Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
KOORDINAT
Disusun Oleh :
NAMA : 1. Silvia Hazlita (06122502005)
2. Trimuhtiharyani (06122502006)
3. Nuraisyah (06122502015)
Dosen Pengasuh : 1. Dr. Yusuf Hartono, M.Sc
2. Dr. Nila Kesumawati, M.Si
PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2O12 - 2013
BAB 2
KOORDINAT
2.1 GARIS DAN LINGKARAN
Tentu kalian sering melihat bnda-benda yang berbentuk lingkaran. Uang
logam dan pizza adalah beberapa contoh bentuk lingkaran. Dalam bidang
transportasi, bentuk lingkaran ternyata sangat bermanfaat untuk menjalankan
kendaraan. Coba kalian perhatikan bentuk ban mobil. Bentuk ban mobil adalah
lingkaran.
Lalu, apa lingkaran itu? Lingkaran adalah sekumpulan titik-titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama disebut jari-jari
sedangkan titik tertentu dinamakan pusat lingkaran. Pada bab ini kita akan
membahas tentang garis dan lingkaran seperti posisi dua lingkaran, posisi garis
terhadap lingkaran dan perpotongan garis dan lingkaran.
Sebelumnya kita akan mengulas kembali kemiringan untuk menentukan
persamaaan garis, persamaan lingkaran dan pengetahuan dasar yang banyak
digunakan adalah rumus jarak antara dua titik. Bentuk-bentuk geometri seperti
lingkaran digambarkan dengan menggunakan sistem koordinat cartes. Mari kita
ingat kembali koordinat cartes. Kita membayangkan sepasang garis tegak lurus
yaitu sumbu x dan sumbu y yang saling berpotongan di titik O disebut titik asal .
kita asumsikan bahwa arah positif pada sumbu x adalah ke kanan dan arah positif
pada sumbu y-adalah atas.
2.1.1 Garis dan
Persamaan Garis
Garis adalah himpunan titik-titik yang tak kosong dan mengandung paling
sedikit dua titik.
Berdasarkan gambar diatas terlihat ada dua ruas garis yang sama:
AB, naik garis dan menembus
A’B’, naik garis dan menembus
Sudut α sama karena AC dan A’C’ adalah sejajar
Sudut β sama karena BC dan B’C’ adalah sejajar
Sudut C dan C’ keduanya sudut kanan
Dengan demikian segitiga ABC dan segitiga A’B’C’ sama. Sehingga,
Kemiringannya konstan
Kemiringan dapat ditentukan dengan membandingkan perubahan jarak tegak
(nilai y) terhadap perubahan jarak mendatar (nilai x).
Misal dibuat garis miring yang melintasi sumbu y di titik Q dimana y=c adalah a.
Jika P=(x,y) dititik lain. Maka kenaikan dari titik Q ke titik P adalah y-c. Yang
mendatar adalah x (Gambar 3).
Kemiringan = a =
ax = y - c
persamaan ini dinamakan Persamaan Garis.
2.1.2 Jarak
Misalkan P1 = (x1,y1) dan P2 = (x2,y2) adalah dua titik R2.
Maka koordinatnya adalah segitiga siku-siku. Sehingga adalah panjang sisi
miringnya.
y=ax+c
Berdasarkan Teorema Phytagoras:
2.1.3 Persamaan Lingkaran
Rumus jarak mengarah langsung ke persamaan lingkaran, sebagai
berikut.
Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan pusat di titik O(0,0) dan jari-
jari r. Titik P adalah sebuah titik pada lingkaran.
Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan persamaan = r.
Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan pusat pada titik
P = (a, b). Titik Q(x,y) adalah sebuah titik pada lingkaran.( Gambar 6).
Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan persamaan = r.
*
Sehingga persamaan (*) dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b)
dengan jari-jari r.
Lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r mempunyai persamaan
. Persamaan tersebut dapat kita nyatakan dengan:
Disederhanakan menjadi Persamaan Umum Lingkaran
Misalkan dua titik P1 = (a1,b1) dan P2=(a2,b2). Selanjutnya titik P=(x,y)
merupakan jarak yang sama dari P1 dan P2 jika , sehingga
persamaannya.
