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Kapitel 17 Dynamische Modelle: Konzepte. Argumente für dynamische Modelle. (a) Ökonomische Aktivitäten sind oft durch die Vergangenheit bestimmt; z.B.: Konsum von Energie hängt von Investitionen der Vergangenheit in energieverbrauchende Anlagen und Geräte ab - PowerPoint PPT Presentation
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Kapitel 17
Dynamische Modelle: Konzepte
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
2
Argumente für dynamische Modelle(a) Ökonomische Aktivitäten sind oft durch die Vergangenheit
bestimmt; z.B.: Konsum von Energie hängt von Investitionen der Vergangenheit in energieverbrauchende Anlagen und Geräte ab
(b) Akteure der ökonomischen Prozesse reagieren oft verzögert; z.B. wegen der Dauer von Entscheidungs- und Beschaffungspro-zessen
(c) Erwartungen: z.B.: Konsum hängt nicht nur von aktuellen Einkommen, auch von der Einkommenserwartung ab; Modellierung der Erwartung basiert auf Entwicklung in der Vergangenheit
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
3
Elemente dynamischer Modelle
1. Lagstrukturen, d.s. Linearkombinationen aktueller und vergangener Werte der Variablen
2. Modelle für Erwartungen: basieren auf Lagstrukturen; z.B. adaptive Erwartung, partielle Anpassung
3. Das ADL-Modell: ein einfaches, aber allgemein anwendbares Modell, das aus einem autoregressiven Teil und aus einer endlichen Lagstruktur der unabhängigen Variablen besteht
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Beispiel: Nachfragefunktionen
Nachfrage nach dauerhaften Konsumgütern: Die Nachfrage Q hängt vom Preis P und vom Einkommen Y der aktuellen und zweier vergangener Perioden ab:
Qt = + 0Yt + 1Yt-1 + 2Yt-2 + Pt + ut
Nachfrage nach Energie: Sie wird beschrieben durch
Qt = + Pt + Kt + ut
mit P: Preis für Energie, K: energie-relevanter Kapitalbestand
Kt = 0 + 1Pt-1 + 2Pt-2 + … + Yt + vt
mit Y: Einkommen; Einsetzen gibt
Qt = + Yt + Pt + Pt-1 + Pt-1 + … + t
mit t = ut + vt, 0 = , i = i, i = 1, 2, …
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Das DL(s)-Modell
Die allgemeine Form eines dynamischen Modells mit verzögerter Wirkung einer exogenen Variablen kann geschrieben werden als
Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + ut
s: maximales Lag oder Ordnung der Lagstruktur; kann unbeschränkt sein
Endliche Lagstruktur: Ordnung s hat endlichen Wert
Themen zu Lagstrukturen das Schätzen der Modellparameter die Interpretation der Koeffizienten
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Beispiel: Konsumfunktionen
Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2)
In logarithmierten Differenzen:
(a) Ĉ = 0.009 + 0.621Y
mit t(Y) = 2.288, R2 = 0.335
(b) Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2
mit t(Y) = 3.79, t(Y-1) = -0.18, t(Y-2) = 2.11, R2 = 0.370
Effekt des Einkommens auf Konsum? Kurzfristiger Effekt: Wirkung in der aktuellen Periode (C =
0.504 je Y = 1) Gesamteffekt: Summe der Koeffizienten (C = 0.752 je Y = 1)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Multiplikatoren
Beschreiben den Effekt von Änderungen in der/den erklärenden Variablen auf die abhängige Variable
Modell
Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + ut
Kurzfristiger Multiplikator (short run oder impact multiplier): Effekt einer Änderung von X um X = 1 auf Y in der gleichen Periode (Y = 0)
Langfristige Multiplikator (long run multiplier): der über alle Zukunft kumulierte Effekt von X = 1 (Y = 0 + … + s)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Gleichgewichts-Effekt
Wenn nach einer Änderung X innerhalb einer endlichen Zeit ein Gleichgewichts-Zustand eintritt: langfristiger Multiplikator wird als Gleichgewichts-Effekt (equilibrium multiplier) bezeichnet
Im Modell
Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + ut
wird in s Perioden der Gleichgewichts-Zustand erreicht Bei einer unendlichen Lagstruktur wird die Anpassung nie
vollendet
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Lag-Zeit
Anteil der Anpassung: zur Charakterisierung des Anpassungsprozesses
am Ende der aktuellen Periode:
0/(0 + … + s) = w1
am Ende der Periode t +1:
(0 + 1)/(0 + … + s) = w1 + w2
usw.
