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Kontexte aus den
Wirtschaftswissenschaften
bei der Zentralmatura AHS
Bundesseminar Amstetten: 24. Februar 2015
Christian Dorner & Stefan Götz
Fakultät für Mathematik
http://de.disney.wikia.com/wiki/Datei:Dagobert-duck.jpg
https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_ma_konzept_2013-03-11.pdf
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 2 Kleine Zeitung online vom 18.12.2014
Was sind Typ-2-Aufgaben?
Typ-2-Aufgaben sind Aufgaben zur Anwendung und
Vernetzung der Grundkompetenzen in definierten Kontexten
und Anwendungsbereichen. Dabei handelt es sich um
umfangreichere kontextbezogene oder auch
innermathematische Aufgabenstellungen, im Rahmen derer
unterschiedliche Fragestellungen bearbeitet werden müssen
und bei deren Lösung operativen Fertigkeiten gegebenenfalls
größere Bedeutung zukommt. Eine selbstständige
Anwendung von Wissen und Fertigkeiten ist erforderlich.
(Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 23, Hervorhebungen C. D. & S. G.)
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 3
Kontexte bei Typ-2-Aufgaben
Finanzmathematische Grundlagen:
• Zinseszinsrechnung: 𝐾𝑛 = 𝐾0 ∙ 1 + 𝑖 𝑛 mit 𝑖 =𝑝
100
• Kosten-Preis-Theorie:
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 4
(Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 21 f.)
„Die nachfolgend angeführten Kontexte können jedenfalls ohne detaillierte
Erklärung bei der standardisierten Reifeprüfung vorkommen.“ (Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik, S. 19, Hervorhebungen C. D. & S. G.)
Erlös(-funktion) Grenzerlös
Kosten(-funktion) Grenzkosten
Gewinn(-funktion) Grenzgewinn
Nachfragepreis(-funktion) Break-even-Point
Kosten-Preis-Theorie
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 5
• Erlös- oder Ertragsfunktion … in der Form einer linearen Darstellung:
𝐸 = 𝑝 ∙ 𝑥 mit 𝑝 … Preis pro Stück und 𝑥 … Menge der verkauften Ware
• Kostenfunktion … in Form einer proportionalen, degressiven,
progressiven, regressiven und fixen Darstellung:
𝐾 𝑥 = 𝐾𝑓 + 𝐾𝑣(𝑥),
wobei 𝐾𝑓 die Fixkosten und 𝐾𝑣 die variablen Kosten sind
• Gewinn(-funktion) … als Erlös – Kosten
𝐺 = 𝐸 − 𝐾
• Nachfragepreis(-funktion) … lineare Funktion
𝑝 = 𝑝(𝑥) oder 𝑥 = 𝑥(𝑝)
Erlösfunktion oder Ertragsfunktion
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 6
Achtung: p = p(x) kann passieren!!!
Kostenfunktion linear
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 7
Kostenfunktionen sind immer
(streng) monoton steigend!
Kostenfunktion degressiv
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 8
Mit steigender Produktion werden die
Kosten pro Stück geringer!
Steigung wird geringer –
Krümmung ist negativ
Kostenfunktion mit Kostenkehre
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 9
Kostenkehre
Wendepunkt
Modellschularbeit Mathematik (AHS) – Dezember 2014: Aufgabe 6
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 10
Achtung: Kontexte auch bei Typ-I-Aufgaben möglich!
https://www.bifie.at/node/2744
Nachfragepreisfunktion
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 12
Geringer Preis große Nachfrage große Produktionsmenge
Hoher Preis geringe Nachfrage geringe Produktionsmenge
Nachfragepreisfunktion ist immer streng monoton fallend.
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 13
Weitere Begrifflichkeiten:
• Break-even-Point: Nullstellen der Gewinnfunktion
𝐺 = 𝐸 − 𝐾
• Grenzkosten: Es handelt sich hierbei um Kosten,
die entstehen, wenn von einem Produkt eine Einheit
mehr produziert wird. Das ist also die erste
Ableitung 𝐾′ der Kostenfunktion.
