Klaus Schindler

Mathematik für Ökonomen

Ilaus Schindler

Mathematik für Ökonomen Grundlagen für Betriebswirte, Volkswirte und Wirtschaftsingenieure .

2.luflage

f""j)fl r7\[J DeutscherUniversitätsVerlag ~ GABLER·V1EWEG·WESTDEUTSCHER VERLAG

Die Deutsche Bibliothek - ClP-Einheitsaufnahme

Schindler, Klaus: Mathematik für Ökonomen: Grundlagen für Betriebswirte, Volkswirte und Wirtschaftsingenieure / Klaus Schindler. -Wiesbaden: DUV, Dt. Univ.-Verl., 2. Auf!. 1996

(DUV: Wirtschaltswissenschalt) ISBN 978-3-8244-0316-5 ISBN 978-3-322-97627-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-97627-7

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© Deutscher Universitäts-Verlag GmbH, Wiesbaden 1996 Lektorat: Monika Mülhausen

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Gedruckt auf chlorarm gebleichtem und säurefreiem Papier

ISBN 978-3-8244-0316-5

Für Silke und Anne

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI

Vorwort ..... . .............. XI

Verzeichnis ausgewählter Symbole und Abkürzungen XV

1 Formale Logik

Aussageformen

Quantoren und Junktoren

Beweisverfahren . . . .

Vollständige Induktion

2 Mengenlehre

1

3

4

13

14

17

Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21

Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28

Äquivalenzrelationen, Ordnung ........................ 30

Supremum, Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

VIII

3 Algebraische Strukturen 33

Gruppen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33

Vektorräume und Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42

4 Abbildungen 47

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität von Abbildungen. . . . . . . . . .. 49

Invertierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52

Folgen und Reihen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54

Monotone Funktionen ....................... 59

Konvexe und konkave Funktionen ...................... 60

Homogene und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63

Beispiele ökonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Finanzmathematik 71

Nachschüssige und vorschüssige Zinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73

Gemischte Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77

Effektiver und stetiger Zinssatz ................ 80

Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . .. 83

Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89

Investitionsrechnung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 93

Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99

6 Stetigkeit

Die euklidische Norm

Folgengrenzwert .

Cauchy-Folgen .

Funktionsgrenzwert und Stetigkeit.

Zwischenwertsatz ......... .

7 Differenzierbarkeit

Ableitung, Differential

Elastizität . . . . . .

Partielle Ableitungen

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Satz von Taylor . . .

Satz von L'Hospital .

Fixpunktsatz, Newtonverfahren

Impliziter Funktionensatz

Monotone, konvexe und konkave Funktionen

Lokale und globale Extremwerte . .

Lagrangesche Multiplikatorenregel .

Ökonomische Anwendungen ....

IX

105

106

108

117

122

128

133

134

139

142

144

162

166

169

177

181

191

202

207

x

8 Integrationstheorie

Das Riemann~Integral

Maßräume ...... .

Das Lebesgue~Integral

Das Lemma von Fatou

Dominierte Konvergenz .

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

Der Hauptsatz der Integralrechnung . . .

Partielle Integration und Integration durch Substitution.

Literaturhinweise

Index

211

213

220

225

235

238

242

243

247

254

258

XI

Vorwort

In den letzten Jahrzehnten ist die Mathematik eines der wichtigsten Hilfsmittel der mo­

dernen Ökonomie geworden, da es nur mit (wenn auch idealisierten) mathematischen

Modellen möglich ist, die Wechselwirkungen komplexer wirtschaftlicher Situationen zu

beschreiben. Die Entwicklung von speziell auf die Bedürfnisse von Ökonomen zugeschnit­

tenen mathematischen Instrumentarien hat teilweise sogar zur Entwicklung eigener ma­

thematischer Disziplinen geführt und einen dementsprechend starken Einfluß auf die Ma­

thematik ausgeübt (z.B. Lineare und nichtlineare Optimierung, Statistik, Spieltheorie). So

reicht das mathematische Spektrum des Wirtschaftswissenschaftlers von der elementaren

Analysis bis hin zu den modernsten Methoden der Funktionalanalysis.

Dies hat dazu geführt, daß in allen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften nicht nur

Fachwissen, sondern auch die entsprechende Vertrautheit mit mathematischen Methoden

und Denkweisen verlangt wird, was eine solide mathematische Grundausbildung erfordert,

wenn nicht von vornherein bestimmte ökonomische Disziplinen verschlossen bleiben sollen.

Dem wird (zumindest in der deutschsprachigen Literatur) zu wenig Rechnung getragen.

Nur selten wird dem später mehr quantitativ orientierten Studenten eine mathematisch

ausreichende Basis zur Verfügung gestellt.

