Embed Size (px)
Citation preview
KAPITULU I. SISTEMA LINEALEEN EBAZPENERAKOMETODOAK. HASTAPENAK
1. EKUAZIO-SISTEMA LINEALAK
Demagun ondoko ekuazio linealeen sorta,
E1 : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,... ... ... ... ... ...
En : an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn.
non aij eta bi ekuazioen koefizienteak eta x1, ..., xn ezezagunak baitira.
Zati honetan sistema linealak askatzeko teknikak aztertuko ditugu. Aurreko n ekuazioak betetzen
dituzten x1, ..., xn balioak sistemaren oluzioa da. Bi motako metodoak ikusiko ditugu:
1) Prozesu zehatzak edo teknika zuzenak: Hau da, sistemaren soluzioa bilatzen dituzten
algoritmo finituak (Gauss, Cramer, ...). Askotan metodo hauek emaitza txarra ematen
dute biribiltze errorearengatik.
2) Iteraziozko prozesuak: Hau da, hasierako estimazio batekin sistemaren soluzio hurbil-
dua kalkulatzen dituzten metodo errepikari eta konbergenteak dira (Jacobi, SOR, ...).
Matrizekiko eragiketetan hiru transformazio onartuko dira:
1) Edozein λ 6= 0 konstantea bider Ei , Ei ekuazioaren ordez aldatzea (λEi)−→ (Ei).
2) Edozein λ 6= 0 konstantea bider Ej gehi Ei , Ei ekuazioaren ordez aldatzea
(λEj + Ei)−→ (Ei).
3) Ej eta Ei ekuazioak elkarrekin ordeztea (Ei)−→ (Ej).
Eragiketa hauei esker sistema bat soluzio berbera dituen beste sistema bihurtuko da.
Sistemaren koefizienteak konstanteak direnez, erosoagoa da matrize hedaturarekin lan egitea,
A = (aij) =
a11 · · · a1n
· · · · · · · · ·an1 · · · ann
, b =
b1...
bn
−→ Aa = [A, b] =
a11 · · · a1n | b1
.... . .
......
an1 · · · ann | bn
2. ALGEBRA LINEALA ETA MATRIZEAK
Atal honetan sistema linealak askatzeko interesgarriak diren algebrako emaitzak azalduko ditugu.
Definizioa
Demagun A = (aij) eta B = (bij) m ∗ n matrizeak, berauen osagaien batura, dij = aij + bij ,
osagaitzat dituen D = (dij) matrizeari D = A+B batura esaten zaio eta λ ∈ IR izanik (λaij) osagaidun
matrizea λA adierazi ohi da. (−aij) osagaiak dituena −A adieraziko dugu.
Teorema
m ∗n matrizeen multzoak espazio bektorialaren egitura dauka, λ , µ ∈ IR zenbaki eta A , B eta
D m ∗ n matrizeentzat ondoko propietateak betetzen bait dira:
a) A + B = B + A, e) λ(A + B) = λA + λB,
b) (A + B) + D = A + (B + D), f) (λ + µ)A = λA + µA,
c) A + 0 = 0 + A = A, g) λ(µA) = (λµ)A,
d) A + (−A) = −A + A = 0, h) 1A = A.
1
Definizioa
Bira A m ∗ n eta B n ∗ p matrizeak. Ondoko osagaidun matrizea hauen biderkadura matriziala da,
E = AB = (eij) non eij =n∑
k=1
aikbkj ∀ i = 1, ..., m , j = 1, ..., p.
Definizioa
dij = 0 ∀ i 6= j , i, j = 1, ..., n osagaitzat dituen D = (dij) n ∗ n matrizeari ”diagonala” da.
I edo In = (δij) non δii = 1, δij = 0, i 6= j baitira n ordeneko unitate matrizea da.
Teorema
λ ∈ IR zenbakia eta A n ∗ m , B m ∗ k , D k ∗ p eta E m ∗ k matrizetarako ondoko
propietateak beteko dira:
a) A(BD) = (AB)D
b) A(B + E) = AB + AE
c) ImB = B, BIk = B
d) λ(AB) = (λA)B = A(λB)
Definizioa (Determinantea)
a) Baldin A = (a) 1 ∗ 1 matrizea bada orduan det(A) = a .
b) Mij minorea A n ∗ n matrizearen (n − 1) ∗ (n − 1) azpimatrizearen determinantea da non
azpimatrizea eratzeko A matrizeari i. errenkada eta j. zutabea kendu baitdizkiogu.
d) Mij-ri dagokion biderkagai elkartua Aij = (−1)i+jMij da.
e) A n ∗ n (n < 1) matrizearen determinantea ondoko gisaz kalkulatzen da (n! biderkaketa):
det(A) =n∑
j=1
aijAij ∀ i = 1, 2, ..., n, edo det(A) =n∑
i=1
aijAij ∀ j = 1, 2, ..., n.
Teorema
a) Baldin edozein zutabe edo errenkadaren osagai guztiak 0 badira, orduan, det(A) = 0.
b) Baldin A-ren bi errenkada berdinak badira, orduan, det(A) = 0.
d) Baldin (Ei) ←→ (Ej), i 6= j errenkada aldaketaz, A matrizea A-tik lortzen bada, orduan
det(A) = −det(A). Baldin A matrizea (λEi)−→ (Ei) errenkada aldaketaz lortzen bada, orduan
det(A) = λ · det(A).
g) Baldin A eta B n ∗ n matrizeak badira, orduan det(AB) = det(A) · det(B).
Definizioa
Biz A n ∗ n matrizea, baldin ∃ B n ∗ n non AB = BA = I baita, orduan A matrize ”ez
singularra” da eta B beronen alderantzizkoa, A−1 = B. Bestela A ”singularra” izango da.
Teorema
A n ∗ n matrizerako ondoko baiezpenak baliokideak dira:
a) Ax = 0 ekuazio sistemak x = 0 soluzio bakarra du.
b) Ax = b sistema linealak edozein b errenkada-bektorerako soluzio bakar bat du.
c) A matrizea ez singularra da, hau da, A−1 existitzen da.
d) det(A) 6= 0 .
e) Ezabapen Gaussiarraren algoritmoa Ax = b sistemari aplika diezaioke.
2
3. MATRIZE MOTA BEREZIAK
Definizioa
Baldin U n ∗ n matrizearen osagaiek uij = 0 ∀ i = j + 1, ..., n betetzen badute U -ri matrize goi-
triangeluarra esango diogu. Aldiz, baldin L n∗n matrizearen osagaiek lij = 0 ∀ i = 1, ..., j−1 betetzen
badute L-ri matrize behe-triangeluarra esango diogu. Baldin D matrizea aldiberean goi-triangeluarra
eta behe-triangeluarra bada, orduan D matrize diagonala izango da. Adibidez:
L =
l11 0 0l21 l22 0l31 l32 l33
, U =
u11 u12 u13
0 u22 u23
0 0 u33
, D =
d11 0 00 d22 00 0 d33
Teorema
Baldin A = (aij) n ∗ n matrize triangeluarra (goikoa edo behekoa) edo diagonala bada orduan,
detA =n∏
i=1
aii
Teorema
Baldin Ax = b n ∗ n sistemaren A matrizea ez singularra bada, orduan A matrizea L goi-
triangeluarra bider U behe-triangeluarra biderkadura gisaz deskonposa daiteke, hau da: A = LU
eta U = (uij) , L = (lij) .
Definizioa
Izan bedi A = (aij) n ∗ n matrizea, At = (aji) n ∗ n matrizeari A matrizearen iraulia esango
diogu. Baldin At = A bada, orduan A matrize simetrikoa da.
Teorema
Baldin A matrizearen iraulia existitzen bada ondoko propietateak beteko dira:
1) (At)t = A
2) (A + B)t = At + Bt
3) (AB)t = BtAt
4) Baldin A−1 existitzen bada orduan (A−1)t = (At)−1
5) det(At) = det(A)
Definizioa
Izan bitez A matrizea eta p, q ∈ IN non 1 < p, q < n eta ∀ j ≥ i+p edo j ≤ i−q =⇒ aij = 0 ,
orduan A-ri banda matrizea esaten zaio eta bere zabalera p+ q +1 da. Matrize hauen osagai ez nuluak
diagonalaren inguruan daude. Kasu praktikoetan p = q = 1 (zabalera= 3) eta p = q = 2 (zabalera= 5)
agertzen dira. p = q = 1 matrizeei tridiagonalak esaten zaie eta ondoko eran agertuko dira:
A =
a b 0 · · · 0
d e f. . .
...
0. . . . . . . . . 0
.... . . g h i
0 · · · 0 j k
Definizioa
Izan bedi A n ∗ n matrizea, baldin |aii| >∑n
j=1,j 6=i |aij | ∀ i = 1, ..., n betetzen bada, orduan
A-ri hertsiki diagonalki menpekoa esaten zaio.
3
Definizioa
Biz A n ∗ n matrizea, baldin xtAx > 0 ∀ x > 0 (non x n dimentsioko bektorea baita)
betetzen bada, A-ri matrize positibo definitua esango diogu.
xtAx = (x1, ..., xn)
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
x1...
xn
=
( n∑
i=1
n∑
j=1
aijxixj
)
Teorema
Baldin A n ∗ n matrize hertsiki diagonalki menpekoa bada edo positibo definitua bada, orduan A
ez singularra da. Gainera Ax = b sistemari aplikatutako ezabapen Gaussiarrak biribiltze-errorearen
hazkunde egonkorra dauka.
4. MATRIZE ETA BEKTOREEN NORMAK
Izan bedi IRn osagai errealekiko bektore-multzoa. Bektorearen normaren kontzeptua sartzeko
IRn multzoan distantzia definitu beharko dugu.
Definizioa
IR multzoan definituriko norma bektoriala, ‖ · ‖ : IRn−→ IR+, motako funtzioa da eta ondoko
propietateak bete behar ditu:
1) ‖x‖ ≥ 0 ∀ x ∈ IRn
2) ‖x‖ = 0 ⇐=⇒ x = (0, ..., 0)t ≡ 0
3) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ ∀ λ ∈ IR , x ∈ IRn
4) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀ x, y ∈ IRn
Definizioa
Biz x = (x1, ..., xn)t bektorea, ondoko l1, l2, l∞ norma ohizkoenak dira:
‖x‖1 =n∑
i=1
|xi| , ‖x‖2 =
√√√√n∑
i=1
x2i , ‖x‖∞ = max
1≤i≤n|xi|
Baldin IR , IR2 , IR3 kontsideratzen baditugu l2-ri norma euklidearra esaten zaio eta koordenatu
jatorritik punturainoko distatzi erreala adierazten du.
Definizioa
Bi bektoreen arteko distantzia beraien kenduraren normatzat difinitu ohi da.
Beraz, baldin x = (x1, ..., xn)t , y = (y1, ..., yn)t ∈ IRn , orduan:
‖x− y‖1 =n∑
i=1
|xi − yi| , ‖x− y‖2 =
√√√√n∑
i=1
(xi − yi)2 , ‖x‖∞ = max1≤i≤n
|xi − yi|
AdibideaIzan bedi ondorengo ekuazio-sistema:
E1 : 3.3330x1 + 15920x2 − 10.333x3 = 15913E2 : 2.2220x1 + 16.710x2 + 9.6120x3 = 28.544E3 : 1.5611x1 + 5.1791x2 + 1.6852x3 = 8.4254
4
Sistema lineal honen soluzio zuzena x = (x1, x2, x3)t = (1.0000, 1.0000, 1.0000)t da, baina sistema honi 5
digitu esangarrietako ezabapen Gaussiarra aplikatu ondoren x = (x1, x2, x3)t = (1.2001, 0.99991, 0.92538)t
soluzio hurbildua agertu zaio.
‖x− x‖1 = |1.0000− 1.2001|+ |1.0000− 0.99991|+ |1.0000− 0.92538| = 0.27481
‖x− x‖2 =√|1.0000− 1.2001|2 + |1.0000− 0.99991|2 + |1.0000− 0.92538|2 = 0.21352
‖x− x‖∞ = max{|1.0000− 1.2001|, |1.0000− 0.99991|, |1.0000− 0.92538|} = 0.2001
Nahiz eta x2 eta x3 hurbilketa nahiko onak izan x1 hurbilketa erabat txarra da eta x eta x-en
arteko distantzia menperatu du.
Distantziaren kontzeptuaren bidez IRn espazioaren bektore segideen limitea definituko dugu.
Definizioa
Baldin ondoko erlazioa betetzen bada IRn espazioaren {x(k)}nk=1 bektore segidak, ‖ · ‖ normaz,
x bektorera konbergitzen duela esan ohi da.
