Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen. Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 2 Inhalt 2.1 Teiler 12 60 2.2 Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... 2.3 Zahldarstellungen

Kapitel 2

Natürliche und ganze Zahlen

Kapitel 2

Natürliche und ganze Zahlen

Kapitel 2 © Beutelspacher

Mai 2004Seite 2

InhaltInhalt

2.1 Teiler

12 60

2.2 Primzahlen

2, 3, 5, 7, 11, 13, ....

2.3 Zahldarstellungen17 = (1 0 0 0 1)2

2.4 Teilbarkeitsregeln

QS, AQS

2.5 ggT

2.1 Teiler

12 60

2.2 Primzahlen

2, 3, 5, 7, 11, 13, ....

2.3 Zahldarstellungen17 = (1 0 0 0 1)2

2.4 Teilbarkeitsregeln

QS, AQS

2.5 ggT


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2.1 Teilbarkeit2.1 Teilbarkeit

Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, ...;

die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet:

Z = {... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Wichtige Eigenschaft: Die Summe, die Differenz und das Produkt

beliebiger ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl.

Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist aber nur in Ausnahmefällen

wieder eine ganze Zahl. Dies ist einer der Ausgangspunkte der

Zahlentheorie.

Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, ...;

die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet:

Z = {... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Wichtige Eigenschaft: Die Summe, die Differenz und das Produkt

beliebiger ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl.

Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist aber nur in Ausnahmefällen

wieder eine ganze Zahl. Dies ist einer der Ausgangspunkte der

Zahlentheorie.


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TeilerbeziehungTeilerbeziehung

Definition. Seien a und b ganze Zahlen. Wir sagen “a teilt b”

(geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z gibt mit b = za.

Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a.

Die Aussage “a teilt b” heißt also, dass a die Zahl b ohne Rest

teilt!

Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen:

2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, 2000 0.

Folgende Aussagen sind hingegen nicht richtig:

2 11, –3 20, 8 –106, –14 –100, 0 1.

Definition. Seien a und b ganze Zahlen. Wir sagen “a teilt b”

(geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z gibt mit b = za.

Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a.

Die Aussage “a teilt b” heißt also, dass a die Zahl b ohne Rest

teilt!

Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen:

2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, 2000 0.

Folgende Aussagen sind hingegen nicht richtig:

2 11, –3 20, 8 –106, –14 –100, 0 1.


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Erste ErkenntnisseErste Erkenntnisse

2.1.1 Hilfssatz. (a) Für jede ganze Zahl a gilt a a, a –a und

–a a.

(b) Wenn a b gilt, so folgt auch a bc für jede ganze Zahl c.

(c) Jede ganze Zahl wird durch 1 und sich selbst geteilt.

(d) Die einzigen Teiler der Zahl 1 sind 1 und –1.

Beweis. (a) Aus a = 1a folgt a a, aus –a = –1a folgt a –a, ...

(b) Wegen a b, gibt es eine ganze Zahl z mit b = za. Daraus

folgt bc = (za)c = (zc)a = z'a mit z' = zc Z. Das heißt a bc.

(c) Sei a eine beliebige ganze Zahl. Nach (a) gilt a a.

Wegen a = 1a folgt auch 1 a.

(d) Übungsaufgabe.

2.1.1 Hilfssatz. (a) Für jede ganze Zahl a gilt a a, a –a und

–a a.

(b) Wenn a b gilt, so folgt auch a bc für jede ganze Zahl c.

(c) Jede ganze Zahl wird durch 1 und sich selbst geteilt.

(d) Die einzigen Teiler der Zahl 1 sind 1 und –1.

Beweis. (a) Aus a = 1a folgt a a, aus –a = –1a folgt a –a, ...

(b) Wegen a b, gibt es eine ganze Zahl z mit b = za. Daraus

folgt bc = (za)c = (zc)a = z'a mit z' = zc Z. Das heißt a bc.

(c) Sei a eine beliebige ganze Zahl. Nach (a) gilt a a.

Wegen a = 1a folgt auch 1 a.

(d) Übungsaufgabe.


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Die wichtigste EigenschaftDie wichtigste Eigenschaft

2.1.2 Hilfssatz. Seien a, b und b' ganze Zahlen.

(a) Wenn a b und a b' gilt, so gilt auch a b–b'.

(b) Wenn a b und a b' gilt, so gilt auch a b+b'.

Konsequenz: Die Zahl b–b' ist in der Regel kleiner als b oder b';

damit kann man die Teilbarkeit auf kleinere Zahlen zurückführen.

Beispiel: Sei a eine natürliche Zahl, die 1001 und 2001 teilt.

Wenn wir b = 2001 und b' = 1001 setzen, folgt mit 2.1.2 (b) auch

a 1000.

Nun setzen wir b = 1001 und b' = 1000 und erhalten a 1. Daraus

folgt a = 1.

2.1.2 Hilfssatz. Seien a, b und b' ganze Zahlen.

(a) Wenn a b und a b' gilt, so gilt auch a b–b'.

(b) Wenn a b und a b' gilt, so gilt auch a b+b'.

Konsequenz: Die Zahl b–b' ist in der Regel kleiner als b oder b';

damit kann man die Teilbarkeit auf kleinere Zahlen zurückführen.

Beispiel: Sei a eine natürliche Zahl, die 1001 und 2001 teilt.

Wenn wir b = 2001 und b' = 1001 setzen, folgt mit 2.1.2 (b) auch

a 1000.

Nun setzen wir b = 1001 und b' = 1000 und erhalten a 1. Daraus

folgt a = 1.


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BeweisBeweis

Beweis.

(a) Da a ein Teiler von b ist, gibt es nach Definition

eine ganze Zahl z mit b = za.

Entsprechend folgt aus a b', dass es

eine ganze Zahl z' gibt mit b' = z'a.

Zusammen ergibt sich

b–b' = za – z'a = (z – z')a = z"a

mit z" = z–z' Z. Das heißt a b–b'.

(b) folgt ganz ähnlich wie (a): Übungsaufgabe.

Beweis.

(a) Da a ein Teiler von b ist, gibt es nach Definition

eine ganze Zahl z mit b = za.

Entsprechend folgt aus a b', dass es

eine ganze Zahl z' gibt mit b' = z'a.

