Juan D. Godino 1

Teoría de las Configuraciones Didácticas

UN ENFOQUE UN ENFOQUE ONTOLÓGICO-SEMIÓTICO ONTOLÓGICO-SEMIÓTICO

DE LA COGNICIÓN E DE LA COGNICIÓN E INSTRUCCIÓN INSTRUCCIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICA

Juan D. GODINO

Juan D. Godino 2

ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO de la Cognición e Instrucción

Matemática

ENFOQUE ONTO-SEMIÓTICO

(EOS)

TSSTeoría de los

Significados Sistémicos

TFSTeoría de las Funciones

Semióticas

TCDTeoría de las

Configuraciones Didácticas

Juan D. Godino 3

Nociones Fuentes

Modelación estocástica de un proceso de instrucciónConfiguraciones didácticas (subconfiguraciones, epistémica, docente, discente, cognitiva, mediacional, emocional)Trayectoria didácticaPatrones de interacciónCriterios de idoneidad (epistémica, cognitiva, semiótica, mediacional, emocional)

Godino, Contreras y Font (2005). Análisis de procesos de instrucción basado en el enfoque ontológico-semiótico de la cognición matemática. Recherches en Didactique des Mathématiques, 25.3 (aceptado)  

Conflictos didácticos (epistémicos, cognitivos e instruccionales)

Wilhelmi, Godino y Bencomo (2004)

TCD: Nociones y fuentes

Juan D. Godino 4

ESQUEMA

Posibilidades y límitaciones de la Teoría de Posibilidades y límitaciones de la Teoría de Situaciones Didácticas (G. Brousseau; Margolinas, ...)Situaciones Didácticas (G. Brousseau; Margolinas, ...)

Modelización de la instrucción mediante procesos Modelización de la instrucción mediante procesos estocásticos estocásticos

Trayectorias: epistémica, docente, discente, Trayectorias: epistémica, docente, discente, mediacional, cognitiva y emocionalmediacional, cognitiva y emocional

Interacciones didácticasInteracciones didácticas

Configuraciones didácticasConfiguraciones didácticas

Patrones de interacciónPatrones de interacción

Criterios de idoneidadCriterios de idoneidad

Juan D. Godino 5

SÍNTESIS Se Se introducen nuevas nociones teóricas para introducen nuevas nociones teóricas para

analizar procesos de instrucción matemática analizar procesos de instrucción matemática basadas en el enfoque ontológico y semiótico de basadas en el enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática. la cognición matemática.

Estas nociones se apoyan en la modelización de la Estas nociones se apoyan en la modelización de la enseñanza y aprendizaje de un contenido enseñanza y aprendizaje de un contenido matemático como un proceso estocástico matemático como un proceso estocástico multidimensional compuesto de seis subprocesos multidimensional compuesto de seis subprocesos (epistémico, docente, discente, mediacional, (epistémico, docente, discente, mediacional, cognitivo y emocional), con sus respectivas cognitivo y emocional), con sus respectivas trayectorias y estados potenciales. trayectorias y estados potenciales.

Juan D. Godino 6

Como unidad primaria de análisis didáctico se Como unidad primaria de análisis didáctico se propone la propone la configuración didácticaconfiguración didáctica, constituida , constituida por las interacciones por las interacciones entre los distintos entre los distintos componentes de una trayectoria didáctica componentes de una trayectoria didáctica a a propósito de una tarea matemática y usando propósito de una tarea matemática y usando recursos materiales específicos.recursos materiales específicos.

