Juan Carlos Nuñez Maldonado - USP€¦ · Para o estudo da topologia da ﬁbra e do link dessas ﬁbrações eles também procederam de maneira semelhante ao caso local, com as devidas

Conectividade de variedades semi-algébricas

Juan Carlos Nuñez Maldonado

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________


Conectividade de variedades semi-algébricas

Dissertação apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências – Matemática. VERSÃOREVISADA

Área de Concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Nonato Araújodos Santos

USP – São CarlosJunho de 2017

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Maldonado, Juan Carlos NuñezM634c Conectividade de variedades semi-algébricas / Juan

Carlos Nuñez Maldonado; orientador Raimundo NonatoAraújo dos Santos. – São Carlos – SP, 2017.

74 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduaçãoem Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas ede Computação, Universidade de São Paulo, 2017.

1. Ponto focal e teorema de Lefschetz.2. Estrutura de conjuntos semi-algébricos. 3. teoremada fibração local e global. 4. topologia das fibras edo link. 5. conexidade de hipersuperficies genéricas.I. Santos, Raimundo Nonato Araújo dos, orient. II.Título.


Connectivity of semi-algebraic varieties

Master dissertation submitted to the Instituto deCiências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for thedegree of the Master Program in Mathematics. FINALVERSION

Concentration Area: Mathematics

Advisor: Prof. Dr. Raimundo Nonato Araújodos Santos

USP – São CarlosJune 2017

Aos meus pais,

Isabel Maldonado e Moises Nuñez.

AGRADECIMENTOS

Acima de tudo agradeço a Deus, pela presença constante em minha vida, e por me darsaúde e força em todos os momentos.

Agradeço profundamente aos meus pais, Isabel e Moises, pelo amor, e por suas oraçõesque foram fundamentais para me fortalecer. Toda vez que eu falava com eles, sempre melembravam: "estamos orando por você, estamos orando por você..."

Agradeço ao meu amigo e orientador pelo conhecimento transmitido, paciênca, humil-dade, e amizade.

Agradeço aos professores Oziride Manzoli, Maria Aparecida, Behrooz Mirzaii, FaridTari, Eduardo Tengan pelo apoio acadêmico e pela atenção que me dispensaram.

Agradeço aos meus amigos: Alberto, David, Francisco, Emanuel, Julian, Junior, Piere,Rafaela e Welinton pela amizade, auxílio e apoio.

Agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.

Enfim, agradeço a todos que direta ou indiretamente colaboraram para a concretizaçãodeste trabalho.

MUITO OBRIGADO!

“As invenções são, sobretudo,

o resultado de um trabalho de teimoso.”

(Santos Dumont)

RESUMO

JUAN, C. N. M. Conectividade de variedades semi-algébricas. 2017. 74 p. Dissertação (Mes-trado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Univer-sidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2017.

Neste projeto apresentamos os teoremas de estrutura, decomposição celular, e o teorema daexistência da triangulação para conjuntos semi-algébricos compactos. Como aplicações destesteoremas mostramos o lema de seleção da curva local e global. Além disso, apresentamos umabreve descrição da topologia da fibra de Milnor local e global, bem como alguns resultados sobreo grau de conexidade da fibra genérica global de uma função polinomial complexa, que mostrama íntima relação entre o grau de conexidade com a dimensão do conjunto singular.

Palavras-chave: Ponto focal e teorema de Lefschetz, Estrutura de conjuntos semi-algébricos,teorema da fibração local e global, topologia das fibras e do link, conexidade de hipersuperficiesgenéricas.

ABSTRACT

JUAN, C. N. M. Connectivity of semi-algebraic varieties. 2017. 74 p. Dissertação (Mes-trado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Univer-sidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2017.

In this project we present some structure theorems, cell decomposition, and the theorem on theexistence of triangulation for compact semi-algebraic sets. As applications we prove the curveselection lemma in the local and global cases. Moreover, we present a brief description aboutthe topology of local and global Milnor´s fibers, as well as, some results about the connectivitydegree of the generic fibers of a complex polynomial function, that show the close relationbetween the connectivity degree and the dimension of the singular locus.

Keywords: Focal point and Lefschetz theorem, structure of Semi-algebraic sets, Milnor fibrationlocal and global, topology of the fibers and link, on the connectivity of generic hypersurfaces.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1 Conjuntos semi-algébricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Simplexos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Ferramentas da topologia algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.2 Grupo de homotopia de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3 Grupos de homotopia relativos de ordem superior . . . . . . . . . . . . 242.3.4 Resultados sobre grupos de homologia singular e grupos de homo-

logia reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.5 Topologia de Joins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Teoria de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Tipo de Homotopia em termos de Valores Críticos . . . . . . . . . . . 30

3 TEOREMA DE LEFSCHETZ PARA SEÇÕES HIPERPLANAS . . . 353.1 Variedades em espaço Euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Teorema de Lefschetz em seções hiperplanas . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 ESTRUTURA DE CONJUNTOS SEMI-ALGÉBRICOS . . . . . . . . 474.1 Primeiro teorema de estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.1 Aplicação do primeiro teorema de estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Segundo teorema de estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.1 Outras propriedades do algoritmo de separação estratificado . . . . . 504.3 Decomposição celular e triangulação de conjuntos semi-algébricos . 514.4 Aplicações do teorema da triangulação de conjuntos semi-algébricos 574.4.1 Uma versão do Lema de Seleção da Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 GRAU DE CONEXIDADE DA FIBRA GENÉRICA . . . . . . . . . . . 615.1 Topologia da fibra e do link no caso local . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Classes especiais de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Topologia da fibra e do link no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4 Topologia de hipersuperficie genérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5 Conectividade da hipersuperficie afim complexa . . . . . . . . . . . . . 66

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

17

CAPÍTULO

1INTRODUÇÃO

John Milnor [Milnor 1968] estudou a topologia de uma hipersuperfície complexa singularsendo a ferramenta principal o teorema da existência de uma fibração suave em pequenas esferasem torno da singularidade, que pode ser enunciado em linguagem mais moderna como segue:dado um representante de um germe de função holomorfa f ∶ (Cn+1,0)→ (C,0), então para ε > 0suficientemente pequeno a aplicação

φ ∶ S2n+1ε ∖Kε → S1 definida por φ(z) = f (z)

∏ f (z)∏(1.1)

é uma projeção suave de um fibrado localmente trivial, onde S2n+1ε é a esfera (2n+1)-dimensional

de raio ε centrada na origem, e Kε = f −1(0)∩S2n+1ε é conhecido com o link da singularidade.

Diferentemente do que ocorre no caso local, no caso global em geral, dada uma funçãopolinomial f ∶Cn+1→C a chamada fibração de Milnor no infinito nem sempre existe. Isto é, aaplicação φ ∶ S2n+1

R ∖KR→ S1 nem sempre é uma projeção suave de um fibrado localmente trivial,para R > 0 suficientemente grande.

Broughton em [Broughton 1983] e [Broughton 1988], e Némethi & Zaharia em [Némethie Zaharia 1992], introduziram algumas classes especiais de polinômios chamadas de tame,quasitame, M-tame, semitame, etc., e mostraram como adaptar a prova do teorema da fibraçãode Milnor no caso local para garantir que na classe de polinômios semitame sempre existe afibração de Milnor no infinito.

Para o estudo da topologia da fibra e do link dessas fibrações eles também procederamde maneira semelhante ao caso local, com as devidas adaptações, para provar que se f é um po-linômio M-tame, então para R > 0 suficientemente grande, o link KR =V ∩S2n+1

R é (n−2)-conexo

18 Capítulo 1. Introdução

e a fibra tem o mesmo tipo de homotopia de um buquê Sn∨ . . .∨Sn de esferas n−dimensionais,mostrando assim que tanto o link como a fibra tem alto grau de conexidade.

Um outro resultado interessante é dado em [Dimca 1990], [Dimca e Paunescu 1999]onde os autores estimam o grau de conexidade de uma hipersuperficie complexa em função dadimensão complexa do fecho projetivo da fibra especial no infinito. Esse tipo de resultado sugereque os casos local e global tem alguma similaridade; ou seja, estão de alguma forma relacionados.

Neste trabalho apresentaremos um estudo sobre a topologia de uma aplicação polinomialreal e complexa, com o objetivo de relacionar o grau de conectividade da fibra e do link coma dimensão do conjunto singular. Para isso, no segundo capítulo desenvolveremos um estudobásico sobre conjuntos algébricos e semi-algébricos, que serão os principais objetos de nossoestudo. Além disso, lembraremos os conceitos básicos da topologia algébrica e da teoria deMorse, que serão úteis no desenvolvimento de todo o trabalho.

No terceiro capítulo apresentamos algumas propriedades de ponto focal de uma variedadecom vista a apresentar uma prova do famoso teorema de Lefschetz para seções hiperplanas, oqual será importante para o cálculo do grau de conexidade de uma hipersuperficie complexa.

No quarto capítulo dedicamos ao estudo da estrutura de conjuntos semi-algébricos. Se-guindo [Benedetti e Risler 1990] apresentaremos o primeiro e segundo teoremas de estrutura euma prova do teorema de triangulação para conjuntos semi-algébricos. Como aplicação, mostra-remos o lema de seleção da curva local e global.

No quinto capítulo enunciamos os teoremas da fibração de Milnor local e global eapresentamos um resumo dos principais resultados da topologia da fibra e do link tanto no casolocal como global. Além disso, apresentaremos um resultado sobre o grau de conexidade da fibragenérica global de uma função polinomial que relaciona o grau de conexidade da fibra com adimensão do conjunto singular do fecho projetivo da fibra no infinito.

19

CAPÍTULO

2PRELIMINARES

Neste capítulo apresentamos alguns fatos básicos de conjuntos algébricos e semi-algébricos, relembramos alguns teoremas de dualidade da topologia algébrica e o teorema deLefschetz para seções hiperplanas, além de alguns fatos da teoria de Morse que serão necessáriosno decorrer do texto.

2.1 Conjuntos semi-algébricos

Nesta primeira seção apresentamos conceitos e resultados de conjunto algébrico e semi-algébrico. A principal referência utilizada é [Benedetti e Risler 1990].

Definição 2.1. Um subconjunto V ⊂Kn (K = R,C) é chamado algébrico, se ele admite umarepresentação da forma

V = x ∈Kn ∶ P1(x) = ... = Pk(x) = 0

onde, Pi(x) ∈K(X1, ...,Xn⌋, i = 1, ...,k.

Agora suponhamos que os P′i s são polinômios homogêneos de grau di, isto é,:

Pi(λx1, ...,λxn) = λdiPi(x1, ...,xn), λ ∈K

para cada i = 1, ...,k.

Definição 2.2. Um subconjunto V ⊂ Pn−1 é chamado algébrico projetivo, se existem polinômioshomogêneos P1, ...,Pk em K(X1, ...,Xn⌋ tais que:

V = (x1 ∶ ⋅ ⋅ ⋅ ∶ xn⌋ ∶ P1((x⌋) = ... = Pk((x⌋) = 0

Definição 2.3. Uma variedade algébrica (projetiva) é um subconjunto algébrico irredutível dePn−1 com a topologia induzida da topologia de Zariski.

20 Capítulo 2. Preliminares

A seguinte definição generaliza a definição de conjuntos algébricos.

Definição 2.4. Um subconjunto V ⊂Rn é chamado semi-algébrico, se ele admite uma represen-tação da forma

V =s⋃i=1

ri

⋂j=1x ∈Rn ∶ Pi j(x) si j 0

onde, para cada i = 1, ...,s e j = 1, ...,ri

1) si j ∈ >,=,<

2) Pi j(x) ∈R(X⌋, X = (X1, ...,Xn)

Exemplo 2.1. 1) Todo subconjunto algébrico do Rn (definido por equações polinomiais) ésemi-algébrico.

2) Sejam A ⊂ Rn e B ⊂ Rm conjuntos semi-algébricos, então A×B é um conjunto semi-algébrico.

No caso complexo o correspondente dos conjuntos semi-algébrico no Rn são chamados conjuntosconstrutíveis definidos como abaixo.

Definição 2.5. Um subconjunto V ⊆Cn é chamado construtível, se existem Pi j(x) ∈C(X⌋ (i =1, ...,s; j = 1, ...,ri) tais que

V =s⋃i=1

ri

⋂j=1x ∈Cn ∶ Pi j(x) si j 0

onde si j ∈ =,≠.

Observação 2.1. Identificando Cn com R2n, observamos que qualquer subconjunto construtívelde Cn é um conjunto semi-algébrico em R2n. Além disso, identificando Rn com a parte "real" deCn, para qualquer conjunto construtível V temos que VR =V ∩Rn é semi-algébrico em Rn.

Definição 2.6. Sejam X ⊆Rn e Y ⊆Rm conjuntos semi-algébricos. Uma aplicação f ∶ X →Y échamada semi-algébrica se o gráfico de f , gra f ( f ), é um conjunto semi-algébrico em Rn+m.

Definição 2.7. Seja F uma família de polinômios em R(X⌋. Dizemos que a família F é estávelsob derivação se

1) 0 ∉ F

2) Se f ∈ F , então, f ′ ∈ F ou f ′ = 0.

Lema 2.1. [Lema de Thom] Seja ℱ = P1, ...,Pk uma família finita de polinômios estáveis sobderivação de R(X⌋, e seja Z ⊂R da forma

Z =k⋂i=1x ∈R ∶ Pi(x) si 0; si ∈ >,=,<.

Então Z é conexo, e temos uma das seguinte possibilidades:

2.2. Simplexos em Rn 21

1) Z =∅,

2) Z = um ponto (isto acontece se, e somente se Z ≠∅ e pelo menos um dos si = “ = ”),

3) Z é um intervalo não trivial.

Além disso, o fecho topológico Z de Z em R é obtido substituindo si = “ > ” por “ ≥ ” ou si = “ < ”por “ ≤ ”. ( Z é obtido de Z relaxando as desigualdades.)

2.2 Simplexos em Rn

Definição 2.8. Um simplexo (aberto) de dimensão k em Rn é qualquer subconjunto S ⊆Rn daforma

S = S(x0, ...,xk) = x ∈Rn ∶ x =k∑i=0

tixi, ti > 0,k∑i=0

ti = 1(

onde x0, ...,xk ∈Rn satisfaz a seguinte condição: Dado E ⊂Rn um subespaço vetorial de Rn talque x0, ...,xk ⊂ E, então dimE ≥ k.

Definição 2.9. Uma face de um simplexo S = S(a0, ...,ak) de dimensão h é qualquer simplexo S′

de dimensão h ≤ k da forma S′(b0, ...,bh) com b0, ...,bh ⊆ a0, ...,ak.

