Kinematika

• Kinematika studuje geometrii pohybu robotu a trajektorie, po kterých se pohybují jednotlivé body.Klíčový pojem je poloha.

• Statika studuje vliv sil působících na robota v klidu a jejich vliv na jeho deformace. Klíčový pojem jepružnost.

• Dynamika analyzuje vliv sil a momentů na robota za pohybu.

Použité pojmy a zákony mohou být použity na jakékoliv mechanické stroje.

Terminologie

• Vazba je omezení vzájemného pohybu dvou těles.• Kinematická dvojice je dvojice těles spojených vazbou.• Kloub je technické provedení vazby.• Rám je část robotu nebo mechanismu, která je nepohyblivá, zpravidla spojená se zemí.• Chapadlo je část robotu, která je určena k manipulaci nástrojem nebo předmětem.• Kinematický řetězec je soustava kinematických dvojic.• Otevřený kinematický řetězec je soustava, kterou lze popsat acyklickým grafem.

Obrázek 1: Smíšený kinematický řetězec

Další pojmy

• Smíšený kinematický řetězec je soustava kinematických dvojic, kde existuje smyčka. Viz Obr. 1.• Pracovní prostor je množina všech bodů, kam je možné nastavit chapadlo robota. Viz Obr. 3.• Operační prostor je prostor, kam zasahuje robot nějakou svou částí při manipulaci. Viz Obr. 17.• Stupeň volnosti (DOF): Těleso má tolik stupňů volnosti v daném bodě, kolik je dimenze pro-storu, kam se může v daném bodě pohnout.

2-1

Druhy kinematických dvojic

Symbol Název má/odnímá DOF

sférická 3 / 3

rotační 1 / 5

posuvná 1 / 5

válcová 2 / 4

plochá 3 / 3

Obrázek 2:

Typická struktura manipulátoru

Pravoúhlá struktura Válcová (cylindrická)

Sférická Angulární

Obrázek 3:

Těleso v souřadném systému

Obrázek 4:

Těleso v souřadném systému

Těleso v rovině má 3 DOF.Těleso v prostoru má 6 DOF.Kontrolní otázky:Kolik stupňů volnosti má skládací metr na stole?Kolik stupňů volnosti má gumička?Zvolíme souřadný systém rámu O − xyz, viz Obr. 4.

S tělesem svážeme souřadný systém O′ − xbybzb. Popis souřadného systému O′ − xbybzb v souřadnémsystému rámu je:

~OO′ = xo =

xo

yo

zo

(n, t, b) .Utvořme matici R = (n, t,b), n, t, b jsou jednotkové a ortogonální vektory, matice R je ortonor-

mální, tedy R−1 = RT .

Známe polohu bodu v souřadném systému O′−xbybzb: xb =

uvw

a hledáme polohu v souřadnémsystému O − xyz: x =

xyz

. Viz Obr. 5.~OP ′ = ~OO′ + ~O′A+ ~AB + ~BP

x = xo + un+ vt+ wb

x = xo +Rxb

Obrácená transformace:

xb = −RTxo +RTx

Eulerovy úhly

Matice R má devět koeficientů, ale má hodnost pouze tři. Je tedy redundantní reprezentací, omezujícípodmínky jsou právě jednotkovost a kolmost vektorů n, t, b:

nT t = 0 tTb = 0 bTn = 0|n| = 1 |t| = 1 |b| = 1

Matici R lze snadno zkonstruovat pomocí Eulerových úhlů, viz Obr. 6:

1. Otočme souřadný systém O − xyz okolo osy z o úhel φ. Dostaneme O − x′y′z.

2. Otočme souřadný systém O − x′y′z okolo osy x′ o úhel θ. Dostaneme O − x′y′′z′′.

3. Otočme souřadný systém O − x′y′′z′′okolo osy z′′ o úhel ψ. Dostaneme O − xbybzb.

R = Rz(φ)Rx′(θ)Rz′′(ψ)

Rz(φ) =

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 00 0 1

(1)

Rx′(θ) =

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

(2)

Rz′′(ψ) =

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 00 0 1

(3)

5-1

R =

cosφ cosψ − cos θ sinφ sinψ − cos θ cosψ sinφ− cosφ sinψ sinφ sin θcosψ sinφ+ cosφ cos θ sinψ cosφ cos θ cosψ − sinφ sinψ − cosφ sin θ

sin θ sinψ cosψ sin θ cos θ

(4)

Trojice Eulerových úhlů dává jednoznačně otočení v prostoru, poloha v prostoru nedává jednoznačnětrojici úhlů. Existují další podobné definice, které mají podobné vlastnosti, ale jiné rovnice. Jestliže jedána matice R, lze Eulerovy úhly vypočítat z porovnání prvků r33, r32, r23.

