신뢰도기반 설계기준의 기본이론 및

설계일반

Basic Theory of Reliability and Reliability-Based Design Code

서울대학교 교량설계핵심기술연구단은 2003년도 건설교통부 건설기술혁신사업의 일환으로 건설교통부와 한국건설교통기술평가원의 연구단 운영지침에 의거하여 주관연구기관인 서울대학교내에

2004년 3월 공식 발족되어 그 활동을 시작하였습니다. 전국 35개 대학과 26개 기업체, 그리고 협

동연구기관인 한국도로공사와 한국건설기술연구원에서 총 400여명의 연구 인력이 참여하고 있습니

다.

우리 연구단에서는 이 연구 사업이 완료된 후 일정기간의 적용과 국내 산업체에의 기술 확산을

거쳐 국내 교량 해석 및 설계 기술 수준이 명실 공히 세계 10위권에 진입하도록 하고 지속적인 연

구를 통하여 미래 세계 4강으로 갈 수 있도록 그 기반을 확고히 조성하는 것을 비전으로 제시하고

있습니다. 이 비전의 실현을 위하여 국제적 수준의 교량정밀해석기술 정립, 교량설계기술 선진화

및 실용화, 국제기준체제에 적합한 교량설계기준 개발, 특정분야에서 세계 선도기술 창출, IT등 첨

단기술을 융합한 교량설계기술 혁신 등 5개의 전략적 목표를 설정하고 이를 위한 5개년 기술개발

지도를 작성하여 국내 교량 설계 기술을 세계 4대 건설기술국으로 진입하기 위한 기반을 조성하고

자 합니다.

교량설계핵심기술연구단 기술총서(技術叢書)는 우리 연구단이 달성한 우수 기술 성과를 널리 보급하고자 제작되었습니다. 연구단의 연차 보고서와는 별도로 단일 연구 주제에 대하여 심도 있고

완전한 내용을 담는 것을 목표로 하고 있습니다. 이 기술총서는 연구단의 기술 심의 및 편집위원회

의 심의를 거쳐 제작되었으며, 관련 분야의 최신 기술을 담아내고자 노력하였습니다.

이 기술총서는 우리 연구단의 협동연구기관과 참여 기업에 무료로 배포되며, 비참여기관이나

개인에게는 유료로 보급하고 있습니다.

2007년 7월

교량설계핵심기술연구단

Korea Bridge Design & Engineering Research Center

http://www.kbrc.re.kr

KBRC TRS 001

신뢰도기반 설계기준의 기본이론 및

설계일반

Basic Theory of Reliability and Reliability-Based Design Code

황 의 승

백 인 열

건설교통부 건설기술혁신사업

서울대학교 교량설계핵심기술연구단 기술총서

KBRC TRS 001

2006년 06월 초 판 발행

2007년 07월 초 판 제2쇄 발행

ISBN 89-89793-32-7 93540

ⓒ2006 교량설계핵심기술연구단

교량설계핵심기술연구단 기술총서 구입 문의

151-742

서울특별시 관악구 신림동 산56-1

서울대학교 공과대학 37동 115호

교량설계핵심기술연구단

전화: 02-880-9083~4

Fax: 02-884-8339

e-mail : kbrc@snu.ac.kr

http://www.kbrc.re.kr

저 자 황 의 승 서울대학교 대학원 토목공학과 (공학석사)

미국 University of Michigan (공학박사)

한국건설기술연구원 구조연구실 선임연구원 (전)

경희대학교 토목건축대학 교수 (현)

email : eshwang@khu.ac.kr

백 인 열 서울대학교 토목공학과 (공학석사)

미국 University of Texas, Austin (공학박사)

경원대학교 토목환경공학과 부교수 (현)

email : pinyeol@kyungwon.ac.kr

서 문 본 서는 신뢰도(reliability)의 기본개념 및 이론과 실제 신뢰도해석에 적용할

수 있는 여러 가지 방법을 수록하고 있다. 또한 국내 실교량의 신뢰도 해석

결과 및 신뢰도 기반 설계기준의 개발과정을 수록하였다. 신뢰도 이론은 확

률 및 통계의 기본이론을 바탕으로 구조물의 계획, 설계, 시공 및 유지관리

시에 발생하는 불확실성(uncertainty)을 객관적인 방법으로 고려함으로써 합

리적인 구조물의 신뢰도 또는 안전도를 확보하고자 개발된 이론이다. 신뢰

도이론은 구조물의 설계뿐만 아니라 설계기준의 개발, 최적화, 기존 구조물

의 평가 및 유지관리 등 다양한 분야에서 활용될 수 있다. 이미 많은 전 세

계의 설계기준들이 신뢰도 기반 설계기준으로 변환되었으며 우리나라에서

도 교량설계핵심기술연구단의 연구결과를 중심으로 조만간 신뢰도기반 설

계기준이 도입될 예정이다. 본 서는 본격적인 신뢰도기반 설계기준의 적용

에 앞서 설계 종사자를 비롯한 실무자들이 기본적인 신뢰도 이론의 기본

개념의 이해를 돕고자 집필되었다.

1장에서는 신뢰도의 개요 및 기본개념에 대해 설명하였다. 신뢰도이론의 개

발 연혁이 기술되었으며, 신뢰도 및 안전도의 정의, 위험도와 불확실성, 확

률변수에 대한 기본개념 등이 기술되어 있다. 신뢰도이론은 기본적으로 확

률의 이론에서부터 출발하였으므로 신뢰도의 여러 이론들을 이해하기 위해

서는 집합이론을 비롯한 확률이론에 대한 전반적인 이해가 필수적이다. 본

서에서는 확률의 여러 이론에 대해서는 생략하였으나 이미 많은 문헌 및

서적이 있으므로 이를 참고바란다.

2장에서는 신뢰도해석의 여러 이론에 대해 설명하였다. 먼저 확률변수와 한

계상태함수에 대해 정의하였으며 신뢰도해석의 4단계에 대하여 기술되었다.

또한 기본적인 확률분포함수 및 누적분포함수와 가장 대표적인 확률분포인

정규분포에 대하여 설명하였다. 신뢰도를 나타내는 값에는 크게 신뢰도지수

와 파괴확률이 있다. 가장 간단한 한계상태함수에 대한 신뢰도지수의 계산

에서부터 시작하여 한계상태함수가 여러 변수의 선형의 경우, 한계상태함수

가 비선형인 경우의 신뢰도지수의 계산방법에 기술하였다. 또한 현재 주로

사용되고 있는 일계이차신뢰도지수인 Hasofer-Lind 신뢰도지수 및

Rackwitz-Fiessler방법에 대하여 설명하였다. 신뢰도해석의 또 다른 방법으로

Monte-Carlo모의해석에 의한 방법이 있다. 이 방법은 explicit한 한계상태함

수가 정의되어 있지 않은 경우 사용하는 방법으로 무작위수를 이용한 모의

해석기법이다. 마지막 절에서 체계신뢰도지수의 기본이론 및 개발된 이론에

대하여 설명하였다. 위에서 계산한 신뢰도는 부재 또는 요소의 신뢰도를 구

한 것으로 실제 구조물은 여러 부재가 결합된 하나의 시스템이므로 구조물

의 신뢰도를 구하기 위해서는 체계신뢰도(system reliability)를 구하여야 한

다. 본 절에서는 체계신뢰도를 구하기 위한 부재의 연성, 취성 상태 및 연

결 상태에 따른 체계신뢰도의 계산 및 신뢰도 구간의 계산에 대해 설명하

였다.

3장에서는 신뢰도기반 설계기준의 개발과정 및 하중저항계수설계법의 보정

(calibration)에 대하여 설명하였다. 일계이차신뢰도지수 계산에 근거한 1단

계 신뢰도기반 설계기준인 하중저항계수설계법(Load and Resistance Factor

Design)의 하중계수와 저항계수 산정에 대하여 설명하였으며 AASHTO

LRFD교량설계기준의 예를 제시하였다.

4장에서는 2장에서 설명한 신뢰도의 해석 방법에 의한 국내 실교량의 신뢰

도 분석을 실시하였으며 그 결과를 정리하였다. 교량은 프리스트레스트콘크

리트 거더교, 철근콘크리트 라멘교, 강합성 플레이트거더교 등을 포함하고

있다. 휨모멘트 및 전단력에 대한 한계상태함수를 정의하고 국내 실교량의

신뢰도지수를 계산하였다.

부록에서는 2장에서 설명된 신뢰도해석의 여러 방법에 대한 이해를 돕기

위해 계산 예제를 수록하였다. 총 9개의 예제가 수록되었으며 2장의 본문에

서 해당하는 예제를 기술하였다.

본 저자들의 집필과정에서 많은 노력을 하였음에도 짧은 준비 기간 및 지

면 제약 등으로 신뢰도 이론에 대한 충분한 설명과 해설이 되어 있지 않은

부분도 있다. 이 점 독자들의 많은 이해를 바라며 본 서의 집필에 있어 많

은 도움을 준 여러분들께 감사드린다. 본 서의 집필을 독려해 주신 교량설

계핵심기술연구단의 고현무 단장님과 이해성 부단장님께 감사드리며, 실교

량의 신뢰도해석에 많은 자료를 주신 명지대학교의 신동구 교수님께도 감

사드린다. 실무 설계에 조언을 아끼지 않으신 변형균박사님, 조경식박사님

과 설계자료 수집을 도와준 김은영군, 유현승군에게 감사드린다. 또한 편집

과 예제풀이를 도와준 경희대학교와 경원대학교의 대학원 학생들, 이정재군,

진재헌군, 조재학군, 김기준군, 상희정양에게 고마움을 전한다. 그들의 도움

없이는 본 서의 발간이 어려웠을 것이다. 마지막으로 본 저자들이 신뢰도이

론 및 해석의 분야로 처음 입문할 당시 많은 가르침을 주신 미국 Michigan

대학의 Andrzej S. Nowak교수(현 미국 Nebraska대 교수)께 감사드린다.

ix

목 차

1. 서언 ······································································································································ 1

1.1 개요 ······················································· ······························································· ·········· 1

1.2 기본개념 ····················································· ······························································· ···· 2

2. 신뢰도 이론 ························································································································ 5

2.1 개요 ······················································· ······························································· ·········· 5

2.2 확률변수와 한계상태함수 ············································· ············································· 6

2.2.1 확률변수 ················································· ······························································· · 6

2.2.2 한계상태함수와 파괴확률 ········································· ········································ 10

2.3 신뢰도지수 ···················································· ······························································ 13

2.4 Hasofer-Lind의 신뢰도지수 ····················································································· 17

2.5 Rackwitz-Fiessler의 방법 ···································· ····················································· 23

2.6 상관관계가 있는 확률변수의 신뢰도지수 ····································· ······················· 24

2.7 모의해석방법 ·················································· ·························································· 25

2.8 체계신뢰도 ···················································· ······························································ 27

2.8.1 구조부재의 종류 ············································· ···················································· 27

2.8.2 직렬과 병렬시스템 ············································ ················································· 28

2.8.3 구조시스템의 신뢰도 구간 ········································ ······································· 30

3. 확률에 기초한 설계기준 ································································································ 35

3.1 개요 ······················································· ······························································· ········ 35

3.2 하중저항계수설계법 ················································ ·················································· 35

3.2.1 하중 및 저항계수의 결정 ········································ ········································· 36

3.2.2 AASHTO LRFD 설계기준의 하중 및 저항계수 ·························· ·················· 37

4. 교량의 신뢰도 분석 ········································································································ 41

4.1 저항강도 통계자료 ················································ ···················································· 41

4.2 하중 통계자료 ·················································· ·························································· 47

4.3 PSC 거더교량의 신뢰도 ············································ ··············································· 49

4.3.1 단면강도의 통계적 특성 ········································· ·········································· 49

4.3.2 강도한계상태에 대한 신뢰도 분석 ···································· ····························· 56

4.3.3 사용한계상태에 대한 신뢰도 분석 ···································· ····························· 57

4.4 RC 라멘교량의 신뢰도 ············································· ················································ 62

x

4.5 강합성교량의 신뢰도 ··············································· ················································· 66

참고 문헌 ······························································································································· 71

부 록 ····································································································································· 75

예제 1 : 선형 한계상태함수의 신뢰도지수 ······································ ·························· 76

예제 2 : 평균점에서의 Taylor전개에 의한 신뢰도 지수 ········································· 78

예제 3 : Invariance Problem ························································································· 80

예제 4 : Hasofer-Lind 방법에 의한 신뢰도지수 ······················································· 82

예제 5 : Rackwictz-Fiessler 방법에 의한 신뢰도 지수 ············································ 85

예제 6 : 랜덤 변수 생성 방법 ··········································· ··········································· 87

예제 7 : Monte-Carlo Simulation에 의한 신뢰도 지수 ·········································· 92

예제 8 : 직렬시스템의 신뢰도 지수 ········································· ································· 100

예제 9 : 복합시스템의 신뢰도 ············································ ········································ 102

xi

표 목차

표 2.1 신뢰도지수와 파괴확률 ············································· ··········································· 16

표 3.1 하중의 통계적 특성 ·············································· ················································ 37

표 3.2 고려된 하중계수들 ··············································· ················································· 37

표 3.3 저항의 통계치 ················································· ······················································· 39

표 3.4 결정된 저항계수 ················································ ···················································· 39

표 3.5 AASHTO LRFD(2004)설계기중의 하중조합 및 하중계수 ···························· 40

표 4.1 콘크리트 압축강도 통계 특성치 ········································ ································ 42

표 4.2 철근 및 PS긴장재의 통계 특성치 ······································ ······························· 43

표 4.3 치수 통계치 및 전문성 계수(professional factor) ········································· 44

표 4.4 열간압연 강재의 재료 통계치 ············································································ 45

표 4.5 교량의 신뢰도 분석용 통계치 ············································································ 45

표 4.6 단면별 극한모멘트강도(x1010N․mm) 통계치 ·················································· 46

표 4.7 하중 분포 및 통계자료 ············································ ············································ 47

표 4.8 교량에 대한 고정하중 통계자료 ········································ ································ 48

표 4.9 다중차선 활하중계수 ·············································· ·············································· 48

표 4.10 3축 트럭 통계자료 ·············································· ················································· 48

표 4.11 5축 트럭 통계자료 ·············································· ················································· 48

표 4.12 모의해석에 의한 동적하중계수 ········································· ································· 48

표 4.13 풍하중과 지진하중 통계 자료 ············································································ 49

표 4.14 합성단면의 제원 ················································ ···················································· 50

표 4.15 단면력 집계표 ················································· ······················································· 51

표 4.16 기초 재료의 통계적 특성 ·········································· ········································ 53

표 4.17 단면의 공칭강도의 통계 결과 ············································································ 54

표 4.18 기초 재료의 통계적 특성 (Nowak 등, 2003) ················································· 55

표 4.19 단면의 공칭휨강도의 통계 결과 비교 ····································· ························· 56

표 4.20 고정하중에 대한 통계 데이터 ············································································ 57

표 4.21 재료의 통계 자료 ··············································· ··················································· 57

표 4.22 주요 설계 값 ················································· ························································· 59

표 4.23 활하중 모멘트에 대한 통계 데이터 ······································ ···························· 60

표 4.24 기초 통계자료 ················································· ······················································· 60

표 4.25 응력 계산 결과 ················································ ······················································ 61

표 4.26 Monte Carlo 방법을 이용한 사용한계상태의 신뢰도지수 예 ···················· 61

xii

표 4.27 신뢰도 지수 산정에 사용한 통계 데이터 ················································ 62

표 4.28 슬래브 및 벽체의 단면제원 ······································ ·································· 63

표 4.29 사용재료 물리 상수 ·········································· ············································ 67

표 4.30 지간별 단면설계 결과 ········································· ········································· 68

표 4.31 휨저항강도 및 작용 모멘트 (×100 N․mm) ············································· 68

표 4.32 확률변수의 통계 특성 ········································· ········································· 69

표 4.33 정모멘트부 휨파괴에 대한 신뢰도지수 ································· ··················· 69

표 예제 1.1 하중의 평균과 표준편차 ·········································· ···································· 76

표 예제 2.1 각 변수들의 통계값 ············································ ·········································· 78

표 예제 4.1 각 변수들의 평균과 표준편차 ······································· ····························· 82

표 예제 4.2 단계적 계산 결과 ············································· ············································· 84

표 예제 5.1 단계적 계산 결과 ············································· ············································· 86

표 예제 6.1 랜덤변수 조건 ··············································· ················································· 87

표 예제 6.2 정규분포 ·················································· ························································ 88

표 예제 6.3 생성된 랜덤변수의 평균과 표준편차 비교 ·············································· 88

표 예제 6.4 대수정규분포 랜덤변수 생성표 ······································· ··························· 89

표 예제 6.5 대수정규분포 변수의 생성 ········································· ································· 90

표 에제 6.6 대수정규분포 변수의 평균과 표준편차 비교 ·········································· 91

표 예제 7.1 저항강도와 하중의 평균, 변동계수, 표준편차 ······························ ·········· 92

표 예제 7.2 저항강도 ·················································· ························································ 94

표 예제 7.3 풍하중 ··················································· ··························································· 95

표 예제 7.4 고정하중 ·················································· ························································ 96

표 예제 7.5 활하중 ··················································· ··························································· 97

표 예제 7.6 전체하중 ················································· ······················································· 98

표 예제 7.7 평균, 분산, 표준편차 비교 ······································· ··································· 99

표 예제 7.8 신뢰도 지수와 파괴확률 비교 ······································· ····························· 99

표 예제 8.1 요소 수에 따른 직렬시스템의 파괴확률 ················································ 101

xiii

그림 목차

그림 2.1 확률변수와 표본공간 ············································· ············································· 7

그림 2.2 확률밀도함수 ················································· ······················································· 7

그림 2.3 누적분포함수 ················································ ······················································ 8

그림 2.4 정규분포의 확률밀도함수와 누적분포함수 ·································· ················ 9

그림 2.5 표준편차에 따른 정규분포의 확률밀도함수 ················································ 10

그림 2.6 변수의 공간 ················································· ······················································· 11

그림 2.7 변수의 공간과 확률밀도함수 ········································· ································· 11

그림 2.8 과 의 확률밀도함수 ············································· ············································· 13

그림 2.9 비선형의 한계상태함수 ············································ ········································ 13

그림 2.10 하중( ), 부재저항() 및 한계상태함수( )의 확률밀도함수 ···················· 14

그림 2.11 Reduced space에서의 한계상태함수 ································ ···························· 18

그림 2.12 파괴면상의 Design Point와 Taylor Series전개 ·········································· 22

그림 2.13 등분포수의 표준정규분포로의 변환 ······································ ························ 26

그림 2.14 취성 부재 ················································· ························································· 27

그림 2.15 연성 부재 ················································· ························································· 28

그림 2.16 직렬시스템의 예 (정정 트러스) ····································· ······························ 28

그림 2.17 직렬시스템의 모델링 ············································· ··········································· 28

그림 2.18 완전연성부재로 이루어진 병렬시스템 ····································· ····················· 29

그림 2.19 완전취성부재로 이루어진 병렬시스템 ····································· ····················· 29

그림 2.10 복합구조시스템 ················································ ·················································· 30

그림 2.21 체계신뢰도의 요약 ·············································· ·············································· 34

그림 3.1 AASHTO LRFD설계기준과 기존 AASHTO설계기준의 교량 신뢰도 비교

(Nowak, 2000) ······································· ······························································ 39

그림 4.1 PSC거더와 슬래브의 합성단면 ······································· ································ 49

그림 4.2 PSC 거더교의 단면도 ··········································· ············································ 50

그림 4.3 PSC 거더교의 측면도 ··········································· ············································ 50

그림 4.4 지간별 계수 휨 모멘트 ··········································· ········································· 52

그림 4.5 지간별 PS강재 면적 ············································ ············································· 52

그림 4.6 콘크리트 압축강도의 PDF(1980년 자료) ····················································· 53

그림 4.7 콘크리트 압축강도의 CDF(1980년 자료) ····················································· 53

그림 4.8 단면 공칭휨강도의 PDF(1980년 자료) ························································· 54

그림 4.9 단면 공칭휨강도의 CDF(1980년 자료) ························································· 54

xiv

그림 4.10 콘크리트 압축강도의 PDF(2003년 자료) ····················································· 55

그림 4.11 단면 공칭휨강도의 PDF(2003년 자료) ················································· 55

그림 4.12 민감도 곡선 ············································· ··················································· 56

그림 4.13 휨에 대한 PSC거더의 신뢰도 지수 ······················································· 57

그림 4.14 PSC 거더와 슬래브의 합성 단면 ································· ·························· 59

그림 4.15 슬래브 및 벽체 측면도 ······································· ····································· 63

그림 4.16 라멘의 모델링 ············································ ················································ 63

그림 4.17 라멘에 작용하는 활하중 ·········································································· 64

그림 4.18 라멘에 작용하는 고정하중 ······································································ 64

그림 4.19 라멘에 작용하는 토압 ········································ ······································ 64

그림 4.20 라멘교의 지간별 계수 휨 모멘트도 ································· ····················· 65

그림 4.21 라멘교의 지간별 철근량 ·········································································· 65

그림 4.22 라멘교의 지간별 철근비 ·········································································· 65

그림 4.23 라멘교의 신뢰도 지수 ········································ ······································ 66

그림 4.24 강플래이트 거더교 단면 ·········································································· 67

그림 4.25 소성모멘트하 합성단면 및 작용력 ·································· ······················ 67

그림 4.26 강플레이트 거더교의 휨에 대한 신뢰도지수 ······································ 70

그림 예제 1.1 등분포하중을 받는 단순지지보의 신뢰도 지수 ·································· 76

그림 예제 2.1 철근콘크리트 보의 신뢰도 지수 ····································· ······················· 78

그림 예제 3.1 단순지지 강거더의 신뢰도 지수 ····································· ······················· 80

그림 예제 4.1 3경간 연속보의 신뢰도 지수 ······································ ···························· 82

그림 예제 6.1 생성된 정규분포 랜덤변수의 확률밀도함수(PDF) 비교 ···················· 89

그림 예제 6.2 생성된 대수정규분포의 그래프 비교 ··································· ················· 91

그림 예제 7.1 저항강도와 총하중의 PDF 비교 ···································· ························· 99

그림 예제 8.1 직렬시스템 ··············································· ··············································· 100

그림 예제 8.2 직렬시스템의 확률밀도함수 ·································································· 100

그림 예제 9.1 복합시스템 ················································ ················································ 102

1

1. 서론

1.1 개요

교량이나 건물과 같은 여러 구조물의 계획, 설계, 시공 및 유지관리를 행함에 있어, 많은

인자 또는 요소들은 불확실성(uncertainty)을 갖고 있다. 불확실성이란 완전히 정해진 또

는 알려진 값을 갖고 있지 않다는 것을 의미한다. 예를 들어 교량에 작용하는 차량하중,

풍하중, 지진하중 등과 콘크리트의 압축강도, 철근의 인장강도, 강재의 항복응력, 부재의

길이 또는 지간 등등 거의 모든 값들에 대해 실제의 값들을 아는 것은 불가능하며, 실제의

값들은 설계시나 시공시에 사용되는 값, 즉 설계기준이나 시방서에 정의되어 있는 값들과

는 다르게 된다. 이러한 불확실성의 원인은 크게 두 가지, 자연적인 원인과 인위적인 원인

으로 구분될 수 있다. 자연적인 원인은 주로 하중이나 재료특성의 원인 등이고, 인위적인

원인은 설계시의 가정, 근사화, 계산오차, 인간의 실수 등이다.