Las nuevas herramientas teóricas se aplican al Las nuevas herramientas teóricas se aplican al análisis de una sesión de clase de bachillerato en análisis de una sesión de clase de bachillerato en la que se estudian las reglas de derivación, la que se estudian las reglas de derivación, permitiendo describir los significados permitiendo describir los significados implementados, los patrones de interacción implementados, los patrones de interacción didáctica,  e identificar conflictos semióticos didáctica,  e identificar conflictos semióticos manifestados en la interacción didácticamanifestados en la interacción didáctica

Juan D. Godino 7

MOTIVACIÓN INICIAL DEL Enfoque Onto-Semiótico

Necesidad de progresar en el estudio de las relaciones entre las teorías, Situaciones Didácticas (TSD) Campos Conceptuales (TCC) Antropológica (TAD)

Creación de una ontología de objetos matemáticos (que, en nuestra opinión, pueda generalizar y articular las TCC y TAD)

Juan D. Godino 8

PROBLEMÁTICA: AMPLIACIÓN DE LA TSS Y DE LA TFS

Abordar el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje matemático mediante el empleo de las herramientas conceptuales del EOS.

Creación de una ontología de objetos didácticos (modelización estocástica, trayectorias, configuración e interacción didáctica) que pueden permitir clarificar y hacer operativos algunos aspectos de la Teoría de Situaciones.

Instrucción matemática : proceso organizado de generación y comunicación de los conocimientos matemáticos en el seno de una institución escolar .

Juan D. Godino 9

¿Cuál es nuestro problema didáctico?

Formulaciones ingenuas:Formulaciones ingenuas: ¿Cómo se debería enseñar las ¿Cómo se debería enseñar las

matemáticas?matemáticas? ¿Cómo se puede lograr que los alumnos ¿Cómo se puede lograr que los alumnos

aprendan las matemáticas?aprendan las matemáticas? La didáctica tiene que reformular estas La didáctica tiene que reformular estas

cuestiones para hacerlas operativa e cuestiones para hacerlas operativa e investigables.investigables.

Previamente tiene que explicitar modelos Previamente tiene que explicitar modelos sobre la naturaleza de propia matemática, y sobre la naturaleza de propia matemática, y modelos sobre la enseñanza y el aprendizaje.modelos sobre la enseñanza y el aprendizaje.

LaS TSS y TFS son una modelización de los LaS TSS y TFS son una modelización de los conocimientos institucionales y personales de conocimientos institucionales y personales de los “objetos matemáticos”los “objetos matemáticos”

Juan D. Godino 10

Reformulación del problema

¿De qué variables o factores depende la idoneidad de un proceso de instrucción matemática?

¿Cuáles son los valores o categorías de tales variables?

¿Qué unidad de análisis de los procesos de instrucción interesa adoptar para tener en cuenta las interacciones entre las distintas variables?

¿Cómo secuenciar en el tiempo las tareas y funciones para optimizar el aprendizaje en unas circunstancias dadas?

¿En qué medida es idóneo/ eficaz el proceso de instrucción observado? ¿Cómo evaluar la idoneidad de un proceso de instrucción matemática?

Juan D. Godino 11

Instrucción matemática : proceso organizado de generación y comunicación de los conocimientos matemáticos en el seno de un sistema didáctico.

Abordar el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje matemático mediante el empleo de las herramientas conceptuales del EOS.

Creación de una ontología de objetos didácticos (modelización estocástica, trayectorias y configuración didáctica, ...) que permiten generalizar la TSD.

EL ANÁLISIS Y EL DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN COMO PROBLEMA

Juan D. Godino 12

POTENCIAL DE LA Teoría de Situaciones

La TSD proporciona herramientas para analizar los procesos de instrucción matemática y valorar la idoneidad de tales procesos en términos de los aprendizajes matemáticos logrados.

La asunción de la hipótesis del aprendizaje matemático en términos de adaptación a un medio adidáctico orienta de manera consistente en la construcción de situaciones didácticas mediante las cuales los alumnos construyan los conocimientos matemáticos de manera significativa.

Juan D. Godino 13

LIMITACIONES DE LA TSD

Pero en la práctica, no todos los objetivos de aprendizaje matemático se pueden lograr mediante procesos de adaptación en situaciones adidácticas

La articulación entre las situaciones adidácticas y didácticas, no es obvia.

