Prof. dr sci. Vlatko Dolecek

KINEMATIKA

Sarajevo. 2005.

Prof. dr sci. Vlatko Doleeck KINEMATIKA

Recenzenti: .' B'l ' P f I " Isak Karabcgovic, Tehnlckl fakultet l1ac fO ( r SC. k ", 1 S . p. f d sci. Stjcpan Maric, MasJ11skl faku tet araje,Yo p~:i. d:' sci. Avdo Voloder, Masinski fakultet Sarajevo lzdavac: Masinski fakultet Sarajevo Za izdavaca: Prof. dr sci. Stjepan Marie

Tiraz', 500 primjeraka Godina: 2005,

Stampa: DES - Sarajevo Na osnOVll Qdluke Senata UniVCfziteta u Sarajevu Je stampan kao univerzitetski ~dzbenik.

br: 01-1-958/05, ovaj udzbenik

-\ c~p _. Katalogizacija u publik~ci~i.b Nacionalna i univerzitets~a blblloLeka

\ Bosne i Hercegovine, SaraJevo

\

531.1 (075.8)

DOLECEK, Vlatko . , Kinematika / Vlatko Dolecek. - SaraJevo. f

2005, - XIII, 441 str. : gra ' Masinski iakultet, prikazi ; 24 em

Bibliografija: str. 439-441

1

ISBN 9958-601-12-5 I L_CC:=013B~I2s~s~ . ~B~f~! ::.T~"~D...:'1_"4..:3'.'4'.'0':.1::..0::.2::. _______ -:---:-~~:-:.~:= -~

. .', obrazovanja i nauke kao i Upravnog odbora Na osnoYU MisljenJa Federaln~g m.Illlstarstva, H rccaovine ovaj ~dzbenik je proizvod iz Uprave za indirektno oporezlvanJc Bosne I ~ pr~zvod~ i llsluga. na Ciji se promet ne dana 13. tacka 12. Zakofla a porezu na prorne ~ . placa porez na promet proizvoda.

ISBN 9958-601-12-5

Predgovor

Ovaj udihenik sadri; moja predavallja iz Kinematike koja sam drzao vise godilla na Alasillskomjakultetu u Sarajevu. Udibenikje podijeljen u osam poglavlia.

V prvom poglavlju ohraaena je Kinematika tacke. Izloiena su Iri osnovna naCina definiranja kretmV'a tacke. Na kraju poglavlja ohraaen je i slucaj definiranja kretanja lacke u opCim, generalisanim koordinatama. Ovo je dato prvenstveno zbog toga sto se u predmetu Dinamika, kojE sl(iedi poslije Kinematike, proucava kretanje rnehanickog sistema u generalisanim koordinatall1a.

Drugo poglav(je tretira dva na}jedostavnija slucaja kretmU'a lfiela: Iranslatorno i obrtno kretanje.

Trece poglav(je je posveceno ravn0111 kretGl~ju lijela. Ovom slucaju /a-etanja lijela po,'ivecena je i najveca painja, zbog toga Slo se u tehnickoj praksi najcdce srece ovaj slucaj kreta,!ja.

Cetvrto poglavlje je posveceno J'avnom kretGl?iu tijela, a peto tretira opCi slucaj !eretanja tUela.

u .sestom poglaviju proucava se slozeno kretanje lacke za radiCite sluL~ajeve prenosnog kretanja kada je prenosno kretanje translatorno, obrt11o, raV110 i sferno kretanje.

Sedmo poglavlje posveceno je slozenom kretanju tijela. U okviru ovog poglav(ja razmatrani su slucajevi slagal?ja translacija, rotacUa, kao i slucqjevi slaganja translacUa i rotacija.

U dodatku, poglavlje osmo, data je analogUa izmetlu statickih i kinematickih veliCina. Zatim su dati izvodi iz diferencfialne geometrije, pri cemu je posebna painja posvecena izvodu vektor funkq"je skalarnog argumenta i elementill1a /a'ive u prostoru. No ova) dodatak sam se odluCia zalo sto sam primjelio da studenti koji predmet Kinematika slusaju u drugom semeslru studija nerijetko ne poznaju ovu mater!iu, a koja imje ad posebnog znacqja radi pravilnog shvacanja nekih osnovnih kil1ematickih relacija. No /rraju dodatka dat )e i jedan proracul1 kinematike zupcastih prenosnika koji se nacesce srecu u inienjerskoj praksi.

U svakom poglav/ju deta(jno je w-aden jedan odredeni broj ilustrovanih prirnjera i dal jedan ved broj zadataka za sa111081alnu vjeibu. ,)\'i primjer; i zadaci 8U U principu originalni koje sam godinama davClO na pismenim ispitima. S obzirom da

se u udibeniku nalazi ukupno 150 prinljera i zadataka ova se knjiga moze smatrati i Zbirkom zadataka.

k k " d'benl'k treba da doprinese brzem i kvalitetnijem usvajanju ovog Ova 0 onclpzran u z . . l" k v gradiva, a koje je veoma vaino za, mnoge inzenjerske dlSC1P me, aD sto Sll Dinamika, Teorija mehanizma i Robotlka.

Rukopis ovog udibenika recenzirali Sll prof dr se. [sak Karabegov,ic, ~ipl.i~lg., p~of. dr SC, Stjepal1 Maric, dipl. flzicar i prof dr sc Avdo Voloder, dlpl.mg. 1 dab 1111 korisne sugestije 11a cemu im se i ovom pflhkom zahvalj'tl}em.

Kompjutersku pripremu knjige uradio je asistent Elvedin Kljuno, dip!' ing. i izvrsio provjeru mnogih primjera na cemu sam mu veomQ zahvalan.

HT d H t i Neutron komerc d.o.a, Stampanje ave knjige podriali su '~'.o. v1V.1m; ar .. Sarajevo fla cemu im .'Ie i ovom prilikom nlqljepse zahvaljuJem.

Sarajevo, januar, 2005. Autor

VlTI

Predgovor SadrZaj Spisak oznaka

1. Kinematika tacke

1.1 Uvod

Sadrzaj

1.2 Vektorski naCin definisanja kretanja tacke 1.2.1 Zakon kretanja tacke 1.2.2 Vektor brzine pokretne tacke u datom trenutkll vremena 1.2.3 Hodografvektora brzine 1.2.4 Sektorska brzina 1.2.5 Vektor lIbrzanja tacke 1I datom trenutku vremena

1.3 Koordinatni nacin definisanja kretanja tacke 1.3.1 Zakon kretanja tacke

1.4 Metod Dekartovih pravouglih koordinata 1.4.1 Jednacina trajektorije pokretne tacke 1.4.2 Odredivanje brzine tacke u datom trenlltku vremena 1.4.3 Odredivanje jednacine hodografa 1.4.4 Odredivanje ubrzanja tacke u datom trenlltku vremena

1.5 Metod potarnih koordinata 1.5.1 lednaCine kretanja tacke 1I polarnim koordinatama 1.5.2 Brzina tacke II datom trenutku 1.5.3 Ubrzanje tacke u datom trenutku

1.6 Prirodni nacin definisanja kretanja tacke 1.6,1 Zakon kretanja tacke po zadanoj trajektoriji 1.6.2 Veza izmedll koordinatnog i prirodnog nacina definisanja

kretanja tacke 1.6.3 Odredivanje vektora brzine tackc u datom trenutku 1.6.4 Odredivanje vektora ubr.lanja u datom trenutku vremena.

Projekcije vektora ubrzanja na ose prirodnog triedra 1.6.5 Neki specijalni slucajevi kretanja taeke

1.7 Kinematika taeke u generalisanim koordinatama 1.7.1 Osnovne napornene 1.7.2 Odredivanje brzine taeke 1I ortogonalnirn krivolinijskim

koordinatama 1.7.3 Odredivanje ubrzanja tacke u ortogonalnim krivolinijskim

koordinatama

VII IX Xlll

I 3 3 4 6 7 8 11 11 13 J 3 13 14 15 20 20 20 22 24 24

25 27

29 33 35 35

38

39 J .7.4 Primjeri polarnog, cilindrienog i sfernog koordinatnog sistema 40

1.8 Primjeri iz kinernatike tacke 47 1.8.} Kretanje definisano na analiticko - vektorski nacin 47 1.8.2 Kretanje definisano na prirodan naein 70

1.9 Zadaci iz kinematike tacke 86

IX

2. Translatorno kretanje tij.la i obrtanje tijela oko stalne ose 2.1 Osnovni zadatak kinematike krutog tijcJa 2.2 Translatorno kretanje tijela 2.3 Obl1anje tijela oko stalne ose

2.3.1 Zakon obrtanja tijela oko stalne ose 2.3.2 Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela 2.3.3 Specijalni slucajeyi obrtanja tijela oko sta1ne ose 2.3.4 Brzine i ubrzanja tacaka tijela 2.3.5 Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela kao vektor 2.3.6 Vcktorski nacin odredivanja brzine i ubrzanja tacke tijela 2.3.7 Analogija izmedu kretanja tacke i rotacionog kretanja tijela

2.4 Primjeri iz transiatornog kretanja i obrtanja tijela oko stalne ose 2.5 Zadaci iz translatornog kretanja i obrtanja tijela oko staine ose

3. Ravno kretanje tijela 3.1 .1ednacine ravnog kretanja tijela , 1 -, .....

3.5

3.6

RazJaganje kretanja rayne figure na transiatorno i obrtno kretanje Trcnutni centar obrtanja Centroidi Odredivanje brzina pojedinih tacaka raYne figure 3.5.1 Brzina tacke rayne figure kao zbir brzine poJa i brzine rotacije

tacke aka pola 3.5.2 Teorema 0 projekcijal11a brzina dveju tacaka raYne figure na

praHl koja spaja te dvije tacke 3.5.3 Odredivanje brzina pojedinih tacaka rayne figure pomoeu

trenutnog pola brzina 3.5.4 Specijalni slucajeyi odredivanja polozaja trenutnog poia brzina 3.5.5 Primjeri raynih mehanizama Odrediyanje ubrzanja pojedinih tacaka rayne figure 3.6.1 Ubrzanje tacke rayne figure kao suma ubrzanja poia i ubrzanja te

96

96 97 100 100 102 104 lOS 107 109 III li3 130

137

137 140 143 144 147

147

148

149 lSI 152 157

tacke pri rotaciji oko poia 157

3.7

3.8

3.6.2 Trenutni pol ubrzanja 159 3.6.3 OdrediYanje ubrzanja tacke raYne figure preko trenutnog poia

(centra) ubrzanja 3.6.4 Odredivanje polozaja trenutnog centra ubrzanja u nekim

specijainim slucajevima 3.6.5 Primjeri Graficki nacin odredivanja brzina i ubrzanja pojedinih tacaka rayne figure 3.7.1 Plan brzina 3.7.2 Plan ubrzanja Osobine trenutnog centra obrtanja i trenutnog centra ubrzanja

160

163 165

172 172 174 178

, , f!

I 1 I I :1:

I 1

3.8.1 Brz~na premjestanja trenutnog centra obrtanja 3.8.2 Brzma.tacke raYne figure koja se poklapa sa trenutnim centrom

ubrzanja 3.9 Al~al~ti~ko razmatranje kretanja raYne figure u njenoj ravni 3.10 Pnm]en ravnog kretanja tijela 3.11 Zadaci iz raynog kretanja tijela

4. Sferno kretanje tijela 4.1 Jednacine sfernog kretanja tijela 4.2 Ojler - Dalamberova teorema 4.3 Trenu1na osa obrtanja i trenutna ugaona brzina 4.4 Trenutno ugaol1o ubrzanje tije\a 4.5 Brzine pojedinih tacaka tijela 4.6 Aksoidi trenutnih osa obrtanja 4.7 Ubrzanje proizvoljne tacke tijela 4.8 Veza izmeau vektora trenutne ugaone brzine i Ojlerovih uglova 4.9 Regularna precesija 4.10 Primjeri sfernog kretanja tijela 4.11 Zadaci iz sfernog kretanja tijela

5. OpCi slucaj kretanja slobodnog tijela 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Jed~acin: kretanja slobod~og tUeia pri opeem slucaju kretanja Br~me. tacaka slobodnog t\Jela u opeem slucaju njegovog kretanja NeZaVIS110st y:ktora t~enutne ugaone brzine tijela od izbora poia Trenu~a zaVOjna osa I trenutno zavojno kretanje UbrzanJe tacaka slobodnog tijela pri opoem slucaju njegovog kretanja PnmJen opeeg slucaja kretanja tijela Zadaci iz opeeg slucaja kretanja tijela

6. Slozeno kretanje tacke 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

RelatiYno, prenosno i apsolutno kretanje tacke Teorema 0 slaganju brzina Teorema 0 slaganju ubrzanja - Koriolisova teorema In~en~it~t, pravac i smjer Koriolisovog ubrzanja Prlmjen slozenog kretanja tacke Zadaci iz slozenog kretanja tacke

7. Slozeno kretanje tijeJa 7.1 Postavljanje zadatka 7.2 7.3

Slaganje translatornih kretanja tijela Slaganje obrtnih kretanja tijela oko osa koje se sijeku u jednoj tacki

178

181 181 186 223

239

239 242 243 244 247 249 250 254 257 261 282

288

288 290 292 293 295 296 310

311

311 313 314 317 321 357

365

365 366 367

7.4 Slaganje obrtnih kretanja tijela aka paralelnih osa 370 7.4.1 Slucaj kada su trenutne ugaone brzine komponentalnih kretanja

usmjerene u istu stranu 371 7.4.2 Slucaj kada su trenutne ugaone brzine komponentainih kretanja

usmjerene u suprotne strane 372 7.4.3 Kinernaticki spreg (par obrtanja) 373

7.5 Slaganje translatornog i obrtnog kretanja tijela 378 7.5.1 Slucaj kadaje brzina translacije upravna na osu rotacije 379 7.5.2 Slucaj kadaje brzina translatornog kretanja paralelna osi obrtanja.

