7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 1/161

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 2/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 3/161

 

     

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 4/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

   

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 5/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 6/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

     

         

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 7/161

 

     

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 8/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

                

           

     

             

                 

             

     

 

     

   

     

 

   

         

   

     

   

 

   

 

       

 

 

     

 

    

     

 

 

       

 

   

 

   

 

        

     

   

 

   

 

 

   

   

 

 

 

 

   

   

 

 

   

 

        

 

 

  

 

 

             

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 9/161

 

 

 

 

       

     

       

 

 

     

 

 

     

 

 

   

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 10/161

 

 

 

 

 

 

 

         

   

         

 

    

                      

 

 

   

 

 

 

 

                              

                  

   

 

 

   

 

     

 

   

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 11/161

                

 

 

     

 

 

 

        

                     

       

   

 

 

 

 

   

      

 

 

 

 

     

 

 

 

            

 

         

                          

 

 

 

 

   

           

 

 

 

 

                  

     

 

     

           

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 12/161

 

 

 

            

 

      

 

     

   

      

 

     

 

 

 

 

 

   

            

 

 

 

 

 

 

                  

           

                    

 

 

 

 

 

 

 

   

            

 

 

 

 

 

 

   

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

             

   

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 13/161

 

 

 

 

 

           

                         

                   

     

   

 

       

         

         

 

 

                                               

 

                                                       

 

 

 

 

 

                   

   

             

 

 

                

                

            

                

                    

                

                     

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 14/161

   

 

 

 

 

 

   

           

 

 

 

 

   

                       

   

          

   

                 

                

   

                  

                

   

       

   

 

 

 

            

 

      

 

     

   

     

 

     

 

 

 

 

 

   

           

 

 

 

 

 

 

         

   

   

 

   

 

               

 

 

       

     

 

 

                  

                

       

   

            

                 

                 

                

     

                 

                    

   

               

       

     

 

             

 

       

             

 

       

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 15/161

 

         

                       

     

 

 

                   

                    

 

             

       

                       

 

 

               

                      

                     

 

   

                

                     

   

                    

   

                

                     

     

                     

 

 

       

 

 

         

 

        

         

   

         

       

   

 

       

    

    

                

                

       

 

    

               

                     

   

     

         

   

       

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

   

 

 

   

 

   

   

   

 

 

            

         

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 16/161

 

             

                     

     

     

   

 

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 17/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                              

            

                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

  

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 18/161

 

 

 

 

 

 

 

 

                            

                             

 

       

         

 

 

             

 

                  

               

                

    

    

                   

               

           

     

 

           

     

                    

    

     

 

     

    

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 19/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

             

 

             

           

 

               

   

        

 

 

   

 

 

 

 

 

 

           

                

 

 

     

                 

         

 

 

 

 

 

   

 

 

   

   

 

 

   

 

 

 

   

 

          

 

 

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 20/161

     

         

 

     

     

 

 

 

     

   

   

       

       

 

         

 

 

   

   

   

   

   

 

 

       

 

 

     

 

      

         

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

    

 

 

 

 

                      

     

 

     

     

   

             

 

 

 

  

 

 

       

 

 

       

   

 

                     

                             

         

 

 

       

 

 

 

               

     

Æ    

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 21/161

 

 

 

 

           

 

 

   

 

 

 

 

   

   

 

 

   

 

   

 

   

   

         

 

     

   

 

   

 

       

 

 

 

 

 

       

     

   

 

           

     

     

 

   

   

 

 

       

     

 

 

     

 

   

   

 

         

       

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 22/161

     

 

       

 

   

     

   

 

 

   

 

     

     

 

 

     

 

   

   

 

         

   

 

   

 

 

     

 

 

    

       

 

     

         

 

     

 

 

   

     

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 23/161

 

 

   

 

 

 

 

 

   

   

   

   

   

   

   

   

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 24/161

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 25/161

 

 

 

 

 

 

     

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

              

 

            

 

             

 

 

 

 

    Æ          

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 26/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 27/161

 

 

 

 

   

 

 

   

 

   

     

 

 

 

 

       

   

 

 

       

 

 

 

       

 

 

   

 

 

 

 

   

 

   

           

 

 

 

 

     

 

     

 

 

     

   

 

       

     

 

 

 

 

   

 

 

 

 

     

   

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

                

 

   

 

   

 

 

      

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 28/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

     

 

     

   

     

        

   

   

 

  

 

   

 

 

 

   

 

     

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

   

   

 

  

 

   

 

 

        

       

   

 

   

   

   

 

 

 

 

   

   

 

 

   

   

   

   

   

   

 

   

   

    

 

 

   

 

 

    

 

   

 

 

      

 

   

 

 

   

   

   

    

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 29/161

       

   

   

   

   

 

    

     

   

     

  

   

 

 

   

 

    

 

 

                

   

    

 

       

 

 

 

                 

 

 

               

 

 

 

 

              

   

    

 

        

     

 

 

 

             

 

         

 

         

 

 

      

 

     

 

     

      

 

   

 

     

 

    

   

     

    

 

     

 

 

            

     

 

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 30/161

 

 

 

 

 

                   

 

          

 

  

     

           

 

   

 

     

                  

       

 

                   

 

     

                   

              

       

     

 

Æ  

         

                   

 

 

 

 

     

          

 

 

     

 

 

 

 

                 

     

     

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 31/161

                  

       

 

 

 

 

 

 

 

  

     

       

   

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

   

   

 

 

             

       

       

                 

 

 

     

 

     

           

       

   

 

     

 

 

                   

            

       

   

 

   

   

              

       

   

        

      

                       

       

   

   

 

 

      

              

   

 

  

              

                            

 

 

       

            

    

       

           

   

   

   

 

     

     

 

     

 

 

 

   

     

 

 

 

 

       

     

 

 

 

 

                           

       

 

                         

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 32/161

 

 

 

 

 

 

         

 

     

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

Æ

         

     

             

 

     

 

     

         

     

   

         

 

     

 

                       

   

     

                 

         

   

           

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 33/161

 

   

              

 

        

     

 

   

      

   

   

 

  

 

 

  

 

       

 

 

      

 

     

 

      

 

                 

 

 

               

             

 

                        

 

           

                

 

           

 

                 

  

   

 

 

   

           

                   

       

   

                        

     

               

       

 

                                

      

 

 

           

 

       

      

         

   

 

         

 

 

       

   

  

   

 

 

  

   

 

 

 

 

   

   

 

   

   

   

     

   

              

   

    

   

 

         

                     

       

            

 

           

         

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 34/161

 

