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walthere-altenbach
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Berechnungen am Kreis
Ein Übungsprogramm der
IGS - Hamm/Sieg
© IGS-Hamm/Sieg 2007 Dietmar Schumacher
Vorbemerkungen:
Du bekommst in dieser ÜbungBerechnungen am Kreis erklärt.
Berechnungen am Kreis
Hallo, ich bin ein Kreis.
Was du von mir hier siehst, ist die Kreislinie k.
Meine Kreislinie hat überall dengleichen Abstand von meinemMittelpunkt.
Meist nennt man meinen Mittelpunkt einfach M.
Ich habe aber noch mehr wichtigeKörperteile.
Diese wichtige Linie ist mein Radius,er heißt r. Mein Radius ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Kreislinie.
Dann gibt es noch meinen Durchmesser d,mein Durchmesser ist eine Strecke von Kreislinie zu Kreislinie durch meinen Mittelpunkt.
Kreislinie k
Mittelpunkt M
Radius r
Durchmesser d
M
k
rd
Berechnungen am Kreis
Hopsa, hier bin ich wieder!
Es gibt aber auch noch andere Körperteile von mir: die Sekanten,Sehnen, Kreisbögen, Tangentenund Mittelpunktswinkel.
Einige von Ihnen werde ich euch späterzeigen. Fangen wir jetzt aber mit derSekante an.
Wird die Kreislinie von einer Geradengeschnitten, deren Abstand vom Mittelpunkt kleiner ist, als der Radiusdes Kreises, so nennt man dieseLinie eine Sekante.
Die längsten Sehnen eines Kreises sind diejenigen, die durch den Kreismittelpunkt gehen. Ihre Länge ist gleich dem Durchmesser des Kreises.
Der Abschnitt der Sekante, der innerhalb des Kreises liegt, heißt Sehne.
Berechnungen am Kreis
Hier ist ein roter Kreissektor dargestellt.
Er besteht aus:
einer Sehne s einem Kreisbogen b
zwei Radien r einem Mittelpunktswinkel
s
b
r
r
Man kann die Fläche des Sektors und die Länge des Kreisbogens berechnen.
Das machen wir jedoch erst, wenn wir den Umfang und die Fläche eines Kreises berechnet haben.
Berechnungen am Kreis
Manchmal geht bei mir auch der Mittelpunkt verloren, dann muss ichmeine Kumpels, die Strecken, Geradenund Winkel bitten, mir bei der Suchezu helfen.
Weißt du, wie ich meinen Mittelpunkt finden kann?
Lösung:
Ich zeichne zwei beliebige Sehnen.
Ich errichte auf jeder Sehne die Mittelsenkrechte.
Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich im Mittelpunkt des Kreises.
M
Berechnungen am Kreis
2
U
r
Zur Berechnung meines Umfangs brauchst du eine besondere Zahl, sie wird mit dem griechischen Buchstaben (pi)bezeichnet.
Die Größe von ist nur näherungsweise zu bestimmen, sie entspricht 3,14…. Bisher wurde das Geheimnis um noch nicht ganz gelöst.
Du kannst herausfinden, in dem du dir einen Kreis aufmalst, ihn in 16 Sektoren aufteilst, die Sektoren ausschneidest und sie wie im Beispiel oben zusammenlegst. Wenn du nun die Länge der Strecke U/2misst und durch den Radius deines Kreises teilst, so erhältst du eine Zahl, die 3,14, also nahe kommt.
Du kannst auch einen Kreis zeichnen und die Länge des halben Umfangs mit einem Bindfaden messen.Wenn du jetzt das Ergebnis deiner Messung durch den Radius deines Kreise teilst, bekommst du eine Ergebnis, was sich auch 3,14, also , noch mehr nähert.
Da eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: sie ist unendlich und nicht periodisch. Die ersten 50 dezimalen Nachkommastellen sind: = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 …..
