KINEMATYKA czyliopisruchu - Fizyka nie tylko dla ...mtalar.niedzwiedz.pl/lekcje/kinema/kinematyka.pdf7 Kinematykaczyliopisruchu 2.3 Prędkośćiszybkośćchwilowa Prędkością chwilową

KINEMATYKAczyli opis ruchu

Marian Talar

1 października 2006

2 Kinematyka czyli opis ruchu

1 Podstawowe pojęciaKinematyka jest działem fizyki, który zajmuje się tylko opisem ruchu ciał. Wruchu postępowym ciało zastępuje się odpowiadającym mu punktem mate-rialnym, czyli punktem, któremu przypisuje się masę równą masie danegociała. Opis ruchu polega na podaniu zależności położenia ciała od czasu~r(t). W celu ustalenia położenia wybiera się układ odniesienia i wiąże sięz nim układ współrzędnych. Najczęściej jest to układ kartezjański.

1.1 Układ odniesienia

Układ odniesienia służy do określenia położenia ciała (punktu materialnego).Jest to wybrane przez nas ciało lub układ ciał, z którym wiążemy układwspółrzędnych (najczęściej układ kartezjański).

Przykłady układów odniesienia:

Układem odniesienia Σ przedstawionym na powyższej ilustracji jest szosa.Początek układu wybrano w miejscu znaku drogowego.

W powyższym przykładzie za układ odniesienia∑

służy łódka. Jeżeli łódkaporusza się względem brzegu rzeki to względem brzegu układ

∑jest w ruchu.

Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl


Opisując ruchy ciał w układzie∑

musimy pamiętać, że względem tegoukładu brzeg rzeki porusza się.

1.2 Położenie

Położeniem punktu materialnego P w wybranym układzie odniesienia nazywasię wektor wodzący ~R o początku w początku układu współrzędnych Oi końcu w punkcie P. W układzie kartezjańskim w przypadku dwuwymi-arowym i w danej chwili czasu t

~R(t) = [x(t), y(t)]

O

P

x

y

~R(t)

x(t)

y(t)

Jeżeli chcielibyśmy określić położenie ciała w przestrzeni należałoby po-dać jeszcze trzecią współrzędną z(t). Gdy ruch odbywa się wzdłuż prostejwtedy dla określenia położenia ciała wystarcza tylko jedna współrzędna x(t).Niepotrzebny jest wówczas zapis położenia za pomocą wektora ~R(t) gdyż po-danie współrzędnej punktu na osi liczbowej jednoznacznie określa położenietego punktu na osi.

1.3 Transformacja współrzędnych

Ponieważ wybór układu odniesienia i związanego z nim układu współrzęd-nych jest dowolny, przy jego wyborze kierujemy się przede wszystkim prostotąopisu ruchu. Czasami zachodzi potrzeba przejścia od opisu położenia w jed-nym układzie do opisu położenia w innym układzie współrzędnych. Przejścieto nazywa się transformacją współrzędnych.

Niech będą dane dwa układy współrzędnych XOY (oznaczmy go jako∑) i X’O’Y’ (

∑′). W danej chwili są one tak położone względem siebie, żepołożenie początku

∑′ względem układu ∑ dane jest wektorem ~R, natomiastpołożenie punktu materialnego P względem układu

∑dane jest wektorem ~r.



P

xO

y

x’O’

y’

~R

~r ~r′

Wtedy położenie ~r ′ punktu P w układzie∑′ można wyrazić za pomocą

położenia ~r w układzie∑

poprzez

~r ′ = ~r − ~R (1)lub

~r = ~R + ~r ′ (2)

1.4 Ruch i spoczynek

Ruch jest zjawiskiem polegającym na zmianie położenia ciała wraz z upły-wem czasu w wybranym układzie odniesienia. Jeżeli względem wybranegoukładu odniesienia ciało nie zmienia położenia wraz z upływem czasu, tomówimy że ciało to spoczywa.

