Fungsi

1 Pengertian FungsiKonsepfungsiterdapathampirdalamsetiapcabangmatematikasehingga fungsimerupakansuatumateri esensialyangsangat pentingdanbanyak sekaliaplikasinyabaik dalam matematikaitusendirimaupundalamilmu-ilmuyanglainpengertian fungsi dalam matematika adalah mengacu adanya relasiyang khas antara dua himpunan

Pengertian

fungsiinipertamakali diperkenalkanolehGottfried W Leibniz (1646-1716) pada tahun 1694 Menurut Leibniz fungsidapat dikatakansebagaisuatu relasi biner antar dua himpunan yang khusus

Gootfried W Leibniz(1646ndash 1716)

Senada dengan relasimaka pada fungsi terdapat tiga unsure yang

harus dipenuhi yaknia suatu himpunan tidak kosong katakanlah Ab suatuhimpunantidak kosong lain katakanlah Bc suatu kalimat terbuka yang juga disebut aturan

pengawanan yang mengakibat kan setiap elemendi Amenentukan dengan tepat elemen tunggal di B

Relasi khusus ini sering disebut dengan relasi fungsional yang sering disingkat dengan fungsi saja atau disebut juga dengan istilah pemetaan (mapping)

a b

cd

A f

Gb29

xFungsi di atas

y secaraformalbiasaz didefinisikanu sebagai berikutv

B

DefinisiSuatu fungsi f dari himpunan A kedalam himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A dengan tepatsatu elemen di B

Fungsi f dari himpunan A kedalam B ini biasa ditulis dengan notasi

f AB

dibaca fungsi f memetakan A kedalam BUnsur tunggal didalam B yang dihubungkan dengan aA oleh fDinyatakan dengan f(a) dan disebut peta atau bayangan a oleh f atau disebut juga nilai f pada aDalam hal ini a adalah prapeta (preimage) dari f(a)

Notasi yang digunakan untuk menyatakan suatu fungsi f yangMemetakan setiap anggota x dari himpunan A keanggota y dari himpunan B adalah

f xy dibaca f memetakan x key

CatatanUntuk menuliskan fungsiyang mendeskripsikan hubungan antar elemen nya agar dari setiap x diperoleh f(x)Abrahamson (1971) menganjurkan menuliskannya dengan f x f (x) (lambang digunakan untuk membedakan pada f AB)Pandanglah pemetaan fAB sebagaimana diatasdalam halinia Himpunan A disebut daerah asal(domain) dari fb Himpunan B disebut daerah kawan (codomain)dari fc Himpunan semua peta unsure dalam B disebut daerah hasil

(range) dari f dan ditulis dengan notasi f(A) Sehingga f(A)=f(a)| aA

Karena fungsi pada hakikatnya adalah relasi khusus maka representasi fungsi dapat dilakukan dengan diagram panah himpunan pasangan terurut maupun dengan diagram Cartesius

Co n t o h1

MisalkanA=21012danB=01234Jika fadalahSuatu pemetaan dari A kedalam B sedemikian hingga f(x)=tentukan

x2

a himpunan pasangan terurut yang menyajikan fungsi tersebut b daerah hasil dari fc diagram Cartesiusnya

Jawab

a Himpunanpasanganterurutnya adalah(24)(11)(00)(11)(24)

b Daerah hasildari fadalahf(A)=0 14c Diagram Cartesiusnya adalah

B4

3

2

1 A

2 1 0 1 2

Gb 210

CatatanDiagram Cartesius berupa noktah-noktah yang dilewat ioleh kurva putus-putusdana pabila daerah asalnya himpunan semua bilangan rea lpada interval tersebut maka diagram Cartesiusnya akan menjadi kurva mulus yang ditentukan oleh kurva putus- putus tersebutCo n t o h2 JikaA= ParisLondon OsloJakartaTokiodanB= Norwegia Inggris Indonesia Perancis Jepang maka relasi yang menetapkan negara-negara dengan ibukotanya dari A ke B adalah suatu fungsi yang diagram panahnya dengan jelas adalah sebagai berikut

Paris London Oslo Jakarta

Tokyo

rwegiaInggrisIndonesiaPerancisJepang

A B ibukotanegara

Gb31

Con toh3Diketahui suatu fungsi fAR dimanaA=x|3 x 2xR yang ditentukan oleh rumus f(x)=a f(1)f(0) dan prapeta dari 5

x21 maka tentukan

b dengan menyajikannya dalam diagram Cartesius tentukan daerah hasil dari f

Jawab a f(1)=(1)212

f(0)=0211Prapeta dari5 dicari dengan jalan menyelesaikan persamaan

f(x)= 5

x215x24x2

Sehingga prapeta dar 5 adalah 2 atau 2b

YDibuatgrafik

y x2 1

10

5

f(3)(3)2 1 10f(2) =22 1 5Jadidaerahhasildari fadalah

1

yx2 1 f(A)= y| 1 y 10y R

3 2

O X

Gb32

CatatanJikadomaindankodomaindarisuatu fungsikedua-duanya adalahhimpunanyangsamakatakanlahfungsifAAmaka fseringkalidisebutoperator atautransformator padaA

2 FungsiSurjektif Injektif dan Bijektifa FungsiSurjektif

Misalkan fsuatu fungsi dariAkedalamBmakadaerah hasil f(A)dari fungsi f adalah impunan bagian dari kodomain B atauf(A)Bfungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into(kedalam) atau fungsi sajaTetapi jika f(A)=B artinya setiap anggota B muncul sebagai peta dari sekurang-kurangnya satu elemen Amaka kita katakana fadalahsuatu fungsi A pada B Fungsi pada (onto function)biasa juga kita kenal dengan nama fungsi surjektif

