Juros simples e composto

CURSO EM PDF – MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA O BNDES Profª. Bruna Amaral

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APRESENTAÇÃO

Prezados (as) concurseiros (as),

Meu nome é Bruna Amaral, atualmente desempenho minhas funções na Secretaria Municipal de Fazenda (SMF) da cidade do Rio de Janeiro, onde ocupo o cargo de Fiscal de Rendas (ISS-RJ). Sou bacharel em Administração e professora de Matemática Financeira e Raciocínio Lógico em cursos preparatórios para concursos públicos.

Minha experiência em concursos públicos começou cedo. Ainda na adolescência prestei diversos vestibulares sendo aprovada nos cursos de Engenharia de Produção e Ciências Contábeis (ambos na UERJ). Aos 17 anos prestei meu primeiro concurso difícil, fiz prova para a Academia da Força Aérea (AFA), ficando na 42ª posição. Cursei Engenharia de Produção na UERJ por 1 ano e a AFA por 3 anos, mas não cheguei a me formar em nenhum dos dois cursos. Me formei em Administração alguns anos depois e mergulhei nos estudos para concursos públicos. Tive algumas aprovações, tais como: Fiscal de Tributos Municipais em Angra dos Reis em 2010 (26ª posição); Auditor do IBGE em 2010 (20ª posição); Analista de Planejamento e Orçamento da Secretaria de Planejamento do Estado do Rio de Janeiro em 2010 (18ª posição), cargo que ocupei por 4 meses; Fiscal de Rendas do Município do Rio de Janeiro em 2010 (10ª posicão), cargo que ocupo atualmente. Meu período de “concurseira” também foi marcado por alguns “quase” (concursos que cheguei perto): Fiscal de Rendas do Estado do Rio de Janeiro em 2009 e 2010 e Fiscal de Rendas do Estado de São Paulo (2009).

Analisando as provas recentes da CESGRANRIO que envolvem questões de matemática financeira, pude perceber que a banca não dificulta muito nessa matéria. Na maior parte das questões da CESGRANRIO, com uma simples identificação dos dados dos enunciados, o aluno consegue aplicar diretamente as fórmulas de Matemática Financeira e achar a resposta correta da questão.

Para sua sorte, a banca também costuma repetir bastante o estilo de questões. Então, com treino, e eu vou apresentar muitas questões para treinar, você vai conseguir fazer a maior parte das questões e conseguir seus pontos de Matemática Financeira.

O edital do concurso do BNDES traz os seguintes assuntos dentro de Matemática Financeira para os cargos de administrador e de contador:



PROFISSIONAL BÁSICO – ADMINISTRAÇÃO

VIII - Matemática Financeira e Estatística: 1. Matemática Financeira: Juros simples e juros compostos. 2. Equivalência. 3. Descontos. 4. Anuidades. 5. Métodos de amortização. 6. Séries de pagamentos.

PROFISSIONAL BÁSICO – CONTABILIDADE

XII – Matemática Financeira: Juros simples e juros compostos. Equivalência. Descontos. Anuidades. Métodos de amortização. Séries de pagamentos.

A CESGRANRIO deixou o edital igual tanto para Administração, quanto para Contabilidade. Portanto, essa aula serve para os dois concursos.

Vejam como organizei nosso cronograma de aulas:

AULA DEMO

Juros Simples e Compostos.

AULA 1 Juros Compostos (continuação); Descontos; Equivalência.

AULA 2 Séries de Pagamentos. Anuidades. Métodos de amortização.

AULA 3 Revisão

Dicas pessoais sobre como estudar Matemática Financeira:

A matemática é um grande problema para a maioria das pessoas. Desde pequeno a gente ouve alguém, o irmão mais velho ou o coleguinha, dizer que matemática é difícil e muita gente internaliza isso.

Meu objetivo com este curso não é formar nenhum matemático, meu objetivo é apenas ajudá-los com as possíveis questões que a sua banca pode apresentar. Não vou me ater à teoria, pretendo focar mais a prática. Vou dar o mínimo de teoria para que você entenda os mecanismos e depois consiga fazer sozinho as questões. Pretendo simplificar e dar macetes sempre que possível.

Como disse anteriormente, a CESGRANRIO tem uma linha própria de questões e não foge muito dela, como vocês vão observar. Portanto, sabendo fazer as questões que eu apresento, você provavelmente terá um resultado satisfatório na sua prova.

Agora vamos às dicas propriamente ditas:



- Matemática é uma matéria que exige transpiração, portanto escreva, escreva, escreva e escreva. Não leia apenas o que eu apresento! Primeiro leia a questão e tente fazer sozinho. Não conseguiu? Leia minha resolução. Entendeu? Agora faça sozinho, escreva ao seu modo, faça suas observações. Se você errou a questão, faça uma marca nela para voltar posteriormente, pode ser um círculo ao redor do número da questão.

- Se você não tem muita afinidade com a matéria, tente estudá-la no seu melhor momento. Como assim? Se você detesta estudar de manhã cedo, não estude matemática de manhã cedo, pois isso será uma tortura. Estude num horário que você acha mais agradável, num local mais confortável, traga algo saboroso para beliscar enquanto estuda. Faça tudo para seu estudo ser menos doloroso.