1.5 Opis ruchu

Opis ruchu w kinematyce polega na podaniu zależności położenia ciała odczasu. Zależność tę podaje się najczęściej w postaci funkcyjnej. Dla ruchuodbywającego się wzdłuż prostej jest to zależność współrzędnej x od czasu,czyli x(t). Dla ruchu na płaszczyźnie będzie to zależność wektora położe-nia od czasu czyli ~R(t) = [x(t), y(t)] wymagająca podania dwóch funkcji:x(t) i y(t). W przypadku ruchu w przestrzeni musimy podać trzy funkcjeczasu, po jednej funkcji dla każdej współrzędnej.Przykładowo:a) x(t)=3+2t ruch wzdłuż prostejb) ~R(t) = [2t2, 5− t] ruch na płaszczyźnie.W przykładzie b mamy:x(t)=2t2y(t)=5-t



1.6 Względność ruchu

Względność ruchu polega na tym, że opis ruchu danego ciała zależy odwyboru układu odniesienia. Na przykład dane ciało w jednym układzieodniesienia jest w spoczynku, a względem innego porusza się z pewną pręd-kością (kierowca w samochodzie jadącym szosą znajduje się w spoczynku wukładzie związanym z samochodem, którym kieruje, a w układzie związanymz szosą ten sam kierowca jest w ruchu).

1.7 Tor ruchu

Wszystkie położenia ciała w przedziale czasu 〈t0, t〉 tworzą krzywą, wzdłużktórej porusza się ciało. Krzywą tę nazywa się torem ruchu lub trajek-torią.

O x

y

~r

~r0

Na powyższym rysunku przedstawiono tor ruchu ciała, gdzie ~r0 = ~r(t0) jestpołożeniem początkowym, a ~r = ~r(t) jest położeniem końcowym.

1.8 Droga

Długość toru, który ciało przebyło w pewnym czasie nazywa się drogą.!!! Ponieważ droga jest zdefiniowana jako długość pewnej linii więc jestzawsze wielkością nieujemną.



1.9 Przemieszczenie ciała

O

QP ∆~r

x

y

~r2

~r1

Przemieszczeniem ciała nazywa się wektor ∆~r = ~r2 − ~r1 o początkuw punkcie P będącym położeniem ciała we wcześniejszej chwili t1 i końcuw punkcie Q, będącym położeniem ciała w późniejszej chwili t2.

2 Prędkość i przyspieszenie:dwie podstawowe charakterystyki ruchu

2.1 Prędkość średnia

Prędkość średnia z definicji jest równa

~vsr =∆~r

∆t(3)

gdzie ∆~r jest przemieszczeniem jakiego doznało ciało w ciągu czasu równego ∆t.Czas ∆t może być dowolnie długi. Prędkość średnia jest wektorem, któregokierunek pokrywa się z wektorem przemieszczenia, którego ciało doznało wczasie ∆t. Jeżeli wektor przemieszczenia równy jest 0 to również prędkośćśrednia jest wektorem zerowym.

2.2 Szybkość średnia

Szybkością średnią z definicji nazywamy

vsr =∆s

∆t(4)

gdzie ∆s oznacza drogę, czyli długość toru, którą ciało przebyło w czasie ∆t.Szybkość średnia nie jest na ogół równa wartości wektora prędkości średniej.



2.3 Prędkość i szybkość chwilowa

Prędkością chwilową ~v w chwili t, lub krótko prędkością ciała w chwili tnazywa się graniczną wartość prędkości średniej liczonej dla nieskończeniekrótkiego czasu ∆t w przedziale od t do t + ∆t:

~v(t) = lim∆t→0

∆~r

∆t=

d~r

dt(5)