∀ ε > 0 ∃N(ε) non ∀ k ≥ N(ε) ‖x(k) − x‖ < ε betetzen baita
Teorema
IRn espazioan {x(k)}nk=1 bektore segidak x bektorera ‖ · ‖ normaz konbergitzen du baldin eta
soilik baldin ∀ i = 1, ..., n limk→∞ x(k)i = xi
IRn espazioan definituriko norma guztiak baliokideak dira, hau da, baldin ‖ · ‖ eta ‖ ‖′ IRn-ko bi
normak badira eta ‖ · ‖ normari dagokion {x(k)}nk=1 segidaren limitea x bada orduan ‖ ‖′ normari
dagokion {x(k)}nk=1 segidaren limitea x da erebai. n ∗ n matrizeen arteko distantzia neurtzeko
matrizeen normaren kontzeptua behar da. Adibidez ∀ x ∈ IRn ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤√
n‖x‖∞.
Definizioa
Ondoko propietateak betetzen dituzten n ∗ n matrizeen multzoan definituriko ‖ · ‖ aplikazioari
norma matriziala esaten zaio.
1) ‖A‖ ≥ 0 ∀ A n ∗ n matrizea
2) ‖A‖ = 0 ⇐=⇒ A = 0 ∀ A n ∗ n matrizea
3) ‖λA‖ = |λ|‖A‖ ∀ λ ∈ IR , A n ∗ n matrizea
4) ‖A + B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖ ∀ A , B n ∗ n matrizeak
5) ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖ ∀ A , B n ∗ n matrizeak
Orain l1, l2, l∞ normak ondorioztatzen dituzten matrizeen normak kontsideratuko ditugu. Bira
A eta B n ∗ n matrizeak, ‖A−B‖ beraien arteko distantziatzat hartuko dugu.
Teorema
Baldin ‖ · ‖ IRn-ko norma bektoriala bada, orduan, n ∗ n matrize errealeen multzoan
‖A‖ = max‖x‖=1 ‖Ax‖ adierazpenaz norma matriziala (”norma naturala”) definitu ohi da.
l1 norma −→ ‖A‖1 = max‖x‖1=1
‖Ax‖1
l2 norma −→ ‖A‖2 = max‖x‖2=1
‖Ax‖2
l∞ norma −→ ‖A‖∞ = max‖x‖∞=1
‖Ax‖∞
5
Teorema
A = (aij) n ∗ n matrizerako, ondoko propietateak beteko dira:
a) ‖A‖∞ = max1≤i≤n
∑nj=1 |aij |
b) ‖A‖1 = max1≤j≤n
∑ni=1 |aij |
**frog**
Definizioa
Biz A n∗n matrizea, P (λ) = det(A−λI) A-ren ”polinomio karakteristikoa” da. P (λ) koefiziente
errealekiko n. mailako polinomioa da, beraz, gehienez ”n” erro desberdin dauzka. Baldin λ P (λ)-ren
erroa bada, ikusitako teorema baten bidez det(A− λI) = 0 denez (A− λI)x = 0 sistemak soluzio
nuluaz gain beste soluzio ez nulua dauka.
Definizioa
Biz P (λ) A matrizearen polinomio karakteristikoa, P (λ)-ren erroei A-ren ”autobalioak” edo ”balio
propioak” esango diegu. Baldin λ A-ren autobalioa bada eta x bektoreak (A − λI)x = 0 betetzen
badu, orduan x-i λ-ri dagokion A-ren autobektorea esango diogu.
Adibidea
A =
1 0 12 2 1−1 0 0
A matrizearen autobalioak eta autobektore bat aurkitu.
P (λ) = det(A− λI) = det
1− λ 0 12 2− λ 1−1 0 −λ
= (1− λ)(2− λ)(−λ) + (2− λ)
Beraz, autobalioak λ1 = 2 , λ2 = 12 +
√3
2 i , λ3 = 12 −
√3
2 i dira.
λ1-ri dagokion autobektoreak (A− λ1I)x = 0 bete behar du.
−1 0 12 0 1−1 0 −2
x1
x2
x3
=
000
=⇒
{ −x1 + x3 = 02x1 + x3 = 0−x1 − 2x3 = 0
Sistema honen soluzioa ondokoa da: x1 = x3 = 0 eta x2 hautazkoa. Adibidez, x = (0, 1, 0)t
Definizioa
Biz A n ∗ n matrizea eta λi bere autobalioak, ρ(A) = max{|λi|} balioari A-ren ”erradio
espektrala” esaten zaio.
Teorema
Biz A = (aij) n ∗ n matrize erreala, orduan:
a) [ρ(AtA)](1/2) = ‖A‖2b) ρ(A) ≤ ‖A‖ ∀ ‖ · ‖ norma matriziala.
c) ∀ ε > 0 ∃ ‖ · ‖ norma non ‖A‖ < ρ(A) + ε
6
Adibidea
A =
2 1 01 1 10 1 2
A matrizearen erradio espektrala aurkitu.
AAt = A2 =
2 1 01 1 10 1 2
2 1 01 1 10 1 2
=
5 3 13 3 31 3 5
0 = det(AAt−λI) = det
5− λ 3 13 3− λ 31 3 5− λ
= (5−λ)2(3−λ)+18−(3−λ)−18(5−λ) = −λ(λ−4)(λ−9)
A-ren autobalioak 0 , 4 eta 9 dira.
Beraz ‖A‖2 = [ρ(AtA)](1/2) =√
max{0, 4, 9} = 3
Matrizeen iteraziozko prozesuetan, beraien osagaiek 0-ra konbergitzen duten matrizeak garrantsi
hadikoak dira eta hauei matrize konbergenteak esango diegu.
Definizioa
Izan bedi A n ∗ n matrizea, baldin limk→∞(Ak)ij = 0 ∀ i, j = 1, ..., n betetzen bada, orduan
A konbergentea da.
Teorema
A n ∗ n matrizerako, ondorengo baieztapenak baliokideak dira:
i) A matrize konbergentea da.
ii) limk→∞ ‖Ak‖ = 0 edozein ‖ · ‖ norma naturalerako.
iii) ρ(A) ≤ 1
iv) ‖A‖ ≤ 1
v) limk→∞Akx = 0 ∀ x ∈ IRn
7
KAPITULU II. EZABAPEN GAUSSIARRA ETAATZERAKAKO ORDEZKAPENA
1. SARRERA ETA METODOA
Demagun ondoko sistema lineala eta matize hedatua:
E1 : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
... ... ... ... ... ...En : an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
−→ Ah = [A, b] =
a11 · · · a1n | a1n+1
.... . .
......
an1 · · · ann | ann+1
non ain+1 = bi, i = 1, ..., n baitira. Baldin a11 6= 0, hurrenez hurren, ondoko aldaketak egin daitezke:(
Ej −(
aj1
a11
)E1
)−→ (Ej) , j = 2, 3, ..., n
beraz a11 osagaiaren azpian dauden beste aj1 , j = 2, ..., n osagai guztiak ezabatuko ditugu. Gero
beste zutabetan prozesu bera errepikatuko dugu diagonal nagusiaren azpiko osagai guztiak 0 izan arte.
Beraz aii 6= 0 denean: (Ej − (
aji
aii)Ei
)−→ (Ej) j = i + 1, ..., n
aldaketak sartuko ditugu sistema baliokidearen ondoko matrize berria izan arte:
A(f)h = [A, b] =
a11 a12 ... a1n | a1n+1,0 a22 ... a2n | a2n+1,... ... ... ... ...0 ... 0 ann | ann+1.
Matrize hau, triangeluarra denez, atzerakako ordezkapenaren bidez zuzenean ebatzi daiteke,
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = a1n+1,a12x2 + ... + a2nxn = a2n+1,
... ... ...annxn = ann+1.
xn =ann+1
ann; xn−1 =
(an−1n+1 − an−1nxn)an−1n−1
eta jarraian:
xi =ain+1 − ainxn − ain−1xn−1 − ...− aii+1xi+1
aii=
(ain+1 −∑n
j=i+1 aijxj)aii
∀i = n− 1, ..., 1
Prozesu honen beste adierazpidea azal dezakegu. {A(i)h }n
i=1 matrizeen segida kontsideratuko dugu
non A(k)h matrizea ezabapenaren k urratseko matrizea baita. Hau da:
a(k)ij =
a(k−1)ij i = 1, ..., k − 1 , j = 1, ..., n + 1
0 i = k, ..., n , j = 1, ..., k − 1
a(k−1)ij − a
(k−1)ik−1
a(k−1)k−1k−1
a(k−1)k−1j i = k, ..., n , j = k, ..., n + 1
A(k)h =
a(1)11 a
(1)12 ... a
(1)1k−1 a
(1)1k ... a
(1)1n | a
(1)1n+1
0 a(2)22 ... a
(2)2k−2 a
(2)2k ... a
(2)2n | a
(2)2n+1
... ... ... ... ... ... ... ...0 ... 0 a
(k−1)k−1k−1 a
(k−1)k−1k ... a
(k−1)k−1n | a
(k−1)k−1n+1
0 ... ... 0 a(k)kk ... a
(k)kn | a
(k)kn+1
... ... ... ... ... ... ... ...0 ... ... 0 a
(k)nk ... a
(k)nn | a
(k)nn+1
8
A(k)h matrizearen azken Ek, ..., En ekuazioetan xk−1 aldagaia ez da azaltzen xk, ..., xn aldagaien
menpeko adierazpenaz ordezkatu delako. Hala ere A(k)h eta Ah baliokideak dira. Baldin a
(1)11 , a
(2)22 , ... edo
a(n)nn berdin 0 bada orduan prozesua ezin da burutu
(Ei − (a(k)
ik /a(k)kk )Ek
)−→ (Ei) ordezkapenaren
zatikiaren izendatzailea 0 baita. Eragozpen hau gainditzeko prozesua aldatu beharko dugu, baldin
∃ 1 ≤ k ≤ n−1 non a(k)kk = 0 den, orduan, k zutabean a
(k)kk osagaiaren azpian elementu bat 6= 0 bilatu
beharko dugu, hauxe da, k − 1 ≤ p ≤ n non a(k)pk 6= 0 eta (Ek ←→ (Ep)) aldaketa burutu. Baldin
a(k)pk = 0 ∀ p = k, ...n, orduan sistemak soluzio bat baino gehiago dauka eta prozesua gelditu egingo da.
AdibideaOndorengo ekuazio-sistema ebatzi:
E1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,E2 : 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = −20,E3 : x1 + x2 + x3 = −2,E4 : x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4.
Sistemaren matrize hedatua ondokoa da:
Ah = A(1)h =
1 −1 2 −1 | −82 −2 3 −3 | −201 1 1 0 | −21 −1 4 3 | 4
(E2 − 2E1)−→ (E2)(E3 − E1)−→ (E3)(E4 − E1)−→ (E4)
−→ A
(2)h =
1 −1 2 −1 | −80 0 −1 −1 | −40 2 −1 1 | 60 0 2 4 | 12
a(2)22 = 0 denez errenkada-aldaketarik gabe prozesuak ezin du jarraitu, baina a
(2)32 6= 0 denez,
(E2) ←→ (E3)−→ A(2)′
h =
1 −1 2 −1 | −80 2 −1 1 | 60 0 −1 −1 | −40 0 2 4 | 12
x2 ezabatua dagoenez A(3)h = A
(2)′
h eta A(4)h eraikiko dugu:
(E4 + 2E3) ←→ (E4)−→ A(4)h =
1 −1 2 −1 | −80 2 −1 1 | 60 0 −1 −1 | −40 0 0 2 | 4
.
Orain sistemaren soluzioa kalkulatzeko atzerakako ordezkapena dator:
x4 = 4/2 = 2 ; x3 =[−4 + x4]−1
= 2 , x2 =[6− x4 + x3]
2= 3 , x1 =
[−8 + x4 − 2x3 + x2]1
= −7
2. ALGORITMOA ETA ADIBIDEAK
Atzerakako ordezkapenarekiko ezabapen Gaussiarraren algoritmoa
Ezabapen Gaussiarraren algoritmoak n ekuazio linealeen sistemaren soluzioa aurkitzen du:
Sarreran: n sistemaren heina; Ah = (aij), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n + 1 matrize hedatua.
Irteeran: (x1, ..., xn) soluzioa edo soluzio bat baino gehiago daudeneko mezua.
9
Urrats 1: i = 1, 2, ..., n− 1 den bitartean 2-4 urratsak jarraitu.
Urrats 2: Izan bedi p i ≤ p ≤ n eta api 6= 0 betetzen duen zenbakirik txikiena.
p hori existitzen ez bada, orduan IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU.
Urrats 3: Baldin p 6= i bada egin (Ep) ←→ (Ei) errenkadeen aldaketa.