Zusammen ergibt sich

b–b' = za – z'a = (z – z')a = z"a

mit z" = z–z' Z. Das heißt a b–b'.

(b) folgt ganz ähnlich wie (a): Übungsaufgabe.


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PrimzahlenPrimzahlen

Definition: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1,

die als natürliche Teiler nur 1 und sich selbst hat.

Anders ausgedrückt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl,

die genau (nur!) zwei positive Teiler hat.

Beispiel: 11 ist eine Primzahl, da die einzigen natürlichen Zahlen,

die 11 teilen, 1 und 11 sind. Aber 12 ist keine Primzahl, da 12

neben 1 und 12 auch 2, 3, 4 und 6 als positive Teiler hat.

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

Die größte heute bekannte Primzahl ist 220.996.011 – 1, eine Zahl mit

6.320.430 Dezimalstellen.

Definition: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1,

die als natürliche Teiler nur 1 und sich selbst hat.

Anders ausgedrückt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl,

die genau (nur!) zwei positive Teiler hat.

Beispiel: 11 ist eine Primzahl, da die einzigen natürlichen Zahlen,

die 11 teilen, 1 und 11 sind. Aber 12 ist keine Primzahl, da 12

neben 1 und 12 auch 2, 3, 4 und 6 als positive Teiler hat.

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

Die größte heute bekannte Primzahl ist 220.996.011 – 1, eine Zahl mit

6.320.430 Dezimalstellen.


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Das Sieb des EratosthenesDas Sieb des Eratosthenes

Wie findet man Primzahlen? Schwieriges Problem! Bis heute kennt

man keine Formel für Primzahlen!

2.2.1 Das Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene 284 -

200 v. Chr.).

Um alle Primzahlen n zu finden, geht man wie folgt vor:

1.Schreibe die Zahlen 2, 3, ..., n auf.

2. Die erste Zahl ist eine Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser

Zahl!

3. Die erste freie Zahl ist die nächste Primzahl. Streiche alle

Vielfachen dieser Zahl.

Usw.

Wie findet man Primzahlen? Schwieriges Problem! Bis heute kennt

man keine Formel für Primzahlen!

2.2.1 Das Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene 284 -

200 v. Chr.).

Um alle Primzahlen n zu finden, geht man wie folgt vor:

1.Schreibe die Zahlen 2, 3, ..., n auf.

2. Die erste Zahl ist eine Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser

Zahl!

3. Die erste freie Zahl ist die nächste Primzahl. Streiche alle

Vielfachen dieser Zahl.

Usw.


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Wichtige Eigenschaft von PrimzahlenWichtige Eigenschaft von Primzahlen

2.2.2 Hilfssatz. Jede natürliche Zahl n 2 ist durch mindestens eine

Primzahl teilbar.

Beweis. 1. Schritt: Entweder ist n eine Primzahl, und wir sind fertig

(denn n wird von sich selbst geteilt), oder n ist keine Primzahl. Dann

gilt n = n1m1 mit 1 < n1, m1 < n.

2. Schritt: Entweder ist n1 eine Primzahl, und wir sind fertig, oder n1

ist keine Primzahl. Dann gilt n1 = n2m2 mit 1 < n2, m2 < n1.

3. Schritt: Entweder ist n2 eine Primzahl, und wir sind fertig (denn n2

teilt n1 und damit n), oder ...

Da die ni in jedem Schritt kleiner werden, aber > 1 sind, muss der

Prozess nach endlich vielen Schritten eine Primzahl n j liefern.

2.2.2 Hilfssatz. Jede natürliche Zahl n 2 ist durch mindestens eine

Primzahl teilbar.

Beweis. 1. Schritt: Entweder ist n eine Primzahl, und wir sind fertig

(denn n wird von sich selbst geteilt), oder n ist keine Primzahl. Dann

gilt n = n1m1 mit 1 < n1, m1 < n.

2. Schritt: Entweder ist n1 eine Primzahl, und wir sind fertig, oder n1

ist keine Primzahl. Dann gilt n1 = n2m2 mit 1 < n2, m2 < n1.

3. Schritt: Entweder ist n2 eine Primzahl, und wir sind fertig (denn n2

teilt n1 und damit n), oder ...

Da die ni in jedem Schritt kleiner werden, aber > 1 sind, muss der

Prozess nach endlich vielen Schritten eine Primzahl n j liefern.


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Effizienz des Siebs des EratosthenesEffizienz des Siebs des Eratosthenes

2.2.3 Satz. Um alle Primzahlen n zu finden, muss man die Zahlen

von 1, ..., n nur auf Teilbarkeit durch die Primzahlen n zu

testen.

Beispiel: Um die Primzahlen 120 zu finden, muss man die Zahlen

von 1 bis 120 nur auf Teilbarkeit durch 2, 3, 5, und 7 zu testen.

Beweis. Sei a eine Zahl zwischen 1 und n. Wenn a nicht prim

ist, so gibt es Zahlen b und c mit a = bc und 1 < b, c < a.

Die kleinere der beiden Zahlen b, c muss dann n sein. (Denn,

wenn z.B. b c ist, so folgt bb bc = a n, also b n .)

Nach 2.2.2 wird b von einer Primzahl p geteilt. Es folgt p n.

2.2.3 Satz. Um alle Primzahlen n zu finden, muss man die Zahlen

von 1, ..., n nur auf Teilbarkeit durch die Primzahlen n zu

testen.

Beispiel: Um die Primzahlen 120 zu finden, muss man die Zahlen

von 1 bis 120 nur auf Teilbarkeit durch 2, 3, 5, und 7 zu testen.

Beweis. Sei a eine Zahl zwischen 1 und n. Wenn a nicht prim

ist, so gibt es Zahlen b und c mit a = bc und 1 < b, c < a.

Die kleinere der beiden Zahlen b, c muss dann n sein. (Denn,

wenn z.B. b c ist, so folgt bb bc = a n, also b n .)

Nach 2.2.2 wird b von einer Primzahl p geteilt. Es folgt p n.


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Darstellung einer nat. Zahl durch PrimzahlpotenzenDarstellung einer nat. Zahl durch Primzahlpotenzen

2.2.4 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.

Für jede natürliche Zahl n 2 gibt es eindeutig bestimmte

Primzahlen p1, p2, ..., pr und eindeutig bestimmte positive ganze

Zahlen e1, e2, ..., er, so dass gilt:

n = p1e1p2

e2...prer.