- Aliás, não veja seu estudo como algo doloroso. Pense como um investimento. Há menos de 1 ano eu estava estudando pesadamente. Hoje estou do “outro lado da força” (rs) ajudando vocês! Pense que em breve você terá um salário interessante, num local bacana, horários flexíveis, e muito mais!!!!

- Quando achar que seu estudo não está rendendo, não force. Se quiser forçar um pouco, reveja as questões que você marcou como erradas ou difíceis. Veja se você ainda lembra como se faz. O processo de repetir questões um tempo depois facilita muito e solidifica o aprendizado.

- Mais perto da prova comece a fazer revisão da matéria, mesmo que você não tenha conseguido ver todo o conteúdo. Às vezes é melhor saber bem pouca coisa do que saber mais ou menos muitas. Nossa última aula, inclusive, será de revisão com todo o conteúdo.

- Nunca menospreze uma matéria que você acha fácil! Matérias fáceis você estuda para pontuar, para acertar o máximo possível; matéria difícil você estuda para passar, fazer pelo menos o mínimo que a sua banca exige. Muita gente boa é reprovada por se superestimar em algumas matérias.

- Existem questões que foram feitas para pular. Toda prova tem uma porcentagem de questões fáceis, médias e difíceis. Você deve acertar todas as questões fáceis e médias e tem o direito de errar algumas difíceis. Então não se desespere quando não conseguir resolver uma questão! Sua prova é grande, marque que não conseguiu fazer a questão e parta para a próxima! É um grande erro dos concurseiros ficar brigando com a questão. Não faça isso! Respire fundo e pule sem medo de pontuar as próximas questões! Como eu tinha dito anteriormente, a CESGRANRIO tem uma linha própria de questões e nessas aulas eu apresento a maioria das questões fáceis, médias e difíceis para que você vá bem treinado para a sua prova.



- Ao final de cada aula eu apresento um quadro resumo com informações e fórmulas que você não pode se esquecer da aula do dia. Aconselho que você faça uma listinha própria com suas observações e fórmulas e consulte com alguma freqüência para não esquecer.

- Embora você esteja fazendo um concurso para nível superior da CESGRANRIO, te apresentarei também nas aulas questões de nível médio e questões de outras bancas para que você possa fixar melhor os conteúdos.

É isso, pessoal! Vamos começar nossa aula demonstrativa?



SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO...........................................................06

2. JUROS SIMPLES........................................................07

2.1 TAXAS PROPORCIONAIS........................................12

3. JUROS COMPOSTOS..................................................15

3.1 TAXAS EQUIVALENTES..........................................24

4. RESUMO DA AULA.....................................................30

5. QUESTÕES DE CONCURSO.........................................32

6. GABARITOS..............................................................37



1. INTRODUÇÃO

Antes de começar com as questões de provas, gostaria de bater um papo com vocês e fazer uma perguntinha...

A primeira delas é: o que vale mais R$100 em janeiro de 2011 ou R$100 em fevereiro de 2011?

Um aluno poderia responder rapidamente:

- São iguais!

Um segundo mais atento poderia fazer a seguinte pergunta:

- É um investimento? Qual a taxa de juros?

Eu responderia que é um investimento cuja taxa de juros é de 10% ao mês. Então o segundo aluno falaria:

- Então R$100 em janeiro vale mais que R$100 em fevereiro, já que passando um mês o dinheiro de janeiro vai me trazer R$10,00 de juros (10% de R$100). Ou seja, em fevereiro, os R$100 de janeiro valerão R$110. E R$110 é maior que R$100.

Esse exemplo é só para ilustrar que duas quantias só podem ser comparadas se estiverem no mesmo momento. Praticamente todas as questões de concursos de matemática financeira trabalham com o conceito do valor do dinheiro no tempo, então o que você deve fazer é identificar os diversos momentos e trazer todas as quantias para um momento comum.

Nunca esqueça que duas quantias só podem ser comparadas se estiverem num mesmo momento.

Agora a pergunta que fica, mas o que são os juros? Juros é a remuneração do capital. Como assim? Juros é quanto você recebe por deixar seu dinheiro num banco sendo aplicado. Quanto maior a taxa de juros, maior a remuneração do capital.

Como falamos em tempo, temos que ter em mente que:

Valor final = Valor inicial + juros

Vf = Vo + J

O valor final (Vf) é comumente chamado de montante (M) e o valor inicial (Vo) é comumente chamado de capital (C).

Então nossa fórmula é também conhecida por:

M = C + J



Existem dois tipos de juros: juros simples e juros compostos.

- Juros simples são os juros que incidem apenas sobre o capital inicialmente aplicado;

- Juros compostos são os juros que incidem sobre todo o capital, seja ele capital inicial ou juros de períodos anteriores.

A diferença entre os juros simples e os juros compostos é basicamente que os simples incidem apenas sobre o capital inicial e os compostos sobre o capital inicial E sobre os juros de períodos anteriores.

Ficou confuso? Vamos tentar esclarecer com as questões de concursos a seguir!