Definição 2.10. Um poliedro finito de Rn é um subconjunto X de Rn que admite uma coleçãofinita de simplexos disjuntos K = S1, ...,Sd tal que:

1) Para cada r = 1, ...,d todas as faces de Sr pertencem a K (chamada decomposição simplicialfinita),

2) X =d⋃r=1

Sr.

Usaremos a notação usual X = ⋃K⋃.

Definição 2.11. Seja Y ⊆Rn. Uma triangulação de Y é um homeomorfismo

F ∶Y → X

para algum poliedro X = ⋃K⋃ ⊆Rm, considerando em Y e X a topologia induzida do ambiente.

Se Y é um conjunto semi-algébrico e F é um homeomorfismo semi-algébrico; ou seja, o gráficode F é um conjunto semi-algébrico, então dizemos que F é uma triangulação semi-algébrica deY .

Exemplo 2.2. Seja X como as imagens abaixo:


2.3 Ferramentas da topologia algébrica

Lembraremos abaixo alguns conceitos e resultados clássicos de topologia geral, teoria dehomotopia de ordem superior, teoria de homologia e cohomologia.

2.3.1 Homotopia

Definição 2.12. Sejam X e Y espaços topológicos e f ,g ∶ X →Y aplicações contínuas. Dizemosque f é homotópica à g se existe uma aplicação contínua H ∶ X × I→Y tal que H(x,0) = f (x) eH(x,1) = g(x) para qualquer x ∈ X .

A aplicação H é chamada uma homotopia entre f e g e denotamos por f ≃ g ou H ∶ f ≃ g.

Definição 2.13. Seja A um subconjunto de X e f ,g ∶X ×I→Y aplicações contínuas. Dizemos quef é homotópica à g relativo a A, denotado por f ≃ g relA, se existe uma homotopia H ∶X × I→Y

tal que

H(x,0) = f (x), ∀x ∈ X

H(x,1) = g(x), ∀x ∈ X

H(a,t) = f (a) = g(a), ∀a ∈ A, t ∈ I.

Definição 2.14. 1) Seja f ∶X →Y uma aplicação contínua. Dizemos que f é uma equivalênciahomotópica se existe uma aplicação contínua g ∶Y → X tal que f g ≃ IdY e g f ≃ IdX .

2) Dois espaços X e Y são chamados homotopicamente equivalentes se existe uma equivalên-cia homotópica de um para o outro. Neste caso dizemos que X e Y tem o mesmo tipo dehomotopia, e denotamos por X ≡Y.

Definição 2.15. 1) Seja A ⊂ X . Dizemos que A é um retrato de X se existe uma aplicaçãocontínua r ∶ X → A tal que r(a) = a, para todo a ∈ A. A aplicação r é chamada aplicaçãoretração.

2) Um subespaço A de X é chamado retrato por deformação de X , se existe uma homotopiaF ∶ X × I→ X tal que para cada x ∈ X e a ∈ A

i) F(x,0) = x

2.3. Ferramentas da topologia algébrica 23

ii) F(x,1) ∈ A

iii) F(a,1) = a

2.3.2 Grupo de homotopia de ordem superior

Na presente seção vamos generalizar o conceito do grupo fundamental π1(X ,x0) de umespaço topológico (X ,x0) com ponto base x0.Para todo inteiro n ≥ 1 consideremos:

1) In = I×⋯× I)⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊]⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊)n-vezes

o cubo unitário de dimensão n,

2) O bordo de In, denotado por ∂ In.

Convencionamos que I0 = s0 e ∂ I0 =∅.Seja Πn(X ,x0) = f ∶ (In,∂ In)→ (X ,x0) ∶ f é contínua e f (∂ In) ⊂ x0 note que para n = 1,Π1(X ,x0) não é mais que o espaço de laços com ponto base x0, também denotado por Ω(X ,x0).

Definimos uma operação em Πn(X ,x0) da seguinte maneira: Dado f ,g ∈Πn(X ,x0) associamosf ∗g ∈Πn(X ,x0) dado por

f ∗g(s1, ...,sn) =)⌉⌉⌋⌉⌉]

f (2s1, ...,sn−1,sn) se s1 ∈ (0, 12⌋

f (2s1−1, ...,sn−1,sn) se s1 ∈ (12 ,1⌋

(2.1)

Observe que para n = 1, a operação anterior é a operação de concatenação de laços.Desejamos fazer de Πn(X ,x0) um grupo com a operação definida acima, como no caso n = 1.Para isso vamos definir uma relação de equivalência no espaço Πn(X ,x0).

Definição 2.16. Seja f ,g ∈Πn(X ,x0), diremos que f é equivalente à g se elas são homotópicasrelativamente a ∂ In, isto é f ≃ g rel∂ In.

Não é dificil provar que a relação acima é uma relação de equivalência em Πn(X ,x0). Denote por( f ⌋ a classe de homotopia de f ∈Πn(X ,x0) e por πn(X ,x0) o conjunto das classes de homotopiade elementos de Πn(X ,x0), isto é,

πn(X ,x0) = ( f ⌋ ∶ f ∈Πn(X ,x0).

Podemos definir um produto em πn(X ,x0) induzido pelo produto acima da seguinte maneira:dado ( f ⌋,(g⌋ elementos qualquer de πn(X ,x0) definimos ( f ⌋ ⋅ (g⌋ por:

( f ⌋ ⋅ (g⌋ = ( f ∗g⌋ (2.2)

Não é dificil provar que esta operação está bem definida, isto é, se f1, f2 ∈ ( f ⌋ e g1,g2 ∈ (g⌋ entãof1∗g1 ≃ f2∗g2 rel ∂ In.


Teorema 2.1. O conjunto πn(X ,x0) equipado com a operação 2.2 é um grupo para todo n ≥ 1. Oelemento neutro é a classe de homotopia (ex0⌋ da aplicação constante ex0 ∶ (In,∂ In)→ (X ,x0), ea inversa de ( f ⌋ é a classe de homotopia de ( f −1⌋ onde f −1 ∶ (In,∂ In)→ (X ,x0) é a aplicaçãodefinida por

f −1(s1, ...,sn) = f (1− s1, ...,sn).

Observação 2.2. 1) Para n = 1 temos que π1(X ,x0) é o grupo fundamental de X com pontobase x0.

2) Para n ≥ 2, os grupos πn(X ,x0) são chamados grupos de homotopia de ordem superior.

Sabemos que o grupo fundamental nem sempre é um grupo abeliano, no entanto, para os gruposde homotopia de ordem superior temos o seguinte resultado.

Teorema 2.2. Para todo inteiro n ≥ 2, o grupo πn(X ,x0) é um grupo abeliano.

Definição 2.17. Dado k ≥ 0, inteiro, dizemos que um espaço topológico X é k-conexo se é conexopor caminhos e πi(X) = 0 para 0 ≤ i ≤ k.

Por definição, todo espaço não vazio é chamado (−1)-conexo.

2.3.3 Grupos de homotopia relativos de ordem superior

Nesta seção vamos introduzir grupos de homotopia relativos de pares de espaços pon-tuados. Para isso consideremos um espaço pontuado (X ,x0) e um subespaço A ⊂ X contendo oponto base x0. Assim temos uma inclusão natural de espaços i ∶ (A,x0) (X ;x0) o qual induzuma aplicação a nível dos grupos de homotopia i∗ ∶ πn(A,x0) πn(X ,x0) para todo n ≥ 0, queem geral não é injetivo.

Exemplo 2.3. Sejam X =R2 e A = S1, temos

π1(S1,1) =Z,

π1(R2,1) = 0.

Assim, i∗ ∶Z→ 0 não é injetivo.

Denotemos por Jn o subespaço do bordo de ∂ In+1 = In×∂ I∪∂ In×I dado por Jn = In×0∪∂ In×I.Seja

Πn(X ,A,x0) = f ∶ (In,∂ In,Jn)→ (X ,A,x0) ∶ f é continua e f (∂ In) ⊂ A, f (∂Jn) ⊂ x0

De maneira similar como fizemos em 2.1 definimos para n ≥ 2 uma operação em Πn(X ,A,x0),associando para cada f ,g ∈Πn(X ,A,x0) um f ∗g ∈Πn(X ,A,x0).Para definir uma relação de equivalência no espaço Πn(X ,A,x0), como na seção anterior, vamosdefinir uma homotopia entre aplicações de triplas.


Definição 2.18. Sejam A2 ⊆ A1 ⊆ X e B2 ⊆ B1 ⊆Y triplas de espaços e sejam f ,g ∶ (X ,A1,A2)→(Y,B1,B2) aplicações de triplas. Então, uma homotopia F ∶ f ≃ g é uma aplicação de triplas

F ∶ (X ,A1,A2)× I = (X × I,A1× I,A2× I)→ (X ,B1,B2),

(isto é, F(A1× I) ⊂ B1 e F(A2× I) ⊂ B2) tal que F(−,0) = f e F(−,1) = g.

Definição 2.19. Sejam f ,g ∈Πn(X ,A,x0), diremos que f é equivalente à g se existe uma homo-topia F ∶ f ≃ g definida como acima.

Não é dificil provar que esta relação é uma relação de equivalência em Πn(X ,A,x0).Seja πn(X ,A,x0) = ( f ⌋ ∶ f ∈ Πn(X ,A,x0) onde ( f ⌋ denota a classe de homotopia relativa def ∈Πn(X ,X ,x0).Definindo um produto “ ⋅” em πn(X ,A,x0) como 2.2, é possível provar que πn(X ,A,x0) é umgrupo, chamado o n- ésimo grupo de homotopia relativa de (X ,A,x0).Para simplificar a notação, escrevemos πn(A) (respectivamente πn(X ,A)) em lugar de πn(A,x0)(respectivamente πn(X ,A,x0)).

Dado f um elemento de πn(A), podemos ver f como um elemento de πn(X). Logo a inclusãoi ∶ A X induz uma aplicação i∗ ∶ πn(A)→ πn(X) que é um morfismo de grupo para n ≥ 2.Além disso, se f ∈ πn(X) então f é constante igual a x0 no bordo ∂ In, em particular, temos quef ∈ πn(X ,A), o que induz uma aplicação de homotopia j∗ ∶ πn(X)→ πn(X ,A) que é um morfismode grupo para n ≥ 2.Agora, consideremos f ∈ πn(X ,A). A restrição de f a uma face In define um elemento de πn(A)denotado por ∂ f . Assim podemos definir uma aplicação ∂ que envia classes de homotopia relativaà A em classes de homotopia de A. Logo obtemos uma aplicação de bordo ∂ ∶πn(X ,A)→πn−1(A)o qual é um morfismo de grupo para n ≥ 2. Os morfismos acima se juntam no seguinte resultadoimportante em teoria de homotopia.

Teorema 2.3. A sequência

⋯→ πn(A)i∗Ð→ πn(X)

j∗Ð→ πn(X ,A) ∂Ð→ πn−1(A)→⋯

é exata.

Esta sequência é chamada de sequência de homotopia exata longa do par pontuado (X ,A,x0).

2.3.4 Resultados sobre grupos de homologia singular e grupos dehomologia reduzida

Nesta seção assumiremos que o leitor conhece os conceitos básicos da teoria de homolo-gia e cohomologia singular com coeficientes em Z. Para detalhes veja [Hatcher 2002], [Spanier


1994].Considere X um espaço topológico, A um subespaço de X . Denotaremos por:

1) Hn(X) (resp. Hn(X ,A)) é o n-ésimo grupo de homologia (singular) de X (resp. do par(X ,A)).

2) Hn(X) (resp. Hn(X ,A)) é o n-ésimo grupo de cohomologia (singular) de X (resp. do par(X ,A))

Observação 2.3. Os grupos de homologia reduzida (singular) de um espaço topológico X ,denotamos por Hn(X), se relacionam com os grupos de homologia singular da seguinte forma

Hn(X) ≅)⌉⌉⌋⌉⌉]

Hn(X), n > 0H0(X)⊕Z, n = 0.

Exemplo 2.4. Os grupos de homologia da esfera Sn é dada da seguinte maneira:

se n = 0

Hp(S0) ≅)⌉⌉⌋⌉⌉]

Z⊕Z, p = 00, p > 0.

se n > 0

Hp(Sn) ≅)⌉⌉⌋⌉⌉]

Z, p = 0 ou p = n

0, caso contrario.

Logo, temos uma formula mais concisa dos grupos de homologia reduzida de Sn, da seguintemaneira:

Hp(Sn) ≅)⌉⌉⌋⌉⌉]

Z, p = n

0, p ≠ n.

Teorema 2.4 (Dualidade de Poincaré [Spanier 1994]). Seja X uma n-variedade compacta orien-tada, então para todo q existe um isomorfismo

Hq(X) ≅Hn−q(X).

Teorema 2.5 (Dualidade de Lefschetz [Bredon 2013]). Seja M uma variedade compacta dedimensão n orientada, e seja L ⊂K subconjunto compacto de M. Então,

Hq(K,L) ≅Hn−q(M−L,M−K).

Teorema 2.6 (Teorema do Isomorfismo de Hurewicz [Switzer 1975]). Se um espaço X é (n−1)-conexo, n ≥ 2, então h ∶ πp(X ,x0)→ Hq(X) é um isomorfismo para q ≤ n e um epimorfismo paraq = n+1. No caso n = 1, h é um epimorfismo para q = n.


2.3.5 Topologia de Joins

Definição 2.20. O join de dois espaços topológico Z e W , denotado por Z ∗W , é definido por

Z ∗W = Z×W × I⇑ ∼

onde I é o intervalo (0,1⌋ e ∼ é a relação de equivalência definida da seguinte maneira:

(z,w,t) ∼ (z′,w′,t′) se, e somente se)⌉⌉⌋⌉⌉]

z = z′ e t = t′ = 0, ou

w =w′ e t = t′ = 1.

As correspondentes classes de equivalência são denotadas por (∗,w,0⌋ ou (z,∗,1⌋.

Exemplo 2.5.

1) O gráfico seguinte ilustra a definição quando Z e W são conjuntos com somente doispontos cada um deles.

2) Se Z e W são segmentos de linha, podemos ilustrar a definição como abaixo.

A seguinte proposição é bastante interessante pois nos permite conhecer a topologia de umproduto join sem muitas hipóteses sobre os espaços envolvidos.

Proposição 2.7. ( [Milnor 1956]) Se W é conexo por caminho e Z é um espaço (qualquer) nãovazio, então Z ∗W é simplemente conexo.

