euro yuumlkselmesi (apresyonu) dola-rın yıpranması (depresyonu) ile aynı değildir ccediluumlnkuuml bir para birimin değeri diğer para birimin değerinin ccedilarpımsal tersidir Buna goumlre hesaplamalarda kullanılan temel veriler farklı oldukla-rından oumltuumlruuml para birimlerin değerlerinin yuumlzdelik değişimleri farklı olur

Alıştırmalar

1 Paranın depresyonu (yıpranması) kavramını accedilıklayınız

2 Devaluumlasyon nedir

3 Paranın yuumlkselmesi (apresyonu) kavramını accedilıklayınız

4 Revaluumlasyon nedir

5 Bir guumln zarfında euro dolar kuru 145rsquoten 153rsquoe değişmiştir Euronun değişimini (eu-ronun yuumlkselişini) yuumlzdelerle hesaplayınız doların değerinin yuumlzde değişimini de hesaplayınız

6 Denar euroya goumlre değerini ayarlayarak bir kere mahsus olmak uumlzere 615rsquoten 90rsquoa de-ğer değiştirmiştir Nasıl değişim soumlz konusudur ve yuumlzde kaccediltır

7 İsviccedilre frangı euroya goumlre 4 değer kazanmıştır Oumlnceki kur EURCHF 133 olduğuna goumlre şimdiki kur ne kadardır

26 Doumlviz Kavramı

Bir ulusal ekonominin yabancı devletlerdeki parası iki şekilde bulunuyorlar efektif ya-bancı paralar (foreıgn curency) ve yabancı para birimlerinde kısa vadeli alacaklar doumlvizler (foreign exchange)

Doumlviz kavramı etimolojik olarak yeni Latinceden daha doğrusu İspanyolca ldquodevi-sardquo (yabancı ccedilek onun birincil anlamı yabancı para biriminde oumldenecek fatura daha doğ-rusu yabancı devlette oumldenecek fatura) soumlzuumlnden kaynaklanır Genellikle doumlvizlere ldquoya-bancı piyasalara giriş biletlerirdquo ve onlar aynı zamanda yabancı devletlerde satın alım guumlcuuml-nuumln belgesidir denilebilir Bu demektir ki yabancı doumlviz sakini yabancı devletten alacaklı gibi yabancı para biriminde doumlvizlerin alıcısıdır Ya da oumlrneğin yerli sakin yabancı devlete

56

yaptığı ihracatın karşılığı olarak doumlviz olarak yabancı para biriminde değerli kağıt alır ve onunla yabancı devlette mal satın alabilir

Doumlvizler yabancı para biriminde kısa vadeli alacaklar gibi Finansal pazarın bir alanı gibi doumlviz piyasasında satılan ve satın alınabilen oumlzel bir maldır Doumlviz sahibine (yerli rezident-oturan) doumlvizler para değildir ccediluumlnkuuml onları ancak doumlviz pazarında sattıktan sonra ya da bir bankaya goumltuumlrduumlkten sonra yerli para elde edecektir

Doumlviz kavramı daha dar veya daha geniş anlamda tanımlanabilir

Dar anlamda doumlviz herhangi bir yoldan elde edilmiş kısa vadeli tuumlm yabancı paralar ve bu para cinsinden değer taşıyan menkul değerlere verilen isimdir Bu tanımı devletlerden ccediloğu benimsemiştir

Daha geniş anlamda doumlvizin tanımında dar anlamdaki tanımdan başka rezidentlerin (oturanların) sahip oldukları efektif yabancı parasal araccedillarını da iccedilerir Bunun accedilıklaması şu-dur Merkez bankanın yaydığı bu parasal araccedillar yerli rezidentlerin merkez bankasından ala-caklarıdır

Makedonya Cumhuriyetirsquonde doumlvizin geniş anlamdaki tanımı kabul edilmiştir Bu demek-tir ki yabancı devletlerde o devletin para birimi adında kısa vadeli alacaklar ve altın paralar hariccedil tuumlm yabancı efektif parasal araccedillar doumlviz sayılır

Doumlvizler yabancı uumllkelere oumldeme yapmaya yarayan her ccedileşit araccediltır Bu anlamda yazılı parasal araccedillar konvertibl para rejimlerinde doumlviz olarak kullanılırlar Doumlviz kelimesinin ge-niş anlamda kullanılışında oumlzellikle bankacılık uygulamalarında nakit yabancı paralara karşılık olarak bu gibi para yerine geccedilen oumldeme araccedillarına da doumlviz denmektedir Bu tanımdan hareket ederek siyasi - ekonomi accedilısından serbest ve bağlı doumlvizler olmak uumlzere iki gruba ayrılıyorlar

Serbest doumlvizler diğer devletlerin paralarına serbestccedile ve kolaylıkla ccedilevrilebilen doumlviz-lere konvertibl doumlviz ve yapılan bu işleme konvertibilite denir Uluslararası işlemlerde genelde kullanılan doumlviz konvertbil doumlvizdir Bir uumllkenin parası diğer bir uumllkenin parasına duumlnyanın her yerinde serbest bir şekilde ccedilevrilebiliyorsa o milli para iccedilin ldquotam konvertiblrdquo denir Dolayısıyla Konvertibl olan milli paralar uluslararası oumldeme aracı olarak kullanılırlar

Bağlı doumlvizler yabancı devletlerde yabancı oumldeme araccedillarıyla kısa vadeli alacaklar Bun-lar sadece anlaşma uumlzere yapılan oumldeme ccedileşitleriyle sağlanabilir Bağlı doumlvizlerin sahipleri ta-rafından kullanılışı sınırlıdır Bunlar genellikle konvertibil olmayan zayıf yumuşak ve klirink doumlvizlerdir

57

Birinci accedilıdan konvertibl olan milli paralar uluslararası oumldeme aracı olarak kullanılırlar Ccediluumlnkuuml konvertibl bir paraya sahip olan bir uumllke bunu istediği anda diğer bir paraya kolaylıkla ccedilevirebilir Parası konvertibl olan uumllke duumlnya ticaretinde bir Merkez Bankası gibi rol oynar ve oumldeme aracı olarak emisyonda bulunmak suretiyle bu işten kar bile elde edebilir Konvertibi-lite sonuccedilta bir uumllkenin ulusal parasının değişim aracı olma hesap birimi olma borccedil oumldeme ve birikim aracı olarak kullanılma gibi işlevlerini uumllke sınırları dışında da gerccedilekleştirmesi-dir Doumlvizlerin boumlyle bir oumlzelliği yoksa onlara bağlı doumlvizler denilir Aslında bunlar konvertibil olmayan alacaklardır Boumlyle doumlvizler uluslararası ticaret ve sermaye akımlarının gerccedilekleştiril-mesinde serbest olarak kullanılamıyorlar ancak iki devlet arasında yapılan anlaşmalara goumlre oumldemeler yapılabilir Aslında bu doumlvizlerin serbest akımı yoktur ve birinden diğerine geccedilme imkanı da yoktur

Doumlnuumlştuumlrme yapma (konverziyon) kabiliyeti accedilısından doumlvizler konvertibil konvertibil olmayan ve klirink olabilirler Konvertibil doumlvizler yabancı para biriminde olan kısa vadeli ve oumlnceden belirlenen pariteye goumlre farklı doumlvizlere ya da efektif parasal varlıklara doumlnuumlştuumlrme imkanı olan alacaklardır Konvertibilite tam veya sınırlı olabilir

Halbuki başka doumlvizlerle ya da yabancı efektif parasal varlıklarla doumlnuumlştuumlruumllmesi muumlm-kuumln olmayan doumlvizler konvertibil olmayan doumlvizler soumlz konusudur

Klirink doumlvizler alıcındashverici ikili anlaşmalarda kliring yoluyla oumldemelerde rastlanılır Bu gibi alış verişte pozitif saldo ancak negatif saldoda olan partnerin devletinde satın alımla den-gelenebilir Pozitif saldoyla gerccedilekleşen doumlvizleri uumlccediluumlncuuml bir uumllkede takaz yaparak dengeleme imkanı yoktur

Teslimat vadesine goumlre doumlvizler spot ve vadeli (temrinli) gibi iki cinsten olabilirler

Spot doumlvizler anında teslim kaydıyla yatırılan doumlvizlerdir Bu durumda adı geccedilen doumlvizin cinsine bağlı kullanma rejimine dikkatli olunması zorunluluğu vardır

Vadeli doumlvizler anında yatırılmış doumlvizler değildir Bu gibi doumlvizlerin teslimi iccedilin oumln-ceden yapılan soumlzleşmeye goumlre belli bir vadenin geccedilmesi gerekir Bu gibi doumlvizlerin satın alışı genellikle kur dalgalanmalarının risklerinden korunmak iccedilin ya da sadece spekuumllasyon amaccedillı kur farklarından kazanmak iccedilin yapılabilir

Alıştırmalar

1 Dar ve geniş anlamda doumlviz kavramını tanımlayınız

58

2 Doumlviz ve ulusal para birimi arasındaki farkı accedilıklayınız

3 Konvertibilite accedilısından doumlvizler ayrılışı

4 Spot ve vadeli doumlvizleri accedilıklayınız

5 Klirink doumlvizler kavramı ve oumlnemi

27 Doumlviz Kurun Kavramı ve Aslı

Doumlviz kuru bir birim yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatıdır

Buna goumlre her yabancı para ya da yabancı para cinsinden kısa vadeli her alacak ulusal piyasada doumlvizdir ve kendi fiyatı yani doumlviz kuru vardır

Doumlviz kurunu doumlviz (para birimi) paritesinden ayırmalıyız ccediluumlnkuuml doumlviz paritesi ulusal paranın değeri daha geniş ortak payda (deminator) altın herhangi bir istikrarlı para vb ile karşılaştırarak resmi olarak tespit edilir Normal şartlarda doumlviz kuru taban gibi doumlviz paritesi etrafında seyreder

Aslında doumlviz kuru ulusal paranın yabancı paraya goumlre fiyatıdır ya da diğer soumlzlerle bir birim yabancı para iccedilin ulusal paradan kaccedil birim para verilmelidir anlamındadır Kurun bu şekilde ifade edilişine Kurun bu şekilde ifade edilişine doğrudan kotasyon sistemi denir

Dolaylı kotasyon sistemi ise sadece İngiltere devletinde (ve onun bir zamanki kolonileri olan devletlerde) uygulanmaktadır Burada doumlviz kuru bir yerli para birimi iccedilin yabancı para biriminden kaccedil birim oumldenmesi gerekir biccediliminde tanımlanır1

Nominal doumlviz kuru enfl asyon katsayısını hesaba koymadan yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatına denir

Reel doumlviz kuru nominal kurların iccedil ve dış enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmış şekline denir Bu ise ccedilok oumlnemlidir ccediluumlnkuuml enfl asyon para biriminin değerini yitirir yani onun satın alım guumlcuumlnuuml azaltır Nominal kurun enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmasıyla adı geccedilen para biriminin satın alım guumlcuumlnuumln daha reel değeri goumlruumlnuumlr

1 Doğrudan hesaplama yabancı para biriminin 1 ya da 100 birimi ulusal para birimiyle ifade edilir (1 EUR = 61 denar) Dolaylı hesaplamada ise yerli para biriminin 1 ya da 100 birimi yabancı para birimi ile ifade edilir (100 denar = 180 EUR)

59

Efektif doumlviz kuru uumllkenin ticari ilişkide bulunduğu uumllkelerin paralarındaki değişmele-rin uumllkenin doumlviz kurlarına yansıtılması yoluyla elde edilir

Efektif paraların sahte olma imkanı olduğundan bankalar pratikte efektif doumlviz kurunu oumlzel olarak goumlsteriyorlar Efektif doumlviz kuru genellikle doumlvizlerin kurlarından daha alccedilaktır Bunun nedeni sahte olma riski ve devletten devlete transfer harcamalarıdır

Uluslararası her işlem iki satın alımla yapılır Uluslararası alışverişte malın satın alınması ve para biriminin satın alınmasıdır Bunu şu şekilde izah edebiliriz X devletinden ithalatccedilı Y devletinden ithal yaparsa o Y devletinde sadece mal değil para birimi de satın almak mecbu-riyetindedir Bu şekilde şu sonuca varıyoruz Uluslararası alışverişte sadece malların fiyatları değil ulusal para birimlerinin de fiyatları oluşmaktadır

Bunu şu bağıntılarla goumlsterebiliriz

a) İhracat iccedilin Ei = Qi pi T yani bir malın ihracat değeri mal miktarı yabancı doumlviz piyasasındaki fiyatı ve yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

b) İthalat iccedilin Ui = Qi pi T(1+ti) yani bir malın ithalat değeri mal miktarı satın alındığı pazar fiyatı ve ithalat masrafl arıyla (1 + ti) arttırılmış yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

Bazı durumlarda doumlvizler ve para birimlerinin kurları uluslararası para kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar

Uluslararası para kuru bir devletin efektif paraları diğer bir devletin efektif parasıyla de-ğiştirme fiyatıdır

Her para biriminin bir paritesi vardır yani kur fiyatı vardır ve bu fiyat uluslararası para kurunun dayanış noktasıdır

Doumlviz kurları doumlviz piyasasında doumlviz arz eden ve doumlviz talep edenlere goumlre oluşur Douml-vizlere arz ve talep oumldeme bilanccedilosu durumunu ifade etmektedir Oumldeme bilanccedilosundaki accedilık (defitsit) doumlviz talebi doumlviz arzından buumlyuumlktuumlr demektir Oumldeme bilanccedilosundaki fazla (sufitsit) ise doumlviz arzı doumlviz talebinden buumlyuumlktuumlr demektir

Alıştırmalar

1 Doumlviz kuru nedir

60

2 Doğrudan kotasyonu accedilıklayınız

3 Dolaylı kotasyonu accedilıklayınız

4 Nominal reel ve efektif doumlviz kuru kavramı ve anlamı

5 Uluslararası para kuru nedir

28 Spot İşlemler

Doumlviz piyasasında temel işlem spot soumlzleşmesidir

Bir para birimini diğer para birimiyle alış veya satışının işlem tarihinde belirlenen fiyat uumlzerinde en ccedilok iki iş guumlnuuml sonrasında gerccedilekleştirildiği işleme spot işlemi denir Bu esnada işlemin yapılması iccedilin gereken evraklar hazırlanır ve efektif transferin yapılmasına imkan sağ-lanmış olur

Spot işlem bir para biriminin diğer para birimiyle anında değiştirmedir Spot doumlviz kuru anında geccedilerlilikte olan kur ya da soumlzleşmeli pazar fiyatıdır Spot işlemler aslında oumldemenin hemen yapılacağı anlamında değildir Uluslararası anlaşmaya goumlre oumldeme tarihi ya da değer tarihi (settlement date value date) tarafl ar arası alış verişin yapıldığı guumlnden (second busines day aft er the ldquodeal daterdquo or ldquotrade daterdquo) iki iş guumlnuuml sonrasına kadar gerccedilekleşebilir İki guumln vade her iki taraf (arz eden ve talep eden) iccedilin gereken evrakların hazırlanması banka hesaplarının dengelenmesi gibi işlemlerin yapılması iccedilin yeter bir suumlredir

Muumlstesna Kanada doları (CAD) ve ABD doları (USD) arasındaki spot işlemlerin vadesi alış veriş yapıldığı guumlnden sonra sadece bir guumlnduumlr (ccediluumlnkuuml Kanada ve ABD aynı zaman dilimin-de bulunuyorlar)

Tekrarlayalım spot işlem alış veriş guumlnuumlnden sonra iki iş guumlnuuml geccedilerlidir

Spot işlemler bir para birimin diğer bir para birimiyle doğrudan alış verişidir ve bu alış veriş yapıldığında para transferi iki devlet arasında geccedilerli olan oumldeme sistemleri doğrultusun-da gerccedilekleşir

Tipik bir spot işlem oumlrneği New Yorkrsquotan bir A bankası 1 haziranda Frankfurtrsquotan bir B bankası ile euro karşılığı 10 milyon dolar satmak iccedilin kur fiyatı 3 haziran oumlrneğin bir dolar iccedilin 0785 EUR olmak uumlzere anlaşma yapılmıştır 3 haziranda B bankası Almanyarsquoda A bankasının hesabına 785 milyon EUR oumldeyecek A bankası ise aynı guumlnde ABDrsquode B bankasının hesabına 10 milyon dolar oumldeyecektir Her iki tarafın bankalara parayı oumldemekle işlem tamamlanmış olur

61

Doumlviz pazarında her para birimi iccedilin iki fiyat vardır ndash fiyatlardan biri belli bir para bi-rimini satıcının satmak istediği fiyat ve ikincisi satın alanın satın almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru) Pazar sunucusundan her iki fiyatı sunması beklenilir bununla (making a market) pazarı oluşur

Spot kurlarda kurların kotasyonunun bilinmesi oumlnemlidir Daha doğrusu doğrudan ve dolaylı kotasyon Avrupa ve Amerika koşulları vb

Bir para biriminin fiyatı gibi bir doumlviz kurunun diğerine goumlre kotasyonu iki şekilde gouml-ruumllmektedir ulusal para biriminin yabancı para birimine goumlre değeri doğrudan kotasyondur (oumlrnek ABDrsquode dolar ya da Makedonya iccedilin denar) yabancı para biriminin yerli para birimine goumlre değeri dolaylı kotasyondur (ABDrsquoden iseniz dolar ya da Makedonya iccedilin denar)

ldquoAmerika koşullarırdquo (Amerikan terms) ifadesi ABDrsquode bulunan birine goumlre kotasyon Bu ise dolar iccedilin şu demektir yabancı para biriminin değişken değerinin dolar karşılığının seyridir (oumlrnek 127 dolar bir EUR iccedilin)

ldquoAvrupa koşullarırdquo ifadesi Avruparsquoda bulunan birine goumlre kotasyon Bu ise dolar iccedilin şu demektir yabancı para biriminin bir dolar iccedilin değişken seyridir (ya da $1 iccedilin EUR 0785)

1978 yılında doumlviz pazarı kuumlresel pazara entegre olduğunda kolaylık olmak iccedilin ABDrsquodeki pazar pratiği de Avrupa duumlzeniyle uyum sağlamak iccedilin komisyoncuların girişimi uumlzere değişti-rildi

Bu şekilde OTC pazarı Avrupa şartlarına goumlre her devlette doları hemen de her para biri-mine goumlre seyrini belirlemektedir (yani yabancı paranın 1$ karşılığındaki değeri) Buna goumlre hemen de her zaman dolar taban para birimi olarak (base kurrence) kabul edilmiştir Bir birim ($1) yabancı para biriminin değişen değeriyle satın alınır ya da satılır

Bu genel kuraldan istisnalar da olabilir yani duumlnyada tuumlm OTC pazarlarında İngiliz sterli-ni temel para birimi gibi hala seyretmektedir Dolayısıyla duumlnyanın her yerinde piyasa yapıcıları ve komisyoncuları funta sterlini (GBP) bir sterline x dolar kurunu belirliyorlar İngiltere 1971 yılına kadar ondalık para birimi sistemini kabul etmemişti Bu durumda değişen miktarlarda yabancı para birimlerini sterline ccedilevirme ve pazarlama matematiksel accedilıdan daha kolay yapıla-bilirdi GBP ile tarihsel bağları olan bazı para birimleri (İrlanda Avustralya ve Yeni Zelanda para birimleri) OTC pazarında sterlin gibi kur belirliyorlar (bir birim iccedilin değişik miktar Euro)

Duumlz ve dolaylı kur belirleme birbirinin ccedilarpımsal tersidir ve biri diğeriyle kolay belirle-nebilir

62

Her doumlviz işlemi iki para birimi kapsamında yapılır Burada oumlnemli olan para birimlerin-den hangisi temel para birimidir (Base Currency kotasyonlu sabitleşmiş) ve hangisi koşullan-mış para birimidir (Terms Currency) ya da hesaplanan (counter currency)

Genel olarak iki para birimi arasındaki doumlviz kuru (Exchange rate) oumlrneğin USD ve JPY arasında doumlviz kuru USDJPY biccediliminde yazılır Burada 1 USDrsquoa karşılık JPY sayısı anlamında-dır JPYUSD ise 1JPY karşılığında USD sayısını ifade eder

Para biriminin sol tarafında yazılan kod temel para birimidir ve daima birimdir

Para biriminin sağ tarafında yazılan kod değişken para birimine aittir (koşullu hesapla-nan birim ya da kur ayarlı - kotasyonlu para birimi) Kur fiyatına goumlre bu paranın birim sayısı temel paranın bir birimine eşittir

Temel para birimi daima sol taraft a yazılır Oumlrneğin NOKDKK oranı bir NOK birimine karşılık gelecek DKK sayısı

1 CHF DKK kuru 41235rsquotir 1 milyon CHF satın alıyorsak kaccedil DKK oumldemeliyiz 41235 sayısı 1 CHF iccedilin DKK sayısını goumlsterir Buna goumlre 4 123 500 DKK oumldemeliyiz

1 000 000 4 1235 = 4 123 500

2 Şimdi tersine DKK 1 milyon iccedilin ne kadar CHF gerekir hesaplayalım (CHF DKK kuru 41235) Bu durumda CHF 242 51243 elde edilir

1 000 000 41235 = 242 51243

Değişen para birimi pay temel para birimi ise paydadır Pay arttığı durumda temel para birimi artar yani kuvvetleşir ndash pahallılaşır Pay azaldığı durumda temel para birimi zayıfl aşır ve daha ucuz duruma gelir Soumlzluuml ifadede temel para birimi daima ilk soumlylenir

DolarYen (USDJPY) kur ayarında dolar temel para birimi ve paydadır yen ise değişken ve paydır Para birimlerden bazılarının takma adları da vardır ( Paunt ndash Cable İsviccedilre frangı ndash Swissie Avustralya doları ndash Aussie) GBP USD kurunun takma adı Cablersquodir

Piyasa yapıcısının (marketndashmaker) kur ayarlamaları daima onun goumlrme noktasındandır (satın aldığı temel para biriminden alış fiyatı ve temel para birimi iccedilin satış fiyatı)

Piyasa yapıcısına USDCHF kuru sorulunca 14975 ndash 85 biccediliminde cevaplayabilir Bu-nunla CHFrsquoin alış fiyatı bir dolara 14975 ve satış fiyatı bir dolar iccedilin 14985 olduğunu anlı-yoruz Genellikle piyasa yapıcısı kur ayarını 75 ndash 85 aralığında ifade eder ccediluumlnkuuml buumlyuumlk sayı (ldquobig figurerdquo) 149 olduğunu muumlşterinin bildiğini var sayar Kurun alış fiyatı daima sol taraft an ilkidir ve satış fiyatından daima kuumlccediluumlktuumlr (sağ taraft akinden) Aralarındaki farka marj ya da bant (spread) denir

63

Alış ve satış kur fiyatlarının ayarı doumlrt ondalık basamağı kesinliğiyle ifade ediliyorlar bu ise değişken para biriminin 1rsquoin yuumlzde biridir yani 110 000rsquodir ve ona pips denir Mutlak değe-ri kuumlccediluumlk olan bazı para birimlerinde oumlrneğin yenin kur ayarı iki ondalık basamağı kesinliğiyle ifade ediliyor ve burada pips değişken para biriminin 1100rsquouumlduumlr Her para piyasasında pips ya da tik fiyat değişiminin en kuumlccediluumlk değeridir

Alıştırmalar

1 Spot işlem nedir

2 Spot doumlviz kurunu accedilıklayınız

3 Temel para birimi nedir koşullanmış para birimi nedir

4 Dolar ile 100000 EUR satın alıyoruz (kur EURUSD 144) Kaccedil dolar oumldemeliyiz

5 Euro ile 100000 USD satın alıyoruz (kur EURUSD 146) Kaccedil euro oumldemeliyiz

29 Spot Kurları Nasıl Ayarlanır

Euro bazında (EUR) kur ayarlaması yapıldığında bankalar arası piyasada birccedilok para birimlerinin kur ayarları 1 EUR karşılığı para birimlerinin farklı miktarları goumlsterilme pratiği vardır Diğer soumlzlerle bir ya da iki para birimi olduğunda EUR temel para birimidir

Benzer şekilde EUR dışında bankalar arası soumlzleşmeye goumlre tuumlm para birimlerinin USD bazında kur ayarlamaları yapılır

Herhangi iki konvertibil para birimi arasında diling yapılabildiğine rağmen oumlrnek EURrsquoa goumlre NZDrsquoya da JPYrsquoa goumlre CHF tarihsel olarak bankalar arası piyasada en ccedilok kur ayarı USDrsquoye goumlre yani dolar bazında kur ayarlamaları yapılır Bununla paralar arası birccedilok kur ayarı atlatıl-mış olur USD olmayan herhangi iki para biriminin doumlviz kurları dolar bazından hesaplanabilir

USD dışında herhangi iki para biriminin kurları ccedilapraz kur (cross-rate) diye ifade edilir

Guumlnuumlmuumlzde ccedilapraz kur denilince birden fazla ulusal paranın aralarındaki kurların bir anahtar para cinsinden hesaplaması anlaşılmaktadır Oumlrnek GBP SEK kuru EURGBP ve EURSEK kurlarını kullanarak hesaplanabilir

64

Ccedilapraz kurlarla pazarlama (Cross Rate Trading) paraların değiş tokuşu gibi algılanabilir ve bu pazarlamada dolar ne temel ne de değişken para birimi değildir Oumlrnek EURJPY kurun-da EUR ndash temel JPY- değişken para birimidir

Piyasada işlem yapan bankalar ve diğer ilgili kurumlar tarafından verilen kotasyonlar biri alım (bid rate) diğeri ise satım (ask rate) olmak uumlzere ccedilift tarafl ıdır Alış kurları satış kurla-rından daha duumlşuumlktuumlr Yani banka ve diğer aracı kurumlar doumlvizi duumlşuumlk fiyattan alıp yuumlksek fiyattan satmaktadırlar

3 Banka USD doları 14375 CHF satın alır ve USD doları 14385 CHF satıyorsa USDCHF kursu 1437514385 şeklinde seyredecektir

Kotasyonun iki tarafındaki farkı marj (ldquospreadrdquo) olarak adlandırılır

Piyasada doumlviz kurlarına ilişkin verilen alış ve satış kotasyonlarında alış kotasyonları her zaman satış kotasyonlarından daha duumlşuumlk olarak gerccedilekleşir Alış (bid) ve satış (off er) kotasyon-ları arasındaki farkı goumlsteren bandın (spreat) geniş veya dar olması kimin alım-satım işlemi yaptığına ve alım-satım yapılan miktarın buumlyuumlkluumlğuumlne goumlre değişim goumlstermektedir

Ccedilarpımsal ters kurlar da vardır Temel para birimi sayılan herhangi para biriminin ko-tasyonu değişken para birimi olarak kendi ccedilarpımsal tersi biccediliminde kendine denk kotasyona doumlnuumlştuumlruumllebilir

4 1437514385 kotasyonunda USDCHF kuru CHFUSD biccediliminde (114375) (114385) kotasyonuna doumlnuumlştuumlruumllebilir Değerler ne olursa olsun kuumlccediluumlk sayı solda yazılarak kotasyonun her iki tarafı birbirinin tersidir 0695206957 İkinci durumda bandın solundaki fiyatla banka değişken para birimine goumlre temel para birimini satın alıyor sağdaki fiyatla da satıyor

Kurlar genellikle centin 1

100 (yuumlzde biri) biccediliminde kotlanıyorlar

Bu değer puan ya da pip diye adlandırılır Oumlrnek USDCHF kuru genel olarak doumlrt ondalık basamaklı sayı -1437514385 biccediliminde ifade edilir Ondalık basamaklar sayıların buuml-yuumlkluumlğuumlne bağlıdır USDJPY durumunda anlaşmaya goumlre 2 ondalık basamağı kullanılır USDJPY kotasyonu 1050510515 burada 15 puan 015 JPY demektir ve her iki durumda 1 puan kotlanmış ondalık sayının son basamağındaki birimdir

5 USDCHF kurunda pazarlama yaparken USD 1 000 000 miktarında bir puanın değeri CHF 100 olur Diğer soumlzlerle doumlviz kuru bir puan değiştiğinde pazarlamanın kacircr ya da zararı CHF 100rsquoduumlr Yani

1 000 000 CHF 00001 = CHF 100

Puan (point) doumlviz kurunun ondalık basamaklarının son basamağındaki birimdir Doumlviz kuru genellikle puanlarla ya da pipslerle kotlanıyorlar en sık son iki basamaktaki sayı ile ifade edilir Buumlyuumlk rakamlar (big figure) puanlar hariccedil doumlviz kurunun ilk kısmıdır

65

Alıştırmalar

1 Alış - satış kurunu accedilıklayınız 2 Ccedilapraz kur nedir3 Pips nedir4 Мarj - band (spread) nedir5 EURUSD kuru 144 ndash 146rsquodır Bunun ccedilarpımsal ters kurunu goumlsteriniz

210 Kacircr ve Zarar

Her bankanın amacı kacircr sağlamaktır Bu nedenle paralarla alış satış işlemleri yaparken da-ima temel para birimini değişken para birimine goumlre muumlmkuumln olduğu kadar en pahalı satmak ve aynı parayı en ucuz fiyata almayı amaccedillar

1 USDCHF kuru 14831485bdquoтirAlış veriş 1 Banka 14830 kuruyla CHF karşılığında USD 1 000 000 satın almıştırAlış veriş 2 Banka 14855 kuruyla CHF karşılığında USD 1 000 000 satmıştır Para akışı nakit (cash fl ows) USD CHF Alış veriş 1 + USD 1 000 000 - CHF 1 483 000Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + CHF 1 485 500Net sonuccedil + CHF 2 500Banka CHF 2 500 kacircr yapmıştır uml

2 Spot USDCHF 15835 durumunda CHF para birimiyle USD 1 milyon satın alıyoruz Daha sonra aynı guumln spot kotasyonu USDCHF 15836 olduğu an USD 1 milyon satıyoruz Bununla 1 puan kacircr elde ediyoruz

Para akışı nakit (cash fl ows) USD CHF Alış veriş 1 + USD 1 000 000 - CHF 1 583 500Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + CHF 1 585 600Net sonuccedil + CHF 100

66

Buna goumlre USDCHF kotasyonunda dil ile (anlaşmayla) USD 1 milyonda 1 puanın değeri CHF 100rsquoduumlr

3 USDJPY spot kuru 11835 durumunda JPY para birimiyle USD 1 milyon satın alıyo-ruz Daha sonra aynı guumln spot kotasyonu USDJPY 11836 olduğu an USD 1 milyon satıyoruz Bununla 1 puan kacircr elde ediyoruzPara akışı nakit (cash fl ows) USD JPYAlış veriş 1 + USD 1 000 000 - JPY 118 350 000Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + JPY 118 360 000Net sonuccedil + JPY 10 000Buna goumlre USDJPY kotasyonunda dil ile (anlaşmayla) USD 1 milyonda 1 puanın değeri JPY 10 000rsquodir

Alıştırmalar

1 EURCHF kuru 132 ndash 134rsquotuumlr Bu kura goumlre verilen bantta 20 000 CHF alınmış ve satılmışsa ne kadar kacircr elde edilmiştir

2 Bir kişi satış fiyatı 6170 MKD kuruyla 10 000 EUR satın almıştır Bir vakit geccediltikten sonra alış fiyatı 6140 MKD kuruyla 10 000 EUR satmıştır Net sonuccedil nedir

211 Pozisyonda Tutunma

Pazarcı her an nasıl pozisyonda olduğunu bilmesi gerekir (pozisyonda tutunma ndash posi-tion keeping) ndash bir guumlnde yaptığı pazarlama işlemlerinin net sonucu (bilanccedilosu) Bulunduğu noktada kazanccedillı olup olmadığını tespit etmek iccedilin o geccedilerlikte olan anındaki doumlviz kuruyla karşılaştırma yapmak iccedilin pazarcı aynı zamanda kendi net ndash pozisyonunun ortalama doumlviz kurunu bilmesi gerekir Pazarcı guumln sonunda pozisyonunu kapamak mecburiyetinde değildir fakat boumlyle durumda o ana kadar pozisyonunun marking to market durumunu yani gerccedilek-leşmeyen kazancı ya da zararı hesaplamalıdır Bunu belirtmek iccedilin guumln sonunda sanki pozis-yonu kapatmış olduğunu sayarak geccedilerlilikte olan kur (current rate) ile kazancın ya da zararın ne kadar olduğunu hesaplamakla belirtir

1 USDCHF ile 3 spot pazarlama şu şekilde yapmışsınız

67

USD 4 milyon 16723 kuruyla satışUSD 1 milyon 16732 kuruyla alışUSD 5 milyon 16729 kuruyla alışPiyasa USDCHF 16730 kuruyla kapanmıştır

Pozisyonunuz nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru nedir Sizin net kazancınız ya da zararınız ne kadardır

USD CHF

- 4 000 000 kur 16723 + 6 689 200

+ 1 000 000 kur 16732 - 1 673 200

+ 5 000 000 kur 16729 - 8 364 500

Pozisyon + 2 000 000 - 3 348 500

Ortalama kur 6742510000002

5003483

- 2 000 000 kur 16730 + 3 346 000Zarar - 2 500

Pozisyon fazla alınmış olan USD 2 milyondur Ortalama kur 167425 zarar CHF 2 500 Zarar USD konvansiyonu spot kur ile USD bazında da goumlsterilebilir ya da karşılığındaki spot kuruyla herhangi bir para birimiyle goumlsterilebilir

Alıştırmalar

1 Saat 10rsquoda EURNOK spot kuru 744rsquotuumlr (kotasyon 100 NOK iccedilindir) Bu kur ile NOK 500 000 satıyoruz saat 14rsquote ise EURNOK kuru 766 olur Saat 19rsquoda yeni bir duumlzenleme ile EURNOK kuru 735 oluyor Her iki terminde kacircr ya da zararı goumlsteriniz

2 USDCHF ile 3 spot alışveriş şu şekilde yapılmıştır

68

USDCHF 1041 kuruyla CHF 100 000 satın alınmıştırUSDCHF 1038 kuruyla CHF 200 000 satılmış USDCHF 1039 kuruyla CHF 300 000 satın alınmıştırPiyasa USDCHF 1045 kuruyla kapanıyor

Pozisyon nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru ne kadardır Net kazanccedil ya da zarar ne kadardır

3 USD alış fiyatı 4950 satış fiyatı ise 5000rsquodır 200 USD alım satımında kacircr ne kadardır

4 EURUSD 140 kuruyla USD ile 100 000 EUR satın alınmıştır Şimdiki kur EURUSD 123rsquotuumlr Euroları şimdi sattığımızda zarar ne kadardır

5 Saat 10rsquoda EURAUD 144 kuruyla 100 000 AUD satın alınmıştır Saat 12rsquode kur 145 saat 15rsquote ise 1437 olmuştur Kazanccedillı ccedilıkmak iccedilin Avustralya dolarları hangi anda satılmalıydı

212 Konuyu Pekiştirme Alıştırmaları

1 820permil altının safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade ediniz

2 W 724 altının safl ığını milyem (binde) biccediliminde ifade ediniz

3 W 1012 guumlmuumlşuumln safl ığını milyem (binde) biccediliminde ifade ediniz

4 Kuumltlesi 600 gram ağırlığında olan bir guumlmuumlş nesnede 480g saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln safl ığını

a) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

5 B 12 safl ığında bir altın nesnede 120g saf altın vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

6 Safl ığı 750permil olan bir guumlmuumlş nesnede 22g saf guumlmuumlş vardır Eşyanın toplam kuumltlesi ne kadardır

7 Safl ığı 900permil olan 500g altından ve safl ığı 850permil olan 750g altından yapılmış bir altın nesnenin safl ık derecesini hesaplayınız

69

8 100g saf guumlmuumlş 100g bakır ve safl ığı 204 peniveyt olan 500g guumlmuumlşten yapılmış olan eşyanın safl ığını (arılık derecesini) hesaplayınız

9 Dolarfrank kursu bir guumlnde 121rsquoden 123rsquoe değişmiştir Doların değişimini (artışını) yuumlzde olarak ifade ediniz Aynı zamanda frankın değişimini yuumlzdelerle ifade ediniz

10 Denar dolara karşı değerini kademeli olarak 615rsquoten 75rsquoe değiştirmiştir Nasıl değişim soumlz konusudur ve bunun yuumlzdesi ne kadardır

11 EUR İsviccedilre frangına goumlre 5 değer kazanmıştır (oumlnceki kur EURCHF 133) Şimdiki kur ne kadardır

12 Saat 10rsquoda spot kur EURUSD 144rsquotuumlr Bu kurla USD 5000 satıyoruz Saat 14rsquote EURUSD 146 ve saat 19rsquoda kur EURUSD 143 olmuştur Her iki terminde kacircr ya da zararı hesapla-yınız

13 EURAUD ile 3 spot pazarlama şu şekilde yapılmıştır

1622 kuru ile AUD 100 000 satın alınmıştır1632 kuru ile AUD 300 000 satılmıştır 1641 kuru ile AUD 600 000 satın alınmıştırPazar 1635 ile kapanmıştır

Pozisyonunuz nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru ne kadardır Net kacircr ya da zarar ne kadardır

70

Konu Oumlzetleri

Altın guumlmuumlş platin cıva rutenyum rodyum osmiyum paladyum ve iridyum element-leri kıymetli metallerdir

İki ya da daha ccedilok metalin karışımına filiz denir Filizdeki kıymetli metalin kuumltlesine saf kuumltle de denir filizin kuumltlesine ise toplam kuumltle de diyeceğiz

Bir filizde bulunan kıymetli metalin kuumltlesi ve filizin toplam kuumltlesinin oranına kıymetli metalin safl ık (arılık) derecesi ya da safl ığı denir Kıymetli metalin safl ığı milyem ve İngiliz usuluuml olmak uumlzere iki şekilde ifade edilmektedir

Filizin toplam kuumltlesini m saf kuumltleyi mb ve safl ık derecesini f ile işaret edersek kıymetli metallerin safl ık (arılık) derecesini şu formuumllle ifade edebiliriz

1000mmf b permil

İngiliz usuluuml ile ifade edildiğinde altının safl ık derecesi karat (ayar) guumlmuumlşuumln safl ık de-recesi peniveyt (guumlmuumlş ayarı) oumllccediluuml birimiyle ifade edilir

Safl ık derecesi 22 karat olan altına standart altın denir safl ık derecesi 222 peniveyt (guuml-muumlş ayarı) olan guumlmuumlşe standart guumlmuumlş denir Altın (guumlmuumlş) filiz standart altından (guumlmuumlş-ten) daha iyi ise onu B (ing Beter ndash daha iyi) ile standart oumllccediluumlden daha koumltuuml ise onu W (ing Worse ndash daha koumltuuml) işaretiyle işaretlenir

Para birimi bir devletin para sisteminin temel birimidir kanunla duumlzenlenmiş bir uumllke-nin değerlerinin temel oumllccediluumlsuumlduumlr

Uumllkede uumlretim verimliliğinin genel seviyesinin artması durumunda paranın resmi de-ğerinde değişme olmadığına rağmen ulusal paran biriminin iccedil piyasadaki alım guumlcuuml artar Bu duruma paranın değer kazanması (apresiyasyon) denir

Aksi takdirde paranın resmi değerinde değişme olmadan ulusal paranın iccedil piyasadaki alım guumlcuuml azaldığı duruma paranın yıpranması (depresyonu) denilir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak uumlzere duumlşuumlruumllmesine devaluumlasyon denir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yuumlkselmesine revaluumlasyon denir

71

Bir ulusal ekonominin yabancı devletlerdeki parası iki şekilde bulunabilir Efektif yaban-cı paralar ve kısa vadeli yabancı para birimleri cinsinden alacaklar ya da doumlvizler

Doumlviz kısa vadeli tuumlm yabancı paralar ve bu para cinsinden değer taşıyan menkul değer-lere verilen isimdir Metal altın paralar bunun haricindedir

Bu tanımdan hareket ederek siyaset - ekonomi accedilısından serbest ve bağlı doumlvizler olmak uumlzere iki gruba ayrılıyorlar Doumlnuumlştuumlrme yapma (konverziyon) kabiliyeti accedilısından doumlvizler konvertibil konvertibil olmayan ve klirink olabilirler Teslimat vadesine goumlre doumlvizler spot ve terminli gibi iki cinsten olabilirler

Doumlviz kuru bir birim yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatıdır Aslında doumlviz kuru ulusal paranın yabancı paraya goumlre fiyatıdır ya da diğer soumlzlerle bir birim yabancı para iccedilin ulu-sal paradan kaccedil birim para verilmelidir anlamındadır Kurun bu şekilde ifade edilişine doğru-dan kotasyon sistemi denir Dolaylı kotasyon sistemi ise sadece İngiltere devletinde (ve onun bir zamanki kolonileri olan devletlerde) uygulanmaktadır Burada doumlviz kuru bir yerli para birimi iccedilin yabancı para biriminden kaccedil birim oumldenmesi gerekir biccediliminde tanımlanır Nomi-nal doumlviz kuru enfl asyon katsayısını hesaba koymadan yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatına denir Reel doumlviz kuru nominal kurların iccedil ve dış enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmış şekline denir Efektif doumlviz kuru uumllkenin ticari ilişkide bulunduğu uumllkelerin paralarındaki de-ğişmelerin uumllkenin doumlviz kurlarına yansıtılması yoluyla elde edilir Efektif paraların sahte olma imkanı olduğundan bankalar pratikte efektif doumlviz kurunu oumlzel olarak goumlsteriyorlar Efektif doumlviz kuru genellikle doumlvizlerin kurlarından daha alccedilaktır ve bankalar bu kuru ayrıdan goumlste-riyorlar

Uluslararası her işlem iki satın alımla yapılır Uluslararası alışverişte malın satın alınması ve para biriminin satın alınmasıdır Bu şekilde şu sonuca varıyoruz Uluslararası alışverişte sa-dece malların fiyatları değil ulusal para birimlerinin de fiyatları oluşmaktadır Bunu şu bağın-tılarla goumlsterebiliriz

a) İhracat iccedilin Ei = Qi pi T yani bir malın ihracat değeri mal miktarı yabancı doumlviz piyasasındaki fiyatı ve yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

b) İthalat iccedilin Ui = Qi pi T(1+ti) yani bir malın ithalat değeri mal miktarı satın alındığı pazar fiyatı ve ithalat masrafl arıyla (1 + ti) arttırılmış yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

Bazı durumlarda doumlvizler ve para birimlerinin kurları uluslararası para kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar Uluslararası para kuru bir devletin efektif paraları diğer bir devletin efektif parasıyla değiştirme fiyatıdır

72

Bir para birimini diğer para birimiyle alış veya satışının işlem tarihinde belirlenen fiyat uumlzerinde en ccedilok iki iş guumlnuuml sonrasında gerccedilekleştirildiği işleme Spot işlem denir

Bu esnada işlemin yapılması iccedilin gereken evrakların hazırlanır ve efektif transferin yapıl-masına imkan sağlanmış olur

Spot doumlviz kuru anında geccedilerlilikte olan kur ya da soumlzleşmeli pazar fiyatıdır

Spot işlemler bir para biriminin diğer para birimiyle doğrudan değiştirilmesidir İşlem yapılınca her iki devletin oumldeme sistemleriyle paraların transferi gerccedilekleştirilir

Doumlviz pazarında her para birimi iccedilin iki fiyat vardır ndash fiyatlardan biri belli bir para biri-mini satıcının satmak istediği fiyat ve ikincisi satın alanın satın almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru) Spot kurlarda kurların kotasyonunun bilinmesi oumlnemlidir Daha doğrusu doğru-dan ve dolaylı kotasyon Avrupa ve Amerika koşulları vb

Doumlviz biriminin kotasyonu Bir para biriminin fiyatı gibi bir doumlviz kurunun diğerine goumlre kotasyonu iki şekilde goumlruumllmektedir ulusal para biriminin yabancı para birimine goumlre de-ğeri doğrudan ve yabancı para biriminin yerli para birimine goumlre değeri dolaylı kotasyondur

Her doumlviz işlemi iki para birimi kapsamında yapılır Burada oumlnemli olan para birimle-rinden hangisi temel para birimidir ve hangisi koşullanmış para birimidir (ya da hesaplanan para birimidir)

USD dışında herhangi iki para biriminin kurları ccedilapraz kur diye ifade edilir

Ccedilarpımsal ters kurlar da vardır Temel para birimi sayılan herhangi para biriminin ko-tasyonu değişken para birimi olarak kendi ccedilarpımsal tersi biccediliminde kendine denk kotasyona doumlnuumlştuumlruumllebilir

Puan doumlviz kurunun son ondalık basamağındaki birimdir

Pazarcı her an nasıl pozisyonda olduğunu bilmesi Bulunduğu noktada kazanccedillı olup ol-madığını tespit etmek iccedilin o geccedilerlikte olan anındaki doumlviz kuruyla karşılaştırma yapmak iccedilin pazarcı aynı zamanda kendi net ndash pozisyonunun ortalama doumlviz kurunu bilmesi gerekir Pa-zarcı guumln sonunda pozisyonunu kapamak mecburiyetinde değildir fakat boumlyle durumda o ana kadar pozisyonunun gerccedilekleşmeyen kazancı ya da zararı hesaplamalıdır Bunu belirtmek iccedilin guumln sonunda sanki pozisyonu kapatmış olduğunu sayarak geccedilerlilikte olan kur ile kazancın ya da zararın ne kadar olduğunu hesaplamakla belirtir

73

UumlSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER

31 Reel Sayılı Uumlsluuml Kuvvet Kavramı

Tabanı a doğal sayı tam sayı ya da rasyonel sayı olan uumlsluuml ifadelerin (kuvvetlerin) anlamı-nı artık biliyorsunuz Bunları bir daha hatırlayalım

1 Aşağıdaki işlemleri yapınız

a) 5043

32 xxx b) ))(( 2

121

21

21

yxyx v) 23

21

2509

Rasyonel uumlsluuml kuvvetlerin tanımı ve oumlzellikleri gereğince а) 12

2343

32

43

32 )50(50 xxxxx

yxyxyxyx 22 )()())(( 21

21

21

21

21

21

10821250

12

250

142504

3

23

21

b) c)

elde edilirŞimdi rasyonel sayılı uumlsluuml kuvvetler kavramını genişleterek reel uumlsluuml kuvvetler kavra-mını ve bazı temel oumlzelliklerini accedilıklamaya ccedilalışacağız

Her reel sayı x ve her pozitif sayı a iccedilin aşağıda sayılan oumlzelliklerle bir ax kuvveti bellidir

3

b) c)а)

I x gt 0 iccedilin n=1 iccedilin 1 x = n ise ax =

n

aaaa

ngt1 iccedilin

2 1

nx ise nx aa

3 nkx k ise n kx aa

4 x = c0 c1c2cnise а) a gt 1 iccedilin )1( 210210210 nnn cccccccccccc aaa b) 0 lt a lt 1 iccedilin nnn cccccccccccc aaa )1( 210210210

c) a = 1 iccedilin ax = 1 dir II x = 0 ise ax = 1 dir

III xlt0 ise ||

1x

x

aa

74

2 a) Reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerin yukarıdaki tanımı gereğince x gt 0 iccedilin 5-x ifadesinin an-lamı vardır ccediluumlnkuuml a = 5 gt 0 dır Halbuki (- 5)-x ifadesinin x gt 0 iccedilin anlamı yoktur ccediluumlnkuuml a = - 5 lt 0rsquodır

b) Her x R iccedilin 0-x ve 0x ifadelerinin anlamı yoktur ccediluumlnkuuml a = 0rsquodıra pozitif reel sayısının reel uumlsluuml kuvvetleri iccedilin şu oumlzellikler geccedilerlidir

1 xx ba za sekoe x ako i samo ako ba

2 Za sekoj x postoi edinstven stepen xa

3 yxyx aaa za sekoi yx

4 yxyx aa )( za sekoi yx

5 xxx baab )( za sekoe x

1 ax = bx eşitliği her х R iccedilin geccedilerli olması iccedilin ancak ve ancak a = b olmalıdır2 Her х R iccedilin bir tek ax kuvveti vardır3 Her хy R iccedilin ax middot ay = ax+y geccedilerlidir4 Her x y R iccedilin (ax)y = axy geccedilerlidir 5 Her x R iccedilin (ab)x = axbx geccedilerlidir

3 Reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerin tanımı ve yukarıdaki oumlzellikler gereğince

)()( 11

x

xxxxxx

x

bababaab

ba

13

elde edilir

4 Verilen işlemleri yapınız а) 3х4х b) 4z 2z c) (8х9y15z)(2х3y5z)

Ccediloumlzuumlm

а) 3х 4х = (3 middot 4)х = 12х b) zz

zz 22

424

13

c) zyxzyx

zyxzyx 5345

15

3

9

2

8)532()1598(

13

13

13

Alıştırmalar

1 Reel sayılı uumlsluuml kuvvet nasıl tanımlanır

2 Kuvvetlerle verilmiş olan işlemleri yapınız а) 2х2y b) 2х 4х c) 12х11х d) (2х5х)y

3 Verilen kuvvetleri karşılaştırınız

а) 3х ve 9х2 b) x

13

4 ve

x

13

4

75

4 Verilen eşitsizliklerde hangi sayı buumlyuumlktuumlr x yoksa y

а) 04х gt 04у b) 14х gt 14у c)

yx

13

13

2

3

2

3

5 Verilen işlemleri yapınız а) (2х + 3х)(2х - 3х) b) (5х - 5-х)2 c) (4х +1)3

32 Uumlstel Denklemler

Tanım 1 Tabanı 1rsquoden farklı pozitif bir reel sayı olan ve uumlssuumlnde değişken bulunan denklemlere uumlstel denklem denir

1 Oumlrnek olarak aşağıdakiler uumlstel denklemlerdir

24 82 3 xxx 493532 3 xx

ve 32

1

13

x

x

Birkaccedil ccedileşit uumlstel denklem ccediloumlzelim

I biccediliminden denklem

2 3x = 27 denklemini ccediloumlzuumlnuumlzVerilen 3x = 27 denklemini 3x = 33 biccediliminde yazarak verilene denk denklem elde edilir Bu

durumda pozitif reel sayı a tabanlı reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerde a gt 0 a ne 1 1 2x xa a ancak ve ancak x1 = x2rsquodir oumlzelliğinden yararlanarak 3x = 33 eşitliğinden x = 3 elde edilir Buna goumlre 3x = 27 denkleminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml vardır

ve bu ccediloumlzuumlm x = 3rsquotuumlr

3 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 16

14 x b) 15 x v)

125

64

4

5

13

x

2

4

14

13

x 055 x

3

5

4

4

513

13

x

244 x 0x 3

4

5

4

5

13

13

x

2x 3x

а) b) c)

76

II Af(x)+m=0 Agt0 Ane1 mlt0 biccediliminden denklemler

4 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 813 5 x b) 322 13 x v) 8132

x 45 33 x 513 22 x 433

2

x

45 x 513 x 42 x

1x 2x 2x

III biccediliminden denklemler

( )f xA t değişimiyle 2 0at bt c biccediliminde ikinci derece denklem elde edilir İkinci derece denklemin her ccediloumlzuumlmuuml iccedilin ( )f xA t uumlstel denklemini ccediloumlzuumlyoruz

5 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 082622 xx b) 024316 xx v) 278181122 xx

0826)2( 2 xx 0243)4( 2 xx 278181122

22 xx

smena tx 2 smena tx 4 smena tx 2 81 0232 tt 2712 2 tt

28 21 tt 12 21 tt 027122 tt

2282 21 xx 1424 21 xx 39 21 tt

13 2222 21 xx 0212 2222 21 xx 99 1

1

1 x 1

2

33 2 x

13 21 xx 02

121 xx 11 x 22 x

0862 tt

Alıştırmalar

1 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 729

19 x b)

10

2515

45

13

x v) 10001010

x

g) 064

125

5

4

13

x

d) 310104

xx |) 1296

814 x

а)

ccedil)

b)

d)

c)

e)

2 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) xx 1450 3216 b) 5052 x v) 064

125

5

4 5

1

13

x

g) x

x

13

8

2

4

125023

а) b) c) ccedil)

b) c)

b) c)

77

3 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 055625 xx b) 057449 xx v) 233 252 xx а) b) c)

4 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlza) 03343 24 xx b) 135215215 21 xx v) 12

24

14 12

1

x

x

x

а) b) c) 5 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 1224 xx b) 027343 5284 xx v) 4

410

2

9 2

2

x

x

c)b)a)

33 Logaritma Kavramı

Tanım 1 0 1 a R a a ve b R olsun xa b eşitliğini sağlayan x reel sayısına a

tabanlı brsquonin logaritması denir Bunu logax b şeklinde yazarız

Buna goumlre a gt 0 a ne 1 b gt 0 iccedilin

bxba ax log dir

Tanımdan doğrudan doğruya

ba ba log gerekirx sayısına logaritma değeri a sayısına logaritması tabanı b sayısına logaritması alı-

nan sayı denir

1 Tablodaki değerlerin doğru olup olmadıklarını yoklayınız

Kavramlar log2 8 = 3 log5(m + 3) = 2 4log 811

3

1

Logaritma 3 2 4

Logaritması tabanı 2 53

1

Logaritması alınan sayı 8 m + 381

1

2 a) 2

3log 9 2 ccediluumlnkuuml 3 9 b) 1

24

1log 2 ccediluumlnkuuml 4 4 2

2

c) 4

5log 25 4 ccediluumlnkuuml 5 25

78

3 Verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a)

4

1log2 b)

81

1log

3

1 v) 7

9

1 3log a) b) c)

a) 4

1

2

12

2

2 olduğuna goumlre 24

1log2 elde edilir

Yoklamasını yapalım 4

122 24

1log2

b) 81

1

3

14

13

olduğuna goumlre 4

81

1log

3

1 gerekir

Yoklama 81

1

3

1

3

14

81

1log

3

1

13

13

c) 71

9

1log 3

14 ccediluumlnkuuml

11

1477

13 3

9

13

dir

Yoklama 7

1

9

log 3

713

9

13

4 Hangi sayının 1

2 tabanına goumlre logaritması 4rsquotuumlr

4

1 1

2 16

13

olduğundan 1

2

1log

161 1

2 16

13

gerekir Demek ki aranılan sayı 1

16 dır

5 1

log 38

a olduğuna goumlre a tabanını belirtiniz

Logaritma işleminin tanımına goumlre 3 1

8a yani

3

3 1

2a 13

gerekir O halde

1

2a ol-

duğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Verilen tabloyu deft erinizde ccediliziniz ve doldurunuz

İfadeler log6 216 = 3 29

4log x

449log7

52log ba 2

15log25

Log değeriLog tabanıLog alınan sayı

79

2 Verilen logaritmaların değerini belirtiniz

a)

9

1log3 b) 010log 10 v) 3log3 g) 5log

5

1b) c)а) d)

3 Logaritma işleminin tanımından yararlanarak aşağıdakilerden x belirtilsin а)

2

1log3 x b) log x 36 = 2 c) logi x = 0 d) log x 125 = 5

4 Verilen ifadenin değerini belirtiniz

а) 2log 55 b) 3log2 55

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

а) 9log8log 32 b) 9

1log327log4

3

13

6 x in hangi değerleri iccedilin log 02 (x2 - x) ifadesinin anlamı vardır

34 Logaritmanın Kuralları

a gt 0 a ne 1 x gt 0 ve y gt 0 olsun

I Ccedilarpıma ait logaritmanın kuralları

yxxy aaa logloglog

İspat a = loga x ve β = loga y olsun O halde aa = x ve a = y elde edilir x gt 0 y gt 0 olduğuna goumlre xy gt 0 gerekir O halde loga xy ifadesinin de anlamı vardır Buna goumlre alogaxy = xy = aa middot a = aa+ = alogaX+logay yazabiliriz Oradan da loga xy = loga x + loga y elde edilir

I log2 6 = log2 2 middot 3 = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3

Aynı kural ikiden fazla ccedilarpanları olan ccedilarpım iccedilin de geccedilerlidir yani x1 gt 0x2 gt 0xn gt 0 olduğu durumda

naaaana xxxxxxxx loglogloglog)(log 321321 geccedilerlidir

II Kuvvetin Logaritma Kuralı

xsx as

a loglog

İspat a = logax olsun x gt 0 olduğundan xs gt 0 gerekir O halde logaxs vardır xssxsx aa

sa aaxa logloglog olduğundan loglog xsx a

sa elde edilir

80

2 log3 81 = log3 34 = 41og3 3 = 4

III Boumlluumlmuumln Logaritm Kuralı

yx

yx

aaa logloglog

İspat 1 xyyx

olduğunu bildiğimize goumlre bir ccedilarpımın logaritması kuralı gereğince

loglogloglogloglog 11 yxyxxyyx

aaaaaa elde edilir

3 10log110log7log10

7log70log 77777

Bir kuvvetin logaritması kuralı sonucu olarak şu formuumll elde edilir

logloglog x

nmxx a

nm

an m

a

4 7

52log

7

52log2log32log 2

7

5

2

7 5

27

2

Aynı tabana goumlre tertiplenmiş logaritmaların kuumlmesine logaritma sistemi denir 10 taba-nına goumlre tertiplenmiş logaritmalara ondalık logaritmalar denir Ondalık logaritmaları logx biccediliminde yazıyoruz yani burada taban 10 yazılmıyor Ondalık logaritmalar iccedilin ccedilok kez lg x işaretlemesi de kullanılır Buna goumlre log10 x = logx = lg x e tabanına goumlre e 271 tertiplenmiş logaritma sistemine doğal logaritmalar denir Doğal logaritmalar ln x biccediliminde işaret edilir yani loge x = ln x dir Logaritma işleminin kuralları ondalık ve doğal logaritmalar iccedilin de geccediler-lidir

5 a) 410lg410lg10000lg 210lg210lg100lg 110lg 42

b) 4ln4ln 2ln2ln 1ln 42 eeeee

v) 310lg1000

1lg0010lg 110lg

10

1lg10lg 31

g) 3ln1

ln 1ln1

ln 3

3

1 ee

ee

а)b)

c)

d)

Bu son oumlrnekte goumlruumllduumlğuuml gibi 1rsquoden buumlyuumlk ondalık birimin logaritması pozitif tam sa-yıdır ve sayının sıfırları kadar birimleri vardır 1rsquoden kuumlccediluumlk ondalık birimlerin logaritması ise negatif tam sayıdır ve ondalık kısmında sıfırların sayısı kadar birlikleri vardır

81

Logaritması rasyonel sayı olan x pozitif reel sayısı verilmiş olsun yani log x = k k Q O halde x = 10k dir Buna goumlre 10k k Q biccediliminde olmayan pozitif sayının ondalık logaritmi irrasyonel sayıdır Onun ondalık sayı biccediliminde yazılışında sonsuz ccedilok ondalık basamakları var-dır bu nedenle bu sayıyı 5 ondalık basamağında anlaşma gereği yuvarlayacağız

A herhangi bir pozitif reel sayı olsun O halde 110 10n nA dir Buna goumlre 1lg10 lg lg10n nA gerekir Ondalık logaritması tanımına goumlre 1 lgn A n elde edilir

Son eşitsizlikten 0 lg 1A n n elde edilir O halde

ve 0 lt1n N iccedilin )1(lg nA geccedilerlidir

n sayısına A sayısının logaritmasının karakteristiği sayısına ise mantis denir Diğer soumlzlerle logaritmayı ifade eden ondalık sayının tam kısmına karakteristik ondalık kısmına ise mantis denir Buna goumlre karakteristik pozitif negatif tam sayı ya da sıfır olabilir mantis ise 0 ve 1 arasında bir sayıdır

6 lg 49527 sayısının karakteristiğini yazınız100 49527 1000 olduğuna goumlre elde edilir O halde

2 lg 49527 3 bulunur Buna goumlre lg 49527 2 0 1 lg 49527 logaritmasının karakteristiği 2 dir

7 log 0037 logaritmasının karakteristiğini belirtiniz001 lt 0037 lt 01 olduğundan lg001 lt lg 0037 lt lg 01 ya da -2 lt log A lt -1 dir Buna

goumlre 0 1 olmak uumlzere log 0037 = - 2 + biccediliminde yazılır log 0037 ifadesinin karakte-ristiği ndash 2rsquodir

6 ve 7 oumldevlerinden şu sonuca varılır 1rsquoden buumlyuumlk sayıların logaritmalarının karakteris-tiği verilen sayının tam kısmının rakamları sayısından 1 kuumlccediluumlktuumlr 1rsquoden kuumlccediluumlk sayıların ka-rakteristiği ise negatif sayıdır ve ondalık yazılışında virguumllden sonra gelen sıfırların sayısı kadar birimleri vardır

8 Hesap makinesi kullanarak reel sayıların logaritmalarını belirtebiliriz oumlrnek

38484125724lg 106583131278lg

590072002570lg 9 lg a = m lgb = n lgc = p olduğuna goumlre

4

2

cba ifadesinin ondalık logaritmasını belir-

tiniz

42lg4lglg2lglglglglglg 4242

4

2

pnmcbacbacbac

ba

82

Alıştırmalar

1 Verilen ifadelerin logaritmalarını alınız

a) abx 3 b) 52bcax v) c

abx2

g) )(2 bax d) 22 cb

ax

|) 3 2bax

b)

e)

c)

f)

а)

d)

2 İfadeleri sadeleştiriniza) )4log3(loglog 32

41 b)

27

1log64log 23 v) 100loglog2 b) c)а)

3 Verilenlerden x sayısı belirtilsin

a) 4log2lg5lglg x b) 3lg22lg3lg x

v) 2lg3

15lg

3

23lg

2

1lg x g) )4lg53lg42lg2(

4

1lg x

d) 1ln3ln5lnln x |) 3ln32ln3ln x

e) 2ln3

14ln

3

13ln

3

1ln x `) )4ln53ln42ln2(

4

1ln x

а)

c)

e)g)

b)

d)

f)h)

4 lg 2 030 ve lg 3 048 olduğunu alırsak aşağıdakilerin yaklaşık değerini belirtiniz a) 9lg 8lg 6lg 4lg b) 18lg 16lg 12lg а) b)

5 Verilen logaritmaların karakteristiğini yazınız

a) )6500256075450lg( 2 b) 029304570

5073528lg

v) 5

9775

129lg g) )550850lg( 3 c) d)

a) b)

35 Faklı Tabanlı Logaritmalar Arasındaki Bağıntılar

a gt 0 a ne1 b gt 0 x gt 0 olsunTaban değiştirme formuumlluuml

axx

b

ba

log

loglog

İspat x = aloga x eşitliğin her iki tarafının b tabanına goumlre logaritması alınırsa logbx = logb (alogax) = logax bull logba elde edilir oradan da

log

loglog

axx

b

ba elde edilir

83

1 6log

9log6log9log6log9log

7log

6log7log9log6log7log

3

33636

3

33673

29log3

Sonuccedil 1 x = b ne 1 ise a

bb

alog

1log

İspat log

1

log

loglog

aabb

bb

ba

2

5

1

32log

12log

2

32

Sonuccedil 2 0 1 s 0 0a a b ise bs

b aas log1

log İspat blog

s

1

alogs

1

alog

1blog a

bs

bas

3

3

22

3

14log

3

14log 223

Sonuccedil 3 0 1 s 0 0a a b ise bb as

a s loglog İspat loglog

1loglog bb

ssbsb aaa

sa ss

4 a) 12log2log2log 2

2

2

2

4 2 b) 29log9log9log 33

1

3

3

33

13 b)

6 lg 2 030 ve lg 3 048 olduğunu alırsak

35

39

700

780

3001

480300

2lg10lg

3lg2lg

2

10lg

)32lg(

5lg

6lg6log5

elde edilir

Alıştırmalar

1 Farklı tabanlı logaritmalar arasındaki bağıntıyı ifade ediniz

2 Eşitlikleri ispatlayınız

a) 14log5log7log12log 5733

b) 3

17log6log5log4log3log2log 876543 b)

84

3 1250log81log27

12 ifadesinin değerini hesaplayınız

4 İfadeleri sadeleştiriniz

a) )4log3(loglog 32

4

1 b) 27

1log64log 23 v) 5 25lg

5lg

b) c)

5 a gt 0 b ne1 b gt 0 olduğunda loglog 1 aab

b olduğunu ispatlayınız

36 Logaritmalı Denklemler

Tanım 1 İccedilinde bilinmeyenin ya da fonksiyonun logaritması bulunan denklemlere logaritmalı denklem denir

1 Aşağıda verilen denklemler logaritmalı denklemlerdir log2 (x + 4) = 7 log2х (5 + x2) = 9 log5(3x - 2) = log5 x

a gt 0 ve a ne 1 olsun

I Log a f(x) = b cinsinden logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuumlLogaritma işleminin tanımından şu eşitliklerin denkliği gerekir

)()(log xfabxf ba

2 Verilen denklemleri ccediloumlzelima) 3)5(log3 x b) 0)137(log 2

3 xx v) 2)9(log 22

5 x

335 x 02 )3(137 xx 222 5)9( x

275 x 0122 xx 05618 24 xx 22x 31 x i 42 x 14 2 4321 xx

b) c)

c) şıkkındaki denklemi ccediloumlzmek iccedilin bir kuvvetin logaritması oumlzelliğinden yararlanacağız

2)9x(log 225 2)9x(log2 2

5 1)9x(log 25 59x 2 1421 x

Denklemin doumlrt koumlkuuml olduğuna rağmen burada sadece iki koumlkuumlnuuml bulmuş oluyoruz Bu-nun sebebi bir kuvvetin logaritmasını yanlış kullandığımızdan oumltuumlruumlduumlr daha doğrusu logab2 = 2 log a b eşitliği sadece b gt 0 olduğu durumda geccedilerlidir Bir kuvvetin logaritması oumlzelliğini doğru kullanmak istersek şu şekilde yazmalıyız

2)9(log 22

5 x 29log2 2

5 x 19log 2

5 x 592 x

85

II log a f(x) = log a g(x) cinsinden logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuuml

log a f(x) = log a g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmuuml f(x) = g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir log a f(x) = log a g(x) denkleminin her ccediloumlzuumlmuuml f(x) = g(x) denkleminin de ccediloumlzuumlmuumlduumlr Bunun tersi genel durumda geccedilerli olmayabilir Bu nedenle f(x) = g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmleri-ni bulduktan sonra elde edilen ccediloumlzuumlmleri loga f(x) = log a g(x) denklemini de sağlayıp sağlama-dığını yoklamamız gerekir

3 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) )4(log)117(log 3

2

3 xxx b) )1210lg()223lg( 22 xxxx

41172 xxx 1210223 22 xxxx 01582 xx 010133 2 xx

53 21 xx 51 x 3

22 x

Proverka 3x Proverka 5x )43(log)11373(log 3

2

3 )125105lg()52253lg( 22

)1(log)1(log 33 ne postoi )37lg()37lg( ne postoi 3x ne e reenie 5x ne e reenie

Proverka 5x Proverka 3

2x

)45(log)11575(log 3

2

3

13

13

13

13

12

3

210

3

2lg

3

222

3

23lg

22

1log1log 33 13

13

9

44lg

9

44lg ne postoi

b)

Yoklama

Yoklama

Yoklama

Yoklama

yokturccediloumlzuumlm değildir ccediloumlzuumlm değildir

yoktur

nuk ekziston

Verilen denklemin ccediloumlzuumlmuuml x = 5 dir

Verilen denklemin reel ccediloumlzuumlmleri yoktur

III log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biccediliminde denklemlere doumlnuumlşebilen denk-lemlerin ccediloumlzuumlmuuml

4 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 2)12(log)3(log 33 xx b) )3(log)76(log 5

2

5 xxx

v) 2lg32lg4 xx

b)c)

a) 2)12(log)3(log 33 xx2)12()3(log3 xx

01252 2 xx

Yoklama x = 4 ve ondan sonra 2

3x değerlerini

değiştirmekle denklemin ccediloumlzuumlmuuml sadece x = 4

olduğunu buluyoruz

86

2

34 21 xx

b) )3(log)76(log 5

2

5 xxx

0)3(log)76(log 5

2

5 xxx

03

76log

2

5

x

xx

313

762

xx

xx

01072 xx

25 21 xx

v) xx 2lg32lg4

So zamena tx 2lg imame

5

12lg

41

043

34

21

2

2

xx

tttt

tt

yxyx

aaa logloglog

koga 0010 yxaa

Proverka so zamena za 5x a potoa za 2x zaklu~uvame deka ravenkata ima samo edno reenie 5x

Proverka bideji ravenkata 42lg x nema reenie so zamena

za 5x zaklu~uvame deka ravenkata ima samo edno reenie 5x

olsun

Yoklama x = 5 ve ondan sonra x = 2 değerlerini değiştirmekle denklemin ccediloumlzuumlmuuml sadece x = 5 olduğunu buluyoruz

Yoklama log 2 4x denkleminin ccediloumlzuumlmuuml olmadığına goumlre x = 5 ccediloumlzuumlmuumlnuuml denklemde değiştirmekle denklemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olduğunu goumlruumlyoruz

b)

c)

5 Rei gi ravenkite a) 7logloglog 2416 xxx b) 13loglog 29

xx

7logloglog 222 24 xxx 1log

1log

2

332

xx

7loglog2

1log

4

1222 xxx 1

log2

1log

2

1

3

3 x

x

7log4

72 x 01log2log 3

2

3 xx

4log2 x tx 3log

2x 0122 tt 1t 1log3 x 3x

v) )12lg()2021lg(1)10lg(5lg xxx )12lg()2021lg(10lg)10lg(5lg xxx

Proverka 13log3log 99 19log13log2 99

Reenieto na ravenkata e 3x

Proverka 72log2log2log 2416 Reenieto na ravenkata e 2x

5 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

Denklemin ccediloumlzuumlmuumlDenklemin ccediloumlzuumlmuuml

Yoklama

Yoklama

c)

b)

87

Alıştırmalar

1 2)62(log 2

3x 2 1)75(log 2

3 xx

3 1log)1(log 22 xx 4 2)12lg()13lg( xx

5 43log2log xx 6 3loglog 162 xx

7 1))72(log1(log 33 x

37 Konuyu Pekiştirme Oumldevleri

1 Hangi x ve y reel sayıları iccedilin eşitlik geccedilerlidir

a) yx 88 b)

yx33 v)

2

3

2

3yx

13

13

b) c)

2 a) a gt 1 b) 0 lt a lt 1

ise hangisi buumlyuumlktuumlr 2

3a yoksa 3

2a Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

5 3216 1450 xx 6 5052 x 7 8264 xx

8 399 42411 xxxx 9 064

125

5

4 5

1

13

x

10 1224 xx

11 Logaritma işleminin tanımından yararlanarak x sayısını belirtiniz

12

2021lg

10

)10(5lg

xxx

12

2021

10

)10(5

xxx

)2021(10)12)(10(5 xxx

200210509510 2 xxx

101 x 2

32 x

Proverka 19lg190lg120lg5lg

10lg10lg100lg

10lg210lg 2

10log210lg2

Reenie na ravenkata e 10x

Proveri dali 2

32 x e

Yoklama Yoklama

ccediloumlzuumlmuuml yoklayınız

Denklemin coumlzuumlmuuml x = 10 dur

88

a) 216log x b) 4

327log x v) 31000log x

g) 2

1log4 x d) 20log100 x |) 8log

3

1 x

b)

d) e) f)

c)

12 Şu ifadelerin logaritmasını alınız

a) xy2 b) 223 yx v) zyx 52 g) 3ca b

d) 3 26 yx |) yxx 32 e) yyx

b) d)

e) f) g)

c)

13 Logaritması bilinen x sayısını belirtiniz

a) 2log3log4loglog 2222 x b) 2lg8lg2

15lglg x

v) 3log9log7loglog x g) 5log33log2log x

b)

d)c)

14 Logaritma işlemini uygulayarak verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a)

36125

492648333 x b)

281386

2605433

2

x v) 53 2154253 x b) c)

15 а) log25 ile 4 b) log3 7 ile 7 c) lg5 ile 10-1

16 Farklı tabanlı logaritmalar arasındaki bağıntıdan yararlanarak verilen ifadeleri sade-leştiriniz

a) 2

3

75log

7log25log

2

22

3

332

b) 1log1log1log 4

2

22 xxxx b)

17 Verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a) 1250log81log27

12

b) 84log5log2log7log245log2log12

1

7

1

3

11273 b)

Denklemleri Ccediloumlzuumlnuumlz

18 1)3lg(lg xx 19 1)2(loglog 33 xx

20 5loglog7 525 xx 21 23log 1 x

22 )105(log)3(log 2

55 xxx 23 3loglog2log7

1497 x

89

a pozitif reel sayısının reel uumlsluuml kuvvetleri iccedilin şu oumlzellikler geccedilerlidir

KONU OumlZETLERİ

Her reel sayı x ve her reel sayı a iccedilin reel uumlsluuml ax kuvveti şu şekilde bellidir

Tabanı 1rsquoden farklı pozitif bir reel sayı olan ve uumlssuumlnde değişken bulunan denklemlere uumlstel denklem denir

Burada şu cins uumlstel denklemler incelenmiştirI Ax+m=0 Agt0 A1 mlt0

biccediliminden denklemlerII

Af(x)+m=0 Agt0 A1 mlt0 biccediliminden denklemlerIII

a(Af(x))2+bAf(x)+c=0 biccediliminden denklemler

I x gt 0 iccedilin

1 x = n ise n = 1 iccedilin

n gt 1 iccedilinx

n

aa aa a

2 1

ise x nx a an

3 ise nx kkx a an

4 x = c0 c1c2hellipcn hellip ise

a) a gt 1 iccedilin 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( 1)n n nc c c c c c c c c c c ca a a

b) 0 lt a lt 1 iccedilin 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( 1) n n nc c c c c c c c c c c ca a a

c) a = 1 iccedilin ax = 1rsquodir II x = 0 ise ax = 1rsquodir

III x lt 0 ise 1x

xaa

1 xx ba za sekoe x ako i samo ako ba

2 Za sekoj x postoi edinstven stepen xa

3 yxyx aaa za sekoi yx

4 yxyx aa )( za sekoi yx

5 xxx baab )( za sekoe x

iccedilin geccedilerli olması iccedilin ancak ve ancak a = b olmalıdır ax = bx eşitliği herHer

x iccedilin bir tek ax kuvveti vardır

Her

yx iccedilin

yxyx aa )( geccedilerlidirHer

yx iccedilin

yxyx aaa geccedilerlidir

Her

x iccedilin

xxx baab )( geccedilerlidir

90

a 0a 1a i b + ve olsun xa b eşitliğini sağlayan x reel sayısına a tabanlı

brsquonin logaritması denir Bunu logax b şeklinde yazarızBuna goumlre a gt 0 a ne 1 b gt 0 iccedilin

bxba ax log dir

Tanımdan doğrudan doğruya

ba ba log gerekirx sayısına logaritma değeri a sayısına logaritmanın tabanı b sayısına logaritması

alınan sayı denir0 1 0 ve 0a a x y olsun

I Ccedilarpıma ait logaritmanın oumlzelliği

yxxy aaa logloglog

Aynı kural ikiden fazla ccedilarpanları olan ccedilarpım iccedilin de geccedilerlidir yani olduğu durumda

naaaana xxxxxxxx loglogloglog)(log 321321

geccedilerlidir

II Kuvvetin Logaritması Kuralı

xsx as

a loglog

III Boumlluumlmuumln Logaritması

yx

yx

aaa logloglog

Bir kuvvetin logaritması kuralı sonucu olarak şu formuumll elde edilir

logloglog x

nmxx a

nm

an m

a

Aynı tabana goumlre tertiplenmiş logaritmaların kuumlmesine logaritma sistemi denir 10 ta-banına goumlre tertiplenmiş logaritmalara ondalık logaritmalar denir Ondalık logaritmaları log x biccediliminde yazıyoruz yani burada taban 10 yazılmıyor Ondalık logaritmalar iccedilin ccedilok kez lg x işaretlemesi de kullanılır Buna goumlre log10 x = logx = ln x e tabanına goumlre e 271 tertiplenmiş logaritma sistemine doğal logaritmalar denir Doğal logaritmalar ln x biccediliminde işaret edilir yani loge x = ln xlsquodir Logaritma işleminin kuralları ondalık ve doğal logaritmalar iccedilin de geccediler-lidir

91

A herhangi bir pozitif reel sayı olsunn ve 0 ltlt 1 iccedilin )1(lg nA geccedilerlidirn sayısına A sayısının logaritmasının karakteristiği sayısına ise mantis denir

a gt 0 a ne1 b gt 0 х gt 0 olsunTaban değiştirme formuumlluuml

axx

b

ba

log

loglog

x = b ne 1 ise a

bb

alog

1log

0 1 s 0 0a a b ise bs

b aas log1

log

0 1 s 0 0a a b ise bb as

a s loglog

İccedilinde bilinmeyenin ya da fonksiyonun logaritması bulunan denklemlere logaritmalı denklem denir

a gt 0 ve a ne 1 olsun Şu cins logaritmalı denklemler incelenmiştir

I log a f(x) = b cinsinden logaritmalı denklemlerII log a f(x) = log a g(x) cinsinden logaritmalı denklemlerIII log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biccediliminde denklemler

92

93

DAR ACcedilININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

41 Dar Accedilının Trigonometrik Oranları

Accedilıların Oumllccediluumllmesi

Ansıyalım ortak başlangıccedilları olan iki ışının (yarı doğrunun) birleşimi ve bu ışınların ait oldukları duumlzlemden ayırdıkları kısımlardan biri ile birleşimine accedilı denir Bu anlamda ortak başlangıccedilları olan iki ışın OA ve OB iki accedilı oluşturuyorlar ve bunları AOB (ya da BOA) ile işaret edeceğiz Accedilılar kuumlccediluumlk Yunan harfl eriyle de işaret ediliyorlar $$amp hellip gibi OA ve OB ışınlarına AOB accedilısının kenarları O noktasına ise accedilının koumlşesi denilir

Bir derece (10) accedilıların oumllccediluuml birimidir ve tam accedilının 1

360 kısmından biridir Dereceden

kuumlccediluumlk birimler derecenin 1

60 olan bir dakika (1rsquo) ve dakikanın 1

60 olan ya da tam accedilının

1

3600 kısmına eşit olan bir saniye (1rdquo)lsquodir Bu bağıntılardan yararlanarak dereceleri dakikaları

ve saniyeleri derece cinsinden ondalık sayı biccediliminde yazabiliriz

1 140 36rsquo 54rdquo accedilısını ondalık sayı biccediliminde yazalım

6151401506014

3600

54

60

3614543614 0000

00

00 13

13

2 725680 accedilısını derece dakika ve saniye cinsinden yazalım 543372543372)6090(337293372)60560(7256872 000000

Burada accedilıların oumllccediluumllmesi iccedilin yeni bir oumllccediluuml birimini kabul edece-ğiz Yayının uzunluğu yarıccedilapına eşit olan merkez accedilının oumllccediluumlsuumlne bir radyandır denir ve 1 rad ile işaret edilir (şek1)

Şimdi accedilıların her iki oumllccediluumlsuuml derece ve radyan arasındaki bağıntıyı belirtelim

R yarıccedilaplı ccedilemberin uzunluğu 2R olduğuna goumlre tam accedilı buumltuumln bir ccedilemberin merkez accedilısı olduğunu varsayarak bir tam accedilı 2radlsquodır Diğer taraft an tam accedilı 3600lsquodir O halde 3600 = 2rad olur Buradan da şunları yazabiliriz 00 4517572957857

1801

rad i 017450180

10 radrad

4

Şek 1

ve

94

3 a) 1100 11rsquo 15rdquo accedilısını radyanlarla ifade ediniz

rad71

1803600

115

18060

111

1801001511100 0

b) 5

12

accedilısını derecelere doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

0

0

75180

12

5

12

5

Dar Accedilının Sinuumlsuuml Kosinuumlsuuml Tanjantı ve Kotanjantı

Dik uumlccedilgendeki dar accedilıdan yararlanarak doumlrt temel trigono-metrik fonksiyonun tanımına geccedileceğiz

ABC uumlccedilgeninde C koumlşesindeki accedilı diktir A ve B koumlşele-rindeki accedilışlar ise dar accedilılardır (şek2)

A koumlşesindeki accedilıyı ( ile işaret edersek BC kenarına ( accedilısı iccedilin karşı katet AC kenarına ise komşu (yatay) katettir

ABC dik uumlccedilgenini ve AC kenarına dik olan B1C1 B2C2 ve B3C3 doğru parccedilalarını inceleyelim (şek3) Bu doğru parccedila-

ları ABC uumlccedilgeniyle ortak accedilısı olan A B1C1 A B2C2 ve A B3C3 uumlccedilgenlerinin birer karşı katetidir Bu dik uumlccedilgenler birbiriyle dik olduklarına goumlre karşılıklı kenarları da birbiriyle orantılıdır yani

ABBC

ABCB

ABCB

ABCB

3

33

2

22

1

11 ABAC

ABAC

ABAC

ABCA

3

3

2

2

1

11

ACBC

ACCB

ACCB

ACCB

3

33

2

22

1

11 i 33

3

22

2

11

1

BCAC

CBAC

CBAC

CBAC

ve

Demek ki verilen accedilısı iccedilin şek 3rsquoteki dik uumlccedilgenlerin karşılıklı kenarların oranları sa-bittir

Halbuki accedilısının buumlyuumlkluumlğuuml değişirse bu oranların değerleri de değişecektir Bu sonu-cu doğrulamak iccedilin şek 4rsquote verilmiş olan A B1C1 A D1C1 ve A E1C1 uumlccedilgenlerini inceleyeceğiz Bu uumlccedilgenler birbiriyle benzer değildirler bu nedenle de onların karşılıklı kenarlarının oranları

da birbirine eşit değildir yani 11

11

1

11

CACD

ACCB

Aynısı diğer kenarlar iccedilin de geccedilerlidir Demek ki

Mno`i gi stepenite so

180

za da pretvori vo

radijani Mno`i gi radijanite

so

180 za da pretvori

vo stepeni

bull Dereceleri radyanlara

doumlnuumlştuumlrmek iccedilin 180

ile

ccedilarpınız

bull Radyanları derecelere

ccedilevirmek iccedilin

180 ile

ccedilarpınız

hipotenuumls

daraccedilı

Şek 2

Şek 3

95

accedilısının değişimi bu oranların değişmesini etkilemektedir Buna goumlre bir dik uumlccedilgende iki kenarının oranı bu uumlccedilgenin dar accedilısının buumlyuumlkluumlğuumlne bağlı olduğunu goumlruumlyoruz Dar accedilısı verilmiş olan bir dik uumlccedilgenin kenarlarının oranı belirtilebilir ve tersine yuka-rıdaki oranlardan herhangi birinin oranı verildiğinde uumlccedilgenin dar accedilısının buumlyuumlkluumlğuumlnuuml belirtebiliriz Demek ki dik uumlccedilgende dar accedilılar ve kenarlar arasındaki oranlar arasında belli bağıntılar vardır yani fonksiyonlar vardır Bu nedenle boumlyle oranlara oumlzel adlar verilmiştir

BCAB

oranına dar accedilının sinuumlsuuml denir ve sin ile işaret edilir yani sin = BCAB

dir

ACAB

oranına dar accedilının kosinuumlsuuml denir ve cos ile işaret edilir yani cos = ACAB

dir

BCAC

oranına dar accedilının tanjantı denir ve sin ile işaret edilir yani tg = BCAC

dir

ACBC

oranına dar accedilının kotanjantı denir ve ctg ile işaret edilir yani ctg = ACBC

dir

Bir dik uumlccedilgenin kenarları ve dar accedilısı arasındaki bağıntıları ifade eden ve bu şekilde ta-nımlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar denir Bu fonksiyonlar şu şekilde de ifade ediliyorlar

Şek 4

Şek5

ca

sinhipotenuza

zakatetasprotivna

cb

coshipotenuza

zakatetaprilegnata

batg

zakatetaprilegnatazakatetasprotivna

abctg

zakatetasprotivnazakatetaprilegnata

ya ait karşı durumlu katethipotenuumls

ya ait karşı durumlu katet ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet ya ait karşı durumlu katet

hipotenuumls

4 Şek 5rsquote verilmiş olan ABCD dikdoumlrtgeninde ) accedilısının trigonometrik oranlarını bulunuz

ABC dik uumlccedilgeninden şunları yazabiliriz

db

)sin da

)cos abtg )

bactg )

5 Katetleri 3 cm ve 4 cm olan bir dik uumlccedilgen veriliyor Bunun dar accedilılarının trigonometrik fonksiyonlarını bulunuz (şek6)

96

Pitagor teoremini uygulayarak hipotenuumlsuuml belirtiyoruzc2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 25 yani c = 5rsquotirO halde

5

3sin

5

4cos

4

3tg

3

4ctg

5

4sin

5

3cos

3

4tg

4

3ctg

Trigonometrik fonksiyonları sinuumls ve kosinuumls sıfır ve dik accedilı iccedilin de şu şekilde tanımlana-bilir

00sin 10cos 1

2sin

0

2cos

Benzer şekilde 00 tg 02

ctg fakat 2

tg ve ctg 0 tanımlı değildir

Alıştırmalar

1 Tabloyu deft erinizde ccediliziniz ve doldurunuzStepeni 00 030 060 0180 0360 Radijani

4

2

2

3

DereceRadyan

Katetleri a ve b verilmiş olan dik uumlccedilgende accedilısının trigonometrik fonksiyonlarını bulu-nuz

2 a = 5 b = 12 3 a = 3 b = 52Kateti a ve hipotenuumlsuuml c verilmiş olan dik uumlccedilgende accedilısının trigonometrik fonksiyonla-

rını bulunuz4 a = 8 c = 10 5 a = 98 c = 126

42 Bazı Accedilıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Değerlerinin Hesaplanması

Geometride birccedilok oumldevleri ccediloumlzerken 30deg 45deg ve 60deg accedilılarının trigonometrik fonksiyon-larının değerlerinden yararlanıyoruz Bu gibi fonksiyonların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini hesaplamak iccedilin tuumlmler accedilıların oumlzelliklerinden de yararlanacağız

Şek 6

97

Hatırlayalım Toplamı 900 olan accedilılara tuumlmler accedilılar denir Dik uumlccedilgende iki dar accedilı tuumlmler accedilılardır Niccedilin ABC uumlccedilgenin-de (şek7) accedilısı dar accedilılardan biri ise ++ndash accedilısı onun tuumlmleyenidir accedilısı radyanlarla verildiğinde

2

accedilısı onun tuumlmleyenidir Daha da a kenarı accedilısına karşı katettir ve accedilısı-na yatay katetttir b kenarı ise accedilısına yatay katettir ve accedilısına karşı katetttir Buna goumlre ve accedilılarının trigonometrik fonksi-yonları iccedilin ( ne 00 ve ne 00) aşağıdakiler geccedilerlidir

cossinca

sincoscb

ctgbatg tg

abctg od

)90()90()90sin(cos)90cos(sin 000 tgctgctgtg

1 Oumlrnek 700 = sin(900 - 700) = sin 200 sin 100 = cos(900 -100) = cos800

3626

13

ctgctgtg

3626

13

tgtgctg

Kenar uzunluğu 2 birim olan ABC eşkenar uumlccedilgenini inceleyelim (şek8) A koumlşesinden indirilen AD yuumlksekliği aynı zamanda uumlccedilgenin A koumlşesinden geccedilen accedilı ortayı ve BC karşı kenarın orta dikmesidir Buna goumlre

122

1

2

1 BCBD i 30)60(

2

1)(

2

1 00 CABDABve

dir ABD dik uumlccedilgenine Pitagor teoremini uygulayarak (şek9)

222

ABBDAD ili 21 212

ADveya elde edilirred toa 312 222

AD odno 3ADOna goumlre yani Şimdi ABD dik uumlccedilgeninde trigonometrik fonksiyonların değer-

lerini hesaplayabiliriz

2

130sin

ABDB

2

160cos30sin 00

2

330cos 0

ABAD

2

360sin30cos 00

Şek 7

Şek 8

Şek 9

98

3

3

3

1300

ADDBtg

3

36030 00 ctgtg

31

3300

BDADctg 36030 00 tgctg

450 accedilısının trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesap-lamak iccedilin katetleri 1 birim olan bir ikizkenar dik uumlccedilgen ccedilizeceğiz (şek10) Bu uumlccedilgenin dar accedilıları 450rsquodir

Pitagor teoremi gereğince hipotenuumlsuuml 2AB dir Trigo-nometrik fonksiyonların tanımından

00 45cos

2

2

2

145sin i 00 451

1

145 ctgtg ve

Trigonometrik fonksiyonların elde edilen değerlerini bir tabloda goumlstrelim

Stepeni Radijani sin cos tg ctg 00 0 0 1 0

030 6

2

1

2

3

3

3 3

045 4

2

2

2

2 1 1

060 3

2

3

2

1 3

3

3

090

2

1 0 0

2 cos450 bull cos300 ndashsin450 bull sin300 ifadesinin değerini hesaplayınız

4

26

4

2

4

6

2

1

2

2

2

3

2

230sin45sin30cos45cos 0000

3 0 cos 230 iccedilin

1 sin

ifadesinin değerini hesaplayınız

3

1

2

32

1

2

11

2

1

60cos1

60cos

30sin1

60cos

30sin1

302cos

sin1

2cos0

0

0

0

0

0

Derece

Şek 10

Radyan

99

Alıştırmalar

1 Hesaplayınıza) 0 0cos57 yi sin 33 ile b) 0 0sin 7777 yi cos 1223 ile

c) 5 2

c yi tg ile18 9

tg d) 1087 yi ctg 10785

2tg 13

2 Verilenlerden accedilısını hesaplayınız а) cos( +100) = sin200 b) tg350 = ctg ( -150)

3 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a) 0202 30cos30sin b)

0

0

60cos1

130sin

v) 00

00

4560

4530

tgctgctgtg

b) c)

4 Hesaplayınız a) 0000 60cos30sin45cos30cos2 b) 000202 60cos30sin6030sin tg b)

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

0

0

30sin1

30sin1

b) 00

00

45601

4560

tgtgtgctg

v)

02

02

30

145sin4

ctg

b) c)

6 Verilenlerden accedilısının değerini hesaplayınız

a) 1tg b) 3ctg

v) 2

2sin g)

2

1cos d)

2

3cos

b)

c) d) e)

43 Hesap Makinesini Kullanarak Trigonometrik FonksiyonlarınDeğerlerinin Hesaplanması

6

4

3

ve 2

accedilıları iccedilin trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bulunması kolay

olduğunu goumlrduumlk Fakat herhangi accedilı iccedilin trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bu şekilde bulunması muumlmkuumln değildir Boumlyle durumlarda değerleri tablolar yardımıyla ya da hesap ma-kinesi kullanarak belirtiyoruz

Hesap makinelerinin ccediloğunda dakikaları ve saniyeleri derecelere doumlnuumlştuumlren (deg ) ya da (DMS) ile işaretlenmiş tuşlar vardır (degrees ndash minutes- seconds)

100

Oumlrneğin 320 45rsquo 10rdquo accedilısını derecelerle ifade etmek istersek şu şekilde hareket edeceğiz Hesap makinesinde 32 yazdıktan sonra tuşa basarızondan sonra 45 yazarak yine tuşa basıyoruz ve sonunda 10 yazıp tuşa bastıktan sonra 3275277780 elde edilir

Ondalık sayı biccediliminde dereceli bir accedilı verildiğinde onu derece dakika ve saniye biccedilimin-de ifade etmek istiyorsak herhangi bir işlemin tersini yapan ve genellikle sarı renkte olan ndf2 ya da inv işaretli tuşlardan yararlanıyoruz Ondalık sayıyı yazdıktan sonra oumlnce sarı renkte olan adı geccedilen tuşa basılır ve ondan sonra ordm tuşuna basılır

Hesap makinelerinin ccediloğu iki durumda ccedilalışır Biri deg durumu accedilılar ondalık sayılı de-recelerle verildiğinde ve rad durumu accedilılar radyanlarla verilmiş olduğu durumlar iccedilin

Hesap makinesi yardımıyla verilen accedilıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri bu-lunur ve tersine verilen trigonometrik fonksiyonun değerine karşılık gelen accedilı bulunur Bu iş-lemleri şu iki oumlrnekte inceleyeceğiz

1 Hesap makinesi kullanarak hesaplayınız

a) sin 4130 b) cos 19021rsquo17rsquorsquo c) tg 36

5

a) Oumlnce hesap makinesini deg durumuna yani deg tuşuna basarak derecelerle işlemler yapacak durumuna getiriyoruz Ondan sonra 4130 yazılır Ondan sonra sin tuşuna basmakla sin4130 değeri elde edilir

0341 - sin = 0660017

b) Oumlnce 190 21rsquo 17rdquo accedilısını ondalık sayı şeklinde derecelerle ifade etmeliyiz Ondan sonra a) şıkkında hareket edildiği gibi işlemler yapılır

0

00

00 354722193600

17

60

2119172119

13

13

035472219 - cos = 0943484853

c) Genel olarak hesap makinesini radyan durumunda koyarız Ondan sonra tuşuna basarak (boumlylece 3141592654 değerini yazmış oluyoruz) Bunu 5 ile ccedilarpar 36 ile boumlleriz ve so-nunda (tan) tuşuna basarız Bununla istenilen sonucu elde etmiş oluyoruz

4663076580

36

5

tg

2 Hesap makinesi yardımıyla verilenlerden accedilısını belirtinizа) sin = 074281 b) cos = 023849 c) tg = 38611a) Hesap makinesi deg durumunda getirilir sin = 074281 değeri yazılır ve inv (ya da

ndf2 tuşuna basılır ve ondan sonra sin tuşuna basılır Elde edilen sonuccedil = 479713rsquodir

101

742810 - inv - ins = 971347 0

Bunu derece ile ifade edersek a = 570 58rsquo 17rdquo elde edilirHesap makinesinde 1sin tuşu varsa şu şekilde hareket edilir

a) 742810 - 1sin = 971347 0

b) 238490 - inv - cos = 0202676 91276 0

c) 826113 - inv - tg = 352775 0 102175 0

Alıştırmalar

Hesap makinesi kullanarak verilen her accedilının trigonometrik fonksiyonlarının değerini hesaplayınız

1 a) 048 b) 0 231223 v) 01916

2 a) 7

2 b)

21

5

a) b) c)

a) b)

3 Hesap makinesi kullanarak verilenlerden accedilısını belirtiniz

a) 583620sin b) 714190cos v) 41832tg

g) 9

4sin d)

7

5cos |)

13

4ctg

a) b) c)

ccedil) d) e)

4 = 340 28rsquo iccedilin verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

2

sin

2sin

b) sin22sin b)

5 Verilenlerden accedilısını belirtiniz а) sin = tg23037rsquo b) cos = 5 bull sin 110 c) tg = sin32019rsquo+ cos59025rsquo

44 Aynı Accedilının Trigonometrik FonksiyonlarıArasındaki Temel Bağıntılar

ABC dik uumlccedilgeninde (şek11) a2 + b2 = c2 bağıntısının geccedilerli olduğunu artık biliyorsu-

nuz Bu eşitlik c2 ile boumlluumlnduumlğuumlnde 2

2

2

2

2

2

cc

cb

ca

ve 12

2

2

2

cb

ca ya da

102

1

22

13

13

cb

ca

elde edilir

sinac

ve cosbc

olduğuna goumlre bunları son eşitlik-

te değiştirmekle

1cossin 22 (1) elde edilir

1 Oumlrnek a = 300 iccedilin eşitliği yoklayalım

sin2 30 + cos2 30 14

4

4

3

4

1

3

3

2

130cos30sin

22

22

13

13

(1) eşitliğinden yararlanarak herhangi bir dar accedilının sinuumlsuumlnuuml aynı accedilının kosinuumlsuumlyle ifade edebiliriz ve tersine

2cos1sin ve 2sin1cos

2 4sin

5 olduğuna goumlre cos rsquoyı hesaplayınız

5

3

25

9

25

161

5

41sin1cos

2

2 13

3 1 cos 1 sin ifadesini sadeleştirinizBu oumlrnekle (1) eşitliğinden yararlanarak bazı ifadelerin nasıl sadeleştirildiğini goumlsterece-

ğiz (1 + cos) bull (1 - sin) = 1 - cos2 = sin2

ABC dik uumlccedilgeninden (şek11) atgb

ve bctga

olduğunu yazabiliriz

Bu eşitliklerin pay ve paydalarını c ile boumllersek (c ne 0 c ne 0)

cbca

tg ve

cacb

ctg (2)

elde edilir

tg ve ctg birbiriyle ccedilarpıldığında bir eşitlik daha elde edilir

1 ctgtg (3)

4 Doğrudan doğruya hesaplayarak eşitliği bir oumlrnekle doğrulayalım

Şek 11

103

13

3

3

3

3

336060

2

00 ctgtg

5 ctg = 2 olduğuna goumlre tg rsquoyı hesaplayınız

2

11

ctgtg olduğuna goumlre

1

2tg elde edilir

Trigonometrik fonksiyonların dar accedilılar iccedilin (1) (2) ve (3) temel bağıntılarından yararla-narak bunlardan sadece biri bilindiği takdirde diğer fonksiyonların da değerlerini belirtebiliriz

6 4

sin5

olduğuna goumlre cos rsquoyı hesaplayınız

5

3

25

9

25

161

5

41sin1cos

2

2 13

7 tg = 2 olduğuna goumlre accedilısı iccedilin diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplayınız

sin

costg

eşitliğinden

sin2

cos

gerekir oradan da sin = 2 cos elde edilir Diğer

taraft an sin2 + cos2 = 1 ve (2cos)2 + cos2 = 4cos2 + cos2 = 5cos2 = 1 yazabiliriz Ora-

dan 2 1cos

5 ve sonunda 5

cos5

elde edilir Ondan sonra

5

52

5

2

5

4

5

11cos1sin 2 ve

2

11

tgctg

Alıştırmalar

1 Verilene goumlre diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplayınız

a)

13

5sin b) 250cos v)

5

4tg g) 410ctg b) c) ccedil)

2 Verilen ifadeleri sadeleştiriniz

a) 2cos1 b) 1sin2 v)

2

2

sin1

cos b)a) c)

3 İspatlayınız

D

a) 1cossin 2222 tgctg b) 21cos1sin 2222 tgctgb)a)

4 Her dar accedilı iccedilin aşağıdakiler geccedilerlidir

104

a) sinsin 2222 tgtg b) 1sin2cossin 244

v) cossin

cos21 2

ctgtg

a) b)

c)

5 Her dar accedilı iccedilin aşağıdakiler geccedilerli olduğunu ispatlayınız

a)

sin

2

cos1

1

cos1

12

b) 2cossin

cossin

cossin

cossin 2222

a) b)

6 15cos

17 olduğuna goumlre

5sin cos

3sin 2cos

hesaplansın

7 1

cos3

olduğuna goumlre 4tg - 3sin hesaplansın

45 Dik Uumlccedilgenin Ccediloumlzuumlmuuml

a b ve c bir ABC dik uumlccedilgenin kenarları ve onun dar accedilıları olsun (şek 12) O halde

= 900 dhe a2 + b2 = c2 geccedilerlidirTrigonometrik fonksiyonların tanımından da

sinca

coscb

tgba

cosca

sincb

ctgba

geccedilerli olduğunu biliyoruz Bu bağıntılardan yararlanarak bir kenar ve bir dar accedilı

iki kenarverildiğinde uumlccedilgenin temel elemanlarını (kenarlarını ve accedilılarını) hesaplayacağız

Bir dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln denilince elemanlardan en az biri kenar olmak uumlzere verilenlere goumlre tuumlm temel elemanların belirtilmesini anlayacağız

1 Hipotenuumlsuuml c = 93 cm ve accedilısı = 420 23rsquo verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumlnHer iki kateti a ve b ile dar accedilısını hesaplamamız gerekir Accedilıyı hemen = 900 - = 900 - 420 23rsquo = 470 37rsquo olduğunu buluyoruza katetini hesaplamak iccedilin oumlnce sin4238330 = 067409 olduğunu buluyoruz ondan sonra

a = c bull sin = 93 bull 067409 63 yani a 63 cm elde edilir b katetini hipotenuumls

Şek 12

105

ve accedilısının kosinuumlsuumlyle yardımıyla belirteceğiz ya da Pitagor teoreminden yararlanarak he-saplayacağız

I youmlntemb = c bull cos = 93 bull cos4238330 = 93 bull 07386 yani b 69 cm dir

II youmlntem 696393 22 cmb

2 Katetleri a = 21 cm ve b = 15 cm olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumlnUumlccedilgenin hipotenuumlsuumlnuuml ve iki dar accedilısını hesaplamamız gerekir Hipotenuumlsuuml Pitagor teore-

minden yararlanarak hesaplayacağız

256101521 2222 cmbac

accedilısını tanjant fonksiyonu yardımıyla belirteceğiz yani 4115

21

batg olduğuna

goumlre +01rsquo bulunur accedilısı iccedilin = 900 - 900 - 54028rsquo yani 35032rsquo

3 Kateti b = 53 cm ve accedilısı = 640 verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln Oumldevin koşulları gereğince uumlccedilgenin diğer dar accedilısını katetini ve hipotenuumlsuumlnuuml belirtme-

miz gerekir Hesaplıyoruz = 900 - = 900 - 640 = 260 a = b bull tg = 53 bull tg260 = 53 bull 048773 26 yani a 26 cmrsquodir b = c sin eşitliğinden

898790

53

64sin

53

sin

bc ya da c 59 cm olduğunu buluyoruz

4 Kateti a = 37 cm ve hipotenuumlsuuml c = 48 cm verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln α ile β dar accedilıları ve b kateti hesaplansın

77083048

37sin

ca olduğundan 50428780 elde edilir oradan da 50025rsquo44rsquo

bulunur = 900 - 390 34rsquo 16rdquo dir b = c bull sin = 48 bull sin390 34 16rdquo 48 bull 063704 31 yani b 31 cm olduğunu buluyoruz

Dik uumlccedilgenin ccediloumlzuumlmuuml geometride ve guumlnluumlk hayattan ccedileşitli problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde buuml-yuumlk uygulamaları vardır Bu uygulamaları birkaccedil oumlrnekle goumlstereceğiz

5 Bir dar accedilısı = 660 ve bir koumlşegeni d1 = 34 cm olan eşkenar doumlrtgenin kenarını hesap-layınız

A koumlşesindeki accedilı ve aynı koumlşeden ccedilizilen koumlşegen d1 verilmiş olsun (şek13) ABS dik uumlccedilgeninden

106

2cos

2

1 ad

033cos17 a 203838630

17

33cos

17 cma

Şek13 Şek14

6 İccedilten teğet ccedilemberinin yarıccedilapı r = 12 cm verilmiş olan duumlzguumln altıgenin kenarını he-saplayınız

Şek 14rsquote ABCDEF duumlzguumln altıgeni ccedilizilmiştir ABO uumlccedilgeni eşkenardır BON accedilısı 300rsquodir NBO dik uumlccedilgeninden

928265773501230

2 tgra

8513 cma

elde edilir

7 Bir ırmağın iki farklı tarafında bulunan A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesapla-yınız (şek15)

A noktasında BAM dik accedilısını ccediliziyoruz Bu accedilının kouml-şesini C ile işaret ettikten sonra ACB accedilısını oumllccediluumlyoruz Elde edi-len accedilının buumlyuumlkluumlğuuml = 490 olsun A ve C noktaları arasındaki uzaklığı oumllccediluumlyoruz bu uzaklık d = 28 m olsun O halde

32150371284928 0 tgtgdAB32mAB

Alıştırmalar

Verilenlere goumlre ABC uumlccedilgenini ccediloumlzuumlnuumlz

1 a) 236 0 68cmc b) 815 0 212 cmc v) 465 0 252 cma

2 a) 820 246cmb b) 3048 0 774 cmb v) 240 255 cma

3 a) 230cma 320cmc b) 552 cma 28cmb v) 93 cmb 54 cmc

a) b) c)a) b) c)a) b) c)

Şek 15

107

4 Bir ccedilemberin yarıccedilapı 13cm ve bir AB kirişi 10 cmrsquodir AOB accedilısının oumllccediluumlsuumlnuuml (buumlyuumlk-luumlğuumlnuuml) hesaplayınız

5 Bir ikizkenar yamuğun yuumlksekliği 6cm tabanların uzunlukları ise 4cm ve 20cmrsquodir Yamuğun accedilılarını hesaplayınız

6 A noktasından 4000m dikey yuumlkseklikte bir uccedilak bulunuyor O anda uccedilaktan 170 dep-resyon accedilısıyla alanda B noktası goumlruumlluumlyor Uccedilak B yerinden ne kadar uzaklıktadır ve A ve B noktaları arasındaki uzaklık ne kadardır

46 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Verilen accedilıları derece dakika ve saniye cinsinden ifade ediniz а) 34410 b) 18270 c) 23670

2 Verilen accedilıları derece olarak ifade ediniz а) 36025rsquo36rsquorsquo b) 45011rsquo19rsquorsquo c) 73052rsquo25rsquorsquo

3 Verilen accedilıları radyanlarla ifade ediniz а) 250 b) 62015rsquo c) 350 5rsquo38rsquorsquo

4 Radyanlarla verilmiş olan accedilıları derecelere doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а)

12

7 b) 127 c) 045

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

00

00

30605

30cos30sin

tgctg

b) 130cos2

4502

0

tg

v)

cos1

ctgtg za 0 a) b) c)

6 Verilenlerden α accedilısını belirtiniz a) sin = cos650 b) cos = sin42050rsquo c) sin( + 200) = sin500 d) tg(-150) = ctg(+ 250)

7 Trigonometrik fonksiyonlarından biri verildiğine goumlre diğer trigonometrik fonksiyon-ların değerlerini belirtiniz

a)

5

4sin b)

5

3cos v)

5

3tg g)

25

7ctg a) b) c) d)

108

8 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a) cos54tg ako

5

3sin b)

sin3cos

cossin2 ako 2tga) b)

9 Verilenlere goumlre ABC uumlccedilgenini ccediloumlzuumlnuumlz а) = 3602rsquo c = 68 b) = 64020rsquo a = 450 c) = 85010rsquo b = 062 d) a = 230 c = 320 e) b = 39 c = 425

10 Bir ikizkenar yamuğun tabanı a yan kenarı c ve tabanına ait accedilısı accedilısı verilmiştir Yamuğun diğer tabanını ve yuumlksekliğini hesaplayınız

11 Hareket eden bir vapurdan deniz feneri 2560 accedilıyla goumlzuumlkuumlr Vapur karaya 1050 m yaklaşınca bu accedilı 3120 olur Deniz feneri suyun yuumlzeyinden hangi yuumlksekliktedir

109

Konu Oumlzetleri

Bir derece (10) accedilıların oumllccediluumllmesi iccedilin buumlyuumlkluumlğuuml tam accedilının 1

360 kısmı olarak tanımlan-

mış oumllccediluuml birimidir Dereceden kuumlccediluumlk birimler derecenin 1

60 olan bir dakika (1rsquo) ve dakikanın

1

60 olan ya da tam accedilının 1

3600 kısmına eşit olan bir saniye (1rdquo)rsquodir

Yayının uzunluğu yarıccedilapına eşit olan merkez accedilının oumllccediluumlsuumlne bir radyandır denir ve 1 rad ile işaret edilir

İki birim derece ve radyan arasındaki bağıntı rad 23600 formuumlluumlyle verilir

Dik uumlccedilgendeki dar accedilıdan yararlanarak doumlrt temel trigonometrik fonksiyonun tanımına geccedileceğiz

ABC uumlccedilgeninde C koumlşesindeki accedilı diktir A ve B koumlşelerin-deki accedilışlar ise dar accedilılardır (şek2)

A koumlşesindeki accedilıyı ( ile işaret edersek BC kenarına ( accedilısı iccedilin karşı katet AC kenarına ise komşu (yatay) katettir

Bir dik uumlccedilgenin kenarları ve dar accedilısı arasındaki bağıntıları ifade eden ve bu şekilde ta-nımlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar denir Bu fonksiyonlar şu şekilde de ifade ediliyorlar

ca

sinhipotenuza

zakatetasprotivna

cb

coshipotenuza

zakatetaprilegnata

batg

zakatetaprilegnatazakatetasprotivna

abctg

zakatetasprotivnazakatetaprilegnata

ya ait karşı durumlu katethipotenuumls

ya ait karşı durumlu katet ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet ya ait karşı durumlu katet

hipotenuumls

Aşağıdaki tabloda bazı accedilıların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini goumlsterilmiştir

hipotenuumls

daraccedilı

110

Stepeni Radijani sin cos tg ctg 00 0 0 1 0

030 6

2

1

2

3

3

3 3

045 4

2

2

2

2 1 1

060 3

2

3

2

1 3

3

3

090

2

1 0 0

Dereceler Radyanlar

accedilısı bir dik uumlccedilgenin dar accedilısı olduğu durumda aşağıdaki formuumlller geccedilerlidir

1cossin 22

1 ctgtg

a b ve c bir ABC dik uumlccedilgenin kenarları ve onun dar accedilıları ise trigonometrik fonksi-yonların tanımından şu bağıntılar geccedilerlidir

sinca

coscb

tgba

cosca

sincb

ctgba

Bu bağıntılardan yararlanarak bir kenar ve bir dar accedilı iki kenar

verildiğinde uumlccedilgenin temel elemanlarını (kenarlarını ve accedilılarını) hesaplayacağızBir dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln denilince elemanlardan en az biri kenar olmak uumlzere verilenlere

goumlre tuumlm temel elemanların belirtilmesini anlayacağız

111

5 DUumlZLEMDE DOĞRU

51 Duumlzlemde Dik Accedilılı Koordinat Sistemi

Sayı doğrusu uumlzerinde her noktanın durumu sadece bir x reel sayısı ile tamamen bellidir ve bu sayıya noktanın koordinatı denir Benzer şekilde koordinat sisteminden yararlanarak duumlzlem uumlzerinde her noktanın durumu reel sayılardan oluşan ve noktanın koordinatları diye adlandırılan bir (x y) sıralı ccedilift iyle tamamen belli olduğunu goumlstereceğiz

Dik accedilılı koordinat sistemi birbirine goumlre dik olan ve koordinat eksenleri diye adlandırılan iki eksenden olu-şur İki eksenin kesiştiği noktaya koordinat başlangıcı ya da orijin denir ve O ile işaret edilir Yatay eksene x- ekseni ya da apsis ekseni dikey eksene ise y- ekseni ya da ordinat ekseni denir Koordinat sisteminin ait olduğu duumlzleme ko-ordinat duumlzlemi denir

Genel olarak her iki koordinat ekseninde aynı birim uzunluk kullanılır Koordinat başlangıcının sağ taraft aki youmlnuuml x- ekseninin pozitif youmlnuuml koordinat başlangıcından yukarıya doğruya olan youmln ise y- ekseninin pozitif youmlnuuml sa-yılır

P koordinat duumlzleminde herhangi bir nokta M ve N noktaları ise sırasıyla x= ve y= eksenlerine P noktasının izduumlşuumlmleri olsun M noktasına x- ekseni uumlzerinde sadece bir tek x reel sayısı karşılık gelir Ben-zer şekilde M noktasına y- ekseni uumlzerinde sadece bir tek y reel sayısı karşılık gelir Buna goumlre P noktasının durumu reel sayılardan oluşan bir (x y) sıralı ccedilift iyle tamamen bellidir Bu sıralı ccedilift e P noktasının koor-dinatları denir Bu durumda x sayısına birinci koordinat ya da apsis y sayısına ise ikinci koordinat ya da ordinat denir ve P(x y) biccediliminde işaret edilir

1 P(-3 6) noktasının birinci koordinatı x = -3 ve ikinci koordinatı ise y = 6rsquodıruml

P (x y) noktasını ccedilizmek ya da koordinat sisteminde goumlstermek P noktasından geccedilen ve koordinat eksenlerine paralel olan doğruların kesişim noktasını belirtmek de-mektir

2 P(23) noktasını ccedilizinizKoordinatı 2 olan noktadan x ndash eksenine dikme ccedilizi-

lir Benzer şekilde y- ekseninde koordinatı 3 olan noktadan y- eksenine dikme ccedilizilir Dikmelerin kesişim noktası aranılan noktadır (şek2)

Şek 1

Şek 2

112

Koordinat eksenleri duumlzlemi doumlrduumlller denilen doumlrt kısma ayırıyorlar I doumlrduumll olarak uumlst sağ kısım II doumlrduumll uumlst sol kısım III doumlrduumll alt sol kısım ve IV doumlr-duumll alt sağ kısım olarak alınır O halde herhangi bir P(x y) noktası I- doumlrduumllde ise x gt 0 ve y gt 0 olur II- doumlr-duumllde ise x lt 0 ve y gt 0 olur III- doumlrduumllde ise x lt 0 ve y lt 0 olur IV- doumlrduumllde ise x gt 0 ve y lt 0 olur y = 0 eğer nokta x ekseni uumlzerinde ise x = 0 eğer nokta y ek-seni uumlzerinde ise Koordinat başlangıcı hem x hem de y uumlzerinde olduğuna goumlre onun koordinatları O (00) olur (şek3)

3 Verilen noktaları koordinat duumlzleminde belirtiniz а) A(52) b) B(40) c) C(-35) d) D(03)

e) E(-6-1) f) F(-20) g) 13

2

12G h) H(0-2)

ondan sonra biri hangi doumlrduumlle ya da eksene ait olduğunu belirtiniz

a) A(5 2) noktası I ndash doumlrduumlle aittirb) B(4 0) noktası x- ekseni uumlzerindedirc) C(-3 5) noktası II ndash doumlrduumlle aittird) D(0 3) noktası y- ekseni uumlzerindedire) E(-6 -1) noktası III ndash doumlrduumlle aittirf) F(2 0) noktası x- ekseni uumlzerindedir

g) G(2 1

2 ) noktası IV ndash doumlrduumlle aittir

h) H(0 -2) noktası y- ekseni uumlzerindedir

Alıştırmalar

1 Verilen noktalardan her biri hangi doumlrduumlle ya da eksene ait olduğunu belirtiniz а) A(3-4) b) B(-11) c) C(-3-5) d) D(23)

e) E(-60) f) 13

2

30B g)

13

02

1G h) H(0-1)

II doumlrduumll

III doumlrduumll IV doumlrduumll

I doumlrduumll

Şek 3

Şek 4

113

A(13) B(-24) C(5-2) ve D(-3-1) noktalarının

2 x- ekseni uumlzerinde 3 y- ekseni uumlzerinde M N P ve Q izduumlşuumlmlerinin koordinatlarını belirtiniz

4 Uccedil noktalarının koordinatları A(14) ve B(52) olan AB doğru parccedilasını ccediliziniz On-dan sonra doğru parccedilasının x- ekseni ve y- ekseni uumlzerinde sırasıyla mx ve my dik izduumlşuumlmleri-nin uzunluklarını belirtiniz

5 Koumlşelerinin koordinatları verilmiş olan ABC uumlccedilgenini ccediliziniz A(1 -3) B(5 2) ve C

(0 -1

2)

52 İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Bu derste koordinat duumlzleminde bulunan iki nokta arasındaki uzaklık problemini analitik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Verilen iki nokta M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık aslında M1M2 doğru parccedilasının uzunluğudur yani 1 2d M M rsquodir

Oumlnce daha basit bir durumu ccediloumlzeceğiz Uccedil noktalardan biri koordinat başlangıcında olsun (şek5) M(xy) noktasından x- eksenine ccedilizilen dikmenin dikme ayağı N olsun ONM dik uumlccedilge-ninden Pitagor teoremi gereğince

22 yxd dir

1 M(34) noktasından koordinat başlangıcına olan uzaklığı ne kadardır2 23 4 5d elde ediliruml

Şek 5 Şek 6

114

Şimdi genel durumu inceleyelim Aralarındaki uzaklığı hesaplanması gereken M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) noktaları x ndash eksenine ve y ndash eksenine paralel olmayan bir doğruya ait olsun (şek6) M1M2M3 dik uumlccedilgenini inceleyelim Onun katetlerinin uzunlukları sırasıyla || 1221 xxMM ve

|| 1232 yyMM olduğunu yazabiliriz O halde M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık d aslında dik uumlccedilgenin M1M2 hipotenuumlsuumlduumlr Buna goumlre

212

2

12 yyxxd

2 M1 (-2 3) ve M2 (0 -2) noktaları arasıdaki uzaklığı belirtiniz

29)3)2(())2(0( 22 d

3 A(3-6) B(-2 4) ve C (1 -2) noktaları bir doğru uumlzerinde olup olmadığını yoklayınızAB AC ve BC doğru parccedilalarının uzunluklarını hesaplayacağız Bunlardan biri diğer

ikisinin toplamına eşit olup olmadığını yoklayacağız5510)5( 22 AB 524)2( 22 AC 53)6(3 22 BC

BCACAB olduğuna goumlre bu uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde olduğunu buluyoruzuml4 Koumlşelerinin koordinatları A(1 1) B(23) ve

4

91

13

C olan uumlccedilgen hangi tuumlrden olduğu-

nu belirtiniz Uumlccedilgenin ve AB AC BC kenar uzunluklarını hesaplayalım

521 22 AB

4

5

4

50

2

2 13

AC

4

5

4

33

2

2 13

BC

AC BC AB olduğuna goumlre verilen uumlccedilgen ikizkenar olduğunu buluyoruzuml

Alıştırmalar

1 Verilen noktalar arasındaki uzaklığı hesaplayınız а) М1(1-3) ve М2(26) b) M1(02) ve М2(0-2) c) М1(-1-2) ve М2(24) d) M1(13) ve M2(70)

2 A(1 -3) B(3 -5) ve C (-5 7) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleri olup olmadığını yoklayınız

3 Apsisi 7 olan B noktası A(-1 5) noktasından 10 birim uzaklığındadır B noktasının koordinatlarını belirtiniz

115

4 A(5 8) ve B(-11 -2) noktaları veriliyor A noktasına goumlre B noktasının simetriği olan C noktasının koordinatlarını belirtiniz

5 A(1 4) B(3 -9) ve C (-5 2) noktaları veriliyor Bu noktalar bir uumlccedilgenin koumlşeleri oldu-ğunu goumlsteriniz ve B koumlşesinden ccedilizilen kenarortayının uzunluğunu belirtiniz

53 Doğru Parccedilasının Verilen Oranda Boumlluumlnmesi

Bir doğru uumlzerinde olan A B ve M (AneB) noktaları iccedilin AM MB2 oumlzelliği varsa M noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan başlayarak Brsquoye doğru 2 oranında boumller

1 M notası AB doğru parccedilasının orta noktası ise AM MB olur yani M noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 2 = 1 oranında boumller (şek7)

2 P ve Q noktaları AB doğru parccedilasını AP AQ olmak uumlzere uumlccedil eşit parccedilaya ayırıyorlar Bu

durumda 1

2AP PB ve 2AQ QB dir O halde P

noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 1

2 ora-

nında Q noktası ise 2 oranında boumller (şek 8)

İlerde ldquoM noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 2 oranında boumllerrdquo diyecek yerde sadece ldquoM noktası AB doğru parccedilasını 2 oranında bouml-lerrdquo diyeceğiz Bu durumda AB şeklinde ifade edilen doğru parccedilasında A ilk ve B ikinci nokta olduğunu sayacağız

M noktası ancak ve ancak A ve B arasında ise 2 sayısı sıfırdan buumlyuumlktuumlr Oumlzel durum 2= 1 ise M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise ancak ve ancak M noktası A noktasıyla ccedilakı-şırsa 2 = 0rsquodır 2= -1 ise AM MB gerekir bu ise imkansızdır Demek ki2ne -1 olmalıdır 2 sayısı sıfırdan kuumlccediluumlk ve2ne -1 ise M noktası AB doğru parccedilasının dışında AB doğrusuna aittir

Uccedil noktaları 1 1A x y ve 2 2B x y olan AB doğru parccedilasını l oranında boumllen M (x y) noktasının koordinatlarını belirtelim (şek9)

Crt 7 Şek 7

Şek 8

Şek 9

116

AM MB2 eşitliğinden x ndash x1 = 2 (x2 ndash x ) ve y ndash y1 = 2 (y2 ndash y ) gerekir O halde

22

1

21 xxx 22

1

21 yyy

pq

2 olduğu durumda

qppxqxx

21 qppyqyy

21

elde edilirOumlzel durumda M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise 2 = 1rsquodir ve

221 xxx

2

21 yyy

elde edilir Bu formuumlller orta noktanın koordinatlarıdır

3 Koumlşelerinin koordinatları A(-2 -3) B(6 1) ve C(-4 5) olan uumlccedilgen verilmiş olsun Uumlccedilge-nin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz

Ağırlık merkezi AA1 BB1 ve CC1 kenar ortaylarını l = 2 oranında boumllduumlğuumlnuuml biliyoruz Bu oumlzellikten yararlanarak ağırlık merkezinin koordinatlarını belirteceğiz

22

62

21

CB

Axxx ve 1

2

13

21

CB

Ayyy den A1(2 -1) dir

O halde 03

44

21

21

AAT

xxx ve 1

3

25

21

21

AAT

yyy olduğuna goumlre T(0 1)

olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 A(3-7) B(5 2) ve C(-1 0) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir Kenarlarının orta noktala-rının koordinatlarını bulunuz

2 A(1 1) B(5 11) ve C(3 -1) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir A noktasından ccedilizilen kenar ortayın uzunluğunu belirtiniz

3 A(-3 -2) ve B(7 3) noktaları veriliyor AB doğru parccedilasını beş eşit parccedilaya boumllen nok-taların koordinatlarını belirtiniz

4 A(3 1) ve B(8 3) noktaları veriliyor AB doğru parccedilasınıa) 2 3 b) 3 2 c) -2 3 d) -3 2oranında boumllen M noktasının koordinatlarını belirtiniz

117

5 Kenarlarının orta noktaları P(3-2) Q(1 6) ve R(-4 2) olan bir uumlccedilgenin koumlşelerinin koordinatlarını belirtiniz

6 A(a1 a2) B(b1 b2) ve C(c1 с2) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir ABC uumlccedilgeninin ağırlık

merkezi iccedilin 3

3

222111 13

cbacbaT formuumlluuml geccedilerli olduğunu ispatlayınız

54 Uumlccedilgenin Alanı

M1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktaları verilen bir uumlccedilgenin koumlşeleri olsun Problemi iki aşamadan ccediloumlzeceğiz

I aşama Oumlnce bir koumlşesi koordinat başlangıcında diğeri ise x ekseninde olan uumlccedilgenin alanını belirtelim (şek10) Bu durumda uumlccedilgenin uumlccediluumlncuuml koumlşesi ya x ekseni uumlstuumlnde ya da x ek-seni altında olacaktır Uumlccedilgenin alanı tabanı ve yuumlksekliğinin ccedilarpımının yarısına eşit olduğuna goumlre verilen uumlccedilgenin alanı

2

|| 21yxP

olur Uumlccedilgenin alanı pozitif buumlyuumlkluumlk olduğuna goumlrex1 ve y2 ise pozitif ya da negatif sayılar ola-bilir Bu yuumlzden onların ccedilarpımının mutlak değeri alınır

Şek 10 Şek 11

II aşama Genel olarak (şek11) koumlşeleri M1 (x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktalarında olan uumlccedilgenin alanı N1M1M2N2 ve N2M2M3N3 yamukların alanlarının toplamından N1M1M3 N3 yamuğun alanı ccedilıkarılır O halde

118

)]()()([

2

1

)(2

)(2

)(2

213132321

1331

2332

1221

xxyxxyxxy

xxyyxxyyxxyyP

P

elde edilirM2 noktası M1 ve M3 noktalarıyla belirlenen doğrunun altında ise uumlccedilgenin alanı iccedilin negatif değer elde edilecektir Uumlccedilgenin alanı pozitif sayı olduğuna goumlre elde edilen değerin mutlak değeri alınmalıdır

|)()()(|

2

1

|)()()(|2

1

213132321

213132321

yyxyyxyyx

xxyxxyxxyP

P

Uumlccedilgenin alanını hesaplamak iccedilin kullanılan bu formuumllden uumlccedil noktanın bir doğru uumlzerin-de (doğrusal) olması iccedilin şart elde edebiliriz Uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde bulunduğu durumda bu noktalarla elde edilen uumlccedilgenin alanı sıfırdır

1 Koumlşelerinin koordinatları A(1 2) B(-2 3) ve C(0 5) olan uumlccedilgenin alanını hesaplayınızUumlccedilgenin alanı formuumlluumlnden yararlanacağız

4|)32(0)15(2)53(1|

2

1

|)()()(|2

1213132321

yyxyyxyyxPP

Demek ki verilen uumlccedilgenin alanı 4 birim karediruml

Alıştırmalar

1 Koumlşelerinin koordinatları A(-32) B(3 5) ve C(1-3) olan uumlccedilgenin alanını hesaplayınız2 P1( -3-3) P2(35) ve P3(69) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleri midir3 Koordinatları M(1 -3) B(3 5) ve C(2 1) olan M B ve C noktaları bir doğru uumlzerinde

olup olmadıklarını yoklayınız4 Koumlşeleri A(01) B(37) C(44) ve D(1-2) olan paralelkenarın alanını hesaplayınız5 Koumlşeleri A(14) B(53) C(-3-5) ve D(-21) olan yamuğun alanını hesaplayınız

119

6 Koumlşelerinin koordinatları A(11) B(-1 -2) ve C(-47) olan uumlccedilgende P noktası AC ke-narının orta noktası olduğuna goumlre APB ve BPC uumlccedilgenlerinin alanını hesaplayınız

55 Doğru Denkleminin Accedilık Şekli

Doğrutemel geometrik kavramı olduğuna goumlre tanımı yoktur Bunun denklemini elde etmek iccedilin onun bazı oumlzelliklerinden yararlanaca-ğız Oumlnce koordinat başlangıcından geccedilen ve koor-dinat eksenlerinden farklı olan doğrunun denkle-mini belirtelim (şek12)

M(x y) noktası doğru uumlzerinde koordinat başlangıcından farklı olan herhangi bir nokta ol-sun M noktasının x- eksenine dik izduumlşuumlmuumlnuuml M1 ile doğrunun x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle oluş-turduğu accedilıyı ile işaret edelim Boumlyle durumda

tgxy

OMMM

1

1 oranı M noktasının her-

hangi durumu iccedilin sabittir Bu sabit sayı k ile işaret edilir ve buna accedilı katsayısı ya da doğrunun eğimi denir Buna goumlre bu doğrunun her noktası-nın koordinatları

kxy

denklemini sağlamaktadırO halde y = kx denklemi koordinat başlangıcından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumly-

le a accedilısını oluşturan doğrunun denklemidir Burada k = tg arsquodır

1 Koordinat başlangıcından geccedilen ve ndash ekseninin pozitif youmlnuumlyle 4

accedilısını oluştu-ran doğrunun denklemini yazınız

Doğru koordinat başlangıcından geccediltiğine goumlre denklemi y = kx şeklindedir Oumldevin

koşuluna goumlre 14

k tg tg rsquodir Demek ki doğrunun denklemi y = xrsquotiruml

Koordinat duumlzleminde herhangi bir doğru verilmiş olsun Şu iki durum muumlmkuumlnduumlrbull Doğru her iki ekseni keser (şek13) N(0 m) noktası doğrunun y- eksenini kestiği nok-

ta olsun Bu durumda m pozitif ise doğrunun her noktasının ordinatı verilen doğruya paralel olan ve koordinat başlangıcından geccedilen doğrunun ordinatından m kadar fazladır ve m negatif

Şek 12

120

olduğu durumda her noktanın ordinatı m kadar kuumlccediluumlktuumlr İncelenen her doğru x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle aynı accedilıyı oluşturur Buna goumlre on-ların accedilı katsayıları birbirine eşittir Koordinat baş-langıcından geccedilen doğru

y = kxdenklemiyle verildiğine goumlre verilen doğrunun denklemi mkxy

olur Burada k verilen doğrunun eğimidir m ise y- ekseninden kestiği doğru parccedilasıdır Elde edilen denkleme doğrunun accedilık şekli denir doğruya ise accedilık şekilde verilmiştir denir

2 M(2-3) ve N(5 6) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınızbull Oumldevin koşuluna goumlre M(2-3) ve N(5 6) noktaları doğruya ait noktalardır O halde

onların koordinatları y = kx + m denklemini sağlar Bu şekilde

mk

mk56

23 sistemi elde edilir

Bunun ccediloumlzuumlmuuml k = 3 ve m = -9 elde edilir Demek ki doğrunun aranılan denklemi y = 3x ndash 9rsquoduruml

Doğrunun accedilık şekilde verildiğinde eğiminin ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilasının oumlnemini goumlz oumlnuumlnde bulundurarak şu sonuccedillara varabiliriz

a İki doğru ancak ve ancak paralel oldukları durumda eğimleri birbirine eşittirb İki doğru ordinat ekseninden eşit doğru parccedilaları keser ancak ve ancak her ikisi ordi-

nat eksenini aynı noktada kesersebull Doğru x- ekseniyle paraleldir ya da ccedila-

kışır (şek14) Bu durumda doğruya ait her nok-ta x- ekseninden eşit uzaklıktadır x- ekseninden uzaklık aslında noktanın ordinatı olduğuna goumlre doğruya ait her noktanın ordinatları birbirine eşit-tir Bu uzaklığı m ile işaret edersek verilen doğru-nun denklemi

my

olur Doğrunun bu durumu oumlnceki doğrunun bir oumlzel durumu gibi kabul edebiliriz Doğru x- ekse-

Şek 13

Şek 14

121

ninin pozitif youmlnuumlyle a = 2kp k = 0 1 2 hellip accedilı yaptığına goumlre bu durumda k = 0 olur Bunun oumlzel durumu x- ekseninin denklemi y = 0 olur

bull Doğru y- ekseniyle paraleldir ya da y- ekseniyle ccedilakışık durumdadır (şek14) O halde doğruya ait her nokta y- ekseninden eşit uzaklıktadır Bir noktanın y- eksenine uzaklığı aslında onun apsisi olduğuna goumlre doğruya ait her noktanın apsisleri birbirine eşittir Bu uzaklığı a ile işaret edersek verilen doğrunun denklemi

ax

olur Bunun oumlzel durumu y- ekseninin denklemi x = 0 olur

3 Koordinat duumlzleminde x = 2 ve y = 3 doğrularının durumu nasıldır x = 2 doğrusu y- eksenine paraleldir ve onun her noktası y- eksenine 2 birim uzaklıktadır

y = 3 doğrusu x ndash ekseniyle paraleldir ve her noktası x- ekseninden 3 birim uzaklıktadıruml

Alıştırmalar

1 M(-1 1) N(2 ndash3) ve P(2 2) noktaları y = - x + 4 doğrusuna ait olup olmadıklarını yoklayınız

2 Koordinat başlangıcından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle

a)

4

b)

4

3 v) а) b) c)

accedilı oluşturan doğrunun denklemini belirtiniz

3 Denklemiyle verilmiş olan doğrunun eğimini ve y- ekseninden kestiği parccedilayı belirtiniz а) y = 2x ndash 3 b) y = ndashx + 3 c) y = ndash2 d) xy 3

4 x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle 3

accedilı yapan ve ordinat eksenini 1

2 de kesen doğru-

nun denklemini yazınız

5 A(-3 2) noktasından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle = 1350 accedilı yapan doğru-nun denklemini yazınız

6 A(2 -1) ve B(-3 5) noktalarından geccedilen doğrunun ordinat ekseninden kestiği parccedilayı ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle yaptığı accedilıyı belirtiniz

7 M(2 -8) ve N(-1 7) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınız

122

56 Doğru Denkleminin Genel Şekli

Geccedilen derste koordinat duumlzlemine ait bir doğrunun denklemi iccedilin x ve y değişkenli birin-ci derece denklem elde ettik Bu derste x ve y değişkenli birinci dereceden denklemin neyi ifade ettiğini inceleyeceğiz Bu nedenle

Ax + By + C = 0 (1)denklemini inceleyelim A ne 0 ya da B ne 0 olduğunu farz edelim A =B= 0 olduğu durumda eşitlik C = 0 olur O halde C ne 0 durumunda koordinat duumlzleminde eşitliği sağlayan hiccedilbir nokta yoktur Fakat C = 0 durumunda duumlzlem uumlzerinde her nokta eşitliği sağlar

bull A = 0 ise B ne 0 olur ve (1) denklemi CyB

denklemiyle denk olur Bu son eşitliği

sağlayan noktaların geometrik yeri x- eksenine paralel olan ve 0CMB

13

noktasından geccedilen doğrudur

bull B = 0 ise A ne 0 olur ve (1) denklemi CxA

denklemiyle denk olur Bu son eşitliği

sağlayan noktaların geometrik yeri y- eksenine paralel olan ve 0CNA

13

noktasından geccedilen doğrudur

bull A ne 0 ve B ne 0 ise (1) denklemi A Cy xB B

denklemiyle denk olur Bu son eşitlik

eğimi AkB

ve y- ekseninden CmB

doğru parccedilasını kesen bir doğrunun accedilık şeklidir

Buraya kadar yapılan incelemelerden şu sonuca varabiliriz

0 CByAx

eşitliği bir doğrunun denklemidir ve ona doğrunun genel şekli denir

1 13

2y x doğrusunun denklemini genel şekilde doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

Verilen denklem 13 0

2x y yani x + 2y ndash 6 = 0 denklemiyle denktir

2 3x + 3y -5 = 0 doğrusunun denklemi veriliyor Bu doğrunun x- ekseninin pozitif youml-nuumlyle yaptığı accedilıyı ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilayı belirtiniz

123

Verilen denklemi yrsquoye goumlre ccediloumlzersek verilene denk olan 5

3y x denklemini elde ede-

ceğiz Bu denklem aslında duumlzlem uumlzerinde aynı doğrunun denklemidir Oradan k = tga = -1

olduğuna goumlre 3

4

ve 5

3m elde ediliruml

3 2x ndash 3y + 2 = 0 denklemiyle verilmiş olan doğruyu ccedilizinizVerilen oumldevi ccediloumlzmek iccedilin doğruya ait olan

iki noktayı belirtmek yeterlidir Ondan sonra iki noktadan sadece bir tek doğru geccediltiğine goumlre aranılan doğruyu ccedilizmiş oluyoruz (şek15) x iccedilin tahminen iki değer seccediltikten sonra onlara karşılık gelen y değerlerini belirtiyoruz Bu oumlrnekte x1 = 2 seccedilimi uygundur ccediluumlnkuuml o değere karşılık y iccedilin tam sayılı değer yani y1 = 2 elde edilir Benzer şe-kilde x iccedilin x2 = -1 seccedilersek y2 = 0 elde edilir uml

Alıştırmalar

1 Verilen doğruların denklemlerini genel şekilde doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а) y = 2 x - 3 b) y = -4 c) x = 3

2 Verilen doğruların eğimini ve ordinat ekseninden kestiği parccedilayı belirtiniz а) 2x - y + 3 = 0 b) 5x + 2y - 3 = 0 c) 3x + 8y +16 = 0

3 x + y - 3 = 0 doğrusu veriliyor Bu doğrunun x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle yaptığı accedilıyı ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilayı belirtiniz

4 Denklemleriyle verilmiş olan doğruları ccediliziniz

a) 13 xy b) 2x v) y

g) 22 xy d) 23

1 xy |) 150 yx

а)

e)d) f)

c)b)

5 2 ne 0 olmak uumlzere Ax + By + C = 0 ve 2Ax +2By + 2C = 0 denklemleri aynı doğ-runun denklemi midir

Şek 15

124

57 Doğrunun Eksen Parccedilalarına Goumlre Denklemi

Ax + By + C = 0 (1)denklemi koordinat duumlzleminde bir doğrunun denklemi olduğunu goumlrduumlk Daha da C = 0 ise doğru koordinat başlangıcından geccediler A = 0 ise doğru x- eksenine paraleldir B = 0 ise doğru y- eksenine paraleldir

Verilen doğru koordinat başlangıcından geccedil-mediğini ne de eksenlerden biriyle paralel olma-dığını farz edeceğiz Bu durumda denklemin kat-sayıları iccedilin A ne 0 B ne 0 ve C ne 0 geccedilerlidir (1) denklemini 1

