Không gian vector Rndocgate.com/phuongle/teaching/DSTT/handout/C3.pdf · Không gian vector Rn Vector và các phép toán Không gian vector Rn Sü đºc l“p và phö thuºc tuy‚n

Không gian vector Rn

Vector và các phép toán


Sự độc lập và phụthuộc tuyến tínhTổ hợp tuyến tính

Sự phụ thuộc và độc lậptuyến tính

Hạng của hệ vector

Không gian con, cơ sở,số chiềuKhông gian con

Cơ sở

Không gian sinh

Không gian nghiệm

Tọa độ của vectorTọa độ của vector

Ma trận chuyển cơ sở

3.1

Chương 3Không gian vector Rn

Toán cao cấp 1 (Đại số tuyến tính)

Lê PhươngBộ môn Toán kinh tế

Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí MinhHomepage: http://docgate.com/phuongle








Cơ sở

Không gian sinh




3.2

Nội dung

1 Không gian vector Rn

Vector và các phép toánKhông gian vector Rn

2 Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tínhTổ hợp tuyến tínhSự phụ thuộc và độc lập tuyến tínhHạng của hệ vector

3 Không gian con, cơ sở, số chiềuKhông gian conCơ sởKhông gian sinhKhông gian nghiệm

4 Tọa độ của vectorTọa độ của vectorMa trận chuyển cơ sở








Cơ sở

Không gian sinh




3.4

Định nghĩa (vector n chiều)

Một vector n chiều x là một bộ n số thực có thứ tựx = (x1, x2, . . . , xn).Tập hợp tất cả các vector n chiều được kí hiệu là Rn.

Lưu ý

• Vector không là vector 0 = (0,0, . . . ,0).• Hai vector x = (x1, x2, . . . , xn) và y = (y1, y2, . . . , yn) được

gọi là bằng nhau nếu xi = yi với mọi i = 1,2, . . . ,n.

Các phép toán trên vector

Cho 2 vector x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) và số thựca.

• Phép cộng hai vector:x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

• Phép nhân một số thực với một vector:ax = (ax1,ax2, . . . ,axn).








Cơ sở

Không gian sinh




3.5

Nhận xét

Với 2 vector x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn), ta có

ax + by = (ax1 + by1,ax2 + by2, . . . ,axn + byn)

Ví dụ. Cho 2 vector x = (−2,1,2), y = (3,0,12), ta có

• x + y = (1,1,52),

• −2y = (−6,0,−1),

• 2x + 3y = (−4,2,4) + (9,0,32) = (5,2,

112).








Cơ sở

Không gian sinh




3.7

Tính chất của các phép toán

Cho các vector x , y , z và các số thực k , l .1 x + y = y + x ,2 (x + y) + z = x + (y + z),3 x + 0 = x ,4 x + (−x) = 0,5 k(lx) = (kl)x ,6 (k + l)x = kx + lx ,7 k(x + y) = kx + ky ,8 1.x = x .

Định nghĩa (Không gian vector Rn)

Tập hợp các vector n chiều Rn cùng với các phép toán cộng vànhân được định nghĩa như phần trên được gọi là không gianvector Rn.








Cơ sở

Không gian sinh




3.9

Định nghĩa

Trong Rn cho vector b và hệ vector H = {a1,a2, . . . ,am}.Vector b được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ H nếu tồn tạicác số thực x1, x2, . . . , xm sao cho

b = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xmam.

Bài toán

Kiểm tra xem vector b có phải là một tổ hợp tuyến tính của hệH = {a1,a2, . . . ,am}.

1 Giả sử b = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xmam.

2 Đồng nhất 2 vế của đẳng thức trên để thu được một hệphương trình tuyến tính với các ẩn số x1, x2, . . . , xm.

• Nếu hệ có nghiệm thì b là một tổ hợp tuyến tính của H.• Nếu hệ không có nghiệm thì b không là tổ hợp tuyến tính

của H.








