Upload
others
View
65
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
KALKULUS LANJUTIntegral Lipat
Resmawan
Universitas Negeri Gorontalo
7 November 2018
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 1 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 2 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.1 Definisi Integral Tentu Fungsi Satu Peubah
1.1 Definisi Integral Tentu Fungsi Satu Peubah
Perhatikan Gambar
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 3 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.1 Definisi Integral Tentu Fungsi Satu Peubah
1.1 Definisi Integral Tentu Fungsi Satu Peubah
DefinitionJumlah Rieman untuk f
n
∑i=1f (ti )∆xi
merupakan hampiran luas daerah dibawah kurva y = f (x) , xε [a, b] . Jika
lim|P |→0
n
∑i=1f (ti )∆xi
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a, b]. Integral tentu f pada[a, b] didefinisikan sebagai∫ b
af (x) dx = lim
|P |→0
n
∑i=1f (ti )∆xi
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 4 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.2 Definisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
1.2 Definisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
Perhatikan Gambar
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 5 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.2 Definisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
1.2 Definisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
Definition (Jumlah Riemann Fungsi Dua Variabel)
Misalkan R = {(x , y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} dan f kontinu (kecualipada suatu kurva) dan terbatas. Bentuk partisi Ak dengan panjang ∆xkdan lebar ∆yk . Jika pada setiap Ak dipilih titik sampel (xk , yk ) , makadiperoleh Jumlah Riemann
n
∑k−1
f (xk , yk )∆Ak
yang merupakan hampiran volume ruang diantara permukaan z = f (x , y)dan persegi panjang R.
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 6 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.2 Definisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
1.2 Definisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
Definition (Integral Lipat Fungsi Dua Variabel)
Misalkan f suatu fungsi dua variabel yang terdefinisi pada suatupersegipanjang tertutup R.Jika
lim|P |→0
n
∑k=1
f (xk , yk )∆Ak
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada R. Selanjutnya disebutdengan Integral Lipat Dua f pada R yang diberikan oleh∫∫
R
f (x , y) dA = lim|P |→0
n
∑k=1
f (xk , yk )∆Ak
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 7 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.2 Definisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
1.2 Definisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah
Catatan penting untuk diingat:
Jika f (x) ≥ 0, maka ∫ b
af (x) dx
menyatakan luas daerah dibawah kurva y = f (x) diantara a dan b.Dengan kaidah yang sama jika f (x , y) ≥ 0, maka∫∫
R
f (x , y) dA
menyatakan volume benda pejal dibawah permukaan z = f (x , y)dan diatas persegipanjang R.
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 8 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.3 Keterintegralan
1.3 Keterintegralan
Theorem (Keterintegralan)
Jika f kontinu (kecuali pada suatu kurva) dan terbatas pada persegipanjang R, maka f terintegralkan pada R.
Example
Fungsi Tangga
Example
Setiap polinom dua peubah terintegralkan pada sembarang persegipanjang.
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 9 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.4 Sifat-Sifat Integral Lipat Dua
1.4 Sifat-Sifat Integral Lipat Dua
1 Linear ∫∫k
R
f (x , y) dA = k∫∫R
f (x , y) dA
∫∫R
[f (x , y) + g (x , y)] dA =∫∫R
f (x , y) dA+∫∫R
g (x , y) dA
2 Aditif (Dapat Dijumlahkan). Jika R = R1 ∪ R2 maka berlaku∫∫R
f (x , y) dA =∫∫R1
f (x , y) dA+∫∫R2
f (x , y) dA
3 Monoton (Berlaku Sifat Perbandingan). Jika f (x , y) ≤ g (x , y)untuk semua (x , y) di R, maka∫∫
R
f (x , y) dA ≤∫∫R
g (x , y) dA
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 10 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
Example
Misalkan R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2} . Hitunglah∫∫R
f (x , y) dA
jika diberikan fungsi
1) f (x , y) =−1 ; 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y < 12 ; 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2
2) f (x , y) =2 ; 1 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 11 ; 1 ≤ x < 3, 1 ≤ y ≤ 23 ; 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 11 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
1 Dari fungsi diperoleh persegipanjang R1 dan R2
R1 = 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y < 1R2 = 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2
sehingga dengan sifat aditif, diperoleh∫∫R
f (x , y) dA =∫∫R1
f (x , y) dA+∫∫R2
f (x , y) dA
= −1 (3.1) + 2 (3.1)= 3
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 12 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
2. Dari fungsi diperoleh persegipanjang R1, R2 dan R3
R1 = 1 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 1R2 = 1 ≤ x < 3, 1 ≤ y ≤ 2R3 = 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2
sehingga dengan sifat aditif, diperoleh∫∫R
f (x , y) dA =∫∫R1
f (x , y) dA+∫∫R2
f (x , y) dA+∫∫R3
f (x , y) dA
= 2 (2.1) + 1 (2.1) + 3 (1.2) = 12
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 13 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
Example
Diketahui persegipanjang R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} . Taksirnilai dari ∫∫
R
64− 8x + y216
dA
dengan Jumlah Riemann dengan membagi R atas 8 persegi sama besardan memilih titik-titik tengah tiap persegi sebagai titik sampelnya.
