Fizika – Új utak keresése (szakmódszertan)

424

KEPLER ÉS TÖRVÉNYEINEK TANÍTÁSA

TEACHING KEPLER AND HIS LAWS

Horváth Zsuzsa1, Érdi Bálint2 1Kosztolányi Dezső Gimnázium, Budapest

az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója 2Eötvös Loránd Tudományegyetem, Csillagászati Tanszék

ÖSSZEFOGLALÁS A bolygók mozgása hosszú időn keresztül foglalkoztatta az emberiséget. Fontos tanítanunk az ezzel kapcsolatos elképzeléseket, világképeket, és érdemes Kepler kitartó munkáját is bemutatni, ahogy törvényeihez eljutott. A 90-es években áttörést jelentett az exobolygók felfedezése, és az űrtávcsövekkel egyre több Naprendszeren túli bolygórendszert ismerhetünk meg. A cikkben Kepler törvényeinek tanításakor felmerülő, a témát érdekesebbé tehető ismeretekre utalunk.

BEVEZETÉS Az embereket mindig is érdekelték a megmagyarázhatatlan jelenségek. Sokáig ilyen volt a

bolygók mozgása is. Ha éjszakánként kitartóan figyeljük a csillagokat, észrevehetjük, hogy néhány „csillag” nem úgy mozog, mint a többi, néha visszafordulnak, hurokszerű mozgást írnak le az „álló” csillagokhoz képest. El is elnevezték ezeket bolygóknak. Mozgásukra már az ókortól voltak elméletek. Közülük az arisztotelészi, ptolemaioszi geocentrikus világkép egészen a XVI. század végéig meghatározó volt. Ekkor sikerült Kopernikusz heliocentrikus rendszerét Keplernek továbbfejlesztenie, pontosítania.

Ma már a köztudatban is a kepleri bolygómodell van, de nem egyszerű egy olyan dolgot elfogadni, ami különbözik attól, amit látunk. Fontos, hogy a másképp gondolkodást, a dolgok mögé, a jelenségek mélyére való látást is tanítsuk. Kell egy jó értelemben vett szkepticizmus is, hogy ne fogadjunk el valamit, mert úgy látszik, vagy a médiában, bulvársajtóban ezt vagy azt hallunk róla. Meg kell különböztetni az áltudományokat a valósaktól. Kepler kapcsán beszélhetünk az asztrológiáról és annak hamisságáról is, mert sajnos manapság is sokan olvasnak horoszkópokat, de még szomorúbb, hogy a média el is látja az embereket ilyen jellegű hamis jóslatokkal.

A tanítás során feladatunk megfelelő természettudományos világkép kialakítása a tanulókban. A NAT-ot tanulmányozva több, a témánkhoz kapcsolódó ajánlást, elvárást találhatunk. Érettségi követelményként három tantárgyban is találkozhatunk Kepler törvényeivel: a fizikánál, a földrajznál (Földünk és környezetünknél) és a természettudománynál. 2007 óta pedig csillagászatból is lehet érettségizni. Szijártó Sándor, a kecskeméti Katedra Középiskola fizika-informatika szakos igazgatóhelyettese, akkreditáltatta Magyarországon a csillagászatot, mint érettségi vizsgatantárgyat.

JOHANNES KEPLER (1571. WEIL-DER-STADT-1630. REGENSBURG) Kepler életéről sok ismeretet szerezhetünk a magáról készített feljegyzéseiből, melyekben

családjáról, ismerőseiről és életének eseményeiről egész részletesen beszámol. A helyszűke

Fizika – Új utak keresése (szakmódszertan)

425

miatt csak két könyvet említenék: Arthur Koestler: Alvajárók [1] és Száva István: Az ég törvénye [2]. Míg az első egy tudományos igényességgel megírt életrajz, a második egy hiteles életrajzi regény.

Mindenképpen fontos beszélni Tycho de Brahe-val és Galileo Galileivel való kapcsolatáról. Érdekességként pedig Somnium című munkája említhető, ami egy sci-fi regény holdlakókkal, Holdra való utazással.

Kepler élete, egyénisége mély hatást gyakorolt Madách Imrére is, amit „Az ember tragédiája” című művében meg is fogalmazott.

