K2pi.net---BT PT, HPT_boi Duong HSG Toan QG

Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia

VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 1

Bài tập chuyên đề:

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,

BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VĂN PHÚ QUỐC

1. Giải PT: 3 2 3 2 5 33 2012 3 6 2013 5 2014 2013x x x x x .

2. Giải BPT:

2 3 2012... 11 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 ... 2012 1

x x x xx x x x x x x x x

3. Giải HPT:

1

2

3

4

2

3

4

1

2 2 os

2 2 os

2 2 os

2 2 os

x c

x c

x c

c

x

x

x

xx

; 1 2 3 4, , ,x x x x .

4. Giải HPT:

2

2

2

30 4 2012

30 4 2012

30 4 2012

y yxz zyx xz

; , ,x y z

5. Cho 2013 số dương: 1 2 2013, ,..., 0x x x thỏa mãn:

2 21 2 2 12 22 3 3 2

2 22011 2012 2012 2011

2 22012 2013 2013 2012

..........................

..........................

x x x xx x x x

x x x xx x x x

.

Chứng minh rằng trong 2013 số đó có hai số ,a b sao cho: 12012

a b .

6. Giải HPT: 2 2 2

2012 2012 2012

33

3

x y zx y zx y z

; , ,x y z .

7. Giải BPT: 2 22012 2014 2 4028 2014 4024 4024x x x x ; x .



8. Giải HPT:

201220131 2 3

201220132 3 4

201220132012 1 2

1 2 2012

30 4

30 4.......................................

30 4, ,..., 0

x x x

x x x

x x xx x x

9. Giải HPT:

1 22

2 33

2012 11

1 20122

1 20122

..............................

1 20122

x xx

x xx

x xx

; 1 2 2012, ,...,x x x .

10. Giải HPT:

2

2

2

2

2222

x x yy y zz z tt t x

; , , ,x y z t .

11. Giải HPT:

221 1 2

222 2 3

222012 2012 1

12

12

....................................

12

kx kx x

kx kx x

kx kx x

; 1 2 2012, ,...,x x x , k là một số cho trước.

12. Cho số nguyên 3n . Giải hệ phương trình:

1 2 3

2 3 4

1 2

2012 4025 2013 02012 4025 2013 0...............................................2012 4025 2013 0n

x x xx x x

x x x

; 1 2, ,..., nx x x .

13. Giải HPT:

2013 2 2013

2012 2 2012

2013 2 2013

2 20122012

22 2 122 2 1

xyx x yx x

xyy y xx y

; ,x y .



14. Giải PT:2 2

2 2 2

3 2 2 2 3 1033 3 4 4 3

x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x

15. Giải HPT: 2012 2012 2011 2011

2x y

x y x y

; ,x y .

16. Giải HPT: 2

2 2

5 4 4

5 4 16 8 16 0

y x x

y x xy x y

; ,x y .

17. Giải HPT:

4 3 2 2

24 2 2 2

6 12 6

5 1 11 5

x x x y y x

x x y x

; ,x y

18. Giải HPT:

2 4 2 2 2 4

2 2 4 2 2

3 2 1 2

1 1 2 2 1 0

x y x y x x y

x y x x x xy

; ,x y .

19. Giải HPT:

2 2

3 3

214 2 2

92 2

xy y x y x y x y

x y x y

; ,x y .

20. Giải HPT: 4 4

2009 2013 2013 20092011

2 1

23

xy x y

x y x y

; ,x y .

21. Giải HPT:

2 2

2011 20132011 2013

1

2014

x y

x y y x x y xy

; ,x y .

22. Giải PT: 4

62

cos 23 1 tan 7cos

x xx

23. Giải HPT:

3 33 3

1 1 9

1 1 1 11 1 18

x y

x y x y

( ,x y ).

24. Giải BPT: 2 4 26 3 1 1 0x x x x ; x

25. Giải HPT:

2

2 2

1 1 4 3

12 2 3 7 1 12 3 5

x y x y x y

x x y xy y x

, ,x y .

26.Giải HPT:

4 4

2 2 2

1 1 22

1 1 3 32

y xx y

y x x yx y

, ,x y



27. Giải BPT: 3 3 2 24 6 7 12 6 2x x x x x ; x .

28. Giải BPT: 35 3 2 2 21 1x x x x x x x ; x .

29. Giải HPT:

22 2 2 2

22 2 2 2

22 2 2 2

3 1

4 1 ; , ,

5 1

x y z x x y z

y z x y y z x x y z

z x y z z x y

.

30. (VMO 1975). Giải PT:

3 3 3 3 3 3

3 3 3

3 3 . . . 02 2

y m y n y p y m y n y py m y n y py m y n y p

.

31. (VMO 1975). Không giải PT bậc ba: 3 1 0x x . Hãy tính tổng các lũy thừa bậc tám của ba nghiệm số của nó.

32. (VMO 1976). Tìm nghiệm nguyên của HPT: 12

3

x y

x y

x yy x

.

33. (VMO 1977). Giải BPT: 1 1 11 xxx x x

.

34. (VMO 1978). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho HPT sau đây chỉ có một nghiệm 2

2 2

2

1

xx x y m

x y

.

35. (VMO 1981). Giải HPT:

2 2 2 2

2 2 2 2

5024

0

x y z tx y z txz ytx y z t

.

36. (Kỳ thi đặc biệt tại Huế, 1981). Giải HPT:

1 2 1

1 2 3 2

2 3 4 3

2 1 1

1

222

...........................22

n n n n

n n n

t t at t t at t t a

t t t at t a

.

37. Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 2 2 2 2336x y z x y z .

38. (VMO 1993, bảng B). Giải BPT: 3 312 1 24x x .

40. (VMO 1994, bảng B). Giải HPT:

2

2

3 ln 2 1

3 ln 2 1

x x x y

y y y x

.

41. (VMO 1995, bảng A). Giải PT: 3 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x .

42. (VMO 1995, bảng B). Giải PT: 2 32 11 21 3 4 4 0x x x .



43. (VMO 1996, bảng A). Giải HPT:

13 1 2

17 1 4 2

xx y

yx y

.