C ile ccedilarparsak

01 y

CBx

CA

ya da1

BCy

ACx

elde edilir ve C Ca bA B

koyarsak verilen denklem

1by

ax

(2)

denklemi elde edilir Bu denkleme doğrunun eksen parccedilalarına goumlre denklemi denira ve b parametrelerin geometrik anlamını inceleyelim (2) denkleminde oumlnce y = 0 ondan

sonra x = 0 koyarsak sırasıyla x- eksenini ve y- eksenini kesen P(a 0) ve Q(0 b) noktalarını elde edeceğiz Buna goumlre a ve b sayıları mutlak değerce doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerinden kestiği doğru parccedilalarıdır Bunlara eksen parccedilaları diyeceğiz

1 x ndash 3y ndash 6 = 0 doğrunun denklemini eksen parccedilalarına goumlre yazınız Ondan sonra doğ-runun eksenlerden kestiği parccedilaları belirtiniz

Şek 16

125

Verilen denklem doğrunun genel şeklidir Bu denklemi 1 1 1

6 6C

ile ccedilarparsak

16 2

x y denklemi elde edilir bu ise 1

6 2

x y

denklemine denktir Bu son denklem doğru-

nun eksen parccedilaları cinsinden denklemidir ve verilen denkleme denktir x- ekseninden kestiği parccedila 6 birim y- ekseninden kestiği parccedila ise 2 birimdir

2 Koordinat eksenleri ve 2x ndash 5y ndash 10 = 0 doğrusuyla sınırlanan uumlccedilgenin alanını hesap-layınız

Koordinat eksenleri birbirine dik olduklarına goumlre elde edilecek uumlccedilgen de diktir Dik kouml-şesi koordinat başlangıcında katetleri koordinat eksenleri uumlzerinde hipotenuumlsuuml ise verilen doğ-ruya ait olacaktır Dik uumlccedilgenin alanı katetlerinin ccedilarpımının yarısına eşit olduğunu biliyoruz Bu katetler burada aslında doğrunun eksenlerden kestiği parccedilalardır O halde doğrunun denk-

lemini eksen parccedilalarına goumlre duumlzenlersek verilene denk olan 15 2

x y denklem elde edilecek-

tir Demek ki doğrunun eksenlerden kestiği parccedilalar 5 ve 2rsquodir Buna goumlre aranılan uumlccedilgenin katetleri 5 birim ve 2 birimdir Demek ki uumlccedilgenin alanı 5 birim karedir

Alıştırmalar

1 Verilen doğruların denklemlerini eksen parccedilalarına goumlre doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а) 3x - 2y +12 = 0 b) y = -x +1 c) y = 4x - 2

2 k parametresinin değerini o şekilde belirtiniz ki 2x + 5ky ndash 3 = 0 doğrusunun eksenler-den ayırdığı parccedilaların uzunlukları toplamı 10 olsun

3 k parametresinin değerini o şekilde belirtiniz ki 6x + 5y ndash 12k = 0 doğrusunun eksen-

lerden ayırdığı parccedilaların uzunluklarının ccedilarpımı 5

6 olsun

4 x + 2y ndash 6 = 0 doğrusuyla ve koordinat eksenleriyle sınırlanan uumlccedilgenin alanını hesap-layınız

5 M(4 -3) noktasından oumlyle bir doğru ccediliziniz ki koordinat eksenleriyle alanı 3 birim kare olan uumlccedilgen elde edilsin

126

58 Nokta ve Doğru Arasındaki Durumlar

581 Verilen Noktadan Geccedilen Doğru Demetinin Denklemi

1M(x1 x2) noktası koordinat duumlzleminde sabit bir nokta olsun Verilen bu noktadan M merkezli doğru demeti diye adlandırılan sonsuz ccedilok sayıda doğru geccediler (şek17) M noktasından geccedilen her doğrunun genel denklemi

Ax + By + C = 0biccedilimindedir M noktası bu doğruya ait olduğuna goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlar yani

Ax1 + By1 + C = 0Elde edilen denklemi birincisinden ccedilıkarır-

sak0)()( 11 yyBxxA elde edilir

M noktasının koordinatları denklemi sağladığına goumlre bu şekilde olan her denklem M nokta-sından geccedilen doğrunun denklemidir A ve B katsayılarına farklı değerler vermekle M noktasın-dan geccedilen farklı doğrular elde edilecektir

Demete ait olan doğrular arasında bir tanesi y- eksenine paraleldir Onun denklemi x = x1 dir Sadece bu doğrunun accedilı katsayısı ve ordinat eksenini kestiği parccedilası yoktur O halde bu doğru accedilık şekilde ifade edilemez M noktasından geccedilen diğer doğrulardan her biri

y = kx + n accedilık şekilde ifade edilebilir M noktası bu doğruya ait olduğuna goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlar yani

y1 = kx1 + n geccedilerlidir Elde edilen denklemi ilkinden ccedilıkarıyorsak

)( 11 xxkyy

denklemi elde edilecektir Bu şekilde olan her denklem M noktasından geccediler k katsayısının farklı değerlerini değiştirmekle y eksenine paralel olan doğru hariccedil olmak uumlzere M noktasın-dan geccedilen farklı doğruların denklemleri elde edilecektir

Şek 17

127

1 M (-3 2) noktasından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1350 accedilı yapan doğru-nun denklemini yazınız

Merkezi M noktası olan doğru demetinin denklemi y ndash 2 = k(x + 3)rsquotuumlr Doğru demetine ait aranılan bu doğru x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1350 accedilı yaptığına goumlre onun accedilı katsayısı k = tg 1350 = -1rsquodir O halde aranılan doğrunun denklemi y ndash 2 = - 1(x + 3) ya da x + y + 1 = 0 olur

582 İki Noktadan Geccedilen Doğrunun Denklemi

Bir noktadan geccedilen doğru demetinin denkleminden yararlanarak iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini kolay belirtebiliriz

1 M1 (-12 5) ve M2 (8 -3) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınızM1 noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi y ndash 5 = k (x + 12)rsquodir Aranılan doğru

M2 noktasından geccediltiğine goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlayacaktır yani -3 ndash 5

= k(8+12) geccedilerlidir Oradan da 2

5k elde edilir Buna goumlre aranılan doğrunun denklemi

25 12

5y x ya da 2x + 5y ndash 1 = 0 olduğunu buluyoruz

İncelenen oumlrnek herhangi iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini belirtmek iccedilin bir yol goumlstermektedir M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) noktaları verilmiş olsun (şek18) Verilen noktalar-dan geccedilen M1M2 doğrusunun denklemini belirtelim

x1 = x2 ise M1M2 doğrusu y- eksenine goumlre diktir ve denklemi

1xx olur

x1 ne x2 ise M merkezli doğru demetinin denklemi

y ndash y1 = k (x ndash x1)

dir M1M2 doğrusu M2 noktasından geccediltiğine goumlre onun koordinatları denklemi sağlar ve

y2 ndash y1 = k (x2 ndash x1)

elde edilir Buna goumlre M1M2 doğrusunun accedilı kat-sayısı (eğimi)

Şek 18

128

12

12

xxyyk

olduğunu buluyoruz k iccedilin elde edilen bu değeri yukarıdaki doğru demetinin denkleminde değiştirirsek iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini elde edeceğiz

)( 1

12

121 xx

xxyyyy

İki noktadan geccedilen doğrunun denkleminden uumlccedil noktanın doğrusal olma koşulunu bu-labiliriz M3 (x3 y3) noktası M1 ve M2 noktalarından geccedilen doğruya ait olmak iccedilin onun koordi-natları verilen doğrunun denklemini sağlamalıdır yani

)( 13

12

1213 xx

xxyyyy

formuumlluuml elde edilir

583 Verilen Bir Noktadan Verilen Doğruya Uzaklık

Şimdi duumlzlem uumlzerinde verilen bir noktadan verilen bir doğruya uzaklığın nasıl hesaplan-dığını goumlrelim Bir noktadan verilen bir doğruya uzaklık aslında o noktadan geccedilen ve verilen doğruya dik olan doğruyla kesişim noktasına kadar uzaklıktır ya da diğer soumlzlerle noktasından verilen doğruya inilen dikmenin uzunluğu olarak tanımlanır

Doğrunun denklemi Ax + By + C = 0

genel şekilde verildiği durumda denklemi 2 2

1MA B

normlayan ccedilarpanıyla ccedilarp-

mamız gerekir Bu ccedilarpanın işareti C katsayısının işaretiyle terstir O halde verilen noktadan verilen doğruya uzaklığı belirtmek iccedilin verilen doğrunun denklemi

0

222222

BACy

BABx

BAA

biccediliminde yazılır Noktanın koordinatları değiştirilir ve elde edilen ifadenin mutlak değeri alı-nır Sonuccedil olarak

22

11

BA

CByAxd

elde edilir

1 A(2 1) ve B(-2 4) noktalarından 4x ndash 3y + 15 = 0 doğrusuna uzaklığı belir-tinizVerilen noktadan verilen doğruya uzaklığı belirtmek iccedilin doğrunun denklemini

5

1112222

BABAM ccedilarpanıyla ccedilarpacağız Bu ccedilarpanın

129

işareti C katsayısının işaretiyle ters olduğuna goumlre 1

5M olur O halde doğrunun denk-

lemi 4 33 0

5 5x y elde edilir Şimdi verilen noktanın koordinatlarını değiştirmekle

44315

32

5

4d elde edilir Mutlak değeri almadan oumlnce drsquonin işareti negatif ol-

duğuna goumlre A noktası ve koordinat başlangıcı doğrunun aynı tarafında bulunur

Benzer şekilde B noktası iccedilin de 11345

3)2(

5

4d elde edilir Bu durumda

mutlak değeri almadan drsquonin işareti pozitif olduğuna goumlre nokta ve koordinat başlangıcı doğ-runun ters tarafl arında bulunuruml

Alıştırmalar

1 Verilen noktadan geccedilen doğru demetini yazınız а) M(2-3) b) M(-14)

2 M (-2 1) noktasından geccedilen ve eğimi k = - 3 olan doğrunun denklemini yazınız

3 M (4 -7) noktasından geccedilen ve x ndash ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1200 accedilı yapan doğ-runun denklemini yazınız

4 Verilen noktalardan geccedilen doğrunun eğimini belirtiniza) M 1 (-1 4) ve M2 (4 -3) b) M1 (0 -2) ve M2 (-1 3) c) M1 (1 4) ve M2 (-2 4)

5 M 1 (-1 4) ve M 2 (4 -3) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınız

6 M 1 (0 3) M 2 (2 6) ve M 3 (-1 4) noktaları aynı doğruya ait midir

7 A(-5 -1) noktasından 4x + 3y + 30 = 0 doğrusuna olan uzaklığı belirtiniz Verilen nok-ta ve koordinat başlangıcı doğrunun aynı tarafında mıdır

8 Koordinat başlangıcından 9x - 2y + 10 = 0 doğrusuna olan uzaklığı belirtiniz

9 M (-3 1) ve N (5 4) noktalarından hangisi x ndash 2y ndash 5 = 0 doğrusuna daha yakın ol-duğunu belirtiniz

10 C (4 3) noktasından d = 5 birim uzaklıkta olan ve koordinat eksenlerden eşit doğru parccedilaları kesen doğrunun denklemini belirtiniz

130

59 İki Doğru Arasındaki Durumlar

591 İki Doğru Arasındaki Durumlar

Bir duumlzlem uumlzerinde iki doğru ya bir noktada kesişir ya paralel ya da ccedilakışık durumda olabilirler Genel şekilde kendi denklemleriyle iki doğru verilmiş olsun A1x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0

Verilen denklemlerin katsayıları ve yukarıda sayılan uumlccedil durum hakkında inceleme yapa-cağız

bull Verilen

0

0

222

111

CyBxACyBxA

(1)sisteminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml varsa verilen doğrular kesişir yani onların bir tek ortak noktaları vardır

( x0 y0) ikilisi verilen sistemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olsun (1) sisteminin birinci denklemini B2 ile ikincisini ise ndashB1 ile ccedilarparak taraf tarafa toplarsak 0)()( 122101221 BCBCxBABA (2)elde edilir Benzer şekilde (1) sisteminin birinci denklemini A2 ile ikincisini ise ndashA1 ile ccedilarparak taraf tarafa toplarsak

0)()( 122101221 CACAyBABA (3)elde edilir

( x0 y0) ikilisi verilen sistemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olması iccedilin yani bir tek noktada kesişmeleri iccedilin yeter koşul A1B2 - A2B1 ne 0rsquodır yani

2

1

2

1

BB

AA

sağlandığında (1) sisteminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml vardır yani doğrular bir noktada kesişir Paydalar-dan biri sıfır ise ona karşılık gelen pay da sıfır olmalıdır Bu durumda verilen sistemin ccediloumlzuumlmuuml

1221

12210 BABA

CBCBx

1221

21120 BABA

CACAy

(4)

Elde edilen sayılar verilen doğruların kesişim noktasının koordinatlarıdır Gerccedilekten x ve y iccedilin (4) ifadesinde elde edilen değerleri (1) sisteminde değiştirirsek (1)rsquodeki denklemler oumlzdeşliklere doumlnuumlşecekler

1 2x ndash y ndash 5 = 0 ve x + 3y + 1 = 0 kesişen doğrular olduğunu goumlsteriniz

131

y bilinmeyenini yok ettikten sonra 7x ndash 14 = 0 elde edilir Oradan x = 2 olduğunu buluyo-ruz Bunu birinci denklemde değiştirmekle y = -1 elde edilir

bull A1B2 - A2B1 ne 0 koşulu verilen doğruların kesişimi iccedilin yeter şart olduğunu goumlstermek iccedilin A1B2 - A2B1 = 0 durumunu inceleyeceğiz Bu durumda verilen doğruların daha bir ortak (x1 y1) noktaları varsa (2) ve (3) denklemlerinden

C1B2 - C2B1 = 0 ve A1C2 - A2C1 = 0 elde edilir

Son uumlccedil eşitlikten A2 = 2A1 B2 = 2B1 ve C2 = 2C1 olacak şekilde bir 2 reel sayısı vardır sonucuna varılır Gerccedilekten A1 ya da B1 sayılarından biri sıfırdan farklı ise B1ne 0 olduğunu

alabiliriz ve 2

1

BB

2 koyarsak A1 B2 - A2B1 = 0 eşitliğinden A2 = 2A1 gerekir C1 B2 - C2 B1 = 0

denkleminden de C2 = 2C1 gerekir Demek ki 2 ne 0 reel sayısıyla ccedilarpmakla birinci doğrunun denkleminden ikinci doğrunun denklemi elde edilir Bu ise demektir ki verilen doğrular ccedilakışık durumdadır O halde iki doğrunun ccedilakışık olma koşulu şu şekilde ifade edilir

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

bull A1 B2 - A2 B1 = 0 ve paylardan biri C1 B2 - C2 B1 ya da A1 C2 - A2 C1 sıfırdan farklı ise (1) sisteminin ccediloumlzuumlmuuml yoktur Demek ki doğrular birbiriyle paraleldir Buna goumlre doğrular birbiri-ne paralel olmak iccedilin gerek ve yeter koşul şu şekilde ifade edilebilir

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

2 3x ndash 2y + 5 = 0 ve 4y ndash 6x -1 = 0 doğruları birbirine paralel olduklarını goumlsteriniz

1

5

4

2

6

3

olduğuna goumlre doğrular birbirine paraleldir

592 İki Doğru Arasındaki Accedilı İki Doğrunun Dik Olma Şartı

Denklemleri accedilık şekilde verilmiş olan iki doğru verilmiş olsuny = k1 x + m1 ve y = k2 x + m2Doğruların oumltelenmesinde kesiştikleri accedilı φ değişmediğine goumlre verilen denklemlerle

belirlenen doğrular arasındaki accedilı

132

y = k1 x ve y = k2 xdoğruları arasındaki accedilıya eşit olacaktır O halde φ = a2 - a1rsquodir Denklemin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanırsa

21

1212

1)(

3tgtgtgtgtgtg elde edilir

tg a1 = k1 ve tg a2 = k2 ile işaret edersek

21

12

1 kkkktg

3

elde edilir Bu şekilde elde edilen accedilı aslında birin-ci doğruyu kesişim noktası etrafında pozitif youmlnde ikinci doğruyla ccedilakışıncaya kadar doumlnduumlrmekle meydana gelen accedilıdır (şek19)

İki doğrudan biri y- ekseniyle paralel ise on-

lar arasındaki accedilı 2

olur a ikinci doğrunun

x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle oluşturduğu accedilıdır

1 y = 2x ndash 3 ve 3x + y ndash 2 = 0 doğruları arasındaki accedilıyı belirtinizBirinci doğrunun eğimi k1 = 2 ikincisinin ise k2 = -3 tuumlr

O halde 1)3(21

23

1 21

12

3kkkktg elde edilir Oradan da

4

3 elde edilir

Doğrular birbirine dik olduğu durumda 1

2 1

1122

13

tg

ctgtgtgk dir O

halde 2

1

1kk

elde edilir Buna goumlre iki doğrunun dik olma şartı

1

2

1

kk dir

İki doğrudan biri y- eksenine paralel ise bunlar birbirine diktir ancak ve ancak diğeri x- eksenine paralel ise

2 M (-1 1) noktasından geccedilen ve 3x ndash y + 2 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun denklemini belirtiniz

M noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi y + 1 = k (x - 1)rsquodir Bu demetten

Şek 19

133

verilen doğruya yani y = 3x ndash 2 doğrusuna dik olan doğruyu belirtmemiz gerekir Dik olma

şartına goumlre 1

3k elde edilir Buna goumlre aranılan doğrunun denklemi x + 3y + 2 = 0 oldu-

ğunu buluyoruz Doğrular genel denklemleriyleA1 x + B1y + C1 = 0 ve A2 x + B2y + C2 = 0

verildiği durumda k1 ve k2 eğimlerini A1 B1 A2 ve B2 katsayılarıyla ifade ederken

11

1

AkB

ve 22

2

AkB

elde edilir Oradan iki doğru arasındaki accedilı iccedilin

2121

2112

BBAABABAtg

3 za 02121 BBAA i 2

3 za 02121 BBAAise ve

lsquodirDoğrular genel şekilde verildiği durumda iki doğrunun dik olma şartı

02121 BBAA olur

Alıştırmalar1 Verilen doğrulardan hangileri kesişen hangileri paralel hangileri ise ccedilakışık durumda-

dır Doğrular kesiştikleri durumda kesim noktasını bulunuza) 3x - 2y + 1 = 0 ve 2x + 5y - 12 = 0b) 3x + y - 17 = 0 ve 6x + 2y + 12 = 0c) 2x - y + 3 = 0 ve 6x - 3y + 9 = 0

2 Verilen doğrunun koordinat eksenleriyle kesişim noktalarını bulunuza) x + 10y - 5 = 0 b) 2x - 3y + 12 = 0

3 A (-2 3) noktasından geccedilen ve 5x ndash 6y + 7 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denk-lemini belirtiniz

4 2x ndash y + 7 = 0 ve 3x + y + 10 = 0 doğruları arasındaki accedilıyı hesaplayınız

5 A (-2 8) noktasından geccedilen ve y = 3 - 5 doğrusuyla 4

3 asccedilısını oluşturan doğru-nun denklemini belirtiniz

6 A (3 15) noktasından geccedilen ve 3x ndash 5y + 8 = 0 doğrusuyla 4

3 asccedilısını oluşturan doğrunun denklemini belirtiniz

134

510 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Koumlşelerinin koordinatları A (-55) B (7-3) ve C (31) olan ABC uumlccedilgenin ccedilevresini hesaplayınız

2 AB doğru parccedilasını 2 oranında boumllen M noktasının koordinatlarını belirtiniz

a) A(103) B(-2-5) ve 1

32 b) A(-2-5) B(135) ve 3

22

3 A(1 1) B(-1 3) ve C(2 0) noktaları bir doğru uumlzerinde bulunuyorlar A noktası CB doğru parccedilasını 2 oranında boumllerse 2 belirtilsin

4 Koumlşelerinin koordinatları A(00) B(3-2) ve C(15) olan ABC uumlccedilgenin alanını hesaplayınız

5 M 1(-72) ve M2(3-5) noktalarından geccedilen doğrunun denklemi

6 A(19) B(-2-3) ve C(-5-3) noktaları bir doğru uumlzerinde olduklarını ispatlayınız

7 A(-2-1) B(12) ve C(-14) noktaları veriliyor ABCD bir paralelkenar olacak şekilde D noktasının koordinatlarını belirtiniz

8 M (23) noktasından d doğrusuna uzaklığı belirtiniz а) 3х + 4у - 25 = 0 b) 12х - 5у + 4 = 0

9 Koumlşelerinin koordinatları A(32) B(54) ve C (14) olan ABC uumlccedilgenin kenarortaylarının denklemlerini yazınız

10 ABC uumlccedilgeni veriliyora) A(-81) B(12) ve C(-5-3) olduğuna goumlre T ağırlık merkezini belirtinizb) A(-48) B(1-7) ve C (75) olduğuna goumlre H otosantarını (yuumlksekliklerin kesişim nok-

tasını) belirtiniz

11 M noktası x ndash y + 5 = 0 doğrusuna goumlre N (32) noktasının simetriğidir M noktasının koordinatlarını belirtiniz

12 Bir karenin iki kenarı 5x ndash 12y ndash 65 = 0 ve 5x ndash 12y + 26 = 0 doğruları uumlzerindedir Karenin alanını hesaplayınız

13 M(-38) noktasından geccedilen ve koordinat eksenleriyle alanı P = 6 birim olan uumlccedilgeni oluşturan doğrunun denklemi yazılsın

14 Koumlşelerinin koordinatları A(-21) B(34) ve C(1-2) olan ABC uumlccedilgenin yuumlkseklikleri-nin eğimini belirtiniz

135

Konu Oumlzetleri

Dik accedilılı koordinat sistemi birbirine goumlre dik olan ve koordinat eksenleri diye adlandı-rılan iki eksenden oluşur İki eksenin kesiştiği noktaya koordinat başlangıcı ya da orijin denir ve O ile işaret edilir Yatay eksene x- ekseni ya da apsis ekseni dikey eksene ise y- ekseni ya da ordinat ekseni denir Koordinat sisteminin ait olduğu duumlzleme koordinat duumlzlemi denir

P noktasının durumu reel sayılardan oluşan bir (xy) sıralı ccedilift iyle tamamen bellidir Bu sıralı ccedilift e P noktasının koordinatları denir Bu durumda x sayısına birinci koordinat ya da apsis y sayısına ise ikinci koordinat ya da ordinat denir

Koordinat eksenleri duumlzlemi doumlrduumlller denilen doumlrt kısma ayırıyorlar I doumlrduumll olarak uumlst sağ kısım II doumlrduumll uumlst sol kısım III doumlrduumll alt sol kısım ve IV doumlrduumll alt sağ kısım olarak alınır

Koordinat duumlzlemine ait M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık d şu formuumllle hesaplanır

212

2

12 yyxxd

Uccedil noktaları A(x1 y1) ve B(x2y2) olan AB doğru parccedilasını 2 oranında boumllen M (x y) noktasının koordinatları şu formuumlllerle hesaplanır

22

1

21 xxx 22

1

21 yyy

pq

2 olduğu durumda

qppxqxx

21 qppyqyy

21

formuumllleri kullanılabilirOumlzel durumda M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise 2 = 1rsquodir ve

221 xxx

2

21 yyy

elde edilir Bu formuumlller orta noktanın koordinatlarıdırM1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktaları verilen bir uumlccedilgenin koumlşeleri ise alanı şu for-

muumllle hesaplanır

136

|)()()(|

2

1

|)()()(|2

1

213132321

213132321

yyxyyxyyx

xxyxxyxxyP

P

Uumlccedilgenin alanını hesaplamak iccedilin kullanılan bu formuumll uumlccedil noktanın bir doğru uumlzerinde (doğrusal) olması iccedilin şart elde edebiliriz Uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde bulunduğu durumda bu noktalarla elde edilen uumlccedilgenin alanı sıfırdır

Doğrunun denklemi ve ccedileşitleri doğrunun accedilık şekli

mkxy

Burada k verilen doğrunun eğimidir m ise y- ekseninden kestiği doğru parccedilasıdır

doğrunun genel şekli

0 CByAx

doğrunun eksen parccedilalarına goumlre denklemi

1by

ax

Burada a ve b sayıları mutlak değerce doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerinden kestiği doğru parccedilalarıdır (eksen parccedilalarıdır)

M1(x1 y1) noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi

)( 11 xxkyy

M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) gibi iki noktalarından geccedilen doğrunun denklemi

)( 1

12

121 xx

xxyyyy

M1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) gibi uumlccedil noktanın doğrusal olma koşulu

)( 13

12

1213 xx

xxyyyy

Verilen M1(x1 y1) noktasından verilen Ax + By + C = 0 doğrusuna uzaklık şu formuumllle hesaplanır

137

22

11

BA

CByAxd

Ax1 + By1 + C1 = 0 ve Ax2 + By2 + C2 = 0 denklemleriyle verilmiş olan iki doğru kesişir ancak ve ancak

2

1

2

1

BB

AA

ve bu durumda kesişim noktasının koordinatları şu formuumlllerle verilmiştir

1221

12210 BABA

CBCBx

1221

21120 BABA

CACAy

ccedilakışıktırlar ancak ve ancak

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

Paraleldirler ancak ve ancak

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

y = k1 x + m 1 ve y = k 2 x + m 2 doğruları arasındaki φ accedilı şu formuumllle hesaplanır

21

12

1 kkkktg

3

İki doğrunun dik olma koşulu

1

2

1

kk

Ax1 + By1 + C1 = 0 ve Ax2 + By2 + C2 = 0 denklemleriyle verilmiş olan iki doğru arasın-daki φ accedilı şu formuumllle hesaplanır

2121

2112

BBAABABAtg

3

Bu durumda iki doğrunun dik olma koşulu

02121 BBAA olur

138

139

6 DİZİLER

61 Dizi Kavramı

Guumlnluumlk hayatta dizi biccediliminde sıralamalara ccedilok rastlıyoruz oumlrnek benzer veya farklı nes-nelerin dizisi Halbuki matematikte dizilerin oumlzel anlamı vardır

Sonlu ve sonsuz diziler vardır Sonlu dizilerde belli bir duumlzene goumlre sıralanmış sonlu sa-yıda nesneler ve bu durumda hangisi birinci hangisi ikinci vb olduğunu tam olarak belli olan gizilerdir Bir kuumlmenin beş elemanı olduğunu farz edelim Birinci elemanı a1 ikinci elemanı a2 uumlccediluumlncuumlsuumlnuuml a3 doumlrduumlncuumlsuumlnuuml a4 ve beşincisini a5 ile işaret edeceğiz Bu şekilde dizi a1 a2 a3 a4 a5 şeklinde yazılır ya da daha kısa a1 a2 a3 a4 a5 biccediliminde yazılabilir

Şunu da kaydedelim a1 a2 a3 a4 a5 elemanları herhangi bir kuumlmenin elemanları olabilir Matematikte bu elemanlar daha fazla durumlarda sayılardır (doğal tam rasyonel ya da reel) fakat sayı olması mecburi değildir

Oumlrnek her soumlz bir harfl er dizisi sayılabilir Bu durumda a1 a2 a3 a4 a5 elemanları bir alfabeye aittir 5 sayısı incelenen sonlu dizinin uzunluğudur ve uzunluk daima aynı değildir Oumlrnek ldquoekonomirdquo soumlzcuumlğuumlnuuml alalım Bunu yedi elemanlı sonlu bir dizi olarak sayabiliriz Uzun-luğu 7rsquodir Her sonlu dizi doğal sayılar kuumlmesinden 1 2 3 hellip incelenen kuumlmeye bir eşleme olarak algılayabiliriz Oumlrneğin ldquoekonomirdquo soumlzcuumlğuumlnuuml bir eşleme olarak alıyorsak

1 - е 2 - k 3 - o 4 - n 5 - о 6 - m 7 - i 8 - ј 9 - а şeklinde yazabiliriz

Buna goumlre şu sonuca varabiliriz Her sonlu dizi a1 a2 a3 a4 hellip an doğal sayılar 1 2 3 hellip nrsquoden incelenen diziye bir eşlemedir ve bu durumda i (1 i n ) elemanına karşılık gelen eleman i indisiyle işaret edilir ai bi xi hellipgibi Daha da a1 a2 a3 a4hellip an sonlu bir dizi kısa olarak (ai ) biccediliminde işaret edilir

Birccedilok durumlarda sonsuz dizilerle de işimiz olabilir Onları a1 a2 a3 a4 hellip ile ya da daha kısa (ai) biccediliminde işaret ediyoruz ai elemanı i yerde olan elemandır 4 5123i Bunlar genellikle bazı sayılar olduğundan ilerde reel sayılar olduğunu sayacağız

Tanım 1 Dizi doğal sayılar kuumlmesinden reel sayılar kuumlmesine bir eşlemedir

140

Demek ki dizi denilince sosuz diziyi kastedeceğiz aksi halde sonlu dizi soumlz konusu olun-ca sonlu dizi diye ifade edeceğiz

1 1 3 5 7 9 11 13 hellip dizisini inceleyelim Bu durumda eşleme f (1) = 1 f (2) = 3 f (3) = 5 f (4) = 7 f(5) = 9 f (6) = 11 biccediliminde tanımlanmıştır bunu daha kısa olarak

f(n) = 2n ndash 1 ya da an = 2n ndash 1 şeklinde yazabiliriz

2 1na n

n dizisinin ilk birkaccedil terimi

2111 a 522

122 a

33333

133 a 254

4

144 a 25

5

155 a

vb

3 an = n2 + n +1 dizisinin ilk birkaccedil terimi a1 = 12 +1 +1 = 3 a2 = 22 + 2 +1 = 7 a3 = 32 + 3 +1 = 13 a4 = 42 + 4 +1 = 21 a5 = 52 + 5 +1 = 31 vb

4

na

n

n)1(

dizisinin ilk birkaccedil terimi

11 a 2

12 a

3

13 a

4

14 a

5

15 a

dir

5 an = 8 dizisinin birkaccedil terimi 8 8 8 88 8hellipdir Demek ki n indisine bağlı olmadan an teriminin değeri 8rsquodir an teriminin değeri daima sabit olan bu gibi dizilere sabit diziler denir

6 Genel terimi an = 3 + (-1)n dizisini inceleyelim n iccedilin 1 2 3 hellip değerler vermekle 2 4 2 4 2 4 2 4hellip dizisi elde edilir

Alıştırmalar

1 Dizi nedir Sonlu ve sonsuz dizi iccedilin birer oumlrnek yazınız

2 (an) dizisinin ilk 5 terimini yazınız

a) 2

1

nnan b)

2

1

nan v) n

na 2 g) na nn )1( а) b) c) ccedil)

3 (an) dizisinin nci terimini belirtiniz

а) an =

12 nn iccedilin n = 4 b) an = nn iccedilin n = 3 c) an = 3n iccedilin n = 4

4 Genel terimi an = (-1)nn olan dizinin nrsquoin hangi değeri iccedilin değeri 2010rsquodur

141

5 nrsquoin hangi değeri iccedilin genel terimi an = 4n ndash 5 dizisinin terimi 999 olur

6 Genel terimi verilmiş olan dizinin doumlrduumlncuuml terimini belirtiniz

a)

1

1

nnan b)

1

1

nan v) n

na )2( g) 3na

b) c) d)a)

7 İlk beş terimi verilmiş olan dizilerin genel terimini ifade edecek formuumll belirtiniz а) 3 5 7 9 11 b) 1 4 9 16 25 c) 1 3 1 3 1

d) 12

13

14

15

1

e) 4 2 12

14

1

62 Artan ve Eksilen Diziler

Dizilerin bazı oumlzellikleri vardır Bu oumlzellikler genellikle dizilerin artma ve eksilme koşul-larıdır

Tanım 1 (an) dizisi iccedilin bull her k doğal sayısı iccedilin

ak+1 gt ak (1) oumlzelliği varsa dizi kesin anlamda artandır (ya da kesin anlamda monoton artandır)

bull her k doğal sayısı iccedilinak+1 lt ak (2)

oumlzelliği varsa dizi kesin anlamda eksilendir (ya da kesin anlamda monoton eksilendir) bull her k doğal sayısı iccedilin

ak+1 le ak (3) oumlzelliği varsa artandır (ya da eksilmeyendir)

bull her k doğal sayısı iccedilinak+1 ge ak (4)

oumlzelliği varsa dizi eksilendir (ya da artmayandır)

Bir dizinin kesin anlamda artan olması iccedilin koşul (1) gereğince dizinin her terimi kendinden oumlnce gelen terimden buumlyuumlk olmalıdır

1 Genel terimi an = 3n ndash 2 ile verilmiş olan diziyi inceleyelim a1 lt a2 lt a3 lt a4 lt yani 1 lt 4 lt 7 lt 10 lt hellip olduğuna goumlre bu dizi kesin anlamda artandır Bunu doğrudan doğruya goumlsterelim an+1 - an = 3(n +1) - 2 - [3n - 2] = 3n + 3 - 2 - 3n + 2 = 3 gt 0demek ki her doğal sayı n iccedilin an+1 gt an geccedilerlidir

Bir dizinin kesin anlamda eksilen olması iccedilin koşul (2) gereğince dizinin her terimi ken-dinden oumlnce gelen terimden kuumlccediluumlk olduğunu ifade etmektedir

142

2 Genel terimi 1na

n olan diziyi inceleyelim 1 2 3 4 a a a a yani

1 1 1 11

2 3 4 5 olduğuna goumlre dizi kesin anlamda eksilendir Bunu doğrudan doğruya

goumlsterelim0

)1(

1

)1(

)1(1

1

11

nnnnnn

nnaa nn

demek ki her doğal sayı n iccedilin an+1 lt an geccedilerlidir

Bir dizinin artan ya da eksilmeyen olması iccedilin koşul (3) gereğince dizinin her terimi kendinden oumlnce gelen terimden buumlyuumlk ya da eşit olduğunu yani kendinden oumlnceki terimden kuumlccediluumlk olmadığını ifade etmektedir

3 Şu diziyi inceleyelim 11223344hellip Bu dizinin terimleri iccedilin 1 le 1 le 2 le 2 le 3 le 3 le 4 geccedilerli olduğuna goumlre dizi eksilmeyendir Dizi kesin anlamda artan değildir ccediluumlnkuuml ikinci terimi birincisinden buumlyuumlk değildir o halde daha fazla inceleme iccedilin gerek yoktur

Bir dizinin eksilen ya da artmayan olması iccedilin koşul (4) gereğince dizinin her terimi ken-dinden oumlnce gelen terimden kuumlccediluumlk ya da eşit olduğunu yani kendinden oumlnceki terimden buumlyuumlk olmadığını ifade etmektedir

4

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

111

dizisini inceleyelim

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

111 66666666

olduğuna

goumlre dizi eksilendir ya da artmayandır ccediluumlnkuuml ikinci terimi birincisinden kuumlccediluumlk değildir o halde daha fazla inceleme iccedilin gerek yoktur

Şunu da ifade etmeliyiz ki her dizi (1) (2) (3) ve (4) oumlzelliklerinden birini sağlaması mecburi değildir Oumlrnek boumlyle bir dizi 12121212 hellip dir Halbuki bazı dizilerde bu oumlzellik-lerden hiccedilbiri sağlanmadığına rağmen belli bir k0 dan sonra dizinin terimleri (1) (2) (3) ve (4) oumlzelliklerinden birini sağlayabilir Boumlyle durumda dizi kesin anlamda artan eksilen artmayan ya de eksilmeyen olduğunu daha geniş anlamda anlaşmaya goumlre ifade edebiliriz

5

3 2 1 2

11

3

21

4

31

5

41

6

51

dizisini inceleyelim Bu dizi tanım 1 gereğince artan

değildir ccediluumlnkuuml 3gt2 doğru değildir Bu dizi daha geniş anlamda artandır diyebiliriz Ccediluumln-kuuml uumlccediluumlncuuml terimden başlayarak dizi artandır

2

11 lt

3

21 lt

4

31 lt

5

41 lt

6

51 lt

Bu anlaşma gereklidir

ccediluumlnkuuml bize daha ccedilok n indisinin buumlyuumlk değerleri iccedilin dizinin nasıl olduğu ilgilendirir

6

1 2 1 2 1 2

11

3

11

4

11

5

11

6

11 dizisini inceleyelim Bu dizi tanım 1 gereğince ek-

silen değildir fakat geniş anlamda eksilen olduğunu sayabiliriz ccediluumlnkuuml altıncı

143

terimden başlayarak dizi eksilendir 2

11 gt

3

11 gt

4

11 gt

5

11 gt

6

11 gt

Alıştırmalar

1 Hangi diziler kesin anlamda artan eksilen artmayan eksilmeyendir

2 Kesin anlamda artan eksilen artmayan eksilmeyen diziler iccedilin oumlrnekler yazınız

3 1

nna

n

dizisi artan yoksa eksilen midir

4 Şu dizilerden hangisi kesin anlamda artan hangisi ise eksilendir

a) 2

n

nan b) nna3

1 v)

12 )1(

1

nn na g) 52 n

na d) n

an

n5

а) b) c) d) e)

5 a) Bir dizi aynı zamanda hem artan hem de eksilen olabilir mi b) Sabit dizi artan yoksa eksilen midir

6 a pozitif sayısının hangi değeri iccedilin nna a dizisi

a) artan b) eksilen c) sabittir

63 Aritmetik Diziler

Bu başlıkta iki oumlzel diziden bahsedeceğiz Aritmetik diziler ve geometrik dizilerDoğal sayılardan oluşan 1 2 3 4 5 6 7 hellip diziyi inceleyelim Bu dizide 2 ndash 1 = 3 ndash 2 =

4 ndash 3 = hellipya da genel olarak iki ardışık terimin farkı daima eşittir Bu oumlzellikten yararlanarak şu tanımı kabul edeceğiz

Aritmetik dizilerinden daha birkaccedil oumlrnek inceleyelim

Tanım 1 Bir (an) dizisinde iki ardışık terimin farkı an+1 - an daima sabit kalıyorsa yani n doğal sayısına bağlı değilse ya da an+1 - an = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (an) dizisine aritmetik dizisi denir d sayısına ortak fark denir

144

1 -4 -1 2 5 8 11 14 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime 3 katmakla elde edilir yani - 4 + 3 = -1 -1 + 3 = 2 2 + 3 = 5 5 + 3 = 8 8 + 3 = 11 Bu durumda d = 3rsquotuumlr

2 5 3 1 -1 -3 -5 -7 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime -2 katmakla elde edilir yani 5 - 2 = 3 3 - 2 = 1 1 - 2 = -1 -1 - 2 = -3 - 3 - 2 = -5 Bu durumda d = -2rsquodir

3 6 6 6 6 6 6 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime 0 katmakla elde edilir Bu durumda d = 0rsquodır Aslında her sabit dizi aritmetik dizidir

Şunu fark edebiliriz bir aritmetik dizisinin ilk terimi ve ortak farkı verildiğinde dizinin tuumlm terimlerini bulabiliriz Bunu aşağıdaki şekilde yapacağız

2a = 1a + d

3a = 2a + d = 1a + d + d = 1a + 2d

4a = 3a + d = 1a + 2d + d = 1a + 3d

5a = 4a + d = 1a + 3d + d = 1a + 4d

6a = 5a + d = 1a + 4d + d = 1a + 5d

Bu youmlntemi devam ederek ak terimi iccedilin ak = a1 + (k - 1)d (1) elde edilir Bu aslında dizinin genel terimi iccedilin istenilen formuumllduumlr Gerccedilekten k = 1 iccedilin a1 = a1 dir a k+1 iccedilin yine aynısı elde edilir

1ka = ka + d = 1a +(k1) d + d = 1a + kd

Buna goumlre şu sonuca varılır Her doğal sayı k iccedilin şu formuumll geccedilerlidir

)1(1 dkaak

4 Bir ayakkabı fabrikasında ilk yıl 50 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiş ve her gelen yılda 3000 ccedilift ayakkabı iccedilin uumlretim artmıştır Fabrika kuruluşundan sekizinci yıl sonunda kaccedil ccedilift ayakkabı uumlretmiştir

ak ile fabrikanın kuruluşundan krsquocı yılın uumlretimini işaret edelim Yıllara goumlre uumlretim mik-tarları bir aritmetik dizisini oluşturdukları accedilıktır Dizinin ilk terimi a1 = 50 000 ve ortak fark d = 3 000rsquodir k = 8 iccedilin (1) formuumlluumlnden yararlanarak a8 = a1 + (8 - 1)d = 50000 + 7 bull 3000 = 71000 elde edilir

Demek ki fabrikanın kuruluşundan sekizinci yılında 71 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiştir

145

5 Bir aritmetik dizisinin ilk terimi 8 15 terimi ise 50rsquodir Ortak fark d ne kadardır(1) denklemini drsquoye goumlre ccediloumlzersek

11

k

aad k

elde edilir Verilen değerleri formuumllde yerine koyarsak

3

14

42

115

850

11

k

aad k

elde edilir

6 Bir aritmetik dizisinin ilk terimi ndash 3 ortak farkı d = - 2rsquodir Dizinin hangi terimi - 19 olduğunu bulunuz

(1) denklemini krsquoya goumlre ccediloumlzersek

11

d

aak k

elde edilir Verilen değerleri formuumllde yerine koyarsak

912

161

2

3191

2

)3(1911

daak k

elde edilir Demek ki dizinin dokuzuncu terimi ndash 19 olur k iccedilin ccediloumlzuumlm ancak doğal sayı oldu-ğu durumda kabul edilebilir

Alıştırmalar

1 150rsquoci tek sayı hangi sayıdır

2 75 ccedilift sayıyı hesaplayınız

3 Ortak farkı 23 ve 85 terimi 2708 olan aritmetik dizisinin ilk terimi belirtilsin

4 Verilen dizilerden hangileri aritmetik dizisidir а) 2 8 14 20 26 6n-4 b) 1 8 27 81 n3 c) 94 -1 - 6 -1114 - 5n d) 1 2 4 8 16 2n-1

5 Bir iş oumlrguumltuumlnuumln 1 Ocak 2000 yılında borcu 50 000 EUR olmakla her gelen yılda borccedil 3500 EUR azalmıştır Kaccedil yıl sonra borccedil 22000 EUR kalmıştır

6 Bir aritmetik dizisinin beşinci terimi 12 on ikinci terimi ise 33rsquotuumlr Aritmetik dizisinin ilk terimi ve ortak farkı ne kadardır

146

7 -3 1 5 9 13 17hellip aritmetik dizisinde ccedilift indisli yerlerdeki sayıları silersek nasıl dizi elde edilecektir

8 Banka hesabında bir miktar parası olan Yusuf her ay aynı miktar para hesabına yatı-rıyor Tasarruf yapmaya başladıktan 16 ay sonra Yusuf rsquoun 81 500 denarı 27 ay sonra ise 81500 denarı olmuştur Tasarrufa başlamadan oumlnce Yusuf rsquoun banka hesabında kaccedil parası varmış ve her ay banka hesabına ne kadar para yatırmıştır

64 Aritmetik Dizilerin Oumlzellikleri

A Şu oumlrneği inceleyelim1 1 4 7 10 13 16 sonlu aritmetik dizisi iccedilin1 +16 = 4 +13 = 7 +10 = 10 + 7 = 13 + 4 = 16 +1 geccedilerlidir

Genel olarak

nnnm aaaaaaa 12321

sonlu aritmetik dizisi verilmiş olsunŞu ccedilift leri inceleyelim

)( 1 naa )( 12 naa )( 23 naa )( 1mnm aa )( 1aan

burada indislerin toplamı n + 1rsquodir (1 + n = n +1 2 + (n -1) = n +1 3 + (n - 2) = n +1m + (n - m +1) = n +1 ) Bu ccedilift lere a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta olan terimler denir

dmaam )1(1

ve

dmnaa mn )(11

olduğuna goumlre onların toplamı

nmnm aadnaadmnadmaaa 111111 )1()()1(

Bu toplam m sayısına bağlı olmadığını goumlruumlyoruz Yani m = 123 hellip iccedilin

nmnm aaaa 1)1(

dirBununla şu oumlzelliği ispatlamış oluyoruz

10 Her aritmetik dizisinde uccedil terimler a1 ve an lsquoden eşit uzaklıkta olan terimlerin toplamı uccedil terimlerin a1 + an toplamına eşittir

2 5 7 9 11 13 15 17 hellip aritmetik dizisini inceleyelim n = 5 iccedilin (10) oumlzelliği 5 +13 = 7 +11 = 9 + 9 = 11 + 7 = 13 + 5 (= 18) n = 6 iccedilin ise bu oumlzellik

5 +15 = 7 +13 = 9 +11 = 11 + 9 = 13 + 7 = 15 + 5 (= 20)

147

B Ccedilok kez ilk terimi a1 ve ortak farkı d ile verilmiş olan bir aritmetik dizisinin ilk n te-riminin toplamını belirtmek gerekir Aranılan toplamı Sn ile işaret edeceğiz

nn aaaaS 321

Bu toplamı ters youmlnde yazarsak

geccedilerli olduğunu fark edebiliriz Bu iki denklemi taraf tarafa toplamakla

)()()()()(2 11211121 aaaaaaaaaaaaS nnnnnnn

elde edilir

3423121 nnnn aaaaaaaa

olduğuna goumlre 2Sn = n(a1 + an) elde edilir Ora-dan da

)(2

1 nn aanS

(1)elde edilir Bu formuumllde an = a1 + (n - 1)d değiştirmekle

])1(2[2

1 dnanSn

(2)formuumlluuml elde edilir Bu formuumll bir aritmetik dizisinin aranılan ilk n teriminin toplamıdır For-muumll a1 d n ve Sn buumlyuumlkluumlkleri arasındaki bağıntıyı goumlstermektedir ve bu buumlyuumlkluumlklerden her-hangi biri bilinmediğinde diğer uumlccedil bilinen buumlyuumlkluumlkle belirtilebilir

1 İlk n tek sayının toplamını hesaplayınız(2) formuumlluumlnde a1 = 1 ve d = 2 ile değiştiriyoruz

21 )2(

2))1(22(

2])1(2[

2nnnnndnanSn

2 Bir ayakkabı fabrikasında ilk yıl 50 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiş ve her gelen yılda 3000 ccedilift ayakkabı iccedilin uumlretim artmıştır Fabrika kuruluşundan sekizinci yıl sonuna kadar toplam kaccedil ccedilift ayakkabı uumlretmiştir

(2) formuumlluumlnde n = 8 a1 = 50 000 ve d = 3 000 ile değiştiriyoruz

3 Oumlrnek 2rsquodeki diziyi inceleyelim Dizinin ikinci terimi (7) ilk (5) ve uumlccediluumlncuuml (9) terimin aritmetik ortası olduğunu Uumlccediluumlncuuml terimi (9) ikinci terim (7) ve doumlrduumlncuuml terim (11) aritmetik

ortası olduğunu fark edebilirsiniz Bu oumlzellik genel olarak da geccedilerlidir

20 Vo proizvolna aritmeti~ka progresija ma e aritmeti~ka sredina od

1ma i 1ma odnosno za m1 va`i 2

11 mm

maaa

20 Her aritmetik dizisinde am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin aritmetik ortasıdır yani 1lt m iccedilin

211

mmm

aaa dir

148

4840001210004]30007500002[2

88 S

Demek ki ilk sekiz yılda toplam 484 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiştir

Alıştırmalar

1 Verilen sayıların aritmetik ortalamasını belirtiniz a) 15 ve 23 b) x + y ve x ndash y

2 Herhangi bir aritmetik dizisi verilmiş olsun Değeri 1 2 1

2na a ye eşit olan bir terimin

var olduğunu goumlsteriniz

3 Herhangi bir aritmetik dizisini seccediliniz ve

2kmkm

maaa

( mk )

geccedilerli olduğunu goumlsteriniz Bu ise am terimi am-k ve am+k terimlerinin aritmetik ortalamasıdır demektir Ondan sonra bu oumlzelliği genel durum iccedilin ispatlamaya ccedilalışınız

4 İlk n ccedilift sayının toplamını hesaplayınız

5 Bir aritmetik dizisinin 78 teriminin toplamı ne kadardıra) a1 = 5 ve d = 3 b) a1 = -2 ve d = 2

6 İlk n doğal sayının toplamı 1275rsquotir n ne kadardır

7 a7 + a11 = a5 + a20 geccedilerli olan bir aritmetik dizisi iccedilin ne diyebilirsiniz

65 Geometrik Diziler

Aritmetik dizilerde iki ardışık terimin farkı daima aynı sayı olduğunu goumlrduumlk Bu ders biriminde iki ardışık terimin boumlluumlmuuml daima sabit olan dizilerden soumlz edilecektir Bu diziler geometrik dizilerdir Tasarruf yatırımlarda faizin hesaplanması iccedilin bu dizilerden yararlanılır

149

Goumlruumllduumlğuuml gibi dizinin her gelen terimi kendinden oumlnce olan terimin q ne 0 sayısıyla ccedilarpılarak elde edilir a elemanı dizinin ilk terimidir q sayısına ise ortak boumllen ya da ortak ccedilarpandır denir ccediluumlnkuuml

2

32

aqaq

aqaq

aaqq

dir

1 3 6 12 24 48 96 hellip dizisi ilk terimi 3 ve ortak boumlleni 2 olan bir geometrik dizidir

2 ( )24

48

12

24

6

12

3

6

2 İlk terimi 2 ve ortak ccedilarpanı - 3 olan geometrik dizisini oluşturunuzAranılan dizi 2 2bull (-3) 2bull (-3)2 2bull (-3)3 ya da 2 -6 18 -54 hellip

3 İlk terimi 18 ortak boumlleni 1

3 olan dizi 18

8 63

18 2

3

6

3

2

9

2

27

2

q gt 1 ise geometrik dizi a1 gt 0 iccedilin artandır a1 lt 0 iccedilin ise eksilendir

4 1 2 4 8 16 32 64 128 hellip dizisinde a1 = 1 gt 0 ve q = 2 olduğuna goumlre dizi artandır

5 -1 -2 -4 -8 -16 -32 -64 -128 hellip dizisinde a1 = -1 gt 0 ve q = 2 gt 1 olduğuna goumlre dizi eksilendir

q = 1 ise dizi sabittir oumlrnek -5 -5 -5 -5 -5 hellip 0 lt q lt 1 olduğu durumda geometrik dizi a1 gt 0 iccedilin eksilendir a1 lt 0 iccedilin ise artandır

6

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

dizisinde a1 = 1 gt 0 ve

12

1q

olduğuna goumlre dizi eksilendir

7

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

dizisinde a1 = -1 lt 0 ve

12

1q olduğuna goumlre

dizi artandır

Tanım 1 q ne 0 olmak uumlzerea aq aq2 aq3 aq4 (1)

biccediliminden (an) dizisine geometrik dizi denir

150

q lt 0 ise dizinin terimlerinin işareti değişken olduğundan dizi ne artan ne de eksilendir Bunu oumlrnek 2rsquode goumlrebilirsiniz

(1) formuumlluumlnden şunları yazabiliriz

qaa 12 2

123 qqaa 3

134 qqaa

4145 qqaa

1

1 n

n qa (2)

Dizinin ilk terimi ve ortak ccedilarpanı bilindiğinde (2) formuumlluumlnden yararlanarak dizinin herhangi terimini belirtebiliriz

8 a1 = - 162 ve 1

3q olan bir geometrik dizisinin altıncı terimi (2) formuumlluuml gereğince

3

2

3

32)

3

1()162(

5

45

6

a

9 Bir geometrik dizisinin doumlrduumlncuuml terimi 162 altıncı terimi ise 1458rsquodir Dizinin ilk teri-mini ve ortak boumllenini belirtiniz

(2) formuumlluumlnden n = 4 ve n = 6 iccedilin162 = a1q3 ve 1458 = a1q5 denklemleri elde edilirİkinci denklemi birinci denklemle boumllmekle 9 = q2 ve oradan 3q elde edilir

q = 3 iccedilin birinci denklemden 1 3

1626

3a elde edilir q = -3 iccedilin birinci denklemden

1 3

1626

3a

elde edilir

Alıştırmalar

1 Bir geometrik dizisinin ilk iki terimi 41 ve 24rsquotuumlr Dizinin beşinci terimini belirtiniz

2 Verilen dizilerden hangileri geometrik dizilerdir а) 2 - 832 -1285122 bull (-4)n-1 b) 182781 n3 c) 94 -1 - 6 -1114 - 5n d) 1248162n-1

151

Geometrik dizisi olanların ilk terimini ve ortak boumllenini belirtiniz

3 a) İlk terimi 5 ve ortak boumlleni 15 olan geometrik dizinin beşinci terimini bulunuz b) İlk terimi 15 ve ortak boumlleni -2 olan geometrik dizinin yedinci terimini bulunuz

4 Duygu yıllık 6 faiz oranıyla bankaya bir miktar para yatırmıştır a) Yedi yıl sonra yatırdığı para yuumlzde kaccedil artacaktır b) Kaccedil yıl sonra banka hesabındaki para ana paranın en az iki katına ccedilıkacaktır

5 Ali ve Bekir bir bankaya aynı miktar para yatırmışlar Ali 3 faiz oranıyla 4 yıl iccedilin Bekir ise 4 faiz oranıyla 3 yıl iccedilin yatırmıştır Hangisi bankadan daha ccedilok para almıştır

6 Suumltte bakteri sayısı her 3 saatte iki katına artar 24 saatte bakteri sayısı kaccedil defa artacak-tır

66Geometrik Dizisinin Oumlzellikleri

A 1 1 2 8 32 128

2 sonlu geometrik dizisini inceleyelim

2

112823288322128

2

1 olduğunu fark ediyoruz

Bu oumlzellik genel durumda da geccedilerli olduğunu goumlstereceğiz 1 2 3 4 a a a a sonlu geo-

metrik dizisi verilmiş olsun 2 1 1 ve nn

aa a q aq olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak

nn

n aaqaqaaa 1112 elde edilir Ondan sonra 2 1

3 2 1 2 2q ve n n

na aa a q a aq q

ol-

duğundan elde edilir

Bu şekilde devam etmekle 1

1 ( 1) 1q ve k n

k n k k

aa a aq

buradan da

nknk

knk aaqaqaaa 11

11)1(

(1)

152

Endekslerin toplamı n + 1 olan ( a2 an-1) ( a3 an-2) ( a4 an-3) ( ak an-k+1) (an-1 a2) ccedilift lere a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta olan terimler denir Buna goumlre (1) eşitliği şu oumlzelliği ifade etmektedir

10 Her geometrik dizide a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ccedilarpımı uccedil terimlerin ccedilarpımına eşittir

20 Her geometrik dizisinde 1 lt m iccedilin

11 mmm aaa dir yani am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin geometrik ortasıdır

30 Her geometrik dizisinde k lt m iccedilin

kmkmm aaa dir yani am terimi am-k ve am+k terimlerinin geometrik ortasıdır

2 Şu geometrik dizisini inceleyelim 2 6 18 54 162 486 hellip n = 5 ve n = 6 iccedilin bu oumlzelliği yoklayalım

n = 5 iccedilin 2bull162 = 6bull54 = 18bull18 = 54bull6 = 16bull22 (= 324)n = 6 iccedilin 2-486 = 6-162 = 18-54 = 54-18 = 162-6 = 486-2 (= 972)

3 Oumlrnek 2rsquodeki diziyi inceleyelim İkinci terim (6) birinci (2) ve uumlccediluumlncuuml (18) terimle-rinin geometrik ortası uumlccediluumlncuuml terim (18) ikinci terim (6) ve doumlrduumlncuuml terim (54) sayılarının geometrik ortası doumlrduumlncuuml terim (54) uumlccediluumlncuuml terim (18) ve beşinci terim (162)rsquonin geometrik ortası olduğunu vb fark edebiliriz

Genel olarak 11 ve m

m m maa a a q

q

olduğuna goumlre

112)( mmm aaa te 11 mmm aaa

Buna goumlre şu oumlzellik geccedilerlidir

Benzer şekilde 20 oumlzelliğinin daha genelini ifade eden şu oumlzelliği de ispatlayabiliriz

4 3 ve 192 sayıları arasında verilenlerle beraber geometrik dizisi oluşturacak 5 sayı yerleştiriniz

Oumlnce a1 = 3 ve a7 = a1q6 den q ortak boumllenini belirtiyoruz a1 = 3 değerini değiştirmekle 3 q6 = 192 eşitliğinden q6 = 64 ve q = plusmn2 elde edilir q = 2 ise şu dizi elde edilir

153

3 6 12 24 48 96 192 hellip q = -2 ise 3 - 6 12 -24 48 -96 192

B Verilen geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamını Sn ile işaret edelim

11

21

2111 nn

n qaqaqaqaaS (1)

Bu denklemin her iki tarafını q ile ccedilarpmakla

nnn qaqaqaqaqaqS 1

11

31

211 (2)

(2) eşitliğinden (1) eşitliği ccedilıkarılırsa

11 aqaSqS nnn

oradan

)1()1( 1 nn qaqS

1

)1(1

qqaS

n

n (3)

elde edilir Bu ise bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamını ifade eden formuumllduumlr For-muumllde a1 q n ve Sn buumlyuumlkluumlkleri bulunur ve bu buumlyuumlkluumlklerden her biri bilinen diğer uumlccedil buuml-yuumlkluumlkle hesaplanabilir (3) formuumlluuml genellikle q gt iccedilin uygulanır q lt 1 olduğu durumda aynı formuumll şu şekilde yazılarak kullanılır

qqaS

n

n

1

)1(1 (4)

q = 1 ise bu formuumlller kullanılamaz ccediluumlnkuuml kesrin hem payı hem de paydası sıfır olur Halbuki bu durumda Sn = na1 olduğu accedilıktır

1 İlk terimi a1 = 3 ve q = 2 verilmiş olan geometrik dizisinin ilk 6 teriminin toplamını belirtiniz

n = 6 a1 = 3 ve q = 2 değerlerini formuumllde değiştirmekle

189633)164(312

)12(3 6

6

S

elde edilir2 İlk terimi a1 = 4 ve q = -3 verilmiş olan geometrik dizisinin ilk 7 teriminin toplamını

belirtinizn = 6 a1 = 4 ve q = -3 değerlerini formuumllde değiştirmekle

2188121874

)12187(4

13

)1)3((4 7

7

S

154

3 Ortak ccedilarpanı q = -1 olan geometrik dizisinin ilk 2k teriminin toplamını belirtiniz n = 2k ve q = --1 değerlerini formuumllde değiştirmekle

0

2

)11(

11

)1)1(( 1

2

12

aaSk

k

elde edilir Boumlyle bir sonun elde edilmesi doğaldır ccediluumlnkuuml bu dizi a1 - a1 a1 - a1 hellip biccedilimin-dedir

Alıştırmalar

1 Verilen geometrik dizisinin ilk 8 teriminin toplamını belirtiniz а) -13 - 9 b) 5 5 5 c)

1 2

1

4

1 d) 512 -256 128

2 Verilenlere goumlre geometrik dizisinin ilk terimini belirtiniz а) n = 8 q = 2 S6 = 765 b)

4n 3

2q 656 S

3 Bir geometrik dizisinin beşinci terimi 1

9 ve ortak ccedilarpanı 1

3 rsquodir İlk terimini ve ilk beş

teriminin toplamını belirtiniz Geometrik dizisini yazınız

4 Ahmet ocak ayında 20 000 denar maaş almıştır Yıl sonuna kadar maaşı her ay 3 art-mıştır Ahmet yıl boyunca toplam ne kadar maaş almıştır

5 a) 30 ve 120 b) ve xxyy

sayılarının geometrik ortasını belirtiniz

6 Herhangi bir geometrik dizisini seccediliniz ve 1 2 ve 3 oumlzelliklerini yoklayınız

7 Herhangi bir geometrik dizisi verilmiş olsun Verilen dizide değeri 1 2 1na a olan teriminin var olduğunu ispatlayınız

155

67 Konu Pekiştirme Oumldevleri

1 Ne artan ne de eksilen olan bir diziyi yazınız

2 1 4 16 25 36 hellip n2 hellip dizisinde 125 sayısına karşılık gelecek n indisli terim var mıdır

3 (an) dizisini tek indisli terimleri pozitif ccedilift indisli terimleri ise negatif tir Bu dizi artan ya da eksilen olabilir mi

4 İlk 1000 doğal sayının toplamını hesaplayınız

5 İlk terimi 7 ve yuumlzuumlncuuml terimi 53 olan aritmetik dizisinin ilk 100 teriminin toplamını hesaplayınız

6 a2 = 6 ve a45 = 74 olan aritmetik dizisinin ilk 46 teriminin toplamını hesaplayınız

7 1 ve 14 sayıları arasında a b c olmak uumlzere oumlyle uumlccedil sayı yerleştiriniz ki 2 a b c14 bir aritmetik dizisi olsun

8 Herhangi bir aritmetik dizisi iccedilin n ka a n k d geccedilerli olduğunu goumlsteriniz

9 Bir tuumlccar satranccedil tablosunu şu koşullara goumlre satıyormuş Tablonun birinci karesinde 1 denar ikinci karesinde 2 denar uumlccediluumlncuumlsuumlnde 3 denar vb olmak uumlzere son kareye 64 denar konulacaktır Tuumlccar satranccedil tablosunu kaccedil denara satıyormuş

10 İlk terimi 100 ve ortak boumlleni q = -1 olan bir geometrik dizisinin 2k + 1 teriminin toplamını belirtiniz

11 3 b 75 sayıları bir geometrik dizisi olacak şekilde b sayısını belirtiniz

12 Her geometrik dizide n kn ka a q geccedilerli olduğunu ispatlayınız

13 Her bakteri bir saatte ikiye katlanırsa başlangıccedilta 7 bakteri olan bir bitkide 8 saat sonra ne kadar bakteri olacaktır

14 Bir ccedilocuk ocak ayında kumbarasına 5 denar koyarak para biriktirmeye başlamıştır Ondan sonra her ay bir oumlnceki ayın iki katı kadar kumbarasına para koymuştur Yıl sonunda ccedilocuğun kumbarasında ne kadar para birikmiştir

156

15 a) 1 2 3 a a a dizisi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizisi ise 1 2 3a a a olduğunu ispatlayınız

b) 1 2 3 na a a a dizisi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizisi ise 1 2 3 na a a a olduğunu ispatlayınız

16 Bir geometrik dizisinde 2 3 1 7a a a a oumlzelliği varsa dizi iccedilin ne diyebilirsiniz

157

Konu Oumlzetleri

Dizi N doğal sayılar kuumlmesinden R reel sayılar kuumlmesine bir eşlemedir ak+1 gt ak ise dizi her doğal sayı iccedilin kesin anlamda artandır ak+1lt ak ise dizi her doğal sayı iccedilin kesin anlamda eksilendir

1k ka a ise dizi her doğal sayı iccedilin artmayandır

1k ka a 6 ise dizi her doğal sayı iccedilin eksilmeyendir

Her doğal sayı n iccedilin na M olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi uumlstten sınırlıdır denir

Her doğal sayı n iccedilin na M6 olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi alttan sınırlıdır denir

Hem uumlstten hem de alttan sınırlı olan dizilere sınırlı diziler denir

Her eksilen ve her artmayan dizi uumlstten sınırlıdır her artan ve her eksilmeyen dizi alttan sınırlıdır

Bir (an) dizisinde iki ardışık terimin farkı 1n na a daima sabit kalıyorsa yani n doğal sayısına bağlı değilse ya da 1n na a = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (an) dizisine arit-metik dizisi denir d sayısına ortak fark denir

Bir aritmetik dizisinin genel terimi

dnaan 11

Her aritmetik dizisinde am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin aritmetik ortasıdır yani 1lt

m iccedilin 2

kmkmm

aaa dir

Bir aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı

)(2

1 nn aanS

ya da

])1(2[2

1 dnanSn

q ne 0 olmak uumlzere a aq aq2 aq3 aq4 ku q ne 0 biccediliminden (an) dizisine geometrik dizi denir Bu dizinin genel terimi

158

11

nn qaa dir

Her geometrik dizide a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ccedilarpımı aqn uccedil terimlerin ccedilarpımına eşittir

Her geometrik dizisinde k lt m iccedilin m m k m ka a a rsquodir yani ma terimi m ka ve m ka terimlerinin geometrik ortasıdır

kmkmm aaa

Bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı

1

)1(1

qqaS

n

n dir

159

BİLEŞİK FAİZ HESABI

71 Bileşik Faiz Kavramı ve Hesaplanması

Bir miktar paranın faizinin hesaplanması basit ve bileşik faiz hesaplamasıyla yapılabilir Basit faiz bir yatırımın yatırım vadesi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranıdır

Bileşik faizde yatırılan miktar para her doumlnemde değişir yani her doumlnem sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle yatırım miktarı buumlyuumlr ve gelecek doumlnemde aynısı ana-para oluyor Buna goumlre bileşik faiz iccedilin şu tanımı kabul edebiliriz Bir yatırımın yatırım vadesi boyunca kazandığı faizin de yeni yatırım vadesinde yatırıma tabi tutulması sonucu elde edilen getiriyi goumlsteren faizdir Diğer bir deyişle faizin de faiz kazanmasıdır

Basit faiz 100

Kpti formuumlluumlyle hesaplanır (t yıl sayısıdır) Zaman aylar ile verildiğinde

1200

Kpmi formuumlluumlyle hesaplanır Bu durumda m ay sayısıdır ve zaman guumlnlerle ifade edilirse

36500

Kpdi formuumlluuml kullanılır (d ndash guumln sayısı)

1 24 000 denar temel kapital iccedilin 2 ayda 6 faiz oranıyla ne kadar faiz oumldenecektirVerilenlere goumlre K = 24 000 t = 2 ay p = 6rsquodır

1200

26240000

1200

Kpti 2400 denar

Basit ve bileşik faiz hesaplama yoluyla elde edilen faiz miktarlarının farkını goumlrmek iccedilin bir oumlrnekle karşılaştırma yapacağız Ondan sonra bileşik faizin hesaplanması iccedilin bir formuumll belirteceğiz

2 34 500 denar kapital bir bankaya 8 faiz ile doumlrt yıl yatırılmış olan para basit ve bileşik faiz ile ne kadar faiz getirir

Bir yılda 34 500 denar anapara basit faiz formuumlluuml ile

276034500100

8 denar faiz getirir

Faiz daima anaparaya hesaplandığına goumlre bu miktar hep aynıdır ve doumlrt yılda 2760 denarın doumlrt katı kadar faiz elde edilir Buna goumlre toplam faiz miktarı

7

160

834500 4 11040

100i denardır

Bileşik faiz hesabında ise her yıl sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle

anapara miktarı buumlyuumlr ve gelecek yıl aynısı anapara oluyor Buna goumlre birinci yılın faiz miktarı

1

834500 2760

100i denardır Halbuki artık ikinci yıl anaparası birinci yılın anaparası ve

birinci yılın faiz miktarıyla toplamına eşittir 34 500 + 2 760 = 37 260 denardır

İkinci yıl faiz miktarı 2

837260 29808

100i denar olur

Uumlccediluumlncuuml faiz miktarını hesaplamak iccedilin anapara yine buumlyuumlr ve 37260 + 29808 = 402408

denar olur O halde 3

8402408 3219264

100i denar olur Sonunda faizi hesaplanacak ana-

para 402408 + 3219264 = 43460064 olur Buna goumlre 4

843460064 34768

100i elde edilir

Doumlrt yıl iccedilin elde edilen faiz miktarı 1243686 denardır Goumlruumllduumlğuuml gibi bileşik faiz hesabıyla

hesaplanan faiz miktarı basit faiz hesabıyla elde edilen miktardan buumlyuumlktuumlr

Bileşik faizyılda bir defa iki defa ya da birccedilok defa hesaplanabilir Faizin hesaplandığı za-man aralığına faiz hesaplama vadesi denir Faiz yılda bir hesaplanarak yıl sonunda elde edilen faiz anaparaya eklenirse o halde yıllık faiz soumlz konusu olur Faiz yılda iki defa hesaplanarak ana paraya eklenirse faiz hesaplama vadesi 6 aydır ve yarım yıllık faiz hesaplaması soumlz konusu olur Benzer şekilde faiz hesaplama yılda doumlrt defa yapılırsa faiz hesaplama vadesi 3 aydır denir

Basit faiz hesaplamasında doumlrt temel buumlyuumlkluumlk K - anapara (temel kapital başlangıccedil miktar) i - faiz miktarı p ndash faiz oranı (yuumlzde olarak) 100 denar paranın zaman biriminde getirdiği faiz t - paranın faizde kaldığı suumlre ndash yıl olarak ya da daha kuumlccediluumlk zaman oumllccediluuml biriminde de

olabilir

Bu buumlyuumlkluumlkler bileşik faiz hesabının da temel unsurlarıdır halbuki burada ek olarak bi-leşik faizin temel unsuru

161

bir yıl esnasında faizin hesaplanma sayısı m yani yıllık doumlnem sayısı da katılmaktadır

Pratikte faiz doumlnemleriyle ilgili olarak faiz hesapları ccedileşitli işaretlerle işaretleniyorlar Oumlr-neğin faizin yıllık hesaplanması (a) ile yarım yıllık hesaplanması (soumlmestreli) (s) ile uumlccedil ayda bir hesaplamayı (kvartal) (q) ile ayda bir vadeyi (m) ile ve adı geccedilen her vadelik hesaplamalarda faiz oranı yıl bazında sayılmaktadır

Faiz oranı yıllık faiz oranı gibi verildiğinde pa biccediliminde işaret yazılır yarım yıllık faiz oranı olarak alınırsa ps işareti yazılır Uumlccedil aylık bazında da faiz oranı verilebilir ve bu durumda pq biccediliminde ya da aylık bazında olursa pm işareti yazılır Bu şekilde verilmiş olan faiz ora-nına nominal faiz oranı denir Nominal faiz oranı aslında baz kabul edilen faiz vadesinde yuumlz para biriminin buumlyuumlme miktarıdır

Ancak finansman ya da yatırımlarla ilgili kararlarda vade uzunluğu yıl olduğu kadar yıldan daha kısa suumlreli olabilir Oumlrneğin tahvil faizlerinin her altı ayda bir ya da uumlccedil ayda bir oumldenmesi ya da aylık uumlccedil aylık altı aylık vadeli hesap accediltırılmasında olduğu gibi Bu gibi durumlarda yıllık olarak verilen faiz oranından etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı) bulunarak işlem yapılmalıdır Etkin faiz oranını yıllık nominal faiz oranının (cari faiz ya da piyasa faiz oranı da denilen) yıl iccedilindeki doumlnem sayısına boumlluumlnmesiyle bulunur

Etkin faiz oranı nominal faiz oranının bir kısmı gibi belirtilir Oumlrnek nominal yıllık faiz oranı yıl bazında verilmiş iken altı ay vadeli bir hesap accediltırılırsa altı ay yılın yarısı olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak etkin faiz oranı da nominal faiz oranının yarısı olacaktır Nominal faiz oranı yıl bazında faiz hesaplama vadesi aylık ise etkin faiz oranı nominal faiz oranının on ikide biri olacaktır Benzer şekilde nominal faiz oranı soumlmestreli (yarım yıllık) olduğunda uumlccedil aylık faiz vadesi iccedilin etkin faiz oranı nominal faiz oranının yarısına eşittir ccediluumlnkuuml uumlccedil aylık doumlnem altı aylık faiz vadesinin yarısıdır Nominal faiz oranı uumlccedil aylık faiz hesaplama vadesi yıllık olduğu durumda bir yıla karşılık gelen etkin faiz oranı verilenden doumlrt kat buumlyuumlktuumlr ccediluumlnkuuml yıl uumlccedil ayın doumlrt katıdır Karşılaştırma yapmak iccedilin aşağıdaki tabloyu inceleyebilirsiniz Orada m = 2 m = 1 m = 4 m = 12 ve benzer

Faiz vadesi Nominal faiz oranı etkin (roumllatif) faiz oranıYarım yıllık (soumlmestral) 8 pa 4 psYıllık 8 ps 16 paUumlccedil aylı 8 pa 2 pqAylık 8 pa 0667 paİki yıllık 8 ps 32İki aylık 8 pa 1333

Her doumlnem sonunda faiz hesaplanarak anaparaya katılırsa doumlnem sonu (dekurzif) faiz-lenme soumlz konusu olur boumlyle durumda faiz oranı pa(d) ile işaret edilir Doumlnem sonu faizlen-menin faiz hesaplaması başlangıccedilta yatırılan anaparaya goumlre uygulanmaktadır

162

Faizlenme her doumlnem başlangıcında yapılırsa doumlnem başı faizin hesaplanması iccedilin temel değer doumlnem sonunda elde edilen anaparadır bu işleme doumlnem başı (antisipatif) faizlenme denir ve pa(a) ile işaret edilir

İki şekilde verilmiş olan (doumlnem sonu ve doumlnem başı ) faiz oranlarından hangisi daha kacircrlı olduğunu anlamak iccedilin her ikisini aynı şekilde ifade etmemiz gerekir Bu durumda aynı anaparadan bir yılda aynı faiz miktarı yani aynı birikim K1 elde edilmesi oumlnemlidir Faizinin belirtilmesi istenilen temel değer (anapara) K verilmiş ve faiz oranları pa(a) ve p pa(d) verilmiş olsun Faiz hesaplama şeklinin tanımlarına goumlre doumlnem sonu faizlenmede hesaplanan

anaparaya katılır ve yıl sonunda 1

1001

100 100

p pK K K 13

değeri elde edilir doumlnem başı

faizlenmede borccedillu faiz miktarını faiz oranıyla oumlnceden oumldemelidir Bu demektir ki birin-

ci doumlnem başlangıcında hesaplanan faiz temel değerden ccedilıkarıldığına goumlre K değerini değil

1 1 1 1100 100

K K K K 13

değerini ccedilekebilir Bu durumda anaparanın başlangıccedil değeri

1 1 1 1100 100

K K K K 13

rsquodir Oradan 1

100

100K K

olur K1rsquoin son değerlerini eşitle-

yerek 100

100

pK 100

100K

eşitliği ya da 100

100

p 100

100

denklemi elde edilir pa(a)

faiz oranı belli olduğu durumda doumlnem sonu faiz oranını 100

100p

formuumlluumlyle hesapla-

yabiliriz p pa(d) belli olduğu durumda ise doumlnem başı faiz oranı 100

100

pp

formuumlluumlyle

hesaplanabilir

3 Bir banka 6 pa(d) faiz oranıyla diğer bir rakip banka ise 57 pa(a) faiz oranıyla borccedil veriyorlar Hangi bankanın faiz oranı daha uygundur

Her iki faiz oranını karşılaştıracağız Halbuki oumlnce dekurzif faiz oranını doumlnem başı faiz oranına ve tersine doumlnuumlştuumlrmemiz gerekir

163

Doumlnem sonu faiz oranını doumlnem başı faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlyoruz 100 100 6

100 100 6

pp

566 pa(a) elde edilir Buna goumlre 57 pa(a) faiz oranı veren banka

daha hesaplıdırBuna inanmak iccedilin ters doumlnuumlşuumlmuuml de yapacağız Doumlnem başı faizi doumlnem sonu fai-

ze doumlnuumlştuumlruumlyoruz 100 100 57

100 100 57

604 pa(d) Buradan da goumlruumllduumlğuuml gibi goumlre

57pa(a) faiz oranı daha hesaplıdır

Alıştırmalar1 25 000 denar paradan 15 faiz oranıyla basit faizdea) 5 yılda b) 3 ayda c) 25 guumlnde

(30360) ve (k 365) zaman matrislerine goumlre ne kadar faiz getirir

2 Faiz oranı 5 basit faiz ile yatırılan bir temel kapital K kaccedil yıl bankada yatırılmalıdır ki elde edilen faiz miktarı temel değere eşit olsun (Not K = I)

3 34 500 denar borccedil iccedilin basit faiz hesabına goumlre 4 yılda toplam 6 900 denar faiz oumldenmiş-tir Faiz oranı ne kadardır

4 Yatırılan hangi anaparaya 6 faiz oranıyla 3 540 denar faiz miktarı oumldenmiştira) 4 yılda b) 8 ayda

5 Bir bankaya aralarındaki fark 12 000 denar olan iki farklı kapital yatırılmıştır Buumlyuumlk olan para miktarı 4 faiz oranıyla bir yıl iccedilin kuumlccediluumlk olan para miktarı ise 6 faiz oranıyla 10 ay vadeyle yatırılmıştır Her iki kapitalin getirdiği faiz miktarı eşit olduğuna goumlre iki farklı ka-pitalin toplamını hesaplayınız

6 Verilen 12 pa nominal yıllık faiz oranı iccedilin şunları belirtiniza) yarım yıllık vadeli etkin (roumllatif) faiz oranınıb) uumlccedil aylık vadeli etkin faiz oranınıc) aylık vadeli etkin faiz oranını

7 Uumlccedil aylık nominal faiz oranı 2 pq verilmiş olduğu halde şunları belirtiniza) yarım yıllık etkin faiz oranını

164

b) yıllık etkin faiz oranınıc) aylık etkin faiz oranını

8 10 doumlnem sonu faiz oranını doumlnem başı faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

9 10 doumlnem başı faiz oranını doumlnem sonu faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

10 Hangi faiz oranı daha kazanccedillıdır 6 pa(a) yoksa 65 pa(d)

72 Temel Değerin Gelecekteki Değerini Hesaplamak

Bileşik faiz hesaplamalarını yaparken faiz oranından başka temel paranın faiz vadesi so-nunda faiz miktarı kadar buumlyuumlmuumlş değerini de bilmek gerekir yani faizlenen değer ya da i i Bu durumda tuumlm faiz vadesinde elde edilen faiz miktarını temel değere katmakla elde edilen para miktarına temel paranın gelecekteki değeri denir Faizlenmesi yapılan temel değerin başlangıccedil miktarına şimdiki değer de denir

Başlangıccedilta doumlnem sonu faiz oranıyla işlem goumlren K para miktarını inceleyelim K1 K2hellip Kn sırasıyla birinci yıl sonunda ikinci yıl sonunda hellipn yıl sonunda elde edilen kapital olsun Bu değerler bir geometrik dizinin oluşturduğunu goumlstereceğiz Bu temel değerin yıllık p pa(d) faiz oranıyla n yılda nasıl değiştiğini inceleyeceğiz Hesaplanan her faiz miktarı doumlnem sonun-da anaparaya katıldığını ve ilerdeki doumlnemde buumlyuumlyen anapara temel kapital olarak alındığını

hatırlatalım Doumlnem sonunda kapitalin değeri birinci yıl sonunda 1 1

100 100

Kp pK K K 13 olur

ikinci yıl sonunda 2

12 1 1 1 1

100 100 100

K p p pK K K K 13 13

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - -

Aynı şekilde devam edersek n yıl sonunda

11 1 1 1

100 100 100

nn

n n nK p p pK K K K

13 13

elde edilir

Burada iki ardışık değeri Ks-1 ve Ks ayırırsak s yıl sonunda temel kapitalin toplam değeri ondan oumlnce gelen Ks-1 değerine hesaplanan faizin katılmasıyla Ks

165

miktarı elde edilir yani

1 1 1 1100 100

s s s sp pK K K K

13

olur

Buna goumlre herhangi iki ardışık temel miktarın oranı yani iki ardışık doumlnem sonundaki miktarların oranı

1001

1

pKK

s

s

olur

Accedilıktır ki K K1 K2 Kn değerleri ortak ccedilarpanı 1100

p olan bir geometrik dizi oluş-

turuyorlar Bu durumda verilen koşullara goumlre kapitalin son değeri iccedilin

n

npKK )

1001(

formuumlluuml elde edilir Bu formuumlluuml yukarıda adı geccedilen parametrelerle genişleteceğiz Bunlar bir yılda faiz doumlnem

sayısı m etkin faiz oranı daha doğrusu pm

burada p doumlnem sonu faiz oranıdır ve faizlenme

devrelerinin tuumlmuuml nmrsquodir Faiz vadelerinin tuumlmuuml aslında faizin hesaplandığı yıl sayısı ve faiz vade sayısının ccedilarpımıdır

Bu koşullarla yani bir yılda faiz doumlnem sayısı m olduğunda anaparanın gelecekteki de-ğeri iccedilin

nm

n mpKK )

1001(

formuumlluuml elde edilir

1100

prm

ccedilarpanına doumlnem sonu faiz katsayısı denir Bu katsayıyı anaparanın gele-

cekteki değer formuumlluumlnde değiştirirsek

nm

n KrK

formuumlluuml elde edilirNot 1 Ana paranın gelecekteki değerini daha kolay biccedilimde hesaplamak iccedilin i i şek-

linde işaret ettiğimiz faizin faizine ait oumlzel tablolar geliştirilmiştir Orada verilen faiz oranı iccedilin en ccedilok kullanılan parametreler oumlnceden hesaplanmış olduğuna goumlre hazır değerler gibi kullanı-labiliyorlar Oumlrnek ilk i i tablolarda faiz katsayısının değerlerini yani bir para biriminin son değerinin doumlnem sonu faiz katsayısıyla ccedilarpımını goumlstermektedir Orada rn değeri In

p ile işaret edilmiştir ve anaparanın gelecekteki değerini yılda bir faizin hesaplanmasıyla n yılda faiz oranı p pa(d) olduğunda

166

npn KK 7

formuumlluuml elde edilirFaizlenme yılda birccedilok defa yapılırsa formuumll

nm

mpn KK 7

şeklini alır Burada yıl sayısı faiz vadesi sayısıyla ccedilarpılır faiz oranı ise vade sayısıyla boumlluumlnuumlr Vade sayısı m ile işaretlenmiştir yani yılda kaccedil defa faizlenme yapıldığını goumlsteren sayı olarak goumlsterilir

1 25 000 denar para 20 yılda 8 pa(d) faiz oranıyla faiz hesaplaması yıllık vadeli yarım yıllık vadeli ve uumlccedil aylık vadeli olduğuna goumlre paranın gelecekteki değerini hesaplayınız

Verilenler K = 25 000 n = 20 p= 8 pa(d)a) Faiz hesaplaması yıllık vadeli olduğuna goumlre m = 1rsquodir Doumlnem sonu faiz katsayısı

81 108

100r rsquodir

Accedilıktır ki 20 20

20 25000 108 11652393K Kr denar olacaktır

b) m = 2 olsun yani faiz hesaplaması yarım yıllık vadeli olsun Doumlnem sonu katsayı 8

1 104100 2

r

anapara ise 40 40

20 25000 104 12002552K Kr denar olur Bu ise

yıllık faiz hesaplamasından fazla olduğu goumlruumlluumlyorc) m = 4 olsun yani faiz hesaplaması uumlccedil ayda bir vadeli yapılmış olsun Doumlnem sonu kat-

sayı 8

1 102100 4

r

anapara ise 80 80

20 25000 104 12188598K Kr denar olur

Doumlnem sonu faiz hesaplamasında faiz devrelerinin artmasıyla anaparanın (yatırımın) da gelecekteki değeri artar Yani faizin hesaplanması ne kadar daha sık yapılırsa rnm değeri de o kadar artar bununla yatırımın gelecekteki değeri de artar

Nominal faiz oranı bir yıldan az vade iccedilin verildiğinde yıllık faiz oranıyla ne olduğunu incelersek bu durumda yıllık faiz oranı etkin faiz oranı roluumlnuuml alacaktır p = 8 ps(d) ise bu faiz oranı sadece yarım yıl iccedilin geccedilerli olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak yıllık etkin faiz oranı 16 olur p = 8 pq(d) uumlccedil aylık vadeli faiz oranı ise etkin yıllık faiz oranı 32 olur

167

2 Başlangıccedil değeri 25 000 denar olan bir kapitalin p = 8 pm(d) faiz oranıyla faiz vadesi yılda doumlrt defa yani uumlccedil aylık faizin hesaplanmasıyla 5 yıl sonra gelecekteki değeri belirtilsin

Oumlnce yıllık etkin faiz oranını belirtmek gerekir bu ise yıllık 8 12 96 rsquodir Halbuki faiz

vadesi yılın doumlrtte biri olduğundan uumlccedil aylık vadeli faiz oranı 96

4 = 24 olur Bir aylık vade uumlccedil

ayda kaccedil defa geldiğini duumlşuumlnuumlrsek aynı sonuca varabiliriz Bir ccedileyrek yıl uumlccedil ay olduğundan 3 ∙ 8 = 24 elde edilir faizlenme işleminin toplam vade sayısı nm = 5 4 = 20rsquodir Anaparanın gelecekteki değeri

864732500024125000100

24125000

1004

812125000 20

2045

5 13

13

K

olduğuna goumlre K5 = 184660374 denar olduğunu buluyoruz

Sıradaki oumlrnekte bir anaparanın gelecekteki değerini hesaplarken bileşik faiz hesabının uygulanması ya da basit ve bileşik faiz karması kullanılmakla elde edilen farkı goumlreceğiz

3 1509 guumlnuuml 18000 denar yatırılmıştır Faiz oranı p = 6 ps(d) faiz hesaplanması uumlccedil aylık vadelerle yılın 3009 3012 3003 ve 3006 guumlnlerinde yapıldığında zaman matrisi (30 360) koşuluyla onuncu yılın 2807 guumlnuuml (ilk guumlnuuml dahil) yatırımın değeri ne kadar olacaktır

Yatırımın şimdiki değeri K = 18 000 faiz vadesi ccedileyrek yıl yani m = 4 faiz oranı p = 6 ps(d) yıllık roumllatif faiz oranı 12 pa(d) parametreleri verilmiştir

Karşılık gelen faiz katsayısının değeri

0314100

261

100

21

m

pr dir

Yatırımın faizde kalma zamanını belirtmemiz gerekir Yatırımın yapıldığı guumln 1509rsquoden faizin ilk hesaplama guumlnuumlne kadar sadece 15 guumln vardır Bu guumlnleri verilen zaman matrisine

goumlre yıl olarak ifade edersek 15

360t yıl olur Ondan sonra 3012 tarihine kadar yani yılın

sonuna kadar bir faiz devresi vardır İkinci yılın başlangıcından dokuzuncu yılın sonuna kadar toplam 8 yıl olduğuna goumlre toplam 32 faiz vadesi vardır Onuncu yıl boyunca 3006 tarihine kadar 2 tam vade ve yatırımın kaldırılacağı guumlne kadar daha 28 guumln vardır Demek ki toplam

35 tam faiz vadesi ve ilk yılın 15

360t ve onuncu yılın trdquo = 28 guumln = 28

360 yıl faiz zamanı elde

edilir

168

Yatırımın gelecekteki değerini sadece bileşik faiz hesabını kullanarak hesaplıyorsak za-manı tam vade sayısına kalan guumlnleri ise yıl olarak ifade edeceğiz Buna goumlre

951369031031031180004

360

284

360

15

3535 mtmtn rrKrK

denar elde edilir

Zamanın tamamını yıllarla ifade edersek tam vadeler 3 aylık yani 90 guumln olduğunu goumlz

oumlnuumlne bulundurarak 35 90

360

yıl olur O halde

31934

36018000 103 513699nK

denar olduğunu buluyoruz

Faizde kalma zamanının sadece tam vadelerine basit faiz hesabını uygulayarak bileşik ve basit faiz hesaplama kombinasyonu kullanalım

)100

1()100

1( 35 tprtpKKn

formuumlluumlnde sırasıyla oumlnce ilk yılın 15 guumlnuuml ondan sonra 35 tam faiz vadesi ve sonunda son yılın 28 guumlnuuml yazılarak 8651377)

360

28

100

121(031)

360

15

100

121(18000 35 nK

denar elde edilir

Demek ki basit ve bileşik faiz kombinasyonunu uygulayarak yatırımın gelecekteki değeri sadece bileşik faiz hesabı kullanarak elde edilen miktardan biraz farklaşıyorlar ve kombinasyon uygulayarak elde edilen gelecek değer biraz buumlyuumlktuumlr

Doumlnem sonu (sonra) ve doumlnem başı (peşin) faizlenme arasındaki temel fark konunun başlangıcında ifade edildiği gibi doumlnem sonu faizlenmede faiz miktarı doumlnem sonunda anapa-raya eklenir doumlnem başı faizlenmede ise faiz miktarı anaparaya peşin eklenir

Doumlnem başı faizde borccedillu faiz oranıyla K kapitaline gereken faiz miktarını peşin oumldeme yuumlkuumlmluumlluumlğuumlnuuml kabul etmiştir K1 K2 Kn birinci ikinci ve benzer şekilde n- yıl sonunda kapitalin değerleri olsun

Birinci vadesin başlangıcında borccedillu K değerini değil

100

100

1001

1001111

13

KKKKK değerini alabilecektir O halde birinci yıl sonun-

da borccedillunun yıllık (m = 1) faizlenme ile oumldeyeceği miktar

100

100

1001

1 KKK

elde edilir

169

İkinci yıl sonunda bileşik faiz hesaplandığına goumlre faiz tabanı birinci yıl sonunda elde

edilen miktardır yani şimdi 100

100K

dir Demek ki ikinci yıl sonunda

2

12100

100

100

10013

KKK

miktar oumldenmelidir Bu şekilde devam ederek faizlenmenin son nndash ci yılına geliyoruz ve ana-paranın gelecekteki değeri

n

nn KKK 13

100

100

100

1001

olur Doumlnem başı faizlenmede kapitalin son değerleri K K1 K2 helliportak boumlleni 100

1008

olan

bir geometrik dizi oluşturuyorlar n- ci doumlnem sonunda kapitalin değeri Kn ise 1n nK K 8

geccedilerlidir yani doumlnem başı faizlenmede n yıl sonra kapitalin değeri

nn KK 8 olur

1 100

1001

100

8

katsayısına doumlnem başı faiz katsayısı denir

Elde edilen formuumllleri bir yılda faiz doumlnem sayısı m etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı)

m burada yıllık doumlnem başı faiz oranıdır ve faiz suumlresinin toplam sayısı nm parametreleriyle

genişlettirirsek kapitalin gelecekteki değeri iccedilin şu formuumlluuml elde edeceğiz

nm

nm

n mmK

m

KK 13

13

100

100

100

100

Formuumllde doumlnem başı faiz oranının katsayısı 100

100

mm

8

koyarsak kapitalin gelecek-teki değerine ait

unm

n KK 8

formuumlluuml elde edilir

Not 2 i i tablolarında doumlnem sonu hesaplamada olduğu gibi n8 değeri I

n ile işaret

edilir ve yıllık faizlenmeyle şimdiki değerin (anaparanın) gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin şu formuumll elde edilir

170

nn KK 7

Buna karşılık faizin hesaplanması yılda birkaccedil kez yapıldığında yukarıdaki formuumll

nm

mn KK 7

şekline doumlnuumlşuumlr Bu durumda zaman faiz devreleriyle ccedilarpılır faiz oranı ise faiz doumlnem sayısıyla boumlluumlnuumlr

Son formuumlller doumlnem sonu faizlenme formuumlluumlyle aynıdır halbuki farklı faiz katsayıların-dan oumltuumlruuml elde edilen son değerler birbirinden farklıdır

4 Şimdiki değeri 25 000 denar olan kapitalin 20 yılda 8 pa(a) nominal faiz oranıyla yıllık yarım yıllık ve uumlccedil aylık faiz devreleriyle elde edilecek sonraki değeri ne kadardır

Oumldevdeki verilere goumlre K = 25 000 p = 8 pa(a) verilmiştira) Yıllık faiz devresi m = 1 olsun Oumlnce doumlnem başı faiz katsayısını hesaplıyoruz

0869618100

100

8

Kapitalin gelecekteki değeri 20 20

20 25000 108696 13249859K K8 elde edilirb) m = 2 olsun yani faizin hesaplanması yılda iki defa yapıldığını alalım

Peşin faiz katsayısı 100 200

104166667100 192

mm

8

olduğunu buluyoruz Buna goumlre

kapitalin gelecekteki değeri 40 40

20 25000 104166667 12796485K K8 denar olduğunu buluyoruz Goumlruumllduumlğuuml gibi yıllık faizlenmeyle elde edilen gelecekteki değer goumlre yarım yıllık faizlenme ile elde edilen gelecekteki değer biraz azalmıştır

c) m = 4 olsun yani faizin hesaplanması her uumlccedil ayda yani yılda 4 defa yapıldığını alalım

Peşin faiz katsayısı 100 400

1020408100 392

mm

8

olduğunu buluyoruz Buna goumlre kapitalin

gelecekteki değeri 80 80

20 25000 1020408 1258486K K8 denar olduğunu buluyoruzPeşin faiz hesaplanmasında faiz devrelerinin artmasıyla kapitalin gelecekteki değeri azal-

maktadırDoumlnem sonu ve peşin faizin hesaplanmasıyla elde edilen gelecekteki değerleri birbiriyle

karşılaştırırsak aynı koşullar altında doumlnem başı faizlenme ile doumlnem sonu faizlenmeden daha buumlyuumlk değer verir Buna goumlre borccedil kredi alındığında alacaklıya doumlnem başı faiz hesaplaması daha hesaplıdır borccedilluya ise doumlnem sonu faiz hesaplaması daha kacircrlıdır

5 2 yıl ve 6 ay oumlnce bankaya 60 000 denar yatırmış ve bir yıl ve 3 ay sonra 45000 denar ccedilek-memiz gerekir Faiz oranı 6 pa(d) faiz hesaplaması 3 aylık devrelerle yapıldığında bu guumlnden 3 yıl sonra yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır Aynı koşullar altında fakat doumlnem başı faizlenme ile paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır

171

Her miktarın ayrı ayrı gelecekteki değerini hesaplayacağız Yatırılan miktar iccedilin faiz suumlresi 55 yıl ccedilekilen miktar iccedilin faiz suumlresi bir yıl ve 3 ay ve bu guumlnden sonra 3 yıl sonraki toplam za-man suumlresi 1 yıl 9 aydır ya da 21 aydır (şek 1)

Şek1

Doumlnem sonu faiz katsayısından 01511004

61

r

yararlanarak miktarın 3 yıl sonra gelecekteki değeri

8333100151450000151600004500060000 72212

214

455 rrS

denar olduğunu buluyoruz

Peşin faiz hesaplanmasıyla faiz katsayısı 100 400

10152286 400 6

1004

8

dir Bu du-

rumda miktarın gelecekteki değeri

72212

214

455 0152281450000152281600004500060000 88S

elde edilir yani S = 3364462 denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 18 yıl 8 ay ve 20 guumln evvel 8pa(d) faiz oranıyla 20 000 denar yatırılmıştıra) faiz devresi yıllık b) faiz devresi uumlccedil aylık

olduğuna goumlre yatırılan paranın buguumlnkuuml değeri ne kadardır Hesaplamaları oumlnce bileşik faiz hesabıyla sonra bileşik faiz ve basit faiz kombinasyonuyla hesaplayınız

2 9000 denar ilk 5 yılda 6 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle ondan sonra daha 4 yıl 8 pq(d) faiz oranıyla ve aylık faiz devresiyle ve sonunda daha 2 yıl 7 ps(d) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık faiz devresiyle bir bankaya yatırılmıştır Yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

3 9000 denar ilk 5 yılda 6 pa(a) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle ondan sonra daha 4 yıl 8 pq(a) faiz oranıyla ve aylık faiz devresiyle ve sonunda daha 2 yıl 7 ps(a) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık faiz devresiyle bir bankaya yatırılmıştır Yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

172

4 2 yıl 3 ay oumlnce 40 000 denar ve buguumln daha 24 000 denar bankaya yatırılmıştır Faiz oranı 5 pa(d) ve yarım yıllık devrelerde faizin hesaplanmasıyla bu guumlnden doumlrduumlncuuml yılın sonuna kadar yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

5 Buguumln 30 000 denar bankaya yatırıyoruz uumlccedil yıl sonra ise 12 000 denar ccedilekecek ve beş yıl sonra daha 20 000 denar yatırılacaktır Faiz oranı 6 pa(d) ve faiz hesaplanması uumlccedil aylık olduğuna goumlre bu guumlnden 8 yıl sonra bankada ne kadar paramız olacaktır Faiz oranı 6 pa(a) uygulandığı durumda elde edilen gelecekteki değeri ilki ile kıyaslayınız

6 Doumlrt yıl oumlnce 30 000 denar ve buguumln daha 9 000 denar bankaya yatırılmış iki yıl sonra 36 000 denar ccedilekilecektir Yatırımlara 6 pa(d) faiz oranı ve yarım yıllık devrelerde faizin he-saplanması uygulanmaktadır Bu guumlnden sekiz yılın sonuna kadar yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

7 15 yıl oumlnce 7 000 denar 9 yıl oumlnce daha 4 000 denar bankaya yatırılmış ve 5 yıl oumlnce he-saptan 5 000 denar ccedilekilmiştir Faiz işlemi uumlccedil aylık devrelerle 5pa(d) faiz oranıyla yapıldığına goumlre paranın buguumlnkuuml değeri ne kadar olacaktır

73 Konform Faiz Hesabı

Doumlnem sonu yani faizin doumlnem sonu hesaplanması soumlz konusu olunca pratik nedenlerden dolayı şimdiye dek kullandığımız faiz oranlarından farklı bir cins faiz oranına ihtiyaccedil duyul-maktadır Bunun sebebi bir yılda faiz devrelerinin artmasıyla faiz miktarının artışının sonucu olarak doumlnem sonu faizlenmede kapitalin değeri de artar ve bazı anlaşmazlıklara sebep olabilir Etkin faiz oranını uygulamakla sadece ana değerin faizi değil faizin de faizi hesaplanmaktadır Bu durumda temel değerin yıllık faizlenme ile ve yılda birkaccedil defa faizlenme ile elde edilecek gelecekteki değerler arasında fark ortaya ccedilıkmaktadır Bu farkı ortadan kaldırmak istersek etkin faiz oranı yerine konform faiz oranı denilen faiz oranını uygulayacağız Bu faiz oranıyla faiz ister yıllık hesaplamayla ister yılda birkaccedil devreden faizin hesaplanmasıyla aynı faiz miktarı elde edilir Konform faiz oranını pkm ile işaret edeceğiz Bir yılda m defa faizlenme ile ve yılda bir defa faiz oranı p olmak uumlzere yapılan faizlenme ile aynı faiz miktarı veren konform faiz oranı şu iki formuumlllerin eşitlenmesiyle elde edilir

173

13

13

1001

1001

pKp

Km

mk

oradan da

13

13

1001

1001

pp mmk

elde edilir Bu denklemden konform faiz oranı iccedilin şu formuumll elde edilir

u f r

13

1

1001100

mmk

pp

Elde edilen konform faiz oranı daima etkin faiz oranından kuumlccediluumlktuumlr

1 Yıllık nominal faiz oranı p = 12 pa(d) olduğuna goumlre uumlccedil aylık konform faiz oranı ne kadardır Elde edilen faiz oranını etkin faiz oranıyla (roumllatif faiz oranıyla) karşılaştırınız On-dan sonra 10000 denar anaparanın her iki faiz oranıyla bir yıl sonunda gelecekteki değerlerini hesaplayarak karşılaştırınız

Faiz doumlnem sayısı m = 4rsquotuumlr Yukarıda elde edilen formuumllden 1100

121100 4

4

13

kp

287 elde edilir Diğer taraft an uumlccedil aylık etkin faiz oranı 12

43 olduğunu buluyoruz Gouml-

ruumllduumlğuuml gibi etkin faiz oranı konform faiz oranından buumlyuumlktuumlr Konform faiz oranını verilen

anaparaya uygulayarak gelecekteki değeri 3711198100

872110000

4

1 13

K

denar elde edilir

Etkin faiz oranını uygulamakla 112551004

12110000

4

1 13

K denar elde edilir

2 25000 denar 20 yılda nominal faiz oranı 8 pa(d) faizlenme yarım yıllık ve uumlccedil aylık olmak uumlzere konform faiz oranını kullanıldığında anaparanın gelecekteki değerini hesaplayınız

a) m = 2 olsun Yılda iki faizlenmeye karşılık gelen konform faiz oranı

92331100

81100

13

mkp dir Anaparanın gelecekteki değeri iccedilin

75511652103923125000100

1 40

40

20

13

mkp

KK elde edilir Bu şekilde elde edilen kapi-

tal roumllatif faiz oranıyla yapılan hesaplamaya goumlre elde edilen kapitalden kuumlccediluumlktuumlr halbuki yıllık faizlenme ile elde edilen kapital ile hemen de aynı olduğunu goumlrebiliriz

174

Oumlrnek etkin faiz oranını uygulayarak 521200251002

8125000

40

20 13

K

denar yıl-

lık faizlenme ile 93116523100

8125000

20

20 13

K

denar elde edilir

b) m = 4 olsun Konform faiz oranı 94311100

81100 4

13

mkp

Konform faiz

oranıyla kapitalin gelecekteki değeri 5111655501943125000100

1 80

420

20

13

mkp

KK

de-

nardır Etkin faiz oranını kullanmakla 98121885021250001004

81 80

80

20 13

KK

de-

nar elde edilir Yılda bir faizlenme işlemi yaparak К 20rsquorsquo = 211652393 denar elde edilir

Yıllık faizlenme ile ve doumlnem faizlenme ile yapılan işlemlerde kapitalin gelecekteki değe-riyle ilgili meydana gelen sapmalar Konform faiz oranında yapılan yuvarlamadan kaynaklanır

Alıştırmalar

1 Buguumln yatırılan 28 000 denar 2pq(d) faiz oranıyla yarım yıllık doumlnem faizlenme işle-mi uygulayarak 2 yıl 9 ay sonra hangi değere bağlı olacaktır Konform faiz oranını uygulayınız

2 Buguumln 20 000 denar yatırıp iki yıl sonra 7 500 denar ccedilekilecektir Faiz oranı 9 ps(d) doumlnem vadesi 3 ay olmak uumlzere bu guumlnden uumlccedil yıl sonra ne kadar paramız olacaktır

3 Bankaya 20000 denar a) etkin faiz oranı b) konform faiz oranı 8pa(d) ve faiz hesaplama vadesi 3 ay olmak koşullarıyla para yatırdık 10 yıl sonra ne

kadar paramız olacaktır

4 Uumlccedil aylık faiz vadesine ait 1467 konform faiz oranını yıllık faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

5 8 pa(d) faiz oranını veriliyor Yarım yıllık ve uumlccedil aylık faiz vadesine karşılık gelecek konform faiz oranını hesaplayınız

175

6 15 yıl oumlnce bankaya 7 000 denar 9 yıl oumlnce daha 4 000 denar yatırılmış 5 yıl oumlnce ise hesaptan 5 000 denar ccedilekilmiştir Faizin hesaplanması 3 aylık vadelerle ve 5 pa(d) faiz oranıyla yapıldığına goumlre hesabımızda buguumlne kadar ne kadar para birikmiştir Konform faiz oranını hesaplayınız

74 Yatırılan Paranın Başlangıccedil Değeri ve FaizMiktarının Hesaplanması

Bazı durumlarda belli bir zamanda belli faizlenme oranıyla ne kadar paraya ihtiyacımız olacağını biliyor fakat bunun iccedilin bankada ne kadar paranın yatırılması gerektiğini bilmiyoruz Aslında faiz oranını yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısını m ve faiz zamanı n ile biriken Kn değeri bilindiğine goumlre K başlangıccedil miktarını yani anaparayı hesaplamamız gerekir Verilen kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin elde ettiğimiz formuumllden temel değer iccedilin şu formuumllleri belirtebiliriz

nm

nnmn

mp

KrKK

)100

1( doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve

nm

nnm

n mKKK

13

1001

8 doumlnem başı faizlenme iccedilin

Biriken paranın başlangıccedil değerini bulma işlemine iskontolama ya da biriken değerin başlangıccedil değerini belirtme denir Faiz oranlarının ccedilarpımsal ters ve nm nmr 8 değerlerine is-konto katsayıları (faktoumlrleri) denir

Not 1 Burada oumlnemli olan i i tablolarından yararlandığımızda neler oluyor bilmemiz ge-rekir Doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlenmenin katsayıları na karşılık gelen ve

n npI I değerler

yanı sıra değerleri ikinci tabloda okunan 1n n

npp

rII I ve 1n n

nII I

8 iskonto katsayıları da

belirtilir İkinci tablolardaki değerler birinci tablolardaki değerlerin ccedilarpımsal tersleridir Buna

goumlre temel değerin başlangıccedil değerini belirtmek iccedilin formuumlllerfnpnKK 77

yıllık doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve urn

nKK 77 yıllık doumlnem başı faizlenme iccedilin şeklinde yazabiliriz

176

Tabi ki yılda birkaccedil defa faizlenme yapılıyorsa zaman suumlresi faiz doumlnem sayısıyla ccedilarpılır faiz oranı ise yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısıyla boumlluumlnuumlr Buna goumlre başlangıccediltaki temel değer

nm

mpnKK 77

doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve nm

mnKK 77

doumlnem başı faizlenme iccedilin for-

muumllleriyle hesaplanabilir

1 Faiz oranı 6 pa(d) ve yıllık faiz vadesiyle doumlrt yılda 68 000 denar biriktirmemiz gere-kirse bankaya ne kadar para yatırmamız gerekir

Burada m = 4 K4 = 68 000 p = 6 pa(d) olduğu accedilıktır Oumlnce faiz katsayısını ondan sonra

iskonto katsayısını hesaplayalım 6

1 106100

r Buna karşılık iskonto katsayısı 109434

r

elde edilir O halde başlangıccedil (yatırılması gereken) kapital 3538629434068000061

68000 4

4K

denar olduğunu buluyoruz

2 Hangi temel değer doumlrt yılda doumlnem suumlresi a) yarım yıl b) uumlccedil ay

olmak uumlzere yatırmalıyız ki gelecekteki değeri 10 000 denar olsun Temel değerin gelecekteki değeri K4 = 10 000 denardır Her iki durumu ayrı ayrı inceleye-

ceğiza)

041200

812 rm

demek ki

9730604110000 24 K

denardır

b)

021400

814 rm oradan

46728402110000 44 K denar elde edilir

3 Altı yıl oumlnce 27 000 denar borccedil alınmış on yıl sonra ise daha 36 000 denar borcun oumlden-mesi gerekir Oumlnceki borcumuzu oumldeme imkanı olmadığını varsayarak 4 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faizlenme ile buguumln tuumlm borcu birden oumldemek istersek hangi miktar parayı oumlde-meliyiz Aynı koşullarla fakat faizlenme doumlnem başı (peşin) olmak uumlzere hangi miktar parayı oumldemeliyiz

Borcu geriye ccedilevirmediğimiz takdirde onun değeri buguumlne dek faiz doumlnem sayısı 12 ve 2 ps(d) etkin faiz oranıyla elde edilecek faiz miktarı kadar artmıştır Demek ki oumldenmemiş borccedil buguumln

12

12

02127000200

4127000

13

olacaktır Aynı zamanda ikinci boru suumlresinden oumlnce

oumldediğimize goumlre değeri 10 yıl iccedilin geri iskontolanacaktır ve

20

20

02136000200

4136000

13

olacaktır (şek2)

177

Şek 2

Bu guumlnuumln toplam borcu hesaplanan her iki borcun toplamıdır Buna goumlre tuumlm borcu buguumln oumldersek aranılan miktar

S = 27000 bull 10212 + 36000 bull 102-20 = 584695 denardırFaizlenme doumlnem başı yapıldığı durumda faiz katsayısı 0204081

2100

100

8

denar olur Buna goumlre gereken para miktarı

S = 27000 middot102040812 + 36000 bull1020408-20 = 8833094 denardır

Bankaya yatırılan para miktarına (ya da geri ccedilevrilmesi istenen borca hesaplanan faiz mik-tarı ne kadardır sorusu da sorulabilir Kapitalin ilk ve gelecekteki değerlerini bildiğimize goumlre hesaplanan faiz miktarı aslında bu iki değerin farkı olduğu accedilıktır Faizlenmenin nndashci doumlnem sonunda hesaplanan faiz miktarını In ile işaret edersek faizlenme şekli ne olursa olsun onun değeri In = Kn ndash K formuumlluumlyle hesaplanır

Daha konkre olarak faiz oranı p ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olan doumlnem sonu faizlenmede faiz miktarı iccedilin

In = Kn - K = Krnm - K = K(rnm -1)formuumlluuml elde edilir burada r doumlnem sonu faiz katsayısıdır

Peşin (doumlnem başı) faizlenme durumunda faiz oranı ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olmak uumlzere faiz miktarı iccedilin

In = Kn - K = Kpnm - K = K(pnm -1)elde edilir burada 8 doumlnem başı faiz katsayısıdır

Aynı formuumlller para miktarının sadece son değeri yani gelecekteki değeri bilindiğinde de yazılabilir Bu durumda doumlnem sonu hesaplamada

nmnmnnnn rKrKKKKI 1

ve doumlnem başı hesaplamada

nmnmnnnn KKKKKI 88 1

olduğunu buluyoruz

Not 2 i i tablolarından yararlanıyorsak formuumlller doumlnem sonu hesaplama durumunda

13

7 1nm

mpn KI ve doumlnem başı hesaplamada

13

7 1nm

mn KI şeklinde ifade edilir Para

miktarının sadece gelecekteki değerini kullandığımız durumda aynı formuumlller

13

77 nm

mpnn KI 1

ve

13

77 nm

mnn KI 1 biccediliminde ifade edilir

178

4 On yıl oumlnce 6 pa faiz oranı bazında yarım yıllık faiz vadesiyle 10 000 denar para ya-tırılmıştır Bileşik faiz hesabına goumlre

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı faizlenme uygulayarak bu miktar paranın faiz miktarı ne kadardır

Kapitalin başlangıccedil değeri K = 10 000 denar etkin faiz oranı 3 ve bir yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m = 2 biliniyor Bu durumda toplam faiz doumlnem sayısı 60rsquotır

a) Doumlnem sonu faiz katsayısı 031100

31 r

olur Hesaplanan faiz miktarı 130 = K30 ndash K

= 10000 bull (10360 -1)= 48196 denar olduğunu buluyoruz

b) doumlnem başı faiz katsayısı 0309313100

100

8

olur Hesaplanan faiz miktarı I30 = K30

- K = 10000 bull(10309360 -1)= 521943 denar olduğunu buluyoruzSon oumlrnekten de goumlruumllduumlğuuml gibi doumlnem başı faizlenme alacaklıya doumlnem sonu faizlenme

ise borccedillulara daha uygun olduğunu kanıtlamaktadır

5 Buguumln yatırılan para bir yıl altı ay iccedilinde 36 000 denar paraya birikir Faiz oranı 8 pa ve faiz vadesi 3 ay olduğuna goumlre

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı biccedilimde hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

Kapitalin gelecekteki son değeri K15 = 36 000 denar m = 4 ve toplam faiz doumlnem sayısı 6 olduğunu biliyoruz

a) İskonto doumlnem sonu katsayısı

98040021

11

r

ve bu durumda hesaplanan faiz mik-

tarı

54031980401360001

1 6

65151 13

rKI

denardır

b) İskonto doumlnem başı katsayısı

980100

21001

8

ve bu durumda hesaplanan faiz mik-

tarı

6741099801360001 66

5151 8KI denardır

Alıştırmalar

1 20 yıl oumlnce bankaya yatırdığımız bir miktar paranın biriken buguumlnkuuml değeri 250000 denardır Faizde kaldığı suumlrede faizlenme vadesi 3 aylık ve faiz oranı

a) p = 6 pa(d) b) = 6 pa(a)olduğuna goumlre bankaya 20 yıl oumlnce ne kadar para yatırmışız

179

2 Bir kişi 2 yıl sonra 16 000 denar 5 yıl sonra 24 000 denar ve 8 yıl sonra 18 000 denar oumldemelidir Faiz oranı 6 pa yarım yıllık faizlenme ile

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı olmak uumlzere kişi borcun tuumlmuumlnuuml buguumln oumldemek isterse ne kadar para oumldemelidir

3 Bir kişi 38 yaş guumlnuumlnde bankaya 48 pa(d) faiz oranıyla ve aylık faiz doumlnemleriyle 50 000 denar para yatırıyor Tam bir yıl sonra yatırılan paraya ne kadar faiz oumldenmiştir

4 Bir kişi bankaya 50 000 denar para yatırmış ve iki yıl sonra hesaptan 30 000 denar ccedilekmiştir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle bu guumlnden beş yıl sonra zaman suumlresinde ne kadar faiz miktarı oumldenecektir

(Not Faiz miktarı iki kısımdan hesaplanmalıdır Bu guumlnden sonra iki yıl iccedilin ve para ccedile-kildikten sonra kalan para miktarı iccedilin faiz hesaplanacaktır)

5 Bir kişi doumlrt yıl oumlnce 24 000 denar olmak uumlzere borcunun bir kısmını oumldemiştir Uumlccedil yıl sonra daha 30 000 denar oumldemelidir Kişi borcunun hiccedilbir kısmını oumldememiş olduğu varsayı-mıyla iki yıl sonra borcun tuumlmuumlnuuml birden oumldemek iccedilin kaccedil para oumldeyecektir Yıllık doumlnem sonu faizlenme olmak uumlzere faiz oranı 6 pa olsun Doumlnem başı faizlenme durumunda ise ne kadar para oumldeyecektir

75 Faiz Doumlnem Sayısını ve Faiz Oranının Hesaplanması

Şimdiye dek elde edilen formuumlllerde n yıl sayısı olarak oumlnceden bilinen ve genellikle yıl iccedilinde faiz doumlnem sayısı tam olarak verilmiş şekilde ifade ediliyordu Zaman suumlresi yıl olarak değil başka şekilde verildiği durumlarda yine zaman suumlresini yıl bazına ccedilevirerek hesaplamaları yapıyorduk Bu ise pratikte oumlzellikle faizlenme zamanını hesaplarken ccedilok seyrek rastlanmak-tadır Verilen bir kapitalin belli miktarda faiz getirdiği zamanı ya da faiz doumlnem sayısının nasıl hesaplandığını goumlreceğiz Başlangıccedil kapital K doumlnem sonu faizlenme p pa(d) faiz oranıyla yıl iccedilindeki doumlnem sayısı m ve faiz suumlresi tam sayı olmak mecburiyetinde olmayan n yıl olsun

Kapitalin gelecekteki değerini hesaplayan formuumlluuml nm

n mpKK

13

1001 doumlnuumlşuumlmler yaparak

n faiz suumlresini bulalım Buna goumlre

nmn

mp

KK

13

1001

bu ifadenin logaritmasını alaraknm

n

mp

KK

13

1001loglog

elde edilir

180

Logaritma işleminin temel oumlzelliklerinden yararlanarak 13

mpnm

KK n

1001loglog

elde edilir

Formuumllde 1100

prm

doumlnem sonu faiz katsayısını katarak faiz suumlresine ait

KK

rmn nlog

log

1

formuumlluuml elde edilir10 tabanlı logaritmalar ccedilok sık e tabanına goumlre logaritma ile değiştirilir Boumlyle durumda

elde edilen formuumlluumln karşılığı olan

KK

rmn nln

ln

1

formuumll elde edilir

Benzer şekilde faizlenme doumlnem başı olduğu durumda faiz oranı pa(a) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olduğunu varsayarak kapitalin gelecekteki değer formuumlluumlnuumln logaritmasını almakla

13

mmnm

KK n

100

100loglog

elde edilir Bu ifadede 100

100

mm

8

doumlnem başı faiz katsayısını katmakla

8loglog nmKK n

elde edilir Bu şekilde faiz suumlresine ait

KK

mn nlog

log

1

8

formuumlluuml elde edilir

1 a) Yatırılan 25 000 denar para 6 pa(d) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra 2985131 denar olacaktır

b) Yatırılan 13200 denar paranın 8 pa(a) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra gelecekteki değeri 184257 denar olacaktır

Oumldevde verilen veriler zamanın hesaplanması iccedilin yukarıdaki formuumlluumln uygulanmasına yeterlidir Faiz katsayısını hesapladıktan sonra formuumllde yerine koyarak

a) 031200

61 r

oradan 325000

3129851log

031log2

1n

yıl elde edilir

b) 086956518100

100

8 oradan 4

13200

718425log

08695651log

1n yıl olduğunu bu-

luyoruz

181

Formuumllde uygulanan logaritma işlemi kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin elde edilen formuumllde bilinen tuumlm veriler değiştirildikten sonra da yapılabilirdi

Kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin kullanılan i i tablolarından zamanı da belirtebiliriz Bunu birinci i i tablodan okuyarak ya da kapitalin başlangıccedil değerine ait ikinci i i tablodan okuyabiliriz

2 Yatırılan 200 000 denar paraya yıllık faizlenme uygulayarak 5 pa(d) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra gelecekteki değeri 243 10125 denar olacaktır

Kapitalin gelecekteki değeri nn pK K I formuumlluumlnden faiz oranı katsayısı iccedilin

5

24310125121550625

200000

nI elde edilir Birinci finansal tabloda 5 faiz oranı boumlluumlmuumlnde

121550625 değeri n =4 satırına karşılık gelirHalbuki i i tablolardan yararlandığımızda bazı durumlarda aradığımız değer tam ola-

rak tabloda olmayabilir ancak aradığınız değer tablodaki iki değer arasında bulunabilir Boumlyle durumlarda doğrusal interpolasyon (ara kestirim) youmlntemi denilen kuralı uyguluyoruz Lineer interpolasyon youmlntemi denilen kuralın ilkesi aslında orantıların oumlzelliğine dayanır Yani tablo-da ardı sıra gelen iki değerin farkı onların peryotları arasındaki fark ile orantılıdır Bunu konkre bir oumlrnekle inceleyelim

3 Yatırılan 50 000 denar yarım yıllık faizlenme doumlnemleriyle 6 pa(d) faiz oranıyla ne kadar zaman sonra 75 000 denara birikecektir

Kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnde tabloları kullanarak 2

2

2

nn pK K I değerini

2 2

2

7500015

50000

n npn

KIK

elde edilir Birinci i i tabloda 3 etkin faiz oranına karşılık gelen

suumltunda 15 değerini bulamıyoruz Bu sayı 146853371 lt 15 lt 151258972 arasında bulunmak-tadır Bunlara karşılık gelen satırlardan kuumlccediluumlk değere 13 buumlyuumlk değere ise 14 faiz doumlnem sayısı karşılık gelir Oumldevimizin cevabı 13 ve 14 sayıları arasında olan yarım yıl sayısıdır Bunu tam olarak belirtmek iccedilin aşağıdaki tabloyu oluşturuyoruz

np2

2

7 n2 n

p2

2

7 n2

468533711 13 468533711 13 512589721 14 51 n2

Daha uygun goumlruumlnuumlrluumlk sağlamak iccedilin suumltunlardaki değerlerin farklarını hesaplayarak aynı tabloda yazdıktan sonra şu orantıyı kuruyoruz

182

(151258972 -146853371) (14 -13) = (15 -146853371) (2n -13)Demek ki

044056010

031466290132 n

oradan da 2n = 13714 elde edilir Demek ki faiz suumlresi n = 6857 yıldır Bu sayıyı yıl ay ve guumln-lere ccedilevirmek iccedilin sayının ondalık kısmını 12 ile ccedilarparak ayları buluyoruz elde edilen sayının yeni ondalık kısmını 30 ile ccedilarpmakla guumln sayısını elde ediyoruz Buna goumlre 0857 kısım yıl aslında 0857 12 10284 aydır Şimdi 0284 ay kısmını guumlnlere ccedilevirelim 0284 30 9 guumln-duumlr O halde faiz suumlresi 6 yıl 10 ay 9 guumln olduğunu buluyoruz

Aynı şekilde faiz suumlresini hesaplamak iccedilin ikinci finansal tabloyu da kullanabiliriz

4 Yatırılan 20 000 denar kapital 6 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz vadesiyle ne kadar zamanda 80 000 denara bağlı olacaktır

a) Oumlnce ccediloumlzuumlmuuml formuumlluuml doğrudan doğruya kullanarak logaritma işlemi yardımıyla be-lirtelim Faiz katsayısı r = 103 m = 2 olduğuna goumlre kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnde değiştirerek

n203120000

80000 elde edilir Bu denklemin her iki tarafının logaritmasını alırsak log

4 = 2n log 103 oradan da n = 234527 yıl elde edilirb) Aynı sonuca ikinci finansal tabloyu kullanarak nasıl varıldığını goumlrelim 2

3

nnK K II

formuumlluumlnden 2

3

1025

4

nII elde edilir Bu değer 3 suumltununda bulunmadığına goumlre buna en

yakın iki ardışık değeri buluyoruz 02493 lt 025 lt 02567 Kuumlccediluumlk olan değer 47 yarım yıl vade-sine kuumlccediluumlk olan değer ise 46 faiz vadesine karşılık gelir Bu değerleri tabloda yazdıktan sonra orantıyı daha kolay kurmak iccedilin son satırda değerlerin farklarını da yazacağız

n2

377 n2 n2

377 n2 25670 46 25670 46 24930 47 250 n2 00740 1 00670 n246

Karşılık gelen orantı00074 (-1) = 00067 (46 - 2n)

dir Negatif işaretten kurtulmak iccedilin00074 = 00067 (2n - 46) biccediliminde yazabiliriz

183

Şimdi 000672 46 09054

00074n oradan da 2n = 46-9054 elde edilir Buna goumlre faiz

doumlnem suumlresi n = 234527 yıl olduğunu buluyoruz bu ise tam 23 yıl 5 ay 13 guumlnduumlr

Ccediloumlzuumllen her iki oumlrnekte doumlnem sonu faizlenme soumlz konusudur Faizlenme doumlnem başı olduğu durumda da aynı şekilde ifade edilir Boumlyle durumda karşılık gelen doumlnem başı tablolar ve doumlnem başı faiz katsayısı ya da iskonto katsayısı belirtilir Doğrusal interpolasyonun uygu-lanması aynı şekilde yapılır

Yukarıda elde edilen formuumlllere gereken cebirsel doumlnuumlşuumlmleri yaparak kapitalin başlangıccedil ya da gelecekteki değeri formuumlllerinde faiz oranının değeri hariccedil diğer parametreler bilindiğin-de bilinmeyen faiz oranını da belirtebiliriz

Doumlnem sonu faiz oranı p pa(d) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m faiz suumlresi n yıl olan bir faizlenmeyi inceleyelim Kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin uygulanan

nm

n mpKK

13

1001

formuumlluumlnden 1100

nmnKp

m K elde edilir Bu denklemden faiz oranı iccedilin

13

1100 nm n

KK

mp

formuumlluuml elde edilir

5 Hangi yıllık doumlnem sonu faiz oranıyla 8 yılda doumlrt aylık faiz doumlnemleriyle bir anapara-nın getirdiği faiz miktarı kendisine eşit olacaktır

Oumldevin koşuluna goumlre I8 = K dir Bunu I8 = K8 ndash K faiz denkleminde yerine koyarsak K = K8 ndash K elde edilir O halde K8 = 2K olur n = 8 m =3 değerlerini yukarıda elde edilen faiz oranı formuumlluumlnde değiştirmekle

dapKKp 798123001

2300 2424

13

elde edilirAynı oumlrnekte faiz oranını hesaplamak iccedilin kullanılan i i tablolarından faiz oranının

nasıl hesaplandığını goumlsterelim Yukarıdaki oumlrneklerde bilinmeyen zamanın belirtilmesin-de uygulanan doğrusal interpolasyondan şimdi yapılacak işlemin tek farkı tablo değerlerin-den başka tabloda etkin faiz oranlarını da yazacağız Boumlylece yukarıdaki veriler gereğince

13

7 1nm

mpn KI faiz hesaplama formuumlluumlnde verileri yerlerine değiştirmekle

184

18

13

7 nm

mpKI

elde edilir Bu durumda I8 = K olduğuna goumlre birinci finansal tablonun değeri iccedilin 24

3

1 1pI buradan da 24

3

2pI elde edilir i i tablosunda faiz oranı suumltununda 275 faiz

oranına karşılık 1917626 değeri elde edilir faiz oranı suumltununda ise 3 faiz oranına 20327491 değeri karşılık gelir Bizim aradığımız değer tam bu iki değer arasındadır Tabloda okuduğumuz değerleri yazacağız

24

3

p7 3

p

24

3

p7 3

p

9176261 752 9176261 752

03279412 3 2 3

p

1151680 750 08237390 7523

p

Tablodaki değerlerin farkları faiz oranlarının farklarıyla aynı orantıda olduğuna goumlre şu orantıyı yazabiliriz

13

752

3082373907501151680

p

Buna goumlre 1151680

08237390750752

3

p

ifadesinden etkin faiz oranı iccedilin 3

p2928 elde

edilir yani nominal doumlnem sonu faiz oranı p = 8784 pa(d) olduğunu buluyoruz Elde edilen bu değer oumlncekinden biraz farklıdır bu ise tablodaki değerlerin yuvarlanmasından kaynaklanır

6 Hangi doumlnem başı faiz oranıyla 80 000 denar yarım yıllık faiz vadesi ile 2 yılda 120 000 denar olur

Aranılan formuumlluuml

nm

n mmKK

13

100

100

kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnden doğrudan doğruya bulacağız Denklemi bilinmeyen değer rsquoye goumlre ccediloumlzelim

275 275

075

3

185

nm n

KK

mm

100

100

ya da

nm n

KKmm 100

100

elde edilir Bu son eşitlikten doumlnem başı faiz iccedilin

nm

nKKmm 100100

elde edilir Sonuccedil olarak

13

nm

nKKm 1100

formuumlluuml elde edilirKonkre oumlrnekte n = 2 m = 2 olduğuna goumlre

aapKK

2819903601200120000

80000120012100 44

2

13

13

elde edilir

Alıştırmalar

1 Bankaya yatırılan 8 000 denarın ne kadar zamanda gelecekteki değeri 55 000 denar olur faizlenme doumlnemleri yarım yıllık ve faiz miktarı

a) p = 8 pa(d) b) p = 8 pa(a)

2 Faiz doumlnemleri 3 aylık olmak uumlzere 7 faiz oranıyla bankaya yatırdığımız 20000 denar kapital

a) doumlnem başı b) doumlnem sonufaizlenme ile ne kadar zamanda banka hesabımızda 40 000 denar olacaktır

3 Bankaya yatırılan 15 000 denar kapital 25 yılda 28 600 denar olmak iccedilin uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle

a) doumlnem başı b) doumlnem sonufaizlenme hangi yıllık faiz oranıyla yapılmalıdır

4 Faiz vadesi yıllık olmak uumlzere hangi doumlnem sonu faiz oranıyla 18 yılda anapara iki ka-tına erişir Oumldevi i i tablolarıyla da ccediloumlzuumlnuumlz

1928 pa(a)

186

5 Buguumln bankaya 20 000 denar yatırdık iki yıl sonra 10 000 denar hesaptan ccedilekeceğiz Faizlenme doumlnemleri 3 aylık olmak uumlzere bu guumlnden doumlrt yıl sonra hesabımızda 30 000 denar olursa faizlenme hangi faiz oranıyla yapılmıştır Doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlenme youmln-temlerini ayrı ayrı inceleyiniz

6 40 000 denar borccedil 4 pa(d) faiz oranıyla doumlrt eşit taksitle oumldenmelidir İlk taksit 4 yıl sonra ikinci taksit 6 uumlccediluumlncuumlsuuml 15 ve doumlrduumlncuumlsuuml 18 yıl sonra oumldenecektir Aynı faiz oranıyla ve yıllık faiz doumlnemleriyle tuumlm borccedil kaccedil yıl sonra birden oumldenebilir

7 Bir kişinin buguumln bankaya yatırdığı bir miktar parası 2 yıl ve altı ay sonra 40 000 denar olmuştur ve bundan 10 000 denar faiz miktarı elde etmiştir Faizin hesaplanması yarım yıllık doumlnemlerle olduğuna goumlre para hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

8 Biri 25 doğum guumlnuumlnde bankaya 40 000 denar yatırmış ve 33 doğum guumlnuumlnde hesabında 76 800 denar olduğunu bankadan haber almıştır Faizlenme doumlnemleri yarım yıllık olduğuna goumlre para hangi faiz oranıyla bankaya yatırılmıştır

9 Bankaya 2 yıl oumlnce 70 000 denar yatırılmış buguumln 20 000 denar hesaptan ccedilekilmiştir Bir yıl sonra bankaya daha 10 000 denar yatırılacaktır Faiz oranı 10 pa(a) yıllık faizlenme olduğuna goumlre ne kadar zaman sonra banka hesabımızda 100 000 denar olacaktır

76 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Buguumln bankaya 100 000 denar yatırıyoruz Faiz oranı 5 pa(d) ve faizlenme uumlccedil aylık doumlnemlerle olmak uumlzere 15 yıl 25 guumln sonra hesabımızda kaccedil para olacaktır Bunu bileşik faiz hesabıyla ve basit ve bileşik faiz kombinasyonu uygulayarak hesaplayınız

2 10092000 tarihinde bankaya 12 000 denar yatırmıştık Yıllık faizlenme vadesi 10 pa(a) faiz oranıyla 31122010 tarihinde hesabımızda ne kadar para birikecektir

3 Yeni yıl ikramiyesi sayesinde geccedilen yılın son guumlnuumlnde bankaya 60 000 denar para yatır-dık Uumlccedil yıldan sonra yıl sonunda hesabımdan 24 000 denar ccedilekmeliyim yatırımın ilk guumlnuumlnden beş yıl geccediltikten sonra daha 40 000 denar yatıracağız Faiz oranı 3 ps(d) faiz doumlnemleri uumlccedil ay olmak uumlzere bu guumlnden 8 yıl sonuna kadar banka hesabımızda kaccedil para birikecektir

4 120 000 denar borccedil uumlccedil eşit taksitle geriye ccedilevrilecektir Taksitlerden birincisi bir yıl son-ra ikincisi doumlrt yıl sonra ve uumlccediluumlncuumlsuuml altı yıl sonra oumldenmelidir Faiz oranı 10 pa(d) yarım yıllık faizlenme doumlnemleriyle olmak uumlzere 2yıl altı ay sonra borcun tuumlmuumlnuuml birden ccedilevirmek iccedilin kaccedil para oumldenmesi gerekir

187

5 Bir kişi tasarruf yaptığı bankadan bu guumlnden itibaren 8 yılda oumldeme koşuluyla 600 000 denar borccedil almak istemiştir Bu guumln 100 000 denar yatırıyor ve beş yıl sonra daha 200 000 denar yatıracak ve borcun kalanını varsa 10 yıl sonra oumldeyecektir Faiz oranı 8 pa(d) yarım yılık doumlnem faizlenmesiyle 10 yıl sonra borccedil ne kadar olacaktır

6 Faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle faizlenen bir borccedil 25 ay sonra 50 000 denar biriktiğine goumlre borcun şimdiki değeri ne kadardır

a) Sadece bileşik faiz hesabını kullanmakla b) son ay iccedilin bileşik ve basit faiz hesapları karmasını uygulamaklaFaiz miktarını da hesaplayınız

7 Kaccedil yıl sonra 20 000 denar yıllık faiz hesaplanması uygulayarak 5 pa(d) faiz oranıyla 7466912 denar olacaktır Oumldevi cebirsel şekilde ve i i tablolarından yararlanmakla ccediloumlzuumlnuumlz

8 65 pa(d) faiz oranıyla yarım yıllık faizlenme uygulayarak herhangi bir miktar para kaccedil yıl sonra uumlccedil katı kadar artacaktır Aynı koşullar altında faizlenme doumlnem başı faiz oranıyla yapıldığında zaman ne kadar değişecektir Hem cebirsel hem de finansal tabloları kullanarak hesaplamayı yapınız

9 Bankaya 15 yıl oumlnce 10 000 denar 8 yıl oumlnce de 20 000 denar yatırılmıştır Buguumln daha kaccedil para yatırmalıyız ki 10 yıl sonra biriken para 100 000 denar olsun Faiz oranı 4 pa yarım yıllık doumlnem sonu faizlenme uygulanacaktır

10 Faiz oranı 6 pa(a) yarım yıllık faiz hesaplaması uygulayarak hangi kapitalin 12 yıl ve 3 ayda getireceği faiz miktarı aynı koşullar altında 50 000 denarın 30 yılda getireceği faiz miktarına eşit olacaktır

11 Sattığı mal karşılığı bir kişiye 3 farklı teklif gelmiştir1) 40 000 denar peşin ve 5 pa(d) faiz oranıyla 120 000 denar 8 yıl 7 ay 20 guumln sonra

oumldenecektir2) 6 pa(d) faiz oranıyla 105 yıl sonra 200 000 denar oumldenecektir3) 80 000 denar peşin ve 3 pa(d) faiz oranıyla 100 000 denar 5 yıl ve 6 ay sonra oumldene-

cektir Hangi teklif en uygun olduğunu hesaplayınız

12 100 000 denar para 54 pa(d) faiz oranıyla 80 000 denar para ise 96 pa(d) faiz oranıyla bankaya yatırılmıştır Faizlenme doumlnemleri 3 aylık olduğu durumda ne zaman her iki kapitalin faiz miktarı aynı olacaktır İkinci kapitale doumlnem başı faizlenme uygulanıyorsa faiz-lerin eşit olduğu zaman ne kadar değişecektir

188

13 80000 denar bir borccedil 8 yıl sonra 3 pa(d) faiz oranıyla 40 000 denar 20 yıl sonra 4 pa(d) faiz oranıyla ve 23 yıl sonra 6 pa(d) faiz oranıyla 20 000 denar oumldenecektir Fa-izlenme doumlnem sayısı yılda iki defa yani yarım yıllık olduğuna goumlre borccedil 25 yıl sonra birden oumldendiği takdirde hangi faiz oranıyla oumldenecektir

14 Sınırlı sorumluluğu olan bir şirketin borccedilları- 5 yıl sonra oumldenmesi gereken 5 pa(d) faiz oranıyla 50 000 denar- 8 yıl sonra oumldenmesi gereken 6 pa(d) faiz oranıyla 80 000 denar- 12 yıl sonra oumldenmesi gereken 8 pa(d) faiz oranıyla 40 000 denarAynı zamanda 10 yıl sonra 3 pa(d) faiz oranıyla 60 000 denar şirketin alacağı vardır 15

yıl sonra 5 pa(d) faiz oranıyla yıllık faiz hesaplaması olmak uumlzere oumldenecek borcun denkleş-mesi (saldosu) bileşik faiz hesabına goumlre ne kadardır

15 Bir kişi 34 doğum guumlnuumlnde bankada hesabına 18 000 denar para yatırmıştır 38 doğum guumlnuumlnde de daha 12 000 denar ve 41 doğum guumlnuumlnde ise 24 000 denar hesabından ccedilekmiştir Faiz oranı 8 pq(d) uumlccedil aylık doumlnemli faizlenme ile kişinin 46 doğum guumlnuumlnde hesa-bında ne kadar parası olacaktır Konform faiz oranını uygulayınız

16 SİGA şirketi bir malı peşin oumldemek koşuluyla 60 000 denara satmaktadır GASİ şirketi ise 5 pm(d) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlenme bazında 2 yıl sonra oumldemek koşuluyla aynı malı 160 000 denara satmaktadır Hangi teklif daha uygundur

17 3 yıl oumlnce bankaya 50 000 denar yatırdık bir yıl sonra hesaptan 10 000 denar ccedilekme-liyiz 3 yıl sonra daha 20 000 denar hesabımızdan ccedilekeceğiz Faiz oranı 4 pa(d) yarım yıllık faizlenme vadesiyle ne kadar zamandan sonra banka hesabımızda 600 000 denar olacaktır

18 2 yıl oumlnce banka hesabımıza 80 000 denar yatırdık 3 yıl sonra ise 32 000 denar hesap-tan ccedilekeceğiz Yıllık faizlenme doumlnemleriyle 5 pa(d) faiz oranıyla 7 yıl sonra toplam ne kadar faiz miktarı elde edilecektir

19 İki yıl uumlccedil ay oumlnce bankaya yatırılan para bu guumlne kadar elde edilen faiziyle beraber 20 000 denardır Bu arada hesaplanan faiz miktarı 5 000 denardır Faizin hesaplanması uumlccedil aylık doumlnem vadeli yapıldığına goumlre hangi doumlnem sonu faiz oranıyla hesaplanmıştır Doumlnem başı faizlenme yapıldığı durumda faiz oranlarındaki fark ne kadardır

