KAKO DJECA UE MATEMATIKU

PAMELA LIEBECKSANELA MITROVIKRISTINA OREMU

O KNJIZIPamela Liebeck: Kako djeca ue matematiku: metodiki prirunik za uitelje razredne nastave, nastavnike i profesore matematike Zagreb: Educa, 1995.

EST PITANJA O TOME ZATO I KAKO UITI MATEMATIKU1. ZATO POUAVAVTI MATEMATIKU?matematika slui u svakodnevnom ivotu, znanosti, trgovini i industriji, jer je mono, saeto i nedvosmisleno sredstvo komunikacije. objanjavanja i procjenemo joj je u znakovima koji imaju vlastitu gramatiku i sintaksumatematika razvija logiko miljenje i estetiki je ugodna

2. ZATO LJUDI VOLE MATEMATIKU?korisna jenjezina privlanost je u intelektulanom i setetikom zadovoljstvu koje pruadjeca vole matematiku zbog njezinih intelektualnih i estetikih obiljeja, ba kao to vole glazbu ili umjetnost

3. KAKO MATEMATIKA MOE GODITI OSJEAJU ZA LIJEPO SLINO GLAZBI ILI UMJETNOSTI?nae osobine utjeu na to kako reagiramo a glazbu ili umjetnost, kao to ne volimo svi jednaku vrstu glazbe tako ne volimo svi jednaku vrstu matematike i ne moe od djeca to oekivatiu uglazbi i umjetnosti uivamo jer volimo obrasce, isto tako je i s matematikom (primjer: zbroj prvih stotinu neparnih brojeva)4. MATEMATIKA SE ESTO NAZIVA APSTRAKTNIM PREDMETOM. TO SE TIME MISLI?matematika je apstrakcija stvarnosti npr. dva ne moete shvatiti ako ne vidite puno parova (par oiju, par cipela...),dok ne izluite to im je zajednikone moete shvatiti broj dok niste shvatili dva, tri i druge sline pojmove broj je apstrakcija iz mnotva apstrakcija; zbrajanje brojeva je apstrakcija na jo vioj razini od brojau matematici postoji hijerarhija apstrakcija (ne moemo razumijeti nijedan matematiki pojam ako ne razumijemo podreene pojmove)nastavnikova zadaa: provesti djecu kroz tu hijerarhiju a da pritom se izgube vezu sa stvarnim svijetom

5. KAKO DA SHVATIM TU HIJERARHIJU? KAD VIDIM ZNAK 143, NE ZAMILJAM STOTINU ETRDESET TRI PREDMETA. JESAM LI IZGUBIO VEZU SA STVARNOSTI?Niste!znakovi su bitan dio matematike zbijaju pojmovnu hijerarhiju u oblike kojima se moe baratatine trebate zamisliti stotinu etrdeset tri predmeta kad vidite znak 143 al trebate znati sustav biljeenja prema kojemu je 4 etiri skupine po deset, a 1 je stotia, odnosno deset skupina po deset6. KAKO DIJETE RAZVIJA APSTRAKTNO MILJENJE?djetetovo matematiko iskustvo mora se razvijati slijedom apstrahiranja: I iskustvo fizikih predmetaG govorni jezik koji opisuje to iskustvoS slike koje pokazuju to iskustvoZ pismeni znakovi koji generaliziraju to iskustvo

OBLIKOVANJE POJMOVAvani poetni matematiki pojmovi su puno, nekoliko, vie, manje, dugo, kratko, jednake duljine, dulje, krae, okruglo, plosnato, ravno i zaobljenoPITANJA: Kako djeca usvajaju takve pojmove? Kako saznati jesu li ti pojmovi jednaki naima?odgovori na ta pitanja se kriju u 4 temeljne aktivnosti: pridruivanje, razvrstavanje, sparivanje i nizanje

