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José Francisco Gómez González Benjamín González Díaz María de la Peña Fabiani Bendicho Ernesto Pereda de Pablo
PUNTOS OBJETO DE ESTUDIO Fundamentos. Corriente alterna senoidal: caracterización e importancia. Fasores. Circuitos de ca básicos. Impedancias y admitancias. Circuitos de ca en general. Potencia en ca: activa, reactiva y aparente. Concepto de factor de potencia y su modificación. Concepto de filtros. Características. Filtros pasabaja,
pasaalta, pasabanda y de rechazo de banda.
3
FUNDAMENTOS Corriente continua: no
varía frente al tiempo. Corriente alterna (ca): su
sentido cambia con el tiempo.
Corriente alterna periódica: su valor se repite al cabo de un cierto tiempo T (periodo).
Onda: expresión gráfica de la variación periódica en amplitud y tiempo.
4
Corriente continua Corriente alterna
5
Corriente alterna senoidal (I)
Volta
je (V
)
Tiempo (s)Vo
ltaje
(V)
Tiempo (s)
0( )v t V= 0( ) cos( )v t V wt ϕ= +
Vm=Valor máximo= valor de pico=valor de cresta.
V(t)= Valor instantáneo. T=Periodo: tiempo de un
ciclo completo (s). f= Frecuencia (lineal)=
ciclos por segundo=1/T[Hz]
ω= Pulsación (frecuencia angular): ωT=2π=> ω= 2πf (rads-1).
ϕ=Ángulo de fase (rad) aunque se expresa en º
6
Corriente alterna senoidal (II)
0( ) cos( )v t V wt ϕ= +
Análogamente para la intensidad
CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL (III) Ventajas de una corriente alterna senoidal:
Función simple y bien definida. Cualquier función periódica se puede expresar como una
suma de senos y cosenos de distintas frecuencias. Fácil de producir y transformar.
7
VALOR MEDIO
8
Los valores medios no dan información sobre las corrientes alternas.
∫=T
0
1 dtIT
I
∫=T
0
1 dtVT
V
∫=T
0
1 dtfT
f
ωπω 2Tcon cosVV o == tSi
[ ]∫ ===T
0
/20 0
21t cos
2ωπω
πω
πω tsenVdtVV oo
[ ]∫ ===T
0
/20 0
21t cos
2ωπω
πω
πω tsenIdtII oo
2ffef =
2VVef =
2IIef =
Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores eficaces de la corriente o la tensión.
∫ ∫ ==+
==T
0
202
/2
0
2222
22
21
2212cos
2t cos
2VVdttVdtVV ooo ω
ππωω
πωω
πω ωπ
2o
efVV =
∫ ∫ ==+
==T
0
202
/2
0
2222
22
21
2212cos
2t cos
2IIdttIdtII ooo ω
ππωω
πωω
πω ωπ
2o
efII =
9
CARACTERIZACIÓN DE LAS CORRIENTES ALTERNAS UTILIZANDO VALORES EFICACES
SIGNIFICADO FÍSICO DE VALOR EFICAZ Si tenemos una resistencia R que es atravesada por una
corriente
Entonces la energía disipada es
Por lo que, ¿cuánto vale la corriente continua que debe circular por R para disipar en un tiempo t la misma energía?
10
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡
𝑊 𝐴𝐴 = 𝑅𝑖2𝑡
0
𝜏 𝑑𝜏
𝑊 𝐷𝐴 = 𝑅𝐼2𝑡
0
𝑑𝜏 = 𝑅𝐼2𝑡; 𝑆𝑖 𝑊𝐷𝐴 =𝑊𝐴𝐴 ⇒ 𝑅𝐼2𝑡 = 𝑅𝑖2𝑡
0
𝜏 𝑑𝜏
𝐼 =1𝑇𝑅𝑖2𝑡
0
𝜏 𝑑𝜏 = 𝐼𝑒𝑒𝑒
Siendo v(t) conocido, se quiere calcular i(t).
v(t)=vL+vC+vR
La ecuación resulta
11
Circuitos en alterna
Ldiv Ldt
=0
1 ( )t
Ct
v i dC
τ τ= ∫ Rv Ri=
0
1( ) ( )t
t
div t L i d Ridt C
τ τ= + +∫
2
2
( ) 1dv t d i diL i Rdt dt C dt
= + +
Se resuelve mediante: Respuesta transitoria
Respuesta permanente
NOTACIÓN FASORIAL (I) En un circuito de corriente alterna, ω es la misma en todos los
puntos del circuito, tanto para las corrientes como para los voltajes.