20 Banka hesabına bir yıl ve 2 ay oumlnce 12 000 denar yatırılmış iki yıl uumlccedil ay sonra ise he-saptan 20 000 denar ccedilekilmiş ve banka hesabında para kalmamıştır (saldo 0)

189

Faizlenme yarım yıllık doumlnem vadeli yapıldığına goumlre faiz hangi doumlnem sonu faiz oranıyla hesaplanmıştır

21 Buguumln iki farklı bankada iki eşit miktar para yatırılmıştır Birinde faiz oranı 16 pa(d) diğerinde ise 10 pa(d)rsquodir Kaccedil yıl sonra birinci bankada biriken para ikinci bankada biriken paradan iki defa daha ccedilok olacaktır Faiz hesaplaması yarım yıllık vadeli bu zaman es-nasında faizlerin farkı 33 200 denar olduğuna goumlre yatırılan para miktarı ne kadarmış

190

KONU OumlZETLERİ

Bir kapitalin faizinin hesaplanması basit ve bileşik olabilir Basit faiz bir yatırımın ya-tırım vadesi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranıdır Yatırılan miktar para her doumlnemde değişir yani her doumlnem sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle yatırım miktarı buumlyuumlr ve gelecek doumlnemde aynısı anapara eklenirse bileşik faizden soumlz edilir yani bir yatırımın yatırım vadesi boyunca kazandığı faizin de yeni yatırım vadesinde yatırıma tabi tutul-ması sonucu elde edilen getiriyi goumlsteren faizdir Diğer bir deyişle faizin de faiz kazanmasıdır

Bileşik faiz yılda bir defa iki defa ya da birccedilok defa hesaplanabilir Faizin hesaplandığı zaman aralığına faiz hesaplama vadesi denir

Basit faiz hesaplamasında doumlrt temel buumlyuumlkluumlk şunlardır K - anapara (temel kapital başlangıccedil miktar) i - faiz miktarı p ndash faiz oranı (yuumlzde olarak) 100 denar paranın zaman biriminde getirdiği faiz t - paranın faizde kaldığı suumlre ndash yıl olarak ya da daha kuumlccediluumlk oumllccediluuml biriminde de olabilir m ndash bir yıl iccedilerisinde faiz hesaplaması daha doğrusu bir yıldaki faiz hesaplama douml-

nemlerin sayısı

Faizin yıllık hesaplanması (a) ile yarım yıllık hesaplanması (soumlmestreli) (s) ile uumlccedil ayda bir hesaplamayı (kvartal) (q) ile ayda bir vadesi (m) ile ve adı geccedilen her doumlnemlik hesaplamalarda faiz oranı yıl bazında sayılmaktadır

Faiz oranı yıllık faiz oranı gibi verildiğinde pa biccediliminde işaret yazılır yarım yıllık faiz oranı olarak alınırsa ps işareti yazılır Uumlccedil aylık bazında da faiz oranı verilebilir ve bu durumda pq biccediliminde ya da aylık bazında olursa pm işareti yazılır Bu şekilde verilmiş olan faiz oranı-na nominal faiz oranı denir

Ancak finansman ya da yatırımlarla ilgili kararlarda doumlnem uzunluğu yıl olduğu kadar yıldan daha kısa suumlreli olabilir Bu gibi durumlarda yıllık olarak verilen faiz oranından etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı) bulunarak işlem yapılmalıdır Etkin faiz oranını yıllık nominal faiz oranının (cari faiz ya da piyasa faiz oranı da denilen) yıl iccedilindeki doumlnem sayısına boumlluumlnmesiyle bulunur

Her doumlnem sonunda faiz hesaplanarak anaparaya katılırsa doumlnem sonu faizlenme soumlz konusu olur boumlyle durumda faiz oranı pa(d) ile işaret edilir Doumlnem sonu faizlenmenin faiz hesaplaması başlangıccedilta yatırılan anaparaya uygulanmaktadır

191

Faizlenme her doumlnem başlangıcında yapılırsa doumlnem başı faizin hesaplanması iccedilin temel değer doumlnem sonunda elde edilen anaparadır bu işleme doumlnem başı (antisipatif) faizlenme denir ve pa(a) ile işaret edilir

Tuumlm faiz vadesinde elde edilen faiz miktarını temel değere katmakla elde edilen birikmiş değere kapitalin gelecekteki değeri denir Faizlenmesi yapılan temel değerin başlangıccedil miktarı-na Krsquonın şimdiki değeri de denir

Doumlnem sonu faizlenme oranı p bir yılda faiz doumlnem sayısı m ve m

pr100

1 doumlnem

sonu faiz katsayısı olmak uumlzere K kapitalinin gelecekteki değeri nmn KrK formuumlluumlyle hesap-

lanır

Peşin (antisipatif) faizlenmede faiz opranı bir yılda faiz doumlnem sayısı m ve

8

m

m100

100

doumlnem başı faiz katsayısı olmak uumlzere K kapitalinin gelecekteki değeri nmn KK 8 formuumlluumlyle

hesaplanır

Faiz ister yıllık hesaplamayla ister yılda birkaccedil devreden faizin hesaplanmasıyla aynı faiz miktarını veren faiz oranına konform faiz oranını denir ve p km ile işaret edilir Bir yılda m defa faizlenme ile ve yılda bir defa faiz oranı p olmak uumlzere yapılan faizlenme ile aynı faiz miktarı veren konform faiz oranı şu formuumll ile hesaplanır

13

1

1001100

mmk

pp

Verilen K kapitalin gelecekteki değeri Kn bilindiğinde temel değeri şu formuumlllerle he-saplanır

nm

nnmn

mp

KrKK

)100

1(

doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve

nm

nnm

n mKKK

13

1001

8

peşin (antisipatif) faizlenme iccedilin

192

Biriken paranın başlangıccedil değerini bulma işlemine iskontolama ya da biriken değerin başlangıccedil değerini belirtme denir Faiz oranlarının ccedilarpımsal ters r-nm ve 8-nm değerlerine iskon-to katsayıları (faktoumlrleri) denir

Faiz oranı p ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olan doumlnem sonu faizlenmede r doumlnem sonu faiz katsayısı olmak uumlzere faiz miktarı şu formuumll kullanılır

1nmnI K r

Peşin (antisipatif) faizlenme durumunda faiz oranı ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m doumlnem başı faiz katsayısıdır 8 olmak uumlzere faiz miktarı şu formuumllle hesaplanır

1nmnI K

Faizlenme doumlnem sonu p pa(d) faiz oranıyla yıl iccedilindeki doumlnem sayısı m ve

1100

prm

doumlnem sonu faiz katsayısı olmak uumlzere faiz suumlresi şu formuumllle hesaplanır

KK

rmn nlog

log

1

Benzer şekilde faizlenme doumlnem başı (antisipatif) olduğu durumda faiz oranı pa(a) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olduğunu varsayarak şu formuumll kullanılır

KK

mn nlog

log

1

8

Yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m faiz suumlresi n yıl olduğunu farz ederek yıllık doumlnem sonu faiz katsayısı şu formuumllle hesaplanır

13

1100 nm n

KK

mp

193

PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR)VE PERİYODİK ALACAKLAR (KİRALAR)

81 Periyodik Yatırımlar

Basit ve bileşik faiz hesaplarını uyguladığımız oumlrneklerde belli miktarda parasal varlık-ların sadece bir defa yatırıldığı ya da farklı doumlnemlerde yatırılan veya istenildiğinde hesaptan ccedilekilen miktarları incelemiştik Bu durumda yatırımların bazıları eşit bazıları ise farklı belli bir kurala goumlre değişebilen oumlrneğin aritmetik ya da geometrik diziler oumlzelliğine goumlre artan ya da azalan veya tasarruft a olduğu gibi oumlnceden belli bir kurala goumlre uymayan yatırımlar olabilir Halbuki ccedilok kez eşit zaman aralıklarında yatırımların tekrarlandığına rastlıyoruz Boumlyle du-rumlarda soumlz konusu mevduattır Mevduat belli bir suumlre sonunda veya istenildiğinde ccedilekilmek uumlzere bankalara faizle yatırılan paradır Mevduatlar belli suumlrelerde aynı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adlandırılıyorlar

Yatırımlar oumldemeler serisinin başlama noktasına goumlre doumlnem başı (antisipatif) ve douml-nem sonu (dekurzif) mevduatlar olarak ikiye ayrılıyorlar Yatırım esnasında her mevduatın faizi yatırıldığı guumlnden tuumlm mevduatların toplam değerinin hesaplandığı ana kadar hesaplanır Doumlnem başı ya da doumlnem sonu faizlendirme uygulanabilir Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda aynı bazı durumlarda ise farklı yani mevduat vadelerinden daha sık ya da daha seyrek olabilirler Pek sık tuumlm mevduatların toplam değeri ne kadardır sorusu sorulmaktadır Yatırım esnasında faizi hesaplanmış tuumlm mevduatların toplamına yatırımın gelecekteki değeri denir

Şimdi sadece yatırım doumlnemleri faiz vadeleriyle denk gelen sabit (değişmeyen) bireysel periyodik yatırımları inceleyeceğiz

Yıl esnasında sadece bir mevduat oumldendiği durumda soumlz konusu yıllık mevduat olur yatırım yılda iki defa yapıldığında altı aylık (yarım yıllık) mevduat yılda doumlrt defa yatırım yapıldığında uumlccedil aylık (ccedileyrek yıllık) mevduat biccediliminde adlandırılır Yatırım ayda bir yapılırsa aylık mevduat olur Burada da faizlendirme vadesi yıllık altı aylık uumlccedil aylık vb olabilir

Alıştırmalar

1 Mevduat nedir Mevduatın temel oumlzellikleri nedir

2 Faizinin hesaplanmasına goumlre mevduatlar nasıl olabilir

3 Yatırım sayısına goumlre nasıl mevduatlar fark edebiliriz

8

194

4 Yatırım suumlresine goumlre nasıl mevduatlar fark edebiliriz

5 Mevduatların gelecekteki değeri nedir

82 Mevduatların Gelecekteki Değerini Hesaplamak

Her bireysel mevduatın değeri V olsun Bireysel mevduat sayısı n faiz oranı doumlnem sonu uygulanan p olsun Faiz vadesi yatırım vadesiyle aynıdır Mevduatın oumldenmesi doumlnem başı ol-

sun (her vadenin başlangıcında oumldeme yapılsın) Vade sonu faiz katsayısı 1100

pr olduğunu

biliyoruz Her bireysel mevduat iccedilin bileşik faiz hesabını uygulayarak faiz miktarını bulmakla mevduatların gelecekteki değerini elde edeceğiz Şek1rsquode yatırımlar ve faizlendirmeler goumlsteril-miştir

Şek 1

Birinci vadenin başında yatırılan birinci mevduat n ndash vade iccedilin karşılık gelen r faiz kat-sayısıyla son vadenin sonuna kadar suumlre iccedilin faizi hesaplanır ve değeri Vrnrsquodir Yatırılan ikinci miktar V aynı şekilde n ndash 1 vade iccedilin son vadenin sonuna kadar faizi hesaplanır ve değeri Vr n

-1rsquodir Bu şekilde kalan tuumlm bireysel yatırımların faizleri hesaplanır Sondan ikinci olan yatırım n ndash 2 zamanına denk gelir ve iki vade iccedilin faizlenir ve değeri Vr2rsquodir son yatırım ise sadece bir vade iccedilin faizlenir ve değeri Vrrsquodir Faiz doumlneminin sonuna kadar faizleri hesaplanmış olan tuumlm doumlnem başı yatırımların toplamı

Sn = Vrn + Vrn-1 + + Vr2 + Vr = V (rn + rn-1 + + r2 + r )= Vr (rn-1 + rn-2 + + r +1) olduğunu buluyoruz Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi r olan n terimli bir geometrik dizisinin toplamıdır Geometrik dizilerin ilk n terim toplamı formuumlluumlnden yararlanarak yatırımların douml-nem başı faizlendirme ile doumlnem başı yatırımların toplamı iccedilin şu formuumll elde edilir

1

1

r

rVrSn

n

Not 1 Faizin faizi i i tablolarında bir para birimi bazında doumlnem sonu yatırımların

toplamını ifade eden 1

1

nrrr

ifadesinin değeri npIII işareti altındaki cetvelde verilmiştir Demek

195

ki uumlccediluumlncuuml tablodaki değerler iccedilin npIII = 1

1

nrrr

rsquodir Bu ifade i i tablosunda aynı faiz oranında 1rsquoden nrsquoe kadar vadelerin k

pI değerlerini toplamakla elde edilir yani npIII =

1 2

np p pI I I dir

Burada yatırımlar n yılda p pa(d) faiz oranıyla yapılmıştır Buna goumlre doumlnem başı faizlenen yatırımların toplamı

npn VS 777

formuumlluumlyle ifade edilir

Not 2 Her bireysel vade iccedilin faiz oranı doumlnem başı olarak verilirse 8 doumlnem başı faiz kat-sayısını kullanacağız Boumlyle durumda doumlnem başı faizlenen yatırımların toplamı

1

1

888

n

n VS

formuumlluumlyle ifade edilecektir Burada 100

1008

doumlnem başı faiz katsayısıdır Boumlylece uumlccediluumlncuuml

i i tablosundan yararlanarak doumlnem başı faiz oranı olmak uumlzere nnS V III formuumlluuml elde

edilir Oumldevlerin ccediloğunda yatırımların toplam sayısı değil de yıl bazında yatırım sayısı ve ya-

tırımın zaman aralığı (vadesi) verilmiş olabilir Oumlrneğin n yıl boyunca yılda m defa yatırım yapılıyor Boumlyle durumda yatırımların toplam sayısı n m ccedilarpımına eşittir

1 Buguumlnden başlayarak gelecek iki yıl esnasında her uumlccedil ayın başlangıcında 5 000rsquoer denar yatırmaya başlıyoruz Faiz oranı 10 pa(d) uumlccedil aylık vadeli olmak uumlzere ikinci yılın sonunda toplam ne kadar paramız olacaktır

Her bireysel yatırımın değeri Vaq = 5 000 denardır Yatırımların sayısı her yıl doumlrder mev-duat 2 4 8n doumlnem sonu faiz katsayısı ise uumlccedil aylık vadeli faizlendirme ile hesaplanacaktır

Buna goumlre faiz oranı 1025

4 pq(d)rsquodir (ccedileyrek yıllık faiz oranı) O halde

251 1025

100r

olduğunu buluyoruz Doumlnem başı yatırımların gelecekteki değeri

4477310251

1025102515000

1

1 8

r

rVrSn

n

olduğunu buluyoruzBaşlangıccedilta verilen tuumlm koşullar geccedilerli olsun her yatırımın değeri V mevduat (yatırım)

sayısı n faiz oranı doumlnem sonu p ve faizlendirme vadesi yatırımların vadesiyle aynı olsun

196

Şek 2

Doumlnem sonu faiz katsayısı r olsun ve yatırımlar her periyodun sonunda olsun yani ya-tırımlar doumlnem sonu olsun Şek 2rsquode goumlruumllduumlğuuml gibi son yatırımın faizi hesaplanmaz sondan birincisi bir defa faizlenir ikincisi iki defa ve geriye doğru sayarken ikinci yatırım n ndash 2 defa ve ilk yatırım nndash1 defa faizlenir Bunlara karşılık gelen faizlenmiş miktarlar sırasıyla V Vr Vr2

Vrn-2 Vrn-1rsquodir Faizlenmiş yatırımların toplamı (gelecekteki değer) iccedilinSn = V + Vr + Vr2 + + Vrn-2 + Vrn-1 = V (l + r + r2 + + rn-2 + rn-1)

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı r olan bir geometrik dizisinin n teriminin toplamı olduğuna goumlre doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değeri iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz r

1

1

r

rVSn

n

Not 3 1

1

nrr

ifadesini i i tablolarında 11 npIII biccediliminde bulunabilir Demek ki

doumlnem sonu faizlenen yatırımların toplamını hesaplamak iccedilin formuumll

11 777 npn VS

şeklinde yazılabilirNot 4 Doumlnem başı faizlendirme uygulandığı durumda yatırımların gelecekteki toplam

değeri iccedilin formuumll

1

1

88 n

n VS

şeklinde ifade edilir Burada 8 doumlnem başı faiz katsayısı 100

1008

dir Uumlccediluumlncuuml i i tablo-

larından yararlanmakla doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem sonu yatırımların gelecekteki toplam değeri iccedilin formuumll

11 777 nn VS dir

2 Bankaya her yıl sonunda doumlrt yıl boyunca 10 000 denar yatırılıyor Yıllık vadeli faiz oranı 6 pa(d) olduğuna goumlre doumlrduumlncuuml yıl sonunda yatırımın gelecekteki değeri ne kadardır

Oumldevin koşullarına goumlre Vda = 10000 denar n = 4 r = 106rsquodır Vade sonu yatırımların gelecekteki değeri iccedilin

197

437461061

106110000

1

1 4

r

rVSn

n

denar elde edilir

Doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem başı yatırımların gelecekteki değeri aynı koşullar altında doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değerinden r kat daha buumlyuumlk ol-duğunu fark edebiliriz yani

dn

na

n Srr

rVrS

1

1

dir Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda ise

dn

na

n SVS

8888

1

1

rsquodir Demek ki douml-

nem başı yatırımlar doumlnem başı faizlendirme ile elde edilen gelecekteki değer aynı yatırım ko-şullarıyla doumlnem sonu yatırımların doumlnem başı faizlendirme ile elde edilen gelecekteki değerin 8 katıdır

(Daha kısa olarak doumlnem başı yatırımların gelecekteki değerini Sna ile doumlnem sonu yatı-

rımların gelecekteki değerini ise Snd ile işaret edeceğiz)

3 Bir kişi bir buccediluk yıl esnasında her ay sonunda 3 000rsquoer denar para yatırıyor Faiz oranı 6 pa(d) aylık vadeli hesaplama ile yatırdığı paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır

Oumldevin koşullarına goumlre Vdm = 3000 denar p = 6 pa(d)rsquodir Yatırımların toplam sayısı

n = 12 -15 = 18 (yılda 12 mevduat) aylık faizlendirmeye karşılık gelen faiz oranı 6

12 yani

05 pm(d) Doumlnem sonu faiz katsayısı 051 1005

100r rsquodir

Doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değeri

5635710051

100513000

1

1 18

r

rVSn

n denar olduğunu buluyoruz

4 Bir kişi 25 doğum guumlnuumlnden başlayarak 30 doğum guumlnuumlne kadar her altı ay sonunda 8000rsquoer denar banka hesabına yatırıyor 35 doğum guumlnuumlnde hesabından 90000 denar ccedilekmesi gerekiyormuş Faiz oranı p = 8 pa(d) altı aylık faiz vadesiyle hesabında gereken para birikecek mi

Kişi 5 yıl boyunca doumlnem sonu Vds = 8 000 denar yatırımlar yapıyor 30 doğum guumlnuumlnde yatırımın gelecekteki değeri daha 5 yıl faizde kalıyor (şek 3) Soru şudur 35 doğum guumlnuumlnde hesabında biriken para 90 000 denardan buumlyuumlk ya da eşit olacak mı yani 10 90000 0nS r 6

mıdır Faiz katsayısı 81 104

2 100r

ve yatırımların toplam

198

sayısı n = 10rsquodur

yatırımlar

Şek 3Buna goumlre

6049900000411041

1041800090000

1

1 1010

1010

r

rrV

denar olduğunu buluyoruz Demek ki 90 000 denar parasını ccedilekmek iccedilin yatırımcının hesabın-da gereken parası varmış

Alıştırmalar

1 Bir yatırımcı her yarıyıl başında 16 yıl boyunca 5 000 denar a) yarıyıllık faiz vadeli 4 pa (d) b) yarıyıllık faiz vadeli 4 pa (a)

faiz uumlzerinden yatırırsa 16 yılın sonundaki yatırım tutarı (gelecekteki değeri) ne kadar olur

2 Her yılın sonunda 10 yıl boyunca yıllık faiz vadeli 4 pa(d) faiz uumlzerinden 10 000 denar yatırıyoruz Son yatırım guumlnuumlnde yatırımların tutarını hesaplayınız

3 Her yarıyıl sonunda 12 yıl boyunca altı aylık faiz vadeli 8 pa(d) faiz uumlzerinden 1000 denar yatırılıyor Yatırımlar

a) doumlnem sonu b) doumlnem başıolduğuna goumlre yatırımın gelecekteki tutarını hesaplayınız

4 Her ay sonunda 8 yıl boyunca 3000 denar mevduat a) aylık faiz vadeli 12 pa(d) b) aylık faiz vadeli 12 pa(a)

faiz uumlzerinden yatırılıyor Yatırımların gelecekteki değerini hesaplayınız

5 Oumldev 4rsquoteki koşullar altında fakat mevduatlar doumlnem başı olduğu durumda yatırımın gelecekteki değerini hesaplayınız Elde edilen değerleri kıyaslayınız Hangi mevduat şekli ve hangi faiz oranı uumlzerinde yatırımların en buumlyuumlk gelecekteki değeri elde edilecektir

199

83 Bireysel Mevduatın Değerini Hesaplamak

Faiz oranı p pa(d) mevduatların gelecekteki değeri (tutarı) Sn ve yatırım suumlresi veril-miş olsun Sabit mevduatın tutarını hesaplamak iccedilin Doumlnem başı mevduatın gelecekteki değeri

1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnden V mevduatı iccedilin

1

1

nn rrrSV

elde edilir

1 Beş yıllık yatırım sonunda yatırımların tutarı 40 000 denar olmuştur Her yıl başlangı-cında yıllık vadeli 6 pa(d) faizi uumlzerinden yatırılan mevduat ne kadardır

Burada r = 106 doumlnem sonu faiz katsayılı doumlnem başı mevduat soumlz konusudur Toplam n = 5 mevduat yatırılmış ve yatırılan miktarların tutarı Sn = 40 000 denardır Hesaplanması gere-ken bireysel yıllık faiz vadeli mevduat tutarıdır Oumlrneğimizde verilen değerleri formuumllde yerine değiştirmekle 6694

1061061

106140000

5

aV denar elde edilir

p pa(d) faiz oranı mevduatların gelecekteki tutarı Sn ve yatırım suumlresi bilindiği du-rumda sabit mevduatın hesaplanması iccedilin doumlnem sonu vadeli mevzuatın gelecekteki tutarı

1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden V iccedilin şu formuumll elde edilir

1

1

nn rrSV

Not1 Faiz hesaplanması doumlnem başı olduğu durumda bireysel mevduatların karşılıklı değerleri şu formuumlllerle hesaplanacaktır

doumlnem başı mevduatlar iccedilin

1

1

nnSV888

doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

1

1

nnSV88

2 Beş yıl sonra 120 000 denara ihtiyacımız olacaktır Her yarıyıl sonunda 5 yıl boyunca ne kadar mevduat yatırmalıyız Faiz oranı 5 pa(d) yarıyıl vadelidir

200

Yatırımlar sayısı n = 10 Sn = 120 000 denar doumlnem sonu faiz katsayısı ise 5

1 10252 100

r

rsquotir O halde

1071410251

10251120000

1

110

nn rrSV

denar olduğunu buluyoruz

3 İlerdeki uumlccedil yıl boyunca her uumlccedil ay başında uumlccedil aylık mevduatlar oumldenecektir Bu guumlnden beş yıl sonra sadece bir defa mahsus 40 000 denar yatırılacaktır Yedi yıl sonra hesabımızdan 100000 denar ccedilekmeliyiz Uumlccedil aylık vadeli faiz oranı 8 pa(d) olduğuna goumlre bireysel mevduat ne kadar olmalıdır ki bu guumlnden yedi yıl sonra hesabımızda 35000 denar olsun

Yatırımları ve ccedilekilen miktarı zaman ekseninde goumlsterelim (şek4)

yatırımlar

Şek 4

Mevduatların toplam gelecekteki değeri hesaplandıktan sonra bu miktar daha doumlrt yıl fa-izde kalır Yatırılan 40 000 denar da 2 yıl faizde kalır Ccedilekilen 100 000 denardan sonra şu denk-lem elde edilir

3500010000040000 4244 rrSn

Son denklem bu guumlnden gelecekteki yedi yıl suumlresinde yapılacak işlemleri goumlstermektedir

Bu durumda doumlnem başı yatırımların gelecekteki değerini hesaplayan 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumln-

de n = 12 doumlnem sonu faiz katsayısı 8

1 10254 100

r

rsquotir Uumlccedil aylık etkin faiz oranı 2rsquodir

Sn tutarı 16 defa faizlenir 40 000 denar ise 8 defa faizlenecektir O halde

135000021400000211021

1021021 816

12

V

135000468667818 V elde edilir Buna goumlre mevduatın değeri Vaq = 4693 denardır

Not 2 İncelenen son oumlrnekteki oumldevlere benzer oumldevleri ccediloumlzerken yukarıda yapıldığı gibi yatırımları zaman ekseninde goumlstermekle faizlendirme periyotlarını daha kolay hesaplayabilir-siniz

201

Alıştırmalar

1 Doumlnem sonu altı aylık vadeli mevduatların 7 yıl boyunca yatırılmasıyla 300 000 denar tutar elde edilmiştir Faiz oranı

a) altı aylık vadeli 4 pa(d)b) altı aylık vadeli 4 pa(a)

olduğuna goumlre bireysel mevduatın değeri ne kadardır

2 Doumlnem başı yıllık vadeli mevduatların 6 yıl boyunca 5 pa(d) faiz uumlzerinden yatırıl-masıyla hesabımızda 71 420 denar olmasını istersek bireysel mevduat ne kadar olmalıdır Faiz vadesi yıllıktır

3 Bir kişi banka hesabına 25 doğum guumlnuumlnden 40 doğum guumlnuumlne kadar doumlnem sonu uumlccedil aylık vadeli sabit olmak uumlzere ne kadar para yatırmalıdır ki banka hesabında 50 doğum guuml-nuumlnde 500 000 denarı olsun Faiz oranı uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d)rsquodir

4 Bir kişi 2 yıl altı ay boyunca sabit değerli uumlccedil aylık doumlnem başı mevduatlar yatırıp doumlnem sonunda hesabında 50 000 denar parası olmuştur Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz uumlzerinden yatı-rılan bu mevduatların bireysel değeri ne kadardır

5 Bir kişi 35 yaşından 40 yaşına kadar vade sonu altı aylık mevduatları bankaya yatırıyor 43 yaşının sonunda 16 000 denar hesaptan kaldırmak ve 47 yaşının sonunda hesabında 120 000 denar olmasını isterse kişi hesabına ne kadar para yatırmıştır Faiz oranı 8 pa(d) ve faizlen-dirme altı aylıktır

84 Mevduat Sayısını ve Son Mevduatın Hesaplanması

Mevduatın gelecekteki değerini (tutarını) hesaplamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

doumlnem başı mevduatlara ait ve 1

1

n

nrS Vr

doumlnem sonu mevduatlara ait formuumlller gereğince

gelecekteki değer tutarı bireysel mevduat değeri ve faiz oranı bilindiğinde yatırımların sayısı n hesaplanabilir Doumlnem başı mevduatlar iccedilin

VrS

rr n

n

1

1

VrrS

r nn 11

geccedilerlidir Oradan da

11

VrrS

r nn elde edilir

202

Yatırımların sayısı n sadece logaritma işlemiyle belirtilebilir Logaritma işleminin temel oumlzelliklerinden yararlanarak

13

VrrS

r nn 11loglog

Vr

rSVrrn n 1

loglog

Vr

rSVrr

n n 1log

log

1

elde edilir Daha kolay hesaplama yapmak iccedilin yatırımların gelecekteki değeri formuumlluumlnde ve-rilen değerlerin değiştirilmesinden sonra elde edilen ifadenin logaritması alınır

Benzer şekilde doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

V

rSVr

n n 1log

log

1

formuumlluuml elde edilir

Not 1 Doumlnem başı faiz oranı iccedilin hesaplamalar doumlnem başı mevduatların gelecekteki değerine karşılık gelen formuumlllere yapılır

1 Her yılın başında 6 pa(d) yıllık vadeli faiz uumlzerinden 10 000 denar kaccedil defa yatırıl-malıdır ki hesabımızda 46 371 denar olsun

Mevduatlar doumlnem başıdır Doumlnem sonu faiz katsayısı 61 106

100r rsquodır O halde

262481106110000

106146371061

n

elde edilir Bu ifadenin 10 tabanına goumlre logaritmini alırsak n log 106 = log 126248 ve oradan n = 4 elde edilir Demek ki doumlrt yıl yani doumlrt defa yatırım yapmalıyız

2 35 000 denarlık mevduatlar 6 pa(d) yarıyıllık faizlendirme uumlzerinde her yarımyılda yatırılıyor Yatırımların gelecekteki değeri son mevduatın oumldendiği guumlnde 401651 denar olması-nı istersek kaccedil mevduat oumldenmelidir

Şunu fark edelim gelecekteki değer son yatırım yapıldığı guumlnde hesaplandığı tak-dirde yatırımlar doumlnem sonudur Etkin faiz oranı 3 olduğuna goumlre r = 103rsquotuumlr Buna goumlre

1031

103135000401651

n

buradan da 103n = 134427 ve sonunda n =10 elde edilir Demek ki

10 mevduat oumldenmelidir

3 Yatırımlar doumlnem sonu 3 aylık vadeli faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil aylık faizlendirme vadeli 10 000 denarlık kaccedil mevduat yatırılmalıdır ki gelecekteki değeri 137200 denar olsun

203

Doumlnem sonu mevduat 8

1 1024 100

r

iccedilin 1137200 10000

1

nrr

geccedilerlidir O hal-

de 102n = 12744 ve oradan 12n elde edilir Cevap tam 12 olsaydı tam 12 mevduat yani 3 yıl 4 er mevduat gerekecekti halbuki elde edilen değer yaklaşıktır Onun tam değeri n = 122446rsquodır Bu demektir ki istenilen para tutarını elde etmek iccedilin mevduat sayısı 12 den fazla olacaktır Bu durumda 12 mevduat bilinen 10 000 denarlık ve 13 mevduatın değeri diğerlerinden kuumlccediluumlk ola-caktır Son mevduat diğerlerinden farklıdır ve ona mevduatın kalanı denir

Son mevduatın hesaplanması iccedilin bir formuumll bulalım Mevduat sayısı toplam n olsun ve bunlardan n -1 tanesinin değeri aynı V son mevduatın değeri V0 ne V olsun Zaman ekseninde doumlnem başı mevduatların durumunu goumlsterelim (şek5)

Şek 5

Vade sonu faiz katsayısı r iccedilin

rVVrVrVrS nnn 0

21

rVrrVrS nn 0

22 1

buradan da

rVr

rVrSn

n 0

12

1

1

elde edilir

u

1

1

1

11

0

rrrVS

rrrVr

rS

Vn

n

nn

Not 2 i i tablolarından yararlanıyorsak 1

r ifadesi 1

pII tablosunda verilmiş olan iskonto

katsayısına karşılık gelir 1

nr rr

ifadesi ise tam 1npIII dir Buna goumlre son mevduat

11

0

77777 nppn VSV

şeklinde yazılabilir

Not 3 Yatırımların sayısını belirtirken n doğal sayı olmadığı durumda n iccedilin hesaplama-da elde edilen sayıdan ilk buumlyuumlk olan tam sayı alınır Boumlyle durumda V0 lt V n ndash 1 mevduatın değeri Vrsquodir sonuncunun ise V0rsquodır

204

Vade sonu mevduatlarda ise zaman ekseni şek 6rsquoda goumlsterilmiştir

Şek 6Boumlyle durumda Sn = Vrn-1 + Vrn-2 + + Vr + V0

dir Eşitliği V0 a goumlre duumlzenleyerek geometrik dizisinin ilk n ndash terim toplamı formuumlluumlnden ya-rarlanmakla

r r r j

11

11

0

rrrVS

rrVrSV

n

n

n

n

elde edilir

Not 4 i i tablolarından yararlanarak

1

0

777 npn VSV

formuumlluumlnuuml yazabiliriz Bu formuumll doumlnem sonu yatırımlarda diğerlerinden farklı olan son mev-duatın değerini hesaplamak iccedilin kullanılır

Not 5 Faiz hesaplanması doumlnem başı olduğu durumda son mevduat iccedilin şu formuumll elde edilirdoumlnem başı yatırımlar iccedilin

1

10

888

8

n

n VSV

ve doumlnem sonu yatırımlar iccedilinur

10

888 n

n VSV

4 Yarım yıllık vadeli faiz oranı 10 pa(d) altı aylık faizlendirme vadeli 8 000 denarlık kaccedil mevduat yatırılmalıdır ki son mevduattan evvel tuumlm yatırımların gelecekteki değeri 60 000 denar olsun

101 105

2 100r

rsquotir Gelecekteki değer son mevduattan altı ay oumlnceki biriken paradır

demek ki yatırımlar doumlnem başıdır yani 6 105 160000 80000 105

105 1

n

elde edilir Oradan da

105n =135714 ve n 626 elde edilir Bu durumda n = 7 alınır yani 8000 denar olmak uumlzere 6 sabit mevduat yatırılır son yedinci mevduat ise oumlzel olarak hesaplanacaktır

205

757136571431051

0510518000

051

60000 7

0

V

elde edilir Buna goumlre son mevduat 7 denar olacaktır

Not 6 Son mevduatın değeri negatif sayı elde edildiği durumda mevduatın gelecekteki değerini hesapladığı guumln banka mevduat sahibine o kadar para geri ccedilevirmelidir

Alıştırmalar

1 Altı ay vadeli doumlnem başı 3 500 denar mevduatlardan kaccedil tane oumldemeliyiz ki sonunda 35000 denarımız olsun Faizin hesaplanması altı aylık ve faiz oranı

a) 6 pa(d) b) 6 pa(a) olsun

2 Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz oranı uumlzerinden 235 000 denarlık kaccedil doumlnem sonu mev-duat yatırılmalıdır ki son mevduatın oumldendiği guumln hesabımızda 2 245 438 denar olsun Faiz hesaplanması 3 aylık vadelidir

3 Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz oranı uumlzerinden 1000 denarlık kaccedil doumlnem başı mevduat yatırılmalıdır ki hesabımızda 40 000 denar olsun Faiz hesaplanması 3 aylık vadelidir

4 Her iki ayın başında 1000 denar yatırılarak son yatırımdan iki ay oumlnce banka hesabın-dan 7000 denar ccedilekilmiş ve son yatırımdan altı yıl sonra hesabımızda 70 000 denar paramız kal-mıştır Son yatırım ne kadardır Faiz oranı 12 pa(d) faiz hesaplanması her iki ayda yapılmış olsun

5 Her yıl başında 2000 denar yatırılmıştır Son yatırımdan doumlrt yıl sonra hesaptan 7000 denar ccedilekilmiş ve son yatırımdan altı yıl sonra hesapta 80 000 denar kalmıştır Faiz oranı 6 pa(d) yıllık faizlendirmedir (dikkat ediniz yatırım doumlnem başıdır ve biriken para son yatırım-dan bir yıl sonra hesaplanır)

85 Yatırımlarda Faiz Oranının Hesaplanması

Doumlnem başı yatırımların doumlnem sonu faizlendirmesiyle biriken gelecekteki değeri hesap-

lamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnde Sn ve V bilindiğinde bilinmeyen r faiz

katsayısını yani p pa(d) değerini hesaplamak iccedilin

206

011 13

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu ise r katsayısına goumlre bir polinom denklemidir ve genel olarak dere-cesi 3rsquoten buumlyuumlktuumlr Bu gibi denklemleri ccediloumlzmek iccedilin (bazı oumlzel durumlar hariccedil) belli bir kural yoktur Bu nedenle bu gibi denklemleri bilinen bazı nuumlmerik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Halbuki amacımız şimdi nuumlmerik youmlntemlerle denklemlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğrenmek değildir Bu-rada sadece pratik oumldevlerin yararına faiz oranını en kolay biccedilimde belirtmektir Bu nedenle faiz oranının hesaplanmasını i i tablolarındaki değerleri kullanan

npn VS 777

formuumlluumlne goumlre yapacağız

1 Altı aylık vadeli doumlnem başı 2000 denarlık borccedil hangi faiz oranıyla 16 yılın sonunda 125 000 denar olacaktır Faiz hesaplanması yarıyıllık olsun

Verilen oumldevde toplam n = 16 2 = 32 oumldeme vardır ve 2

125000 2000 npIII geccedilerlidir

2

125000625

2000

npIII olduğuna goumlre n = 32 iccedilin tablolarda 625 değerine karşılık gelen sayıyı

arıyoruz Bu değer tabloda yoktur fakat buna en yakın iki yaklaşık değer vardır 6219536018 lt 625 lt 65 20952741 Bu değerlerden biri 375 diğeri ise 4 faiz oranına karşılık gelir Bu iki değer arsı 625 değerine karşılık gelen değeri belirtmek iccedilin doğrusal enterpolasyon yapmamız gerekir Bunu daha kolay yapmak iccedilin verileri tabloda yazacağız

32

2

p777 2

p

32

2

p777 2

p

1953601862 753 1953601862 753

2095274165 4 562 2

p

Oradan şu orantıyı kuruyoruz

19536018625627532

195360186220952741657534 13

p

yani 3046398207532

014167233250 13

p elde edilir Bu şekilde tablodaki değerler ara-

sındaki orana goumlre faiz oranı aralığının ara değerlemesi yapılır

207

Buna goumlre 0250014167233

250304639820753

2

p

yani p = 755 pa(d) elde edilir

Değerlerin farkından yararlandığımıza goumlre yukarıdaki tabloyu daha bir satır ile genişle-tecek ve bu farkları o satırda yazmakla işimiz kolaylaşacaktır

Aynı işlemleri doumlnem sonu yatırımlar iccedilin de yapacağız Yatırımların gelecekteki değeri 1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden faiz katsayısı r iccedilin

01

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu denklem de r değişkenli polinomdur Yatırımların gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin i i tablolarındaki değerleri kullanan 11 n

n pS V III formuumlluumlnden yarar-

lanarak V

VSVS nnn

p

777 11

elde edilir n ndash 1rsquoin bilinen değeri iccedilin V

VSn

değeri tabloda

varsa faiz oranı doğrudan doğruya okunur Aksi halde faiz oranını doğrusal enterpolasyon ile belirtiyoruz

2 Faiz hesaplaması 3 ay vadeli olmak uumlzere her uumlccedil ay sonunda bankaya 2000 denar yatı-rarak 5 yıl sonra hesabımızda 52 000 denar olmak iccedilin faiz oranı ne kadar olmalıdır

Burada 20 oumldeme yani n =20 doumlnem sonu yatırımı inceliyoruz Sn = 52 000 V=2000 ve

faiz oranı 4

p olduğunu alıyoruz O halde 19

4

52000 2000 1 pIII 13

denklemi elde edilir oradan

da 19

4

25pIII elde edilir Tablolarda 19 sayısına karşılık gelen boumlluumlmde 25 sayısını bulamıyoruz

Ancak 25 suumltununda 2454244 ve 275 suumltununda 25 19739750 sayılarını buluyoruz Aşağı-daki tabloyu oluşturuyoruz

19

4

p777 p 19

4

p777 p

5424424 52 5424424 52

1974025 752 25 4

p

654960 250 457560 524

p

25 25

275

025

208

13

52

4457560250654960

p

orantısını kurduktan sonra p = 107 elde edilir

3 Bir kişi 6 yıl oumlnce banka hesabına 30 000 denar yatırmış bu guumlnden ve gelecek sekiz yıl esnasında her yıl sonunda 5 000rsquoer denar yatıracaktır Bu guumlnden sekizinci yıl sonunda kişinin banka hesabında 47 745 denar birikecektir Yıllık faiz uumlzerinden faiz oranı aynı olmak uumlzere bu guumlnden 12 yıl sonra banka hesabında ne kadar parası olacaktır

Zaman ekseninde buguumlne 0 karşılık gelmek iccedilin -6 dan başlayacağız

yatırımlar

Şek 7

30000K 100

1pr 47745nS 715000 pnS 777

olduğuna goumlre

71500047745 p777

denklemi elde edilir oradan da 7 85491pIII elde edilir Tabloda n = 7 iccedilin bunun değeri p = 5 elde edilir Şimdi de buguumlnden başlayarak 12 yıl boyunca yatırılan mevduatların toplam değerini hesaplayalım

1302330514774505130000 418418 rSKrS nn denar elde edilir

Alıştırmalar

1 25 yıl boyunca her altı ay başında yatırılan 20 000 denarlık mevduatların suumlre sonunda toplam değeri 112 658 denar olmuştur Mevduatlar hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

2 Doumlrt yıl boyunca her doumlrt ayda 5 000 denar mevduat yatırılmış ve son mevduatın yatı-rıldığı guumlnde banka hesabında 75 000 denar birikmiştir Doumlnem sonu hangi faiz oranıyla yatırım yapılmıştır Yatırım vadesi doumlrt aylıktır

3 Her yıla) doumlnem başı b) doumlnem sonu

10 000 er denar yatırılarak 20 yıl sonra hesabımızda 260 000 denar biriken paramız olması iccedilin hangi faiz oranıyla parayı yatırmalıyız

209

4 Her altı ay sonunda yatırılan 3 000 denarlık mevduatlar 16 yılın sonunda 188100 de-nar olmuştur Faiz hesaplama vadesi altı ayda olduğuna goumlre Yatırılan para hangi faiz oranıyla hesaplanmıştır

5 Uumlccedil aylık doumlnem başı 5 000 denarlık anuumlitelerle bankaya 8 yıl boyunca para yatırdık Faiz hesaplanma vadesi uumlccedil aylık doumlnem sonu yapılarak sekizinci yıl sonunda banka hesabımızda 312500 denar birikmiştir Yatırılan para hangi faiz oranıyla hesaplanmıştır

86 Periyodik Alacaklar (Kiralar) Yatırımlarda yapılan incelemeler belli zaman aralıklarla alınan para miktarları iccedilin de

benzer incelemeler yapılabilir Oumlrnek banka hesabımızda bulunan bir miktar parayı birden değil belli ve eşit zaman aralıklarında kuumlccediluumlk miktarlar halinde ccedilekebiliriz Eşit zaman aralık-larında alınan alacaklar soumlz konusu olunca ilk aklımıza gelen kiradır Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (rentler) diye adlandıracağız Kira anuumliteleri oumlnceden belirlenmiş kanuna goumlre değişebilir oumlrneğin geometrik ya da aritmetik dizisi kanununa goumlre değişebilir Boumlyle kiralara değişken kiralar denir Oumlzelliklerine goumlre kiralar birccedilok şekilde adlandırılıyorlar oumldeme zama-nına goumlre periyodun başlangıcında oumldenirse doumlnem başı kiralar periyodun sonunda oumldenirse doumlnem sonu kiralar diye adlandırılıyorlar Oumldemelerin zaman suumlresine goumlre geccedilici kiralar (bel-li bir suumlre iccedilin) oumlmuumlr boyu kiralar (kirayı oumldeyen kişinin oumlmruumlnuumln sonuna kadar) ya da kira alacakları hiccedil bitmeyen olduğu durumda daimi kiralar soumlz konusudur

Kiraların oumldendiği periyotuna goumlre yıllık yarıyıllık uumlccedil aylık aylık vb kiralar fark ediyo-ruz

Kiranın alındığı muumlddetccedile parasal varlıkların faizlendirmesi devam eder ve kira periyot-ları ve faiz doumlnemleri ccedilakışabilir yani eşit olabilir (biz ileride sadece bu gibi kiraları inceleyece-ğiz) Halbuki faiz hesaplanması kira periyotundan daha sık ya da daha seyrek de olabilir

Kira almak iccedilin oumlnce bunu getirecek varlık temin edilmelidir Kira getirmek amacıyla yatırılan varlık miktarına kira sermayesi denir Burada bir defaya mahsus olan yatırım soumlz ko-nusudur Halbuki parasal varlıklar periyodik oumldemelerle de yapılabilir Kira alacakları kira be-delinin yatırılmasıyla başlarsa hemen kiralar kira alacakları belli bir zamandan sonra başlarsa o halde ertelenmiş kiralar soumlz konusu olur

Sabit miktarlı faizlendirme vadesi kiranın oumldeme vadesiyle ccedilakışan periyodik oumldemeler uumlzerinde daha fazla duracağız Formuumlllerin belirtilmesinde faiz oranı doumlnem sonu olduğunu varsayacağız halbuki doumlnem başı durumlar iccedilin de yorumlar yapacağız

210

Şu işaretlemeleri kullanacağız Mn ndash kira sermayesi R- kira (rent) n ndash oumldeme sayısı r ndash doumlnem sonu faiz katsayısı 8 - doumlnem başı faiz katsayısı

861 Kira Sermayesinin Hesaplanması

Başlangıccedil iccedilin n defa her periyodun başında oumldenen R miktarlı doumlnem başı kirayı incele-yelim Gereken kira sermayesini hesaplamak iccedilin bu miktar tuumlm kiraları sağlayacağını bilme-miz gerekir Demek ki yatırımların gelecekteki değerini hesaplarken tuumlm faizlenmiş bireysel mevduatların toplamını belirttiğimiz gibi burada da kira sermayesi aslında tuumlm bireysel iskon-tolanmış kiraların değerlerinin toplamına eşit olacaktır İskontolanmış değer aslında faizlen-dikten sonra R değerine biriken şimdiki değerdir Bunu zaman ekseninde şu şekilde goumlsterebi-liriz (şek8)

Şek 8

O halde doumlnem başı durumunda r faiz katsayısıyla kira sermayesi iccedilin

12

1

11 nn r

Rr

Rr

RRM

elde edilir Goumlruumllduumlğuuml gibi birinci kira iskonto edilmez onun değeri şimdiki oumldenen değere eşittir İkinci kira bir periyot iccedilin iskonto edilmiş ve bu şekilde n ndash 1 defa iskonto edilen son kiraya kadar devam edilir Bu şekilde elde edilmiş olan ifadeyi

13

12

1

111 nn rrr

RM

biccediliminde yazalım Parantez iccedilinde olan kısım ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik

dizisinin ilk n teriminin toplamıdır Mevduatlardan farklı olarak burada faiz katsayıları yerine 1

kr

iskonto katsayısı vardır Formuumlluuml doumlnuumlştuumlrmeye devam ediyoruz 1

1

11

11

rrrrR

r

rRM n

nn

n

elde edilir

211

1

11

rrrRM n

n

n

formuumlluumlyle doumlnem başı kiranın kira sermayesi hesaplanır diğer deyiş-

le ilerdeki tuumlm oumldemelerin şimdiki değerini hesaplamak iccedilin uygulanan formuumllduumlr

Not 1 Uumlccediluumlncuuml i i tablo birinci tablonun değerlerinin toplamından elde edildi-

ği gibi benzer şekilde doumlrduumlncuuml i i tablo 17 npV

12

1

11 nrrr

şeklinden toplam gibi 1211 7777777 n

pppnpV

yani 1rsquoden n -1 kadar periyotlarında aynı p pa(d) faiz oranıyla

hesaplanmış ikinci tablonun değerlerinin toplamıdır

Buna goumlre kira sermayesi iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz

11 7 npn VRM

1 Oumlnuumlmuumlzdeki her 4 yılın başlangıcında 10000 denar kira almak iccedilin buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 6 pa(d) ve faizin hesaplanması yılda bir defa olsun

Kira sermayesinin hesaplanması gerekir Toplam 4 kira n = 4 kira değeri R = 10000 yıllık

faizlendirme m = 1 ve doumlnem sonu faiz katsayısı 61 106

100 olduğunu biliyoruz

O halde

367301061061

106110000

1

13

4

1

rr

rRM n

n

n

denardır

Not 2 Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda faiz katsayısı 100

100 p8

rsquodir ve kira

sermayesi iccedilin şu formuumll geccedilerli olacaktır

1

1

1

11

888

8888

n

n

n

n

n RRM

2 Oumlnuumlmuumlzdeki her 4 yılın başlangıcında 10000 denar doumlnem başı kira almak iccedilin buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 6pa(a) ve faizin hesaplanması yılda bir defa olsun

Oumldev 1rsquode yapıldığı gibi benzer şekilde hareket edilir 100

1063829787100 6

8

elde

edilir Bunu yukarıdaki formuumllde yerine koyarsak Mn = 36 542 denar elde edilir

212

3 Oumlnuumlmuumlzdeki 10 yıl boyunca yarım yılda bir 30 000 denar kira almak istiyoruz İlk kira hemen oumldendiği takdirde buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 10 pa(d) ve faizin hesaplanması yılda iki defa olsun

Birinci oumldeme hemen olduğuna goumlre doumlnem başı kira soumlz konusudur Oumldeme sayısı n =

10 2 = 20 R = 30 000 ve 101 105

2 100r

biliniyor O halde

3925601051051

105130000

19

20

nM

denar olduğunu buluyoruzKira sayısı n doumlnem sonu faiz katsayısı r doumlnem sonu R değerinde kira olduğu durumda (şek9)

Şek 9birinci kira birinci periyodun sonunda oumldenir ve aynısı bir periyot iccedilin iskonto edilir İkinci kira iki periot iccedilin ve son kira n periot iccedilin iskonto edilir O halde

r

rr

Rrrrr

Rr

Rr

Rr

Rr

RMn

nnnnn 11

11

111

1111

111212

13

ve sonunda

1

1

rr

rRM n

n

n elde edilir Bu ise vade sonu kira sermayesinin hesaplanmasında

uygulanan formuumllduumlr

Not 3 Yukarıda yapılan incelemeye goumlre doumlrduumlncuuml i i tablosu iccedilin kira sermayesi for-

muumlluuml

npn VRM 7 şeklinde yazılır

Not 4 Doumlnem başı faizlendirmede doumlnem sonu kiralara ait formuumll

1

1

88

8n

n

n RM dir

4 Her uumlccedil ay sonunda 2 yıl boyunca periyodik mevduat yatırılmaya başlanmıştır Bu guumln-den 7 yıl sonra uumlccedil ay vadeli 6000 denar tutarında 15 yıl boyunca kira almak istiyoruz Kira doumlnem başı faiz oranı 8 pa(d) ve uumlccedil aylık faizlendirme ile verilecektir Yatırılan periyodik mevduat ne kadardır

213

Periyodik yatırımları ve alacakları zaman ekseninde goumlsterelim (şek10)

uumlccedil aylık mevduatlar uumlccedil aylık kiralar

Şek 10

Verilenler 842 n 0211004

81

r

2 yılın sonunda yatırımların toplam tutarı

VVr

rVSn

n 58381021

1021

1

1 8

dir Yatırımın gelecekteki değeri yani kiraların oumldenmesi

başlanıncaya kadar 5 yıl iccedilin faizlenir Kira sermayesi aslında Snrsquoin faizlenmiş değeridir Buna goumlre 5 4 208583 102n nM S r V rsquodir Sadeleştirdikten sonra 12754nM V elde edilir Di-

ğer taraft an kiraların verilen koşullarına goumlre

1

1

1

n

n n

rM Rr r

formuumlluumlnde kira sayısı nrsquo =

15 4 = 6 r = 102 R = 6000 denar Buna goumlre 6

5

102 16000 34281

102 102 1nM

elde edilir

Kira sermayesi iccedilin elde edilen iki değeri eşitlersek 34 281 = 12754 V elde edilir Oradan da V = 2 688 denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Periyodik kira nedir

2 Oumldemelerin suumlresine goumlre kiralar nasıl adlandırılır

3 Oumldeme zamanına goumlre nasıl kiralar vardır

4 Doumlnem başı oumldenen yarım yıl vadeli 5000 denar kira tutarını 20 yıl boyunca almak iccedilin ne kadar kira sermayesi gerekir Faiz oranı 6 pa(d) ve faiz vadesi yarım yıllık olsun

5 Altı yıl boyunca 4 pa(d) faiz uumlzerinden 30 000 denar yıllık vadelia) doumlnem sonu b) doumlnem başıkira almak iccedilin bu guumln yatırmamız gereken sermaye miktarı ne kadar olmalıdır

8

214

6 Gelecek altı yılda her uumlccedil ayın sonunda 30 000 denar kira almak iccedilin kira sermayesi ne kadar olmalıdır Faiz oranı 2 ps(d) ve faiz vadesi uumlccedil aylıktır

7 Buguumln 80 000 denar bankaya yatırıldı İlerdeki 9 yıl zarfında her ay sonunda ne kadar para yatırmalıyız ki son mevduatın oumldendiği guumlnden itibaren aylık doumlnem başı 7000 denar kira tutarı elde edilsin Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

8 Bu guumlnden başlayarak ilerdeki uumlccedil yıl boyunca her ayın sonunda 5 000 denar kira tutarı almak iccedilin buguumln yatırılan 18 000 denar ile beraber 2 yıl oumlnce ne kadar para yatırmamız gere-kirdi Faiz oranı 24 pa(d) aylık vadelidir

87 Kira Tutarının Hesaplanması

Kira sermayesinin değeri Mn faizlendirme ve kira alışının koşulları verilmiş kira tutarı

bilinmeyen olsun Kira doumlnem başı olduğu durumda kira sermayesi iccedilin 1

1

1

n

n n

rM Rr r

geccedilerlidir Bu ifadeden bilinmeyen R kira tutarını ifade edeceğiz Oradan

1

11

n

n

n rrrMR

elde edilir Bu formuumlluuml kullanarak doumlnem başı kira tutarını hesaplayacağız Kira doumlnem sonu olduğu durumda ise kira sermayesi iccedilin 1

1

rr

rRM n

n

n formuumlluuml geccedilerlidir Bu formuumllden

1

1

n

n

n rrrMR

elde edilir

1 Buguumln 200000 denar 6 pa(d) yarıyıllık faizlendirme ile bankaya yatırılmıştır Bu kira sermayesi tutarıyla oumlnuumlmuumlzdeki 20 yıl boyunca her altı ayda bir kira

a) doumlnem sonu b) doumlnem başıolmak uumlzere alınırsa kira tutarı ne kadar olacaktır

Mn = 200000 denar kira sermayesi R tutarlı n = 20 2 = 40 kiraya eşit olmalıdır Doumlnem

sonu faiz katsayısı 6

1 1032 100

r rsquotuumlr

a) Doumlnem sonu kira durumunda 58652

1031

1031031200000

40

40

R denardır

215

b) Kira doumlnem başı olduğu takdirde

584001031

1031031200000

40

39

R

denardır

Not 1 Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda kira

1

11

n

n

nMR8

88

formuumlluumlyle hesaplanacaktır 8 doumlnem başı faiz katsayısıdır

Not 2 Faiz oranı doumlnem başı kira doumlnem sonu olduğu durumda kira

1

1

n

n

nMR888

formuumlluumlyle hesaplanacaktır

2 İki yıl oumlnce bankaya 120 000 denar 5 pa(d) yarı yıllık faizlendirmeyle yatırılan paray-la bu guumlnden başlayarak 4 yıl boyunca her altı ay başında ne kadar kira alabiliriz

K = 120 000 r = 1025 n = 4 2 = 8rsquodir Bu verilerle kira her yarıyıl başında alındığına goumlre doumlnem başı kira formuumlluumlnuuml uyguluyoruz

nnn

n

n MMr

rrMR 136010251

102510251

1

18

71

yarıyıllık kirafaizlendirme

Şek 11Zaman ekseninde goumlruumllduumlğuuml gibi kira iki yıl ertelenmiştir ve 120 000 denarlık kapital kira

sermayesi olarak kullanıldığı ana kadar

51324570251120000 422 rKM n

ve R= 0136

132 4575 = 18 014 denardır

3 Bu guumlnden başlayarak oumlnuumlmuumlzdeki iki yıl boyunca her uumlccedil ay sonunda 3 000rsquoer denar para yatırılacaktır Yatırılan son taksitten bir yıl sonra başlayarak bu yatırımdan 2 yıl boyunca her uumlccedil ayın başında kira oumldenecektir Banka hesabımızda bu guumlnden yedi yıl sonra 12 000 denar para biriktiğini varsayarak kira tutarı ne kadar olacaktır Faiz oranı 8 pa(d) faizlendirme uumlccedil aylık vadelidir

Zaman eksenini ccedilizdikten sonra işaret edelim (şek12)

216

4 yıl

yatırımlar kiralar

Şek 12

3000dqV 842 n 0211004

81

r

ve 257491021

10213000

1

1 8

r

rVSn

n

denardır Bu miktar para bir yıl faizde kalır ve kiraların toplam tutarını ve kalan 1200 de-narın bedelini sağlar Buna goumlre

44

4 112000

rMrSn

denklemini yazabiliriz 12000 denar

tutarının doumlrt yıl iccedilin uumlccedil ay vadeli iskontosu hesaplanır O halde 120001620 MrrSn

elde edilir Kira sermayesi M ile işaret edersek kira sermayesi tutarı doumlnem başı uumlccedil aylık vadeli 8

kiraya denktir O halde 47271021021

1021

1

17

8

1

RR

rrrRM n

n

elde edilir bunu yu-

karıdaki ifadede yerine değiştirirsek 12000021472702125749 1620 R

ve sonunda

25600214727

120000212574916

20

R denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Buguumln bankaya 100 000 denar kira sermayesi oumldedik Oumlnuumlmuumlzdeki 8 yıl boyunca ya-tırılan para miktarıyla 3 pa(d) yarıyıllık faizlendirme ile doumlnem sonu yarıyıllık kira tutarı ne kadar olacaktır Faizlendirme doumlnem başı faiz oranı aynı 3 pa(a) olduğu durumda kira tutarı ne kadar olacaktır

2 Buguumln bankaya 150 000 denar para yatırdık Oumlnuumlmuumlzdeki 25 yıl boyunca yatırılan miktardan her uumlccedil ay sonunda 8 pa(d) faiz oranı uumlzerinden oumldenecek kira tutarı ne kadar olacaktır

3 Buguumln 90 000 denar yatırdık Bu yatırımdan doumlnem başı uumlccedil aylık vadeli olmak uumlzere 3 yıl sonra başlayarak ilerdeki 5 yıl boyunca kira alacağız Faiz oranı 10 3 aylık vadeli faizlendir-me olduğuna goumlre kira tutarı ne kadar olacaktır

4 Biri 33 doğum guumlnuumlnden 38 doğum guumlnuumlne kadar her yarıyıl başında 4 800rsquoer denar banka hesabına yatırmıştır Bu kişi 41 doğum guumlnuumlnden 48 doğum guumlnuumlne

217

kadar her yarıyıl sonunda alacağı kira tutarı ne kadardır Yarıyıllık vadeli faizlendirme faiz oranı 6 pa(d)rsquodir

5 İki yıl oumlnce 12 000 denar para yatırdık ve 25 yıl sonra her yarıyıl sonunda kira alacağız Faiz oranı 5pa(d) yarıyıllık faizlendirme uygulamakla alınacak kira tutarı ne kadar olacaktır

88 Kira Sayısı ve Kira Kalanının Hesaplanması

Kira sermayesinin hesaplanmasında kullanılan formuumlldeki buumlyuumlkluumlkler arasında kira sa-yısı da bulunmaktadır Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde kira sayısını ifade edebiliriz Doumlnem başı kiralar iccedilin 1

1

1

11

rrrRr

rrrRM n

n

n

n

n kira sermayesi formuumlluumlne

birkaccedil denk doumlnuumlşuumlm uygulayarak

nn

rRrrM 1

11

Rr

rMRrRrrM

rnn

n

111

1

1

rMRrRrr

n

n

elde edilir Elde edilen denklemin iki tarafının logaritmasını alalım 1loglog

rMRrRrr

n

n ve logaritma işleminin bir oumlzelliğini kullanarak

1loglog

rMRrRrrn

n

elde edilir Oradan da

1log

log

1

rMRrRr

rn

n

elde edilir Bu formuumlluuml kullanarak kira sayısını hesaplayacağız

1 Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıl vadeli faizlendirme ile 129442 denar kira sermayesi yatırıl-mıştır İlk kira hemen alındığı takdirde 1200 denar tutarında yarıyıllık kaccedil kira alınabilir

Birinci kira hemen alındığına goumlre doumlnem başı kira soumlz konusu olduğunu oumlnceden kay-dedelim Bilindiği uumlzere

129442nM 0211002

41

r 12000R

denardır Buna goumlre kira sayısı

218

122682411log277116102112944202112000

02112000log

021log

1

n

Not 1 Faiz oranı doumlnem başı ise doumlnem başı yatırım iccedilin kira sayısı

1log

log

1

888

8 nMRRn

formuumlluumlyle hesaplanacaktır Burada

p

100

10018

doumlnem başı faiz katsayısıdır

2 Buguumln bankaya 140000 denar yatırıyoruz Yatırılan paraya banka yıllık 5 pa(d) faiz oumlduumlyor Yatırılan bu parayla 10 000 denar tutarında doumlnem başı yıllık kaccedil kira alabiliriz

140000nM 10000R

ve

051100

51 r

verilmiştir bundan dolayı

51722105114000005110000

05110000log

051log

1

n

Elde edilen değer tam sayı değildir Bu ise şunu goumlsteriyor Oumldenen 22 kira ile yatırılan pa-ranın tuumlmuuml harcanmamıştır fakat 10 000 denar tutarında olan kiralardan buumltuumln 23 kira oumldemek iccedilin yeterli para yoktur O halde kira sayısı elde edilen sayıdan buumlyuumlk olan ilk doğal sayıdır fakat ilk 22 kira tutarı eşit son olan 23 kira diğerlerinden kuumlccediluumlktuumlr

Şek13

Son kira iccedilin ya da kira kalanı diye adlandırılan tutarı hesaplamak iccedilin formuumll bulacağız Son kirayı R0 ile işaret edelim Bu durum zaman ekseni şek 13rsquote goumlsterilmiştir Kira sermaye-sinin bireysel kiralarını iskonto ederek

10221022

11

111

11

11

13

nnnnn r

Rrrr

Rr

Rr

Rr

Rr

RRM

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade bir sonsuz geometrik dizisinin ilk n terim toplamıdır Buna goumlre

101

1

10

1 1

1

11

11

11

nn

n

n

n

n rR

rrrrR

rR

r

rRM

elde edilir Buradan da kira kalanı iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz

219

1

1

1

01

1

9

lt=

gt

nn

n

n rrr

rrRMR

Not 2 Bu ifadeyi doumlrduumlncuuml ve birinci i i tablolarıyla ifade edersek formuumll 12

0 1 77 np

npn VRMR

şeklinde yazılabilir Burada 1

11

1

12

7

rrrrV n

nnp dir

Bizim oumlrnekte n = 23 olduğuna goumlre 755231051

1051051

105105110000140000 22

22

22

0 9

lt=

gt

R

denar elde edilir Kira kalanı daima kira tutarından kuumlccediluumlktuumlrMn kira sermayesi n defa alınmış olan doumlnem sonu kira R ve doumlnem sonu faiz katsayısı r

verilmiş olsun Kira sermayesi formuumlluumlnden n

n

rr

RM 1

11

R

rMRr

RM

rnn

n

111

1

elde edilir Buradan da

1

rMRRrn

n

elde edilir Bu ifadenin iki tarafının logaritmasını alalım

1loglog

rMRRrn

n

oradan da

1log

log

1

rMRR

rn

n

elde edilir

Not 3 Verilen faiz oranı doumlnem başı olduğu durumda kira sayısı iccedilin

1log

log

1

88 nMRRn

formuumlluuml geccedilerli olacaktırn tam sayı olduğu durumda bu sayı alınacak kira sayısıdır aksi halde tam sayı olmadığı

durumda kira sayısı bu sayıdan buumlyuumlk olan ilk doğal sayı alınır Doumlnem başı kiralar iccedilin yapıl-dığı gibi burada da R0 kira kalanı hesaplanabilir (şek14)

220

Şek 14

Kiraları iskontolayarak kira sermayesi iccedilin

nnnnn rR

rrrR

rR

rR

rR

rRM 11

1111

11

012012

13

elde edilir Parantez iccedilindeki toplam ilk terimi 1

r ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik dizi-sinin toplamı olduğuna goumlre

nn

n

n

n

n rR

rrrR

rR

r

rr

RM 1

1

11

11

11

101

1

0

1

elde edilir Oradan da

n

n

n

n rrr

rRMR 9

lt=

gt

1

11

1

0

elde edilir Bu ifade doumlnem sonu kira kalanını hesaplamak iccedilin formuumllduumlr

Not 4 1

11

1

rrrn

n

ifadesi 17 npV ile değiştirildiğine goumlre i i tablolarından yararlanmakla

kira kalanı iccedilin şu formuumlluuml kullanacağızd

np

npn VRMR 77 1

0

Not 5 Kira kalanını hesaplamak iccedilin elde edilen formuumlllerde faiz katsayısı r doumlnem başı faiz katsayısı 8 ile değiştirilirse doumlnem başı faizlendirme iccedilin karşılık gelen kira kalanı formuumll-leri elde edilecektir

3 Yıllık doumlnem sonu kira almak iccedilin buguumln bankaya 280 000 denar yatırıyoruz Faiz oranı 5 pa(d) yıllık olduğuna goumlre 20 000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Son kira ne kadardır

Şu veriler biliniyor Mn = 280 000 kira R= 20 000 ve r = 105 n kira sayısını belirtmek istiyoruz Yukarıdaki formuumlllerden

676524105128000020000

20000log

051log

1

n

elde edilir Buna goumlre alınacak kira sayısı n = 25rsquotir Halbuki burada kiralardan ilk 24 tanesinin tutarı

eşit son kira tutarı ise farklı ve 20 000 denardan az olacaktır O halde kira kalanı iccedilin

221

4136370511051051

105120000280000 25

24

24

0 9

lt=

gt

R

denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Buguumln bankaya 91012227 denar yatırdık ve bu guumlnden başlayarak her uumlccedil ay sonunda 100000 denar tutarında kira alacağız Faiz oranı uumlccedil aylık vadeli 7 pa(d) olduğuna goumlre kaccedil kira alabiliriz

2 Buguumln bankaya 33931867 denar yatırdık Faiz oranı altı aylık vadeli 10 pa(d) oldu-ğuna goumlre doumlnem başı altı ay vadeli kaccedil kira alabiliriz

3 Buguumln 500000 denar altı ay vadeli 5 pa(d) faiz oranıyla bankaya yatırdığımız tak-dirde bu guumlnden başlayarak her altı ay sonunda 50000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Kira kalanı ne kadardır

4 Bankaya yatırılan 1 300 000 denar para ile uumlccedil aylık vadeli doumlnem sonu 40 000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Faiz oranı doumlnem sonu uumlccedil aylık vadeli 9 pa(d)rsquodir Kira kalanı ne kadardır

5 Buguumln bankaya 120 000 denar yatırdık ve bu guumlnden başlayarak her altı ay başında 4 800 denar tutarında kira alacağız Faiz oranı altı aylık vadeli 4 pa(d) olduğuna goumlre kaccedil kira alabiliriz ve kira kalanı ne kadardır

89 Periyodik Kiralarda Faiz Oranının Hesaplanması

Faiz oranı bilinmeyen diğer buumlyuumlkluumlkler ise biliniyorsa onu kira sermayesi formuumlluumlnden bilinmeyen buumlyuumlkluumlk gibi hesaplanacaktır doumlnem başı iccedilin 11 n

n pM R IV ve doumlnem sonu iccedilin n

n pM R IV

1 Hangi yıllık vadeli faiz oranıyla 600 000 denar yatırılmalıdır ki 25 yıl boyunca her yıl başı 50 000 denar tutarında kira alınsın

Doumlnem başı kiralara ait kira sermayesinin temel formuumlluumlnuuml accedilalım Amaccedil r doumlnem sonu faiz katsayısının değerini bulmaktır

222

1

11

rrrRM n

n

n

buradan

01 RrMrRM nn

nn

denklemi elde edilir Bu denklemde bilinmeyen rrsquodir ve derecesi genellikle 4rsquoten buumlyuumlktuumlr Boumlyle denklemleri

ccediloumlzmek iccedilin sayısal youmlntemler kullanılır ve bu youmlntemlerin uygulanması hayli zordur Halbu-ki 11 7 n

pn VRM

formuumlluumlnuuml kullanarak 1npIV finansal tablosundan değerleri okuyarak

p faiz oranını kolay belirtebiliriz Halbuki 1npIV tablosunda aranılan değer yoksa bileşik faiz

hesabında ve mevduatlarda yapıldığı gibi lineer enterpolasyon denilen youmlntem uygulanır

Konkre olarak oumldev 1rsquode Mn = 600 000 R = 50 000 n = 25rsquotir Formuumlluuml uygulamakla 24600 000 = 50 000 1 pIV olduğuna goumlre 24

pIV = 11 elde edilir 24

pIV tablosunda 11 değe-ri hiccedilbir faiz oranına karşılık gelmediğini goumlruumlyoruz Bu nedenle ona en yakın olan değerleri 109830 lt 11 lt 114693 alıyoruz Bu durumda

24

75IV = 109830 ve 24

7IV = 114693 olduğunu buluyoruz Şu tabloyu oluşturuyoruz

24

pV7 p 24

pV7 p

983010 57 983010 57 469311 7 11 p

48630 50 0170 57p

04863 (ndash 05) = 0017 (p ndash 75) orantısından 482757

48630

017050

p

elde edi-lir Demek ki aranılan faiz oranı 7482rsquodir

2 Bir kişi 5 yıl boyunca her yarıyıl sonunda 60 000 denar kira alıyormuş Kira sermayesi olarak ilk alınan kiradan altı ay oumlnce 463 302 denar yatırıldığına goumlre altı ay vadeli faizlendirme hangi faiz oranıyla yapılmıştır

Burada doumlnem sonu kira tutarı R = 60 000 kira sermayesi tutarı Mn = 463 302 n = 5 2

= 10 defa verilmiştir Doumlnem sonu kiraya ait kira sermayesi formuumlluuml 1

1

n

n n

rM Rr r

rsquodir Bu

eşitliği r faiz katsayısına goumlre duumlzenlersek 1 0n nn nM r M R r R denklemi elde edilir

Bizim oumlrneğimizde bu denklem 11 derecedir ve bunun ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirtmek kolay değildir Bu

nedenle finansal tablolarda 2

nn pM R IV kira sermayesinin formuumlluumlnden yararlanacağız

2

p

223

yarıyıllık etkin faiz oranıdır Demek ki 10

2

463302 60000 pIV olduğuna goumlre 10

2

77217pIV

elde edilir Tabloda n =10 iccedilin 77217 sayısına 2

P 5 karşılık gelir Buna goumlre yıllık nominal

faiz oranı 10 pa(d) olduğunu buluyoruz

3 12 yıl altı ay boyunca yarıyıllık faiz vadesiyle doumlnem sonu altı aylık 10 000 denar tuta-rında kira almak iccedilin 12 000 denar kira sermayesini hangi faiz oranıyla yatırmalıyız

Formuumllde Mn = 120 000 R = 10 000 ve kira sayısı n = 125 2 = 25 değerlerini değiştirirsek 25

2

120000 10000 pIV denkleminden 25

2

12pIV elde edilir Doumlrduumlncuuml i i tablosunda n = 25

iccedilin 12 sayısını değil ona en yakın komşuluğunda bulunan iki sayıyı seccediliyoruz Bunlar 121979 sayısı ki buna 65 faiz oranı ve 116536 sayısı ki buna 7 faiz oranı karşılık gelir

Bu verileri tabloda yazarak enterpolasyon yapacağız

25

2pV7 2p 25

2pV7 2p

653611 7 653611 7 197912 56 12 2p 54430 50 34640 72 p

05443 (ndash 05)= 03464 (p 2 ndash 75) orantısından

6826754430

3464050

2

p

elde

edilir Buna goumlre yıllık nominal faiz oranı 13364 pa(d)rsquodir

4 Buguumlnden başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her uumlccedil ayın sonunda 16 000 denar para bankaya yatıracağız Bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesabımızdan o kadar para ccedilekmeliyiz ki beş yıl sonra hesabımızda kira sermayesi olarak 30840 denar paramız birikmiş olsun Bu kira sermaye-sinden yaralanarak 25 yıl boyunca 4000 denar tutarında doumlnem sonu uumlccedil ay vadeli kira alacağız Bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesabımızdan hangi miktar parayı ccedilekmeliyiz Faiz oranı bu zaman suumlresinde daima aynıdır

İki yıllık yatırım yapılıyor fakat faiz oranını bilmediğimizden mevduatın tutarını hesapla-yamıyoruz Halbuki kira iccedilin verilerimiz vardır ve oradan faiz oranını hesaplayacağız Bu verile-ri zaman ekseni uumlzerinde goumlsterdikten sonra denklemler kuracağız

224

yatırımlar

Şek 15

S yatırımının son değeri bir yıl faizlenir X tutarında para ccedilekilir ve kalan para daha iki yıl faizlenir Buguumlnden 5 yıl sonraki guumlnde bankada biriken para tutarı kiraların toplam tutarına karşılık gelir Buna goumlre 4 8S r X r M denklemi elde edilir Oumlnce faiz oranını hesapla-

yalım Kira sermayesi formuumlluumlnden 4

npM R IV yazabiliriz burada n kira sayısıdır ve oumlrneği-

mizde n = 25 4 =10 kiradır Buna goumlre 4

771npIV elde edilir Bu değer 8

4

p faiz oranına

karşılık gelir Demek ki p = 32 pa(d) olduğunu buluyoruz Buna goumlre 321 108

4 100r

değerini Xrsquoin bulunduğu denklemde yerine koyabiliriz Yatırım doumlnem sonu olduğuna goumlre

1701861081

108116000

8

S denar elde edilir O halde 4 8170186 108 108 30840X

denklemi elde edilir Bunun ccediloumlzelim 231536 ndash X = 16662 oradan da X = 231536 ndash 16662 = 214874 denar olduğunu buluyoruz

Ccedilekilmesi gereken miktar 214874 denardır

Alıştırmalar

1 On yıl boyunca her uumlccedil ayın başlangıcında 10 000 denar tutarında kira alınmıştır İlk alınan kiranın ilk guumlnuumlnde 200 000 denar para yatırılmışsa uumlccedil ay vadeli hangi faiz oranı kulla-nılmıştır

2 12 yıl boyunca her uumlccedil ayda bir 2 000 denar doumlnem başı kira almak iccedilin 70 000 denar hangi faiz oranıyla yatırılmalıdır Faizlendirme her uumlccedil ayda bir yapılacaktır

3 Altı yıl boyunca her altı ayda 6 000 denar tutarında doumlnem sonu kira almak iccedilin 45 216 denar kira sermayesi hangi faiz oranıyla yatırılmalıdır

4 Bir kişi 36 000 denar yatırım yaparak ilerdeki 5 yıl boyunca her doumlrduumlncuuml ayda 4 500 denar tutarında kira almalıdır Doumlrt ay vadeli hangi faiz oranı kullanılmıştır

225

5 Bir yıl oumlnce yatırılan tutarın şimdiki değeri 45 000 denardır ve her ikinci ay sonunda bu paradan iki yıl boyunca 5 000 denar tutarında kira alınacaktır Kira iki ay vadelidir Bir yıl oumlnce hangi miktar para yatırılmıştır

810 Karma Oumldevler

Tuumlm i i tablolarının uygulanmış olduğu bazı ccediloumlzuumllmuumlş oumldevler uumlzerinde duracağız Ve-rilen oumlrnekler yatırımlar (mevduatlar) ve bileşik faizlendirmeden oluşan bileşik kombinasyon-lardan meydana gelmiştir

1 Buguumln ne kadar kapital yatırmalıyız ki bu guumlnden başlayarak 5 yıl sonraki altı yıl bo-yunca her uumlccedil ay başında 9000 denar tutarında kira almak iccedilin yatırımımız olsun Faizler ilk iki yılda aylık vadeli 6 ps(d) faiz oranıyla sıradaki uumlccedil yılda uumlccedil ay vadeli 10 pa(a) faiz oranıyla ve son altı yılda faiz oranı 4 pq(d) hesaplanacaktır (şek15)

Şek 16

Kira sermayesi aslında anaparanın faizlenmiş tutarıdır ve farklı periyotlarda farklı faiz oranlarına goumlre şu şekilde hesaplanacaktır

- İlk iki yıl 2 12 = 24 defa 01110012

621

r

faiz katsayısıyla faizlenecek

- sıradaki 3 yılda 3 4 =12 defa 025641

4

10100

100

8

faiz katsayısıyla ve

- kiraların hesaplanmasında toplam 6 4 =24 kira uumlccedil aylık vadeli 4 etkin faiz oranıyla ya da rrsquo = 104 faiz katsayısıyla faizlenecektir

Buna goumlre nMrK 1224 8

ve 1

124

24

AAA

Arr

rrRM n

dir Verilen değerleri değiştirdik-

ten sonra elde edilen ifadeleri eşitliyoruz Bu şekilde

1041041

10410419000025641011

24

241224

K

denklemi elde edilir İfadenin sadeleştirilmesiyle 172 K = 142 712 elde edilir Buna goumlre buguumln oumldenmesi gereken tutar K = 82 972 denar olduğunu buluyoruz

226

2 Banka hesabımıza 780 000 denar tutarında kira sermayesi yatırıyoruz Faiz oranı ilk 4 yıl boyunca 6 pa(d) ve gelecekteki altı yıl boyunca 8 pa(d) olmak uumlzere on yıl boyunca ayda ne kadar kira alınabilir Faizlendirme işlemi aylık ve ilk kira kira sermayesinin yatırıldı-ğından bir ay sonra başlayacaktır

Oumlnce ilk kira oumldemesi ay sonunda yapıldığına goumlre doumlnem sonu kiradan bahsedildiğini fark edelim Farklı faiz oranları uygulandığından aynı tutarlı fakat farklı kira sermayesi ile ilk 4 yılda bir ikinci 6 yılda ikinci kira oumldendiğini farz edebiliriz (şek17)

Şek 17

İlk doumlrt yıl iccedilin gereken kira sermayesi M1 ve ilerdeki 6 yıl iccedilin M2 olsun Oumldenen top-lam kira sermayesi tutarı M1 ve iskontolanmış M2 tutarlarının toplamıdır Birinci kira 4 12

= 48 defa doumlnem sonu faiz katsayısı 005110012

611

r

ile hesaplanacaktır ve elde edi-

len kira sermayesi RRM 58042100510051

1005148

48

1

rsquodir İkinci kira 6 12 = 72 defa

doumlnem sonu faiz katsayısı 00667110012

812

r

olduğuna goumlre ikinci kira sermaye-

si RRM 028571006671006671

100667172

72

2

rsquodir O halde 124

1

21

1

rMMM

eşitliğinden

4800510285758042780000 RR

denklemi elde edilir Denklemi ccediloumlzerek aylık kira R =

8917 denar olduğunu elde ediyoruz

3 Dokuz yıl boyunca uumlccedil ay vadeli 18 000 denar tutarında kira almak istersek her ay başın-da 6 yıl boyunca ne kadar mevduat yatırılmalıdır Son yatırılan mevduattan ilk kira alınıncaya kadar 6 yıl 1 ay geccedilecektir Faiz oranı 8 pa(d) faizlendirme ilk 6 yılda aylık vadeli ondan sonra uumlccedil aylık vadeli olacaktır (şek18)

227

R uumlccedil aylık kiraV aylık mevduat

Şek 18

Bilinmeyen bireysel mevduat Vrsquodir Mevduat toplam 6 12 = 72 defa doumlnem başıdır Al-

tıncı yıl sonunda 1

81 100667

12 100r

faiz katsayısıyla yatırımların son tutarı S hesaplanır

Buna goumlre VVr

rrVS 65921006671

1006671006671

1

1 72

1

72

11

elde edilir S tutarına kira ser-

mayesi olduğu andan itibaren faizlendirmeye başlanır Son mevduattan ilk kiranın oumldenmesine kadar 6 yıl 1 ay suumlre vardır fakat S son mevduattan bir ay sonra hesaplanmaya başlıyor Demek ki faizlendirme suumlresi 6 yıldır O halde S tutarını belirttikten sonra faizlendirme uumlccedil aylık vadeli

olduğuna goumlre 6 4

2M S r rsquodir Bu durumda r2 faiz katsayısı iccedilin 2

81 102

4 100r

elde edi-

lir Buna goumlre kira sermayesi iccedilin VVSM 1490216592021 2424

elde edilirDiğer taraft an kira sermayesini kiranın koşullarına goumlre hesaplayacağız Kira her uumlccedil ay

vadeli 9 yıl boyunca alınır Demek ki ilk uumlccedil ayın başlangıcından başlayarak yani doumlnem başı toplam n = 9 4 = 36 kira oumldenir Faiz katsayısı r2 = 102rsquodir Buna goumlre

46800026180001021021

102102118000

1

136

36

2

36

2

36

22

rr

rrRM

elde edilir Kira sermayesinin iki değerini eşitleyerek 149 V = 468 000 elde edilir Buna goumlre V = 3141 denardır

4 Biri 9 yıl oumlnce banka hesabına 38 000 denar yatırmıştır İlk iki yılda başka yatırım ve para ccedilekme olmamıştır Ondan sonra 3 yıl boyunca her 6 ayda 8 000 denar tutarında mevduatlar yatırılmıştır Bu guumlnden başlayarak ilerdeki 4 yıl boyunca yıllık vadeli 15 000 denar tutarlı kira alınacaktır Bu guumlne kadar yarıyıllık vadeli faiz oranı 8 pa(d) bu guumlnden itibaren ise yıllık vadeli faiz oranı 10 pa(d) uygulandığına goumlre son kiradan sonra kişinin banka hesabında ne kadar parası olacaktır (şek 19)

228

mevduatlar

Şek 19

Oumldenen mevduatların faizlenmiş değerlerini gereken kira sermayesi ve iskonto kalanı K

ile eşitleyeceğiz Bu guumlne kadar faiz katsayısı 1

81 104

2 100r

rsquotuumlr Yatırılan ilk mevduat

tutarı K0 = 38 000 denardır ve buguumlne kadar yarıyıllık vade ile toplam 9 2 =18 defa faizlenir

32 = 6 defa yatırılan mevduatın toplam tutarı 551861041

10410418000

1

1 6

1

6

11

rrrVS

de-

nardır ve bu tutar buguumlne kadar faizlenir ve bu şekilde buguumlne kadar yatırılan paranın toplam tutarı

1525070415518604138000 81824

1

18

10 rSrK

denardır

Banka hesabından ilerde ccedilekilen parasal değerleri hesaplamak iccedilin kira ve kalanın iskon-tolanmış değerini hesaplamak gerekir Son kiradan sonra 4 yıl faizde kalan doumlnem başı yıllık vadeli mevduat soumlz konusu olduğunu belirtmeliyiz Bu demektir ki son kiradan doumlrt yıl sonra buguumlnden ise 8 yıl sonra iccedilin kalan para tutarını hesaplayacağız O halde doumlnem başı faiz katsa-

yısı 2

100111

100 108

olduğuna goumlre K kalanının iskontolanmış değeri 8

2

1K8 rsquodir

O halde kira sermayesi iccedilin 1

1

2

5

2

5

22

888

8RM

geccedilerlidir Beş yıllık doumlnem başı yıllık

vadeli 15 000 denar kira tutarı iccedilin 61537

1111111

111111115000

5

5

M

denar elde edilir

8

2

8

1

18

10

1

8 KMrSrK

şimdiye kadar yapılan yatırımları ve alımları eşitlemekle

152507 = 61537 + K middot111ndash8 elde edilir ve oradan K = 39 474 denar olduğunu buluyoruz Bu guumln-

den sekizinci yılın sonunda banka hesabında 39 474 denar kalacaktır

229

Alıştırmalar

1 11 yıl oumlnce banka hesabımıza yarıyıllık vadeli 4 yıl boyunca 8 000 denar tutarında mevduatlar yatırmaya başladık 3 yıl oumlnce bir defaya mahsus daha 90 000 denar yatırdık Buguumln-den başlayarak yedi yıl boyunca aylık kiralar alacağız ve 49 aydan sonra hesabımızda daha 50 000 denar kalacaktır Faiz oranı buguumlne kadar yarıyıllık vadeli 8 pa(d) ve bu guumlnden sonuna kadar aylık vadeli 12 pa(d) olduğuna goumlre kira tutarı ne kadardır Kiralar ve mevduatlar douml-nem başıdır

2 12 yıl oumlnce bankaya bir miktar para yatırdık Ondan uumlccedil yıl sonra 5 yıl boyunca her altı ayda 3 000 denar tutarında mevduatlar yatırdık Bu guumlnden başlayarak 8 yıl boyunca altı ay vadeli 5 000 denar tutarında kira alacağız Son kiradan 1 yıl 6 ay sonra banka hesabımızda daha 4 000 denar paramız olacaktır Buguumlne kadar faiz oranı 8 pa(d) ve buguumlnden sonra p = 6 pa(d) altı ay vadeli olduğuna goumlre 12 yıl oumlnce ne kadar para yatırılmıştır Hem mevduatlar hem kiralar doumlnem başıdır

3 Uumlccedil yıl oumlnce başlayarak iki yıl boyunca banka hesabımıza her ay doumlnem başı 2000 denar tutarında mevduat yatırmaya başladık Bir yıl oumlnce daha 40 000 denar yatırıldı Bu guumlnden bir yıl sonra 5 yıl boyunca R tutarında doumlnem başı aylık kira alacağız ve bu guumlnden 6 yıl sonra bir yıl boyunca 2200 denar tutarında doumlnem başı aylık kira alacağız Faiz oranı 13 pa(d) olduğuna goumlre beş yıllık kira tutarı ne kadar olacaktır Faizlendirme bir aylık vadelidir

4 Bir kişi 30 yıl oumlnce başlayarak onuncu yıl oumlnceye kadar her ay başında 24 pa(d) faiz oranıyla aylık vadeli 1100 denar tutarında mevduat yatırmıştır O guumlnden sonra faiz oranı 4 pa(d) altı ay vadeli faizlendirme uygulanmıştır Bu guumlnden başlayarak ilerdeki 15 yıl boyunca kişi her altı ayda kira alıp son kirayı aldıktan sonra hesabında 50 000 denar kalıyorsa yarıyıl vadeli kira tutarı ne kadardır

5 Biri yedi yaşından 15 yaşına kadar her uumlccedil ayın başında banka hesabına 7000 denar yatırmıştır 20 yaşında bir defaya mahsus daha 200 000 denar para yatırmıştır 30 ve 40 yaş ara-sındaki doumlnemde her uumlccedil ay başında 125 000 denar tutarında kira almıştır Faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil ay vadeli olduğuna goumlre ellinci yılında şahsın banka hesabında ne kadar parasal varlığı ola-caktır

230

8 11 Alıştırmalar

1 Bu guumlnden başlayarak 1 yıl ve 8 ay boyunca her ay başında 1200 denar tutarında mev-duat yatıracağız Faiz oranı 6 pa(d) aylık vadeli faizlendirme ile bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesa-bımızda ne kadar para birikecektir

2 İki yıl oumlnce banka hesabımıza 40 000 denar para yatırdık Şimdiden 4 yıl sonra hesabı-mızda 800 000 denar birikmesi iccedilin ilerdeki uumlccedil yıl boyunca her ay sonunda ne kadar mevduat yatırmalıyız Faiz oranı 18 pa(d) aylık vadelidir

3 4500 denar tutarında uumlccedil ay vadeli kaccedil mevduat yatırmalıyız ki son mevduattan 3 ay sonra hesabımızda 120 000 denar para birikmiş olsun Faiz oranı 10 ve faiz vadesi uumlccedil aylıktır

4 Bir kişi 35 yaşından başlayarak 41 yaşına kadar her altı ay sonunda 6 000 denar tutarın-da para banka hesabına yatırıyor ve son yatırım guumlnuumlnde hesabında 144 000 denar olduğunu tespit ediyor Faizlendirme altı aylık olduğuna goumlre yatırım hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

5 Biri banka hesabına her uumlccedil ay başında 6000 denar tutarında mevduat yatırmış ve bu-guumlnden 4 yıl sonra hesabında 314 422 denar para birikmiştir Buguumln dahil kişi kaccedil yıl hesabına uumlccedil ay vadeli 6000 denar tutarında para yatırmıştır Faiz oranı 6 pa(d) ve faizlendirme uumlccedil ay vadelidir

6 20 yıl boyunca ccedileyrek yıl vadeli doumlnem sonu 7200 denar tutarında kira almak iccedilin bu-guumln hangi miktar parayı yatırmalıyız Faiz oranı 8 pa(d) ve faizlendirme uumlccedil ay vadelidir

7 Bu guumlnden başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay sonunda 2 500 denar tutarında mevduat yatırılıyor Bu guumlnden 4 yıl sonra başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay başında ne kadar kira alabiliriz Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

8 Buguumln hesabımıza 100 000 denar para yatırdık Altı aylık vadeli doumlnem başı 10000 denar tutarında kirayı buguumlnden başlayarak kaccedil defa alabiliriz Faiz oranı 5 pa(d) altı aylık vadelidir Kira kalanı ne kadardır

9 Buguumln 115 610 denar yatırdık ve bir ay sonra başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay sonunda 9000 denar tutarında kira almaya başlayacağız Faizlendirme aylık vadeli olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

10 Buguumln hangi miktar parayı yatırmalıyız ki 5 yıl sonra hesabımızda 59008 denar pa-ramız kira sermayesi olarak birikmiş olsun Bu paradan 3 yıl boyunca her uumlccedil ay sonunda 1200 denar tutarında kira oumldenecektir

231

11 10 yıl oumlnce banka hesabımıza 50 000 denar para yatırdık Doumlrt yıl sonra her ay başın-da 800 denar tutarında 6 yıl boyunca periyodik yatırımlara başladık Buguumlnden başlayarak 2 yıl boyunca her ay başında 3000 denar tutarında aylık kira alacağız Son kiradan yarım yıl sonra hesabımızdan daha 197650 denar alıyoruz Bu guumlnden 3 yıl sonra banka hesabımızda ne kadar paramız kalacaktır Faiz oranı 10 pa(d) aylık vadelidir

12 Bir baba ccedilocuğunun tasarruf karnesine 8 yaşından 15 yaşına kadar her ay sonunda 500 denar yatırıyor 18 yaşından 24 yaşına kadar her ay başında 600 denar yatırıyor Ondan sonra 26 yaşından 15 yıl boyunca her ay başında 250 denar yatırıyor Faiz oranı 10 pa(d) aylık vadeli olduğuna goumlre son yatırımdan altı ay sonra ccedilocuğun karnesinde ne kadar parası olacaktır

13 On iki yıl oumlnce bir miktar para yatırılmış ve buguumln 30 000 denar ccedilekilmiştir Buguumlnden başlayarak ilerdeki 6 yıl zarfında her doumlrt ay sonunda 500 denar tutarında para yatırılmıştır Faiz oranı 6 pa(d) doumlrt ay vadelidir Bu guumlnden 12 yıl sonra hesabımızda 208790 denar oldu-ğuna goumlre 12 yıl oumlnce ne kadar para yatırılmıştır

14 Birkaccedil yıldan buguumlne kadar her uumlccedil ay başında 12000 denar para yatırılmıştır ve bu-guumlnden doumlrt yıl sonra banka hesabında 175400 denar birikmiştir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil ay vadelidir Paranın yatırılması kaccedil yıl oumlnce başlamıştır

15 Biri 80 000 denar para yatırmıştır 25 yıl sonra her uumlccedil ay başında kira almaya başlaya-caktır 25 yıl boyunca ne kadar kira alabilir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil ay vadelidir

16 Buguumlnden bir yıl uumlccedil ay sonra hangi miktar parayı yatırmalıyız ki yatırım guumlnuumlnden buguumlnden 3 yıl sonraya kadar her ay sonunda 4500 denar tutarında kira alınsın ve son kira alın-dığı guumlnde hesapta 11250 denar para kalsın Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

17 Biri 5 yıl oumlnce 24 000 denar yatırmış ve buguumlnden ilerdeki iki yıl boyunca her altı ay başında 38 330 denar para yatıracaktır Faiz oranı daima aynı altı aylık vadeli olmak uumlzere son yatırımda hesapta 400 000 denar biriktiğini varsayarsak bu guumlnden 5 yıl sonra kişinin hesabın-da ne kadar parası olacaktır

18 Buguumln banka hesabına 150 000 denar yatırılmış iki yıl sonra da 60 000 denar hesap-tan ccedilekilmiştir Buguumlnden onuncu yıla kadar doumlnem sonu yıllık kira alacağız ve son kiradan 3 yıl sonra hesabımızda 30 000 denar kalacaktır Faiz oranı 5 pa(d) yıllık vadeli olduğuna goumlre kira tutarı ne kadardır

232

Konu Oumlzetleri

Basit ve bileşik faiz hesaplarını uygularken sadece bir defaya mahsus olmak uumlzere yatırı-lan parasal varlıklar ve bazı oumlrneklerde farklı periyotlarda yatırılan ya da ccedilekilen tutarlar soumlz ko-nusuydu Bu durumda bireysel yatırımlar eşit ya da farklı olabilirdi belli bir kurala goumlre değişe-bilir oumlrnek aritmetik ya da geometrik dizisi kanununa goumlre artar ya da azalabilir veya tasarruft a olduğu gibi belli bir kanuna uymadan gelişiguumlzel değişebilir Halbuki ccedilok kez yatırımlar belli bir kanuna goumlre aynı zaman aralıklarında tekrarlanabilir yatırımlara rastlıyoruz Boumlyle durumlarda soumlz konusu mevduattır Mevduat belli bir suumlre sonunda veya istenildiğinde ccedilekilmek uumlzere ban-kalara faizle yatırılan paradır Mevduatlar belli suumlrelerde aynı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adlandırılıyorlar

Yatırımlar oumldemeler serisinin başlama noktasına goumlre doumlnem başı ve doumlnem sonu mev-duatlar olarak ikiye ayrılıyorlar Yatırım esnasında her mevduatın faizi yatırıldığı guumlnden tuumlm mevduatların toplam değerinin hesaplandığı ana kadar hesaplanır Doumlnem başı ya da doumlnem sonu faizlendirme uygulanabilir Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda aynı bazı du-rumlarda ise farklı yani mevduat vadelerinden daha sık ya da daha seyrek olabilirler Pek sık tuumlm mevduatların toplam değeri ne kadardır sorusu sorulmaktadır Yatırım esnasında faizi he-saplanmış tuumlm mevzuatların toplamına yatırımın gelecekteki değeri denir

Biz burada sadece faiz doumlnemleriyle ccedilakışık olan bireysel periyodik mevduatları ve aynı zamanda sabit mevduatlı olan yatırımları inceleyeceğiz

Yıl esnasında sadece bir mevduat oumldendiği durumda soumlz konusu yıllık mevduat olur yatırım yılda iki defa yapıldığında altı aylık (yarım yıllık) mevduat yılda doumlrt defa yatırım yapıldığında uumlccedil aylık (ccedileyrek yıllık) mevduat biccediliminde adlandırılır Yatırım ayda bir yapılırsa aylık mevduat olur Burada da faizlendirme vadesi yıllık altı aylık uumlccedil aylık vb olabilir

Doumlnem başı faizlenmiş yatırımların toplamı şu formuumllle hesaplanır

1

1

r

rVrSn

n doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

888

n

n VS doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem sonu faizlenmiş yatırımların toplamı şu formuumllle hesaplanır

1

1

r

rVSn

n doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

233

1

1

88 n

n VS doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem başı faizlenmiş yatırımların değeri şu formuumllle hesaplanır

1

1

nn rrrSV doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

nnSV888

doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem sonu faizlenmiş yatırımların değeri şu formuumllle hesaplanır

1

1

nnSV88

doumlnem başı faizlendirme

1

1

nn rrSV doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

Doumlnem başı yatırımların sayısı şu formuumllle hesaplanır

Vr

rSVrr

n n 1log

log

1

Doumlnem sonu yatırımların sayısı şu formuumllle hesaplanır

V

rSVr

n n 1log

log

1

Son mevduat diğerlerinden farklıdır ve ona yatırımın kalanı denirDoumlnem başı mevduatların son mevduatı (kalanı) şu formuumllle hesaplanır

1

10

888

8

n

n VSV doumlnem başı mevduatlar iccedilin

10

888 n

n VSV doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

Doumlnem sonu mevduatların son mevduatı şu formuumllle hesaplanır

1

10

rrrVS

rV

n

n doumlnem başı mevduatlar iccedilin

10

rrrVSV

n

n doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

234

Doumlnem başı yatırımların doumlnem sonu faizlendirmesiyle biriken gelecekteki değeri hesap-

lamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnde Sn ve V bilindiğinde bilinmeyen r faiz

katsayısını yani p pa(d) değerini hesaplamak iccedilin

011 13

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu ise r katsayısına goumlre bir polinom denklemidir ve genel olarak dere-cesi 3rsquoten buumlyuumlktuumlr Bu gibi denklemleri ccediloumlzmek iccedilin (bazı oumlzel durumlar hariccedil) belli bir kural yoktur Bu nedenle bu gibi denklemleri bilinen bazı numerik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Halbuki amacımız şimdi numerik youmlntemlerin denklemlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğrenmek değildir Bu-rada sadece pratik oumldevlerin yararına faiz oranını en kolay biccedilimde belirtmektir Bu nedenle faiz oranının hesaplanmasını i i tablolarındaki değerleri kullanan n

n pS V III formuumlluumlne goumlre yapacağız

Aynı işlemleri doumlnem sonu yatırımlar iccedilin de yapacağız Yatırımların gelecekteki değeri 1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden faiz katsayısı r iccedilin

01 VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu denklem de r değişkenli polinomdur Yatırımların gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin i i tablolarındaki değerleri kullanan 11 n

n pS V III formuumlluumlnden yarar-

lanarak V

VSVS nnn

p

777 11 elde edilir n ndash 1rsquoin bilinen değeri iccedilin V

VSn değeri tabloda

varsa faiz oranı doğrudan doğruya okunur Aksi halde faiz oranını doğrusal enterpolasyon ile belirtiyoruz

Eşit zaman aralıklarında alınan alacaklar soumlz konusu olunca ilk aklımıza gelen kiradır Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (rentler) diye adlandıracağız Kira anuumliteleri oumlnceden belirlen-miş kanuna goumlre değişebilir oumlrneğin geometrik ya da aritmetik dizisi kanununa goumlre değişebilir Boumlyle kiralara değişken kiralar denir Oumlzelliklerine goumlre kiralar birccedilok şekilde adlandırılıyorlar oumldeme zamanına goumlre periyodun başlangıcında oumldenirse doumlnem başı kiralar periyodun so-nunda oumldenirse doumlnem sonu kiralar diye adlandırılıyorlar Oumldemelerin zaman suumlresine goumlre geccedilici kiralar (belli bir suumlre iccedilin) oumlmuumlr boyu kiralar (kirayı oumldeyen kişinin oumlmruumlnuumln sonuna kadar) ya da kira alacakları hiccedil bitmeyen olduğu durumda daimi kiralar soumlz konusudur Kirala-rın oumldendiği periyoduna goumlre yıllık yarıyıllık uumlccedil aylık aylık vb kiralar fark ediyoruz

Kira almak iccedilin oumlnce bunu getirecek varlık temin edilmelidir Kira getirmek amacıyla yatırılan varlık miktarına kira sermayesi denir Burada bir defaya mahsus olan yatırım soumlz ko-nusudur Halbuki parasal varlıklar periyodik oumldemelerle de yapılabilir Kira alacakları kira be-

235

delinin yatırılmasıyla başlarsa hemen kiralar kira alacakları belli bir zamandan sonra başlarsa o halde ertelenmiş kiralar soumlz konusu olur

Sabit miktarlı faizlendirme vadesi kiranın oumldeme vadesiyle ccedilakışan periyodik oumldemeler uumlzerinde daha fazla duracağız Formuumlllerin belirtilmesinde faiz oranı doumlnem sonu olduğunu varsayacağız Şu işaretlemeleri kullanacağız Mn ndash kira sermayesi R- kira (rent) n ndash oumldeme sa-yısı r ndash doumlnem sonu faiz katsayısı 8 - doumlnem başı faiz katsayısı

Doumlnem başı kiraların yatırımı şu formuumllle hesaplanır

1

1

1

n

n nrM R

r r

doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

1

n

n nM R

doumlnem başı faizlendirme iccedilin

Doumlnem sonu kiraların yatırımı şu formuumllle hesaplanır

1

1

n

n nrM R

r r

doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

88

8n

n

n RM doumlnem başı faizlendirme iccedilin

Faiz yatırımının değeri Mn faizlendirme koşulları ve kira sayısı bilindiği durumda kira tutarının değeri şu formuumllle hesaplanır

1

11

n

n

n rrrMR doumlnem sonu faizlenen doumlnem başı alınan kira iccedilin

1

1

n

n

n rrrMR doumlnem sonu faizlenen doumlnem sonu alınan kira iccedilin

1

11

n

n

nMR8

88 doumlnem başı faizlenen doumlnem başı alınan kira iccedilin

1

1

n

n

nMR888 doumlnem başı faizlenen doumlnem sonu alınan kira iccedilin

Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde doumlnem başı kira sayısı şu formuumllle hesaplanır

236

1log

log

1

rMRrRr

rn

n

doumlnem sonu faiz oranı iccedilin

1log

log

1

888

8 nMRRn doumlnem başı faiz oranı iccedilin

Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde doumlnem sonu kira sayısı da şu formuumll-le hesaplanır

1log

log

1

rMRR

rn

n

doumlnem sonu faiz oranı iccedilin

1log

log

1

88 nMRRn doumlnem başı faiz oranı iccedilin

Son kira yani kira kalanı doumlnem sonu kiralar iccedilin şu formuumllle hesaplanır

n

n

n

n rrr

rRMR 9

lt=

gt

1

11

1

0

Diğer buumlyuumlkluumlkler bilindiğinde faiz katsayısı doumlnem başı kira iccedilin 11 nn pM R IV for-

muumlluumlnden ve doumlnem sonu kiralar iccedilin nn pM R IV formuumlluumlnden bilinmeyen gibi hesaplana-

bilir

237

BORCcedilLAR

91 Borccedil Kavramı ve Ccedileşitleri

Finansal varlıkların yetmediği durumlarda insanlar guumlnluumlk gereksemelerini gidermek iccedilin borccedil varlıklardan yararlanıyorlar Bazı durumlarda bireysel ya da tuumlzel kişilerin uzun vadeli gelirleri de planladığı işleri yapmak iccedilin gereken finansal kaynakları yetmeyebilir Boumlyle durum-da borccedillar kullanılır yani belli koşullar altında borccedil alınan finansal varlıklardan yararlanılır Borccedil veren ve alan borccedil miktarı geri verilme şekli geri oumldeme zamanı faiz oranı vb hususlarda aralarında anlaşıyorlar

Borccedil para mal veya para cinsinden bir değerin belirli bir vade ve koşulla geri alınmak uumlzere verilmesidir yani borccedil veren finansal varlıklarını borccedil alana geccedilici bir suumlre iccedilin hizmetine devretmesidir

Bu boumlluumlmde borccedillunun borcunu oumldeme koşulları borccedil verene olan yuumlkuumlmluumlluumlğuuml yani finansal varlıkların devredilme koşulları borcun suumlresinde faizlendirmeyi iccedileren anlaşmalar soumlz konusu olacaktır Borccedil tutarı genellikle birden verilir ve geri alınması birden değil ccedilok kez belli periyotlarda gerccedilekleştirilir Her periyotta borcun oumldendiği tutara oumldeme denir Belli pe-riyotta oumldemenin faiziyle beraber tutarına anuumlite denir diğer soumlzlerle anuumlite belirli bir zaman suumlreci iccedilerisinde eşit aralıklarla verilen veya alınan eşit oumldemeler serisidir Borcun her bireysel oumldemesine gereken zaman suumlresine amortisman vadesi denir

Kullanılışlarına goumlre geccedilerlilikte olan kanunlara goumlre suumlresine goumlre birccedilok borccedil ccedileşitleri vardır

Geri oumldenme suumlresine goumlre kısa vadeli (geri oumldeme suumlresi en ccedilok bir yıl) orta vadeli ve uzun vadeli diye adlandırılıyorlar

Oumldeme şekline goumlre borccedillar amortismanlı ve kiralı olabilirler Borccedil belli bir suumlrede faiz ve borcun bir kısmını oumldemekle geri oumldeme yapıldığı durumda amortismanlı borccedil soumlz ko-nusu olur Kiralı borccedillar ise kira şeklinde oumldenen sabit tutarlı taksitler halinde oumldenen borccedillar-dır

Guumlvenceye goumlre kişisel ve reel borccedillar olabilir Kişisel borccedillar borccedil verenin borccedil alana olan şahsi guumlvencesine goumlre verilir Reel borccedillar ise borcun oumldenmesini garantileyecek oumlrneğin ipotek gibi varlıklar guumlvencesiyle verilir

Borccedil verene goumlre yerli ya da yabancı borccedillar aleni ya da oumlzel banka ya da banka dışı vb borccedillar olabilir

Borccedil uumlzerine faizin oumldenip oumldenmediğine goumlre faizli ve faizsiz borccedillar şeklinde adlan-dırılabilir

9

238

Borccedillanmaya ait verilen belgelere goumlre borccedillar soumlzleşmeli (borccedil tutarının tuumlmuuml iccedilin bir belge) ve tahvillere (senetlere) boumlluumlnmuumlş borccedillar (birden fazla alacaklıya aynı ya da farklı tutarlı kısımlara ayrılmış fakat onların toplam tutarı tuumlm borccedil ile eşit olacaktır) olabilir

Anuumlitelerin oumldeme suumlresine goumlre doumlnem sonu anuumliteli borccedillar (oumldemeler serisi dev-renin sonunda yapılan) ve doumlnem başı anuumliteli borccedillar (oumldemeler devrenin başında yapılan anuumliteler) olabilir

Faizin hesaplanmasına goumlre borccedillar doumlnem sonu faizlenen ve doumlnem başı faizlenen biccediliminde adlandırılabilir

Mevduatlarda ve kiralarda olduğu gibi borccedillar da doumlnem sonu anuumliteli ve doumlnem başı faizlendirme doumlnem sonu anuumliteli doumlnem sonu faizlendirme biccediliminde olabilir Aynı şekilde doumlnem başı anuumliteler iccedilin de doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlendirme biccediliminde olabilirler

Borccedilların amortismanı birccedilok farklı şekilde yapılabilir Uzun vadeli borccedillarda vade suumlre-since sadece faizlerin vadenin sonunda da borcun tamamını bir defada oumldemek ya da her bir taksit hem anaparanın bir boumlluumlmuumlnuuml hem de ilgili devrelerin faizini iccedilerir

Şunu da belirtelim borcun amortismanı denilen kademeli oumldemede oumlnceden belirlen-miş tutarlarla belli zaman aralıklarında oumlnceden belirlenmiş bir plan uumlzerinde oumldenmesine amortisman planı denir Halbuki amortisman planını yapmak iccedilin bazı verilerin kesin bilin-mesi gerekir Mesela hangi zamanda ne kadar oumldenmesi gerektiğini borcun ne kadarı kaldığını ne kadar faiz hesaplandığını bu verilerin her biri nasıl hesaplanacağını da belirtmek gerekir

Oumldemeler ve anuumliteler sabit ya da belli bir kurala goumlre oumlrneğin aritmetik ya da geometrik dizisi kuralına goumlre değişen olabilir Biz şimdilik sabit anuumliteli borccedilları inceleyeceğiz Ccediluumlnkuuml bunlar pratikte daha sık rastlanan ve borcu oumldeme suumlresinde belli aralıklarda taksitlere ayırarak oumldenmesi borccedilluya daha elverişlidir Borccedil eşit oumldemelerle tahsil edildiği durum borccedilluya pek elverişli değildir ccediluumlnkuuml borcu aldığı anda buumlyuumlk anuumlite ile oumldemeye başlaması gerekir Faizlen-dirme vadesi de anuumlitenin oumldeme vadesiyle ccedilakışabilir ya da ccedilakışmayabilir de

İlerde sadece eşit anuumliteli borccedilları ve yuvarlanmış anuumliteli borccedilları ve her iki durumda doumlnem sonu anuumliteleri ve doumlnem sonu faizlendirmesi yapılan ve faizlendirme vadesi ve amor-tisman vadesiyle ccedilakışan borccedilları inceleyeceğiz Diğer durumlar benzer şekilde hesaplanacaktır

Sonunda tuumlm bireysel anuumlitelerin iskontolanmış değerlerinin toplamı borcun alındığı guumlndeki değerine eşit olduğunu diyebiliriz Bu ise kiralarda kira sermayesinin hesaplandığını hatırlatıyor Bu sonuccediltan yararlanarak amortisman planındaki buumlyuumlkluumlklerin nasıl hesaplana-cağını artık biliyoruz

239

Alıştırmalar

1 Oumldeme nedir anuumlite nedir amortisman vadesi nedir

2 Borccedilların nasıl ayrıldığına dair doumlrt kriter sayınız

3 Borcun suumlresine goumlre borccedillar nasıl ayrılır oumldeme şekline goumlre ise nasıl ayrılırlar

4 Amortisman planı nedir

5 Bireysel ve reel borccedillar arasındaki fark nedir

6 Amortisman ve kira borccedilları arasındaki fark nedir

92 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun veAnuumlitenin Hesaplanması

Tutarı Z olan bir borccedil alınmış ve geri oumldemesi her biri a tutarında n eşit anuumlite ile ya-pılacaktır Faiz oranı p doumlnem sonu faizlendirme ve faiz doumlnemi anuumlitelerin oumldeme doumlnemiyle ccedilakışık olsun Doumlnem sonu faiz katsayısı r her faiz doumlnemi iccedilin ayrı hesaplanmış yani etkin faiz (efektif faiz) yapılmıştır Borcun alındığı guumlnde borcun tutarı her doumlnemin sonunda oumldenen bireysel anuumlitelerin iskontolanmış değerlerinin toplamına eşittir Sayı ekseninde kira sermaye-sinin hesaplandığında kiralarda yapıldığı gibi her anuumlitenin oumldeme doumlnemi (periyodu) işaret edilir (şek1)

Şek 1

İskontolama kurallarıyla anuumlitelerin değerleri bilindiğine goumlre borcun tutarını hesapla-yalım Birinci anuumlite ilk devrenin (periyodun) sonunda oumldendiğine goumlre bir devre iccedilin faizlenir ikincisi iki devre iccedilin ve bu şekilde sonuna kadar devam edilerek son anuumlite n defa faizlenir Bu şekilde

240

13

1232

1

111 nn rrrr

ara

ra

ra

raZ

elde edilir

Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik dizisinin ilk n

teriminin toplamıdır O halde

rrr

r

ra

r

rraZ

n

n

n

1

1

11

11

ve 1

1

rr

raZ n

n

elde edilir

Not 1 Kiralar boumlluumlmuumlnde goumlrduumlğuumlmuumlz gibi 1

1

n

n

rr r

ifadesi i i npIV doumlrduumlncuuml tablo-

nun değeriyle değiştirilebilir O halde anuumliteleri bilinen borcu npVaZ 7

formuumlluumlyle hesapla-yabiliriz Bu formuumll kiraların sermayesini hesapladığımız formuumlluumln aynısı olduğunu goumlruumlyoruz

Aynı formuumllden anuumliteye goumlre denklem biccediliminde ccediloumlzersek borccedil tutarı bilindiğinde anuuml-itenin hesaplanması iccedilin formuumll elde edebiliriz

1

1

n

n

rrrZa

Not 2 i i tablolarının değerlerinden yararlanarak anuumlite iccedilin np

ZaIV

formuumlluuml elde

edilir Beşinci i i tablo doumlrduumlncuumlsuumlnuumln ccedilarpımsal tersi olarak tanımlanır 1n

p np

VIV

yani 1

1

nnp n

r rV

r

dir Buna goumlre anuumlite iccedilin npVZa

formuumlluuml geccedilerlidir

1 5 000 denar tutarında aylık eş anuumlitelerle beş yılda bir ay vadeli doumlnem sonu 24 pa(d) faiz oranıyla ne kadar borccedil oumldenebilir

Oumldevde verilen verilere goumlre n = 5 ve yılda m = 12 faizlendirme ve yıl-da aynı sayıda borccedil oumldeme taksitleri vardır O halde toplam taksit sayısı nm = 60 douml-

nem sonu faiz katsayısı 24

1 10212 100

r

rsquodir Borcu hesaplayan formuumll gereğince

431738041021021

10215000

1

160

60

60

60

rr

raZ denar elde edilir

Bundan sonra m ile yıllık faizlendirme sayısını işaret ettiğimiz gibi aynısı anuumlite sayısı iccedilin de geccedilerli olacaktır Ccediluumlnkuuml amortisman devreleri başlangıccedil koşullarına goumlre anuumlite sayısıyla ccedilakıştığını demiştik ve n ile amortisman suumlresini işaret edeceğiz

241

2 40 000 denar tutarında borccedil altı aylık vadeli anuumlitelerle 4 pa(d) faiz oranıyla 10 yılda oumldeniyor Faizlendirme altı aylık vadeli olduğuna goumlre altı aylık vadeli anuumlite tutarı ne kadardır Hesaplanan faiz tutarı ne kadardır

Verilenler n = 10 m = 2 anuumlite devreleri altı aylık olduğuna goumlre toplam anuumlite sayısı nm

= 20rsquodir Faiz katsayısı 4

1 102200

r rsquodir Borccedil tutarı Z = 40 000 denar biliniyor Amortis-

man suumlresinde eşit olan anuumliteler iccedilin

272447021

102102140000

120

20

20

20

rrrZa

denar elde edilir

Hesaplanan faiz miktarı oumldenen anuumlitelerin toplamı ve borccedil tutarının farkına eşittir O halde 489454000027244720 ZanmI

denardırAmortisman suumlresinde hesaplanan faiz miktarının formuumlluuml

ZanmI

anuumlitelerin top-lam tutarı ve borccedil tutarının farkı biccediliminde goumlsterildiğini fark edebilirsiniz

3 2 000 000 tutarinda bir borccedil 10 yılda 6 pa(d) faiz oranıyla eşit anuumliteli serisiyle oumldenir Oumldeme vadesi

a) yarıyıllık b) uumlccedil aylıkolduğuna goumlre anuumlite tutarını hesaplayınız

Faizlendirme doumlnemi amortisman doumlnemiyle ccedilakışıktırHer iki durumda Z = 2 000 000 denar n = 10rsquodura) Oumldevi sadece doumlrduumlncuuml i i tablosundan yararlanarak ccediloumlzeceğiz Boumlylece

42134431067215710200000020

3 VZa

elde edilirDoğrudan hesaplayarak ve i i tablosundan yararlanarak ccediloumlzuumlmuumln yoklamasını yapınız

b) m = 4 iccedilin

0151400

61 r

ve anuumlite sayısı 40 biliniyor O halde

66854

0151

1015101512000000

140

40

40

40

rrrZa denardır

Alıştırmalar

1 Sekiz yıl boyunca 5 pa(d) faiz oranıyla 15000 denar tutarlı eşit anuumliteli oumldemelerle ne kadar borccedil oumldenebilir Faizlendirme vadesi amortisman devresiyle ccedilakışır Anuumlitelerin oumldeme devresi

a) yıllık b) yarıyıllık c) uumlccedil aylık olsunHesaplamayı formuumll kullanarak doğrudan ve i i tablosunu kullanarak yapınız

242

2 Doumlrt yıl boyunca 6 pa(d) faiz oranıyla 10000 denar tutarlı eşit anuumliteli oumldemelerle ne kadar borccedil oumldenebilir Faizlendirme vadesi yıllık amortisman vade sonudur

3 400 000 denar borccedil 15 yıl boyunca her altı ayda eşit anuumlitelerle geri oumldenmelidir Faiz oranı 3 pa(d) ve faizlendirme altı aylık doumlnem sonu olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadar olmalıdır

4 Yıllık vadeli 20 000 denar tutarında anuumlitelerle 5 yılda 4 pa(d) yıllık vadeli faiz ora-nıyla ne kadar borccedil oumldenecektir

5 50 000 denar borccedil 5 yılda uumlccedil aylık 8 pa(d) faiz oranlı anuumlitelerle oumldenecektir Anuumlite tutarı ne kadardır Faizlendirme uumlccedil aylık vadelidir

93 Eşit Anuumliteli Borccedilların Oumldemelerinin Hesaplanması

Her anuumlite iki kısımdan olduğunu artık biliyoruz birinci kısım anlaşma gereği borcun oumldeme miktarı yani bir ccedileşit taksit diğer kısmı ise borcun kalan kısmına geccedilen suumlre iccedilin uygu-lanan faizdir Z tutarında borccedil alınmış ve bunu n eşit anuumlite ile geri ccedilevirmek gerekir Her anuuml-itenin tutarı a faiz oranı p ve doumlnem sonu faizlendirme faizlendirme vadesi anuumlitenin oumldeme vadesiyle ccedilakışıktır Her k-cı oumldemeyi bk ve k- cı faizi ik ile işaret edersek birinci anuumlite

a = b1 + i1

olur Burada faiz birinci doumlnem iccedilin Z tuumlm borccedil tutarına hesaplanır yani 1100

Zpi rsquodir

Başlangıccedilta faiz oranı bir faiz doumlnemi iccedilin p olarak alacağız ondan sonra ise etkin faiz oranını kullanmaya dikkat edeceğiz

İkinci anuumlite birincisine eşit fakat eklenen faiz miktarı farklıdır a = b2 + i2 Şimdi faiz

miktarı borcun kalan kısmına aittir o ise Z ndash b1 olduğuna goumlre 1

2100

Z b pi

rsquodir

Uumlccediluumlncuuml anuumlite a = b3 + i3 ve 1 2

3100

Z b b pi

olur ccediluumlnkuuml şimdiye dek artık iki oumldeme

yapılmıştır ve kalan borccedil Z ndash b1 ndash b2rsquodir

243

Kalan anuumlitelerin her birini bu şekilde inceleyerek son anuumliteye a = bn + in varıyoruz Bura-

da faiz borcun kalan kısmına Z ndash b1 ndash b2 - hellip - bn uygulanır yani 100

121 pbbbZi n

n

rsquodir

Oumldemeler arasındaki bağıntıyı belirtmek iccedilin birbirine eşit olan anuumliteleri eşitleyeceğiz

Boumlylece birbirine eşit olan ilk iki anuumliteyi eşitlersek b1 + i1 = b2 + i2 yani 100100

121

pbZbZpb

elde edilirOradan 2

11

100bpbb

ya da diğer şekilde yazılışı

rbpbb 112100

1 13

dir

Benzer şekilde herhangi iki ardışık anuumliteyi mesela kndashci ve k + 1ndashnci anuumliteleri eşitler-sek

100

100

111

11 pbbbZb

pbbZb kk

kk

k

elde edilir Bu eşitliği sadeleştirerek her k 12n -1 iccedilin

rbpbb kkk 13

10011

elde edilir

Son ifadeden goumlruumllduumlğuuml gibi oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisini oluşturuyorlar Daha da her oumldeme 1

1

kk rbb

formuumlluumlyle hesaplanabilir

Not 1 Birinci i i tabloyu kullanırsak herhangi oumldeme iccedilin 1

1

7 kpk bb

formuumlluuml geccedilerli-dir

1 Borccedil eşit uumlccedil aylık vadeli anuumlite ile ve uumlccedil aylık vadeli faizlendirme ile oumldenecektir (amor-tisman olacaktır) Dokuzuncu oumldeme 2343322 denar olduğuna goumlre beşinci oumldemeyi belirtiniz Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir

b9 = 2343322 biliniyor b5 oumldemesinin tutarını belirtmek gerekir Geometrik dizisinin

oumlzelliğine goumlre b5 = b1 r4 ve b9 = b1 r8rsquodir Faiz katsayısı 8

1 102400

r rsquodir İncelenen oumldeme-

lerin boumlluumlmleri 8

49 1

4

5 1

b b r rb b r

olduğundan beşinci oumldeme

872164021

32223434

4

95

rb

b denar olduğunu buluyoruz

Birinci oumldeme tutarı bilinmiyor fakat borccedil yada anuumlite tutarı biliniyorsa zaten guumlnluumlk yaşantımızda ccedilok sık rastlanan olaylardır oumldemeler nasıl belirlenebilir sorusu soruluyor

244

Z borcunun oumldemelerini belirtmek iccedilin Z tuumlm oumldemelerin toplamına eşit olduğunu goumlr-memiz yeterlidir Buna goumlre

12

1

1

1

2

11121 1 nnn rrrbrbrbrbbbbbZ

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı r olan bir geometrik dizisidir Buna goumlre

1

11

rrbZ

n

elde edilir

Not 2 1

1

nrr

ifadesini 11 npIII ile değiştirirsek

1

1 1 777 npbZ

elde edilir Bu eşitlikten 1

11

nr

rZb oumldeme tutarını borccedil tutarıyla anuumlite sayısıyla ve faiz ora-nıyla ifade edebiliriz

Bunu genel şekilde k-cı oumldeme iccedilin de yazabiliriz 1

1

1

knk r

rrZb

Borccedil tutarını 1

1

rr

raZ n

n

anuumlite ile ifade edersek birinci oumldemeyi anuumlite ile ifade

eden formuumlluuml elde edeceğiz

1

1

1

1

1

11

nn

n

n rr

rrra

rrZb

ya da sonuccedil olarak nrab 1 elde edilir

Not 3 Son eşitlikten hemen 1

npb a II ya da

npba 7 1

yazılabilir Sonunda anuumlite ile ifade edilmiş k- cı oumldeme

1

1

kn

knk r

arrab

Not 4 Son eşitlik i i tablosuyla ifade edilirse k ndash cı oumldeme iccedilin 177 knpk ab

]

biccediliminde yazılabilir

Anuumlite ve son oumldeme arasındaki bağıntı 1

n pab a IIr

ya da 1

n pa b I formuumllleriyle ifade edildiğini de goumlsterelim

245

2 Bir borccedil yarıyıllık vadeli eşit tutarlı anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlendirmesiyle 5 yılda oumldeniyor Anuumlite 6pa(d) faiz oranıyla 4120 denar olduğuna goumlre altıncı oumldemeyi be-lirtelim

Oumlnce birinci ondan sonra da altıncı oumldemeyi belirteceğiz a = 4120 denar n = 5 m = 2

borcun amortismanı 10 anuumlite ile yapıldığını ve faiz katsayısı 61 103

200r olduğunu bi-

liyoruz O halde ilk oumldeme 1 10

4120306567

103n

abr

denar olduğunu buluyoruz Oumldemeler

bir geometrik dizisi oluşturduğuna goumlre geometrik dizilerin oumlzelliği gereğince altıncı oumldeme b6 = b1r5 = 306567 middot1035 = 355395 denar olduğunu buluyoruz

3 Amortismanı 6 yılda gerccedilekleşen 4 pa(d) faiz oranıyla verilmiş bir borcun anuumlitesi ne kadardır Anuumliteler ve faizlendirme devreleri yıllıktır ve sadece doumlrduumlncuuml oumldeme 847934 denar olduğu biliniyor

Bilinenler doumlrduumlncuuml oumldeme b4 =847934 faiz katsayısı r = 104 ve anuumlite sayısı 6rsquodır Anuuml-ite ve oumldeme arasındaki bağıntıyı doğrudan doğruya goumlsteren formuumllden

3

3

6

3

14 rar

rarbb

elde edilir Oumlrneğimizde

3041348479

a

denklemi elde edilir Oradan da anuumlite a = 95389

denar olduğunu buluyoruz

Borccedil tutarı ise

600001041041

1041099538

1

16

6

6

6

rr

raZ denardır

Alıştırmalar

1 Bir borcun amortismanı eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlendirmeyle yapılmaktadır Faiz oranı 12 pa(d) ve altıncı oumldeme 15 000 denar olduğuna goumlre onuncu oumldemeyi belirtiniz

2 Bir borcun amortismanı eşit doumlrt aylık anuumlitelerle ve doumlrt aylık doumlnemli faizlendirmey-le yapılmaktadır Faiz oranı 9 pa(d) ve onuncu oumldeme 16 000 denar olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

3 Bir borcun amortismanı 6 yılda eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlendir-meyle yapılıyor Faiz oranı 18 pa(d) uumlccediluumlncuuml ve altıncı oumldemenin toplamı 40000 denardır Borccedil ne kadardır Anuumlite tutarı ne kadardır

4 Amortismanı 6 yıl suumlren bir borccedil 4 pa(d) faiz oranıyla verilmiştir Anuumliteler ve fa-izlendirmeler vadesi yıllık ve altıncı ve doumlrduumlncuuml oumldeme arasındaki fark 6919 denar olduğu bilindiğine goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

246

5 200 000 denar tutarında bir borcun amortismanı eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlen-dirmeyle 10 yılda gerccedilekleşiyor Faiz oranı 5 pa(d) olduğuna goumlre altıncı yıldaki faiz miktarı-nı bulunuz (Tavsiye beşinci oumldeme dahil tuumlm oumldemelerin toplamını hesaplayınız)

94 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Oumldenmiş Kısmınınve Kalan Kısmının Hesaplanması

Oumldemeleri hesaplarken tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olduğunu varsayıyor-duk Buna goumlre Ok ile işaret edeceğimiz k devrede (periyotta) borcun oumldenmiş kısmı k-cı anuumlite dahil ilk k oumldemenin toplamına eşittir yani

Оk = b1 + b2 + + bkdir Her oumldemenin değerini değiştirmekle

Оk =b1 + b1r + + blrk-1 = b1 (l + r + r2 + + rk-1)elde edilir Geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı formuumlluumlnden borcun k devrede oumlden-diği borcun kısmı iccedilin şu formuumll elde edilir

1

11

rrbO

k

k

Not 1 Uumlccediluumlncuuml i i tablosundaki değerleri almakla borcun oumldenmiş kısmı iccedilin kpk bO 777 11

formuumlluuml elde edilirAnlaşılacağı uumlzere bu formuumll borcun oumldenmesiyle ilgili oumlnceden bulduğumuz formuumlluumln

k = n iccedilin karşılığıdırBundan sonra borcun kalan kısmı ne kadardır sorusu sorulabilir Sorunun cevabı accedilıktır

Borcun kalan kısmı aslında borccedil tutarı ve oumldenen kısmın farkıdır Oumldenen k-cı anuumliteden sonra borcun kalan kısmını Rn-k ile işaret edelim O halde

1

11

r

rbZOZRk

kkn

olduğunu yazabiliriz Birinci oumldemeye goumlre borcun formuumlluumlnuuml değiştirirsek

1

1

1

111

rrb

rrbR

kn

kn ya da

11

r

rrbRkn

kn

elde edilir Borcu ve borcun kalan kısmını anuumlite ile ifade edersek

1

1

1

1

rr

ra

rrraR

k

nn

n

kn yani 1

rrrraR n

kn

kn elde edilir

247

Not 2 1rr

rrn

kn

ifadesini i i tablosundan karşılık gelen değerini değiştirmekle oumldenen

k anuumliteden sonra borcun kalanını hesaplamak iccedilin şu formuumll geccedilerli olacaktırkn

pkn VaR 7

1 30 000 denar borccedil 8 yılda amortisman olacaktır Faiz oranı 5 pa(d) eşit anuumliteli ve faizlendirme yarıyıllıktır 10 anuumlite oumldendikten sonra borcun kalanı ne kadardır

Borccedil toplam 16 anuumlite ile oumldeniyor Faiz katsayısı r = 1025rsquotir Oumlnce anuumliteyi ve ilk oumlde-meyi hesaplayalım Anuumlite iccedilin

972297

10251

10251025130000

16

16

a

denar elde edilir Birinci oumldeme iccedilin ise

9715470251

97229716161

rab

denar elde edilir Şimdi borcun kalanını hesaplayabiliriz

51265710251

02510251971547

1

10161016

16

r

rrbR

denar elde edilirHesaplanan kalandan borcun oumldenmiş kısmını da hesaplayabiliriz Buna goumlreO10 = Z ndash R6 = 30 000 ndash 126575 = 173425 denar artık oumldenmiştir2 100 000 denar tutarında borcun amortismanı 50 yılda yapılmalıdır Faiz oranı 4 pa(d)

yıllık vadelidir Yıllık 20 anuumlite oumldendikten sonra kalan borccedil ne kadardırOumlrneğin i i tablolarından yararlanarak ccediloumlzelim Borcun kalanını ve oumldenmiş kısmını

hesaplayacağız Borcun kalanı iccedilin 30

30 4R a IV geccedilerlidir Oumlnce anuumliteyi hesaplayalımAnuumlite

24655046552010000050

4 VZa

rsquodir İlk oumldeme ise

0265514070702465550

41 77 ab

rsquodir Borcun kalan kısmı

7580494292033172465530

430 7 VaR

denardır ve sonunda ccedilevrilen borcun

7780785729026551 20

4120 777 bO olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Bir borcun amortismanı 40 yılda yarıyıllık anuumlitelerle ve 6 pa(d) faiz oranıyla yarı-yıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır Yirminci oumldeme 1000 denar olduğuna goumlre 30 anuumlite oumldendikten sonra borcun kalan kısmını belirtiniz

248

2 200 000 denar tutarında borcun amortismanı 25 yılda yarıyıllık anuumlitelerle ve 8 pa(d) faiz oranıyla yarıyıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır 21 anuumliteden 30 anuumliteye kadar (30 anuumlite dahil) ne kadar borccedil oumldenmiştir (O30 ndash O20 farkını bulunuz)

3 Bir borcun amortismanı 40 yılda yıllık anuumlitelerle ve 4 pa(d) faiz oranıyla yıllık va-deli faizlendirmeyle yapılacaktır İlk 25 oumldemeyle borccedil 40 000 denar azalmıştır Borccedil tutarı ne kadardır

4 Bir borcun amortismanı 50 yılda yıllık anuumlitelerle ve 5 pa(d) faiz oranıyla yıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır 21 anuumliteden 30 anuumliteye kadar (30 anuumlite dahil) 10 000 denar borccedil oumldendiğine goumlre borccedil tutarı ne kadardır

5 1 000 000 denar tutarında borcun amortismanı 20 yılda eşit yarıyıllık vadeli anuumlitelerle yapılacaktır Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıllık vadeli faizlendirme olduğuna goumlre 10 yıl sonra bor-cun ne kadar kısmı oumldenecektir

95 Eşit Anuumliteli Borccedilların Amortismanında Faiz Oranıve Devre Sayısının Hesaplanması

Borccedil ve anuumlitenin hesaplanmasına uygulanan formuumllden faiz oranı ya da devre sayısı bi-linmeyen olarak diğer bilinen buumlyuumlkluumlklerle ifade edilebilirler Kiralarda yapıldığı gibi formuumllle doğrudan doğruya hesaplamakla ya da i i tablolarından yararlanmakla yapabiliriz Bunu birkaccedil oumlrnekle goumlstereceğiz

Başlangıccedil formuumlluuml olarak borccedil formuumlluumlnuuml alalım 1

1

rr

raZ n

n

formuumlluumlne gereken douml-nuumlşuumlmleri yapmakla

nra

rZ 11

1

elde edilir oradan da a

rZar n

11 ya da 1

rZa

ar n

elde edilir Bu eşitliğin her iki tarafının logaritmasını alırsak amortisman suumlresi n iccedilin

1log

log

1

rZaa

rn

formuumlluuml elde edilir

249

Faiz oranının hesaplanması soumlz konusu olunca youmlntemlerden biri doumlrduumlncuuml i i tablo-sundan n

pVaZ 7

borcun temel formuumlluumlnden yararlanmaktır Halbuki formuumlllerden yarar-lanırken uygun denklem elde edildiğinde doğrudan doğruya da hesaplayabiliriz

Doğrusal ara değerleme (enterpolasyon) youmlntemini şimdiye dek birccedilok defa kullandık şimdi de gerektiği durumda kullanabiliriz

Oumldevlerde verilen verilere bağlı olarak yukarıdaki formuumllleri kullandığımız gibi amortis-man suumlresini ve faiz oranını hesaplamada gerektiğinde diğer formuumlller de kullanılabilir

1 60 000 tutarında bir borccedil 4000 denar tutarında eşit yıllık anuumlitelerle yıllık vadeli 4 pa(d) faiz oranıyla oumldemelerle ne kadar zamanda amortisman olacaktır (oumldenecektir)

Borcun hesaplanması iccedilin kullanılan 1

1

rr

raZ n

n

formuumlluumlnde verilen değerleri de-

ğiştirerek ve logaritma işlemini uygulayarak doğrudan doğruya hesaplamayı yapabiliriz Yani

1041041

1041400060000

n

n

değiştirmekle 60041

1041

n

n

buradan da 104140 n

ya da 104n

= 25 denklemi elde edilir Denklemin iki tarafının logaritmasını almakla 3623041log

52logn

elde edilir Amortisman suumlresi tam sayı değildir yani 23 anuumlite eşit 24 anuumlite ise farklıdır Anuuml-

ite kalanı iccedilin daha sonra soumlz konusu olacaktır

2 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli ve uumlccedil aylık vadeli faizlenme ile itfa (amortisman) edilir Be-şinci ve uumlccediluumlncuuml oumldemenin farkı 84064 denar uumlccediluumlncuuml ve altıncı oumldemenin toplamı ise 4288962 olduğuna goumlre faiz oranını hesaplayınız

Doumlnem sonu faiz katsayısını hesaplayacağız Verilen koşullara goumlre şu denklemler siste-mini oluşturacağız

6242889

64840

36

35

bbbb

Denklemleri ilk oumldeme ve faiz katsayısına goumlre duumlzenlemekle verilene denk olan şu sistem elde edilir

6242889

64840

2

1

5

1

2

1

4

1

rbrbrbrb

Burada denklemleri taraf tarafa boumllmekle

01960

6242889

64840

1

132

1

22

1

rrbrrb

bağıntısı elde edilir Son denklemi sadeleştirerek

01960

11

112

rrr

rr

oradan da 019601

12

rr

r

denklemi elde edilir Bu denklem r

faiz katsayısına goumlre

250

00196r2 - 10196r +10196 = 0ikinci derece denklemdir ve ccediloumlzuumlmuuml r1 =102 ve r2 = 51rsquodir İkinci ccediloumlzuumlmuumln faiz katsayısı iccedilin

anlamı yoktur birinci ccediloumlzuumlmden ise 1 102400

p elde edilir ve oradan p = 8 pa(d) elde

edilir

3 Hangi faiz oranıyla 40 000 denar tutarında bir borccedil 10 yılda 4500 denar tutarında eşit yıllık anuumlitelerle itfa edilecektir

Hem borccedil hem de anuumlite bildiğine goumlre borcun

1

1

rr

raZ n

n

temel formuumlluumlnden

ya da 10

pZ a IV formuumlluumlnden hareket edeceğiz Doumlrduumlncuuml i i tablosunda n = 10 iccedilin 10 879120879pIV değerini arıyoruz Bu sayı n = 10 iccedilin tabloda değeri olmadığına goumlre sayı-

lar arasında ara değerleme yapacağız Veriler aşağıdaki tabloda yazılıdır

10

pV7 p 10

pV7 p

866216348 252 866216348 252

752063937 52 791208798 p

114152410 250 075007550 p252

Elde edilen farklardan orantı kuruyoruz011415241 025 = 007500755 (p - 225) oradan da p ndash 225 = 016 ve sonunda p = 241

pa(d) elde edilir Aynı sonuca beşinci i i tablosundan yararlanarak da gelebiliriz Orada 10 0011375pV

olduğuna goumlre 10

pa Z V formuumlluumlnden yararlanıyoruz

Alıştırmalar

1 Hangi yıllık faiz oranıyla 60 000 denar tutarında bir borccedil 5 yılda 366942 denar tutarın-da eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle itfa edilecektir (oumldenecektir)

2 200 000 denar borccedil 931004 tutarında yarıyıllık anuumlitelerle ve 8 pa(d) yarıyıl vadeli faiz oranıyla ne kadar zamanda itfa edilecektir

3 1 000 000 denar borccedil hangi faiz oranıyla 61 77661 denar tutarında yıllık anuumlitelerle 25 yılda itfa edilir

4 Hangi yıllık faiz oranıyla 119 200 denar tutarında bir borccedil 13 700 denar tutarında yıllık anuumlitelerle 11 yılda itfa edilecektir

225

-025

22525

251

5 400 000 denar tutarında borccedil 24 46268 denar tutarında eşit yarıyıllık anuumlitelerle oumlden-mektedir Faiz oranı yarıyıllık vadeli 4 pa(d) olduğuna goumlre amortisman suumlresini hesaplayı-nız