1. PRIDRUIVANJEdjeca spontano usvajaju pojmove uoavanjem i izborom zajedniikih pojedinim iskustvimapridruivanje je rije kojom opisujemo izbor zajednikih osobina; nain kako djeca ue pravilno upotrebljavati jeziku svakom pridruivanju izaberu se iskustva s traenim obiljejem, a odbace se ona koja ih nemaju; potrebno je znati koje iskustvo ima odreena obiljeja a koje iskustvo ta ista obiljeja nema

ZADACI PRIDRUIVANJA:djeca moraju imati odgovarajua iskustva koja e ih potaknuti na to da pridruuju predmete te ih moramo nauiti rijei kojma e opisati uoena zajednika obiljejapoetni zadaci moraju ukljuivati pojmove koje su djeca ve usvojila ili su na putu da ih usvoje

PRIMJERI: Dugo i kratko. Djeca upotrebljavaju rijei dugo i kratko tako da vizualno usporeuju duine. Treba im zadati da sloe dugi i kratki vlak od kockica ili da iz kutijice s vrpcama izvade jednu kratku. Okruglo. Prikupimo predmete raznih oblika (kutije, konzerve, lopte, stoce). Izaberemo one koji se kotrljaju i kaemo: Lopta se kotrlja jer je okrugla, a konzerva se kotrlja jer je jednim dijelom okrugla.

2. RAZVRSTAVANJEu razvrstavljanju se trai da se neki skup rastavi u nove skupove sa zajednikim obiljejimasloenije od pridruivanjajavlja se u igri i pospremanju igraaka

3. SPARIVANJEvano za uvoenje pojmova u svezi s brojem: mnogo, nekoliko, jednako, vie, manje, ...Primjer: elimo vidjeti ima li u nekoj prostoriji vie stolica ili ljudi? sparimo svaku osobu sa stolicom na kojoj sjedi i pogledamo ima li viak stolica ili ljudi. Pokuali smo izvriti pridruivanje jedan-jedansparaivanje je aktivnost bitna za pojam broja i puno je jednostavnija od brojenjajavlja se u igri (stavite jahaa na svakog konja, auti u svaku garau), priama (stolac za tatu medu, stolac za mamu medu, stolac za bebu medeka) i svakodnevnim aktivnostima (pie za svakog, olovka za svako dijete)

4. NIZANJEnizanje predmeta trai da se razumiju pojmovi prvi, pokraj, posljednji, izmeujavlja se u igri, priama te svakodnevnim aktivnostima

BROJENJEdjeca prvo moraju znati nazve brojeva po redu (ne moraju razumjeti to te rijei znae) tek onda trebaju nauiti prebrojiti skup predmeta moraju nauiti izabrati posljednji broj koji su izrekli i povezati ga s itavim skupom prebrojenih predmetaPRIMJER:Igra tedne kasice prikladna je ako se eli uspostaviti veza izmeu rednog i glavnog broja. Djeca u kasicu ubacuju jedan po jedan novi i pritom broje: Jedan, dva, tri, etiri. Zatim ih se pita koliko je novia u kasici. Djeca koja su povezala dva znaenja rei e etiri, dok ona koja to jo nisu uspjela otvorit e kasicu i prebrojati novie.

Za jedan vie. Vano je da djeca shvate ne samo to je etiri u etiri nego i da skup etiriju predmeta sadri za jedan vie od skupa triju predmeta. slike ili predmeti mogu posluiti kao polazna toka za priu ili pjesmicu poput ove:

ODRANJE BROJA

Pretpostavimo da je Robert ispravno prebrojio niz os sedam figurica i da je rekao: Ima sedam figurica. Pomijeamo ih i pitamo: Koliko sad ima figurica?. Ako Robert ponovo pone brojati on nije usvojio pojam odranje broja. Dijete koje je pojam usvojilo odgovorit e da ih je sedam jer shvaa da bez obzira na redoslijed figurica njihov broj se nije promijenio.VANO: Dok djeca ne shvate odranje broja, nee shvatiti ni vanost brojenja.