De forma mais geral em [Matousek 2008] foi provado o seguinte resultado :


Teorema 2.8 (Conectividade do join). Suponha que Z seja m-conexo e W n-conexo, onde Z e W

são triangulables (ou CW -complexos). Então Z ∗W é (m+n+2)-conexo

Todavia, se sabemos os grupos de homologia reduzida dos espaços Z e W, é possível calcular osgrupos de homologia reduzida do produto join, Z ∗W, como segue:

Teorema 2.9 ( [Milnor 1956]). Os grupos de homologia reduzida do produto join Z ∗W comcoeficientes em um domínio ideal principal são dados por:

Hn+1(Z ∗W) ≅ ∑p+q=n

Hp(Z)⊕ Hq(W) + ∑p+q=n−1

Tor(Hp(Z),Hq(W))

A seguir veremos uma aplicação do conceito acima num importante teorema devido a MutsuoOka em [Oka 1973].

Seja f ∶Cn→C uma aplicação polinomial complexa.

Definição 2.21. O polinômio f (z1, ...zn) é dito quase-homogêneo do tipo x = (x1, ...xn) se forcombinação linear de monômios da forma zν1

1 ⋯zνnn tais que

ν1

x1+⋯+ νn

xn= 1.

Teorema 2.10. Seja f ∶Cn×Cm→C uma aplicação polinomial definida por f (z,w)= g(z)+h(w),onde g ∶ Cn →C e h ∶ Cm →C são polinômios quase-homogêneos. Sejam: X = f −1(1) ⊂Cn ×Cm, Z = g−1(1) ⊂Cn e W = h−1(1) ⊂Cm. Então X tem o tipo de homotopia de Z ∗W ,onde Z ∗W é o join de Z e W com a topologia forte.

Observação 2.4. A topologia forte em Z ∗W é definida como a topologia fraca tal que asaplicações definidas abaixo são contínuas:

s ∶ Z ∗W → I por s((z,w,t⌋) = t,

πZ ∶ Z ∗W − s−1(0)→ Z por πZ((z,w,t⌋) = z,

πW ∶ Z ∗W − s−1(1)→W por πW ((z,w,t⌋) =w.

Um resultado imediato do teorema anterior é o seguinte:

Corolário 2.11. [BRIESKORN 1966] Seja f (z)= za11 +...+zan

n (ak é um inteiro > 1) e X = f −1(1).Então, X tem o tipo de homotopia de Ωa =Ω1∗Ω2∗ ...∗Ωn onde

Ωak = ζj

ak ∶ j = 1, ...,ak, ζak = exp(2πi⇑ak)

é o conjunto das ak− ésimas raizes da unidade.

2.4. Teoria de Morse 29

2.4 Teoria de MorseA seguir apresentaremos alguns resultados sobre a teoria de Morse que foram extraídos

da referência [Milnor 1963].

Definição 2.22. Seja f ∶M→R uma aplicação suave em uma variedade suave de dimensão m, M

mergulhado em RN para algum N. Um ponto p ∈M é chamado ponto crítico de f se a aplicação

(d f )p ∶ TpM→ Tf (p)R

é nula.Se escolhemos um sistema local de coordenadas (x1, ...,xm) em uma vizinhança U de p, então p

é um ponto crítico de f ∶M→R se

∂ f∂x1

(p) =⋯ = ∂ f∂xm

(p) = 0.

O número real f (p) é chamado valor crítico de f .

Definição 2.23. Um ponto p é ponto crítico não degenerado de f , se p for ponto crítico de f e amatriz Hessiana

Hp( f ) = ( ∂ 2 f∂xi∂x j

(p))

é não singular.

Como a matriz Hessiana é simétrica, diagonalizável e com autovalores reais, é possível provarque os sinais destes autovalores são unicamente determinado por Hp( f ), mais a magnitude dosautovalores pode depender da escolha do sistema de coordenadas.

Definição 2.24. Definimos o índice de f em um ponto crítico não degenerado p como sendo onúmero de autovalores próprios negativos de Hp( f ) contados com multiplicidade.

Um resultado clássico da Teoria de Morse é o seguinte:

Lema 2.2. (Lema de Morse) Seja f ∶M→R uma função suave, M uma variedade de dimensãom, e p um ponto crítico não degenerado de f . Então, existe um sistema de coordenadas locais(y1, ...,ym) em uma vizinhança U ⊂M de p com y j(p) = 0, para todo j = 1, ...,m, tal que

f = f (p)−y21−⋯−y2

λ+y2

λ+1+⋯+y2m,

onde λ é o indice de f em p.

Definição 2.25. Uma função de Morse em uma variedade suave é uma função suave cujos pontoscríticos são todos não degenerados.

Observação 2.5. 1) Aplicando o teorema da função inversa para variedades é facil ver quetodo ponto crítico não degenerado é isolado.Como consequência temos que:


2) Uma função de Morse em uma variedade suave compacta de dimensão finita tem umnúmero finito de pontos críticos.

Vejamos um exemplo de uma função de Morse definida em uma variedade não compacta quetem infinitos pontos críticos não degenerados.

Exemplo 2.6. Seja f ∶R→R dado por f (x) = ex cosx.Observamos que os pontos críticos são da forma pk = π

4 +πk ,k ∈Z e a Hessiana de f é

f ′′(x) = −2ex sinx.

Como f ′′(pk) = (−1)k+1⌋

2epk ≠ 0, logo temos que f tem infinitos pontos críticos todo eles nãodegenerados.

Exemplo 2.7. A função F(x,y)= x2+y2 tem um único ponto crítico em (0,0) e é não-degenerado,de fato, é isolado.A função G(x,y) = x2 tem pontos críticos degenerados ao longo do eixo Y de fato eles não sãoisolado.

2.5 Tipo de Homotopia em termos de Valores Críticos

Seja f ∶M→R uma aplicação suave, denotamos por

Ma = f −1((∞,a⌋) = p ∈M ∶ f (p) ≤ a.

Além disso, se a < b denotaremos o conjunto

f −1((a,b⌋) = p ∈M ∶ a ≤ f (p) ≤ b.

Teorema 2.12. Seja f como acima e suponha que f −1((a,b⌋) é compacto e não contém pontoscríticos de f . Então Ma é difeomorfo à Mb, além disso, Ma é um retrato por deformação de Mb.Assim temos que a aplicação inclusão MaMb é uma equivalencia homotópica.

2.5. Tipo de Homotopia em termos de Valores Críticos 31

Teorema 2.13. Seja f ∶ M → R uma função suave, e seja p um ponto crítico não degeneradocom índice λ . Considere f (p) = c e suponha que para algum ε0 > 0, f −1((c− ε0,c+ ε0⌋) sejacompacto, e não contenha outro ponto crítico de f distintos de p.Então, para todo 0 < ε ≤ ε0 suficientemente pequeno, temos que o conjunto Mc+ε tem o mesmotipo de homotopia de Mc−ε com uma λ -célula atachada.

Teorema 2.14. Se f é uma função suave em uma variedade M com pontos críticos não degene-rados e cada Ma é compacto, então M tem o mesmo tipo de homotopia de um CW -complexo,com uma célula de dimensão λ atachada para cada ponto crítico de índice λ .

Exemplo 2.8. Consideremos o toro M =T de dimensão 2 mergulhado em R3 e seja f a funçãoaltura , isto é

f ∶T→R é dado por

f (x,y,z) = z

Calculemos os pontos críticos com seus respectivos índices. Para isso consideremos a seguinteparametrização do toro:

φ(u,v) = (r sinu,(R+ rcosu)cosv,(R+ rcosu)sinv) , com R > r,


assim

( f φ)(u,v) = (R+ rcosu)sinv.

Logo os pontos onde as derivadas parciais ∂ fφ

∂u , ∂ fφ

∂v se anulan são

q1 = (0,−π

2), q2 = (π,−

π

2), q3 = (π,

π

2), q4 = (0,

π

2)

e os pontos críticos de f são:

p1 = (0,0,−(R+ r)), p2 = (0,0,−(R− r)), p3 = (0,0,(R− r)), p4 = (0,0,(R+ r))

As matrizes Hessiana em cada ponto crítico são:

Hp1( f ) =⎛⎝

r 00 R+ r

⎞⎠

Hp2( f ) =⎛⎝−r 00 R− r

⎞⎠

Hp3( f ) =⎛⎝

r 00 −R+ r

⎞⎠

Hp4( f ) =⎛⎝−r 00 −R− r

⎞⎠

e observamos que os pontos críticos p1, p2, p3, p4 são pontos críticos não degenerados comíndices 0,1,1,2, respectivamente.

Vamos usar as informações acima para recuperar o toro T, a menos de homotopia.

1) Se a < f (p1), então f −1((−∞,a⌋) =∅Como o índice de p1 é zero, então o tipo de homotopia de T f (p1)+ε é uma 0-célula ou umponto.

e0 T f (p1)+ε

2) Como o índice de p2 é 1, então T f (p2)+ε tem o tipo de homotopia de T f (p1)+ε com uma1-célula atachada.

T f (p1)+ε ⊔e1 T f (p2)+ε

3) O índice de p3 é tambem 1, logo T f (p3)+ε tem o tipo de homotopia de T f (p2)+ε com uma1-célula atachada.

2.5. Tipo de Homotopia em termos de Valores Críticos 33

T f (p2)+ε ⊔e1 T f (p3)+ε

4) Como o índice de p4 é 2, então T f (p4)+ε tem o tipo de homotopia de T f (p3)+ε com uma2-célula atachada.

T f (p3)+ε ⊔e2 T f (p4)+ε =T

35

CAPÍTULO

3TEOREMA DE LEFSCHETZ PARA SEÇÕES

HIPERPLANAS

Neste capítulo apresentaremos algumas propriedades de ponto focal de uma variedade euma prova do famoso teorema de Lefschetz para seções hiperplanas. No final da última seçãoapresentamos também uma aplicação interessante da topologia de uma variedade algébricaprojetiva. Em todo o capítulo a principal referência utilizada foi [Milnor 1963].

3.1 Variedades em espaço EuclideanoSeja M ⊂Rn uma variedade suave de dimensão m< n mergulhado em Rn e seja N ⊂M×Rn

definido por

N = (p,v) ∶ P ∈M, v ∈NpM, em que NpM é o espaço normal de M em p.

É conhecido que N é uma varidedade suave de dimensão n (ver por exemplo [Lee 2003])mergulhado em R2n.Definamos a seguinte aplicação suave

E ∶N Ð→Rn por

E(p,v) = p+v

Definição 3.1. Seja e ∈Rn. Dizemos que e é um ponto focal de (M, p) com multiplicidade µ se,e = p+v, onde (p,v) ∈N e a matriz jacobiana de E em (p,v), JE(p,v), tem nulidade µ > 0; istoé, dimNu(JE(p,v)) = µ > 0.Dizemos que e é um ponto focal de M se e é ponto focal de (M, p) para algum p ∈M.

Observação 3.1. Da definição temos que e ∈ Rn é um ponto focal de (M, p) se o pontoe = p+v = E(p,v) é valor crítico da aplicação E ∶N Ð→Rn.

36 Capítulo 3. Teorema de Lefschetz para seções hiperplanas

De fato, como a jacobiana de E em (p,v), JE(p,v), tem nulidade µ >0 então dimKer((dE)(p,v))=µ > 0. Pelo teorema do núcleo e da imagem temos que (dE)(p,v) ∶ T(p,v)NÐ→ TeRn não é sobre-jetora, logo segue-se que (p,v) é um ponto crítico de aplicação E. Portanto e é um valor críticode E.

Teorema 3.1. (Teorema de Sard) Sejam M e N variedades suaves com ou sem bordo e F ∶MÐ→N uma aplicação suave. Então o conjunto de valores críticos de F tem medida zero em N.

Corolário 3.2. Para quase todo x ∈Rn, o ponto x não é ponto focal de M.

Demonstração. Da observação anterior e o teorema de Sard o corolário é imediato.

Sejam u1, ...,um as coordenadas de uma região da variedade M ⊂Rn. A aplicação MRn deinclusão determina n funções suaves

x1(u1, ...,um), ...,xn(u1, ...,um).

Denotaremos por x = (x1, ...,xn) e

x(u1, ...,um) = (x1(u1, ...,um), ...,xn(u1, ...,um)).

Dado um ponto p ∈M ⊂Rn denotamos por p.

Definição 3.2. A primeira forma fundamental associada ao sistema de coordenadas é definidocomo sendo a matriz simétrica

(gi j) = (∂ x∂ui ,

∂ x∂u j ) em que (,) é o produto escalar em Rn.

A segunda forma fundamental é também uma matriz simétrica (li j) definida como segue:um vetor vi j em um ponto de M pode ser decomposto como soma de um vetor tangente à M,digamos vT

i j, e um outro vetor normal à M, digamos vNi j. Considere li j como sendo a componente

normal de ∂2x

∂ui∂u j , isto é, li j = vNi j.

Definição 3.3. Dado um vetor unitário v normal à M em p, a matriz

(v, ∂ 2x∂ui∂u j ) = (v, v

Ti j + vN

i j) = (v, li j)

é chamada a "segunda forma fundamental de M em p na direção v ".

Assumiremos que as coordenadas foram escolhidas de modo que (gi j) avaliado em p seja amatriz identidade. Os autovalores da matriz (v, li j) serão chamados a curvatura principal k1, ...,km

de M no ponto p na direção normal v.Os recíprocos 1

k1, ..., 1

kmda curvatura principal, desde que estejam definidos, serão chamados

3.1. Variedades em espaço Euclideano 37

"raio principal de curvatura".Pode ocorrer que a matriz (v, li j) seja singular, neste caso alguns dos ki serão nulos, e portantoos correspondentes raios 1

kinão serão definidos. Seja

ℒ = p+ tv : v é um vetor unitário fixo em NpM, t ∈R

Lema 3.1. Os pontos focais de (M, p) ao longo de ℒ são exatamente os pontos p+k−1i v, onde

1 ≤ i ≤ m, ki ≠ 0. Assim temos no máximo m pontos focais de (M, p) ao longo de ℒ. Cada umdeles sendo contado com sua própria multiplicidade.

Demonstração. Desejamos provar que em

ℒ = p+ tv : v é um vetor unitário fixo em NpM, t ∈R

existem no máximo m valores críticos da aplicação E e cada um deles tem a forma p+ 1k1

v, ..., p+1

kmv para os ki ≠ 0, i = 1, ...,m.

De fato: Como dimM =m < n, é possível achar (n−m) campos vetoriais ortogonais unitários

w1(u1, ...,um), ...,wn−m(u1, ...,um)

ao longo da variedade M.Podemos introduzir coordenadas (u1, ...,um,t1, ...,tn−m) na variedade N ⊂ M×Rn como segue.Seja (u1, ...,um,t1, ...,tn−m) correspondente ao ponto

(x(u1, ...,um),n−m∑α=1

tα wα(u1, ...,um)) ∈N.

Logo a aplicaçãoE ∶N →Rn

da origem a seguinte correspondência

(u1, ...,um,t1, ...,tn−m) eÐ→ x(u1, ...,um)+n−m∑α=1

tα wα(u1, ...,um)).

