Juegos DinámicosINSTITUTO TECNOLÓGICO AUTÓNOMO DE MÉXICO

Andrés Ponce de León Rosas1

La teoría de juegos se ha aplicado en diversas áreas del conocimientohumano, en el afán de re�exionar más profundamente sobre el prob-lema económico, la Economía se ha servido de ella. La aparición delos juegos estratégicos en la ciencia económica obedece a esos esfuer-zos, es el intento por explicar sistemáticamente el comportamientoestratégico, y en particular, aquéllos que son dinámicos, intentanmodelar la estructura secuencial de la interacción entre individuos.

1 Motivación

El inicio de la teoría de juegos es confuso. Se puede leer en el prefacio al volumenprimero de Contributions to the Theory of Games que la publicación en 1944 deTheory of Games and Economic Behavior de John von Neumann y Oskar Mor-genstern representa el clímax del desarrollo pionero en teoría de juegos. Aunqueexiste cierto consenso sobre la presencia de vestigios de los juegos de estrategiaen los trabajos de Cournot, Bertrand y Edgeworth, Fudenberg y Tirole [1991]consideran, que en el libro de von Neumann y Morgenstern, se presentan porprimera vez los juegos estratégicos como un cuerpo teórico general. La granvalía de este libro no está sólo en el hecho de ser la primera sistematización delos juegos de estrategia, sino en la calidad misma del libro, la profundidad deltema que aborda y el alcance de las herramientas que desarrolla, incluso se hadicho que la posteridad lo reclamará como uno de los logros más importantesde la ciencia en la primera mitad del siglo XX.23

2 Desarrollo

El análisis de la teoría de juegos se funda en dos supuestos básicos: primero, enla racionalidad de los agentes que participan en el juego; y segundo, asume quelos individuos intentan anticipar las acciones que tomarán los otros jugadores.

2.1 Breviario de conceptos básicos

Para lograr una exposición clara de los juegos dinámicos, tema central de estanota, es necesario presentar algunas de�niciones y conceptos básicos.

1andres_ker@hotmail.com, aponcedr@comunidad.itam.mx2�posterity may regard this book as one of the major scienti�c achievements of the �rst

half of the twentieth century.� Copeland, A., Bulletin of the American Mathematical Society51, 1945. Tomado de Kuhn y Tucker [1953].

3Si lo anterior parece una exageración se puede considerar la opinión de Rasmusen [1996]y decir que al menos presentó la posibilidad de analizar matemáticamente el con�icto.

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Tanto von Neumann y Morgenstern [1944] como Kuhn y Tucker [1950] co-inciden en que un juego es simplemente, el conjunto de reglas que lo describen,sin embargo, esa de�nición parece ser recursiva, porque aparenta contener alpropio objeto de la de�nición, así que conviene explorar alguna otra.De�nición 1 Un juego estratégico es la representación formal de la in-

teracción estratégica entre un número dado de individuos.Si cada agente, al tomar cualquier decisión, conoce perfectamente los eventos

que previamente ocurrieron, se dice que el juego tiene información perfecta. Silo anterior no ocurre, el juego es de información imperfecta. En este documentose supone información perfecta.En casi toda la literatura sobre los juegos estratégicos, se encuentra que

los componentes de un juego son: los jugadores, las acciones que éstos puedenelegir, la información que los individuos poseen, las estrategias que siguen, lospagos que obtienen y los resultados y equilibrios4 . De�namos estos conceptos.De�nición 2 Los jugadores son agentes que toman decisiones, y como en

muchos modelos, su principal objetivo es maximizar su utilidad.LaCasse y Ross [1994] enriquecen la de�nición anterior postulando que un

individuo debe ser considerado jugador si sus decisiones pueden in�uir sobre lasasignaciones �nales del juego.La gran diferencia entre el análisis de la teoría de juegos y otras teorías de

la formación de decisiones es que los individuos actúan estratégicamente. Lainterpretación de Fudenberg y Tirole [1991] al comportamiento estratégico esbastante clara; es aquél en el que la decisión óptima de un individuo dependetanto de sus acciones como de su capacidad de anticipar las de otros. Se ob-serva inmediatamente que en el contexto de la interdependencia estratégica, elbienestar de un individuo depende de las acciones de los otros agentes.La idea del comportamiento estratégico se sirve de un concepto más pri-

