Kapitel 5 Operative Planungsprobleme. Operations ManagementKapitel 5 / 2 (c) Prof. Richard F. Hartl 5.1. Prognoseverfahren Ziel aus Vergangenheits-Daten

Kapitel 5

Operative Planungsprobleme

Operations Management Kapitel 5 / 2(c) Prof. Richard F. Hartl

5.1. Prognoseverfahren Ziel aus Vergangenheits-Daten Schlüsse über die

zukünftige Nachfrage ziehen

wichtig bei:

bei Endprodukten, wenn man Make to Stock (und nicht Make to Order) betreibt

wenn es sich um geringwertige Güter (Hilfsstoffe, Verschleißteile, C-Produkte, etc.) handelt, bei denen sich der Aufwand für andere Verbrauchsermittlungsverfahren nicht lohnen würde

bei untergeordneten Erzeugnissen, die in sehr vielen übergeordneten Erzeugnissen eingehen, sodass der Bedarf einen sehr regelmäßigen Verlauf annimmt

wenn die Daten für programmorientierte Verfahren nicht zur Verfügung stehen (z.B. Ersatzteilverbrauch)


Verfahren

Erklärende Prognosen:

bringen den zukünftigen Verlauf in Zusammenhang mit anderen Zeitreihen (z.B. Konjunktur)

eher für Branchen, nicht für einzelne Produkte geeignet

u. U. von Interesse für langfristige Planung Regression, OLS

Univariate Prognosen:

ermitteln mutmaßliche Nachfragewerte allein aufgrund vergangener Nachfragwerte des jeweiligen Produktes

besonders wichtig für Mittelfristplanung Zeitreihenprognose


Verfahren II

singuläre Ereignisse:

Kenntnisse über künftige Ereignisse, die man nicht aus den Vergangenheitswerten der Zeitreihe entnehmen kann, die jedoch den Nachfragverlauf nachhaltig beeinflussen.

z.B. Steigerung des Bierverbrauchs aufgrund einer bevorstehenden Milleniumsfeier, Marketingaktionen, Gesetztesänderungen, etc.

werden meist als einfacher Zuschlag berücksichtigt

Wir werden uns hier vorrangig mit Zeitreihenprognosen (II) befassen.


Zeitreihenprognose Gegeben: Zeitreihen {dt: t = 1,…, T}, d.h. Vergangenheitsdaten

dt ,…dT-1 und der gegenwärtige Nachfragewert dT, d.h. der letzte

gemessene Nachfragewert.

Prognoseaufgabe: vom Gegenwartszeitpunkt T aus erstellte Prognosen für Perioden in die Zukunft bezeichnen wir mit pT () mit = 1, 2, …., also die Prognose für die Nachfrage dT+ zum Zeitpunkt T.

Wenn nun für die Perioden T+1 bis T+ Prognosen

pT (1), ... , pT () abgegeben werden, so ergibt sich durch

Vergleich mit der sich dann tatsächlich realisierenden Nachfrage

dT+1, ... , dT+ jeweils ein Prognosefehler ei( )=dt – pi ( ), wobei

i + = t. Vereinfacht dargestellt für = 1:

et-1 (1)= et


Zeitreihenprognose II

Ferner kann man in der gewählten bzw. ermittelten Formel für pT ( ) auch < 0 wählen und so ex-post Prognosen für die Zeitpunkte 1, ... T berechnen, ebenso wie die ex-post Prognosefehler e2, ... , et. Letzteres z.B. um die Güte diverser Prognoseverfahren zu bewerten.

Zeitpunkte 1 2 ... T T+1 ... T+

Beobachtungen d1 d2 ... dT

Prognose pT (1) ... pT ( )

Prognosefehler eT (1) ... eT( )

ex-post Prognosen p2 ... pT

ex-post Prognosefehler e2 ... eT


Zeitreihenprognose III Maßzahlen für die Güte einer Prognose stellen Mittelwert und Streuung der

Prognosefehler dar. Für die ex-post Prognosefehler gilt:

In der betrieblichen Praxis werden häufig die MAD (mean absolute deviation, mittlere absolute Abweichung), MAPD (mean absolute percentage deviation) und MSE (mean squared error) verwendet,

T

ttT e

21

1 bzw.

T

ttT e

2

21)1(

1ˆ

t

kktt TteMAD

21

1 1

Ttt

deMAPD

t

k kkt

1

1

|/|100 2

Ttt

eMSE

t

k kt

2

22

2

sowie auch als Streumaß die Spannweite ( ), die deutlich weniger Information bieten.

)(min)(max kkkk ee


Zeitreihenprognose IV Wir besprechen einige einfache univariate Prognoseverfahren, die auf

Zeitreihen mit: (1) konstantem Verhalten

(2) trendförmigem Verhalten

t

r t

Zeitreihe steigt merkbar über die Zeit

Trend

t

r t

jahreszeitliche Schwankungen

Saisonalität (3) saisonalem Verhalten angewandt werden.


5.1.1 Zeitreihen mit konstantem Verhalten

Zeitreihen mit konstantem Verhalten weisen weder Trend noch Saisonalität auf und sind am einfachsten zu behandeln. Dabei sind folgende Vorgangsweisen denkbar:

5.1.1.1 naive Prognose, Letztwert - Prognose

Man nimmt an, dass sich die Nachfrage in Zukunft wie in der Gegenwart entwickeln wird, d.h. die Vergangenheit wird ignoriert. Falls die Nachfragewerte aber doch um einen Mittelwert schwanken, ist es sinnvoller, Vergangenheitswerte mit einzubeziehen (Mittelbildung).

TT dp 1bzw. TT dp )(


Der gleitende Durchschnitt prognostiziert die Zeitreihe einfach als Mittelwert (Durchschnitt)

der Nachfrage über einem „Träger“ der letzten n Nachfragewerte dT-n+1, ... , dT, wobei der

Schätzwert pT ( ) der Zeitreihe im Zeitpunkt T wie folgt berechnet wird.

5.1.1.2 Gleitender Durchschnitt

„Gleitend“ ist der Durchschnitt insofern, als bei einer Prognose im nächsten Zeitpunkt T+1 der älteste Wert dT-n+1 durch den neuen Wert dT+1 „verdrängt“ wird.

TnT

n

k

kTT dd

nn

dp

...1

)( 1

1

0

für n ≤ T, für n > T, muss n = T gewählt werden


Wesentlich für die Güte der Prognose ist die Wahl des Zeitraums n:

Gleitender Durchschnitt II

n zu groß man kann temporäre systematische Schwankungen nicht mehr erfassen.

Nachteil des Verfahrens ist die Tatsache, dass zunächst alte Vergangenheitswerte als gleich wertig mit dem neuesten Nachfragewert behandelt werden und dann plötzlich überhaupt ignoriert werden. Dieser Nachteil wird im folgenden Verfahren behoben, in dem Vergangenheitswerte „langsam in Vergessenheit geraten“ bzw. ihre Relevanz verlieren.

n zu klein man reagiert zu stark auf nichtsystematische (d.h. stochastische) Schwankungen.


Man prognostiziert:

5.1.1.3 einfache Exponentielle Glättung

wobei der Schätzwert ST das mit gewichtete arithmetische Mittel aus altem Schätzwert ST-1 (aus den Beobachtungen bis zum Zeitpunkt T-1) und neuer Information dT ist.

Der Mittelwert über die ersten n Beobachtungen wird zur Bestimmung eines Startwerts ST-1 heran gezogen, wobei n mithilfe von bestimmt wird.

TT Sp

1,0 )1(: 1 TTT SdSnT

Man kann die Beziehung für T-1 einsetzen:

211 )1( TTT SdS 22

1 11 TTTT SddS usw.

Man erhält auf diese Weise: kTk

kT daS

0

1


Dies gilt sofern die Zeitreihe wirklich lange in die Vergangenheit zurückverfolgt werden kann. Für großes k ist der Faktor (1-)k allerdings verschwindend klein, sodass praktisch kein Fehler begangen wird wenn nur eine endliche Summe betrachtet wird. Der Schätzwert ergibt sich durch "exponentielle" Gewichtung der Vergangenheitswerte. Name "exponentielle Glättung.

„Glättung“ bedeutet, dass die geglättete Zeitreihe {St} weniger Schwankungen aufweist, als die ursprüngliche, {dt}.

Exponentielle Glättung II

d.h. die neue Schätzung unterscheidet sich von der alten um den durch gewichteten (vor herigen) Schätzfehler .