Afirmação: O ponto p+tv ∈ℒ, p+tv= p+(1t )−1v é o ponto focal de (M, p) com multiplicidade

µ se, e somente se, a matriz

(gi j − tv ⋅ li j) (3.1)

é singular com nulidade µ .

Observe que as derivadas parciais de e são:

∂ e∂ui = ∂ x

∂ui +n−m∑α=1

tα ∂ wα

∂ui , i = 1,⋯,m

∂ e∂ tβ

= wβ , β = 1, ...,n−m(3.2)


Achemos a nulidade da matriz associada a aplicação

(dE)(p,tv) ∶ T(p,tv)N → Tp+tvRn

respeito das bases ∂

∂u1 , ...,∂

∂um ,∂

∂ t1 , ...,∂

∂ tn−m de T(p,tv)N e ∂ x∂u1 , ...,

∂ x∂um ,w1, ...,wn−m de Tp+tvRn,

isto é

∂ e∂u1 = (dE)(p,tv)(

∂

∂u1 ) =m∑i=1

ai1∂ x∂u1 +

n−m∑j=1

b j1w j

⋮ ⋮ ⋮∂ e

∂um = (dE)(p,tv)(∂

∂um ) =m∑i=1

aim∂ x∂ui +

n−m∑j=1

b jmw j

∂ e∂ t1 = (dE)(p,tv)(

∂

∂ t1 ) =m∑i=1

a′i1∂ x∂ui +

n−m∑j=1

b′j1w j

⋮ ⋮ ⋮∂ e

∂ tn−m = (dE)(p,tv)(∂

∂ tn−m ) =m∑i−1

a′i(n−m)∂ x∂ui +

n−m∑j=1

b′j(n−m)w j

Lembremos que o rank e a nulidade de uma matriz é igual ao rank e nulidade de sua transposta.Logo a matriz Jacobiana de E terá o mesmo rank da matriz:

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∂ e∂u1

∂ x∂u1 ⋯ ∂ e

∂u1∂ x

∂um∂ e

∂u1 w1 ⋯ ∂ e∂u1 wn−m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮∂ e

∂um∂ x∂u1 ⋯ ∂ e

∂um∂ x

∂um∂ e

∂um w1 ⋯ ∂ e∂um wn−m

∂ e∂ t1

∂ x∂u1 ⋯ ∂ e

∂ t1∂ x

∂um∂ e∂ t1 w1 ⋯ ∂ e

∂ t1 wn−m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮∂ e

∂ tn−m∂ x∂u1 ⋯ ∂ e

∂ tn−m∂ x

∂um∂ e

∂ tn−m w1 ⋯ ∂ e∂ tn−m wn−m

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Substituindo cada ∂ e∂ui ,

∂ e∂ t j de 3.2 obtemos

⎛⎜⎜⎝

( ∂ x∂ui ⋅ ∂ x

∂u j +n−m∑α=1

tα ∂ wα

∂ui ⋅∂ x∂u j ) (

n−m∑α=1

tα ∂ wα

∂ui ⋅ wβ )

0 I

⎞⎟⎟⎠

logo a nulidade da matriz JE(p,tv) é igual a nulidade do bloco superior esquerdo. Usando aidentidade

0 = ∂

∂ui (wα ⋅ ∂ x∂u j ) = ∂ wα

∂ µ i ⋅ ∂ x∂u j + wα ⋅ ∂

2x∂ui∂u j (3.3)

3.1. Variedades em espaço Euclideano 39

temos que:

( ∂ x∂ui ⋅

∂ x∂u j +

n−m∑α=1

tα ∂ wα

∂ui ⋅∂ x∂u j) = ( ∂ x

∂ui ⋅∂ x∂u j −

n−m∑α=1

tα wα ⋅∂ 2x

∂ui∂u j)

= (gi j −n−m∑α=1

tα wα ⋅ li j)

= (gi j − tv ⋅ li j)

isto demostra a afirmação.

Agora suponha que (gi j) é a matriz identidade. Então a matriz 3.1 é singular se, e somente se

det(gi j − tv ⋅ li j) = det(I 1t− v ⋅ li j) = 0

isto é 1t é um autovalor (ou curvatura principal) da matriz (v ⋅ li j). Além disso, a multiplicidade

µ é igual a multiplicidade de 1t como autovalor.

Como (gi j − tv ⋅ li j) é uma matriz de ordem m×m temos no máximo m autovalores. Então, daafirmação anterior concluímos que existem no máximo m pontos focais de (M, p) ao longo de ℒ.Com isso concluímos a prova do lema.

Seja p ∈Rn fixo, definamos a seguinte função suave

Lp = f ∶M→R por

f (x(u1, ...,um)) = ∏x(u1, ...,um)− p∏2 = x ⋅ x−2x ⋅ p+ p ⋅ p.

As derivadas parciais de f são∂ f∂ui = 2

∂ x∂ui ⋅(x− p) (3.4)

assim f tem ponto crítico em q se, e somente se ∂ x∂ui ⋅(q− p) = 0, isto é q− p ∈NqM.

Tomando a segunda derivada parcial em um ponto crítico de 3.3 com respeito a u j temos:

∂2 f

∂ui∂u j = 2( ∂ x∂ui ⋅ ∂ x

∂u j + ∂2x

∂ui∂u j ⋅(x− p)) (3.5)

Lema 3.2. O ponto q ∈ M é um ponto crítico degenerado de f = Lp se, e somente se, p é umponto focal de (M, q). A nulidade de q como ponto crítico é igual a multiplicidade de p comoponto focal.


Demonstração. Seja p = x+ tv para algum vetor unitário v ∈ NpM, logo substituindo em 3.4obtemos a seguinte matriz

∂ 2 f∂ui∂u j = 2( ∂ x

∂ui ⋅∂ x∂u j +

∂ 2x∂ui∂u j ⋅(−tv))

e usando a identidade 3.3 obtemos

∂ 2 f∂ui∂u j = 2(gi j − tv ⋅ li j)

logo o ponto q ∈M é um ponto crítico degenerado de f = Lp se, e somente se, a matriz anterior ésingular e pela afirmação anterior segue-se que p = q+ tv é um ponto focal de (M, q). A segundaparte do lema é clara.

Teorema 3.3. Para quase todo p ∈Rn a função

Lp ∶M→R

não tem pontos críticos degenerado.

Demonstração. Aplicação do corolário 3.2.

Corolário 3.4. Em qualquer variedade suave M existe uma aplicação suave com pontos críticosnão degenerados para a qual cada Ma é compacto.

Demonstração. Pelo teorema de Mergulho de Whitney temos que M pode ser mergulhadasuavemente como um conjunto fechado de R2m+1. Pelo Teorema anterior a aplicação suave

L p ∶M→R

não tem pontos críticos degenerados, para quase todo p ∈Rm. É claro que Ma = L−1p ((−∞,a⌋) é

compacto.

Aplicação Seja M uma variedade suave de dimensão m. Então, M tem o tipo de homotopia deum CW -complexo de dimensão no máximo m.

Demonstração. Pelo corolário 3.4 existe uma função diferenciável f ∶M→R com pontos críticosnão degenerados. Como Ma é compacto basta aplicar o teorema 2.14.

Lema 3.3. (Teorema do índice) O índice de Lp em um ponto não degenerado q ∈M é igual aonúmero de pontos focais de (M, q) os quais estão no segmento de p a q; cada ponto focal sendocontado com sua multiplicidade.

3.2. Teorema de Lefschetz em seções hiperplanas 41

Demonstração. Por definição, o índice de L p em um ponto crítico não degenerado q ∈ M é oíndice da matriz Hessiana de Lp

Hess(Lp) = (∂ 2Lp

∂ui∂u j)

no ponto q, isto é, o número de autovalores negativos de H(q).Na prova do 3.2 mostramos que

(∂ 2Lp

∂ui∂u j) = 2(gi j − tv ⋅ li j) .

Vamos assumir que (gi j) é a matriz identidade I. Agora, se λ é um autovalor de H(q), então

det((1−λ)I− tv ⋅ li j) = 0.

Como (1−λ)

t ≥ 1t ⇔ λ ≤ 0, então o número de autovalores negativos de H(q) é igual ao número

de autovalores de(v ⋅ li j) ≥

1t. (3.6)

Pela afirmação anterior temos que γ é um autovalor de (v ⋅ li j) se, e somente se, p+ 1γv é um

ponto focal de (M, p).Se γ ≥ 1

t então 0 ≤ 1γ≤ t ≤ 1 isto mostra que o ponto focal p+ 1

γv está no segmento de p a q. Logo

o número de autovalores de (v ⋅ li j) ≥ 1t é igual ao número de pontos focais de (M, q) os quais

estão no segmento de p a q.Finalmente de 3.6 concluímos que o índice de Lp em um ponto não degenerado q ∈ M é igualao número de pontos focais de (M, q) os quais estão no segmento de p a q. A segunda parte dolema é claro.

3.2 Teorema de Lefschetz em seções hiperplanasComo uma aplicação das ferramentas que foram desenvolvidas acima, provaremos um

resultado sobre a topologia de variedades algébricas.

Definição 3.4. Uma variedade Stein M de dimensão m é uma variedade complexa mergulhadabiholomorficamente como um subconjunto fechado de algum espaço Euclidiano Cn, para algumn >m.

Teorema 3.5 (Andreotti-Frankel [Andreotti e Frankel 1959]). Seja M ⊂ Cn uma variedadealgébrica afim não singular em Cn (Stein) com dimensão real 2m. Então

Hi(M,Z) = 0 para i >m.

O teorema anterior é uma consequência imediata do teorema abaixo.


Teorema 3.6. Toda variedade de Stein de dimensão m tem o tipo de homotopia de um CW -complexo de dimensão m.

Antes de provar o resultado acima vamos verificar algumas observações que serão úteis.

Observação. Consideremos uma forma quadrática de m variáveis complexas

Q(z1, ...,zm) =m∑

l, j=1bl jzlz j (3.7)

Se substituímos z j = x j + iy j e tomamos a parte real de Q obtemos uma forma quadrática real de2m variáveis.

Q′(x1, ...,xm,y1, ...,ym) = Re⎛⎝

m∑

l, j=1(xl +yl)(x j + iy j)

⎞⎠

=m∑

l, j=1(xlx j −yly j)

Afirmação 1 Se λ é um autovalor de Q′ com multiplicidade µ então −λ é também um autovalorcom mesma multiplicidade.

Demonstração. Notemos que

Q′(−y1,−y2, ...,−ym,x1, ...,xm) = −Q′(x1, ...,xn,y1, ...,ym)

e a matriz associada de Q′ tem a forma

(Q′⌋ =⎨⎝⎝⎝⎝⎪

A 00 A

⎬⎠⎠⎠⎠⎮,

onde

A =

⎨⎝⎝⎝⎝⎝⎝⎝⎝⎝⎪

b11 b12+b21 ⋯ b1m+bm1

b21+b12 b22 ⋯ b2m+bm2

⋮ ⋮ ⋯ ⋮bm1+b1m bm2+2m ⋯ bmm

⎬⎠⎠⎠⎠⎠⎠⎠⎠⎠⎮

.

Sendo λ um autovalor de Q′, então existe v = (x1, ...,xm,y1, ...,ym) ∈R2n tal que

(Q′⌋v = λv e portanto (Q′⌋v′ = (−λ)v′

onde v′ = (−y1, ...,−ym,x1, ...,xm). Logo segue a afirmação.

Afirmação 2 Os pontos focais de (M,q) ao longo de qualquer reta normal ℒ ocorre em pares osquais estão situados simetricamente em torno de q.

Não apresentaremos a prova por ser muito longa, mas uma ideia pode ser encontrada nareferéncia [Milnor 1963].


Demonstração. do teorema 3.6

Pelo Teorema 3.3 é possível escolher um ponto p ∈Cn tal que a aplicação distância ao quadrado

Lp ∶M→R

tem pontos críticos não degenerados, e como M é um subconjunto fechado de Cn, temos que

Ma = L−1p ((−∞,a⌋)

é compacto.

Pelo lema 3.3 o índice de Lp em um ponto crítico (não degenerado) é igual ao número de pontosfocais de (M,q) os quais estão no segmento de p a q. Como dimRM = 2m, então pelo lema 3.1existe no máximo 2k pontos focais ao longo de reta que passa por p e q e pela afirmação 2os pontos focais estão distribuidos simétricamente em torno de q, assim no máximo m pontos(focais) moram no segmento de p a q. Novamente pelo lema 3.3, o índice de Lp em q é ≤m.Finalmente aplicando o Teorema 2.14 segue-se que M tem o mesmo tipo de homotopia de umCW -complexo de dimensão m.

Teorema 3.7. (Lefschetz) Seja X uma variedade algébrica em Pn de dimensão m, e seja H umhiperplano de Pn o qual contém os possíveis pontos singulares de X . Então os homomorfismos

Hi(X ∩H)→Hi(X)

πi(X ∩H)→ πi(X)

induzido pela inclusão X ∩H X são:

1) bijetor para i <m−1,

2) sobrejetor para i =m−1.

Demonstração. passo 1Primeiro faremos a prova para os grupos de homologia. Consideremos a sequência exata longado par (X ,X ∩H)

⋯→Hi(X ∩H)→Hi(X)→Hi(X ,X ∩H)→Hi−1(X ∩H)→⋯

é suficiente mostrar que Hi(X ,X ∩H) = 0, para i ≤m−1.Tomando M = K = X e L = X ∩H no teorema de Dualidade de Lefschetz 2.5 temos a seguinteigualdade:

Hi(X ,X ∩H,Z) ≅H2m−i(X −(X ∩H),Z). (3.8)


Como X −(X ∩H) é uma variedade algébrica no espaço afim Pn−H, em particular, X −(X ∩H)é uma variedade de Stein. Então segue pelo Teorema 3.6 que

H2m−i(X −(X ∩H),Z) = 0 para i ≤m−1,

logo, de 3.8 temos que Hi(X ,X ∩H) = 0 para i ≤m−1. Se fizermos i =m−1 na sequência exatalonga anterior temos facilmente que o homomorfismo induzido

Hm−1(X ∩H,Z)→Hm−1(X ,Z)

é sobrejetor.

passo 2 Vamos deduzir a segunda parte do teorema provando que o grupo de homotopia deπi(X ,X ∩H) é trivial para 0 ≤ i ≤m−1.Por hipótese X −(X ∩H) é uma variedade suave de dimensão real 2m. Escolha p ∈Cn tal quea função Lp ∶ X −X ∩H →R não tem pontos críticos degenerados e defina a seguinte aplicaçãosuave

f ∶ X →R

f (x) =)⌉⌉⌋⌉⌉]

1Lp(x) se x ∈ X −(X ∩H)

0 se x ∈ X ∩H

É fácil ver que∂ 2 f (x)∂xi∂x j

= −1L2

p(x)∂ 2Lp(x)∂xi∂x j

+ 2L3

p

∂Lp(x)∂xi

⋅∂Lp(x)

∂x j.

