Kaidah Dasar Menghitung - si.akakom.ac.id · Contoh 5. Sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar

1

Kaidah Dasar Menghitung Kaidah perkalian (rule of product)

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil

Percobaan 1 dan percobaan 2: p q hasil

Kaidah penjumlahan (rule of sum)

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil

Percobaan 1 atau percobaan 2: p + q hasil

2

Contoh 1. Ketua angkatan IF 2002 hanya 1 orang (pria atau wanita, tidak bias gender). Jumlah pria IF2002 = 65 orang dan jumlah wanita = 15 orang. Berapa banyak cara memilih ketua angkatan?

Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara.

Contoh 2. Dua orang perwakilan IF2002 mendatangai Bapak Dosen untuk protes nilai ujian. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tesrebut?

Penyelesaian: 65 15 = 975 cara.

3

Perluasan Kaidah Dasar Menghitung

Misalkan ada n percobaan, masing-masing dg pi hasil

1. Kaidah perkalian (rule of product)

p1 p2 … pn hasil

2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)

p1 + p2 + … + pn hasil

4

Contoh 3. Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika:

(a) panjang string 5 bit

(b) panjang string 8 bit (= 1 byte)

Penyelesaian:

(a) 2 2 2 2 2 = 25 = 32 buah

(b) 28 = 256 buah

5

Contoh 4. Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang

(a) semua angkanya berbeda

(b) boleh ada angka yang berulang.

Penyelesaian:

(a) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9)

posisi ribuan: 8 kemungkinan angka

posisi ratusan: 8 kemungkinan angka

posisi puluhan: 7 kemungkinan angka

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.

(b) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9);

posisi ribuan: 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)

posisi ratusan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

6

Contoh 5. Sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak sandi-lewat yang dapat dibuat?

Penyelesaian:

Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter.

Jumlah kemungkinan sandi-lewat dengan panjang 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336

Jumlah kemungkinan sandi-lewat dengan panjang 7 karakter:

(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096

umlah kemungkinan sandi-lewat dengan panjang 8 karakter:

(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456

Jumlah seluruh sandi-lewat (kaidah penjumlahan) adalah

2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah.

7

Latihan: 1. (a) Berapa banyak bilangan genap 2-angka?

(b) Berapa banyak bilangan ganjil 2-angka dengan setiap angka berbeda?

2. Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5?

8

3. Tersedia 6 huruf: a, b, c, d, e, f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika:

(a) tidak ada huruf yang diulang;

(b) boleh ada huruf yang berulang;

(c) tidak boleh ada huruf yang diulang, tetapi huruf e harus ada;

(d) boleh ada huruf yang berulang, huruf e harus ada

4. Tentukan banyak cara pengaturan agar 3 orang mahasiswa Jurusan Teknik Informatika (IF), 4 orang mahasiswa Teknik Kimia (TK), 4 orang mahasiswa Teknik Geologi (GL), dan 2 orang mahasiswa Farmasi (FA) dapat duduk dalam satu baris sehingga mereka dari departemen yang sama duduk berdampingan?

Pengantar Faktorial Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n

faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua

bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau

dengan kata lain 0! didefinisikan =1.

n! = n.(n-1)(n-2)... 1

0! = 1.

Pengantar Faktorial Contoh:

Tuliskan 10 faktorial pertama :

Penyelesaian:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

Dst.....

Pengantar Faktorial Latihan Soal

1.

2.

12

Permutasi

B o la :

m b p

K o ta k :

1 2 3

B e ra p a ju m la h u ru ta n b e rb e d a y a n g m u n g k in d ib u a t d a r i p e n e m p a ta n b o la

k e d a la m k o ta k -k o ta k te rs e b u t?

13

K o ta k 1 K o ta k 2 K o ta k 3 U ru ta n

b p m b p

m

p b m p b

m p b m p

b

p m b p m

m b p m b

p

b m p b m

J u m la h k e m u n g k in a n u ru ta n b e rb e d a d a r i p e n e m p a ta n b o la k e

d a la m k o ta k a d a la h (3 ) (2 ) (1 ) = 3 ! = 6 .

14

Definisi: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.

Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.

Misalkan jumlah objek adalah n, maka

urutan pertama dipilih dari n objek,

urutan kedua dipilih dari n – 1 objek,

urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek,

…

urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.

Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah

n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

15

Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?

Penyelesaian:

Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata

Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata

Contoh 7. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?

Penyelesaian: P(25, 25) = 25!

16

Permutasi r dari n elemen Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak. Masing-

masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut?

Penyelesaian:

kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan);

kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan);

kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan).

Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120

B o la :

m b p h k j

K o ta k :

1 2 3

17

Perampatan:

Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak (r n), maka

kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola (ada n pilihan) ;

kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 1) bola (ada n – 1 pilihan);

kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 2) bola (ada n – 2) pilihan;

…

kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n – (r – 1) bola (ada n – r + 1 pilihan)

Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah: n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))

18

D e fin is i 2 . P e rm u ta s i r d a r i n e le m e n a d a la h ju m la h k e m u n g k in a n u ru ta n r

b u a h e le m e n y a n g d ip ilih d a r i n b u a h e le m e n , d e n g a n r n , y a n g d a la m h a l

in i , p a d a s e tia p k e m u n g k in a n u ru ta n t id a k a d a e le m e n y a n g s a m a .

))1()...(2)(1(),( rnnnnrnP = )!(

!

rn

n

19

C o n to h 7 . B e ra p a k a h ju m la h k e m u n g k in a n m e m b e n tu k 3 a n g k a

d a r i 5 a n g k a b e r ik u t: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , j ik a :

(a ) t id a k b o le h a d a p e n g u la n g a n a n g k a , d a n

(b ) b o le h a d a p e n g u la n g a n a n g k a .

P e n y e le s a ia n :

(a ) D e n g a n k a id a h p e rk a lia n : (5 ) (4 ) (3 ) = 1 2 0 b u a h

D e n g a n ru m u s p e rm u ta s i P (5 , 3 ) = 5 ! /(5 – 3 ) ! = 1 2 0

(b ) T id a k d a p a t d is e le s a ik a n d e n g a n ru m u s p e rm u ta s i .

D e n g a n k ia d a h p e rk a lia n : (5 ) (5 ) (5 ) = 53 = 1 2 5 .

C o n to h 8 . K o d e b u k u d i s e b u a h p e rp u s ta k a a n p a n ja n g n y a 7

k a ra k te r , te rd ir i d a r i 4 h u ru f b e rb e d a d a n d ii k u ti d e n g a n 3 a n g k a

y a n g b e rb e d a p u la ?

P e n y e le s a ia n : P (2 6 , 4 ) P (1 0 ,3 ) = 2 5 8 .3 3 6 .0 0 0

20

Kombinasi

Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.

Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.

Ju m la h c a ra m e m a su k k a n b o la k e d a la m k o ta k =

2

)2)(3(

!2

!1

!3

!2

)2,3(

2

)2,3(

PP= 3 .

21

a b

1 2 3

s a m a

b a

1 2 3

a b

1 2 3 h a n y a 3 c a ra

s a m a

b a

1 2 3

a b

1 2 3

s a m a

b a

1 2 3

22

Bila sekarang jumlah bola 3 dan jumlah kotak 10, maka

jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah

!3

)8)(9)(10(

!3

!7

!10

!3

)3,10(

P

karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama.

Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang

berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah

)!(!

!

!

))1()...(2)(1(

rnr

n

r

rnnnn

= C(n, r) atau

r

n

23

C(n, r) sering dibaca "n diambil r", artinya r objek diambil dari n buah objek.

Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.

Contoh:

Dari 4 orang (ABCD) pendiri suatu Partai, akan dipilih Ketua, Wakil Ketua, dan Sekretaris. Ada berapa macam urutan pengurus partai tersebut yang mungkin terpilih?

Solusi

n = 4; r = 3

Urutan yang mungkin adalah: ABC ABD ACD BCD

4)1(6

24

)!34(!3

!44

3

C

Matematika Diskrit 25

Contoh 1

Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?


Solusi

Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}

Sehingga :

caraCCC 4

!34!3

!4

3

4)3,4(

4

3


Contoh 2

Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?


Solusi Diketahui:

Nasi goreng = r = 3 kali

Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari

Maka :

caraCCC 35

!37!3

!7

3

7)3,7(

7

3


Contoh 3

Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0)

a) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ?

b) Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?

c) Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ?


Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)

1 bit terdiri dari “1” atau “0”

Maka : a) Posisi bit dalam 1 byte :

7 6 5 4 3 2 1 0

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)


:

:


Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :

(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28

b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

caraCCC 56

!38!3

!8

3

8)3,8(

8

3


c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)




Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :

C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) =

1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128


Contoh 4

Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita.

Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?


Solusi

Pria = 7 orang Wanita = 5 orang Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak daripada

jumlah wanita Maka :

Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35 Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya :

C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara


Contoh 5

Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang.

Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?


Solusi Diketahui :

Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang

Misalkan : i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3) ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4) iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)

Sehingga total jumlah cara pengisian kamar : C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600

atau C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600

36

Interpretasi Kombinasi 1 . C (n , r ) = b a n y a k n y a h im p u n a n b a g ia n y a n g te rd ir i d a r i r e le m e n y a n g

d a p a t d ib e n tu k d a r i h im p u n a n d e n g a n n e le m e n .

