Jorma Louko and Jarmo Makela- Area spectrum of the Scharzschild black hole

8/3/2019 Jorma Louko and Jarmo Makela- Area spectrum of the Scharzschild black hole

1/30

D A M T P 9 6 { 5 3

P P 9 6 { 9 8

g r - q c / 9 6 0 5 0 5 8

A r e a s p e c t r u m o f t h e S c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l e

J o r m a L o u k o

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d , C o l l e g e P a r k , M a r y l a n d 2 0 7 4 2 { 4 1 1 1 , U S A

J a r m o M a k e l a

y

D e p a r t m e n t o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d T h e o r e t i c a l P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f C a m b r i d g e ,

S i l v e r S t r e e t , C a m b r i d g e C B 3 9 E W , U n i t e d K i n g d o m

( R e v i s e d v e r s i o n , S e p t e m b e r 1 9 9 6 . P u b l i s h e d i n P h y s . R e v . D 5 4 ( 1 9 9 6 ) , p p . 4 9 8 2 { 4 9 9 6 . )

A b s t r a c t

W e c o n s i d e r a H a m i l t o n i a n t h e o r y o f s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c v a c u u m E i n s t e i n

g r a v i t y u n d e r K r u s k a l - l i k e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h

t h e E i n s t e i n - R o s e n w o r m h o l e t h r o a t . T h e c o n g u r a t i o n v a r i a b l e i n t h e r e -

d u c e d c l a s s i c a l t h e o r y i s t h e r a d i u s o f t h e t h r o a t , i n a f o l i a t i o n t h a t i s f r o z e n

a t t h e l e f t h a n d s i d e i n n i t y b u t a s y m p t o t i c a l l y M i n k o w s k i a t t h e r i g h t h a n d

s i d e i n n i t y , a n d s u c h t h a t t h e p r o p e r t i m e a t t h e t h r o a t a g r e e s w i t h t h e r i g h t

h a n d s i d e M i n k o w s k i t i m e . T h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n i s n u m e r i c a l l y e q u a l t o

t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s . W i t h i n a c l a s s o f H a m i l t o n i a n q u a n t i z a t i o n s , w e s h o w

t h a t t h e s p e c t r u m o f t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r i s d i s c r e t e a n d b o u n d e d b e l o w ,

a n d c a n b e m a d e p o s i t i v e d e n i t e . T h e l a r g e e i g e n v a l u e s b e h a v e a s y m p t o t i -

c a l l y a s

p

2 k , w h e r e k i s a n i n t e g e r . T h e r e s u l t i n g a r e a s p e c t r u m a g r e e s w i t h

t h a t p r o p o s e d b y B e k e n s t e i n a n d o t h e r s . A n a l o g o u s r e s u l t s h o l d i n t h e p r e s -

e n c e o f a n e g a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t a n d e l e c t r i c c h a r g e . T h e c l a s s i c a l

i n p u t t h a t l e d t o t h e q u a n t u m r e s u l t s i s d i s c u s s e d .

P a c s : 0 4 . 6 0 . D s , 0 4 . 6 0 . K z , 0 4 . 7 0 . D y , 0 4 . 2 0 . F y

T y p e s e t u s i n g R E V T

E

X

O n l e a v e o f a b s e n c e f r o m D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f H e l s i n k i . E l e c t r o n i c a d d r e s s :

l o u k o @ w a m . u m d . e d u

y

E l e c t r o n i c a d d r e s s : j . m . m a k e l a @ d a m t p . c a m . a c . u k

1


2/30

I . I N T R O D U C T I O N

O n e o f t h e m o s t i n t r i g u i n g p r o b l e m s i n b l a c k h o l e t h e r m o d y n a m i c s i s t h e s t a t i s t i c a l

m e c h a n i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f b l a c k h o l e e n t r o p y . O n e s u r m i s e s t h a t b l a c k h o l e e n t r o p y s h o u l d

r e e c t a n o u t s i d e o b s e r v e r ' s i g n o r a n c e a b o u t t h e q u a n t u m m e c h a n i c a l m i c r o s t a t e s o f t h e

h o l e , b u t i t h a s p r o v e d v e r y d i c u l t t o c h a r a c t e r i z e w h a t e x a c t l y t h e s e q u a n t u m m e c h a n i c a l

m i c r o s t a t e s m i g h t b e . T h e r e a r e h i n t s t h a t t h e r e l e v a n t d e g r e e s o f f r e e d o m m a y l i v e o n t h e

h o r i z o n o f t h e h o l e 1 { 4 ] , i n s i t u a t i o n s w h e r e t h e h o r i z o n c a n b e m e a n i n g f u l l y d e n e d . T h e r e

i s a l s o e v i d e n c e t h a t b l a c k h o l e e n t r o p y d e s c r i b e s t h e e n t a n g l e m e n t b e t w e e n t h e d e g r e e s o f

f r e e d o m i n t h e i n t e r i o r a n d i n t h e e x t e r i o r o f t h e h o l e 5 { 8 ] . R e c e n t r e s u l t s f r o m s t r i n g t h e o r y

9 ] s u g g e s t t h a t b l a c k h o l e e n t r o p y c a n b e r e c o v e r e d b y c o u n t i n g t h e q u a n t u m m i c r o s t a t e s

e v e n i n s i t u a t i o n s w h e r e t h e d e n i t i o n o f t h e s e s t a t e s p r e s u p p o s e s n o b l a c k h o l e g e o m e t r y .

F o r r e v i e w s , s e e R e f s . 9 { 1 1 ] .

E v e n p r i o r t o H a w k i n g ' s p r e d i c t i o n o f b l a c k h o l e r a d i a t i o n 1 2 ] , t h e a n t i c i p a t e d c o n n e c t i o n

b e t w e e n b l a c k h o l e s a n d t h e r m o d y n a m i c s l e d B e k e n s t e i n 1 3 ] t o p r o p o s e t h a t t h e h o r i z o n

a r e a o f a b l a c k h o l e i s q u a n t i z e d i n i n t e g e r m u l t i p l e s o f a f u n d a m e n t a l s c a l e , p r e s u m a b l y o f

t h e o r d e r o f t h e s q u a r e o f t h e P l a n c k l e n g t h l

P l a n c k

=

p

~ G c

? 3

:

A = k l

2

P l a n c k

; ( 1 . 1 )

w h e r e k r a n g e s o v e r t h e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d i s a p u r e n u m b e r o f o r d e r o n e . T h i s p r o p o s a l

h a s s i n c e b e e n r e v i v e d o n v a r i o u s g r o u n d s ; s e e R e f s . 1 4 { 3 1 ] , a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n . A l t h o u g h

t h e h o r i z o n o f a ( c l a s s i c a l ) b l a c k h o l e i s a n o n l o c a l o b j e c t , i t s t o t a l a r e a i s c o m p l e t e l y

d e t e r m i n e d b y t h e i r r e d u c i b l e m a s s 3 2 ] , a n d o n e c a n t h e r e f o r e a l t e r n a t i v e l y v i e w t h e r u l e

( 1 . 1 ) a s a p r o p o s a l f o r t h e s p e c t r u m o f t h e q u a n t u m i r r e d u c i b l e m a s s o p e r a t o r .

1

A s t h e

i r r e d u c i b l e m a s s c a n c l a s s i c a l l y b e r e a d o f r o m t h e a s y m p t o t i c f a l l o o f t h e b l a c k h o l e

g r a v i t a t i o n a l e l d , o n e e x p e c t s s u c h a n o p e r a t o r t o b e s e n s i b l y d e n a b l e e v e n i n a q u a n t u m

t h e o r y t h a t o n l y r e f e r s t o o b s e r v a t i o n s m a d e a t a n a s y m p t o t i c a l l y a t i n n i t y . I n p a r t i c u l a r ,

f o r a S c h w a r z s c h i l d h o l e , t h e i r r e d u c i b l e m a s s c o i n c i d e s w i t h t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s .

T h e i m p l i c a t i o n s o f t h e a r e a s p e c t r u m ( 1 . 1 ) f o r m a c r o s c o p i c p h y s i c s w e r e r e c e n t l y e l a b -

o r a t e d o n b y B e k e n s t e i n a n d M u k h a n o v 2 6 ] . C o n s i d e r , f o r c o n c r e t e n e s s , a S c h w a r z s c h i l d

h o l e . T h e a r e a i s g i v e n i n t e r m s o f t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s M b y

A = 1 6

l

P l a n c k

m

P l a n c k

2

M

2

; ( 1 . 2 )

w h e r e m

P l a n c k

=

p

~ c G

? 1

i s t h e P l a n c k m a s s . N o w , ( 1 . 1 ) a n d ( 1 . 2 ) i m p l y t h a t M c a n o n l y

t a k e d i s c r e t e v a l u e s . W h e n t h e b l a c k h o l e e v a p o r a t e s , i t c a n t h u s o n l y m a k e t r a n s i t i o n s

b e t w e e n t h e m a s s e i g e n s t a t e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e d i s c r e t e v a l u e s . A s a c o n s e q u e n c e , t h e

r a d i a t i o n c o m e s o u t i n m u l t i p l e s o f a f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , w h i c h i s o f t h e s a m e o r d e r

a s t h e m a x i m u m o f H a w k i n g ' s b l a c k - b o d y s p e c t r u m , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g w a v e l e n g t h

i s o f t h e o r d e r o f t h e S c h w a r z s c h i l d r a d i u s o f t h e h o l e . T h i s m e a n s t h a t t h e r a d i a t i o n

1

W e t h a n k J o h n F r i e d m a n a n d P a w e l M a z u r f o r e m p h a s i z i n g t h i s t o u s .

2


3/30

w i l l d i e r f r o m t h e b l a c k - b o d y s p e c t r u m i n a w a y t h a t i s , i n p r i n c i p l e , m a c r o s c o p i c a l l y

o b s e r v a b l e . F o r e x a m p l e , i f M i s o f t h e o r d e r o f t e n s o l a r m a s s e s , o r 2 1 0

3 1

k g , t h e n t h e

f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y i s o f t h e o r d e r o f 0 : 1 k H z , w h i c h i s r o u g h l y t h e r e s o l v i n g p o w e r o f a n

o r d i n a r y p o r t a b l e r a d i o r e c e i v e r . T h e d i s c u s s i o n c a n a l s o b e g e n e r a l i z e d t o a c c o m m o d a t e a

n o n v a n i s h i n g a n g u l a r m o m e n t u m 1 3 ] .

A r g u m e n t s p r e s e n t e d i n f a v o r o f t h e a r e a s p e c t r u m ( 1 . 1 ) i n c l u d e q u a n t i z i n g t h e

a n g u l a r m o m e n t u m o f a r o t a t i n g b l a c k h o l e 1 3 ] , i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c c o n s i d e r a t i o n s

1 4 , 1 8 , 1 9 , 2 6 ] , s t r i n g t h e o r e t i c a r g u m e n t s 1 5 , 1 6 ] , p e r i o d i c i t y o f E u c l i d e a n o r L o r e n t z i a n t i m e

1 5 , 1 7 , 2 7 , 2 9 { 3 1 ] , a t r e a t m e n t o f t h e e v e n t h o r i z o n a s a m e m b r a n e w i t h c e r t a i n q u a n t u m m e -

c h a n i c a l p r o p e r t i e s 2 2 , 2 4 ] , a n d a H a m i l t o n i a n q u a n t i z a t i o n o f a d u s t c o l l a p s e 2 5 ] . R e c e n t l y ,

a m e m b r a n e m o d e l f o r t h e h o r i z o n 3 3 ] r e c o v e r e d a n a r e a s p e c t r u m t h a t i s n e r t h a n ( 1 . 1 ) ,

a n d a c a l c u l a t i o n w i t h i n a l o o p r e p r e s e n t a t i o n o f q u a n t u m g r a v i t y 3 4 ] r e c o v e r e d a n a r e a

s p e c t r u m t h a t e e c t i v e l y r e p r o d u c e s t h e P l a n c k i a n s p e c t r u m f o r b l a c k h o l e r a d i a t i o n . T h e

p u r p o s e o f t h e p r e s e n t p a p e r i s t o g i v e a d e r i v a t i o n o f ( e e c t i v e l y ) t h e s p e c t r u m ( 1 . 1 ) f r o m

a H a m i l t o n i a n q u a n t u m t h e o r y o f s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c E i n s t e i n g r a v i t y , w i t h j u d i c i o u s l y

c h o s e n d y n a m i c a l d e g r e e s o f f r e e d o m .