96 Eşit Anuumliteli Borcun Amortisman Planı

Z tutarında bir borccedil eşit anuumlitelerle oumldendiği durumda borccedillu her devre sonunda aynı tutarlı taksitler oumldeyecektir Bu oumldemeler iki kısımdan meydana gelmektedir Bu kısımlardan biri borcun bir kısmının oumldeme tutarı ve kalan borcun faizidir

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 Z 1001

Zpi 11 iab a

2 11 bZRn 100

12

pRi n 22 iab a

1n 232 nbRR 100

21

pRin 11 nn iab a

n 121 nbRR 100

1 pRin nn iab a

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Bu şekilde borcun oumldenmesinde her gelen devrede borcun oumldeme tutarı artar fakat kalan borcun faizi azalmaktadır Borcun oumldenmesi oumlnceden yapılan ve amortisman planı denilen bir plan uumlzerinde yapılmaktadır Bu plan genellikle tablo biccediliminde goumlsterilir

Suumltunların dağılımı yukarıda goumlsterilen tablodan farklı olabilir fakat her tabloda bu suuml-tunlar olmalıdır

Oumlrneğin bir amortisman planının nasıl yapıldığını adım adım goumlstereceğiz ve sonunda tabloyu dolduracağız

1 100 000 denar tutarında bir borccedil eşit yıllık anuumliteli 5 yılda 4 pa(d) yıllık vadeli faiz oranıyla itfa edilecektir Borcun oumldenmesi iccedilin amortisman planı yapılsın

Faizlenme yıllıktır faiz katsayısı r = 104 Toplam 5 anuumlite vardır

Anuumlitenin değeri 822462

1041

1041041100000

5

5

a denardır

ndash Birinci kalan borcun tuumlmuumlduumlr R5 = Z = 100 000 denardır

ndash birinci faiz 4000100

4100000

1001

Zpi denardır ndash tuumlm borcun faizi

252

ndash birinci oumldeme b1 = a ndash i1 = 224628 - 4000 = 184628 denardırndash ikinci kalan oumldenen bir anuumlite sonrası birinci yıl sonundaR4 = Z ndash b1 = 100 000 ndash 184628 = 81 5372 denardır

ndash ikinci faiz 53261100

4281537

100

42

pRi denardır- ikinci kalanın faizidir

ndash ikinci oumldeme b2 = a - i2 = 224628 - 32615 = 192013 denardırndash uumlccediluumlncuuml kalan R3 = R4 - b2 = 815372 -192013 = 623359 denardır

ndash uumlccediluumlncuuml faiz 442493100

4962335

100

33

pRi denardır ndash ikinci kalanın faizidir

ndash uumlccediluumlncuuml oumldeme b3 = a -i3 = 224628 - 249344 =1996936 denardırndash oumldenen uumlccedil anuumliteden sonra uumlccediluumlncuuml yıl sonunda doumlrduumlncuuml kalanR2 = R3 - b3 = 62 3359 ndash 19 96936 = 42 3665 denardırndash doumlrduumlncuuml faiz 661694

100

4542366

100

24

pRi denardır ndash uumlccediluumlncuuml kalanın faizi

ndash doumlrduumlncuuml oumldeme b4 = a - i4 = 46 8 -169466 = 076814 denardırndash oumldenen doumlrt anuumliteden sonra doumlrduumlncuuml yıl sonunda beşinci kalanR1 = R2 ndash b4 = 42 3665 ndash 2076814 = 21 5984 denardırndash beşinci faiz miktarı 9863

100

4421598

100

15

pRi denar ndash doumlrduumlncuuml kalanın faiz miktarı

ndash beşinci oumldeme b5 = a - i5 = 224628 - 8639 = 2 5984 denardırndash beş anuumlite oumldendikten sonra altıncı kalan R0 = R1 - b5 = 215984 - 215984 = 0 denardır

Demek ki borccedil oumldenmiştir

Bu şekilde hesaplanan değerleri tabloda goumlsterelim

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 4000 818462 822462

2 281537 53261 319201 822462

3 962335 442493 3619969 822462

4 542366 661694 1420768 822462

5 421598 9863 421598 822462

suma 307838 512313 100000

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

toplam

253

Amortisman planı yapıldıktan sonra bu planın doğru olup olmadığını yoklamak gerekirKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zbj

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R6 Koşul 3 Faizler suumltunundaki değerlerin toplamı ve oumldemeler suumltunundaki değerlerin top-

lamı devre sayısı ile anuumlitenin ccedilarpımına eşit olmalıdır nabi jj

Koşul 4 Anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij Koşul 5 Faizler suumltununun toplamı jj Rpi

100

dir

Yukarıda ccediloumlzuumllen oumlrnekte tuumlm bu koşulların sağlandığını kolay goumlrebiliriz Oumlrneğin oumlde-meler suumltununda tuumlm oumldemelerin toplamı 100 000 denardır bu ise borccedil tutarıdır Son oumldeme ve son kalan birbirine eşittir

Ondan sonra 11231482246255112313100000512313 jj bi

Anuumli-te oumldeme ve karşılık gelen faizin toplamı olduğunu goumlruumlyoruz oumlrneğin 169466 + 2076814 = 224628 Sonunda 5212313

100

4307838512313

olduğuna goumlre beşinci koşul da geccedilerli

olduğunu goumlruumlyoruz

2 Borccedil uumlccedil aylık devreli anuumlitelerle ve uumlccedil aylık vadeli 8 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir İkinci devrede faiz miktarı 49648 denar ve beşinci devredeki faiz miktarı 37161 denar olduğu-na goumlre son uumlccedil devre iccedilin amortisman planını oluşturunuz

Bu oumldevde amortisman planı sadece son uumlccedil anuumlite iccedilin yapılacaktır Başlangıccedil iccedilin kaccedil anuumlitenin oumldeneceğini de bilmiyoruz Verilen koşulları yazalım

021400

81 r ve

61371

48496

5

2

ii

Sistemi birinci oumldeme ve anuumliteye goumlre ccediloumlzeceğiz

61371021

48496021

61371

48496

61371

48496

61371

48496

1

4

1

4

1

1

5

2

5

2

baba

rbarba

baba

ii

Denklemleri taraf tarafa ccedilıkarırsak (1024 -102)b1 = 1248 elde edilir Oradan da b1 = 2000 denar ve a = 253648 denar elde edilir

Şimdi amortismanın devre sayısını belirtmek iccedilin birinci oumldemeye ait formuumllden yarar-lanacağız

nn

arab

441021

254

O halde 2682412000

482536021 4 n denklemi elde edilir Bunun logaritmasını almakla

12021log

268241log4 n elde edilir Buna goumlre borccedil uumlccedil yıl boyunca 12 anuumlite ile itfa edilir

Son uumlccedil oumldemeyi formuumllle hesaplayabiliriz 1923900212000 99

110 rbb 9924370212000 1010

111 rbb7424860212000 1111

112 rbb

ve

Bunlara karşılık gelen kalanları da hesaplayalım

9173141021021

021021482536

1 12

912

12

912

3912

rrrraRR denar onuncu kalan R12-10 =

R2 = R3 - b10 = 492472 denar elde edilir ve on birinci kalan iccedilin R12-11 = R1 = R2 - b11 = 248674 = b12 olduğunu buluyoruz Faizler ya kalanlardan ya da daha kolay ij = a ndash bj oumlzelliğinden belirtilir Buna goumlre i10 = a ndash b10 = 14629

i11 = a ndash b11 = 9849 ve i12 = a ndash b12 = 4973 olduğunu buluyoruz Şimdi amortisman tablosunu oluşturabiliriz

Period Ostatok Kamata Otplata 10 917314 29146 192390

11 724924 4998 992437

12 742486 7349 742486

Devre (periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme

Planın tuumlmuuml olmadığına goumlre yoklamasını yapamıyoruz

Alıştırmalar

1 100 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edi-lir Yıllık faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

2 80 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edilir Yıllık faiz oranı 5 pa(d)rsquodir Amortisman planını oluşturunuz

3 100 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edi-lir Yıllık faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

4 10 000 denar tutarında bir borccedil 4 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edilir Yıllık faiz oranı 10 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

255

5 Bir borccedil eşit yarı yıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle itfa edilir Birinci oumlde-me 20 000 denar son devrenin faizi 322102 denar ve sondan bir evvelki devrenin faizi 614922 denar olduğuna goumlre amortisman planını oluşturunuz

97 Yuvarlak Tutarlı Anuumliteli Borccedillar

Belli bir borcu oumlderken a anuumlitesi konkre tutarlı ya da borcun bir yuumlzdesi olarak verile-bilir Bu anuumliteler genellikle tam sayıya yuvarlanıyorlar (onluk yuumlzluumlk vb) Bu yuumlzden bunlara yuvarlak anuumliteler ve borccedillara yuvarlak anuumliteli borccedillar denilir Anuumlite yukarıda sayılan şekil-lerden biriyle verilmediğinde ve borcun itfalı yuvarlak anuumlitelerle yapılma koşulları varsa anuumli-tenin hesaplama yuumlzdesini hesaplamak gerekir Burada da doumlnem sonu borccedillardan amortisman devresinin sonunda oumldemeler ve vade sonu faizlenmeden soumlz edeceğiz

Oumldevlerde genel olarak borccedil tutarı amortisman devresi ve faiz oranı veriliyor belirtil-mesi gereken ise yuvarlak değerli anuumlite tutarı ve sonunda diğerlerinden farklı olan son anuumlite tutarını

Borcun Z tutarı ve faiz oranı p pa(d) verilmiş olsun Amortisman devrelerinin sayısı bilindiği durumda n ndash 1 anuumlitenin değeri eşit ve son olan n-cı anuumlitenin değeri diğerlerinden kuumlccediluumlk olduğuna goumlre 100 n

pV ve 1100 npV arasında bulunan p1 yuumlzdesi aranılır Yuvarlanan anuuml-

iteler eşit olan anuumlitelerden buumlyuumlktuumlr ve bu yuumlzden son anuumlite onlardan farklı ve değeri diğerle-rinden kuumlccediluumlktuumlr ve ona anuumlite kalanı denir

Demek ki yuvarlak anuumliteyi bilmiyorsak borcun p1 yuumlzdesi gibi ifade edilecektir genel

olarak tam sayı ile ya da 100

1Zpa formuumlluuml ile ifade edilecektir ve bu durumda

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

geccedilerli olacaktır

1 130 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda yuvarlak yarıyıllık anuumlitelerle ve 5 pa(d) yarıyıllık faizlenme ile itfa edilir Yuvarlak anuumliteyi hesaplayınız

Faiz katsayısı 0251200

51 r anuumlite sayısı 6 2 = 12rsquodir p1 yuumlzdesini

10251

102510251100

10251

1025100251100

12

11

112

12

p

eşitsizliğinden belirteceğiz Oradan

256

974 lt p1 lt 1051 gerekirp1 iccedilin bu aralıkta bulunan ve hesaplamalar iccedilin daha kolay tam sayı olan p1 = 10 değe-

rini seccedileceğizBuna karşılık gelen yuvarlak anuumlite

13000130000100

10

100

1 Zpa

denardır

Elde edilen anuumlite tam sayı değilse onu onluklara ya da yuumlzluumlklere yuvarlayacağızBazı durumlarda yuvarlak anuumlitenin değeri biliniyor olabilir ve amortisman devrelerinin

sayısını hesaplamak gerekir Bunu belirtmek iccedilin eşit anuumliteli borccedillarda yapıldığı gibi hareket edilir ve

1log

log

1

rZaa

rn

formuumlluumlnden yararlanılır Burada yuvarlak anuumlitenin bilinen

değerini kullanıyoruz Anuumlite iccedilin elde edilen sayı n tam sayı olmadığı durumda o sayıdan buuml-yuumlk olan ilk doğal sayı alınır

2 200 000 denar tutarında bir borccedil 40 000 denar tutarında yuvarlak yarıyıllık anuumlitelerle ve 10 pa(d) yarıyıllık faizlenme ile itfa edilir Borccedil kaccedil devrede itfa edilecektir

Yuvarlak anuumlite sabit değerle verilmiş ve borcun

200000

40000

20rsquodir Devre sonu faiz katsa-yısı r = 105rsquotir Bu durumda amortisman devrelerinin sayısı iccedilin

8965105120000040000

40000log

051log

1

n

geccedilerlidir Buna goumlre faizin itfalı 6 dev-

rede gerccedilekleşecek oumlyle ki 5 anuumlitenin tutarı 40 000 denar altıncısı ise farklı ve verilenden kuuml-ccediluumlk olacaktır

Diğerlerinden farklı olan son anuumlite ya da anuumlite kalanı denilen bu taksitin değeri ne kadardır sorusu soruluyor

Kira kalanlarında olduğu gibi burada da aynı şekilde hareket edilir Anuumlitelerin değerleri iskontolanır ve iskontolanmış anuumlitelerin toplamı Z borcuna eşittir

Şek 2

257

Zaman ekseninde goumlsterilene goumlre (şek2) borccedil iccedilin

nnn ra

rrrra

ra

ra

ra

raZ 1

22

1

32

1

111

13

yazabiliriz Parantezler iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan n - 1 terimli bir geo-

metrik dizisinin ardışık terimlerinin toplamıdır Oradan şunu elde ediyoruz

nn

n

n

n

n

n

n

ra

rrra

ra

rrr

r

ra

ra

r

rraZ 1

1

11

1

1

11

1

1

1

1

11

11

Not 1 1

11

1

rrrn

n

ifadesini IVр n-1 finansal tablosundaki karşılığıyla değiştirirsek son anuumlite iccedilin

np

np

nnp VaZrVaZa 777 11

1

formuumlluuml geccedilerlidir

Not 2 Yuvarlak anuumlitelerin ve oumldemelerin oumlzellikleri aynı anuumliteli borccedillarda var olan oumlzel-liklerle aynıdır Oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisi oluşturuyorlar Anuumlite oumldeme ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

3 10 000 denar tutarında bir borccedil 2500 denar tutarında yıllık anuumlitelerle ve 4 pa(d) yıllık faizlenme ile itfa edilir Borccedil kaccedil yılda itfa edilecektir Anuumlite kalanı ne kadar olduğunu hesaplayınız

Doumlnem sonu faiz katsayısı r = 104 anuumliteleri yuvarlak olarak alacağız Amortisman dev-relerinin sayısı iccedilin 4454

1041100002500

2500log

041log

1

n

elde edilir Buna goumlre 5 anuumli-

teden doumlrduuml eşit 2500 denar tutarında beşincisi ise farklıdır

7211250411041041

1041250010000

1

1 5

4

4

1

1

1 9

lt=

gt

9

lt=

gt

n

n

n

rrr

raZa

denardır

258

Alıştırmalar

1 Bir borccedil uumlccedil aylık yuvarlak anuumlitelerle ve 40 pa(d) faiz oranıyla uumlccedil aylık vadeli faiz-lenmeyle 5 yılda itfa edilir İkinci devredeki faiz miktarı 4000 denar ve beşinci oumldeme 14641 olduğuna goumlre borccedil tutarı ne kadardır

(Tavsiye Borcu p1 yuvarlak anuumlite ile hesaplayınız)

2 128 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli 7 pa(d) faiz-lenmeyle itfa edilir Yuvarlak anuumlite 12 000 denar olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda oumlde-necektir

3 Doumlrt aylık yuvarlak anuumlitelerle 12 pa(d) faiz oranıyla ve aynı vadeli faizlenmeyle kaccedil devrede itfa edilecektir Yuvarlak anuumlite tutarı 30 000 denar ilk oumldeme ise 12 000 denardır

4 Bir borccedil yarıyıllık yuvarlak anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenmeyle iki yılda itfa edilir Anuumlite kalanı 14 3179 denar ve son oumldeme 13 7672 denar olduğuna goumlre borccedil ne kadardır yuvarlak anuumlite ne kadardır

5 Bir borccedil yarıyıllık yuvarlak anuumlitelerle ve faiz oranı 8 pa(d) olmak uumlzere yarıyıllık faizlenmeyle 7 yılda itfa edilir Anuumlite kalanı 24936 olduğuna goumlre borccedil tutarını ve yuvarlak anuumliteyi belirtiniz

98 Yuvarlak Anuumliteli Borccedilların Amortisman Planı

Yuvarlak anuumliteli borccedilların amortisman planının yapılması eşit anuumliteli borccedillarda olduğu gibi yapılır sadece son satırda son anuumlitenin yazıldığı yerde farklılık vardır Burada son oumldeme de diğerlerden kuumlccediluumlktuumlr Oumlnce lazım olan buumlyuumlkluumlkler hesaplanır ve ondan sonra amortisman tablosu doldurulur

1 1 000 000 denar tutarında borccedil yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli 20 pa(d) faizlenmeyle 5 yılda itfa edilir Anuumliteler yuvarlak olacak şekilde borcun oumldenmesi iccedilin amortisman planını oluşturunuz

Borccedil 5 anuumlite ile itfa edilir Faiz katsayısı r = 12 Yuvarlak anuumliteyi hesaplamak iccedilin anuumli-tenin borcun hangi kısmı olduğunu belirteceğiz p1 yuumlzdesini sağlayan

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

eşitsizlikte verilerin değiştirilmesiyle

259

121

12121100

121

12121100

4

4

15

5

p ya da

63384433 1 p elde edilirBu aralıkta bulunan herhangi bir değer alınabildiğine goumlre p1 = 35 değerini seccedileceğiz

Bu değere goumlre yuvarlak anuumlite 3500001000000100

35a denardır Beş anuumliteden doumlrduumlnuumln

tutarı 350 000 denar yani aynıdır son anuumlite ise

2337602112121

1213500001000000 5

4

4

1 9

lt=

gt

a denardır

Bireysel hesaplamaları ayrı ayrı yapalımndash Birinci kalan borcun tuumlmuumlduumlr Z = R5 = 1000 000 denardırndash birinci faiz 200000

100

2051 Ri denardır ndash tuumlm borcun faizi

ndash birinci oumldeme b1 = a - i1 = 350000 - 200000 = 150000 denardırndash ikinci kalan R2 = R5 ndash b1 = 850 000 denardırndash ikinci faiz 170000

100

2042 Ri denardır- ikinci kalanın faizidir

ndash ikinci oumldeme b2 = a - i2 = 350000 -170000 = 180000 denardırndash Uumlccediluumlncuuml kalan R3 = R4 - b2 = 670000 denardır

ndash Uumlccediluumlncuuml faiz 134000100

2033 Ri denardır ndash ikinci kalanın faizidir

ndash Uumlccediluumlncuuml oumldeme b3 = a - i3 = 350000 -134000 = 216000 denardırndash Doumlrduumlncuuml kalan R4 = R3 - b3 = 454 000 denardır

ndash doumlrduumlncuuml faiz 90800100

2024 Ri denardır

ndash doumlrduumlncuuml oumldeme 2592009080035000044 iab denardırndash Beşinci kalan R5 = R4 ndash b4 = 194 800 denardır

ndash beşinci faiz 38960100

2015 Ri denardır

ndash beşinci oumldeme 19480038960233760515 iab denardır Bu oumldeme diğerlerin-den farklı olduğundan doğrudan doğruya 19480043215 bbbbZb biccediliminde de he-saplanabilir

Borcun oumldenmesine karşılık gelen amortisman tablosu doldurulur

260

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 1000000 200000 150000 350000

2 850000 170000 180000 350000 3 670000 134000 216000 350000

4 454000 90800 259200 350000 5 194800 38960 194800 233760

suma 3168800 633760 1000000

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Burada da amortisman planının yoklaması yapılmalıdırKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zbj

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R1Koşul 3 Yuvarlanan anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij

son oumldeme hariccedil Son anuumlite anuumlite kalanı ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır 2 Borccedil uumlccedil aylık devreli yuvarlanmış anuumlitelerle ve uumlccedil aylık vadeli 8 pa(d) faiz oranıyla

itfa edilir Yuvarlanmış anuumlite tutarı 10 000 denar olduğuna goumlre son doumlrt devre iccedilin amortis-man planını oluşturunuz

Birinci kalanı bulmak iccedilin borccedil tutarını belirtmemiz gerekir Yuvarlak anuumlitelerde

Zpa100

1 olduğuna goumlre p1 yuumlzdesine ihtiyaccedil vardır Burada

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

eşitsizliği geccedilerlidirBu oumldevde toplam nm = 12 devre vardır Faiz katsayısı

021400

81 r rsquodir Ora-

dan

1021

1021021100

1021

1021021100

11

11

112

12

p ya da 946 ltp1lt 1022 elde edilir p1 =

10 alarak borccedil tutarı

100000100

1

ap

Z denar olduğunu buluyoruz Anuumlite kalanı

2827030211021021

102110000100000 12

11

11

1 9

lt=

gt

a denardır

Son doumlrt oumldemeyi belirtmek iccedilin oumlnce ilk oumldemeyi belirtelim

8000100000400

81000011 iab Oumldemeler bir geometrik dizisinin ardışık terimleri ol-

duğuna goumlre

2793730218000 88

19 rbb 7495600218000 99

110 rbb

toplam

261

b11 = b1r10 = 8000 bull 10210 = 975196 elde edilir Son oumldeme dizinin terimi değildir bu yuumlzden onu başka şekilde hesaplanmalıyız Bunu belirtmek iccedilin youmlntemlerden biri a1 = b12 r formuumlluumlnden yararlanarak belirtilir Buna goumlre 2726501

12 rab denardır Son oumldemeye ka-

deme kademe de gelebiliriz Oumldenen sekiz anuumliteden sonra kalanı doğrudan doğruya ilk sekiz oumldemenin toplamını borccediltan ccedilıkararak belirtelim

1

1

8

1

7

1

2

1114

rrbZrbrbrbbZR

24313361021

10218000100000

8

denar

Son doumlrt devrenin amortisman planını oluşturalım

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

9 3133624 62772 937327 10000

10 219627 49354 956024 10000

11 124017 24804 975196 10000

12 265027 53 265027 282703

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Alıştırmalar1 60 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli olmak uumlzere 4

pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Yuvarlak anuumlite 4000 denar tutarında olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda oumldenecektir Son anuumliteyi ve son oumldemeyi hesaplayınız ve ondan sonra amor-tisman planını oluşturunuz

2 20 000 denar borccedil faiz oranı 4 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme ile doumlrt yılda 3000 denara yuvarlanmış yarıyıllık anuumlitelerle itfa edilir Borcun amortisman planını oluş-turunuz

3 8 000 denar borccedil faiz oranı yıllık 5 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme yıllık anuumlitelerle itfa edilir Yıllık anuumliteler borcun 35rsquoi olduğuna goumlre amortisman planını oluştu-runuz ve son anuumliteyi hesaplayınız

4 200 000 denar borccedil faiz oranı 4 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme ile doumlrt yılda yuvarlanmış yıllık anuumlitelerle itfa edilir Borcun amortisman planını oluşturunuz

262

5 Bir borccedil yuvarlanmış yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle 3 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıllıktır Son oumldeme 126551 denar olduğuna goumlre borcun amor-tisman planını oluşturunuz

99 Alıştırmalar

1 240 000 denar tutarında borccedil 4 yılda eşit yarıyıllık devreli anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle itfa edilecektir Faiz oranı 9 pa(d) olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır He-saplanan toplam faiz miktarı ne kadardır

2 Her biri eşit anuumliteli olan iki borccedil alınmıştır 160 000 denar tutarında olan birinci borccedil 4 yılda ikincisi ise 6 yılda itfa edilecektir Her iki borccedil yarıyıllık anuumlitelerle ve aynı 4 pa(d) faiz oranıyla oumldendiğine goumlre ikinci borcun tutarı ne kadardır

3 Bir borccedil diğer bir borccediltan 100 000 denar buumlyuumlktuumlr Birincisi 20 000 denar tutarlı eşit yıl-lık anuumlitelerle 12 yılda ikincisi ise eşit yıllık uumlnitelerle 10 yılda itfa edilir Her iki borca 5 pa(d) faiz oranı uygulandığına goumlre ikinci borcun anuumlite tutarı ne kadardır Not Z1 = Z2 + 100 000rsquodir

4 Bir borccedil 9 yılda doumlrt aylık vadeli faizlenme ile ve doumlrt aylık devreli eşit tutarlı anuumlite-lerle itfa edilir Faiz oranı 12 pa(d) beşinci ve ikinci oumldemenin farkı 12000 denardır Anuumlite tutarını hesaplayınız

5 Bir borccedil 2 yılda aylık vadeli faizlenme ile ve aylık devreli eşit tutarlı anuumlitelerle itfa edi-lir Faiz oranı 24 pa(d) ve son faiz miktarı 300 denardır Anuumlite ve borccedil tutarını hesaplayınız

6 Altı yılda yarıyıllık vadeli faizlenme ile ve yarıyıllık devreli eşit tutarlı anuumlitelerle 10 pa(d) faiz oranıyla itfa edilen borcun doumlrduumlncuuml oumldeme tutarı 3403822 denardır Borccedil tutarını oumldeme vadesinin tam yarısında borcun kalanını ve hesaplanan toplam faiz tutarını hesaplayınız

7 200000 denar tutarında borccedil her iki yılda bir oumldenen anuumlitelerle ve faiz oranı 8 pa(d) olmak uumlzere iki yıl vadeli faizlenmeyle 26 yılda itfa ediliyor Altıncı anuumliteden on birinci anuumlite-ye kadar borcun hangi kısmı oumldenmiştir

8 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli eşit tutarlı anuumlitelerle ve faiz oranı 16 pa(d) olmak uumlzere uumlccedil aylık vadeli faizlenmeyle 10 yılda itfa ediliyor Oumldenen 25 anuumliteden sonra borccedil 4000 denar azalmıştır Borcun tutarı ne kadardır

9 Bir borccedil yarı yıllık doumlnemli eşit tutarlı anuumlitelerle ve faiz oranı 10 pa(d) olmak uumlzere yarıyıllık vadeli faizlenmeyle 10 yılda itfa ediliyor On birinci anuumliteden başlayarak on beşinci

263

anuumliteye kadar 10 000 denar tutarında borccedil oumldenmiştir Borccedil tutarı ne kadardır on beşinci anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmı ne kadardır

10 Yarıyıllık anuumlitelerle ve 6 pa(d) faiz oranı olmak uumlzere yarıyıllık vadeli faizlenmeyle oumldenen bir borcun hesaplanan yedinci faizi 130 727 denardır Borccedil tutarını ve oumldenen yedi anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmını belirtiniz

11 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli anuumlitelerle ve faiz oranı 32 pa(d) olmak uumlzere uumlccedil aylık vadeli faizlenmeyle 125 yılda itfa ediliyor Oumldenen 40 anuumliteden sonra borcun kalanı 20 000 denar olur Borccedil tutarı ne kadardır Anuumlite tutarı ne kadardır

12 Faiz oranı 6 pa(d) olmak uumlzere 40 000 denar tutarlı anuumlitelerle 1 000 000 tutarında borccedil ne kadar zamanda itfa edilir Anuumliteler ve faizlenme yarıyıllık vadelidir

13 Bir borccedil eşit tutarlı yıllık anuumlitelerle ve yıllık doumlnemli faizlenme ile itfa edilir Birinci oumldeme 200 000 denar son yıldaki faiz miktarı 1157625 denar ve sondan bir oumlnceki periyotta faiz miktarı 22 60125 denar olduğuna goumlre borccedil tutarını belirtiniz

14 630 182 tutarında bir borccedil uumlccedil aylık devreli anuumlitelerle ve aynı devreli faizlenmeyle itfa edilir Birinci oumldeme 100 000 denar ve faiz oranı 8 pa(d) olduğuna goumlre borccedil kaccedil devrede oumldenecektir

15 509 776 denar tutarında borccedil 3 yılda eşit aylık anuumlitelerle ve faizlenme ile itfa edilir Anuumlite tutarı 20 000 denar olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

16 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme ile itfa edilir Uumlccediluumlncuuml ve ikinci oumlde-menin toplamı 20 604 denar ve doumlrduumlncuuml ve ikinci oumldemenin farkı 412 denar olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

17 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 6 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Oumldenen uumlccedil anuumliteden sonra kalan borccedil tutarı 14 72017 denar ve oumldenen altı anuumlite-den sonra kalan borccedil tutarı 11 16476 denar olduğuna goumlre borccedil tutarını hesaplayınız

18 300 000 denar tutarında borccedil eşit yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenme ile 10 yıl-da itfa edilir Yıllık faiz oranı 6 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını ve altıncı yıl sonunda borcun kalan kısmını hesaplayınız

19 Bir borccedil eşit yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenme olmak uumlzere 6 pa(d) faiz oranıyla 3 yılda itfa edilir Birinci oumldeme 7729875b denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

264

20 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 12 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir İkinci ay faiz tutarı 87 49733 denar ve birinci oumldeme 10000 denar olduğuna goumlre ilk doumlrt oumldemenin amortisman planını oluşturunuz

21 Bir borccedil eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile itfa edilir Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Uumlccediluumlncuuml doumlnemde faiz tutarı 455684 denar olduğuna goumlre son uumlccedil doumlneme ait amor-tisman planını oluşturunuz

22 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 4 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Oumldenen ilk anuumliteden sonra borcun kalan kısmı 176 65292 denar ve oumldenen iki anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmı 135 05291 denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

23 80 000 borccedil yuvarlak uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile itfa edilir Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Yuvarlak anuumlite 18 000 denar ve ilk oumldeme 1000 denar olduğuna goumlre borccedil kaccedil devrede itfa edilecektir

24 Bir borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 3 pa(d) faiz ora-nıyla itfa edilir Uumlccediluumlncuuml oumldeme 10 609 denar ve son anuumlitenin bir oumlncesinde borcun oumldenmiş kısmı 185 989 denar olduğuna goumlre anuumlite kalanını belirtiniz

25 Bir borccedil yuvarlak uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile doumlrt yılda itfa edilir Faiz oranı 12 pa(d)rsquodir Sondan bir oumlnceki devrede faiz tutarı 92117 denar olduğuna goumlre anuumlite kalanını belirtiniz

26 120 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile beş yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Borcun amortisman planını oluşturunuz

27 100 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yarı yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 18 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Borcun son uumlccedil yılının amortisman planını oluş-turunuz

28 20 000 denar tutarında borccedil yuvarlak uumlccedil aylık 3000 denar tutarında anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile iki yılda itfa edilir Borcun amortisman planını oluşturunuz

29 Bir borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile doumlrt yılda itfa edilir Uumlccedil yıl sonra borcun oumldenen kısmı 811616 denar ve birinci oumldeme 26000 denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

265

30 Bir borccedil yuvarlak yarı yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 8 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d) ve son oumldeme 498427 denar olduğuna goumlre borcun son uumlccedil yılının amor-tisman planını oluşturunuz

31 500000 denar tutarında borccedil altı aylık eşit anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 30 yılda itfa edilmelidir Faiz oranı 28 pa(d) olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

32 Altı aylık eşit anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 30 yılda itfa edilmelidir Faiz ora-nı 28 pa(d) ve birinci oumldeme 5 37222 denar olduğuna goumlre borccedil tutarı ne kadardır

33 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 50 yılda itfa edilir Faiz ora-nı 4 pa(d)rsquodir Oumldenen 20 anuumliteden sonra borcun oumldenmiş kısmının tutarı 5851566 denar olduğuna goumlre anuumlite tutarını ve borccedil tutarını hesaplayınız

34 2 400 000 denar tutarında borccedil altı aylık devreli yuvarlak 120 000 denar anuumlitelerle ve aynı doumlnemli faiz oranıyla itfa edilir Faiz oranı 2 pa(d) olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda itfa edilecektir Son anuumlite ne kadardır

266

Konu Oumlzetleri

Borccedil para mal veya para cinsinden bir değerin belirli bir vade ve koşulla geri alınmak uumlzere verilmesidir yani borccedil veren finansal varlıklarını borccedil alana geccedilici bir suumlre iccedilin hizmetine devretmesidir Bu boumlluumlmde borccedillunun borcunu oumldeme koşulları borccedil verene olan yuumlkuumlmluuml-luumlğuuml yani finansal varlıkların devredilme koşulları borcun suumlresinde faizlendirmeyi iccedileren an-laşmalar soumlz konusu olacaktır Borccedil tutarı genellikle birden verilir ve geri alınması birden değil ccedilok kez belli periyotlarda gerccedilekleştirilir Her periyotta borcun oumldendiği tutara oumldeme denir Belli periyotta oumldemenin faiziyle beraber tutarına anuumlite denir diğer soumlzlerle anuumlite belirli bir zaman suumlreci iccedilerisinde eşit aralıklarla verilen veya alınan eşit oumldemeler serisidir Borcun her bireysel oumldemesine gereken zaman suumlresine amortisman vadesi denir

Anuumlitelerin oumldeme suumlresine goumlre doumlnem sonu anuumliteli borccedillar (oumldemeler serisi dev-renin sonunda yapılan) ve doumlnem başı anuumliteli borccedillar (oumldemeler devrenin başında yapılan anuumliteler)

Faizin hesaplanmasına goumlre borccedillar doumlnem sonu faizlenen ve doumlnem başı faizlenen biccediliminde adlandırılabilir

Şunu da belirtelim borcun amortismanı denilen kademeli oumldemede oumlnceden belirlen-miş tutarlarla belli zaman aralıklarında oumlnceden belirlenmiş bir plan uumlzerinde oumldenmesine amortisman planı denir

Tutarı Z olan bir borccedil alınmış ve geri oumldemesi her biri a tutarında n eşit anuumlite ile yapıla-caktır Faiz oranı p doumlnem sonu faizlendirme ve faiz doumlnemi anuumlitelerin oumldeme doumlnemiyle aynı olsun Boumlyle durumda borccedil şu formuumllle hesaplanır

1

1

rr

raZ n

n

r doumlnem sonu faiz katsayısıdır

Borccedil bilindiğinde anuumliteyi hesaplamak iccedilin şu formuumlluuml kullanacağız

1

1

n

n

rrrZa

k-cı oumldemeyi bk ve k-cı faizi ik ile işaret edersek birinci anuumlite a = b1 + i1 olur Burada faiz birinci

doumlnem iccedilin Z tuumlm borccedil tutarına hesaplanır yani 100

1

Zpi rsquodir

Kalan anuumlitelerin her birini bu şekilde inceleyerek son anuumliteye a = bn + in varıyoruz Bu-

rada faiz borcun kalan kısmına Z ndash b1 ndash b2 - hellip - bn uygulanır yani 100

121 pbbbZi n

n

dir

Oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisini oluştu-ruyorlar Daha da her oumldeme 1

1

kk rbb formuumlluumlyle hesaplanabilir

267

Genel olarak k- cı oumldeme borccedil ile ifade edildiği durumda şu formuumlluuml kullanacağız

1

1

1

knk r

rrZb

anuumlite ile ifade edildiğinde 1 knk r

ab formuumlluumlnuuml kullanabiliriz Ok ile işaret edeceğimiz k devrede (periyotta) borcun oumldenmiş kısmı k-cı anuumlite dahil ilk

k oumldemenin toplamına eşittir yaniOk = b1 + b2 + + bk yani

1

11

rrbO

k

k dir

Oumldenen k ndash anuumliteden sonra borcun kalan kısmını Rn-k ile işaret edersek birinci oumldemeye goumlre veya anuumlite ile ifade edilişi

11

r

rrbRkn

kn ya da 1

rrrraR n

kn

kn dir

Amortisman suumlresinin borccedil ve anuumlite ile ifade edilişi

1log

log

1

rZaa

rn dir

Z tutarında bir borccedil eşit anuumlitelerle oumldendiği durumda borccedillu her devre sonunda aynı tutarlı taksitler oumldeyecektir Bu oumldemeler iki kısımdan meydana gelmektedir Bu kısımlardan biri borcun bir kısmının oumldeme tutarı ve kalan borcun faizidir Bunu aşağıdaki tablo biccediliminde goumlstereceğiz

Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 Z 1001

Zpi 11 iab a

2 11 bZRn 100

12

pRi n 22 iab a

1n 232 nbRR 100

21

pRin 11 nn iab a

n 121 nbRR 100

1 pRin nn iab a

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Amortisman planı yapıldıktan sonra bu planın doğru olup olmadığını yoklamak gerekir

268

Koşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zb j Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R6 Koşul 3 Faizler suumltunundaki değerlerin toplamı ve oumldemeler suumltunundaki değerlerin top-

lamı devre sayısı ile anuumlitenin ccedilarpımına eşit olmalıdır nabi jj Koşul 4 Anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij Koşul 5 Faizler suumltununun toplamı jj Rpi

100 dir

Belli bir borcu oumlderken a anuumlitesi konkre tutarlı ya da borcun bir yuumlzdesi olarak verile-bilir Bu anuumliteler genellikle tam sayıya yuvarlanıyorlar (onluk yuumlzluumlk vb) Bu yuumlzden bunlara yuvarlak anuumliteler ve borccedillara yuvarlak anuumliteli borccedillar denilir Anuumlite yukarıda sayılan şekil-lerden biriyle verilmediğinde ve borcun itfalı yuvarlak anuumlitelerle yapılma koşulları varsa anuumli-tenin hesaplama yuumlzdesini hesaplamak gerekir Burada da doumlnem sonu borccedillardan amortisman devresinin sonunda oumldemeler ve vade sonu faizlenmeden soumlz edeceğiz

Borcun Z tutarı ve faiz oranı p pa(d) verilmiş olsun Amortisman devrelerinin sayısı bi-lindiği durumda n ndash 1 anuumlitenin değeri eşit ve son olan n-ci anuumlitenin değeri diğerlerinden kuuml-ccediluumlk olduğuna goumlre 100 Vp

n ve 100Vpn-1 arasında bulunan p1 yuumlzdesi aranılır Yuvarlanan anuumliteler

eşit olan anuumlitelerden buumlyuumlktuumlr ve bu yuumlzden son anuumlite onlardan farklı ve değeri diğerlerinden kuumlccediluumlktuumlr ve ona anuumlite kalanı denir

Demek ki yuvarlak anuumliteyi bilmiyorsak borcun p1 yuumlzdesi gibi ifade edilecektir genel

olarak tam sayı ile ya da 100

1Zpa formuumlluuml ile ifade edilecektir ve bu durumda

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

geccedilerli olacaktır Diğerlerinden farklı olan son anuumlite ya da anuumlite kalanı denilen bu taksitin değeri şu formuumllle hesaplanır

n

n

n

rrr

raZa 9

lt=

gt

1

11

1

1

Yuvarlak anuumliteli borccedilların amortisman planının yapılması eşit anuumliteli borccedillarda olduğu gibi yapılır sadece son satırda son anuumlitenin yazıldığı yerde farklılık vardır Burada son oumldeme diğerlerden kuumlccediluumlktuumlr Oumlnce lazım olan buumlyuumlkluumlkler hesaplanır ve ondan sonra amortisman tab-losu doldurulur

269

Burada da amortisman planının yoklaması yapılmalıdırKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zb j

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R1 Koşul 3 Yuvarlanan anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij

son oumldeme hariccedil Son anuumlite anuumlite kalanı ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

270

271

Ccediloumlzuumlmler ve Oumldevlerin Cevapları

111 а) 18750 denar b) 9375 denar c) 2604 denar zaman ayarı (30360) ve 25685 denar (k 365) 2 20 yıl 3 5 4 а) 14750 denar b) 87500 denar 5 K = K1 + K2 = 108000 denar 6 2691 denar

122 I = 12000 K = 72000 denar 3 I = 1760 K = 35200 denar 4 70400 denar5 K = 33750 denar I = 150 denar 6 Borccedil 260400 denar faiz 65100 denar 7 Borccedil 10568 denar faiz 568 denar

134 75 guumln 5 5 ay ve 20 guumln 6 а) 50 guumln 4 05 b) 13 guumln 4 05 7 29 guumln 205 8 2304 9 705

142 123 guumln 3 69 guumln ya da 1306 4 2502 5 805 28 guumln başlangıccedil tarihi 1004

154 Dk = 21875 denar Dr = 21685 denar fark = 01897 5 $ 1 195 16866

164 3 166 5 yatırımlar 3112 tutarı 17 9761 denar kaldırılan = 15 200 denar faiz = 922 denar saldo = 2 776 denar

175 Sıralı faiz = 3209 denar ceza faizi = 2730 saldo = 496518 denar

181 826 guumln (ya da 2 guumln 3 ay ve 6 guumln) 2 K = 176147 denar 3 p = 464 4 K = 306748 denar 5 K = 300000 denar 6 18000 denar 7 K = 105680 denar I = 5680 denar 8 1004 613 ile 9 246 guumln 10 13 0611 iskonto = 222222 efektif tutar =$ 247 7973612 efektif tutar = $ 2 984 200 13 efektif tutar = 147 546 denarDk = 2 2875 denar 14 $ 147 192 15 63 guumln 16 2 471 denar 17 yatırım = 79 770denar kaldırılmış = 65 000 denar saldo = 14 770 denar faiz = 1 770 denar18 sıralı faiz = 4248 denar ceza faizi = 6246 denar saldo = 2568954

272

212 а) 80 kısım b) 130 kısım 4 а) 80 greyn b) 5040 greyn 5 а) 23 karat 1 greynb) 16 karat 1 greyn c) 232 peniveyt 11 greyn d) 209 peniveyt 16 greyn

221 W 8096 2 97917 3 640 4 а) 600 dego b) W 724 5 а) 420 o b) W 12148

231 1584g 2 49875g 3 700g 4 384g

255 55 euro artışı ve 51 dolar duumlşuumlşuuml 6 Devaluumlasyon 463 7 1383

284 144000 USD 5 68493

295 0694 - 06849

2101 225 EUR 2 Zarar 3000 МКD

2111 Saat 14 te +20 EUR sat 19 de -8 EUR 2 Ortalama kur 1041 kar 7675 CHF3 100 МКD 4 17 000 USD 5 saat 15 te

2121 W 2128 2 permil600 3 permil88125 4 а) permil800 b) W 30 5 1175g 6 296g 7 permil8708 180 peniveyt 9 +165 -157 10 Amortisman 219 11 13965 12 Saat 14rsquote kazanccedil 48 EUR saat 19rsquoda zarar 24 EUR 13 Ortalama kur 164 kazanccedil ( AUD 1454 bazında EUR 889 bazında)

31

2 a) 2 yx b) 2 x v) 132x g) 10xy 3 a) 93 2xx b) 44

xx 0x 44

xx 0x 44

xx 0x 4 a) yx b) yx v) yx 5 a) 94 xx b) 22525 xx

v) 14316364 xxx

32 1 a) 3x b) 0x v) 8x g) 3x d) 41 x 12 x |) 2x 2 a) 8x b) 2x

v) 15x g) 6x 3 a) 11 x 02 x b) 0x v) 2x 4 a) 4

11 x 02 x b) 21 x

12 x v) 11 x 62 x 5 a) 4x b) 11 x 2

32 x v) 31 x 22 x

a)

a)

a) b)

a)b) b)c)

c)

c) а) b) c)

c) а) b)

d) e) f)

a) b) c) а) b)c)

b) c) d)

d)

a) b)

273

331

Poimi 3216log6 2log94

x 449log7

5)2b(loga 21

25 5log

Logaritam 3 2 4 5 21

Osnova na logaritamot

6 x 7 a 25

Logaritmant 216 94 49 2b 5

2 a) 2 b) 2 v) 2

1 g)

2

1 3 a) 3x b) 6x v) 2x g) 12 4 a) 2 b) 9

5 a) 1 b) 30 6 )1()0( BCBx

34 1 a) blogalog3logxlog b) clog5blogalog2xlog

v) clogblogalog2logxlog g) )balog(2logxlog d) )cblog(alog2

1xlog 22

|) blog3

1alog

2

1xlog 2 a)

2

1 b) 18 v) 1 3 a) 10x b)

9

8x v)

3

3 2

2

53 x

g) 3

44

4

6

x d) 3

5 |)

27

8 e) 63 `) 24 4 a) 060 078 090 096 b) 108 120 126

5 a) 3 b) 3 v) 1 g) 1

35

2 Upatstvo a) 15log

4log

7log

5log7log14log5log7log

3

3

3

33573

b) 8log

7log

7log

6log

6log

14log

4log

12log7log6log5log4log3log2log

5

5

5

5

55

33876543

3 8 4 a) 2

1 b) 18 v) 5 5 alogalogalog

b

1

b

1b 1

13

36

1 22

321 x 2 14 21 xx 3 2x 4

3

167 21 xx 5 4

213

2x 6 16x 7 4

37

1 a) yx b) yx v) yx 4 a) 3

4

a b) 3

2

a 5 8x 6 2x 7 | 8 1x 9 1x

10 4 11 a) 4x b) 81

1x v)

10

1x g)

2

1x d) 5 100 |) 2x

Kavramlar

Logaritma değeri

Logaritmatabanı

Logaritması alınan sayı

b)

b)

b)

b) c)

c)

c)

b)

b)

b)

b)b)

b)c)

c)

c)

c) c)

a)

a)

a)Tavsiye

b)

b)

b)

a)

a)

a)a)

a)

a)a) b) c)d)

e)

e)

e) g) h)

d)

d)

d)

d)

d)

f)

f)

274

12 a) ylogxlog2log b) ylog3xlog23log v) zlog2

1ylog5xlog2

g) clog3alogb d) ylog3

2xlog6log |) )ylog

2

1xlog3(

4

1)xlog2(log

2

1

e) )ylog4

3x(log

2

1 13 a) 6x b) 10x v) 21x g) 1125x 14 a) 736x

b) 008840x v) 29676x 15 a) 5log2 4 b) 3log

2

7

v) 5log10

1 16 a) 35

1

b) 1

log2 xx

17 a) 8 b) 1 18 1x 19 5x 20 25x 21 3121 x 22 7x

23 102

321 xx

41 1

Stepeni 00 030 045 060 090 0180 0270 0360 Radijani

0 6

4

3

2

2

32

2 13

12sin

13

5cos

5

12tg

12

5 ctg 3 870sin 490cos 771tg

560ctg 4 80sin 60cos 3

4tg

4

3ctg 5 780sin 620cos

261tg 790ctg

42 1 a) 540 b) 980 v) 840 g) 540 2 a) 600 b) 700 v) 150 g) 400 3 a) 1 b) 1 v) 1

4 a) 3 b) 3

332 v) 1 5 a) 450 b) 300 v) 450 g) 600 d) 300

43 1 a) 74048sin 0 67048cos 0 111480 tg 90480 ctg b) 390231223sin 0

920231223cos 0 430231223 0 tg 332231223 0 ctg v) 2801916sin 0

9601916cos 0 2901916 0 tg 4431916 0 ctg 2 a) 7807

2sin

620

7

2cos

2517

2

tg 807

2

ctg b) 73021

5sin

730

21

5cos

930

21

5

tg 08121

5

ctg

3 a) 204235 0 b) 232544 0 v) 33267 0 g) 162326 0 d) 552444 0 |) 505372 0

4 a) 010 b) 20 5 a) 395525 0 b) 142617 0 v) 591246 0

Dereceler

Radyanlar

b)b)

b)

b) b)b)

b)

b)b)

b)b)

b) b)

b)

b)

c)c)

c)

c)

c)c)

c) c)

c)c)

c)

c)

d)

d)

d) e)

d)

d)

d)

e)

e)

f)

f)

g)

275

44

1 a) 13

12cos

12

5tg

5

12ctg b)

4

15sin 15tg

15

15ctg

v) 41

414sin

41

415cos

4

5ctg g) 920sin 390cos 442tg

2 a) sin2 b) cos2 v) 1 6 54

55 7 26

45 1 a) 853 0 140 cma 954 cmb b) 274 0 711 cma 33 cmb v) 624 0

145 cmb 655 cmc 2 a) 80 41750 cma 61767 cmc b) 3041 0

166 cma 799 cmc v) 660 7911 cmb 255 cmc 3 a) 55745 0

55242 0 48224 cmb b) 395561 0 21428 0 559 cmc

v) 471921 0 134068 0 16338 cmc 4 231445 0 5 125236 0 6 Od mestoto B avionot e na rastojanie m781824 a rastojanieto me|u A i B e 2231 m

46 1 a) 362434 0 b) 121618 0 v) 124023 0 2 a) 4336 0 b) 1945 0 v) 8773 0 3 a)

440 rad b) 491 rad 4 a) 1050 b) 564572 0 5 a) 0 b) 2 v) cos

1

0 6 a) 650 b)

1047 0 v) 300 g) 400 7 a) 5

3cos

3

4tg

4

3ctg b)

5

4sin

3

4tg

4

3ctg v)

34

3sin

34

5cos

3

5ctg g)

674

25sin

674

7cos

7

25tg 8 a) 7 b) 1 9 a) 5853 0 40a 55b b) 4025 0 43936b

941038c v) 504 0 050a 6220c g) 55745 0 55244 0 48222b

d) 64484 0 54155 0 3242a 10 cos2 cab sin ch 11 4102 m

51 1 a) II-kvadrant b) I-kvadrant v) IV-kvadrant g) III-kvadrant d) x oskata |) y oskata e) x oskata `) y oskata 2 )01(M )02(N )05(P )03(Q 3 )30(M )40(N )20( P )10( Q 4 4xm 2ym

52 1 a) 82d b) 4d v) 53d g) 53d 3 11y ili 1y 4 )1821(C 5 13 b)

b)

b) b)

b)

b)b)b)

b)b)

b)

b)b)

b)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

c)c)

c)

c)

c)

c)

c)

d)

d)

d)

d)

d)

d)

e)

e)

f) g) h)

b)

doumlrduumll doumlrduumll doumlrduumll doumlrduumll ekseniekseniekseni ekseni

6 Uccedilak Byerine uzaklığı 418278 m A ve B arasındaki uzaklık ise 1223 m

ya da

276

53

1 2

54

13

ABS 12BCS

2

71

13

ACS 2 5 3 )11( )01( )13( )25( 4 a)

13

5

95

b) 13

5

116 v) 37 g) 718 5 )62( A )28(B )106(C

54

1 21P 2 Ne 3 Da 4 15P 5 2

55P 6

2

15APBP

4

9PBCP

55 1 Samo P e od pravata 2 a) xy b) xy v) 0y 3 a) 2k 3m b) 1k

3m v) 0k 2m g) 3k 0m 4 2

13 xy 5 1 xy 6

5

6k

5

7m

7 25 xy

56

1 a) 0332 yx b) 04 y v) 03 x 2 a) 2k 3m b) 2

5k

2

3m

v) 8

3k

3

16m 3

4

33 3m 5 Da

57

1 a) 164

yx

4 edinici na x oskata 6 edinici na y oskata b) 111

yx 1

edinici na x oskata 1 edinici na y oskata v) 12

2

1

yx

2

1 edinici na

x oskata 1 edinici na y oskata 2 85

6k 3

12

5k 4 18 kvadratni edinici

5 132

yx 1

2

34

yx

58

1 a) )2(3 xky b) )1(4 xky 2 053 yx 3 03 yx 4 a) 5

7k

b) 5k v) 0k 5 01357 yx 6 Ne 7 5

7d ne 8

3

2d 9

5

10Md i

5

8Nd 10 257 yx

b)

b)

b)

b)b)

b)b)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

d)

d)b)

Evet

Sadece P doğrunundur

Hayır hayır

x ndash ekseninde 4 birim y - ekseninde 6 birim

x - ekseninde 1 birim y - ekseninde 1 birim

birim kare y - ekseninde 1 birim

1 P = 21 2 Hayır 3 Evet 4

x - ekseninde 1

2 birim

ve

277

613 Dizi artandır 4 а) d) ve e) şıklarındaki diziler artandır b) ve c)rsquodeki diziler eksilendir 5 а) Hayır b) ne artan ne de eksilendir 6 а) a gt 1 b) 0 lt a lt 1 c) a = 1

631 299 2 150 3 -776 4 а) ve c)rsquodeki diziler aritmetik dizilerdir а) şıkkındaki dizinin ilk terimi 2 ve ortak farkı 6rsquodır c)rsquodeki dizide ise ilk terim 9 ortak fark -5rsquotir 5 8 yıl sonra 1 ocak 2008 yılı 6 d = 3 a1 = 0 7 Aritmetik dizisi 8 Tasarruf yapmadan oumlnce 14000 denarı varmış ve her yıl 2500 denar tasarruf yapmıştır

641 а) 19 b) x 2 Aranılan terim an+1 dir 4 n(n +1) 5 а) 9399 b) 5850 6 50 7 a7 + a11 = a5 + a 20 ve a7 + a11 = a5 + a13 oradan a13 = a20 elde edilir bu ise ancakd = 0 olduğu durumda muumlmkuumlnduumlr

651 3 2 а) ve d) geometik dizilerdir а) daki dizinin ilk terimi 2 ortak ccedilarpanı ise -4 tuumlr d) şıkkındaki dizinin ilk terimi 1 ortak ccedilarpanı 2 dir 3 а) 10125 b) 96 4 а) 50363 b) 12 yıl 5 Аli 6 256 defa

59

1 a) se se~at vo to~kata )21( b) se paralelni v) se sovpa|aat 2 a) )05( i 13

2

10

b) )06( i )40( 3 02865 yx 4 4

3 5 042 yx 6 06035 yx

510

1 )1332(4 2 a) )17(M b) )17(M 3 2

12 4 14P 6 029107 yx

8 )51( D 11 a) 5

7d b) 1d 12 03 x 073 yx 0133 yx 13 a)

)04(T b) )44(H 15 )83(M 16 49P 17 12034 yx 072948 yx

18 3

11 k 12 k i

3

51 k

6 1 2 a)

32

43

54

65

76 b) 1

41

91

161

251 v) 2481632 g) 12345 3 a)

174 b) 27 v) 81

4 n=2010 5 n=256 6 a) 53 b)

51 v) 16 g) 3 7 a) 12 nan b) 2n v) n

na )1(2

g) nna 1 d) nna28

b)b)

b)

c)c)

c)c)

d)d)

d)

e)

(12) noktasında kesişiyorlar b) paraleldirler c) ccedilakışıyorlar ve

ve

ve

b)

b)

b)

b)

b)

278

661 a) 60 b) x 3 Aranılan terim an+1 4 b = 15 ya da b = 15 5 а) 1640 b) 40 c)

128

255

d) 340 6 а) 3 b) 27 7 а1 = 9 97

5 6S olur

6 72 Hayır 3 Hayır 4 500500 5 3000 6 1840 7 a = 5 b = 8 c = 11 8 Tavsiye ak ve an terimlerinin değerlerini aritmetik dizisinin ilk n terim toplamı formuumlluumlnde değiştirerek denk-lemin geccedilerli olduğunu goumlsteriniz 9 2080 denar 10 100 11 b = 15 12 Tavsiye ak ve an terimlerinin değerlerini geometrik dizisinin ilk n terim toplamı formuumlluumln-de değiştirerek denklemin geccedilerli olduğunu goumlsteriniz 13 1792 14 20480 denar 16 q = 1

711 а) 18750 denar b) 9375 denar c) 2604 denar (30360) zaman oumllccediluumlsuumlne goumlre ve 25685 de-nar (k365) goumlre 2 20 yıl 3 5 4 а) 14750 denar b) 87500 denar5 K = K1 + K2 = 108000 denar 6 а) 6 ps b) 3 pq c) 1 pm 7 а) 4 ps

b) 8 pa c) 3

2 mp 8 9091 pa(a) 9 1111 pa(d) 10 6 pa(a) = 638 pa(d) buna goumlre ikinci faiz oranı daha karlıdır 65 pa(d)

721 а) Karma youmlntem ile 84538 denar sadece bileşik faiz hesabıyla 8448343 denar b) karma youmlntemi 881243 denar sadece bileşik faiz hesabıyla 8811729 denar2 5633155 denar 3 5939502 denar 4 9560058 denar 5 Doumlnem sonu vadeli 5605984 de-nar doumlnem sonu faizlendirme 56400 denar doumlnem başı faizlendirme 6 24099 denar 7 17205 denar

731 40642 denar 2 7430 denar 3 а) 44160 denar b) 431334 denar а) ve c) şıklarındaki tu-tar farkları verilerin yuvarlanmasından kaynaklanır 4 6 5 3923 ve 1943 6 16847 denar

741 а) K = 7597254 denar b) K = 7461711 denar 2 а) 43291 denar b) 4291857 denar 3 25023795 denar 4 2753275 denar 5 5474325 denar

751 а) 24 yıl 6 ay ve 28guumln b) 23 yıl 7 ay ve 11guumln 2 а) 3919 uumlccedil aylık b) 3936 uumlccedil aylık 3 а) 116196 pa(a) b) 1197 pa(d)

279

4 3925 pa(d) 5 5 pq(d) 47 pa(a) 6 10077 yıl 7 25 ps(d) 8 85 pa(d) 9 3 yıl 1 ay ve 18 guumln

761 Karma youmlntemle 211440 denar sadece bileşik faizle 2108975 denar 2 355465 denar 3 112120 denar 4 10930 denar 5 186760 denar borccedil 6 а) 422527denar faiz 77473 denar b) 422546 denar faiz 77454 denar 7 27 yıl 8 17175 yıl 9 2172979 de-nar 10 22676567 denar 11 Son teklif 16489332 12 2165 uumlccedil aylık 13 195 14 125584 denar 15 47483114 denar 16 Birinci teklif daha uygundur ikinci teklif daha kuumlccediluumlktuumlr ve 5230428 denardır 17 18 yıl 4 ay ve 29 guumln 18 520948 denar 19 66 pa (d) 20 757 pa(d) 21 246 yıl ve tutarı 10000 denardır

821 а) Sn = 225558 denar b) Sn = 227207 denar 2 Sn = 120061 denar 3 а) Sn = 39083denar b) Sn = 40646 denar 4 а) 479782 denar b) 482431denar 5 а) 484580 denar b) 487304 denar 4 ve 5 oumldevlerin değerlerinin karşılaştırılmasıyla doumlnem sonu yatırımları getirdikleri faiz miktarı doumlnem başı yatırımların getirdikleri faizden daha buumlyuumlk olduğu sonu-cuna varılır En buumlyuumlk son değer doumlnem başı yatırımların doumlnem başı faizlenmesiyle elde edilir

831 а) V = 18781 denar b) V = 18729 denar 2 V = 10000 denar 3 V = 2866 denar 4 V = 4603 denar 5 V = 6826 denar

841 а) n = 6 b) n = 5 2 n 8527 O halde n = 9 V0 = 93048 denar 3 n 31195 O halde n = 32 V0 =-279 denar (demek ki 279 denar geri verilecektir) 4 V0 = 118 denar 5 n = 18

85

1 2

p = 4 2 3

p = 397 3 а) 2436 b) 2674 4 p = 8 5 p = 755

864 M n = 119041 denar 5 а) M n = 15726 denar b) M n = 16355 denar 6 Mn = 637300 denar 7 V = 5695 denar 8 68044 denar

871 Doumlnem sonu faizlenme ile 70765 denar doumlnem başı faizlenme ile 70895 denar elde edilir 2 R = 16700 denar 3 R = 7575 denar 4 R = 5991 denar 5 R = 16705 denar

280

881 10 kira 2 n = 8 4 yıl 3 n = 12 R0 = 32667 denar 4 n = 60 R0 = 2160 denar 5 n = 35 R0 = 28 denar

891 p = 168 p a (d) 2 p = 5756 p a (d) 3 p = 8 p a (d) 4 913 p a (d) 5 31136 denar 8101 R = 3400 denar 2 5220 denar 3 4200 denar 4 25000 denar 5 203454 denar

8111 27403 denar 2 1480 denar 3 4 yatırım 4 654 5 8 yıl 6 M n = 2861592 denar 7 R = 247525 denar 8 n = 12 R0 = 32532 denar 9 575 pa(d)10 110643 denar 11 45000 denar 12 175600 denar 13 50000 denar 14 3 yıl oumlnce 15 1128 denar 16 83972 denar 17 870058 denar 18 15940 denar 19 202716 denar 20 4850 denar

921 а) 9694820 denar b) 19582505 denar c) 39361911 denar 2 346514 denar3 16650 denar 4 890364 denar 5 305785 denar

931 1688263 denar 2 Аnuumlite 1748363 denardır 3 Borccedil 71318232 denardır4 953809 denar 5 560687 denar

941 Kalan 15613724 denar 2 Oumldeme 3446295 denar 3 Borccedil 9126992 denar 4 2705808 denar 5 59773882 denar

951 8pa(d) 2 n = 25 yılda 50 anuumlite 3 367 pa(d) 4 4135 n = 10 yıl

961 a = 1907619 denar amortisman planı aşağıdaki tabloda goumlsterilmiştir

281

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 4000 1507619 1907619 2 8492381 339695 1567924 1907619 3 6924457 276978 1630641 1907619 4 5293816 211753 1695866 1907619 5 3597950 143918 1763701 1907619 6 1834249 73370 1834249 1907619

Suma 53361428 1414457 100000 2 457611a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 80000 4000 117614 457611 2 682386 341193 1234947 457611 3 5588913 279446 1296694 457611 4 4292219 214611 1361529 457611 5 293069 146535 1429605 457611 6 1501085 75054 1501086 457611

Suma 67291367 3914568 0180000 3 5421631a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 8000 1363154 5421631 2 8636846 690947 1472207 5421631 3 7164639 573171 1589983 5421631 4 5574653 445972 1771282 5421631 5 3857474 308598 1854556 5421631 6 2002918 160236 2002918 5421631

Suma 33372365 2429789 100000 4 713154a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 10000 100 215471 713154

2 784629 7846 237018 713154 3 547512 54751 206719 713154

4 286792 28683 286792 713154 Suma 3326188 332618 10000

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

denar

Toplam

Toplam

Toplam

Toplam

282

5 Son iki faizin verilerinden sistem oluşturunuz r = 11 п = 6 a = 3543122 Z = 1543122 elde edilir Bu verilerle amortisman planını oluşturabilirsiniz

971 Z = 142857 14 denar 2 31 yıl 3 14 devre 4 Z = 100000 ve a = 30000 5 a = 10000 denar

981 a1 = 146783 denar

period ostatok od dolgot

kamata otplata

1 60000 2400 1600 2 58400 2336 1664 3 56736 226944 173056 4 5500544 220022 179978 5 5320566 212823 187177 6 5133389 205336 194664 7 4938725 197549 202451 8 4736274 189451 210549 9 4525725 181029 218971

10 4306754 172270 227730 11 4079024 163161 236839 12 3842185 153687 246313 13 3595872 143835 256165 14 3339707 133588 266412 15 3073295 122932 277068 16 2796227 111849 288151 17 2508076 100323 299677 18 2208399 88336 311664 19 1896735 75869 324131 20 1752604 62904 337096 21 1235508 49420 337096 22 884928 35397 364603 23 520325 20813 379187 24 141138 5656 141138

Devre Borccedil kalanı Faiz Oumldeme

283

2 Anuitetot e 3000 denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 20000 600 2400 3000 2 17600 528 2472 3000 3 15128 45384 254616 3000

4 1258184 37746 262254 3000 5 995930 29878 270122 3000 6 725808 21774 278226 3000

7 447582 13427 286573 3000

8 161009 4830 161009 391658

3 2800a 74551 a Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 8000 400 2400 2800 2 5600 280 2520 2800 3 3080 154 2646 2800 4 434 217 434 7455

suma 17144 7855 8000

4 60000a denari Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 200000 8000 52000 60000 2 148000 5920 54080 60000 3 93920 37568 256243 60000

4 376768 150707 837676 8739183 Suma 8479596 8719183 200000

5 2000a denari 8212901 a Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 20000 400 3600 2000 2 16400 328 3672 2000 3 12728 25456 374544 2000 4 898256 17965 382035 2000 5 516226 10325 389675 2000 6 126551 2531 126551 821290

2 Anuumlite 3000 denar

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

Toplam

Toplam

284

991 Аnuumlite 3638632 denar toplam faiz tutarı 5109056 denar 2 23098204 denar 3 1000618 denar 4 266467 denar 5 15300 denar 6 Borccedil 468019 denar 200000 denar oumldenmiş bor-cun kalanı 268015 denar faiz 165634 denardır 7 4585662 denar 8 9126992 denar 9 Borccedil 3673958 denar kalan borccedil 1276367 denar 10 13140881 denar 11 1877255 denar 12 46 anuumlite eşit 47 farklı 13 862025 denar 14 6 15 2 16 2 17 1770537 denar 18 a = 2016471 denar O12 = 15844971 denar ve R 8 = 14155029 denar

19 9229875a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 500000 15000 7729875 9229875 2 42270125 1268104 7961771 9229875 3 54343087 1029251 8200624 9229875 4 2610773 783232 8446643 9229875 5 17661087 529833 8700042 9229875 6 8961045 268131 8961445 9229875

Suma 411793083 5153792 500000

20 3155415a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 1000000 10000 4541531 3155415 2 95458469 954585 458696 3155415 3 90871523 908715 4632816 3155415 4 86238707 862387 4679144 3155415

21 8425364a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

10 7314923 146299 2390185 8425364 11 4924738 98495 2437989 8425364 12 2486749 49735 2486749 8425364

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

denar

Toplam

285

22 Rn ve Rn-1 kalanlarıyla sistem oluşturunuz Oradan n = 5 a = 4866612 denar ve borccedil Z = 216653 denar 23 14 devre yani 35 yıl 24 a = 16000 denar ve borccedil ĊZ = 200000 denar 25 a =16000 denar borccedil Z = 200000 denar son anuumlite a1 = 14432 denar

26 a = 30000 denar

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 120000 4800 25200 30000 2 94800 3792 26208 30000 3 68592 274368 2725632 30000

4 4133568 165343 2834657 30000 5 1289911 51596 1289911 1341507

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

27 p1 = 4 a = 4000 i1 = 3000 b1 = 3750 a1 = 598727 28 p1 = 15 p = 4

a = 272879 b1 = 2200 i1 = 800 29 p = 4 p1 = 30 a = 30000 Z = 100000

30 p1 = 75 a = 7500 i1 = 2000b1 = 5500 31 a = 1237222 32 Z = 500000

33 Z = 300000 a = 1396506 34 2n = 23 a1 = 5123502

286

287

Yararlanılan Kaynaklar

1 Arnold Glen Essentials of Corporate Financial Management Harlow UK 2007

2 BerkJ and De MarzoP Corporate Finance Harlow UK 2009

3 Fabozzi J Frank Franco Moodigliani Michael G Ferri Foundation of financial markets and institutions 2nd ed 2000

4 Gitman Principles of Managerial Finance Addison - Wesley 2007

5 Gitman Principles of Managerial Finance 12th edn Pearson 2009

6 Mishkin Eakins Financial Markets and Institutions Pearson 2007

7 Sam Y Cross Th e Foreign Exchage Market Federeal Reserve Bank of New York 1998

8 S G Kellison Th e theory of interest Georgia State University Irwin 1991

9 Teresa Bradley Paul Patton Essential Mathematics for Economics and Business John Wiley amp Sons 2nd Edition 2002

10 B Попов Математика за IV клас за стручните училишта Просветно дело Скопје 1977

11 В Враниќ Основи финансијске и актуарске математике Загреб 1964

12 Г Тренчевски Елементарна алгебра Просветно дело Скопје 2001

13 Д Јанев З Коловски Г Вилбиловска М Стојановски Математика за економисти збирка задачи Савремена администрација Београд 1991

14 Е Стипаниќ Математика за III и IV разред гимназије друштвено -језичног смера Завод за издавање уџбеника Народне Републике Србије Београд 1962

15 З Ивановски А Станковска Девизна политика Европски универзи-тет2007

16 К Сориќ Збирка задатака из математике с примјеном у економији Елемент Загреб 2005

17 К Тренчевски В Крстеска Г Тренчевски С Здравеска Математичка анализа за четврта година на реформираното гимназиско образование Просветно дело 2003

18 М Ивовиќ Финансијска математика Економски факултет Веоград 2003

19 Н Давидовиќ Основи на математиката за економисти Култура Скопје 1975

20 Р Раљевиќ Финансијска и актуарска математика Савремена администрација Београд 1975

288

YazarlarKostadinТrenccedilevski

Аneta Gatsovska Naditsa İvanovska

Bilgisayar İşlemleriYazarlar

RedaksiyonD-r Aktan Ago

LektoumlrBedri Nuredin

Tuumlrkccedileye CcedilevirenAbduumllgani AliĊ

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (ColorMatch RGB) CalCMYKProfile (Coated FOGRA39 050ISO 12647-22004051) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Warning CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends false DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy CMYK DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams true MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness false PreserveHalftoneInfo true PreserveOPIComments false PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Remove UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true Arial-Black Arial-BlackItalic Arial-BoldItalicMT Arial-BoldMT Arial-ItalicMT ArialMT ArialNarrow ArialNarrow-Bold ArialNarrow-BoldItalic ArialNarrow-Italic ArialUnicodeMS CenturyGothic CenturyGothic-Bold CenturyGothic-BoldItalic CenturyGothic-Italic CourierNewPS-BoldItalicMT CourierNewPS-BoldMT CourierNewPS-ItalicMT CourierNewPSMT Georgia Georgia-Bold Georgia-BoldItalic Georgia-Italic Impact LucidaConsole Tahoma Tahoma-Bold TimesNewRomanMT-ExtraBold TimesNewRomanPS-BoldItalicMT TimesNewRomanPS-BoldMT TimesNewRomanPS-ItalicMT TimesNewRomanPSMT Trebuchet-BoldItalic TrebuchetMS TrebuchetMS-Bold TrebuchetMS-Italic Verdana Verdana-Bold Verdana-BoldItalic Verdana-Italic ] AntiAliasColorImages false CropColorImages false ColorImageMinResolution 150 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages false ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 076 HSamples [2 1 1 2] VSamples [2 1 1 2] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages false GrayImageMinResolution 150 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages false GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 076 HSamples [2 1 1 2] VSamples [2 1 1 2] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages false MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages false MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects true CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) PDFXOutputConditionIdentifier (CGATS TR 001) PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName (httpwwwcolororg) PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt DAN 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 DEU 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 ESP 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 FRA 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 ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 50 e versioni successive) JPN 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 KOR ltFEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002egt NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 50 en hoger) NOR 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 PTB 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 SUO ltFEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f0074002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002c0020006a006f0074006b006100200073006f0070006900760061007400200079007200690074007900730061007300690061006b00690072006a006f006a0065006e0020006c0075006f00740065007400740061007600610061006e0020006e00e400790074007400e4006d0069007300650065006e0020006a0061002000740075006c006f007300740061006d0069007300650065006e002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002egt SVE 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 ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AllowImageBreaks true AllowTableBreaks true ExpandPage false HonorBaseURL true HonorRolloverEffect false IgnoreHTMLPageBreaks false IncludeHeaderFooter false MarginOffset [ 0 0 0 0 ] MetadataAuthor () MetadataKeywords () MetadataSubject () MetadataTitle () MetricPageSize [ 0 0 ] MetricUnit inch MobileCompatible 0 Namespace [ (Adobe) (GoLive) (80) ] OpenZoomToHTMLFontSize false PageOrientation Portrait RemoveBackground false ShrinkContent true TreatColorsAs MainMonitorColors UseEmbeddedProfiles false UseHTMLTitleAsMetadata true gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false BleedOffset [ 0 0 0 0 ] ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName (Coated FOGRA39 (ISO 12647-22004)) DestinationProfileSelector UseName Downsample16BitImages true FlattenerPreset ltlt ClipComplexRegions true ConvertStrokesToOutlines false ConvertTextToOutlines false GradientResolution 300 LineArtTextResolution 1200 PresetName ([High Resolution]) PresetSelector HighResolution RasterVectorBalance 1 gtgt FormElements true GenerateStructure false IncludeBookmarks false IncludeHyperlinks false IncludeInteractive false IncludeLayers false IncludeProfiles false MarksOffset 6 MarksWeight 0250000 MultimediaHandling UseObjectSettings Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (20) ] PDFXOutputIntentProfileSelector UseName PageMarksFile RomanDefault PreserveEditing true UntaggedCMYKHandling LeaveUntagged UntaggedRGBHandling UseDocumentProfile UseDocumentBleed false gtgt ]gtgt setdistillerparamsltlt HWResolution [2400 2400] PageSize [612000 792000]gtgt setpagedevice

Altıncı boumlluumlmde ldquoDizilerrdquo konusu incelenmiştir Bu konudaki malzemeyi oumlğrenmekle reel sayılı diziler hakkında daha kapsamlı bilgiler edineceksiniz Burada oumlzellikle aritmetik ve geometrik dizilerine onların genel terimine ve ilk n terimlerinin toplamına ait formuumlllere daha fazla oumlnem verilmiştir

ldquoBileşik faiz hesabırdquo adında verilmiş olan boumlluumlm (ilerde bunu i i kısaltmasıyla işaretleyeceğiz) oumlğrencinin basit faiz hesabı hakkında bilgilerini yoklamasına ve bileşik faiz kavramını oumlğrenmesine olanak sağlamaktadır Doumlnem başı (antisipativ) ve doumlnem sonu (dekurziv) faizlenme kavramları incelenir ve bununla oumlğrenci faiz oranını faiz miktarını ve faiz suumlresinin nasıl hesaplandığını oumlğrenecektir

Sekizinci boumlluumlmde ldquoVadeli yatırımlar ve vadeli gelirlerrdquo kavramı incelenmiştir Amaccedil doumlnem başı ve doumlnem sonu yatırımları tanımak ve bu gibi yatırımların sonundaki değerlerini hesaplamaktır Bu boumlluumlmde kira kira yatırımı iskonto ve iskonto değeri kavramlarını da oumlğreneceksiniz Sonunda bileşik faiz yatırımlar ve kira ile ilgili daha bileşik problemler ccediloumlzebileceksiniz

Son olan dokuzuncu ldquoBorccedillarrdquo boumlluumlmuumlnde borccedil amortizasyon vadesi taksitler oumldeme gibi kavramlar incelenmiştir Eşit taksitli borccedillar eşit anuumliteli oumldemeler yuvarlak anuumliteli ve farklı tuumlrden borccedillar hakkında amortizasyon planları yapılmaktadır

Bu kitaptaki ders malzemesini gerccedilekleştirirken oumlğretmen oumlğrencilerinden kendi başlarına ccedilalışmalarını teşvik etmelidir

Bu kitabın kalitesinin iyileşmesi youmlnuumlnde denetleyenlerden aldığımız iyi maksatlı eleştiriler iccedilin de oumlzellikle minnettarımız

İlerde de kitabın iccedileriğinin zenginleşmesi youmlnuumlnde olumlu maksatlı her eleştiri iccedilin oumlnceden teşekkuumlrlerimizi sunarız Boumlylece bu kitap iktisat ndash hukuk boumlluumlmuumlnde oumlğrenim goumlren oumlğrencilere ilerdeki mesleklerinde yararlı olacak bilgileri oumlğrenmelerini sağlayacaktır

Mayıs 2010 Yazarlar

İ Ccedil İ N D E K İ L E R

1 BASİT FAİZ HESABI 5 11 Basit Faizin Hesaplanması 5 111 Temel Kavramlar 5 112 Basit Faizin Hesaplanmasında Buumlyuumlkluumlkler Arasındaki Temel Bağıntılar 6 12 Yuumlz Uumlstuumlnde Ve Yuumlz Altında Faiz Hesabı 10 13 Vadeli Hesap 13 131 Ortalama Vade İle Hesaplama 14 14 Borccedil Kalanının Vade Hesaplanması 19 15 İskonto Hesabı Ve İskonto Hesaplamalar Kavramı 22 151 Policcedilenin Oumlzellikleri 23 152 Policcedilenin İskontosu 26 16 Yatırım (Depozit) Hesapları 30 17 Kredi Banka ndash Hesabı 35 18 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 38 Konu Oumlzetleri 41

2 KIYMETLİ METALLER PARALAR VE DOumlVİZLER 45 21 Kıymetli Metallerin Arılığı 45 22 Arılık (Safl ık) Derecesinin Hesaplanması 46 23 Saf Ve Toplam Kuumltlenin Hesaplanması 48 24 Para Birimi Kavramı Ve Oumlnemi 50 25 Paraların Değerlerindeki Değişmelerin Hesaplanması 52 26 Doumlviz Kavramı 55 27 Doumlviz Kurunun Kavramı Ve Anlamı 58 28 Spot İşlemler 60 29 Spot Kurları Nasıl Ayarlanır 63 210 Kacircr Ve Zarar 65 211 Pozisyonda Tutunma 66 212 Konuyu Pekiştirme Alıştırmaları 68 Konu Oumlzetleri 70

3 UumlSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER 73 31 Reel Sayılı Uumlsluuml Kuvvet Kavramı 73 32 Uumlstel Denklemler 75 33 Logaritma Kavramı 77 34 Logaritmanın Oumlzellikleri 79

35 Farklı Tabanlı Logaritmalar Arasındaki Bağıntılar 82 36 Logaritmalı Denklemler 84 37 Konuyu Pekiştirme Oumldevleri 87 Konu Oumlzetleri 89

4 DAR ACcedilININ TRİGONOMETRİK ORANLARI 93 41 Dar Accedilının Trigonometrik Oranları 93 42 Bazı Accedilıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Değerlerinin Hesaplanması 96 43 Hesap Makinesi Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerlerinin Hesaplanması 99 44 Aynı Accedilının Trigonometrik Fonksiyonları Arasındaki Bağıntılar 101 45 Dik Uumlccedilgenin Ccediloumlzuumlmuuml 104 46 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 107 Konu Oumlzetleri 109

5 DUumlZLEMDE DOĞRU 111 51 Duumlzlemde Dik Accedilılı Koordinat Sistemi 111 52 İki Nokta Arasındaki Uzaklık 113 53 Doğru Parccedilasının Verilen Oranda Boumlluumlnmesi 115 54 Uumlccedilgenin Alanı 117 55 Doğru Denkleminin Accedilık Şekli 119 56 Doğru Denkleminin Genel Şekli 122 57 Doğrunun Eksen Parccedilalarına Goumlre Denklemi 124 58 Nokta Ve Doğru Arasındaki Durumlar 126 581 Bir Noktadan Geccedilen Doğru Demetinin Denklemi 126 582 İki Noktadan Geccedilen Doğrunun Denklemi 127 583 Noktadan Doğruya Uzaklık 128 59 İki Doğru Arasındaki Durumlar 130 591 İki Doğru Arasındaki Durumlar 130 592 İki Doğru Arasındaki Accedilı İki Doğrunun Dik Olma Şartı 131 510 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 134 Konu Oumlzetleri 135

6 DİZİLER 139 61 Dizi Kavramı 139 62 Artan Ve Eksilen Diziler 141 63 Aritmetik Diziler 143 64 Aritmetik Dizilerin Oumlzellikleri 146 65 Geometrik Diziler 148

66 Geometrik Dizilerin Oumlzellikleri 151 67 Konu Pekiştirme Oumldevleri 155 Konu Oumlzetleri 157

7 BİLEŞİK FAİZ HESABI 159 71 Bileşik Faiz Kavramı Ve Hesaplanması 159 72 Temel Değerin Gelecekteki Değerini Hesaplamak 164 73 Konform Faiz Hesabı 172 74 Yatırılan Paranın Başlangıccedil Değeri Ve Faiz Miktarının Hesaplanması 175 75 Faiz Doumlnem Sayısını Ve Faiz Oranının Hesaplanması 179 76 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 186 Konu Oumlzetleri 190

8 PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VEPERİYODİK KİRALAR 193

81 Periyodik Yatırımlar 193 82 Mevduatların Gelecekteki Değerinin Hesaplamak 194 83 Bireysel Mevduatın Değerini Hesaplamak 199 84 Mevduat Sayısını Ve Son Mevduatın Hesaplanması 201 85 Yatırımlarda Faiz Oranının Hesaplanması 205 86 Periyodik Alacaklar (Kiralar) 209 861 Kira Sermayesinin Hesaplanması 210 87 Kira Tutarının Hesaplanması 214 88 Kira Sayısı Ve Kira Kalanının Hesaplanması 217 89 Periyodik Kiralarda Faiz Oranının Hesaplanması 221 810 Karma Oumldevler 225 811 Alıştırmalar 230 Konu Oumlzetleri 232

9 BORCcedilLAR 237 91 Borccedil Kavramı Ve Ccedileşitleri 237 92 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Ve Anuumlitenin Hesaplanması 239 93 Eşit Anuumliteli Borccedilların Oumldemelerinin Hesaplanması 242

94 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Oumldenmiş Kısmının Ve Kalan Kısmının Hesaplanması 24695 Eşit Anuumliteli Borccedilların Amortismanında Faiz OranıVe Devre Sayısının Hesaplanması 248

96 Eşit Anuumliteli Borcun Amortisman Planı 25197 Yuvarlak Tutarlı Anuumliteli Borccedillar 25598 Yuvarlak Anuumliteli Borccedilların Amortisman Planı 25899 Konu Pekiştirme Alıştırmaları 262Konu Oumlzetleri 266

Alıştırmaların Ccediloumlzuumlmleri Ve Cevapları 271 Yararlanılan Kaynaklar 287

5

BASİT FAİZ HESABI

11 Basit Faizin Hesaplanması

111 Temel Kavramlar

Guumlnluumlk yaşantımızda bankaya para yatırımı bireysel hesap tasarruf mevduatı karneleri kredi karneleri işlemlerine pek ccedilok rastlıyoruz Genel olarak maaşlar emeklilik maaşları birik-tirdiklerimizi belli bir suumlre saklamak ve korumak uumlzere bankaya teslim edilmiş ve istediğimiz zaman alabildiğimiz paralardır Bu suumlrede teslim edilen paralardan banka yararlanır ve buna karşılık olarak banka paraların sahibine faiz hesaplıyor Diğer taraft an ccedilok sık vatandaşların da nakit paraya ihtiyaccedilları olduğunda belli bir suumlre iccedilin bankadan borccedil alıyorlar Bunun karşılığın-da borccedil alan kişi bankaya belli bir miktar para oumlduumlyor

Kredi bağları borccedillu ve borccedil veren arasında kurulmaktadır Aslında bu bağıntının temeli faizdir Faiz borccedil alan kişinin aldığı para karşılığında borccedil verene oumldediği bir yuumlzde miktarıdır yani yararlandığı para iccedilin oumldediği miktardır

Bankadan borccedil (kredi) aldığımızda banka alacaklı parayı alana ise verecekli (borccedillu) denir Bankanın parasından yararlanan verecekli karşılık olarak bankaya belli bir faiz oumldeyecek-tir Bankaya para yatırdığımız takdirde banka kullanıcıdır ve vericiye belli bir faiz oumldemektedir

Faiz miktarı yuumlzde miktarı gibi hesaplanır yani yatırılan paranın her 100 birimi iccedilin belli bir miktardır Fakat bildiğimiz yuumlzde farklıdır hesabından farklıdır ccediluumlnkuuml faiz miktarı sadece yuumlzde oranına değil paranın bankada kaldığı suumlreye de bağlıdır

Faiz hesaplamaları iccedilin en basit oumlrnekler tasarruf mevduatları vatandaşların ve şirketle-rin kredi kullanmaları tuumlketici kredileri banka ve kredi kartlarıdır

Bir yatırımın yatırım doumlnemi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranına basit faiz denir

Faiz miktarının ve ona bağlı olan diğer buumlyuumlkluumlklerin hesaplanmasına basit faiz hesabı denir Basit faiz hesabında genel olarak şu doumlrt temel buumlyuumlkluumlğe rastlanılır

Ana para (kapital temel değer) K

faiz miktarı (yuumlzde payı) i

yuumlzde oranı (faiz miktarı) p - zaman biriminde 100 denarın faizine eşittir

faizin hesaplandığı suumlre (zaman) t

1

6

Faiz fiyatı genellikle yıllık olarak goumlsterilir Fakat bazı durumlarda bir yıldan kuumlccediluumlk ara-lıklar iccedilin de verilebilir mesela yarıyıl (soumlmestir) uumlccedil aylık (ccedileyrekyıl) aylık ve benzer olabilir

Faizin hesaplandığı suumlre de yıllar aylar ya da guumlnler ile ifade edilebilir Anlaşma gereği bir yıl 365 guumln ayların guumln sayısı ise takvime goumlre belirlenir fakat hesaplamayı daha basitleştirmek iccedilin bir yıl 360 guumln ve bir ay 30 guumln olarak alınır

Faizin hesaplanması doumlnem sonunda ya da doumlnem başlangıcında hesaplanabilir fakat bu-nunla ilgili ilerde daha ayrıntılı accedilıklamalar yapılacaktır

Temel değerin faiz miktarı kadar artmasına (K + i) ccedilok kez biriken değer terimini de kullanacağız

112 Basit Faizin Hesaplanmasında BuumlyuumlkluumlklerArasındaki Temel Bağıntılar

Aşağıdaki oumlrneklerle basit faizin hesaplanmasında temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki bağıntı-ları inceleyeceğiz

1 Bankaya yatırılan 34 500 denar kapitalin yıllık 8 faiz oranı ile 4 yıllık faizi ne kadardır34 500 denar kapitalin bir yıllık faizi

834500 2760

100 denardır

Faiz ana paraya (temel kapitale) hesaplandığına goumlre ikinci yılın faiz miktarı yine 2760 denar ve her gelecek yıl bu miktar aynı olacaktır Buna goumlre 4 yıllık faiz miktarı ilk yılın faizinin 4 katı olacaktır O halde toplam faiz miktarı

11040434500

100

8i olur

Bu hesaplamayı genel işaretlemelerle yazarsak bir yıllık faiz miktarı (yuumlzde payı)

100

Kpi

olur t yılda ise

100

Kpti

formuumlluuml elde edilirBu durumda yıllık basit faiz şu temel orantı ile de goumlsterilebilir

tpiK 100

7

Bu formuumllden yararlanarak basit faiz hesabında bulunan tuumlm diğer buumlyuumlkluumlkler iccedilin de formuumlller ccedilıkarabiliriz

2 Bankaya ne kadar para yatırılmalıdır ki yıllık 5 faiz oranı ile 8 yılda 9600 denar faiz elde edilsin

Temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki orantıyı goumlz oumlnuumlnde bulundurarak ana para

ptiK 100

formuumlluumlyle hesaplanırOumlrneğimizde yatırılan para

2400085

9600100

K

denardır

Benzer şekilde faizin hesaplandığı zaman suumlresi ve faiz oranı iccedilin formuumlller yazabiliriz Bu formuumllleri oumlrnekler ccediloumlzerken yazacağız

3 5400 denar temel kapital bankaya kaccedil yıl yatırılmalıdır ki 6 faiz oranıyla 6480 denar faiz elde edilsin

Temel orantıdan

Kpit 100

formuumlluuml elde edilir O halde

2654000

6480100

t godini

yıl elde edilir

4 58000 denar alınan borccedil iccedilin uumlccedil yılda 8700 denar faiz oumldenmişse faiz oranını hesapla-yınız

Bilinmeyen buumlyuumlkluumlk p faiz oranıdır Bunu temel orantı gereğince şu formuumllle hesaplayabiliriz

Ktip 100

O halde

5358000

8700100

p elde edilir

Şimdiye dek incelenen oumlrneklerde faiz miktarının hesaplandığı zaman yıllarla goumlsteril-mişti Fakat genel durumda faiz hesaplama zamanı tam sayılı yıllarla ifade edilmiyor Boumlyle durumlarda basit faizin hesaplanmasına ait yukarda elde edilen formuumlllerden yararlanmak iccedilin

8

guumlnleri ve ayları yılın birer kısmı olarak goumlstermek en uygun olur Bu şekilde bir ay yılın 1

12 si

guumln ise yılın 1

360i ya da 1

365i gibi alınacaktır Zaman aylar ile ifade edildiği durumda t zamanı yılın

1

12si olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak faiz miktarı (yuumlzde payı) iccedilin

12100

tKpi

formuumlluuml elde edilir Aylar ile ifade edilmiş olan t zamanı iccedilin temel orantı

ptiK 1200

olur t zamanı guumlnlerle ifade edildiği durumda anlaşma gereği yılı takvime goumlre 365 guumln

((k365) biccediliminde işaret edilir) ya da (30 360) zaman matrisi biccediliminde eğer yılı 360 guumln sa-yarsak faiz miktarını

36000

Kpti

ya da

36500

Kpti

formuumlluumlyle hesaplayacağız Yani zaman t guumlnlerle ifade edildiğinde yılın 365

t ya da 360

t

kısmı olacaktır Zamanı hesaplamak iccedilin karşılık gelen temel orantıptiK 36500

ya daptiK 36000

şeklinde yazılabilirNot Guumlnler takvime goumlre ve bir yılda 360 guumln sayıldığı durumda da (k 360) işaretlemesi

de kullanılabilir5 240 000 denar temel kapital 6 faiz oranıyla 8 ayda ne kadar faiz getirirOumldevin koşullarına goumlre K= 240 000 t = 8 ay p = 6lsquodır O halde

96001200

86240000

1200

Kpti denar elde edilir

6 Hangi faiz oranıyla 1 620 000 denar ana paradan 60 guumlnde 21 304 denar faiz miktarı elde edilecektir

Verilenler K = 1 620 000 denar i = 21 304 ve t = 60 guumln 36500

Kpti formuumlluumlnden

9

8601620000

213043650036500

Kt

ip

elde edilir

7 23 mayıstan 16 eyluumlle kadar bankaya yatırılan bir miktar para 4 faiz oranıyla 4576 denar faiz getirmiştir Zaman takvime goumlre (k 365) hesaplandığına goumlre yatırılan para ne ka-darmış

Oumlnce guumln sayısını belirtirken zaman diliminin ilk guumlnuuml sayılırsa son guumlnuumlnuuml sayılmaya-caktır ya da ilk guumln sayılmazsa vadenin son guumlnuuml sayılacaktır yani her durumda faizde kalan suumlrenin ilk ve son guumlnuumlnden sadece biri hesaplanmaktadır

Şu oumlrnekte faiz hesaplamanın ilk guumlnuuml 24 mayıs olarak alacağız yani ilk guumlnuuml saymıyo-ruz Bu durumda mayıs ayından 8 guumln haziran 30 guumln temmuz ve ağustos ayları 31 guumln ve eyluumll ayının son 16cı guumlnuumlnuuml hesaba koyduğumuza goumlre faizin hesaplanacağı toplam guumln sayısı t = 8 + 30 + 31 + 31 + 16 = 116 elde edilir Bilinmeyen buumlyuumlkluumlk ana para Krsquoyı hesaplamak iccedilin yukarıda verilen formuumllden yararlanarak

3600001164

45763650036500

pt

iK

denar elde edilir Demek ki 23 mayısta yatırılan para 360 000 denardır 8 Bir tenis yarışmasında şampion kazandığı 125 000 denarlık şampiyonluk oumlduumlluumlnuuml iki

bankaya yatırmıştır Birinci bankada faiz oranı 7 ikinci bankada ise 5rsquotir Bir yıl sonra her iki bankadan toplam 7 850 denar faiz elde edildiğine goumlre her bankaya kaccedilar para yatırılmıştır

Bilinen buumlyuumlkluumlkler K = 125 000 denar olan ana para K1 = x ve K2 = 125000 ndash x olmak uumlzere iki ayrı yatırıma ayrılmıştır Faiz oranları p1 = 7 ve p2 = 5 toplam faiz miktarı i = i1 + i2 = 7850 denardır Verilen koşullara goumlre t1 = t2 = 1 yıl olmak uumlzere şu denklemi oluşturu-yoruz

100100

222111 tpKtpKi

Oradan

100

1250005

100

77850

xx

denklemi elde edilir Denklemi ccediloumlzuumlyoruz 785 000 = 5 125 000 + 2x x = 80 000 elde edilir Buna goumlre K1 = x = 80 000 denar ve K2 = 45 000 denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Bankaya yatırılan 25 000 denar 15 faiz ile

10

a) 5 yılda b) uumlccedil ayda c) (30 360) ve (k 365)rsquoe goumlre 25 guumlnde ne kadar faiz getirir2 Bir bankaya 5 faiz oranıyla bir K kapitalı yatırılmıştır Basit faiz hesabıyla ne kadar

zamanda faiz miktarı yatırılan paraya eşit olacaktır (Not K = ip)3 34 500 denar borccedil iccedilin 4 yılda 6 900 denar faiz hesaplandığına goumlre faiz oranını belir-

tiniz4 6 faiz oranı ile hangi ana paradan a) 4 yılda b) 8 ayda3540 denar faiz miktarı elde edilir5 Bir bankaya aralarındaki fark 2000 denar olmak uumlzere iki farklı kapital yatırılmıştır

Buumlyuumlk olan kısmı 4 faiz oranıyla 1 yıl diğeri ise 6 faiz oranıyla 8 ay iccedilin bankada kalmıştır Her iki kısmın faiz miktarları eşit olduğuna goumlre bankaya yatırılan toplam para ne kadar oldu-ğunu hesaplayınız

6 Faiz oranı 65 olmak uumlzere aynı yılda uumlccedil kapitaldan Birincisi 38000 denar 3101ndash30 06rsquoa kadar ikincisi ise 72600 denar 803ndash3006rsquoa kadar ve 18900 denar 105ndash3006rsquoa kadar vade ile bankaya yatırılıyor Toplam faiz miktarını hesaplayınız

12 Yuumlz Uumlstuumlnde ve Yuumlz Altında Faiz Hesabı

Borccedillar ve onlara ait faizlerden yatırımlar ve mevduatların faizleri soumlz konusu olunca ccediloğu kez basit faizin buumlyuumlkluumlkleri arasındaki değerlere değinmeden pratik olsun diye ana paranın faiz miktarı kadar ccediloğalmasına ya da hesaplanan faiz miktarı kadar ana paranın azalmasından soumlz edilir

Ana paranın faiz miktarıyla beraber değeri K + i bilindiğinde yuumlz uumlstuumlnde faiz hesabı soumlz konusu olur ve bunu K ve i buumlyuumlkluumlklerini belirtmek iccedilin kullanıyoruz Diğer taraft an ana paranın faiz miktarı kadar azalmış yani K ndash i olduğu durum yuumlz altında faiz hesabı gibi ifade edilir Burada da faiz suumlresini hesapladığımızda faizin hesaplanması yıllık aylık ya da guumlnluumlk olabilir

Basit faiz hesabı K i = 100 pt formuumlluumlyle verilmiştir Hesaplanan faiz miktarını 100

Kpti formuumlluumlyle ifade ettikten sonra onu ana paraya ekleyerek

13

1001

100

ptKKptKiK

elde edilir

11

O halde

100

100

1001

ptptK

iK

ifadesi bu eşitlikten de

100100 KptiK (1)

orantısı elde edilirBenzer şekilde temel orantıyı K 100 = i pt biccediliminde yazarsak basit faiz hesabında

faizle beraber toplam para ve diğer temel buumlyuumlkluumlkler arasındaki bağıntıyı goumlsteren

ptiptiK 100 (2)

orantı elde edilir Benzer şekilde ana paranın azaldığı durumu incelersek

100

100

1001

100

ptKptKKptKiK

13

elde edilir Bunu K 100 oranında yeniden değiştirmekle

100100 KptiK (3)

elde edilir Bu orantıların benzerliğinden

ptiptiK 100 (4)

ve 100100 KptiK

ptiptiK 100

biccediliminde yazılabilirBu formuumlller orantıların oumlzelliklerinden yararlanarak da elde edilebilir Buna goumlre iki

orantının tarafl arı birbiri ile toplandığında ya da biri diğerinden ccedilıkarıldığında orantı bozulmaz yani ilk orantının sağ ve sol tarafına eşit olur

Elde edilen yeni orantılardan yuumlz uumlstuumlnde ve yuumlz altında faiz hesabındaki ana para (kapi-tal) ve faiz miktarının hesaplanması iccedilin formuumlller elde edilir

pt

iKK

100

100 ve

ptptiKi

100

1 Borccedillu borccedil verene 2 yıl iccedilin 6 faiz oranıyla aldığı para iccedilin faiziyle beraber 57120 denar veriyor Borccedil aldığı para ne kadardır ve ne kadar faiz oumldemiştir

K + i = 57120 denar biliniyor O halde p = 6 t = 2 olduğuna goumlre pt

iKK

100

100

formuumlluumlnden

51000112

5712000

26100

10057120

K denar elde edilir

12

Buna goumlre Borcun temel kısmı 51000 denar ve bu paraya oumldediği faiz miktarı 57120 ndash 51000 = 6120 denardır

2 Faiz oranı 8 olmak uumlzere 6 aylık faiz miktarını aldıktan sonra banka borccedil alana 52800 denar para vermiştir Temel borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

Faiz miktarı (yuumlzde payı) i oumlnceden oumldetilmiş olduğunu goumlz oumlnuumlne bulundurarak ana para faiz miktarı kadar azalmış olduğunu fark edebilirsiniz Demek ki borccedillu bankaya daha K ndash i denar yani aldığı para kadar bankaya oumldemesi gerekir O halde K ndash i = 52800 denar t = 6 ay p = 8 dir Ana parayı hesaplamak iccedilin iki youmlntem goumlsterebiliriz Bunlardan biri zaman suumlresi yıl ile ifade edildiğinde

2

1

12

6t

ya da yuumlz altında ve yuumlz uumlstuumlnde faiz hesaplama for-muumlllerinden yararlanarak zamanı aylar ya da guumlnler ile ifade ederek hesaplanabilir Yukarıda goumlsterilen formuumllden doğrudan doğruya yararlanıyoruz

55000

96

5280000

2

18100

10052800

100

100

pt

iKK

denar ve faiz miktarı

2200

96

211200

2

18100

2

1852800

100

ptptiKi

denar olduğunu buluyoruz (ya da i = K ndash (K ndash ı) = 55000 ndash 52800 = 2200 denar) Faiz suumlresi (zaman) aylarla ifade edildiği durumda hazır orantıları da kullanabiliriz yani

K i = 1200 pt orantısından

ve

12001200 KptiK

ptiptiK 1200

elde edilirK i = 36500 pt ya da K i = 36000 pt eşitliğinden orantıların oumlzelliklerini kullanarak

3650036500 KptiK

ptiptiK 36500

ve benzer şekilde zaman aralığı guumlnlerle ifade edildiğinde zaman matrisleri (k 365) ve (30 360) olmak uumlzere

3600036000 KptiK

ptiptiK 36000

elde edilir3 Bir kişi 11 faiz oranıyla beraber 9 ay iccedilin 541250 denar oumldemiştir Kredi miktarı ve

faiz miktarı ne kadardır

13

Faiz ve temel kapital toplamı K + i formuumlluumlne ait (K + i) (1200 + pt) = K 1200 temel orantısından yararlanarak zaman aylarla ifade edildiği durumda

500000

9111200

1200541250

1200

1200

pt

iKK

denar elde edilir Faiz miktarı (yuumlzde payı) ise i = (K + i)- K = 541250 - 500000 = 41250 denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Yuumlz uumlstuumlnde faiz ve yuumlz altında faiz hesabı nedir Accedilıklayınız2 200 guumln iccedilin 60 000 denar borccedil alan kişi 30 faiz miktarını ccedilıkardıktan sonra borcu

tahsil ederken kaccedil para oumldemesi gerekecektir Faiz miktarı ne kadardır Bankaya toplam ne ka-dar para oumldenecektir (30 360) zaman matrisini kullanınız

3 Bir kişi 20 faiz oranıyla uumlccedil aylık bir kredi iccedilin banka ile kontrat yapmıştır Kontrata goumlre banka faiz miktarını alarak kişiye 33440 denar kredi vermiştir Kredi kontratı ne kadar para iccedilin imzalanmıştır ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır (30 360) Zaman matrisini kul-lanınız

4 Bir kişiye 35000 denar 3 yıl iccedilin ve 50000 denar 5 yıl zaman iccedilin oumldenmesi gerekir Faiz oranı 5rsquotir Gereken paranın elde edilmesi iccedilin bankaya ne kadar para yatırılmalıdır

5 32 faizle beraber 1008 ndash 3009 zaman aralığı suumlresi iccedilin (30 360) borccedillu 33900 denar borccedil oumldemiştir Borccedil ve faiz miktarını hesaplayınız

6 Borccedillu 125 faizle beraber 2 yılda 325500 denar borccedil oumldemiştir Borccedil ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

7 Bir banka 2501rsquotan 3108 zaman aralığı iccedilin 9 faiz miktarını aldıktan sonra muumlşteri-sine 10000 denar borccedil vermiştir Zaman matrisi (K 365) sayıldığına goumlre borccedil ve hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

13 Vadeli Hesap

Bir borccedillunun farklı miktarda farklı oumldeme vadeleri ve farklı faiz oranlarıyla birkaccedil bor-cu olduğu durumda ne borccedillu ne de alacaklı zararlı olmayacak şekilde borccedilların aynı anda oumldenmesine muumlmkuumln olup olmadığı sorusu sorulabilir Bu soruyu ancak borccedilların oumldenmesi vadelerinin ortalaması ne kadardır ortalama faiz oranı ne kadardır borccedilların oumldendiği anda borccedil miktarı ne kadardır soruları accedilısından inceleyebiliriz Bu ise prensip olarak ayrı ayrı para

14

miktarların faizlerinin toplamı borccedilların toplamının ortalama vadeye goumlre ortalama faiz ora-nıyla hesaplanan faiz miktarına eşit olmalıdır demektir Ortalama vadeyi ve ortalama faiz ora-nını belirtme işlemine vadeli hesap denir ve aslında basit faiz hesabının bir uygulanmasıdır Birkaccedil borccedil miktarı farklı vadelerde oumldenecek yerde toplam borcu aynı anda oumldenmesi iccedilin ayrılan zamana orta vade denir Bazı durumlarda borccedillu aynı anda başka borccedillulardan alacaklı durumunda olabilir Boumlyle durumda alacak ve verecek farkını oumldeme vadesine borccedil kalanının (saldonun) oumldeme vadesi denir

131 Ortalama Vade ile Hesaplama

Borccedillunun tahvillerinin miktarları K1 K2 hellip Kn bunlara karşılık gelen faiz oranları p1 p2 hellip pn ve oumldeme vadeleri t1 t2 hellip tn zaman aralıkları olsun

Formuumlllerde tk k = 1 2 hellip n zamanı herhangi bir oumllccediluuml birimine goumlre verilebilir fakat bankalar genellikle guumlnuuml oumllccediluuml birimi olarak alıyorlar

Borccedillu bir orta vade tk ve ortalama faiz oranıyla tuumlm borccedilları aynı anda oumldemek istiyor Hesaplamanın sadeleşmesi iccedilin zaman oumllccediluumlsuuml yıl olsun Borccedillunun tuumlm tahvillerinin faiz mik-tarları

100

100100

222111 nnn tpKtpKtpK

olsun Bu miktar her bir tahvilin ortalama faiz oranıyla ve ortalama oumldeme vadesiyle hesaplanan tuumlm faiz miktarların toplamına

100

100100

21 ssnssss tpKtpKtpK

eşit olmalıdır Boumlyle durumda zararlı olan taraf yoktur ccediluumlnkuuml temel borccedilların toplamı eşit fakat hesaplanan faiz miktarları da eşittir

Demek ki

100

100100100

100100

21222111 ssnssssnnn tpKtpKtpKtpKtpKtpK

elde edilir oradan da

nssnnn KKKtptpKtpKtpK 21222111

olduğunu yazabiliriz Buradan ortalama faiz oranı bilindiği takdirde borcun ortalama oumldeme vadesini hesaplayabiliriz yani tuumlm borcun oumldeme vadesini

u

ns

nnns KKKp

tpKtpKtpKt

21

222111

elde etmiş oluyoruz

15

Borccedil miktarları faiz oranları ve oumldeme vadeleri farklı olduğu durumlarda ortalama faiz oranına ait şu formuumlluuml uygulayacağız

ns

nnns KKKt

tpKtpKtpKp

21

222111

Oumldeme vadeleri eşit olduğu durumda ayrı ayrı tuumlm borccedilların faiz miktarını inceleyelim Bu nedenle oumlnceki formuumllde

t1 = t2 = hellip tn = ts yazarak şu formuumlluuml elde edeceğiz

n

nns KKK

pKpKpKp

21

2211

]Hesaplanan ortalama faiz oranını ortalama oumldeme vadesi formuumlluumlnde değiştirelim

n

n

nn

nnns

KKKKKK

pKpKpKtpKtpKtpK

t

21

21

2211

222111

oradan da

nn

nnns pKpKpK

tpKtpKtpKt

2211

222111

formuumlluuml elde edilirHesaplamalarda ccedilok kez bazı buumlyuumlkluumlkler birbirine eşit olabilir Oumlrnek- Temel miktarlar K1 = K2 = hellip Kn = K olduğu durumda ortalama vade ve ortalama faiz

oranı iccedilin

n

nn

n

nns ppp

tptptppppK

tptptpKt

21

2211

21

2211

ve

nppp

nKpppK

p nns

2121

formuumllleri elde edilir- Faiz oranları birbirine eşit p1 = p2 = hellip pn = p olduğunda ortalama oumldeme vadesi iccedilin

n

nn

n

nns KKK

tKtKtKKKKp

tKtKtKpt

21

2211

21

2211

formuumlluuml elde edilir ortalama faiz oranı ise ps = p dir- Hem temel miktarlar hem faiz oranları birbirine eşit oldukları durumda ise ps = p ve

n

tttnK

tttKt nn

s

2121

dirOumldeme vadesini (oumldeme tarihini) belirtmek iccedilin genellikle birinci oumldeme tarihine hesap-

lanan ortalama vade tarihi eklenir Bu durumda borcun tahsilinde tuumlm vadelerin hesaplanması ilk oumldeme vadesine goumlre karşılaştırılarak yapılır

16

Zaman guumlnlerle ifade edildiği durumda ayrı ayrı faiz miktarların toplamının ve ortalama vadeyle hesaplanan faiz miktarların denklemi

36500

365003650036500

3650036500

21222111 ssnssssnnn tpKtpKtpKtpKtpKtpK

şekline doumlnuumlşuumlr O halde yine

nssnnn KKKtptpKtpKtpK 21222111

eşitliği elde edilir Buna goumlre zaman birimi ister yıl ister ay ister guumln olarak alındığında hesap-lamalar aynı formuumlllerle yapılır fakat oumldeme vadeleri daima aynı oumllccediluuml biriminde olmalıdır

1 Bir borccedillu 30000 denar parayı doumlrt eşit taksitle oumldemelidir Oumldeme vadeleri ilki 30 guumln sonra ikincisi 60 guumln uumlccediluumlncuumlsuuml 90 guumln ve son taksit 120 guumln sonra oumldeyecektir Faiz oranı 8 olduğuna goumlre tuumlm borcu birden kaccedil guumln sonra oumldeyebilir

Borcun oumldenmesi eşit taksitlerle olduğuna goumlre K1 K2 K3 ve K4 birbirine eşittir faiz oranı her taksit iccedilin eşit yani p = 8 ve taksitlerin oumldeme vadesi t1 = 30 t2 = 60 t3 = 90 ve t4 = 120rsquodir Bu oumlzel durum iccedilin ortalama vadeyi hesaplayacağız

754

120906030

4

4321

tttt

t s

guumln elde edilir Buna goumlre 30000 denar borccedil 8 faiz ile 75 guumln sonra oumldenebilir Vadeli hesapta faizin hesaplanmasına başlanıldığı tarihe faiz doumlnemi denir Faiz doumlnemi-

nin ilk taksitten başlaması mecburi değildir Faiz hesaplamaları iki farklı doumlnemde yapılacak bir oumlrnek inceleyelim

2 Borccedillu 60000 denar borcunu 16 faiz oranıyla 4 eşit taksitle şu tarihlerde oumldemelidir Birinci taksit 15 02 ikincisi 7 03 uumlccediluumlncuumlsuuml 5 04 ve doumlrduumlncuumlsuuml 1 05

a) doumlnem 15 02 b) doumlnem 7 03

olduğuna goumlre hangi tarihte borccedillu tuumlm borcu oumldeyebilirFaiz doumlnemi 1502 tarihinde başlandığı durumda (( a) şıkkı) birinci taksitin faizdeki

zamanı t1 = 0rsquodır İkinci taksitin faizdeki zamanı 1502rsquoden 703rsquoe kadardır (15 02 yi saymıyoruz fakat 7 03 zamana aittir) yani t2 = 20 guumlnduumlr Benzer şekilde t3 = 49 guumln (şubat ayının 13 guumlnuuml mart 31 guumln ve nisanın 5 guumlnuuml) ve t4 = 75 guumln (15 02 den 105 e kadar) Temel miktarlar ve faiz oranları eşit olduklarına goumlre orta vade iccedilin

17

364

7549200

4

4321

tttt

t s

guumln olduğunu buluyoruz Demek ki faiz hesaplanmasının başlangıcından 36 guumln sonra borcun tuumlmuuml oumldenebilir yani 1502rsquoden sayıldığına goumlre 2303 tarihinde borccedil oumldenebilir

Faiz doumlnemi olarak 703 tarihi alınırsa ( b- şıkkı) ilk taksitin faiz zamanını 703 lsquoten 15 02rsquoye kadar geriye doğru sayıyoruz yani şimdi t2 = 0 t1 = - 20 olur Ondan sonra t3 = 29 (703 ten 504rsquoe kadar) ve t4 = 55 (703rsquoten 105rsquoe kadar) Buna goumlre orta vade

164

5529020

4

4321

tttt

t s

guumln olduğunu buluyoruz Bu ise 2303 tarihini borcun oumldenebildiğini goumlstermektedirGoumlruumllduumlğuuml gibi faiz doumlnemleri farklı ve farklı orta vadelere rağmen borccedil oumldeme tarihi

değişmez

3 Bir ticaret şirketi doumlrt eşit taksitle 100 000 denar parayı aşağıdaki vadelerde oumldemesi gerekir

- birinci taksit bu guumlnden sayarak 3 faiz oranıyla 100 guumlnde- ikinci taksit 4 faiz oranıyla 150 guumlnde- uumlccediluumlncuuml 25000 denarı 6 faiz ile 200 guumlnde- doumlrduumlncuumlsuumlnuuml 7 faiz ile 300 guumlndeKaccedil guumln sonra ve hangi faiz oranıyla tarafl ardan hiccedilbiri zararda olmama koşuluyla doumlrt

taksit birden oumldenebilirOumldevi en kolay ccediloumlzmek iccedilin verilen değerleri tablo halinde goumlsterelim Boumlyle durumlarda

taksitlerin toplamları da daha kolay yapılabilir

Ki - taksit ti - guumln pi ndashfaiz Pi middot tt

1 25000 100 3 3002 25000 150 4 6003 25000 200 6 12004 25000 300 7 2100

Toplam 100000 20 4200

Ortalama faiz oranı

154

7643

4

4321

pppp

ps ve

21020

4200

20

21001200600300

4321

44332211

pppp

tptptptpts

guumln elde edilir Demek ki 100 000 denar toplam borccedil 5 faiz oranıyla tam 210 guumln vadeyle oumldenecektir Buna goumlre ticaret şirketi

18

10291736000

2105100000100000

denar borccedil oumldemiştir

4 Bir tuumlccar aynı bankadan farklı koşullarla uumlccedil kredi almıştır Borcun oumldenmesi şu şekilde yapılacaktır

- 7 05 tarihinde 4 faiz oranıyla 20000 denar - 6 06 tarihinde 5 faiz oranıyla 40000 denar - 5 08 tarihinde 6 faiz oranıyla 50000 denar Hangi tarihte ve hangi faiz oranıyla tuumlccar zararlı olmadan uumlccedil taksiti birden oumldeyebilirBaşlangıccedil tarihi 705 olarak seccedilersek t1 = 0 t2 = 30 guumln (705rsquoten 606rsquoye kadar) t3 = 90

guumln (705rsquoten 508rsquoe kadar) Verileri tabloda yazdıktan sonra orta vade formuumlluumlnde bulunan ccedilarpımları da hesaplıyoruz

Ki - taksit ti - guumln pi ndashfaiz Ki pi Ki pi ti

1 20000 0 4 800002 40000 30 5 200000 60000003 50000 90 6 300000 27000000

Toplam 110000 580000 33000000

Buna goumlre

275110000

580000

321

332211

KKK

pKpKpKps

ve

57580000

33000000

332211

333222111

pKpKpK

tpKtpKtpKts

guumln elde edilir Demek ki toplam borccedil birden 57 faiz oranıyla 57 guumlnde daha doğrusu 3 07 tarihinde oumldenebilir

Alıştırmalar

1 Vadeli hesap nedir2 Hangi zamana ortalama vade denir3 Hangi vadeye borcun kalan (saldo) vadesi denir4 Bir şirket elektrik borcunu 9 faiz oranıyla 80 000rsquoer denar olmak uumlzere beş eşit tak-

sitle oumldemek iccedilin anlaşma yapmıştır Oumldeme vadeleri Birinci taksit 30 guumln sonra ikincisi 50 guumln uumlccediluumlncuumlsuuml 80 guumln doumlrduumlncuumlsuuml 100 guumln ve beşinci taksit 115 guumln sonra oumldenecektir Tuumlm borccedil birden hangi aralıkta oumldenebilir

19

5 Borccedillu 300 000 denar borcunun 25rsquoni hemen iki ay sonra 10rsquonu yedi ay sonra 35rsquoni ve kalan 30rsquonu on ay sonra oumldemelidir Ne kadar zaman sonra tuumlm borccedil birden oumlde-nebilir

6 1800000 denar borccedil 20 faiz oranıyla doumlrt eşit taksitle oumldenmelidir Oumldeme vadeleri- birinci taksit 15 03 guumlnuuml- ikinci taksit 21 04- uumlccediluumlncuuml taksit 10 05- doumlrduumlncuuml taksit 3006 Faiz hesaplama başlangıcıa) 15 03 b) 21 04 olduğuna goumlre hangi tarihte borcun tuumlmuuml birden oumldenebilir

7 Tuumlccar satın aldığı mallar iccedilin uumlccedil oumldeme yapması gerekir- 6 faiz oranıyla 3 04 tarihinde 60 000 denar- 6 faiz oranıyla 24 04 tarihinde 80 000 denar- 6 faiz oranıyla 26 05 tarihinde 100 000 denarHer iki taraf zararlı olmamak koşuluyla tuumlccar hangi tarihte borcun tuumlmuumlnuuml birden oumlde-

yebilir

8 Borccedillu faiz oranı 10 olmak uumlzere 3 03 tarihinde 80 000 denar 8 04rsquote 30000 de-nar 18 05rsquote 60000 denar 23 07rsquode 30000 denar borccedil oumldemelidir Borcun tuumlmuuml hangi tarihte oumldenebilir

9 Tuumlccar aldığı malların faturalarını 6 faiz oranıyla 45000 er denar olmak uumlzere 1004 2804 2005 ve 3005 tarihlerinde oumldemelidir Tuumlccar hangi guumln borcun tuumlmuumlnuuml birden oumlde-yebilir

14 Borccedil Kalanının Vade Hesaplanması

Bu boumlluumlmde borccedillu aynı zamanda hem alıcı hem verici olduğu durumlarda tuumlm yuumlkuumlm-luumlluumlklerini nasıl yerine getirebilecek sorusuna cevap vereceğiz Bu gibi zaman vadesine borccedil kalanının vadesi denir

K1 K2 hellip Kn borccedil miktarları vadeleri t1 = t2 = hellip tn = tn guumlnler ve p1 = p2 = hellip pn = pn karşılıklı olarak faiz oranları olsun Aynı kişinin alacakları P1 P2 hellip Pn vadeleri 0 0 0

1 2 nt t t guumlnler ve 0 0 0

1 2 np p p faiz oranları olsun Amaccedil borccedilların faizlerinin toplamı alacakların ve kalanın faizlerinin toplamına eşit olduğunu bildiğimize goumlre kalanın vadesi ts faiz oranı (ortalama) ps ve borcun kalanı S buumlyuumlkluumlklerini belirtmektir Bu durumda borccedilların toplamı

20

alacakların toplamından buumlyuumlk K1 + K2 + hellip + Kn gt P1 + P2 + hellip + Pn olduğunda borcun ka-lanı borcun kapatılması iccedilin oumldenecek para miktarıdır yani

mn PPPKKKS 2121

Borccedilların faizlerinin toplamı

36500

3650036500

222111 nnn tpKtpKtpK

dirAlacakların faizlerinin toplamı

36500

3650036500

000

2

0

22

0

1

0

11 mmm tpPtpPtpP

dir Borccedil kalanına hesaplanan faiz 36500

sstSp dir

O halde

3650036500

365003650036500

3650036500

000

2

0

22

0

1

0

11222111 ssmmmnnn tSptpPtpPtpPtpKtpKtpK

yazılabilir Zaman hangi oumllccediluuml birimiyle verilmiş olursa olsun kalan (saldo) vadesini belirtmeye yarayan denklem

ssmmmnnn tSptpPtpPtpPtpKtpKtpK 000

2

0

22

0

1

0

11222111

şeklinde yazılır Oradan da

s

mmmnnns Sp

tpPtpPtpPtpKtpKtpKt

000

2

0

22

0

1

0

11222111

elde edilir Oumlzel olarak faiz oranları birbirine eşit olduğu durumda hem borccedillar hem de alacaklar

iccedilin p1 = = pn = p10 = = pm 0 = ps ve

S

tPtPtPtKtKtKt mmnn

s

00

22

0

112211 elde edilir

1 ldquoPolarinordquo firmasının borccedilları 5000 denar 40 guumln 6000 denar 50 guumln 8000 denar 80 guumln vadeli ve alacakları 3000 denar 30 guumln ve 10000 denar 90 guumln vadeli Borcun kalan kısmını kaccedil guumln sonra oumldemelidir Faiz oranı her vade iccedilin eşittir

Borccedil oumldemede orta vadenin belirtilmesinde yapıldığı gibi benzer şekilde borccedillar ve ala-caklarda da verileri tabloda yazacağız

Borccedillar AlacaklarКi tt Kiti Pj tj

0 Рjtj0

1 5000 40 200000 1 3000 30 900002 6000 50 300000 2 10000 90 9000003 8000 80 640000Toplam 19000 1140000 13000 990000

21

Borcun kalanı

S = (K1 + K2 + K3)- (P1 + P2) = 19000 -13000 = 6000

denardır Kalanın vadesi

256000

99000011400000

22

0

11332211

S

tPtPtKtKtKts

guumln elde edilir Demek ki aynı faiz oranıyla bu guumlnden sayarak 25 guumln vadeyle 6000 denar oumlde-mekle borcun tuumlmuuml oumldenmiş olacaktır

Not Şimdiye dek borccedilların toplamı alacaklardan buumlyuumlk olduğunu farz etmiştik Halbuki alacakların toplamı da vereceklerden buumlyuumlk olabilir durumlar da vardır Bu durumda borccedil ka-lanını ifade eden eşitliklerde negatif işaretli olacaktır Bu miktarlar borccedilluya hesaplanan faiziyle kalacaktır

Alıştırmalar

1 Borccedil kalanının vadesi kavramı nedir2 Bir şirket uumlccedil aylık vadeli 75000 denar altı ay vadeli 40000 denar ve sekiz ay vadeli

80000 denar borccedilludur Aynı zamanda yedi ay vadeli 55000 denar ve dokuz ay vadeli 30000 denar alacaklıdır Hangi vadede tuumlm borcu oumldeyebilir

3 Bir şirketin 504 tarihli 80000 denar 2005 tarihli 150000 denar ve 3006 tarihli 275000 denar borccedilları vardır Aynı zamanda 1703 tarihli 130000 denar ve 508 tarihli 90000 denar alacakları vardır Faiz doumlnemi 504 tarihi olduğuna goumlre borccedil kalanını hangi tarihte oumldeyebilir

4 Borccedillu 403 tarihli 1000 denar 2504 tarihli 2000 denar ve 1505 tarihli 3000 denar borccedil oumldemelidir Aynı zamanda 1704 tarihli 1500 denar ve 109 tarihli 1000 denar alacakları vardır Borcun kalanı hangi tarihte oumldenebilir Borccedillunun borccedil verene toplam ne kadar para vermesi gerekir

a) faiz doumlnemi 403 b) faiz doumlnemi 17025 Tuumlccar aldığı malların borccedillarını 6 faiz oranıyla 45000rsquoer denar olmak uumlzere 1004

2804 2005 ve 3005 tarihlerinde oumldemelidir Aynı zamanda tuumlccarın 30000rsquoer denar olmak uumlzere 1504 ve 2505 tarihli alacakları da vardır Tuumlccar hangi guumln borcun kalanını birden oumlde-yebilir

22

15 İskonto Hesabı ve İskonto Hesaplama Kavramı

Muhasebe işlerinde bazı durumlarda ccedileşitli finansal kaynaklardan elde edilmiş (ccedilek se-net bono vb) belli bir miktar parayı belli bir zamanda almalıdır Henuumlz vadeleri yetişmemiş alacakların satışı durumunda satış guumlnuumlnden alacakların vadesinin olduğu guumlne kadar faiz miktarının alacaktan eksilmesine iskonto (eskont) denir

Belli bir tarihte oumldenmesi gereken borcu vadesi gelmeden belli bir tarihte oumldemeye douml-nuumlştuumlrme işlemine (şimdiki değeri ilerdeki borcun değerine doumlnuumlştuumlruumllmesine) iskontolama (eskontolama) denir

İskonto hesaplamaların yapılmasında şu parametrelerden yararlanılır

N= Finansal varlığın nominal değeritnn= İskonto vadesi varlığın indirilme guumlnuumlnden tahsilat guumlnuumlne kadar

guumlnler sayısı t aylar sayısı m yıl sayısı n Ayların guumlnleri takvime goumlre alınır oumlyle ki varlığın indirilmesi yapıldığı guumln sayılmıyor varlığın tahsil edildiği guumln sayılır

D = İndirim (iskonto) finansal varlığın nominal değerinin azalmasına eşittir

p = İndirimin hesaplanmış olduğu faiz oranı (iskonto oranı) E = Nominal borcun erken oumldeme anında reel (efektif) miktar

İndirimin hesaplanması iki şekilde yapıldığına goumlre iki tuumlr indirim vardır

Ticari (banka ticari) indirim ndash Dk burada indirimin hesaplandığı temel değer nomi-nal değerdir efektif değer ise nominal değer ve indirimin farkıdır ve

Rasyonel (matematiksel) indirim ndash Dr burada nominal değer efektif değer ve ona kar-şılık gelen faizin toplamıdır

İndirim yaparken nominal değer tabanına goumlre banka belli bir komisyon uumlcreti ve diğer harcamaları hesaplıyor ve ek olarak oumldetiyor (komisyon ve diğer masrafl ar hesaplanan efektif değerden ccedilıkarılıyor)

23

151 Policcedilenin Oumlzellikleri

Policcedile belirli bir kişi emrine diğer bir kişiye verilen oumldeme yetkisini kapsayan bir senettir Policcedilede uumlccedil tarafl ı ilişkiyi duumlzenleyen bir senettir Senedi duumlzenleyen keşideci bir kişiye borccedillu iken diğerinden alacaklıdır Keşideci alacaklı olduğu kişiye hitaben duumlzenlediği senedi borccedillu olduğu kişiye teslim eder Yani policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedidir Policcedileyi veren (keşideci) diğer bir kişiye policcedilede adı geccedilen kişiye (hamil) belli miktarda koşulsuz oumldeme emrini vermektedir

keşideci (drawee) policcedileyi duumlzenleyen siparişccedili ya da policcedileyi yayınlayan (policcedileyi ve-renler bankalar ve seyahat acentalarıdır) değerli kacircğıtları duumlzenleyen ve oumldemekle yuumlkuumlmluuml olan kişi

policcedileyi ouml deyecek olan (muhataf)

policcedile bedelini tahsil edecek (lehdar veya policcedile hamili) bireysel ya da tuumlzel kişidir ve policcedilede adı yazılıdır yani policcedileden yararlanan kişidir ve

policcedilenin sahibi kanun kurallarına goumlre policcedilesi olan kişi

Değerli kağıt olarak policcedilenin şu rolleri vardır

policcedile kredi aracıdır

policcedile oumldeme aracıdır

policcedile iskonto aracıdır

Policcedilenin nitelikleri ve roluumlne goumlre birccedilok ccedileşit policcedile vardır hamil policcedile şahsi policcedile accedilık policcedile mal varlığı policcedilesi iş policcedilesi dairesel policcedile hamil ndash ccedilekilişli policcedile şahsi ndash ccedileki-lişli komisyon policcedilesi ve kredi policcedilesi

Policcedilenin temel ccedileşitleri hamil ve şahsi policcedilelerdir Policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedi olduğundan hamil policcedileyi nitelendiren bazı elemanları iccedilerir Policcedile kanunu ve 1930 yılı Cenevre anlaşması gereğince hamil policcedile uumlzerinde eksiksiz olarak bulunması gereken unsurlar aşağıdadır

24

gereken yerde Makedon dilinde ve Kiril alfabesiyle policcedile kelimesi yazılmış olması

oumldeyecek olanın adı

keşideci adı ya da adresi

kime ve kimin emrine oumldeneceği ndash lehdar

tanzim (duumlzenleme) yeri ve tarihi

belli bir paranın kayıtsız şartsız oumldenmesi iccedilin havale

oumldeme yeri

policcedilenin yazılma tarihi ve yeri

oumldeyecek olanın imzası

Şahsi policcedilede yazılı olan para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair verilen soumlzduumlr Şahsi policcedile şu unsurları iccedilerir

gereken yerde Makedon dilinde ve Kiril alfabesiyle policcedile kelimesi yazılmış olması

para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair vaat vermesi

havale tarihi

oumldeme yeri

alacaklının adı

policcedilenin yazılma tarihi ve yeri ve

oumldeyen kişinin imzasıPoliccedile işlemleri hukuk işlemleridir ve policcedile hakkında şu işlemler yapılabilir policcedilenin

verilmesi policcedilenin onaylanması policcedilenin vurgulanması policcedilenin devredilmesi policcedilenin havale edilmesi policcedilenin satın alınması amortisman geriye ccedilevrilmesi policcedilenin protesto edilmesi vb

Policcedile hukuk işlemlerinde karakteristik kurallar genellikle şunlardır okur yazarlık in-korporasyon birleşme (şirketleşme) policcedile sorumluluğun kesinliği policcedile titizliği ve policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil etmedir

Okur yazarlılık (formalite) Policcedile - hukuk durumun varlığı ve policcedile ndash hu-kuk işlemlerinin daha kolay yapılması iccedilin policcedilenin kanunla belirlenmiş kesin şekil-de yazılmalıdır Policcedile iccedilinde şu elemanlar ve hukuk işlemleri olması mecburidir Oumlrnek

25

kabul beyannamesi havale cirant (kefil) beyanı vb Son zamanlarda hukuk işlemlerinde ve po-liccedile hukukundaki yeni huumlkuumlmlerde oumlzellikle accedilık policcedilelerin yayın teorisiyle formalite hususu daha gevşek hal aldığını da vurgulamamız gerekir

İnkorporasyon ilkesi policcedile hakkında yetki ve yuumlkuumlmluumlluumlk policcedile kağıdının sahip olun-masıyla sıkı bağıntıdadır Policcedileye sahip olmayan hiccedil kimse policcedileyi tahsil edemez İnkorporas-yon ilkesi aynı zamanda iki hak (policcedileden elde edilen hak ve policcedileye sahip olma hakkı) iccedilerir

policcedileden elde edilen hak ndash kendi karakterine goumlre bağlayıcı haktır ve policcedilenin sahibi policcedileyi ouml deyecek olandan (muhataptan) policcedile hakların tahsilini isteme hakkı vardır ve

policcedileye sahip olma hakkı ndash kendi karakterine goumlre policcedile sahibi policcedilenin kanuni sahibi olarak ancak policcedile varlığı durumda policcedileyi oumldeyecek olandan borcun tahsilini arama hakkı vardır

Policcedile sorumluluğun kesinliği policcedilede sadece yazılanların tahsili istenilebilir Bunlar policcedilede accedilık olarak yazılıdır Policcedile yuumlkuumlmluumlluumlğuuml policcedilede yazılanlardan anlaşılır burada diğer deliller kabul edilemez Yuumlkuumlmluumlluumlk policcedilenin imza edilmesiyle yazılı ifade verilmesiyle başlar

Policcedile titizliğiyle policcedile ndash hukuk işlemlerinin hızlı ve sorunsuz yapılması sağlanmakta-dır Policcedile alacaklıyı koruyan en uygun araccediltır ve alacaklılara karşı kesin belgedir Bu anlamda alacaklıya guumlven sağlayan kesin hukuk kurallarıyla policcedilenin yuumlkuumlmluumlluumlkleri yerine getirilir

Dayanışma kuralı policcedile borccedillularından - policcedileyi imzalayanlardan her biri (keşideci muhatap lehdar alıcı) aralarındaki duruma bakmadan policcedile sahibine yuumlkuumlmluumlluumlklerini da-yanışma ile yerine getiriyorlar

Policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil kuralı policcedile borccedillularından her biri (policcedile-yi imzalayanlar) policcedile sahibine doğrudan doğruya sorumludurlar Bu nedenle alıcı policcedileyi imzalayanlardan sırasına bakmadan her birinden doğrudan doğruya policcedile miktarını tahsilini isteyebilir

Policcedile bağımsızlığı kuralı her policcedile borccedillusu policcedilede usuluumlne uygun bir şekilde kendi imzasını koyduktan sonra policcedileyi imzalayan diğer policcedile yuumlkuumlmluumllerine bağlı olmadan policcedile yuumlkuumlmluumlluumlğuumlne girer

26

152 Policcedilenin İskontosu

Policcedilede yazılı olan para miktarına policcedilenin nominal değeri ya da policcedile miktarı denir Policcedilenin oumldenmesi

policcedilede belirlenen vade guumlnuumlnde

policcedilenin vade guumlnuumlnden sonra ve bu durumda nominal değerden başka karşılık gelen faiz de oumldenir ve

policcedilede vadesi belirlenen guumlnden evvel (vadeden evvel policcedilenin satışı) olabilir

Policcedilenin iskontu bir finans işlemidirVadeli satış yapan işletme elinde bulunan senedi vade tarihine kadar bekleterek borccedillusundan tahsil eder ya da vade tarihinden oumlnce bir finans-man kurumuna giderek policcedileyi paraya ccedilevirebilir Bu işleme policcedile kırdırma ya da policcedile iskon-tosu denir Policcedile iskontosu aslında vade tarihinden oumlnce policcedilenin satışı ya da satın alışıdır Bu durumda satın alan kişi policcedilenin iskonto guumlnuumlnden vadesi doluncaya kadar guumlnlere karşılık gelen faiz tutarı kadar policcedilenin nominal değerinden eskitir Genellikle paraya ihtiyacı olan iş-letmelerin sattıkları mal ya da yaptıkları hizmetler karşılığında ellerindeki policcedileleri bankaya goumltuumlruumlp iskonto yapıyorlar Bir işletme kuruluşu bir guumlnde birkaccedil policcedilenin iskontosu yapılırsa policcedilelerin şartnamesi de sunulur

Policcedilenin tahsili vade guumlnuumlnden sonra yapılırsa vadeden sonraki guumlnlere karşılık gelen faiz miktarı policcedilenin nominal değerine katılır

Bu faizin hesaplandığı faiz oranı iskonto oranıdır ve elde edilen faiz miktarı iskonto mik-tarıdır iskontolanmanın yapıldığı hesaba ise iskonto hesabı denir

Policcedilenin iskontosu - İskontonun hesaplanması iccedilin birccedilok youmlntem vardır Ticari iskonto en basit şekilde şu formuumllle hesaplanır

100360

ptNDk

Rasyonel iskontoyu ise şu formuumllle hesaplayabiliriz

tpptNDr

100360

Bankalar iskontolamayı banka diskontundan yararlanarak yapıyorlar ve policcedile sahibinin elde edeceği efektif miktarı şu formuumllle hesaplanır

27

13

100360

1tpNE

1 Nominal değeri $1 000 olan bir policcedile bankaya 10092009 tarihinde verilmiştir İskonto oranı 7 ve oumldeme vadesi 30092009rsquodur Verilen parametrelere goumlre ticari ve rasyonel iskonto ve onlar arasındaki fark hesaplansın

N = 1000$ t = 20 guumln p = 7

893$

100360

2070001 Dk

873$207100360

2070001 Dr

002 $ 387 $ - 389 $ Dr -Dk

2 İşadamı X bir taşıma aracının satışında elde ettiği bir policcedile sahibidir Policcedilenin değeri $100 000 ve oumldeme vadesi 01102009 guumlnuumlduumlr Halbuki işadamının paraya ihtiyacı olduğundan 06092009 guumlnuuml policcedileyi iskonto etmek uumlzere bir bankaya 8 faiz oranıyla goumltuumlruumlyor Bu hiz-metin karşılığı olarak banka 5 komisyon ve manipuumllatif masrafl ar adında daha $100 oumldetiyor

N = $ 100 000p = 8t = 25 guumln

Efektif para miktarının hesaplanması

4444499$)100360

2581(000100$)

100) 360

t p - (1 N E

Efektif para miktarına goumlre iskonto D = 100 000$ - 99 44444$ = 55556$elde edilir ya da ticari iskonto formuumlluumlyle hesaplandığında

56555$36000

258000100

100360

p t N Dk

elde edilir İskonto hizmeti iccedilin komisyon miktarı

497$100

504444499$ elde edilir

28

Buna (100$) manipuumllatif harcamaları katmakla işadamının alacağı efektif para miktarı99 44444$ - 497$ - 100$ = 98 84744$ elde edilir

3 A şirketi 01052009 guumlnuuml eşit nominal değerleri $ 20 000 olan farklı oumldeme vadeli uumlccedil policcedile bankaya kırdırmak uumlzere goumltuumlruumlyor 0105 guumlnuuml 6 faiz oranıyla 1 komisyon ve $20 manipuumllatif masrafl arı nominal değerden duumlşuumlrerek kırılan policcedile iccedilin banka ne kadar oumldemiş-tir

Policcedile 01052010 guumlnuuml kırılmıştır

Para tutarı (N) Oumldeme tarihi Guumlnler DkPoliccedile A 20 000 $ 01042009 30 100 $Policcedile B 20 000 $ 20032009 41 137 $Policcedile C 20 000 $ 15032009 46 153 $

60 000 $ sum Dk = 390 $

p = 6

Dk =

390 $komisyon = 1manipuumllatif masrafl ar = $ 20Efektif tutar =

=N Dk = 60 000 390 = $ 59 610

ndash (komisyon = 59 610 х 001 = 5961)= 59 0139ndash ( 20)= 58 9939

İskonto yapılmış (kırılmış) farklı vadeli uumlccedil eşit policcedile iccedilin 01052010 tarihinde banka A şirketine 589939 denar oumldemiştir

Policcedilelerin satın alışı durumunda tuumlm masrafl ar policcedilenin iskontolanmış (kırılmış) tuta-rına katılır

4 Bir kişi 0105 guumlnuuml nominal tutarı 50 000 denar oumldeme vadesi 1605 olan bir A policcedilesi-ni ve nominal tutarı 70 000 denar oumldeme vadesi 3107 olan bir B policcedilesini bankaya kırdırmak uumlzere getiriyor Ne banka ne de policcedile sahibi zararlı olmayacak şekilde banka her iki policcedilenin tutarını bir orta tarihte policcedile sahibinin hesabına yatırmalıdır İskonto oranı her iki policcedile iccedilin 8rsquodir Her iki policcedilenin tutarı hangi tarihte oumldenecektir ve policcedile sahibine oumldenecek efektif tutar ne kadardır

29

Verilen parametrelerden şunları elde ederiz - (A) policcedilesinin nominal tutarı N1 = 50 000 denar ve t1 = 15 guumln ve- (B) policcedilesinin nominal tutarı N2 = 70 000 denar ve t2 = 92 guumlnİskontonun ortalama vadesini hesaplamak iccedilin formuumll

n

ti

n

tii

N

tN

1

1st

Buna goumlre iskontolamanın orta vadesi = 600007000050

92000701500050

guumlnp = 8

1600

36000

860)7000050000(

100360

p t N Dk

Efektif tutar (50 000 + 70 000) ndash 1 600 = 118 400 denar

Alıştırmalar

1 İskonto hesaplarında hangi parametrelerden yararlanılır

2 Policcedile nedir ve hangi elemanlardan meydana gelir

3 Policcedile ile işlem yapıldığında elemanlar kimdir

4 Nominal değeri (tutarı) 2 500 denar olan bir policcedile 1510 guumlnuuml bankaya kırdırmak iccedilin getirilmiştir İskonto oranı 9 ve oumldeme vadesi 2011 guumlnuumlduumlr Verilen parametrelere goumlre ticari ve rasyonel iskontoyu ve onlar arasındaki farkı hesaplayınız