Bemerkungen. 1. Es ist möglich, dass r = 1 ist. Dann ist n = pe

eine Primzahlpotenz.

2. Es ist auch möglich, dass ei = 1 ist. Dann ist die entsprechende

Potenz von pi gleich pi, also eine Primzahl.

2.2.4 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.

Für jede natürliche Zahl n 2 gibt es eindeutig bestimmte

Primzahlen p1, p2, ..., pr und eindeutig bestimmte positive ganze

Zahlen e1, e2, ..., er, so dass gilt:

n = p1e1p2

e2...prer.

Bemerkungen. 1. Es ist möglich, dass r = 1 ist. Dann ist n = pe

eine Primzahlpotenz.

2. Es ist auch möglich, dass ei = 1 ist. Dann ist die entsprechende

Potenz von pi gleich pi, also eine Primzahl.


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Faktorisierungsweltrekord (2003)Faktorisierungsweltrekord (2003)

18819.881292.060796.383869.723946.165043.980716.356337.

941738.270076.335642.298885.9715234.665485.319060.606504.

743045.317388.011303.396716.199692.321205.734031.879550.

656996.221305.168759.307650.257059

=

3980.750864.24064.937397.125500.550386.491199.064362.

342526.708406.385189.575946.388957.261768.583317

×

472.772146.107435.302536.223071.973048.224632.914695.

302097.116459.852171.130520.711256.363590.397527

18819.881292.060796.383869.723946.165043.980716.356337.

941738.270076.335642.298885.9715234.665485.319060.606504.

743045.317388.011303.396716.199692.321205.734031.879550.

656996.221305.168759.307650.257059

=

3980.750864.24064.937397.125500.550386.491199.064362.

342526.708406.385189.575946.388957.261768.583317

×

472.772146.107435.302536.223071.973048.224632.914695.

302097.116459.852171.130520.711256.363590.397527


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Unendlichkeit der PrimzahlenUnendlichkeit der Primzahlen

2.2.5 Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Mit anderen Worten: Die Folge der Primzahlen bricht nie ab.

Nochmals anders gesagt: Es gibt keine größte Primzahl!

Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer noch eine Primzahl,

die größer als diese Grenze ist!

Beweis. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.

Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es

also nur endlich viele, sagen wir s, Primzahlen gibt. Man kann also

prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p1 (= 2), p2 (=

3), p3, ..., ps; die Zahl ps wäre also die größte Primzahl.

Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruch führen.

2.2.5 Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Mit anderen Worten: Die Folge der Primzahlen bricht nie ab.

Nochmals anders gesagt: Es gibt keine größte Primzahl!

Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer noch eine Primzahl,

die größer als diese Grenze ist!

Beweis. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.

Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es

also nur endlich viele, sagen wir s, Primzahlen gibt. Man kann also

prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p1 (= 2), p2 (=

3), p3, ..., ps; die Zahl ps wäre also die größte Primzahl.

Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruch führen.


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Euklids TrickEuklids Trick

Wir betrachten die Zahl n = p1p2...ps + 1.

Nach 2.2.2 wird n durch eine Primzahl geteilt. Dafür kommen nach

Annahme nur die Zahlen p1, p2, ..., ps in Frage (weil es keine anderen

Primzahlen gibt)! Also gibt es ein solches pi, das n teilt:

pi n = p1p2...ps + 1.

Ferner teilt pi auch das Produkt p1p2...ps. Das heißt:

pi p1p2...ps.

Nach 2.1.2 teilt pi auch die Differenz dieser beiden Zahlen:

pi p1p2...ps + 1 – (p1p2...ps) = 1.

Also müßte die Primzahl pi die Zahl 1 teilen: Widerspruch!

Wir betrachten die Zahl n = p1p2...ps + 1.

Nach 2.2.2 wird n durch eine Primzahl geteilt. Dafür kommen nach

Annahme nur die Zahlen p1, p2, ..., ps in Frage (weil es keine anderen

Primzahlen gibt)! Also gibt es ein solches pi, das n teilt:

pi n = p1p2...ps + 1.

Ferner teilt pi auch das Produkt p1p2...ps. Das heißt:

pi p1p2...ps.

Nach 2.1.2 teilt pi auch die Differenz dieser beiden Zahlen:

pi p1p2...ps + 1 – (p1p2...ps) = 1.

Also müßte die Primzahl pi die Zahl 1 teilen: Widerspruch!


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BemerkungenBemerkungen

Man kann mit Satz von Euklid auch Primzahlen finden: Seien p, p2, ...,

ps Primzahlen. Dann ist jede Primzahl, die die „magische Zahl“

n = p1p2...ps + 1

teilt, eine neue Primzahl, das heißt, eine, die unter den p1, p2, ..., ps

nicht vorkommt.

Beispiel: p1 = 2, p2 = 3. Dann ist n = 7, also p3 = 7.

Im nächsten Schritt erhalten wir n = 237 + 1 = 43, also p4 = 43.

Bemerkungen: 1. Die Zahl n ist nicht immer eine Primzahl.

2. Man erhält durch dieses Verfahren nicht alle Primzahlen.

3. Die neue Primzahl muss nicht größer als p1, p2, ..., ps sein.

Man kann mit Satz von Euklid auch Primzahlen finden: Seien p, p2, ...,

ps Primzahlen. Dann ist jede Primzahl, die die „magische Zahl“

n = p1p2...ps + 1

teilt, eine neue Primzahl, das heißt, eine, die unter den p1, p2, ..., ps

nicht vorkommt.

Beispiel: p1 = 2, p2 = 3. Dann ist n = 7, also p3 = 7.

Im nächsten Schritt erhalten wir n = 237 + 1 = 43, also p4 = 43.

Bemerkungen: 1. Die Zahl n ist nicht immer eine Primzahl.

2. Man erhält durch dieses Verfahren nicht alle Primzahlen.

3. Die neue Primzahl muss nicht größer als p1, p2, ..., ps sein.


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2.3 Zahlendarstellungen2.3 Zahlendarstellungen

Historisch gibt es eine ganze Reihe von Zahlensystemen:

Zehnersystem (Dezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1, ..., 9.

60-er System: Babylonier vor 3000 Jahren (Gradeinteilung, Minuten,

Sekunden).

20-er System: Mayas und Gallier.