El valor de cada magnitud en un instante viene determinado por su amplitud y su fase.
12
NOTACIÓN FASORIAL (II)
13
Y=A√2 cos(ωt+δ) ≡ Y= A∠δ
14
NÚMEROS IMAGINARIOS
θ
r
a
b
Re
Im
Coordenadas cartesianas jbaz +=
Coordenadas polares θ ∠= rz
Cambio de coordenadas
Cartesianas a polares abtgarc
bar
22
=
+=
θ
Polares a cartesianas θθ
senrbra cos
==
Fórmula de Euler θθθ senjrrre j cos ±=±
RELACIÓN Partimos de:
En notación fasorial
Multiplicamos por
Relación de Euler
Una función sinuidal es representado unívocamente por su fasor.
15
0( ) 2 cos( )v t V tω ϕ= +
0 0jv V V e ϕϕ= ∠ =
( )0 0 0 (cos( ) sin( )j j t j tV e e V e V t j tϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω+⋅ = = + + +
( )0 02 Re( ) 2 cos( )j tV e V tϕ ω ϕ ω+ = +
j te ω
OPERACIONES CON FASORES 1. http://www.youtube.com/watch?v=dBV4FLtA8ls 2. http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/elec
trica/2_anio/electrotecnica1/trabajos_practicos/Ejercicos_fasores.pdf
3. http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/archivos/guias/A01_Numeros_complejos.pdf
16
CIRCUITOS RESISTIVOS (I)
Sólo varía el módulo no la fase -> vR(t) e iR(t) están en fase. Ley de Ohm en alterna con los valores de la amplitud
17
𝑣𝑅(𝑡)= V; ⇒ 𝑖𝑅 𝑡 =𝑣0 𝑡
R=𝑣0R𝑐𝑠𝑠(𝑐𝑡)
CIRCUITOS RESISTIVOS (II) Si escribimos el voltaje como
La transformación fasorial de este voltaje es
18
( )[ ] ( ) ( )imimim tVtRItIRRiv θωθωθω +=+=+== coscoscos
ijm m iV RI e RIθ θ= = ∠
IRV =
CIRCUITOS INDUCTIVOS (I)
vL(t) e iL(t) desfasadas en π/2 radianes, con la corriente retrasada. Relación I-V: reactancia inductiva (depende de la frecuencia)
19
( ) 0; ( ) cos( ) ( )2
o oLo L
V VdiL V sen t i t t sen tdt L L
πω ω ωω ω
− + = = − = −
LL
L
vX Li
ω= =
CIRCUITOS INDUCTIVOS (II)
20
( )[ ] ( ) ( )oimim
im tLItsenLIdt
tIdLdtdiLv 90coscos
−+−=+−=+
== θωωθωωθω
( ) ( )90 90o oi i i
i
j j jjm m m
jm
V LI e LI e e LI e j
j LI e j LI
θ θ θ
θ
ω ω ω
ω ω
− −= − = − = − − =
= =
ILjV ω=
( )( ) ( )oimim
o LIILV 9090 +∠=∠∠= θωθω
CIRCUITOS CAPACITIVOS (I) vC(t) e iC(t)
desfasadas en π/2 radianes, con la corriente adelantada
Relación I-V: reactancia capacitiva (depende de la frecuencia)
21
En el condensador q=Cv = C ( )
Como ( ) ( ) cos( ) ( )2
o
c c o
V sen tdqi t i t C V t C Vsen tdt
ωπω ω ω ω= ⇒ = = +
1CC
C
vXi Cω
= =
CIRCUITOS CAPACITIVOS (II)
22
( )[ ] ( ) ( )ovmvm
vm tCVtsenCVdt
tVdCdtdvCi 90coscos
−+−=+−=+
== θωωθωωθω
( ) ( )90 90o ov v
v
j jj v jm m m
jm
I CV e CV e e CV e j
j CV e j CV
θ θθ
θ
ω ω ω
ω ω
− −= − = − = − − =
= =
ICj
Vω1
=
( ) ( )oimim
o IC
IC
V 901901−∠=∠
−∠= θ
ωθ
ω
IMPEDANCIA (I) En los tres casos anteriores tenemos que se puede establecer una
relación entre la corriente fasorial y la corriente fasorial.