Urrats 4: j = i + 1, i + 2, ..., n den bitartean 5-6 urratsak jarraitu.
Urrats 5: Hartu mji = aji/aii.
Urrats 6: (Ej −mjiEi) ←→ (Ej)
Urrats 7: Baldin ann = 0 bada, IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU.
Atzerakako Ordezkapena
Urrats 8: Hartu xn = ann+1/ann
Urrats 9: i = n− 1, n− 2, ..., 1 den bitartean hartu xi =(ain+1 −
∑nj=i+1 aijxj
)/aii
Urrats 10: IRTEERA (x1, ..., xn); (prozesu asebetegarria) GELDITU.
AdibideaOndoko bi sistema linealak ebatzi:
x1 + x2 + x3 + x4 = 7x1 + x2 + 2x4 = 82x1 + 2x2 + 3x3 = 10−x1 − x2 − 2x3 + 2x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 7x1 + x2 + 2x4 = 52x1 + 2x2 + 3x3 = 10−x1 − x2 − 2x3 + 2x4 = 0
Sistema hauen matrize hedatuak ondokoak dira:
A(1)a(1) =
1 1 1 1 | 71 1 0 2 | 82 2 3 0 | 10−1 −1 −2 2 | 0
A
(1)a(2) =
1 1 1 1 | 71 1 0 2 | 52 2 3 0 | 10−1 −1 −2 2 | 0
Bi kasuetan a11 = 1 6= 0 denez E2 , E3 eta E4 errenkadetan x1-en koefizientea ezaba dezakegu:
mj1 =aj1
a11=
aj1
1= aj1
Orduan j = 2−→ m21 = 1 ; j = 3−→ m31 = 2 ; j = 4−→ m41 = −1 eta ondoko eragiketak
burutuko ditugu:
(E2 − E1)−→ (E2) ; (E3 − 2E1)−→ (E3) ; (E4 + E1)−→ (E4)
sistemak lehenengoan baino antza bakunagoa harturik:
A(2)a(1) =
1 1 1 1 | 70 0 −1 1 | 10 0 1 −2 | −40 0 −1 3 | 7
A
(2)a(2) =
1 1 1 1 | 70 0 −1 1 | −20 0 1 −2 | −40 0 −1 3 | 7
a22 = a32 = a42 = 0 direnez prozesua gelditu da, soluzio bat baino gehiago direlarik.
Hala ere, (E4 + E3)−→ (E4) aldaketaren bitartez egoera argiago ikus dezakegu:
A(4)a(1) =
1 1 1 1 | 70 0 −1 1 | 10 0 1 −2 | −40 0 0 1 | 3
A
(4)a(2) =
1 1 1 1 | 70 0 −1 1 | −20 0 1 −2 | −40 0 0 1 | 3
Matrize hauei dagozkien sistemak ondokoak dira:
x1 + x2 + x3 + x4 = 7− x3 + x4 = 1
x3 − 2x4 = −4x4 = 3
=⇒
x4 = 3x3 = −4 + 2x4 = 2x3 = x4 − 1 = 2
x1 = 7− x2 − 2− 3 = 2− x2
10
Beraz sistema honen soluzioak (2 − t, t, 2, 3) modukoak izango dira, non t parametro askea baita.
Beste sistema, aldiz, ez dauka horrelako soluziorik:
x1 + x2 + x3 + x4 = 7− x3 + x4 = −2
x3 − 2x4 = −4x4 = 3
=⇒
x4 = 3x3 = −4 + 2x4 = 2x3 = 2 + x4 = 5
x1 = 2− x2
x3 = 2 , x3 = 5 =⇒ 2 = 5 eta azken emaitza hau absurdua da, beraz, bigarren sistema honek ez
dauka soluziorik.
Soluzioaren existenziaz gain beste bi kontzeptuak aztertu behar ditugu. Lehenengoa biribiltze
errorea da eta bestea eragiketa kopurua. Digito hamartarrekiko zenbakien arteko biderkadurek digito
hamartarrekiko beste zenbakiak emango dituzte. Ordenagailuak digito kopuru mugatua gorde dezake,
beraz, baldin koefiziente hurbilduekin lan egin behar badugu, biribiltze errorearen hazkuntza kontrolatu
beharko dugu. Era berean, biderkadura edo zatidura bat prozesatzea batura edo kendura baino askoz
denbora gehiago irauntzen da, horregatik eragiketa kopurua kontrolatu beharko da erebai. Adibidez,
algoritmoaren 1 - 4 urratsetan ez daude eragiketarik baina 5. urratsean (n− i) zatiketak egiten dira; 6.
urratsean (Ej−mjiEi)−→ (Ej) aldaketetan (n−i)(n−i+1) biderkaketa eta (n−i)(n−i+1) kenketa
egiten dira. Baldin i bakoitzerako eragiketa kopurua kontsideratzen badugu, algoritmoaren eragiketa
kopuru osoa ondorengoa da:
Biderkaketa/Zatiketa Batuketa/kenketa2n3+3n2−5n
6 + n2+n2 = n3+3n2−n
3n3−n
3 + n2−n2 = 2n3+3n2−5n
6
Biderkaketa/Zatiketa eta Batuketa/Kenketa kopuruak n3/3 ordenekoak direnez, eragiketak eta
konputazio-denbora proporzio honekin batera haziko dira.
ARIKETAK
1. Atzerakako ordezkapenarekiko ezabapen Gaussiarraren bidez, ekuazioak berrordenatu gabe eta
bi digitoekiko aritmetikaz ondoko sistema linealak ebatzi. Soluzio zuzena: (x1 = 1, x2 = −1, x3 = 3) .
a)4x1 + x2 − x3 = 02x1 + 5x2 + 2x3 = 3x1 + 2x2 + 4x3 = 11
b)x1 + 2x2 + 4x3 = 114x1 + x2 − x3 = 02x1 + 5x2 + 2x3 = 3
c)4x1 + x2 + 2x3 = 92x1 + 4x2 − x3 = −5x1 + x2 − 3x3 = −9
d)2x1 + 4x2 − x3 = −5x1 + x2 − 3x3 = −94x1 + x2 + 2x3 = 9
2. Atzerakako ordezkapenarekiko ezabapen Gaussiarraren bidez eta aritmetika zehatzaz ondoko
sistema linealak ebatzi. Baldin beharrezkoak badira errenkada-ordezkapenak herabili.
a)x1 − x2 + 3x3 = 23x1 − 3x2 + x3 = −1x1 + x2 = 3
b)x2 + 4x3 = 0
x1 − x2 − x3 = 0.375x1 − x2 + 2x3 = 0
c)2x1 − 1.5x2 + 3x3 = 1−x1 + 2x3 = 34x1 − 4.5x2 + 5x3 = 1
d)2x1 − x2 + x3 = −13x1 + 3x2 + 9x3 = 03x1 + 3x2 + 5x3 = 4
11
KAPITULU III. PIBOTEO ESTRATEGIAK
1. SARRERA ETA METODOA
Ezabapen Gaussiarraren garapenean k ≤ i ≤ p urratsean a(k)kk = 0 bada eta a
(k)pk 6= 0, orduan
eragozpena gainditzeko (Ek) ←→ (Ep) errenkada-aldaketa egingo da. Hala ere nahiz eta diagonaleko
osagaiak a(k)kk 6= 0 izan, borobiltze errore nabaria bihurtu daiteke. Baldin diagonal nagusiaren azpian
pibote osagaia baino askoz handiagoak diren osagaiak badaude, ordenagailuak errore handia eragin dezake
ondoko adibidean ikus dezakegunez.
Adibidea
E1 : 0.003x1 + 59.14x2 = 59.17E2 : 5.291x1 − 6.130x2 = 46.78
Sistema linealaren soluzio zehatza (x1 = 10.00, x2 = 1.000) da. Baina lau digito esangarriekiko ezabapen
Gaussiarra aplikatzen badiogu:
a(1)11 = 0.003 , m21 =
5.2910.003
= 1763.6 ≈ 1764
(E2 −m21E1)−→ (E2) =⇒{
1764 · 59.14 = 104322 −→ 1043001764 · 59.17 = 104375 −→ 104400 eta
E1 : 0.003x1 + 59.14x2 = 59.17E2 : − 104300x2 = −104400
sistemaren soluzioa atzerakako ordezkapenaz kalkula daiteke
x2 = 1.001 , x1 =59.17− 59.14 · 1.001
0.003=
59.17− 59.200.003
= −0.0300.003
= −10.00
x2-ren errore txikiak eragin itzela izan du x1-en gainean, aldagai honen errorea 20.000 bider handitua
izan baita.
Adibide honek a(k)kk koefizientea a
(k)pk , k + 1 ≤ p ≤ n baino askoz txikiago deneko kasuaren er-
agozpenak erakusten ditu. Gehienetan, piboteo estrategiek k eta p errenkadeen arteko trukearen bidez
a(k)pk osagai pibote berria eta egokia bilatzen dute. Piboteo estrategiarik bakunena diagonalaren azpian da-
goen zutabe bakoitzaren osagairik handiena (balio absolutuan) aurkitzean datza, |a(k)pk | = maxk≤i≤n |a(k)
ik |,eta ondorioz (Ek) ←→ (Ep) .
Adibidea
E1 : 5.291x1 − 6.130x2 = 46.78E2 : 0.003x1 + 59.14x2 = 59.17
Orain a(1)11 = 5.291−→ m21 = a
(1)21
a(1)11
= 0.0035291
(E2 −m21E1)−→ (E2) =⇒{
0.000567 · 6.13 = 0.0034760.000567 · 46.78 = 0.02652
5.291x1 − 6.130x2 = 46.78+ 59.14x2 = 59.14
Atzerakako ordezkapenaz (x1 = 10.00, x2 = 1.000) soluzio zehatza aterako zaigu. Metodo hau zutabe-
piboteo maximotzat ezagutu ohi da.
12
2. ALGORITMOA ETA ADIBIDEAK
Metodo honek eragiketa guztietan |mij | ≤ 1 izatea zihurtatzen du.
Zutabe piboteo maximoarekiko ezabapen Gaussiarraren algoritmoa
Algoritmoak ekuazio linealeen sistemaren soluzioa aurkitzen du:
Sarreran: n ekuazio kopurua; Ah = (aij), 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n + 1 matrize hedatua.
Irteeran: (x1, ..., xn) soluzioa edo soluzio bat baino gehiago daudeneko mezua.
Ezabapen Gaussiarra
Urrats 1: Hartu F (i) = i , i = 1, ...n
Urrats 2: i = 1, 2, ..., n− 1 den bitartean 3-6 urratsak jarraitu.
Urrats 3: |a(F (p), i)| = maxi≤j≤n |a(F (j), i)| adierazpena betetzen duen i ≤ p ≤ n
zenbakirik txikiena hautatu.
Urrats 4: Baldin |a(F (p), i)| = 0, IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU.
Urrats 5: Baldin F (i) 6= F (p) , orduan AUX = F (i) ; F (i) = F (p) ; F (p) = AUX.
Urrats 6: j = i + 1, ..., n den bitartean 7-8 urratsak jarraitu.
Urrats 7: Hartu m(F (j), i) = a(F (j), i)/a(F (i), i)
Urrats 8: (EF (j) −m(F (j), i)EF (i)) ←→ (EF (j)).
Urrats 9: Baldin a(F (n), n) = 0 , IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU.
Atzerakako Ordezkapena
Urrats 10: Hartu xn = a(F (n), n + 1)/a(F (n), n)
Urrats 11: i = n−1, ..., 1 bitartean hartu xi =(a(F (i), n + 1)−∑n
j=i+1 a(F (i), j)xj
)/a(F (i), i)
Urrats 12: IRTEERA (x1, ..., xn) ; (prozesu asebetegarria) GELDITU.
AdibideaNahiz eta metodo honek sistema gehienetan emaitza onak itzuli, batzuetan ez da nahikoa. Demagun
lehenengo adibidearen sistemaren koefizienteak bider 104 .
E1 : 30.00x1 + 591400x2 = 591700E2 : 5.291x1 − 6.130x2 = 46.78
Orain sistemari zutabe piboteo maximoarekiko ezabapen Gaussiarra aplikatuko diogu 4 digito esangar-
riekiko aritmetikaz,
max1≤j≤2
|aji| = 30.00 , m21 =5.29130.00
= 0.1764
(E2 −m21E1)−→ (E2) =⇒{
0.1764 · 591400 = 104322−→ 1043000.1764 · 591700 = 104375−→ 104400 eta
30.00x1 + 591400x2 = 591700− 104300x2 = −104400
sistema baliokide honen soluzioa (x1 = −10.00, x2 = 1.001) da.