mit Gewichten wi = i/(0 + … + s) , i = 1, …, s
Mediane Lag-Zeit: Dauer bis zur Anpassung von 50%; minimales s* mit w1 + … ws* ≥ 0.5
Durchschnittliche Lag-Zeit: is i wi
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2
Effekt des Einkommens (Y = 1) auf Konsum? Kurzfristiger Effekt: 0.504 Gesamteffekt: 0.504 – 0.026 + 0.274 = 0.752 Gleichgewichts-Effekt ist gleich dem Gesamteffekt: 0.752 Mediane Lag-Zeit: die kumulierten Summen der Gewichte
betragen 0.671, 0.636, 1.000; 50% der Anpassung werden überschritten in s* = 0
Durchschnittliche Lag-Zeit: 0.694 Quartale, d.s. etwa 2.3 Monate
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Lagstrukturen: Schätz-Probleme
Probleme bei OLS-Anpassung einer Lagstruktur (Ordnung s): „Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s
Beobachtungen zur Verfügung; unendliche Lagstruktur! Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt
Konsequenzen der ersten beiden Probleme: große Standardfehler der geschätzten Koeffizienten geringe Mächtigkeit der Tests zu den Koeffizienten
Themen: Verfahren zur Wahl der Ordnung s Modellierung von Lagstrukturen, z.B. als polynomiale Struktur
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Ĉ = 0.006 + 0.504Y – 0.026Y-1 + 0.274Y-2
Kriterien: p(Y-2) = 0.039, adj.R2 = 0.342, AIC = -5.204
Übersicht für Modelle
mit s ≥ 7:s AIC p-Wert adj.R2
1 -5.179 0.333 0.316
2 -5.204 0.039 0.342
3 -5.190 0.231 0.344
4 -5.303 0.271 0.370
5 -5.264 0.476 0.364
6 -5.241 0.536 0.356
7 -5.205 0.884 0.342
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Verfahren zur Wahl von s
Auswahl unter Modellen mit s = 0, 1, …, S durch Verwendung des AIC (oder eines anderen Informationskriteriums)
1. Wahl des maximalen Lags S
2. Schätzen der Koeffizienten aller möglichen Modelle für s = 1, …, S
3. Bestimmen des AIC(s), des adjustierten Bestimmtheitsmaßes oder eines anderen Kriteriums
4. Wahl der Ordnung als jenes s, für das das AIC(s) minimal ist, das adjustierte Bestimmtheitsmaß maximal ist, etc.
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Polynomiale Lagstruktur
auch Almon‘sches Lag genannt
DL(s)-Modell
Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + ut = + B(L)Xt + ut
mit B(L) = 0 + 1L + … + sLs, L: Lagoperator (LXt = Xt-1, LrXt = Xt-r, L0Xt = Xt)
Polynomiales Lag: i, i = 1,…, s, ist ein Polynom der Ordnung r :
i = 0 + 1i + … + ri r
Mit r < s sind weniger Koeffizienten zu schätzen als im ursprünglichen Modell
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Beispiel: s=3, r=2
Diese Spezifikation liefert
0 = 0
1 = 0 + 1 + 2
2 = 0 + 21 + 42
3 = 0 + 31 + 92
oder = T mit der 3x4-Matrix T
Einsetzen liefert
Yt = 0 (Xt + … + Xt-3) + 1 (Xt-1 + … + 3Xt-3) + 2 (Xt-1 + … + 9Xt-3) + ut
oder y = XT + u = W + u; die erste Spalte von W enthält die Summen Xt + … + Xt-3, etc.