 

 

 

 

   

 

       

         

   

           

 

 

 

   

 

                

 

   

   

       

   

 

           

 

     

 

     

   

 

 

 

 

           

 

 

                                

       

              

 

 

       

          

   

     

       

       

          

   

   

       

   

 

     

       

   

     

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 35/161

          

   

     

   

     

       

             

                           

 

 

  

   

                   

   

       

 

 

         

 

   

   

       

 

 

      

     

 

 

       

 

 

 

 

 

   

   

 

     

 

 

   

 

 

 

   

   

   

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 36/161

 

 

 

 

 

 

 

 

Æ  

Æ  

             

 

 

       

 

        

 

                    

 

 

    

 

                 

     

 

     

   

 

 

   

 

   

 

   

 

     

   

 

   

           

 

   

         

Æ

 

   

 

   

 

       

   

 

   

 

 

 

   

 

   

   

 

   

 

     

 

         

       

       

 

 

       

 

   

 

 

   

 

                        

 

   

 

 

   

 

                           

   

   

   

 

   

 

   

 

   

           

 

 

     

 

 

       

 

         

   

               

 

 

       

 

 

 

   

 

   

 

   

     

       

     

   

 

 

   

     

 

 

               

 

     

 

   

   

       

     

   

 

 

   

     

 

 

       

 

   

   

     

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 37/161

 

   

   

 

 

 

   

     

 

 

   

 

   

   

     

 

 

   

 

   

 

 

     

 

 

       

 

 

             

 

 

       

 

 

 

    

 

                     

 

       

     

 

                  

 

   

   

 

       

 

   

 

 

   

 

                        

 

     

 

                 

             

   

     

       

 

 

              

 

     

 

   

    

   

       

   

 

   

   

 

       

     

 

          

 

             

 

       

   

 

   

           

       

                       

 

 

     

    

 

 

     

       

 

                         

                 

             

 

         

          

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 38/161

 

           

 

     

     

 

     

           

 

             

     

 

   

 

   

 

         

                              

 

                                   

 

 

                                             

 

 

   

 

           

 

   

 

 

 

     

             

   

                

       

     

   

 

       

     

            

 

 

   

 

                      

 

      

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

              

         

      

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 39/161

 

         

 

 

 

 

 

 

       

       

 

                       

       

 

   

 

 

         

   

 

 

  

 

   

     

 

   

 

     

 

   

   

 

       

 

                  

 

        

 

        

 

   

   

 

       

 

 

         

   

 

 

 

       

     

         

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 40/161

 

 

 

 

                   

 

   

       

     

   

                           

 

 

                           

           

           

 

 

                                        

 

 

               

 

   

 

 

 

                               

                               

 

   

     

 

                                             

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 41/161

 

     

   

 

                

   

   

            

 

   

   

       

   

       

 

   

       

     

 

 

 

       

   

             

                 

 

           

                               

         

                     

                               

                                    

                           

         

         

 

  

     

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 42/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 43/161

 

 

 

 

 

     

         

           

             

 

                 

 

                  

 

 

 

 

   

      

 

                   

                 

        

 

          

     

   

 

   

 

     

           

               

       

           

 

 

   

 

      

 

 

          

 

 

 

 

         

 

   

   

 

     

            

   

     

   

   

         

 

   

               

 

                 

     

 

            

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 44/161

    

            

     

         

 

       

   

       

     

       

     

   

     

 

 

 

 

 

 

 

 

         

   

     

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

  

 

 

 

 

   

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

  

 

 

 

   

 

   

 

 

  

 

 

 

   

 

   

 

  

 

 

 

   

 

 

 

   

       

   

   

 

             

   

   

 

   

       

 

   

   

   

 

       

 

 

           

 

   

           

 

 

   

   

       

 

 

   

   

      

 

   

   

 

 

  

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 45/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

   

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

         

   

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 46/161

 

 

 

 

 

       

 

                 

 

 

 

 

 

               

           

 

 

 

 

                             

     

nodes in S

new matched edge

(a) (b)

nodes in S

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

   

 

 

       

 

 

   

 

  

 

 

        

 

   

 

          

 

        

 

 

   

 

        

 

 

 

        

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 47/161

     

       

 

   

 

 

       

       

 

 

     

         

   

   

 

        

 

         

 

       

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

     

  

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

  

 

 

 

     

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 48/161

 

 

 

 

 

                  

 

 

         

   

     

 

   

 

     

 

 

 

      

 

 

 

    

 

  

             

     

 

       

 

          

 

 

 

 

             

      

 

            

 

 

     

 

 

 

     

 

 

 

 

     

     

    

 

 

 

 

     

 

 

 

       

 

       

 

 

 

     

   

 

   

 

 

   

 

   

 

   

     

 

 

   

     

 

       

   

         

       

         

       

   

     

          

   

         

             

 

 

                

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 49/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

                 

             

   

 

        

     

  

     

         

   

         

         

                 

               

 

     

       

     

             

 

             

 

           

 

         

       

 

 

       

 

 

 

   

                 

           

   

     

   

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 50/161

 

   

 

      

 

 

       

Æ  

                                  

 

   

         

       

           

 

     

     

 

 

 

   

     

 

 

 

 

       

 

       

 

 

             

                 

                       

       

 

     

       

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 51/161

 

 

 

 

 

   

 

             

            

 

 

       

        

                    

   

     

                   

 

     

       

     

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    

     

   

     

       

     

       

   

 

 

       

 

   

 

 

 

   

                            

     

               

 

 

               

 

 

 

 

       

       

   

 

   

 

       

   

 

   

 

       

   

     

       

 

             

   

 

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 52/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

 

       

 

        

 

                   

 

 

               

                     

     

 

     

 

             

 

                                    

                        

 

 Æ 

 

 

 Æ 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

     

             

       

         

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 53/161

     

     

                          

   

   

 

                           

   

 

       

 

                 

                                  

   

   

           

               

 

           

 

 

                   

 

           

           

 

                       

 

              

               

   

         

 

 

     

         

 

   

             

     

 

   

           

             

   

 

 

       

   

                 

 

 

   

 

   

           

 

 

               

                   

 

     

     

 

     

 

        

   

   

 

    

   

 

             

     

 

 

     

            

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 54/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 55/161

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 56/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              

 

   

   

 

         

   

 

    

 

 

 

                   

           

 

             

 

              

            

          

 

 

 

     

 

     

 

 

 

   

 

   

 

  

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

      

 

    

 

 

 

 

 

 

 

    

 

    

 

    

 

    

 

      

 

    

 

 

 

 

   