2. JUROS SIMPLES

1) (CESGRANRIO – 2008 – INEA - CONTADOR) Antônio Monteiro aplicou um capital em um título que rendia juros simples de 4% ao mês. Ao final de um ano (12 meses), Antônio recebeu juros de R$ 9.000,00. O capital inicial aplicado, em reais, foi:

(A) 20.000,00

(B) 19.500,00

(C) 18.955,00

(D) 18.750,00

(E) 17.125,00

Essa questão é ótima para conceituarmos juros simples. Mas qual é mesmo o conceito de juros simples?

- Juros simples são os juros que incidem apenas sobre o capital inicialmente aplicado.

E matematicamente? O que significa isso?

Juros simples = Valor inicial x taxa de juros x tempo

J = Vo . i . t

Conhecendo a fórmula de juros simples, já podemos resolver nossa questão! Vamos destacar os dados do enunciado:

OBSERVAÇÃO !!!



i = 4% ao mês = 4/100 ao mês = 0,04 ao mês (juros simples)

t = 12 meses

J = R$ 9000

Vo = ??? (o capital inicial é justamente o que queremos saber)

Na sequência, vamos aplicar a fórmula:

J = Vo . i . t

9000 = Vo . 0,04 . 12

9000 = Vo . 0,48

Vo = 9000/0,48

Vo = 18750

GABARITO: D

2) (CESGRANRIO – 2008 – PETROBRÁS - CONTADOR) O resgate de uma aplicação realizada por um aplicador monta a R$ 60.000,00. Sabendo-se que a aplicação foi por um prazo de 4 meses, e que a taxa de juros simples era de 5% ao mês, o valor da aplicação, em reais, era de:

(A) 45.555,55

(B) 48.575,00

(C) 50.000,00

(D) 52.222,25

(E) 55.555,50

Vamos destacar os dados da nossa questão?

Vf = 60000 (resgate de aplicação ou montante)

t = 4 meses


Vo = ??? (capital inicial, valor da aplicação)

Sabemos que:

J = Vo . i . t

E que:

Vf = Vo + J



Agora inserimos a fórmula de J na fórmula de Vf:

Vf = Vo + J

Vf = Vo + ( Vo . i . t)

Vf = Vo + Vo . i . t

Vf = Vo ( 1 + i . t)

O que seria o Vf? Vf é o valor final da aplicação, também conhecido como montante.

Agora aplicamos os dados da questão à última fórmula apresentada:

Vf = Vo ( 1 + i . t)

60000 = Vo (1 + 0,05.4)

60000 = Vo (1 + 0,20)

60000 = Vo (1,2)

Vo = 60000/1,2

Vo = 50000

GABARITO: C

3) (CESGRANRIO – 2008 – BNDES – CONTADOR) O valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que permite que um investimento de R$ 1.000,00 se transforme em um montante de R$ 1.250,00 num prazo de 20 meses é:

(A) 2,5% ao mês.

(B) 2,0% ao mês.

(C) 1,55% ao mês.

(D) 1,50% ao mês.

(E) 1,25% ao mês.

Dados da questão:

Vo = 1000

Vf = 1250

t = 20 meses

i = ??? (juros simples mensais)



Observe que num primeiro momento o candidato poderia ficar confuso com o que seria a rentabilidade mensal. A rentabilidade mensal seria os juros que a aplicação traria mês a mês. Mas destacando os dados da questão e lendo com mais atenção, fica claro que a banca quer saber qual a taxa de juros do investimento. Então nessa questão, a CESGRANRIO entende como rentabilidade a taxa de juros. Observe, inclusive, que as respostas são as taxas de juros.

Com os dados da banca, podemos aplicar a fórmula:

Vf = Vo ( 1 + i . t)

1250 = 1000 (1 + i.20)

1250/1000 = (1 +20i)

1,25 – 1 =20i

0,25 = 20i

i = 0,25/20

i = 0,0125 ao mês = 1,25/100 ao mês = 1,25% ao mês

GABARITO: E

Fique atento, pois algumas bancas fazem “pegadinhas” com os candidatos: elas fornecem dados mensais e pedem respostas em dados anuais, por exemplo. O candidato deve estar sempre atento se a taxa está coordenada com o período de tempo.

4) (CESGRANRIO – 2008 – ANP – CONTADOR) A Empresa Dias & Noites Ltda. obteve um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 6 meses a juros simples de 3% ao mês. No final do prazo de empréstimo, a empresa vai pagar ao Banco o montante de

(A) 11.800,00

(B) 11.699,99

(C) 11.500,00

(D) 11.333,33

(E) 10.980,00

Dados da questão:

Vo =10000



t = 6 meses


Vf = ???

Vocês estão percebendo como a banca repete o estilo de questões?

Para achar a resposta correta, basta aplicarmos a fórmula:

Vf = Vo ( 1 + i . t)

Vf = 10000 (1 + 0,03.6)

Vf = 10000 (1 + 0,18)

Vf = 10000 (1,18)

Vf = 11800

GABARITO: A

5) (CESGRANRIO – 2009 – BNDES – CONTADOR) Um investidor aplicou, no Banco Atlântico, R$ 10.000,00, por um período de 17 dias, a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo investidor, em reais, foi

(A) 60,00

(B) 64,20

(C) 65,60

(D) 66,00

(E) 68,00

Dados da questão:

Vo = 10000

t = 17 dias

i = 1,2% ao mês = 1,2/100 ao mês = 0,012 ao mês

J = ??? (rentabilidade)