ZNAMENKEznamenke su znakovi koje upotrebljavamo za prikazivanje brojeva; kad ih upotrebljavamo upotrebljavamo brojeve u apstraktnom oblikudjecu moemo nauiti da prepoznaju znamenke kao zamjenu za nazive brojeva; na zid moemo objesiti veliku brojevnu vrpcu, najprije sa znamenkama os 1 do 5 i postupno dodavati znamenke do 10; djeca mogu itati te znamenke s lijeva na desno i pokazivati ih dok izgovaraju imena brojeva u nizudjeca trebaju poeti uiti pisati svaki znak (znamenku) od odgovarajueg mjesta

PREMA ZBRAJANJU I ODUZIMANJUZBRAJANJEda bi djeca razumjela izraz 3 + 2 = 5 mora ih se upoznati s mnogo stvarnih situacija kada se vidi da je tri predmeta i jo dva predmeta pet predmetanpr. Tri maia su crna i dva prugasta, dakle ukupno je pet maia., Tri crvena autia i dva plava autia je pet autia., itd.znak + se ita vie, a znak = se ita jednako je (npr. 3 + 2 = 5 tri vie dva jednako je pet)I-G-S-Z za zbrajanje:I stavljaju tri crvena i dva plava autia na jednu stranuG kau: Imamo tri crvena i dva plava autia, ukupno pet autiaS crtaju slike kojima biljee svoja iskustvaZ napiu brojevni izraz 3 + 2 = 5

ODUZIMANJEznak se ita manjevano je da djeca naue povezati pojam vie s + a pojam manje s djeci e kao uvod u oduzimanje 5 3 biti mnoge radnje u kojima e oduzimati skup od tri lana od petolanog skupa a preostali elementi e se prebrojatiPRIMJERI: Sloite pet lica pa maknite tri a ostavite dvije ili dajte lutki pet slatkia, neka pojede tri, a dva neka ostanu, itd.kad takve radnje prikaemo slikama, precrtat emo slike oduzetih predmeta:

5 3 = 2 itamo: Pet manje tri jednako dva

djeci se daju radni listiikad djeca ispune radni listi trebala bi naglas proitati jedan brojveni izraz i smisliti priu o njemu (npr. Na voki je bilo pet jabuka i tri su pale, pa su ostale dvije jabuke na stablu

RAZVOJ DJETETApsiholoka istraivanja djejeg ponaanja i miljenja su vana odraslim osobama koje se bave djecom

JEAN PIAGETPiaget je sastavljao testove o odranju broja, duine, obujma koji su bili u obliku pojedinanih razgovora, na temelju njih je provjeravao usvojenost nekog pojmaPiagetova teorija kognitivnog razvoja:Prvo razdoblje: senzorno-motoriko razdoblje (od roenja do 18 mjeseci) bebe su sklone selektivnom odabiru odreenih aspekata svoje okoline; bebe naue poezati osjet s radnjom (npr. shvate da e se kuglice na krevetiu pomaknuti ako ih dodirnu); djeca usvajaju pojam stabilnosti predmeta (predmeti postoje ako ih moe vidjeti ili dodirnuti); upoznaju i pojam reverzibilnosti (npr. unedogled e nekome dodavati igraku ako e ju ta osoba vraati)

Drugo razdoblje: intuitivno razdoblje (od 18 mjeseci do sedme godine) sposobnost djeteta da prikae i jasno se oituje u izoru rijei kad treba opisati predmete, radnje i odnose izmeu predmeta; djetetova percepcija je dobro razvijena; dijete je uvjereno da je svijet onakak kakvim ga vidi egocentrizam i sebe smatra pokretaem svijeta