Berechnungen am Kreis
r2
U
r
Schauen wir uns jetzt mal die Berechnung meines Umfangs genauer an.
Da die zusammengelegten Sektoren fast ein Parallelogramm ergeben, entspricht mein Umfang der Summeder längeren Seiten dieses Parallelogramms, also:
2
U
2
UU Wenn rπ
2
U ist, dann ist rπ2U
Zur Berechnung des Umfang reicht es aus, wenn wir für den Wert 3,14 einsetzen.
r2
U
Berechnungen am Kreis
Wir berechnen jetzt einmal meinen Umfang:
r = 4 cm
Mein Radius beträgt 4 cm.
Ich setze diesen Wert in die Formel für die Umfangsberechnung ein.
rπ2U
4π2U
43,142U
43,142U
Zur Berechnung des Umfang reicht es aus, wenn wir für den Wert 3,14 einsetzen.
5,122U
Mein Umfang beträgt also 25,12 cm.
Berechnungen am Kreis
r = 7 cm
Jetzt noch ein Beispiel mit einem anderen Wert für den Radius r.
Der Radius r beträgt 7 cm.
Ich setze diesen Wert in die Formel für die Umfangsberechnung ein.
rπ2U
7π2U
73,142U
Zur Berechnung des Umfang reicht es aus, wenn wir für den Wert 3,14 einsetzen.
43,96U
Der Umfang beträgt also 43,96 cm.
Berechnungen am Kreis
rπg
h = r
Zur Berechnung meiner Fläche brauchst du wiederdie Zahl .
Die zusammengelegten Sektoren entsprechen der Fläche des Kreises und bilden ein Parallelogramm.
Die Fläche eines Parallelogramms berechnen wir mit der Formel hgA
In unserem Fall entspricht rπg und rh
Wenn wir also für g und h die Bezeichnungen des Kreises einsetzen, erhalten wir zur Berechnung
der Kreisesfläche folgende Formel: oder .rrπA r²πA
Berechnungen am Kreis
Wir berechnen jetzt einmal meine Fläche:
r = 4 cm
Mein Radius beträgt 4 cm.
Ich setze diesen Wert in die Formel für die Flächenberechnung ein.
Zur Berechnung der Fläche reicht es aus, wenn wir für den Wert 3,14 einsetzen.
r²πA
4²πA
613,14A
50,24A
Meine Fläche beträgt also 50,24 cm².
Berechnungen am Kreis
r = 7 cm
Der Radius beträgt 7 cm.
Ich setze diesen Wert in die Formel für die Flächenberechnung ein.
Zur Berechnung der Fläche reicht es aus, wenn wir für den Wert 3,14 einsetzen.
r²πA
7²πA
493,14A
153,86A
Die Fläche beträgt also 153,86 cm².
Jetzt noch ein Beispiel mit einem anderen Wert für den Radius r.
Berechnungen am Kreis
Zum Schluss noch eine mathematische Spielerei, die aber wichtig ist.
Gegeben ist der Umfang eines Kreises von 37,68 cm. Berechne seine Fläche.
Die Lösung ist eigentlich einfach.
rπ2U
r2
U
| die Gleichung durch 2 teilen
Ich nehme die Formel zur Berechnung des Umfangs und stelle sie so um, dass r gesucht ist.
Ich nehme jetzt die Formel zur Berechnung der Kreisfläche und gebe dort den gerade errechneten Wert für r ein.
r²πA
)²2
(πA
U
Jetzt erst setze ich den gegebenen Wert für den Umfang und in die Gleichung ein und rechne aus.
)²14,32
68,37(3,14A
04,113A Die Fläche beträgt also 113,04 cm².
Berechnungen am Kreis
Nun in einem Rutsch!
Gegeben ist der Umfang eines Kreises von 37,68 cm. Berechne seine Fläche.
rπ2U
r2
U
| die Gleichung durch 2 teilen
r²πA
)²2
(πA
U
)²14,32
68,37(3,14A
04,113A Die Fläche beträgt also 113,04 cm².
