176

Çözümler

Kavrama ~ 14

1. x (m,n) için

f(x)<0, f′(x)>0 [ f(x) artan ]

I. 2

1 f (x)0

f(x) f (x)

artan

II. 4 3f (x) 4.f (x). f (x) 0

artan

III. 4 3f (x) 4.f (x). f (x) 0

azalan

IV. 3 2f (x) 3.f (x). f (x) 0

artan

V. 2

f(x) f (x).x f(x).10

x x

artan

2. f(x)=1+sinx+cosx

f′(x)=cosx–sinx>0

cosx>sinx

0<x<4

iken cosx>sinx olduğundan bu aralıkta

artandır.

3. f′(x)=(x–2)2(x–1).x<0 iken f(x) azalandır.

(x–2)2(x–1).x<0

x=0

– + +

–∞ +∞ x=1 x=2 Çift Kat Kök

+

(0,1) aralığında azalandır.

4. f(x)=x3–kx2+3x–1

f′(x)=3x2–2kx+3>0 olması için 0 olmalıdır.

=(–2k)2–4.3.3<0

4k2–36<0 k2<9–3<k<3 bulunur.

5. 3 2(m 3) m 1f(x) x x x

3 2 2

fonksiyonunun teğetlerinin eğim açısı geniş açı

ise fonksiyon azalandır.

f′(x)=(m–3)x2–mx–1<0 olması için

m–3<0 ve 0 olmalıdır.

m<3 ve m2–4(m–3).(–1)<0

m2+4m–12<0 m=–6, m=2

m=–6

– + +

–∞ +∞ m=2

–6<m<2 bulunur.

m<3 ve 6<m<2 koşulunu sağlayan bölge

yine 6<m<2 olur.

6. ( , 2) aralığında f(x) artan ve f′(x)>0 dır.

(–2,2) aralığında f(x) azalan ve f′(x)<0 dır.

(2, ) aralığında f(x) artan ve f′(x)>0 dır.

f′(–2)=0 [ x=–2 de yerel maksimum vardır.]

f′(2)=0 [ x=2 de yerel minimum vardır.]

I. f ( 4) f (1)

doğrudur.

II. 0

3f f (2)

2

doğrudur.

III. f (0) f ( 5)

doğrudur.

IV. 0

f(1) f (1)

yanlıştır.

V. f( 5) f ( 5)

doğrudur.

Kavrama ~ 14 Çözümler

177

7. ax 4

f(x)x 1

fonksiyonu azalmayan bir

fonksiyon ise f′(x)0 olmalıdır.

2

a.(x 1) (ax 4)0

(x 1)

2

a 40

(x 1)

–a–40a–4 bulunur.

8. f(x)=3 2x x

2x 13 2

f′(x)=x2–x–2<0 x=–1, x=2

x=–1

– + +

–∞ +∞ x=2

–1<x<2 bulunur.

9.

y

x

f′(x)

–4 –2 0 3

– – – –

– – – –

+ + + + +

+ +

( ,0) aralığında f′(x)<0 ve f(x) azalan

(0, ) aralığında f′(x)>0 ve f(x) artan

f′(0)=0, x=0 noktasında yerel minimum vardır.

I. 0

f ( 2) f (0)

yanlıştır.

II. 1

f( 1) f2

yanlıştır.

[( ,0 ) aralığında azalan]

III. f(1)<f(2) doğrudur.

[( 0, ) aralığında artan]

IV. “(0,3] aralığında artandır.” doğrudur.

V. “[–4,0 ) aralığında azalandır.” doğrudur.

10. x [1,5] için f′(x)<0 ise f(x) fonksiyonu

azalandır.

x=1 için f(1) en büyük,

x=5 için f(5) en küçük olur.

O halde, f(2)>f(5) kesinlikle doğrudur.

178

Çözümler

Kavrama ~ 15

1. a. f(x)=x3–6x

f′(x)=3x2–6

f′′(x)=6x=0

+

x=0

–

dönüm noktasıdır.

b. f(x)=(x–1)4

f′(x)=4.(x–1)3

f′′(x)=12(x–1)2=0

+

x=1(Çift kat kök)

+

dönüm noktası yoktur.

c. f(x)=x4+8x3

f′(x)=4x3+24x2

f′′(x)=12x2+48x=0

x2+4x=0

+

x=0

–

x=–4

+

x=–4 ve x=0 dönüm noktalarıdır.

d. f(x)=x.(x–1)3

f′(x)=(x–1)3+x.3.(x–1)2.1 f′′(x)=3(x–1)2+3.(x–1)2+3x.2.(x–1)

f′′(x)=6(x–1)2+6x(x–1)=0

6(x–1)[x–1+x]=0

(x–1).[2x–1]=0

+

x=1

–

x=1

2

+

x=1

2 ve x=1 de dönüm noktası vardır.

e. f(x)=6–3x2

f′(x)=–6x

f′′(x)=–6<0 sürekli konkav olduğundan

dönüm noktası yoktur.