44. (VMO 1999, bảng A). Giải PT:

2 1 2 2 1

3 2

1 4 .5 1 2

4 1 ln 2 0

x y x y x y

y x y x

.

45. (VMO 2001, bảng B). Giải HPT: 7 2 5

2 2

x y x y

x y x y

.

46. (VMO 2002, bảng A). Giải PT: 4 3 10 3 2x x .


23

23

23

2

30

16

x x x z

y y z x

z z x y

.

48. (VMO 2004, bảng B). Giải HPT: 3 2

2 2

3 498 8 17

x xyx xy y y x

.


23

23

23

2 6.log 6

2 6.log 6

2 6.log 6

x x y x

y y z y

z z x z

.

50. (VMO 2006, bảng B). Giải HPT :

3 2

3 2

3 2

3 2 53 2 53 2 5

x x x yy y y zz z z x

.


121 23

11 63

xy x

yy x

.

52. (VMO 2008). Hãy xác định số nghiệm của HPT ( ẩn ,x y ) sau: 2 3

3 3

29log .log 1x y

x y

.


2 2

1 1 21 21 2 1 2

21 2 1 29

xyx y

x x y y

.




4 4

23 3 2

240

2 3 4 4 8

x y

x y x y x y

.

55. Giải PT: 2 23 2 9 4 2 16 5x x x x .

56. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để BPT sau có nghiệm:

332

3411

sin2

mm xmxx

.

57. Giải BPT: 22 2 30 2013. 30 4 2013 30. 2013x x x .

58. Giải HPT: 2 2 2

2 2

2 32 1

x y z xy zx zyx y yz zx xy

.

59. Với giá trị nào của ,u v thì HPT:

2 2 2

42 2 2 2 2 2 2 2 2

1692 .13

4

a b cu v

a ua vb b ub vc c uc va

có nghiệm nguyên dương , ,a b c ?

60. Giải PT: 2 2 91

x xx

.

61. Giải BPT: 2

12 82 4 2 29 16

xx xx

.

62. Giải PT: 2 4 2 413 9 16x x x x .

63. Giải PT: 2

4 3 23 2 7 3 3 22

x x x x x x .

64. Giải HPT: 2 2

1 13 1 1316 169736

00

y x y xx x

x y

xy

.

65. Giải HPT: 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 0

x y z xyz

x y z y x z z x y

.

66. Giải BPT: 2

2

2 26 5

x xx x

.

67. Trong các nghiệm thực , , ,x y z t của HPT:

2 2

2 2

12

2

x yz t

xt yz

.

Hãy tìm nghiệm sao cho tổng y t nhỏ nhất.



68. Biết rằng PT: 4 22 3 1 0x x x (1) có nghiệm dương 0x . Chứng minh rằng: 90162 2x và

0x không phải là nghiệm của PT: 3 1 4x x x .

69. Giải BPT: 2 22 1 2 1 2 3 0x x x x x x .

70. Giải HPT:

2

2

2

4 8

4 8

4 8

x y y

y z z

z x x

.

71. Giải PT: 3 23 1 5 2 10 34 40x x x x x x .

72. Giải HPT: 2

2

3 2 3

3 2 3

x x y

y y x

74. Tìm m để BPT:

2

2

1 12 sin sin 7sin sin 2

1 13 sin sin 12sin sin

x xx x

x x mx x

vô nghiệm.

75. Giải PT: 2 2 211 14 9 11 2 3 17 2 3 2 2 2x x x x x x x .

76. Giải HPT:

2 22 2

2 22 2

2 21 11 1 1 1

11 11 1

x yx yy x x y

x yx yx y

.

77. Giải PT: 33 23log 1 2 logx x x .

78. Giải HPT: 2 1

2 1

2 2 2012 1

2 2 2012 1

y

x

x x x

y y y

79. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

5 1 5 1

2

7 7 2012 20122 2 3 0

x x x xx m x m

80. Giải HPT: 2 2

2

2 1xyx yx y

x y x y

.

81. Giải HPT: 2 32

2 2 2 2

log 5log 2

1 3

x y x y

x y x y

.

82. Giải PT: 338sin 1 162sin 27 0x x



83. Giải HPT: 3 2

2 1 3

4 1 9 8 52 4

x y

x x y x y xy

.

84. Giải HPT:

4 4 2 2

4 4 2 2

2 6

2

8 6 0

x y x y x yy x y x y x

x y x

.

85. Giải HPT: 1

1 1 3

xy xy x

y y yx x x

.

86. Giải HPT:

3 2 2 3

2 2

1 2 30

1 11

x y y x y y xy

x y x y y y

.

87. Giải HPT: 2

4

16 2 3

x y x y x y

x y x

.

88. Giải HPT: 2

2

2 2 1 34 2

2 2 1 34 2

x x y xy x

y x y xy y

.

89. Giải HPT:

23

3

1 4 2 1 log 1log 3

1 log 1 2 2

xx

y

x

y

y

.

90. Giải HPT: 2 2

2 2

72 1 2 12

7 6 14 0

x y xy

x y xy x y

.

91. Giải HPT:

2 2

1 2 2

1 1 3 1

y xx yx

y x x

.

92. Giải HPT:

6 2 3 3

2 3 3 6 3 4

x x y yy

x x y x y

93. Tìm các số ; ; ;x y z t thỏa mãn HPT: 2 2 2 2

3 3 3 3

2 2 2 2

1250252

2

x y z tx y z tx y z tx t y z xyzt

.

94. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT: 2 2

4 6 9 6313

x y x y

x y

.



95. Giải BPT: 2

35121

xxx

.

96. Tìm tất cả các cặp số thực ;x y thỏa mãn BPT: 2 11x y x y .

97. Xác định tất cả các nghiệm số nguyên của PT vô định: 3 2 2 3 2 28 1x x y xy y x xy y .

98. Tìm tất cả các số tự nhiên ,x y thỏa mãn PT: 43361 11296320x y .

99. Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất: 341 2 1 2 1x x m x x x x m .

100. Giải PT: 6 5 4 3 216 16 20 20 5 2 7 0x x x x x x .

101. Giải PT: 2 2 2 452 5 4 40 54

x x x x x x .