Binärsystem (Zweiersystem) mit den Ziffern 0 und 1.

Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, A (= 10), B (= 11), C (= 12), D (= 13), E (= 14), F (=

15).

Elfersystem mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X (röm. Zehn).

Historisch gibt es eine ganze Reihe von Zahlensystemen:

Zehnersystem (Dezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1, ..., 9.

60-er System: Babylonier vor 3000 Jahren (Gradeinteilung, Minuten,

Sekunden).

20-er System: Mayas und Gallier.

Binärsystem (Zweiersystem) mit den Ziffern 0 und 1.

Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, A (= 10), B (= 11), C (= 12), D (= 13), E (= 14), F (=

15).

Elfersystem mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X (röm. Zehn).


Mai 2004Seite 18

Ziele von ZahlendarstellungenZiele von Zahlendarstellungen

1. Darstellbarkeit. Man möchte Zahlen (Anzahlen) dauerhaft

speichern. (Beispiel: Strichliste)

2. Ökonomie. Man möchte große Zahlen so schreiben

(und sprechen) können, dass man möglichst wenig Platz

(und Zeit) dafür braucht. (Beispiel: römische Zahlen)

3. Man möchte mit den so dargestellten Zahlen gut rechnen können.

(Beispiel: Dezimalsystem).

Das zweite Ziel impliziert nicht das dritte. Mit dem römischen

Zahlensystem kann man große Zahlen darstellen, aber praktisch

nicht rechnen.

1. Darstellbarkeit. Man möchte Zahlen (Anzahlen) dauerhaft

speichern. (Beispiel: Strichliste)

2. Ökonomie. Man möchte große Zahlen so schreiben

(und sprechen) können, dass man möglichst wenig Platz

(und Zeit) dafür braucht. (Beispiel: römische Zahlen)

3. Man möchte mit den so dargestellten Zahlen gut rechnen können.

(Beispiel: Dezimalsystem).

Das zweite Ziel impliziert nicht das dritte. Mit dem römischen

Zahlensystem kann man große Zahlen darstellen, aber praktisch

nicht rechnen.


Mai 2004Seite 19

Beispiel: DezimaldarstellungBeispiel: Dezimaldarstellung

Wie erhalten wir die Einerziffer einer Zahl n? Wir teilen n mit Rest durch 10; der Rest, der sich dabei ergibt, ist die Einerziffer z0:

n = n010 + z0 mit 0 z0 < 10.

Beispiel: n = 234.567. Dann 234.567 = 2345610 + 7. Einerziffer = 7.

Wie erhalten wir die Zehnerziffer? Die Zehnerziffer ist die Einerziffer

der vorher berechneten Zahl n0.

Regel: Die Zehnerziffer ist diejenige Zahl z1 mit

n0 = n110 + z1 mit 0 z1 < 10.

Entsprechend ergibt sich die Hunderterziffer z2 durch

n1 = n210 + z2 mit 0 z2 < 10.

Wie erhalten wir die Einerziffer einer Zahl n? Wir teilen n mit Rest durch 10; der Rest, der sich dabei ergibt, ist die Einerziffer z0:

n = n010 + z0 mit 0 z0 < 10.

Beispiel: n = 234.567. Dann 234.567 = 2345610 + 7. Einerziffer = 7.

Wie erhalten wir die Zehnerziffer? Die Zehnerziffer ist die Einerziffer

der vorher berechneten Zahl n0.

Regel: Die Zehnerziffer ist diejenige Zahl z1 mit

n0 = n110 + z1 mit 0 z1 < 10.

Entsprechend ergibt sich die Hunderterziffer z2 durch

n1 = n210 + z2 mit 0 z2 < 10.


Mai 2004Seite 20

Die wichtigste Eigenschaft der ganzen ZahlenDie wichtigste Eigenschaft der ganzen Zahlen

2.3.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0).

Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit

a = bq + r und 0 r b–1.

Beispiele. a = 13, b = 4 13 = 43 + 1 (q = 3, r = 1)

a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3)

a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1)

a = –13, b = –4 –13 = –44 + 3 (q = 4, r = 3).

Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften

(a = bq + r und 0 r b–1) zustande.

2.3.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0).

Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit

a = bq + r und 0 r b–1.

Beispiele. a = 13, b = 4 13 = 43 + 1 (q = 3, r = 1)

a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3)

a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1)

a = –13, b = –4 –13 = –44 + 3 (q = 4, r = 3).

Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften

(a = bq + r und 0 r b–1) zustande.


Mai 2004Seite 21

Darstellung von natürlichen Zahlen zur Basis bDarstellung von natürlichen Zahlen zur Basis b

2.3.2 Satz. Sei b eine natürliche Zahl mit b 1. Dann gibt es zu

jeder natürlichen Zahl n 1 eindeutig bestimmte nichtnegative

ganze Zahlen z0, z1, ..., zk (die Ziffern) so dass gilt

n = zkbk + zk–1bk–1 + ... + z1b + z0 und 0 zi < b.

Wir schreiben (zk zk–1 ... z1 z0)b und nennen dies die Darstellung von

n zur Basis b; die Zahlen zi heißen die Ziffern dieser Darstellung.

Beispiele: Die Zahl 47 hat im Zehnersystem die Darstellung (4 7)10,

im Zweiersystem hat sie die Darstellung (1 0 1 1 1 1)2, im

Sechzehnersystem hat sie die Darstellung (2 F)16.

2.3.2 Satz. Sei b eine natürliche Zahl mit b 1. Dann gibt es zu

jeder natürlichen Zahl n 1 eindeutig bestimmte nichtnegative

ganze Zahlen z0, z1, ..., zk (die Ziffern) so dass gilt

n = zkbk + zk–1bk–1 + ... + z1b + z0 und 0 zi < b.

Wir schreiben (zk zk–1 ... z1 z0)b und nennen dies die Darstellung von

n zur Basis b; die Zahlen zi heißen die Ziffern dieser Darstellung.

Beispiele: Die Zahl 47 hat im Zehnersystem die Darstellung (4 7)10,

im Zweiersystem hat sie die Darstellung (1 0 1 1 1 1)2, im

Sechzehnersystem hat sie die Darstellung (2 F)16.


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BeweisBeweis

Beweis. (a) Existenz. Wir berechnen die Ziffern wie vorher.