B y B i r k h o ' s t h e o r e m 3 5 ] , t h e l o c a l p r o p e r t i e s o f s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c v a c u u m E i n s t e i n

g e o m e t r i e s a r e c o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e d b y a s i n g l e p a r a m e t e r , t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s . I n a

c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n t h e o r y o f s u c h s p a c e t i m e s , t h e t r u e d y n a m i c a l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e

t h u s e x p e c t e d t o c o n t a i n i n f o r m a t i o n o n l y a b o u t t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s a n d t h e e m b e d d i n g

o f t h e s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s i n t h e s p a c e t i m e . I t w a s d e m o n s t r a t e d i n R e f s . 3 6 { 3 9 ] t h a t

t h i s i s i n d e e d t h e c a s e , u n d e r c e r t a i n t y p e s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t s p e c i f y t h e ( p o s s i b l y

a s y m p t o t i c ) e m b e d d i n g o f t h e e n d s o f t h e s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s i n t h e s p a c e t i m e . T h e

v a r i a b l e s o f t h e r e d u c e d t h e o r y t h e n c o n s i s t o f a s i n g l e c a n o n i c a l p a i r : t h e c o o r d i n a t e c a n b e

t a k e n t o b e t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s , a n d i t s c o n j u g a t e m o m e n t u m c a r r i e s t h e i n f o r m a t i o n

a b o u t t h e e v o l u t i o n o f t h e ( a s y m p t o t i c ) e n d s o f t h e s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s i n t h e s p a c e t i m e .

T h e t h e o r y i s t h u s n o l o n g e r a e l d t h e o r y , b u t a t h e o r y o f n i t e l y m a n y d e g r e e s o f f r e e d o m .

T h i s m e a n s , i n p a r t i c u l a r , t h a t q u a n t i z a t i o n o f t h e t h e o r y c a n b e a d d r e s s e d w i t h i n o r d i n a r y ,

n i t e d i m e n s i o n a l q u a n t u m m e c h a n i c s .

O u r H a m i l t o n i a n t h e o r y o f s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c v a c u u m s p a c e t i m e s w i l l b e b u i l t o n

t w o m a j o r a s s u m p t i o n s . F i r s t , w e s h a l l a d o p t f o r t h e s p a c e t i m e f o l i a t i o n t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s o f R e f . 3 8 ] . T h i s i m p l i e s t h a t t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n s h a v e a p o s i t i v e v a l u e o f t h e

S c h w a r z s c h i l d m a s s , a n d t h a t t h e s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s e x t e n d o n t h e K r u s k a l m a n i f o l d

f r o m t h e l e f t h a n d s i d e s p a c e l i k e i n n i t y t o t h e r i g h t h a n d s i d e s p a c e l i k e i n n i t y , c r o s s i n g

t h e h o r i z o n s i n a r b i t r a r y w a y s . W e s h a l l , h o w e v e r , s p e c i a l i z e t o t h e c a s e w h e r e t h e e v o l u t i o n

o f t h e h y p e r s u r f a c e s a t t h e l e f t h a n d s i d e i n n i t y i s f r o z e n , a n d t h e e v o l u t i o n a t t h e r i g h t

h a n d s i d e i n n i t y p r o c e e d s a t u n i t r a t e w i t h r e s p e c t t o t h e r i g h t h a n d s i d e a s y m p t o t i c

M i n k o w s k i t i m e . T h i s m e a n s t h a t , a p a r t f r o m c o n s t r a i n t s , t h e H a m i l t o n i a n w i l l c o n s i s t

o f a c o n t r i b u t i o n f r o m t h e r i g h t h a n d s i d e i n n i t y o n l y , a n d t h e v a l u e o f t h e H a m i l t o n i a n

i s e q u a l t o t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s . T h e p h y s i c a l r e a s o n f o r t h i s c h o i c e i s t h a t w h i l e o u r

t h e o r y w i l l r e m a i n t h a t o f v a c u u m s p a c e t i m e s , w e e x p e c t t h e s e c o n d i t i o n s t o c o r r e s p o n d t o

p h y s i c s a c c e s s i b l e t o a n i n e r t i a l o b s e r v e r a t o n e s p a c e l i k e i n n i t y , a t r e s t w i t h r e s p e c t t o

t h e h o l e : t h e p r o p e r t i m e o f s u c h a n o b s e r v e r i s o u r a s y m p t o t i c M i n k o w s k i t i m e , a n d t h e

A r n o w i t t - D e s e r - M i s n e r ( A D M ) m a s s o b s e r v e d i s t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s .

S e c o n d , w e s h a l l a d o p t a s o u r r e d u c e d d y n a m i c a l v a r i a b l e s a c a n o n i c a l p a i r t h a t i s i n t i -

3


4/30

m a t e l y r e l a t e d t o t h e d y n a m i c a l a s p e c t s o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d . O u r c o n g u r a t i o n v a r i a b l e

a c a n b e e n v i s a g e d a s t h e r a d i u s o f t h e E i n s t e i n - R o s e n w o r m h o l e t h r o a t 3 2 ] , i n a s p a c e t i m e

f o l i a t i o n i n w h i c h t h e p r o p e r t i m e a t t h e t h r o a t i n c r e a s e s a t t h e s a m e r a t e a s t h e a s y m p t o t i c

M i n k o w s k i t i m e a t t h e r i g h t h a n d s i d e i n n i t y . A n e x a m p l e o f a f o l i a t i o n s a t i s f y i n g t h e s e

c o n d i t i o n s c a n b e c o n s t r u c t e d b y t a k i n g t h e N o v i k o v c o o r d i n a t e s 3 2 ] a n d d e f o r m i n g t h e m

n e a r t h e l e f t h a n d s i d e i n n i t y t o c o n f o r m t o o u r b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h e r e .

T h e r e s u l t i n g c l a s s i c a l t h e o r y h a s t w o p r o p e r t i e s w h o s e p h y s i c a l i n t e r e s t s h o u l d b e e m -

p h a s i z e d . F i r s t , e v e r y c l a s s i c a l s o l u t i o n i s b o u n d e d , i n t h e s e n s e t h a t t h e v a r i a b l e a s t a r t s

f r o m z e r o , i n c r e a s e s t o t h e m a x i m u m v a l u e 2 M , w h e r e M i s t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s , a n d

t h e n c o l l a p s e s b a c k t o z e r o . T h i s e v o l u t i o n c o r r e s p o n d s t o t h e w o r m h o l e t h r o a t s t a r t i n g

f r o m t h e w h i t e h o l e s i n g u l a r i t y , e x p a n d i n g t o t h e b i f u r c a t i o n t w o - s p h e r e , a n d t h e n c o l l a p s -

i n g t o t h e b l a c k h o l e s i n g u l a r i t y . T h e s p a c e t i m e d y n a m i c s i n t h e s e v a r i a b l e s i s t h e r e f o r e , i n a

c e r t a i n s e n s e , c o n n e d t o t h e i n t e r i o r r e g i o n s o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d . T h i s p r o p e r t y r e e c t s

t h e p h y s i c s o b s e r v e d b y a n i n e r t i a l o b s e r v e r a t a s y m p t o t i c i n n i t y , a s s u c h a n o b s e r v e r s e e s

h e r e x t e r i o r r e g i o n o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d a s s t a t i c . S e c o n d , a s t h e p r o p e r t i m e o n t h e

t i m e l i k e g e o d e s i c s t h a t f o r m t h e t h r o a t t r a j e c t o r y i n c r e a s e s a t t h e s a m e r a t e a s t h e a s y m p -

t o t i c r i g h t h a n d s i d e M i n k o w s k i t i m e , o n e m a y r e g a r d o u r f o l i a t i o n a s a p r e f e r r e d o n e , b y t h e

p r i n c i p l e o f e q u i v a l e n c e , f o r r e l a t i n g t h e e x p e r i e n c e s o f a n i n e r t i a l o b s e r v e r a t t h e a s y m p -

t o t i c i n n i t y t o t h e e x p e r i e n c e s o f a n i n e r t i a l o b s e r v e r a t t h e t h r o a t . N o t e , h o w e v e r , t h a t

a s t h e t o t a l p r o p e r t i m e f r o m t h e i n i t i a l s i n g u l a r i t y t o t h e n a l s i n g u l a r i t y a l o n g t h e t h r o a t

t r a j e c t o r y i s n i t e , o u r c h o i c e o f t h e f o l i a t i o n i m p l i e s t h a t t h e t h r o a t r e a c h e s t h e w h i t e a n d

b l a c k h o l e s i n g u l a r i t i e s a t n i t e v a l u e s o f t h e a s y m p t o t i c r i g h t h a n d s i d e M i n k o w s k i t i m e .

A s t h e a s y m p t o t i c r i g h t h a n d s i d e M i n k o w s k i t i m e e v o l v e s a t u n i t r a t e w i t h r e s p e c t t o o u r

p a r a m e t e r t i m e , t h i s m e a n s t h a t t h e c l a s s i c a l t h e o r y i s i n c o m p l e t e : t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n s

c a n n o t b e e x t e n d e d t o a r b i t r a r i l y l a r g e v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r t i m e , n e i t h e r t o t h e p a s t n o r

t o t h e f u t u r e .

W e q u a n t i z e t h e t h e o r y b y H a m i l t o n i a n m e t h o d s , t r e a t i n g a a s a c o n g u r a t i o n v a r i a b l e ,

s p e c i f y i n g a c l a s s o f ` r e a s o n a b l e ' i n n e r p r o d u c t s , a n d p r o m o t i n g t h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n

i n t o a s e l f - a d j o i n t H a m i l t o n i a n o p e r a t o r . F o r c e r t a i n c h o i c e s o f t h e i n n e r p r o d u c t t h e H a m i l -

t o n i a n o p e r a t o r t u r n s o u t t o b e e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t , w h e r e a s i n t h e r e m a i n i n g c a s e s t h e

c l a s s o f s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n s i s p a r a m e t r i z e d b y U ( 1 ) a n d a s s o c i a t e d w i t h a b o u n d a r y

c o n d i t i o n a t a = 0 . W e n d t h a t t h e s p e c t r u m o f t h e H a m i l t o n i a n i s d i s c r e t e a n d b o u n d e d

b e l o w i n a l l t h e c a s e s . W h e n t h e H a m i l t o n i a n i s e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t , t h e s p e c t r u m i s

s t r i c t l y p o s i t i v e , a n d i n t h e r e m a i n i n g c a s e s t h e r e a l w a y s e x i s t s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n s f o r

w h i c h t h e s p e c t r u m i s s t r i c t l y p o s i t i v e . A W K B e s t i m a t e f o r t h e l a r g e e i g e n v a l u e s o f t h e

H a m i l t o n i a n y i e l d s , v i a ( 1 . 2 ) , t h e r e s u l t t h a t t h e l a r g e a r e a e i g e n v a l u e s a r e a s y m p t o t i c a l l y

g i v e n b y

2

A 3 2 k l

2

P l a n c k

+ c o n s t a n t + o ( 1 ) ; ( 1 . 3 )

w h e r e k i s a n i n t e g e r a n d o ( 1 ) d e n o t e s a t e r m t h a t v a n i s h e s a s y m p t o t i c a l l y a t l a r g e A . T h e

a d d i t i v e c o n s t a n t d e p e n d s o n t h e c h o i c e o f t h e i n n e r p r o d u c t a n d , w h e n t h e H a m i l t o n i a n

2

W e s h a l l u s e t h e s y m b o l t o d e n o t e a n a s y m p t o t i c e x p a n s i o n t h r o u g h o u t t h e p a p e r .

