Embed Size (px)
Citation preview
KS091206KS091206KS091206KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Independensi LinearIndependensi LinearIndependensi LinearIndependensi Linear
Basis & DimensiBasis & DimensiBasis & DimensiBasis & Dimensi
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini
mahasiswa diharapkan :
– Dapat mengetahui apakah suatu vektor
bebas linier atau tak bebas linier
Page 2Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 2
bebas linier atau tak bebas linier
– Dapat mencari basis dari suatu SPL
Independensi Linier
Basis & Dimensi
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM3
Basis & Dimensi
Page 4Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
4 Tulis di papan
Merentang = spanning
Page 5Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
5
Page 6Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
6
Kombinasi Linier (k.l): w k.l. S = {v1, v2, v3, …., vr } jika
w = k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr k1, k2, k3, …., kr terdefinisi /ada nilainya
Independensi Linier:
S = {v1, v2, v3, …., vr }
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM7
disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen
k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0
adalah solusi trivial k1, k2, k3, …., kr = 0
Independensi Linier:
S = {v1, v2, v3, …., vr }
disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen
k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0
adalah solusi trivial k1, k2, k3, …., kr = 0
Dependensi Linier:
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM8
Dependensi Linier:
S = {v1, v2, v3, …., vr }
disebut himpunan tidak-bebas linier / bergantung linier (linearly dependent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen
k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0
adalah solusi non-trivial k1, k2, k3, …., kr = 0
dan ada kj ≠ 0 (j = 1 .. r)
Diketahui : himpunan S = {v1, v2, v3, …., vr }
Ditanyakan:apakah S linearly independent atau linearly dependent?
Jawab:
1. Bentuk SPL Homogen k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0
2. Tentukan solusinya
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM9
2. Tentukan solusinya
3. Jika solusinya trivial k1, k2, k3, …., kr = 0
maka S linearly independent
4. Jika solusinya non-trivial maka S linearly dependent
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM10
Ex. 6 hal 235
Page 11Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
11
ex. 2 hal 232
Page 12Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
12
Ex. 3 hal 233
Page 13Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
13
Page 14Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
14
Ex. 4 hal 233
Page 15Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
15
Page 16Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 16
Basis:
V adalah Ruang Vektor
S = { v1, v2, v3, …, vn } di mana v1, v2, v3, …, vn ∈∈∈∈ V
maka S disebut Basis dari V jika
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM17
maka S disebut Basis dari V jika
1. S linearly independent
2. S merupakan rentang (span) dari V
Basis:
V adalah Ruang Vektor
S = { v1, v2, v3, …, vn } di mana v1, v2, v3, …, vn ∈∈∈∈ V
maka S disebut Basis dari V jika
1. S linearly independent
2. S merupakan rentang (span) dari V
RUANG-RUANG VEKTOR
UMUM18
V disebut Ruang Vektor dengan dimensi berhingga (n)
Jika tidak bisa didefinisikan himpunan S (berhingga) yang dapat menjadi basis untuk V, maka V disebut berdimensi tak-hingga
Suatu Ruang Vektor bisa mempunyai lebih dari satu basis
Page 19Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
19
Page 20Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
20
Page 21Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
bilqis21
Page 22Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
22
Basis Untuk Ruang jawab SPL(1)
Page 23Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
23
Page 24Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
24
Page 25Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
25
Page 26Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
26
27
Basis Untuk Ruang jawab SPL(2)
Contoh :
Tentukan basis dan dimensi untuk ruang jawab dari
SPL berikut :
X1 + 2X2 + 7X3 – 9X4 + 31X5 = 0
2X1 + 4X2 + 7X3 – 11X4 + 34X5 = 0
Page 28Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 28
2X1 + 4X2 + 7X3 – 11X4 + 34X5 = 0
3X1 + 6X2 + 5X3 – 11X4 + 29x5 = 0
Penyelesaian :
Matriks eselon : 1 2 7 9 31
0 0 1 1 4
0 0 0 0 0
− −
Variabel tak bebas x1 dan x3
x2 = t1
x4 = t2
x5 = t3
x3 = t2 – 4t3
x = -2t + 2t – 3t
Page 29Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 29
x1 = -2t1 + 2t2 – 3t3
(x1,x2,x3,x4,x5) = (-2t1 + 2t2 – 3t3, t1, t2 – 4t3, t2, t3)
= t1(-2,1,0,0,0) + t2(2,0,1,1,0) +
t3(-3,0,-4,0,1)
• Sehingga didapatkan :
1
2
3
( 2,1,0,0,0)
(2,0,1,1,0)
( 3,0, 4,0,1)
u
u
u
= −= = − −
Basis dariRUANG JAWAB
Page 30Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 30
3 ( 3,0, 4,0,1)u = − −
Dimensi:
V adalah Ruang Vektor
S = { v1, v2, v3, …, vn } basis dari V
Dimensi dari V = n (banyaknya vektor di S)
Contoh(1):
Dari jawaban SPL soal sebelumnya :
1
2
( 2,1,0,0,0)
(2,0,1,1,0)
u
u
= −=
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 31
Dari jawaban SPL soal sebelumnya :
Dimensi dari ruang jawab tersebut = 3 (karena terdiri dari 3
vektor)
2
3
(2,0,1,1,0)
( 3,0, 4,0,1)
u
u
= = − −
• Contoh(2):
tentukan dimensi dan basis dari SPL berikut :
2X1 + 2X2 - X3 + X5 = 0
-X1 - X2 + 2X3 – 3X4 + X5 = 0
X1 + X2 - 2X3 – X5 = 0
X3 + X4 + x5 = 0
Page 32Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 32
X3 + X4 + x5 = 0
Penyelesaian :
dengan melakukan OBE dan lain-lain didapatkan
penyelesaian : X1 = - s - t, X2 = s, X3 = -t, X4 = 0, X5 =
t
• Sehingga vektor penyelesaian bisa dituliskan :
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
5
4
3
2
1
− −
−
−
+
−
=
−
−
+
−
=
−
−−
=
sehingga
ts
t
t
t
s
s
t
t
s
ts
x
x
x
x
x
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 33
2dim
______
__
1
0
1
0
1
_
0
0
0
1
1
=
−
−
=
−
=
ensi
basismerupakanmakalinierbebassalingkarena
jawabruangspanvdanu
Page 34Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
34
Page 35Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
35
Teorema Independensi Linear
Teorema 1:
a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling
tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor S lainnya.
b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada
Page 36Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada
vektor S yang dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dalam vektor S lainnya.
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 36
Teorema Independensi Linear
Teorema 2:
a. Jika semua himpunan mengandung vektor nol,
maka himpunan itu tak bebas linear.
b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua
vektor tak bebas linear jika dan hanya jika
Page 37Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
vektor tak bebas linear jika dan hanya jika
salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari
skalar lainnya.
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 37
Teorema Independensi Linear
Teorema 3:
Misalkan S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan
vektor-vektor pada Rn. Jika r>n, maka S tak
bebas linear.
Page 38Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 38
Exercises ☺
Page 39Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 39