Se q é um ponto crítico de Lp, então

∂ 2 f (q)∂xi∂x j

= −1L2

p(q)∂ 2Lp(q)∂xi∂x j

, isto é, Hess( f ) = −1L2

pHess(Lp).

Isto mostra que fora de (X ∩H), f somente tem pontos críticos não degenerados. Vimos que ospontos críticos de Lp tem índice ≤m, assim, a igualdade acima implica que os pontos críticos def tem índice ≥ 2m−m =m.Seja ε > 0 tal que f −1(ε) não contém nenhum ponto crítico de f fora do conjunto fechadoXε = f −1((0,ε⌋) (note que X ∩H ⊂ Xε) a aplicação f tem um número finito de pontos críticos,todos eles não degenerados com índice ≥m, logo, pelo teorema de Morse segue-se que X tem omesmo tipo de homotopia de Xε = f −1((0,ε⌋) com um número finito de células de dimensão≥m atachado.Em particular temos que

πi(Xε ,X ∩H)→ πi(X ,X ∩H) é uma bijeção para i ≤m−1. (3.9)

Agora vamos usar o seguinte fato:

Proposição 3.8. (As variedades algébricas são retrato por deformação de vizinhanças.) Existeuma vizinhança aberta U ⊂ X de X ∩H que é um retrato por deformação de X ∩H.


Escolhamos um ε > 0 como acima, suficientemente pequeno tal que Xε ⊆U , onde U é umavizinhança aberta dada pela proposição anterior.Considerando o seguinte diagrama comutativo

πi(Xε ,X ∩H) //

≅ ((

πi(U,X ∩H)

vvπi(X ,X ∩H)

temos os seguintes fatos: por 3.9, a aplicação diagonal na esquerda é um isomorfismo parai ≤m−1, e da proposição anterior segue-se que πi(U,X ∩H) = 0.Como o diagrama é comutativo segue-se que πi(X ,X ∩H) = 0, para 0 ≤ i ≤m−1.Agora considerando a sequência exata de homotopia do par (X ,X ∩H):

⋯→ πi(X ∩H)→ πi(X)→ πi(X ,X ∩H)→ πi−1(X ∩H)→⋯

facilmente temos que πi(X ∩H) é isomorfo a πi(X) para i <m−1 e sobrejetor no nível m−1.

Da prova do teorema anterior, segue-se imediatamente o seguinte

Corolário 3.9. O par (X ,X ∩H) é (m−1)-conexo.

O caso especial em que V é uma variedade algébrica de codimensão 1 em Pn+1, o teorema deLefschetz pode ser aplicado para calcular os grupos de homotopia e homologia em dimensõesbaixas.De fato, sabemos que Pn+1 pode ser mergulhado em Pm para m suficientemente grande, entãosuponha que V é da forma

V = (z0 ∶ ⋯ ∶ zn+1⌋ ∈ Pn+1 ∶ F(z0, ...,zn+1) = 0

onde F é um polinômio homogêneo de grau d. É possível ver a variedade V como um hiperplanoH em Pm no seguinte sentido.Seja F0, ...,Fm a base canônica de monômios de grau d

Fi = zdi,00 ⋯zdi,n+1

n+1 , di,0+ ...+di,n+1 = d.

Definamos o seguinte mergulho conhecido como mergulho de Veronese

Σ ∶ Pn+1→ Pm

porΣ(z) = (F0(z) ∶ ⋯ ∶ Fm(z)⌋.

É possivel mostrar que Σ(V) é uma variedade algébrica chamada variedade de Veronese. Noteque V pode ser escrito na forma

V = (z0, ...zn+1⌋ ∈ Pn+1 ∶ a0F0+ ...+amFm = 0


logo fazendo Zi = Fi(z0, ...zn+1) temos

Σ(V) = (Z0 ∶ ⋯ ∶ Zm⌋ ∈ Pm ∶ a0Z0+ ...+amZm = 0

o qual é um hiperplano em Pm.

Corolário 3.10. Se V é uma subvariedade algébrica de codimensão 1 em Pn+1, então a aplicaçãoinclusão V Pn+1 induz os isomorfismos

Hi(V,Z) ≅Hi(Pn+1,Z) , πi(V) ≅ πi(Pn+1) para i < n.

Demonstração. Pelo visto acima é suficiente tomar X = Pn+1 e H =V e aplicar o teorema deLefschetz.

Calculando explicitamente os grupos de homologia e homotopia do espaço projetivo Pn+1

segue-se de 3.10 que

Hi(V,Z) =)⌉⌉⌋⌉⌉]

Z, para i par e i ≠ n

0, para i impar e i ≠ n

πi(V) =)⌉⌉⌋⌉⌉]

0, para i < n e i ≠ 2Z, caso contrário.

47

CAPÍTULO

4ESTRUTURA DE CONJUNTOS

SEMI-ALGÉBRICOS

Neste capítulo enunciaremos o primeiro e segundo teorema de estrutura que serãoimportantes para comprender o teorema de Triangularização de conjuntos semi-algébricos.Como uma aplicação provaremos o lema de seleção da curva caso local e global. As principaisreferências são [Coste 2002] e [Benedetti e Risler 1990].

4.1 Primeiro teorema de estrutura

Teorema 4.1. [Primeiro teorema de estrutura] Seja X um conjunto semi-algébrico em Rn,escrevemos Rn =Rn−1×R com coordenadas (x = (x1, ...,xn−1),t). Então

1) X tem um número finito de componentes conexas e cada componente é semi-algébrica.

2) Existe uma partição finita I de Rn−1 em conjuntos semi-algébricos conexos tais que, paracada A ∈ I, definimos

f Ak ∶ A→R (R =R∪−∞,+∞)

k = 0,1, ...,sA,sA+1 tal que

a) f A0 ≡ −∞, f A

sA+1 ≡ +∞.

b) f Ak ∶ A→R, k = 1, ...,sA são funções contínuas e para cada x ∈ A,

f Ak (x) < f A

k+1(x).

c) Todos os conjuntos da forma ℬ (tipo "faixa")

(x,t) ∈Rn ∶ x ∈ A, f Ah (x) < t < f A

h+1(x), h = 0,1, ...,sA

ou 𝒢 (tipo gráfico)

(x,t) ∈Rn ∶ x ∈ A,t = f Ah (x), h = 0,1, ...,sA

48 Capítulo 4. Estrutura de conjuntos semi-algébricos

são semi-algébricos.

d) A coleção de todos os conjuntos definidos em iii) formam uma partição de Rn; asub-coleção daqueles conjuntos contidos em X fazem uma partição de X .

Uma prova deste teorema pode ser encontrada em [Benedetti e Risler 1990].

4.1.1 Aplicação do primeiro teorema de estrutura

Teorema 4.2. [Tarski-Seidenberg] Seja f ∶X →Y uma aplicação semi-algébrica. Então a imagemf (X) ⊆Y é um conjunto semi-algébrico.

Demonstração. Como f é semi-algébrica, temos que graf( f ) = (x, f (x)) ∶ x ∈ X ⊂Rn×Rm éum conjunto semi-algébrico.

Sejam π ∶Rn×Rm→Rm a projeção na segunda coordenada. Note que π(graf( f )) = f (X).Logo, é suficiente provar que a projeção é uma aplicação semi-algébrica.

Afirmação. Seja V um conjunto semi-algébrico em Rn+m, então π(V) é semi-algébrico.

Provaremos a afirmação por indução sobre n.Para n = 1.V é um conjunto semi-algébrico em Rm+1 =Rm×R, pelo primeiro teorema de estrutura, temosque existe uma partição I de Rm+1 em conjuntos semi-algébricos tais que V é união finita

V =⋃λ

Cλ

onde cada Cλ é um conjunto semi-algébrico da forma ℬ ou 𝒢 sobre algum Aλ ∈ I, sendo I umapartição de Rm em conjuntos semi-algébricos.Não é dificil provar que

π(V) =r⋃λ=1

Aλ

portanto π(V) é um conjunto semi-algébrico.

Suponhamos que o teorema é válido para n−1. Identificando Rn×Rm com Rn−1×Rm+1, consi-deremos as projeções:

π′ ∶Rn−1×Rm+1→Rm+1 e π

′′ ∶Rm+1→Rm

Claramente temos que π = π ′′ π ′, logo pela hipótese indutiva π ′(V) é um conjunto semi-algébrico em Rm+1 e pela primeira parte π(V) = π ′′(π ′(V)) é semi-algébrico em Rm.

Proposição 4.3. Seja X um conjunto semi-algébrico em Rn. Então o fecho X de X , seu interior

X e sua fronteira CX ∩X são semi-algébricos.

4.2. Segundo teorema de estrutura 49

Exemplo 4.1. Sejam X ⊆Rn e Y ⊆Rm conjuntos semi-algébricos.

1) A composição de aplicações semi-algébricas é semi-algébrica;

2) h = (h1, ...,hm) ∶ X → Y é semi-algébrica se, e somente se, as aplicações hi são semi-algébricas;

3) Se f ∶ X → Y é uma aplicação semi-algébrica com f (x) ⇑= 0, ∀ x ∈ X então 1⇑ f é semi-algébrica;

4) Se f ∶ X →Y é uma aplicação semi-algébrica então ⋃ f ⋃ é uma aplicação semi-algébrica.

4.2 Segundo teorema de estrutura

Definição 4.1. Uma estratificação de um conjunto E de Rn é uma partição Aii∈I de E tal que:

1) Cada Ai, chamado estrato de E, é uma subvariedade analítica real localmente fechada emRn.

2) Se Ai∩A j ⇑=∅, então A j ⊆ Ai e dimA j < dimAi (condição de fronteira).

Dizemos que a estratificação é finita se existe um número finito de estratos e que, a partição ésemi-algébrica se cada estrato é um conjunto semi-algébrico.

Definição 4.2. 1) Um algoritmo de separação para R(X1, ...,Xn⌋ é um algoritmo, o qualestende qualquer família finita de polinômios P1, ...Pr ⊆R(X1, ...,Xn⌋ a uma familia

P1, ...,Pr,Pr+1, ...,Pk

tal que:

a) Qualquer conjunto semi-algébrico elementar definido por P1, ...,Pk; isto é, qualquerconjunto da forma

X =k⋂j=1x ∈Rn ∶ Pj(x) s j 0, s j ∈ >,=,<,

é conexo.

b) O fecho X de todo conjunto elementar X é obtido relaxando as desigualdades; isto é,

X =k⋂j=1x ∈Rn ∶ Pj(x) s j 0,

onde s j = “ = ” se s j = “ = ” e s j = “ ≥ ”(“ ≤ ”) se s j = “>”(<).


2) Um algoritmo de separação estratificado é um algoritmo de separação tal que, paracada familia de separação de polinômios produzido pelo algoritmo, todos os conjuntoselementares definido por tal família fazem uma estratificação de Rn.

Teorema 4.4. [Segundo teorema de estrutura] Dado n ∈N, existe um algoritmo de separaçãoestratificado para

R(X1, ...,Xn⌋.

4.2.1 Outras propriedades do algoritmo de separação estratificado

Listaremos abaixo algumas propriedades que serão úteis na prova da existência detriangulação de conjunto semi-algébrico

1) O algoritmo acima produz a seguinte estratificação:considererando

Rn ⊇Rn−1 = xn = 0 ⊇Rn−2 = xn = xn−1 = 0 ⊇⋯ ⊇R

Rn πn−1→ Rn−1 πn−2→ Rn−2→⋯→R.

temos que:

a) Para todo estrato S de R j, π j−1(S) é um estrato de R j−1 e π−1j (S) é união de estratos

de R j+1.

b) Todo estrato de R j é da forma ℬ, ou da forma 𝒢 sobre algum estrato de R j.

c) O estrato de R j são conjuntos elementares da familia de polinômios de separação,cada um com coeficiente principal constante com respeito a X j.

2) Cada estrato de R j de dimensão d é homeomorfo a Bd = y ∈Rd; ⋃y⋃ < 1, através de umhomeomorfismo semi-algébrico.

3) Se B é um estrato de R j de tipo 𝒢 sobre A = π j−1(B) e C é um estrato contido no fecho deB de B, então C é de tipo 𝒢 sobre D = π j−1(C) e D ⊆ A.

4) Na hipótese de 3) seja

B = (x,y) ∶ x ∈ A,y = f (x)

C = (x,y) ∶ x ∈D,y = g(x)

então f estende a uma função contínua f definido em A e f ⋃D = g.

5) Seja B como em 3) e 4). Assume que A ⊆ S, com S sendo um estrato de R j−1. Então existeum estrato T de tipo 𝒢 sobre S,

T = (x,y) ∶ x ∈ S,y = h(x)

tal que B ⊆ T .

4.3. Decomposição celular e triangulação de conjuntos semi-algébricos 51

Corolário 4.5. Cada conjunto semi-algébrico X tem uma estratificação semi-algébrica finita.

Corolário 4.6. [Teorema de Sard-Versão semi-algébrica] Seja M ⊆ Rn uma variedade semi-algébrica suave. Seja f ∶M→R uma aplicação suave semi-algébrica. Defina

C = x ∈M, rank(d f )x = 0

S = f (C)

Então S é um conjunto finito em R.

4.3 Decomposição celular e triangulação de conjuntossemi-algébricos

Notação

Bd = x ∈Rd ∶ ⋃x⋃ ≤ 1 é a célula unitária de dimensão d

Sd−1 = x ∈Rd ∶ ⋃x⋃ = 1 é o bordo de Bd

Bd = Bd/Sd−1 é a célula aberta de dimensão d

Seja X ⊆Rn um subconjunto de Rn com a topologia induzida e seja𝒞 = Cq

j ∶ q ∈ 1, ...,k; j ∈ Jq uma familia de subconjuntos fechados de X . Para cada Jq =1, ...,hq definamos os conjuntos

X−1 =∅, Xq = Cpj ∶ j ∈ Jp, p ≤ q

Fqj = ⋃

C∈Xq−1Cq

j ∩C


Definição 4.3. (Decomposição celular complexa)Dizemos que a família 𝒞 dada anteriormente é uma decomposição celular complexa de X severifica o seguinte:

1) (Cpi /F

pi )∩(C

qj /F

qj ) ≠∅ se, e somente se i = j, p = q.

2) Para cada Cqj , existe uma aplicação contínua

Φqj ∶ B

q→ X tal que

a) Φqj(Sq−1) = Fq

j (onde S−1 =∅);

b) Φqj ⋃Bq é um homeomorfismo sobre Cq

j /Fqj

Φqj é chamada aplicação característica de Cq

j , e Cqj /F

qj é chamada uma q-célula da decom-

posição. Xq é chamado q-esqueleto de X .