Man ist sich zwar in der Auswahl der mathematischen Grundinhalte weitgehend einig,

jedoch herrscht Uneinigkeit hinsichtlich der Art und Weise ihrer Vermittlung. Allzu häufig

wird die Mathematik durch Plausibilitätsbetrachtungen und mechanisches Trainieren von

Rechenregeln anhand ökonomischer Beispiele nähergebracht. Dies führt immer dann zu

Schwierigkeiten, wenn später mathematische Modelle analysiert oder weiterentwickelt wer­

den sollen, bzw. wenn auf fortgeschrittene mathematische Methoden zurückgegriffen wird.

Da die Methoden der Mathematik aber nur durch das Studium der Beweise mathema­

tischer Aussagen vermittelt werden können, werden in dem vorliegenden Buch fast al­

le Aussagen bewiesen. Die Verwendung der einzelnen Voraussetzungen in den Beweisen

macht klar, daß mathematische Sätze nicht voraussetzungslos angewendet werden können

und zeigen die Grenzen der Anwendung. So ist z.B. f'(xo) = 0 keine notwendige Voraus­

setzung für ein lokales Extremum der Funktion f im Punkt xo. Dies ist nur richtig, wenn

die Funktion f differenzierbar und Xo ein innerer Punkt des Definitionsbereiches ist.

XII

Weiterhin wurde darauf geachtet, daß der Text in sich vollständig ist, d.h. ohne Fremd­

lektüre gelesen werden kann, so daß sich das Buch auch zum Selbststudium eignet. Eine

große Anzahl erläuternder und weiterführender Beispiele erleichtert dem Studierenden

hierbei das Verständnis und gestattet auch demjenigen die Lektüre, der an der Mathema­

tik nur als reinem Handwerksgerät interessiert ist.

Der Text ist aus meinen einführenden Vorlesungen "Mathematik für Wirtschaftswissen­

schaftler" an der Universität des Saarlandes hervorgegangen. Dennoch richtet sich dieses

Buch nicht nur an Studierende der Wirtschaftswissenschaften, sondern auch an Mathe­

matiker, die an ökonomischen Aspekten ihres Fachgebietes interessiert sind. Es wurde

versucht, den ökonomischen Sprachgebrauch mathematisch zu fundieren und so die (nicht

gerade sehr ökonomische) Überfrachtung mit Fachbegriffen auf ein Minimum zu reduzie­

ren. Sicherlich hat jeder ökonomische terminus technicus in den Situationen, aus denen

heraus er entwickelt wurde, seine Daseinsberechtigung, doch stellt der teilweise Verzicht

auf eine einheitliche Sprache (nicht nur) für den Lernenden ein großes Hemmnis dar.

Beispielsweise ist nur schwer einzusehen, warum eine vorschüssige und eine nachschüssige

Rentenrechnung (inklusive Formeln und Bezeichnungen) entwickelt werden soll, wenn sich

der vorschüssige Formalismus durch eine Verschiebung der Zeiteinheit um Eins aus der

nachschüssigen Rechnung (und umgekehrt) ergibt. Um ein anderes Beispiel zu nennen:

Warum soll der Student in den Fällen, in denen der Grenznutzen, die Grenzkosten, der

Grenzertrag o.ä. gleich 3 sind, die jeweiligen Sachverhalte gesondert interpretieren, obwohl

dies in allen Fällen lediglich bedeutet, daß die Steigungen der entsprechenden Funktionen

gleich 3 sind (oder marginal: die Änderung der Eingangsvariable um eine infinitesimale

Einheit eine Veränderung des Funktionswertes um drei Einheiten bewirkt)?

Aus diesem Grund und wegen der Schwierigkeiten, die der Übergang zur wissenschaftli­

chen Ausdrucksweise bereitet, wird in den ersten beiden Kapiteln eine ausführliche Dar­

stellung von logischen und mathematischen Grundbegriffen gegeben.

Im Bereich der Mengenlehre (Kapitel 2) wird nur sehr kurz auf Zahlenmengen eingegan­

gen, weil die Studierenden mit diesen Mengen von der Schule her vertraut sind. Relationen

werden hingegen recht ausführlich behandelt, da sich aus ihnen der Begriff der Funktion

ableitet und sie zum Verständnis der Nutzentheorie unumgänglich sind. Außerdem sind

Ordnungsrelationen im Bereich der Datenverarbeitung unverzichtbar geworden.

XIII

Auch die Betrachtung algebraischer Strukturen in Kapitel 3 erweist sich als sinnvoll, wenn

an Datenverarbeitung, Matrizenrechnung oder an moderne Texte der Wirtschaftstheorie

gedacht wird.