Die Rekursionsformel für die ST läßt sich auch schreiben als:

11 TTTT SdSS

1 TTT Sde


Die Wahl von ist ähnlich kritisch wie die von n beim gleitenden Durchschnitt:

Exponentielle Glättung III

= 0 ST = ST-1 und die Schätzung reagiert überhaupt nicht auf die neue Zeitreiheninformation

In der Praxis wählt man häufig = 0,1 bis = 0,3. Oft wird auch durch Simulation optimiert.

= 1 es zählt nur der Gegenwartswert dT

Wichtig: Achten Sie darauf, dass genügend Vergangenheitswerte vorhanden sind, bzw. dass ein guter Anfangswert ST-1 berechnet werden kann.


Beispiel: α = 0,2

Exponentielle Glättung IV

42,0/)2,01( n

t 1 2 3 4 5 6 7 8

dt 15 21 17 18 22 23 26 24

pt( )

75,174/)18172115(4 S (Mittelwert der ersten vier Werte)

6,1875,178,0222,05 S 6,18)(5 p

48,196,188,0232,06 S 48,19)(6 p

78,2048,198,0262,07 S 78,20)(7 p

43,2178,208,0242,08 S 43,21)(8 p

18,6 19,48 20,78 21,43


5.1.2 Zeitreihen mit trendförmigem Verhalten

t

d t

T+

Trend

T

hT bT 1

pT ( )

Falls ein linearer Trend, aber kein saisonaler Effekt an Hand der bestehenden Daten abgelesen werden kann, basieren die berechneten Prognosewerte auf folgendem Schema:

TTT bhp )( bzw.

)()( TbapT


Lineare Regression (OLS)

Dabei werden und b so bestimmt, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen dt - Rt minimal wird:

Methode der kleinsten Quadrate

Man approximiert die Werte dt durch eine möglichst gut passende Gerade Rt = α + bt und die Prognose erfolgt über

)(TbpT

t

d t

Trend

a

1

b

d

t

min)]([1

2

T

tt tbad


Als Ergebnis dieser einfachen Optimierungsaufgabe erhält man (wenn die Beobachtungen zu den Zeitpunkten 1, 2, ... , T vorliegen):

Lineare Regression II

T

t

T

tt

tt

ttdb

1

2

1

)(

)(und tbda wobei

T

ttT dd

1

1

Bei äquidistanten Beobachtungen der erklärenden Variablen (bei Zeitpunkten meist gegeben) gilt: t = (erster Zeitpunkt + letzter Zeitpunkt)/2.

Also: 21211

1

1

TTTtt T

T

tT


Lineare Regression III

Randbemerkung: Bei nicht-äquidistanten Beobachtungen 1, ... n der erklärenden Variablen t bzw. Beobachtungspunkten

(1, d1), ... , (n, dn) ist die Formel leicht abzuändern:

n

ii

n

iiid

b

1

2

1

)(

)(

und bda

wobei

n

iit dd

1

1 und

n

iin

1

1


Klarerweise ist diese Formel für äquivalent mit der Darstellung

Lineare Regression IV

Es wird kein Unterschied gemacht zwischen der Bedeutung der ältesten bekannten Beobachtung und der der letzten Beobachtung.

Angenommen die letzte Beobachtung ist für die Prognose der Zukunft relevanter als länger zurückliegende, kann man wieder das Prinzip der exponentiellen Glättung anwenden, allerdings in einer leicht veränderten Form -> trendbereinigte exponentielle Glättung!

2

11

2

1

)(

n

ii

n

ii

n

iii

n

ddb

in der Literatur.


Diese entspricht der einfachen exponentiellen Glättung wobei ein Korrekturterm für den Trend verwendet wird:

5.1.2.2 Trendbereinigte Exponentielle Glättung

TTT bhp wobei ][1 11 TTTT bhdh

11 )1()( TTTT bhhb und

bT ist der Betrag, um den die Nachfrage im Durchschnitt pro Periode steigt.

bT ist aber zunächst nicht bekannt, also muss ein geeignetes Verfahren zu dessen Schätzung herangezogen werden.

am besten geeignet ist die lineare Regression.


Trendbereinigte Exponentielle Glättung II

Schritt 1 bestimme den neuen Schätzwert für den Absatz:

Schritt 2 bestimme den neuen Schätzwert für den Trend:

Schritt 3 bestimme den Prognosewert für T+ :

bT…Schätzwert für den Trend basierend auf den Daten d0 bis dT

][1 11 TTTT bhdh

11 )1()( TTTT bhhb

TTT bhp


Trendbereinigte Exponentielle Glättung III Beispiel:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

dt 15 21 17 18 22 27 23 29 32 28 25 32

ht 18,5

bt 0,50

pt 19

Startwerte bestimmen: lineare Regression auf Basis der Perioden 1 bis 4:

75,17d 5,2t b=0,5 (Regression) 5,18)45,2(4 bdh

Startwert für den Trend b4 = 0,5

Startwert für den Schätzwert h4 = 18,5

Somit prognostizieren wir p5 = p4(1) = h4 + b4


Trendbereinigte Exponentielle Glättung IV

58,22)89,058,21(8,0232,07 h

2,0

6,19)5,05,18(8,0222,05 h 62,05,08,0)5,186.19(2,05 b

20,22=,620+6,191 65 pp 20,84=,6202+6,1925 p

58,21)62,06,19(8,0272,06 h 89,062,08,0)6,1958,21(2,06 b 47,2289,058,211 76 pp

91,089,08,0)58,2158,22(2,07 b

23,49=,910+58,221 87 pp

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

dt 15 21 17 18 22 27 23 29 32 28 25 32

ht 18,5

bt 0,50

pt 19

19,6

0,62

21,58

0,89

20,22

22,58

0,91

22,47

24,59

1,13

23,49 25,72

1,38

26,98 28,29

1,37

28,36

28,73

1,18

29,66

30,33

1,27

29,91

und so weiter…


5.1.3 Zeitreihen mit saisonalem Verhalten

Für die mittelfristige Planung von besonderer Bedeutung (Zeitraum von ein bis zwei Jahren): bei vielen Produkten sind jahreszeitliche Schwankungen typisch.

Annahme: Trend ist konstant Wir stellen hier nur eine Methode vor: Gleitender Durchschnitt unter Berücksichtigung der

Saisonalität

Msap TTT ,...,1

aT…ergibt die prognostizierte Nachfrage ohne Berücksichtigung der Saisonalität sT+ …Saisonkoeffizient für Periode T+ Mit Hilfe von aT berechnet man den sog. Saisonkoeffizienten:

1

0

n

k

kTT n

da


Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten II

Mitteln von über K+1 Saisonkoeffizienten gleicher Phase (den gegenwärtigen und K vergangene, , wobei M die Länger einer Saison ist):

Ts

MTK /

1

ˆ...ˆˆ

K

ssss KMTMTT

T

So erhält man den Zeitreihenschätzwert:

,....2,1, kkMsap TTT

M…Länge der Saison Prognose:

Msap MTTT ,...,1 bzw.

Mksap kMTTT /,


Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten III

Beispiel: folgende Nachfragedaten (halbjährlich, M = 2):

Per. 1/01 2/01 1/02 2/02 1/03 2/03 1/04 2/04

t 1 2 3 4 5 6 7 8

dt 7 10 9 11 8 13 10 13

Offensichtlich ist im ersten Halbjahr die Nachfrage im Normalfall niedriger.


Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten IV

1. Schritt: Ermittlung der momentanen Saisonkoeffizienten:

Gemittelte Saisonkoeffizienten über mehrere Jahre (hier über alle):

at 8,5 9,5 10 9 10,5 11,5 11,5

1,18 0,95 1,1 0,89 1,24 0,87 1,13

st 1,18 0,95 1,14 0,92 1,17 0,90 1,16

ts

T

TT a

ds ˆ wobei

1

0

n

k

kTT n

da

Gemittelt über dT-1 und dT, dh gemittelt über n=2 Perioden:


Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten V

Oft werden noch die aktuellen (gemittelten) Saisonfaktoren so korrigiert (normalisiert), dass ihre Summe über einen vollen saisonalen Zyklus M (also hier 2) ergibt.

M

ttTT sMss

1

)(

Die Saisonfaktoren for 2004 könnten also wie folgt korrigiert werden:

und,8701,16)2/(0,9*0,97 s 1,131,16)2/(0,9*1,16s8

Aus Gründen der Bequemlichkeit wollen wir das hier aber nicht weiter tun.