Dizemos que 𝒞 é uma decomposição celular semi-algébrica se X e Cqj são conjuntos semi-

algébricos e Φqj , Φ

qj ⋃Bq são aplicações semi-algébricas, sendo Φ

qj ⋃Bq um homeomorfismo.

Teorema 4.7. Seja X um conjunto compacto semi-algébrico de Rn e seja S uma estratificação deX (qualquer) obtida aplicando o algoritmo 4.4 na familia de polinômios de alguma representaçãode X (veja 4.5). Então S pode ser considerado de uma forma natural como uma decomposiçãocelular semi-algébrica de X , de tal maneira que o fecho de cada célula é uma união de células dedimensão menor.

De fato, seguindo a referência de [Benedetti e Risler 1990] é suficiente mostrar que a decomposi-ção celular de X é um sistema de decomposições para:

X = Xn,Xn−1 = πn−1(Xn), ...,X j = π j π j+1 ...πn− j(X)

compativel com a projeção. Ver detalhes na referência citada acima.

Teorema 4.8. (Triangulação de conjunto semi-algébrico) Seja X um conjunto semi-algébricocompacto em Rn, e seja W1, ...,Wr uma partição finita de X por subconjuntos semi-algébricos.Então existe uma triangulação semi-algébrica

F ∶ X → ⋃K⋃

tal que:

1) ⋃K⋃ é um poliedro de Rn e cada Wi é uma união de algum F−1(S j), com S j ∈K = S1, ...,Sk;

2) F−1(S j) j=1,...k formam uma estratificação de X ;


3) Para cada j, F ⋃ ∶ F−1(S j) → S j é um difeomorfismo real analítico de variedades reaisanalítica.

Demonstração. Seja P1, ...,Pr⊂R(X1, ...,Xn⌋ a familia de polinômios de alguma representaçãofixa de X e Wi, i = 1, ...,r. Aplicando o algoritmo 4.2 a esta familia obtemos uma estratificaçãosemi-algébrica finita de X , e como X é compacto, pelo teorema 4.7 obtemos uma decomposiçãocelular semi-algébrica de X .Seja

X = Xn, Xn−1 = πn−1(Xn), ...,X j = π j π j+1 ...πn−1(X), ...

pela continuidade de π j cada X j é compacto, assim, novamente pelo teorema 4.7 temos que asestratificações semi-algébricas de cada X j, obtidas pelo teorema 4.4 são decomposicões celularespara cada X j além disso, são compatíveis com as projeções no sentido 4.2.1 1).Vamos construir, para cada j, uma triangulação Fj ∶ X j → ⋃K j⋃ tal que:

1′) ⋃K j⋃ é um poliedro de R j e a triangulação induz uma subdivisão da composição celular deX j.

2′) A triangulação semi-algébrica Fj satisfaz 2) e 3) (relativo a X j) da afirmação do teorema4.8.

3′) Fj será compatível com as projeções no seguinte sentido. Suponha que a mesma "flag"

Rn ⊇Rn−1 ⊇⋯ ⊇R

é fixada em outra cópia de Rn, com as projeções π j ∶R j+1→R j (como em 4.7), então cada⋃K j⋃ é um poliedro de R j e o seguinte diagrama comuta.

X jFj //

π j−1

⋃K j⋃π j−1

K j−1 Fj−1// ⋃X j−1⋃

Provaremos por indução sobre j. Para j = 1. Todo conjunto semi-algébrico compacto em Rpodemos escrever como união finita de pontos e intervalos abertos limitados. Como todo sim-plexo aberto em R é tambem um ponto ou um intervalo, podemos tomar ⋃K⋃ = X e F = IdX etrivialmente se verifica 1), 2) e 3).

Suponha que tenhamos construído F1, ...,Fj−1 que satisfaçam 1′), 2′) e 3′). Seja K j−1 =T1, ...,Tho complexo simplicial finito em R j−1, para cada Ti definida T ′

i = F−1j−1(Ti). Dizemos que T ′

s éuma face de T ′

r se Ts é uma face de Tr.


Observação 4.1. Por hipótese de indução temos que T ′i h

i=1 fazem uma subdivisão da decom-posição celular de X j−1 então para cada i = 1, ...,h e por 1) de 4.2.1, segue-se que π−1

j−1(T ′i )∩X j

é estratificado por conjuntos da forma ℬ ou 𝒢 sobre T ′i . Além disso a decomposição T ′

i hi=1

satisfaz as propriedades 3), 4) e 5) de 4.2.1.

Finalmente, mediante uma subdivisão baricéntrica de “Fj−1” podemos assumir o seguinte.

Lema 4.1. Seja Bu = (x,y) ∈R j =R j−1×R ∶ X ∈ T ′i ,y = fu(x), u = 1,2, conjuntos distintos do

tipo 𝒢 sobre T ′i . Sejam fu ∶ Ti→R extensões como em 4) de 4.2.1. Em qualquer uma situação,

existe um "vértice" v0 de T ′i (isto é uma face zero-dimensional de T ′

i ) tal que f1(v0) ≠ f2(v0).

Agora estamos prontos para construir uma triangulação

Fj ∶ X j → ⋃K j⋃

Fixemos uma ordem no conjunto de vértices de X j−1 e seja T um simplexo fixo de dimensão d

em K j−1. Como X é compacto, então:

X j ∩π−1j−1(T

′) =k⋃r=1

Er

onde Er é da formaEr = (x,y) ∈R j ∶ x ∈ T ′, fr(x) ≤ y ≤ fr+1(x)

e f1, ..., fk−1 ∶ T ′→R, tal que f1 < ... < fk−1

Provaremos que cada Er é triangularizavel de maneira compativel, isto é, desejamos que atriangulação cumpra 3′) da descrição anterior.Por simplicidade escolhemos um dos Er e denotamos E = Er, f = fr e g = fr+1.


Seja vo, ...,vd os vértices de T ′ tomando uma ordem fixo e seja as = f (vs), bs = g(vs) denotaremoscom (t0, ...,td) as "coordenadas baricéntricas" sobre T ′ (obtido das coordenadas baricéntricasdo simplexo T mediante Fj−1).Definamos

FE ∶ E →R j

por

FE(x,y) = (Fj−1(x),H(x,y))

onde

H(x,y) = ( y− f (x)g(x)− f (x)

)d∑i=0

tibi+(g(x)−y

g(x)− f (x))

d∑i=1

tiai

x ∈ T ′ e y ∈ ( f (X),g(x)⌋

Observação 4.2.

a) Note que FE é bem definida pois g < f em T ′.

b) FE mapeia o grafico de f (respectivamente de g) sobre T ′ no simplexo (aberto) de R j,

A = (z0, ...,zd) onde zi = (vi,ai) (respectivamente B = (q0, ...,qd) onde ql = (vl,bl)).De fato, seja (x,y) ∈ gra f ( f ) então y = f (x) e x ∈ T ′, logo

FE(x, f (x)) = (Fj−1(x),H(x, f (x)))

onde Fj−1(x) ∈ T e H(x, f (x)) =d∑i=1

tiai

Assim FE(x, f (x)) ∈ A.


c) Para cada x ∈ T ′, FE mapeia o intervalo ((x, f (x)),(x,g(x))⌋ em π−1j−1(x) sobre o intervalo

entre os simplexos A e B na linha π−1j (Fj−1(x)).

De fato, Seja x ∈ T ′ e seja z ∈ ((x, f (x)),(x,g(x))⌋ então

z = (1− t)(x, f (x))+ t(x,g(x)), algum t ∈ (0,1⌋

= (x,(1− t) f (x)+ tg(x))

H(x,(1− t) f (x)+ tg(x)) = td∑i=0

tibi+(1− t)∑tiai

Logo

FE(x) = FE(x,(1− t) f (x)+ tg(x))

= (Fj−1(x),td∑i=0

tibi+(1− t)d∑i=0

tiai)

então FE(z) ∈ ⌊(Fj−1(x),d∑i=0

tibi) ,(Fj−1(x),d∑i=0

tiai) ⊂ π−1j (Fj−1(x))

d) E claro que FE é uma aplicação cotínua semi-algébrica.

Agora dividamos FE(E) considerando todos os (d+1)-simplexos em R j da forma(z0, ...zm,qm, ...qd), com zm ≠ qm e todas suas caras contido em FE(E).

Denotemos por KE a familia de simplexos obtido acima, assim podemos considerar FE

como uma "triangulação parcial"

FE ∶ E → ⋃KE ⋃.

4.4. Aplicações do teorema da triangulação de conjuntos semi-algébricos 57

Afirmamos que tomando a união de todos os FE , e variando E e T obtemos uma triangulaçãoglobal:

Fj → ⋃K j⋃ ⊆R j.

A prova da afirmação segue-se notando que temos respeitado na definição de cada FE um ordemfixo nos vértices de K j e usamos a definição explícita de FE e as propriedades 3), 4) e 5) de4.2.1.Em particular, usando 4) e 5), e considerando os límites de H(x,y) onde as coordenadasbaricéntricas tende para zero, vemos que Fj e bem definida e continua e que cada simplexo dedimensão d < dimX j é uma face do simplexo de dimensão d+1.

4.4 Aplicações do teorema da triangulação de conjuntossemi-algébricos

Observação 4.3. Consideremos o seguinte homeomorfismo h ∶ Rn → Bn definido por h(x) =x

1+ ⋃x⋃. Observemos que h é uma aplicação semi-algébrica, pois

graf(h) = (x,y) ∈R2 ∶ y(1+ ⋃x⋃) = x

é claramente um conjunto semi-algébrico.

Seja X um conjunto semi-alébrico em Rn (X não necessariamente um conjunto compacto) e sejaX ′ = h(X), fecho de h(X) em B

n.

Aplicando o teorema da triangulação a X ′ com respeito a partição h(X),X ′∖h(X) (observeque h(X) e X ′ são conjuntos semi-algébricos) obtemos uma triangulação de X ′ tal que h(X) ≈ X

é união de simplexos.

4.4.1 Uma versão do Lema de Seleção da Curva.

Como aplicação do Teorema da Triangulação provaremos uma versão de um lemaconhecido como "Lema de Seleção da Curva".

Lema 4.2. Seja X ⊆ Rn um conjunto semi-algébrico, x0 ∈ X . Então existe uma função semi-algébrica contínua f ∶ (0,1⌋→Rn tal que

1) f (0) = x0,

2) f ⋃(0,1⌋ é analítica e

3) f ((0,1⌋) ⊆ X .


Demonstração. Pela observação anterior, podemos assumir que X é um conjunto compacto.Observe também que x0,X∖(X∪x0),X∖x0 é uma partição finita de X por subconjuntossemi-algébricos. Logo pelo teorema da triangulação existe uma triangulação semi-algébrica

F ∶ X → ⋃K⋃

tal que

• K = T1,T2...,Tk

• X ∖x0 =⋃j∈L

F−1(Tj), L ⊂ 1, ...,k

• x0 = F−1(Ti), para algum i ∈ 1, ...,k

Logo temos que Ti é necessariamente um simplex 0-dimensional (um ponto) e existe um simplexoT = Tj, algum j ∈ L com um vértice Ti = F(x0). Assim, existe um T ∈K tal que T ⊆ F(X ∖x0)onde F(x0) é um vértice de T .Fixemos um ponto y0 ∈T e definamos f ′ ∶ (0,1⌋→ ⋃K⋃ como f ′(x) = (1−t)F(x0)+ty0. Facilmentese verifica que f ′ satisfaz as seguintes condições:

a) f ′(0) = F(x0)

b) f ′⋃(0,1⌋ é analítica

c) f ′((0,1⌋) ⊆ T

De 3) do teorema da triangulação, temos que

F ⋃ ∶ F−1(T)→ T

é um difeomorfismo real analítico de variedade real analítica. Logo tomando a composiçãof = F−1 f ′ obtemos uma função semi-algébrica contínua

f ∶ (0,1⌋→Rn

tal que:

1) f (0) = F−1 f ′(0) = F−1(F(x0)) = x0;

2) f ⋃(0,1⌋ é analítica, composição de aplicações analíticas em (0,1⌋;

3) f ((0,1⌋) = F−1( f ′((0,1⌋)) ⊂ F−1(T) ⊂ X .

4.4. Aplicações do teorema da triangulação de conjuntos semi-algébricos 59

Observação 4.4. Uma versão mais forte do Lema de Seleção da Curva (local) é provado porJohn Milnor em [Milnor 1968]. Ele demonstra que a aplicação f é analítica real no intervalofechado (0,1⌋, o que faz que o lema seja muito útil, por exemplo, ele é usado para provar oTeorema da fibração de Milnor (no caso local). Em nossa situação, a versão provada acima ésuficiente para provar o Lema da Seleção da Curva (global) e esse, por sua vez, é usado paraprovar o Teorema da fibração de Milnor Global.

Lema 4.3 (Seleção da curva global [Némethi e Zaharia 1992]). Seja f1, ..., fq,g1, ...,gs,h1, ...,hr ∈R(X1, ...,Xn⌋ aplicações polinomiais com coeficientes reais, seja

U = x ∈Rn ∶ fi(x) = 0, i = 1, ...,q e

W = x ∈Rn ∶ gi(x) > 0, i = 1, ...,s.

Suponha que exista uma sequência (xk)k ⊆U ∩W tal que limk→+∞

∏xk∏=+∞ e para todo j ∈ 1, ...,r,

limk→+∞

h j(xk) = 0. Então existe uma curva real analítica p ∶ (0,ε)→U ∩W com

limt→0

∏p(t)∏ =∞, limt→0

h j(p(t)) = 0, para 1 ≤ j ≤ r.

Demonstração. Definamos a seguinte aplicação suave

ϕ ∶Rm→Rm+1×Rr por

ϕ(x) = (y,z)

onde

x = (x1, ...,xm) , y =⎛⎝

x1⌈1+∏x∏2

, ...,xm⌈

1+∏x∏2,

1⌈1+∏x∏2

⎞⎠∈ Sm e z = (h1(x), ...,hr(x)).

Não é dificil provar que ϕ é um mergulho. Consideremos a sequência ϕ(xk) = (yk,zk), onde(yk)k ⊆ Sm,(zk)k ⊆Rr. Observamos que zk→ 0 quando k→+∞ pois pela hipótese lim

k→+∞h j(xk)= 0,

tambem pela compacidade de Sm podemos supor que ϕ(xk)→ (y0,0) ∈ Sm×Rr quando k→ +∞.