Wyrażenie

lim∆t→0

∆~r

∆tczytamy:granica przy ∆t zmierzającym do zera z ilorazu przemieszczenia ∆~r przez ∆t(lim z łac. limes oznacza granicę). Należy to rozumieć w ten sposób, żebierzemy coraz krótsze przemieszczenia ciała w kolejnych coraz krótszychprzedziałach czasu i obliczamy ich iloraz. Iloraz ten, gdy zbliżamy się z przedzi-ałem czasu do zera, ustala się i graniczną wartość definiujemy jako prędkośćchwilową w chwili t. Wyrażenie

d~r

dtjest innym oznaczeniem tego samego przejścia granicznego.Prędkość chwilowa jest wektorem, którego kierunek, wartość i zwrot zależąod czasu. W każdej chwili czasu t wektor ten jest styczny do toru ruchuw punkcie, w którym znajduje się ciało w tej chwili. Definicję prędkościchwilowej i procedurę jej obliczania ilustruje poniższy rysunek.

Wartość wektora prędkości chwilowej nazywa się szybkością chwilową.Szybkość chwilowa jest dana zależnością

v(t) = |~v(t)| = lim∆t→0

∆s

∆t=

ds

dt(6)



Przykład obliczania prędkości chwilowejw ruchu na płaszczyźnie

Matematyczna dygresja

Jeżeli wektor−→R = [x1, y1], a wektory

−→i oraz

−→j są wektorami jednos-

tkowymi dla osi odpowiednio Ox i Oy to wektor−→R można zapisać w postaci

sumy dwóch wektorów:

−→R = x1 · −→i + y1 · −→j

O x

y

~R

x1

y1

−→i

−→j

x1 · −→i

y1 · −→j

Wektory x1 · −→i oraz y1 · −→j nazywa się składowymi wektora −→R .

Dany jest opis ruchu ciała poruszającego się w płaszczyźnie względem pewnegoukładu odniesienia XOY zawartego w tej płaszczyźnie, czyli zależność położe-nia od czasu: −−→

R(t) = [x(t), y(t)] (7)

Wektor położenia można rozłożyć na składowe i zapisać w postaci

−−→R(t) = x(t) · −→i + y(t) · −→j (8)



Ponieważ wektory−→i oraz

−→j są stałymi wektorami jednostkowymi, więc nie

zależą od czasu. Na podstawie wzoru (5) definiującego prędkość możemynapisać, że

−−→v(t) = lim

∆t→0∆−−→R(t)

∆t= lim

∆t→0∆x(t)

∆t· −→i + lim

∆t→0∆y(t)

∆t· −→j (9)

Ponieważ prędkość jest wektorem więc podobnie jak wektor położenia−−→R(t)

możemy ją rozłożyć na składowe i napisać

−−→v(t) = υx · −→i + υy · −→j (10)

gdzie υx i υy są składowymi prędkości odpowiednio w kierunku osi Ox i osiOy. Porównując wzory (9) i (10) widzimy że składowe prędkości otrzymujemyz obliczenia granic dla każdej składowej wektora położenia oddzielnie:

υx = lim∆t→0

∆x(t)

∆t(11)

υy = lim∆t→0

∆y(t)

∆t(12)

3 Podział ruchówRuchy ciał dzieli się pod kątem dwóch kryteriów: kształt toru i szybkość. Zewzględu na kształt toru ruchy dzieli się na dwie kategorie: ruchy prostolin-iowe i krzywoliniowe. Wśród ruchów krzywoliniowych na szczególną uwagęzasługuje ruch po okręgu. Ze względu na szybkość można wyróżnić ruchy:jednostajne, jednostajnie zmienne i ruchy niejednostajnie zmienne.Obydwa podziały mogą się wzajemnie krzyżować, to znaczy że ruch pros-toliniowy może być ruchem jednostajnym lub jednostajnie zmiennym, czyniejednostajnie zmiennym.

Ruch prostoliniowy jest szczególnie łatwy do opisu ponieważ położenieciała daje się opisać za pomocą jednej tylko współrzędnej x(t), jeżeli układwspółrzędnych wybierzemy tak, aby oś OX pokrywała się z torem ruchu.



y

xO ~r(t) P

Wektor położenia ~r(t) = [x(t), 0], więc zamiast ~r(t) wystarczy do opisu ruchupodać zależność współrzędnej x od czasu, t.j. x(t).