Einstein is méltató szavakkal ír Keplerről: „Éppen a mi gondoktól terhes és mozgalmas világunkban, amelyben olyan nehéz az embereknek és az emberi dolgoknak örülni, vigaszt nyújt számunkra, ha olyan nagy és szerény emberekre gondolhatunk, mint amilyen Kepler volt. Olyan időben élt, amikor a természeti jelenségek lefolyásának törvényszerű voltát még korántsem ismerték. Milyen nagy lehetett hite ebben a törvényszerűségben, amely erőt adott neki ahhoz, hogy a bolygók mozgását empirikusan, és e mozgások matematikai törvényszerűségeit évtizedek türelmes és fáradságos munkájával kutassa, magányosan, senki által sem támogatva, s csak kevesek által megértve.”[3]

KEPLER ELSŐ TÖRVÉNYE A bolygók pályája olyan ellipszis, amelynek egyik fókuszpontjában a Nap található. A

Mars pályájának alakját sokan akarták meghatározni. Kepler Tycho de Brahe igen pontos megfigyelési adataiból nyolcévnyi kitartó munkával kapta meg a helyes görbét. Bár a legtöbb bolygó pályája szinte kör, célszerű az ellipszis definíciójával is megismertetni a diákokat.

Az ellipszis egy kúpszelet, és az égitestek pályái egyéb kúpszeletek (parabola, hiperbola) is lehetnek, amire jó példák az üstökösök, amelyek közül a periodikusan megjelenők pályája ellipszis, és ha az excentricitásuk (a fókuszpontok távolságának és a nagytengelynek az aránya) e<0,96, akkor néhány évtizeden belül visszatérnek (ilyen az üstökösök 16%-a). Ha 0,96<e<1 akkor újbóli feltűnésükre akár millió éveket is várhatunk (ilyen az üstökösök 21%-a). A nem periodikus üstökösök pályája parabola vagy hiperbola, e=1 esetén parabola (ilyen az üstökösök 51%-a), ha pedig e>1, akkor hiperbola (ilyen az üstökösök 12%-a). Természetesen az üstökösök pályája a bolygók gravitációs vonzása miatt könnyen meg is változhat, és nem tudjuk egy kúpszelet görbéjével leírni.

Nagyon fontos a kisbolygók és pályáik kutatása is, mert pl. a Jupiter hatására, vagy ütközések következtében módosulhat pályájuk, és esetleg keresztezheti a Földünkét. A kisbolygó becsapódás ugyan nagyon ritka esemény, de Földünk élővilágára katasztrofális következménye lenne. Jelenleg úgy tűnik, hogy nincs közvetlen veszélyben ilyen értelemben a bolygónk, de kozmikus környezetünk felderítésére több kereső program is fut (Spacewatch, ODAS, LINEAR, LONEOS).

Új égitestek is felfedezhetők az ismertek pályájának vizsgálatával, a zárt ellipszis pályáktól való kis eltérésekből (perturbációszámítás).

KEPLER MÁSODIK TÖRVÉNYE Kepler, amikor megrajzolta a Mars pályájának „nyomképét”, abból a bolygó pályamenti

sebességére, és annak változására is következtetni tudott, így a második törvényét előbb fedezte fel, mint az elsőt. Eszerint a Napból a bolygókhoz húzott vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol.

Fizika – Új utak keresése (szakmódszertan)

426

A bolygók napközelben nagyobb, naptávolban kisebb sebességgel haladnak pályájuk mentén. Ennek következménye, hogy az évszakok nem egyenlő hosszúak, a nyarunk hosszabb, mint a telünk.

Kepler második törvénye a perdület megmaradásának következménye.

KEPLER HARMADIK TÖRVÉNYE A Naprendszer bolygóinak naptávolsága és keringési ideje között mond ki összefüggést ez

a törvény. Minél messzebb van a bolygó a Naptól, annál hosszabb a keringési ideje. Ha a távolságot Csillagászati Egységben (átlagos Nap-Föld távolság) az időt években, a tömeget pedig naptömegben mérjük, akkor a bolygók közepes naptávolságának harmadik hatványából négyzetgyököt vonva, megkaphatjuk az égitest keringési idejét. Kepler harmadik törvényének matematikai alakja:

bolygómkTa

14 2

2

2

3

ahol a a pályaellipszis félnagytengelye, T a keringési idő, és bolygóm a bolygó tömege, k a Gauss-féle gravitációs állandó, amelynek értéke 0172,0k , ha a távolságot Csillagászati Egységben, az időt napban, a tömeget pedig naptömegben mérjük.

