Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kap 06 Diskrete stokastiske variable. Diskrete stokastiske variabler. En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet tilordner et tall X(u). u i. R. Sannsynlighetsfordeling. Verdimengden V X til en stokastisk variabel X - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
11
Kap 06 Diskrete stokastiske variableKap 06 Diskrete stokastiske variableKap 06 Diskrete stokastiske variableKap 06 Diskrete stokastiske variable
22
Diskrete stokastiske variablerDiskrete stokastiske variabler
En stokastisk variabel X er en funksjonsom til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet tilordner et tall X(u).
ui
R
33
SannsynlighetsfordelingSannsynlighetsfordeling
Verdimengden VX til en stokastisk variabel Xer mengden av de verdier X kan anta.
En samlet oppstilling over verdiene i VX
med tilhørende sannsynligheter P(X=x) kalles sannsynlighetsfordelingen
ellerpunktsannsynligheten til X.
(X=x) = {u| X(u) = x}
44
Sannsynlighetsfordeling - To myntkastSannsynlighetsfordeling - To myntkast
MM
R
MK
KMKK
= {MM,MK,KM,KK}X(u) : 0 1 1 2 Antall kron
VX = { 0, 1, 2 }P(X=x) : 1/4 1/2 1/4
0 1 2 R0 1 2
1/2
1/4
P
55
Sannsynlighetsfordeling - To terningkastSannsynlighetsfordeling - To terningkast
= {11,12,13,14,15,16,
21,22,23,24,25,26,
31,32,33,34,35,36,
41,42,43,44,45,46,
51,52,53,54,55,56,
61,62,63,64,65,66 }
VX = {2,3,4,…,12}
R0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1 : )(
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 :
xXP
x
6/36
3/36
66
FordelingsfunksjonFordelingsfunksjon
Den kumulative fordelingsfunksjonen eller bare fordelingsfunksjonentil en stokastisk variabel X er definert ved:
)()( xXPxF
77
Fordelingsfunksjon - To myntkastFordelingsfunksjon - To myntkast
)()( xXPxF
4
1
2
1
4
1 : )(
kron Antall 2 1 0 :
xXP
x
R0 1 2
1/2
1/4
P
R0 1 2
1
1/2
F
88
Fordelingsfunksjon - To TerningkastFordelingsfunksjon - To Terningkast
)()( xXPxF
R0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1 : )(
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 :
xXP
x
6
3
R0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F 1
1/2
99
ForventningForventning
Forventningen til en stokastisk variabel Xer definert ved:
xx
u
xxpxXxP
uPuXXE
)()(
)()()(
= { u1, u2, …, un, }P : P(u1) P(u2) …P(un) X : X(u1) X(u2) …X(un)
DefDef
1010
ForventningForventning
u
N
iii
N
N
i
ii
N
iii
uPuXuPuXN
unuX
unuXN
X
)()()()()(
)(
)()(1
11
1
Gjennomsnitt
i det lange løp
Gjennomsnitt
i det lange løp
= { u1, u2, …, un, }n : n(u1) n(u2) …n(un) X : X(u1) X(u2) …X(un)
1111
Regneregler for forventning - BevisRegneregler for forventning - Bevis
iii
rr
Cur
CuCu
CuCuCu
CuCuCu
u
r
i
xXPx
xXPxxXPxxXPx
uPxuPxuPx
uPxuPxuPx
uPuXuPuXuPuX
uPuXXE
CCC
C
r
r
r
)(
)(...)()(
)(...)()(
)(...)()(
)()(...)()()()(
)()()(
unionDisjunkt ...
r1,2,..., i ien xantar verd Xat en begivenhet
2211
21
321
21
i
21
21
21
1212
Forventning - To myntkast Forventning - To myntkast
14
12
4
11
4
11
4
10
)()()()()()()()(
)()()(
KKPKKXKMPKMXMKPMKXMMPMMX
uPuXXEu
= {MM,MK,KM,KK}X(u) : 0 1 1 2 Antall kron
P(u): 1/4 1/4 1/4 1/4
VX = { 0, 1, 2 }P(X=x) : 1/4 1/2 1/4
14
12
2
11
4
10
)()()(
xx
xxpxXxPXE
Forventet antall kron ved kast med to myntervil i det lange løp være lik 1.
