K. STRUBECKER

CASI LIMITI DI GEOMETRIE NON-EUCLIDEE (*)

I. - GEOMETRIA DELLO SPAZIO ELLITTICO.

1. La geometria ellittica dello spazio possiede come assoluto una quadrica di equazione

(1.1) *J+*»+*«+*J=0 .

(x0 : xi : x.2 : x.ò) ^ (0 : 0 : 0 : 0) sono in essa coordinate cartesiane omogenee. xQ = 0 rappresenta il piano improprio. L'equazione della quadrica assoluto in coordinate omogenee di piano (u0 : u± : u% : u9) ^ ( 0 : 0 : 0 : 0 ) è

(1.2) u* + u\+ul + ul=0 .

Di qui segue che la geometria dello spazio ellittico è perfet­tamente autoduale. La polarità rispetto alla quadrica assoluto trasforma due punti P, P/ dello spazio ellittico in due piani TI, n,

dove la distanza ellittica PP' dei punti e l'angolo ellittico jm' dei piani sono tra loro uguali.

Se P(xQ, x,L, x2, x3) è un punto, che non si trova sulla qua­drica assoluto, è possibile normalizzare le sue coordinate omogenee, mediante la condizione

^l.oj XQ-\-X^-\-X2-\-X^ = 1 .

(*)• Da un Corso di lezioni tenuto (nel 1958) all'Università di Roma.

— 142 —

Nello stesso modo è possibile normalizzare le coordinate omo­genee del piano ir (u(h uu u2, u-A) con la condizione

(1.4) ^0-+-^1 + ^1 + ^ = 1 •

Due punti P e P' di coordinate tali che Sx\ = \, Zx'^—1 possiedono una distanza ellittica s, per la quale si ha

3 (1.5) COS 5 = X0XQ + XiXì ' + X.yXo -f X.ÒX./ = I Xfil .

0

Dualmente due piani n e n di coordinate normalizzate, cioè per cui £u?—l, Zui = \, formano un angolo ellittico a, per il quale si ha :

3

(1.6) COS 0==UQUQ -\-U[ll\/-\-UilLz -\-U%U%= £ U>jU>{ -

0

2. Un movimento dello spazio ellittico è definito come una collineazione che trasforma in sé la quadrica.assoluto. La quadrica assoluto possiede due schiere rigate {si}, {s2}, di generatrici com­plesse. Ognuna di queste due schiere di rette viene trasformata in sé per un movimento ellittico continuo. In tal modo le singole gene­ratrici vengono scambiate proiettivamente fra loro.

Fra i movimenti ellittici sono da distinguersi quelli particolari nei quali vengono scambiate proiettivamente solo le generatrici di una schiera, mentre le generatrici dell'altra restano fìsse. Questi movimenti, studiati per primo da CLIFFORD, sono denominati scorrimenti di CLIFFORD dello spazio ellittico, giacché, per ogni loro sottogruppo continuo ad un parametro, ogni punto P descrive una traiettoria rettilinea. A differenza delle traslazioni di uno spazio euclideo, le traiettorie rettilinee di questi scorrimenti di CLIFFORD nello spazio ellittico, sono fra loro sghembe. Secondo che per questi scorrimenti di CLIFFORD rimane fissa l'una o l'altra delle due schiere di generatrici della quadrica assoluto, si parla di uno scorrimento destro o sinistro dello spazio ellittico.

Il più generale movimento dello spazio ellittico si può decom­porre poi in uno scorrimento di CLIFFORD sinistro ed in uno destro, che sono univocamente individuati e fra loro permutabili.

3. La più semplice rappresentazione analitica dei movimenti dello spazio ellittico si fa ricorrendo ai quaternioni di HAMILTON.

— 143 —

Si indica con tale nome il sistema di numeri ipercomplessi

(1.7) x = xQe0 -{•xie[ -f x2e2+#3e3

con coordinate omogenee reali o complesse x09 xl9 x%9 x3, e quattro unità e0, el, e2, e3, per le quali vale la seguente tabella moltiplicativa

(1.8)

• e0 • ei .e2 • e8

e 0 . e0 C| e2 e*

*i • Ci - e 0 *s — e2

e-2« e2 - e8 - e 0 ^i

e 8 . *8 — e 2 - C j - eo

Poiché la prima unità e0 per moltiplicazione si comporta come il numero 1, si può porre e 0 = l . Il prodotto dei quaternioni è associativo

(1.9) {xy)z = x(yz) ,

ma non commutativo, p. es. è

C\> — 6169 -y-~ CQCJ — ~ C^

Precisamente ad es., per i prodotti

(1.10) x = a . # x' = x-b

del quaternione .# con i quaternioni e e è si ottengono i quaternioni aventi le seguenti coordinate

(ì.n) x = a . x • fljj ==0/iXr\ —\~ aQ.xt — a^x.-) —\- a?Xo

H'o — tt.jA/n ~~y- a^Xj, -["• Un^i/9 fliXo

(1.12) x'=x • b

— 144 —

( xQ'=x0b0 — x^ — x2b2 — a3ò3

xì,=x()bì + A ; ^ -f #263 - xl}b2

x2'=x0b2 —xfiz + x.2b0 + ^ A

( tfa'=*A + xj>% — XJÌL + xBb0

Per il prodotto di due quaternioni coniugati

x=x0e0 + xìei + #2e2 + A;3e3

X X n C n " Ai .1 6.1 ~ "" A/969 ' A/.>6-.; 3°3

si ottiene, avendo posto e0 = 1,

(1.13) ^ = ^ = ^ + x] + :ii + *J = N(x) = N(x) .

Si indica tale prodotto come norma del quaternione x. Vale in generale, come per i numeri complessi ordinari, il teorema della norma

(1.14) N(ax) = N(a)-N(x) .

Perciò si può anche risolvere ogni equazione nei quaternioni

come x'=ax, rispetto ad x. Si trova cioè, poiché N(a) = aa è uno scalare, da x'=ax o x'=xb

ax c'=(ad) x/b = xbb

cioè, se aa = N(a) ^ 0,

(1.15) a x x N(a)

(N(a)^0)

X = X N{b)

(N(b) * 0)

Se a e b sono quaternioni normalizzati, cioè se

(1.16) N(a) = 1 N(b) = l

— 145 —

le soluzioni delle equazioni (10) sono semplicemente

(1.17) x=axf x^x'b .

4. Questi richiami sono sufficienti per dare la rappresenta­zione analitica degli scorrimenti di CLIFFORD e dei movimenti dello spazio ellittico.

Vogliamo far corrispondere univocamente ad ogni punto P(x(h xux2,x->) dello spazio ellittico, che non giaccia sulla qua­dri ca assoluto, un quaternione normalizzato

(1.18) x = x0e0 + xìe[ + x2e2 + %e3 , con

N(x) = xl + x> + xl + x* = l .

Parliamo allora brevemente del «punto x». Se poi anche a e b sono quaternioni normalizzati, cioè se

(1.19) N(a) = aà=l, N(b)--bb = l ,

allora le formule (11) e (12) rappresentano un autoniorfismo proiettivo della quadrica assoluto. Più esattamente la relazione

(1.20) x=ax

fornisce il gruppo £3 degli scorrimenti sinistri e la relazione

(1.21) x'=xb

il giuppo cft3 degli scorrimenti destri. Il prodotto commutativo

(1.22) x' = axb

rappresenta allora Vintero gruppo gf} dei movimenti dello spazio ellittico, che dipende in modo continuo da 6 parametri.

Per dimostrarlo formiamo la norma di x e troviamo, secondo

— 146 —

il teorema della norma,

(1.23) i V « ) =N(a) • N(x) • N(b) =N(x) .

= 1 =T

Da N(%)~0 segue quindi N(x) = Q, cioè la quadrici assoluto N(x) — 0 è trasformata in sé dalle trasformazioni del gruppo <§6.

Gli scorrimenti di CLIFFORD 23 ed Sig formano a sé gruppi continui a tre parametri con composizione bilineare dei parametri ai, e rispettivamente 6 i . Per il prodotto elei due scorrimenti sinistri

(1.24) xf =ax e x" = a'x'

si ha

(1.25) x' — a' (ax) = (afa) x = a"x

(1.26) con a"—a! a ed.d.

5. Consideriamo ora quel sottogruppo dei movimenti ellit­tici, che lascia fisso il punto (origine)

(1.27) 0 ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , o aj = e 0 = l ,

cioè studiamo le rotazioni & dello spazio ellittico intorno all'origine 0. Poiché il punto x=l deve essere trasformato in sé (x'=x=l), segue da (22) per questi movimenti

e.

(1.28) l = a - l - ò = aò , o b = ~à,

cioè la loro rappresentazione è

(1.29) x'=axa .

Questa semplice relazione nei quaternioni stabilita da CAYLEY

caratterizza il gruppo delle rotazioni dello spazio ellittico intorno al punto 0, le quali risultano identiche alle rotazioni dello spazio euclideo intorno all'origine.

Esplicitamente queste espressioni per mezzo delle coordinate

— 147 —

si scrivono:

(1.30)

V = K + of + «2 + «s) a"o = o

^ / = (ao + a\ ~~ al ~~ al) x\ + 2 («!% + Q>QCÌ»Ò) ®2 + 2 (fti^ — ^0¾) «'a

.%' = 2 ( a ^ — 0¾) #1 + (ao ~ a i + at ~~ at) ,T2+ 2 (02as + ao t ti) ^3

^ / = 2 (a^g + «oa2) ^i + 2 (%«3 — aoai) ,T2+ (a() — aì -— al •+- a§) #3 •

Queste espressioni risalgono già ad EULERO. L'asse fisso in questa rotazione & congiunge il punto 0 ( # = e 0 = l ) ed il punto x = a di coordinate (a0: a1: a.,\ a3). Per Yangolo di rotazione 99 vale la relazione

(1.31) cos<p/2= aQ.

La composizione di due rotazioni a ed a' intorno a 0, espresse da

(1.32) xf=axa e x" =afx'af

dà una nuova rotazione.

(1.33) a?" = a' (aira) a' = {afa) x (a a') = af'xa" ,

ove, essendo (a'a) = aa' per i quaternioni della rotazione, vale la semplice formula del prodotto

(1.34) a " = a ' a .

Questa è la stessa formula del prodotto come nella composi­zione delle traslazioni sinistre. Se cioè si rappresenta lo scorri­mento sinistro % = ax, relativo al quaternione a sulla rotazione

x = axa, espressa dallo stesso quaternione, allora questa rappre­sentazione di scorrimenti sinistri e rotazioni è un isomorfismo.

Nello stesso modo si possono naturalmente rappresentare gli

scorrimenti destri x = xb sulle rotazioni % = bxb, con analoga formula, del prodotto b" = b b'. Anche questa rappresentazione è un isomorfismo.

Riassumendo, un qualunque movimento dello spazio ellittico

— 148 —

rappresentato nella forma

(1.35) xf=axb

è isomorfo a due rotazioni tra loro indipendenti

(1.36) x'—axa e x'=bxb .

Otterremo subito anche una semplice costruzione geometrica per questa rappresentazione dei movimenti dello spazio ellittico con due rotazioni simultanee.

6. Si indichino le quattro coordinate (<z0, a19 a2, a3) del quaternione a = 2aiei, normalizzato da N (o) = l , come i para-

ACao^.a^)

Fig. 1

metri di EULERO della rotazione d . Se si interpretano questi parametri come coordinate omogenee di un punto A(aQ, ax, a2, a3), allora ogni rotazione d dello spazio ellittico è rappresentata su un punto A nello spazio dei parametri delle rotazioni. Il punto

— 149 —

immagine A giace così sull'asse di rotazione ed ha dall'origine 0

una distanza ellittica s = OA , che dipende dall'angolo di rotazione 99 mediante la semplice relazione

(1.37) m=»=i

Per la distanza euclidea d~OA segue allora (fig. 1) la for mula

(1.38) OA = d = ^ \ .

Questa formula risale al matematico greco STEPHANOS, che ha per primo studiato la geometria dello spazio dei parametri delle rotazioni (euclidee).