Mivel a bolygók tömege elenyésző a Napéhoz képest (a Jupiteré is csak ezrede a Napénak) ezért a számításban a bolygótömeg elhanyagolható, és az összefüggés jobb oldala minden bolygóra ugyanaz. Tehát a bolygók keringési idejének négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a Naptól mért középtávolságuk köbei:

22

32

21

31

Ta

Ta

Természetesen pontosabb számításoknál mindkét égitest tömegét figyelembe kell venni.

Kepler harmadik törvénye levezethető a Newtoni axiómákból és a gravitációs törvényből körmozgás esetén (a bolygók többsége közel körpályán halad). A bolygót a gravitáció tartja körpályán, tehát a centripetális erő megegyezik a Nap által kifejtett gravitációs erővel. (Ebben a számításban a bolygók egymásra gyakorolt gravitációs hatása a Naphoz viszonyított kis tömegük miatt elhanyagolható.)

Kepler harmadik törvényének segítségével ki lehet számítani egy olyan égitest tömegét, amelynek holdja van, vagy műhold kering körülötte. Így határozták meg pl. az Ida kisbolygó tömegét a körülötte keringő kicsiny hold, a Dactyl pályaadataiból.

KEPLER TÖRVÉNYEINEK JELENTŐSÉGE „Ha messzire láttam, az csak az engem vállukon tartó óriásoknak volt köszönhető”

mondta Newton, és elsősorban Keplerre, Descartesra és Galileire gondolt. Kepler törvényeinek az a jelentősége, hogy segítségükkel alkotta meg Newton az általános tömegvonzás törvényét. Newton matematikai segédlettel Kepler törvényeiből megállapította, hogy a bolygók gyorsulása mindig a Nap felé irányul, és a Naptól mért távolság négyzetével fordítottan arányos, így az ezt a gyorsulást létrehozó erő is ilyen. Feltételezte, hogy a Nap és a bolygó között kölcsönös a vonzás, és ez az oka a Földön a szabadesésnek is. Ezek után azt is feltette, hogy ez a gravitációs vonzás minden testre (akár égi, akár földi), általánosságban jellemző. Ezzel a gondolattal az égi és a földi fizikát sikerült egyesítenie.

Fizika – Új utak keresése (szakmódszertan)

427

A KEPLER-ŰRTÁVCSŐ A múlt században az égimechanika ugrásszerűen fejlődött. A számítógépek segítségével

egyre pontosabb számításokat tudtak végezni, és eljött az ideje az ember által készített űrszondák, űrhajók, űrtávcsövek és egyéb mesterséges égitestek felbocsátásának, megfelelő pályára állításának. Ahogyan a Kepler-féle távcsövek alkalmazása ugrásszerű fejlődést eredményezett a csillagászatban, úgy ma az űrtávcsövek mérései jelentenek hasonló előrelépést. Kepler korában még csak egy bolygórendszer, a Naprendszer egyes égitestjeit tudták megfigyelni, és így volt ez az elmúlt évekig, csak feltételezték, hogy más csillagok körül is vannak bolygók.

1. ábra. A Kepler-űrtávcső. 2. ábra. A Kepler-űrtávcső pályája.

A Discovery program keretén belül bocsátották fel 2009. március 7-én a Kepler űrtávcsövet (1. ábra.), ami a Hattyú és Lant csillagképekben kutat földszerű exobolygók után. A Kepler-űrtávcső megfigyeléseit egy olyan napkörüli pályán végzi (2. ábra.), ami a bolygónkhoz is közel van, keringési ideje pedig 371 nap. Működését legalább három évre tervezték, de esetleg hat évig is működhet. Mintegy 170 000 csillag fényességét méri 0,00001 magnitúdós pontossággal. Ha egy fényességcsökkenés egyforma időközönként többször megismétlődik, akkor ezt a jelenséget bolygó okozhatja. Az infravörös tartományban egy másodlagos fedés is megfigyelhető, hiszen amikor a bolygó a csillaga mögé kerül, szintén csökken a rendszer összfényessége. Az átvonulások között eltelt idő a bolygó keringési periódusát adja meg. A bolygó méretére is következtethetünk az elhalványodás mértékéből, ha ismerjük a csillag méretét és típusát (felszíni hőmérsékletét).[10]

