Embed Size (px)
Citation preview
Ikasliburuak:
1. Discrete and Combinatorial Mathematics: An AppliedIntroduction / Matematicas discreta y combinatoria:introduccion y aplicaciones. R.P. Grimaldi
2. Elements of Discrete Mathematics / Elementos dematematicas discretas. C.L. Liu
3. Discrete Mathematics / Matematica discreta. N.L. Biggs
Baturaren eta biderkaduraren erregelak
Konbinatoriako problema baten helburua multzo batenelementuak kontatzea (eta eraikitzea) da, multzo horiproblemak berak definitzen du. Konbinatoriako problemaerraza bada kontaketa berehalakoa izango da, baina problemakonplexuetan azterketa sakonagoa eskatzen du kontaketak.Bi erregela erraz hauek konbinatoriako problema konplexuakdeskonposatzeko erabiltzen dira.
Baturaren erregela. Eginkizun bat m erara betebadaiteke, beste eginkizun bat n erara betebadaiteke, eta eginkizun bakarra bete behar bada,orduan eginkizun hauetako bat betetzeko m + n eraditugu.
1. ariketa. Liburutegian hau dugu: ADA-ko 3 liburu, Java-ko 7eta C-ko 4, denak desberdinak. Ikasle batek programatzenikasteko liburu bat erabiliko du. Zenbat aukera ditu?
Baturaren eta biderkaduraren erregelak
Biderkaduraren erregela. Prozedura bat bi etapatanzatitu badaiteke, eta lehenengo etaparako m emaitzaposible baditugu, eta emaitza hauetako bakoitzerakon emaitza posible baditugu bigarrengo etapan,orduan prozedura osoa m × n erara bete dezakegu bietapa horiek esandako ordenan eginez.
2. ariketa. Har ditzagun kotxe matrikulak, honela osatuak: biletra eta jarraian lau digitu. Zenbat matrikula desberdin ditugubaldin (a) letrak eta digituak ezin badira errepikatu, (b)errepikatzea posible bada?
3. ariketa. Programazio hizkuntza batean aldagai izenakhonela osatzen dira: letra maiuskula bat soilik edo letramaiuskula bat jarraian digitu bat duela. Zenbat aldagaidesberdin defini ditzakegu?
Baturaren eta biderkaduraren erregelak
Konbinatoriako ariketa batean ondo bereizi behar dira aldebatetik kontaketa problema eta bestetik kontaketarakoprozedura. Problema ariketak definitzen du: eginkizun baterakoaukera desberdinak kontatzea. Kontaketarako guk asmatubehar dugu prozedura bat: prozedura honek problemadeskonposatzen du eginkizuna betetzeko pausoak definituz etaaukera desberdinak kontatzea ahalbidetuz. Problema baterakoprozedura bat baino gehiago defini daitezke agian, bainaprozedura baliokideak izango dira eta aukera kopuru beralortuko dugu batekin edo bestearekin. Konbinatoriako ariketabatean pauso garrantzitsuena da prozedura egokia definitzea,bestela soluzio okerra aterako baitzaigu.
Permutazioak eta bestelako ordenazioak
Atal honetako problemetan biderkaduraren erregelanoinarrituko gara, definituko ditugun prozedurek ordenakontuan izango baitute.
4. ariketa. Hamar ikasletik lau hartu eta lerro batean ordenatubehar ditugu. Problema baliokidea genuke hau:A,B,C,D,E,F,G,H,I,J letretatik lau hartu eta zerrenda bateanordenatzea. Zenbat aukera ditugu?
Objektu desberdin batzuen bilduma emanik, bildumarenpermutazioa deituko diogu objektu hauen ordenazio posiblebakoitzari. Objektuak ez dira errepikatzen permutazioan etabere tamaina izan daiteke bilduma osoarena edo txikiagoa.
Permutazioak eta bestelako ordenazioakOro har, n objektu desberdinen r tamainakopermutazioen kopurua hau da:
P(n, r) = n× (n− 1)× (n− 2)× . . .× (n− r + 1) =
=n!
(n − r)!
Formulan gogoratu osoko baten faktorialak! = k(k − 1)(k − 2) · · · 3 · 2 · 1 non k ≥ 1, bestalde 0! = 1.
5. ariketa. Berregin aurreko ariketa.
Bi kasu berezi ditugu:
I r = 0 bada P(n, 0) = n!(n−0)!
= 1
I r = n bada P(n, n) = n!(n−n)!
= n!0!
= n!
Permutazioak eta bestelako ordenazioak
Esan bezala, permutazioan objektuak ez dira errepikatzen.Objektuak errepika daitezkeen ordenaziorako emaitza haudugu:
n objektu desberdin emanik, eta ordenazio bateanobjektuak errepika badaitezke, r tamainakoordenazioen kopurua nr da.
6. ariketa. Kalkulatu COMPUTER hitzeko letren (letraguztien) permutazioen kopurua, bost tamainako permutazioenkopurua eta, letrak errepika badaitezke, 12 tamainakoordenazioen kopurua.