Kinematicki zavrtanj 7.5.3 Slucaj kada brzina translatornog kretanja gradi proizvoljan ugao

sa osom obrtnog kretanja 7.6 Slaganje obrtanja aka mimoilaznih asa 7.7 Primjeri slozenog kretanja tijeJa 7.8 Zadaci iz slozcnog kretanja tijela

Dodatak I Analogija sa statikom krutih tij ela 1,1 Primjena metode redukcije l1a ugaol1u brzinu 1.2 Opci slucaj slozenog kretanja tijela 1.3 Specijalni slucajevi 1.4 Trenutno zavojno kretanje

Dodatak II Izvodi iz diferencijalne geometrije

ILl Izvod vektor funkcije skalarnog argumcnta II.2 Pravila diferenciranja vektor - funkcije skalarnog argumenta 11.3 Izvod jedinicnog vektora IlA lzvod vektora izrazenog preko jedinicnog vektora II.S Transformacije projekcija vektora 11.6 Prirodni triedar. Frenet - Serrt - ove formule n.7 Integriranje vektor - funkcije skalarnog argumenta

Dodatak III Kinematika zupcastih prenosnika

III.I Cilindricni zupcasti prenosnici llI.l.l Primjeri iz kinematike cilindricnih zucastih prenosnika 1II.1.2 Zadaci iz kinematike cilindricnih zupcastih prenosnika

III.2 Konleni zupcasti prenosnici III.2.1 Primjeri iz kinematike konicnih zucastih prenosnika Hl,2.2 Zadaci iz kinematike konicnih zupcastih prenosnika

Literatura

XII

380

381 382 384 394

400 400 401 402 404

406

406 409 411 412 414 416 422

424

424 424 429 432 432 435

439

1 "I :1 I I ,

1j 1

j -I

I

I !

Spisak oznaka

~ vrijeme, s, s - put, luena koordinata 111 v - brzina mis, ' , a - ubrzanje, m/s2, [V - ugaona brzina, sl, E - ugaono ubrzanje, S2,

a - ugao, 1 fad, rp - ugao, 1 rad,

x, y, z dekartove koordinate, 111. ,;, I),

GLAVA I

KINEMATIKA TACKE

1.1 Uvod

U kinematici izucavamo kretanje tacke iIi tijela sa cisto geometrUskog aspekta, ne uzimaju6i pri tome U obzif njihove mase i sile koje na njih djeluju. Kretanje se posmatra u trodimenzionalnom prostoru i vremenu zbog cega se, ponekad, Kinematika naziva i geomctrijo1l1 cetiri promjenjive, pri cernu ulogu cetvrte promjenjive, im3 vrijeme.

Rijec kinematika patite od Grcke rijeci X {,U"/J/ICX -kinema, sto znaci kretanje (gibanje). Kinematika, kao nauka nije post~jala prije GALILEO GALILEI-a (1564-1642) i.ko se za njenu osnovnu veliCinu-brzinu, znalo i mnogo ranije. Galileo Galilei uvea je u Kinernatiku pojam ubrzanja. CHRlSTIAN HUYGENS (1629-1695) je uveo pojarn tangencijalnog i nonnalnog ubrzanja, sto je omoguCilo proucavanje krivolinijskog kretanja. Pronalaskom diferencijalnog rae una, za 51:0 zasluge pripadaju ISAAC NEWTON-u (1643-1727) i GOITFRIED LEIBNITZ-u (1646-1716), ubrz.an je razvoj Kinematike, jer je novi matematicki aparat omogucio svestranije razmatranje problema Kinernatike. Proucavanje kinematike tacke uglavnom je bilo zaokruzeno pronalaskom diferencijalnog raeuna. Proucavanje osnova kretanja kinematike tijela vezano je za ime jednog od najplodnijih llaucnika u historiji nauke LEONHARD EUER-a (1707-1788).

U Kinematici se izucavaju mehanicka kretanja, tj. lIZ neprekidnu promjenu vremena izucavamo promjenu poloz.aja tijela (iIi tacke) U odnosu na neko drugo tijeJo. To drugo tijelo nazivamo tUelom referencije, a koordinatni sistem koji je za njega kruto vezan sistemom referencije.

Ako koordinate tacaka tijela u odnosu na izabrani sistem referencije, loa cijeio vrijeme posmatranja, ostaju nepromjenjive, to se tijelo u odnosu na dati sistem referencije nalazi u stanju mirovanja, obratno, ako se pak koordinate mijenjaju, tijelo se u odnosu na taj sistem referencije krece.

U odnosu na razlicite sisteme refcrencijc jedno te isto tijclo (iIi tacka) moze da vrs} kretanje ili se moze nalaziti u stanju mirovanja. U tom smislu pojmovi mirovanja i kretanja Sll relativni i zavise od izabranog sistema referencije. Tako na primjer, ako se posmatra kretanje eskadriie aviona u odnosu na sistcm referencijc kruto vezan za Zemlju, avioni U odnosll na taj sistem mogu vrsiti razlicita kretanja. Izdvojimo sada iz ove eskadrile dva aviona koja se krecu istim brzinama i II istom smjeru. Za sistem referencije, koji bi bio vezan za jedan od ova dva aviona, onaj drugi avion uopcc se ne bi kretao, odnosno njegova brzina 1I odnosu na taj sistem bila bi jednaka nuli. Iz ovog primjera vidimo da tijelo koje se II odnosu na jedan sistem krece, u odnosu na neki drugi sistem moze da se nalazi u stanju mirovanja. Ovo potvrduje tvrdnju da su pojmovi mirovanja i kretanja relativni i da to zavisi od izabranog sistema referencije.

Za razmatranje kretanja tacke (iIi tijela) potrebno je, ne samo izabrati sistcm referencije, nego ustanoviti i na6n mjerenja vremena. Vrijeme u Kincmatici se smatra apsollltnim (univerzalnirn), tj. ana protice jednako u svim sistemil11a refercncijc i nc zavisi od kretanja jednog sistema u odnosu na drugi. Vrijeme se Sl11atra neprekidno promjenjivom skalarnom velicinom i oznacava sa t. Ono igra lliogu nezavisl10 promjenjivog argumenta. Za mjcrenje Vre!11ena uvijek SD se koristiii neki periodicni procesi, najcesce prirodni (npr. obrtanje Zemlje oko svoje ose) ili bilo koji vjestacki ostvarcni pcriodicni proccsi (npr. periodicno krctanje klatna kod sata sa klatnom).

.Tedinica za vrijemc je jedna sckllnda. Stalni napredak tchnologije omogucio je i permancntno povecanjc preciznosti mjerenja vrcmena, a time i stalno predefinisanje sekunde kao jedinice vremena. Tako se sve do 1956. godine sekunda definisala kao i 1186400 dio srednjcg suncanog dana. Od 1956. godine do 1967. sekunda se definise kao 11315569259747 dio tropske godine od 0 h 0' 0" 31. decembra 1899. godine,

Prema najnovijoj definiciji, jedna sekunda predstavlja vrijeme trajanja 9 192 631770 pel'ioda radijacije alOllla CESIVM-a 133, pri njegovom prelasku iz jednog nivoa u drugi.

I jcdinica za duzinu, jedan metar, u zadnje vrijeme se dcfinise preko jedne sekunde. Prema najnovijoj definiciji, jedall metar je distanca koju zrak svjetlosti pretle II vakuumu za 11299 792 458 dijela sekudne.

Racunanje vremena pocinje od nekog pocetnog trenutka (to=O) koji se u svakom konkretnom slucaju posebno definise. Svaki dati trenutak vremena t izraZava se brojem sekundi proteklih od pocetnog trenutka. Pri tome, trenutak vremena bice pozitivan, ako se on desava iza pocetnog, a negativan, ako on prethodi pocetnom. Broj sekundi koji razdvaja dva uzastopna trenutka vremena t1 i h nazivamo intervalom vremena (Lll- tr I,).

2

Svako kruto tijelo 1110zemo smatrati sku porn materijainih tacaka. Razne lacke pokretnog tijela mogu vrsiti, u opcem slucaju, razlicita kretanja u odnosll oa izabrani sistem referencUe. Prema tome da bismo mogIi odrediti kretanje tijela, U odnosu oa izabrani sistem referencije, potrebno .ie, u opcem slucaju, poznavati kretanja svih njegovih tacaka u odnosu na isti sistem referencije, pa je prvo neophodno ustanoviti (proueiti) osnovne postavke kinematike tacke, a zatim preci na prollcavanje kinematike krutog tije!a.

U ovoj gIavi proucavacemo samo kinematiku tacke. U kinematici tacke prou6icemo sUedeca dva osnovna zadatka:

a) uspostavljanjc matematickih nacina zadavanja (opisivarua) kretanja tacke U odnOSli na dati sistem referencije,

b) odredivanje, iz zadatog zakona kretanja tacke, svih kincmatickih karakteristika toga kretanja (trajektorije, brzine, ubrzaqja itd.).

Neprekidna linija koju opisuje pokretna tatka U odnosu na izabrani sistem rcfel:cnc~ie naziva se trajektorija tacke. Oblik trajektorije tacke zavisi od i7.1lbranog sIstema referencije. Ako je trajektorija prava linija onda se to kretanje naziva pravolinijskim, u protivl1om kretanje je krivolinijsko.

ProuCiti kretaJ~ie tacke u odnosu 11a usvojeni sistem rcferencUe znaci oelrediti njenu trajektoriju za dati intclva! vremena i odrediti brzinu i ubrzanje tacke II svakom trenutku vremena .

Kretanje tacke smatracemo zadanim, ako postoji mogucnost odredivanja po!ozaja tacke u svak0111 trenutku vremena u odnosu na dati (izabrani) sistem referencije. Postoje tri, najvise rasprostranjena, nac1na definisanja (zadavanja) krivolinijskog krcta\~a tacke i to su:

a) veklorski, b) koordinailli iIi analitii'ki, c) prirodni. Vektorski nacin narocito je pogodan kod tcorijskih razmatranja, dok se analiticki i prirodni nacin prvenstveno upotrebljavaju pri rje.savm1ju nekih konkretnih (prakticnih) zadataka.

1.2 Vektorski naNn definisanja kretanja tacke

1.2,1 Zakon kretanja tacke Razmotrimo kretanje tacke M II odnosu na usvojeni pravougli sistem koordinata

Oxyz. Radius vektor r = OM: polazi iz uslovno nepomicne tacke 0 - ishodista

3

usvojenog sistema referencije, do pokretne tacke M. Pri kretanju tacke M njen radius~ vektor mijenja se u funkciji argumenta t j u opcem slucaju on se mijenja, kako po intenzitetu, tako isto i po pravcu i smjeru. Takvu vektorsku velicinu nazivamo vektor jilllkcijom skalamog argumeota t i oznacavacemo je simbolom

r = r(t). (l.J)

Prema sam6j prirodi kretanja ova vektor-funkcija mora bitijednoznacna, nepreMdna i dvaput diferencijabilna.

Definisati kretanje tackc M znaci znati njen poloZaj u odnosu oa dati (izabrani) sistem refercncije O\)'z u bilo kojem trenutku vremena. Vektorska jcdnacina (1.1) potpuno odreduje kretanje tacke, jer se u bilo kom trenutku vremena moze naci radius vektor Cime je i potpuno definisan polofuj pokretne tacke M.

z

r

k J Y

SI. 1.1

Radi toga jednacinu (1.1) nazivamo jednac ;nom kretanja iIi zakonolJl kretanja lacke u vektorskom obliku. Ako se mijef1ja po!ozaj tacke u zavisnosti od vremena t to ce se tacka M kretati po nekoj trajektoriji. Trajektorija tacke je geometrijsko mjesto vrhova radius-vektora pokretne tacke M.

Prema ovoj definiciji trajektorija tacke je hodograf njenog radius~vektora.

Ako je r ::::.: C , konstantan vektor, onda se tacka M nalazi u mirovanju u odnosu na izabrani sistem referencUe.

1.2.2 Vektor brzine pokretne tacke u datom trenutkll vremena

Neka se tacka krece po bilo kakvoj krivolinijskoj trajektoriji AB U odnosu na iz..abrani sistrem referencije Oxyz (S1. 1.2). U trenutku t tacka 5e naJazi u poloZaju M odreoenom radius-vektorom ;:, a u trenutku 11= I + Lit tackaje u polo.zaju Mj Vekt~or Ili;, cijije pocetak u tacki M a kraj u MJ, nazivamo vektor premjestanja pokretne tacke za dati interval vremena Ill::::: 11- t.

4

Kolicnik vektora premjestanja tacke i intervala vremen~~k~ji se:o premjestan~e desila predstavUa vektor srednje (pr~sjecne) brzine premJestanJa tacke u tom mtervalu vrernena i njega cemo oznacavati sa

MM, v, =--.

,Ir I:!t (1.2)

Kako je D.t pozitivna skalama velicina to je vcktor srednje brzine premjestanja vsr

k k -MM,' CiJiJeintenzitetza l/illputaveci vektor koji ima isti pravac i smjer -ao ve tor 1

od intenziteta vektora MM1 . Iz skice slijedi da je

A

o x

Sl. 1.2

y

odakle je premjestanje tacke

Uvrstavanjem gornjeg izraza u (1.2) dobijamo

Ar vsr =Tt (1.3)

Prema tome vektor srednje brzine premjeslanja pokretne .Iacke, za dati interval 1:remena L1t, jednak je odnosu priras./(lja radlUs-vektora za taj interval vremena i samog tog vremenskog ll1tervala.

Ocigledno je da vektor srednje brzine prernjestanja za neki interval vremena zavisi od velicine tog vremenskog intervala.

Granicna vrijednost kojoj tezi srednja brzina premjestanja pokretne tacke kada inte:al vremena D.t--...fO n37ivamo ve~torom brzine tacke u datom trenut ,u vremena i oznacavamo je sa v. Prema tome je

__ .Ar v=limv =hm-.

AI"""O sr t.1-)O ilt (1.4)

Kako granicna ~rijednost kolicnika "';: kada ill ->0 predstavlja prvi izvod radius-ill

vektora po skalamom argumcntu I, to je ooda vektor brzioe tacke u datom trenutku dat izrazom

_ d;: _ v=-=r.

dt ( 1.5)

Prema tome, vektor brzine lacke u dalom Irenulku jednak je prvom izvodu radius-vektora pokrelne lacke po vremenu u tom trenutku.

