KİNETİKDiğer h. Bayıroğlu

7/24/2019 KNETKDier h. Bayrolu

1/70

79

BLM 6

KNETK

6.1 Kinetik ve Newtonun ikinci hareket kanunu

Kinetik hareketi oluturan kuvvet moment gibi nedenleri de gz nnealarak hareketin incelenmesidir.

Kinetikte temel yasa Newtonun ikinci hareket kanunudur.

Bir paracn lineer momentumunun zamanla deiimi zerine etkiyenkuvvetlerin bilekesi ile orantldr ve bu bilekenin ynndedir.Paracn lineer momentumu hz ile orantl olup hz ynndedir ve bu

orant katsays ktle adn alr.Paracn hz V

ktlesi m ile gsterilirse Lineer momentumuVmP

olarak tanmlanr. Bu tanmla ikinci hareket yasas

)( Vmdt

d

dt

PdF

eklini alr. Newton mekanii yani klasik mekanik erevesinde mktlesinin yalnz cismin i zelliklerine bal olduu zaman ve yerledeimedii varsaylr. Dolaysyla ikinci yasa

amF

eklindeyazlabilir.

6.2

Maddesel noktann kinetiiNewtonun ikinci hareket kanunu olan

amF

denkleminin kartezyen koordinatlardaki bileenleri

xx amF , yy amF , zz amF

doal koordinatlardaki bileenleri

TT amF , NN amF

eklinde yazlabilir.


2/70

80

6.3 Ktle merkezinin hareketi teoremiAadaki ekilde gsterildii gibi maddesel noktalardan olutuudnlen sistemveya rijid cismin hareketinde her bir maddesel noktaiin yazlan amF

denklemi alt alta yazlp toplanrsa

3a

y2

a 3

m iF im ia

2m nm na

2F ),,( G nF

1a

1m

1F

o x

z

111 amF

222 amF

333 amF

.iii amF

.nnn amF

n

i

n

i

iii amF1 1

denklemi elde edilir. Burada Gmaddesel noktalar sisteminin ktle merkezidir.Ktle merkezinin yer vektr

1

1

n

i i

i

n

i

i

m OA

OG

m

eklinde yazlabilir. Bu vektrn zamana gre ikinci

trevi alnrsa ktle merkezinin ivme vektr bulunur.

n

i

i

n

i

ii

G

m

am

a

1

1


3/70

81

Bu ivme vektr ifadesinden.

n

i

imm1

olmak zere

n

i

iiG amam1

yazlabilir.

n

i

n

i

iii amF1 1

ifadesindeki

n

i

iiam1

yerine Gam

yazlrsa

GamF

eklindeki ktle merkezinin hareketi teoremi olarak bilinen denklem elde edilir.Bu denkleme gre maddesel noktalar sisteminin veya rijid cismin ktle merkezi

btn kuvvetler ona uygulanm ve toplam ktle orada younlam birmaddesel nokta gibi hareket eder.


4/70


5/70

83

Burada TV

dFrM

olduu bilindiine gre yukardaki denklem

V

dmrM 2

eklinde yazlabilir.Buradaki

V

dmr2 byklne cismin eksenine gre

atalet momenti denir

V

dmrI 2

Bylece sabit bir eksen etrafnda dnme hareketine ait moment ve asalivme arasndaki banty veren kinetik denklemi aadaki gibi yazlabilir.

M I

6.5

Atalet momentleriSabit bir eksen etrafnda dnme veya genel dzlemsel hareketinkinetiinderijid cismin sabit bir eksene gre atalet momentininbilinmesigerekir. Bu ilem noktaya ve dzleme gre atalet momentleri tanmlaypdaha kolay yaplabilir.

dm p

Ar pr

A dr

V

d

V

AA dmrI 2 A noktasna gre atalet momenti

V

dd dmrI 2 d dorusuna gre atalet momenti

V

PP dmrI 2 P dzlemine gre atalet momenti

6.5.1

Atalet yarapBir noktaya veya eksene gre atalet momenti I olan m ktleli bir cismintm ktlesi bu noktaya veya eksene eit uzaklktaki bir blgede toplanmfarz edilirse bu uzakla atalet yarap denir ve k ile gsterilir.

2I m k


6/70

84

6.5.2

Atalet momenti ile ilgili teoremler

1 ) Bir rijid cismin birbirine dik dzleme gre atalet momentlerinintoplam bunlarn ara kesiti olan noktaya gre atalet momentine eittir.

2) Bir rijid cismin birbirine dik iki dzleme gre atalet momenlerinin

toplam bunlarn ara kesiti olan doruya gre atalet momentine eittir.3) ki boyutlu bir rijid cismin ekil dzleminde bulunan birbirine dik ikidoruya gre atalet momentlerinin toplam bunlarn arakesiti olannoktaya gre atalet momentine eittir.

4) Bir rijid cismin herhangi bir doruya gre atalet momenti bu doruyaparalel olup ktle merkezinden geen doruya gre atalet momenti ilecismin ktlesinibu dorulararasndaki uzaklkla arplarak elde edilensaynn toplamna eittir. Bu teoreme paralel eksenler teoremi denir.

5)

ki boyutlu cisimlerde ekil dzlemine dik eksenle bu eksenin ekildzlemindeki izdm olan noktaya gre atalet momenti birbirineeittir.Bu son teoreme gre iki boyutlucisimlerde ekil dzleminde

bulunan bir noktaya gre atalet momentinin ktle merkezine gre ataletmomenti ile bu noktalar arasndaki uzaklk karesinin ktle ilearpmnn toplamna eitlii eklinde paralel eksenler teoremine benzerteorem yazlabilir.

Bu teoremlerin ispat aadaki ekilde yaplabilir.

y yGd

z

x A

dm

G

y

o x

V

z

V

O dmzyxI )( 222

V

yoz dmxI 2 ,

V

xo z dmyI 2 ,

V

xo y dmzI 2

Bu denklemlerden xoyxozyozo IIII elde edilir.Bu eitlik birinci teoremin ispatdr.


7/70

85

Ayrca

V

x dmzyI )( 22 olduundan

xo yxo zx III

yazlabileceindenikinci teorem ispatlanm olur.

Paralel eksenler teoremini ispatlamak iin

V

y dmzxI )( 22

V

GAGAY dmzxI G )( 2

/

2

/

GAG xxx / , GAG zzz / 2

//

22

//

222 22 GAGAGGGAGAGG zzzzxxxxzx 222 dzx GG

V

GAG

V V

GAGAy dmxxmdddmzxI /22

/

2

/ 2)(

ktle merkezi formlnden 0/

V

GA dmx olduundan

2dmII

GYy

yazlarak paralel eksenler teoremi ispatlanm olur.nc teorem ikinci teoremin iki boyuta indirgenmi halidir. Bu teoreminispat iin aadaki ekil gz nne alnr.

y

x ),( yxA

dmr y

x

o

S

x dmyI 2 ,

S

y dmxI 2

S

O dmyxI )( 22

Bu atalet momenti ifadelerinden

yxO III

yazlarak nc teorem ispatlanm olur.