4


5/30

i s n o t e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t , a l s o o n t h e c h o i c e o f t h e s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n . W i t h t w o

p a r t i c u l a r c h o i c e s f o r t h e i n n e r p r o d u c t , w e c a n v e r i f y ( a n d i m p r o v e o n ) t h e a c c u r a c y o f t h i s

W K B r e s u l t r i g o r o u s l y ; w i t h a n o t h e r t w o p a r t i c u l a r c h o i c e s , w e c a n r i g o r o u s l y v e r i f y t h e

a c c u r a c y o f t h e l e a d i n g o r d e r t e r m . W e c a n t h e r e f o r e v i e w o u r t h e o r y a s p r o d u c i n g , f r o m a

H a m i l t o n i a n q u a n t u m t h e o r y c o n s t r u c t e d f r o m r s t p r i n c i p l e s , t h e a r e a s p e c t r u m ( 1 . 1 ) w i t h

= 3 2 .

W e s h a l l a r g u e t h a t t h e d i s c r e t e n e s s o f t h e q u a n t u m s p e c t r u m i s r e l a t e d t o t h e c l a s s i c a l

i n c o m p l e t e n e s s o f t h e t h e o r y . A s t h e v a r i a b l e a c l a s s i c a l l y r e a c h e s t h e s i n g u l a r i t y a t a = 0

w i t h i n n i t e p a r a m e t e r t i m e , b o t h i n t h e p a s t a n d i n t h e f u t u r e , t h e c l a s s i c a l t h e o r y c a n b e

t h o u g h t o f a s p a r t i c l e m o t i o n o n t h e p o s i t i v e h a l f - l i n e i n a c o n n i n g p o t e n t i a l . W h e n e v e r

t h e s e l f - a d j o i n t H a m i l t o n i a n o p e r a t o r i s c o n s t r u c t e d s o t h a t t h e p o s s i b l e ` q u a n t u m p o t e n -

t i a l ' p a r t d o e s n o t b e c o m e s i g n i c a n t , g e n e r a l t h e o r e m s g u a r a n t e e t h a t t h e s p e c t r u m o f t h e

H a m i l t o n i a n w i l l b e d i s c r e t e 4 0 , 4 1 ] . I n p h y s i c a l t e r m s , w a v e p a c k e t s f o l l o w i n g c l a s s i c a l t r a -

j e c t o r i e s w i l l b e r e e c t e d q u a n t u m m e c h a n i c a l l y f r o m t h e o r i g i n , a n d t h e q u a n t u m d y n a m i c s

w i l l i n t h i s s e n s e h a v e a q u a s i p e r i o d i c c h a r a c t e r . I n c o n t r a s t , i f t h e s p a c e t i m e f o l i a t i o n w e r e

c h o s e n s o t h a t i t w o u l d t a k e a n i n n i t e a m o u n t o f p a r a m e t e r t i m e f o r t h e v a r i a b l e a t o

r e a c h t h e s i n g u l a r i t y , t h e c l a s s i c a l t h e o r y c o u l d b e t h o u g h t o f a s p a r t i c l e m o t i o n o n t h e f u l l

r e a l l i n e i n a p o t e n t i a l t h a t i s c o n n i n g o n t h e r i g h t b u t n o t o n t h e l e f t . I n s u c h p o t e n -

t i a l s , t h e s p e c t r u m o f a s e l f - a d j o i n t H a m i l t o n i a n o p e r a t o r g e n e r i c a l l y h a s a c o n t i n u o u s p a r t ,

c o r r e s p o n d i n g p h y s i c a l l y t o t h e f a c t t h a t w a v e p a c k e t s c a n t r a v e l a r b i t r a r i l y f a r t o t h e l e f t

w i t h o u t b e i n g r e e c t e d . W e s h a l l p r e s e n t a s i m p l e e x a m p l e o f e a c h o f t h e s e t w o t y p e s o f

f o l i a t i o n , h a n d - p i c k e d s o t h a t t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r b e c o m e s e a s i l y t r a c t a b l e . F r o m t h e

r s t e x a m p l e w e c a n r e p r o d u c e t h e a r e a s p e c t r u m ( 1 . 1 ) w i t h a n a r b i t r a r y v a l u e o f t h e c o n -

s t a n t ; i n t h e s e c o n d e x a m p l e , t h e s p e c t r u m o f t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r w i l l b e c o n t i n u o u s

a n d c o n s i s t o f t h e f u l l n o n - n e g a t i v e h a l f - l i n e .

I n a d d i t i o n t o t h e a b o v e r e s u l t s f o r t h e v a c u u m t h e o r y , w e s h a l l a l s o b r i e y i n v e s t i g a t e t h e

i n c l u s i o n o f a x e d e l e c t r i c c h a r g e a n d a n e g a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t . W i t h t h e a n a l o g o u s

c h o i c e s f o r t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e p h a s e s p a c e c o o r d i n a t e s , a n d t h e H a m i l t o n i a n

q u a n t u m t h e o r y , w e a g a i n s h o w t h a t t h e s p e c t r u m o f t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r i s d i s c r e t e

a n d b o u n d e d b e l o w . T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e l a r g e e i g e n v a l u e s c o u l d p r e s u m a b l y b e a n a l y z e d

b y a s u i t a b l e g e n e r a l i z a t i o n o f o u r v a c u u m t e c h n i q u e s ; h o w e v e r , w e s h a l l n o t p u r s u e t h i s

i s s u e h e r e .

T h e r e s t o f t h e p a p e r i s a s f o l l o w s . I n s e c t i o n I I w e d e r i v e t h e r e d u c e d H a m i l t o n i a n t h e o r y

i n o u r p h a s e s p a c e v a r i a b l e s , s t a r t i n g f r o m K u c h a r ' s r e d u c e d p h a s e s p a c e v a r i a b l e s 3 8 ] a n d

p e r f o r m i n g t h e a p p r o p r i a t e c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n . T h e t h e o r y i s q u a n t i z e d i n s e c t i o n I I I ,

w i t h c o n s i d e r a b l e p a r t s o f t h e t e c h n i c a l a n a l y s i s d e f e r r e d t o t h e t h r e e a p p e n d i c e s . I n s e c t i o n

I V w e d i s c u s s t h e i n c l u s i o n o f t h e e l e c t r i c c h a r g e a n d a n e g a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t .

S e c t i o n V c o n t a i n s a b r i e f s u m m a r y a n d a d i s c u s s i o n .

F o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r w e s h a l l w o r k i n n a t u r a l u n i t s , ~ = c = G = 1 .

I I . C L A S S I C A L W O R M H O L E T H R O A T T H E O R Y

I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t a c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n t h e o r y o f t h e S c h w a r z s c h i l d b l a c k h o l e

i n t e r m s o f r e d u c e d p h a s e s p a c e v a r i a b l e s t h a t a r e a s s o c i a t e d w i t h a w o r m h o l e t h r o a t , i n a

5


6/30

s e n s e t o b e m a d e m o r e p r e c i s e b e l o w . W e r s t b r i e y r e c a l l , i n s u b s e c t i o n I I A , K u c h a r ' s

H a m i l t o n i a n r e d u c t i o n o f s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c v a c u u m g e o m e t r i e s 3 8 ] . I n s u b s e c t i o n I I B

w e d e r i v e t h e t h r o a t t h e o r y f r o m K u c h a r ' s r e d u c e d t h e o r y v i a a s u i t a b l e c a n o n i c a l t r a n s f o r -

m a t i o n .

A . K u c h a r r e d u c t i o n

W e s t a r t f r o m t h e g e n e r a l s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c A D M l i n e e l e m e n t

d s

2

= ? N

2

d t

2

+

2

( d r + N

r

d t )

2

+ R

2

d

2

; ( 2 . 1 )

w h e r e d

2

i s t h e m e t r i c o n t h e u n i t t w o - s p h e r e , a n d N , N

r

, , a n d R a r e f u n c t i o n s o f t a n d

r o n l y . W e a d o p t t h e f a l l o c o n d i t i o n s o f R e f . 3 8 ] . T h e s e c o n d i t i o n s r e n d e r t h e s p a c e t i m e

a s y m p t o t i c a l l y a t b o t h a t r ! 1 a n d r ! ? 1 , a n d t h e y m a k e j r j c o i n c i d e a s y m p t o t i c a l l y

w i t h t h e s p a c e l i k e r a d i a l p r o p e r d i s t a n c e c o o r d i n a t e i n M i n k o w s k i s p a c e . E a c h c l a s s i c a l

s o l u t i o n c o n s i s t s o f s o m e p o r t i o n o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d 3 2 ] , s u c h t h a t t h e c o n s t a n t t

h y p e r s u r f a c e s e x t e n d f r o m t h e l e f t h a n d s i d e s p a c e l i k e i n n i t y t o t h e r i g h t h a n d s i d e s p a c e l i k e

i n n i t y , c r o s s i n g t h e h o r i z o n s i n a r b i t r a r y w a y s . I n p a r t i c u l a r , t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s i s

p o s i t i v e f o r e v e r y c l a s s i c a l s o l u t i o n . T h e f a l l o c o n d i t i o n s a l s o g u a r a n t e e t h a t t h e f o u r -

m o m e n t u m a t t h e i n n i t i e s h a s n o s p a t i a l c o m p o n e n t : t h e b l a c k h o l e i s a t r e s t w i t h r e s p e c t

t o t h e l e f t a n d r i g h t a s y m p t o t i c M i n k o w s k i f r a m e s .

W e x t h e a s y m p t o t i c v a l u e s o f N a t r ! 1 t o b e p r e s c r i b e d t - d e p e n d e n t q u a n t i t i e s ,

d e n o t e d b y N

( t ) . T h e H a m i l t o n i a n f o r m o f t h e E i n s t e i n a c t i o n , w i t h a p p r o p r i a t e b o u n d a r y

t e r m s , r e a d s t h e n

S =

Z

d t

Z

1

? 1

d r

P

_

+ P

R

_

R ? N H ? N

r

H

r

?

Z

d t ( N

+

M

+

+ N

?

M

?

) ; ( 2 . 2 )

w h e r e H a n d H

r

a r e r e s p e c t i v e l y t h e s u p e r - H a m i l t o n i a n c o n s t r a i n t a n d t h e r a d i a l s u p e r m o -

m e n t u m c o n s t r a i n t . T h e q u a n t i t i e s M

( t ) a r e d e t e r m i n e d b y t h e a s y m p t o t i c f a l l o o f t h e

c o n g u r a t i o n v a r i a b l e s , a n d o n a c l a s s i c a l s o l u t i o n t h e y b o t h a r e e q u a l t o t h e S c h w a r z s c h i l d

m a s s . W e r e f e r t o R e f . 3 8 ] f o r t h e d e t a i l s . N o t e t h a t w h e n v a r y i n g t h e a c t i o n ( 2 . 2 ) , N

( t )

a r e c o n s i d e r e d x e d .

T h r o u g h a j u d i c i o u s l y c h o s e n c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n , f o l l o w e d b y e l i m i n a t i o n o f t h e

c o n s t r a i n t s b y H a m i l t o n i a n r e d u c t i o n , K u c h a r 3 8 ] b r i n g s t h e a c t i o n ( 2 . 2 ) t o t h e u n c o n -

s t r a i n e d H a m i l t o n i a n f o r m

S =

Z

d t p

_

m ? ( N

+

+ N

?

) m ] ; ( 2 . 3 )

w h e r e t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s m a n d p a r e f u n c t i o n s o f t o n l y . T h e d e g r e e s o f f r e e d o m

c o n s t i t u t e t h u s t h e s i n g l e c a n o n i c a l p a i r ( m ; p ) : t h e t h e o r y i s n o l o n g e r t h a t o f e l d s , b u t t h a t

o f n i t e l y m a n y d e g r e e s o f f r e e d o m . T h e v a r i a b l e s t a k e t h e v a l u e s m > 0 a n d ? 1


7/30

_

m = 0 ; ( 2 . 4 a )

_

p = ? N

+

? N

?