Cơ sở

Không gian sinh




3.10

Ví dụ. Trong R2 cho hệ vector H = {a1 = (1,1),a2 = (1,0)}.Vector b = (2,3) có phải là một tổ hợp tuyến tính của H haykhông? Biểu diễn b theo H nếu được.Giải. Giả sử b = x1a1 + x2a2, xi ∈ R.⇔ (2,3) = x1(1,1) + x2(1,0)⇔ (2,3) = (x1, x1) + (x2,0)⇔(2,3) = (x1 + x2, x1)

⇔{

x1 + x2 = 2x1 = 3 ⇔

{x1 = 3

x2 = −1 ⇔ b = 3a1 − a2

Vậy b là một tổ hợp tuyến tính của H.








Cơ sở

Không gian sinh




3.11

Ví dụ. Trong R3 chou = (1,−1,2), v = (1,1,−1), w = (−1,−3,4). Cho biếtx = (1,−3,5) có phải là một tổ hợp tuyến tính của {u, v ,w}hay không? Hãy chỉ ra một cách biểu diễn của x theo u, v ,wnếu có.Giải. Giả sử x = au + bv + cw , a,b, c ∈ R.⇔ (1,−3,5) = (a,−a,2a) + (b,b,−b) + (−c,−3c,4c)⇔ (1,−3,5) = (a + b − c,−a + b − 3c,2a− b + 4c)

⇔

a + b − c = 1−a + b − 3c = −3

2a− b + 4c = 5⇔{

a + b − c = 1b − 2c = −1

Chọn c=0 ta được b = −1,a = 2.Vậy x = 2u − v chứng tỏ x là một tổ hợp tuyến tính của u,v,w.








Cơ sở

Không gian sinh




3.13

Định nghĩa

Trong Rn cho vector b và hệ vector H = {a1,a2, . . . ,am}.• Họ các vector H được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ

đẳng thứcx1a1 + x2a2 + · · ·+ xmam = 0

ta suy rax1 = x2 = . . . = xm = 0

• Họ các vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụthuộc tuyến tính.








Cơ sở

Không gian sinh




3.14

Ví dụ. Trong R2, xét sự độc lập tuyến tính của hệ

A = {u1 = (1;−1),u2 = (2;3)}

Giải. Ta có:

x1u1 + x2u2 = 0⇔ x1(1;−1) + x2(2;3) = (0;0)

⇔{

x1 + 2x2 = 0−x1 + 3x2 = 0 ⇔

{x1 = 0x2 = 0

Vậy hệ A độc lập tuyến tính.








Cơ sở

Không gian sinh




3.15

Ví dụ. Hệ H = {a1 = (1,1,1,1),a2 = (1,−1,−1,1),a3 = (1,−1,1,−1), a4 = (1,1,−1,−1)} trong R4 có độc lậptuyến tính hay không?Giải. Giả sử x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 = 0, xi ∈ R⇔ AX = 0

A =

1 1 1 11 −1 −1 11 −1 1 −11 1 −1 −1

−→

1 1 1 10 −2 −2 00 −2 0 −20 0 −2 −2

−→

1 1 1 10 −2 −2 00 0 2 −20 0 −2 −2

−→

1 1 1 10 −2 −2 00 0 2 −20 0 0 −4

⇒ Hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường(x1, x2, x3, x4) = (0,0,0,0).Vậy: Hệ H là hệ độc lập tuyến tính.








Cơ sở

Không gian sinh




3.16

Ví dụ.Hệ H = {a1 = (−1,2,1),a2 = (1,1,−2),a3 = (0,3,−1)}trong R3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính? Nếu hệ phụ thuộctuyến tính hãy tìm một phương trình biểu diễn sự phụ thuộc đó.Giải. Giả sử x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0, xi ∈ R⇔ AX = 0

A =

−1 1 02 1 31 −2 −1

−→ −1 1 0

0 3 30 −1 −1

−→(−1 1 00 1 1

)Hệ phương trình tương đương

{−x1 + x2 = 0

x2 + x3 = 0Chọn x2 = 1⇒ x1 = 1, x3 = −1⇒ Hệ H là hệ phụ thuộc tuyến tính. Một phương trình biểu diễnsự phụ thuộc đó là a1 + a2 − a3 = 0.