La enseñanza directa del profesor puede jugar un papel esencial en una instrucción matemática significativa.

(Vygotsky; Ausubel; ...)

Juan D. Godino 14

AMPLIACIÓN DE LA TSS y TFS: Configuraciones Didácticas

DIMENSIONES DE UN PROCESO INSTRUCCIONAL:- Epistémica- Docente- Discente- Cognitiva- Emocional- Mediacional

COMPONENTES Y FUNCIONES

TIEMPO DIDÁCTICO

MODELIZACIÓN ESTOCÁSTICA:Trayectorias y

estados

CONFIGURACIÓN DIDÁCTICA

INTERACCIÓN DIDÁCTICA

PATRONES DE INTERACCIÓN

EMPÍRICA

TEÓRICA

TRAYECTORIA DIDÁCTICA

Juan D. Godino 15

MODELIZACIÓN DE LA INSTRUCCIÓN COMO PROCESO ESTOCÁSTICO

En cada uno de los componentes de un proceso de instrucción matemática podemos identificar un conjunto de elementos, funciones o tareas, los cuales se deben secuenciar en el tiempo.

En cada realización de un proceso de instrucción matemática se pondrán en juego una muestra de elementos del significado del objeto, así como una muestra de las funciones docentes y discentes.

También se seleccionarán unos recursos instruccionales específicos.

Parece natural modelizar esta distribución temporal de funciones y componentes mediante procesos estocásticos, considerando tales funciones o componentes como los estados posibles.

Juan D. Godino 16

TRAYECTORIAS MUESTRALES

Trayectoria epistémica, distribución a lo largo del tiempo de enseñanza de los componentes del significado institucional implementado (problemas, acciones, definiciones, propiedades, argumentos)

Trayectoria docente: distribución de las funciones docentes a lo largo del proceso de instrucción.

Trayectoria discente: distribución de las funciones o roles desempeñados por los estudiantes.

Juan D. Godino 17

TRAYECTORIAS MUESTRALES (Cont.)

Trayectoria cognitiva: cronogénesis de los significados personales de los estudiantes.

Trayectoria emocional: distribución temporal de los estados emocionales (afectos y sentimientos) de los alumnos en relación a los objetos matemáticos y al proceso de estudio.

Trayectoria mediacional, distribución de los recursos tecnológicos utilizados (manipulativos, libros, apuntes, software, etc.).

Juan D. Godino 18

TRAYECTORIA EPISTÉMICA

Estados potenciales:

Situacional: se aborda el planteamiento de un ejemplar del tipo de problemas.

Actuativo: se aborda el desarrollo o estudio de una manera de resolver los problemas.

Lingüístico: se introducen notaciones, representaciones gráficas, etc.

Conceptual: se formulan, interpretan o aplican definiciones de los objetos puestos en juego.

Proposicional: se enuncian, interpretan y aplican propiedades.

Argumentativo: se justifican las acciones adoptadas o las propiedades enunciadas.

Juan D. Godino 19

CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA

Llamaremos "configuración epistémica" al sistema de objetos y funciones semióticas que se establecen entre ellos relativos a una situación-problema.

El análisis epistémico será la caracterización de las configuraciones epistémicas, su secuenciación y articulación.

La atención se fija en la cronogénesis del saber matemático escolar, y en la caracterización de su complejidad onto-semiótica.

Juan D. Godino 20

EJEMPLO: CÁLCULO DE DERIVADASCalcular la velocidad de un móvil en t = 1 segundo, conocida la relación entre el espacio y el tiempo que viene dada por la función polinómica e(t): 3t2-t+1 , t = 1 seg.

1. De acuerdo, entonces derivamos la función espacio y vamos a hallar la función velocidad

2. e’(t) =6t-1, en el instante 1 seg., sustituimos la t por 1 y sale 5, que serán metros por segundo, la velocidad.