8/70

86

Problem 6.5.1

Ktlesi m olan L uzunluundaki homojen , dorusal ve sabit kesitli ubuunucuna ve merkezine gre atalet momentini bulunuz.zm:

y

L

dmA G x

x dx

2AI x dm , dm dx , m L

2L

A

O

I x dx ,3

3A

LI

Atalet momentini cismin ktlesi cinsinden bulmak iin sonucu 1m

L ile

arpmak gerekir.3

3A

L mI

L

2

3A

LI m

paralel eksenler teoremine gre2( )

2A G

LI I m , 2( )

2G A

LI I m ,

2 2

3 4G

L LI m m

2

12G

LI m

Problem 6.5.2

Ktlesi m olan L uzunluundaki homojen , dorusal ve sabit kesitli Prizmatikcismin taban dzlemine gre atalet momentini bulunuz.

zm: yL

dx

x x

A taban dzlemi

VO dm

z


9/70

87

zm:2

A

V

I x dm , dm dV

eer A taban dzleminin alan Sisem S L

,dm S dL

dr.2

L

A

O

I x S dL ,3

3A

LI S

Atalet momentini cismin ktlesi cinsinden bulmak iin sonucu 1m

SL

ile arpmak gerekir.3

3A

L mI S

SL

2

3A

LI m

Problem 6.5.3

R yarapl ve m ktleli homojen ember eklindeki cismin atalet momentinia) merkezine , b) apna , c) teet dorusuna , d) ember zerindeki birnoktaya gre bulunuz.

d dorusu y

R A noktasO x

zm:

a)

ember eklindeki cismin zerindeki btn noktalarn O noktasnauzakl R olduundan2

OI m R

olur.

b)

Atalet momenti ile ilgili teoremlerden ncsnden

O x yI I I

yazlabilir. Ayrca tm ap dorularna gre ktle dalm embereklindeki cisimde ayn olduundan

x yI I yazlabilir. Bylece ember eklindeki cismin apna gre

atalet momenti 212

x yI I m R


10/70

88

Paralel eksenler teoremine gre 2d yI I m R olduundan

23

2dI m R

c)

Atalet momenti ile ilgili beinci teorem gz nne alnrsa O ve A noktasarasnda paralel eksenler teoremi yazlabilir.

2A OI I m R

22AI m R

Problem 6.5.4

R yarapl ve m ktleli homojen daire eklindeki levhann atalet momentinia) merkezine , b) apna gre bulunuz.zm:

y dm dA

R

r dr x

O

2m R , 2dA r dr , 2dm r dr

a)

2

0

R

OI r dm ,2

0

( 2 )

R

OI r r dr ,3

0

2

R

OI r dr

4

24

O

RI

Atalet momentini cismin ktlesi cinsinden bulmak iin sonucu

2 1

m

R

ile arpmak gerekir.

4

22

4O

R mI

R

21

2OI m R

b) Atalet momenti ile ilgili teoremlerden ncsnden

O x yI I I

yazlabilir. Ayrca tm ap dorularna gre ktle dalm dairesel levhaiin ayn olduundan

x yI I yazlabilir. Bylece dairesel levhann apna gre atalet momenti

21

4x yI I m R formunda elde edilir.


11/70

89

Problem 6.5.5

Silindir eklindeki homojen dolu cismin taban dzlemindeki bir apna greatalet momentini bulunuz.

y L

z

R

O

x

zm:Atalet momentleri ile ilgili ikinci teoreme gre

x xoy xoz I I I

yazlabilir. Ayn ekilde

z xoz yoz I I I ve xoz yoz I I olduundan2

z

xoz

II yazlabilir.

zI dairesel levhann merkezine gre atalet momenti gibi

21

2zI m R olduundan

21

4xozI m R olur.

21

3xoyI m L eitlii prizmatik ve sabit kesitli cisimlerin taban dzlemine gre

atalet momenti olduundan2 21 1

3 4xI m L m R ,

2 21 1( )3 4

xI m L R eitlii bulunur.


12/70

90

Problem 6.5.6

R Yarapl ve m ktleli homojen dolu krenin ktle merkezinden geenbir apna gre atalet momentini bulunuz.

zm: z

2dm r dz

r dz

R zo y

xm V

0

2

R

m dm ,2

0

2

R

m r dz ,2 2 2

r R z

2 2

0

2 ( )

R

m R z dz ,3

32 ( )3

Rm R , 3

4

3m R

Atalet momenti ile ilgili teoremlerden ikincisine gre

x xoy xoz I I I yazlabilir. Krenin btn apsal dzlemleri kreyi iki eit

paraya bldnden xoy xoz I I ve 2x xoy I I yazlabilir.

2

0

2

R

xoyI z dm ,2 2

0

2

R

xoyI z r dz ,2 2

0

2

R

xoyI z r dz

2 2 2

0

2 ( )

R

xoyI z R z dz ,2 2 4

0

2 ( )

R

xoyI z R z dz

5 5

2 ( )3 5

xoy

R RI

, 54

15xoyI R

Atalet momentini cismin ktlesi cinsinden bulmak iin sonucu

3

31

4

m

R ile arpmak gerekir

5

3

4 3

15 4xoy

mI R

R

, 21

5xoyI mR ,

22

5xI mR


13/70

91

6.6

Rijid cismin sabit bir eksen etrafndaki dnmehareketi ile ilgiliproblemler

B

r

M

dm

VA

IM

Burada M , eksenine gre cisme uygulanan toplam d momenti

I , cismin eksenine gre atalet momentini

V

dmrI 2

ise cismin asal ivmesini gstermektedir.

Rijid cismin sabit eksen etrafnda dnme hareketinde cisme etki eden d aktifkuvvetler ile mafsal tepkileri arasndaki bant ktle merkezinin hareketiteoreminden elde edilebilir.

GF m a Burada Ga cismin ktle merkezinin ivmesidir.


14/70

92

Problem 6.6.1

Homojen L uzunluunda ve m ktlesindeki sabit kesitli dorusal ubuk Aucundan kendisine dik silindirik mafsalla baldr. ubuk yatay konumdan ilkhzsz harekete braklyor. ubuun

a) yatayla as yapt andaki asal ivmesinib) yeni harekete brakld andaki mafsal tepkisini bulunuz.zm:

y

2

L mg

2

L

A

G B x

a)

IM M

I

2

LM mg Cos ,

21

3I mL

2

21

3

Lmg Cos

mL

,3

2

gCos

L

b)

GF m a ubuk harekete yeni brakld anda asal hz sfr olduundan ktle

merkezinin ivmesinin yatay bileeni sfrdr.

2G

La j

0 da3

2

g

L ,

3

4G

ga j

GF m a denkleminden toplam kuvvetle ivme ayn ynde olmas gerekir.Cisme yatay dorultuda baka aktif kuvvet etkimediindenmafsal tepkisi dedey dorultuda olmaldr.

A GR mg j m a

,

3

( )4A

g

R mg j m j

1

4AR mg j


15/70

93

6.7 Rijid cismin genel dzlemsel hareketinin kinetii

y

Aa

dm

GAr /

A

G dF

Gr

Ar

o x

S

Maddesel noktann hareketi iin geerli olanamF

denklemi Rijid cismin bir diferansiyel ktlesine uygulanrsa

AdF a dm

yazlabilir. Bu denklemin her iki taraf diferansiyel ktlenin yer vektr ilesoldan vektrel arplr ve cismin tm ktlesi boyunca integre edilirse rijidcisme uygulanan moment ve cismin asal hareketleri ile ilgili denklemler eldeedilir.

GAGA aaa /

/ /A G A G Ar dF r a dm

/ / /( ) A G A G G A G S S

r dF r a a dm

/z A G

S

M k r dF

/ / /( ) )z A G G A G A GS S

M k r dm a r a dm

sa taraftaki birinci integral ktle merkezinin formlnden dolay sfrolur. kinci integral iin

)]([)(/ jyixkkjyixka GA

)(/ iyjxkjxiya GA

jyixjxiya GA

22

/

)()( 22// jyixjxiyjyixar GAGA

kxykykxykxar GAGA

2222

//

kyxar GAGA

)( 22//


16/70

94

2 2( ) GS

M k x y k dm

burada 2 2( ) GS

I x y dm dr.