7. I punti % ed x dello spazio sono permutati dagli scorri­menti sinistri di CLIFFORD X = ax in modo semplicemente transi­tivo, e parimenti dagli scorrimenti destri x = xb. C'è allora sol­tanto uno scorrimento sinistro che trasforma x in x e parimenti soltanto uno scorrimento destro che muta x in x . Per i quaternioni a e b normalizzati di queste traslazioni da

(1.39)

e da

(1.40)

S e P o i Pik =

x =ax

xf=xb

segue

segue

a = x x ,

b = xxf

Xi Xk Xi Xk

sono le coordinate pliickeriane della retta

p = \xx'], congiungente i punti x ed x', e se s è la distanza ellittica, data dalla (5), di x da x\ allora questi quaternioni a e b che figurano nelle (39) e (40) si esprimono esplicitamente :

(1.41) a= (cos s)e0+(p0i -\~p2S) ei + (p02+p3i) e2+ (pos+Piz) e8

(1.42) ò = (coss)e0+(p01—P23)ei + (Po2— />aiK+(/><>8— P12) e3 •

150

Da ciò segue che con uno scorrimento sinistro x = ax, relativo al quaternione normalizzato a, tutti i punti x dello spazio sono spo­stati dello stesso segmento s con

(1.43) cos s = a o

dove le loro traiettorie p = [xx] appartengono ad una congruenza ellittica lineare (una congruenza sinistra) di equazioni

(1.44) a. a. a.

/>01+7>28 Pto + P*i P02 + Pl2 = 0

Queste traiettorie si dicono parallele a sinistra fra loro, nel senso di CLIFFORD. Parimenti con una traslazione destra x = xb, relativa al quaternione normalizzato b, tutti i punti x dello spazio sono spostati dello stesso segmento s, con

(1.45) COSS:

ove le traiettorie p = [xx'] parimenti formano una congruenza ellit­tica lineare (una congruenza destra) di equazione

(1.46) Poi -Pn Po2—Pai Po* — P12

= 0

Queste traiettorie si dicono parallele a destra fra loro nel senso di CLIFFORD.

Gli assi delle congruenze lineari (44) e (46) sono generatrici della quadrica assoluto. Segue così che ogni coppia di rette paral­lele nel senso di CLIFFORD incontra la quadrica assoluto in punti che appartengono alla stessa coppia di generatrici.

Ogni retta dello spazio p, di coordinate pik è contenuta — in base alle (44), (45) — in una sola congruenza sinistra ed in una sola congruenza destra. Nelle stesse due congruenze giace

anche la polare assoluta p di p. Viceversa per ogni retta p dello

— 151 —

spazio passante per un punto fisso ; p. es. Vorigine 0, c'è una ed una sola retta parallela a sinistra pt = | OA], nel senso di CLIFFORD, ed una ed una sola parallela a destra pr=\OB].

0(1,0,0,0)

Queste rette congiungono il punto 0 = (1,0,0,0) rispettivamente con i punti A =(0,aua2,a-s) (coniugato rispetto all'assoluto di O), e B = (0, b\, b2, 6S) e sono rappresentate (fig. 2) dai quaternioni

(1.47) pz= a—a/oo, pr=b=xx' .

Abbiamo così trovato una rappresentazione della retta p dello spazio ellittico sulla coppia di rette {pz, pr} di un fascio di rette di centro 0, rappresentazione trovata da FUBINI nella sua tesi di laurea (1900) e, quasi contemporaneamente e indipendentemente, da H J E L M S L E V e STUDY. Questa rappresentazione è di fondamen­tale importanza per la geometria differenziale ed algebrica dello spazio ellittico.

Questa rappresentazione di FUBINI ha ora una proprietà molto importante in teoria dei gruppi. Se si applica alla retta p = [x, x'] relativa alle due rette immagini

Pi=x'' x e pr = xx/

un arbitrario scorrimento sinistro a, si hanno dai punti x ed x \ nuovi punti

X=ax e X' = a%' .

r\(OtQvQz,Qò)

Fig. 2

— 152 —

Mediante lo scorrimento sinistro a si ottiene perciò dalla retta p—[%x'] la nuova retta P=[XX'], relativa, alle due rette im­magini di FUBINI

P^X'X e Pr = XX' ,

per le quali è

ÌPj =X'X— a%' . Xa = a (di'ce) a = ap,a

1 _ _ _ _ _

Pr = XX' = x a . ax' = x (aa) x/ = pr .

Se si sottopone invece la retta p ad un qualsiasi scorrimento destro relativo al quaternione /?, si ha per le sue due rette imma­gini Pt e Pr

(1.49) Pl=Pl , Pr=hrP •

Da ciò il teorema fondamentale della rappresentazione di FUBINI della retta p sulla coppia di rette {pL, pr) di due fasci:

ì ) Con uno scorrimento sinistro a della retta p il fascio immagine sinistra subisce una rotazione, relativa al quaternione a, (Pl = aploì), e il fascio destro resta fisso (P r= Jp r).

2) Con uno scorrimento destro fi della retta p il fascio

immagine destra subisce una rotazione (Pr = /?jpr/J), il fascio sinistro resta fisso (Pl=pl).

Con un arbitrario movimento ellittico dello spazio delle rette jp| di rappresentazione

(1.50) X=axft ,

i /asci immagine di FUBINI j pl , jo . j subiscono due rotazioni simultanee

(1.51) Pi=rxp~a e P r = ft0riff .

I due scorrimenti di CLIFFORD che intervengono in un movimento ellittico e le due rotazioni dei fasci immagine di FUBINI sono

— 153 —

perciò legate da isomorfismo. Tra le lunghezze di scorrimento ellittico sl , sr e gli angoli di rotazione cpt , cpr intercedono le semplici relazioni

(1.52) sl=^, v - l r

8. Vogliamo ora indicare l'effetto degli scorrimenti di CLIFFORD sui piani n 3 ) . Se il piano n non è isotropo, cioè se non tocca la quadrica assoluto Zu\ = 0, possiamo fargli corrispondere il quaternione normalizzato

(1.53) u = uoe0 -+- uiei -f u2e2 -\- used , con

uu = ul -f u\ + M| -h ^1 = 1 •

Uequazione del piano n

(1.54) ^o^o+ ^ i ^ i + u%oc%~\- usx%= 0

si può scrivere con i quaternioni nelle due forme

(1.55) ux-\- xu — 0 o ux-\-xu=0

Così si ottengono facilmente le seguenti rappresentazioni:

1) degli scorrimenti sinistri di CLIFFORD

(1.56) x'=ax, u'=au

2) degli scorrimenti destri di CLIFFORD

(1.57) x'=xb, u'=ub .

9. Un elemento di superficie, composto del piano u e del punto x è rappresentato da una coppia normalizzata di quaternioni (x;u) che soddisfa alla relazione di incidenza (55).

C'è allora uno ed un solo scorrimento sinistro u' = au, mediante il quale il piano u dell'elemento di superficie (u, x) è trasformato nel piano improprio u' = e0; il cui quaternione a si ottiene da

12

154

u = e0 — au ed è

(1.58) a = u

Parimenti vi è uno ed un solo scorrimento destro u = ub, me­diante il quale il piano u dell'elemento di superficie (u, x) è trasformato nel piano all'infinito u = e0; il cui quaternione b segue da u = en — ub ed è

(1.59) b=u

Il punto x dell'elemento di superfìcie (u, x) è trasformato

Fig. 3

(fig. 3) mediante questi due scorrimenti nei due punti

(1.60) xl = xu oor = ux

del piano improprio. Chiamiamo xl il punto immagine sinistro ed xr il punto immagine destro 'dell'elemento di superficie (u, x).

Questa rappresentazione dell'elemento di superficie (u,x) dello spazio su una coppia di punti {xv xr) del piano all'infinito la si

— 155 —

deve essenzialmente a FUBINI. Anche per questa rappresentazione vale il teorema fondamentale: se si sottopongono gli elementi di superficie (u, x) ad uno scorrimento sinistro di CLIFFORD

(1.61) X=ax, U=au,

allora i loro punti immagine sinistra Xi nel piano e0 subiscono una rotazione ellittica, i punti immagine destra xr restano fissi, cioè:

(1.62) Xl=axla , Xr=xr .

Viceversa, per uno scorrimento destro

(1.63) X=xfi , U=up ,

restano fisse le immagini sinistre xl e le immagini destre subiscono in e0 una rotazione ellittica, cioè

(1.64) Xl = xl , Xr = ~pxJ.

Per un qualsiasi movimento dello spazio ellittico le due immagini Xi, xr nel piano e0 subiscono rotazioni ellittiche simultanee.

Tra le lunghezze di scorrimento sz e sr e gli angoli ellittici di rotazione (pt e cpr sussistono di nuovo le formule

(1.65) s,= %, , r = f .

Dalle formule (60) segue

(1.66) u = xxl = xrx ,

e da ciò

(1.67) xr = xxlx .

Gli elementi di superficie (x, u) di un punto fisso x hanno per­ciò punti immagine Xi,xr che sono legati da una rotazione del piano ellittico.

Inversamente ad ogni rotazione (67) del piano ellittico appar-

— 156 —

tiene soltanto un punto x come punto immagine nello spazio ellit­tico, cioè quel punto x, le cui coordinate omogenee coincidono con i parametri di EULERO della rotazione ellittica. Lo spazio è perciò di nuovo lo spazio dei parametri dei movimenti del piano ellittico.

Del resto eliminando x da (60) si ottiene anche

(1.68) xr = uxtu .

Se l'elemento di superfìcie (u, x) descrive un piano fisso u, allora i suoi punti immagine xx,xr sono parimenti legati da una rotazione ellittica.

I movimenti (67) e (68) sono identici quando è x—u, cioè quando il punto x e il piano u sono fra loro polari rispetto alla quadrica assoluto.

Quest'ultima rappresentazione è di particolare importanza per lo sviluppo della geometria differenziale ellittica. Mediante essa una striscia di superficie nello spazio ellittico (u(t),x(t)) è rap­presentata su un'arbitraria coppia di curve {xi(t), xr(t)} del piano ellittico (fìg. 4), o una superficie su una corrispondenza di campi

Fig. 4

— 157 —

piani (xi) e (x,), e con ciò la geometria differenziale ellittica delle strisce e delle superficie si riflette in proprietà ellittiche di queste coppie di curve e, rispettivamente, di questi campi.

Per esempio vale, secondo FUBINI, il teorema, che i campi immagini (xi) e (x,) di una superficie x sono sempre fra loro equi­valenti (in senso ellittico).

Non ho l'intenzione di sviluppare in queste lezioni la geome­tria differenziale dello spazio ellittico, i cui risultati fondamentali si devono a BIANCHI e FUBINI, e la cui elegante rappresentazione analitica mediante quaternioni si deve prima di tutti a BLASCHKE.

Questa introduzione dovrebbe soltanto richiamare i fondamenti classici della teoria dei gruppi della geometria dello spazio ellittico. Vedremo come le rappresentazioni trovate per le rette e,gli ele­menti di superficie nei due casi limiti dello spazio ellittico, cioè nello spazio quasi ellittico e nello spazio isotropo presentano pre­cise analogie, che sono ricche di significato anche per questioni di geometria euclidea.

IL - GEOMETRIA DELLO SPAZIO QUASI ELLITTICO.

1. Lo spazio quasi ellittico, introdotto da BLASCHKE e da GRUNWALD, è un caso limite dello spazio ellittico e possiede un assoluto autoduale, consistente nei punti della coppia assoluta di piani

(2.1) xl + 4 = 0 ,

e nei piani della coppia di punti assoluti

(2.2) u\ + u\ = 0 .

È utile introdurre coordinate cartesiane non omogenee (x, y, z) e porre quindi

(2.3) xQ : x i : oc2 : # 3 = z : ce : y : 1 ,

cosicché il piano improprio sarà ora rappresentato da x$ = 0. La

— 158 —

coppia assoluta di punti (2) è ora costituita dai punti assoluti di PONCELET (fig. 5)

(2.4) / ± = ( 0 : l : ± i : 0 )

del piano z = 0 e la coppia di piani assoluti (.1) sono costituiti dai

Fig. 5

due piani complessi coniugati

(2.5) i ± ... z= ±i .

La retta di intersezione dei due piani assoluti coincide con la con­giungente dei due punti assoluti. Indichiamo questa retta

(2.6) «=[i+»_]=-[/+/J

come la retta assoluta dello spazio quasi ellittico. Parimenti, come la quadrica assoluto dello spazio ellittico pos­

siede come generatrici due schiere di rette, anche l'assoluto dello spazio quasi ellittico possiede due schiere di generatrici rettilinee cioè due coppie di fasci di rette.