: ( 2 . 4 b )

F o r o u r p u r p o s e s , i t w i l l n o t b e n e c e s s a r y t o r e c a l l t h e d e t a i l s o f t h e d e r i v a t i o n o f t h e

a c t i o n ( 2 . 3 ) , b u t w h a t w i l l b e i m p o r t a n t i s t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r e d u c e d t h e o r y i n t e r m s

o f t h e s p a c e t i m e g e o m e t r y . O n e a c h c l a s s i c a l s o l u t i o n , t h e t i m e - i n d e p e n d e n t v a l u e o f m i s

s i m p l y t h e v a l u e o f t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s . B y B i r k h o ' s t h e o r e m , m t h u s c a r r i e s a l l t h e

i n f o r m a t i o n a b o u t t h e l o c a l g e o m e t r y o f t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n s . T h e v a r i a b l e p , o n t h e o t h e r

h a n d , i s e q u a l t o t h e d i e r e n c e o f t h e a s y m p t o t i c K i l l i n g t i m e s b e t w e e n t h e l e f t a n d r i g h t

i n n i t i e s o n a c o n s t a n t t h y p e r s u r f a c e , i n t h e c o n v e n t i o n w h e r e t h e K i l l i n g t i m e a t t h e r i g h t

( l e f t ) i n n i t y i n c r e a s e s t o w a r d s t h e f u t u r e ( p a s t ) . T h e t w o t e r m s i n t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n

( 2 . 4 b ) a r i s e r e s p e c t i v e l y f r o m t h e t w o i n n i t i e s . T h u s , p c o n t a i n s n o i n f o r m a t i o n a b o u t t h e

l o c a l g e o m e t r y , b u t i n s t e a d i t c a r r i e s t h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e a n c h o r i n g o f t h e s p a c e l i k e

h y p e r s u r f a c e s a t t h e t w o i n n i t i e s . N o t e t h a t p , a s t h e d i e r e n c e o f t h e a s y m p t o t i c K i l l i n g

t i m e s , i s i n v a r i a n t u n d e r t h e g l o b a l i s o m e t r i e s t h a t c o r r e s p o n d t o t r a n s l a t i o n s i n t h e K i l l i n g

t i m e .

B . H a m i l t o n i a n t h r o a t t h e o r y

W e s h a l l n o w m a k e t w o r e s t r i c t i o n s o n t h e r e d u c e d t h e o r y ( 2 . 3 ) . F i r s t , w e s p e c i a l i z e t o

N

+

= 1 a n d N

?

= 0 . T h i s m e a n s t h a t t h e p a r a m e t e r t i m e t c o i n c i d e s w i t h t h e a s y m p t o t i c

r i g h t h a n d s i d e M i n k o w s k i t i m e , u p t o a n a d d i t i v e c o n s t a n t , w h e r e a s a t t h e l e f t h a n d s i d e

i n n i t y t h e h y p e r s u r f a c e s r e m a i n f r o z e n a t t h e s a m e v a l u e o f t h e a s y m p t o t i c M i n k o w s k i t i m e

f o r a l l t . T h e a c t i o n r e a d s t h e n

S =

Z

d t ( p

_

m ? m ) : ( 2 . 5 )

T h e f a c t t h a t t h e H a m i l t o n i a n n o w e q u a l s s i m p l y m r e p r o d u c e s t h e f a m i l i a r i d e n t i c a t i o n

o f t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s a s t h e A D M e n e r g y , f r o m t h e v i e w p o i n t o f a s y m p t o t i c M i n k o w s k i

t i m e e v o l u t i o n a t o n e a s y m p t o t i c a l l y a t i n n i t y . O u r c h o i c e a s t o w h i c h o f t h e t w o i n n i t i e s

h a s b e e n t a k e n t o e v o l v e i s o f c o u r s e m e r e l y a c o n v e n t i o n , b u t t h e c h o i c e o f c o m p l e t e l y

f r e e z i n g t h e e v o l u t i o n a t t h e o t h e r i n n i t y a r i s e s f r o m t h e r e q u i r e m e n t t h a t o u r t h e o r y

d e s c r i b e p h y s i c s a c c e s s i b l e t o o b s e r v e r s a t j u s t o n e i n n i t y . W e s h a l l r e t u r n t o t h i s i s s u e i n

s e c t i o n V .

S e c o n d , f o r r e a s o n s t h a t w i l l b e c o m e t r a n s p a r e n t b e l o w , w e c o n n e t h e v a r i a b l e s b y h a n d

t o t h e r a n g e j p j < m . T h i s m e a n s t h a t i n e a c h c l a s s i c a l s o l u t i o n , t h e a s y m p t o t i c r i g h t h a n d

s i d e M i n k o w s k i t i m e o n l y t a k e s v a l u e s w i t h i n a n i n t e r v a l o f l e n g t h 2 m , c e n t e r e d a r o u n d

a v a l u e t h a t i s d i a g o n a l l y o p p o s i t e t o t h e n o n - e v o l v i n g l e f t e n d o f t h e h y p e r s u r f a c e s i n t h e

K r u s k a l d i a g r a m . I n t e r m s o f t h e p a r a m e t e r t i m e t , e a c h c l a s s i c a l s o l u t i o n i s t h e n d e n e d

o n l y f o r a n i n t e r v a l ? m < t ? t

0

< m , w h e r e t = t

0

i s t h e h y p e r s u r f a c e w h o s e t w o

a s y m p t o t i c e n d s a r e d i a g o n a l l y o p p o s i t e .

C o n s i d e r n o w t h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m t h e p a i r ( m ; p ) t o t h e n e w p a i r ( a ; p

a

) d e n e d b y

t h e e q u a t i o n s

7


8/30

j p j =

Z

2 m

a

d b

p

2 m b

? 1

? 1

=

p

2 m a ? a

2

+ m a r c s i n ( 1 ? a = m ) +

1

2

m ; ( 2 . 6 a )

p

a

= s g n ( p )

p

2 m a ? a

2

: ( 2 . 6 b )

T h e r a n g e s o f t h e v a r i a b l e s a r e a > 0 a n d ? 1 < p

a


9/30

t h r o u g h t h e K r u s k a l m a n i f o l d , a n d r e l e a s i n g f r o m t h i s h y p e r s u r f a c e a f a m i l y o f f r e e l y f a l l i n g

t e s t p a r t i c l e s w i t h a v a n i s h i n g i n i t i a l t h r e e - v e l o c i t y i n t h e S c h w a r z s c h i l d c o o r d i n a t e s . T h e

c o o r d i n a t e s ( ; R

) a r e t h e n d e n e d s o t h a t t h e y f o l l o w t h e s e t e s t p a r t i c l e s : t h e t r a j e c t o r i e s

a r e t h e l i n e s o f c o n s t a n t R

, a n d o n e a c h t r a j e c t o r y i s e q u a l t o t h e p r o p e r t i m e . T h e i n i t i a l

h y p e r s u r f a c e i s = 0 , w i t h R

> 0 a n d R


10/30

I I I . T H R O A T Q U A N T I Z A T I O N

I n t h i s s e c t i o n w e s h a l l q u a n t i z e t h e H a m i l t o n i a n t h r o a t t h e o r y o f s e c t i o n I I . W e s a w

a b o v e t h a t t h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n i s n u m e r i c a l l y e q u a l t o t h e S c h w a r z s c h i l d m a s s , a n d

t h a t t h i s H a m i l t o n i a n a r i s e s a s t h e e n e r g y w i t h r e s p e c t t o t h e M i n k o w s k i t i m e e v o l u t i o n a t

o n e a s y m p t o t i c a l l y a t i n n i t y . T h e q u a n t u m H a m i l t o n i a n o p e r a t o r c a n t h e r e f o r e b e v i e w e d

a s t h e e n e r g y o p e r a t o r w i t h r e s p e c t t o a n a s y m p t o t i c M i n k o w s k i f r a m e i n w h i c h t h e h o l e i s

a t r e s t . I n p a r t i c u l a r , t h e s p e c t r u m o f t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r b e c o m e s t h e A D M m a s s

s p e c t r u m o f t h e h o l e . O u r m a i n a i m w i l l b e a q u a l i t a t i v e a n a l y s i s o f t h i s s p e c t r u m .

W e t a k e t h e s t a t e s o f t h e q u a n t u m t h e o r y t o b e d e s c r i b e d b y f u n c t i o n s o f t h e c o n g u r a t i o n

v a r i a b l e a . T h e H i l b e r t s p a c e i s H : = L

2

( R

+

; d a ) , w i t h t h e i n n e r p r o d u c t

(

1

;

2

) =

Z

1

0

d a

1

2

; ( 3 . 1 )

w h e r e ( a ) i s s o m e s m o o t h p o s i t i v e w e i g h t f u n c t i o n . T o o b t a i n t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r

H ,

w e m a k e i n t h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n ( 2 . 8 ) t h e s u b s t i t u t i o n p

a

! ? i d = ( d a ) a n d a d o p t a

s y m m e t r i c o r d e r i n g w i t h r e s p e c t t o t h e i n n e r p r o d u c t ( 3 . 1 ) . T h e r e s u l t i s

H =

1

2

?

1

d

d a

a

d

d a

+ a

: ( 3 . 2 )

F o r t e c h n i c a l r e a s o n s , i t w i l l b e u s e f u l t o w o r k w i t h a n i s o m o r p h i c t h e o r y i n w h i c h t h e

i n n e r p r o d u c t a n d t h e k i n e t i c t e r m o f t h e H a m i l t o n i a n t a k e a m o r e c o n v e n t i o n a l f o r m . T o

a c h i e v e t h i s , w e w r i t e a = x

2 = 3

, =

3

2

x

1 = 3

2

, a n d =

? 1

. T h e t h e o r y a b o v e i s t h e n

m a p p e d t o t h e t h e o r y w h o s e H i l b e r t s p a c e i s H

0

: = L

2

( R

+

; d x ) , w i t h t h e i n n e r p r o d u c t

(

1

;

2

)

0

=

Z

1

0

d x

1

2

: ( 3 . 3 )

T h e n e w H a m i l t o n i a n o p e r a t o r i s

H

0

=

9

8

?

d

2

d x

2

+

4 x

2 = 3

9

+

0 0

; ( 3 . 4 )

w h e r e

0

= d = d x . B y c o n s t r u c t i o n ,

H

0

i s a s y m m e t r i c o p e r a t o r i n H

0

. N o t e t h a t i f w e h a d

r e t a i n e d d i m e n s i o n s , t h e ` q u a n t u m p o t e n t i a l ' t e r m

9

8

0 0

= w o u l d b e p r o p o r t i o n a l t o ~

2

.

T o c o m p l e t e l y s p e c i f y t h e q u a n t u m t h e o r y , w e n e e d t o m a k e

H

0

i n t o a s e l f - a d j o i n t o p e r -

a t o r o n H

0

. T h e p o s s i b l e w a y s o f d o i n g t h i s d e p e n d o n t h e q u a n t u m p o t e n t i a l t e r m

9

8

0 0

= .

F o r c o n c r e t e n e s s , w e s h a l l f r o m n o w o n t a k e = a

s

, w h e r e s i s a r e a l p a r a m e t e r . T h e q u a l -

i t a t i v e r e s u l t s w o u l d , h o w e v e r , b e a n a l o g o u s f o r a n y s u c i e n t l y s i m i l a r w i t h a p o w e r - l a w

a s y m p t o t i c b e h a v i o r a t a ! 0 a n d a ! 1 .

W i t h = a

s

,

H

0

t a k e s t h e f o r m

H

0

=

9

8

?

d

2

d x

2

+

4 x

2 = 3

9

+

r ( r

?1 )

x

2

; ( 3 . 5 )

w h e r e

1 0


11/30

r = ( 2 s ? 1 ) = 6 f o r s 2 ; ( 3 . 6 a )

r = ( 7 ? 2 s ) = 6 f o r s


12/30

i n t h i s c a s e g i v e n ( l o c a l l y ) b y t h e R e i s s n e r - N o r d s t r o m - a n t i - d e S i t t e r m e t r i c 3 5 ]

d s

2

= ?

1 ?