1313
Forventning - Ett terningkast Forventning - Ett terningkast
2
7
6
16
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11
)6()6(...)2()2()1()1(
)()()(
PXPXPX
uPuXXEu
2
7
6
16
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11
)()()(
xx
xxpxXxPXE
Forventet sum antall øyne ved kast med en terningervil i det lange løp være lik 7/2.
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1 : )(
6 5 4 3 2 1 :
xXP
x
u P(u) :
6
1
}6,5,4,3,2,1{
1414
Forventning - To terningkast Forventning - To terningkast
7
...36
18
36
17
...
...36
13
36
12
)62()62()61()61(
...
...)12()12()11()11(
)()()(
PXPX
PXPX
uPuXXEu
7 36
112...
36
34
36
23
36
12
)()()(
xx
xxpxXxPXE
Forventet sum antall øyne ved kast med to terningervil i det lange løp være lik 7.
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1 : )(
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 :
xXP
x
u P(u) :
36
1
}66,65,64,63,62,61
,56,55,54,53,52,51
,46,45,44,43,42,41
,36,35,34,33,32,31
,26,25,24,23,22,21
,16,15,14,13,12,11{
1515
Forventning - Tombola Forventning - Tombola
= {1 , 2 , 3 ,…, N}X(u) : v1, v2, v3,…, vN Verdien til hvert enkelt lodd
P(u): 1/N 1/N 1/N 1/N
vvNN
viPiX
xxpxXxPuPuXXE
N
ii
N
ii
N
i
xxu
111
11)()(
)()()()()(
Forventet verdi er lik gjennomsnittlig verdi av loddene i tombolaen.
1616
Forventning - Ett myntkastVentetid inntil første kron Forventning - Ett myntkastVentetid inntil første kron
= {K , MK , MMK , MMMK, … }N(u) : 1 , 2 , 3 , 4 , … Ventetid inntil første kron
22
1)(
)()()()(
11
n
nn
xu
nnnp
nNnPuPuNNE
Forventet antall kast med en mynt inntil første kron er lik 2
...2
1
2
1
2
1
2
1 )(
432
nNP 1
21
1
21
2
1
11
n
nn
n)P(N
1717
Forventning - Spill 1 Forventning - Spill 1
Ett kast med en myntInnsats : kr 10 pr kastKron : Vinner en gevinst lik innsatsenMynt : Taper innsatsen
02
1)10(
2
110
)()()()()(
xxu
xxpxGxPuPuGGE
= {K , M}P(u) : 1/2 , 1/2G(u) : 10 -10
Et spill hvor forventet gevinst er lik 0 kalles et rettferdig spill
x = { -10, 10 }P(G=x) : 1/2 1/2
1818
Forventning - Spill 2 Forventning - Spill 2
Kast med en terning Innsats : kr a6 : Utbetaling kr 105 : Utbetaling kr 51,2,3,4: Ingen utbetalingBestem a slik spillet skal balansere i det lange løp
= {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}P(u) : 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6G(u) : 0 0 0 0 5 10
x = { 0, 5, 10 }P(G=x) : 4/6 1/6 1/6
5,26
110
6
15
6
40
)()()()()(
xxu
xxpxGxPuPuGGE
1919
Forventning - Spill 3 Forventning - Spill 3
Kast med en mynt inntil kron, maks 3 ganger. Innsats a.Kron : Vinner en gevinst lik innsatsenMynt : Taper innsatsenSpill 1 : Innsatsen er kr 10 i hver omgangSpill 2 : Innsatsen er kr 10 i første omgang,
men dobles for hver ny omgang.
