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Resumo
Neste artigo discutimos l.UTIaquestão que geradúvidas no professor que atua no ensino fundamentale médio e também em alguns que atuam no ensinosuperior. A questão de poder relacionar conjuntosatravés do "maior ou menor" conduz ao tema deenumerabilidade de conjuntos. A cardinal idade deconjuntos finitos, de I.UTImodo geral, não suscitanenhuma dúvida, muito embora, na forma como étratado o conjunto dos números naturais, o temaordinal ou cardinal não fique muito bem definido.No que diz respeito a conjuntos infinitos, na maioriadas vezes não é feita nenhuma distinção em termosde cardinalidade. Nosso propósito, portanto, édistinguir a cardinalidade dos conjuntos numéricosinfinitos usuais, N, Z, Q e R, quando isso for possível.
I.Introdução
Na maioria das vezes, quando queremosampliar o conjunto dos números naturais para oconjunto dos números inteiros, associamos aoprimeiro ponto do lado direito de uma reta,orientada a partir de I.UTIponto inicial, caracterizadocomo ponto origem desta reta e ao qual fazemoscorresponder o natural zero, sem entrar na questãode ser zero natural ou não. À esquerda dessescolocamos outros pontos simétricos aosrepresentados para os naturais, aos quaisdenominamos números inteiros negativos, dizendoque acrescentamos ao conjunto N os númerosnegativos, obtendo I.UTIconjunto maior, Z. De formasimilar, passamos ao conjunto dos números
CARDINALIDADE DE CONJUNTOS INFINITOS
José CarJosPinto Leivas
racionais Q e, a seguir, ao conjunto dos númerosreais, R, conforme esquema gráfico abaixo.
Em se tratando de diagramas de Venn-Euler, "O problema persiste, pois também nãodiscutimos o tamanho do diagrama em relação aquantia de elementos. Quando colocamos odiagrama do conjunto N dentro do diagrama doconjunto Z, deixamos passar a idéia de que oconjunto Z é maior do que o conjunto N. Essafalta de discussão sobre diagramas conduz a umaséria dificuldade na resolução de problemasclássicos de operações com conjuntos do tipo"numa escola há meninos e meninas, alunosruivos e meninas não ruivas ... ''.
Os três diagramas abaixo servem dequestionamento motivador para a leitura desteartigo.
A reta numerada
I t-O R
I I I I I I I I I I I I I I I t--7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 2 3 4 5 6 7 8 Z
I I I I I I I I t-O 2 3 4 5 Ó 7 8 N
Diagrama de Venn-EuJer
NOVEMBRO· 2000 • SBEM-RS 31
Relação entre Conjuntos
Quem é o maior?
Nou R
NouZ
Z ouR
Q ou R
Por volta de 1632, Galileu chamou a atençãopara o fato de que uma correspondênciabiunívoca pode ser estabelecida entre osconjuntos
{O , 1 , 2 r 3 r 4, ... }r t r t t ...-J, -J, -J, -J, -J,
{O, 1,4, 9 r 16, ... },
muito ~mbora os últimos se tornem cada vezmais raros à medida que avançamos nos naturais.
Galileu não encontrou razões paraconsiderá-los iguais, afirmando até que não erapossível a comparação entre conjuntos infinitosem termos de menor, maior ou igual,erroneamente, como é sabido hoje.
Bolzano(1781-1848), tirando proveito doparadoxo de Galileu sobre correspondência 1-1entre os conjuntos acima, mostrou quecorrespondências semelhantes poderiam ser feitasentre os elementos de um conjunto infinito e umsubconjunto próprio. Tome o exemplo a seguir:
f: [0,1] ----+ [0,2]
x ----+ Y = f(x) =2x
Geometricamente, essa função mostra queexistem tantos pontos num segmento de reta decomprimento igual a 1 unidade quantos existemnum segmento de comprimento igual a 2unidades, conduzindo à idéia de que existemtantos números reais no intervalo [0,1] quantono [0,2].
