Upload
almengarun
View
127
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kalkulus I 15 Sistem Bilangan Kompleks
Citation preview
BILANGAN KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita
tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0.
Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan
bilangan imajiner atau bilangan kompleks.
1
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
2
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)3
4
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂJadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan
imajiner.
5
Sifat-sifat lapangan bilangan kompleksHimpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut:1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3) (sifat assosiatif)4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan)
6
6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian7. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada –z=–x–iy) sehingga z+(–z)=0 8. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada z-1=sehingga z•z-1=1.
Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.
7
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan 2
1zz
8
Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,–y) = x – iy.
Contoh:
sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :
z
9
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
22 ImRe 4.
Im2 3.
Re2 2.
1.
zz
zz
zz
zz
10
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
0dengan ,z
z 4.
3.
2.
1.
2
2
1
2
1
2121
2121
2121
zz
z
zzzz
zzzz
zzzz
11
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
12
Re
Im
)y,x(z
O
ArganBidangz
13
Im
Re
2z
1z
O
21 zz
14
Re
Im
2z
2z
1z
21 zz
O
15
Tugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada
bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,
212121 zz,zz,z,z
16
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus
dari z, ditulis z = x+iy =
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari
titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua
bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah
22 yx
221
221 )yy()xx(
17
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.
18
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
)zIm()zIm(z
)zRe()zRe(z
zzz
zz
)zIm()zRe(z
2
222
19
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.4.
5.
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z
= x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga
teorema B !
2121
2121
2121
2
1
2
1
2121
zzzz
zzzz
zzzz
zz
zz
zzzz
20
1. Bukti: 2121 zzzz )iyx()iyx(zz 221121
)yxyx(i)yyxx( 12212121
212121
22
22
212121
22
21
22
21 yyxx2yxyxyyxx2yyxx
21221
22121 )yxyx()yyxx(
)yx()yx( 22
22
21
21
)yx()yx( 22
22
21
21
21 zz
2121 zzzz
21
2. Bukti:
22
22
22
11
2
1iyxiyx
iyxiyx
zz
22
22
211222
22
2121
yxyxyx
iyx
yyxx
2
22
22
21122
22
22
2121
yxyxyx
yxyyxx
222
22
212122
21
21
222121
22
21
22
21
)yx(yyxx2yxyxyyxx2yyxx
)yx()yx()yx()yx(
22
22
22
22
22
22
21
21
.terbuktizz
yx
yx
2
122
22
21
21
22
3. Bukti:
2121 zzzz
21221 )yxyx(0
212121
22
22
21 yyxx2yxyx0
21
22
22
212121 yxyxyyxx2
21
22
22
21
22
21
22
212121
22
21
22
21 yxyxyyxxyyxx2yyxx
)yx)(yx()yyxx( 22
22
21
21
22121
)yx)(yx(2)yyxx(2 22
22
21
212121
2221
21
2221
21 yyy2yxxx2x
22
22
22
22
21
21
21
21 yx)yx)(yx(2yx
222
22
21
21
221
221 yxyx)yy()xx(
22
22
21
21
221
221 yxyx)yy()xx(
terbukti
zzzz 2121
23
4. Bukti:
2121 zzzz
2121
2121
221
2211
zzzz
zzzz
zzz
zzzz
24
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan
Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).
Im
Re
),r()y,x(z
rz
O
25
Adapun hubungan antara keduanya, dan
adalah :
x = r cos , y = r sin,
sehingga = arc tan
adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis . dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ).
xy
zyxr 22
)y,x( ),r(
26
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut dengan 0 < 2 atau - < disebut argument utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 =
r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.
27
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et dengan mengganti t = i.
28
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !
29
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !
Jawab :
z = 1 + i, r = , tan = 1, sehingga = 45⁰= Jadi z = (cos + i sin ) = cis = 2 4
141 2 4
1 2 i4e
2 41
30
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka
kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
31
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
32
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.
33
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg 1-2 = arg z1 – arg z2.
)sini(cosr)sini(cosr
zz
222
111
2
1
2
1
2
1rr
zz
2
1zz
34
Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
. . . . . . . 2
nsinincosr1
z1
)sin(i)cos(r1
z1
nn
)nsin(i)ncos(r1
z1
nn
35
Dari 1 dan 2 diperoleh:
, Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
)nsin(i)ncos(rz nn
36
Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan maka
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi
31tan
213zr
,i3z
6
6
oo66
oo
2
)01(2
180sini180cos2i3
30sini30cos2i3
o30
6i3