Cơ sở

Không gian sinh




3.17

Tính chất

i) Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vector tronghệ là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.

ii) Hệ có chứa vector không là hệ phụ thuộc tuyến tính.iii) Hệ có chứa 2 vector tỉ lệ là hệ phụ thuộc tuyến tính.iv) Hệ vector có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ

thuộc tuyến tính.v) Hệ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập

tuyến tính.vi) Cho m vector y1, y2, . . . , ym là tổ hợp tuyến tính của k

vector v1, v2, . . . , vk . Nếu m > k thì các vectory1, y2, . . . , ym phụ thuộc tuyến tính.








Cơ sở

Không gian sinh




3.19

Định nghĩa

Trong không gian vector Rn, cho hệ vectorH = {a1,a2, . . . ,am}.Hạng của H, kí hiệu là rank(H), là số vector độc lập tuyến tínhtối đa của hệ.

Tính chất

• Mọi hệ con của hệ H có nhiều hơn rank(H) vector đều làhệ phụ thuộc tuyến tính.

• Hạng của hệ vector không đổi nếu ta thêm vào hệ mộtvector là tổ hợp tuyến tính của các vector của hệ.

• Hạng của hệ vector không đổi nếu ta bớt đi một vector làtổ hợp tuyến tính của các vector còn lại của hệ.








Cơ sở

Không gian sinh




3.20

Tìm hạng của hệ vector bằng hạng của ma trận

Định lí

Cho A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Khi đó hạng của A bằng hạng của hệ vector dòng/cột của A.

Nghĩa là gọi D ={(a11,a12, . . . ,a1n), (a21,a22, . . . ,a2n), . . . , (am1,am2, . . . ,amn)}và C ={(a11,a21, . . . ,am1), (a12,a22, . . . ,am2), . . . , (a1n,a2n, . . . ,amn)}thì rank(A) = rank(D) = rank(C).Vì vậy, khi ta cần tìm hạng của một hệ vector ta tìm hạng củama trận các dòng/cột được lập từ những vector này.








Cơ sở

Không gian sinh




3.21

Ví dụ. Trong R4 choH = {u = (1,−2,1,0), v = (2,3,2,−1), w = (3,1,3,−1)}.Tìm rankH.Giải. Ta có

A =

1 −2 1 02 3 2 −13 1 3 −1

−→ 1 −2 1 0

0 7 0 −10 7 0 −1

−→ 1 −2 1 00 7 0 −10 0 0 0

= B

Vậy rankH = rankA = rankB = 2.








Cơ sở

Không gian sinh




3.22

Bài toán

Kiểm tra hệ H = {a1,a2, . . . ,am} là độc lập tuyến tính hay phụthuộc tuyến tính.

• H là phụ thuộc tuyến tính⇔ rank(H) < m.• H là độc lập tuyến tính⇔ rank(H) = m.

Ví dụ. Sử dụng phương pháp bên trên, kiểm tra xem các hệsau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

• A = {a1 = (1;−1),a2 = (2;3)},• B = {b1 = (1,1,1,1),b2 = (1,−1,−1,1),

b3 = (1,−1,1,−1), b4 = (1,1,−1,−1)},• C = {c1 = (−1,2,1), c2 = (1,1,−2), c3 = (0,3,−1)}.








Cơ sở

Không gian sinh




3.24

Định nghĩa

Tập L ⊂ Rn được gọi là không gian con của Rn nếui) L 6= ∅ii) Với mọi x , y ∈ L, ta có x + y ∈ L.iii) Với mọi x ∈ L và với mọi α ∈ R, ta có αx ∈ L.

Điều kiện trên tương đương vớii) 0 ∈ Lii) Với mọi x , y ∈ L và với mọi α ∈ R, ta có αx + y ∈ L.

Ví dụ. Các tập hợp {0} và Rn là các không gian con của khônggian vectơ Rn, gọi là các không gian con tầm thường của Rn.Ví dụ. Cho biết tập nào sau đây là một không gian con của R2.