Akan menghasilkan Persamaan Linear,
2.1.4 Perpotongan Garis dan Lingkaran
Garis dan lingkaran di definisikan dengan persamaan. Kita merinci secara
aljabar kesetaraan garis lurus dan batas operasi:
Menggambar garis yang melewati titik-titik sesuai dengan persamaan garis
melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2). Kemiringan antara dua titik adalah harus
sama dengan antara titik (x,y) dan titik (x1,y1) sehingga persamaannya
Menggambar sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari yang diberikan sesuai
dengan mencari persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r.
Menemukan titik baru sebagai perpotongan gambar garis sebelumnya dan
lingkaran sesuai untuk menemukan titik solusi dari:
Sepasang persamaan garis
Sepasang persamaaan lingkaran
Persamaan garis dan persamaan lingkaran
2.1.5 Posisi Dua Lingkaran
Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran diperlihatkan pada gambar
2.6 dibawah:
Pada gambar 2.6 (a), lingkaran L1 dan L2 berpotongan di dua titik yang
berlainan.
Pada gambar 2.6 (b) i, lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di dalam. 2.6 (b)
ii lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di luar
Pada gambar 2.6 (c) ), lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan maupun
bersinggungan
Sebagai contoh, menentukan perpotongan dua lingkaran
...............(1)
...............(2)
Dengan mengurangkan pers.(2) dengan pers.(1) sehingga di dapat persamaan
linear:
2.1.6 Posisi Garis terhadap Lingkaran
Dari tinjauan geometri bidang, posisi atau kedudukan garis g terhadap
lingkaran L ada 3 macam:
Pada gambar 2.6 a, garis g memotong lingkaran di dua titik yang
berlainan yaitu titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) (D > 0)
Pada gambar 2.6 b, garis g memotong lingkaran di satu titik atau dikatakan
garis g menyinggung lingkaran di titik A(x1,y1) (D = 0)
Pada gambar 2.6 c, garis g tidak memotong maupun menyinggung
lingkaran
(D<0)
Perpotongan Garis Dan Lingkaran
Persamaan garis : y = mx + n ........................................(1)
Persamaan lingkaran : x 2+ y
2 = r
2 ........................................(2)
Subtitusikan pers.(1) ke pers.(2), diperoleh
Diperoleh diskriminan D =
Sehingga ada 3 kemungkinan garis dan lingkaran seperti diatas.
Kuasa suatu titik terhadap suatu lingkaran
Misal titik dan berada di luar lingkaran, kuasanya:
TP = pusat lingkaran
r = jari-jari lingkaran
K = kuasa titik
Jika K>0 maka T di luar lingkaran
K=0 maka T pada lingkaran
K<0 maka T di dalam lingkaran
Contoh Soal:
Diketahui persamaan x2 + y
2 = 9 dan titik P (5,1)
Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x2 + y
2 = 9 adalah :
K = 25 + 1 – 9 = 17
K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran
Menurut definisi (2) K = PQ2
Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17
Garis kuasa
Adalah tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya terhadap dua lingkaran adalah
sama.
Misal,
Maka garis kuasa ke dua lingkaran tersebut:
Titik Kuasa
Adalah suatu titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap beberapa lingkaran.
Misal,
Persamaan titik kuasa:
Contoh Soal
1. Diberikan titik misal P(x,y) adalah titik pada garis
yang melalui P1 dan P2, dengan persamaan kemiringan tunjukkan bahwa x dan
y memenuhi persamaan.
2. Mempertimbangkan segitiga, kita ambil titik O = (0,0), titik P =
( dan titik Q = ( , tunjukkan bahwa
Selanjutnya tunjukkan bahwa
3. Temukan perpotongan lingkaran dan
4. Periksa jawaban latihan no 2 dengan sketsa dua lingkaran
Pembahasan:
1. Titik dan P(x,y) melalui titik P1 dan P2.
Misal a = dan b =
Karenasegitiga kemiringannya konstan maka,
(terbukti)
2. O = (0,0), titik P = ( dan titik Q = ( ,
=
= +
= +
= 2
=
Sehingga,
(terbukti)
3.
L2
=0
L2
Subtitusi ke =0, diperoleh:
=0
Nilai diskriminan persamaan kuadrat adalah:
D = (-4)2- 4(5)(0)
D = 16> 0
Karena D > 0 maka lingkaran L1 dan L2 berpotongan di dua titik yang berlainan.