La prima coppia {destra) (fig. 6 r) è costituita dalle rette del fascio di centro / + del piano i + , e del fascio di centro /_ del piano i_. La seconda coppia (sinistra) (fig. 6 1) consiste delle rette del fascio ( / + , i_) e del fascio (/_, i + ) ,

Un'arbitraria retta p dello spazio (che non interseca la retta assoluta u) incontra poi una ed una sola coppia di generatrici della

u

159 —

Fig. 6r

Fig. 6 /

— 160 —

schiera sinistra ed una ed una sola coppia di generatrici della schiera destra.

Con ciò anche nello spazio quasi ellittico si può definire un parallelismo di CLIFFORD.

Due rette dello spazio p, q che incontrano la stessa coppia di generatrici sinistre, si chiamano fra loro parallele a sinistra. Due rette p, q che incontrano la stessa coppia di generatrici destre si chiamano fra loro parallele a destra.

Mediante l'assoluto si può anche definire nello spazio quasi ellittico una metrica proiettiva.

È utile per ciò introdurre le coordinate omogenee del punto P(xo,x19X2,xs)9 che non deve appartenere all'assoluto, normaliz­zandole con la condizione

(2.7) 4 + wl=l .

Si devono allora distinguere, per la distanza quasi ellittica di due punti P , P\ due casi. La retta congiungente i due punti p = \PPf | può cioè 1) non intersecare la retta assoluta u = [J+ J_\ ovvero 2) intersecarla.

Nel caso 1) si ottiene per la distanza quasi ellittica s = PPr

la semplice formula

COS S ~ XQX$ - j - XZX% .

Punti PP\ tali che coss = 0 , cioè s = nj2 si chiamano punti ortogonali; essi sono una coppia di punti coniugati rispetto all'assoluto.

Nel caso 2) la distanza quasi ellittica è nulla : s •= 0. Perciò le rette che incontrano u si chiamano rette quasi isotrope. Si ottiene

invece la grandezza S —PPf mediante la formula

(2.9) S*=(xi—xi'Y+(x%-x%'y .

Uangolo quasi ellittico di due piani n9 ri si definisce in modo duale. Questi segmenti e angoli sono invarianti per tutti gli auto-morfismi proiettivi dell'assoluto, che si possono essenzialmente rappresentare come prodotti di scorrimenti di CLIFFORD.

2.8

— 161 —

2. Lo spazio ellittico può essere considerato, secondo STEPHA-

NOS, come lo spazio dei parametri del gruppo delle rotazioni dello spazio intorno ad un punto 0. Parimenti il gruppo dei movimenti del piano possiede come spazio dei parametri lo spazio quasi ellittico.

Si possono cioè rappresentare anche i movimenti piani secondo STUDY con quattro parametri omogenei composti bilinearmente.

Sia z=x-\-iy un punto del piano di GAUSS. Ogni movimento piano si può rappresentare mediante parametri complessi a, /5 con una trasformazione lineare

(2.10) 3f=az + p, N(a) = aa = l ,

o, se introduciamo coordinate omogenee,

Z0 °°'ò

con la trasformazione lineare omogenea

(2.12) zi/=aQZi+PQZ0 ,

zo = Qzo '

Il fattore di proporzionalità complesso Qy^O può perciò essere scelto in modo che il determinante

(2.13) D = a.Q2

sia reale. Si può per es. scrivere

(2.14) z / = (a0 — ia3) zì-\-2i(ai-\- i<%) o

zQ'= (aQ + ia.ò)zQ ,

con il determinante reale

(2.11)

(2.15) D = a20 + al .

— 162 —

Il movimento si esprime allora, se si separano reali e immaginari

(2.16) (a* + ai) 00/= (aj — af) ^ + 2a0a8®2 + 2 ( f l la8 - a0a^) 00,

(a20 + ai) x%'=- 200¾^ + (aj - oj) a2 + 2 ( c ^ + a2a3) a;3

(aJ + oS)<= (flj + al)»..

Il movimento è regolare se Z>=a§- f -o | ^0 . Le quattro grandezze omogenee (a0: ax: o2: a3) si chiamano parametri di STUDY del

Fig. 7

movimento del piano. Il loro significato geometrico è molto semplice. Se M(xm, ym) indica il centro di rotazione e <p Vangolo di rotazione, si ha cioè (fig. 7)

(2.17) a0:ai :az:a3 = c t g f : a ? m : : K m : 1

Per a3 = 0 si ottiene uno scorrimento con il vettore di scorrimento

(2.18) a - — 2 - * , 2 - i a0 a

163 —

Dai parametri aL e a/ di due movimenti piani si ottengono i para­metri a" del movimento prodotto con le formule bilineari

(2.19) a0 =a0a0 ~ «3«3

a / ' = a 0 a / + a^aj -f a2a3'— tt3a./

a 2 " = a0a3 '4- a2a0 ' + tt3ft/— a i a ; /

a3"=a0a3' +<W

Ciò si ottiene subito mediante la composizione delle trasformazioni lineari relative (14), ossia con la moltiplicazione di matrici della forma :

(2.20) a, a =

— ia.ò 2i (ftj H- ia.zy

0 a0 + ia3

3. Si possono identificare queste matrici con i numeri iper-complessi a quattro unità,

(2.21) a = «0e0 + o^i + a2e2 + a3e3 = 2 a& i »

che denominiamo quaternioni di STUDY. Per le quattro unità et

deve valere la tabella moltiplicativa

(2.22)

•Co • Ci . e.z •c8

e0 . .eo «i e-i ca

e1 . Ci 0 0 - e 2

e2 . c2 0 0 Ci

e3 . c3 Co - C i ~ c0

La prima unità e0 funge da unità 1. Ogni movimento piano corri­sponde allora univocamente ad un quaternione di STUDY. La com­posizione (2.19) di due movimenti piani a e a' porta ad un movi­mento risultante a", ottenuto semplicemente per moltiplicazione dei loro quaternioni di STUDY, cioè

(2.23) aa/ = a"

— 164 —

Se si fa corrispondere ora al punto (xim. x2'-xH) del piano il quater­nione vettoriale di STUDY

(2.24) x = a j^-f a?ge2 -f a?3e8 ,

allora si possono esprimere anche le equazioni (16) del movimento nell'unica semplice formula quaternionale

(2.25) x/=a~1xa 9

ove è

(2 26\ a~} — a°e° ^ 1 a2 e2~" a3e3 _ a _ a

a§ + al aa N(a)

il quaternione di STUDY reciproco di a, per il quale aa~l = a~l

a = e0. Inoltre è

(2.27) a = aQeQ — alei — a.ze2 — o3e3

il quaternione coniugato ad a e

(2.28) N(a) = aa = al + a*

la norma di a. N(a) 7^ 0 caratterizza i movimenti regolari e N(a) = 0 quelli

singolari. All'identità x' = x corrisponde la prima unità CL = CQ. I punti x, che non appartengono all'assoluto, devono sempre

esser rappresentati con un quaternione normalizzato x, per cui

(2.29) iV(aj) = ^ + a?5 = l

parimenti movimenti regolari a con quaternione normalizzato a, per il quale

(2.30) iV(a) = o§ + ol = l .

La formula (25) per i movimenti piani si scrive allora semplice­mente

(2.31) x'=axa .

— 165 —

4. Giungiamo allo spazio dei parametri dei movimenti piani, se i parametri di STUDY (a0: a i : a2\ a3) del movimento piano indicano coordinate omogenee di punto in uno spazio. Introdu­ciamo nello spazio anche coordinate cartesiane non omogenee (x, y, £,), ponendo

(2.32) aQ: a^. a%: a$ = z: tv: y :1 .

Agli scorrimenti piani (a3 = 0) corrispondono allora nello spazio dei parametri punti impropri e alle rotazioni ( « 3 ^ 0 ) punti propri. All'identità a^O, a1 = a2 = a3~0 (relativa al quaternione norma­lizzato a=e0) corrisponde il punto fondamentale ( 1 : 0: 0 : 0), cioè il punto improprio dell'asse z. I movimenti singolari (N(a) = al~{- al =0) hanno come immagini i punti della coppia di piani

(2.33) z 2 + l = 0 cioè ' .z=±i ,

che precedentemente abbiamo indicato come coppia di piani asso­luti dello spazio quasi ellittico.

Questa rappresentazione dei movimenti piani sui punti di uno spazio, ha importanza essenziale nella più recente geometria descrit­tiva. Ivi essa è chiamata rappresentazione cinematica.

Per indagare la struttura dello spazio dei parametri ricordiamo la formula di composizione di due movimenti piani a e, a in un movimento risultante a" che è rappresentato con la formula qua-ternionale

(2.34) a"=aa' .

Da N(a) = 1, N(a') = 1 segue per il teorema della norma

(2.35) N(a") =N(a).N(a') .

Se facciamo seguire al movimento regolare fissato di quater­nione a un movimento variabile x •= a\ si ottiene come prodotto il movimento % = d\ relativo al quaternione

(2.36) x'=ax .

Nello spazio dei parametri ai punti x corrispondono perciò i nuovi

.._ 1G6 —

punti x \ per le coordinate omogenee di questi punti si ha quindi

(2.37) #0 '=a0a?0 — a$x%

x/= a%xQ+ « 3 ^ + a0a?2 — a,#3

3 = = 3 0 ' ^0^3 *

Questa è una trasformazione lineare regolare di determinante

(2.38) 4 = ^ ( a ) ) « = (flJ + aS)« = l .

Se viceversa facciamo seguire ad un movimento variabile di quaternione x—a un movimento (regolare) fisso di quaternione b = a', si ottiene come prodotto un movimento x = a'' di quater­nione

(2.39) xf=xb

e di coordinate

(2.40) <=&0a>o - ¾ %

# / = 6 0¾ + ÒQÌCJ + bsoc2 — b2oc3

x2'= b2x0~- bzx± + ò0a?2 + 64a?3

Questa è una trasformazione lineare regolare con determinante

(2.41) 5=(JV(&))* = ( ^ + ò ! ) 2 = l -

Le formule (37) e (40) rappresentano nello spazio due gruppi con­tinui a tre parametri di collineazioni, che sono commutativi ed insieme generano un gruppo a sei parametri di collineazioni con la rappresentazione

(2.42) xf=axb

— 167 —

e di determinante

(2.43) AB=(N(a)N(b)y = ((«J + a J ) (è02 + /¾) 2 = 1 .

Si chiamano nella più recente cinematica secondo STUDY sistemi di movimenti \x\ e j#'J, quelli che dipendono fra loro dalla (42) e sono fra loro equivalenti in modo naturale. Questo concetto natu­rale di equivalenza della cinematica piana appare nello spazio dei parametri come la nozione di equivalenza del gruppo proiet­tivo (42).

5. Con le collineazioni (42) resta invariante oltre alla coppia di piani assoluti x\ + x\ = 0 anche la coppia, di punti .assoluti u>i+ul = 0. Lo spazio dei parametri è perciò uno spazio quasi ellittico e il gruppo (42) è costituito dai movimenti quasi ellittici.

Le trasformazioni proiettive (37) e (40) sono poi identiche agli scorrimenti di CLIFFORD dello spazio quasi ellittico, che sono fra loro commutativi. Più esattamente x = ax rappresenta gli scor­rimenti quasi ellittici sinistri e x= xb gli scorrimenti quasi ellit­tici destri. Ogni movimento x = axb dello spazio quasi ellittico è il prodotto commutativo di un ben determinato scorrimento sinistro e di un determinato scorrimento destro.

Con un tale scorrimento di CLIFFORD tutti i punti x dello spazio descrivono le rette p = [x, x'] di una congruenza lineare. Se adoperiamo quaternioni di STUDY normalizzati N(a) = al -f- al = 1, N(x) = xl -f #3 = 1, segue per il quaternione a dello scorrimento sinistro x1— ax, che porta il punto x nel punto x'

(2.44) a=afx

Se pijc=xixk/~xkxi

/ sono le coordinate pliickeriane della traiettoria p = [x, xf\ del punto x, segue esplicitamente da (41)

Poi~ì~P%a p0Z~ì~Pu jP03

Parimenti si ha per il quaternione normalizzato b dello scorri-

(2.45)

— 168 —

mento destro x = xb, che porta il punto x nel punto x,

(2.46)

donde segue

(2.47)

b = xx'

K b.

Poi " P23 7½ Pu Pos = 0

Le equazioni (45) e (46) dicono che le traiettorie di uno scor­rimento di CLIFFORD sinistro o destro formano congruenze lineari dello spazio quasi ellittico. Con gli scorrimenti sinistri x = ax le traiettorie formano le congruenze sinistre (45) e con gli scorri­menti destri x' = xb le congruenze destre (47).