2 M

R

+

Q

2

R

2

+

R

2

2

d T

2

+

d R

2

1 ?

2 M

R

+

Q

2

R

2

+

R

2

2

+ R

2

d

2

; ( 4 . 1 a )

w i t h t h e e l e c t r o m a g n e t i c p o t e n t i a l o n e - f o r m

A =

Q

R

d T : ( 4 . 1 b )

T h e p a r a m e t e r s M a n d Q a r e r e f e r r e d t o a s t h e m a s s a n d t h e ( e l e c t r i c ) c h a r g e , a n d t h e

c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t h a s b e e n w r i t t e n i n t e r m s o f t h e p o s i t i v e p a r a m e t e r a s ? 3

? 2

. F o r

t h e g l o b a l s t r u c t u r e o f t h e s p a c e t i m e , s e e R e f s . 4 2 , 4 3 ] . W e s h a l l u n d e r s t a n d t h e c a s e o f a

v a n i s h i n g c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t a s t h e l i m i t ! 1 , a n d i n t h i s c a s e t h e a b o v e s o l u t i o n

r e d u c e s t o t h e R e i s s n e r - N o r d s t r o m s o l u t i o n .

T h e H a m i l t o n i a n s t r u c t u r e o f t h e s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c E i n s t e i n - M a x w e l l s y s t e m w i t h

a c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t w a s a n a l y z e d b y a t e c h n i q u e r e l a t e d t o A s h t e k a r ' s v a r i a b l e s i n R e f s .

4 4 , 4 5 ] . A n a n a l y s i s v i a a K u c h a r - t y p e c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n a n d H a m i l t o n i a n r e d u c t i o n ,

b o t h w i t h a n d w i t h o u t a n e g a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , w a s g i v e n i n R e f . 4 6 ] . A l t h o u g h

t h e f o c u s o f R e f . 4 6 ] w a s o n t h e r m o d y n a m i c a l l y m o t i v a t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w h i c h

c o n n e t h e c o n s t a n t t h y p e r s u r f a c e s t o o n e e x t e r i o r r e g i o n o f t h e s p a c e t i m e , t h e d i s c u s s i o n

t h e r e i n g e n e r a l i z e s w i t h o u t e s s e n t i a l d i c u l t y t o b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t a l l o w t h e c o n -

s t a n t t h y p e r s u r f a c e s t o e x t e n d f r o m a l e f t h a n d s i d e s p a c e l i k e i n n i t y t o t h e c o r r e s p o n d i n g

r i g h t h a n d s i d e s p a c e l i k e i n n i t y , c r o s s i n g t h e e v e n t h o r i z o n s i n a r b i t r a r y w a y s b u t c r o s s i n g

n o i n n e r h o r i z o n s . T h e n e w t e c h n i c a l i s s u e s a r i s e m a i n l y f r o m t h e f a c t t h a t w i t h a n e g -

a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , t h e l e f t a n d r i g h t i n n i t i e s a r e a s y m p t o t i c a l l y a n t i - d e S i t t e r

r a t h e r t h a n a s y m p t o t i c a l l y a t . T h e n e w p h y s i c a l i s s u e s a r i s e m a i n l y i n t h e c h o i c e o f t h e

e l e c t r o m a g n e t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e i n n i t i e s .

W e s h a l l h e r e c o n c e n t r a t e o n t h e t h e o r y w h e r e t h e e l e c t r i c c h a r g e i s x e d a t t h e i n n i -

t i e s . I n t h e r e d u c e d t h e o r y , t h e c h a r g e t h e n b e c o m e s a n e n t i r e l y n o n d y n a m i c a l , e x t e r n a l

p a r a m e t e r , w h i c h w e d e n o t e b y q . O n a c l a s s i c a l s o l u t i o n , q i s e q u a l t o Q i n ( 4 . 1 ) .

T h e a c t i o n o f t h e r e d u c e d t h e o r y t a k e s t h e f o r m ( 2 . 3 ) . O n t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n s , m

i s e q u a l t o t h e m a s s p a r a m e t e r M o f ( 4 . 1 a ) . T h e c a n o n i c a l c o n j u g a t e p a g a i n e q u a l s t h e

d i e r e n c e i n t h e a s y m p t o t i c K i l l i n g t i m e s b e t w e e n t h e l e f t a n d r i g h t e n d s o f a c o n s t a n t t

h y p e r s u r f a c e . T h e r a n g e o f m i s m > m

c r i t

, w h e r e t h e c r i t i c a l v a l u e m

c r i t

( q ; ) i s p o s i t i v e f o r

q 6= 0 a n d v a n i s h e s f o r q = 0 : t h i s r e s t r i c t i o n a r i s e s f r o m t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e c l a s s i c a l

s o l u t i o n s h a v e a n o n d e g e n e r a t e e v e n t h o r i z o n 4 2 , 4 3 , 4 6 ] . T h e r a n g e o f p i s ? 1


13/30

T h e v a l u e o f t h e H a m i l t o n i a n o n a c l a s s i c a l s o l u t i o n i s t h e n e q u a l t o t h e m a s s p a r a m e t e r .

F o r ! 1 t h i s r e p r o d u c e s t h e i d e n t i c a t i o n o f t h e m a s s a s t h e A D M e n e r g y f r o m t h e

v i e w p o i n t o f a s y m p t o t i c M i n k o w s k i t i m e e v o l u t i o n a t o n e i n n i t y , j u s t a s i n t h e u n c h a r g e d

c a s e i n s e c t i o n I I . F o r 0 < `


14/30

o b t a i n e d f r o m t h e H a m i l t o n i a n ( 4 . 3 ) a r e p e r i o d i c o s c i l l a t i o n s i n t h e i n t e r v a l a

?

a a

+

,

b u t o u r d e r i v a t i o n o f t h i s H a m i l t o n i a n i s o n l y v a l i d o n e a c h s o l u t i o n b e t w e e n t w o s u c c e s s i v e

m i n i m a o f a . N o w , i t i s c l e a r t h a t f o l i a t i o n s o f t h e d e s i r e d k i n d e x i s t : t h e t i m e l i k e g e o d e s i c

s t a r t s w i t h a = a

?

a t t h e p a s t C a u c h y h o r i z o n b i f u r c a t i o n t w o - s p h e r e , r e a c h e s a = a

+

a t t h e

e v e n t h o r i z o n b i f u r c a t i o n t w o - s p h e r e , a n d e n d s w i t h a = a

?

a t t h e f u t u r e C a u c h y h o r i z o n

b i f u r c a t i o n t w o - s p h e r e .

F i n a l l y , f o r q 6= 0 a n d 0 < `


15/30

g a t e d v i a a s u i t a b l e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e W K B t e c h n i q u e s o f a p p e n d i x B . W e s h a l l , h o w e v e r ,

n o t a t t e m p t t o c a r r y o u t s u c h a n a n a l y s i s h e r e .

V . D I S C U S S I O N

I n t h i s p a p e r w e h a v e c o n s i d e r e d a H a m i l t o n i a n t h e o r y o f s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c v a c u u m

E i n s t e i n g r a v i t y u n d e r K r u s k a l - l i k e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e f o l i a t i o n w a s c h o s e n s u c h

t h a t t h e e v o l u t i o n o f t h e s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s i s f r o z e n a t t h e l e f t h a n d s i d e i n n i t y , b u t

p r o c e e d s a t u n i t r a t e w i t h r e s p e c t t o t h e a s y m p t o t i c M i n k o w s k i t i m e a t t h e r i g h t h a n d s i d e

i n n i t y . T h e r e d u c e d H a m i l t o n i a n t h e o r y w a s w r i t t e n i n a s e t o f v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h

t h e E i n s t e i n - R o s e n w o r m h o l e t h r o a t : t h e c o n g u r a t i o n v a r i a b l e i s t h e r a d i u s o f t h e t h r o a t ,

i n a f o l i a t i o n i n w h i c h t h e p r o p e r t i m e a t t h e t h r o a t a g r e e s w i t h t h e a s y m p t o t i c r i g h t h a n d

s i d e M i n k o w s k i t i m e . T h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n i s n u m e r i c a l l y e q u a l t o t h e S c h w a r z s c h i l d

m a s s .

W e q u a n t i z e d t h e t h e o r y b y H a m i l t o n i a n m e t h o d s , t a k i n g t h e w a v e f u n c t i o n s t o b e f u n c -

t i o n s o f t h e c l a s s i c a l c o n g u r a t i o n v a r i a b l e , a n d i n c l u d i n g a g e n e r a l p o w e r - l a w w e i g h t f a c t o r

i n t h e i n n e r p r o d u c t . T h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n w a s p r o m o t e d i n t o a s e l f - a d j o i n t H a m i l -

t o n i a n o p e r a t o r . W e f o u n d t h a t t h e s p e c t r u m o f t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r i s d i s c r e t e a n d

b o u n d e d b e l o w f o r a l l t h e c h o i c e s o f t h e w e i g h t f a c t o r . I n t h e c a s e s w h e r e t h e H a m i l t o -

n i a n o p e r a t o r i s e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t , t h e s p e c t r u m i s n e c e s s a r i l y p o s i t i v e d e n i t e ; i n t h e

r e m a i n i n g c a s e s , s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n s w i t h a p o s i t i v e d e n i t e s p e c t r u m a l w a y s e x i s t . I n

a l l t h e c a s e s , a W K B e s t i m a t e g a v e f o r t h e l a r g e e i g e n v a l u e s t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r

p

2 k ,

w h e r e k i s a n i n t e g e r , a n d w e w e r e a b l e t o r i g o r o u s l y v e r i f y t h e a c c u r a c y o f t h i s e s t i m a t e

f o r f o u r p a r t i c u l a r c h o i c e s o f t h e w e i g h t f a c t o r . T h e r e s u l t i n g s p e c t r u m f o r t h e a r e a o f t h e

b l a c k h o l e a g r e e s w i t h t h e s p e c t r u m ( 1 . 1 ) p r o p o s e d b y B e k e n s t e i n a n d o t h e r s , w i t h t h e d i -

m e n s i o n l e s s c o n s t a n t t a k i n g t h e v a l u e 3 2 . W e a l s o s h o w e d t h a t a n a l o g o u s r e s u l t s c a n b e

o b t a i n e d i n t h e p r e s e n c e o f a x e d e l e c t r i c c h a r g e a n d a n e g a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t .

I t i s p e r h a p s w o r t h e m p h a s i z i n g t h a t t h e b a s i c p o s t u l a t e s o f o u r q u a n t u m t h e o r y c o n s i s t e d

o f t h e c h o i c e o f a H i l b e r t s p a c e a n d a s e l f - a d j o i n t H a m i l t o n i a n o p e r a t o r o n i t . W e d i d n o t

a t t e m p t t o d e n e m o r e ` e l e m e n t a r y ' o p e r a t o r s , s u c h a s t h o s e f o r ` p o s i t i o n ' o r ` m o m e n t u m ' ,

s e l f - a d j o i n t o r o t h e r w i s e , f r o m w h i c h t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r c o u l d b e c o n s t r u c t e d . T h i s

i s s u e m i g h t m e r i t f u r t h e r s t u d y w i t h i n s o m e g e o m e t r i c o r a l g e b r a i c f r a m e w o r k o f q u a n t i z a t i o n

4 9 { 5 1 ] .