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 14 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
SolutionNilai f di titik-titik sampel
f (1, 1) = 5716 f (1, 3) = 65
16 f (1, 5) = 8116 f (1, 7) = 105
16f (3, 1) = 41
16 f (3, 3) = 4916 f (3, 5) = 65
16 f (3, 7) = 8916
Dengan ∆Ak = 4, diperoleh∫∫R
64− 8x + y216
dA ≈8
∑k=1
f (xk , yk )∆Ak
=416(57+ 65+ 81+ 105+ 41+ 49+ 65+ 89)
= 138
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 15 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
Problem1 Misalkan R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2} . Hitunglah∫∫
R
f (x , y) dA
jika diberikan fungsi
a) f (x , y) =2 ; 1 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 23 ; 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2
b) f (x , y) =2 ; 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y < 13 ; 1 ≤ x < 3, 1 ≤ y ≤ 21 ; 3 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 16 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
Problem
2. Misalkan R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4} dan P adalah partisidari R menjadi 6 persegi yang sama oleh garis-garis x = 2, x = 4, dany = 2. Aproksimasi ∫∫
R
f (x , y) dA
dengan menghitung jumlah Riemann dengan fungsi dua peubah:
a) f (x , y) = 12− x − yb) f (x , y) = 10− y2
c) f (x , y) =16(48− 4x − 3y)
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 17 / 38
13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua
13.2. Integral Berulang
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 18 / 38
13.2. Integral Berulang 2.1 Menghitung Integral Lipat Dua sebagai Integral Berulang
2.1 Menghitung Integral Lipat Dua sebagai IntegralBerulang
Definition
Jika f terintegralkan pada persegi panjang R = [a, b]× [c, d ], makaintegral lipat dua dari f pada R dapat dihitung sebagai integral berulang:∫∫
R
f (x , y) dA =∫ d
c
∫ b
af (x , y) dxdy
atau ∫∫R
f (x , y) dA =∫ b
a
∫ d
cf (x , y) dydx
Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajar sumbu x terlebih dahulu
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 19 / 38
13.2. Integral Berulang 2.2 Beberapa Contoh Soal
2.2 Beberapa Contoh Soal
Examples
Hitunglah masing-masing integral berulang dari
1)∫ 2
0
∫ 3
0(9− x) dydx
2)∫ 1
−1
∫ 2
1
(x2 + y2
)dxdy
3)∫ 8
0
∫ 4
0
64− 8x + y216
dxdy
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 20 / 38
13.2. Integral Berulang 2.2 Beberapa Contoh Soal
2.2 Beberapa Contoh Soal
Solution
1)∫ 2
0
∫ 3
0(9− x) dydx =
∫ 2
0(9y − xy) |30dx
=∫ 2
0[9y − xy ]30 dx
=∫ 2
0[(9.3− x .3)− 0] dx
=∫ 2
0[27− 3x ] dx
=
[27x − 3
2x2]20
= 48
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 21 / 38
13.2. Integral Berulang 2.2 Beberapa Contoh Soal
2.2 Beberapa Contoh Soal
Solution
2)∫ 1
−1
∫ 2
1
(x2 + y2
)dxdy =
∫ 1
−1
[x3
3+ xy2
]21dy
=∫ 1
−1
[(23
3+ 2y2
)−(13+ y2
)]dy
=∫ 1
−1
[y2 +
73
]dy
=
[y3
3+7y3
]1−1
=
(13+73
)−(−13+−73
)=
163
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 22 / 38
13.2. Integral Berulang 2.2 Beberapa Contoh Soal
2.2 Beberapa Contoh Soal
Solution
3)∫ 8
0
∫ 4
0
[4− x
2+y2
16
]dxdy =
∫ 8
0
[4x − x
2
4+xy2
16
]40dy
=∫ 8
0
[4 · 4− 4
2
4+4y2
16
]dy
=∫ 8
0
[12+
y2
4
]dy
=
[12y +
y3
12
]80
=
[12 · 8+ 83
12
]= 138
23
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 23 / 38
13.2. Integral Berulang 2.3 Volume Benda Pejal
2.3 Volume Benda Pejal
Example
Hitunglah volume benda pejal dibawah permukaan z = 4− x2 − y diataspersegipanjang R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2} .