SuatufungsifAB disebut fungsi surjektifjika untuk setiap bB sekurang-kurangnya satu aA sedemikian hingga b= f(a)

Co n t o h1 Fungsi f dari himpunan A=21012 kedalam himpunanB=014 yang didefinisikan oleh rumus fungsi f(x)= x2

Adalah suatu fungsi yang surjektifkarena setiap elemen di BMerupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A

2 1

0 1 2

A

0

1

4

Bf(x)= x2

Gb33

Con toh2Misalkan fungsi f didefinisikan sebagaimana diagram panah dibawah ini

a 1

2

b

3c

Fungsifdisamping inibukanfungsi surjektif karenaf(A)= 12B

A f B

Gb34

b Fungsi Injektif

a1 b1

a2 b2

f(a1)

f(a2)

Suatu fungsi f AB sedemikian hingga untuk setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di Bdikatakan f sebagai fungsi yang injektif atau fungsi satu-satu

A f BGb35

Fungsi fA B disebut fungsi injektif (satu-satu)jika untuk setiapf(a1) f(a2)

a1a2 A dan

a1 a2 akan berlaku

Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f A B merupakan fungsi injektif jika untuk setiap pasang anggota a1a2 Aberlakua1 a2 f(a1) f(a2)Rumus inibernilai logika samadengan pernyataan

f(a1) f(a2) a1 a2Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk

menunjukkanapakahsuatufungsiituinjektifataubukan

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Senada dengan relasimaka pada fungsi terdapat tiga unsure yang

harus dipenuhi yaknia suatu himpunan tidak kosong katakanlah Ab suatuhimpunantidak kosong lain katakanlah Bc suatu kalimat terbuka yang juga disebut aturan

pengawanan yang mengakibat kan setiap elemendi Amenentukan dengan tepat elemen tunggal di B

Relasi khusus ini sering disebut dengan relasi fungsional yang sering disingkat dengan fungsi saja atau disebut juga dengan istilah pemetaan (mapping)

a b

cd

A f

Gb29

xFungsi di atas

y secaraformalbiasaz didefinisikanu sebagai berikutv

B

DefinisiSuatu fungsi f dari himpunan A kedalam himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A dengan tepatsatu elemen di B

Fungsi f dari himpunan A kedalam B ini biasa ditulis dengan notasi

f AB

dibaca fungsi f memetakan A kedalam BUnsur tunggal didalam B yang dihubungkan dengan aA oleh fDinyatakan dengan f(a) dan disebut peta atau bayangan a oleh f atau disebut juga nilai f pada aDalam hal ini a adalah prapeta (preimage) dari f(a)

Notasi yang digunakan untuk menyatakan suatu fungsi f yangMemetakan setiap anggota x dari himpunan A keanggota y dari himpunan B adalah

f xy dibaca f memetakan x key

CatatanUntuk menuliskan fungsiyang mendeskripsikan hubungan antar elemen nya agar dari setiap x diperoleh f(x)Abrahamson (1971) menganjurkan menuliskannya dengan f x f (x) (lambang digunakan untuk membedakan pada f AB)Pandanglah pemetaan fAB sebagaimana diatasdalam halinia Himpunan A disebut daerah asal(domain) dari fb Himpunan B disebut daerah kawan (codomain)dari fc Himpunan semua peta unsure dalam B disebut daerah hasil

(range) dari f dan ditulis dengan notasi f(A) Sehingga f(A)=f(a)| aA

Karena fungsi pada hakikatnya adalah relasi khusus maka representasi fungsi dapat dilakukan dengan diagram panah himpunan pasangan terurut maupun dengan diagram Cartesius

Co n t o h1

MisalkanA=21012danB=01234Jika fadalahSuatu pemetaan dari A kedalam B sedemikian hingga f(x)=tentukan

x2

a himpunan pasangan terurut yang menyajikan fungsi tersebut b daerah hasil dari fc diagram Cartesiusnya

Jawab

a Himpunanpasanganterurutnya adalah(24)(11)(00)(11)(24)

b Daerah hasildari fadalahf(A)=0 14c Diagram Cartesiusnya adalah

B4

3

2

1 A

2 1 0 1 2

Gb 210

CatatanDiagram Cartesius berupa noktah-noktah yang dilewat ioleh kurva putus-putusdana pabila daerah asalnya himpunan semua bilangan rea lpada interval tersebut maka diagram Cartesiusnya akan menjadi kurva mulus yang ditentukan oleh kurva putus- putus tersebutCo n t o h2 JikaA= ParisLondon OsloJakartaTokiodanB= Norwegia Inggris Indonesia Perancis Jepang maka relasi yang menetapkan negara-negara dengan ibukotanya dari A ke B adalah suatu fungsi yang diagram panahnya dengan jelas adalah sebagai berikut

Paris London Oslo Jakarta

Tokyo

rwegiaInggrisIndonesiaPerancisJepang

A B ibukotanegara

Gb31

Con toh3Diketahui suatu fungsi fAR dimanaA=x|3 x 2xR yang ditentukan oleh rumus f(x)=a f(1)f(0) dan prapeta dari 5

x21 maka tentukan

b dengan menyajikannya dalam diagram Cartesius tentukan daerah hasil dari f

Jawab a f(1)=(1)212

f(0)=0211Prapeta dari5 dicari dengan jalan menyelesaikan persamaan

f(x)= 5

x215x24x2

Sehingga prapeta dar 5 adalah 2 atau 2b

YDibuatgrafik

y x2 1

10

5

f(3)(3)2 1 10f(2) =22 1 5Jadidaerahhasildari fadalah

1

yx2 1 f(A)= y| 1 y 10y R

3 2

O X

Gb32

CatatanJikadomaindankodomaindarisuatu fungsikedua-duanya adalahhimpunanyangsamakatakanlahfungsifAAmaka fseringkalidisebutoperator atautransformator padaA

