H a g a m o s

u a d r a d o s .. m á g i c o s

Las actividades que se presentarán más adelante están pensadas para

estudiantes a partir de tercero de primaria, de acuerdo a la respuesta que se vaya obteniendo se puede ir avanzando en los distintos grados de dificultad propuestos.

El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite

desarrollar en los niños los siguientes conceptos y habilidades:

- El concepto de orden en los números naturales- Practicar las operaciones aritméticas básicas- Establecer relaciones numéricas- Determinar y crear patrones- Desarrollar estrategias para la resolución de problemas- Generalizar- Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento

¿ Q u é .. e s .. u n .. c u a d r a d o .. m á g i c o ?

Un cuadrado mágico es una cuadrícula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o, en general, de n x n, en la que se acomodan ciertos números que cumplen que la suma de cualquier renglón, la suma de cualquier columna y la suma de cualquiera de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma.

¿ C u á l e s .. s o n .. l o s .. n ú m e r o s .. q u e .. s e .. d e b e na c o m o d a r .. e n .. u n .. c u a d r a d o .. m á g i c o ?

Si el cuadrado es de 3 x 3, entonces tendrá 9 casillas y los números que se acomodan en él son todos los números del 1 al 9

Si el cuadrado es de 4 x 4, entonces tendrá 16 casillasy los números que se acomodan en él son del 1 al 16

En general, si el cuadrado es de n x n, entonces tendrá n cuadrada casillasy los números que acomodaremos en él serán del 1 a n².

P r o p i e d a d e s .. d e .. l o s .. c u a d r a d o s .. m á g i c o s

El orden de un cuadrado mágico es el número de renglones o el número de columnas que tiene. Así un cuadrado de 3 x 3 se dice que es de orden 3.

Al sumar los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquiera de las dos diagonales el resultado es el mismo, a este número se le llama constante mágica.Hay muchas maneras de encontrar la constante mágica:

a . Si se conoce el cuadrado mágico basta sumar cualquier renglón o columna o diagonal.

b . Si el cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los númerosque se colocarán en el cuadrado y dividir el resultado entre el orden de éste.Por ejemplo: en un cuadrado mágico de orden 3los números que se colocarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

c . Otra manera de calcular la constante mágica de un cuadrado mágicoes acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizaren su orden natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumarlos números de cualquiera de las diagonales; el resultadoserá la constante mágica de ese cuadrado.

d . En general la fórmula para encontrar la constante mágicade un cuadrado mágico de orden n es:

n ( n² + 1 )___________ 2

n³ + n___________ 2

Esto quiere decir que:

En un cuadrado mágico de 3 x 3 debemos acomodartodos los números del 1 al 9 de maneraque la constante mágica sea 15.

En un cuadrado mágico de 4 x 4 debemos acomodartodos los números del 1 al 16 de maneraque la constante mágica sea 34.

En un cuadrado mágico de 5 x 5 debemos acomodartodos los números del 1 al 25 de maneraque la constante mágica sea 65.

Y así sucesivamente.

A c t i v i d a d e s

Para que a los niños les sea más fácil trabajar se pueden imprimir las siguientes figuras, pedirles que las recorten y que vayan colocando los números sobre la cuadrícula. También pueden resolverse las actividades dibujando los cuadrados mágicos.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

En todas las actividades que se proponen a continuación es importante pedir a los estudiantes que comparen sus soluciones:

¿Todas son iguales?

Si no son iguales:

¿En qué se parecen? ¿En qué son distintas?

¿Hay alguna manera especial de acomodar los números para que el cuadrado sea mágico?

Hay varias maneras de transformar un cuadrado mágico en otro.

Aquí te mostramos dos de ellas...

Primera forma:

1. Toma el cuadrado mágico chino "lo-shu".2. Piensa en el número que tú quieras.3. El número que pensaste súmalo, réstalo o multiplícalo con cada uno de los números del cuadrado original, acomodando los resultados en los mismos lugares.

El cuadrado que queda también es mágico.

E j e m p l o s

a

4 9 2

3 5 7

12 27 6

9 15 21

8 1 6

cuadrado "lo-shu"

24 3 18

Se multiplica cada número del original por 3

b

4 9 2

3 5 7

8 1 6

cuadrado "lo-shu"

-1 4 -3

-2 0 2

3 -4 1

A cada número del cuadro original se le resta 5

c

4 9 2

3 5 7

8 1 6

cuadrado "lo-shu"

10 15 8

9 11 13

14 7 12

A cada número del cuadro original se le suma 6

Actividades a partir de cuarto de primaria:

- Transforma el cuadrado mágico "lo-shu" en los cuadrados mágicos que tú quieras.- ¿Cuál es la constante mágica en cada uno de los cuadrados nuevos?- ¿Funciona este método con fracciones o con decimales?