Bylece genel dzlemsel harekette moment ve asal ivme arasndaki

G GM Ibants elde edilir.

Problem 6.7.1

60 .R cm Yarapl 10 .m kg ktleli homojen dairesel levha kaymadan

yuvarlanma hareketi yapmaktadr. Levhann merkezinin ivmesinin 25 /m s olmas iin merkezine uygulanan yatay dorultudaki F kuvvetini ve gerekliolan en dk srtnme katsaysn bulunuz.

zm:y

mg

Ga

G F

x

o f

N

G GM I , GF m a

Ga R Ga

R

21

2GI mR , GM f R

212

GG

aM f R mR

R 12 Gf ma 25f Newton

GF f ma 3

2 GF ma 75F Newton

f N f

N

0yF 0N mg 98,1 N mg Newton 25

98,1 , 0,255


17/70

95

Problem 6.7.2

60 .R cm Yarapl 10 .m kg ktleli homojen dairesel levha kaymadan

yuvarlanma hareketi yapmaktadr. Levhann merkezinin ivmesinin 25 /m s olmas iin merkezine uygulanan Momentin iddetini ve gerekli olan endk srtnme katsaysn bulunuz.

zm:y

mg

GM

Ga

G

x

o f

N

G GM I , GF m a

Ga R

Ga

R

21

2GI mR , G GM M f R

21

2

GG G

aM M f R mR

R

1

2G GM mR a f R

Gf ma 50f Newton

110 0, 6 5 50 0.6

2GM , 45 .GM Nm

f N f

N

0yF 0N mg 98,1 N mg Newton

50

98,1 , 0,51


18/70

96

Problem 6.7.3

1,2 m. Uzunluunda ve m=25 kg ktleli bir ubuk A ucu yatay doruzerinde B ucu 045 eimli doru zerinde olmak zere srtnmesiz olarakhareket ediyor. Eer ubuk ilk hzsz olarak harekete braklrsa ve bu anda

0

30 ise bu an iina) ubuun asal ivmesinib) A ve B noktalarndaki tepki kuvvetlerini hesaplaynz.

B

1,2 m.

G

450 A

zm:

Ba

B

mg

BR

150

G

A

450 30

0 Aa

AR

G GM I 0 0 21

30 152 2 12

A B

L LR Cos R Cos mL

GF m a Xx GF m a , Yy GF m a

Xx GF m a 045

XB GR Cos m a

Yy GF m a 045

YA B GR R Sin mg m a


19/70


20/70


21/70

99

Burada

)( /// GAGAGA rra

, kzjyixr GA

/

kji zyx

, kji zyx

Bylece rijid cismin ktle merkezine etki eden moment ve cisminasal hareketi ile ilgili genel bant aadaki ekilde yazlabilir.

dmrrrM GAGAV

GAG )]}([{ ///

Bu denklemin sa taraf iki integralin toplamna dntrlrse ilemlerksalabilir.

dmrrdmrrM GAV

GAGA

V

GAG )]}([{)([ ////

Her iki integrale ait ilemler ayr ayr aadaki gibi yaplabilir.

kxyjzxiyz

zyx

kjir yxxzzyzyxGA

)()()(/

)]([)( ///// GAGAGAAGAAGA rrrrar

)( // GAAGA rr

=

yxxzzy xyzxyz

zyx

kji

jaxxyyzzizxzxyy yxzyxzyx

)()( 2222

kyyzxzx zyxz

)( 22

Burada

V

xIdmzy )( 22 ,

V

yIdmzx )( 22 ,

V

zIdmyx )( 22

denklemleri srasyla x, y ve z eksenlerine gre atalet momentlerinigstermektedir. Ayrca

V

xy dmxyI ,

V

xz dmxzI ,

V

yz dmyzI

denklemleri srasyla yz-xz , yz-xy , xz-xy dzlemlerine gre arpmatalet momentleridir. Bunlarla birlikte yukardaki

dmrrdmrrM GAV

GAGA

V

GAG )]}([{)([ ////

denklemine gidildiinde denkleminin sa tarafnn birinci integral ilemiaadaki gibi tamamlanmolur.

V

GAGA dmrr )]([ //

[ ] x x xy y xz z I I I i

jIII zyzxxyyy

][

[ ]z z xz x yz y I I I k


22/70

100

Ayn denklemin sa tarafnn ikinci integral ilemi iin aadaki ilemleryaplabilir.

kxyjzxiyz

zyx

kji

r yxxzzyzyxGA

)()()(/

yxxzzy

zyxGA

xyzxyz

kji

r

)( /

jxyyzizxxy yxxzzyzxzyxy

)()( 2222

kyzzx zyyxzx

)( 22

)]([ // GAGA rr

zyyxzxyxxzzyzxzyxy yzzxxyyzzxxy

zyx

kji

222222

ixzyzyzzyyzyzxy yxxzzyzyyxzx

)( 222222

jxyxzxzxzxzxzyz zyyxzxzxzyxy

)( 222222

kyzxyxyyxxyxyxz zxzyxyyxxzzy

)( 222222

dmrr GAGAV

)]}([{ //

iIIIII yxxzyzyzzxxyzyyz

])()[( 22

jIIIII zxxzxyyzzyxyzxzx

)]()[( 22

kIIIII zxyzzyxzxyxyyxxy

])()[( 22

Burada )()()( 2222 yzzyV

zyzyzy

V

IIdmzydmzy

dr.

nk

V

z dmyxI )( 22 ve

V

y dmzxI )( 22 ve

VV

yz dmzydmzxyxII )()]()[( 222222 dr.

V

GAGA dmrr )]([ //

iIII zxzyxyxx

][

jIII zyzxxyyy

][

[ ]z z xz x yz y I I I k


23/70

101

Bu bulunan deerlerle moment denklemine gidildiinde Rijid cismin genelhareketinde Ktle merkezine gre toplam moment vektr ile cismin ataletmomentleri asal hz ve asal ivme bileenleri arasndaki banty verendenklem bulunmu olur.

dmrrrM GAGAGAV

G )]}()[({ ///

iIIIIII yzyzzyxxzyzxxyzyyzxx

)]()()()([ 22 2 2[ ( ) ( ) ( ) ( )]y y x z x z xy y z x yz y x z xz x z I I I I I I j 2 2[ ( ) ( ) ( ) ( )]z z y x x y xz y z x yz x z y xy y x I I I I I I k

Burada cismin ktle merkezindenalnan eksenler cismin asal eksenleri iseyani bu eksen sisteminin koordinat dzlemlerine gre arpm atalet momentleri

sfr ise yukardaki denklemkIIIjIIIiIIIM yxxyzzzxzxyyzyyzxxG

])([])([])([

eklinde basitleir. Bu denklemler ilk defa 1758 de Euler tarafndan eldeedildii iin Euler denklemleri adyla anlr.Sabit bir nokta etrafnda dnen bir cisimde de benzer bantlar elde edilir.Yalnz burada eksen takm ve moment vektr bu sabit noktadan geecekekilde seilirse ayn formda bantlar elde edilir.

kIIIjIIIiIIIM yxxyzzzxzxyyzyyzxxO

])([])([])([

Bu denklemler sabit eksen etrafnda dnme hareketindeEer z ekseni dnme ekseni olarak alnrsa

2 2( ) ( )O xz z yz z yz z xz z z z M I I i I I j I k 2

x xz z yz z M I I 2

y yz z xz z M I I

z z zM I

ekline dnr.Eer sabit eksen etrafnda dnme hareketinde koordinat eksenleri asal eksenler

ise yukardaki denklemlerz zM I

eklinde tek bir skaler denkleme indirgenir.Benzer ekilde genel dzlemsel harekette denklem

GG IM

ekline indirgenir. Burada GM cismin ktle merkezinden geen hareket

dzlemine dik eksene gre toplam momenti GI ise ayn eksene gre atalet

momentini gstermektedir.


