ii

“9-1-Milosevic-Kriterij” — 2010/6/2 — 11:22 — page 1 — #1 ii

ii

ii

List za mlade matematike, fizike, astronome in racunalnikarje

ISSN 0351-6652Letnik 9 (1981/1982)Številka 1Strani 14–15

Dragoljub M. Miloševic, prevod Peter Petek:

KRITERIJ DELJIVOSTI S 7 IN 13

Kljucne besede: matematika, aritmetika, deljivost.

Elektronska verzija: http://www.presek.si/9/9-1-Milosevic-Petek.pdf

c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenijec© 2010 DMFA – založništvo

Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote aliposameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-ljeno.

KRITERIJ DELJIVOSTI S' 7 IN 13

če h o č e m o ugotoviti, ali je neko c e l o števi lo m del j i vo s 7

a li 13 , neposredno de limo š t e vi lo m s š t e v i l om 7 a li 13. Na

pr i mer, če je m = 84 , imamo 84 : 7 = 12 ali 84 = 7.1 2 ; če pa

j e m = 7458, i mam o 7458 : 7 = 1065 i n 3 ostane a l i 7458 =

=7 . 1065 + 3 . V prvem pr imeru pravi mo, da je šte vi lo m deljivo

s šte vi lom 7 i n zapi še mo

7 184v drugem pa števil o m ni de lj i vo s 7, kar za piš emo

7 ~ 74 58Vendar zahteva preverj an je de ljivost i s šte vi l om 7 ali 13

znatno več čas i n truda , če je š t e vi l o m več števi lč no . Kri te ­

r ij de l ji vos ti z neposredn im prever janjem je res da vedno upo­

r ab e n, ni pa dovol j prakt ičen . Za t o bomo na šli ugodn e j š e ga.

Vs a ko celo š tev i lo m l ah ko e no l ič no pr edst a vi mo v ob l ik i

m = IDa + b

kj e r sta a i n b ce l i št ev i l i . Stev ilo b pomeni en ice , šte vi lo

a pa dobimo , če od m enice odrežemo. Nadalje je

m = 3( a - gb) + 7 (a + 4b )

Ke r je 7 (a + 4b ) de lji vo s 7 , je za to , da bi bi l o deljivo s

7 tu di števi lo m , potrebno i n zados tno, da j e de ljivo s 7

števi lo a - gb .

Na podoben način obdelamo delj ivost s 13. Zato zapi šemo štev i ­

l o m v tak i le ob liki

m = 13 (a - 2b ) - 3( a - gb )

i n s pe t s klepamo, da j e št e vi lo m de l j i vo s 13 če in s amo č e

j e delj i vo s 13 š tev i , a 3(a - gb), to se pravi tud i š t e v i l o

a - gb. Tak o smo pokaz ali i z r e k :

Stevilo m je delj ivo s 7 ali 13 natanko takra t , ko je delji ­vo s 7 ali 13 število, ki ga dobimo , če števi l u m od r e žemo

enice in od dobl j e ne ga štev ila odš t ejemo devet kra t no štev i ­lo e nic .

Pre izku s imo zd aj, ali je števil o 64 585 de ljivo s 7 a l i 13. Po

zg ornjem kr iteriju moramo t orej pre izk usiti al i je de lj ivo s 7

1 lj

alt 13 S t e v i l o 6458 - 9.5 = 6413. f e vedno je t a i t t e v j l a p re - veljlco za neposreden praizkus, z a t a re e n k r a t u p o r a b l a o i z r e k

I n d o b l w ~ 8 t w f l o 641 - 9.3 = 614. Pa ge e n k r g t . da dobimo 61 - 9 . 4 = 25. Zdaj pa f e vldimo. da 25 n f deljive n i t 1 s 7 n f t i s 13 f n r a t o t u d i f t e v i l o 64 585 n i d e l j f v a n f t i s 7 n i t 3 s 13. S h a m a t i t n o b i raEun z a p i s a l i t a k o l e

Naloge. 1 . P r a v e r i , kako je z d e l j i v o s t j o s 7 i n 13 tb i t e v i l o 47 5431 2. Dokafi. da i z 7 (a + 5b) s l e d i 71(10u + b f l A14 v e t j a t u d i o b r a t n o ? 3. R e z u l t a t p r e j i n j e n a t o g e o b I i k u j v k r i t e r i j rs d e l j f v o s t c e l i h S t e v i l s 7 i n t a k o p r e i r k u s i d e l j i v o s t J t e v l l a 32 578 s f t e v i l o r n 7. 4. S e s t a v j podobna p r a v i l a r a d e l j i v o s t s i t e v i l 1 11, 17. 19 In 23. 5. S t e v f l u 7A 546 i z b e r i i t e v i l o A tako. da bo d e l j f v o r 191