Quando, secondo il caso 1), è

(2.48) a3 ^ 0 e 6,5*0

queste congruenze sono ellittiche e le loro linee focali (assi) giac­ciono nell'una o nell'altra schiera di generatrici dell'assoluto.

Quando, secondo il caso 2), è

(2.49) as = 0 ò3 = 0 ,

le traiettorie dello scorrimento giacciono in congruenze lineari paraboliche, che possiedono come asse comune la retta assoluta u dello spazio quasi-ellittico.

In tutti i casi, i punti x dello spazio sono spostati dello stesso segmento s, o S nei punti x, ove nel caso 1), secondo la (2.8), è

(2.50) COS 5 = X0XQ ' + X%XS'= — ((VX* + x'x)

e nel caso 2) dalla (2.9)

(2.51) S= (x.L - < ) 2 + (x2 - x%y = (x-x') . (x-x') .

Le traiettorie di uno scorrimento sinistro o destro si chiamano rispettivamente parallele a sinistra o parallele a destra.

— 169 —

6. Su ogni retta p, che non incontra la retta assoluta u (JP03 ^ 0) c'è un'involuzione di punti ortogonali (x, %'); per essa è S = JI!2, cioè

(2.52) xx'+o/x=0 .

Lo scorrimento sinistro x = ax, che porta x in #', porta poi il punto fondamentale x=e() (punto improprio E0 dell'asse z) nel punto ad esso ortogonale

aeQ= a=so'x = xl .

Le rette p = \x, x'] e p ? =[e 0 , xt\ sono poi, come traiettorie dello stesso scorrimento sinistro, fra loro parallele a sinistra e giacciono nella stessa congruenza sinistra (45). Parimenti lo scorrimento destro x' = xb, che porta il punto x in x\ muta il punto fondamen­ta/e x = e0 nel punto ad esso ortogonale

(2.54) e0b=b=mx'={cr .

Le rette p = |:*;, a;'] e p r = |e0 , xr\ sono allora, come traiettorie della stessa traslazione destra, parallele a destra fra loro.

I due punti ortogonali ad e0

(2.55) xl = x'x=(p0i + p2d)ei + (p0i+pBl)e2+p03eìi=pl

^ = ^ = ( ^ 0 1 - ^ : 0 ^ + ( ^ 0 2 - ^ 3 1 ) ^ + /^0363==^

giacciono nel piano e0(x0 = 0) ed individuano viceversa univoca­mente la retta p = \x9 x'] nello spazio. Indichiamo xL come il punto immagine sinistra della retta p, e xr come il punto immagine destra di p.

Questa rappresentazione delle rette p dello spazio mediante i due punti immagine pz e pr del piano z = 0 si dice la rappresen­tazione cinematica delle rette p.

Dalla nostra costruzione segue che tutte le rette p, che tra loro sono parallele a sinistra nel senso di CLIFFORD, possiedono lo stesso punto immagine sinistra p z , parimenti tutte le rette p parallele a destra hanno lo stesso punto immagine destra pr.

Le due immagini cinematiche (pt, p r) di una retta p, che interseca la retta assoluta u(pQ?i = 0), sono punti impropri.

(2.53)

13

— 170 —

Se si congiunge il punto fisso x dello spazio con tutti i suoi punti ortogonali x\ si ottengono tutte le rette p = \x x'] del fascio di centro x. Per i punti x' segue da (55)

(2.56) x'=xlx = xxr .

Donde segue

(2.57) xr — xxxx ,

cioè, secondo (31) : Le immagini cinematiche (xi,x,) delle rette del fascio x si

corrispondono in un movimento piano (fig. 8). Viceversa le coppie

Fig- 8

di punti (xifX,) di un movimento piano sono immagini cinematiche delle rette di un fascio, il cui centro x (nello spazio dei parametri) è il punto immagine di STUDY del movimento piano x.

Da ciò segue per es., che due rette p e p che si intersecano in un punto x, possiedono coppie di immagini sinistre e destre equi­distanti, cioè i segmenti xt x{ e xrXr hanno uguali lunghezze

(2.58) xlx{ = xrx/ .

— 171 —

Di qui segue inoltre che anche le rette p hanno immagini cinema­tiche piane Xi,xn i cui campi sono fra loro congruenti. Questa con­gruenza dei campi {xi } e {xr} deve essere inversa, poiché una con­gruenza diretta è un movimento che porta alle rette di un fascio.

La rappresentazione cinematica fornisce anche un principio di trasporto, mediante il quale le trasformazioni congruenti dirette (movimenti) del piano sono rappresentate sui punti e le trasfor­mazioni congruenti inverse (simmetrie) sui piani dello spazio quasi ellittico.

Si può svolgere quindi nel piano euclideo la geometria quasi ellittica spaziale in cui si considerino 1) i movimenti piani {x^-+ {xr} come "punti", 2) le simmetrie piane {xj)-*{xr} come "piani", e 3) le coppie ordinate di punti (xl9 xr) come "rette".

Fra questi tre enti geometrici sussistono allora tutte le relazioni della geometria proiettiva spaziale. Valgono anche tutti i teoremi

metrici dello spazio quasi ellittico. Alla distanza quasi ellittica p{p%

di due punti dello spazio corrisponde per es. la semidifferenza

— (<Pi~~(P2) dell'angolo di rotazione delle rotazioni corrispondenti

ai punti P19 P2. Questa rappresentazione cinematica data da BLASCHKE ha una

proprietà molto importante di teoria dei gruppi. Se si applica alla retta dello spazio p — [#,#'], con i due punti immagini cinematiche

(2.59) xl = x'x e xr = xx/

un arbitrario scorrimento sinistro di quaternione a, si ottengono dai punti x ed x i nuovi punti

(2.60) X=ax e X' = ax' ,

e da p si ottiene una nuova retta P = [X, X'] parallela a sinistra rispetto a p, relativa ai punti immagini cinematiche :

(2.61) Xl = X/X= a x' . ,T a = a(x'x) a — axla ,

Xr = XX' — X a . ax' = x(au) X = xr .

Se si a.ssoggetta viceversa la retta dello spazio p = [x, x~\ ad uno

— 172 —

scorrimento destro di quaternione /?, si ottiene una retta P = [X, X'], parallela a destra rispetto a p, e si ha per le immagini cinematiche di p e P

(2.62) Xl = xl , Xr=~pxrp .

Riassumendo segue da (61) e (62) il

TEOREMA FONDAMENTALE DELLA RAPPRESENTAZIONE CINEMATICA:

1) Per uno scorrimento sinistro quasi ellittico a di tutte le rette dello spazio p il piano ^ dei punti immagini sinistre {ASJ subisce un movimento (relativo al quaternione a), e il piano nr

dei punti immagini destre [x^ resta fisso.

2) Per uno scorrimento quasi ellittico destro (ì di tutte le rette p dello spazio il piano nr dei punti immagini destre {xr} subisce un movimento (relativo al quaternione /5'), il piano 7ix dei punti immagini sinistre {^} resta fisso.

7. Si può presentare molto intuitivamente la rappresenta­zione cinematica della geometria dello spazio, se ci si riferisce all'idea di STUDY.

Pensiamo il piano n ricoperto da <due fogli : il piano ^ dei punti immagini sinistre {xt} ed il piano nr dei punti immagini destre {#,.} delle rette p dello spazio. Pensiamo il piano imma­gine sinistra ut} fermo e il piano immagine destra nr mosso con continuità su TZ1. La posizione del piano fermo JIX può allora essere fissata in modo quanto mai semplice per mezzo di un fissato elemento lineare e0 orientato, che può essere scelto arbitrariamente in TT^ e deve essere indicato come elemento fon­damentale. Le diverse posizioni del piano nr, mosso su nt, sono allora individuate biunivocamente dall'elemento lineare orientato e di nr, in cui si muta l'elemento fondamentale e0 mediante questi movimenti (fìg. 9). Per esempio in tal modo al movimento identico in nr corrisponde l'elemento fondamentale e0 stesso.

Ad ogni movimento xr = xxlx del piano nr sul pia/io TT^ cor­rispondente biunivocamente, mediante la rappresentazione cinema­tica, un punto x dello spazio quasi ellittico.

Riassumendo, con la scelta dell'elemento fondamentale e{) nel piano fisso nx ogni elemento lineare orientato e del piano mosso nr

- - 173 —

è rappresentato biunivocamente su un punto x dello spazio quasi ellittico (fig. 10). In particolare all''elemento fondamentale e0 di nf

/ i e o

< >

e0

Fig. 9 Fig. 10

corrisponde il punto fondamentale e0 dello spazio (punto impro­prio dell'asse z).

Secondo il teorema fondamentale corrisponde perciò nello spa­zio al movimento % che trasporta Velemento fondamentale e0 di nx

nell'elemento lineare orientato e di nr, lo scorrimento destro che muta il punto fondamentale e{) nel punto immagine x di e.

Questa rappresentazione dei punti x dello spazio sugli elementi lineari orientati e del piano nr è interessante in geometria per più ragioni.

Vogliamo dapprima studiare come si mutano gli elementi im­magine e dello spazio di punti x per uno scorrimento destro x = xp dello spazio. Secondo il teorema fondamentale della rappresen­tazione cinematica il piano immagine sinistro 7ix 9 cioè Yelemento fondamentale e0, resta fisso e il piano immagine destra nr subisce

un movimento %r'=f}xrp. Ciò significa che per uno scorrimento destro quasi ellittico gli elementi immagine di tutti i punti dello spazio in nr subiscono uno stesso movimento.

Con uno scorrimento sinistro x' = ax dello spazio si muove

perciò solo il piano immagine sinistra Jin (xtf =axla), cioè il vec­

chio elemento fondamentale e0 di n^ è sostituito con un nuovo elemento fondamentale e / = a e 0 = a, e il piano immagine destra nr

— ]74 —

resta fisso. Il primitivo movimento che porta il vecchio elemento fondamentale e0 di nt nell'elemento immagine e di x, trasforma perciò il nuovo elemento fondamentale ej di nx nell'elemento immagine e' di %''. Poiché nello spazio scorrimenti destri e si­nistri sono permutabili, anche nel piano i movimenti di nr rispetto a 71¾ sono permutabili con lo scambio dell'elemento fondamentale in nr Ciò equivale a dire che le figure degli elementi lineari (e, e') in nr e (e0, e0') in 7i% sono fra loro congruenti (fig. 11).

Fig. 11

Molto semplicemente si può esporre questo effetto degli scor­rimenti sinistri sugli elementi lineari come un'esercitazione mili­tare sotto un comando unitario, in cui gli elementi fondamentali e in TI,, imitano esattamente i movimenti dell'elemento fondamentale e0 (del «caposquadra»). Tali movimenti di esercitazione comuni degli elementi lineari sono per es. «ruotare a sinistra» (fig. 12a), o «indietreggiare a destra» (fig. 126), o, più in generale, «ruo­tare intorno ad un punto centrale, con coordinate relative fissate, dell'angolo cp" (fig. 12c), o movimenti comuni anche pia complicati secondo l'esatta istruzione dell'elemento fondamentale e0 in ni -

- - 175 —

Fig. 12 e

In ogni caso seguono da ciò i due risultati:

1) I movimenti delle esercitazioni militari nel piano for­mano un gruppo.

2) I movimenti qualunque e i movimenti delle esercitazioni militari sono fra loro permutabili.

Questi due risultati valgono inoltre per un qualunque numo-ro di dimensioni.

Riassumendo si ottiene per la nostra rappresentazione cinema­tica dello spazio di punti x sugli elementi lineari orientati e del piano il seguente

TEOREMA FONDAMENTALE : 1) Due sistemi di punti {x}, {x'} dello spazio quasi ellittico, che sono legati da uno scorrimento destro x' = xf$, hanno come immagini cinematiche due sistemi di elementi lineari orientati {e}, {e'}, che dipendono fra loro da un movi­mento piano.

2) Due sistemi di punti {#}, {x'} dello spazio quasi ellittico, che dipendono fra loro per uno scorrimento sinistro x'=ax, hanno

Fi a. 12 a

-4-

Fig, 12 6

— 17G —

come immagini cinematiche due sistemi di elementi lineari orien­tati {e}, {e'}, che dipendono in un movimento piano di esercitazione.

Nel piano i movimenti e i movimenti di esercitazione militare dipendono in modo continuo da tre parametri. Il loro prodotto commutativo è perciò un gruppo continuo a sei parametri G«.