2. a. f(x)=x2+4x+3

f′(x)=2x+4

f′′(x)=2>0 olduğundan tanım aralığında

konvekstir.

b. f(x)=–x4+4

f′(x)=–4x3

f′′(x)=–12x2<0 olur. Tanım aralığında

konkavdır.

c. f(x)=3–x

f′(x)=3–x

f′′(x)= (3–xln3.(–1))(ln3.(–1))=3–x(ln3)2>0 olur.

Tanım aralığında konvekstir.

d. f(x)=lnx

f′(x)=1

x

f′′(x)=2

1

x <0 olduğundan tanım aralığında

konkavdır.

e. f(x)=sinx

f′(x)=cosx

f′′(x)=–sinx

(–,0) aralığında f′′(x)>0 olduğundan konvekstir.

(0,) aralığında f′′(x)<0 olduğundan konkavdır.

3.

y

x 2 4 0

2

–2

Yerel minimum noktası (2,2) dir. Bu nokta

x–y+k+1=0 doğrusu üzerinde ise

2–2+k+1=0k=–1 bulunur.

Kavrama ~ 15 Çözümler

179

4.

y

x

f′(x)

–3 –1 0 –5 +

+ + + +

+ +

+ + +

+ + +

( , 5) aralığında f(x) azalan

( 5, ) aralığında f(x) artan

f′′(–3)=0, x=–3 dönüm noktası

f′′(–1)=0, x=–1 dönüm noktasıdır.

I. “(–5,0) aralığında sürekli artandır.” doğrudur.

II. “–5<x<–3 aralığında f′(x) artan olduğundan

f′′(x)>0 ve konveks olur.” doğrudur.

III. “–3<x<–1 aralığında f′(x) azalan olduğundan

f′′(x)<0 ve konkav olur.” doğrudur.

IV. “x=–3 te dönüm noktası vardır.” doğrudur.

V. “x=–3 ve x=–1 de dönüm noktası olduğundan

–3<x<–1 aralığında dönüm noktası yoktur.”

yanlıştır.

5. f(x)=–x2+4x+m f′(x)=–2x+4=0x=2 olur.

x=2 için y=–1 mutlak maksimum değeri

olduğundan –1=–22+4.2+m –1=4+m m=–5

bulunur.

6. f(x)=–x4+x3+(m–2)x2+3

f′(x)=–4x3+3x2+2(m–2)x

f′′(x)=–12x2+6x+2(m–2)<0

–6x2+3x+(m–2)<0

<032–4.(–6).(m–2)<0

9+24m–48<0

m<39

24m<

13

8 bulunur.

7. f(x)=x3–ax2+bx–2

x=–1 de bükeylik yön değiştirdiği için f′′(–1)=0

olur.

x=–1 de teğetinin eğim açısı 45 olduğundan,

f′(–1)=tan45=1 dir.

f′(x)=3x2–2ax+b , f′′(x)=6x–2a

f′(–1)=3.(–1)2–2a(–1)+b=1

3+2a+b=1 2a+b=–2

f′′(–1)=6.(–1)–2a=02a=–6a=–3

2a+b=–22.(–3)+b=–2b=4 olur.

a+b=–3+4=1 bulunur.

8. x=a da mutlak minimum

x=c de yerel maksimum

x=f de yerel minimum

x=h de mutlak maksimum vardır.

(a,d) aralığında konkav ( )

(d,h) aralığında ise konvekstir. ( )

9. f(x)=ax3–2ax2+x+1

f′(x)=3ax2–4ax+1 fonksiyonunun maksimum

değeri 5 olduğundan

[ f′′(x)=6ax–4a=0 2

x3

]

2

x3

için y=5 olur.

5=

3 22 2 2

a. 2a 13 3 3

10 8a 8a

3 27 9

90 8a 24a

27 27

90=–16a a=90

16 a=

45

8 bulunur.

10. f(x)=x3–mx2+nx–3

f′(x)=3x2–2mx+n

f′(–1)=3.(–1)2–2m(–1)+n=02m+n=–3

f′(5)=3.52–2m.5+n=0 –10m+n=–75

2m+n=–3 (I)

–10m+n=–75 (II)

(I) ve (II) denklemleri

çözüldüğünde m=6 ve n=–15 olur.

m+n=6+(–15)=–9 bulunur.

180

Çözümler

Kavrama ~ 16

1. f(x)=x3+x2–5x+2

f′(x)=3x2+2x–5=0

3x +55

x3

(–1,2)

x –1x=1(–1,2)

x=–1 için f(–1)=–1–1+5+2=5

x=1 için 3 2f(1) 1 1 5.1 2 1

x=2 için f(2)=8–4–10+2=–4

minimum değeri: –4

maksimum değeri: 5 bulunur.