24/70


25/70

103

O y xM L D i L D j M k

2123

zI m c

1 1 1( )( )

2 2 4yzI m L c mL c

1 1 1( )( )

4 2 8xzI m L c mL c

2y xz z yz z L D I I

2x yz z xz z L D I I

z zM I zz

M

I ,

2123

z

M

m c

,2

3

2z

M

m c

2

2

1 3 1

4 82x z

ML D mL c mL c

m c

, 23 1

8 8x z

MD mc

c

21 1

8 4y z zL D mL c mL c ,

23 1

16 4y z

MD mc

c

23 600 1 0, 3 0,1 (1200 2 / 60)8 0,1 8

xD

, 36,72 .xD N

23 6 1 0, 3 0,1 (1200 2 / 60)16 0,1 4

yD

, 129,69 .yD N

2 2( ) ( )D D D D D x z z y z z y z z x z z z z

M I I i I I j I k

2

D D Dx x z z y z z M I I 2

D D Dy y z z x z z M I I

D y xM L C i L C j M k 2

D Dy x z z y z z L C I I

2

D Dx y z z x z z L C I I

1 1 1( )( )

2 2 4Dy zI m L c mL c

3 1 3( )( )

4 2 8Dx zI m L c mL c

2

2

1 3 3

4 82x z

ML C mL c mL c

m c 2

3 3

8 8x z

MC mc

c

23 6 3 0, 3 0,1 (1200 2 / 60)8 0,1 8

xC

155,15 .xC N

2

2

3 3 1

8 42y z

ML C mL c mL c

m c

29 1

16 4y z

MC mc

c

29 6 1 0,3 0,1*(1200 2 /60)16 0,1 4

yC

, 152,19 .yC N


26/70

104

Problem 6.8.2

Yarap R ktlesi m olan homojen bir disk ktlesi ihmal edilebilen bir OGubuuna monte edilmitir.OG ubuu O noktasnda mafsalldr. Disk yataydzlemde kaymadan yuvarlanma hareketi yapabilmektedir. ubuk dey eksen

etrafnda dnebilmektedir. Disk ubuk ekseni etrafnda saat ibreleri tersiynnde1sabit asal hz ile dndne gre

a)

Demeden diske gelen tepki kuvvetini ( dorultusu dey farzediliyor)b) O mafsalndaki tepki kuvvetini bulunuz.

y

L

2 R

o x

1

I

z

zm:y

L mg

2

R

o x

1

I

z N

0IV 0IV OI

1 2i j , OI L i R j


27/70


28/70

106

BLM 7

VE ENERJ LKES

7.1 Maddesel noktann hareketinde i ve enerji ilkesiBir maddesel noktaya etki eden kuvvetin maddesel noktann yer

deitirmesinde yapt ii bulabilmek iin aadaki ekil izilebilir.y

NF

F

(1) m

TF

rd

ds r

rdr

(2)

o x

z

Burada m ktlesi rd

kadar yer deitirme yaptnda etki eden F

kuvvetininyapt i rdFd

dr.M ktlesi (1) konumundan (2) konumuna geldiinde etki eden F

kuvvetinin

yapt i ise

)2(

)1(

)2()1( rdF

eklinde integral ile hesaplanr. Burada NFTFF NT

Tdsrd

eklinde

yazlabileceinden bir F

kuvvetin ii

)2(

)1(

)2()1( dsFT

eklinde de hesaplanabilir.Bir maddesel noktann hareketinin teet dorultusundaki denklemi

TT amF

Burada Ta yerineds

VdV yazarak

ds

VdVmFT , VdVdsFT

elde edilen denklemin her iki taraf (1) konumundan (2) konumuna integre

edilirse VdVmdsFT

)2(

)1(

)2(

)1(


29/70

107

Burada dsFT

)2(

)1(

)2()1(

Olduundan 212

2)2()1(2

1

2

1mVmV

denklemi elde edilir. Elde edilen 21

2mV ifadesine V hzndaki mktleli

maddesel noktann kinetik enerjisi denir ve T ile gsterilir. 22

1mVT

Bu ekildebulunan (1) (2) 2 1 T T

denklemine i ve enerji ilkesi denir. Bir maddesel noktann (1) konumundan (2)konumuna hareketinde maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin yapt ilertoplam maddesel noktann bu konumlar arasndaki kinetik enerji farkna eittir.

Kinetik enerji maddesel noktann hareket ettii yola bal deildir. Sadece sonve ilk konumdaki hzlara baldr. Etki eden kuvvetlerin yapt iler isemekanik enerjinin korunmad durumlarda yola baldr.

Problem 7.1.1

eim al eik dzlem zerinde braklan bloun s kadar yol aldktansonraki hzn bulunuz.

zm :

mg

(1) s

N h

(2) f

12)2()1( TT , (1) (2) ( )m g Sin s f s , 1 0T

22

1

2T m V , 2

1( )

2m g Sin s f s mV , 2( )

fV g Sin s

m


30/70

108

7.1.1 Mekanik enerjinin korunumu ve potansiyel enerji:

Bir kuvvet alanUF

eklinde yazlabiliyorsa buradaki kuvvete korunumlu kuvvet U ya ise

potansiyel enerji denir.Kartezyen koordinat sisteminde

kz

Uj

y

Ui

x

UU

kdzjdyidxrd

ile

)2(

)1(

)2()1( rdF

denklemine gidilirse

)(

)2(

)1(

)2()1( dz

z

Udy

y

Udx

x

U

)2(

)1(

)2()1( dU

21)2()1( UU

korunumlu kuvvetlerde bir kuvvetin iinin Potansiyel enerji farknnnegatifi ile yaplabilecei grlr. Bu elde edilen denklem i ve enerjidenkleminde bir kuvvetin ii yerine yazlrsa

1221 TTUU

veya

2211 TUTU

mekanik enerjinin korunum denklemi elde edilir.


31/70

109

Problem 7.1.1.1

eim al eik dzlem zerinde braklan bloun durana kadar ald syolunu bulunuz. Cisim ilk harekete brakldnda yay katsays k olan yaydoal uzunluundadr.

zm :mg k

(1) s

N h

(2)

1 2 2 1U U T T ,2

1 2

1

2U U mgh ks , h s Sin

, 1 0T

2

2

1

2T m V , 2 2

1 1

2 2m g s Sin k s mV

durduu anda hz sfrdr. 21

02

m g s Sin k s 2m g

s Sin k


32/70


33/70

111

Problem 7.2.1

Uzunluu L ve ktlesi m olan AB ubuu A ucundan silindirik mafsallolarak dey dzlemde hareket edebilmektedir. AB ubuu yatay konumda ilkhzsz harekete braklyor. Yatayla as yapt andaki asal hzn bulunuz.

zm:

mg

A L/2 L/2 B

mg

1 2 2 1U U T T

1 22LU U m g Sin

1 0T ,2

2

1

2 AT I

21

2 2 A

Lm g Sin I

21

3AI mL

2 21 1

2 2 3

Lm g Sin mL

3gSin

L


34/70


35/70


36/70

114

7.4 Rijid cismin genel hareketinde kinetik enerji hesab

y

A

GAr /

dm

G

Gr

Ar

S

o x

dmVdT A2

2

1

AAA VVV

2 , GAGA VVV /

)()( //2

GAGGAGA VVVVV

dmVVVVT GAGGAS

G )2(2

1/2/2

Burada 0/

V

GAG dmVV

olduundan toplam kinetik enerji

dmVmVT

V

GAG

2

/

2

2

1

2

1

GAGAGA VVV //2

/

, GAGA rV //

Buradakji zyx

, kzjyixr GA

/

eklinde kartezyen koordinatlardaki bileenleri ile yazlrsa diferansiyelktlenin ktle merkezine gre hz vektr aadaki gibi hesaplanr.