° y = 2x 2
Bolzano, por volta de 1840, percebeu quea infinidade de números reais era diferente dainfinidade de números naturais.
Dedekind e Cantor ( ± 1872,1874) chegaramà percepção de conjuntos de diferentes espécies.
Cantor se dispôs a aritmetizar a respeitode conjuntos infinitos.
Segundo ele, Conjuntos infinitos, quepodem ser colocados em correspondênciabiunívoca, têm o mesmo número cardinal.
A potência de um conjunto tomou-se o númerocardinaldo conjunto. Assim, o número do conjuntodos inteiros era o menor número transfinito e onúmero do conjunto dos reais ou dos pontos de umareta era o maiornúmero transfinito. Cantor provouque existem infinitos números transfinitos para alémde c, provando que o conjunto dos subconjuntos deum conjunto dado sempre tem potência maior doque o próprio conjunto.
2.Conjuntos Enumeráveis
2. 1.Detinição
A é equivalente ou eqüipotente ousemelhante à B se existe uma bijeção f: A ----+ B.
Notação: A -<>'B.
2.2,Exemplos:
a) N-<>'N*, já que f(n)=n+ 1, n E N{0,1,2, ... }.
b) Z-<>'N,já que
{2n, se n 2': O
f(n) =-2n-l se n<O
TIc) I = (-1,1) -<>'Rjá que f(t) =. tan ( 2 t) é
bijeção.
2,3.Definição
A é dito finito se A=0 ou se existe n E N,tal que A -<>'{l,2,3, ... n}. Caso contrário, A é dito
32 NOVEMBRO· 2000 • SBEM-RS
intinito. A é dito enumerável e tem cardinal idadeX (aleph zero), se A é eqüipotente a algumsubconjunto de N* .
2.4.Exemplos
a) Todo conjunto finito é enumerável, pelaprópria definição.
b) Z é enumerável.
Z f::i N f::i N* (Z, N e N*têm o mesmo cardinal)
c)Uma seqüência infinita é uma funçãof: N~N*, dada por f(n)=a
n• Quando os a
nsão
distintos, então f: N~f (N) é uma bijeção. Assim,o conjunto dos tarmos de qualquer seqüênciainfinita al'~' ... de termos distintos é enumerável.
d) N x N é enumerável. Escrevamos oproduto da seguinte forma:
( 0, ° )~ (O, 1) (O ,2 ) ~ ( ° ,3 ) .....
// /( 1, ° )~ ( 1, 1) (1,2) (1,3 ).....
/( 2, O) (2, 1) (2, 2) (2, 3 ).....
Reescrevendo N x N, seguindo as flechasobtemos a seqüência de termos distintos
(O, 0),( 0,1 ),( 1, 0),( 2, O},( 1,1 ),( 0,2},(0, 3 ),( 1, 2 L ...
que, pelo exemplo precedente, é umacoleção enumerável.
e) O conjunto Q*+ dos números racionaispositivos é enumerável. Escrevamos todas asfrações !!! m,n E N r n 1= ° da seguinte forma:
n1 1 1 1 1- ---t - - ---t - -1 2 3 4 5
2/ 2/2/ 2/21 L "3 "4 "5
;/ 3/ 3/ 3 /3- -
1 2 3 4 5
EM REVISTA
Reescrevendo essas frações seguindo asflechas e não repetindo os elementos temos umaseqüência de termos distintos. Logo, Q *+ é umconjunto enumerável.
f) Q, o conjunto dos números racionais éenumerável. De fato, consideremos a partiçãodisjunta de Q da seguinte forma: Q = Q*. u {O}uQ\
Admitindo que a união enumerável deconjuntos enumeráveis é enumerável,precisamos mostrar que os três conjuntos sãoenumeráveis. Como {O} é finito, logo éenumerável e Q* f::i Q* já que f(x)= -x é uma, + •bijeção. E suficiente mostrar que Q*+ éenumerável, o que já foi feito no item anterior.
