Matriks(b x b) (b x l)

Ms Mt

det = 0 det 0p(M) < b

p(M) = b p(M) < b ; b < l

Mu M-1

U m u m

Matriks Ajugat atau Cara Penyapuan

Mu

K h a s U m u m

KEBALIKAN

Pengolahan secara umum :

Perhatikan dimensi matriks yang akan diolah

Hitung determinan matriksnya.

c. PenyapuanPenyelesaian : a. Algoritma; b. Minor-Kofaktor;

Tentukan matriks kebalikannyaPenyelesaian : a. Matriks Ajugat; b. Penyapuan

Bila determinannya tidak samadengan nol, maka kebalikan matriks bersifat khas (hanya mempunyai 1 kebalikan matriks)

Bila determinannya samadengan nol, maka kebalikan matriks bersifat umum/tak khas (mempunyai 2 atau lebih kebalikan matriks)

KEBALIKAN KHAS• Matriks Ajugat

M-1 = . K’

1

| M |

Mb = ( mij)b

K = (aij)bK’ = (aji)b

• Cara Penyapuan

mengubah suatu matriks tidak singular menjadi

bentuk kanonik

Pengolahan baris dan barisPengolahan baris dan lajur

CL KM01 SL KM01

1. Diketahui suatu matriks segi M berdimensi (3 x 3) sbb :

M = 2 1 21 3 42 4 6

Tentukan kebalikan matriks M dengan cara :

a. Matriks ajugat

b. Penyapuan

JCL KM01-1A : M = 2 1 21 3 42 4 6

Penyelesaian (matriks ajugat) :

Hitung determinannya | M | = 2

Menentukan matriks kanoniknya :

K = 2 2 -2 2 8 -6-2 -6 5

K’ = 2 2 -2 2 8 -6-2 -6 5

M-1 = ½ = 2 2 -2 2 8 -6-2 -6 5

1 1 -1 1 4 -3-1 -3 5/2

Pengolahan baris dan baris

arahkan matriks M menjadi matriks segitiga atas atau segitiga bawah

E3.2(-1)

E1.3(-

1)E2.3(-

2)

2 1 2 1 0 01 3 4 0 1 02 4 6 0 0 1

2 1 2 1 0 0 1 3 4 0 1 0 1 1 2 0 -1 1

1 0 0 1 1 -1-1 1 0 0 3 -2 1 1 2 0 -1 1

JCL KM01-1B :

arahkan matriks segitiga bawah menjadi matriks identitas

E2.1(1)

E3.1(-1) E3(1/2)

E3.2(-1)

M-1 =

1 0 0 1 1 -1 0 1 0 1 4 -3 0 0 1 -1 -3 5/2

1 0 0 1 1 -1 0 1 0 1 4 -3 0 1 2 -1 -2 2

1 1 -1 1 4 -3-1 -3 5/2

Pengolahan baris dan lajur

arahkan matriks M menjadi matriks

segitiga atas atau segitiga bawah

E3.1(-1) E1.2(-1)

E1.3(1)

E2.3(-1)

E1.2(-1)

1 0 0 2 1 20 1 0 1 3 40 0 1 2 4 6

1 0 0 2 1 2 0 1 0 1 3 4-1 0 1 0 3 4

0 -1 1 1 1 2 1 1 -1 1 0 0-1 0 1 0 3 4

1 -1 0 1 -2 -2 0 1 0 1 3 4-1 0 1 0 3 4

Pengolahan baris :

R-1 R-1 M

• arahkan matriks R-1 M menjadi bentuk matriks kanonik = I

E3.1(-3)

E1.2

-1 -2 2 0 1 2 1 1 -1 1 0 0-1 0 1 0 3 4

-1 -2 2 0 1 2 1 1 -1 1 0 0 2 6 -5 0 0 -2

1 1 -1 1 0 0-1 -2 2 0 1 2 2 6 -5 0 0 -2

M-1 = S-1.R-1

Pengolahan lajur :

F3(-1/2) F3.2(1)

S-1

I 1 0 0 0 1 -1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 -1/2

1 0 0 0 1 2 0 0 -2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1 0 0 -1/2

= = 1 0 0 1 1 -1 0 1 1 -1 -2 2 0 0 -1/2 2 6 -5

1 1 -1 1 4 -3-1 -3 5/2

KEBALIKAN UMUM

Matriks segi dengan determinan = 0

Matriks tidak segi ( brs ljr )

Cari anak-matriks yang segidengan determinan 0

Tahapan menentukan KU

b. unsur2 di luar anak matriks Q diganti dengan nol

1. Pilih 1 (satu) anak matriks yang tidak singular dari matriks M dan katakan anak matriks tsb adalah Q

2. Tenntukan kebalikan Q yaitu Q-1; kemudian putar menjadi (Q-1)’

3. Penggantian unsur-unsur matriks M :

a. unsur2 dalam anak matriks Q diganti dengan unsur2 matriks kebalikannya yaitu (Q-1)’

4. Putar matriks M setelah unsur2nya diganti; hasilnya merup. kebalikan umum dari matriks M yaitu Mu

CL KM02 SL KM02

1. Tentukan kebalikan matriks berikut dengan cara matriks ajugat.

M = 5 4 12 1 14 3 1

M =

2 4 6 3 -1 -5

a. Matriks

b. Matriks

KU Matriks Segi

M =

Det M = 0Det Q = 2

Q =

KQ =

q11 = (-1)2 (3)

q12 = (-1)3 (1)

q21 = (-1)3 (4)

q22 = (-1)4 (2)

5 4 1

2 1 1

4 3 1

2 1

4 3

q11 q12

q21 q22

JCL KM02-1A :

KQ =

K’Q =

Q-1 =

(Q-1)’ =

(Mu)’ =

Mu =

3 -4

-1 2 3 -1

-4 2

1/2 3 -1

-4 2 3/2 -2

-1/2 1

0 0 0

3/2 -2 0

-1/2 1 0

0 3/2 -1/2

0 -2 1

0 0 0

KU Matriks TidakSegi

q11 = (-1)2 (-5)

q12 = (-1)3 (6)

q21 = (-1)3 (-1)

q22 = (-1)4 (4)

KQ =Det Q = -14

Q =

M = 2 4 6 3 -1 -5

4 6-1 -5

q11 q12

q21 q22

JCL KM02-1B :

Q-1 =

(Q-1)’ =

(Mu)’ =

Mu =

K’Q =

KQ =

-5 1-6 4

-5 -6 1 4

-5 -6 1 4

0 5/14 -1/14

0 6/14 -4/14

0 0

5/14 6

-1/14 -4/14

-1/14

5/14 -1/14

6/14 -4/14