Tree razdoblje: konkretno-operacijsko razdoblje (od sedme do dvanaeste godine) dolazi do sve ee primjene logike u fizikim situacijama, stvarnim ili zamiljenim; dijete izgrauje mentalne kategorije kojima poopuje fiike situacije s brojevima; produbljuje se njegovo shvaanje reverzibilnosti; djetetova sposobnost logikod zakljuivanja se poveava i on stvara tranzitivne zakljuke

etvrto razdoblje: formalno-operacijsko razdoblje (od dvanaeste godine nadalje) sposobnost da se dokazuju apstraktne postavke i zakljuuje iskljuivo na temelju logike

OSPORAVATELJI PIAGETOVE TEORIJE: Piagetovu teoriju su osporavali zbog etiri postavke: da razvojne faze nisu jednake u sve djece (npr. afrika djeca usvoje pojam broja puno kasnije nego europska, ali pojam vodoravan shvate puno ranije)da se razvoj moe ubrzati uenjem (uenje je razvojni proces na koji pouavanje moe utjecati)da ozbiljno podcjenjuje mo zakljuivanja u male djece (Piaget je tvrdio da djeca od sedme godine mogu donositi tranzitivne zakluke no pokazano je da to nije tono: djeca ranije donose tranzitivne zakljuke)da unekoliko zanemaruje nain kako mala djeca tumae jezik (djeca tumae bit reenog opim kontekstom rijei, gestama i izrazom lica koji ih prate te ele shvatiti to drugi ljudi ine i kau; jezik djeci slui kao jedan od pokazatelja kako pogoditi namjere drugih ljudi (dokaz da nisu egocentrina) te njihov neuspjeh nije posljedica egocentrinosti ili nerazvijene sposobnosti zakljuivanja. nego nesposobnosti da se izlui jezik iz konteksta i ralani per se)

MJERENJEDjeca moraju nauiti kako se sluiti jednostavnim instrumentima za mjerenje standardnim jedinicama.

Duina-djeca na poetku upotrebljavaju kartonsko ravnalo duine 10 cm s 10 obojenih traka irine 1 cm. Djecu bi trebalo poticati da procjenjuju duljine predmeta prije no to ih izmjere, jer e tako poeti razmiljati o vanosti izmjerene vrijednosti. Dijete koje sluajno okrene metarsko ravnalo naopako dok mjeri ormari visine 37 cm, proitat e znamenku 60 i nastaviti brojiti 61, 62, 63 ali ako je prethodno procjenilo da je njegova visina 40cm, vjerojatno e preispitati svoje mjerenje i pronai greku.

Masa-djeca upotrebljavaju kuglice od plastelina koje imaju 100 grama. Moemo doneti i uteg od 1kg kako bi djeca uoila da uteg ima masu od 10 kuglica.

Obujam-jedinica najprikladnija za nastavu je desetina litre. aice od jogurta se mogu skratiti na tu veliinu. Djeci damo posudu od jedne litre i aice od desetine litre te im pokaemo da u posudu stane 10 aica tekuine.

Povrina-dva lika koja se poklapaju imaju jednaku povrinu, lik koji potpuno lei unutar drugoga ima manju povrinu od tog drugog lika. Ne bismo smjeli pokazivati likove koji se preklapaju tako da se ne vidi jasno koji ima veu povrinu.

Vrijeme-pokaemo djeci topericu koja mjeri sekunde. toperica ima drugu kazaljku koja se pomie svake sekunde, djeca prate kazaljku i uoavaju da je za jedan obilazak potrebno 60 sekundi, tada im treba rei da se taj vremenski razmak naziva minuta.

Oitavanje vremena-djecu najprije nauimo pune sate: velika kazaljka pokazuje u puni sat na 12, a mala na znamenku koja nam kae o kojem se punom satu radi. Zatim emo topericom mjeriti minutu i pratiti to se dogaa sa velikom kazaljkom, tada emo je nazvati kazaljkom za minute.