3. e’(1) =6.1-1=5

4. ¿De acuerdo?

5. Alumno: Pero, D. José, ¿al derivar la ecuación qué es lo que hemos hecho?

6. Hemos aplicado la regla que hemos visto estos días.

7. La derivada de una suma es la suma de las derivadas de cada uno de los sumandos

8. El primer sumando es una constante por la derivada de una potencial,

9. (3t2)’ = 3. 2.t2-1 = 6t

[Va indicando en la pizarra el desarrollo de los cálculos]

10. La constante permanece, la derivada de t cuadrado 2, por t elevado a dos menos uno, la constante permanece, tres por dos seis, igual a 6t.

11. Eso seria el primer miembro.

12. El segundo, la derivada de t 1, la derivada de una constante sumatoria 0.

[2. 01]

13. Vas aplicando las reglas que hemos deducido estos días.

Juan D. Godino 21

Trayectoria epistémica (ejemplo)

UnidadNatural

Conf.Epist.

U. Epist.

Descripción Estado

0 CE1 U0 Enunciado del ejercicio de cálculo de la velocidad de un móvil

situacionalE1

1-3   U1 Aplicación de la técnica de solución actuativoE2

6-7   U2 Enunciado de reglas de derivación (proposiciones)

proposicionalE5

8-12   U3 Aplicación de las reglas de derivación actuativoE2

13   U4 Descripción de la técnica de solución proposicionalE5

Juan D. Godino 22

Trayectoria epistémica

Esp

ac

i o d

e e

sta

do

s

E1

E2

E3

E4

E5

E6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

C o nfig ura c io ne s e p isté m ic a s

1 2 3 4

Tie m p o

Situa c io na l

Ac tua tivo

Ling üístic o

C o nc e p tua l

Pro p o sic io na l

Arg um e nta tivo

Juan D. Godino 23

TRAYECTORIA DOCENTE

‘Trayectoria docente‘: la secuencia de actividades que realiza el profesor durante el proceso de estudio de un contenido o tema matemático.

Cuando tales actividades se circunscriben a una situación-problema (o tarea) específica hablaremos de 'configuración docente', la cual irá asociada a un configuración epistémica.

Estas actividades o acciones del profesor son su respuesta o manera de afrontar las tareas o funciones docentes.

Juan D. Godino 24

FUNCIONES DOCENTES

Planificación: diseño del proceso, selección de los contenidos y significados a estudiar (construcción del significado pretendido y de la trayectoria epistémica prevista).

Motivación: creación de un clima de afectividad, motivación y respeto.

Asignación de tareas: dirección y control del proceso de estudio, mediante la adaptación de tareas, orientación y estímulo de las funciones del estudiante

Juan D. Godino 25

FUNCIONES DOCENTES

Regulación: fijación de reglas (definiciones, enunciados, jusfitificaciones), recuerdo e interpretación de conocimientos previos necesarios para la progresión del estudio.

Evaluación: observación y valoración del estado del aprendizaje logrado en momentos críticos (inicial, final y durante el proceso).

Investigación: reflexión y análisis del desarrollo del proceso para introducir cambios en futuras implementaciones del mismo, así como la articulación entre los distintos momentos y partes del proceso de estudio.

Juan D. Godino 26

TRAYECTORIA DISCENTE

Configuración discente: sistema de funciones o roles que desempeña un alumno a propósito de una configuración epistémica

Aceptación del compromiso educativo y adopción de una actitud positiva al estudio.

Exploración, indagación, búsqueda de conjeturas y modos de responder a las cuestiones planteadas.

Recuerdo, interpretación y seguimiento de reglas (conceptos y proposiciones) y del significado de los elementos lingüísticos en cada situación.

Formulación/comunicación de soluciones a las situaciones o tareas propuestas.

Argumentación y justificación de conjeturas.

Juan D. Godino 27

TRAYECTORIA DISCENTE (Cont.)