Due sistemi di elementi lineari orientati, che constano di una trasformazione del gruppo G«, cioè dell'applicazione successiva (commutativa) di un arbitrario movimento e di un movimento di esercitazione, sono equivalenti fra loro nel senso della più recente cinematica. A due sistemi di elementi lineari orientati siffatti cor­rispondono mediante l'immagine cinematica due sistemi di punti nello spazio quasi ellittico, che separatamente costituiscono un movimento quasi ellittico. Si deve questo naturale concetto di equi­valenza della cinematica ad E. STUDY.

8. Con una determinata scelta dell'elemento fondamentale e0

nel piano fisso TZZ una schiera continua di elementi lineari orien­tati {e} in nr rappresenta una schiera continua di movimenti piani. L'immagine cinematica di essa nello spazio quasi ellittico è una curva continua o una superficie (a seconda del numero dei parametri della schiera).

Le più semplici configurazioni di elementi lineari orientati {e} in nr si ottengono, quando si rappresentano cinematicamente i punti di una retta p o di un piano e. Indaghiamo dapprima, circa gli elementi immagine dei punti P di una retta p, con i due punti immagini cinematiche pt e pr propri. La retta p allora non incon­tra la retta assoluta u.

La retta p può essere considerata nello spazio quasi ellittico come traiettoria di uno scorrimento sinistro continuo di CLIFFORD.

In questo scorrimento sinistro i punti dello spazio descrivono

rette p parallele a sinistra rispetto a p, cioè rette con punti imma­gini cinematiche sinistre pt == px comuni. Queste rette parallele sinistre sono permutate fra loro mediante gli scorrimenti destri. Perciò si scambiano i loro punti immagini cinematiche destre pr e p,.. Secondo il teorema fondamentale, le rette p, p fra loro parallele sinistre hanno quindi come immagini cinematiche dei loro punti sistemi di elementi lineari orientati congruenti.

Fra queste rette parallele sinistre della data retta p figura anche una retta (perpendicolare) che contiene il punto fondamen-

— 177 —

tale e0 (punto improprio dell'asse z), i cui due punti immagini

cinematiche secondo la (55) coincidono (pi = pr). I punti P di

questa retta p si rappresentano cinematicamente su una rotazione

di iTr rispetto a nv il cui centro di rotazione è il punto Pi=pr-

Gli elementi immagini e dei punti P della retta p si ottengono perciò dall'elemento fondamentale e0 per rotazione intorno al punto Pt^pr. Essi formano nel piano nr una schiera di rotazione di elementi lineari orientati o (nel senso di KASNER) una turbina

per l'elemento eQ di centro il punto pL = pr (fig. 13).

Fig. 13

Ogni retta p parallela sinistra di p ha allora come immagine cinematica una turbina congruente ad essa, il cui centro è il suo punto immagine destra pr.

Con ciò abbiamo conseguito il seguente risultato (fig. 14):

Gli elementi immagini orientate e del punto P di una arbi­traria retta p formano in generale (poa^O) una turbina, il cui centro è il punto immagine cinematica destra pr di p, e che è con­gruente alla turbina, che descrive Velemento fondamentale e0 nella rotazione attorno al punto immagine sinistra pt di p.

Quando in caso particolare la retta p interseca la retta asso-

Fig. 14

Pl-Pl^Pr

Fig. ]5

Fig. 16

— 179 —

luta u (p03 = 0) i suoi punti immagini cinematiche p{ e p,. sono impropri. Come immagine di questa particolare retta p si ha una turbina rettilinea, costituita dagli elementi lineari paralleli di una schiera di traslazione rettilinea (fig. 15).

Due rette che si intersecano p, p hanno un punto P dello spazio comune; le loro due turbine immagine hanno allora comune l'ele­mento immagine e di P. Tali turbine si dicono tangenti fra loro (fig. 16).

9. Le turbine più interessanti sono i cerchi orientati (cicli) (fig. 17) e (nel caso particolare delle turbine rettilinee) le rette

Fig. 17 Fig. 18

orientate (frecce) (fig. 18). Questi cerchi e rette orientate sono le immagini di quelle rette p dello spazio i cui punti immagini cine­matiche sinistre pl giacciono sulle normali dell'elemento fonda­mentale e0 scelto in nx.

Quando l'elemento fondamentale e0 è scelto nell'origine 0 di jr,t ed ha la direzione dell'asse x positivo (fig. 19), allora i citati punti immagini sinistre/^ in 7it giacciono sulla retta # = 0 . Infatti per la (55) è

(2.63) />oi-r-/>88 = 0.

Le rette p dello spazio, i cui punti P si rappresentano sugli eie-

— 180 —

menti lineari di un cerchio orientato o di una retta orientata, giac­ciono così in un complesso lineare (regolare) di equazione (63), che indicheremo brevemente come complesso fondamentale.

Jy

Pi

o

Pr

Fig. 19

Nel caso delle rette orientate pl sta all'infinito e accanto alla (63) vale anche la relazione

(2.64) Po-s 0

Poiché il complesso fondamentale (63) contiene la retta assoluta u come retta complessa, tutte le rette p dello spazio che soddisfano le equazioni (63) e (64) individuano una congruenza lineare para­bolica di rette, che chiameremo congruenza fondamentale.

Le rette p dello spazio, i cui punti si rappresentano sugli ele­menti lineari di una retta orientata, appartengono alla congruenza fondamentale parabolica

(2.65) />01+^23=0 POS 0 .

Se per la retta p dello spazio si ha

(2.66) /\)i+J>g8=0,. P02 + PSÌ=Q >

il suo punto immagine sinistra pt giace in e0 (nell'origine di ^ ) . Mediante la rotazione di e<, intorno a pz, si ottengono poi gli ele­menti lineari orientati del punto pt, che formano un punto orien­tato (fig. 20). Le equazioni (66) rappresentano una congruenza

181

ellittica lineare di rette contenuta nel complesso fondamentale (63), che brevemente indichiamo come congruenza fondamentale ellit­

tica. Di qui segue infine: Le rette p dello spazio i cui punti si rappresentano sugli ele­

menti lineari di un punto orientato, formano la rete ellittica fonda­mentale.

Le rette p, p del complesso fondamentale che si intersecano in un punto P, hanno come immagini cinematiche due cerchi orientati, che si toccano nell'elemento immagine e del punto d'intersezione P (fig. 21).

Fig. 21

— 182 —

La rappresentazione cinematica del punto P dello spazio quasi ellittico sull'elemento lineare orientato e del piano TI,, è così una realizzazione costruttiva molto semplice della famosa trasforma­zione di contatto stabilita da S. LIE, per mezzo della quale le rette g di un complesso lineare sono rappresentate sui cerchi orientati (cer­chi di L IE) di un piano.

Ogni complesso lineare regolare ammette un gruppo di auto-morfismi proiettivi, che dipende in modo continuo da 10 parametri. Al gruppo §10 degli automorfismi del complesso fondamentale cor­risponde nella nostra rappresentazione cinematica nel piano nr

il gruppo G10 delle trasformazioni circolari di LIE. In esse gli elementi lineari orientati sono trasformati in elementi lineari orien­tati in modo che ogni cerchio orientato è trasformato in un cerchio orientato (in particolare in una retta orientata o in un punto orientato).

Il gruppo @10 degli automorfismi proiettivi del complesso fon­damentale comprende due importanti sottogruppi.

1) Il gruppo §7 degli automorfismi proiettivi della con­gruenza parabolica fondamentale e

2) il gruppo % degli automorfismi proiettivi della con­gruenza ellittica fondamentale.

Mediante la rappresentazione cinematica si ottengono due im­portanti sottogruppi del gruppo d o delle affinità circolari di LIE, cioè:

1) il gruppo G7 delle trasformazioni circolari di LAGUERRE,

per il quale a rette orientate corrispondono nuovamente rette orien­tate, e

2) il gruppo G(} delle trasformazioni circolari di MÒBIUS, pel­le quali ai punti orientati corrispondono di nuovo punti orientati.

10. Applicazioni :

1) Ci occupiamo dapprima dell'immagine cinematica del punto P di un piano e. In ogni piano E giace un fascio di rette del complesso fondamentale che si tagliano nell'origine P* del piano e. Questo punto P* si rappresenta cinematicamente su un elemento lineare orientato e*. Tutte le rette del complesso fondamentale giacenti nel piano e hanno così come immagini cerchi orientati per e* (fig. 22).

I punti P di un piano e hanno anche come immagini cinema-

- - 183 —

Fig. 22 Fig. 23

tiche gli elementi lineari conciclici con un fissato elemento lineare e* (che indichiamo con campo conciclico). È valido anche il viceversa.

Si può evidentemente interpretare l'intera geometria proiettiva dello spazio come una geometria degli elementi lineari orientati nel piano. Ai punti, rette e piani dello spazio corrispondono così nel piano gli elementi lineari orientati, le turbine e i campi con­ciclici.

2) Tre arbitrari punti dello spazio Plf P2, P* stanno sempre per es. in un piano e. Per mezzo della rappresentazione cinematica segue da ciò un noto

TEOREMA DI STEPHANOS : Tre arbitrari elementi lineari orien­tati e\, e-y, eH del piano sono sempre conciclici ad un quarto ele­mento lineare e* (fig. 23).

Anche la metrica quasi ellittica si può trasportare cinematica­mente nel piano.

3) Il problema dei contatti di APOLLONIO richiede di trovare i cerchi orientati, che toccano tre dati cerchi orientati el5 e2, e;}.

— 184 —

Mediante la rappresentazione cinematica a questi cerchi orien­tati corrispondono rette del complesso fondamentale. Il problema di APOLLONIO acquista allora la seguente forma proiettiva.

Date nello spazio tre rette arbitrarie gu g<>, gn del complesso fondamentale, si cerchino le rette del complesso che le intersecano.

La soluzione proiettiva è semplice. Le tre rette g\, g2, g* deter­minano una schiera rigata {g} di una quadrica, di cui tutte le rette appartengono al complesso fondamentale. Nella schiera delle generatrici della quadrica vi sono allora due e soltanto due gene­ratrici hu ho, che sono contenute nel complesso fondamentale. Ad esse corrispondono i due cerchi di contatto di APOLLONIO relativi ai tre cerchi dati.

1 1 . La rappresentazione con i cerchi fa corrispondere agli elementi lineari orientati e del piano nr delle rette g, che rispetto al piano immagine nr sono inclinate a 45° e si innalzano «da sinistra in alto» (guardando da e) (fig. 24). I punti impropri di queste rette g giacciono su una conica k, che possiamo considerare come conica assoluto di uno spazio pseudoeuclideo. Le anzidette rette a 45° sono allora rette pseudoisotrope.

Fig. 24

— J85 —

Le sfere di questo spazio hanno poi le equazioni

(2.67) ^ - a)2 + (y -bf -(z -c)2= r2 .

Una sfera orientata è poi tale che su di essa è distinta una delle due schiere di generatrici (pseudoisotrope). Le sfere nulle (r = 0), cioè le sfere pseudoeuclidee minimali, hanno soltanto una sola schiera di generatrici (pseudoisotrope).

Anche i piani

(2.68) ux -f vy + wz = cost

possiedono, quando è

(2.69) H * + U * - U ; 2 5 * 0

due schiere di rette pseudoisotrope. Se si contrassegna una di queste due schiere, si ottiene un piano orientato dello spazio pseudo­euclideo. Soltanto i piani pseudoisotropi con

(2.70) ui + v2-w2 = 0

(piani tangenti della conica assoluta k) hanno soltanto una ed una sola schiera di generatrici pseudoisotrope.

Mediante la rappresentazione con i cerchi, ad una sfera orien­tata (rv^O) corrisponde una turbina (fig. 25) e ad una sfera mini­male (sfera di raggio nullo) un cerchio orientato (fig. 24). Sfere orientate tangenti sono quindi quelle che hanno una generatrice comune.

Inoltre ad un piano orientato corrisponde, nella rappresenta­zione con i cerchi, una turbina rettilinea e ad un piano minimale una retta orientata. Queste corrispondenze sono biunivoche.

Si può far seguire alla rappresentazione cinematica delle rette dello spazio quasi ellittico sulle turbine del piano nr la rappresenta­zione mediante cerchi delle turbine di nr sulle sfere orientate, dello spazio pseudoeuclideo. Si ottiene allora una realizzazione geometrica molto semplice di quelle note trasformazioni di contatto di S. L I E che mutano rette in sfere (orientate) e rette che si incon­trano in sfere che si toccano. Lo spazio delle rette ha perciò una struttura quasi ellittica e lo spazio delle sfere quasi euclidea.

u

— 186 —

Fig. 25

Segue facilmente che, p. es., alle rette del complesso fonda­mentale corrispondono le sfere isotrope dello spazio. A due rette che sono mutuamente polari rispetto al complesso fondamentale, corrispondono due sfere orientate tra loro supplementari, cioè sfere distinte per lo scambio di una schiera di generatrici nell'altra.