mario, el de estrategia. Se puede decir que las estrategias de los jugadoresson los principios rectores de sus decisiones5 , o una regla general de decisiónque especi�ca cómo actuará el jugador, frente a cualquier posible circunstancia.Para de�nir el concepto de estrategia con mayor formalidad, se necesitan otrasde�niciones.De�nición 3 Una acción o movimiento ai del jugador i es una elección

que éste puede hacer.Denotemos, Ai al conjunto de todas las acciones posibles del individuo i, y

a algún per�l de acciones como a � fa1; a2; :::; ang, donde 1; 2; 3; :::; n son los njugadores.Una vez de�nidos los jugadores y las acciones conviene distinguir entre dos

tipos de juegos: en los que las acciones individuales son la base del juego y enlos que las acciones de grupos de individuos los son. Al primer tipo de modelosse re�eren como juegos no cooperativos, mientras que al segundo tipo suelen

4No siempre es posible caracterizar a los juegos con todos sus componentes, en ese caso,Rasmusen [1996] exige al menos tres: los jugadores, las estrategias y los pagos.

5 . . . general principles governing his choices. Von Neumann y Morgenstern [1944].

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llamarlos juegos cooperativos. Debe mencionarse que todos los juegos en estanota serán no cooperativos.6

De�nición 4 Una estrategia si es una regla que le dicta al jugador i quéacción tomar en cada momento del juego.Esa regla de decisión está íntimamente relacionada con la información que

el individuo posee, entonces, una estrategia es una función de la forma:si : =i ! Ai, en donde =i es el conjunto de información del individuo i.Denotemos con Si al conjunto de todas las estrategias posibles para el ju-

gador i, si este conjunto es �nito, se dice que el juego es �nito, en otro caso, sedice que es in�nito.De�nición 5 Un per�l de estrategias es un conjunto de estrategias, una

para cada uno de los n jugadores; s = fs1; s2; : : : ; sng.Elegir una estrategia tiene consecuencias, tanto para el agente que tomó la

decisión, como para con quien éste interactúa. El análisis de la teoría de juegosconsidera este hecho a través de los pagos.De�nición 6 El pago para el jugador i, si elige la estrategia si, y dadas las

estrategias de los otros jugadores s�i, es pi(si p s�i).7Es común suponer que los pagos se relacionan de alguna manera con la

utilidad que recibe el jugador de seguir una determinada estrategia, tomandoen cuenta las estrategias de los otros jugadores.Una pregunta lógica en este punto es qué motiva a los agentes a decidirse

por una u otra estrategia. En la teoría de juegos se ha acuñado el conceptode estrategia dominante. Las estrategias dominantes siempre son elegidas porlos agentes racionales, porque los pagos que reciben son mayores (o en el casoextremo, iguales) con respecto a otras estrategias, sin importar las acciones quedecidan los otros jugadores. Es posible de�nir lo anterior con mayor claridad yformalidad.De�nición 7 Una estrategia dominante para el individuo i es una es-

trategia si que satisface la siguiente propiedad:

ui(si; s�i) � ui(s0i; s�i) 8 s0i 2 Si

Donde ui(�)representa la utilidad del individuo i.La de�nición anterior se puede hacer más especí�ca. Si la desigualdad se

cumple estrictamente, la estrategia si es estrictamente dominante; si paraalguna estrategia s0i los pagos son iguales en relación a si, se dice que si esdébilmente dominante. Cualquier estrategia que no cumpla con alguna delas propiedades anteriores se dice que es dominada.Los juegos, tal y como se de�nieron, son susceptibles de diversas representa-

ciones, las más usadas son la representación normal o estratégica y la extensiva.De�nición 8 La forma normal de un juego consiste en:6En este punto quedó claramente expuesto el alcance de esta nota; los juegos no coopera-

tivos con información perfecta.7Es común representar al conjunto de los individuos que no son i con el subíndice �i, sin

embargo, en [2] se aclara que la notación no debe llevar a inferir que la relación entre i y losindividuos �i es necesariamente de competencia.