1 L1 = {x ∈ R2 : x = (a,2 + 3a), a ∈ R}2 L2 = {x ∈ R2 : x = (a,3a), a ∈ R}








Cơ sở

Không gian sinh




3.26

Định nghĩa

Cho hệ vector H = {a1,a2, . . . ,am} trong L. Hệ H được gọi làmột cơ sở của không gian con L của Rn nếu:

i) H độc lập tuyến tính;ii) Mọi vector trong L đều là tổ hợp tuyến tính của các vector

trong H.

Ví dụ. Trong không gian R3, cho tập

M = {v1 = (1;0;2), v2 = (2;1;−2), v3 = (4;2;3)}

Tập M có là một cơ sở của R3 hay không?








Cơ sở

Không gian sinh




3.27

Cho L là không gian vector con của Rn.

Định lí

Số vector trong mọi cơ sở của L đều bằng nhau.

Định nghĩa

Số vector trong một cơ sở của L được gọi là số chiều của L vàđược kí hiệu là dim L.

Ví dụ. Trong không gian Rn, E ={e1 = (1;0;0; . . . ;0) ,e2 = (0;1;0; . . . ;0) , . . . ,en = (0;0;0; . . . ;1)}là một cơ sở của Rn, do đó dim(Rn) = n.Tập E còn được gọi là cơ sở chính tắc của Rn.Ví dụ. Tìm một cơ sở và số chiều củaH = {x = (s, t ,0); s, t ∈ R}.








Cơ sở

Không gian sinh




3.28

Tính chất

Cho không gian con L có số chiều là m.1 Mọi hệ có m vector độc lập tuyến tính của L đều là cơ sở

của L;2 Mọi vector trong L đều là tổ hợp tuyến tính duy nhất của

các vector trong mọi cơ sở của L.

Bài toán chứng minh hệ vector là cơ sở

Cho không gian L có số chiều là m. Để chứng minh hệ vectorH trong L là cơ sở của L, cần chỉ ra:

1 H có m vector.2 H là độc lập tuyến tính.

Ví dụ. Trong không gian R3, xét hệ vectorS = {v1 = (0;1;1), v2 = (1;0;1), v3 = (2;1;−3)}. S có phải làcơ sở của R3 hay không?








Cơ sở

Không gian sinh




3.30

Định nghĩa

Trong không gian Rn cho hệ vectơ S = {u1,u2, . . . ,um}.• Tập hợp V chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính của S được

gọi không gian con sinh bởi S, kí hiệu là Span(S), hoặc〈S〉.

V = {α1u1 + α2u2 + · · ·+ αmum;αi ∈ R}

• Nếu Span(S) = V thì ta gọi S là hệ sinh (tập sinh) của Vhay V được sinh ra bởi hệ S.








Cơ sở

Không gian sinh




3.31

Ví dụ. Trong R3, cho hệ S = {u1 = (1;0;−1),u2 = (0;1;−1)}.Hãy xác định Span(S).Giải. Gọi v ∈ Span(S), với v = (x ; y ; z), ta có:

v = αu1 + βu2 = α(1;0;−1) + β(0;1;−1) = (α;β;−α− β)

Vậy Span(S) = {(α;β;−α− β) : α, β ∈ R} ⊂ R3.Ví dụ. Chứng tỏ hệ vectơ W = {u1 = (1;1;1),u2 = (0;1;−1)}không phải là hệ sinh của R3.Gợi ý. Chỉ cần chỉ ra một vector trong R3 \ Span(W ). Ví dụ(−1,1,1).








Cơ sở

Không gian sinh




3.32

Bài toán 1

Trong Rn cho hệ H = {a1,a2, . . . ,am}. Hãy tìm một cơ sở và sốchiều của Span(H).

Phương pháp giải (3 bước)

1 Lập ma trận A có hệ vector dòng là H.2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến đổi A về

dạng bậc thang theo dòng B.3 Hệ các vector dòng khác không của B là một cơ sở của

Span(H).