5 A şirketi sattığı malın karşılığı oumldeme vadesi 01042010 guumlnuuml olan $ 1 200 000 no-minal tutarlı policcedile almıştır Şirketin net paraya ihtiyacı olduğundan 15032010 guumlnuuml policcedileyi bankaya satmaya (kırdırmaya) kararlaştırıyorlar İskonto oranı 7 komisyon 005 ve manipuuml-latif masrafl ar $ 500 olduğuna goumlre şirket bankadan ne kadar para almıştır

30

16 Yatırım (Depozit) Hesapları

Banka mevduat kabul eden bu mevduatı en verimli şekilde ccedileşitli kredi işlemlerinde kul-lanmak amacını guumlden veya faaliyetlerinin esas konusu duumlzenli bir şekilde kredi almak ya da kredi vermek olan ekonomik bir kuruluştur Bankaların geleneksel kaynakları bir kredinin ve-rilmesi iccedilin alınan depozitolar (bir alacağın karşılığı olarak alınan uzun ya da kısa vadeli depo-zito ve teminat niteliğindeki değerler) yatırımlardır Bu şekilde bankalar tasarruf ve kredi fonk-siyonunu gerccedilekleştirmekle para fonlarını etkin biccedilimde bir yerden diğer yere aktararak para sahiplerine (kredi vererek) ve kendi buumltccedilesine komisyondan faiz biccediliminde gelir sağlamaktadır

Tasarruf yapmak isteyen her vatandaş kendi para depozitosunu bankaya yatırabilir Mev-duat hesabı accediltıran her muumlşteriye bir hesap cuumlzdanı verilir Hesap cuumlzdanı vasi altında bir kişinin adına da accedilılabilir Cuumlzdan verilmesinin amacı hesap sahibinin hesap seyrini yani yatırılan pa-ralar alınan paralar ve mevduatların faizlerini izleyebilmesidir Hesap cuumlzdanının temel unsur-ları şunlardır hesap numarası hesap sahibinin adı ve soyadı doğum tarihi ve kimlik numarası banka hesabı karne numarası ve not boumlluumlmuuml (paraların vadesi ndash vadeli yoksa vadesiz) yazılır

Hesap cuumlzdanı banka yetkililerince imzalanır ve muumlhuumlrlenir Her yatırılan ve ccedilekilen pa-ranın miktarı ve tarihi kaydedilir ve bankanın yetkilisi tarafından imzalanır ve muumlhuumlrlenir

Hesap cuumlzdanındaki mevduatı

hesap cuumlzdanının sahibi ve

cuumlzdan sahibinin vekalet ettiği kişi yasal temsilci ve vasi kullanabilir

Bankaya depozitonun (nakti teminat) yatırımı bir tasarruf fonksiyonudur bu nedenle de-pozitonun yatırımlarıyla ilgili bu gibi hesaplara tasarruf mevduatlar hesabı ya da yatırım hesap-ları denir Tasarruf mevduatları

vadesiz ve vadeli (faizi ccedilekebilme imkanıyla bir aylık iptal etme ve etmeme vadesiyle oumlzel amaccedillı ya da amaccedilsız)

accedilık tasarruf mevduatlar ve

accedilık ccedilocuk denar tasarrufu olabilirler

Kişilerin bankaya verdikleri depozito verileri bankanın iş sırrıdır Aynı şekilde banka Makedonya Cumhuriyetirsquonde yabancı kişiler iccedilin de hesap cuumlzdanı accedilabilir Faiz oranları banka tarafından belirlenir

31

Mevduat sahiplerine oumldenecek faiz miktarı depozitonun vadeli yoksa vadesiz oluşuna bağlıdır Faiz bir miktar paranın belli bir suumlre kullanılması nedeniyle alınan sabit kiraya faiz de-nir Kısaca faiz paraya biccedililen fiyattır Resmi Mevduat hariccedil mevduata uygulanacak faiz oranları banka ile muumlşteri arasında serbestccedile belirlenir

Bankalar mevduata peşin faiz veremezler Vadesinden oumlnce ccedilekilen vadeli mevduata va-desiz mevduat faiz oranı uygulanır Cari hesap olarak işleyen mevduat hesaplarının faizleri yıl sonunda ilgili mevduat hesabına tahakkuk ettirilir Eğer hesap yıl iccedilinde kapatılırsa faiz hesabın kapatılma tarihinde hesaplanır ve mevduatta kalan tutar ile birlikte hesap sahibine oumldenir

Denar tasarruf mevduatları Tasarruf Mevduatı Sigorta Fonu tarafından sigortalıdır Bu fon bireysel kişilerin 10 000 EUR karşılığında depozitolarına 100 tazminat oumldemektedir 20 000 EUR den fazla olmamak şartıyla 10 000 EUR ve 20 000 EUR arasındaki mevduatları 90 tutarında tazminat oumldemekle yuumlkuumlmluumlduumlr Yukarıda adı geccedilen tutara tasarruf mevduatın temel değerine faiz miktarı katılır Faiz oranı o doumlnemde Makedonya Halk Bankasırsquonın iskonto oranı kadar geccedilerli olan değerle hesaplanır

Tasarruf mevduatlarına faiz miktarının hesaplanmasında basit faiz hesabı formuumlluumlnden yararlanılır Basit ve bileşik faizin hesaplanmasında şu unsurlar kullanılır

Ana para (temel değer) ndash K0 (depozito arttırılan kapital azaltılan kapital) faizi hesap-lanması gereken tutar

faiz vadesi yatırılan ya da parasal varlıklardan yararlanılan vadedir

faiz oranı faiz miktarı ( p ya da i )

faiz tutarı banka tarafından mevduat sahibine oumldenmesi gereken soumlzleşme kapsamın-da bulunan vade iccedilin hesaplanan faiz miktarı

Vade yıl ay ya da guumlnler ile ifade edildiğinde basit faizin hesaplanması iccedilin şu formuumlller geccedilerlidir

bir yıl vadeli mevduat 0

100

K pk ya da n yıl iccedilin 0

100

K pnk

vade ay ile verildiğinde 0

1200

K pmk

32

vade guumlnlerle ifade edildiğinde 36500

0 ptKk formuumlluuml kullanılır

Verilen mevduatların faizini hesaplamak iccedilin belli miktarın bankadan ccedilekmek iccedilin ya da bankaya yeni mevzuatlar yatırmak iccedilin guumlnlerin tayinine ait tablodan yararlanılır

Tablo 1Takvime goumlre yıl sonuna kadar guumln sayısı

Guumln Ocak Şub Mart Nis May Haz Tem Ağu Eyl Ek Kas Ara1 365 334 306 275 245 214 184 153 122 92 61 312 364 333 305 274 244 213 183 152 121 91 60 303 363 332 304 273 243 212 182 151 120 90 59 294 362 331 303 272 242 211 181 150 119 89 58 285 361 330 302 271 241 210 180 149 118 88 57 276 360 329 301 270 240 209 179 148 117 87 56 267 359 328 300 269 239 208 178 147 116 86 55 258 358 327 299 268 238 207 177 146 115 85 54 249 357 326 298 267 237 206 176 145 114 84 53 2310 356 325 297 266 236 205 175 144 113 83 52 2211 355 324 296 265 235 204 174 143 112 82 51 2112 354 323 295 264 234 203 173 142 111 81 50 2013 353 322 294 263 233 202 172 141 110 80 49 1914 352 321 293 262 232 201 171 140 109 79 48 1815 351 320 292 261 231 200 170 139 108 78 47 1716 350 319 291 260 230 199 169 138 107 77 46 1617 349 318 290 259 229 198 168 137 106 76 45 1518 348 317 289 258 228 197 167 136 105 75 44 1419 347 316 288 257 227 196 166 135 104 74 43 1320 346 315 287 256 226 195 165 134 103 73 42 1221 345 314 286 255 225 194 164 133 102 72 41 1122 344 313 285 254 224 193 163 132 101 71 40 1023 343 312 284 253 223 192 162 131 100 70 39 924 342 311 283 252 222 191 161 130 99 69 38 825 341 310 282 251 221 190 160 129 98 68 37 726 340 309 281 250 220 189 159 128 97 67 36 627 339 308 280 249 219 188 158 127 96 66 35 528 338 307 279 248 218 187 157 126 95 65 34 429 337 278 247 217 186 156 125 94 64 33 330 336 277 246 216 185 155 124 93 63 32 231 335 276 215 154 123 62 1

1 Bireysel kişi bankaya 9 faiz oranıyla yıllık faiz hesaplanmasıyla 10 000 denar para yatırmış-tır 5 ay sonra yatırımcının kaccedil parası olacaktır

K0 = 10 000 denar

33

p = 9m = 5 ay

Verilen parametrelere goumlre yatırımcının 5 ay sonra alacağı faiz miktarı

3751200

59 10000

k

denar

Hesaplanan faiz miktarı gereğince yatırımcının beş ay sonra ana paraya faiz miktarının katılımıyla 10 375 denarı olacaktır

2 Bir kişi 2505 guumlnuuml 100 000 denar bankaya yatırmış ve 0110 tarihinde 45 000 denar bankadan para almıştır Banka 5 faiz oranıyla işlem yaptığına goumlre yıl sonunda faiz miktarı ne kadar olacaktır

K0 = 100 000 denarp = 5t1 = 221 guumln (2505 ten yıl sonuna kadar)K1= - 45 000 denar t2 = 92 guumln (0110 den yıl sonuna kadar)

324605674302736500

92545000

36500

2215100000

21

iii

3 2009 yılı boyunca X yatırımcısının tasarruf yatırımlarında değişiklikler olmuştur Bu esnada bankanın uyguladığı faiz oranı 5rsquotir

10012009 yatırılmış 10 00015022009 yatırılmış 8 00001032009 ccedilekilmiş 6 00020032009 yatırılmış 2 000

Yukarıdaki veriler tasarruf mevduatı hesabına kaydedilsinHer para yatırımı ve para ccedilekilişi iccedilin yatırım (ya da ccedilekiliş) yapıldığı guumlnden yıl sonuna

kadar faiz hesaplanır

34

faiz oranı 5tarih yatırılmış ccedilekilmiş durum guumln Faiz miktarı

+ mdash durum10012009 10 000 10 000 356 48767 4876715022009 8 000 18 000 320 351 8386701032009 6 000 12 000 306 2515 5871620122009 2 000 14 000 12 329 5904431122009 59044 faiz 14 59044 59044Toplam 31122009

20 59044 6 000 14 59044 84196 84196 0

Alıştırmalar

1 Bankaların geleneksel kaynakları nelerdir

2 Basit ve bileşik faizin hesaplanmasında kullanılan kavramları (bileşenleri) sayınız

3 Banka hesabının temel elemanlarını sayınız

4 Bireysel kişi A 25012010 tarihinde bankaya 50 000 denar yatırmış 20092010 guumlnuuml bankadan 35 000 denar ccedilekmiştir Banka 8 faiz oranıyla işlem yaptığına goumlre yıl sonunda yatı-rımcının toplam parasını hesaplayınız

5 2009 yılı boyunca X yatırımcısının tasarruf yatırımlarındaki değişiklikler aşağıdaki tabloda goumlsterilmiştir

0501 2009 yatırılmış 3 0002001 2009 ccedilekilmiş 2 50031012009 yatırılmış 3 20028022009 yatırılmış 3 35003042009 ccedilekilmiş 4 00004062009 yatırılmış 5 00009092009 ccedilekilmiş 3 70010112009 yatırılmış 3 00025122009 ccedilekilmiş 5 000

Faiz oranı 75 olduğuna goumlre banka hesabındaki değişiklikleri hesaplayınız

35

17 Kredi Banka Hesabı

Ekonomi ccedilerccedilevesinde bankalar ve finans kuruluşları verimli işletmelere para transferi yapmaktır Yani bankalar fona ihtiyaccedil duyanlarla fonlarını değerlendirmek isteyenleri buluş-turma accedilısından en oumlnemli mali sistemdir Bankaların en oumlnemli goumlrevlerinden biri kaynak sağlamaktır İkinci buumlyuumlk goumlrevi ise sağladığı kaynağın yatırılması yani plasman goumlrevidir ki bu da kredi verme şeklinde ortaya ccedilıkar Bankacılıkta kredi verme kavramı verilen borcun belli bir suumlre sonunda geri alınmasından daha geniş bir işlem topluluğunu anlatır Bankalar muumlşterileri-ne işletme kredisi ve alışveriş kredisi adında borccedil para vererek kredi accedilar

Vadesine goumlre kredi ccedileşitleri

kısa vadeli krediler (geri oumldemesi en ccedilok bir yıl vadeli)

orta vadeli krediler (geri oumldeme vadesi 1 yıldan uumlccedil yıla kadar)

Uzun vadeli krediler (geri oumldemesi uumlccedil yıldan fazla) kredilerdir

Kısa vadeli krediler muumlşterilerin guumlnluumlk ihtiyaccedillarını finanse etmek ticarette kısa vadeli oumldemeleri sağlamak uumlretimde ihracatta ve hizmetlerin oumldenmesi iccedilin kullanılır Kısa vadeli kredi muumlşterinin talebi uumlzere verilir ve ard arda ya da doumlner (revolving) olabilir Kredinin geri oumldenmesi vadesinin tamamlanmasına kadar eşit aylık taksitlerle ya da revolving - soumlzleşme di-namikliği taksitleri biccediliminde yapılabilir Kredinin teminatı gayrimenkul ipoteği ile satılabilir araccedil varlıkları depozito banka garantisi değerli kağıtlar ve haklar ile yapılmaktadır

Kişilere uzun vadeli krediler ndash Bu krediler genellikle uzun vadeli yatırımlar iccedilin yatırım projelerin gerccedilekleştirilmesi iccedilin ticari amaccedillı vb olabilir Uzun vadeli kredilerin geri oumldeme vadesi uumlccedil yıla kadardır (ya da bankanın durumuna goumlre uumlccedil yıldan fazla da olabilir) Denar cin-sinden ya da doumlviz bazında olabilir

Parasal varlıkların amaccedillı kullanılmasına dair goumlsterilen belgeler gereğince uzun vadeli kredilerin kullanılış şekli muumlşterinin isteği uumlzeredir Kredi yatırım dinamiği gereği eşit aylık uumlccedil aylık ya da yarım yıllık taksitlerle geriye oumldenebilir Kredinin teminatı gayrimenkul ipoteği ile satılabilir araccedil varlıkları depozito banka garantisi değerli kağıtlar ve haklar ile yapılmaktadır

Kredinin fiyatı (faiz oranı) kredinin vadesine goumlre belirlenir Onaylanan kredi iccedilin banka oumlzel hesap ndash kredi hesabı accedilar Onaylanan kredi miktarı muumlşterinin cari ndash hesabına aktarılır ve bu hesaptan muumlşteri krediyi kullanabilir Geri oumldeme taksitinin belirlenen vadede oumldenmemesi

36

durumunda oumlngoumlruumllen faize ceza faizi de eklenir Faizin oumldenmesinde guumlnler takvime goumlre sayı-lır bir yıl ise 365 ya da 366 guumln olarak alınır

Onaylanan krediler elektronik vasıtalarla kredi ve ciro hesabından takip edilmektedir

1 Bir X şirketine bir bankadan kullanma tarihi 30072010 yılı başlamak uumlzere 1000000 denar kredi onaylanmıştır Sıralı faiz oranı yıllık 9 ceza faizi ise yıllık 3rsquotuumlr Şirket 01022010 tarihinde onaylanan kredinin tuumlmuumlnuuml bankadan ccedilekerek kullanmış ve geri oumldeme taksitlerini şu vadelerde gerccedilekleştirmiştir

20032010 I taksit 100 000 denar15042010 II taksit 120 000 denar01082010 III taksit 180 000 denar15082010 IV taksit 600 000 denar

30 09 2010 tarihine kadar bankanın kredi hesabında tuumlm değişiklikler (sıralı ve ceza faiz-lerinin hesaplanmasıyla) goumlsterilsin Ayrıca X muumlşterisinin de banka hesabındaki değişiklikleri goumlsterilsin

Değişme tarihi Değişme tutarı Faizde kalan guumlnler Faiz tutarı

verilen alınan sıralı cezalı sıralı cezalı

01022010 1 000 000 242 v 59 67220032010 100 000 194 a 4 78415042010 120 000 168 a 4 97101082010 180 000 66 a 7 45715082010 600 000 15 46 a 2 219 v 2 2685Toplam 1 000 000 1 000 000 v 79 103 v 2 2685

Kredi tutarının sıralı faiz guumlnleri 0102rsquoden 3009 tarihleri arasındaki guumlnler iccedilin hesap-lanmıştır Bu guumlnlerin faiz miktarı kredi sahibinin borcuna yazılır (d işareti ile işaretlenmiştir) Diğer değişikliklerin sıralı faizi ise değişim yapılan guumlnden oumldeme vadesi guumlnuumlne kadar (30 09 2010) guumlnlere hesaplanır Bu guumlnler sayısına karşılık gelen faiz miktarı karşılık gelen değişim iccedilin ccedilıkarılır (z işaretiyle işaretlenmiştir) Ceza faizi kredinin ccedilekiliş guumlnuumlnden değişim tarihine kadar guumln sayısı iccedilin hesaplanır Bu faiz ile kredi sahibi borccedillanır

37

X şirketinin banka hesabı

Değişme tarihi Cinsi Değişim miktarı Son durumveriyor alıyor

15012010 durum 500 000 500 00001022010 kredi 1 000 000 1 500 0002003 2010 I taksit 100 000 1 400 0001504 2010 II taksit 120 000 1 280 0000108 2010 III taksit 180 000 1 100 00015 082010 IV taksit 600 000 500 00030092010 9 faiz 79 103 420 89730092010 3 ceza faizi 2 2685 418 628530092010 dengeleme 418 6285

1 500 000 1 500 0000110 Son durum 418 6285

Alıştırmalar

1 Oumldeme vadesine goumlre kaccedil ccedileşit kredi vardır

2 Kısa vadeli kredilerin kullanılışını ve oumlzelliklerini sayınız

3 Uzun vadeli kredilerin kullanılışını ve oumlzelliklerini sayınız

4 Kredinin fiyatı neye bağlıdır

5 Bir X şirketine bir bankadan kullanma tarihi 26042010 yılı başlamak uumlzere 20000000 denar kredi onaylanmıştır Sıralı faiz oranı yıllık 75 ceza faizi ise yıllık 2rsquodir Şirket 01032010 tarihinde onaylanan kredinin tuumlmuumlnuuml bankadan ccedilekerek kullanmış ve geri oumldeme taksitlerini şu vadelerde gerccedilekleştirmiştir

05032010 I taksit 270 denar12042010 II taksit 580 denar17052010 III taksit 700 denar23052010 IV taksit 18 450 denar

38

30 06 2010 tarihine kadar bankanın kredi hesabında tuumlm değişiklikler (sıralı ve ceza faizlerinin hesaplanmasıyla) goumlsterilsin Ayrıca X şirketinin banka hesabındaki başlangıccedil para durumu 50 000 denar olduğuna goumlre banka hesabındaki değişiklikler goumlstertilsin

18 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 17 628 denar 6 faiz oranıyla ne kadar zamanda 2 393 denar faiz miktarı getirir

2 Faiz oranı 45 ile 20 000 denar 3 ay 40 000 denar 5 ay ve 12 000 denar 6 ayda getir-dikleri toplam faiz miktarını hangi temel para 20 mart ndash 28 haziran zaman aralığında zaman matrisi (k 360) faiz oranı 475 olmak uumlzere iki defa daha ccedilok faiz miktarı getirecektir

3 Faiz oranı 65 olmak uumlzere 25 000 denar 804 - 3006 zamanı iccedilin 62 000 denar 1804ndash3006 zamanı iccedilin ve 75 6000 denar 405ndash3006 zamanı iccedilin elde edilen toplam faiz mik-tarının 45rsquoi hangi faiz oranıyla 60 000 denar (k 360) ilkesine goumlre 1803ndash2906 zaman aralı-ğında elde edilir

4 Temel paranın uumlccedilte biri 15 yıl iccedilin beşte ikisi 4 ay iccedilin ve kalan kısmı 80 guumln iccedilin ban-kaya yatırılmıştır Her biri iccedilin faiz oranı 4rsquotuumlr Bu yatırımların toplam faiz miktarı 8500 denar olduğuna goumlre temel para ne kadardır

5 Temel paranın doumlrt aylık 475 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borccedillu 295 250 denar para almıştır Borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

6 Borccedillu 60 guumlnde 6 faiz oranıyla elde edilen faiz miktarını katarak 50 500 denar borccedil oumldemiştir Bu temel paranın iki katı 3 yıl vadeli aynı faiz oranıyla ne kadar faiz getirir

7 Temel paranın 2501ndash3108 zaman aralığında guumlnler takvimin (k 365) zaman matrisi-ne goumlre sayılarak 9 faiz miktarı kadar azaltılmasıyla borccedillu 100 000 denar para almıştır Borccedil ve faiz miktarı ne kadardır

8 Bir kişi bankaya 4 ayrı borccedil oumldemelidir 1004 vadeli 6 faiz oranıyla 45 000 denar 2504 vadeli 8 faiz oranıyla 100 000 denar 2005 vadeli 9 faiz oranıyla 70 000 denar ve 3105 vadeli 4 faiz oranıyla 100 000 denar Hiccedilbiri zararlı olmayacak şekilde hangi guumln ve hangi faiz oranıyla borccedillu borcunu bir guumlnde oumldeyebilir

39

9 Bir ticaret şirketinin mal tedarikccedililerine borccedilları 4 faiz oranıyla oumldeme vadesi 120 guumln 40 000 denar 4 faiz oranıyla 240 guumln vadeli 60 000 denar ve 4 faiz oranıyla 300 guumln vadeli 100 000 denar Kaccedil guumln sonra şirket her uumlccedil borcu aynı guumlnde oumldeyebilir

10 Ticaret şirketi X oumldeme tarihi 504 olan 80 000 denar 2005 guumlnuuml 150 000 denar ve 3006 guumlnuuml 275 000 denar oumldenmesi gereken borccedilları vardır Aynı zamanda oumldeme tarihi 1703 olan 130 000 denar 0508 de 900 000 denar olan alacakları vardır Borcun saldosu (son durumu) hangi tarihte oumldenebilir

11 X şirketi 06042009 guumlnuuml bankaya kırdırmak uumlzere policcedile getirmiştir Policcedilenin nomi-nal değeri $ 250 000rsquodir ve oumldeme vadesi 15052009 dir Bankanın iskonto oranı 8 olduğuna goumlre policcedilenin ticari indirimini ve efektif miktarını hesaplayınız

12 E şirketi sattığı mal karşılığında 3 000 000 değerinde oumldeme vadesi 20042009 guumlnuuml olan bir policcedile almıştır Para sıkıntısı sebebiyle şirket 21032009 guumlnuuml policcedileyi kırmaya kararlaş-tırıyor İskonto oranı 6 yapılan işlemin komisyonu 0025 ve manipuumllatif masrafl ar 50 denar olduğuna goumlre bankanın şirkete oumldeyeceği paranın nominal değeri ne kadardır

13 X şirketi 150 000 denar değerinde oumldeme vadesi 05052009 tarihli olan bir policcedile-nin sahibidir Şirket bu policcedileyi oumldeme vadesinden oumlnce kırmaya kararlaştırıyor Kırma tarihi 05032009 guumlnuuml iskonto fiyatı 9 komisyon 0045 ve manipuumllatif masrafl ar 100 denardır Kırı-lan policcedilenin efektif değeri ve ticari indirim ne kadardır

14 20042010 guumlnuuml banka nominal değeri $50 000 olan uumlccedil eşit policcedile almıştır Policcedilelerin oumldeme vadeleri birincisi 20062010 ikincisi 10072010 ve uumlccediluumlncuumlsuuml 20072010 guumlnuumlduumlr İs-konto fiyatı (oranı) 85 komisyon 1 ve manipuumllatif masrafl ar 19 denar olduğuna goumlre banka 20042010 guumlnuuml policcedileler iccedilin ne kadar oumldeyecektir

15 Bir bankaya 15032010 tarihinde kırılmak uumlzere iki policcedile getirilmiştir

- policcedile X nominal değeri $ 3 000 000 ve oumldeme vadesi 25012010 ve

- police Y nominal değeri $ 5 000 000 ve oumldeme vadesi 20062010 guumlnuuml

İskontolanmış bu policcedilelere talip olan muumlşteri kendi hesabına bir ortalama vadede ya-tırılmasını istemiştir (aynı guumlnde her iki policcedilenin sahibi olsun) İskonto edilmiş miktarların muumlşteri hesabına yazılacağı guumln tarihi belirtilsin

40

16 Bankaya 0108 guumlnuuml 400 000 denar para yatırılmış ve 0210 guumlnuuml 120 denar ccedilekilmiştir Faiz oranı 5 olduğuna goumlre yıl sonunda faiz tutarı ne kadardır

17 Yatırımcı Yrsquonin banka hesabında faiz oranı 10 olmak uumlzere 2010 yılında aşağıdaki değişiklikler olmuştur

15032009 yatırılmış 50 00001042009 Ccedilekilmiş 20 00005062009 yatırılmış 18 00007072009 Ccedilekilmiş 15 00008082009 yatırılmış 18 00001092009 Ccedilekilmiş 13 000

Verilenlere goumlre banka hesabında tuumlm değişiklikler kaydedilsin

18 Y şirketi bir bankadan oumldeme vadesi 25062010 olmak uumlzere 70 000 denar kredi almıştır Sıralı faiz oranı 10 ceza faiz oranı ise yıllık 2rsquodir Şirket 01042010 guumlnuuml tuumlm kredi miktarını kullanıyor ve kredinin geriye ccedilevrilmesini aşağıdaki tarihlerde gerccedilekleştiriyor

01052010 I taksit 7 000 denar10052010 II taksit 10 000 denar20062010 III taksit 15 000 denar25072010 IV taksit 38 000 denar

30082010 guumlnuumlne kadar bankadaki kredi hesabında yapılan değişiklikleri (sıralı ve ceza faiz miktarlarının faizlerini hesaba katarak) goumlsteriniz X şirketinin başlangıccediltaki para durumu (saldosu) 30 000 denar olduğuna goumlre şirketin banka hesabındaki tuumlm değişiklikleri goumlsterilsin

41

Konu Oumlzetleri

Bankadan borccedil (kredi) aldığımızda banka alacaklı parayı alana ise verecekli (borccedillu) de-nir Bankanın parasından yararlanan verecekli karşılık olarak bankaya belli bir faiz oumldeyecektir Bankaya para yatırdığımız takdirde banka kullanıcıdır ve vericiye belli bir faiz oumldemektedir Bir yatırımın yatırım doumlnemi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranına basit faiz denir

Faiz miktarının ve ona bağlı olan diğer buumlyuumlkluumlklerin hesaplanmasına basit faiz hesabı denir Basit faiz hesabında genel olarak şu doumlrt temel buumlyuumlkluumlğe rastlanılır

100

Kpti K ndash Ana para (kapital temel değer) i ndash faiz miktarı (yuumlzde payı) p ndash yuumlzde oranı (faiz miktarı) t ndash faizin hesaplandığı suumlre (zaman)

Birkaccedil borccedil miktarı farklı vadelerde oumldenecek yerde toplam borcu aynı anda oumldenmesi iccedilin ayrılan zamana orta vade denir Ortalama vadeyi ve ortalama faiz oranını belirtme işlemine vadeli hesap denir ve aslında basit faiz hesabının bir uygulanmasıdır Bazı durumlarda borccedillu aynı anda başka borccedillulardan alacaklı durumunda olabilir Boumlyle durumda alacak ve verecek farkını oumldeme vadesine borccedil durumunun (saldosunun) oumldeme vadesi denir

Ortalama faiz oranı bilindiği takdirde borcun ortalama oumldeme vadesini şu formuumllle he-saplayabiliriz

ns

nnns KKKp

tpKtpKtpKt

21

222111

Borccedil miktarlarının oumldeme vadeleri bilindiğinde ortalama faiz oranına ait şu formuumlluuml uy-gulayacağız

ns

nnns KKKt

tpKtpKtpKp

21

222111

burada K1 K2hellip Kn borccedil miktarları p1 p2 hellip pn karşılıklı faiz oranları ve t1 t2 hellip tn kar-şılıklı oumldeme vadeleridir

Borccedil kalanı (saldo) vadesinin hesaplanması şu formuumllle hesaplanır

42

s

mmmnnns Sp

tpPtpPtpPtpKtpKtpKt000

2

0

22

0

1

0

11222111

burada K1 K2 hellip Kn borccedil miktarları vadeleri t1 t2 hellip tn guumlnler ve p1 p2 hellip pn karşılıklı olarak faiz oranları P1 P2 hellip Pn alacaklar onlara karşılık vadeleri t1degt2degtmdeg guumlnler ve p0

1 p02

p0m faiz oranlarıdır

Henuumlz vadeleri yetişmemiş alacakların satışı durumunda satış guumlnuumlnden alacakların va-desinin olduğu guumlne kadar faiz miktarının alacaktan eksilmesine iskonto denir

Belli bir tarihte oumldenmesi gereken borcu vadesi gelmeden belli bir tarihte oumldemeye douml-nuumlştuumlrme işlemine (şimdiki değeri ilerdeki borcun değerine doumlnuumlştuumlruumllmesine) iskontolama denir

İndirim (iskonto) hesaplamaların yapılmasında şu parametrelerden yararlanılırN - Finansal varlığın nominal değeritmn - İndirim (iskonto) vadesi varlığın indirilme guumlnuumlnden tahsilat guumlnuumlne kadar guumln-

ler sayısı t aylar sayısı m yıl sayısı n Ayların guumlnleri takvime goumlre alınır oumlyle ki varlığın indiril-mesi yapıldığı guumln sayılmıyor varlığın tahsil edildiği guumln sayılır

D - İndirim (eskonto) finansal varlığın nominal değerinin azalmasına eşittirp - İndirimin hesaplanmış olduğu faiz oranı (iskonto oranı) E - Nominal borcun erken oumldeme anında reel (efektif) miktar

İndirimin hesaplanması iki şekilde yapıldığına goumlre iki tuumlr indirim vardır Dk- Ticari indirim burada indirimin hesaplandığı temel değer nominal değerdir efektif değer ise nomi-nal değer ve indirimin farkıdır ve rasyonel (matematiksel) indirim ndash Dr burada nominal değer efektif değer ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

Policcedile belli miktar paranın hamile oumldenmesi hususunda kayıtsız şartsız havale emrini taşıyan oumlzel şekil şartlarına tabi kıymetli evrak vasfında soyut nitelikte bir alacak senedidir

Policcedilenin temel ccedileşitleri hamil ve şahsi policcedilelerdir Hamil policcedile şu temel unsurları iccediler-melidir policcedile işareti oumldeyecek olanın adı keşideci adı ya da adresi kime ve kimin emrine oumldeneceği ndash lehdar tanzim (duumlzenleme) yeri ve tarihi belli bir paranın kayıtsız şartsız oumldenmesi iccedilin havale oumldeme yeri policcedilenin yazılma tarihi ve yeri oumldeyecek olanın imzası Şahsi policcedile

43

şu unsurları iccedilerir para miktarını kayıtsız şartsız oumldeyeceğine dair vaat vermesi havale tarihi oumldeme yeri alacaklının adı policcedilenin yazılma tarihi ve yeri ve oumldeyen kişinin imzası

Policcedile işlemleri hukuk işlemleridir ve policcedile hakkında şu işlemler yapılabilir policcedilenin verilmesi policcedilenin onaylanması policcedilenin vurgulanması policcedilenin devredilmesi policcedilenin havale edilmesi policcedilenin satın alınması amortisman geriye ccedilevrilmesi policcedilenin protesto edilmesi vb

Policcedile hukuk işlemlerinde karakteristik kurallar genellikle şunlardır okur yazarlık in-korporasyon birleşme (şirketleşme) policcedile sorumluluğun kesinliği policcedile titizliği ve policcedile bedelini doğrudan doğruya tahsil etmedir

Policcedile iskontosu vade tarihinden oumlnce policcedilenin satışı ya da satın alışıdır Bu durumda satın alan kişi policcedilenin iskonto guumlnuumlnden vadesi doluncaya kadar guumlnlere karşılık gelen faiz tutarı kadar policcedilenin nominal değerinden eskitir

Ticari iskonto şu formuumllle hesaplanır

100360

ptNDk

Rasyonel iskonto ise şu formuumllle hesaplanır

tpptNDr

100360

Burada N nominal değer (parasal değer) t guumln sayısı olarak iskonto vadesi ve p ndash iskontonun hesaplandığı faiz oranıdır (miktarıdır)

Banka iskontosundan policcedile sahibinin elde edeceği efektif miktarı şu formuumllle hesapla-nır

13

100360

1tpNE

Burada N nominal değer (parasal değer) t guumln sayısı olarak iskonto vadesi ve p ndash iskontonun hesaplandığı faiz oranı (miktarı) dır

Tasarruf mevduatlarına faiz miktarının hesaplanmasında basit faiz hesabı formuumlluumlnden yararlanılır Vade yıl ay ya da guumlnler ile ifade edildiğinde basit faizin hesaplanması iccedilin şu for-muumlller geccedilerlidir

bull vade n yıl iccedilin 100

0 pnKk

44

bull vade ay ile verildiğinde 0

1200

K pmk

bull vade guumlnlerle ifade edildiğinde 36500

0 ptKk formuumlluuml kullanılır

Burada K0 temel para (ana değer) p - faiz oranı ve t ndash zamandır

Bankalar muumlşterilerine işletme kredisi ve alışveriş kredisi adında borccedil para vererek kredi accedilarVadesine goumlre kredi ccedileşitleri kısa vadeli krediler orta vadeli krediler ve uzun vadeli krediler (geri oumldemesi uumlccedil yıldan fazla kredilerdir)

45

KIYMETLİ METALLER PARALAR VE DOumlVİZLER

21 Kıymetli Metallerin Arılığı

Altın guumlmuumlş platin rutenyum rodyum osmiyum paladyum ve iridyum elementleri kıymetli metaller gibi tanınmıştır Bunlardan bazıları daha ccedilok eski zamanlardan bilinmek-tedir Bunların oumlzellikleri diğer elementlerden daha az reaktivite oumlzelliğine sahip olup havada oksidasyon olmuyor ve asitlerde erimiyorlar Doumlviz rezervleri gibi kullanılabilir Bunların buumlyuumlk oumlnemi nedeniyle kıymetli metallerden yapılmış olan nesnelerin kontroluuml yapılışı ve arılık de-recesi onların incelemesi işaretlenmesi pazara satış koşulları ve kontroluuml kanunla duumlzenlen-mektedir

Burada kıymetli metallerden altın ve guumlmuumlşuuml inceleyeceğiz Bu metaller ccedilok tanınmış değerlendirilmiş ve ccedilok eski zamanlardan yani binlerce yıl oumlnceden bu guumlne kadar kullanılmak-tadır Altın ve guumlmuumlş ccedilok yumuşak metallerdir ve bu yuumlzden kullanılış iccedilin pratik değildirler Biraz sertlik kazanmak iccedilin başta bakır nikel ve başka metallerle karıştırılır İki ya da daha ccedilok metalin karışımına filiz (alaşım karışım) denir Filizin kuumltlesine toplam kuumltle diyeceğiz

Kıymetli metalin kuumltlesi (saf kuumltle) ve filizin kuumltlesinin oranına kıymetli metalin arılık (safl ık) derecesi denir Kıymetli metallerin arılık derecesi milyem (promil) ve İngiliz usuluuml olmak uumlzere iki şekilde ifade edilir

Safl ık milyem biccediliminde goumlsterildiğinde kıymetli metal milyem ile ifade edilir Bu durum-da milyem sayısı bir filizde 1000 eşit parccediladan kaccedil eşit parccedila kıymetli metal olduğunu goumlsterir Oumlrnek bir kıymetli metalin arılık derecesi 9000oo ile ifade edilmişse filizin 1000 parccedilasında 900 parccedila kıymetli metaldir Toplam kuumltleyi m ile saf kuumltleyi mb ile ve arılık derecesini f ile işaret edersek arılık derecesinin milyem usuluumlne goumlre goumlsterilişini şu formuumllle ifade edebiliriz

1000mmf b permil

1 Bir altın nesnenin saf kuumltlesi 510 gram ve toplam kuumltlesi 800 gramdır Nesnenin arılık derecesini (milyem olarak) ifade ediniz

Altın nesnenin arılık derecesi 56371000800

510f permil

dir

Arılık derecesinin İngiliz usuluuml ile ifade edilmesinde altının oumllccediluuml birimi ayar (karat) guumlmuumlşuumln arılık derecesi ise peniveyt (pennyweight) ile goumlsterilir Saf altının arılık derecesi 24 karat saf guumlmuumlşuumln arılık derecesi ise 240 peniveyt dir

2 Arılık derecesi 14 ayar olan bir altın nesnenin 24 kısmından 14 kısım saf altındır

2

46

3 Arılık derecesi 200 peniveyt olan guumlmuumlşten bir uumlruumlnuumln 240 kısmından 200 kısmı saf guumlmuumlştuumlr

Karat ve peniveytten kuumlccediluumlk oumllccediluuml birimi greynrsquodir 1 karatta 4 greyn ve 1 peniveytte 24 greyn vardır

Arılık derecesi 22 karat (ayar) olan altına standart altın 222 peniveytlik guumlmuumlşe standart guumlmuumlş denir Bir altın (guumlmuumlş) filizinin arılık derecesi standart safl ıktan daha iyi ise ona B işa-reti yazılır (İng Better ndashdaha iyi) ya da standart safl ıktan daha koumltuuml ise W işareti konulur (İng Worse ndash daha koumltuuml)

4 Altın nesnenin safl ığı standart altından 1 karat ve 2 greyn daha iyi olduğu durumda B12 biccediliminde yazılır O halde altın nesne (22+ 12 = 232) 23 karat ve 2 greyndir

5 Arılık derecesi W 77 olan guumlmuumlş nesne standart guumlmuumlşten 7 peniveyt kadar daha koumltuumlduumlr 222 ndash 77 = 22124 ndash 77 = 21417 olduğuna goumlre guumlmuumlş nesnenin arılık derecesi 214 peniveyt ve 17 greynrsquodir

Alıştırmalar

1 a) Kıymetli metallerin arılık derecesi nedirb) Kıymetli metallerin arılık derecesi nasıl ifade edilir

2 Arılık derecesia) 920 permil b) 870permilverilmiş olan altın filizin kaccedil kısmı bakırdır

3 Saf altın kaccedil karattır Saf guumlmuumlş ise kaccedil karattır

4 a) Safl ığı 20 karat olan altın nesne b) Safl ığı 210 peniveyt olan guumlmuumlş nesne kaccedil greyndir

5 a) B 11 işaretli altın nesnenin b) W 53 işaretli altın nesnenin c) B 1011 işaretli guumlmuumlş nesnenin d) W 128 işaretli altın nesneninarılık derecesi ne kadardır

22 Arılık (Safl ık) Derecesinin Hesaplanması

Kıymetli metallerin arılık derecesini hesaplamak iccedilin iki cins oumldevler vardır Arılık derecesini İngiliz usuluumlne goumlre milyemlerle goumlsterme ve tersine işlemleri olan

oumldevler

47

Kıymetli metalin saf kuumltlesi ve filizin kuumltlesi bilindiğinde kıymetli metallerin arılık derecesini hesaplama gibi oumldevler

1 Arılık derecesi 800permil olan altın nesnenin safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade edinizx 24 = 800 1000 orantısından 219

1000

80024

x

karat elde edilir Demek ki altının arılık derecesi 192 karattır 02 karat 02 4 = 08 greyn olduğuna goumlre altının arılık derecesi 19 karat ve 08 greyndir diyebiliriz Bunu (22 ndash 1908 = 214 ndash 1908 = 232) W 232 biccediliminde yaza-biliriz

2 B 86 işaretli guumlmuumlşuumln arılık derecesini milyemle goumlsteriniz Arılık derecesini oumlnce peniveytlerle hesaplayalım 222 + 86 = 2306rsquodır 6 greyn bir

peniveytin

4

1

rsquo uuml olduğuna goumlre guumlmuumlşuumln arılık derecesi 23025 peniveyt olduğunu buluyoruz

x 1000 = 23025 240 orantısından

375959240

100025230

x permil

elde edilir Demek ki guumlmuumlşuumln arılık derecesi 959375permil dir

3 Toplam kuumltlesi 400 gram olan guumlmuumlş nesnede 350 gram saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln arılık derecesini milyemlerle ifade ediniz

Guumlmuumlşuumln arılık derecesi

1000400

350 permil

bağıntısından 875permil elde edilir

4 Toplam kuumltlesi 300g olan altın nesnede 249 g saf altın vardır Altının arılık derecesini iki usule goumlre goumlsteriniz

Arılık derecesini oumlnce milyemlerle goumlstereceğiz

1000300

249 permil

Demek ki altın nesnenin arılık derecesi 830 permilrsquodir

Şimdi aynısını İngiliz usuluumlne goumlre ifade edelim x 24 = 830 1000 orantısından

92191000

83024

x

karat elde edilir Demek ki altın nesnenin arılık derecesi 19 karat ve 368

greyndir Sonuccedil olarak altın nesne W 2032 dir

Alıştırmalar

1 Milyem oumllccediluumlsuumlne goumlre arılık derecesi 590 permil olan guumlmuumlşuumln safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade ediniz

48

2 İngiliz usuluumlne goumlre arılık derecesi B 12 olan altının safl ığını milyemlerle ifade ediniz

3 Altın nesnenin arılık derecesi 1536 karattır Bunu milyemlerle goumlsteriniz

4 Kuumltlesi 330 g olan altın nesnede 198 g saf altın vardır Altının arılık derecesinia) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

5 Kuumltlesi 250 g olan bir guumlmuumlş nesnede 198 g saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln arılık derecesinia) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

23 Saf ve Toplam Kuumltlenin Hesaplanması

Kıymetli metalin saf kuumltlesini hesaplamak iccedilin filizin arılık derecesi ve toplam kuumltlesinin bilinmesi gerekir

Birkaccedil oumlrnek inceleyelim1 Kuumltlesi 50 g olan bir altın nesnenin arılık derecesi 920permilrsquodir Nesnede kaccedil gram saf altın

vardırx 50 = 920 1000 orantısından 46

1000

92050

x

elde edilir Demek ki altın nesnede 46g saf altın vardır

2 Arılık derecesi 18 karat olan 560 gramlık bir altın nesnede kaccedil gram saf altın vardırx 560 = 18 24 orantısından

42024

18560

x

elde edilir Demek ki altın nesnede 420g saf altın bulunur

3 Safl ık derecesi W 86 olan bir guumlmuumlş eşyanın kuumltlesi 480grsquodır Nesnede kaccedil gram saf guumlmuumlş vardır

Guumlmuumlşuumln safl ık derecesini peniveytlerle hesaplıyoruz222 ndash 86 = 22124 ndash 86 = 21318 elde edilir Buna goumlre guumlmuumlşuumln arılık derecesi

752134

3213

24

18213

peniveyttir

Şimdi x 480 = 21375 240 orantısından

5427240

48075213

x

elde edilir Demek ki guumlmuumlş eşyada 4275g saf guumlmuumlş vardır

49

Bir filizin toplam kuumltlesini hesaplamak iccedilin kıymetli metalin safl ık derecesi ve kuumltlesi bilinmelidir

4 Safl ık derecesi 800permil olan bir altın nesnede 648g saf altın vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

x 648 = 1000 800 orantısından 810800

1000648

x

elde edilir Demek ki filizin toplam kuumltlesi 810 grsquodır

5 Safl ık derecesi 230 peniveyt olan bir guumlmuumlş nesnede 483g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

x 483 = 240 230 orantısından

504230

240483

x

elde edilir Guumlmuumlş eşyanın toplam kuumltlesi 504 grsquodır

6 Safl ık derecesi B 112 olan bir guumlmuumlş nesnede 1341g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin kuumltlesi ne kadardır

Guumlmuumlşuumln arılık derecesi 222 + 112 = 22312 ya da

522324

12223

peniveyttir O halde

x 1341 = 240 2235 orantısından

14405223

2401341

x

elde edilir Guumlmuumlş nesnenin toplam kuumltlesi 1440grsquodır

Alıştırmalar

1 Kuumltlesi 180g ve arılık derecesi 880permil olan altın nesnede ne kadar saf altın vardır

2 Kuumltlesi 600g ve arılık derecesi W 2212 olan guumlmuumlş nesnede ne kadar saf guumlmuumlş vardır

3 Safl ık derecesi 850permil olan guumlmuumlş nesnede 595g saf guumlmuumlş vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

4 Safl ık derecesi W 13 olan altın nesnede 324g saf altın vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

5 Safl ık derecesi 750permil olan altın nesnede 126g saf altın vardır Buna ne kadar saf altın katılmalıdır ki nesnenin safl ık derecesi 800permil olsun

50

24 Para Birimi Kavramı ve Oumlnemi

Latin soumlzuuml ldquovalutardquodan kaynaklanan para birimi kavramının birccedilok anlamı vardır Para devletccedile bastırılan uumlzerinde itibari değeri yazılı kağıt ya da metal oumldeme aracıdır Para birimi-nin birkaccedil anlamı vardır

temel para birimi (adı şekli yapılışı) bir devletin para sistemini ifade eder

devlet iccedilinde kanun aracı olarak finans oumldemeler iccedilin yani bir devletin para sisteminin temel para birimini efektif paraları ve para işaretlerini (metal ya da kağıt banknotlar) ifade eder

uluslararası ticarette sadece etkin yabancı paraların anlamı vardır yabancı devlette ikamet edenlerin para ve para işaretleridir

Uluslararası ticarette parayı temsil eden belgeler ccedilek fatura akreditifl er ya da uluslararası oumldemelerde kullanılan ccedileşitli araccedillar para kavramı kapsamında değildir Ancak devletlerin res-mi para işaretleri bulunan milli banknotlar ve demir paralar da geccedilerlidir

Makedonya Cumhuriyeti Doumlviz Kanununa goumlre yabancı devletlerin kullandıkları efektif paralar yabancı para sayılır ancak yabancı devletlerin bastıkları altın paralar muumlstesnadır ccediluumln-kuuml bunlar kıymetli metaller kavramına girer

Para birimi bir devletin para sisteminin temel birimidir kanunla duumlzenlenmiş bir uumllke-nin değerlerinin temel oumllccediluumlsuumlduumlr

Uumllkelerin paralarının adları farklı (oumlrnekdenar dinar euro dolar funt şiling vb) fakat birccedilok uumllkenin sadece isimleri aynı fakat diğer oumlzellikleri oumlrneğin değerleri şekilleri farklı olan paralar da vardır Oumlrnek para birimi dolar olan birccedilok uumllkeler Avustralya Kanada Hong Kong ve ABD

Temel birim olan para genellikle kuumlccediluumlk kısımlara (ufaklı paralara) ayrılarak genellikle ondalık ya da diğer bir sistem uygulamakla farklı adlarla ifade ediliyorlar (oumlrneğin ABD doları 100 sent Makedonya denarı 100 deni vb)

51

Para sisteminin temelini teşkil eden kıymetli metaller daha doğrusu altının geccedilerliliğe geccediltiği doumlnemlerde her uumllke kendi parasının ne kadar kıymetli metal iccedilereceğini kuvveti ve istikrarına bağlı olarak kendine ait kanunlarla tespit edilmekteydi Bununla belli ağırlıkta kıy-metli metalden oluşan bir para biriminin miktarını devlet kanunla duumlzenlemişti

Guumlnuumlmuumlzde artık hiccedilbir ulusal ekonomide tam değerinde para birimleri fonksiyonda de-ğildir Onlar artık para işaretleriyle yani kağıt paralarla değiştirilmiştir Guumlnuumlmuumlzdeki paraların yapıldığı malzemenin değeri ccedilok duumlşuumlktuumlr ve onların kendi asıl değerleri hemen de hiccedil yoktur Bir ulus devletinin ekonomisi ccedilerccedilevesinde uumlretebildiği mal ve yaptığı hizmetlerle kağıt paralar değerlerini kazanıyorlar Bir devletin parasal otoritesinin verdiği desteklerle de kağıt paralar kendi değerini belli bir seviyede tutabiliyorlar Devletin parasal yetkili organları oumlzerk yasa ile milli paranın değerini belirtir ve devletin ekonomik işlemlerinin kusursuz işlemesini sağlamak onların goumlrevidir

Mal ekonomisinde yapılan tuumlm işlemler para yardımıyla yapılır Bu nedenle mal uumlretimi-nin ve piyasanın etkisine dayanan ekonominin tuumlm işlevlerini para sistemi kontrol etmektedir Ekonominin ccedileşitli alanlarında olabilecek herhangi dengesizlik para ifadesi olarak algılanır ve ekonominin parasal sektoumlruumlne da yansır Diğer taraft an ekonominin parasal sektoumlruumlnde de den-gesizlik olabilir ve bu durum ekonominin reel sektoumlruumlnuuml etkilemektedir Bu şekilde ekonominin parasal ve reel sektoumlruuml arasında interaktif ilişkiler meydana gelir Ekonomi buumlyuumlme oranı işsiz-lik oranı enfl asyon ihracat ve ithalat oranı gibi ekonomi performansların oluşumu ekonomi-nin reel ve parasal sektoumlruumlndeki interaktif ilişkileriyle meydana gelmektedir

Alıştırmalar

1 Para birimi kavramının oumlnemini accedilıklayınız

2 Para biriminin tanımını ifade ediniz

3 Para birimlerin değeri neye bağlıdır

4 Kağıt paraların değeri nasıldır

5 Parasal sistem ve parasal otoritesi kavramlarını accedilıklayınız

52

25 Paraların Değerlerindeki Değişmelerin Hesaplanması

Bir ulusal ekonominin durumu iyiye ya da koumltuumlye doğru daima değişmektedir Uumllkede uumlretim verimliliğinin genel seviyesinin artması durumunda paranın resmi değerinde değişme olmadığına rağmen ulusal paran biriminin iccedil piyasadaki alım guumlcuuml artar Bu duruma paranın değer kazanması (apresiyasyon) denir

Aksi takdirde paranın resmi değerinde değişme olmadan ulusal paranın iccedil piyasadaki alım guumlcuuml azaldığı duruma paranın yıpranması (depresyonu) denilir Bu gibi olaylar daha uzun vadelerde meydana geldiği durumda enfl asyon ya da defl asyon denilen olaylara goumltuumlruumlr Bu gibi durumlardan ccedilıkış yolu ulusal para biriminin yabancı paralara goumlre değerinin değişmesiyle sağlanabilir

Şek1

Ulusal para biriminin değerinin değişmesi

Porast na vrednosta

Opa|awe na vrednosta

Deflacija (proces)

Revalvacija (akt)

Inflacija (proces)

Devalvacija (akt)

Değer kazanma Değer kaybetme

defl asyon(olay)

revaluumlasyon(hareket)

enfl asyon(olay)

devaluumlasyon(hareket)

Fiyatların genel seviyesinin devamlı kontroluuml ulusal para biriminin kur değişimi gerekli-liğini azaltmaktadır Bu demektir ki ulusal para biriminin diğer ulusların para birimlerine karşı değerinin azalması devaluumlasyon ve depresyon ile yapılabilir ulusal para biriminin diğer ulusla-rın para birimlerine karşı değerinin yuumlkselmesi ise revaluumlasyon ve apresiyasyon ile yapılabilir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak uumlzere duumlşuumlruumllmesine devaluumlasyon denir Ulusal paranın değerinin yıpranması (depresyonu) ise ulusal paranın yabancı para birimleri karşı-sında ekonomi kanunlarının etkisiyle değerinin yavaş yavaş duumlşuumlruumllmesidir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yuumlkselmesine revaluumlasyon denir Ulusal paranın değe-

53

rinin yuumlkselmesi (apresyiasyon) ise ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında ekonomi kanunlarının etkisiyle değerinin yavaş yavaş yuumlkselmesidir

Defl asyon durumunda ulusal ekonominin parasal kurumları yabancı para birimlerine goumlre ulusal para biriminin değerini oumlzel bir akt ile yuumlkseltiyorlar (para biriminin revaluumlasyonu) Enfl asyon durumunda ulusal ekonominin parasal kurumları oumlzel bir akt ile yerli para birimi-nin resmi doumlviz kurunun değerini azaltıyorlar Bu şekilde ulusal para biriminin yabancı para birimlerine goumlre değerini duumlşuumlruumlyorlar

Bir ulusal para biriminin yabancı para biriminin guumlncel değerine goumlre oumlrneğin Amerikan dolarına goumlre euronun değeri euronun dolara goumlre yuumlkselmesi ya da azalması euronun dolar karşılığında değeri hesaplanır

1 Oumlrnek euro $ doumlviz kuru euro1 = $ 093rsquoten euro1 = $ 109 olarak değişirse euro dolar karşı-lığında (109 ndash 093) 093 = 1720 (apresyon) değer kazanmıştır denir

Apresyon ve depresyonun hesaplanması iccedilin genel formuumll1)

euronun yuumlkselme ya da yıpranma değeri (miktarı) =

euronun doların bazında yeni değeri-euronun dolar bazındaki eski değerieuronun dolar bazında eski değeri

2) Bir para biriminin yuumlkselmesi (yıpranması)

H (euro) = 0

01

eee

ile hesaplanır

2 Yukarıdaki oumlrnekte verilen (e0 = $ 093 ve e1= $ 109) değerleri yerine değiştirirsek eu-ronun dolara karşı 1720 yuumlkseldiğini goumlruumlyoruz

Alternatif olarak doların euro değerinin değişimini belirtebiliriz Euronun dolar değerini ldquoerdquo (dollars per euro) ile işaret edersek o halde doların euro değeri (euros per dollar) ccedilarpımsal ters ya da ldquo1erdquo olmalıdır

3 Oumlrnek euronun değeri $ 093 ise doların değeri EUR1075 (1093)

0 ve t zaman aralığındaki doların euro değerinin değişimi 1et ndash 1e0rsquodır Bu ifade doların euro değerinin artışı (ya da azaldığı) kadar dolar euroya goumlre duumlştuumlğuumlnuumln (ya da yuumlkseldiğinin) yuumlzdelerle ifade edilişidir

54

3)

doların yuumlkselme ya da yıpranma değeri (miktarı ) =

doların euro bazında yeni değeri-dolarıneuro bazındaki eski değeri

doların euro bazında eski değeri

4) Bir para biriminin yuumlkselmesi (yıpranması) H ($)= 1

10

0

01

1

11

eee

eee

ile hesaplanır

4 Yukarıda verilen 3) formuumlluumlnuumln uygulanmasıyla euro doumlviz kurunun $093rsquoten $109 yuumlkselmesi elde edilir Bu ise doların 146 euroya goumlre duumlştuumlğuumlnuuml goumlstermektedir [(0917- 1075) 1075 = - 0146]

Doumlviz kurlarının değişiminin yuumlzdelerle hesaplanmasında uygulanan kurallarbull Pozitif yuumlzde değişim yabancı para biriminin yuumlkselmesi demektir

bull Negatif yuumlzde değişim yabancı para biriminin duumlşmesi demektir

Şekil2DOumlVİZ KURU LİSTESİ

Kur listesi No___________Kurlar ____________200___ guumlnuuml saat 0800 ndash 2000rsquoye kadar geccedilerlidir

DOumlVİZCİNSİ

ŞİFRE PARA BİRİMİNİN

İŞARETİ

BİRİM EFEKTİF ALIŞ

EFEKTİF SATIŞ

AB 978 EUR 1AVUSTRALYA 036 AUD 1KANADA 124 CAD 1DANİMARKA 208 DKK 100NORVECcedil 578 NOK 100İSVECcedil 752 SEK 100İSVİCcedilRE 756 CHF 100İNGİLTERE 826 GBP 1ABD 840 USD 1

Kaynak Makedonya Cumhuriyeti Halk Bankası

55

Oumlrneklerden goumlruumllduumlğuuml gibi euro doumlviz kurun dolara goumlre değişimi dolar doumlviz kurunun euroya goumlre değişimiyle aynı değildir Bunun sebebi şudur euro yuumlkselmesi (apresyonu) dola-rın yıpranması (depresyonu) ile aynı değildir ccediluumlnkuuml bir para birimin değeri diğer para birimin değerinin ccedilarpımsal tersidir Buna goumlre hesaplamalarda kullanılan temel veriler farklı oldukla-rından oumltuumlruuml para birimlerin değerlerinin yuumlzdelik değişimleri farklı olur

Alıştırmalar

1 Paranın depresyonu (yıpranması) kavramını accedilıklayınız

2 Devaluumlasyon nedir

3 Paranın yuumlkselmesi (apresyonu) kavramını accedilıklayınız

4 Revaluumlasyon nedir

5 Bir guumln zarfında euro dolar kuru 145rsquoten 153rsquoe değişmiştir Euronun değişimini (eu-ronun yuumlkselişini) yuumlzdelerle hesaplayınız doların değerinin yuumlzde değişimini de hesaplayınız

6 Denar euroya goumlre değerini ayarlayarak bir kere mahsus olmak uumlzere 615rsquoten 90rsquoa de-ğer değiştirmiştir Nasıl değişim soumlz konusudur ve yuumlzde kaccediltır

7 İsviccedilre frangı euroya goumlre 4 değer kazanmıştır Oumlnceki kur EURCHF 133 olduğuna goumlre şimdiki kur ne kadardır

26 Doumlviz Kavramı

Bir ulusal ekonominin yabancı devletlerdeki parası iki şekilde bulunuyorlar efektif ya-bancı paralar (foreıgn curency) ve yabancı para birimlerinde kısa vadeli alacaklar doumlvizler (foreign exchange)

Doumlviz kavramı etimolojik olarak yeni Latinceden daha doğrusu İspanyolca ldquodevi-sardquo (yabancı ccedilek onun birincil anlamı yabancı para biriminde oumldenecek fatura daha doğ-rusu yabancı devlette oumldenecek fatura) soumlzuumlnden kaynaklanır Genellikle doumlvizlere ldquoya-bancı piyasalara giriş biletlerirdquo ve onlar aynı zamanda yabancı devletlerde satın alım guumlcuuml-nuumln belgesidir denilebilir Bu demektir ki yabancı doumlviz sakini yabancı devletten alacaklı gibi yabancı para biriminde doumlvizlerin alıcısıdır Ya da oumlrneğin yerli sakin yabancı devlete

56

yaptığı ihracatın karşılığı olarak doumlviz olarak yabancı para biriminde değerli kağıt alır ve onunla yabancı devlette mal satın alabilir

Doumlvizler yabancı para biriminde kısa vadeli alacaklar gibi Finansal pazarın bir alanı gibi doumlviz piyasasında satılan ve satın alınabilen oumlzel bir maldır Doumlviz sahibine (yerli rezident-oturan) doumlvizler para değildir ccediluumlnkuuml onları ancak doumlviz pazarında sattıktan sonra ya da bir bankaya goumltuumlrduumlkten sonra yerli para elde edecektir

Doumlviz kavramı daha dar veya daha geniş anlamda tanımlanabilir

Dar anlamda doumlviz herhangi bir yoldan elde edilmiş kısa vadeli tuumlm yabancı paralar ve bu para cinsinden değer taşıyan menkul değerlere verilen isimdir Bu tanımı devletlerden ccediloğu benimsemiştir

Daha geniş anlamda doumlvizin tanımında dar anlamdaki tanımdan başka rezidentlerin (oturanların) sahip oldukları efektif yabancı parasal araccedillarını da iccedilerir Bunun accedilıklaması şu-dur Merkez bankanın yaydığı bu parasal araccedillar yerli rezidentlerin merkez bankasından ala-caklarıdır

Makedonya Cumhuriyetirsquonde doumlvizin geniş anlamdaki tanımı kabul edilmiştir Bu demek-tir ki yabancı devletlerde o devletin para birimi adında kısa vadeli alacaklar ve altın paralar hariccedil tuumlm yabancı efektif parasal araccedillar doumlviz sayılır

Doumlvizler yabancı uumllkelere oumldeme yapmaya yarayan her ccedileşit araccediltır Bu anlamda yazılı parasal araccedillar konvertibl para rejimlerinde doumlviz olarak kullanılırlar Doumlviz kelimesinin ge-niş anlamda kullanılışında oumlzellikle bankacılık uygulamalarında nakit yabancı paralara karşılık olarak bu gibi para yerine geccedilen oumldeme araccedillarına da doumlviz denmektedir Bu tanımdan hareket ederek siyasi - ekonomi accedilısından serbest ve bağlı doumlvizler olmak uumlzere iki gruba ayrılıyorlar

Serbest doumlvizler diğer devletlerin paralarına serbestccedile ve kolaylıkla ccedilevrilebilen doumlviz-lere konvertibl doumlviz ve yapılan bu işleme konvertibilite denir Uluslararası işlemlerde genelde kullanılan doumlviz konvertbil doumlvizdir Bir uumllkenin parası diğer bir uumllkenin parasına duumlnyanın her yerinde serbest bir şekilde ccedilevrilebiliyorsa o milli para iccedilin ldquotam konvertiblrdquo denir Dolayısıyla Konvertibl olan milli paralar uluslararası oumldeme aracı olarak kullanılırlar

Bağlı doumlvizler yabancı devletlerde yabancı oumldeme araccedillarıyla kısa vadeli alacaklar Bun-lar sadece anlaşma uumlzere yapılan oumldeme ccedileşitleriyle sağlanabilir Bağlı doumlvizlerin sahipleri ta-rafından kullanılışı sınırlıdır Bunlar genellikle konvertibil olmayan zayıf yumuşak ve klirink doumlvizlerdir

57

Birinci accedilıdan konvertibl olan milli paralar uluslararası oumldeme aracı olarak kullanılırlar Ccediluumlnkuuml konvertibl bir paraya sahip olan bir uumllke bunu istediği anda diğer bir paraya kolaylıkla ccedilevirebilir Parası konvertibl olan uumllke duumlnya ticaretinde bir Merkez Bankası gibi rol oynar ve oumldeme aracı olarak emisyonda bulunmak suretiyle bu işten kar bile elde edebilir Konvertibi-lite sonuccedilta bir uumllkenin ulusal parasının değişim aracı olma hesap birimi olma borccedil oumldeme ve birikim aracı olarak kullanılma gibi işlevlerini uumllke sınırları dışında da gerccedilekleştirmesi-dir Doumlvizlerin boumlyle bir oumlzelliği yoksa onlara bağlı doumlvizler denilir Aslında bunlar konvertibil olmayan alacaklardır Boumlyle doumlvizler uluslararası ticaret ve sermaye akımlarının gerccedilekleştiril-mesinde serbest olarak kullanılamıyorlar ancak iki devlet arasında yapılan anlaşmalara goumlre oumldemeler yapılabilir Aslında bu doumlvizlerin serbest akımı yoktur ve birinden diğerine geccedilme imkanı da yoktur

Doumlnuumlştuumlrme yapma (konverziyon) kabiliyeti accedilısından doumlvizler konvertibil konvertibil olmayan ve klirink olabilirler Konvertibil doumlvizler yabancı para biriminde olan kısa vadeli ve oumlnceden belirlenen pariteye goumlre farklı doumlvizlere ya da efektif parasal varlıklara doumlnuumlştuumlrme imkanı olan alacaklardır Konvertibilite tam veya sınırlı olabilir

Halbuki başka doumlvizlerle ya da yabancı efektif parasal varlıklarla doumlnuumlştuumlruumllmesi muumlm-kuumln olmayan doumlvizler konvertibil olmayan doumlvizler soumlz konusudur

Klirink doumlvizler alıcındashverici ikili anlaşmalarda kliring yoluyla oumldemelerde rastlanılır Bu gibi alış verişte pozitif saldo ancak negatif saldoda olan partnerin devletinde satın alımla den-gelenebilir Pozitif saldoyla gerccedilekleşen doumlvizleri uumlccediluumlncuuml bir uumllkede takaz yaparak dengeleme imkanı yoktur

Teslimat vadesine goumlre doumlvizler spot ve vadeli (temrinli) gibi iki cinsten olabilirler

Spot doumlvizler anında teslim kaydıyla yatırılan doumlvizlerdir Bu durumda adı geccedilen doumlvizin cinsine bağlı kullanma rejimine dikkatli olunması zorunluluğu vardır

Vadeli doumlvizler anında yatırılmış doumlvizler değildir Bu gibi doumlvizlerin teslimi iccedilin oumln-ceden yapılan soumlzleşmeye goumlre belli bir vadenin geccedilmesi gerekir Bu gibi doumlvizlerin satın alışı genellikle kur dalgalanmalarının risklerinden korunmak iccedilin ya da sadece spekuumllasyon amaccedillı kur farklarından kazanmak iccedilin yapılabilir

Alıştırmalar

1 Dar ve geniş anlamda doumlviz kavramını tanımlayınız

58

2 Doumlviz ve ulusal para birimi arasındaki farkı accedilıklayınız

3 Konvertibilite accedilısından doumlvizler ayrılışı

4 Spot ve vadeli doumlvizleri accedilıklayınız

5 Klirink doumlvizler kavramı ve oumlnemi

27 Doumlviz Kurun Kavramı ve Aslı

Doumlviz kuru bir birim yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatıdır

Buna goumlre her yabancı para ya da yabancı para cinsinden kısa vadeli her alacak ulusal piyasada doumlvizdir ve kendi fiyatı yani doumlviz kuru vardır

Doumlviz kurunu doumlviz (para birimi) paritesinden ayırmalıyız ccediluumlnkuuml doumlviz paritesi ulusal paranın değeri daha geniş ortak payda (deminator) altın herhangi bir istikrarlı para vb ile karşılaştırarak resmi olarak tespit edilir Normal şartlarda doumlviz kuru taban gibi doumlviz paritesi etrafında seyreder

Aslında doumlviz kuru ulusal paranın yabancı paraya goumlre fiyatıdır ya da diğer soumlzlerle bir birim yabancı para iccedilin ulusal paradan kaccedil birim para verilmelidir anlamındadır Kurun bu şekilde ifade edilişine Kurun bu şekilde ifade edilişine doğrudan kotasyon sistemi denir

Dolaylı kotasyon sistemi ise sadece İngiltere devletinde (ve onun bir zamanki kolonileri olan devletlerde) uygulanmaktadır Burada doumlviz kuru bir yerli para birimi iccedilin yabancı para biriminden kaccedil birim oumldenmesi gerekir biccediliminde tanımlanır1

Nominal doumlviz kuru enfl asyon katsayısını hesaba koymadan yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatına denir

Reel doumlviz kuru nominal kurların iccedil ve dış enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmış şekline denir Bu ise ccedilok oumlnemlidir ccediluumlnkuuml enfl asyon para biriminin değerini yitirir yani onun satın alım guumlcuumlnuuml azaltır Nominal kurun enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmasıyla adı geccedilen para biriminin satın alım guumlcuumlnuumln daha reel değeri goumlruumlnuumlr

1 Doğrudan hesaplama yabancı para biriminin 1 ya da 100 birimi ulusal para birimiyle ifade edilir (1 EUR = 61 denar) Dolaylı hesaplamada ise yerli para biriminin 1 ya da 100 birimi yabancı para birimi ile ifade edilir (100 denar = 180 EUR)

59

Efektif doumlviz kuru uumllkenin ticari ilişkide bulunduğu uumllkelerin paralarındaki değişmele-rin uumllkenin doumlviz kurlarına yansıtılması yoluyla elde edilir

Efektif paraların sahte olma imkanı olduğundan bankalar pratikte efektif doumlviz kurunu oumlzel olarak goumlsteriyorlar Efektif doumlviz kuru genellikle doumlvizlerin kurlarından daha alccedilaktır Bunun nedeni sahte olma riski ve devletten devlete transfer harcamalarıdır

Uluslararası her işlem iki satın alımla yapılır Uluslararası alışverişte malın satın alınması ve para biriminin satın alınmasıdır Bunu şu şekilde izah edebiliriz X devletinden ithalatccedilı Y devletinden ithal yaparsa o Y devletinde sadece mal değil para birimi de satın almak mecbu-riyetindedir Bu şekilde şu sonuca varıyoruz Uluslararası alışverişte sadece malların fiyatları değil ulusal para birimlerinin de fiyatları oluşmaktadır

Bunu şu bağıntılarla goumlsterebiliriz

a) İhracat iccedilin Ei = Qi pi T yani bir malın ihracat değeri mal miktarı yabancı doumlviz piyasasındaki fiyatı ve yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

b) İthalat iccedilin Ui = Qi pi T(1+ti) yani bir malın ithalat değeri mal miktarı satın alındığı pazar fiyatı ve ithalat masrafl arıyla (1 + ti) arttırılmış yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

Bazı durumlarda doumlvizler ve para birimlerinin kurları uluslararası para kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar

Uluslararası para kuru bir devletin efektif paraları diğer bir devletin efektif parasıyla de-ğiştirme fiyatıdır

Her para biriminin bir paritesi vardır yani kur fiyatı vardır ve bu fiyat uluslararası para kurunun dayanış noktasıdır

Doumlviz kurları doumlviz piyasasında doumlviz arz eden ve doumlviz talep edenlere goumlre oluşur Douml-vizlere arz ve talep oumldeme bilanccedilosu durumunu ifade etmektedir Oumldeme bilanccedilosundaki accedilık (defitsit) doumlviz talebi doumlviz arzından buumlyuumlktuumlr demektir Oumldeme bilanccedilosundaki fazla (sufitsit) ise doumlviz arzı doumlviz talebinden buumlyuumlktuumlr demektir

Alıştırmalar

1 Doumlviz kuru nedir

60

2 Doğrudan kotasyonu accedilıklayınız

3 Dolaylı kotasyonu accedilıklayınız

4 Nominal reel ve efektif doumlviz kuru kavramı ve anlamı

5 Uluslararası para kuru nedir

28 Spot İşlemler

Doumlviz piyasasında temel işlem spot soumlzleşmesidir

Bir para birimini diğer para birimiyle alış veya satışının işlem tarihinde belirlenen fiyat uumlzerinde en ccedilok iki iş guumlnuuml sonrasında gerccedilekleştirildiği işleme spot işlemi denir Bu esnada işlemin yapılması iccedilin gereken evraklar hazırlanır ve efektif transferin yapılmasına imkan sağ-lanmış olur

Spot işlem bir para biriminin diğer para birimiyle anında değiştirmedir Spot doumlviz kuru anında geccedilerlilikte olan kur ya da soumlzleşmeli pazar fiyatıdır Spot işlemler aslında oumldemenin hemen yapılacağı anlamında değildir Uluslararası anlaşmaya goumlre oumldeme tarihi ya da değer tarihi (settlement date value date) tarafl ar arası alış verişin yapıldığı guumlnden (second busines day aft er the ldquodeal daterdquo or ldquotrade daterdquo) iki iş guumlnuuml sonrasına kadar gerccedilekleşebilir İki guumln vade her iki taraf (arz eden ve talep eden) iccedilin gereken evrakların hazırlanması banka hesaplarının dengelenmesi gibi işlemlerin yapılması iccedilin yeter bir suumlredir

Muumlstesna Kanada doları (CAD) ve ABD doları (USD) arasındaki spot işlemlerin vadesi alış veriş yapıldığı guumlnden sonra sadece bir guumlnduumlr (ccediluumlnkuuml Kanada ve ABD aynı zaman dilimin-de bulunuyorlar)

Tekrarlayalım spot işlem alış veriş guumlnuumlnden sonra iki iş guumlnuuml geccedilerlidir

Spot işlemler bir para birimin diğer bir para birimiyle doğrudan alış verişidir ve bu alış veriş yapıldığında para transferi iki devlet arasında geccedilerli olan oumldeme sistemleri doğrultusun-da gerccedilekleşir

Tipik bir spot işlem oumlrneği New Yorkrsquotan bir A bankası 1 haziranda Frankfurtrsquotan bir B bankası ile euro karşılığı 10 milyon dolar satmak iccedilin kur fiyatı 3 haziran oumlrneğin bir dolar iccedilin 0785 EUR olmak uumlzere anlaşma yapılmıştır 3 haziranda B bankası Almanyarsquoda A bankasının hesabına 785 milyon EUR oumldeyecek A bankası ise aynı guumlnde ABDrsquode B bankasının hesabına 10 milyon dolar oumldeyecektir Her iki tarafın bankalara parayı oumldemekle işlem tamamlanmış olur

61

Doumlviz pazarında her para birimi iccedilin iki fiyat vardır ndash fiyatlardan biri belli bir para bi-rimini satıcının satmak istediği fiyat ve ikincisi satın alanın satın almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru) Pazar sunucusundan her iki fiyatı sunması beklenilir bununla (making a market) pazarı oluşur

Spot kurlarda kurların kotasyonunun bilinmesi oumlnemlidir Daha doğrusu doğrudan ve dolaylı kotasyon Avrupa ve Amerika koşulları vb

Bir para biriminin fiyatı gibi bir doumlviz kurunun diğerine goumlre kotasyonu iki şekilde gouml-ruumllmektedir ulusal para biriminin yabancı para birimine goumlre değeri doğrudan kotasyondur (oumlrnek ABDrsquode dolar ya da Makedonya iccedilin denar) yabancı para biriminin yerli para birimine goumlre değeri dolaylı kotasyondur (ABDrsquoden iseniz dolar ya da Makedonya iccedilin denar)

ldquoAmerika koşullarırdquo (Amerikan terms) ifadesi ABDrsquode bulunan birine goumlre kotasyon Bu ise dolar iccedilin şu demektir yabancı para biriminin değişken değerinin dolar karşılığının seyridir (oumlrnek 127 dolar bir EUR iccedilin)

ldquoAvrupa koşullarırdquo ifadesi Avruparsquoda bulunan birine goumlre kotasyon Bu ise dolar iccedilin şu demektir yabancı para biriminin bir dolar iccedilin değişken seyridir (ya da $1 iccedilin EUR 0785)

1978 yılında doumlviz pazarı kuumlresel pazara entegre olduğunda kolaylık olmak iccedilin ABDrsquodeki pazar pratiği de Avrupa duumlzeniyle uyum sağlamak iccedilin komisyoncuların girişimi uumlzere değişti-rildi

Bu şekilde OTC pazarı Avrupa şartlarına goumlre her devlette doları hemen de her para biri-mine goumlre seyrini belirlemektedir (yani yabancı paranın 1$ karşılığındaki değeri) Buna goumlre hemen de her zaman dolar taban para birimi olarak (base kurrence) kabul edilmiştir Bir birim ($1) yabancı para biriminin değişen değeriyle satın alınır ya da satılır

Bu genel kuraldan istisnalar da olabilir yani duumlnyada tuumlm OTC pazarlarında İngiliz sterli-ni temel para birimi gibi hala seyretmektedir Dolayısıyla duumlnyanın her yerinde piyasa yapıcıları ve komisyoncuları funta sterlini (GBP) bir sterline x dolar kurunu belirliyorlar İngiltere 1971 yılına kadar ondalık para birimi sistemini kabul etmemişti Bu durumda değişen miktarlarda yabancı para birimlerini sterline ccedilevirme ve pazarlama matematiksel accedilıdan daha kolay yapıla-bilirdi GBP ile tarihsel bağları olan bazı para birimleri (İrlanda Avustralya ve Yeni Zelanda para birimleri) OTC pazarında sterlin gibi kur belirliyorlar (bir birim iccedilin değişik miktar Euro)

Duumlz ve dolaylı kur belirleme birbirinin ccedilarpımsal tersidir ve biri diğeriyle kolay belirle-nebilir

62

Her doumlviz işlemi iki para birimi kapsamında yapılır Burada oumlnemli olan para birimlerin-den hangisi temel para birimidir (Base Currency kotasyonlu sabitleşmiş) ve hangisi koşullan-mış para birimidir (Terms Currency) ya da hesaplanan (counter currency)

Genel olarak iki para birimi arasındaki doumlviz kuru (Exchange rate) oumlrneğin USD ve JPY arasında doumlviz kuru USDJPY biccediliminde yazılır Burada 1 USDrsquoa karşılık JPY sayısı anlamında-dır JPYUSD ise 1JPY karşılığında USD sayısını ifade eder

Para biriminin sol tarafında yazılan kod temel para birimidir ve daima birimdir

Para biriminin sağ tarafında yazılan kod değişken para birimine aittir (koşullu hesapla-nan birim ya da kur ayarlı - kotasyonlu para birimi) Kur fiyatına goumlre bu paranın birim sayısı temel paranın bir birimine eşittir

Temel para birimi daima sol taraft a yazılır Oumlrneğin NOKDKK oranı bir NOK birimine karşılık gelecek DKK sayısı

1 CHF DKK kuru 41235rsquotir 1 milyon CHF satın alıyorsak kaccedil DKK oumldemeliyiz 41235 sayısı 1 CHF iccedilin DKK sayısını goumlsterir Buna goumlre 4 123 500 DKK oumldemeliyiz

1 000 000 4 1235 = 4 123 500

2 Şimdi tersine DKK 1 milyon iccedilin ne kadar CHF gerekir hesaplayalım (CHF DKK kuru 41235) Bu durumda CHF 242 51243 elde edilir

1 000 000 41235 = 242 51243

Değişen para birimi pay temel para birimi ise paydadır Pay arttığı durumda temel para birimi artar yani kuvvetleşir ndash pahallılaşır Pay azaldığı durumda temel para birimi zayıfl aşır ve daha ucuz duruma gelir Soumlzluuml ifadede temel para birimi daima ilk soumlylenir

DolarYen (USDJPY) kur ayarında dolar temel para birimi ve paydadır yen ise değişken ve paydır Para birimlerden bazılarının takma adları da vardır ( Paunt ndash Cable İsviccedilre frangı ndash Swissie Avustralya doları ndash Aussie) GBP USD kurunun takma adı Cablersquodir

Piyasa yapıcısının (marketndashmaker) kur ayarlamaları daima onun goumlrme noktasındandır (satın aldığı temel para biriminden alış fiyatı ve temel para birimi iccedilin satış fiyatı)

Piyasa yapıcısına USDCHF kuru sorulunca 14975 ndash 85 biccediliminde cevaplayabilir Bu-nunla CHFrsquoin alış fiyatı bir dolara 14975 ve satış fiyatı bir dolar iccedilin 14985 olduğunu anlı-yoruz Genellikle piyasa yapıcısı kur ayarını 75 ndash 85 aralığında ifade eder ccediluumlnkuuml buumlyuumlk sayı (ldquobig figurerdquo) 149 olduğunu muumlşterinin bildiğini var sayar Kurun alış fiyatı daima sol taraft an ilkidir ve satış fiyatından daima kuumlccediluumlktuumlr (sağ taraft akinden) Aralarındaki farka marj ya da bant (spread) denir

63

Alış ve satış kur fiyatlarının ayarı doumlrt ondalık basamağı kesinliğiyle ifade ediliyorlar bu ise değişken para biriminin 1rsquoin yuumlzde biridir yani 110 000rsquodir ve ona pips denir Mutlak değe-ri kuumlccediluumlk olan bazı para birimlerinde oumlrneğin yenin kur ayarı iki ondalık basamağı kesinliğiyle ifade ediliyor ve burada pips değişken para biriminin 1100rsquouumlduumlr Her para piyasasında pips ya da tik fiyat değişiminin en kuumlccediluumlk değeridir

Alıştırmalar

1 Spot işlem nedir

2 Spot doumlviz kurunu accedilıklayınız

3 Temel para birimi nedir koşullanmış para birimi nedir

4 Dolar ile 100000 EUR satın alıyoruz (kur EURUSD 144) Kaccedil dolar oumldemeliyiz

5 Euro ile 100000 USD satın alıyoruz (kur EURUSD 146) Kaccedil euro oumldemeliyiz

29 Spot Kurları Nasıl Ayarlanır

Euro bazında (EUR) kur ayarlaması yapıldığında bankalar arası piyasada birccedilok para birimlerinin kur ayarları 1 EUR karşılığı para birimlerinin farklı miktarları goumlsterilme pratiği vardır Diğer soumlzlerle bir ya da iki para birimi olduğunda EUR temel para birimidir

Benzer şekilde EUR dışında bankalar arası soumlzleşmeye goumlre tuumlm para birimlerinin USD bazında kur ayarlamaları yapılır

Herhangi iki konvertibil para birimi arasında diling yapılabildiğine rağmen oumlrnek EURrsquoa goumlre NZDrsquoya da JPYrsquoa goumlre CHF tarihsel olarak bankalar arası piyasada en ccedilok kur ayarı USDrsquoye goumlre yani dolar bazında kur ayarlamaları yapılır Bununla paralar arası birccedilok kur ayarı atlatıl-mış olur USD olmayan herhangi iki para biriminin doumlviz kurları dolar bazından hesaplanabilir

USD dışında herhangi iki para biriminin kurları ccedilapraz kur (cross-rate) diye ifade edilir

Guumlnuumlmuumlzde ccedilapraz kur denilince birden fazla ulusal paranın aralarındaki kurların bir anahtar para cinsinden hesaplaması anlaşılmaktadır Oumlrnek GBP SEK kuru EURGBP ve EURSEK kurlarını kullanarak hesaplanabilir

64

Ccedilapraz kurlarla pazarlama (Cross Rate Trading) paraların değiş tokuşu gibi algılanabilir ve bu pazarlamada dolar ne temel ne de değişken para birimi değildir Oumlrnek EURJPY kurun-da EUR ndash temel JPY- değişken para birimidir

Piyasada işlem yapan bankalar ve diğer ilgili kurumlar tarafından verilen kotasyonlar biri alım (bid rate) diğeri ise satım (ask rate) olmak uumlzere ccedilift tarafl ıdır Alış kurları satış kurla-rından daha duumlşuumlktuumlr Yani banka ve diğer aracı kurumlar doumlvizi duumlşuumlk fiyattan alıp yuumlksek fiyattan satmaktadırlar

3 Banka USD doları 14375 CHF satın alır ve USD doları 14385 CHF satıyorsa USDCHF kursu 1437514385 şeklinde seyredecektir

Kotasyonun iki tarafındaki farkı marj (ldquospreadrdquo) olarak adlandırılır

Piyasada doumlviz kurlarına ilişkin verilen alış ve satış kotasyonlarında alış kotasyonları her zaman satış kotasyonlarından daha duumlşuumlk olarak gerccedilekleşir Alış (bid) ve satış (off er) kotasyon-ları arasındaki farkı goumlsteren bandın (spreat) geniş veya dar olması kimin alım-satım işlemi yaptığına ve alım-satım yapılan miktarın buumlyuumlkluumlğuumlne goumlre değişim goumlstermektedir

Ccedilarpımsal ters kurlar da vardır Temel para birimi sayılan herhangi para biriminin ko-tasyonu değişken para birimi olarak kendi ccedilarpımsal tersi biccediliminde kendine denk kotasyona doumlnuumlştuumlruumllebilir

4 1437514385 kotasyonunda USDCHF kuru CHFUSD biccediliminde (114375) (114385) kotasyonuna doumlnuumlştuumlruumllebilir Değerler ne olursa olsun kuumlccediluumlk sayı solda yazılarak kotasyonun her iki tarafı birbirinin tersidir 0695206957 İkinci durumda bandın solundaki fiyatla banka değişken para birimine goumlre temel para birimini satın alıyor sağdaki fiyatla da satıyor

Kurlar genellikle centin 1

100 (yuumlzde biri) biccediliminde kotlanıyorlar

Bu değer puan ya da pip diye adlandırılır Oumlrnek USDCHF kuru genel olarak doumlrt ondalık basamaklı sayı -1437514385 biccediliminde ifade edilir Ondalık basamaklar sayıların buuml-yuumlkluumlğuumlne bağlıdır USDJPY durumunda anlaşmaya goumlre 2 ondalık basamağı kullanılır USDJPY kotasyonu 1050510515 burada 15 puan 015 JPY demektir ve her iki durumda 1 puan kotlanmış ondalık sayının son basamağındaki birimdir

5 USDCHF kurunda pazarlama yaparken USD 1 000 000 miktarında bir puanın değeri CHF 100 olur Diğer soumlzlerle doumlviz kuru bir puan değiştiğinde pazarlamanın kacircr ya da zararı CHF 100rsquoduumlr Yani

1 000 000 CHF 00001 = CHF 100

Puan (point) doumlviz kurunun ondalık basamaklarının son basamağındaki birimdir Doumlviz kuru genellikle puanlarla ya da pipslerle kotlanıyorlar en sık son iki basamaktaki sayı ile ifade edilir Buumlyuumlk rakamlar (big figure) puanlar hariccedil doumlviz kurunun ilk kısmıdır

65

Alıştırmalar

1 Alış - satış kurunu accedilıklayınız 2 Ccedilapraz kur nedir3 Pips nedir4 Мarj - band (spread) nedir5 EURUSD kuru 144 ndash 146rsquodır Bunun ccedilarpımsal ters kurunu goumlsteriniz

210 Kacircr ve Zarar

Her bankanın amacı kacircr sağlamaktır Bu nedenle paralarla alış satış işlemleri yaparken da-ima temel para birimini değişken para birimine goumlre muumlmkuumln olduğu kadar en pahalı satmak ve aynı parayı en ucuz fiyata almayı amaccedillar

1 USDCHF kuru 14831485bdquoтirAlış veriş 1 Banka 14830 kuruyla CHF karşılığında USD 1 000 000 satın almıştırAlış veriş 2 Banka 14855 kuruyla CHF karşılığında USD 1 000 000 satmıştır Para akışı nakit (cash fl ows) USD CHF Alış veriş 1 + USD 1 000 000 - CHF 1 483 000Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + CHF 1 485 500Net sonuccedil + CHF 2 500Banka CHF 2 500 kacircr yapmıştır uml

2 Spot USDCHF 15835 durumunda CHF para birimiyle USD 1 milyon satın alıyoruz Daha sonra aynı guumln spot kotasyonu USDCHF 15836 olduğu an USD 1 milyon satıyoruz Bununla 1 puan kacircr elde ediyoruz

Para akışı nakit (cash fl ows) USD CHF Alış veriş 1 + USD 1 000 000 - CHF 1 583 500Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + CHF 1 585 600Net sonuccedil + CHF 100

66

Buna goumlre USDCHF kotasyonunda dil ile (anlaşmayla) USD 1 milyonda 1 puanın değeri CHF 100rsquoduumlr

3 USDJPY spot kuru 11835 durumunda JPY para birimiyle USD 1 milyon satın alıyo-ruz Daha sonra aynı guumln spot kotasyonu USDJPY 11836 olduğu an USD 1 milyon satıyoruz Bununla 1 puan kacircr elde ediyoruzPara akışı nakit (cash fl ows) USD JPYAlış veriş 1 + USD 1 000 000 - JPY 118 350 000Alış veriş 2 - USD 1 000 000 + JPY 118 360 000Net sonuccedil + JPY 10 000Buna goumlre USDJPY kotasyonunda dil ile (anlaşmayla) USD 1 milyonda 1 puanın değeri JPY 10 000rsquodir

Alıştırmalar

1 EURCHF kuru 132 ndash 134rsquotuumlr Bu kura goumlre verilen bantta 20 000 CHF alınmış ve satılmışsa ne kadar kacircr elde edilmiştir

2 Bir kişi satış fiyatı 6170 MKD kuruyla 10 000 EUR satın almıştır Bir vakit geccediltikten sonra alış fiyatı 6140 MKD kuruyla 10 000 EUR satmıştır Net sonuccedil nedir

211 Pozisyonda Tutunma

Pazarcı her an nasıl pozisyonda olduğunu bilmesi gerekir (pozisyonda tutunma ndash posi-tion keeping) ndash bir guumlnde yaptığı pazarlama işlemlerinin net sonucu (bilanccedilosu) Bulunduğu noktada kazanccedillı olup olmadığını tespit etmek iccedilin o geccedilerlikte olan anındaki doumlviz kuruyla karşılaştırma yapmak iccedilin pazarcı aynı zamanda kendi net ndash pozisyonunun ortalama doumlviz kurunu bilmesi gerekir Pazarcı guumln sonunda pozisyonunu kapamak mecburiyetinde değildir fakat boumlyle durumda o ana kadar pozisyonunun marking to market durumunu yani gerccedilek-leşmeyen kazancı ya da zararı hesaplamalıdır Bunu belirtmek iccedilin guumln sonunda sanki pozis-yonu kapatmış olduğunu sayarak geccedilerlilikte olan kur (current rate) ile kazancın ya da zararın ne kadar olduğunu hesaplamakla belirtir

1 USDCHF ile 3 spot pazarlama şu şekilde yapmışsınız

67

USD 4 milyon 16723 kuruyla satışUSD 1 milyon 16732 kuruyla alışUSD 5 milyon 16729 kuruyla alışPiyasa USDCHF 16730 kuruyla kapanmıştır

Pozisyonunuz nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru nedir Sizin net kazancınız ya da zararınız ne kadardır

USD CHF

- 4 000 000 kur 16723 + 6 689 200

+ 1 000 000 kur 16732 - 1 673 200

+ 5 000 000 kur 16729 - 8 364 500

Pozisyon + 2 000 000 - 3 348 500

Ortalama kur 6742510000002

5003483

- 2 000 000 kur 16730 + 3 346 000Zarar - 2 500

Pozisyon fazla alınmış olan USD 2 milyondur Ortalama kur 167425 zarar CHF 2 500 Zarar USD konvansiyonu spot kur ile USD bazında da goumlsterilebilir ya da karşılığındaki spot kuruyla herhangi bir para birimiyle goumlsterilebilir

Alıştırmalar

1 Saat 10rsquoda EURNOK spot kuru 744rsquotuumlr (kotasyon 100 NOK iccedilindir) Bu kur ile NOK 500 000 satıyoruz saat 14rsquote ise EURNOK kuru 766 olur Saat 19rsquoda yeni bir duumlzenleme ile EURNOK kuru 735 oluyor Her iki terminde kacircr ya da zararı goumlsteriniz

2 USDCHF ile 3 spot alışveriş şu şekilde yapılmıştır

68

USDCHF 1041 kuruyla CHF 100 000 satın alınmıştırUSDCHF 1038 kuruyla CHF 200 000 satılmış USDCHF 1039 kuruyla CHF 300 000 satın alınmıştırPiyasa USDCHF 1045 kuruyla kapanıyor

Pozisyon nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru ne kadardır Net kazanccedil ya da zarar ne kadardır

3 USD alış fiyatı 4950 satış fiyatı ise 5000rsquodır 200 USD alım satımında kacircr ne kadardır

4 EURUSD 140 kuruyla USD ile 100 000 EUR satın alınmıştır Şimdiki kur EURUSD 123rsquotuumlr Euroları şimdi sattığımızda zarar ne kadardır

5 Saat 10rsquoda EURAUD 144 kuruyla 100 000 AUD satın alınmıştır Saat 12rsquode kur 145 saat 15rsquote ise 1437 olmuştur Kazanccedillı ccedilıkmak iccedilin Avustralya dolarları hangi anda satılmalıydı

212 Konuyu Pekiştirme Alıştırmaları

1 820permil altının safl ığını İngiliz usuluumlne goumlre ifade ediniz

2 W 724 altının safl ığını milyem (binde) biccediliminde ifade ediniz

3 W 1012 guumlmuumlşuumln safl ığını milyem (binde) biccediliminde ifade ediniz

4 Kuumltlesi 600 gram ağırlığında olan bir guumlmuumlş nesnede 480g saf guumlmuumlş vardır Guumlmuumlşuumln safl ığını

a) milyemlerle b) İngiliz usuluumlne goumlreifade ediniz

5 B 12 safl ığında bir altın nesnede 120g saf altın vardır Nesnenin toplam kuumltlesi ne kadardır

6 Safl ığı 750permil olan bir guumlmuumlş nesnede 22g saf guumlmuumlş vardır Eşyanın toplam kuumltlesi ne kadardır

7 Safl ığı 900permil olan 500g altından ve safl ığı 850permil olan 750g altından yapılmış bir altın nesnenin safl ık derecesini hesaplayınız

69

8 100g saf guumlmuumlş 100g bakır ve safl ığı 204 peniveyt olan 500g guumlmuumlşten yapılmış olan eşyanın safl ığını (arılık derecesini) hesaplayınız

9 Dolarfrank kursu bir guumlnde 121rsquoden 123rsquoe değişmiştir Doların değişimini (artışını) yuumlzde olarak ifade ediniz Aynı zamanda frankın değişimini yuumlzdelerle ifade ediniz

10 Denar dolara karşı değerini kademeli olarak 615rsquoten 75rsquoe değiştirmiştir Nasıl değişim soumlz konusudur ve bunun yuumlzdesi ne kadardır

11 EUR İsviccedilre frangına goumlre 5 değer kazanmıştır (oumlnceki kur EURCHF 133) Şimdiki kur ne kadardır

12 Saat 10rsquoda spot kur EURUSD 144rsquotuumlr Bu kurla USD 5000 satıyoruz Saat 14rsquote EURUSD 146 ve saat 19rsquoda kur EURUSD 143 olmuştur Her iki terminde kacircr ya da zararı hesapla-yınız

13 EURAUD ile 3 spot pazarlama şu şekilde yapılmıştır

1622 kuru ile AUD 100 000 satın alınmıştır1632 kuru ile AUD 300 000 satılmıştır 1641 kuru ile AUD 600 000 satın alınmıştırPazar 1635 ile kapanmıştır

Pozisyonunuz nasıldır Bu pozisyonun ortalama kuru ne kadardır Net kacircr ya da zarar ne kadardır

70

Konu Oumlzetleri

Altın guumlmuumlş platin cıva rutenyum rodyum osmiyum paladyum ve iridyum element-leri kıymetli metallerdir

İki ya da daha ccedilok metalin karışımına filiz denir Filizdeki kıymetli metalin kuumltlesine saf kuumltle de denir filizin kuumltlesine ise toplam kuumltle de diyeceğiz

Bir filizde bulunan kıymetli metalin kuumltlesi ve filizin toplam kuumltlesinin oranına kıymetli metalin safl ık (arılık) derecesi ya da safl ığı denir Kıymetli metalin safl ığı milyem ve İngiliz usuluuml olmak uumlzere iki şekilde ifade edilmektedir

Filizin toplam kuumltlesini m saf kuumltleyi mb ve safl ık derecesini f ile işaret edersek kıymetli metallerin safl ık (arılık) derecesini şu formuumllle ifade edebiliriz

1000mmf b permil

İngiliz usuluuml ile ifade edildiğinde altının safl ık derecesi karat (ayar) guumlmuumlşuumln safl ık de-recesi peniveyt (guumlmuumlş ayarı) oumllccediluuml birimiyle ifade edilir

Safl ık derecesi 22 karat olan altına standart altın denir safl ık derecesi 222 peniveyt (guuml-muumlş ayarı) olan guumlmuumlşe standart guumlmuumlş denir Altın (guumlmuumlş) filiz standart altından (guumlmuumlş-ten) daha iyi ise onu B (ing Beter ndash daha iyi) ile standart oumllccediluumlden daha koumltuuml ise onu W (ing Worse ndash daha koumltuuml) işaretiyle işaretlenir

Para birimi bir devletin para sisteminin temel birimidir kanunla duumlzenlenmiş bir uumllke-nin değerlerinin temel oumllccediluumlsuumlduumlr

Uumllkede uumlretim verimliliğinin genel seviyesinin artması durumunda paranın resmi de-ğerinde değişme olmadığına rağmen ulusal paran biriminin iccedil piyasadaki alım guumlcuuml artar Bu duruma paranın değer kazanması (apresiyasyon) denir

Aksi takdirde paranın resmi değerinde değişme olmadan ulusal paranın iccedil piyasadaki alım guumlcuuml azaldığı duruma paranın yıpranması (depresyonu) denilir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus olmak uumlzere duumlşuumlruumllmesine devaluumlasyon denir

Ulusal paranın yabancı para birimleri karşısında değerinin isteyerek belli bir amaca youmlne-lik olarak bir aktı ile bir defaya mahsus yuumlkselmesine revaluumlasyon denir

71

Bir ulusal ekonominin yabancı devletlerdeki parası iki şekilde bulunabilir Efektif yaban-cı paralar ve kısa vadeli yabancı para birimleri cinsinden alacaklar ya da doumlvizler

Doumlviz kısa vadeli tuumlm yabancı paralar ve bu para cinsinden değer taşıyan menkul değer-lere verilen isimdir Metal altın paralar bunun haricindedir

Bu tanımdan hareket ederek siyaset - ekonomi accedilısından serbest ve bağlı doumlvizler olmak uumlzere iki gruba ayrılıyorlar Doumlnuumlştuumlrme yapma (konverziyon) kabiliyeti accedilısından doumlvizler konvertibil konvertibil olmayan ve klirink olabilirler Teslimat vadesine goumlre doumlvizler spot ve terminli gibi iki cinsten olabilirler

Doumlviz kuru bir birim yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatıdır Aslında doumlviz kuru ulusal paranın yabancı paraya goumlre fiyatıdır ya da diğer soumlzlerle bir birim yabancı para iccedilin ulu-sal paradan kaccedil birim para verilmelidir anlamındadır Kurun bu şekilde ifade edilişine doğru-dan kotasyon sistemi denir Dolaylı kotasyon sistemi ise sadece İngiltere devletinde (ve onun bir zamanki kolonileri olan devletlerde) uygulanmaktadır Burada doumlviz kuru bir yerli para birimi iccedilin yabancı para biriminden kaccedil birim oumldenmesi gerekir biccediliminde tanımlanır Nomi-nal doumlviz kuru enfl asyon katsayısını hesaba koymadan yabancı paranın ulusal para cinsinden fiyatına denir Reel doumlviz kuru nominal kurların iccedil ve dış enfl asyon oranlarına goumlre ayarlanmış şekline denir Efektif doumlviz kuru uumllkenin ticari ilişkide bulunduğu uumllkelerin paralarındaki de-ğişmelerin uumllkenin doumlviz kurlarına yansıtılması yoluyla elde edilir Efektif paraların sahte olma imkanı olduğundan bankalar pratikte efektif doumlviz kurunu oumlzel olarak goumlsteriyorlar Efektif doumlviz kuru genellikle doumlvizlerin kurlarından daha alccedilaktır ve bankalar bu kuru ayrıdan goumlste-riyorlar

Uluslararası her işlem iki satın alımla yapılır Uluslararası alışverişte malın satın alınması ve para biriminin satın alınmasıdır Bu şekilde şu sonuca varıyoruz Uluslararası alışverişte sa-dece malların fiyatları değil ulusal para birimlerinin de fiyatları oluşmaktadır Bunu şu bağın-tılarla goumlsterebiliriz

a) İhracat iccedilin Ei = Qi pi T yani bir malın ihracat değeri mal miktarı yabancı doumlviz piyasasındaki fiyatı ve yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

b) İthalat iccedilin Ui = Qi pi T(1+ti) yani bir malın ithalat değeri mal miktarı satın alındığı pazar fiyatı ve ithalat masrafl arıyla (1 + ti) arttırılmış yabancı para biriminin kuru ile ccedilarpımına eşittir

Bazı durumlarda doumlvizler ve para birimlerinin kurları uluslararası para kuru ortak adıyla ifade ediliyorlar Uluslararası para kuru bir devletin efektif paraları diğer bir devletin efektif parasıyla değiştirme fiyatıdır

72

Bir para birimini diğer para birimiyle alış veya satışının işlem tarihinde belirlenen fiyat uumlzerinde en ccedilok iki iş guumlnuuml sonrasında gerccedilekleştirildiği işleme Spot işlem denir

Bu esnada işlemin yapılması iccedilin gereken evrakların hazırlanır ve efektif transferin yapıl-masına imkan sağlanmış olur

Spot doumlviz kuru anında geccedilerlilikte olan kur ya da soumlzleşmeli pazar fiyatıdır

Spot işlemler bir para biriminin diğer para birimiyle doğrudan değiştirilmesidir İşlem yapılınca her iki devletin oumldeme sistemleriyle paraların transferi gerccedilekleştirilir

Doumlviz pazarında her para birimi iccedilin iki fiyat vardır ndash fiyatlardan biri belli bir para biri-mini satıcının satmak istediği fiyat ve ikincisi satın alanın satın almak istedikleri fiyattır (alış ve satış kuru) Spot kurlarda kurların kotasyonunun bilinmesi oumlnemlidir Daha doğrusu doğru-dan ve dolaylı kotasyon Avrupa ve Amerika koşulları vb

Doumlviz biriminin kotasyonu Bir para biriminin fiyatı gibi bir doumlviz kurunun diğerine goumlre kotasyonu iki şekilde goumlruumllmektedir ulusal para biriminin yabancı para birimine goumlre de-ğeri doğrudan ve yabancı para biriminin yerli para birimine goumlre değeri dolaylı kotasyondur

Her doumlviz işlemi iki para birimi kapsamında yapılır Burada oumlnemli olan para birimle-rinden hangisi temel para birimidir ve hangisi koşullanmış para birimidir (ya da hesaplanan para birimidir)

USD dışında herhangi iki para biriminin kurları ccedilapraz kur diye ifade edilir

Ccedilarpımsal ters kurlar da vardır Temel para birimi sayılan herhangi para biriminin ko-tasyonu değişken para birimi olarak kendi ccedilarpımsal tersi biccediliminde kendine denk kotasyona doumlnuumlştuumlruumllebilir

Puan doumlviz kurunun son ondalık basamağındaki birimdir

Pazarcı her an nasıl pozisyonda olduğunu bilmesi Bulunduğu noktada kazanccedillı olup ol-madığını tespit etmek iccedilin o geccedilerlikte olan anındaki doumlviz kuruyla karşılaştırma yapmak iccedilin pazarcı aynı zamanda kendi net ndash pozisyonunun ortalama doumlviz kurunu bilmesi gerekir Pa-zarcı guumln sonunda pozisyonunu kapamak mecburiyetinde değildir fakat boumlyle durumda o ana kadar pozisyonunun gerccedilekleşmeyen kazancı ya da zararı hesaplamalıdır Bunu belirtmek iccedilin guumln sonunda sanki pozisyonu kapatmış olduğunu sayarak geccedilerlilikte olan kur ile kazancın ya da zararın ne kadar olduğunu hesaplamakla belirtir

73

UumlSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER

31 Reel Sayılı Uumlsluuml Kuvvet Kavramı

Tabanı a doğal sayı tam sayı ya da rasyonel sayı olan uumlsluuml ifadelerin (kuvvetlerin) anlamı-nı artık biliyorsunuz Bunları bir daha hatırlayalım

1 Aşağıdaki işlemleri yapınız

a) 5043

32 xxx b) ))(( 2

121

21

21

yxyx v) 23

21

2509

Rasyonel uumlsluuml kuvvetlerin tanımı ve oumlzellikleri gereğince а) 12

2343

32

43

32 )50(50 xxxxx

yxyxyxyx 22 )()())(( 21

21

21

21

21

21

10821250

12

250

142504

3

23

21

b) c)

elde edilirŞimdi rasyonel sayılı uumlsluuml kuvvetler kavramını genişleterek reel uumlsluuml kuvvetler kavra-mını ve bazı temel oumlzelliklerini accedilıklamaya ccedilalışacağız

Her reel sayı x ve her pozitif sayı a iccedilin aşağıda sayılan oumlzelliklerle bir ax kuvveti bellidir

3

b) c)а)

I x gt 0 iccedilin n=1 iccedilin 1 x = n ise ax =

n

aaaa

ngt1 iccedilin

2 1

nx ise nx aa

3 nkx k ise n kx aa

4 x = c0 c1c2cnise а) a gt 1 iccedilin )1( 210210210 nnn cccccccccccc aaa b) 0 lt a lt 1 iccedilin nnn cccccccccccc aaa )1( 210210210

c) a = 1 iccedilin ax = 1 dir II x = 0 ise ax = 1 dir

III xlt0 ise ||

1x

x

aa

74

2 a) Reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerin yukarıdaki tanımı gereğince x gt 0 iccedilin 5-x ifadesinin an-lamı vardır ccediluumlnkuuml a = 5 gt 0 dır Halbuki (- 5)-x ifadesinin x gt 0 iccedilin anlamı yoktur ccediluumlnkuuml a = - 5 lt 0rsquodır

b) Her x R iccedilin 0-x ve 0x ifadelerinin anlamı yoktur ccediluumlnkuuml a = 0rsquodıra pozitif reel sayısının reel uumlsluuml kuvvetleri iccedilin şu oumlzellikler geccedilerlidir

1 xx ba za sekoe x ako i samo ako ba

2 Za sekoj x postoi edinstven stepen xa

3 yxyx aaa za sekoi yx

4 yxyx aa )( za sekoi yx

5 xxx baab )( za sekoe x

1 ax = bx eşitliği her х R iccedilin geccedilerli olması iccedilin ancak ve ancak a = b olmalıdır2 Her х R iccedilin bir tek ax kuvveti vardır3 Her хy R iccedilin ax middot ay = ax+y geccedilerlidir4 Her x y R iccedilin (ax)y = axy geccedilerlidir 5 Her x R iccedilin (ab)x = axbx geccedilerlidir

3 Reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerin tanımı ve yukarıdaki oumlzellikler gereğince

)()( 11

x

xxxxxx

x

bababaab

ba

13

elde edilir

4 Verilen işlemleri yapınız а) 3х4х b) 4z 2z c) (8х9y15z)(2х3y5z)

Ccediloumlzuumlm

а) 3х 4х = (3 middot 4)х = 12х b) zz

zz 22

424

13

c) zyxzyx

zyxzyx 5345

15

3

9

2

8)532()1598(

13

13

13

Alıştırmalar

1 Reel sayılı uumlsluuml kuvvet nasıl tanımlanır

2 Kuvvetlerle verilmiş olan işlemleri yapınız а) 2х2y b) 2х 4х c) 12х11х d) (2х5х)y

3 Verilen kuvvetleri karşılaştırınız

а) 3х ve 9х2 b) x

13

4 ve

x

13

4

75

4 Verilen eşitsizliklerde hangi sayı buumlyuumlktuumlr x yoksa y

а) 04х gt 04у b) 14х gt 14у c)

yx

13

13

2

3

2

3

5 Verilen işlemleri yapınız а) (2х + 3х)(2х - 3х) b) (5х - 5-х)2 c) (4х +1)3

32 Uumlstel Denklemler

Tanım 1 Tabanı 1rsquoden farklı pozitif bir reel sayı olan ve uumlssuumlnde değişken bulunan denklemlere uumlstel denklem denir

1 Oumlrnek olarak aşağıdakiler uumlstel denklemlerdir

24 82 3 xxx 493532 3 xx

ve 32

1

13

x

x

Birkaccedil ccedileşit uumlstel denklem ccediloumlzelim

I biccediliminden denklem

2 3x = 27 denklemini ccediloumlzuumlnuumlzVerilen 3x = 27 denklemini 3x = 33 biccediliminde yazarak verilene denk denklem elde edilir Bu

durumda pozitif reel sayı a tabanlı reel sayılı uumlsluuml kuvvetlerde a gt 0 a ne 1 1 2x xa a ancak ve ancak x1 = x2rsquodir oumlzelliğinden yararlanarak 3x = 33 eşitliğinden x = 3 elde edilir Buna goumlre 3x = 27 denkleminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml vardır

ve bu ccediloumlzuumlm x = 3rsquotuumlr

3 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 16

14 x b) 15 x v)

125

64

4

5

13

x

2

4

14

13

x 055 x

3

5

4

4

513

13

x

244 x 0x 3

4

5

4

5

13

13

x

2x 3x

а) b) c)

76

II Af(x)+m=0 Agt0 Ane1 mlt0 biccediliminden denklemler

4 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 813 5 x b) 322 13 x v) 8132

x 45 33 x 513 22 x 433

2

x

45 x 513 x 42 x

1x 2x 2x

III biccediliminden denklemler

( )f xA t değişimiyle 2 0at bt c biccediliminde ikinci derece denklem elde edilir İkinci derece denklemin her ccediloumlzuumlmuuml iccedilin ( )f xA t uumlstel denklemini ccediloumlzuumlyoruz

5 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 082622 xx b) 024316 xx v) 278181122 xx

0826)2( 2 xx 0243)4( 2 xx 278181122

22 xx

smena tx 2 smena tx 4 smena tx 2 81 0232 tt 2712 2 tt

28 21 tt 12 21 tt 027122 tt

2282 21 xx 1424 21 xx 39 21 tt

13 2222 21 xx 0212 2222 21 xx 99 1

1

1 x 1

2

33 2 x

13 21 xx 02

121 xx 11 x 22 x

0862 tt

Alıştırmalar

1 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 729

19 x b)

10

2515

45

13

x v) 10001010

x

g) 064

125

5

4

13

x

d) 310104

xx |) 1296

814 x

а)

ccedil)

b)

d)

c)

e)

2 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) xx 1450 3216 b) 5052 x v) 064

125

5

4 5

1

13

x

g) x

x

13

8

2

4

125023

а) b) c) ccedil)

b) c)

b) c)

77

3 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 055625 xx b) 057449 xx v) 233 252 xx а) b) c)

4 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlza) 03343 24 xx b) 135215215 21 xx v) 12

24

14 12

1

x

x

x

а) b) c) 5 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 1224 xx b) 027343 5284 xx v) 4

410

2

9 2

2

x

x

c)b)a)

33 Logaritma Kavramı

Tanım 1 0 1 a R a a ve b R olsun xa b eşitliğini sağlayan x reel sayısına a

tabanlı brsquonin logaritması denir Bunu logax b şeklinde yazarız

Buna goumlre a gt 0 a ne 1 b gt 0 iccedilin

bxba ax log dir

Tanımdan doğrudan doğruya

ba ba log gerekirx sayısına logaritma değeri a sayısına logaritması tabanı b sayısına logaritması alı-

nan sayı denir

1 Tablodaki değerlerin doğru olup olmadıklarını yoklayınız

Kavramlar log2 8 = 3 log5(m + 3) = 2 4log 811

3

1

Logaritma 3 2 4

Logaritması tabanı 2 53

1

Logaritması alınan sayı 8 m + 381

1

2 a) 2

3log 9 2 ccediluumlnkuuml 3 9 b) 1

24

1log 2 ccediluumlnkuuml 4 4 2

2

c) 4

5log 25 4 ccediluumlnkuuml 5 25

78

3 Verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a)

4

1log2 b)

81

1log

3

1 v) 7

9

1 3log a) b) c)

a) 4

1

2

12

2

2 olduğuna goumlre 24

1log2 elde edilir

Yoklamasını yapalım 4

122 24

1log2

b) 81

1

3

14

13

olduğuna goumlre 4

81

1log

3

1 gerekir

Yoklama 81

1

3

1

3

14

81

1log

3

1

13

13

c) 71

9

1log 3

14 ccediluumlnkuuml

11

1477

13 3

9

13

dir

Yoklama 7

1

9

log 3

713

9

13

4 Hangi sayının 1

2 tabanına goumlre logaritması 4rsquotuumlr

4

1 1

2 16

13

olduğundan 1

2

1log

161 1

2 16

13

gerekir Demek ki aranılan sayı 1

16 dır

5 1

log 38

a olduğuna goumlre a tabanını belirtiniz

Logaritma işleminin tanımına goumlre 3 1

8a yani

3

3 1

2a 13

gerekir O halde

1

2a ol-

duğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Verilen tabloyu deft erinizde ccediliziniz ve doldurunuz

İfadeler log6 216 = 3 29

4log x

449log7

52log ba 2

15log25

Log değeriLog tabanıLog alınan sayı

79

2 Verilen logaritmaların değerini belirtiniz

a)

9

1log3 b) 010log 10 v) 3log3 g) 5log

5

1b) c)а) d)

3 Logaritma işleminin tanımından yararlanarak aşağıdakilerden x belirtilsin а)

2

1log3 x b) log x 36 = 2 c) logi x = 0 d) log x 125 = 5

4 Verilen ifadenin değerini belirtiniz

а) 2log 55 b) 3log2 55

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

а) 9log8log 32 b) 9

1log327log4

3

13

6 x in hangi değerleri iccedilin log 02 (x2 - x) ifadesinin anlamı vardır

34 Logaritmanın Kuralları

a gt 0 a ne 1 x gt 0 ve y gt 0 olsun

I Ccedilarpıma ait logaritmanın kuralları

yxxy aaa logloglog

İspat a = loga x ve β = loga y olsun O halde aa = x ve a = y elde edilir x gt 0 y gt 0 olduğuna goumlre xy gt 0 gerekir O halde loga xy ifadesinin de anlamı vardır Buna goumlre alogaxy = xy = aa middot a = aa+ = alogaX+logay yazabiliriz Oradan da loga xy = loga x + loga y elde edilir

I log2 6 = log2 2 middot 3 = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3

Aynı kural ikiden fazla ccedilarpanları olan ccedilarpım iccedilin de geccedilerlidir yani x1 gt 0x2 gt 0xn gt 0 olduğu durumda

naaaana xxxxxxxx loglogloglog)(log 321321 geccedilerlidir

II Kuvvetin Logaritma Kuralı

xsx as

a loglog

İspat a = logax olsun x gt 0 olduğundan xs gt 0 gerekir O halde logaxs vardır xssxsx aa

sa aaxa logloglog olduğundan loglog xsx a

sa elde edilir

80

2 log3 81 = log3 34 = 41og3 3 = 4

III Boumlluumlmuumln Logaritm Kuralı

yx

yx

aaa logloglog

İspat 1 xyyx

olduğunu bildiğimize goumlre bir ccedilarpımın logaritması kuralı gereğince

loglogloglogloglog 11 yxyxxyyx

aaaaaa elde edilir

3 10log110log7log10

7log70log 77777

Bir kuvvetin logaritması kuralı sonucu olarak şu formuumll elde edilir

logloglog x

nmxx a

nm

an m

a

4 7

52log

7

52log2log32log 2

7

5

2

7 5

27

2

Aynı tabana goumlre tertiplenmiş logaritmaların kuumlmesine logaritma sistemi denir 10 taba-nına goumlre tertiplenmiş logaritmalara ondalık logaritmalar denir Ondalık logaritmaları logx biccediliminde yazıyoruz yani burada taban 10 yazılmıyor Ondalık logaritmalar iccedilin ccedilok kez lg x işaretlemesi de kullanılır Buna goumlre log10 x = logx = lg x e tabanına goumlre e 271 tertiplenmiş logaritma sistemine doğal logaritmalar denir Doğal logaritmalar ln x biccediliminde işaret edilir yani loge x = ln x dir Logaritma işleminin kuralları ondalık ve doğal logaritmalar iccedilin de geccediler-lidir

5 a) 410lg410lg10000lg 210lg210lg100lg 110lg 42

b) 4ln4ln 2ln2ln 1ln 42 eeeee

v) 310lg1000

1lg0010lg 110lg

10

1lg10lg 31

g) 3ln1

ln 1ln1

ln 3

3

1 ee

ee

а)b)

c)

d)

Bu son oumlrnekte goumlruumllduumlğuuml gibi 1rsquoden buumlyuumlk ondalık birimin logaritması pozitif tam sa-yıdır ve sayının sıfırları kadar birimleri vardır 1rsquoden kuumlccediluumlk ondalık birimlerin logaritması ise negatif tam sayıdır ve ondalık kısmında sıfırların sayısı kadar birlikleri vardır

81

Logaritması rasyonel sayı olan x pozitif reel sayısı verilmiş olsun yani log x = k k Q O halde x = 10k dir Buna goumlre 10k k Q biccediliminde olmayan pozitif sayının ondalık logaritmi irrasyonel sayıdır Onun ondalık sayı biccediliminde yazılışında sonsuz ccedilok ondalık basamakları var-dır bu nedenle bu sayıyı 5 ondalık basamağında anlaşma gereği yuvarlayacağız

A herhangi bir pozitif reel sayı olsun O halde 110 10n nA dir Buna goumlre 1lg10 lg lg10n nA gerekir Ondalık logaritması tanımına goumlre 1 lgn A n elde edilir

Son eşitsizlikten 0 lg 1A n n elde edilir O halde

ve 0 lt1n N iccedilin )1(lg nA geccedilerlidir

n sayısına A sayısının logaritmasının karakteristiği sayısına ise mantis denir Diğer soumlzlerle logaritmayı ifade eden ondalık sayının tam kısmına karakteristik ondalık kısmına ise mantis denir Buna goumlre karakteristik pozitif negatif tam sayı ya da sıfır olabilir mantis ise 0 ve 1 arasında bir sayıdır

6 lg 49527 sayısının karakteristiğini yazınız100 49527 1000 olduğuna goumlre elde edilir O halde

2 lg 49527 3 bulunur Buna goumlre lg 49527 2 0 1 lg 49527 logaritmasının karakteristiği 2 dir

7 log 0037 logaritmasının karakteristiğini belirtiniz001 lt 0037 lt 01 olduğundan lg001 lt lg 0037 lt lg 01 ya da -2 lt log A lt -1 dir Buna

goumlre 0 1 olmak uumlzere log 0037 = - 2 + biccediliminde yazılır log 0037 ifadesinin karakte-ristiği ndash 2rsquodir

6 ve 7 oumldevlerinden şu sonuca varılır 1rsquoden buumlyuumlk sayıların logaritmalarının karakteris-tiği verilen sayının tam kısmının rakamları sayısından 1 kuumlccediluumlktuumlr 1rsquoden kuumlccediluumlk sayıların ka-rakteristiği ise negatif sayıdır ve ondalık yazılışında virguumllden sonra gelen sıfırların sayısı kadar birimleri vardır

8 Hesap makinesi kullanarak reel sayıların logaritmalarını belirtebiliriz oumlrnek

38484125724lg 106583131278lg

590072002570lg 9 lg a = m lgb = n lgc = p olduğuna goumlre

4

2

cba ifadesinin ondalık logaritmasını belir-

tiniz

42lg4lglg2lglglglglglg 4242

4

2

pnmcbacbacbac

ba

82

Alıştırmalar

1 Verilen ifadelerin logaritmalarını alınız

a) abx 3 b) 52bcax v) c

abx2

g) )(2 bax d) 22 cb

ax

|) 3 2bax

b)

e)

c)

f)

а)

d)

2 İfadeleri sadeleştiriniza) )4log3(loglog 32

41 b)

27

1log64log 23 v) 100loglog2 b) c)а)

3 Verilenlerden x sayısı belirtilsin

a) 4log2lg5lglg x b) 3lg22lg3lg x

v) 2lg3

15lg

3

23lg

2

1lg x g) )4lg53lg42lg2(

4

1lg x

d) 1ln3ln5lnln x |) 3ln32ln3ln x

e) 2ln3

14ln

3

13ln

3

1ln x `) )4ln53ln42ln2(

4

1ln x

а)

c)

e)g)

b)

d)

f)h)

4 lg 2 030 ve lg 3 048 olduğunu alırsak aşağıdakilerin yaklaşık değerini belirtiniz a) 9lg 8lg 6lg 4lg b) 18lg 16lg 12lg а) b)

5 Verilen logaritmaların karakteristiğini yazınız

a) )6500256075450lg( 2 b) 029304570

5073528lg

v) 5

9775

129lg g) )550850lg( 3 c) d)

a) b)

35 Faklı Tabanlı Logaritmalar Arasındaki Bağıntılar

a gt 0 a ne1 b gt 0 x gt 0 olsunTaban değiştirme formuumlluuml

axx

b

ba

log

loglog

İspat x = aloga x eşitliğin her iki tarafının b tabanına goumlre logaritması alınırsa logbx = logb (alogax) = logax bull logba elde edilir oradan da

log

loglog

axx

b

ba elde edilir

83

1 6log

9log6log9log6log9log

7log

6log7log9log6log7log

3

33636

3

33673

29log3

Sonuccedil 1 x = b ne 1 ise a

bb

alog

1log

İspat log

1

log

loglog

aabb

bb

ba

2

5

1

32log

12log

2

32

Sonuccedil 2 0 1 s 0 0a a b ise bs

b aas log1

log İspat blog

s

1

alogs

1

alog

1blog a

bs

bas

3

3

22

3

14log

3

14log 223

Sonuccedil 3 0 1 s 0 0a a b ise bb as

a s loglog İspat loglog

1loglog bb

ssbsb aaa

sa ss

4 a) 12log2log2log 2

2

2

2

4 2 b) 29log9log9log 33

1

3

3

33

13 b)

6 lg 2 030 ve lg 3 048 olduğunu alırsak

35

39

700

780

3001

480300

2lg10lg

3lg2lg

2

10lg

)32lg(

5lg

6lg6log5

elde edilir

Alıştırmalar

1 Farklı tabanlı logaritmalar arasındaki bağıntıyı ifade ediniz

2 Eşitlikleri ispatlayınız

a) 14log5log7log12log 5733

b) 3

17log6log5log4log3log2log 876543 b)

84

3 1250log81log27

12 ifadesinin değerini hesaplayınız

4 İfadeleri sadeleştiriniz

a) )4log3(loglog 32

4

1 b) 27

1log64log 23 v) 5 25lg

5lg

b) c)

5 a gt 0 b ne1 b gt 0 olduğunda loglog 1 aab

b olduğunu ispatlayınız

36 Logaritmalı Denklemler

Tanım 1 İccedilinde bilinmeyenin ya da fonksiyonun logaritması bulunan denklemlere logaritmalı denklem denir

1 Aşağıda verilen denklemler logaritmalı denklemlerdir log2 (x + 4) = 7 log2х (5 + x2) = 9 log5(3x - 2) = log5 x

a gt 0 ve a ne 1 olsun

I Log a f(x) = b cinsinden logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuumlLogaritma işleminin tanımından şu eşitliklerin denkliği gerekir

)()(log xfabxf ba

2 Verilen denklemleri ccediloumlzelima) 3)5(log3 x b) 0)137(log 2

3 xx v) 2)9(log 22

5 x

335 x 02 )3(137 xx 222 5)9( x

275 x 0122 xx 05618 24 xx 22x 31 x i 42 x 14 2 4321 xx

b) c)

c) şıkkındaki denklemi ccediloumlzmek iccedilin bir kuvvetin logaritması oumlzelliğinden yararlanacağız

2)9x(log 225 2)9x(log2 2

5 1)9x(log 25 59x 2 1421 x

Denklemin doumlrt koumlkuuml olduğuna rağmen burada sadece iki koumlkuumlnuuml bulmuş oluyoruz Bu-nun sebebi bir kuvvetin logaritmasını yanlış kullandığımızdan oumltuumlruumlduumlr daha doğrusu logab2 = 2 log a b eşitliği sadece b gt 0 olduğu durumda geccedilerlidir Bir kuvvetin logaritması oumlzelliğini doğru kullanmak istersek şu şekilde yazmalıyız

2)9(log 22

5 x 29log2 2

5 x 19log 2

5 x 592 x

85

II log a f(x) = log a g(x) cinsinden logaritmalı denklemlerin ccediloumlzuumlmuuml

log a f(x) = log a g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmuuml f(x) = g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmuumlnden elde edilir log a f(x) = log a g(x) denkleminin her ccediloumlzuumlmuuml f(x) = g(x) denkleminin de ccediloumlzuumlmuumlduumlr Bunun tersi genel durumda geccedilerli olmayabilir Bu nedenle f(x) = g(x) denkleminin ccediloumlzuumlmleri-ni bulduktan sonra elde edilen ccediloumlzuumlmleri loga f(x) = log a g(x) denklemini de sağlayıp sağlama-dığını yoklamamız gerekir

3 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) )4(log)117(log 3

2

3 xxx b) )1210lg()223lg( 22 xxxx

41172 xxx 1210223 22 xxxx 01582 xx 010133 2 xx

53 21 xx 51 x 3

22 x

Proverka 3x Proverka 5x )43(log)11373(log 3

2

3 )125105lg()52253lg( 22

)1(log)1(log 33 ne postoi )37lg()37lg( ne postoi 3x ne e reenie 5x ne e reenie

Proverka 5x Proverka 3

2x

)45(log)11575(log 3

2

3

13

13

13

13

12

3

210

3

2lg

3

222

3

23lg

22

1log1log 33 13

13

9

44lg

9

44lg ne postoi

b)

Yoklama

Yoklama

Yoklama

Yoklama

yokturccediloumlzuumlm değildir ccediloumlzuumlm değildir

yoktur

nuk ekziston

Verilen denklemin ccediloumlzuumlmuuml x = 5 dir

Verilen denklemin reel ccediloumlzuumlmleri yoktur

III log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biccediliminde denklemlere doumlnuumlşebilen denk-lemlerin ccediloumlzuumlmuuml

4 Verilen denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

a) 2)12(log)3(log 33 xx b) )3(log)76(log 5

2

5 xxx

v) 2lg32lg4 xx

b)c)

a) 2)12(log)3(log 33 xx2)12()3(log3 xx

01252 2 xx

Yoklama x = 4 ve ondan sonra 2

3x değerlerini

değiştirmekle denklemin ccediloumlzuumlmuuml sadece x = 4

olduğunu buluyoruz

86

2

34 21 xx

b) )3(log)76(log 5

2

5 xxx

0)3(log)76(log 5

2

5 xxx

03

76log

2

5

x

xx

313

762

xx

xx

01072 xx

25 21 xx

v) xx 2lg32lg4

So zamena tx 2lg imame

5

12lg

41

043

34

21

2

2

xx

tttt

tt

yxyx

aaa logloglog

koga 0010 yxaa

Proverka so zamena za 5x a potoa za 2x zaklu~uvame deka ravenkata ima samo edno reenie 5x

Proverka bideji ravenkata 42lg x nema reenie so zamena

za 5x zaklu~uvame deka ravenkata ima samo edno reenie 5x

olsun

Yoklama x = 5 ve ondan sonra x = 2 değerlerini değiştirmekle denklemin ccediloumlzuumlmuuml sadece x = 5 olduğunu buluyoruz

Yoklama log 2 4x denkleminin ccediloumlzuumlmuuml olmadığına goumlre x = 5 ccediloumlzuumlmuumlnuuml denklemde değiştirmekle denklemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olduğunu goumlruumlyoruz

b)

c)

5 Rei gi ravenkite a) 7logloglog 2416 xxx b) 13loglog 29

xx

7logloglog 222 24 xxx 1log

1log

2

332

xx

7loglog2

1log

4

1222 xxx 1

log2

1log

2

1

3

3 x

x

7log4

72 x 01log2log 3

2

3 xx

4log2 x tx 3log

2x 0122 tt 1t 1log3 x 3x

v) )12lg()2021lg(1)10lg(5lg xxx )12lg()2021lg(10lg)10lg(5lg xxx

Proverka 13log3log 99 19log13log2 99

Reenieto na ravenkata e 3x

Proverka 72log2log2log 2416 Reenieto na ravenkata e 2x

5 Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

Denklemin ccediloumlzuumlmuumlDenklemin ccediloumlzuumlmuuml

Yoklama

Yoklama

c)

b)

87

Alıştırmalar

1 2)62(log 2

3x 2 1)75(log 2

3 xx

3 1log)1(log 22 xx 4 2)12lg()13lg( xx

5 43log2log xx 6 3loglog 162 xx

7 1))72(log1(log 33 x

37 Konuyu Pekiştirme Oumldevleri

1 Hangi x ve y reel sayıları iccedilin eşitlik geccedilerlidir

a) yx 88 b)

yx33 v)

2

3

2

3yx

13

13

b) c)

2 a) a gt 1 b) 0 lt a lt 1

ise hangisi buumlyuumlktuumlr 2

3a yoksa 3

2a Denklemleri ccediloumlzuumlnuumlz

5 3216 1450 xx 6 5052 x 7 8264 xx

8 399 42411 xxxx 9 064

125

5

4 5

1

13

x

10 1224 xx

11 Logaritma işleminin tanımından yararlanarak x sayısını belirtiniz

12

2021lg

10

)10(5lg

xxx

12

2021

10

)10(5

xxx

)2021(10)12)(10(5 xxx

200210509510 2 xxx

101 x 2

32 x

Proverka 19lg190lg120lg5lg

10lg10lg100lg

10lg210lg 2

10log210lg2

Reenie na ravenkata e 10x

Proveri dali 2

32 x e

Yoklama Yoklama

ccediloumlzuumlmuuml yoklayınız

Denklemin coumlzuumlmuuml x = 10 dur

88

a) 216log x b) 4

327log x v) 31000log x

g) 2

1log4 x d) 20log100 x |) 8log

3

1 x

b)

d) e) f)

c)

12 Şu ifadelerin logaritmasını alınız

a) xy2 b) 223 yx v) zyx 52 g) 3ca b

d) 3 26 yx |) yxx 32 e) yyx

b) d)

e) f) g)

c)

13 Logaritması bilinen x sayısını belirtiniz

a) 2log3log4loglog 2222 x b) 2lg8lg2

15lglg x

v) 3log9log7loglog x g) 5log33log2log x

b)

d)c)

14 Logaritma işlemini uygulayarak verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a)

36125

492648333 x b)

281386

2605433

2

x v) 53 2154253 x b) c)

15 а) log25 ile 4 b) log3 7 ile 7 c) lg5 ile 10-1

16 Farklı tabanlı logaritmalar arasındaki bağıntıdan yararlanarak verilen ifadeleri sade-leştiriniz

a) 2

3

75log

7log25log

2

22

3

332

b) 1log1log1log 4

2

22 xxxx b)

17 Verilen ifadelerin değerini hesaplayınız

a) 1250log81log27

12

b) 84log5log2log7log245log2log12

1

7

1

3

11273 b)

Denklemleri Ccediloumlzuumlnuumlz

18 1)3lg(lg xx 19 1)2(loglog 33 xx

20 5loglog7 525 xx 21 23log 1 x

22 )105(log)3(log 2

55 xxx 23 3loglog2log7

1497 x

89

a pozitif reel sayısının reel uumlsluuml kuvvetleri iccedilin şu oumlzellikler geccedilerlidir

KONU OumlZETLERİ

Her reel sayı x ve her reel sayı a iccedilin reel uumlsluuml ax kuvveti şu şekilde bellidir

Tabanı 1rsquoden farklı pozitif bir reel sayı olan ve uumlssuumlnde değişken bulunan denklemlere uumlstel denklem denir

Burada şu cins uumlstel denklemler incelenmiştirI Ax+m=0 Agt0 A1 mlt0

biccediliminden denklemlerII

Af(x)+m=0 Agt0 A1 mlt0 biccediliminden denklemlerIII

a(Af(x))2+bAf(x)+c=0 biccediliminden denklemler

I x gt 0 iccedilin

1 x = n ise n = 1 iccedilin

n gt 1 iccedilinx

n

aa aa a

2 1

ise x nx a an

3 ise nx kkx a an

4 x = c0 c1c2hellipcn hellip ise

a) a gt 1 iccedilin 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( 1)n n nc c c c c c c c c c c ca a a

b) 0 lt a lt 1 iccedilin 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( 1) n n nc c c c c c c c c c c ca a a

c) a = 1 iccedilin ax = 1rsquodir II x = 0 ise ax = 1rsquodir

III x lt 0 ise 1x

xaa

1 xx ba za sekoe x ako i samo ako ba

2 Za sekoj x postoi edinstven stepen xa

3 yxyx aaa za sekoi yx

4 yxyx aa )( za sekoi yx

5 xxx baab )( za sekoe x

iccedilin geccedilerli olması iccedilin ancak ve ancak a = b olmalıdır ax = bx eşitliği herHer

x iccedilin bir tek ax kuvveti vardır

Her

yx iccedilin

yxyx aa )( geccedilerlidirHer

yx iccedilin

yxyx aaa geccedilerlidir

Her

x iccedilin

xxx baab )( geccedilerlidir

90

a 0a 1a i b + ve olsun xa b eşitliğini sağlayan x reel sayısına a tabanlı

brsquonin logaritması denir Bunu logax b şeklinde yazarızBuna goumlre a gt 0 a ne 1 b gt 0 iccedilin

bxba ax log dir

Tanımdan doğrudan doğruya

ba ba log gerekirx sayısına logaritma değeri a sayısına logaritmanın tabanı b sayısına logaritması

alınan sayı denir0 1 0 ve 0a a x y olsun

I Ccedilarpıma ait logaritmanın oumlzelliği

yxxy aaa logloglog

Aynı kural ikiden fazla ccedilarpanları olan ccedilarpım iccedilin de geccedilerlidir yani olduğu durumda

naaaana xxxxxxxx loglogloglog)(log 321321

geccedilerlidir

II Kuvvetin Logaritması Kuralı

xsx as

a loglog

III Boumlluumlmuumln Logaritması

yx

yx

aaa logloglog

Bir kuvvetin logaritması kuralı sonucu olarak şu formuumll elde edilir

logloglog x

nmxx a

nm

an m

a

Aynı tabana goumlre tertiplenmiş logaritmaların kuumlmesine logaritma sistemi denir 10 ta-banına goumlre tertiplenmiş logaritmalara ondalık logaritmalar denir Ondalık logaritmaları log x biccediliminde yazıyoruz yani burada taban 10 yazılmıyor Ondalık logaritmalar iccedilin ccedilok kez lg x işaretlemesi de kullanılır Buna goumlre log10 x = logx = ln x e tabanına goumlre e 271 tertiplenmiş logaritma sistemine doğal logaritmalar denir Doğal logaritmalar ln x biccediliminde işaret edilir yani loge x = ln xlsquodir Logaritma işleminin kuralları ondalık ve doğal logaritmalar iccedilin de geccediler-lidir

91

A herhangi bir pozitif reel sayı olsunn ve 0 ltlt 1 iccedilin )1(lg nA geccedilerlidirn sayısına A sayısının logaritmasının karakteristiği sayısına ise mantis denir

a gt 0 a ne1 b gt 0 х gt 0 olsunTaban değiştirme formuumlluuml

axx

b

ba

log

loglog

x = b ne 1 ise a

bb

alog

1log

0 1 s 0 0a a b ise bs

b aas log1

log

0 1 s 0 0a a b ise bb as

a s loglog

İccedilinde bilinmeyenin ya da fonksiyonun logaritması bulunan denklemlere logaritmalı denklem denir

a gt 0 ve a ne 1 olsun Şu cins logaritmalı denklemler incelenmiştir

I log a f(x) = b cinsinden logaritmalı denklemlerII log a f(x) = log a g(x) cinsinden logaritmalı denklemlerIII log a f(x) = b ve log a f(x) = log a g(x) biccediliminde denklemler

92

93

DAR ACcedilININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

41 Dar Accedilının Trigonometrik Oranları

Accedilıların Oumllccediluumllmesi

Ansıyalım ortak başlangıccedilları olan iki ışının (yarı doğrunun) birleşimi ve bu ışınların ait oldukları duumlzlemden ayırdıkları kısımlardan biri ile birleşimine accedilı denir Bu anlamda ortak başlangıccedilları olan iki ışın OA ve OB iki accedilı oluşturuyorlar ve bunları AOB (ya da BOA) ile işaret edeceğiz Accedilılar kuumlccediluumlk Yunan harfl eriyle de işaret ediliyorlar $$amp hellip gibi OA ve OB ışınlarına AOB accedilısının kenarları O noktasına ise accedilının koumlşesi denilir

Bir derece (10) accedilıların oumllccediluuml birimidir ve tam accedilının 1

360 kısmından biridir Dereceden

kuumlccediluumlk birimler derecenin 1

60 olan bir dakika (1rsquo) ve dakikanın 1

60 olan ya da tam accedilının

1

3600 kısmına eşit olan bir saniye (1rdquo)lsquodir Bu bağıntılardan yararlanarak dereceleri dakikaları

ve saniyeleri derece cinsinden ondalık sayı biccediliminde yazabiliriz

1 140 36rsquo 54rdquo accedilısını ondalık sayı biccediliminde yazalım

6151401506014

3600

54

60

3614543614 0000

00

00 13

13

2 725680 accedilısını derece dakika ve saniye cinsinden yazalım 543372543372)6090(337293372)60560(7256872 000000

Burada accedilıların oumllccediluumllmesi iccedilin yeni bir oumllccediluuml birimini kabul edece-ğiz Yayının uzunluğu yarıccedilapına eşit olan merkez accedilının oumllccediluumlsuumlne bir radyandır denir ve 1 rad ile işaret edilir (şek1)

Şimdi accedilıların her iki oumllccediluumlsuuml derece ve radyan arasındaki bağıntıyı belirtelim

