Strona gwna
Strona tytuowa
Kongruencjeoraz przykady ich zastosowaAndrzej Sadek, Instytut
Matematyki Ul [email protected] Spotkanie w LO im. Powstacw
l w Bieruniu Starym
Spis treci
Strona 1 z 25
Powrt
27 padziernika 2005
Full Screen
Zamknij
Koniec
Spis treciStrona gwna
1 Wstp 2 Kongruencje 3 Cechy podzielnoci - zadanie 1 4 Tw.
chiskie o resztach - zadanie 2 5 Funkcja Eulera - zadanie 3
3 4 8 12 16 19 21 24
Strona tytuowa
Spis treci
Strona 2 z 25
6 Dwa zadania z Olimpiady MatematycznejPowrt
7 Zadania domoweFull Screen
8 LiteraturaZamknij Koniec
1.Strona gwna Strona tytuowa
Wstp
Poznamy nowe fakty matematyczne, ktre pozwol nam w atwy sposb
rozwiza ponisze zadania. Zadanie 1. W szkole uczniowie poznaj cech
podzielnoci przez 3 oraz przez 9. Znajd cech podzielnoci przez inne
liczby jak np. 7, 11, 13. Zadanie 2. Liczba kostek w bardzo duej
czekoladzie rwna jest x. Jeli podzieli czekolad na 3 czci, to
zostanie 1 kostka. Przy podziale na 5 czci zostan 3 kostki, a w
przypadku podziau na 7 czci zostan 2 kostki. Ile kostek ma
czekolada? Zadanie 3. Znajd trzy ostatnie cyfry liczby 314404 .
Spis treci
Strona 3 z 25
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
2.Strona gwna Strona tytuowa
Kongruencje
Denicja Niech n bdzie liczb naturaln oraz niech a oraz b bd
liczbami cakowitymi. Mwimy, e a przystaje do b modulo n, jeli n
dzieli a b. a b (mod n) n|(a b) istnieje l. cak.k, e a b = k n
Spis treci
Strona 4 z 25
Uwaga Dwie liczby cakowite przystaj do siebie modulo n wtedy i
tylko wtedy, gdy daj t sam reszt z dzielenia przez n. Ktre z
poniszych kongruencji s prawdziwe? 10 1 (mod 9), 5 31 (mod 7), 1
113 (mod 6), 26 44 (mod 10), 12 13 (mod 5), 23 71 (mod 11)
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
Wasnoci kongruencjiStrona gwna
1. Przystawanie modulo n jest relacj rwnowanociow, tzn. a a (mod
n), a b (mod n) b a (mod n), a b (mod n), b c (mod n) a c (mod
n).
Strona tytuowa
Spis treci
Przykadowo udowodnimy ostatni z nich (wasno
przechodnioci).Strona 5 z 25
Jeli a b (modn), b c (mod n), to a b = k n,Powrt
b c = l n.
Full Screen
Wtedy a c = (a b) + (b c) = k n + l n = (k + l) n, a to oznacza,
e a c (mod n). Udowodnij dwie pierwsze wasnoci!
Zamknij
Koniec
Strona gwna
2. Kongruencje mona stronami dodawa, odejmowa i mnoy, tzn. a b
(mod n), c d (mod n) a+c b+d (mod n), ac bd (mod n), ac bd (mod
n)
Strona tytuowa
Spis treci
Sprbujesz to udowodni?
Strona 6 z 25
W szczeglnoci, jeli a b (mod n), to dla dowolnych liczb
cakowitych a0 , ..., an mamy an an + ... + a1 a + a0 an bn + ... +
a1 b + a0 (mod n), tzn. f (a) f (b) (mod n), gdzie f (X) = an X n +
... + a1 X + a0
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
Rozwi nastpujce kongruencje:Strona gwna
3X + 2 1 (mod 5), 25X 12 (mod 7), 3X 1 (mod 6) 37X 23 (mod
73).
Strona tytuowa
Spis treci
Strona 7 z 25
Powrt
Uwaga Mona pokaza, e kongruencja aX b (mod n) ma rozwizanie
wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n)|b.
Full Screen
Zamknij
Koniec
3.Strona gwna Strona tytuowa
Cechy podzielnoci - zadanie 1
Liczb naturaln N w systemie dziesitkowym mona zapisa nastpujco:
N = (c1 c2 ...cn )10 = c1 10n1 + c2 10n2 + ... + cn1 101 + cn .
Jeli f (X) = c1 X n1 + c2 X n2 + ... + cn1 X 1 + cn , to N = f (10)
10 1 (mod 3)
Spis treci
Strona 8 z 25
N = f (10) f (1) = c1 + c2 + ... + cn1 + cn (mod 3)Powrt
tzn. 3 dzieli liczb N wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli sum jej
cyfr.Full Screen Zamknij
Czy wiesz jak udowodni cech podzielnoci przez 9 oraz przez
11?
