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Leis de Kirchhoff - Métodos de nós e de malhas
Método de nós
Método de Nós
Para apresentação do método de nós consideraremos o circuitoresistivo apresentado a seguir.
I
i6
1
2
3
0
R 1
R 2
R 3
R 4
R 5
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 3 / 42
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Leis de Kirchhoff - Métodos de nós e de malhas
Método de nós
Lei de Kirchhoff das correntes
A soma algébrica das correntes em cada nó é nula, sendo atribúıdo
o sinal positivo às correntes que saem do nó e o negativo àscorrentes que entram.
O circuito de interesse possui 4 nós, sendo que suas correntesobedecem às seguintes equações
nó 1 : i 1 + i 5 + i 6 = 0
nó 2 : − i 1 + i 2 + i 3 = 0
nó 3 : − i 3 + i 4 − i 5 = 0
nó 0 : − i 2 − i 4 − i 6 = 0Note que estas equações não são independentes (qualquercorrente de bipolo sai de um nó e entra em outro).
Um circuito conexo com n nós, possui n − 1 equações
independentes.Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 4 / 42
L i d Ki hh ff M´ d d ´ d lh
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Leis de Kirchhoff - Métodos de nós e de malhas
Método de nós
Tensão de nóEscolhendo um dos nós como sendo o de referência (ou terra) emum circuito com n nós, as tensões de nós são as tensões entre osn − 1 nós e o nó de referência. A tensão do nó de referência é, pordefinição, nula.
Lei de Kirchhoff das tensões
A tensão entre os terminais de cada bipolo é a diferença entre atensão do nó ao qual está ligado o terminal positivo e a tensão donó ao qual está ligado o terminal negativo.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 5 / 42
L i d Ki hh ff M t́ d d ´ d lh
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Leis de Kirchhoff - Métodos de nós e de malhas
Método de nós
Denotando v i como tensão no bipolo i ∈ {1, · · · , 5} e e j comotensão no nó j ∈ {0, · · · , 3} e adotando o nó 0 como o de
referência, podemos escrever as seguintes equações
v 1 = e 1 − e 2
v 2 = e 2
v 3
= e 2
− e 3
v 4 = e 3
v 5 = e 1 − e 3
v 6 = e 1
Note que em um circuito com b bipolos e n nós, suas b equações independentes possuem b + n − 1 variáveis, sendo b tensões de bipolos e n − 1 tensões de nós.
Como as tensões de bipolos são escritas em função dastensões de nós, temos n
−1 tensões independentes.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 6 / 42
Leis de Kirchhoff Métodos de nós e de malhas
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Leis de Kirchhoff - Metodos de nos e de malhas
Método de nós
Contagem do número de variáveis e equações
Variáveis EquaçõesL. Correntes b n − 1L. Tensões b + n − 1 b Total 2b + n − 1 b + n − 1
Note que necessitamos de mais b equações para obter soluçãoúnica. Estas b equações seguem da Lei de Ohm em cadabipolo. No caso do exemplo considerado, temos
i 1 = v 1/R 1
i 2 = v 2/R 2
i 3 = v 3/R 3
i 4 = v 4/R 4
i 5 = v 5/R 5
i 6 = −I
Note que para exprimir as correntes em
função das tensões, os bipolos devem sercontrolados por tensão.
O circuito não pode conter fontes ideaisde tensão.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 7 / 42
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Leis de Kirchhoff - Métodos de nós e de malhas
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Leis de Kirchhoff Metodos de nos e de malhas
Método de nós
Método de nós
O elemento y kk da diagonal principal é a soma de todas ascondutâncias ligadas ao nó k .
Os elementos iguais y kj e y jk são iguais a soma dascondutâncias entre os nós k e j com o sinal negativo.
O elemento I k é a soma de todas as fontes de correntesligadas ao nó k com sinal positivo se apontam na direção donó ou negativo, caso contrário.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 9 / 42
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Leis de Kirchhoff Metodos de nos e de malhas
Método de nós para bipolos não-lineares
Método de nós para bipolos não-lineares
O método é aplicável mesmo que um dos bipolos sejanão-linear e desde que controlado por tensão.