08
1)70(
8
110
4
110
2
110)()(2)2(2
08
1)30(
8
1)10(
4
10
2
110)()(1)1(1
u
u
uPuGGE
uPuGGE
= {K , MK , MMK , MMM}P(u) : 1/2 1/4 1/8 1/8G1(u) : 10 0 -10 -30G2(u) : 10 10 10 -70
x1 = { -30, -10, 0, 10 }P(G1=x1): 1/8 1/8 1/4 1/2x2 = { -70, 10 }P(G2=x2): 1/8 7/8
04
710
8
1)70()22(2)2(2
02
110
4
10
8
1)10(
8
1)30()11(1)1(1
2
1
x
x
xGPxGE
xGPxGE
2020
Regneregler for forventningRegneregler for forventning
)()()(
)()(
)(
YEXEYXE
XkEkXE
kkE
i
iiu
xXPxuPuXXE )()()()(
i
ii xXPxgXgE )()())((
2121
Regneregler for forventning - Bevis 2Regneregler for forventning - Bevis 2
)()()()()()()()()([)(
)()()()()()(
1)()()(
YEXEuPuYuPuXuPuYuXYXE
XkEuPuXkuPukXkXE
kkuPkukPkE
uuu
uu
uu
2222
Regneregler for forventning - Bevis 3Regneregler for forventning - Bevis 3
iii
rr
Cur
CuCu
CuCuCu
CuCuCu
u
r
i
xXPxg
xXPxgxXPxgxXPxg
uPxguPxguPxg
uPxguPxguPxg
uPuXguPuXguPuXg
uPuXgXgE
CCC
C
r
r
r
)()(
)()(...)()()()(
)()(...)()()()(
)()(...)()()()(
)())((...)())(()())((
)())(())((
unionDisjunkt ...
r1,2,..., i ien xantar verd Xat en begivenhet
2211
21
321
21
i
21
21
21
2323
Forventning - Tre myntkast Forventning - Tre myntkast
= { MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK }
x : 0 1 2 3 Antall kronP(u): 1/8 3/8 3/8 1/8
Spill 1 : Gevinst Y =2X + 1Spill 2 : Gevinst Z =X2
0.38
13
8
32
8
31
8
10
)()()(
0.415.121)(2)12()(
2222
222
1
x
xXPxXEZE
XExEYE
Forventet gevinst:
5.18
13
8
32
8
31
8
10)()(
x
xXxPXE
2424
Varians / StandardavvikVarians / Standardavvik
)(
)()()(])([
)()(22
22
XVar
xXPxXPuX
XEXVar
xu
2525
Regneregler for variansRegneregler for varians
variableruavhengigeer Y og X hvis 0),(
))]())(([(),(hvor
),(2)()()(
)()(
0)(
))(()(
))(()(
)()()(
)()()()(
2
22
22
2222
222
YXCov
YEYXEXEYXCov
YXCovYVarXVarYXVar
XVarabaXVar
kVar
XExXPx
XEXE
xXPxXE
xXPxXEXVar
x
iii
ii
2626
Regneregler for varians - BevisRegneregler for varians - Bevis
)()()(
)(])[(]))([(])))(([(]))([()(
)(])[(]))([(
]))(([])))(([(]))([(]))([()(
0)0(])[(]))([(])[()(
)()()(
2)(
)(2)(
]2[)()(
2
2222
22222
22222
222
2222
222
22
2222
XVaraaXVarbaXVar
XVarXEXEXEkXEkXEkXEkXEkXVar
XVarkXEkXEXEk
XEXkEXEXkEXkEkXEkXEkXEkXVar
EkkEkEkEkEkVar
xXPxXE
XE
XEXE
XXEXEXVar
iii
2727
Varians - To terningkastVarians - To terningkast
6
357
36
112...
36
23
36
12
)(])[()(
:eller6
35
36
1)712(...
36
2)73(
36
1)72(
)()7(])7[(])[()(
7)(
st terningka to vedøyne antall Sum
2222
222
222
222
XEXEXVar
xXPxXEXEXVar
XE
X
x
2828
Forventning/Varians - Uavhengige variablerForventning/Varians - Uavhengige variabler
222
1
22
1
2
1
1111
1
111)(
1)
1()(
11)(
1)(
1)
1()(
1
nn
nnXVar
nX
nVarXVar
nnn
XEn
XEn
Xn
EXE
Xn
X
n
i
n
ii
n
ii
n
i
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
Vi skal bestemme forventning og varians til gjennomsnittetav n uavhengige stokastiske variabler som alle har forventning og varians 2.
2929
VariansVarians Tsebysjevs ulikhetTsebysjevs ulikhet
Bevis:
2
11)|(|
kkXP
22
222222
22
22
11)|(| )|(|
1
)|(|)()(
)()()()(
)()(
kkXPkXP
k
kXPkxXPkxXPk
xXPxxXPx
xXPx
UxUx
IxUx
x
3030
Standardisert stokastisk variabelStandardisert stokastisk variabel
XX
Z1
Definisjon
1)(1
)1
()(
01
)(1
)1
()(
2
XVarXVarZVar
XEXEZE
Regneregler
3131
ENDENDENDEND