Kako je vektor srednje brzine v sr usmjeren duz sekante MM, u smjeru kretanja to pri D.I ~O tacka MI ten po krivoj ka tacki M a sekanta MM, ka tangent! na trajektoriju u tacki M, pa je vektor v ::::: lim v" usmjeren duz tangente na putanju ta6ke u smjeru

ill~O .

kretanja taCke.

S obziromna sve ova slijedi: -vcklor brzine lacke u dalom trenulku vremena ima pravac tangente na pulan}u lacke i usmjeren je u smjeru kretanja tacke.

1z definicije brzine slijedi daje njena dimenzija [v 1 = [~j.

Izborornjedinice za duzinu i vrijeme dobija se ijedinica z.a brzil1u. NajceSce sujedinice Im!s i 1 kmlh.

1.2.3 Hodografvektora brzine

Posrnatrajmo kretanje tacke M u pravouglom Dekartovom sistemu O;qa. U opcem, krivolinijskom kretanju, vektor brzine v tacke M mijenja se kako po intenzitetu taka i po pravcu i smjeru.

Neka se tacka M, u tTenucima I], 12, .. " tn, nalazi u poJollljimaMJ, M20 ... , Mn i ima u tim tTenucima brzine VI' ;2"'" Vn (vidi s1.1.3 a).

Da bismo mogli slijediti promjenu intenziteta i pravca vektora brzine V tacke M, usvajamo novi pravougIi sistem koordinata 0 1 r;17( paralelnih i isto usmjerenih osa osama sistema Oxyz i prenosimo u nepokretno ishodiste 0 1 ovog novog sistema, paralelno same sebi, vektore brzina VJ , 172 , ... , V n (sl. 1.3 b).

6

z

8, 8,

M, B r ~ v, y

-->-B, 0 ~ x SI. I.J b SI. 1.3 a

Geometrijsko ll1jesto krajeva ovih vektora BJ, Bb ... , B,,, pretstavlja ncku krivu koju nazivamo hodografom vektora brzine V.

Prema tome hodograj vektol'a bl'zinc predstavlja geometrijsko. IIlje,:'to vrhova vetetora brzine pokretne tacke, nanesenih iz jedne pro/zvoZl ne !acke prostora.

Kako su radius vektori pojedinih tacaka l1a hodogra~ll. b~zina, v.ektori br~il~e po~retn~ tacke M, to se ncposredno sa hodografa moze vldJetl promJena pWvCd, sn~Jera 1 intenziteta vektora brzille v tacke M.

1.2.4 Sektorska brzina

Radius vektor r = r(t), pokretne tacke M opislIje, U opccm slucaju kre1t'lllja, konusnu povrsinu u prostoru cijaje osnovica trajektorija tacke.

M

y

o x

SI. 1.4

PovrSinu ogranicenu radius vcktorima r(J' r i dijelom trajektorije MoM oznacicemo sa (j. U trenutku t t8,cka se nalazi u poloiaju M, koji je odreden radius vektorom r , a 1I trenutku 11= 1+8.t, tacka,.ie u poJozaju Ml koji je odredcn radIUs vektorom ~ = r + ;;; . Ako jc interval vremena A.t -= 1)-1 mali, tada se prirastaj povrSine i\ (j za taj interval vremena moZe napisati U obliku:

7

11 - 1[ __ ] cr::::::2" r)/1r .

?dnos izmcdu prirastaja povrsine, koju prebrise radius vektor lntervala vremena nt, predstavlja srednju sek"torsku brzinu ~j. r, i odgovarajuceg

~: _ lIa 1 r~, lie] '";; -LV~~2lr,LV ' (1,6)

Granicna vrijednost srcdnje sektorske brzine za slucai da /)"t~OJ'e sektor k b ' t'l d . OJ'. sarZlIlaac(C u a10m trenutku vremena, ~J.

~, l' lIa 1 [- -] v(f:::::: llTI-:::-r.1'_,

L'lH() 111 2 ~ odnosno

(1.7)

~i~ dVOSlf'llka s~~:()rska b,:::illa tacke, 11 odnosli no ncki centar, jednaka JI.:. mOll/ell!U hl.due Ie lacke II odnosl! na is!; cental'. .

Iz de~ni~ije s~kt~~ske br~ine vidimo da ona za,v,isi od izabranog centra, zbog toga je pri zad~v~mJu se.ktOlskc brzmc potrebno nagiasltl 11 odnosu na koji centar J'e d~ta ta seklOrska brzma.

1.2.5 Vektor ubrzanja tai'ke u datom trelllltkll vremell3 . ~'etpostavimo da se 11 trenutku f pokretna tacka nalazi u poloZaju M i ima vektor

brzme v, all trenutku 11 11 poloiaju M1 i ima vektor brzine Vj . Za interval vremena I1t .= .1: ~ 1 vek,to1' brz~~ dobija prirastaj LlV ::::::v1 - V, koji odreduje promjenu vektora brzme, U opcem slllcaJu, po pravcu, smjeru i intenziteuL

A~~ U t~ckll Ivl paralelno pr~nesemo vektor brzine v1 tadaje ocigledno daje Av vektor kOJ! spaJa vrhove vektora v i 1;1 (sl. 1 5) Diielieniem vektora IIv- sa d ' " CJ ~ CJ .. 0 govaraJucnTI mtervaJom vremel~11J.l, za koji se desio ovaj prirastaj, dobijamo vektor

- 6v a ~-

.Ir 111'

kojeg nazivamo vektorom sredl1jeg ubrzaqja tacke za dati interval vremena Prclazom na gnmicnu vrijednost, kada /).t ~O, dobljamo vektor .

_ , IIv d v c a:::: Illn-~-::::::v.

il.HO I1t dt .

kojeg nazivamo vektorom ubrzanja tacke u datom trenutku vremena. Kako je v :::: dr, to se konacno 2'2. vektor ubrzanja dobija

dt

(LS)

Prema tome, vektor ubrzanja tacke, u datom trenutku vremena, jednak .Ie prvom izvodu vektora brzine tac}ke po vremenu iii drugom izvodu radius-vektoro tocke po vremellU.

Dakle, u OpCCl11 slucajll krivolinijskog kl'etanja la{kc, vekfor ubrzanja pokreflle {acke karakteri.i:e promjenu iJltenzi/eta, pral'ca i smjera vektora brzine tacke.

Proucimo sada kakav ce pravac i smjer imati, u opcem s\ucaju, vektor Ubr7l:lnja pokretne tacke u odnosu na njenll trajektoriju.

z M T" V ,

,

- b-v/ ,

/ , ,

y

x SL 1,5

Iz sl. 1.5 je ocigledno daje vektor .6.v, pa prema tome i vektor as,.' usmjeren u stranu zakrivljenosti trajektorije. Odavde slUedi da ce i granicl1a vrijednost kojoj teZi a.IT kad /',1->0 Ii, a, takode bili usmjerena u stran~ 7Jlkrivljenasti trajektorije, Nadalje, aka je trajektorija ravna kriva onda ce i a lezati u toj ravni. Medutirn, u opcem slucaju, kada trajektorija tacke nije ravna nego prostorna kriva, potrebno je da odredimo u kojoj ce ravni tada 1c7..ati vektor ubrzanja a pokretne tacke. U trenutku , tacka se nalazi u

polo7 .. aju M ajedinicni vektor tangente na putanju u tom poloZajuje To' Docimo tacku Mb na trajek-ioriji, blisku tacki M ijedinicni vektor To! tangente na trajek'toriju 1I tacki M! (s1. 1.5) i prenesimo sada, paralelno samom sebi, jedinicni vektor Tol iz tacke Ml i tacku M i postavimo ravan u kojoj ce letati ta dva vektora u tacki M. Poloz.aj ove ravni u prostoru zavisi od oblika trajektorije i tangenti u tackama MiMI. Ocigledno je da vektor Gsr lezi u toj ravni.

Ako bismo sada tacku MI neograniceno priblizavali tacki M, tada ce ravan, definisana vektorima To iTO]' rotirati oko prave duz koje je llsmjeren vektor To i teziti ka nekom odredenom poloZ4ju. Granicni poloZaj ravni Tt) M TOJ ' kada se taeka MI neograniceno priblizi tacki M, odredl~je oskulatornu ravan trajektorije u tacki M. Odavde slijedi da i vektor a kao !:"Tanicna vrijednost vektora G.lr lezi u oskulatornoj ravni.

Na osnovll svega do sada recenog 111ozemo zakljuCiti slijedece: vektor ubrzanja tacke u datom treJlutku vrenlena /ezi U oskulatornoj ravni trajektorUe i llsmjeren je If sll'anu zakl'il'ljenosti krivolillijske frajektorUe.

(H) B

SI. 1.6

- 6.V 171-17 Q. =:-=--

.Ir 6.t Ilt'

PotraZimo sada i kakav polozaj zauzima vektor trenutnog ubrzanja pokretne tacke u odnosu na hodograf njene brzine. Pretpostavimo cia nam je poznat hodograf brzine taeke M (sl. 1.6). Neka u trenutku t tacka M ima brzinll v kojoj u hodografu brzina odgovara radius-vektor OrB, a u trenutku t1= t+6.t, tacka ima brzinu vI' kojoj u hodografu br.lina odgovara radills-vektoru 0IB l . Jasno je da ce vektor srednjeg ubrzanja

biti usmjeren dllz odgovarajuce srednje brzine premjeStanja tacke B po hodografu. Kako je At pozitivan skalar a vektor L),V usmjeren duZ sekante BBI hodografa, to ce i vektor asr takode biti usmjeren duz sekante BB] 1I smjerll promjene vektora V .

Prema naprijed reeenom, granicna vrijednost kojoj tezi a.l.r , kada At-~O, je trenlltno

ubrzanje tacke M u momentu t s1:o je 1S1:0 Sio i brzina tacke B po hodografu (H) u

10

" I d . d' ktor brzan,;a a- taeke M, biti uSillJ'eren trenutku t. Prema tome, OClg e no Je a ce ve u CI , po tangenti na hodograf U odgovarajucoj tacki.

. _ d;; Potrcbno je odmah napomenuti da u opcem slueaju intenzitet vektora ubrzanJa a "'" dt nece biti jednak izvodu intenziteta vektora brzine tacke po vremcnu tj.

I,+:YI Aka bi se tacka M kretala ravnomjerno (tj. brzinom konstantnog intenzitet.l) po kruznoj putanji, onda bi se vektor brzine u toku vre111en~ ~lij~njao sarno ~~ pra-:cu pa na osnovu gore recenog u t0111 slucaju ubrzanje tacke ne bl bilo Jednako nuh !ako .Ie

Jz same ciefinicije Ubrli'1nja s!ijedi i dimenzija za ovu kinematicku karakteristiku kretanja. Tako je

Osnovnajedinica za ubrzanjeje J 111/s2. Kod kretanja gdje su ubrLanjajako velika kao osnovnajedinica uzima se J km Is2.

1.3 Koordinatni nacin definisanja kretanja ta eke

1.3.1 Zakon kretanja tacke PoloZaj tacke u prostoru potpuno je odreaen sa tri nez.;,~visn~ parame~ra qb q:: ~3,

koje nazivamo krivolinijskim koordinatama tacke. Pri 1a:~~an.Ju tacke, u opce.n~ sluc

=

M(x,y,::)

r z

o~ ________ -+~~~~)' I

I I ,x

y :/ x -------_________ J

SI. 1.7

Vrlo cesto se za odredivanje poloZaja pokreme tacke u prostoru upotrcbljavaju ncki od ortogonalnih sistema koordinat1. Od O1iogon~lnih sistema koordinata najcesce je u upotrebl Dekartov pravougli sistem Ox)'z. Za slucaj ovih koordinata (sl. 1.7) jednacine kretanja date su U obliku:

Ak~ za cj.~elo vrijen~c kretanja pokretna tacka ostaje u jcdnoj ravni onda se ta ravan m~~e uzetl .za koo~d!l1atnu ravan Oxy, pa se poloZaj tacke onda moze odrediti sa samo dVlJc koordmate.1' 1 y . .lednacine kretanja 11 OV0111 slucaju svode se na:

X~/,(l), Y~f;(t). (1..11)

U~d:o~t.al_ih or[?gon.al~lih krivoJinijskih sistema cesto se upotrebljavaju polano cilindricni I :,krl1l koordl!lll1lll Slslem.

!cdniltinc u polarno-cililldricnom koordil1atnom sistemu (vidi sl. 1.8) glase:

"~f,(t), rp~/;(t), z~.t;(t). (Ul)

z

R =

0 y B )' ,

" , I If' ' ,. I

""-"-"-..-.. I I

x "6 x ,. SI. 1.8 SI. 1.9

U sfernolll sistcmu (vidi s1. 1.9), jednacine kretanja imaju oblik:

(1.13)

12

,

i

I 'I i

I I I I

I I I I

1.4 Metod Dekartovih pravouglih koordinata

1.4.1 Jednacina trajektorije pokretne tacke Aka se lJ jednacinama (1.1 0), (1.11), (1.12) i (U3) vrijeme t smatra parametrom

onda tc jednacine prcdstavljaju i parametarske jednaCine trajektorije pokretne tacke. Eliminacijom parametra t iz ovih jednacina dobUamo jednacinu trajektorije tacke u koordinatnom (analitickom) obliku.

Taka npr. eliminacijom parametra t iz jednacina (1. 1 0) dobijamo jedan od slijedecih sistcma od po dvije jednaCine:

(X,y) ~O, W(x,z) ~ 0,

(x,y)~O, W(z,x)~O, ,c(y,z) ~ 0, ,c(y,z) ~ o. (1.14)

Svaki od ovih sistema po dvije jednacine predstavUa trajektoriju tacke kao presjck dvije cilindricne povrsinc. Trajektoriju tacke mOl,emo naCi (konstruisati) j geometrijski, na taj nacin sto koristenjem jednacina kretanja nanesemo niz uzastopnih polozaja pokretne tacke u odnosu na usvojeni sislem refcrcncije pa tc poloiaje spojimo.