12. Vorrei con ciò chiudere la mia esposizione della teoria e applicazioni dello spazio quasi ellittico. Ci siamo occupati sol­tanto di questioni di geometria algebrica.

La geometria differenziale dello spazio quasi ellittico è stata svi­luppata molto elegantemente da W. BLASCHKE. Essa costituisce un adeguato mezzo sussidiario per lo studio delle proprietà differen­ziali dei movimenti del piano ad uno o a due parametri.

— 187 —

III. — GEOMETRIA DELLO SPAZIO ISOTROPO.

1. Anche il così detto spazio isotropo è un più estremo caso limite dello spazio ellittico. Il suo assoluto è costituito da un fascio di rette contato due volte, il cui piano £ sia il piano improprio e il cui centro Z sia il punto improprio dell'asse z (asse #3). Anche nello spazio isotropo vi sono due gruppi commutativi di scorrimenti di CLIFFORD, che insieme individuano un certo gruppo di movi­menti isotropi.

Potremmo considerare lo spazio ellittico come spazio dei para­metri dei movimenti di un piano ellittico, e parimenti potremmo considerare lo spazio quasi ellittico come spazio dei parametri dei movimenti del piano euclideo. Lo spazio isotropo può essere con­siderato come spazio dei parametri dei movimenti di un piano isotropo.

Un piano isotropo possiede come piano tangente della conica assoluta soltanto un unico punto assoluto, che sceglieremo come punto impròprio dell'asse y. Tutte le direzioni isotrope del piano sono così parallele all'asse y. La y - direzione isotropa è ortogo­nale a tutte le direzioni del piano (anche a se stessa).

Come movimenti del piano isotropo (brevemente detti movi­menti isotropi) definiamo poi il gruppo continuo Gs delle affinità equivalenti (cioè che conservano le aree o equiaffinità), rappre­sentato da

(3.1) x' =bì-{-x

Si può molto semplicemente rappresentare questo gruppo GA me­diante i così detti numeri duali. Poniamo

(3.2) z = so-\-sy ,

ove per Vunità duale e deve valere la regola di calcolo

(3.3) «2 = 0 .

188

Se anche

(3.4) a= 1 + ECLc $ = ^ + 80,

sono numeri duali, si possono scrivere i movimenti isotropi (1) più brevemente nella forma di trasformazioni lineari duali

(3.5) z'=az+fi .

In effetti da

a?'+ a / = (1 + ea2) (x + sy) + (ò4 + sb2) = (64 + aj) + fi(64 + a2# + y)

seguono le (1) separando le quantità reali e duali. Possiamo ora anche rappresentare i movimenti isotropi per

mezzo di quattro parametri omogenei (a0: av: a2: a») composti bili-nearmente. Si può cioè scrivere la trasformazione lineare (5) nella seguente forma omogenea

(3.6)

a determinante reale

, (a0+ea2)z + (c^ + ec^) z = (a0 — ea2)

(3.7) (a0 + ea2) (a0 — ea2) = aj ^ 0 .

La composizione di due movimenti isotropi (a0: o^: a2: a3) e (o'0: a\: a'2: a'3) si ottiene allora mediante la moltiplicazione delle matrici di trasformazione

(3.8) a0'+ea/ a{ + za2

0 OQ' gOg'

a0 + ea3 ax + ea2

0 a0—ea3

e dà luogo alle formule bilineari del prodotto

r an"=ana/

(3.9)

o - "o^o

a3" = a0a3 ' + a 3 a 0 '+ ava^ — a2ai'

— 189 —

Si possono interpretare queste formule (9) come legge di molti­plicazione di un sistema di numeri ipercomplessi (quaternioni isotropi)

(3.10)

per le cui unità è :

a= a0e0 + aìei+a2e2+ a.se.ò

(3.11)

.e0 •Ci . e2 •e8

e0 . e0 Ci «2 «3

^1 • Ci 0 «3 0

e2 • e2 — c3 0 0

e.ò. 63 0 0 0

Le formule (9) si scrivono allora semplicemente

(3.12) a" = aa!

e0 è Yunità principale, in modo che si può porre e 0 = 1. Il qua­ternione coniugato ad a è

(3.13)

e la norma di a è

(3.14)

a — tt060 O'ì^i — #2^2 ^3^3

N(a) = aa = a\e§ = aj .

Per i movimenti isotropi regolari si può normalizzare il quater­nione a con la condizione

(3.15) N(a) = a20=--1 .

2. Si ottiene ora lo spazio dei parametri dei movimenti isotropi (6), se si interpretano le grandezze (a0: axi a2: a3) come coordinate omogenee di un punto a nello spazio. Più tardi useremo anche coordinate non omogenee (x, y, z) scrivendo

(3.16) x0 : xx : x2 : xd = 1 : x : y : z .

— 190 —

Abbiamo con ciò conseguito la rappresentazione cinematica rela­tiva al piano isotropo.

Nello spazio immagine cinematica esistono di nuovo due scor­rimenti di CLIFFORD. Se si fa cioè seguire al fissato movimento isotropo, rappresentato dal quaternione a, un moviménto variabile x = a, si ottiene da (12) come prodotto un movimento x, relativo al quaternione

(3.17) x = ax .

Nello spazio dei parametri si ottiene così il gruppo di collineazioni

(3.18) X.K '—=- a.iXr\~J" UriXi

• % ' = a'òX0 — a2^i + ai X2 + a0X2

che permuta i punti dello spazio in modo semplicemente transitivo. Questo è il gruppo a tre parametri degli scorrimenti sinistri di CLIFFORD dello spazio dei parametri.

Viceversa, se facciamo seguire ad un movimento variabile del piano isotropo, rappresentato dal quaternione % = a il movimento fissato b == a', si ottiene come prodotto un movimento, relativo al quaternione

(3.19) x/ = xb

Nello spazio dei parametri si ottiene perciò il gruppo di collinea­zioni

(3.20)

X„ b0x0

Xi — O.i XQ~|~ UQX.I

X% r==- OOXQ I UQX^

a?3' = bsx0 + b^x^ — 6^2+ hx% >

che permuta i punti dello spazio in modo semplicemente transitivo.

191

Questo è il gruppo a tre parametri degli scorrimenti destri di CLIFFORD.

Il prodotto dei gruppi (17) e (18) è il gruppo

(3.21) xf = axb

che tuttavia non dipende da sei, ma soltanto da cinque parametri essenziali, poiché i due scorrimenti di CLIFFORD (18) e (20) hanno in comune il gruppo ad un parametro

(3.22)

^o — co^o

xì =

a?a =

c0xl

C Q # 2

(C,s — c 3 0 / 0 + c0#3

Indichiamo il gruppo (21) a cinque parametri come gruppo dei movimenti isotropi dello spazio. In questi movimenti il piano x0 = 0 (piano improprio o assoluto £) è invariante, così come il punto assoluto in esso giacente Z (0, 0, 0, 1). Sono inoltre inva­rianti tutte le rette del fascio (Z, £). Lo spazio dei parametri dei movimenti (6) del piano isotropo ha quindi la struttura di uno spazio isotropo.

Mediante gli scorrimenti sinistri di CLIFFORD X — ax e gli scorrimenti destri x = xb, i punti dello spazio sono permutati in modo semplicemente transitivo. Le traiettorie p = [xx~\ di questi scorrimenti giacciono perciò nelle congruenze lineari paraboliche di rette di equazioni

(3.23) a* a. a.

Poi JP02 P0S+P12 = 0

(3.24) bi b2

POI P02 Pm—Pn = 0

Gli assi di queste congruenze paraboliche appartengono al fascio (Z, C) del piano assoluto.

— 192

Ogni retta p — [xx"\ dello spazio isotropo può essere consi­derata, viceversa, secondo le (23) e (24), come traiettoria tanto di uno scorrimento sinistro, che di uno scorrimento destro. Per i qua­ternioni di questi scorrimenti si trova

(3.25) a = x'x = x0oc0'e0+poiei + p02e2+(p0.ò+pi2)e.ò »

b = xx' = x0(o0'e0+p0iei+p0ie2+ Q?03—pi2) e3 .

Naturalmente, come è accaduto specificatamente nel caso del piano euclideo, si può sviluppare ora la cinematica del piano isotropo, in corrispondenza alle idee di STUDY. Come rappresentanti delle singole posizioni del piano isotropo è perciò sufficiente assumere i suoi elementi lineari non orientati. Con la scelta di un elemento fondamentale e„ come immagine del punto fondamentale e0 (ori­gine 0 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) dello spazio), ogni ulteriore elemento lineare e del piano isotropo individua esattamente un movimento (1), che porta e0 in e, e perciò esattamente un punto immagine x = e nello spazio isotropo dei parametri.

La rappresentazione degli elementi lineari del piano (isotropo) sui punti dello spazio (isotropo) risale già a S. LIE . Alle rette dello spazio corrispondono in essa turbine paraboliche del piano iso­tropo. Ma non ci vogliamo addentrare in questo argomento.

3. Similmente agli ordinari scorrimenti paralleli, anche le due specie di scorrimenti di CLIFFORD determinano due distinte specie di parallelismo fra gli elementi di superficie E (x, y, z, p, q) dello spazio isotropo.

Precisamente : elementi di superficie paralleli a sinistra dello spazio isotropo sono quelli che si ottengono gli uni dagli altri me­diante uno scorrimento destro. Elementi di superficie paralleli a destra sono quelli che si ottengono uno dall'altro mediante uno scor­rimento sinistro.

Poiché anche i piani dello spazio isotropo sono permutati fra loro in modo semplicemente transitivo dai due gruppi di scorri­menti, esistono uno ed uno solo scorrimento sinistro, ed uno ed uno solo scorrimento destro che trasformano il piano e dell'elemento superficiale E(x, j , z, p, q) nel piano immagine TI fissato di equazione

(3.26) 2 = 0 , cioè o?3=0 .

193

Si ottengono così in n due elementi immagine Et ed Er, i cui punti possiedono le seguenti coordinate

(3.27) E7

xx = x + q Er

xr = x — q

{ yr=y+p

Chiamiamo El ed Er rispettivamente punto immagine cinematica sinistra e destra dell'elemento di superfìcie E (fìg. 26).

Inversamente mediante questi due punti immagini cinematiche (Ev £,.) l'elemento di superficie E è individuato soltanto a meno di scorrimenti nella direzione dell'asse z (scorrimenti isotropi). Da (26) segue cioè

(3.28)

x =

y=

2

yi+yr

p Jr •Ji

2

Xx xr

2

z = arbitrario.

Da ciò segue: la proiezione E (%, y) dell'elemento di super-

Fig. 26

— 194 —

ficie E è il punto medio dei due punti immagini cinematiche Ev Er di E.

Gli scorrimenti di CLIFFORD (18) e (20) dello spazio isotropo appaiono in proiezione (proiezione normale sul piano z=0) come traslazioni Tt e Tr, e ciò si riconosce dalla loro rappresentazione non omogenea; questa è per gli scorrimenti sinistri

(3.29)

x,=Ai-^-x p'= — A2 + p

y'=A2 +y q'=~hA.L + q,

Z'=A3 — AjX + Atf + Z ,

e per gli scorrimenti destri,

(3.30)

xf = Bì-\- x

y' = B2 + y q

z'=B.s-{-B2x -Bj+z .

p'=+Ba + p

-Bi + q

Se l'elemento di superficie E è portato dallo scorrimento (29) o (30) nell'elemento di superficie E\ le sue due immagini cinema­tiche dipendono fra loro mediante le relazioni

(3.31)

Di qui segue il

xl'-=2Ai + xl x/=2B^xr

y{=2A%+yx , yr' = 2B.2-\-yr .

TEOREMA FONDAMENTALE della rappresentazione cinematica dello spazio isotropo :

Per uno scorrimento sinistro (29) dello spazio isotropo le immagini sinistre Ex dell'elemento di superficie E subiscono una traslazione 2TZ, le immagini destre Er restano fisse. Per uno scor­rimento destro (30) le immagini sinistre Ex restano fisse e quelle destre Er subiscono una traslazione 2Tr (fig. 27) .