M is a lk a n A = { 1 , 2 , 3 }

J u m la h H im p u n a n b a g ia n d e n g a n 2 e le m e n :

{ 1 , 2 } = { 2 , 1 }

{ 1 , 3 } = { 3 , 1 } 3 b u a h

{ 2 , 3 } = { 3 , 2 }

a ta u 3!2!1

!3

!2)!23(

!3

2

3

b u a h

37

2 . C (n , r ) = c a ra m e m ilih r b u a h e le m e n d a r i n b u a h e le m e n y a n g

a d a , te ta p i u ru ta n e le m e n d i d a la m s u s u n a n h a s il p e m ilih a n

t id a k p e n tin g .

C o n to h : B e ra p a b a n y a k c a ra m e m b e n tu k p a n itia (k o m ite ,

k o m is i , d s b ) y a n g b e ra n g g o ta k a n 5 o ra n g o ra n g d a r i s e b u a h

f ra k s i d i D P R y a n g b e ra n g g o ta k a n 2 5 o ra n g ?


P a n itia a ta u k o m ite a d a la h k e lo m p o k y a n g tid a k te ru ru t, a r t in y a

s e tia p a n g g o ta d i d a la m p a n itia k e d u d u k a n n y a s a m a .

M is a l l im a o ra n g y a n g d ip il ih , A , B , C , D , d a n E , m a k a u ru ta n

p e n e m p a ta n m a s in g -m a s in g n y a d i d a la m p a n itia t id a k p e n tin g

(A B C D E s a m a s a ja d e n g a n B A C E D , A D C E B , d a n s e te ru s n y a ) .

B a n y a k n y a c a ra m e m ilih a n g g o ta p a n itia y a n g te rd ir i d a r i 5

o ra n g a n g g o ta a d a la h C (2 5 ,5 ) = 5 3 1 3 0 c a ra .

38

C o n to h 9 . D i a n ta ra 1 0 o ra n g m a h a s isw a T e k n ik In fo rm a tik a A n g k a ta n

2 0 0 2 , b e ra p a b a n y a k c a ra m e m b e n tu k s e b u a h p e rw a k ila n

b e ra n g g o ta k a n 5 o ra n g s e d e m ik ia n s e h in g g a :

(a ) m a h a s isw a b e rn a m a A s e la lu te rm a su k d i d a la m n y a ;

(b ) m a h a s isw a b e rn a m a A t id a k te rm a su k d i d a la m n y a ;

(c ) m a h a s isw a b e rn a m a A s e la lu te rm a su k d i d a la m n y a , te ta p i B t id a k ;

(d ) m a h a s isw a b e rn a m a B s e la lu te rm a su k d i d a la m n y a , te ta p i A t id a k ;

(e ) m a h a s isw a b e rn a m a A d a n B te rm a su k d i d a la m n y a ;

( f ) s e tid a k n y a s a la h s a tu d a r i m a h a s isw a y a n g b e rn a m a A a ta u B

te rm a su k d i d a la m n y a .

39


(a ) C (9 , 4 ) = 1 2 6 c a ra u n tu k m e m b e n tu k p e rw a k ila n y a n g

b e ra n g g o ta k n 5 o ra n g s e d e m ik ia n s e h in g g a A s e la lu te rm a s u k d i

d a la m n y a .

(b ) C (9 , 5 ) = 1 2 6 c a ra u n tu k m e m b e n tu k p e rw a k ila n y a n g

b e ra n g g o ta k n 5 o ra n g s e d e m ik ia n s e h in g g a A t id a k te rm a s u k d i

d a la m n y a .

(c ) C (8 , 4 ) = 7 0 c a ra u n tu k m e m b e n tu k p e rw a k ila n y a n g b e ra n g g o ta k a n

5 o ra n g s e d e m ik ia n s e h in g g a A te rm a s u k d i d a la m n y a , te ta p i B

t id a k .

(d ) C (8 , 4 ) = 7 0 c a ra u n tu k m e m b e n tu k p e rw a k ila n y a n g b e ra n g g o ta k a n

5 o ra n g s e d e m ik ia n s e h in g g a B te rm a s u k d i d a la m n y a , te ta p i A

t id a k .

(e ) C (8 , 3 ) = 5 6 c a ra u n tu k m e m b e n tu k p e rw a k ila n y a n g b e ra n g g o ta k a n

5 o ra n g s e d e m ik ia n s e h in g g a A d a n B s e la lu te rm a s u k d i d a la m n y a .

Documents

Kaidah Dasar Menghitung - si.akakom.ac.id · Contoh 5. Sandi-lewat (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar