TUGAS 1 STRUKTUR ALJABAR

1. Diketahui G = {3n n Bilangan bulat}. Apakah (G, +, ) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan? Penyelesaian: Misal: p = 3a Bilangan bulat q = 3b Bilangan bulat r = 3c Bilangan bulat a. (G, +) merupakan grup abelian

i. Sifat ketertutupan pada operasi (+) p + q = 3a + 3b = 3(a + b) G p, q G p + q G

ii. Sifat asosiatif pada operasi (+) (p + q) + r = p + (q + r) (3a + 3b) + 3c = 3a + (3b + 3c) 3a + 3b + 3c = 3a + 3b + 3c 3(a + b + c) = 3(a + b + c) p, q, r G (p + q) + r = p + (q + r)

iii. Sifat identitas pada operasi (+) z = 0 karena: p + 0 = 0 + p = p 3a + 0 = 0 + 3a = 3a z G,x G p + z = p + z = p

iv. Sifat invers pada operasi (+) p = p p + p = p + p = 0 3a + (3a) = (3a) + 3a = 0 p G, p G = p + p = p + p = z

v. Sifat komutatif pada operasi (+) p + q = q + p 3a + 3b = 3b + 3a 3(a + b) = 3(b + a) p, q G p + q = q + p

Karena semua sifat telah dipenuhi, maka (G, +) merupakan grup abelian.

b. (G, ) bersifat ketertutupan dan assosiatif? i. Sifat ketertutupan pada operasi () p q = 3a 3b = 9ab G

p, q G p q G ii. Sifat asosiatif pada operasi ()

(p q) r = p (q r) (3a 3b) 3c = 3a (3b + 3c) 9ab 3c = 3a 9bc 27abc = 27abc p, q, r G (p q) r = p (q r)

(G, ) bersifat ketertutupan dan assosiatif

c. G bersifat distributif operasi () terhadap (+). i. Distributif kiri p (q + r) = (p q) + (p r)

3a (3b + 3c) = (3a 3b) + (3a 3c) 3a 3(b + c) = 9ab + 9ac 9ab + 9ac = 9ab + 9ac

9(ab + ac) = 9(ab + ac) 9a(b + c) = 9a(b + c)

ii. Distributif kanan (p + q) r = (p r) + (q r) (3a + 3b) 3c = (3a 3c) + (3b 3c) 3(a + b) 3c = 9ac + 9bc 9ac + 9bc = 9ac + 9bc 9(ac + bc) = 9(ac + bc) 9c(a + b) = 9c(a + b)

G bersifat distributif operasi perkalian () terhadap operasi penjumlahan (+)

d. Grup komutatif pada operasi () p q = q p 3a 3b = 3b 3a 9ab = 9ab p, q G p q = q p G

(G, +,) grup komutatif

e. (G, +,) ring elemen satuan e = 1, karena p 1 = 1 p = p 3a 1 = 1 3a = 3a

e G p G p e = e p = p (G, +,) bukan ring elemen satuan

(G, +,) ring komutatif bukan elemen satuan

2. Diketahui M = {0, 1, 2, 3, 4} Mod 5. Apakah (M, +, ) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan? Penyelesaian: a. (M, +) merupakan grup abelian Tabel Cayley

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

i. Sifat ketertutupan pada operasi (+) p, q M p + q M

ii. Sifat assosiatif pada operasi (+) (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) (0) + 4 = 2 + (2) 4 = 4 (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) 3 + 3 = 1 + 0 1 = 1 (0 + 1) + 2 = 0 + (1 + 2) 1 + 2 = 0 + 3 3 = 3 p, q, r M (p + q) + r = p + (q + r)

iii. Sifat identitas pada operasi (+) z = 0 karena: p + 0 = 0 + p = p 3 + 0 = 0 + 3 = 3 z M,x M p + z = p + z = p iv. Sifat invers pada operasi (+) p = p p + p = p + p = 0

0-1 = 0, karena 0 + 0 = 0 + 0 = 0 1-1 = 4, karena 1 + 4 = 4 + 1 = 0 2-1 = 3, karena 2 + 3 = 3 + 2 = 0 3-1 = 2, karena 3 + 2 = 2 + 3 = 0

4-1 = 1, karena 4 + 1 = 1 + 4 = 0 p M, p M = p + p = p + p = z

v. Sifat komutatif pada operasi (+) 3 + 4 = 4 + 3 2 = 2 0 + 1 = 1 + 0 1 = 1 1 + 2 = 2 + 1 3 = 3 p, q M p + q = q + p M

Karena semua sifat telah dipenuhi, maka (M, +) merupakan grup abelian. b. (M, ) bersifat ketertutupan dan assosiatif?