zyx

kji

V zyxGA

/ kxyjzxiyz yxxzzy

)()()(

2222

/ )()()( yxxzzyGA xyzxyzV

yxyxxxzzyzyGA xyxyzxzzxyzyzV

222 2222222222222

/


37/70

115

zyzxyxzyxGA yzxzxyyxzxzyV 222)()()( 2222222222

/

dmV

V

GA

2

/

dmyzxzxyyxzxzy zyzxyxzyxV

]222)()()[( 222222222

olur . Burada2 2( ) Gx

V

y z dm I , 2 2( ) GyV

x z dm I , 2 2( ) GzV

x y dm I

integralleri ktle merkezinden geen ve x , y, z eksenlerine paralel olaneksenlere gre atalet momentlerini

G Gx y x y V

x y dm I , G Gx z x z V

xz dm I , G Gy z y z V

yz dm I

integralleri ise ktle merkezinden geen ve xy , xz, yz dzlemlerine

paralel olan srasyla G G G G y z x z , G G G G y z x y , G G G G x z x y dzlemlerinegre arpm atalet momentlerini gsterdiindenrijid cismin boyutluhareketinde toplam kinetik enerjiyi veren forml

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2

G G G G G G G G G G x x y y z z x y x y x z x z y z y z

T mV I I I I I I

formunda karlm olur.Eer ktle merkezinden geen eksenler asal eksenler yani arpm ataletmomentlerinin sfr olduu eksenler ise kinetik enerji ifadesi

2 2 2 21 1 1 12 2 2 2

G G G

G x x y y z z T mV I I I

eklinde ksalr.Rijid cismin sabit bir nokta etrafnda dnme hareketinde de benzer ilemleryaplrsa toplam kinetik enerji

2 2 21 1 1

2 2 2 x x y y z z x y x y x z x z y z y z T I I I I I I

ifadesi elde edilir ayn ekilde x , y , z eksenleri asal eksenler ise kinetik enerji

2 2 21 1 1

2 2 2 x x y y z z T I I I

formlne indirgenir.


38/70


39/70


40/70

118

Problem 8.1.2 100 km/h hzla giden 1000 kg ktleli bir deney otomobili birbari yere arptrlyor. arpma sresi 0.3 s. olduuna gre bari yerdenotomobile gelen ortalama tepki kuvvetini bulunuz.

100 km/h y

1000 kg

x

zm

1mV W t 2 0mV

R t

N t

100*1000100 / /

60*60km h m s , 100 / 27, 778 /km h m s

2

1

1 2( ) ( )t

x x x

t

m V F dt m V 0,3

0

1000 27, 778 0R dt 0,3

0

27778R dt Ns

0,3

.

0

1 27778

0,3 0,3ortR R dt N , . 92,6ortR kN


41/70

119

Problem 8.1.3 2000 kg ktleli bir otomobil 50derece eimli bir yolda 90 km/hhzla hareket ederken frene baslyor. zeminin lastiklere uygulad toplamsrtnme kuvveti 7,5 kN olduuna gre otomobil durana kadar geen zaman

bulunuz.

05

zm:

W

05

1f

2f

1N 2N

21 2 mV I mp mV 0

1 1 2 3 4 2sin 5 ( ) mV W t f f f f t mV

2 0V (son hz sfr olacandan )

1 90 1000/(60* 60) / V m s, 1 90 1000/(60* 60) / V m s

1 25 /V m s , 1 2 3 4 7,5 f f f f kN , 2000 W g

02000 25 2000 9, 81 sin 5 7500 0 t t 0

2000 25

7500 2000 9,81 sin 5

t

8,64t s


42/70

120

Problem 8.1.4 15 N arlndaki bir bloun balang hz 1 15 15 ( / )V i j m s

olarak verilmektedir. 250 250 ( )F i t j N eklinde ifade edilen bir kuvvet bucisme 0t dan 0,3t s ye kadar etki etmektedir. Bu cismin 1t s deki hznsrtnmeyi ihmal ederek bulunuz.

1mV 1mV 2

1

t

t

Fdt

2mV

2

1

t

t

Fdt

zm

15

9,81m kg

2

1

1 2

t

t

mV F dt mV 0,3

2

0

15 15(15 15 ) (250 250 )

9,81 9,81i j i t j dt V

0,3

2

0

9,81(15 15 ) (250 250 )

15V i j i t j dt

2

20,39,81 9,81(15 250 0,3) [15 250 ]

15 15 2V i j , 2 64, 05 7, 64 ( / )V i j m s

0.3t s den sonra cisme kuvvet uygulanmad iin hz deimez.


43/70

121

8.2 Maddesel noktalar sistemi iin impuls ve momentum ilkesiBir maddesel noktalar sisteminde her bir maddesel nokta iin yazlan

2

1

1 2

t

t

mV F dt mV denklemleri alt alta yazlp toplanrsa

2

1

1 2

t

t

mV F dt mV

maddesel noktalar sistemi iin impuls momentum denklemi elde edilir.

Burada ktle merkezinin yeri dikkate alndnda mV yerine ( ) Gm V alnabileceinden yukardaki denklem

2

1

1 2( ) ( )

t

G G

t

m V F dt m V

eklinde yazlabilir.

Eer sisteme etki eden kuvvetlerin impulslar toplam sfr ise

1 2mV mV maddesel noktalar sistemi iin momentumun korunumu denklemi elde edilir.Eer sistemin ktle merkezi gz nne alnrsa

GmV m V eitlii dikkate alndnda sistemin ktle merkezinin hznnmomentumun korunumu durumunda deimedii grlr.


44/70

122

8.3 Maddesel noktalar iin arpmaki cismin ok ksa bir sre iinde birbirine temas edip birbirlerine bykkuvvetler uygulamalarna arpma denir.arpma sresindeki dokunmayzeylerinin ortak normaline arpma dorusudenir. arpan cisimlerin

ktle merkezleri bu normal zerinde ise arpmaya merkezsel arpmadenir.Maddesel noktalarn arpmas merkezsel arpmadr. ki cismin hz arpmadorusu zerinde ise bu arpmaya doru arpma en az birisinin hzarpma dorultusundan farkl dorultuda ise eik arpmadenir.

arpma arpma

BV dorusu dorusu

B

A A BBV

A

V

AV

Doru merkezsel arpma Eik merkezsel arpma

8.3.1 Doru merkezsel arpma

1AV

1BV u

2AV

2BV

A B A B A B

arpmadan nce Maksimum ekil deitirme arptkdan sonrakonumunda

ki cisimden oluan bu sistem bir btn olarak ele alnrsa arpma srasndakiimpulsif kuvvetlerin sadece i kuvvetler olduu ve bunlarn toplam sfrolacandan sistemin momentumu korunur.

1 1 2 2A A B B A A B B

m V m V m V m V

arpmadan sonraki hzlar olan 2( )AV ve 2( )BV yibulmak iin gerekli olan ikinci

bant , her iki cisim iin ayr ayr arpma esnasndaki ekil deiimi gznnde bulundurularak uygulanan impuls momentum ilkesi yardm ile eldeedilir.