이러한 불확실성에 근거하여 국가나 사회는 사회기반시설, 즉 교량이나 건물과 같은

구조물을 대해 합리적인 수준의 안전도를 기대하고 있다. 인간은 이미 과거의 경험으로부

터 불확실성의 존재를 인지하고 있었으므로 이러한 불확실성을 극복하기 위하여 많은 노력

을 하여왔다. 기원전 1750년 메소포타미아 지방에서 사용되었던 함무라비법전에서도 교량

이나 건물의 안전도를 요구하였는데, 예를 들어 교량이나 건물의 붕괴 시에는 그 피해에

따라 상응하는 처벌을 건설자들에게 가한다는 것이다. 근세에 들어 수학과 과학이 발전하

기 전까지는 주로 과거의 붕괴되지 않은 구조물을 그대로 답습하거나, Trial and Error의

방법으로 불확실성을 극복하고자 하였다. 19세기 들어 자연의 법칙이 수학과 물리에 의해

이해되고 재료의 성질이 정의되면서 구조물의 안전도 또는 불확실성의 문제를 수학적으로

해결하기 위한 연구가 수행되었다. Mayer(1926), Streletzki(1947) 등은 하중이나 강도 등

의 변수가 불확실성을 갖고 있는 확률변수(random variable)이며, 0이 아닌 파괴확률이

존재한다는 것을 발표하였다. 이 이론은 1950년대에 Freudenthal(1947, 1956)에 의해 더

욱 발전되어 현재의 신뢰도 이론(reliability theory)의 기초가 되었다. 현재 신뢰도 이론은

새로운 구조물(시설물)의 합리적인 설계, 기존 구조물(시설물)의 평가 및 설계 기준(code,

specification)의 개발 등에 응용되고 있다.

본 서에서는 신뢰도이론의 기본 개념 및 이론과 신뢰도에 근거한 설계기준, 특히 하중

저항계수설계법(Load and Resistance Factor Design, LRFD)에 대한 소개 및 실교량의

신뢰도분석 예제 등을 다루고 있다. 신뢰도 이론을 사용하면 구조물의 안전도에 대한 합리

적, 객관적인 결과를 얻을 수 있으며, 이를 통해 구조물 안전도의 적절한 수준을 제시할

수 있게 된다. 또한 적절한 안전도의 수준을 보장하기 위하여 설계기준에서 어떻게 해야

하는가에 대한 답을 줄 수 있다.

2

1.2 기본개념

이 절에서는 신뢰도이론의 소개에 앞서서 몇 가지 중요한 기본 개념 및 용어에 대해 설명

하고자 한다.

1절의 개요에서도 설명된 바와 같이 국가나 사회는 구조물에 대해 적정 수준 이상의

안전도를 요구하고 있다. 여기서 ‘안전도’(safety)라는 용어는 SIA 160(1989)에 의해 다음

과 같이 정의되고 있다.

“Adequate safety with respect to a hazard is ensured provided that the hazard

is under control by appropriate measures or the risk is limited to an

acceptable value. Absolute safety is not achievable.”

위의 정의에서 보듯이, 안전도라는 용어는 정성적인(qualtative) 의미로 사용되며, 또

한 구조물 자체의 안전보다는 오히려 그 구조물에 관계되어 있는 사람들의 안전을 목표로

하고 있는 것이다. 그 구조물에 관계되어 있는 사람들은 그 구조물의 사용자나, 건설자

또는 인근의 다른 사람들을 포함할 것이다. 따라서, 아무도 없는 지역에 있는 빈 건물의

붕괴는 안전도에 관계된 문제가 아니라고 할 수 있다.

한편, 신뢰도(reliability)는 주어진 조건하에서, 주어진 기간 동안 구조물이 그 의도하

고 있는 기능을 수행할 확률로 정의된다. 다른 정의로, 규정된 기간 동안 설계목적을 달성

할 능력 또는 규정된 기간 동안 한계상태에 도달하지 않을 확률이라 할 수 있다. 를 파괴확

률(probability of failure)라 하면

신뢰도(reliability) (1.1)

이 될 것이다. 신뢰도는 정의된 바와 같이 측정할 수 있는 확률이며, 안전도와 달리 정량

적인 값이 된다.

위험도(risk)는 위험요소의 크기를 나타내는 정량적인 값이다. 위험도는 손상사건(E)이

일어날 확률, 에 손상의 평균기대값 (사망자의 수 또는 피해액의 단위)를 곱한 값으로

정의된다.

위험도(risk) ․ (1.2)

안전도에 대한 정의에서 절대적으로 안전한 구조물이 있을 수 없다라는 것은 불확실성

(uncertainty) 때문이다. 모든 공학 분야에서 planning, modeling, analysis, design,

operation, evaluation을 수행하는데 있어 이상화된 가정이나 조건을 사용한다. 여기에 여

러 가지 불확실성이 존재하며, 이러한 불확실성은 대개 자연적인 (inherent) 것이며 피할

수 없기 때문에 절대적으로 안전한 구조물, 파괴확률이 0인 구조물이 없다는 것이다. 사실

신뢰도해석은 불확실성을 정량적으로 (또는 확률적으로) 계산하려는 것으로 말할 수도 있

다. 불확실성은 크게 두 가지 종류로 나누어지는데, 하나는 자연적인 불확실성(natural

3

causes)이다. 주로 하중(활하중, 풍하중, 지진 등등)의 비예측성, 강도의 자연적 변화 등이

주요인이다. 또 한 가지는 인위적인 불확실성(human causes)인데, 주로 설계의 가정, 계

산오차, 기타 여러 가지 실수 등등 인간의 실수(human error)에 의한 것이다.

Matousek(1976)의 연구에 의하면 구조물이 손상 또는 파괴된 800개의 경우에 대한 원인

조사 결과, 75%가 인간의 실수에 의해 일어난 것으로 보고되고 있다. 그러나 구조물의 안

전도 또는 신뢰도를 결정하는데 있어 Human error가 매우 중요함에도 불구하고 아직 이

를 다루는 해석적인 방법이 미비하여 이에 대한 연구가 절실한 실정이다.

여러 가지 불확실성으로 인해 구조물의 안전에 관계된 많은 물리량 또는 값들은 예측

할 수 없는 값 또는 무작위(random)적인 값을 갖게 된다. 예를 들어 콘크리트 공시체의

압축강도는 시험을 하기 전까지는 그 실제값을 예측할 수 없다. 그러나 예측할 수 없다고

해서 완전히 무작위적이진 않다. 여러 개의 공시체를 시험하면, 어떤 값들은 다른 값보다

더 자주 발생한다. 이러한 변수의 통계적 특성을 나타내기 위해 그림을 이용하거나 또는

특성을 나타내는 숫자를 사용하게 된다. 대표적으로 이용되는 그림으로 Stem-and-Leaf

Display, Histogram, Frequency Diagram 등이 있다. 통계적 숫자로는 평균(average,

mean), 표준편차(standard deviation), 등등이 있다.

이와 같이 예측할 수 없는 값을 갖는 변수를 무작위 변수 또는 확률변수(random

variable)라 한다. 확률변수란 변수들이 동일한 값을 갖지 않으며 각 변수의 값에는 그 값

을 가질 확률이 존재하는 변수를 의미한다. 구조물에 작용하는 하중이나 부재의 강도는 확

률변수이다. 즉, 설계에 사용되는 하중(공칭하중)의 크기는 실제 구조물이 받게 될 하중과

다를 수 있으며, 부재의 강도 역시 설계에서 계산된 강도와 다른 값을 가질 수 있다. 그러

므로 절대로 파괴 안 되는(파괴확률이 0인) 구조물을 만드는 것은 불가능하다. 이러한 무

작위성(불확실성)을 다루기 위하여 확률 및 통계의 개념과 방법이 필요하게 되며, 신뢰도

해석은 여기서부터 비롯되었다고 볼 수 있다. 앞의 신뢰도의 정의에서 언급되었듯이, 신뢰

도는 확률이기 때문에 신뢰도를 계산하기 위해서는 확률에 대한 지식이 필수적이다. 확률

은 여러 가지 방법에 의해 정의될 수 있는데, 고전적인 확률의 정의 (임의의 사건이 일어

난 횟수를 전체 가능한 사건의 수로 나눈 값), 상대빈도에 의한 정의 (같은 조건하에서 어

떠한 사건이 일어나는 상대빈도), 주관적인 정의 (임의의 사건이 일어나는 것에 대한 확

신의 정도), 또는 공리에 의한 정의 등이 있다. 확률은 주로 실험 결과의 해석에 응용되고

의사 결정(decision making)과 설계(design)에 필수적인 기본적 정보를 제공하기도 한다.

확률에 대한 자세한 설명은 이미 수많은 문헌(Hines, 2003)에서 설명되고 있으므로 본 서

에서는 생략하기로 한다.

5

2. 신뢰도 이론

2.1 개요

신뢰도 이론(reliability theory)은 이미 다양한 분야에서 활용되어 왔으며, 토목공학을 비

롯하여, 전자, 기계, 조선 등의 분야에서 제품이나 구조물의 안전에 관계된 분석에 사용되

고 있다. 1.2절에서 설명된 바와 같이 제품이나 구조물의 안전도 또는 신뢰도는 제품이나

구조물의 의도된 기능을 발휘하는 것이며, 만약 더 이상 그 기능을 발휘하지 못하고 기능

을 상실하게 되면 파괴되었다고 할 수 있다. 형광등이 더 이상 밝지 않거나, TV가 켜지지

않거나 켜지더라고 화면이 볼 수 없는 상태가 되는 것 등이 파괴라 할 수 있다. 구조물의

경우에는 응력이 허용응력을 넘을 때, 좌굴이 발생할 때, 처짐이 허용치를 넘을 때, 진동

이 심할 때 등이 파괴라 할 수 있다. 즉, 파괴(failure)는 구조물이 그 기능을 상실하는 것

으로 정의 내릴 수 있다.

파괴와 비파괴(안전)의 경계를 한계상태(limit states)라 한다. 한계상태는 크게 두 가

지로 구분된다. 보의 파괴, 강재 거더의 플랜지 좌굴, 볼트의 전단파괴, 콘크리트의 압축파

괴 등 부재나 어떤 요소의 강도에 관계된 한계상태를 강도한계상태(ultimate(strength)

limit states, ULS)라 한다. 균열, 처짐, 진동 등 사용성에 관계된 한계상태는 사용한계상

태(serviceability limit states, SLS)라 한다. AASHTO LRFD(2004)에서는 위의 한계상태

외에 피로한계상태와 극한한계상태(extreme event limit state)를 정의하기도 한다. 한계

상태는 파괴 형태(failure mode)에 관계되어 있고, 구조물에는 여러 가지 파괴 형태가 존

재하며 각 파괴형태를 유발하는 하중의 종류 및 그 조합이 다르므로 한계상태는 곧 하중조

합을 결정한다고 할 수 있다. 한계상태에 관계된 하중조합에 대해서는 뒤에서 다시 설명하

기로 한다.

신뢰도는 앞 절에서 정의된 대로 “일정기간에 각각의 지정된 한계상태에 도달하지 않

을 확률”이라 할 수 있으며 신뢰도 해석이란 구조물에 가해지는 하중, 구조물의 재료, 구

조해석, 기타 등등의 여러 변수가 갖는 불확실성을 확률과 통계의 이론을 사용하여 구조물

의 신뢰도를 구하는 것이라 할 수 있다. 또한 구조물의 설계란 구조물의 신뢰도를 계산하

여 이를 적정수준 이상으로 확보하도록 하는 것이다. 여기서 구조물의 신뢰도는 파괴확률

을 의미하지만 종종 파괴확률을 구하는 것이 어렵기 때문에 신뢰도를 나타내는 지수, 즉

신뢰도지수(reliability index)로 표현되기도 한다.

신뢰도 해석은 이용하는 자료의 정확도, 해석의 복잡성 등에 따라 4가지 단계(level)로

나누어진다. 1단계는 각각의 변수의 불확실성을 하나의 값(특성값)으로 표현하는 것이다.

예를 들어 교량의 차량활하중의 불확실성을 나타내는 값, 즉 활하중의 특성값은 2.15(현행

우리나라 도로교 설계기준의 하중 계수)라는 것이다. 보통 철근콘크리트 부재에 휨모멘트

가 작용했을 때의 부재 강도의 특성값은 0.85라는 식이다. 2단계는 각각의 불확실성을 두

개의 특성값(대개는 평균과 변이계수)으로 표현하는 것이다. 예를 들어 어떤 하중은 확률

적으로 평균이 90, 변이계수 0.1인 변수이며 이를 이용하여 신뢰도를 해석하는 단계이다.

6

3단계는 각각의 불확실변수(무작위변수, random variable)의 분포함수를 이용하여 파괴확

률을 계산하는 단계이며, 4단계는 각 변수들의 상호분포함수, 경제성 등을 고려하는 것이

다. 이중에서 현재 가장 보편적으로 사용되는 것이 2단계 해석방법으로 각 변수들의 평균

및 변이계수(또는 표준편차, 분산)를 사용하여 구조물의 신뢰도를 계산하는 것이다. 또한

LRFD(Load and Resistance Factor Design) 설계기준은 2단계 신뢰도해석을 이용하되 실

무자가 쉽게 적용할 수 있도록 1단계의 부분안전계수 방법을 채택한 설계기준이라 할 수

있다.

2.2 확률변수와 한계상태함수

2.2.1 확률변수

확률변수는 동일한 조건하에서 실행한 동일한 실험의 결과가 항상 동일한 값을 갖지 않고

대표 값을 중심으로 이산성을 나타내는 변수 또는 표본공간에서 어떠한 규칙에 따라 또는

사상에 의해 정의되는 변수를 의미한다. 예를 들어 주사위를 굴려 나오는 수는 1, 2, 3, 4,

5 또는 6이 나올 수 있으며, 각각의 수가 나올 확률은 주사위가 아주 정확하게 가공되었다

는 조건하에서 1/6이다. 콘크리트 공시체를 시험하여 얻은 압축강도 역시 그 결과가 항상

동일하지 않고 이산성을 나타내며, 여러 개를 시험하면 통계적 특성을 나타내게 된다. 이

러한 변수들이 확률변수이다.

확률변수는 크게 이산확률변수(discrete random variable)와 연속확률변수(continuous

random variable)로 구분된다. 이산확률변수는 확률변수의 값이, 즉 표본공간이 유한개의

요소로 이루어진 변수 또는 셀 수 있는 무한한 요소로 이루어진 변수를 의미한다. 주사위

던지기, 신호등에 정차하여 좌회전을 기다리는 차량의 수 등등이 이산확률변수의 예이다.

연속확률변수는 임의의 구간 내에서 어떤 값도 가능한 변수를 의미한다. 콘크리트압축강

도, 강재의 항복강도, 차량의 차두간격 등이 그 예이다. 확률변수는 표본공간에서 정의한

확률의 개념을 실선상으로 확장시킨다(그림 2.1). 이때 확률변수의 값에 관계되는 확률의

값을 그림으로 표현한 것이 확률밀도함수(probability density function), 확률질량함수

(probability mass function), 누적분포함수(cumulative distribution function) 등이다.

이산확률변수에 대한 확률질량함수는 다음과 같이 정의될 수 있다.

probability mass function (2.1)

연속확률변수에 대한 확률밀도함수(probability density function), 는 식(2.2) 및 그림

2.2와 같다.

각 확률변수의 값에 대한 확률은 양의 값을 가지며, 연속확률변수의 경우, 임의의 값 c

에 대해 이라 할 수 있다. 또 임의의 값 , 에 대해 (<) 다음 식이 성립한

다.

7

a 0 c b d

S

≦ ≦

∩ ≦ ∪ ≦ ∪

그림 2.1 확률변수와 표본공간

≦ ≦

: area

(2.2) ≥0 for all x

∞

∞

≤ ≤ ≤ ≤ (2.3)

a b

그림 2.2 확률밀도함수

8

누적분포함수, 는 식(2.4) 및 그림 2.3 왼쪽 그림의 빗금친 부분의 면적과 같으며 오른

쪽 그림과 같은 모양을 갖는다. 또한 식(2.5)를 만족시킨다.

≦ ∞

(2.4)

또는 ′

≦ ≦

(2.5)

≦ 이면 ≦

∞ , ∞

≦ ≦

Xx

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

cdf

그림 2.3 누적분포함수

사실상 확률변수에 대한 모든 통계적, 확률적 정보는 확률밀도함수 (또는 확률질량함수)에

포함되어 있다. 즉, 평균(기대값, mean, expected value)이나 분산(variance), 표준편차

(standard deviation) 같은 값들은 확률밀도함수로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

평균 ∞

∞

(2.6)

9

분산

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

(2.7)

∞

∞

를 의 차 모멘트라 하는데, 위의 식에서 보인 바와 같이 평균은 1차

모멘트, 분산은 2차모멘트로부터 구할 수 있다.

확률변수의 분포 중에 널리 알려져 있고 가장 자주 사용되는 특별한 분포가 있는데 그

것은 정규분포(Normal or Gaussian distribution)라 하는 것이다. 정규분포의 확률밀도함

수는 다음과 같다.

∞ ∞ (2.6)

이 함수는 두 개의 모수(parameters) 를 포함하고 있는데 는 변수 의 평균, 는 표

준편차를 나타낸다. 정규분포의 확률밀도함수와 누적분포함수는 그림 2.4와 같다. 평균을 중심

으로 대칭이며 따라서 평균값에 대한 누적분포함수의 값은 0.5가 된다. 그림 2.5와 같이 표준

편차의 크기에 따라 평균을 중심으로 이산성이 달라지게 된다. 정규분포 중에 평균이 0이고 표

준편차가 1인 분포를 표준정규분포라 한다.

정규분포

m

pdf

누적정규분포

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m

cdf

그림 2.4 정규분포의 확률밀도함수와 누적분포함수

10

정규분포

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

pdf평균=5, 표준편차=1

평균=5, 표준편차=2

평균=5, 표준편차=3

그림 2.5 표준편차에 따른 정규분포의 확률밀도함수

2.2.2 한계상태함수와 파괴확률

한계상태함수(limit state function)란 한계상태를 규정하는 함수이다. 즉, 한계상태는

파괴와 비파괴의 경계상태이기 때문에 한계상태함수가 양일 때가 안전한 상태, 음일 때가

파괴의 상태, 0일 때가 한계상태이다. 즉,

⋯ : 안전(safe)

(2.7) ⋯ : 파괴(failure)

⋯ : 한계상태 (limit state)

또한 파괴의 형태는 다양하기 때문에 각각의 파괴형태에 대하여, 즉 각기 다른 한계상태마

다 다른 한계상태함수가 존재하게 된다. 여기서 한계상태함수의 변수들, , , , ⋯,

는 확률변수로, 고정하중이나 풍하중, 활하중, 지간, 유효높이, 콘크리트 압축강도, 강재의

항복 강도 등등이 될 수 있다. 예를 들어 구조물 또는 구조부재의 강도를 검토하는 경우, 를

부재에 작용하는 총하중 효과, 을 그 부재의 저항 또는 강도라 하면 한계상태함수 는 다음

과 같이 정의될 수 있다.

(2.8)

여기서, 는 안전도여유(safety margin)라 할 수 있다.

→ : 안전(safe)

(2.9) → : 파괴(failure)

→ : 한계상태 (limit state)

부재의 강도나 하중을 좀 더 자세히 표현하면 다음과 같은 한계상태함수가 정의될 수 있다.

11

(2.10)

한계상태함수는 그 변수들이 위에서 정의한 확률변수들이므로 확률변수함수가 된다.

한계상태함수가 갖는 의미를 알아보기 위해 그림 2.6과 같은 변수의 공간을 정의하자.