2 FungsiSurjektif Injektif dan Bijektifa FungsiSurjektif

Misalkan fsuatu fungsi dariAkedalamBmakadaerah hasil f(A)dari fungsi f adalah impunan bagian dari kodomain B atauf(A)Bfungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into(kedalam) atau fungsi sajaTetapi jika f(A)=B artinya setiap anggota B muncul sebagai peta dari sekurang-kurangnya satu elemen Amaka kita katakana fadalahsuatu fungsi A pada B Fungsi pada (onto function)biasa juga kita kenal dengan nama fungsi surjektif

SuatufungsifAB disebut fungsi surjektifjika untuk setiap bB sekurang-kurangnya satu aA sedemikian hingga b= f(a)

Co n t o h1 Fungsi f dari himpunan A=21012 kedalam himpunanB=014 yang didefinisikan oleh rumus fungsi f(x)= x2

Adalah suatu fungsi yang surjektifkarena setiap elemen di BMerupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A

2 1

0 1 2

A

0

1

4

Bf(x)= x2

Gb33

Con toh2Misalkan fungsi f didefinisikan sebagaimana diagram panah dibawah ini

a 1

2

b

3c

Fungsifdisamping inibukanfungsi surjektif karenaf(A)= 12B

A f B

Gb34

b Fungsi Injektif

a1 b1

a2 b2

f(a1)

f(a2)

Suatu fungsi f AB sedemikian hingga untuk setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di Bdikatakan f sebagai fungsi yang injektif atau fungsi satu-satu

A f BGb35

Fungsi fA B disebut fungsi injektif (satu-satu)jika untuk setiapf(a1) f(a2)

a1a2 A dan

a1 a2 akan berlaku

Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f A B merupakan fungsi injektif jika untuk setiap pasang anggota a1a2 Aberlakua1 a2 f(a1) f(a2)Rumus inibernilai logika samadengan pernyataan

f(a1) f(a2) a1 a2Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk

menunjukkanapakahsuatufungsiituinjektifataubukan

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Notasi yang digunakan untuk menyatakan suatu fungsi f yangMemetakan setiap anggota x dari himpunan A keanggota y dari himpunan B adalah

f xy dibaca f memetakan x key

CatatanUntuk menuliskan fungsiyang mendeskripsikan hubungan antar elemen nya agar dari setiap x diperoleh f(x)Abrahamson (1971) menganjurkan menuliskannya dengan f x f (x) (lambang digunakan untuk membedakan pada f AB)Pandanglah pemetaan fAB sebagaimana diatasdalam halinia Himpunan A disebut daerah asal(domain) dari fb Himpunan B disebut daerah kawan (codomain)dari fc Himpunan semua peta unsure dalam B disebut daerah hasil

(range) dari f dan ditulis dengan notasi f(A) Sehingga f(A)=f(a)| aA

Karena fungsi pada hakikatnya adalah relasi khusus maka representasi fungsi dapat dilakukan dengan diagram panah himpunan pasangan terurut maupun dengan diagram Cartesius

Co n t o h1

MisalkanA=21012danB=01234Jika fadalahSuatu pemetaan dari A kedalam B sedemikian hingga f(x)=tentukan

x2

a himpunan pasangan terurut yang menyajikan fungsi tersebut b daerah hasil dari fc diagram Cartesiusnya

Jawab

a Himpunanpasanganterurutnya adalah(24)(11)(00)(11)(24)

b Daerah hasildari fadalahf(A)=0 14c Diagram Cartesiusnya adalah

B4

3

2

1 A

2 1 0 1 2

Gb 210

CatatanDiagram Cartesius berupa noktah-noktah yang dilewat ioleh kurva putus-putusdana pabila daerah asalnya himpunan semua bilangan rea lpada interval tersebut maka diagram Cartesiusnya akan menjadi kurva mulus yang ditentukan oleh kurva putus- putus tersebutCo n t o h2 JikaA= ParisLondon OsloJakartaTokiodanB= Norwegia Inggris Indonesia Perancis Jepang maka relasi yang menetapkan negara-negara dengan ibukotanya dari A ke B adalah suatu fungsi yang diagram panahnya dengan jelas adalah sebagai berikut

Paris London Oslo Jakarta

Tokyo

rwegiaInggrisIndonesiaPerancisJepang

A B ibukotanegara

Gb31

Con toh3Diketahui suatu fungsi fAR dimanaA=x|3 x 2xR yang ditentukan oleh rumus f(x)=a f(1)f(0) dan prapeta dari 5

x21 maka tentukan

b dengan menyajikannya dalam diagram Cartesius tentukan daerah hasil dari f

Jawab a f(1)=(1)212

f(0)=0211Prapeta dari5 dicari dengan jalan menyelesaikan persamaan

f(x)= 5

x215x24x2

Sehingga prapeta dar 5 adalah 2 atau 2b

YDibuatgrafik

y x2 1

10

5

f(3)(3)2 1 10f(2) =22 1 5Jadidaerahhasildari fadalah

1

yx2 1 f(A)= y| 1 y 10y R

3 2

O X

Gb32

CatatanJikadomaindankodomaindarisuatu fungsikedua-duanya adalahhimpunanyangsamakatakanlahfungsifAAmaka fseringkalidisebutoperator atautransformator padaA