3.1 Ruch jednostajny prostoliniowy

Ruch jednostajny prostoliniowy jest to taki ruch, w którym w równych odstę-pach czasu ciało pokonuje jednakowe drogi oraz torem jego ruchu jest liniaprosta.

Definicja powyższa oznacza, że droga pokonywana przez ciało jest wprostproporcjonalna do czasu i

∆s = |x(t + ∆t)− x(t)| = ∆x (13)Tak więc droga w ruchu jednostajnym prostoliniowym przebyta w czasie ∆tjest równa wartości bezwzględnej z różnicy pomiędzy współrzędnymi położe-nia x w chwilach odpowiednio t + ∆t i t.Z proporcjonalności drogi do czasu wynika zaś, że szybkość chwilowa ciałajest stała.

v = lim∆t→0

∆s

∆t=

∆s

∆t= constans (14)

Niech x oznacza położenie ciała w chwili późniejszej t, a x0 położenie w chwilipoczątkowej t0. Wtedy ∆x = |x− x0|, ∆t = t− t0 oraz

v =∆x

∆t(15a)

=|x− x0|t− t0 (15b)

Jeżeli przyjmiemy, że chwilą początkową t0 jest t0 = 0, to przekształcającrównanie 15b otrzymamy

|x− x0| = vt (16a)Jeżeli ciało porusza się zgodnie ze zwrotem osi Ox, to x > x0 bo x jestpołożeniem ciała w chwili późniejszej, i

|x− x0| = x− x0 , (17a)



jeżeli zaś ciało porusza się w stronę przeciwną do zwrotu osi Ox, to x < x0i różnica x− x0 < 0, a wtedy

|x− x0| = −(x− x0) (18a)= −x + x0 (18b)

Tak więc opis ruchu jednostajnego prostoliniowego ma następującą postać:

x(t) = x0 + vt (19)

gdy ciało porusza się z prędkością zwróconą zgodnie ze zwrotem osi Ox, lub

x(t) = x0 − vt (20)gdy ciało porusza się z prędkością zwróconą przeciwnie do zwrotu osi Ox.Używając pojęcia wektora wodzącego ~r(t) i wektora prędkości ~v, który w ruchujednostajnym prostoliniowym jest wektorem stałym (nie zmienia się ani jegowartość, czyli inaczej szybkość, ani kierunek, ani zwrot) możemy równania19 i 20 zastąpić jednym:

~r(t) = ~r0 + ~vt (21)

gdzie ~r0 jest wektorem wodzącym ciała w chwili początkowej t0. Równanie21 jest ważne również wówczas, gdy oś Ox układu odniesienia niekonieczniepokrywa się z prostą będącą torem ruchu ciała. Widać na tym przykładzie,że równanie w postaci wektorowej jest zawsze wygodniejsze, ponieważ możezastąpić kilka równań oraz jest opisem znacznie ogólniejszym.

3.2 Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

3.2.1 Przyspieszenie

Ruchem jednostajnie zmiennym prostoliniowym nazywamy taki ruch, w cza-sie którego prędkość ciała wzrasta o taką samą wartość w równych odstępachczasu oraz torem ruchu jest linia prosta.

Zmianę prędkości w ruchu jednostajnie zmiennym charakteryzuje się przezokreślenie wielkości zwanej przyspieszeniem.