Impedancia: Cociente entre el fasor tensión y el fasor corriente
Por lo tanto se cumple la ley de Ohm. Z es un número complejo, pero no un fasor, ya que no se
corresponde con ninguna función sinusoidal en el dominio temporal. 23
V RIV j LI
jV IC
ω
ω
==−
=
El fasor tensión puede expresarse como el producto de una cantidad compleja por el fasorcorriente
V ZI=
IMPEDANCIA Y REACTANCIA Resistencia Bobina Condensador
24
RZ R=LZ j Lω=
CjZ
Cω−
=
[ ]Z R jX= + ΩRe(Z)= R: Resistencia [Ω]
Re(Z)= X: Reactancia [Ω]
01 0
L
L
X L
XC
ω
ω
= >
= − <
LEYES DE KIRCHHOFF EN CORRIENTE ALTERNA Las LK: conservación de la energía en una malla (LKM)
y de la carga en un nudo (LKN). Estas leyes de conservación son principios físicos de
validez universal, y no dependen del tipo de corriente que se tenga.
Por tanto, las LK también se cumplen en el caso de la corriente alterna.
25
CIRCUITOS RLC EN CA (GENERAL) (I)
Gráficamente, obtenemos Vo sumando los fasores.
- Si calculamos Vo analíticamente:
26
2 2 2 2 21( ) I ( )o R L C oV v v v R LC
ωω
= + − = + −
CIRCUITOS RLC EN CA (GENERAL) (II)
27
:
( ) ( ) 0º
( ) ( ) º
( ) 0 º ; ( )
( ) 0 º ;( )
m m
m m
m
m
El desfase se mide de I con respecto aV
v t V sen t V V
i t I sen t I I
i t atrasa I I L
i t adelanta I I C
ϕ
ω
ω ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= ≡ = ∠
= ≡ = ∠
⇒ > ⇒ = ∠−
⇒ < ⇒ = ∠+
;
Re( ) cos es la resistencia.1Im( ) es la reactancia; X=L -
- Si X>0 L Reactancia inductiva. - Si X<0 C Reactancia capacitiva.
Z R jX
R Z Z
X Z Z senC
ϕ
ϕ ωω
= +
= =
= =
⇒ ⇒⇒ ⇒
PARA CUALQUIER ELEMENTO EN CA
28
1
(Ley de Ohm generalizada)
º [ ] es la impedancia
1 º [ Siemens]es la admitancia
m
m
m
m
V Z IVVZIIIYVZ
ϕ
ϕ −
=
= = ± Ω
= = Ω =
;
Re( ) cos es la resistencia.1Im( ) es la reactancia; X=L -
- Si X>0 L Reactancia inductiva. - Si X<0 C Reactancia capacitiva.
Z R jX
R Z Z
X Z Z senC
ϕ
ϕ ωω
= +
= =
= =
⇒ ⇒⇒ ⇒
La relación entre ambas magnitudes:
-En forma binómica:
Circuito: V, R, L, C. tVtV ωcos)( max=
ε
ω
RMK
Fasor
Número complejo Ecuación Diferencial de 2º orden:
dtdVI
CdtdIR
dtIdL =++
12
2
Solución con dos parámetros
Solución 1 Solución 2
)cos()( max φω −= tItI
C, impedancia
Ζφ
φZZ =
CA=CC+C
NO SI
Fasor
Ley de Ohm
Valores eficaces
Número complejo
φ: Desfase ZVI max
max =
ZVI =
Ohm
29
TEOREMAS DE CIRCUITOS EN CA Teorema de superposición
Válido con las fuentes de alterna Teoremas de Thevenin y de Norton
Válidos sustituyendo R por Z Los parámetros se hayan de la misma manera
Vth: voltaje en abierto entre los terminales IN: intensidad de cortocircuito, ICC. Rth=RN= Vth/ICC.