Gisa honetako sistemetarako teknika egokiena zutabe piboteo eskalatua izenekoa da. Prozesu berri
honen lehenengo urratsa errenkada bakoitzerako eskala faktore bat definitzean datza.
∀ l = 1, ..., n , sl = max1≤j≤n
|alj |
Baldin sl = 0, 1 ≤ l ≤ n, orduan soluzio bat baino gehiago egon behar du eta prozesua gelditu egiten
da. Bestela |ak1|/sk = max1≤j≤n |aj1|/sj betetzen duen 1 ≤ k ≤ n zenbakirik txikiena aukeratuko
13
dugu. Era berean ”i” urratsean |aki|/sk = maxi≤j≤n |aji|/sj betetzen duen i ≤ k ≤ n zenbakirik
txikiena aukeratuko dugu eta (Ei) ←→ (Ej) aldaketa egingo dugu ezabapen Gaussiarraren aurretik.
Eskalaren eragina errenkada bakoitzaren osagairik handienaren magnitudea 1 izatean datza, beraz,
eskala faktoreen arteko zatidurak ez du biribiltze errorerik sortzen.
AdibideaAurreko adibidearen biderkatzaileak ondokoak dira,
s1 = max{|30.00|, |591400|} = 591400 , s2 = max{|5.291|, | − 6.130|} = 6.130
|a11|s1
=30.00
591400= 0.5073 ∗ 10−4 eta
|a21|s2
=5.2916.130
= 0.8631
Orain errenkada-aldaketa burutzen dugu ondoko sistema bihurtuz,
5.291x1 − 6.130x2 = 46.7830.00x1 + 591400x2 = 591700
Sistema honi ezabapen Gaussiarra aplikatuko diogu m21 = 30.00/5.291 = 5.67 biderkatzailearekin,
(E2 −m21E1)−→ (E2) =⇒{
5.67 · 6.13 = 34.765.67 · 46.78 = 256.2 etaorain 5.291x1 − 6.130x2 = 46.78,
591400x2 = 591400,
Orain atzerakako ordezkapenak ematen digun soluzioa (x1 = 10.00, x2 = 1.000) da.
Zutabe piboteo eskalatuarekiko ezabapen Gaussiarraren algoritmoa
Algoritmoak ekuazio linealeen sistemaren soluzioa aurkitzen du:
Sarreran: n ekuazio kopurua; Ah = (aij), 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n + 1 matrize hedatua.
Irteeran: (x1, ..., xn) soluzioa edo soluzio bat baino gehiago daudeneko mezua.
Ezabapen Gaussiarra
Urrats 1: Hartu si = s(i) = max1≤j≤n |a(i, j)| i = 1, ...n Baldin i-rako si = 0 bada,
orduan IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU. Bestela hartu f(i) = i
Urrats 2: i = 1, 2, ..., n− 1 den bitartean 3-6 urratsak jarraitu.
Urrats 3: |a(F (p),i)|s(F (p)) = maxi≤j≤n
|a(F (j),i)|s(F (j)) adierazpena betetzen duen i ≤ p ≤
n zenbakirik txikiena hautatu.
Urrats 4: Baldin |a(F (p), i)| = 0, IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU.
Urrats 5: Baldin F (i) 6= F (p), orduan AUX = F (i) ; F (i) = F (p) ; F (p) = AUX.
Urrats 6: j = i + 1, ..., n den bitartean 7-8 urratsak jarraitu.
Urrats 7: Hartu m(F (j), i) = a(F (j), i)/a(F (i), i)
Urrats 8: (EF (j) −m(F (j), i)EF (i)) ←→ (EF (j)) egin.
Urrats 9: Baldin a(F (n), n) = 0, IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU.
Atzerakako Ordezkapena
Urrats 10: Hartu xn = a(F (n), n + 1)/a(F (n), n)
Urrats 11: i = n−1, ..., 1 bitartean xi =(a(F (i), n + 1)−∑n
j=i+1 a(F (i), j)xj
)/a(F (i), i) hartu.
Urrats 12: IRTEERA (x1, ..., xn) ; (prozesu asebetegarria) GELDITU.
Algoritmo honek Ezabapen Gausiarra arruntarekin konparatuz ez du eragiketa askoz gehiagorik
behar, beraz konputazionalki ez dio prozesuari denbora askorik gehitzen eta nabaritzen da emaitzak
hobeagoak direla.
14
3. GAUSS-JORDANEN ALGORITMOA
Demagun A matrize singularra. Cramer-en erregelak Ax = y sistemaren soluzioa aurkitzeko
A−1 matrizea erabili ohi du, x = A−1y baita. Gauss-Jordan-en algoritmoak matrizearen alderantzizkoa
lortzeko teknika sistematikoa ematen digu. Izan bitez x, y ∈ IRn eta Ax = y sistema lineala:
E1 : a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = y1,...
...En : an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = yn.
Metodo hau ekuazio sistemak ebazteko betiko ezezagun-ordezkapenaren metodoa baino ez da. Metodo
honen lehenengo urratsean x1 aldagaia {x2, ..., xn, yr} moduko aldagaien funtziopekoan idatziko dugu.
Doitasuna hobetzeko zutabe-piboteo maximoa sar dezakegu ere, |ar1| = max1≤i≤n |ai1| betetzen duen
ar1 6= 0 aukeratuz. Gero (E1) ←→ (Er) errenkada-aldaketa beteko dugu ondoko sistema berria lortuz,
E1 : a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = y1,...
...En : an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = yn.
non a1i = ari eta y1 = yr baitira. Baldin a11 = 0 bada A singularra da eta sistemak soluzio bat
baino gehiago ditu, bestela, E1-etik x1 askatu eta beronen adierazpena beste ekuazioetan ordezkatu.
x1 =1
a11[y1 − a12x2 − ...− a1nxn]
Beraz a′11 =1
a11, a′1k = −a1k
a11, a′i1 =
ai1
a11eta a′ik = aik − ai1
a1k
a11∀ i, k = 2, 3, ..., n.
Transformazio hauen bidez ondoko sistema baliokidea dugu:
E1 : a′11y1 + a′12x2 + · · · + a′1nxn = x1
......
En : a′n1y1 + a′n2x2 + · · · + a′nnxn = yn
Hurrengo urratsean bigarren ekuaziotik x2 askatu eta emaitza beste ekuazio guztietan ordezkatuko dugu
modu berean. Prozesu hau ezezagun guztiak askatu arte errepikatuko dugu. Urrats bakoitzeko matrizeek
A(0)−→ A(1)−→ ...−→ A(n) moduko segida osatuko dute. j. urratsari dagokiaon sistema ondokoa da:
E1 : a(j)11 y1 + · · · + a
(j)1j yj + a
(j)1j+1xj+1 + · · · + a
(j)1n xn = x1
......
Ej : a(j)j1 y1 + ... + a
(j)jj yj + a
(j)jj+1xj+1 + · · · + a
(j)jn xn = xj
Ej+1 : a(j)j+11y1 + · · · + a
(j)j+1jyj + a
(j)j+1j+1xj+1 + ... + a
(j)j+1nxn = yj+1
......
En : a(j)n1 y1 + ... + a
(j)nj yj + a
(j)nj+1xj+1 + · · · + a
(j)nnxn = yn
Zutabe piboteo maximoarekiko Gauss-Jordan-en algoritmorako erregelak
a) |arj | = maxj≤i≤n |aij | betetzen duen j ≤ r ≤ n azpiindizerik txikiena hautatu.
Baldin arj = 0, orduan matrizea singularra da eta ez dago soluziorik.
b) A(j−1)-ren r eta j errenkadak elkarren artean aldatu eta emaitza A = (aik)-tzat idatzi.
d) Ondoko formuleen bitartez i, k 6= j direnean A(j) = (a′ik) kalkulatu:
a′jj =1
ajj, a′jk =
−ajk
ajj, a′ij =
aij
ajj, a′ik = aik − aij
ajk
ajj
15
Azken A(n)-k A(n)y = x beteko du non y = (y1, ..., yn)t bektorea (y1, ..., yn)-ren permutazioa den,
y = P (y) =⇒ A(n)y = A(n)P (y) = x =⇒ A−1 = A(n)P
AdibideaIzan bedi ondorengo matrizea. Bere alderantzizkoa aurkitu errenkada-ordezkapenik gabe.
A =
1 1 11 2 31 3 6
, A(0) = A hartuko dugu
A(1) =
1a11
−a12
a11
−a13
a11a21
a11a22 − a21
a12
a11a23 − a21
a13
a11a31
a11a32 − a31
a12
a11a33 − a31
a13
a11
=
1 −1 −11 1 21 2 5
A(2) =
a11 − a12a21
a22
a12
a22a13 − a12
a23
a22−a21
a22
1a22
−a23
a22
a31 − a32a21
a22
a32
a22a33 − a32
a23
a22
=
2 −1 1−1 1 −2−1 2 1
A(3) =
a11 − a13a31
a33a12 − a13
a32
a33
a13
a33
a21 − a23a31
a33a22 − a23
a32
a33
a23
a33−a31
a33
−a32
a33
1a33
=
3 −3 1−3 5 −21 −2 1
= A−1
AdibideaZutabe piboteo maximoarekiko Gauss-Jordan-en metodoaren bidez eta 5 digito esangarrietako arit-
metikaz ondoko sistema ebatzi.
E1 : 1.5611x1 + 5.1791x2 − 1.6852x3 = 8.4254E2 : 3.3330x1 + 15920x2 + 10.333x3 = 15913E3 : 2.2220x1 + 16.710x2 − 9.6120x3 = 28.544
A(0) =
1.5611 5.1791 −1.68523.3330 15920 10.3332.2220 16.710 −9.6120
=⇒
(E1) ←→ (E2)A =
3.3330 15920 10.3331.5611 5.1791 −1.68522.2220 16.710 −9.6120
, y =
159138.425428.544
A(1) =
0.30003 −4776.5 −3.10020.46838 −7451.4 −6.52500.66667 −10596 −16.501
=⇒
(E2) ←→ (E3)A =
0.30003 −4776.5 −3.10020.66667 −10596 −16.5010.46838 −7451.4 −6.5250
, y =
1591328.5448.4254
A(2) =
−0.49371 ∗ 10−3 0.45078 4.33820.62917 ∗ 10−4 −0.94375 ∗ 10−4 −0.15573 ∗ 10−2
−0.44077 ∗ 10−3 0.70323 5.0790
= A , y =
1591328.5448.4254
A(3) =
−0.11723 ∗ 10−3 −0.14988 0.854140.62782 ∗ 10−4 0.12125 ∗ 10−3 −0.30662 ∗ 10−3
0.86783 ∗ 10−4 −0.13846 0.19689
, y =
1591328.5448.4254
x = A(3)y =⇒
x1 = −0.11723e− 3 ∗ 15913− 0.14988 ∗ 28.544 + 0.85414 ∗ 8.4254 = 1.0528x2 = 0.62782e− 4 ∗ 15913 + 0.12125e− 3 ∗ 28.544− 0.30662e− 4 ∗ 8.4254 = 1.0023
x3 = 0.86783e− 4 ∗ 15913− 0.13846 ∗ 28.544 + 0.19689 ∗ 8.4254 = −0.91235
16
Orduan x∗ = (1.0528, 1.0023,−0.91235) Gauss-Jordan-en metodoaz lorturiko hurbilketa ez da oso
zehatza x = (1.0, 1.0,−1.0)-rekin konparatuz.
Kalkuluak eskuz egiterakoan A(k) matrizeak ez dira ikusitako formulen bidez eraikitzen, beste
aldagaien menpeko ezezagun bakoitzaren adierazpena zuzenean beste ekuazioetan sartzen da baizik.
AdibideaOndoko sistema zutabe piboteo maximoarekiko Gauss-Jordanen metodoaren bidez ebatzi, eta egin
eragiketak 3 digito esangarriekin.