A 1A A

m V A Pdt A Am u

ekil deitirme sresi

AA

m u A Rdt A 2A Am V

Geri dn sresi


45/70

123

1A A A

m V Pdt m u ekil deitirme sresinde impuls ve momentumilkesi

2A A A

m u Rdt m V geri dn sresinde impuls ve momentum ilkesiGeri dn ve ekil deitirme impulslar arasndaki orana arpmakatsays denir ve e ile gsterilir. e sfr ile bir arasndadr ve arpancisimlerin yapld malzemeye , cisimlerin boyutlarna , ekillerine vehzlarna baldr.

Rdte

Pdt

1

2

A A A

A A A

m V Pdt m u

m u Rdt m V

2

1

A A A

A A A

Rdt m u m V

Pdt m V m u

2

1

A

A

Rdt u Ve

V uPdt

ayn ekilde B cismi iin impuls momentum ilkesi uygulanrsa

2

1

B

B

Rdt V ue

u VPdt

eitlii elde edilir.

Bu birbirine eit iki orann pay ve paydalarn toplayarak elde edilen oran dabunlara eit olur.

2 2

1 1

[ ] [ ]

[ ] [ ]

A B

A B

u V V u e

V u u V

,

2 2

1 1

B A

A B

V Ve

V V

2 2 1 1[ ]B A A B V V e V V

0e tam plastik arpma : Bu durumda 22 2B AV V V yani iki cisim

arpmadan sonra birbirine yapr ve tek bir hza sahip olur. 21 1 ( )A A B B A B m V m V m m V

momentumun korunumu denkleminden2

V hz hesaplanr.

1e tam elastik arpma : 1e yazarak elde edilen

2 2 1 1B A A B V V V V

denkleminden arpmadan nceki ve sonraki bal hzlarn birbirine eitolduu grlr. Tam elastik arpmada sistemin momentumuyla birliktekinetik enerjisinin de korunduu aadaki gibi gsterilebilir.

1 1 2 2A A B B A A B B

m V m V m V m V

2 2 1 1B A A B

V V V V

denklemleri

1 2 2 1[ ] [ ]A A A B B B m V V m V V

1 2 1 2A A B B

V V V V

eklinde yazlp taraf tarafa arplrsa

2 22 2

2 21 1( ) ( )A A A A B B B B m V m V m V m V

elde edilen bu denklem ile arplp dzenlenirse

2 2 2 2

2 21 1

1 1 1 1( ) ( )

2 2 2 2A A B B A A B B

m V m V m V m V

kinetik enerjinin korunduunu gsteren denklem bulunur.


46/70


47/70


48/70

126

8.3.2 Eik merkezsel arpmaCisimlerin hzlarnn dorultular arpma dorultusundan farkl ise buarpmaya eik arpmadenir.

y

x (arpma dorusu)

2B

V

2A

V A B 1B

V

1A

V

Cisimlerin temas yzeylerinin srtnmesi ihmal edilirse arpma dorusuna dik

dorultuda kuvvet olmadndan her birinin momentumlarnn arpmadorusuna dik (burada y eksenindeki) bileenleri korunur.Sistemin toplam momentumunun arpma dorultusundaki (burada xeksenindeki ) bileeni korunur.ki cisim arptktan sonraki bal hzlarnn arpma dorultusundaki

bileenleri, arpmadan nceki bal hzlarnn ayn dorultudaki bileenlerinine arpma katsays ile arpmndan bulunur.

Problem 8.3.2.1Przsz dey bir duvara bir top atlyor. Top duvaravarmadan hemen nce hznn iddeti V dir ve yatayla 300lik bir ayapmaktadr. 0,90e olduu bilindiine gre , top geri frlad anda hznniddetini ve dorultusunu bulunuz .zm :

2

yV 2V 10,5V

xV 32,70

10,779V

1xV

1V 30

0

1y

V

Duvara arpmadan nce Duvara arptktan sonraTopun momentumunun dey bileeni korunur.

1 2

y ym V m V 1 2

y yV V

0

11 sin30yV V , 11 0,5yV V , 12 0,5yV V


49/70

127

Yatay dorultudaki toplam momentumun korunumu denklemi yerine budorultudaki arpma katsays denklemi yazlabilir.

2 2 1 1[ ]Bx Ax Ax Bx V V e V V 2 10 [ 0]x xV e V

012 0, 9 cos 30xV V , 12 0,779xV V

22

2 2 2x y

V V V , 2 2

2 1 10, 779 0, 5V V V , 2 10,926V V

2

2

arctan[ ]y

x

V

V , 1

1

0,5arctan( )

0,7794

V

V , 032,68

Problem 8.3.2.2Birbirinin ayn iki przsz topun arpmadan ncekihzlarnn iddet dorultu ve ynleri ekilde verilmitir. 0.9e kabul ederektoplarn arpmadan sonraki hz vektrlerini bulunuz.

y

m m x

300 600

1

9 /AV m s

1

12 /BV m s

Toplarn her birisi iin arpma dorusuna dik dorultudaki momentum

korunur.

1 2A Ay A Ay

m V m V 01 2

9 sin30Ay Ay V V

1 2B By B By

m V m V 01 2

12 sin 60By By V V

ki toptan oluan sistemin tm iin momentumun arpma dorultusundakibileeni korunur.

1 1 2 2A Ax B Bx A Ax B Bx

m V m V m V m V

A Bm m m

1 1 2 2Ax Bx Ax Bx

V V V V 0 02 2

9cos30 12cos60 Ax Bx V V

arpma katsays ile bal hzlar arasndaki bant

2 2 1 1[ ]Bx Ax Ax Bx V V e V V

0 0

2 2 0,9[9cos30 ( 12cos60 )]Bx Ax V V

Bu iki denklemi taraf tarafa karrsak

0 0

2 2

0 0

2 2

9cos30 12cos60

0,9[9cos30 12cos60 ]

Ax Bx

Bx Ax

V V

V V

2

2

7,1045 /

5,3103 /

Bx

Ax

V m s

V m s

0 0 0 02

2 9 cos 30 12 cos 60 0, 9[9 cos 30 12 cos 60 ]BxV

2 22A Ax Ay V V i V j 2 5, 31 4,5 ( / )AV i j m s

2 22B Bx By V V i V j 2 7,1045 10, 392 ( / )BV i j m s


50/70


51/70


52/70


53/70


54/70


55/70

133

V

V ( )S A

dB bd b V n dA

dt t

Leibnitz kural

V V

V V ( )AA

d bb d d b V n dAdt t bu denklem

SV V

V V ( )A

A

d db d b d b V V n dA

dt dt denkleminde yerine yazlrsa

SV V

V V ( )A

d bb d d b V n dA

dt t

denklemi elde edilir.

V

V ( )S A

dB bd b V n dA

dt t

Reynolds nakil teoremi

Yn zellik(ekstensif) B

Hacme greYoun zellik

vb b

Ktleye greYoun zellik

b

Ktle m 1Hacim V 1 v

Momentum mV V V

Asal Momentum r mV r V r V

Enerji E3

( / )vE kJ m e e

8.7.2 Sreklilik denklemiB m , b Reynolds nakil teoreminde yerine yerletirilirse

V

V ( )A

S A

dB db d b V V n dA

dt dt

V

0 V ( )A

S A

dm dd V V n dA

dt dt

V VV V ( )A

A

dd d V n dAdt t

Leibnitz kural ile birlikte aadaki denklemevarlr.

V

V ( ) 0A

d V n dAt

V

V ( ) 0A

d V n dAt

Sreklilik denklemi elde edilir.Eer zamandan bamsz ise sreklilik denklemi

( ) 0A

V n dA ekline indirgenir.