102. Cho , , , 30;4 1 0\ ; 4;1a b c d là bốn tham số đôi một phân biệt và , , ,x y z t là các ẩn số.

Hãy giải HPT:

130 4 14 10

130 4 14 10

130 4 14 10

130 4 14 10

x y z ta a a a

x y z tb b b b

x y z tc c c c

x y z td d d d

.

103. Cho 1k . Giải HPT:

3 2

2

2

4 8

4 8

x y z kx y z k k

x y z x ky z k k

x y z x y kz k

.

104. Tìm tất cả các cặp ;x y với ,x y thỏa 31 2 12

x y y x xy .

105. Tìm tất cả các bộ ; ;x y z với , ,x y z là những số nguyên thỏa mãn HPT: 3 3 3

33

x y zx y z

.

106. Tìm m để HPT:

16

25

36

x y xy xy

y z yz yz

z x zx zx

xy yz zx m xyz

có nghiệm , , 0x y z .



107. Giải HPT:

3 2

3 2

3 2

2

2

2

12012

12012

12012

x x

y y

z z

y

z

x

.

108. Tìm tất cả các bộ ba số dương ; ;x y z thỏa HPT:

2012 2010 2010

2012 2010 2010

2012 2010 2010

222

x y zy z xz x y

.

109. Giải HPT:

2 2

2

2 2

23 8 8 8 2 4 2

x y y x z

x x y yzx y xy yz x z

.

110. Giải HPT:

20121 2 3

20122 3 4

20122011 2012 1

20122012 1 2

..................

x x xx x x

x x xx x x

.

111. Giải HPT:

3 2

3 2

3 2

6 12 8 06 12 8 06 12 8 0

y x xz y yx z z

.

112. Giải HPT:

2

2

2

111

x yy zz x

..

113. Giải HPT: 2 3 2 1

2 3 2 1

x y y x x x

y x x y y y

.

114. Giải HPT:

3 2 2

3 2 2

3 2 2

2 3 182 3 182 3 18

x x y yy y z zz z x x

.

115. Giải HPT: 2012

1 13 2 2 2

x y z

x y x y z

.



116. Giải HPT: 2 3 2 3

2

6 6 5 2 6 4

2 21

x x x x x x

xx y

.

117. Giải HPT:

2

2

131

13

ax a y a z a

aa x a y a za

1a .

118. Giải HPT: 1 2 2012

1 2 2012

20131 1 ... 1 2012201220111 1 ... 1 20122012

x x x

x x x

.

119. Giải HPT:

1 1 12

1 1 13

1 1 14

x y z

y z x

z x y

.

120. Giải HPT:

4

4

21 24

21 14

x yx

x y

x yy

x y

.

121. Giải PT: 4 3 232 80 50 4 3 4 1 0x x x x x .

122. Giải HPT:

2

2

2

53

313

x y z

y z x

z x y

123. Giải HPT: 3 3 2

4 4

8 4 12 8 2 0x y xy

x y x y

.

124. Giải HPT:

2 2

2 2

2 2

1 1

1 1

1 1

x y z x yz

y z x y zx

z x y z xy

.



125. Tìm số a lớn nhất để PT: 4 3 2 0x ax bx cx d ; ; ;a b c d có 4 nghiệm 1 2 3 4; ; ;x x x x thỏa 2012 2012 2012 20122 2 2 2

1 2 3 4 4x x x x . Trong trường hợp đó hãy tính ; ;b c d .

126. Giải PT: 3 2 3 3 26 12 7 9 19 11x x x x x x .

127. Giải HPT: 2

2

12 2 4

1 2 5 2

x y

y y x

.

128. Giải HPT:

2 22

15 5 3

1 1 2 32

x yx

x yx

.

129. Giải PT: n n n na x a x b x b xa x a x b x b x

( với ,a b là các số thực dương )

130. Định m để hệ sau có nghiệm: 2 2 2 0

04 4

3 4 5x y x y mx y

.

131. Giải HPT:

1 2 6

2 3 12

3 1 8

u v

v t

t u

; , ,u v t .

132. Giải PT: 6 6 5 5 12 0x y y x x y xy ; ,x y .

133. Giải HPT:

1 2 2 3

2012 2013 2013 1

2013 1 1 2

1 2

2...

2

22013, 0

x x x x

x x x x

x x x xx x

.

134. Giải HPT: 2 2

2 2

2

2

x y y x

x y x y

.

135. Giải HPT:

21

221

22

322

2

12

21

21...

21

n

n

x xx

x xx

x xx

.

136. Giải PT: 3 2 33 3 3 5 1 3x x x x .



137. Giải HPT:

2 2

2

22 8

4 3

x yz z x y

z y x

.

138. Giải PT: 22 374 1 9 26 03 3

x x x .

139. Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 22 2 2 1 1y x x x x

140. Giải PT: 42 2 2 2 1x x .

141. Giải HPT:

2 2

2 2

2 2

2 1 9

2 1 9

2 1 9

x y y y

y z z z

z x x x

.

142. Giải HPT: 3 3 3 2

2 2 2 2

16 9 2 4 3

4 2 3

x y y xy y xy

x y xy y

.

143. Giải PT: 4 244 1 8 3 4 3 5x x x x x . 144. Tìm các cặp số nguyên ;x y thỏa: 2010 2010 1340 670 2y x x x .

145. Giải HPT:

2 2 2 3 132 3

9

x x y y z z

x y y z z x x y z

.

146. Tìm các bộ ba ; ;x y z nguyên dương sao cho: 2 2 2

20112011

x yy zx y z

.

( Ký hiệu , lần lượt là tập hợp các số hữu tỉ , tập hợp các số nguyên tố).

147. Giải PT: 2 2 2 444 4 1 2 3 16 5x x x y y x y .

148. Biết HPT: 3 3 3

4 4 4

31535

x y zx y zx y z

có một bộ nghiệm ; ;x y z thỏa 2 2 2 10x y z .

Hãy tính 5 5 5x y z .

149. Giải PT: 4 2 2 2 2 2 22

14 16 9 2 2x y x y x y y xx

với 0x .