2.

b

a

a

b

2a+b=60b=60–2a

A=a.b=a.(60–2a)=60a–2a2

A′=60–4a=0a=15

b=60–2.15=30

A=a.b=15.30=450 cm2 bulunur.

3. x2–(1–m)x–m=0

T=(x1)2+(x2)2=(x1+x2)2–2x1.x2

=(1–m)2–2.(–m)

=1–2m+m2+2m=m2+1

T′=2m=0m=0 bulunur.

4. f(x)=x(x+2)=x2+2x

A(x0,y0)=A(x0, (x0)2+2x0)

T=x0+y0=x0+(x0)2+2x0

T=(x0)2+3x0

T′=2x0+3=0 x0=3

2

y0=

23 3

2.2 2

=9 3

34 4

A3 3

,2 4

bulunur.

5.

r r

x x

2r

2r 2

Çevre=2 r

2x 2r 82

2x=8–2r–r

Alan=A=2r

x.2r2

A=2r

(8 2r r).r2

A=2

2 2r8r 2r r

2

A′=r+8–4r–2r

A′=8–4r–r=0

8–r(4+)=0 8

r4

Uzun kenar: 2r=16

4 bulunur.

6.

y

x

f(x)=4–

2x

9

–6 6

C D

x

x x

A B

=h

x2

9

Alan=A=(2x 12).h

2

A=(x+6).2x

49

A′=2x 2x

1. 4 (x 6).9 9

A′=2 2x 2x 12x

49 9 9

A′=2x 4x

4 03 3

12–x2–4x=0 x2+4x–12=0 x=–6, x=2

uzunluk negatif olmayacağından x=2 olur.

h=2x 4 32

4 49 9 9

br bulunur.

Kavrama ~ 16 Çözümler

181

7.

y

y

y

y x

x

x

3x+4y=12 cm12 3x

y4

Alan=A=2

2x 3y

4

A=

22x 3 12 3x

4 4

A′=x 3 12 3x 3

2 .2 4 4

A′=x 3 36 9x

02 8

4x 3 36 9x 0

x( 4 3 +9)=36

36

x4 3 9

cm olmalıdır.

8.

A

B C

G F

D E H

K 2

6

DEFG dikdörtgeninin alanı en çok ABC

üçgeninin alanının yarısı kadar olabilir. O halde,

A(DEFG)=

2.6

A(ABC) 23

2 2

br2 bulunur.

9. f(0)=f(1)

–1=1+(m–1)–1m=0

f(x)=x2+(0–1)x–1=x2–x–1

f′(x)=2x–1=0x=1

2 olur.

x=

21 1 1 1 5

y f 12 2 2 2 4

1 5

,2 4

noktası Rolle teoremine uyan noktadır.

10. f(x)=x2(x–2)=x3–2x2

f′(x)=3x2–4x

f′(x)=3x2–4x=f(2) f(0)

2 0

[ f(2)=0 ve f(0)=0 ]

3x2–4x=0 0

02

x(3x–4)=0

x=0 (0,2)

x=4

3(0,2) olduğundan ortalama değer

teoremini sağlayan 0

4x

3 bulunur.

182

Çözümler

Kavrama ~ 17

1. f(x)=sin x

sin x 1cos x

cosx=0x= k2

düşey asimptotları bulunur.

2. 2 3y x

x 1

x+1=0x=–1 düşey asimptot

y=x2 eğri asimptot olur.

3. f(x)=x 1

3x mx 2m

f(x)=2m 1

3x m 1x 2m

f(x)=2m 1

(3x 1 m)x 2m

y=3x+1–m=3x+51–m=5 m=–4

x–2m=0x=2m=2.(–4)=–8 düşey asimptot

4.

3x 1 2

x 1 xf(x) 2 3

3x 1 23 0x 1 x

xlim 2 3 2 3

=8+1=9 bulunur.

5. 2

ln(2x 10)f(x)

x 4

x2+4=0x2 4

ln(2x+10) ifadesi 2x+10=0x=–5 için

tanımsızdır.

O halde düşey asimptotu: x=–5 olur.

6. mx n

yx m

x+m=0x=–m düşey asimptot

x

mx nlim m

x m

y=m yatay asimptot

(–m,m) noktası y=3x+4 doğrusu üzerinde ise

m=3.(–m)+4 4m=4m=1 bulunur.

7. 2f(x) x 4x 3 2x 1

4

y 1. x 2x 12.1

y x 2 2x 1

y1=x+2+2x–1=3x+1

y2=–x–2+2x–1=x–3 bulunur.

8.