In Kapitel 4 werden Funktionen und Abbildungen definiert und verschiedene Eigenschaf­

ten (Konvexität, Konkavität, Monotonie, Homogenität u.ä.) untersucht. Insbesondere

wird der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen geklärt.

In der Finanzmathematik (Kapitel 5) wird die gesamte Zinsrechnung auf das Prinzip der

einfachen Zinsrechnung zurückgeführt, so daß kein Bruch zwischen reiner Zinseszinsrech­

nung, gemischter und einfacher Zinsrechnung entsteht. Außerdem gestattet dies eine klare

Definition der finanzmathematischen Begriffe. Hervorzuheben ist in diesem Kapitel vor

allem die konsequente Verwendung des Äquivalenzprinzips in Form einer mathematischen

Äquivalenzrelation. Dies liefert ein im Bereich der Finanzmathematik überraschend leicht

handhabbares Rechenkalkül, mit dem alle finanzmathematischen Entscheidungs- bzw.

Investitionsprobleme übersichtlich gelöst werden können.

Kapitel 6 behandelt zunächst den Grenzwertbegriff, dessen Verständnis für die gesamte

Differential- und Integralrechnung unumgänglich ist, und endet mit der Untersuchung

stetiger Abbildungen. Hier wird u.a. gezeigt, daß eine stetige Funktion auf einer kom­

pakten Menge Minimum und Maximum annimmt. Dieser Existenzsatz ist vor allem im

Rahmen der Optimierung von außerordentlicher Wichtigkeit. Erwähnt sei auch der Zwi­

schenwertsatz, der für die numerische Lösung von Gleichungen von großer Bedeutung

ist.

Kapitel 7 beginnt mit der Differentialrechnung, wobei - ausgehend vom eindimensio­

nalen Fall - die Definition der Diffenzierbarkeit auf dem Begriff der linearen Appro­

ximation aufgebaut wird, weil damit ohne Bruch (d.h. zunächst unter Vermeidung der

partiellen Ableitungen) der Übergang zum mehrdimensionalen Fall möglich ist. Neben

Methoden zur numerischen Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen (Fixpunkt­

satz, Newtonverfahren u.ä.) werden nach dem impliziten Funktionensatz u.a. auch die für

die wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen so wichtigen Optimierungsprobleme mit

und ohne Nebenbedingungen (Lagrange, Kuhn-Tucker) behandelt. Ergänzend finden sich

in diesem Kapitel eine größere Anzahl von Beispielen aus dem Bereich der Ökonomie.

XIV

In Kapitel 8 wird ausgehend vom Riemann-Integral die Lebesguesche Integrationstheo­

rie entwickelt und u.a. gezeigt, daß das Lebesgue-Integral eine Verallgemeinerung des

Riemann-Integrals darstellt. Diese Vorgehensweise wurde gewählt, weil in den späteren

Statistikvorlesungen eine entsprechend allgemeine Integrationstheorie benötigt wird.

Zum Abschluß möchte ich meinen Mitarbeitern Herrn Dipl.-Kfm. Torsten Daenert und

Herrn Dipl.-Kfm. Jens W. Meyer für die eingehende Diskussion des dem Buch zugrunde­

liegenden Stoffes, die gelungene Umsetzung und ihr großes Engagement danken.

Saarbrücken, im Mai 1993 K. Schindler

Vorwort zur zweiten Auflage

Die vorliegende zweite Auflage weist gegenüber der ersten nur an einigen Stellen we­

sentliche Änderungen auf, die zumeist aus didaktischen Gründen aufgenommen wurden.

Außerdem wurde eine erhebliche Anzahl von Druckfehlern beseitigt, auf die ich zum Teil

von Kollegen und von Hörern meiner Vorlesung aufmerksam gemacht wurde.

Saarbrücken, im August 1996 K. Schindler

xv

Verzeichnis ausgewählter Symbole und Abkürzungen

Abb.

BGB

bzgl.

bzw.

d.h.

etc.

GE

i.a.

ME

m.E.

o.ä.

o.B.d.A.

0.E.

p.a.

PAngV

S.

u.a.

usw.

vgl.

z.B.