Einschrittprognose pT(1)=pT+1=aTsT+1-2

Pt(1) 11,2 9,5 10,3 9,66 13,5 10,4

Zum Beispiel: p3(1)=p4=a3*s2=9,5*1,18=11,2 (Schätzwert für Periode 4)


5.1.4 Zeitreihen mit Trend und Saisonalität

ebenfalls für die mittelfristige Planung von besonderer Bedeutung Grundidee dieses Prognoseverfahrens:

1. Ermittlung der Saisonkoeffizienten

Obiges Beispiel:

2. Saisonbereinigte Zeitreihe: Beobachtung / Saisonkoeffizienten 3. lineare Regression (oder exp. Glättung) der saisonbereinigten Zeitreihe 4. Prognose = Wert der Regressionsgerade * Saisonkoeffizienten

Saisonbereinigte Zeitreihe (Saisonkoeffizienten 0,9 bzw. 1,16)

7,77 8,62 70 9,48 8,88 11,2 11,1 11,2Zt


Zeitreihe mit Trend und Saisonalität II

Diese Werte seien nun die dt, die mittels Regression analysiert werden sollen. Der Mittelwert der Beobachtungen (n=T=8) sowie der Zeitpunkte ist:

= (7,77+8,62+10+9,48+8,88+11,2+11,1+11,2)/8 = 78,25/8 = 9,78d

t = 4,5

Zur Berechnung der Regressionskoeffizienten benötigt man:

T

tt ttd

1

)( = -(7,77*3,5) - (8,62*2,5) - (10*1,5) - (9,48*0,5)

+ (8,88*0,5) + (11,2*1,5) + (11,1*2,5) + (11,2*3,5) = 19,705

T

t

tt1

2)( = (3,52 + 2,52 + 1,52 + 0,52)*2 = 42


Zeitreihe mit Trend und Saisonalität III

Es ist ein Trend nach oben zu erkennen:

b = 19,705/42= 0,47, = 9,78 - 0,47*4,5 = 7,67

kMsp 88 )]8(47,067,7[)(

Zum Beispiel: 10,719,0]947,067,7[)1(8 p

Weitere wichtige Verfahren (z.B.: Box-Jenkins) können hier aus Zeitgründen nicht behandelt werden.

Literatur: (praktisch jedes Lehrbuch der Produktion, des Operations Research bzw. der Prognose) Schneeweiß, Einführung in die Produktionswirtschaft, Springer, 1993 [Kapitel 5.2.1] Günther, Produktionsmanagement, Springer, 1993 [Kapitel C.2] Tempelmeier, Material-Logistik, Springer, 1992 [Kapitel 3] Hillier-Liebermann, Operations Research, Oldenbourg, 1988 [Kapitel 19] Ghiani, Laporte, Musmano, Introduction to Logistics System Planning and Control, Wiley, 2004 [Kapitel 2]


5.2 mittelfristige Produktionsprogrammplanung

dynamische Produktionsprogrammplanung besitzt 2 Stufen:

5.2.1 mittelfristige Produktionsprogrammplanung mittels LP

Beschäftigungsglättung (aggregierte Gesamtplanung), d.h. Ausgleich der Kapazitätsbeanspruchung über das Jahr. Diese mittelfristigen Über-legungen erfolgen auf aggregiertem Niveau (Produktgruppen, Monats-basis) unter Verwendung von Nachfrageprognosen.

kapazitierte Hauptproduktionsprogrammplanung (master production schedule), sprich kurzfristige detaillierte Festlegung der konkreten Produktmengen in den einzelnen Perioden (Hauptprodukte auf Wochen-basis) unter Verwendung der Vorgabe der Beschäftigungsglättung und detaillierterer Nachfrageprognosen.


Mittelfristige PPP mittels LP II

Ziel: Erstellung eines mehrperiodigen Produktionsprogramms auf der Basis eines LP-Modells. In diesem Fall erfolgt der Ausgleich zwischen den einzelnen Perioden durch Lagerbildung.

dadurch wird eine gewisse Unabhängigkeit zwischen Produktion und Nachfrage geschaffen („Emanzipation“).

dabei gilt die Lagerbilanzgleichung:

yjt = yj,t-1 + xjt - djt

wobei:

xjt ... Produktionsmenge von Produkt j in Periode t, (Variable)

yjt ... Lagerbestand des Produktes j am Ende der Periode t, (Variable)

djt ... Bedarf an Produkt j in Periode t (Prognose). (Parameter)


Mittelfristige PPP mittels LP III

Zur Vermeidung von Kapazitätsengpässen kann nicht nur vorproduziert werden, sondern auch Zusatzkapazität in Anspruch genommen werden.

einfachste Kapazitätsrestriktion:

wobei:

uit ... genutzte Zusatzkapazität von Segment i in Periode t, (Variable)

bit ... Produktionskapazität von Segment i in Periode t, (Variable)

aij ... durch Produkt j verursachte Kapazitätsbeslastung von Segement i. (Parameter)

1

n

ij jt it itj

a x b u


Mittelfristige PPP mittels LP IV

Schwieriger ist der Fall, wenn Vorlaufperioden zu betrachten sind, in diesem Fall ist: aijv ... durch Produkt j verursachte Kapazitätsbelastung von Segment i in Vorlaufperiode

ferner definiert man:

T … Anzahl der Perioden

n … Anzahl der Produkte

m … Anzahl der Segmente

Vj ... Anzahl der Vorlaufperioden von Produkt j

Kapazitätsrestriktion: ,1 0

jVn

ijv j t v it itj v

a x b u

hj … Lagerkosten pro Einheit von Produkt j und Periode

zi … Zusatzkosten in Segment i pro Einheit genutzter Zusatzkapazität

Uit … maximal mögliche Zusatz-kapazität in Segment i in Periode t


Mittelfristige PPP mittels LP V

yjt = yj,t-1 + xjt - djt

xjt, yjt, uit 0

uit Uit

yj0 gegeben

K h y z uj jtj

n

t

T

i iti

m

t

T

11 11

min Lager + Zusatzkosten

für j = 1,...,n und t = 1,...,T

,1 0

jVn

ijv j t v it itj v

a x b u

für i = 1,...,m und t = 1,...,T

für j = 1,...,n und t = 1,...,T

für i = 1,...,m, j = 1,...,n und t = 1,...,T

für j = 1,...,n ... Anfangslagerbestände


Beispiel (aus Kapitel 8.3, Günther und Tempelmeier, Produktion & Logistik)

Mittelfristige PPP mittels LP VI

Dabei sind 2 Endprodukte A und B herzustellen, die aus Baugruppen C, D und E bestehen, wobei dort wieder Einzelteile F und G eingehen (jeweils 1 Einheit). Dies ist in nebenstehender Abbildung illustriert:

Im Segment 1 werden also die Endprodukte erzeugt, in Segment 2 die Baugruppen C und D sowie in Segment 3 die übrigen Vorprodukte.

Segment 1

A B

Segment 2

C D

1 1 1

v = 2

v = 1

v = 0

1

Segment 3

F G

E

1 1


Der Kapazitätsbedarf pro Stück im entsprechenden Segment sei aus den Arbeitsplänen bekannt und in folgender Tabelle angegeben (z.B. in Stunden):

Mittelfristige PPP mittels LP VII

Erzeugnis A B C D E F G

Kapazitätsbedarf pro Stück 1 2 1 3 4 2 1

Die beiden Endprodukte verursachen also in den 3 Segmenten folgende Kapazitätsbelastung unter Berücksichtigung der Vorlaufperioden.

Endprodukt A Endprodukt B

Produktionssegment Produktionssegment

Vorlaufperiode

0 1 - - 2 - -

1 - 4 - - 3 4

2 - - - - - 3


Die Kapazitätsrestriktionen für die 3 Segmente lauten also:

Mittelfristige PPP mittels LP VIII

a x b uijv j t vv

V

j

n

it it

j

,

01

4xA,t+1 + 3xB,t+1 - u2t b2t Segment 2 (C und D)

4xB,t+1 + 3xB,t+2 - u3t b3t Segment 3 (E bis G)

1xAt + 2xBt - u1t b1t Segment 1 (A und B)

Hinzu kommen die übrigen Bedingungen aus obigem LP. Um es überschau-bar zu halten, hat es nur 2 Entscheidungsvariablen (Produktions-menge von A und B). Die anderen Mengen sind aus der Endproduktmenge ableitbar.

Im einem (oft computerunterstützten) PPS-Systemen erfolgt nach der Planung des kurzfristigen Produktionsprogrammes (z.B. mit LP wie hier):

Materialbedarfsplanung - wann werden welche Rohstoffe in welcher Menge benötigt?

