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Technische Mechanik II
Kinematik des starren Körpers
Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.
Fachbereich Mechatronik und MaschinenbauHochschule Bochum
WS 2009/2010
Kinematik des starren Körpers
Übersicht
1. Kinematik des Massenpunktes2. Kinematik des starren Körpers
◦ Beschreibung von Starrkörperbewegungen
◦ Ebene Bewegung
- Momentanpol
- Gangpolbahn und Rastpolbahn
◦ Räumliche Bewegung
3. Kinetik des Massenpunktes
4. Kinetik des starren Körpers
5. Stossprobleme
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 2/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 1/6
Grundlegende Begriffe
Starrer Körper
Idealisierung eines realen Körpers, nach der die elastischeVerformung des Körpers nicht berücksichtigt wird
Starrkörperbewegung
Allgemeine Bewegung eines starren Körpers, die sich stets alsÜberlagerung einer translatorischen und einer rotatorischenBewegung darstellen lässt
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 3/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 2/6
Grundlegende Begriffe (Forts.)
Translation
Alle Punkte eines Körpers erfahren die gleiche Verschiebung
Rotation
Alle Punkte eines Körpers bewegen sich mit der gleichen Winkel-geschwindigkeit entlang von Kreisbahnen um eine gemeinsameAchse
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 4/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 3/6
Grundlegende Begriffe (Forts.)
Freiheitsgrad
Bewegungsmöglichkeit eines Körpers (bzw. eines Systems), dieunabhängig von anderen Bewegungen ausgeführt und durch eineunabhängige Koordinate beschrieben werden kann
freie Objekte Freiheitsgrade
in der Ebene 2Massenpunkt
im Raum 3
in der Ebene 3Starrer Körper
im Raum 6
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 5/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 4/6
Drehung um eine feste Achse
Geschwindigkeit von Punkt P
v = ω × r , r =−→OP
Allgemeine Darstellung
v = ω ×−→QP x y
z
~r
~v
α
~ω
P
Q
O
Bei Drehung um eine feste Achse erfährt jeder Punkt eines starrenKörpers die gleiche Winkelgeschwindigkeit.
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 6/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 5/6
Allgemeine Bewegung
Ortsvektor zu Punkt B
rB = rA + sAB
Geschwindigkeitsvektor
rB = rA + sAB
⇓vB = vA + sAB
?sAB = ω × sAB
x y
z
~ω
~sAB
A
B~vB
~vA
~rB
~rA
⇒ vB = vA + ω × sAB
Beschleunigungsvektor aB = aA + ω × sAB + ω × (ω × sAB)
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 7/23
Kinematik des starren Körpers
Beschreibung von Starrkörperbewegungen 6/6
Allgemeine Bewegung (Forts.)
Momentanpol
Zeitlich veränderlicher Drehpunkt, dessen augenblickliche
Geschwindigkeit Null ist
x y
zb
b
~ω
B′
B
~vB
~vB′
M
allg.: vB = vA + ω × sAB
hier: vA = vM = 0
vB = ω × sMB
Mit Hilfe des Momentanpols ist esmöglich, jede beliebige Starr-körperbewegung als reine Rotationum diesen Punkt aufzufassen.
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 8/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 1/7
Grafische Bewegungsanalyse
b
B
~vB
Translation
b
B
~ω
Rotation um B
b
B
M
~vB~ω
Rotation um M+ =
0 = vB + ω × sBM
Lage des Momentanpols
sBM =ω × vB
ω2
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 9/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 2/7
Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)
Darstellung im . . .
. . . raumfesten Koordinatensystem
rOM = ([rOK+sKM]·ex)ex+([rOK+sKM]·ey)ey
⇒ Rastpolbahn
. . . körperfesten Koordinatensystem
sKM = (sKM · eξ)eξ + (sKM · eη)eη
⇒ Gangpolbahn
~ex
~ey
~eξ~eη
A
~vA
B
M
~vB
~sKM
O
K
~rOM
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 10/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 3/7
Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)
Rastpolbahn
Bahn des Momentanpols von einem Beobachter gesehen, der sichan einem raumfesten Punkt befindet (globale Darstellung)
Gangpolbahn
Bahn des Momentanpols von einem Beobachter gesehen, der sichmit dem Starrkörper bewegt (lokale Darstellung)
Bei einer ebenen Bewegung rollt die Gangpolbahn auf derRastpolbahn ab!
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 11/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 4/7
Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)
Beispiel: Abrutschende Leiter
A
B
M(t0)
~vB
~vA
~vS
M(t1)Gangpolbahn
Rastpolbahn
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 12/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 5/7
Grafische Bewegungsanalyse (Forts.)