EXOBOLYGÓ-KUTATÁS Jelenleg közel hétszáz exobolygót ismerünk.[8] Az első Naprendszeren kívüli bolygót

1995-ben fedezték fel, és azóta egyre többen egyre fejlettebb technikával kutatnak exobolygók után, köztük a magyar HATNet csoport, Bakos Gáspár vezetésével. Kutatóink bekapcsolódnak nemzetközi kutatásokba is, így a Kepler programban is részt vesznek.

Naprendszeren kívüli bolygókat többféle módszerrel, technikával is keresnek, melyek közül sok hasonló a kettőscsillagok vizsgálatában használatosakhoz. Természetesen egy bolygó a csillagára sokkal kisebb hatást gyakorol, mint egy csillagtárs, ezért kellett várni a megfelelő pontosságú észlelési, mérési technikákra.

Kezdetben a legtöbb exobolygót a radiális sebességmérés módszerével fedezték fel, majd az átvonulási fotometria módszerrel is egyre többet sikerült felfedezni.

Radiális sebességmérés: A bolygó és a csillag a rendszer közös tömegközéppontja körül kering, ezért a csillag látóirányú sebessége változik, így a Doppler-effektusnak megfelelően a színképvonalak hullámhossza periodikusan eltolódik, közeledéskor a kék, távolodáskor a vörös irányába. Ez a módszer óriásbolygók kimutatására alkalmas.

Fizika – Új utak keresése (szakmódszertan)

428

Átvonulási fotometria (tranzit): A csillag fénye periodikusan elhalványodik, ha a bolygó keringése során elé kerül. Így a látóirányunkhoz közeli pályasíkú bolygók figyelhetők meg, a Kepler űrtávcsővel akár Földhöz hasonló méretűek is.

Ezeken kívül is léteznek még elgondolások az exobolygók kimutatására, például:

Asztrometriai: A csillag a bolygó gravitációs hatására 74 1010 ívmásodperc nagyságrendű elmozdulásokat végezhet az égbolton a háttércsillagokhoz képest, ami megfelelő érzékenységű műszerekkel kimutatható.

Gravitációs mikrolencse: Ha egy csillag térbeli mozgása során a Földről nézve egy távoli csillag elé kerül, akkor tömegétől függően eltéríti, lencseként felerősíti ennek a háttércsillagnak a fényét. Ha az előtér csillagnak bolygója is van, akkor másként jelentkezik ez a hatás.(OGLE program)

Direkt képalkotás: A bolygó fénye gyenge, a csillag túlragyogja, de nagyméretű, csillagtól távoli bolygó lefényképezhető, főleg infravörös tartományban.

Egy csillag körüli anyagkorong deformációjából is következtethetünk bolygó létére. Vizsgálhatjuk a látható és az infravörös kép eltérését is. Nem feledkezhetünk meg az antropogén, vagy civilizációs hatások esetleges kimutatásáról sem. Már az emberiség is küldött irányított, kódolt rádióüzenetet néhány csillaghalmaz felé, és a rádió- és tévéműsorok által okozott „elektromágneses zaj” is kiszóródik a világűrbe. [4]

EXOBOLYGÓ-RENDSZEREK Sok csillag körül fedeztek fel egynél több bolygót. Az egyik legtöbb bolygót tartalmazó

rendszer a Kepler-11, amelyben egy a Naphoz hasonló csillag körül hat bolygó kering. Ezek tömege a Föld tömegének két és tízszerese között van (a Kepler-11g-ről még csak azt tudjuk, hogy biztosan kisebb tömegű, mint a Jupiter), és jóval közelebb keringenek csillaguk körül, mint a Föld a Nap körül. A keringési idők 10, 13, 23, 32, 47 és 118 nap.[9]

Más bolygórendszerekben a Jupiternél is nagyobb bolygók keringenek igen közel csillagukhoz alig néhány napos periódussal. Ilyen pl. a Kepler-17b, a Jupiternél 2,5-szer nehezebb bolygó, ami 1,5 napos periódussal, ötvenszer közelebb kering a csillaga körül, mint a Föld a Nap körül.[9]