W ogólnym przypadku przyspieszeniem nazywa się wektor ~a równy

~a = lim∆t→0

∆~v

∆t(22)

W ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym przyspieszenie jest stałeponieważ zgodnie z definicją przyrost prędkości jest proporcjonalny do czasua jego wartość wynosi

a =v(t + ∆t)− v(t)

∆t= constans (23)



Jeżeli szybkość w chwili późniejszej, t.j. w chwili t + ∆t jest większa niższybkość we wcześniejszej chwili t, czyli zachodzi

v(t + ∆t) > v(t) (24)

wtedy, jak wynika z równania (23) przyspieszenie ma wartość dodatnią,a ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym. Gdy zaś szybkość w chwilipóźniejszej, t.j. w chwili t + ∆t jest mniejsza niż szybkość we wcześniejszejchwili t, czyli zachodzi

v(t + ∆t) < v(t) (25)

wtedy z równania (23) wynika, że przyspieszenie ma wartość ujemną, a ruchnazywa się ruchem jednostajnie opóźnionym.

Niech∆t = t− t0 (26)

gdzie t0 jest chwilą początkową, a t jakąś późniejszą chwilą ruchu. Wtedy

t0 + ∆t = t0 + t− t0 = t (27)oraz

v(t0 + ∆t) = v(t) (28)

Jeżeli w równaniu (23) za wcześniejszą przyjmiemy chwilę t0, wtedy otrzy-mamy

a =v(t0 + ∆t)− v(t0)

∆t(29)

Wykorzystując związki (26) oraz (28) w ostatnim równaniu, otrzymamy

a =v(t)− v(t0)

t− t0 (30)

Chwili początkowej t0 zwyczajowo przypisuje się wartość 0, zaś szybkośćw chwili t0 oznacza się jako υ0 i nazywa szybkością początkową. Przyj-mując te oznaczenia przyspieszenie można zapisać w postaci

a =v(t)− v0

t(31)

Stąd po przekształceniu otrzymujemy zależność szybkości od czasu dla ruchujednostajnie zmiennego w postaci

v(t) = v0 + a · t (32)Jest to zależność liniowa, a jej wykres przedstawia się następująco:



υ

czas

υ0

t0 = 0 t

3.2.2 Droga w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym

Aby obliczyć drogę, którą ciało przebyło w czasie t poruszając się ruchemjednostajnie przyspieszonym, jeżeli jego szybkość początkowa wynosiła υ0wykorzystamy powyższy wykres zależności prędkości od czasu. W tym celunależy obliczyć pole powierzchni trapezu pod wykresem szybkości. Wysokośćtrapezu wynosi t, krótsza podstawa trapezu ma długość υ0 a dłuższa pod-stawa zgodnie ze wzorem (32) υ0 + at. Ze wzoru na pole trapezu mamy

s =1

2(υ0 + υ0 + at)t (33)

a po przekształceniu

s = υ0t +1

2at2 (34)

W ruchu jednostajnie opóźnionym w późniejszej chwili t szybkość ciała jestmniejsza i wynosi υ0−at więc obliczając pole trapezu będziemy mieli dłuższąpodstawę równą υ0, a krótszą υ0− at, stąd wzór końcowy na drogę przyjmiepostać

s = υ0t− 12

at2 (35)

3.2.3 Położenie w ruchu jednostajnie zmiennym

Aby obliczyć położenie ciała w dowolnej chwili czasu w ruchu prostoliniowymnależy do położenia początkowego dodać przebytą drogę, jeżeli ciało poruszasię w kierunku zgodnym ze zwrotem osi położenia lub odjąć przebytą drogęw przeciwnym przypadku. Tak więc w ruchu jednostajnie przyspieszonym



w pierwszym przypadku będziemy mieli

x(t) = x0 + υ0t +1

2at2 (36)

natomiast w drugim przypadku

x(t) = x0 − υ0t− 12

at2 (37)

Dla ruchu jednostajnie opóźnionego otrzymamy odpowiednie wzory wstaw-iając wyrażenie na drogę dane wzorem (35).