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 24 / 38
13.2. Integral Berulang 2.3 Volume Benda Pejal
2.3 Volume Benda Pejal
SolutionVolume estimasi :Misal tinggi benda pejal = 2.5, maka diperkirakan
V ≈ (2) (2.5) = 5
Volume dengan pendekatan integral berulang:Jika perhitungan benar, maka volume yang diperoleh harusnya tidakjauh dari angka 5.
V =∫∫R
[4− x2 − y
]dA
=∫ 1
0
∫ 2
0
[4− x2 − y
]dydx
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 25 / 38
13.2. Integral Berulang 2.3 Volume Benda Pejal
2.3 Volume Benda Pejal
Solution
V =∫ 1
0
[4y − x2y − y
2
2
]20dx
=∫ 1
0
[6− 2x2
]dx
=
[6x − 2x
3
3
]10
= 6− 23
=163
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 26 / 38
13.2. Integral Berulang 2.4 Latihan 1
2.4 Latihan 1
Problem
1. Misalkan R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2} . Hitunglah∫∫R
f (x , y) dA
jika diberikan fungsi
a) f (x , y) =2 ; 1 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 23 ; 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2
b) f (x , y) =2 ; 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y < 13 ; 1 ≤ x < 3, 1 ≤ y ≤ 21 ; 3 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 27 / 38
13.2. Integral Berulang 2.4 Latihan 1
2.3 Latihan 1
Problem
2. Misalkan R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4} dan P adalah partisidari R menjadi 6 persegi yang sama oleh garis-garis x = 2, x = 4, dany = 2. Aproksimasi ∫∫
R
f (x , y) dA
dengan menghitung jumlah Riemann dengan fungsi dua peubah:
a) f (x , y) = 12− x − yb) f (x , y) = 10− y2
c) f (x , y) =16(48− 4x − 3y)
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 28 / 38
13.2. Integral Berulang 2.4 Latihan 1
2.3 Latihan 1
Problem3. Hitunglah masing-masing integral berulang dari
1)∫ 3
0
∫ 2
0(9− x) dxdy
2)∫ 2
1
∫ 1
−1
(x2 + y2
)dydx
3)∫ 4
0
∫ 8
0
[64− 8x + y2
16
]dydx
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 29 / 38
13.2. Integral Berulang 2.4 Latihan 1
2.3 Latihan 1
Problem4. Hitunglah volume benda pejal dibawah permukaan:
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 30 / 38
13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.1 Definisi dan Ilustrasi
3.1 Definisi dan Ilustrasi
bagaimana menghitung Integral Lipat pada daerahbukan persegipanjang?
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 31 / 38
13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.2 Integral pada Daerah y-Sederhana
3.2 Integral pada Daerah y-Sederhana
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 32 / 38
13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.2 Integral pada Daerah y-Sederhana
3.2 Integral pada Daerah y-Sederhana
DefinitionHimpunan S disebut y -sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x , y) : u1 (x) ≤ y ≤ u2 (x) , a ≤ x ≤ b}
dengan u1 (x) dan u2 (x) kontinu.Dalam hal ini, Integral f pada S dapat dihitung sebagai∫∫
S
f (x , y) dA =∫ b
a
∫ u2(x )
u1(x )f (x , y) dydx
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 33 / 38
13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.3 Integral pada Daerah x-Sederhana
3.3 Integral pada Daerah x-Sederhana
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 34 / 38
13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.3 Integral pada Daerah x-Sederhana
3.3 Integral pada Daerah x-Sederhana
DefinitionHimpunan S disebut x-sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai
S = {(x , y) : c ≤ y ≤ d , v1 (x) ≤ x ≤ v2 (x)}
dengan v1 (x) dan v2 (x) kontinu.Dalam hal ini, Integral f pada S dapat dihitung sebagai∫∫
S
f (x , y) dA =∫ d
c
∫ v2(x )
v1(x )f (x , y) dxdy
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 35 / 38
13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.4 Beberapa Contoh Soal
3.4 Beberapa Contoh Soal
Example1 Hitunglah ∫∫
S
xydA
apabila S adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh y = x2 dany = 1.
2 Hitunglah ∫∫S
ex2dA
apabila S adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh y = 2x , garisx = 4 dan sumbu-x .
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 36 / 38
13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.4 Beberapa Contoh Soal
3.4 Beberapa Contoh Soal
Solution
∫∫S
xydA =∫ 1
−1
∫ 1
x 2xy dydx
=∫ 1
−1
[xy2
2
]y=1y=x 2
dx
=∫ 1
−1
[x2− x
5
2
]dx
=
[x2
4− x
6
12
]1−1
= 0
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 37 / 38
Penutup
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "
Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 2018 38 / 38