Vannak olyan exobolygók is, amelyek pályája elnyúlt (nagy excentricitású) ellipszis. Ilyen pl. a HAT-P-13c, egy 14 Jupiternek megfelelő tömegű bolygó, 0,666 excentricitással (a Plútóé 0,25).[9]

A csillagok jelentős hányada kettőscsillag és ilyenek körül is találtak már bolygót: pl. a Kepler-16b-t, egy Szaturnusz méretű bolygót, ami egyszerre két csillag körül kering 229 napos periódussal.[10]

Arra is van példa, hogy egy bolygó egy csillagkettősnek csak az egyik tagja körül kering. Ilyen pl. a Kepler-14b, egy Jupiternél nyolcszor nehezebb bolygó, ami 7 nap alatt kerüli meg az egyik csillagot.[10]

ASZTROBIOLÓGIA Az exobolygó-kutatás egyik fontos területe a Földön kívüli élet keresése is. Beszélhetünk a

csillagok körüli lakhatósági zónáról, ahol azt vizsgáljuk, hogy egy adott környezet biztosítja-e a földihez hasonló élet kialakulásának és fennmaradásának a lehetőségét. Gyakorlatilag a folyékony víz stabil jelenlétét vizsgálják. A lakhatósági zóna elsősorban a csillag jellemzőitől függ, de legalább ennyire számít a csillag körül keringő bolygó helyzete, anyagi összetétele, légkörének összetétele, belső szerkezete, hőforrásai, magnetoszférája. Ha a bolygópálya

Fizika – Új utak keresése (szakmódszertan)

429

elnyúlt, akkor a bolygó keringése során periodikusan kijuthat a lakhatósági zónából. A bolygószomszédok helyzete is befolyásolja a lakhatóságot. Óriásbolygó közelében ritka a stabil pálya. Egy nagy hold jelenléte a bolygó körül viszont kedvező lehet, hiszen a bolygó tengelyferdeségének ingadozását lecsökkentheti, és így stabil éghajlat alakulhat ki a bolygón. Természetesen az is elképzelhető, hogy nem egy bolygón, hanem annak egy holdján alakul ki az élet számára megfelelő környezet.[5]

Az exobolygókkal kapcsolatos friss kutatási eredmények hamar megjelennek a médiában, hiszen sokakat érdekelnek. Bár még nem tananyag, az idei fizika érettségin szerepelt egy exobolygó megfigyeléshez kapcsolódó feladat.[11] Az exobolygókkal kapcsolatos ismeretek tanítása jó alkalom lehet a komplex szemlélet fejlesztésére, mert azon kívül, hogy a csillagászat szinte minden ágát tartalmazza, beszélhetünk planetológiai, geológiai, meteorológiai, fizikai, kémiai, biológiai vonatkozásairól is.[4] Kapcsolatot teremthet a téma az irodalommal és művészetekkel is.

Ingyenes animációk Kepler törvényeinek szemléltetéséhez: www.geogebra.org/eu/upload/files/hebrew/Guylted/Kepler_intervals.html

www.geogebra.org/eu/upload/files/hebrew/Guylted/Kepler_orbit.html http://kepler.nasa.gov/Mission/discoveries/kepler14b/

IRODALOMJEGYZÉK 1. Arthur Koestler: Alvajárók (Negyedik rész, 309-603.) Európa, Budapest, 2007. 2. Száva István: Az ég törvénye, Móra Ferenc Könyvkiadó, Budapest, 1973. 3. Albert Einstein: Válogatott tanulmányok (222-226.) Gondolat, Budapest, 1971. 4. Szatmáry Károly: Exobolygók, Magyar Tudomány, 2006/8 5. Kereszturi Ákos: Asztrobiológia, MCSE, Budapest, 2011. 6. NAT, Nemzeti Alaptanterv 7. Az érettségi vizsga részletes követelményei 8. MCSE Tudásbázis (http://tudasbazis.csillagaszat.hu) 9. www.exoplanet.eu 10. www.kepler.nasa.gov 11. Fizika középszintű írásbeli vizsga 2011. május 17. 3/A feladat