E1 : x1 + 2x2 − x3 = 2E2 : 2x1 + x2 = 3E3 : −x1 + x2 + x3 = 4
ARIKETAK
1. Ondoko sistema linealak 2 digitoekiko biribiltze aritmetikaz eta metodo hauen bidez ebatzi:
i) Atzerakako ordezkapenarekiko ezabapen Gaussiarra ; ii) Zutabe piboteo maximoarekiko ezabapen
Gaussiarra ; iii) Zutabe piboteo eskalatuarekiko ezabapen Gaussiarra ; iv) Zutabe piboteo maximoarekiko
Gauss-Jordan. Gero ebatzi sistemak aritmetika zehatzaz eta metodo berauetaz ere. Emaitzak konparatu:
a)
x1 + 2x2 + 3x3 = 12x1 + 3x2 + 4x3 = −13x1 + 4x2 + 6x3 = 2
b)
0.1x1 + 0.2x2 + 0.4x3 = 1.14x1 + x2 − x3 = 62x1 + 5x2 + 2x3 = 3
2. Ondoko sistema linealak 3 digitoekiko biribiltze aritmetikaz eta lehenengo adibidearen metodoen
bidez ebatzi:
a)
0.832x1 + 0.448x2 + 0.193x3 = 1.000.784x1 + 0.421x2 − 0.207x3 = 0.000.784x1 − 0.421x2 + 0.279x3 = 0.00
b){
0.03x1 + 058.9x2 = 59.25.31x1 − 6.10x2 = 47.0
d){
58.9x1 + 0.03x2 = 59.2−6.10x1 + 5.31x2 = 47.0 e)
πx1 − ex2 +√
2x3 − √3x4 = 1
π2x1 + ex2 − e2x3 + 3/7x4 = −1√5x1 − √
6x2 + x3 − 1.1x4 = 3π3x1 + e2x2 − √
7x3 + x4 =√
2
17
KAPITULU IV. MATRIZE FAKTORIZAZIO ZUZENA
1. SARRERA ETA METODOA
Baldin Ax = b sistema errenkada-ordezkapenik gabe ezabapen Gaussiarraren bidez ebatzi badaiteke,
orduan A matrizea L matrize goi-triangeluarra bider U behe-triangeluarraren moduan faktoriza daiteke,
A = LU =⇒ b = Ax = LUx =⇒ z = Ux hartuz Lz = b sistema dugu.
L goi-triangeluarra denez zuzenean atzerakako ordezkapena aplika diezaiokegu z aurkitzeko. Gero
Ux = z sistemaren U matrizea triangeluarra denez erebai, beste aurrerakako ordezkapenaren bidez
x soluzioa lortuko dugu. A-ren LU faktorizazioa beti berdina denez, behin deskonposatuta egon, gero
b bektore aske ezberdinetarako Ax = b sistema askatuko genuke soilik bi ordezkapenak aplikatuz.
AdibideaDemagun ondoko 4 ∗ 4 matrize diagonalki menpekoa eta kalkulatu bere LU faktorizazioa:
A =
6 2 1 −12 4 1 01 1 4 −1−1 0 −1 3
L =
l11 0 0 0l21 l22 0 0l31 l32 l33 0l41 l42 l43 l44
U =
u11 u12 u13 u14
0 u22 u23 u24
0 0 u33 u34
0 0 0 u44
L eta U -k 20 osagai ezezagunak dituzte baina A-k soilik 16 osagai dituenez L eta U matrizeen
16 osagai baino ezin dugu finkatu eta falta diren 4 osagaiei edozein balioak emango dizkiegu. Adibidez,
Dolittle-ren metodoak l11 = l22 = ... = 1 aukeratzen ditu, Crout-enak u11 = u22 = ... = 1 eta
Cholesky-renak lii = uii. Adibide hau Dolittlenaren bitartez askatuko dugu:
LU =
1 0 0 0l21 1 0 0l31 l32 1 0l41 l42 l43 1
u11 u12 u13 u14
0 u22 u23 u24
0 0 u33 u34
0 0 0 u44
=
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
= A
A-ren lehenengo errenkadak lau ekuazio hauek halabehartzen ditu, u11 = 6, u12 = 2, u13 = 1 eta
u14 = −1, eta A-ren lehenengo zutabeak ondoko hirurak:
l21u11 = 2 =⇒ l21 = 1/3, l31u11 = 1 =⇒ l31 = 1/6 eta l41u11 = −1 =⇒ l41 = −1/6
Jadanik L-ren lehenengo zutabea eta U -ren lehenengo errenkada kalkulatu ditugu:
L =
1 0 0 01/3 1 0 01/6 l32 1 0−1/6 l42 l43 1
eta U =
6 2 1 −10 u22 u23 u24
0 0 u33 u34
0 0 0 u44
Orain A-ren bigarren errenkada eta bigarren zutabeak ondoko ekuazioak beteko dituzte:
l21u12 + u22 = 2/3 + u22 = 4 =⇒ u22 = 10/3l21u13 + u23 = 1/3 + u23 = 1 =⇒ u23 = 2/3
l21u14 + u24 = −1/3 + u24 = 0 =⇒ u24 = 1/3l31u12 + l32u22 = 2/6 + (10/3) · l32 = 4 =⇒ l32 = 1/5
l41u12 + l42u22 = −2/6 + (10/3) · l42 = 4 =⇒ l42 = 1/10
18
Jarraian A-ren hirugarren errenkada eta hirugarren zutabeak ondoko ekuazioak beteko dituzte:
l31u13 + l32u23 + u33 = 1/6 + 1/5 · 2/3 + u33 = 4 =⇒ u33 = 37/10l31u14 + l32u24 + u34 = −1/6 + 1/5 · 1/3 + u34 = −1 =⇒ u34 = −9/10
l41u13 + l42u23 + l43u33 = −1/6 + 1/10 · 2/3 + (37/10) · l43 = −1 =⇒ l43 = −9/37
Bukatzeko a44 halabehartzen du azken osagaiaren balioa:
l41u14 + l42u24 + l43u34 + u44 = 1/6 + 1/10 · 1/3 + 9/37 · 9/10 + u44 = 3 =⇒ u44 = 191/74
Datu guzti hauekin A-ren faktorizazioa ondokoa da,
L =
1 0 0 01/3 1 0 01/6 1/5 1 0−1/6 1/10 −9/37 1
U =
6 2 1 −10 10/3 2/3 1/30 0 37/10 −9/100 0 0 191/74
2. DOLITTLE ETA CROUTen ALGORITMOAK
Dolittle edo Crouten faktorizazio zuzeneko algoritmoa
Algoritmoak A = (aij) n ∗ n matrizea L = (lij) matrize goi-triangeluarra bider
U = (uij) matrize behe-triangeluarraren moduan faktorizatzen du.
Sarreran: Dimentsioa n; matrizea Ah = (aij); diagonala (lii)ni=1 (Dolittle) edo (uii)n
i=1 (Crout).
Irteeran: lij eta uij , i, j = 1, ..., n osagaiak edo porrot mezua.
Urrats 1: l11u11 = a11 betetzen duten l11 eta u11 aurkitu. Baldin l11u11 = 0 bada
orduan, IRTEERA (faktorizazio ezinezkoa); GELDITU.
Urrats 2: Hartu u1j = a1j/l11 , lj1 = aj1/u11 , j = 2, ..., n
Urrats 3: i = 2, 3, ..., n− 1 den bitartean 4-5 urratsak jarraitu.
Urrats 4: liiuii = aii −∑i−1
k=1 likuki adierazpena betetzen duen lii eta uii aurkitu.
Baldin liiuii = 0, orduan IRTEERA (faktorizazio ezinezkoa); GELDITU.
Urrats 5: Hartu
uij =(aij −
∑i−1k=1 likukj
)/lii ; lji =
(aji −
∑i−1k=1 ljkuki
)/uii , j = i + 1, ..., n
Urrats 6: lnnunn = ann −∑n−1
k=1 lnkukn adierazpena betetzen duen lnn eta unn aurkitu.
Baldin lnnunn = 0 bada orduan, A = LU baina A singularra da.
Urrats 7: IRTEERA (lij eta uij i, j = 1, ..., n); (prozesu asebetegarria) GELDITU.
Piboteorik gabeko algoritmo honek erakar dezaken eragozpena biribiltze errorea da. Digito
kopuru finitua erabili direnean biribiltze errorea itzela izan daitekela ikusi dugu. Beraz, mota hone-
tako algoritmoek eragozpen hau gaindi dezaten mekanismoak erantsi behar zaizkie. Doolitle-ren ka-
suan lji osagaiak kalkulatzeko zatitu behar da zati uii osagaia, beraz, errorea txikitzeko komeni-
garria da ahal den uii pibote-osagairik handienak hautatzea. Horretarako∣∣∣api −
∑i−1k=1 lpkuki
∣∣∣ =
maxi≤j≤n
∣∣∣aji −∑i−1
k=1 ljkuki
∣∣∣ adierazpena betetzen duen 1 ≤ p ≤ n zenbakirik txikiena hautatuko
dugu. Baldin p 6= i bada A matrizearen i. eta p. errenkadaren osagaiak elkarren artean ordeztuko
ditugu eta L matrizearen orduan arte kalkulatutako bi errenkada horien osagaiak erebai.
Ondorengo algoritmoan aurrekoari zutabe piboteo maximoa eta aurrerakako eta atzerakako
ordezkapenak erantsi dizkiogu.
19
Zutabe piboteo maximoarekiko faktorizazio zuzeneko algoritmoa
Algoritmoak A = LU faktorizatu eta Lz = b, Ux = z ebatzi ondoren Ax = b sistema
askatzen du:
Sarreran: Dimentsioa n; matrizea Ah = (aij); diagonala (lii)ni=1 (Dolittle) edo (uii)n
i=1 (Crout).
Irteeran: (x1, ..., xn) soluzioa edo soluzio bat baino gehiago daudeneko mezua.
Urrats 1: |a(p, 1)| = max1≤j≤n |a(j, 1)| betetzen duen 1 ≤ p ≤ n zenbakirik txikiena auk-
eratu. Baldin |a(p, 1)| = 0, orduan IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU.
Urrats 2: Baldin p 6= 1 bada (Ep) ←→ (E1) errenkada-aldaketa.
Urrats 3: l11u11 = a11 betetzen duten l11 eta u11 aurkitu.
Urrats 4: Hartu u1j = a1j/l11 , lj1 = aj1/u11 , j = 2, ..., n
Urrats 5: i = 2, ..., n− 1 den bitartean 6-9 urratsak jarraitu.
Urrats 6: Izan bedi p ondoko adierazpena betetzen duen zenbakirik txikiena:∣∣∣api −∑i−1
k=1 lpkuki
∣∣∣ = maxi≤j≤n
∣∣∣aji −∑i−1
k=1 ljkuki
∣∣∣Baldin maximo hori 0 bada, orduan IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU.
Urrats 7: Baldin p 6= i bada (Ep) ←→ (Ei) burutu eta L matrizearen i eta
p errenkadeen osagaiak elkarren artean aldatu.
Urrats 8: liiuii = aii −∑i−1
k=1 likuki betetzen duten lii eta uii aurkitu.
Urrats 9: Hartu
uij =(aij −
∑i−1k=1 likukj
)/lii ; lji =
(aji −
∑i−1k=1 ljkuki
)/uii , j = i + 1, ..., n
Urrats 10: Hartu AUX = ann −∑n−1
k=1 lnkukn . Baldin AUX = 0 bada, orduan
IRTEERA (soluzio bat baino gehiago daude); GELDITU. Bestela lnnunn = ann−∑n−1
k=1 lnkukn
adierazpena betetzen duen lnn eta unn aurkitu.
Lz = b Sistemaren ebazpena
Urrats 11: Hartu z1 = a(1, n + 1)/l(1, 1)
Urrats 12: Hartu zi =(a(i, n + 1)−∑i−1
j=1 lijzj
)/lii, i = 2, ..., n
Ux = z Sistemaren ebazpena
Urrats 13: Hartu xn = zn/unn
Urrats 14: Hartu xi =(zi −
∑nj=i+1 uijxj
)/uii, i = n− 1, ..., 1
Urrats 15: IRTEERA (x1, ..., xn); (prozesu asebetegarria) GELDITU.
AdibideaOndoko sistema zutabe piboteo maximoarekiko faktorizazio zuzeneko algoritmoaren bidez (Dolittle)
askatu eta eragiketak 3 digito esangarriekin kalkulatu:
1.00x1 + 0.333x2 + 1.50x3 − 0.333x4 = 3.00−2.01x1 + 1.45x2 + 0.50x3 + 2.95x4 = 5.404.32x1 − 1.95x2 + 2.08x4 = 0.135.11x1 − 4.00x2 + 3.33x3 − 1.11x4 = 3.77
Algoritmoak ematen digun soluzioa (x1 = −0.329, x2 = 0.322, x3 = 2.37, x4 = 1.04). Ondoko
taulan algoritmoen emaitzeen konparazioa egiten da:
x1 x2 x3 x4
Soluzio zehatza −0.324 0.321 2.37 1.04
Piboteoarekiko fakt. −0.329 0.322 2.37 1.04
Piboteogabeko fakt. −0.370 0.236 2.42 1.03
20
3. CHOLESKY-ren ALGORITMOA
Baldin A matrize simetriko eta positibo definitua bada, orduan faktorizazio zuzenekoa baino
eragiketa kopuru gutxiago behar duen A-ren faktorizazio egokia egin daiteke.