Homogenní souřadnice

Zaveďme homogenní souřadnice takto:Euklidovské (metrické) Homogenní - projektivní

x =

xyz

⇒ x =

xyz1

x =

x/wy/wz/w

⇐ x =

xyzw

∧ w 6= 0

neexistuje(nevlastní bod)

⇐ x =

xyz0

Lze snadno ukázat, že v homogenních souřadnicích:

x = Axb,

kde A je matice 4x4:

A =[R xo

0 0 0 1

]Inverzní matice:

A−1 =

[RT −RTxo

0 0 0 1

]Transformace přes více souřadných systémů viz Obr. 7:

x0 = A01A12A23A34 . . .A

n−1n xn. (5)

5-2

Transformace souřadnic

x = x0 + un+ vt+ wb

Obrázek 5: Transformace bodu z jedné souřadné soustavy do jiné.

Definice Eulerových úhlů

Obrázek 6:

Posloupnost transformací souřadnic

Obrázek 7:

Otevřený kinematický řetězec

Obrázek 8:

Modelování otevřeného kinematického řetězce

Otevřený kinematický řetězec je tvořen posloupností těles spojených klouby. Známe-li popis klouby do-volených pohybů pomocí geometrických transformací, můžeme snadno nalézt transformace bodu ze sou-řadnic chapadla do souřadnic rámu a naopak. Jde o takzvanou přímou kinematickou úlohu.Jednoznačný a efektivní popis jednotlivých transformací můžeme nalézt metodou Denavitovou–

Hartenbergovou (Denavitova–Hartenbergova notace). Viz Obr. 9. Popisujeme kloub i.

1. Nalezneme osy otáčení kloubů i− 1, i, i+ 1.

2. Nalezneme příčku (společnou normálu) os kloubů i− 1 a i a os kloubů i a i+ 1.

3. Nalezneme body Oi−1, Hi, Oi.

4. Osu zi položme do osy kloubu i+ 1.

5. Osu xi položme do prodloužení příčky HiOi.

6. Osa yi tvoří s ostatními pravotočivou soustavu.

7. Označme vzdálenost bodů |Oi−1, Hi| = di.

8. Označme vzdálenost bodů |Hi, Oi| = ai.

9. Označme úhel mezi příčkami θi.

10. Označme úhel mezi osami kloubů i, i+ 1 αi.

11. Pro rám je možné zvolit polohu bodu Oo kdekoliv na ose kloubu a osu x0 orientovat libovolně.Například tak, aby d1 = 0.

12. Pro chapadlo je možné opět zvolit bod On a orientaci osy zn při dodržení ostatních pravidel.

13. Jsou-li osy dvou po sobě jdoucích kloubů rovnoběžné, je možné polohu příčky zvolit, například tak,že di = 0.

14. Pro posuvné klouby lze polohu osy kloubu zvolit.

Transformace v kloubu je zcela popsána čtyřmi parametry ai, di, αi, θi. Parametry ai, αi jsou konstanty,jeden z parametrů di, θi se mění s pohybem kloubu.Klouby jsou většinou:

• Otočné, pak je di konstanta a θi se mění,

• Posuvné, pak je θi konstanta a di se mění.

Transformační matici A pak vypočteme jako

Ai−1i = Ai−1

int Ainti ,

kde

Ai−1int =

cos θi − sin θi 0 0sin θi cos θi 0 00 0 1 di

0 0 0 1

,

Ainti =

1 0 0 ai

0 cosαi − sinαi 00 sinαi cosαi 00 0 0 1

.Snadno zjistíme, že:

Ai−1i =

cos θi − sin θi cosαi sin θi sinαi ai cos θi

sin θi cos θi cosαi − cos θi sinαi ai sin θi

0 sinαi cosαi di

0 0 0 1

.

9-1

Označme qi ten z parametrů θi, di, který se mění. Výraz 5 pak můžeme přepsat na

x0 = A01(q1)A12(q2)A

23(q3)A

34(q4) . . .A

n−1n (qn)xn.

Pro každou hodnotu vektoru q = (q1, q2, q3, q4, . . . qn) ∈ Q = Rn pak můžeme vypočítat souřadnice boduP v souřadnicích rámu ze zadaných souřadnic v souřadné soustavě chapadla a naopak. .Přímá kinematická úloha pro otevřený kinematický řetězec je tedy vždy řešitelná analyticky.

Inverzní kinematická úloha

Inverzní kinematickou úlohou nazýváme problém, kdy je dána matice

T(q) = A01(q1)A12(q2)A

23(q3)A

34(q4) . . .A

n−1n (qn). (6)

a hledáme hodnoty koeficientů q. Obecně se jedná o soustavu nelineárních (většinou trigonometrických)rovnic, která není analyticky řešitelná.Řešení inverzní kinematické úlohy:

• Analyticky, pokud to lze, neexistuje obecný návod, jak úlohu řešit. Existuji dílčí navody, jak řešitněkteré speciální roboty.