Zunächst bestimmen wir z0 durch

n = n0b + z0 mit 0 z0 < b.

Dann bestimmen wir z1 durch

n0 = n1b + z1 mit 0 z1 < b.

Die Ziffer z2 wird bestimmt durch

n1 = n2b + z2 mit 0 z2 < b.

Usw. Wenn wir zu einer Stelle k kommen mit nk = 0, erhalten wir die

letzte („höchste”) Ziffer zk. Diese ist so bestimmt:

nk–1 = nkb + zk mit 0 zk < b.

Beweis. (a) Existenz. Wir berechnen die Ziffern wie vorher.

Zunächst bestimmen wir z0 durch

n = n0b + z0 mit 0 z0 < b.

Dann bestimmen wir z1 durch

n0 = n1b + z1 mit 0 z1 < b.

Die Ziffer z2 wird bestimmt durch

n1 = n2b + z2 mit 0 z2 < b.

Usw. Wenn wir zu einer Stelle k kommen mit nk = 0, erhalten wir die

letzte („höchste”) Ziffer zk. Diese ist so bestimmt:

nk–1 = nkb + zk mit 0 zk < b.


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Beweis (Fortsetzung)Beweis (Fortsetzung)

Einsetzen:

n = n0b + z0

= (n1b + z1) b + z0 = n1b2 + z1 b + z0

= (n2b + z2)b2 + z1 b + z0 = n2b3 + z2b2 + z1 b + z0

= ...

= (nkb + zk)bk–1 + zk–1bk–1 + ... + z2b2 + z1 b + z0

= zkbk + zk–1bk–1 + ... + z1b + z0.

(b) Eindeutigkeit (ohne Beweis).

Einsetzen:

n = n0b + z0

= (n1b + z1) b + z0 = n1b2 + z1 b + z0

= (n2b + z2)b2 + z1 b + z0 = n2b3 + z2b2 + z1 b + z0

= ...

= (nkb + zk)bk–1 + zk–1bk–1 + ... + z2b2 + z1 b + z0

= zkbk + zk–1bk–1 + ... + z1b + z0.

(b) Eindeutigkeit (ohne Beweis).


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BeispieleBeispiele

Beispiele. (a) Wir wandeln folgende Zahlen ins Zehnersystem um:

(1 0 0 1)2 = 18 + 04 + 02 + 11 = 9

(2 1 0 1)3 = 227 + 19 + 03 + 11 = 64

(2 F)16 = 2 16 + 15 1 = 47

(1024)11 = 11331 + 0121 + 211 + 41 = 1357

(b) Wir wandeln die im Zehnersystem dargestellte Zahl 600 in das 2-

er, 5-er und 16-er System um:

600 = 512 + 64 + 16 + 8, also 600 = (1 0 0 1 0 1 1 0 0 0)2

600 = 4125 + 425, also 600 = (4 4 0 0)5

600 = 2 256 + 5 16 + 8 1, also 600 = (2 5 8)16 .

Beispiele. (a) Wir wandeln folgende Zahlen ins Zehnersystem um:

(1 0 0 1)2 = 18 + 04 + 02 + 11 = 9

(2 1 0 1)3 = 227 + 19 + 03 + 11 = 64

(2 F)16 = 2 16 + 15 1 = 47

(1024)11 = 11331 + 0121 + 211 + 41 = 1357

(b) Wir wandeln die im Zehnersystem dargestellte Zahl 600 in das 2-

er, 5-er und 16-er System um:

600 = 512 + 64 + 16 + 8, also 600 = (1 0 0 1 0 1 1 0 0 0)2

600 = 4125 + 425, also 600 = (4 4 0 0)5

600 = 2 256 + 5 16 + 8 1, also 600 = (2 5 8)16 .


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Bemerkungen zum RechnenBemerkungen zum Rechnen

Unsere Techniken zum schriftlichen Addieren, Multiplizieren und

Dividieren beruhen entscheidend auf dem Stellenwertsystem:

Wir bearbeiten jeweils nicht die vollständigen Zahlen, sondern

jeweils nur eine Stelle (eventuell mit Übertrag von der vorherigen

Stelle). Diese Operationen funktionieren in jedem Stellenwertsystem

ähnlich.

Beispiel: Addition im 2-er System:

1 0 1 1 1

+ 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0

Unsere Techniken zum schriftlichen Addieren, Multiplizieren und

Dividieren beruhen entscheidend auf dem Stellenwertsystem:

Wir bearbeiten jeweils nicht die vollständigen Zahlen, sondern

jeweils nur eine Stelle (eventuell mit Übertrag von der vorherigen

Stelle). Diese Operationen funktionieren in jedem Stellenwertsystem

ähnlich.

Beispiel: Addition im 2-er System:

1 0 1 1 1

+ 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0


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Die römischen ZahlenDie römischen Zahlen

Gibt es ein 1-er System? Ja! Man benutzt nur die Ziffer 0 (und

schreibt dafür 1). Beispiel 5 = 11111. (Eine Zahl wird durch die

entsprechende Anzahl von Strichen wiedergegeben.)

Addition ist einfach: Man braucht die Zahlen nur hintereinander zu

schreiben.

Das römische Zahlensystem ist im Prinzip ein solches 1-er System.

Die Römer haben nur zur Abkürzung großer Zahlen andere Zeichen

verwendet: V, X, L, C, D, M. Zunächst begann die Zahlenreihe so:

I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, XI , ...

Damit ist Addition immer noch einfach: man schreibt die zwei Zahlen

nebeneinander, ordnet um und fasst gegebenenfalls zusammen.

Gibt es ein 1-er System? Ja! Man benutzt nur die Ziffer 0 (und

schreibt dafür 1). Beispiel 5 = 11111. (Eine Zahl wird durch die

entsprechende Anzahl von Strichen wiedergegeben.)

Addition ist einfach: Man braucht die Zahlen nur hintereinander zu

schreiben.

Das römische Zahlensystem ist im Prinzip ein solches 1-er System.

Die Römer haben nur zur Abkürzung großer Zahlen andere Zeichen

verwendet: V, X, L, C, D, M. Zunächst begann die Zahlenreihe so:

I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, XI , ...

Damit ist Addition immer noch einfach: man schreibt die zwei Zahlen

nebeneinander, ordnet um und fasst gegebenenfalls zusammen.