Tabel Cayley 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

i. Sifat ketertutupan pada operasi () p, q M p q M

ii. Sifat asosiatif pada operasi () (3 2) 1 = 3 (2 1) (1) 1 = 3 (2) 1 = 1 (2 3) 4 = 2 (3 4) 1 4 = 2 2 4 = 4 (0 1) 2 = 0 (1 2) 1 2 = 0 2 2 = 2 p, q, r M (p q) r = p (q r)

(M, ) bersifat ketertutupan dan assosiatif

c. G bersifat distributif operasi () terhadap operasi (+). i. Distributif kiri p (q + r) = (p q) + (p r) 1 (2 + 3) = (1 2) + (1 3) (1 2) + (1 3) = (1 2) + (1 3) 2 + 3 = 2 + 3 0 = 0 ii. Distributif kanan (p + q) r = (p r) + (q r) (1 + 2) 3 = (1 3) + (2 3) (1 + 2) 3 = (1 + 2) 3 3 3 = 3 3 4 = 4

M bersifat distributif operasi perkalian () terhadap operasi penjumlahan (+) d. (M, +,) grup komutatif? 1 2 = 2 1

2 = 2 1 4 = 4 1 4 = 4 2 3 = 3 2 1 = 1

a, b M a b = b a (M, +,) grup komutatif

e. (M, +,) ring elemen satuan? e M, e = 1, karena a 1 = 1 a = a e M a M a e = e a = a

(M, +,) ring elemen satuan

(M, +,) ring komutatif dengan elemen satuan

3. Diketahui G = {a + bi a, b Bilangan bulat}. Apakah (G, +, ) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan? Penyelesaian: G = {a + bi a, b Bilangan bulat, i = 1}. Misal: p = a + bi Bilangan bulat q = a + bi Bilangan bulat r = a + bi Bilangan bulat

a. (G, +) merupakan grup abelian ? i. Sifat ketertutupan operasi (+) p + q = (a + bi) + (a + bi)

= (a + a) + i (b + b) G p, q G p + q = q + p G

ii. Sifat assosiatif operasi (+) (p + q) + r = p + (q + r) ((a + bi) + (a + bi)) + (a + bi) = (a + bi) + ((a + bi) +(a + bi)) (a + a) + i (b + b)+ (a + bi) = (a + bi) + (a + a) +i (b + b) (a + a + a) + i (b + b + b) = (a + a + a) + i (b + b + b) p, q, r G (p + q) + r = p + (q + r)

iii. Sifat identitas operasi (+) z = 0, karena p + 0 = 0 + p = p (a + bi) + 0 = 0 + (a + bi) = (a + bi) z G p G p + z = z + p = p

iv. Sifat invers operasi (+) p + p = p + p = 0 (a + bi) + ((a + bi) ) = ((a + bi) ) + (a + bi) ) = 0 p G p G p + p = p + p = z

v. Sifat Komutatif operasi (+) p + q = q + p (a + bi) + (a + bi) = (a + bi) + (a + bi) (a + a) + i (b + b) = (a + a) + i (b + b) p, q G p + q = q + p

Karena semua sifat telah dipenuhi, maka (G, +) merupakan grup abelian.

b. (G, ) bersifat ketertutupan dan assosiatif? i. Sifat ketertutupan operasi () p q = (a + bi) (a + bi) = (a a) + (abi) + (abi) + i (b b)

= (a a) + i((ab) + (ab)) (b b) p, q G p q = q p G

ii. Sifat assosiatif operasi () (p q) r = p (q r) ((a + bi) (a + bi)) (a + bi) = (a + bi) ((a + bi) (a + bi)) ((aa) + (abi) + (abi) + i (b b)) (a + bi) = (a + bi)