Segunda forma:

1. Piensa en un número cualquiera.2. Escríbelo en la parte superior izquierda de una hoja.3. Ahora piensa en dos números más que sean distintos. Estos números se irán sumando al número que tenías escrito en la hoja, uno de manera horizontal y el otro de manera vertical hasta obtener nueve números

distintos.4. Haz una lista con estos números ordenándolos de menor a mayor.5. Escribe el cuadrado mágico "lo-shu" y sustituye sus números con los nuevos de la siguiente forma: el primero de la lista en el lugar del 1, el segundo en el lugar del 2, el tercero en el lugar del 3 y así sucesivamente hasta que completes el nuevo cuadrado.

El cuadrado que queda también es mágico.

E j e m p l o

1. y 2. 7 3.

7+2

9+2

11

+5

12 14 16

+5

17 19 21

4. 7, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 215.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

12 21 9

11 14 17

19 7 16

Este cuadrado mágico fue inventado por Benjamín Franklin y tiene muchísimas propiedades:

- Cada renglón suma 260- Cada columna suma 260- La primera mitad de cualquier renglón suma 130- La segunda mitad de cualquier renglón suma 130- La primera mitad de cada columna suma 130- La segunda mitad de cada columna suma 130- Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260- La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 x 2 es 130- Los cuatro números de una diagonal que sube más los cuatro número de la diagonal respectiva que baja suman 260

¿Podrías encontrar más propiedades de este cuadrado mágico?

Este es un cuadrado mágico chino de 6 x 6 que fue inventado hace 400 años.

Intenta construir otro cuadrado mágico de 6 x 6

27 29 2 4 13 36

9 11 20 22 31 18

32 25 7 3 21 23

14 16 34 30 12 5

28 6 15 17 26 19

1 24 33 35 8 10

Continúa con:

Soluciones

¡¡¡Ahora si, a jugar!!!Un poco de historia de los cuadrados mágicos .......................................... Actividad Interactiva ¿Qué se debería aprender en los grados intermedios?

d i v i n a....n ú m e r o s

A partir de segundo de secundaria, cuando los estudiantes están aprendiendo a resolver ecuaciones de primer grado, es muy útil plantear juegos como los que proponemos a continuación, pues además de que los alumnos se divierten, se dan cuenta de la importancia del lenguaje algebraico.

Una posible manera de jugar es hacer primero los trucos y pedir a los estudiantes que averigüen lo que está sucediendo, después de que se discuta cómo es que se llega a la solución puede plantearse el problema algebraicamente.

¿Le has pedido alguna vez a alguien que piense un número y que haga varias operaciones con él para que tú después le adivines el número en que pensó?

Empecemos con un ejemplo:

1) piensa un número 2) súmale 5 3) multiplica el resultado por 2 4) a lo que quedó réstale 4 5) el resultado divídelo entre 2 6) a lo que quedó réstale el número que pensaste

El resultado es 3

El resultado siempre es 3, no importa con que número se haya empezado.

¿Cómo funciona el truco?

Hagamos una tabla con varios ejemplos:

Piensa un número 4 7 12 35

Súmale 5 9 12 17 40

Multiplica por 2 18 24 34 80

Resta 4 14 20 30 76

Divide entre 2 7 10 15 38

Resta el número que pensaste

7 - 4 10 - 7 15 - 12 38 -35

El resultado es 3 3 3 3 3

En efecto, en los cuatro casos el resultado es 3, pero esto no es una prueba de que el truco siempre funcione y de que para cualquier número que se elija el resultado final será 3.

Tenemos que imaginar una forma para lograr demostrar que no importa con que número empecemos, el resultado siempre será 3, y para eso tenemos que pensar en una forma de realmente empezar con cualquier número.

Proponemos que en lugar de empezar con un número concreto, usemos un cuadrito para representar eso que llamamos "cualquier número", es decir para representar a todos los números. Para representar los número que sí conocemos usaremos circulitos.

1) piensa un número

2) súmale 5 ...

3) multiplica el resultado por 2 .....

4) a lo que quedó réstale 4 .....