그림에서 인 선의 위 영역은 안전한 영역, 아래의 영역은 파괴의 영역이 된다. 여기에

과 의 결합확률밀도함수를 같이 도시하면 그림 2.7과 같이 된다. 결합확률밀도함수란 이

임의의 값을 가짐과 동시에 가 임의의 값을 가질 확률을 나타내는 함수로 그림에서는 등고선

의 형태로 도시되어 있다. 따라서 파괴될 확률은 파괴의 영역내에 있는, 즉 한계상태함수의 아

래의 영역에 존재하는 결합확률밀도함수의 체적이라 할 수 있다.

>

SAFE

<

45°

(=0)

Q

그림 2.6 변수의 공간

limit

state

function

그림 2.7 변수의 공간과 확률밀도함수

12

이를 좀더 확실히 하기 위해 2차원적으로 확률밀도함수를 도시하면 그림 2.8과 같다. 그림

에서 이 의 값을 갖는다면 가 의 값보다 큰 값을 갖는 경우 파괴가 될 것이다. 또는

가 의 값을 가질 때 이 보다 작은 값을 갖는 경우 파괴가 될 것이다. 따라서 파괴확

률, 은 다음과 같이 정의될 수 있다.

∞

∞

∞

∞

∞

∞

(2.11)

그러나 식(2.11)과 같은 경우, 실제 적분이 매우 어려우며, 파괴확률이 매우 적은 값이기

때문에 실제 파괴확률을 계산하는 것은 매우 어려운 일이다.

비선형함수의 경우에도 그림 2.9와 같이 파괴의 영역에서 결합확률밀도함수에 대한 적

분이 필요하게 된다. 파괴확률은 다음 식과 같다.

(2.12)

만일, 과 가 독립이면, 이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

∞

∞

∞

⋅

∞

∞

∞

∞

∞

(2.13)

⋯ ≤

⋯ ⋯ (2.14)

한계상태함수가 여러 개의 변수를 갖는 일반적인 경우에 파괴확률은 식(2.14)으로 표현될

수 있다. 식(2.11)에서 식(2.14)까지의 파괴확률의 계산은 확률밀도함수 또는 결합확률밀도

함수의 한계상태함수의 파괴영역에 대한 적분을 수행하여야 하며 일반적으로 계산하기 불

가능하다.

13

Q

prob

R,Q

그림 2.8 과 의 확률밀도함수

R e s is ta n c e R

QL o a d

g (R ,Q ) < 0 ; u n sa fe re g io n

g (R ,Q ) = 0 ; lim it s ta te su rfa

g (R ,Q ) > 0 ; s a fe re g io n

그림 2.9 비선형의 한계상태함수

2.3 신뢰도지수

위에서 언급한 대로 식(2.11)~식(2.14)의 파괴확률을 계산하기 어렵기 때문에 신뢰도, 즉

파괴확률을 구하기 보다는 신뢰도를 나타내는 다른 값 또는 지수(index)를 계산하고자 하

였는데 이것이 신뢰도지수(reliability index)라 하는 것이다.

한계상태함수의 특별한 경우로 식(2.8)과 같이 한계상태함수가 부재저항()과 하중()의

함수이며 각각이 정규분포이며 서로 독립적이다 라고 가정하자.

14

(2.8)

부재저항()과 하중( )이 정규분포이므로 통계확률의 기본이론에 의하여 한계상태함수 도 정

규분포가 된다. 따라서, 한계상태함수의 평균과 표준편차는 식(2.15)와 같게 된다.

(2.15)

그림 2.10 하중(), 부재저항() 및

한계상태함수()의 확률밀도함수

하중( ), 부재저항() 및 한계상태함수( )의 확률밀도함수를 도시하면 그림 2.10과 같다. 이때

파괴확률은 그림에서 <0인 영역에서의 한계상태함수의 확률밀도함수의 면적(그림에서 빗금친

부분)과 같게 된다. 따라서 파괴확률은 다음과 같다.

∞

(2.16)

여기서 는 표준정규분포의 누적분포함수이며 는 신뢰도지수라 불리는 값이며, 의 평균을

의 표준편차로 나눈 값이다. 식(2.15)를 이용하면, 신뢰도지수는 다음과 같다.

(2.17)

결국 신뢰도지수는 한계상태함수 의 평균이 축으로부터 표준편차의 몇 배만큼의 거리를 갖고

있는가를 나타내는 지수이며, 거리가 멀면 멀수록 빗금친 부분의 면적은 작아지므로 파괴확률은

작아지고, 신뢰도지수는 큰 값을 갖게 된다. 그림 2.10에서 신뢰도지수에 대한 식(2.17)과 같은

정의는 Cornell(1967)에 의해 최초로 정의되었으며 하중( ), 부재저항()의 평균과 표준편차만

을 이용하여 계산할 수 있으므로 Second Moment Formulation, 또는 2단계(Level II) 신뢰도

해석에 해당한다. 그러나, 과 가 어떤 분포함수를 갖는지에 대한 정보를 사용하지 않으며,

15

또한 과 가 정규분포라는 가정하에 유도된 식이므로 정규분포일 경우에만 정해이며 그렇

지 않을 경우에는 근사식이 된다. 이때 파괴확률은 식(2.16)에 의해 표준정규분포의 누적분포함

수를 이용하여 구할 수 있으며 신뢰도지수와 파괴확률과의 관계는 표 2.1과 같다.

또 다른 특별한 경우로 부재저항()과 하중( )가 대수정규분포이며, 한계상태함수를 다음

식과 같이 정의할 수 있다.

(2.18)

이 경우 안전과 파괴의 영역은 다음과 같이 된다.

→ : 안전

(2.19) → : 한계상태

→ : 파괴

대수정규분포는 를 취했을 때 정규분포가 되는 분포이다. 즉, 식(2.20)에서 는 정규분포,

는 대수정규분포가 된다.

, (2.20)

대수정규분포는 식(2.20)의 관계식에서 보는 바와 같이 0 또는 음의 값이 될 수 없으며,

따라서 음수가 될 수 없는 물리량의 분포에 많이 이용 된다. 대수정규분포의 확률밀도함수

와 누적분포함수는 식(2.21)과 식(2.22)와 같다.

(2.21)

≦ ≦ ≦

(2.22)

대수정규분포의 확률밀도함수에는 두 개의 모수, 와 가 있는데, 는 의 평균( ),

는 의 표준편차( )와 같다. 대수정규분포의 평균은 식(2.23)과 같으며, 로그를 취한 정

규분포의 평균과 표준편차와 식(2.24)와 같은 관계식이 성립한다.

∞

∞

(2.23)

16

0.5

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

0.00

1.28

2.33

3.10

3.72

4.20

4.75

5.19

5.62

5.99

표 2.1 신뢰도지수와 파괴확률

≈ ,

≈

(2.24) ,

,

식(2.18)의 한계상태함수에 대수()를 취하면 식(2.25)와 같이 되는데, , 가 대수정규분

포이므로 과 는 정규분포가 됨을 알 수 있다.

(2.25)

따라서 신뢰도지수는 식(2.26)과 같으며, 여기서 식(2.24)의 관계식을 이용하면 식(2.27)과

같은 신뢰도지수의 또 다른 식을 구할 수 있다.

(2.26)

(2.27)

식(2.27)의 신뢰도지수는 과 가 서로 독립적인 대수정규분포를 가지면 식(2.27)이 정해이며

그 외의 경우는 근사식이 된다.

결국 신뢰도지수는 식(2.17) 또는 식(2.27)로 계산되어지는데 과 가 서로 독립인 정규

분포이면 식(2.17), 대수정규분포이면 식(2.27)를 사용한다. 그러나 과 의 확률분포는 고려

되지 않는 단점이 있으며 두 개의 변수만 있는 경우 적용할 수 있다.

한계상태함수가 여러 개의 서로 독립적인 변수를 갖는 선형적인 함수를 갖는 경우에는

17

식(2.17)이나 식(2.27)을 사용할 수 없게 된다. 이 경우에는 한계상태함수가 식(2.28)과 같

이 정의되며 이때의 신뢰도지수는 식(2.29)과 같다.

⋯ (2.28)

(2.29)

이 식에 의한 신뢰도지수의 계산예는 부록의 예제 1에 있다.

또한 한계상태함수가 독립적인 변수들의 비선형함수인 경우에는 식(2.30)과 같은

Taylor Series Expansion을 이용하여 비선형함수를 선형함수로 바꾼 후 식(2.29)를 사용

할 수 있다.

⋯

⋯

⋯

(2.30)

이때 Taylor전개를 하는 점(

⋯ )는 각 변수의 평균으로 한다. 이러한 약산식을

First Order Approximation라 하며 이때의 신뢰도지수를 일계이차평균값신뢰도지수(First

Order Second Moment Mean Value Reliability Index)라 한다. 부록의 에제 2에서 식

(2.30)과 식(2.29)에 의한 신뢰도지수의 계산예를 볼 수 있다.

그러나 식(2.30) 및 식(2.29)에 의한 신뢰도지수는 같은 한계상태라도 한계상태함수의

정의에 따라 달라지며, Taylor전개를 하는 점에 따라서도 다른 신뢰도 지수를 갖게 되는

단점(invariance problem)이 있다. 부록의 에제 3에서 이러한 단점을 확인할 수 있다.

2.4 Hasofer-Lind의 신뢰도지수

위의 invariance문제를 해결하기 위해 Hasofer와 Lind(Hasofer, 1974)는 한계상태함수의

Taylor Series 전개를 평균값이 아닌 Design Point에서 수행하도록 제안하였다. 이를 위

해 다음과 같이 새로운 변수 과 를 도입하게 되는데, 이를 normalization 또는 reduced

space라 부른다.

(2.31)

식(2.31)에서 과 를 구하여 식(2.8)의 한계상태함수에 대입하고 한계상태( )에 대한

식을 구하면 다음과 같다.

18

(2.32)

식(2.8)과 식(2.32)의 한계상태식을 도시하면 그림 2.6 및 그림 2.11과 같다. 그림 2.11에

서 △OAB 와 △OAC의 닮음 꼴의 원리를 이용하여 계산하면 의 길이는 다음과 같고,

의 길이는 식(2.34)과 같이 된다.

(2.33)

⋅

⋅

(2.34)

결국 식(2.34)은 식(2.17)의 신뢰도지수식과 같아지게 되며, 신뢰도지수 는 과 의 좌표계에

서 원점에서 파괴면까지의 최소거리가 됨을 알 수 있다.

C(design point)

β

A

0

q

r

B

그림 2.11 Reduced space에서의 한계상태함수

이를 여러 개의 변수의 일반적인 한계상태함수로 일반화하여, 한계상태함수

⋯ 이며, 변수 , , 의 결합확률밀도함수를 ⋯ ⋯ 라 하면, 파괴확률은 다음과 같다.

19

: n차원의 파괴경계면에 대해

(2.35)

식(2.35)를 계산하는 것 대신에 신뢰도지수를 계산하기 위해 식(2.31)과 같이 reduced

variable을 도입한다.

reduced variable ′

(2.36)

는 reduced space에서 원점에서부터 파괴경계면까지의 최소거리이므로 파괴면상의 임의의 점

을 ′ ′′⋯′ 라 하면 신뢰도지수(최소거리)는 다음 식과 같다.

′ ′ ⋯′ ′ ′ (2.37)

결국 신뢰도지수를 구하는 문제는 다음과 같이 최적화문제가 된다.

minimize ′ ′ ⋯′ ′ ′(2.38)

subject to

여기서 최소거리가 되는 점(′′⋯′)를 design point라 하며 그림 2.11에서 점C이다.

구속조건을 갖는 최적화문제인 식(2.38)는 Lagrange's Multiplier의 방법에 의해 해석

되어 질 수 있다 (Ossenbruggen, 1984). Lagrange함수는 다음과 같이 정의되어진다.

′ ′ (2.39)

가 최소가 되기 위해서는 함수가 최소가 되야 하므로 1차미분이 0이 된다는 조건을 이용하

면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

′′ ′ ⋯′

′ ′

⋯

(2.40)

⋯

식(2.40)의 개의 연립방정식을 풀면 최소가 되는 점, 즉 Design Point (′⋯′)을 구할 수 있다. 최소거리, 즉 신뢰도지수와 Design Point는 다음과 같이 구하게 된다.

Gradient vector를 다음과 같이 정의하면 식(2.40)의 첫 번째 식은 식(2.41)과 같이 된다.

gradient vector ′

′ ⋯ ′

(2.41)

20

′′ ′

(2.42)

′ ′ 이므로 식(2.42)에 의해

′

이 된다. 거리 는 식(2.43)과 같

다.

′′

⋅

⋅ (2.43)

식(2.43)의 양변에서 를 소거하면, 식(2.44)와 같이 되고 에 대해 다시 정리하면 식(2.45)

~ 식(2.48)이 된다.

⋅ →

⋅ (2.44)

′

⋅

(2.45)

′

⋅

⋅

(2.46)

⋅

′

(2.47)

⋅

′

(2.48)

결과적으로 신뢰도지수는 식(2.49)와 같이 구해지게 된다.

′

′ ′

(2.49)

여기서, ′는 ′

의 점(′′⋯′)에서의 값이며 ,

′

′

가 성립한다. 한편 Design Point는 신뢰도지수와 다음과 같

은 관계가 성립한다.

21

′ (2.50)

여기서, 는 ′축에 대한 direction cosine이라 하며 식(2.51)과 같다.

′

′

(2.51)

앞의 식(2.30)에서 비선형함수인 한계상태함수를 Taylor Series에 의해 전개시켜 일계이차

평균값 신뢰도지수를 구하였다. 만약 Taylor Series를 design point에서 전개한다면 다음

과 같은 식을 얻을 수 있다.

⋯

(2.52)

⋯

이때 Design Point는 파괴면상의 점이므로 ⋯

이고 Taylor Series 전개에서 1차편미분항만 사용하면 다음과 같은 선형의 한계상태함수를 얻을 수 있다.

(2.53)

이 식은 선형함수이므로 식(2.54)가 성립하므로, 한계상태함수의 평균과 표준편차는 식

(2.55)와 같이 된다.

＊

＇ ＇＊

＇＇

＊

＇

＇

′

(2.54)

≃

′

(2.55)

≃

′

′

신뢰도지수는 한계상태함수의 평균을 표준편차로 나눈 값(식(2.17))이므로 신뢰도지수는 다

음과 같은 식이 된다.

22

′

′

(2.56)

결국 식(2.56)의 신뢰도지수는 식(2.49)와 동일하게 되며, 일계이차신뢰도지수(First Order

Second Moment Reliability Index)이다. 편미분식은 모두 상의 점(′′⋯′)에서 계산된다. 식(2.30)에서 Taylor Series를 평균값 (⋯)에서 전개함으로써 함수가

비선형인 경우에 오차가 크게 날 수 있는 단점이 있었지만 식(2.49) 또는 식(2.56)의 신뢰도지수는

이러한 단점을 없앤 신뢰도지수를 할 수 있다. Design Point에서의 Taylor Series전개는 파괴면상의

Design Point에서의 접면을 구한 것이며 이를 도식적으로 표현하면 그림 2.12와 같다.

그림 2.12 파괴면상의 Design Point와 Taylor

Series전개

식(2.49)와 식(2.50)에 의한 신뢰도지수와 Design Point의 값은 서로 맛물려 있기 때

문에 바로 구하기는 불가능하며, 다음 절차에 따라 일종의 반복법을 이용하여 구할 수 있

다. 부록의 예제 4를 보라.

① ⋯의 초기값을 가정하고 다음 값을 계산

′

② ′

와 를 계산

23

′

′

′ 이므로

′

③ 를 의 함수로 계산

④ ③에서 구한 를

⋯

에 대입하여 를 계산

⑤ ④에서 구한 를 이용하여 ′ 를 구함

⑥ ′가 수렴될 때까지 ② ~ ⑤ 를 반복 계산

2.5 Rackwitz-Fiessler의 방법

위에서 구한 Hasofer-Lind의 신뢰도지수는 확률변수들의 평균과 분산(또는 표준편차)만을

이용하여 신뢰도지수를 구한다. 따라서 확률변수들이 어떤 분포를 갖는지는 고려되어 있지

않다. 그러나 확률변수들의 분포특성에 따라 신뢰도가 달라지는 것은 당연하므로 확률변수

들의 확률분포를 고려하면 개선된 신뢰도지수를 계산할 수 있다. 이러한 방법으로 제안된

것이 Rackwitz와 Fiessler의 방법이다.

이 방법의 기본개념은 정규분포가 아닌 확률변수들의 분포를 등가의 정규분포

(equivalent normal)로 변환하는 것이다. 즉 임의의 평균과 표준편차를 갖는 특정한 분포

의 Design Point에서의 확률밀도함수와 누적분포함수의 값이 등가의 정규분포의 확률밀도

함수와 누적분포함수의 값과 동일하도록 하는 등가의 정규분포의 평균과 표준편차를 구한

다. 이러한 동일 조건을 수식적으로 표현하면 식(2.57) 및 식(2.58)과 같고 등가의 평균과

표준편차는 식(2.59) 및 식(2.60)과 같다.

(2.57)

(2.58)

(2.59)

24

(2.60)

등가의 정규분포에 대한 평균과 표준편차를 구한 후의 절차는 2.4절에서 설명된 절차

와 같다. 부록의 예제 5에 이 방법에 대한 예제를 참고하라.

2.6 상관관계가 있는 확률변수의 신뢰도지수

지금까지의 신뢰도지수 계산은 상관관계가 없는 변수들의 경우이며 변수들 사이에 상관관

계(correlated)가 있는 경우에는 적용할 수 없다. 그러나 상관관계가 있는 확률변수

(correlated random variables)들을 다음의 절차에 의해 상관관계가 없는 확률변수

(uncorrelated random variables)들로 변환하게 되면 앞의 방법을 그대로 적용할 수 있

다.

확률변수 ⋯을 상관관계가 있는 정규분포의 확률변수라 하면 평균과 공분산에

대한 행렬은 다음 식과 같다.

⋯

(2.61)

…… ……

……

…… ……

확률변수 ⋯을 상관관계가 없는 정규분포의 확률변수라 하고 확률변수

⋯과 다음과 같은 관계가 성립한다고 하자.

′(2.62)

여기서 는 변환행렬(transformation matrix)이다. 식(2.61)의 분산행렬( )은 대칭행렬

이므로 선형대수학의 eigenvector해석에 근거하여 대칭행렬을 다음과 같은 관계식이 성립함을

알 수 있다.

(2.63)

이 관계식에서 는 의 eigenvalue들로 이루어진 대각행렬이 되며 식(2.64)과 같다.

25

…… ……

……

…… …… (2.64)

따라서 는 상관관계가 없는 확률변수들이 되고, 변환행렬 는 orthonormal

eigenvector를 갖는 orthogonal한 행렬이 된다. 또한 의 평균vector는 식(2.65)과 같이

되므로 선형함수에 대한 신뢰도지수를 구하는 식(2.29)에 의해 신뢰도지수는 식(2.66)와 같이

구할 수 있다.

(2.65)

(2.66)

2.7 모의해석방법

신뢰도지수 또는 파괴확률을 구하는 또 다른 방법으로 모의해석(simulation)에 의한 방법

이 있다. 모의해석이란 변수의 값을 실험이나 계측에 의해 얻지 않고 수치적으로 컴퓨터을

이용하는 얻는 방법으로 실험실에서의 실험을 computer가 대신하여 값을 얻는 것이라 할

수 있다. 대표적인 방법이 Monte Carlo 모의해석방법으로 알려진 확률분포 또는 가정된

확률분포를 갖는 확률변수의 값을 얻을 때 사용되는 방법이다. 즉, 확률변수에 대응하는

확률변수의 값을 무작위로 생성(generation)하는 과정을 반복 수행하는 일종의 추출법

(sampling technique)이라 할 수 있다. 이 방법의 장점은 한계상태함수를 정의할 수 없는

아주 복잡하고 거대한 문제들에 적용할 수 있다. 예를 들어 동적 또는 비선형 문제들에 적

용될 수 있다. 그러나 반복수행의 수가 지나치게 많아져 시간이 많이 요구되며 비경제적일

수 있다.

Monte Carlo 모의 해석의 정확도는 반복 또는 추출의 횟수에 따라 달라지는데, 한 연

구에 의하면 n번의 추출에서 측정한 파괴확률이 이면 유의수준(significant level) 5%에서의

오차추정식은 다음과 같이 추정된다.

(2.66)

실제로 파괴확률의 계산에 필요한 반복수행의 수는 다음과 같이 추천된다.

≥

(2.67)

26

Monte Carlo 모의해석은 무작위수(random number)의 추출에서부터 시작된다. 예를 들어

0 또는 1의 두 개의 무작위수를 추출하기 위해서는 동전 던지기와 같은 실험을 하면 되는

데 보통의 Monte Carlo 모의해석에서 필요한 무작위수는 0과 1사이에 등분포된 수이다.

이러한 분포를 갖는 수는 난수표 또는 컴퓨터를 이용하여 얻을 수 있다.

0과 1사이에 등분포된 수()로부터 , 사이에 등분포된 수()는 다음 식에 의해 구해진

다.

≦ ≦ (2.68)

표준정규분포는 누적분포함수가 0과 1사이에 존재하고 단조증가하는 함수라는 점을 이용하

여 그림 2.13과 같이 와 를 일대일 대응시킬 수 있고 따라서 식(2.69)와 같이 구할 수 있다.

(2.69)

이 식을 활용하여 평균이 이고 표준편차가 인 정규분포도 다음 식을 사용하여 얻을 수

있다.

⇒ ⋅ (2.70)

그 외의 여러 분포들도 누적분포함수의 역함수를 이용하여 구할 수 있다. 부록의 예제 6에

Monte Carlo 모의 해석을 이용한 확률변수의 생성에 대한 예제를 참고하라.