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2.4 Teilbarkeitsregeln2.4 Teilbarkeitsregeln

Frage: Sei eine natürliche Zahl n in einem Stellenwertsystem, z.B.

im Dezimalsystem gegeben. Kann man an den Ziffern erkennen, ob

n durch eine bestimmte Zahl teilbar ist?

„David-Goliath-Sätze“ Beispiel: Um zu erkennen, dass eine Zahl

durch 2 teilbar ist, brauchen wir nur eine einzige Stelle anzuschauen!

Endstellenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Endstelle

(Einerziffer) oder an den Endstellen.

Quersummenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Quersumme

(oder einer Variante der Quersumme).

Frage: Sei eine natürliche Zahl n in einem Stellenwertsystem, z.B.

im Dezimalsystem gegeben. Kann man an den Ziffern erkennen, ob

n durch eine bestimmte Zahl teilbar ist?

„David-Goliath-Sätze“ Beispiel: Um zu erkennen, dass eine Zahl

durch 2 teilbar ist, brauchen wir nur eine einzige Stelle anzuschauen!

Endstellenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Endstelle

(Einerziffer) oder an den Endstellen.

Quersummenregel: Man erkennt die Teilbarkeit an der Quersumme

(oder einer Variante der Quersumme).


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Teilbarkeit durch 2Teilbarkeit durch 2

2.4.1 Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann gerade (d. h. teilbar

durch 2), wenn ihre Endziffer (“Einerziffer”) im Dezimalsystem

gerade ist (also eine der Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 ist).

Beweis.

(a) Vorbereitung. Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z0

ihre Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung:

n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Da die Zahl 2 ein Teiler von 10 ist, teilt 2 auch die Zahl

zk10k + zk–110k–1 + ... + z110, in Formeln:

2 zk10k + zk–110k–1 + ... + z110. (*)

2.4.1 Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann gerade (d. h. teilbar

durch 2), wenn ihre Endziffer (“Einerziffer”) im Dezimalsystem

gerade ist (also eine der Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 ist).

Beweis.

(a) Vorbereitung. Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z0

ihre Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung:

n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Da die Zahl 2 ein Teiler von 10 ist, teilt 2 auch die Zahl

zk10k + zk–110k–1 + ... + z110, in Formeln:

2 zk10k + zk–110k–1 + ... + z110. (*)


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Eigentlicher BeweisEigentlicher Beweis

(b) Eigentlicher Beweis: Wir müssen beide Richtungen zeigen.

• Zunächst sei n gerade. Zu zeigen: z0 ist gerade.

Da n gerade ist, gilt 2 n. Formal heißt dies:

2 zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Wegen Hilfssatz 2.1.2 (a) und (*) ist folgende Zahl gerade:

(zk10k+zk–110k–1+...+ z110 + z0) – (zk10k+zk–110k–1 +...+ z110) = z0.

Also ist z0 gerade.

• Sei nun umgekehrt z0 gerade, also 2 z0. Es folgt

2 (zk10k + zk–110k–1 + ... + z110) + z0 = n.

Also ist n gerade.

(b) Eigentlicher Beweis: Wir müssen beide Richtungen zeigen.

• Zunächst sei n gerade. Zu zeigen: z0 ist gerade.

Da n gerade ist, gilt 2 n. Formal heißt dies:

2 zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Wegen Hilfssatz 2.1.2 (a) und (*) ist folgende Zahl gerade:

(zk10k+zk–110k–1+...+ z110 + z0) – (zk10k+zk–110k–1 +...+ z110) = z0.

Also ist z0 gerade.

• Sei nun umgekehrt z0 gerade, also 2 z0. Es folgt

2 (zk10k + zk–110k–1 + ... + z110) + z0 = n.

Also ist n gerade.


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Teilbarkeit durch 5 und 10Teilbarkeit durch 5 und 10

2.4.2 Satz. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 5 teilbar,

wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem durch 5 teilbar ist, also eine

der Zahlen 0 oder 5 ist).

2.4.3 Folgerung. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 10

teilbar, wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem 0 ist.

Beweis der Folgerung. Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar,

wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist; nach 2.4.1 und 2.4.2 ist das

genau dann der Fall, wenn die Endziffer in

{0, 2, 4, 6, 8 } {0, 5} = {0}

ist.


wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem durch 5 teilbar ist, also eine

der Zahlen 0 oder 5 ist).

2.4.3 Folgerung. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 10

teilbar, wenn ihre Endziffer im Dezimalsystem 0 ist.

Beweis der Folgerung. Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar,

wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist; nach 2.4.1 und 2.4.2 ist das

genau dann der Fall, wenn die Endziffer in

{0, 2, 4, 6, 8 } {0, 5} = {0}

ist.


Mai 2004Seite 31

QuersummeQuersumme

Definition. Sei n eine im Dezimalsystem dargestellte natürliche

Zahl:n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Dann nennt man die Zahl

Q(n) = zk + zk–1 + ... + z1 + z0

die Quersumme von n.

Kurz: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern.

Beispiele: Q(1024) = 1+0+2+4 = 7, Q(123456789) = 45.

Definition. Sei n eine im Dezimalsystem dargestellte natürliche

Zahl:n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Dann nennt man die Zahl

Q(n) = zk + zk–1 + ... + z1 + z0

die Quersumme von n.

Kurz: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern.

Beispiele: Q(1024) = 1+0+2+4 = 7, Q(123456789) = 45.


Mai 2004Seite 32



wenn ihre Quersumme (im Dezimalsystem) durch 9 teilbar ist.

Beweis.

Vorbereitung: Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z0 ihre

Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung:

n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Wir wissen: 9 teilt die Zahlen 9 (=10–1), 99 (= 100–1),

999 (= 1000–1), ..., 999...999 (= 10k – 1). Also gilt auch

9 zk(10k – 1) + zk–1(10k–1 – 1) + ... + z1(10 – 1). (**)



Beweis.