150. Giải HPT:

3 2 2

2 2

2 3 2 3

3 3 2

36

x x z z

y y x xy z zz

.

151. Giải HPT:

4 2 3 6

2 3 6

1 . 2 . . 1024

4 16 8 161; 2; 0; 0

x y z t

x z y t xx y z t

.

152. Tìm ; ;x y z thỏa mãn PT: 2 2 2 2 23 6 2 3 18 6 0x y z y z x .

153.(USAOP 1990). Giải HPT: 1 1 13 4 5

1

x y zx y z

xy yz zx

.

154. Tìm mọi cặp số thực ;x y thỏa hệ: 22

6 3 2 2 3

3 3 2

2142

1 2

y y x xy x y

xy y x x y

.

155. Tìm nghiệm nguyên của HPT: 3 3 3

2 3 2

2 1 1 6 2 3

x y z

x y z

.

156. Cho HPT: 2012

2 20123 2012

y xz yw z

. Tìm nghiệm ; ; ;x y z w sao cho ; ; ; 0x y z w và x có giá trị bé nhất.

157. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:

3 2 2 2 3 2 2 32 3 12 8 8 8 2 2 40 0x y z x y yz z x y y z z y z .

158. Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 2012 2011 22011 4023 2012x y

x y y x z

.

159. Giải HPT: 2 2 2

7 7 7

050350

x y zx y zx y y

.

160. Gọi 1 2 3; ;x x x là ba nghiệm phân biệt của PT: 3 1 0x x . Tính tổng 11 11 111 2 3x x x .

161. Giải HPT: 20121 2 3 42012

1,10i i i i ix x x x x

i

với 11 1 12 2 13 3 14 4; ; ;x x x x x x x x .

162. Giải PT: 2 2 24 3 4 sin 2cos 13 4cos2

x yx x x y x y .

163. Giải PT: 1201 2 120 1 2 1201 1 ... 1 1 1 ... 1 2x x x x x x trên đoạn 1;1 .



164. Giải HPT: 1 1 2 2

1 2

1 2

...

...

n n

n

n

x ax a x ab b b

x x x a

.

165. Giải HPT:

1 2 3

2 3 4

98 99 100

99 100 1

100 2 1

00

.......................0

00

x x xx x x

x x xx x xx x x

.

166. Giải HPT:

2 2

2 2

2 2

372819

x xy yx xz zy yz z

.

167. Giải HPT: 2 2 2

1361

2

x y zx y zxy xz yz

.

168. Giải HPT:

2 2 2

472

x y zxy yz zxz x z y

.

169. Giải HPT:

2

3

xy x y zxz x y z

yz x y z

.

170. Giải HPT:

2 2 2 5060

4 5 20 0

x y zxyzxy x y

.

171. Giải HPT: 4 4 4

1x y zx y z xyz

.

172. Giải HPT:

3 3 2

3 3 2

3 3 2

14

21

7

x y x y z xyz

y z y z x xyz

z x z x y xyz

.

173. Giải HPT:

1 2

1 3

1

1

1 01 0.................1 01 0

n n

n

x xx x

x xx x

.



174. Giải HPT:

1 2 1 3 2 3 4

1 2 1 4 2 4 3

1 3 1 4 3 4 2

2 3 2 4 3 4 1

2222

x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x

.

175. Giải PT: 2 3sin 2 sin sin 1 3 3sin 1 1x x x x .

176. Giải HPT:

2

17 3 5 3 14 4 0

2 2 5 3 3 2 11 6 13

x x y y

x y x y x x

.

177. Gọi ; ;x y z là nghiệm của HPT: sin os 2

2 3 13 7

x yc z x y z

x y z

với 3;2

.

Hãy tính .x y z .

178.(AIME 1984). Xác định 2 2 2 2x y z t biết ; ; ;x y z t là nghiệm của HPT sau: 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

12 1 2 3 2 5 2 7

14 1 4 3 4 5 4 7

16 1 6 3 6 5 6 7

18 1 8 3 8 5 8 7

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

.

179. Giải HPT:

21 2 3 2 4 5 2

22 3 4 3 5 1 3

23 4 5 4 1 2 4

24 5 1 5 2 3 5

25 1 2 1 3 4 1

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

.

180. Giải HPT:

2 4 7

2 4 7

1 1 1 1

1 1 1 1

x x x y

y y y x

.

181. Giải PT: 22 12 2 1 2 2 2 2x x xx x .

182. Tìm tất cả các cặp số nguyên ;x y thỏa mãn: 23 3x y x y .

183. (Korean Mathematics Competition 2000). Giải PT: 2 3 4 6 9 1x x x x x .

184. Giải PT: 21 2 3 4 5 360z z z z z ; z .



185. Giải PT: 2 2x y z u v x y z u v .

186. Giải PT: 4 16 ... 4 3 1nx x x x x (*)

187. Giải PT: 21 2 1 21 2 4 ... ...

2n nx x n x n x x x .

188. Giải HPT:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 14 14 14 14 1

y u v w xx u v w yx y v w ux y u w vx y u v w

.

189. Giải HPT:

4 3

4 3

8 4 1 16 3

8 4 1 16 3

x y x

y x y

.

190. Giải HPT: 2 2

2 2

72 1 2 12

7 6 14 0

x y xy

x y xy x y

.

191. Giải PT: 244

11 5 21

x x xx x

.

192. Giải PT: 3 2 3 312 46 15 5 1 2 1x x x x x .

193. Giải HPT: 2 2

3 3 14

14 36

x y x y xy

x y x xy y

.

194. Giải HPT:

4 4

4 2 2 42 2

121 1224

122 12114

x yx yxy

x yx x y yx y

.

195. Giải HPT: 4 3 2 2 3 4

3 4

2 2 12 8 1 02 1x x y x y xy y

x y y

.

196. Giải PT: 3 2 31 2 0x x x .

197. Giải HPT:

2 22

2

3 2

11

3log 2 6 2log 2 1

y x xey

x y x y

.



198. Giải HPT: 6 4

sinsin

10 1 3 1

5;4

,

x y xey

x y

x y

.