그림 2.13 등분포수의 표준정규분포로의 변환

27

Monte Carlo 모의해석을 이용한 신뢰도해석은 한계상태함수의 확률변수의 값에 무작

위수의 추출에 의해 얻어진 값을 대입하여 한계상태함수의 값을 구하고, 이를 반복적으로

수행하여 한계상태함수의 값을 구한다. 그후 파괴가 되는 경우의 회수(가 음의 수를 갖는 회

수)를 전체 반복회수로 나누면 파괴확률이 구해진다. 또는 의 값을 정규확률지(normal

probability paper)에 도시하여 구할 수 있다. 부록의 예제 7을 참고하라.

상관관계가 있는 확률변수(correlated random variables)의 경우에도 Monte Carlo 모

의해석법을 적용할 수 있다. 이 방법은 앞의 2.5절의 상관관계가 있는 확률변수의 한계상

태함수에 대한 방법과 거의 동일하므로 여기서는 생략하기로 한다.

Monte Carlo 모의해석법은 파괴확률이 작은 경우 (대부분의 구조물의 파괴확률은 매

우 작음) 추출회수를 충분히 크게 잡지 않으면 큰 오차를 유발할 수 있다. 따라서 적은 횟

수의 추출로도 파괴확률을 추정할 수 있는 방법이 개발되어 사용되고 있는데 대표적인 방

법이 Importance Sampling Method, Directional simulation, Latin Hypercube

Sampling(McKay 1979), Rosenblueth의 2K+1 추출법(Rosenblueth, 1981) 등이다.

2.8 체계신뢰도

위에서 설명한 신뢰성은 주로 개개의 부재에 대한 해석을 하는 것이다. 그러나 대부분의

구조물은 여러 개의 부재가 서로 연결되어 있는 시스템이며 한 부재가 파괴되어도 전체구

조물의 파괴는 되지 않는다. 따라서 진정한 구조물의 신뢰도는 개개의 부재의 신뢰도가 아

닌 전체시스템의 신뢰도이다. 전체구조물의 신뢰도는 체계신뢰도(system reliability)라 하

며 체계신뢰도는 각각의 구조물부재의 연결 상태, 부재의 취성 또는 연성, 부재와 부재간

의 상관도(correlation)에 따라 다르다.

2.8.1 구조부재의 종류

체계신뢰도를 계산하는 경우 구조부재는 두 가지의 극한적인 종류로 구분된다. 하나는 완

전취성(perfectly brittle)한 부재이고 또 하나는 완전연성(perfectly ductile)인 부재이다.

취성 부재는 부재의 파괴 후에 전혀 강도를 유지하지 못하는 부재(그림 2.14)로 인장에 대

한 콘크리트, 목재, 과배근된 RC보 등이 취성부재라 할 수 있다. 연성 부재는 부재의 파괴

후에도 그 강도(또는 하중)는 계속 유지하는 부재(그림 2.15)로 강재, 과소배근된 RC보 등

이 연성부재라 할 수 있다. 구조시스템에서 구조부재를 표시하기 위해 그림 2.14와 2.15에

취성 부재와 연성 부재를 나타내는 표시를 나타내었다.

그림 2.14 취성 부재

28

그림 2.15 연성 부재

2.8.2 직렬과 병렬시스템

구조시스템의 체계신뢰도를 구하기 위해서는 구조시스템의 부재 연결 상태를 알아야 한다.

아주 이상적인 구조시스템으로 직렬시스템(series system or weakest link system)과 병

렬시스템(parallel system)이 있다.

직렬시스템은 한 부재의 파괴가 전체 시스템의 파괴를 가져오는 시스템으로 그림 2.16

과 같은 정정 트러스가 대표적인 예이다. 이러한 구조시스템은 부재가 연성인지 취성인지

에 따라 그림 2.17과 같이 모델링할 수 있다.

그림 2.16 직렬시스템의 예 (정정 트러스)

그림 2.17 직렬시스템의 모델링

부재(요소)의 강도를 서로 독립적이라 가정하면 직렬시스템의 강도를 , 각 요소의 강도를

라 하면, 다음과 같이 시스템의 파괴확률을 구할 수 있다.

≤

(2.71)

… ⋅ … ∏

∏

29

부록의 예제 8에서 보는 바와 같이 직렬시스템에서는 요소의 수, 즉 부재의 수가 많으면

파괴확률이 커짐을 알 수 있다.

병렬시스템은 그림 2.18과 같이 개의 완전연성의 부재로 된 병렬시스템과 그림 2.19와 같

이 완전취성의 부재로 된 병렬시스템으로 나눌 수 있다.

그림 2.18 완전연성부재로 이루어진 병렬시스템

그림 2.19 완전취성부재로 이루어진 병렬시스템

완전연성부재로 이루어진 병렬시스템에서 번째 요소의 강도를 라 하면 전체시스템의 강

도는 다음과 같이 된다.

… (2.72)

만약 요소의 강도가 정규분포라 가정하면 다음 식과 같고,

,

(2.73)

만일 가 동일한 분포를 갖는다면, 강도의 평균과 표준편차가 식(2.74)와 같이 되므로 개의

연성부재를 갖는 병렬시스템은 변이계수가 배 감소함을 알 수 있다.

,

(2.74)

30

개의 완전취성의 부재로 이루어진 병렬시스템의 경우에는 부재의 강도가 식(2.75)와 같다.

… (2.75)

… 실제로 대부분의 구조물은 직렬시스템과 병렬시스템의 조합으로 이루어진 복합구조시

스템 (Hybrid(Combined) system)으로 생각할 수 있다. 예를 들어 그림 2.20과 같은 부정

정 트러스구조에서 1~6번 부재만 파괴된다고 가정했을 때 그림 2.20의 아래 그림과 같은

구조시스템의 모델링을 생각할 수 있다. 복합시스템의 신뢰도계산은 부록의 예제 9를 참고

하라.

그러나 실제 구조물에서 체계신뢰도를 구하는 것은 매우 어렵다. 왜냐하면 구조시스템

은 수많은 부재가 연결되어 있고 파괴형태가 매우 다양하여 구조시스템의 모델링이 쉽지

않기 때문이다. 또한 부재의 취성 또는 연성의 정도도 다르며, 또한 부재와 부재간의 상관

도(correlation)에 따라 시스템의 신뢰도가 달라지기 때문이다. 이와 같은 이유로 지금까지

체계신뢰도는 신뢰도의 구간을 구하려는 연구가 이루어져 왔다.

그림 2.20 복합구조시스템

2.8.3 구조시스템의 신뢰도 구간

체계신뢰도의 구간을 구하기 위해 먼저 Boolean 변수를 정의하자. 개의 요소(부재)를 갖는 시

스템에서 각 요소(부재)의 상태가 파괴 또는 비파괴(안전)의 두 가지 상태만을 갖는 것으로 가정

하면, Boolean변수 와 는 다음과 같이 정의된다.

부재가 비파괴상태인 경우

부재가 파괴상태인 경우

부재가 비파괴상태인 경우

부재가 비파괴상태인 경우

이와 같은 Boolean변수의 정의를 이용하여 시스템의 상태를 정의하자.

31

⋯,

⋯ 이라 하면, 시스템의 상태를 나타내는 상태함수

또는

는 다음과 같이 정의될 수 있다.

= 1 시스템이 비파괴상태인 경우

= 0 시스템이 파괴상태인 경우

= 1 시스템이 파괴상태인 경우

= 0 시스템이 비파괴상태인 경우

직렬시스템의 경우에는 한 요소의 파괴가 전체시스템의 파괴를 유발하므로 다음 식이 성립

함을 알 수 있다.

⋯ ∏

(2.76)

병렬시스템(완전연성부재)의 경우에는 적어도 하나의 요소가 비파괴상태이면 전체시스템도

비파괴상태이므로

∏

(2.77)

Boolean변수는 0 또는 1의 값을 갖는 변수이며, 그 평균(기대값)은 다음과 같이 계산된다.

× × (2.78)

× ×

따라서 전체시스템의 파괴확률은 다음과 같이 계산될 수 있다.

×

×

(2.79)

위에서는 독립적인 또는 상관관계가 없는 요소들로 이루어진 시스템의 신뢰도를 계산

하였으나 상관관계가 있을 경우에는 계산이 어려워진다. 그러나 요소들 사이에 양의 상관

관계를 갖는 경우 (≥0) 에는 간단히 신뢰도의 구간을 구할 수 있다. 이 경우 신뢰도의 하한

(lower bound)은 각 요소가 완전상관(=1)일 경우이며, 상한(upper bound)은 각 요소가 완

전무관일 경우일 경우이므로 신뢰도의 구간은 다음과 같다.

≤ ≤ ∏ (2.80)

양의 상관관계를 갖는 병렬시스템의 경우에 하한은 각 요소가 완전무관일 경우, 즉 모

든 요소가 파괴되어야만 전체 시스템이 파괴되는 경우이다. 상한은 각 요소가 완전무관일

경우, 즉 가장 안전한 요소가 전체 시스템의 신뢰도가 되므로 신뢰도의 구간은 다음과 같다.

32

∏ ≤ ≤ (2.81)

위의 직렬시스템에 대한 신뢰도 구간은 구간이 비교적 넓어서 비실용적이므로

Ditlevsen(1979)은 다음과 같은 신뢰도의 상한, 하한을 제시하였다.

≤

∩ (2.82)≥

∩ 위에서는 극한적인 경우, 즉 완전상관(=1) 또는 완전무관(=0)인 경우만을 고려하였지만,

Stuart(1958)는 동일한 상관관계를 갖는 직렬시스템의 파괴확률을 다음과 같이 제시하였다.

∞

∞

(2.83)

여기서, 는 누적표준정규분포함수, 는 표준정규분포함수이다.

개의 요소를 갖는 시스템에서 번째 요소의 강도를 , 또 요소의 강도는 모두 정규분포이고

동일한 상관계수()를 가지며, 작용하는 하중은 상수이며 시간에 관계없이 일정하고, 모든 요소

는 동일한 신뢰성지수 를 가진다는 가정하에서, 동일한 상관관계를 갖는 병렬시스템의 신뢰

도지수는 다음과 같이 계산된다.

- Parallel system의 강도 :

≠

- i번째 요소의 한계상태함수

(여기서 는 정규분포)

따라서,

⇒

- 모든 요소에 대해 는 같으므로

- 전체 시스템의 한계상태함수 이므로

33

(2.84)

서로 다른 상관계수를 갖는 요소들의 시스템의 경우에는 요소의 강도가 동일한 평균

( )과 표준편차( )를 갖는 정규분포이고, 작용하는 하중은 상수이고 시간에 관계없이 일정하

며, 모든 요소는 동일한 신뢰성지수 를 가진다는 가정하에 연성인 요소를 갖는 병렬시스템에

대해서는 다음과 같이 시스템의 신뢰도지수가 계산된다.

- Correlation matrix

⋯ ⋮ ⋅ ⋮ ⋯

- System의 신뢰성지수

≠

≠

≠

≠

≠

(2.85)

Average correlation coefficient를 다음과 같이 정의하면, 시스템의 신뢰도지수는 다음과

같다.

34

≠

(2.86)

한편, 직렬시스템의 경우에는 Thoft-Christensen(1982)에 의해 다음과 같이 파괴확률이

제시되었다.

∞

∞

(2.86)

이 식은 적은 수의 에 대하여 비교적 정확하며, 많은 수의 에 대하여는 다음 식으로 보정하

면 된다.

(2.86)

여기서, 는 식(2.86), 는 식(2.86)에서 =2일 때, 은 식

(2.86)에서 =2이고 모든 중에서 최대 상관계수일 때의 값이다.

위의 결과들을 요약하면 그림 2.21과 같다. 직렬시스템에서는 상관이 없는 부재의 경

우에 , 완전상관인 경우에는 이며 부분상관인 경우(실제 구조물의 경우)에는

그 사이의 값이 된다. 병렬시스템의 경우에는 상관이 없는 부재의 경우에 이며, 완전상

관인 경우에는 이 된다.

여기서는 비교적 간단한 시스템의 체계신뢰도만 다룬 것이며, 체계신뢰도에 대해서는

아직도 많은 연구가 더 이루어져야 한다. 좀 더 자세한 내용의 체계신뢰도는 본 서에서는

생략하기로 하고 여러 문헌(Schneider, 1997; Nowak, 2000; Ang(1990))을 참고하기 바란

다.

직렬시스템 병렬시스템

완전무관 완전상관 완전무관

그림 2.21 체계신뢰도의 요약

35

3. 확률에 기초한 설계기준

3.1 개요

본 장에서는 확률 또는 신뢰도에 기초한 설계기준의 개념 및 개발이론에 대하여 설명되어

진다. 설계기준은 설계자가 설계를 수행할 때 반드시 만족시켜야하는 최소한의 안전도 수

준을 규정하고 있다. 2장에서 설명된 대로 구조물의 안전도는 신뢰도해석에 의한 신뢰도지

수 또는 파괴확률에 의해 정의되어지므로 설계기준은 신뢰도에 기초한 설계기준이 되어야

한다. 신뢰도에 기초한 설계기준은 2.1절에서 설명된 신뢰도해석의 여러 단계에 따라 4가

지 단계로 구분될 수 있다.

1단계(Level 1)의 설계기준에서는 신뢰도가 안전계수들에 의해 도입되는데, 하중저항계

수설계법(Load and Resistance Factor Design Method)이 대표적이다. 2단계(Level 2)는

구조물의 신뢰도지수를 목표신뢰도지수가 되도록 설계하는 기준이다. 3단계(Level 3)는 완

전한 신뢰도해석에 의한 파괴확률을 적정한 파괴확률이하가 되도록 설계하는 단계이다. 4

단계(Level 4)는 설계의 기준으로 비용을 포함한 총 예상기대비용을 최대화하도록 한 설계

기준을 의미한다.

순수한 의미에서는 설계자가 신뢰도지수() 또는 파괴확률()을 계산하여 설계기준에서

요구하는 기준에 만족하는가를 검토하여야 하나, 이는 신뢰도해석에 대한 많은 지식이 요구되

며, 좀더 많은 정확한 자료를 요구하고 있다. 이는 아직 현 시점에서 어렵기 때문에 현재는 신

뢰도해석의 1단계에 해당되는 하중저항계수설계법을 주로 사용하고 있다. 현재 세계 각국의 주

요 설계기준들이 이미 하중저항계수설계법을 적용하고 있는데, 대표적으로 미국의 철골구조 설계

기준(AISC, 1986), Eurocode(1984), OHBDC(1991), AASHTO(1998) 등이 있다.

3.2 하중저항계수설계법

하중저항계수설계법은 확률에 기초한 한계상태 설계법으로 1단계의 설계기준에 해당한다.

이 설계법에서는 하중의 불확실성을 하중계수로, 저항의 불확실성을 저항계수로 표현하며,

일반적인 설계식은 다음과 같다.

≥ (3.1)

여기서, 은 부재강도 또는 저항, 는 여러 하중, 는 저항계수, 는 하중계수들이다. 만

약 하중이 고정하중과 활하중의 합이라고 하면, 즉, 이면 식(3.1)은 다음과 같

이 된다.

≥ (3.2)

이 설계법은 설계식, 식(3.1) 또는 식(3.2)가 기존의 강도설계법과 유사하고 실무자들에게

친숙한 형식이어서 큰 어려움 없이 바로 설계에 적용할 수 있는 장점이 있다. 따라서 현재

36

전 세계의 대부분의 설계기준이 이 방식을 채택하고 있으며, 저항계수()와 하중계수()는 각

하중조합의 경우에 2단계 신뢰도해석에 의하여 적절하면서도 균일한 안전도를 확보할 수 있도

록 결정된다.

3.2.1 하중 및 저항계수의 결정

식(3.1)의 설계식과 최소의 안전도 규정이라는 설계원칙에 따라 식(3.3)과 같은 등식이 성

립하며, 이때 신뢰도지수의 목표치, 즉 목표신뢰도지수(target reliability index)를 라 하면,

식(2.17)은 식(3.4)와 같이 변환된다.

(3.3)

(3.4)

여기서, 은 저항의 편심계수(bias factor)라 하는데, 저항의 평균값을 저항의 공칭값으로 나

눈 값이다. 공칭값은 설계기준에서 정의된 기준값을 의미한다. 식(3.4)를 정리하면 저항계수는

다음과 같다.

(3.5)

이 식은 3개의 미지수( )를 포함하고 있으며 이 식을 이용하여 하중계수 및 저항계수

를 결정하기 위해서는 먼저 목표 신뢰도지수 를 결정하여야 한다.

목표 신뢰도지수는 구조물의 안정성과 경제성을 결정하는 가장 중요한 계수로, 주로

설계기준의 제정을 담당하는 위원회에서 경제, 사회적 측면과 기존 구조물의 안전성을 고

려하여 결정한다. 목표신뢰도지수를 결정한 후에 저항계수와 하중계수를 결정하기 위해서

하나를 먼저 정하고 식(3.5)에 따라 나머지 하나를 결정하게 되는데, 저항계수를 먼저 결

정한 후 하중계수를 구하게 되면 부재별로 다른 하중계수를 사용하게 되므로 불합리적이

다. 따라서 하중계수를 먼저 구한 후 식(3.5)를 이용하여 저항계수를 나중에 계산하는 방

법을 사용하다. 이 과정은 다음과 같이 진행될 수 있다.

① 하중계수가 곱해진 하중을 하중의 평균값에서 표준편차의 임의의 배수만큼 증가한 값으

로 정한다. 즉,

(3.6)

따라서, 하중계수는 다음과 같이 구할 수 있다.

37

(3.7)

여기서, 는 하중의 편심계수이다.

② 주어진 하중계수들을 이용하여 저항계수를 부재별, 하중별로 계산한다.

③ 부재별, 하중별로 계산된 저항계수가 적정범위 내에 존재하는가를 확인하여 그렇지 않

다면 새로운 하중계수를 선택하여 위의 과정을 다시 반복한다.

다음 절에서 미국 AASHTO LRFD설계기준(AASHTO, 1998)을 기준으로 하중 및 저항

계수를 결정하는 과정을 설명한다.

3.2.2 AASHTO LRFD 설계기준의 하중 및 저항계수

먼저 기존의 설계기준으로 설계된 교량의 신뢰도를 해석하고 이미 LRFD를 도입한 캐나다

의 온타리오주 교량설계기준(OHBDC, 1991)의 예를 참고로 하여 목표신뢰도지수를 3.5로

결정하였다. 하중계수 및 저항계수의 결정을 위하여 여러 연구결과를 토대로 표 3.1과 같

은 하중의 통계치를 사용하였다.

하중 편심계수(λ) 변이계수()

고정하중 1.03 0.10

고정하중 1.00 0.25

고정하중 1.00 0.25

활하중

(충격하중 포함)1.10～1.20 0.18

표 3.1 하중의 통계적 특성

여기서, 은 강재나 프리스트레스트 콘크리트 같은 공장제작 부재의 자중, 는 현장타설

콘크리트 부재의 자중, 는 아스팔트 같은 포장재의 자중이다. 이 통계치를 이용하여 여러

가지의 값에 대하여 식(3.7)의 하중계수를 계산하면 표 3.2와 같다.

하중 = 1.5 = 2.0 = 2.5

1.150 1.20 1.24

1.200 1.25 1.30

1.375 1.50 1.65

1.40~1.50 1.50~1.60 1.60~1.70

표 3.2 고려된 하중계수들

38

AASHTO에서는 값으로 2.0을 추천하였는데 이는 다음과 같이 계산될 수도 있다.

위의 식(3.4)에서 을 로 가정하면 다음 식과 같이 된다.

(3.8)

만약, 하중 를 고정하중( )과 활하중( )만의 합으로만 가정하면, 다음 식이 성립하고,

(3.9)

식(3.8)은 다음과 같이 된다.

(3.10)

여기서 다시 을 로 가정하면, 식(3.10)은 다음과 같이 된다.

(3.11)

이 식에 ․, ․ , ․를 대입하여 정리하면 다음 식을 얻을 수 있

다.

(3.12)

식(3.12)와 식(3.2)를 비교하면, 다음과 같은 하중계수들의 식과 n값을 얻을 수 있다.

(3.13)

여기서 와 은 위의 식의 전개의 가정으로부터 나온 상수로, 이 가정에서의 오차를 ε

라 하면

ε (3.14)

일반적인 교량에 대해, 다음의 값들을 가정하여, 오차가 최소가 되도록 을 구하면 0.75의

값을 얻을 수 있다. 마찬가지 방법으로 의 값도 0.75가 된다.

, , ∼ 로 가정

39

를 3.5로 하면 = 3.5(0.75)(0.75) = 1.97이 되므로, =2.0 의 추천은 바람직하다 할 수

있다. 결과적으로 AASHTO에서는 을 2.0으로 결정하였으며 설계의 편의를 위하여 과

에 대해서는 =1.25, 에 대해서는 =1.50, L에 대해서는 =1.60이나 더 안전여유를

두기 위해 =1.75로 결정하였다.

세 번째 단계는 신뢰성지수식에 의해 신뢰도지수가 목표 신뢰도지수에 가장 근접하도

록 저항계수를 결정하는 것이다. 여기에 사용된 저항의 통계치는 표 3.3과 같다. 계산 결

과, 저항계수는 표 3.4와 같이 결정되었다.

최종적으로 이상과 같은 하중 및 저항계수를 사용하여 여러 교량형식의 175개의 대상

교량에 적용하여 신뢰도지수를 계산하여 기존의 AASHTO의 신뢰도지수와 비교한 결과가

그림 3.1에 나타나 있다. 기존의 AASHTO의 신뢰도지수에 비하여 아주 균일한 신뢰도지수

를 보임을 알 수 있다. 새로운 기준의 신뢰도 수준은 약 3.4~3.9정도이다. AASHTO

LRFD(2004)에서 규정된 하중조합 및 계수는 표 3.5와 같다.

구조물 형태 편심계수(λ) 변이계수()

비합성

강재거더

모멘트 1.12 0.100

전단 1.14 0.105

합성

강재거더

모멘트 1.12 0.100

전단 1.14 0.105

철근콘크리트

부재

모멘트 1.14 0.130

전단(철근있음) 1.20 0.135

전단(철근없음) 1.41 0.170

프리스트레스트

콘크리트부재

모멘트 1.05 0.075

전단 1.15 0.140

표 3.3 저항의 통계치

구조물 형태 저항계수

비합성

강재주형

모멘트 1.00

전단 1.00

합성

강재주형

모멘트 1.00

전단 1.00

철근콘크리트

부재

모멘트 0.90

전단 0.90

프리스트레스트

콘크리트부재

모멘트 1.00

전단 0.90

표 3.4 결정된 저항계수

40

(a) 휨모멘트에 대한 한계상태에 대하여 (b) 전단력에 대한 한계상태에 대하여

그림 3.1 AASHTO LRFD설계기준과 기존 AASHTO설계기준의 교량 신뢰도 비교(Nowak, 2000)

하중조합

한계상태

DCDDDWEHEVESEL

LLIMCEBRPLLS

WA WS WL FRTUCRSH

TG SE

이 하중들은 한 번에 한 가지만 고려

EQ IC CT CV

강도한계상태조합Ⅰ

γp 1.75 1.00 - - 1.000.50/1.20

γTG γSE - - - -

강도한계상태조합Ⅱ

γp 1.35 1.00 - - 1.000.50/1.20

γTG γSE - - - -

강도한계상태조합Ⅲ

γp - 1.00 1.40 - 1.000.50/1.20

γTG γSE - - - -

강도한계상태조합ⅣEH, EV, ES, DW

DC만 고려γp1.5

- 1.00 - - 1.000.50/1.20

- - - - - -

강도한계상태조합Ⅴ

γp 1.35 1.00 0.40 1.0 1.000.50/1.20

γTG γSE - - - -

극한한계상태조합Ⅰ

γp γEQ 1.00 - - 1.00 - - - 1.00 - - -

극한한계상태조합Ⅱ

γp 0.50 1.00 - - 1.00 - - - - 1.00 1.00 1.00

사용성한계상태조합Ⅰ

1.00 1.00 1.00 0.30 1.0 1.001.00/1.20

γTG γSE - - - -

사용성한계상태조합Ⅱ

1.00 1.30 1.00 - - 1.001.00/1.20

- - - - - -

사용성한계상태조합Ⅲ

1.00 0.80 1.00 - - 1.001.00/1.20

γTG γSE - - - -

피로-LL, IM & CE만 고려

- 0.75 - - - - - - - - - - -

표 3.5 AASHTO LRFD(2004)설계기중의 하중조합 및 하중계수

41

4. 교량의 신뢰도 분석

확률 및 신뢰도에 기초한 설계기준을 정립하기 위해서는 우선적으로 기존 설계기준으로 설

계된 교량의 신뢰도를 구하는 과정이 선행되어야 한다. 이를 기초로 하여 신설될 설계기준

의 목표 신뢰도를 정하고 하중과 강도에 관련된 부분안전계수를 보정하는 과정을 수행할

수 있게 된다.

이 장에서는 실제 설계된 단면을 이용하여 교량의 신뢰도 분석과정을 설명한다. 신뢰

도 분석에 필요한 단면의 강도를 구하기 위한 기초 재료, 단면치수 및 주요 하중에 관한

통계 자료를 문헌으로부터 수집하여 제시하며, 이를 이용하여 대표적인 교량형식인 PSC

거더교, 라멘교 및 강플래이트 거더교에 대한 신뢰도 지수 산정 예를 제시한다.

4.1 저항강도 통계자료

신뢰도에 기반한 설계를 위해서는 구조물 저항강도를 구성하는 재료의 통계자료 및 구조부

재의 단면치수에 관한 통계자료를 수립하는 것이 우선이다. 이러한 통계자료 중 대표적인

것으로는 미국 ACI, AASHTO 설계기준 및 캐나다의 OHBDC 설계기준의 보정작업에 사용

한 자료를 들 수 있다. Ellingwood 등(1980)은 확률에 기초한 미국 국가기준의 하중계수를

정하기 위한 연구를 수행하고 주요 변수들에 대한 통계자료를 수집 정리하여 발표하였는

데, 이 자료들은 이후에 수행된 주요 설계기준들의 보정에 주로 사용하게 된다. Nowak 등

(2003)은 ACI 설계기준을 보정하는 연구를 수행하고 최근에 향상된 재료의 강도를 반영한

기초 자료를 발표하였다.

표 4.1 및 4.2는 이들 연구에서 사용한 콘크리트, 철근 및 PS긴장재에 관한 기초 통계

자료이며, 표 4.3은 각종 단면 치수의 통계자료 및 전문성계수(professional factor)이다.

표 4.4는 열간압연 강재(hot-rolled steel element)에 대한 재료 특성으로 Ellingwood 등

(1980)의 결과이며, 표 4.5는 AASHTO 설계기준 보정 연구에서 Tabsh 등(1991)이 사용한

통계자료이다.

국내 통계자료의 예로는 표 4.6과 같이, 신동구 등(2005)이 강합성단면의 신뢰도 분석

연구를 수행하고 발표한 강재의 통계자료가 있는데 이는 국내에서 생산된 강재를 표본조사

한 후 소성해석을 통하여 단면의 극한모멘트강도를 구한 통계 분석 자료이다.

42

Ellingwood 등 (1980) Nowak 등 (2003)

f'c

(psi)평균값 () 변동계수 ()

(psi)

평균값 ()

psi변동계수 ()

편심계수

()

압축강도 (psi) 보통 레디믹스 콘크리트

3000 2760 0.18 3000 4060 0.10 1.35

4000 3390 0.18 3500 4240 0.10 1.21

5000 4028 0.15 4000 4940 0.10 1.235

4500 5125 0.10 1.14

인장강도 (psi) 5000 5730 0.10 1.15

3000 306 0.18 6000 6700 0.10 1.12

4000 339 0.18

5000 366 0.18 보통 공장타설 콘크리트

5000 6910 0.10 1.38

5500 6570 0.10 1.19

6000 6950 0.10 1.16

6500 7420 0.10 1.14

경량 콘크리트

3000 4306 0.185 1.44

3500 5421 0.135 1.55

4000 5191 0.170 1.30

5000 5500 0.070 1.10

고강도 콘크리트

28 일 56 일

(psi)

(psi)

7000 8342 0.115 1.19 10433 0.080 1.49

8000 8745 0.090 1.09 8717 0.095 1.09

9000 10413 0.100 1.16 N/A N/A N/A

10000 11283 0.115 1.13 11805 0.105 1.18

12000 12442 0.105 1.04 14008 0.105 1.17

표 4.1 콘크리트 압축강도 통계 특성치

43

Ellingwood 등 (1980) Nowak 등 (2003) *

종류평균

ksi변동계수

표준편차

ksi호칭

평균

ksi변동계수 편심계수

Grade 40 45.3 0.116 5.3 #3 (9.5mm) 72.00 0.040 1.200

Grade 60 67.5 0.098 6.6 #4 (12.5mm) 68.70 0.065 1.145

#5 (15.5mm) 67.50 0.040 1.125

#6 (19mm) 69.10 0.050 1.150

#7 (22mm) 69.90 0.050 1.165

#8 (25mm) 68.75 0.050 1.145

#9 (28mm) 69.05 0.050 1.150

#10 (31mm) 68.25 0.040 1.140

#11 (34.5mm) 68.75 0.035 1.145

Grade

270

PS긴장재

인장강도

281 0.025 7.0 ksi

250

1/4

(6.25mm)268 0.010 1.07

3/8

(9.5mm)277 0.025 1.11

7/16

(11mm)269 0.007 1.08

1/2

(12.5mm)285 0.300 1.14

270

3/8

(9.5mm)287 0.030 1.06

7/16

(11mm)288 0.010 1.07

1/2(mm) 282 0.025 1.04

표 4.2 철근 및 PS긴장재의 통계 특성치

* Grade 60 철근에 대한 값

44

Ellingwood 등 (1980) Nowak (2003)

종류평균값

()

변동계

수

()

표준편

차

()

종류변동계수

()

편심계수

()

치수 오차

콘크리트 치수에 대한

제작계수

슬래브의 총 공칭깊이+0.03 ~

+0.21 in

0.26 ~

0.47 in보의 폭, 현장타설 0.040 1.010

보의 총 공칭깊이–0.12 ~

+0.81 in

0.25 ~

0.55 in

철근콘크리트 보의

유효깊이0.040 0.990

유효길이,

일방향 슬래브,

상부철근

–0.40 in 0.50 inPSC콘크리트 보의

유효깊이0.025 1.000

유효길이,

일방향 슬래브,

하부철근

–0.13 in 0.35 in슬래브의 유효깊이,

현장타설0.120 0.920

보의 유효깊이,

상부철근–0.22 in 0.53 in

슬래브의 유효깊이,

공장타설0.060 1.000

보의 복부의 공칭폭 +0.10 in 0.15 in슬래브의 유효깊이,

포스트텐션0.080 0.960

기둥의 공칭치수 +0.06 in 0.25 in 기둥의 폭 0.040 1.005

보의 하부철근의 덮개–0.35 ~

+0.06 in

0.28 ~

0.45 in

전문성계수

보, 휨 0.060 1.020

보, 전단 0.100 1.075

슬래브 0.060 1.020

띠철근 기둥 0.080 1.000

나선철근 기둥 0.060 1.050

무근 콘크리트 0.060 1.020

표 4.3 치수 통계치 및 전문성 계수(professional factor)

45

종류 평균값 () * 편심계수 () 변동계수 ()

정적 항복강도, 플랜지 1.05 1.050 0.10

정적 항복강도, 복부 1.10 1.100 0.11

탄성계수 or 1.000 0.06

정적 전단 항복강도 1.11

1.110 0.10

포아송 비 0.3 1.000 0.03

강재 인장강도 1.10 1.100 0.11

용접 인장강도, / 1.05 1.050 0.04

용접 전단강도, / 0.84 0.840 0.10

HSS볼트의 인장강도, A325 1.20 1.200 0.07

HSS볼트의 인장강도, A490 1.07 1.070 0.02

HSS볼트의 전단강도 0.625 0.625 0.05

표 4.4 열간압연 강재의 재료 통계치

* : 공칭 항복강도 , : 공칭 인장강도, : 인장강도, : 전단강도, : 용

접강의 공칭 인장강도

변 수 공칭값 (ksi) 평균값 (ksi) 편심계수 () 변동계수 ()

36 38 1.055 0.100

40 45 1.125 0.120

60 67 1.115 0.100

270 281 1.040 0.025

3 2.76 0.920 0.180

′ 5 4.03 0.805 0.150

29000 29000 1.000 0.060

표 4.5 교량의 신뢰도 분석용 통계치

46

강종두께

(mm)

표

본

수

S-1 S-2 S-3

공칭 평균

(%) 공칭 평균

(%) 공칭 평균

(%)

SS40040이하 427 0.4372 0.5091 6.29 1.1644 1.0996 1.2647 6.15 1.1501 1.8648 2.1043 4.97 1.1284

41-100 37 0.4117 0.4687 4.27 1.1221 1.0512 1.1738 3.75 1.1166 1.7910 1.9773 3.28 1.1040

SM400A 40이하 267 0.4372 0.5207 7.04 1.1910 1.0996 1.2936 7.02 1.1764 1.8648 2.1422 5.72 1.1488

SM400B 40이하 144 0.4372 0.4994 4.28 1.1423 1.0996 1.2397 3.89 1.1274 1.8648 2.0737 3.06 1.1120

SM490A40이하 6133 0.5361 0.6193 7.20 1.1552 1.3281 1.5494 7.57 1.1666 2.2034 2.5214 7.63 1.1443

41-100 788 0.5082 0.6313 5.46 1.2422 1.2694 1.5815 5.74 1.2459 2.1160 2.5746 5.68 1.2167

SM490B40이하 4042 0.5361 0.6230 6.88 1.1621 1.3281 1.5590 7.22 1.1739 2.2034 2.5366 7.30 1.1512

41-100 392 0.5082 0.6274 5.24 1.2346 1.2694 1.5710 5.53 1.2376 2.1160 2.5574 5.46 1.2086

SM490C40이하 92 0.5361 0.6255 5.13 1.1685 1.3281 1.5664 5.40 1.1794 2.2034 2.5478 5.45 1.1563

41-100 53 0.5082 0.6369 5.25 1.2532 1.2694 1.5958 5.51 1.2571 2.1160 2.5977 5.56 1.2276

SM490YA40이하 185 0.5916 0.6814 3.38 1.1518 1.4765 1.7131 3.53 1.1602 2.3989 2.7926 3.53 1.1641

41-75 25 0.5638 0.6346 3.41 1.1256 1.4025 1.5908 3.64 1.1342 2.2934 2.5884 3.69 1.1286

SM490YB

40이하 551 0.5916 0.6837 4.99 1.1556 1.4765 1.7187 5.15 1.1640 2.3989 2.8003 5.23 1.1673

41-75 143 0.5638 0.6360 3.75 1.1281 1.4025 1.5944 3.99 1.1368 2.2934 2.5942 4.01 1.1312

76-100 85 0.5500 0.6184 3.75 1.1244 1.3653 1.5469 4.00 1.1330 2.2480 2.5176 3.99 1.1199

SMA490BP 40이하 274 0.5916 0.6933 8.23 1.1719 1.4765 1.7534 8.41 1.1875 2.3989 2.8570 8.55 1.1909

SMA490BW 40이하 581 0.5916 0.6732 4.03 1.1379 1.4765 1.6918 4.21 1.1458 2.3989 2.7555 4.28 1.1486

SM520B40이하 1571 0.5916 0.6908 4.52 1.1677 1.4765 1.7375 4.66 1.1768 2.3989 2.8314 4.74 1.1803

41-75 24 0.5639 0.6370 3.04 1.1296 1.4025 1.5967 3.20 1.1385 2.2934 2.5980 3.26 1.1328

SM520C

40이하 243 0.5916 0.6790 3.63 1.1477 1.4765 1.7151 3.85 1.1616 2.3989 2.7805 3.84 1.1591

41-75 41 0.5639 0.6322 3.89 1.1211 1.4025 1.5900 4.15 1.1337 2.2934 2.5770 4.17 1.1237

76-100 27 0.5500 0.6298 5.98 1.1451 1.3653 1.5834 6.38 1.1597 2.2480 2.5672 6.34 1.1420

SM57040이하 92 0.7315 0.8246 5.31 1.1273 1.8363 2.1028 5.49 1.1451 3.0080 3.3842 5.10 1.1251

41-75 49 0.7071 0.7867 4.71 1.1126 1.7711 2.0029 4.87 1.1309 2.9110 3.2335 4.64 1.1108

총평균 - - - - 4.99 1.16 - - 5.14 1.16 - - 4.98 1.15

표 4.6 단면별 극한모멘트강도(x1010N․mm) 통계치

47

(4.2)

(4.3)

하중 종류 편심계수 () 변동계수 () 분포 형태

1.05 0.10 정규분포

식 4.1 또는 식 4.2 0.25 극치분포 I형

식 4.3 0.40* 감마분포

0.78 0.37 극치분포 I형

0.33 0.59 극치분포 I형

(-0.021) (18.7) 극치분포 I형

0.82 0.26 극치분포 II형

0.20 0.73 대수정규분포

지진구역별로 주어짐

(원본 참조)(2.3) 극치분포 II형

4.2 하중 통계자료

구조물에 작용시키는 설계하중에 대한 통계자료로는 Ellingwood 등(1980)의 건물에 대한

하중연구가 대표적인데 표 4.7에 그 결과를 나타내었다. 이 표에서, , , , , 는 각

각 50년 주기를 기준을 한 고정하중, 활하중, 설하중, 풍하중, 지진하중을 말하며, 아래첨자

ann과 apt는 각각 연간 및 임의시각에서의 하중효과를 말한다. 여기서 지진하중은 1976 UBC

값이며, 다른 하중들은 1972 ANSI 값이다. 지진하중에 대한 편심계수는 지진구역별로 다르게

나타나는데 예를 들어 로스엔젤레스지역은 1.08이고, 매사추세츠지역은 0.64 등이다. 표에서

괄호안의 값들은 평균이나 표준편차가 극치분포(extreme distribution)에 대한 특성치이다.

표 4.7 하중 분포 및 통계자료

* 건물의 활하중에 대한 값으로 자세한 항목에 대한 값들은 지면 관계로 생략하였다.

(4.1)

표 4.8 ~ 4.13은 Nowak(1999)이 수행한 AASHTO LRFD 교량 설계기준의 보정연구에

대한 결과이다. 표 4.8은 구조재와 비구조재에 의한 무게를 나타내는 고정하중으로 모두

정규분포를 따른다고 가정하였다. 표 4.9는 여러 차선에 트럭이 재하 되는 경우에 대한 상

관관계를 고려한 모의해석을 통하여 구한 차선계수이다. 표 4.10과 4.11은 모의해석에 사

용한 트럭의 통계자료이며 모의해석 결과, 동적하중계수는 트럭 활하중 평균값인 에 대한

48

비율로 주어진다. 표 4.13은 교량 설계기준의 하중조합의 보정에 적용한 풍하중과 지진하중에

관한 통계자료이다.

부재 종류 편심계수 () 변동계수 ()공장제작 부재 1.03 0.08현장제작 부재 1.05 0.10

아스팔트 3.5 inch* 0.25기타 비구조재 1.03 - 1.05 0.08 - 0.10

표 4.8 교량에 대한 고정하중 통계자료

ADTT*

(일방향 진행)

차선 (편심계수)

1 2 3 4차선 이상

100 1.15 0.95 0.65 0.551,000 1.20 1.00 0.85 0.605,000 1.25 1.05 0.90 0.65

표 4.9 다중차선 활하중계수

* ADTT : 일평균 트럭 통행대수

랜덤변수 분포 형태 평균 () 변동계수 () 최소 최대총중량 정규분포 40 kips 0.21축거 균등분포 10ft 25ft속도 정규분포 55mph 0.165

표 4.10 3축 트럭 통계자료

랜덤변수 분포형태 평균 () 변동계수 () 최소 최대총중량 Normal 65 kips 0.26축거 Uniform 27ft 42ft속도 Normal 55mph 0.165

표 4.11 5축 트럭 통계자료

평균 표준편차

트럭 1대 0.13 0.10 트럭 2대 0.09 0.06

표 4.12 모의해석에 의한 동적하중계수

49

하중 종류

75년 최대 하중

기본 주기

기본주기에 대한 활하중

편심계수

()

변동계수

( )

편심계수

()

변동계수

( )

풍하중 0.875 0.20 4 시간 0.80 - 0.90 0.25

지진하중 0.300 0.70 30 초 0 - 0.50 0.50

표 4.13 풍하중과 지진하중 통계 자료

4.3 PSC 거더교량의 신뢰도

이 절에서는 현행 국내 도로교설계기준에 따라 설계된 프리스트레스트 콘크리트(PSC) 거

더 교량의 휨에 대한 신뢰도 분석을 하는 과정을 소개한다. 먼저 단면강도의 통계적 특성

을 구하는데, 재료 통계자료를 사용할 때, 4.1절에서 소개한 서로 다른 두 통계치, 즉,

1980년도 자료와 2003년도 자료를 적용하여 그 차이를 분석한다. 다음으로, 두가지의 한

계상태, 즉, 휨강도 및 휨인장응력을 한계상태로 정의하여 각각에 대한 신뢰도 분석을 수

행한다. 휨강도 한계상태에 대하여는, 휨강도에 맞추어 설계한 단면에 대하여

Rackwitz-Fiessler 방법을 적용하여 신뢰도 분석을 수행한 후 결과를 비교한다. 휨인장응

력 한계상태에 대하여는, 휨응력에 맞추어 설계한 단면에 대하여 Monte-Carlo 시뮬레이

션 방법을 사용하여 신뢰도 분석을 수행한다.

4.3.1 단면강도의 통계적 특성

(1) 단면설계

대상 교량은 지간이 20m ~ 40m, 거더 간격은 2.1m, 2.5m로 하고, 그림 1과 같은 PSC

거더 단면의 제원은 지간 25m ~ 35m에 대해서는 도로공사의 표준단면을 사용하고, 지간

20m와 40m에 대해서는 표준단면을 기준으로 비례식으로 조정하여 사용한다. 표 4.14에

지간별 거더 및 슬래브의 제원이 나타나 있다. 그림 4.2 및 4.3은 지간 30m, 거더간격

2.5m인 경우에 대한 PSC거더교의 단면도와 측면도의 예이다.

그림 4.1 PSC거더와 슬래브의 합성단면

50

지간 변화에 따른 단면 제원 ( 단위 : mm )

지간 B1 B2 B3 H H1 H2 H3 H4 H5 B t

20m 600 200 580 1650 140 80 1070 180 180 1849 250

25m 640 200 600 1750 160 90 1100 200 200 1849 250

30m 700 200 660 2000 180 100 1270 220 230 1849 250

35m 760 220 720 2200 200 110 1400 240 250 1849 250

40m 820 220 780 2500 220 120 1620 260 280 1849 250

표 4.14 합성단면의 제원

t =

그림 4.2 PSC 거더교의 단면도 (단위 : m)

그림 4.3 PSC 거더교의 측면도 (단위 : m)

51

교량에 가해지는 하중으로는 고정하중과 도로교설계기준(2000)에 정의된 DB-24 활하

중만을 고려한다. 구조해석에 의해서 단면에 작용하는 단면력을 계수 휨모멘트를 구하였

다. 표 4.15에는 지간 30m 경우에 대하여, 거더 자중과 합성 전 고정하중인 슬래브 자중,

그리고 합성 후 고정하중인 아스팔트 및 기타 추가고정하중에 대한 단면력을 집계하였고,

또한 트럭 활하중에 의한 단면력을 나타내었다. 하중계수를 곱한 계수하중을 지간별로 구

하여 그림 4.4에 도시하였다.