1.4.2 Odredivanje brzine tacke u datom trenutku vremena Pretpostavimo da su l1am date jednaCine kretanja preko pravouglih Dekartovih

koordinata, Ako sa i, j, k oznacimo jedinicne vektore dUl osa usvqjenog sistema, tada se radius~vektor pokretne tackc M moze, preko svojih projekcija, napisati U obliku

r,:;;;xf+y}+zk, (1.15) gdje su x, y, z projekcije radius-vektora na odgovarajucc ose usvojenog sistema, lcdinicni vektori i, j, k su konstantnog pravca i smjera, jer pretpostavljamo da su ose Ox, Oy, Oz nepomicne. Vektor brzine u datom trenutku vremena clat je izvodom njenog radius-vektora po vremenu 1j.

- dr dx:, dYe dz-v~-':;;;--l+-J+-k. dt dt dl dl

(1.16)

Sa druge strane vektor v mozemo razloZiti po koordinatnim osama i predstaviti tJ abliku:

(1.17)

gdje su v" v y i v; projekcije vektora brzine V na koordinatne ose Ox, Oy i Oz. Izjednacavm1jem koeficijenata llZ iste jedinicne vektore u izrazina (1.16) i (1. 17) dobijamo:

dx v =:-

x dt' dv

v =--Y d,'

dz v =-

;; d t ' (l.18)

~j. projekcije v:k'~ra b~zine na nepomicnc ose Dekartovog sistema .!cdnuke su prvlIll lzvodzma odgovarajuCih koordinata pokrctne laeke po vremenu.

Poznav~uCi projekcijc vektora brzine na Dse Dekartovog sistema mozemo naci i intenzitet vektora brzine po formuli:

(1.19)

Da ~~sn~o odr~dilj pravac vektora v potrebno je naei i lwlove koje vektor v Qraeli a POZltIVI111ll sInJcrovima koordinatnih OS3. Kosinusi ovih uglova dati su izrazima:t;) s~

(1.20)

1.4.3 Odredivanje jednacine hodografa brzine

~~. odredivanje jednacine hodografa brzine usvojicemo novi Dekartov sistem O~~'7(.cIJe Sll ose .p~:alelne osama sistema O.\)lz. Radius-vektor tacke na hodo afu br:IOe Je odgovaraJucl vektor brzine pokretne ta6ke M, pa su koordinate proizv~ne tacke sa hodografa date izrazima: U

~ i (I), 7) ~ I,' (I), q ~ 13 (I). (1.21)

14

! 'I I I , I ] I

J I I I -'j

I I

Ove jedna6ine mozemo posmatrati kao parametarske jednacine hodografa, pa da bismo dobili ana1iti6ki oblik zajednacinu hodobrrafa dovoljno je da se iz till jednacina eliminise parametar t.

1.4.4 Odredivanje ubrzanja tacke n datom trenlltkll vremena

Da bismo odredili projekcije vektora ubrz.anja tacke u odnosu l1a izabrani pravoug1i Dekartov sistem referencije OA)lZ podima od izraza za ubrzanje, prema kome je vektor ubrzanja u datom trenutku jednak izvodu vektora brzine po vremenu tj.

_ d V d 2r a=-=--

dl dt 2 '

Kako je radills vektor dat izrazom (1 15) onda je:

( 1.22)

gdje Sli i, j, i k kOl1staotl1i vektori. Sa druge strane vektor ubrz.anja mozemo razlo7:iti, po koordinatnim m.ama i predstaviti u obliku:

(1.23 )

gdje SLI ax' ay i a; projekcije vektora ana koordinatne ose Ox, Oy i Oz. Uporedivanjem koeficijenata llZ isle jedinicne vektore u izrazima (1.22) i (1.23) dobijamo:

(1.24)

tj. preko projckcija brzine:

dv ax =:: d t; :::: Vx (1.25) d v_ a ~--- ::::v z d ,2 :

tj. projekcIje vek/ora ubrzanja -no ose nepomicnog Dekartovog pravouglog sistema jednake su prvim izvodimo po vrel11enu odgovarajucih projekcija vektora brzine 11a te isle ose iii drugim izvodima odgovaraju6ih koordinata pokretne tacke, po vremenu.

15

lntenzitet vektora ubrzanja pokretne tackc odrcden je formulom:

( 1.26)

a kosinusi lllJlova 5to ih on grad,' sa 't" " " , , I;> pOZ! IVl1lm SlTIJerovlma osa usvoJcnog sistema dati

su 171'aZlma: - - n. "

cosL(a,i) =-2...::: x a ~X2 + j12 ;-,:2 ' ~ a. ",

COSL(a,j) =_, = ,,".,=)._= a r; "2 '0' Vx- +y +z- (1.27)

U slucaju da se ~ta,cka za ci~cJo vrijcme kremnja l1alazi u jeclnoj ravlli, IlP, u ravni 0.\1-', onda u tOj~ slu,~;:~!U ,u sve Izra~c od (1.15) do (1.22) treba staviti z = i = i = 0, pa ,~t' 0 tacka se krece u pozitivnom smjeru

ose Ox, a ako je x < 0 tacka se krece u negativnom smjeru ose Ox. Na osnovu fonnula (1.24) i (1,26) mozerno odrediti i ubrzallje tacke u datom trenutku. Potrebno je sarno u ove formule zamjeniti da je y::z Z :. 0 , pa anda dobijama

(1.35)

a = I ii I = I xl = I Iff (I) I (136) Aka je . > 0 vektor ubrzanja usmjeren je u pazitivnom smjeru ase Ox, a aka je x < 0 on je usmjeren u negativl10m smjeru ose Ox.

Aka je za x > 0 i x > 0, odnosno 7"a X < 0 i x < 0, to ouda znaci da se 1I aVOITI slucaju inten7jtet vektora br .. dne povecava pa kaZemo da je u tom slllcaju u pitanju ubrzano pravolinijska kretanje. U protivnom, kadaje pri .-r> 0 i .~ < 0, moduo vektora brzina se smanjuje pa kaiemo daje u pitanju usporeno pravalinijsko kretanje.

Ako za cijelo vrijemc pravolinijskog kretanja intenzitet njegovog vektora ubrzanja ostaje konstantan takvo se kretanje naziva rarIlOl}!jemo (jednoliko) pronijellijivo pravolinijsko kretanje. Ako SLl pri tome .t i x istog znaka onda je to rcfl.!llOlJ!jerno-ubrzano, a aka su suprotnog znaka ravnonzjerno-w,poreno pravolinijsko kretanje.

Nadimo sada zakon promjene brzme i zakon (jednaCinu) kretanja ravnomjemo promjenljivog pravolinuskog kretanja. Poaimo od izraza za ubrzanje:

iIi (1.37)

Nekaje u pocetnom trenutku tacka M biJa u poloZaju Mo koji je odreden koordinatam Xo i nekaje njena pocetna brzina Xo "'" v". Integriranjem gomje jednacine dobijamo:

.to I

Jdi: = 0" fdt , v" 0

iii

Odavde je projekcija vcktora brzine na ose Ox data izrazom:

(1.38)

18

\ I

I !

gdjeje Va pocetna brzinaa a" pocetno ubrzanjetacke.

Vidimo da se kod ovakvog slucaja pravolinijskog kretanja brzina taCke linearno mijenja u funkciji vremena t.

Da bismo nasH i zakon kretanja napisimo gomjlljednacinu u obliku:

pa izvrsimo integraciju tj , , jdx= j(v"+a,,l)dt. -'" 0

iii 1 ,

,."'" X ..Lv I+-a C .~ . () '() 2 IJ ' (1.39)

gdje x" definisc pocetni polozaj 1acJ~e.

Ovaj izraz predstavlja zakon ravnomjerno promjenljivog .. - pravolinijskog kretanja.

Ako za cijelo vrijeme pravolinijskog krctanj~ intenzitet .bl:~ine tacke ~st~j~ ,konstantan takvo se kretanje naziva ravnomjerno (jednohko) pr~voJmlJsko kretaJ1je tdcke. U ovom slucaju jasno je da ce ubrz.anje tacke bid jednako nulL

Odredimo sada zakon ovakvog kretanja pa podimo ad izraza za brzinu:

v-,:::: x:::: vt!:::: const,

ili (l.40) d-x = Vo clt.

Integracijom gomje jednaCine, uz pretpostavku .?a se tacka ~ tren.utku to= 0 nalazi u polo~u Mo kojije odreden koordinatom Xo, doblJamo zakon kretanJa

, ,

Sdx = v" Sdt. '0 0

iii (1.41)

19

Odavde vidimo da je zakon ravnomjemog mvolin" k kr ' , fUllkcijom vremena f, p IjS og etanja datjednom linearnoll1

1.5 Metod polarnih koordinata

1.5.1 Jednacine kl'etanja tacke 11 polarnim koordinatama Kada tacka za cijeJo vrijcl11e kretania osta'e 'd' ,

odredivanje POlozaia tackc koriste 1 k'"

(1.49)

Napomena: ovdje se pretpostavlja da je ishodiste 0 odabra110 na pravoj dUl: koje se krece posrnatrana ta(ka.

Drugi specijalni slucaj je kada radius vektor zadriava stalno konstantan intenzitet r = canst, tada je kretanje tacke po kruz.nici i naziva se kruino kretanje. U ovom slucaju radijalna komponenta brzine je jedl1aka nuli (vr ::: dr ::: 0) paje vektor brzine odreden dt !zrazom:

(1.49a)

Napomena: ovdje se r odmjerava od sredista kruznice.

Aka sa R obiljez.imo poluprecnik kruznice a sa OJ:::: ~ brzinu promjene poloiaja toga dt

poluprecnika, tada je intenzitet vektora brzine tacke, koja vrsi kruzna kretanje, dat izrazom:

11 = Rw. (LSO)

1.5.3 Ubrzanje tacke u datom trenutku Da bismo nasli vektor ubrzanja tacke cije su jednacine kretanja odredene preko

polarnih koordinata, jednacina (1.42), podimo od izraza za brzinu (1,46) pa ga diferencirajmo po vremenu, tada dobijamo:

(1.51)

Kako se pri krctanju tacke vekiori to i Po obrcu za isti ugaa to po analogiji sa izvodom od ~!' kojije dat i7.razom (l.45) ijednak:

22

dobijamo i izvod vektora Po U obliku:

(1.52)

Smjenjivanjem izraza (l.45), (1.52) u (1.51) i srcc1ivanjem clanova llZ 15te jedinicnc vektorc dobijamo slijedcci izraz Z:'1 ubrzanje:

(1.53)

odnosno - - -

a:::: u r +arp' (1.54 )

1z ovog izraza se vidi da se i vcktor ubrzanja maze predstaviti U obliku zbira dvije komponente radijalne (0,. ) i cirkularne (alP)' kaje su date izrazima:

(1.55)

( 1.56)

Ocigledno je da Sll ave dvije komponcnte meousobno upravne pa sc intcnzitet vektora ubrzanja maze napisati U obliku:

iIi

[d

2r (dq'J' r d'q> 2 dr dq> -[' a= ---r - + 1--+ --

dt' dt _ L dt 2 dt dt J (1.57)

U slucaju da tacka vrsi pravolinijsko kretanje, moze da postoji samo dio radijalne komponente) jer je tada:

paje tada

23

( 1.58)

paje ubrzanje data izrazom:

(1.59)

Akollvedemooznakl!dajeE~d2mld/2i -, d _ ' .. " .. " . . 'r' TalllJC uve cne oznake za ov;:u specljaJan

sluc8,J kretanja, Izraz za ubrzanJc mozcmo napisati U ob!iku: - 2 - -a ::::: - Rw r" + RE PI!' ( 1.60)

a intenzitet ubrzanja je onda odreden sa:

(1.61)

1.6 Prirodni nacin definisanja kretanja tacke 1.6.1 Zakon kretanja tacke po zadanoj trajektoriji

k v ~~~lotricel~1o p:'irodni l~acin ~.efjni:~anja kretanja tacke, koji se primjenjuje u ~ uC~J.uJ d ~ l1alTI :Jc ~o~nata t~3.!ektonJa tacke U OdllOSU na lIsvojeni sisteiifi~Cf~~ei-lcije

a tldje \:tOflJ3 maze bltl prava Ih U opcem slucqju neka prostol11a kriva linija. . . U t0111 smislu pretpostavimo da se t, vI' M k ' , o _ ' '. ae ,a [eee U odnosu na Izabralli sistem referencije

,\J'" po prostorno] !vIVO] (L)(sl. L12), '

-A+

r

,

r I

M,

(L)

07''----+1 :;:,z_-r-___ JJ,..,' , , ~ , ~

:x ),' I ,,/x j~ ----------_____ ..)1

SL Li2

24

rza~erin~o na _._, ~oL_ trajektQriji prolzvoljnu t~_cku_ A U odnoslJ na koju ce poloZ4i pOJrrctiie,'ta9ke M blti odreden poznavanjem. -kih;6iiriijske koordinate s duz_ Jrajj:!ktorije. Pri tome potrcbno je deJinisati _ na trajektoriji pozitivan ,i._.negativan smisao kretanja tacke M u_ odnosu na nepokretnutackuA. ,"" -

Pri kretanju tacke M po trajektoriji koordinata s se mUenja u funkc~ji vremena t ij.

s = 1(1), (1.62)

PO",sam

gdje zoak "plus" oznacava povecanje koorinate s a "minus" smanjenje. lntegriranjem ove jcdnacine dobijamo zakon kretanja, tj .