 

    

 

 

      

 

    

 

 

      

 

    

 

 

    

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 57/161

   

 

 

    

 

 

      

 

 

 

     

 

 

 

      

 

 

 

    

              

 

 

   

         

 

 

 

                 

                       

 

 

 

 

       

 

 

       

 

   

       

 

 

       

 

 

             

           

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 58/161

 

 

 

 

 

      

 

   

   

 

 

   

 

 

   

 

 

     

               

 

 

   

 

     

                

 

 

             

                

 

           

                         

       

 

 

         

       

   

   

 

           

 

 

           

 

   

 

 

         

                   

     

       

 

   

 

Æ  

     

   

               

       

 

         

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 59/161

 

               

 

 

 

 

 

         

         

         

   

 

     

       

 

       

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 60/161

 

 

 

 

 

 

 

 

                  

                       

   

                                  

               

                      

         

                          

         

                     

                     

           

 

   

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 61/161

 

 

 

 

 

 

     

   

 

 

 

 

          

            

 

   

     

     

  

   

 

     

  

 

 

 

 

  

 

 

 

       

 

     

  

  

 

 

 

   

                                            

 

 

 

 

                

             

   

 

 

 

   

         

   

 

   

   

 

         

         

     

     

         

 

   

 

 

 

 

       

 

   

 

 

 

     

   

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

           

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 62/161

 

 

 

 

         

 

 

 

 

             

             

 

             

 

         

     

            

     

 

         

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 63/161

 

 

  

 

 

 

 

       

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

      

 

   

 

   

 

 

       

 

   

 

                

 

     

 

   

 

 

 

 

       

   

 

   

 

   

 

 

       

   

     

       

 

   

 

   

 

   

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

         

   

 

   

   

 

   

 

         

   

 

   

 

 

     

     

                     

         

 

    

 

         

 

 

 

   

 

   

 

   

 

       

 

 

 

 

   

 

           

 

   

 

     

 

   

 

 

 

   

   

   

 

 

 

 

   

   

 

 

   

 

    

   

  

 

    

 

   

 

    

 

     

 

    

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 64/161

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

     

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 65/161

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

   

   

   

 

   

   

           

                 

 

                 

 

     

 

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

       

 

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 66/161

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

   

 

 

 

           

   

 

   

 

   

   

 

 

   

 

   

   

 

     

 

   

   

 

           

 

   

   

 

       

 

   

   

         

   

 

   

   

               

       

                     

         

 

     

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 67/161

         

       

     

 

 

  

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

     

 

 

       

   

 

 

   

   

             

            

 

        

 

    

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 68/161

 

 

 

 

 

         

 

               

 

                 

 

   

  

 

       

 

                                 

        

     

        

       

             

       

         

             

         

 

 

 

 

 

              

             

 

    

           

     

 

 

   

     

     

 

     

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 69/161

 

 

 

 

 

 

            

            

                      

     

            

                 

   

 

 

   

    

       

 

  

 

     

 

   

 

 

   

   

 

   

 

 

     

 

   

   

 

    

                 

 

     

 

     

     

   

 

                     

 

   

 

   

   

 

      

 

 

                    

 

   

 

                        

 

  

 

     

     

        

       

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 70/161

   

 

 

 

           

   

 

       

     

 

     

 

 

 

    

         

   

 

 

 

 

 

       

 

 

 

             

           

  

 

          

 

          

      

          

 

         

     

 

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 71/161

 

 

 

 

 

 

     

 

        

       

  

 

       

     

 

        

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 72/161

 

 

 

 

 

 

 

       

 

   

 

  

 

 

 

 

                                 

                                

                  

   

 

  

     

                 

           

 

 

 

 

         

         

            

     

 

     

     

     

     

 

     

             

 

   

 

       

 

      

 

 

           

 

   

 

 

         

  

 

   

 

 

       

 

 

   

 

   

 

                  

   

   

 

 

 

 

                  

   

   

 

 

   

     

   

 

 

   

 

     

 

     

 

     

      

 

       

 

 

 

         

                 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 73/161

                 

 

 

 

 Æ   

  Æ         

   

 

     

 

 

 

 

 

 

         

 

 

   

 

     

 

 

       

   

 

   

 

      

   

 

       

 

 

                  

 

   

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 74/161

 

 

 

 

 

       

 

 

   

 

  

 

 

 

                 

                                       

        

                  

           

 

   

  

     

               

 

     

 

 

       

             

     

 

 

                    

     

                 

 

           

           

 

 

 

 

 

 

 

       

 

       

  

   

 

 

 

 

 

 

  

  

   

 

 

         

                     

 

          

 

          

 

           

 

     

 

   

 

                      

 

    

 

 

 

 

               

   

 

 

   

 

                  

                 

  

       

 

 

 

 

  

       

 

 

                    

     

  

       

 

 

 

 

  

       

 

 

       

     

 

 

          

 

 

       

 

 

   

 

                             

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 75/161

 

     

 

 

     

 

 

 

       

               

 

 

   

 

 

 

       

       

   

 

 

       

 

   

 

 

 

   

 

 

    

 

 

   

 

   

          

       

 

                                       

 

 

 

                       

   

 

 

 

         

       

             

 

   

         

 

 

 

     

  

     

 

                    

                                           

         

             

               

 

   

 

                        

           

Æ                     

 

          

  Æ           

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 76/161

 

 

 

 

 

 

 

Æ   Æ  

       

 

       

 

 

 

 

         

             

 

         

 

 

 

           Æ  

 

      

            

             

        

                    

              

                              

   

            

      

                    

     

           

              

              

      

     

         

          

 

            

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 77/161

 

       

 

 

 

 

   

 

    

 

    

 

        

 

    

 

    

 

        

 

        

 

    

 

        

 

    

 

 

        

     

                            

             

                

          

 

 

         

 

 

                      

         

         

         

   

       

 

       

 

                

             

         

        

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 78/161

 

 

 

 

 

 

 

   

 

    

 

       

 

   

 

 

 

                   

                                    

     

   

 

   

   

 

   

              

   

 

     

     

   

               

   

   

     

   

 

   

        

 

   

 

     

 

 

 

      

   

        

 

   

 

       

 

 

 

     

 

 

 

   

 

   

 

 

 

          

             

               

 

                     

       

   

   

 

       

 

   

 

   

 

  

   

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

 

   

          

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

 

 

 

             

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 79/161

         

 

   

 

   

 

   

 

   

 

    

 

    

 

   

     

 

     

 

   

     

   

 

   

     

   

 

   

 

 

 

   

     

 

 