Vejamos que ϕ é uma aplicação semi-algébrica. De fato, observe que

graf(ϕ) = (x,(y,z)) ∈Rm+1×Rr ∶ ϕ(x) = (y,z),

portanto podemos escrever da seguinte forma

graf(ϕ) =

)⌉⌉⌉⌉⌉⌋⌉⌉⌉⌉⌉]

(x,(y,z)) ∈Rm+1×Rr ∶ yi⌈

1+∏x∏2 = xi, i = 1, ...,mym+1

⌈1+∏x∏2 = 1

z j = h j(x), j = 1, ...,r

[⌉⌉⌉⌉⌉⌈⌉⌉⌉⌉⌉⌊Assim concluimos que ϕ é uma aplicação semi-algébrica.Pelo Teorema de Tarski-Seidenberg U1 = ϕ(U ∩W) ⊂Rm+1×Rr é um conjunto semi-algébrico e(y0,0) ∈U1. Logo pelo lema da seleção da curva existe uma curva analítica real

⧹p ∶ (0,ε)→Rm+1×R tal que


1) ⧹p(0) = (y0,0)

2) ⧹p((0,ε)) ⊆U1 com ε ∈ (0,1⌋

Como ϕ ∶Rm→Rm+1×Rr é um mergulho então ϕ ∶Rm→ ϕ(Rm) é um difeomorfismo. Logo,tomamos a composição

p = (ϕ ⋃U∩W )−1 ⧹p ∶ (0,ε)→U ∩W,

temos uma curva real analítica. Se verifica facilmente que

limt→0

∏p(t)∏ = 0 e limt→0

h j(p(t)) = 0, para 1 ≤ j ≤ r.

61

CAPÍTULO

5GRAU DE CONEXIDADE DA FIBRA

GENÉRICA

Em [Milnor 1968] John Milnor estudou a topologia da singularidade de funções poli-nomiais holomorfas f ∶Cn+1→C, com f (0) = 0 através de uma fibração localmente trivial empequenas esferas em torno da singularidade. Para isso ele considerou a projeção

φ ∶ S2n+1ε /Kε → S1

φ(z) = f (z)∏ f (z)∏

(5.1)

para ε > 0 suficientemente pequeno, onde S2n+1ε = z ∈Cn+1 ∶ ∏z∏ = ε, S1 é a esfera unitária em

C, Kε = S2n+1ε ∩ f −1(0) é conhecido como o link da singularidade e Fθ = φ−1(eiθ) é chamado a

fibra de Milnor de f .Com a notação acima o teorema da fibração é enunciado da seguinte forma:

Teorema 5.1 (Teorema da Fibração de Milnor [Milnor 1968]). Seja f ∶ (Cn+1,0)→ (C,0) umgerme de função holomorfa. Então, para ε > 0 suficientemente pequeno, a aplicação

φ ∶ S2n+1ε /Kε → S1 dada por φ(z)→ f (z)

∏ f (z)∏

é a projeção de um fibrado suave localmente trivial.

5.1 Topologia da fibra e do link no caso localMilnor faz uso da teoria de Morse para obter informações sobre a topologia da fibra Fθ

e do link Kε associados a uma função polinomial complexa que se anula na origem. Entre osresultados mais importantes temos:

62 Capítulo 5. Grau de conexidade da fibra genérica

Teorema 5.2. Dada f ∶ (Cn+1,0)→ (C,0) germe de função holomorfa, temos:

1) A fibra Fθ tem o tipo de homotopia de um CW -complexo finito de dimensão (no máximo)n.

2) O link Kε =V ∩Sε é (n−2)-conexo.

3) Se o número complexo c ≠ 0 tem módulo suficientemente pequeno, então a hipersuperficiecomplexa f −1(c) intercepta a bola aberta de raio ε numa variedade suave difeomorfa àfibra Fθ .

Se em nossa hipótese pedimos que a origem seja um ponto crítico isolado, é possível conhecer ograu de conexidade da fibra Fθ como afirma o seguinte resultado:

Teorema 5.3. Dada f ∶ (Cn+1,0)→ (C,0) como acima. Então:

1) Para ε suficientemente pequeno, o fecho de cada fibra Fθ em Sε é uma variedade suavede dimensão real 2n com bordo. O interior dessa variedade diferenciável é Fθ e o bordo éprecisamente K.

2) Cada fibra é uma variedade Stein e tem o tipo de homotopia de um buquê Sn∨ . . .∨Sn deesferas. O número de esferas no buquê é chamado o número de Milnor da singularidade.

Um resultado mais geral que nos permite calcular o grau de conexidade da fibra no caso local éo teorema de Kato-Matsumoto [Kato e Matsumoto 1973] que é enunciado na seguinte forma.

Teorema 5.4. Seja U ⊂Cn+1 um subconjunto aberto de Cn+1, e seja 0 ∈V um ponto crítico deuma função holomorfa f ∶U → C. Suponha que s = dimC,0∑( f ) é a dimensão complexa dogerme do conjunto crítico ∑( f ) em 0. Então a fibra de Milnor Fθ é (n− s−1)-conexa.

A importância do teorema reside em dois pontos importantes:

1) O resultado mostra uma clara conexão entre a dimensão do conjunto singular e o grau deconexidade da fibra;

2) Este grau de conexidade é ótimo, como mostra o exemplo abaixo.

Exemplo 5.1. Sejaf (z1,z2,z3,z4) = (z1z2)2+ z2

3+ z24.

Vamos calcular o grau de conexidade da fibra Fθ associada a f . Facilmente vemos que o conjuntosingular de f é:

∑( f ) = (z1,0,0,0) ∶ z1 ∈C∪(0,z2,0,0) ∶ z2 ∈C

logo dimC,0∑( f ) = 1.

5.2. Classes especiais de funções 63

Por outro lado, observamos que f é um polinômio quase homogêneo do tipo (x1,x2,x3,x4) =(4,4,2,2) (ver definição em 2.21). Pelo lema 9.4 [Milnor 1963] a fibra Fθ é difeomorfa à fibragenérica f −1(1).Considere f da seguinte forma:

f (z1,z2,z3,z4) = g(z1,z2)+h1(z3)+h2(z4)

onde g(z1,z2) = (z1z2)2, h1(z3) = z23 e h2(z4) = z2

4 são polinômios homogêneos. Pelo Teorema2.10, temos que

f −1(1) ≡ g−1(1)∗h−11 (1)∗h−1

2 (1).

Não é difícil ver que g−1(1) é difeomorfa a C∗∪C∗ e este último tem o mesmo tipo de homotopiade S1∪S1.

Como h−1i (1) = ±1, pelo exemplo 2.5 e da associatividade do produto join concluimos que:

Fθ ≡ (S1∪S1)∗S1.

Agora, aplicando a proposição 2.7 obtemos que Fθ é 1-conexo.

Vamos verificar abaixo que a fibra não é 2-conexo. De fato. Pelo teorema de Hurewicz 2.6,obtemos:

π2(Fθ) ≅ H2(Fθ) = H2((S1∪S1)∗S1).

Finalmente, pelo teorema 2.9 e tendo em conta os grupos de homologia reduzida da esfera(exemplo 2.4), resulta que π2(Fθ) ≠ 0. Isto é, Fθ não é 2-conexo.

Observação 5.1. O exemplo acima pode ser generalizado considerando a seguinte função:

f (z1, ...,zn+1) = (z1z2)2+ ...+(z2k−1z2k)2+ z22k+1+ ...+ z2

n+1.

Usando a ideia do exemplo anterior, é fácil ver que dimC,0∑( f ) = k e sua fibra de Milnor

Fθ ≡ (S1∪S1)∗ ...∗(S1∪S1))⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊]⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊⌊)

k

∗ Sn−2k

é (n−k−1)-conexo mais não é (n−k)-conexo.

5.2 Classes especiais de funçõesEm vez de considerar um ε > 0 suficientemente pequeno, podemos considerar um R > 0 suficien-temente grande e perguntar quando a função φ ∶ S2n+1

R /KR→ S1, definida como em 5.1, é umafibração suave localmente trivial.


Diferentemente do caso local, no caso global infelizmente a resposta em geral é não. Contudo,quando a função φ é um fibrado suave localmente trivial dizemos que f admite uma fibração deMilnor no infinito, mais precisamente temos:

Definição 5.1. Seja f ∶Cn+1→C uma função polinomial. Diremos que f admite uma fibraçãode Milnor no infinito (ou fibração de Milnor global) se existir um R0 > 0 suficientemente grande,tal que para todo R ≥ R0 a aplicação

φ = f∏ f ∏

∶ S2n+1R /KR→ S1 (5.2)

for uma fibração suave localmente trivial, onde KR = S2n+1R ∩ f −1(0) é chamado o link de f no

infinito e a fibra Fθ = φ−1(eiθ) é chamada fibra de Milnor no infinito.

A seguir definiremos algumas classes especiais de funções nas quais a fibração de Milnor noinfinito existe. Como foi dito acima, no caso global de funções polinomiais holomorfas, a fibraçãode Milnor nem sempre existe. Os autores [Némethi e Zaharia 1992] consideram classes especiaisde polinômios (algumas delas introduzidas por Broughtom [Broughton 1988], [Broughton 1983]como polinômio tame) e provaron que nessas classes de polinômios a fibração do Milnor noinfinito sempre existe.

Seja f ∶Cn+1→C uma função polinomial e (zk)k ⊆Cn+1 uma sequência em Cn+1 tal que:

limk→∞

∏zk∏ = +∞ e limk→∞

grad f (zk) = 0. (5.3)

Definição 5.2. Seja f como acima. Definimos o conjunto de Milnor de f por:

M( f ) = z ∈Cn+1 ∶ grad f (z) = λ z , λ ∈C

Definição 5.3.

Seja f ∶Cn+1→C uma função polinomial, dizemos que:

1) f é um polinômio tame se não existe sequência de pontos (zk)k ⊆Cn+1 tal que a condição5.3 é satisfeita.Denotamos por 𝒯 a classe de polinômios tame.

2) f é um polinômio quasitame se não existe sequência de pontos (zk)k ⊆Cn+1 tal que satisfaza condição 5.3 e a sequência

Ck = f (zk)−n∑j=0

∂ f∂x j

(zk).zk j

tem limite finito quando k→∞.

Denotamos por 𝒬𝒯 a classe de polinômios quasitame.

5.3. Topologia da fibra e do link no infinito 65

3) f é um polinômio M-tame se, dada uma sequência de pontos (zk)k ⊆M( f ) que verifica5.3 então

limk→∞

∏ f (zk)∏ = +∞

Denotamos porℳ𝒯 a classe de polinômios M-tame.

4) f é um polinômio semitame se, dada uma sequência de pontos (zk)k ⊆M( f ) tal que 5.3 éválido temos

limk→∞

f (zk) for finito, então limk→∞

f (zk) = 0

Denotamos por 𝒮𝒯 a classe de polinômios semitame.

Observação 5.2. Da definição anterior é claro que 𝒯 ⊂𝒬𝒯 eℳ𝒯 ⊂ 𝒮𝒯 , tambem é possívelmostrar que 𝒬𝒯 ⊂ℳ𝒯 ( [Némethi e Zaharia 1992]), logo temos 𝒯 ⊂ 𝒬𝒯 ⊂ℳ𝒯 ⊂ 𝒮𝒯 ascontenções recíprocas não são verdadeiras, com exceção 𝒬𝒯 ⊂ℳ𝒯 que ainda não se sabe se ainclusão é estrita.

Exemplo 5.2. 1) f (x,y) = x2y+xy2+x5y3+x3y5, temos que f ∈𝒬𝒯 mas f ∉ 𝒯 .

2) f (x,y) = xy+xy4, temos que f ∈ 𝒮𝒯 mais f ∉ℳ𝒯 .

Para outros exemplos em dimensão maior ver [Liu 2014]

Com as notações dadas anteriormente, enunciamos o seguinte teorema que garante a existênciada fibração de Milnor global:

Teorema 5.5. (fibração de Milnor global) Seja f ∈ 𝒮𝒯 , então para R≫ 1 a aplicação φ definidacomo em 5.2 é uma fibração suave localmente trivial.

A prova deste teorema segue diretamente do caso local, com as devidas adaptações. Uma provapode ser encontrada na referência [Némethi e Zaharia 1992].

5.3 Topologia da fibra e do link no infinitoConsiderando a fibração localmente trivial φ ∶ S2n+1

R /KR → S1 associada a uma funçãopolinomial f ∶Cn+1 →C semitame, Némethi e Zaharia em [Némethi e Zaharia 1992] usam atécnica desenvolvida por Milnor no caso local e provaram o seguinte resultado sobre a topologiada fibra e do link.

Teorema 5.6.

1) Seja f ∈ℳ𝒯 . Então a fibra do Milnor no infinito, Fθ , tem o mesmo tipo de homotopia deum bouquet Sn∨ . . .∨Sn de µ esferas, sendo µ o grau topológico da seguinte aplicação

g ∶ SR→ S1


g(z) = grad f (z)∏grad f (z)∏

2) Seja f ∈ℳ𝒯 . Então KR =V ∩SR é (n−2)-conexo.

3) Seja f ∈ 𝒮𝒯 e seja D ⊂ C um disco fechado de raio R centrado em 0. Então para R

suficientemente grande a fibra genérica f −1(c) é difeomorfa a Fθ / f −1(D).

4) Seja f ∈ 𝒮𝒯 . Então Fθ tem o mesmo tipo de homotopia de f −1(c) com células atachadasde dimensão ≥ n.

5.4 Topologia de hipersuperficie genéricaDada uma função polinomial f ∶ Cn+1 → C, desejamos ter informação do grau de co-

nexidade, tipo de homotopia, homologia de uma fibra geral f −1(c), também conhecida comohipersuperficie genérica, onde c ∈ C. Neste caso podemos fazer uso de um teorema de fibra-ção devido a René Thom. Uma prova deste teorema pode se encontrar em [Broughton 1983]ou [Dimca 2012].O menor tal subconjunto Γ, no sentido da inclusão, que torna tal aplicação acima uma fibraçãosuave, é conhecido como conjunto dos valores atípicos.

Teorema 5.7. Seja f ∶ Cn+1 → C uma aplicação polinomial. Então existe um conjunto finitoΓ ⊆C tal que a aplicação restrição

φ ∶Cn+1/ f −1(Γ)→C/Γ

é uma fibração suave localmente trivial.

5.5 Conectividade da hipersuperficie afim complexaSeja X um conjunto algébrico complexo afim no espaço complexo Cn+1 com n ≥ 1.