2 FungsiSurjektif Injektif dan Bijektifa FungsiSurjektif

Misalkan fsuatu fungsi dariAkedalamBmakadaerah hasil f(A)dari fungsi f adalah impunan bagian dari kodomain B atauf(A)Bfungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into(kedalam) atau fungsi sajaTetapi jika f(A)=B artinya setiap anggota B muncul sebagai peta dari sekurang-kurangnya satu elemen Amaka kita katakana fadalahsuatu fungsi A pada B Fungsi pada (onto function)biasa juga kita kenal dengan nama fungsi surjektif

SuatufungsifAB disebut fungsi surjektifjika untuk setiap bB sekurang-kurangnya satu aA sedemikian hingga b= f(a)

Co n t o h1 Fungsi f dari himpunan A=21012 kedalam himpunanB=014 yang didefinisikan oleh rumus fungsi f(x)= x2

Adalah suatu fungsi yang surjektifkarena setiap elemen di BMerupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A

2 1

0 1 2

A

0

1

4

Bf(x)= x2

Gb33

Con toh2Misalkan fungsi f didefinisikan sebagaimana diagram panah dibawah ini

a 1

2

b

3c

Fungsifdisamping inibukanfungsi surjektif karenaf(A)= 12B

A f B

Gb34

b Fungsi Injektif

a1 b1

a2 b2

f(a1)

f(a2)

Suatu fungsi f AB sedemikian hingga untuk setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di Bdikatakan f sebagai fungsi yang injektif atau fungsi satu-satu

A f BGb35

Fungsi fA B disebut fungsi injektif (satu-satu)jika untuk setiapf(a1) f(a2)

a1a2 A dan

a1 a2 akan berlaku

Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f A B merupakan fungsi injektif jika untuk setiap pasang anggota a1a2 Aberlakua1 a2 f(a1) f(a2)Rumus inibernilai logika samadengan pernyataan

f(a1) f(a2) a1 a2Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk

menunjukkanapakahsuatufungsiituinjektifataubukan

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

B4

3

2

1 A

2 1 0 1 2

Gb 210

CatatanDiagram Cartesius berupa noktah-noktah yang dilewat ioleh kurva putus-putusdana pabila daerah asalnya himpunan semua bilangan rea lpada interval tersebut maka diagram Cartesiusnya akan menjadi kurva mulus yang ditentukan oleh kurva putus- putus tersebutCo n t o h2 JikaA= ParisLondon OsloJakartaTokiodanB= Norwegia Inggris Indonesia Perancis Jepang maka relasi yang menetapkan negara-negara dengan ibukotanya dari A ke B adalah suatu fungsi yang diagram panahnya dengan jelas adalah sebagai berikut

Paris London Oslo Jakarta

Tokyo

rwegiaInggrisIndonesiaPerancisJepang

A B ibukotanegara

Gb31

Con toh3Diketahui suatu fungsi fAR dimanaA=x|3 x 2xR yang ditentukan oleh rumus f(x)=a f(1)f(0) dan prapeta dari 5

x21 maka tentukan

b dengan menyajikannya dalam diagram Cartesius tentukan daerah hasil dari f

Jawab a f(1)=(1)212

f(0)=0211Prapeta dari5 dicari dengan jalan menyelesaikan persamaan

f(x)= 5

x215x24x2

Sehingga prapeta dar 5 adalah 2 atau 2b

YDibuatgrafik

y x2 1

10

5

f(3)(3)2 1 10f(2) =22 1 5Jadidaerahhasildari fadalah

1

yx2 1 f(A)= y| 1 y 10y R

3 2

O X

Gb32

CatatanJikadomaindankodomaindarisuatu fungsikedua-duanya adalahhimpunanyangsamakatakanlahfungsifAAmaka fseringkalidisebutoperator atautransformator padaA

2 FungsiSurjektif Injektif dan Bijektifa FungsiSurjektif

Misalkan fsuatu fungsi dariAkedalamBmakadaerah hasil f(A)dari fungsi f adalah impunan bagian dari kodomain B atauf(A)Bfungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into(kedalam) atau fungsi sajaTetapi jika f(A)=B artinya setiap anggota B muncul sebagai peta dari sekurang-kurangnya satu elemen Amaka kita katakana fadalahsuatu fungsi A pada B Fungsi pada (onto function)biasa juga kita kenal dengan nama fungsi surjektif

SuatufungsifAB disebut fungsi surjektifjika untuk setiap bB sekurang-kurangnya satu aA sedemikian hingga b= f(a)

Co n t o h1 Fungsi f dari himpunan A=21012 kedalam himpunanB=014 yang didefinisikan oleh rumus fungsi f(x)= x2

Adalah suatu fungsi yang surjektifkarena setiap elemen di BMerupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A

2 1

0 1 2

A

0

1

4

Bf(x)= x2

Gb33

Con toh2Misalkan fungsi f didefinisikan sebagaimana diagram panah dibawah ini

a 1

2

b

3c

Fungsifdisamping inibukanfungsi surjektif karenaf(A)= 12B

A f B

Gb34

b Fungsi Injektif

a1 b1

a2 b2

f(a1)

f(a2)

Suatu fungsi f AB sedemikian hingga untuk setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di Bdikatakan f sebagai fungsi yang injektif atau fungsi satu-satu