Supondo que o bipolo 3 seja não-linear e que sua corrente seja
expressa por i 3 = f (v 3) = f (e 2 − e 3), as equações ficam
1R 1
+ 1
R 5
e 1 −
1
R 1e 2 −
1
R 5e 3 = I
− 1
R 1e 1 +
1R 1
+ 1
R 2
e 2 + f (e 2 − e 3) = 0
− 1
R 5e 1 +
1R 4
+ 1
R 5
e 3 − f (e 2 − e 3) = 0
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 10 / 42
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Método de nós modificado
Método de nós modificado
As correntes para os nós 1, 2 e 3 já expressas em termos dastensões de nós são
1R 1
+ 1
R 5
e 1 −
1
R 1e 2 −
1
R 5e 3 = I
− 1R 1
e 1 +
1R 1
+ 1R 2
e 2 + i 3 = 0
− 1
R 5e 1 +
1R 4
+ 1
R 5
e 3 − i 3 = 0
Note que temos uma variável adicional i 3 e, portanto, umaequação adicional deve ser inclúıda. Ela é dada por
e 2 − e 3 = E
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 12 / 42
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Método de nós modificado
Método de nós modificado
O sistema de equações obtido é o seguinte
( 1R 1
+ 1R 5
) − 1R 1
− 1R 5
0
− 1R 1
( 1R 1
+ 1R 2
) 0 1
− 1R 5
0 ( 1R 4
+ 1R 5
) −1
0 1 −1 0
e 1e 2e 3
i 3
=
I
00
E
A matriz de admitância Y continua simétrica.
Se a fonte de tensão E for nula caracterizando um curtocircuito, a corrente de curto circuito i 3 poderia ser calculada
sem grandes dificuldades.Este método pode ser utilizado para a obtenção de umacorrente qualquer, desde que a equação adicional seja aquelaque descreva, em função das tensões de nós, o ramo da
corrente desejada.Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 13 / 42
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Circuitos com fontes vinculadas
Circuitos com fontes vinculadas
Para circuitos com fontes vinculadas utilizamos normalmente ométodo de nós modificados, já que algumas correntes conhecidascomo correntes essenciais não podem ser eliminadas. As correntesessenciais são :
As correntes que passam através das fontes de tensãovinculadas se existirem.
As correntes às quais são vinculadas fontes vinculadas acorrentes.
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Circuitos com fontes vinculadas
Fonte de corrente vinculada à tensão
O circuito a seguir possui uma fonte de corrente vinculada atensão.
1
2
3
0
R 1
R 2 R 4
R 5
i 3
v 1+ −
gv 1
I
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Circuitos com fontes vinculadas
Fonte de corrente vinculada à tensão
Neste caso resolve-se o circuito desprezando a fonte vinculada(abrindo o circuito na posição da fonte), obtendo
( 1R 1
+ 1R 5
) − 1R 1
− 1R 5
− 1R 1
( 1R 1
+ 1R 2
) 0
− 1R 5 0 ( 1R 4 + 1R 5 )
e 1e 2
e 3
=
I
0
0
A fonte está localizada entre os nós 2 e 3 e altera as equaçõesde correntes nestes nós. Logo, nestas linhas, a matrizadmitância deve ser modificada considerando que
i 3 = gv 1 = g (e 1 − e 2), o sistema torna-se(
1R 1
+ 1R 5
) − 1R 1
− 1R 5
− 1R 1
+g ( 1R 1
+ 1R 2
)−g 0
− 1R 5
−g g ( 1R 4
+ 1R 5
)
e 1e 2
e 3
=
I 0
0
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Circuitos com fontes vinculadas
Fonte de corrente vinculada à corrente
Um circuito com fonte de corrente vinculada à corrente é dado aseguir.