4x 3

x 4y 3

x–4=0x=4 düşey asimptot

4x 3

4x 4

xlim 3 3 9

y=9 yatay asimptot

Kesiştiği nokta (4,9) noktası olur. Koordinatları

toplamı 4+9=13 bulunur.

9. f(x)=sinx.e–x+mx+n–1

f(x)=(mx+n–1)x

sin x

e ise

eğik asimptotu y=mx+n–1 olur.

y=mx+n–1=–2x+3

mx=–2xm=–2 ve n–1=3n=4

m+n=–2+4=2 bulunur.

10. ax 5

f(x)2x b

fonksiyonunun grafiğinin simetrik

olduğu nokta düşey ve yatay asimptotlarının

kesim noktasıdır.

2x–b=0b

x2

x

ax 5 a alim y

2x b 2 2

b a

, (1,6)2 2

b1

2 b=2 ve

a6

2 a=12

a.b=12.2=24 bulunur.

183

Çözümler

Kavrama ~ 18

1. f(x)=a.(x+2).(x–1)(x–2)

x=0 için y=–2 olduğundan

–2=a.(2)(–1)(–2)

a=1

2 olur.

f(x)=1

(x 2)(x 1)(x 2)2

bulunur.

2. I. ( , 1) aralığında f(x) artan

(–1,2) aralığında f(x) azalan

(2, ) aralığında f(x) artan

II. x=–1 de yerel maksimum

x=2 de ise yerel minimum vardır.

III. ( ,p) aralığında f(x) konkavdır. ( )

(p, ) aralığında f(x) konvekstir. ( )

3. f(x)=x3–x

1. Tanım kümesi: R

2. x=0y=0 ve y=00=x(x2–1)

x=0, x=–1 ve x=1

3. f′(x)=3x2–1=0x=1

3 ve x=

1

3

+ –

x=1

3

+

x=1

3

max min

y

x 1

1

3

–1 1

3

4. f(x)=x 8

logx 1

1. x 8

0x 1

+ –

x=–8

+

x=–1

Tanım kümesi:R–[–8,–1]

2. x+8=0x=–8

x+1=0x=–1 de düşey asimptot vardır.

x

x 8lim log log1 0 y 0

x 1

da yatay

asimptot vardır.

3. x=0 için y=log8 , y=0 x tanımsızdır.

y

x –8 –1

log8

5. f(1)=2 , f′(1)=mt=2

12

g(2x)=x.f(x) g′(2x).2=1.f(x)+x.f′(x)

x=1 g′(2).2=f(1)+1.f′(1)

g′(2)=2 1 3

2 2

bulunur.

6.

y

x

f′(x)

–1 –4 2 +

+ + + +

+ + +

+ +

– – –

I. ( , 4) aralığında f′(x)<0 olduğundan f(x)

azalandır.

( 4,2) (2, ) aralığında f′(x)>0 olduğundan

f(x) artandır.

II. x=–4 te yerel minimum vardır.

x=2 de işaret değişmediğinden ekstremum nokta

değildir.

III. ( , 1) (2, ) aralığında f′(x) artan

olduğundan f′′(x)>0, konvekstir. ( )

( 1,2) aralığında f′(x) azalan olduğundan

f′′(x)<0, konkavdır. ( )

Kavrama ~ 18 Çözümler

184

7. I. ( , 3) (1,3) aralığında f(x) artan

olduğundan I. madde doğrudur.

II. x=–3 te yerel maksimum vardır. (Artarken

azalmaya geçtiğinden) Doğrudur.

III. x=3 için f(3)=5 fonksiyonunun alabileceği en

büyük değer olduğundan mutlak maksimum

değeri 5 tir. Doğrudur.

IV.

(Ar tan) (Azalan)

5 7f f

2 2

Yanlıştır.

V.

(Ar tan)

3 3f f

2 2

Yanlıştır.

8.

y

x

f′′(x)

–2 2 – – –

+ + + + +

+ + + + + + +

I.

+

x=2

–

x=–2

+ +

Dönüm noktasıdır.

Dönüm noktası değildir.

II. ( , 2 ) aralığında f′′(x)<0 olduğundan f(x)

konkavdır.( )

( 2,2) (2, ) aralığında f′′(x)>0 olduğundan

f(x) konvekstir.( )

9.

y

x

–2 –1 4

y=f′(x)

1 3 – – –

+ +

+ + +

+ + + + + +

+ + +

– – –

x=–2

–

+

min

x=1

+ +

x=4

– +

max

x=–2 ve x=4 noktaları ekstremum noktalarıdır.

10.

y

x

y=f(x)

max

min

max max

min

D.N. D.N. D.N. D.N.

f(x) fonksiyonunun 5 tane ekstremum noktası, 4

tane de dönüm noktası vardır.