A f BGb35

Fungsi fA B disebut fungsi injektif (satu-satu)jika untuk setiapf(a1) f(a2)

a1a2 A dan

a1 a2 akan berlaku

Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f A B merupakan fungsi injektif jika untuk setiap pasang anggota a1a2 Aberlakua1 a2 f(a1) f(a2)Rumus inibernilai logika samadengan pernyataan

f(a1) f(a2) a1 a2Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk

menunjukkanapakahsuatufungsiituinjektifataubukan

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Con toh3Diketahui suatu fungsi fAR dimanaA=x|3 x 2xR yang ditentukan oleh rumus f(x)=a f(1)f(0) dan prapeta dari 5

x21 maka tentukan

b dengan menyajikannya dalam diagram Cartesius tentukan daerah hasil dari f

Jawab a f(1)=(1)212

f(0)=0211Prapeta dari5 dicari dengan jalan menyelesaikan persamaan

f(x)= 5

x215x24x2

Sehingga prapeta dar 5 adalah 2 atau 2b

YDibuatgrafik

y x2 1

10

5

f(3)(3)2 1 10f(2) =22 1 5Jadidaerahhasildari fadalah

1

yx2 1 f(A)= y| 1 y 10y R

3 2

O X

Gb32

CatatanJikadomaindankodomaindarisuatu fungsikedua-duanya adalahhimpunanyangsamakatakanlahfungsifAAmaka fseringkalidisebutoperator atautransformator padaA

2 FungsiSurjektif Injektif dan Bijektifa FungsiSurjektif

Misalkan fsuatu fungsi dariAkedalamBmakadaerah hasil f(A)dari fungsi f adalah impunan bagian dari kodomain B atauf(A)Bfungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into(kedalam) atau fungsi sajaTetapi jika f(A)=B artinya setiap anggota B muncul sebagai peta dari sekurang-kurangnya satu elemen Amaka kita katakana fadalahsuatu fungsi A pada B Fungsi pada (onto function)biasa juga kita kenal dengan nama fungsi surjektif

SuatufungsifAB disebut fungsi surjektifjika untuk setiap bB sekurang-kurangnya satu aA sedemikian hingga b= f(a)

Co n t o h1 Fungsi f dari himpunan A=21012 kedalam himpunanB=014 yang didefinisikan oleh rumus fungsi f(x)= x2

Adalah suatu fungsi yang surjektifkarena setiap elemen di BMerupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A

2 1

0 1 2

A

0

1

4

Bf(x)= x2

Gb33

Con toh2Misalkan fungsi f didefinisikan sebagaimana diagram panah dibawah ini

a 1

2

b

3c

Fungsifdisamping inibukanfungsi surjektif karenaf(A)= 12B

A f B

Gb34

b Fungsi Injektif

a1 b1

a2 b2

f(a1)

f(a2)

Suatu fungsi f AB sedemikian hingga untuk setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di Bdikatakan f sebagai fungsi yang injektif atau fungsi satu-satu

A f BGb35

Fungsi fA B disebut fungsi injektif (satu-satu)jika untuk setiapf(a1) f(a2)

a1a2 A dan

a1 a2 akan berlaku

Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f A B merupakan fungsi injektif jika untuk setiap pasang anggota a1a2 Aberlakua1 a2 f(a1) f(a2)Rumus inibernilai logika samadengan pernyataan

f(a1) f(a2) a1 a2Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk

menunjukkanapakahsuatufungsiituinjektifataubukan

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

2 FungsiSurjektif Injektif dan Bijektifa FungsiSurjektif

Misalkan fsuatu fungsi dariAkedalamBmakadaerah hasil f(A)dari fungsi f adalah impunan bagian dari kodomain B atauf(A)Bfungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into(kedalam) atau fungsi sajaTetapi jika f(A)=B artinya setiap anggota B muncul sebagai peta dari sekurang-kurangnya satu elemen Amaka kita katakana fadalahsuatu fungsi A pada B Fungsi pada (onto function)biasa juga kita kenal dengan nama fungsi surjektif

SuatufungsifAB disebut fungsi surjektifjika untuk setiap bB sekurang-kurangnya satu aA sedemikian hingga b= f(a)

Co n t o h1 Fungsi f dari himpunan A=21012 kedalam himpunanB=014 yang didefinisikan oleh rumus fungsi f(x)= x2

Adalah suatu fungsi yang surjektifkarena setiap elemen di BMerupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A

2 1

0 1 2

A

0

1

4

Bf(x)= x2

Gb33

Con toh2Misalkan fungsi f didefinisikan sebagaimana diagram panah dibawah ini

a 1

2

b

3c

Fungsifdisamping inibukanfungsi surjektif karenaf(A)= 12B

A f B

Gb34

b Fungsi Injektif

a1 b1

a2 b2

f(a1)

f(a2)

Suatu fungsi f AB sedemikian hingga untuk setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di Bdikatakan f sebagai fungsi yang injektif atau fungsi satu-satu

A f BGb35

Fungsi fA B disebut fungsi injektif (satu-satu)jika untuk setiapf(a1) f(a2)

a1a2 A dan

a1 a2 akan berlaku

Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f A B merupakan fungsi injektif jika untuk setiap pasang anggota a1a2 Aberlakua1 a2 f(a1) f(a2)Rumus inibernilai logika samadengan pernyataan

f(a1) f(a2) a1 a2Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk

menunjukkanapakahsuatufungsiituinjektifataubukan

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Con toh2Misalkan fungsi f didefinisikan sebagaimana diagram panah dibawah ini

a 1

2

b

3c

Fungsifdisamping inibukanfungsi surjektif karenaf(A)= 12B

A f B

Gb34

b Fungsi Injektif

a1 b1

a2 b2

f(a1)

f(a2)