Antes de aplicarmos a fórmula, vamos destacar o fato de que o tempo está em dia (17 dias) e a taxa está em mês. Eu já tinha avisado que o período de tempo deve estar coordenado com a taxa de juros. Mas o que faremos para coordenar? Podemos transformar a taxa mensal em diária



ou podemos transformar os dias em mês. O candidato escolhe! Para facilitar os cálculos, vamos transformar os dias em mês por regra de três:

1 mês _____________ 30 dias

t __________________17 dias

30 . t = 1 . 17

t = 17 /30 mês

Agora sim podemos aplicar a fórmula:

J = Vo . i . t

J = 10000 . 0,012 . 17/30

J = 68

GABARITO: E

2.1 TAXAS PROPORCIONAIS

6) (CESGRANRIO – 2008 - ANP - ANALISTA GERAL) A taxa de juros simples de 1% ao mês é proporcional à taxa trimestral de

(A) 1,3%

(B) 2,0%

(C) 2,1%

(D) 3,0%

(E) 3,03%

Vamos avançar um pouco no conteúdo, essa questão aborda o conceito de proporcionalidade de taxas de juros simples.

Duas taxas, i e i1, relativas aos períodos t e t1 , são proporcionais se, supostos t e t1 , na mesma unidade de tempo tivermos:

i ______________________ t

i1_________________________________ t1

Confuso esse conceito? A aplicação dele é uma regra de três simples!! Veja a aplicação do conceito na nossa questão:

i = 1% ao mês



t = 1 mês

i1 = ??? (taxa trimestral que queremos descobrir)

t1 = 1 trimestre = 3 meses

i ______________________ t

i1_________________________________ t1

1 ____________________ 1 mês

i1 _________________________________ 3 meses (trimestre)

1 . 3 = 1 . i1

i1 = 3% ao trimestre

Ou seja, em juros simples, a taxa de 3% ao trimestre é proporcional a taxa de 1% ao mês.

DICA: Na prática, basta multiplicar a taxa pelo número de meses. Se a taxa mensal é de 1%, a taxa trimestral (3 meses) será de 3x1% = 3%.

GABARITO: D

7) (ESAF – 2009 - APOFP-SP) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

Apesar de não ser uma questão da sua banca, colocamos essa questão para você fixar o conteúdo de taxas proporcionais!

Vamos destacar os dados da questão:

Vo = 1 (capital unitário)

Vf = 1,1

t = 2 meses e 15 dias = 2,5 meses



i = ??

Preste atenção que o tempo vem em mês e dia e a pergunta da taxa vem em ano.

O que faremos? Vamos aplicar as fórmulas:

Vf = Vo (1 + i.t)

1,1 = 1 ( 1 + i.2,5)

1,1/1 = 1 + 2,5i

1,1 – 1 = 2,5 i

0,1/2,5 = i

i = 0,04 ao mês = 4/100 = 4% ao mês

(observe que o resultado é mensal, uma vez que o tempo empregado foi mensal)

Mas a questão pede a taxa anual. E agora? O que faremos? Ora, temos a taxa mensal! Então basta fazer uma regra de três para descobrir a taxa anual!

i ______________________ t

i1_________________________________ t1

0,04 _____________ 1 mês

i _________________ 12 meses

1.i = 0,04 . 12

i = 0,48 ao ano = 48/100 = 48% ao ano

Se em a taxa mensal é de 4%, a taxa anual (12 meses) será de 12x4%=48%.

GABARITO: E

3. JUROS COMPOSTOS

Agora vamos avançar mais um pouco no conteúdo e conversar sobre juros compostos. Eu já tinha dito anteriormente pra você que:

- Juros compostos são os juros sobre todo o capital, seja ele capital inicial ou juros de períodos anteriores;



- a diferença entre os juros simples e os juros compostos é basicamente que os simples incidem apenas sobre o capital inicial e os compostos sobre o capital inicial E sobre os juros de períodos anteriores.

Agora para explicar juros compostos, pense na poupança.

Você aplica R$1000 numa poupança que rende 0,5% ao mês. Depois de um mês você terá um saldo de R$1005 (R$1000 de capital inicial e R$5 de juros).

Vf = Vo + J

Vf = 1000 + (0,5/100 .1000)

Vf = 1000 + 5

Vf = 1005

Se você deixar mais um mês você terá um saldo de R$1010,25 (R$1000 de capital inicial do 1º mês, R$5 de juros do 1º mês e R$5,25 de juros do 2º mês. Observe que agora o novo “Vo” será o antigo capital inicial de R$1000 e os juros do primeiro mês de R$5).

Vf = Vo + J

Vf = (1000 + 5) + (1000 +5)x0,5/100

Vf = 1005 + 5,25

Vf = 1010,25

Por que os juros do primeiro mês foram menores que os do segundo? Simples, porque os juros do segundo mês incidem sobre todo o capital que existia, fosse ele capital inicial (1000) ou juros do mês anterior (5).

E matematicamente? O que são os juros compostos?