Teorema
Baldin A n ∗ n matrize simetriko eta positibo definitua bada, orduan A = LLt moduko
faktorizazioa egin daiteke non L matrize behe-triangeluarra baita.
Cholesky-ren algoritmoa
Algoritmoak A = (aij)-ren LLt faktorizazioa lortzen du, non L = (lij) behe-triangeluarra den.
Sarreran: Dimentsioa n; Ah = (aij) matrizea.
Irteeran: lij , i, j = 1, ..., n osagaiak.
Urrats 1: Hartu l11 =√
a11.
Urrats 2: Hartu lj1 = aj1/l11, j = 2, ..., n.
Urrats 3: i = 2, 3, ..., n− 1 den bitartean 4-5 urratsak jarraitu.
Urrats 4: Hartu lii =√
aii −∑i−1
k=1 l2ik.
Urrats 5: Hartu lji =(aij −
∑i−1k=1 ljklik
)/lii , j = i + 1, ..., n.
Urrats 6: Hartu lnn =√
ann −∑n−1
k=1 l2nk.
Urrats 7: IRTEERA (lij , i, j = 1, ..., n); (prozesu asebetegarria) GELDITU.
A n ∗ n matrizearen Cholesky-ren faktorizazioa ondoko eragiketa kopurua behar du: n erro
karratu; (n3 + 9n2 + 2n)/6 biderkaketa/zatiketa; (n3 + 6n2 − 7n)/6 batuketa/kenketa. Eragiketa
kopuru hau gutxi gora-behera Ezabapen Gaussiarrak behar duen kopuru erdia da.
AdibideaCholesky-ren metodoaren bidez A matrize positibo definitua faktorizatu:
A =
4 −1 1−1 4.25 2.751 2.75 3.5
4. SISTEMA TRIDIAGONALETARAKO CROUT-en ALGORITMOA
Matrize bandaren leku simetrikoetan zero ugari daudenez algoritmo erreza eraiki dezakegu. Egoera
honenpean Crout eta Dolittlen metodoek garapen berezia izango dute. Demagun A matrize tridiagonala,
A =
a11 a12 0 · · · 0
a21 a22 a23. . .
...
0. . . . . . . . . 0
.... . . an−1n−2 an−1n−1 an−1n
0 · · · 0 ann−1 ann
Suposa dezagun A = LU faktorizazioa existitzen dela. A matrizeak soilik (3n − 2) osagai ( 6= 0)
dituenez L eta U -ren osagaiak aurkitzeko (3n− 2) baldintza baino ez dugu izango. Har dezagun
L =
l11 0 · · · · · · 0
l21 l22 0. . .
...
0. . . . . . . . . 0
.... . . ln−1n−2 ln−1n−1 0
0 · · · 0 lnn−1 lnn
eta U =
1 u12 0 · · · 0
0 1 u23. . .
...
0. . . . . . . . . 0
.... . . 0 1 un−1n
0 · · · · · · 0 1
21
non A = LU . L matrizeak 2n− 1 osagai ezezagun ditu eta U -k n− 1. Beraz, L eta U -ren osagaiak
finkatzeko (3n− 1) baldintza baino ez dugu behar eta dagozkien ekuazioak ondokoak dira:
a11 = l11; aii−1 = lii−1, i = 2, ..., n; lii, i = 2, ..., n; aii+1 = liiuii+1 , i = 1, ..., n− 1.
Sistema tridiagonaletarako Crout-en algoritmoa
Algoritmoak sistema lineal tridiagonalaren soluzioa aurkitzen du:
Sarreran: ”n” ekuazio kopurua; Ah = (aij), 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n + 1 matrize hedatua.
Irteeran: (x1, ..., xn) soluzioa.
Urrats 1: Hartu l11 = a11 eta u12 = a12/l11
Urrats 2: Hartu lii−1 = aii−1 ; lii = aii − lii−1ui−1i ; uii+1 = aii+1/lii , i = 2, ..., n− 1
Urrats 3: Hartu lnn−1 = ann−1 ; lnn = ann − lnn−1un−1n
Lz = b Sistemaren ebazpena
Urrats 4: Hartu z1 = u1n+1/l11
Urrats 5: Hartu zi = (ain+1 − lii−1zi−1)/lii , i = 2, ..., n
Ux = z Sistemaren ebazpena
Urrats 6: Hartu xn = zn
Urrats 7: Hartu xi = zi − uii+1xi+1 , i = n− 1, ..., 1
Urrats 8: IRTEERA (x1, ..., xn) sistemaren soluzioa; GELDITU.
Algoritmo honek soilik (5n− 4) biderkaketa/zatiketa eta (3n− 3) batuketa/kenketa behar ditu,
beraz, baldin n handia bada abantaila izugarria ematen du.
AdibideaOndoko sistema tridiagonala Crout-en algoritmoaz askatu (Soluzioa x1 = x2 = x3 = x4 = 1 da):
2x1 − x2 = 1−x1 + 2x2 − x3 = 0
− x2 + 2x3 − x4 = 0− x3 + 2x4 = 1
Baldin A matrize tridiagonala eta positibo definitua bada edo hertsiki diagonalki menpekoa, orduan
A = LU faktorizazioaren diagonaleko koefizienteak lii 6=, i = 1, ..., n dira eta sistema tridiagonaletarako
Crout-en algoritmoa aplika daiteke.
ARIKETAK
1. Ondoko matrizeak Dolittle-ren (lii = 1) eta piboteo maximoarekiko Doolittle-ren metodoaz
faktorizatu eta sistemak askatu:
a)
2 −1 1 | −13 3 9 | 83 3 5 | 5
, b)
2 −1.5 3 | 2.5−1 0 3 | 1.54 −4.5 5 | −3
, d)
1.012 −2.132 3.104 | 2.618−2.132 4.096 −7.013 | −6.3393.104 −7.013 0.014 | −5.401
3. Ondoko matrizeen A = LLt faktorizazioa Cholesky-ren algoritmoaren bidez kalkulatu:
a)
2 −1 0−1 2 −10 −1 2
, b)
4 1 1 11 3 −1 11 −1 2 01 1 0 2
, d)
4 1 −1 01 3 −1 0−1 −1 5 20 0 2 4
4. Ondoko sistema tridiagonalak Crout-en algoritmoaren bidez askatu:
a)
x1 − x2 = 0−2x1 + 4x2 − 2x3 = −1
− x2 + 2x3 = 1.5, b)
0.5x1 + 0.25x2 = 0.350.35x1 + 0.8x2 + 0.4x3 = 0.72
0.05x2 − 0.55x3 = 1.6
22
KAPITULU V. SISTEMA LINEALAK EBAZTEKOITERAZIOZKO TEKNIKAK
1. SARRERA ETA METODOA
Ax = b , n ∗ n sistema lineala ebazteko iterazozko teknika martxan jartzeko x soluzioaren
x(0) hasierako hurbilketa beharko dugu eta hurrenez hurren x-ra konbergitzen duen {x(k)}∞x=0 bektore
segida sortuko dugu. Jatorrizko sistema x = Tx+d sistema baliokidea bihurtuko dugu, non T baldintza
berezi batzuk betetzen dituen n ∗ n matrizea eta d ∈ IRn bektorea diren. Gero bektoretarako puntu
finkoaren bezelako x(k) = Tx(k−1) + d, k = 1, 2, 3, ..., segida eraikiko dugu.
Dimentsio txikia duten sistemetarako metodo hauek ez dira egokiak, doitasun berbera lortzeko
metodo zuzenak baino eragiketa gehiago egin behar direlako, aitzitik, baldin dimentsioa handia bada
edo matrizeak zero asko baditu metodo hauek besteak baino askoz erabilgarriagoak dira.
AdibideaOndoko Ax = b sistema linealaren soluzio zehatza x = (1, 2,−1, 1)t da. Sistema x = Tx+d erako
eskemaeren ordez ordeztuko dugu eta x(0) = (0, 0, 0, 0) estimazioarenkin 10 iterazio burutu:
10x1 − x2 + 2x3 = 6−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 252x1 − x2 + 10x3 − x4 = −11
3x2 − x3 + 8x4 = 15
i. ekuaziotik xi askatuz,
x1 = 110x2 − 1
5x3 + 35 ,
x2 = 111x1 + 1
11x3 − 311x4 + 25
11 ,x3 = − 1
5x1 + 110x2 + 1
10x4 − 1110 ,
x4 = − 38x2 + 1
8x3 + 158
.
Beraz T =
0 110 − 1
5 0111 0 1
11 − 311
− 15
110 0 1
100 − 3
818 0
d =
3/525/11−11/1015/8
Lehenengo iterazioa ondokoa da:
x(1)1 = 1
10x(0)2 − 1
5x(0)3 + 3
5 = 0.6000x
(1)2 = 1
11x(0)1 + 1
11x(0)3 − 3
11x(0)4 + 25
11 = 2.2727x
(1)3 = − 1
5x(0)1 + 1
10x(0)2 + 1
10x(0)4 − 11
10 = −1.1000x
(1)4 = − 3
8x(0)2 + 1
8x(0)3 + 15
8 = 1.8750
k x(k)1 x
(k)2 x
(k)3 x
(k)4
0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.6000 2.2727 −1.1000 1.8750
2 1.0473 1.7159 −0.80523 0.88524
3 0.93264 2.0533 −1.0493 1.1309
4 1.0152 1.9537 −0.96811 0.97385
5 0.98899 2.0114 −1.0103 1.0213
6 1.0032 1.9923 −0.99453 0.99444
7 0.99841 2.0023 −1.0020 1.0036
8 1.0006 1.9987 −0.99904 0.99889
9 0.99968 2.0004 −1.0004 1.0006
10 1.0001 1.9998 −0.99984 0.99980
23
Errorearen estimazioak ondokoak dira:
‖x(10) − x(9)‖∞‖x(10)‖∞
=8.0 ∗ 10−4
1.9998< 10−3 , ‖x(10) − x‖∞ = 0.0002
Erabilitako teknika hau Jacobiren iteraziozko metodoa izenekoa da eta baldin aii 6= 0 bada, sis-
temaren i. ekuaziotik xi aldagaia askatzean datza. Hauxek dira k. iterazioko formulak,
x(k)i =
1aii
bi −
n∑
j=1,j 6=i
(aijx(k−1)j )
, i = 1, ..., n.
Emaitza teorikoetan x(k) = Tx(k−1) + d adierazpidearen A matrizea zati diagonala eta zati ez
diagonalean banatuko dugu:
A =
a11 ... a1n
a21 ... a2n
... ... ...an1 ... ann
=
a11 0 ... 00 a22 ... 0... ... ... ...0 0 ... ann
−
0 0 ... 0−a21 0 ... 0... ... ... ...
−an1 0 −ann−1 0
−
0 −a12 ... −a1n
... ... ... ...0 ... 0 −an−1n
0 0 ... 0
Ax = b ⇐⇒ (D − L− U)x = b ⇐⇒ Dx = (L + U)x + b ⇐⇒ x = D−1(L + U)x + D−1b
Ondorioz, Jacobiren iteraziozko teknikaren eraikuntza matriziala dugu, x(k) = D−1(L+U)x(k−1)+D−1b
2. JACOBI-REN ETA GAUSS-SEIDEL-EN ALGORITMOAK
Jacobi-ren iteraziozko algoritmoa
Algoritmoak x(0) hasierako hurbilketa emanez Ax = b sistema lineala askatzen du.
Sarreran: Dimentsioa n; Ah = (aij), i, j = 1, ..., n, matrizea; bi, i = 1, ..., n, bektorea;
x0i, i = 1, ..., n, hasierako hurbilketa; TOL toleranzia eta N0 iterazio kopuru maximoa.
Irteeran: (x1, ..., xn) soluzio hurbildua edo N0 iterazio kopuru maximoa gainditu deneko mezua.
Urrats 1: Hartu k = 1.
Urrats 2: k ≤ N0 den bitartean 3-5 urratsak jarraitu.
Urrats 3: Hartu xi =(bi −
∑nj=1,j 6=i aijx0j
)/aii , i = 1, ..., n.
Urrats 4: Baldin ‖x− x0‖ < TOL, IRTEERA → (x1, ..., xn); GELDITU.
Urrats 5: Hartu x0i = xi, i = 1, ..., n eta k = k + 1.
Urrats 6: IRTEERA (N0 ’iterazio egin ondoren, metodoa porrot egin du’); GELDITU.
Algoritmoaren 3. urratsean aii 6= 0, i = 1, ..., n, izan behar du, baldin matrizea ez singularra bada
eta baldintza hau ez bada betetzen, orduan, ekuazioak berrordena daitezke.