     

   

     

   

 

   

     

 

   

 

   

 

 

 

   

     

   

     

   

 

   

 

   

     

   

     

   

 

 

 

 

   

 

   

     

   

     

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

   

     

   

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 80/161

 

 

 

 

 

 

 

 

       

     

       

   

                   

         

 

       

     

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

   

 

   

 

   

 

     

   

           

                     

     

             

                     

     

   

                                         

 

       

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 81/161

 

 

 

 

 

   

 

 

 

       

 

 

 

 

 

             

   

 

   

 

   

 

 

     

   

 

     

 

 

       

 

 

 

         

     

     

             

   

 

   

 

       

 

       

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 82/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 83/161

 

 

 

 

 

 

     

   

 

   

 

                  

                             

                   

     

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

     

   

 

     

   

 

   

 

   

 

       

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

       

 

       

 

 

 

 

   

 

       

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

   

 

       

 

       

 

 

 

 

   

 

       

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

 

     

    Æ

 

       

 

 

 

 

       

 

       

 

       

 

       

 

 

   

 

       

 

       

 

   

 

 

   

 

     

   

 

     

   

 

   

 

         

 

       

 

       

 

       

 

   

 

   

 

     

 

       

 

       

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

       

 

       

 

       

 

       

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 84/161

 

 

 

 

 

   

 

 

    Æ  

  

 

   

 

   

 

 

  

 

   

 

   

 

    

   

 

   

 

   

 

    

   

 

   

 

   

 

    

 

 

 

 

 

 

    

   

 

   

 

     

       

   

   

 

 

 

        

 

      

 

    

 

 

 

        

 

    

 

      

 

 

 

        

 

      

 

      

 

     

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

   

     

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

   

 

 

   

   

 

   

 

   

 

     

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

   

 

 

   

 

   

 

 

 

   

 

 

 

 

      

 

  

 

 

   

 

      

 

  

 

 

   

 

    

   

 

  

 

 

   

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

     

 

 

   

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 85/161

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

   

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

 

   

 

   

 

      

 

 

 

        

 

      

 

   

 

 

 

  

 

   

 

          

 

    

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

       

 

 

 

 

 

 

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 86/161

 

   

   

   

 

       

       

 

 

 

                 

                          

      

           

     

         

       

 

   

 

   

 

   

 

 

 

    

 

    

 

   

 

    

   

 

   

 

   

 

   

 

    

    

 

   

 

   

 

      

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

    

           

   

 

      

 

         

 

  

 

  

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

      

 

          

 

   

 

   

 

   

 

  

   

 

   

 

   

 

   

 

     

 

 

   

 

 

              

 

 

 

   

 

   

 

    

 

   

 

      

 

   

 

   

 

   

 

      

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

      

 

   

 

    

 

   

 

   

 

   

 

  

     

 

 

   

 

    

 

    

    

 

   

 

   

 

    

    

 

   

 

   

 

    

   

 

   

 

      

 

    

 

 

 

 

 

 

    

        

 

   

 

   

 

  

 

   

 

   

 

 

   

   

 

 

 

                 

 

 

      

 

            

 

        

      

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 87/161

       

 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

    

 

         

 

 

            

       

 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

   

 

         

 

 

            

 

         

 

   

   

 

 

 

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

  

 

   

   

 

 

   

   

 

 

 

 

   

 

 

 

   

   

 

 

   

   

 

 

 

 

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

   

 

 

 

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

   

 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

     

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

         

   

     

 

 

     

   

   

 

 

 

 

   

 

 

   

 

   

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

      

     

           

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 88/161

 

   

 

   

   

 

 

 

 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

  

 

   

   

 

 

 

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

     

 

 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

         

   

 

    

 

 

 

            

 

   

   

 

 

 

 

 

    

 

         

       

 

 

  Æ    

 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

         

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

    

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

 

         

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

 

    

 

 

 

 

         

       

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

   

 

       

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 89/161

 

 

 

 

 

   

           

       

           

 

 

 

            

     

 

 

   

   

   

         

                          

             

                                          

 

   

 

 

 

 

   

   

        

             

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 90/161

     

         

           

     

         

     

            

   

 

                     

 

 

                                   

  

     

       

 

       

   

       

 

 

  

     

               

                                      

                         

                 

 

     

 

  

     

               

                                      

                        

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

        

 

 

 

              

 

        

 

 

 

       

 

 

 

 

   

     

       

  

   

     

   

 

             

  

   

     

   

 

             

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 91/161

         

      

 

 

   

     

            

 

 

 

 

    

   

 

 

        

      

           

    

   

 

 

   

 

      

 

   

 

 

  

     

       

 

  

           

                            

                      

 

 

               

 

 

           

      

      

 

    

 

 

 

    

 

 

   

                            

                 

         

   

 

       

   

               

                 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 92/161

           

   

     

       

   

     

   

               

       

   

         

                

   

         

         

          

   

               

 

 

   

     

 

          

   

     

 

   

               

 

 

   

 

   

     

 

   

               

 

 

  

   

     

 

 

   

     

            

   

     

 

       

             

     

 

 

     

     

               

   

 

 

 

         

   

   

             

          

                              

            

 

     

   

         

          

     

     

 

                  

 

    

  

       

          

  

     

     

         

          

   

 

 

   

     

     

 

                             

             

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 93/161

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 94/161

 

 

 

 

 

               

 

 

              

                                  

 

    

   

   

 

         

             

     

   

 

 

                    

 

 

   

 

         

     

        

 

        

 

   

 

       

 

     

                        

   

   

   

   

 

 

   

   

       

 

        

 

   

 

   

             

 

  Æ         

 

                    

                 

 

           

 

         Æ 

   

 

          

 

         

 

          

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

           

 

    

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 95/161

 

        

 

 

 

 

 

 

 

   

 

       

 

 

     

 

       

               

 

   

 

     

              

 

       

 

                    

 

   

 

 

   

 

 

 

 

     

 

      

 

   

 

 

   

 

   

 

 

 

 

     

 

 

   

     

 

          

   

     

 

   

 

       

 

     

   

 

   

 

   

 

   

 

      

 

   

 

 

   

 

   

 

 

 

 

     

 

 

     

 

 

   

 

 

 

   

 

   

 

      

 

 

 

 

 

 

         

   

            

   

   

 

   

 

 

       

 

     

 

            

 

      Æ     

 

    

 

 

   

 

   

 

   

 

  Æ     

 

        

 

   

 

 

  Æ  

 

              

 

 

 

     

  

 

          

 

   

   

 

   

               

       

 

         

   