1\

V

Abbildung

Bürgerliches Gesetzbuch

bezüglich

beziehungsweise

das heißt

et cetera

Geldeinheiten

im allgemeinen

Mengeneinheiten

meines Erachtens

oder ähnliches

ohne Beschränkung der Allgemeinheit

ohne Einschränkung

pro anno

Preisangabenverordnung

Seite

unter anderem

und so weiter

vergleiche

zum Beispiel

definiert als

gleich

ungefähr

logisches "und" .......................................... 1.11

logisches "oder" ......................................... 1.11

Subjunktion ............................................. l.l5

Implikation .............................................. 1.18

Bijunktion ............................................... 1.15

Äquivalenz .............................................. 1.18

XVI

E bzw. rt c C/J

P(M) U ModerUM

MEM

U ModernM MEM

-A B , CA(B) bzw. A\B

n A x B bzw. TI A j

j=l

lN, 7l, Q, ffi

[a, b], ja, b[, [a, b[, ja, bj

[ä,b], jä,b[, [ä, b[, jä, bj

(al, ... ,aN)

supM

inf M

maxM

minM

Ixl lxJ lxi, lxi sgn(x)

o o

E

A = (a'j),=l . . M )=1, .. ,N

det(A)

QA(i)

Element bzw. nicht Element von ...................... 2.1

Teilmenge ......................................... 2.4 a)

Leere Menge ....................................... 2.2 ii)

Potenzmenge der Menge M ........................... 2.6

Vereinigung des Mengensystems M ................ 2.9 a)

Durchschnitt des Mengensystems M ............... 2.9 b)

relatives Komplement von B in A (Differenz) ........ 2.14

kartesisches Produkt der Mengen A, B bzw. A j ...... 2.20

natürliche, ganze, rationale, reelle Zahlen .......... 2.2 iii)

Intervall von abis b (mit bzw. ohne Randpunkt) ..... 3.15

Strecke von ä bis b .................................. 4.27

geordnetes N-Tupel ................................. 2.20

kleinste obere Schranke der Menge M ............. 2.28 a)

größte untere Schranke der Menge M ............. 2.28 a)

Maximum der Menge M .......................... 2.28 a)

Minimum der Menge M .......................... 2.28 a)

kleinste ganze Zahl größer oder gleich x ............ 4.2 v)

größte ganze Zahl kleiner oder gleich x ............. 4.2 v)

Betrag von x bzw. Norm des Vektors x ............ .4.2 ii)

Signum (Vorzeichen) von x ........................ 4.2 iii)

Nullvektor ........................................ 3.19 i)

Nullmatrix ........................................ 3.2 iv)

j-ter kanonischer Einheitsvektor des ffiN .......... 3.22 ii)

Einheitsmatrix .................................... 3.2 v)

(M x N)-Matrix mit den Elementen a'j ........... 2.2 iv)

zu A transponierte Matrix ......................... 3.20 i)

Determinante der Matrix A ....................... 4.2 vi)

Skalarprodukt der Vektoren x, iJ E ffiN ............ 3.20 ii)

Quadratische Form der Matrix A ............ 4.2 vi)! 7.44

i nach bzw. i vor

'lnom

q:= 1 + i

(t I K), Kt. K(t)

[t I K]

(xn)n~1 bzw. (in)n~1

lim Xn n-+oo

liminfxn n-+oo

limsupxn n-+oo

00

XVII

nach- bzw. vorschüssiger Periodenzinssatz ................. 5.3

nominaler Periodenzinssatz ........................... 5.10 a)

zum Zinssatz i gehöriger Zinsfaktor ................... 5.6 iii)

effektiver Periodenzinssatz ...................... 5.10 b), 5.12

Zahlung in Höhe K zum Zeitpunkt t ...................... 5.1

zur Zahlung (tIK) gehörende Äquivalenzklasse ........... 5.15

Zahlen- bzw. Vektorfolge ................................ 4.16

Grenzwert der Folge (xn)n~1 .............................. 6.3

Limes inferior der Folge (xn)n~1 ....................... 6.8 ix)

Limes superior der Folge (xn)n~l ...................... 6.8 ix)

L X n (unendliche) Reihe .................................... 6.4 iv) n=l

liIll f(i) Funktionsgrenzwert ................................... 6.19 a) x--txo

Tn(x) Taylorpolynom n-ter Ordnung ....................... 7.27 iv)

f- I Urbildmengen-/Umkehrabbildung ............. ." ..... 4.6/4.11

( nk) Binomialkoeffizient ...................................... 4.20

1', df, Df, :~ Totale Ableitung (Differential) von f ...................... 7.1

Dn f, ~~, f(n) Totale Ableitung n-ter Ordnung von f .................. 7.22

::' Djf, fXj Partielle Ableitung von f nach der Variablen Xj ...... 7.7,7.8 J

gradf bzw. V' f Gradient von f ........................................... 7.7

Hf(i) Hesse-Matrix von f ..................................... 7.23

Ef(x) Elastizität von f im Punkt x ............................. 7.4

A Lebesgue-Maß .......................................... 8.15

J.l Maß .................................................... 8.11

XM charakteristische Funktion der Menge M .............. 4.3 iii)

*f(x) dx, /f(x) dx Riemann-Integral von f ............................ 8.1,8.28

/fdA, /f(x)dx Lebesgue-Integral von f ................................. 8.17