Máxima transferencia de potencia ZL=Z*
th (complejo conjugado de la Zth equivalente entre los terminales)
30
POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA En cualquier elemento, P=VI
A través de las reglas trigonométricas
Obtenemos que la potencia instantánea es:
31
( )( )tIi
tVv
m
ivm
ωθθω
coscos
=−+= ( )( ) ( )( )
( ) ( )ttIVptItVvip
ivmm
mivm
ωθθωωθθω
coscoscos*cos
−+=−+==
( ) ( )βαβαβα ++−= cos21cos
21coscos ( ) βαβαβα sensen−=+ coscoscos
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos cos
cos cos cos 2 22 2 2
cos cos cos 2 2
m m v i
m m m m m mv i v i v i
f f v i f f v i f f v i
p V I t tV I V I V It ses sen t
V I V I t V I sen sen t
ω θ θ ω
θ θ θ θ ω θ θ ω
θ θ θ θ ω θ θ ω
= + − =
= − + − − − =
= − + − − −
POTENCIA INSTANTÁNEA La potencia instantánea pasa a través de dos ciclos
completos por cada ciclo ya sea de voltaje o la corriente. La potencia instantánea puede ser negativa durante una porción de cada ciclo.
En una red completamente pasiva, la potencia negativa implica que la energía almacenada en los inductores o capacitores se está extrayendo.
El hecho de que la potencia instantánea varíe con el tiempo en la operación de estado permanente senoidal de un circuito explica por qué algunos aparatos accionados por motor (tales como los refrigeradores) experimente vibraciones y requieran montajes flexibles del motor para evitar la vibración excesiva
32
POTENCIA ACTIVA (PROMEDIO) Y REACTIVA
Donde es la potencia activa o promedio, unidades en vatios (W).
Y es la potencia reactiva, unidades en voltio-amperio reactivos (VAR).
Se puede ver que P es la potencia promedio de la potencia instantánea donde T es el periodo de una onda senoidal.
33
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
cos cos cos 2 2
cos 2 2f f v i f f v i f f v ip V I V I t V I ses sen t
P P t Qsen t
θ θ θ θ ω θ θ ω
ω ω
= − + − − − =
= + −
( )cosf f v iP V I θ θ= −
( )ivff senIVQ θθ −=
∫+
=Tt
t
o
o
pdtT
P 1
PARA UNA RESISTENCIA (R) En este caso la corriente y el voltaje están en fase, lo que significa que
Y la potencia real instantánea es
Nunca será negativa, por lo que la potencia no puede extraerse de una red puramente resistiva, sino que toda la energía se disipa en la forma de energía térmica (efecto Joule).
34
0=− iv θθ
ff IVP =
0=Q
tPPp ω2cos+=
POTENCIAS EN CIRCUITOS PURAMENTE INDUCTIVOS En este caso el voltaje adelanta a la corriente en 90º, La potencia activa o promedio es:
la potencia reactiva es
Y la potencia real instantánea es
En este caso la potencia promedio (activa es cero), por lo que no se produce un trabajo efectivo, es decir, no ocurre ninguna transformación de energía de la forma eléctrica a la no eléctrica.
La potencia instantánea en los terminales del circuito continuamente se está intercambiando entre el circuito y la fuente que activa a este mismo, a una frecuencia 2ω. Cuando es positiva, la energía se está almacenando en los campos magnéticos asociados a las inductancias, y cuando es negativa, se está extrayendo de los campos magnéticos.
35
0=P
ff IVQ =
tsenQp ω2−=
oiv 90=−θθ
POTENCIAS EN CIRCUITOS PURAMENTE CAPACITIVOS En este caso el voltaje retrasa respecto a la corriente en 90º,
La potencia activa o promedio es: La potencia reactiva es
Y la potencia real instantánea es
En este caso la potencia promedio (activa es cero), por lo que no se produce un trabajo efectivo, es decir, no ocurre ninguna transformación de energía de la forma eléctrica a la no eléctrica.
La potencia se intercambia continuamente entre la fuente que excita el circuito y el campo eléctrico asociado con los elementos capacitativos.
36
0=P
tsenQp ω2=
oiv 90−=−θθ
ff IVQ −=
CASO GENERAL
37
2
( ) ( ); ( ) ( );( ) ( ) ( )
( ( ) cos ( ) cos( ) )cos
m m
m m
m m
med ef ef
V t V sen t I t I sen tP t V sen t I sen t
V I sen t sen t t senP V I
ω ω ϕω ω ϕ
ω ϕ ω ω ϕϕ
= = −= − =
= −=
El valor medio depende del desfase entre V e I
EL FACTOR DE POTENCIA
El ángulo se conoce como ángulo del factor de potencia, y se denomina factor de potencia (FP, fdp) a
Como vemos el FP es positivo tanto en circuito
puramente capacitativos como inductivos por lo que para describir complemente este ángulo, utilizaremos frases descriptivas como: factor de potencia retrasado (o inductivo) y factor de potencia adelantado (o capacitativo).