3.2.4 Wykresy zależności drogi, prędkości i przyspieszenia od czasudla ruchów jednowymiarowych

a) ruch jednostajnys

t

s(t) = υtυ

t

υ = const > 0

zwrot prędkości zgodny ze zwrotem osi położenia Oxυ

t

υ = const < 0

zwrot prędkości przeciwny do zwrotu osi położenia Ox



b) ruch jednostajnie przyspieszony

s

t

s(t) = υ0t +1

2at2

υ

υ0

t

υ(t) = υ0 + at

a

t

a = const > 0

c) ruch jednostajnie opóźniony

s

tυ0a

s(t) = υ0t− 12at2



υ

υ0

t

υ(t) = υ0 − at

a

t

a = const < 0

3.3 Ważne przykłady ruchów zmiennych prostoliniowychi krzywoliniowych

3.3.1 Spadek swobodny

Spadkiem swobodnym z wysokości h nazywa się ruch ciała upuszczonegoz niedużej wysokości z prędkością początkową równą 0, w którym zaniedbu-jemy opór powietrza. Jest to ruch jednostajnie przyspieszony z przyspiesze-niem ziemskim g

g ≈ 9, 81 ms2

(38)

Jeżeli oś Ox układu współrzędnych skierujemy pionowo w górę, a jej początekwybierzemy w punkcie zderzenia ciała z ziemią wtedy zależność położenia odczasu dla spadającego ciała na podstawie wzoru (37) ma postać:

x(t) = h− 12

gt2 (39)

We wzorze (37) dokonujemy następujących podstawień:

x0 = h

υ0 = 0



a = g

Zależność prędkości od czasu w tym ruchu przyjmuje zgodnie ze wzorem (32)postać

υ(t) = gt (40)

3.3.2 Rzut pionowy

Rzut pionowy w dół Rzut pionowy w dół tym różni się od spadku swo-bodnego, że można go traktować jak spadek swobodny z prędkością początkowąυ0 6= 0. Więc we wzorze (39) dojdzie nam dodatkowy wyraz związany z pręd-kością początkową, skąd otrzymamy zależność położenia od czasu w postaci

x(t) = h− υ0t− 12

gt2 (41)

a ze wzoru (40) zależność prędkości od czasu w postaci

υ(t) = υ0 + gt (42)

Rzut pionowy w górę W przypadku rzutu pionowego w górę, przy takimjak poprzednio usytuowaniu układu współrzędnych mamy x0 = 0 oraz ciałuzostaje nadana prędkość początkowa υ0 skierowana pionowo w górę zgodnieze zwrotem osi Ox. Z uwagi na stałe przyciąganie grawitacyjne Ziemi ruchjest ruchem jednostajnie opóźnionym z opóźnieniem równym jak przy spadkuswobodnym wartości przyspieszenia grawitacyjnego g. Tak więc, aby otrzy-mać położenie ciała w dowolnej chwili t, do położenia początkowego x0 = 0musimy dodać drogę s = υ0t− 12gt2 w wyniku czego otrzymamy

x(t) = υ0t− 12gt2 (43)

Prędkość ciała wznoszącego się w górę maleje w miarę upływu czasu. Jejzależność od czasu ma postać

υ(t) = υ0 − gt (44)W pewnym położeniu na wysokości hmax szybkość ta osiąga wartość 0 i wtedyciało rozpoczyna spadek swobodny. Czas lotu tm na wysokość hmax możnaobliczyć z równania

0 = υ0 − gtm (45)Po przekształceniu otrzymujemy

tm =υ0g

(46)



Ciało wyrzucone pionowo w górę przyjmuje położenie x(t) = 0 dwukrotnie.Raz w chwili wyrzutu, a drugi raz w chwili gdy spadając swobodnie wracado położenia skąd zostało wyrzucone. Chwile t1 i t2, w których to następujemożna otrzymać z równania (43):

0 = υ0t− 12gt2 (47)

Jest to równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania

0 = t(υ0 − 12gt) (48)

czyli

t1 = 0 lub υ0 − 12gt2 = 0 (49)

Chwila t1 = 0 jest to chwila wyrzutu, a t2 = 2υ0g jest chwilą powrotu ciała dopołożenia skąd zostało wyrzucone. Widać, że t2 = 2tm (zobacz równanie 46),więc można stąd wywnioskować, że czas lotu ciała w górę na wysokość hmaxjest równy czasowi jego spadku swobodnego z tej samej wysokości.