((a a) + (abi) + (abi) + i (b b)) (aa) + i((ab) + (ab)) (bb) (a + bi) = (a + bi) (a a) + i((ab) + (ab) (b b)) a((aa) + i((ab) + (ab)) (bb)) + bi((aa) + i((ab) +(ab)) (bb)) = a((a a) + i((ab) + (ab) (b b)) aaa + aabi + aabi abb + aabi abb abb bbbi = aaa + aabi + aabi abb + aabi abb abb bbbi p, q, r G (p q) r = p (q r)

(G, ) bersifat ketertutupan dan assosiatif

c. G bersifat distributif operasi perkalian () terhadap operasi penjumlahan (+) ? i. Pembuktian dari kiri p (q + r) = (p q) + (p r) (a + bi) ((a + bi) + (a + bi)) = ((a + bi) (a + bi)) +((a + bi) (a + bi)) (a + bi) ((a + a) + i(b + b)) = (aa) + (abi) + (abi) +i(bb) + (aa) + (abi) + (abi) + i(bb) a(a + a) + ai(b + b)) + bi(a + a) + bi(b + b) = (aa) +(aa) + i((ab) + (ab) + (ab) + (ab)) + i((bb) + i(bb) a(a + a) + ai(b + b)) + bi(a + a) + bi(b + b) =a(a + a) + ai(b + b)) + bi(a + a) + bi(b + b) a(a + a) + ai(b + b)) + bi(a + a) b(b + b) =a(a + a) + ai(b + b)) + bi(a + a) b(b + b) a((a + a) + i(b + b)) + b(i(a + a) (b + b)) = a((a +a) + i(b + b)) + b(i(a + a) (b + b))

ii. Pembuktian dari kanan (p + q) r = (p r) + (q r) ((a + bi) + (a + bi)) (a + bi) = ((a + bi) (a + bi)) +((a + bi) (a + bi)) ((a + a) + i(b + b)) (a + bi) = ((aa) + (abi) + (abi) +(bb)i) + ((aa) + (abi) + (abi) + (bb)i) a(a + a ) + ai(b + b) + bi(a + a) + bi(b + b) = (aa) +(aa) + i(ab) + (ab) + (ab + (ab)) + i((bb) + (bb)) a(a + a ) + ai(b + b) + bi(a + a) + bi(b + b) =a(a + a ) + ai(b + b) + bi(a + a)) + bi(b + b) a(a + a ) + i(b + b) + bi(a + a) b(b + b) =

a(a + a ) + i(b + b) + bi(a + a) b(b + b) a(a + a ) + i(b + b) + b(i(a + a) (b + b)) =a(a + a ) + i(b + b) + b(i(a + a) (b + b))

G bersifat distributif operasi perkalian () terhadap operasi penjumlahan (+)

d. (G, +,) ring komutatif? p q = q p (a + bi) (a + bi) = (a + bi) (a + bi) (a a) + i (b b) = (a a) + i (b b) (a a) (b b) = (a a) (b b) p, q G p q = q p

(G, +,) ring komutatif

e. (G, +,) ring elemen satuan? e = 1, karena p 1 = 1 p = p (a + bi) 1 = 1 (a + bi) = (a + bi) e G p G p e = e p = p (G, +,) ring elemen satuan

(G, +,) ring komutatif dengan elemen satuan

4. Diketahui B = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, }. Operasi (#) dan (*) pada B didefinisikan oleh: a, b B a#b = a + b 1 dan a b = a + b ab. Apakah (B, #, *) merupakan ring kumulatif dengan elemen satuan? Penyelesaian: Misal : a, b, c B Akan dibuktikan:

a. (B, #) merupakan grup abelian? i. Sifat ketertutupan operasi (#) a # b = a + b 1 B

r, s B r # s B ii. Sifat asosiatif operasi (#) (a # b)# c = a # (b # c) (a + b 1) # c = a # (b + c 1) a + b + c 2 = a + b + c 2

r, s, t B (r # s) # t = r # (s # t) iii. Sifat identitas operasi (#) a # z = z # a a + z 1 = z + a 1 maka z = 1 B

z B, r B r # z = z # r = r iv. Sifat invers operasi (#) a # a = a # a = z

Bukti : 2 = 2 karena 2 # 0= 0 # 2=1 r B, r B r# r = r # r = z

v. Sifat komutatif operasi (#) a # b = b # a a + b 1 = a + b 1 r, s B r # s = s # r