• Grenzerlös 𝐸′: analog zu den Grenzkosten 𝐾′
• Grenzgewinn 𝐺′: analog zu den Grenzkosten 𝐾′
Break-even-Point
„Die Schnittpunkte der Graphen von Kosten- und Erlösfunktion
an den Gewinngrenzen heißen Break-even-Punkte (BEP).“ (S. 69)
„Als Gewinnschwellen (BEP … Break Even Point) bezeichnet
man die Nullstellen der Gewinnfunktion G = E - K; …“ (S. 230)
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 14
Malle
Götz
Haupttermin 2013/14: Typ-2-Aufgabe „Grenzkosten“
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 15
https://www.bifie.at/node/2633
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 16
Ein Beispiel: Ein Unternehmen arbeitet mit Kosten
𝐾 𝑥 = 0,1𝑥2 + 0,1x + 2
und dem Preis-Absatz-Zusammenhang
10𝑝 + 2,8𝑥 = 32,
dabei ist 𝑥 die Absatzmenge und 𝑝 der (Stück-)Preis:
𝑥 in Mengeneinheiten ME,
𝑝 in Geldeinheiten GE
(1) Gewinn- und Verlustbereich
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 17
Ges.: die Nullstellen der Gewinnfunktion 𝐺 = 𝐸 − 𝐾, dazu:
𝐸 = 𝑝 ∙ 𝑥 =32 − 2,8𝑥
10∙ 𝑥 = 3,2𝑥 − 0,28𝑥2 = 𝐸 𝑥
ist die Erlös- oder Umsatzfunktion (nicht mehr linear!)→
𝐺(𝑥) = 3,2𝑥 − 0,28𝑥2 − 0,1𝑥2 − 0,1𝑥 − 2 = −0,38𝑥2 + 3,1𝑥 − 2:
𝐺 𝑥 = 0 ↔ 0,38𝑥2 − 3,1𝑥 + 2 = 0
𝑥1 = 0,7 und 𝑥2 = 7,45
→ Gewinnbereich 𝟎, 𝟕; 𝟕, 𝟒𝟓 ME
→ Verlustbereich ℝ\ 𝟎, 𝟕; 𝟕, 𝟒𝟓 ME
(2) Maximaler Gewinn bei welcher Absatzmenge zu
welchem Preis?
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 18
Dazu: Grenzgewinn
𝐺′ 𝑥 = −0,76𝑥 + 3,1
gleich Null setzen:
0,76𝑥 = 3,1 → 𝑥 = 𝟒, 𝟏 ME
und daraus
𝐺 4,1 = 𝟒, 𝟑𝟐 GE und 𝑝 =1
1032 − 2,8 ∙ 4,1 = 𝟐, 𝟎𝟔 GE
(3) Bedeutet maximaler Gewinn auch maximalen
Umsatz? Wie groß ist der Gewinn bei maximalem Erlös?
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 19
Grenzerlös
𝐸′ 𝑥 = 3,2 − 0,56𝑥
gleich Null setzen:
3,2 = 0,56𝑥 → 𝑥 =3,2
0,56= 𝟓, 𝟕 ME
→ NEIN!
𝐺 5,7 = 𝟑, 𝟑𝟏 GE
(4) Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Erlösfunktion?
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 20
𝒙𝟏 = 𝟎 ME: 𝑝1 = 𝑝(0) = 3,2 GE,
der sogenannte Prohibitivpreis:
Das ist der höchstmögliche
Stückpreis für dieses Gut.
Für höhere Preise besteht
keine Nachfrage mehr.
𝒙𝟐 = 𝒙(𝟎) =𝟑, 𝟐
𝟎, 𝟐𝟖= 𝟏𝟏, 𝟒𝟑 ME
bedeutet 𝑝2 = 0 GE,
das heißt 𝑥2 ist die sogenannte
Sättigungsmenge, die größtmögliche
Verkaufsmenge.
• 𝐸 𝑥 = 𝑝(𝑥) ∙ 𝑥 und
• 𝑝(𝑥) ist eine lineare Funktion von x,
𝑥 𝑝 ist die Umkehrfunktion.