199. Giải PT: 14 6 213 39 13 6 133125. 13 25. 4 3125 4 5. 3125 0x x x .

200. Giải PT: 2 2 2 2 2 22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos25 25 21 21 4 4x x x x x x .

201. Giải HPT:

3

2 2

2 3

2 2 9 4

40

y x

z y y y

x z xz

.

202. Giải HPT:

3

2 2

3 3 2

4 8

02 3 5 16

x y

z y yz x x x

z

.

203. Giải HPT:

2

3

4

yz zx xy xyz

zx xy yz xyz

xy yz zx xyz

.

204. Giải HPT:

2

2

2

4

4

4

x y y z xy z

y z z x yz x

z x x y zx y

.

205. (HSG tỉnh Thừa Thiến Huế năm 2009-2010). Giải HPT: 17 5

9 4 17

log 3 2 log 3 2 1

x y

x y x y

.

206. (HSG tỉnh Gia Lai năm 2009-2010).

Giải PT: 1 os2 2cos 2 2009.cos1 cos sin os2 3cos sin 2cos 2 os3 sin 3 2010

c x x xx x c x x x x c x x

.

207. Giải HPT: 2

3

2 2 1 4

4 0

y x

z y y y

x z x

.

208. Giải HPT:

2 2

3 4 2

4 6 4 2

2 1

3 1

4 1

x y x

y z y y

z x z z z

.



209. Giải PT: 2

1 11 13

2

1 1ln 1 ln 1 1x x

x x xx x

( với 0x ).

210. Giải PT: 2

6 22012 6 2

4 2log 3 11

x x xx x

.

211. Giải HPT:

1 1 1 3 3

17 227

x y zx y z

xy yz zx xyz

.

212. Giải HPT:

2013 2012

2014

2 2

4 4 2

1

2

2

2014z x y

x y xy z z

x y z

x y z

.

213. Giải HPT: 2

1 1 1 1 1 1

log 1

9 6 3 6 3 9x y x y x y x y x y x y

x x y

.

214. Giải HPT:

2013

3 1 13 3

2 22 2

3 21log log 2 log 9 4

2

log 2 log

x y

y yz y

x z x

để tìm nghiệm 0 0 0; ;x y z thỏa 0 0z .

215. Chứng minh rằng m , HPT sau có nghiệm duy nhất 3 2

2 3

4

2 22x y m yx y x yy

.

216. Giải HPT:

2

2

3

4 2

4

6 4 2

21

31

41

x yx

y zy y

z xz z z

.

217. Giải HPT:

3 2 2

3 2 2

3 2 2

3 3 3

3 3 3

3 3 3

x y y y

y z z z

z x x x

.



218. Tìm nghiệm nguyên dương của HPT:

1 2 31 2

2 3 42 3

2012 2013 12012 2013

2013 1 22013 1

2013

2013

...2013

2013

x x xx x

x x xx x

x x xx x

x x xx x

.

219. Cho 1a , hãy tìm tất cả các bộ ba số thực ; ;x y z sao cho 1y thỏa PT:

222 3 3 8 4

log log 02a az y

xy x y xyz

.

220. Giải HPT:

22 2

2

3 2

92 6 ln

9

2 1

y yx y x xy yx x

x x y

.

221. Giải HPT:

11

11

11

yxx

zyy

xzz

.

222. Giải HPT:

3 2 3

3 2 3

2 3

2 3 182 3 182 3 18

x x y yy y z zz z x x

.

223. Giải PT: 2012 2 2012 2sin . sin 2012 cos 1 os 2cos 2013 cos sin 1x x x c x x x x .

224. Giải HPT: 2 2

2 2

2 22 2 1

2 22 2 1

x x y y y

y y x x x

.

225. Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau:

3 2 2 3 2 22 23 3

3 1 4 3 1 48 16

2 2x x x x x x x x

y z

với điều kiện: 2 10y x

226. Giải HPT:

2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 11 1 1

1

x y y z z xx y x y y z y z z x z xxyz

.



227. Giải HPT: 2 2

1 3 5 1 3 5

80

x x x y y y

x y x y

.

228. Giải HPT: 4 2

2 2

69781

3 4 4 0

x y

x y xy x y

.

229. Giải HPT:

5 4 2

5 4 2

5 4 2

2 22 22 2

x x x yy y y zz z z x

.

230. Giải HPT:

1

22

ln 11 1

1 log 1 1

y

x yxe

xx y

.

231. Giải HPT:

2 2

2

2 2 1

2

3 9 2 2

3 2 29

x y

x y

y x

x y

.

232. Giải HPT:

2 216 2 8 2

2 2 2

4 3 1 4 3 4 8 17

1 4 3 8 ln 3 3 0

x y yx x y y y

y x x x x x

.

233. Giải HPT: 6 4

3 2

18 32

4

x xy y x

x x y y

.

234. Giải HPT:

22 2 23 3

2 23

log 2 1 log 4 4 2 1 3 4 2 1

log 2 4 4 1 1 2

x x y x x x y x y x xy

x x x

.

235. Giải HPT: 2 22012 2012 2012

6 2 1 4 6 1

x x y y

x x xy xy x

.

236. (Russia). Giải HPT:

sin 2sin 0

sin 2sin 0

sin 4sin 0

x x y z

y x y z

z x y z

.

237. (Moscow). Giải HPT với n = 100

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 2 2 2 ... 2 13 4 4 4 ... 4 23 5 6 6 ... 6 3

...3 5 7 9 ... 2 1

n

n

n

n

x x x x x xx x x x x xx x x x x x

x x x x x n x n

.



238. (Moscow 1962). Cho HPT:

1 2 3 1962

1 2 3 1962

1 2 3 4 1962

1 2 3 1961 1962

... 1... 1

... 1...

... 1

x x x xx x x xx x x x x

x x x x x

. Tìm giá trị của 25x .

239. (Moscow). Tìm tất cả các nghiệm dương của hệ:

21 2 3

22 3 4

23 4 5

24 5 1

25 1 2

x x xx x xx x xx x xx x x

.