4

E v e n t h o u g h o u r t h e o r y i s t h a t o f p u r e v a c u u m , o u r b o u n d a r y c o n d i t i o n s w e r e c h o s e n

s o a s t o m a k e t h e r e s u l t s r e l e v a n t f o r p h y s i c s t h a t i s a c c e s s i b l e t o a n i n e r t i a l o b s e r v e r a t

a s p a c e l i k e i n n i t y . O u r s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s h a v e e v o l u t i o n a t o n l y o n e i n n i t y , a n d

t h e r e t h e y e v o l v e a t u n i t r a t e w i t h r e s p e c t t o t h e a s y m p t o t i c M i n k o w s k i t i m e . O u r c l a s s i c a l

H a m i l t o n i a n i s t h e r e f o r e t h e g r a v i t a t i o n a l H a m i l t o n i a n w i t h r e s p e c t t o t h e p r o p e r t i m e o f

4

F o r e x a m p l e , n o t e t h a t t h e k i n e t i c t e r m o f t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r

H ( 3 . 2 ) c a n b e w r i t t e n a s

1

2

? 1 = 2

p

a

a

? 1

p

a

? 1 = 2

, w h e r e ^ p

a

: 7! ? i

? 1 = 2

( d = d a )

1 = 2

i s a s y m m e t r i c ( b u t n o t s e l f - a d j o i n t )

m o m e n t u m o p e r a t o r t h a t c a n b e r e g a r d e d a s c o n j u g a t e t o t h e p o s i t i o n o p e r a t o r ^ a : 7! a . W e

t h a n k T h o m a s S t r o b l f o r t h i s o b s e r v a t i o n .

1 5


16/30

a n i n e r t i a l o b s e r v e r a t t h e i n n i t y , a t r e s t w i t h r e s p e c t t o t h e h o l e . I t i s t h u s r e a s o n a b l e

t o t h i n k o f t h e e i g e n v a l u e s o f t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r a s t h e p o s s i b l e o u t c o m e s t h a t a n

a s y m p t o t i c o b s e r v e r w o u l d i n p r i n c i p l e o b t a i n w h e n m e a s u r i n g t h e A D M m a s s o f t h e h o l e . I n

a g i v e n ( p u r e ) q u a n t u m s t a t e , t h e p r o b a b i l i t y f o r o b t a i n i n g a g i v e n e i g e n v a l u e i s d e t e r m i n e d

b y t h e c o m p o n e n t o f t h e s t a t e i n t h e r e s p e c t i v e e i g e n s p a c e i n t h e s t a n d a r d w a y . A l t h o u g h

w e a r e h e r e f o r c o n c r e t e n e s s u s i n g l a n g u a g e a d a p t e d t o a C o p e n h a g e n - t y p e i n t e r p r e t a t i o n ,

a t r a n s l a t i o n i n t o i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e m a n y - w o r l d s t y p e c o u l d e a s i l y b e m a d e .

O n e c a n a l s o m a k e a c a s e t h a t o u r t h r o a t v a r i a b l e a d e p i c t s i n a p a r t i c u l a r l y n a t u r a l w a y

t h e d y n a m i c a l a s p e c t s o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d . C l a s s i c a l l y , t h e w o r m h o l e t h r o a t b e g i n s l i f e

a t t h e w h i t e h o l e s i n g u l a r i t y , e x p a n d s t o m a x i m u m r a d i u s a t t h e b i f u r c a t i o n t w o - s p h e r e , a n d

c o l l a p s e s t o t h e b l a c k h o l e s i n g u l a r i t y . T h e d y n a m i c s o f a i s t h e r e f o r e , i n a c e r t a i n s e n s e ,

c o n n e d t o t h e i n t e r i o r r e g i o n s o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d , a n d t h e s e a r e p r e c i s e l y t h e r e g i o n s

t h a t d o n o t a d m i t a t i m e l i k e K i l l i n g v e c t o r . F r o m a p h y s i c a l v i e w p o i n t , u s i n g a v a r i a b l e w i t h

t h i s p r o p e r t y i s m o t i v a t e d b y t h e f a c t t h a t a n i n e r t i a l o b s e r v e r a t a s p a c e l i k e i n n i t y s e e s

h e r e x t e r i o r r e g i o n o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d a s s t a t i c . F u r t h e r , o u r f o l i a t i o n m a d e t h e p r o p e r

t i m e a t t h e t h r o a t i n c r e a s e a t t h e s a m e r a t e a s t h e a s y m p t o t i c r i g h t h a n d s i d e M i n k o w s k i

t i m e : b y t h e p r i n c i p l e o f e q u i v a l e n c e , o n e m a y s e e t h i s a s t h e p r e f e r r e d c o n d i t i o n f o r r e l a t i n g

t h e e x p e r i e n c e s o f a n i n e r t i a l o b s e r v e r a t t h e a s y m p t o t i c i n n i t y t o t h e e x p e r i e n c e s o f a n

i n e r t i a l o b s e r v e r a t t h e t h r o a t . W e r e c a l l , i n c o n t r a s t , t h a t t h e r e d u c e d p h a s e s p a c e v a r i a b l e s

o f R e f s . 3 6 { 3 8 ] r e e c t m o r e c l o s e l y t h e s t a t i c a s p e c t s o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d . Y e t a n o t h e r

s e t o f v a r i a b l e s h a s b e e n d i s c u s s e d i n R e f s . 5 2 , 5 3 ] .

W i t h t h i s p h y s i c a l p i c t u r e , t h e p r o p e r t i e s w e o b t a i n e d f o r t h e s p e c t r u m o f t h e H a m i l -

t o n i a n o p e r a t o r a c q u i r e c o n s e q u e n c e s o f d i r e c t p h y s i c a l i n t e r e s t . A t t h e l o w e n d o f t h e

s p e c t r u m , t h e f a c t t h a t t h e H a m i l t o n i a n i s b o u n d e d b e l o w i n d i c a t e s s t a b i l i t y : o n e c a n n o t

e x t r a c t f r o m t h e s y s t e m a n i n n i t e a m o u n t o f e n e r g y . A t t h e h i g h e n d o f t h e s p e c t r u m ,

i n t h e s e m i c l a s s i c a l r e g i m e o f t h e t h e o r y , t h e d i s c r e t e n e s s o f t h e s p e c t r u m i n a c c o r d a n c e

w i t h t h e a r e a q u a n t i z a t i o n r u l e ( 1 . 1 ) y i e l d s t h e m a c r o s c o p i c a l l y o b s e r v a b l e c o n s e q u e n c e s

d i s c u s s e d b y B e k e n s t e i n a n d M u k h a n o v 2 6 ] . I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d , h o w e v e r , t h a t t h e s e

a r g u m e n t s o p e r a t e a t a s o m e w h a t f o r m a l l e v e l , a s o u r t h e o r y d o e s n o t d e s c r i b e h o w t h e

q u a n t u m b l a c k h o l e w o u l d i n t e r a c t w i t h o t h e r d e g r e e s o f f r e e d o m , s u c h a s d e p a r t u r e s f r o m

s p h e r i c a l s y m m e t r y o r m a t t e r e l d s .

O n t h e g r o u n d s o f c l a s s i c a l p o s i t i v e e n e r g y t h e o r e m s , o n e m a y f e e l i n c l i n e d t o e x c l u d e b y

a t q u a n t u m t h e o r i e s i n w h i c h t h e g r o u n d s t a t e e n e r g y o f a n i s o l a t e d s e l f - g r a v i t a t i n g s y s t e m

i s n e g a t i v e . A m o n g o u r t h e o r i e s , t h i s w o u l d a m o u n t t o a r e s t r i c t i o n o n t h e s e l f - a d j o i n t e x -

t e n s i o n i n t h e c a s e s w h e r e t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r i s n o t e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t . H o w e v e r ,

g i v e n t h e f r e e d o m t h a t w e h a v e a l r e a d y a l l o w e d i n t h e c h o i c e o f t h e t h e i n n e r p r o d u c t , i t

w o u l d b e a r e l a t i v e l y m i n o r f u r t h e r g e n e r a l i z a t i o n t o a d d t o o u r H a m i l t o n i a n o p e r a t o r t h e

i d e n t i t y o p e r a t o r w i t h s o m e r e a l c o e c i e n t , a n d t o t a k e t h e c o e c i e n t a s a n e w p a r a m e t e r

i n t h e q u a n t u m t h e o r y .

5

T h e c l a s s i c a l l i m i t o f t h e q u a n t u m t h e o r y w o u l d s t i l l b e c o r r e c t ,

p r o v i d e d t h e n e w p a r a m e t e r i s u n d e r s t o o d t o b e p r o p o r t i o n a l t o P l a n c k ' s c o n s t a n t . W h e n

t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r i s n o t e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t , a n y g i v e n s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n c a n

5

W e t h a n k J o h n F r i e d m a n f o r t h i s o b s e r v a t i o n .

1 6


17/30

t h e n b e m a d e p o s i t i v e d e n i t e b y c h o o s i n g t h e n e w p a r a m e t e r s u c i e n t l y l a r g e . N o t e , h o w -

e v e r , t h a t w i t h a n y x e d v a l u e o f t h e n e w p a r a m e t e r , t h e r e s t i l l e x i s t s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n s

w h o s e g r o u n d s t a t e e n e r g y i s a r b i t r a r i l y n e g a t i v e .

I n s e c t i o n I I , w e o b t a i n e d t h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n t h r o a t t h e o r y b y r s t g o i n g f r o m

t h e g e o m e t r o d y n a m i c a l H a m i l t o n i a n v a r i a b l e s t o K u c h a r ' s r e d u c e d H a m i l t o n i a n t h e o r y , a n d

t h e n p e r f o r m i n g a s u i t a b l e c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f o u r v a r i a b l e a

a s t h e r a d i u s o f t h e w o r m h o l e t h r o a t w a s o n l y i n t r o d u c e d a f t e r t h e f a c t , b y a p p e a l i n g t o

a p a r t i c u l a r c h o i c e o f t h e s p a c e t i m e f o l i a t i o n . W e t o o k t h e s a m e r o u t e i n t h e p r e s e n c e o f

c h a r g e a n d a n e g a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t i n s e c t i o n I V . W e h a v e n o t d i s c u s s e d h e r e h o w t o

d e r i v e a t h r o a t t h e o r y d i r e c t l y f r o m t h e u n r e d u c e d g e o m e t r o d y n a m i c a l H a m i l t o n i a n t h e o r y

b y i n t r o d u c i n g a g a u g e a n d p e r f o r m i n g t h e H a m i l t o n i a n r e d u c t i o n , b u t w i t h t h e a p p r o p r i a t e

g a u g e c h o i c e , t h e r e s u l t i n g t h e o r y s h o u l d b y c o n s t r u c t i o n b e a t l e a s t l o c a l l y i d e n t i c a l t o o u r s .

T h e o n l y c a s e w h e r e o n e a n t i c i p a t e s a d i e r e n c e i n t h e g l o b a l p r o p e r t i e s i s i n t h e p r e s e n c e

o f b o t h a n o n v a n i s h i n g c h a r g e a n d a n e g a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t . I n t h i s c a s e , w e s a w

i n s e c t i o n I V t h a t w h i l e o u r t h r o a t t h e o r y i s v a l i d o n e a c h c l a s s i c a l s o l u t i o n b e t w e e n t w o

s u c c e s s i v e m i n i m a o f a , t h e w o r m h o l e t h r o a t i n t e r p r e t a t i o n c o u l d b e m a i n t a i n e d f o r a l l

o f t h i s i n t e r v a l o n l y b y a p p e a l i n g t o a f o l i a t i o n t h a t i s n o t e v e r y w h e r e s p a c e l i k e . A d i r e c t

H a m i l t o n i a n r e d u c t i o n o f t h e g e o m e t r o d y n a m i c a l t h e o r y i n t h e c o r r e s p o n d i n g w o r m h o l e - t y p e

g a u g e w o u l d t h u s o n l y y i e l d o u r t h e o r y i n a m o r e l i m i t e d d o m a i n , v a l i d o n e a c h c l a s s i c a l

s o l u t i o n i n a c e r t a i n i n t e r v a l a r o u n d a m a x i m u m o f a .