1
2
3
0
R 1
R 2 R 4
R 5
i 1 i 3
β i 1
I
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Circuitos com fontes vinculadas
Fonte de corrente vinculada à corrente
Neste caso encontra-se o sistema de equações desprezando afonte vinculada e explicitando a corrente de v́ınculo com aequação adicional e 1 − e 2 − R 1i 1 = 0, obtendo
1R 5
0 − 1R 5
1
0 1R 2
0 −1
− 1R 5 0 ( 1R 4 + 1R 5 ) 01 −1 0 −R 1
e 1e 2
e 3i 1
=
I
0
00
Como a fonte está entre os nós 2 e 3, a matriz admitânciasobre alteração nestas linhas acrescentando β i 1 na linha 2 e
−β i 1 em 3, obtendo
1R 5
0 − 1R 5
1
0 1R 2
0 −1 + β
− 1R 5
0 ( 1R 4
+ 1R 5
) −β
1 −1 0 −R 1
e 1e 2e 3i 1
=
I
000
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Circuitos com fontes vinculadas
Fonte de tensão vinculada à tensão
O circuito contendo este tipo de fonte de tensão é dado a seguir
1
2
3
0
R 1
R 2 R 4
R 5
i 3
v 1
+
+
−
−
µv 1
I
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Circuitos com fontes vinculadas
Fonte de tensão vinculada à tensão
Como a corrente que passa através da fonte vinculada éessencial, encontra-se o sistema de equações explicitando estacorrente.
A equação adicional é onde ocorre o v́ınculo, sendo dada por
e 2 − e 3 − µ(e 1 − e 2) = 0
O sistema de equações é o seguinte
1
R 1+ 1
R 5 − 1
R 1− 1
R 50
− 1R 1
1R 1
+ 1R 2
0 1
− 1R 5
0 ( 1R 4
+ 1R 5
) −1
−µ (1 + µ) −1 0
e 1e 2e 3i 3
=
I 000
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Circuitos com fontes vinculadas
Fonte de tensão vinculada à corrente
O circuito a seguir apresenta este tipo de fonte
1
2
3
0
R 1
R 2 R 4
R 5
i 3i 1
+ −
ri 1
I
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Circuitos com fontes vinculadas
Fonte de tensão vinculada a corrente
Para o circuito em questão, utiliza-se o método de nós modificadosexplicitando as correntes i 1 e i 3. As equações adicionais são
e 1 − e 2 − R 1i 1 = 0
relacionada ao bipolo onde passa a corrente i 1 e a equação de
v́ınculo e 2 − e 3 − ri 1 = 0
relacionada ao bipolo onde passa a corrente i 3. O sistema deequações é o seguinte
1
R 5 0 −
1
R 5 1 00 1R 2
0 −1 1
− 1R 5
0 ( 1R 4
+ 1R 5
) 0 −1
1 −1 0 −R 1 00 1 −1 −r 0
e 1e 2e 3i 1i 3
=
I 0000
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Circuitos com fontes vinculadas
Comentários
Como já mencionado, as fontes vinculadas não representamentradas externas no sistema. Elas alteram a matriz
admitância Y dos mesmos e não interferem nas entradas If
A matriz admitância Y de um sistema com fontes vinculadas
deixa de ser simétrica.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 23 / 42
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Método de malhas
Método de malhas : Algumas definições
Circuitos planares
Circuitos que podem ser representados em um plano sem que hajacruzamento de ramos.
Malhas
São laços que não contêm bipolos no seu interior.
Correntes de malhas
São correntes fict́ıcias existentes somente no peŕımetro da malha.Seu sentido é o mesmo sentido de percurso da malha quando seescreve a respectiva equação de tensões.
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Método de malhas
Método de malhas
Para apresentação do método de malhas consideraremos o circuitoresistivo apresentado a seguir.
1
2
3
R 1
R 2
R 3
R 4
R 5
E 1
E 2
+
+
−
−
j 1 j 2
j 3
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
i 6
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Método de malhas
Método de malhas
O método de malhas somente é aplicável para circuitos planos.
O número de malhas em um circuito plano conexo é dado porb − (n − 1).
Lei das tensões em formulação alternativa
A soma das tensões dos bipolos que formam uma malha é igual azero se, escolhido o sentido de percurso, considerar-se tensõespositivas as que concordarem com o sentido adotado e negativasas que discordarem.