3

i) El conjunto de jugadores, N = f1; 2; :::; ngii) El conjunto de todas las estrategias posibles, Si, para cada jugador i 2 N ,

denotado como S = fS1; S2; :::; Sng.iii) Las funciones de pago �i que por cada per�l de estrategias posible le

asigna un pago a cada jugador, pi(si p s�i) 8 i 2 N .Es común asociar a la representación normal de un juego una matriz, que

involucre las estrategias, los pagos y a los jugadores.Ejemplo 1Considere el siguiente juego en forma normal.Imagine que hay dos jugadores, 1 y 2. Cada uno de ellos tiene dos estrategias:

fs1; s01g para el jugador 1 y fs2; s02g para el individuo 2.Los pagos son los siguientes:

p1(s1 p s2) = 1; p2(s2 p s1) = 3p1(s1 p s02) = 2; p2(s2 p s01) = 4p1(s

01 p s2) = 4; p2(s02 p s1) = 2

p1(s01 p s02) = 3; p2(s02 p s01) = 1

Entonces, se puede de�nir la matriz de pagos como sigue:

s2 s02s1 1; 3 2; 2s01 4; 4 3; 1

Matriz 1

Un equilibrio de Nash es un per�l de estrategias (strategy pro�le) tal que laestrategia de cada jugador es una respuesta óptima para las estrategias de losotros jugadores, expresémoslo matemáticamente:De�nición 9 Un per�l de estrategias s = fs1; s2; :::; sng es un Equilibrio

de Nash, si para todo jugador en N = f1; 2; 3; : : : ; ng ocurre que:

Ui(si; s�i) � Ui(s0i; s�i) 8 s0i 2 Si

Si como se dijo anteriormente, los pagos del juego representan de algunamanera a la utilidad de los jugadores, y casi siempre es así, la de�nición anteriorhubiera dicho:Un per�l de estrategias s = fs1; s2; :::; sng es un Equilibrio de Nash, si

para todo jugador en N = f1; 2; 3; : : : ; ng ocurre que:

pi(si p s�i) � pi(s0i p s�i) 8 s0i 2 Si

La de�nición anterior, en cualquiera de sus versiones, establece que un per-�l de estrategias que sea Equilibrio de Nash, debe satisfacer la propiedad deque cada estrategia en el per�l debe ser una respuesta óptima para las otrasestrategias en él.Ejemplo 2Considere la situación del Ejemplo 1, note que hay cuatro posibles per�les

de estrategias s; s0; s00; s000:

4

s = fs1; s2gs0 = fs1; s02gs00 = fs01; s02gs000 = fs01; s2g

Para que cualquiera de ellos sea Equilibrio de Nash cada uno de los doselementos del per�l debería dar la mayor utilidad (o pago) dado el otro compo-nente. Es decir, si por ejemplo s es Equilibrio de Nash, tiene que ocurrir queu1(s1 p s2) � u1(s

01 p s2) y al mismo tiempo, u2(s2 p s1) � u1(s

02 p s1), o en

términos de los pagos p1(s1 p s2) � p1(s01 p s2) y p2(s2 p s1) � p1(s02 p s1).

2.2 Juegos dinámicos

La idea de juego dinámico se sigue directamente del concepto de juego anteri-ormente expuesto, sólo es necesario agregar que la evolución del juego se da enel tiempo.De�nición 9 Un juego dinámico es aquél en el que las decisiones de los

jugadores son tomadas en el tiempo.Los juegos que presentan una marcada estructura dinámica suelen ser repre-

sentados en su forma extensiva, esta descripción detalla la estructura secuencialde los problemas de decisión a los que se enfrentan los agentes, además haceexplícito el orden en el que el juego se lleva a cabo y la información que poseenlos agentes cuando toman cada una de sus decisiones.De�nición 10 La forma extensiva de un juego contiene la siguiente in-

formación:i) Un conjunto de jugadores, N = f1; 2; :::; ng.ii) El orden de los movimientos, esto es, quién mueve y cuándo.iii) Los pagos de los jugadores, como función de los movimientos que sigu-

ieron los individuos, pi(si p s�i) 8 i 2 N .iv) Cuáles son las acciones que toman los jugadores cuando mueven, Ai 8

i 2 N .v) Cuál es la información que poseen los individuos cuando toman sus deci-

siones, =i 8 i 2 N .Así como a la forma normal de un juego era posible asociarle una matriz, la

forma extensiva puede ser representada por un diagrama de árbol, que es unacolección �nita de nodos ordenados.Sobre este tipo de diagramas se pueden de�nir dos funciones especiales.Imagine que X es el conjunto de todos los nodos de los que se compone el