Bài toán 2

Trong Rn cho hệ H = {a1,a2, . . . ,am} và vector x . Kiểm traxem x có thuộc Span(H) hay không.

Phương pháp giải (2 cách)

1 x ∈ Span(H)⇔ x là một tổ hợp tuyến tính của H.2 Nếu ta có F = {b1,b2, . . . ,bk} là một cơ sở của Span(H),

khi đó x ∈ Span(H)⇔ x là một tổ hợp tuyến tính của F.








Cơ sở

Không gian sinh




3.33

Ví dụ. Trong R4 cho hệ H = {a1 = (−2,4,−2,−4),a2 =(2,−5,−3,1),a3 = (−1,3,4,1)}. Hãy tìm một cơ sở và sốchiều của Span(H).

Giải. Xét A =

a3a2a1

=

−1 3 4 12 −5 −3 1−2 4 −2 −4

−→

−1 3 4 12 −5 −3 10 −1 −5 −3

−→ −1 3 4 1

0 1 5 30 −1 −5 −3

−→

−1 3 4 10 1 5 30 0 0 0

.

Vậy một cơ sở của Span(H) là {(−1,3,4,1), (0,1,5,3)} vàdim(Span(H))=2.








Cơ sở

Không gian sinh




3.34

Ví dụ. Trong R3 cho hệH = {a1 = (1,2,−4),a2 = (2,−1,1),a3 = (−3,−1,3)}. Hãytìm m để b = (−1,3,m) ∈ Span(H).Giải. Xét

A =(

a1 a2 a3 b)= (A|B) =

1 2 −3 −12 −1 −1 3−4 1 3 m

−→

1 2 −3 −10 −5 5 50 9 −9 m − 4

−→ 1 2 −3 −1

0 −1 1 10 9 −9 m − 4

−→

1 2 −3 −10 −1 1 10 0 0 m + 5

Ta có rankA = 2. Nênb ∈ Span(H)⇔ rankA = 2⇔ m + 5 = 0⇔ m = −5.








Cơ sở

Không gian sinh




3.36

Định nghĩa

Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n biến số AX = 0.Tập hợp các nghiệm của hệ tạo thành một không gian con củaRn được gọi là không gian nghiệm của hệ.

L = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : AX = 0}

Định lí

rank(A) + dim(L) = n

Định nghĩa

Mỗi cơ sở của không gian nghiệm L được gọi là một hệ nghiệmcơ bản của hệ.








Cơ sở

Không gian sinh




3.37

Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ x1 + 2x2 − x3 + x4 = 02x1 + 4x2 − 3x3 = 0

x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0Giải. Ta có

A =

1 2 −1 12 4 −3 01 2 1 5

−→ 1 2 −1 1

0 0 −1 −20 0 2 4

−→(1 2 −1 10 0 1 2

)−→

(1 2 0 30 0 1 2

)Hệ⇔

{x1 + 2x2 + 3x4 = 0

x3 + 2x4 = 0 ⇔{

x1 = −2x2 − 3x4x3 = −2x4

Nghiệm tổng quát của hệ là (−2a− 3b,a,−2b,b), a,b ∈ RKhông gian nghiệmL = {x = (−2a− 3b,a,−2b,b), a,b ∈ R} ={x = a(−2,1,0,0) + b(−3,0,−2,1), a,b ∈ R}⇒ L = Span{(−2,1,0,0), (−3,0,−2,1)}.Vậy một hệ nghiệm cơ bản của hệ là{(−2,1,0,0), (−3,0,−2,1)}.








Cơ sở

Không gian sinh




3.39

Định nghĩa

Trong không gian vector Rn, cho một cơ sở được sắp thứ tựB = {b1,b2, . . . ,bn}. Khi đó, mọi vector x của Rn đều đượcbiểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính củacác vector trong B

x = x1b1 + x2b2 + . . .+ xnbn.

Ta gọi tọa độ của vector x trong cơ sở B là vector hoặc ma trậncột sau

x |B = (x1, x2, . . . , xn) hoặc [x ]B =

x1x2...

xn

.