Através do método de Kirchhoff obtém-se equações detensões descritas para b − (n − 1) malhas expressas em funçãodas correntes de bipolos, que, por sua vez, são expressas emfunção das b − (n − 1) correntes de malhas.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 26 / 42
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Método de malhas
Método de Malhas
O circuito de interesse possui 3 malhas. Utilizando a Lei deKirchhoff, temos
malha 1 : E 1 − R 1i 1 − R 2i 2 = 0malha 2 : R 2i 2 − R 3i 3 − R 4i 4 = 0
malha 3 : R 1i 1 − E 2 − R 5i 5 + R 3i 3 = 0
A relação entre as correntes de malhas e as de bipolos é aseguinte
i 1 = j 1 − j 3
i 2 = j 1 − j 2i 3 = j 2 − j 3i 4 = j 2i 5 = j 3i 6 = − j 1
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 27 / 42
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M´ d d lh
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Método de malhas
Método de Malhas
Relacionando ambos os conjuntos de equações, obtemos oseguinte sistema
R 1 + R 2 −R 2 −R 1
−R 2
R 2
+ R 3
+ R 4
−R 3−R 1 −R 3 R 1 + R 3 + R 5
j 1 j
2 j 3 =
E 10
−E 2
Na forma matricial, as equações de malhas são representadaspor Zj = Ef sendo Z ∈ R
b −(n−1)×b −(n−1) a matriz
impedância, j
∈R
b −(n−1)×1
o vetor das correntes de malhas eEf ∈ Rb −(n−1)×1 o vetor das fontes de tensão independentes.
A matriz Z é simétrica e diagonal dominante.
O sistema pode ser obtido por inspeção.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 28 / 42
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M t́ d d lh
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Metodo de malhas
Método de malhas
Considerando que as correntes de malhas circulam no mesmosentido (por exemplo, horário), temos :
O elemento z kk da diagonal principal é a soma de todas asresistências que compõem a malha k .
Os elementos iguais z kj e z jk são iguais a soma dasresistências, com o sinal negativo, que pertencemsimultaneamente às malhas j e k .
O elemento E k é a soma de todas as fontes de tensão damalha k obedecendo o sentido de percurso, positivo seconcordar com o sentido adotado e negativo caso contrário.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 29 / 42
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Método de malhas
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Metodo de malhas
Comentários
O método de malhas é conveniente na análise de circuitospequenos formados por fontes de tensão. Entretanto,comparado ao de nós, possui a desvantagem de ser restritoaos circuitos planos.
Como no método de nós, o método de malhas pode sermodificado de forma a incluir entre as incógnitas algumastensões, tornando posśıvel a análise de circuitos com fontes decorrente ideais.
Fontes vinculadas também podem ser inclúıdas, o que tornama matriz de impedância Z assimétrica.
Em ambos os casos, no método de nós e no de malhas, assimplificações nos circuitos podem facilitar sua análise.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 30 / 42
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Dualidade
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Dualidade
Dualidade
1 2R 1
R 2 R 3 G 1
G 2
G 3E 1 I +
− j 1 j 2
Considerando apenas circuitos planos conexos as equaçõesmatriciais
Zj = Ef e Ye = If
são duais pois só diferem pelo nome das grandezas envolvidas.
Pares de circuitos cuja equação de nós de um é idêntica àequação de malhas do outro são chamados de duais.
Os circuitos da figura são duais.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 31 / 42
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Simplificacão de circuitos
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Simplificaçao de circuitos
Simplificação de circuitos
Para facilitar a análise de circuitos elétricos podemos recorrer aalgumas transformações tais como :
Realizar a associação em série ou em paralelo de bipolos,
substituindo os mesmos por um único bipolo equivalente.
Realizar a equivalência estrela-triângulo.
Realizar a transformação de fontes : fontes de tensão parafontes de corrente e vice-versa.
Realizar o deslocamento de fontes.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 32 / 42
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Simplificacão de circuitos
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Simplificaçao de circuitos
Associação de bipolos em série
R 1R 2
R 3
R n
R eq
E eq E 3 E 1E 2
E n
v v
i i
+ +
+
+
++
+
− −
−
−
−
−
−
≡
aa
bb
· · ·
Bipolos em série : A corrente i que passa por todos eles é a mesma.