R yarıccedilaplı ccedilemberin uzunluğu 2R olduğuna goumlre tam accedilı buumltuumln bir ccedilemberin merkez accedilısı olduğunu varsayarak bir tam accedilı 2radlsquodır Diğer taraft an tam accedilı 3600lsquodir O halde 3600 = 2rad olur Buradan da şunları yazabiliriz 00 4517572957857

1801

rad i 017450180

10 radrad

4

Şek 1

ve

94

3 a) 1100 11rsquo 15rdquo accedilısını radyanlarla ifade ediniz

rad71

1803600

115

18060

111

1801001511100 0

b) 5

12

accedilısını derecelere doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

0

0

75180

12

5

12

5

Dar Accedilının Sinuumlsuuml Kosinuumlsuuml Tanjantı ve Kotanjantı

Dik uumlccedilgendeki dar accedilıdan yararlanarak doumlrt temel trigono-metrik fonksiyonun tanımına geccedileceğiz

ABC uumlccedilgeninde C koumlşesindeki accedilı diktir A ve B koumlşele-rindeki accedilışlar ise dar accedilılardır (şek2)

A koumlşesindeki accedilıyı ( ile işaret edersek BC kenarına ( accedilısı iccedilin karşı katet AC kenarına ise komşu (yatay) katettir

ABC dik uumlccedilgenini ve AC kenarına dik olan B1C1 B2C2 ve B3C3 doğru parccedilalarını inceleyelim (şek3) Bu doğru parccedila-

ları ABC uumlccedilgeniyle ortak accedilısı olan A B1C1 A B2C2 ve A B3C3 uumlccedilgenlerinin birer karşı katetidir Bu dik uumlccedilgenler birbiriyle dik olduklarına goumlre karşılıklı kenarları da birbiriyle orantılıdır yani

ABBC

ABCB

ABCB

ABCB

3

33

2

22

1

11 ABAC

ABAC

ABAC

ABCA

3

3

2

2

1

11

ACBC

ACCB

ACCB

ACCB

3

33

2

22

1

11 i 33

3

22

2

11

1

BCAC

CBAC

CBAC

CBAC

ve

Demek ki verilen accedilısı iccedilin şek 3rsquoteki dik uumlccedilgenlerin karşılıklı kenarların oranları sa-bittir

Halbuki accedilısının buumlyuumlkluumlğuuml değişirse bu oranların değerleri de değişecektir Bu sonu-cu doğrulamak iccedilin şek 4rsquote verilmiş olan A B1C1 A D1C1 ve A E1C1 uumlccedilgenlerini inceleyeceğiz Bu uumlccedilgenler birbiriyle benzer değildirler bu nedenle de onların karşılıklı kenarlarının oranları

da birbirine eşit değildir yani 11

11

1

11

CACD

ACCB

Aynısı diğer kenarlar iccedilin de geccedilerlidir Demek ki

Mno`i gi stepenite so

180

za da pretvori vo

radijani Mno`i gi radijanite

so

180 za da pretvori

vo stepeni

bull Dereceleri radyanlara

doumlnuumlştuumlrmek iccedilin 180

ile

ccedilarpınız

bull Radyanları derecelere

ccedilevirmek iccedilin

180 ile

ccedilarpınız

hipotenuumls

daraccedilı

Şek 2

Şek 3

95

accedilısının değişimi bu oranların değişmesini etkilemektedir Buna goumlre bir dik uumlccedilgende iki kenarının oranı bu uumlccedilgenin dar accedilısının buumlyuumlkluumlğuumlne bağlı olduğunu goumlruumlyoruz Dar accedilısı verilmiş olan bir dik uumlccedilgenin kenarlarının oranı belirtilebilir ve tersine yuka-rıdaki oranlardan herhangi birinin oranı verildiğinde uumlccedilgenin dar accedilısının buumlyuumlkluumlğuumlnuuml belirtebiliriz Demek ki dik uumlccedilgende dar accedilılar ve kenarlar arasındaki oranlar arasında belli bağıntılar vardır yani fonksiyonlar vardır Bu nedenle boumlyle oranlara oumlzel adlar verilmiştir

BCAB

oranına dar accedilının sinuumlsuuml denir ve sin ile işaret edilir yani sin = BCAB

dir

ACAB

oranına dar accedilının kosinuumlsuuml denir ve cos ile işaret edilir yani cos = ACAB

dir

BCAC

oranına dar accedilının tanjantı denir ve sin ile işaret edilir yani tg = BCAC

dir

ACBC

oranına dar accedilının kotanjantı denir ve ctg ile işaret edilir yani ctg = ACBC

dir

Bir dik uumlccedilgenin kenarları ve dar accedilısı arasındaki bağıntıları ifade eden ve bu şekilde ta-nımlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar denir Bu fonksiyonlar şu şekilde de ifade ediliyorlar

Şek 4

Şek5

ca

sinhipotenuza

zakatetasprotivna

cb

coshipotenuza

zakatetaprilegnata

batg

zakatetaprilegnatazakatetasprotivna

abctg

zakatetasprotivnazakatetaprilegnata

ya ait karşı durumlu katethipotenuumls

ya ait karşı durumlu katet ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet ya ait karşı durumlu katet

hipotenuumls

4 Şek 5rsquote verilmiş olan ABCD dikdoumlrtgeninde ) accedilısının trigonometrik oranlarını bulunuz

ABC dik uumlccedilgeninden şunları yazabiliriz

db

)sin da

)cos abtg )

bactg )

5 Katetleri 3 cm ve 4 cm olan bir dik uumlccedilgen veriliyor Bunun dar accedilılarının trigonometrik fonksiyonlarını bulunuz (şek6)

96

Pitagor teoremini uygulayarak hipotenuumlsuuml belirtiyoruzc2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 25 yani c = 5rsquotirO halde

5

3sin

5

4cos

4

3tg

3

4ctg

5

4sin

5

3cos

3

4tg

4

3ctg

Trigonometrik fonksiyonları sinuumls ve kosinuumls sıfır ve dik accedilı iccedilin de şu şekilde tanımlana-bilir

00sin 10cos 1

2sin

0

2cos

Benzer şekilde 00 tg 02

ctg fakat 2

tg ve ctg 0 tanımlı değildir

Alıştırmalar

1 Tabloyu deft erinizde ccediliziniz ve doldurunuzStepeni 00 030 060 0180 0360 Radijani

4

2

2

3

DereceRadyan

Katetleri a ve b verilmiş olan dik uumlccedilgende accedilısının trigonometrik fonksiyonlarını bulu-nuz

2 a = 5 b = 12 3 a = 3 b = 52Kateti a ve hipotenuumlsuuml c verilmiş olan dik uumlccedilgende accedilısının trigonometrik fonksiyonla-

rını bulunuz4 a = 8 c = 10 5 a = 98 c = 126

42 Bazı Accedilıların Trigonometrik Fonksiyonlarının Değerlerinin Hesaplanması

Geometride birccedilok oumldevleri ccediloumlzerken 30deg 45deg ve 60deg accedilılarının trigonometrik fonksiyon-larının değerlerinden yararlanıyoruz Bu gibi fonksiyonların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini hesaplamak iccedilin tuumlmler accedilıların oumlzelliklerinden de yararlanacağız

Şek 6

97

Hatırlayalım Toplamı 900 olan accedilılara tuumlmler accedilılar denir Dik uumlccedilgende iki dar accedilı tuumlmler accedilılardır Niccedilin ABC uumlccedilgenin-de (şek7) accedilısı dar accedilılardan biri ise ++ndash accedilısı onun tuumlmleyenidir accedilısı radyanlarla verildiğinde

2

accedilısı onun tuumlmleyenidir Daha da a kenarı accedilısına karşı katettir ve accedilısı-na yatay katetttir b kenarı ise accedilısına yatay katettir ve accedilısına karşı katetttir Buna goumlre ve accedilılarının trigonometrik fonksi-yonları iccedilin ( ne 00 ve ne 00) aşağıdakiler geccedilerlidir

cossinca

sincoscb

ctgbatg tg

abctg od

)90()90()90sin(cos)90cos(sin 000 tgctgctgtg

1 Oumlrnek 700 = sin(900 - 700) = sin 200 sin 100 = cos(900 -100) = cos800

3626

13

ctgctgtg

3626

13

tgtgctg

Kenar uzunluğu 2 birim olan ABC eşkenar uumlccedilgenini inceleyelim (şek8) A koumlşesinden indirilen AD yuumlksekliği aynı zamanda uumlccedilgenin A koumlşesinden geccedilen accedilı ortayı ve BC karşı kenarın orta dikmesidir Buna goumlre

122

1

2

1 BCBD i 30)60(

2

1)(

2

1 00 CABDABve

dir ABD dik uumlccedilgenine Pitagor teoremini uygulayarak (şek9)

222

ABBDAD ili 21 212

ADveya elde edilirred toa 312 222

AD odno 3ADOna goumlre yani Şimdi ABD dik uumlccedilgeninde trigonometrik fonksiyonların değer-

lerini hesaplayabiliriz

2

130sin

ABDB

2

160cos30sin 00

2

330cos 0

ABAD

2

360sin30cos 00

Şek 7

Şek 8

Şek 9

98

3

3

3

1300

ADDBtg

3

36030 00 ctgtg

31

3300

BDADctg 36030 00 tgctg

450 accedilısının trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesap-lamak iccedilin katetleri 1 birim olan bir ikizkenar dik uumlccedilgen ccedilizeceğiz (şek10) Bu uumlccedilgenin dar accedilıları 450rsquodir

Pitagor teoremi gereğince hipotenuumlsuuml 2AB dir Trigo-nometrik fonksiyonların tanımından

00 45cos

2

2

2

145sin i 00 451

1

145 ctgtg ve

Trigonometrik fonksiyonların elde edilen değerlerini bir tabloda goumlstrelim

Stepeni Radijani sin cos tg ctg 00 0 0 1 0

030 6

2

1

2

3

3

3 3

045 4

2

2

2

2 1 1

060 3

2

3

2

1 3

3

3

090

2

1 0 0

2 cos450 bull cos300 ndashsin450 bull sin300 ifadesinin değerini hesaplayınız

4

26

4

2

4

6

2

1

2

2

2

3

2

230sin45sin30cos45cos 0000

3 0 cos 230 iccedilin

1 sin

ifadesinin değerini hesaplayınız

3

1

2

32

1

2

11

2

1

60cos1

60cos

30sin1

60cos

30sin1

302cos

sin1

2cos0

0

0

0

0

0

Derece

Şek 10

Radyan

99

Alıştırmalar

1 Hesaplayınıza) 0 0cos57 yi sin 33 ile b) 0 0sin 7777 yi cos 1223 ile

c) 5 2

c yi tg ile18 9

tg d) 1087 yi ctg 10785

2tg 13

2 Verilenlerden accedilısını hesaplayınız а) cos( +100) = sin200 b) tg350 = ctg ( -150)

3 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a) 0202 30cos30sin b)

0

0

60cos1

130sin

v) 00

00

4560

4530

tgctgctgtg

b) c)

4 Hesaplayınız a) 0000 60cos30sin45cos30cos2 b) 000202 60cos30sin6030sin tg b)

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

0

0

30sin1

30sin1

b) 00

00

45601

4560

tgtgtgctg

v)

02

02

30

145sin4

ctg

b) c)

6 Verilenlerden accedilısının değerini hesaplayınız

a) 1tg b) 3ctg

v) 2

2sin g)

2

1cos d)

2

3cos

b)

c) d) e)

43 Hesap Makinesini Kullanarak Trigonometrik FonksiyonlarınDeğerlerinin Hesaplanması

6

4

3

ve 2

accedilıları iccedilin trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bulunması kolay

olduğunu goumlrduumlk Fakat herhangi accedilı iccedilin trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bu şekilde bulunması muumlmkuumln değildir Boumlyle durumlarda değerleri tablolar yardımıyla ya da hesap ma-kinesi kullanarak belirtiyoruz

Hesap makinelerinin ccediloğunda dakikaları ve saniyeleri derecelere doumlnuumlştuumlren (deg ) ya da (DMS) ile işaretlenmiş tuşlar vardır (degrees ndash minutes- seconds)

100

Oumlrneğin 320 45rsquo 10rdquo accedilısını derecelerle ifade etmek istersek şu şekilde hareket edeceğiz Hesap makinesinde 32 yazdıktan sonra tuşa basarızondan sonra 45 yazarak yine tuşa basıyoruz ve sonunda 10 yazıp tuşa bastıktan sonra 3275277780 elde edilir

Ondalık sayı biccediliminde dereceli bir accedilı verildiğinde onu derece dakika ve saniye biccedilimin-de ifade etmek istiyorsak herhangi bir işlemin tersini yapan ve genellikle sarı renkte olan ndf2 ya da inv işaretli tuşlardan yararlanıyoruz Ondalık sayıyı yazdıktan sonra oumlnce sarı renkte olan adı geccedilen tuşa basılır ve ondan sonra ordm tuşuna basılır

Hesap makinelerinin ccediloğu iki durumda ccedilalışır Biri deg durumu accedilılar ondalık sayılı de-recelerle verildiğinde ve rad durumu accedilılar radyanlarla verilmiş olduğu durumlar iccedilin

Hesap makinesi yardımıyla verilen accedilıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri bu-lunur ve tersine verilen trigonometrik fonksiyonun değerine karşılık gelen accedilı bulunur Bu iş-lemleri şu iki oumlrnekte inceleyeceğiz

1 Hesap makinesi kullanarak hesaplayınız

a) sin 4130 b) cos 19021rsquo17rsquorsquo c) tg 36

5

a) Oumlnce hesap makinesini deg durumuna yani deg tuşuna basarak derecelerle işlemler yapacak durumuna getiriyoruz Ondan sonra 4130 yazılır Ondan sonra sin tuşuna basmakla sin4130 değeri elde edilir

0341 - sin = 0660017

b) Oumlnce 190 21rsquo 17rdquo accedilısını ondalık sayı şeklinde derecelerle ifade etmeliyiz Ondan sonra a) şıkkında hareket edildiği gibi işlemler yapılır

0

00

00 354722193600

17

60

2119172119

13

13

035472219 - cos = 0943484853

c) Genel olarak hesap makinesini radyan durumunda koyarız Ondan sonra tuşuna basarak (boumlylece 3141592654 değerini yazmış oluyoruz) Bunu 5 ile ccedilarpar 36 ile boumlleriz ve so-nunda (tan) tuşuna basarız Bununla istenilen sonucu elde etmiş oluyoruz

4663076580

36

5

tg

2 Hesap makinesi yardımıyla verilenlerden accedilısını belirtinizа) sin = 074281 b) cos = 023849 c) tg = 38611a) Hesap makinesi deg durumunda getirilir sin = 074281 değeri yazılır ve inv (ya da

ndf2 tuşuna basılır ve ondan sonra sin tuşuna basılır Elde edilen sonuccedil = 479713rsquodir

101

742810 - inv - ins = 971347 0

Bunu derece ile ifade edersek a = 570 58rsquo 17rdquo elde edilirHesap makinesinde 1sin tuşu varsa şu şekilde hareket edilir

a) 742810 - 1sin = 971347 0

b) 238490 - inv - cos = 0202676 91276 0

c) 826113 - inv - tg = 352775 0 102175 0

Alıştırmalar

Hesap makinesi kullanarak verilen her accedilının trigonometrik fonksiyonlarının değerini hesaplayınız

1 a) 048 b) 0 231223 v) 01916

2 a) 7

2 b)

21

5

a) b) c)

a) b)

3 Hesap makinesi kullanarak verilenlerden accedilısını belirtiniz

a) 583620sin b) 714190cos v) 41832tg

g) 9

4sin d)

7

5cos |)

13

4ctg

a) b) c)

ccedil) d) e)

4 = 340 28rsquo iccedilin verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

2

sin

2sin

b) sin22sin b)

5 Verilenlerden accedilısını belirtiniz а) sin = tg23037rsquo b) cos = 5 bull sin 110 c) tg = sin32019rsquo+ cos59025rsquo

44 Aynı Accedilının Trigonometrik FonksiyonlarıArasındaki Temel Bağıntılar

ABC dik uumlccedilgeninde (şek11) a2 + b2 = c2 bağıntısının geccedilerli olduğunu artık biliyorsu-

nuz Bu eşitlik c2 ile boumlluumlnduumlğuumlnde 2

2

2

2

2

2

cc

cb

ca

ve 12

2

2

2

cb

ca ya da

102

1

22

13

13

cb

ca

elde edilir

sinac

ve cosbc

olduğuna goumlre bunları son eşitlik-

te değiştirmekle

1cossin 22 (1) elde edilir

1 Oumlrnek a = 300 iccedilin eşitliği yoklayalım

sin2 30 + cos2 30 14

4

4

3

4

1

3

3

2

130cos30sin

22

22

13

13

(1) eşitliğinden yararlanarak herhangi bir dar accedilının sinuumlsuumlnuuml aynı accedilının kosinuumlsuumlyle ifade edebiliriz ve tersine

2cos1sin ve 2sin1cos

2 4sin

5 olduğuna goumlre cos rsquoyı hesaplayınız

5

3

25

9

25

161

5

41sin1cos

2

2 13

3 1 cos 1 sin ifadesini sadeleştirinizBu oumlrnekle (1) eşitliğinden yararlanarak bazı ifadelerin nasıl sadeleştirildiğini goumlsterece-

ğiz (1 + cos) bull (1 - sin) = 1 - cos2 = sin2

ABC dik uumlccedilgeninden (şek11) atgb

ve bctga

olduğunu yazabiliriz

Bu eşitliklerin pay ve paydalarını c ile boumllersek (c ne 0 c ne 0)

cbca

tg ve

cacb

ctg (2)

elde edilir

tg ve ctg birbiriyle ccedilarpıldığında bir eşitlik daha elde edilir

1 ctgtg (3)

4 Doğrudan doğruya hesaplayarak eşitliği bir oumlrnekle doğrulayalım

Şek 11

103

13

3

3

3

3

336060

2

00 ctgtg

5 ctg = 2 olduğuna goumlre tg rsquoyı hesaplayınız

2

11

ctgtg olduğuna goumlre

1

2tg elde edilir

Trigonometrik fonksiyonların dar accedilılar iccedilin (1) (2) ve (3) temel bağıntılarından yararla-narak bunlardan sadece biri bilindiği takdirde diğer fonksiyonların da değerlerini belirtebiliriz

6 4

sin5

olduğuna goumlre cos rsquoyı hesaplayınız

5

3

25

9

25

161

5

41sin1cos

2

2 13

7 tg = 2 olduğuna goumlre accedilısı iccedilin diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplayınız

sin

costg

eşitliğinden

sin2

cos

gerekir oradan da sin = 2 cos elde edilir Diğer

taraft an sin2 + cos2 = 1 ve (2cos)2 + cos2 = 4cos2 + cos2 = 5cos2 = 1 yazabiliriz Ora-

dan 2 1cos

5 ve sonunda 5

cos5

elde edilir Ondan sonra

5

52

5

2

5

4

5

11cos1sin 2 ve

2

11

tgctg

Alıştırmalar

1 Verilene goumlre diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplayınız

a)

13

5sin b) 250cos v)

5

4tg g) 410ctg b) c) ccedil)

2 Verilen ifadeleri sadeleştiriniz

a) 2cos1 b) 1sin2 v)

2

2

sin1

cos b)a) c)

3 İspatlayınız

D

a) 1cossin 2222 tgctg b) 21cos1sin 2222 tgctgb)a)

4 Her dar accedilı iccedilin aşağıdakiler geccedilerlidir

104

a) sinsin 2222 tgtg b) 1sin2cossin 244

v) cossin

cos21 2

ctgtg

a) b)

c)

5 Her dar accedilı iccedilin aşağıdakiler geccedilerli olduğunu ispatlayınız

a)

sin

2

cos1

1

cos1

12

b) 2cossin

cossin

cossin

cossin 2222

a) b)

6 15cos

17 olduğuna goumlre

5sin cos

3sin 2cos

hesaplansın

7 1

cos3

olduğuna goumlre 4tg - 3sin hesaplansın

45 Dik Uumlccedilgenin Ccediloumlzuumlmuuml

a b ve c bir ABC dik uumlccedilgenin kenarları ve onun dar accedilıları olsun (şek 12) O halde

= 900 dhe a2 + b2 = c2 geccedilerlidirTrigonometrik fonksiyonların tanımından da

sinca

coscb

tgba

cosca

sincb

ctgba

geccedilerli olduğunu biliyoruz Bu bağıntılardan yararlanarak bir kenar ve bir dar accedilı

iki kenarverildiğinde uumlccedilgenin temel elemanlarını (kenarlarını ve accedilılarını) hesaplayacağız

Bir dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln denilince elemanlardan en az biri kenar olmak uumlzere verilenlere goumlre tuumlm temel elemanların belirtilmesini anlayacağız

1 Hipotenuumlsuuml c = 93 cm ve accedilısı = 420 23rsquo verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumlnHer iki kateti a ve b ile dar accedilısını hesaplamamız gerekir Accedilıyı hemen = 900 - = 900 - 420 23rsquo = 470 37rsquo olduğunu buluyoruza katetini hesaplamak iccedilin oumlnce sin4238330 = 067409 olduğunu buluyoruz ondan sonra

a = c bull sin = 93 bull 067409 63 yani a 63 cm elde edilir b katetini hipotenuumls

Şek 12

105

ve accedilısının kosinuumlsuumlyle yardımıyla belirteceğiz ya da Pitagor teoreminden yararlanarak he-saplayacağız

I youmlntemb = c bull cos = 93 bull cos4238330 = 93 bull 07386 yani b 69 cm dir

II youmlntem 696393 22 cmb

2 Katetleri a = 21 cm ve b = 15 cm olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumlnUumlccedilgenin hipotenuumlsuumlnuuml ve iki dar accedilısını hesaplamamız gerekir Hipotenuumlsuuml Pitagor teore-

minden yararlanarak hesaplayacağız

256101521 2222 cmbac

accedilısını tanjant fonksiyonu yardımıyla belirteceğiz yani 4115

21

batg olduğuna

goumlre +01rsquo bulunur accedilısı iccedilin = 900 - 900 - 54028rsquo yani 35032rsquo

3 Kateti b = 53 cm ve accedilısı = 640 verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln Oumldevin koşulları gereğince uumlccedilgenin diğer dar accedilısını katetini ve hipotenuumlsuumlnuuml belirtme-

miz gerekir Hesaplıyoruz = 900 - = 900 - 640 = 260 a = b bull tg = 53 bull tg260 = 53 bull 048773 26 yani a 26 cmrsquodir b = c sin eşitliğinden

898790

53

64sin

53

sin

bc ya da c 59 cm olduğunu buluyoruz

4 Kateti a = 37 cm ve hipotenuumlsuuml c = 48 cm verilmiş olan dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln α ile β dar accedilıları ve b kateti hesaplansın

77083048

37sin

ca olduğundan 50428780 elde edilir oradan da 50025rsquo44rsquo

bulunur = 900 - 390 34rsquo 16rdquo dir b = c bull sin = 48 bull sin390 34 16rdquo 48 bull 063704 31 yani b 31 cm olduğunu buluyoruz

Dik uumlccedilgenin ccediloumlzuumlmuuml geometride ve guumlnluumlk hayattan ccedileşitli problemlerin ccediloumlzuumlmuumlnde buuml-yuumlk uygulamaları vardır Bu uygulamaları birkaccedil oumlrnekle goumlstereceğiz

5 Bir dar accedilısı = 660 ve bir koumlşegeni d1 = 34 cm olan eşkenar doumlrtgenin kenarını hesap-layınız

A koumlşesindeki accedilı ve aynı koumlşeden ccedilizilen koumlşegen d1 verilmiş olsun (şek13) ABS dik uumlccedilgeninden

106

2cos

2

1 ad

033cos17 a 203838630

17

33cos

17 cma

Şek13 Şek14

6 İccedilten teğet ccedilemberinin yarıccedilapı r = 12 cm verilmiş olan duumlzguumln altıgenin kenarını he-saplayınız

Şek 14rsquote ABCDEF duumlzguumln altıgeni ccedilizilmiştir ABO uumlccedilgeni eşkenardır BON accedilısı 300rsquodir NBO dik uumlccedilgeninden

928265773501230

2 tgra

8513 cma

elde edilir

7 Bir ırmağın iki farklı tarafında bulunan A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesapla-yınız (şek15)

A noktasında BAM dik accedilısını ccediliziyoruz Bu accedilının kouml-şesini C ile işaret ettikten sonra ACB accedilısını oumllccediluumlyoruz Elde edi-len accedilının buumlyuumlkluumlğuuml = 490 olsun A ve C noktaları arasındaki uzaklığı oumllccediluumlyoruz bu uzaklık d = 28 m olsun O halde

32150371284928 0 tgtgdAB32mAB

Alıştırmalar

Verilenlere goumlre ABC uumlccedilgenini ccediloumlzuumlnuumlz

1 a) 236 0 68cmc b) 815 0 212 cmc v) 465 0 252 cma

2 a) 820 246cmb b) 3048 0 774 cmb v) 240 255 cma

3 a) 230cma 320cmc b) 552 cma 28cmb v) 93 cmb 54 cmc

a) b) c)a) b) c)a) b) c)

Şek 15

107

4 Bir ccedilemberin yarıccedilapı 13cm ve bir AB kirişi 10 cmrsquodir AOB accedilısının oumllccediluumlsuumlnuuml (buumlyuumlk-luumlğuumlnuuml) hesaplayınız

5 Bir ikizkenar yamuğun yuumlksekliği 6cm tabanların uzunlukları ise 4cm ve 20cmrsquodir Yamuğun accedilılarını hesaplayınız

6 A noktasından 4000m dikey yuumlkseklikte bir uccedilak bulunuyor O anda uccedilaktan 170 dep-resyon accedilısıyla alanda B noktası goumlruumlluumlyor Uccedilak B yerinden ne kadar uzaklıktadır ve A ve B noktaları arasındaki uzaklık ne kadardır

46 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Verilen accedilıları derece dakika ve saniye cinsinden ifade ediniz а) 34410 b) 18270 c) 23670

2 Verilen accedilıları derece olarak ifade ediniz а) 36025rsquo36rsquorsquo b) 45011rsquo19rsquorsquo c) 73052rsquo25rsquorsquo

3 Verilen accedilıları radyanlarla ifade ediniz а) 250 b) 62015rsquo c) 350 5rsquo38rsquorsquo

4 Radyanlarla verilmiş olan accedilıları derecelere doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а)

12

7 b) 127 c) 045

5 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a)

00

00

30605

30cos30sin

tgctg

b) 130cos2

4502

0

tg

v)

cos1

ctgtg za 0 a) b) c)

6 Verilenlerden α accedilısını belirtiniz a) sin = cos650 b) cos = sin42050rsquo c) sin( + 200) = sin500 d) tg(-150) = ctg(+ 250)

7 Trigonometrik fonksiyonlarından biri verildiğine goumlre diğer trigonometrik fonksiyon-ların değerlerini belirtiniz

a)

5

4sin b)

5

3cos v)

5

3tg g)

25

7ctg a) b) c) d)

108

8 Verilen ifadenin değerini hesaplayınız

a) cos54tg ako

5

3sin b)

sin3cos

cossin2 ako 2tga) b)

9 Verilenlere goumlre ABC uumlccedilgenini ccediloumlzuumlnuumlz а) = 3602rsquo c = 68 b) = 64020rsquo a = 450 c) = 85010rsquo b = 062 d) a = 230 c = 320 e) b = 39 c = 425

10 Bir ikizkenar yamuğun tabanı a yan kenarı c ve tabanına ait accedilısı accedilısı verilmiştir Yamuğun diğer tabanını ve yuumlksekliğini hesaplayınız

11 Hareket eden bir vapurdan deniz feneri 2560 accedilıyla goumlzuumlkuumlr Vapur karaya 1050 m yaklaşınca bu accedilı 3120 olur Deniz feneri suyun yuumlzeyinden hangi yuumlksekliktedir

109

Konu Oumlzetleri

Bir derece (10) accedilıların oumllccediluumllmesi iccedilin buumlyuumlkluumlğuuml tam accedilının 1

360 kısmı olarak tanımlan-

mış oumllccediluuml birimidir Dereceden kuumlccediluumlk birimler derecenin 1

60 olan bir dakika (1rsquo) ve dakikanın

1

60 olan ya da tam accedilının 1

3600 kısmına eşit olan bir saniye (1rdquo)rsquodir

Yayının uzunluğu yarıccedilapına eşit olan merkez accedilının oumllccediluumlsuumlne bir radyandır denir ve 1 rad ile işaret edilir

İki birim derece ve radyan arasındaki bağıntı rad 23600 formuumlluumlyle verilir

Dik uumlccedilgendeki dar accedilıdan yararlanarak doumlrt temel trigonometrik fonksiyonun tanımına geccedileceğiz

ABC uumlccedilgeninde C koumlşesindeki accedilı diktir A ve B koumlşelerin-deki accedilışlar ise dar accedilılardır (şek2)

A koumlşesindeki accedilıyı ( ile işaret edersek BC kenarına ( accedilısı iccedilin karşı katet AC kenarına ise komşu (yatay) katettir

Bir dik uumlccedilgenin kenarları ve dar accedilısı arasındaki bağıntıları ifade eden ve bu şekilde ta-nımlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar denir Bu fonksiyonlar şu şekilde de ifade ediliyorlar

ca

sinhipotenuza

zakatetasprotivna

cb

coshipotenuza

zakatetaprilegnata

batg

zakatetaprilegnatazakatetasprotivna

abctg

zakatetasprotivnazakatetaprilegnata

ya ait karşı durumlu katethipotenuumls

ya ait karşı durumlu katet ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet

ya ait yatay durumlu katet ya ait karşı durumlu katet

hipotenuumls

Aşağıdaki tabloda bazı accedilıların trigonometrik fonksiyonlarının değerlerini goumlsterilmiştir

hipotenuumls

daraccedilı

110

Stepeni Radijani sin cos tg ctg 00 0 0 1 0

030 6

2

1

2

3

3

3 3

045 4

2

2

2

2 1 1

060 3

2

3

2

1 3

3

3

090

2

1 0 0

Dereceler Radyanlar

accedilısı bir dik uumlccedilgenin dar accedilısı olduğu durumda aşağıdaki formuumlller geccedilerlidir

1cossin 22

1 ctgtg

a b ve c bir ABC dik uumlccedilgenin kenarları ve onun dar accedilıları ise trigonometrik fonksi-yonların tanımından şu bağıntılar geccedilerlidir

sinca

coscb

tgba

cosca

sincb

ctgba

Bu bağıntılardan yararlanarak bir kenar ve bir dar accedilı iki kenar

verildiğinde uumlccedilgenin temel elemanlarını (kenarlarını ve accedilılarını) hesaplayacağızBir dik uumlccedilgen ccediloumlzuumllsuumln denilince elemanlardan en az biri kenar olmak uumlzere verilenlere

goumlre tuumlm temel elemanların belirtilmesini anlayacağız

111

5 DUumlZLEMDE DOĞRU

51 Duumlzlemde Dik Accedilılı Koordinat Sistemi

Sayı doğrusu uumlzerinde her noktanın durumu sadece bir x reel sayısı ile tamamen bellidir ve bu sayıya noktanın koordinatı denir Benzer şekilde koordinat sisteminden yararlanarak duumlzlem uumlzerinde her noktanın durumu reel sayılardan oluşan ve noktanın koordinatları diye adlandırılan bir (x y) sıralı ccedilift iyle tamamen belli olduğunu goumlstereceğiz

Dik accedilılı koordinat sistemi birbirine goumlre dik olan ve koordinat eksenleri diye adlandırılan iki eksenden olu-şur İki eksenin kesiştiği noktaya koordinat başlangıcı ya da orijin denir ve O ile işaret edilir Yatay eksene x- ekseni ya da apsis ekseni dikey eksene ise y- ekseni ya da ordinat ekseni denir Koordinat sisteminin ait olduğu duumlzleme ko-ordinat duumlzlemi denir

Genel olarak her iki koordinat ekseninde aynı birim uzunluk kullanılır Koordinat başlangıcının sağ taraft aki youmlnuuml x- ekseninin pozitif youmlnuuml koordinat başlangıcından yukarıya doğruya olan youmln ise y- ekseninin pozitif youmlnuuml sa-yılır

P koordinat duumlzleminde herhangi bir nokta M ve N noktaları ise sırasıyla x= ve y= eksenlerine P noktasının izduumlşuumlmleri olsun M noktasına x- ekseni uumlzerinde sadece bir tek x reel sayısı karşılık gelir Ben-zer şekilde M noktasına y- ekseni uumlzerinde sadece bir tek y reel sayısı karşılık gelir Buna goumlre P noktasının durumu reel sayılardan oluşan bir (x y) sıralı ccedilift iyle tamamen bellidir Bu sıralı ccedilift e P noktasının koor-dinatları denir Bu durumda x sayısına birinci koordinat ya da apsis y sayısına ise ikinci koordinat ya da ordinat denir ve P(x y) biccediliminde işaret edilir

1 P(-3 6) noktasının birinci koordinatı x = -3 ve ikinci koordinatı ise y = 6rsquodıruml

P (x y) noktasını ccedilizmek ya da koordinat sisteminde goumlstermek P noktasından geccedilen ve koordinat eksenlerine paralel olan doğruların kesişim noktasını belirtmek de-mektir

2 P(23) noktasını ccedilizinizKoordinatı 2 olan noktadan x ndash eksenine dikme ccedilizi-

lir Benzer şekilde y- ekseninde koordinatı 3 olan noktadan y- eksenine dikme ccedilizilir Dikmelerin kesişim noktası aranılan noktadır (şek2)

Şek 1

Şek 2

112

Koordinat eksenleri duumlzlemi doumlrduumlller denilen doumlrt kısma ayırıyorlar I doumlrduumll olarak uumlst sağ kısım II doumlrduumll uumlst sol kısım III doumlrduumll alt sol kısım ve IV doumlr-duumll alt sağ kısım olarak alınır O halde herhangi bir P(x y) noktası I- doumlrduumllde ise x gt 0 ve y gt 0 olur II- doumlr-duumllde ise x lt 0 ve y gt 0 olur III- doumlrduumllde ise x lt 0 ve y lt 0 olur IV- doumlrduumllde ise x gt 0 ve y lt 0 olur y = 0 eğer nokta x ekseni uumlzerinde ise x = 0 eğer nokta y ek-seni uumlzerinde ise Koordinat başlangıcı hem x hem de y uumlzerinde olduğuna goumlre onun koordinatları O (00) olur (şek3)

3 Verilen noktaları koordinat duumlzleminde belirtiniz а) A(52) b) B(40) c) C(-35) d) D(03)

e) E(-6-1) f) F(-20) g) 13

2

12G h) H(0-2)

ondan sonra biri hangi doumlrduumlle ya da eksene ait olduğunu belirtiniz

a) A(5 2) noktası I ndash doumlrduumlle aittirb) B(4 0) noktası x- ekseni uumlzerindedirc) C(-3 5) noktası II ndash doumlrduumlle aittird) D(0 3) noktası y- ekseni uumlzerindedire) E(-6 -1) noktası III ndash doumlrduumlle aittirf) F(2 0) noktası x- ekseni uumlzerindedir

g) G(2 1

2 ) noktası IV ndash doumlrduumlle aittir

h) H(0 -2) noktası y- ekseni uumlzerindedir

Alıştırmalar

1 Verilen noktalardan her biri hangi doumlrduumlle ya da eksene ait olduğunu belirtiniz а) A(3-4) b) B(-11) c) C(-3-5) d) D(23)

e) E(-60) f) 13

2

30B g)

13

02

1G h) H(0-1)

II doumlrduumll

III doumlrduumll IV doumlrduumll

I doumlrduumll

Şek 3

Şek 4

113

A(13) B(-24) C(5-2) ve D(-3-1) noktalarının

2 x- ekseni uumlzerinde 3 y- ekseni uumlzerinde M N P ve Q izduumlşuumlmlerinin koordinatlarını belirtiniz

4 Uccedil noktalarının koordinatları A(14) ve B(52) olan AB doğru parccedilasını ccediliziniz On-dan sonra doğru parccedilasının x- ekseni ve y- ekseni uumlzerinde sırasıyla mx ve my dik izduumlşuumlmleri-nin uzunluklarını belirtiniz

5 Koumlşelerinin koordinatları verilmiş olan ABC uumlccedilgenini ccediliziniz A(1 -3) B(5 2) ve C

(0 -1

2)

52 İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Bu derste koordinat duumlzleminde bulunan iki nokta arasındaki uzaklık problemini analitik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Verilen iki nokta M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık aslında M1M2 doğru parccedilasının uzunluğudur yani 1 2d M M rsquodir

Oumlnce daha basit bir durumu ccediloumlzeceğiz Uccedil noktalardan biri koordinat başlangıcında olsun (şek5) M(xy) noktasından x- eksenine ccedilizilen dikmenin dikme ayağı N olsun ONM dik uumlccedilge-ninden Pitagor teoremi gereğince

22 yxd dir

1 M(34) noktasından koordinat başlangıcına olan uzaklığı ne kadardır2 23 4 5d elde ediliruml

Şek 5 Şek 6

114

Şimdi genel durumu inceleyelim Aralarındaki uzaklığı hesaplanması gereken M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) noktaları x ndash eksenine ve y ndash eksenine paralel olmayan bir doğruya ait olsun (şek6) M1M2M3 dik uumlccedilgenini inceleyelim Onun katetlerinin uzunlukları sırasıyla || 1221 xxMM ve

|| 1232 yyMM olduğunu yazabiliriz O halde M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık d aslında dik uumlccedilgenin M1M2 hipotenuumlsuumlduumlr Buna goumlre

212

2

12 yyxxd

2 M1 (-2 3) ve M2 (0 -2) noktaları arasıdaki uzaklığı belirtiniz

29)3)2(())2(0( 22 d

3 A(3-6) B(-2 4) ve C (1 -2) noktaları bir doğru uumlzerinde olup olmadığını yoklayınızAB AC ve BC doğru parccedilalarının uzunluklarını hesaplayacağız Bunlardan biri diğer

ikisinin toplamına eşit olup olmadığını yoklayacağız5510)5( 22 AB 524)2( 22 AC 53)6(3 22 BC

BCACAB olduğuna goumlre bu uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde olduğunu buluyoruzuml4 Koumlşelerinin koordinatları A(1 1) B(23) ve

4

91

13

C olan uumlccedilgen hangi tuumlrden olduğu-

nu belirtiniz Uumlccedilgenin ve AB AC BC kenar uzunluklarını hesaplayalım

521 22 AB

4

5

4

50

2

2 13

AC

4

5

4

33

2

2 13

BC

AC BC AB olduğuna goumlre verilen uumlccedilgen ikizkenar olduğunu buluyoruzuml

Alıştırmalar

1 Verilen noktalar arasındaki uzaklığı hesaplayınız а) М1(1-3) ve М2(26) b) M1(02) ve М2(0-2) c) М1(-1-2) ve М2(24) d) M1(13) ve M2(70)

2 A(1 -3) B(3 -5) ve C (-5 7) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleri olup olmadığını yoklayınız

3 Apsisi 7 olan B noktası A(-1 5) noktasından 10 birim uzaklığındadır B noktasının koordinatlarını belirtiniz

115

4 A(5 8) ve B(-11 -2) noktaları veriliyor A noktasına goumlre B noktasının simetriği olan C noktasının koordinatlarını belirtiniz

5 A(1 4) B(3 -9) ve C (-5 2) noktaları veriliyor Bu noktalar bir uumlccedilgenin koumlşeleri oldu-ğunu goumlsteriniz ve B koumlşesinden ccedilizilen kenarortayının uzunluğunu belirtiniz

53 Doğru Parccedilasının Verilen Oranda Boumlluumlnmesi

Bir doğru uumlzerinde olan A B ve M (AneB) noktaları iccedilin AM MB2 oumlzelliği varsa M noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan başlayarak Brsquoye doğru 2 oranında boumller

1 M notası AB doğru parccedilasının orta noktası ise AM MB olur yani M noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 2 = 1 oranında boumller (şek7)

2 P ve Q noktaları AB doğru parccedilasını AP AQ olmak uumlzere uumlccedil eşit parccedilaya ayırıyorlar Bu

durumda 1

2AP PB ve 2AQ QB dir O halde P

noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 1

2 ora-

nında Q noktası ise 2 oranında boumller (şek 8)

İlerde ldquoM noktası AB doğru parccedilasını Arsquodan Brsquoye doğru 2 oranında boumllerrdquo diyecek yerde sadece ldquoM noktası AB doğru parccedilasını 2 oranında bouml-lerrdquo diyeceğiz Bu durumda AB şeklinde ifade edilen doğru parccedilasında A ilk ve B ikinci nokta olduğunu sayacağız

M noktası ancak ve ancak A ve B arasında ise 2 sayısı sıfırdan buumlyuumlktuumlr Oumlzel durum 2= 1 ise M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise ancak ve ancak M noktası A noktasıyla ccedilakı-şırsa 2 = 0rsquodır 2= -1 ise AM MB gerekir bu ise imkansızdır Demek ki2ne -1 olmalıdır 2 sayısı sıfırdan kuumlccediluumlk ve2ne -1 ise M noktası AB doğru parccedilasının dışında AB doğrusuna aittir

Uccedil noktaları 1 1A x y ve 2 2B x y olan AB doğru parccedilasını l oranında boumllen M (x y) noktasının koordinatlarını belirtelim (şek9)

Crt 7 Şek 7

Şek 8

Şek 9

116

AM MB2 eşitliğinden x ndash x1 = 2 (x2 ndash x ) ve y ndash y1 = 2 (y2 ndash y ) gerekir O halde

22

1

21 xxx 22

1

21 yyy

pq

2 olduğu durumda

qppxqxx

21 qppyqyy

21

elde edilirOumlzel durumda M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise 2 = 1rsquodir ve

221 xxx

2

21 yyy

elde edilir Bu formuumlller orta noktanın koordinatlarıdır

3 Koumlşelerinin koordinatları A(-2 -3) B(6 1) ve C(-4 5) olan uumlccedilgen verilmiş olsun Uumlccedilge-nin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz

Ağırlık merkezi AA1 BB1 ve CC1 kenar ortaylarını l = 2 oranında boumllduumlğuumlnuuml biliyoruz Bu oumlzellikten yararlanarak ağırlık merkezinin koordinatlarını belirteceğiz

22

62

21

CB

Axxx ve 1

2

13

21

CB

Ayyy den A1(2 -1) dir

O halde 03

44

21

21

AAT

xxx ve 1

3

25

21

21

AAT

yyy olduğuna goumlre T(0 1)

olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 A(3-7) B(5 2) ve C(-1 0) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir Kenarlarının orta noktala-rının koordinatlarını bulunuz

2 A(1 1) B(5 11) ve C(3 -1) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir A noktasından ccedilizilen kenar ortayın uzunluğunu belirtiniz

3 A(-3 -2) ve B(7 3) noktaları veriliyor AB doğru parccedilasını beş eşit parccedilaya boumllen nok-taların koordinatlarını belirtiniz

4 A(3 1) ve B(8 3) noktaları veriliyor AB doğru parccedilasınıa) 2 3 b) 3 2 c) -2 3 d) -3 2oranında boumllen M noktasının koordinatlarını belirtiniz

117

5 Kenarlarının orta noktaları P(3-2) Q(1 6) ve R(-4 2) olan bir uumlccedilgenin koumlşelerinin koordinatlarını belirtiniz

6 A(a1 a2) B(b1 b2) ve C(c1 с2) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleridir ABC uumlccedilgeninin ağırlık

merkezi iccedilin 3

3

222111 13

cbacbaT formuumlluuml geccedilerli olduğunu ispatlayınız

54 Uumlccedilgenin Alanı

M1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktaları verilen bir uumlccedilgenin koumlşeleri olsun Problemi iki aşamadan ccediloumlzeceğiz

I aşama Oumlnce bir koumlşesi koordinat başlangıcında diğeri ise x ekseninde olan uumlccedilgenin alanını belirtelim (şek10) Bu durumda uumlccedilgenin uumlccediluumlncuuml koumlşesi ya x ekseni uumlstuumlnde ya da x ek-seni altında olacaktır Uumlccedilgenin alanı tabanı ve yuumlksekliğinin ccedilarpımının yarısına eşit olduğuna goumlre verilen uumlccedilgenin alanı

2

|| 21yxP

olur Uumlccedilgenin alanı pozitif buumlyuumlkluumlk olduğuna goumlrex1 ve y2 ise pozitif ya da negatif sayılar ola-bilir Bu yuumlzden onların ccedilarpımının mutlak değeri alınır

Şek 10 Şek 11

II aşama Genel olarak (şek11) koumlşeleri M1 (x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktalarında olan uumlccedilgenin alanı N1M1M2N2 ve N2M2M3N3 yamukların alanlarının toplamından N1M1M3 N3 yamuğun alanı ccedilıkarılır O halde

118

)]()()([

2

1

)(2

)(2

)(2

213132321

1331

2332

1221

xxyxxyxxy

xxyyxxyyxxyyP

P

elde edilirM2 noktası M1 ve M3 noktalarıyla belirlenen doğrunun altında ise uumlccedilgenin alanı iccedilin negatif değer elde edilecektir Uumlccedilgenin alanı pozitif sayı olduğuna goumlre elde edilen değerin mutlak değeri alınmalıdır

|)()()(|

2

1

|)()()(|2

1

213132321

213132321

yyxyyxyyx

xxyxxyxxyP

P

Uumlccedilgenin alanını hesaplamak iccedilin kullanılan bu formuumllden uumlccedil noktanın bir doğru uumlzerin-de (doğrusal) olması iccedilin şart elde edebiliriz Uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde bulunduğu durumda bu noktalarla elde edilen uumlccedilgenin alanı sıfırdır

1 Koumlşelerinin koordinatları A(1 2) B(-2 3) ve C(0 5) olan uumlccedilgenin alanını hesaplayınızUumlccedilgenin alanı formuumlluumlnden yararlanacağız

4|)32(0)15(2)53(1|

2

1

|)()()(|2

1213132321

yyxyyxyyxPP

Demek ki verilen uumlccedilgenin alanı 4 birim karediruml

Alıştırmalar

1 Koumlşelerinin koordinatları A(-32) B(3 5) ve C(1-3) olan uumlccedilgenin alanını hesaplayınız2 P1( -3-3) P2(35) ve P3(69) noktaları bir uumlccedilgenin koumlşeleri midir3 Koordinatları M(1 -3) B(3 5) ve C(2 1) olan M B ve C noktaları bir doğru uumlzerinde

olup olmadıklarını yoklayınız4 Koumlşeleri A(01) B(37) C(44) ve D(1-2) olan paralelkenarın alanını hesaplayınız5 Koumlşeleri A(14) B(53) C(-3-5) ve D(-21) olan yamuğun alanını hesaplayınız

119

6 Koumlşelerinin koordinatları A(11) B(-1 -2) ve C(-47) olan uumlccedilgende P noktası AC ke-narının orta noktası olduğuna goumlre APB ve BPC uumlccedilgenlerinin alanını hesaplayınız

55 Doğru Denkleminin Accedilık Şekli

Doğrutemel geometrik kavramı olduğuna goumlre tanımı yoktur Bunun denklemini elde etmek iccedilin onun bazı oumlzelliklerinden yararlanaca-ğız Oumlnce koordinat başlangıcından geccedilen ve koor-dinat eksenlerinden farklı olan doğrunun denkle-mini belirtelim (şek12)

M(x y) noktası doğru uumlzerinde koordinat başlangıcından farklı olan herhangi bir nokta ol-sun M noktasının x- eksenine dik izduumlşuumlmuumlnuuml M1 ile doğrunun x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle oluş-turduğu accedilıyı ile işaret edelim Boumlyle durumda

tgxy

OMMM

1

1 oranı M noktasının her-

hangi durumu iccedilin sabittir Bu sabit sayı k ile işaret edilir ve buna accedilı katsayısı ya da doğrunun eğimi denir Buna goumlre bu doğrunun her noktası-nın koordinatları

kxy

denklemini sağlamaktadırO halde y = kx denklemi koordinat başlangıcından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumly-

le a accedilısını oluşturan doğrunun denklemidir Burada k = tg arsquodır

1 Koordinat başlangıcından geccedilen ve ndash ekseninin pozitif youmlnuumlyle 4

accedilısını oluştu-ran doğrunun denklemini yazınız

Doğru koordinat başlangıcından geccediltiğine goumlre denklemi y = kx şeklindedir Oumldevin

koşuluna goumlre 14

k tg tg rsquodir Demek ki doğrunun denklemi y = xrsquotiruml

Koordinat duumlzleminde herhangi bir doğru verilmiş olsun Şu iki durum muumlmkuumlnduumlrbull Doğru her iki ekseni keser (şek13) N(0 m) noktası doğrunun y- eksenini kestiği nok-

ta olsun Bu durumda m pozitif ise doğrunun her noktasının ordinatı verilen doğruya paralel olan ve koordinat başlangıcından geccedilen doğrunun ordinatından m kadar fazladır ve m negatif

Şek 12

120

olduğu durumda her noktanın ordinatı m kadar kuumlccediluumlktuumlr İncelenen her doğru x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle aynı accedilıyı oluşturur Buna goumlre on-ların accedilı katsayıları birbirine eşittir Koordinat baş-langıcından geccedilen doğru

y = kxdenklemiyle verildiğine goumlre verilen doğrunun denklemi mkxy

olur Burada k verilen doğrunun eğimidir m ise y- ekseninden kestiği doğru parccedilasıdır Elde edilen denkleme doğrunun accedilık şekli denir doğruya ise accedilık şekilde verilmiştir denir

2 M(2-3) ve N(5 6) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınızbull Oumldevin koşuluna goumlre M(2-3) ve N(5 6) noktaları doğruya ait noktalardır O halde

onların koordinatları y = kx + m denklemini sağlar Bu şekilde

mk

mk56

23 sistemi elde edilir

Bunun ccediloumlzuumlmuuml k = 3 ve m = -9 elde edilir Demek ki doğrunun aranılan denklemi y = 3x ndash 9rsquoduruml

Doğrunun accedilık şekilde verildiğinde eğiminin ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilasının oumlnemini goumlz oumlnuumlnde bulundurarak şu sonuccedillara varabiliriz

a İki doğru ancak ve ancak paralel oldukları durumda eğimleri birbirine eşittirb İki doğru ordinat ekseninden eşit doğru parccedilaları keser ancak ve ancak her ikisi ordi-

nat eksenini aynı noktada kesersebull Doğru x- ekseniyle paraleldir ya da ccedila-

kışır (şek14) Bu durumda doğruya ait her nok-ta x- ekseninden eşit uzaklıktadır x- ekseninden uzaklık aslında noktanın ordinatı olduğuna goumlre doğruya ait her noktanın ordinatları birbirine eşit-tir Bu uzaklığı m ile işaret edersek verilen doğru-nun denklemi

my

olur Doğrunun bu durumu oumlnceki doğrunun bir oumlzel durumu gibi kabul edebiliriz Doğru x- ekse-

Şek 13

Şek 14

121

ninin pozitif youmlnuumlyle a = 2kp k = 0 1 2 hellip accedilı yaptığına goumlre bu durumda k = 0 olur Bunun oumlzel durumu x- ekseninin denklemi y = 0 olur

bull Doğru y- ekseniyle paraleldir ya da y- ekseniyle ccedilakışık durumdadır (şek14) O halde doğruya ait her nokta y- ekseninden eşit uzaklıktadır Bir noktanın y- eksenine uzaklığı aslında onun apsisi olduğuna goumlre doğruya ait her noktanın apsisleri birbirine eşittir Bu uzaklığı a ile işaret edersek verilen doğrunun denklemi

ax

olur Bunun oumlzel durumu y- ekseninin denklemi x = 0 olur

3 Koordinat duumlzleminde x = 2 ve y = 3 doğrularının durumu nasıldır x = 2 doğrusu y- eksenine paraleldir ve onun her noktası y- eksenine 2 birim uzaklıktadır

y = 3 doğrusu x ndash ekseniyle paraleldir ve her noktası x- ekseninden 3 birim uzaklıktadıruml

Alıştırmalar

1 M(-1 1) N(2 ndash3) ve P(2 2) noktaları y = - x + 4 doğrusuna ait olup olmadıklarını yoklayınız

2 Koordinat başlangıcından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle

a)

4

b)

4

3 v) а) b) c)

accedilı oluşturan doğrunun denklemini belirtiniz

3 Denklemiyle verilmiş olan doğrunun eğimini ve y- ekseninden kestiği parccedilayı belirtiniz а) y = 2x ndash 3 b) y = ndashx + 3 c) y = ndash2 d) xy 3

4 x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle 3

accedilı yapan ve ordinat eksenini 1

2 de kesen doğru-

nun denklemini yazınız

5 A(-3 2) noktasından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle = 1350 accedilı yapan doğru-nun denklemini yazınız

6 A(2 -1) ve B(-3 5) noktalarından geccedilen doğrunun ordinat ekseninden kestiği parccedilayı ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle yaptığı accedilıyı belirtiniz

7 M(2 -8) ve N(-1 7) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınız

122

56 Doğru Denkleminin Genel Şekli

Geccedilen derste koordinat duumlzlemine ait bir doğrunun denklemi iccedilin x ve y değişkenli birin-ci derece denklem elde ettik Bu derste x ve y değişkenli birinci dereceden denklemin neyi ifade ettiğini inceleyeceğiz Bu nedenle

Ax + By + C = 0 (1)denklemini inceleyelim A ne 0 ya da B ne 0 olduğunu farz edelim A =B= 0 olduğu durumda eşitlik C = 0 olur O halde C ne 0 durumunda koordinat duumlzleminde eşitliği sağlayan hiccedilbir nokta yoktur Fakat C = 0 durumunda duumlzlem uumlzerinde her nokta eşitliği sağlar

bull A = 0 ise B ne 0 olur ve (1) denklemi CyB

denklemiyle denk olur Bu son eşitliği

sağlayan noktaların geometrik yeri x- eksenine paralel olan ve 0CMB

13

noktasından geccedilen doğrudur

bull B = 0 ise A ne 0 olur ve (1) denklemi CxA

denklemiyle denk olur Bu son eşitliği

sağlayan noktaların geometrik yeri y- eksenine paralel olan ve 0CNA

13

noktasından geccedilen doğrudur

bull A ne 0 ve B ne 0 ise (1) denklemi A Cy xB B

denklemiyle denk olur Bu son eşitlik

eğimi AkB

ve y- ekseninden CmB

doğru parccedilasını kesen bir doğrunun accedilık şeklidir

Buraya kadar yapılan incelemelerden şu sonuca varabiliriz

0 CByAx

eşitliği bir doğrunun denklemidir ve ona doğrunun genel şekli denir

1 13

2y x doğrusunun denklemini genel şekilde doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

Verilen denklem 13 0

2x y yani x + 2y ndash 6 = 0 denklemiyle denktir

2 3x + 3y -5 = 0 doğrusunun denklemi veriliyor Bu doğrunun x- ekseninin pozitif youml-nuumlyle yaptığı accedilıyı ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilayı belirtiniz

123

Verilen denklemi yrsquoye goumlre ccediloumlzersek verilene denk olan 5

3y x denklemini elde ede-

ceğiz Bu denklem aslında duumlzlem uumlzerinde aynı doğrunun denklemidir Oradan k = tga = -1

olduğuna goumlre 3

4

ve 5

3m elde ediliruml

3 2x ndash 3y + 2 = 0 denklemiyle verilmiş olan doğruyu ccedilizinizVerilen oumldevi ccediloumlzmek iccedilin doğruya ait olan

iki noktayı belirtmek yeterlidir Ondan sonra iki noktadan sadece bir tek doğru geccediltiğine goumlre aranılan doğruyu ccedilizmiş oluyoruz (şek15) x iccedilin tahminen iki değer seccediltikten sonra onlara karşılık gelen y değerlerini belirtiyoruz Bu oumlrnekte x1 = 2 seccedilimi uygundur ccediluumlnkuuml o değere karşılık y iccedilin tam sayılı değer yani y1 = 2 elde edilir Benzer şe-kilde x iccedilin x2 = -1 seccedilersek y2 = 0 elde edilir uml

Alıştırmalar

1 Verilen doğruların denklemlerini genel şekilde doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а) y = 2 x - 3 b) y = -4 c) x = 3

2 Verilen doğruların eğimini ve ordinat ekseninden kestiği parccedilayı belirtiniz а) 2x - y + 3 = 0 b) 5x + 2y - 3 = 0 c) 3x + 8y +16 = 0

3 x + y - 3 = 0 doğrusu veriliyor Bu doğrunun x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle yaptığı accedilıyı ve y- ekseninden kestiği doğru parccedilayı belirtiniz

4 Denklemleriyle verilmiş olan doğruları ccediliziniz

a) 13 xy b) 2x v) y

g) 22 xy d) 23

1 xy |) 150 yx

а)

e)d) f)

c)b)

5 2 ne 0 olmak uumlzere Ax + By + C = 0 ve 2Ax +2By + 2C = 0 denklemleri aynı doğ-runun denklemi midir

Şek 15

124

57 Doğrunun Eksen Parccedilalarına Goumlre Denklemi

Ax + By + C = 0 (1)denklemi koordinat duumlzleminde bir doğrunun denklemi olduğunu goumlrduumlk Daha da C = 0 ise doğru koordinat başlangıcından geccediler A = 0 ise doğru x- eksenine paraleldir B = 0 ise doğru y- eksenine paraleldir

Verilen doğru koordinat başlangıcından geccedil-mediğini ne de eksenlerden biriyle paralel olma-dığını farz edeceğiz Bu durumda denklemin kat-sayıları iccedilin A ne 0 B ne 0 ve C ne 0 geccedilerlidir (1) denklemini 1

C ile ccedilarparsak

01 y

CBx

CA

ya da1

BCy

ACx

elde edilir ve C Ca bA B

koyarsak verilen denklem

1by

ax

(2)

denklemi elde edilir Bu denkleme doğrunun eksen parccedilalarına goumlre denklemi denira ve b parametrelerin geometrik anlamını inceleyelim (2) denkleminde oumlnce y = 0 ondan

sonra x = 0 koyarsak sırasıyla x- eksenini ve y- eksenini kesen P(a 0) ve Q(0 b) noktalarını elde edeceğiz Buna goumlre a ve b sayıları mutlak değerce doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerinden kestiği doğru parccedilalarıdır Bunlara eksen parccedilaları diyeceğiz

1 x ndash 3y ndash 6 = 0 doğrunun denklemini eksen parccedilalarına goumlre yazınız Ondan sonra doğ-runun eksenlerden kestiği parccedilaları belirtiniz

Şek 16

125

Verilen denklem doğrunun genel şeklidir Bu denklemi 1 1 1

6 6C

ile ccedilarparsak

16 2

x y denklemi elde edilir bu ise 1

6 2

x y

denklemine denktir Bu son denklem doğru-

nun eksen parccedilaları cinsinden denklemidir ve verilen denkleme denktir x- ekseninden kestiği parccedila 6 birim y- ekseninden kestiği parccedila ise 2 birimdir

2 Koordinat eksenleri ve 2x ndash 5y ndash 10 = 0 doğrusuyla sınırlanan uumlccedilgenin alanını hesap-layınız

Koordinat eksenleri birbirine dik olduklarına goumlre elde edilecek uumlccedilgen de diktir Dik kouml-şesi koordinat başlangıcında katetleri koordinat eksenleri uumlzerinde hipotenuumlsuuml ise verilen doğ-ruya ait olacaktır Dik uumlccedilgenin alanı katetlerinin ccedilarpımının yarısına eşit olduğunu biliyoruz Bu katetler burada aslında doğrunun eksenlerden kestiği parccedilalardır O halde doğrunun denk-

lemini eksen parccedilalarına goumlre duumlzenlersek verilene denk olan 15 2

x y denklem elde edilecek-

tir Demek ki doğrunun eksenlerden kestiği parccedilalar 5 ve 2rsquodir Buna goumlre aranılan uumlccedilgenin katetleri 5 birim ve 2 birimdir Demek ki uumlccedilgenin alanı 5 birim karedir

Alıştırmalar

1 Verilen doğruların denklemlerini eksen parccedilalarına goumlre doumlnuumlştuumlruumlnuumlz а) 3x - 2y +12 = 0 b) y = -x +1 c) y = 4x - 2

2 k parametresinin değerini o şekilde belirtiniz ki 2x + 5ky ndash 3 = 0 doğrusunun eksenler-den ayırdığı parccedilaların uzunlukları toplamı 10 olsun

3 k parametresinin değerini o şekilde belirtiniz ki 6x + 5y ndash 12k = 0 doğrusunun eksen-

lerden ayırdığı parccedilaların uzunluklarının ccedilarpımı 5

6 olsun

4 x + 2y ndash 6 = 0 doğrusuyla ve koordinat eksenleriyle sınırlanan uumlccedilgenin alanını hesap-layınız

5 M(4 -3) noktasından oumlyle bir doğru ccediliziniz ki koordinat eksenleriyle alanı 3 birim kare olan uumlccedilgen elde edilsin

126

58 Nokta ve Doğru Arasındaki Durumlar

581 Verilen Noktadan Geccedilen Doğru Demetinin Denklemi

1M(x1 x2) noktası koordinat duumlzleminde sabit bir nokta olsun Verilen bu noktadan M merkezli doğru demeti diye adlandırılan sonsuz ccedilok sayıda doğru geccediler (şek17) M noktasından geccedilen her doğrunun genel denklemi

Ax + By + C = 0biccedilimindedir M noktası bu doğruya ait olduğuna goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlar yani

Ax1 + By1 + C = 0Elde edilen denklemi birincisinden ccedilıkarır-

sak0)()( 11 yyBxxA elde edilir

M noktasının koordinatları denklemi sağladığına goumlre bu şekilde olan her denklem M nokta-sından geccedilen doğrunun denklemidir A ve B katsayılarına farklı değerler vermekle M noktasın-dan geccedilen farklı doğrular elde edilecektir

Demete ait olan doğrular arasında bir tanesi y- eksenine paraleldir Onun denklemi x = x1 dir Sadece bu doğrunun accedilı katsayısı ve ordinat eksenini kestiği parccedilası yoktur O halde bu doğru accedilık şekilde ifade edilemez M noktasından geccedilen diğer doğrulardan her biri

y = kx + n accedilık şekilde ifade edilebilir M noktası bu doğruya ait olduğuna goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlar yani

y1 = kx1 + n geccedilerlidir Elde edilen denklemi ilkinden ccedilıkarıyorsak

)( 11 xxkyy

denklemi elde edilecektir Bu şekilde olan her denklem M noktasından geccediler k katsayısının farklı değerlerini değiştirmekle y eksenine paralel olan doğru hariccedil olmak uumlzere M noktasın-dan geccedilen farklı doğruların denklemleri elde edilecektir

Şek 17

127

1 M (-3 2) noktasından geccedilen ve x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1350 accedilı yapan doğru-nun denklemini yazınız

Merkezi M noktası olan doğru demetinin denklemi y ndash 2 = k(x + 3)rsquotuumlr Doğru demetine ait aranılan bu doğru x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1350 accedilı yaptığına goumlre onun accedilı katsayısı k = tg 1350 = -1rsquodir O halde aranılan doğrunun denklemi y ndash 2 = - 1(x + 3) ya da x + y + 1 = 0 olur

582 İki Noktadan Geccedilen Doğrunun Denklemi

Bir noktadan geccedilen doğru demetinin denkleminden yararlanarak iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini kolay belirtebiliriz

1 M1 (-12 5) ve M2 (8 -3) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınızM1 noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi y ndash 5 = k (x + 12)rsquodir Aranılan doğru

M2 noktasından geccediltiğine goumlre koordinatları doğrunun denklemini sağlayacaktır yani -3 ndash 5

= k(8+12) geccedilerlidir Oradan da 2

5k elde edilir Buna goumlre aranılan doğrunun denklemi

25 12

5y x ya da 2x + 5y ndash 1 = 0 olduğunu buluyoruz

İncelenen oumlrnek herhangi iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini belirtmek iccedilin bir yol goumlstermektedir M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) noktaları verilmiş olsun (şek18) Verilen noktalar-dan geccedilen M1M2 doğrusunun denklemini belirtelim

x1 = x2 ise M1M2 doğrusu y- eksenine goumlre diktir ve denklemi

1xx olur

x1 ne x2 ise M merkezli doğru demetinin denklemi

y ndash y1 = k (x ndash x1)

dir M1M2 doğrusu M2 noktasından geccediltiğine goumlre onun koordinatları denklemi sağlar ve

y2 ndash y1 = k (x2 ndash x1)

elde edilir Buna goumlre M1M2 doğrusunun accedilı kat-sayısı (eğimi)

Şek 18

128

12

12

xxyyk

olduğunu buluyoruz k iccedilin elde edilen bu değeri yukarıdaki doğru demetinin denkleminde değiştirirsek iki noktadan geccedilen doğrunun denklemini elde edeceğiz

)( 1

12

121 xx

xxyyyy

İki noktadan geccedilen doğrunun denkleminden uumlccedil noktanın doğrusal olma koşulunu bu-labiliriz M3 (x3 y3) noktası M1 ve M2 noktalarından geccedilen doğruya ait olmak iccedilin onun koordi-natları verilen doğrunun denklemini sağlamalıdır yani

)( 13

12

1213 xx

xxyyyy

formuumlluuml elde edilir

583 Verilen Bir Noktadan Verilen Doğruya Uzaklık

Şimdi duumlzlem uumlzerinde verilen bir noktadan verilen bir doğruya uzaklığın nasıl hesaplan-dığını goumlrelim Bir noktadan verilen bir doğruya uzaklık aslında o noktadan geccedilen ve verilen doğruya dik olan doğruyla kesişim noktasına kadar uzaklıktır ya da diğer soumlzlerle noktasından verilen doğruya inilen dikmenin uzunluğu olarak tanımlanır

Doğrunun denklemi Ax + By + C = 0

genel şekilde verildiği durumda denklemi 2 2

1MA B

normlayan ccedilarpanıyla ccedilarp-

mamız gerekir Bu ccedilarpanın işareti C katsayısının işaretiyle terstir O halde verilen noktadan verilen doğruya uzaklığı belirtmek iccedilin verilen doğrunun denklemi

0

222222

BACy

BABx

BAA

biccediliminde yazılır Noktanın koordinatları değiştirilir ve elde edilen ifadenin mutlak değeri alı-nır Sonuccedil olarak

22

11

BA

CByAxd

elde edilir

1 A(2 1) ve B(-2 4) noktalarından 4x ndash 3y + 15 = 0 doğrusuna uzaklığı belir-tinizVerilen noktadan verilen doğruya uzaklığı belirtmek iccedilin doğrunun denklemini

5

1112222

BABAM ccedilarpanıyla ccedilarpacağız Bu ccedilarpanın

129

işareti C katsayısının işaretiyle ters olduğuna goumlre 1

5M olur O halde doğrunun denk-

lemi 4 33 0

5 5x y elde edilir Şimdi verilen noktanın koordinatlarını değiştirmekle

44315

32

5

4d elde edilir Mutlak değeri almadan oumlnce drsquonin işareti negatif ol-

duğuna goumlre A noktası ve koordinat başlangıcı doğrunun aynı tarafında bulunur

Benzer şekilde B noktası iccedilin de 11345

3)2(

5

4d elde edilir Bu durumda

mutlak değeri almadan drsquonin işareti pozitif olduğuna goumlre nokta ve koordinat başlangıcı doğ-runun ters tarafl arında bulunuruml

Alıştırmalar

1 Verilen noktadan geccedilen doğru demetini yazınız а) M(2-3) b) M(-14)

2 M (-2 1) noktasından geccedilen ve eğimi k = - 3 olan doğrunun denklemini yazınız

3 M (4 -7) noktasından geccedilen ve x ndash ekseninin pozitif youmlnuumlyle a = 1200 accedilı yapan doğ-runun denklemini yazınız

4 Verilen noktalardan geccedilen doğrunun eğimini belirtiniza) M 1 (-1 4) ve M2 (4 -3) b) M1 (0 -2) ve M2 (-1 3) c) M1 (1 4) ve M2 (-2 4)

5 M 1 (-1 4) ve M 2 (4 -3) noktalarından geccedilen doğrunun denklemini yazınız

6 M 1 (0 3) M 2 (2 6) ve M 3 (-1 4) noktaları aynı doğruya ait midir

7 A(-5 -1) noktasından 4x + 3y + 30 = 0 doğrusuna olan uzaklığı belirtiniz Verilen nok-ta ve koordinat başlangıcı doğrunun aynı tarafında mıdır

8 Koordinat başlangıcından 9x - 2y + 10 = 0 doğrusuna olan uzaklığı belirtiniz

9 M (-3 1) ve N (5 4) noktalarından hangisi x ndash 2y ndash 5 = 0 doğrusuna daha yakın ol-duğunu belirtiniz

10 C (4 3) noktasından d = 5 birim uzaklıkta olan ve koordinat eksenlerden eşit doğru parccedilaları kesen doğrunun denklemini belirtiniz

130

59 İki Doğru Arasındaki Durumlar

591 İki Doğru Arasındaki Durumlar

Bir duumlzlem uumlzerinde iki doğru ya bir noktada kesişir ya paralel ya da ccedilakışık durumda olabilirler Genel şekilde kendi denklemleriyle iki doğru verilmiş olsun A1x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0

Verilen denklemlerin katsayıları ve yukarıda sayılan uumlccedil durum hakkında inceleme yapa-cağız

bull Verilen

0

0

222

111

CyBxACyBxA

(1)sisteminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml varsa verilen doğrular kesişir yani onların bir tek ortak noktaları vardır

( x0 y0) ikilisi verilen sistemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olsun (1) sisteminin birinci denklemini B2 ile ikincisini ise ndashB1 ile ccedilarparak taraf tarafa toplarsak 0)()( 122101221 BCBCxBABA (2)elde edilir Benzer şekilde (1) sisteminin birinci denklemini A2 ile ikincisini ise ndashA1 ile ccedilarparak taraf tarafa toplarsak

0)()( 122101221 CACAyBABA (3)elde edilir

( x0 y0) ikilisi verilen sistemin bir tek ccediloumlzuumlmuuml olması iccedilin yani bir tek noktada kesişmeleri iccedilin yeter koşul A1B2 - A2B1 ne 0rsquodır yani

2

1

2

1

BB

AA

sağlandığında (1) sisteminin bir tek ccediloumlzuumlmuuml vardır yani doğrular bir noktada kesişir Paydalar-dan biri sıfır ise ona karşılık gelen pay da sıfır olmalıdır Bu durumda verilen sistemin ccediloumlzuumlmuuml

1221

12210 BABA

CBCBx

1221

21120 BABA

CACAy

(4)

Elde edilen sayılar verilen doğruların kesişim noktasının koordinatlarıdır Gerccedilekten x ve y iccedilin (4) ifadesinde elde edilen değerleri (1) sisteminde değiştirirsek (1)rsquodeki denklemler oumlzdeşliklere doumlnuumlşecekler

1 2x ndash y ndash 5 = 0 ve x + 3y + 1 = 0 kesişen doğrular olduğunu goumlsteriniz

131

y bilinmeyenini yok ettikten sonra 7x ndash 14 = 0 elde edilir Oradan x = 2 olduğunu buluyo-ruz Bunu birinci denklemde değiştirmekle y = -1 elde edilir

bull A1B2 - A2B1 ne 0 koşulu verilen doğruların kesişimi iccedilin yeter şart olduğunu goumlstermek iccedilin A1B2 - A2B1 = 0 durumunu inceleyeceğiz Bu durumda verilen doğruların daha bir ortak (x1 y1) noktaları varsa (2) ve (3) denklemlerinden

C1B2 - C2B1 = 0 ve A1C2 - A2C1 = 0 elde edilir

Son uumlccedil eşitlikten A2 = 2A1 B2 = 2B1 ve C2 = 2C1 olacak şekilde bir 2 reel sayısı vardır sonucuna varılır Gerccedilekten A1 ya da B1 sayılarından biri sıfırdan farklı ise B1ne 0 olduğunu

alabiliriz ve 2

1

BB

2 koyarsak A1 B2 - A2B1 = 0 eşitliğinden A2 = 2A1 gerekir C1 B2 - C2 B1 = 0

denkleminden de C2 = 2C1 gerekir Demek ki 2 ne 0 reel sayısıyla ccedilarpmakla birinci doğrunun denkleminden ikinci doğrunun denklemi elde edilir Bu ise demektir ki verilen doğrular ccedilakışık durumdadır O halde iki doğrunun ccedilakışık olma koşulu şu şekilde ifade edilir

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

bull A1 B2 - A2 B1 = 0 ve paylardan biri C1 B2 - C2 B1 ya da A1 C2 - A2 C1 sıfırdan farklı ise (1) sisteminin ccediloumlzuumlmuuml yoktur Demek ki doğrular birbiriyle paraleldir Buna goumlre doğrular birbiri-ne paralel olmak iccedilin gerek ve yeter koşul şu şekilde ifade edilebilir

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

2 3x ndash 2y + 5 = 0 ve 4y ndash 6x -1 = 0 doğruları birbirine paralel olduklarını goumlsteriniz

1

5

4

2

6

3

olduğuna goumlre doğrular birbirine paraleldir

592 İki Doğru Arasındaki Accedilı İki Doğrunun Dik Olma Şartı

Denklemleri accedilık şekilde verilmiş olan iki doğru verilmiş olsuny = k1 x + m1 ve y = k2 x + m2Doğruların oumltelenmesinde kesiştikleri accedilı φ değişmediğine goumlre verilen denklemlerle

belirlenen doğrular arasındaki accedilı

132

y = k1 x ve y = k2 xdoğruları arasındaki accedilıya eşit olacaktır O halde φ = a2 - a1rsquodir Denklemin her iki tarafına tanjant fonksiyonu uygulanırsa

21

1212

1)(

3tgtgtgtgtgtg elde edilir

tg a1 = k1 ve tg a2 = k2 ile işaret edersek

21

12

1 kkkktg

3

elde edilir Bu şekilde elde edilen accedilı aslında birin-ci doğruyu kesişim noktası etrafında pozitif youmlnde ikinci doğruyla ccedilakışıncaya kadar doumlnduumlrmekle meydana gelen accedilıdır (şek19)

İki doğrudan biri y- ekseniyle paralel ise on-

lar arasındaki accedilı 2

olur a ikinci doğrunun

x- ekseninin pozitif youmlnuumlyle oluşturduğu accedilıdır

1 y = 2x ndash 3 ve 3x + y ndash 2 = 0 doğruları arasındaki accedilıyı belirtinizBirinci doğrunun eğimi k1 = 2 ikincisinin ise k2 = -3 tuumlr

O halde 1)3(21

23

1 21

12

3kkkktg elde edilir Oradan da

4

3 elde edilir

Doğrular birbirine dik olduğu durumda 1

2 1

1122

13

tg

ctgtgtgk dir O

halde 2

1

1kk

elde edilir Buna goumlre iki doğrunun dik olma şartı

1

2

1

kk dir

İki doğrudan biri y- eksenine paralel ise bunlar birbirine diktir ancak ve ancak diğeri x- eksenine paralel ise

2 M (-1 1) noktasından geccedilen ve 3x ndash y + 2 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun denklemini belirtiniz

M noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi y + 1 = k (x - 1)rsquodir Bu demetten

Şek 19

133

verilen doğruya yani y = 3x ndash 2 doğrusuna dik olan doğruyu belirtmemiz gerekir Dik olma

şartına goumlre 1

3k elde edilir Buna goumlre aranılan doğrunun denklemi x + 3y + 2 = 0 oldu-

ğunu buluyoruz Doğrular genel denklemleriyleA1 x + B1y + C1 = 0 ve A2 x + B2y + C2 = 0

verildiği durumda k1 ve k2 eğimlerini A1 B1 A2 ve B2 katsayılarıyla ifade ederken

11

1

AkB

ve 22

2

AkB

elde edilir Oradan iki doğru arasındaki accedilı iccedilin

2121

2112

BBAABABAtg

3 za 02121 BBAA i 2

3 za 02121 BBAAise ve

lsquodirDoğrular genel şekilde verildiği durumda iki doğrunun dik olma şartı

02121 BBAA olur

Alıştırmalar1 Verilen doğrulardan hangileri kesişen hangileri paralel hangileri ise ccedilakışık durumda-

dır Doğrular kesiştikleri durumda kesim noktasını bulunuza) 3x - 2y + 1 = 0 ve 2x + 5y - 12 = 0b) 3x + y - 17 = 0 ve 6x + 2y + 12 = 0c) 2x - y + 3 = 0 ve 6x - 3y + 9 = 0

2 Verilen doğrunun koordinat eksenleriyle kesişim noktalarını bulunuza) x + 10y - 5 = 0 b) 2x - 3y + 12 = 0

3 A (-2 3) noktasından geccedilen ve 5x ndash 6y + 7 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denk-lemini belirtiniz

4 2x ndash y + 7 = 0 ve 3x + y + 10 = 0 doğruları arasındaki accedilıyı hesaplayınız

5 A (-2 8) noktasından geccedilen ve y = 3 - 5 doğrusuyla 4

3 asccedilısını oluşturan doğru-nun denklemini belirtiniz

6 A (3 15) noktasından geccedilen ve 3x ndash 5y + 8 = 0 doğrusuyla 4

3 asccedilısını oluşturan doğrunun denklemini belirtiniz

134

510 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Koumlşelerinin koordinatları A (-55) B (7-3) ve C (31) olan ABC uumlccedilgenin ccedilevresini hesaplayınız

2 AB doğru parccedilasını 2 oranında boumllen M noktasının koordinatlarını belirtiniz

a) A(103) B(-2-5) ve 1

32 b) A(-2-5) B(135) ve 3

22

3 A(1 1) B(-1 3) ve C(2 0) noktaları bir doğru uumlzerinde bulunuyorlar A noktası CB doğru parccedilasını 2 oranında boumllerse 2 belirtilsin

4 Koumlşelerinin koordinatları A(00) B(3-2) ve C(15) olan ABC uumlccedilgenin alanını hesaplayınız

5 M 1(-72) ve M2(3-5) noktalarından geccedilen doğrunun denklemi

6 A(19) B(-2-3) ve C(-5-3) noktaları bir doğru uumlzerinde olduklarını ispatlayınız

7 A(-2-1) B(12) ve C(-14) noktaları veriliyor ABCD bir paralelkenar olacak şekilde D noktasının koordinatlarını belirtiniz

8 M (23) noktasından d doğrusuna uzaklığı belirtiniz а) 3х + 4у - 25 = 0 b) 12х - 5у + 4 = 0

9 Koumlşelerinin koordinatları A(32) B(54) ve C (14) olan ABC uumlccedilgenin kenarortaylarının denklemlerini yazınız

10 ABC uumlccedilgeni veriliyora) A(-81) B(12) ve C(-5-3) olduğuna goumlre T ağırlık merkezini belirtinizb) A(-48) B(1-7) ve C (75) olduğuna goumlre H otosantarını (yuumlksekliklerin kesişim nok-

tasını) belirtiniz

11 M noktası x ndash y + 5 = 0 doğrusuna goumlre N (32) noktasının simetriğidir M noktasının koordinatlarını belirtiniz

12 Bir karenin iki kenarı 5x ndash 12y ndash 65 = 0 ve 5x ndash 12y + 26 = 0 doğruları uumlzerindedir Karenin alanını hesaplayınız

13 M(-38) noktasından geccedilen ve koordinat eksenleriyle alanı P = 6 birim olan uumlccedilgeni oluşturan doğrunun denklemi yazılsın

14 Koumlşelerinin koordinatları A(-21) B(34) ve C(1-2) olan ABC uumlccedilgenin yuumlkseklikleri-nin eğimini belirtiniz

135

Konu Oumlzetleri

Dik accedilılı koordinat sistemi birbirine goumlre dik olan ve koordinat eksenleri diye adlandı-rılan iki eksenden oluşur İki eksenin kesiştiği noktaya koordinat başlangıcı ya da orijin denir ve O ile işaret edilir Yatay eksene x- ekseni ya da apsis ekseni dikey eksene ise y- ekseni ya da ordinat ekseni denir Koordinat sisteminin ait olduğu duumlzleme koordinat duumlzlemi denir

P noktasının durumu reel sayılardan oluşan bir (xy) sıralı ccedilift iyle tamamen bellidir Bu sıralı ccedilift e P noktasının koordinatları denir Bu durumda x sayısına birinci koordinat ya da apsis y sayısına ise ikinci koordinat ya da ordinat denir

Koordinat eksenleri duumlzlemi doumlrduumlller denilen doumlrt kısma ayırıyorlar I doumlrduumll olarak uumlst sağ kısım II doumlrduumll uumlst sol kısım III doumlrduumll alt sol kısım ve IV doumlrduumll alt sağ kısım olarak alınır

Koordinat duumlzlemine ait M1 ve M2 noktaları arasındaki uzaklık d şu formuumllle hesaplanır

212

2

12 yyxxd

Uccedil noktaları A(x1 y1) ve B(x2y2) olan AB doğru parccedilasını 2 oranında boumllen M (x y) noktasının koordinatları şu formuumlllerle hesaplanır

22

1

21 xxx 22

1

21 yyy

pq

2 olduğu durumda

qppxqxx

21 qppyqyy

21

formuumllleri kullanılabilirOumlzel durumda M noktası AB doğru parccedilasının orta noktası ise 2 = 1rsquodir ve

221 xxx

2

21 yyy

elde edilir Bu formuumlller orta noktanın koordinatlarıdırM1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) noktaları verilen bir uumlccedilgenin koumlşeleri ise alanı şu for-

muumllle hesaplanır

136

|)()()(|

2

1

|)()()(|2

1

213132321

213132321

yyxyyxyyx

xxyxxyxxyP

P

Uumlccedilgenin alanını hesaplamak iccedilin kullanılan bu formuumll uumlccedil noktanın bir doğru uumlzerinde (doğrusal) olması iccedilin şart elde edebiliriz Uumlccedil nokta bir doğru uumlzerinde bulunduğu durumda bu noktalarla elde edilen uumlccedilgenin alanı sıfırdır

Doğrunun denklemi ve ccedileşitleri doğrunun accedilık şekli

mkxy

Burada k verilen doğrunun eğimidir m ise y- ekseninden kestiği doğru parccedilasıdır

doğrunun genel şekli

0 CByAx

doğrunun eksen parccedilalarına goumlre denklemi

1by

ax

Burada a ve b sayıları mutlak değerce doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerinden kestiği doğru parccedilalarıdır (eksen parccedilalarıdır)

M1(x1 y1) noktasından geccedilen doğru demetinin denklemi

)( 11 xxkyy

M1(x1 y1) ve M2 (x2 y2) gibi iki noktalarından geccedilen doğrunun denklemi

)( 1

12

121 xx

xxyyyy

M1(x1 y1) M2 (x2 y2) ve M3 (x3 y3) gibi uumlccedil noktanın doğrusal olma koşulu

)( 13

12

1213 xx

xxyyyy

Verilen M1(x1 y1) noktasından verilen Ax + By + C = 0 doğrusuna uzaklık şu formuumllle hesaplanır

137

22

11

BA

CByAxd

Ax1 + By1 + C1 = 0 ve Ax2 + By2 + C2 = 0 denklemleriyle verilmiş olan iki doğru kesişir ancak ve ancak

2

1

2

1

BB

AA

ve bu durumda kesişim noktasının koordinatları şu formuumlllerle verilmiştir

1221

12210 BABA

CBCBx

1221

21120 BABA

CACAy

ccedilakışıktırlar ancak ve ancak

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

Paraleldirler ancak ve ancak

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

y = k1 x + m 1 ve y = k 2 x + m 2 doğruları arasındaki φ accedilı şu formuumllle hesaplanır

21

12

1 kkkktg

3

İki doğrunun dik olma koşulu

1

2

1

kk

Ax1 + By1 + C1 = 0 ve Ax2 + By2 + C2 = 0 denklemleriyle verilmiş olan iki doğru arasın-daki φ accedilı şu formuumllle hesaplanır

2121

2112

BBAABABAtg

3

Bu durumda iki doğrunun dik olma koşulu

02121 BBAA olur

138

139

6 DİZİLER

61 Dizi Kavramı

Guumlnluumlk hayatta dizi biccediliminde sıralamalara ccedilok rastlıyoruz oumlrnek benzer veya farklı nes-nelerin dizisi Halbuki matematikte dizilerin oumlzel anlamı vardır

Sonlu ve sonsuz diziler vardır Sonlu dizilerde belli bir duumlzene goumlre sıralanmış sonlu sa-yıda nesneler ve bu durumda hangisi birinci hangisi ikinci vb olduğunu tam olarak belli olan gizilerdir Bir kuumlmenin beş elemanı olduğunu farz edelim Birinci elemanı a1 ikinci elemanı a2 uumlccediluumlncuumlsuumlnuuml a3 doumlrduumlncuumlsuumlnuuml a4 ve beşincisini a5 ile işaret edeceğiz Bu şekilde dizi a1 a2 a3 a4 a5 şeklinde yazılır ya da daha kısa a1 a2 a3 a4 a5 biccediliminde yazılabilir

Şunu da kaydedelim a1 a2 a3 a4 a5 elemanları herhangi bir kuumlmenin elemanları olabilir Matematikte bu elemanlar daha fazla durumlarda sayılardır (doğal tam rasyonel ya da reel) fakat sayı olması mecburi değildir

Oumlrnek her soumlz bir harfl er dizisi sayılabilir Bu durumda a1 a2 a3 a4 a5 elemanları bir alfabeye aittir 5 sayısı incelenen sonlu dizinin uzunluğudur ve uzunluk daima aynı değildir Oumlrnek ldquoekonomirdquo soumlzcuumlğuumlnuuml alalım Bunu yedi elemanlı sonlu bir dizi olarak sayabiliriz Uzun-luğu 7rsquodir Her sonlu dizi doğal sayılar kuumlmesinden 1 2 3 hellip incelenen kuumlmeye bir eşleme olarak algılayabiliriz Oumlrneğin ldquoekonomirdquo soumlzcuumlğuumlnuuml bir eşleme olarak alıyorsak

1 - е 2 - k 3 - o 4 - n 5 - о 6 - m 7 - i 8 - ј 9 - а şeklinde yazabiliriz

Buna goumlre şu sonuca varabiliriz Her sonlu dizi a1 a2 a3 a4 hellip an doğal sayılar 1 2 3 hellip nrsquoden incelenen diziye bir eşlemedir ve bu durumda i (1 i n ) elemanına karşılık gelen eleman i indisiyle işaret edilir ai bi xi hellipgibi Daha da a1 a2 a3 a4hellip an sonlu bir dizi kısa olarak (ai ) biccediliminde işaret edilir

Birccedilok durumlarda sonsuz dizilerle de işimiz olabilir Onları a1 a2 a3 a4 hellip ile ya da daha kısa (ai) biccediliminde işaret ediyoruz ai elemanı i yerde olan elemandır 4 5123i Bunlar genellikle bazı sayılar olduğundan ilerde reel sayılar olduğunu sayacağız

Tanım 1 Dizi doğal sayılar kuumlmesinden reel sayılar kuumlmesine bir eşlemedir

140

Demek ki dizi denilince sosuz diziyi kastedeceğiz aksi halde sonlu dizi soumlz konusu olun-ca sonlu dizi diye ifade edeceğiz

1 1 3 5 7 9 11 13 hellip dizisini inceleyelim Bu durumda eşleme f (1) = 1 f (2) = 3 f (3) = 5 f (4) = 7 f(5) = 9 f (6) = 11 biccediliminde tanımlanmıştır bunu daha kısa olarak

f(n) = 2n ndash 1 ya da an = 2n ndash 1 şeklinde yazabiliriz

2 1na n

n dizisinin ilk birkaccedil terimi

2111 a 522

122 a

33333

133 a 254

4

144 a 25

5

155 a

vb

3 an = n2 + n +1 dizisinin ilk birkaccedil terimi a1 = 12 +1 +1 = 3 a2 = 22 + 2 +1 = 7 a3 = 32 + 3 +1 = 13 a4 = 42 + 4 +1 = 21 a5 = 52 + 5 +1 = 31 vb

4

na

n

n)1(

dizisinin ilk birkaccedil terimi

11 a 2

12 a

3

13 a

4

14 a

5

15 a

dir

5 an = 8 dizisinin birkaccedil terimi 8 8 8 88 8hellipdir Demek ki n indisine bağlı olmadan an teriminin değeri 8rsquodir an teriminin değeri daima sabit olan bu gibi dizilere sabit diziler denir

6 Genel terimi an = 3 + (-1)n dizisini inceleyelim n iccedilin 1 2 3 hellip değerler vermekle 2 4 2 4 2 4 2 4hellip dizisi elde edilir

Alıştırmalar

1 Dizi nedir Sonlu ve sonsuz dizi iccedilin birer oumlrnek yazınız

2 (an) dizisinin ilk 5 terimini yazınız

a) 2

1

nnan b)

2

1

nan v) n

na 2 g) na nn )1( а) b) c) ccedil)

3 (an) dizisinin nci terimini belirtiniz

а) an =

12 nn iccedilin n = 4 b) an = nn iccedilin n = 3 c) an = 3n iccedilin n = 4

4 Genel terimi an = (-1)nn olan dizinin nrsquoin hangi değeri iccedilin değeri 2010rsquodur

141

5 nrsquoin hangi değeri iccedilin genel terimi an = 4n ndash 5 dizisinin terimi 999 olur

6 Genel terimi verilmiş olan dizinin doumlrduumlncuuml terimini belirtiniz

a)

1

1

nnan b)

1

1

nan v) n

na )2( g) 3na

b) c) d)a)

7 İlk beş terimi verilmiş olan dizilerin genel terimini ifade edecek formuumll belirtiniz а) 3 5 7 9 11 b) 1 4 9 16 25 c) 1 3 1 3 1

d) 12

13

14

15

1

e) 4 2 12

14

1

62 Artan ve Eksilen Diziler

Dizilerin bazı oumlzellikleri vardır Bu oumlzellikler genellikle dizilerin artma ve eksilme koşul-larıdır

Tanım 1 (an) dizisi iccedilin bull her k doğal sayısı iccedilin

ak+1 gt ak (1) oumlzelliği varsa dizi kesin anlamda artandır (ya da kesin anlamda monoton artandır)

bull her k doğal sayısı iccedilinak+1 lt ak (2)

oumlzelliği varsa dizi kesin anlamda eksilendir (ya da kesin anlamda monoton eksilendir) bull her k doğal sayısı iccedilin

ak+1 le ak (3) oumlzelliği varsa artandır (ya da eksilmeyendir)

bull her k doğal sayısı iccedilinak+1 ge ak (4)

oumlzelliği varsa dizi eksilendir (ya da artmayandır)

Bir dizinin kesin anlamda artan olması iccedilin koşul (1) gereğince dizinin her terimi kendinden oumlnce gelen terimden buumlyuumlk olmalıdır

1 Genel terimi an = 3n ndash 2 ile verilmiş olan diziyi inceleyelim a1 lt a2 lt a3 lt a4 lt yani 1 lt 4 lt 7 lt 10 lt hellip olduğuna goumlre bu dizi kesin anlamda artandır Bunu doğrudan doğruya goumlsterelim an+1 - an = 3(n +1) - 2 - [3n - 2] = 3n + 3 - 2 - 3n + 2 = 3 gt 0demek ki her doğal sayı n iccedilin an+1 gt an geccedilerlidir

Bir dizinin kesin anlamda eksilen olması iccedilin koşul (2) gereğince dizinin her terimi ken-dinden oumlnce gelen terimden kuumlccediluumlk olduğunu ifade etmektedir

142

2 Genel terimi 1na

n olan diziyi inceleyelim 1 2 3 4 a a a a yani

1 1 1 11

2 3 4 5 olduğuna goumlre dizi kesin anlamda eksilendir Bunu doğrudan doğruya

goumlsterelim0

)1(

1

)1(

)1(1

1

11

nnnnnn

nnaa nn

demek ki her doğal sayı n iccedilin an+1 lt an geccedilerlidir

Bir dizinin artan ya da eksilmeyen olması iccedilin koşul (3) gereğince dizinin her terimi kendinden oumlnce gelen terimden buumlyuumlk ya da eşit olduğunu yani kendinden oumlnceki terimden kuumlccediluumlk olmadığını ifade etmektedir

3 Şu diziyi inceleyelim 11223344hellip Bu dizinin terimleri iccedilin 1 le 1 le 2 le 2 le 3 le 3 le 4 geccedilerli olduğuna goumlre dizi eksilmeyendir Dizi kesin anlamda artan değildir ccediluumlnkuuml ikinci terimi birincisinden buumlyuumlk değildir o halde daha fazla inceleme iccedilin gerek yoktur

Bir dizinin eksilen ya da artmayan olması iccedilin koşul (4) gereğince dizinin her terimi ken-dinden oumlnce gelen terimden kuumlccediluumlk ya da eşit olduğunu yani kendinden oumlnceki terimden buumlyuumlk olmadığını ifade etmektedir

4

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

111

dizisini inceleyelim

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

111 66666666

olduğuna

goumlre dizi eksilendir ya da artmayandır ccediluumlnkuuml ikinci terimi birincisinden kuumlccediluumlk değildir o halde daha fazla inceleme iccedilin gerek yoktur

Şunu da ifade etmeliyiz ki her dizi (1) (2) (3) ve (4) oumlzelliklerinden birini sağlaması mecburi değildir Oumlrnek boumlyle bir dizi 12121212 hellip dir Halbuki bazı dizilerde bu oumlzellik-lerden hiccedilbiri sağlanmadığına rağmen belli bir k0 dan sonra dizinin terimleri (1) (2) (3) ve (4) oumlzelliklerinden birini sağlayabilir Boumlyle durumda dizi kesin anlamda artan eksilen artmayan ya de eksilmeyen olduğunu daha geniş anlamda anlaşmaya goumlre ifade edebiliriz

5

3 2 1 2

11

3

21

4

31

5

41

6

51

dizisini inceleyelim Bu dizi tanım 1 gereğince artan

değildir ccediluumlnkuuml 3gt2 doğru değildir Bu dizi daha geniş anlamda artandır diyebiliriz Ccediluumln-kuuml uumlccediluumlncuuml terimden başlayarak dizi artandır

2

11 lt

3

21 lt

4

31 lt

5

41 lt

6

51 lt

Bu anlaşma gereklidir

ccediluumlnkuuml bize daha ccedilok n indisinin buumlyuumlk değerleri iccedilin dizinin nasıl olduğu ilgilendirir

6

1 2 1 2 1 2

11

3

11

4

11

5

11

6

11 dizisini inceleyelim Bu dizi tanım 1 gereğince ek-

silen değildir fakat geniş anlamda eksilen olduğunu sayabiliriz ccediluumlnkuuml altıncı

143

terimden başlayarak dizi eksilendir 2

11 gt

3

11 gt

4

11 gt

5

11 gt

6

11 gt

Alıştırmalar

1 Hangi diziler kesin anlamda artan eksilen artmayan eksilmeyendir

2 Kesin anlamda artan eksilen artmayan eksilmeyen diziler iccedilin oumlrnekler yazınız

3 1

nna

n

dizisi artan yoksa eksilen midir

4 Şu dizilerden hangisi kesin anlamda artan hangisi ise eksilendir

a) 2

n

nan b) nna3

1 v)

12 )1(

1

nn na g) 52 n

na d) n

an

n5

а) b) c) d) e)

5 a) Bir dizi aynı zamanda hem artan hem de eksilen olabilir mi b) Sabit dizi artan yoksa eksilen midir

6 a pozitif sayısının hangi değeri iccedilin nna a dizisi

a) artan b) eksilen c) sabittir

63 Aritmetik Diziler

Bu başlıkta iki oumlzel diziden bahsedeceğiz Aritmetik diziler ve geometrik dizilerDoğal sayılardan oluşan 1 2 3 4 5 6 7 hellip diziyi inceleyelim Bu dizide 2 ndash 1 = 3 ndash 2 =

4 ndash 3 = hellipya da genel olarak iki ardışık terimin farkı daima eşittir Bu oumlzellikten yararlanarak şu tanımı kabul edeceğiz

Aritmetik dizilerinden daha birkaccedil oumlrnek inceleyelim

Tanım 1 Bir (an) dizisinde iki ardışık terimin farkı an+1 - an daima sabit kalıyorsa yani n doğal sayısına bağlı değilse ya da an+1 - an = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (an) dizisine aritmetik dizisi denir d sayısına ortak fark denir

144

1 -4 -1 2 5 8 11 14 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime 3 katmakla elde edilir yani - 4 + 3 = -1 -1 + 3 = 2 2 + 3 = 5 5 + 3 = 8 8 + 3 = 11 Bu durumda d = 3rsquotuumlr

2 5 3 1 -1 -3 -5 -7 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime -2 katmakla elde edilir yani 5 - 2 = 3 3 - 2 = 1 1 - 2 = -1 -1 - 2 = -3 - 3 - 2 = -5 Bu durumda d = -2rsquodir

3 6 6 6 6 6 6 hellip dizisi aritmetik dizidir Ccediluumlnkuuml her terim kendinden oumlnceki terime 0 katmakla elde edilir Bu durumda d = 0rsquodır Aslında her sabit dizi aritmetik dizidir

Şunu fark edebiliriz bir aritmetik dizisinin ilk terimi ve ortak farkı verildiğinde dizinin tuumlm terimlerini bulabiliriz Bunu aşağıdaki şekilde yapacağız

2a = 1a + d

3a = 2a + d = 1a + d + d = 1a + 2d

4a = 3a + d = 1a + 2d + d = 1a + 3d

5a = 4a + d = 1a + 3d + d = 1a + 4d

6a = 5a + d = 1a + 4d + d = 1a + 5d

Bu youmlntemi devam ederek ak terimi iccedilin ak = a1 + (k - 1)d (1) elde edilir Bu aslında dizinin genel terimi iccedilin istenilen formuumllduumlr Gerccedilekten k = 1 iccedilin a1 = a1 dir a k+1 iccedilin yine aynısı elde edilir

1ka = ka + d = 1a +(k1) d + d = 1a + kd

Buna goumlre şu sonuca varılır Her doğal sayı k iccedilin şu formuumll geccedilerlidir

)1(1 dkaak

4 Bir ayakkabı fabrikasında ilk yıl 50 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiş ve her gelen yılda 3000 ccedilift ayakkabı iccedilin uumlretim artmıştır Fabrika kuruluşundan sekizinci yıl sonunda kaccedil ccedilift ayakkabı uumlretmiştir

ak ile fabrikanın kuruluşundan krsquocı yılın uumlretimini işaret edelim Yıllara goumlre uumlretim mik-tarları bir aritmetik dizisini oluşturdukları accedilıktır Dizinin ilk terimi a1 = 50 000 ve ortak fark d = 3 000rsquodir k = 8 iccedilin (1) formuumlluumlnden yararlanarak a8 = a1 + (8 - 1)d = 50000 + 7 bull 3000 = 71000 elde edilir

Demek ki fabrikanın kuruluşundan sekizinci yılında 71 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiştir

145

5 Bir aritmetik dizisinin ilk terimi 8 15 terimi ise 50rsquodir Ortak fark d ne kadardır(1) denklemini drsquoye goumlre ccediloumlzersek

11

k

aad k

elde edilir Verilen değerleri formuumllde yerine koyarsak

3

14

42

115

850

11

k

aad k

elde edilir

6 Bir aritmetik dizisinin ilk terimi ndash 3 ortak farkı d = - 2rsquodir Dizinin hangi terimi - 19 olduğunu bulunuz

(1) denklemini krsquoya goumlre ccediloumlzersek

11

d

aak k

elde edilir Verilen değerleri formuumllde yerine koyarsak

912

161

2

3191

2

)3(1911

daak k

elde edilir Demek ki dizinin dokuzuncu terimi ndash 19 olur k iccedilin ccediloumlzuumlm ancak doğal sayı oldu-ğu durumda kabul edilebilir

Alıştırmalar

1 150rsquoci tek sayı hangi sayıdır

2 75 ccedilift sayıyı hesaplayınız

3 Ortak farkı 23 ve 85 terimi 2708 olan aritmetik dizisinin ilk terimi belirtilsin

4 Verilen dizilerden hangileri aritmetik dizisidir а) 2 8 14 20 26 6n-4 b) 1 8 27 81 n3 c) 94 -1 - 6 -1114 - 5n d) 1 2 4 8 16 2n-1

5 Bir iş oumlrguumltuumlnuumln 1 Ocak 2000 yılında borcu 50 000 EUR olmakla her gelen yılda borccedil 3500 EUR azalmıştır Kaccedil yıl sonra borccedil 22000 EUR kalmıştır

6 Bir aritmetik dizisinin beşinci terimi 12 on ikinci terimi ise 33rsquotuumlr Aritmetik dizisinin ilk terimi ve ortak farkı ne kadardır

146

7 -3 1 5 9 13 17hellip aritmetik dizisinde ccedilift indisli yerlerdeki sayıları silersek nasıl dizi elde edilecektir

8 Banka hesabında bir miktar parası olan Yusuf her ay aynı miktar para hesabına yatı-rıyor Tasarruf yapmaya başladıktan 16 ay sonra Yusuf rsquoun 81 500 denarı 27 ay sonra ise 81500 denarı olmuştur Tasarrufa başlamadan oumlnce Yusuf rsquoun banka hesabında kaccedil parası varmış ve her ay banka hesabına ne kadar para yatırmıştır

64 Aritmetik Dizilerin Oumlzellikleri

A Şu oumlrneği inceleyelim1 1 4 7 10 13 16 sonlu aritmetik dizisi iccedilin1 +16 = 4 +13 = 7 +10 = 10 + 7 = 13 + 4 = 16 +1 geccedilerlidir

Genel olarak

nnnm aaaaaaa 12321

sonlu aritmetik dizisi verilmiş olsunŞu ccedilift leri inceleyelim

)( 1 naa )( 12 naa )( 23 naa )( 1mnm aa )( 1aan

burada indislerin toplamı n + 1rsquodir (1 + n = n +1 2 + (n -1) = n +1 3 + (n - 2) = n +1m + (n - m +1) = n +1 ) Bu ccedilift lere a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta olan terimler denir

dmaam )1(1

ve

dmnaa mn )(11

olduğuna goumlre onların toplamı

nmnm aadnaadmnadmaaa 111111 )1()()1(

Bu toplam m sayısına bağlı olmadığını goumlruumlyoruz Yani m = 123 hellip iccedilin

nmnm aaaa 1)1(

dirBununla şu oumlzelliği ispatlamış oluyoruz

10 Her aritmetik dizisinde uccedil terimler a1 ve an lsquoden eşit uzaklıkta olan terimlerin toplamı uccedil terimlerin a1 + an toplamına eşittir

2 5 7 9 11 13 15 17 hellip aritmetik dizisini inceleyelim n = 5 iccedilin (10) oumlzelliği 5 +13 = 7 +11 = 9 + 9 = 11 + 7 = 13 + 5 (= 18) n = 6 iccedilin ise bu oumlzellik

5 +15 = 7 +13 = 9 +11 = 11 + 9 = 13 + 7 = 15 + 5 (= 20)

147

B Ccedilok kez ilk terimi a1 ve ortak farkı d ile verilmiş olan bir aritmetik dizisinin ilk n te-riminin toplamını belirtmek gerekir Aranılan toplamı Sn ile işaret edeceğiz

nn aaaaS 321

Bu toplamı ters youmlnde yazarsak

geccedilerli olduğunu fark edebiliriz Bu iki denklemi taraf tarafa toplamakla

)()()()()(2 11211121 aaaaaaaaaaaaS nnnnnnn

elde edilir

3423121 nnnn aaaaaaaa

olduğuna goumlre 2Sn = n(a1 + an) elde edilir Ora-dan da

)(2

1 nn aanS

(1)elde edilir Bu formuumllde an = a1 + (n - 1)d değiştirmekle

])1(2[2

1 dnanSn

(2)formuumlluuml elde edilir Bu formuumll bir aritmetik dizisinin aranılan ilk n teriminin toplamıdır For-muumll a1 d n ve Sn buumlyuumlkluumlkleri arasındaki bağıntıyı goumlstermektedir ve bu buumlyuumlkluumlklerden her-hangi biri bilinmediğinde diğer uumlccedil bilinen buumlyuumlkluumlkle belirtilebilir

1 İlk n tek sayının toplamını hesaplayınız(2) formuumlluumlnde a1 = 1 ve d = 2 ile değiştiriyoruz

21 )2(

2))1(22(

2])1(2[

2nnnnndnanSn

2 Bir ayakkabı fabrikasında ilk yıl 50 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiş ve her gelen yılda 3000 ccedilift ayakkabı iccedilin uumlretim artmıştır Fabrika kuruluşundan sekizinci yıl sonuna kadar toplam kaccedil ccedilift ayakkabı uumlretmiştir

(2) formuumlluumlnde n = 8 a1 = 50 000 ve d = 3 000 ile değiştiriyoruz

3 Oumlrnek 2rsquodeki diziyi inceleyelim Dizinin ikinci terimi (7) ilk (5) ve uumlccediluumlncuuml (9) terimin aritmetik ortası olduğunu Uumlccediluumlncuuml terimi (9) ikinci terim (7) ve doumlrduumlncuuml terim (11) aritmetik

ortası olduğunu fark edebilirsiniz Bu oumlzellik genel olarak da geccedilerlidir

20 Vo proizvolna aritmeti~ka progresija ma e aritmeti~ka sredina od

1ma i 1ma odnosno za m1 va`i 2

11 mm

maaa

20 Her aritmetik dizisinde am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin aritmetik ortasıdır yani 1lt m iccedilin

211

mmm

aaa dir

148

4840001210004]30007500002[2

88 S

Demek ki ilk sekiz yılda toplam 484 000 ccedilift ayakkabı uumlretilmiştir

Alıştırmalar

1 Verilen sayıların aritmetik ortalamasını belirtiniz a) 15 ve 23 b) x + y ve x ndash y

2 Herhangi bir aritmetik dizisi verilmiş olsun Değeri 1 2 1

2na a ye eşit olan bir terimin

var olduğunu goumlsteriniz

3 Herhangi bir aritmetik dizisini seccediliniz ve

2kmkm

maaa

( mk )

geccedilerli olduğunu goumlsteriniz Bu ise am terimi am-k ve am+k terimlerinin aritmetik ortalamasıdır demektir Ondan sonra bu oumlzelliği genel durum iccedilin ispatlamaya ccedilalışınız

4 İlk n ccedilift sayının toplamını hesaplayınız

5 Bir aritmetik dizisinin 78 teriminin toplamı ne kadardıra) a1 = 5 ve d = 3 b) a1 = -2 ve d = 2

6 İlk n doğal sayının toplamı 1275rsquotir n ne kadardır

7 a7 + a11 = a5 + a20 geccedilerli olan bir aritmetik dizisi iccedilin ne diyebilirsiniz

65 Geometrik Diziler

Aritmetik dizilerde iki ardışık terimin farkı daima aynı sayı olduğunu goumlrduumlk Bu ders biriminde iki ardışık terimin boumlluumlmuuml daima sabit olan dizilerden soumlz edilecektir Bu diziler geometrik dizilerdir Tasarruf yatırımlarda faizin hesaplanması iccedilin bu dizilerden yararlanılır

149

Goumlruumllduumlğuuml gibi dizinin her gelen terimi kendinden oumlnce olan terimin q ne 0 sayısıyla ccedilarpılarak elde edilir a elemanı dizinin ilk terimidir q sayısına ise ortak boumllen ya da ortak ccedilarpandır denir ccediluumlnkuuml

2

32

aqaq

aqaq

aaqq

dir

1 3 6 12 24 48 96 hellip dizisi ilk terimi 3 ve ortak boumlleni 2 olan bir geometrik dizidir

2 ( )24

48

12

24

6

12

3

6

2 İlk terimi 2 ve ortak ccedilarpanı - 3 olan geometrik dizisini oluşturunuzAranılan dizi 2 2bull (-3) 2bull (-3)2 2bull (-3)3 ya da 2 -6 18 -54 hellip

3 İlk terimi 18 ortak boumlleni 1

3 olan dizi 18

8 63

18 2

3

6

3

2

9

2

27

2

q gt 1 ise geometrik dizi a1 gt 0 iccedilin artandır a1 lt 0 iccedilin ise eksilendir

4 1 2 4 8 16 32 64 128 hellip dizisinde a1 = 1 gt 0 ve q = 2 olduğuna goumlre dizi artandır

5 -1 -2 -4 -8 -16 -32 -64 -128 hellip dizisinde a1 = -1 gt 0 ve q = 2 gt 1 olduğuna goumlre dizi eksilendir

q = 1 ise dizi sabittir oumlrnek -5 -5 -5 -5 -5 hellip 0 lt q lt 1 olduğu durumda geometrik dizi a1 gt 0 iccedilin eksilendir a1 lt 0 iccedilin ise artandır

6

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

dizisinde a1 = 1 gt 0 ve

12

1q

olduğuna goumlre dizi eksilendir

7

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

dizisinde a1 = -1 lt 0 ve

12

1q olduğuna goumlre

dizi artandır

Tanım 1 q ne 0 olmak uumlzerea aq aq2 aq3 aq4 (1)

biccediliminden (an) dizisine geometrik dizi denir

150

q lt 0 ise dizinin terimlerinin işareti değişken olduğundan dizi ne artan ne de eksilendir Bunu oumlrnek 2rsquode goumlrebilirsiniz

(1) formuumlluumlnden şunları yazabiliriz

qaa 12 2

123 qqaa 3

134 qqaa

4145 qqaa

1

1 n

n qa (2)

Dizinin ilk terimi ve ortak ccedilarpanı bilindiğinde (2) formuumlluumlnden yararlanarak dizinin herhangi terimini belirtebiliriz

8 a1 = - 162 ve 1

3q olan bir geometrik dizisinin altıncı terimi (2) formuumlluuml gereğince

3

2

3

32)

3

1()162(

5

45

6

a

9 Bir geometrik dizisinin doumlrduumlncuuml terimi 162 altıncı terimi ise 1458rsquodir Dizinin ilk teri-mini ve ortak boumllenini belirtiniz

(2) formuumlluumlnden n = 4 ve n = 6 iccedilin162 = a1q3 ve 1458 = a1q5 denklemleri elde edilirİkinci denklemi birinci denklemle boumllmekle 9 = q2 ve oradan 3q elde edilir

q = 3 iccedilin birinci denklemden 1 3

1626

3a elde edilir q = -3 iccedilin birinci denklemden

1 3

1626

3a

elde edilir

Alıştırmalar

1 Bir geometrik dizisinin ilk iki terimi 41 ve 24rsquotuumlr Dizinin beşinci terimini belirtiniz

2 Verilen dizilerden hangileri geometrik dizilerdir а) 2 - 832 -1285122 bull (-4)n-1 b) 182781 n3 c) 94 -1 - 6 -1114 - 5n d) 1248162n-1

151

Geometrik dizisi olanların ilk terimini ve ortak boumllenini belirtiniz

3 a) İlk terimi 5 ve ortak boumlleni 15 olan geometrik dizinin beşinci terimini bulunuz b) İlk terimi 15 ve ortak boumlleni -2 olan geometrik dizinin yedinci terimini bulunuz

4 Duygu yıllık 6 faiz oranıyla bankaya bir miktar para yatırmıştır a) Yedi yıl sonra yatırdığı para yuumlzde kaccedil artacaktır b) Kaccedil yıl sonra banka hesabındaki para ana paranın en az iki katına ccedilıkacaktır

5 Ali ve Bekir bir bankaya aynı miktar para yatırmışlar Ali 3 faiz oranıyla 4 yıl iccedilin Bekir ise 4 faiz oranıyla 3 yıl iccedilin yatırmıştır Hangisi bankadan daha ccedilok para almıştır

6 Suumltte bakteri sayısı her 3 saatte iki katına artar 24 saatte bakteri sayısı kaccedil defa artacak-tır

66Geometrik Dizisinin Oumlzellikleri

A 1 1 2 8 32 128

2 sonlu geometrik dizisini inceleyelim

2

112823288322128

2

1 olduğunu fark ediyoruz

Bu oumlzellik genel durumda da geccedilerli olduğunu goumlstereceğiz 1 2 3 4 a a a a sonlu geo-

metrik dizisi verilmiş olsun 2 1 1 ve nn

aa a q aq olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak

nn

n aaqaqaaa 1112 elde edilir Ondan sonra 2 1

3 2 1 2 2q ve n n

na aa a q a aq q

ol-

duğundan elde edilir

Bu şekilde devam etmekle 1

1 ( 1) 1q ve k n

k n k k

aa a aq

buradan da

nknk

knk aaqaqaaa 11

11)1(

(1)

152

Endekslerin toplamı n + 1 olan ( a2 an-1) ( a3 an-2) ( a4 an-3) ( ak an-k+1) (an-1 a2) ccedilift lere a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta olan terimler denir Buna goumlre (1) eşitliği şu oumlzelliği ifade etmektedir

10 Her geometrik dizide a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ccedilarpımı uccedil terimlerin ccedilarpımına eşittir

20 Her geometrik dizisinde 1 lt m iccedilin

11 mmm aaa dir yani am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin geometrik ortasıdır

30 Her geometrik dizisinde k lt m iccedilin

kmkmm aaa dir yani am terimi am-k ve am+k terimlerinin geometrik ortasıdır

2 Şu geometrik dizisini inceleyelim 2 6 18 54 162 486 hellip n = 5 ve n = 6 iccedilin bu oumlzelliği yoklayalım

n = 5 iccedilin 2bull162 = 6bull54 = 18bull18 = 54bull6 = 16bull22 (= 324)n = 6 iccedilin 2-486 = 6-162 = 18-54 = 54-18 = 162-6 = 486-2 (= 972)

3 Oumlrnek 2rsquodeki diziyi inceleyelim İkinci terim (6) birinci (2) ve uumlccediluumlncuuml (18) terimle-rinin geometrik ortası uumlccediluumlncuuml terim (18) ikinci terim (6) ve doumlrduumlncuuml terim (54) sayılarının geometrik ortası doumlrduumlncuuml terim (54) uumlccediluumlncuuml terim (18) ve beşinci terim (162)rsquonin geometrik ortası olduğunu vb fark edebiliriz

Genel olarak 11 ve m

m m maa a a q

q

olduğuna goumlre

112)( mmm aaa te 11 mmm aaa

Buna goumlre şu oumlzellik geccedilerlidir

Benzer şekilde 20 oumlzelliğinin daha genelini ifade eden şu oumlzelliği de ispatlayabiliriz

4 3 ve 192 sayıları arasında verilenlerle beraber geometrik dizisi oluşturacak 5 sayı yerleştiriniz

Oumlnce a1 = 3 ve a7 = a1q6 den q ortak boumllenini belirtiyoruz a1 = 3 değerini değiştirmekle 3 q6 = 192 eşitliğinden q6 = 64 ve q = plusmn2 elde edilir q = 2 ise şu dizi elde edilir

153

3 6 12 24 48 96 192 hellip q = -2 ise 3 - 6 12 -24 48 -96 192

B Verilen geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamını Sn ile işaret edelim

11

21

2111 nn

n qaqaqaqaaS (1)

Bu denklemin her iki tarafını q ile ccedilarpmakla

nnn qaqaqaqaqaqS 1

11

31

211 (2)

(2) eşitliğinden (1) eşitliği ccedilıkarılırsa

11 aqaSqS nnn

oradan

)1()1( 1 nn qaqS

1

)1(1

qqaS

n

n (3)

elde edilir Bu ise bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamını ifade eden formuumllduumlr For-muumllde a1 q n ve Sn buumlyuumlkluumlkleri bulunur ve bu buumlyuumlkluumlklerden her biri bilinen diğer uumlccedil buuml-yuumlkluumlkle hesaplanabilir (3) formuumlluuml genellikle q gt iccedilin uygulanır q lt 1 olduğu durumda aynı formuumll şu şekilde yazılarak kullanılır

qqaS

n

n

1

)1(1 (4)

q = 1 ise bu formuumlller kullanılamaz ccediluumlnkuuml kesrin hem payı hem de paydası sıfır olur Halbuki bu durumda Sn = na1 olduğu accedilıktır

1 İlk terimi a1 = 3 ve q = 2 verilmiş olan geometrik dizisinin ilk 6 teriminin toplamını belirtiniz

n = 6 a1 = 3 ve q = 2 değerlerini formuumllde değiştirmekle

189633)164(312

)12(3 6

6

S

elde edilir2 İlk terimi a1 = 4 ve q = -3 verilmiş olan geometrik dizisinin ilk 7 teriminin toplamını

belirtinizn = 6 a1 = 4 ve q = -3 değerlerini formuumllde değiştirmekle

2188121874

)12187(4

13

)1)3((4 7

7

S

154

3 Ortak ccedilarpanı q = -1 olan geometrik dizisinin ilk 2k teriminin toplamını belirtiniz n = 2k ve q = --1 değerlerini formuumllde değiştirmekle

0

2

)11(

11

)1)1(( 1

2

12

aaSk

k

elde edilir Boumlyle bir sonun elde edilmesi doğaldır ccediluumlnkuuml bu dizi a1 - a1 a1 - a1 hellip biccedilimin-dedir

Alıştırmalar

1 Verilen geometrik dizisinin ilk 8 teriminin toplamını belirtiniz а) -13 - 9 b) 5 5 5 c)

1 2

1

4

1 d) 512 -256 128

2 Verilenlere goumlre geometrik dizisinin ilk terimini belirtiniz а) n = 8 q = 2 S6 = 765 b)

4n 3

2q 656 S

3 Bir geometrik dizisinin beşinci terimi 1

9 ve ortak ccedilarpanı 1

3 rsquodir İlk terimini ve ilk beş

teriminin toplamını belirtiniz Geometrik dizisini yazınız

4 Ahmet ocak ayında 20 000 denar maaş almıştır Yıl sonuna kadar maaşı her ay 3 art-mıştır Ahmet yıl boyunca toplam ne kadar maaş almıştır

5 a) 30 ve 120 b) ve xxyy

sayılarının geometrik ortasını belirtiniz

6 Herhangi bir geometrik dizisini seccediliniz ve 1 2 ve 3 oumlzelliklerini yoklayınız

7 Herhangi bir geometrik dizisi verilmiş olsun Verilen dizide değeri 1 2 1na a olan teriminin var olduğunu ispatlayınız

155

67 Konu Pekiştirme Oumldevleri

1 Ne artan ne de eksilen olan bir diziyi yazınız

2 1 4 16 25 36 hellip n2 hellip dizisinde 125 sayısına karşılık gelecek n indisli terim var mıdır

3 (an) dizisini tek indisli terimleri pozitif ccedilift indisli terimleri ise negatif tir Bu dizi artan ya da eksilen olabilir mi

4 İlk 1000 doğal sayının toplamını hesaplayınız

5 İlk terimi 7 ve yuumlzuumlncuuml terimi 53 olan aritmetik dizisinin ilk 100 teriminin toplamını hesaplayınız

6 a2 = 6 ve a45 = 74 olan aritmetik dizisinin ilk 46 teriminin toplamını hesaplayınız

7 1 ve 14 sayıları arasında a b c olmak uumlzere oumlyle uumlccedil sayı yerleştiriniz ki 2 a b c14 bir aritmetik dizisi olsun

8 Herhangi bir aritmetik dizisi iccedilin n ka a n k d geccedilerli olduğunu goumlsteriniz

9 Bir tuumlccar satranccedil tablosunu şu koşullara goumlre satıyormuş Tablonun birinci karesinde 1 denar ikinci karesinde 2 denar uumlccediluumlncuumlsuumlnde 3 denar vb olmak uumlzere son kareye 64 denar konulacaktır Tuumlccar satranccedil tablosunu kaccedil denara satıyormuş

10 İlk terimi 100 ve ortak boumlleni q = -1 olan bir geometrik dizisinin 2k + 1 teriminin toplamını belirtiniz

11 3 b 75 sayıları bir geometrik dizisi olacak şekilde b sayısını belirtiniz

12 Her geometrik dizide n kn ka a q geccedilerli olduğunu ispatlayınız

13 Her bakteri bir saatte ikiye katlanırsa başlangıccedilta 7 bakteri olan bir bitkide 8 saat sonra ne kadar bakteri olacaktır

14 Bir ccedilocuk ocak ayında kumbarasına 5 denar koyarak para biriktirmeye başlamıştır Ondan sonra her ay bir oumlnceki ayın iki katı kadar kumbarasına para koymuştur Yıl sonunda ccedilocuğun kumbarasında ne kadar para birikmiştir

156

15 a) 1 2 3 a a a dizisi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizisi ise 1 2 3a a a olduğunu ispatlayınız

b) 1 2 3 na a a a dizisi aynı anda hem aritmetik hem de geometrik dizisi ise 1 2 3 na a a a olduğunu ispatlayınız

16 Bir geometrik dizisinde 2 3 1 7a a a a oumlzelliği varsa dizi iccedilin ne diyebilirsiniz

157

Konu Oumlzetleri

Dizi N doğal sayılar kuumlmesinden R reel sayılar kuumlmesine bir eşlemedir ak+1 gt ak ise dizi her doğal sayı iccedilin kesin anlamda artandır ak+1lt ak ise dizi her doğal sayı iccedilin kesin anlamda eksilendir

1k ka a ise dizi her doğal sayı iccedilin artmayandır

1k ka a 6 ise dizi her doğal sayı iccedilin eksilmeyendir

Her doğal sayı n iccedilin na M olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi uumlstten sınırlıdır denir

Her doğal sayı n iccedilin na M6 olacak şekilde M reel sayısı varsa dizi alttan sınırlıdır denir

Hem uumlstten hem de alttan sınırlı olan dizilere sınırlı diziler denir

Her eksilen ve her artmayan dizi uumlstten sınırlıdır her artan ve her eksilmeyen dizi alttan sınırlıdır

Bir (an) dizisinde iki ardışık terimin farkı 1n na a daima sabit kalıyorsa yani n doğal sayısına bağlı değilse ya da 1n na a = d olacak şekilde bir d reel sayısı varsa (an) dizisine arit-metik dizisi denir d sayısına ortak fark denir

Bir aritmetik dizisinin genel terimi

dnaan 11

Her aritmetik dizisinde am terimi am-1 ve am+1 terimlerinin aritmetik ortasıdır yani 1lt

m iccedilin 2

kmkmm

aaa dir

Bir aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı

)(2

1 nn aanS

ya da

])1(2[2

1 dnanSn

q ne 0 olmak uumlzere a aq aq2 aq3 aq4 ku q ne 0 biccediliminden (an) dizisine geometrik dizi denir Bu dizinin genel terimi

158

11

nn qaa dir

Her geometrik dizide a1 ve an uccedil terimlerden eşit uzaklıkta bulunan terimlerin ccedilarpımı aqn uccedil terimlerin ccedilarpımına eşittir

Her geometrik dizisinde k lt m iccedilin m m k m ka a a rsquodir yani ma terimi m ka ve m ka terimlerinin geometrik ortasıdır

kmkmm aaa

Bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı

1

)1(1

qqaS

n

n dir

159

BİLEŞİK FAİZ HESABI

71 Bileşik Faiz Kavramı ve Hesaplanması

Bir miktar paranın faizinin hesaplanması basit ve bileşik faiz hesaplamasıyla yapılabilir Basit faiz bir yatırımın yatırım vadesi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranıdır

Bileşik faizde yatırılan miktar para her doumlnemde değişir yani her doumlnem sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle yatırım miktarı buumlyuumlr ve gelecek doumlnemde aynısı ana-para oluyor Buna goumlre bileşik faiz iccedilin şu tanımı kabul edebiliriz Bir yatırımın yatırım vadesi boyunca kazandığı faizin de yeni yatırım vadesinde yatırıma tabi tutulması sonucu elde edilen getiriyi goumlsteren faizdir Diğer bir deyişle faizin de faiz kazanmasıdır

Basit faiz 100

Kpti formuumlluumlyle hesaplanır (t yıl sayısıdır) Zaman aylar ile verildiğinde

1200

Kpmi formuumlluumlyle hesaplanır Bu durumda m ay sayısıdır ve zaman guumlnlerle ifade edilirse

36500

Kpdi formuumlluuml kullanılır (d ndash guumln sayısı)

1 24 000 denar temel kapital iccedilin 2 ayda 6 faiz oranıyla ne kadar faiz oumldenecektirVerilenlere goumlre K = 24 000 t = 2 ay p = 6rsquodır

1200

26240000

1200

Kpti 2400 denar

Basit ve bileşik faiz hesaplama yoluyla elde edilen faiz miktarlarının farkını goumlrmek iccedilin bir oumlrnekle karşılaştırma yapacağız Ondan sonra bileşik faizin hesaplanması iccedilin bir formuumll belirteceğiz

2 34 500 denar kapital bir bankaya 8 faiz ile doumlrt yıl yatırılmış olan para basit ve bileşik faiz ile ne kadar faiz getirir

Bir yılda 34 500 denar anapara basit faiz formuumlluuml ile

276034500100

8 denar faiz getirir

Faiz daima anaparaya hesaplandığına goumlre bu miktar hep aynıdır ve doumlrt yılda 2760 denarın doumlrt katı kadar faiz elde edilir Buna goumlre toplam faiz miktarı

7

160

834500 4 11040

100i denardır

Bileşik faiz hesabında ise her yıl sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle

anapara miktarı buumlyuumlr ve gelecek yıl aynısı anapara oluyor Buna goumlre birinci yılın faiz miktarı

1

834500 2760

100i denardır Halbuki artık ikinci yıl anaparası birinci yılın anaparası ve

birinci yılın faiz miktarıyla toplamına eşittir 34 500 + 2 760 = 37 260 denardır

İkinci yıl faiz miktarı 2

837260 29808

100i denar olur

Uumlccediluumlncuuml faiz miktarını hesaplamak iccedilin anapara yine buumlyuumlr ve 37260 + 29808 = 402408

denar olur O halde 3

8402408 3219264

100i denar olur Sonunda faizi hesaplanacak ana-

para 402408 + 3219264 = 43460064 olur Buna goumlre 4

843460064 34768

100i elde edilir

Doumlrt yıl iccedilin elde edilen faiz miktarı 1243686 denardır Goumlruumllduumlğuuml gibi bileşik faiz hesabıyla

hesaplanan faiz miktarı basit faiz hesabıyla elde edilen miktardan buumlyuumlktuumlr

Bileşik faizyılda bir defa iki defa ya da birccedilok defa hesaplanabilir Faizin hesaplandığı za-man aralığına faiz hesaplama vadesi denir Faiz yılda bir hesaplanarak yıl sonunda elde edilen faiz anaparaya eklenirse o halde yıllık faiz soumlz konusu olur Faiz yılda iki defa hesaplanarak ana paraya eklenirse faiz hesaplama vadesi 6 aydır ve yarım yıllık faiz hesaplaması soumlz konusu olur Benzer şekilde faiz hesaplama yılda doumlrt defa yapılırsa faiz hesaplama vadesi 3 aydır denir

Basit faiz hesaplamasında doumlrt temel buumlyuumlkluumlk K - anapara (temel kapital başlangıccedil miktar) i - faiz miktarı p ndash faiz oranı (yuumlzde olarak) 100 denar paranın zaman biriminde getirdiği faiz t - paranın faizde kaldığı suumlre ndash yıl olarak ya da daha kuumlccediluumlk zaman oumllccediluuml biriminde de

olabilir

Bu buumlyuumlkluumlkler bileşik faiz hesabının da temel unsurlarıdır halbuki burada ek olarak bi-leşik faizin temel unsuru

161

bir yıl esnasında faizin hesaplanma sayısı m yani yıllık doumlnem sayısı da katılmaktadır

Pratikte faiz doumlnemleriyle ilgili olarak faiz hesapları ccedileşitli işaretlerle işaretleniyorlar Oumlr-neğin faizin yıllık hesaplanması (a) ile yarım yıllık hesaplanması (soumlmestreli) (s) ile uumlccedil ayda bir hesaplamayı (kvartal) (q) ile ayda bir vadeyi (m) ile ve adı geccedilen her vadelik hesaplamalarda faiz oranı yıl bazında sayılmaktadır

Faiz oranı yıllık faiz oranı gibi verildiğinde pa biccediliminde işaret yazılır yarım yıllık faiz oranı olarak alınırsa ps işareti yazılır Uumlccedil aylık bazında da faiz oranı verilebilir ve bu durumda pq biccediliminde ya da aylık bazında olursa pm işareti yazılır Bu şekilde verilmiş olan faiz ora-nına nominal faiz oranı denir Nominal faiz oranı aslında baz kabul edilen faiz vadesinde yuumlz para biriminin buumlyuumlme miktarıdır

Ancak finansman ya da yatırımlarla ilgili kararlarda vade uzunluğu yıl olduğu kadar yıldan daha kısa suumlreli olabilir Oumlrneğin tahvil faizlerinin her altı ayda bir ya da uumlccedil ayda bir oumldenmesi ya da aylık uumlccedil aylık altı aylık vadeli hesap accediltırılmasında olduğu gibi Bu gibi durumlarda yıllık olarak verilen faiz oranından etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı) bulunarak işlem yapılmalıdır Etkin faiz oranını yıllık nominal faiz oranının (cari faiz ya da piyasa faiz oranı da denilen) yıl iccedilindeki doumlnem sayısına boumlluumlnmesiyle bulunur

Etkin faiz oranı nominal faiz oranının bir kısmı gibi belirtilir Oumlrnek nominal yıllık faiz oranı yıl bazında verilmiş iken altı ay vadeli bir hesap accediltırılırsa altı ay yılın yarısı olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak etkin faiz oranı da nominal faiz oranının yarısı olacaktır Nominal faiz oranı yıl bazında faiz hesaplama vadesi aylık ise etkin faiz oranı nominal faiz oranının on ikide biri olacaktır Benzer şekilde nominal faiz oranı soumlmestreli (yarım yıllık) olduğunda uumlccedil aylık faiz vadesi iccedilin etkin faiz oranı nominal faiz oranının yarısına eşittir ccediluumlnkuuml uumlccedil aylık doumlnem altı aylık faiz vadesinin yarısıdır Nominal faiz oranı uumlccedil aylık faiz hesaplama vadesi yıllık olduğu durumda bir yıla karşılık gelen etkin faiz oranı verilenden doumlrt kat buumlyuumlktuumlr ccediluumlnkuuml yıl uumlccedil ayın doumlrt katıdır Karşılaştırma yapmak iccedilin aşağıdaki tabloyu inceleyebilirsiniz Orada m = 2 m = 1 m = 4 m = 12 ve benzer

Faiz vadesi Nominal faiz oranı etkin (roumllatif) faiz oranıYarım yıllık (soumlmestral) 8 pa 4 psYıllık 8 ps 16 paUumlccedil aylı 8 pa 2 pqAylık 8 pa 0667 paİki yıllık 8 ps 32İki aylık 8 pa 1333

Her doumlnem sonunda faiz hesaplanarak anaparaya katılırsa doumlnem sonu (dekurzif) faiz-lenme soumlz konusu olur boumlyle durumda faiz oranı pa(d) ile işaret edilir Doumlnem sonu faizlen-menin faiz hesaplaması başlangıccedilta yatırılan anaparaya goumlre uygulanmaktadır

162

Faizlenme her doumlnem başlangıcında yapılırsa doumlnem başı faizin hesaplanması iccedilin temel değer doumlnem sonunda elde edilen anaparadır bu işleme doumlnem başı (antisipatif) faizlenme denir ve pa(a) ile işaret edilir

İki şekilde verilmiş olan (doumlnem sonu ve doumlnem başı ) faiz oranlarından hangisi daha kacircrlı olduğunu anlamak iccedilin her ikisini aynı şekilde ifade etmemiz gerekir Bu durumda aynı anaparadan bir yılda aynı faiz miktarı yani aynı birikim K1 elde edilmesi oumlnemlidir Faizinin belirtilmesi istenilen temel değer (anapara) K verilmiş ve faiz oranları pa(a) ve p pa(d) verilmiş olsun Faiz hesaplama şeklinin tanımlarına goumlre doumlnem sonu faizlenmede hesaplanan

anaparaya katılır ve yıl sonunda 1

1001

100 100

p pK K K 13

değeri elde edilir doumlnem başı

faizlenmede borccedillu faiz miktarını faiz oranıyla oumlnceden oumldemelidir Bu demektir ki birin-

ci doumlnem başlangıcında hesaplanan faiz temel değerden ccedilıkarıldığına goumlre K değerini değil

1 1 1 1100 100

K K K K 13

değerini ccedilekebilir Bu durumda anaparanın başlangıccedil değeri

1 1 1 1100 100

K K K K 13

rsquodir Oradan 1

100

100K K

olur K1rsquoin son değerlerini eşitle-

yerek 100

100

pK 100

100K

eşitliği ya da 100

100

p 100

100

denklemi elde edilir pa(a)

faiz oranı belli olduğu durumda doumlnem sonu faiz oranını 100

100p

formuumlluumlyle hesapla-

yabiliriz p pa(d) belli olduğu durumda ise doumlnem başı faiz oranı 100

100

pp

formuumlluumlyle

hesaplanabilir

3 Bir banka 6 pa(d) faiz oranıyla diğer bir rakip banka ise 57 pa(a) faiz oranıyla borccedil veriyorlar Hangi bankanın faiz oranı daha uygundur

Her iki faiz oranını karşılaştıracağız Halbuki oumlnce dekurzif faiz oranını doumlnem başı faiz oranına ve tersine doumlnuumlştuumlrmemiz gerekir

163

Doumlnem sonu faiz oranını doumlnem başı faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlyoruz 100 100 6

100 100 6

pp

566 pa(a) elde edilir Buna goumlre 57 pa(a) faiz oranı veren banka

daha hesaplıdırBuna inanmak iccedilin ters doumlnuumlşuumlmuuml de yapacağız Doumlnem başı faizi doumlnem sonu fai-

ze doumlnuumlştuumlruumlyoruz 100 100 57

100 100 57

604 pa(d) Buradan da goumlruumllduumlğuuml gibi goumlre

57pa(a) faiz oranı daha hesaplıdır

Alıştırmalar1 25 000 denar paradan 15 faiz oranıyla basit faizdea) 5 yılda b) 3 ayda c) 25 guumlnde

(30360) ve (k 365) zaman matrislerine goumlre ne kadar faiz getirir

2 Faiz oranı 5 basit faiz ile yatırılan bir temel kapital K kaccedil yıl bankada yatırılmalıdır ki elde edilen faiz miktarı temel değere eşit olsun (Not K = I)

3 34 500 denar borccedil iccedilin basit faiz hesabına goumlre 4 yılda toplam 6 900 denar faiz oumldenmiş-tir Faiz oranı ne kadardır

4 Yatırılan hangi anaparaya 6 faiz oranıyla 3 540 denar faiz miktarı oumldenmiştira) 4 yılda b) 8 ayda

5 Bir bankaya aralarındaki fark 12 000 denar olan iki farklı kapital yatırılmıştır Buumlyuumlk olan para miktarı 4 faiz oranıyla bir yıl iccedilin kuumlccediluumlk olan para miktarı ise 6 faiz oranıyla 10 ay vadeyle yatırılmıştır Her iki kapitalin getirdiği faiz miktarı eşit olduğuna goumlre iki farklı ka-pitalin toplamını hesaplayınız

6 Verilen 12 pa nominal yıllık faiz oranı iccedilin şunları belirtiniza) yarım yıllık vadeli etkin (roumllatif) faiz oranınıb) uumlccedil aylık vadeli etkin faiz oranınıc) aylık vadeli etkin faiz oranını

7 Uumlccedil aylık nominal faiz oranı 2 pq verilmiş olduğu halde şunları belirtiniza) yarım yıllık etkin faiz oranını

164

b) yıllık etkin faiz oranınıc) aylık etkin faiz oranını

8 10 doumlnem sonu faiz oranını doumlnem başı faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

9 10 doumlnem başı faiz oranını doumlnem sonu faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

10 Hangi faiz oranı daha kazanccedillıdır 6 pa(a) yoksa 65 pa(d)

72 Temel Değerin Gelecekteki Değerini Hesaplamak

Bileşik faiz hesaplamalarını yaparken faiz oranından başka temel paranın faiz vadesi so-nunda faiz miktarı kadar buumlyuumlmuumlş değerini de bilmek gerekir yani faizlenen değer ya da i i Bu durumda tuumlm faiz vadesinde elde edilen faiz miktarını temel değere katmakla elde edilen para miktarına temel paranın gelecekteki değeri denir Faizlenmesi yapılan temel değerin başlangıccedil miktarına şimdiki değer de denir