. " I

fds = Ndx' +dy' +dz 2 ,

ili

'~-S =.\'0 f-vX2 +.? +i 2dt, ( 1.63) o

gdje su i = J,' (/), Y = 1; (/), i = f{ (/) prvi izvodi jednaCina kretanja po Yremenu. Ako bi sc tacka kretala duz neke prave u tom slucaju ociglcdno je da se koordinatni nacin svodi 11a prirodan.

b) Slucqjpalarnih koordinata

Ako je kretanje tacke definisano preko polarnih koordinata tl obliku:

I' = I, (/), ((I = 12 (/), tada je za prelaz oa prirodni nacin definisanja kretanja potrcbno iz ovih jcdnacina kretanja prvo odrcditi jednacinu trajektorije tacke, a zatim i pocetni polozaj pokretne tacke na toj trajektoriji. Ovo se odredllje na naCin koji 5mo objasnili u prethodnom siucajll. Da bismo odredili i zakon kretanja duz trajektorije potraiimo izraz za ds preko po[arnih koordinata. U tu svrhu posmatrajmo beskonaeno mali krivolinijski trollgao MCM! dat na slici 1.13.

c 1',

o

SL 1.13

Odavde je onda

ds = ~dr2 + ,.2 dY"2

Zanemarivartiem malih veliCina viseg reda krivolinijski trougao CMM] mozemo smatrati pravolinijskim paje

MM' -CM' +CM' I - I ,

odnosl1o

gdje znak "plus" odnosno "minus" imaju isto znacenje kao i u prethodnom sillcajll.

26

I

I ! I ) !

I I

I I I I

lntegriranjem ove jednaeine dobicemo zakon kretanja:

iii ,

fJ' , , i s::::s{) r +r-Y"-c{. (1.64) o

1.6.3 Odredivanje vektora brzine tacke u datom trellutku Kod vektorskog nacina dcfinism~j[\ kretanja defmisali smo srednju brzinu

prcrnjestanja II obliku:

V\!'

gdje .Ie b.t vrijcme pren~cStanja.

lzraz. za sredl~u brzinu premjestaJ~ja moz.emo llapisati 1I obliku:

/11' I1s \-'.tr :::: -11,-\' 111-

gdje j e ~ duz-ina !uka MM1

Vektor brzine tacke II datoln momentu dobicemo kao granienu vr.jednost kojoj tezi vsr kada b.t -to, pa imamo:

Kakoje:

11; 6s dr ds 11= lim v .:::: lim (--.~)::::-.-, I'IHOII ill'--)O 6.s fj,( ds dt

(1'1.1'--)0)

lim - =- =1 I /1i'lldrl n,

(1.66)

gdje jc To jedinicni vektor tang,ente nn putanju u tacki M, koji je usrnjeren u stranu povecavanja krivolinijske koordinate s.

Prem3 tome vektor brzine tacke u datol11 trenutku maze sc sada napisati U obliku:

ds _ Vc:::;:~7

dt (I' (1.67)

gqjc je ,v::;;:: f (I) :tAkon kretanja tacke. Iz (1.67) vidimo da je vektor brzine tacke u datom trenutku jeunak izvodu zakona kretanja (1.62) po vremenu pomnozenim sa jcdinicnim vektorom tangente putanje.

Udavde se takode vidi dajc prQjekcija vektora brzine na tangcntu data izrazom;

( 1.68)

tj. projekcija vektora brzine na pravac tangcnte putanje tacke jednaka je prvom izvodu krivolinijskc koordinatc tacke s po vrcmcnu.

.

Vclicina vT ima prcdznak "plus" iii "minus" zavisno od smjera krctanja tacke. Ako je u ds

nckom trc!lutku - > a to znaci da u tom momcntu koordinatan s raste tj. tacka M se dl . krece U s1ranu povecanja koordinate s i smjer vektora v se poklapa sa smjerom vektora

lJ k ds k d To . protlvl1om, a'o JC - < 0, 'oor mata s se smanjuje tj, tacka M se krcce u . dl

stram! smanjenja koordinate s i sn1jer vektora je sllprotan smjeru vektora To .

]z izrazJ (1.67) vidimo da je intenzitet vektora brzine v jednak apsolutnoj vrijcdnosti projekcije vr vcktora v un pravac tangente na plltanju 1j.

(1.69)

Prel11

~ d vt

_ v; ~ Q::::--r +-11

dt 0 R 0 k

(1.71)

Odavde se vidi da je vektor ubrzanja tacke u datom trnutku potpuno odreden jednacinom (zakonom) kretanja s ::::; l(t), i poluprccnikom krivine putanje tacke R,;.

Iz (1.71) vidil110 da vektor ubrzanja predstavlja zbir dva vektora, vektora

uSll1jerenog duz. tangente na pUlanju tacke i vek:tora

usmjerenog duz glavne normale lla putanju tacke u stranu zakrivljenosti putanjc tj. ka centrll krivine putanje.

Komponentu - dV

t _ d 2s _

at ::::-d-t-rO ::::;-dt-2 To'

nazivamo tangencUalnim uhrzanjem lacke komponenlom uhrzanja lacke, a komponelltu:

(I. 72)

iii langel/cijalnom

(1.73)

nazivamo normalnim ubrzanjem lacke iii normalnom komponenlom ubrzanja tacke.

Iz izraza (1.71) mozemo lako naCi i projekcije vektora ubrzanja tacke l1a ose prirodnog triedra ciji sujedinicni vektori To, il" i ~)'

Tako je projekcija vektora ubrzanja a 11a pravac tangente data izrazom:

(1.74)

30

x SL 1.14

Jntcllzitet vektora ubrzanja dat je izrazom:

a projekcija l1a pravac glavne nonnule putanje tackc izrazom:

Projekcija vcktora ubrzanja a na pravac binormale je:

(1.77)

k b . - tacke sa pravcem glavne normale odreden je Ugao 5to ga zaklapa ve tor u rzallja a fonnulom:

Kadaje

\a,\ (178) tga=-.

~>o, dt

0,

krctanje je ubrzano, a a1' i v imaju isti smjer, 1I prolivllom, kadaje

~ < 0, kretanje je usporeno, a Gr ima suprotan predznak (smjer) od v. dt Na slici (1.IS) prikazana Sll ova dva slucaja kretanja.

P dvucimo jos jednom da dok at moZe biti pozitivno i negativno dotle je air uvijek P:zitivno tj. uvijekje lIsmjereno ~1 ~oziti~nll str.~nll Nose, odnosno uvijekje usmjereno od pokretne tacke M ka centro knvme trajektonje.

31

v v T

N \'1 Ubrzano kretanje Usporeno kretnnje

SI. I.J 5

Ak~ hi kr~tanjc tac~~ ~)il0 d~to na allatilicki naCin, npr. prcko Dckartovih koordinnjn, ll1o~~m? I tada ~la~[ . ~nt.enz[tete tangencijalnog ubrzanja tacke. Potrebno je da sc POcJ";jetlfllO cia se JCdll1lClll vcktor tangente moze izraziti preko \'eklora brzine l; ob!iku:

" l'

t

S obzirom na sve do sada receno vidimo da tangencijalno uhrzanje karakterise promjenu inlenziteta vektora brzine.

Ako pri ncravl1omjernom kretanju tacke u nekol11 trenutku, tangencijalno ubrzanje postaje jednako nuli~. ar ::::: dv r ::::: 0 oCigledno je da u tom trenutku intenzitet brzine dt tacke ima minima/nu iIi maksimalnu vrijednost.

c) RW1non!jerno krivolinijsko kretanje

Ako .Ie za cijelo vrijeme kretanja tacke tangencijalna komponenta njenog ubrzanja O 1 - o dv, . v

2 0 d "I k . .. a r ::::: a norma na an;t: , IJ ~. ::::: 0 ! -;t: ,on a se tac (3 reee ravnol11jerno 1

df Rk krivolinijskL U OV0111 sillcaju vektor ubrzarlja za c(je!o vrijeme kretanja tacke llsmjercn je u pravcu glavne nonna1e put311je tacke, a njegov intenzitet .Ie

Odavde vidimo da norma/na kOlJlpollellla ubrzGtzia ta(ke karakteri/;e pron~jel1u vektora brzine JJO pravcu.

Zakon ravnomjernog - krivolinijskog kretanja tacke tada dobijamo iz:

adakle je ds -=1'0 , dt

pa konacno imamo:

(1.82)

gdje .Ie v" pocetna brzina a So krivolinijska koordinata tacke u trenlltku t=O.

Ako je u nekom trenutku, pri ravnomjemom krivolinijskom kretanju tacke, njeno 2

ubrzanje jednako nuli ~. a =:;; an =:;; ~ =:;; 0 onda to znaci da 11 tom trenutku pokretna Rk

ta6ka prolazi kroz prevojnu tacku njene trajektarije (R k= 00),

d) Rcrvnonyerno pronlje'Yivo krivolinijsko kretanje

34

I j

Ako je za CIJe 0 Vfljeme (re ' llJa r - , " .. 1 .. 1 ta' (I - const a a~ 0 tJ. ako .Ie dv d 2 S .

- :::: --- =:;; canst 1 dt dt 2

onda je Rk ;;t O. Tada se intcnzitet brzine mijenja po

zakonu v =:;; v 0 + ar t, (1.83)

de c v pocctna brzina tacke. Ovakvo kretanje tacke nazivamo ravnoJJljerno -g J J II I v. promjenljivo krivolinij"sko kretanje tackc. Zakon ovakvog kretallJa dat JC Jee naCl110m:

1 , ,.=,. +v t+-a t- .. ' 'II 0 2 r (1.84)

gdje .Ie So krivo!inijska koordinata pokrctnc tacke 1I trenutkll t :;;:; 0 .

1.7 Kinematika tacke II generalisanim koordinatama

1.7.1 Osnovne napomene

Kako je poznato, po!ozaj tacke u prostoru odreden je sa tri Deka:tove p~a~oLl~gle koordinate. Medutim, proizvoUnc tri velicine, koje jednoznacno.odreuuJLl polozaJ t.:~ke u rostoru, mozemo takode usvojiti za koordinate, tacke. vr~ nezav!sn~ V~!J.~H~C llJvamo opcim (gcneraUsanim) koordinatama. U opcem slucuJu to su knvoll11lJske koordinate.

('I,) Koordinatna

Koordinatna

SI. 1.16 (q,)

35

Ako imamo tri jednoznacne funkcije Dekartovih koordinata tacke oblika:

q, =V',(x,y,z), q, =V',(x,y,z), q, =V',(x,y,z), (1,85)

i aka se iz tih funkcijajednoznacno mogu odrediti koordinatex,y,z u funkciji ql, Q2, Q3 tj,

(I.86)

onda parametre Ql' q2' q3 mozemo usvojiti za generalisane kaordinate, Radius vektor tacke r "'" xi + y J + z k ocigledno je funkcija generalisanih koordinata ~j.

Ako gClleralisane koordinale ql' Q2' q3 imajll konSlantne vrijednosti a, p, 'Y tada one odrcduju II prostoru tacku Mo sa koordills1ams xo ' Yo ' z(J koje su odredene izrazima:

x" =/,(u,~,y), y, =/2(a,~,y), z" =/;(u,0,Y).

Pretpostavimo sada da se mijenja sa1110 vrijednost koordinate q], dok su q2 = p, CJJ = Y konstante. Tacka pod ovim uslovima opisl~je krivu cija je jednaCina data izrazima:

Ako se mijenja koordinata (h a q] i q3 imaju konstantne vrijednosti, tacka ce opisivati drugu krivLI cija je jcdnaCina data izrazima:

x=!,(a.,q"y), y=j;(a.,q"y), z=/)(a,q"y).

Pri promjeni samo trece koordinate dobijamo krivu odredenu sa:

Ove krive nazivajll se koordinafnim nnUama u tacki Moexo, Yo, 20)' Kroz svaku tacku prostora pro laze tri koordinatne linije.

Pri istovremenoj promjelli dvije koordinate np. q! i Q2' a prj konstantnoj trecoj koordinati, Dekartove koordinate tacke zadovoJjavajujednaCine:

x=!,(q"q"y), y~/,(q"q2'Y)' z~/;(q"q"y).

Qvi izrazi odreduju jednaCinu neke povrsine. Ova povrsina naziva se koordinatna povrina (ql' Q2)' Analogno mo1.emo dobiti i ostale koordinatne povrsine e q] )q3) i (q2' q]). Kroz svaku tacku prostol'a mo1.emo POVllC] tri koordinatne povrsine,

Tangenta na koordinatnu liniju u proizvoljnoj tacki naziva se koordinatna osa kriyolinijskog sistema u toj tacki.

Tangencijalna ravan nakoorclinatnu povrsinu naziva se koordinatnom ravni.

.fedinicne vektorc koordinatnih osa u proizvoljnoj tacki oznacavacemn sa el , e2 i e3, Qvi jedinicni vektori lIsmjereni su u straml prirasta koordinate,

Sistem krivolinijskih koordinata naziva se ortogonaini aka se koordinatne ose toga sistema, 11 proizvoljnoj tacki, medusobno sijeku pod pravim uglovima. Mi cemo razmatrati nadalje S3mo ortogonalne krivolinijske sisteme.

Pravci jedinicnih vcktora el' e2 i c3 mijenjaju se od tabke do tacke u prostoru pa po1razimo izrHze La ove vektore.

Jednacina koordinatne linije za q] u vektorskoj fonni ima oblik:

of .. Vektor usmjeren je po tangenti na koordinatnu liniju II stranu povecanJa a q,

of koordinate q] . Odavde slijedi da vektori ~

aq,

Kakoje: or axc aye az---~--l +--1 +--k, aq, aq, oq,' oq, .

ondaje jedinicni vektor e1 odreoen izrazom:

I or ej""'---' L,oq,

i e1 imaju isti pravac i smjer.

(1.87)

(1.88)

Na potpuno analogan nacin dobijamo da je:

I ill' e) =0 __ _ - L2 () q2 ' (1.89)

gdje su:

Velicine LI ,L2 , ~ nazivaju se Lame~ovi koeficijenti.