Jadi, (G, #) merupakan grup abelian. b. (B,) merupakan monoid?

i. Sifat ketertutupan operasi (*) a b = a + b ab B r, s B r s B

ii. Sifat asosiatif operasi (*) (a b) c = a (b c) (a + b ab) c = a (b + c bc) a + b ab c(a + b ab) = a + b bc + c a(b + c bc) ,a + b + c ab ac bc + abc = a + b + c ab ac bc + abc r, s, t B (r s) t = r (s t)

iii. Sifat identitas operasi (*) a e = e a = a a + e ae = e + a ae = a maka e = 0 B e B, r B r e = e r = r

c. Sifat komutatif operasi (*) a b = b a a + b ab = b + a ba r, s B r s = s r

d. Sifat distributif operasi (*) terhadap operasi (#) a (b # c) = (a b) # (a c) a (b + c 1) = (a + b ab) # (a + c ac) a + b + c 1 a(b + c 1) = (a + b ab) + (a + c ac) 1 2a + b + c ab ac 1 = 2a + b + c ab ac 1

(a #b) c = (a c) # (b c) (a + b 1) c = (a + c ac) # (b + c bc) a + b + c 1 c(a + b 1) = (a + c ac) + (b + c bc) 1

a + b + 2c cb ac 1 = a + b + 2c ac bc 1 terbukti memenuhi sifat distributif operasi (*) terhadap operasi (#)

Karena semua sifat terpenuhi maka (G, #,) merupakan Ring Komutatif dengan elemen satuan.

5. M = a bc d a, b, c, d Bilangan bulat. Apakah (M, +, ) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan? Penyelesaian: Misalkan p, q, r M dengan : p = a1 b1c1 d1 , a1, b1, c1, d1 bilangan bulat q = a2 b2c2 d2 , a2, b2, c2, d2 bilangan bulat r = a3 b3c3 d3 , a3, b3, c3, d3 bilangan bulat (M, +,) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan? a. (M, +) grup abelian?

i. Sifat ketertutupan operasi (+) p + q = a1 b1c1 d1 + a2 b2c2 d2 = a1 + a2 b1 + b2c1 + c2 d1 + d2 M

p, q M p + q = q + p M ii. Sifat assosiatif operasi (+)

a1 b1c1 d1 + a2 b2c2 d2+ a3 b3c3 d3 = a1 b1c1 d1 + a2 b2c2 d2 +a3 b3c3 d3

a1 + a2 b1 + b2c1 + c2 d1 + d2 + a3 b3c3 d3 = a1 b1c1 d1 + a2 + a3 b2 + b3c2 + c3 d2 + d3 a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3c1 + c2 + c3 d1 + d2 + b3 = a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3c1 + c2 + c3 d1 + d2 + b3 p, q, r M (p + q) + r = p + (q + r)

iii. Sifat identitas operasi (+) z = 0, karena p + 0 = 0 + p = p a1 b1c1 d1+ 0 = 0 + a1 b1c1 d1 = a1 b1c1 d1 z M p M p + z = z + p = p

iv. Sifat invers operasi (+) p + p = p + p = z

a1 b1c1 d1+ a1 b1c1 d1 = a1 b1c1 d1+ a1 b1c1 d1) = 0 p M p M p + p = p + p = z

v. Sifat Komutatif operasi (+) p + q = q + p a1 b1c1 d1+ a2 b2c2 d2 = a2 b2c2 d2 + a1 b1c1 d1 a1 + a2 b1 + b2c1 + c2 d1 + d2 = a2 + a1 b2 + b1c2 + c1 d2 + d1 p, q M p + q = q + p

Maka, (M, +) merupakan grup abelian.