RAUNSKE RADNJE S BROJEVIMA DO STOTINUZbrajanje-treba biti usmeno, odlino pomagalo za to je kvadrat sa stotinu polja.Oduzimanje-pomagalo je isto kvadrat od stotinu poljaPismeno raunanje-moraju sloiti brojeve u stupce za desetice i jedinice.

Izrada i uenje tablice mnoenja

Prvo emo napisati tablicu mnoenja sa brojem 5, u njoj se treba nastaviti do 12 zbog oitavanja vremena sa sata.Drugo emo zapisati tablicu mnoenja sa brojem 3.

Postoji nekoliko igara kroz koje moemo vjebati tablicu mnoenjaPrimjer: Crni Petar: na klupi se sloi 20 karata, licem prema dolje. Djeca naizmenino okreu dvije karte, ako te dvije karte oznauju isti broj (npr. 7x3 i 21 ) dijete ih uzima, ako ne, vraa ih. Pobjednik je tko skupi najvie karti.

Kvadrati brojeva

Brojevi na dijagonali tablice mnoenja 1,4,9,16... suumnoci od 1x1,2x2,3x3,4x4...Moemo rei djeci da se takvi brojevi zovu kvadrati jer semogu prikazati predmetima sloenim u obliku kvadrata.

Razlomci-prvi koraci

Trebali bismo uvijek u poetku govoriti o cjelini koje je razlomak stanoviti dio.Ne bismo trebali govoriti samo o etvrtini, nego o etvrtini jabuke, etvrtini metra...itd

Razlomci i duina-jednostavan nain povezivanja razlomaka sa duinom je da se uzme papirnata vrpca i preklopi tako da pregib dijeli vrpcu na dvije polovine, zatim preklopimo tu vrpcu jo jednom i podijelili smo je na etvrtine a ako to jo jednom uinimo podijelili smo vrpcu na osmine.

Razlomci i obujam-ve smo spomenuli aice od jogurta i posudu u koju stane 10 aica tekuine, sada je lako uoiti da u aicu stane desetina litre.Razlomci i masa-ako je 10 kuglica plastelina jednako 1 kg, zakljuit emo da masa svake kuglice iznosi desetinu kilograma.

GrafikoniGrafikon-crte koji pokazuje odnos izmeu dviju ili vie brojevnih veliina

HistogramiOd pete godine djeca mogu crtati histograme, broj kategorija je u poetku ogranien na dvije a moe se postepeno poveavati prema potrebi.

Mnoenje brojeva veih od onih u tablici mnoenjaPrimjer: 4 x 20 = 4 x (2 x 10)=(4 x 2) x 10=8 x 10=80

Primjer: 26 x 4=20 x 4+6 x 4=80+24=104Kao i uvijek raunanje moramo popratiti priama, pa za 26 x 4 bi moglo biti: 26 automobila imat e 104 kotaa.

DijeljenjePrimjer: Podijelite 600 krumpira u tri kutije! Koliko e krumpira biti u svakoj kutiji?

600=3 x 200 600=200 x 3 U svakoj e kutiji biti 200 krumpira!

TEORIJE UENJAPIAGET

Piagetova istraivaka metoda kae da je kognitivni razvoj isprepleten s biolokim razvojemPiaget tvrdi da se kognitivni razvoj odvija u nepromjenjivom slijedu i da je to potpuno bioloki proces koji se ne moe ubrzati nikakvim pouavanjemPrema Piagetu, uenje je posebna kategorija, ono se odvija kroz meudjelovanje s okolinom.