1.7.2 Odreilivanje brzine tacke u ortogonalnim krivolinijskim koordinatama

Pri kretanju tacke krivolinijske koordinate se mijenjaju u hmkciji vremena. Vcktor polozaja pokretne tacke datje izrazorn

Brzina tacke je

-_dr ill'" or" or" v --~-_q, + __ q, + __ q dt oq, ilq, - oq, ' (1.90)

Koristcnjemjednacina (1.88) i (1.89) izraz za brzinu svodi se na

(1.91 )

U siucaju ortogonalnih krivolinijskih koordinata projckcije vektora brzine v na koordinatne osc su:

(1.92)

a intenzitet

38

....... ..----~--------

v~ (1.93)

1.7.3 Odredivanje ubrzanja tacke II ortogonalllim krivolinijskim koordillatama

Da bisrno dosli do izraza za ubrzanje tacke cije je krclanje dcfinisano preko krivolinijskih koardinata ql' q2" Q3' potraiimo prvo projekciju vektora ubr7..anja tackc a na asu ql artogonalnog krivolinijskag sistema:

adakle je _0_'_" 1_ v .

(1.97)

Aka se, zbog kratkoce pisanja, uvede oznaka

anda se jz izraza (1.97) projekcija ubrzanja na osu q] moze napisati U obliku

(1.98)

Na 3nalogan nacin dobili bi i pr~jekcjje 11a ose q2 i q3 U obliku

( 1.99)

Inienzitet ubrzanja tacke bice dat izrazom

(1.100)

Da bismo uocili prakticni znacaj izvedenih obrazaca za brzil1u i ubrzanje tacke u krivolinijskim koordinatama razmotricemo primjere ortogonalnih krivolinijskih sistema koji se najcesce upotrebljavaju.

1.7.4 Primjeri poiarnog, cilindricnog i sfernog koordinatnog sistema

aJ Polami koordinatni sistem

Koordinatlle linije za proizvoljnu tacku M(r,11) su: za koordinatu r prava linija dUl koje je usmjeren radUus~vektor tacke, a za koordinatu rp kruznica sa sredistem u tacki 0 poluprecnika r.

40

(r)

Sl. 1.16

Lame-ovi koeficijenti su prem3 (l .87):

L~ =[J1~j =r, ( axJ2 (" YJ' -1 L--+--. r - dr or

Koordinatne ase su: za koordinatu r koordinatna esa se JX)klapa sa koordinatnom linijom usrnjerena u stranu povecanja koordinate r, a za koordinatu (jJ koordinatna Dsa je prava, tangentc.'l na kruwicu i kojaje usmjerena u stranu povecanja koordinate cp.

Ocigledno je da je ovo ortog~nalni krivolinijski sistem koordll1at~. Zayisnost izmedu polamih i Dekartovlh koordinata dataje izrazima:

x = r cos rp, y::: r sin rp,

Projekcije vektora brzine tacke na ase r i rp su:

Vr ;;; L/"I: =- I', v(iI;:;:; Lq;{p =:. rip, a intenzitet brzine

Da bismo nasli i projekcije vek'tora ubrzanja na ase (r) i (0) odredimo prvo izraz 7.1\ 1,1('2+2,"2) (a3) =-v =- r r 't' , 2 2

pa su prema (1.98) i (1.99) projekcije ubrzanja:

l(da a)_,;_,.2. a :::- ---- -I up, r LI" dt 0': ar

1 (d a aJ . . " Q e = Le dt dq, - arp = 2rrp + rrp,

(a.,)

a 1ntenzitet ubrzanja

(a,)

Ako uporedimo dabijene izraze za vI"' V y?' Cll" i arp sa ranije izvedenim izrazima za sIucaj da je krctanje bila definisano u polamim koordinatama (104) onda vidima da sma ina avaj naCin dabili patpuna iste izraze.

b) Cilindricni koordinatni sL

c) Sferni koordinatni sistem

PoloZllj tacke u prostoru moze 5e odrediti i preko sfemih koordinata (r, If./, tp). Koordinata r predstavlja rastojanje tacke M od ishodista 0, koordinata IfIje ugao kojeg gradi poteg OM su ravni OX)', a koordinata rp je ugao kojeg gradi projekcija potega OM na ravan Oxy sa 050111 Ox.

Koordinatne linije proizvoljne tacke M(r, If/, rp) su: za koordinatu r - prava linija koja prolazi kroz tacku M i ishodiste 0, za koordinatu Ij/ - krurnica radijusa r sa centrom u tacki 0, i za koordinatu rp krumica radijusa r cos VI sa centrom na 051 Oz.

Koordinatne ase u tacki M Cr, If/, r:p) su;

koordinatna osa (r), koja se pokJapa sa koordinatnom linijom koordinate r. koordinatna osa C IIi), kQja predstavlja tangentu na krumicu poluprecnika r, koordinatna osa (rp), kQja je tangenta kruznice poluprecnika r eos(!fi) i nonnalna je ntl ravan OMM'.

SI. 1.18

44

" I

I , I

Koordinatne ose (r), (Ifi) i (qJ) Sil medusobno upravne tj. ovo je sistem ortogonalnih krivolinijskih koordinata.

Veze izmedu Dekartovih koordinata x, y, z i sfemih koordinata r, If/, rp date su izrazima:

x=rcosIjICOSrp, y=rcosl.jIsinrp, z=rsinl.jl.

Da bismo odredili Lame-ove koeficijente potraZimo potrebne parcijalne izvode:

ax dy, dz , -==~C~~-==~=~~==~ dr dr or dx. dy.. d. d~ =-rsllllflcosq:>, dlfl =-rsllllflslllq:>, dlfl =rcos~,

ax . dy _oz --0, o q:> = -r cos lfI smq:>, d rp = r cos lfI cosq:>, a q:> .

Prema izrazu (1.87) sada imamo:

Projekcije brzine tacke 11a ose (r), (i;J) i (q: su:

a intenzitet vektora brzine je:

Za funkciju dobijamo

Sadaje = .!.(f' + r',y2 + r2ip2 cos'lfI).

2

(c,)

~d=~V)=i:, dl dr dl d d 2 . --. =1' 1f/+2rrlf/, dl dW d d d ( 2' 2) . . , ,.. 2 2' .. --. :::::-r ({leas lfI =2rrrpcos-l.fI+r~rpcos 1j1-2r f/lljlsmlf/coslj/, dl dq; dl

odnosno

~ = (W' +,,2 cos 2 w)r. dr d " 2 . -- ;::;:: -r ~ rp cos IfI S1l1lJ1 , dlf/ d = 0 . oq;

Koristenjem izraza (1.98) i (1.99), kao i gore izvedenih ill'aza (cs) i (C6) dobijamo prqjekcije vcktora ubrzanja na ose (r ), (Ijf) i (rp) U obliku:

I ( d d aJ .. . 2 2 . 2 Or =--r; d;-o,: - or =1'-rrp COS lfI-rljl ,

I (d d d '\ .. .. ., aw ::::: - --. -. -- I:::: rljl + 2rlfr + rrp~sin If/cosljI, L, dt OW dW)

I(dd d\)' I d 2' 2 . . ". a = - ---c -- = ---- (r q;eos W) = 2rq;cosw + rq;eosw - 2rq;wsmw. ~ L" d I dq; dq; reosw dl

Intenzitet ubrzanjaje:

odnosno

a =~(j:-riJ2cos21j1-r1j;-2)2 + (rlji + 2rJjJ-+ rip 2sioljfcosW)2 + (e9)

(Zrrpcos lfI + riPcos ljI- 2riprjl sin I.f/ Y

Svaki clan u izrazu (C9) mora imat! dirnenziju ubt7anja lLT"2 J, 5tO predstavljajednu od moguCih kontrola tac110sti ovog izraz.a.

46

,

j :1

'I I

I 'I I 1 I

1.8 Primjeri iz kinematike tacke 1.8.1 Kretanje definisano na analiticko - vektorski naCin Primjer 1

Radius vektor tacke M mijenja se, u funkciji vremena t, po zakonu

r :::: R sin t 7 + R cos t ] + I k ,

gdje su R = const., 1 = const., a i,},k su jedinicni vektori nepomicnog Dekartovog sistema.

Odrcditi:

a) jcdnacinu trajektorije tacke M i odrediti poceh1i polozaj tacke Mo , b) vektor brzine tacke u proizvoljnom trenutku i njegov intenzitet, c) vektor ubrzanja tacke i njegov intenzitet, d) vektor sektorske brzine tacke i 11jegov intenzrtet.

Rjdenje:

a) Radijus vektor pokretne tacke M datje kao vektor-funkcija skalarnog argumenta t u obliku:

r = r (I) = R sin t 7 + R cos I J + I k iz koje vidimo da su komponcnte vektora u pravcu 0501:

r ::::Rsint"1, "

~y ::::Rcostj, r,=lk,

(I)

(2) (3) (4)

sto znaci da se vrh vektora r krecc u ravni kojaje paralelna ravni Oxy, na rastqjanju lod te ravni (rz :::: I = const.), po kruzl1ici ~} + r,: = R2) poluprecnika R (51. 1.20). U pocetnom poloiaju za to = O,jc: Yo ::::'R.7 + I k .

47

v

7T

x SI. 1.20

00, ~l

O,M~R

b) V cktor brzine tackc u proizvoljnom trenutku odreden jc izrazom

- elF v:::-

cit '

Iz (J) i (5) dobijamo vektof bJ7jne

v := R cos t 7 - R sin t J . Projekcije ovog vektora u pravcu osa su:

Vx ::::Rcost,

Vy =-Rsin t, V

z :::; O.

Intenzitet brzinc tacke je

Iv] :::: ~v; + v~ + v; ::: R :::: const Tacka se krece po kI1lZnici brzinom konstantnog intenziteta.

c) Ubrzanje tacke u proizvoljnom trenutku odredeno je izrazom

AO

(5)

(6)

(7) (8) (9)

(10)

Koristenjem izraZll (6) i (11) dobijamo

a=-Rsintf - Reost].

ProjekcUe vektora ubrzanja u pravcu osa su

ax =-Rsin/, ay =-Rcost, G z ::: 0,

a intcnzitct

I-I I 2 2 2 a =-VQx +ay+uz ::::R = const.

(11)

(12)

(13) (14) (15)

( 16)

1z (16) vidimo da.ie ubrzanje tacke M konstantno, sto zl1aci da ona vrsi ravnomjemo-ubrzano krivolinijsko kretanje.

Da bismo nacrtali i vcktor ubrzanja tacke M primjetimo da on lezi u ravni ni da ima isti pravae a suprotan smjer od projekeije vektora rna tu ravan (vidi izraze (2), (3), (4), (13), (14), (15).

d) Vektor sektorske brzine odredenje izrazom

Koristenjem (1) i (6) imamo

j k 2vct ;;;;;; Rsint Reost I,

Reost -Rsint 0

odakle je vektor sektorske brzine

a njegov intenzitet

(17)

(18)

(19)

(20)

Primjetimo da je U ovom slucaju kretanja tacke M ojena sektorska brzina konstantnog ioteoziteta. Tacka vrsi tzv. centraloo kretanje.

Primjer 2

Na sUci 1.21 je prikazan zglobni mehanizam koji se sastoji od romba ADBC, cije su stranice duzine b. Tjernena Die romba 1110gU, pomocll stapova OD = OC = I , da se obrcu oko ase kroz ncpomicnu tacku 0, dok ~eme B, pomocu stapa O! B = r , moze da se obrce oko ase kroz tacku 0[. Aka je poznatD da se ugao a, sto ga gradi duz 0IB sa pravcem 00), mijenja pozakonu

b) Posto tacka A vrsi pravolinijsko kretanje njenu brzinu odredicemo preko prvog izvoda koordil1ate Y A pO vremenu. Da bismo to uGinili izrazimo Y A U funkciji vremena.

Kakoje

(7)

to jc prema (6) i (7)

/2_b 2 (" ,) YA ~---tg -r I 2 r 2) (8)

Ako uvedemo oznake

(9) imamo

(10)

Ovo predstavlja z.akon kretanja tacke A dUl: prave cija je jednacina data izrazom (6). Projekcija brzine tacke A u pravcu Oy ose jc

. _ dYA -ok l'Ay- -_pt 22'

dt cos pt

Projekcija ubrzanja tacke A na Oy osuje

::::: dvAy :::::2/q,cospt2+4pt2sinpt2 a~ 3 2 dt cos pt

c) Odredimo sada brzinu i ubrzanje tacke u trenutku kada je a ==!!.- . 3

Kakoje

2 " ..fi a:::: nt, :::: - odnosno (, ~-s 3 ' 3 '

toje

(II)

(12)

(13)

(14)

Prinljer 3

lednacina kretanja tacke M u Dekartovim koordinatama su:

x=rcost 2 , y::::rsint 2 , z=bt 2 ,

gdje su rib kOl1stante.

Odrcditi:

a) jednacinu trajektorije tacke, b) brzinu i ubrzanje tacke u proizvoljnom trenutku,

fYdenje:

a) lednacinu trajektorije tacke M dobi6emo eliminacijom parametra ( iz jednacina kretanja.

Kvadriranjem i sabiranjem prve dvije ad jednaCina kretanja dobljamo vezu izmedu xi y koordinata U obliku:

(1)

1z prve i trece jednacine kretanja dobijamo veZll izrnedu x i z koordinata u obliku

z x=rcos-,

b (2)

lednacine (1) i (2), svaka za sebe, predstavljaju u proston! cilindricne povrsine. lednaCinom (1) data je cilindricna povrsina cije su izvodnice paralelne Oz osi i koja u presjeku sa ravni Oxy definise krufuicu poluprecnika r, dokjednacina (2) predstavlja, u prostoru, cilindricnu povrsinu cije su izvodnice paralelne osi Oy. Presjek cilindricnih povrsina (1) j (2), definise prostomu krivu kojaje trajektorija tacke M.

b) Da bismo odredili brzinu tacke potraZin19 izvode jednacina kretanja

dx . 2 v~ =-=-2r( SIll! , , dt (3)

dy , (4) Vy =-=2rtcosr, dt dz (5) v, =-=2bt.

, dt Sadaje

V=~V2+V2+V2 x y z' (6)

odnosno v:::.4t~, (7)

Da bismo odredili i ubrzanje tacke potraiimo izvode po vremenu izraza (3), (4) i (5).