설계기준에 따라 설계된 단면의 신뢰도를 산정하기 위하여, 계수 휨모멘트 와 동일한

휨 저항강도 를 가지도록 PS강재의 단면적을 구하였다. 즉, 등가응력직사각형을 이용하여

해석할 경우에, 다음 식으로 나타나는 단면의 휨 저항강도로부터

(4.4)

가 되도록 하고,

를 대입하면 다음과 같이 된다.

× (4.5)

이 식은 에 대한 2차 방정식이 된다. 2차 방정식에 대한 근의 공식을 이용하여 의 값을 구한다.

이제 강도 상태에서의 강재의 변형율 는 다음과 같이 구할 수 있다.

(4.6)

여기서,

,

,

이다.

이와 같은 과정으로 구한 PS강재 면적이 그림 4.5에 나타나 있다.

구분 단면력 거더 자중합성전

고정하중

합성후

고정하중활하중 계

외

측

단부전단력(kN) 296.7 285.8 193.4 325.4 1101

모멘트(kN․m) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

중간부전단력(kN) 4.280 6.090 0.000 145.4 155.7

모멘트(kN․m) 2001 2124 1407 2199 7732

내

측

단부전단력(kN) 296.7 300.0 44.19 360.0 1001

모멘트(kN․m) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

중간부전단력(kN) 4.280 12.19 0.000 160.8 177.3

모멘트(kN․m) 2000 2351 321.4 2433 7106

표 4.15 단면력 집계표

52

0

5

10

15

20

25

15 20 25 30 35 40 45

교장(m)

계수

휨 모

멘트

(x10

3 k

N m

)

s = 2.1m s = 2.5m

그림 4.4 지간별 계수 휨 모멘트

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

15 20 25 30 35 40 45

교 장(m)

강재

면적

[m

m2]

s = 2.1m s = 2.5m

그림 4.5 지간별 PS강재 면적

53

(2) 1980년 자료를 이용한 통계 특성

공칭 휨강도를 계산하기 위해 기초 재료 중 랜덤변수로 취하는 값은 표 4.16에 나타난 바

와 같이 , , 로 정하고, 이 중 콘크리트 압축강도는 Ellingwood 등(1980)의 통계적

특성을 이용하여 시뮬레이션을 한다. 원하는 개수만큼 그 값을 생성해 공칭강도 즉 저항의 통계

적 특성을 만드는데 사용한다.

랜덤넘버 생성 프로그램을 작성하여 기초통계자료에 따르는 변수를 1000 세트 생성하

였다. 이 중에서 콘크리트의 압축강도를 시뮬레이션 한 결과의 확률밀도함수 PDF와 누적

분포함수 CDF를 그래프로 그려보면 각각 그림 4.6 및 4.7과 같다.

변 수 명 기 호 공 칭 값 편심계수 () 변동계수 ( )

콘크리트의 강도 27[MPa] 0.92 0.1800

유효깊이 1920[mm] 1 0.0250

강재의 면적 3553.6[mm2] 1 0.0125

표 4.16 기초 재료의 통계적 특성

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

12.32 17.93 23.54 29.15 34.75[MPa]

그림 4.6 콘크리트 압축강도의 PDF(1980년 자료)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

12.32 17.93 23.54 29.15 34.76[MPa]

그림 4.7 콘크리트 압축강도의 CDF(1980년 자료)

54

이와 같이 생성된 재료의 값들을 식 (4.5)에 대입하여 1000 개의 공칭휨강도 을 구해낼 수

있고, 이를 이용해서 의 통계적 특성을 산출해 낼 수 있다.

표 4.17은 공칭휨강도의 통계 결과를 나타내며, 이에 대한 PDF와 CDF를 그래프로 도

시하면 그림 4.8 및 4.9와 같다.

변수명 기호 공칭값 편심계수 () 변동계수 ( )

공칭 휨강도 8960[kNㆍm] 0.995 0.045

표 4.17 단면의 공칭강도의 통계 결과

0

0.004

0.008

0.012

7870 8417 8964 9511 10060[kN-m]

그림 4.8 단면 공칭휨강도의 PDF(1980년 자료)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

12.32 17.93 23.54 29.15 34.76[MPa]

그림 4.9 단면 공칭휨강도의 CDF(1980년 자료)

55

(3) 2003년 자료를 이용한 통계 특성

동일한 재료의 공칭값에 대하여 평균 및 표준편차의 통계적 특성이 달라지면 공칭휨강도에

어떤 영향을 미치는지에 대해 알아보기 위하여 콘크리트 강도 의 평균과 표준편차를

Nowak(2003)의 값을 사용하여 (2)에서와 같이 1000개를 시뮬레이션한 후 단면의 공칭휨강도

를 계산해 보았다. 결과적으로 의 값이 커지면서 공칭휨강도 역시 커졌지만 1% 정도의 미미

한 증가에 그쳐 콘크리트의 압축강도는 단면의 휨강도에 큰 영향을 미치지 않았음을 알 수 있

다. 그림 4.13에 나타난 민감도 곡선을 보면, 단면의 휨강도에 미치는 단면계수들의 영향을 알

수 있다. 즉, 콘크리트 압축강도보다는 인장측 긴장재의 강도 및 면적과 유효깊이가 더 큰 영향

을 줌을 알 수 있다.

변수명 기 호 공칭값 편심계수 () 변동계수 ( )

콘크리트의 강도 27[MPa] 1.235 0.1

표 4.18 기초 재료의 통계적 특성 (Nowak 등, 2003)

0.000

0.003

0.006

0.009

0.012

0.015

25 29 34 38 43[MPa]

그림 4.10 콘크리트 압축강도의 PDF(2003년 자료)

0

0.004

0.008

0.012

8127 8622 9116 9611 10110[kN-m]

그림 4.11 단면 공칭휨강도의 PDF(2003년 자료)

56

기초 통계자료 출처 평균값 편심계수 () 변동계수 ( )

Nowak 등 (2003) 9060[kN-m] 1.006 0.041

Ellingwood 등 (1980) 8960[kN-m] 0.995 0.045

표 4.19 단면의 공칭휨강도의 통계 결과 비교

0

2

4

6

8

0 15 30 45제작 오차 %

신뢰

도지

수

AP

FPS

FCK

DEPTH

그림 4.12 민감도 곡선

4.3.2 강도한계상태에 대한 신뢰도 분석

강도한계상태 방정식 는 그림 2.10에 도식적으로 나타내 바와 같이, 단면의 공칭저항강도 R

과 외력에 의해 단면에 작용하는 모멘트 의 차이로 정의한다.

(4.7)

(4.8)

(4.9)

여기서 ≧ 이면 안전하고, 이면 안전하지 않은 상태를 나타내며, 이 상태가 일어날

확률이 파괴확률인 이다. 위 식에서 및 은 각각 합성 전 고정하중과 활하중에 의

한 단면 모멘트를 나타내며, 는 합성 후 고정하중을 나타낸다.

하중 및 재료에 대한 통계 데이터는 표 4.20에 나타낸 바와 같이 Nowak(1999)의 연구

에서 사용한 값을 이용한다. 이 경우에는 동일한 통계 자료를 사용한 다른 연구의 결과와

비교할 수 있는 이점이 있다.

57

편심계수 () 변동계수 ( ) 분포

공장제작 PC 1.03 0.08 정규분포

현장타설 슬래브 1.05 0.10 정규분포

아스팔트 1.00 0.25 정규분포

표 4.20 고정하중에 대한 통계 데이터

활하중에 대한 통계 값으로는 활하중과 동적하중의 조합효과에 대한 변동계수 0.18을 사용

하였다.(Nowak and Grouni, 1994)

표 4.21에는 기초 재료의 통계자료를 나타내었는데, 슬래브 콘크리트의 압축강도인 27

MPa과 가까운 값인 4000psi에 대한 값을 사용하였고, PS 강재에 대한 통계 값은 Grade

270연선의 값을 사용하였다.

구분 편심계수 () 변동계수 ( ) 분포

콘크리트 1.160 0.100 대수정규분포

PS 강재 1.040 0.025 대수정규분포

표 4.21 재료의 통계 자료

이 연구에서는 2장에서 기술한 신뢰도 해석 방법 중에 Rackwitz-Fiessler 방법을 이용하

여 신뢰도 지수를 계산하였다. 지간 20m에서 40m까지의 PSC 거더교의 신뢰도 지수를 구

하여 그림 4.13에 도시하였다.

0

2

4

6

8

10

15 20 25 30 35 40 지간 [m]

신뢰

도 지

수

도 로교 설 계 기준

그림 4.13 휨에 대한 PSC거더의 신뢰도 지수

4.3.3 사용한계상태에 대한 신뢰도 분석

Monte Carlo Simulation 방법을 이용하여 도로교설계기준(2000)에 따라 설계된 프리스트

58

레스트 콘크리트(PSC) 거더 교량의 신뢰도 지수를 산정한다. PSC 거더는 도로공사의 표준

단면을 이용하여 설계하고, 교량의 지간은 25m, 거더 간격은 설계에서 많이 사용하는

2.1m로한다.

교량에 가해지는 하중으로는 고정하중과 DB-24 활하중만을 고려한다. 거더 콘크리트의 설

계기준강도는 = 40MPa로 하고, PS 강재는 = 190MPa인 저릴랙세이션 강연선을 사

용한다. 신뢰도 분석을 수행하여 모멘트에 대한 인장응력의 한계상태에 따른 거더의 신뢰도 지

수를 구한다.

단면설계는 도로교설계기준(2000)과 도로설계실무편람(1996)에 따라 설계하였으며, 그

림 4.14와 같다. PSC 거더 단면은 다음과 같은 네 가지 경우에 대한 응력이 각각의 경우

에 있어서의 허용응력을 넘지 않도록 하여야 한다.

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

여기서,

: 유효 프리스트레스 힘

: 거더 단면적

: 강재 편심거리

: 콘크리트 휨인장강도

: PSC 거더와 슬래브 자중에 의한 모멘트

: 포장, 보도, 연석 등 추가 고정하중에 의한 모멘트

: 활하중에 의한 모멘트

: PSC 거더 및 합성단면의 하연 단면계수

즉, 초기 프리스트레스를 도입한 직후의 콘크리트 상연, 하연에 걸리는 응력 와 모든

프리스트레스 손실이 일어난 후 사용하중 작용시의 콘크리트 상연, 하연에 걸리는 응력

가 각각 허용응력 이하이어야 한다. 허용응력은 초기의 경우에는 압축응력은 0.60 인장

응력은 0.25 (MPa)이며, 사용하중의 경우에는 압축응력은 0.40 인장응력은 0.5 f ck(MPa)이다.

59

그림 4.14 PSC 거더와 슬래브의 합성 단면 (단위 : mm)

구 분 값 비고

(MPa) 40 랜덤 변수

(mm2) 560,200

(mm3) 243,751,000

(mm3) 385,511,000

(mm) 716 랜덤 변수

(kN) 3,155,065,000 랜덤 변수

표 4.22 주요 설계 값

사용성 한계상태를 인장응력으로 예를 들어 정의한다면, 단면의 저항능력 R과 외력에 의해

발생하는 응력 의 차이로 정의할 수 있다.

(4.15)

(4.16)

(4.17)

60

여기서,

: 저항 능력

, : 고정하중 및 추가 고정하중에 의한 모멘트

: 활하중에 의한 모멘트

: PSC 거더 및 합성단면의 하연 단면계수

프리스트레스를 가한 직후의 콘크리트 상연, 하연에 걸리는 응력은 다음과 같다.

(4.18)

(4.19)

프리스트레스 손실 후에 콘크리트 상연, 하연에 걸리는 응력은 다음과 같다.

(4.20)

(4.21)

신뢰도 분석에 사용할 고정하중의 통계적 특성은 표 4.20과 동일한 값을 사용하였다. 활하

중에 대한 통계 특성치는 표 4.23과 같이 Nowak(1999)의 연구자료 중에서, 본 예제의 경

간 25m와 수치적으로 근사한 경간 90ft에 대한 편심계수, 변동계수 및 분포형식과 동일한

값을 이용한다. 이 예제에서 가정한 기초 통계자료는 다음의 표 4.24와 같다.

경간 (m) 편심계수 () 변동계수 ( ) 분포

활 하 중 25 1.31 0.12 로그정규분포

동 적 0.80 로그정규분포

표 4.23 활하중 모멘트에 대한 통계 데이터

구분 공칭값 편심계수 () 변동계수 ( ) 분포

콘크리트 1.19 0.115 대수정규분포

PS 강재 1.04 0.025 대수정규분포

강재 편심 1.00 0.530 정규분포

표 4.24 기초 통계자료

61

PSC 거더의 콘크리트 상, 하연 응력이 허용응력 이내이어야 하는 식 (4.18) ~ (4.21)

중에서 사용상태에서의 콘크리트 하연응력 식인 식 (4.21)이 설계를 지배하므로, 이 식을

사용성에 대한 한계상태 식으로 택하여 이에 대한 신뢰도 지수를 구한다. 설계기준에서는

파괴응력에 비하여 허용응력을 낮게 하여 한계상태에 대한 신뢰도 여유를 갖도록 하고 있

다. 이 예제에서는 사용상태에서 콘크리트의 허용 인장응력 를 다음과 같이 규정하기로 한

다.

(MPa) = (4.22)

신뢰도지수 산정을 위하여 한계상태 방정식을 수립하여야 하는데, 인장 응력인 경우에

는 압축 응력과 비교하여 파괴 응력을 정의하기가 보다 어려우나, 이 수치 예제에서는 인

장응력에 대한 신뢰도 지수를 구하는 예를 들기 위하여 임의로 휨인장 균열응력 을 다음과

같이 가정하여 이를 기준으로 한계상태를 설정한다.

(MPa) = (4.23)

(4.24)

이 식 (4.24)의 항들에 대한 계산 값들은 표 4.25와 같다.

(거더)

(슬래브)

(아스팔트)

응력

(MPa)20.89 4.796 5.339 0.480 5.507 0.551

1.065986 1.03 1.05 - 1.31 -

0.065094 0.08 0.10 0.25 0.12 0.80

표 4.25 응력 계산 결과

랜덤 변수를 생성하여 5000 세트의 단면을 구성하였고, 이들 단면의 콘크리트 하연 인장

응력을 구한 후에 한계상태를 넘게 되는 단면의 개수를 헤아린다. 이로부터 파괴확률을 구

하고 또한 신뢰도 지수 를 구하면 그 결과는 표 4.26과 같다.

생성된 단면 총 개수 <0인 단면 개수 신뢰도지수 ()

5000 167 0.0334 1.83

표 4.26 Monte Carlo 방법을 이용한 사용한계상태의 신뢰도지수 예

이 예제는, 단순히, 콘크리트 하연 인장응력을 한계상태로 설정하였을 경우에 신뢰도지수

62

를 구하는 과정을 설명한 예이며, 실제로 사용한계상태에 대한 신뢰도지수를 구하기 위해

서는, 이 예제의 계산과정 중에 사용한 콘크리트 인장응력의 한계상태 정의 부분 등에 대

하여 보다 심도 있는 논의가 선행되어야 하겠다.

4.4 RC 라멘교량의 신뢰도

이 절에서는 철근콘크리트 라멘 교량의 설계에 대한 신뢰도 지수를 구하는 예를 제시한다.

여기서는 구조물을 구성하는 철근콘크리트 재료와 구조물에 작용하는 주된 설계하중인 차

량하중의 통계적 특성을 고려하여 현행 도로교설계기준에 따른 휨 설계에 있어서의 강도한

계상태에 대한 신뢰도 지수를 구한다. 신뢰도 분석 방법은 Rackwitz-Fiessler 방법을 사

용하고 통계적 특성치는 표 4.27의 자료를 사용한다. 교량 지간에 따른 설계 휨모멘트의

변화, 철근면적의 변화, 휨강도에 대한 신뢰도지수 등을 구하고 결과를 분석한다.

저항강도 슬래브 아스팔트 활하중

편심계수() 1.14 1.05 1.00 1.00

변동계수() 0.13 0.10 0.25 0.18

분포 대수정규분포 정규분포 정규분포 정규분포

표 4.27 신뢰도 지수 산정에 사용한 통계 데이터

대상 교량은 지간이 10m ~ 25m, 벽체 높이는 4m, 8m로 하고, 슬래브 및 벽체 두께는 도로

교설계기준(2000)의 상부구조물 처짐제한을 위하여 제시한 부재의 최소두께( )

를 사용하여 산출한다. 그림 4.15에 지간별 슬래브 및 벽체의 제원이 나타나 있다.

교량에 가해지는 하중으로는 고정하중, 도로교설계기준에 정의된 DB-24 활하중, 토압

만을 고려한다. 지간 15m, 벽체 높이 8m의 라멘 교량을 대상으로 하여, 구조해석 시 그림

4.16과 같은 교량의 유한요소 모델링에 고정하중, 활하중 및 토압이 작용하는 경우를 그림

4.17 ~ 4.19에 표시하였다.

해석에 의하여 단면에 작용하는 계수 휨모멘트 및 철근량을 산출하였으며 그 결과는

그림 4.20과 4.21에 나타내었다. 그림 4.20에서 보듯이 벽체 높이 4m의 벽체가 8m의 벽

체보다 계수 휨 모멘트가 크고, 반대로 벽체 높이 8m의 슬래브가 4m의 슬래브보다 계수

휨 모멘트가 크다. 즉, 벽체의 높이가 높아질수록 슬래브의 계수 휨 모멘트는 증가하고,

벽체의 계수 휨 모멘트는 감소한다는 것을 알 수 있다.

휨 모멘트에 딱 맞춘 강도를 제공하는 철근량을 구하였다. 이때의 철근비를 계산하여

도시하면 그림 4.22와 같다. 이 그림에서 보면 라멘의 철근비가 최소철근비에 매우 가까운

값임을 알 수 있다.

63

그림 4.15 슬래브 및 벽체 측면도

( 단위 : m )

지간

10 8 4 0.6 0.6 0.9 0.3

15 8 4 0.8 0.8 1.2 0.4

20 8 4 1.0 1.0 1.2 0.4

25 8 4 1.2 1.2 1.2 0.4

표 4.28 슬래브 및 벽체의 단면제원

그림 4.16 라멘의 모델링

64

그림 4.17 라멘에 작용하는 활하중

그림 4.18 라멘에 작용하는 고정하중

그림 4.19 라멘에 작용하는 토압

65

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

5 10 15 20 25 30

지간 (m)

강도

(kN m

)

슬래브(4m) 벽체(4m) 슬래브(8m) 벽체(8m)

그림 4.20 라멘교의 지간별 계수 휨 모멘트도

010002000300040005000600070008000

5 10 15 20 25 30지간 (m)

철근

량 (

mm

2)

슬래브(4m) 벽체(4m)

슬래브(8m) 벽체(8m)

그림 4.21 라멘교의 지간별 철근량

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.0250

5 10 15 20 25 30지간 (m)

철근

비 ρ

철근비 ρs (슬래브-4m) 철근비 ρw (벽체-4m)

철근비 ρs (슬래브-8m) 철근비 ρw (벽체-8m)

최대 철근비 ρ(max) 최소 철근비 ρ(min )

그림 4.22 라멘교의 지간별 철근비

66

(4.25)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

5 10 15 20 25 30

지간(m)

신뢰

도 지

수 β

슬래브(4m) 벽체(4m)

슬래브(8m) 벽체(8m)

그림 4.23 라멘교의 신뢰도 지수

강도 한계상태는 단면의 저항강도 과 RC라멘 고정하중, 아스팔트 고정하중, 활하중(DB24)

및 토압에 의한 모멘트인 , , , 의 차이로 정의한다.

이 예제에서는 RC라멘의 저항강도, 고정하중 및 활하중은 표 4.27에 나타낸 자료를 사용

하여 통계적 변수로 취급하였고, 상대적으로 값이 작은 토압은 상수로 가정하였다. 이 예

제에서는 Rackwitz-Fiessler의 반복수행 방법을 이용하여 신뢰도 지수를 계산하였다.

그림 4.23에 지간과 벽체 높이를 달리한 경우에 대한 라멘교의 신뢰도 지수를 도시하였으

며, 이 그림으로부터 전체적으로 국내 도로교설계기준에 따른 라멘교의 신뢰도지수가 3~5인 것

을 알 수 있다.

4.5 강합성교량의 신뢰도

이 절에서는 AASHTO-LRFD(2004) 설계규정을 적용하여 설계된 강합성 I형 플래이트 거

더교량의 휨저항강도에 대한 신뢰도지수를 산정한 신동구 등(2006)의 연구결과를 소개한

다. 설계대상 교량은 그림 4.24 및 4.25와 같은 단면을 가지며, 교폭은 12,000mm로 3차

선 도로이며, 4개의 I-형 거더로 구성된 것으로 가정하였다. 단경간교로 가정하고 지간 길

이는 30m, 40m, 50m 및 60m를 고려하였다. 설계변수는 강거더 상부플랜지, 복부판 및

하부플랜지의 치수이다. 표 4.29에 요약한 바와 같이 강재는 SM520-TMC 강을 사용하였

으며, 콘크리트 바닥판은 두께 250mm이고 압축강도는 30MPa로 가정하였다.