Başlangıccedilta doumlnem sonu faiz oranıyla işlem goumlren K para miktarını inceleyelim K1 K2hellip Kn sırasıyla birinci yıl sonunda ikinci yıl sonunda hellipn yıl sonunda elde edilen kapital olsun Bu değerler bir geometrik dizinin oluşturduğunu goumlstereceğiz Bu temel değerin yıllık p pa(d) faiz oranıyla n yılda nasıl değiştiğini inceleyeceğiz Hesaplanan her faiz miktarı doumlnem sonun-da anaparaya katıldığını ve ilerdeki doumlnemde buumlyuumlyen anapara temel kapital olarak alındığını

hatırlatalım Doumlnem sonunda kapitalin değeri birinci yıl sonunda 1 1

100 100

Kp pK K K 13 olur

ikinci yıl sonunda 2

12 1 1 1 1

100 100 100

K p p pK K K K 13 13

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - -

Aynı şekilde devam edersek n yıl sonunda

11 1 1 1

100 100 100

nn

n n nK p p pK K K K

13 13

elde edilir

Burada iki ardışık değeri Ks-1 ve Ks ayırırsak s yıl sonunda temel kapitalin toplam değeri ondan oumlnce gelen Ks-1 değerine hesaplanan faizin katılmasıyla Ks

165

miktarı elde edilir yani

1 1 1 1100 100

s s s sp pK K K K

13

olur

Buna goumlre herhangi iki ardışık temel miktarın oranı yani iki ardışık doumlnem sonundaki miktarların oranı

1001

1

pKK

s

s

olur

Accedilıktır ki K K1 K2 Kn değerleri ortak ccedilarpanı 1100

p olan bir geometrik dizi oluş-

turuyorlar Bu durumda verilen koşullara goumlre kapitalin son değeri iccedilin

n

npKK )

1001(

formuumlluuml elde edilir Bu formuumlluuml yukarıda adı geccedilen parametrelerle genişleteceğiz Bunlar bir yılda faiz doumlnem

sayısı m etkin faiz oranı daha doğrusu pm

burada p doumlnem sonu faiz oranıdır ve faizlenme

devrelerinin tuumlmuuml nmrsquodir Faiz vadelerinin tuumlmuuml aslında faizin hesaplandığı yıl sayısı ve faiz vade sayısının ccedilarpımıdır

Bu koşullarla yani bir yılda faiz doumlnem sayısı m olduğunda anaparanın gelecekteki de-ğeri iccedilin

nm

n mpKK )

1001(

formuumlluuml elde edilir

1100

prm

ccedilarpanına doumlnem sonu faiz katsayısı denir Bu katsayıyı anaparanın gele-

cekteki değer formuumlluumlnde değiştirirsek

nm

n KrK

formuumlluuml elde edilirNot 1 Ana paranın gelecekteki değerini daha kolay biccedilimde hesaplamak iccedilin i i şek-

linde işaret ettiğimiz faizin faizine ait oumlzel tablolar geliştirilmiştir Orada verilen faiz oranı iccedilin en ccedilok kullanılan parametreler oumlnceden hesaplanmış olduğuna goumlre hazır değerler gibi kullanı-labiliyorlar Oumlrnek ilk i i tablolarda faiz katsayısının değerlerini yani bir para biriminin son değerinin doumlnem sonu faiz katsayısıyla ccedilarpımını goumlstermektedir Orada rn değeri In

p ile işaret edilmiştir ve anaparanın gelecekteki değerini yılda bir faizin hesaplanmasıyla n yılda faiz oranı p pa(d) olduğunda

166

npn KK 7

formuumlluuml elde edilirFaizlenme yılda birccedilok defa yapılırsa formuumll

nm

mpn KK 7

şeklini alır Burada yıl sayısı faiz vadesi sayısıyla ccedilarpılır faiz oranı ise vade sayısıyla boumlluumlnuumlr Vade sayısı m ile işaretlenmiştir yani yılda kaccedil defa faizlenme yapıldığını goumlsteren sayı olarak goumlsterilir

1 25 000 denar para 20 yılda 8 pa(d) faiz oranıyla faiz hesaplaması yıllık vadeli yarım yıllık vadeli ve uumlccedil aylık vadeli olduğuna goumlre paranın gelecekteki değerini hesaplayınız

Verilenler K = 25 000 n = 20 p= 8 pa(d)a) Faiz hesaplaması yıllık vadeli olduğuna goumlre m = 1rsquodir Doumlnem sonu faiz katsayısı

81 108

100r rsquodir

Accedilıktır ki 20 20

20 25000 108 11652393K Kr denar olacaktır

b) m = 2 olsun yani faiz hesaplaması yarım yıllık vadeli olsun Doumlnem sonu katsayı 8

1 104100 2

r

anapara ise 40 40

20 25000 104 12002552K Kr denar olur Bu ise

yıllık faiz hesaplamasından fazla olduğu goumlruumlluumlyorc) m = 4 olsun yani faiz hesaplaması uumlccedil ayda bir vadeli yapılmış olsun Doumlnem sonu kat-

sayı 8

1 102100 4

r

anapara ise 80 80

20 25000 104 12188598K Kr denar olur

Doumlnem sonu faiz hesaplamasında faiz devrelerinin artmasıyla anaparanın (yatırımın) da gelecekteki değeri artar Yani faizin hesaplanması ne kadar daha sık yapılırsa rnm değeri de o kadar artar bununla yatırımın gelecekteki değeri de artar

Nominal faiz oranı bir yıldan az vade iccedilin verildiğinde yıllık faiz oranıyla ne olduğunu incelersek bu durumda yıllık faiz oranı etkin faiz oranı roluumlnuuml alacaktır p = 8 ps(d) ise bu faiz oranı sadece yarım yıl iccedilin geccedilerli olduğunu goumlz oumlnuumlnde bulundurarak yıllık etkin faiz oranı 16 olur p = 8 pq(d) uumlccedil aylık vadeli faiz oranı ise etkin yıllık faiz oranı 32 olur

167

2 Başlangıccedil değeri 25 000 denar olan bir kapitalin p = 8 pm(d) faiz oranıyla faiz vadesi yılda doumlrt defa yani uumlccedil aylık faizin hesaplanmasıyla 5 yıl sonra gelecekteki değeri belirtilsin

Oumlnce yıllık etkin faiz oranını belirtmek gerekir bu ise yıllık 8 12 96 rsquodir Halbuki faiz

vadesi yılın doumlrtte biri olduğundan uumlccedil aylık vadeli faiz oranı 96

4 = 24 olur Bir aylık vade uumlccedil

ayda kaccedil defa geldiğini duumlşuumlnuumlrsek aynı sonuca varabiliriz Bir ccedileyrek yıl uumlccedil ay olduğundan 3 ∙ 8 = 24 elde edilir faizlenme işleminin toplam vade sayısı nm = 5 4 = 20rsquodir Anaparanın gelecekteki değeri

864732500024125000100

24125000

1004

812125000 20

2045

5 13

13

K

olduğuna goumlre K5 = 184660374 denar olduğunu buluyoruz

Sıradaki oumlrnekte bir anaparanın gelecekteki değerini hesaplarken bileşik faiz hesabının uygulanması ya da basit ve bileşik faiz karması kullanılmakla elde edilen farkı goumlreceğiz

3 1509 guumlnuuml 18000 denar yatırılmıştır Faiz oranı p = 6 ps(d) faiz hesaplanması uumlccedil aylık vadelerle yılın 3009 3012 3003 ve 3006 guumlnlerinde yapıldığında zaman matrisi (30 360) koşuluyla onuncu yılın 2807 guumlnuuml (ilk guumlnuuml dahil) yatırımın değeri ne kadar olacaktır

Yatırımın şimdiki değeri K = 18 000 faiz vadesi ccedileyrek yıl yani m = 4 faiz oranı p = 6 ps(d) yıllık roumllatif faiz oranı 12 pa(d) parametreleri verilmiştir

Karşılık gelen faiz katsayısının değeri

0314100

261

100

21

m

pr dir

Yatırımın faizde kalma zamanını belirtmemiz gerekir Yatırımın yapıldığı guumln 1509rsquoden faizin ilk hesaplama guumlnuumlne kadar sadece 15 guumln vardır Bu guumlnleri verilen zaman matrisine

goumlre yıl olarak ifade edersek 15

360t yıl olur Ondan sonra 3012 tarihine kadar yani yılın

sonuna kadar bir faiz devresi vardır İkinci yılın başlangıcından dokuzuncu yılın sonuna kadar toplam 8 yıl olduğuna goumlre toplam 32 faiz vadesi vardır Onuncu yıl boyunca 3006 tarihine kadar 2 tam vade ve yatırımın kaldırılacağı guumlne kadar daha 28 guumln vardır Demek ki toplam

35 tam faiz vadesi ve ilk yılın 15

360t ve onuncu yılın trdquo = 28 guumln = 28

360 yıl faiz zamanı elde

edilir

168

Yatırımın gelecekteki değerini sadece bileşik faiz hesabını kullanarak hesaplıyorsak za-manı tam vade sayısına kalan guumlnleri ise yıl olarak ifade edeceğiz Buna goumlre

951369031031031180004

360

284

360

15

3535 mtmtn rrKrK

denar elde edilir

Zamanın tamamını yıllarla ifade edersek tam vadeler 3 aylık yani 90 guumln olduğunu goumlz

oumlnuumlne bulundurarak 35 90

360

yıl olur O halde

31934

36018000 103 513699nK

denar olduğunu buluyoruz

Faizde kalma zamanının sadece tam vadelerine basit faiz hesabını uygulayarak bileşik ve basit faiz hesaplama kombinasyonu kullanalım

)100

1()100

1( 35 tprtpKKn

formuumlluumlnde sırasıyla oumlnce ilk yılın 15 guumlnuuml ondan sonra 35 tam faiz vadesi ve sonunda son yılın 28 guumlnuuml yazılarak 8651377)

360

28

100

121(031)

360

15

100

121(18000 35 nK

denar elde edilir

Demek ki basit ve bileşik faiz kombinasyonunu uygulayarak yatırımın gelecekteki değeri sadece bileşik faiz hesabı kullanarak elde edilen miktardan biraz farklaşıyorlar ve kombinasyon uygulayarak elde edilen gelecek değer biraz buumlyuumlktuumlr

Doumlnem sonu (sonra) ve doumlnem başı (peşin) faizlenme arasındaki temel fark konunun başlangıcında ifade edildiği gibi doumlnem sonu faizlenmede faiz miktarı doumlnem sonunda anapa-raya eklenir doumlnem başı faizlenmede ise faiz miktarı anaparaya peşin eklenir

Doumlnem başı faizde borccedillu faiz oranıyla K kapitaline gereken faiz miktarını peşin oumldeme yuumlkuumlmluumlluumlğuumlnuuml kabul etmiştir K1 K2 Kn birinci ikinci ve benzer şekilde n- yıl sonunda kapitalin değerleri olsun

Birinci vadesin başlangıcında borccedillu K değerini değil

100

100

1001

1001111

13

KKKKK değerini alabilecektir O halde birinci yıl sonun-

da borccedillunun yıllık (m = 1) faizlenme ile oumldeyeceği miktar

100

100

1001

1 KKK

elde edilir

169

İkinci yıl sonunda bileşik faiz hesaplandığına goumlre faiz tabanı birinci yıl sonunda elde

edilen miktardır yani şimdi 100

100K

dir Demek ki ikinci yıl sonunda

2

12100

100

100

10013

KKK

miktar oumldenmelidir Bu şekilde devam ederek faizlenmenin son nndash ci yılına geliyoruz ve ana-paranın gelecekteki değeri

n

nn KKK 13

100

100

100

1001

olur Doumlnem başı faizlenmede kapitalin son değerleri K K1 K2 helliportak boumlleni 100

1008

olan

bir geometrik dizi oluşturuyorlar n- ci doumlnem sonunda kapitalin değeri Kn ise 1n nK K 8

geccedilerlidir yani doumlnem başı faizlenmede n yıl sonra kapitalin değeri

nn KK 8 olur

1 100

1001

100

8

katsayısına doumlnem başı faiz katsayısı denir

Elde edilen formuumllleri bir yılda faiz doumlnem sayısı m etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı)

m burada yıllık doumlnem başı faiz oranıdır ve faiz suumlresinin toplam sayısı nm parametreleriyle

genişlettirirsek kapitalin gelecekteki değeri iccedilin şu formuumlluuml elde edeceğiz

nm

nm

n mmK

m

KK 13

13

100

100

100

100

Formuumllde doumlnem başı faiz oranının katsayısı 100

100

mm

8

koyarsak kapitalin gelecek-teki değerine ait

unm

n KK 8

formuumlluuml elde edilir

Not 2 i i tablolarında doumlnem sonu hesaplamada olduğu gibi n8 değeri I

n ile işaret

edilir ve yıllık faizlenmeyle şimdiki değerin (anaparanın) gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin şu formuumll elde edilir

170

nn KK 7

Buna karşılık faizin hesaplanması yılda birkaccedil kez yapıldığında yukarıdaki formuumll

nm

mn KK 7

şekline doumlnuumlşuumlr Bu durumda zaman faiz devreleriyle ccedilarpılır faiz oranı ise faiz doumlnem sayısıyla boumlluumlnuumlr

Son formuumlller doumlnem sonu faizlenme formuumlluumlyle aynıdır halbuki farklı faiz katsayıların-dan oumltuumlruuml elde edilen son değerler birbirinden farklıdır

4 Şimdiki değeri 25 000 denar olan kapitalin 20 yılda 8 pa(a) nominal faiz oranıyla yıllık yarım yıllık ve uumlccedil aylık faiz devreleriyle elde edilecek sonraki değeri ne kadardır

Oumldevdeki verilere goumlre K = 25 000 p = 8 pa(a) verilmiştira) Yıllık faiz devresi m = 1 olsun Oumlnce doumlnem başı faiz katsayısını hesaplıyoruz

0869618100

100

8

Kapitalin gelecekteki değeri 20 20

20 25000 108696 13249859K K8 elde edilirb) m = 2 olsun yani faizin hesaplanması yılda iki defa yapıldığını alalım

Peşin faiz katsayısı 100 200

104166667100 192

mm

8

olduğunu buluyoruz Buna goumlre

kapitalin gelecekteki değeri 40 40

20 25000 104166667 12796485K K8 denar olduğunu buluyoruz Goumlruumllduumlğuuml gibi yıllık faizlenmeyle elde edilen gelecekteki değer goumlre yarım yıllık faizlenme ile elde edilen gelecekteki değer biraz azalmıştır

c) m = 4 olsun yani faizin hesaplanması her uumlccedil ayda yani yılda 4 defa yapıldığını alalım

Peşin faiz katsayısı 100 400

1020408100 392

mm

8

olduğunu buluyoruz Buna goumlre kapitalin

gelecekteki değeri 80 80

20 25000 1020408 1258486K K8 denar olduğunu buluyoruzPeşin faiz hesaplanmasında faiz devrelerinin artmasıyla kapitalin gelecekteki değeri azal-

maktadırDoumlnem sonu ve peşin faizin hesaplanmasıyla elde edilen gelecekteki değerleri birbiriyle

karşılaştırırsak aynı koşullar altında doumlnem başı faizlenme ile doumlnem sonu faizlenmeden daha buumlyuumlk değer verir Buna goumlre borccedil kredi alındığında alacaklıya doumlnem başı faiz hesaplaması daha hesaplıdır borccedilluya ise doumlnem sonu faiz hesaplaması daha kacircrlıdır

5 2 yıl ve 6 ay oumlnce bankaya 60 000 denar yatırmış ve bir yıl ve 3 ay sonra 45000 denar ccedilek-memiz gerekir Faiz oranı 6 pa(d) faiz hesaplaması 3 aylık devrelerle yapıldığında bu guumlnden 3 yıl sonra yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır Aynı koşullar altında fakat doumlnem başı faizlenme ile paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır

171

Her miktarın ayrı ayrı gelecekteki değerini hesaplayacağız Yatırılan miktar iccedilin faiz suumlresi 55 yıl ccedilekilen miktar iccedilin faiz suumlresi bir yıl ve 3 ay ve bu guumlnden sonra 3 yıl sonraki toplam za-man suumlresi 1 yıl 9 aydır ya da 21 aydır (şek 1)

Şek1

Doumlnem sonu faiz katsayısından 01511004

61

r

yararlanarak miktarın 3 yıl sonra gelecekteki değeri

8333100151450000151600004500060000 72212

214

455 rrS

denar olduğunu buluyoruz

Peşin faiz hesaplanmasıyla faiz katsayısı 100 400

10152286 400 6

1004

8

dir Bu du-

rumda miktarın gelecekteki değeri

72212

214

455 0152281450000152281600004500060000 88S

elde edilir yani S = 3364462 denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 18 yıl 8 ay ve 20 guumln evvel 8pa(d) faiz oranıyla 20 000 denar yatırılmıştıra) faiz devresi yıllık b) faiz devresi uumlccedil aylık

olduğuna goumlre yatırılan paranın buguumlnkuuml değeri ne kadardır Hesaplamaları oumlnce bileşik faiz hesabıyla sonra bileşik faiz ve basit faiz kombinasyonuyla hesaplayınız

2 9000 denar ilk 5 yılda 6 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle ondan sonra daha 4 yıl 8 pq(d) faiz oranıyla ve aylık faiz devresiyle ve sonunda daha 2 yıl 7 ps(d) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık faiz devresiyle bir bankaya yatırılmıştır Yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

3 9000 denar ilk 5 yılda 6 pa(a) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz devresiyle ondan sonra daha 4 yıl 8 pq(a) faiz oranıyla ve aylık faiz devresiyle ve sonunda daha 2 yıl 7 ps(a) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık faiz devresiyle bir bankaya yatırılmıştır Yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

172

4 2 yıl 3 ay oumlnce 40 000 denar ve buguumln daha 24 000 denar bankaya yatırılmıştır Faiz oranı 5 pa(d) ve yarım yıllık devrelerde faizin hesaplanmasıyla bu guumlnden doumlrduumlncuuml yılın sonuna kadar yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

5 Buguumln 30 000 denar bankaya yatırıyoruz uumlccedil yıl sonra ise 12 000 denar ccedilekecek ve beş yıl sonra daha 20 000 denar yatırılacaktır Faiz oranı 6 pa(d) ve faiz hesaplanması uumlccedil aylık olduğuna goumlre bu guumlnden 8 yıl sonra bankada ne kadar paramız olacaktır Faiz oranı 6 pa(a) uygulandığı durumda elde edilen gelecekteki değeri ilki ile kıyaslayınız

6 Doumlrt yıl oumlnce 30 000 denar ve buguumln daha 9 000 denar bankaya yatırılmış iki yıl sonra 36 000 denar ccedilekilecektir Yatırımlara 6 pa(d) faiz oranı ve yarım yıllık devrelerde faizin he-saplanması uygulanmaktadır Bu guumlnden sekiz yılın sonuna kadar yatırılan paranın gelecekteki değeri ne kadardır

7 15 yıl oumlnce 7 000 denar 9 yıl oumlnce daha 4 000 denar bankaya yatırılmış ve 5 yıl oumlnce he-saptan 5 000 denar ccedilekilmiştir Faiz işlemi uumlccedil aylık devrelerle 5pa(d) faiz oranıyla yapıldığına goumlre paranın buguumlnkuuml değeri ne kadar olacaktır

73 Konform Faiz Hesabı

Doumlnem sonu yani faizin doumlnem sonu hesaplanması soumlz konusu olunca pratik nedenlerden dolayı şimdiye dek kullandığımız faiz oranlarından farklı bir cins faiz oranına ihtiyaccedil duyul-maktadır Bunun sebebi bir yılda faiz devrelerinin artmasıyla faiz miktarının artışının sonucu olarak doumlnem sonu faizlenmede kapitalin değeri de artar ve bazı anlaşmazlıklara sebep olabilir Etkin faiz oranını uygulamakla sadece ana değerin faizi değil faizin de faizi hesaplanmaktadır Bu durumda temel değerin yıllık faizlenme ile ve yılda birkaccedil defa faizlenme ile elde edilecek gelecekteki değerler arasında fark ortaya ccedilıkmaktadır Bu farkı ortadan kaldırmak istersek etkin faiz oranı yerine konform faiz oranı denilen faiz oranını uygulayacağız Bu faiz oranıyla faiz ister yıllık hesaplamayla ister yılda birkaccedil devreden faizin hesaplanmasıyla aynı faiz miktarı elde edilir Konform faiz oranını pkm ile işaret edeceğiz Bir yılda m defa faizlenme ile ve yılda bir defa faiz oranı p olmak uumlzere yapılan faizlenme ile aynı faiz miktarı veren konform faiz oranı şu iki formuumlllerin eşitlenmesiyle elde edilir

173

13

13

1001

1001

pKp

Km

mk

oradan da

13

13

1001

1001

pp mmk

elde edilir Bu denklemden konform faiz oranı iccedilin şu formuumll elde edilir

u f r

13

1

1001100

mmk

pp

Elde edilen konform faiz oranı daima etkin faiz oranından kuumlccediluumlktuumlr

1 Yıllık nominal faiz oranı p = 12 pa(d) olduğuna goumlre uumlccedil aylık konform faiz oranı ne kadardır Elde edilen faiz oranını etkin faiz oranıyla (roumllatif faiz oranıyla) karşılaştırınız On-dan sonra 10000 denar anaparanın her iki faiz oranıyla bir yıl sonunda gelecekteki değerlerini hesaplayarak karşılaştırınız

Faiz doumlnem sayısı m = 4rsquotuumlr Yukarıda elde edilen formuumllden 1100

121100 4

4

13

kp

287 elde edilir Diğer taraft an uumlccedil aylık etkin faiz oranı 12

43 olduğunu buluyoruz Gouml-

ruumllduumlğuuml gibi etkin faiz oranı konform faiz oranından buumlyuumlktuumlr Konform faiz oranını verilen

anaparaya uygulayarak gelecekteki değeri 3711198100

872110000

4

1 13

K

denar elde edilir

Etkin faiz oranını uygulamakla 112551004

12110000

4

1 13

K denar elde edilir

2 25000 denar 20 yılda nominal faiz oranı 8 pa(d) faizlenme yarım yıllık ve uumlccedil aylık olmak uumlzere konform faiz oranını kullanıldığında anaparanın gelecekteki değerini hesaplayınız

a) m = 2 olsun Yılda iki faizlenmeye karşılık gelen konform faiz oranı

92331100

81100

13

mkp dir Anaparanın gelecekteki değeri iccedilin

75511652103923125000100

1 40

40

20

13

mkp

KK elde edilir Bu şekilde elde edilen kapi-

tal roumllatif faiz oranıyla yapılan hesaplamaya goumlre elde edilen kapitalden kuumlccediluumlktuumlr halbuki yıllık faizlenme ile elde edilen kapital ile hemen de aynı olduğunu goumlrebiliriz

174

Oumlrnek etkin faiz oranını uygulayarak 521200251002

8125000

40

20 13

K

denar yıl-

lık faizlenme ile 93116523100

8125000

20

20 13

K

denar elde edilir

b) m = 4 olsun Konform faiz oranı 94311100

81100 4

13

mkp

Konform faiz

oranıyla kapitalin gelecekteki değeri 5111655501943125000100

1 80

420

20

13

mkp

KK

de-

nardır Etkin faiz oranını kullanmakla 98121885021250001004

81 80

80

20 13

KK

de-

nar elde edilir Yılda bir faizlenme işlemi yaparak К 20rsquorsquo = 211652393 denar elde edilir

Yıllık faizlenme ile ve doumlnem faizlenme ile yapılan işlemlerde kapitalin gelecekteki değe-riyle ilgili meydana gelen sapmalar Konform faiz oranında yapılan yuvarlamadan kaynaklanır

Alıştırmalar

1 Buguumln yatırılan 28 000 denar 2pq(d) faiz oranıyla yarım yıllık doumlnem faizlenme işle-mi uygulayarak 2 yıl 9 ay sonra hangi değere bağlı olacaktır Konform faiz oranını uygulayınız

2 Buguumln 20 000 denar yatırıp iki yıl sonra 7 500 denar ccedilekilecektir Faiz oranı 9 ps(d) doumlnem vadesi 3 ay olmak uumlzere bu guumlnden uumlccedil yıl sonra ne kadar paramız olacaktır

3 Bankaya 20000 denar a) etkin faiz oranı b) konform faiz oranı 8pa(d) ve faiz hesaplama vadesi 3 ay olmak koşullarıyla para yatırdık 10 yıl sonra ne

kadar paramız olacaktır

4 Uumlccedil aylık faiz vadesine ait 1467 konform faiz oranını yıllık faiz oranına doumlnuumlştuumlruumlnuumlz

5 8 pa(d) faiz oranını veriliyor Yarım yıllık ve uumlccedil aylık faiz vadesine karşılık gelecek konform faiz oranını hesaplayınız

175

6 15 yıl oumlnce bankaya 7 000 denar 9 yıl oumlnce daha 4 000 denar yatırılmış 5 yıl oumlnce ise hesaptan 5 000 denar ccedilekilmiştir Faizin hesaplanması 3 aylık vadelerle ve 5 pa(d) faiz oranıyla yapıldığına goumlre hesabımızda buguumlne kadar ne kadar para birikmiştir Konform faiz oranını hesaplayınız

74 Yatırılan Paranın Başlangıccedil Değeri ve FaizMiktarının Hesaplanması

Bazı durumlarda belli bir zamanda belli faizlenme oranıyla ne kadar paraya ihtiyacımız olacağını biliyor fakat bunun iccedilin bankada ne kadar paranın yatırılması gerektiğini bilmiyoruz Aslında faiz oranını yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısını m ve faiz zamanı n ile biriken Kn değeri bilindiğine goumlre K başlangıccedil miktarını yani anaparayı hesaplamamız gerekir Verilen kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin elde ettiğimiz formuumllden temel değer iccedilin şu formuumllleri belirtebiliriz

nm

nnmn

mp

KrKK

)100

1( doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve

nm

nnm

n mKKK

13

1001

8 doumlnem başı faizlenme iccedilin

Biriken paranın başlangıccedil değerini bulma işlemine iskontolama ya da biriken değerin başlangıccedil değerini belirtme denir Faiz oranlarının ccedilarpımsal ters ve nm nmr 8 değerlerine is-konto katsayıları (faktoumlrleri) denir

Not 1 Burada oumlnemli olan i i tablolarından yararlandığımızda neler oluyor bilmemiz ge-rekir Doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlenmenin katsayıları na karşılık gelen ve

n npI I değerler

yanı sıra değerleri ikinci tabloda okunan 1n n

npp

rII I ve 1n n

nII I

8 iskonto katsayıları da

belirtilir İkinci tablolardaki değerler birinci tablolardaki değerlerin ccedilarpımsal tersleridir Buna

goumlre temel değerin başlangıccedil değerini belirtmek iccedilin formuumlllerfnpnKK 77

yıllık doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve urn

nKK 77 yıllık doumlnem başı faizlenme iccedilin şeklinde yazabiliriz

176

Tabi ki yılda birkaccedil defa faizlenme yapılıyorsa zaman suumlresi faiz doumlnem sayısıyla ccedilarpılır faiz oranı ise yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısıyla boumlluumlnuumlr Buna goumlre başlangıccediltaki temel değer

nm

mpnKK 77

doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve nm

mnKK 77

doumlnem başı faizlenme iccedilin for-

muumllleriyle hesaplanabilir

1 Faiz oranı 6 pa(d) ve yıllık faiz vadesiyle doumlrt yılda 68 000 denar biriktirmemiz gere-kirse bankaya ne kadar para yatırmamız gerekir

Burada m = 4 K4 = 68 000 p = 6 pa(d) olduğu accedilıktır Oumlnce faiz katsayısını ondan sonra

iskonto katsayısını hesaplayalım 6

1 106100

r Buna karşılık iskonto katsayısı 109434

r

elde edilir O halde başlangıccedil (yatırılması gereken) kapital 3538629434068000061

68000 4

4K

denar olduğunu buluyoruz

2 Hangi temel değer doumlrt yılda doumlnem suumlresi a) yarım yıl b) uumlccedil ay

olmak uumlzere yatırmalıyız ki gelecekteki değeri 10 000 denar olsun Temel değerin gelecekteki değeri K4 = 10 000 denardır Her iki durumu ayrı ayrı inceleye-

ceğiza)

041200

812 rm

demek ki

9730604110000 24 K

denardır

b)

021400

814 rm oradan

46728402110000 44 K denar elde edilir

3 Altı yıl oumlnce 27 000 denar borccedil alınmış on yıl sonra ise daha 36 000 denar borcun oumlden-mesi gerekir Oumlnceki borcumuzu oumldeme imkanı olmadığını varsayarak 4 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faizlenme ile buguumln tuumlm borcu birden oumldemek istersek hangi miktar parayı oumlde-meliyiz Aynı koşullarla fakat faizlenme doumlnem başı (peşin) olmak uumlzere hangi miktar parayı oumldemeliyiz

Borcu geriye ccedilevirmediğimiz takdirde onun değeri buguumlne dek faiz doumlnem sayısı 12 ve 2 ps(d) etkin faiz oranıyla elde edilecek faiz miktarı kadar artmıştır Demek ki oumldenmemiş borccedil buguumln

12

12

02127000200

4127000

13

olacaktır Aynı zamanda ikinci boru suumlresinden oumlnce

oumldediğimize goumlre değeri 10 yıl iccedilin geri iskontolanacaktır ve

20

20

02136000200

4136000

13

olacaktır (şek2)

177

Şek 2

Bu guumlnuumln toplam borcu hesaplanan her iki borcun toplamıdır Buna goumlre tuumlm borcu buguumln oumldersek aranılan miktar

S = 27000 bull 10212 + 36000 bull 102-20 = 584695 denardırFaizlenme doumlnem başı yapıldığı durumda faiz katsayısı 0204081

2100

100

8

denar olur Buna goumlre gereken para miktarı

S = 27000 middot102040812 + 36000 bull1020408-20 = 8833094 denardır

Bankaya yatırılan para miktarına (ya da geri ccedilevrilmesi istenen borca hesaplanan faiz mik-tarı ne kadardır sorusu da sorulabilir Kapitalin ilk ve gelecekteki değerlerini bildiğimize goumlre hesaplanan faiz miktarı aslında bu iki değerin farkı olduğu accedilıktır Faizlenmenin nndashci doumlnem sonunda hesaplanan faiz miktarını In ile işaret edersek faizlenme şekli ne olursa olsun onun değeri In = Kn ndash K formuumlluumlyle hesaplanır

Daha konkre olarak faiz oranı p ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olan doumlnem sonu faizlenmede faiz miktarı iccedilin

In = Kn - K = Krnm - K = K(rnm -1)formuumlluuml elde edilir burada r doumlnem sonu faiz katsayısıdır

Peşin (doumlnem başı) faizlenme durumunda faiz oranı ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olmak uumlzere faiz miktarı iccedilin

In = Kn - K = Kpnm - K = K(pnm -1)elde edilir burada 8 doumlnem başı faiz katsayısıdır

Aynı formuumlller para miktarının sadece son değeri yani gelecekteki değeri bilindiğinde de yazılabilir Bu durumda doumlnem sonu hesaplamada

nmnmnnnn rKrKKKKI 1

ve doumlnem başı hesaplamada

nmnmnnnn KKKKKI 88 1

olduğunu buluyoruz

Not 2 i i tablolarından yararlanıyorsak formuumlller doumlnem sonu hesaplama durumunda

13

7 1nm

mpn KI ve doumlnem başı hesaplamada

13

7 1nm

mn KI şeklinde ifade edilir Para

miktarının sadece gelecekteki değerini kullandığımız durumda aynı formuumlller

13

77 nm

mpnn KI 1

ve

13

77 nm

mnn KI 1 biccediliminde ifade edilir

178

4 On yıl oumlnce 6 pa faiz oranı bazında yarım yıllık faiz vadesiyle 10 000 denar para ya-tırılmıştır Bileşik faiz hesabına goumlre

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı faizlenme uygulayarak bu miktar paranın faiz miktarı ne kadardır

Kapitalin başlangıccedil değeri K = 10 000 denar etkin faiz oranı 3 ve bir yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m = 2 biliniyor Bu durumda toplam faiz doumlnem sayısı 60rsquotır

a) Doumlnem sonu faiz katsayısı 031100

31 r

olur Hesaplanan faiz miktarı 130 = K30 ndash K

= 10000 bull (10360 -1)= 48196 denar olduğunu buluyoruz

b) doumlnem başı faiz katsayısı 0309313100

100

8

olur Hesaplanan faiz miktarı I30 = K30

- K = 10000 bull(10309360 -1)= 521943 denar olduğunu buluyoruzSon oumlrnekten de goumlruumllduumlğuuml gibi doumlnem başı faizlenme alacaklıya doumlnem sonu faizlenme

ise borccedillulara daha uygun olduğunu kanıtlamaktadır

5 Buguumln yatırılan para bir yıl altı ay iccedilinde 36 000 denar paraya birikir Faiz oranı 8 pa ve faiz vadesi 3 ay olduğuna goumlre

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı biccedilimde hesaplanan faiz miktarı ne kadardır

Kapitalin gelecekteki son değeri K15 = 36 000 denar m = 4 ve toplam faiz doumlnem sayısı 6 olduğunu biliyoruz

a) İskonto doumlnem sonu katsayısı

98040021

11

r

ve bu durumda hesaplanan faiz mik-

tarı

54031980401360001

1 6

65151 13

rKI

denardır

b) İskonto doumlnem başı katsayısı

980100

21001

8

ve bu durumda hesaplanan faiz mik-

tarı

6741099801360001 66

5151 8KI denardır

Alıştırmalar

1 20 yıl oumlnce bankaya yatırdığımız bir miktar paranın biriken buguumlnkuuml değeri 250000 denardır Faizde kaldığı suumlrede faizlenme vadesi 3 aylık ve faiz oranı

a) p = 6 pa(d) b) = 6 pa(a)olduğuna goumlre bankaya 20 yıl oumlnce ne kadar para yatırmışız

179

2 Bir kişi 2 yıl sonra 16 000 denar 5 yıl sonra 24 000 denar ve 8 yıl sonra 18 000 denar oumldemelidir Faiz oranı 6 pa yarım yıllık faizlenme ile

a) doumlnem sonu b) doumlnem başı olmak uumlzere kişi borcun tuumlmuumlnuuml buguumln oumldemek isterse ne kadar para oumldemelidir

3 Bir kişi 38 yaş guumlnuumlnde bankaya 48 pa(d) faiz oranıyla ve aylık faiz doumlnemleriyle 50 000 denar para yatırıyor Tam bir yıl sonra yatırılan paraya ne kadar faiz oumldenmiştir

4 Bir kişi bankaya 50 000 denar para yatırmış ve iki yıl sonra hesaptan 30 000 denar ccedilekmiştir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle bu guumlnden beş yıl sonra zaman suumlresinde ne kadar faiz miktarı oumldenecektir

(Not Faiz miktarı iki kısımdan hesaplanmalıdır Bu guumlnden sonra iki yıl iccedilin ve para ccedile-kildikten sonra kalan para miktarı iccedilin faiz hesaplanacaktır)

5 Bir kişi doumlrt yıl oumlnce 24 000 denar olmak uumlzere borcunun bir kısmını oumldemiştir Uumlccedil yıl sonra daha 30 000 denar oumldemelidir Kişi borcunun hiccedilbir kısmını oumldememiş olduğu varsayı-mıyla iki yıl sonra borcun tuumlmuumlnuuml birden oumldemek iccedilin kaccedil para oumldeyecektir Yıllık doumlnem sonu faizlenme olmak uumlzere faiz oranı 6 pa olsun Doumlnem başı faizlenme durumunda ise ne kadar para oumldeyecektir

75 Faiz Doumlnem Sayısını ve Faiz Oranının Hesaplanması

Şimdiye dek elde edilen formuumlllerde n yıl sayısı olarak oumlnceden bilinen ve genellikle yıl iccedilinde faiz doumlnem sayısı tam olarak verilmiş şekilde ifade ediliyordu Zaman suumlresi yıl olarak değil başka şekilde verildiği durumlarda yine zaman suumlresini yıl bazına ccedilevirerek hesaplamaları yapıyorduk Bu ise pratikte oumlzellikle faizlenme zamanını hesaplarken ccedilok seyrek rastlanmak-tadır Verilen bir kapitalin belli miktarda faiz getirdiği zamanı ya da faiz doumlnem sayısının nasıl hesaplandığını goumlreceğiz Başlangıccedil kapital K doumlnem sonu faizlenme p pa(d) faiz oranıyla yıl iccedilindeki doumlnem sayısı m ve faiz suumlresi tam sayı olmak mecburiyetinde olmayan n yıl olsun

Kapitalin gelecekteki değerini hesaplayan formuumlluuml nm

n mpKK

13

1001 doumlnuumlşuumlmler yaparak

n faiz suumlresini bulalım Buna goumlre

nmn

mp

KK

13

1001

bu ifadenin logaritmasını alaraknm

n

mp

KK

13

1001loglog

elde edilir

180

Logaritma işleminin temel oumlzelliklerinden yararlanarak 13

mpnm

KK n

1001loglog

elde edilir

Formuumllde 1100

prm

doumlnem sonu faiz katsayısını katarak faiz suumlresine ait

KK

rmn nlog

log

1

formuumlluuml elde edilir10 tabanlı logaritmalar ccedilok sık e tabanına goumlre logaritma ile değiştirilir Boumlyle durumda

elde edilen formuumlluumln karşılığı olan

KK

rmn nln

ln

1

formuumll elde edilir

Benzer şekilde faizlenme doumlnem başı olduğu durumda faiz oranı pa(a) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olduğunu varsayarak kapitalin gelecekteki değer formuumlluumlnuumln logaritmasını almakla

13

mmnm

KK n

100

100loglog

elde edilir Bu ifadede 100

100

mm

8

doumlnem başı faiz katsayısını katmakla

8loglog nmKK n

elde edilir Bu şekilde faiz suumlresine ait

KK

mn nlog

log

1

8

formuumlluuml elde edilir

1 a) Yatırılan 25 000 denar para 6 pa(d) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra 2985131 denar olacaktır

b) Yatırılan 13200 denar paranın 8 pa(a) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra gelecekteki değeri 184257 denar olacaktır

Oumldevde verilen veriler zamanın hesaplanması iccedilin yukarıdaki formuumlluumln uygulanmasına yeterlidir Faiz katsayısını hesapladıktan sonra formuumllde yerine koyarak

a) 031200

61 r

oradan 325000

3129851log

031log2

1n

yıl elde edilir

b) 086956518100

100

8 oradan 4

13200

718425log

08695651log

1n yıl olduğunu bu-

luyoruz

181

Formuumllde uygulanan logaritma işlemi kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin elde edilen formuumllde bilinen tuumlm veriler değiştirildikten sonra da yapılabilirdi

Kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin kullanılan i i tablolarından zamanı da belirtebiliriz Bunu birinci i i tablodan okuyarak ya da kapitalin başlangıccedil değerine ait ikinci i i tablodan okuyabiliriz

2 Yatırılan 200 000 denar paraya yıllık faizlenme uygulayarak 5 pa(d) faiz oranıyla kaccedil yıl sonra gelecekteki değeri 243 10125 denar olacaktır

Kapitalin gelecekteki değeri nn pK K I formuumlluumlnden faiz oranı katsayısı iccedilin

5

24310125121550625

200000

nI elde edilir Birinci finansal tabloda 5 faiz oranı boumlluumlmuumlnde

121550625 değeri n =4 satırına karşılık gelirHalbuki i i tablolardan yararlandığımızda bazı durumlarda aradığımız değer tam ola-

rak tabloda olmayabilir ancak aradığınız değer tablodaki iki değer arasında bulunabilir Boumlyle durumlarda doğrusal interpolasyon (ara kestirim) youmlntemi denilen kuralı uyguluyoruz Lineer interpolasyon youmlntemi denilen kuralın ilkesi aslında orantıların oumlzelliğine dayanır Yani tablo-da ardı sıra gelen iki değerin farkı onların peryotları arasındaki fark ile orantılıdır Bunu konkre bir oumlrnekle inceleyelim

3 Yatırılan 50 000 denar yarım yıllık faizlenme doumlnemleriyle 6 pa(d) faiz oranıyla ne kadar zaman sonra 75 000 denara birikecektir

Kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnde tabloları kullanarak 2

2

2

nn pK K I değerini

2 2

2

7500015

50000

n npn

KIK

elde edilir Birinci i i tabloda 3 etkin faiz oranına karşılık gelen

suumltunda 15 değerini bulamıyoruz Bu sayı 146853371 lt 15 lt 151258972 arasında bulunmak-tadır Bunlara karşılık gelen satırlardan kuumlccediluumlk değere 13 buumlyuumlk değere ise 14 faiz doumlnem sayısı karşılık gelir Oumldevimizin cevabı 13 ve 14 sayıları arasında olan yarım yıl sayısıdır Bunu tam olarak belirtmek iccedilin aşağıdaki tabloyu oluşturuyoruz

np2

2

7 n2 n

p2

2

7 n2

468533711 13 468533711 13 512589721 14 51 n2

Daha uygun goumlruumlnuumlrluumlk sağlamak iccedilin suumltunlardaki değerlerin farklarını hesaplayarak aynı tabloda yazdıktan sonra şu orantıyı kuruyoruz

182

(151258972 -146853371) (14 -13) = (15 -146853371) (2n -13)Demek ki

044056010

031466290132 n

oradan da 2n = 13714 elde edilir Demek ki faiz suumlresi n = 6857 yıldır Bu sayıyı yıl ay ve guumln-lere ccedilevirmek iccedilin sayının ondalık kısmını 12 ile ccedilarparak ayları buluyoruz elde edilen sayının yeni ondalık kısmını 30 ile ccedilarpmakla guumln sayısını elde ediyoruz Buna goumlre 0857 kısım yıl aslında 0857 12 10284 aydır Şimdi 0284 ay kısmını guumlnlere ccedilevirelim 0284 30 9 guumln-duumlr O halde faiz suumlresi 6 yıl 10 ay 9 guumln olduğunu buluyoruz

Aynı şekilde faiz suumlresini hesaplamak iccedilin ikinci finansal tabloyu da kullanabiliriz

4 Yatırılan 20 000 denar kapital 6 pa(d) faiz oranıyla ve yarım yıllık faiz vadesiyle ne kadar zamanda 80 000 denara bağlı olacaktır

a) Oumlnce ccediloumlzuumlmuuml formuumlluuml doğrudan doğruya kullanarak logaritma işlemi yardımıyla be-lirtelim Faiz katsayısı r = 103 m = 2 olduğuna goumlre kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnde değiştirerek

n203120000

80000 elde edilir Bu denklemin her iki tarafının logaritmasını alırsak log

4 = 2n log 103 oradan da n = 234527 yıl elde edilirb) Aynı sonuca ikinci finansal tabloyu kullanarak nasıl varıldığını goumlrelim 2

3

nnK K II

formuumlluumlnden 2

3

1025

4

nII elde edilir Bu değer 3 suumltununda bulunmadığına goumlre buna en

yakın iki ardışık değeri buluyoruz 02493 lt 025 lt 02567 Kuumlccediluumlk olan değer 47 yarım yıl vade-sine kuumlccediluumlk olan değer ise 46 faiz vadesine karşılık gelir Bu değerleri tabloda yazdıktan sonra orantıyı daha kolay kurmak iccedilin son satırda değerlerin farklarını da yazacağız

n2

377 n2 n2

377 n2 25670 46 25670 46 24930 47 250 n2 00740 1 00670 n246

Karşılık gelen orantı00074 (-1) = 00067 (46 - 2n)

dir Negatif işaretten kurtulmak iccedilin00074 = 00067 (2n - 46) biccediliminde yazabiliriz

183

Şimdi 000672 46 09054

00074n oradan da 2n = 46-9054 elde edilir Buna goumlre faiz

doumlnem suumlresi n = 234527 yıl olduğunu buluyoruz bu ise tam 23 yıl 5 ay 13 guumlnduumlr

Ccediloumlzuumllen her iki oumlrnekte doumlnem sonu faizlenme soumlz konusudur Faizlenme doumlnem başı olduğu durumda da aynı şekilde ifade edilir Boumlyle durumda karşılık gelen doumlnem başı tablolar ve doumlnem başı faiz katsayısı ya da iskonto katsayısı belirtilir Doğrusal interpolasyonun uygu-lanması aynı şekilde yapılır

Yukarıda elde edilen formuumlllere gereken cebirsel doumlnuumlşuumlmleri yaparak kapitalin başlangıccedil ya da gelecekteki değeri formuumlllerinde faiz oranının değeri hariccedil diğer parametreler bilindiğin-de bilinmeyen faiz oranını da belirtebiliriz

Doumlnem sonu faiz oranı p pa(d) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m faiz suumlresi n yıl olan bir faizlenmeyi inceleyelim Kapitalin gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin uygulanan

nm

n mpKK

13

1001

formuumlluumlnden 1100

nmnKp

m K elde edilir Bu denklemden faiz oranı iccedilin

13

1100 nm n

KK

mp

formuumlluuml elde edilir

5 Hangi yıllık doumlnem sonu faiz oranıyla 8 yılda doumlrt aylık faiz doumlnemleriyle bir anapara-nın getirdiği faiz miktarı kendisine eşit olacaktır

Oumldevin koşuluna goumlre I8 = K dir Bunu I8 = K8 ndash K faiz denkleminde yerine koyarsak K = K8 ndash K elde edilir O halde K8 = 2K olur n = 8 m =3 değerlerini yukarıda elde edilen faiz oranı formuumlluumlnde değiştirmekle

dapKKp 798123001

2300 2424

13

elde edilirAynı oumlrnekte faiz oranını hesaplamak iccedilin kullanılan i i tablolarından faiz oranının

nasıl hesaplandığını goumlsterelim Yukarıdaki oumlrneklerde bilinmeyen zamanın belirtilmesin-de uygulanan doğrusal interpolasyondan şimdi yapılacak işlemin tek farkı tablo değerlerin-den başka tabloda etkin faiz oranlarını da yazacağız Boumlylece yukarıdaki veriler gereğince

13

7 1nm

mpn KI faiz hesaplama formuumlluumlnde verileri yerlerine değiştirmekle

184

18

13

7 nm

mpKI

elde edilir Bu durumda I8 = K olduğuna goumlre birinci finansal tablonun değeri iccedilin 24

3

1 1pI buradan da 24

3

2pI elde edilir i i tablosunda faiz oranı suumltununda 275 faiz

oranına karşılık 1917626 değeri elde edilir faiz oranı suumltununda ise 3 faiz oranına 20327491 değeri karşılık gelir Bizim aradığımız değer tam bu iki değer arasındadır Tabloda okuduğumuz değerleri yazacağız

24

3

p7 3

p

24

3

p7 3

p

9176261 752 9176261 752

03279412 3 2 3

p

1151680 750 08237390 7523

p

Tablodaki değerlerin farkları faiz oranlarının farklarıyla aynı orantıda olduğuna goumlre şu orantıyı yazabiliriz

13

752

3082373907501151680

p

Buna goumlre 1151680

08237390750752

3

p

ifadesinden etkin faiz oranı iccedilin 3

p2928 elde

edilir yani nominal doumlnem sonu faiz oranı p = 8784 pa(d) olduğunu buluyoruz Elde edilen bu değer oumlncekinden biraz farklıdır bu ise tablodaki değerlerin yuvarlanmasından kaynaklanır

6 Hangi doumlnem başı faiz oranıyla 80 000 denar yarım yıllık faiz vadesi ile 2 yılda 120 000 denar olur

Aranılan formuumlluuml

nm

n mmKK

13

100

100

kapitalin gelecekteki değeri formuumlluumlnden doğrudan doğruya bulacağız Denklemi bilinmeyen değer rsquoye goumlre ccediloumlzelim

275 275

075

3

185

nm n

KK

mm

100

100

ya da

nm n

KKmm 100

100

elde edilir Bu son eşitlikten doumlnem başı faiz iccedilin

nm

nKKmm 100100

elde edilir Sonuccedil olarak

13

nm

nKKm 1100

formuumlluuml elde edilirKonkre oumlrnekte n = 2 m = 2 olduğuna goumlre

aapKK

2819903601200120000

80000120012100 44

2

13

13

elde edilir

Alıştırmalar

1 Bankaya yatırılan 8 000 denarın ne kadar zamanda gelecekteki değeri 55 000 denar olur faizlenme doumlnemleri yarım yıllık ve faiz miktarı

a) p = 8 pa(d) b) p = 8 pa(a)

2 Faiz doumlnemleri 3 aylık olmak uumlzere 7 faiz oranıyla bankaya yatırdığımız 20000 denar kapital

a) doumlnem başı b) doumlnem sonufaizlenme ile ne kadar zamanda banka hesabımızda 40 000 denar olacaktır

3 Bankaya yatırılan 15 000 denar kapital 25 yılda 28 600 denar olmak iccedilin uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle

a) doumlnem başı b) doumlnem sonufaizlenme hangi yıllık faiz oranıyla yapılmalıdır

4 Faiz vadesi yıllık olmak uumlzere hangi doumlnem sonu faiz oranıyla 18 yılda anapara iki ka-tına erişir Oumldevi i i tablolarıyla da ccediloumlzuumlnuumlz

1928 pa(a)

186

5 Buguumln bankaya 20 000 denar yatırdık iki yıl sonra 10 000 denar hesaptan ccedilekeceğiz Faizlenme doumlnemleri 3 aylık olmak uumlzere bu guumlnden doumlrt yıl sonra hesabımızda 30 000 denar olursa faizlenme hangi faiz oranıyla yapılmıştır Doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlenme youmln-temlerini ayrı ayrı inceleyiniz

6 40 000 denar borccedil 4 pa(d) faiz oranıyla doumlrt eşit taksitle oumldenmelidir İlk taksit 4 yıl sonra ikinci taksit 6 uumlccediluumlncuumlsuuml 15 ve doumlrduumlncuumlsuuml 18 yıl sonra oumldenecektir Aynı faiz oranıyla ve yıllık faiz doumlnemleriyle tuumlm borccedil kaccedil yıl sonra birden oumldenebilir

7 Bir kişinin buguumln bankaya yatırdığı bir miktar parası 2 yıl ve altı ay sonra 40 000 denar olmuştur ve bundan 10 000 denar faiz miktarı elde etmiştir Faizin hesaplanması yarım yıllık doumlnemlerle olduğuna goumlre para hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

8 Biri 25 doğum guumlnuumlnde bankaya 40 000 denar yatırmış ve 33 doğum guumlnuumlnde hesabında 76 800 denar olduğunu bankadan haber almıştır Faizlenme doumlnemleri yarım yıllık olduğuna goumlre para hangi faiz oranıyla bankaya yatırılmıştır

9 Bankaya 2 yıl oumlnce 70 000 denar yatırılmış buguumln 20 000 denar hesaptan ccedilekilmiştir Bir yıl sonra bankaya daha 10 000 denar yatırılacaktır Faiz oranı 10 pa(a) yıllık faizlenme olduğuna goumlre ne kadar zaman sonra banka hesabımızda 100 000 denar olacaktır

76 Konu Pekiştirme Alıştırmaları

1 Buguumln bankaya 100 000 denar yatırıyoruz Faiz oranı 5 pa(d) ve faizlenme uumlccedil aylık doumlnemlerle olmak uumlzere 15 yıl 25 guumln sonra hesabımızda kaccedil para olacaktır Bunu bileşik faiz hesabıyla ve basit ve bileşik faiz kombinasyonu uygulayarak hesaplayınız

2 10092000 tarihinde bankaya 12 000 denar yatırmıştık Yıllık faizlenme vadesi 10 pa(a) faiz oranıyla 31122010 tarihinde hesabımızda ne kadar para birikecektir

3 Yeni yıl ikramiyesi sayesinde geccedilen yılın son guumlnuumlnde bankaya 60 000 denar para yatır-dık Uumlccedil yıldan sonra yıl sonunda hesabımdan 24 000 denar ccedilekmeliyim yatırımın ilk guumlnuumlnden beş yıl geccediltikten sonra daha 40 000 denar yatıracağız Faiz oranı 3 ps(d) faiz doumlnemleri uumlccedil ay olmak uumlzere bu guumlnden 8 yıl sonuna kadar banka hesabımızda kaccedil para birikecektir

4 120 000 denar borccedil uumlccedil eşit taksitle geriye ccedilevrilecektir Taksitlerden birincisi bir yıl son-ra ikincisi doumlrt yıl sonra ve uumlccediluumlncuumlsuuml altı yıl sonra oumldenmelidir Faiz oranı 10 pa(d) yarım yıllık faizlenme doumlnemleriyle olmak uumlzere 2yıl altı ay sonra borcun tuumlmuumlnuuml birden ccedilevirmek iccedilin kaccedil para oumldenmesi gerekir

187

5 Bir kişi tasarruf yaptığı bankadan bu guumlnden itibaren 8 yılda oumldeme koşuluyla 600 000 denar borccedil almak istemiştir Bu guumln 100 000 denar yatırıyor ve beş yıl sonra daha 200 000 denar yatıracak ve borcun kalanını varsa 10 yıl sonra oumldeyecektir Faiz oranı 8 pa(d) yarım yılık doumlnem faizlenmesiyle 10 yıl sonra borccedil ne kadar olacaktır

6 Faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil aylık faiz doumlnemleriyle faizlenen bir borccedil 25 ay sonra 50 000 denar biriktiğine goumlre borcun şimdiki değeri ne kadardır

a) Sadece bileşik faiz hesabını kullanmakla b) son ay iccedilin bileşik ve basit faiz hesapları karmasını uygulamaklaFaiz miktarını da hesaplayınız

7 Kaccedil yıl sonra 20 000 denar yıllık faiz hesaplanması uygulayarak 5 pa(d) faiz oranıyla 7466912 denar olacaktır Oumldevi cebirsel şekilde ve i i tablolarından yararlanmakla ccediloumlzuumlnuumlz

8 65 pa(d) faiz oranıyla yarım yıllık faizlenme uygulayarak herhangi bir miktar para kaccedil yıl sonra uumlccedil katı kadar artacaktır Aynı koşullar altında faizlenme doumlnem başı faiz oranıyla yapıldığında zaman ne kadar değişecektir Hem cebirsel hem de finansal tabloları kullanarak hesaplamayı yapınız

9 Bankaya 15 yıl oumlnce 10 000 denar 8 yıl oumlnce de 20 000 denar yatırılmıştır Buguumln daha kaccedil para yatırmalıyız ki 10 yıl sonra biriken para 100 000 denar olsun Faiz oranı 4 pa yarım yıllık doumlnem sonu faizlenme uygulanacaktır

10 Faiz oranı 6 pa(a) yarım yıllık faiz hesaplaması uygulayarak hangi kapitalin 12 yıl ve 3 ayda getireceği faiz miktarı aynı koşullar altında 50 000 denarın 30 yılda getireceği faiz miktarına eşit olacaktır

11 Sattığı mal karşılığı bir kişiye 3 farklı teklif gelmiştir1) 40 000 denar peşin ve 5 pa(d) faiz oranıyla 120 000 denar 8 yıl 7 ay 20 guumln sonra

oumldenecektir2) 6 pa(d) faiz oranıyla 105 yıl sonra 200 000 denar oumldenecektir3) 80 000 denar peşin ve 3 pa(d) faiz oranıyla 100 000 denar 5 yıl ve 6 ay sonra oumldene-

cektir Hangi teklif en uygun olduğunu hesaplayınız

12 100 000 denar para 54 pa(d) faiz oranıyla 80 000 denar para ise 96 pa(d) faiz oranıyla bankaya yatırılmıştır Faizlenme doumlnemleri 3 aylık olduğu durumda ne zaman her iki kapitalin faiz miktarı aynı olacaktır İkinci kapitale doumlnem başı faizlenme uygulanıyorsa faiz-lerin eşit olduğu zaman ne kadar değişecektir

188

13 80000 denar bir borccedil 8 yıl sonra 3 pa(d) faiz oranıyla 40 000 denar 20 yıl sonra 4 pa(d) faiz oranıyla ve 23 yıl sonra 6 pa(d) faiz oranıyla 20 000 denar oumldenecektir Fa-izlenme doumlnem sayısı yılda iki defa yani yarım yıllık olduğuna goumlre borccedil 25 yıl sonra birden oumldendiği takdirde hangi faiz oranıyla oumldenecektir

14 Sınırlı sorumluluğu olan bir şirketin borccedilları- 5 yıl sonra oumldenmesi gereken 5 pa(d) faiz oranıyla 50 000 denar- 8 yıl sonra oumldenmesi gereken 6 pa(d) faiz oranıyla 80 000 denar- 12 yıl sonra oumldenmesi gereken 8 pa(d) faiz oranıyla 40 000 denarAynı zamanda 10 yıl sonra 3 pa(d) faiz oranıyla 60 000 denar şirketin alacağı vardır 15

yıl sonra 5 pa(d) faiz oranıyla yıllık faiz hesaplaması olmak uumlzere oumldenecek borcun denkleş-mesi (saldosu) bileşik faiz hesabına goumlre ne kadardır

15 Bir kişi 34 doğum guumlnuumlnde bankada hesabına 18 000 denar para yatırmıştır 38 doğum guumlnuumlnde de daha 12 000 denar ve 41 doğum guumlnuumlnde ise 24 000 denar hesabından ccedilekmiştir Faiz oranı 8 pq(d) uumlccedil aylık doumlnemli faizlenme ile kişinin 46 doğum guumlnuumlnde hesa-bında ne kadar parası olacaktır Konform faiz oranını uygulayınız

16 SİGA şirketi bir malı peşin oumldemek koşuluyla 60 000 denara satmaktadır GASİ şirketi ise 5 pm(d) faiz oranıyla ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlenme bazında 2 yıl sonra oumldemek koşuluyla aynı malı 160 000 denara satmaktadır Hangi teklif daha uygundur

17 3 yıl oumlnce bankaya 50 000 denar yatırdık bir yıl sonra hesaptan 10 000 denar ccedilekme-liyiz 3 yıl sonra daha 20 000 denar hesabımızdan ccedilekeceğiz Faiz oranı 4 pa(d) yarım yıllık faizlenme vadesiyle ne kadar zamandan sonra banka hesabımızda 600 000 denar olacaktır

18 2 yıl oumlnce banka hesabımıza 80 000 denar yatırdık 3 yıl sonra ise 32 000 denar hesap-tan ccedilekeceğiz Yıllık faizlenme doumlnemleriyle 5 pa(d) faiz oranıyla 7 yıl sonra toplam ne kadar faiz miktarı elde edilecektir

19 İki yıl uumlccedil ay oumlnce bankaya yatırılan para bu guumlne kadar elde edilen faiziyle beraber 20 000 denardır Bu arada hesaplanan faiz miktarı 5 000 denardır Faizin hesaplanması uumlccedil aylık doumlnem vadeli yapıldığına goumlre hangi doumlnem sonu faiz oranıyla hesaplanmıştır Doumlnem başı faizlenme yapıldığı durumda faiz oranlarındaki fark ne kadardır

20 Banka hesabına bir yıl ve 2 ay oumlnce 12 000 denar yatırılmış iki yıl uumlccedil ay sonra ise he-saptan 20 000 denar ccedilekilmiş ve banka hesabında para kalmamıştır (saldo 0)

189

Faizlenme yarım yıllık doumlnem vadeli yapıldığına goumlre faiz hangi doumlnem sonu faiz oranıyla hesaplanmıştır

21 Buguumln iki farklı bankada iki eşit miktar para yatırılmıştır Birinde faiz oranı 16 pa(d) diğerinde ise 10 pa(d)rsquodir Kaccedil yıl sonra birinci bankada biriken para ikinci bankada biriken paradan iki defa daha ccedilok olacaktır Faiz hesaplaması yarım yıllık vadeli bu zaman es-nasında faizlerin farkı 33 200 denar olduğuna goumlre yatırılan para miktarı ne kadarmış

190

KONU OumlZETLERİ

Bir kapitalin faizinin hesaplanması basit ve bileşik olabilir Basit faiz bir yatırımın ya-tırım vadesi suumlresince sadece anaparasının kazandığı faiz oranıdır Yatırılan miktar para her doumlnemde değişir yani her doumlnem sonunda elde edilen faiz miktarı anaparaya eklemekle yatırım miktarı buumlyuumlr ve gelecek doumlnemde aynısı anapara eklenirse bileşik faizden soumlz edilir yani bir yatırımın yatırım vadesi boyunca kazandığı faizin de yeni yatırım vadesinde yatırıma tabi tutul-ması sonucu elde edilen getiriyi goumlsteren faizdir Diğer bir deyişle faizin de faiz kazanmasıdır

Bileşik faiz yılda bir defa iki defa ya da birccedilok defa hesaplanabilir Faizin hesaplandığı zaman aralığına faiz hesaplama vadesi denir

Basit faiz hesaplamasında doumlrt temel buumlyuumlkluumlk şunlardır K - anapara (temel kapital başlangıccedil miktar) i - faiz miktarı p ndash faiz oranı (yuumlzde olarak) 100 denar paranın zaman biriminde getirdiği faiz t - paranın faizde kaldığı suumlre ndash yıl olarak ya da daha kuumlccediluumlk oumllccediluuml biriminde de olabilir m ndash bir yıl iccedilerisinde faiz hesaplaması daha doğrusu bir yıldaki faiz hesaplama douml-

nemlerin sayısı

Faizin yıllık hesaplanması (a) ile yarım yıllık hesaplanması (soumlmestreli) (s) ile uumlccedil ayda bir hesaplamayı (kvartal) (q) ile ayda bir vadesi (m) ile ve adı geccedilen her doumlnemlik hesaplamalarda faiz oranı yıl bazında sayılmaktadır

Faiz oranı yıllık faiz oranı gibi verildiğinde pa biccediliminde işaret yazılır yarım yıllık faiz oranı olarak alınırsa ps işareti yazılır Uumlccedil aylık bazında da faiz oranı verilebilir ve bu durumda pq biccediliminde ya da aylık bazında olursa pm işareti yazılır Bu şekilde verilmiş olan faiz oranı-na nominal faiz oranı denir

Ancak finansman ya da yatırımlarla ilgili kararlarda doumlnem uzunluğu yıl olduğu kadar yıldan daha kısa suumlreli olabilir Bu gibi durumlarda yıllık olarak verilen faiz oranından etkin faiz oranı (roumllatif faiz oranı) bulunarak işlem yapılmalıdır Etkin faiz oranını yıllık nominal faiz oranının (cari faiz ya da piyasa faiz oranı da denilen) yıl iccedilindeki doumlnem sayısına boumlluumlnmesiyle bulunur

Her doumlnem sonunda faiz hesaplanarak anaparaya katılırsa doumlnem sonu faizlenme soumlz konusu olur boumlyle durumda faiz oranı pa(d) ile işaret edilir Doumlnem sonu faizlenmenin faiz hesaplaması başlangıccedilta yatırılan anaparaya uygulanmaktadır

191

Faizlenme her doumlnem başlangıcında yapılırsa doumlnem başı faizin hesaplanması iccedilin temel değer doumlnem sonunda elde edilen anaparadır bu işleme doumlnem başı (antisipatif) faizlenme denir ve pa(a) ile işaret edilir

Tuumlm faiz vadesinde elde edilen faiz miktarını temel değere katmakla elde edilen birikmiş değere kapitalin gelecekteki değeri denir Faizlenmesi yapılan temel değerin başlangıccedil miktarı-na Krsquonın şimdiki değeri de denir

Doumlnem sonu faizlenme oranı p bir yılda faiz doumlnem sayısı m ve m

pr100

1 doumlnem

sonu faiz katsayısı olmak uumlzere K kapitalinin gelecekteki değeri nmn KrK formuumlluumlyle hesap-

lanır

Peşin (antisipatif) faizlenmede faiz opranı bir yılda faiz doumlnem sayısı m ve

8

m

m100

100

doumlnem başı faiz katsayısı olmak uumlzere K kapitalinin gelecekteki değeri nmn KK 8 formuumlluumlyle

hesaplanır

Faiz ister yıllık hesaplamayla ister yılda birkaccedil devreden faizin hesaplanmasıyla aynı faiz miktarını veren faiz oranına konform faiz oranını denir ve p km ile işaret edilir Bir yılda m defa faizlenme ile ve yılda bir defa faiz oranı p olmak uumlzere yapılan faizlenme ile aynı faiz miktarı veren konform faiz oranı şu formuumll ile hesaplanır

13

1

1001100

mmk

pp

Verilen K kapitalin gelecekteki değeri Kn bilindiğinde temel değeri şu formuumlllerle he-saplanır

nm

nnmn

mp

KrKK

)100

1(

doumlnem sonu faizlenme iccedilin ve

nm

nnm

n mKKK

13

1001

8

peşin (antisipatif) faizlenme iccedilin

192

Biriken paranın başlangıccedil değerini bulma işlemine iskontolama ya da biriken değerin başlangıccedil değerini belirtme denir Faiz oranlarının ccedilarpımsal ters r-nm ve 8-nm değerlerine iskon-to katsayıları (faktoumlrleri) denir

Faiz oranı p ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olan doumlnem sonu faizlenmede r doumlnem sonu faiz katsayısı olmak uumlzere faiz miktarı şu formuumll kullanılır

1nmnI K r

Peşin (antisipatif) faizlenme durumunda faiz oranı ve yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m doumlnem başı faiz katsayısıdır 8 olmak uumlzere faiz miktarı şu formuumllle hesaplanır

1nmnI K

Faizlenme doumlnem sonu p pa(d) faiz oranıyla yıl iccedilindeki doumlnem sayısı m ve

1100

prm

doumlnem sonu faiz katsayısı olmak uumlzere faiz suumlresi şu formuumllle hesaplanır

KK

rmn nlog

log

1

Benzer şekilde faizlenme doumlnem başı (antisipatif) olduğu durumda faiz oranı pa(a) yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m olduğunu varsayarak şu formuumll kullanılır

KK

mn nlog

log

1

8

Yıl iccedilindeki faiz doumlnem sayısı m faiz suumlresi n yıl olduğunu farz ederek yıllık doumlnem sonu faiz katsayısı şu formuumllle hesaplanır

13

1100 nm n

KK

mp

193

PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR)VE PERİYODİK ALACAKLAR (KİRALAR)

81 Periyodik Yatırımlar

Basit ve bileşik faiz hesaplarını uyguladığımız oumlrneklerde belli miktarda parasal varlık-ların sadece bir defa yatırıldığı ya da farklı doumlnemlerde yatırılan veya istenildiğinde hesaptan ccedilekilen miktarları incelemiştik Bu durumda yatırımların bazıları eşit bazıları ise farklı belli bir kurala goumlre değişebilen oumlrneğin aritmetik ya da geometrik diziler oumlzelliğine goumlre artan ya da azalan veya tasarruft a olduğu gibi oumlnceden belli bir kurala goumlre uymayan yatırımlar olabilir Halbuki ccedilok kez eşit zaman aralıklarında yatırımların tekrarlandığına rastlıyoruz Boumlyle du-rumlarda soumlz konusu mevduattır Mevduat belli bir suumlre sonunda veya istenildiğinde ccedilekilmek uumlzere bankalara faizle yatırılan paradır Mevduatlar belli suumlrelerde aynı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adlandırılıyorlar

Yatırımlar oumldemeler serisinin başlama noktasına goumlre doumlnem başı (antisipatif) ve douml-nem sonu (dekurzif) mevduatlar olarak ikiye ayrılıyorlar Yatırım esnasında her mevduatın faizi yatırıldığı guumlnden tuumlm mevduatların toplam değerinin hesaplandığı ana kadar hesaplanır Doumlnem başı ya da doumlnem sonu faizlendirme uygulanabilir Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda aynı bazı durumlarda ise farklı yani mevduat vadelerinden daha sık ya da daha seyrek olabilirler Pek sık tuumlm mevduatların toplam değeri ne kadardır sorusu sorulmaktadır Yatırım esnasında faizi hesaplanmış tuumlm mevduatların toplamına yatırımın gelecekteki değeri denir

Şimdi sadece yatırım doumlnemleri faiz vadeleriyle denk gelen sabit (değişmeyen) bireysel periyodik yatırımları inceleyeceğiz

Yıl esnasında sadece bir mevduat oumldendiği durumda soumlz konusu yıllık mevduat olur yatırım yılda iki defa yapıldığında altı aylık (yarım yıllık) mevduat yılda doumlrt defa yatırım yapıldığında uumlccedil aylık (ccedileyrek yıllık) mevduat biccediliminde adlandırılır Yatırım ayda bir yapılırsa aylık mevduat olur Burada da faizlendirme vadesi yıllık altı aylık uumlccedil aylık vb olabilir

Alıştırmalar

1 Mevduat nedir Mevduatın temel oumlzellikleri nedir

2 Faizinin hesaplanmasına goumlre mevduatlar nasıl olabilir

3 Yatırım sayısına goumlre nasıl mevduatlar fark edebiliriz

8

194

4 Yatırım suumlresine goumlre nasıl mevduatlar fark edebiliriz

5 Mevduatların gelecekteki değeri nedir

82 Mevduatların Gelecekteki Değerini Hesaplamak

Her bireysel mevduatın değeri V olsun Bireysel mevduat sayısı n faiz oranı doumlnem sonu uygulanan p olsun Faiz vadesi yatırım vadesiyle aynıdır Mevduatın oumldenmesi doumlnem başı ol-

sun (her vadenin başlangıcında oumldeme yapılsın) Vade sonu faiz katsayısı 1100

pr olduğunu

biliyoruz Her bireysel mevduat iccedilin bileşik faiz hesabını uygulayarak faiz miktarını bulmakla mevduatların gelecekteki değerini elde edeceğiz Şek1rsquode yatırımlar ve faizlendirmeler goumlsteril-miştir

Şek 1

Birinci vadenin başında yatırılan birinci mevduat n ndash vade iccedilin karşılık gelen r faiz kat-sayısıyla son vadenin sonuna kadar suumlre iccedilin faizi hesaplanır ve değeri Vrnrsquodir Yatırılan ikinci miktar V aynı şekilde n ndash 1 vade iccedilin son vadenin sonuna kadar faizi hesaplanır ve değeri Vr n

-1rsquodir Bu şekilde kalan tuumlm bireysel yatırımların faizleri hesaplanır Sondan ikinci olan yatırım n ndash 2 zamanına denk gelir ve iki vade iccedilin faizlenir ve değeri Vr2rsquodir son yatırım ise sadece bir vade iccedilin faizlenir ve değeri Vrrsquodir Faiz doumlneminin sonuna kadar faizleri hesaplanmış olan tuumlm doumlnem başı yatırımların toplamı

Sn = Vrn + Vrn-1 + + Vr2 + Vr = V (rn + rn-1 + + r2 + r )= Vr (rn-1 + rn-2 + + r +1) olduğunu buluyoruz Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi r olan n terimli bir geometrik dizisinin toplamıdır Geometrik dizilerin ilk n terim toplamı formuumlluumlnden yararlanarak yatırımların douml-nem başı faizlendirme ile doumlnem başı yatırımların toplamı iccedilin şu formuumll elde edilir

1

1

r

rVrSn

n

Not 1 Faizin faizi i i tablolarında bir para birimi bazında doumlnem sonu yatırımların

toplamını ifade eden 1

1

nrrr

ifadesinin değeri npIII işareti altındaki cetvelde verilmiştir Demek

195

ki uumlccediluumlncuuml tablodaki değerler iccedilin npIII = 1

1

nrrr

rsquodir Bu ifade i i tablosunda aynı faiz oranında 1rsquoden nrsquoe kadar vadelerin k

pI değerlerini toplamakla elde edilir yani npIII =

1 2

np p pI I I dir

Burada yatırımlar n yılda p pa(d) faiz oranıyla yapılmıştır Buna goumlre doumlnem başı faizlenen yatırımların toplamı

npn VS 777

formuumlluumlyle ifade edilir

Not 2 Her bireysel vade iccedilin faiz oranı doumlnem başı olarak verilirse 8 doumlnem başı faiz kat-sayısını kullanacağız Boumlyle durumda doumlnem başı faizlenen yatırımların toplamı

1

1

888

n

n VS

formuumlluumlyle ifade edilecektir Burada 100

1008

doumlnem başı faiz katsayısıdır Boumlylece uumlccediluumlncuuml

i i tablosundan yararlanarak doumlnem başı faiz oranı olmak uumlzere nnS V III formuumlluuml elde

edilir Oumldevlerin ccediloğunda yatırımların toplam sayısı değil de yıl bazında yatırım sayısı ve ya-

tırımın zaman aralığı (vadesi) verilmiş olabilir Oumlrneğin n yıl boyunca yılda m defa yatırım yapılıyor Boumlyle durumda yatırımların toplam sayısı n m ccedilarpımına eşittir

1 Buguumlnden başlayarak gelecek iki yıl esnasında her uumlccedil ayın başlangıcında 5 000rsquoer denar yatırmaya başlıyoruz Faiz oranı 10 pa(d) uumlccedil aylık vadeli olmak uumlzere ikinci yılın sonunda toplam ne kadar paramız olacaktır

Her bireysel yatırımın değeri Vaq = 5 000 denardır Yatırımların sayısı her yıl doumlrder mev-duat 2 4 8n doumlnem sonu faiz katsayısı ise uumlccedil aylık vadeli faizlendirme ile hesaplanacaktır

Buna goumlre faiz oranı 1025

4 pq(d)rsquodir (ccedileyrek yıllık faiz oranı) O halde

251 1025

100r

olduğunu buluyoruz Doumlnem başı yatırımların gelecekteki değeri

4477310251

1025102515000

1

1 8

r

rVrSn

n

olduğunu buluyoruzBaşlangıccedilta verilen tuumlm koşullar geccedilerli olsun her yatırımın değeri V mevduat (yatırım)

sayısı n faiz oranı doumlnem sonu p ve faizlendirme vadesi yatırımların vadesiyle aynı olsun

196

Şek 2

Doumlnem sonu faiz katsayısı r olsun ve yatırımlar her periyodun sonunda olsun yani ya-tırımlar doumlnem sonu olsun Şek 2rsquode goumlruumllduumlğuuml gibi son yatırımın faizi hesaplanmaz sondan birincisi bir defa faizlenir ikincisi iki defa ve geriye doğru sayarken ikinci yatırım n ndash 2 defa ve ilk yatırım nndash1 defa faizlenir Bunlara karşılık gelen faizlenmiş miktarlar sırasıyla V Vr Vr2

Vrn-2 Vrn-1rsquodir Faizlenmiş yatırımların toplamı (gelecekteki değer) iccedilinSn = V + Vr + Vr2 + + Vrn-2 + Vrn-1 = V (l + r + r2 + + rn-2 + rn-1)

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı r olan bir geometrik dizisinin n teriminin toplamı olduğuna goumlre doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değeri iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz r

1

1

r

rVSn

n

Not 3 1

1

nrr

ifadesini i i tablolarında 11 npIII biccediliminde bulunabilir Demek ki

doumlnem sonu faizlenen yatırımların toplamını hesaplamak iccedilin formuumll

11 777 npn VS

şeklinde yazılabilirNot 4 Doumlnem başı faizlendirme uygulandığı durumda yatırımların gelecekteki toplam

değeri iccedilin formuumll

1

1

88 n

n VS

şeklinde ifade edilir Burada 8 doumlnem başı faiz katsayısı 100

1008

dir Uumlccediluumlncuuml i i tablo-

larından yararlanmakla doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem sonu yatırımların gelecekteki toplam değeri iccedilin formuumll

11 777 nn VS dir

2 Bankaya her yıl sonunda doumlrt yıl boyunca 10 000 denar yatırılıyor Yıllık vadeli faiz oranı 6 pa(d) olduğuna goumlre doumlrduumlncuuml yıl sonunda yatırımın gelecekteki değeri ne kadardır

Oumldevin koşullarına goumlre Vda = 10000 denar n = 4 r = 106rsquodır Vade sonu yatırımların gelecekteki değeri iccedilin

197

437461061

106110000

1

1 4

r

rVSn

n

denar elde edilir

Doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem başı yatırımların gelecekteki değeri aynı koşullar altında doumlnem sonu faizlenmiş doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değerinden r kat daha buumlyuumlk ol-duğunu fark edebiliriz yani

dn

na

n Srr

rVrS

1

1

dir Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda ise

dn

na

n SVS

8888

1

1

rsquodir Demek ki douml-

nem başı yatırımlar doumlnem başı faizlendirme ile elde edilen gelecekteki değer aynı yatırım ko-şullarıyla doumlnem sonu yatırımların doumlnem başı faizlendirme ile elde edilen gelecekteki değerin 8 katıdır

(Daha kısa olarak doumlnem başı yatırımların gelecekteki değerini Sna ile doumlnem sonu yatı-

rımların gelecekteki değerini ise Snd ile işaret edeceğiz)

3 Bir kişi bir buccediluk yıl esnasında her ay sonunda 3 000rsquoer denar para yatırıyor Faiz oranı 6 pa(d) aylık vadeli hesaplama ile yatırdığı paranın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır

Oumldevin koşullarına goumlre Vdm = 3000 denar p = 6 pa(d)rsquodir Yatırımların toplam sayısı

n = 12 -15 = 18 (yılda 12 mevduat) aylık faizlendirmeye karşılık gelen faiz oranı 6

12 yani

05 pm(d) Doumlnem sonu faiz katsayısı 051 1005

100r rsquodir

Doumlnem sonu yatırımların gelecekteki değeri

5635710051

100513000

1

1 18

r

rVSn

n denar olduğunu buluyoruz

4 Bir kişi 25 doğum guumlnuumlnden başlayarak 30 doğum guumlnuumlne kadar her altı ay sonunda 8000rsquoer denar banka hesabına yatırıyor 35 doğum guumlnuumlnde hesabından 90000 denar ccedilekmesi gerekiyormuş Faiz oranı p = 8 pa(d) altı aylık faiz vadesiyle hesabında gereken para birikecek mi

Kişi 5 yıl boyunca doumlnem sonu Vds = 8 000 denar yatırımlar yapıyor 30 doğum guumlnuumlnde yatırımın gelecekteki değeri daha 5 yıl faizde kalıyor (şek 3) Soru şudur 35 doğum guumlnuumlnde hesabında biriken para 90 000 denardan buumlyuumlk ya da eşit olacak mı yani 10 90000 0nS r 6

mıdır Faiz katsayısı 81 104

2 100r

ve yatırımların toplam

198

sayısı n = 10rsquodur

yatırımlar

Şek 3Buna goumlre

6049900000411041

1041800090000

1

1 1010

1010

r

rrV

denar olduğunu buluyoruz Demek ki 90 000 denar parasını ccedilekmek iccedilin yatırımcının hesabın-da gereken parası varmış

Alıştırmalar

1 Bir yatırımcı her yarıyıl başında 16 yıl boyunca 5 000 denar a) yarıyıllık faiz vadeli 4 pa (d) b) yarıyıllık faiz vadeli 4 pa (a)

faiz uumlzerinden yatırırsa 16 yılın sonundaki yatırım tutarı (gelecekteki değeri) ne kadar olur

2 Her yılın sonunda 10 yıl boyunca yıllık faiz vadeli 4 pa(d) faiz uumlzerinden 10 000 denar yatırıyoruz Son yatırım guumlnuumlnde yatırımların tutarını hesaplayınız

3 Her yarıyıl sonunda 12 yıl boyunca altı aylık faiz vadeli 8 pa(d) faiz uumlzerinden 1000 denar yatırılıyor Yatırımlar

a) doumlnem sonu b) doumlnem başıolduğuna goumlre yatırımın gelecekteki tutarını hesaplayınız

4 Her ay sonunda 8 yıl boyunca 3000 denar mevduat a) aylık faiz vadeli 12 pa(d) b) aylık faiz vadeli 12 pa(a)

faiz uumlzerinden yatırılıyor Yatırımların gelecekteki değerini hesaplayınız

5 Oumldev 4rsquoteki koşullar altında fakat mevduatlar doumlnem başı olduğu durumda yatırımın gelecekteki değerini hesaplayınız Elde edilen değerleri kıyaslayınız Hangi mevduat şekli ve hangi faiz oranı uumlzerinde yatırımların en buumlyuumlk gelecekteki değeri elde edilecektir

199

83 Bireysel Mevduatın Değerini Hesaplamak

Faiz oranı p pa(d) mevduatların gelecekteki değeri (tutarı) Sn ve yatırım suumlresi veril-miş olsun Sabit mevduatın tutarını hesaplamak iccedilin Doumlnem başı mevduatın gelecekteki değeri

1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnden V mevduatı iccedilin

1

1

nn rrrSV

elde edilir

1 Beş yıllık yatırım sonunda yatırımların tutarı 40 000 denar olmuştur Her yıl başlangı-cında yıllık vadeli 6 pa(d) faizi uumlzerinden yatırılan mevduat ne kadardır

Burada r = 106 doumlnem sonu faiz katsayılı doumlnem başı mevduat soumlz konusudur Toplam n = 5 mevduat yatırılmış ve yatırılan miktarların tutarı Sn = 40 000 denardır Hesaplanması gere-ken bireysel yıllık faiz vadeli mevduat tutarıdır Oumlrneğimizde verilen değerleri formuumllde yerine değiştirmekle 6694

1061061

106140000

5

aV denar elde edilir

p pa(d) faiz oranı mevduatların gelecekteki tutarı Sn ve yatırım suumlresi bilindiği du-rumda sabit mevduatın hesaplanması iccedilin doumlnem sonu vadeli mevzuatın gelecekteki tutarı

1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden V iccedilin şu formuumll elde edilir

1

1

nn rrSV

Not1 Faiz hesaplanması doumlnem başı olduğu durumda bireysel mevduatların karşılıklı değerleri şu formuumlllerle hesaplanacaktır

doumlnem başı mevduatlar iccedilin

1

1

nnSV888

doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

1

1

nnSV88

2 Beş yıl sonra 120 000 denara ihtiyacımız olacaktır Her yarıyıl sonunda 5 yıl boyunca ne kadar mevduat yatırmalıyız Faiz oranı 5 pa(d) yarıyıl vadelidir

200

Yatırımlar sayısı n = 10 Sn = 120 000 denar doumlnem sonu faiz katsayısı ise 5

1 10252 100

r

rsquotir O halde

1071410251

10251120000

1

110

nn rrSV

denar olduğunu buluyoruz

3 İlerdeki uumlccedil yıl boyunca her uumlccedil ay başında uumlccedil aylık mevduatlar oumldenecektir Bu guumlnden beş yıl sonra sadece bir defa mahsus 40 000 denar yatırılacaktır Yedi yıl sonra hesabımızdan 100000 denar ccedilekmeliyiz Uumlccedil aylık vadeli faiz oranı 8 pa(d) olduğuna goumlre bireysel mevduat ne kadar olmalıdır ki bu guumlnden yedi yıl sonra hesabımızda 35000 denar olsun

Yatırımları ve ccedilekilen miktarı zaman ekseninde goumlsterelim (şek4)

yatırımlar

Şek 4

Mevduatların toplam gelecekteki değeri hesaplandıktan sonra bu miktar daha doumlrt yıl fa-izde kalır Yatırılan 40 000 denar da 2 yıl faizde kalır Ccedilekilen 100 000 denardan sonra şu denk-lem elde edilir

3500010000040000 4244 rrSn

Son denklem bu guumlnden gelecekteki yedi yıl suumlresinde yapılacak işlemleri goumlstermektedir

Bu durumda doumlnem başı yatırımların gelecekteki değerini hesaplayan 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumln-

de n = 12 doumlnem sonu faiz katsayısı 8

1 10254 100

r

rsquotir Uumlccedil aylık etkin faiz oranı 2rsquodir

Sn tutarı 16 defa faizlenir 40 000 denar ise 8 defa faizlenecektir O halde

135000021400000211021

1021021 816

12

V

135000468667818 V elde edilir Buna goumlre mevduatın değeri Vaq = 4693 denardır

Not 2 İncelenen son oumlrnekteki oumldevlere benzer oumldevleri ccediloumlzerken yukarıda yapıldığı gibi yatırımları zaman ekseninde goumlstermekle faizlendirme periyotlarını daha kolay hesaplayabilir-siniz

201

Alıştırmalar

1 Doumlnem sonu altı aylık vadeli mevduatların 7 yıl boyunca yatırılmasıyla 300 000 denar tutar elde edilmiştir Faiz oranı

a) altı aylık vadeli 4 pa(d)b) altı aylık vadeli 4 pa(a)

olduğuna goumlre bireysel mevduatın değeri ne kadardır

2 Doumlnem başı yıllık vadeli mevduatların 6 yıl boyunca 5 pa(d) faiz uumlzerinden yatırıl-masıyla hesabımızda 71 420 denar olmasını istersek bireysel mevduat ne kadar olmalıdır Faiz vadesi yıllıktır

3 Bir kişi banka hesabına 25 doğum guumlnuumlnden 40 doğum guumlnuumlne kadar doumlnem sonu uumlccedil aylık vadeli sabit olmak uumlzere ne kadar para yatırmalıdır ki banka hesabında 50 doğum guuml-nuumlnde 500 000 denarı olsun Faiz oranı uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d)rsquodir

4 Bir kişi 2 yıl altı ay boyunca sabit değerli uumlccedil aylık doumlnem başı mevduatlar yatırıp doumlnem sonunda hesabında 50 000 denar parası olmuştur Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz uumlzerinden yatı-rılan bu mevduatların bireysel değeri ne kadardır

5 Bir kişi 35 yaşından 40 yaşına kadar vade sonu altı aylık mevduatları bankaya yatırıyor 43 yaşının sonunda 16 000 denar hesaptan kaldırmak ve 47 yaşının sonunda hesabında 120 000 denar olmasını isterse kişi hesabına ne kadar para yatırmıştır Faiz oranı 8 pa(d) ve faizlen-dirme altı aylıktır

84 Mevduat Sayısını ve Son Mevduatın Hesaplanması

Mevduatın gelecekteki değerini (tutarını) hesaplamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

doumlnem başı mevduatlara ait ve 1

1

n

nrS Vr

doumlnem sonu mevduatlara ait formuumlller gereğince

gelecekteki değer tutarı bireysel mevduat değeri ve faiz oranı bilindiğinde yatırımların sayısı n hesaplanabilir Doumlnem başı mevduatlar iccedilin

VrS

rr n

n

1

1

VrrS

r nn 11

geccedilerlidir Oradan da

11

VrrS

r nn elde edilir

202

Yatırımların sayısı n sadece logaritma işlemiyle belirtilebilir Logaritma işleminin temel oumlzelliklerinden yararlanarak

13

VrrS

r nn 11loglog

Vr

rSVrrn n 1

loglog

Vr

rSVrr

n n 1log

log

1

elde edilir Daha kolay hesaplama yapmak iccedilin yatırımların gelecekteki değeri formuumlluumlnde ve-rilen değerlerin değiştirilmesinden sonra elde edilen ifadenin logaritması alınır

Benzer şekilde doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

V

rSVr

n n 1log

log

1

formuumlluuml elde edilir

Not 1 Doumlnem başı faiz oranı iccedilin hesaplamalar doumlnem başı mevduatların gelecekteki değerine karşılık gelen formuumlllere yapılır

1 Her yılın başında 6 pa(d) yıllık vadeli faiz uumlzerinden 10 000 denar kaccedil defa yatırıl-malıdır ki hesabımızda 46 371 denar olsun

Mevduatlar doumlnem başıdır Doumlnem sonu faiz katsayısı 61 106

100r rsquodır O halde

262481106110000

106146371061

n

elde edilir Bu ifadenin 10 tabanına goumlre logaritmini alırsak n log 106 = log 126248 ve oradan n = 4 elde edilir Demek ki doumlrt yıl yani doumlrt defa yatırım yapmalıyız

2 35 000 denarlık mevduatlar 6 pa(d) yarıyıllık faizlendirme uumlzerinde her yarımyılda yatırılıyor Yatırımların gelecekteki değeri son mevduatın oumldendiği guumlnde 401651 denar olması-nı istersek kaccedil mevduat oumldenmelidir

Şunu fark edelim gelecekteki değer son yatırım yapıldığı guumlnde hesaplandığı tak-dirde yatırımlar doumlnem sonudur Etkin faiz oranı 3 olduğuna goumlre r = 103rsquotuumlr Buna goumlre

1031

103135000401651

n

buradan da 103n = 134427 ve sonunda n =10 elde edilir Demek ki

10 mevduat oumldenmelidir

3 Yatırımlar doumlnem sonu 3 aylık vadeli faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil aylık faizlendirme vadeli 10 000 denarlık kaccedil mevduat yatırılmalıdır ki gelecekteki değeri 137200 denar olsun

203

Doumlnem sonu mevduat 8

1 1024 100

r

iccedilin 1137200 10000

1

nrr

geccedilerlidir O hal-

de 102n = 12744 ve oradan 12n elde edilir Cevap tam 12 olsaydı tam 12 mevduat yani 3 yıl 4 er mevduat gerekecekti halbuki elde edilen değer yaklaşıktır Onun tam değeri n = 122446rsquodır Bu demektir ki istenilen para tutarını elde etmek iccedilin mevduat sayısı 12 den fazla olacaktır Bu durumda 12 mevduat bilinen 10 000 denarlık ve 13 mevduatın değeri diğerlerinden kuumlccediluumlk ola-caktır Son mevduat diğerlerinden farklıdır ve ona mevduatın kalanı denir

Son mevduatın hesaplanması iccedilin bir formuumll bulalım Mevduat sayısı toplam n olsun ve bunlardan n -1 tanesinin değeri aynı V son mevduatın değeri V0 ne V olsun Zaman ekseninde doumlnem başı mevduatların durumunu goumlsterelim (şek5)

Şek 5

Vade sonu faiz katsayısı r iccedilin

rVVrVrVrS nnn 0

21

rVrrVrS nn 0

22 1

buradan da

rVr

rVrSn

n 0

12

1

1

elde edilir

u

1

1

1

11

0

rrrVS

rrrVr

rS

Vn

n

nn

Not 2 i i tablolarından yararlanıyorsak 1

r ifadesi 1

pII tablosunda verilmiş olan iskonto

katsayısına karşılık gelir 1

nr rr

ifadesi ise tam 1npIII dir Buna goumlre son mevduat

11

0

77777 nppn VSV

şeklinde yazılabilir

Not 3 Yatırımların sayısını belirtirken n doğal sayı olmadığı durumda n iccedilin hesaplama-da elde edilen sayıdan ilk buumlyuumlk olan tam sayı alınır Boumlyle durumda V0 lt V n ndash 1 mevduatın değeri Vrsquodir sonuncunun ise V0rsquodır

204

Vade sonu mevduatlarda ise zaman ekseni şek 6rsquoda goumlsterilmiştir

Şek 6Boumlyle durumda Sn = Vrn-1 + Vrn-2 + + Vr + V0

dir Eşitliği V0 a goumlre duumlzenleyerek geometrik dizisinin ilk n ndash terim toplamı formuumlluumlnden ya-rarlanmakla

r r r j

11

11

0

rrrVS

rrVrSV

n

n

n

n

elde edilir

Not 4 i i tablolarından yararlanarak

1

0

777 npn VSV

formuumlluumlnuuml yazabiliriz Bu formuumll doumlnem sonu yatırımlarda diğerlerinden farklı olan son mev-duatın değerini hesaplamak iccedilin kullanılır

Not 5 Faiz hesaplanması doumlnem başı olduğu durumda son mevduat iccedilin şu formuumll elde edilirdoumlnem başı yatırımlar iccedilin

1

10

888

8

n

n VSV

ve doumlnem sonu yatırımlar iccedilinur

10

888 n

n VSV

4 Yarım yıllık vadeli faiz oranı 10 pa(d) altı aylık faizlendirme vadeli 8 000 denarlık kaccedil mevduat yatırılmalıdır ki son mevduattan evvel tuumlm yatırımların gelecekteki değeri 60 000 denar olsun

101 105

2 100r

rsquotir Gelecekteki değer son mevduattan altı ay oumlnceki biriken paradır

demek ki yatırımlar doumlnem başıdır yani 6 105 160000 80000 105

105 1

n

elde edilir Oradan da

105n =135714 ve n 626 elde edilir Bu durumda n = 7 alınır yani 8000 denar olmak uumlzere 6 sabit mevduat yatırılır son yedinci mevduat ise oumlzel olarak hesaplanacaktır

205

757136571431051

0510518000

051

60000 7

0

V

elde edilir Buna goumlre son mevduat 7 denar olacaktır

Not 6 Son mevduatın değeri negatif sayı elde edildiği durumda mevduatın gelecekteki değerini hesapladığı guumln banka mevduat sahibine o kadar para geri ccedilevirmelidir

Alıştırmalar

1 Altı ay vadeli doumlnem başı 3 500 denar mevduatlardan kaccedil tane oumldemeliyiz ki sonunda 35000 denarımız olsun Faizin hesaplanması altı aylık ve faiz oranı

a) 6 pa(d) b) 6 pa(a) olsun

2 Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz oranı uumlzerinden 235 000 denarlık kaccedil doumlnem sonu mev-duat yatırılmalıdır ki son mevduatın oumldendiği guumln hesabımızda 2 245 438 denar olsun Faiz hesaplanması 3 aylık vadelidir

3 Uumlccedil aylık vadeli 6 pa(d) faiz oranı uumlzerinden 1000 denarlık kaccedil doumlnem başı mevduat yatırılmalıdır ki hesabımızda 40 000 denar olsun Faiz hesaplanması 3 aylık vadelidir

4 Her iki ayın başında 1000 denar yatırılarak son yatırımdan iki ay oumlnce banka hesabın-dan 7000 denar ccedilekilmiş ve son yatırımdan altı yıl sonra hesabımızda 70 000 denar paramız kal-mıştır Son yatırım ne kadardır Faiz oranı 12 pa(d) faiz hesaplanması her iki ayda yapılmış olsun

5 Her yıl başında 2000 denar yatırılmıştır Son yatırımdan doumlrt yıl sonra hesaptan 7000 denar ccedilekilmiş ve son yatırımdan altı yıl sonra hesapta 80 000 denar kalmıştır Faiz oranı 6 pa(d) yıllık faizlendirmedir (dikkat ediniz yatırım doumlnem başıdır ve biriken para son yatırım-dan bir yıl sonra hesaplanır)

85 Yatırımlarda Faiz Oranının Hesaplanması

Doumlnem başı yatırımların doumlnem sonu faizlendirmesiyle biriken gelecekteki değeri hesap-

lamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnde Sn ve V bilindiğinde bilinmeyen r faiz

katsayısını yani p pa(d) değerini hesaplamak iccedilin

206

011 13

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu ise r katsayısına goumlre bir polinom denklemidir ve genel olarak dere-cesi 3rsquoten buumlyuumlktuumlr Bu gibi denklemleri ccediloumlzmek iccedilin (bazı oumlzel durumlar hariccedil) belli bir kural yoktur Bu nedenle bu gibi denklemleri bilinen bazı nuumlmerik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Halbuki amacımız şimdi nuumlmerik youmlntemlerle denklemlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğrenmek değildir Bu-rada sadece pratik oumldevlerin yararına faiz oranını en kolay biccedilimde belirtmektir Bu nedenle faiz oranının hesaplanmasını i i tablolarındaki değerleri kullanan

npn VS 777

formuumlluumlne goumlre yapacağız

1 Altı aylık vadeli doumlnem başı 2000 denarlık borccedil hangi faiz oranıyla 16 yılın sonunda 125 000 denar olacaktır Faiz hesaplanması yarıyıllık olsun

Verilen oumldevde toplam n = 16 2 = 32 oumldeme vardır ve 2

125000 2000 npIII geccedilerlidir

2

125000625

2000

npIII olduğuna goumlre n = 32 iccedilin tablolarda 625 değerine karşılık gelen sayıyı

arıyoruz Bu değer tabloda yoktur fakat buna en yakın iki yaklaşık değer vardır 6219536018 lt 625 lt 65 20952741 Bu değerlerden biri 375 diğeri ise 4 faiz oranına karşılık gelir Bu iki değer arsı 625 değerine karşılık gelen değeri belirtmek iccedilin doğrusal enterpolasyon yapmamız gerekir Bunu daha kolay yapmak iccedilin verileri tabloda yazacağız

32

2

p777 2

p

32

2

p777 2

p

1953601862 753 1953601862 753

2095274165 4 562 2

p

Oradan şu orantıyı kuruyoruz

19536018625627532

195360186220952741657534 13

p

yani 3046398207532

014167233250 13

p elde edilir Bu şekilde tablodaki değerler ara-

sındaki orana goumlre faiz oranı aralığının ara değerlemesi yapılır

207

Buna goumlre 0250014167233

250304639820753

2

p

yani p = 755 pa(d) elde edilir

Değerlerin farkından yararlandığımıza goumlre yukarıdaki tabloyu daha bir satır ile genişle-tecek ve bu farkları o satırda yazmakla işimiz kolaylaşacaktır

Aynı işlemleri doumlnem sonu yatırımlar iccedilin de yapacağız Yatırımların gelecekteki değeri 1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden faiz katsayısı r iccedilin

01

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu denklem de r değişkenli polinomdur Yatırımların gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin i i tablolarındaki değerleri kullanan 11 n

n pS V III formuumlluumlnden yarar-

lanarak V

VSVS nnn

p

777 11

elde edilir n ndash 1rsquoin bilinen değeri iccedilin V

VSn

değeri tabloda

varsa faiz oranı doğrudan doğruya okunur Aksi halde faiz oranını doğrusal enterpolasyon ile belirtiyoruz

2 Faiz hesaplaması 3 ay vadeli olmak uumlzere her uumlccedil ay sonunda bankaya 2000 denar yatı-rarak 5 yıl sonra hesabımızda 52 000 denar olmak iccedilin faiz oranı ne kadar olmalıdır

Burada 20 oumldeme yani n =20 doumlnem sonu yatırımı inceliyoruz Sn = 52 000 V=2000 ve

faiz oranı 4

p olduğunu alıyoruz O halde 19

4

52000 2000 1 pIII 13

denklemi elde edilir oradan

da 19

4

25pIII elde edilir Tablolarda 19 sayısına karşılık gelen boumlluumlmde 25 sayısını bulamıyoruz

Ancak 25 suumltununda 2454244 ve 275 suumltununda 25 19739750 sayılarını buluyoruz Aşağı-daki tabloyu oluşturuyoruz

19

4

p777 p 19

4

p777 p

5424424 52 5424424 52

1974025 752 25 4

p

654960 250 457560 524

p

25 25

275

025

208

13

52

4457560250654960

p

orantısını kurduktan sonra p = 107 elde edilir

3 Bir kişi 6 yıl oumlnce banka hesabına 30 000 denar yatırmış bu guumlnden ve gelecek sekiz yıl esnasında her yıl sonunda 5 000rsquoer denar yatıracaktır Bu guumlnden sekizinci yıl sonunda kişinin banka hesabında 47 745 denar birikecektir Yıllık faiz uumlzerinden faiz oranı aynı olmak uumlzere bu guumlnden 12 yıl sonra banka hesabında ne kadar parası olacaktır

Zaman ekseninde buguumlne 0 karşılık gelmek iccedilin -6 dan başlayacağız

yatırımlar

Şek 7

30000K 100

1pr 47745nS 715000 pnS 777

olduğuna goumlre

71500047745 p777

denklemi elde edilir oradan da 7 85491pIII elde edilir Tabloda n = 7 iccedilin bunun değeri p = 5 elde edilir Şimdi de buguumlnden başlayarak 12 yıl boyunca yatırılan mevduatların toplam değerini hesaplayalım

1302330514774505130000 418418 rSKrS nn denar elde edilir

Alıştırmalar

1 25 yıl boyunca her altı ay başında yatırılan 20 000 denarlık mevduatların suumlre sonunda toplam değeri 112 658 denar olmuştur Mevduatlar hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

2 Doumlrt yıl boyunca her doumlrt ayda 5 000 denar mevduat yatırılmış ve son mevduatın yatı-rıldığı guumlnde banka hesabında 75 000 denar birikmiştir Doumlnem sonu hangi faiz oranıyla yatırım yapılmıştır Yatırım vadesi doumlrt aylıktır

3 Her yıla) doumlnem başı b) doumlnem sonu

10 000 er denar yatırılarak 20 yıl sonra hesabımızda 260 000 denar biriken paramız olması iccedilin hangi faiz oranıyla parayı yatırmalıyız

209

4 Her altı ay sonunda yatırılan 3 000 denarlık mevduatlar 16 yılın sonunda 188100 de-nar olmuştur Faiz hesaplama vadesi altı ayda olduğuna goumlre Yatırılan para hangi faiz oranıyla hesaplanmıştır

5 Uumlccedil aylık doumlnem başı 5 000 denarlık anuumlitelerle bankaya 8 yıl boyunca para yatırdık Faiz hesaplanma vadesi uumlccedil aylık doumlnem sonu yapılarak sekizinci yıl sonunda banka hesabımızda 312500 denar birikmiştir Yatırılan para hangi faiz oranıyla hesaplanmıştır

86 Periyodik Alacaklar (Kiralar) Yatırımlarda yapılan incelemeler belli zaman aralıklarla alınan para miktarları iccedilin de

benzer incelemeler yapılabilir Oumlrnek banka hesabımızda bulunan bir miktar parayı birden değil belli ve eşit zaman aralıklarında kuumlccediluumlk miktarlar halinde ccedilekebiliriz Eşit zaman aralık-larında alınan alacaklar soumlz konusu olunca ilk aklımıza gelen kiradır Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (rentler) diye adlandıracağız Kira anuumliteleri oumlnceden belirlenmiş kanuna goumlre değişebilir oumlrneğin geometrik ya da aritmetik dizisi kanununa goumlre değişebilir Boumlyle kiralara değişken kiralar denir Oumlzelliklerine goumlre kiralar birccedilok şekilde adlandırılıyorlar oumldeme zama-nına goumlre periyodun başlangıcında oumldenirse doumlnem başı kiralar periyodun sonunda oumldenirse doumlnem sonu kiralar diye adlandırılıyorlar Oumldemelerin zaman suumlresine goumlre geccedilici kiralar (bel-li bir suumlre iccedilin) oumlmuumlr boyu kiralar (kirayı oumldeyen kişinin oumlmruumlnuumln sonuna kadar) ya da kira alacakları hiccedil bitmeyen olduğu durumda daimi kiralar soumlz konusudur

Kiraların oumldendiği periyotuna goumlre yıllık yarıyıllık uumlccedil aylık aylık vb kiralar fark ediyo-ruz

Kiranın alındığı muumlddetccedile parasal varlıkların faizlendirmesi devam eder ve kira periyot-ları ve faiz doumlnemleri ccedilakışabilir yani eşit olabilir (biz ileride sadece bu gibi kiraları inceleyece-ğiz) Halbuki faiz hesaplanması kira periyotundan daha sık ya da daha seyrek de olabilir

Kira almak iccedilin oumlnce bunu getirecek varlık temin edilmelidir Kira getirmek amacıyla yatırılan varlık miktarına kira sermayesi denir Burada bir defaya mahsus olan yatırım soumlz ko-nusudur Halbuki parasal varlıklar periyodik oumldemelerle de yapılabilir Kira alacakları kira be-delinin yatırılmasıyla başlarsa hemen kiralar kira alacakları belli bir zamandan sonra başlarsa o halde ertelenmiş kiralar soumlz konusu olur

Sabit miktarlı faizlendirme vadesi kiranın oumldeme vadesiyle ccedilakışan periyodik oumldemeler uumlzerinde daha fazla duracağız Formuumlllerin belirtilmesinde faiz oranı doumlnem sonu olduğunu varsayacağız halbuki doumlnem başı durumlar iccedilin de yorumlar yapacağız

210

Şu işaretlemeleri kullanacağız Mn ndash kira sermayesi R- kira (rent) n ndash oumldeme sayısı r ndash doumlnem sonu faiz katsayısı 8 - doumlnem başı faiz katsayısı

861 Kira Sermayesinin Hesaplanması

Başlangıccedil iccedilin n defa her periyodun başında oumldenen R miktarlı doumlnem başı kirayı incele-yelim Gereken kira sermayesini hesaplamak iccedilin bu miktar tuumlm kiraları sağlayacağını bilme-miz gerekir Demek ki yatırımların gelecekteki değerini hesaplarken tuumlm faizlenmiş bireysel mevduatların toplamını belirttiğimiz gibi burada da kira sermayesi aslında tuumlm bireysel iskon-tolanmış kiraların değerlerinin toplamına eşit olacaktır İskontolanmış değer aslında faizlen-dikten sonra R değerine biriken şimdiki değerdir Bunu zaman ekseninde şu şekilde goumlsterebi-liriz (şek8)

Şek 8

O halde doumlnem başı durumunda r faiz katsayısıyla kira sermayesi iccedilin

12

1

11 nn r

Rr

Rr

RRM

elde edilir Goumlruumllduumlğuuml gibi birinci kira iskonto edilmez onun değeri şimdiki oumldenen değere eşittir İkinci kira bir periyot iccedilin iskonto edilmiş ve bu şekilde n ndash 1 defa iskonto edilen son kiraya kadar devam edilir Bu şekilde elde edilmiş olan ifadeyi

13

12

1

111 nn rrr

RM

biccediliminde yazalım Parantez iccedilinde olan kısım ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik

dizisinin ilk n teriminin toplamıdır Mevduatlardan farklı olarak burada faiz katsayıları yerine 1

kr

iskonto katsayısı vardır Formuumlluuml doumlnuumlştuumlrmeye devam ediyoruz 1

1

11

11

rrrrR

r

rRM n

nn

n

elde edilir

211

1

11

rrrRM n

n

n

formuumlluumlyle doumlnem başı kiranın kira sermayesi hesaplanır diğer deyiş-

le ilerdeki tuumlm oumldemelerin şimdiki değerini hesaplamak iccedilin uygulanan formuumllduumlr

Not 1 Uumlccediluumlncuuml i i tablo birinci tablonun değerlerinin toplamından elde edildi-

ği gibi benzer şekilde doumlrduumlncuuml i i tablo 17 npV

12

1

11 nrrr

şeklinden toplam gibi 1211 7777777 n

pppnpV

yani 1rsquoden n -1 kadar periyotlarında aynı p pa(d) faiz oranıyla

hesaplanmış ikinci tablonun değerlerinin toplamıdır

Buna goumlre kira sermayesi iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz

11 7 npn VRM

1 Oumlnuumlmuumlzdeki her 4 yılın başlangıcında 10000 denar kira almak iccedilin buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 6 pa(d) ve faizin hesaplanması yılda bir defa olsun

Kira sermayesinin hesaplanması gerekir Toplam 4 kira n = 4 kira değeri R = 10000 yıllık

faizlendirme m = 1 ve doumlnem sonu faiz katsayısı 61 106

100 olduğunu biliyoruz

O halde

367301061061

106110000

1

13

4

1

rr

rRM n

n

n

denardır

Not 2 Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda faiz katsayısı 100

100 p8

rsquodir ve kira

sermayesi iccedilin şu formuumll geccedilerli olacaktır

1

1

1

11

888

8888

n

n

n

n

n RRM

2 Oumlnuumlmuumlzdeki her 4 yılın başlangıcında 10000 denar doumlnem başı kira almak iccedilin buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 6pa(a) ve faizin hesaplanması yılda bir defa olsun

Oumldev 1rsquode yapıldığı gibi benzer şekilde hareket edilir 100

1063829787100 6

8

elde

edilir Bunu yukarıdaki formuumllde yerine koyarsak Mn = 36 542 denar elde edilir

212

3 Oumlnuumlmuumlzdeki 10 yıl boyunca yarım yılda bir 30 000 denar kira almak istiyoruz İlk kira hemen oumldendiği takdirde buguumln ne kadar para yatırmalıyız Faiz oranı 10 pa(d) ve faizin hesaplanması yılda iki defa olsun

Birinci oumldeme hemen olduğuna goumlre doumlnem başı kira soumlz konusudur Oumldeme sayısı n =

10 2 = 20 R = 30 000 ve 101 105

2 100r

biliniyor O halde

3925601051051

105130000

19

20

nM

denar olduğunu buluyoruzKira sayısı n doumlnem sonu faiz katsayısı r doumlnem sonu R değerinde kira olduğu durumda (şek9)

Şek 9birinci kira birinci periyodun sonunda oumldenir ve aynısı bir periyot iccedilin iskonto edilir İkinci kira iki periot iccedilin ve son kira n periot iccedilin iskonto edilir O halde

r

rr

Rrrrr

Rr

Rr

Rr

Rr

RMn

nnnnn 11

11

111

1111

111212

13

ve sonunda

1

1

rr

rRM n

n

n elde edilir Bu ise vade sonu kira sermayesinin hesaplanmasında

uygulanan formuumllduumlr

Not 3 Yukarıda yapılan incelemeye goumlre doumlrduumlncuuml i i tablosu iccedilin kira sermayesi for-

muumlluuml

npn VRM 7 şeklinde yazılır

Not 4 Doumlnem başı faizlendirmede doumlnem sonu kiralara ait formuumll

1

1

88

8n

n

n RM dir

4 Her uumlccedil ay sonunda 2 yıl boyunca periyodik mevduat yatırılmaya başlanmıştır Bu guumln-den 7 yıl sonra uumlccedil ay vadeli 6000 denar tutarında 15 yıl boyunca kira almak istiyoruz Kira doumlnem başı faiz oranı 8 pa(d) ve uumlccedil aylık faizlendirme ile verilecektir Yatırılan periyodik mevduat ne kadardır

213

Periyodik yatırımları ve alacakları zaman ekseninde goumlsterelim (şek10)

uumlccedil aylık mevduatlar uumlccedil aylık kiralar

Şek 10

Verilenler 842 n 0211004

81

r

2 yılın sonunda yatırımların toplam tutarı

VVr

rVSn

n 58381021

1021

1

1 8

dir Yatırımın gelecekteki değeri yani kiraların oumldenmesi

başlanıncaya kadar 5 yıl iccedilin faizlenir Kira sermayesi aslında Snrsquoin faizlenmiş değeridir Buna goumlre 5 4 208583 102n nM S r V rsquodir Sadeleştirdikten sonra 12754nM V elde edilir Di-

ğer taraft an kiraların verilen koşullarına goumlre

1

1

1

n

n n

rM Rr r

formuumlluumlnde kira sayısı nrsquo =

15 4 = 6 r = 102 R = 6000 denar Buna goumlre 6

5

102 16000 34281

102 102 1nM

elde edilir

Kira sermayesi iccedilin elde edilen iki değeri eşitlersek 34 281 = 12754 V elde edilir Oradan da V = 2 688 denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Periyodik kira nedir

2 Oumldemelerin suumlresine goumlre kiralar nasıl adlandırılır

3 Oumldeme zamanına goumlre nasıl kiralar vardır

4 Doumlnem başı oumldenen yarım yıl vadeli 5000 denar kira tutarını 20 yıl boyunca almak iccedilin ne kadar kira sermayesi gerekir Faiz oranı 6 pa(d) ve faiz vadesi yarım yıllık olsun

5 Altı yıl boyunca 4 pa(d) faiz uumlzerinden 30 000 denar yıllık vadelia) doumlnem sonu b) doumlnem başıkira almak iccedilin bu guumln yatırmamız gereken sermaye miktarı ne kadar olmalıdır

8

214

6 Gelecek altı yılda her uumlccedil ayın sonunda 30 000 denar kira almak iccedilin kira sermayesi ne kadar olmalıdır Faiz oranı 2 ps(d) ve faiz vadesi uumlccedil aylıktır

7 Buguumln 80 000 denar bankaya yatırıldı İlerdeki 9 yıl zarfında her ay sonunda ne kadar para yatırmalıyız ki son mevduatın oumldendiği guumlnden itibaren aylık doumlnem başı 7000 denar kira tutarı elde edilsin Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

8 Bu guumlnden başlayarak ilerdeki uumlccedil yıl boyunca her ayın sonunda 5 000 denar kira tutarı almak iccedilin buguumln yatırılan 18 000 denar ile beraber 2 yıl oumlnce ne kadar para yatırmamız gere-kirdi Faiz oranı 24 pa(d) aylık vadelidir

87 Kira Tutarının Hesaplanması

Kira sermayesinin değeri Mn faizlendirme ve kira alışının koşulları verilmiş kira tutarı

bilinmeyen olsun Kira doumlnem başı olduğu durumda kira sermayesi iccedilin 1

1

1

n

n n

rM Rr r

geccedilerlidir Bu ifadeden bilinmeyen R kira tutarını ifade edeceğiz Oradan

1

11

n

n

n rrrMR

elde edilir Bu formuumlluuml kullanarak doumlnem başı kira tutarını hesaplayacağız Kira doumlnem sonu olduğu durumda ise kira sermayesi iccedilin 1

1

rr

rRM n

n

n formuumlluuml geccedilerlidir Bu formuumllden

1

1

n

n

n rrrMR

elde edilir

1 Buguumln 200000 denar 6 pa(d) yarıyıllık faizlendirme ile bankaya yatırılmıştır Bu kira sermayesi tutarıyla oumlnuumlmuumlzdeki 20 yıl boyunca her altı ayda bir kira

a) doumlnem sonu b) doumlnem başıolmak uumlzere alınırsa kira tutarı ne kadar olacaktır

Mn = 200000 denar kira sermayesi R tutarlı n = 20 2 = 40 kiraya eşit olmalıdır Doumlnem

sonu faiz katsayısı 6

1 1032 100

r rsquotuumlr

a) Doumlnem sonu kira durumunda 58652

1031

1031031200000

40

40

R denardır

215

b) Kira doumlnem başı olduğu takdirde

584001031

1031031200000

40

39

R

denardır

Not 1 Faizlendirme doumlnem başı olduğu durumda kira

1

11

n

n

nMR8

88

formuumlluumlyle hesaplanacaktır 8 doumlnem başı faiz katsayısıdır

Not 2 Faiz oranı doumlnem başı kira doumlnem sonu olduğu durumda kira

1

1

n

n

nMR888

formuumlluumlyle hesaplanacaktır

2 İki yıl oumlnce bankaya 120 000 denar 5 pa(d) yarı yıllık faizlendirmeyle yatırılan paray-la bu guumlnden başlayarak 4 yıl boyunca her altı ay başında ne kadar kira alabiliriz

K = 120 000 r = 1025 n = 4 2 = 8rsquodir Bu verilerle kira her yarıyıl başında alındığına goumlre doumlnem başı kira formuumlluumlnuuml uyguluyoruz

nnn

n

n MMr

rrMR 136010251

102510251

1

18

71

yarıyıllık kirafaizlendirme

Şek 11Zaman ekseninde goumlruumllduumlğuuml gibi kira iki yıl ertelenmiştir ve 120 000 denarlık kapital kira

sermayesi olarak kullanıldığı ana kadar

51324570251120000 422 rKM n

ve R= 0136

132 4575 = 18 014 denardır

3 Bu guumlnden başlayarak oumlnuumlmuumlzdeki iki yıl boyunca her uumlccedil ay sonunda 3 000rsquoer denar para yatırılacaktır Yatırılan son taksitten bir yıl sonra başlayarak bu yatırımdan 2 yıl boyunca her uumlccedil ayın başında kira oumldenecektir Banka hesabımızda bu guumlnden yedi yıl sonra 12 000 denar para biriktiğini varsayarak kira tutarı ne kadar olacaktır Faiz oranı 8 pa(d) faizlendirme uumlccedil aylık vadelidir

Zaman eksenini ccedilizdikten sonra işaret edelim (şek12)

216

4 yıl

yatırımlar kiralar

Şek 12

3000dqV 842 n 0211004

81

r

ve 257491021

10213000

1

1 8

r

rVSn

n

denardır Bu miktar para bir yıl faizde kalır ve kiraların toplam tutarını ve kalan 1200 de-narın bedelini sağlar Buna goumlre

44

4 112000

rMrSn

denklemini yazabiliriz 12000 denar

tutarının doumlrt yıl iccedilin uumlccedil ay vadeli iskontosu hesaplanır O halde 120001620 MrrSn

elde edilir Kira sermayesi M ile işaret edersek kira sermayesi tutarı doumlnem başı uumlccedil aylık vadeli 8

kiraya denktir O halde 47271021021

1021

1

17

8

1

RR

rrrRM n

n

elde edilir bunu yu-

karıdaki ifadede yerine değiştirirsek 12000021472702125749 1620 R

ve sonunda

25600214727

120000212574916

20

R denar elde edilir

Alıştırmalar

1 Buguumln bankaya 100 000 denar kira sermayesi oumldedik Oumlnuumlmuumlzdeki 8 yıl boyunca ya-tırılan para miktarıyla 3 pa(d) yarıyıllık faizlendirme ile doumlnem sonu yarıyıllık kira tutarı ne kadar olacaktır Faizlendirme doumlnem başı faiz oranı aynı 3 pa(a) olduğu durumda kira tutarı ne kadar olacaktır

2 Buguumln bankaya 150 000 denar para yatırdık Oumlnuumlmuumlzdeki 25 yıl boyunca yatırılan miktardan her uumlccedil ay sonunda 8 pa(d) faiz oranı uumlzerinden oumldenecek kira tutarı ne kadar olacaktır

3 Buguumln 90 000 denar yatırdık Bu yatırımdan doumlnem başı uumlccedil aylık vadeli olmak uumlzere 3 yıl sonra başlayarak ilerdeki 5 yıl boyunca kira alacağız Faiz oranı 10 3 aylık vadeli faizlendir-me olduğuna goumlre kira tutarı ne kadar olacaktır

4 Biri 33 doğum guumlnuumlnden 38 doğum guumlnuumlne kadar her yarıyıl başında 4 800rsquoer denar banka hesabına yatırmıştır Bu kişi 41 doğum guumlnuumlnden 48 doğum guumlnuumlne

217

kadar her yarıyıl sonunda alacağı kira tutarı ne kadardır Yarıyıllık vadeli faizlendirme faiz oranı 6 pa(d)rsquodir

5 İki yıl oumlnce 12 000 denar para yatırdık ve 25 yıl sonra her yarıyıl sonunda kira alacağız Faiz oranı 5pa(d) yarıyıllık faizlendirme uygulamakla alınacak kira tutarı ne kadar olacaktır

88 Kira Sayısı ve Kira Kalanının Hesaplanması

Kira sermayesinin hesaplanmasında kullanılan formuumlldeki buumlyuumlkluumlkler arasında kira sa-yısı da bulunmaktadır Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde kira sayısını ifade edebiliriz Doumlnem başı kiralar iccedilin 1

1

1

11

rrrRr

rrrRM n

n

n

n

n kira sermayesi formuumlluumlne

birkaccedil denk doumlnuumlşuumlm uygulayarak

nn

rRrrM 1

11

Rr

rMRrRrrM

rnn

n

111

1

1

rMRrRrr

n

n

elde edilir Elde edilen denklemin iki tarafının logaritmasını alalım 1loglog

rMRrRrr

n

n ve logaritma işleminin bir oumlzelliğini kullanarak

1loglog

rMRrRrrn

n

elde edilir Oradan da

1log

log

1

rMRrRr

rn

n

elde edilir Bu formuumlluuml kullanarak kira sayısını hesaplayacağız

1 Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıl vadeli faizlendirme ile 129442 denar kira sermayesi yatırıl-mıştır İlk kira hemen alındığı takdirde 1200 denar tutarında yarıyıllık kaccedil kira alınabilir

Birinci kira hemen alındığına goumlre doumlnem başı kira soumlz konusu olduğunu oumlnceden kay-dedelim Bilindiği uumlzere

129442nM 0211002

41

r 12000R

denardır Buna goumlre kira sayısı

218

122682411log277116102112944202112000

02112000log

021log

1

n

Not 1 Faiz oranı doumlnem başı ise doumlnem başı yatırım iccedilin kira sayısı

1log

log

1

888

8 nMRRn

formuumlluumlyle hesaplanacaktır Burada

p

100

10018

doumlnem başı faiz katsayısıdır

2 Buguumln bankaya 140000 denar yatırıyoruz Yatırılan paraya banka yıllık 5 pa(d) faiz oumlduumlyor Yatırılan bu parayla 10 000 denar tutarında doumlnem başı yıllık kaccedil kira alabiliriz

140000nM 10000R

ve

051100

51 r

verilmiştir bundan dolayı

51722105114000005110000

05110000log

051log

1

n

Elde edilen değer tam sayı değildir Bu ise şunu goumlsteriyor Oumldenen 22 kira ile yatırılan pa-ranın tuumlmuuml harcanmamıştır fakat 10 000 denar tutarında olan kiralardan buumltuumln 23 kira oumldemek iccedilin yeterli para yoktur O halde kira sayısı elde edilen sayıdan buumlyuumlk olan ilk doğal sayıdır fakat ilk 22 kira tutarı eşit son olan 23 kira diğerlerinden kuumlccediluumlktuumlr

Şek13

Son kira iccedilin ya da kira kalanı diye adlandırılan tutarı hesaplamak iccedilin formuumll bulacağız Son kirayı R0 ile işaret edelim Bu durum zaman ekseni şek 13rsquote goumlsterilmiştir Kira sermaye-sinin bireysel kiralarını iskonto ederek

10221022

11

111

11

11

13

nnnnn r

Rrrr

Rr

Rr

Rr

Rr

RRM

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade bir sonsuz geometrik dizisinin ilk n terim toplamıdır Buna goumlre

101

1

10

1 1

1

11

11

11

nn

n

n

n

n rR

rrrrR

rR

r

rRM

elde edilir Buradan da kira kalanı iccedilin şu formuumlluuml elde ediyoruz

219

1

1

1

01

1

9

lt=

gt

nn

n

n rrr

rrRMR

Not 2 Bu ifadeyi doumlrduumlncuuml ve birinci i i tablolarıyla ifade edersek formuumll 12

0 1 77 np

npn VRMR

şeklinde yazılabilir Burada 1

11

1

12

7

rrrrV n

nnp dir

Bizim oumlrnekte n = 23 olduğuna goumlre 755231051

1051051

105105110000140000 22

22

22

0 9

lt=

gt

R

denar elde edilir Kira kalanı daima kira tutarından kuumlccediluumlktuumlrMn kira sermayesi n defa alınmış olan doumlnem sonu kira R ve doumlnem sonu faiz katsayısı r

verilmiş olsun Kira sermayesi formuumlluumlnden n

n

rr

RM 1

11

R

rMRr

RM

rnn

n

111

1

elde edilir Buradan da

1

rMRRrn

n

elde edilir Bu ifadenin iki tarafının logaritmasını alalım

1loglog

rMRRrn

n

oradan da

1log

log

1

rMRR

rn

n

elde edilir

Not 3 Verilen faiz oranı doumlnem başı olduğu durumda kira sayısı iccedilin

1log

log

1

88 nMRRn

formuumlluuml geccedilerli olacaktırn tam sayı olduğu durumda bu sayı alınacak kira sayısıdır aksi halde tam sayı olmadığı

durumda kira sayısı bu sayıdan buumlyuumlk olan ilk doğal sayı alınır Doumlnem başı kiralar iccedilin yapıl-dığı gibi burada da R0 kira kalanı hesaplanabilir (şek14)

220

Şek 14

Kiraları iskontolayarak kira sermayesi iccedilin

nnnnn rR

rrrR

rR

rR

rR

rRM 11

1111

11

012012

13

elde edilir Parantez iccedilindeki toplam ilk terimi 1

r ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik dizi-sinin toplamı olduğuna goumlre

nn

n

n

n

n rR

rrrR

rR

r

rr

RM 1

1

11

11

11

101

1

0

1

elde edilir Oradan da

n

n

n

n rrr

rRMR 9

lt=

gt

1

11

1

0

elde edilir Bu ifade doumlnem sonu kira kalanını hesaplamak iccedilin formuumllduumlr

Not 4 1

11

1

rrrn

n

ifadesi 17 npV ile değiştirildiğine goumlre i i tablolarından yararlanmakla

kira kalanı iccedilin şu formuumlluuml kullanacağızd

np

npn VRMR 77 1

0

Not 5 Kira kalanını hesaplamak iccedilin elde edilen formuumlllerde faiz katsayısı r doumlnem başı faiz katsayısı 8 ile değiştirilirse doumlnem başı faizlendirme iccedilin karşılık gelen kira kalanı formuumll-leri elde edilecektir

3 Yıllık doumlnem sonu kira almak iccedilin buguumln bankaya 280 000 denar yatırıyoruz Faiz oranı 5 pa(d) yıllık olduğuna goumlre 20 000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Son kira ne kadardır

Şu veriler biliniyor Mn = 280 000 kira R= 20 000 ve r = 105 n kira sayısını belirtmek istiyoruz Yukarıdaki formuumlllerden

676524105128000020000

20000log

051log

1

n

elde edilir Buna goumlre alınacak kira sayısı n = 25rsquotir Halbuki burada kiralardan ilk 24 tanesinin tutarı

eşit son kira tutarı ise farklı ve 20 000 denardan az olacaktır O halde kira kalanı iccedilin

221

4136370511051051

105120000280000 25

24

24

0 9

lt=

gt

R

denar olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Buguumln bankaya 91012227 denar yatırdık ve bu guumlnden başlayarak her uumlccedil ay sonunda 100000 denar tutarında kira alacağız Faiz oranı uumlccedil aylık vadeli 7 pa(d) olduğuna goumlre kaccedil kira alabiliriz

2 Buguumln bankaya 33931867 denar yatırdık Faiz oranı altı aylık vadeli 10 pa(d) oldu-ğuna goumlre doumlnem başı altı ay vadeli kaccedil kira alabiliriz

3 Buguumln 500000 denar altı ay vadeli 5 pa(d) faiz oranıyla bankaya yatırdığımız tak-dirde bu guumlnden başlayarak her altı ay sonunda 50000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Kira kalanı ne kadardır

4 Bankaya yatırılan 1 300 000 denar para ile uumlccedil aylık vadeli doumlnem sonu 40 000 denar tutarında kaccedil kira alabiliriz Faiz oranı doumlnem sonu uumlccedil aylık vadeli 9 pa(d)rsquodir Kira kalanı ne kadardır

5 Buguumln bankaya 120 000 denar yatırdık ve bu guumlnden başlayarak her altı ay başında 4 800 denar tutarında kira alacağız Faiz oranı altı aylık vadeli 4 pa(d) olduğuna goumlre kaccedil kira alabiliriz ve kira kalanı ne kadardır

89 Periyodik Kiralarda Faiz Oranının Hesaplanması

Faiz oranı bilinmeyen diğer buumlyuumlkluumlkler ise biliniyorsa onu kira sermayesi formuumlluumlnden bilinmeyen buumlyuumlkluumlk gibi hesaplanacaktır doumlnem başı iccedilin 11 n

n pM R IV ve doumlnem sonu iccedilin n

n pM R IV

1 Hangi yıllık vadeli faiz oranıyla 600 000 denar yatırılmalıdır ki 25 yıl boyunca her yıl başı 50 000 denar tutarında kira alınsın

Doumlnem başı kiralara ait kira sermayesinin temel formuumlluumlnuuml accedilalım Amaccedil r doumlnem sonu faiz katsayısının değerini bulmaktır

222

1

11

rrrRM n

n

n

buradan

01 RrMrRM nn

nn

denklemi elde edilir Bu denklemde bilinmeyen rrsquodir ve derecesi genellikle 4rsquoten buumlyuumlktuumlr Boumlyle denklemleri

ccediloumlzmek iccedilin sayısal youmlntemler kullanılır ve bu youmlntemlerin uygulanması hayli zordur Halbu-ki 11 7 n

pn VRM

formuumlluumlnuuml kullanarak 1npIV finansal tablosundan değerleri okuyarak

p faiz oranını kolay belirtebiliriz Halbuki 1npIV tablosunda aranılan değer yoksa bileşik faiz

hesabında ve mevduatlarda yapıldığı gibi lineer enterpolasyon denilen youmlntem uygulanır

Konkre olarak oumldev 1rsquode Mn = 600 000 R = 50 000 n = 25rsquotir Formuumlluuml uygulamakla 24600 000 = 50 000 1 pIV olduğuna goumlre 24

pIV = 11 elde edilir 24

pIV tablosunda 11 değe-ri hiccedilbir faiz oranına karşılık gelmediğini goumlruumlyoruz Bu nedenle ona en yakın olan değerleri 109830 lt 11 lt 114693 alıyoruz Bu durumda

24

75IV = 109830 ve 24

7IV = 114693 olduğunu buluyoruz Şu tabloyu oluşturuyoruz

24

pV7 p 24

pV7 p

983010 57 983010 57 469311 7 11 p

48630 50 0170 57p

04863 (ndash 05) = 0017 (p ndash 75) orantısından 482757

48630

017050

p

elde edi-lir Demek ki aranılan faiz oranı 7482rsquodir

2 Bir kişi 5 yıl boyunca her yarıyıl sonunda 60 000 denar kira alıyormuş Kira sermayesi olarak ilk alınan kiradan altı ay oumlnce 463 302 denar yatırıldığına goumlre altı ay vadeli faizlendirme hangi faiz oranıyla yapılmıştır

Burada doumlnem sonu kira tutarı R = 60 000 kira sermayesi tutarı Mn = 463 302 n = 5 2

= 10 defa verilmiştir Doumlnem sonu kiraya ait kira sermayesi formuumlluuml 1

1

n

n n

rM Rr r

rsquodir Bu

eşitliği r faiz katsayısına goumlre duumlzenlersek 1 0n nn nM r M R r R denklemi elde edilir

Bizim oumlrneğimizde bu denklem 11 derecedir ve bunun ccediloumlzuumlmuumlnuuml belirtmek kolay değildir Bu

nedenle finansal tablolarda 2

nn pM R IV kira sermayesinin formuumlluumlnden yararlanacağız

2

p

223

yarıyıllık etkin faiz oranıdır Demek ki 10

2

463302 60000 pIV olduğuna goumlre 10

2

77217pIV

elde edilir Tabloda n =10 iccedilin 77217 sayısına 2

P 5 karşılık gelir Buna goumlre yıllık nominal

faiz oranı 10 pa(d) olduğunu buluyoruz

3 12 yıl altı ay boyunca yarıyıllık faiz vadesiyle doumlnem sonu altı aylık 10 000 denar tuta-rında kira almak iccedilin 12 000 denar kira sermayesini hangi faiz oranıyla yatırmalıyız

Formuumllde Mn = 120 000 R = 10 000 ve kira sayısı n = 125 2 = 25 değerlerini değiştirirsek 25

2

120000 10000 pIV denkleminden 25

2

12pIV elde edilir Doumlrduumlncuuml i i tablosunda n = 25

iccedilin 12 sayısını değil ona en yakın komşuluğunda bulunan iki sayıyı seccediliyoruz Bunlar 121979 sayısı ki buna 65 faiz oranı ve 116536 sayısı ki buna 7 faiz oranı karşılık gelir

Bu verileri tabloda yazarak enterpolasyon yapacağız

25

2pV7 2p 25

2pV7 2p

653611 7 653611 7 197912 56 12 2p 54430 50 34640 72 p

05443 (ndash 05)= 03464 (p 2 ndash 75) orantısından

6826754430

3464050

2

p

elde

edilir Buna goumlre yıllık nominal faiz oranı 13364 pa(d)rsquodir

4 Buguumlnden başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her uumlccedil ayın sonunda 16 000 denar para bankaya yatıracağız Bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesabımızdan o kadar para ccedilekmeliyiz ki beş yıl sonra hesabımızda kira sermayesi olarak 30840 denar paramız birikmiş olsun Bu kira sermaye-sinden yaralanarak 25 yıl boyunca 4000 denar tutarında doumlnem sonu uumlccedil ay vadeli kira alacağız Bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesabımızdan hangi miktar parayı ccedilekmeliyiz Faiz oranı bu zaman suumlresinde daima aynıdır

İki yıllık yatırım yapılıyor fakat faiz oranını bilmediğimizden mevduatın tutarını hesapla-yamıyoruz Halbuki kira iccedilin verilerimiz vardır ve oradan faiz oranını hesaplayacağız Bu verile-ri zaman ekseni uumlzerinde goumlsterdikten sonra denklemler kuracağız

224

yatırımlar

Şek 15

S yatırımının son değeri bir yıl faizlenir X tutarında para ccedilekilir ve kalan para daha iki yıl faizlenir Buguumlnden 5 yıl sonraki guumlnde bankada biriken para tutarı kiraların toplam tutarına karşılık gelir Buna goumlre 4 8S r X r M denklemi elde edilir Oumlnce faiz oranını hesapla-

yalım Kira sermayesi formuumlluumlnden 4

npM R IV yazabiliriz burada n kira sayısıdır ve oumlrneği-

mizde n = 25 4 =10 kiradır Buna goumlre 4

771npIV elde edilir Bu değer 8

4

p faiz oranına

karşılık gelir Demek ki p = 32 pa(d) olduğunu buluyoruz Buna goumlre 321 108

4 100r

değerini Xrsquoin bulunduğu denklemde yerine koyabiliriz Yatırım doumlnem sonu olduğuna goumlre

1701861081

108116000

8

S denar elde edilir O halde 4 8170186 108 108 30840X

denklemi elde edilir Bunun ccediloumlzelim 231536 ndash X = 16662 oradan da X = 231536 ndash 16662 = 214874 denar olduğunu buluyoruz

Ccedilekilmesi gereken miktar 214874 denardır

Alıştırmalar

1 On yıl boyunca her uumlccedil ayın başlangıcında 10 000 denar tutarında kira alınmıştır İlk alınan kiranın ilk guumlnuumlnde 200 000 denar para yatırılmışsa uumlccedil ay vadeli hangi faiz oranı kulla-nılmıştır

2 12 yıl boyunca her uumlccedil ayda bir 2 000 denar doumlnem başı kira almak iccedilin 70 000 denar hangi faiz oranıyla yatırılmalıdır Faizlendirme her uumlccedil ayda bir yapılacaktır

3 Altı yıl boyunca her altı ayda 6 000 denar tutarında doumlnem sonu kira almak iccedilin 45 216 denar kira sermayesi hangi faiz oranıyla yatırılmalıdır

4 Bir kişi 36 000 denar yatırım yaparak ilerdeki 5 yıl boyunca her doumlrduumlncuuml ayda 4 500 denar tutarında kira almalıdır Doumlrt ay vadeli hangi faiz oranı kullanılmıştır

225

5 Bir yıl oumlnce yatırılan tutarın şimdiki değeri 45 000 denardır ve her ikinci ay sonunda bu paradan iki yıl boyunca 5 000 denar tutarında kira alınacaktır Kira iki ay vadelidir Bir yıl oumlnce hangi miktar para yatırılmıştır

810 Karma Oumldevler

Tuumlm i i tablolarının uygulanmış olduğu bazı ccediloumlzuumllmuumlş oumldevler uumlzerinde duracağız Ve-rilen oumlrnekler yatırımlar (mevduatlar) ve bileşik faizlendirmeden oluşan bileşik kombinasyon-lardan meydana gelmiştir

1 Buguumln ne kadar kapital yatırmalıyız ki bu guumlnden başlayarak 5 yıl sonraki altı yıl bo-yunca her uumlccedil ay başında 9000 denar tutarında kira almak iccedilin yatırımımız olsun Faizler ilk iki yılda aylık vadeli 6 ps(d) faiz oranıyla sıradaki uumlccedil yılda uumlccedil ay vadeli 10 pa(a) faiz oranıyla ve son altı yılda faiz oranı 4 pq(d) hesaplanacaktır (şek15)

Şek 16

Kira sermayesi aslında anaparanın faizlenmiş tutarıdır ve farklı periyotlarda farklı faiz oranlarına goumlre şu şekilde hesaplanacaktır

- İlk iki yıl 2 12 = 24 defa 01110012

621

r

faiz katsayısıyla faizlenecek

- sıradaki 3 yılda 3 4 =12 defa 025641

4

10100

100

8

faiz katsayısıyla ve

- kiraların hesaplanmasında toplam 6 4 =24 kira uumlccedil aylık vadeli 4 etkin faiz oranıyla ya da rrsquo = 104 faiz katsayısıyla faizlenecektir