   

 

 

 

        

 

    

 

 

 

       

 

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

   

 

 

 

   

 

 

   

 

     

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 96/161

   

 

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

   

 

   

 

    

 

   

 

       

 

 

 

   

 

 

 

       

 

 

   

 

   

 

     

             

     

 

 

   

 

    

     

    

 

 

 

   

 

 

   

 

      

 

   

 

   

 

       

 

                     

     

 

 

           

 

                  

     

   

 

 

   

 

    

     

   

       

 

       

 

                  

     

 

     

     

 

                     

     

             

 

     

 

           

 

 

   

 

   

 

     

   

     

 

       

 

       

     

 

     

 

       

 

 

     

 

 

        

     

 

     

        

   

       

 

 

       

 

    

  

 

     

 

 

 

 

       

   

     

 

 

  

   

 

        

   

       

 

      

        

   

       

 

 

    

  

 

 

       

 

 

 

    

 

 

    

 

 

     

 

    

 

 

     

   

   

   

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 97/161

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

   

     

 

    

 

 

 

   

 

 

        

 

       

 

 

   

 

     

 

     

 

   

 

        

 

   

 

 

  

 

       

 

   

 

   

 

 

   

 

 

 

 

  

 

           

 

          

 

 

   

 

   

 

       

 

       

 

 

       

 

   

 

       

 

   

 

 

 

   

 

 

            

 

     

   

 

 

 

  

 

 

     

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 98/161

 

 

 

 

 

 

 

Æ  

Æ  

 

 

Æ  

 

 

 

 

   

         

         

          

             

             

                        

 

     

     

         

       

 

 

   

          

         

             

 

 

     

     

 

 

 

    

 

                      

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 99/161

     

 

 

 

     

 

 

     

     

     

 

 

   

 

 

     

       

 

 

 

 

 

 

   

  

 

 

 

 

 

     

 

   

 

  

 

   

 

 

           

 

     

 

      

  

 

 

   

 

 

   

     

     

 

     

 

       

       

 

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

    

   

 

     

       

 

 

 

 

 

 

        

 

            

 

   

 

       

 

   

 

 

 

       

 

           

 

   

 

 

       

       

 

   

   

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 100/161

       

 

      

 

        

               

   

     

 

           

  

 

        

 

        

   

     

    

 

              

 

   

       

 

 

     

 

 

 

 

 

   

 

   

     

 

    

   

 

   

     

 

           

 

 

       

 

   

 

 

 

     

 

 

 

 

   

 

     

 

 

   

 

   

     

 

 

     

 

   

 

  

 

   

     

 

    

  

 

   

     

 

 

 

 

   

 

   

     

 

 

   

 

   

     

 

         

 

 

       

 

   

 

 

  

 

   

     

 

           

 

Æ        

 

    

     

 

   

 

   

     

 

    

   

 

   

     

 

    

   

 

   

     

 

           

 

 

       

 

 

     

 

 

   

 

     

   

 

   

 

 

 

 

   

 

 

     

 

 

 

 

   

 

 

   

   

   

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

   

   

   

   

 

 

 

 

 

   

 

     

 

 

 

   

 

     

 

 

 

 

 

     

   

   

   

 

   

   

 

 

 

 

   

   

 

   

 

   

 

 

   

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 101/161

    

 

   

 

 

   

 

    

 

   

 

     

           

 

 

                 

 

       

 

      

 

 

       

 

     

 

   

 

 

 

 

 

   

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

 

     

 

    

 

 

    

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

    

   

 

 

   

   

   

  

                     

       

               

                    

 

 

 

   

 

 

      

 

 

   

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

 

               

 

 

            

   

 

 

     

 

            

 

          

 

      

 

          

 

         

 

          

   

 

       

 

          

   

 

       

 

 

   

 

   

 

       

 

          

 

       

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

 

     

 

 

 

   

 

   

 

       

 

         

 

 

 

 

 

     

 

   

   

 

       

 

     

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

    

 

     

 

     

 

 

 

     

 

 

       

 

 

     

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 102/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

     

    

 

 

 

   

 

   

 

 

 

   

     

 

   

 

     

 

 

 

 

  

       

 

 

 

   

 

     

      

     

 

    

 

   

 

  

 

     

 

 

 

            

 

        

 

 

 

  

 

 

 

     

 

      

  

 

 

 

 

 

    

 

 

                      

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

    

 

  

     

 

 

       

 

 

 

   

    

 

    

     

 

 

       

 

 

   

 

 

       

     

 

 

       

 

                     

   

 

 

   

 

 

    

 

   

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 103/161

   

 

   

   

 

 

 

 

     

    

 

   

     

   

             

 

 

 

 

    

 

  

     

 

   

   

      

 

 

 

 

 

  

     

   

   

     

 

 

       

       

 

 

 

  

     

   

   

     

 

 

   

 

    

            

     

   

   

     

 

 

 

 

                   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 104/161

 

 

 

 

 

     

                          

   

 

     

 

     

 

     

       

         

 

 

     

   

 

 

                          

   

 

     

     

             

 

     

   

 

   

 

   

     

         

 

       

 

 

 

 

     

     

   

 

   

 

     

 

 

   

 

 

 

 

 

     

   

 

   

 

     

       

 

 

       

 

   

 

        

 

   

 

   

   

 

   

 

        

 

   

 

     

 

     

     

 

       

 

          

 

 

 

      

 

   

 

        

 

   

 

   

   

 

               

 

       

 

 

   

 

   

 

   

 

          

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

       

 

 

           

 

         

 

     

   

 

   

 

 

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 105/161

           

 

   

Æ    

 

 

 

     

 

       

 

 

   

 

 

 

   

 

     

         

      

 

   

           

 

     

           

 

   

 

  Æ         

 

     

               

 

 

                       

 

 

            

               

 

 

 

          

 

            

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 106/161

 

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

   

 

   

 

    

 

 

 

          

 

 

 

 

                      

   

 

           

          

 

 

 

 

                    

 

         

   

 

             

 

 

                          

 

 

 

 

 

 

 

     Æ 

      

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

             

  

 

   

 

 

   

  Æ                    Æ   

  Æ 

      Æ  

        Æ     

                       Æ           

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 107/161

 

      Æ   

  Æ       

  Æ             

 

    

  Æ     

    

 

    

 

     Æ 

 

    

       

     Æ 

 

    Æ           

     Æ   

   

     Æ    Æ  

 

 

 

 

   

   

 

     

 

 

     

     

 

 

 

 

 

       

 

 

   

 

     

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

 

     

 

      

 

     

 