Auftragsterminierung und Ressourcenbelegung - Belegung der einzelnen Anlagen mit Auf trägen unter Beachtung aller Kapazitätsschranken


5.2.2 mittelfristige Programmplanung ohne LP

Unter der Voraussetzung linearer Produktionszusammenhänge ist das LP ein geeignetes Verfahren, um bereits recht komplexe Situationen der mittelfristigen Planung optimal zu gestalten. Da die Berechnung für mehrere Perioden und Produkte bzw. Produktgruppen allerdings schon aufwendig sein kann, sind noch andere (einfachere) Planungsverfahren üblich.

Die Idee (etwa gleichzeitig mit LP in fünfziger Jahren) stammt aus der Regelungstheorie und beruht im Prinzip auf denselben Überlegungen wie die exponentielle Glättung.

Mittelfristplanung bedeutet, einen prognostizierten Nachfrageverlauf so gut wie möglich zu erfüllen man versucht, die Produktion so „einzuregeln“, dass sie Abweichungen von der Nachfrageprognose zum Anlaß nimmt, die Produktion zu korrigieren.


Im einfachsten Falle folgt man z.B. der linearen Rekursionsbeziehung

Mittelfristige PPP ohne LP II

wobei:

1,1,1, ˆ tjjttjjttjjt yyxrxx

... “Richt-Lagerbestand“

, ... Glättungskonstanten.

jky

Je größer und desto stärker führen Abweichungen zu Korrekturen.

Lineare Entscheidungsregeln sind ähnlich ausbaufähig wie LP-Modelle.

Nachteil: es ist nicht möglich, strikte Ressourcenbeschränkungen zu berücksichtigen (oft kein großes Problem, da nur Grobplanung).

Vorteil: reagieren glatter auf stochastische Schwankungen als LPs aufgrund

der glatteren Periodenverknüpfung geringere Nervosität.


5.3 Losgrößenplanung - Lagerhaltung

deterministische Modelle (Nachfrage wird als bekannt vorausgesetzt) – stochastische Modelle (Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Nachfragemengen bekannt) – z.B. Newsboy, Servicegrade, ...

statische Modelle (konstante Nachfrage - Betrachtung einer typischen Bestellperiode) – z.B. EOQ (Wurzelformel)dynamische Modelle (Nachfrage variiert mit der Zeit) – z.B. Wagner-Whitin

Ein-Produktmodelle - z.B. EOQ, Wagner-Whitin, NewsboyMehr-Produktmodelle, wobei hier zu unterscheiden ist:

– mit unabhängigem Bedarf (aber z.B. gemeinsamer Kapazitäts- beschränkung)

– mit abhängigem Bedarf (z.B. Vorprodukte bei mehrstufiger Produktion)

Bei Lagerhaltungsmodellen unterscheidet man:


5.3.1 Mehrstufige dynamische Mehrproduktmodelle

Die einfachste Vorgangsweise, die in der Praxis weit verbreitet und in vielen PPS-Systemen implementiert ist, ignoriert die Kostenwirkungen der Losgrößenentscheidung für ein Produkt auf die Vorgängerprodukte. Die grundsätzliche Vorgangsweise ist wie folgt.

Beginne mit dem Endprodukt und plane es mittels Einprodukt-Heuristik oder WW-Verfahren. (Allgemeiner wird nach den Dispositionsstufen vorgegangen und mit den Endprodukten begonnen)

5.3.1.1 Erzeugnisorientierte Dekomposition ohne Kostenanpassung

Plane die unmittelbaren Vorgängerprodukte, wobei sich der Bedarf für diese Vorgänger produkte aus den Losgrößenentscheidungen der übergeordneten Produkte ergibt, usw. (Allgemeiner: wenn eine Dispositionsstufe abgearbeitet ist, gehe zur nächsten)


Erzeugnisorientierte Dekomposition II

Beispiel: N = 2 Produkte, T = 4 Perioden, a12 = 1, Bedarf, Rüstkosten und Lagerkosten wie folgt:

Produkt t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 Si hi

i = 1 - - - - 120 10

i = 2 10 10 10 10 100 11

Zunächst wird das Endprodukt i = 2 geplant. Nach Silver-Meal ergeben sich folgende Lose:

t = 1: 100/1 < [100 + 1110]/2 = 105 d.h. q21 = 10, u.s.w. also keine Losbildung q22 = 10, q23 = 10, q24 = 10.

Es ergibt sich somit folgender Sekundärbedarf für das Vorprodukt 1:


i = 1 10 10 10 10 120 10

Planung über erzeugnisorientierte Dekomposition ohne Kostenanpassung:

21

1


Erzeugnisorientierte Dekomposition III Nach Silver-Meal ergeben sich folgende Lose:

t = 1: 120/1 > [120 + 1010]/2 = 110, aber 110 < [120 + 1010 + 10210]/3 = 140 d.h. Losbildung: q11 = 10 + 10, q12 = 0.

t = 3: 120/1 > 110, d.h. Losbildung: q13 = 10 + 10, q14 = 0.

Die Gesamtkosten sind dann 840: Produkt 2: 4 Rüsten, also 400Produkt 1: 2 Rüsten, 2 Lagern, also 240 + 200 = 440

Zum Vergleich: Losbildung schon beim Endprodukt:

q21 = 20, q22 = 0, q23 = 20, q24 = 0

Dies ergibt Bedarfsmengen für das Vorprodukt 1:


i = 1 20 0 20 0 120 10


Erzeugnisorientierte Dekomposition IV Nach Silver-Meal ergeben sich folgende Lose:

t = 1: 120/1 > [120 + 0]/2 = 60, aber 60 < [120 + 0 + 10220]/3 = 173,3d.h. Losbildung: q11 = 20, q12 = 0.

t = 3: analoge Losbildung: q13 = 20, q14 = 0.

Die Gesamtkosten sind dann 660: Produkt 2: 2 Rüsten, 2 Lagern, also 200 + 220 = 420Produkt 1: 2 Rüsten, also 240

Die Lösung aus dem vorigen Abschnitt lässt sich also um über 20% verbessert!

Die Losbildung beim Endprodukt sollte nämlich berücksichtigen, dass die hier getroffenen Entscheidungen die Kosten bei den untergeordneten Produkten beeinflussen. Dies führt zur Idee der Kostenanpassung, d.h. man versucht durch systematische Erhöhung der Lagerkosten und/oder Rüstkosten die Folgekosten bei den untergeordneten Produkten schon bei der Losbildung mittels Einproduktmodell zu berücksichtigen.


5.3.1.3 Erzeugnisorientierte Dekomposition mit Kostenanpassung bei konvergierender

Produktstruktur Annahme: Vorliegen einer konvergierenden Produktstruktur (d.h. jedes

Produkt (bis auf die Endprodukte) hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger) Es gibt verschiedene Ansätze die zumeist wie folgt vorgehen:

Bei Ermittlung der modifizierten Kosten wird von konstanten Primär-bedarfsmengen ausgegangen, wobei wir hier nur Primärbedarfsmengen für das Endprodukt n = N zulassen wollen, also

Bedarf/Periode = (Endprodukt); Bedarf pro Periode = 0 sonst.

T

tNtd

T 1

1

Multiplikatoren i ermittelt, die angeben, wie oft (im Schnitt) ein Los des Nachfolgerproduktes n(i) während eines Zyklus von Produkt i aufgelegt wird. Bei geschachtelten Politiken muss also immer i 1 gelten,

Auf Basis von i werden dann (ausgehend von den untergeordneten Produkten) die Lager kosten und/oder Rüstkosten modifiziert.


Varianten

Variante 1: motiviert durch Überlegungen zum ELSP mit konvergierender

Produktstruktur werden folgende Multiplikatoren ermittelt

sodann werden die Rüstkosten korrigiert:

wobei die Lagerkosten hj nicht verändert werden.

ii n i

n i i

S h

S h ( )

( )

( )

S S Sj j i ii V j

Im obigen Beispiel:

1120 11

100 10

1,15 ,S2 100 120 115 204,35

Silver-Meal für Endprodukt 2: q21 = 20, q22 = 0, q23 = 20, q24 = 0, denn204,35/1 > [204,35 + 1110]/2 = 157,18 < [204,35 + 330]/3 = 178,12


Varianten II

Variante 2: ähnlich wie Variante 1, berücksichtigt aber i 1, also

ii n i

n i i

S h

S h

max ,

( )

( )1

Variante 3: berücksichtigt auch noch die Ganzzahligkeit der i, usw.

Es gibt auch Formulierungen über den systemweiten Lagerbestand. All diese Verfahren sind zwar etwas rascher als das folgende Verfahren von Afentakis, liefern aber in der Regel schlechtere Lösungen.