Aus den Schätzern ci (für die i) ergeben sich die bi entsprechend obigen Gleichungen
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Ĉ = 0.005 + 0.539Y – 0.065Y-1 + 0.168Y-2 + 0.158Y-3
Kriterien: adj.R2 = 0.344, AIC = -5.190
Ĉ = 0.005 + 0.097 pdl1(Y,3,2) – 0.239 pdl2(Y,3,2) + 0.149 pdl3(Y,3,2)
Kriterien: adj.R2 = 0.335, AIC = -5.190
Koeffizienten und in Klammer ihre t-Statistiken:
b0 = 0.484 (3.72)
b1 = 0.097 (1.04)
b2 = 0.006 (0.07)
b3 = 0.213 (1.70)
oder
Ĉ = 0.005 + 0.484Y + 0.097Y-1 + 0.006Y-2 + 0.213Y-3
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Koyck‘sche Lagstruktur
Spezifiziert die Koeffizienten des DL(s)-Modells Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + … + sXt-s + … + ut
als unendliche, geometrische Folge (geometrische Lagstruktur): i = (1-)i
Für 0 < < 1 ergibt die Summe aller i den Wert ! Beiträge zu Y bei einer Änderung von X = 1: (1-) in t
(kurzfristiger Multiplikator), (1-) in t+1, etc; Beiträge werden je Periode um Faktor kleiner;
Gleichgewichts-Effekt: durchschnittliche Lag-Zeit: /(1-)
Stabilitätsbedingung: Die Bedingung 0 < < 1 nennt man Stabilitätsbedingung: ≥ 1 bedeutet explosiv wachsende i bzw. explosiv wachsende Beiträge zu Y bei einer Änderung von X
0.1 0.3 0.5 0.7
/(1-)
0.10 0.43 1.00 2.33
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Koyck‘sche Lagstruktur, Forts.
DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells
Yt = + iiXt-i + ut
AR (autoregressive)-Form
Yt = + Yt-1 + Xt + vt
mit vt = ut – ut-1
Koyck-Transformation: Umformung der DL-Form in die AR-Form durch Subtrahieren der -fachen Gleichung für t-1
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Modell mit geringstem AIC:
Ĉ = 0.003 + 0.595Y – 0.016Y-1 + 0.107Y-2 + 0.003Y-3 + 0.148Y-3
Kriterien: adj.R2 = 0.370, AIC = -5.303, DW = 1.41
Koyck‘s Lag in AR-Form
Ĉ = 0.004 + 0.286 C-1 + 0.556Y
Kriterien: adj.R2 = 0.388, AIC = -5.290, DW = 1.91
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Schätzprobleme
Probleme beim Schätzen von und : DL-Form:
1. Historische Werte X0, X-1, X-2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist
Yt = (1-)(Xt + Xt-1 + … + t-1X1 + *t + ut
mit * = (1-)(X0 + X-1 + … ) als drittem Parameter2. Nichtlineares Schätzproblem!
AR-Form:1. Nichtlineares Schätzproblem!2. Verzögerte, endogene Variable als Regressor3. Korrelierte Störgrößen
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Modelle in Erwartungen
Erwartungen spielen in ökonomischen Prozesse wichtige Rolle
Beispiele: Konsum hängt nicht nur vom aktuellen Einkommen, sondern
auch von der Erwartung künftiger Einkommen ab Investitionen hängen von erwarteten Gewinnen ab Zinsen hängen von der Einschätzung der Entwicklung des
Kapitalmarktes ab etc.
Erwartungen sind nicht beobachtbar unter Annahmen über den Mechanismus der Erwartungsbildung
modellierbar
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Modelle für Erwartung
In der Theorie sind folgende Modelle gebräuchlich Naives Modell der Erwartung: Der (für die nächste Periode)
erwartete Wert ist gleich dem aktuellen Wert Modell der adaptiven Erwartung Modell der partiellen Anpassung
Letztere beiden Modelle basieren auf der Koyck‘schen Lagstruktur
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Modell der adaptiven Erwartung
Beschreibt den aktuellen Wert Yt als Funktion des in der kommenden Periode erwarteten Wertes Xe
t+1
Yt = + Xet+1 + ut
Beispiel: Investitionen (Y) sind Funktion des Gewinns X
Modelle für Xet+1:
Naives Modell: Xet+1 = Xt
Realistischer ist eine gewichtete Summe der in der Vergangenheit realisierten Gewinne
Xet+1 = 0Xt + 1Xt-1 + …
Vorschlag von Cagan (1956): geometrisch abnehmende Gewichte mit 0 < < 1
i = (1-)i
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Adaptive Erwartung, Forts.