Suponhamos que X é definido por r funções polinômiais f1, f2, ..., fr ∶Cn+1Ð→C

X = f −11 (0)∩ ...∩ f −1

r (0)

Seja X o fecho de X em Pn+1, isto é X é um conjunto algébrico no espaço projetivo complexoPn+1, o qual é definido por r funções homogêneas F1,F2, ...,Fr por:

X = (z0 ∶ ... ∶ zn ∶ zn+1⌋ ∈ Pn+1 ⋃ Fi(z0, ...,zn+1) = 0, i = 1,2, ...,r

Onde

Fi(z0, ...,zn,zn+1) = zdn+1 fi(

z0

zn+1, ...,

zn

zn+1) , para cada i = 1, ...,r com deg( fi) = d

5.5. Conectividade da hipersuperficie afim complexa 67

Denotamos por H∞ o hiperplano no infinito em Pn+1 e definimos por

H∞ = (z0 ∶ ... ∶ zn ∶ zn+1⌋ ∈ Pn+1 ∶ zn+1 = 0

Seja X∞ = X ∩H∞ a seção hiperplana no infinito de X e seja s = dim(S(X)∪ S(X∞)) ondeS(X),S(X∞) denota a parte singular de X e X∞, respectivamente.

No caso quando r = 1 Alexandru Dimca provou o seguinte:

Teorema 5.8. X é (n−2−dim(S(X)∩H∞))-conexo.

Observação 5.3.

Seja f = f0+ f1+ ...+ fd a decomposição do polinômio f em componentes homogêneas, comfd ≠ 0 e grau( fi) = i

Denotamos por ∑∞( f ) = S(X)∩H∞, e dizemos que ∑∞( f ) é o conjunto singular de f noinfinito. Podemos escrever ∑∞( f ) de maneira explícita como:

∑∞( f ) = (z0, ...,zn) ∈Cn+1 ∶ ∂ fd(z0, ...,zn) = 0 , fd−1(z0, ...,zn) = 0

De fato, seja

F(z0, ...,zn+1) = zdn+1 f0+ zd−1

n+1 f1+ ...+ zn+1 fd−1+ fd

achemos a parte singular de X

S(X) = (z0 ∶ ... ∶ zn+1⌋ ∈ Pn+1 ∶ ∂F(z0, ...,zn+1) = 0

Onde∂F∂ z0

= zd−1n+1

∂ f1∂ z0

+ ... +zn+1∂ fd−1

∂ z0+ ∂ fd

∂ z0= 0

⋮ ⋮ ⋮∂ f∂ zn

= zd−1n+1

∂ f1∂ zn

+ ... +zn+1∂ fd−1

∂ zn+ ∂ fd

∂ zn= 0

⋮ ⋮ ⋮∂F

∂ zn+1= dzd−1

n+1 f0+ ... +2zn+1 fd−2+ fd−1 = 0.

(5.4)

Logo se S(X) interceptamos com H∞, (isto é, fazemos zn+1 = 0) obtemos

∑∞( f ) = (z0, ...,zn) ∈Cn+1 ∶ ∂ fd(z0, ...,zn) = 0, fd−1(z0, ...,zn) = 0

onde ∂ fd = (∂ fd∂ z0

, ..., ∂ fd∂ zn

) e identificamos (z0 ∶ ... ∶ zn ∶ 0⌋ = (z0, ...zn).

Lema 5.1. Se ∑∞( f ) =∅, então f é um polinômio quasitame.


Demonstração. Faremos a prova por contradição. Suponha que f não é um polinômio quasitame,isto é , pela definição 5.3 b) existe uma sequência (zk)k ⊆Cn+1 tal que:

limk→+∞

∏zk∏ =∞ , limk→+∞

∂ f (zk) = 0

e a sequência ck = f (zk)−n∑j=0

∂ f∂x j

(zk).zk j tem limite finito.

Como limk→+∞

∏zk∏ =∞, podemos assumir que zk ≠ 0, para todo k ∈N, seja zk = zk∏zk∏

, assim temos

uma sequêcia (zk)k ⊆ S2n+11 e pela compacidade de S2n+1

1 existe uma subsequência (zk j) j ⊆ (zk)k

que converge para um z∞ ∈ S2n+1.Não é difícil provar que se ∂ f (zk)Ð→ 0, então ∂ f (z∞) = 0. Denotamos zk j = zk.

Dado f ∶Cn+1 →C uma função homogênea de grau k isto é f (λ z) = λ k f (z) temos k f (z) =∐z,grad f (z) para todo z ∈Cn+1.

Em nosso caso temos f = fo+ f1+ ...+ fd onde fi é homogênea de grau i, para cada i = 1, ...,d.então da observação anterior resulta.

i fi(zk) = ∐zk,grad fi(zk) i = 1, ...,d

Logo somando, obtemos

d∑j=1

j f j(zk) = ∐zk,d∑j=1

grad f j(zk) = ∐zk,d∑j=0

grad f j(zk).

Multiplicando ambos lados por 1∏zk∏

temos:

1∏zk∏

d∑j=1

j f j(zk) = ∐zk

∏zk∏,grad f (zk) = ∐zk,grad f (zk)

como grad f (zk)ÐÐÐ→kÐ→∞

0, então 1∏zk∏

d∑j=1

j f j(zk)ÐÐÐ→kÐ→∞

0.

Pela hipótese ∑∞( f ) =∅, logo da definição de ∑∞( f ) temos dois casos:∂ fd−1(z∞) ≠ 0 ou fd−1(z∞) ≠ 0.

Se ∂ fd−1(z∞) ≠ 0, chegamos a uma contradição pois ∂ f (z∞) = 0, logo f é um polinômio quasi-tame.

Se fd−1(z∞) ≠ 0. Sabemos que a sequêcia (ck)k tem limite finito, onde:

ck = f (zk)− ∐zk,grad f (zk)

= f (zk)−d∑j=1

j f j(zk)

= f0+d∑j=1(1− j) f j(zk)

(5.5)


como (ck)k e (∏zk∏)k tem limite finito e infinito respectivamente, resulta

1∏zk∏

d∑j=1( j−1) f j(zk) =

d∑j=1( j−1)∏zk∏ j−1 f j(zk)Ð→ 0 se k→ +∞. (5.6)

De maneira similar de 5.5 temos que a sequêcia:

ck− f0

∏zk∏+ ∐zk,grad f (zk) =

f (zk)− f0

∏zk∏Ð→ 0, quando k→ +∞ (5.7)

Afirmamos que:1

∏zk∏

d∑j=1(d− j) f j(zk)Ð→ 0

De fato:

1∏zk∏

d∑j=1(d− j) f j(zk) = 1

∏zk∏

d∑j=1(d−1) f j(zk)−

1∏zk∏

d∑j=1( j−1) f j(zk)

= (d−1) f (zk)− f0

∏zk∏−

d∑j=1( j−1)∏zk∏ j−1 f j(zk)

De 5.7 o primeiro somando da direita tende para zero e de 5.6 o segundo somando tende parazero, logo a afirmação esta provada.

Da seguinte igualdade

1∏zk∏

d∑j=1(d− j) f j(zk) = ∏zk∏d−2 fd−1(zk)+2∏zk∏d−3 fd−2(zk)+ ...+(d−1) f1(zk)

= ∏zk∏d−2( fd−1(zk)+2fd−2(zk)∏zk∏

+ ...+(d−1) f1(zk)∏zk∏d−2)

e da afirmação anterior, temos

( fd−1(zk)+2fd−2(zk)∏zk∏

+ ...+(d−1) f1(zk)∏zk∏d−2)Ð→ 0 se k→ +∞.

por outro lado

( fd−1(zk)+2fd−2(zk)∏zk∏

+ ...+(d−1) f1(zk)∏zk∏d−2)Ð→ fd−1(z∞) se k→ +∞

o qual é um absurdo pois fd−1(z∞) ≠ 0.

No caso em que f ∶Cn+1→C é uma função polinomial quasitame, Némethi em [Némethi 1986]e [Némethi 1988] provou o seguinte resultado interessante:

Proposição 5.9. Seja f ∈𝒬𝒯 . Então qualquer de suas fibras genéricas tem o tipo de homotopiade um buquê de esferas de dimensão n.


Demonstração do teorema 5.8

Demonstração. Demostraremos por indução sobre s = dim∑∞( f ) = dim(S(X)∩H∞).Se ∑∞( f ) =∅, então pelo lema anterior temos que f é um polinômio quasitame e pela proposi-ção 5.9 segue-se que X é (n−1)-conexo.

Por convenção dim∑∞( f ) = dimφ = −1 = s então X é (n−2− s)-conexo.Agora suponha que o teorema cumpre para s−1.

Seja H um hiperplano genérico em Pn+1, isto é dado um a ∈Cn+2 fixo então

H = (zo ∶ ... ∶ zn+1⌋ ∈ Pn+1 ∶ a0z0+ ...+an+1zn+1 = 0.

Claramente dim(S(X ∩H)∩H∞) = s−1,logo pela hipótese de indução, segue-se que a hipersuperficie

X ∩H é (n−2−(s−1)) = (n− s−1)-conexo.

Assim usando a sequência exata longa de grupo de homotopia de par (X ,X ∩H), temos

⋯→ πp(X ∩H)→ πp(X)→ πp(X ,X ∩H)→⋯ (5.8)

como X ∩H é (n− s−1)-conexo, então πp(X ∩H) = 0, 0 ≤ p ≤ n− s−1.

Então da sequência 5.8 segue-se que

πp(X)≡πp(X ,X ∩H), 0 ≤ p ≤ n−2− s (5.9)

Agora consideremos dois casos. No primeiro caso , suponhamos que o conjunto X −X ∩H é nãosingular, isto é, os pontos singulares de X moram no hiperplano H. Logo pelo corolário 3.9 o par(X ,X ∩H) é (n−1)-conexo e como n−2− s ≤ n−1, (−1 ≤ s)em particular temos que o par (X ,X ∩H) é (n−2− s)-conexo. Finalmente, de 5.9 concluimosque X é (n−2− s)-conexo.

No segundo caso admitimos que o conjunto X −X ∩H seja singular, Helmut A. Hamm [Hamm1983] utilizando conceito de "grau de conexidade local fortemente"(não apresentamos nestetrabalho) demonstra o mesmo resultado, isto é o par (X ,X ∩H) é (n−1)-conexo. O resto daprova é similar na anterior.

Agora suponha que fd−1 = 0 e seja e o maior inteiro tal que fe ≠ 0 e e < d. De maneirasimilar definimos o conjunto

S( f ) = (z0, ...zn) ∈Cn ∶ ∂ fd = 0, fe = 0.


Um resultado mais forte também provado por Alexandru Dimca em [Dimca 2012] mostra que afibra genérica da função polinomial f ∶Cn+1→C é (n−2−dimS( f ))-conexo. Ver detalhes nareferência citada.

73

REFERÊNCIAS

ANDREOTTI, A.; FRANKEL, T. The lefschetz theorem on hyperplane sections. Annals ofMathematics, JSTOR, p. 713–717, 1959. Citado na página 41.

BENEDETTI, R.; RISLER, J.-J. Real algebraic and semi-algebraic sets. [S.l.: s.n.], 1990.Citado nas páginas 18, 19, 47, 48 e 52.

BREDON, G. E. Topology and geometry. [S.l.]: Springer Science & Business Media, 2013.v. 139. Citado na página 26.

BRIESKORN, E. Beispiele zur differentialtopologie von singularitäten. Inventiones mathema-ticae, v. 2, p. 1–14, 1966. Citado na página 28.

BROUGHTON, S. On the topology of polynomial hypersurfaces. Singularities, AmericanMathematical Soc., v. 40, n. Part 1, p. 167–178, 1983. Citado nas páginas 17, 64 e 66.

BROUGHTON, S. A. Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces. Inventio-nes mathematicae, Springer, v. 92, n. 2, p. 217–241, 1988. Citado nas páginas 17 e 64.

COSTE, M. An introduction to semialgebraic geometry. RAAG network school, Citeseer,v. 145, p. 30, 2002. Citado na página 47.

DIMCA, A. On the connectivity of complex affine hypersurfaces. Topology, Elsevier, v. 29, n. 4,p. 511–514, 1990. Citado na página 18.

. Singularities and topology of hypersurfaces. [S.l.]: Springer Science & Business Media,2012. Citado nas páginas 66 e 71.

DIMCA, A.; PAUNESCU, L. On the connectivity of complex affine hypersurfaces ii. arXivpreprint math/9906064, 1999. Citado na página 18.

HAMM, H. A. Lefschetz theorems for singular varieties. Topology, Elsevier, v. 12, n. 1, p.547–557, 1983. Citado na página 70.

HATCHER, A. Algebraic topology. [S.l.]: Cambridge University Press, 2002. Citado na página25.

KATO, M.; MATSUMOTO, Y. On the connectivity of the milnor fiber of a holomorphic functionat a critical point. Annals of Mathematics, p. 131–136, 1973. Citado na página 62.

LEE, J. M. Smooth manifolds. In: Introduction to Smooth Manifolds. [S.l.]: Springer, 2003.Citado na página 35.

LIU, Y. The total milnor number of the weighted-le-yomdin-at-infinity polynomial. arXivpreprint arXiv:1412.7688, 2014. Citado na página 65.

MATOUSEK, J. Using the Borsuk-Ulam theorem: lectures on topological methods in com-binatorics and geometry. [S.l.]: Springer Science & Business Media, 2008. Citado na página27.

74 Referências

MILNOR, J. Construction of universal bundles, ii. Annals of Mathematics, JSTOR, p. 430–436,1956. Citado nas páginas 27 e 28.

. Morse Theory. [S.l.]: Princeton university press, 1963. v. 51. Citado nas páginas 29, 35,42 e 63.

. Singular Points of Complex Hypersurfaces. [S.l.]: Princeton University Press, 1968.v. 61. Citado nas páginas 17, 59 e 61.

NéMETHI, A. Théorie de lefschetz pour les variétés algébriques affines. CR Acad. Sci. ParisSér. I Math, v. 303, n. 12, p. 567–570, 1986. Citado na página 69.

. Lefschetz theory for complex affine varieties. [S.l.]: Rev. Roumaine Math. Pures Appl.,1988. Citado na página 69.

NéMETHI, A.; ZAHARIA, A. Milnor fibration at infinity. Indagationes Mathematicae, Else-vier, v. 3, n. 3, p. 323–335, 1992. Citado nas páginas 17, 59, 64 e 65.

OKA, M. On the homotopy types of hypersurfaces defined by weighted homogeneous polynomi-als. Topology, Elsevier, v. 12, n. 1, p. 19–32, 1973. Citado na página 28.

SPANIER, E. H. Algebraic topology. [S.l.]: Springer Science & Business Media, 1994. v. 55.Citado nas páginas 25 e 26.

SWITZER, R. M. Algebraic topology: homotopy and homology. [S.l.: s.n.], 1975. Citado napágina 26.

Documents

Juan Carlos Nuñez Maldonado - USP€¦ · Para o estudo da topologia da ﬁbra e do link dessas ﬁbrações eles também procederam de maneira semelhante ao caso local, com as devidas