Piaget je postulirao 3 temeljna procesa uenja:

Oblikovanje mentalnih pojmovaPrilagodbi tih pojmova iskustvuPovezivanje pojmova u strukturePrimjer na pojmu lopta:

Dijete pokazuje da barata pojmom lopta kad je vadi ispod pokrivaa kojim je bila pokrivena. Nisu mu njegova osjetila ve njegov razum rekli da je lopta ondje.Pokazuje da je preradio pojam lopta jer i druge predmete naziva lopta iako se razlikuju veliinom i bojom.Pokazuje da je povezao pojmove u strukturu kad nam kae lopta kotrlja.Povezuje dva pojma lopta i kotrljati se

Piaget tvrdi da je prilagodba najbitniji element uenja.Prilagoujemo se na dva naina:

Asimilacija- proces uklapanja naih novih iskustava u postojee pojmove.Primjer:Dijete koje je vidjelo 5 automobila i to povezalo s opisom 5 maia, asimiliralo je novo iskustvo u svoj pojam pet

Akomodacija-regulatorni proces kojim ili suujemo ili proirujemo nae pojmove.Primjer:Djeca koja su nauila da znak 5 predstavlja pet moraju proiriti svoj pojam tog znaka kad se nau pred brojem 54

SKEMP

Britanski psiholog Richard Skemp, rekao je da pojmovi to ih ljudi oblikuju ine hijerarhiju.Smatra da ne moemo usvojiti pojam boja dok ne shvatimo da predmeti imaju obiljeja crvenog, utog, plavog...itd. Isto tako ne moemo oblikovati pojam broj ako nismo razvili pojam dva, tri, etiri...itdSkemp je predloio teoriju uenja koja uzima u obzir vano pitanje ciljeva i motivacije.Smatra da osjeaji imaju najvaniju ulogu u nainu kako uimo

BRUNER

Jerome Bruner je jedan od psihologa koji je osporio Piagetovu tvrdnju kako je uenje podreeno biolokom razvoju.Bruner tvrdi da se svaka ideja ili znanje moe prikazati u dovoljno jednostavnom obliku da bi ga svaki uenik mogao rezumjeti u prepoznatljivom obliku

Brunerova teorija pouavanja:

Za nastavnike je najvanije da razmisle o:Predispoziciji djece za uenje

Predispoizicija-volja za uenjem je duboko usaena, djecu ne moemo spreiti da ue, jer su znatieljna, no tu znatielju je potrebno usmjeriti.

Nainu kako je znanje ustrojeno

Ustroj znanja-zadaci to ih djeca rjeavaju trebali bi se oito moi pojednostaviti. Uiteljeva uloga je pomoi djeci rjeima izraziti to su uinili tako da mogu razvini eljene pojmove.

DIENES

Uenje je proces silno sloene igreDienes opisuje dva tipa igre: primarni i sekundarniPrimarna igra

aktivnost s materijalima radi zadovoljenja neposrednih elja i nagonaSekundarna igra

aktivnost koja se vri svjesno i kojoj je cilj neto izvan neposrednog zadovoljenja elja.

ZATO DJECA NE ZNAJU MATEMATIKU?Na to emo pitanje odgovoriti uz pomo sljedeih pojmova:Brzina uenja : djeca ue na razliite naine i razliitom brzinom.Zabrinutost : mnogi su psiholozi pokazali da velika zabrinutost ometa uenje.Razumjevanje : trajan proces, kroz itav ivot trajno se ire ili suavaju nai pojmovi i tako produbljuju nae razumijevanje svijeta.Odnos : istraivaja su pokazala da se do djetetove jedanaeste godine oblikuje njegov odnos prema matematici. Odrasle osobe koje kau da ne znaju matematiku takav su odnos imale ve sa 11 godina. A ko neto ne volite nastojite to izbjei i kod vas se stvara blokada.

ZAKLJUAKAutorica ove knjige nam izdvaja citat njezine profesorice violonela: Ako u jednom trenutku uje da svira fal, vjerojatno si i prije toga falao. Ako se u matematici u jednom trenutku osjeate izgubljenim, vjerojatno i prije neto niste dobro shvatili iako se to nije vidjelo. Dopustimo li djeci da u matematici falaju, u budunosti e imati mnoge problema.