Jeżeli ciało spada z dużej wysokości nie możemy zaniedbać oporu powi-etrza gdyż jego prędkość szybko osiąga dużą wartość, a to z kolei powodujeznaczny wzrost oporu powietrza i w rezultacie znaczący wpływ tego oporu,porównywalny z siłą ciążenia, na ruch ciała. Dlatego w powyższych opisachruchów przyjmuje się, że ciało spada z niedużej wysokości, lub prędkość początkowanadawana ciałom w tych rzutach nie jest duża.

3.3.3 Rzut poziomy

Rzut poziomy jest to ruch ciała, któremu w chwili początkowej nadano pręd-kość początkową w kierunku poziomym. Ciało w chwili wyrzutu znajduje sięna wysokości h nad ziemią.



Ruch ten należy do kategorii ruchów krzywoliniowych, niejednostajnie zmi-ennych. Odbywa się w płaszczyźnie, dlatego najwygodniej układ współrzęd-nych umieścić jest w płaszczyźnie ruchu ciała. Do znalezienia opisu tegoruchu posłużymy się zasadą niezależności ruchów, która stwierdza, żekażdy ruch ciała można rozpatrywać jako złożenie niezależnych ruchów skład-owych zachodzących w tym samym czasie (zobacz równanie (10)).

W przypadku rzutu poziomego ruch ciała rozkładamy na dwa ruchyskładowe odbywające się jednocześnie:

• ruch jednostajny prostoliniowy z prędkością υ0 zachodzący w kierunkupoziomym (ruch wzdłuż osi OX)

• spadek swobodny z wysokości h (ruch wzdłuż osi OY).Tak więc współrzędne położenia zależą od czasu w następujący sposób:

x(t) = υ0t (50)

y(t) = h− 12gt2 (51)

lub jeżeli chcemy to zapisać posługując się pojęciem wektora położenia

−−→R(t) = [υ0t, h− 1

2gt2] (52)

Prędkość wypadkowa w każdej chwili jest sumą składowych prędkości

• wkierunku osi OX: υx = υ0• w kierunku osi OY: υy = −gt

Składowa υy jest ujemna z uwagi na wybór układu współrzędnych: przyjęliśmy,że oś OY jest zwrócona w górę. Szybkość i kierunek wektora prędkości wdowolnej chwili t można wyznaczyć ze znajomości składowych wektora pręd-kości w tej chwili posługując się podstawowymi zależnościami trygonome-trycznymi i twierdzeniem Pitagorasa zastosowanymi do trójkąta prostokąt-nego, który tworzą te składowe i wektor prędkości.

υx

υyυ



Dla rzutu poziomego definiuje się zasięg rzutu, czyli współrzędną xpołożenia ciała w chwili zderzenia ciała z ziemią (współrzędna y ma wtedywartość 0).Z zależności współrzędnej y położenia od czasu znajdujemy czas t1, w którymwspółrzędna y(t) ma wartość zero.

0 = h− 12gt21 (53)

t1 =

√2h

g(54)

Wstawiając otrzymaną wartość czasu t1 do zależności współrzędnej x położe-nia od czasu otrzymamy zasięg rzutu z = x(t1):

z = υ0t1 = υ0

√2h

g(55)

3.3.4 Rzut ukośny

Rzut ukośny jest ruchem, w którym ciału nadaje się prędkość początkowąw kierunku nachylonym pod pewnym kątem do poziomu. Analiza jego prze-biega identycznie jak w przypadku rzutu poziomego, z tą różnicą, że ruchyskładowe na jakie rozkładamy ruch złożony, jakim jest rzut ukośny, są to:

• ruch jednostajny w kierunku poziomym z prędkością równą składowejpoziomej prędkości początkowej υ0x

• w kierunku pionowym: rzut pionowy w górę (lub w dół) z prędkościąpoczątkową równą składowej pionowej prędkości początkowej υ0y.