J = Vo (1 + i)t – Vo

Como Vf = Vo + J (tanto para juros simples quanto para compostos)

Vf = Vo + (Vo x i)t

Vf= Vo (1 + i)t

Agora vamos ver as questões de concurso:

8) (CESGRANRIO – 2008 – PETROBRAS - CONTADOR JUNIOR) Uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 3 meses, a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, vai gerar, em reais, um montante de



(A) 11.087,18

(B) 11.105,00

(C) 11.178,71

(D) 11.189,23

(E) 11.500,00

Veja como é simples! Vamos destacar os dados da questão:

Vo = R$10000

t = 3 meses

i = 3,5% ao mês = 3,5/100 ao mês = 0,035 ao mês

(juros compostos)

Vf = ??? (é o montante que queremos descobrir)

Agora aplicamos a fórmula de juros compostos:

Vf= Vo (1 + i)t

Vf = 10000 (1 + 0,035)³

Vf = 10000 (1,035)³

Vf = 10000 (1,1087)

Vf = 11087

GABARITO: A

9) (CESGRANRIO – 2008 – INEA – CONTADOR) A Empresa Atenas S/A contraiu um empréstimo por um período de 3 meses, com juros compostos de 3% ao mês. O montante que representa o principal mais os juros monta a R$ 200.000,00. Com base nos dados acima, o valor do empréstimo obtido pela empresa, em reais, foi

(A) 177.491,84

(B) 181.454,60

(C) 183.028,33

(D) 183.486.23

(E) 184.000,00



Vamos destacar primeiramente os dados da questão:

t = 3 meses

i = 3% ao mês = 3/100 ao mês = 0,03 ao mês (juros compostos)

Vf = R$ 200000

Vo = ??? (valor do empréstimo, valor inicial de capital)

Questão simples para você fixar seus conhecimentos, basta aplicar a fórmula:

Vf= Vo (1 + i)t

200000 = Vo (1 +0,03)³

200000 = Vo (1,03)³

200000 = Vo (1,0927)

Vo = 200000/1,0927

Vo = 183032 (a alternativa com valor mais próximo é a C)

GABARITO: C

10)(CESGRANRIO – 2006 - TRANSPETRO ANALISTA) O crescimento de um montante sobre juros compostos é:

(A) exponencial.

(B) quadrático.

(C) log-linear.

(D) linear.

(E) browniano.

Para responder essa questão, o candidato precisava conhecer o gráfico de montante de juros simples e de juros compostos:



Comparando os juros simples e compostos através do gráfico podemos perceber o seguinte:

- o montante em juros simples cresce linearmente;

- o montante em juros compostos cresce exponencialmente;

- o montante em juros simples é maior que o montante em juros compostos quando tempo <1;

- o montante em juros simples é igual ao montante em juros compostos quando tempo = 1;

- o montante em juros simples é menor que o montante em juros compostos quando tempo >1.

LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto para juros simples quanto para compostos!!!

DICA: DECORE ESSE GRÁFICO!!! As bancas adoram cobrar um desses 5 conceitos acima que podem ser inferidos pelo gráfico!

Como percebemos pelo gráfico, o montante em juros compostos cresce exponencialmente.

GABARITO: A

11) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos itens, relativos ao regime de juros compostos.

Para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é sempre superior ao montante em regime de juros simples.

Mais uma questão, agora da CESPE, que pode ser facilmente respondida pelo gráfico dos montantes de juros simples e de juros compostos:

OBSERVAÇÃO !!!



Por esse gráfico, podemos perceber que:






LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto para juros simples quanto para juros compostos!!!

Agora voltando a nossa questão. A questão fala que o montante em juros compostos é sempre maior que o montante em juros simples, mas isso está errado, uma vez que quando t<1, o montante de juros simples é maior que o de juros compostos.

GABARITO: ERRADO

12) (CESGRANRIO – 2008 – BNDES – ADMINISTRADOR) Um indivíduo fez uma aplicação com taxa pré-fixada de 2,25% ao mês. Entretanto, passados 20 dias, precisou fazer o resgate. Suponha que seja possível escolher entre os regimes de capitalização simples ou composto para realizar o resgate desse montante. Pode-se afirmar que o montante obtido:

(A) pelo regime simples será igual ao capital inicial (não haverá juros simples).



(B) pelo regime composto será igual ao capital inicial (não haverá juros compostos).

(C) pelo regime composto será maior.

(D) pelo regime simples será maior.

(E) será o mesmo, considerando os dois regimes de capitalização.

Dados da questão:

i = 2,25% ao mês

t = 20 dias

(observe que a taxa é mensal e o tempo é em dias, então é melhor transformar o tempo em mês)

1 mês_____________ 30 dias

t_________________ 20 dias

20 . 1 = 30 . t

t = 20 /30

t = 2/3 = 0,667 mês

A questão pergunta qual montante seria maior, se é o de juros simples ou de juros compostos.

Vamos ver o gráfico dos montantes dos juros simples e compostos:

Por esse gráfico, podemos perceber que:








LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto para juros simples quanto para juros compostos!!!

Logo, a alternativa certa é a D, pois o transcurso de tempo é de 0,667 mês (t <1). Quando t< 1, o montante em juros simples é maior que o montante em juros compostos.

GABARITO: D

13) (CESGRANRIO – 2009 – BNDES – CONTADOR) O investimento, que proporcionou a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, em reais, foi

(A) 12.222,22

(B) 13.718,13

(C) 13.761,46

(D) 14.061,75

(E) 14.138,93

Mais uma questão para você fixar!

