Limit dan Kontinyuitas

Konsep limit merupakan konsep pokok yang membedakan antara kalkulus dengan aljabar dan trigonometri. Konsep limit digunakan untuk menetukan kemiringan (tangensial) dari suatu kurva atau menentukan suatu kecepatan dari gerak benda.

Kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat

Contoh 1 : kasus Galileo pada saat menjatuhkan suatu benda dari menara miring Pisa dai paris. Posisi benda jatuh terhadap waktu t dapat diperoleh dari persamaan matematik :

y=16 t 2

Kecepatan rata-rata benda dapat ditentukan jarak ∆y yang ditempuh dibagi dengan interval waktu Δt

- Kecepatan rata-rata selama 2 detik : ∆ y∆ t

=16¿¿

- Kecepatan rata-rata dari t=1detik sampai t=2 detik : ∆ y∆ t

=16(2)2−16(1)2

2−1=48m /detik

Untuk kasus selanjutnya untuk mencari kecepatan pada interval Δt yang kecil (mendekati nol) artinya menentukan kecepatan benda t=t0 (kecepatan sesaat).

Contoh 2: tentukan kecepatan sesaat benda pada t=1 dan t=2.

Solusi : kita dapat menghitung kecepatan sesaat dengan menggunakan persamaan kecepatan rata-rata dengan interval waktu [ to , to + h ] atau ∆t = h.

∆ y∆ t

=¿¿

Kita tidak dapat menetukan kecepatan sesaat dengan cara mengganti h=0 karena persamaan diatas dibagi dengan nol, tapi dapat dilakukan dengan menggunakan menentukan persamaan rata-rata dengan h yang sangat kecil.

Kecepatan rata-rata∆ y∆ t

=¿¿

Interval waktu (h)

Kecepatan rata-rata untuk interval waktu h , dengan to=1

Kecepatan rata-rata untuk interval waktu h , dengan to=2

1 48 800,1 33,6 65,60,01 32,16 64,160,001 32,016 64,0160,0001 32,0016 64,0016

0,00001 32,00016 64,00016Kecepatan rata-rata untuk to=1, terlihat untuk h semakin kecil mendekatai nol maka harga akan menuju ke 32 m/detik. Kecepatan rata-rata untuk to=2, terlihat untuk h semakin kecil mendekatai nol maka harga akan menuju ke 64 m/detik.

Secara aljabar dapat dijelaskan sebagai berikut :

Untuk to=1 :

∆ y∆ t

=16¿¿

∆ y∆ t

=32h+16 h2

h=32+16h

Kecepatan sesaat untuk to =1 yaitu h=0 maka diperoleh :

∆ y∆ t

=32+16 (0 )=32m /deti k

Sedangkan untuk to=2 :

∆ y∆ t

=16¿¿

∆ y∆ t

=64h+16h2

h=64+16h

Kecepatan sesaat untuk to =1 yaitu h=0 maka diperoleh :

∆ y∆ t

=64+16 (0 )=64m /deti k

Gradien / kemiringan grafik rata-rata dan sesaat

Jika sebuah fungsi tidak linear maka gradient dari grafik tersebut tidak memiliki nilai tertentu, tapi dapat ditentukan gradient rata-rata dari grafik tersebut. Sebuah fungsi tidak linear y=f(x) seperti gambar

Gradient rata-rata dari y = f(x) adalah :

∆ y∆ x

=f (x2 )−f (x1)x2−x1

=f (x1+h )−f (x1)

hh≠0