Daqui vem que N f::i Z f::i Q.
3.Conjuntos não enumeráveis
3. 1.Detinição
Um conjunto X tem a potência do contínuoou cardinalidade c se e somente se X f::i [0,1].
3.2.Exemplos
a) [ ° ,1 1 é não enumerável.
Suponhamos, ao contrário, que A = [0,1 1é enumerável. Coloquemos
A = {xl ,x2, x3 r ••• }, onde Xi E N, ou seja,05:xi ::;1.Façamos a representação
xl = 0,alla12a13a14'"
x2 = 0,a21~2~3a24'"
onde aijE{0,1,2,3, ... 9} e Xi contendoinfinitos algarismos diferentes de zero. Isso querdizer que para números do tipo
1"2= 0,5 = 0,500000 ... usamos 0,49999 ...
Vamos tomar o número real Y E A, isto é,O::;y::;1. Assim,
Y = 0,b1b2b3,de modo que b1seja escolhido.Satisfazendo às condições b, 1=all e b, 1= O,b2 seráescolhido de modo que b, 1= a22 e b2 1= O, e assimpor diante, de modo que y;zóxj , y;to x2 ' •.• e assimy~A.
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!,DUCAfÇÃO MATEMÁ TlCA EM REX!E?J - RS
b) R é não enumerável.
-[0,1] ~ (0,1).
f:[O,1] ~ (0,1) dada por
f(x) =
se x = 1- e n E N *n
x, se XE B12' se
1n + 2'
X=o
é bijeção, com B = [O, 1]-{0, 1, 1/2, 1!3, ... } =(O,1)-{1!2, 1!3, ... }.
TI-(0,1) ~ Rjá que f(t) = tan(2 t) é bijeção.
-R\~R* ..-R= R\u to} uR* ..
c) A-:/-0, P( A) é o conjunto das partes de A.Cantor mostrou que #(A) < #(p(A».
d) #(0) = °#({0}) = 1#({0,{0}}) = 2
#(N)=#(Z)=#(Qj=X#( [O, l] ) = #( (O, l) ) = #R = C
Daí,
° < 1 < 2 < ... < X < c <...
4.Conclusão
Em conjuntos infinitos temos, pois, apossibilidade de relacionar as cardinalidades,
reunindo numa mesma categoria oucardinal idade conjuntos como N, Z e Q, não sendopossível afirmar que Q tem mais elementos doque Z e esse mais elementos do que N.
Numa outra categoria, podemos reunir osconjuntos R-Q dos números irracionais e R.
A cardinalidade da primeira categoria émenor do que a cardinal idade da segunda, sendopossível afirmar que o conjunto N é menor doque o conjunto R por exemplo.
Evidentemente, o assunto não se esgotaaqui. É possível relacíoná-l o com outros tipos deconjuntos, como o dos números algébricos, quenão é o propósito deste artigo, como afirmamosno início.
5.Bibliografia
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DOMINGUES, Hygino H. Espaços métricos eintrod. à topologia. SP. Editora Atual.1982.
NIVEN, Ivan. Números Racionais e Irracionais.RJ. Editora SBM.1984.
LIMA, Elon Lages. Análise Real-vol;l. RJ. EditoraIMPA.1989.
ÁVILA, Geraldo. Introdução á AnáliseMatemática. SP. Editora Blucher. 1995.
NEGRO, Adolfo. e. ZORIO,Valeriano. Cerca de Iamatemática( l)-fundamentos, álgebrabásica,anexos. Madrid, Espanha. EditoraAlhambra. 1975.
José Carlos Pinto Leivas - Prof. Fundação Universidade Federal do Rio GrandeCoordenador da Comissão de Curso de Matemática
(Oxx)53-236-3524 e-mail: [email protected]@furg.supflr.br
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