Tutti gli elementi di superficie paralleli a sinistra fra loro hanno lo stesso punto immagine sinistra. I loro punti e piani sono punti

— 195 —

Fig. 27

nulli e piani nulli in un sistema nullo Nt di equazione

(3.32) Z-z = +

X Y 1

x y 1

yi i X

Parimenti tutti gli elementi di superficie E paralleli a destra fra loro hanno lo stesso punto immagine destra Er; essi formano gli elementi di superficie di un sistema nullo Nr di equazione

(3.33) Z~z = -

X Y 1

x y 1

xr yr 1

4. Prima di dare alcune applicazioni di questo concetto, vo­gliamo fare alcune osservazioni sulla geometria dello spazio iso-

— 196 —

tropo. Nello spazio isotropo è privilegiata la direzione dell'asse z, che è indicata dal punto assoluto z. Ci sono inoltre da distinguere, fra le infinite rette improprie uscenti da z, due rette fisse come rette assolute. Scegliamo nel piano improprio t = 0 la coppia di rette assolute di equazioni

(3.34) ^ + / = 0 , * = 0 ,

Questa coppia di rette può poi considerarsi come la conica assoluta spezzata dello spazio isotropo, e può essere scelta come assoluto di una metrica.

Uelemento d'arco ds di questa metrica isotropa ha allora la semplice forma:

(3.35) ds2 = dx2-\-dy2 .

Per i piani si ha la forma normale

(3.36) z=ux-\- vy 4- w

e per Velemento angolare si ha dualmente

(3.37) do2 = du2-j- dv2 .

La coppia di rette assolute (34) è invariante rispetto al gruppo a sei parametri delle affinità

(3.38)

x' =a-\- x cos cp — y sin <p

y' =b-\-x sin 99 -j- y cos 9?

z' — e -f- cxx -f- c2y + z

che contiene gli scorrimenti di CLIFFORD (29) e (30) come sotto­gruppi invarianti. Indichiamo queste affinità (38) che conservano i volumi come movimenti generali dello spazio isotropo. I loro più semplici invarianti sono Yelemento d'arco ds nella (35) e Vele­mento angolare do nella (37).

Per piani paralleli (u, v, w) e (u, v, w-\-dw) svanisce l'an­golo do; in compenso esiste l'invariante dw.

Per punti paralleli (x, y, z) e (x, y, z-{-dz) svanisce la distanza ds; ma si ha l'invariante dz.

— 197 —

Se si sottopone Velemento di superficie E dello spazio isotropo ad un movimento generale (38), le sue immagini sinistre Et e destre Er subiscono nel piano n un generico movimento piano, cioè oltre a scorrimenti paralleli anche rotazioni, che tuttavia han­no lo stesso angolo di rotazione cp.

5. È ora facile sviluppare la geometria differenziale delle curve e delle superficie, relativa al gruppo G« dei movimenti iso­tropi generali. Abbiamo bisogno soltanto eli alcune semplici for­mule.

La curva dello spazio riferita al proprio arco isotropo s

(3.39) X = X (s)

X=x(s)

y=-y(s)

z = z (s)

possiede la curvatura isotropa,

(3.40) V. =

X y

x" y"

che coincide con la curvatura della sua proiezione ortogonale sul piano z = 0, e possiede torsione isotropa

(3.41)

X

X

y

? xf" / " z"'

X

X

y

y'

Nello spazio isotropo c'è il vettore costante diretto secondo il punto assoluto z

(3.42) 3 = ( 0 , 0 , 1 )

ortogonale a tutte le altre direzioni e a tutti gli altri piani. Ogni curva dello spazio possiede così in tutti i suoi punti lo stesso vet-

198 --

tore binormale b = 3 ed ogni superficie possiede ovunque lo stesso vettore normale U = 3«

Le formule di FRENET assumono per la curva (39) la forma

seguente :

(3.43)

t ' = y-h

b'= o

La striscia

(3.44) x = x(s) , y = y{s) , z = 2(5) , p=p(s) , q=*q(s)

possiede anche nello spazio isotropo tre invarianti, che si possono rappresentare mediante «, r e l'angolo isotropo «9, fra il piano tangente della striscia ed il suo piano osculatore. Si trova:

(3.45) 0 = /> v + qY

La striscia (44) può allora (a meno di movimenti isotropi) essere individuata univocamente mediante le tre grandezze «(s), T(S), &(S) o mediante gli invarianti della striscia dedotti da quelli

(3.46)

N— ufi =p'w' -\- q'y* (curvatura normale),

G= v. =rx'y"—x"yf (curvatura geodetica),

T=T—f)> —q'x' —p'y' (torsione geodetica).

G = 0 (cioè x=0) caratterizza le strisce geodetiche. Se x^O, allora 7V= 0 (cioè # = 0) caratterizza le strisce asintotiche. T--=0 carat­terizza le strisce di curvatura isotropa.

Se la striscia (44) appartiene ad una superficie

(3.47) z = z(x,y)

— 199 —

si trovano, per i suoi invarianti (46), le espressioni

rdx2 + 2sd,vdy + tdy2 II 1 (3.48) N-.

(3.49) T=

dx2+dy2 I R

sd.r2 -+- (t — r) dxdy — sdy2 IV

dx2 4- dy2 I

Siano

(3.50) l = dx2 + dy2

II = rc/.r2 + 2sd.rdy + fcfyr

III = d!p~ 4 d r- = (j-d.r -f- sdy)~ + (sdr -f- £<iy):\.

IV = sd.r2 + (£ — r) dWy — s<iy~

le quattro forme fondamentali della teoria delle superficie isotrope. I è il quadrato dell''elemento d'arco. II i== 0 caratterizza le asinto­tiche della superficie. IV — 0 caratterizza le linee di curvatura iso­tropa; queste linee sono contemporaneamente coniugate sulla super­ficie e ortogonali rispetto alla metrica isotropa. Nella proiezione ortogonale sul piano z = 0 le linee di curvatura isotropa appaiono come reti ortogonali.

(3.51) Ul = dp2 + dq2 = dS2

rappresenta infine il quadrato dell'elemento d'arco dell'immagine sferica della superficie, che si ha quando si ricercano sulla sfera isotropa

(3.52) , = ì (*«+/)

gli elementi di superficie paralleli agli elementi della superficie (47). La grandezza R—l/N si chiama il raggio normale di curvatura

isotropa della superficie. Se si pone « = 1/r, la formula

(3.53) ÌV=*0 o 4 = -K r

contiene il teorema di MEUSNIER per lo spazio isotropo.

— 200 —

La curvatura normale 1/jR assume in ogni punto regolare di una superficie nelle due direzioni isotrope dì curvatura i valori estremi 1/RV ed ljR2 • Si trovano così per la curvatura isotropa media H e per la curvatura relativa isotropa K della superficie le semplici formule

(3.54)

2H= — + ~-=r-\-t R1 R2

K = R,R,

rt

Dalla grandezza K deve essere distinta la curvatura assoluta Ka

dell'elemento d'arco ds2 = dx2 + dy1 della superficie, che, per tutte le superficie dello spazio isotropo, svanisce identicamente :

(3.55) *«-0 .

6. Vogliamo ora sviluppare alcune applicazioni della rap­presentazione cinematica degli elementi di superficie E dello spazio (isotropo) sulle coppie di punti (EhE.,) del piano.

Gli elementi di superficie di una striscia

(3.56)

• x = w(t) ,

z = z(t) =

p=p(t) q = q(t)

pdx -\- qdy

le cui coordinate soddisfano alle condizioni della striscia

dz =pdx + qdy ,

si rappresentano mediante le formule (27) sui punti El9 Er di due curve Q e Cr (fig. 28), mediante le relazioni

(3.57) C, x%=x(t) + q(t)

yi=y(t)-p(t) a •xr=x(t)-q(t)

jr-y(t) +/)(0

201

Fìe. 28

Inversamente ogni tale coppia di curve, riferita parametricamente nella forma

(3.58) C yr=yr(t)

secondo la (28) rappresenta una striscia nello spazio, per le cui coordinale si trova

(3.59) y-

,^(*)+.<v(0

7l(0+7r(0 </ =

7r(f)~yl{t) 2

^»(0-jy(0 2

z = / pd.r -f </<Ìy •

Esplicitamente si ottiene per z il valore

(3.60) 2 = - [.rzyr — -rryj]J) + / (^^y r - -y^ . r z ) — / (.rrrfjr — 3^c/.rr).

1.5

— 202 —

Da ciò segue, che la striscia nello spazio (59) è chiusa allora e soltanto allora che le due curve immagini Ct e Cr 1) sono chiuse ed abbiano lo stesso periodo (rispetto al parametro t) e 2) racchiudono uguali aree superficiali'.

(3.61) F, - F, .

Dalle formule (59) segue per la curvatura normale isotropa N=p'x'+qfy' della striscia la formula

(3.62) i V = p V + g y = ì

ove gli apici indicano derivazione rispetto all'arco s della curva spaziale. Da ciò si ottiene (fig. 29) il

TEOREMA: una striscia asintotica (N= 0) possiede curve immagini cinematiche (Cz, Cr), che sono riferite fra loro per parallelismo di tangenti.

Se poi

(3-63) ;\ = ~ (x, + Xr) = (.';,y)

Fig. 29

yi

y:

— 203 —

è il vettore della curva C, media fra le due curve immagine, che coincide con la proiezione della curva della striscia sul piano z-=0, segue da (59) per i vettori tangenti , \ / , \ / , \' di

queste tre curve Cl, Cr, C la

(3.64) X , ' - ( 1 + T ) X ' , X / - ( 1 - T ) X ' .

Per i loro elementi d'arco dsl, clsr, ds - ds è

(3.65) dsi ~ ( 1 + T) ds , c?5 r =( l—T) ds .

Infine per le loro curvature xL, *,,., x = x è

x x (3.66) «i= ^ - - , * r - ^ . V 7 1 -f- T 1 — T

Le curve Ct e C,., immagini di una striscia asintotica, sono cioè allora e soltanto allora riferite per parallelismo concorde delle tan­

genti, se e

(3.67) - 1 < T < + 1 ..

Da (64) segue che per le strisce sviluppabili con la torsione iso­tropa x = — 1 fissa il punto immagine sinistra E, è un punto fisso. Tutti gli elementi di superficie della striscia sono allora paralleli a sinistra e giacciono nel sistema nullo Nt di equazione (32). Simil­mente le strisce asintotiche con torsione isotropa T = + 1 fissa sono costituite da elementi di superfìcie paralleli a destra con punti immagine destra fissi Er, che giacciono in un sistema nullo fissato, Nn di equazione (33).

Le curve immagini CL e Cr della striscia sviluppabile possie­dono in base alla (66), la stessa curvatura xL = xr in due punti corrispondenti, se % = 0, cioè se la striscia sviluppabile possiede un piano osculatore stazionario.

Come applicazione di questi semplici risultati si può facilmente dimostrare il seguente teorema:

Su due ovali piani Ct, Cr, racchiudenti superficie di uguale area, riferiti per parallelismo di tangenti, esistono almeno quattro coppie di punti corrispondenti con uguale curvatura xt = xr.

— 204 —

Dimostrazione. Le linee Ct e Cr sono in tal caso immagini cine­matiche di una striscia asintotica chiusa, che giace sul cilindro

avente per direttrice la curva ovale media C. Una tale striscia asintotica possiede, secondo un teorema di MOHRMANN almeno quattro piani osculatori stazionari (t = 0), che conducono a quattro punti di ugual curvatura di Ct e Cr.

Si può da ciò facilmente dedurre il noto teorema dei quattro vertici per le ovali piane.

Calcoliamo ora l'elemento d'arco dsl e dsr delle curve imma­gini Cl e Cr di una striscia arbitraria. Si ha, in forza della (57)

dsl = d,r'f + dy2 = (d,v + dq)2 + (dy — dp)2

= (d.ir + dy) + 2 (dqdx — dpdy) + (dp2 + dq2)

= : 1 + 2 • IV+II I .

c/5 = dx2r + dy* = (dx — d</)2 + (dy + dp)2

= 1 — 2 -IV + III.

(3.68)

Da ciò segue il teorema : Le due curve immagini Cl e Cr sono isometriche (ds2=dsr

2), allora e soltanto allora che I V = 0 , cioè se la relativa striscia è una striscia di curvatura dello spazio isotropo.