5) el resultado divídelo entre 2 .....

6) a lo que quedó réstale el número que pensaste

El resultado siempre es 3

Aunque parezca mentira, lo que acabamos de escribir, sí es una demostración, pues no importa que número sea el cuadrito , el resultado siempre es 3.

Sin embargo, los cuadritos y los circulitos no son lo más cómodo para escribir matemáticas, es mucho más útil usar el lenguaje matemático, en este caso el lenguaje algebraico.

La misma prueba usando este lenguaje quedaría:

1) piensa un número x 2) súmale x + 5 3) multiplica el resultado por 2 2(x + 5) = 2x + 10 4) a lo que quedó réstale 4 2x + 6 5) el resultado divídelo entre 2 (2x + 6) / 2 = x + 3 6) a lo que quedó réstale el número que pensaste x + 3 - x = 3

El resultado siempre es 3

Te proponemos, a continuación, una serie de trucos de este mismo estilo.

· Pide a tus alumnos que primero los hagan para algunos números. · Escriban entre todos una demostración de cada truco usando cuadritos y circulitos · Escriban entre todos una demostración usando lenguaje algebraico.

Truco A

1) Piensa un número 2) Súmale 3 3) Multiplica por 2 el resultado 4) A lo que quedó súmale 4 5) El resultado divídelo entre 2 6) A lo que quedó réstale el número que pensaste

El resultado siempre es 5

Truco B

1) Piensa un número 2) Multiplícalo por 2 3) A lo que quedó súmale 9 4) Al resultado súmale el número que pensaste 5) El resultado divídelo entre 3 6) A lo que quedó súmale 4 7) Al resultado, réstale el número que pensaste

El resultado siempre es 7

Truco C

1) Piensa un número2) Súmale 1 3) A lo que quedó súmale el número que pensaste 4) Al resultado súmale 7 5) Lo que quedó divídelo entre 2 6) Al resultado réstale el número que pensaste

El resultado siempre es 4

Truco D

1) Piensa un número 2) Multiplícalo por 3 3) A lo que quedó súmale 14 4) Al resultado súmale el número que pensaste 5) A lo que quedó réstale 2 6) El resultado divídelo entre 4 7) A lo que quedó réstale 3

El resultado es el número que pensaste

d i v i n o....l o ....q u e.... p i e n s a s

Truco 1

1) Piensa un número, voy a adivinarlo 2) Multiplícalo por 5 3) A lo que quedó, súmale 12 4) Lo que quedó multiplícalo por 10 5) A lo que quedó súmale 5 6) Lo que quedó multiplícalo por 2

¿Qué número te quedó?

Voy a adivinar el número que pensaste

Para encontrar el número pensado hay que hacer lo siguiente:

Al número que resultó de las operaciones anteriores hay que:

a) restarle 250

b) dividirlo entre 100

El resultado será el número pensado

Traduciendo a lenguaje algebraico:

Llamémosle x al número pensado, al número que no conocemos.

1) x 2) 5x 3) 5x + 12 4) 10(5x + 12) = 50x + 120 5) 50x + 120 + 5 = 50x + 125 6) 2(50x + 125) = 100x + 250

Si y es el número que resulta de las operaciones anteriores, entonces:

y = 100x + 250

entonces y-250

y por eso para encontrar el número pensado, al número que quedó al final hay que restarle 250 y después dividirlo entre 100.

Truco 2

1) Piensa un número 2) Multiplícalo por 10 3) A lo que quedó, súmale 7 4) Lo que quedó multiplícalo por 10 5) A lo que quedó, súmale 5 6) Lo que quedó multiplícalo por 2

¿Qué número te quedó?

Voy a adivinar el número que pensaste

Para encontrar el número pensado hay que hacer lo siguiente:

Al número que resultó de las operaciones anteriores hay que:

a) restarle 150 b) dividirlo entre 200

El resultado será el número pensado

Traduciendo a lenguaje algebraico:

Llamémosle x al número pensado, al número que no conocemos.

1) x 2) 10x 3) 10x + 7 4) 10(10x + 7) =100x + 70 5) 100x + 70 + 5 = 100x + 75 6) 2(100x + 75) = 200x + 150

Si y es el número que resulta de las operaciones anteriores, entonces:

y = 200x + 150

entonces y-150

y por eso para encontrar el número pensado, al número que quedó al final hay que restarle 150 y después dividirlo entre 200.