Cho x = (x1, x2, . . . , xn) thì x |E = (x1, x2, . . . , xn) với E là cơ sởchính tắc của Rn.Ví dụ. Trong R2, cho B = {(2;1), (1;1)} và x = (3;−5). Tìmx |B.








Cơ sở

Không gian sinh




3.41

Định nghĩa

Cho B = {b1,b2, . . . ,bn} và C = {c1, c2, . . . , cn} là hai cơ sởcủa không gian Rn. Khi đó, tồn tại duy nhất ma trận vuông cấpn khả nghịch P sao cho

[x ]C = P[x ]B, ∀x ∈ Rn

P được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ C sang B, được kí hiệulà PC→B.Vậy

[x ]C = PC→B[x ]B, ∀x ∈ Rn

Định lí (tìm ma trận chuyển cơ sở)

• Cột thứ i của ma trận PC→B là tọa độ của vector bi theo cơsở C

PC→B =([b1]C [b2]C . . . [bn]C

)• PB→B = In• PC→B = (PB→C)

−1








Cơ sở

Không gian sinh




3.42

Ví dụ. Cho hệ vectorB = {b1 = (1;1;0),b2 = (2;1;3),b3 = (1;0;2)}.

a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sởB.

b) Tìm tọa độ của vector x = (6;5;4) theo cơ sở B của R3.Giải.

a) PE→B =

1 2 11 1 00 3 2

.

b) [x ]B = PB→E [x ]E = P−1E→B[x ]E = 1 2 1

1 1 00 3 2

−1 654

=

32−1

.








Cơ sở

Không gian sinh




3.43

Định lí

Trong không gian vector Rn cho 3 cơ sở A,B và C, khi đó:

PC→A = PC→BPB→A

Hệ quả (Tìm ma trận chuyển cơ sở thông qua cơ sở chính tắc E)

Trong Rn, ta có

PB→A = PB→EPE→A = (PE→B)−1 PE→A








Cơ sở

Không gian sinh




3.44

Ví dụ. Cho E3 (cơ sở chính tắc),A = {a1 = (1,1,−1), a2 = (0,1,2), a3 = (0,0,1)} vàB = {b1 = (1,−1,1), b2 = (2,3,1), b3 = (1,2,1)} là các cơ sởcủa R3.a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E3 sang A và ngược lại.b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang B.c) Cho biết x |B = (−2,1,3). Hãy xác định x |A và x |E3 .Giải.

a) PE3→A =

1 0 01 1 0−1 2 1

.

Từ đó ta được PA→E3 = P−1E3→A =

1 0 0−1 1 0

3 −2 1

.








Cơ sở

Không gian sinh




3.45

b) Cách 1. Giả sử

b1 = x1a1 + x2a2 + x3a3 ⇔

x1 = 1x1 + x2 = −1−x1 + 2x2 + x3 = 1

⇔

x1 = 1x2 = −2x3 = 6

⇒ b1|A = (1,−2,6).

Tương tự, ta được b2|A = (2,1,1), b3|A = (1,1,0).Vậy ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là

PA→B =

1 2 1−2 1 1

6 1 0

.

Cách 2. PA→B = P−1E3→APE3→B = 1 0 0

1 1 0−1 2 1

−1 1 2 1−1 3 2

1 1 1

=

1 2 1−2 1 1

6 1 0

.








Cơ sở

Không gian sinh




3.46

c) Ta có x |B = (−2,1,3)

[x ]A = PA→B[x ]B =

1 2 1−2 1 1

6 1 0

.

−213

=

38

−11

.

Vậy x |A = (3,8,−11).Tương tự, ta có

[x ]E3= PE3→A[x ]A =

1 0 01 1 0−1 2 1

.

38

−11

=

311

2

.

Vậy x |E3 = (3,11,2).

Documents

Không gian vector Rndocgate.com/phuongle/teaching/DSTT/handout/C3.pdf · Không gian vector Rn Vector và các phép toán Không gian vector Rn Sü đºc l“p và phö thuºc tuy‚n