표 4.30에 지간별 강거더에 대한 설계결과를 요약하였다. 단면설계 결과, 모든 단면은

조밀단면으로 설계되었으며 거더 복부판의 종방향 수평보강재를 설치할 필요가 없는 설계

가 가능한 것으로 검토되었다. 설계된 단면의 휨저항강도와 함께 작용모멘트를 표 4.31에

67

요약하였다. 신뢰도해석 시에 LRFD 설계규정대로 설계된 단면의 신뢰도지수를 산정하기

위하여 를 1.0에 근접하게 설계하였다.

250

90

1040

1060

440

12000

12880

3 @ 3600 = 10800

1040

440

그림 4.24 강플래이트 거더교 단면 (단위: mm)

그림 4.25 소성모멘트하 합성단면 및 작용력

강재

강종 SM 520-TMC

360MPa

밀도 7850kg/mm3

콘크리트 30MPa

밀도 2400kg/mm3

철근 400MPa

아스팔트두께 80mm

밀도 2300kg/mm3

표 4.29 사용재료 물리 상수

68

지간

(m)

바닥판

두께

(mm)

상부플랜지 복부판 하부플랜지

폭

(mm)

두께

(mm)

높이

(mm)

두께

(mm)

폭

(mm)

두께

(mm)

30 250.0 295.8 15.0 1170 15.3 375.0 22.3

40 250.0 295.8 25.2 1593 15.0 350.0 29.0

50 250.0 300.0 48.0 1800 22.4 375.0 36.5

60 250.0 350.0 45.0 2162 29.0 375.0 42.5

표 4.30 지간별 단면설계 결과

지간

(m)

작용 모멘트

강도한계

상태-I

강도한계

상태-IV

30 10.17 0.27 2.71 0.61 3.46 10.16 5.12 1.001

40 15.91 0.64 4.65 1.08 4.83 15.85 9.08 1.004

50 24.69 1.60 7.61 1.69 6.72 24.51 15.53 1.007

60 35.75 3.43 10.73 2.43 9.28 35.69 23.65 1.002

표 4.31 휨저항강도 및 작용 모멘트 (×100 N-mm)

정모멘트를 받는 하중저항계수법으로 설계된 단경간 강합성 거더교에 대하여 강재의 휨저

항강도 통계치를 이용하여 신뢰도해석을 수행하고 신뢰도지수를 산정하였다. 휨 파괴에 대

한 한계상태함수는 아래와 같이 확률변수 , , , 및 로 표현

된다.

(4.26)

상태함수 가 음의 값을 갖는 경우는 휨저항강도가 작용모멘트보다 작으므로 단면의 휨파괴를

의미한다.

표 4.32에는 상태함수에 사용된 5개의 확률변수에 대한 편심계수()와 변동계수( )의 통

계 자료를 요약하였다. 휨저항강도( )의 경우 신동구 등(2005)이 국내 생산된 강재의 항복강

도 통계를 이용하여 강합성단면을 비선형소성해석으로 편심계수 1.16과 변동계수 0.05로 계산한

바 있다. 이 통계치는 재료 자체의 항복강도에 대한 통계만을 고려하여 구한 값(과 )이

다. 표 4에 나타낸 휨저항강도의 편심계수 및 변동계수는 여기에 AASHTO-LRFD(Nowak

1999)에서 적용한 제작(fabrication) 오차에 기인한 통계적 불확실성 =1.0과 =0.05 및

전문성(profession) 오차에 의한 불확실성 =1.02와 =0.06을 추가로 반영하여 구한 값이

다. AASHTO-LRFD 보정 시 합성단면의 휨저항강도 편심계수는 1.12로 변동계수는 0.10을 적

용하였다. 국내 강재에 근거하여 계산된 편심계수가 1.18로 AASHTO-LRFD 보정값 보다 큰

69

이유는 국산 강재의 항복강도 편심계수 평균이 1.20으로 상당히 크기 때문이다. 표 4.32에서

영구 고정하중( , , )에 대한 통계 값은 국내 자료가 부족하고 국가간 차이가

상대적으로 작을 것으로 판단되어 AASHTO-LRFD 보정자료를 사용하였으며, 활하중

( )에 대해서는 편심계수 0.95-1.05를, 변동계수는 0.15-0.25를 고려하였다.

AASHTO-LRFD에서는 활하중에 대해 편심계수 1.0과 변동계수 0.18을 적용하여 신뢰도해석을

수행한 바 있다.

확률변수 분포함수 1.18 0.093 대수정규분포

1.03 0.080 정규분포

1.05 0.100 정규분포

1.00 0.250 정규분포

0.95~1.05 0.15~0.25 정규분포

표 4.32 확률변수의 통계 특성

위의 통계자료와 표 4.31에서 구한 각각의 모멘트를 휨파괴 한계상태식 (4.26)에 적용하여

2장에서 설명한 바와 같은 Rackwitz-Fissler 법으로 신뢰도지수 를 구하였다.

표 4.30과 같이 설계된 플레이트 거더 합성단면의 휨에 대한 신뢰도해석을 수행하고

지간별 및 활하중 통계 특성치에 따라 산정된 신뢰도지수를 표 4.33에 요약하였다. 이 표

로부터 플레이트 거더의 경우에는 신뢰도지수가 3.31~4.45 범위의 값으로 산정되었다.

AASHTO-LRFD의 경우에는 신뢰도지수가 3.5 내외로 계산된 바 있다.

지 간

(m)

0.95 1.00 1.05

30

0.15 4.45 4.22 4.00

0.20 4.08 3.86 3.64

0.25 3.74 3.52 3.31

40

0.15 4.33 4.13 3.93

0.20 4.03 3.83 3.63

0.25 3.74 3.54 3.35

50

0.15 4.22 4.05 3.87

0.20 3.98 3.80 3.62

0.25 3.73 3.54 3.37

60

0.15 4.18 4.01 3.85

0.20 3.96 3.79 3.62

0.25 3.73 3.55 3.38

표 4.33 정모멘트부 휨파괴에 대한 신뢰도지수

70

그림 4.26 강플레이트 거더교의 휨에 대한 신뢰도지수( = 1.0)

71

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부 록

76

예제 1 : 선형 한계상태함수의 신뢰도지수

균일하게 분포된 고정하중, 활하중, 풍하중을 받는 지간 4m의 단순지지보가 있다. 보가

지지할 수 있는 모멘트의 평균은 100 kNㆍm 이고, 변동계수는 13%이다. 모든 랜덤변수는

정규분포이고, 변수간의 상관관계가 없는 경우 보의 파괴확률을 구하시오.

그림 예제 1.1 등분포하중을 받는 단순지지보의

신뢰도 지수

하 중 평 균(kN/m) 표준편차(kN/m)

고정하중 10 1.05

활하중 15 2.00

풍하중 6 1.20

표 예제 1.1 하중의 평균과 표준편차

이 경우에 저항강도는 보가 지지하는 모멘트이다.

= = 100 kN․ㆍm

= = 0.13

= ㆍ = (100)(0.13) = 13 kNㆍm

한계상태 방정식은,

식에서, , 과 는 고정하중, 활하중과 풍하중에 의해 보의 중앙에 발생한 모멘트이

다.

77

, , 와 =4m를 대입하여 정리하면,

한계상태방정식이 선형이고, 모든 변수가 정규분포이며 변수간의 상관관계가 없을 경우,

신뢰도 지수 를 구하기 위해 다음의 식을 이용하여 계산할 수 있다.

∑ ∑

×

78

예제 2 : 평균점에서의 Taylor전개에 의한 신뢰도 지수

다음과 같은 철근콘크리트 보의 신뢰도 지수를 구하시오.

d =4800㎜As =

2580㎟

300㎜

그림 예제 2.1 철근콘크리트 보의

신뢰도 지수

다음 식을 이용하여 단면의 휨강도를 계산한다.

한계상태 함수는 다음과 같다.

여기서, Q는 적재된 하중에 의한 모멘트 효과이고, 이 문제에서 ,

, 와 를 랜덤변수로 가정한다. 이들 변수에 대한 통계 값들이 표 예제 2에 주어져 있

다.

평균값 공칭값

308.0MPa 280.0MPa 1.10 32.34MPa 0.105

As 2632㎟ 2580㎟ 1.02 52.6㎟ 0.020

21.84MPa 21.0MPa 1.04 3.058MPa 0.140

237.5kNㆍm 250.0kNㆍm 0.95 28.50kNㆍm 0.120

표 예제 2.1 각 변수들의 통계값

이 문제에서 와 는 상수로 취급한다.

이 문제에서, 한계상태함수는 비선형이다. 평균값에 관하여 테일러 전개하면 다음과 같

79

은 선형 함수식으로 표현된다.

≈

평균값

평균값

평균값

평균값

를 계산하기 위해서, 위 식에서 편미분 항은 상수항이고 한계상태함수 항은 랜덤변수의 평균

값으로 계산된다.

×

평균값

평균값 ×

평균값

평균값 ×

평균값

평균값 ×

평균값 평균값

위의 결과들을 식에 대입하면, 다음과 같은 결과를 얻는다.

×

× ×

× ×

× ×

×

××

80

예제 3 : Invariance Problem

비선형 한계상태함수로부터 신뢰도지수를 계산하기 위하여 평균점에서 Taylor전개를 하는

경우에 Invariance문제가 발생하게 된다. 이 예제는 Invariance문제에 대한 예제이다.

그림과 같은 강거더의 신뢰도를 구해 보자.

그림 예제 3.1 단순지지 강거더의 신뢰도 지수

단면의 소성 계수 와 항복응력 를 강재 보의 변수로 가정한다. 강재 보는

, , , 의 랜덤변수로 구성되고 네 가지 변수들은 상관관계가 없는 것으로 가정한다. 평

균과 공분산을 행렬로 나타내면 다음과 같다.

×

×

× × ×

모멘트에 관한 한계상태 함수를 설정한다.

여기에서, 안전과 불안전 상태 사이의 경계인 =0인 상태로 정의된 한계상태함수를 양수(예를

들어 )로 나누어도, 한계상태함수의 양 혹은 음의 영역으로 되는 조건은 바뀌지 않을 것이다.

그러므로 응력 차원으로 변환된 한계상태함수는 다음과 같다.

두 개의 함수가 한계상태함수 조건을 충족시키므로 두 식 모두 사용가능하다. 두 개 함수

81

로 신뢰도 지수를 각각 계산해 보도록 한다.

은 비선형이기 때문에 평균값에 대해서 한계상태함수를 선형화한다. 결과는 다음과 같다.

≈

= 2.48

도 비선형이기 때문에 평균값에 대해서 한계상태함수를 선형화한다. 결과는 다음과 같다.

≈

= 3.48

이 예제에서, 기본적으로 같은 한계상태를 나타내는 두 개의 한계상태함수에 대한 신뢰도

지수를 계산한 결과 아주 다른 값을 보임을 알 수 있다. 그러나 같은 한계상태에 대한 신

뢰도 지수이므로 구해진 파괴확률은 같아야 한다.

82

예제 4 : Hasofer-Lind 방법에 의한 신뢰도지수

그림에서 나타난 3경간의 연속교 신뢰도 지수를 Hasofer-Lind 방법으로 구하시오.

그림 예제 4.1 3경간 연속보의 신뢰도 지수

문제를 풀기 위해, 연립된 일련의 방정식을 반복 수행절차를 따라 단계적으로 계산하여

수렴된 결과를 얻는다.

이 문제에서 주어진 랜덤변수는 분포하중 , 교량지간 , 탄성계수 , 단면2차 모멘트

이며 이들에 대한 통계 자료가 표 예제 4.1에 주어져 있다. 고려하는 한계상태는 처짐이고 허용

처짐량은 /360이다. 구조해석에 따른 최대 처짐 량은 0.0069으로 나타나고, 교량의

단부로부터 0.446 점에서 발생한다. 한계상태함수는 다음과 같다.

변 수 평 균 표준편차

10kN/m 0.4kN/m

5m ~0

×kN/m2 ×kN/m2

× m4 × m4

표 예제 4.1 각 변수들의 평균과 표준편차

reduced varible의 함수로 를 표현한다.

먼저, 주어진 수치를 대입하면 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

83

이 식의 세 변수에 대하여 reduced varible을 정의한다.

,

,

, ,

이들을 한계상태방정식 에 대입하여 풀면

× × × ×

와 에 대하여 차례로

⇓

값을 계산한다.

, , 와 를 가정하여 값이 수렴할 때까지 반복을 시작한다.

예를 들어,

= 3 으로 가정하면

표 예제 4.2와 같이 5~6회 반복수행을 하고 나면 수치들은 거의 변함이 없을 것이고, 따

라서 해가 수렴했다고 볼 수 있다. 더 빠른 수렴을 위하여 의 부호를 하중에 대하여는 +,

저항강도에 대하여는 -를 쓰면 된다.

84

초기 가정값반 복 수 행

1 2 3 4 5 6

3.00 3.664 3.429 3.213 3.175 3.173 3.173

-0.58 -0.532 -0.257 -0.153 -0.168 -0.179 -0.182

-0.58 -0.846 -0.965 -0.988 -0.985 -0.983 -0.983

+0.58 0.039 0.047 0.037 0.034 0.034 0.034

표 예제 4.2 단계적 계산 결과

결과적으로, 계산된 신뢰도 지수 는 3.17이다.

85

예제 5 : Rackwictz-Fiessler 방법에 의한 신뢰도 지수

Hasofer-Lind 방법을 수정한 행렬법을 이용하여 상관관계가 없는 두 개의 변수로 이루어

진 간단한 한계상태함수에 대한 신뢰도 지수를 구해본다. 을 저항강도, 를 하중효과로 가정

할 때, 한계상태함수는 다음과 같다.

은 대수정규분포이고, = 200, = 20이며,

는 극치분포 형이고, = 100, = 12이다.

다음과 같은 과정을 거쳐 신뢰도 지수를 구한다.

1. 한계상태함수와 누적분포함수(CDF)를 결정한다.

2. 초기 설계 점은 한계상태함수 =0임을 감안하여 임의로 두 변수의 중간점을 택한 후 ∗

= 150와 ∗ = 150로 가정한다.3. 등가 정규 변수를 산정한다.

×

∴

Q : 극치분포 Ι형

여기서, a와 u는 Q의 평균과 표준편차와 관련된 분포 계수들이다.

와 의 값을 식에 대입하면, =0.107과, =94.6을 얻을 수 있다.

×

×

86

4. reduced variable의 값을 결정한다.

: ∗에 대한 reduced variable

: ∗에 대한 reduced variable

5. {G}벡터를 결정한다.

6. 근사적인 신뢰도 지수를 계산한다.

7. { }를 계산한다.

8. -1 개의 ∗ 변수에 대한 다음 단계 값을 새롭게 정한다.

9. 새로운 ∗를 이용하여 ∗를 결정한다.

10. 한계상태방정식 =0을 사용하여 ∗의 값을 결정한다. 이 예제의 경우

∗=∗=166 이다.11. 신뢰도 지수의 값과 설계점이 수렴할 때까지 반복하면, 표 예제 5와 같이 신뢰도 지수

3.76을 얻을 수 있다.

 

 

반 복 수 행

1 2 3

∗ 150 166 168

∗ 150 166 168

3.78 3.76 3.76

∗ 166 168 168

∗ 166 168 168

표 예제 5.1 단계적 계산 결과

87

예제 6 : 랜덤 변수 생성 방법

표 예제 6.1과 같이 주어지는 정규분포를 따르는 랜덤변수 를 1000개 생성하시오. 그리고,

생성된 숫자들의 평균( ) 및 표준편차( )를 구하여, 표에서 주어진 값과 비교하고, 생성된

숫자들의 확률밀도함수(PDF)와 표에서 주어진 조건에 따른 정규분포 확률밀도함수 식 (2.6)을

함께 도시하여 결과를 비교하시오.

분포 형태 정규분포

생성할 숫자 개수 1000

의 공칭값 1920㎜

편심계수 0

변동계수 0.025

표 예제 6.1 랜덤변수 조건

<풀 이>

1) 컴퓨터를 이용하여 균등분포(uniform distribution)를 따르는 랜덤변수 ( ≤ ≤ )를

생성한다.

2) 식 (예 6.1)을 이용하여 를 표준정규분포의 누적확률로 갖는 를 구한다.

(예 6.1)

3) 식 (예 6.2)를 이용하여 표준정규분포 값에 대응하는 정규분포 값 를 결정한다.

(예 6.2)

4) 1)~3)의 과정을 1000번 반복하여 표 예제 6.2와 같이 필요한 만큼의 데이터를 생성한

다.

5) 생성된 데이터의 평균 와 표준편차 를 식 (예 6.3)과 같이 구한다.

(예 6.3)

표 예제 6.3에 생성된 평균과 표준편차를 문제에서 주어진 조건과 비교하였다.

6) 마지막으로, 생성된 랜덤변수의 확률밀도함수(PDF)를 구하여 도시한다. 확률밀도함수를

그리기 위해서는, 먼저, 생성된 변수 들을 오름차순으로 정렬하고, 의 최대

88

값과 최소값의 차이를 적절한 개수의 등분으로 나눈 후, 각 등분에 속하는 의 빈도수 를

세고, 이를 총 빈도수 으로 나누면 랜덤변수 가 각 등분에 속하게 되는 확률이 되며, 이를

다시 등분의 크기로 나누면 확률밀도가 된다. 그림 예제 6에는, 생성된 랜덤변수의 확률밀도함

수와 문제에서 주어진 평균과 표준편차를 가지는 식 (2.6)과 같은 정규분포 확률밀도함수를 비

교하여 도시하였다.

균등분포 랜덤변수() [㎜]

1 0.705547512 0.54042354 1945.95

2 0.533424020 0.08387985 1924.03

3 0.579518616 0.20066214 1929.64

4 0.289562464 -0.55466340 1893.38

5 0.301948011 -0.51880600 1895.10

6 0.774740100 0.75454872 1956.22

7 0.014017642 -2.19679230 1814.56

8 0.760723591 0.70863209 1954.02

9 0.814490020 0.89456446 1962.94

10 0.709037900 0.55057624 1946.43

11 0.045352757 -1.69168780 1838.80

12 0.414032698 -0.21718340 1909.58

⋮ ⋮ ⋮ ⋮990 0.666606307 0.43056130 1940.67

991 0.914102614 1.36645954 1985.60

992 0.833417892 0.96776006 1966.46

993 0.777559459 0.76397678 1956.68

994 0.776372552 0.75999948 1956.48

995 0.473719895 -0.06592220 1916.84

996 0.737818003 0.63663289 1950.56

997 0.564603269 0.16265070 1927.81

998 0.164508700 -0.97609500 1873.15

999 0.311508715 -0.49157840 1896.41

1000 0.467859745 -0.08065100 1916.13

표 예제 6.2 정규분포

주어진 값 생성된 값

평 균 1920. 1920.

표준편차 48. 48.

표 예제 6.3 생성된 랜덤변수의 평균과 표준편차 비교

89

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

1795 1875 1956 2036

정규분포함수 생성된 정규분포

그림 예제 6.1 생성된 정규분포 랜덤변수의 확률밀도함수(PDF) 비교

두 번째 문제로 표 예제 6.4에 나타난 대수정규분포의 공칭값, 변동계수, 편심계수를

이용하여 랜덤변수()를 생성하고 이들의 평균() 및 표준편차()를 구하여 표에서 주어진

값과 비교하시오.

분포 형태 대수정규분포

생성 숫자 개수 1000

(공칭값) 27 MPa

(편심계수) 1.235

(변동계수) 0.1

표 예제 6.4 대수정규분포 랜덤변수 생성표

<풀 이>

1) 와 를 식 (예 6.3)과 식 (예 6.4)를 이용하여 구한다.

(예 6.3)

(예 6.4)

2) 컴퓨터를 이용하여 균등분포 랜덤변수를 생성한다.

90

3) 식 (예 6.1)을 이용하여 를 구한다.

4) 식 (예 6.5)를 이용하여 를 결정한다.

(예 6.5)

5) 1)~4)의 과정을 반복하여 1000 개의 데이터를 생성한다.

6) 생성된 데이터를 표 예제 6.5에 나타내었으며, 이로부터 평균과 표준편차를 구한다.

7) 그림 예제 6.2에는, 생성된 랜덤변수의 확률밀도함수와 문제에서 주어진 평균과 표준편

차를 가지는 대수정규분포 확률밀도함수를 비교하여 도시하였다. 표 예제 6.6에는 표 예제

6.4에 주어진 평균과 표준편차와 새로 생성된 데이터의 평균과 표준편차를 비교하였다.

균등분포 랜덤변수() [MPa]

1 0.894253433 1.249470233 37.59

2 0.866232038 1.108754915 37.06

3 0.384317219 -0.294161578 32.23

4 0.965498686 1.818402554 39.78

5 0.503143251 0.007879043 33.21

6 0.984142661 2.147988390 41.11

7 0.446845114 -0.133636237 32.75

8 0.779135704 0.769277499 35.83

9 0.308570087 -0.499907553 31.57

10 0.078848481 -1.412859762 28.82

11 0.879768670 1.173831159 37.31

12 0.579241991 0.199954690 33.85

⋮ ⋮ ⋮ ⋮990 0.061357379 -1.543478344 28.45

991 0.337759554 -0.418585472 31.83

992 0.238716602 -0.710436969 30.91

993 0.032854736 -1.840400421 27.62

994 0.096912503 -1.299346607 29.15

995 0.752822697 0.683399231 35.53

996 0.678341627 0.463066438 34.75

997 0.909536302 1.337905034 37.92

998 0.130197883 -1.12545620500 29.66

999 0.912976325 1.359313238 38.00

1000 0.667851448 0.433988071 34.65

표 예제 6.5 대수정규분포 변수의 생성

91

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

25.00 30.00 35.00 40.00 45.00

생성된 대수정규분포 대수 정규분포함수

그림 예제 6.2 생성된 대수정규분포의 그래프 비교

주어진 값 생성된 값

(평 균) 27.0 * 1.19 = 32.13 32.19

(표준편차) 32.13 * 0.115 = 36.94 37.02

표 에제 6.6 대수정규분포 변수의 평균과 표준편차 비교

92

예제 7 : Monte-Carlo Simulation에 의한 신뢰도 지수

고정하중( ), 활하중( ), 풍하중()의 분포하중을 균등하게 받는 지간 15m의 단순지지보가

있다. 모멘트 강도()의 평균()은 183 kN․m이고 변동계수( )는 0.12이다. 하중의 평균, 변

동계수, 표준편차는 표 예제 7.1에 기재된 바와 같다. 모든 하중과 강도는 정규분포를 따르고

있을 때 M-C 시뮬래이션을 이용하여 단순보의 파괴확률과 신뢰도 지수를 구하시오. M-C 시

뮬래이션을 통하여 구한 파괴확률 및 신뢰도 지수와 식 (2.17)로 구하여지는 파괴확률 및 신뢰

도 지수를 비교하시오.