      

   

   

 

   

 

 

   

 

  

 

               

 

 

      

 

  

 

   

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

     

   

  

 

    

 

 

   

 

   

 

   

     

                

 

       

   

       

 

                     

 

 

 

 

  Æ       

       

 

   

   

 

 

    

 

 

 

               

 

 

 

 

                     

               Æ       

     

                                 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 108/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

                  

 Æ    

   

 

 

 

 

 

      

 

    

 

    

 

   Æ     

 

   

 

         

     

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

   

 

   Æ   

    

   

 

 

 

 

 

  

   

 

 

 

Æ    Æ 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

  

 

Æ 

 

 

Æ 

    

   

 

 

   

      

   

 

   

   

   

   

 

   

 

   

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

   

   

 

 

 

   

 

   

 

      

 

 

      

 

        

              

          Æ    

  Æ     

      Æ               Æ    

   

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 109/161

     Æ  

      Æ     

   

 

           

   

 

       

   

 

  

 

   

 

       

            

                     

      Æ        

 

 

Æ 

     

 

 

 

     

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 110/161

 

 

 

 

 

 

 

         

     

 

   

 

     

         

          

                     

       

   

           

       

 

          

       

 

            

   

   

     

 

 

 

 

      

   

     

 

 

 

 

  

   

 

     

       

   

     

 

 

 

 

     

   

     

 

 

 

 

      

    

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 111/161

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 112/161

LR

 

       

           

           

 

 

   

   

 

 

 

       

   

 

 

 

 

 

 

       

         

     

             

   

   

 

       

   

 

   

 

     

 

   

 

   

   

 

     

             

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 113/161

 

 

 

 

 

 

 

 

         

 

 

 

         

 

 

 

   

            

 

   

 

   

 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

          

      

 

          

 

 

        

 

   

 

   

 

 

 

 

 

        

 

 

   

   

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

   

   

 

      

       

 

     

   

 

         

    

   

     

 

 

     

 

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

        

 

    

  

 

   

 

      

 

         

 

    

 

 

 

 

       

 

 

       

 

     

 

      

 

 

  

 

   

 

 

 

  

     

 

 

 

 

 

   

 

             

 

                       

 

   

   

 

    

 

   

 

 

   

 

   

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 114/161

 

     

 

                   

 

     

       

 

     

     

   

         

          

     

     

             

     

     

             

   

       

 

   

            

     

 

 

         

   

 

       

 

 

      

 

          

     

   

 

 

 

 

 

              

         

  

     

 

 

             

  

   

     

 

 

 

 

   

     

     

 

 

   

     

 

 

   

 

       

 

 

 

   

 

   

        

 

       

 

  

     

 

 

 

           

 

  

     

 

 

 

       

 

             

  

     

 

 

              

            

 

 

     

 

     

 

   

 

   

 

 

   

 

 

 

  

     

 

 

 

           

   

 

 

 

 

 

 

             

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 115/161

     

 

 

 

   

     

 

 

     

 

   

  

   

     

 

 

 

 

   

     

     

 

 

       

 

               

 

       

 

 

     

 

         

       

               

     

     

 

         

       

               

     

 

   

 

        

 

  

 

 

  

     

 

 

 

  

  

     

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 116/161

 

 

 

 

 

             

        

   

              

   

 

    

 

 

       

 

 

       

 

             

           

   

 

   

   

 

       

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

   

       

 

 

     

 

 

       

     

 

 

   

 

 

         

 

         

 

           

   

 

   

   

 

         

 

         

 

             

         

                       

  

 

   

       

   

 

 

 

 

                   

 

     

     

       

 

     

         

             

   

 

       

         

   

      

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 117/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

                    

     

         

         

   

                   

     

   

       

   

             

     

         

       

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 118/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 119/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 120/161

           

     

             

         

           

                     

         

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 121/161

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

     

             

   

 

       

           

 

 

 

 

 

   

   

 

            

     

 

   

0 0

0 0

1 1

1 1

0 0 01 1 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 01 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 01 1

0 01 1

0 0 01 1 1

0 0 01 1 1

0 0 01 1 1 0 0 01 1 1

vs

0 0

0 0

1 1

1 1

0 01 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 01 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 01 1 1

0 01 1

0 0 01 1 1

0 01 1

 

     

0 0

0 0

1 1

1 1

0 01 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

0 01 1 0 0 01 1 1

0 0

0 0

1 1

1 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 01 1 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

0 0 01 1 1

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 122/161

       

     

 

 

 

 

0 0 01 1 10 0 01 1 1

0 01 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 01 1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 01 1

0 01 1 0 0 01 1 1

0 0 01 1 1

 

   

 

 

 

 

   

                    

                 

 

 

 

     

  

       

             

 

   

 

   

 

   

 

     

   

       

 

       

   

       

 

       

     

  

       

 

       

  

       

 

       

 

 

 

 

matching

0 0 00 0 01 1 11 1 1 0 00 01 11 1 0 00 01 11 1 0 00 01 11 1 0 0 00 0 01 1 11 1 1

MST

0 0 01 1 1

     

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 123/161

 

       

 

    

 

 

       

 

 

 

 

 

     

 

       

 

 

0 00 01 11 1

0 0

0 0

1 1

1 1

0 0

0 0

1 1

1 1

0 00 01 11 1

0 0

0 0

1 1

1 1

odd degree node

matching B

OPT tour

matching A

     

     

 

       

 

            

       

   

 

          

 

          

 

       

 

       

 

    

 

 

       

             

 

            

 

 

                 

     

 

 

     

 

 

 

             

             

         

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

           

     

 

   

 

 

     

 

                         

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 124/161

                 

     

 

            

 

 

             

  

 

 

   

 

 

       

 

                  

         

                 

   

 

   

 

                               

   

 

     

             

 

 

 

             

                 

                             

 

   

   

       

 

         

 

 

                

 

 

   

 

 

     

 

     

 

   

 

 

 

 

 

 

           

 

 

         

 

    

 

 

            

 

 

         

 

    

 

 

   

 

 

           

             

 

   

 

          

 

         

 

 

 

   

   

       

 

     

 

 

   

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

    

 

 

               

 

 

       

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 125/161

 

   

                     

   

 

                     

     

 

   

 

             

               

   

       

           

 

     

   

 

       

 

   

 

 

 

                  

                       

                  

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 126/161

 

 

 

 

 

   

  

 

 

 

       

  

 

 

 

   

       

 

   

 

 

   

 

   

 

             

 

 

   

 

   

 

             

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

     

 

 

 

 

 

 

 

   

         