Dari , diperoleh:
Subtitusi ke y = -2y + 1
Untuk , diperoleh y = - 2(0) + 1 = 1
Untuk , diperoleh y = - 2( ) + 1 = -
Jadi koordinat titik potongnya adalah (1,0) dan (
4.
2.2. ISOMETRI
Bentuk fungsi sederhana dari transformasi bidang adalah ,
dengan kata lain fungsi transformasi bidang adalah sebuah fungsi yang
mengirimkan atau memindahkan satu titik ke titik yang lain. Titik yang
dipindahkannya juga sebanyak dua buah titik. Misalnya titik asalnya adalah
maka setelah dipindahkan titiknya akan menjadi .
Sebuah transformasi disebut isometri jika dia memindahkan dua buah
titik, ke titik dengan jarak yang sama dengan jarak yang
memisahkan . Dengan demikian, isometri adalah suatu fungsi dengan
bentuk:
, untuk setiap titik .
Isometri bersifat kaku karena pemetaannya mempertahankan jarak antara
titik seperti asalnya. Isometri bidang bermacam-macam, tapi isometri bisa dibagi
ke dalam beberapa tipe yang sederhana dan jelas. Di dalam makalah ini akan
dibahas lebih lanjut mengenai Translasi(pergeseran) dan Rotasi(perputaran) yang
merupakan isometri.
Translasi dan Rotasi memungkinkan terjadinya sebuah isometri dengan
memindahkan titik asal ke titik yang ada di sebuah bidang dan sumbu ke garis
mana saja. Dengan demikian benar-benar seperti bidang Euclid, dalam arti
bahwa masing-masing titik seperti titik yang lain dan masing-masing garis seperti
garis yang lain. Hal ini berarti selain menggunakan sumbu x dan y sebagai sumbu
acuan, kita juga bisa menggunakan sumbu-sumbu lain yang memungkinkan untuk
memindahkan titik asal ke sebuah titik baru.
2.2.1 Translasi.
Translasi (pergeseran) adalah suatu bentuk transformasi yang
memindahkan titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. Masing-masing
translasi tergantung kepada konstanta a dan b sebagai acuannya, jadi translasi itu
kita tunjukkan dengan .
Translasi memungkinkan kita menggeser masing-masing titik ke
titik . Hal ini menjelaskan bahwa translasi menjaga atau
mengawetkan jarak antar titik. Pembuktian bahwa translasi bisa menjaga atau
mengawetkan jarak antar titik adalah sebagai berikut.
Misal:
Ambil dua buah titik Kedua titik tersebut
ditranslasikan terhadap , maka titik translasi yang diperoleh adalah
Karena kita ingin membuktikan bahwa jarak kedua titik setelah
ditranslasikan sama dengan jarak titik sebelum ditranslasikan maka sebuah
translasi bisa dikatakan mengawetkan jarak jika ,
untuk setiap titik .
Untuk mencari jarak antara kita bisa menggunakan sifat
phythagoras yaitu .
y
= ( , )
( , ) =
O x
jarak sisi alas
jarak sisi tegak
Maka,
Dengan cara yang sama kita juga bisa mencari jarak titik yang sudah
ditranslasikan tadi.
,
Jadi terbukti bahwa jarak antara titik asal dan jara titik yang sudah
ditranslasikan adalah sama. Sehingga translasi memang benar mengawetkan
jarak.
Untuk menemukan titik translasi, kita bisa menggunakan cara di bawah ini:
Jika titik ditranslasikan dengan diperoleh sebagai
berikut:
Jika titik ditranslasikan dengan dilanjutkan dengan
maka akan diperoleh sebagai berikut:
2.2.2 Rotasi
Rotasi (perputaran) merupakan transformasi yang memutar suatu bidang.
Rotasi terdiri dari 2 macam yaitu rotasi yang melawan arah jarum jam (counter-
clockwise) dan rotasi searah jarum jam (clockwise).
Jika sumbu-sumbu koordinat yang baru diperoleh dari rotasi terhadap
sumbu-sumbu koordinat yang lama dengan sudut rotasi θ, maka dapat dinyatakan
sebagai berikut:
Untuk rotasi yang searah dengan jarum jam.
