2. KONSEP DASAR PELUANG

2.1 PendahuluanStatistika adalah ilmu pengetahuan tentang pengumpulan dan analisis data dengan tujuan untuk menarik kesimpulan/inferensia mengenai populasi. Bila data telah terkumpul, kita dapat menggunakan inferensia statistika untuk memilih di antara berbagai model alternatif yang tersedia. Proses penarikan inferensia ini sangat bergantung pada teori peluang.

Bila statistika pada hakekatnya merupakan suatu penalaran induktif (yaitu dari hal khusus/sampel yang diketahui ke hal umum/populasi yang tidak diketahui), maka teori peluang bekerja dalam arah sebaliknya, yaitu bersifat deduktif (dari hal umum/populasi yang diketahui ke hal khusus/sampel yang tidak diketahui).

Deduksi menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti: Bila populasinya diketahui, bagaimana sifat-sifat sampel yang akan ditarik dari populasi tersebut? Apakah sampelnya akan dapat mewakili populasi? Hanya bila masalah-masalah deduktif ini teratasi, maka kita dapat membalik argumentasi dan mengajukan pertanyaan: Seberapa tepatkah kita dapat mendeskripsikan suatu populasi yang tidak diketahui berdasarkan data sampel yang teramati?

Teori peluang memberi kerangka dan model-model bagi statistika. Model pada hakekatnya adalah suatu mekanisme acak dan teori peluang mempelajari model ini untuk mengetahui konsekuensinya. Model-model ini didasar kepada asumsi tertentu. Statistika memilih satu atau lebih model untuk menganalisis data/sampel yang diambil dari populasi dengan cara tertentu (acak). Bila model sesuai terhadap data, maka model dapat digunakan untuk menganalisis data. Bila model tidak sesuai, maka harus dicari model lain yang sesuai.

2.2. Ruang Contoh dan KejadianUntuk mempelajari peluang, kita membutuhkan konsep percobaan acak. Percobaan diartikan sebagai suatu tindakan yang dapat diulang-ulang di bawah kondisi tertentu. Bila percobaan yang diulang-ulang itu selalu memberi hasil (outcome) yang sama, percobaan dikatakan deterministik, bila tidak demikian maka percobaan dikatakan acak atau stokastik. Dalam kerangka ini, teori peluang digunakan untuk meramal atau memprediksi hasil suatu percobaan acak.

Perhatikan sebuah percobaan acak sederhana berupa pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Hasil yang mungkin diperoleh dari percobaan ini ialah munculnya sisi 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Percobaan ini termasuk acak karena kita tidak bisa memastikan sisi apa yang akan muncul. Dengan menggunakan konsep himpunan, suatu himpunan/gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel (sample space). Sedangkan unsur-unsur dari suatu ruang sampel disebut titik sampel.

Ruang sampel dapat dipandang sebagai himpunan semesta bagi permasalahan yang dihadapi. Ruang sampel dilambangkan dengan S. Dengan demikian, ruang sampel dari percobaan di atas ialah S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ruang kejadian adalah himpunan bagian (anak gugus) dari ruang sampel, yang memiliki karakteristik tertentu. Ada dua jenis kejadian, yaitu kejadian dasar dan kejadian majemuk. Kejadian dasar hanya terdiri dari satu unsur, sedangkan kejadian majemuk minimal terdiri dari satu unsur. Dengan demikian, suatu kejadian dasar juga merupakan kejadian majemuk. Suatu kejadian dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, ..., dan seterusnya).

Sebagai contoh, kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52 helai) kartu bridge dapat dinyatakan sebagai A = {hati} yang merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S={hati, sekop, klaver, wajik}. Jadi A adalah kejadian sederhana. Kejadian B yaitu terambilnya kartu merh merupakan kejadian majemuk, karena B = {hati wajik} = {hati, wajik}. Perhatikan bahwa gabungan atau paduan beberapa kejadian sederhana menghasilkan kejadian majemuk yang tetap menjadi himpunan bagian ruang contohnya.