Geldi erizpidetzat algoritmoak ‖x− x0‖ < TOL edo ‖x(k) − x(k−1)‖/‖x(k)‖ < ε har dezake.
Algoritmo honek x(k)i kalkulatzeko x(k−1)-ren osagaiak darabiltza eta dagoeneko x
(k)1 , ..., x
(k)i−1-en
balioak ezagunak dira. {x(k)} segida konbergentea bada suposa daiteke x(k)j , j = 1, .., i−1 hurbilketak
hobeagoak direla x(k−1)j , j = 1, .., i − 1 baino eta noski, algoritmoa eraginkorragoa izango da baldin
x(k)i -ren balioztapenean kalkulatutak dauden x(k)-ren osagaiak erabiltzen baditugu. Hobekuntza honek
Gauss-Seidel-en iteraziozko algoritmoa izena du eta hauxek dira dagozkion formulak:
xi =1aii
[−
i−1∑
j=1
(aijx(k)j )−
n∑
j=i+1
(aijx(k−1)j ) + bi
]i = 1, ..., n
24
Matrizialki (D − L)x(k) = Ux(k−1) + b ⇐⇒ x(k) = (D − L)−1Ux(k−1) + (D − L)−1b adierazi ohi da.
AdibideaOndoko Ax = b sistema lineala Gauss-Seidel-en bidez askatu. Hartu x(0) = (0, 0, 0, 0).
10x1 − x2 + 2x3 = 6−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 252x1 − x2 + 10x3 − x4 = −11
3x2 − x3 + 8x4 = 15
x(k)1 = 1
10x(k−1)2 − 1
5x(k−1)3 + 3
5
x(k)2 = 1
11x(k)1 + 1
11x(k−1)3 − 3
11x(k−1)4 + 25
11
x(k)3 = − 1
5x(k)1 + 1
10x(k)2 + 1
10x(k−1)4 − 11
10
x(k)4 = − 3
8x(k)2 + 1
8x(k)3 + 15
8
k x(k)1 x
(k)2 x
(k)3 x
(k)4
0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.6000 2.3273 −0.98727 0.87885
2 1.00302 2.0369 −1.0145 0.98435
3 1.0066 2.0035 −1.0025 0.99838
4 1.0009 2.0003 −1.0003 0.99985
5 1.0001 2.0000 −1.0000 1.0000
‖x(5) − x(4)‖∞‖x(5)‖∞
=8.0 ∗ 10−4
2.000= 4 ∗ 10−4
Ikus dezakegunez lehenengo adibidean lortutako doitasuna beheragotzeko hemen iterazio kopuru
erdia behar izan dugu.
Gauss-Seidelen iteraziozko algoritmoa
Algoritmoak x(0) hasierako hurbilketa emanez Ax = b sistema lineala askatzen du.
Sarreran: n dimentsioa; Ah = (aij) i, j = 1, ..., n matrizea; bi i = 1, ..., n bektorea;
x0i i = 1, ..., n hasierako hurbilketa; TOL toleranzia; N0 iterazio kopuru maximoa.
Irteeran: (x1, ..., xn) soluzio hurbildua edo N0 iterazio kopuru maximoa gainditu deneko mezua.
Urrats 1: Hartu k = 1.
Urrats 2: k ≤ N0 den bitartean 3-6 urratsak jarraitu.
Urrats 3: Hartu xi =(bi −
∑i−1j=1 aijxj −
∑nj=i+1 aijx0j
)/aii , i = 1, ..., n.
Urrats 4: Baldin ‖x− x0‖ < TOL, IRTEERA → (x1, ..., xn); GELDITU.
Urrats 5: Hartu x0i = xi, i = 1, ..., n eta k = k + 1.
Urrats 6: IRTEERA (N0 ’iterazio egin ondoren, metodoa porrot egin du’); GELDITU.
Badaude adibideak non Gauss-Seidel-en metodoak konbergitzen baitu eta Jacobi-renak ez eta alde-
rantziz erebai. Hala ere kasu gehienetan biek konbergituz geroz Gauss-Seidel-en metodoa Jacobi-rena
baino azkarragoa da.
3. ITERAZIOZKO PROZESUEN KONBERGENTZIA
25
Iteraziozko teknika orokorren konbergentzia aztertzeko x(k) = Tx(k−1) +d , k = 1, 2, 3, ..., formula
kontutan hartuko dugu, non x(0) hautazkoa den.
Lema
Baldin T -ren erradio espektrala, ρ(T ) < 1 edo ‖T‖ < 1 bada, orduan (I − T )−1 existitzen da
eta (I − T )−1 = I + T + T 2 + ... da.
Teorema
∀ x(0) ∈ IRn , x(k) = Tx(k−1) +d , k ≥ 1 , d 6= 0 adierazpenak definituriko {x(k)}∞k=0 segidak
x = Tx + d ekuazioaren soluziora konbergituko du baldin eta solik baldin ρ(T ) < 1.
**frog**
Teorema
Baldin ‖ · ‖ norma matrizialerako ‖T‖ < 1 bada, orduan ∀ x(0) ∈ IRn, x(k) = Tx(k−1) + d,
k ≥ 1 , d 6= 0, adierazpenak definituriko {x(k)}∞k=0 segidak x = Tx + d soluzioorantz konbergituko
du eta ondoko errore bornapenak beteko ditu:
‖x− x(k)‖ ≤ ‖T‖k · ‖x(0) − x‖ eta ‖x− x(k)‖ ≤ ‖T‖k
1− ‖T‖‖x(1) − x(0)‖
**frog**
Bereziki baldin x(0) = d hautatzen badugu, orduan:
x(1) = Td + d =⇒ ‖x(1) − x(0)‖ = ‖Td‖ ≤ ‖T‖ · ‖d‖ =⇒ ‖x− x(k)‖ ≤ ‖T‖k+1
1− ‖T‖‖d‖
AdibideaJacobiren iteraziozko prozesuaren bidez ondoko sistemaren konbergentzia frogatu eta zenbat iterazio
behar diren 10−4 baino txikiago errorearekiko soluzio hurbildua lortzeko adierazi.
10x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 0x1 + 10x2 − x3 + 2x4 = 52x1 + 3x2 + 20x3 − x4 = −103x1 + 2x2 + x3 + 20x4 = 15
x(k)1 = 0.1x
(k−1)2 − 0.2x
(k−1)3 + 0.3x
(k−1)4
x(k)2 = −0.1x
(k)1 + 0.1x
(k−1)3 − 0.2x
(k−1)4 + 0.5
x(k)3 = −0.1x
(k−1)1 − 0.15x
(k)2 + 0.05x
(k−1)4 − 0.5
x(k)4 = −0.15x
(k)1 − 0.1x
(k)2 − 0.05x
(k)3 + 0.75
T =
0 0.1 −0.2 0.3−0.1 0 0.1 −0.2−0.1 −0.15 0 0.05−0.15 −0.1 −0.05 0
T -ren magnitudea balioztatzeko ‖ · ‖1 norma erabiliz, ‖T‖1 = max{0.35, 0.35, 0.35, 0.55} = 0.55 < 1.
Beraz, Jacobiren prozesua sistema honetarako konbergentea da. Izan bedi
x(0) = d = (0.0, 0.5,−0.5, 0.75)t =⇒ ‖d‖1 = 0.0 + 0.5− 0.5 + 0.75 = 1.75
26
Azken teoremari esker ondorengo errorearen bornapena dugu:
‖x− x(k)‖1 ≤ ‖T‖k+11
1− ‖T‖1 ‖d‖1 =0.55k+1 ∗ 1.75
0.45< 10−4 =⇒ 0.55k+1 <
45175
10−4
Logaritmoak sartuz k ezezaguna askatuko dugu:
(k + 1)log100.55 < log1045− log10175− 4 =⇒ (k + 1)0.25964 < 1.65321− 2.24304− 4 =⇒ k ≥ 16.7
k zenbaki osoa izan beharko da, beraz k = 17 aski da. Hala ere askoetan doitasun hori teoriak dioena
baino lehenago beheragotuko da.
Orain Jacobi eta Gauss-Seidelen era matrizialak idatziko ditugu:
TJ = D−1(L + U) =⇒ x(k) = TJx(k−1) + D−1b (Jacobi)
TGS = (D − L)−1U =⇒ x(k) = TGSx(k−1) + (D − L)−1b (Gauss− Seidel)
Badakigu eskema bakoitzaren matrizeen erradio espektralak < 1 badira, orduan, iterazioek soluzio-
rantz konbergituko dutela. Orain, konbergentzia ziurtatzeko, beste baldintzak ikusiko ditugu.
Teorema
Baldin A matrizea hertsiki diagonalki menpekoa bada, orduan ∀ x(0) ∈ IRn Jacobi-ren eta
Gauss-Seidel-en algoritmoen {x(k)}∞k=0 segidak Ax = b sistemaren soluziorantz konbergituko dute.
‖T‖ eta ρ(T ) orden berekoak direnez errore-bornapena eta erradio espektrala elkarren artean
erlazionatzeko ondoko adierazpena idatz dezakegu:
‖x(k) − x‖ ≈ ρ(T )k‖x(0) − x‖
Beraz, hainbat eta ρ(T ) txikiago izan, metodoak orduan eta azkarrago konbergituko du.
Teorema
Baldin aii > 0 i = 1, ..., n eta aij ≤ 0 ∀i 6= j badira orduan ondoko baieztapenetariko soilik
bat beteko da.
a) 0 < ρ(TGS) < ρ(TJ) < 1
b) 1 < ρ(TJ) < (TGS)
c) (TGS) = (TJ) = 0
d) (TJ) = (TGS) = 1
Kasu honetan baldin metodo bat konbergitzen badu Gauss-Seidel-en metodoak Jacobi-rena baino
azkarrago konbergituko duela ikus daiteke.
27
4. LASAIKUNTZA METODOAK
Prozesuaren konbergentzia-abiadura eta metodoari dagokion matrizearen erradio espektralaren tamainua
elkar erlazionaturik daude. Erradio espektralarik txikiena duen matrizea hautatuz konbergentzi azkarra
lortuko dugu. Prozesu hauek lasaikuntza metodoak izena dute. Izan bedi ondoko sistema lineala:
E1 : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = e1...
... · · · · · · · · · ...En : an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = en
Orain b bektore askea berdintzaren eskubialdera pasatuz, Ei ekuazio bakoitza zati aii zatituz eta
x(0) = (x(0)1 , ..., x
(0)n ) hasierako estimazioa sistema sartuz, ondoko erlazioa dugu:
R(0)1 = d1 − x
(0)1 +
∑nj=2 b1jx
(0)j = x
(1)1 − x
(0)1
......
......
R(0)k = dk − x
(0)k +
∑nj=1,j 6=k bkjx
(0)j = x
(1)k − x
(0)k
......
......
R(0)n = dn − x
(0)n +
∑n−1j=1 bnjx
(0)j = x
(1)n − x
(0)n
non bij = −aij/aii, (i 6= j) eta di = −ei/aii baitira. R(0)1 ”hondarrak” dira.
Baldin x(0)s ezezagunari δx
(0)s gehikuntza ematen badiogu, orduan beroni dagokion R
(0)s hondarra
lehenago baino δx(0)s txikiago izango da eta besteak, R
(0)i (i 6= s), lehenago baino bis δx
(0)s handiagoak.
Beraz, R(1)s hondarra ezabatzeko aski da x
(1)s -ri δx
(1)s = R
(0)s gehikuntza ematea, eta ondorioz beste
hondarreen balio berriak hauxek dira,
R(1)s = 0 eta R
(1)i = R
(0)i + bisδx
(0)s i 6= s
Lasaikuntza metodorik bakunena hondarrarik handiena 0 egitean datza eta osagai egokiari gehikuntza
berezia batuz. Hondarrak emandako tolerantzia baino txikiagoak direnean prozesua gelditu egingo da.