Vamos aos dados da questão:

Vf = 15000

i = 1,5% ao mês = 0,015 ao mês (juros compostos)

t = 6 meses

Vo = ???

Aplicação direta da fórmula:

Vf= Vo (1 + i)t

15000 = Vo (1+0,015)6

15000 = Vo (1,015) 6

Agora você deve estar pensando “poxa, fazer (1,015) 6 é muito trabalhoso!”. Sou obrigada a concordar com você... Mas vou te relembrar



abaixo algo que vai facilitar um pouco suas contas: as propriedades dos expoentes! Veja:

-> Na+b = Na x Nb

Ex: (1,015) 6 = (1,015)³ x (1,015)³

(1,015)³ = (1,015)¹x (1,015)²

-> Na-b = Na/Nb

Ex: 1,015¹ = 1,015³/1,015²

Voltando a nossa questão:

1,015² = 1,03 (aproximadamente)

1,015³ = 1,0455 (aproximadamente)

1,0156 = 1,093 (aproximadamente)

15000 = Vo (1,093)

Vo = 13723

(valor mais próximo da alternativa B)

GABARITO: B

DICA: Observe que a alternativa C é a resposta para o cálculo da questão por juros simples. Faça os cálculos e confira!

Sabemos pelo gráfico dos montantes dos juros simples e dos juros compostos que o montante para os juros compostos é sempre maior que o montante de juros simples quando o transcurso de tempo for maior que uma unidade de tempo, considerando capitais iniciais iguais e mesmas taxas. Na nossa questão, o transcurso de tempo foi de 6 meses, então a taxa de juros compostos seria maior que a de juros simples.

Nessa questão, a taxa de juros simples seria: i = (1 + 0,015 . 6) = 1,09.

Observe que nos nossos cálculos achamos a taxa de juros compostos i = (1 +0,015)6 = 1,093.

Repare que as taxa de juros compostos para prazos pequenos são pouca coisa maiores que as taxas de juros simples.

Então, se na alternativa C temos a resposta para juros simples, basta aumentarmos um pouco a taxa para termos juros compostos.



Se aumentamos um pouco a taxa [(1+i)t > (1+i.t)] , diminuímos um pouco o Vo (que a questão pede). Então a resposta certa só poderia ser a letra B, já que o Vf é o mesmo.

Vf = Vo (1 + i.t) (juros simples)

Vf = Vo (1 + i)t (juros compostos)

(Como os montantes finais são iguais tanto para juros simples como para juros compostos, o Vo nos juros simples é maior que o dos juros compostos, já que (1+i.t) < (1+i)t)

GABARITO: B

3.1 TAXAS EQUIVALENTES

14) (CESPE – 2010 – TRE-BA – TÉCNICO)Acerca de matemática financeira, julgue o item que se segue, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.

Considere que determinado fundo de renda variável pague a taxa de juros compostos de 16,20% pelo período de aplicação de 180 dias. Nessa situação, a taxa anual equivalente desse fundo de renda será inferior a 33%.

Essa questão aborda o conceito de taxas equivalentes. Duas taxas são equivalentes quando fazem com que um capital produza o mesmo montante ao final de um mesmo prazo de aplicação.

Com esse conceito conseguimos resolver a questão! Como assim? Vamos utilizar o exemplo da CESPE para explicar! Vamos organizar os dados da questão:

i = 16,2% ao semestre = 0,162 ao semestre (juros compostos)

t = 1 ano = 2 semestres

Vamos aplicar a fórmula dos juros compostos:

J = Vo (1 +i)t - Vo

J = Vo (1 + 0,162)² - Vo

J = Vo (1,162)² - Vo



J = 1,35Vo – Vo

J = 0,35 Vo

Ou seja, se aplicarmos uma taxa anual de 0,35 (ou 35% ano) sobre Vo, encontraríamos o mesmo resultado! Vamos conferir?

ianual = 35% ao ano = 0,35 ao ano

t = 1 ano

J = Vo (1 +i)t - Vo

J = Vo (1 + 0,35)¹ - Vo

J = 1,35 Vo – Vo

J = 0,35 Vo

Observe que tanto em juros simples quanto em juros compostos a taxa de juros “i” deve estar coordenada com o transcurso de tempo “t”. Se i estiver em semestre, t estará em semestre. Se i estiver em ano, t estará em ano.

Na questão da CESPE, o transcurso de tempo t é o mesmo na taxa anual (1 ano) e na taxa semestral (1 ano = 2 semestres). Só que na taxa anual o “t” é 1, porque ele é de ano ( 1 ano) e na taxa semestral é 2, porque o “t” é de semestre (1 ano = 2 semestres).

Tá achando esse raciocínio confuso? Existe uma fórmula para achar as taxas equivalentes:

i = (1 + i0)t – 1

Onde:

i = taxa do período de tempo maior

i0 = taxa do período de tempo menor

t = relação entre período maior e menor

* repare que essa fórmula é parecida com a fórmula de juros compostos cortando os “Vo”.