, atau
Untuk rotasi yang berlawanan arah dengan arah jarum jam
, atau
Ciri khas suatu matrik rotasi adalah determinannya = 1, jadi dengan
determinan 1 maka rotasi bisa mengawetkan jarak.
Bukti bahwa mengawetkan jarak adalah sebagai berikut:
Untuk rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.
Misal:
Ambil dua buah titik maka titik setelah
dirotasikan berlawanan dengan arah jarum jam adalah:
dan
.
Karena kita ingin membuktikan bahwa jarak kedua titik setelah dirotasikan
berlawanan arah dengan arah jarum jam sama dengan jarak titik sebelum
dirotasikan maka sebuah rotasi bisa dikatakan mengawetkan jarak jika
, untuk setiap titik .
Karena , maka:
, jadi terbukti bahwa jarak sesudah dirotasi
berlawanan arah dengan arah jarum jam sama dengan jarak titik asalnya.
Untuk rotasi yang searah dengan arah jarum jam.
Misal,
Ambil dua buah titik maka titik setelah
dirotasikan searah dengan arah jarum jam adalah:
dan
.
Karena kita ingin membuktikan bahwa jarak kedua titik setelah dirotasikan
searah dengan arah jarum jam sama dengan jarak titik sebelum dirotasikan maka
sebuah rotasi bisa dikatakan mengawetkan jarak jika
, untuk setiap titik .
Karena , maka:
, jadi terbukti bahwa jarak sesudah dirotasi searah
dengan jarum jam sama dengan jarak titik asalnya.
Untuk menemukan titik rotasi, kita bisa menggunakan cara di bawah ini:
a. Untuk rotasi yang berlawanan arah dengan arah jarum jam
Jika titik dirotasikan sebesar α dengan titik pusat , maka
akan diperoleh.
Jika titik dirotasikan sebesar α dengan titik pusat , maka
akan diperoleh.
b. Untuk rotasi yang searah dengan arah jarum jam
Jika titik dirotasikan sebesar α dengan titik pusat , maka
akan diperoleh.
Jika titik dirotasikan sebesar α dengan titik pusat , maka
akan diperoleh.
2. 3. REFLEKSI (PENCERMINAN)
Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan
bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula
jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin?
Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan
megetahui pengertian dan sifat dari pencerminan itu. Pencerminan adalah isometri
apabila memenuhi pengertian atau syarat dari isometri itu sendiri seperti yang
telah dibahas mengenai isometri.
Pada pencerminan banyak persamaan transformasinya. Persamaan tersebut
berbeda-beda tergantung akan direfleksikan terhadap apa, misalnya yang akan
dibahas ini adalah pencerminan terhadap sumbu x. Selain itu akan dibahas juga
tentang glide reflections (proses pencerminan) dan teorema pencerminan.
2.3.1. Pengertian Refleksi
Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada
bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak
dipindahkan itu. Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan
setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu. Garis tertentu itu
dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri. Jika suatu bangun geometri
dicerminkan terhadap garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan
bangun semula.
2.3.2. Sifat-sifat Refleksi
Tiga sifat utama refleksi adalah:
- Jarak titik ke cermin sama dengan jarak titik bayangannya ke cermin.
- Suatu bangun yang direfleksikan akan kongruen dengan bayangannya.
- Sudut-sudut yang dihasilkan oleh cermin dengan garis penghubung setiap titik
ke bayangannya adalah sudut siku-siku.
Refleksi adalah isometri apabila jarak antara sama
dengan atau
Sebagai contoh kita ambil pencerminan terhadap sumbu x.
sehingga persamaan
pencerminan terhadap sumbu x adalah
Misalkan titik A(4,3) dan titik B(10,-2)
dicerminkan terhadap sumbu x maka
bayangannya adalah .
Pencerminan itu adalah isometri dengan mencari jaraknya:
= = =
= = =
Jadi =
2.3.4. Reflections (Pencerminan)
Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan, bahwa pencerminan yang
akan dibahas adalah pencerminan di sumbu x, yang mencerminkan titik P(x,y)
menjadi P(x,-y). Kita dapat mencerminkan bidang dari setiap garis dan kita dapat
melakukan ini dengan menggabungkan refleksi di sumbu x dengan translasi dan
rotasi. Sebagai contoh, refleksi di garis y = 1 (yang sejajar dengan sumbu x)
adalah hasil dari setelah tiga isometri yaitu:
,sebuah translasi yang bergerak dari garis y = 1 ke sumbu x,
Refleksi di sumbu x,
, bergerak ke sumbu x dan kembali ke garis y = 1.