Aus Xet+1 = 0Xt + 1Xt-1 + … ergibt sich mittels Koyck-Transformation
Xet+1 = Xe
t + (1 - Xt
oder
Xet+1 - Xe
t = (1 - Xt - Xet)
Interpretation: Änderung der Erwartung zwischen t und t+1 ist proportional dem „Fehler“ in der Erwartung, d.i. die Abweichung zwischen der aktuellen Erwartung und dem tatsächlich realisierten Wert
Ausmaß der Änderung (Anpassung): 100(1 - % des „Fehlers“
: Anpassungs-Parameter
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Adaptive Erwartung, Forts.
Modell der adaptiven Erwartung (adaptive expectations model)
Yt = (1 – ) + Yt-1 + (1 – )Xt + vt
mit vt = ut – ut-1 Ist die AR-Form zur DL-Form
Yt = + – )Xt + – )Xt-1 + … + ut
Beispiel: Investitionen (I) sind Funktion des erwarteten Gewinns Pet+1 und
des Zinssatzes (r)
It = + Pet+1 + rt + ut
Modell für erwarteten Gewinn unterstellt adaptive Erwartung
Pet+1 = Pe
t + –)Pt
mit Anpassungs-Parameter (0 < < 1); AR-Form
It = –) + It-1 + –)Pt + rt – rt-1 + vt
der Investitionsfunktion mit vt = ut –ut-1
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Konsum als Funktion des erwarteten Einkommens:
Ct = + Yet+1 + ut
mit erwartetem Einkommen aus adaptiver Erwartung
Yet+1 = Ye
t + –)Yt
Einsetzen liefert die AR-Form
Ct = (1 – ) + Ct-1 + (1 – )Yt + vt
mit vt = ut – ut-1
Angepasstes Modell:
Ĉ = 0.004 + 0.286C-1 + 0.556Y
Kriterien: adj.R2 = 0.388, AIC = -5.29, DW = 1.91
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Modell der partiellen Anpassung
Beschreibt den Prozess der Anpassung einer Größe an einen gewünschten Wert
Beispiel: Der gewünschte (geplante) Lagerstand Kp als Funktion des Erlöses S
Kpt = + St + ut
tatsächlicher Lagerstand der Vorperiode weicht vom gewünschten Lagerstand um Kp
t – Kt-1 ab
Strategie: Anpassung von Kt an Kpt um 100%:
Kt – Kt-1 = (Kpt – Kt-1)
: Anpassungs-Parameter (0 < < 1)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Partielle Anpassung, Forts.