1. Teil (Berechnung von r)
2. Teil (Berechnung der Fläche)
| den errechneten Wert für r einsetzen
Berechnungen am Kreis
Zum Schluss noch eine weitere mathematische Spielerei, die aber auch wichtig ist.
Gegeben ist die Fläche eines Kreises von 113,04 cm². Berechne seinen Umfang.
Die Lösung ist eigentlich auch sehr einfach.
| die Gleichung durch teilen
Ich nehme die Formel zur Berechnung der Fläche und stelle sie so um, dass r gesucht ist.
Ich nehme jetzt die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs und gebe den eben errechneten Wert für r ein.
Jetzt erst setze ich den gegebenen Wert für Fläche und in die Gleichung ein und rechne aus.
Der Umfang beträgt also 37,68 cm.
r²πA
r²A
| die Wurzel ziehen
r²A
rA
rπ2U
14,3
04,1133,142U
68,37U
Berechnungen am Kreis
Nun in einem Rutsch!
Gegeben ist die Fläche eines Kreises von 113,04 cm². Berechne seinen Umfang.
Der Umfang beträgt also 37,68 cm.
1. Teil (Berechnung von r) 2. Teil (Berechnung des Umfangs)
r²πA
r²A
r²A
rA
rπ2U
14,3
04,1133,142U
68,37U
A
2U
Berechnungen am Kreis Berechnungen am Kreis
Hier wird ein roter Kreissektor dargestellt.
Er besteht aus:
einer Sehne s einem Kreisbogen b
zwei Radien r einem Mittelpunktswinkel
s
b
r= 4cm
r
Wir berechnen jetzt die Fläche des roten Kreissektors.
Wir sehen, dass der Mittelpunktswinkel eine besondere Bedeutung hat, er ist hier 90°.
Da ein Vollkreis einen Mittelpunktswinkel von 360° hat, ist die dargestellte Sektorfläche bei einem Mittelpunktswinkel von 90° also ¼ eines Vollkreises
360
αr²πASektor
Es gibt dazu eine Formel, die uns beim Lösen hilft:
360
904²πASektor
4
1163,14ASektor
56,12ASektor Der dargestellte rote Sektor hat eine Fläche von 12,56 cm².
Berechnungen am Kreis Berechnungen am Kreis
Hier wird ein roter Kreissektor dargestellt.
Er besteht aus:
einer Sehne s einem Kreisbogen b
zwei Radien r einem Mittelpunktswinkel
s
b
r= 4cm
r
Wir berechnen jetzt die Länge des Kreisbogens b.
Wir sehen, dass der Mittelpunktswinkel eine besondere Bedeutung hat, er ist hier 90°.
Da ein Vollkreis einen Umfang vom 2r hat, ist die dargestellte Bogenlänge bbei einem Mittelpunktswinkel von 90° also ¼ des Umfangs eines Vollkreises.
360
αrπ2b
Es gibt dazu eine Formel, die uns beim Lösen hilft:
360
904π2b
4
143,142b
28,6b Der dargestellte rote Bogen b hat eine Länge von 6,28 cm.
A B
C1
C2
C3
Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck, dessen Grundseite der Durchmesser eines Kreises ist und dessen Spitze auf diesem Kreis liegt, rechtwinklig ist.
Kurz gesagt: Der Winkel im Halbkreis ist ein rechter.
Ich zeichne die Strecke AB und halbiere sie.
M
Auf dem Halbkreis lege ich die PunkteC1 , C2 und C3 fest.
Ich verbinde die Punkte jeweils mit A und Bund erhalte 3 rechtwinklige Dreiecke.
= 90°
= 90°
= 90°
Um den Mittelpunkt der Seite zeichne icheinen Halbkreis mit dem Radius MA.
Berechnungen am Kreis Nur zur Erinnerung!