240. (Moscow). Giải HPT:

1 2 3 4 5 6 7

2 5

3 6

4 7

1 5

2 3

3 4

150435253

52480135

x x x x x x xx xx xx xx xx xx x

.

241.(Moscow). Giải HPT:

2 2 22 2

2 22 2

os os

os

21

21

os

3

1

c x y c a ax y

x yc c ax y

.

242. (Hungari). Giải HPT: 2

2 2

24 25 73 25 35 02 2 7 0

x xy x yx y x y

.

243. (Austria - Poland).Tìm bộ bốn số ; ; ;x y u v thỏa mãn HPT:

2 2 2 2 4

21

x y u vxu yv xv yuxyu yuv uvx vxyxyuv

.

244. (England 1975). Chứng minh rằng với n tùy ý, tồn tại đúng một bộ số 1 2; ;...; nx x x thỏa PT:

2 2 2 21 1 2 1

11 ...1n n nx x x x x x

n

.

245. (IMO 1966). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và mọi số thực x sao cho

0 s 1;2;i ..n 2 .n nx ta có: 1 1 1... cot cot2

sin2 sin 4 sin2n

nx x

x x x .

246. (IMO 1966). Cho 1 2 3 4, , ,a a a a là bốn số thực khác nhau cho trước.



Giải hệ phương trình sau:

1 2 2 1 3 3 1 4 4

2 1 1 2 3 3 2 4 4

3 1 1 3 2 2 3 4 4

4 1 1 4 2 2 4 3 3

1

1

1

1

a a x a a x a a x

a a x a a x a a x

a a x a a x a a x

a a x a a x a a x

.

247. (IMO 1968). Cho hệ phương trình với các ẩn số 1 2; ;...; :

nx x x

21 1 222 2 3

21 1

21

.........................

n n n

n n

ax bx c x

ax bx c x

ax bx c x

ax bx c x

trong đó , ,a b c là những số thực và 0a . Chứng minh rằng:

a) Hệ không có nghiệm thực nếu 21 4 0b ac .

b) Hệ có nghiệm duy nhất nếu 21 4 0b ac .

c) Hệ có hơn một nghiệm thực nếu 21 4 0b ac .

248. (IMO 1972). Tìm tất cả các nghiệm thực dương của hệ:

2 21 3 5 2 3 5

2 22 4 1 3 4 1

2 23 5 2 4 5 2

2 24 1 3 5 1 3

2 25 2 4 1 2 4

0

0

0

0

0

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

249. (IMO 1976). Cho số nguyên dương n và 2n m . Với mọi ,i j thỏa mãn điều kiện: ,11 i n j m . Gọi

ija là các số nhận giá trị 0;1; 1 . Xét hệ phương trình:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

.... 0

...........................................

... 0

m m

m m

n n nm m

a x a x a x

a x x x a x

a x a x a x

Chứng minh rằng hệ này có một nghiệm 1 2; ;...;

mx x x sao cho các thành phần , 1,

ix i m là các số

nguyên không đồng thời bằng 0 và , 1,i

m i mx .

250. (IMO 1965). Cho hệ phương trình: 11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

0

0

0

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

với các hệ số thỏa mãn các điều

kiện sau đây: (i).

11 22 33, ,a a a dương



(ii). Tất cả các hệ số còn lại đều âm (iii). Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là dương.

Chứng minh rằng: nghiệm 1 2 3

0x x x là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ấy.

251. (IMO 1965). Tìm bốn số thực 1 2 3 4; ; ;x x x x sao cho mỗi số cộng với tích các số còn lại đều bằng 2.

252. (IMO 1965). Tìm tất cả các giá trị 0;2x sao cho: 1 sin2 12cos sin2 2xx x .

253. (IMO 1963). Tìm tất cả các nghiệm 1 2 3 4 5; ; ; ;x x x x x của hệ phương trình:

5 2 1

1 3 2

2 4 3

3 5 4

4 1 5

x x yx

x x yx

x x yx

x x yx

x x yx

.

trong đó y là tham số. 254. (USA 1995). Giả sử , ,a b c là các số phức và các nghiệm z của phương trình

3 2 0x ax bx c thỏa 1z . Chứng minh rằng phương trình 3 2 0x a x b x c có ba

nghiệm w thỏa 1w .

255. (IMO 1963). Với những giá trị nào của p thì phương trình: 2 22 1x p x x có nghiệm thực? Hãy tìm các nghiệm đó.

256. (IMO 1961). Giải hệ phương trình: 2 2 2

2

x y z a

x y z b

xy z

trong đó ,a b là những số cho trước.

Các số ,a b phải thỏa mãn điều kiện gì để các nghiệm ; ;x y z của hệ là dương và khác nhau?

257. (IMO 1961). Giải phương trình: os sin 1n nc x x với n . 258. Giải phương trình:

2 2 2 2 2 2sin sin sin os os os196 16 100 100 16 196x x x c x c x c x . 259. (IMO 1973). Cho phương trình: 4 3 2 1 0x ax bx ax có ít nhất một nghiệm thực, với ,a b là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2a b .

260. (Canada 1996). Giải hệ phương trình:

2

2

2

2

2

2

4

1 44

1 44

1 4

xy

xy

zy

zx

z

.

261. (IMO Shortlist 2007). Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

2 2

3 1 3

3 1 3

3 1 3

x y y y

y z z z

z x x x

.

262. (Romania 2008). Xác định số nguyên x sao cho: 3 2log 1 2 log 1x x .



263. (THPT chuyên Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 2004). Tìm nghiệm ; ; ;x y u v của hệ PT sau:

2 2

3 3

2

3

5

9

u v

ux vy

ux vy

ux vy

.

264. (Poland 1997). Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

32 2 2 2 2 2

3 1x y z

x y y z z x xyz x y z

265. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực dương 1 2

, , ,...,n

x x x x

sao cho: 1 21 2

log log ... log log log ... logn

n

x x xxx xx xx

x x x

1 2log log ... log

nx x x .

266. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực , ,a b c sao cho: ax by cz bx cy az cx ay bz x y z , , ,x y z .

267. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm các số thực của hệ phương trình:

3 3 3

7 7 7

0

18

2058

x y z

x y z

x y z

.

268. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực của hệ phương trình: 8

23

28

12

a b

ab c d

ad bc

cd

269. (diendantoanhoc.net) . Giải phương trình:

4 3 22

2

3 9 17 11 81 3

3 4 5

x x x xx x

x x

270. (diendantoanhoc.net). Giải hệ phương trình: 1 1 1 16 3 2x y z xyz

y z x xyz

.

271. (diendantoanhoc.net). Giải hệ phương trình:

2

2 2 2

6

1 2 9

3

x y z

xy xy

x y z

272. (diendantoanhoc.net). Giải phương trình sau: 1 1 2 1 ... 1

... 1 . 01 1.2 1.2.3 !

nx x x x x x x x nxx

n

.



273. (diendantoanhoc.net). Giải hệ phương trình sau:

3

3

3

3 6

2 25

1 1

x y

y z

z x

.

274. (diendantoanhoc.net). Giải hệ phương trình: 4 4

6 6 4 4

2012 3

2012

x y xy

x y x y

275. (VMO 2013). Giải hệ phương trình với ,x y :

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 20sin cos

sin cos

1 1 20sin cos

sin cos

yx y

x yx y

xy x

x yy x

.

276. (MSS 2013). Giải hệ phương trình:

1 2 2012

1 2 3 2012

1 2 3 4 2012

1 2 2011 2012

... 1

... 1

... 1

..........................

... 1

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x

.

277. (Gzeta, Romania). Giải hệ phương trình: 2 2

2 2

2 2

1 1 1

1 1 2

1 1 3

x y y x

y x z y

z x x z

; , ,x y z .

278. Giải phương trình: 42 2 21 2 1 2 2 1 2 4 1x x x x x x x .

279. Giải phương trình: 2428 27

2 27 24 1 63 2

x x x .

280. (Romania 2002, Titu Andreescu). Tìm tất cả các số thực , , , , 2;2a b c d e thỏa hệ phương

trình: 3 3 3 3 3

5 5 5 5 5

0

0

10

a b c d e

a b c d e

a b c d e

.

281. (Crux-Canada 1999). Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

311

2x y y z z x x y z xyz .

282. (Crux-Canada 1999). Cho 1n là một số nguyên dương lẻ. Giả sử rằng các số nguyên dương

1 2, , ...,

nx x x thỏa mãn hệ phương trình:



2 22 1 2 1

2 23 2 3 2

2 21 1

2 1

2 1

............................................

2 1n n

x x x x n

x x x x n

x x x x n

Chứng minh rằng: hoặc 1 n

x x hoặc tồn tại j với 1 1nj sao cho 1j j

x x . 283. (Iranian MO 1995, Crux - Canada 2002). Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm tất cả các số

thực , ,x y z thỏa hệ phương trình sau: 2 2 24

x y z a b c

xyz a x b y c z abc

.

284. (Austrian-Polish MO 1993, Crux-Canada 1997). Xác định tất cả các nghiệm thực , ,x y z của hệ

phương trình:

3

3

3

3 4

2 6 6

3 9 8

x y x

y z y

z x z

.

285. (Crux-Canada 1996). Xác định tất cả các số thực , , 1x y z thỏa mãn phương trình:

3 3 32 2 2 2

1 1 1x y z x y z

x y z

.

286. (Crux-Canada 1996). Tìm tất cả các số thực x và y thỏa hệ phương trình: 2 2

2 2 128

2 2

x y x y

x y

287.(Saigon 2012) Giải hệ phương trình :

1

22

2

( 1)

2 9 64 18 20 1

2 9 8

y xx y

x xx x y

x x

; ,x y

288. (Haiphong 2012). Giải hệ phương trình : 3 2

2 2

3 6 3 49

8 10 25 9

x xy xy x

x xy y y x

289.(Nghean 2012)

a) Giải hệ phương trình

2 2

2 3 2

8 16

28 3 3 4 2

xyx yx y

x x x x yy y

b) Giải phương trình : 32 2 3 22 4 1 2 3 2 9 4 4x x x x x x x

290.(Ninhbinh 2012). Giải hệ phương trình 3 3

4 3 3 2 2( ) 7

9 9

x y x

x x y y y x x y x

291. (Hatinh 2012). Cho các số thực , ,a b c thỏa 0a b c . Chứng minh rằng phương trình sau có

nghiệm duy nhất : 0a bx a x bx c

.



292. (Binhdinh 2012) a) Giải phương trình 22 4 2 5 1x x x x

b) Giải hệ phương trình : 3 3 2

2 2 2

3 3 2 0

1 3 2 2 0

x y y x

x x y y

293. (Hanoi 2012)

a) Giải phương trình : 4 21 1x x

b) Giải hệ phương trình : 2 2

5 32 1

1 0

x y xy

x y

294. (Namdinh 2012).

a) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2

2

2 1

2 1

x y m

y x m

b) Giải hệ phương trình : 4 2 2

2 1

x y x y

x y x y

295. Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

3 3 2 6

3 3 2 6

3 3 2 6

x y z y z x

y z x z x y

z x y x y z

b)

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

6 6 4 6

6 6 4 6

6 6 4 6

x y z y z x

y z x z x y

z x y x y z

296. Giải hệ bất phương trình sau: 6 8 10

2009 2011 2013

1

1

x y z

x y z

297. Giải hệ phương trình: 2 2 2

2 2 2

x y

y x

; ,x y .

298. Giải hệ phương trình: 4 2

4

2 2 6 2 2

2 2 6 8 2 2 2

x x y

x x y

; ,x y .

299. Giải phương trình: 24 6 63 1 2 sin 2 2 40 4 sin os 1 5 11x x c x .

300. (Mathematical and youth 8/2012). Giải hệ phương trình sau:



2

1 1 4

xy x y xy x y y

x y xy x x

; ,x y

301. (Mathematical and Youth 1/2013). Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

3

5 2 2 2 2 5 3

2 1 2 7 12 8 2 5

x xy y x xy y x y

x y x y xy y

.