O u r c h o i c e o f f r e e z i n g t h e e v o l u t i o n o f t h e s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s a t t h e l e f t h a n d s i d e

i n n i t y w a s m o t i v a t e d b y t h e d e s i r e t o h a v e a t h e o r y t h a t w o u l d d e s c r i b e p h y s i c s a c c e s s i b l e

t o o b s e r v e r s a t j u s t o n e i n n i t y . F o r a v a n i s h i n g c h a r g e a n d c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , t h i s

m o t i v a t i o n c a n b e i m p l e m e n t e d a t t h e v e r y b e g i n n i n g b y s e t t i n g u p t h e H a m i l t o n i a n t h e o r y

n o t o n t h e K r u s k a l m a n i f o l d , b u t i n s t e a d o n t h e R P

3

g e o n 5 4 ] . T o s e e t h i s , r e c a l l 5 4 ]

t h a t t h e R P

3

g e o n i s t h e q u o t i e n t o f t h e K r u s k a l m a n i f o l d u n d e r a f r e e l y a c t i n g i n v o l u t i v e

i s o m e t r y : t h i s i s o m e t r y c o n s i s t s o f a r e e c t i o n o f t h e K r u s k a l d i a g r a m a b o u t t h e v e r t i c a l

t i m e l i k e l i n e t h r o u g h t h e b i f u r c a t i o n p o i n t , f o l l o w e d b y t h e a n t i p o d a l m a p o n t h e t w o -

s p h e r e . T h e R P

3

g e o n h a s t h u s o n l y o n e e x t e r i o r r e g i o n , i d e n t i c a l t o o n e o f t h e K r u s k a l

e x t e r i o r r e g i o n s . F u r t h e r , t h e R P

3

g e o n p o s s e s s e s a d i s t i n g u i s h e d R P

2

o f t i m e l i k e g e o d e s i c s

t h r o u g h t h e i m a g e o f t h e K r u s k a l b i f u r c a t i o n t w o - s p h e r e : i n t h e P e n r o s e d i a g r a m 5 4 ] ,

t h e s e g e o d e s i c s g o s t r a i g h t u p a l o n g t h e ` b o u n d a r y ' o f t h e d i a g r a m . T h e e x i s t e n c e o f t h e

d i s t i n g u i s h e d g e o d e s i c s r e e c t s t h e f a c t t h a t t r a n s l a t i o n s i n t h e K i l l i n g t i m e o n t h e K r u s k a l

m a n i f o l d d o n o t d e s c e n d i n t o g l o b a l l y d e n e d i s o m e t r i e s o f t h e R P

3

g e o n . N o w , K u c h a r ' s

c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n a n d H a m i l t o n i a n r e d u c t i o n g e n e r a l i z e r e a d i l y t o t h e R P

3

g e o n 3 9 ] .

T h e r e d u c e d a c t i o n i s o b t a i n e d f r o m ( 2 . 3 ) b y s e t t i n g N

?

= 0 , a n d t h e m o m e n t u m p i s n o w

e q u a l t o t h e d i e r e n c e o f t h e K i l l i n g t i m e s b e t w e e n t h e d i s t i n g u i s h e d t i m e l i k e g e o d e s i c s a n d

t h e s i n g l e s p a c e l i k e i n n i t y . S e t t i n g N

+

= 1 , w e a r e l e d t o t h e a c t i o n ( 2 . 5 ) . T h e v a r i a b l e a

d e n e d b y ( 2 . 6 ) i s n o w e q u a l t o t h e c u r v a t u r e r a d i u s o f t h e d i s t i n g u i s h e d R P

2

o f t i m e l i k e

g e o d e s i c s .

T h e a b o v e i n t e r p r e t a t i o n o f o u r t h e o r y i n t e r m s o f t h e R P

3

g e o n g e n e r a l i z e s i m m e d i a t e l y

t o a c c o m m o d a t e a n e g a t i v e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t . F o r a n o n v a n i s h i n g c h a r g e , o n t h e o t h e r

h a n d , t h e r e e x i s t s a g a i n a n a n a l o g o u s i n v o l u t i v e i s o m e t r y t h a t c a n b e u s e d t o q u o t i e n t

t h e m a n i f o l d , b u t t h e e l e c t r i c e l d i s i n v a r i a n t u n d e r t h i s i s o m e t r y o n l y u p t o i t s s i g n .

T h i s r e e c t s t h e f a c t t h a t G a u s s ' s t h e o r e m p r o h i b i t s a r e g u l a r s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e w i t h

1 7


18/30

j u s t o n e a s y m p t o t i c i n n i t y f r o m c a r r y i n g a n o n z e r o c h a r g e . T h e R P

3

g e o n i n t e r p r e t a t i o n

d o e s t h e r e f o r e n o t e x t e n d t o t h e c h a r g e d c a s e w i t h a c o n v e n t i o n a l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e

e l e c t r o m a g n e t i c e l d .

A s w e h a v e s e e n , t h e c e n t r a l i n p u t i n o u r c l a s s i c a l t h e o r y w a s t o p a r a m e t r i z e t h e g e o m e t r y

i n t e r m s o f t h e r a d i u s o f t h e w o r m h o l e t h r o a t i n a j u d i c i o u s l y c h o s e n f o l i a t i o n : o u r v a r i a b l e

a i s t h e t w o - s p h e r e r a d i u s o n a r a d i a l g e o d e s i c t h r o u g h t h e e v e n t h o r i z o n b i f u r c a t i o n t w o -

s p h e r e , i n a f o l i a t i o n s u c h t h a t t h e p r o p e r t i m e a l o n g t h e d i s t i n g u i s h e d g e o d e s i c a g r e e s w i t h

t h e a s y m p t o t i c K i l l i n g t i m e a t t h e r i g h t h a n d s i d e i n n i t y . O n e p o s s i b l e g e n e r a l i z a t i o n w o u l d

b e t o r e l a x t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e v a r i a b l e ` l i v e ' i n t h e i n t e r i o r r e g i o n s o f t h e m a n i f o l d ,

a n d u s e i n s t e a d t i m e l i k e g e o d e s i c s t h a t d o n o t p a s s t h r o u g h t h e b i f u r c a t i o n t w o - s p h e r e . T o

e x a m i n e t h i s , l e t u s f o r c o n c r e t e n e s s s e t t h e c h a r g e a n d t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t t o z e r o ,

a n d l e t u s g e n e r a l i z e t h e c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n ( 2 . 6 ) t o

j p j =

2 m

1 + ( R

0

)

2

]

Z

a

d b

q

2 m b

? 1

?

1 + ( R

0

)

2

? 1

; ( 5 . 1 a )

p

a

= s g n ( p )

q

2 m a ? a

2

1 + ( R

0

)

2

? 1

; ( 5 . 1 b )

w h e r e R

0

i s a r e a l - v a l u e d p a r a m e t e r . T h e t r a n s f o r m a t i o n ( 2 . 6 ) i s r e c o v e r e d a s t h e s p e c i a l

c a s e R

0

= 0 . T h e r a n g e s o f t h e n e w v a r i a b l e s a r e a g a i n a > 0 a n d ? 1 < p

a


19/30

A s t h e r s t e x a m p l e , s u p p o s e t h a t p i s r e s t r i c t e d b y h a n d t o h a v e t h e r a n g e j p j <

? 1

m ,

w h e r e i s a p o s i t i v e c o n s t a n t . W e p e r f o r m t h e c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n

=

p

2 = m c o s

p

2 m

; ( 5 . 4 a )

p

=

p

2 = m s i n

p

2 m

; ( 5 . 4 b )

w h e r e t h e r a n g e s o f t h e n e w c a n o n i c a l v a r i a b l e s a r e > 0 a n d ? 1 < p


20/30

H = (

2

p

2

+

2

)

1 = 4

: ( 5 . 8 )

W e c a n i d e n t i f y 2

p

a s t h e t w o - s p h e r e r a d i u s o n a r a d i a l g e o d e s i c t h r o u g h t h e b i f u r c a t i o n

t w o - s p h e r e i n a f o l i a t i o n w h e r e t h e p r o p e r t i m e a l o n g t h i s g e o d e s i c i s

= ? s g n ( p )

2 m

Z

2

p

d b

p

2 m b

? 1

? 1

; ( 5 . 9 )

w i t h g i v e n b y ( 5 . 7 a ) .

I n t h e q u a n t u m t h e o r y w e n o w a d o p t t h e i n n e r p r o d u c t (

1

;

2

) =

R

1

0

? 1

d

1

2

. T h e

o p e r a t o r

H

e x p

: = ? ( d = d ) ]

2

+

2

i s e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t , i t s d i s c r e t e s p e c t r u m i s e m p t y ,

a n d i t s e s s e n t i a l s p e c t r u m c o n s i s t s o f t h e n o n - n e g a t i v e h a l f - l i n e .

6

W e c a n t h e r e f o r e d e n e

t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r

H b y s p e c t r a l a n a l y s i s a s (

H

e x p

)

1 = 4

. I t f o l l o w s t h a t t h e s p e c t r u m

o f

H i s n o w c o n t i n u o u s a n d c o n s i s t s o f t h e n o n - n e g a t i v e h a l f - l i n e .

T h e s e e x a m p l e s s u g g e s t t h a t t h e c o n t i n u i t y v e r s u s d i s c r e t e n e s s o f t h e s p e c t r u m i s r e l a t e d

t o t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r t h e w o r m h o l e t h r o a t r e a c h e s t h e i n i t i a l a n d n a l s i n g u l a r i t i e s

w i t h i n n i t e p a r a m e t e r t i m e . T h e r e a r e g e n e r a l g r o u n d s t o e x p e c t t h i s t o b e t h e c a s e .

A c l a s s i c a l t h e o r y i n w h i c h t h e t w o - s p h e r e r a d i u s r e a c h e s z e r o w i t h i n n i t e p a r a m e t e r t i m e

i s s i n g u l a r , i n t h e s e n s e t h a t t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n s c a n n o t b e c o n t i n u e d a r b i t r a r i l y f a r

i n t o t h e p a s t a n d f u t u r e . I f o n e q u a n t i z e s s u c h a t h e o r y s o t h a t t h e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n

i s p r o m o t e d i n t o a t i m e - i n d e p e n d e n t , s e l f - a d j o i n t H a m i l t o n i a n o p e r a t o r , t h e n t h e u n i t a r y

e v o l u t i o n g e n e r a t e d b y t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r r e m a i n s w e l l - d e n e d f o r a r b i t r a r i l y l a r g e

t i m e s . I f o n e s t a r t s w i t h a n i n i t i a l w a v e f u n c t i o n t h a t i s a w a v e p a c k e t f o l l o w i n g s o m e c l a s s i c a l

t r a j e c t o r y , t h e q u a n t u m t i m e e v o l u t i o n w i l l f o r c e t h e w a v e p a c k e t t o b e r e e c t e d f r o m t h e

c l a s s i c a l s i n g u l a r i t y . T h e r e e c t i o n i s a n e n t i r e l y q u a n t u m m e c h a n i c a l p h e n o m e n o n , a n d t h e

q u a n t u m d y n a m i c s a c q u i r e s i n t h i s s e n s e a q u a s i p e r i o d i c c h a r a c t e r . O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e

c l a s s i c a l s o l u t i o n s r e q u i r e a n i n n i t e a m o u n t o f t i m e t o r e a c h t h e s i n g u l a r i t y , o n e g e n e r i c a l l y

e x p e c t s 4 1 ] t h a t i n t h e q u a n t u m t h e o r y a w a v e p a c k e t i n i t i a l l y f o l l o w i n g a c l a s s i c a l t r a j e c t o r y

w i l l j u s t k e e p f o l l o w i n g t h i s t r a j e c t o r y , w i t h s o m e s p r e a d i n g , f o r a r b i t r a r i l y l a r g e t i m e s .

I t i s c l e a r t h a t t h e s e a r g u m e n t s a p p l y w i t h o u t c h a n g e a l s o i n t h e p r e s e n c e o f a n e g a t i v e

c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t . I n t h e p r e s e n c e o f a n o n v a n i s h i n g c h a r g e , a n a n a l o g o u s d i s c u s s i o n

a p p l i e s w i t h t h e s i n g u l a r i t y r e p l a c e d b y t h e i n n e r h o r i z o n .