5.3.1.4 Verfahren von Afentakis

Es gibt eine Vielzahl an Heuristiken, die man nach folgendem Gesichtspunkt einteilen kann:

erzeugnisorientierte Dekomposition: man betrachtet unabhängige Einproduktmodelle, die dann eventuell (z.B. durch Kostenanpassung) gekoppelt werden;

periodenorientierte Dekomposition: man betrachtet simultan alle Produkte und erweitert schrittweise den Planungshorizont

Ein typischer Vertreter der letzteren Gruppe ist das Verfahren von Afentakis (1987). Dabei wird schrittweise für t = 1, 2, ... , T eine näherungsweise optimale Lösung Q(t) für das Planungsintervall [1, t] ermittelt.


Afentakis II

Wir gehen davon aus, dass nur für das Endprodukt N ein Primärbedarf dNt vorliegt.

Startlösung

N1NN

N11N

N1

11

dv

dv

=

q

q

=Q(1)

Wir erläutern den Schritt von t-1 t:

Ausgangspunkt:

Ferner sei i,t-1 die letzte Produktionsperiode von Produkt i, also die letzte Periode mit positiver Losgröße.

wobei

)1(

)1(

=1)-Q(t

N

1

t

t

q

q

),...,()1( 1,1i tii qqtq


Afentakis III

Es wird nun die Politik Q(t), also für alle i ermittelt.

Unter allen Politiken, die a) und b) erfüllen, ermittle man die kostengünstigste Variante.

Ferner soll die Politik geschachtelt sein, d.h. es wird nur dann ein Los für i aufgelegt, wenn für alle direkten (und damit auch indirekten) Nachfolger ein Los aufgelegt wird: xit = 1 xn(i),t = 1. Diese Eigenschaft ist bei jeder optimalen Politik erfüllt, sodass es sinnvoll ist, sie auch im Rahmen der Heuristik zu verlangen.

Dabei bleiben alle Produktionsperioden erhalten, und der Bedarf an Produkt i der Periode t wird entweder durch Erhöhung der Produktionsmenge in i,t-1 gedeckt oder durch Neuauflage eines Loses an Produkt i in einer der Perioden i,t-1 + 1, ... , t. Es stehen also t + 1 - i,t-1 mögliche Perioden zur Verfügung, in denen der Bedarf der Periode t produziert werden kann.

),...,()( 1i iti qqt q


Afentakis IV

Beispiel: T = 3, N = 3. Endprodukt 3 und Vorprodukte 1 und 2 wobei a13 = a23 = 1 und aij = 0 sonst.

Rüstkosten S1 = 8, S2 = 10, S3 = 5. Lagerkosten h3 = 3, h1 = h2 = 1 (bzw. systemweite Kosten H1=H2=H3=1).

Primärbedarfsmengen für Endprodukt 3: d31 = 5, d32 = 9, d33 = 8. Zu Beginn und am Ende seien alle Lagerbestände = 0.

Startlösung t=1: jedes Produkt in t=1 produzieren.

1

1

1

)1(

31

21

11

x

x

x

X

5

5

5

)1(

31

21

11

q

q

q

Qalso mit Kosten 8 + 10 + 5 = 23


Afentakis V

Iteration t = 1: Es bestehen 5 potentielle Politiken, wobei nicht geschachtelte bereits weggelassen wurden:

Kosten:

Lösung:

1 0

1 0

1 0

23 + 9(1+1+1)

= 50

1 0

1 0

1 1

23 + 9(1+1) + 5 = 46

1 1

1 0

1 1

23 + 9 + 8 + 5 = 45

1 0

1 1

1 1

23 + 9 + 10 + 5 =

47

11

11

11

23 + 8 + 10 + 5 =

46

32

22

12

1

1

1

)2(

x

x

x

X


Afentakis VI Iteration t = 2: Es bestehen 8 potentielle Politiken:

Kosten:

Lösung:1 1 0

1 0 0

1 1 0

45 +8(1+2+1) = 77

1 1 0

1 0 0

1 1 1

45 + 8(1+2) + 5 = 74

1 1 1

1 0 0

1 1 1

45+ 82 + 8 + 5 = 74

1 1 0

1 0 1

1 1 1

45 + 8 + 10 + 5 = 68

1 1 1

1 0 1

1 1 1

Kosten:

Lösung:

45 + 8+10+ 5 = 68

111

01

011

1

46 + 8(1+1) + 5 = 67

111

01

111

1

46 + 8 + 8 + 5 = 67

1 1 0

1 0

1 1 0

1

46 + 8(1+1+1) = 70


Afentakis VII Näherungsweise optimale Politik für Zeitraum [1, ..., 3]:

Die zugehörigen Losgrößenentscheidungen sind:

111

01

011

)3( 1X

111

01

111

)3( 1X

895

0175

0175

)3(Q

895

0175

895

)3(Q

oder

oder


5.3.2 LP-Modelle für mehrstufige dynamische Modelle ohne Kapazitätsbeschränkungen

5.3.2.1 LP-Modell mit „normalen“ Lagerbeständen

i ... Index für die Vorprodukte (i = 1,...,N-1)

N ... Index des Endproduktes t ... Index für die Perioden (t = 1,...,T)

hi ... Lagerhaltungskostensatz für Produkt i

Si ... Rüstkosten für Produkt i

dit ... Effektive Nachfrage nach Produkt i in Periode t (Primärbedarf)

yit ... Lagerbestand des Produkts i am Ende der Periode t

qit ... Losgröße des Produkts i in Periode t

N(i) ... Menge der direkten Nachfolger des Produktes i


LP-Modell mit „normalen“ Lagerbeständen II aij ... Direktbedarfskoeffizient, d.h. Menge an Produkt i, die direkt

in 1 Einheit Produkt j eingeht (Zahl bei Pfeil i j im Gozintographen)

Weiters sei eine Binärvariable, die Losauflage anzeigt

0q falls 0

0q falls 1

it

ititx

Annahme: die Produktion der Periode t steht zur Befriedigung der Nachfrage t zur Verfügung und dass keine Fehlmengen zugelassen sind. Da die gesamte Nachfrage befriedigt werden muss, ist die gesamte Produktionsmenge vorgegeben, weshalb die konstanten variablen Produktionskosten weggelassen werden können.

Beispiel: N = 3

11 1

2 32

1 Einheit Endprodukt 3 besteht aus 1 Teil Vor-produkt 1 und aus 2 Teilen Vorprodukt 2. In Vor-produkt 1 steckt noch 1 Einheit von Vorprodukt 2.

N(1) = {3}N(2) = {1, 3}N(3) = {}


Kosten

LP-Formulierung

Lager-bilanzen

Rüstkosten-verrechnung:

Nicht-Negativität:

Binärvariable:

1 1

min!i it i itt i

C h y S x

N1,...,=i allefür 0y

T1,...,= t1;-N1,...,=i allefür )(

T1,...,= tallefür

i0

1,

1,

iT

jtijitittiit

NtNttNNt

yiNj

qadqyy

dqyy

T1,...,= tN;1,...,=i allefür itit xq

wobei M eine große Zahl ist.

T1,...,= tN;1,...,=i allefür 0;0 itit yq

T1,...,=tN;1,...,=i allefür 1,0itx


5.3.2.2 LP-Modell mit „systemweiten“ Lagerbeständen

statt den obigen Formulierungen wird der systemweite Lagerbestand verwendet:

)(* iNj

jtijitit yvyY ... systemweiter Lagerbestand des Produkts i am Ende der Periode t, d.h. jene Menge an Bauteil i, die als Bauteil i oder eingebaut in übergeordnete Produkte im Lager vorrätig ist, dabei ist

vij ... Verflechtungs(Gesamt-)bedarfskoeffizient an Produkt i bzgl. Produkt j, d.h. Menge an Produkt i, die direkt oder indirekt in 1 Einheit Produkt j eingeht, und

N*(i) ... Menge aller (auch indirekten) Nachfolger

Die Rückrechnung von Yit zu yit erfolgt über ( )

it it ij jtj N i

y Y a Y


LP mit „systemweiten“ Lagerbeständen II

analog definiert man:

... systemweiter Lagerhaltungs- kostensatz für Produkt i , wobei

V(i) ... Menge aller direkten Vorgänger des Produktes i

)(iVk

kkiii hahH

Obiges Beispiel:

11 1

2 32

N*(i) = N(i) hier z.B.: a23 = 2, v23 = 2 + 1 = 3

Also Y2t = y2t + 1y1t + 3y3t

V(1) = {2}, V(3) = {1, 2} Wenn z.B. h1 =2, h2 = 1, h3 = 6,

dann H2 = 1, H1 = 2 - 1 = 1, H3 = 6 - 12 - 21 = 2


LP - Formulierung

keine Fehlmengen:

Kosten

Lager-bilanzen:

Rüstkosten-verrechnung:

Nicht-Negativität:

Binärvariable:

min!11

itiiti

itxSYHC

N1,...,=i allefür 0Y

T1,...,= tN;1,...,=i allefür )(*

i0

1,

iT

jtijitittiit

YiNj

dvdqYY

)(

0iNj

jtijit YaY

T1,...,= tN;1,...,=i allefür itit xq

T1,...,= tN;1,...,=i allefür 0;0 itit Yq

T1,...,=tN;1,...,=i allefür 1,0itx

wobei M eine große Zahl ist.