302. (BMO 2013, Round 1). Giải hệ phương trình sau: 2

2

2

4 7 0

6 14 0

2 7 0

x y

y z

z x

.

303. (Vinhphuc 2012-2013). Giải hệ phương trình sau: 2

2

2

83 2 5 1

83 2 5 1

83 2 5 1

x x yy

y y zz

z z xx

; , ,x y z .

304. (British MO 1996). Tìm tất cả các nghiệm thực dương ; ; ;a b c d của hệ phương trình:

12

27

a b c d

abcd ab ac ad bc bd cd

.

305. (Ireland 1999). Tìm tất cả các số thực 01 x thỏa mãn:

2 2

2 2

3 18

11 1

x x x

xx x

.

306. (Hanoi). Giải hệ phương trình:

2 2

2

2 2

2 3 3 2

5 9 7 15 3

8 18 18 18 84 72 24 176

x y y x z

x x z y yz

x y xy yz x y z

307. (ĐH KHTN Hanoi). Tìm nghiệm ; ;x y z của hệ phương trình:

2 2

2 2

2 2

2 1

1 2 2 2

3 1 2 1

z x y x y

y z xy zx yz

y x x x

308. (THPT chuyên Quang Trung, Binhphuoc 2010-2011). Giải hệ phương trình sau: hệ phương trình:



2

2

2

2009 2010

2010 2011

2011 2009

x y x y

y z y z

z x z x

; , ,x y z

309. (Ukraina 1997). Tìm tất cả các nghiệm thực của hệ phương trình sau:

1 2 19974 4 4 3 3 31 2 1997 1 2 1997

... 1997

... ...

x x x

x x x x x x

.

310. (Moscow). Giải hệ phương trình:

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5 6

5 6 7

6 7 8

7 8 1

8 1 2

6

9

3

3

9

6

2

2

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

311. (Moscow). Cho 100 số 1 2 100; ;...;a a a thỏa mãn các điều kiện:

1 2 3

2 3 4

99 100 1

100 1 2

3 2

3 2

.........................

0

03

0

2

2

03

a a a

a a a

a a a

a a a

.

Chứng minh rằng: tất cả các số đã cho đều bằng nhau.

312. (Moscow). Cho 100 số dương 1 2 100; ;...;x x x thỏa điều kiện:

2 2 21 2 100

1 2 100

... 10000

... 300

x x x

x x x

.

Chứng minh rằng trong chúng ta tìm được 3 số mà tổng lớn hơn 100. 313. (Moscow). Giải hệ phương trình:

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 7

10 3 4 0

11 2 2 3 0

15 4 5 4 0

2 3 12 3 0

6 5 3 17 0

3 2 3 4 16 2 0

4 8 3 19 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

.



314. Giải hệ phương trình: 9 3 4 2

3 4 21

1 1 18 . . . 1

x y zx y z

x y z

; , , 0x y z .

315. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2

11

x xy y y yz z x xz z

x y z

.

316. (Indian MO 2011). Tìm tất cả các số thực , , 0x y z thỏa mãn hệ phương trình:

2 2 2 2 2 2

4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 3 3 3

x xy y y yz z z zx x xyz

x x y y y y z z z z x x x y z

.

317. (IMO 1979). Tìm tất cả các số thực a sao cho tồn tại 5 số thực không âm 1 2 3 4 5; ; ; ;x x x x x thỏa

mãn các hệ thức: 5

1k

k

kx a

; 5

3 2

1k

k

k x a

; 5

5 3

1k

k

k x a

.

318. (Vietnam TST 1993). Với a là số thực và 1a , giải hệ phương trình: 21 222 3

2999 100021000 1

1

1

.................

1

1

x ax

x ax

x ax

x ax

.

319. (Turkey 1995). Tìm nghiệm thực của hệ phương trình: 2 21 1 22 22 2 3

2 21 1

2 21

2

2

...........................

2

2n n n

n n

x ax b x

x ax b x

x ax b x

x ax b x

; ở đây 0b a là các số thực.

320. (Mathematical and Youth 8/2010). Cho các số thực ; ;x y z thỏa mãn hệ phương trình: 2

2

22

2 2

253

93

16

yx xy

yz

z xz x

.

Tính giá trị của biểu thức 2 3P xy yz xz . 321. (Mathematical and Youth 10/2010). Cho các số thực dương ; ;x y z thỏa mãn hệ phương trình:

2 2

2 2

2

9

16

x y

y z

y xz

.



Tính giá trị của biểu thức G xy yz . 322. (Mathematical and Youth 10/2010).

Cho các số thực ; ;x y z với 0y thỏa mãn hệ phương trình:

2

2

2

294

2

1. 2

x y

y z

y x z

Tính giá trị của biểu thức: 1 2H y x z .

323. (Mathematical and Youth 10/2010). Cho các số thực dương ; ;x y z thỏa mãn:

2 2

22

22

50

1692

1442

y z

yx xy

zx xz

Tính giá trị của biểu thức: K xy yz zx . 324. (Mathematical and Youth 8/2010). Giải hệ phương trình:

3 3 3

3 2 4

3

4 6 4 1 15

x y x y

x x x y

.

325. (Mathematical and Youth 12/2010). Giải hệ phương trình: 2

2

2

33

33

33

x yx

x yy z

yy zz x

zz x

.

326. (Mathematical and Youth 3/2011). Giải phương trình:

2 2x y z xyz xy yz zx .

327. (Mathematical and Youth 9/2011). Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

2 32 5 3 4 5 3

x y x xy yx y

x xy x xy x

328. Giải hệ phương trình: 1

1

x y z

x y z x y y zy z x y z x y

.

329. Giải hệ phương trình:

19 5 2013

19 5 2013

19 5 2013

1890

1890

1890

x y z z

y z x x

z x y y

.




1 1 1 83

1 1 1 1189

1 1 1 72827

x y zx y z

x y zx y z

x x y y z zx x y y z z

.


3 3 2 2

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2 3 3 2 1 0

2 2 3 3 2 1 0

2 2 3 3 2 1 0

x y x y x y

y z y z y z

z x z x z x

.

Documents

K2pi.net---BT PT, HPT_boi Duong HSG Toan QG