Recepción de información sobre modos de hacer, describir, nombrar, validar.

Demanda de información al profesor o a otros compañeros (por ejemplo, cuando no entienden el significado del lenguaje utilizado o no recuerdan conocimientos previos necesarios).

Ejercitación: Realización de tareas rutinarias para dominar las técnicas específicas.

Evaluación: Estados en los cuales el alumno realiza pruebas de evaluación propuestas por el profesor, o de autoevaluación.

Juan D. Godino 28

TRAYECTORIA MEDIACIONAL

En el proceso instruccional se podrán utilizar diversos medios o recursos como dispositivos de ayuda al estudio.

La noción de trayectoria mediacional pretende servir de herramienta para analizar los usos potenciales y efectivamente implementados de los medios instruccionales y sus consecuencias cognitivas.

El uso de los recursos (tipo, modalidad, secuenciación, articulación con los restantes elementos del procesos, etc.) debe ser objeto de atención en la práctica y en la investigación didáctica.

Juan D. Godino 29

TRAYECTORIA COGNITIVA

Cronogénesis de los significados personales

La interacción del profesor con los alumnos mientras resuelven las tareas en clase, le permite acceder parcialmente a la progresiva construcción de los conocimientos por parte de los alumnos, y tomar decisiones sobre la cronogénesis institucional (trayectoria epistémica)

En nuestro ejemplo sólo tenemos indicios de esa cronogénesis por medio de las esporádicas intervenciones de los estudiantes, y muy limitada a aspectos puntuales.

Juan D. Godino 30

TRAYECTORIA EMOCIONAL

Otros factores condicionantes del proceso de instrucción que admiten distintos estados y cambian a lo largo del tiempo se aglutinan en torno a lo que designamos como estados emocionales (interés, compromiso personal, sentimientos de autoestima, aversión, etc.)

El proceso de devolución en la TSD.

Juan D. Godino 31

INTERACCIONES DIDÁCTICAS

Configuración didáctica:

Secuencia interactiva de estados de las trayectorias docente y discente que tienen lugar a propósito de una tarea y que se realiza mediante el uso de unos recursos materiales determinados.

El proceso de instrucción sobre un contenido o tema matemático se desarrolla en un tiempo dado mediante una secuencia de configuraciones didácticas (Trayectoria didáctica).

Juan D. Godino 32

condiciona condiciona

condiciona

razon de ser razón de ser

organiza

condiciona condiciona

condiciona

CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA

CONFIGURACIÓN DOCENTE

CONFIGURACIÓN DISCENTE

CONFIGURACIÓN MEDIACIONAL

CONFIGURACIONES COGNITIVA y EMOCIONAL

CONFIGURACIONES DIDÁCTICAS

Juan D. Godino 33

CONFIGURACIONES DIDÁCTICAS TEÓRICAS (REFERENCIALES)

D Cdialógica personal

magistral a-didáctica

A B

Juan D. Godino 34

ANÁLISIS DE CONFIGURACIONES DIDÁCTICAS EMPÍRICAS

CD 1: Corrección del ejercicio de cálculo de la velocidad

CD 2: Corrección del ejercicio de cálculo de la derivada del producto de dos funciones

CD 3: Resolución de ejercicios similares

CD 4: Deducción de la regla de derivación de la función sen(x)

Juan D. Godino 35

PATRONES DE INTERACCIÓN

Cualquier regularidad que pueda identificarse en las trayectorias didácticas y las configuraciones que las componen.

El desarrollo de las configuraciones y su secuenciación está apoyada en la implementación de una variedad de patrones de interacción.

Se constituyen con frecuencia de manera inconsciente, reducen la incertidumbre y resuelven los conflictos semióticos.