Vamos fazer com os dados da nossa questão:

i = anual (período maior)

i0 = semestral (período menor) = 16,2% ao semestre = 0,162 ao semestre

t = relação entre ano e semestre = 1 ano tem 2 semestres = 2

Aplicando a fórmula:



i = (1 + i0)t – 1

i = (1 + 0,162)² - 1

i = (1,162)² - 1

i = 0,35 ao ano = 35% ao ano

Assim, confirmamos que a taxa anual de 35% ao ano é equivalente à taxa semestral de 16,2% ao semestre, pois se aplicarmos um capital Vo a uma taxa semestral de 16,2% durante um ano ou se aplicarmos o mesmo capital Vo a uma taxa anual de 35% durante um ano encontraremos o mesmo valor de juros: 0,35Vo. A questão sugere que seria de 33% a taxa anual. Errada.

GABARITO: ERRADO

15) (CESGRANRIO – 2008 – ANP – ANALISTA) A taxa de juros compostos de 1% ao mês é equivalente a que taxa trimestral?

(A) 1,3%

(B) 2,0%

(C) 2,1%

(D) 3,0%

(E) 3,03%

Agora uma questão da sua banca! Vamos organizar os dados da questão:

io = taxa mensal = 1% ao mês = 1/100 ao mês = 0,01 ao mês (juros compostos)

i = taxa trimestral

t = 1 trimestre = 3 meses

Agora vamos aplicar a fórmula de taxas equivalentes:

i = (1 + i0)t – 1

i = (1 + 0,01)³ - 1

i = 1,01³ - 1

i = 1,0303 – 1

i = 0,0303 ao trimestre = 3,03/100 ao trimestre = 3,03% ao trimestre



Ou seja, se aplicarmos uma taxa mensal de 1% ao mês por 1 trimestre ou se aplicarmos a taxa trimestral de 3,03% ao trimestre por 1 trimestre, acharemos o mesmo montante, pois essas taxas são equivalentes.

GABARITO: E

16) (ESAF – 2006 - IRB) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano

b) 30% ao semestre

c) 24% ao semestre

d) 10% ao trimestre

e) 6% ao bimestre

Coloquei essa questão da ESAF apenas para você exercitar mais!

Dados da questão:

i0 = 4% ao mês = 0,04 ao mês

A banca manda você calcular a taxa bimestral, trimestral, semestral e anual. Basta aplicarmos a fórmula:

i = (1 + i0)t – 1

- taxa bimestral = (1+ 0,04)2 -1 = 1,0816 – 1 = 0,0816 = 8,16% ao bimestre (logo, a alternativa E está errada)

t = 1 bimestre = 2 meses

- taxa trimestral = (1,04)³ - 1 = [(1,04)²x(1,04¹)] – 1 = 1,1248 – 1 = 0,1248 = 12,48% ao trimestre (logo, a alternativa D está errada)

t = 1 trimestre tem 3 meses = 3 meses

** Lembre-se das propriedades dos números exponenciais:

-> Na+b = Na x Nb

Ex: 1,04³ = 1,04¹ x 1,04²

- taxa semestral = (1,04)6 -1 = [(1,04)³x(1,04)³] – 1 = 1,2653 – 1 = 0,2653 = 26,53% ao semestre (logo as alternativas B e C estão erradas)

t = 1 semestre tem 6 meses = 6 meses

Por exclusão, a alternativa A está correta, mas vamos conferir:



- taxa anual = (1,04)12 – 1 = [(1,04)6x(1,04)6] – 1 = 1,6013 – 1 = 0,6013 = 60% ao ano

t = 1 ano tem 12 meses = 12 meses

Logo, se aplicarmos uma taxa mensal de 4% ao mês por 1 ano ou se aplicarmos a taxa anual de 60% por ano durante 1 ano, acharemos o mesmo montante, pois essas taxas são equivalentes.

GABARITO: A

É isso, pessoal! Espero que vocês tenham aproveitado a aula e que nos encontremos em novas aulas em breve! Bons estudos e fiquem com Deus!



4. RESUMO DA AULA - duas quantias só podem ser comparadas se estiverem num mesmo momento.

- Juros é a remuneração do capital.

Valor final = Valor inicial + juros

Vf = Vo + J

- Juros simples são os juros sobre o capital inicialmente aplicado.

Juros simples = Valor inicial x taxa de juros x tempo

J = Vo . i . t Vf = Vo ( 1 + i . t)

- Taxas proporcionais: Duas taxas, i e i1, relativas aos períodos t e t1 , são proporcionais se, supostos t e t1 , na mesma unidade de tempo tivermos:

i ______________________ t

i1_________________________________ t1

- Juros compostos são os juros sobre todo o capital, seja ele capital inicial ou juros de períodos anteriores.

J = Vo (1 + i)t – Vo Vf= Vo (1 + i)t

- a diferença entre os juros simples e os juros compostos é basicamente que os simples incidem apenas sobre o capital inicial e os compostos sobre o capital inicial E sobre os juros de períodos anteriores.

- Taxas equivalentes: Duas taxas são equivalentes quando fazem com que um capital produza o mesmo montante ao final de um mesmo prazo de aplicação.

i = (1+i0)t – 1



- gráfico de montantes de juros simples e juros compostos:

Comparando os juros simples e compostos através do gráfico podemos perceber o seguinte:






LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto para juros simples quanto para compostos!!!

OBSERVAÇÃO !!!



LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA

1) (CESGRANRIO – 2008 – INEA - CONTADOR) Antônio Monteiro aplicou um capital em um título que rendia juros simples de 4% ao mês. Ao final de um ano (12 meses), Antônio recebeu juros de R$ 9.000,00. O capital inicial aplicado, em reais, foi:

(A) 20.000,00

(B) 19.500,00

(C) 18.955,00

(D) 18.750,00

(E) 17.125,00

2) (CESGRANRIO – 2008 – PETROBRÁS - CONTADOR) O resgate de uma aplicação realizada por um aplicador monta a R$ 60.000,00. Sabendo-se que a aplicação foi por um prazo de 4 meses, e que a taxa de juros simples era de 5% ao mês, o valor da aplicação, em reais, era de:

(A) 45.555,55

(B) 48.575,00

(C) 50.000,00

(D) 52.222,25

(E) 55.555,50

3) (CESGRANRIO – 2008 – BNDES – CONTADOR) O valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que permite que um investimento de R$ 1.000,00 se transforme em um montante de R$ 1.250,00 num prazo de 20 meses é:

(A) 2,5% ao mês.

(B) 2,0% ao mês.

(C) 1,55% ao mês.

(D) 1,50% ao mês.

(E) 1,25% ao mês.



4) (CESGRANRIO – 2008 – ANP – CONTADOR) A Empresa Dias & Noites Ltda. obteve um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 6 meses a juros simples de 3% ao mês. No final do prazo de empréstimo, a empresa vai pagar ao Banco o montante de

(A) 11.800,00

(B) 11.699,99

(C) 11.500,00

(D) 11.333,33

(E) 10.980,00

5) (CESGRANRIO – 2009 – BNDES – CONTADOR) Um investidor aplicou, no Banco Atlântico, R$ 10.000,00, por um período de 17 dias, a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo investidor, em reais, foi

(A) 60,00

(B) 64,20

(C) 65,60

(D) 66,00

(E) 68,00

6) (CESGRANRIO – 2008 - ANP - ANALISTA GERAL) A taxa de juros simples de 1% ao mês é proporcional à taxa trimestral de

(A) 1,3%

(B) 2,0%

(C) 2,1%

(D) 3,0%

(E) 3,03%

7) (ESAF – 2009 - APOFP-SP) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%



c) 60%

d) 54%

e) 48%

8) (CESGRANRIO – 2008 – PETROBRAS - CONTADOR JUNIOR) Uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 3 meses, a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, vai gerar, em reais, um montante de

(A) 11.087,18

(B) 11.105,00

(C) 11.178,71

(D) 11.189,23

(E) 11.500,00

9) (CESGRANRIO – 2008 – INEA – CONTADOR) A Empresa Atenas S/A contraiu um empréstimo por um período de 3 meses, com juros compostos de 3% ao mês. O montante que representa o principal mais os juros monta a R$ 200.000,00. Com base nos dados acima, o valor do empréstimo obtido pela empresa, em reais, foi

(A) 177.491,84

(B) 181.454,60

(C) 183.028,33

(D) 183.486.23

(E) 184.000,00

10)(CESGRANRIO – 2006 - TRANSPETRO ANALISTA) O crescimento de um montante sobre juros compostos é:

(A) exponencial.

(B) quadrático.

(C) log-linear.

(D) linear.

(E) browniano.



11) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos itens, relativos ao regime de juros compostos.

Para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é sempre superior ao montante em regime de juros simples.

12) (CESGRANRIO – 2008 – BNDES – ADMINISTRADOR) Um indivíduo fez uma aplicação com taxa pré-fixada de 2,25% ao mês. Entretanto, passados 20 dias, precisou fazer o resgate. Suponha que seja possível escolher entre os regimes de capitalização simples ou composto para realizar o resgate desse montante. Pode-se afirmar que o montante obtido:

(A) pelo regime simples será igual ao capital inicial

(não haverá juros simples).

(B) pelo regime composto será igual ao capital inicial

(não haverá juros compostos).

(C) pelo regime composto será maior.

(D) pelo regime simples será maior.

(E) será o mesmo, considerando os dois regimes de

capitalização.

13) (CESGRANRIO – 2009 – BNDES – CONTADOR) O investimento, que proporcionou a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, em reais, foi

(A) 12.222,22

(B) 13.718,13

(C) 13.761,46

(D) 14.061,75

(E) 14.138,93

14) (CESPE – 2010 – TRE-BA – TÉCNICO)Acerca de matemática financeira, julgue o item que se segue, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.



Considere que determinado fundo de renda variável pague a taxa de juros compostos de 16,20% pelo período de aplicação de 180 dias. Nessa situação, a taxa anual equivalente desse fundo de renda será inferior a 33%.

15) (CESGRANRIO – 2008 – ANP – ANALISTA) A taxa de juros compostos de 1% ao mês é equivalente a que taxa trimestral?

(A) 1,3%

(B) 2,0%

(C) 2,1%

(D) 3,0%

(E) 3,03%

16) (ESAF – 2006 - IRB) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano

b) 30% ao semestre

c) 24% ao semestre

d) 10% ao trimestre

e) 6% ao bimestre



6. GABARITOS

1. D

2. C

3. E

4. A

5. E

6. D

7. E

8. A

9. C

10. A

11. ERRADO

12. D

13. B

14. ERRADO

15. E

16. A

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Juros simples e composto