Koniec
10 1 (mod 11) Strona gwna Strona tytuowa
N = f (10) f (1) = (1)n1 c1 + (1)n2 c2 + ... cn1 + cn (mod 11)
tzn. 11 dzieli liczb N wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli naprzemienn
sum jej cyfr. Przykad Aby sprawdzi podzielno liczby 12345678906
przez 11 obliczamy sum naprzemienn cyfr 6 0 + 9 8 + 7 6 + 5 4 + 3 2
+ 1 = 11, ktra jest podzielna przez 11. Zatem liczba 12345678906
jest podzielna przez 11.
Spis treci
Strona 9 z 25
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
Strona gwna
Cechy podzielnoci przez inne liczby s bardziej skomplikowane.
Przyjrzyjmy si cesze podzielnoci przez 7 oraz przez 13. Liczb
naturaln N = (c1 c2 ...cn )10 = c1 10n1 + c2 10n2 + ... + cn1 101 +
cn moemy zapisa w postaci N = ... + 10001 (cn5 cn4 cn3 )10 + (cn2
cn1 cn )10 .
Strona tytuowa
Spis treci
Strona 10 z 25
Zauwa, e jeliPowrt
g(X) = ... + X(cn5 cn4 cn3 )10 + (cn2 cn1 cn )10 ,Full
Screen
toZamknij
N = g(1000).
Koniec
Strona gwna
Strona tytuowa
1000 1 (mod7, 13) (bo 1001 = 7 11 13) N = g(1000) g(1) (mod 7,
13) g(1) = ... + (1)1 (cn5 cn4 cn3 )10 + (cn2 cn1 cn )10
Spis treci
Strona 11 z 25
Std 7 (tak samo 13) dzieli liczb N wtedy i tylko wtedy, gdy
dzieli naprzemienn sum liczb powstaych z podziau liczby N na trjki.
Przykad
Powrt
Full Screen
Zamknij
7 dzieli 23697678872, bo 23 + 697 678 + 872 = 868 = 7 124
Koniec
4.Strona gwna Strona tytuowa
Tw. chiskie o resztach - zadanie 2
Spis treci
Zadanie 2 Liczba kostek w bardzo duej czekoladzie rwna jest x.
Jeli podzieli czekolad na 3 czeci, to zostanie 1 kostka. Przy
podziale na 5 czci zostan 3 kostki, a w przypadku podziau na 7 czci
zostan 2 kostki. Ile kostek ma czekolada? Twierdzenie (chiskie o
resztach) Jeli n1 , . . . , nk s parami wzgldnie pierwsze oraz r1 ,
. . . , rk s liczbami cakowitymi, to istnieje liczba cakowita x
taka, e
Strona 12 z 25
x
Powrt
Full Screen
r1 (mod n1 ) x r2 (mod n2 ) ...... .................... x rk
(mod nk ) Liczba x jest wyznaczona jednoznacznie modulo n1 . . . nk
.
Zamknij
Koniec
Strona gwna
Strona tytuowa
Spis treci
Czy wiesz jak rozwiza zadanie 2?Strona 13 z 25
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
Strona gwna
Strona tytuowa
Spis treci
Naley rozwiza ukad kongruencji
Strona 14 z 25
x 1 (mod 3) x 3 (mod 5) x 2 (mod 7)
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
Strona gwna
x 1 (mod 3)
Strona tytuowa
x 3 (mod 5) x 2 (mod 7)
Spis treci
Strona 15 z 25
Powrt
Full Screen
Analizujemy pierwsz kongruencj. x 1 (mod 3) = x = 3t + 1
Wstawiamy tak obliczone x do drugiej kongruencji i wyliczamy t. 3t
+ 1 3 (mod 5) = 3t 2 (mod 5) = t 4 (mod 5) = t = 5u + 4 Zatem x =
3(5u + 4) + 1 = 15u + 13. Wstawiamy to do trzeciej kongruencji. 15u
+ 13 2 (mod 7) = u 1 2 (mod 7) = u 3 (mod 7) = u = 7s + 3
Ostatecznie x = 15(7s + 3) + 13 = 105s + 58. Odp. Liczba kostek
czekolady rwna jest 58.
Zamknij
Koniec
5.Strona gwna Strona tytuowa
Funkcja Eulera - zadanie 3
Zadanie 3 Znajd trzy ostatnie cyfry liczby 314404 . Do
rozwizania potrzebowa bdziemy tzw. funkcji Eulera. Nazwa tej
funkcji pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka L.Eulera,
ktry y w latach 1707-1783.
Spis treci
Strona 16 z 25
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
Funkcja EuleraStrona gwna
(n) := liczba elem. zbioru {k : 1
k
n 1, NWD(k, n) = 1}
Strona tytuowa
Spis treci
Wasnoci: (1) Jeli NWD(n, m) = 1, to (nm) = (n)(m). (2) Jeli p
jest liczb pierwsz, to (pk ) = pk1 (p 1). W szczeglnoci (p) = p 1.
Przykad (200) = (23 52 ) = (23 )(52 ) = 22 (2 1)51 (5 1) = 80.
Strona 17 z 25
Powrt
Twierdzenie Eulera Jeli NWD(a, n) = 1, to a(n) 1 (mod n).
Wniosek (Mae Twierdzenie Fermata) Jeli p jest liczb pierwsz i p |a,
to ap1 1 (mod p).