árbol, entonces la función � : X ! X+ ? asigna a cada nodo del juego (exceptoal inicial al que le asigna el conjunto vacío ?) uno y sólo un nodo predecesor,así �(x) = x0 se lee x0 está antes de x.Para el mismo conjunto X, se puede de�nir � : X ! X + ?, que asigna a

todos los nodos en X (excepto a los terminales que les asigna el conjunto vacío?) nodos sucesores. Por lo anterior, �(x) = x0 se lee x0 es un sucesor de x.Ejemplo 3

5

En la Figura 1 se presenta un juego en el que el conjunto de nodos es X =fx0; x1; :::; x8g

Figura 1

La función �(�) toma los siguientes valores:

�(x0) = ?�(x1) = �(x2) = x0�(x3) = �(x4) = x1�(x5) = �(x6) = x2�(x7) = �(x8) = x4

y la función �(�) los siguientes:

�(x3) = �(x3) = �(x3) = �(x3) = �(x3) = ?�(x0) = (x1; x2)�(x1) = (x3; x4)�(x2) = (x5; x6)�(x4) = (x7; x8)

La relación �(�) no es precisamente una función, pero lo que se intenta decirpresentándola como tal, es que los diagramas de árbol permiten ver, para todonodo no terminal, los nodos que lo suceden.Existe una relación entre la forma normal y la extensiva de los juegos, en

particular, es posible cambiar un juego que está en su forma extensiva a suforma normal. Este hecho quedará más claro con un ejemplo.Ejemplo 4Imagine una situación parecida a la que se estableció en el Ejemplo 3, en

la que dos individuos, 1 y 2, interactúan de la siguiente manera: el jugador

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1 mueve primero y elige entre dos acciones posibles a y b, después de que eljugador 1 eligió, el jugador 2 es llamado a jugar, éste puede elegir entre dosopciones posibles, si el jugador 2 observa que 1 eligió a, 2 puede escoger A o B,si el jugador 2 elige B el individuo 1 vuelve a jugar, y elige entre las acciones a�y b�. Si el jugador 1 escogió b, el 2 puede elegir C o D. Esta situación puedeser entendida como un juego, y por lo tanto, representada con el diagrama dela Figura 2, en el que se especi�can los pagos:

Figura 2

El juego anterior puede ser representado en su forma normal, para lograrlo,es necesario considerar que las estrategias son un plan completo para cualquieracción posible del otro jugador, así que simplemente A no es una estrategia delindividuo 2 porque si el individuo 1 eligiera b, A no especi�ca qué hacer. Unavez considerado eso, la matriz de pagos y estrategias es:

AC AD BC BDaa� (1; 1) (1; 1) (2; 1) (2; 1)ab� (1; 1) (1; 1) (1; 2) (1; 2)b (3; 1) (1; 3) (3; 1) (1; 3)

Matriz 2

en donde se observa claramente que las estrategias cumplen con la propiedadde ser planes enteros para cualquier contingencia que el juego presente. Elconjunto de las estrategias del individuo 1 es S1 = faa�,ab�,bg y el del individuo2 es S2 = fAC,AD,BC,BDg.A partir de la De�nición 9 se obtiene el conjunto de Equilibrios de Nash,