56/70

134

Problem 8.7.2.1

ekildekiT dirseinde dirsee 1 30R cm yarapl borudan giren svnn

hz 1 2 /V m s olduuna gre 2 10R cm ve 3 20R cm yarapl

borulardan k hzlar olan2

V ve3

V hesaplaynz.

3A

2A

2n

3V

3n

2V

1A

1n

1V

( ) 0A

V n dA 1 1 2 2 3 3 0V A V A V A 2

1 1

A R , 21

0,09A m , 22 2

A R , 22

0,01A m , 23 3

A R , 23

0,04A m

2 32 0, 09 0, 01 0, 04 0V V 2 34 18V V

2

3

0,04

0,01

V

V

2

3

4V

V 2 34 0V V

2 9 /V m s , 3 2, 25 /V m s

8.7.3 Zamana gre deimiyen(sabit rejim) ktle akm( )d mV

Fdt

V

V ( )S A

dB bd b V n dA

dt t

denkleminde B mV , b V alnrsa

V

( ) ( )V ( )

A

d mV V F d V V n dA

dt t

V

( )V ( )

A

VF d V V n dA

t

denklemi elde edilir. Zamana gre deiim olmadna gre sa taraftakibirinci terim sfr olur.

( )A

F V V n dA

Eer A ile giri k blgelerinin alanlar gsterilir ve bu blgelerde ve

V hzlar sabit alnrsa debi Q AV eklinde yazlr.

x xxF Q V , y yyF Q V , z zzF Q V


57/70

135

Problem 8.7.3.1

Bir yangn hortumu1

V ilk hz ile su fkrtyor. Akmn enkesit alan A

olduuna gre Pla hareketsiz tutmak iin gerekli P kuvvetinin iddetiiin bir ifade karnz. 220A cm , 1 30 /V m s iin saysal deeri

hesaplaynz.

1V P

zm:

( )A

F V V n dA x xxF Q V 1 1P V A V

1 1P V A V ,31000 /kg m , 4 220 10A m

41000 30 20 10 30P , 1800 .P N

Problem 8.7.3.2

Bir lle , kesit alan A olan bir su akmn 1V hz ile fkrtmaktadr. Suakm saa doru sabit V hz ile hareket eden bir tek palet tarafndanyolundan saptrlmaktadr. Suyun palet boyunca sabit hzla hareket ettiinikabul ederek

a) Paletin su akmna uygulad F kuvvetinin bileenlerinib)

Maksimum g salayan V hzn hesaplaynz.

1V

V


58/70

136

zm :

1V V

1V V

xF

V yF

a) ( )A

F V V n dA x xxF Q V , y yyF Q V

x xxF Q V 1 1 1 1( )( ) ( )( ) cosxF A V V V V A V V V V

2

1( ) (1 cos )xF A V V

y yyF Q V 1 1( )( )sinyF A V V V V

2

1( ) sinyF A V V

b)

xG F V 2

1( ) (1 cos )G A V V V

0

d G

dV dan maksimum g iin gerekli palet hz bulunur.

2 2 2

1 1 1( ) 2V V V V VV ,2 2 3 2

1 1 1( ) 2V V V VV V V V 2 3 2

1 1( 2 )(1 cos )G A VV V V V

2 21 1( 3 4 )(1 cos ) 0

d GA V V VV

dV 2 21 13 4 0V V VV

2 2

1 13 4 0V V VV 1V V ve 11

3V V

maksimum g iin1

1

3V V olmaldr.


59/70


60/70

138

V

V ( )d

V d mV t dt

( ) ( )ba

A

dF mV V V n dA

dt

( )d dV dmmV m V dt dt dt

Sistemden k yzeyi boyunca hzlar ayn formda ise integral ilemiaadaki gibi yaplabilir.

( )

( )( ) ( )ba ba ba

A k

dmV V V n dA V V

dt

R F

( )ba

dV dm dmR m V V V

dt dt dt

ba

dV dmm R V

dt dt

Bu son denklemdekiba

dmV

dt terimi R d kuvveti gibi farkl bir

ivmelendirici kuvvet roln oynamaktadr. Bundan dolay bu terime roketiin itici kuvvet denir.

Roketin itici kuvveti : bai

dmF V

dt

8.7.5.1 Roketin statik denenmesi

baV

iF

Roket motorunun karakteristii roket bir tabloya balanarak denenir. Bu

deneyde roketin ivmesi sfr olduundan roketin tabloya uyguladkuvvet

iR F

ba

dmR V

dt

olur.


61/70


62/70

140

Bir saysal rnek olarak bir roketigezegenler aras bir yolculua yollamakiin 11,18 /mV km s ka hzna ulamak istersek yanmann uzun olmad

kabul ile 2 /baV m s k hz iin 267y

R

m

m bulunur. Buna gre 1kg

ktleli malzemeyi uzaya karmak iin 267 kg yakta ihtiya vardr.

Problem 8.7.5.2.1

Bir deney roketi 20 kgktleli bir gvde ve 180kgmiktarnda yakttanmeydana gelmitir. Yakt 4 /kg s hz ile tketiliyor ve 1500 /m s bal hzile dar atlyor. Dey olarak atelenen roketin kazanaca maksimumhz hesaplaynz. Hava srtnmesinin etkisini ihmal ediniz.

0V

(20 180)g

1500 /baV m s

zm:

max ln(1 )

y

y baR

m

V g t V m

180

4y

t , 45yt s

max

1809, 81 45 1500 ln(1 )

20V

max 3012,4 /V m s

max 10845 /V km saat


63/70

141

8.8 Rijid cismin hareketinde impuls ve momentum ilkesi

y

VdmA

/A Gr dm

G

Gr

V

x

o

z

Cismin toplam momentumu

AV

L V dm

Ktle merkezinin forml

V

V

OAdm

OGdm

eklinde olduundan bu denklemin her iki tarafnn zamana gre trevialnrsa

G AV

mV V dm

elde edilir. AV

L V dm lineer momentum denkleminin sa tarafndaki integral

yerineG

mV yazlrsa rijid cismin hareketindeki

G

L mV

lineer momentum denklemi elde edilir.

Bir diferansiyel ktleninA

V dm lineer momentum vektr sadanAr vektr ile

vektrel olarak arplrsa ayn diferansiyel ktlenin asal momentum vektrelde edilir. Tm ktlenin asal momentumu diferansiyel ktlelerin asalmomentumlarnn integrali ile elde edilir.


64/70

142

O A AV

H r V dm

Burada

/

A G A G

r r r

/ A G A G V V V

/ /( ) ( ) O G A G G A G V

H r r V V dm

/ / / /[ ( )] [( ) ] [( ) ] O G G A G A G G A G A G V V V

H r dm V V r dm V r dm V

/ / / /( ) ( ) [( ) ] ( ) O G G G A G A G G A G A G V V V V

H r V dm r V dm r dm V r V dm

ktle merkezinin yer vektrnden dolay / 0 A GV

r dm ve / 0 A GV

V dm dr.

Bu durumda asal momentum

/ /( ) ( ) O G G A G A G V V

H r V dm r V dm

denklemine indirgenir. Burada sa taraftaki birinci integral aadaki gibi

( ) G G G G V

r V dm r mV

veya

G G G G G

G G Gx y Z

i j kr mV x y z

mV mV mV

( ) ( ) ( ) G G G G G G G G G G G G G G z y x z y x

r mV m y V z V i m z V x V j m x V y V k

eklinde yazlabilir. kinci integral iin hesaplanacak olan

/ / A G A G V r

denkleminde diferansiyel ktlenin tm cismin ktle merkezine gre yervektrn ve cismin asal hz vektrn kartezyen koordinatlarda yazarakaadaki ilemler yaplabilir.