O n e m a y h o l d m i x e d f e e l i n g s a b o u t a w o r m h o l e t h r o a t q u a n t u m t h e o r y t h a t i n t r o d u c e s

a q u a n t u m m e c h a n i c a l b o u n c e a t a c l a s s i c a l s i n g u l a r i t y o r a t a n i n n e r h o r i z o n . O n t h e

o n e h a n d , s i n g u l a r i t i e s a n d i n n e r h o r i z o n s a r e p l a c e s w h e r e t h e c l a s s i c a l t h e o r y b e h a v e s

p o o r l y , a n d o n e a n t i c i p a t e s q u a n t u m e e c t s t o b e i m p o r t a n t . O n t h e o t h e r h a n d , a n o u t r i g h t

b o u n c e m a y a p p e a r a n u n c o m f o r t a b l y o r d e r l y q u a n t u m p r e d i c t i o n , g i v e n t h a t ( s e m i ) c l a s s i c a l

i n t u i t i o n a s s o c i a t e s s i n g u l a r i t i e s a n d i n n e r h o r i z o n s w i t h c o l l a p s e s a n d i n s t a b i l i t i e s . R e l a t e d

6

T h e s e s t a t e m e n t s f o l l o w i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r f r o m C h a p t e r V I I I o f R e f . 4 0 ] a f t e r b r i n g i n g

H

e x p

a n d t h e i n n e r p r o d u c t t o a s t a n d a r d f o r m b y t h e s u b s t i t u t i o n = e

. N o t e t h a t i f w e h a d

r e t a i n e d d i m e n s i o n s , t h i s s u b s t i t u t i o n w o u l d n e e d t o i n c l u d e a d i m e n s i o n f u l c o n s t a n t .

2 0


21/30

d i s c u s s i o n , i n t h i s a n d r e l a t e d c o n t e x t s , c a n b e f o u n d i n R e f s . 5 6 { 6 2 ] . W h i l e w e v i e w

t h e m o d e l o f t h e p r e s e n t p a p e r a s a u s e f u l a r e n a w h e r e t h e s e i s s u e s c a n b e a d d r e s s e d i n

r e l a t i v e l y e x p l i c i t t e r m s , t h e m o d e l i s u n d o u b t e d l y d y n a m i c a l l y t o o p o o r t o s u p p o r t c o n d e n t

c o n c l u s i o n s a b o u t t h e p h y s i c a l r e a s o n a b l e n e s s o f a d i s c r e t e v e r s u s c o n t i n u o u s b l a c k h o l e

s p e c t r u m . I t w o u l d b e s u b s t a n t i a l l y m o r e i n t e r e s t i n g i f o u r t e c h n i q u e s c o u l d b e g e n e r a l i z e d

t o m o d e l s c o n t a i n i n g d e g r e e s o f f r e e d o m t h a t c a r r y H a w k i n g r a d i a t i o n .

A C K N O W L E D G M E N T S

W e a r e i n d e b t e d t o J o h n F r i e d m a n , S t e p h e n W i n t e r s - H i l t , a n d I a n R e d m o u n t f o r m a k i n g

u s a w a r e o f t h e i r p r e v i o u s , r e l a t e d w o r k o n t h r o a t v a r i a b l e s f o r t h e S c h w a r z s c h i l d g e o m e t r y

6 3 , 6 4 ] , a n d t o J o h n F r i e d m a n a n d S t e p h e n W i n t e r s - H i l t f o r d i s c u s s i o n s a n d c o l l a b o r a t i o n

i n a n e a r l y s t a g e o f t h i s w o r k . W e w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k A n d r e i B a r v i n s k y , D a v i d B r o w n ,

V a l e r i F r o l o v , G a r y H o r o w i t z , T e d J a c o b s o n , I a n K o g a n , K a r e l K u c h a r , G a b o r K u n s t a t t e r ,

P a w e l M a z u r , D i e g o M a z z i t e l l i , Y o a v P e l e g , J o n a t h a n S i m o n , T h o m a s S t r o b l , a n d e s p e c i a l l y

D o n M a r o l f , f o r h e l p f u l d i s c u s s i o n s a n d c o m m e n t s . J . M . i s g r a t e f u l t o t h e D A M T P r e l a t i v i t y

g r o u p f o r h o s p i t a l i t y d u r i n g h i s v i s i t . J . L . w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N S F g r a n t P H Y 9 1 -

1 9 7 2 6 . J . M . w a s s u p p o r t e d b y t h e F i n n i s h C u l t u r a l F o u n d a t i o n .

A P P E N D I X A : S E M I - B O U N D E D N E S S O F

H

0

I n t h i s a p p e n d i x w e s h a l l s h o w t h a t e v e r y s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n o f t h e H a m i l t o n i a n

H

0

( 3 . 5 ) i s b o u n d e d b e l o w , a n d t h a t c e r t a i n s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n s a r e s t r i c t l y p o s i t i v e . W e

s h a l l d i s c u s s s e p a r a t e l y t h e c a s e s r 3 = 2 , 1 = 2 < r 0 . T h i s i m p l i e s t h a t c a n n o t b e n o r -

m a l i z a b l e , w h i c h c o n t r a d i c t s t h e a s s u m p t i o n t h a t i s a n e i g e n f u n c t i o n . H e n c e t h e s p e c t r u m

i s s t r i c t l y p o s i t i v e .

2 . 1 = 2 < r


22/30

t h a t f o r a n y E , t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n

H

0

= E h a s t w o l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s o l u t i o n s ,

d e n o t e d b y u

E

( x ) a n d v

E

( x ) , w i t h t h e a s y m p t o t i c s m a l l x b e h a v i o r

u

E

( x ) = x

r

?

1 + O ( x

2

)

; ( A 2 a )

v

E

( x ) = x

1 ? r

?

1 + O ( x

2

)

: ( A 2 b )

F o r r e a l E , b o t h u a n d v a r e r e a l - v a l u e d . U s i n g t h e t e c h n i q u e s o f R e f . 4 1 ] , i t i s e a s i l y

s h o w n t h a t t h e e i g e n f u n c t i o n s o f a g i v e n s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n o f

H

0

t a k e , u p t o o v e r a l l

n o r m a l i z a t i o n , t h e f o r m

E

= c o s ( ) u

E

+ s i n ( ) v

E

; ( A 3 )

w h e r e 2 0 ; ) i s t h e p a r a m e t e r s p e c i f y i n g t h e s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n . T h e c o n d i t i o n ( A 3 )

c a n b e w r i t t e n w i t h o u t e x p l i c i t r e f e r e n c e t o t h e s o l u t i o n s ( A 2 ) a s

0 = l i m

x ! 0

( 2 r ? 1 ) c o s ( ) x

r ? 1

? s i n ( ) x

2 ( 1 ? r )

d ( x

r ? 1

)

d x

: ( A 4 )

W e n o w p r o c e e d t o o b t a i n a l o w e r b o u n d f o r t h e e i g e n e n e r g i e s .

C o n s i d e r r s t a n e x t e n s i o n i n t h e r a n g e 0 = 2 . C o m p a r i n g t h e e i g e n v a l u e d i e r e n -

t i a l e q u a t i o n t o t h e c o r r e s p o n d i n g e q u a t i o n w i t h t h e t e r m

1

2

x

2 = 3

o m i t t e d f r o m

H

0

( 3 . 5 ) a n d

t h e e n e r g y s e t t o z e r o , o n e s e e s t h a t t h e p r o s p e c t i v e e i g e n f u n c t i o n s w i t h E 0 a r e b o u n d e d

b e l o w b y t h e f u n c t i o n c o s ( ) x

r

+ s i n ( ) x

1 ? r

, w h i c h d o e s n o t v a n i s h e x p o n e n t i a l l y a t l a r g e x .

H o w e v e r , a s t h e p o t e n t i a l i n c r e a s e s w i t h o u t b o u n d a s x g o e s t o i n n i t y , e v e r y e i g e n f u n c t i o n

m u s t v a n i s h e x p o n e n t i a l l y a t l a r g e x . H e n c e t h e s p e c t r u m i s s t r i c t l y p o s i t i v e .

C o n s i d e r t h e n a n e x t e n s i o n i n t h e r e m a i n i n g r a n g e = 2 < < . L e t b e a n e i g e n f u n c -

t i o n w i t h e n e r g y E


23/30

a t l a r g e n e g a t i v e E , u n i f o r m l y f o r M = 2 y M . T h e r e f o r e t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

~

E


24/30

1 . r 3 = 2

W e b e g i n w i t h t h e c a s e r 3 = 2 , w h e r e

H

0

i s e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t . W e s h a l l t h r o u g h o u t

d e n o t e b y a n e i g e n f u n c t i o n w i t h e n e r g y E > 0 .

C o n s i d e r r s t a t s m a l l a r g u m e n t . S e t t i n g z = ( 8 E = 9 )

1 = 2

x , t h e e i g e n f u n c t i o n e q u a t i o n

r e a d s

0 =

"

?

d

2

d z

2

+

r ( r

?1 )

z

2

? 1 +

3 z

8 E

2

2 = 3

#

: ( B 1 )

T h e l a s t t e r m i n ( B 1 ) i s a s y m p t o t i c a l l y s m a l l a t l a r g e E , u n i f o r m l y i n t h e i n t e r v a l z 2

( 0 ; M E

1 = 2

] , w h e r e M i s a n a r b i t r a r y p o s i t i v e c o n s t a n t . O m i t t i n g t h i s l a s t t e r m g i v e s a n

e q u a t i o n w h o s e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s o l u t i o n s a r e z

1 = 2

J

r ? ( 1 = 2 )

( z ) a n d z

1 = 2

N

r ? ( 1 = 2 )

( z ) , w h e r e

J a n d N a r e t h e B e s s e l f u n c t i o n s o f t h e r s t a n d s e c o n d k i n d , a n d o n l y t h e f o r m e r s o l u t i o n

i s n o r m a l i z a b l e a t s m a l l x 6 5 ] . T h e a s y m p t o t i c l a r g e E b e h a v i o r o f i s t h e r e f o r e

/ x

1 = 2

J

r ? ( 1 = 2 )

"

( 8 E )

1 = 2

x

3

#

; ( B 2 )

v a l i d u n i f o r m l y i n a n y b o u n d e d r e g i o n i n x . H e r e , a n d f r o m n o w o n , w e u s e t h e s y m b o l

/ t o

d e n o t e t h e a s y m p t o t i c f o r m a t l a r g e E , u p t o a p o s s i b l y E - d e p e n d e n t c o e c i e n t . I n t r o d u c i n g

t w o c o n s t a n t s

1

a n d

2

t h a t s a t i s f y 0 <

1

<

2

, a n d u s i n g t h e a s y m p t o t i c l a r g e a r g u m e n t

b e h a v i o r o f J 6 5 ] , w e c a n r e w r i t e ( B 2 ) a s

/ c o s

"

( 8 E )

1 = 2

x

3

?

r

2

#

; ( B 3 )

v a l i d u n i f o r m l y f o r

1

x

2

.

C o n s i d e r t h e n t h e r e g i o n o f r a p i d o s c i l l a t i o n s . W e t a k e E s o l a r g e t h a t t h e e i g e n v a l u e

e q u a t i o n h a s t w o t u r n i n g p o i n t s , a n d w e d e n o t e t h e l a r g e r t u r n i n g p o i n t b y x

0

. T h e r e g i o n

o f r a p i d o s c i l l a t i o n s a t l a r g e E i s s u c i e n t l y f a r l e f t o f x

0

b u t s u c i e n t l y f a r r i g h t o f t h e

o r i g i n . A s d e c a y s e x p o n e n t i a l l y r i g h t o f x

0

, t h e W K B a p p r o x i m a t i o n t o t h e w a v e f u n c t i o n

i n t h e r e g i o n o f r a p i d o s c i l l a t i o n s i s ( s e e , f o r e x a m p l e , R e f . 6 6 ] )

W K B

= p

2

( x ) ]

? 1 = 2

c o s

Z

x

0

x

d x

0

p

2

( x

0

) ?

4

; ( B 4 )

w h e r e

p

2

=

2

3

2 E ? x

2 = 3

?

9 r ( r ? 1 )

4 x

2

1 = 2

: ( B 5 )

T h e e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l i n ( B 4 ) i s d i s c u s s e

Documents

Jorma Louko and Jarmo Makela- Area spectrum of the Scharzschild black hole