Suatu kejadian mungkin saja berbentuk himpunan bagian yang meliputi seluruh ruang contoh S. demikian juga sebaliknya, suatu kejadian dapat berbentuk himpunan bagian dari S yang tidak mengandung satu pun anggota yang disebut dengan ruang nol atau himpunan kosong dan biasanya dilambangkan dengan . Sebagai contoh, bila A menyatakan kejadian menemukan suatu organisme mikroskopis dengan mata telanjang dalam suatu percobaan biologi maka A = . 2.3 Operasi Kejadian

Suatu keuntungan dari penggunaan notasi himpunan bagi kejadian adalah kita dapat melakukan operasi himpunan terhadap kejadian. Beberapa operasi himpunan yang dapat dilakukan untuk kejadian:

Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A, biasanya dinotasikan dengan lambang Ac.Contoh 2.1 Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6} Jika A = {1,3,5}, maka Ac = {2,4,6}

Irisan dua kejadian A dan B adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B, dinotasikan dengan lambang A B.Contoh: Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6} Jika A = {1,2,3} dan B = {2,4,6}, maka A B = {2}

Gabungan dua kejadian A dan B adalah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya, yang dinotasikan dengan lambang A B.Contoh 2.2 Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6} Jika A = {1,2,3} dan B = {2,4,6}, maka A B ={1,2,3,4,6}.

Kejadian A dan B dikatakan saling terpisah (mutually exclusive) bila A dan B tidak memiliki unsur persekutuan (bila A B =)Contoh 2.3 Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6} Jika A = {1,3,5} dan B = {2,4,6}, maka A dan B saling terpisah, karena A B =.

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas bila A dan B tidak saling mempengaruhi.Contoh 2.4 Pada pelemparan dua uang logam, kejadian munculnya sisi muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas

2.4 Cara Menghitung Ukuran Ruang ContohDalam menghitung peluang suatu kejadian, kita tidak perlu mendaftar unsur-unsur dari suatu kejadian dan ruang sampelnya, tetapi cukup dengan menghitung banyaknya titik sampel suatu kejadian dan ruang sampel tersebut.

Berdasarkan banyaknya unsur suatu ruang sampel, ruang sampel dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu ruang sampel diskret dan ruang sampel kontinu. Suatu ruang sampel dikatakan diskret jika banyaknya unsur dari ruang sampel tersebut berhingga atau tidak berhingga terhitung (countable). Sedangkan ruang sampel dikatakan kontinu jika ruang sampel memuat semua bilangan dalam suatu interval tertentu.

Jika ruang contoh suatu percobaan terdiri atas kejadian dasar yang diskret terhingga, ada tiga kaidah dasar cara menghitung banyaknya ukuran ruang contoh, yaitu:1. pengisian tempat yang tersediaada dua kaidah yang dapat digunakan untuk pengisian tempat yang tersedia, yaitu kaidah penggandaan dan kaidah penjumlahan. Pada kaidah penggandaan, misalnya n1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, n2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi dan nk adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-k setelah (k-1) tempat-tempat sebelumnya terisi, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah:n1.n2. ... .nkContoh 2.5Pada sebuah dealer motor tersedia 4 merk sepeda motor. Masing-masing merk menyediakan 3 jenis kapasitas silinder. Masing-masing sepeda motor dikeluarkan dengan 2 macam warna. Jika seorang pengojek hendak membeli sepeda motor baru, berapa macam pilihan yang dapat dilakukan olehnya?Pikiran pengojek sewaktu memilih merk bercabang empat, sewaktu memilih kapasitas silinder bercabang tiga dan sewaktu memilih warna bercabang dua. Jadi, pilihannya ada 4 x 3 x 2 = 24 macamKaidah penjumlahan digunakan jika dalam mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi tidak dapat dilakukan menggunakan benda-benda yang digunakan sebagai pilihan untuk mengisi tempat pertama. Jadi, misalnya n1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, n2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua dan nk adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-k, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah:n1 + n2 + ... + nk

Contoh 2.6Dari Jakarta kita dapat pergi ke Bogor menggunakan kendaraan bermotor melalui (1) Parung, (2) jalan lama Cibinong, atau (3) jalan tol Jagorawi. Dari Bogor kita dapat ke Bandung melalui (1) Sukabumi atau (2) Cianjur. Dari Jakarta kita juga dapat ke Bandung melalui (1) jalan tol Cikampek atau (2) jalan lama Bekasi lewat Purwakarta. Hanya ada satu jalan raya dari Purwakarta menuju Bandung. Ada berapa pilihan untuk pergi ke Bandung dari Jakarta?Jika melalui Bogor ada 3x2 pilihan dan jika melalui Purwakarta ada 2x1 pilihan. Jadi, banyaknya pilihan ada 3x2 + 2x1 = 8 macam

2. permutasiPemilihan benda-benda dari suatu gugus benda-benda S = {e1, e2, , en} dapat dilakukan dengan permutasi. Permutasi merupakan kejadian dimana susunan objek yang terpilih diperhatikan. Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu organisasi, dimana jika Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua. Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!

Contoh 2.7Banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata LATIH adalah 5! = 120

Banyaknya permutasi n benda berlainan jika diambil r benda sekaligus (r