Vorbereitung: Sei n eine beliebige natürliche Zahl, und sei z0 ihre

Endziffer. Dann hat n folgende Darstellung:

n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Wir wissen: 9 teilt die Zahlen 9 (=10–1), 99 (= 100–1),

999 (= 1000–1), ..., 999...999 (= 10k – 1). Also gilt auch

9 zk(10k – 1) + zk–1(10k–1 – 1) + ... + z1(10 – 1). (**)


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Eigentlicher BeweisEigentlicher Beweis

• Zunächst setzen wir voraus, dass n durch 9 teilbar ist. Wir müssen

zeigen, dass dann Q(n) durch 9 teilbar ist. Wir wissen:

9 zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Mit Hilfssatz 2.1.2 (a) und (**) folgt, dass Q(n) durch 9 teilbar ist:9 (zk10k+zk–110k–1 +...+ z110+z0) –

(zk(10k–1) + zk–1(10k–1–1) +...+ z1(10–1))

= zk + zk–1 + ... + z1 + z0 = Q(n)

• Sei umgekehrt Q(n) durch 9 teilbar. Mit 2.1.2 (b) und (**) folgt:

9 (zk(10k – 1) + zk–1(10k–1 – 1) + ... + z1(10 – 1)) +

(zk + zk–1 + ... + z1 + z0) = n.

• Zunächst setzen wir voraus, dass n durch 9 teilbar ist. Wir müssen

zeigen, dass dann Q(n) durch 9 teilbar ist. Wir wissen:

9 zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0.

Mit Hilfssatz 2.1.2 (a) und (**) folgt, dass Q(n) durch 9 teilbar ist:9 (zk10k+zk–110k–1 +...+ z110+z0) –

(zk(10k–1) + zk–1(10k–1–1) +...+ z1(10–1))

= zk + zk–1 + ... + z1 + z0 = Q(n)

• Sei umgekehrt Q(n) durch 9 teilbar. Mit 2.1.2 (b) und (**) folgt:

9 (zk(10k – 1) + zk–1(10k–1 – 1) + ... + z1(10 – 1)) +

(zk + zk–1 + ... + z1 + z0) = n.


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Beispiele: (a) 123456789 ist durch 3 teilbar.

(b) Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar.

(c) Wie kann man X wählen, so dass 52148231X2487 durch 3

teilbar ist?



Beispiele: (a) 123456789 ist durch 3 teilbar.

(b) Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar.

(c) Wie kann man X wählen, so dass 52148231X2487 durch 3

teilbar ist?


Mai 2004Seite 35


Definition. Sei n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0 eine

natürliche Zahl. Dann nennt man die Zahl

AQ(n) = zk – zk–1 + zk–2 – ... +/– z1 –/+ z0

die alternierende Quersumme von n.

Kurz: Die alternierende Quersumme einer Zahl ist die alternierende

(“einmal plus, einmal minus”) Summe ihrer Ziffern.

Beispiele: AQ(1274) = 2, AQ(123321) = 0, AQ(240) = –2.


wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Zum Beispiel ist n = 121242363484 durch 11 teilbar.

Definition. Sei n = zk10k + zk–110k–1 + ... + z110 + z0 eine

natürliche Zahl. Dann nennt man die Zahl

AQ(n) = zk – zk–1 + zk–2 – ... +/– z1 –/+ z0

die alternierende Quersumme von n.

Kurz: Die alternierende Quersumme einer Zahl ist die alternierende

(“einmal plus, einmal minus”) Summe ihrer Ziffern.

Beispiele: AQ(1274) = 2, AQ(123321) = 0, AQ(240) = –2.


wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Zum Beispiel ist n = 121242363484 durch 11 teilbar.


Mai 2004Seite 36

2.5 Der ggT2.5 Der ggT

Definition. Seien a und b zwei ganze Zahlen.

Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b,

falls sowohl d a als auch d b gilt.

Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2.

(b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6.

(c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

(d) Gemeinsame Teiler von 0 und a (> 0): Teiler von a.

Bemerkungen. (a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv.

(b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler.

(c) Die Zahl 1 ist in jedem Fall ein gemeinsamer Teiler von a und b.

Definition. Seien a und b zwei ganze Zahlen.

Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b,

falls sowohl d a als auch d b gilt.

Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2.

(b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6.

(c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

(d) Gemeinsame Teiler von 0 und a (> 0): Teiler von a.

Bemerkungen. (a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv.

(b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler.

(c) Die Zahl 1 ist in jedem Fall ein gemeinsamer Teiler von a und b.


Mai 2004Seite 37

Teilerfremde ZahlenTeilerfremde Zahlen

Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen

gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1.

Definition. Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie

nur einen gemeinsamen Teiler haben.

M.a.W. Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer

Teiler die Zahl 1 ist.

Achtung: “Teilerfremd” bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen

gemeinsamen Teiler haben!

Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind

teilerfremd.

Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen

gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1.

Definition. Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie

nur einen gemeinsamen Teiler haben.

M.a.W. Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemeinsamer

Teiler die Zahl 1 ist.

Achtung: “Teilerfremd” bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen

gemeinsamen Teiler haben!

Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind

teilerfremd.


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Größter gemeinsamer TeilerGrößter gemeinsamer Teiler

Definition. Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich

Null sind. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die

größte ganze Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b.

Beispiele. (a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18,

denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6;

unter diesen ist 6 ist größte Zahl.

(b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd,

falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.

Definition. Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich

Null sind. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die

größte ganze Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b.

Beispiele. (a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18,

denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6;

unter diesen ist 6 ist größte Zahl.

(b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd,

falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.


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Der ggTDer ggT

Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht

beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler;

dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet.

Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6.

(b) ggT(1001, 2001) = 1. (Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von

1001 und 2001 teilt auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch

1001 – 1000 = 1.)

(c) ggT(–15, –21) = 3.

(d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der

größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)

Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht

beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler;

dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet.

Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6.

(b) ggT(1001, 2001) = 1. (Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von

1001 und 2001 teilt auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch

1001 – 1000 = 1.)

(c) ggT(–15, –21) = 3.

(d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der

größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)


Mai 2004Seite 40

Berechnung des ggTBerechnung des ggT

Es gibt im wesentlichen zwei Arten, den größten gemeinsamen

Teiler zweier Zahlen auszurechnen.

Erste Art: Mit Primfaktorzerlegung:

– funktioniert praktisch nur für kleine Zahlen,

– man „sieht“ aber gut, dass es sich beim Ergebnis um den ggT

handelt.

Zweite Art: Mit euklidischem Algorithmus:

– auch für große Zahlen sehr gut geeignet.

– ist aber ein Algorithmus, der „mechanisch abgearbeitet“ wird.