Modell der partiellen Anpassung (partial adjustment model): Beschreibt das Verhalten von Yp
t als Funktion eines Regressors X
Ypt = + Xt + ut
Partielles Anpassen des realisierten Y nach
Yt – Yt-1 = (Ypt – Yt-1)
: Anpassungs-Parameter (0 < < 1)Realisiertes Y als gewichtetes Mittel zwischen geplantem Yp und
realisiertem Y
Yt = Ypt + (1 – )Yt-1
AR-Form des Modells der partiellen Anpassung
Yt = + (–)Yt-1 + Xt + ut
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
29
AR-Formen
Die AR-Formen der Koyck‘schen Lagstruktur des Modells der adaptiven Erwartung des Modells der partiellen Anpassung
haben die gleiche Form
sie unterscheiden sich in den Störgrößen: sie sind Weißes Rauschen im Fall des Modells der partiellen
Anpassung sie sind korreliert in den beiden anderen Fällen
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Das ADL-Modell
Die allgemeine Form, das ADL(p,s)-Modell, lautet
Yt = + Yt-1 + … + pYt-p + Xt + … + sXt-s + ut
es besteht aus einer Lagstruktur der Ordnung p der abhängigen Variablen einer Lagstruktur der Ordnung s der erklärenden Variablen
Darstellung mittels Lag-Operator L:
A(L)Yt = + (L)Xt + ut
mit A(L) = 1 – L – … – pLp
und (L) = + L + … + sLs
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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ADL(1,1)-Modell
ADL(1,1)-Modell:
Yt = + Yt-1 + Xt + 1Xt-1 + ut
Spezialfälle sind: Statisches Modell: = 1 = 0 DL(1)-Modell: = 0 AR(1)-Modell: = 1 = 0
Verallgemeinerungen ergeben sich, wenn korrelierte Störgrößen zugelassen werden
Die meisten dynamischen Modelle gehören zur Klasse der ADL(1,1)-Modelle
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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ADL(1,1)-Modelle: Beispiele
AR-Form [Yt = Yt-1 + –Xt + vt] des Modells mit Koyck‘scher
Lagstruktur, d.i. Yt = (1–)iiXt-i + ut, ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen
AR-Form des Modells der adaptiven Erwartung
Yt = (1 – ) + Yt-1 + (1 – )Xt + vt
ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen AR-Form des Modells der partiellen Anpassung
Yt = + (–)Yt-1 + Xt + ut
ist ein ADL(1,0)-Modell mit unkorrelierten Störgrößen Das Modell Yt = Xt + ut mit korrelierten Störgrößen ut = ut-1+t kann
geschrieben werden als Yt = Yt-1 + + Xt-1 + t; es ist ein ADL(1,1)-Modell, wenn 1 = 0
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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ADL(1,0)-Modell: Stabilität
Yt = + Yt-1 + Xt + ut Effekt einer Änderung von X um X = 1
Gleichgewichts-Zustand: Voraussetzung für Summierbarkeit
der Beiträge (die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes): || < 1; Stationaritäts-Bedingung
Der Gleichgewichts-Zustand wird nur asymptotisch erreicht
Vergleiche das DL(s)-Modell: der Gleichgewichts-Zustand wird nach s Perioden erreicht
Periode Y
t
t-1
t-2
… …
Summe /(1-)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Stabilität des ADL(1,1)-Modells
Welchen Wert Y* erreicht Y im Gleichgewichts-Zustand (X wird auf fixem Niveau X* gehalten)?
Y* = + Y* + X* + X*liefert
Y* = /(1-) + (0+ 1)/(1-)X*Effekt einer Änderung von X um X = 1: (0+ 1)/(1-)
Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes: || < 1 (Stationaritäts-Bedingung)d.h., der dem Modell entsprechende AR(1)-Prozess Yt = + Yt-1 + ut muss stationär sein
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Stabilität im ADL(p,s)-Modells
ADL(p,s)-Modell(L)Yt = + (L)Xt + ut
mit(L) = 1 - 1L - … - pLp (L) = 1 + 1L + … + sLs
Gleichgewichts-Effekt: (0+ … + s)/(1 - 1 - … - p)
Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes: ii < 1 (notwendig, aber nicht hinreichend) Für Wurzeln aus (z) = 1 - 1z - … - pzp = (1 - 1z)… (1 - pz) = 0,
also 1, …, p, muss gelten:|zi| = | i
-1 | > 1, i = 1, …, p
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Gleichgewicht und Fehlerkorrektur
ADL(1,1)-Modell für Gleichgewichts-Zustand:
1: Gleichgewichts-Effekt (siehe oben)
Fehlerkorrektur-Form:
Yt = – (1 – )(Yt-1 – 0 – 1Xt-1) + 0Xt + ut
mit Yt = Yt – Yt-1 und analogem Xt
Interpretation: Änderungen Y sind
1. Effekt von Änderungen X
2. Ausgleich der Abweichung vom Gleichgewichts-Zustand, d.i. der Gleichgewichts-Fehler Y – 0 – 1X =
XXY 101110