Wykorzystujemy przy tym wszystkie znane nam zależności dla ruchów skład-owych.

4 Względność prędkości. Transformacja GalileuszaJak wspomniano wcześniej ruch jest względny, czyli jego opis zależy odwyboru układu odniesienia. Ważne jest znalezienie związku między opisemruchu w dwóch układach odniesienia, które poruszają się względem siebieruchem jednostajnym prostoliniowym.

Dla uproszczenia przyjmiemy, że ruch ciała odbywa się w płaszczyźnie,w której wybrano układy X’O’Y’ i XOY. Niech układ X’O’Y’ porusza się



ruchem jednostajnym prostoliniowym względem układu XOY w kierunku osiOX z prędkością

−→V . Prędkość

−→V nazwiemy prędkością unoszenia, układ

XOY układem spoczynkowym, a układ X’O’Y’ układem ruchomym.

Y

XO

Y’

X’O’

Y’

X’O’

P(t+∆t)

P(t)

∆r

V·∆t∆r′

V

Rysunek przedstawia położenie układu ruchomego względem układu spoczynkowegow chwilach t i t + ∆t, oraz przemieszczenie

−→∆r ciała P w czasie ∆t wzglę-

dem układu spoczynkowego i przemieszczenie−→∆r′ tego samego ciała w tym

samym czasie względem układu ruchomego. Układ ruchomy przemieszczasię w czasie ∆t o wektor

−→V ·∆t.

Widać, że między przemieszczeniami−→∆r i

−→∆r′ zachodzi związek

−→∆r =

−→V ·∆t +−→∆r′ (56)

Dzielimy obydwie strony równania przez ∆t−→∆r

∆t=−→V +

−→∆r′

∆t(57)

Przechodząc z ∆t w granicy do zera otrzymamy−−→υ(t) =

−→V +

−−→υ′(t) (58)

Jest to tak zwane prawo Galileusza dodawania prędkości: prędkość ciałaP względem układu, w którym obserwator spoczywa jest równa prędkości ciaławzględem układu poruszającego się plus prędkość względna układu w ruchu.



Prawo Galileusza możemy wyrazić w sposób równoważny jako związekpomiędzy współrzędnymi położenia ciała w układzie spoczynkowym i w układzieruchomym. W tym celu ustalmy dla wygody, że w chwili początkowej t0 = 0początki obydwu układów pokrywają się z sobą i z położeniem początkowymciała P. Układ ruchomy porusza się prostoliniowo względem układu spoczynkowegow kierunku jego osi OX z prędkością względną

−→V . Osie OX i O’X’ obydwu

układów pokrywają się. W tej sytuacji wszystkie przyrosty współrzędnychmożna zastąpić współrzędnymi. Związek pomiędzy przemieszczeniami (56)można wówczas zapisać w postaci

[x, y] = [V, 0] · t + [x′, y′] (59)

a po dodaniu wektorów z prawej strony

[x, y] = [V · t + x′, y′] (60)

Oczywiście równość dwóch wektorów jest równoważna równości ich współrzęd-nych, więc ostatni związek pomiędzy wektorami można zapisać w postacidwóch równości:

{x = V · t + x′y = y′

(61)

Równania (61) noszą nazwę transformacji Galileusza. Godne uwagi jestto, że w tej transformacji czas w układzie ruchomym mierzony przez obser-watora znajdującego się w układzie spoczynkowym jest identyczny z czasemmierzonym przez tego obserwatora w swoim układzie, względem którego onspoczywa. Krótko mówiąc, czas t w transformacji Galileusza nie zależyod układu odniesienia.


Documents

KINEMATYKA czyliopisruchu - Fizyka nie tylko dla ...mtalar.niedzwiedz.pl/lekcje/kinema/kinematyka.pdf7 Kinematykaczyliopisruchu 2.3 Prędkośćiszybkośćchwilowa Prędkością chwilową