Kakoje

1111amo

Primjer4

a x 0::;: dvx = -2 r (sin t 2 + 2 t 2 cos t 2 ), dt

dv I' ( 2 ' 2 ) 0y:::::--' =21' cost -2rsint , dt

U z = dvz = 2h .

dt

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Mehanizam l1a slici 1.22 sastoji se od dva medusobno zglobno vezana stapa AB i BC, svaki duzine /, za kaje su zgJobovima vezana dva druga stapa ED i DF taka da figura BEDF obrazuje TOmb stranica b, pri cemuje l>2b. Odrediti:

a) jednacinu trajektorije tacke D, b) brzinu i ubrzanje tacke D u zavisnosti od ugla tp = LBAC,

c) brzinuiubrzal1jeta6keDkadaje rp=!!...rad. 6

Tacka A je nepornicna, a tacka C se krece po pravoj upravnoj na BD, konstal1tnom brzinom Ve.

54

y

F

D

SI. 1.22

a) Koordinate 1acke D su:

X D :::: I cosrp, Yo =! sin q;- 2b sin rp:;;; (1- 26 )sin~!),

x

(I) (2)

KvadriranjcmjcdnaCina (1) i (2) i sabiranjem taka dobijenih izraza dab iva se: , ,

xi) + y,i ~ I . (3) [2 (i,2b)2

.TednaCina (3) predstavlja trajektoriju tacke D. To je elipsa sa poluosama 1 i (l-2b).

b) D'.j:' " ' "aza (1)'1 (2) po vrcmcnu dobicerno projekcije brzine tacke D l1a llcrenclranJcm tZ1"c asexty:

Posta je:

odatleje

"to:;;; -I sin q;'ip, YD = (/' 2 b )eos qJ' q,.

Xc XD:;;;2'

Na osnOVll izraza (4) i (6) dobijamo izvod ugla q; po vremenu U obliku:

. Vc qJ=---' 21 sin qJ

55

(4) (5 )

(6)

(7)

Sad!1 se izraz (5) na osnovu (7) moze pisati kao

(8)

arzina t3erec D, pri bilo kojem uglu l,O,je na osnovu (6) i (8):

~1 fv)' (2h-l )2 VD =-yXo + Yo =vl1 + -i1VcClg'l' l'fJ o:::;~)12+(2b_/)2ctg21,O. (9)

Da libmo dobi!i ubrzanjc tacke D, nadimo druge izvodc koordinata tacice D, po \TCIl1el111:

.. 21> -! ( 1 J\' 2b -! vi: yDo:::--vc --2 (po::: __ , ____ -, 21 sin 1,0 41- sin-'I,O

tBko da inlcnzintet ubrzanja tacke D:

.. 1l c) Kada Je ugao 1,0 0::: (5 rad. brzina je prcma (9) jednaka

Vc r;:;- ( )' VD =21'11- +3 2b-/ ,

a ubrzanjc prema izrazu (12) je

Primjer 5

( ) 2 V{ aD o:::-1-2b -,-, 1-

(10)

(II)

(12)

(13)

(14)

NerastegUivo uze ABM, prebaccno je preko nepokretnog kotura B, zanemarUivih (hmenzija, talco da je njegov desni kraj ucvrscen za pokretni klizac M, koji 1110ze da se

krece po nepokretnoj polukruZnoj vodici, radijusa R (sl.1.23). Desni kraj uleta krece se u pravolinijskoj vodici, nanize, konstantnom brzinom va'

Odrediti: a) jednacine kretanja klizaca M u poiamim koordinatama, b) brzinu i ubrzanje klizaca M u funkciji polarnog ugla 'P.

U pocetnom trenutku, I ::::: 0, klizac se nalazio u polozaju Mo, za kojije qJo o:::!!... , . . 6

Rjdenje:

p

, i B~ __ ~c ________ ~C~i~. ____________ ~J

.1f,;; >'" --> "0

Si. 1.23

Zadatak cemo rijesiti preko poiarnih koordinata s tim 5tO cerno tacku B usvojiti za pol.

a) Da bismo odredili jednacine kretanja klizaca M, primjetimo da je polarni radius

p = BM=2Rcos'P. (1)

Izvod ovog radiusa po vremenu je

(2)

Sa druge strane je

dp . 110 =--=-p.

dt (3)

U izrazu (3) je predznak (~), jer se pri kretanju tacke A nadole poiarni radius skracuje,

T7

Iz izraza (2) i (3) slijedi:

odakleje fsin qJdqJ = ;~ fdt + C"

Vo -cosrp =-t + C].

2R

Konstantu Cj odredicemo iz pocetnih uslova kretanja:

to =0, 1l qJ=-. 3

Uvrstavanjem uslova (6) ujednacinu (5) dobijamo

Korislenjem (5) i (7) dobijamo

.[31' cos rp= ___ o t, 2 2R

odakleje

lz (I) i (8) sada imamo

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(!O)

lzrazi (9) i (10) predstavljaju jednacine kretanja klizaca M u polamim koordinatama p i qJ.

b) Da bismo odredili brzinu klizaca M, potraiimo izraze za radijalnu i cirkulamu komponcntu brzine.

1z (8) nakon diferenciranja dobijamo

58

(11) (12)

qJ 2R sin qJ

a iz (3) imamo daje

P=-VO' tako daje

v p = -vo,

l' q; :::: Vo ctg rp . Kakoje

konacno imamo

~ , 1'0 V]\_l ;:;:;: 1'0 1 + ctg~qJ:::: .-. 5m rp

(13)

(14)

(15) (16)

(17)

( 18)

Potraiimo sada i izraze za radijalnu i cirkularnu komponentu ubrzG.nja tacke M.

Kakoje .. 7

Q p =P-PqJ-, a~ =pijJ+2pip,

toje

lz (14) slijedi

a iz (13) .0=0,

.. Vo cosqJ . P=----qJ

2R sin 2 ip

Uvrslavanje (13) u (23) dobijamo

.. vZ cosrp qJ = -----3-'

4R2 5m rp

Koristenjem izraza (I), (13), (14), (22) i (24) iz (19) i (20) dobijamo:

59

(19) (20)

(21 )

(22)

(23)

(24)

2 Vo COS rp Q p :::::----. 2R sin 211 '

Vo cos-ip I 1 2 ( " a (j) ;;;; ~ 2R 2 + sin 2 Q1 ) sin (0 .

Uvrstavanjem (25) i (26) u (21) konacno imamo:

v~ 1 aM ~--'-3-~1+3sin2'P.

2R SIll''P

(25)

(26)

(27)

Uradimo sada.ovaj zadatak taka Sto cerna tacku C usvojiti za pol. U OV0111 siucaju su polame koordmate L1gaa Iffi polami radius R. Na slici 1.24 se vidi da je

p i i i i If! Bwr--L---~Cfi~_L-___ U

A /1 I~

SL 1.24

1jI~2'P,

Jednacina kretanja sada Sll

VI ~ 2 arc coJ .f3 - -""- tJ l2R 2R ' r::: R :::; canst.

(28)

(29)

(30) Da bisl110 odredili brzinu tacke M primjetimo da tacka vrsi krumo kretanje paje

60

VM ~ R OJ ~ R dW ~ 2R ' dt Uvrstavanjem izra7.a (13) u (31) dobijamo

1'0 vM =-,-

Sill rp

(31 )

(32)

Ovaj izrazjednakje ranije dobijenom izrazlI (18), Ubrzanje tacke M, kao ubrlanje tacke koja vrsi kruina kretanje dobijamo kao

(33)

UvrstavaJ1ie U ovaj izraz ranije dobijenih izraza za ip i ;p tj. prema (28) 1j;-::: 2ip; ~f::::: 2;P, i111a1110:

I 4 lid 115 Cos2w al\_1 = 2R11 4 4 +--4 ---,

V 16R sin W 16R sin 6 rp (34)

odakleje v~ 1 ~ . 2

aM =---J- 1+3Sll1 rp. 2R sin rp

(35)

Ovaj izrazjednakje ranije dobijenorn izrazu za ubrzanje (27).

Uporedujuci ova dva nacina rjesavanja ovog zadatka maze se zakljuciti od kolikog je znacaja, u svakom kOllkretnom zadatku., izbor koordinatnag sistema u kame proucavamo odredeno kretanje.

Primjer 6

Kod mehanizrna prikazanog na slici 1.24 preko diska 1 je namotano uze 0 Cijem kraju visi teret A. Za disk je kruto spojena poluga Be. Duz yodice u poluzi maze da klize klizac sa tockicern M zanemarljivih dirnenzija. Padanjem tereta A dovodi se u obrtanje disk 1, a s njim i poluga Be, pri cemu se tockic M kotrlja bez klizallja po nepomicnom bregastorn tijelu, oblika polucilindra polupre,cnika R.

Naci promjenu brzine U padanja tereta A sa vremenorn, da bi ubrzaqje tockica M bilo

';1

Rjeenje:

x

411 aM =-2 U.

r

v VM ---..,.--- -----

ADt if Sl. l.24

'. dx" drp .

OznaCimo sa rp ugao koji poluga Be cini sa horizontalom kroz tacku O. Nije tdko yidjeti da je LOOjM:::: 2rp. lzaberimo koordinatni sistem 0 1;0' kako je pokazano oa slici 1.24. Kako je rastojanje 00, ~ O,M ~ 11, uglovi OIMO i OIOM su jednaki, te je OM = 2R sin rp. Koordinate tacke M

su:

~\\1 ::;:: OM cos rp =: R sin 2rp, (1) .I'M ~Rcos(Jl-2rp)~-Rcos2rp, (2)

a projckcije brzine tacke M l1a ase Ox i Oysu:

AM =---=2RCOS'1mrn=j' drp dt """."

. dYM drp . . JIM = ----:::: ') R sm 7q)(fJ - v . drp df ~ . - -)'

Brzina tacke Mje:

Kako je medutim,

toje

U rp=-,

r

11 11M =2-U.

r

Projekcije ubrzanja tacke M na ase koordinatnog sistema 01.:\); su:

62

(3)

(4)

(5)

.. ..7 o. XM ~-411sm 2rprp- + 211 cos 2rprp ~ a, , jiM ~411 cos 2rpq,2+211 sin 2rpiP~ay,

a ubrzanje tacke Mje:

(6)

. U ... U . Kako je rp ~ -, to Je rp ~ -, te IZfaz (6) postaje:

r r

(7)

Kako, medutim, iz uslova zadatka treba da je

2 16R2 U2 (/M=--r4

(8)

to nakon izjednacenja izraza (7) i (8) dobijamo slijedecu difcrencijalnu jednacinu

[/2 _-;"(u 2 -U,)~ O. r

(9)

Rjesenjem ove diferencijalne jednaCine dobice01o trazenu zavisnost promjene brzine tacke A sa vrernenorn.

Nakon razdvajanja promjenljivih (U, f), iz izraza (9) slijedi

!:. J dU ~ Jdt 2 U~I-U2 .

Uvedimo srnjenu U::: sin Z; d U = cos Z dz .

!:. J~ ~ Jdf. 2 sin Z

Da bisrno rijesili prvi integral, uvedimo tlov:u smjenu

z V ~ tg-. Tadaje

2 . 2V 2 V SlDZ=---, ,dz=---d .

I+V- I+V2

63

(10)

(11 )

Nakon uvrStavaqja odgovarajuce smjenc u jednacinu (11) i integraljenja dobijamo

a vracanjem na prvu smjenu:

Kako je, medutim, Z = arc sin U, to je

" , 21 I arcsin U j' .-tg -::::Cel". '\. 2 ( 12) 1zmz (! 2) .ie trazena z8visnost brzine U od vremena t. IV1edutim, ovaj lzraz se aa pojednostaviti. Lijeva strans jednaCine (12).ie oblika tg % ' pri cemu.ie

a=arcsinU, ( Silla-;;::;u,cosa;;::~1_U2'). '- .

I . .. k I" a sin 0; z poznatc tngonometflJs c re aCIJe tg - ::::: slijedi 21+cosa

a U tg-= .

2 I+1I-U2

Vratimo se izrazu (12):

21 U =C'e r I+~

(C je integraciona konstanta koja se odrcduje iz pocetnih uslova). Ovo je tracna funkcija U ~ U(t).

64

! ! I

Primjer 7

SI. 1.25

gdje je C konstanta.

Odrediti:

I d2~ 1 ~ = arccosl d~2 J

Prava p obrcc se u horizontalnoj ravni oko ose kroz tacku A i pri tome sijecc nepomicnu kruznicu poluprecnika r (njen pocetni poloZaj po je stanje mirovanja). Ugao 5to ga prava gradi sa svojim pocetnim horizontalnim

poloz:~em po, mijenja se po zakonu

a) brzinu i ubrzanje tacke P kojaje presjeci5te izmedu prave i kruznice u funkciji ugla ~,

fl b) intenzitet brzine i ubrzanja kadaje rp::::: 2' .

R;ies.enje:

a) PoloZaj tacke P je u Dekartovom koordinatnom sistemu odreden izrazima:

Xp =r(1+cos2~), ,Vr :::::rsin2rp.

yp

y

Xp

Po x ._._._._._.-:>-

SI. 1.26

Projekcije brzine tacke P na ose Dekartovog koordinatnog sistema (pravouglog) su prvi izvodi koordinata po vrernenu

dx .. Vx ::;;: -:::: -2r cpsm 2rp,

dt dy .

Vy ;::;:; dt :::;: 2r rpeas 2rp.

Projckcije ubrzanja na ase Dekartovog koordinatnog sistema su:

d ' . .. x . 2 Xp = --= -4r rp cos 2rp - 2r q; sin 2rp,

dt 2

.. d 2y . 2 . YP =-2- = -4r rp sm 2rp + 2r q; cos 2rp.

dt

Polarni ugaa so mijenja po dat0111 zakonu d'rp -- "" Ccosrp. dL2

Izjednacine (3), koju mazema napisati U obliku

drp ~(drp) = C cos rp . dt drp dt .

nakon razdvajanja promjclljivih i iIltegrisanja, slijedi

ip2 :::: 2C sin qJ.