Intenta hacer tus propios trucos

Continúa con:

Intuición ......... ...Diofanto

migo o enemigo

Todos los habitantes de un pueblo están divididos en dos bandos enemigos. Así, los que viven ahí siempre siguen estas reglas:

· El amigo de mi amigo será mi amigo· El amigo de mi enemigo será mi enemigo· El enemigo de mi amigo será mi enemigo· El enemigo de mi enemigo será mi amigo

Si al amigo lo marcamos con un + y al enemigo con un -, tendríamos

· (+)(+) = (+)· (+)(-) = (-)· (-)(+) = (-)· (-)(-) = (+)

que son, justamente, las reglas para multiplicar números enteros.

P or ejemplo:

(+5)(-7) = (-35)el amigo del enemigo será enemigo.

(-3)(-6) = (+18)el enemigo del enemigo será amigo

¡Un poco de práctica siempre es buena!

Completa la siguiente tabla

Operación Frase correspondiente Resultado Amigo o enemigo

(+8)(-5) =El amigo de mi enemigo será mi enemigo

(+8)(-5) =(-40) Enemigo

(+3)(+12) =

(-9)(-9) =

(-10)(+11) =

(-41)(-3) =

(+42)(+7) =

(+8)(-23) =

(-13)(+5) =

(-4)(-25) =

Ya eres todo un experto en multiplicar números enteros.

Continúa con:

Sobre o bajo el mar

Debo o me deben

uego del salto de la rana

Este juego está dirigido a estudiantes de primero de secundaria en adelante. Se necesitan un cierto número de fichas de dos colores, blancas y negras, por ejemplo. Se colocan las fichas blancas a la izquierda de un espacio libre y a la derecha de este mismo espacio, las fichas negras.

Ejemplo:

.

.

El objetivo del juego es: con el menor número posible de movimientos, intercambiar las posiciones de las fichas blancas con las negras, es decir obtener lo siguiente:

Las reglas son las siguientes:

1. Las fichas blancas sólo pueden moverse hacia la derecha .

2. Las fichas negras sólo pueden moverse hacia la izquierda .3. Una ficha puede moverse a un lugar vecino si el lugar está vacío.4. Una ficha también sólo podrá saltar sobre otra de distinto color siempre y cuando caiga en la casilla vacía y lo haga en el sentido permitido. 5. En cada movimiento sólo puede moverse una sola ficha.

Antes de seguir leyendo juega un rato para que estés seguro de que comprendiste las reglas.

Para el profesor o el padre:

Al proponer el juego a un grupo de niños, pídeles que comiencen inmediatamente a jugar. Déjales un tiempo de juego libre sin intervenir más que para que aclarar, si es preciso, las reglas.

Posteriormente, propón primero que se juegue con sólo dos fichas, una de cada color.

¿Cuántos movimientos hacen falta para terminar el juego?

Ahora pídeles que juegue con dos, tres, cuatro y cinco fichas de cada color.

¿Cuántos movimientos hacen falta para terminar el juego en cada uno de

estos casos?

Sugiéreles que elaboren una tabla con los resultados que vayan obteniendo.

¡Compliquemos un poco las cosas!

Pídeles ahora que busquen estrategias ganadoras y que discutan entre ellos cuál es el mínimo número de pasos en los que cada caso se resuelve.

Dependiendo del año que cursen los niños que están jugando, puedes pedirles también que encuentren una fórmula que relacione el número de fichas con el número mínimo de pasos para terminar el juego.

Continúa con:

SolucionesPioneros de la Computación Computación y sistema binario¿En qué día naciste?

Animación

Lanzamiento de dados

3° de secundaria .

a teoría de la probabilidad está muy relacionada con los juegos de azar como el lanzamiento de dados. Antes de participar en cualquiera de estos juegos es conveniente saber cuál es la probabilidad de que salga un resultado u

i lanzamos un solo dado, existe la misma probabilidad de que salga cualquiera de los seis números, es decir, es

tan probable que salga 1 como que salga 2 o 3 o 4 o 5 o 6. Esta probabilidad es .

l lanzar dos dados, decimos que el número que cae es la suma de los números que aparecen en las caras de ambos dados. Por ejemplo, si en uno de los dados hay un 2 y en el otro un 4, decimos que cayó un seis. Cuando lanzas dos dados no todos los números tienen la misma probabilidad de caer. Veamos cuáles son los números que pueden caer y cómo podrían obtenerse. Para no confundirnos con lo que sale en cada dado, imaginemos que cada uno de los dados tiene un color diferente y que el color del número corresponde al color de lado en que salió. Supongamos que uno de los dados es rojo y el otro es azul.

íjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de maneras de obtener esas sumas. Por ejemplo, el puede salir de una manera: que en ambos dados salga un 1 (1+1); pero hay dos maneras de que salga un 3en el dado rojo salga 1 y en el azul salga un 2 o que en el rojo salga un 2 y en el azul salga un 1 ( 1 + 2 y 2 + Llena la columna del centro con las diferentes maneras de obtener cada una de las sumas.

sumamanera de obtenerla

total

2 1 + 1 1

31 + 22 + 1

2

4 3

5 4

6 5

7 6

8 5

9 4

10 3

11 2

12 1

n esta gráfica se muestra la comparación del número de maneras de obtener cada uno de los números.

omo puedes ver, tendrías más probabilidad de ganar si le apuestas al 7 porque hay más formas de obtener 7 que de obtener cualquier otro número.

Qué crees que pase si lanzas 3 dados? ¿Habrá algún número que tenga más probabilidades que otro? Te invitamos a completar la tabla y averiguarlo.

sumamanera de obtenerla

total

3 1 + 1 + 1 1

41 + 1 + 21 + 2 + 12 + 1 + 1

3

5

1 + 1 + 31 + 2 + 22 + 1 + 22 + 2 + 13 + 1 + 1

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Estás seguro de que ya contaste todas posibilidades? Ésta es la gráfica del total de formas de obtener los diferentes números.

Se parece a la tuya?¿Dónde están los números que tienen más probabilidad de caer? ¿Y los que tienen menos?

Se parece a la que se obtiene cuando lo haces con sólo dos dados? ¿Será una coincidencia?

Continúa con:

La resbaladiza probabilidad

El caso extraño de los cumpleañeros

¿Estás seguro?

Hagamos un dado

Conteste, don Serafín,en prosa, en verso, o en ripio,

qué cosa tiene principio,pero no tiene fin.

(Los números)

Empiezan con uno,prosiguen con dos,y el fin de la cuenta

la conoce Dios.(Los números)

Yo soy una dignidady siempre suelo ser dos,

y soy cuatro y veinte y ciento,pero tres y cinco no.(Los números pares)

Redondo soy y es cosa anunciada 

que a la derecha algo valgo, pero a la izquierda nada. 

(El cero)

De miles de hijos que somosel primero yo nací

y soy el menor de todos ¿cómo puede ser así?

(El uno)

Tengo forma de patitoarqueado y redondito. 

(El dos)

Soy más de uno sin llegar a tres,y llego a cuatro

cuando dos me des.(El dos)

Mi silueta de cisne no tiene igual

y que el par represento no hay que dudar.

(El dos)

Tengo forma de serpientepero no la que más miente.

(El tres)

Soy un número, y no miento,que tengo forma de asiento.

(El cuatro)

Soy como una escalerita  Las estaciones del año

o como un hombre sentado y cuando se habla de patas

soy las que tienen los bancos.(El cuatro)

y también los elementosy los puntos cardinalesy el número represento.

(El cuatro)

Yo no quiero que os canséisy por eso recomiendo

que este acertijo miréis,para suprimirle un perroy su número obtendréis.

(El seis)

¿Qué cosa será aquella que mirada del derecho

y mirada del revéssiempre un número es?

(El seis y el nueve o el sesenta y nueve)

Puesto de una manera soy un número par

pero paso a los nones si la vuelta me das.(El seis y el nueve)

De dos nadas me formaron,aunque bien valioso soy,sin nacer en Inglaterraentre los pares estoy.

(El ocho)

Parece un reloj de arena o eslabón de una cadena.

(El ocho)

De tres sílabas que cuento puedes una eliminar

y el todo no ha de cambiar.(Noveno-nono)

Bonita niña, mitad de abril,

menos que Carmiña y más que Valentín.

(El quince)

La duración del Diluvio,los ladrones de Alí Babá,lo que se canta en el tute¿el número lo sabes ya?

(El cuarenta)

Comienzo con uno, prosigo con uno,termino con uno,

¿me conoce alguno?(El ciento once)

Somos tres patitosque en el agua están,

nadando, jugando,cantando: ¡cuá, cuá! 

(El doscientos veintidós)

Tres números tengo, tres;si no adivinas quién soy, corriendo, a por ti voy.

(El trescientos treinta y tres)