 

 

 

     

 

 

   

 

   

 

   

 

 

 

            

 

 

 

        

 

 

 

       

 

 

 

       

 

 

 

       

 

 

 

   

 

   

   

  

 

 

 

   

       

 

 

 

       

 

 

 

   

 

  

  

 

 

 

   

 

  

 

 

 

   

 

    

 

   

 

 

     

 

     

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 127/161

       

   

 

  

 

 

  

 

   

     

 

 

 

 

       

 

       

 

   

 

   

 

     

       

 

 

 

 

       

 

           

 

 

 

          

 

            

 

   

 

 

   

   

 

   

 

    

 

 

   

 

    

 

    

 

Æ  

          

 

        

 

   

 

        

 

    

 

   

 

        

 

     

 

      

 

 

   

 

 

   

 

   

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

   

 

       

 

 

 

     

 

 

 

       

 

 

 

           

Æ      

 

 

 

   

 

       

 

 

 

     

 

 

 

       

 

 

 

         

       

 

   

 

   

 

   

 

 

             

 

   

 

           

 

     

 

   

 

     

 

 

 

 

     

 

       

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

       

 

 

 

       

 

       

 

     

         

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 128/161

     

   

 

         

   

           

 

    

 

 

   

 

   

 

     

           

 

 

              

 

         

   

 

 

 

       

 

            

 

    

 

                   

              

 

              

 

   

 

    

 

   

 

      

 

   

 

        

 

 

        

 

 

     

 

   

          

 

     

 

 

        

 

      

 

 

 

          

 

     

 

   

 

      

 

 

 

     

 

     

 

   

 

      

 

 

 

     

 

            

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 129/161

 

 

 

 

 

           

   

 

     

   

     

   

 

   

 

           

     

     

   

         

     

       

   

 

 

     

     

                                       

   

 

   

 

     

 

 

 

 

      

           

 

   

 

 

 

                 

 

       

           

     

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 130/161

     

   

pegsslots

    

         

     

             

           

               

   

   

 

       

 

   

 

 

     

 

 

        

 

       

 

           

 

 

 

   

 

 

   

 

   

 

   

 

                 

 

   

 

             

 

   

 

   

 

     

       

 

   

        

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 131/161

 

     

     

     

       

             

   

           

 

 

 

   

 

     

   

 

 

    

       

 

   

   

     

   

   

   

 

       

Red Side

Blue Side

Edge in M

   

 

         

  

 

  

 

 

    

        

 

   

 

                 

 

          

 

                   

 

 

   

 

         

 

 

   

 

       

 

       

       

 

   

 

   

 

 

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 132/161

peg - slot change

peg

slot

     

 

           

 

      

 

      

        

 

   

 

                 

 

          

 

                 

 

   

   

 

   

 

   

 

   

 

         

   

 

   

 

       

 

 

   

 

 

 

         

 

   

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

     

       

 

     

   

 

       

 

 

 

 

 

   

 

       

 

     

   

 

      

 

   

 

     

         

 

 

       

 

      

 

 

   

 

       

 

 

   

 

 

     

   

 

   

 

   

      

 

   

 

       

 

        

 

          

 

                           

 

              

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 133/161

R1

R2

R3

B2

B3

Edges in M

 

 

 

   

 

   

   

 

   

 

   

 

       

 

 

 

 

   

 

           

         

 

     

            

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 134/161

 

 

 

 

 

     

   

         

       

 

     

             

 

 

 

     

 

   

                    

 

 

       

       

 

          

   

 

   

     

       

                 

                 

              

                                              

                        

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 135/161

 

     

   

                        

                                    

                                       

                   

                 

   

                  

 

     

   

 

 

   

                        

                                     

                      

 

 

 

                    

 

 

          

                    

 

 

              

 

 

 

         

 

                     

                  

                      

         

          

             

 

   

 

       

 

 

 

     

   

 

 

 

         

 

   

 

 

 

      

 

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 136/161

       

 

 

 

     

     

 

   

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

 

 

     

 

 

   

 

   

 

   

 

   

   

 

 

 

   

   

 

H0 H1 H0 H0 H0 H1H1, 1->H00->

Locate F in yk  in-1 in

...

...

...

...

Flip coins

FF F F F F1 2 3 4 n-1 n

= Sr

that you get is Sr then ACCEPT

otherwise REJECT

Permute Labels

Ask for these bits in y. If the string

0 1 0 0 0 1

i i i i1 2 3 4

        {    

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

              

 

 

 

     

 

 

    

 

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

   

 

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

     

   

 

         

     

 

 

 

 

 

     

 

 

 

                     

     

 

 

 

                        

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 137/161

     

         

                       

 

     

                

 

   

 

 

         

 

 

 

 

 

  

 

 

 

   

  

       

                                        

               

     

 

                        

     

f σ

σ

m formulas

x

     o        (        l     o     g     n        )

     

             

         

       

 

 

           

 

     

     

   

            

    

 

    

              

 

 

     

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 138/161

 

 

   

 

  

 

 

 

 

 

   

            

   

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 139/161

 

 

 

 

 

 

     

                

                                                    

         

        

            

 

 

 

             

                 

                               

                                  

 

 

 

 

 

   

           

           

     

                 

   

            

     

     

              

                 

                

   

     

       

             

 

 

   

 

 

   

 

     

 

                   

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 140/161

 

     

 

 

 

   

                 

           

     

 

 

 

 

       

   

                 

                               

         

 

     

     

         

   

 

 

   

 

 

 

   

         

     

     

   

 

     

 

 

 

     

   

 

 

     

 

 

 

     

     

 

       

                

         

             

     

          

 

 

     

 

 

     

           

 

 

 

 

     

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

      

 

 

     

 

 

        

   

           

       

          

 

            

       

         

                         

 

 

 

   

       

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 141/161

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

      

 

 

 

 

   

 

     

 

 

 

 

   

 

 

              

 

           

             

     

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

      

 

 

     

 

   

 

     

 

 

     

 

   

 

 

       

 

   

 

     

   

             

 

 

     

   

     

   

 

   

     

   

     

   

 

   

   

 

   

        

 

 

     

 

 

 

           

 

 

      

   

       

 

 

 

                   

            

           

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 142/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

             

 

   

   

 

 

 

 

    

 

 

 

    

   

 

     

 

   

   

 

 

   

   

 

 

 

 

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

Æ    

 

 

   

   

 

 

 

 

Æ    

 

 

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

  

 

   

   

 

 

   

   

 

 

 

 

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 143/161

             

 

   

   

 

 

 

 

    

 

 