Buna goumlre nMrK 1224 8

ve 1

124

24

AAA

Arr

rrRM n

dir Verilen değerleri değiştirdik-

ten sonra elde edilen ifadeleri eşitliyoruz Bu şekilde

1041041

10410419000025641011

24

241224

K

denklemi elde edilir İfadenin sadeleştirilmesiyle 172 K = 142 712 elde edilir Buna goumlre buguumln oumldenmesi gereken tutar K = 82 972 denar olduğunu buluyoruz

226

2 Banka hesabımıza 780 000 denar tutarında kira sermayesi yatırıyoruz Faiz oranı ilk 4 yıl boyunca 6 pa(d) ve gelecekteki altı yıl boyunca 8 pa(d) olmak uumlzere on yıl boyunca ayda ne kadar kira alınabilir Faizlendirme işlemi aylık ve ilk kira kira sermayesinin yatırıldı-ğından bir ay sonra başlayacaktır

Oumlnce ilk kira oumldemesi ay sonunda yapıldığına goumlre doumlnem sonu kiradan bahsedildiğini fark edelim Farklı faiz oranları uygulandığından aynı tutarlı fakat farklı kira sermayesi ile ilk 4 yılda bir ikinci 6 yılda ikinci kira oumldendiğini farz edebiliriz (şek17)

Şek 17

İlk doumlrt yıl iccedilin gereken kira sermayesi M1 ve ilerdeki 6 yıl iccedilin M2 olsun Oumldenen top-lam kira sermayesi tutarı M1 ve iskontolanmış M2 tutarlarının toplamıdır Birinci kira 4 12

= 48 defa doumlnem sonu faiz katsayısı 005110012

611

r

ile hesaplanacaktır ve elde edi-

len kira sermayesi RRM 58042100510051

1005148

48

1

rsquodir İkinci kira 6 12 = 72 defa

doumlnem sonu faiz katsayısı 00667110012

812

r

olduğuna goumlre ikinci kira sermaye-

si RRM 028571006671006671

100667172

72

2

rsquodir O halde 124

1

21

1

rMMM

eşitliğinden

4800510285758042780000 RR

denklemi elde edilir Denklemi ccediloumlzerek aylık kira R =

8917 denar olduğunu elde ediyoruz

3 Dokuz yıl boyunca uumlccedil ay vadeli 18 000 denar tutarında kira almak istersek her ay başın-da 6 yıl boyunca ne kadar mevduat yatırılmalıdır Son yatırılan mevduattan ilk kira alınıncaya kadar 6 yıl 1 ay geccedilecektir Faiz oranı 8 pa(d) faizlendirme ilk 6 yılda aylık vadeli ondan sonra uumlccedil aylık vadeli olacaktır (şek18)

227

R uumlccedil aylık kiraV aylık mevduat

Şek 18

Bilinmeyen bireysel mevduat Vrsquodir Mevduat toplam 6 12 = 72 defa doumlnem başıdır Al-

tıncı yıl sonunda 1

81 100667

12 100r

faiz katsayısıyla yatırımların son tutarı S hesaplanır

Buna goumlre VVr

rrVS 65921006671

1006671006671

1

1 72

1

72

11

elde edilir S tutarına kira ser-

mayesi olduğu andan itibaren faizlendirmeye başlanır Son mevduattan ilk kiranın oumldenmesine kadar 6 yıl 1 ay suumlre vardır fakat S son mevduattan bir ay sonra hesaplanmaya başlıyor Demek ki faizlendirme suumlresi 6 yıldır O halde S tutarını belirttikten sonra faizlendirme uumlccedil aylık vadeli

olduğuna goumlre 6 4

2M S r rsquodir Bu durumda r2 faiz katsayısı iccedilin 2

81 102

4 100r

elde edi-

lir Buna goumlre kira sermayesi iccedilin VVSM 1490216592021 2424

elde edilirDiğer taraft an kira sermayesini kiranın koşullarına goumlre hesaplayacağız Kira her uumlccedil ay

vadeli 9 yıl boyunca alınır Demek ki ilk uumlccedil ayın başlangıcından başlayarak yani doumlnem başı toplam n = 9 4 = 36 kira oumldenir Faiz katsayısı r2 = 102rsquodir Buna goumlre

46800026180001021021

102102118000

1

136

36

2

36

2

36

22

rr

rrRM

elde edilir Kira sermayesinin iki değerini eşitleyerek 149 V = 468 000 elde edilir Buna goumlre V = 3141 denardır

4 Biri 9 yıl oumlnce banka hesabına 38 000 denar yatırmıştır İlk iki yılda başka yatırım ve para ccedilekme olmamıştır Ondan sonra 3 yıl boyunca her 6 ayda 8 000 denar tutarında mevduatlar yatırılmıştır Bu guumlnden başlayarak ilerdeki 4 yıl boyunca yıllık vadeli 15 000 denar tutarlı kira alınacaktır Bu guumlne kadar yarıyıllık vadeli faiz oranı 8 pa(d) bu guumlnden itibaren ise yıllık vadeli faiz oranı 10 pa(d) uygulandığına goumlre son kiradan sonra kişinin banka hesabında ne kadar parası olacaktır (şek 19)

228

mevduatlar

Şek 19

Oumldenen mevduatların faizlenmiş değerlerini gereken kira sermayesi ve iskonto kalanı K

ile eşitleyeceğiz Bu guumlne kadar faiz katsayısı 1

81 104

2 100r

rsquotuumlr Yatırılan ilk mevduat

tutarı K0 = 38 000 denardır ve buguumlne kadar yarıyıllık vade ile toplam 9 2 =18 defa faizlenir

32 = 6 defa yatırılan mevduatın toplam tutarı 551861041

10410418000

1

1 6

1

6

11

rrrVS

de-

nardır ve bu tutar buguumlne kadar faizlenir ve bu şekilde buguumlne kadar yatırılan paranın toplam tutarı

1525070415518604138000 81824

1

18

10 rSrK

denardır

Banka hesabından ilerde ccedilekilen parasal değerleri hesaplamak iccedilin kira ve kalanın iskon-tolanmış değerini hesaplamak gerekir Son kiradan sonra 4 yıl faizde kalan doumlnem başı yıllık vadeli mevduat soumlz konusu olduğunu belirtmeliyiz Bu demektir ki son kiradan doumlrt yıl sonra buguumlnden ise 8 yıl sonra iccedilin kalan para tutarını hesaplayacağız O halde doumlnem başı faiz katsa-

yısı 2

100111

100 108

olduğuna goumlre K kalanının iskontolanmış değeri 8

2

1K8 rsquodir

O halde kira sermayesi iccedilin 1

1

2

5

2

5

22

888

8RM

geccedilerlidir Beş yıllık doumlnem başı yıllık

vadeli 15 000 denar kira tutarı iccedilin 61537

1111111

111111115000

5

5

M

denar elde edilir

8

2

8

1

18

10

1

8 KMrSrK

şimdiye kadar yapılan yatırımları ve alımları eşitlemekle

152507 = 61537 + K middot111ndash8 elde edilir ve oradan K = 39 474 denar olduğunu buluyoruz Bu guumln-

den sekizinci yılın sonunda banka hesabında 39 474 denar kalacaktır

229

Alıştırmalar

1 11 yıl oumlnce banka hesabımıza yarıyıllık vadeli 4 yıl boyunca 8 000 denar tutarında mevduatlar yatırmaya başladık 3 yıl oumlnce bir defaya mahsus daha 90 000 denar yatırdık Buguumln-den başlayarak yedi yıl boyunca aylık kiralar alacağız ve 49 aydan sonra hesabımızda daha 50 000 denar kalacaktır Faiz oranı buguumlne kadar yarıyıllık vadeli 8 pa(d) ve bu guumlnden sonuna kadar aylık vadeli 12 pa(d) olduğuna goumlre kira tutarı ne kadardır Kiralar ve mevduatlar douml-nem başıdır

2 12 yıl oumlnce bankaya bir miktar para yatırdık Ondan uumlccedil yıl sonra 5 yıl boyunca her altı ayda 3 000 denar tutarında mevduatlar yatırdık Bu guumlnden başlayarak 8 yıl boyunca altı ay vadeli 5 000 denar tutarında kira alacağız Son kiradan 1 yıl 6 ay sonra banka hesabımızda daha 4 000 denar paramız olacaktır Buguumlne kadar faiz oranı 8 pa(d) ve buguumlnden sonra p = 6 pa(d) altı ay vadeli olduğuna goumlre 12 yıl oumlnce ne kadar para yatırılmıştır Hem mevduatlar hem kiralar doumlnem başıdır

3 Uumlccedil yıl oumlnce başlayarak iki yıl boyunca banka hesabımıza her ay doumlnem başı 2000 denar tutarında mevduat yatırmaya başladık Bir yıl oumlnce daha 40 000 denar yatırıldı Bu guumlnden bir yıl sonra 5 yıl boyunca R tutarında doumlnem başı aylık kira alacağız ve bu guumlnden 6 yıl sonra bir yıl boyunca 2200 denar tutarında doumlnem başı aylık kira alacağız Faiz oranı 13 pa(d) olduğuna goumlre beş yıllık kira tutarı ne kadar olacaktır Faizlendirme bir aylık vadelidir

4 Bir kişi 30 yıl oumlnce başlayarak onuncu yıl oumlnceye kadar her ay başında 24 pa(d) faiz oranıyla aylık vadeli 1100 denar tutarında mevduat yatırmıştır O guumlnden sonra faiz oranı 4 pa(d) altı ay vadeli faizlendirme uygulanmıştır Bu guumlnden başlayarak ilerdeki 15 yıl boyunca kişi her altı ayda kira alıp son kirayı aldıktan sonra hesabında 50 000 denar kalıyorsa yarıyıl vadeli kira tutarı ne kadardır

5 Biri yedi yaşından 15 yaşına kadar her uumlccedil ayın başında banka hesabına 7000 denar yatırmıştır 20 yaşında bir defaya mahsus daha 200 000 denar para yatırmıştır 30 ve 40 yaş ara-sındaki doumlnemde her uumlccedil ay başında 125 000 denar tutarında kira almıştır Faiz oranı 8 pa(d) uumlccedil ay vadeli olduğuna goumlre ellinci yılında şahsın banka hesabında ne kadar parasal varlığı ola-caktır

230

8 11 Alıştırmalar

1 Bu guumlnden başlayarak 1 yıl ve 8 ay boyunca her ay başında 1200 denar tutarında mev-duat yatıracağız Faiz oranı 6 pa(d) aylık vadeli faizlendirme ile bu guumlnden uumlccedil yıl sonra hesa-bımızda ne kadar para birikecektir

2 İki yıl oumlnce banka hesabımıza 40 000 denar para yatırdık Şimdiden 4 yıl sonra hesabı-mızda 800 000 denar birikmesi iccedilin ilerdeki uumlccedil yıl boyunca her ay sonunda ne kadar mevduat yatırmalıyız Faiz oranı 18 pa(d) aylık vadelidir

3 4500 denar tutarında uumlccedil ay vadeli kaccedil mevduat yatırmalıyız ki son mevduattan 3 ay sonra hesabımızda 120 000 denar para birikmiş olsun Faiz oranı 10 ve faiz vadesi uumlccedil aylıktır

4 Bir kişi 35 yaşından başlayarak 41 yaşına kadar her altı ay sonunda 6 000 denar tutarın-da para banka hesabına yatırıyor ve son yatırım guumlnuumlnde hesabında 144 000 denar olduğunu tespit ediyor Faizlendirme altı aylık olduğuna goumlre yatırım hangi faiz oranıyla yatırılmıştır

5 Biri banka hesabına her uumlccedil ay başında 6000 denar tutarında mevduat yatırmış ve bu-guumlnden 4 yıl sonra hesabında 314 422 denar para birikmiştir Buguumln dahil kişi kaccedil yıl hesabına uumlccedil ay vadeli 6000 denar tutarında para yatırmıştır Faiz oranı 6 pa(d) ve faizlendirme uumlccedil ay vadelidir

6 20 yıl boyunca ccedileyrek yıl vadeli doumlnem sonu 7200 denar tutarında kira almak iccedilin bu-guumln hangi miktar parayı yatırmalıyız Faiz oranı 8 pa(d) ve faizlendirme uumlccedil ay vadelidir

7 Bu guumlnden başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay sonunda 2 500 denar tutarında mevduat yatırılıyor Bu guumlnden 4 yıl sonra başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay başında ne kadar kira alabiliriz Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

8 Buguumln hesabımıza 100 000 denar para yatırdık Altı aylık vadeli doumlnem başı 10000 denar tutarında kirayı buguumlnden başlayarak kaccedil defa alabiliriz Faiz oranı 5 pa(d) altı aylık vadelidir Kira kalanı ne kadardır

9 Buguumln 115 610 denar yatırdık ve bir ay sonra başlayarak ilerdeki iki yıl boyunca her ay sonunda 9000 denar tutarında kira almaya başlayacağız Faizlendirme aylık vadeli olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

10 Buguumln hangi miktar parayı yatırmalıyız ki 5 yıl sonra hesabımızda 59008 denar pa-ramız kira sermayesi olarak birikmiş olsun Bu paradan 3 yıl boyunca her uumlccedil ay sonunda 1200 denar tutarında kira oumldenecektir

231

11 10 yıl oumlnce banka hesabımıza 50 000 denar para yatırdık Doumlrt yıl sonra her ay başın-da 800 denar tutarında 6 yıl boyunca periyodik yatırımlara başladık Buguumlnden başlayarak 2 yıl boyunca her ay başında 3000 denar tutarında aylık kira alacağız Son kiradan yarım yıl sonra hesabımızdan daha 197650 denar alıyoruz Bu guumlnden 3 yıl sonra banka hesabımızda ne kadar paramız kalacaktır Faiz oranı 10 pa(d) aylık vadelidir

12 Bir baba ccedilocuğunun tasarruf karnesine 8 yaşından 15 yaşına kadar her ay sonunda 500 denar yatırıyor 18 yaşından 24 yaşına kadar her ay başında 600 denar yatırıyor Ondan sonra 26 yaşından 15 yıl boyunca her ay başında 250 denar yatırıyor Faiz oranı 10 pa(d) aylık vadeli olduğuna goumlre son yatırımdan altı ay sonra ccedilocuğun karnesinde ne kadar parası olacaktır

13 On iki yıl oumlnce bir miktar para yatırılmış ve buguumln 30 000 denar ccedilekilmiştir Buguumlnden başlayarak ilerdeki 6 yıl zarfında her doumlrt ay sonunda 500 denar tutarında para yatırılmıştır Faiz oranı 6 pa(d) doumlrt ay vadelidir Bu guumlnden 12 yıl sonra hesabımızda 208790 denar oldu-ğuna goumlre 12 yıl oumlnce ne kadar para yatırılmıştır

14 Birkaccedil yıldan buguumlne kadar her uumlccedil ay başında 12000 denar para yatırılmıştır ve bu-guumlnden doumlrt yıl sonra banka hesabında 175400 denar birikmiştir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil ay vadelidir Paranın yatırılması kaccedil yıl oumlnce başlamıştır

15 Biri 80 000 denar para yatırmıştır 25 yıl sonra her uumlccedil ay başında kira almaya başlaya-caktır 25 yıl boyunca ne kadar kira alabilir Faiz oranı 12 pa(d) uumlccedil ay vadelidir

16 Buguumlnden bir yıl uumlccedil ay sonra hangi miktar parayı yatırmalıyız ki yatırım guumlnuumlnden buguumlnden 3 yıl sonraya kadar her ay sonunda 4500 denar tutarında kira alınsın ve son kira alın-dığı guumlnde hesapta 11250 denar para kalsın Faiz oranı 12 pa(d) aylık vadelidir

17 Biri 5 yıl oumlnce 24 000 denar yatırmış ve buguumlnden ilerdeki iki yıl boyunca her altı ay başında 38 330 denar para yatıracaktır Faiz oranı daima aynı altı aylık vadeli olmak uumlzere son yatırımda hesapta 400 000 denar biriktiğini varsayarsak bu guumlnden 5 yıl sonra kişinin hesabın-da ne kadar parası olacaktır

18 Buguumln banka hesabına 150 000 denar yatırılmış iki yıl sonra da 60 000 denar hesap-tan ccedilekilmiştir Buguumlnden onuncu yıla kadar doumlnem sonu yıllık kira alacağız ve son kiradan 3 yıl sonra hesabımızda 30 000 denar kalacaktır Faiz oranı 5 pa(d) yıllık vadeli olduğuna goumlre kira tutarı ne kadardır

232

Konu Oumlzetleri

Basit ve bileşik faiz hesaplarını uygularken sadece bir defaya mahsus olmak uumlzere yatırı-lan parasal varlıklar ve bazı oumlrneklerde farklı periyotlarda yatırılan ya da ccedilekilen tutarlar soumlz ko-nusuydu Bu durumda bireysel yatırımlar eşit ya da farklı olabilirdi belli bir kurala goumlre değişe-bilir oumlrnek aritmetik ya da geometrik dizisi kanununa goumlre artar ya da azalabilir veya tasarruft a olduğu gibi belli bir kanuna uymadan gelişiguumlzel değişebilir Halbuki ccedilok kez yatırımlar belli bir kanuna goumlre aynı zaman aralıklarında tekrarlanabilir yatırımlara rastlıyoruz Boumlyle durumlarda soumlz konusu mevduattır Mevduat belli bir suumlre sonunda veya istenildiğinde ccedilekilmek uumlzere ban-kalara faizle yatırılan paradır Mevduatlar belli suumlrelerde aynı miktarlarda yatırıldığı durumda sabit mevduatlar diye de adlandırılıyorlar

Yatırımlar oumldemeler serisinin başlama noktasına goumlre doumlnem başı ve doumlnem sonu mev-duatlar olarak ikiye ayrılıyorlar Yatırım esnasında her mevduatın faizi yatırıldığı guumlnden tuumlm mevduatların toplam değerinin hesaplandığı ana kadar hesaplanır Doumlnem başı ya da doumlnem sonu faizlendirme uygulanabilir Mevduat vadesi ve faiz vadesi bazı durumlarda aynı bazı du-rumlarda ise farklı yani mevduat vadelerinden daha sık ya da daha seyrek olabilirler Pek sık tuumlm mevduatların toplam değeri ne kadardır sorusu sorulmaktadır Yatırım esnasında faizi he-saplanmış tuumlm mevzuatların toplamına yatırımın gelecekteki değeri denir

Biz burada sadece faiz doumlnemleriyle ccedilakışık olan bireysel periyodik mevduatları ve aynı zamanda sabit mevduatlı olan yatırımları inceleyeceğiz

Yıl esnasında sadece bir mevduat oumldendiği durumda soumlz konusu yıllık mevduat olur yatırım yılda iki defa yapıldığında altı aylık (yarım yıllık) mevduat yılda doumlrt defa yatırım yapıldığında uumlccedil aylık (ccedileyrek yıllık) mevduat biccediliminde adlandırılır Yatırım ayda bir yapılırsa aylık mevduat olur Burada da faizlendirme vadesi yıllık altı aylık uumlccedil aylık vb olabilir

Doumlnem başı faizlenmiş yatırımların toplamı şu formuumllle hesaplanır

1

1

r

rVrSn

n doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

888

n

n VS doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem sonu faizlenmiş yatırımların toplamı şu formuumllle hesaplanır

1

1

r

rVSn

n doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

233

1

1

88 n

n VS doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem başı faizlenmiş yatırımların değeri şu formuumllle hesaplanır

1

1

nn rrrSV doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

nnSV888

doumlnem başı faizlendirme

Doumlnem sonu faizlenmiş yatırımların değeri şu formuumllle hesaplanır

1

1

nnSV88

doumlnem başı faizlendirme

1

1

nn rrSV doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

Doumlnem başı yatırımların sayısı şu formuumllle hesaplanır

Vr

rSVrr

n n 1log

log

1

Doumlnem sonu yatırımların sayısı şu formuumllle hesaplanır

V

rSVr

n n 1log

log

1

Son mevduat diğerlerinden farklıdır ve ona yatırımın kalanı denirDoumlnem başı mevduatların son mevduatı (kalanı) şu formuumllle hesaplanır

1

10

888

8

n

n VSV doumlnem başı mevduatlar iccedilin

10

888 n

n VSV doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

Doumlnem sonu mevduatların son mevduatı şu formuumllle hesaplanır

1

10

rrrVS

rV

n

n doumlnem başı mevduatlar iccedilin

10

rrrVSV

n

n doumlnem sonu mevduatlar iccedilin

234

Doumlnem başı yatırımların doumlnem sonu faizlendirmesiyle biriken gelecekteki değeri hesap-

lamak iccedilin kullandığımız 1

1

n

nrS Vrr

formuumlluumlnde Sn ve V bilindiğinde bilinmeyen r faiz

katsayısını yani p pa(d) değerini hesaplamak iccedilin

011 13

VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu ise r katsayısına goumlre bir polinom denklemidir ve genel olarak dere-cesi 3rsquoten buumlyuumlktuumlr Bu gibi denklemleri ccediloumlzmek iccedilin (bazı oumlzel durumlar hariccedil) belli bir kural yoktur Bu nedenle bu gibi denklemleri bilinen bazı numerik youmlntemlerle ccediloumlzeceğiz Halbuki amacımız şimdi numerik youmlntemlerin denklemlerin nasıl ccediloumlzuumllduumlğuumlnuuml oumlğrenmek değildir Bu-rada sadece pratik oumldevlerin yararına faiz oranını en kolay biccedilimde belirtmektir Bu nedenle faiz oranının hesaplanmasını i i tablolarındaki değerleri kullanan n

n pS V III formuumlluumlne goumlre yapacağız

Aynı işlemleri doumlnem sonu yatırımlar iccedilin de yapacağız Yatırımların gelecekteki değeri 1

1

n

nrS Vr

formuumlluumlnden faiz katsayısı r iccedilin

01 VS

rVS

r nnn

denklemi elde edilir Bu denklem de r değişkenli polinomdur Yatırımların gelecekteki değerini hesaplamak iccedilin i i tablolarındaki değerleri kullanan 11 n

n pS V III formuumlluumlnden yarar-

lanarak V

VSVS nnn

p

777 11 elde edilir n ndash 1rsquoin bilinen değeri iccedilin V

VSn değeri tabloda

varsa faiz oranı doğrudan doğruya okunur Aksi halde faiz oranını doğrusal enterpolasyon ile belirtiyoruz

Eşit zaman aralıklarında alınan alacaklar soumlz konusu olunca ilk aklımıza gelen kiradır Eşit miktarda alacakları sabit kiralar (rentler) diye adlandıracağız Kira anuumliteleri oumlnceden belirlen-miş kanuna goumlre değişebilir oumlrneğin geometrik ya da aritmetik dizisi kanununa goumlre değişebilir Boumlyle kiralara değişken kiralar denir Oumlzelliklerine goumlre kiralar birccedilok şekilde adlandırılıyorlar oumldeme zamanına goumlre periyodun başlangıcında oumldenirse doumlnem başı kiralar periyodun so-nunda oumldenirse doumlnem sonu kiralar diye adlandırılıyorlar Oumldemelerin zaman suumlresine goumlre geccedilici kiralar (belli bir suumlre iccedilin) oumlmuumlr boyu kiralar (kirayı oumldeyen kişinin oumlmruumlnuumln sonuna kadar) ya da kira alacakları hiccedil bitmeyen olduğu durumda daimi kiralar soumlz konusudur Kirala-rın oumldendiği periyoduna goumlre yıllık yarıyıllık uumlccedil aylık aylık vb kiralar fark ediyoruz

Kira almak iccedilin oumlnce bunu getirecek varlık temin edilmelidir Kira getirmek amacıyla yatırılan varlık miktarına kira sermayesi denir Burada bir defaya mahsus olan yatırım soumlz ko-nusudur Halbuki parasal varlıklar periyodik oumldemelerle de yapılabilir Kira alacakları kira be-

235

delinin yatırılmasıyla başlarsa hemen kiralar kira alacakları belli bir zamandan sonra başlarsa o halde ertelenmiş kiralar soumlz konusu olur

Sabit miktarlı faizlendirme vadesi kiranın oumldeme vadesiyle ccedilakışan periyodik oumldemeler uumlzerinde daha fazla duracağız Formuumlllerin belirtilmesinde faiz oranı doumlnem sonu olduğunu varsayacağız Şu işaretlemeleri kullanacağız Mn ndash kira sermayesi R- kira (rent) n ndash oumldeme sa-yısı r ndash doumlnem sonu faiz katsayısı 8 - doumlnem başı faiz katsayısı

Doumlnem başı kiraların yatırımı şu formuumllle hesaplanır

1

1

1

n

n nrM R

r r

doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

1

n

n nM R

doumlnem başı faizlendirme iccedilin

Doumlnem sonu kiraların yatırımı şu formuumllle hesaplanır

1

1

n

n nrM R

r r

doumlnem sonu faizlendirme iccedilin

1

1

88

8n

n

n RM doumlnem başı faizlendirme iccedilin

Faiz yatırımının değeri Mn faizlendirme koşulları ve kira sayısı bilindiği durumda kira tutarının değeri şu formuumllle hesaplanır

1

11

n

n

n rrrMR doumlnem sonu faizlenen doumlnem başı alınan kira iccedilin

1

1

n

n

n rrrMR doumlnem sonu faizlenen doumlnem sonu alınan kira iccedilin

1

11

n

n

nMR8

88 doumlnem başı faizlenen doumlnem başı alınan kira iccedilin

1

1

n

n

nMR888 doumlnem başı faizlenen doumlnem sonu alınan kira iccedilin

Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde doumlnem başı kira sayısı şu formuumllle hesaplanır

236

1log

log

1

rMRrRr

rn

n

doumlnem sonu faiz oranı iccedilin

1log

log

1

888

8 nMRRn doumlnem başı faiz oranı iccedilin

Kira sermayesi kira tutarı ve faiz oranı bilindiğinde doumlnem sonu kira sayısı da şu formuumll-le hesaplanır

1log

log

1

rMRR

rn

n

doumlnem sonu faiz oranı iccedilin

1log

log

1

88 nMRRn doumlnem başı faiz oranı iccedilin

Son kira yani kira kalanı doumlnem sonu kiralar iccedilin şu formuumllle hesaplanır

n

n

n

n rrr

rRMR 9

lt=

gt

1

11

1

0

Diğer buumlyuumlkluumlkler bilindiğinde faiz katsayısı doumlnem başı kira iccedilin 11 nn pM R IV for-

muumlluumlnden ve doumlnem sonu kiralar iccedilin nn pM R IV formuumlluumlnden bilinmeyen gibi hesaplana-

bilir

237

BORCcedilLAR

91 Borccedil Kavramı ve Ccedileşitleri

Finansal varlıkların yetmediği durumlarda insanlar guumlnluumlk gereksemelerini gidermek iccedilin borccedil varlıklardan yararlanıyorlar Bazı durumlarda bireysel ya da tuumlzel kişilerin uzun vadeli gelirleri de planladığı işleri yapmak iccedilin gereken finansal kaynakları yetmeyebilir Boumlyle durum-da borccedillar kullanılır yani belli koşullar altında borccedil alınan finansal varlıklardan yararlanılır Borccedil veren ve alan borccedil miktarı geri verilme şekli geri oumldeme zamanı faiz oranı vb hususlarda aralarında anlaşıyorlar

Borccedil para mal veya para cinsinden bir değerin belirli bir vade ve koşulla geri alınmak uumlzere verilmesidir yani borccedil veren finansal varlıklarını borccedil alana geccedilici bir suumlre iccedilin hizmetine devretmesidir

Bu boumlluumlmde borccedillunun borcunu oumldeme koşulları borccedil verene olan yuumlkuumlmluumlluumlğuuml yani finansal varlıkların devredilme koşulları borcun suumlresinde faizlendirmeyi iccedileren anlaşmalar soumlz konusu olacaktır Borccedil tutarı genellikle birden verilir ve geri alınması birden değil ccedilok kez belli periyotlarda gerccedilekleştirilir Her periyotta borcun oumldendiği tutara oumldeme denir Belli pe-riyotta oumldemenin faiziyle beraber tutarına anuumlite denir diğer soumlzlerle anuumlite belirli bir zaman suumlreci iccedilerisinde eşit aralıklarla verilen veya alınan eşit oumldemeler serisidir Borcun her bireysel oumldemesine gereken zaman suumlresine amortisman vadesi denir

Kullanılışlarına goumlre geccedilerlilikte olan kanunlara goumlre suumlresine goumlre birccedilok borccedil ccedileşitleri vardır

Geri oumldenme suumlresine goumlre kısa vadeli (geri oumldeme suumlresi en ccedilok bir yıl) orta vadeli ve uzun vadeli diye adlandırılıyorlar

Oumldeme şekline goumlre borccedillar amortismanlı ve kiralı olabilirler Borccedil belli bir suumlrede faiz ve borcun bir kısmını oumldemekle geri oumldeme yapıldığı durumda amortismanlı borccedil soumlz ko-nusu olur Kiralı borccedillar ise kira şeklinde oumldenen sabit tutarlı taksitler halinde oumldenen borccedillar-dır

Guumlvenceye goumlre kişisel ve reel borccedillar olabilir Kişisel borccedillar borccedil verenin borccedil alana olan şahsi guumlvencesine goumlre verilir Reel borccedillar ise borcun oumldenmesini garantileyecek oumlrneğin ipotek gibi varlıklar guumlvencesiyle verilir

Borccedil verene goumlre yerli ya da yabancı borccedillar aleni ya da oumlzel banka ya da banka dışı vb borccedillar olabilir

Borccedil uumlzerine faizin oumldenip oumldenmediğine goumlre faizli ve faizsiz borccedillar şeklinde adlan-dırılabilir

9

238

Borccedillanmaya ait verilen belgelere goumlre borccedillar soumlzleşmeli (borccedil tutarının tuumlmuuml iccedilin bir belge) ve tahvillere (senetlere) boumlluumlnmuumlş borccedillar (birden fazla alacaklıya aynı ya da farklı tutarlı kısımlara ayrılmış fakat onların toplam tutarı tuumlm borccedil ile eşit olacaktır) olabilir

Anuumlitelerin oumldeme suumlresine goumlre doumlnem sonu anuumliteli borccedillar (oumldemeler serisi dev-renin sonunda yapılan) ve doumlnem başı anuumliteli borccedillar (oumldemeler devrenin başında yapılan anuumliteler) olabilir

Faizin hesaplanmasına goumlre borccedillar doumlnem sonu faizlenen ve doumlnem başı faizlenen biccediliminde adlandırılabilir

Mevduatlarda ve kiralarda olduğu gibi borccedillar da doumlnem sonu anuumliteli ve doumlnem başı faizlendirme doumlnem sonu anuumliteli doumlnem sonu faizlendirme biccediliminde olabilir Aynı şekilde doumlnem başı anuumliteler iccedilin de doumlnem sonu ve doumlnem başı faizlendirme biccediliminde olabilirler

Borccedilların amortismanı birccedilok farklı şekilde yapılabilir Uzun vadeli borccedillarda vade suumlre-since sadece faizlerin vadenin sonunda da borcun tamamını bir defada oumldemek ya da her bir taksit hem anaparanın bir boumlluumlmuumlnuuml hem de ilgili devrelerin faizini iccedilerir

Şunu da belirtelim borcun amortismanı denilen kademeli oumldemede oumlnceden belirlen-miş tutarlarla belli zaman aralıklarında oumlnceden belirlenmiş bir plan uumlzerinde oumldenmesine amortisman planı denir Halbuki amortisman planını yapmak iccedilin bazı verilerin kesin bilin-mesi gerekir Mesela hangi zamanda ne kadar oumldenmesi gerektiğini borcun ne kadarı kaldığını ne kadar faiz hesaplandığını bu verilerin her biri nasıl hesaplanacağını da belirtmek gerekir

Oumldemeler ve anuumliteler sabit ya da belli bir kurala goumlre oumlrneğin aritmetik ya da geometrik dizisi kuralına goumlre değişen olabilir Biz şimdilik sabit anuumliteli borccedilları inceleyeceğiz Ccediluumlnkuuml bunlar pratikte daha sık rastlanan ve borcu oumldeme suumlresinde belli aralıklarda taksitlere ayırarak oumldenmesi borccedilluya daha elverişlidir Borccedil eşit oumldemelerle tahsil edildiği durum borccedilluya pek elverişli değildir ccediluumlnkuuml borcu aldığı anda buumlyuumlk anuumlite ile oumldemeye başlaması gerekir Faizlen-dirme vadesi de anuumlitenin oumldeme vadesiyle ccedilakışabilir ya da ccedilakışmayabilir de

İlerde sadece eşit anuumliteli borccedilları ve yuvarlanmış anuumliteli borccedilları ve her iki durumda doumlnem sonu anuumliteleri ve doumlnem sonu faizlendirmesi yapılan ve faizlendirme vadesi ve amor-tisman vadesiyle ccedilakışan borccedilları inceleyeceğiz Diğer durumlar benzer şekilde hesaplanacaktır

Sonunda tuumlm bireysel anuumlitelerin iskontolanmış değerlerinin toplamı borcun alındığı guumlndeki değerine eşit olduğunu diyebiliriz Bu ise kiralarda kira sermayesinin hesaplandığını hatırlatıyor Bu sonuccediltan yararlanarak amortisman planındaki buumlyuumlkluumlklerin nasıl hesaplana-cağını artık biliyoruz

239

Alıştırmalar

1 Oumldeme nedir anuumlite nedir amortisman vadesi nedir

2 Borccedilların nasıl ayrıldığına dair doumlrt kriter sayınız

3 Borcun suumlresine goumlre borccedillar nasıl ayrılır oumldeme şekline goumlre ise nasıl ayrılırlar

4 Amortisman planı nedir

5 Bireysel ve reel borccedillar arasındaki fark nedir

6 Amortisman ve kira borccedilları arasındaki fark nedir

92 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun veAnuumlitenin Hesaplanması

Tutarı Z olan bir borccedil alınmış ve geri oumldemesi her biri a tutarında n eşit anuumlite ile ya-pılacaktır Faiz oranı p doumlnem sonu faizlendirme ve faiz doumlnemi anuumlitelerin oumldeme doumlnemiyle ccedilakışık olsun Doumlnem sonu faiz katsayısı r her faiz doumlnemi iccedilin ayrı hesaplanmış yani etkin faiz (efektif faiz) yapılmıştır Borcun alındığı guumlnde borcun tutarı her doumlnemin sonunda oumldenen bireysel anuumlitelerin iskontolanmış değerlerinin toplamına eşittir Sayı ekseninde kira sermaye-sinin hesaplandığında kiralarda yapıldığı gibi her anuumlitenin oumldeme doumlnemi (periyodu) işaret edilir (şek1)

Şek 1

İskontolama kurallarıyla anuumlitelerin değerleri bilindiğine goumlre borcun tutarını hesapla-yalım Birinci anuumlite ilk devrenin (periyodun) sonunda oumldendiğine goumlre bir devre iccedilin faizlenir ikincisi iki devre iccedilin ve bu şekilde sonuna kadar devam edilerek son anuumlite n defa faizlenir Bu şekilde

240

13

1232

1

111 nn rrrr

ara

ra

ra

raZ

elde edilir

Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan bir geometrik dizisinin ilk n

teriminin toplamıdır O halde

rrr

r

ra

r

rraZ

n

n

n

1

1

11

11

ve 1

1

rr

raZ n

n

elde edilir

Not 1 Kiralar boumlluumlmuumlnde goumlrduumlğuumlmuumlz gibi 1

1

n

n

rr r

ifadesi i i npIV doumlrduumlncuuml tablo-

nun değeriyle değiştirilebilir O halde anuumliteleri bilinen borcu npVaZ 7

formuumlluumlyle hesapla-yabiliriz Bu formuumll kiraların sermayesini hesapladığımız formuumlluumln aynısı olduğunu goumlruumlyoruz

Aynı formuumllden anuumliteye goumlre denklem biccediliminde ccediloumlzersek borccedil tutarı bilindiğinde anuuml-itenin hesaplanması iccedilin formuumll elde edebiliriz

1

1

n

n

rrrZa

Not 2 i i tablolarının değerlerinden yararlanarak anuumlite iccedilin np

ZaIV

formuumlluuml elde

edilir Beşinci i i tablo doumlrduumlncuumlsuumlnuumln ccedilarpımsal tersi olarak tanımlanır 1n

p np

VIV

yani 1

1

nnp n

r rV

r

dir Buna goumlre anuumlite iccedilin npVZa

formuumlluuml geccedilerlidir

1 5 000 denar tutarında aylık eş anuumlitelerle beş yılda bir ay vadeli doumlnem sonu 24 pa(d) faiz oranıyla ne kadar borccedil oumldenebilir

Oumldevde verilen verilere goumlre n = 5 ve yılda m = 12 faizlendirme ve yıl-da aynı sayıda borccedil oumldeme taksitleri vardır O halde toplam taksit sayısı nm = 60 douml-

nem sonu faiz katsayısı 24

1 10212 100

r

rsquodir Borcu hesaplayan formuumll gereğince

431738041021021

10215000

1

160

60

60

60

rr

raZ denar elde edilir

Bundan sonra m ile yıllık faizlendirme sayısını işaret ettiğimiz gibi aynısı anuumlite sayısı iccedilin de geccedilerli olacaktır Ccediluumlnkuuml amortisman devreleri başlangıccedil koşullarına goumlre anuumlite sayısıyla ccedilakıştığını demiştik ve n ile amortisman suumlresini işaret edeceğiz

241

2 40 000 denar tutarında borccedil altı aylık vadeli anuumlitelerle 4 pa(d) faiz oranıyla 10 yılda oumldeniyor Faizlendirme altı aylık vadeli olduğuna goumlre altı aylık vadeli anuumlite tutarı ne kadardır Hesaplanan faiz tutarı ne kadardır

Verilenler n = 10 m = 2 anuumlite devreleri altı aylık olduğuna goumlre toplam anuumlite sayısı nm

= 20rsquodir Faiz katsayısı 4

1 102200

r rsquodir Borccedil tutarı Z = 40 000 denar biliniyor Amortis-

man suumlresinde eşit olan anuumliteler iccedilin

272447021

102102140000

120

20

20

20

rrrZa

denar elde edilir

Hesaplanan faiz miktarı oumldenen anuumlitelerin toplamı ve borccedil tutarının farkına eşittir O halde 489454000027244720 ZanmI

denardırAmortisman suumlresinde hesaplanan faiz miktarının formuumlluuml

ZanmI

anuumlitelerin top-lam tutarı ve borccedil tutarının farkı biccediliminde goumlsterildiğini fark edebilirsiniz

3 2 000 000 tutarinda bir borccedil 10 yılda 6 pa(d) faiz oranıyla eşit anuumliteli serisiyle oumldenir Oumldeme vadesi

a) yarıyıllık b) uumlccedil aylıkolduğuna goumlre anuumlite tutarını hesaplayınız

Faizlendirme doumlnemi amortisman doumlnemiyle ccedilakışıktırHer iki durumda Z = 2 000 000 denar n = 10rsquodura) Oumldevi sadece doumlrduumlncuuml i i tablosundan yararlanarak ccediloumlzeceğiz Boumlylece

42134431067215710200000020

3 VZa

elde edilirDoğrudan hesaplayarak ve i i tablosundan yararlanarak ccediloumlzuumlmuumln yoklamasını yapınız

b) m = 4 iccedilin

0151400

61 r

ve anuumlite sayısı 40 biliniyor O halde

66854

0151

1015101512000000

140

40

40

40

rrrZa denardır

Alıştırmalar

1 Sekiz yıl boyunca 5 pa(d) faiz oranıyla 15000 denar tutarlı eşit anuumliteli oumldemelerle ne kadar borccedil oumldenebilir Faizlendirme vadesi amortisman devresiyle ccedilakışır Anuumlitelerin oumldeme devresi

a) yıllık b) yarıyıllık c) uumlccedil aylık olsunHesaplamayı formuumll kullanarak doğrudan ve i i tablosunu kullanarak yapınız

242

2 Doumlrt yıl boyunca 6 pa(d) faiz oranıyla 10000 denar tutarlı eşit anuumliteli oumldemelerle ne kadar borccedil oumldenebilir Faizlendirme vadesi yıllık amortisman vade sonudur

3 400 000 denar borccedil 15 yıl boyunca her altı ayda eşit anuumlitelerle geri oumldenmelidir Faiz oranı 3 pa(d) ve faizlendirme altı aylık doumlnem sonu olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadar olmalıdır

4 Yıllık vadeli 20 000 denar tutarında anuumlitelerle 5 yılda 4 pa(d) yıllık vadeli faiz ora-nıyla ne kadar borccedil oumldenecektir

5 50 000 denar borccedil 5 yılda uumlccedil aylık 8 pa(d) faiz oranlı anuumlitelerle oumldenecektir Anuumlite tutarı ne kadardır Faizlendirme uumlccedil aylık vadelidir

93 Eşit Anuumliteli Borccedilların Oumldemelerinin Hesaplanması

Her anuumlite iki kısımdan olduğunu artık biliyoruz birinci kısım anlaşma gereği borcun oumldeme miktarı yani bir ccedileşit taksit diğer kısmı ise borcun kalan kısmına geccedilen suumlre iccedilin uygu-lanan faizdir Z tutarında borccedil alınmış ve bunu n eşit anuumlite ile geri ccedilevirmek gerekir Her anuuml-itenin tutarı a faiz oranı p ve doumlnem sonu faizlendirme faizlendirme vadesi anuumlitenin oumldeme vadesiyle ccedilakışıktır Her k-cı oumldemeyi bk ve k- cı faizi ik ile işaret edersek birinci anuumlite

a = b1 + i1

olur Burada faiz birinci doumlnem iccedilin Z tuumlm borccedil tutarına hesaplanır yani 1100

Zpi rsquodir

Başlangıccedilta faiz oranı bir faiz doumlnemi iccedilin p olarak alacağız ondan sonra ise etkin faiz oranını kullanmaya dikkat edeceğiz

İkinci anuumlite birincisine eşit fakat eklenen faiz miktarı farklıdır a = b2 + i2 Şimdi faiz

miktarı borcun kalan kısmına aittir o ise Z ndash b1 olduğuna goumlre 1

2100

Z b pi

rsquodir

Uumlccediluumlncuuml anuumlite a = b3 + i3 ve 1 2

3100

Z b b pi

olur ccediluumlnkuuml şimdiye dek artık iki oumldeme

yapılmıştır ve kalan borccedil Z ndash b1 ndash b2rsquodir

243

Kalan anuumlitelerin her birini bu şekilde inceleyerek son anuumliteye a = bn + in varıyoruz Bura-

da faiz borcun kalan kısmına Z ndash b1 ndash b2 - hellip - bn uygulanır yani 100

121 pbbbZi n

n

rsquodir

Oumldemeler arasındaki bağıntıyı belirtmek iccedilin birbirine eşit olan anuumliteleri eşitleyeceğiz

Boumlylece birbirine eşit olan ilk iki anuumliteyi eşitlersek b1 + i1 = b2 + i2 yani 100100

121

pbZbZpb

elde edilirOradan 2

11

100bpbb

ya da diğer şekilde yazılışı

rbpbb 112100

1 13

dir

Benzer şekilde herhangi iki ardışık anuumliteyi mesela kndashci ve k + 1ndashnci anuumliteleri eşitler-sek

100

100

111

11 pbbbZb

pbbZb kk

kk

k

elde edilir Bu eşitliği sadeleştirerek her k 12n -1 iccedilin

rbpbb kkk 13

10011

elde edilir

Son ifadeden goumlruumllduumlğuuml gibi oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisini oluşturuyorlar Daha da her oumldeme 1

1

kk rbb

formuumlluumlyle hesaplanabilir

Not 1 Birinci i i tabloyu kullanırsak herhangi oumldeme iccedilin 1

1

7 kpk bb

formuumlluuml geccedilerli-dir

1 Borccedil eşit uumlccedil aylık vadeli anuumlite ile ve uumlccedil aylık vadeli faizlendirme ile oumldenecektir (amor-tisman olacaktır) Dokuzuncu oumldeme 2343322 denar olduğuna goumlre beşinci oumldemeyi belirtiniz Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir

b9 = 2343322 biliniyor b5 oumldemesinin tutarını belirtmek gerekir Geometrik dizisinin

oumlzelliğine goumlre b5 = b1 r4 ve b9 = b1 r8rsquodir Faiz katsayısı 8

1 102400

r rsquodir İncelenen oumldeme-

lerin boumlluumlmleri 8

49 1

4

5 1

b b r rb b r

olduğundan beşinci oumldeme

872164021

32223434

4

95

rb

b denar olduğunu buluyoruz

Birinci oumldeme tutarı bilinmiyor fakat borccedil yada anuumlite tutarı biliniyorsa zaten guumlnluumlk yaşantımızda ccedilok sık rastlanan olaylardır oumldemeler nasıl belirlenebilir sorusu soruluyor

244

Z borcunun oumldemelerini belirtmek iccedilin Z tuumlm oumldemelerin toplamına eşit olduğunu goumlr-memiz yeterlidir Buna goumlre

12

1

1

1

2

11121 1 nnn rrrbrbrbrbbbbbZ

elde edilir Parantez iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı r olan bir geometrik dizisidir Buna goumlre

1

11

rrbZ

n

elde edilir

Not 2 1

1

nrr

ifadesini 11 npIII ile değiştirirsek

1

1 1 777 npbZ

elde edilir Bu eşitlikten 1

11

nr

rZb oumldeme tutarını borccedil tutarıyla anuumlite sayısıyla ve faiz ora-nıyla ifade edebiliriz

Bunu genel şekilde k-cı oumldeme iccedilin de yazabiliriz 1

1

1

knk r

rrZb

Borccedil tutarını 1

1

rr

raZ n

n

anuumlite ile ifade edersek birinci oumldemeyi anuumlite ile ifade

eden formuumlluuml elde edeceğiz

1

1

1

1

1

11

nn

n

n rr

rrra

rrZb

ya da sonuccedil olarak nrab 1 elde edilir

Not 3 Son eşitlikten hemen 1

npb a II ya da

npba 7 1

yazılabilir Sonunda anuumlite ile ifade edilmiş k- cı oumldeme

1

1

kn

knk r

arrab

Not 4 Son eşitlik i i tablosuyla ifade edilirse k ndash cı oumldeme iccedilin 177 knpk ab

]

biccediliminde yazılabilir

Anuumlite ve son oumldeme arasındaki bağıntı 1

n pab a IIr

ya da 1

n pa b I formuumllleriyle ifade edildiğini de goumlsterelim

245

2 Bir borccedil yarıyıllık vadeli eşit tutarlı anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlendirmesiyle 5 yılda oumldeniyor Anuumlite 6pa(d) faiz oranıyla 4120 denar olduğuna goumlre altıncı oumldemeyi be-lirtelim

Oumlnce birinci ondan sonra da altıncı oumldemeyi belirteceğiz a = 4120 denar n = 5 m = 2

borcun amortismanı 10 anuumlite ile yapıldığını ve faiz katsayısı 61 103

200r olduğunu bi-

liyoruz O halde ilk oumldeme 1 10

4120306567

103n

abr

denar olduğunu buluyoruz Oumldemeler

bir geometrik dizisi oluşturduğuna goumlre geometrik dizilerin oumlzelliği gereğince altıncı oumldeme b6 = b1r5 = 306567 middot1035 = 355395 denar olduğunu buluyoruz

3 Amortismanı 6 yılda gerccedilekleşen 4 pa(d) faiz oranıyla verilmiş bir borcun anuumlitesi ne kadardır Anuumliteler ve faizlendirme devreleri yıllıktır ve sadece doumlrduumlncuuml oumldeme 847934 denar olduğu biliniyor

Bilinenler doumlrduumlncuuml oumldeme b4 =847934 faiz katsayısı r = 104 ve anuumlite sayısı 6rsquodır Anuuml-ite ve oumldeme arasındaki bağıntıyı doğrudan doğruya goumlsteren formuumllden

3

3

6

3

14 rar

rarbb

elde edilir Oumlrneğimizde

3041348479

a

denklemi elde edilir Oradan da anuumlite a = 95389

denar olduğunu buluyoruz

Borccedil tutarı ise

600001041041

1041099538

1

16

6

6

6

rr

raZ denardır

Alıştırmalar

1 Bir borcun amortismanı eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlendirmeyle yapılmaktadır Faiz oranı 12 pa(d) ve altıncı oumldeme 15 000 denar olduğuna goumlre onuncu oumldemeyi belirtiniz

2 Bir borcun amortismanı eşit doumlrt aylık anuumlitelerle ve doumlrt aylık doumlnemli faizlendirmey-le yapılmaktadır Faiz oranı 9 pa(d) ve onuncu oumldeme 16 000 denar olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

3 Bir borcun amortismanı 6 yılda eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve uumlccedil aylık doumlnemli faizlendir-meyle yapılıyor Faiz oranı 18 pa(d) uumlccediluumlncuuml ve altıncı oumldemenin toplamı 40000 denardır Borccedil ne kadardır Anuumlite tutarı ne kadardır

4 Amortismanı 6 yıl suumlren bir borccedil 4 pa(d) faiz oranıyla verilmiştir Anuumliteler ve fa-izlendirmeler vadesi yıllık ve altıncı ve doumlrduumlncuuml oumldeme arasındaki fark 6919 denar olduğu bilindiğine goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

246

5 200 000 denar tutarında bir borcun amortismanı eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlen-dirmeyle 10 yılda gerccedilekleşiyor Faiz oranı 5 pa(d) olduğuna goumlre altıncı yıldaki faiz miktarı-nı bulunuz (Tavsiye beşinci oumldeme dahil tuumlm oumldemelerin toplamını hesaplayınız)

94 Eşit Anuumliteli Borccedillarda Borcun Oumldenmiş Kısmınınve Kalan Kısmının Hesaplanması

Oumldemeleri hesaplarken tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olduğunu varsayıyor-duk Buna goumlre Ok ile işaret edeceğimiz k devrede (periyotta) borcun oumldenmiş kısmı k-cı anuumlite dahil ilk k oumldemenin toplamına eşittir yani

Оk = b1 + b2 + + bkdir Her oumldemenin değerini değiştirmekle

Оk =b1 + b1r + + blrk-1 = b1 (l + r + r2 + + rk-1)elde edilir Geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı formuumlluumlnden borcun k devrede oumlden-diği borcun kısmı iccedilin şu formuumll elde edilir

1

11

rrbO

k

k

Not 1 Uumlccediluumlncuuml i i tablosundaki değerleri almakla borcun oumldenmiş kısmı iccedilin kpk bO 777 11

formuumlluuml elde edilirAnlaşılacağı uumlzere bu formuumll borcun oumldenmesiyle ilgili oumlnceden bulduğumuz formuumlluumln

k = n iccedilin karşılığıdırBundan sonra borcun kalan kısmı ne kadardır sorusu sorulabilir Sorunun cevabı accedilıktır

Borcun kalan kısmı aslında borccedil tutarı ve oumldenen kısmın farkıdır Oumldenen k-cı anuumliteden sonra borcun kalan kısmını Rn-k ile işaret edelim O halde

1

11

r

rbZOZRk

kkn

olduğunu yazabiliriz Birinci oumldemeye goumlre borcun formuumlluumlnuuml değiştirirsek

1

1

1

111

rrb

rrbR

kn

kn ya da

11

r

rrbRkn

kn

elde edilir Borcu ve borcun kalan kısmını anuumlite ile ifade edersek

1

1

1

1

rr

ra

rrraR

k

nn

n

kn yani 1

rrrraR n

kn

kn elde edilir

247

Not 2 1rr

rrn

kn

ifadesini i i tablosundan karşılık gelen değerini değiştirmekle oumldenen

k anuumliteden sonra borcun kalanını hesaplamak iccedilin şu formuumll geccedilerli olacaktırkn

pkn VaR 7

1 30 000 denar borccedil 8 yılda amortisman olacaktır Faiz oranı 5 pa(d) eşit anuumliteli ve faizlendirme yarıyıllıktır 10 anuumlite oumldendikten sonra borcun kalanı ne kadardır

Borccedil toplam 16 anuumlite ile oumldeniyor Faiz katsayısı r = 1025rsquotir Oumlnce anuumliteyi ve ilk oumlde-meyi hesaplayalım Anuumlite iccedilin

972297

10251

10251025130000

16

16

a

denar elde edilir Birinci oumldeme iccedilin ise

9715470251

97229716161

rab

denar elde edilir Şimdi borcun kalanını hesaplayabiliriz

51265710251

02510251971547

1

10161016

16

r

rrbR

denar elde edilirHesaplanan kalandan borcun oumldenmiş kısmını da hesaplayabiliriz Buna goumlreO10 = Z ndash R6 = 30 000 ndash 126575 = 173425 denar artık oumldenmiştir2 100 000 denar tutarında borcun amortismanı 50 yılda yapılmalıdır Faiz oranı 4 pa(d)

yıllık vadelidir Yıllık 20 anuumlite oumldendikten sonra kalan borccedil ne kadardırOumlrneğin i i tablolarından yararlanarak ccediloumlzelim Borcun kalanını ve oumldenmiş kısmını

hesaplayacağız Borcun kalanı iccedilin 30

30 4R a IV geccedilerlidir Oumlnce anuumliteyi hesaplayalımAnuumlite

24655046552010000050

4 VZa

rsquodir İlk oumldeme ise

0265514070702465550

41 77 ab

rsquodir Borcun kalan kısmı

7580494292033172465530

430 7 VaR

denardır ve sonunda ccedilevrilen borcun

7780785729026551 20

4120 777 bO olduğunu buluyoruz

Alıştırmalar

1 Bir borcun amortismanı 40 yılda yarıyıllık anuumlitelerle ve 6 pa(d) faiz oranıyla yarı-yıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır Yirminci oumldeme 1000 denar olduğuna goumlre 30 anuumlite oumldendikten sonra borcun kalan kısmını belirtiniz

248

2 200 000 denar tutarında borcun amortismanı 25 yılda yarıyıllık anuumlitelerle ve 8 pa(d) faiz oranıyla yarıyıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır 21 anuumliteden 30 anuumliteye kadar (30 anuumlite dahil) ne kadar borccedil oumldenmiştir (O30 ndash O20 farkını bulunuz)

3 Bir borcun amortismanı 40 yılda yıllık anuumlitelerle ve 4 pa(d) faiz oranıyla yıllık va-deli faizlendirmeyle yapılacaktır İlk 25 oumldemeyle borccedil 40 000 denar azalmıştır Borccedil tutarı ne kadardır

4 Bir borcun amortismanı 50 yılda yıllık anuumlitelerle ve 5 pa(d) faiz oranıyla yıllık vadeli faizlendirmeyle yapılacaktır 21 anuumliteden 30 anuumliteye kadar (30 anuumlite dahil) 10 000 denar borccedil oumldendiğine goumlre borccedil tutarı ne kadardır

5 1 000 000 denar tutarında borcun amortismanı 20 yılda eşit yarıyıllık vadeli anuumlitelerle yapılacaktır Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıllık vadeli faizlendirme olduğuna goumlre 10 yıl sonra bor-cun ne kadar kısmı oumldenecektir

95 Eşit Anuumliteli Borccedilların Amortismanında Faiz Oranıve Devre Sayısının Hesaplanması

Borccedil ve anuumlitenin hesaplanmasına uygulanan formuumllden faiz oranı ya da devre sayısı bi-linmeyen olarak diğer bilinen buumlyuumlkluumlklerle ifade edilebilirler Kiralarda yapıldığı gibi formuumllle doğrudan doğruya hesaplamakla ya da i i tablolarından yararlanmakla yapabiliriz Bunu birkaccedil oumlrnekle goumlstereceğiz

Başlangıccedil formuumlluuml olarak borccedil formuumlluumlnuuml alalım 1

1

rr

raZ n

n

formuumlluumlne gereken douml-nuumlşuumlmleri yapmakla

nra

rZ 11

1

elde edilir oradan da a

rZar n

11 ya da 1

rZa

ar n

elde edilir Bu eşitliğin her iki tarafının logaritmasını alırsak amortisman suumlresi n iccedilin

1log

log

1

rZaa

rn

formuumlluuml elde edilir

249

Faiz oranının hesaplanması soumlz konusu olunca youmlntemlerden biri doumlrduumlncuuml i i tablo-sundan n

pVaZ 7

borcun temel formuumlluumlnden yararlanmaktır Halbuki formuumlllerden yarar-lanırken uygun denklem elde edildiğinde doğrudan doğruya da hesaplayabiliriz

Doğrusal ara değerleme (enterpolasyon) youmlntemini şimdiye dek birccedilok defa kullandık şimdi de gerektiği durumda kullanabiliriz

Oumldevlerde verilen verilere bağlı olarak yukarıdaki formuumllleri kullandığımız gibi amortis-man suumlresini ve faiz oranını hesaplamada gerektiğinde diğer formuumlller de kullanılabilir

1 60 000 tutarında bir borccedil 4000 denar tutarında eşit yıllık anuumlitelerle yıllık vadeli 4 pa(d) faiz oranıyla oumldemelerle ne kadar zamanda amortisman olacaktır (oumldenecektir)

Borcun hesaplanması iccedilin kullanılan 1

1

rr

raZ n

n

formuumlluumlnde verilen değerleri de-

ğiştirerek ve logaritma işlemini uygulayarak doğrudan doğruya hesaplamayı yapabiliriz Yani

1041041

1041400060000

n

n

değiştirmekle 60041

1041

n

n

buradan da 104140 n

ya da 104n

= 25 denklemi elde edilir Denklemin iki tarafının logaritmasını almakla 3623041log

52logn

elde edilir Amortisman suumlresi tam sayı değildir yani 23 anuumlite eşit 24 anuumlite ise farklıdır Anuuml-

ite kalanı iccedilin daha sonra soumlz konusu olacaktır

2 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli ve uumlccedil aylık vadeli faizlenme ile itfa (amortisman) edilir Be-şinci ve uumlccediluumlncuuml oumldemenin farkı 84064 denar uumlccediluumlncuuml ve altıncı oumldemenin toplamı ise 4288962 olduğuna goumlre faiz oranını hesaplayınız

Doumlnem sonu faiz katsayısını hesaplayacağız Verilen koşullara goumlre şu denklemler siste-mini oluşturacağız

6242889

64840

36

35

bbbb

Denklemleri ilk oumldeme ve faiz katsayısına goumlre duumlzenlemekle verilene denk olan şu sistem elde edilir

6242889

64840

2

1

5

1

2

1

4

1

rbrbrbrb

Burada denklemleri taraf tarafa boumllmekle

01960

6242889

64840

1

132

1

22

1

rrbrrb

bağıntısı elde edilir Son denklemi sadeleştirerek

01960

11

112

rrr

rr

oradan da 019601

12

rr

r

denklemi elde edilir Bu denklem r

faiz katsayısına goumlre

250

00196r2 - 10196r +10196 = 0ikinci derece denklemdir ve ccediloumlzuumlmuuml r1 =102 ve r2 = 51rsquodir İkinci ccediloumlzuumlmuumln faiz katsayısı iccedilin

anlamı yoktur birinci ccediloumlzuumlmden ise 1 102400

p elde edilir ve oradan p = 8 pa(d) elde

edilir

3 Hangi faiz oranıyla 40 000 denar tutarında bir borccedil 10 yılda 4500 denar tutarında eşit yıllık anuumlitelerle itfa edilecektir

Hem borccedil hem de anuumlite bildiğine goumlre borcun

1

1

rr

raZ n

n

temel formuumlluumlnden

ya da 10

pZ a IV formuumlluumlnden hareket edeceğiz Doumlrduumlncuuml i i tablosunda n = 10 iccedilin 10 879120879pIV değerini arıyoruz Bu sayı n = 10 iccedilin tabloda değeri olmadığına goumlre sayı-

lar arasında ara değerleme yapacağız Veriler aşağıdaki tabloda yazılıdır

10

pV7 p 10

pV7 p

866216348 252 866216348 252

752063937 52 791208798 p

114152410 250 075007550 p252

Elde edilen farklardan orantı kuruyoruz011415241 025 = 007500755 (p - 225) oradan da p ndash 225 = 016 ve sonunda p = 241

pa(d) elde edilir Aynı sonuca beşinci i i tablosundan yararlanarak da gelebiliriz Orada 10 0011375pV

olduğuna goumlre 10

pa Z V formuumlluumlnden yararlanıyoruz

Alıştırmalar

1 Hangi yıllık faiz oranıyla 60 000 denar tutarında bir borccedil 5 yılda 366942 denar tutarın-da eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle itfa edilecektir (oumldenecektir)

2 200 000 denar borccedil 931004 tutarında yarıyıllık anuumlitelerle ve 8 pa(d) yarıyıl vadeli faiz oranıyla ne kadar zamanda itfa edilecektir

3 1 000 000 denar borccedil hangi faiz oranıyla 61 77661 denar tutarında yıllık anuumlitelerle 25 yılda itfa edilir

4 Hangi yıllık faiz oranıyla 119 200 denar tutarında bir borccedil 13 700 denar tutarında yıllık anuumlitelerle 11 yılda itfa edilecektir

225

-025

22525

251

5 400 000 denar tutarında borccedil 24 46268 denar tutarında eşit yarıyıllık anuumlitelerle oumlden-mektedir Faiz oranı yarıyıllık vadeli 4 pa(d) olduğuna goumlre amortisman suumlresini hesaplayı-nız

96 Eşit Anuumliteli Borcun Amortisman Planı

Z tutarında bir borccedil eşit anuumlitelerle oumldendiği durumda borccedillu her devre sonunda aynı tutarlı taksitler oumldeyecektir Bu oumldemeler iki kısımdan meydana gelmektedir Bu kısımlardan biri borcun bir kısmının oumldeme tutarı ve kalan borcun faizidir

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 Z 1001

Zpi 11 iab a

2 11 bZRn 100

12

pRi n 22 iab a

1n 232 nbRR 100

21

pRin 11 nn iab a

n 121 nbRR 100

1 pRin nn iab a

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Bu şekilde borcun oumldenmesinde her gelen devrede borcun oumldeme tutarı artar fakat kalan borcun faizi azalmaktadır Borcun oumldenmesi oumlnceden yapılan ve amortisman planı denilen bir plan uumlzerinde yapılmaktadır Bu plan genellikle tablo biccediliminde goumlsterilir

Suumltunların dağılımı yukarıda goumlsterilen tablodan farklı olabilir fakat her tabloda bu suuml-tunlar olmalıdır

Oumlrneğin bir amortisman planının nasıl yapıldığını adım adım goumlstereceğiz ve sonunda tabloyu dolduracağız

1 100 000 denar tutarında bir borccedil eşit yıllık anuumliteli 5 yılda 4 pa(d) yıllık vadeli faiz oranıyla itfa edilecektir Borcun oumldenmesi iccedilin amortisman planı yapılsın

Faizlenme yıllıktır faiz katsayısı r = 104 Toplam 5 anuumlite vardır

Anuumlitenin değeri 822462

1041

1041041100000

5

5

a denardır

ndash Birinci kalan borcun tuumlmuumlduumlr R5 = Z = 100 000 denardır

ndash birinci faiz 4000100

4100000

1001

Zpi denardır ndash tuumlm borcun faizi

252

ndash birinci oumldeme b1 = a ndash i1 = 224628 - 4000 = 184628 denardırndash ikinci kalan oumldenen bir anuumlite sonrası birinci yıl sonundaR4 = Z ndash b1 = 100 000 ndash 184628 = 81 5372 denardır

ndash ikinci faiz 53261100

4281537

100

42

pRi denardır- ikinci kalanın faizidir

ndash ikinci oumldeme b2 = a - i2 = 224628 - 32615 = 192013 denardırndash uumlccediluumlncuuml kalan R3 = R4 - b2 = 815372 -192013 = 623359 denardır

ndash uumlccediluumlncuuml faiz 442493100

4962335

100

33

pRi denardır ndash ikinci kalanın faizidir

ndash uumlccediluumlncuuml oumldeme b3 = a -i3 = 224628 - 249344 =1996936 denardırndash oumldenen uumlccedil anuumliteden sonra uumlccediluumlncuuml yıl sonunda doumlrduumlncuuml kalanR2 = R3 - b3 = 62 3359 ndash 19 96936 = 42 3665 denardırndash doumlrduumlncuuml faiz 661694

100

4542366

100

24

pRi denardır ndash uumlccediluumlncuuml kalanın faizi

ndash doumlrduumlncuuml oumldeme b4 = a - i4 = 46 8 -169466 = 076814 denardırndash oumldenen doumlrt anuumliteden sonra doumlrduumlncuuml yıl sonunda beşinci kalanR1 = R2 ndash b4 = 42 3665 ndash 2076814 = 21 5984 denardırndash beşinci faiz miktarı 9863

100

4421598

100

15

pRi denar ndash doumlrduumlncuuml kalanın faiz miktarı

ndash beşinci oumldeme b5 = a - i5 = 224628 - 8639 = 2 5984 denardırndash beş anuumlite oumldendikten sonra altıncı kalan R0 = R1 - b5 = 215984 - 215984 = 0 denardır

Demek ki borccedil oumldenmiştir

Bu şekilde hesaplanan değerleri tabloda goumlsterelim

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 4000 818462 822462

2 281537 53261 319201 822462

3 962335 442493 3619969 822462

4 542366 661694 1420768 822462

5 421598 9863 421598 822462

suma 307838 512313 100000

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

toplam

253

Amortisman planı yapıldıktan sonra bu planın doğru olup olmadığını yoklamak gerekirKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zbj

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R6 Koşul 3 Faizler suumltunundaki değerlerin toplamı ve oumldemeler suumltunundaki değerlerin top-

lamı devre sayısı ile anuumlitenin ccedilarpımına eşit olmalıdır nabi jj

Koşul 4 Anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij Koşul 5 Faizler suumltununun toplamı jj Rpi

100

dir

Yukarıda ccediloumlzuumllen oumlrnekte tuumlm bu koşulların sağlandığını kolay goumlrebiliriz Oumlrneğin oumlde-meler suumltununda tuumlm oumldemelerin toplamı 100 000 denardır bu ise borccedil tutarıdır Son oumldeme ve son kalan birbirine eşittir

Ondan sonra 11231482246255112313100000512313 jj bi

Anuumli-te oumldeme ve karşılık gelen faizin toplamı olduğunu goumlruumlyoruz oumlrneğin 169466 + 2076814 = 224628 Sonunda 5212313

100

4307838512313

olduğuna goumlre beşinci koşul da geccedilerli

olduğunu goumlruumlyoruz

2 Borccedil uumlccedil aylık devreli anuumlitelerle ve uumlccedil aylık vadeli 8 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir İkinci devrede faiz miktarı 49648 denar ve beşinci devredeki faiz miktarı 37161 denar olduğu-na goumlre son uumlccedil devre iccedilin amortisman planını oluşturunuz

Bu oumldevde amortisman planı sadece son uumlccedil anuumlite iccedilin yapılacaktır Başlangıccedil iccedilin kaccedil anuumlitenin oumldeneceğini de bilmiyoruz Verilen koşulları yazalım

021400

81 r ve

61371

48496

5

2

ii

Sistemi birinci oumldeme ve anuumliteye goumlre ccediloumlzeceğiz

61371021

48496021

61371

48496

61371

48496

61371

48496

1

4

1

4

1

1

5

2

5

2

baba

rbarba

baba

ii

Denklemleri taraf tarafa ccedilıkarırsak (1024 -102)b1 = 1248 elde edilir Oradan da b1 = 2000 denar ve a = 253648 denar elde edilir

Şimdi amortismanın devre sayısını belirtmek iccedilin birinci oumldemeye ait formuumllden yarar-lanacağız

nn

arab

441021

254

O halde 2682412000

482536021 4 n denklemi elde edilir Bunun logaritmasını almakla

12021log

268241log4 n elde edilir Buna goumlre borccedil uumlccedil yıl boyunca 12 anuumlite ile itfa edilir

Son uumlccedil oumldemeyi formuumllle hesaplayabiliriz 1923900212000 99

110 rbb 9924370212000 1010

111 rbb7424860212000 1111

112 rbb

ve

Bunlara karşılık gelen kalanları da hesaplayalım

9173141021021

021021482536

1 12

912

12

912

3912

rrrraRR denar onuncu kalan R12-10 =

R2 = R3 - b10 = 492472 denar elde edilir ve on birinci kalan iccedilin R12-11 = R1 = R2 - b11 = 248674 = b12 olduğunu buluyoruz Faizler ya kalanlardan ya da daha kolay ij = a ndash bj oumlzelliğinden belirtilir Buna goumlre i10 = a ndash b10 = 14629

i11 = a ndash b11 = 9849 ve i12 = a ndash b12 = 4973 olduğunu buluyoruz Şimdi amortisman tablosunu oluşturabiliriz

Period Ostatok Kamata Otplata 10 917314 29146 192390

11 724924 4998 992437

12 742486 7349 742486

Devre (periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme

Planın tuumlmuuml olmadığına goumlre yoklamasını yapamıyoruz

Alıştırmalar

1 100 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edi-lir Yıllık faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

2 80 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edilir Yıllık faiz oranı 5 pa(d)rsquodir Amortisman planını oluşturunuz

3 100 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edi-lir Yıllık faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

4 10 000 denar tutarında bir borccedil 4 yılda eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenmeyle itfa edilir Yıllık faiz oranı 10 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını hesaplayınız ve amortisman planını oluşturunuz

255

5 Bir borccedil eşit yarı yıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle itfa edilir Birinci oumlde-me 20 000 denar son devrenin faizi 322102 denar ve sondan bir evvelki devrenin faizi 614922 denar olduğuna goumlre amortisman planını oluşturunuz

97 Yuvarlak Tutarlı Anuumliteli Borccedillar

Belli bir borcu oumlderken a anuumlitesi konkre tutarlı ya da borcun bir yuumlzdesi olarak verile-bilir Bu anuumliteler genellikle tam sayıya yuvarlanıyorlar (onluk yuumlzluumlk vb) Bu yuumlzden bunlara yuvarlak anuumliteler ve borccedillara yuvarlak anuumliteli borccedillar denilir Anuumlite yukarıda sayılan şekil-lerden biriyle verilmediğinde ve borcun itfalı yuvarlak anuumlitelerle yapılma koşulları varsa anuumli-tenin hesaplama yuumlzdesini hesaplamak gerekir Burada da doumlnem sonu borccedillardan amortisman devresinin sonunda oumldemeler ve vade sonu faizlenmeden soumlz edeceğiz

Oumldevlerde genel olarak borccedil tutarı amortisman devresi ve faiz oranı veriliyor belirtil-mesi gereken ise yuvarlak değerli anuumlite tutarı ve sonunda diğerlerinden farklı olan son anuumlite tutarını

Borcun Z tutarı ve faiz oranı p pa(d) verilmiş olsun Amortisman devrelerinin sayısı bilindiği durumda n ndash 1 anuumlitenin değeri eşit ve son olan n-cı anuumlitenin değeri diğerlerinden kuumlccediluumlk olduğuna goumlre 100 n

pV ve 1100 npV arasında bulunan p1 yuumlzdesi aranılır Yuvarlanan anuuml-

iteler eşit olan anuumlitelerden buumlyuumlktuumlr ve bu yuumlzden son anuumlite onlardan farklı ve değeri diğerle-rinden kuumlccediluumlktuumlr ve ona anuumlite kalanı denir

Demek ki yuvarlak anuumliteyi bilmiyorsak borcun p1 yuumlzdesi gibi ifade edilecektir genel

olarak tam sayı ile ya da 100

1Zpa formuumlluuml ile ifade edilecektir ve bu durumda

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

geccedilerli olacaktır

1 130 000 denar tutarında bir borccedil 6 yılda yuvarlak yarıyıllık anuumlitelerle ve 5 pa(d) yarıyıllık faizlenme ile itfa edilir Yuvarlak anuumliteyi hesaplayınız

Faiz katsayısı 0251200

51 r anuumlite sayısı 6 2 = 12rsquodir p1 yuumlzdesini

10251

102510251100

10251

1025100251100

12

11

112

12

p

eşitsizliğinden belirteceğiz Oradan

256

974 lt p1 lt 1051 gerekirp1 iccedilin bu aralıkta bulunan ve hesaplamalar iccedilin daha kolay tam sayı olan p1 = 10 değe-

rini seccedileceğizBuna karşılık gelen yuvarlak anuumlite

13000130000100

10

100

1 Zpa

denardır

Elde edilen anuumlite tam sayı değilse onu onluklara ya da yuumlzluumlklere yuvarlayacağızBazı durumlarda yuvarlak anuumlitenin değeri biliniyor olabilir ve amortisman devrelerinin

sayısını hesaplamak gerekir Bunu belirtmek iccedilin eşit anuumliteli borccedillarda yapıldığı gibi hareket edilir ve

1log

log

1

rZaa

rn

formuumlluumlnden yararlanılır Burada yuvarlak anuumlitenin bilinen

değerini kullanıyoruz Anuumlite iccedilin elde edilen sayı n tam sayı olmadığı durumda o sayıdan buuml-yuumlk olan ilk doğal sayı alınır

2 200 000 denar tutarında bir borccedil 40 000 denar tutarında yuvarlak yarıyıllık anuumlitelerle ve 10 pa(d) yarıyıllık faizlenme ile itfa edilir Borccedil kaccedil devrede itfa edilecektir

Yuvarlak anuumlite sabit değerle verilmiş ve borcun

200000

40000

20rsquodir Devre sonu faiz katsa-yısı r = 105rsquotir Bu durumda amortisman devrelerinin sayısı iccedilin

8965105120000040000

40000log

051log

1

n

geccedilerlidir Buna goumlre faizin itfalı 6 dev-

rede gerccedilekleşecek oumlyle ki 5 anuumlitenin tutarı 40 000 denar altıncısı ise farklı ve verilenden kuuml-ccediluumlk olacaktır

Diğerlerinden farklı olan son anuumlite ya da anuumlite kalanı denilen bu taksitin değeri ne kadardır sorusu soruluyor

Kira kalanlarında olduğu gibi burada da aynı şekilde hareket edilir Anuumlitelerin değerleri iskontolanır ve iskontolanmış anuumlitelerin toplamı Z borcuna eşittir

Şek 2

257

Zaman ekseninde goumlsterilene goumlre (şek2) borccedil iccedilin

nnn ra

rrrra

ra

ra

ra

raZ 1

22

1

32

1

111

13

yazabiliriz Parantezler iccedilindeki ifade ilk terimi 1 ve ortak ccedilarpanı 1

r olan n - 1 terimli bir geo-

metrik dizisinin ardışık terimlerinin toplamıdır Oradan şunu elde ediyoruz

nn

n

n

n

n

n

n

ra

rrra

ra

rrr

r

ra

ra

r

rraZ 1

1

11

1

1

11

1

1

1

1

11

11

Not 1 1

11

1

rrrn

n

ifadesini IVр n-1 finansal tablosundaki karşılığıyla değiştirirsek son anuumlite iccedilin

np

np

nnp VaZrVaZa 777 11

1

formuumlluuml geccedilerlidir

Not 2 Yuvarlak anuumlitelerin ve oumldemelerin oumlzellikleri aynı anuumliteli borccedillarda var olan oumlzel-liklerle aynıdır Oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisi oluşturuyorlar Anuumlite oumldeme ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

3 10 000 denar tutarında bir borccedil 2500 denar tutarında yıllık anuumlitelerle ve 4 pa(d) yıllık faizlenme ile itfa edilir Borccedil kaccedil yılda itfa edilecektir Anuumlite kalanı ne kadar olduğunu hesaplayınız

Doumlnem sonu faiz katsayısı r = 104 anuumliteleri yuvarlak olarak alacağız Amortisman dev-relerinin sayısı iccedilin 4454

1041100002500

2500log

041log

1

n

elde edilir Buna goumlre 5 anuumli-

teden doumlrduuml eşit 2500 denar tutarında beşincisi ise farklıdır

7211250411041041

1041250010000

1

1 5

4

4

1

1

1 9

lt=

gt

9

lt=

gt

n

n

n

rrr

raZa

denardır

258

Alıştırmalar

1 Bir borccedil uumlccedil aylık yuvarlak anuumlitelerle ve 40 pa(d) faiz oranıyla uumlccedil aylık vadeli faiz-lenmeyle 5 yılda itfa edilir İkinci devredeki faiz miktarı 4000 denar ve beşinci oumldeme 14641 olduğuna goumlre borccedil tutarı ne kadardır

(Tavsiye Borcu p1 yuvarlak anuumlite ile hesaplayınız)

2 128 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli 7 pa(d) faiz-lenmeyle itfa edilir Yuvarlak anuumlite 12 000 denar olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda oumlde-necektir

3 Doumlrt aylık yuvarlak anuumlitelerle 12 pa(d) faiz oranıyla ve aynı vadeli faizlenmeyle kaccedil devrede itfa edilecektir Yuvarlak anuumlite tutarı 30 000 denar ilk oumldeme ise 12 000 denardır

4 Bir borccedil yarıyıllık yuvarlak anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenmeyle iki yılda itfa edilir Anuumlite kalanı 14 3179 denar ve son oumldeme 13 7672 denar olduğuna goumlre borccedil ne kadardır yuvarlak anuumlite ne kadardır

5 Bir borccedil yarıyıllık yuvarlak anuumlitelerle ve faiz oranı 8 pa(d) olmak uumlzere yarıyıllık faizlenmeyle 7 yılda itfa edilir Anuumlite kalanı 24936 olduğuna goumlre borccedil tutarını ve yuvarlak anuumliteyi belirtiniz

98 Yuvarlak Anuumliteli Borccedilların Amortisman Planı

Yuvarlak anuumliteli borccedilların amortisman planının yapılması eşit anuumliteli borccedillarda olduğu gibi yapılır sadece son satırda son anuumlitenin yazıldığı yerde farklılık vardır Burada son oumldeme de diğerlerden kuumlccediluumlktuumlr Oumlnce lazım olan buumlyuumlkluumlkler hesaplanır ve ondan sonra amortisman tablosu doldurulur

1 1 000 000 denar tutarında borccedil yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli 20 pa(d) faizlenmeyle 5 yılda itfa edilir Anuumliteler yuvarlak olacak şekilde borcun oumldenmesi iccedilin amortisman planını oluşturunuz

Borccedil 5 anuumlite ile itfa edilir Faiz katsayısı r = 12 Yuvarlak anuumliteyi hesaplamak iccedilin anuumli-tenin borcun hangi kısmı olduğunu belirteceğiz p1 yuumlzdesini sağlayan

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

eşitsizlikte verilerin değiştirilmesiyle

259

121

12121100

121

12121100

4

4

15

5

p ya da

63384433 1 p elde edilirBu aralıkta bulunan herhangi bir değer alınabildiğine goumlre p1 = 35 değerini seccedileceğiz

Bu değere goumlre yuvarlak anuumlite 3500001000000100

35a denardır Beş anuumliteden doumlrduumlnuumln

tutarı 350 000 denar yani aynıdır son anuumlite ise

2337602112121

1213500001000000 5

4

4

1 9

lt=

gt

a denardır

Bireysel hesaplamaları ayrı ayrı yapalımndash Birinci kalan borcun tuumlmuumlduumlr Z = R5 = 1000 000 denardırndash birinci faiz 200000

100

2051 Ri denardır ndash tuumlm borcun faizi

ndash birinci oumldeme b1 = a - i1 = 350000 - 200000 = 150000 denardırndash ikinci kalan R2 = R5 ndash b1 = 850 000 denardırndash ikinci faiz 170000

100

2042 Ri denardır- ikinci kalanın faizidir

ndash ikinci oumldeme b2 = a - i2 = 350000 -170000 = 180000 denardırndash Uumlccediluumlncuuml kalan R3 = R4 - b2 = 670000 denardır

ndash Uumlccediluumlncuuml faiz 134000100

2033 Ri denardır ndash ikinci kalanın faizidir

ndash Uumlccediluumlncuuml oumldeme b3 = a - i3 = 350000 -134000 = 216000 denardırndash Doumlrduumlncuuml kalan R4 = R3 - b3 = 454 000 denardır

ndash doumlrduumlncuuml faiz 90800100

2024 Ri denardır

ndash doumlrduumlncuuml oumldeme 2592009080035000044 iab denardırndash Beşinci kalan R5 = R4 ndash b4 = 194 800 denardır

ndash beşinci faiz 38960100

2015 Ri denardır

ndash beşinci oumldeme 19480038960233760515 iab denardır Bu oumldeme diğerlerin-den farklı olduğundan doğrudan doğruya 19480043215 bbbbZb biccediliminde de he-saplanabilir

Borcun oumldenmesine karşılık gelen amortisman tablosu doldurulur

260

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 1000000 200000 150000 350000

2 850000 170000 180000 350000 3 670000 134000 216000 350000

4 454000 90800 259200 350000 5 194800 38960 194800 233760

suma 3168800 633760 1000000

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Burada da amortisman planının yoklaması yapılmalıdırKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zbj

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R1Koşul 3 Yuvarlanan anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij

son oumldeme hariccedil Son anuumlite anuumlite kalanı ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır 2 Borccedil uumlccedil aylık devreli yuvarlanmış anuumlitelerle ve uumlccedil aylık vadeli 8 pa(d) faiz oranıyla

itfa edilir Yuvarlanmış anuumlite tutarı 10 000 denar olduğuna goumlre son doumlrt devre iccedilin amortis-man planını oluşturunuz

Birinci kalanı bulmak iccedilin borccedil tutarını belirtmemiz gerekir Yuvarlak anuumlitelerde

Zpa100

1 olduğuna goumlre p1 yuumlzdesine ihtiyaccedil vardır Burada

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

eşitsizliği geccedilerlidirBu oumldevde toplam nm = 12 devre vardır Faiz katsayısı

021400

81 r rsquodir Ora-

dan

1021

1021021100

1021

1021021100

11

11

112

12

p ya da 946 ltp1lt 1022 elde edilir p1 =

10 alarak borccedil tutarı

100000100

1

ap

Z denar olduğunu buluyoruz Anuumlite kalanı

2827030211021021

102110000100000 12

11

11

1 9

lt=

gt

a denardır

Son doumlrt oumldemeyi belirtmek iccedilin oumlnce ilk oumldemeyi belirtelim

8000100000400

81000011 iab Oumldemeler bir geometrik dizisinin ardışık terimleri ol-

duğuna goumlre

2793730218000 88

19 rbb 7495600218000 99

110 rbb

toplam

261

b11 = b1r10 = 8000 bull 10210 = 975196 elde edilir Son oumldeme dizinin terimi değildir bu yuumlzden onu başka şekilde hesaplanmalıyız Bunu belirtmek iccedilin youmlntemlerden biri a1 = b12 r formuumlluumlnden yararlanarak belirtilir Buna goumlre 2726501

12 rab denardır Son oumldemeye ka-

deme kademe de gelebiliriz Oumldenen sekiz anuumliteden sonra kalanı doğrudan doğruya ilk sekiz oumldemenin toplamını borccediltan ccedilıkararak belirtelim

1

1

8

1

7

1

2

1114

rrbZrbrbrbbZR

24313361021

10218000100000

8

denar

Son doumlrt devrenin amortisman planını oluşturalım

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

9 3133624 62772 937327 10000

10 219627 49354 956024 10000

11 124017 24804 975196 10000

12 265027 53 265027 282703

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Alıştırmalar1 60 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık vadeli olmak uumlzere 4

pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Yuvarlak anuumlite 4000 denar tutarında olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda oumldenecektir Son anuumliteyi ve son oumldemeyi hesaplayınız ve ondan sonra amor-tisman planını oluşturunuz

2 20 000 denar borccedil faiz oranı 4 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme ile doumlrt yılda 3000 denara yuvarlanmış yarıyıllık anuumlitelerle itfa edilir Borcun amortisman planını oluş-turunuz

3 8 000 denar borccedil faiz oranı yıllık 5 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme yıllık anuumlitelerle itfa edilir Yıllık anuumliteler borcun 35rsquoi olduğuna goumlre amortisman planını oluştu-runuz ve son anuumliteyi hesaplayınız

4 200 000 denar borccedil faiz oranı 4 pa(d) olmak uumlzere yıllık vadeli faizlenme ile doumlrt yılda yuvarlanmış yıllık anuumlitelerle itfa edilir Borcun amortisman planını oluşturunuz

262

5 Bir borccedil yuvarlanmış yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle 3 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d) yarıyıllıktır Son oumldeme 126551 denar olduğuna goumlre borcun amor-tisman planını oluşturunuz

99 Alıştırmalar

1 240 000 denar tutarında borccedil 4 yılda eşit yarıyıllık devreli anuumlitelerle ve yarıyıllık vadeli faizlenmeyle itfa edilecektir Faiz oranı 9 pa(d) olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır He-saplanan toplam faiz miktarı ne kadardır

2 Her biri eşit anuumliteli olan iki borccedil alınmıştır 160 000 denar tutarında olan birinci borccedil 4 yılda ikincisi ise 6 yılda itfa edilecektir Her iki borccedil yarıyıllık anuumlitelerle ve aynı 4 pa(d) faiz oranıyla oumldendiğine goumlre ikinci borcun tutarı ne kadardır

3 Bir borccedil diğer bir borccediltan 100 000 denar buumlyuumlktuumlr Birincisi 20 000 denar tutarlı eşit yıl-lık anuumlitelerle 12 yılda ikincisi ise eşit yıllık uumlnitelerle 10 yılda itfa edilir Her iki borca 5 pa(d) faiz oranı uygulandığına goumlre ikinci borcun anuumlite tutarı ne kadardır Not Z1 = Z2 + 100 000rsquodir

4 Bir borccedil 9 yılda doumlrt aylık vadeli faizlenme ile ve doumlrt aylık devreli eşit tutarlı anuumlite-lerle itfa edilir Faiz oranı 12 pa(d) beşinci ve ikinci oumldemenin farkı 12000 denardır Anuumlite tutarını hesaplayınız

5 Bir borccedil 2 yılda aylık vadeli faizlenme ile ve aylık devreli eşit tutarlı anuumlitelerle itfa edi-lir Faiz oranı 24 pa(d) ve son faiz miktarı 300 denardır Anuumlite ve borccedil tutarını hesaplayınız

6 Altı yılda yarıyıllık vadeli faizlenme ile ve yarıyıllık devreli eşit tutarlı anuumlitelerle 10 pa(d) faiz oranıyla itfa edilen borcun doumlrduumlncuuml oumldeme tutarı 3403822 denardır Borccedil tutarını oumldeme vadesinin tam yarısında borcun kalanını ve hesaplanan toplam faiz tutarını hesaplayınız

7 200000 denar tutarında borccedil her iki yılda bir oumldenen anuumlitelerle ve faiz oranı 8 pa(d) olmak uumlzere iki yıl vadeli faizlenmeyle 26 yılda itfa ediliyor Altıncı anuumliteden on birinci anuumlite-ye kadar borcun hangi kısmı oumldenmiştir

8 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli eşit tutarlı anuumlitelerle ve faiz oranı 16 pa(d) olmak uumlzere uumlccedil aylık vadeli faizlenmeyle 10 yılda itfa ediliyor Oumldenen 25 anuumliteden sonra borccedil 4000 denar azalmıştır Borcun tutarı ne kadardır

9 Bir borccedil yarı yıllık doumlnemli eşit tutarlı anuumlitelerle ve faiz oranı 10 pa(d) olmak uumlzere yarıyıllık vadeli faizlenmeyle 10 yılda itfa ediliyor On birinci anuumliteden başlayarak on beşinci

263

anuumliteye kadar 10 000 denar tutarında borccedil oumldenmiştir Borccedil tutarı ne kadardır on beşinci anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmı ne kadardır

10 Yarıyıllık anuumlitelerle ve 6 pa(d) faiz oranı olmak uumlzere yarıyıllık vadeli faizlenmeyle oumldenen bir borcun hesaplanan yedinci faizi 130 727 denardır Borccedil tutarını ve oumldenen yedi anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmını belirtiniz

11 Bir borccedil uumlccedil aylık doumlnemli anuumlitelerle ve faiz oranı 32 pa(d) olmak uumlzere uumlccedil aylık vadeli faizlenmeyle 125 yılda itfa ediliyor Oumldenen 40 anuumliteden sonra borcun kalanı 20 000 denar olur Borccedil tutarı ne kadardır Anuumlite tutarı ne kadardır

12 Faiz oranı 6 pa(d) olmak uumlzere 40 000 denar tutarlı anuumlitelerle 1 000 000 tutarında borccedil ne kadar zamanda itfa edilir Anuumliteler ve faizlenme yarıyıllık vadelidir

13 Bir borccedil eşit tutarlı yıllık anuumlitelerle ve yıllık doumlnemli faizlenme ile itfa edilir Birinci oumldeme 200 000 denar son yıldaki faiz miktarı 1157625 denar ve sondan bir oumlnceki periyotta faiz miktarı 22 60125 denar olduğuna goumlre borccedil tutarını belirtiniz

14 630 182 tutarında bir borccedil uumlccedil aylık devreli anuumlitelerle ve aynı devreli faizlenmeyle itfa edilir Birinci oumldeme 100 000 denar ve faiz oranı 8 pa(d) olduğuna goumlre borccedil kaccedil devrede oumldenecektir

15 509 776 denar tutarında borccedil 3 yılda eşit aylık anuumlitelerle ve faizlenme ile itfa edilir Anuumlite tutarı 20 000 denar olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

16 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme ile itfa edilir Uumlccediluumlncuuml ve ikinci oumlde-menin toplamı 20 604 denar ve doumlrduumlncuuml ve ikinci oumldemenin farkı 412 denar olduğuna goumlre faiz oranı ne kadardır

17 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 6 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Oumldenen uumlccedil anuumliteden sonra kalan borccedil tutarı 14 72017 denar ve oumldenen altı anuumlite-den sonra kalan borccedil tutarı 11 16476 denar olduğuna goumlre borccedil tutarını hesaplayınız

18 300 000 denar tutarında borccedil eşit yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenme ile 10 yıl-da itfa edilir Yıllık faiz oranı 6 pa(d)rsquodir Anuumlite tutarını ve altıncı yıl sonunda borcun kalan kısmını hesaplayınız

19 Bir borccedil eşit yarıyıllık anuumlitelerle ve yarıyıllık faizlenme olmak uumlzere 6 pa(d) faiz oranıyla 3 yılda itfa edilir Birinci oumldeme 7729875b denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

264

20 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 12 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir İkinci ay faiz tutarı 87 49733 denar ve birinci oumldeme 10000 denar olduğuna goumlre ilk doumlrt oumldemenin amortisman planını oluşturunuz

21 Bir borccedil eşit uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile itfa edilir Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Uumlccediluumlncuuml doumlnemde faiz tutarı 455684 denar olduğuna goumlre son uumlccedil doumlneme ait amor-tisman planını oluşturunuz

22 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 4 pa(d) faiz oranıyla itfa edilir Oumldenen ilk anuumliteden sonra borcun kalan kısmı 176 65292 denar ve oumldenen iki anuuml-iteden sonra borcun kalan kısmı 135 05291 denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

23 80 000 borccedil yuvarlak uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile itfa edilir Faiz oranı 8 pa(d)rsquodir Yuvarlak anuumlite 18 000 denar ve ilk oumldeme 1000 denar olduğuna goumlre borccedil kaccedil devrede itfa edilecektir

24 Bir borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve yıllık faizlenme olmak uumlzere 3 pa(d) faiz ora-nıyla itfa edilir Uumlccediluumlncuuml oumldeme 10 609 denar ve son anuumlitenin bir oumlncesinde borcun oumldenmiş kısmı 185 989 denar olduğuna goumlre anuumlite kalanını belirtiniz

25 Bir borccedil yuvarlak uumlccedil aylık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile doumlrt yılda itfa edilir Faiz oranı 12 pa(d)rsquodir Sondan bir oumlnceki devrede faiz tutarı 92117 denar olduğuna goumlre anuumlite kalanını belirtiniz

26 120 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile beş yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Borcun amortisman planını oluşturunuz

27 100 000 denar tutarında borccedil yuvarlak yarı yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 18 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d)rsquodir Borcun son uumlccedil yılının amortisman planını oluş-turunuz

28 20 000 denar tutarında borccedil yuvarlak uumlccedil aylık 3000 denar tutarında anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile iki yılda itfa edilir Borcun amortisman planını oluşturunuz

29 Bir borccedil yuvarlak yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile doumlrt yılda itfa edilir Uumlccedil yıl sonra borcun oumldenen kısmı 811616 denar ve birinci oumldeme 26000 denar olduğuna goumlre borcun amortisman planını oluşturunuz

265

30 Bir borccedil yuvarlak yarı yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 8 yılda itfa edilir Faiz oranı 4 pa(d) ve son oumldeme 498427 denar olduğuna goumlre borcun son uumlccedil yılının amor-tisman planını oluşturunuz

31 500000 denar tutarında borccedil altı aylık eşit anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 30 yılda itfa edilmelidir Faiz oranı 28 pa(d) olduğuna goumlre anuumlite tutarı ne kadardır

32 Altı aylık eşit anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 30 yılda itfa edilmelidir Faiz ora-nı 28 pa(d) ve birinci oumldeme 5 37222 denar olduğuna goumlre borccedil tutarı ne kadardır

33 Bir borccedil eşit yıllık anuumlitelerle ve aynı vadeli faizlenme ile 50 yılda itfa edilir Faiz ora-nı 4 pa(d)rsquodir Oumldenen 20 anuumliteden sonra borcun oumldenmiş kısmının tutarı 5851566 denar olduğuna goumlre anuumlite tutarını ve borccedil tutarını hesaplayınız

34 2 400 000 denar tutarında borccedil altı aylık devreli yuvarlak 120 000 denar anuumlitelerle ve aynı doumlnemli faiz oranıyla itfa edilir Faiz oranı 2 pa(d) olduğuna goumlre borccedil ne kadar zamanda itfa edilecektir Son anuumlite ne kadardır

266

Konu Oumlzetleri

Borccedil para mal veya para cinsinden bir değerin belirli bir vade ve koşulla geri alınmak uumlzere verilmesidir yani borccedil veren finansal varlıklarını borccedil alana geccedilici bir suumlre iccedilin hizmetine devretmesidir Bu boumlluumlmde borccedillunun borcunu oumldeme koşulları borccedil verene olan yuumlkuumlmluuml-luumlğuuml yani finansal varlıkların devredilme koşulları borcun suumlresinde faizlendirmeyi iccedileren an-laşmalar soumlz konusu olacaktır Borccedil tutarı genellikle birden verilir ve geri alınması birden değil ccedilok kez belli periyotlarda gerccedilekleştirilir Her periyotta borcun oumldendiği tutara oumldeme denir Belli periyotta oumldemenin faiziyle beraber tutarına anuumlite denir diğer soumlzlerle anuumlite belirli bir zaman suumlreci iccedilerisinde eşit aralıklarla verilen veya alınan eşit oumldemeler serisidir Borcun her bireysel oumldemesine gereken zaman suumlresine amortisman vadesi denir

Anuumlitelerin oumldeme suumlresine goumlre doumlnem sonu anuumliteli borccedillar (oumldemeler serisi dev-renin sonunda yapılan) ve doumlnem başı anuumliteli borccedillar (oumldemeler devrenin başında yapılan anuumliteler)

Faizin hesaplanmasına goumlre borccedillar doumlnem sonu faizlenen ve doumlnem başı faizlenen biccediliminde adlandırılabilir

Şunu da belirtelim borcun amortismanı denilen kademeli oumldemede oumlnceden belirlen-miş tutarlarla belli zaman aralıklarında oumlnceden belirlenmiş bir plan uumlzerinde oumldenmesine amortisman planı denir

Tutarı Z olan bir borccedil alınmış ve geri oumldemesi her biri a tutarında n eşit anuumlite ile yapıla-caktır Faiz oranı p doumlnem sonu faizlendirme ve faiz doumlnemi anuumlitelerin oumldeme doumlnemiyle aynı olsun Boumlyle durumda borccedil şu formuumllle hesaplanır

1

1

rr

raZ n

n

r doumlnem sonu faiz katsayısıdır

Borccedil bilindiğinde anuumliteyi hesaplamak iccedilin şu formuumlluuml kullanacağız

1

1

n

n

rrrZa

k-cı oumldemeyi bk ve k-cı faizi ik ile işaret edersek birinci anuumlite a = b1 + i1 olur Burada faiz birinci

doumlnem iccedilin Z tuumlm borccedil tutarına hesaplanır yani 100

1

Zpi rsquodir

Kalan anuumlitelerin her birini bu şekilde inceleyerek son anuumliteye a = bn + in varıyoruz Bu-

rada faiz borcun kalan kısmına Z ndash b1 ndash b2 - hellip - bn uygulanır yani 100

121 pbbbZi n

n

dir

Oumldemeler ilk terimi b1 ve ortak ccedilarpanı r faiz katsayısı olan bir geometrik dizisini oluştu-ruyorlar Daha da her oumldeme 1

1

kk rbb formuumlluumlyle hesaplanabilir

267

Genel olarak k- cı oumldeme borccedil ile ifade edildiği durumda şu formuumlluuml kullanacağız

1

1

1

knk r

rrZb

anuumlite ile ifade edildiğinde 1 knk r

ab formuumlluumlnuuml kullanabiliriz Ok ile işaret edeceğimiz k devrede (periyotta) borcun oumldenmiş kısmı k-cı anuumlite dahil ilk

k oumldemenin toplamına eşittir yaniOk = b1 + b2 + + bk yani

1

11

rrbO

k

k dir

Oumldenen k ndash anuumliteden sonra borcun kalan kısmını Rn-k ile işaret edersek birinci oumldemeye goumlre veya anuumlite ile ifade edilişi

11

r

rrbRkn

kn ya da 1

rrrraR n

kn

kn dir

Amortisman suumlresinin borccedil ve anuumlite ile ifade edilişi

1log

log

1

rZaa

rn dir

Z tutarında bir borccedil eşit anuumlitelerle oumldendiği durumda borccedillu her devre sonunda aynı tutarlı taksitler oumldeyecektir Bu oumldemeler iki kısımdan meydana gelmektedir Bu kısımlardan biri borcun bir kısmının oumldeme tutarı ve kalan borcun faizidir Bunu aşağıdaki tablo biccediliminde goumlstereceğiz

Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 Z 1001

Zpi 11 iab a

2 11 bZRn 100

12

pRi n 22 iab a

1n 232 nbRR 100

21

pRin 11 nn iab a

n 121 nbRR 100

1 pRin nn iab a

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

Amortisman planı yapıldıktan sonra bu planın doğru olup olmadığını yoklamak gerekir

268

Koşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zb j Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R6 Koşul 3 Faizler suumltunundaki değerlerin toplamı ve oumldemeler suumltunundaki değerlerin top-

lamı devre sayısı ile anuumlitenin ccedilarpımına eşit olmalıdır nabi jj Koşul 4 Anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij Koşul 5 Faizler suumltununun toplamı jj Rpi

100 dir

Belli bir borcu oumlderken a anuumlitesi konkre tutarlı ya da borcun bir yuumlzdesi olarak verile-bilir Bu anuumliteler genellikle tam sayıya yuvarlanıyorlar (onluk yuumlzluumlk vb) Bu yuumlzden bunlara yuvarlak anuumliteler ve borccedillara yuvarlak anuumliteli borccedillar denilir Anuumlite yukarıda sayılan şekil-lerden biriyle verilmediğinde ve borcun itfalı yuvarlak anuumlitelerle yapılma koşulları varsa anuumli-tenin hesaplama yuumlzdesini hesaplamak gerekir Burada da doumlnem sonu borccedillardan amortisman devresinin sonunda oumldemeler ve vade sonu faizlenmeden soumlz edeceğiz

Borcun Z tutarı ve faiz oranı p pa(d) verilmiş olsun Amortisman devrelerinin sayısı bi-lindiği durumda n ndash 1 anuumlitenin değeri eşit ve son olan n-ci anuumlitenin değeri diğerlerinden kuuml-ccediluumlk olduğuna goumlre 100 Vp

n ve 100Vpn-1 arasında bulunan p1 yuumlzdesi aranılır Yuvarlanan anuumliteler

eşit olan anuumlitelerden buumlyuumlktuumlr ve bu yuumlzden son anuumlite onlardan farklı ve değeri diğerlerinden kuumlccediluumlktuumlr ve ona anuumlite kalanı denir

Demek ki yuvarlak anuumliteyi bilmiyorsak borcun p1 yuumlzdesi gibi ifade edilecektir genel

olarak tam sayı ile ya da 100

1Zpa formuumlluuml ile ifade edilecektir ve bu durumda

1

1100

1

1100

1

1

1

n

n

n

n

rrrp

rrr

geccedilerli olacaktır Diğerlerinden farklı olan son anuumlite ya da anuumlite kalanı denilen bu taksitin değeri şu formuumllle hesaplanır

n

n

n

rrr

raZa 9

lt=

gt

1

11

1

1

Yuvarlak anuumliteli borccedilların amortisman planının yapılması eşit anuumliteli borccedillarda olduğu gibi yapılır sadece son satırda son anuumlitenin yazıldığı yerde farklılık vardır Burada son oumldeme diğerlerden kuumlccediluumlktuumlr Oumlnce lazım olan buumlyuumlkluumlkler hesaplanır ve ondan sonra amortisman tab-losu doldurulur

269

Burada da amortisman planının yoklaması yapılmalıdırKoşul 1 Tuumlm oumldemelerin toplamı borccedil tutarına eşit olmalıdır Zb j

Koşul 2 Son oumldeme tutarı son kalana eşit olmalıdır bn = R1 Koşul 3 Yuvarlanan anuumlite her faiz ve ona karşılık gelen oumldemenin toplamıdır a = bj + ij

son oumldeme hariccedil Son anuumlite anuumlite kalanı ve ona karşılık gelen faizin toplamıdır

270

271

Ccediloumlzuumlmler ve Oumldevlerin Cevapları

111 а) 18750 denar b) 9375 denar c) 2604 denar zaman ayarı (30360) ve 25685 denar (k 365) 2 20 yıl 3 5 4 а) 14750 denar b) 87500 denar 5 K = K1 + K2 = 108000 denar 6 2691 denar

122 I = 12000 K = 72000 denar 3 I = 1760 K = 35200 denar 4 70400 denar5 K = 33750 denar I = 150 denar 6 Borccedil 260400 denar faiz 65100 denar 7 Borccedil 10568 denar faiz 568 denar

134 75 guumln 5 5 ay ve 20 guumln 6 а) 50 guumln 4 05 b) 13 guumln 4 05 7 29 guumln 205 8 2304 9 705

142 123 guumln 3 69 guumln ya da 1306 4 2502 5 805 28 guumln başlangıccedil tarihi 1004

154 Dk = 21875 denar Dr = 21685 denar fark = 01897 5 $ 1 195 16866

164 3 166 5 yatırımlar 3112 tutarı 17 9761 denar kaldırılan = 15 200 denar faiz = 922 denar saldo = 2 776 denar

175 Sıralı faiz = 3209 denar ceza faizi = 2730 saldo = 496518 denar

181 826 guumln (ya da 2 guumln 3 ay ve 6 guumln) 2 K = 176147 denar 3 p = 464 4 K = 306748 denar 5 K = 300000 denar 6 18000 denar 7 K = 105680 denar I = 5680 denar 8 1004 613 ile 9 246 guumln 10 13 0611 iskonto = 222222 efektif tutar =$ 247 7973612 efektif tutar = $ 2 984 200 13 efektif tutar = 147 546 denarDk = 2 2875 denar 14 $ 147 192 15 63 guumln 16 2 471 denar 17 yatırım = 79 770denar kaldırılmış = 65 000 denar saldo = 14 770 denar faiz = 1 770 denar18 sıralı faiz = 4248 denar ceza faizi = 6246 denar saldo = 2568954

272

212 а) 80 kısım b) 130 kısım 4 а) 80 greyn b) 5040 greyn 5 а) 23 karat 1 greynb) 16 karat 1 greyn c) 232 peniveyt 11 greyn d) 209 peniveyt 16 greyn

221 W 8096 2 97917 3 640 4 а) 600 dego b) W 724 5 а) 420 o b) W 12148

231 1584g 2 49875g 3 700g 4 384g

255 55 euro artışı ve 51 dolar duumlşuumlşuuml 6 Devaluumlasyon 463 7 1383

284 144000 USD 5 68493

295 0694 - 06849

2101 225 EUR 2 Zarar 3000 МКD

2111 Saat 14 te +20 EUR sat 19 de -8 EUR 2 Ortalama kur 1041 kar 7675 CHF3 100 МКD 4 17 000 USD 5 saat 15 te

2121 W 2128 2 permil600 3 permil88125 4 а) permil800 b) W 30 5 1175g 6 296g 7 permil8708 180 peniveyt 9 +165 -157 10 Amortisman 219 11 13965 12 Saat 14rsquote kazanccedil 48 EUR saat 19rsquoda zarar 24 EUR 13 Ortalama kur 164 kazanccedil ( AUD 1454 bazında EUR 889 bazında)

31

2 a) 2 yx b) 2 x v) 132x g) 10xy 3 a) 93 2xx b) 44

xx 0x 44

xx 0x 44

xx 0x 4 a) yx b) yx v) yx 5 a) 94 xx b) 22525 xx

v) 14316364 xxx

32 1 a) 3x b) 0x v) 8x g) 3x d) 41 x 12 x |) 2x 2 a) 8x b) 2x

v) 15x g) 6x 3 a) 11 x 02 x b) 0x v) 2x 4 a) 4

11 x 02 x b) 21 x

12 x v) 11 x 62 x 5 a) 4x b) 11 x 2

32 x v) 31 x 22 x

a)

a)

a) b)

a)b) b)c)

c)

c) а) b) c)

c) а) b)

d) e) f)

a) b) c) а) b)c)

b) c) d)

d)

a) b)

273

331

Poimi 3216log6 2log94

x 449log7

5)2b(loga 21

25 5log

Logaritam 3 2 4 5 21

Osnova na logaritamot

6 x 7 a 25

Logaritmant 216 94 49 2b 5

2 a) 2 b) 2 v) 2

1 g)

2

1 3 a) 3x b) 6x v) 2x g) 12 4 a) 2 b) 9

5 a) 1 b) 30 6 )1()0( BCBx

34 1 a) blogalog3logxlog b) clog5blogalog2xlog

v) clogblogalog2logxlog g) )balog(2logxlog d) )cblog(alog2

1xlog 22

|) blog3

1alog

2

1xlog 2 a)

2

1 b) 18 v) 1 3 a) 10x b)

9

8x v)

3

3 2

2

53 x

g) 3

44

4

6

x d) 3

5 |)

27

8 e) 63 `) 24 4 a) 060 078 090 096 b) 108 120 126

5 a) 3 b) 3 v) 1 g) 1

35

2 Upatstvo a) 15log

4log

7log

5log7log14log5log7log

3

3

3

33573

b) 8log

7log

7log

6log

6log

14log

4log

12log7log6log5log4log3log2log

5

5

5

5

55

33876543

3 8 4 a) 2

1 b) 18 v) 5 5 alogalogalog

b

1

b

1b 1

13

36

1 22

321 x 2 14 21 xx 3 2x 4

3

167 21 xx 5 4

213

2x 6 16x 7 4

37

1 a) yx b) yx v) yx 4 a) 3

4

a b) 3

2

a 5 8x 6 2x 7 | 8 1x 9 1x

10 4 11 a) 4x b) 81

1x v)

10

1x g)

2

1x d) 5 100 |) 2x

Kavramlar

Logaritma değeri

Logaritmatabanı

Logaritması alınan sayı

b)

b)

b)

b) c)

c)

c)

b)

b)

b)

b)b)

b)c)

c)

c)

c) c)

a)

a)

a)Tavsiye

b)

b)

b)

a)

a)

a)a)

a)

a)a) b) c)d)

e)

e)

e) g) h)

d)

d)

d)

d)

d)

f)

f)

274

12 a) ylogxlog2log b) ylog3xlog23log v) zlog2

1ylog5xlog2

g) clog3alogb d) ylog3

2xlog6log |) )ylog

2

1xlog3(

4

1)xlog2(log

2

1

e) )ylog4

3x(log

2

1 13 a) 6x b) 10x v) 21x g) 1125x 14 a) 736x

b) 008840x v) 29676x 15 a) 5log2 4 b) 3log

2

7

v) 5log10

1 16 a) 35

1

b) 1

log2 xx

17 a) 8 b) 1 18 1x 19 5x 20 25x 21 3121 x 22 7x

23 102

321 xx

41 1

Stepeni 00 030 045 060 090 0180 0270 0360 Radijani

0 6

4

3

2

2

32

2 13

12sin

13

5cos

5

12tg

12

5 ctg 3 870sin 490cos 771tg

560ctg 4 80sin 60cos 3

4tg

4

3ctg 5 780sin 620cos

261tg 790ctg

42 1 a) 540 b) 980 v) 840 g) 540 2 a) 600 b) 700 v) 150 g) 400 3 a) 1 b) 1 v) 1

4 a) 3 b) 3

332 v) 1 5 a) 450 b) 300 v) 450 g) 600 d) 300

43 1 a) 74048sin 0 67048cos 0 111480 tg 90480 ctg b) 390231223sin 0

920231223cos 0 430231223 0 tg 332231223 0 ctg v) 2801916sin 0

9601916cos 0 2901916 0 tg 4431916 0 ctg 2 a) 7807

2sin

620

7

2cos

2517

2

tg 807

2

ctg b) 73021

5sin

730

21

5cos

930

21

5

tg 08121

5

ctg

3 a) 204235 0 b) 232544 0 v) 33267 0 g) 162326 0 d) 552444 0 |) 505372 0

4 a) 010 b) 20 5 a) 395525 0 b) 142617 0 v) 591246 0

Dereceler

Radyanlar

b)b)

b)

b) b)b)

b)

b)b)

b)b)

b) b)

b)

b)

c)c)

c)

c)

c)c)

c) c)

c)c)

c)

c)

d)

d)

d) e)

d)

d)

d)

e)

e)

f)

f)

g)

275

44

1 a) 13

12cos

12

5tg

5

12ctg b)

4

15sin 15tg

15

15ctg

v) 41

414sin

41

415cos

4

5ctg g) 920sin 390cos 442tg

2 a) sin2 b) cos2 v) 1 6 54

55 7 26

45 1 a) 853 0 140 cma 954 cmb b) 274 0 711 cma 33 cmb v) 624 0

145 cmb 655 cmc 2 a) 80 41750 cma 61767 cmc b) 3041 0

166 cma 799 cmc v) 660 7911 cmb 255 cmc 3 a) 55745 0

55242 0 48224 cmb b) 395561 0 21428 0 559 cmc

v) 471921 0 134068 0 16338 cmc 4 231445 0 5 125236 0 6 Od mestoto B avionot e na rastojanie m781824 a rastojanieto me|u A i B e 2231 m

46 1 a) 362434 0 b) 121618 0 v) 124023 0 2 a) 4336 0 b) 1945 0 v) 8773 0 3 a)

440 rad b) 491 rad 4 a) 1050 b) 564572 0 5 a) 0 b) 2 v) cos

1

0 6 a) 650 b)

1047 0 v) 300 g) 400 7 a) 5

3cos

3

4tg

4

3ctg b)

5

4sin

3

4tg

4

3ctg v)

34

3sin

34

5cos

3

5ctg g)

674

25sin

674

7cos

7

25tg 8 a) 7 b) 1 9 a) 5853 0 40a 55b b) 4025 0 43936b

941038c v) 504 0 050a 6220c g) 55745 0 55244 0 48222b

d) 64484 0 54155 0 3242a 10 cos2 cab sin ch 11 4102 m

51 1 a) II-kvadrant b) I-kvadrant v) IV-kvadrant g) III-kvadrant d) x oskata |) y oskata e) x oskata `) y oskata 2 )01(M )02(N )05(P )03(Q 3 )30(M )40(N )20( P )10( Q 4 4xm 2ym

52 1 a) 82d b) 4d v) 53d g) 53d 3 11y ili 1y 4 )1821(C 5 13 b)

b)

b) b)

b)

b)b)b)

b)b)

b)

b)b)

b)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

c)c)

c)

c)

c)

c)

c)

d)

d)

d)

d)

d)

d)

e)

e)

f) g) h)

b)

doumlrduumll doumlrduumll doumlrduumll doumlrduumll ekseniekseniekseni ekseni

6 Uccedilak Byerine uzaklığı 418278 m A ve B arasındaki uzaklık ise 1223 m

ya da

276

53

1 2

54

13

ABS 12BCS

2

71

13

ACS 2 5 3 )11( )01( )13( )25( 4 a)

13

5

95

b) 13

5

116 v) 37 g) 718 5 )62( A )28(B )106(C

54

1 21P 2 Ne 3 Da 4 15P 5 2

55P 6

2

15APBP

4

9PBCP

55 1 Samo P e od pravata 2 a) xy b) xy v) 0y 3 a) 2k 3m b) 1k

3m v) 0k 2m g) 3k 0m 4 2

13 xy 5 1 xy 6

5

6k

5

7m

7 25 xy

56

1 a) 0332 yx b) 04 y v) 03 x 2 a) 2k 3m b) 2

5k

2

3m

v) 8

3k

3

16m 3

4

33 3m 5 Da

57

1 a) 164

yx

4 edinici na x oskata 6 edinici na y oskata b) 111

yx 1

edinici na x oskata 1 edinici na y oskata v) 12

2

1

yx

2

1 edinici na

x oskata 1 edinici na y oskata 2 85

6k 3

12

5k 4 18 kvadratni edinici

5 132

yx 1

2

34

yx

58

1 a) )2(3 xky b) )1(4 xky 2 053 yx 3 03 yx 4 a) 5

7k

b) 5k v) 0k 5 01357 yx 6 Ne 7 5

7d ne 8

3

2d 9

5

10Md i

5

8Nd 10 257 yx

b)

b)

b)

b)b)

b)b)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

c)

d)

d)b)

Evet

Sadece P doğrunundur

Hayır hayır

x ndash ekseninde 4 birim y - ekseninde 6 birim

x - ekseninde 1 birim y - ekseninde 1 birim

birim kare y - ekseninde 1 birim

1 P = 21 2 Hayır 3 Evet 4

x - ekseninde 1

2 birim

ve

277

613 Dizi artandır 4 а) d) ve e) şıklarındaki diziler artandır b) ve c)rsquodeki diziler eksilendir 5 а) Hayır b) ne artan ne de eksilendir 6 а) a gt 1 b) 0 lt a lt 1 c) a = 1

631 299 2 150 3 -776 4 а) ve c)rsquodeki diziler aritmetik dizilerdir а) şıkkındaki dizinin ilk terimi 2 ve ortak farkı 6rsquodır c)rsquodeki dizide ise ilk terim 9 ortak fark -5rsquotir 5 8 yıl sonra 1 ocak 2008 yılı 6 d = 3 a1 = 0 7 Aritmetik dizisi 8 Tasarruf yapmadan oumlnce 14000 denarı varmış ve her yıl 2500 denar tasarruf yapmıştır

641 а) 19 b) x 2 Aranılan terim an+1 dir 4 n(n +1) 5 а) 9399 b) 5850 6 50 7 a7 + a11 = a5 + a 20 ve a7 + a11 = a5 + a13 oradan a13 = a20 elde edilir bu ise ancakd = 0 olduğu durumda muumlmkuumlnduumlr

651 3 2 а) ve d) geometik dizilerdir а) daki dizinin ilk terimi 2 ortak ccedilarpanı ise -4 tuumlr d) şıkkındaki dizinin ilk terimi 1 ortak ccedilarpanı 2 dir 3 а) 10125 b) 96 4 а) 50363 b) 12 yıl 5 Аli 6 256 defa

59

1 a) se se~at vo to~kata )21( b) se paralelni v) se sovpa|aat 2 a) )05( i 13

2

10

b) )06( i )40( 3 02865 yx 4 4

3 5 042 yx 6 06035 yx

510

1 )1332(4 2 a) )17(M b) )17(M 3 2

12 4 14P 6 029107 yx

8 )51( D 11 a) 5

7d b) 1d 12 03 x 073 yx 0133 yx 13 a)

)04(T b) )44(H 15 )83(M 16 49P 17 12034 yx 072948 yx

18 3

11 k 12 k i

3

51 k

6 1 2 a)

32

43

54

65

76 b) 1

41

91

161

251 v) 2481632 g) 12345 3 a)

174 b) 27 v) 81

4 n=2010 5 n=256 6 a) 53 b)

51 v) 16 g) 3 7 a) 12 nan b) 2n v) n

na )1(2

g) nna 1 d) nna28

b)b)

b)

c)c)

c)c)

d)d)

d)

e)

(12) noktasında kesişiyorlar b) paraleldirler c) ccedilakışıyorlar ve

ve

ve

b)

b)

b)

b)

b)

278

661 a) 60 b) x 3 Aranılan terim an+1 4 b = 15 ya da b = 15 5 а) 1640 b) 40 c)

128

255

d) 340 6 а) 3 b) 27 7 а1 = 9 97

5 6S olur

6 72 Hayır 3 Hayır 4 500500 5 3000 6 1840 7 a = 5 b = 8 c = 11 8 Tavsiye ak ve an terimlerinin değerlerini aritmetik dizisinin ilk n terim toplamı formuumlluumlnde değiştirerek denk-lemin geccedilerli olduğunu goumlsteriniz 9 2080 denar 10 100 11 b = 15 12 Tavsiye ak ve an terimlerinin değerlerini geometrik dizisinin ilk n terim toplamı formuumlluumln-de değiştirerek denklemin geccedilerli olduğunu goumlsteriniz 13 1792 14 20480 denar 16 q = 1

711 а) 18750 denar b) 9375 denar c) 2604 denar (30360) zaman oumllccediluumlsuumlne goumlre ve 25685 de-nar (k365) goumlre 2 20 yıl 3 5 4 а) 14750 denar b) 87500 denar5 K = K1 + K2 = 108000 denar 6 а) 6 ps b) 3 pq c) 1 pm 7 а) 4 ps

b) 8 pa c) 3

2 mp 8 9091 pa(a) 9 1111 pa(d) 10 6 pa(a) = 638 pa(d) buna goumlre ikinci faiz oranı daha karlıdır 65 pa(d)

721 а) Karma youmlntem ile 84538 denar sadece bileşik faiz hesabıyla 8448343 denar b) karma youmlntemi 881243 denar sadece bileşik faiz hesabıyla 8811729 denar2 5633155 denar 3 5939502 denar 4 9560058 denar 5 Doumlnem sonu vadeli 5605984 de-nar doumlnem sonu faizlendirme 56400 denar doumlnem başı faizlendirme 6 24099 denar 7 17205 denar

731 40642 denar 2 7430 denar 3 а) 44160 denar b) 431334 denar а) ve c) şıklarındaki tu-tar farkları verilerin yuvarlanmasından kaynaklanır 4 6 5 3923 ve 1943 6 16847 denar

741 а) K = 7597254 denar b) K = 7461711 denar 2 а) 43291 denar b) 4291857 denar 3 25023795 denar 4 2753275 denar 5 5474325 denar

751 а) 24 yıl 6 ay ve 28guumln b) 23 yıl 7 ay ve 11guumln 2 а) 3919 uumlccedil aylık b) 3936 uumlccedil aylık 3 а) 116196 pa(a) b) 1197 pa(d)

279

4 3925 pa(d) 5 5 pq(d) 47 pa(a) 6 10077 yıl 7 25 ps(d) 8 85 pa(d) 9 3 yıl 1 ay ve 18 guumln

761 Karma youmlntemle 211440 denar sadece bileşik faizle 2108975 denar 2 355465 denar 3 112120 denar 4 10930 denar 5 186760 denar borccedil 6 а) 422527denar faiz 77473 denar b) 422546 denar faiz 77454 denar 7 27 yıl 8 17175 yıl 9 2172979 de-nar 10 22676567 denar 11 Son teklif 16489332 12 2165 uumlccedil aylık 13 195 14 125584 denar 15 47483114 denar 16 Birinci teklif daha uygundur ikinci teklif daha kuumlccediluumlktuumlr ve 5230428 denardır 17 18 yıl 4 ay ve 29 guumln 18 520948 denar 19 66 pa (d) 20 757 pa(d) 21 246 yıl ve tutarı 10000 denardır

821 а) Sn = 225558 denar b) Sn = 227207 denar 2 Sn = 120061 denar 3 а) Sn = 39083denar b) Sn = 40646 denar 4 а) 479782 denar b) 482431denar 5 а) 484580 denar b) 487304 denar 4 ve 5 oumldevlerin değerlerinin karşılaştırılmasıyla doumlnem sonu yatırımları getirdikleri faiz miktarı doumlnem başı yatırımların getirdikleri faizden daha buumlyuumlk olduğu sonu-cuna varılır En buumlyuumlk son değer doumlnem başı yatırımların doumlnem başı faizlenmesiyle elde edilir

831 а) V = 18781 denar b) V = 18729 denar 2 V = 10000 denar 3 V = 2866 denar 4 V = 4603 denar 5 V = 6826 denar

841 а) n = 6 b) n = 5 2 n 8527 O halde n = 9 V0 = 93048 denar 3 n 31195 O halde n = 32 V0 =-279 denar (demek ki 279 denar geri verilecektir) 4 V0 = 118 denar 5 n = 18

85

1 2

p = 4 2 3

p = 397 3 а) 2436 b) 2674 4 p = 8 5 p = 755

864 M n = 119041 denar 5 а) M n = 15726 denar b) M n = 16355 denar 6 Mn = 637300 denar 7 V = 5695 denar 8 68044 denar

871 Doumlnem sonu faizlenme ile 70765 denar doumlnem başı faizlenme ile 70895 denar elde edilir 2 R = 16700 denar 3 R = 7575 denar 4 R = 5991 denar 5 R = 16705 denar

280

881 10 kira 2 n = 8 4 yıl 3 n = 12 R0 = 32667 denar 4 n = 60 R0 = 2160 denar 5 n = 35 R0 = 28 denar

891 p = 168 p a (d) 2 p = 5756 p a (d) 3 p = 8 p a (d) 4 913 p a (d) 5 31136 denar 8101 R = 3400 denar 2 5220 denar 3 4200 denar 4 25000 denar 5 203454 denar

8111 27403 denar 2 1480 denar 3 4 yatırım 4 654 5 8 yıl 6 M n = 2861592 denar 7 R = 247525 denar 8 n = 12 R0 = 32532 denar 9 575 pa(d)10 110643 denar 11 45000 denar 12 175600 denar 13 50000 denar 14 3 yıl oumlnce 15 1128 denar 16 83972 denar 17 870058 denar 18 15940 denar 19 202716 denar 20 4850 denar

921 а) 9694820 denar b) 19582505 denar c) 39361911 denar 2 346514 denar3 16650 denar 4 890364 denar 5 305785 denar

931 1688263 denar 2 Аnuumlite 1748363 denardır 3 Borccedil 71318232 denardır4 953809 denar 5 560687 denar

941 Kalan 15613724 denar 2 Oumldeme 3446295 denar 3 Borccedil 9126992 denar 4 2705808 denar 5 59773882 denar

951 8pa(d) 2 n = 25 yılda 50 anuumlite 3 367 pa(d) 4 4135 n = 10 yıl

961 a = 1907619 denar amortisman planı aşağıdaki tabloda goumlsterilmiştir

281

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 4000 1507619 1907619 2 8492381 339695 1567924 1907619 3 6924457 276978 1630641 1907619 4 5293816 211753 1695866 1907619 5 3597950 143918 1763701 1907619 6 1834249 73370 1834249 1907619

Suma 53361428 1414457 100000 2 457611a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 80000 4000 117614 457611 2 682386 341193 1234947 457611 3 5588913 279446 1296694 457611 4 4292219 214611 1361529 457611 5 293069 146535 1429605 457611 6 1501085 75054 1501086 457611

Suma 67291367 3914568 0180000 3 5421631a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 100000 8000 1363154 5421631 2 8636846 690947 1472207 5421631 3 7164639 573171 1589983 5421631 4 5574653 445972 1771282 5421631 5 3857474 308598 1854556 5421631 6 2002918 160236 2002918 5421631

Suma 33372365 2429789 100000 4 713154a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 10000 100 215471 713154

2 784629 7846 237018 713154 3 547512 54751 206719 713154

4 286792 28683 286792 713154 Suma 3326188 332618 10000

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

denar

Toplam

Toplam

Toplam

Toplam

282

5 Son iki faizin verilerinden sistem oluşturunuz r = 11 п = 6 a = 3543122 Z = 1543122 elde edilir Bu verilerle amortisman planını oluşturabilirsiniz

971 Z = 142857 14 denar 2 31 yıl 3 14 devre 4 Z = 100000 ve a = 30000 5 a = 10000 denar

981 a1 = 146783 denar

period ostatok od dolgot

kamata otplata

1 60000 2400 1600 2 58400 2336 1664 3 56736 226944 173056 4 5500544 220022 179978 5 5320566 212823 187177 6 5133389 205336 194664 7 4938725 197549 202451 8 4736274 189451 210549 9 4525725 181029 218971

10 4306754 172270 227730 11 4079024 163161 236839 12 3842185 153687 246313 13 3595872 143835 256165 14 3339707 133588 266412 15 3073295 122932 277068 16 2796227 111849 288151 17 2508076 100323 299677 18 2208399 88336 311664 19 1896735 75869 324131 20 1752604 62904 337096 21 1235508 49420 337096 22 884928 35397 364603 23 520325 20813 379187 24 141138 5656 141138

Devre Borccedil kalanı Faiz Oumldeme

283

2 Anuitetot e 3000 denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 20000 600 2400 3000 2 17600 528 2472 3000 3 15128 45384 254616 3000

4 1258184 37746 262254 3000 5 995930 29878 270122 3000 6 725808 21774 278226 3000

7 447582 13427 286573 3000

8 161009 4830 161009 391658

3 2800a 74551 a Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 8000 400 2400 2800 2 5600 280 2520 2800 3 3080 154 2646 2800 4 434 217 434 7455

suma 17144 7855 8000

4 60000a denari Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 200000 8000 52000 60000 2 148000 5920 54080 60000 3 93920 37568 256243 60000

4 376768 150707 837676 8739183 Suma 8479596 8719183 200000

5 2000a denari 8212901 a Period Ostatok od

zaemot Kamata Otplata Anuitet

1 20000 400 3600 2000 2 16400 328 3672 2000 3 12728 25456 374544 2000 4 898256 17965 382035 2000 5 516226 10325 389675 2000 6 126551 2531 126551 821290

2 Anuumlite 3000 denar

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

Toplam

Toplam

284

991 Аnuumlite 3638632 denar toplam faiz tutarı 5109056 denar 2 23098204 denar 3 1000618 denar 4 266467 denar 5 15300 denar 6 Borccedil 468019 denar 200000 denar oumldenmiş bor-cun kalanı 268015 denar faiz 165634 denardır 7 4585662 denar 8 9126992 denar 9 Borccedil 3673958 denar kalan borccedil 1276367 denar 10 13140881 denar 11 1877255 denar 12 46 anuumlite eşit 47 farklı 13 862025 denar 14 6 15 2 16 2 17 1770537 denar 18 a = 2016471 denar O12 = 15844971 denar ve R 8 = 14155029 denar

19 9229875a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 500000 15000 7729875 9229875 2 42270125 1268104 7961771 9229875 3 54343087 1029251 8200624 9229875 4 2610773 783232 8446643 9229875 5 17661087 529833 8700042 9229875 6 8961045 268131 8961445 9229875

Suma 411793083 5153792 500000

20 3155415a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 1000000 10000 4541531 3155415 2 95458469 954585 458696 3155415 3 90871523 908715 4632816 3155415 4 86238707 862387 4679144 3155415

21 8425364a denari

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

10 7314923 146299 2390185 8425364 11 4924738 98495 2437989 8425364 12 2486749 49735 2486749 8425364

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Devre(periyot)

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Borcun kalanı

Faiz

Faiz

Faiz

Oumldeme

Oumldeme

Oumldeme

Anuumlite

Anuumlite

Anuumlite

denar

denar

denar

Toplam

285

22 Rn ve Rn-1 kalanlarıyla sistem oluşturunuz Oradan n = 5 a = 4866612 denar ve borccedil Z = 216653 denar 23 14 devre yani 35 yıl 24 a = 16000 denar ve borccedil ĊZ = 200000 denar 25 a =16000 denar borccedil Z = 200000 denar son anuumlite a1 = 14432 denar

26 a = 30000 denar

Period Ostatok od zaemot

Kamata Otplata Anuitet

1 120000 4800 25200 30000 2 94800 3792 26208 30000 3 68592 274368 2725632 30000

4 4133568 165343 2834657 30000 5 1289911 51596 1289911 1341507

Devre(periyot) Borcun kalanı Faiz Oumldeme Anuumlite

27 p1 = 4 a = 4000 i1 = 3000 b1 = 3750 a1 = 598727 28 p1 = 15 p = 4

a = 272879 b1 = 2200 i1 = 800 29 p = 4 p1 = 30 a = 30000 Z = 100000

30 p1 = 75 a = 7500 i1 = 2000b1 = 5500 31 a = 1237222 32 Z = 500000

33 Z = 300000 a = 1396506 34 2n = 23 a1 = 5123502

286

287

Yararlanılan Kaynaklar

1 Arnold Glen Essentials of Corporate Financial Management Harlow UK 2007

2 BerkJ and De MarzoP Corporate Finance Harlow UK 2009

3 Fabozzi J Frank Franco Moodigliani Michael G Ferri Foundation of financial markets and institutions 2nd ed 2000

4 Gitman Principles of Managerial Finance Addison - Wesley 2007

5 Gitman Principles of Managerial Finance 12th edn Pearson 2009

6 Mishkin Eakins Financial Markets and Institutions Pearson 2007

7 Sam Y Cross Th e Foreign Exchage Market Federeal Reserve Bank of New York 1998

8 S G Kellison Th e theory of interest Georgia State University Irwin 1991

9 Teresa Bradley Paul Patton Essential Mathematics for Economics and Business John Wiley amp Sons 2nd Edition 2002

10 B Попов Математика за IV клас за стручните училишта Просветно дело Скопје 1977

11 В Враниќ Основи финансијске и актуарске математике Загреб 1964

12 Г Тренчевски Елементарна алгебра Просветно дело Скопје 2001

13 Д Јанев З Коловски Г Вилбиловска М Стојановски Математика за економисти збирка задачи Савремена администрација Београд 1991

14 Е Стипаниќ Математика за III и IV разред гимназије друштвено -језичног смера Завод за издавање уџбеника Народне Републике Србије Београд 1962

15 З Ивановски А Станковска Девизна политика Европски универзи-тет2007

16 К Сориќ Збирка задатака из математике с примјеном у економији Елемент Загреб 2005

17 К Тренчевски В Крстеска Г Тренчевски С Здравеска Математичка анализа за четврта година на реформираното гимназиско образование Просветно дело 2003

18 М Ивовиќ Финансијска математика Економски факултет Веоград 2003

19 Н Давидовиќ Основи на математиката за економисти Култура Скопје 1975

20 Р Раљевиќ Финансијска и актуарска математика Савремена администрација Београд 1975

288

YazarlarKostadinТrenccedilevski

Аneta Gatsovska Naditsa İvanovska

Bilgisayar İşlemleriYazarlar

RedaksiyonD-r Aktan Ago

LektoumlrBedri Nuredin

Tuumlrkccedileye CcedilevirenAbduumllgani AliĊ

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages All Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (ColorMatch RGB) CalCMYKProfile (Coated FOGRA39 050ISO 12647-22004051) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Warning CompatibilityLevel 13 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends false DetectCurves 00000 ColorConversionStrategy CMYK DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedOpenType false ParseICCProfilesInComments true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams true MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveDICMYKValues true PreserveEPSInfo true PreserveFlatness false PreserveHalftoneInfo true PreserveOPIComments false PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Remove UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true Arial-Black Arial-BlackItalic Arial-BoldItalicMT Arial-BoldMT Arial-ItalicMT ArialMT ArialNarrow ArialNarrow-Bold ArialNarrow-BoldItalic ArialNarrow-Italic ArialUnicodeMS CenturyGothic CenturyGothic-Bold CenturyGothic-BoldItalic CenturyGothic-Italic CourierNewPS-BoldItalicMT CourierNewPS-BoldMT CourierNewPS-ItalicMT CourierNewPSMT Georgia Georgia-Bold Georgia-BoldItalic Georgia-Italic Impact LucidaConsole Tahoma Tahoma-Bold TimesNewRomanMT-ExtraBold TimesNewRomanPS-BoldItalicMT TimesNewRomanPS-BoldMT TimesNewRomanPS-ItalicMT TimesNewRomanPSMT Trebuchet-BoldItalic TrebuchetMS TrebuchetMS-Bold TrebuchetMS-Italic Verdana Verdana-Bold Verdana-BoldItalic Verdana-Italic ] AntiAliasColorImages false CropColorImages false ColorImageMinResolution 150 ColorImageMinResolutionPolicy OK DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageMinDownsampleDepth 1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages false ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 076 HSamples [2 1 1 2] VSamples [2 1 1 2] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt AntiAliasGrayImages false CropGrayImages false GrayImageMinResolution 150 GrayImageMinResolutionPolicy OK DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageMinDownsampleDepth 2 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages false GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 076 HSamples [2 1 1 2] VSamples [2 1 1 2] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 15 gtgt AntiAliasMonoImages false CropMonoImages false MonoImageMinResolution 1200 MonoImageMinResolutionPolicy OK DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages false MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects true CheckCompliance [ None ] PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) PDFXOutputConditionIdentifier (CGATS TR 001) PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName (httpwwwcolororg) PDFXTrapped False CreateJDFFile false Description ltlt CHS ltFEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002gt CHT ltFEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002gt DAN 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 DEU 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 ESP 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 FRA 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 ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 50 e versioni successive) JPN 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 KOR ltFEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002egt NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 50 en hoger) NOR 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 PTB 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 SUO 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 SVE ltFEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d00200070006100730073006100720020006600f60072002000740069006c006c006600f60072006c00690074006c006900670020007600690073006e0069006e00670020006f006300680020007500740073006b007200690066007400650072002000610076002000610066006600e4007200730064006f006b0075006d0065006e0074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002egt ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 50 and later) gtgt Namespace [ (Adobe) (Common) (10) ] OtherNamespaces [ ltlt AsReaderSpreads false CropImagesToFrames true ErrorControl WarnAndContinue FlattenerIgnoreSpreadOverrides false IncludeGuidesGrids false IncludeNonPrinting false IncludeSlug false Namespace [ (Adobe) (InDesign) (40) ] OmitPlacedBitmaps false OmitPlacedEPS false OmitPlacedPDF false SimulateOverprint Legacy gtgt ltlt AllowImageBreaks true AllowTableBreaks true ExpandPage false HonorBaseURL true HonorRolloverEffect false IgnoreHTMLPageBreaks false IncludeHeaderFooter false MarginOffset [ 0 0 0 0 ] MetadataAuthor () MetadataKeywords () MetadataSubject () MetadataTitle () MetricPageSize [ 0 0 ] MetricUnit inch MobileCompatible 0 Namespace [ (Adobe) (GoLive) (80) ] OpenZoomToHTMLFontSize false PageOrientation Portrait RemoveBackground false ShrinkContent true TreatColorsAs MainMonitorColors UseEmbeddedProfiles false UseHTMLTitleAsMetadata true gtgt ltlt AddBleedMarks false AddColorBars false AddCropMarks false AddPageInfo false AddRegMarks false BleedOffset [ 0 0 0 0 ] ConvertColors ConvertToCMYK DestinationProfileName (Coated FOGRA39 (ISO 12647-22004)) DestinationProfileSelector UseName Downsample16BitImages true FlattenerPreset ltlt ClipComplexRegions true ConvertStrokesToOutlines false ConvertTextToOutlines false GradientResolution 300 LineArtTextResolution 1200 PresetName ([High Resolution]) PresetSelector HighResolution RasterVectorBalance 1 gtgt FormElements true GenerateStructure false IncludeBookmarks false IncludeHyperlinks false IncludeInteractive false IncludeLayers false IncludeProfiles false MarksOffset 6 MarksWeight 0250000 MultimediaHandling UseObjectSettings Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (20) ] PDFXOutputIntentProfileSelector UseName PageMarksFile RomanDefault PreserveEditing true UntaggedCMYKHandling LeaveUntagged UntaggedRGBHandling UseDocumentProfile UseDocumentBleed false gtgt ]gtgt setdistillerparamsltlt HWResolution [2400 2400] PageSize [612000 792000]gtgt setpagedevice