Exkurs - nochmals Haupttermin 2013/14: „Grenzkosten“
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 21
Nicht im Kontextkatalog erwähnte Begriffe
müssen in der Aufgabenstellung erklärt werden!
https://www.bifie.at/node/2633
(5) Stückkostenfunktion k
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 22
𝑘 𝑥 = 0,1𝑥 + 0,1 +2
𝑥
𝑘′ 𝑥 = 0,1 −2
𝑥2
und Nullsetzen liefert
0,1=2
𝑥2 bzw. 𝑥2 = 20,
was 𝑥𝑜𝑝𝑡 = 𝟒, 𝟒𝟕 ME
zur Folge hat.
𝑘 𝑥𝑜𝑝𝑡 = 𝟎, 𝟗𝟗 GE
Die Herstellungsmenge 𝑥𝑜𝑝𝑡, bei der mit geringsten Stückkosten produziert
wird, heißt Betriebsoptimum.
Der kleinstmögliche Preis, mit dem gerade noch
kostendeckend produziert werden kann, ist dann
also 𝑘 𝑥𝑜𝑝𝑡 .
Quelle:
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 23
Götz, S. und Reichel, H-C.: Mathematik 8 von R. Müller und G. Hanisch.
Unter Mitarbeit von C. Wenzel. Mit einer online-Ergänzung von H.-S. Siller
und R. Müller. öbv, Wien 2013.
Kapitel III.3
Anwendungen von Analysis auf Fragestellungen in der Wirtschaft,
S. 229 – 232: Aufgabe 979.
Spiralprinzip
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 24
7. Klasse:
• Diskussion von Polynomfunktionen im
wirtschaftsmathematischen Kontext
• Optimierung (Extremwertaufgaben)
8. Klasse: Rekonstruktion der Kostenfunktion aus den
Grenzkosten
5. Klasse: einfache Modelle mit linearen Funktionen
Kosten-Preis-Theorie
5. Klasse: einfache Modelle mit linearen Funktionen
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 25
5. Klasse: einfache Modelle mit linearen Funktionen
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 26
8. Klasse: Rekonstruktion der Kostenfunktion
Kapitel 4
Anwendungen in der Wirtschaft,
S. 62 – 75.
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 27
Malle, G., Woschitz, H., Koth, M. u. Salzger, B.:
Mathematik verstehen 8. öbv, Wien 2012.
Spiralprinzip
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 28
8. Klasse: Dynamische Systeme (Tilgungsplan)
6. Klasse:
• geometrische Folgen und Reihen
• stetige Verzinsung
Zinseszinsrechnung
3. Klasse:
• lineare Verzinsung
• Zinseszinsen
8. Klasse: Dynamische Systeme (Tilgungsplan)
Kapitel 1.1
Differenzengleichung erster Ordnung mit einer Variablen,
S. 8 – 17: Aufgabe 40.
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 29
Götz, S. und Reichel, H-C.: Mathematik 8 von R. Müller und G. Hanisch.
Unter Mitarbeit von C. Wenzel. Mit einer online-Ergänzung von H.-S. Siller
und R. Müller. öbv, Wien 2013.
Reflexion
Kennen der einschlägigen Begriffe und ihrer (jeweiligen)
Bedeutungen
Wiedererkennen im Kontext und verständiges Anwenden
Wissen um Zusammenhänge
Interpretieren der Ergebnisse im Kontext
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 31
http://musenblaetter.de/artikel.php?aid=9128
„Die Bibel“
Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. Inhaltliche
und organisatorische Grundlagen zur Sicherung mathematischer
Grundkompetenzen. (Stand: März 2013). Projektteam: V. Aue, M.
Frebort, M. Hohenwarter, M. Liebscher, E. Sattlberger, I. Schirmer, H.-S.
Siller (Leitung), G. Vormayr, M. Weiß, E. Willau.
https://www.bifie.at/node/1442
Februar 2015 Dorner & Götz: Wirtschaftswissenschaften 32