5.3.3 konvergierende Produktionsstruktur

Falls jedes Produkt (bis auf das Endprodukt) genau einen Nachfolger besitzt (konvergierende Produktstruktur, Montageprozeß), so vereinfachen sich die obigen Formeln etwas.

In der ersten Formulierung kann man

T1,...,= t1;-N1,...,=i allefür )(

1,

iNj

qadqyy jtijitittiit

durch

ersetzen, wobei n(i) der einzige Nachfolger von i ist, also N(i) = {n(i)}.

T1,...,= t1;-N1,...,=i allefür ),()(,1, tininiitittiit qadqyy

In der Formulierung mit systemweitem Lagerbestand ergibt sich folgende Vereinfachung:

0)(,)(, iniiniit YaYkeine Fehlmengen


konvergierende Produktionsstruktur II

Im Rahmen der Kostenanpassung findet der systemweite Ansatz ebenfalls Verwendung:

Variante 4: hier wird von systemweiten Lagerkosten Hi ausgegangen und die i

werden etwas anders ermittelt: ii n i

n i i

S H

S H ( )

( )

sodann werden die Kosten wie folgt korrigiert:

( )

S S Sj j i ii V j

( )

H H Hj j i ii V j

und


5.3.3 Weiterführende Bemerkungen zu Kapazitätsbeschränkungen

Im Rahmen der LP-Modelle lassen sich Kapazitätsbeschränkungen natürlich leicht formal berücksichtigen. Bei den Heuristiken verursacht die Tatsache Schwierigkeiten, dass man infolge von Kapazitätsengpässen in der Zukunft

eventuell schon jetzt mehr (als scheinbar kostengünstig ist) produzieren muss, und

eventuell auch nur Teile von Periodenbedarfen in einer Vorperiode auf Lager produzieren muss.

Bei einstufigen Problemen nennt man diese Klasse von Problemen CLSP (capacitated lot sizing problem) und das bekannteste Verfahren ist das von Dixon und Silver.

Bei mehrstufigen Problemen (MLCLSP, multi level CLSP) werden oft allgemeine heuristische Ansätze wie Simulated Annealing eingesetzt; siehe z.B. Domschke -Scholl - Voß (1993).


5.4. Maschinenbelegung

Maschinenbelegungsprobleme (scheduling) befassen sich mit der zeitlichen Zuordnung von Aufträgen zu Arbeits trägern bzw. Maschinen und umgekehrt unter Beachtung vorgegebener Zielsetzungen und Restriktionen.

Dabei ist zu beachten, dass zu jedem Zeitpunkt jede Maschine höchstens einen Auftrag bearbeiten und jeder Auftrag nur von höchstens einer Maschine gleich zeitig bearbeitet werden kann.


5.4.1 Begriffe

Bei einem Maschinenbelegungsproblem sind n Aufträge oder Jobs (j = l,...,n) auf m Maschinen (Mi für i = l,...,m) zu bearbeiten. Dazu sind für jeden Auftrag j in der Regel folgende Daten gegeben:

aj Auftragsfreigabe- oder Bereitstellungszeitpunkt bzw. -termin (release date) des Auftrags j

Stehen alle Aufträge zum Zeitpunkt aj = 0 zur Bearbeitung bereit, bezeichnet man das Problem als statisch, ansonsten als dynamisch.

tji Bearbeitungszeit (oder -dauer, processing time) von Auftrag j auf Maschine i

fj gewünschter Fertigstellungstermin (due date) des Auftrags j

Werden alle oben erwähnten Größen als bekannt vorausgesetzt, so liegen deterministische Modelle vor; andernfalls (stochastische Ankunftszeitpunkte oder Bearbeitungszeiten) spricht man von stochastischen Modellen.


Reihenfolgearten Ein Auftrag j läßt sich in gj verschiedene Arbeitsgänge Aj1,...,Ajgj

unterteilen, die in einer fest vorgegebenen Reihenfolge zu bearbeiten sind. Diese Reihenfolge bezeichnen wir als Arbeitsgangfolge. Sie ist in der Regel technologisch determiniert.

Läßt sich jedem Arbeitsgang Ajh eines Auftrags j eindeutig eine Maschine jh zuordnen, so bezeichnet man die zeitliche Reihenfolge, in der die einzelnen Arbeitsgänge von j die Maschinen zu durchlaufen haben, als Maschinenfolge j = (j1,...,jgj)von j. Die Maschinenfolgen sind damit ebenfalls durch technologische Erfordernisse festgelegt.

Die Reihenfolge, in der die einzelnen Aufträge auf einer Maschine i zu bearbeiten sind, heißt Auftragsfolge von i. Dabei können mehrere Aufträge gleichzeitig um dieselben Maschinen konkurrieren. Die Auftragsfolge ist nicht vorgegeben, sondern Gegenstand der Planung.

Eine zeitliche Zuordnung von Arbeitsgängen zu Maschinen heißt (zulässiger) Ablaufplan, falls alle Reihenfolgebedingungen sowie weitere Restriktionen eingehalten werden.


Auftrag 2 wird also zuerst auf M2, dann auf M3 und zuletzt auf M1 bearbeitet

der erste AG (auf M2) nimmt 3 ZE in Anspruch

5.4.2 Darstellungsmöglichkeiten Beispiel: statisches Jobshop-Problem mit 3 Maschinen und 3 Aufträgen:

jeder Auftrag besteht aus gj = 3 Arbeitsgängen diese Aufträge sind in Reihenfolge Aj1, Aj2, Aj3 zu bearbeiten

j\h 1 2 3

1 1 2 3

2 2 3 1

3 2 1 3

j\i 1 2 3

1 3 3 2

2 3 2 3

3 3 4 1

Maschine μj1

Maschinennummer μjh

AuftragAuftrag

Arbeitsgang Ajh

Bearbeitungszeit tji


5.4.2.2 Maschinenfolgegraph, Ablaufgraph Die Vorgaben hinsichtlich der Arbeitsgang- und der Maschinenfolgen lassen

sich in folgendem Maschinenfolgegraphen veranschaulichen. Jede Knotenbezeichnung entspricht der Maschine jh, die den Arbeitsgang h des Auftrags j auszuführen hat.

1 32

Arbeitsgang h=1 h=3h=2

2 13

2 31

j=1

j=2

j=3

Auftrag

Maschinenfolgegraph: Angabe

jeder Knoten entspricht einer Maschine i = jh


Ablaufgraph II

Bei der Bestimmung von Auftragsfolgen ist für jede Maschine i festzulegen, in welcher Reihen folge die einzelnen Aufträge j = 1, 2, 3 auf ihr zu bearbeiten sind. Dabei sind innerhalb des Maschinen folgegraphen jeweils die Knoten mit derselben Maschinenbezeichnung i durch zusätzliche Pfeile, die jeweils genau einen Weg bilden, zu verbinden. Der entstehende Graph heißt Ablaufgraph.

1 32

Arbeitsgang h=1 h=3h=2

2 13

2 31

j=1

j=2

j=3

Auftrag

Ablaufgraph: Entscheidung

Das nebenstehende Bild zeigt den Ablaufgraphen für obiges Problem, wenn die Aufträge auf der Maschine 1 in der Reihenfolge 1, 3, 2, auf der Maschine 2 in der Reihenfolge 3, 2, 1 und auf der Maschine 3 in der Reihenfolge 2, 1, 3 bearbeitet werden.


5.4.2.3 Gantt-Diagramm

Bei Gantt-Diagrammen werden die Bearbeitungszeiten über der Abszisse (Zeitachse) sowie die Maschinen bzw. die Aufträge über der Ordinate aufgetragen. Man unterscheidet eine maschinenorientierte (gebräuchlichere Variante) und eine auftragsorientierte Darstellung.