주어진 변수(kNㆍm)

183 36.23 57.20 22.87

0.12 0.11 0.15 0.20

21.96 3.81 8.39 4.58

표 예제 7.1 저항강도와 하중의 평균, 변동계수, 표준편차

<풀이>

1) 컴퓨터를 이용하여 저항강도, 고정하중, 활하중, 풍하중의 0~1 사이의 누적분포함수 값

을 나타내는 임의 변수()를 생성한다.

2) 식 (예 7.1)을 이용하여 표준정규 임의 수()를 구한다.

(예 7.1)

여기서, 는 역정규분포함수이다.3) 표준정규 임의 수()를 구한 후, 식 (예 7.2)를 이용하여 정규변수()를 정한다.

(예 7.2)

4) 을 생성하고 식 (예 7.3)을 이용하여 표준정규함수 를 구한다.

(예 7.3)

5) 1)~4)의 방법으로 충분한 양의 데이터를 획득할 때까지 수를 생성한다.

6) 생성한 데이터를 이용하여 저항강도와 각 하중의 평균과 표준편차를 구한다.

7) 각 하중의 정규변수()를 더하여 전체하중( )을 구한 후 평균과 표준편차를 결정한다.

8) 다음의 식 (예 7.4), (예 7.5)을 이용하여 신뢰도 지수와 파괴확률을 결정한다.

93

(예 7.4)

(예 7.5)

9) 표 예제 7.2 ~ 표 예제 7.8은 저항강도와 각 하중의 평균, 표준편차 및 신뢰도 지수와

파괴확률을 구한 예를 보여주고 있다. 그림 예제 7에는 이 경우의 저항과 하중의 확률밀도

함수를 비교하여 도시한 예이다.

94

(kN․m)

1 0.034514 -1.818240 143.07 20469.02 0.0763882 0.365587 -0.343560 175.46 30786.21 0.3760793 0.992538 2.434218 236.46 55913.33 0.0206174 0.709113 0.550795 195.10 38064.01 0.3427945 0.551352 0.129078 185.83 34532.79 0.3956336 0.361156 -0.355370 175.20 30695.04 0.3745307 0.519576 0.049089 184.08 33885.45 0.3984628 0.579244 0.199960 187.39 35115.01 0.3910469 0.316198 -0.478360 172.50 29756.25 0.35581310 0.931504 1.487086 215.66 46509.24 0.13204011 0.541715 0.104755 185.30 34336.09 0.39675912 0.889494 1.223842 209.88 44049.61 0.18865613 0.748338 0.669269 197.70 39085.29 0.31889314 0.466677 -0.083630 181.16 32818.95 0.39755015 0.712669 0.561199 195.32 38149.90 0.34081716 0.038102 -1.773150 144.06 20753.28 0.082830

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮978 0.769330 0.736642 199.18 39672.67 0.304142979 0.917254 1.386833 213.45 45560.90 0.152510980 0.720370 0.583941 195.82 38345.47 0.336407981 0.866225 1.108724 207.35 42994.02 0.215763982 0.808358 0.871860 202.15 40864.62 0.272802983 0.827476 0.944239 203.74 41509.99 0.255449984 0.340088 -0.412220 173.95 30258.60 0.366447985 0.005456 -2.545510 127.10 16154.41 0.015627986 0.551422 0.129255 185.84 34536.51 0.395624987 0.683972 0.478834 193.52 37449.99 0.355731988 0.528992 0.072736 184.60 34077.16 0.397888989 0.226066 -0.751870 166.49 27718.92 0.300716990 0.819640 0.913993 203.07 41237.42 0.262730991 0.893304 1.244293 210.32 44234.50 0.183954992 0.162039 -0.986110 161.35 26033.82 0.245331993 0.521209 0.053187 184.17 33918.59 0.398378994 0.762219 0.713459 198.67 39469.77 0.309298995 0.014728 -2.177320 135.19 18276.34 0.037280996 0.488875 -0.027890 182.39 33266.11 0.398787997 0.119651 -1.176730 157.16 24699.27 0.199630998 0.274464 -0.599370 169.84 28845.63 0.333351999 0.751499 0.679214 197.92 39172.33 0.3167621000 0.437525 -0.157250 179.55 32238.20 0.394040

182.44

21.89

표 예제 7.2 저항강도()

95

(kN․m)

1 0.843673 1.009669 27.50 756.25 0.2396312 0.794379 0.821710 26.64 709.69 0.2846373 0.390173 -0.278870 21.60 466.56 0.3837284 0.751393 0.678880 25.99 675.48 0.3168345 0.764859 0.722020 26.18 685.39 0.3074036 0.433270 -0.168060 22.11 488.85 0.3933487 0.815054 0.896676 26.98 727.92 0.2668818 0.129851 -1.127110 17.72 314.10 0.2113779 0.863579 1.096541 27.90 778.41 0.21868110 0.265378 -0.626850 20.01 400.40 0.32778111 0.235271 -0.721600 19.58 383.38 0.30749712 0.991896 2.404198 33.88 1147.85 0.02217013 0.806023 0.863334 26.83 719.85 0.27482814 0.553142 0.133604 23.49 551.78 0.39539815 0.642704 0.365696 24.55 602.70 0.37313916 0.239937 -0.706510 19.65 386.12 0.310829

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮978 0.567241 0.169355 23.65 559.32 0.393262979 0.465140 -0.087490 22.48 505.35 0.397418980 0.461990 -0.095420 22.44 503.55 0.397130981 0.899920 1.281097 28.74 825.99 0.175601982 0.653798 0.395594 24.69 609.60 0.368916983 0.104574 -1.255910 17.13 293.44 0.181301984 0.856974 1.066823 27.76 770.62 0.225825985 0.989166 2.296122 33.39 1114.89 0.028581986 0.881817 1.184116 28.30 800.89 0.197898987 0.415680 -0.212960 21.90 479.61 0.389998988 0.260711 -0.641150 19.95 398.11 0.324822989 0.079736 -1.406850 16.44 270.27 0.148295990 0.047386 -1.670750 15.23 231.95 0.098802991 0.260945 -0.640430 19.95 398.10 0.324972992 0.879152 1.170759 28.24 797.50 0.201035993 0.346712 -0.394210 21.08 444.37 0.369118994 0.978514 2.023982 32.14 1032.98 0.051448995 0.497378 -0.006570 22.85 522.12 0.398934996 0.076275 -1.430580 16.33 266.67 0.143385997 0.628010 0.326560 24.37 593.90 0.378228998 0.451368 -0.122210 22.32 498.18 0.395974999 0.404135 -0.242660 21.77 473.93 0.3873681000 0.764411 0.720564 26.18 685.39 0.307726

22.98

4.46

표 예제 7.3 풍하중()

96

(kN․m)

1 0.624247 0.316654 37.43 1401.37 0.3794342 0.474409 -0.064190 35.98 1294.56 0.3981213 0.941723 1.569403 42.21 1781.68 0.1164324 0.676092 0.456798 37.97 1441.72 0.3594175 0.595197 0.240934 37.14 1379.38 0.3875306 0.742580 0.651320 38.71 1498.46 0.3226957 0.800613 0.843813 39.44 1555.51 0.2794458 0.358148 -0.363410 34.84 1213.83 0.3734499 0.246194 -0.686520 33.61 1129.63 0.31518710 0.884286 1.196688 40.79 1663.82 0.19495811 0.718874 0.579510 38.44 1477.63 0.33727812 0.624097 0.316259 37.43 1401.11 0.37948213 0.032874 -1.840140 29.21 853.22 0.07338814 0.588310 0.223174 37.08 1374.93 0.38913015 0.689058 0.493182 38.11 1452.37 0.35325916 0.903402 1.301182 41.19 1696.62 0.171105

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮978 0.368303 -0.336350 34.94 1220.80 0.377002979 0.845919 1.019086 40.11 1608.81 0.237353980 0.686865 0.486983 38.08 1450.09 0.354334981 0.777259 0.762968 39.13 1531.16 0.298198982 0.525632 0.064294 36.47 1330.06 0.398119983 0.796337 0.828608 39.39 1551.57 0.283021984 0.430311 -0.175580 35.56 1264.51 0.392840985 0.699487 0.522926 38.22 1460.77 0.347961986 0.392813 -0.272012 35.19 1238.34 0.384455987 0.023841 -1.980200 28.67 821.97 0.056161988 0.851503 1.042901 40.20 1616.04 0.231596989 0.059105 -1.562330 30.27 916.27 0.117728990 0.693128 0.504735 38.15 1455.42 0.351229991 0.241988 -0.699920 33.56 1126.27 0.312271992 0.013460 -2.212690 27.79 772.28 0.034495993 0.184543 -0.898191 32.81 1075.84 0.266519994 0.416549 -0.210730 35.42 1254.58 0.390182995 0.009326 -2.352433 27.26 743.11 0.025076996 0.001278 -3.016681 24.72 611.08 0.004215997 0.972284 1.915479 43.53 1894.86 0.063706998 0.628871 0.328864 37.48 1404.75 0.377942999 0.893006 1.242677 40.96 1677.72 0.1843241000 0.247587 -0.682101 33.62 1130.30 0.316141

36.00

3.87

표 예제 7.4 고정하중( )

97

(kN․m)

1 0.766474 0.727284 63.30 4006.89 0.3062332 0.148651 -1.042240 48.45 2347.40 0.2317563 0.275210 -0.597131 52.19 2723.80 0.3337974 0.456664 -0.108843 56.29 3168.56 0.3965865 0.742428 0.650849 62.66 3926.28 0.3227946 0.324765 -0.454422 53.39 2850.49 0.3598087 0.104802 -1.254661 46.67 2178.09 0.1815878 0.578741 0.198674 58.86 3464.50 0.3911469 0.404623 -0.241401 55.17 3043.73 0.38748610 0.777939 0.765251 63.62 4047.50 0.29767811 0.245908 -0.687420 51.43 2645.04 0.31499012 0.527323 0.068542 57.77 3337.37 0.39800613 0.227943 -0.745645 50.94 2594.88 0.30212114 0.110668 -1.222986 46.94 2203.36 0.18885415 0.231379 -0.734313 51.04 2605.08 0.30466416 0.574812 0.188639 58.78 3455.09 0.391907

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮978 0.661767 0.417289 60.70 3684.49 0.365677979 0.409451 -0.228966 55.28 3055.88 0.388622980 0.362481 -0.351842 54.25 2943.06 0.374999981 0.636211 0.348349 60.12 3614.41 0.375457982 0.085960 -1.366064 45.74 2092.15 0.156923983 0.528676 0.071942 57.80 3340.84 0.397911984 0.647140 0.377611 60.37 3644.54 0.371490985 0.270199 -0.612214 52.06 2710.24 0.330768986 0.431884 -0.171586 55.76 3109.18 0.393113987 0.306132 -0.506850 52.95 2803.70 0.350854988 0.097196 -1.297700 46.31 2144.62 0.171882989 0.823103 0.927255 64.98 4222.40 0.259541990 0.703659 0.534952 61.69 3805.66 0.345755991 0.038452 -1.768940 42.36 1794.37 0.083450992 0.377629 -0.311710 54.58 2978.98 0.380024993 0.721978 0.588728 62.14 3861.38 0.335465994 0.469110 -0.077510 56.55 3197.90 0.397746995 0.043718 -1.709080 42.86 1836.98 0.092605996 0.804296 0.857068 64.39 4146.07 0.276313997 0.889383 1.223256 67.46 4550.85 0.188791998 0.465431 -0.086760 56.47 3188.86 0.397444999 0.806215 0.864031 64.45 4153.80 0.2746621000 0.855389 1.059828 66.09 4367.89 0.227511

56.27

8.39

표 예제 7.5 활하중( )

98

(kN․m)

1 1.252896 128.23 16442.93 0.1819882 -0.403480 111.07 12336.54 0.3677563 0.072394 116.01 13456.00 0.3978984 0.482625 120.25 14460.06 0.3550845 1.035714 125.98 15870.96 0.2333336 -0.100390 114.21 13043.92 0.3969377 -0.208490 113.09 12789.35 0.3903658 -0.369690 111.42 12414.42 0.3725919 0.138031 116.68 13614.22 0.39516010 0.885135 124.42 15480.34 0.26963911 -0.559850 109.45 11979.30 0.34107512 1.334942 129.08 16661.65 0.16365813 -0.798260 106.98 11444.72 0.29009414 -0.747101 107.51 11558.40 0.30179115 -0.149610 113.70 12927.69 0.39450216 0.421815 119.62 14308.94 0.364984

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮978 0.389961 119.29 14230.10 0.369733979 0.252896 117.87 13893.34 0.386387980 -0.046330 114.77 13172.15 0.398514981 1.229730 127.99 16381.44 0.187298982 -0.805990 106.90 11427.61 0.288303983 -0.089770 114.32 13069.06 0.397338984 0.814672 123.69 15299.22 0.286280985 0.812741 123.67 15294.27 0.286731986 0.386101 119.25 14220.56 0.370288987 -1.132240 103.52 10716.39 0.210153988 -0.848460 106.46 11333.73 0.278350989 -0.343630 111.69 12474.66 0.376070990 -0.017380 115.07 13241.10 0.398882991 -1.870660 95.87 9191.06 0.069348992 -0.447880 110.61 12234.57 0.360871993 0.074324 116.02 13460.64 0.397842994 0.855212 124.11 15403.29 0.276752995 -2.150580 92.97 8643.42 0.039501996 -0.946910 105.44 11117.59 0.254804997 1.941120 135.36 18322.33 0.060633998 0.098456 116.27 13518.71 0.397013999 1.151544 127.18 16174.75 0.2055711000 1.027027 125.89 15848.29 0.235433

115.25

10.36

표 예제 7.6 전체하중( )

99

주어진 값 (kN․m)

183.00 36.23 57.20 22.87

0.12 0.11 0.15 0.20

21.96 3.81 8.39 4.58

생성된 값 (kN․m)

182.44 36 56.27 22.98

0.12 0.11 0.15 0.20

21.89 3.87 8.39 4.46

표 예제 7.7 평균, 분산, 표준편차 비교

수식 시뮬래이션

0.0029798 0.0026354

2.75 2.79

표 예제 7.8 신뢰도 지수와 파괴확률 비교

PDF

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 50 100 150 200 250 300

Moment(kN-m)

Pro

bab

ilit

y

RQ

그림 예제 7.1 저항강도와 총하중의 PDF 비교

100

예제 8 : 직렬시스템의 신뢰도 지수

그림과 같이 두 개의 부재로 이루어진 구조에서 부재의 강도는 같은 확률분포를 갖으며, 1

과 3 사이의 균일분포이다. 요소신뢰도지수와 체계신뢰도 지수를 구하라.

그림 예제 8.1

직렬시스템

<풀이>

를 요소 1과 2의 강도, 을 전체 시스템의 강도라 하면, 요소의 강도의 확률밀도함수는 그

림 예제 8.2와 같고, 평균과 표준편차는 다음과 같다.

그림 예제 8.2 직렬시스템의 확률밀도함수

Element :

따라서, 신뢰도지수와 파괴확률은 다음과 같다.

101

시스템의 경우에는 요소의 누적분포함수가 다음과 같으므로,

≤ ≤

시스템 강도의 누적분포함수는 다음과 같다.

≤ ≤

따라서 시스템 강도의 평균과 표준편차 및 신뢰도지수와 파괴확률은 다음과 같다.

결과적으로 요소의 신뢰도지수가 체계신뢰도지수보다 높으며 요소의 파괴확률이 시스템의

파괴확률보다 작은 것을 알 수 있다. 즉 직렬시스템은 요소보다 신뢰도가 더 나쁘다.

,

직렬시스템의 파괴확률은 요소의 수에 따라 다음과 같이 계산된다.

요소 수에 따른 직렬시스템의 파괴확률은 다음 표과 같다.

1 0.0500 1.640

2 0.0975 1.295

3 0.1426 1.070

4 0.2262 0.750

10 0.4013 0.250

⋮ ⋮ ⋮

표 예제 8.1 요소 수에 따른 직렬시스템의 파괴확률

102

예제 9 : 복합시스템의 신뢰도

그림과 같이 세 개의 요소(, , )를 갖는 시스템의 신뢰도를 구하라. , 는 정규분

포이며 평균과 표준편차는 다음과 같다. 는 8~12kN에서 등분포된 확률변수이다.

그림 예제 9.1

복합시스템

kN

kN

<풀이>

우선 요소 1과 2의 시스템은 병렬시스템이므로 병렬시스템의 강도는 정규분포가 되며 평균

과 표준편차는 다음과 같이 계산된다.

kN

요소 3은 균일분포이므로 누적분포함수는 다음과 같이 계산된다.

≤ ≤

≤

따라서 전체강도의 누적분포함수는 다음과 같이 계산될 수 있다.

∏

103

∙

여기서 는 누적표준정규분포함수이다.

번호

KBRC TRS 001

ISBN

89-89793-32-7 93540

작성일

2007-07

본문쪽수

103

제목

신뢰도기반 설계기준의 기본이론 및 설계 일반

저자

황 의 승, 백 인 열

요약

본 보고서에서는 신뢰도의 기본이론 및 신뢰도 기반 설계기준의 개발과정을

수록하였다. 신뢰도 이론은 확률 및 통계의 기본이론을 바탕으로 구조물에 발

생하는 불확실성을 객관적인 방법으로 고려함으로써 합리적인 구조물의 신뢰

도 또는 안전도를 확보하고자 개발된 이론이다. 1장에서는 신뢰도의 개요 및

기본개념에 대해 설명하였으며 2장에서는 신뢰도해석의 여러 이론에 대해 설

명하였다. 확률변수와 한계상태함수에 대해 정의하였으며 신뢰도지수 및 파괴

확률에 대하여 정의하고 여러 가지 경우에 대한 계산식을 제시하였다. 또한

현재 주로 사용되고 있는 일계이차신뢰도지수에 대한 Hasofer-Lind신뢰도지수

및 Rackwitz-Fiessler방법에 대하여 설명하였다. Monte-Carlo모의해석에 의한

방법을 설명하였으며 마지막 절에서 체계신뢰도지수의 기본이론 및 개발된

이론에 대하여 설명하였다. 3장에서는 신뢰도기반 설계기준의 개발과정 및 하

중저항계수설계법의 보정(calibration)에 대하여 설명하였으며 AASHTO LRFD

교량설계기준의 예를 제시하였다. 4장에서는 2장에서 설명한 신뢰도의 해석

방법에 의한 국내 실교량의 신뢰도 분석을 실시하였으며 그 결과를 정리하였

다. 부록에서는 2장에서 설명된 여러 방법에 대한 예제를 수록하였다.

핵심어

신뢰도이론, 신뢰도기반 설계기준, 파괴확률

배포제한

회원기관 우선 배포

기타

Document No.

KBRC TRS 001

ISBN

89-89793-32-7 93540

Report Date

2007-07

No. of Pages

103

Title

Basic Theory of Reliability and Reliability-Based Design Code

Author(s)

Hwang, Eui Seung, Paik, In Yeol

Abstract

This report includes the basic theory of reliability and reliability-based

design code. Reliability theory considers the uncertainties related to the

design of structures through basic probabilistic and statistical theory. It

provides adequate and consistent reliability or safety to the structure. In

Chapter 1, basic concepts related to reliability are introduced. Chapter 2

explains the various theories of reliability analysis. At first, random

variables and limit state function are defined and reliability index and

probability of failure are explained. Various practical methods to calculate

the reliability index or probability of failure for linear and nonlinear limit

state function are described. Hasofer-Lind reliability index, Rackwitz-Fiessler

procedure, and Monte-Carlo simulation method are explained. In the last

section, basic concepts of system reliability are described. Chapter 3

explains development of reliability-based design code and an example of

AASHTO LRFD bridge design code. Chapter 4 includes the results of

reliability analysis on the actual bridges in Korea. Appendix includes the

examples of reliability analysis described in Chapter 2.

Keywords

reliability analysis, reliability-based design code, probability of failure

Distribution Statement

Members first

Note

협동연구기관 한국건설기술연구원 한국도로공사

참여 기업 대림산업㈜

삼성물산㈜건설부문

현대건설㈜

㈜거산코아트

대봉비엠텍㈜

㈜삼보기술단

㈜에스코알티에스

㈜제일엔지니어링

㈜한국해외기술공사

대우건설㈜

㈜유신코퍼레이션

GS건설

㈜내경엔지니어링

㈜디엠엔지니어링

㈜서영엔지니어링

㈜용마엔지니어링

㈜케이알

협성실업㈜

㈜동명기술공단

한국도로공사

㈜다산 컨설턴트

㈜비엔에스엔지니어링

㈜석우

유니슨㈜

㈜콘크리닉

후레시네코리아㈜