Permutazioak eta bestelako ordenazioak
Orain aztertuko ditugu ordenazio berezi batzuk, non objektuakerrepika daitezkeen eta objektu bakoitza beti kopuru jakinbatean agertzen den. Beste era batean esanda, motadesberdineko objektu batzuk ordenatuko ditugu, motaberdineko objektuen arteko ordena bereizi gabe, bai ordeaobjektu desberdinen arteko ordena.
Oro har, n objektu baditugu, n1 lehen motakoak, n2
bigarren motakoak, . . . , eta nr r . motakoak, nonn1 + n2 + . . . + nr = n, orduan n objektuen ordenaziokopurua hau da (mota berdineko objektuen artekoordena bereizi gabe):
n!
n1!n2! · · · nr !
Permutazioak eta bestelako ordenazioak
7. ariketa. PIPA hitzeko lau letren ordenazioak idatziko ditugu,ordenazio bakoitzean bi P ipiniz. Zenbat aukera ditugu?
8. ariketa. MASSASAUGA hitzeko letra guztien ordenazioenkopurua kalkulatu. Zenbat ordenaziotan daude A letrak laurakbatera?
Ondorengo adibideetan ordenazio zirkularrak kontatuko ditugu.Ordenazio arruntak, orain arte aztertu direnak bezalakoak,ordenazio linealak dira. Ordenazio lineal bateko azkenobjektuaren hurrengo objektutzat hartzen bada ordenazioarenhasierakoa, ordenazio zirkularra dugu, biraketak (azkenobjektua hasieran jartzeak) ez du aldatzen ordenazio zirkularra.
Permutazioak eta bestelako ordenazioak
9. ariketa. Sei pertsona, A,B,C,D,E,F, mahaiaren inguruaneseri behar dira, berdin da pertsona bakoitza non eseri,begiratzen da bakarrik nor duen ezkerrean eta nor eskuinean.Zenbat ordenazio zirkular desberdin ditugu?
10. ariketa. Aurreko adibidean eman dezagun A,B,Candrazkoak direla eta D,E,F gizonezkoak. Ordenazioan sexuaktxandaka ipiniko ditugu. Zenbat ordenazio zirkular ditugu?
Konbinazioak
Konbinazioak objektu multzo baten azpimultzoak dira.Azpimultzoan objektuak ez dira errepikatzen eta objektuenordena ez da kontuan hartzen.
Oro har, n objektu desberdin baditugu, hauetako robjekturen aukeraketa edo konbinazio bakoitza r !permutaziori dagokio. Beraz n objektu desberdinen rtamainako konbinazioen kopurua hau da:
C (n, r) =P(n, r)
r !=
n!
r !(n − r)!
Konbinazioak
Adibide honen bidez konbinazio kopuruaren formulaarrazoituko dugu.
11. ariketa. 13× 4 kartako sortatik (barajatik) hiru kartahartuko ditugu bata bestearen ondoren eta itzuli gabe. Zenbatpermutazio ditugu? Konbinazio bakoitzari zenbat permutaziodagozkio? Zenbat konbinazio ditugu?
Idazkera hau erabiliko dugu, “n gain r” irakurriz:
C (n, r) =
(n
r
)Bestalde, C (n, 0) = n!
0!n!= 1 idatziko dugu.
Konbinazioak
Kontaketa problema batean garbi izan behar dugu ordenakontuan hartzen den ala ez: ordena kontuan hartzen bada,permutazioak, ordenazioak, biderkadura legea eta abarerabiliko ditugu; ordena kontuan ez bada hartzen,konbinazioak baliagarriak izan daitezke.
12. ariketa. (a) Azterketa batean 10 galderatik 7 erantzunbehar dira. Zenbat erara erantzun dezakegu azterketa? (b) Etalehenengo 5 galderetatik 3 eta beste 5etatik 4 erantzun beharbadira? (c) 10 galderatik 7 erantzun behar dira, lehenengo 5galderetatik gutxienenz 3 erantzunez. Zenbat aukera ditugu?
Konbinazioak
13. ariketa. (a) Bederatzi jokalariko boleibol taldea osatubehar da lehenengo eta bigarrengo ikasturteko ikasleekin.Lehenengo ikasturtean 28 eta bigarrengoan 25 ikasle dira.Zenbat talde desberdin dira posible? (b) Jokalari onenaklehenengoko bi eta bigarrengoko bat dira, eta hauek taldeanizatea erabaki da. Zenbat talde ditugu orain? (c) Eta, aurrekopuntuaren baldintza deuseztatuz, lehenengotik 4 etabigarrengotik 5 aukeratu behar badira?
14. ariketa. Bederatzi jokalariko lau talde osatu behar dira 36ikaslerekin: A,B,C,D talde desberdinak. Zenbat era ditugutaldeak osatzeko? (Ulertu behar da taldeetako jokalariak osoriktrukatuz talde osaketa desberdinak ditugula.)
Konbinazioak
15. ariketa. TALLAHASSEE hitzeko letrekin zenbat ordenazioditugu? Ordenazio hauetatik zenbatek ez dituzte A letrakelkarren ondoan (ez AA eta ez AAA)?