Zamjcl10m (4) u (1) i izracnnavanjem iotenziteta brzine tatke P, dobijemo

Vp =~v~ +v; :::: 2r ~2Csin rp.

(I)

(2)

(3)

(4)

(5)

Zamjenom (3) i (4) u (2) i izracunavanjern ioteozitota ubrzanja tacke P, dobijamo

/"2'" / , ap ='VXp +yP =2Cr;;1+15sin rp.

b) U trenutku kadaje rp::::!!..., brziua i ubrzanje tacke P su 2

Vp = 2r.J2C, ap :::: 8rC.

66

(6)

Zadatak cemo rijditi i koristenjem polamog koordinatnog sistema.

Krelanje presjecne tacke P moze se posmatrati u polamim koordinatama pi rp. Poteg tacke P mijenja se po zakonu

p::::2rcosrp, (I)

a polami ugao po datom zakonu

d2 _! = c cosrp. dt'

(2)

Brzina u polamim koordina1ama se maze izraziti preko projekcija na koordinatne ose:

1z izraza(l) i (2)je:

Takodeje:

p = -2r rP sin rp.

d,; drp = C cos rp , dt drp ,;d,;= Ccosrpdrp, I ., C. -rp = 'smrp+K. 2

(3 )

Iz poceb1ih uslova za rp = 0 i ip = 0, dobija se daje konstanta intcgracije K= 0, te je ,;' =2Csiorp. (4)

Radijalna i cirkularna (transverzalna) komponenta brL:ine su

vp =-2rsinrp~2Csinrp, v~ ::::2rcosrp~2Csinrp .

Intenzitet brzine tacke P iz njenih projekcija' v p i v rp je

vp =~v~ +v~ =2rJ2Csinrp.

67

(5)

A r 0 . ___ ._.9.... _____ .

p p

p

SI. 1.27

Projekcije ubolloja na ase poJarnog koordinatnog sistema su date izrazima

Prema (2) i (3) je

p::::: -2r(

Iz(I)je dq> 2C ct;"=7' d'q> _ 4C dr dq> _ 16C' P 1 + cos 2q> dt 2 - -7 dip dt - r 5 sin3 rp .

Uvrstavanjem u izraze (4), (5), (6) i (7) q> ='::i r = 2p,fi, dobijemo: 4

dr = _ 3C,fi, d'r = _ 7C 2 ,fi, dt 2p dt' 8p3 dq> C d'q> 3C' di= 4p" dt' = 8p4'

Aka izraze (8) uVfstimo u (2), dobicemo

Ubrzanje tacke Mje jednako radijalnom ubrzanju:

~ 2 2 C 2 aM::: (If +arp =-3 J2. p

1.8.2 Kretanje tacke definisano na prirodan naCin Primjer 9

(6)

(7)

(8)

y Ugaonik OAB, ciji je LOAB='::, rotira

3

aka ose Oz po zakonu rp = 1l sin 2 k t . 2

A

Aka je data OA = r, odrediti:

a) brzinu tacke M, presjeka ugaonika i )i'-_1-___ ~'-----_.;..x nepomicne ase Ox u trcnutku

z

1t tj =-,

4k B

Sl. 1.29

70

I I , , I

I I I I !

I

b) ubrzanje tacke M u trenutku I, :;;;:;;~, - 2k

c) preaeniputdotrenutka t3::::: 3n, 2k

Rjdel1je:

a) Tacka M vl'Si pravolinijsko kretanje, pa je zakon krctanja:

gdje je

. (27r) xM =rcosrp+rsJnq?ctg 3-rp , 1t . ,

tp=-smkt. 2

Projekcija brzine na OSl1 OX je

", _ dX:\1 x/I"j---

dt

Diferenciranjem izraza (1) po vremenu, dobijamo

. [. (21t). 1 1 XM =r -SITIf/J+costpctg 3-rp +SlTItp . 2(27r )J' q>,

sm --q> 3

gdjeje ip ::: 1l k sin k t eos k t .

(I)

(2)

(3)

(4)

tk n: (2) . (4) . 7r. n: k . b' "1 U trenu uti == - , prema 1 ,Je /'PI ::;; -, /'P! ::;; -, pa JC r110a tae (C u tom 4k 4 2

trenutku

(5)

b) Ubrzanje tacke M je

(6)

71

odnosno diferenciranjem izraza (3) dobijamo

. [ (21r ) 1 xM =Rrp -coscp-sinrpctg 3-rp +2cosrp . 2(21r )+ SIn --'fJ

3

2 col3.7l: - 'fJ) 1 . \ 3 "[ . (2") SIO'fJ- ( _ +R'fJ-sIn'fJ+coS'fJctg --'fJ +

3 2JT I. 3 SlI1 3-'fJ) J

>;",,[;?, 11 (7)

k 1r . Za trenuia' Ij :'-:;'-, prema (2) ! (4), .Ie: - 2k lIbrz~lnjc

(8)

c) Zakoll kretanja nije 111011otol1a funkcija pa je potrcbno naci ugaa rp za koji je brzina tacke M Vl'vl:;:: O. IzjednaCinc (3) dobijamo za xM :;:: 0,

Rjesenja jednacine (9) su

I) za

f) odrediti poluprecnik zakrivljenosti putanje i proanalizirati kako se mijenja u zavisnosti od ugla cp,

g) naei duzinu luka putanje tacke M u zavisnosti od ugla cp. Kolika je ukupna duzina luka putanje ako se valjak okrene za puni krug.

Rjdenje:

Ako nema klizanja, onda mora biti

n a) 01' ~ PM ~ Rrp ~ RWI,

x = R(wl -sin WI), y ~ 1I(I-cOSWf), (1) Ovo su parametarske jednacine cikloide i istovremeno jednacine kretanja tacke M.

b) Eliminacijorn parametra t dobicemo jednaCinu cikloide.

Iz druge jednacine je

Sadaje

(2)

Ovo je jednacina tra:iektorije tacke M.

c) Brzina tacke Mje

'11(1 ), , d ~ ,mt x= OJ -coswt, y==RWSlllWt, 0 nosnov=Vx +y- =2Rwsll1-. 2

(3)

Ubrzanje taeke Mje

x == R OJ2 sin wt, ji == R w2 cos wt, a

2 == x2 + y2 == R 2w4 sin 2 w! + R2w4 cos2 wt == R2Q)4

, ,

a == R w2 == const. (4)

74

dv 2 (vt aT ==-==Rw cos-,

dt 2 I 2 2 2 . Wf

aN =-ya -aT == Rw sm2 (5)

Na osnovu izraza (4) se moze zakljuCiti da svaka tacka na obodu valjka, koji se kotrlja konstantnom brzinom, ima isti intenzitet ubrzanja jer je z.a tacku M uzeta proizvoljna tacka valjka. Vektor ubrzanja tackc jc lIsmjeren prema centru valjka, cije je ubrzanje jednako nuli, jer se valjak kotrlja konstantnom brzinom.

d) Tacka ce se naci u najvisem poloZaju u trenutku

Tadaje

1[(. , d ) IT ==- Jer Jeta arpT ::::: WIT::::: 7r . [0

.~::::: "max == 2R W, y::::: 0 .

U tom trenutku je

an:::: a:::: Rev2, aT == 0, x == Rw(l-coSWf), 5' == Rwsinwt.

y

t)

x

Sl. 1.32

Radius krivine je

411 ' 2 . ,[Of (J) sm -

2 . wt Rw sm-2

g) Elemenat luka cikloide je

e) Eliminacijom parametra t dobice-mo jednacinu hodografa brzine tacke M:

(X-WR)'+y2=(W1I)2

Hodografbrzine je krumica (sl. 132), Ekstremne vrijednosti brzine tacke su

Vmin ::::: 0, v max == 2Ro}.

, [01 M 411sm-, 11k ~2 p, 2

(6)

75

d, = vdt = 2Rwsin (~)~ = 2RSin( ~)d9' Pri punam obrtu valjka (rp= 2.1Z) tatka M prede put je

S=8R,

Primjer] 1

Si. 1.33

a) jednaCine kretanja tacke M,

x

(7)

Tacka M je prisiUena da se krece u nepomicnom Zlijebu A, kQii je izveden U obliku parabole cija je jednacina y = Cx 2 . Kretanje tacke M omoguceno je kretanjem kuIise K. Kulisa se krece udesno, ravl1omjcl11om brzinom Vo .

Aka je u trenutku t;:;;;: 0 tacka M bila u poloZaju 0 ( to je tjeme parabo]c), odrediti:

b) vcktor brzine j ubrzanja, v,a, tacke M u proizvoljnom trenutku t u funkciji polozaja tacke M,

I c) poluprecnik krivine putanje tacke M u trenutku II ;:;;;: - i put koji ona prede ko

2C tog trenutka.

Rje!ienje:

a) Kretanje tacke posmatra se u pravouglom Dekartovom koordinatnom sistemu OA}'. Kako je data projekcija brzine u pravcu ase Ox, x::::: vo, dolazi se do odgovarajuce jednaCine kretanja

(I)

Za date pocetne usJove t ::;:: 0, x ::;:: 0, je

x::;:: Vo t . (2)

Diferenciranjem po vremenu, jednaCine putanje tacke M: y:::: C x 2 , dobija se komponenta brzine u pravcu ose Oy

y = 2 C xX, iii ,Y = 2 v~ C t , (3)

Uvrstavanjem jednacine (2) u jednacinu trajektorije dobija se jednacina kretanja u pravcu ose Oy

Konacno,jednacine kretanja tacke su

2 2 x ::;:: Vo t, Y == C Vo t

b) Vektor brzine tacke M odredenje izrazom

odnosno V ::::: Vo 7 + 2 C Vo x J '

dokje vektor ubrzanja dat izrazom

odnosno

(4)

(5)

(6)

(7)

] c) Da bi se odredio poluprecnik krivine putanje u datom trenutku t I :::;: 2 C ' potrebno

je odrediti u tom trenutku brzinu tacke i nonnalno ubrzanje, pa je

(8)

"2 '2 ']' ') 4C' 2 Brzinatackeje v=-vx + y ,11 V==Vo"'V + -x odnosno

~ 2 2 2 V == Vo 1 + 4 C Vo t (9)

Tangencijalno ubrzanje je

-(10)

U trenutku tl brzina i tangencijalna komponenta ubrzanja su

2 2 ( , \ v :::: Vo 1 + Vo t (11 )

2CV6 aT =----. ~l+ V5 (12)

Nonnalno ubrzanje je

2CV5 ,odnosno aN -- ~.

" 1 + v~ (13)

Poluprecnik krivine putanje u trenutku tt je

3 1 ( 2)-Rk =-1+vo 2 , 2C (14)

Predeni put u intervalu od to do tj dobija se polazeci od izraza za brzinu u prirodnom triedru

paje

Odavdeje

I, S=VoJ~1+4C2v5t2dt. o

Primjer 12

Tacka M k1'e6e se u ravni Oxy, tako da je njeno ubrz.anje

78

(15)

(16)

(17)

gdje je Go:::: const.,

ai, j jedinicni vektori u pravcu Dsa Ox i Oy. Aka je u pocetnom trenutku tacka u poloZaju Mo (0,0), i aka je njena pacetna brzina v:::: Vo 7 (vo:::: canst.), odrediti: a) hodograf brzine tacke i nacrtatj ga, b) poluprecnik putanje tacke tJ trenutku t I =: ~ sec.

aD

Rjesenje:

a) Komponente ubI7.anja u pravcu Gsa pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema su:

X = Go, (1)

Integriranjem izraza (1) dobijaju se komponente brzine tacke

Komponente brzine za date pocetne llslove su;

x=: ao t, Y= ao t + vo

y Hodografbrzine

Sl. 1.34

b) Po111precnik krivine putanje tacke M je

79

(2)

Eliminacijom parametra t iz jednacina (2) dobija se hodograf vektora brzine (vidi slikll 1.34).

y=vo +x.

gdjeje

Tangencijalna komponenta ubrzanja je

dv d- - 12 -2 aT :::::: -, g JC je V=:, x + y , dt

odnosno

Intcnzitet ukupnog ubrzanja je a:::: ~ x2 + ji , a prcma (1)

v Tangcncijalna i normalnakomponenta ubrzanja u trenutku (1::;::.....Q.. SU

"0

a intcl1zitct brzine

Poiuprecnik putanje tacke M je

Primjer 13

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11 )

lednaCine kretanja tacke M u polarno-cilindricnom koordinatnom sistemu date Sli U ob1iku:

OA

r =a, tp=kt, z:::: hI,

gdje su a, k i b konstantne velicine:

Odrediti: a) projekcije vektora ubrz.anja tacke M na osc polarno-cilindricnog sistema, b) projekcije ubrzanja tacke M na ose polamo-cilindricnog sistema, c) poluprecnik krivine putanje tacke M.

Rjdenje:

a) Projekcije ubrzanja tacke M na ose datog polarno-cilindricnog sistema odredcnc su izrazima:

(1 )

gdje su velicine Lr , Lrp' L:; odredene izrazima:

Ir :::::: 1, L =1_ (2)

lzjednacina kretanja imamo

ip = k, (3) paje

"r :::::: 0, Vip:::::: ka, v_ = b_ (4)

b) Projekcije ubrzanja tacke M na ose datog sistema odredene su izrazima:

(5)

(6)

(7)

gdjeje 12 1(-2 2-2 -,)-. I/I=-v =- r +r tp +z .. 2 2

(8)

Uvrstavanjem izraza (8) i (2) u (5), (6) i (7) dobijamo:

"'

.. . 2 ar =r-rrp , arp = l' ;p + 2rip, a; = z.

Iz (3) slijedi

if = 0,

Koristenjem izraza (3) i (12) imamo

ar = -r k2

= -a k 2 , arp = 0,

a~ = O.

(9) (10) (11)

(12)

(13) (14) (IS)

c) Poluprecnik krivine putanje tacke M odreden je izrazom

z

y

-----