NE = ffaa�;ADg; faa�;BDg; fb;ADgg.Una estrategia en un juego en forma extensiva es un plan que especi�ca la

acción a tomar en cada nodo del juego en el que el individuo sea llamado a

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jugar. También se puede decir que es una función que utiliza la información queel individuo tiene y que asigna a cada nodo del juego (excepto a los terminales)una acción.En los juegos dinámicos surge el concepto de estrategias no creíbles, en [6]

se asegura que el Equilibrio de Nash no es capaz de capturar enteramente estehecho, por lo que se introdujo el concepto de Equilibrio de Nash Perfecto enSubjuegos, para de�nirlo, es necesario establecer qué es un subjuego.De�nición 11 Un subjuego de algún juego �, es un subconjunto de � que

consiste en un nodo, que no es el inicial para �, en todos los nodos que le siguena ese nodo y en los pagos asociados a esos nodos.Ejemplo 5Si suponemos que � es el juego expuesto en el ejemplo anterior, un subjuego

posible es el que se presenta en la Figura 3:

Figura 3

De�nición 12 Un per�l de estrategias es un Equilibrio de Nash Perfectoen Subjuegos (SGNE) si satisface dos condiciones:i) Es Equilibrio de Nash para todo el juego.ii) Es Equilibrio de Nash para cada subjuego.La condición i) puede ser considerada de necesidad, porque para ser SGNE

es necesario ser primero Equilibrio de Nash, y la ii) como de su�ciencia, porqueno basta ser Equilibrio de Nash para ser un SGNE.Ejemplo 6De la Matriz 2 se obtuvo el conjunto de equilibrios de Nash, NE = ffaa�;ADg; faa�;BDg; fb;ADgg,

si ese juego tiene algún SGNE tiene que ser uno de estos. Aquí se demostrará queel único Equilibrio de Nash que es perfecto en subjuegos es el per�l faa�,BDg,un ejercicio interesante es demostrar que los otros per�les, faa�;ADg y fb;ADg,no lo son.Una vez que faa�,BDg es un Equilibrio de Nash, sólo queda demostrar que

lo es para todos los subjuegos posibles, pero sólo son tres los subjuegos posibles,el que parte del nodo x4 y termina en x7 y en x8, el que parte de x1 y terminaen x3, x7 y x8 (Figura 3) y el que inicia en x2 y termina en x5 y x6. LlamemosSJ1 al primero, SJ2 al segundo y SJ3 al tercero. A partir de faa�,BDg en elSJ1 el individuo 1 elige a�que efectivamente es creíble, pues si así lo hace, recibeun pago mayor, en el SJ2 el jugador 2 elige B, que de nuevo es una decisión

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correcta pues sin importar lo que elija el jugador 1 terminará mejor o igual conrespecto a si hubiera decidido A. Por último, en el SJ3 el jugador 2 elige laacción D que efectivamente signi�ca un pago mayor para 2. Queda demostradoque es un SGNE.

3 Aplicaciones

En este punto conviene exponer una aplicación económica común de la teoríade los juegos dinámicos; el modelo de Stackelberg.

3.1 Descripción de la economía

Existen dos empresas, 1 y 2. Estas empresas compiten en cantidades en unmercado con las siguientes características:La empresa 1 toma sus decisiones de producción primero, y la empresa 2

sólo se ajusta a lo que haya decidido la empresa 1. Por simplicidad se puedesuponer que la demanda de mercado es lineal, en particular, p = 12�q, en dondeq = q1+q2. Otro intento por simpli�car puede ser suponer los costos marginalesconstantes e iguales al costo medio, por ejemplo, CT1 = q1 y CT2 = 2q2, dondeCTi es el costo total de la empresa i, i = 1; 2.

3.2 Equilibrio

Del modelo duopólico de Cournot se sabe que la curva de reacción de la empresa2, bajo estas condiciones, es q2 =

10�q12 , que surge de resolver el problema de

maximización de bene�cios de la empresa 2 tomando en cuenta que la demandaes p = 12� q1 � q2, esto es:

max�2 = p � q2 � 2 � q2s:a p = 12� q1 � q2

La empresa 1, que sabe que la empresa 2 es un agente racional (más aún, laempresa 2 sabe que la empresa 1 la considera racional, la empresa 1 sabe que laempresa 2 sabe que la considera racional, y así en un in�nito de iteraciones)8 ,maximizará sus bene�cios considerando dos cosas: que el precio de mercado sedetermina a través de la siguiente función de demanda p = 12 � q1 � q2 y quela empresa 2 elegirá q2 =

10�q12 , se puede expresar lo anterior como sigue:

max�1 = p � q1 � 1 � q1s:a p = 12� q1 � q2

q2 =10�q12

Que se puede reescribir como sigue:8El término anglosajón para ese in�nito de iteraciones es Common knowledge. En estos

modelos se supone implícitamente que la racionalidad de los agentes es common knowledge,es decir, que los individuos la conocen, los individuos saben que los otros la conocen, losindividuos saben que los otros saben que estos la conocen, y así hasta el in�nito.