Suatu fungsi f AB sedemikian hingga untuk setiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di Bdikatakan f sebagai fungsi yang injektif atau fungsi satu-satu

A f BGb35

Fungsi fA B disebut fungsi injektif (satu-satu)jika untuk setiapf(a1) f(a2)

a1a2 A dan

a1 a2 akan berlaku

Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f A B merupakan fungsi injektif jika untuk setiap pasang anggota a1a2 Aberlakua1 a2 f(a1) f(a2)Rumus inibernilai logika samadengan pernyataan

f(a1) f(a2) a1 a2Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk

menunjukkanapakahsuatufungsiituinjektifataubukan

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

menunjukkanapakahsuatufungsiituinjektifataubukan

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Con toh1Selidikilah injektif tidaknya fungsi didalam bilangan realR (fRR) yang didefinisikan dengan rumus f(x)=2x -3

Jawab untuk setiap

x1x2Ryang memenuhi f(x1) f(x2)maka

(2x13)(2x23) x1 x2Sehingga dari

f(x1) f(x2) x1 x2 yang berarti f adalah

fungsi injektif di dalam R

Co n t o h2 Relasi dari himpunan Negara N kehimpunan bendera nasional B yang didefinisikan dengan kalimat terbuka negara x bendera nasionalnya adalah y adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasionaldan bendera nasionalnya hanya satu tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda (misalnya Indonesia dan Monaco)tetapi mempunyai bendera nasionalyang sama yaitu sama-sama merah putihnya

Co n t o h3 Fungsi fRR dimana R=bilanganrealyang didefinisikansebagai f(x)=

x2 bukan suatu fungsi injektifsebab untuk

x1x2R sedemikian hinggaf(x1) f(x2) x1

2 x22 x1

2x22 0 (x1 x2)(x1x2) 0

x1 x2ataux1 x2Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainanyangmempunyai peta yang sama

c Fungsi Bijektif

a p bq c

r d

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

s

fA B

Gb 36

Jika suatu fungsi fA B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus sebagaimana ilustrasi di samping maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespon densi satu-satu

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

DefinisiFungsifABdisebutsuatufungsibijektifjikafsekaligusfungsisurjektifdan fungsiinjektif

Co n t o h1

Fungsi fRR yang didefinisikan dengan f(x)=2x-3 adalahfungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan

1dipenuhi 2x 3 = y x = (y 3) yang menunjukkan2

prapeta dari y di B Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektifSedang untuk setiap pasang

x1x2R yang

dipenuhi f(x1) f(x2) akibatnya2x132x23 x1 x2Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektifdan dari fInjektif dan surjektif sekaligus inidapat disimpulkan bahwa fAdalah fungsi bijektif

Co n t o h2 Suatu fungsi f didalam bilangan real Ryang didefinisikan olehf(x)= x2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x)=4

misalnyaakan diperoleh

f(x)= 4x2 4 x24 0 (x 2)(x2) 0 x 2 atau x = 2ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f juga bukan fungsiyangbijektif

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

3 Fungsi-fungsi KhususDi dalam matematikabanyak sekali dijumpai beberapa macamfungsiyang beberapa diantaranya memiliki ciri-ciri yang khas

4 Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A kedalam Bdan fungsiG memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini

x y=f(x) g(y)=g(f(x))

A f B g C

gf

Gb312

Untuk a A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi goleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) dibawah pemetaan g yaitu g(f(a)) Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen a A

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Dengan tepat satu elemen g(f(a)) C Fungsi baru ini lah yang disebut fungsi komposit dari f dan gyang dinyatakan dengan notasi g f (dibaca g bundaran f)Secara singkat jika fAB dan gB C maka kita definisikanSuatu fungsi komposisi gfAC sedemikian hingga (gf)(a)=g(f(a))

CatatanPerhatikan bahwa fungsi komposit g f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu baru kemudianMengerjakan gCon toh1Misalkan fAB dan gBCdiagram panah dibawah ini

yang di definisikan sebagaiman

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

a x r b y

s

cz t

A B Cf g

Gb313

(g of) ABditentukanoleh (g of)(a) = g(f(a))=g(x)= s (g of) (b)= g(f(b))= g(y)= r (g of)(c)=g(f(c))= g(x)= s

5 FungsiInversa Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A kedalam B dan misalkan untuk suatu aA petanya adalah f(a)=bB maka invers dari b (dinyatakan dengan f -1(b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanyaSecara singkat jika fAB

Sedemikian hingga fxf(x)

maka yang dimaksud dengan invers fungsi bf-1(b)= x| xA

f(x)=b (notasi f1 dibaca f invers)Con tohMisalkan fungsi fABpanah berikut

didefinisikan sebagaimana diagram

a b f

maka f1(x) =bx f

1(y) = af1(z) = cy

c z

A BGb314

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

b Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B Padaumumnya f1(b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada Jika

fAB Adalah suatu fungsi

yang bijektif maka untuk setiap bB invers f1(b) akan terdiridari sebuah elemen tunggal dalam ADengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetap kan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f1(b) dalam AOleh sebab itu f1 adalah suatu fungsi dari B kegagadingmungaku romb un dalam A dan kita tulis fungsi f1BA Disini fungsi f1 kita sebut fungsi invers dari fCatatanSuatu fungsi f AB akan diperoleh fungsi inversf1BA hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektifdan surjektif sekaligus)Mengacu definisi diatas maka ff1 xx demikian jugaf-1