• Numericky.

• Tabulkou, předpočítanou pro pracovní prostor W ⊂ Q.

Existují struktury robotu, které lze řešit analyticky, takové struktury nazýváme řešitelné.Postačující podmínka pro řešitelnost struktury je např. to, že pro robota se šesti stupni volnosti tři

po sobě jdoucí rotační klouby mají osy protínající se v jednom bodě nezávisle na pohybu nebo tři posobě jdoucí osy musí být rovnoběžné.Jinou vlastností IKM je její nejednoznačnost v singulárních bodech. Často existuje podprostor Qs

prostoru Q, který dává stejné T.∀q ∈ Qs : T(q) = T

Pro rozhodnutí, kterou z n-tic q řešících rovnici 6 zvolíme, se bere v úvahu zejména:

1. Jsou uvažované hodnoty vektoru q přípustné, robot typicky nemůže zdaleka dosáhnout všechhodnot z prostoru kloubových souřadnic?

2. Jak se do singulárního bodu dostaneme (z kterého směru jsme přišli). Z požadavku spojitéhopohybu po trajektorii plyne, že i n-tice q musí být spojitou funkcí času.

3. Jakým směrem se ze singulárního bodu dostaneme (kam pokračuje trajektorie).

4. Nedostaneme se volbou q během dalšího pohybu do situace, kdy nepůjde splnit předchozí body?

5. Samotný operační prostor nás omezuje při volbě q. Příkladem je montáž sedadla do automobilurobotem.

Někdy navrhujeme takzvaně redundantního robota (například s osmi stupni volnosti), abychom zvět-šili prostor Qs, z kterého vybíráme q a tak mohli lépe vyhovět výše uvedeným požadavkům.Úlohy k zamyšlení :

• Lze sestrojit robota pouze s posuvnými klouby, který by mohl obecně manipulovat s tělesem vprostoru? Proč?

• Vyberte si nějakou montážní úlohu a navrhněte pro ni vhodnou strukturu redundantního robota.

9-2

Denavitova-Hartenbergova notace

Obrázek 9:

Sousední souřadné systémy v DH

Obrázek 10:

Poloha chapadla v souřadném systému rámu

Obrázek 11:

Souřadné systémy rámu a chapadla

Obrázek 12:

5-R-1-P manipulátor

Obrázek 13:

Struktura 5-R-1-P manipulátoru

Obrázek 14:

Nejednoznačnost inverzní kinematické úlohy

Obrázek 15:

PUMA

Obrázek 16:

Pracovní prostor

Obrázek 17:

Obrázek 18: Smíšený kinematický řetězec

Obrázek 19: Smíšený kinematický řetězec

Diferenciální kinematika

Diferenciální kinematika zkoumá pohyb v malém okolí chapadla. Zabývá se rychlostí pohybu chapadlaa jejím vlivem na rychlosti a zrychlení v kloubech a naopak. Na příkladu manipulátoru z Obr. 20lzeukázat motivaci analýzy. Závislost souřadnic chapadla na kloubových souřadnicích je:[

x(θ1, θ2)y(θ1, θ2)

]=

[xy

]=

[l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2)l1 sin θ1 + l2 sin(θ1 + θ2)

].

Infinitesimální změnu polohy chapadla v závislosti na infinitesimální změně kloubových souřadnicvypočteme: [

dxdy

]=

[∂x(θ1,θ2)

∂θ1

∂x(θ1,θ2)∂θ2

∂y(θ1,θ2)∂θ1

∂y(θ1,θ2)∂θ2

] [dθ1dθ2

]=

=

[−l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + θ2) −l2 sin(θ1 + θ2)l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2) l2 cos(θ1 + θ2)

] [dθ1dθ2

].

Matici J =

[∂x(θ1,θ2)

∂θ1

∂x(θ1,θ2)∂θ2

∂y(θ1,θ2)∂θ1

∂y(θ1,θ2)∂θ2

]nazýváme jakobiánem manipulátoru. Její hodnota závisí na

okamžité poloze kloubů (a tedy i chapadla). Píšeme tedy

dx = Jdθ .

Lze snadno ukázat, že pro rychlost platí

dxdt= J

dθ

dt,

v = Jθ .

Jakobián manipulátoru můžeme rozdělit na podjakobiány jednotlivých souřadnic:

v = Jθ = J1θ1 + J2θ2 .

Každý z podjakobiánů v sobě nese vliv jedné kloubové souřadnice na výslednou rychlost chapadla.