X
Y
y = -1
0
2.3.5. Glide Reflections (Peluncuran / Proses Pencerminan)
Proses pencerminan adalah hasil dari sebuah pencerminan diikuti dengan
translasi dalam arah garis refleksi. Sebagai contoh, jika kita merefleksikan pada
sumbu x, dari (x,y) menjadi (x,-y) dan mengikuti dengan translasi dengan
panjang 1 dalam arah x, maka (x,y) akan menjadi (x + 1, -y).
Peluncuran refleksi dengan panjang translasi nol akan berbeda dari tiga
jenis isometri sebelumnya.
Bukan sebuah translasi, karena translasi memetakan dari setiap garis dalam
arah translasi ke dirinya sendiri, sedangkan peta dari peluncuran refleksi hanya
satu garis ke dalam dirinya (yaitu garis refleksi).
Bukan sebuah rotasi, karena sebuah rotasi memiliki titik tetap sedangkan
peluncuran refleksi tidak memiliki titik tetap.
Bukan sebuah refleksi, karena refleksi juga memiliki titik tetap (semua titik
pada garis refleksi).
Latihan Soal
1. Diketahui titik A(3,5) dan B(-4,2) , periksa apakah jika direfleksikan terhadap
sumbu x merupakan isometri?
2. Garis y = ½ direfleksikan terhadap sumbu x, tunjukkan bahwa itu
menghasilkan isometri dari titik (x,y) menjadi (x,y+1) sehingga memiliki
translasi . (latihan 3.6.2. dalam buku John Stillwell halaman 61)
3. Dari latihan nomor 2, untuk menunjukkan kombinasi dari refleksi dalam garis
yang sejajar, jarak d/2 terpisah, adalah sebuah translasi melalui jarak d dalam
arah tegak lurus terhadap garis refleksi. Tunjukkan hal tersebut melalui
gambar. (latihan 3.6.3. dalam buku John Stillwell halaman 61)
4. Tunjukkan melalui gambar yang cocok bahwa kombinasi dari refleksi di garis
yang bertemu di sudut adalah rotasi melalui sudut .
(latihan 3.6.4. dalam buku John Stillwell halaman 61)
Penyelesaian:
1. Diketahui titik A(3,5) dan B(-4,2) direfleksikan terhadap sumbu x, maka
bayangan dari titik tersebut adalah .
Pencerminan itu adalah isometri dengan mencari jaraknya:
= = =
= = =
Jadi =
2. Misalkan titik P(x,y) terletak pada garis y = ½ direfleksikan terhadap sumbu x,
dengan translasi menghasilkan isometri dari titik (x,y) menjadi (x,y+1).
Jelas bahwa translasi pada titik (x,y) menghasilkan bayangan (x+0, y+1)
yaitu (x,y+1).
3.
Kombinasi dari refleksi dalam garis yang sejajar, jarak d/2 terpisah, adalah
sebuah translasi melalui jarak d dalam arah tegak lurus terhadap garis refleksi.
4. Kombinasi dari refleksi di garis yang bertemu di sudut adalah rotasi
melalui sudut . Kita ambil refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling
tegak lurus. Refleksi berurutan terhadap dua sumbu refleksi yang saling tegak
lurus sama dengan rotasi sejauh setengah putaran ( ) terhadap titik potong
kedua sumbu.
Y
X
P(x,y)
),(' yxP
),('' yxP
O
(gambar a) (gambar b)
Pada gambar a titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka didapat
bayangan . Setelah iti titik dicerminkan kembali
terhadap sumbu y, maka didapat bayangan .
y = 1/2
X
Y
y = -1/2
0
d/2
d/2
d
Y
X
P(x,y)
),(' yxP ),('' yxP
O
Pada gambar b titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y, maka didapat
bayangan . Setelah iti titik dicerminkan kembali
terhadap sumbu x, maka didapat bayangan .