f xx yang ini berarti

ff1 f1fI

Con toh1Jikafungsif AB Didefinisi kan dengan diagram

a x b y c

z

A f B

Gb315

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

f-1

1

maka fungsi invers f1 Bdiagram panah

A di definisikan oleh

xa y

b z

c

B f1 A

Gb316

Daridiagram panahdiatas terlihat bahwa

(f(x))=f -1(b) =x = I(x) danf(f-1(y))=f(a)=y=I(y) yang ini mempertegas sifat f-1

f=f

f-1= ICon toh2Misalkan fungsifAB Didefinisikan dengan f(x)=2x3Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif maka akan diperoleh fungsi inversnya Untuk menentukan rumus fungsi invers f1 ditempuh langkah-langkah sebagai berikut

x 2x 3

1

Misalkan 2x3= yMaka 2x =y + 3

(y3)y 2

R f

ySehinggax =

R

1(y3)

2

Gb317

Oleh karena itu fungsi invers f1(y) = 1(y3)2Jadi fungsi invers f 1 R R ditentukan oleh f 1(x) =

2(x3)

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

6 Menentukan Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Agar

Memiliki Fungsi Invers

Dengan memperhatikan syarat bahwa suatu fungsi f mempunyaiInvers f-1 haruslah f suatu fungsi bijektifDari ketentuan ini maka kita dapat menentukan domain dan kodomain suatu fungsi agar fungsi tersebut mempunyai invers

Co n t o h Suatu fungsi f pada bilangan real ditentukan oleh rumus fungsi f

x4(x)=2x3

Tentukan domain dan kodomain f agar diperoleh fungsi invers f-1

JawabDengan memperhatikan rumus fungsi f yang berupa fungsi pecah maka domain dari fungsi f adalah

Df= x| 2x + 3 ne0 x R3= x|x ne minus

2 x R

Untuk menentukan kodomainnya terlebih dulu dicari rumus inversnyaMisalkan f(x)= y

x4 = y2x3

x minus 4 =y(2x+ 3)(1 minus2y)x= 3y+ 4

x=3y4

12y

f-1(y)= 3y412y

f-1(x)= 3x412x

Dengan memperhatikan bahwa syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers bila fungsi tersebut adalah bijektif Sehingga

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

kodomain dari fungsi f adalah domain dari f -1 sehingga

kodomaindari f= Df-1= x | 1 minus 2xne 0 x R=x| x ne 1 x R

7 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

1 Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut

pelajari uraian berikut iniMisalkan f(x) = x2 + 1 dengan D f = x| xeuroR dan g(x) =

radic xminus2 dengan Dg= x| x ge 2 xeuroR Fungsi komposisi g deg fdapat digambarkan pada Gambar 69Mula-mula unsur xeuroDfdipetakan oleh f ke bayangan xyaitu f(x) Kemudian f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)) Dengandemikian fungsi komposisi g deg f adalah pemetaan x euroD f olehfungsi f kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g Uraiantersebut memperjelas definisi berikut

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g Bayangan x yaitu f(x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) =radic2minus2 = 0

Lain halnya jika x -12

Untuk x =12

diperoleh f(x) = 114

yang berada di

luar daerah asal fungsi g Bayangan xyaitu f(x) = 114

tidak dapat

dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(x)) sebab g (1 14 ) = radic1 1

4minus2

= radicminus34

Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja

padahimpunan seluruh bilangan real Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g Dengandemikian diperoleh daerah asal fungsi komposisi g deg f adalah Dgof x|xeuro D ff(x)euroDgDengan pemikiran yang sama fungsi komposisi f οgadalah pemetaan xeuroDgoleh fungsi g kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f

DefinisiDiDiketahui f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f

dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) = g(f(x))untuk setiap x euroDgketahui f dan g dua fungsi sembarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g deg f didefinisikan sebagai (g deg f)(x) =

g(f(x)) untuk setiap x euroDg

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Dengan demikian daerah asal fungsikomposisi f deg g adalah Dfogx|xeuro Dg ff(x)euroDfMisalkan diketahui f(x) = x2 + 2 dan g(x) = radic1minusx Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 610Daerah hasil R f = x| x ge 2 xeuroR tidak dapat dipetakanoleh g(x) =radic1minusxsebab untuk x ge 2 g(x) tidak terdefinisiCoba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ge 2Jika Anda analisis uraian tersebut diperoleh hal-halberikutbull Fungsi f(x) = x2 + 1 dan g(x) = xeuro2 dapat dikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g deg f sebab irisan antara daerahhasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosongR f capDg = x| xge 1 xeuroRcapx| x ge 2 xeuroR = x| x ge 2 xeuroRbull Fungsi f(x) = x2 + 2 dan g(x) = 11048589x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g deg f sebabirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosongR f capDg = x| x ge 2 xeuroR cap x| x le 1 xeuroR = Oslash

2 Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi pelajariuraian

berikut Diketahui f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6(f deg g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11(g deg f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16Amati lagi hasil contoh 65 Apakah nilai (f deg g)(x) samadengan (g deg f) (x) Coba selidiki untuk fungsi lainnya Apayang Anda peroleh Jika melakukannya dengan benar akandiperoleh kesimpulan berikut

Amati fungsi f(x) = 2x + 1 g(x) = x2 dan h(x) = 3x + 5Misalkan (g deg h) (x) = s(x) makas(x) = (g deg h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2