Infinitesimální rotace

Infinitesimální rotace mají zcela odlišné chování od rotací konečné velikosti. S odvoláním na rovnice 3můžeme psát:

Rx(dφx) =

1 0 00 cos dφx − sin dφx

0 sin dφx cos dφx

≈ 1 0 00 1 −dφx

0 dφx 1

(7)

Ry(dφy) =

cos dφy 0 sin dφy

0 1 0− sin dφy 0 cos dφy

≈ 1 0 dφy

0 1 0−dφy 0 1

(8)

Rz(dφz) =

cos dφz − sin dφz 0sin dφz cos dφz 00 0 1

≈ 1 −dφz 0dφz 1 00 0 1

. (9)

Zde jsme použili přibližnou rovnost cos(dφ) = 1 a sin(dφ) = dφ. V dalším použijeme dφdφ = 0.

Rx(dφx)Ry(dφy) =

1 0 dφy

dφxdφy 1 −dφx

−dφy dφx 1

= (10)

=

1 0 dφy

0 1 −dφx

−dφy dφx 1

= (11)

= Ry(dφy)Rx(dφx) . (12)

19-1

Skládání infinitesimálních rotací je tedy komutativní a lze je zaměňovat. Toto nelze provádět u rotacíkonečné velikosti, kde záleží na pořadí. Matice infinitesimálních rotací je ve tvaru:

Rx(dφx)Ry(dφy)Rz(dφz) =

1 −dφz dφy

dφz 1 −dφx

−dφy dφx 1

. (13)

Infinitesimální rotace lze sčítat, jak snadno nahlédneme:

R(dφx, dφy, dφz)R(dφ′x, dφ′y, dφ

′z) =

1 −(dφz + dφ′z) (dφy + dφ′y)(dφz + dφ′z) 1 −(dφx + dφ′x)−(dφy + dφ′y) (dφx + dφ′x) 1

== R(dφx + dφ

′x, dφy + dφ

′y, dφz + dφ

′z) .

Výpočet Jakobiánu manipulátoru

Jakobián manipulátoru můžeme při použití Denavitovy-Hartenbergovy notace vypočítat z následují-cích úvah (viz Obr. 22). Označme vektor infinitesimálního posunu chapadla dxe a vektor infinitesimálníchrotací chapadla dφe. Složení těchto vektorů označme dp.

dp =(dxe

dφe

).

Rychlost můžeme psát jako:

dp =(dve

dωe

)= Jq .

Jakobián manipulátoru, který je v trojrozměrném případě rozměru 6n, kde n je počet kloubů mani-pulátoru, můžeme psát:

J =[JL1 | JL2 | . . . | JLn

JA1 | JA2 | . . . | JAn

]. (14)

Rychlost pak můžeme psát ve tvaru:

ve = JL1q1 + JL2q2 + · · ·+ JLnqn .

Pro posuvný kloub se infinitesimální posuv kloubu přímo přenáší na infinitesimální posuv chapadla,takže:

JLiqi = bi−1di .

Posuvný kloub neindukuje žádnou rotaci, takže:

JAi = 0 .

Rotační kloub vyvozuje infinitesimální posun chapadla, jehož velikost je dána vektorovým součinemvektoru osy rotace kloubu bi−1 a ramenem mezi osou kloubu a chapadlem ri−1,e:

JLiqi = ωi × ri−1,e = (bi−1 × ri−1,e)θi .

Rotaci chapadla způsobená rotací kloubu je možné přímo přenést z kloubu:

ωi = bi−1θi .

Shrnuto pro posuvný kloub: [JLi

JAi

]=

[bi−10

]. (15)

Pro otočný kloub: [JLi

JAi

]=

[bi−1 × ri−1,ebi−1

]. (16)

19-2

Pomocí Denavitovy-Hartenbergovy notace snadno odvodíme, jak vypočítat bi−1. Vektor kloubu iv souřadném systému i − 1 je b = [0, 0, 1]T . Do souřadného systému rámu ho převedeme posloupnostínásobení rotačními maticemi:

bi−1 = R01(q1) · · ·Ri−2i−1(qi−1)b .

Vektor ri−1,e vypočítáme jako vektor mezi body chapadla a kloubu transformací do souřadné soustavyrámu. Oba jsou počátky příslušných souřadných soustav zapsaných X = [0, 0, 0, 1]T . Nechť funkce, kterápřevede homogenní na Euklidovské souřadnice je nazvána e. Pak:

ri−1,e = e(A01(q1) · · ·An−1n (qn)X)− e(A01(q1) · · ·Ai−2

i−1(qi−1)X) .

Příklad: Nalezněte jakobián manipulátoru z Obr. 23.

19-3

Diferenciální kinematika

Obrázek 20: 2 DOF manipulátor

Obrázek 21: Infinitezimální rotační vector

Diferenciální kinematika

Obrázek 22:

Diferenciální kinematika

Obrázek 23: Příklad.

Rychlost v okolí singulárního bodu

Obrázek 24: 2 DOF planární manipulátor

Obrázek 25: Trajektorie, průběh rychlostí