Full Screen
Zamknij
Koniec
Przykad 380 1 (mod 200).Strona gwna
Strona tytuowa
Zadanie 3 Znajd trzy ostatnie cyfry liczby 314404 . Rozwizanie.
Naley znale reszt z dzielenia liczby 314404 przez 1000. Obliczmy
(1000) = (23 53 ) = (23 )(53 ) = 400. Zatem 314404 = 340036+4 =
(3400 )36 34 34 (mod 1000), bo 3400 1 (mod 1000) na podstawie
twierdzenia Eulera. Poniewa 34 = 81, wic ostatnie trzy cyfry liczby
314404 to 081.
Spis treci
Strona 18 z 25
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
6.Strona gwna Strona tytuowa
Dwa zadania z Olimpiady Matematycznej
Spis treci
Rozwimy teraz dwa zadania, ktre pojawiy si kiedy na Olimpiadzie
Matematycznej. Zadanie 1. Wyka, e jeeli m n (mod 4), to liczba 53m
33n jest podzielna przez 10.
Strona 19 z 25
Powrt
Rozwizanie. Zauwa najpierw, e 53n 33m 3n 3m (mod 10). Jeli n =
4k + m, to
Full Screen
3n 3m = 34k+m 3m = 3m ((34 )k 1) = 3m ((81)k 1) 3m (11) (mod
10).Zamknij Koniec
Zadanie 2.Strona gwna
Strona tytuowa
Znajd wszystkie takie liczby naturalne n, aby liczba 1! + 2! +
... + n! bya kwadratem pewnej liczby naturalnej. Rozwizanie. 1! = 1
= 12 , 1! + 2! = 3, 1! + 2! + 3! = 9 = 32 , 1! + 2! + 3! + 4! = 33
Jeli n 5, to
Spis treci
Strona 20 z 25
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ... + n! 1! + 2! + 3! + 4! 3 (mod
5),podzielne przez 5
Powrt
Full Screen
a kwadraty liczb naturalych przystaj modulo 5 jedynie do 0, 1
lub 4. Odp. Jedynie dla n = 1 oraz n = 3 liczba 1! + 2! + ... + n!
jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
Zamknij
Koniec
7.Strona gwna Strona tytuowa
Zadania domowe 3X + 31 15 (mod 47) 3X 8 (mod 13) 14X 22 (mod
36)
1. Rozwi kongruencje
Spis treci
2. Znajd i uzasadnij cech podzielnoci przez 101. Wsk. 100 1 (mod
101).Strona 21 z 25
Powrt
3. Wykorzystujc kongruencj 1000 1 (mod 27, 37) wyprowad cechy
podzielnoci przez 27 oraz 37. 4. Wykorzystujc kongruencj 100 2 (mod
51) wyprowad cech podzielnoci przez 51. 5. W sadzie zebrano jabka,
ktrych nie byo wicej ni 1000. Gdyby podzieli jabka rwno do 7 koszy,
to zostanie 1 jabko.
Full Screen
Zamknij
Koniec
Strona gwna
Gdyby podzieli jabka rwno do 13 koszy, to zostanie 6 jabek. Mona
jednak podzieli jabka rwno na 11 czci. Ile zebrano e jabek? 6.
Znajd ostatnie dwie cyfry nastpujcych liczb 76042 , 289289 , 79 .
Wsk. Oblicz (100). 7. Wyznacz reszty z dzielenia: (a) 15231 przez
14 (b) 380 + 780 przez 119
Strona tytuowa
Spis treci
Strona 22 z 25
(c) 208208 przez 23 8. Dopisa z prawej strony liczby 523 takie
trzy cyfry, aby otrzymana liczba szeciocyfrowa bya podzielna przez
7, 8 i 9. 9. Wykaza, e setna potga dowolnej liczby cakowitej przy
dzieleniu przez 125 daje reszt 0 lub 1.
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
Strona gwna
10. Znajd reszt z dzielenia liczby cakowitej a przez 73 wiedzc,
e a100 2 (mod 73) oraz a101 69 (mod 73). 11. Wykaza, e iloczyn
trzech kolejnych liczb naturalnych, z ktrych rodkowa jest szecianem
liczby naturalnej, jest podzielny przez 504 (zadanie z Olimpiady
Matematycznej).
Strona tytuowa
Spis treci
Strona 23 z 25
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
8.Strona gwna Strona tytuowa
Literatura
1. N.Koblitz, Wykad z teorii liczb i kryptograi, WNT, Warszawa
1995. 2. P.Ribenboim, Maa ksiga wielkich liczb pierwszych, WNT,
Warszawa 1997. 3. W.Sierpiski, Wstp do teorii liczb, Biblioteczka
Matematyczna 25, PZWS, Warszawa 1965.
Spis treci
Strona 24 z 25
4. L.A.Steen (redaktor), Matematyka Wspczesna, Dwanacie esejw,
WNT, Warszawa 1983.
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
Strona gwna
Strona tytuowa
Spis treci
I to ju koniec!
Strona 25 z 25
Dzikuj za uwag
Powrt
Full Screen
Zamknij
Koniec