Note que aplicando a lei de Kirchhoff das tensões, temos
v = E eq − R eq i , com
E eq =
ni =1
E i , R eq =
ni =1
R i
Logo os n bipolos em série podem ser substitúıdos por um único
bipolo equivalente.Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 33 / 42
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Simplificação de circuitos
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p ¸
Associação de bipolos em paralelo
G 1 G 2 G n G eq
I eq I 1 I 2 I n v v
i i
++
−−
≡· · ·
Bipolos em paralelo : A tensão v sobre todos eles é a mesma.
Note que aplicando a lei de Kirchhoff das correntes, temos
i = I eq − G eq v , com
I eq =n
i =1
I i , G eq =n
i =1
G i
Logo os n bipolos em paralelo podem ser substitúıdos por um único
bipolo equivalente.Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 34 / 42
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Simplificação de circuitos
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p
Equivalência estrela-triângulo
R 1 R 2
R 3
R 12
R 13 R 23
1
1
2
2
3
3
Muitas vezes é conveniente substituir uma ligação Y por umaligação ∆ equivalente ou vice-versa.
Para encontrar a equivalência ligam-se duas fontes de correntequaisquer aos nós de mesmo nome das associações.
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 35 / 42
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Simplificação de circuitos
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Equivalência estrela-triângulo
R 1 R 2
R 3I 1 I 2
1 2
3
E 13E 23
=
R 1 + R 3 R 3
R 3 R 2 + R 3
I 1I 2
R 12
R 23R 31I 1 I 2
1 2
3
1R 12
+ 1
R 31
− 1
R 12− 1R 12
1R 12
+ 1R 23
E 13E 23
=I 1
I 2
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 36 / 42
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Simplificação de circuitos
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Equivalência estrela-triângulo
A condição de equivalência entre as associações é dada por
R 1 + R 3 R 3
R 3 R 2 + R 3
−1
=
1R 12
+ 1R 31
− 1R 12
− 1R 12
1R 12
+ 1R 23
ou de Y → ∆, temos
R 12 = R 1R 2 + R 2R 3 + R 3R 1
R 3
R 23 =
R 1R 2 + R 2R 3 + R 3R 1
R 1
R 31 = R 1R 2 + R 2R 3 + R 3R 1
R 2
Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade Aplicada ICT / Unifesp 37 / 42
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Simplificação de circuitos
8/19/2019 Kinch Hoff
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Equivalência estrela-triângulo
De ∆ → Y temos
R 1 = R 12R 31
R 12 + R 23 + R 31
R 2 = R
12R
23R 12 + R 23 + R 31
R 3 = R 23R 31
R 12 + R 23 + R 31
Se as três resistências forem iguais R
1 = R
2 = R
3 = R
Y , temosR 12 = R 23 = R 31 = R ∆ = 3R Y
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Leis de Kirchhoff - Métodos de nós e de malhas
Simplificação de circuitos
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Transformação de fontes
R
G E I +−
(1) (2)
aa
bb
≡
Uma fonte de tensão em série com um resistor pode ser substitúıdapor uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor ouvice-versa.
A relação entre E e I é obtida conectando um resistor R Lentre os pontos a e b . Nas duas configurações o resistor devesofrer o mesmo fluxo de corrente e, portanto, a mesma quedade tensão.
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Leis de Kirchhoff - Métodos de nós e de malhas
Simplificação de circuitos
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Transformação de fontes
Para a configuração (1) a corrente é dada por
i L = E
R + R L
Para a configuração (2) a corrente é dada por
i L = R
R + R LI
Igualando ambas as equações temos que a relação é
I = E
R
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Deslocamento de fonte de tensão
R 1 R 1
R 2 R 2
R 3 R 3
R 4 R 4
≡
E
E
E +
+
+
−
−
−
O deslocamento de uma fonte ideal de tensão colocando-a em sériecom os bipolos das malhas subsequentes (precedentes) e deixandoo ramo onde ela estava em curto, não altera as equações docircuito
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Deslocamento de fonte de corrente
R 1R 1
R 2R 2 R 3R 3
R 4R 4 R 5R 5
R 6R 6 R 7R 7
R 8R 8
≡I
I I
O deslocamento de uma fonte ideal de corrente colocando-a emparalelo com os nós subsequentes (precedentes) e deixando o ramoonde ela estava em aberto, não altera as equações do circuito
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