Juan D. Godino 36

CRITERIOS DE IDONEIDAD Idoneidad epistémica: Idoneidad epistémica: representatividad de los significados representatividad de los significados

institucionales implementados institucionales implementados

Idoneidad cognitiva: Idoneidad cognitiva: el desfase entre los significados el desfase entre los significados institucionales implementados y los significados personales institucionales implementados y los significados personales iniciales sea el máximo abordable teniendo en cuenta las iniciales sea el máximo abordable teniendo en cuenta las restricciones cognitivas de los alumnos y los recursos restricciones cognitivas de los alumnos y los recursos humanos, materiales y temporales disponibles humanos, materiales y temporales disponibles

Idoneidad semiótica: Idoneidad semiótica: posibilidades para identificar conflictos posibilidades para identificar conflictos semióticos potenciales y resolverlos. semióticos potenciales y resolverlos.

Idoneidad mediacional, Idoneidad mediacional, grado de disponibilidadgrado de disponibilidad y adecuación y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios.de los recursos materiales y temporales necesarios.

Idoneidad emocional, Idoneidad emocional, grado de implicación (interés, grado de implicación (interés, motivación) de los alumnos en el proceso de estudio. motivación) de los alumnos en el proceso de estudio.

Juan D. Godino 37

IDONEIDAD DE LAS CONFIGURACIONES

EM O C IO NAL(Im p lic a c ió n)

SEM IÓ TIC A(Ne g o c ia c ión)

M EDIAC IO NAL(Disp o nib ilid a d )

C O G N ITIVA(Pro xim id a d )

EPISTÉM IC A(Re p re se nta tivid a d )

0

1

1

11

1

Juan D. Godino 38

TIPOS DE IDONEIDADES

Idoneidad didáctica, criterio sistémico de pertinencia de un proceso de instrucción en base a su adecuación al proyecto de enseñanza.

Su indicador empírico puede ser la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes y los significados institucionales pretendidos.

La idoneidad didáctica comprende a su vez tres idoneidades: epistémica, cognitiva (incluye la emocional) e instruccional (incluye la semiótica y la mediacional),

Juan D. Godino 39

Objetos e interacciones didácticas

EPISTÉM IC A

DO C ENTE

DISC ENTE

C O G N ITIVA

EM O C IO NAL

Tie m p od id á c tic o

Restr

icci

o nes

Inte ra c c io ne s d id á c tic a s

C o nfig ura c io ne s d id á c tic a s

A B C D(M a g istra l) (A-d id á c tic a ) (Pe rso na ll) (D ia lo g a l)

(Tip o s d e inte ra c c io ne s; c o nflic to s se m ió tic o sne g o c ia c ió n d e sig nific a d o s)

(Situa c io na l, a c tua tivo , no ta c io na lc o nc e p tua l, p ro p o sic io na l, a rg um e nta tivo

(Pla n ific a c ió n; m o tiva c ió n, a sig na c ió nre g u la c ió n, e va lua c ió n, inve stig a c ió n)

(Ac e p ta c ió n, e xp lo ra c ió n, re c ue rd ofo rm ula c ió n, a rg um e nta c ió n, re c ep c ió n,inte rro g a c ión, e je rc ita c ió n, e va lua c ió n)

(Re c urso s m a te ria le s)

(Sig nific a d o s p e rso na le s)

M EDIAC IO NAL

(Afe c to s, se ntim ie nto s)

Juan D. Godino 40

IMPLICACIONESEl análisis onto-semiótico se revela como un elemento crucial de los procesos de estudio de las matemáticas.

Permitirá identificar puntos críticos en que se deben negociar los significados, aportar pautas para seleccionar las configuraciones didácticas y los patrones de interacción más apropiados y caracterizar los aprendizajes logrados.

La dialéctica entre los distintos patrones de interacción deberá basarse en la negociación de los significados.

Juan D. Godino 41

Ejemplo:

CRITERIOS DE IDONEIDAD DE UN

PROCESO DE INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA . Aplicación a una experiencia de enseñanza de la noción de función