Se poi le tangenti corrispondenti \ / , \ / delle curve imma­gini Ct e Cr formano l'angolo co, si ottiene per la curvatura normale N—xd = \R della striscia di curvatura la semplice formula

(3.69) tgw yJ> = N = 1

R

Per la curvatura x della curva media C fra Ct e Cr si ottiene perciò

(3.70) X = X = 2 cos co

Inoltre si ha la formula

(3.71) y,r— xt = 2(»' ' cosca = Nf

(1+/V2) ;J '2 '

— 205 —

Come applicazione di questa formula si può facilmente conseguire il teorema dimostrato per primo da B. SEGRE:

Su due linee ovali Ct, Cr isometriche, esistono almeno quattro coppie di punti corrispondenti con uguale curvatura xl = xr.

7. La rappresentazione cinematica la corrispondere agli ele­menti di superficie E(x,y,z,p,q) di una superficie a curvatura continua

(3.72) z = z(*,y)

dello spazio isotropo le coppie di punti immagini (E,, E,)

(3.73) E7 s

,rt = .r + q(.r, y)

\yi = y—p(*>y) M

,vr^x — q(x., y)

yr=*y + p(*,y)

Per i determinanti funzionali di queste formule di rappresentazione si trovano gli uguali valori

(3.74) 3(,-, y)

K*>yY

1 + s — 7"

t 1 - 5

1 - 5 /*

— t 1 + 5

= l + r É - $ 2 ~ l + À:

= 1 + / 7 - . s " 2 - l + £ .

Se studiamo dapprima le superficie con

(3.75) l + r J - s - = l + / C ^ 0 , cioè K^~ 1

segue da (74) il teorema:

Le due immagini cinematiche di una superficie a curvatura continua dello spazio isotropo con K—rt — s2 ^ 1 sono legate fra loro da una trasformazione equivalente.

Inversamente ogni rappresentazione del piano Et^Er che con­serva le aree rappresenta la immagine cinematica di una superficie nello spazio isotropo (più esattamente: una doppia infinità di ele­menti di superficie E « in posizione unita » secondo LiE, « Lieschr Verein»).

— 206 —

Con ciò si può 1) identificare la teoria delle rappresentazioni equivalenti del piano con la teoria delle superficie dello spazio isotropo, o 2) illustrare questa teoria delle superficie isotrope me­diante le proprietà delle rappresentazioni equivalenti del piano.

Come esempio, segue che le linee asintotiche della superficie si rappresentano su quelle coppie di curve della corrispondenza equivalente, che,possiedono tangenti parallele. Similmente le cop­pie di curve isometriche della corrispondenza sono le immagini delle linee di curvatura isotrope della superficie.

8. Resta infine ancora il caso particolare della superficie z — z(x, y) con

(3.76) K=rt-s* = -l

In questa superficie le immagini cinematiche (Et, Er) degli ele­menti di superficie E formano solamente due curve (CL, Cr)

Fig. 30

(fig. 30). Se iì punto El su Ct resta fisso e il punto Er su Cr

si muove, allora l'elemento di superficie E descrive sulla super­ficie una striscia sviluppabile, che è contenuta nel sistema nullo iVz

di equazione

X Y 1

(3.77) Z + X y i

•'•i yi i

207

Inversamente se resta fisso il punto Er su Cr e il punto Et su C, si muove, l'elemento di superficie E descrive sulla superficie una stri­scia asintotica che è contenuta nel sistema nullo Nr dì equazione

(3.78) Z-z —

X Y 1

.r y 1

•''r Jr 1

Dal teorema fondamentale della rappresentazione cinemalica segue poi che :

Se si sposta nel primo caso il punto fisso Et lungo la curva im­magine Ci, la relativa striscia asintotica subisce uno scorrimento sinistro di CLIFFORD. Similmente le singole strisce sviluppabili del­l'altra schiera si mutano fra loro mediante uno scorrimento destro.

Per le torsioni delle linee asintotiche della nostra superficie si ha, secondo il teorema di BELTRAMI

(3.79) - £ = + 1, cioè = dr 1 = COSt.

Riassumendo segue poi il

TEOREMA: Le superficie con curvatura isotropa relativa costante

(3.80) K = rt- s2 = ~l

possiedono due schiere di strisce asintotiche con la torsione costante r = ±1> che giacciono in complessi lineari. La superficie può essere generata, se si spostano le linee asintotiche di una schiera lungo le linee asintotiche dell'altra schiera mediante uno scorri­mento di CLIFFORD. ÌJ immagine cinematica di queste superficie consta di due curve (C,, C,).

Dalla semplice generazione delle superficie (80) come super­ficie di scorrimento di CLIFFORD segue anche la loro più sem­plice rappresentazione analitica, mediante due arbitrarie funzioni Ù=U(u)'e V=V(v):

(3.81)

il = V — li

y=U' - V

z = 2(U- V)-(u + v) ( £ / ' - V)

— 208 —

In queste formule (già trovate da DARBOUX) U e v sono para­metri asintotici della superfìcie.

9. Inoltre anche le superficie con curvatura continua e con curvatura relativa fissata positiva

(3.82) £ - - = r t - / = + 1 ,

che sono sempre analitiche, conducono a rappresentazioni equiva­lenti molto interessanti. Queste particolari rappresentazioni equi­valenti sono connesse con le geometrie complesse delle curve anali­tiche piane studiate da C. SEGRE e da STUDY.

Ogni punto complesso P (£, ?/) della curva analitica piana k di equazione

(3.83) , - / ( f ) ,

può cioè esser rappresentato secondo STAUDT mediante una invo­luzione reale su una retta reale (fig. 31). / punti coniugati reali (Pi, Pr) di queste involuzioni si corrispondono allora in una tale particolare corrispondenza equivalente.

Ad ogni curva analitica complessa k appartiene cioè nello

Fig. 31

209 —

spazio isotropo una determinata superficie (analitica) 0 con una curvatura relativa fissata K=rt—.s2=-f-l, in modo tale che la rappresentazione di STAUDT del punto complesso P di k mediante coppie reali di punti {Pz, P?.) e la rappresentazione cinematica degli elementi di superficie E di 0 sulle coppie di punti (Et, Er) del piano TI coincidono. Anche l'inverso di questo teorema è vero.

Se la curva piana complessa k è reale, allora la sua immagine (PhP}) di STAUDT è involutoria; si ottiene la simmetria equiva­lente della curva analitica reale k. La corrispondente superficie 0 con k = ± 1 è allora simmetrica rispetto al piano z=0.

In questa corrispondenza corrisponde p. es. al cerchio reale k

(3.84) *8 + / - l ,

la superficie di rotazione, simmetrica rispetto al piano z •= 0, di equazione

r

(3.85) z= f ]/?^l dr , i

cioè la superficie evoluta di una catenoide. Come immagine cine­matica degli elementi superficiali di una catenoide si ottiene cioè la simmetria equivalente del suo cerchio di gola reale (fig. 31) .

10. Anche le superficie minimali isotrope con

(3.86) 2H=r + s = z„ + zm-0

conducono a rappresentazioni equivalenti con interessanti proprietà. Si possono rappresentare queste superficie molto semplicemente con l'equazione

(3.87) z=&f(x + iy) .

SI indica la parte reale della funzione analitica complessa f(x -f- iy) della variabile complessa x -f iy .

Ad ogni tale superficie minimale isotropa appartiene una schiera di superficie associate di equazione

(3.88) z = &[e-<a./(a,' + iy)] .

iti

— 210 —

Dall'immagine cinematica (Et, Er) di un elemento di super­ficie E della superficie minimale (87) si ottiene l'immagine ci­nematica (Ei, Efj del corrispondente elemento di superficie Ea

della superficie minimale associata (88), se il segmento (Et, Er)

ruota dell'angolo a intorno al suo punto medio E (fig. 32).

Fig. 32

Soltanto per le superficie minimali isotrope si ottiene mediante questa costruzione, per ogni angolo a, da una rappresentazione equivalente sempre di nuovo una rappresentazione equivalente.

Vorrei chiudere, con queste applicazioni ed esempi, le mie con­ferenze. Spero che mi sia riuscito di mostrare quanto strettamente le geometrie non euclidee anche degli spazi quasi ellittici ed iso­tropi siano collegate con problemi relativi a differenti classici rami della geometria.

—. 211 —

BIBLIOGRAFIA

[1] Wilhelm BLASCHKE a) Euklidische Kinematik und nichteuklidische Geometrie, Zeitschr. Math. Phys. 60, 61-91, 203-204 (1911)- b) Ebene Kinematik, Hamburger math. Einzelschriften, 25. Heft, Leipzig und Berlin 1938. - e) Riflessioni sulla cine­matica classica, Rend. Sem. Mat. Roma (4) 2, 130-135 (1938). - d) Kinematische Begriindung von S. Lies Geraden-Kugeltransformation, Sitz. Ber. Bayer. Akad. Wiss. Munchen 1948, 291-297. - e) Contributi alla cinematica, Rend. Istit. per le appi, del calcolo (5) 8, 268-280 (1949).

[2] Wilhelm BLASCHKE - Hans Robert MULLER, Ebene Kinematik, Munchen 1956.

[3] Enrico BOMPIANI, Geometria descrittiva, p. 141-160, Roma 1928.

[4] Julian Lowell COOLIDGE, The Elements of Non-Euclidean Geometry, London 1927.

[5] H. S. M. COXETER, Non-Euclidean Geometry, Toronto 1957.

[6] Guido FUBINI, // parallelismo di Clifford negli spazi ellittici (Tesi di laurea), Ann. R. Scuola Norm. sup. di Pisa, 9, 1-74 (1904); Opere scelte, voi. I, 37-94, Roma 1957.

[7] Johannes HJELMSLEV (PETERSEN), Geometrie des droites dans Vespace non eucli-dien, Verh. Dan. Akad. Kopenhagen 1900, 305-330.

[8] Felix KLEIN, Vorlesungen iiber h'òhere Geometrie, Berlin 1926; Zusàtze von Wilhelm BLASCHKE: §80 (Euklidische Abbildung der elliptischen nichteuklidischen Raumgeometrie) und § 81 (Die kinematische Abbildung).

[9] Emil MULLER - Erwin KRUPPA, Vorlesungen uber Darstellende Geometrie I : Die linearen Abbildungen, S. 240-284, Leipzig und Wien, 1923.

riO] Georg SCHEFFERS, Flàchentreue Abbildungen in der Ebene, Math. Zeitschr. 2, 180-186 (1918).

[11] Karl STRUBECKER, a) Zur nichteuklidischen Geraden-Kugel-Transformation, Sitz. Ber, Akad. Wiss. Math.-nat. Kl., Abt. II a, 139, 685-705 (1930). - b) Zur Geometrie sphàrischer Kurvenscharen, Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 44, 184-198 (1934). -e) Die Geometrie des isotropen Raumes und einige ihrer Anwendungen, Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 48, 236-257 (1938). - d) Uber die parataktische Abbildung der Flàchenelemente des isotropen Raumes auf Punktepaare einer Ebene, Journ. reine und angew. Math. 186, 1-36 (1945). - e) Differentialgeometrie des isotropen Raumes IV: Theorie der flàchentreuen Abbildungen der Ebene, Math. Zeitschr. 50, 1-92 (1945). - f) Differentialgeometrie des isotropen Raumes V: Zur Theorie der Eilinien, Math. Zeitschr. 51, 525-573 (1945). - g) Uber die Flàchen, deren Asympto-tenlinien beider Scharen linearen Komplexen angehòren, Math. Zeitschr. 52, 401-435 (1949). - h) Kinematik, Liesche Kreisgeometrie und Geraden-Kugel-Transformation, Elemente d. Math. 8, 4-13 (1953).

[12] Eduard STUDY, a) Von den Bewegungen und Umlegungen, Math. Ann. 39, 441-566 (1891). - b) Nichteuklidische Geometrie und Liniengeometrie, Festschrift Phil. Fak. Greifswald 1900, 67-97; Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 11, 313-342 (1902). -e) Die Begriffe Links und Rechts in der elliptischen Geometrie, Amer. Journ. Math. 29, 116-159 (1907). - d) Vorlesungen uber ausgewàhlte Gegenstànde der Geometrie I : Ebene analytische Kurven und zu ihnen gehòrige Abbildungen, Berlin-Leipzig 1911.

— 212 —

S O M M A R I O

CAP. I - Geometria dello spazio ellittico . . . . pag. 141

CAP. II - Geometria dello spazio quasi ellittico . . . » 157

CAP. Ili - Geometria dello spazio isotropo . . . . -> 187

Bibliografia . . . . . . . . 235