Beispiel: Rollendes Rad
M(t0)
~vS
ω
M(t1)
~vS
ω Rastpolbahn
Gangpolbahn
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 13/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 6/7
Drehung des Koordinatensystems
[xP
yP
]
=
[cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ
] [ξPηP
]
︸︷︷︸ ︸ ︷︷ ︸ ︸︷︷︸
rP = R r′
P
Aktive Drehung: rP
= R r′
P
Passive Drehung: r′
P= R
−1r
P
Eigenschaften der Rotationsmatrix
◦ det(R) = 1
◦ RTR = RR
T = I
◦ R−1 = R
T
x
y
xP
yP
ξ
η
ξPηP
ϕ
~rP
P
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 14/23
Kinematik des starren Körpers
Ebene Bewegung 7/7
Verwendung der Rotationsmatrix
OrtsvektorrP = r0 + s0P = r0 + R s
′
0P
GeschwindigkeitsvektorvP = v0+ω×s0P = v0+R s
′
0P
(s′
0P = 0)
Zeitableitung der Rotationsmatrix
R =dR
dt= ϕ
dR
dϕ
s0P
Darstellung im raumfesten x, y-KOS
s′
0PDarstellung im körperfesten ξ, η-KOS
x
y
ξη
ω
ϕ
~s0P
0
P
~rP
~r0
Zusammenhang zwischen R und ω
RRTs0P = ω × s0P
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 15/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 1/8
Beschreibung der Position und Orientierung von starren Körpern
Die Konfiguration eines starren Körpers im Raum ist durch sechs
Koordinaten eindeutig definiert:
◦ drei Translationskoordinaten, z. B. x, y, z → Ortsvektor r0
◦ drei Rotationskoordinaten, z. B. ψ, θ, φ → Rotationsmatrix R
Position eines Körperpunktes
rP = r0 + s0P = r0 + R s′
0P
Eine beliebige Orientierung kanndurch drei aufeinander folgendeDrehungen beschrieben werden
x0 y0
z0
x3
y3
z3
~ω
~s0P
0
P
~rP
~r0
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 16/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 2/8
Beschreibung von Drehbewegungen
Drehungen um endliche Winkel sind nicht kommutativ!
x
y
z
x
y
z
90◦
x
y
z
x
y
z
90◦
x
y
z
90◦
x
y
z
90◦
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 17/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 3/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Euler-Winkeln
1. Drehung um z0
0R1 =
cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 0
0 0 1
2. Drehung um x1
1R2 =
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
3. Drehung um z2
2R3 =
cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0
0 0 1
x0
y0
z0
ψψ y1
z1 = z0
θ
θ
x2 = x1
y2
φ
φ
x3
y3
z3 = z2
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 18/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 4/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Euler-Winkeln (Forts.)
s0 = 0R3 s3 s0 Darstellung im x0, y0, z0-KOS
s3 Darstellung im x3, y3, z3- KOS
Konstruktion der Rotationsmatrix 0R3
0R3 = 0
R11R2
2R3
=
cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 0
0 0 1
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0
0 0 1
=
cosψ cosφ− sinψ cos θ sinφ − cosψ sinφ− sinψ cos θ cosφ sinψ sin θ
sinψ cosφ+ cosψ cos θ sinφ − sinψ sinφ+ cosψ cos θ cosφ − cosψ sin θ
sin θ sinφ sin θ cosφ cos θ
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 19/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 5/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Euler-Winkeln (Forts.)
Singuläre Stellung: θ = nπ , n = 0,±1,±2, . . .
R|θ=0=
cosψ cosφ− sinψ sinφ − cosψ sinφ− sinψ cosφ 0sinψ cosφ+ cosψ sinφ − sinψ sinφ+ cosψ cosφ 0
0 0 1
=
cos(ψ + φ) − sin(ψ + φ) 0sin(ψ + φ) − cos(ψ + φ) 0
0 0 1
→ keine Unterscheidung der Winkel ψ und φ möglich!
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 20/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 6/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Kardan-Winkeln1. Drehung um z0
0R1 =
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
2. Drehung um y1
1R2 =
cosψ 0 sinψ0 1 0
− sinψ 0 cosψ
3. Drehung um x2
2R3 =
1 0 00 cosφ − sinφ0 sinφ cosφ
x0
y0
z0
θ θ
x1
z1 = z0
ψ
ψ
y2 = y1
z2
φ
φ
x3 = x2
y3
z3
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 21/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 7/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Kardan-Winkeln (Forts.)
s0 = 0R3 s3 s0 Darstellung im x0, y0, z0-KOS
s3 Darstellung im x3, y3, z3- KOS
Konstruktion der Rotationsmatrix 0R3
0R3 = 0
R11R2
2R3
=
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
cosψ 0 − sinψ0 1 0
sinψ 0 cosψ
1 0 00 cosφ − sinφ0 sinφ cosφ
=
cosψ cos θ sinφ sinψ cos θ − cosφ sin θ cosφ sinψ cos θ + sinφ sin θ
cosψ sin θ sinφ sinψ sin θ + cosφ cos θ cosφ sinψ sin θ − sinφ cos θ
− sinψ sinφ cosψ cosφ cosψ
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 22/23
Kinematik des starren Körpers
Räumliche Bewegung 8/8
Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.)
Parametrierung mit Kardan-Winkeln (Forts.)
Singuläre Stellung: ψ =π
2+ nπ , n = 0,±1,±2, . . .
R|ψ=π
2
=
0 sinφ cos θ − cosφ sin θ cosφ cos θ + sinφ sin θ0 sinφ sin θ + cosφ cos θ cosφ sin θ − sinφ cos θ
−1 0 0
=
0 − sin(θ − φ) cos(θ − φ)0 cos(θ − φ) sin(θ − φ)
−1 0 0
→ keine Unterscheidung der Winkel θ und φ möglich!
Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 23/23