2.3.6. The Three Reflections Theorem (Tiga Teorema Refleksi)
Pada materi sebelumnya yang berjarak sama dari dua titik A dan titik B
membentuk garis, yang menunjukkan bahwa isometri tersebut sangat sederhana.
Sebuah isometri f dari ditentukan oleh gambar f(A), f(B), f(C) dari tiga titik A,
B, C yang tidak segaris.
Tiga buktinya yaitu:
Titik P di ditentukan oleh jarak dari A, B, C. Karena jika Q adalah titik lain
dengan jarak yang sama dari A, B, C pada P, maka A, B, C terletak pada garis
yang berjarak sama dari P dan Q, bertentangan dengan asumsi bahwa A, B, C
tidak berada dalam garis.
Isometri f mempertahankan jarak (dari definisi isometri), sehingga f(P) terletak
pada jarak yang sama dari masing-masing f(A), f(B), f(C), P dari A, B, C.
Hanya ada satu titik memberi jarak tertentu dari f(A), f(B), f(C) karena tiga titik
tersebut tidak dalam satu garis, ketiga titik tersebut membentuk segitiga
kongruen dengan segitiga ABC, karena f mempertahankan jarak (isometri).
Bukti diberikan lebih jelas pada contoh yang ditunjukkan gambar berikut:
Diketahui titik A(2,1), B(5,3) dan C(3,4). Gambarkan masing-masing titik
tersebut terhadap sumbu x dan sumbu y.
Jawab:
Bayangan titik-titik A(2,1), B(5,3) dan C(3,4) jika dicerminkan terhadap sumbu x
adalah .
Bayangan titik-titik A(2,1), B(5,3) dan C(3,4) jika dicerminkan terhadap sumbu y
adalah .
Latihan Soal
Diberikan tiga titik A, B, C dan titik f(A), f(B), f(C) yang diberikan oleh isometri f,
itu kemungkinan untuk menemukan tiga refleksi yang bergabung dari f dengan
mengikuti langkah-langkahnya. Namun , jika hanya ingin mengetahui jenis
isometri f apakah translasi, rotasi atau peluncuran refleksi, maka jawabannya
sangat sederhana. Untuk menemukan hal tersebut, kita dapat mengambil tiga titik
awal yaitu A(0,1), B(0,0), dan C(1,0). Itu akan dapat membantu untuk membuat
sketsa tiga titik f(A), f(B), f(C), seperti pada latihan berikut.
Misalkan f(A) = (1,4;2), f(B) = (1,4;1), f(C) = (2,4;1). Apakah f adalah translasi,
atau rotasi? Bagaimana bisa mengetahui bahwa f bukanlah suatu peluncuran
refleksi? (latihan 3.7.1. dalam buku John Stillwell halaman 63)
Penyelesaian:
Y
X0
C(3,4)
B(5,3)
A(2,1)
)1,2(' A
)3,5(' B
)4,3(' C
)1,2('' A
)3,5('' B
)4,3('' C
Diketahui titik A(0,1), B(0,0), C(1,0) dan f(A) = (1,4;2), f(B) = (1,4;1), f(C) =
(2,4;1). Dari titik tersebut lebih terlihat jelas pada gambar bahwa itu merupakan
translasi. Dimana pada titik A(0,1) dan f(A) = (1,4;2) terlihat bahwa itu translasi
dengan . Karena f(A) = (1,4;2) = (0+1,4 ; 1+1).
Pada titik B(0,0) dan f(B) = (1,4;1) terlihat bahwa itu translasi dengan .
Karena f(B) = (1,4;1) = (0+1,4 ; 0+1).
Pada titik C(1,0) dan f(C) = (2,4;1) terlihat bahwa itu translasi dengan .
Karena f(C) = (2,4;1) = (1+1,4 ; 0+1).
1
1 2
f(A) = (1,4;2)
f(B) = (1,4;1) f(C) = (2,4;1)
A(0,1)
B(0,0) C(1,0)
0
Jadi untuk titik A(0,1), B(0,0), C(1,0) dan f(A) = (1,4;2), f(B) = (1,4;1), f(C) =
(2,4;1) diperoleh suatu persamaan translasi .
Atau dengan kata lain jika titik ditranslasikan dengan , diperoleh
sebagai berikut .