Es gibt im wesentlichen zwei Arten, den größten gemeinsamen

Teiler zweier Zahlen auszurechnen.

Erste Art: Mit Primfaktorzerlegung:

– funktioniert praktisch nur für kleine Zahlen,

– man „sieht“ aber gut, dass es sich beim Ergebnis um den ggT

handelt.

Zweite Art: Mit euklidischem Algorithmus:

– auch für große Zahlen sehr gut geeignet.

– ist aber ein Algorithmus, der „mechanisch abgearbeitet“ wird.


Mai 2004Seite 41

ggT mit PrimfaktorzerlegungggT mit Primfaktorzerlegung

Seien a und b natürliche Zahlen. Wir schreiben a und b als

Produkte von Primzahlen (vgl. 2.2.4):

a = p1e1p2

e2...prer, b = p1

f1p2f2...pr

fr

mit natürlichen Zahlen ei und fi. (Wir erlauben auch ei = 0 und fj = 0,

damit wir a und b als Potenzen der gleichen Primzahlen p1, ..., pr

schreiben können.)

Sei gi die kleinste der Zahlen ei und fi.

D.h.: g1 ist die kleinste der Zahlen e1 und f1, g2 die kleinste der

Zahlen e2 und f2, ... Dann ist

ggT(a, b) = p1g1p2

g2...prgr.

Seien a und b natürliche Zahlen. Wir schreiben a und b als

Produkte von Primzahlen (vgl. 2.2.4):

a = p1e1p2

e2...prer, b = p1

f1p2f2...pr

fr

mit natürlichen Zahlen ei und fi. (Wir erlauben auch ei = 0 und fj = 0,

damit wir a und b als Potenzen der gleichen Primzahlen p1, ..., pr

schreiben können.)

Sei gi die kleinste der Zahlen ei und fi.

D.h.: g1 ist die kleinste der Zahlen e1 und f1, g2 die kleinste der

Zahlen e2 und f2, ... Dann ist

ggT(a, b) = p1g1p2

g2...prgr.


Mai 2004Seite 42

BeispielBeispiel

Beispiel: Sei a = 150 und b = 45. Dann ist

150 = 2355 = 213152 und 45 = 335 = 203251.

Somit ist e1 = 1, e2 = 1, e3 = 2 und f1 = 0, f2 = 2, f3 = 1.

Es folgt g1 = 0, g2 = 1, g3 = 1. Somit ist

ggT(a, b) = 203151 = 15.

Beispiel: Sei a = 150 und b = 45. Dann ist

150 = 2355 = 213152 und 45 = 335 = 203251.

Somit ist e1 = 1, e2 = 1, e3 = 2 und f1 = 0, f2 = 2, f3 = 1.

Es folgt g1 = 0, g2 = 1, g3 = 1. Somit ist

ggT(a, b) = 203151 = 15.


Mai 2004Seite 43

Hilfssatz zur Berechnung des ggTHilfssatz zur Berechnung des ggT

2.5.1 Hilfssatz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q und r diejenigen ganzen Zahlen mit

a = qb + r und 0 r < b.

Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).

Ist dies ein guter Hilfssatz? Ja, denn er führt die Berechnung des

ggT großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer

Zahlen (b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen.

Beispiel: ggT(2001, 1001) = ?

2001 = 11001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1;

also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.

2.5.1 Hilfssatz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q und r diejenigen ganzen Zahlen mit

a = qb + r und 0 r < b.

Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r).

Ist dies ein guter Hilfssatz? Ja, denn er führt die Berechnung des

ggT großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer

Zahlen (b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen.

Beispiel: ggT(2001, 1001) = ?

2001 = 11001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1;

also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.


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Beweis des HilfssatzesBeweis des Hilfssatzes

Beweis. Wir zeigen, dass die gemeinsamen Teiler von a und b

genau die gemeinsamen Teiler von b und r sind. Dann stimmen

natürlich auch die größten gemeinsamen Teiler überein.

• Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b. Warum teilt t auch r?

Das liegt an der Gleichung a = qb + r.

Da t die Zahl b teilt, teilt t auch qb. Also teilt t auch a – qb = r.

• Nun sei umgekehrt t ein gemeinsamer Teiler von b und r. Zu

zeigen: t teilt auch a und b.

Da t sowohl b als auch r teilt, teilt t auch qb, und damit auch

qb + r = a. Somit ist t ein gemeinsamer Teiler von a und b.

Beweis. Wir zeigen, dass die gemeinsamen Teiler von a und b

genau die gemeinsamen Teiler von b und r sind. Dann stimmen

natürlich auch die größten gemeinsamen Teiler überein.

• Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b. Warum teilt t auch r?

Das liegt an der Gleichung a = qb + r.

Da t die Zahl b teilt, teilt t auch qb. Also teilt t auch a – qb = r.

• Nun sei umgekehrt t ein gemeinsamer Teiler von b und r. Zu

zeigen: t teilt auch a und b.

Da t sowohl b als auch r teilt, teilt t auch qb, und damit auch

qb + r = a. Somit ist t ein gemeinsamer Teiler von a und b.


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BeispielBeispiel

ggT(4711, 1024) = ?

4711 = 4 1024 + 615 ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615)

1024 = 1 615 + 409 ... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409)

615 = 1 409 + 206 ... ggT(615, 409) = ggT(409, 206)

409 = 1 206 + 203 ... ggT(409, 206) = ggT(206, 203)

206 = 1 203 + 3 ... ggT(206, 203) = ggT(203, 3)

203 = 67 3 + 2 ... ggT(203, 3) = ggT(3, 2)

3 = 1 2 + 1 ... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.

ggT(4711, 1024) = ?

4711 = 4 1024 + 615 ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615)

1024 = 1 615 + 409 ... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409)

615 = 1 409 + 206 ... ggT(615, 409) = ggT(409, 206)

409 = 1 206 + 203 ... ggT(409, 206) = ggT(206, 203)

206 = 1 203 + 3 ... ggT(206, 203) = ggT(203, 3)

203 = 67 3 + 2 ... ggT(203, 3) = ggT(3, 2)

3 = 1 2 + 1 ... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.

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Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen. Kapitel 2 © Beutelspacher Mai 2004 Seite 2 Inhalt 2.1 Teiler 12 60 2.2 Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13,.... 2.3 Zahldarstellungen