16. ariketa. (a) 13× 4 kartako sortatik 5 karta hartuko ditugu.Zenbat aukera desberdin ditugu hirustarik gabekoak? (b)Zenbat aukera gutxienez hirusta batekoak? (c) Zenbat aukeraditugu gutxienez bi hirusta dituztenak?
KonbinazioakKonbinazio kopurua kalkulatzeko formularen aplikazio bezala,teorema binomiala enuntziatuko dugu:
(x + y)n =
(n
0
)x0yn +
(n
1
)x1yn−1 +
(n
2
)x2yn−2 + . . .
. . . +
(n
n − 1
)xn−1y 1 +
(n
n
)xny 0 =
n∑k=0
(n
k
)xkyn−k
Bestalde, (n
k
)=
(n
n − k
)eta (
n
0
)+
(n
1
)+
(n
2
)+ . . . +
(n
n
)=
n∑k=0
(n
k
)= 2n
KonbinazioakTeoremaren frogapena egingo dugu. Biderkaketa honetanbanakortasuna aplikatuz,
(x + y)n = (x + y)(x + y) . . . (x + y)
2n gai ateratzen dira, faktore bakoitzean x edo y hartuta. Gaibakoitza ordenazio bat da non x aldagaia k aldiz eta yaldagaia n − k aldiz agertzen diren. Beraz, k finkatuz (etatrukakortasuna erabiliz) xkyn−k erako gaien kopurua hau da:
n!
k!(n − k)!
ondorioz(nk
)gai ditugu xkyn−k erakoak. Bestalde,(
n
k
)=
n!
k!(n − k)!=
n!
(n − k)!k!=
(n
n − k
)
Errepikapendun konbinazioak: banaketakErrepikapenak dituzten konbinazioak ditugu ondorengoariketan.
17. ariketa. Taberna batean ogitarteko hauek aukeraditzakegu: gazta, txistorra, urdaiazpikoa edo solomoa. Zazpilagunentzako ogitartekoak erosi behar ditugu. Zenbat eskaridesberdin egin ditzakegu?
Ariketa aztertuko dugu dagokion formula ondorioztatzeko.Eskari bat honela defini dezakegu: zenbat gazta, zenbattxistor, zenbat urdaiazpiko, zenbat solomo. Adibidez,
g,g,t,t,u,u,s→ 00 | 00 | 00 | 0
t,u,u,s,s,s,s→ | 0 | 00 | 0000
g,g,g,g,g,g,s→ 000000 ||| 0
Errepikapendun konbinazioak: banaketak
Eskari desberdinak definitu ditugu 10 sinboloren ordenazioenbidez, 7 sinbolo mota batekoak (0ak) eta 4− 1 beste motabatekoak (| ikurrak).
Oro har, n objektu desberdinen r tamainakokonbinazio errepikapendunen kopurua hau da:(
n + r − 1
r
)=
(n + r − 1)× . . .× n
r !=
(n + r − 1)!
r !(n − 1)!
18. ariketa. Denda batek 20 donus mota eskaintzen ditu.Dozena bat donus zenbat erara aukera dezakegu?
Errepikapendun konbinazioak: banaketak
Errepikapendun konbinazioen problemaren baliokidea daondorengo ariketan dugun banaketa problema.
19. ariketa. Zazpi txanpon berdin lau umeren artean banatzekozenbat era ditugu? A, B, C eta D letrekin izendatuz umeak,aukera bat izan daiteke:
A,B,B,C,C,C,C
hau da, A-k txanpon bat, B-k 2, C-k 4 eta D-k 0. Problemabaliokidea da ekuazio honen osoko soluzioak kalkulatzea,
x1 + x2 + x3 + x4 = 7 , non xi ≥ 0
Errepikapendun konbinazioak: banaketak
Ikusten dugunez, konbinatoriako hiru problema mota baliokideditugu.
Kopuru hauek berdinak dira:
I n objektu desberdinen r tamainako konbinazioerrepikapendunak,
I ekuazio honen osoko soluzioak, xi ≥ 0 izanik,
x1 + x2 + . . . + xn = r
I r objektu berdin n leku (edo pertsona)desberdinetan banatzeko erak.
Badira beste mota bateko banaketak:
r objektu desberdin n leku desberdinetan banatzekonr era ditugu.
Errepikapendun konbinazioak: banaketak
Konbinazio errepikapendunetaz gainera, beste kontaketaprintzipioak ere erabiliko ditugu ondorengo adibideetan.
20. ariketa. Lau umeren artean 7 sagar eta 6 laranja banatzekozenbat era ditugu, ume bakoitzak gutxienez sagar bat hartubehar badu?
21. ariketa. Mezu bat osatzeko 12 sinbolo desberdin ditugu.Mezu batean 12 sinboloak eta 45 espazio sinboloen arteanipini behar dira, gutxienez 3 espazio ondoz ondoko bisinboloren artean. Zenbat mezu desberdin bidal ditzakegu?