b. (M, ) merupkan semi grup? i) Sifat ketertutupan operasi () p q = a1 b1c1 d1 a2 b2c2 d2 = a1a2 + b1c2 a1b2 + b1d2c1a2 + d1c2 d1b2 + d1d2 M

p, q M p q = q p M ii) Sifat assosiatif operasi ()

(p q) r = p (q r) a1 b1c1 d1 a2 b2c2 d2 a3 b3c3 d3 = a1 b1c1 d1 a2 b2c2 d2 a3 b3c3 d3 a1a2 + b1c2 a1b2 + b1d2c1a2 + d1c2 d1b2 + d1d2 a3 b3c3 d3 =

a1 b1c1 d1 a2a3 + b2c3 a2b3 + b2d3c2a3 + d2c3 d2b3 + d2d3 a1a2a3 + b1c2a3 + a1b2c3 + b1d2c3 a1a2b3 + b1c2b3 + a1b2b3 + b1d2d3c1a2a3 + d1c2a3 + d1b2c3 + d1d2c3 c1a2b3 + d1c2b3 + d1b2d3 + d1d2d3 =

a1a2a3 + b1c2a3 + a1b2c3 + b1d2c3 a1a2b3 + b1c2b3 + a1b2b3 + b1d2d3c1a2a3 + d1c2a3 + d1b2c3 + d1d2c3 c1a2b3 + d1c2b3 + d1b2d3 + d1d2d3 p, q, r M (p q) r = p (q r)

Maka, (M, ) merupakan semi grup.

c. M bersifat distributif operasi perkalian () terhadap operasi penjumlahan (+) ? i) p (q + r) = (p q) + (p r)

a1 b1c1 d1 a2 b2c2 d2 + a3 b3c3 d3 = a1 b1c1 d1 a2 b2c2 d2 +a1 b1c1 d1 a3 b3c3 d3

a1 b1c1 d1 a2 b2c2 d2 + a1 b1c1 d1 a3 b3c3 d3 = a1 b1c1 d1 a2 b2c2 d2 + a1 b1c1 d1 a3 b3c3 d3

a1a2 + b1c2 a1b2 + b1d2c1a2 + d1c2 c1b2 + d1d2+ a1a3 + b1c3 a1b3 + b1d3c1a3 + d1c3 c1b3 + d1d3 = a1a2 + b1c2 a1b2 + b1d2c1a2 + d1c2 c1b2 + d1d2+ a1a3 + b1c3 a1b3 + b1d3c1a3 + d1c3 c1b3 + d1d3

a1a2 + b1c2 + a1a3 + b1c3 a1b2 + b1d2 + a1b3 + b1d3c1a2 + d1c2 + c1a3 + d1c3 c1b2 + d1d2 + c1b3 + d1d3 =a1a2 + b1c2 + a1a3 + b1c3 a1b2 + b1d2 + a1b3 + b1d3c1a2 + d1c2 + c1a3 + d1c3 c1b2 + d1d2 + c1b3 + d1d3

ii) (p + q) r = (p r) + (q r) a1 b1c1 d1 + a2 b2c2 d2 a3 b3c3 d3 = a1 b1c1 d1 a3 b3c3 d3 +

a2 b2c2 d2 a3 b3c3 d3 a1 b1c1 d1 + a2 b2c2 d2 a3 b3c3 d3 = a1 b1c1 d1+ a2 b2c2 d2

a3 b3c3 d3 a1 + a2 b1 + b2c1 + c2 d1 + d2 a3 b3c3 d3 = a1 + a2 b1 + b2c1 + c2 d1 + d2 a3 b3c3 d3 a1a3 + a2a3 + b1c3 + b2c3 a1b3 + a2b3 + b1d3 + b2d3c1a3 + c2a3 + d1c3 + d2c3 c1b3 + c2d3 + d1d3 + d2d3 =

a1a3 + a2a3 + b1c3 + b2c3 a1b3 + a2b3 + b1d3 + b2d3c1a3 + c2a3 + d1c3 + d2c3 c1b3 + c2d3 + d1d3 + d2d3 Maka, M bersifat distributif operasi perkalian () terhadap operasi penjumlahan (+).