 

    

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

     

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

         

   

     

 

 

     

   

   

 

 

 

 

   

 

 

   

 

   

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

      

     

       

   

 

 

   

 

   

   

 

 

 

 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

  

 

   

   

 

 

 

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

   

 

  

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

     

 

 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

         

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 144/161

   

 

    

 

 

 

            

 

   

   

 

 

 

 

 

    

 

         

       

 

 

 

   

  Æ    

 

   

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

         

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

    

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

 

         

 

 

   

   

 

 

 

 

 

   

 

 

    

 

 

 

 

         

       

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

   

 

       

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

     

 

   

 

   

 

   

 

   

 

      

 

   

 

   

 

   

 

   

 

    

      

 

    

 

   

 

      

 

   

 

   

 

    

   

 

      

 

   

 

      

 

   

 

    

   

 

   

 

   

 

    

 

   

 

    

   

 

   

 

      

 

   

 

      

 

    

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 145/161

 

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

 

     

   

 

 

 

   

 

 

     

     

   

 

   

 

 

   

 

 

      

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

 

      

 

 

    

 

 

      

 

 

   

 

 

      

   

 

 

   

 

 

    

 

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

      

 

    

         

   

     

 

 

 

         

   

       

 

 

 

 

   

     

 

 

 

   

     

 

 

 

 

   

 

                    

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 146/161

 

 

       

 

   

   

 

 

   

   

 

   

 

                 

   

 

   

 

 

   

     

 

       

 

          

 

 

 

 

   

 

      

 

 

 

       

 

 

 

       

 

       

 

 

   

 

 

 

 

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 147/161

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

       

 

 

 

   

     

   

         

              

     

   

 

   

 

 

      

 

          

   

 

 

      

 

   

 

  

 

 

 

 

 

   

  

 

 

 

 

 

   

   

 

   

 

               

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 148/161

s1

s2

t

t1

t3

s3

2

 

 

 

         

 

      Æ                        

 

    

 

 

   

 

 

   

 

 

   

    Æ     

 

 

          

 

         

   

         

 

   

 

 

         

 

   

      Æ     

 

 

    

 

 

 

 

 

   

 

 

            

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 149/161

     

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

     

 

   

 

 

           

             

 

        

 

              

   

 

   

 

       

   

        

 

   

   

     

   

 

     

   

                       

       

 

 

       

   

 

 

   

   

 

     

 

 

 

         

               

     

   

 

 

   

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 150/161

2

2 2

1

4

5

6

1

4

5

6

1

4

5

6

3 3

3

a) b)

c)

1

4

5

6

3

d)

1

4

5

6

3

e)

2

2

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 151/161

 

   

     

 

     

 

     

 

     

 

     

   

     

   

     

   

     

 

 

       

 

   

     

 

     

 

     

   

     

   

         

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 152/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

 

    

   

        

 

 

   

 

  

     

 

 

 

 

  

    Æ     

 

 

                     

 

 

              

  Æ           

            

 

     

  Æ     

             

 

         

                             

                                      

         

               

                                   

 

 

           

 

    

 

   

 

         

 

  

     

         

 

  

      Æ     

 

 

    

 

      

 

 

               

    

 

 

 

                              

    

 

 

 

       

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 153/161

             

 

      

     

   

     

     

 

                

         

               

          

               

                  

               

 

         

 

    

 

   

 

     

 

 

               

     

 

       

 

               

          

 

                                  

 

 

     

 

     

 

           

 

          

             

  

   

       

    

 

    

 

   

 

   

 

 

   

                                

 

   

   

         

           

             

         

     

                           

       

         

 

  

 

 

     

    

                     

   

 

     

   

 

   

 

 

   

         

  

       

 

 

   

 

  

      Æ     

 

 

                                 

  Æ     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 154/161

i j

ce

d(j)d(i)

ε

ε

i j

ce

d(j)d(i)

ε

         

 

           

 

   

 

     

   

 

   

  

    Æ     

 

 

           

 

           

 

 

     

                         

 

           

 

      

 

     

                       

 

     

 

   

 

                       

 

 

  

      Æ     

 

 

 

       

 

 

        

 

       

 

 

         

                 

 

  

      Æ     

 

 

 

 

     

               

 

 

         

     

                                               

 

                                       

                                    

     

         

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 155/161

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 0

0 0

1 1

1 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 01 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0

0 0

0 0

1 1

1 1

1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

C

N

N

N2

k 

N1

e

e

e

1

2

k 

F’

F - F’

 

   

                    

 

 

 

   

         

   

 

        

 

   

 

     

           

 

   

 

       

 

   

 

 

 

                          

  

 

   

 

 

                 

     

   

 

  

    Æ     

 

 

     

         

     

   

 

   

                               

 

 

       

 

 

   

 

 

 

                 

 

    

 

 

 

   

    

 

 

 

   

     

     

   

     

 

 

       

 

 

 

   

     

 

 

 

 

  

     

 

 

 

  

     

  

      Æ     

 

 

 

 

  

     

 

 

 

   Æ         

 

   

     

 

 

 

   Æ               

 

 

 

   

     

 

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 156/161

   

 

 

 

 

       

 

                      

 

   

     

 

   

   Æ               

 

 

     

 

   

   Æ         

 

         

   Æ         

    

 

 

     

 

 

                     

   Æ       

       

     

   

 

     

 

   

 

             

                                 

       

 

                 

 

 

               

       

     

   

 

           

 

 

 

 

     

   

     

 

 

 

 

   

     

 

   

 

 

  

   

     

 

 

      

 

   

 

           

 

   

 

    

 

       

 

   

 

 

   

     

 

   

   Æ                  

 

            

 

 

     

 

     

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 157/161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

              

   

 

 

 

 

 

 

                   

                 

                 

   

         

     

     

     

     

   

 

 

 

 

 

 

     

   

           

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 158/161

 

   

 

 

   

 

   

 

 

  

 

 

 

 

            

 

   

       

 

   

 

         

 

 

                          

 

 

 

                    

 

 

        

              

 

  

 

  

 

 

 

   

 

        

        

    

 

 

 

      

 

 

 

 

           

     

 

           

    

    

    

 

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 159/161

 

      

 

      

        

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 160/161

 

 

     

 

 

 

 

   

 

 

   

Æ  

 

 

 

   

   

   

Æ  

 

   

 

 

 

 

       

 

   

 

   

 

 

   

 

7/23/2019 [Khuller S.] Design and Analysis of Algorithms

http://slidepdf.com/reader/full/khuller-s-design-and-analysis-of-algorithms 161/161