38
iv θθ −
( )ivFP θθ −= cos
POTENCIA APARENTE O COMPLEJA Tomando para V e I valores eficaces, definimos:
entonces su módulo es la potencia aparente, S:
La parte real es la potencia activa, P:
La parte imaginaria es la potencia reactiva, Q:
39
* 2(cos ) ºef ef ef ef efS V I V I jsen I Z V Iϕ ϕ ϕ= = + = = ∠
2 [ ]ef ef efS S V I I Z VA= = =
( ) 2 2Re cos cos [ ]ef ef ef efS V I I Z I R Wϕ ϕ= = =
( ) 2 2Im [ ]ef ef ef efS V I sen I Z sen I X VArϕ ϕ= = =
TRIÁNGULO DE POTENCIA
40
**
21
ff IVIVjQPS ==+=
2 2
cossin
S P QP SQ S
ϕϕ
= +
==
S
P
Q
j
¿Cómo sería un triángulo de potencia en un circuito capacitivo?
CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA (I) S es la potencia total entregada a la impedancia P es la potencia consumida en las resistencias
Componente de I en fase con V (P(t)med) Es la potencia que se aprovecha -->A maximizar
Q es la potencia intercambiada con L y C Componente de I desfasada de V en 90º (π/2 rad) Necesaria para que L y C “funcionen”
Factor de potencia (FP, FP): cos j (entre 0 y 1) Indica la potencia aprovechable. En atraso: Z=R+jXL (bobina). En adelanto: Z=R-jXC (condensador).
41
CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA (II) Un FP bajo:
Aumenta la corriente consumida Aumentan las pérdidas en las líneas Disminuye el rendimiento Aumenta la caída de tensión en las líneas Aumenta la potencia aparente consumida
Es conveniente trabajar con factores de potencia próximos a la unidad
Algunas cargas pueden necesitar para su funcionamiento potencia reactiva (generalmente son de tipo inductivo= alimentación de motores)
Es necesario compensar el consumo de potencia reactiva mediante baterías de condensadores
42
CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA (III) Normalmente FP en atraso (motores, inducción) Debe corregirse (j-> 0) con C en paralelo.
en la que
P es la potencia activa. Q es la potencia reactiva inductiva de la carga. Qc es la potencia reactiva capacitiva de los condensadores.
ϕm es el valor del ángulo que fija en nuevo factor de potencia.
43
PQm
jm
j0
Q0S0
Sm
QC(tan tan )C o mQ P ϕ ϕ= −
FILTROS Los circuitos analizados han sido con fuentes
senoidales de frecuencia constante. ¿Qué pasa cuando se varía la frecuencia?
Modificación de la impedancia de capacitores e inductores, ya que la impedancia de estos elementos es una función de la frecuencia
44
1L
C
X L
XC
ω
ω
=
=
FILTRO PASA-BAJA
45
L1 0.1H
R16.38 ohm
ACSweep
ac
Vi Vo
max21 AA= ( )21log20
LR
c =ω
FILTRO PASA-ALTA
46
RCc1
=ω
FILTRO PASABANDA
47
Este filtro deja pasar voltajes dentro de una banda de frecuencias. Los filtros de paso banda ideales tienen dos frecuencias de corte, las cuales identifican a la banda de paso. En a) tenemos el circuito equivalente cuando la frecuencia es cero, en este caso el condensador tiene una impedancia muy elevada y no circula corriente y la caída en la resistencia es cero. Cuando la frecuencia es infinita caso b) la impedancia de la bobina es muy elevado y tampoco circula corriente. Por lo que vemos que para frecuencias altas y bajas no hay salida, es decir, hay un ancho de banda de frecuencia intermedias entre las que si tenemos una salida.
FILTRO RECHAZO DE BANDA
48
Este filtro deja pasar voltajes fuera de la banda entre dos frecuencias de corte. Para frecuencias altas tenemos el circuito equivalente a) en donde la bobina tiene una impedancia muy elevada, por lo que el voltaje de la entrada pasa a la salida. Para frecuencias bajas, el condensador tiene una impedancia muy alta y otra vez el voltaje de la entrada pasa a la salida. En cambio, para frecuencias intermedias la impedancia de la bobina y el condensador son bajas y el voltaje a la salida es pequeño.