AdibideaBi digitoetako aritmetikaz eta lasaikuntza metodoaz ondoko Ax = b sistema askatu:
E1 : 10x1 − 2x2 − 2x3 = 6E2 : −x1 + 10x2 − 2x3 = 7E3 : −x1 − x2 + 10x3 = 8
Lasaikuntza metodoa aplikatzeko sistema ondoko gisaz idatziko dugu:
E1 : −x1 + 0.2x2 + 0.2x3 + 0.6 = 0E2 : 0.1x1 − x2 + 0.2x3 + 0.7 = 0E3 : 0.1x1 + 0.1x2 − x3 + 0.8 = 0
x(0)1 = x
(0)2 = x
(0)3 = 0 hasierako hurbilketatzat hartu ondoren hondarrik handienak hautatuko ditugu:
R(0)1 = 0.60 , R
(0)2 = 0.70 , R
(0)3 = 0.80 (hondarrarik handiena)
Orain δx(0)3 = 0.80 hartuko dugu, beraz:
R(1)1 = R
(0)1 + 0.2 ∗ 0.8 = 0.60 + 0.16 = 0.76
R(1)2 = R
(0)2 + 0.2 ∗ 0.8 = 0.70 + 0.16 = 0.86 (hondarrarik handiena)
R(1)3 = R
(0)3 − 0.8 = 0.80− 0.80 = 0.0
28
Orain δx(1)2 = 0.86 , etab. Aldagaiek ondoko bilakaera jarraituko dute:
x1 = 0.0 + 0.93 + 0.062 + 0.007 = 0.999 −→ 1.0x2 = 0.0 + 0.86 + 0.13 + 0.016 = 1.006 −→ 1.0x3 = 0.0 + 0.80 + 0.18 + 0.019 = 0.999 −→ 1.0
Eragiketak ondoko taulan ikus dezakegu:
k x1 R1 x2 R2 x3 R3
0 0.0 0.60 0.0 0.70 0.8 0.80
0.16 0.16 −0.80
0.76 0.86 0.0
1 0.17 0.86 −0.86 0.086
0.93 0.0 0.086
2 0.93 −0.93 0.093 0.093
0.0 0.093 0.18
3 0.036 0.036 0.18 −0.18
0.036 0.13 0.0
4 0.026 0.13 −0.13 0.013
0.062 0.0 0.013
5 0.062 −0.062 0.012 0.0062
0.0 0.012 0.019
6 0.0038 0.0038 0.019 −0.019
0.0038 0.016 0.0
7 0.0032 0.016 −0.016 0.0016
0.007 0.0 0.0016
8 0.007 −0.007 0.0007 0.0007
0.0 0.0007 0.0023
1.0 1.0 1.0
Lasaikuntza metodoen doitasuna neurtzeko sistema linealaren soluzio zehatza eta beronen hur-
bilketaren arteko aldea balioztatzen duen hondar-bektorea erabiliko dugu.
Definizioa
Baldin x ∈ IRn, Ax = b sistema linealaren soluzioaren hurbilketa bada, orduan sistema honekin
elkartutako x-ren hondar-bektorea r = b−Ax da.
Jacobi-ren eta Gauss-Seidel-en metodoetan soluzio-bektorearen osagai bakoitzaren hurbilketari hondar-
bektore bat elkartzen zaio. Orobat, hondar-bektore elkartuek 0-ra konbergitzen duteneko hurbilketeen
segida sortuko dute.
r(k)i = (r(k)
1i , r(k)2i , ..., r
(k)ni )t.
Izan bedi (x(k)1 , ..., x
(k)i−1, x
(k−1)i , ..., x
(k−1)n )t Gauss-Seidel-en metodoaren soluzio-bektore hurbildua,
beronen hondar-bektore elkartua eraikiko dugu:
r(k)i -ren m. osagaia ondokoa da:
r(k)mi = bm −
i−1∑
j=1
amjx(k)j −
n∑
j=i
amjx(k−1)j , m = 1, ..., n.
29
Bereziki r(k)i -ren i. osagaia ondokoa da:
r(k)ii = bi −
i−1∑
j=1
aijx(k)j −
n∑
j=i+1
aijx(k−1)j − aiix
(k−1)i
eta Gauss-Seidel-en iterazioaren x(k)i -k bete behar duen baldintza honako hau da:
x(k)i =
1aii
bi −
i−1∑
j=1
aijx(k)j −
n∑
j=i+1
aijx(k−1)j
= x
(k−1)i +
r(k)ii
aii.
Demagun ere r(k)i+1-ren i. osagaia
r(k)ii+1 = bi −
i∑
j=1
aijx(k)j −
n∑
j=i+1
aijx(k−1)j = bi −
i−1∑
j=1
aijx(k)j −
n∑
j=i+1
aijx(k−1)j − aiix
(k)i ,
baina lehenengoan ikusi dugunez aiix(k)i = bi−
∑i−1j=1 aijx
(k)j −∑n
j=i+1 aijx(k−1)j da. Beraz, r
(k)ii+1 = 0 .
Gauss-Seidelen metodoak r(k)i+1-ren i. osagaia 0 bihurtu du. Hala ere hau ez da r
(k)i+1-ren norma
laburtzeko modurik honena. Baldin Gauss-Seidelen teknika aldarazten badugu soluzio hurbilduaren os-
agaiak
x(k)i = x
(k−1)i + w
r(k)ii
aii
adierazpenaren moduan definitzeko (non w hautazko konstante positiboa baita) lehenengoa baino
emaitza obeagoa atera dezakegu. Era hauetako formulak erabiltzen dituzten teknikeei lasaikuntza
metodoak esaten diegu. Baldin 0 < w < 1 bada, orduan azpilasaikuntza metodoak esaten zaie (Gauss-
Seidel), bestela, baldin w > 1 bada orduan lasaikuntzgaineko metodoak (Sucessive Over Relaxation
XOR). Azken hauek deribatu parzialetazko ekuazioen zenbakizko ebazpenerako oso erabilgarriak dira.
x(k)i = x
(k−1)i + w
r(k)ii
aiieta r
(k)ii = bi −
i−1∑
j=1
aijx(k)j −
n∑
j=i+1
aijx(k−1)j − aiix
(k−1)i
ekuazioak konbinatuz ondoko formulazioa eraikiko dugu:
x(k)i = (1− w)x(k−1)
i +w
aii
[bi −
i−1∑
j=1
aijx(k)j −
n∑
j=i+1
aijx(k−1)j
]
SOR metodoaren era matriziala idazteko formula beronen beste adierazpidea behar dugu:
aiix(k)i + w
i−1∑
j=1
aijx(k)j = (1− w)aiix
(k−1)i − w
n∑
j=i+1
aijx(k−1)j + wbi.
Orain formulazio matriziala sar dezakegu:
(D−wL)x(k) = [(1−w)D+wU ]x(k−1)+wb ⇐⇒ x(k) = (D−wL)−1[(1−w)D+wU ]x(k−1)+w(D−wL)−1b
Sucessive Over Relaxation iteraziozko algoritmoa (SOR)
Algoritmoak w parametroarekin eta x(0) estimazioarekin Ax = b sistema lineala askatzen du.
Sarreran: n dimentsioa; Ah = (aij), i, j = 1, ..., n, matrizea; bi, i = 1, ..., n, bektorea;
x0i, i = 1, ..., n hasierako hurbilketa; TOL toleranzia; w parametroa; N0 iterazio kopuru maximoa.
30
Irteeran: (x1, ..., xn) soluzio hurbildua edo N0 iterazio kopuru maximoa gainditu deneko mezua.
Urrats 1: Hartu k = 1.
Urrats 2: k ≤ N0 den bitartean 3-5 urratsak jarraitu.
Urrats 3: Hartu xi = (1−w)x0i + waii
(bi−
∑i−1j=1 aijxj −
∑nj=i+1 aijx0j
), i = 1, ..., n.
Urrats 4: Baldin ‖x− x0‖ < TOL, IRTEERA (x1, ..., xn); GELDITU.
Urrats 5: Hartu x0i = xi, i = 1, ..., n; hartu k = k + 1
Urrats 6: IRTEERA (N0 ’iterazio egin ondoren, metodoa porrot egin du’); GELDITU.
AdibideaOndoko Ax = b sistemaren soluzio zehatza x = (3, 4,−5)t da. x(0) = (1, 1, 1)t hasierako
hurbilketa hartuz Gauss-Seidelen metodoaren bidez eta SOR-enaren bidez (w = 1.25) ebatzi:
E1 : 4x1 + 3x2 = 24E2 : 3x1 + 4x2 − x3 = 30E3 : − x2 + 4x3 = −24
Gauss-Seidelenari dagozkion ekuazioak ondokoak dira (k = 1, 2, ...):
x(k)1 = −0.75x
(k−1)2 + 6
x(k)2 = −0.75x
(k)1 + 0.25x
(k−1)3 + 7.5
x(k)3 = 0.25x
(k)2 − 6
SOR metodoari dagozkion ekuazioak ondokoak dira (k = 1, 2, ...):
x(k)1 = −0.25x
(k−1)1 − 0.9375x
(k−1)2 + 7.5
x(k)2 = −0.9375x
(k)1 − 0.25x
(k−1)2 + 0.3125x
(k−1)3 + 0.9375
x(k)3 = 0.3125x
(k)2 − 0.25x
(k−1)3 − 7.5
7 digito zehatzekiko doitasuna lortzeko Gauss-Seidelen metodoak 34 iterazio behar ditu eta SOR-enak
(w = 1.25) 14 besterik ez. Lehenengo 7 iterazioen emaitzak ondoko taulan ikusten dira. x(k)1 , x
(k)2 eta
x(k)3 Gauss-Seidelen metodoari dagozkio eta x1
(k) , x2(k) eta x3
(k) SOR (w = 1.25) metodoari.
k x(k)1 x
(k)1 x
(k)2 x
(k)2 x
(k)3 x
(k)3
0 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000
1 5.2500000 6.3125000 3.8125000 3.5195313 −5.0468750 −6.6501465
2 3.1406250 2.6223144 3.8828125 3.9585266 −5.0292969 −4.6004238
3 3.0878906 3.1333027 3.9267578 4.0102646 −5.0183105 −5.0966864
4 3.0549317 2.9570513 3.9542236 4.0074838 −5.0114441 −4.9734897
5 3.0343323 3.0037211 3.9713898 4.0029250 −5.0071526 −5.0057135
6 3.0214577 2.9963275 3.9821186 4.0009263 −5.0044703 −4.9982822
7 3.0134111 3.0000498 3.9888241 4.0002586 −5.0027940 −5.0003486
SOR metodoari dagokion funtsezko galdera bat ondorengoa da: Zein izango da w-rik egokiena?.
Nahiz eta galdera honi erantzun zehatza ematea ezinezkoa izan, kasu berezi batzuetan ondorengo teore-
mak erabil daitezke:
Teorema(Kahan)
31
Baldin aii 6= 0 i = 1, ..., n badira, orduan ρ(Tω) ≥ |ω − 1| . Azken emaitza honek
ρ(Tω) < 1 =⇒ 0 < ω < 2 esaten digu, non Tω = (D − ωL)−1[(1 − ω)D + ωU ] SOR metodoaren
matrizea baita.
Teorema (Ostrowski-Reich)
Baldin A matrize positibo definitua bada, orduan edozein x(0) hasierako hurbilketarekin SOR
metodoak konbergitzeko, 0 < ω < 2 parametroa aukeratu behar dugu. Hala ere, hautaketa honek ez du
metodoaren konbergentzia ziurtatzen.
Teorema
Baldin A matrize tridiagonala eta positibo definitua bada, orduan ρ(TGS) = [ρ(TJ)] < 1 da
eta SOR metodoaren ω-rik onena ondoko hau da:
ω =2
1 +√
1− [ρ(TJ)]2
eta ω-ren balio honekin ρ(Tω) = ω − 1 da.
AdibideaOndoko A matrizearen SOR metodoaren ω-rik onena aurkitu:
A =
4 3 03 4 −10 −1 4
Matrize hau tridiagonala eta positibo definitua da, beraz, ikusitako azken teorema aplika dezakegu:
TJ = D−1(L + U) =
1/4 0 00 1/4 00 0 1/4
0 −3 0−3 0 10 1 0
=
0 −0.75 0−0.75 0 0.25
0 0.25 0
TJ − λI =
−λ −0.75 0−0.75 −λ 0.25
0 0.25 −λ
=⇒ det(TJ − λI) = −λ(λ2 − 0.625)
Beraz ρ(TJ) =√
0.625 ≈ 0.79057 =⇒ ω = 2
1+√
1−[ρ(TJ )]2≈ 1.24
ARIKETAK
1. x(0) hasierako hurbilketarekin ondoko sistemeei Jacobi, Gauss-Seidel eta SOR (ω = 1.2) meto-
doen lehenengo bi iterazio aplikatu:
a)
2x1 − x2 + x3 = −103x1 + 3x2 + 9x3 = 03x1 + 3x2 + 5x3 = 4
b)
2x2 + 4x3 = 0x1 − x2 − x3 = 0.375x1 − x2 + 2x3 = 0
d)
10x1 − x2 = 9−x1 + 10x2 − 2x3 = 7
− x2 + 10x3 = 6e)
2x1 = 3x1 + 1.5x2 = 4.5
− 3x2 + 0.5x3 = 4.52x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0.8
f)
10x1 − x2 + 2x3 = 6−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 252x1 − x2 + 10x3 = −11
3x2 − x3 + 8x4 = −11
32