9

max�1 =�12� q1 � 10�q1

2

�� q1 � 1 � q1 = (7� q1

2 ) � q1 � q1

El problema de la empresa 1 es ahora uno de optimización libre y de unavariable. La condición de primer orden es:

@�1@q1

= 0 () 7� q1 � 1 = 0

Que implica que q�1 = 6, una vez que la empresa 2 observa esto decideproducir q�2 =

10�62 = 2

Dado lo anterior el precio es p = 12� 6� 3 = 3.

3.3 El modelo de Stackelberg como un juego

En este punto es importante establecer claramente el vinculo que existe entreeste modelo de competencia monopolista y la teoría de juegos, para lograrlo conmayor claridad se va a preservar la notación de la sección anterior.Primeramente hay que notar que el comportamiento de las dos empresas

se da en un ambiente de interdependencia estratégica, porque lo que haga unaempresa afectará a la otra y porque el propio comportamiento de las empresasinvolucra la anticipación del comportamiento de la otra.Sea A1 el conjunto de cantidades (acciones) que la empresa 1 puede elegir,

y A2 el conjunto de cantidades posibles para la empresa 2. Por lo anterior tieneque ocurrir que q�1 2 A1 y q�2 2 A2:Queda por demostrar que el el per�l s = fs1; s2g, donde

s1 � argmax�1 = p � q1 � 1 � q1s:a p = 12� q1 � q2

q2 =10�q12

y

s2 � argmax�2 = p � q2 � 2 � q2s:a p = 12� q1 � q2

es un equilibrio de Nash. Se puede ver que tanto s1 como s2 son, respecti-vamente, estrategias de la empresa 1 y de la empresa 2 porque dictan un planentero de comportamiento para cualquier elección de su contraparte, por lo ques = fs1; s2g es efectivamente un per�l de estrategias.Si se interpretan los bene�cios de las empresas como los pagos del juego

ocurre que, dado s1, ninguna cantidad da un bene�cio mayor a la empresa 2que s2. Igualmente, dado s2, s1 maximiza las ganancias de 1, por lo que s1 esla mejor respuesta de 1 a s2, y s2 es la mejor respuesta que puede dar 2 a s1,entonces, se observa que el vector (q1; q2) = (6; 3) es un equilibrio de Nash.

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3.4 Estática comparativa

Ahora cabe preguntarse qué ocurre con el equilibrio si cambiamos la estructurade costos, en particular, si se introduce un costo �jo o de entrada.Imagine que para entrar al mercado se exige a la empresa 2 un costo �jo de

F , ahora, los costos de la empresa 2 serán CT2 = 2 � q2 + F , y el problema queresuelve es:

max�2 = p � q2 � (2 � q2 + F )s:a p = 12� q1 � q2

No parece difícil ver que la curva de mejor respuesta para esta empresa nocambia, y sigue siendo:

q2 =10�q12

Dado lo anterior, la decisión óptima de la empresa 1 tampoco cambia, q�1 = 6,y de nuevo, una vez que la empresa 2 observa esto, decide producir q�2 =

10�62 =

2, y el precio sigue siendo p = 3.Lo que cambia es el pago de la empresa 2, �1 = 3(6)� 6 = 12, mientras que

�2 = 3(2)� 2(2)� F = 2� F .De lo que se concluye que si F 2 (0; 2) la empresa 2 estará dispuesta a

entrar, porque �2 > 0, si F = 2, entonces �2 = 0, por lo que es indiferente,pues �2 = 0 es lo que obtendría si no entrara, y si F > 2 no entra, pues �2 < 0.

References

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