3

Auftrag 1 3 2

2 1

3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Leerzeit

3

2

1

maschinenorientiertes Gantt-Diagramm


Gantt-Diagramm II

Hier sind alle Arbeitsgänge unter Berücksichtigung der Reihenfolgebeziehungen des Ablaufgraphen frühestmöglich eingeplant. Dabei entsprechen die schraffierten Felder den Leerzeiten der Maschinen bzw. den Wartezeiten der Aufträge. Da die Maschinen unterschiedliche Auftrags folgen aufweisen, handelt es sich um einen normalen Ablaufplan, aber um keinen Permutationsplan.

3

Maschine 1 2 3

2 1

2 3 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Wartezeit

3

2

1

auftragsorientiertes Gantt-Diagramm


5.4.3 Semiaktive und aktive Ablaufpläne

Semiaktive Ablaufpläne haben die Eigenschaft, dass der Beginn keines AG zeitlich vorgezogen werden kann, ohne eine Maschinenfolge zu verletzen oder eine Auftragsfolge zu ändern.

Beispiel: (maschinenorientiertes Gantt-Diagramm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Auftrag 1 2

1 22

1

Auftrag 1 2

1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2

1

13 14 15

nicht semiaktiv

semiaktiv


Semiaktive und aktive Ablaufpläne

Zu jedem zulässigen Ablaufplan existiert ein zugehöriger semiaktiver Ablaufplan, der leicht zu ermitteln ist: man verschiebt einfach alles so weit wie möglich nach links. Offensichtlich ist obiger Ablaufplan zwar semiaktiv, aber dennoch sehr schlecht.

Aktive Ablaufpläne:

Klarerweise ist jeder aktive Ablaufplan auch semiaktiv.

kein AG kann zeitlich vorgezogen werden, ohne den Beginn mindestens eines anderen AGs zu verzögern

es darf nur die Auftragsfolge verändert werden


Aktive Ablaufpläne

Obiges Beispiel: Auftragsfolge an Maschine 2 ändern

Auftrag 1 2

1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2

1

13 14 15

nicht aktiv

aktiv

Auftrag 1 2

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2

1

13 14 15


5.4.4 Klassifikation

Im Bereich deterministischer Modelle werden Probleme mittels Tripeln [α|β|γ] charakterisiert.

Maschinenart und –anordnung α1: wenn die Aufträge aus nur einem Arbeitsgang bestehen:

wenn die Aufträge aus mehreren Arbeitsgängen bestehen:

α1 = 0, wenn genau 1 Maschine zur Verfügung steht

α1 = IP, wenn alle Maschinen identisch und gleichzeitig einsetzbar sind, bzw. gleiche Fertigungsgeschwindigkeiten auf allen Maschinen

α1 = F (Flow Shop): jeder Auftrag ist auf jeder Maschine genau einmal zu bearbeiten, und zwar in derselben Reihenfolge

α1 = PF (Permutations-Flow Shop): „Überholverbot“: auf allen Maschinen ist die Reihenfolge identisch

α1 = J (Job Shop): jeder Auftrag muss die Maschinen in einer eigenen, fest vorgegeben Reihenfolge durchlaufen

α1 = O (Open Shop) die Reihenfolge ist frei und spielt keine Rolle


Klassifikation II

Maschinenzahl α2: wird nichts angegeben, so wird eine beliebige Anzahl betrachtet. F|*|* = ?

J2|*|* = ?

Flow Shop mit beliebig viel Maschinen

Job Shop mit 2 Maschinen

Auftragszahl β1:

J| |* ein Job Shop mit beliebig vielen und J|3|* eins mit 3 Aufträgen

Unterbrechbarkeit β2:

pmtn Unterbrechung ist möglich

no wait es sind keine Unterbrechungen (bzw. keine Zwischenlager- oder Wartezeiten) zwischen den Arbeitsgängen erlaubt.

Wird nichts angegeben, dürfen die Aufträge nicht unterbrochen werden


Klassifikation III Reihenfolgebeziehungen β3:

prec Reihenfolgebeziehung entspricht einem gerichteten, zyklenfreien Graphen

tree Reihenfolgebeziehung wird in Form eines gerichteten Baumes betrachtet

Wird nichts angegeben, dürfen die Aufträge beliebig gereiht werden

Auftragsfreigabetermine und Nachlaufzeiten β4:

aj unterschiedliche Auftragsfreigabetermine aj

nj Nachlaufzeiten: nach der Bearbeitung benötigt der Auftrag j noch min. nj ZE bevor er fertig ist oder weiterverarbeitet werden kann

Wird nichts angegeben, liegt ein statisches Problem vor


Klassifikation IV

Die restlichen Untergruppen betreffen:

β6 reihenfolgeabhängige Rüstzeiten bzw. Rüstkosten

β7 Ressourcenbeschränkungen

β5 Bearbeitungszeiten

β8 Fertigstellungstermine


Klassifikation V Zielsetzungen γ:

zmax symbolisiert eine zu minimierende maximale Zeitdauer (Minimax-Zielsetzung);

zj steht für eine zu minimierende (ggf. gewichtete) Summe von Zeitgrößen.

z# verwenden wir zur Bestimmung einer zu minimierenden (ggf. gewichteten) Anzahl von Aufträgen mit bestimmten Eigenschaften (z.B. Verspätung).

Durchlaufzeitbezogene Ziele

Fertigstellungszeitpunkt Fj (realiserte Fertigstellung von Auftrag j)

Wartezeit: Wji bezeichnet die Wartezeit von j auf Mi und

Durchlaufzeit Dj = Fj – aj Bearbeitungszeitspanne eines Auftrags

m

1ijij W:W ist die gesamte Wartezeit des Auftrags j


Durchlaufzeitbezogene Ziele

Minimierung der Summe der Durchlaufzeiten bzw. der mittleren Durchlaufzeit:

→ min. bzw. D/n → min. (äquivalent, da n konstant]D: D jj 1

n

Minimierung der maximalen Durchlaufzeit:

→ min. D : D j 1,..., nmax j max

Minimierung der Summe der Wartezeiten:

n

1jjW:W → min.


Kapazitätsorientierte Ziele Zykluszeit:

Gesamtbearbeitungszeit n1,...,jFmax:Z j Leerzeit:

von Maschine i ist die Summe aller Zeiten, zu

denen i keinen Auftrag bearbeitet.

n

1jjii t:L Z

Offensichtlich ist die Minimierung der Zykluszeit äquivelent mit der Minimierung der Summe der Leerzeiten.

Kapazitätsauslastung (ebenfalls äquivalent):

→ max.t ji

m

ij

n

mZ

11


Terminorientierte Ziele

Terminabweichung:

Tj = Fj – fj (effektiver minus geforderter Endzeitpunkt)

Tj > 0 Strafkosten

Tj < 0 Kapitalbindung

Verspätung:

Vj = max {0,Tj} . . . Terminüberschreitung

Kapitalbindung wird hier ignoriert

gebräuchliche terminorientierte Ziele: Minimierung der maximalen Terminabweichung Minimierung der maximalen Verspätung Minimierung der Summe aller Verspätungen Minimierung der Anzahl der verspäteten Aufträge


Zielbeziehungen

Äquivalenz zweier Ziele

wenn die Zielfunktionen durch lineare Umwandlungen mittels konstanter Parameter ineinander überführbar sind heißen sie äquivalent.

die Zielsetzungen D, F, W und T sind äquivalent (gilt auch für die gewichteten Größen)

es ist äquivalent die Summe oder den Mittelwert von Zielgrößen zu optimieren

bei statischen Problemen (d.h. alle Aufträge werden zum Zeitpunkt 0 freigegeben) sind die Ziele F und D, bzw. Z und Dmax äquivalent.

die Zielsetzungen Minimierung von Z, Lmax, L und L sowie die Maximierung der durchschnittlichen Maschinenauslastung sind äquivalent.


Dilemma der Ablaufplanung

Zwischen den Zielen D und Z existiert keine der genannten Zielbeziehungen. Diese beiden Ziele sind in der Regel (bei Mehrmaschinenproblemen) zueinander konkurrierend, d.h. mit der Verbesserung des eines Zieles nimmt man zumeist eine Verschlechterung des anderen in Kauf. [Beispiel in Übung]

Da Z zur Zielsetzung L der Leerzeitminimierung (Kapazitätsausnutzung) äqui valent ist, sind auch D und L zueinander konkurrierend. Dieser Sachverhalt wird als Dilemma der Ablaufplanung bezeichnet.


5.4.5 Grundlegende Entscheidungs- und Prioritätsregeln

Maschinenprobleme sind meist NP-schwer und in der Praxis müssen rasch Lösungen gefunden werden Heuristiken (sog. Prioritätsverfahren)

Schritt 1 : Sortiere die Aufträge nach einer vorzugebenden Prioritätsregel.