/ A Gr xi yj zk

x y z

i j k

/ / A G A G x y z

i j k

V r

x y z


65/70

143

/ ( ) ( ) ( ) A G y z z x x y V z y i x z j y x k

/ /

A G A G

y z z x x y

i j k

r V x y z

z y x z y x

/ /

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )

A G A G

x y z x y z x y z x y z

r V

y xy xz z i z yz xy x j x xz yz y k

2 2( ) x

V

I y z dm , 2 2( ) yV

I x z dm , 2 2( ) zV

I x y dm

eitlikleri ktle merkezinden geen x , y ve z eksenlerine paralel olan eksenleregre atalet momentlerini

xyV

I xydm , xzV

I xzdm , yzV

I yzdm

eitlikleri ise arpm atalet momentlerini gsterdiine gre

/ / A G A G

V

r V dm integrali

/ / ( ) ( ) ( ) A G A G x x xy y xz z y y xy x yz z z z xz x yz y V

r V dm I I I i I I I j I I I k

formunda yazlr. Bu denklemle birlikte asal momentum denklemi aadakiformda yazlabilir.

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] z y x z O G G G G x x xy y xz z G G G G y y xy x yz z

H m y V z V I I I i m z V x V I I I j

[ ( ) ( )] y xG G G G z z xz x yz y

m x V y V I I I k

Eer ktle merkezinden geen eksenler asal eksenler ise asal momentumdenklemi

[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] z y x z y x O G G G G x x G G G G y y G G G G z z

H m y V z V I i m z V x V I j m x V y V I k

ekline gelir.

Sabit bir nokta etrafnda dnme hareketinde de benzer ilemler yaplrsa bu sabitnoktaya gre asal momentum

( ) ( ) ( ) O x x xy y xz z y y xy x yz z z z xz x yz y

H I I I i I I I j I I I k

denklemi elde edilir. Burada , , , , ,x y z xy xz yz

I I I I I I sabit noktadan geen eksen

takmna gre atalet momentleridir.Eer eksenler asal eksenler ise asalmomentum denklemi

O x x y y z z

H I i I j I k

denklemine indirgenir.


66/70

144

Genel dzlemsel harekette asal momentum[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]

y x y x O G G xz z G G yz z G G G G z z H m z V I i m z V I j m x V y V I k

ekline indirgenir. Genel dzlemsel harekette ktle merkezinden geen eksenlerasal eksenler ise asal momentum denklemi

( ) ( ) [ ( ) ] y x y x O G G G G G G G G z z H m z V i m z V j m x V y V I k

eklinde yazlabilir.

Sabit bir ekseni etrafnda dnme hareketinde bueksene gre asal momentumifadesi

H I

skaler denklemine indirgenir. Burada I rijid cismin eksenine gre atalet

momentidir.

Problem 8.8.1 ekildeki sistemde 3 kg ktleli A dili arknn atalet yarap80 mm dir. 10kg ktleli B diliarknnatalet yarap ise 200 mm dir. Adiliarkna 6AM Nm iddetinde bir moment uygulandnda sistem

hareketsizdir. Srtnmeleri ihmal ederek.a)

A dili arknn asal hznn 600 dev/dak ulamas iin geen zamanb)

A dili arknn B dili arkna uygulad teetsel kuvveti bulunuz.

250BR mm

6AM Nm

A B

100AR mm


67/70

145

zm:250BR mm

6AM Nm

A B

100AR mm

A dili ark iin impuls momentum ilkesi( impuls ve momentumun A yegre momenti):

6AM Nm

100AR mm

TF

1 21 2

A AH I mp H

11 A A AH I , 22 A A AH I 23 (0.08) AI ,

20,0192 .AI kg m

1

0 A

, 2

600 2 / 60 A

, 2

62,832 / A

r ad s

1

0A

H , 22

0, 0192( . ) 62, 832 ( / ) A

H kg m rad s , 2

1, 2064 .A

H Nm s

1 2 T AI mp M t F R

1 21 2

A AH I mp H 1, 2064 . T AM t F t R Nm s

6 0,1 1, 2064 . T

t F t Nm s


68/70

146

B dili ark iin impuls momentum ilkesi (impuls ve momentumun B ye gremomenti:

TF 250BR mm

B

1 21 2

B BH I mp H

11 B B BH I , 22 B B BH I 210 (0.2) BI ,

20, 4 .BI kg m , 2100

600 2 / 60250

B

, 2

25,13 / B

r ad s

1

0B

H , 22 B B BH I , 2

20, 4 . 25,13 /

BH kg m rad s

2 10, 052 .BH Nm s 1 2 T BI mp F t R , 1 2 0,25 TI mp F t

1 21 2

B BH I mp H ( ) ( ) 0, 25( ) 10, 052 . TF N t s m Nm s

40,21 . T

F t N s

6 0,1 1, 2064 . T

t F t Nm s 6 40, 21 0,1 1, 2064 t 0,871t s

40, 21 . T

F t N s 0,871 40, 21 T

F 46,17T

F N


69/70

147

BLM 9

DALAMBERT LKES

9.1DAlambert ilkesiBir maddesel sistemin hareketinden dolay bir t annda meydana gelen atalet

kuvvetleri aktif d kuvvetlerle birlikte gz nne alnrsa sistembtn bukuvvetlerin etkisi altnda t anndaki konumunda dengede ( dinamik denge )

bulunur.

Newton un ikinci hareket yasas F ma denklemi DAlambert ilkesinde

0 F ma eklinde yazlr.Dalambert ilkesi ile Kinetik problemleri statik problemlerine dntrlmolur.

9.2 Lagrange tarznda DAlambert ilkesiBir maddesel sistemin herhangi bir virtel yer deitirmesinde sisteme etki edenaktif kuvvetlerin ve sistemin atalet kuvvetlerinin virtel ilerinin toplam sfrveya sfrdan kktr. (Balar ift tarafl ise sfrdr.)

y

m1 m2

ia mi iF

o x

z

1

( ) 0

n

i i i i

i

F m a r

Balar ift tarafl ise (Holonom sistemler):

1

( ) 0

n

i i i i

i

F m a r


70/70

Problem 9.2.1

ekildeki sistemde A cisminin ivmesini verilen konum iin bulunuz.

mCg

BC RBBD C aC ICC IBB B

RD mCaC C RCD

D f

N

IDD mAg mAaA

mEg mEaE x

xEaE aA

Bu sisteme balara uygun bir x virtel yerdeitirmesi verilirse A ve Ecisminin arl ile atalet kuvvetleri i yapar.

0A E E A A B B B C C C C C C D D D E E E=m g x m g x m a x I m a x I I m a x

BB

x

R

,2

C

xx

,2

C

C

x

R

,2

D

D

x

R

,2

E

xx

AB

B

a

R ,

2

AC

aa ,

2

AC

C

a

R ,

2

AD

D

a

R ,

2

AE

aa

21

2B B BI m R ,

21

2C C CI m R ,

21

2D D DI m R

2 2

2

1 1

2 2 2 2 2 2 2

10

2 2 2 2 2

A A AA E A A B B C C C

B B C C

A AD D E

D D

a a ax x x x=m g x m g m a x m R m m R

R R R R

a ax xm R m

R R

1 1 1 1 1 1 02 2 4 8 8 4

A E A A B A C A C A D A E Am g m g m a m a m a m a m a m a

1 3 1 1 1

2 8 8 4 2A A B C D E A Ea (m m m m m ) m g m g

1A Em g m g 8 4

Documents

KİNETİKDiğer h. Bayıroğlu