d. (M, +,) ring komutatif? p q = q p a1 b1c1 d1 a2 b2c2 d2 = a2 b2c2 d2 a1 b1c1 d1

a1a2 + b1c2 a1b2 + b1d2c1a2 + d1c2 d1b2 + d1d2 = a2a1 + b2c1 a2b1 + b2d1c2a1 + d2c1 d2b1 + d2d1 Menurut aturan operasi perkalian dua buah matriks tidak memenuhi sifat komutatif p, q M p q = q p (M, +,) bukan ring komutatif

e. (G, +,) ring elemen satuan? e = 1 00 1 , karena p 1 00 1 = 1 00 1 p = p

a1 b1c1 d1 1 00 1 = 1 00 1 a1 b1c1 d1 = a1 b1c1 d1 e G p G p e = e p = p

(G, +,) ring elemen satuan (G, +,) ring elemen satuan tidak komutatif

6. Buktikan teorema pada sifat-sifat ring! a. a. 0 = 0. a = 0 b. (a) = a dan (a + b) = (a) + (b) c. a. (b) = (a). b = (a. b) d. (a). (b) = a. b e. a. b c = a. b a. c dan (b c). a = b. a c. a

Penyelesaian a. a .0 = 0 . a = 0

Bukti: a . 0 = a (0 + 0) [ sifat unsur 0 di R ] a . 0 = a . 0 + a . 0 [ sifat distribusi kanan ] 0 + a . 0 = a . 0 + a . 0 [ sifat unsur 0 di R ] a . 0 = 0 [ karena R grup terhadap +, maka a0 di R, tambahkan kedua ruas dengan a0 ]

Dengan cara sama, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, dengan menggunakan sifat distribusi kiri, diperoleh 0a = 0. 0 . a = 0 (a + a) [ sifat unsur 0 di R ] 0 . a = 0 . a + 0 . a [ sifat distribusi kiri ] a . 0 + 0 = 0 . a + 0. a [ sifat unsur 0 di R ] 0 . a = 0 [ karena R grup terhadap +, maka a0 di R, tambahkan

kedua ruas dengan a0 ] Terbukti bahwa a .0 = 0 . a = 0

b. (a) = a dan (a + b) = (a) + (b) Bukti: (a) = a (a) + (a) = 0 (a) + (a) + a = 0 + a (a) + (a + a) = a (a) + 0 = a (a) = a (a) = a Persamaan a + (a) = a + a = 0 menunjukkan bahwa a merupakan anggota tunggal yang bila ditambah dengan (-a) sama dengan 0.

Oleh karena itu, a merupakan invers dari -a terhadap penjumlahan dan disimbolkan dengan (a) = a. dan, (a + b) = (a) + (b) (a + b) + ((a + b)) = 0 (b) + (a + b) + ((a + b)) = (b) + 0 a + ((b) + b) + ((a + b)) = (b) (a + b) = (a) + (b) -(a + b) = (-a) + (-b)

c. a . (b) = (a). b = (a . b) Bukti: Karena a . (b) + a . b = a (b + b) = 0. [sifat distribusi kanan]

Dengan symbol : a. (b) = (a . b). Dengan cara yang sama diperoleh (a). b = (a . b)

Karena (a). b + a . b = (a + a). b = 0. [sifat distribusi kiri] Dengan symbol : (a). b = (a . b).

Terbukti bahwa a . (b) = (a). b = (a . b)

d. ( a)(b) = a . b Bukti: (a)(b) = (a . (b) ) [menurut bagian (c)] = ((a . b)) [menurut bagian (c)] = a . b

Terbukti bahwa( a)(b) = a . b e. a . (b c) = a . b a.c dan (b c) . a = b . a c . a

Bukti: a . b c = a . [b + (c)] [definisi operasi pengurangan] = a . b + a . (c) [sifat distribusi kiri] = a . b + (a . c) [menurut bagian (c)] = a . b a . c [definisi operasi pengurangan]

(b c) . a = [b + (c)] . a [definisi operasi pengurangan]

= b. a + (c). a [sifat distribusi kanan] = b. a c. a [definisi operasi pengurangan]

Terbukti bahwa a . (b c) = a . b a.c dan (b c) . a = b . a c . a