= 9x2 + 30x + 25sehingga

(f deg (g deg h))(x) = (f deg s) (x) = f(s(x)) = f (9x2 + 30x + 25)= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1= 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg g deg h) (x) = 18x2 + 60x + 51Kemudian misalkan (f deg g) (x) = t(x) makat(x) = (f deg g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = 2x2 + 1 sehingga((f deg g) deg h) (x) = (t deg h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)= 2(3x + 5)2 + 1= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 51Jadi (f deg (g deg h)) (x) = 18x2 + 60x + 51

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g deg f) adalahirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsig bukan himpunan kosong atau R f capDgne Oslash

(f deg g) (x) ne (g deg f) (x)

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Amati lagi uraian tersebut Apa yang Anda perolehmengenai nilai f deg (g deg h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f deg g) deg h(x) Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya Untuk itu bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi Kemudian hitung nilai f deg (g deg h) dan (f deg g) deg hApakah hasil keduanya sama Ulangi lagi untuk fungsilainnya Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut

Dari uraian tersebut sifat-sifat komposisi fungsi adalah bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif(f deg g)(x) ne (g deg f)(x)bull Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f deg (g deg h))(x) = ((f deg g) deg h)(x)bull Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas yaitu I(x) = x sehingga (f deg I)(x) =(I deg f)(x) = f(x)

3 Menentukan Fungsi f atau gjikaDiketahui Fungsi Komposisi dari f atau g

Pada bagian sebelumnya Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f deg g atau g deg f jika fungsi f dan gdiketahui Bagaimana jika terjadi sebaliknya Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi bagaimana caramenentukan fungsi lainnyaAnda dapat menentukan fungsi g(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g) (x) = 10x ndash 5 dan f(x) = 2x ndash 5 yaitu sebagaiberikut(f deg g)(x) = 10x ndash 5f(g(x)) = 10x ndash 52(g(x)) ndash 5 = 10x ndash 52 (g(x)) = 10xg(x) = 5xUntuk menentukan fungsi f(x) jika diketahui fungsikomposisi (f deg g)(x) = 30x2 ndash 15 dan g(x) = 10x2 ndash 3 caranyasebagai berikut(f deg g)(x) = 30x2 ndash 15f(g(x)) = 30x2 ndash 15f(10x2 ndash 3) = 30x2 ndash 15 = 3(10x2 ndash 3) ndash 15 + 9f(10x2 ndash 3) = 3(10x2 ndash 3) ndash 6f(x) = 3x ndash 6Jika fungsi f dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahuimaka fungsi g dapat ditentukan Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f deg g atau g deg f diketahui maka fungsif dapat ditentukan

(f deg (g deg h)) (x) = ((f deg g) deg h) (x)

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Co n t o h Misalkan f dan g masing-masing fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x)=x +3 dang(x)= 2xminus 1 tentukan (gf)-1dan(fg)-1

Jawab(g f)(x)= g(f(x))=g(x + 3)= 2(x+3)minus 1 = 2x + 5Misalkan y= (gf)(x)

y = 2x+ 5 x =

1(y5)21( g f)-1(x) = y-

1=(x5)2

(fg)(x)= f(g(x))=f(2xminus 1)=(2x minus1)+ 3= 2x +21Misalkan y= 2x +

2x=(y2)2

Jadi(fg)-1=y-1= (x2)2Kecuali cara diatas secara umum kita dapat menurun kan rumus invers fungsi komposit sebagai berikut

(fg)-1( fg)= I(fg)-1( fg)g-1= Ig-1 (dikomposisikan dengang f-1)(fg)-1f(g g-1) = g-1 (sifat asosiatif)(fg)-1 fI = g-1 (sifat invers)(fg)-1f =g-1 (sifat identitas)(fg)-1ff-1 = g-1f-1 (dikomposisikan dengan f-

1)(fg)-1I = g-1f-1 (sifat invers)(fg)-1 = g-1f-1 (sifat identitas) Dengandemikiankita dapatkanrumus

(fg)-1= g-1f

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

Con toh Diketahui fungsi-fungsifdangpadaRditentukanolehf(x)=2xminus3 dang(x)= x3

Tentukan f-1g-1(fg)-1 dan (g f)-1

JawabMisalkan f(x)= 2x minus 3 = y

1x = (y3)21f-1(x) =

Misalkan g(x)= x3= y

(x3)2

x =3y

g-1(x) =3xUntuk menentukan( fg)-1(x)= (g-1f-1)(x)= g-1( f-1(x))

1113= g-1(2(x3))=3

2(x3)=

2 4(x3)

Dan(g f)-1(x)= (f-1g-1)(x)= f-1( g-1(x)) = f-1(3x)= 1(3x3)

Contoh

Selidikilah fungsi berikut apakah merupakan fungsi injektif ataubukan jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektifa y = f(x) =1 2x + 3 x Rb y = f(x) = x2 ndash 2 x R

Jawaba Grafik fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R tampak pada Gambar68 (a) Amati untuk setiap domain x1 dan x2 (x1 ne x2)maka f(x1) ne f(x2) Jadi fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x Rmerupakan fungsi injektif Oleh karena range RRf samadengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta

1 2x + 3 x R merupakan fungsi surjektifDengan demikian fungsi y = f(x) =1 2x + 3 x R adalah fungsibijektifb Grafik dari fungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R diperlihatkan padaGambar 68(b) Pada gambar tersebut tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1 x2 Df dengan x1 ne x2 tetapi f(x1) = f(x2) Jadifungsi y = f(x) = x2 ndash 2 x R bukan fungsi injektif

Sumber Drs Setiawan MPd 2008 Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Tidak Persamaan Aljabar Yogyakarta