Schritt 2 : Plane die Aufträge in Sortierreihenfolge auf den Maschinen ein.

bekanntesten Prioritätsregeln: Shortest Processing Time - Regel

Sortierung nach wachsenden Bearbeitungszeiten (mittlere Durchlaufzeit) Longest Processing Time - Regel

Sortierung nach fallenden Bearbeitungszeiten (Zykluszeit) Shortest Remaining Processing Time - Regel

Sortierung nach wachsenden Restbearbeitungszeiten bei Aufträgen mit mehreren Arbeitsgängen


Entscheidungs- und Prioritätsregeln II

Longest Remaining Processing Time - Regel

Sortierung nach fallenden Restbearbeitungszeiten

Earliest Due Date - Regel

Sortierung nach wachsenden gewünschten Fertigstellungsterminen auch als Jackson-Regel bekannt minimiert Verspätungen

Earliest Release Date – Regel („first come, first serve“)

Sortierung nach wachsenden Bereitstellungsterminen

Diese Verfahren dienen bei schwierigen Probleme zur Ermittlung suboptimaler (Start-)Lösungen. Bei eher einfachen Problemen können sie als exakte Verfahren eingesetzt werden.


5.4.6 Probleme mit zwei Aufträgen Wir betrachten Flow Shop und Job Shop-Probleme mit 2 Aufträgen (Ziel :

Minimierung der Zykluszeit):

Beispiel: [aus Domschke, Scholl und Voß (1993)] statisches Flow Shop mit vier Maschinen, Maschinenfolgen 1 = 2 = (1, 2, 3, 4) und folgenden Bearbeitungszeiten:

Das Problem läßt in einem zweidimensionalen Koordinatensystem veranschaulichen, bei dem eine Achse jeweils einem der beiden Aufträge entspricht. Der Koordinatensprung Q = (0,0) repräsentiert den Zeitnullpunkt (Freigabezeitpunkt).

j 1 2 3 4

t1j 3 1 1 3

t2j 1 3 3 1


Probleme mit zwei Aufträgen II Sj: = i tji bezeichnet den frühestmöglichen Fertigstellungszeitpunkt des

Auftrags j, wenn er - beginnend im Zeitpunkt 0 - ohne Unterbrechung gefertigt wird. Die Punkte Q und S = (S1,S2) spannen ein Rechteck (Operationsfeld) auf.

Das Intervall [0,S1] läßt sich in m disjunkte Intervalle unterteilen, die aufgrund der Maschinen folge 1 des ersten Auftrags in der Reihenfolge i = 1,...,1m angeordnet sind. Die Länge der Intervalle ist jeweils die Bearbeitungszeit t1j Analog ist [0, S2] unterteilbar.

Für jede Maschine i wird durch die beiden Intervalle ein Rechteck definiert, das als Konfliktfeld bezeichnet wird. In der folgenden Abbildung sind die Konfliktfelder für das obige Beispiel grau eingezeichnet.

Für die gesuchte minimale Zykluszeit Z* lassen sich Z = max {S1, S2} als untere Schranke und als triviale obere Schranke angegeben. In unserem Beispiel gilt Z = 8 und


Verfahren nach Akers

M1 M2 M3 M4

M1

M2

M3

M4

Q = (0,0)

S1

S2

i = 1

i=2

i=3

i = 4

S = (S1,S2) Das Verfahren von Akers bestimmt im Operationsfeld einen kürzesten Weg zwischen Ursprung Q und Punkt S unter den Nebenbedingungen, dass

keines der (gelben) Konfliktfelder durchlaufen wird)

der Weg nur aus senkrechten, waagrechten und diagonalen Abschnitten besteht.

Z = 11 Z = 11 Z = 10


Verfahren nach Akers II Unter diagonalen Abschnitten verstehen wir Strecken mit Steigung 1; sie

bedeuten eine gleichzeitige Bearbeitung beider Aufträge auf verschiedenen Maschinen. Waagerechte Abschnitte bedeuten die alleinige Bearbeitung des Auftrags 1 und senkrechte die des Auftrags 2.

mehrere Wege möglich (in unserem Beispiel 3). Während die beiden Wege der Länge Z = 11 Permutationsplänen entsprechen, gilt dies für den optimalen Plan mit Z = 10 nicht, da ein Überholen der Aufträge stattfindet, was man auch in den Gantt-Diagramm sieht:

Die Länge eines Weges von Q nach S ergibt sich dadurch, dass jede Bewegung eine Einheit nach rechts und/oder nach oben eine verstrichene Zeiteinheit bedeutet.


Verfahren nach Akers III

Es ist nötig, die einzubeziehenden Wege zwischen Q und S systematisch abzuarbeiten Dazu wird ein gerichteter Graph G = (V, e, c) konstruiert. Seine Knotenmenge V umfasst die Quelle Q, die Senke S sowie für jede Maschine Nordwest- und die Südostecke des jeweiligen Konfliktfeldes. Seine Pfeilmenge E, deren Bewertungen c sowie die kürzeste Entfernung von Q nach S werden simultan durch den unten angegebenen Algorithmus ermittelt.

M2 M3M1

M2M1

M4

M3 M42

1

Zeit

Auftrag Maschine

J1

J1

J1

J2

J2

J2

J2

J2

2

1

Zeit

4

3

1

1

4

4

5

5

6

6

9

9

10

10


Verfahren nach Akers IV Ausgehend von jedem von Q aus bereits

erreichten Knoten p = (p1, p2) mit (aktuell) kürzester Entfernung von dp von Q, schreitet man so lange diagonal in Richtung S vorwärts, bis

entweder der Rand des Operationsfeldes getroffen wird; dann führt man einen Pfeil (p, S) ein

oder das Konfliktfeld einer Maschine i getroffen wird.

r

q

c(p, q) = q2 - p2

c(p, r) = r1 - p1

p

i

Dann sind zur Umgehung des Konfliktfeldes i ein Pfeil von p zur Nordwestecke q von i und ein Pfeil von p zur Südostecke r von i einzuführen. Als Bewertung dient die verstrichene Zeit, also das Maximum der x- bzw. y-Distanzen.

Beispiel


Verfahren nach Akers V Beispiel: Job Shop-Problem [J5n = 2Z]. Die Bearbeitungszeiten und

Maschinenfolgen sind in den folgenden beiden Tableaus angegeben. Die Numerierung der Maschinen erfüllt bereits die Voraussetzungen des Algorithmus.

Durch Addition der Bearbeitungszeiten erhält man S = (17, 15).

Nun werden die Konfliktfelder der Maschinen gemäß den Auftragsfolgen eingetragen, wobei sie bei Job Shop Probleme nicht mehr „diagonal“ angeordnet sind.

tji M1 M2 M3 M4 M5

J1 3 5 3 2 4

J2 4 3 3 3 2

i= 1 2 3 4 5

J1 M4 M1 M3 M2 M5

J2 M1 M2 M3 M4 M5


Verfahren nach Akers VI

2M4 5M1 8M3 13M2 17M5

M1

M2

M3

M4

M5

4

7

10

13

15

Q

SG

F

M1

M2

M3

M4

M5

Regel

E

D

CB

A


Verfahren nach Akers VII Die Anwendung des kürzeste Wege Verfahrens liefert:

Q

B

A

C

D

E

F

G

S

8

4

5

11

9

12

2

48

6

6

7

Lösung:


Verfahren nach Akers VIII

J1

J2

J1

J1

J2

J1 J2

Maschine

2

1 Zeit

4

3

5

2 4 7 10 13 15 18 21

B

J2

J1 J2

D F

2

1

Zeit

Auftrag

2 4 7 10 13 15 18 21

M5M4

M1

M3M1

M2

M2

M3 M4 M5

Q S

Leerzeiten der Maschinen

Wartezeiten der AufträgeWeg


Verfahren nach Akers IX

2M4 5M1 8M3 13M2 17M5

M1

M2

M3

M4

M5

4

7

10

13

15

Q

S

B

A

E

D

C

G

F

Das Akers-Verfahren lässt sich auch anwenden, falls Auftrags-freigabetermine aj 0 vorgegeben sind (Konfliktfelder nach NO verschieben) bzw. auch falls andere Zielfunktionen berücksichtigt werden, z.B. Dmax und Wmax (durch geeignetes Umdefinieren der Pfeilbewertungen).

Gantt

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Kapitel 5 Operative Planungsprobleme. Operations ManagementKapitel 5 / 2 (c) Prof. Richard F. Hartl 5.1. Prognoseverfahren Ziel aus Vergangenheits-Daten